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Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação Departamento de Matemática, Estatística e Informática Programa de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática
Adriano Bechara De Oliveira Roberto Paulo Bibas Fialho
GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO: Uma sequência didática
Belém/PA 2020
Adriano Bechara de Oliveira Roberto Paulo Bibas Fialho
GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO: Uma sequência didática
Produto Educacional apresentado como requisito para obtenção do título de Mestre em Ensino de Matemática pelo Programa de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática, Universidade do Estado do Pará. Linha de Pesquisa: Metodologia para o Ensino de Matemática no Nível Médio. Orientador: Prof. Dr. Roberto Paulo Bibas Fialho. .
Belém/PA 2020
Diagramação e Capa: Os Autores
Revisão: Os Autores
Conselho Editorial
Profa. Dra. Acylena Coelho Costa Profa. Dra. Ana Kely Martins da Silva Prof. Dr. Antonio José Lopes Prof. Dr. Benedito Fialho Machado Prof. Dr. Carlos Alberto Raposo da Cunha Profa. Dra. Celsa Herminia de Melo Maranhão Profa. Dra. Cinthia Cunha Maradei Pereira Profa. Dra. Claudianny Amorim Noronha Profa. Dra. Cristina Lúcia Dias Vaz Prof. Dr. Dorival Lobato Junior Prof. Dr. Ducival Carvalho Pereira Profa. Dra. Eliza Souza da Silva Prof. Dr. Fábio José da Costa Alves Prof. Dr. Francisco Hermes Santos da Silva Prof. Dr. Geraldo Mendes de Araújo Profa. Dra. Glaudianny Amorim Noronha Prof. Dr. Gustavo Nogueira Dias
Prof. Dr. Heliton Ribeiro Tavares Prof. Dr. João Cláudio Brandemberg Quaresma Prof. Dr. José Antonio Oliveira Aquino Prof. Dr. José Augusto Nunes Fernandes Prof. Dr. José Messildo Viana Nunes Prof. Dr. Márcio Lima do Nascimento Prof. Dr. Marcos Antônio Ferreira de Araújo Prof. Dr. Marcos Monteiro Diniz Profa. Dra. Maria de Lourdes Silva Santos Profa. Dra. Maria Lúcia P. Chaves Rocha Prof. Dr. Miguel Chaquiam Prof. Dr. Natanael Freitas Cabral Prof. Dr. Pedro Franco de Sá Prof. Dr. Raimundo Otoni Melo Figueiredo Profa. Dra. Rita Sidmar Alencar Gil Prof. Dr. Roberto Paulo Bibas Fialho Profa. Dra. Talita Carvalho da Silva de Almeida
Comitê de Avaliação
Roberto Paulo Bibas Fialho
Fábio José da Costa Alves
Márcio Lima do Nascimento
OLIVEIRA, Adriano Bechara de & FIALHO, Roberto Paulo Bibas. GEOMETRIA ESPACIAL DE
POSIÇÃO: Uma sequência didática. Produto Educacional do Programa de Pós-Graduação em
Ensino de Matemática, Curso de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática da
Universidade do Estado do Pará, (PPGEM/UEPA), 2020.
ISBN:
Ensino de Matemática; Sequência Didática; Geometria Espacial de Posição.
SUMÁRIO
1. APRESENTAÇÃO ....................................................................................... 4
2. ESTUDO SOBRE A GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO ................... 7
3. USO DAS TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO ........ 10
4. O SOFTWARE GEOGEBRA ..................................................................... 14
5. GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO ................................................... 17
5.1 Entes Geométricos e primeiros postulados ......................................... 17
5.2 Posição relativa entre duas retas ........................................................ 19
5.3 Determinação do Plano ....................................................................... 20
5.4 Definição de retas reversas ................................................................. 22
5.5 Postulado da Interseção e planos secantes ........................................ 23
5.6 Paralelismo de retas............................................................................ 24
5.7 Paralelismo entre a retas e planos ...................................................... 25
5.8 Posições relativas entre uma reta e um plano .................................... 26
5.9 Paralelismo entre os planos ................................................................ 28
5.10 Posição relativa entre dois planos ....................................................... 30
6. SEQUÊNCIA DIDÁTICA ........................................................................... 31
7. CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................... 56
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................ 57
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1. APRESENTAÇÃO
O estudo de geometria é a parte do ensino em que analisamos e
estudamos as formas e características dos entes planos e espaciais, estando
presente na vida do ser humano desde a antiguidade, segundo Boyer (1996, p. 5), “o
desenvolvimento da geometria pode ter sido estimulado por necessidades práticas
de construção e demarcação de terras, ou por sentimentos estéticos em relação a
configurações e ordem”.
Citando os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) sobre a importância do
ensino de geometria e as suas contribuições para a aprendizagem do aluno:
O aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. [...] O trabalho com noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois estimula a criança a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades e vice versa. Além disso, se esse trabalho for feito a partir da exploração dos objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, ele permitirá ao aluno estabelecer conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento (BRASIL, 1997, p. 39).
Segundo Lorenzatto (1995, p. 5), sobre a importância e justificativa do ensino
de geometria, temos que: “A necessidade do ensino de Geometria pelo fato de que,
um individuo sem esse conteúdo, nunca poderia desenvolver o pensar geométrico,
ou ainda, o raciocínio visual, além de não conseguir resolver situações da vida que
forem geometrizadas". Ainda segundo Lorenzatto (1995, p. 5), "Não poderão ainda
se utilizar da Geometria como facilitador para a compreensão e resolução de
questões de outras áreas do conhecimento humano”.
No ambiente educacional em nossa realidade atual, vários métodos de ensino
vem sendo pesquisados e aplicados como é o caso do uso das tecnologias.
Podemos citar alguns exemplos dessas tecnologias diversas que estão sendo
utilizadas como facilitadores no ensino e aprendizagem dos alunos, como os
computadores, os softwares, tablets e celulares, citando Rancan (2011, p. 17), “as
crianças de hoje percebem o fluxo constante de informações com as quais convive
e, por consequência, como este novo mundo tecnológico está transformando a
maneira pela qual aprendem”.
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As Tecnologia da Informação e Comunicação (TIC) na educação torna-se
uma possibilidade de recurso didático, que pode tornar as aulas mais atrativas,
fazendo com que os alunos construam o conhecimento de uma forma diferenciada.
Mas para que esses recursos didáticos sejam realmente utilizados é necessário que
tanto as escolas como os professores saibam empregar e aplicar todo o potencial
desses recursos, com objetivos concretos e justificativas sólidas para a construção
do processo de ensino e aprendizagem. Para Imbérnom (2010, p.36):
Para que o uso das TIC signifique uma transformação educativa que se transforme em melhora, muitas coisas terão que mudar. Muitas estão nas mãos dos próprios professores, que terão que redesenhar seu papel e sua responsabilidade na escola atual. Mas outras tantas escapam de seu controle e se inscrevem na esfera da direção da escola, da administração e da própria sociedade.
Demo (2008), sobre as Tecnologias de Informação e Comunicação, ressalta
que: “Toda proposta que investe na introdução das TICs na escola só pode dar certo
passando pelas mãos dos professores. O que transforma tecnologia em
aprendizagem, não é a máquina, o programa eletrônico, o software, mas o
professor, em especial em sua condição socrática.”
As tecnologias voltadas para o ensino de matemática e geometria surgiram
como uma forma alternativa que o professor, com o papel de mediador do
conhecimento, encontra para dinamizar os conteúdos em sala de aula e também
fazer com que os alunos venham a ser incentivados a buscar e construir o
conhecimento. Para Gladcheff, Zuffi & Silva (apud PACHECO e BARROS, 2013,
p.8), a utilização de softwares em aulas de matemática no ensino pode consentir
diversos objetivos: ser fonte de informação, auxiliar o processo de construção de
conhecimentos, ampliar a autonomia do raciocínio, da reflexão e da criação de
soluções.
Diante do exposto, apresentamos a presente sequência didática para o
ensino de geometria de posição com ênfase no ensino de reta e plano como produto
educacional resultado da pesquisa desenvolvida de Bechara (2019). A pesquisa
teve como objetivo utilizar o software geogebra como ferramenta para auxiliar o
ensino e aprendizagem de geometria de posição, com ênfase no ensino de reta e
plano. A metodologia empregada foi do tipo experimental, utilizando as tecnologias
de informação e comunicação, em que foi aplicado uma sequência didática
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utilizando o software geogebra como ferramenta auxiliadora à luz da Engenharia
Didática.
Sendo assim, tivemos a finalidade de colaborar com o desenvolvimento do o
ensino e aprendizagem de geometria espacial de posição e o produto apresenta
uma proposta de atividades envolvendo os principais conceitos, postulados e
propriedades dos tópicos de reta e plano utilizando como metodologia as tecnologias
de informação e comunicação, como uma forma diferenciada para apresentar e
ensinar os alunos.
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2. ESTUDO SOBRE A GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO
A revisão de estudos possui a finalidade de apresentar estudos e pesquisas
realizadas anteriormente, como forma de propor métodos e propostas, com a
intenção de levantar hipóteses e resolver problemas identificados no decorrer do
ensino. O foco principal desse levantamento de estudos é o ensino de geometria
espacial de posição, onde cada referência verificada utilizada, auxiliou no
desenvolvimento da pesquisa. Citando Vosgerau e Romanowski:
Os estudos de revisão consistem em organizar, esclarecer e resumir as principais obras existentes, bem como fornecer citações completas abrangendo o espectro de literatura relevante em uma área. As revisões de literatura podem apresentar uma revisão para fornecer um panorama histórico sobre um tema ou assunto considerando as publicações em um campo. Muitas vezes uma análise das publicações pode contribuir na reformulação histórica do diálogo acadêmico por apresentar uma nova direção, configuração e encaminhamentos. (VOSGERAU e ROMANOWSKI 2014, p. 167)
O estudo de Geometria Espacial de Posição possibilita o desenvolvimento da
capacidade de abstração, auxilia na resolução de problemas práticos e permite
reconhecer propriedades das formas geométricas. Porém citando Souza Filho e
Brito (2006) que confirmam que na atualidade o ensino de Geometria é feito de
forma mecânica, fazendo com que o aluno perca o interesse pelo conhecimento,
pois ele não encontra um significado para a compreensão do conteúdo.
Segundo Lorenzato (1995) a Geometria está ausente ou quase ausente da
sala de aula. Segundo esse autor, são inúmeras as causas que provocam esse
acontecimento, uma delas é a falta de conhecimentos específicos da Geometria
pelos próprios professores, ou seja, o professor não poderá ensinar o que ele nunca
aprendeu.
As dissertações utilizadas tiveram como critérios, a metodologia de pesquisa,
o conteúdo de geometria, os axiomas, as propriedades e as atividades relacionadas
a geometria espacial de posição. As palavras digitadas como procedimento de
pesquisa foram: Sequência didática em geometria; Ensino de ponto, reta e plano;
Geometria Espacial de Posição. Os documentos foram obtidos no banco de teses e
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dissertações da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP) e no
Google Acadêmico.
As dissertações foram divididas nas seguintes sessões: Resolução de
Problemas, Modelagem Matemática e Uso das tecnologias da informação e
comunicação, onde foi destacado cada proposta , metodologia, objetivo, questão de
pesquisa, desenvolvimento, resultado e conclusão de cada pesquisa.
O desenvolvimento deste estudo consistiu através de algumas etapas: busca
de material para a revisão de estudos, análise do material para a inclusão ou
exclusão através de critérios pré estabelecidos, divisão dos trabalhos incluídos em
categorias e análise das pesquisas onde foram destacados propostas, metodologias,
objetivos, questões de pesquisa, desenvolvimento, resultados e conclusões de cada
pesquisador estudado.
A pesquisa foi elaborado a partir de uma revisão da literatura no período
entre 1998 e 2017, visando a busca de obras nacionais e fazendo um panorama e
evolução entre estudos clássicos e os mais recentes sobre o tema através do
período de 20 anos. As palavras chaves utilizadas foram " Sequência didática em
geometria" ," Ensino de ponto, reta e plano", " Geometria Espacial de Posição".
Foram critérios de exclusão: trabalhos publicados antes de 1998 e os que não se
referiam a geometria espacial de posição.
Na busca realizada na ferramenta Google Acadêmico, na página oficial do
Mestrado Profissional em Matemática – PROFMAT e nos anais do Encontro
Nacional de Educação Matemática – ENEM, foram encontrados 8 trabalhos entre
artigos e dissertações. Após uma breve leitura e analise dos textos, notou - se que
alguns não preenchiam os critérios deste estudo, pois contemplavam outros tópicos
da geometria espacial e foram excluídos. Foram selecionados 5 dissertações que
preencheram os critérios proposto, foram lidos na íntegra ( Quadro 1), onde foram
categorizados em três linhas de pesquisa: Resolução de problemas; Modelagem
Matemática e Uso das tecnologias da informação e comunicação. E como etapa final
da revisão as pesquisas foram analisadas minuciosamente e destacados os
resultados e conclusões.
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Quadro 1 - Textos Selecionados
Titulo Fonte Categoria Autores Ano
Aprendendo e Ensinando Geometria com a Demonstração: Uma contribuição para a prática pedagógica do professor de matemática do ensino fundamental
Dissertação- Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
Resolução de Problemas
GOVÊA, Filomena
1998
Uma Sequência Didática para a Introdução de seu Aprendizado no Ensino da Geométrica
Dissertação- Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
Resolução de Problemas
MELLO, Elizabeth Gervazoni Silva de
1999
Demonstrações em geometria euclidiana: uma sequência didática como recurso metodológico para seu ensino
Dissertação- Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Modelagem Matemática
FERREIRA, Fernanda Aparecida
2008
Geometria Espacial de Posição: Do Concreto ao Raciocínio Dedutivo com uma Passagem pela Tecnologia
Dissertação- Universidade Federal de Santa Maria
Uso das tecnologias da informação e comunicação
GOMES, Rafael Oliveira de
2016
Uso do Gegebra 3D no ensino de Geometria Espacial
Dissertação- Universidade Federal de Juiz de Fora
Uso das tecnologias da informação e comunicação
SOUZA, Grabriel Moreno Ferreirda de
2017
Fonte: Autor (2018)
Pesquisas sobre geometria espacial de posição ainda encontra-se escassa,
pois como é o tópico inicial de geometria espacial, é explorada de maneira intuitiva,
fazendo com que as pesquisas foquem em outros tópicos da geometria espacial.
Então as cinco dissertações selecionadas focam o ensino e aprendizagem de
geometria espacial de posição, explorando axiomas, teoremas e propriedades que
são necessárias para todo o estudo posterior da geometria espacial.
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3. USO DAS TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO
Os métodos para o ensino de matemática vem se ampliando e modificando
com o passar do tempo, como forma de dinamizar o processo de ensino e
aprendizagem e como forma de minimizar a dominância do ensino de forma
tradicional, podemos identificar essas mudanças a partir do que é citado nos
documentos dos parâmetros curriculares nacionais (PCN), segundo o documento:
[...] no ensino de matemática devesse "identificar as principais características dessa ciência, de seus métodos, de suas ramificações e aplicações; conhecer a história de vida dos alunos, sua vivência de aprendizagens fundamentais, seus conhecimentos informais sobre um dado assunto, suas condições sociológicas, psicológicas e culturais; ter clareza de suas próprias concepções sobre a Matemática, uma vez que a prática em sala de aula, as escolhas pedagógicas, a definição de objetivos e conteúdos de ensino e as formas de avaliação estão intimamente ligadas a essas concepções.(BRASIL, 2001, p.37).
O uso das tecnologias de informação e comunicação (TIC) na educação
surge como uma ferramenta potencializadora no processo de ensino e
aprendizagem de alunos e professores, de forma que a sociedade de forma geral
está utilizando a tecnologia para a resolução de problemas do cotidiano. Citando
Tornaghi (2010), de forma resumida o autor nos mostra como se deu o inicio do uso
das tecnologias na educação nas escolas públicas brasileiras.
O uso de tecnologias na escola pública brasileira inicio-se timidamente, com projetos pilotos em escolas no final de 1980. Nesses projetos, algumas experiências ocorriam com o uso do computador em atividades disciplinares e em muitas outras extracurriculares e ocorriam em horários diferentes daquelas em que os alunos frequentavam a escola. Nas duas situações, era possível observar que as práticas apresentavam -se com base em uma das seguintes abordagens: (i) instrucionista, na qual o computador pode ser usado na educação como máquina de ensinar ou como máquina para ser ensinada; ou (ii) construcionista, por meio da qual o aluno constrói, por intermedio do computado, o seu próprio conhecimento (TORNAGHI, 2010, p.145).
Podemos ainda observar nos documentos do PCN, a utilização da tecnologia
faz com que alunos e professores tenham uma oportunidade de investigar e
explorar, nas aulas de matemática, os tópicos que possibilitam o favorecimento da
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argumentação e validação de resultados , tornando - se uma forma para o despertar
do interesse do aluno nas práticas em sala de aula e também nas práticas sociais.
É esperado que nas aulas de Matemática se possa oferecer uma educação tecnológica, que não signifique apenas uma formação especializada, mas, antes, uma sensibilização para o conhecimento dos recursos da tecnologia, pela aprendizagem de alguns conteúdos sobre sua estrutura, funcionamento e linguagem e pelo reconhecimento das diferentes aplicações da informática, em particular nas situações de aprendizagem, e valorização da forma como ela vem sendo incorporada nas práticas sociais. (BRASIL, 1998, p. 46).
A utilização das TIC como um recurso didático possibilita a adequação às
diferentes necessidades e individualidades de cada aluno, oportunizando o professor
a criar ambientes virtuais de aprendizagem de forma diferenciada e de acordo com a
necessidade de cada assunto a ser ensinado, fazendo uma contribuição para a
assimilação dos conteúdos. A internet e o computador são ferramentas que atraem a
atenção do aluno, proporcionando a habilidade de captar e assimilar as informações.
Vogt e Soares (2016, p.5) relatam que:
É preciso considerar que as tecnologias - sejam elas novas (como o computador e a Internet) ou velhas (como o giz e a lousa) condicionam os princípios, a organização e as práticas educativas e impõem profundas mudanças na maneira de organizar os conteúdos a serem ensinados, as formas como serão trabalhadas e acessadas as fontes de informação, e os modos, individuais e coletivos, como irão ocorrer as aprendizagens.
Segundo Valente (1993), afirma que o computador tem que ser utilizado como
uma nova ferramenta educacional e não apenas como uma maquina de ensinar,
pois os alunos precisam buscar e usar as informações que os norteiam, ao invés de
memorizar as informações. O computador torna- se cada vez mais uma ferramenta
que favorece os alunos no desenvolvimento do raciocínio e da reflexão, através da
interação e manipulação da ferramenta, há a possibilidade no desenvolvimento da
capacidade do aluno em buscar, selecionar a informação e solucionar os problemas
de forma independente.
Ainda em concordância Valente (2008), observa que a escola deveria utilizar-
se cada vez mais das tecnologias, para que os alunos pudessem aprender a se
expressar através do uso dessa tecnologia, pois ao fazer essa integração o
processo de ensino e aprendizagem torna-se mais atrativa e significativa,
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promovendo a conquista de novos conhecimentos que permite o aluno a inserção no
contexto de seu cotidiano. Esses recursos estão a disposição do professor para
auxiliar em sua pratica pedagógica, sendo um facilitador do entendimento do aluno,
com isso os professores devem estar preparados e capacitados na utilização desse
recurso para que os objetivos sejam atingidos.
Os professores precisam saber como usar os novos equipamentos e softwares e também qual é seu potencial, quais são os seus pontos fortes e seus pontos fracos. Essa tecnologias, mudando o ambiente em que os professores trabalham e o modo como se relacionam com outros professore, têm um impacto importante na natureza do trabalho do professor e, desse modo, na sua identidade profissional (VALENTE, 2008, p.76).
Neste contexto cabe ao professor criar as situações para desenvolver a
aprendizagem do aluno, desenvolvendo atividades com o objetivo de construir o
conhecimento do aluno, ao invés de apenas transmitir uma informação, então ao
utilizar um software, o professor tem que estar preparado e familiarizado com a
tecnologia que irá utilizar, preparando as atividades com antecedência relacionando
a tecnologia com o tópico estudado, citando Valente (1999), caso o professor não
esteja preparado em utilizar o recurso para desafiar o aluno, não será a tecnologia
quem irá cumprir este papel. Outro papel importante do professor na construção do
conhecimento do aluno, é a necessidade de se colocar no lugar do educando e de
como a atividade desenvolvida será impactante na construção do conhecimento.
No seu trabalho cotidiano em sala de aula, alguma vez já parou para pensar como o seu aluno aprende? Ou, ao contrário, você se preocupa apenas no "como ensinar", ou seja, na criação de estratégias que favoreçam a transmissão do conhecimento? Lembre-se de que aprendizagem é um processo individual e social que a pessoa constrói na interação do com o meio e com o outro. Daí a importância das interações e de situações que promovam a reflexão, a tomada de consciência e a reconstrução do conhecimento (TORNAGUI, 2010, p.42).
Em concordância, os PCN (1998), destacam o papel do professor e de seu
poder de decisão de quando e como será utilizado as tecnologias em sala de aula e
que o professor também tem como papel, fazer a ponte entre o conhecimento e o
aluno. Segundo o documento: "O professor é sempre responsável pelos processos
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que desencadeia para promover a construção de conhecimentos, e nesse sentido é
insubstituível". (BRASIL, 1998, p. 155).
O uso eficiente da informática educativa, aliado ao incentivo da escola na
parte estrutural, o professor com a formação adequada e o aluno motivado em
aprender, possibilita e proporciona desde um entendimento mais profundo acerca
dos campos conceituais até uma abertura para análise de possíveis erros que
possam ser analisados e corrigidos pelo uso das tecnologias. Os softwares
matemáticos são utilizados apenas como ferramentas para o auxílio do professor no
ensino de conceitos para os alunos e, não como um substitutos, então o professor
deve escolher e usar de forma adequada o software matemático, com o objetivo de
buscar possíveis soluções para problemas no campo conceitual em que o aluno
poderá apresentar e, proporcionar uma interação dos alunos com as novas
tecnologias.
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4. O SOFTWARE GEOGEBRA
O Geogebra é um software livre, ou seja, o criador do software disponibiliza
de forma gratuita o programa para qualquer usuário que deseje utilizá-lo. Ele possui
um sistema de Geometria Dinâmica, permitindo que a pessoa que utilize o programa
realize construções e insira equações e coordenadas e fazendo alterações quando
necessárias.
O Geogebra foi criado e desenvolvido por Markus Hohenwater, da
Universidade Austríaca de Salzburg em 2001, possui a função de ferramenta de
ensino e aprendizagem de matemática. Atualmente o software encontra – se na
versão 6.0.523.0, sendo aplicativo multiplataforma, ele pode ser instalado em
computadores com os sistemas operacionais Windows, Linux ou Mac OS e em
Smartphones e Tablets com sistema Androide ou IOS. Disponível para download no
link: http://www.geogebra.org/download.
Geogebra é um software de matemática para utilizar em ambiente de sala de aula, que reúne GEOmetria, álGEBRA e cálculo. Recebeu muitos prêmios internacionais incluindo o prêmio de software educativo Alemão e Europeu. (FERREIRA, 2010, p.03)
Segundo Vieira (2013), o software GeoGebra possui ferramentas de
geometria, de álgebra e do cálculo. Fornece principalmente duas visões diferentes
de um mesmo objeto matemático estudado, podendo ser visualizado na janela
gráfica e na janela de álgebra. A janela de visualização gráfica é aonde os objetos
são construídos, podendo ser editado a cor, espessura das linhas, medir ângulos,
distâncias, entre outras funções. Na janela de álgebra é visualizado a representação
algébrica do objeto construído na janela visualização gráfica.
A área de desenho há um sistema de eixos cartesianos onde o usuário faz as
suas construções geométricas, podendo ser alternado entre a janela 2D e a janela
3D, de forma simultânea aparecem as coordenadas que indicam as equações
correspondentes na janela de álgebra.
O campo de entrada de comandos é aonde são escritas as coordenadas,
equações, comandos e funções, e estes são mostrados na área de desenho.
Entre várias funções do software, pode – se construir objetos como planilhas,
pontos, vetores, segmentos, retas, figuras planas, figuras espaciais, polígonos,
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secções cônicas, coordenadas cartesianas e polares, gráficos de funções e curvas
parametrizadas, o cálculo de derivadas e integrais, podendo ser manejados de
forma dinâmica de tal forma que suas propriedades são conservadas.
Na área educacional o uso do software permite os alunos testem e validem os
problemas propostos pelo professor, possibilitando revisar ou buscar conceito de
conteúdos anteriores de forma simples e dinamizada, permitindo a potencialização
do ensino e aprendizagem. Citando Pereira (2012), que fez uma pesquisa utilizando
o geogebra como ferramenta de ensino.
O trabalho com as tarefas geométricas mediadas pelo software GeoGebra foi primordial para a consolidação de alguns conceitos ligados à circunferência, por exemplo. Os alunos tiveram a oportunidade de validar suas hipóteses, conjecturar sobre possíveis caminhos para a solução das tarefas e discutir de forma colaborativa suas soluções encontradas. A relação entre as conjecturas levantadas no transcorrer da pesquisa, evidenciou a recorrência dos alunos às tarefas anteriores ou a conceitos percebidos durante as plenárias, para dar continuidade à solução de uma tarefa nova a qual se debruçavam, desenvolver uma autonomia para experimentar e validar as suas conjecturas. Contribuiu, também para revisar os conceitos de triângulos, circunferência, bissetriz de um ângulo, mediatriz de um segmento e retas paralelas, quando os mesmos apresentavam-se como conceitos necessários para transcorrer das soluções propostas. (PEREIRA, 2012, p.98).
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Figura 1 - Interface do software Geogebra
Fonte: Geogebra (2019)
(1) Menu principal;
(2) Barra de ferramentas;
(3) Janela algébrica;
(4) Área de desenhos;
(5) Entrada de comandos.
(2)
(4)
(3)
(5)
(1)
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5. GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO
Neste sessão abordaremos os tópicos matemáticos e geométricos do tema
central, que serão investigados através da construção e aplicação de uma
sequência didática, com o objetivo de potencializar o ensino e aprendizagem do
aluno em geometria de posição, com ênfase no ensino de reta e plano.
5.1 Entes Geométricos e primeiros postulados
A Geometria que será abordada é a geometria Euclidiana, constituída por
Euclides (300.AC), em sua obra Os Elementos, em que são destacados os
primeiros entes geométricos (ponto, reta e plano) no qual essa geometria é
constituída. Não precisam ser definidos. E a partir deles temos os postulados (ou
axiomas) que tomamos como verdades lógicas, para depois construímos todas
as propriedades e teoremas que embasam essa geometria. Como base dos
tópicos abordados, das demonstrações e dos conceitos, utilizamos como
referência Dolce (1993).
Os entes geométricos que vamos apresentar são o ponto, a reta e o plano,
como são elementos primitivos da Geometria, os mesmos são adotados sem
definição.
Figura 2 - Ponto , Reta e Plano
Fonte: Autor (2019)
O ponto é um elemento que não possui dimensão, mas é representado
graficamente, como na figura 5, e podemos representar por uma letra maiúscula
do nosso alfabeto; A reta é representado graficamente, como na figura 5, e
podemos representar por uma letra minúscula do nosso alfabeto e sendo ela
infinita nos dois sentidos; O plano não possui fronteiras, mas também é
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representado graficamente como está exposto na figura 5 e representado por
uma letra do alfabeto grego.
A geometria espacial de posição e constituída através desses entes
geométricos e suas construções, podemos definir o espaço como o conjunto de
todos os pontos.
Assim, iniciaremos o estudo da geometria espacial de posição através de
alguns postulados que estão relacionados com o ponto, a reta e o plano.
i. Postulado da existência
a) Em uma reta existe infinitos pontos, tanto sobre a reta, como externo a ela.
b) Em um plano existe infinitos pontos, tanto sobre o plano, como externo a ele.
ii. Postulado da determinação
a) Dois pontos distintos determina uma única reta que passa sobre eles.
Figura 2 - Postulado da determinação
Fonte: Autor (2019).
b) Três pontos não colineares determinam um único plano que passa sobre eles.
Figura 3 - Postulado da determinação
Fonte: Autor (2019)
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iii. Postulado da Inclusão
Se dois pontos estão determinam uma reta, e esses pontos estão contidos
em um plano, então a reta também está contida no plano.
Figura 4 - Postulado da inclusão
Fonte: Autor (2019)
5.2 Posição relativa entre duas retas
Sejam r e f duas retas quaisquer , podem ser:
a) Retas concorrentes
Duas retas são concorrentes, se, e somente se, elas possuem um único ponto
de interseção.
Figura 5 - Retas Concorrentes
F
Fonte: Autor (2019)
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b) Retas paralelas
Duas retas são paralelas, se e somente, ou são coincidente ou são
coplanares sem possuir nenhum ponto de interseção.
Figura 6 - Retas Paralelas
Fonte: Autor (2019)
5.3 Determinação do Plano
Apresentaremos os quatro modos em que se determina um plano.
a) A partir de três pontos não colineares.
Esse primeiro modo é postulado, então consideramos como verdade,
obervado na figura 7.
b) Teorema 1: Determinação do Plano a partir de uma reta e um ponto externo a
ela.
Se uma reta e um ponto externo a ela, ou seja, esse ponto não pertence a
reta, então eles determinam um único plano que os contém.
Demonstração:
A demonstração será dividida em duas partes, pois uma irá tratar da parta da
existência e a outra parte irá tratar da unicidade.
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Sejam P um ponto externo a r, e r uma reta qualquer determinados pelos
pontos A e B, temos:
A, B e P pontos não colineares e utilizando o postulado da existência (ii),
então A, B e P determinam um plano α.
Logo,
α = (A, B, P) então A ⊂ α, B ⊂ α e P ⊂ α
A ≠ B; A e B ∈ r, implica que, r ⊂ α. (1)
Podemos concluir que existe pelo menos o plano α construído por r e P.
Sejam r e P, a reta e o ponto externo a ela que determina o plano α,
provemos que α é o único plano determinado.
Tomamos a existência de α e α′ por r e P, temos que:
α = (r,P) e A, B ∈ r, implica que, α = (A, B, P)
α′ = (r,P) e A, B ∈ r, implica que, α′ = (A, B, P),
Então implica que, α = α′.
Logo, existe apenas um único plano determinado por r e P. (2)
Concluímos a partir de (1) e (2) que : ∃ | α | P∈ α e r ⊂ α.
∎
c) Teorema 2: Determinação do Plano a partir de duas retas concorrentes.
Se duas retas são concorrentes, então as mesmas, determinam um único
plano que as contém.
Demonstração:
A demonstração será dividida em duas partes, pois uma irá tratar da parta da
existência e a outra parte irá tratar da unicidade.
Sejam r e s duas retas concorrentes, P o ponto em comum, tomemos dois,
um ponto A em r e um ponto B em s, sendo esses pontos diferentes de P.
Sendo A, B e P pontos não colineares e utilizando o postulado da existência
(ii), então A, B e P determinam um plano α.
Então,
α = (A, B, P); A, P ∈ r e A ≠ P, implica que, r ⊂ α
α = (A, B, P); B, P ∈ s e B ≠ P, implica que, s ⊂ α
Logo, pode existir pelo menos o plano α determinado pelas retas concorrentes
r e s. (1)
22
Sejam r e s, a retas concorrentes e P o ponto em comum, que determina o
plano α, provemos que α é o único plano determinado.
Tomamos a existência de α e α′ por r e s, retas concorrentes, temos que:
α = (r,s) e A, P ∈ r; B, P ∈ s, com A ≠ B ≠ P , implica que, α = (A, B, P)
α′ = (r,s) e A, P ∈ r; B, P ∈ s, com A ≠ B ≠ P , implica que, α′ = (A, B, P)
Então implica que, α = α′.
Logo, existe apenas um único plano determinado por r e s concorrentes. (2)
Concluímos a partir de (1) e (2) que : ∃ | α | r ⊂ α e s ⊂ α.
∎
d) Teorema 3: Determinação do Plano a partir de duas retas paralelas.
Se duas retas são paralelas, de forma distinta, então as mesmas determinam
um único plano que as contém.
Demonstração:
A demonstração será dividida em duas partes, pois uma irá tratar da parta da
existência e a outra parte irá tratar da unicidade.
Sejam r e s retas paralelas e r ≠ s então temos que:
Por definição de retas paralelas, existe um plano α passando por r e s, pois as
mesmas por definição, são coplanares. (1)
Tomamos a existência de α e α′ por r e s, retas paralelas, e sejam os pontos
A e B ∈ r, com A ≠ B e o Ponto P ∈ s, temos que:
α = (r,s); A, B ∈ r , com A ≠ B e P ∈ s, implica que, α = (A, B, P)
α′ = (r,s); A, B ∈ r , com A ≠ B e P ∈ s, implica que, α = (A, B, P)
Então implica que, α = α′.
Logo, existe apenas um único plano determinado por r e s paralelas. (2)
Concluímos a partir de (1) e (2) que : ∃ | α | r ⊂ α e s ⊂ α.
∎
5.4 Definição de retas reversas
Podemos considerar duas retas reversas se, e somente se, elas não possuem
nenhum plano que as cotenha e não são paralelas entre si.
Observando a figura 7, temos a exemplificação dessa definição.
23
Figura 7 - Retas Reversas
Fonte: Autor (2019)
5.5 Postulado da Interseção e planos secantes
O postulado da interseção nos diz que se existe dois planos distintos com um
ponto em comum, então existe pelo menos outro ponto em comum.
O teorema da interseção nos diz que se existe dois planos distintos com um
ponto em comum, então a interseção desses planos será única reta que passa pelo
ponto em comum.
Demonstração:
A demonstração será dividida em duas partes, pois uma irá tratar da parta da
existência e a outra parte irá tratar da unicidade.
Sejam dois planos α e β, e o ponto P sendo comum aos dois planos, temos
que:
α ≠ β , com P ∈ α e P ∈ β, implica que, ∃ Q ≠ P, Q ∈ α e Q ∈ β (Postulado
da intercessão).
Se o que esta descrito acima for verdadeiro, implica que, ∃ i | i = PQ, i ⊂ α e i
⊂ β (Postulado da existência da reta).
Logo a reta i determinada pelos os pontos P e Q é comum aos planos.
Para demonstrarmos a unicidade, utilizaremos a técnica de demonstração
chamada redução por absurdo.
24
Supondo que exista um ponto X tal que X ∈ α , X ∈ β e X ∉ i, temos que:
Como X ∉ i e pelo teorema 1 , temos um plano γ tal que , γ = (X,i). Então
podemos observar que:
i ⊂ α, X ∈ α, γ = (i,X) , implica que, γ = α (1)
i ⊂ β, X ∈ β, γ = (i,X) , implica que, γ = β (2)
Comparando (1) e (2) temos que α = β e esses planos coincidem com o plano
γ, o que se caracteriza um absurdo, pois a hipótese nos mostra que α ≠ β.
Logo, a reta i é a interseção dos planos α e β.
∎
Dois Planos são secantes, quando os mesmos apresentam uma reta em
comum, essa reta chamamos de interseção desses planos.
Figura 8 - Planos secantes
Fonte: Autor (2019)
5.6 Paralelismo de retas
Como já foi definido anteriormente, duas retas são paralelas quando são
coincidentes ou quando não possuem nenhum ponto de interseção. Euclides
apresentou em sua obra um postulado sobre o paralelismo.
Postulado: Por um ponto A fora de uma reta dada r passa uma única reta
paralela s a essa reta dada.
25
Podemos também definir e demonstrar uma propriedade chama transitividade
do paralelismo de retas.
Se duas retas são paralelas a uma terceira, então todas as retas são
paralelas entre si.
Demonstração:
Sejam três retas distintas e não coplanares r, s e t, temos que:
Pelo postulado das paralelas podemos concluir que r e s não possuem
nenhum ponto de interseção.
Pelo teorema 3, as retas s e t determinam um plano β, r e t determinam um
plano α, então t = α ∩ β.
Seja um ponto P em s, teremos por definição um plano γ, tal que, γ = (r, P).
Os planos α e γ, que são distintos, possuem o ponto P em comum, então
tomemos uma reta comum x, tal que:
r = β ∩ γ, x = α ∩ γ, c = α ∩ β e r // t, implica que, r // x e t // x
Como o ponto P pertence a ambas as retas s e x e as mesmas são paralelas
à reta t, podemos concluir, pelo postulado das paralelas que x = s.
Então r // x e x = s, temos que r // s.
∎
5.7 Paralelismo entre a retas e planos
Uma reta é paralela a um plano se, e somente se, não possuírem nenhum
ponto de interseção.
a // α se, somente se, a ∩ α = ∅.
Figura 9 - Reta "a" paralela ao plano α
Fonte: Autor (2019)
26
Para ocorrer a existência de retas e planos paralelos, faremos a
demonstração de duas condições: a condição suficiente, a condição necessária.
a) Condição Suficiente
Se uma reta não está contida num plano qualquer e é paralela a uma outra
reta que está contida nesse plano, então ela é paralela ao plano.
Demonstração:
Sejam a e b retas paralelas, e b esta contida em um plano α, temos que:
a // b, a ∩ b = ∅, implica que, ∃ β = (a,b)
b ⊂ α, b ⊂ β , α ≠ β, implica que b = α ∩ β
Seja um ponto P, comum a reta a e o plano α, tal que:
P ∈ a e a ⊂ β , implica que, P ∈ β
Se P ∈ β e P ∈ α , então P ∈ a e P ∈ b, o que é absurdo, pois a ∩ b = ∅.
Logo, a reta a e o plano α não tem pontos em comum, então a e α são
paralelos.
∎
b) Condição Necessária
Se uma reta é paralela a um plano, então uma reta contida nesse plano
também é paralela a ela.
Demonstração:
Seja uma reta a, paralela a um plano α , temos que:
Se conduzimos pela reta a, um plano β que intercepta α em uma reta b,
teremos a e b coplanares, pois estão em β, porém não possuem pontos em comum,
então:
a ∩ α = ∅, b ⊂ α, implica que, a ∩ b = ∅. Logo, as retas a e b são paralelas.
∎
5.8 Posições relativas entre uma reta e um plano
Uma reta e um plano podem assumir três posições relativas.
a) Reta contida no Plano
Ocorre quando a reta e o plano possuem ao mínimo dois pontos em comum.
a ⊂ α , então a ∩ α = a.
27
Figura 10 - Reta contida no plano
Fonte: Autor (2019)
b) Reta secante ao Plano
Ocorre quando a reta e o plano possuem apenas um ponto em comum.
a ∩ α = B.
Figura 11 - Reta secante ao Plano
Fonte: Autor (2019)
c) Reta paralela ao Plano
Ocorre quando a reta e o plano não possuem nenhum ponto em comum.
28
a ∩ α = ∅.
Figura 12 - Reta paralela ao plano
Fonte: Autor (2019)
5.9 Paralelismo entre os planos
Dois planos são considerados paralelos entre si se, e somente se, eles não
possuírem nenhum ponto em comum ou os planos sejam coincidentes.
Figura 13 - Planos Paralelos
29
Fonte: Autor (2019)
Para ocorrer a existência entre planos paralelos, faremos a demonstração de
duas condições: a condição suficiente, a condição necessária.
a) Condição Suficiente
Se um plano contém duas concorrentes, e essas retas são paralelas a um
outro plano, então esses planos são paralelos.
Demonstração:
Seja os planos α e β distintos, e as retas a e b concorrentes e contidas em α.
Se considerarmos uma reta i tal que i = α ∩ β, temos que:
a // α, a ⊂ β e i = α ∩ β, implica que, a // i
b // α, b ⊂ β e i = α ∩ β, implica que, b // i
Porém o as retas a e b por hipótese são concorrentes, e se ambas forem
paralelas a i é um absurdo, pois contraria o postulado das paralelas. Logo, os planos
α e β não possuem pontos em comum, então α // β.
∎
b) Condição Necessária
Se dois planos distintos são paralelos, e se um deles contém duas retas
concorrentes, então essas retas são paralelas ao plano que não os contém.
A demonstração que prova a condição necessária é similar a demonstração
da condição suficiente, com isso, a condição necessária se torna também suficiente.
30
5.10 Posição relativa entre dois planos
As posições entre dois planos foram expostas e seus teoremas de existências
foram demonstradas nos tópicos anteriores, nesse ultimo tópico faremos um resumo
expondo as três posições.
a) Planos Coincidentes:
São dois planos que não possuem nenhum ponto em comum e são iguais.
α ∩ β = α = β
b) Planos Paralelos distintos
São dois planos que não possuem nenhum ponto em comum.
α ∩ β = ∅
c) Planos secantes
São dois planos que possuem uma reta em comum.
α ∩ β = i
31
6. SEQUÊNCIA DIDÁTICA
Segundo Zabala (1998, p.18), a sequência didática é “um conjunto de
atividades ordenadas, estruturadas e articuladas para a realização de certos
objetivos educacionais, que têm um princípio e um fim conhecidos tanto pelo
professor como pelos alunos”.Essas atividades são ligadas entre si com o objetivo
de ensinar um conteúdo definido.
A organização das atividades deve ser feita através de um planejamento de
acordo com os objetivos que o professor visa obter para alcançar a aprendizagem
de seus alunos. Para que essa aprendizagem ocorra, é indispensável que essas
atividades sejam práticas, lúdicas ou diferenciadas, de forma que o nível de
dificuldade de cada questão seja elevado gradativamente, estimulando os alunos
para conquistar cada desafio proposto e proporcionar a construção do
conhecimento.
Zabala (1998) destaca que a construção de uma sequência didática com foco
e objetivos claros, torna-se um caminho assertivo para a busca de melhoras nas
praticas pedagógicas educativas. Com isso, o centro do interesse ao construímos
uma sequência didática deve ser o aluno, então temos que levar em consideração
as vivências do cotidiano e os conhecimentos anteriores para podemos instiga-los
na busca da compreensão e desenvolvimento da aprendizagem significativa.
Em concordância Dolz e Schneuwly (2004) dizem que as sequências
didáticas são instrumentos que auxiliam o professor no direcionamento de suas
aulas e nas possíveis intervenções pedagógicas.
Para Pais (2002, p.102) “Uma sequência didática é formada por um certo
número de aulas planejadas e analisadas previamente com a finalidade de observar
situações de aprendizagem, envolvendo os conceitos previstos na pesquisa
didática”.
Nesta busca de ferramentas para potencializar o ensino e aprendizagem do
aluno, esta pesquisa apresenta uma sequência didática com o objetivo apresentar
um conjunto de atividades para o auxilio do ensino de geometria de posição, com
ênfase no ensino de reta e plano. O conjunto de atividades é composto de 15
atividades em forma de uma sequência para o auxilio no ensino das definições,
propriedades e postulados dos entes geométricos. Algumas das atividades
desenvolvidas seguem como referência Sá(2009).
32
As atividades de 1 a 3 foram pensadas afim de proporcionar o conhecimento
sobre o postulado da existência, a atividade 4 sobre o postulado da existência da
reta, atividades de 5,6 e 7 destaca as posições relativas entre duas retas, atividades
8 a 10 proporcionam o conhecimento sobre o postulado da determinação do plano,
atividades 11 e 12 a noção espacial do plano ao não possuir fronteiras e nem
tamanho, atividades 13 a 15 contemplam as relações de posicionamento entre retas
e planos, e planos e planos. Cada atividade é apresentada com uma análise a priori,
onde é proposto os caminhos que os alunos devem seguir para construir o
conhecimento geométrico e também o aluno poderá alternar, utilizando o software,
entre uma visão 2D e uma visão 3D para desenvolver uma noção espacial através
da manipulação das construções propostas.
Atividade 1
Atividade adaptada de Sá (2009)
Titulo: Retas por um ponto
Objetivo: Estudar a quantidade de retas que passam por um ponto.
Material : Geogebra.
Desenvolvimento: Marcar o maior numero possível de retas que passem por um
ponto.
Questões: a) Quantas retas você construiu?
b) Poderia construir mais?
c) Quantas mais?
Conclusão:
Análise a priori: O aluno deverá usar as ferramentas do geogebra ponto e
reta , após construir o ponto na tela do geogebra o aluno deverá marcar retas
que passem por esse ponto.
33
Provavelmente cada aluno irá marcar uma quantidade diferente de retas, não
conseguindo abstrair o infinito numa figura limitada, devido a algum obstáculo
epistemológico de infinito. Não se apropriando do conceito de reta, ponto e plano.
Por isso cabe ao professor mediar a socialização entre os alunos sobre as
quantidades que um conseguiu marcar, para que durante a socialização siga a
definição de que em um ponto passam infinitas retas. As imagens abaixo ilustram a
ideia abordada.
Atividade 2
Titulo: Pontos que existem numa reta
Objetivo: Verificar a quantidade de pontos sobre uma reta.
34
Material : Geogebra.
Desenvolvimento: Marcar o maior numero possível de pontos sobre a reta.
Questões: a) Quantos pontos você construiu?
b) Poderia construir mais?
c) Quantos mais?
Conclusão:
Análise a priori: O aluno deverá usar as ferramentas do geogebra ponto e
reta , após construir a reta na tela do geogebra o aluno deverá marcar pontos
sobre a reta.
Provavelmente cada aluno irá marcar uma quantidade diferente de pontos
sobre a reta, a partir da socialização entre os alunos sobre as quantidades obtidas
deverá aparecer a seguinte definição: sobre uma reta há infinitos pontos. As
imagens abaixo ilustram a ideia abordada.
35
Atividade 3
Titulo: Pontos que existem fora de uma reta
Objetivo: Verificar a quantidade de pontos fora de uma reta.
Material : Geogebra.
Desenvolvimento: Marcar o maior numero possível de pontos fora da reta.
Questões: a) Quantos pontos você construiu?
b) Poderia construir mais?
c) Quantos mais?
Conclusão:
Análise a priori: O aluno deverá usar as ferramentas do geogebra ponto e
reta , após construir a reta na tela do geogebra o aluno deverá marcar pontos
fora da reta.
Provavelmente cada aluno irá marcar uma quantidade diferente de pontos
fora a reta, a partir da socialização entre os alunos sobre as quantidades obtidas
deverá aparecer a seguinte definição: fora de uma reta há infinitos pontos. Então o
36
professor a partir das duas definições obtidas nas atividades 2 e 3, poderá formalizar
a definição do postulado da existência de uma reta. As imagens abaixo ilustram a
ideia abordada.
Atividade 4
Atividade adaptada de Sá (2009)
Titulo: Retas por dois pontos
Objetivo: Estudar a quantidade de retas que passam por dois pontos.
Material : Geogebra.
Desenvolvimento: Marcar o maior número possível de retas que passam pelos
pontos marcados.
37
Questões: Marque os Pontos A, B , C , D de forma aleatória e que não estejam
alinhados e responda:
a) Quantas retas passam pelos pontos A e B?
b) Quantas retas passam pelos pontos A e C?
c) Quantas retas passam pelos pontos A e D?
d) Quantas retas passam pelos pontos B e C?
e) Quantas retas passam pelos pontos B e D?
f) Quantas retas passam pelos pontos C e D?
Conclusão:
Análise a priori: O aluno deverá usar as ferramentas do geogebra ponto e
reta , após marcar os Pontos A, B, C, D, o aluno deverá construir as retas que
passa por esses pontos como cada item determina, a partir dessas construções
espera-se que o aluno tenha a percepção de que em dois pontos passam uma única
reta. Provavelmente o aluno poderia optar em dizer que passam infinitas retas se
considera todas as retas que passam pelos pontos A, B, C e D não observando as
condições exigidas no comando da questão.
Então o professor a partir das discussões da atividade deve formalizar a
definição do postulado da determinação de uma reta. As imagens abaixo ilustram a
ideia abordada.
38
Atividade 5
Titulo: Posição entre duas retas.
Objetivo: Verificar as relações entre as posições de duas retas
Material : Geogebra.
Desenvolvimento: Visualizar através de uma figura as relações entre os segmentos
de reta.
39
Questões: Qual relação podemos estabelecer entre os segmentos?
a) Figura 1
b) Figura 2
d) Figura 4
e) Figura 5
c) Figura 3
f) Figura 6
Conclusão:
Atividade 6
Marque uma reta utilizando a ferramenta e utilizando a ferramenta ,
construa outras retas tomando a primeira reta construída como suporte. O que você
pode concluir em relação a esses construções?
40
Atividade 7
Marque uma reta utilizando a ferramenta e utilizando a ferramenta ,
construa outras retas tomando a primeira reta construída como suporte. O que você
pode concluir em relação a esses construções?
Análise a priori: Na atividades 5 os alunos deveram fazer a relação dos segmentos
e retas listados, observando em alguns casos os segmentos e as retas se cruzam e
um único ponto e em outros casos os segmentos e as retas não possuem pontos em
comum. Nas atividades 6 e 7 os alunos devem usar os comandos apresentados e
fazer as construções e com base na atividade 5 observar as relações entre a reta
suporte e as outras construídas. Com as discussões entre os alunos e o professor
sobre as atividades, o professor deverá introduzir os conceitos de retas paralelas e
retas concorrentes, também mostrando o caso de retas concorrentes
perpendiculares e com o auxílio do geogebra o professor poderá construir junto com
alunos segmentos que passem pelas retas paralelas e mostrar que sempre que as
retas forem paralelas, quaisquer segmentos perpendiculares possuem a mesma
distância.
As imagens abaixo, respectivamente, ilustram as construções das atividades
6 e 7.
41
Atividade 8
Titulo: Retas paralelas na construção de um plano
Objetivo: Verificar a determinação de um plano.
Material : Geogebra 3D.
Desenvolvimento: Visualizar e construir através de uma figura 3D um plano
Questões: a) Quantos planos você conseguiu construir a partir das retas paralelas?
b) Poderia construir mais?
c) Quantos mais?
Conclusão:
Análise a priori: Nesta atividade o aluno utilizará as ferramentas do geogebra 3D
,ponto , reta , reta paralela e plano . Primeiro o aluno
deverá marcar uma reta qualquer e um ponto externo a reta, em seguida utilizar a
ferramenta reta pararela e marcar a reta e o ponto marcados para a construção da
reta paralela a primeira, no final utilizar a ferramenta plano e marcar o plano que
passa pelas as duas retas paralelas. Com isso o aluno perceberá que é possivel
42
apenas determinar um único plano que contém as duas retas. As imagens abaixo
ilustram a ideia abordada.
Atividade 9
Titulo: Retas concorrentes na construção de um plano
Objetivo: Verificar a existência de um plano.
Material : Geogebra 3D.
Desenvolvimento: Visualizar e construir através de uma figura 3D um plano.
Questões: a) Quantos planos você conseguiu construir a partir de duas retas
concorrentes?
43
b) Poderia construir mais?
c) Quantos mais?
Conclusão:
Análise a priori: Na atividade 8 o aluno utilizará as ferramentas do geogebra 3D ,
reta e plano . O aluno deverá construir duas retas que sejam
concorrentes e depois utilizar a ferramenta plano e marcar o plano que passa pelas
retas concorrentes. No final da atividade de construção o aluno irá perceber que é
possivel apenas determinar um único plano que contem duas retas concorrentes. As
imagens abaixo ilustram a ideia abordada.
44
Atividade 10
Titulo: Reta e um ponto externo na construção de um plano
Objetivo: Verificar a existência de um plano.
Material : Geogebra 3D.
Desenvolvimento: Visualizar e construir através de uma figura 3D um plano.
Questões: a) Quantos planos você conseguiu construir a partir da reta r e o ponto A?
b) Poderia construir mais?
c) Quantos mais?
Conclusão:
Análise a priori: Na atividade 9 o aluno utilizará as ferramentas do geogebra 3D ,
ponto , reta e plano . Primeiramente o aluno marcará uma reta
e um ponto externo a ela, em seguida marcará um plano que passe por essa reta e
esse ponto. Ao final pretende-se que o aluno perceba que é possivel apenas
construir uma reta que passe por uma reta e um ponto externo a ela. Nas atividades
7,8 e 9 o professor poderá formalizar o postulado da determinação de um plano.
45
Atividade 11
Titulo: Pontos no plano
Objetivo: Descobrir a quantidade de pontos sobre um plano.
Material : Geogebra 3D.
Desenvolvimento: Construir o maior número possível de pontos sobre um plano.
Questões: a) Quantos pontos você construiu?
b) Poderia construir mais?
c) Quantos mais?
Conclusão:
Análise a priori: O aluno usará a ferramenta do geogebra 3D , ponto . Como
a própria janela 3D do geogebra apresenta um plano, o aluno deverá marcar os
pontos sobre esse plano. Possivelmente cada aluno irá marcar uma quantidade
diferente de pontos sobre o plano, então a partir da socialização da atividade o aluno
deverá perceber que sobre um plano existem infinitos pontos. Como pode ser
ilustrado na figura abaixo.
46
Atividade 12
Titulo: Retas no plano
Objetivo: Descobrir a quantidade de retas que passam sobre um plano.
Material : Geogebra 3D.
Desenvolvimento: Construir o maior número possível de retas que passam sobre um
plano.
Questões: a) Quantas retas você construiu?
b) Poderia construir mais?
c) Quantos mais?
Conclusão:
Análise a priori: O aluno usará a ferramenta do geogebra 3D , reta . Como a
própria janela 3D do geogebra apresenta um plano, o aluno deverá marcar as retas
sobre esse plano. Possivelmente cada aluno irá marcar uma quantidade diferente de
retas sobre o plano, então a partir da socialização da atividade o aluno deverá
perceber que sobre um plano passam infinitas retas. Como pode ser ilustrado na
figura abaixo.
47
Atividade 13
Titulo: Posição das retas nos planos
Objetivo: Relacionar retas em planos.
Material : Geogebra 3D.
Desenvolvimento: Observar a figura no geogebra 3D e relacionar as posições das
retas sobre os planos.
Questões: a) Qual a relação entre as retas CD e EF?
b) Qual a relação entre as retas CD e GH?
c) Qual a relação entre as retas EF e GH?
d) Qual a relação entre as retas CD, EF e GH em relação ao plano laranja?
e) Qual a relação entre as retas CD e IJ?
f) Qual a relação entre as retas EF e IJ?
g) Qual a relação entre as retas GH e IJ?
Conclusão:
48
Atividade 14
Titulo: Posição relativa entre uma retas e um plano
Objetivo: Identificar as posições entre uma reta e um plano.
Material : Geogebra 3D.
Desenvolvimento: Observar a figura no geogebra 3D e observar as relações entre
retas e um plano.
a) Qual a relação entre a reta AB e o plano azul?
49
b) Qual a relação entre a reta EF e o plano azul?
c) Qual a relação entre a reta h e o plano azul?
Conclusão:
Atividade 15
Titulo: Posição relativa entre dois planos
Objetivo: Identificar as posições entre dois planos.
Material : Geogebra 3D.
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Desenvolvimento: Observar a figura no geogebra 3D e observar as relações entre
dois planos.
a) Qual a relação entre os dois planos na figura 1?
b) Qual a relação entre os dois planos na figura 2?
c) Qual a relação entre os dois planos na figura 3?
Conclusão:
51
Análise a priori: As atividades 12,13,14 o aluno com a ferramenta rotação
irá verificar as relações de posicionamento entre retas e planos, e depois com as
devidas discussões sobre as atividades o professor poderá formalizar o conceito de
retas coplanares, retas reversas, retas secantes, plano e reta paralelos , plano e reta
secantes, planos paralelos distintos, planos coincidentes e planos secantes.
Ao finalizar as atividades sugerimos que seja realizado um teste oral, para
estabelecer os postulados, propriedades e teoremas e minimizar os efeitos de
eventuais dificuldades conceituais.
52
Questões Propostas
1. Quatro pontos distintos e não coplanares determinam exatamente:
a) 1 plano.
b) 2 planos.
c) 3 planos.
d) 4 planos.
e) 5 planos.
2. (UF – AL) Classifique V como verdadeira ou F como falsa cada uma das
afirmativas abaixo.
a) Duas retas que não têm pontos comuns sempre são paralelas ( ).
b) Duas retas distintas sempre determinam um plano ( ).
c) Uma reta pertence a infinitos planos distintos ( ).
d) Três pontos distintos não colineares sempre determinam um plano ( ).
e) Duas retas coplanares distintas são paralelas ou concorrentes ( ).
3. (Faap) O galpão da figura a seguir está no prumo e a cumeeira está "bem no
meio" da parede
Das retas assinaladas podemos afirmar que:
a) t e u são reversas.
b) s e u são reversas
c) t e u são concorrentes
d) s e r são concorrentes
e) t e u são paralelas.
4. Quando dois planos possuem apenas uma reta em comum, quer dizer que os
planos são:
a) Paralelos
53
b) Coincidentes
c) Secantes
d) Coplanares
e) Perpendiculares
5. (UF – AL) Na cadeira representada na figura a seguir, o encosto é perpendicular
ao assento e este é paralelo ao chão.
Sendo assim:
a) Os planos EFN e FGJ são paralelos.
b) HG é um segmento de reta comum aos planos EFN e EFH.
c) Os planos HIJ e EGN são paralelos.
d) EF é um segmento de reta comum aos planos EFN e EHG.
6. (UNIPAMPA) Observe a pirâmide de base quadrada e verifique se as retas
indicadas em cada item são paralelas, concorrentes ou reversas.
a) AC e AD
b) AB e ED
c) BC e ED
d) EC e BD
e) BC e AE
54
7. Considere as afirmações a seguir.
I. Duas retas distintas determinam um plano.
II. Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre
si.
III. Se dois planos são paralelos, então toda reta de um deles é paralela a alguma
reta do outro.
É correto afirmar que:
a) Apenas II é verdadeira
b) Apenas III é verdadeira
c) Apenas I e II são verdadeiras
d) Apenas I e III são verdadeiras
e) I, II e III são verdadeiras
8. (ENEM 2012) O globo da morte é uma atração muito usada em circos.
Ele consiste em uma espécie de jaula em forma de uma superfície esférica feita
de aço, onde motoqueiros andam com suas motos por dentro. A seguir, tem-se,
na Figura 1 , uma foto de um globo da morte e, na Figura 2, uma esfera que
ilustra um globo da morte. Na Figura 2, o ponto A está no plano do chão onde
está colocado o globo da morte e o segmento AB passa pelo centro da esfera e é
perpendicular ao plano do chão.Suponha que há um foco de luz direcionado
para o chão colocado no ponto B e que um motoqueiro faça um trajeto dentro
da esfera, percorrendo uma circunferência que passa pelos pontos A e B.
A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do chão é melhor
representada por:
55
a) b) c) d) e)
9. Qual das afirmações abaixo é VERDADEIRA?
a) Se duas retas distintas não são paralelas, elas são concorrentes.
b) Duas retas não coplanares são reversas.
c) Se a intersecção de duas retas é o conjunto vazio, elas são paralelas.
d) Se três retas são paralelas, existe um plano que as contém.
e) Se três retas distintas são duas a duas concorrentes, elas determinam um e um
só plano.
10. (UEL 2001) Considere uma reta s, contida em um plano α, e uma reta r e
perpendicular a s. Então, necessariamente:
a) r é perpendicular a α.
b) r e s são coplanares.
c) r é paralelo a α.
d) r está contida em α.
e) Todas as retas paralelas a r interceptam s.
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7. CONSIDERAÇÕES FINAIS
O produto educacional apresentado foi validado através da dissertação de
Bechara (2019), com o objetivo de auxiliar o ensino e aprendizagem de
geometria de posição, com ênfase no ensino de reta e plano através do uso do
software geogebra.
A sequência didática com a utilização do geogebra como ferramenta
auxiliadora no ensino e aprendizagem, apresenta-se como uma proposta de método
diferenciado em que o aluno possa através da interação com as construções
geométricas feita pelo software, abstrair os conceitos e também venham
potencializar a percepção espacial dos entes geométricos.
Almejamos que os professores utilizem esse produto em suas aulas
introdutórias de geometria de maneira a incentivar os alunos a utilizar o computador
como ferramenta educacional e contribuir para potencializar a aprendizagem
significativa dos discentes.
Diante disso, o presente produto educacional pode ser utilizado não apenas
no ambiente escolar, pois sabemos que há escolas com recursos escassos, mas
também a qualquer usuário que tenha acesso a um o computador e através do
geogebra possa construir as figuras geométricas expostas.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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