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FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 1
UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE
Departamento de Engenharia Civil
TEORIA DAS ESTRUTURAS
Exercícios Resolvidos (Método das Forças)
1. Para a estrutura representada na figura, calcule as reacções de apoio e trace os diagramas de esforços. Considere EI=constante e
EA=∞
Matrizes de flexibilidade das barras
3
52
6
52
6
52
3
521
;
3
4
6
46
4
3
41
EIEIBCAB FF
Solução particular Xo
FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 2
1300
250
250
0
CB
BC
BA
AB
o
M
M
M
M
X
Solução complementar Bp ;
2
1
6
0
10
4
0
0
4
0
;
6
0
10
4
0
0
4
0
p
pBpB
Deformações independentes
_
uFXu oo
42.270
42.2701 ;
94.85
56.1011
EIEIBCAB
__
uu
40.247
10.651_
EIABoABABoAB uXFu
86.3154
91.18921_
EIBCoBCBCoBC uXFu
Matriz de flexibilidade de estrutura base BCBC
T
BCABAB
T
AB
T
eb BFBBFBFBBF
53.8607.173
07.17331.3961
53.8607.173
07.17398.3731
00
03
641
EIEIEIebF
Calculo de incógnitas hiperstáticas a partir da equação dos deslocamentos pFvv_
ebo
14.18929
81.401091,,,,
EIBCo
T
BCoABo
T
ABoo uBuBv
00.129
87.44 ;
0
0
14.18929
81.401091
53.8607.173
07.17331.3961
2
1
2
1
p
p
EIp
p
EIkN
Esforços finais nas extremidades das barras BpXX o
24.77
52.70
52.70
0
00.129
87.44
6
0
10
4
0
0
4
0
1300
250
250
0
CB
BC
BA
AB
M
M
M
M
XkNm
Diagramas de esforços transversos e de momentos flectores
FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 3
2. Para a viga representada na figura, calcule as reacções de apoio e trace os diagramas de esforços. Considere EI=constante e EA=∞.
Matrizes de flexibilidade das barras
3
2
3
13
1
3
21
;
3
4
6
46
4
3
41
EIEIBCAB FF
3
5
6
56
5
3
51
;
12
12
11
1
EIEIDFCD FF
Solução particular Xo
0
95.60
95.60
0
0
60.115
60.115
84.526
FD
DF
DC
CD
CB
BC
BA
AB
o
M
M
M
M
M
M
M
M
X
Solução complementar Bp ;
FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 4
2
1
0
88.1
88.1
0
0
0
0
0
0
25.1
25.1
75.3
0
0
0
4
;
0
88.1
88.1
0
0
0
0
0
0
25.1
25.1
75.3
0
0
0
4
p
pBpB
Deformações independentes BpXX o
25.31
25.311 ;
88.16
88.161 ;
5
51 ;
40
401_
EIEIEIEIDFCDBCAB
___
u uuu
36.465
52.7391_
EIABABABoAB uXFu 0
53.33
07.721
EIoBCu
04.82
83.1321 ;
83.77
35.471
EIEIoDFoCD uu
Matriz de flexibilidade de estrutura base
50.3733.23
33.2333.211
EIDFDF
T
DFCDCD
T
CDBCBC
T
BCABAB
T
ABeb BFBBFBBFBBFBF
Calculo de incógnitas hiperstáticas a partir da equação dos deslocamentos pFvv_
ebo
97.3839
08.29581,,,,,,,,
EIDFo
T
DFoCDo
T
CDoBCo
T
BCoABo
T
ABoo uBuBuBuBv
47.50
46.83 ;
0
0
97.3839
08.29581
50.3733.23
33.2333.211
2
1
2
1
p
p
EIp
p
EIkN
Esforços finais nas extremidades das barras BpXX o
0
68.33
68.33
0
0
51.52
51.52
74.3
FD
DF
DC
CD
CB
BC
BA
AB
M
M
M
M
M
M
M
M
XkNm
Diagramas de esforços transversos e de momentos flectores
FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 5
3. Para a estrutura esquematizada na figura, determine pelo método das forças as reacções de apoio e trace os diagramas de esforços
na barra BCD. Considere: E=2.1x108 kN/m2, I=48200 cm4. Despreze a deformação axial das barras.
Sistema 0
Sistema 1
FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 6
Sistema 2
Matrizes de flexibilidade das barras
3
4
3
23
2
3
41
;
32
32
33
1
EIEIBCAB FF
3
5
6
56
5
3
51
;
3
4
3
23
2
3
41
EIEIBECD FF
Solução particular Xo
0
00.280
50.62
0
50.62
50.62
50.217
00.3120
EB
BE
CD
DC
CB
BC
BA
AB
o
M
M
M
M
M
M
M
M
X
Solução complementar Bp ;
2
1
0
4
0
0
0
0
4
0
0
0
4
13
4
4
4
5
;
0
4
0
0
0
0
4
0
0
0
4
13
4
4
4
5
p
pBpB
Deformações independentes
_
uFXu oo
67.116
67.1161 ;
48.21
39.251 ;
0
01 ;
13.1063
13.10631
EIEIEIEIBECDBCAB
____
uuuu
00.125
00.1251 ;
38.4269
13.86231
EIEIoBCoAB uu
67.116
00.3501 ;
85.61
28.161
EIEIoBEoCD uu
Matriz de flexibilidade de estrutura base
67.73700.99
00.9933.1481
EIBEBE
T
BECDCD
T
CDBCBC
T
BCABAB
T
ABeb BFBBFBBFBBFBF
FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 7
Calculo de incógnitas hiperstáticas a partir da equação dos deslocamentos pFvv_
ebo
13.130578
52.2728510
EI
T
o uBv
32.167
28.72 ;
0
0
13.130578
52.272851
67.73700.99
00.9933.1481
2
1
2
1
p
p
EIp
p
EIkN
Esforços finais nas extremidades das barras BpXX o
0
26.389
62.226
0
62.226
62.226
64.162
51.583
EB
BE
CD
DC
CB
BC
BA
AB
M
M
M
M
M
M
M
M
X
kNm
Diagramas de esforços transversos e de momentos flectores
FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 8
4. Dado o pórtico esquematizado na figura, determine as reacções de apoio e trace os diagramas de esforços internos pelo método das
forças. Considere: EI constante. Despreze a deformação axial das barras.
Sistema 0
Sistema 1
Sistema 2
FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 9
Como a barra AC é rígida axialmente e a transalção de B está impedida, a translação horizontal de D é nula e é independente de p2,
perdendo sentido a condição de equivalência cinemática para a translação horizontal de D.
Vamos resolver o exercício, considerando a rigidez de todas as barras EA e depois calcular os limites das incógnitas hiperstáticas quando
EA tende para infinito. Consideremos AC como elemento de pórtico plano e as restantes barras como elemento de treliça.
Matrizes de flexibilidade das barras
EA
EA
EI
EIEI
CBAC
25.22 ;
5.200
03
5.2
6
5.2
06
5.2
3
5.2
FF
EAEADBCD
4 ;
5.2FF
Solução particular Xo
0
30
22.25/37
148
0
0
DB
DC
BC
CA
CA
AC
o
N
N
N
N
M
M
X
Solução complementar Bp ;
2
1
10
00
0755.0
064.0
00
01
;
10
00
0755.0
064.0
00
01
p
pBpB
Deformações independentes
_
uFXu oo
;
0
/828.48
/828.48
EI
EI
AC
_
u
EA
EI
EI
EI
EI
EA
EIEI
EIEI
oAC
/370
/828.48
/828.48
0
/828.48
/828.48
148
0
0
5.200
03
5.2
6
5.2
06
5.2
3
5.2
u
EACBCBoCBoCB
25.823_
, uXFu
EACDCDoCDoCD
75_
, uXFu
0_
, DBDBoDBoDB uXFu
Matriz de flexibilidade de estrutura base
EA
EAEIii
T
ieb 40
0713.3833.0
4
1
BFBF
FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 10
Deslocamentos correspondentes a p no Sistema 0
0
353.858828.48
0 EAEIT
o uBv
Vector p
0713.3833.0
35.858
713.3833.0
10*4883.0 2
EIEA
EI
EIEA
EAp
0
kNm594.58
0833.0
10*4883.0lim
2
EA
p
Esforços finais nas extremidades das barras BpXX o
0
00.30
30.130
50.110
0
kNm59.58
kN
kN
kNX
Diagramas de esforços normais, transversos e de momentos flectores
FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 11
5. Dada estrutura da figura, determine os esforços internos pelo método das forças para uma variação uniforme de temperatura Δt=+15oC
em BC. Considere: secção 0,2x0,4; E=3x107 kN/m2, α=10-5/oC.
Com os dados do problema temos:
EI=32000 e EA=2,4x106=75EI
1a alternativa da estrutura base
2
1
Matrizes de flexibilidade das barras
053.000
033.167.0
067.033.11
;
067.000
067.183.0
083.067.11
EIEIBCAB FF
Solução particular oX
0X o
Solução complementar Bp
2
1
01
00
40
6.08.0
40
83
;
01
00
40
6.08.0
40
83
p
pBpB
Deformações independentes
_
uFXu oo ; mtll BCBC 0006.0
0006.0
0
0
;
0
0
0
BCAB
__
uu
FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 12
0
0
0
ABoABABoAB
_
uXFu
0006.0
0
0
BCoBCBCoBC
_
uXFu
Matriz de flexibilidade de estrutura base BCBC
T
BCABAB
T
AB
T
eb BFBBFBFBBF
20850
50151
30.210
0053.01
7.18650
50151
EIEIEIebF
Calculo de incógnitas hiperstáticas a partir da equação dos deslocamentos pFvv_
ebo
0
0006.00uBv
T
o
55.1
44.6 ;
0
0
0
0006.0
20850
50151
2
1
2
1
p
p
p
p
EIkN
Esforços finais nas extremidades das barras BpXX o
0
20.6
20.6
94.6
CB
BC
BA
AB
M
M
M
M
X kNm
2a alternativa da estrutura base
Matrizes de flexibilidade das barras
053.000
033.167.0
067.033.11
;
067.000
067.183.0
083.067.11
EIEIBCAB FF
Solução particular Xo
0X o
Solução complementar Bp ;
FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 13
2
1
67.033.0
00
10
68.027.0
10
01
;
67.033.0
00
10
68.027.0
10
01
p
p
N
M
M
N
M
M
CB
CB
BC
BA
BA
AB
BpB
Deformações independentes
_
uFXu oo ; mtll BCBC 0006.0
0006.0
0
0
;
0
0
0
BCAB
__
uu
0
0
0
ABoABABoAB
_
uXFu
0006.0
0
0
BCoBCBCoBC
_
uXFu
Matriz de flexibilidade de estrutura base BCBC
T
BCABAB
T
AB
T
eb BFBBFBFBBF
05.381.0
81.068.11
35.1012.0
012.0006.01
70.182.0
82.067.11
EIEIEIebF
Calculo de incógnitas hiperstáticas a partir da equação dos deslocamentos pFvv_
ebo
0004.0
0002.0,,,, BCo
T
BCoABo
T
ABoo uBuBv
97.5
69.6 ;
0
0
0004.0
0002.0
05.381.0
81.068.11
2
1
2
1
p
p
p
p
EIkN.m
Esforços finais nas extremidades das barras BpXX o
0
97.5
97.5
69.6
CB
BC
BA
AB
M
M
M
M
XkNm
Os erros de arredondamento provocam diferenças nos resultados enferiores a 5%
6. Dada estrutura da figura, determine os esforços internos pelo método das forças para uma variação diferencial de temperatura Δt’=+15oC
em BC. Considere: secção 0,2x0,4; E=3x107 kN/m2, α=10-5/oC.
FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 14
Estrutura base
Matrizes de flexibilidade das barras
053.000
033.167.0
067.033.11
;
067.000
067.183.0
083.067.11
EIEIBCAB FF
Solução particular
0X o
Solução complementar Bp ;
A matriz B já foi calculada no exercício anterior
Deformações independentes
_
uFXu oo ; 0015.0'
h
lt BCCBBC
0
0015.0
0015.0
;
0
0
0
BCAB
__
uu
0
0
0
ABoABABoAB
_
uXFu
0
0015.0
0015.0
BCoBCBCoBC
_
uXFu
Matriz de flexibilidade de estrutura base BCBC
T
BCABAB
T
AB
T
eb BFBBFBFBBF
A matriz de flexibilidade ebF já foi calculada no exercício anterior
FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 15
Calculo de incógnitas hiperstáticas a partir da equação dos deslocamento pFvv_
ebo
0015.0
0,,,, BCo
T
BCoABo
T
ABoo uBuBv
05.18
70.8 ;
0
0
0015.0
0
05.381.0
81.068.11
2
1
2
1
p
p
p
p
EIkN.m
Esforços finais nas extremidades das barras BpXX o
0
05.18
05.18
70.8
CB
BC
BA
AB
M
M
M
M
XkNm
7. Na mesma estrutura, considere a única solicitação o assentamento do apoio C de 0.50 cm.
1a alternativa da estrutura base
2
1
_
_
vvpF
v
0v0u0X
oeb
ooo
005.0
0
; ;
ebF foi calculada para esta estrutura base
20850
50151
30.210
00053.01
7.18650
50151
EIEIEIebF
87.3
90.12 ;
005.0
0
20850
50151
2
1
2
1
p
p
p
p
EIkN
FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 16
2a alternativa da estrutura base, inclui o apoio que assenta
C
CB
CB
BC
BA
BA
AB
V
N
M
M
N
M
M
R
X
Inclui-se na matriz B a reacção do apoio que assenta
005.0
0
0
0
0
0
0
; ;
25.00
67.033.0
00
10
68.027.0
10
00
_
uu0XB oo
__
vvpFvuBv
oebo
T
o ;0
0 ;
00125.0
0
00.15
23.7 ;
0
0
00125.0
0
05.381.0
81.068.11
2
1
2
1
p
p
p
p
EIkN.m
Os momentos em A e B permitem calcular as reacções de apoio no apoio C VC=-3.75 kN e HC=12.41 kN
8. Calcular os esforços nas estacas do maciço representado na figura.
FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 17
Sistema 0
Sistema 1
Considerando as barras AB e BC e assumindo nas mesmas ( EAEI ), teremos: 0FF BCAB e as deformações
correspodentes ( u,oAB e u,oAB) também serão nulas.
Vector dos esforços
CG
BF
AE
AD
N
N
N
N
X
Sistema 0
kN -830.00N ;05.1*1505.2*5006005.2* ;0 BFBFA NM
kN -229.81 0; F ;kN 56.579 ;0 y AEADE NNM
0
00.830
81.229
56.579
0
CG
BF
AE
AD
N
N
N
N
X
Sistema 1
1
2
1
0
B
FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 18
Deformações no sistema 0
0*6
)830(*6
)81.229(*6
56.579*15cos
6
,
,
,
,
EA
EA
EA
EA
XF
XF
XF
XF
CGoCG
BFoBF
AEoAE
ADoAD
ou
Matriz de flexibilidade de estrutura base FBBFT
eb
EAEAEAEAEAeb
361
6*1)2(*
6*)2(1
6*10*
15cos
6*0F
Calculo da incógnita hiperstática a partir da equação dos deslocamentos pFvv_
ebo
kN 37.238 ;03616.8581
;16.8581
pp
EAEAEAo
T
o uBv
Esforços finais nas extremidades das barras BpXX o
36.238
29.353
16.468
56.579
CG
BF
AE
AD
N
N
N
N
X