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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULOEscola de Engenharia de Lorena – EEL

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“LOB1021 - FÍSICA IV“

Prof. Dr. Durval Rodrigues Junior

Departamento de Engenharia de Materiais (DEMAR)Escola de Engenharia de Lorena (EEL)

Universidade de São Paulo (USP)Polo Urbo-Industrial, Gleba AI-6 - Lorena, SP 12600-970

[email protected]/docentes ou www.eel.usp.br (Página dos professores)

UNIDADE 9 -

Mais Ondas de Matéria

Estados ligadosVimos, até agora, 3 postulados da Mecânica Quântica:a) Toda partícula possui uma função de onda Ψ associada a ela.

b) A forma e a evolução temporal desta Ψ é determinada pela equação de Schrödinger.

c) Dada a função Ψ (x,t), a densidade de probabilidade da partícula ser encontrada em um ponto x, num dado instante t, é dada por:

( ) ( ) 2t,xt,xP Ψ=

A Equação de Schrödinger e a Quantização de Energia

Quando a relação entre a energia total de uma partícula e sua energia potencial é tal que classicamente a partícula estaria confinada a uma região limitada do espaço (E < V), pois senão a energia cinética excederia a energia total fora da região, a teoria de Schrödinger prevê que a energia total da partícula é quantizada.

Quando a partícula não estiver confinada em uma região limitada, então a teoria prevê que a sua energia total pode apresentar qualquer valor.

O átomo na “Antiga” Mecânica Quântica• Por volta de 1910 acumularam-se inúmeras evidências experimentais de que os átomos continham elétrons (aquelas partículas que compunham os raios catódicos e conduziam a eletricidade).Mas os átomos eram neutros. Portanto, deviam possuir uma quantidade igual de carga positiva.

Modelo de Thomson (1910)

Os átomos seriam compostos por elétrons pontuais, distribuídos numa massa de carga positiva uniforme: Modelo do “pudim de passas”.

Modelo de Thomson: previa uma deflexão pequena das partículas α

Exemplo histórico: estrutura do átomo

• Ernest Rutherford (1911): descobriu a estrutura nucleardo átomo. Primeiro experimento de colisão de partículas sub-atômicas.

Rutherford observou grandes deflexões, sugerindo um núcleo duro e pequeno

• Rutherford então propôs um modelo no qual toda a carga positiva dos átomos, que comportaria praticamente toda a sua massa, estaria concentrada numa pequena região do seu centro: o núcleo. Os elétrons, então, ficariam orbitando em torno deste núcleo: Modelo “planetário”.

Entretanto, estes elétrons em órbita estariam acelerados (aceleração centrípeta). Assim, segundo o eletromagnetismo, deveriam emitir energia na forma de radiação eletromagnética, até colapsarem para o núcleo!

O átomo na “Antiga” Mecânica Quântica

Experimentos de espectroscopia de átomos de H apresentavam raias espectrais discretas :Série de Balmer

656486434410 λ(Å)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 22

1211

nRHλ

RH =109,677 cm-1

n=3, 4, 5, ...

O modelo atômico de Bohr (1913)Motivação experimental:

Baseado na idéia da “quantização” e da existência dos fótons,Bohr introduziu o seu modelo para o átomo de hidrogênio,baseado em 4 postulados:

1) Um elétron se move em uma órbita circular em torno do núcleo sob influência da atração coulombiana do núcleo, (mecânica clássica).

2) O elétron só pode se mover em órbitas que apresentem momentos angulares L “quantizados”:

,....,,nnL 321== h

O modelo atômico de Bohr (1913)

3) O elétron fica em órbitas “estacionárias” e não emite radiação eletromagnética. Portanto, a sua energia total Epermanece constante.

4) Radiação é emitida se um elétron, que se move inicialmente numa órbita de energia Ei , muda para uma órbita de energia Ef menor que Ei. A freqüência da radiação emitida é dada por:

Em outras palavras, o átomo emite um fóton.

hEE fi −=ν


Considerando o núcleo em repouso, a força elétrica no elétron é dada por

v

-e, m

+e2

0

2 14 r

eFπε

−=

rvm

re 2

20

2 14

=πε

Para uma órbita circular:

hnL =rmvL =

rmnv h

=

22

02

nme

hrn πε

=

Quantização das órbitas!


Se

e

Assim, a energia das diferentes órbitas serão dadas por:

Portanto, Bohr prevê que as órbitas têm raios:

eVnnh

meEn 22220

4 6,1318

−=−=ε

22

02

nme

hrn πε

=

20

2

0 mehrπ

ε=

20nrrn =

com

ou

529100 ,r = Å


ou

Mas:r

er

emvUKE0

2

0

22

842 πεπε−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=+=

As freqüências emitidas nas transições seriam:

Portanto, Bohr prevê que:

sendo um êxito para a sua teoria!

132

0

4

74,1098

−== cmch

meRH ε

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

−=→ 2232

0

4'

'1

'1

8 nnhme

hEE nn

nn εν


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−== →

→22H2232

0

4'nn

'nn 'n1

n1R

n1

'n1

ch8me

c1

εν

λ

O sistema pode passar de um estado n para um n’, de energia menor, emitindo um fóton de frequência:

O estado de energia mais baixa é chamado de estado fundamental.

'nn EEEh −== Δν

Pode também transicionar para um estado de energia maior absorvendo um fóton. E11

E22

E33

E44

E

E11

E22

E33

E44

E

O modelo de Bohr explicou as raias espectrais, conhecidas para o átomo de hidrogênio, e mostrou que deveriam existir outras, fora do espectro visível.

Princípio da Correspondência de Bohr:No limite dos números quânticos muito elevados, os resultados

da física quântica tendem para os resultados da física clássica.

Partícula sujeita a um potencial harmônico:

Oscilador harmônico e estados coerentes

( )r

erU 14 0

2

πε−=

O poço de potencial onde o elétron está confinado tem a forma

A equação de Schrödinger nesse potencial é

)r(E)r()r(U)r(m

rrrh ΨΨΨ =+∇− 22

2

A equação de Schrödinger e o átomo de H

( ) ( ) ( ) ( )φθψφθ FPrr =Ψ ,,

lnúmero quânticoorbital

nnúmero quânticoprincipal

mnúmero quântico

magnético

símbolo valoresn 1,2,3, l 0,..,n-1m -l,..,l

Como o potencial só depende de r, a função de onda pode ser separada (em coordenadas esféricas)

Isto produz 3 equações separadas, para as coordenadas eletrônicas do átomo de H !


O número quântico orbital l corresponde aos estados:

(1,0,0)

(2,0,0) (2,1,0) (2,1,1) (2,1,-1)

l = 0, 1, 2, 3, 4s, p, d, f, g

0E−

4/0E−

9/0E−

(3,1,0)(3,0,0) (3,1,-1)(3,1,1) (3,2,1)(3,2,0) (3,2,2)(3,2,-1) (3,2,-2)

)(rnlmrψ

(n,l,m)1s

2s 2p

3s 3p 3d


)r(E)r()r(Udr

)r(drdr

)r(dm

rrrr

h ψψψψ=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

22 2

22

Para o estado fundamental (n = 1, l = 0, m = 0) temos e equação radial

( ) 0

23

0

1001 r

re

rr

−−=

πψ é o raio de Bohr0; r

A função de onda radial do estado fundamental (1,0,0):


A densidade de probabilidade associada à função de onda:

Probabilidade de medirno volume dVà distância r

densidade de probabilidade|Ψ(r)|2

à distância r

x dV=

( ) 03

22

0

4 rr

err

rP−

=

( ) ( ) ( ) drrrdVrdrrP 222 4πψψ ==

onde


Estado 1sn=1 l=0 m=0

Estado 2sn=2 l=0 m=0

Estado 2pn=2 l=1 m=0

Estado 2pn=2 l=1 m=±1

Densidade de probabilidade do H

Orbitais atômicos orbitais atômicos

Elétron confinadoO confinamento de uma onda leva à quantização, ou seja, à existência de estados discretos, com energias discretas.

Analogia:Ondas estacionárias em uma corda estados estacionários

Exemplos: Armadilhas em 1, 2 e 3 dimensões;

Átomos

Exemplos de potenciais diversos:

Átomo de hidrogênio

0 L

U(x)

x

U0

Poço quadrado

Equação de Schrödinger

)r(E)r()r(V)r(m

rrrrh ψψψ =+∇− 22

2

Equação de Schrödinger independente do tempo

0<− )r(VE rSempre que teremos estados ligados;

que são quantizados.

)r(VE our

<

Na região em que E - U(x) < 0 ou E < U(x) a função de onda Ψ(x) deve tender a zero, pois a probabilidade de encontrar a partícula nesta região é muito pequena. Esta imposição faz com que tenhamos um conjunto discreto Ψn(x), de soluções para a equação de Schrödinger, cada uma delas associadas a uma energia En (similar aos modos normais em uma corda clássica):

( ) ( )[ ] ( ) 02 2

22=−+ xxUE

dxxd

mψψh

Partícula confinada em um poço quadrado

0 L

U(x)

x

U0

Poço quadrado

E

Partícula em uma CaixaVamos resolver a eq. de Schrödinger para uma partícula confinada a

uma caixa de paredes “impenetráveis”. Isto é, partícula sujeita a um potencial de forma:

U(x) = 0, para 0 < x < LU(x) =∞, para x < 0 ou x > L

• Como o potencial é infinito, a partícula deve encontrar-se rigorosamente no interior da caixa, portanto devemos ter Ψ(x) = 0 , para x = 0 e x = L (condição de contorno).

0 L

U(x)

x

No interior da caixa, temos:

ou

A solução geral desta eq. pode ser escrita como:

A condição de contorno Ψ(0) = 0 leva à:

A condição de contorno Ψ(L) = 0 leva à:

( ) ( )xEdx

xdm

ψψ=− 2

22

2h

( ) ( ) ( )xkxmEdx

xd ψψψ 222

2 2−=−=

h2

2h

mEk =

( ) kxcosBAsenkxx +=ψ

( ) Asenkxx =ψ

( ) 0== AsenkLLψ πnkL =L

nknπ

=

Escrita em termos dos comprimentos de onda:

que corresponde justamente à condição de formação de ondas estacionárias.

As funções de onda serão então dadas por:

Para cada n temos uma ψn(x); onde n é um número quântico.Como temos um sistema unidimensional, ψ(x) é completamente determinada por apenas um número quântico.

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

LxnsenAxksenAx nnnn

πψ

2nnL λ

=L

nkn

nπ

λπ==

2⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ = ,...2

5,2

4,2

3,2

2,2

L nnnnn λλλλλ

Funções de onda

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

LxnsenAxksenAx nnnn

πψ ,....,,n 321=

1=n 2=n 3=n 4=n

5=n 6=n 7=n

As energias associadas a estas funções são dadas por:

O sistema pode passar de um estado n para um n’, de energia menor, emitindo um fóton de freqüência:

m2)k(

m2pE

22 h==

22

222

82n

mLh

mk

E nn ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

h

'nn EEEh −== ΔνE11

4E12

9E13

16E14

25E15

Lnknπ

=

O sistema pode passar de um estado n para um n’, de energia menor, emitindo um fóton de frequência:

O estado de energia mais baixa é chamado de estado fundamental.

'nn EEEh −== Δν

Pode também transicionar para um estado de energia maior absorvendo um fóton. E11

E22

E33

E44

E

E11

E22

E33

E44

E

Normalização da Função de OndaA probabilidade de encontrarmos uma partícula, descrita por Ψ(x),

em um ponto qualquer do espaço (com x entre -∞ e + ∞) deve ser igual a um. Portanto, devemos ter:

Esta é a condição de normalização da função de onda.

No caso de uma partícula no interior de uma caixa, por exemplo, obtivemos:

A condição de normalização é o que nos permite determinar An.

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

LxnsenAxksenAx nnnn

πψ

( ) 12=∫

∞

∞−xdxψ

Devemos ter:

Portanto, temos:

( ) 12

02

2=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫∫

∞

∞−dx

LxnsenAxdx

Ln

πψ

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Lxnsen

Lxn

πψ 2

LAn

2=

Densidade de Probabilidade para o Potencial Infinito

Poço quadrado

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Lxnsen

Lxn

πψ 2

Princípio da Correspondência de Bohr:No limite dos números quânticos muito elevados, os resultados

da física quântica tendem para os resultados da física clássica.

Prob. 1:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Lxnsen

Lxn

πψ 222

222

82n

mLh

mk

E nn ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

h

50

67

21031

234

1 1029,71039,4

]10[]1011,9[8]1063,6[

−

−

−−

−

××

≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

××

=mkg

JsE

eVJE 63,371002,6 181 ≈×≈ −

Prob. 1:

hEEEEh nn

nnnnnn'

''' )( −=→−= →→ νν

)(1

''

'

' nnnn

nn

nn EEhc

chEE

−=→

−= →

→

λλ

22

222

82n

mLh

mk

E nn ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

h

n

n'

Como: μmeV24,1mJ102 25 ≈×≈ −hc

=→13λ 1,24/(300,8) µm ≈ 4,12 nm

=→23λ 1,24/(188,0) µm ≈ 6,60 nm

=→12λ 1,24/(112,8) µm ≈ 11,0 nm

Energia de ponto zero

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

2

1 8mLhE

A energia do estado fundamental acontece para n =1

Estados confinados não podem ter n = 0 pois isto daria Ψn(x) = 0 , ausência de elétrons no poço todo.Sistemas confinados não podem ter energia zero, existe sempre uma energia mínima, chamada energia de ponto zero

Partícula sujeita a um potencial harmônico:

Oscilador harmônico e estados coerentes

Partícula em um Poço Finito

Considere agora uma partícula classicamente aprisionada em um poço de potencial, com profundidade finita U0:

As funções de onda não se anulam mais em x = 0 ou x = L.

( ) ( )[ ] ( ) 02 2

22=−+ xxUE

dxxd

mψψh

0 L

U(x)

x

U0


As funções de onda apresentarão a forma ao lado.

Terão energias um pouco menores que para U0 infinito.

• Várias formas de poços são construídas em laboratório, para se estudar propriedades quânticas da matéria.

E1= 24 eV1

E2= 109 eV2

E3=280 eV

não quantizada450

E

Energias em um poço com L = 100 pm e U0 =450 eV.

(linhas tracejadas: Poço Infinito )


Existem aplicações de poços finitos?

Poços Quânticos (QW)Poços quânticos foram primeiro apresentados (1970) pelos físicos L. Esaki e R. Tsu.

Usando técnicas como MBE ou MOCVD podemos produzir heteroestruturas de cristais AlxGa(1-x)As-GaAs que se comportam como poços quânticos (QW)

MBE (Molecular Beam Epitaxy) ou MOCVD (Metal Organic Chemical Vapor Deposition) produzem nano-estruturas, depositando camadas de espessura em escala atômica (controle de monocamada).

AlxGa(1-x)As-GaAs

0 L

U(x)

x

U0

AlxGa(1-x)As AlxGa(1-x)AsGaAs

QW duplo

Aplicações QW: laser para leitores de CD e DVD

Equação de Schrödinger em 3DA generalização da eq. de Schrödinger de uma para três

dimensões é direta:

Caixa RetangularSe tivermos uma caixa retangular com potenciais infinitos, a

solução da eq. de Schrödinger, no interior da caixa, pode ser escrita como:

( )[ ] 0,,2 2

2

2

2

2

22

=−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂ ψψψψ zyxVE

zyxmh

( ) ( ) ( ) ( )zkykxkAzyxn 321 sensensen,, =ψ

As condições de contorno :

Assim, temos como solução:

Observe que agora temos um sistema tridimensional e portanto são necessários três números quânticos para definir cada estado:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

zyxnnn L

znL

ynL

xnAzyx πππψ 321 sensensen,,321

z

y

x

Lnk

Lnk

Lnk

π

π

π

33

22

11

=

=

=

x

y

z

Ly

Lx

Lz

O níveis de energia serão então dados por:

( )23

22

212

2

83,2,1nnn

mLhE nnn ++=

( )23

22

212

222

82kkk

mh

mkE ++==

πh

Se: :LLLL zyx ===

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

zyxnnn L

nLn

Ln

mhE

23

22

21

2

83,2,1

i

ii L

nk π=

O níveis de energia são então dados por:

Estados Degenerados

Quebra da Degenerescência

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡ 2

2

1 8mLhE

Prob. 2Um elétron de massa m está confinado em uma caixa cúbica de dimensões

. a) Quantas frequências diferentes o elétron é capaz de emitir, ou absorver, ao sofrer uma transição entre dois níveis que estejam entre os tres de menor energia? Que múltiplo de corresponde (b) à menor, e (c) à maior frequência?

LLLL zyx ===

28/ mLh

233

222

211222 '''(

)8/()8/(;

→→→→

→ ++Δ=−

=−= nnnmLhEE

mLhEEh iffi

iffi

νν

a) 3 frequências: Ver Figura

b) 36936)8/( 1

11

1

112

min =−

=−

=E

EEE

EEmLh

ν

c) 639)8/( 1

112

max =−

=E

EEmLh

ν1,1,1E

2,1,1E 1,1,2E1,2,1E

2,2,1E 2,1,2E 1,2,2E

E

13E

16E

19E

( )23

22

2113,2,1

nnnEE nnn ++= )( 23

22

21

1

3,2,1 nnnE

E nnn ++= 2

2

1 8mLhE =

Outras Armadilhas

• Pontos Quânticos (0-D)• Fios Quânticos (1-D)• Gás de elétrons em 2-D• Currais

Pontos Quânticos

Microscópio de Tunelamento (STM)

Como tudo começou (1985)...

Manipulação de átomos

35 átomos de Xenônio em superfície de Ni (D. Eigler et al, IBM)

Imagem STM de Ag(001)Esquema do STM

Manipulando átomos

Microscopiade Tunelamento

G. Medeiros-Ribeiro - LNLS

Manipulando átomos com STM

• 1- STM identifica átomo

• 2- com a ponta próxima seleciona o átomo

• 3- com a ponta próxima movimenta o átomo

• 4-5 libera o átomo na posição desejada

Currais Quânticos

• Superfície de Cu(111)• Átomos de Fe são

depositados (physisorbed)

• A ponta do STM é aproximada de um Fe a TC aumentada

• Átomo de Fe é levado até posição

• Atomo liberado abaixando a TC.

Curral de 48 átomos de Fe

Miragem quântica

Imagem de STM com Co no foco

Imagem de STM com Co fora do foco

Resposta magnética com Co no foco

Resposta magnética com Co fora do foco

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