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UNIVERSIDADE DE LISBOA
FACULDADE DE CIÊNCIAS
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO
EDUCAR PARA A CIDADANIA A PARTIR DE TAREFAS MATEMATICAS: UMA EXPERIÊNCIA NO ó* ANO DE ESCOLARIDADE
Amália Fernanda Alves Pedreiro
MESTRADO EM EDUCAÇÃO ESPECIALIDADE: DIDÁCTICA DA MATEMÁTICA
2008
5 .
UNIVERSIDADE DE LISBOA
FACULDADE DE CIÊNCIAS
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO
O-ivCt^
EDUCAR PARA A CIDADANIA A PARTIR DE TAREFAS MATEMÁTICAS: UMA EXPERIÊNCIA NO ANO DE ESCOLARIDADE
Dissertação apresentada para obtenção do grau de Mestre em Educação na Especialidade de Didáctica da Matemática
Orientador: Professor Doutor João Filipe Lacerda Matos
Amália Fernanda Alves Pedreiro
2008
C T F V ^ V l
Resumo
O presente estudo visa compreender as potencialidades da actividade escolar, baseada em tarefas matemáticas contextualizadas na realidade e na semi-realidade, na educação para a cidadania. Assenta nas seguintes questões: (a) Como é que o trabalho escolar em Matemática, baseado em tarefas com referência à realidade e à semi-realidade, contribui para desenvolver competências de cidadania, na sua vertente crítica e participativa? (b) Que dificuldades e motivações demonstram os alunos quando a sua actividade se centra em tarefas matemáticas com referência à realidade e à semi-realidade? (c) De que modo estas tarefas são percebidas e valorizadas pelos alunos? (d) Poderão estas actividades proporcionar, simultaneamente, o sucesso na disciplina de Matemática e o desenvolvimento de competências necessárias ao exercício da cidadania?
No enquadramento teórico abordam-se três temas: (a) a Aprendizagem Escolar, (b) a Cidadania e (c) a Educação Matemática Crítica. O estudo seguiu uma metodologia de tipo interpretativo, baseada na recolha de dados de natureza qualitativa. Decorreu da implementação de uma proposta pedagógica numa turma de 6°ano e incidiu sobre os alunos desta turma em geral e, em particular, sobre um grupo de quatro dos seus elementos. A recolha de dados envolveu a elaboração de notas de campo, a gravação áudio das aulas, a realização de uma entrevista, aos alunos do grupo que se estudou mais pormenorizadamente, e a análise de documentos (resolução das tarefas, carta a um amigo e questionários).
Os resultados deste estudo indicam que o trabalho escolar baseado nesta proposta pedagógica contribuiu para criar espaços de análise e discussão e consequentemente orientar o processo de ensino e aprendizagem rumo a uma educação para a cidadania. Os alunos (a) participaram activamente nas actividades, (b) tomaram decisões, (c) formularam opiniões e elaboraram argumentos baseados na reflexão crítica, em resultados matemáticos e nas suas vivências, (d) tomaram conhecimento do contributo da matemática na resolução de problemas da sociedade e (e) criticaram o modo como é usada. Os mesmos valorizaram a sua participação nesta experiência e reconheceram nela potencialidades.
Do estudo realizado é possível concluir que a actividade escolar baseada em tarefas com referência à realidade pode constituir uma experiência com potencialidades ao nível do ensino da Matemática e da promoção de competências de cidadania: motiva os alunos, ajuda a estabelecer um ambiente em que os alunos participam activamente, facilita a compreensão de ideias matemáticas e, deste modo, tenderá a influenciar a visão dos alunos sobre a Matemática.
Palavras-chave: Cidadania, Tarefas Contextualizadas, Educação Matemática Crítica, Aprendizagem matemática.
Abstract
This study aims to understand the potentialities of school activities, based in mathematics tasks based in reality, semi-reality, and citizenship education. The study is based in the following questions: (a) How does school work in Mathematics based in reality and semi-reality tasks contributes to the development of citizenship competences, either from a critical or a participative point of view? (b) What type of difficulties and motivations those the students show when their activity is centered in mathematical tasks based in reality and semi-reality? (c) In what way those tasks are perceived and valued by the students? (d) Can these tasks provide, simultaneously, success in Mathematics and the development of the necessary competences of citizenship?
In the theoretical framework we can approach three areas of research: (a) School Learning, (b) Citizenship and (c) Critical Mathematical Educational. The study followed an interpretative research methodology, based in a qualitative data gathering. The study emerged from a pedagogical proposal implemented in a 6 grade class. The study had as target the whole class, but specially four of its students. Data collection involved the elaboration of field notes, audio recording of classes, interviews to the four students more directly involved in the study and documents analyses (problem solving tasks, letters to a friend and questionnaires). The results of the study show that the school work based in this pedagogical proposal has contributed to create analyses and discussion spaces and consequently to guide the teaching and learning process heading to citizenship education. The students (a) participated actively in the activities, (b) made decisions, (c) stated opinions and elaborated arguments based in their critical reflection, in mathematical results and in their personal experiences, (d) became knowledgeable of the contribution of mathematics in solving societies problems and (e) criticized the way it is used. The students have valued their participation in this experience and recognized its potentialities.
From this study it is possible to conclude that to base school work in tasks related to reality can contribute to promote Mathematics learning and citizenship competences: it motivates students, it helps to create an environment where students participate actively, it facilitates the comprehension of Mathematical ideas and, in this way, influence students views about Mathematics.
Key-Words: Citizenship, Contextualized Tasks, Critical Mathematical Education, Mathematical Learning.
Agradecimentos
A todos aqueles que, directa ou indirectamente, contribuíram para a realização deste trabalho, desejo expressar o meu reconhecimento.
Em primeiro lugar agradeço ao meu Orientador, Professor Doutor João Filipe Matos, pela pertinência e utilidade das suas sugestões, pelo incentivo e pela cordialidade com que sempre me recebeu.
Aos alunos que participaram neste estudo, pela sua disponibilidade, alegria e colaboração activa.
Aos meus pais e irmãos, por sustentarem os valores que me orientam e por me ajudarem a superar a tristeza de não estarmos juntos.
Ao Fernando, meu marido, pela sua compreensão e pelo seu carinho, incentivando-me a terminar este trabalho.
À minha filha, Ana Margarida, pela companhia que me fez durante as tardes de escrita, pelas interrupções que constituíram os intervalos do trabalho e pelas brincadeiras adiadas.
À Marlene dos Reis pela amizade, pelos momentos de reflexão e pela incansável e fundamental ajuda, que contribuíram para que este trabalho se concluísse.
Ao José, pela amizade, pelo encorajamento e pelo apoio, quer ao nível afectivo, quer ao nível logístico.
A todas as pessoas do Departamento de Educação da FCUL, pelo apoio, pela atenção e pela simpatia com que sempre me receberam.
MMXIII
INDICE
Capítulo 1. Introdução 1 Objectivos e Questões ^ 1 Contexto do Problema 2
A Matemática no Ensino Básico 2 A Educação para a Cidadania nas Actuais Orientações Curriculares 5
Organização do Estudo 7
Capítulo 2. Quadro de Referência Teórico 9 A Aprendizagem Escolar 9
Aprendizagem Situada em Comunidades de Prática 10 Aprendizagem da Matemática Escolar 16
A Cidadania 20 Perspectiva Geral 20 A Cidadania na Educação 23 A Cidadania na Matemática 27
Investigação em Portugal sobre Educação para a Cidadania 35 A Perspectiva da Educação Matemática Crítica 37
A Perspectiva Crítica da Educação 37 A Educação Matemática Crítica 38 O Currículo do Ensino Básico 42
Possibilidades de Trabalho na Perspectiva da Educação 47 Matemática Crítica
Capítulo 3. Metodologia 53 Opções Metodológicas 53
O Papel de Professora e Investigadora 54 Participantes 55
A Escola 55 A Turma 56 O Grupo 57 Questões Éticas 60
A Proposta Pedagógica 60 As Tarefas 61 Implementação da Proposta Pedagógica 62
Recolha de dados 63 Documentos Produzidos pelos Alunos 64 Entrevistas 66 Notas de Campo 66 Gravações Áudio 67
Análise de Dados 68
Capítulo 4. Educar para a Cidadania na Sala de Aula de Matemática 69 Desenvolvimento da Proposta Pedagógica 69
Tarefa 1 - O Consumo 69 Concretização da Tarefa 69
IV
Apresentação e Discussão Colectiva dos Trabalhos 72 Tarefa 2 - 0 Consumo 75
Concretização da Tarefa 75 Apresentação e Discussão Colectiva dos Trabalhos 79
Tarefa 3 - Vamos aos Saldos 82 Concretização e Discussão Colectiva da Tarefa 82
Tarefa 4 - Aumentos Salariais 84 Concretização da Tarefa 85 Apresentação e Discussão Colectiva dos Trabalhos 88
Tarefa 5 - Os Recibos do Supermercado 89 Concretização da Tarefa 90 Apresentação e Discussão Colectiva dos Trabalhos 93
Tarefa 6 - Orçamento Familiar dos Portugueses/Os Gastos com o 94 Ensino
Concretização da Tarefa 95 Apresentação e Discussão Colectiva dos Trabalhos 96
Tarefa 7 - A População Portuguesa 97 Concretização da Tarefa 98 Apresentação e Discussão Colectiva dos Trabalhos 101
Tarefa 8 - 0 Consumo 102 Concretização da Tarefa 102 Apresentação e Discussão Colectiva dos Trabalhos 105
Tarefas 9 e 10 - As Aparências Iludem! 107 Concretização da Tarefa 108 Apresentação e Discussão Colectiva dos Trabalhos 112
Promoção da Educação para a Cidadania 114 Aprendizagem da Matemática Escolar 119 A Percepção dos Alunos sobre a Experiência 123
Capítulo 5. Conclusões 126 Síntese do Estudo 126 O Trabalho Escolar em Matemática Baseado em Tarefas Contextualizadas 127 na Realidade e na Semi-Realidade
Contributo para a Educação para a Cidadania 127 Potencialidades na Aprendizagem da Matemática Escolar 130 Perspectiva dos Alunos 132
Reflexão, Limitações do Estudo e Recomendações 133
Referências 135
Anexos 141 Anexo 1: Tarefa 1 - O Consumo 142 Anexo 2: Tarefa 2 - 0 Consumo 144 Anexo 3: Tarefa 3 - Vamos aos Saldos 149 Anexo 4: Tarefa 4 - Aumentos Salariais 153 Anexo 5: Tarefa 5 - Os Recibos do Supermercado 155 Anexo 6: Tarefa 6 - Orçamentos Familiares dos Portugueses/ Os Gastos 158 com o Ensino Anexo 7: Tarefa 7 - A População Portuguesa 160 Anexo 8: Tarefa 8 - 0 Consumo 164
Anexo 9: Tarefas 9 e 10 - As Aparências Iludem! 168 Anexo 10: Questionário 1 172 Anexo 11: Questionário 2 174 Anexo 12: Carta a um Amigo 176 Anexo 13: Guião da Entrevista 179
VI
Resumo
O presente estudo visa compreender as potencialidades da actividade escolar, baseada em tarefas matemáticas contextualizadas na realidade e na semi-realidade, na educação para a cidadania. Assenta nas seguintes questões: (a) Como é que o trabalho escolar em Matemática, baseado em tarefas com referência à realidade e à semi-realidade, contribui para desenvolver competências de cidadania, na sua vertente crítica e participativa? (b) Que dificuldades e motivações demonstram os alunos quando a sua actividade se centra em tarefas matemáticas com referência à realidade e à semi-realidade? (c) De que modo estas tarefas são percebidas e valorizadas pelos alunos? (d) Poderão estas actividades proporcionar, simultaneamente, o sucesso na disciplina de Matemática e o desenvolvimento de competências necessárias ao exercício da cidadania?
No enquadramento teórico abordam-se três temas: (a) a Aprendizagem Escolar, (b) a Cidadania e (c) a Educação Matemática Crítica. O estudo seguiu uma metodologia de tipo interpretativo, baseada na recolha de dados de natureza qualitativa. Decorreu da implementação de uma proposta pedagógica numa turma de 6°ano e incidiu sobre os alunos desta turma em geral e, em particular, sobre um grupo de quatro dos seus elementos. A recolha de dados envolveu a elaboração de notas de campo, a gravação áudio das aulas, a realização de uma entrevista, aos alunos do grupo que se estudou mais pormenorizadamente, e a análise de documentos (resolução das tarefas, carta a um amigo e questionários).
Os resultados deste estudo indicam que o trabalho escolar baseado nesta proposta pedagógica contribuiu para criar espaços de análise e discussão e consequentemente orientar o processo de ensino e aprendizagem rumo a uma educação para a cidadania. Os alunos (a) participaram activamente nas actividades, (b) tomaram decisões, (c) formularam opiniões e elaboraram argumentos baseados na reflexão crítica, em resultados matemáticos e nas suas vivências, (d) tomaram conhecimento do contributo da matemática na resolução de problemas da sociedade e (e) criticaram o modo como é usada. Os mesmos valorizaram a sua participação nesta experiência e reconheceram nela potencialidades.
Do estudo realizado é possível concluir que a actividade escolar baseada em tarefas com referência à realidade pode constituir uma experiência com potencialidades ao nível do ensino da Matemática e da promoção de competências de cidadania: motiva os alunos, ajuda a estabelecer um ambiente em que os alunos participam activamente, facilita a compreensão de ideias matemáticas e, deste modo, tenderá a influenciar a visão dos alunos sobre a Matemática.
Palavras-chave: Cidadania, Tarefas Contextualizadas, Educação Matemática Crítica, Aprendizagem matemática.
Abstract
This study aims to understand the potentialities of school activities, based in mathematics tasks based in reality, semi-reality, and citizenship education. The study is based in the following questions: (a) How does school work in Mathematics based in reality and semi-reality tasks contributes to the development of citizenship competences, either from a critical or a participative point of view? (b) What type of difficulties and motivations those the students show when their activity is centered in mathematical tasks based in reality and semi-reality? (c) In what way those tasks are perceived and valued by the students? (d) Can these tasks provide, simultaneously, success in Mathematics and the development of the necessary competences of citizenship?
In the theoretical framework we can approach three areas of research: (a) School Learning, (b) Citizenship and (c) Critical Mathematical Educational. The study followed an interpretative research methodology, based in a qualitative data gathering. The study emerged from a pedagogical proposal implemented in a 6 grade class. The study had as target the whole class, but specially four of its students. Data collection involved the elaboration of field notes, audio recording of classes, interviews to the four students more directly involved in the study and documents analyses (problem solving tasks, letters to a friend and questionnaires). The results of the study show that the school work based in this pedagogical proposal has contributed to create analyses and discussion spaces and consequently to guide the teaching and learning process heading to citizenship education. The students (a) participated actively in the activities, (b) made decisions, (c) stated opinions and elaborated arguments based in their critical reflection, in mathematical results and in their personal experiences, (d) became knowledgeable of the contribution of mathematics in solving societies problems and (e) criticized the way it is used. The students have valued their participation in this experience and recognized its potentialities.
From this study it is possible to conclude that to base school work in tasks related to reality can contribute to promote Mathematics learning and citizenship competences: it motivates students, it helps to create an environment where students participate actively, it facilitates the comprehension of Mathematical ideas and, in this way, influence students views about Mathematics.
Key-Words: Citizenship, Contextualized Tasks, Critical Mathematical Education, Mathematical Learning.
Agradecimentos
A todos aqueles que, directa ou indirectamente, contribuíram para a realização deste trabalho, desejo expressar o meu reconhecimento.
Em primeiro lugar agradeço ao meu Orientador, Professor Doutor João Filipe Matos, pela pertinência e utilidade das suas sugestões, pelo incentivo e pela cordialidade com que sempre me recebeu.
Aos alunos que participaram neste estudo, pela sua disponibilidade, alegria e colaboração activa.
Aos meus pais e irmãos, por sustentarem os valores que me orientam e por me ajudarem a superar a tristeza de não estarmos juntos.
Ao Fernando, meu marido, pela sua compreensão e pelo seu carinho, incentivando-me a terminar este trabalho.
À minha filha, Ana Margarida, pela companhia que me fez durante as tardes de escrita, pelas interrupções que constituíram os intervalos do trabalho e pelas brincadeiras adiadas.
À Marlene dos Reis pela amizade, pelos momentos de reflexão e pela incansável e fundamental ajuda, que contribuíram para que este trabalho se concluísse.
Ao José, pela amizade, pelo encorajamento e pelo apoio, quer ao nível afectivo, quer ao nível logístico.
A todas as pessoas do Departamento de Educação da FCUL, pelo apoio, pela atenção e pela simpatia com que sempre me receberam.
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INDICE
Capítulo 1. Introdução 1 Objectivos e Questões 1 Contexto do Problema 2
A Matemática no Ensino Básico 2 A Educação para a Cidadania nas Actuais Orientações Curriculares 5
Organização do Estudo 7
Capítulo 2. Quadro de Referência Teórico 9 A Aprendizagem Escolar 9
Aprendizagem Situada em Comunidades de Prática 10 Aprendizagem da Matemática Escolar 16
A Cidadania 20 Perspectiva Geral 20 A Cidadania na Educação 23 A Cidadania na Matemática 27
Investigação em Portugal sobre Educação para a Cidadania 35 A Perspectiva da Educação Matemática Crítica 37
A Perspectiva Crítica da Educação 37 A Educação Matemática Crítica 38 O Currículo do Ensino Básico 42
Possibilidades de Trabaliio na Perspectiva da Educação 47 Matemática Crítica
Capítulo 3. Metodologia 53 Opções Metodológicas 53
O Papel de Professora e Investigadora 54 Participantes 55
A Escola 55 A Turma 56 O Grupo 57 Questões Éticas 60
A Proposta Pedagógica 60 As Tarefas 61 Implementação da Proposta Pedagógica 62
Recolha de dados 63 Documentos Produzidos pelos Alunos 64 Entrevistas 66 Notas de Campo 66 Gravações Áudio 67
Análise de Dados 68
Capítulo 4. Educar para a Cidadania na Sala de Aula de Matemática 69 Desenvolvimento da Proposta Pedagógica 69
Tarefa 1 - O Consumo 69 Concretização da Tarefa 69
IV
Apresentação e Discussão Colectiva dos Trabalhos 72 Tarefa 2 - 0 Consumo 75
Concretização da Tarefa 75 Apresentação e Discussão Colectiva dos Trabalhos 79
Tarefa 3 - Vamos aos Saldos 82 Concretização e Discussão Colectiva da Tarefa 82
Tarefa 4 - Aumentos Salariais 84 Concretização da Tarefa 85 Apresentação e Discussão Colectiva dos Trabalhos 88
Tarefa 5 - Os Recibos do Supermercado 89 Concretização da Tarefa 90 Apresentação e Discussão Colectiva dos Trabalhos 93
Tarefa 6 - Orçamento Familiar dos Portugueses/Os Gastos com o 94 Ensino
Concretização da Tarefa 95 Apresentação e Discussão Colectiva dos Trabalhos 96
Tarefa 7 - A População Portuguesa 97 Concretização da Tarefa 98 Apresentação e Discussão Colectiva dos Trabalhos 101
Tarefa 8 - 0 Consumo 102 Concretização da Tarefa 102 Apresentação e Discussão Colectiva dos Trabalhos 105
Tarefas 9 e 10 - As Aparências Iludem! 107 Concretização da Tarefa 108 Apresentação e Discussão Colectiva dos Trabalhos 112
Promoção da Educação para a Cidadania 114 Aprendizagem da Matemática Escolar 119 A Percepção dos Alunos sobre a Experiência 123
Capítulo 5. Conclusões 126 Síntese do Estudo 126 O Trabalho Escolar em Matemática Baseado em Tarefas Contextualizadas 127 na Realidade e na Semi-Realidade
Contributo para a Educação para a Cidadania 127 Potencialidades na Aprendizagem da Matemática Escolar 130 Perspectiva dos Alunos 132
Reflexão, Limitações do Estudo e Recomendações 133
Referências 135
Anexos 141 Anexo 1: Tarefa 1 - O Consumo 142 Anexo 2: Tarefa 2 - 0 Consumo 144 Anexo 3: Tarefa 3 - Vamos aos Saldos 149 Anexo 4: Tarefa 4 - Aumentos Salariais 153 Anexo 5: Tarefa 5 - Os Recibos do Supermercado 155 Anexo 6: Tarefa 6 - Orçamentos Familiares dos Portugueses/ Os Gastos 158 com o Ensino Anexo 7: Tarefa 7 - A População Portuguesa 160 Anexo 8: Tarefa 8 - 0 Consumo 164
Anexo 9: Tarefas 9 e 10 - As Aparências Iludem! 168 Anexo 10: Questionário 1 172 Anexo 11: Questionário 2 174 Anexo 12: Carta a um Amigo 176 Anexo 13: Guião da Entrevista 179
VI
Capítulo 1
INTRODUÇÃO
Objectivo e Questões
Vivemos numa época de grandes transformações económicas e sociais, onde
novos problemas e novas formas de conhecimento surgem diariamente. Os cidadãos são
confrontados com informações, transmitidas a partir de uma diversidade de fontes, com
aspectos apelativos supérfluos, distorcidos e imediatos e, por vezes, com objectivos
ocultos. Perante esta realidade, espera-se que a escola no âmbito da formação dos
alunos, contribua para o desenvolvimento de competências que possibilitem a sua
integração na sociedade e uma vida melhor.
O objectivo desta investigação é compreender como é que a Matemática e o seu
ensino podem promover uma educação para a cidadania. No âmbito deste estudo,
considera-se que as tarefas matemáticas contextualizadas na realidade possibilitando
uma ligação entre os saberes matemáticos escolares e a matemática utilizada no dia a
dia, poderão constituir hipóteses frutuosas de implementação dos princípios de inclusão
e contribuir para a construção de uma literacia essencial ao exercício de uma cidadania
plena.
As razões que motivaram a realização deste estudo prendem-se com a minha
vontade sistemática de concretizar propostas interessantes para todos os alunos e o
reconhecimento de que a educação matemática, na escolaridade obrigatória, inclui
necessariamente a educação para a cidadania, tendo responsabilidade na formação de
jovens mais críticos, mais atentos e mais intervenientes. Na origem desta motivação está
a constatação de que muitos alunos dão respostas ilógicas aos problemas que são
colocados na sala de aula. Têm da resolução de problemas de matemática a ideia de um
caminho único e com isso, abandonam a avaliação das respostas, o questionamento
acerca da razoabilidade dos resultados encontrados e, primordialmente, ignoram o
pensar sobre o pensamento que orienta os diferentes fazeres. Muitas pessoas,
independentemente do grau de escolaridade, sentem-se e dizem-se absolutamente
incompetentes para a matematização de situações do dia-a-dia. Ideias como: a
Matemática é difícil e complicada, a Matemática é muito abstracta e nem todos têm
jeito para a Matemática, coexistem ainda hoje na sociedade e reflectem o modo como se
encara esta disciplina. Existe por isso, a vontade de contribuir para a mudança, porque
acredito que todos podem aprender matemática, que a mesma pode e deve contribuir
para a identificação e a análise de situações críticas da sociedade e que não se pode
construir uma sociedade justa enquanto tanta gente ficar impedida de compreender a
matemática implícita nas mais variadas situações.
Face ao exposto, com esta investigação pretende-se compreender as
potencialidades da actividade escolar, baseada em tarefas matemáticas contextualizadas
na realidade e na semi-realidade, na promoção da educação para a cidadania, na sua
vertente crítica e participativa.
Para uma melhor compreensão do problema foram formuladas as seguintes
questões:
- Como é que o trabalho escolar em Matemática, baseado em tarefas com
referência à realidade e à semi-realidade, contribui para desenvolver:
(a) o espírito crítico/ uma visão crítica sobre fenómenos sociais e
(b) uma dimensão de cidadania democrática?
- Que dificuldades e motivações demonstram os alunos quando a sua actividade
se centra em tarefas matemáticas com referência à realidade e à semi-realidade?
- Que vantagens/desvantagens os alunos reconhecem na concretização de tarefas
com referência á realidade? De que modo estas tarefas são percebidas e valorizadas
pelos alunos?
- Poderão estas actividades proporcionar, simultaneamente, o sucesso na
disciplina de Matemática e o desenvolvimento de competências necessárias ao exercício
da cidadania?
Contexto do Problema
A Matemática no Ensino Básico
A Matemática faz parte integrante do currículo nacional do ensino básico, tendo
uma presença significativa em todos os ciclos. Se perguntássemos a pessoas, de
diversos sectores da sociedade, se esta presença é ou não pertinente, com certeza que a
maioria nos responderia que sim. Contudo, se de seguida as questionássemos sobre o
"porquê", ou seja, sobre a importância desta disciplina, neste nível de ensino, haveria
menos prontidão de resposta e dificilmente se chegaria a um consenso. Efectivamente,
não é comum encontrar quem questione o facto da matemática fazer parte do currículo
do ensino básico. Mas, muitas vezes, as razões que apontam são pouco substanciais e
até contraditórias com aquilo que é a matemática. Incluem-se nestas categorias
justificações associadas a: (a) prosseguimento de estudos, atendendo a que vários cursos
do ensino superior exigem conhecimentos de matemática; (b) desenvolvimento do
raciocínio, desprezando o facto de outras áreas também contribuírem para a promoção
desta competência e (c) desenvolvimento de competências ligadas, predominantemente,
ao cálculo, opinião que se baseia numa visão de currículo em que é dada crucial
importância ao domínio de procedimentos.
As fmalidades do ensino da matemática são um reflexo dos diversos papéis que
esta ciência desempenha na sociedade. Em primeiro lugar uma função práticá - ajudar
os alunos a tomarem-se competentes na resolução de problemas do dia-a-dia. Em
segundo lugar uma função cívica - desenvolver nos alunos a capacidade de participar
com sentido crítico numa sociedade cada vez mais matematizada. A terceira função está
relacionada com necessidades profissionais e visa ajudar os alunos a prepararem-se para
uma variedade de estudos nacionais e carreiras profissionais. E por último, uma função
cultural que consiste em ajudar os alunos a compreender o papel da matemática na
sociedade, a sua relação com a ciência e a tecnologia e a sua natureza evolutiva (NRC,
1990).
As tradicionais competências de cálculo estão longe de corresponder às
exigências da sociedade actual e daquilo a que se pode chamar ser-se matematicamente
competente. As necessidades matemáticas do cidadão na sua vida quotidiana têm
actualmente características bem diversas, devido especialmente aos avanços
tecnológicos. As transformações geradas pelo avanço tecnológico trouxeram a
necessidade de uma formação matemática mais sólida quer ao nível profissional quer ao
nível das actividades do quotidiano. Neste âmbito, na última década, os documentos de
política educativa têm realçado a necessidade de preparar cidadãos críticos e
participativos, bem como de desenvolver nos alunos competências relacionais que
envolvam saber trabalhar colaborativãmente, comunicar as suas ideias, expor diversos
pontos de vista e ser capaz de tomar decisões de forma fundamentada. O Currículo
Nacional do Ensino Básico (DEB/ME, 2001) salienta que a ênfase da Matemática
escolar não está na aquisição de conhecimentos isolados e no domínio de técnicas, mas
na "utilização da matemática para resolver problemas, para raciocinar e comunicar, o
3
que implica a confiança e a motivação pessoal para o fazer" (p. 58). Por outro lado,
apela ao uso combinado de conhecimentos matemáticos com outros tipos de
conhecimentos, ao lidar com situações diversas da realidade a par com o
desenvolvimento do sentido crítico e da autonomia dos alunos. O mesmo documento
enfatiza que é à luz das considerações atrás descritas que deve ser entendida a
"competência matemática" (idem) que todos devem desenvolver.
Estudos nacionais e internacionais, sobre competências matemáticas, têm
mostrado que os nossos alunos têm desempenhos razoáveis nos procedimentos
rotineiros de cálculo, mas têm resultados muito fracos em tarefas de resolução de
problemas. O Relatório das Provas de Aferição de Matemática, realizadas pelos alunos
do 6°ano, no ano 2001 (DEB/ ME, 2001), indica que foi na competência conhecimento
de conceitos e procedimentos que se registou uma maior percentagem de alunos com
nível de desempenho máximo. As competências onde se verificaram piores resultados,
em qualquer dos temas matemáticos propostos, foram a resolução de problemas e a
comunicação. Foi nestas competências que existiram "simultaneamente percentagens
mais elevadas de respostas erradas e percentagens mais reduzidas de respostas
totalmente correctas" (p. 78). O mesmo documento refere que na resolução de
problemas parece que a preocupação de muitos alunos é chegar a uma resposta sem
fazer a verificação do resultado obtido. Perante estes resultados, compete-nos a nós,
professores de Matemática, reflectir sobre o porquê dos mesmos e a forma como podem
ser alterados. Será que nas aulas de Matemática se têm desenvolvido actividades
adequadas ao desenvolvimento destas competências? Será que os professores esperam
que elas se desenvolvam de modo espontâneo? Estarão os professores à espera que elas
se desenvolvam de modo espontâneo após o domínio de conceitos e procedimentos? O
mesmo documento sugere, como experiência de aprendizagem, a "realização de
projectos de ligação da matemática ao mundo real" (p. 83) para a promoção destas
competências.
Perante o exposto, reconheço, tal como é referido pelas Normas para o Currículo
e Avaliação em Matemática (NCTM, 1991), que, em geral, os alunos precisam de
aprender mais matemática mas esta terá que ser diferente. Este documento refere que
nos anos de escolaridade 5-8, "toda a matemática deve ser estudada em contextos que
dêem sentido às ideias e aos conceitos" (p. 79). Relembra ainda que, no
desenvolvimento de situações problemáticas, os professores devem colocar ênfase quer
nas aplicações da matemática a problemas reais quer em outros contextos relevantes
para os alunos deste nível.
A Educação para a Cidadania nas Actuais Orientações Curriculares
Todo o universo escolar é atingido, desde o pré-escolar até ao ensino superior,
pelas alterações substanciais da sociedade. A democratização da sociedade, a abertura e
acesso a novos grupos populacionais transformaram o universo escolar. Muitas vezes
são invocados os maus índices educacionais como uma das causas da situação do
desenvolvimento; a sociedade olha para o sistema educativo como responsável pela
relativa fragilidade social e económica do país. É pedido às instituições educativas que
sejam espaços de uma prática de cidadania, para proporcionar, à juventude e aos
adultos, os conhecimentos para responder à mutação generalizada e às difíceis e
selectivas condições de vida. E para proporcionar também vivências de valores e
parâmetros comportamentais que assegurem um desempenho social, pessoal e
profissional.
Apesar das sociedades democráticas terem um interesse óbvio na construção de
uma cultura cívica e na promoção de uma cidadania eficaz, na maioria das nossas
escolas este desafio não tem sido cumprido. Assim, convém analisar o que, neste
âmbito, preconizam os actuais documentos estruturantes do Sistema Educativo e de
Orientação Educativa.
Na Lei de Bases do Sistema Educativo (Lei n°46/86), a educação para a
cidadania tem um carácter imperativo e é referida claramente ao longo de vários artigos.
Esta lei assenta em cinco princípios gerais dos quais dois referem explicitamente
dimensões da cidadania:
(4) O sistema educativo responde às necessidades resultantes da realidade social . . . incentivando a formação de cidadãos livres, responsáveis, autónomos e solidários e valorizando a dimensão humana do trabalho; (5) A educação promove o espírito democrático e pluralista . . . formando cidadãos capazes de julgarem com espírito crítico e criativo o meio social em que se integram e de se empenharem na sua transformação progressiva (artigo 2°).
Ao sistematizar os princípios organizativos do sistema educativo, o documento
referido (LESE) salienta a importância de uma "experiência pedagógica quotidiana" que
contribua para "desenvolver o espírito e a prática democráticos" [artigo 3° alínea 1)].
Esta lei não se fica, no entanto, pelo enunciar de princípios. No seu artigo T são
definidos catorze objectivos para o ensino básico. Destes, seis apontam para uma
educação para a cidadania. Por exemplo, um dos objectivos mencionados preconiza que
o ensino básico deve "proporcionar a aquisição de atitudes autónomas, visando a
formação de cidadãos civicamente responsáveis e democraticamente intervenientes na
vida comunitária" [artigo T alínea i)]. Para o 2° ciclo do ensino básico, esta lei
evidencia uma grande preocupação ao nível do desenvolvimento global do aluno,
enquanto pessoa inserida numa dada comunidade, procurando habilitar os alunos a
"interpretar crítica e criativamente a informação . . . numa perspectiva de
desenvolvimento de atitudes activas e conscientes perante a comunidade e os seus
problemas" [artigo 8°, ponto 3, alínea b)]. Para alcançar os objectivos atrás descritos, a
LBSE propõe várias soluções: a integração desta temática nos planos curriculares
(artigo 47°), nas actividades de complemento curricular (artigo 48°) e na organização e
gestão da escola (artigos 8° e 45°).
No Decreto-Lei n° 6/2001, da Reorganização Curricular (18 de Janeiro de 2001),
reafirmam-se as funções da escola na educação para a cidadania. Definida como área
transversal, propõe-se que a educação para a cidadania seja desenvolvida de forma
coerente e articulada em todas as disciplinas ou áreas disciplinares do ensino básico e
aprofundada na área curricular não disciplinar. Formação Cívica.
No Currículo Nacional do Ensino Básico (CNEB) são apresentadas as
competências, concebidas como saberes em uso, que os alunos devem desenvolver ao
longo do ensino básico. Das dez competências gerais que definem o perfil do aluno, à
saída do ensino básico, três referem-se claramente a questões de cidadania:
(1) Mobilizar saberes culturais, científicos e tecnológicos para compreender a realidade e para abordar situações e problemas do quotidiano; (7) Adoptar estratégias adequadas à resolução de problemas e á tomada de decisões e (8) realizar actividades de forma autónoma, responsável e criativa (DEB/ME, 2001, p. 15).
Além da definição das competências gerais e essenciais, o CNEB aponta
sugestões de acções, de operacionalização transversal, a desenvolver por cada professor.
Destas, destacam-se (a) a reutilização de questões emergentes do quotidiano e da vida
dos alunos; (b) a promoção intencional, na sala de aula e fora dela, de actividades
dirigidas à observação e ao questionamento da realidade e da integração de saberes; (c)
a organização do ensino valorizando situações de interacção que permitam ao aluno
intervenções personalizadas, autónomas e críticas; (d) a implementação, dentro da sala
de aula, de actividades que permitam ao aluno fazer escolhas, confrontar pontos de vista
e resolver problemas e (e) o desenvolvimento de projectos que envolvem a resolução de
problemas e a tomada de decisões (DEB/ ME, 2001).
Os documentos analisados referem que todas as áreas curriculares devem
contribuir para a promoção das competências atrás referidas, as quais são indispensáveis
ao exercício da cidadania. Por isso, interrogo-me: será que o trabalho escolar em
matemática contribui para o desenvolvimento destas competências? A concepção das
áreas curriculares como instrumentos de educação para a cidadania surge, com
frequência, nos textos curriculares mais recentes e em documentos internacionais.
Apesar disso, a influência desse discurso é limitada nas práticas curriculares da escola,
herdeiras de uma visão organizada em tomo de matrizes científicas dos saberes, e não
construídas em tomo das finalidades específicas da escola - a formação integral do
aluno (Roldão, 1999).
Um estudo, realizado por Menezes, Xavier e Cibele (1997), demonstrou que as
percepções dos alunos, sobre as oportunidades de aprendizagem das questões de
cidadania na escola, não são animadoras. Os mesmos tendem a não reconhecer
actividades da sala de aula relacionadas com esta matéria, do mesmo modo que não
consideram que seja objecto de avaliação, mas expressam o seu desacordo quanto ao
facto dos professores não privilegiarem estas questões. Ainda nesse estudo, há
referências que alguns alunos dizem "estamos no 9® ano e não nos falam disto" e " [os
professores] não nos dão matéria que nos ajuda a ser cidadãos" (p. 60). Mediante isto, e
porque tenho consciência que a consecução dos objectivos, que visam uma educação
para a cidadania, não se cumpre com dispositivos legais, considero urgente a definição
de tarefas e estratégias que promovam a educação para a cidadania.
Organização do Estudo
Este estudo está organizado em cinco capítulos. Neste primeiro capítulo,
apresento as razões que motivaram a sua realização, o problema e as questões de
investigação. Também discuto o contexto do problema, fazendo referência a alguns
aspectos relacionados com a Matemática no ensino básico e com orientações
curriculares para o ensino da Matemática e para a educação para a cidadania.
No Capítulo 2, apresento o enquadramento teórico do estudo, organizado em três
secções. Na primeira secção, discuto, de uma forma geral, a aprendizagem escolar
situada em comunidades de prática, segundo as ideias de Lave e Wenger, e apresento
algumas ideias relacionadas com a aprendizagem da matemática escolar. Na segunda
secção, abordo aspectos relacionados com a cidadania no geral e discuto e a cidadania
na educação e a cidadania na Matemática. Na terceira e última secção deste capítulo
apresento algumas ideias sobre a perspectiva teórica da Educação Matemática Crítica e
faço uma apreciação do Currículo do Ensino Básico, no que diz respeito às finalidades,
orientações e metodologias da disciplina de Matemática, bem como às possibilidades de
trabalho no âmbito da educação matemática crítica.
No Capítulo 3 indico as opções metodológicas, as principais características dps
participantes do estudo e as razões para a sua escolha. Indico, também, os
procedimentos seguidos relativamente à recolha e análise dos dados. Ainda neste
capítulo, descrevo a proposta pedagógica em que se baseia o estudo e faço referência à
forma como foi implementada.
No Capítulo 4, apresento e analiso os resultados relativamente ao
desenvolvimento da proposta pedagógica. De seguida discuto os que se referem à
educação para a cidadania e para a aprendizagem da matemática escolar e à percepção
dos alunos sobre esta experiência.
No último capítulo, apresento as conclusões gerais, as limitações do estudo e
apresento algumas recomendações para trabalhos futuros.
Capítulo 2
QUADRO DE REFERENCIA T E Ó R I C O
Neste capítulo, apresento o quadro teórico que influenciou este estudo, sendo
composto por três secções relacionadas com as seguintes temáticas: (a) Aprendizagem
Escolar, (b) Cidadania e (c) Educação Matemática Crítica.
Na primeira secção discuto, de uma forma geral, a aprendizagem escolar situada
em comunidades de prática, segundo as ideias de Lave e Wenger, e apresento ainda
algumas ideias relacionadas com a aprendizagem da matemática escolar.
Na segunda secção, abordo aspectos relacionados com a cidadania no geral e
discuto a cidadania não só na educação como também na Matemática.
Na terceira e última secção apresento a perspectiva teórica da Educação
Matemática Critica e faço uma apreciação do Currículo do Ensino Básico, no que diz
respeito às finalidades, orientações e metodologias da disciplina de Matemática, bem
como às possibilidades de trabalho no âmbito da educação matemática crítica.
A Aprendizagem Escolar
Uma das funções do professor de Matemática é educar matematicamente os seus
alunos, munindo-os de ferramentas que lhes permitam compreender a matemática
presente nas diversas situações do quotidiano e utilizá-la para resolver problemas e
participar activamente na sociedade. Assim, aprender matemática não pode ser
entendido como adquirir técnicas e destrezas e conhecer factos matemáticos. Aprender
matemática é
um elemento residual do envolvimento dos alunos em práticas que envolvam a necessidade de percepção e do desenvolvimento de um ponto de vista matemático sobre as coisas (Matos, 2004a, p. 5).
Educar matematicamente um aluno é um fenómeno que emerge das práticas em
que os alunos são imersos e em que participam. Isto decorre da ideia de que a
aprendizagem e a prática da matemática são elementos integrantes das práticas sociais.
A aprendizagem ocorre em contextos que influenciam os tipos de conhecimento e as
práticas que são construídas, as quais por sua vez também actuam sobre esses contextos
(Lave & Wenger, 1991 e Wenger, 1998). Para Lave e Wenger (1991) todo o
conhecimento é situado, na medida em que mesmo o conhecimento dito mais
generalista só tem poder, isto é, só faz sentido e só serve para alguma coisa, em
circunstâncias específicas.
Aprendizagem Situada em Comunidades de Prática
Na perspectiva situada de Lave e Wenger (1991), a aprendizagem é entendida
como uma experiência que faz parte integrante da participação em comunidades de
prática. Para clarificar esta perspectiva, é necessário analisar o conceito de comunidade
de prática e algumas das ideias que lhe estão associadas.
O conceito de comunidade de prática teve origem em estudos sobre a
aprendizagem, realizados por Lave e Wenger no início dos anos 90, mas adquiriu uma
visibilidade particular a partir da abordagem de Wenger (1998). Para Wenger
uma comunidade de prática não é um mero agregado de pessoas definidas por determinadas características. O termo não é sinónimo de grupo, equipa ou rede (1998, p. 74).
As pessoas podem ter um certo interesse em comum - por exemplo o cinema -
e não constituírem uma comunidade de prática, porque não o praticam. Também,
condições como a proximidade física, a existência de relações pessoais, a pertença a
uma dada organização ou a identificação com um dado estatuto não são, por si só,
suficientes para definir uma comunidade de prática. As comunidades de prática não
existem por decreto ou por quaisquer poderes formalmente instituídos, da mesma forma
que não se impõem organizacionalmente. Assim, as comunidades de prática não são
fixas, podem começar e acabar, estão sempre em mudança. Ainda de acordo com
Wenger "as comunidades de prática dizem respeito ao conteúdo - á aprendizagem como
uma experiência vivida de negociação e significado - e não á forma" (p. 229).
Na abordagem de Wenger, McDermott e Snyder (2002) as comunidades de
prática foram definidas como grupos de pessoas que compartilham um interesse, um
conjunto de problemas ou uma paixão sobre algum assunto, interagindo de maneira
contínua para desenvolver o conhecimento, de forma a criar uma prática em tomo desse
assunto.
10
Wenger (1998) convida-nos a olhar para um tipo específico de comunidade,
entendida como uma unidade, cujos elementos constituintes, comunidade e prática, são
importantes, cada um deles contribuindo para a especificação do outro. Os dois
conceitos, comunidade e prática, não coexistem sempre:
Não estou a argumentar que tudo o que se pode chamar uma comunidade seja definida pela prática ou que tenha uma prática que lhe seja específica; nem que tudo aquilo a que se pode chamar prática seja a propriedade definidora de uma comunidade claramente especificável (p. 72).
O termo comunidade não implica uma co-presença, um grupo bem identificável
ou fronteiras especialmente visíveis. Para Wenger (1998) o conceito de prática refere-se
a um fazer, mas um fazer num contexto histórico e social que dá estrutura e significado
ao que se faz. Neste sentido, prática é sempre prática social. Ou seja, uma prática social
está inerentemente ligada à existência, ou emergência, de comunidades sociais ou
conjuntos de pessoas que se reconhecem mutuamente como associadas a um
determinado conjunto de fazeres, que desenvolvem formas mais ou menos próximas de
o fazer, e que, ao longo do tempo, podem ser reconhecidas como elementos de uma
dada categoria. Este fazer será executado com recursos diversos, terá formas de
execução diversas, e estará associado a significados e a estatutos diferentes conforme os
tipos de práticas sociais em que se inscrevem.
Segundo Wenger (1998):
Focar ao nível das comunidades de prática, não é glorificar o local, mas ver estes processos - negociação de significado, aprendizagem, o desenvolvimento das práticas e a formação de entidades e configurações sociais - como envolvendo interacções complexas entre o local e o global (p. 133).
Uma comunidade de prática é uma condição intrínseca para a existência de
conhecimento e está centrada na aprendizagem sem ter, no entanto, a aprendizagem
como objectivo, pois o objectivo é a prática.
De acordo com Wenger et al. (2002) podemos considerar três elementos
fundamentais nas comunidades de prática - o domínio, a comunidade e a prática.
O domínio cria uma base e um sentido de identidade comum, legitimando a
existência da comunidade. Inspira os membros para contribuir e participar, guia a sua
11
aprendizagem e dá significado às suas acções. O domínio de uma comunidade é a sua
razão de existir, é o que defme a sua identidade, o que junta as pessoas e guia a sua
aprendizagem. No entanto, o domínio não é um conjunto fixo de problemas, trata-se de
algo que acompanha a evolução do mundo social e da própria comunidade.
A comunidade é o grupo de pessoas que interage, aprende conjuntanienle,
constrói relações entre si e, neste processo, desenvolve um sentido de engajamento e de
pertença. Para construir uma comunidade de prática, os membros devem interagir
regularmente em questões importantes para o domínio, de forma a desenvolver uma
compreensão partilhada do domínio e uma abordagem à prática. Nesse processo
constroem relações de amizade e respeito. Mas a ideia de comunidade não implica que
exista homogeneidade. Se as interacções a longo prazo tendem a criar uma "história
comum e uma identidade comunitária" (Wenger et al., 2002, p. 35), ao mesmo tempo
ela encoraja a diferenciação entre os membros, que assumem papéis distintos e criam as
suas diversas especialidades e estilos.
A prática é constituída por "um conjunto de esquemas de trabalho, ideias,
ferramentas, informações, estilos, linguagens, histórias e documentos que são
partilhados pelos membros da comunidade" (Wenger et al., 2002, p. 29). Enquanto que
o domínio denota o tópico em que a comunidade se foca, a prática é o conhecimento
específico que a comunidade desenvolve, partilha e mantém. Quando uma comunidade
se instala por determinado tempo, os membros esperam dominar o conhecimento básico
da comunidade.
Compreender a relevância da ideia de comunidade de prática, como elemento
que ajuda a perceber a aprendizagem, exige ir um pouco mais longe na caracterização
daquilo que está envolvido na ideia de pertença a comunidades de prática. Wenger
(1998) salienta três dimensões que podem caracterizar uma comunidade de prática: um
engajamento mútuo; um empreendimento conjunto e um reportório partilhado. As três
dimensões inter-relacionam-se, e ao pensar em cada uma delas é necessário ter presente
a interacção com as outras.
O engajamento mútuo dos participantes é a primeira característica da prática
como fonte de coerência da comunidade. A prática reside numa comunidade de pessoas
e nas relações de mútuo engajamento e não nos livros ou nas ferramentas, visto que
envolve todos os tipos de artefactos. O engajamento mútuo, embora necessário para a
constituição de uma comunidade de prática, não decorre forçosamente de uma forma
pacífica ou harmoniosa. Existem conflitos, tensões, confiança, mas também suspeição.
12
como será de esperar num conjunto de pessoas que se relacionam no quotidiano. A ideia
de ser incluído, no que quer que seja, é um elemento subjacente à construção da noção
de engajamento. "Numa comunidade de prática em que há inter-ajuda é mais importante
saber dar e receber ajuda do que saber tudo sozinho" (Wenger, 1998, p. 76).
Como segunda característica da prática, com um papel relevante para a
construção da coerência da comunidade de prática, Wenger (1998) propõe a ideia de
empreendimento conjunto ou, de forma mais específica, de negociação de um
empreendimento conjunto. A conjugação das duas palavras, empreendimento e
conjunto, induz-nos a considerar a construção de um produto por um conjunto de
pessoas por sua iniciativa e não por imposição ou decreto externos. Emerge, assim, um
sentido de apropriação e responsabilidade por aquilo que se constrói. Falar de
empreendimento conjunto não significa que todos acreditem no mesmo ou concordem
com tudo, significa que foi negociado conjuntamente (Wenger, 1998). Ao envolverem-
se conjuntamente na construção do empreendimento, os vários membros vão ajustando
as diferentes interpretações das suas acções, assim como das condições e dos
constrangimentos que enfrentam. Nesse processo, contínuo e dinâmico, os participantes
desenvolvem significados que, não sendo idênticos entre eles, se inter-relacionam e
acabam por se conjugar e ganhar coerência relativamente à prática que os une. E essa
coerência que, através da negociação de significados, toma possível, por exemplo, a
emergência de uma compreensão partilhada do que é participar de forma competente
nessa prática.
O termo reportório é apresentado por Wenger como denominação do conjunto
de recursos partilhados por uma comunidade. E partilhado porque os participantes têm
de sentir que contribuem para a construção de um reportório ou, pelo menos, para a
constituição do significado dos seus elementos. O reportório de uma comunidade de
prática inclui rotinas, palavras, ferramentas, estilos, gestos, símbolos, géneros, acções e
conceitos que a comunidade produziu ou adoptou, no decurso da sua existência, e que se
tomaram parte da sua prática.
Outro aspecto importante das Comunidade de Prática, segundo Wenger (1998), é
a ideia de pertença, de identidade e de participação. Quando falamos em comunidade,
referimo-nos a membros, pessoas, o que implica algum sentido de pertença. Este é um
sentimento forte que as pessoas têm quando são participantes activos de uma
comunidade de prática. Este sentido de pertença relaciona-se com a identidade, ou seja,
com a noção de aprendizagem como construção de identidades. A identidade implica
13
uma reflexão sobre a transformação do próprio membro da comunidade, sobre quem é e
que história constituiu no contexto da comunidade.
A ideia de participação implica que exista e se participe numa prática de um
modo mais ou menos periférico. Wenger (1998) utiliza o termo participação para
descrever a experiência social de se viver no mundo, no sentido de tomar-se membro de
comunidades e envolver-se activamente em iniciativas sociais. Neste caso, a
participação é pessoal e social, ou seja, é um processo complexo que envolve o fazer, o
dialogar, o pensar, o sentir e o pertencer. Por exemplo, participar nas actividades dos
tempos livres ou numa equipa de trabalho é não só um tipo de acção mas também um
modo de pertença. Tal participação influencia o que fazemos, quem somos e como
interpretamos o que fazemos.
Para que haja participação é necessário um envolvimento com significado. O
tipo de significado apontado por Wenger (1998) é aquele que é construído com base na
experiência, onde a participação e a aprendizagem estão profundamente interligadas. Os
processos de participação dentro das comunidades de prática propiciam a possibilidade
de gerar significados e é nessa negociação de significados que a aprendizagem ocorre.
Tomar-se um participante pleno, significa engajar-se em todos os recursos da
comunidade, bem como participar nas suas relações sociais.
As experiências de não participação são inevitáveis na vida das pessoas e
adquirem um nível de importância significativo quando interagem com as experiências
de participação. Por exemplo, para um principiante que no momento de uma
participação não compreende uma conversa entre os membros mais antigos da
comunidade, isto pode tomar-se significativo, levando-o a entender que a relação entre a
participação e a não participação é uma oportunidade para que a aprendizagem ocorra.
A partir desta oportunidade, os membros da comunidade vão passando de uma
participação periférica para uma participação cada vez mais central, ou seja, vão-se
apropriando cada vez mais dos discursos sociais em que são envolvidos, constituindo
assim uma participação mais legítima nas práticas da comunidade. Tomar-se um
participante pleno significa engajar em todos os recursos da comunidade, bem como
participar nas suas relações sociais (Lave e Wenger, 1991). Lave e Wenger (1991)
defendem que a aprendizagem situada em comunidades de prática não é simplesmente
uma reprodução de conhecimentos, mas sim uma aprendizagem com a participação
legítima dos seus membros.
14
Para Wenger (1998), a ideia da educação no seu sentido mais profundo, e
independentemente da idade em que ocorre, diz respeito ao desabrochar de identidades,
explorando novas formas de ser, para além do nosso estado actual. A educação tem de
abrir novas dimensões para a negociação do eu. A educação tem de ser, mais do que
formativa, transformadora. Assim, deve tratar primeiro de identidades e modos de ser e
só depois das competências e informações. Sendo a educação assumida em termos de
identidade, percebemos que este é um processo de formação para toda a vida, cujas
fases e ritmos mudam com as mudanças do mundo. Sob esta perspectiva, temos de
pensar na educação, não apenas em termos de um período inicial de socialização numa
cultura, mas fundamentalmente em termos de ritmos, através dos quais as comunidades
e os indivíduos se renovam.
Num contexto como o da sala de aula, podemos ter a impressão de que é o
ensino que causa a aprendizagem. No entanto, o ensino não causa a aprendizagem,
simplesmente cria um contexto no qual a aprendizagem pode ocorrer. Muitas
aprendizagens ocorrem sem ser através do ensino e, muitas vezes, a aprendizagem
realizada não era aquela que se pretendia ensinar. Assim, um dos problemas das aulas
tradicionais é, por um lado, estarem demasiado descontextualizadas da realidade, por
outro, serem demasiado uniformes para permitirem formas significantes de identidade,
(Wenger, 1998). Professor e alunos, todos juntos, no mesmo espaço e no mesmo
período de tempo, a procurar aprender o mesmo. Um currículo deveria ser mais um
itinerário para experiências participativas e transformadoras do que uma lista de
conteúdos a ensinar. Wenger sublinha que, quando as comunidades de aprendizagem
estiverem a ftincionar verdadeiramente e conectadas com o mundo de múltiplas formas,
os momentos de ensino podem ser utilizados como recursos para as suas práticas. Há
uma grande diferença entre ver o ensino como o causador da aprendizagem e ver isso
como um recurso para uma comunidade de aprendizagem.
Wenger (1998) apresenta três modos distintos de pertença a uma comunidade de
prática: engajamento, imaginação e alinhamento. O engajamento, já discutido
anteriormente, pode defmir-se como o envolvimento activo nos processos mútuos de
negociação de significados, que se dá através de histórias partilhadas de aprendizagem,
relacionamentos, interacções e práticas comuns. A imaginação é um recurso para os
participantes encontrarem pistas que lhes permitam estabelecer ligações entre as
diversas práticas do seu contexto de vida. O papel da imaginação na educação é
preponderante. A imaginação educacional corresponde a olharmos para nós próprios e
15
para as nossas situações com um novo ponto de vista. É ter a noção dos múltiplos
caminhos através dos quais podemos interpretar as nossas vidas. Neste sentido, trata-se
de perceber a identidade como um processo de tomada de consciência
O alinhamento refere-se à coordenação das práticas e da energia de um grupo de
pessoas, de modo que se encaixem nas estruturas de empreendiíneiilos mais vastos.
Uma ideia de alinhamento facilita que alguns efeitos aconteçam e que as pessoas vejam
o seu papel no âmbito de contextos mais alargados e em ligação a outras comunidades.
Apesar da maioria dos trabalhos, que conduziram ao esquema conceptual de
Lave e Wenger, terem lugar em comunidades de prática com características diferentes
do que se passa na escola - alfaiates, parteiras, alcoólicos anónimos - encontro nesta
abordagem elementos úteis para reflectir sobre a aprendizagem escolar. As próprias
autoras reconhecem que repensar a aprendizagem escolar, utilizando a perspectiva da
aprendizagem situada, parece ser um exercício vantajoso. Também, alguns
investigadores de educação matemática têm utilizado a perspectiva teórica da
aprendizagem situada para pensar a aprendizagem da matemática escolar (Fernandes,
2004; Matos, 1999; Santos, 1996).
Aprendizagem da Matemática Escolar
Desde o início da fundação da escola até à actualidade, a importância da
disciplina de Matemática, no currículo dos alunos, nunca foi posta em causa. A
Matemática faz parte do currículo, ao longo de todos os anos da escolaridade
obrigatória, por razões de natureza cultural, prática e cívica que têm ao mesmo tempo a
ver com o desenvolvimento dos alunos, enquanto indivíduos e membros de uma
sociedade, e com o progresso no seu conjunto (Abrantes, Serrazina & Oliveira, 1999).
Saber matemática é partilhar uma comunicação e uma ferramenta, que é a base
da sociedade actual. Lidar com um negócio, acompanhar a evolução de uma campanha
eleitoral, preencher um impresso de impostos, controlar o orçamento doméstico, decidir
entre arrendar ou comprar uma casa e verificar o rendimento de uma aplicação são
actividades que exigem competências matemáticas. A escola deve preparar os jovens
para se tomarem elementos críticos, actuantes e preparados para a mudança numa
sociedade fortemente matematizada, tecnológica e racional. Ou seja, os alunos devem
ser preparados para o que se denomina cidadania activa, tal como tem sido realçado em
vários documentos de reflexão e orientação curricular (NCTM, 2000; LBSE, art°2°).
16
Tem-se tomado cada vez mais urgente a necessidade da matemática escolar
acompanhar a evolução da sociedade e a evolução da própria ciência. Assim, faz cada
vez menos sentido uma disciplina de Matemática no ensino básico cujos objectivos e
metodologias privilegiem apenas algumas das características formais desta ciência e
tenham essencialmente a preocupação em abordar temas estritamente matemáticos, sem
relação com as actividades humanas a que a Matemática procura dar resposta (Santos,
1996). Contudo, a forma como a Matemática continua a ser ensinada nas escolas de
pouco serve aos alunos, pois muitos não conseguem ter acesso a essa ferramenta, nem
transformar os seus conhecimentos matemáticos em competências matemáticas. Papert
(1986) refere que o tipo de matemática impingido às crianças na escola não é
significativa, divertida e, nem mesmo, útil. Skovsmose (1999), após uma entrevista a
alunos acerca da matemática e da sua utilização, retira duas conclusões: (a) os alunos
sentem a matemática como algo com grande importância na sociedade, no entanto são
incapazes de reconhecer essa presença e importância no dia-a-dia e (b) consideram que
um problema matemático tem uma só solução correcta.
Schoenfeld (1985), ao estudar como é que as concepções dos alunos sobre a
matemática escolar podem influenciar o seu desempenho, refere que, os alunos encaram
a matemática escolar como um corpo formal de conhecimentos que não tem nada a ver
com a solução dos problemas do mundo real e que, para a maioria, todos os problemas
matemáticos podem ser resolvidos rapidamente e em poucos passos. Garofalo (1989)
refere que, para os alunos, quase todos os problemas matemáticos podem ser resolvidos
com a aplicação directa de factos, regras, fórmulas e procedimentos transmitidos pelo
professor ou que constam do manual escolar. Menciona, ainda, que grande parte dos
alunos do ensino secundário estuda Matemática através da memorização de factos e
fórmulas e da aplicação de algoritmos. Acrescenta ainda que, o material que os alunos
consideram ter à sua disposição para trabalhar é apenas o apresentado no seu manual
escolar ou explicado pelo professor.
Se admitirmos que alunos constroem as suas concepções a partir das
experiências que lhes são proporcionadas, importa repensar que tipo de ambiente de
aprendizagem proporciona o professor aos seus alunos e que importância se dá ao papel
de cada um no processo de construção de conhecimentos.
Os tipos de práticas lectivas valorizadas pelos professores, no processo de ensino
e aprendizagem, relacionam-se com a concepção que cada um tem, quanto à forma
como se aprende Matemática. Alguns acreditam que se aprende Matemática através da
17
exposição pelo professor de cada conteúdo, da realização de vários exercícios sobre o
mesmo por parte do aluno e que é através da repetição que o aluno consegue adquirir o
conhecimento. Outros defendem que o papel do professor de Matemática reside em
proporcionar a realização de um conjunto de experiências que levem o aluno a construir
os significados matemáticos. Recentemente surgiu uma nova vertente, onde se defende
que o papel do professor consiste em ajudar o aluno a transformar-se num cidadão
participativo numa sociedade democrática. Nesta perspectiva, aprender matemática não
é aprender factos matemáticos, mas aprender a ter um ponto de vista matemático sobre
uma variedade de situações, nomeadamente ligadas á Natureza e à vida em sociedade
(Matos, 2002). Este posicionamento do professor significa encarar a formação
matemática como educação matemática e não ensino da matemática, entendendo-se
aquela como o conhecimento de factos, a aquisição de técnicas e destrezas,
compreensão de conceitos e a compreensão do papel da matemática na sociedade. Desta
forma, a finalidade da Matemática, na escola, é dar condições ao aluno de perceber a
integração da matemática noutras áreas do conhecimento, entendê-la como uma
actividade social e proporcionar-lhe condições que lhe possibilitem maior capacidade de
analisar, criticar e agir para modificar a realidade em que está inserido.
Tendo em conta este facto, é de salientar que numa sociedade altamente
tecnológica é preciso que a educação, em particular a educação matemática, tome
possível o verdadeiro exercício do direito democrático. Assim, não é preciso que cada
pessoa seja capaz de elaborar, criar, modelos matemáticos, mas é essencial, para o
exercício dos seus direitos, que todos sejam capazes de compreender como eles
funcionam (Skovsmose, 1995). Falar de matemática para tomar o mundo mais
democrático implica percebê-la como ferramenta para coordenar ideias, para dar
consistência a argumentos, para resolver problemas e para tomar decisões. As
habilidades básicas de contar, medir e calcular são insuficientes para isso, pois os
números não falam por si. É necessário proporcionar aos alunos a oportunidade para
explorarem e investigarem ideias matemáticas, tanto na sala de aula como fora dela.
A presença da Matemática na escola é consequência da sua utilização na
sociedade e não algo feito exclusivamente para ser ensinado na sala de aula, reduzindo o
seu valor social a um mero valor escolar, transformando o ensino escolar da Matemática
num fim em si mesmo. O ensino da Matemática atende a uma necessidade social e
individual, visto que cada indivíduo deve saber um pouco de matemática para resolver
18
ou simplesmente reconhecer os problemas com os quais se depara na vida social
(Chevallard, 1992).
Um dos maiores desafios para a educação escolar é encontrar um equilíbrio
adequado e uma articulação entre os aspectos formativos e informativos no processo de
ensino e aprendizagem. Se, por um lado, já não sc acredita na ideia de educação como
transmissão de conteúdos, por outro acredita-se também que toda a formação acontece
por meio de algum conteúdo. Do ponto de vista pedagógico, o problema que se
apresenta é de como organizar as acções educacionais na sala de aula de Matemática, de
modo a que os dois aspectos estejam de facto contemplados e articulados.
Segundo a perspectiva construtivista, o conhecimento não é recebido
passivamente quer através dos sentidos quer através da comunicação; o conhecimento é
construído pelo indivíduo, por isso ninguém pode realizá-lo por outra pessoa. Uma
aprendizagem deste tipo, além de proporcionar novos conhecimentos, permite que o
indivíduo desenvolva competências de grande utilidade, não só em aprendizagens
futuras, mas também na compreensão de situações novas e na proposta de soluções para
diversos problemas. Os princípios do construtivismo parecem bem conhecidos dos
professores. Estes, no seu discurso, utilizam frequentemente expressões inerentes a esta
perspectiva como, construção de conhecimento e desenvolvimento da autonomia. No
entanto, as práticas lectivas de muitos professores ainda indiciam transferência e
reprodução de conhecimentos, centrando-se nos conteúdos.
Nas perspectivas sócio-culturais, o conhecimento é baseado na interacção social
e a aprendizagem tem lugar em contextos significativos, padronizados social e
culturalmente. Expressões como interacção professor - aluno, interacção aluno - aluno
e o professor como mediador são, frequentemente, encontradas em planificações e
relatórios elaborados pelos professores. Contudo, convém reflectirmos sobre que tipo de
interacções são essas e qual o peso que o trabalho cooperativo e as discussões têm nas
práticas lectivas da sala de aula.
Nas últimas décadas, começou a aceitar-se que a aprendizagem da Matemática
não é uma actividade puramente individual, isolada de factores sociais, culturais e
contextuais. A aprendizagem ocorre em contextos sociais que influenciam os tipos de
conhecimento e as práticas que são construídas (Lave 8c Wenger, 1991; Wenger, 1998 e
Wenger et al., 2002). A aprendizagem escolar da Matemática deve basear-se na
actividade e experiência partilhadas, em que os assuntos são apresentados como abertos
à discussão e á investigação. Toma-se, assim, fundamental dar atenção ao contexto
19
social da saia de aula, para que este seja vivido como um contexto próprio para a
aprendizagem de conceitos, em que os problemas, as actividades e as ideias são
partilhadas, discutidas e ganham sentido (Santos, 1996). A dimensão social tem
recebido maior destaque na pesquisa em educação matemática. Estudos desenvolvidos,
no âmbito da aprendizagem da Matemática, apontam que a constmção do conliecimento
ocorre, na maioria das vezes, num contexto social através de discussões, disputas,
conflitos e partilha de ideias, experiências e conhecimentos. Assim, vários
investigadores, com o propósito de estudar a aprendizagem da matemática escolar, têm
escolhido como referencial teórico, os trabalhos de Lave e Wenger (1991), Wenger
(1998) e Wenger et al. (2002) e a natureza cultural e social do conhecimento
matemático tem-se tomado mais evidente para muitos educadores.
Ao longo deste trabalho, dá-se grande importância a uma abordagem de
construção do conhecimento matemático que valorize os aspectos informativos,
formativos e transformativos do processo de ensino e aprendizagem da Matemática.
Assume-se que o conhecimento é produto da interacção com os outros e da participação
na construção de significados partilhados, ou seja, acredita-se que o conhecer e o
aprender não são actos de pessoas isoladas, mas actividades de natureza social.
A Cidadania
Perspectiva Geral
A questão da cidadania e da educação para a cidadania são temas actuais. Apesar
disso, o termo cidadania parece revestir-se de múltiplas definições, concepções e
dimensões. Isto porque o significado deste termo depende do contexto político, social e
cultural e pode variar de situação para situação e de país para país. Não se pode falar de
cidadania isoladamente, há que situá-la no seu contexto particular. Assim, em função da
evolução dos contextos sociais, políticos e económicos, o conceito de cidadania tem
vindo a sofrer alterações. Apesar de não ser objectivo deste trabalho descrever a
evolução histórica deste conceito, nem tão pouco problematizá-lo, parece-me pertinente
fazer referência a dois períodos na sua evolução e apresentar a concepção que alguns
autores têm do mesmo.
20
o primeiro período corresponde ao paradigma que vigorava na Grécia, por altura
do Século IV a.C., e o segundo surge com a Revolução Francesa, em 1789. Na Grécia
Antiga a noção de cidadania estava ligada à comunidade de cidadãos e ao corpo de leis
que os regiam (Paixão, 2000), tinha um carisma essencialmente político, valorizava as
virtudes cívicas e era fundamentalmente baseada em obrigações e não em direitos.
Neste período, o estatuto de desigualdade era aceite, pois mulheres e escravos não
tinham o estatuto de cidadãos. Quando, em Roma, a qualidade de cidadão foi outorgada
a um crescente número de cidadãos, apesar da dominância da aristocracia política, o
exercício da cidadania coincidia com o respeito pelo estado de direito que impunha a
observância das leis (Paixão, 2000). No Império Romano, a sociedade fazia
discriminações e separavam-se as pessoas. Existiam os romanos e os estrangeiros, as
pessoas livres e os escravos, sendo que estes últimos não eram considerados cidadãos.
Os únicos cidadãos eram os nobres e os plebeus, mas apenas os primeiros podiam
exercer cargos públicos.
Com a Revolução Francesa, em 1789, e a Declaração dos Direitos do Homem, o
conceito de cidadania surge num novo contexto ligado aos conceitos de liberdade,
igualdade e fraternidade. A cidadania tem assim o seu primeiro desenvolvimento com a
preocupação da igualdade entre as pessoas, a igualdade de participação no poder
político, igualdade perante a lei e emancipação feminina. A conquista de novos direitos
e liberdades resultou numa nova ordem social onde todos os indivíduos passaram a ser
chamados cidadãos, no mesmo pé de igualdade dos outros, que perdiam direitos. Neste
período o conceito de cidadania foi, essencialmente, um conceito político.
Para Schnapper (1998) a cidadania, na sociedade modema, é ao mesmo tempo o
princípio da legitimidade política e a fonte do vínculo social e viver em conjunto é ser-
se conjuntamente cidadão. O cidadão é definido como um indivíduo abstracto, sem
identificação e sem qualificação particular. É-se igualmente cidadão, seja qual for o
sexo, a raça presumida, a riqueza, a pobreza, a prática religiosa ou a sua ausência e a
origem étnica ou nacional.
Birzea (2000) refere-se à cidadania como sendo um termo que está na moda e
apresenta um conjunto de características da mesma, das quais se destaca o estatuto
jurídico e político, entendido como conjunto de liberdades e direitos; um contrato cívico
entre o estado e o indivíduo, enquanto sujeito desses deveres. A cidadania como face
interna da nacionalidade e, do ponto de vista social, fala da cidadania como uma das
identidades do indivíduo. Por sua vez, Turner (2000) considera que se pode definir
21
cidadania como um conjunto de obrigações e direitos que determinam o acesso de um
indivíduo aos recursos sociais e económicos.
Para Beltrão e Nascimento (2000) a cidadania é considerada como "a pertença e
a participação nas actividades da comunidade ou dos grupos de comunidades" (p. 47). A
pertença envolve a noção de central de comunidade e a participação implica o sentido
abstracto de lealdade, de ligação a um conceito de Estado, de Ordem Social.
As discussões actuais sobre este tema tendem a fazer referência às ideias
desenvolvidas por T.H. Marshall nos seus ensaios sobre Cidadania e Classe Social, por
volta dos anos 50. Este professor de sociologia recusa limitar o conceito de cidadania a
uma relação política entre o indivíduo e o estado. Nestes ensaios, conceptualizou a
cidadania como um estatuto legal e indicou três componentes de que dependem os
direitos que ela promove: (a) a componente civil que cobre os direitos necessários à
liberdade individual (liberdade da pessoa, liberdade de expressão, de pensamento, de
religião, direito à propriedade, igualdade perante a lei etc.), (b) a componente política
que envolve o direito de participar no exercício do poder político, enquanto membro de
uma instância política ou eleitor e (c) uma componente social que se refere aos direitos
para beneficiar de igualdade de acesso à educação, à saúde, à habitação, etc. (Nogueira
& Silva, 2001).
Mas a cidadania não é somente um estatuto legal, definido por um leque de
direitos e de responsabilidades. E também uma identidade, uma expressão de uma
sociedade numa comunidade política. Marshall (citado em Lehning, s.d.) também traça
a cidadania como identidade compartilhada que integre grupos excluídos e proporcione
uma fonte de unidade nacional numa sociedade.
Em Portugal, após o 25 de Abril, reemergiu um conceito de cidadania
correspondente ao conceito de cidadania democrática das sociedades ocidentais da
segunda metade do século, marcada pelo pós-guerra e pautada pela matriz de valores
corporizada na Declaração Universal dos Direitos Humanos. A cidadania, nestes
termos, é definida essencialmente pela recusa do totalitarismo, pela liberdade de opção
ideológica e por um sentido de participação activa na vida pública (Roldão, 1999). Cada
cidadão, agora entendido como todo o indivíduo inserido numa sociedade, sem olhar ao
sexo, à raça e ao credo ou religião, é chamado a participar, por um lado mantendo-se
atento aos assuntos que vão sendo discutidos e à realidade que os cerca e por outro,
intervindo de forma activa, crítica e responsável nas comunidades onde se insere.
22
Para Cogan (2000) toda a ideia de cidadania contém um sentido de
conhecimentos, competências, valores e disposições que, idealmente, os cidadãos
devem possuir. Estes atributos de cidadania variam de acordo com a natureza do sistema
político de que são uma parte, mas em termos gerais podem ser classificados em cinco
categorias: (a) sentido de identidade; (b) o prazer de certos direitos; (c) a realização das
obrigações correspondentes; (d) o grau de interesse e participação em casos públicos e
(e) uma aceitação dos valores sociais básicos.
Jorge Sampaio citado por Paixão (2000) refere-se à cidadania como:
Responsabilidade perante nós e perante os outros, consciência de deveres e de direitos, impulso para a solidariedade e para a participação, é sentido de comunidade e de partilha, é insatisfação perante o que é injusto ou está mal, é vontade de aperfeiçoar, se servir, de realizar, é espírito de inovação, de audácia, de risco, é pensamento que age e acção que se pensa.
Neste excerto encontramos uma visão ampla de cidadania que apela à
preparação e participação de todos os indivíduos com o objectivo de se construir um
sociedade mais humana e mais justa, onde cada ser humano é co-responsável pelo bem
comum.
No dicionário de Língua Portuguesa o termo define-se como: "qualidade de um
cidadão; vínculo jurídico político que, traduzindo a pertinência de um indivíduo a um
estado, o constitui, perante esse estado, num conjunto de direitos e obrigações inerentes
a essa condição" (p. 357).
A partir das abordagens e definições apresentadas, podemos concluir que ter
acesso à informação, conhecer a realidade em que se vive e ter opinião sobre essa
realidade são passos importantes para que a cidadania exista e se fortaleça. A falta de
informação, a ignorância, o medo, a passividade, a falta de sentido crítico e a pouca
vontade de intervir, parecem ser os maiores inimigos da cidadania.
A Cidadania na Educação
Nos debates sobre o futuro da educação, as questões relativas à cidadania
desempenham um papel cada vez mais significativo. No mundo Ocidental, esta temática
parece estar na moda, ganhando uma actualidade substancial em países com uma larga
tradição de funcionamento democrático das suas instituições.
23
A importância dada à cidadania no campo da educação e em outros campos é a
evidência da necessidade mais do que questões políticas (Galichet, 1998). Esta
necessidade é justificada pelas seguintes razões: (a) o declínio dos valores e da
autoridade tradicional, descrença no primado do direito, desinteresse pela vida política,
nomeadamente dos jovens, nas democracias ocidentais; (b) as consequências do fim da
Guerra Fria e da queda do Muro de Berlim, em 1990, nomeadamente as necessidades
das novas democracias nascidas no antigo Bloco de Leste e as barbaridades cometidas
nos conflitos inter étnicos no coração da Europa; (c) a globalização, um fenómeno
irreversível, mas ambivalente, de mutação da civilização; (d) os novos problemas éticos
emergentes do progresso científico-tecnológico, designadamente no campo das ciências
da vida e (e) o recrudescimento da intolerância, da xenofobia e o aparecimento de novas
formas de violência social e escolar.
Neste domínio, Portugal não é excepção. No nosso país também é bem visível a
necessidade de uma educação para a cidadania. Menezes (1995) efectuou uma recolha
de opiniões, comentários e dados extraídos de autores portugueses que se têm
debruçado sobre esta questão, concluindo que os jovens portugueses não estão
preparados para assumir um papel activo como cidadãos, pouco ou nada intervêm na
comunidade e, apesar de apoiarem o regime democrático, mostram-se desconfiados
quanto ao seu modo de funcionamento e distanciados das instituições políticas
representativas desse mesmo regime.
Na secção anterior, vimos que o termo cidadania se reveste de múltiplas
concepções, por conseguinte, a educação para a cidadania constitui uma iniciativa
complexa, multidimensional e subjectiva. Assim, escolher um certo tipo de educação
para a cidadania é optar mais por uma concepção de cidadania do que por outra, acção
que só se pode entender se a contextualizarmos no tempo e circunstâncias. O interesse
geral por esta temática, na última década do século XX, parece ter surgido com as
importantes mudanças sociais e tecnológicas que, na concepção de vários autores,
determinam a natureza da cidadania no século XXI.
Os diversos entendimentos que se podem fazer acerca da educação para a
cidadania expressam-se nos modos de incorporação desta temática nos currículos e nas
dimensões que lhe estão associadas. Para alguns, significa o retomo à moral e aos
valores tradicionais confundindo-a frequentemente com formação pessoal. O respeito
pela disciplina, a submissão à lei e a consciência dos deveres mais do que dos direitos
são algumas das finalidades que a educação para a cidadania deveria restaurar. No
24
oposto, situam-se aqueles que vêem a educação para a cidadania como um meio de
adaptar a instituição escolar às exigências da democracia modema, através da promoção
da participação, do espírito de iniciativa, do debate e da intervenção crítica a todos os
níveis e não somente o político. Longe de voltar as costas à modernidade esta
concepção quer ajustar as práticas escolares às exigências da sociedade contemporânea
e ao exercício dos novos direitos que ela desenvolve. Entre estes dois extremos todos os
graus intermédios se podem encarar, toma-se por isso necessário clarificar os conceitos
que se utilizam e os desafios que se colocam à educação para a cidadania.
Arthur e Wright (2001) fazem referência à educação da cidadania como uma
combinação de aproximações que poderiam ser sumariadas como: (a) educação sobre a
cidadania a qual envolve o conhecimento do sistema político; (b) a educação para a
cidadania que visa o desenvolvimento de competências e valores como meio de
incentivar cidadãos activos e (c) educação através da cidadania que coloca ênfase nas
aprendizagens realizadas com as experiências dentro e fora da escola.
O Conselho Nacional de Educação (CNE) define educação para a cidadania
como sendo "a aprendizagem e a aquisição de atitudes e competências que capacitem os
indivíduos, qualquer que seja a sua idade e condição, apetrechando-os com os
instmmentos indispensáveis ao desenvolvimento pessoal, à inserção social e à
participação activa no mundo a que pertencem" (Parecer n®3/99 do CNE).
Entre 1997 e 2000 o Conselho da Europa desenvolveu o projecto Educação para
a Cidadania Democrática (ECD) onde foram revistos e discutidos os valores e as
competências necessárias para que as pessoas se tomem cidadãos de parte inteira e os
modos como podem adquirir essas competências. Este Conselho concordou que, num
sentido mais vasto e moderno, a Cidadania Democrática representa uma melhor
participação, coesão social, acesso, igualdade, contabilização e solidariedade.
Representa pertença e não exclusão, participação e não marginalização, cultura e
valores e não uma participação processual, tal como o votar. Representa ainda ser-se
activo na formação, compreensão e prática de cidadania e não um consumidor passivo
dos produtos democráticos. Na Declaração de Budapeste sobre Educação para a
cidadania democrática, baseada nos direitos e cidadãos, é proclamado que a ECD: " (ii)
dota os homens e as mulheres dos meios necessários para uma participação activa na
vida pública e na conformação, de modo responsável, do seu próprio destino e do da
sociedade; (...); (vi) prepara as pessoas para a vida numa sociedade multicultural e para
25
uma relação informada, sensível, tolerante e moralmente formada com a diferença
(Silva & Pureza, 2001, p. 9).
Uma educação em que a ênfase é colocada nos conteúdos e na quantidade de
conhecimentos que a criança adquire é uma educação voltada para objectivos muito
pobres, o que constitui um obstáculo ao exercício da cidadania. D'Ambrosio (1996)
refere que uma educação voltada para objectivos pobres, talvez capacite os alunos como
mão-de-obra para a execução de trabalhos rotineiros mas, compromete (a) a sua
participação ampla numa sociedade modema e democrática e (b) a componente crítica
que deveria ser dominante num modelo educacional conduzido à cidadania plena. Hoje,
é crucial para cada cidadão consciente compreender a que nível são tomadas as
decisões, por exemplo, as decisões sobre o desenvolvimento urbano, tecnológico ou
económico. Para isso, é necessário ter o mínimo de conhecimentos, não apenas sobre os
mecanismos democráticos, mas também sobre temas de fundo:
Se se ignora o que é uma multinacional, uma operação de Bolsa . . . ou um capital de risco, não se percebem alguns dos mecanismos essenciais da nossa sociedade (Perrenoud, 2002, p. 109)
Para Perrenoud (2002), educar para a cidadania é dar a cada um os meios de
controlar a sua vida pessoal e de poder participar na vida da comunidade. Os saberes
não bastam, é preciso aprender a utilizá-los para enfrentar a complexidade do mundo e
tomar decisões. A correcta mobilização, transferência e contextualização dos saberes é,
hoje em dia, tão importante quanto a sua assimilação. Isto não quer dizer que se deve
voltar as costas aos saberes disciplinares, mas que estes devem ser considerados como
instrumentos para compreender e dominar a realidade e não como bases para estudos
superiores ou requisitos para a inserção no mundo do trabalho. É importante que a
escola recupere o seu papel de despertar o prazer da aprendizagem e que as
aprendizagens façam parte do projecto de vida dos alunos para que eles possam
continuar a estudar para viver melhor, podendo realizar opções e saber avaliar as
consequências de cada opção.
Ainda segundo Perrenoud, a educação para a cidadania não é uma "cura
espiritual nem um apelo aos bons sentimentos" (p. 108), que se faz uma hora por
semana, enquanto que, nas restantes horas se abordam os conteúdos do programa. A
educação para a cidadania não resulta se não estiver no cerne do programa, ligada ao
conjunto das competências e dos conhecimentos.
26
Fonseca (2001) refere que pensar numa educação para a cidadania implica
pensar em conteúdos e metodologias e que os professores podem ser amplamente
criativos na "produção" de alunos-cidadãos a partir daquilo que ensinam no dia-a-dia,
seja o Português ou a Matemática ou outra disciplina. Para que isto suceda Fonseca
(2001) defende que se torna indispensável abandonar a lógica da disciplina específica,
seja ela educação cívica, ambiental, para o consumo ou pessoal e social, e incrementar a
disseminação de conteúdos específicos de cidadania no currículo regular,
responsabilizando cada professor pela respectiva tradução em termos de prática
pedagógica da sua área curricular.
Actualmente, a educação para a cidadania tem dois objectivos: um relacionado
com a vertente de socialização da educação, onde se pretende que sejam transmitidos
aos cidadãos regras, valores e saberes das comunidades; outro proporcionar aos jovens
uma participação crítica, permitindo-lhes perceber que têm influência sobre o mundo
que os rodeia. Estes dois objectivos não são necessariamente contrários, o seu
antagonismo só é patente se a vertente da socialização for utilizada como instrumento
de controlo de massas. Para se construir uma escola que eduque para a cidadania,
também precisamos mudar as relações de poder na escola. Da mesma forma que o
conhecimento não está apenas na mãos dos mais velhos, a responsabilidade e a
iniciativa devem estar divididas. Os papéis precisam de ser diferentes: não se pode
educar para a cidadania sem se educar na cidadania; não se pode educar para a
solidariedade sem se trabalhar em solidariedade.
Pelo que foi dito atrás, não restam dúvidas que a construção de uma cidadania
participativa e crítica é hoje um dos objectivos fundamentais da educação. Por isso, é
urgente que a escola eduque os alunos a serem cidadãos críticos capazes de analisar os
fenómenos sociais, de lançar desafios e de acreditar que os seus conhecimentos e a sua
acção poderão contribuir para uma sociedade mais justa..
A Cidadania na Matemática
A sociedade em que vivemos caracteriza-se por uma complexidade crescente. Ao
mesmo tempo essa complexidade deve-se, em parte, à presença cada vez maior da
matemática no desenvolvimento tecnológico, científico e na vida quotidiana. Portanto a
matemática tem uma contribuição profunda na configuração da sociedade (Niss, 1995).
Paradoxalmente, esta presença toma-se cada vez mais invisível e não está reconhecida
27
pela maior parte das pessoas. Assim, dentro de uma sociedade sustentada por estruturas
matemáticas é necessário que os alunos estejam educados nos métodos matemáticos,
não só em termos de conhecimentos matemáticos, no geral, mas também em termos da
compreensão de que a matemática tem o poder de formatar a sociedade.
Educar os alunos para formular e identificar problemas, para os explicar aos
outros e para questionar as estruturas invisíveis da matemática é a chave do
desenvolvimento de cidadãos informados, activos e críticos. A Matemática tem um
papel fundamental na educação para a cidadania porque tem o potencial de nos ajudar a
compreender a nossa sociedade e o nosso papel em lhe dar forma.
Deste modo, os alunos devem possuir determinadas ferramentas pessoais,
tecnológicas e de pensamento que lhes permitam o uso da matemática com significado.
Estes pré-requisitos são fundamentais para se compreender o mundo em que se vive,
para aprender o potencial relacionado com a tecnologia e para manter o sistema
democrático.
Todos temos que nos relacionar e usar na nossa vida alguma matemática, mesmo
que seja só aquela que está presente no dia-a-dia. A relação entre a matemática e a
sociedade é óbvia e subtil. Se pensarmos sobre esta relação, verificamos que na nossa
sociedade quase tudo é quantificado: o produto nacional bruto, as taxas de desemprego,
o desempenho de um estudante numa dada disciplina e a própria inteligência. Na
sociedade em que vivemos, temos por hábito atribuir números a qualquer coisa que
encontramos na vida quotidiana. Dada a ampla quantificação existente na nossa
sociedade podemos concluir que a educação matemática é fundamental para a
participação activa no mundo em que vivemos.
Para Skovsmose (2005), a matemática é percebida como a ferramenta apropriada
para resolver uma grande parte dos problemas do quotidiano devido à crença que a sua
infalibilidade como sistema formal, pode ser transferida para a realidade e tomar
infalível a resolução de problemas sociais. Skovsmose chama a esta crença a ideologia
da certeza, a qual se traduz por um respeito sobrenatural dos números. Esta é uma das
razões que pode justificar o facto da matemática ser tão usada nos anúncios
publicitários.
Hoje em dia, a matemática utiliza-se mundialmente em todos os âmbitos da
sociedade e quase não há nenhum processo de tomada de decisões políticas que a ela
não recorra, como um argumento racional e como base objectiva para fundamentar
decisões políticas e relações de poder. A necessidade de compreender e de ser capaz de
28
utilizar a matemática escolar no dia-a-dia, nunca foi tão importante como actualmente,
porque saber matemática pode habilitar os indivíduos, ajudando-os a tomar decisões. O
documento Principies and Standards for Scholl Mathemalics (NCTM, 2000) faz
referência à necessidade da matemática para a vida e para o local de trabalho,
justificando-a da seguinte forma:
Os conhecimentos básicos necessários à vida quotidiana possuem, cada vez mais, um carácter matemático e tecnológico. Por exemplo, tomar decisões sobre aquisições, escolher seguros ou planos de saúde, e votar conscientemente são acções que requerem uma certa competência quantitativa Tal como se verificou para o nível de matemática necessário a uma cidadania consciente, também os níveis de raciocínio matemático e de resolução de problemas exigidos no local de trabalho aumentaram extraordinariamente (pp. 4-5).
A modelação matemática é um exemplo do poder que a matemática tem em
formatar a sociedade actual. Isto é, descrever a realidade com matemática e manipular a
matemática, com o objectivo de compreender e/ou predizer a realidade, são processos
vulgarmente encontrados na sociedade. Este último processo tem um papel mais
significativo na sociedade do que o de descrever simplesmente a realidade. A
matemática aplicada a um negócio não consiste no retrato da realidade que existe antes,
independente do processo de modelação. Os modelos matemáticos, presentes em
anúncios, marketing e investimentos, transformam eles próprios a realidade económica.
Servem como base para tomar decisões e fazer transacções económicas. Desta forma, a
matemática tem parte na realidade económica (Skovsmose, 2001). Analisar e desocultar
modelos matemáticos presentes no dia - a - dia cria oportunidades de debate e reflexão
sobre os aspectos sociais e políticos da sociedade e pode constituir uma forma de
colocar a matemática ao serviço da educação para a cidadania. Assim, é importante que
a matemática escolar não se restrinja a ensinar a pensar quantitativamente ou
estatisticamente. É necessário que eduque os jovens, nossos cidadãos, a compreender e
a criticar o poder formatador da matemática na sociedade (Skovsmose, 2001).
Vivemos numa sociedade em que o impacto dos meios de comunicação é
decisivo - "é o que se tem vindo a chamar de sociedades mediáticas" (Gofli, 2000, p.
27). Por conseguinte, grande parte da informação que se veicula através dos meios de
comunicação de massas utiliza linguagem matemática. O uso de informação percentual,
estatística, numérica, relativa a unidades de medida é constante. O conhecimento básico
29
dos termos em que se baseia esta linguagem é essencial para manter uma atitude crítica
em relação ao uso que fazemos dessa informação (Goni, 2000).
Na sociedade actual a globalização dos mercados parece uma característica
definitiva. Junto a esta globalização económica começam a vislumbrar-se movimentos
de populações que auguram sociedades multiraciais e multiculturais. Em consequência
disso será necessário adaptar o saber matemático, fortemente ligado a uma visão
cultural dos grupos sociais dominantes, às minorias que certamente irão ter um papel
preponderante na sociedade do futuro próximo.
Na sociedade actual o "significativo não é a mudança, como alguns dizem, mas a
velocidade com que esta se dá" (Goni, 2000, p. 28). A adaptação à mudança e sobretudo
à sua velocidade é algo que tem a ver com Matemática. No ensino tradicional
predominava uma visão muito estática desta disciplina e por extensão do próprio saber.
O treino e a aplicação de regras é ineficaz na sociedade actual porque uma situação
complexa caracteriza-se pela ausência de regras conhecidas para aplicar. É por esta
razão que desde os anos 80 do Séc. XX se insiste tanto na necessidade de reorientar o
ensino da Matemática para a resolução de problemas não convencionais, orientação esta
que implica o desenvolvimento da capacidade de enfrentar situações em que não existe
uma regra prévia a aplicar.
O autor supra citado defende que todos precisam de aprender/estudar
matemática na escola do Século XXI porque (a) a possibilidade de acção socialmente
responsável de um cidadão crítico e informado passa por um conhecimento cultural dos
conceitos matemáticos básicos; (b) apesar dos avanços do cálculo electrónico, a
competência numérica no cálculo mental e estimativo continua a ser um factor básico
para o desenvolvimento económico e a integração social; (c) as capacidades que podem
desenvolver-se por meio da prática de resolução de problemas não rotineiros são muito
importantes para as pessoas que têm que enfrentar situações laborais complexas; e (d) a
incorporação massiva na sociedade da informação exige uma formação matemática
básica.
Num mundo em rápida e complexa mudança é necessário dotar os jovens de
competências e literacias, nos vários domínios do saber, que lhes permitam
compreender e intervir na sociedade. Jablonka (2002) discute cinco perspectivas
diferentes de literacia matemática, promotoras de uma determinada prática social, que
dependem do modo como se percepciona a relação entre a matemática e o contexto
sociocultural de quem as define: Literacia matemática para (a) o desenvolvimento do
30
capital humano; (b) a identidade cultural; (c) a mudança social; (d) a consciência
ambiental e (e) a avaliação da matemática.
A literacia matemática para o desenvolvimento do capital humano refere-se à
capacidade de análise, de raciocínio, de comunicação e de aplicação de conhecimentos.
Visa dotar os indivíduos com as ferramentas matemáticas necessárias para interpretar e
organizar as suas vidas no dia-a-dia. Os recursos matemáticos são assim vistos como
universais. A literacia matemática para a identidade cultural considera as práticas de
matemática informal que estão embebidas nas diferentes actividades sociais (ex. as
práticas dos vendedores de rua, dos alfaiates, dos serralheiros). Esta matemática pode
ser vista como uma forma de literacia matemática: a Etnomatemática. A literacia
matemática para a mudança social refere-se à capacidade de interpretar a realidade e
intervir na sua transformação. Este conceito de literacia abrange a capacidade de
compreender e analisar dados e argumentos matemáticos apresentados por outros. A
literacia para a consciência ambiental assenta na capacidade individual para resolver
problemas pessoais e locais e numa tomada de consciência ambiental, a nível global.
Nesta perspectiva, os problemas ambientais são incluídos num importante campo de
aplicação da matemática. A literacia matemática para avaliar a matemática é a
concepção que parte da educação crítica cujo foco é a educação para a cidadania:
Esta concepção de literacia matemática, especialmente para a cidadania crítica numa sociedade tecnológica e economicamente avançada, compreende uma educação com vista á formação de cidadãos capazes de interpretarem a informação apresentada de modo mais ou menos científico, terem consciência das aplicações da matemática que afectam a sociedade e desenvolverem a consciência dos limites de confiança ou fiabilidade dos modelos matemáticos (Jablonka, 2002, p. 89).
Quando nos referimos à cidadania, está implícita a noção de democracia. Matos
(2004b) refere que a "noção de educação para a cidadania passa necessariamente pela
noção de democracia" (p. 10) e que a educação, particularmente a educação matemática,
pode e deve contribuir para a apreensão dos ideais democráticos de uma sociedade. No
entanto, este contributo não está ligado de forma intrínseca á natureza da matemática e
da educação matemática. Resulta de uma combinação de vários factores tais como,
31
quem está envolvido nas práticas da educação matemática, quais são os propósitos a
seguir, que objectivos pretendem atingir e quando, onde e porque ocorrem.
Skovsmose e Valero (2002) salientam que a relação entre a educação
matemática e a democracia não é um tema consensual. A investigação da relação entre a
educação matemática e a democracia implica o reconhecimento da dimensão política da
educação matemática e poderá levar ao questionamento do poder da matemática e do
modo como esse poder é exercido. Os autores discutem a relação entre educação
matemática e a democracia segundo três interpretações diferentes: Ressonância
Intrínseca; Dissonância e a tese da Relação Crítica.
A tese da ressonância intrínseca assenta na ideia de que a própria natureza da
matemática está directamente relacionada com a democracia, dado o papel fundamental
da matemática ao nível da cultura, da economia, da ciência e da tecnologia. Assim,
defende que as aprendizagens matemáticas escolares irão, um dia, fazer ressonância no
desenvolvimento pessoal e social dos alunos.
A dissonância intrínseca baseia-se na discussão de que a matemática e a
educação matemática exercem uma influência negativa na sociedade, na medida em que
exercem um grande poder ao mvel da sua estruturação. A educação matemática acaba
por estar muitas vezes na base de existência de filtros sociais que possibilitam a uns o
acesso à cultura, à tecnologia, à ciência e à informação e restringindo esse mesmo
acesso a outros.
A tese da relação critica é apresentada por Skovsmose e Valero (2002)
sobretudo para dar resposta á tese da dissonância. Se por um lado a matemática está no
centro do desenvolvimento da sociedade, sendo o desenvolvimento de competências
matemáticas fundamental para a participação democrática, por outro lado é a própria
matemática um factor de exclusão social. A tese da relação crítica assenta na ideia de
que o relacionamento entre a educação e a democracia é crítico ou seja, pode tomar dois
sentidos. O sentido que pode tomar é uma questão em aberto, uma questão crítica para a
sociedade e para a educação.
A Educação Matemática é um factor preponderante na construção de uma
sociedade democrática. Realçando as ideias de Matos (2004b) e Skovsmose e Valero
(2002) é preciso olhá-la de uma forma crítica e orientar as práticas, os objectivos e as
estratégias no sentido de promover a educação para a cidadania. Uma Educação
Matemática comprometida com a democracia não pode reduzir-se simplesmente às
qualidades intrínsecas da Matemática ou às construções conceptuais da disciplina.
32
Existem muitos factores sociais, políticos, económicos e culturais que devem ser
tomados em conta como sendo responsáveis pela direcção do seu desenvolvimento.
D'Ambrosio (1996) salienta que a matemática deve ser considerada como um
factor de progresso social, de libertação individual e política, cujo foco central é o
processo de criação de ideias. O ambiente de aprendizagem da Matemática deve ser
visto como uma oportunidade de aprendizagem, não só do saber matemático mas
também das competências básicas, que serão usadas de maneiras diferentes por pessoas
diferentes. Portanto, deve ser oferecido aos alunos um ambiente de aprendizagem não
autoritário, que os motive a responsabilizarem-se pelo seu próprio trajecto, descobrindo
assim o que necessitam saber e que habilidades matemáticas necessitam de adquirir.
Hoje em dia a matemática é considerada um instrumento social poderoso para
planear, optimizar, dirigir, representar e comunicar assuntos sociais criados pela
humanidade. Mediante o desenvolvimento das modernas tecnologias da informação e
comunicação baseadas na matemática, este impacto da matemática obteve pleno poder.
A humanidade está rodeada de tecnologia. A sociedade e a tecnologia estão integradas e
esta última tomou-se o traço dominante da civilização. As relações entre as tecnologias
e as ciências são bastante variadas. A matemática é o suporte lógico do processamento
da informação e, ao mesmo tempo, o alicerce das actuais aplicações da tecnologia da
informação. Para o cidadão comum é cada vez mais difícil e por vezes impossível
acompanhar estes desenvolvimentos da matemática - as aplicações da matemática e as
tecnologias de informação e comunicação - e avaliar o seu uso social de forma
apropriada, devido ao facto da especialização e segmentação das aplicações
matemáticas serem difíceis de entender. Não restam dúvidas de que as competências
para avaliar as aplicações da matemática e as tecnologias, bem como a sua possível
utilidade ou os seus efeitos problemáticos, são uma condição necessária para a
cidadania democrática. A democracia não diz somente respeito a condições formais,
também diz respeito à possibilidade de participação e reacção. Se não se criar uma
cidadania crítica, a democracia pode estar em risco (Skovsmose, 1995).
O quotidiano está repleto de aplicações da matemática, apesar disso, o estudo
desta disciplina gera em muitos alunos um imutável sentimento de pavor e frustração.
Assim, é inevitável pensarmos qual tem sido o papel da actividade escolar em
Matemática, nesse processo de (des) interesse dos alunos pelos problemas sociais.
Os alunos aprendem a matemática através das experiências que vivem. Como
tal, os seus conhecimentos matemáticos, a sua capacidade de os utilizar na resolução de
33
problemas e a sua pré-predisposição em relação à matemática são influenciados pelo
tipo de ensino com que se deparam na escola. Deste modo, o aperfeiçoamento da
educação matemática para todos os alunos passa pela educação para a cidadania. O
contributo que a disciplina de Matemática pode ter na educação para a cidadania insere-
se na formação de cidadãos capazes de entender e lidar com o mundo. Assim, o
currículo de Matemática "deverá proporcionar experiências que permitam que os alunos
compreendam que a matemática possui utilizações poderosas na modelação e na
previsão de fenómenos reais" (NCTM, 2000, p. 16).
Uma vez que o mundo pode ser descrito através de uma linguagem matemática,
a aula de Matemática é um local ideal para compreender e ser capaz de intervir no
mundo. Assim, deve procurar promover nos alunos as competências de resolução de
conflitos, argumentação, interpretação, decisão, responsabilidade e espírito crítico. Não
se pode falar do exercício de uma cidadania ampla sem o domínio de uma literacia, em
particular de uma literacia matemática, onde o aluno saiba procurar informação, julgar
criticamente e argumentar. A disciplina de Matemática deve contribuir para a formação
de cidadãos informados, conscientes, críticos e participativos.
Promover uma educação para a cidadania com a Matemática requer questionar e
tomar decisões, discutir, negociar e confrontar opiniões e pontos de vista. Assim, o
currículo deve incluir estas componentes e os materiais devem incluir temas sociais
relevantes, estatísticas autênticas, acomodar a diversidade social e cultural e usar
recursos culturais locais (Benn, 1997).
Sugerir assuntos para uma disciplina de Matemática que contribuam para a
cidadania activa requer uma análise das situações onde os indivíduos necessitam de
competências matemáticas. Existem algumas competências que são necessárias a
qualquer cidadão e que o sistema educativo, pelo menos ao nível do ensino básico geral,
não inclui. Por exemplo, preencher uma declaração de imposto, contrair um
empréstimo, fazer compras num supermercado e ler as facturas dos serviços domésticos,
são matérias que se consideram não escolares e que as pessoas devem resolver por sua
conta. Daí pode resultar cidadãos que cada vez têm de aprender mais coisas fora da
escola e que, entretanto, cada vez utilizam menos o que o sistema lhes proporcionou.
Benn (1997) salienta que alargar o currículo de Matemática para integrar temas de
interesse público, tais como orçamentos, impostos, taxas de desemprego e despesas do
governo, pode ser uma possibilidade para a promoção da cidadania na aula de
Matemática.
34
Simmt (2001) aponta três posições e estratégias de ensino da matemática
incompatíveis com a educação para a cidadania:
a) A matemática como conjunto de factos, técnicas e procedimentos - Se
ensinarmos matemática como um conjunto de factos e de técnicas onde há um único
caminho para dar resposta a problemas ou questões pré-concebidas, na melhor das
hipóteses os alunos saem com ferramentas algorítmicas computacionais para
participarem como consumidores e trabalhadores na sociedade. Com estas
competências, os alunos estarão preparados para calcular o preço de um produto com
redução de 30% ou fazer um desconto de 15% a um cliente, mas não o estarão para
reivindicar um aumento do salário ou a redução de um imposto.
b) A matemática como 'facts and fact'' - Quando se colocam aos alunos problemas
com contextos distantes da realidade, que não passam de exercícios envolvidos de
palavras, estamos a transmitir aos alunos a mensagem oculta de que a matemática não é
útil para compreender o mundo. Porque, neste caso, se inventam situações à volta dos
números para se aplicarem os procedimentos que o professor quer e chegar ao resultado
previsto. Na melhor das hipóteses este tipo de estratégias pode formar peritos capazes
de fazer modelos. Devemos desencorajar os alunos da ideia de que um problema tem
sempre resposta e levá-los a compreender que pode ter múltiplas respostas ou não ter
nenhuma.
c) A matemática ou está certa ou está errada - O ensino da matemática onde a
ênfase é colocada na resolução de muitos exercícios com o objectivo de obter uma
solução correcta, é comum. Para muitos alunos o objectivo da realização destas tarefas é
encontrar uma resposta igual à da solução do livro ou à do professor. Estas práticas têm
o potencial de reforçar a noção de que a matemática não deve ser questionada e que
quando é usada se deve ter total confiança nos seus resultados porque é infalível, exacta
e objectiva.
Uma educação matemática com preocupações relacionadas com educação para a
cidadania deve ter em atenção as tarefas que se propõem aos alunos, a explicação da
matemática que eles usaram para as resolver e as interacções entre os alunos e entre eles
e o professor.
Investigação em Portuga! sobre Educação para a Cidadania
Até ao ano 2005 quase não existiam, em Portugal, estudos relacionados com a
educação para a cidadania. A partir dessa data foram realizadas algumas investigações
35
sobre esta temática, normalmente relacionadas com a obtenção de graus académicos
(mestrado). Gerardo (2005) fez um estudo teórico para compreender a relação entre a
educação matemática e a justiça social. A autora refere que os estudos empíricos
relacionados com a educação para a cidadania são praticamente inexistentes.
Em 2006, Marques desenvolveu um estudo com o intuito de compreender o
contributo do ensino da Matemática no desenvolvimento de competências de Cidadania,
segundo as concepções e as práticas de uma professora do terceiro ciclo. Com o
desenvolvimento do presente estudo, foi reconhecido que o conceito de educação
inicialmente assumido pela professora participante rumou a uma assunção muito mais
abrangente e mais rica. A mesma tomou consciência de que o desenvolvimento de
competências de cidadania está patente em várias dimensões da Matemática. A autora
deste estudo recomendou a realização de estudos que incidam sob o ponto de vista dos
alunos.
Rainho (2006) estudou a relação educativa do docente de Matemática do terceiro
ciclo na educação para a cidadania. Neste estudo verificou que os docentes consideram
a temática interessante e relevante para os alunos, mas sentem que a informação e
formação disponível na altura da implementação da reorganização curricular foi
praticamente nula, o que dificultou a possibilidade de existir e desenvolver
convenientemente esta relação educativa. Concluiu que é importante que esta orientação
seja bem compreendida pelas partes envolvidas no processo, docentes e discentes, para
que mais facilmente se mobilizem na sua concretização, e desta forma, seja possível a
sua prática e a sua divulgação.
Velez (2007) desenvolveu um estudo etnográfico com uma turma do segundo
ano, r ciclo, baseado na metodologia do trabalho independente. Este estudo tinha como
finalidade perceber o papel da resolução de problemas e do trabalho de projecto na
promoção da cooperação, da autonomia, da responsabilidade e do sentido crítico. Após
este estudo a investigadora concluiu que os alunos desenvolveram a (a) a capacidade
organizativa, (b) a auto-estima, (c) a criatividade, (d) o entusiasmo e a disponibilidade
para ouvir e aceitar opiniões diferentes das suas.
36
A Perspectiva de Educação Matemática Crítica
A Perspectiva Crítica da Educação
Vivemos numa sociedade em que é urgente que cada cidadão esteja atento às
injustiças e desigualdades sociais, aos avanços constantes da tecnologia e à forma como
são estabelecidas as relações entre os estados. A perspectiva crítica da educação assenta
na ideia de que a educação tem, necessariamente, que ter uma dimensão de
democratização e contribui para formar uma pessoa questionadora, que procura espaços
para desenvolver a sua autonomia. Esta perspectiva não vê a escola como um espaço de
reprodução das desigualdades sociais, mas considera as escolas como instituições
abertas à luta política.
Giroux (1992, citado em Silva, 2002) defende que as escolas são as principais
instituições capazes de educar os estudantes para a vida pública, servindo para desafiar a
ordem social no sentido de desenvolver e aprofundar os seus imperativos democráticos.
Enquanto expressão de uma política cultural, o processo de escolarização é visto por
Giroux como um modo de organizar determinado tipo de relações sociais legitimadoras
de formas particulares de conhecimento, ideologia e modos de vida, fazendo com que o
processo de ensino e aprendizagem não possa ser considerado neutro e independente
dos contextos histórico e ideológico que marcam a vida social. E a partir deste quadro,
revelador da ligação cultural e política entre as escolas e a sociedade, que Giroux
considera a necessidade de as escolas desempenharem um papel primordial na alteração
das condições de injustiça e de opressão existentes.
Na perspectiva de Skovsmose (2001), a educação crítica caracteriza-se pelos
seguintes termos - chave: competência crítica, distância crítica e engajamento crítico. A
competência crítica enfatiza que os estudantes devem estar envolvidos no controle do
processo educacional. A promoção de uma competência crítica só é possível se os
alunos tiverem oportunidade de identificar assuntos relevantes e se essa competência
não for imposta, mas sim desenvolvida. A distância crítica refere-se à relação que os
professores e os alunos devem estabelecer com os conteúdos do currículo ou seja os
princípios aparentemente objectivos e neutros devem ser investigados e avaliados. O
engajamento crítico está relacionado com o dever da escola se orientar para problemas
situados fora do contexto escolar.
37
Freire (2003) propõe uma educação transformadora da realidade, fundada na
prática do diálogo, na problematização do real, na interrogação e na análise crítica
sistemática. Freire denomina de educação bancária e domesticadora o modelo de
educação que se reduz ao depósito de conteúdos na memória do aluno, sem se
preocupar em desenvolver a consciência crítica, nem o poder críador dos alunos. Para
Freire (2003) a prática educativa é política, pois envolve sujeitos, conteúdos, métodos e
tem subjacentes objectivos, sonhos e ideias. A educação não é neutra, ela transporta
valores, explícita ou implicitamente, sugere modos de actuar, valoriza determinados
comportamentos e penaliza outros. Assim, devemos questionar-nos se ela serve todos os
alunos e que razões levam a que determinados conhecimentos sejam tomados legítimos
para integrar o currículo.
Uma educação crítica tem como objectivo transformar a educação. Deste modo,
recusa a neutralidade perante a realidade social que pretende investigar e procura,
através da participação de todos os intervenientes nessa realidade, transformá-la de
acordo com os seus valores. Na educação crítica o aluno adopta uma posição
permanentemente reflexiva com vista á sua emancipação. O objectivo, é que o
indivíduo, integrado no seu contexto, o conheça, reflicta sobre ele e o transforme.
A Educação Matemática Crítica
A educação matemática crítica é uma linha de trabalho que apresenta e
fundamenta propostas de redireccionamento do que tem sido a educação matemática.
Surgiu na segunda metade do Século XX, como uma tentativa educacional de produzir
uma nova base de educação para a cidadania, através de um dos objectivos da educação:
desenvolver nos alunos pensamentos reflexivos, críticos e responsáveis. Skovsmose
(1995) examinou uma série de reflexões sobre o modo como a alfabetização matemática
pode constituir uma das ferramentas necessárias para que os cidadãos das sociedades
mais desenvolvidas tecnologicamente se apropriassem das competências matemáticas
que lhes permitissem participar nos processos sociais. Este seu argumento alicerçava-se
na ideia de que é através da educação matemática que se pode construir um
conhecimento reflexivo que, juntamente com o conhecimento tecnológico, consolida a
capacidade dos indivíduos para actuar criticamente na sociedade.
Skovsmose, Valero, Frankenstein e outros investigadores, desenvolveram
trabalhos onde a sua preocupação central é o aspecto político e social da educação e
38
especificamente da educação matemática. Para Skovsmose (2001), se não se intensificar
a relação entre a matemática e a educação crítica, destroem-se as possibilidades de
desenvolver uma atitude crítica, promovendo a domesticação dos alunos. Levar os
alunos a reflectir e a agir contribui para uma educação matemática crítica. O processo
de ensino e aprendizagem numa perspectiva crítica não tem como objectivo principal
ensinar os alunos a usar modelos matemáticos mas questionar os modelos reguladores
da sociedade em que vivemos.
A educação matemática crítica proporciona poderes sociais, ao contribuir para o
desenvolvimento de uma literacia matemática ou numerada social que permita aos
alunos a realização de julgamentos críticos face às decisões sociais e políticas que são
tomadas (Emest, 2001). Este autor considera que falta à escola e, especificamente à
educação matemática, uma função orientada para o desenvolvimento de cidadãos
críticos. A matemática devia ser uma ferramenta para ver o mundo de forma crítica com
o intuito de promover a justiça social e, consequentemente, uma vida melhor para todos.
Emest (2002) considera que só através da educação matemática crítica os alunos
poderão aprender a analisar, a questionar e a desafiar os sistemas que definem e
manipulam os projectos de vida, reduzem as liberdades e aumentam as desigualdades.
As competências matemáticas e o pensamento crítico contribuem para promover o
poder político e social do aluno, levando-o a conhecer e a questionar os usos e abusos
sociais da matemática.
Para Emest (2001) ser crítico é fazer julgamentos cuidados, utilizando todas as
evidências disponíveis, discutir e pesar argumentos para avaliar situações e chegar a
conclusões. É não aceitar como garantidas as explicações e visões tradicionais, mas
questioná-las. É ter um pensamento independente, considerar todos os contextos e
implicações do assunto em questão, para fazer julgamentos equilibrados.
Tenreiro e Vieira (2000) referem a importância e necessidade crescente do
ensino do pensamento crítico, na constatação de que este é a base para a formação de
indivíduos capazes de enfrentar e lidar com a alteração contínua dos, cada vez mais
complexos, sistemas que caracterizam o mundo actual.
A educação matemática crítica inclui o interesse pelo desenvolvimento da
educação matemática como suporte da democracia, enfatizando que as micro-
sociedades de salas de aulas de Matemática devem também mostrar aspectos da
democracia. Esta abordagem realça que a matemática não é somente um assunto a ser
ensinado e aprendido mas, um tópico sobre o qual é preciso reflectir (Skovsmose,
39
2000). Ela faz parte das nossas estruturas tecnológicas, militares, económicas e políticas
e como tal, um recurso tanto para maravilhas como para horrores (D' Ambrósio 1994,
citado em Skovsmose, 2000).
A perspectiva de educação matemática crítica assenta na ideia de que a educação
tem necessariamente que ter uma dimensão de democratização e responde á seguinte
questão "em que medida a educação matemática está envolvida no processo de
construção (ou redução) de uma competência democrática na sociedade?" (Skovsmose,
2001, p. 38).
Skovsmose (2001) discute a relação entre a matemática e a democracia com base
em dois argumentos: o argumento social e o argumento pedagógico. O argumento
social de democratização, diz respeito às aplicações da matemática e à importância da
identificação e interpretação da capacidade da matemática formatar a sociedade através
de modelos. Este argumento é frequentemente utilizado na literatura educacional
enfatizando que é importante que os alunos adquiram conhecimentos sobre a construção
de modelos e que a melhor forma de atingir esse objectivo é praticar a sua construção.
Skovsmose (2001) defende que melhorar somente a capacidade de modelagem dos
estudantes não chega para desenvolver uma atitude crítica em relação a determinados
modelos, logo, é necessário desvendar que ideias económicas estão por detrás deles.
O argumento pedagógico da democratização baseia-se nas experiências a que os
alunos estão sujeitos durante o processo educacional e enfatiza que a matemática pode
socializar em direcções diferentes das que são esperadas. Este argumento baseia-se nas
seguintes ideias: (a) os alunos recebem uma variedade de impressões relacionadas com
o currículo. Mas, uma coisa é o que se ensina, outra é o que os alunos aprendem, pois
existe uma grande lacuna entre estes dois aspectos; (b) a educação matemática tem o seu
currículo oculto, por exemplo reforça-se a ideia que a Matemática deve desenvolver o
raciocínio e a capacidade de resolução de problemas, porém, algumas culturas de sala
de aula vão noutra direcção, ensinando os estudantes a seguir prescrições explicitamente
estabelecidas e (c) não podemos esperar o desenvolvimento de uma atitude democrática,
se o sistema educativo não contiver actividades democráticas como referências, aspecto
que engloba por exemplo, a importância do diálogo entre professor e estudantes.
Para Skovsmose e Valero (2002) a educação matemática tem o potencial de
contribuir para a democratização da sociedade. No entanto, esse "potencial não está
ligado de forma intrínseca à natureza da matemática e da educação matemática" (p. 14).
Resulta da combinação de vários factores, tais como, quem está envolvido nas práticas
40
educação matemática, os propósitos a servir, os objectivos que se pretendem atingir,
quando e onde ocorrem e porque é que ocorrem.
Se a democracia pressupõe a participação dos cidadãos na sociedade, então será
importante que estes desenvolvam uma competência matemática que os ajude a
desocultar os usos da matemática e a criticar as suas implicações. Esta competência
matemática, a que Skovsmose (1999) chama de matemacia, contempla não só o
desenvolvimento de capacidades matemáticas básicas necessárias aos cidadãos, mas
também um conhecimento reflexivo que permitirá às pessoas perceber como é que o
modo como usamos a matemática afecta a maneira como percepcionamos, vivemos e
criamos situações de injustiça social.
A perspectiva da educação matemática crítica não tem como foco principal
ensinar os alunos a usar modelos matemáticos mas levá-los a questionar os modelos
reguladores da sociedade em que vivemos, dando-lhes poder para intervirem numa
sociedade que se pretende mais justa. Skovsmose (2005) considera que a educação
matemática crítica é a pedagogia da esperança. Esta, deve tomar o aluno capaz de
colocar e resolver questões matemáticas, compreender e responder a questões
relacionadas com os usos e abusos da Matemática na sociedade, obtendo poder social
para a sua emancipação. Os alunos devem usar o conhecimento matemático no sentido
de se posicionarem criticamente e criarem a sua própria consciência crítica perante as
realidades político-sociais (Jablonka, 2002; Skovsmose, 2005).
A educação matemática crítica preocupa-se com a maneira como a matemática
em geral influencia o nosso ambiente cultural, tecnológico e político e com as
finalidades para as quais a competência matemática pode servir. Assim, ela não visa
somente identificar como os alunos, de forma mais eficiente, vêm a saber e a
compreender os conceitos matemáticos, por exemplo os conceitos de fracção, função,
proporção; ela visa também "de que forma a aprendizagem da matemática pode apoiar o
desenvolvimento da cidadania" e "como o indivíduo pode ser empowered através da
Matemática" (Alro e Skovsmose, 2006, p. 18).
A educação matemática crítica tem por base a conduta numa sociedade
democrática, que assenta na igualdade de oportunidades, na qual é crucial que cada
cidadão seja co-responsável pela constmção do sentido de democracia e sinta
necessidade de desenvolver o seu sentido crítico para melhor conhecer, compreender e
actuar na realidade em que está inserido. A falta de uma consciência crítica na educação
escolar tem criado uma distinta dissociação para os alunos entre o que eles estão a
41
aprender na sala de aula e o que eles observam no mundo real. Os alunos, muitas vezes
passivos, solucionam problemas que não fazem parte da vida pessoal, da realidade ou da
sociedade onde estão inseridos. Assim, rapidamente e facilmente perdem a capacidade
de prestar atenção e de participar dos desafios que estão a acontecer na comunidade. Por
outras palavras, as actividades matemáticas estão em perigo se não tiverem uma mínima
utilidade real para os alunos. O que a educação matemática crítica pode facilmente
realizar é levar os alunos a ver o valor e a utilidade do que eles aprenderam em
Matemática, pelo desenvolvimento de uma posição crítica.
Os aspectos supra citados fazem parte das razões que me levaram a aprofundar e
a adoptar a perspectiva da educação matemática crítica, na qual se promove a cidadania
crítica, tendo por intermediário a análise de situações reais.
O Currículo do Ensino Básico
Vivemos numa sociedade com diferentes realidades e que requer dos indivíduos
um número elevado e complexo de capacidades, não só porque as relações pessoais
assim o exigem, mas também porque a informação disponível é cada vez mais intensa e
diversa. Como tal, é importante ser-se um cidadão crítico, capaz de analisar, seleccionar
e utilizar a informação, cabendo à escola organizar um currículo que proporcione aos
alunos um conjunto de aprendizagens socialmente necessárias. O objectivo da escola é
transformar os alunos, não só em cidadãos aptos para trabalhar ,mas também em
cidadãos autónomos, responsáveis e críticos. Para atingir esse objectivo, a escola deve
integrar os saberes que transmite em competências que mobilizem saberes, mas não se
reduzam a eles (Perrenoud, 2002).
Em Portugal são assinaláveis as preocupações, reflexões e medidas tomadas no
sentido de traçar as aprendizagens que se consideram fundamentais, para todos os
cidadãos, na sociedade actual, tanto a nível geral como nas diversas áreas do currículo.
No novo modelo da reorganização curricular, as orientações sobre as
aprendizagens consideradas fundamentais estão definidas em termos de competências
essenciais, transversais e específicas das diversas disciplinas e em termos de tipos de
aprendizagem que todos os alunos devem viver, no seu percurso escolar, durante o
ensino básico. O significado que se atribui ao termo competência no Currículo Nacional
do Ensino Básico, não está ligado a uma memorização de termos, factos ou
procedimentos desprovidos de contexto, mas sim ao processo de activar conhecimentos.
42
capacidades e estratégias em diversos tipos de situações. Adopta-se uma noção de
competência que pode ser entendida como "saber em acção ou em uso" (DEB/ME,
2001, p. 9).
As competências gerais, consideradas necessárias à qualidade de vida pessoal e
social de lodos os cidadãos, que todos os alunos devem possuir à saída do ensino básico,
estão definidas no documento supra citado e são as seguintes:
(1) Mobilizar saberes culturais, científicos e tecnológicos para compreender a realidade e para abordar situações e problemas do quotidiano; (2) Usar adequadamente linguagens das diferentes áreas do saber cultural, científico e tecnológico para se expressar; (3) Usar correctamente a língua portuguesa para comunicar de forma adequada e para estruturar o pensamento próprio; (4) Usar línguas estrangeiras para comunicar adequadamente em situações do quotidiano e para a apropriação de informação: (5) Adoptar metodologias personalizadas de trabalho e de aprendizagem a objectivos visados; (6) Pesquisar, seleccionar e organizar informação para a transformar em conhecimento mobilizável; (7) Adoptar estratégias adequadas á resolução de problemas e á tomada de decisões; (8) Realizar actividades de forma autónoma, responsável e criativa; (9) Cooperar com outros em tarefas e projectos comuns; (10) Relacionar harmoniosamente o corpo com o espano, numa perspectiva pessoal e interpessoal promotora da saúde e da qualidade de vida (p. 15).
A noção de competência adoptada no Currículo Nacional do Ensino Básico em
Portugal é idêntica à apresentada por Perrenoud (1999) ou seja, trata-se da capacidade
de agir eficazmente numa determinada situação, apoiada em conhecimentos mas sem se
limitar a eles. Assim, as competências estão ligadas a uma prática social complexa, onde
é necessário pôr em acção vários recursos, entre os quais os cognitivos. Apesar deste rol
de competências, o ensino reduz-se muitas vezes à transmissão de conhecimentos, onde
não há lugar para a sua mobilização. Espera-se que algum dia eles sejam úteis (ou não)
para os alunos. A quem serão úteis os saberes adquiridos na escola? Claro que são úteis
para os alunos que prosseguem os seus estudos. E para os outros? Será que algum dia
estas aprendizagens vão fazer ressonância no desenvolvimento pessoal e social dos
alunos?
As orientações curriculares oficiais valorizam não só os conhecimentos, mas
também o desenvolvimento integrado de atitudes que possibilitam a utilização dos
43
conhecimentos em situações diversas, quer escolares quer extra-escolares. Como tal,
apontam como fundamental que todas as áreas curriculares actuem em convergência
pelo que, para cada competência geral formulada no perfil do aluno à saída da educação
básica, apresentam modos de operacionalização transversal.
Além das competências gerais, de operacionalização transversal, o Currículo
Nacional define os temas a trabalhar e as competências que se consideram específicas
em cada área curricular para cada ciclo da escolaridade obrigatória. Além disso, para
cada área, apresenta um conjunto de experiências que devem ser proporcionadas a todos
os alunos. Será que a operacionalização das competências específicas de cada disciplina
vai ao encontro do desenvolvimento das competências gerais? Será que a definição de
competências por tema favorece o desenvolvimento do perfil que se deseja que o aluno
possua à saída do ensino básico? Perrenoud (2002) refere que o desenvolvimento de
competências requer tempo, não podendo realizar-se no âmbito do ritmo frenético da
transmissão de conhecimentos descontextualizados. Será que um currículo que aponta
para cada disciplina um conjunto de temas a trabalhar e, em certa medida, os tempos e
os espaços, em que isso deve ser feito, deixa lugar para trabalhar situações complexas
onde são necessárias a mobilização e a integração de conhecimentos, atitudes e
capacidades?
Além dos temas específicos de cada disciplina o Currículo Nacional do Ensino
Básico realça um conjunto de temas transversais às diversas áreas disciplinares:
Faz parte integrante do currículo abordagem de temas transversais às diversas áreas disciplinares, nomeadamente no âmbito da educação para os direitos humanos, da educação ambiental, da educação para a saúde e o bem-estar, em particular, a educação alimentar, a educação sexual e a educação para a prevenção de situações de risco pessoal. Outros temas, cuja relevância seja identificada pela escola . . . poderão igualmente integrar o currículo (DEB/ME, 2001, p. 11).
Como é que estes temas têm sido tratados na aula de Matemática? Que posição
eles ocupam? Será que lhes tem sido dada a mesma atenção que é dada aos temas
específicos da Matemática? Será que estão entrelaçados neles? Será que apenas têm
constado daquele trabalho de projecto, pontual, proposto para realizar em casa, não
discutido na aula por falta de tempo, e que pouco peso tem na avaliação dos alunos?
Será que a abordagem destes temas compete mais a umas disciplinas do que a outras?
44
o referido documento refere que o desenvolvimento do currículo de Matemática
deve ser visto como um contributo para a promoção das competências gerais do ensino
básico e que a Matemática não pode ser trabalhada de forma isolada, nem isso está na
sua natureza, revelando potencialidades para a realização de projectos interdisciplinares.
Também salienta que uma das finalidades da Matemática é formar alunos
matematicamente competentes e enumera uma série de competências matemáticas que
todos devem desenvolver no seu percurso, ao longo da escolaridade básica. Algumas
destas competências incluem aspectos que, de certa forma, são compatíveis com os
pressupostos da perspectiva de educação matemática crítica. Exemplo:
A tendência para procurar ver e apreciar a estrutura abstracta que está presente numa situação . . . envolva ela elementos numéricos, geométricos ou ambos; A tendência para usar a matemática, em combinação com outros saberes, na compreensão de situações da realidade, bem como o sentido crítico relativamente à utilização de procedimentos e resultados matemáticos (DEB/ME, 2001, p. 57).
Apesar da importância atribuída ao pensamento crítico presente nos documentos
curriculares, certas práticas pedagógicas, ainda usuais na sala de aula, não promovem o
seu desenvolvimento. Encontramos essas práticas no ensino centrado no professor, nos
exercícios rotineiros de aplicação de conhecimentos e em todas as actividades que não
levam a uma reflexão crítica e são impeditivas de uma educação matemática crítica.
Ainda no que conceme á disciplina de Matemática, O Currículo Nacional do
Ensino Básico apresenta, para cada competência, um conjunto de aspectos a
desenvolver de forma integrada para cada unidade temática, os tipos de experiências de
aprendizagem e recursos que devem ser disponibilizados aos alunos e os aspectos
transversais da aprendizagem da Matemática.
Uma experiência matemática rica resulta essencialmente da diversidade de
tarefas apresentadas aos alunos. As actividades rotineiras de aquisição de
conhecimentos e técnicas de cálculo não garantem o desenvolvimento da competência
matemática, pelo que outras actividades devem ser propostas. A resolução de
problemas, as actividades de investigação e de exploração, a realização de projectos e a
participação em jogos são experiências que, em conjunto, podem contribuir para o
desenvolvimento dos vários aspectos da competência matemática dos alunos do ensino
45
básico (DEB/ME, 2001). No que diz respeito à resolução de problemas enfatiza o
seguinte:
A resolução de problemas constitui, em matemática, um contexto universal de aprendizagem e deve, por isso, estar sempre presente, associada ao raciocínio e à comunicação (...). Os problemas são situações não rotineiras que constituem desafios para os alunos e em que, frequentemente podem ser utilizadas várias estratégias e métodos de resolução (DEB/ME, 2001 p. 68).
Um aspecto importante da aprendizagem da Matemática é o estabelecimento de
conexões dentro e fora da Matemática (NCTM, 1991). Este aspecto é fundamental nos
primeiros anos do ensino básico, uma vez que pode modificar, de forma positiva, as
concepções que os alunos têm da disciplina. Para isso, o trabalho da aula deve
favorecer o estabelecimento de conexões entre ideias recolhidas das experiências dos
alunos no seu quotidiano e os conhecimentos matemáticos escolares. O Currículo
Nacional do Ensino Básico refere que devem ser proporcionadas a todos os alunos
actividades que permitam evidenciar e explorar conexões:
Uma componente essencial da formação matemática é a compreensão de relações entre ideias matemáticas, tanto entre diferentes temas da matemática como no interior de cada tema, e ainda de relações entre ideias matemáticas e outras áreas de aprendizagem (a música, as artes visuais, a natureza, a tecnologia, etc.). . . . Um aspecto importante será o tratamento e exploração matemáticos de dados empíricos recolhidos no âmbito de outras disciplinas, nomeadamente as de ares das Ciências Físicas e Naturais, a Geografia e a Educação Física. (DEB/ME, 2001, p. 70)
O trabalho de interpretação e concretização das propostas do currículo
enunciado "cabe aos professores, nomeadamente no âmbito de cada conselho de turma
ou de docentes e de cada departamento curricular" (DEB/ME, 2001, p. 10). Embora as
orientações curriculares apontem para a flexibilização e diversificação de experiências
de aprendizagem, as práticas lectivas de muitos docentes continuam a enquadrar-se no
"paradigma do exercício" (Skovsmose, 2000, p. 66), onde a resolução de exercícios e a
exposição de conteúdos assumem um lugar de destaque. O que poderá estar na origem
destas práticas, de certa forma desajustadas das orientações curriculares em vigor? Será
que é o facto de ainda estar em vigor (prevê-se que por pouco tempo) um programa
organizado por temas matemáticos, onde é apresentado um conjunto de conhecimentos
46
que os alunos devem alcançar, dentro de cada temática? Será que é por continuar a
prevalecer a ideia de que ao coleccionar conhecimentos de cada um dos temas da
Matemática, na forma de propriedades, definições e procedimentos, os alunos ficarão
"formados em matemática ou aptos para dar sentido às diversas coisas matemáticas que
lhes foram apresentadas como necessárias"? (Matos, 2002, p. 3)
Possibilidades de Trabalho na Perspectiva da Educação Matemática Crítica
Considerar preocupações sociais e críticas na educação matemática significa
alargar os objectivos da mesma e a metodologia utilizada. Assim, é necessário que o
posicionamento de alunos e professores face aos programas não seja de meros
consumidores, mas antes um posicionamento crítico face aos mesmos e a todo o
processo educativo. Como tal, do currículo implementado de Matemática devem fazer
parte problemáticas sociais, focadas sobretudo em situações da realidade e não em
contextos meramente escolares, de forma a fazer da aula de Matemática um espaço de
vivências com significado e pertinência para o aluno, desenvolvendo junto dele o gosto
por conhecer a realidade em que está inserido, o envolvimento e a acção crítica. Para
que seja desenvolvida uma consciência crítica é importante que os alunos assumam na
aula um papel activo, sentindo que a sua opinião é importante para a resolução de
conflitos. O aluno não pode ser um mero consumidor de opiniões e indicações dos
outros, sejam eles o professor ou os colegas.
A acção do professor de Matemática passa por promover a participação activa de
todos, proporcionando aos alunos espaços de questionamento, negociação, discussão e
tomadas de decisão no âmbito do seu próprio trabalho na sala de aula. A educação
matemática crítica implica a ligação aos interesses, entusiasmos e experiências reais dos
alunos. Assim, devem ser usados materiais autênticos para levar os alunos a identificar,
interpretar, avaliar e criticar a matemática em aplicações sociais e comerciais, em
anúncios e em discursos políticos.
Frankenstein (1998) refere que é importante estabelecer uma articulação entre a
matemática escolar e os movimentos económicos, políticos e sociais na direcção de uma
sociedade mais justa, igualitária e humana. O propósito de contribuir para uma
sociedade mais justa levou esta autora a procurar ferramentas para interpretar e desafiar
as desigualdades através do ensino da Matemática. A mesma formula quatro objectivos
para integrarem um currículo de literacia matemática crítica: (a) compreender a
47
matemática; (b) compreender a matemática do conhecimento poh'tico; (c) compreender
a política do conhecimento matemático e (d) compreender a política do conhecimento
(Frankenstein, 1998). Os quatro objectivos são ilustrados através de dados sobre o
desemprego. Trabalhar matematicamente os números associados ao desemprego através
do cálculo de percentagens ou trabalho com fracções, insere-se no objectivo de
compreender a matemática. Usar os dados do desemprego, para aprofundar a
compreensão da classe trabalhadora, insere-se no objectivo de compreender a
matemática do conhecimento político. Compreender a política do conhecimento
matemático significa neste caso concreto, analisar a escolha de quem conta como
desempregado. Compreender a política do conhecimento, significa que luta política e
estratégia estão subjacentes aos dados do desemprego e que fms podem atingir. O que é
considerado conhecimento matemático e porquê e como esse conhecimento é aprendido
na escola, são aspectos da política do conhecimento que estão integrados no currículo.
A aprendizagem de conteúdos não é desvalorizada por Frankenstein. A sua
posição defende que, a utilização de problemas de rápida resolução, através da aplicação
directa de um algoritmo, promove o fácil esquecimento ou leva a que nunca se utilize o
que é aprendido. A aprendizagem da matemática escolar deve ser realizada numa
multiplicidade de problemas complexos, que contenham uma variedade de experiências
de aprendizagem e que sejam trabalhados em contexto.
Discutir questões sociais, exige que o professor alargue o seu leque de temas a
trabalhar. Para isso é necessário procurar ideias para formular actividades e ter vontade
de as adaptar ao currículo de Matemática, com o objectivo de promover uma educação
matemática para a cidadania. Para promover o poder social e político do aluno,
Frankeinstein refere que se pode começar as aulas, por exemplo, com a leitura e
interpretação de um gráfico, uma tabela ou um pequeno texto que apresente a
matemática a trabalhar naquele dia. Os conteúdos matemáticos são abordados à medida
que surgem na discussão. Se durante a discussão surgir algum conceito matemático, não
agendado para aquela aula, é também abordado, pretendendo-se que quando chegar o
momento formalmente previsto para o ensinar, os alunos já se encontrem familiarizados
com ele.
Skovsmose (2000) propõe uma estratégia para a educação matemática numa
perspectiva crítica, cuja abordagem não se resume ao "paradigma do exercício" (p. 67),
onde se enquadra a matemática tradicional, mas inclui o "cenário de investigação no
qual os alunos são convidados a se envolverem em processos de exploração e
48
argumentação justificada" (Skovsmose, p. 66). A combinação destes dois paradigmas de
práticas de sala de aula com os contextos das questões e actividades matemáticas
caracterizam os diversos ambientes de aprendizagem. Estas questões e actividades
podem referir-se à matemática e somente a ela, à semi-realidade - realidade que não
observamos de facto e que pode ser construída pelo autor de uma tarefa matemática - e
a situações da vida real. Para Skovsmose, a mobilidade entre os vários ambientes poderá
contribuir para a acção e reflexão dos alunos numa perspectiva de educação matemática
crítica.
Minha expectativa é que caminhar entre os diferentes ambientes de aprendizagem pode ser uma forma de engajar os alunos em acção e reflexão e, dessa maneira, dar à educação matemática uma dimensão crítica (Skovsmose, 2000, p. 66).
No paradigma do exercício o professor tem o papel de dar a tarefa ao aluno e
esperar que ele a solucione, com mais ou menos ajuda. As tarefas na maioria das vezes
têm uma e somente uma resposta correcta e poucas formas de resolução. Como
alternativa ao paradigma do exercício, Skovsmose propõe uma abordagem de
investigação que convide os alunos a formularem as suas questões e a procurarem
explicações para as suas respostas. Neste âmbito, define um "cenário para a
investigação" (p. 73) como um ambiente que pode dar suporte a um trabalho de
investigação. Assim, o que pode servir como um cenário para investigação a um grupo
de alunos numa situação particular, pode não representar um convite para outro grupo
de alunos. Num cenário para a investigação os alunos são responsáveis pelo processo
(Skovsmose, 2000).
Da combinação dos paradigmas com os contextos, em que as tarefas
matemáticas se referenciam, resultam os seis ambientes de aprendizagem apresentados
por Skovsmose, na seguinte matriz:
Quadro 1. Ambientes de Aprendizagem (Skovsmose, 2000, p. 75)
Exercícios Cenário para
Investigação
Referência à Matemática Pura (1) (2)
Referência à Semi-realidade (3) (4)
Referência à Realidade (5) (6)
49
o ambiente tipo (1) engloba exercícios e algoritmos baseados unicamente em
técnicas e procedimentos formais apresentados no contexto da matemática pura, os
quais podem ser apresentados da seguinte forma: " (27a - 14b) +(23a + 5b) - 1 la = " (p.
75). O ambiente (2) inclui situações de natureza exploratória, onde os alunos têm de
fazer conjecturas, testar, reformular, discutir, mas sempre em situações desligadas da
realidade. Skovsmose caracteriza-o como "um ambiente que envolve números e figuras
geométricas" (p. 75).
O ambiente (3) refere-se a exercícios abordando situações artificiais. Um
exercício que compara o preço hipotético de determinado produto em dois
estabelecimentos comerciais serve para caracterizar este ambiente. Skovsmose ilustra
este ambiente de aprendizagem com o seguinte exemplo:
Um feirante A vende maçãs a $0,85 o kg. Por sua vez, o feirante B vende 1, 2 kg por $1,00. (a) Qual o feirante vende mais barato? (b) Qual é a diferença entre os preços cobrados pelos dois feirantes por 15 kg de maçãs? (p. 75)
O autor refere que este exercício está localizado numa semi-realidade, porque
não acredita que a pessoa que o construiu tenha feito alguma investigação empírica,
sobre a maneira como as maçãs são vendidas ou tenha entrevistado alguém, de modo a
descobrir as circunstâncias em que seria relevante comprar 15 kg de maçãs.
Skovsmose (2000) salienta que as observações acerca da maneira como a
matemática opera em situações da vida real não têm sido consideradas na elaboração de
exercícios do tipo (3). As tarefas baseadas na vida real oferecem um ambiente de
aprendizagem do tipo (5). O autor considera que a prática da educação matemática tem
estabelecido padrões específicos de como operar numa dada semi-realidade pois:
Se por exemplo, um aluno pergunta ao professor sobre a distância entre as lojas e a casa da pessoa que está indo comprar as maçãs; e se o aluno desejar descobrir que distância é possível carregar uma sacola de 15 kg e se o aluno pergunta se ambas as lojas possuem serviço de entrega ao domicilio ou não, e se podemos considerar a qualidade das maçãs das duas lojas como sendo a mesma, neste caso, o professor provavelmente considerará que o aluno está tentando obstruir a aula de Matemática (p. 76).
A resolução das questões apontadas por Skovsmose são muito eru-iquecedoras,
contudo, as mesmas já podem situar-se no âmbito das actividades do ambiente do tipo
50
(6), uma vez que articulam a investigação com a realidade. Na verdade, qualquer destes
tipos de ambientes de aprendizagem não deve ser estanque, devendo deixar-se abertura
para a discussão, de forma a transformar a aula de matemática num espaço de acção e
reflexão crítica.
Todas as tarefas com referência à realidade, oferecem uma condição diferente
para a comunicação entre o professor e os alunos, uma vez que faz mais sentido
questionar e suplementar a informação dada pelo exercício. O ambiente de trabalho do
tipo (6) expõe a realidade para o debate sem a inflexibilidade da resolução de
exercícios. As tarefas incluídas neste ambiente envolvem situações da realidade e ao
mesmo tempo situam-se no âmbito da investigação, promovendo a discussão de ideias,
a elaboração de planos, a criatividade e o sentido crítico. Skovsmose (2000) defende
que realizar um movimento das referências à matemática pura para as referências à vida
real pode ajudar a oferecer recursos para reflexões sobre a matemática e as suas
aplicações.
Ainda no que diz respeito à matriz apresentada por Skovsmose e á natureza das
tarefas matemáticas, convém salientar a importância da actividade dos alunos e do
papel do professor na sala de aula. De facto, não é a tarefa que por si só define o tipo de
actividade que os alunos desenvolvem, mas acima de tudo a forma como a mesma é
desenvolvida por alunos e professor. Desta forma, uma tarefa pode, no início,
posicionar-se no paradigma do exercício e, dependendo como os alunos a quesfionam e
reformulam, deslocar-se para o paradigma da investigação e vice-versa. Do mesmo
modo, tal como foi referido atrás, uma tarefa pode referir-se à semi-realidade e
conduzir os alunos para a reflexão e investigação de situações reais.
Através de experiências educacionais que estimulem habilidades críticas,
podemos desenvolver estratégias mais consistentes de actuação na sociedade actual. A
utilização de diversos aspectos pedagógicos que o mundo oferece, a sua análise e
discussão, o questionamento do que se lê e ouve, a análise crítica das tarefas propostas
nos manuais, o envolvimento em actividades interdisciplinares, o trabalho de grupo e o
trabalho de projecto podem constituir possibilidades de trabalho no âmbito da educação
matemática crítica.
Um currículo do ensino básico deve assegurar que todos os alunos tenham
acesso ao conhecimento e a ferramentas básicas e necessárias que os ajudem a
compreender a realidade e a participar nas transformações cultural, social e tecnológica
que acontecem na sociedade. A gestão flexível do currículo favorece esta abordagem ao
51
atribuir um papel mais activo ao professor, de intervenção e construção. Mas, se por um
lado a inovação e a mudança colocam alguns desafios, que nem sempre os professores
parecem capazes de ultrapassar, por outro "a formação, a cultura geral do professor, a
interacção que nele se estabeleça entre os conhecimentos e as valorizações pedagógicas
serão as responsáveis pelo seu papel real na mediação que o professor tem no currículo"
(Gimeno, 1992, p. 193). Pensando na educação matemática crítica, há obstáculos e
receios que condicionam as possibilidades de trabalho. Por um lado, as dificuldades de
consenso entre os professores sobre conceitos, como o sucesso ou o saber matemática, a
organização curricular e a diversificação de tarefas. Por outro, o não reconhecimento,
pelos professores, da relevância da inclusão de uma atitude crítica nas finalidades da
educação matemática e da possibilidade de inserir questões sociais e económicas no
currículo actual. Mesmo que os professores tentem ultrapassar estes obstáculos poderão
surgir outros tais como o receio do não cumprimento das planificações, a preparação
dos alunos para os exames nacionais, as pressões dos órgãos de gestão da escola e dos
pais. E ainda, o receio de surgirem assuntos que não se dominam fluentemente.
52
Capítulo 3
METODOLOGIA
A metodologia a utilizar numa investigação deve advir do tipo de problema e das
questões a que se pretende dar resposta. Neste capítulo apresento as opções
metodológicas, as principais características dos participantes do estudo e as razões para
a sua escolha. De seguida, apresento e descrevo a proposta pedagógica em que se baseia
o estudo e faço referência à forma como foi implementada. Por último descrevo como
foi feita a recolha e a análise dos dados.
Opções Metodológicas
O presente estudo tem como finalidade conhecer as potencialidades da
actividade escolar baseada em tarefas matemáticas contextualizadas na realidade e na
semi-realidade, no desenvolvimento de competências de cidadania e, também, na
aprendizagem da Matemática. Mais especificamente pretende-se saber (a) em que
medida este tipo de trabalho contribui para que os alunos desenvolvam competências de
Matemática e de cidadania crítica e participativa; (b) as dificuldades e motivações que
os alunos demonstram quando a sua actividade se centra em tarefas contextualizadas na
realidade e na semi-realidade e (c) as vantagens que eles reconhecem neste tipo de
actividades. A investigação decorre no contexto de uma experiência pedagógica em que
se valoriza a implementação de tarefas matemáticas contextualizadas na realidade.
A complexidade destes objectivos, o facto das tarefas se realizarem na aula de
Matemática, ou seja, no ambiente natural dos alunos, e a necessidade de uma descrição
e análise detalhadas do ambiente da aula e da actividade dos alunos sugerem a adopção
de uma metodologia de tipo interpretativo, baseada na recolha de dados de natureza
qualitativa. Bogdan e Biklen (1994) caracterizam da seguinte forma este tipo de
investigação: (a) a fonte de dados é o ambiente natural e o investigador é o instrumento
principal; (b) a recolha de dados é descritiva; (c) o interesse do investigador centra-se
nos processos; (d) a análise de dados tende a seguir um processo indutivo e (e) o
significado que os participantes dão às situações assume uma importância crucial.
53
Na investigação qualitativa a observação directa é uma importante fonte na
recolha de dados (Patton, 1987) pois, para além de permitir uma descrição detalhada das
actividades realizadas no decurso de determinado programa, facilita a descrição dos
participantes e do significado que eles lhe atribuem. Jorgensen (1989) considera que a
observação participante é uma forma privilegiada de recolha de dados quando se
pretende estudar quase todos os aspectos da existência humana. Esta abordagem toma-
se pertinente quando o principal interesse da investigação incide sobre a perspectiva das
pessoas que estão envolvidas na situação a observar. Assim, neste estudo desempenhei
o papel de observadora participante, uma vez que para além de investigadora era
simultaneamente professora da turma. Como professora, exerci um papel importante no
desenrolar de todo o processo. Além disso, observei discretamente as reacções dos
alunos à proposta curricular e tentei identificar todos os seus efeitos nos participantes.
A multiplicidade de factores que influenciam a actividade dos alunos durante a
realização das tarefas e a impossibilidade de os estudar isoladamente, fazem do objecto
deste estudo um fenómeno complexo. Observar e descrever em profundidade o
desempenho de todos os alunos da turma era uma tarefa difícil. Assim, optei por centrar
a minha atenção em quatro alunos, que constituem um dos grupos da turma.
O Papel de Professora e de Investigadora
O facto de ser professora da turma e investigadora constituiu-me como principal
instrumento de recolha de dados e colocou-me perante o problema: a que papel dar
prioridade? Como professora tinha que responder às necessidades de todos os alunos,
privilegiar o projecto educativo da escola, respeitar o regulamento interno e pôr em
prática as decisões oriundas do Conselho de Docentes. Como investigadora devia
preocupar-me em recolher o maior número possível de dados e estar atenta a todas as
situações relevantes para a minha investigação. Sempre achei que o professor é também
um investigador, um investigador da sua prática com o objectivo de a melhorar. Mas, a
investigação aqui relatada não visava apenas a reflexão sobre o trabalho desenvolvido
com o objectivo de o melhorar, havia também a preocupação de compreender um
problema e encontrar respostas para as questões que se colocam. Para Beillerot (2001,
citado em Ponte, 2002) as condições mínimas para que um estudo seja considerado uma
investigação são (a) produzir conhecimentos novos, para o actor da investigação; (b) ter
uma metodologia rigorosa e (c) ser pública.
54
Ponte (2002) salienta ainda que os professores, envolvidos nas situações que se
pretendem estudar, estão em condições privilegiadas para fornecer uma visão de dentro
da escola sobre as suas realidades e problemas. Assim, o facto do professor ser
simultaneamente professor e investigador pode trazer vantagens para o sucesso escolar
dos alunos e para a investigação. A ideia do professor ser simultaneamente investigador
não é nova, Alarcão (2001) refere-se a ela, como tendo origem com Lawrence
Stenhouse em 1975. Alarcão defende ainda que um bom professor tem de ser também
investigador, em íntima relação com a sua função de professor. Este paradigma coloca o
professor perante a possibilidade de reflectir sobre a sua prática e de se interrogar sobre
as aprendizagens dos alunos.
Participantes
Os participantes neste estudo são uma turma do 6°ano de escolaridade, de
uma escola situada na Zona Metropolitana de Lisboa. É feito um estudo mais
pormenorizado de um grupo de quatro alunos desta turma.
A Escola
A escola situa-se na zona norte da Área Metropolitana de Lisboa, tem 979
alunos dos 2° e 3° ciclos do ensino básico, distribuídos por 44 turmas. Funciona em
regime diurno, com dois turnos. O turno da manhã tem início às 8H30m e termina às
12H45m. O turno da tarde tem início às 14H00 e termina às 18H15m. Em termos
físicos, é constituída por cinco blocos; confronta-se com o problema da falta de
instalações, face ao número de alunos existentes, nomeadamente salas de aula e
espaços para o trabalho individual dos professores. O espaço que oferece maior
diversidade de meios é a Biblioteca/ Centro de Recursos Educativos, que possui
alguns computadores com ligação à Internet, televisões, vídeos, um espaço de leitura
com uma biblioteca classificada, um espaço para trabalho autónomo, com material de
apoio para as diversas disciplinas, dossiers temáticos e uma fotocopiadora.
A população estudantil apresenta uma grande diversidade sociocultural,
coexistindo alunos oriundos de zonas rurais e urbanas, de bairros onde predomina a
55
classe média e de bairros com estatuto sócio-económico e cultural baixo. Há uma
grande heterogeneidade racial, com destaque para a comunidade de origem africana, no
essencial constituída por crianças, ainda, com alguns problemas de integração social e
com dificuldades no domínio da Língua Portuguesa. Ultimamente a escola tem recebido
alunos de origens mais diversas - Ásia, Europa de Leste e América do Sul - e para
quem o português não é ainda uma língua de comunicação.
Para além da heterogeneidade atrás referida, há ainda a acrescentar que alguns
alunos que frequentam a Escola apresentam necessidades educativas especiais. Para
melhorar a integração de todos estes alunos, prestar-lhe apoio a si e às famílias, existem
na escola Serviços de Psicologia e Orientação, uma Equipa de Apoios Educativos e um
Gabinete de Apoio ao Aluno e à Família. Além disso, a escola dinamiza vários clubes e
projectos no sentido de assegurar o acompanhamento eficaz do percurso escolar dos
alunos na perspectiva da promoção da qualidade educativa (Projecto Educativo da
Escola).
No projecto educativo da escola (PEE), para o ano lectivo em que foi feito este
estudo, estão definidas cinco finalidades entre as quais se destaca a Educação para os
Valores e para a Mudança. Neste âmbito pretende-se:
Contribuir para a formação de cidadãos autónomos, tolerantes e responsáveis; (...) ^ fomentar a participação dos alunos (PEE, p. 11).
A proposta curricular enquadra-se no projecto educativo da escola e pode
constituir um meio de alcançar as finalidades atrás referidas.
A Turma
A turma do 6°ano que participa no estudo é constituída por 23 alunos, 12 do sexo
masculino e 11 do sexo feminino. A média das suas idades é 11 anos. Todos os alunos
estão a frequentar o 6°ano pela primeira vez e no ano anterior pertenciam todos à
mesma turma, à qual eu também leccionei, em dois períodos lectivos. No 1° ciclo não
pertenceram à mesma turma.
Os Encarregados de Educação, na sua maioria eram as mães, possuíam
habilitações literárias diferentes: 13% (3) tinha o l"* ciclo, 13% (3) o 2° ciclo, 26 % (6) o
3° ciclo 39% (9) o ensino secundário e 9% (2) o ensino superior. Nove alunos tinham
56
um plano de apoio, por apresentarem dificuldades específicas numa ou em várias
disciplinas, e três tinham aulas de apoio pedagógico acrescido na disciplina de
Matemática. Dois tinham necessidades educativas especiais e são avaliados ao abrigo do
Decreto-lei 319/91.
No dia-a-dia da turma não havia casos graves de indisciplina. O aproveitamento
escolar era satisfatório, observando-se alguma heterogeneidade no que diz respeito à
expressão escrita, à interpretação de textos e à competência matemática. Ao nível da
disciplina de Matemática, em termos gerais, os alunos revelavam um nivel satisfatório
na compreensão de conceitos, mas tinham algumas dificuldades na resolução de
problemas e em tarefas que implicavam a descoberta, a exploração e a consequente
realização de raciocínios a um nível mais elevado.
No início da experiência, quando foram questionados sobre o que gostavam mais
de fazer nas aulas de Matemática, referiram que gostavam de fazer contas, problemas,
jogos e de esclarecer dúvidas. Também referiram alguns conteúdos de Geometria.
O Projecto Curricular desta turma apontava como metodologias adequadas às
necessidades educativas dos alunos as seguintes:
• Trabalho individual, em pares e em grupo; • Trabalho experimental com base na descoberta; • Organização de situações de aprendizagem que visem a leitura/ interpretação de textos, expressão oral e escrita; • Resolução de problemas; • Utilização de técnicas preventivas para evitar comportamentos pouco adequados ao normal funcionamento da aula tais como . . . manter os alunos empenhados/ interessados nas tarefas.
o (Projecto Curricular da Turma, 2005/2006 p. 4)
As características da turma e as metodologias apontadas no seu Projecto
Curricular justificam a implementação desta proposta pedagógica. Acrescenta-se ainda
o facto de ser a única turma do 6° ano a que eu leccionava, nesse ano lectivo.
O Grupo
Para um estudo mais aprofundado seleccionei um grupo constituído por dois
rapazes e duas raparigas: o Diogo, o Pedro, a Carolina e a Diana. As razões que me
levaram a optar por este grupo foi a sua heterogeneidade em termos de aproveitamento
escolar em Matemática. No 1° período, na avaliação sumativa, referente à disciplina de
57
Matemática o Diogo obteve Nível 3, o Pedro Nível 2, a Carolina Nível 4 e a Diana
Nível 5.
Os alunos formavam um grupo simpático e bem disposto, tendo conseguido
conciliar o trabalho com momentos de boa disposição. O Diogo é um aluno
aparentemente bastante activo e que demonstra algum interesse pelas actividades das
aulas, apesar de investir pouco no estudo e na realização das tarefas, das diferentes
disciplinas. Apresenta algumas dificuldades na expressão escrita, na interpretação de
enunciados orais e escritos e no domínio do cálculo. No início da experiência, quando
foi questionado sobre o que gostava mais de fazer nas aulas de Matemática referiu que
gostava de fazer problemas e exercícios. Quando lhe foi pedido que escrevesse
argumentos que justifiquem a inclusão da Matemática no 6°ano limitou-se a escrever
que ela é "muito necessária" (Questionário 1).
Em casa, para estudar matemática, pede á mãe que lhe faça uns "testezinhos com
toda a matéria", o que só acontece nas vésperas das fichas de avaliação, nos restantes
dias apenas realiza os trabalhos de casa e lê no manual. Quando, no início da
experiência, foi questionado sobre a sua participação nas aulas referiu que, se os
professores atribuíssem maior peso a este parâmetro, tirava pior nota porque o seu
comportamento nem sempre é o mais adequado e por vezes se esquece de levantar o
braço (Conversas Informais). De referir que a participação nas aulas parece ser
encarada, por este e pelos restantes alunos do grupo, como a frequência de intervenções
orais.
O Pedro, apesar da sua vontade em participar, distrai-se com alguma facilidade e
está sempre pronto para amenizar o trabalho com uma "gracinha" e, por vezes, desvia os
colegas para assuntos extra-aula. Afirmou que nas aulas de Matemática gosta de "fazer
contas, fichas com vários exercícios e jogos" e não escreveu qualquer argumento que
justifique a importância da Matemática (Questionário 1).
Em casa estuda pouco, apenas faz os trabalhos de casa e, tal como referiu, nem
sempre. Por vezes o pai estuda com ele, verifica-lhe os trabalhos de casa e nos
problemas diz-lhe "qual é a conta". Refere que se os professores atribuíssem maior peso
á participação na aula tirava as mesmas notas ou pior porque "é um bocadinho malandro
e às vezes gosta de dar uns à partes mas, quando sabe, levanta o braço" (Conversas
Informais)
A Carolina é uma aluna trabalhadora e participativa. Intervém nas actividades
por iniciativa própria e de forma organizada. Tem muita facilidade em comunicar
58
oralmente. Gosta das aulas de Matemática "quando fazemos exercícios em grupo,
quando corrigimos os trabalhos de casa e quando tiramos dúvidas" (Questionário 1).
Acha que a matemática é importante porque no futuro faz falta para entrar na
universidade e arranjar emprego (Questionário 1). Em casa, para estudar Matemática diz
que faz exercícios e lê as páginas onde está a matéria e que normalmente estuda
sozinha. Referiu que prefere estudar sozinha porque quando estuda com colegas se
distrai facilmente e que se os professores valorizassem mais a participação na aula que
os outros parâmetros, ela tirava piores notas porque se expressa melhor a escrever do
que a falar e que, apesar de gostar de falar, tem medo que esteja mal.
A Diana é uma aluna muito estudiosa e empenhada nas tarefas da aula e nas que
são propostas para realizar em casa. No estudo tem o apoio de um irmão que frequenta o
ensino superior. Quer entrar para o curso de medicina, pelo que se esforça para tirar
bons resultados. Quando foi questionada sobre o que mais gostava de fazer nas aulas de
Matemática mencionou quase todos os conteúdos que foram abordados no 5°ano.
Referiu que preferia as aulas em que os professores explicavam e depois os alunos
faziam exercícios em detrimento daquelas em que os alunos tinham de descobrir por
eles próprios. Considera que "a Matemática é importante para calcular o IRS, quando se
vai às compras ou para frequentar um curso que exija Matemática" (Questionário 1), dá
o exemplo de Gestão Financeira. Para estudar Matemática, a Diana disse que fazia
exercícios que o irmão lhe passava e que revia as matérias dadas e que o segredo para se
ser um bom aluno é estar atento nas aulas. A Diana afirma que, se os professores na
avaliação atribuíssem mais peso à participação na aula, teria pior nota porque gosta mais
de estar calada e fica nervosa quando tem que participar oralmente (Conversas
Informais).
Relativamente às características sócio-económicas dos alunos, nomeadamente às
profissões dos adultos que fazem parte dos seus agregados familiares é de referir que o
pai do Diogo é electricista e a mãe trabalha nos serviços municipalizados. Tem um
irmão de quatro anos. A Mãe da Carolina trabalha numa papelaria e o pai trabalha numa
empresa de aluguer de automóveis; tem uma irmã de vinte anos, estudante. O pai da
Diana é mecânico e a mãe é doméstica. A Diana tem um irmão de dezoito anos,
estudante. O Pedro não tem irmãos, o seu pai é cozinheiro e a sua mãe empregada de
balcão.
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Questões Éticas
O desenvolvimento de uma investigação parte do consentimento informado e da
protecção dos participantes contra qualquer espécie de danos. Assim, no início do ano
solicitei autorização ao Conselho Executivo da Escola para realizar este estudo. De
seguida informei os alunos sobre o que pretendia fazer e conversei com eles para
averiguar se estavam dispostos a participar.
Numa reunião informal com o Director da Turma informei-o da minha pretensão
e dos objectivos do estudo. O pedido de autorização aos Encarregados de Educação foi
feito numa reunião ordinária de Encarregados de Educação com o Director de Turma.
Nesta foi feita uma descrição do estudo, indicando os seus objectivos, opções
metodológicas e o que seria feito com os resultados. Todos os Encarregados de
Educação concordaram com a participação dos seus educandos.
Também se solicitou a autorização para a realização das entrevistas aos quatro
alunos do grupo. Foi garantido o anonimato dos alunos atribuindo-se-lhe um
pseudónimo, para efeitos de elaboração de trabalhos sobre a investigação, o dos
participantes entrevistados foi escolhido por eles, na altura das entrevistas.
A Proposta Pedagógica
A investigação baseia-se na implementação de uma proposta pedagógica onde se
valorizam as tarefas matemáticas com referência à realidade (Skovsmose, 2000). A
proposta pedagógica tem como objectivo o desenvolvimento da competência
matemática, enunciada nos documentos de orientação curricular, e a promoção da
educação para a cidadania, por se tratar de uma área transversal do currículo. É
constituída por um conjunto de tarefas que foram elaboradas por mim, inspirada na
minha prática como professora, em manuais escolares, na rotina diária e em
informações da comunicação social. Incide sobre duas unidades didácticas do programa
de matemática do 6°ano - Proporcionalidade Directa e Estatística - e procura
operacionalizar as orientações curriculares para o ensino destas temáticas.
60
As Tarefas
As tarefas que propus aos alunos foram escolhidas de um leque mais alargado de
tarefas concebidas por mim, no início da investigação. Escolhi aquelas que na minha
opinião se integravam melhor no processo de ensino e aprendizagem que estava a
decorrer e que apresentavam uma sequência dos temas a abordar ao nível da
Matemática.
Algumas tarefas destinavam-se a explorar e aplicar conceitos matemáticos,
outras a motivar os alunos para a aprendizagem de novos temas. No Quadro 2 apresento
a relação que existe entre as tarefas, os conteúdos no âmbito da Matemática e os temas
respeitantes á educação para a cidadania que podem ser explorados.
Quadro 2. Conteúdos matemáticos e temas respeitantes à educação para a cidadania inerentes às tarefas propostas.
Tarefas Temas específicos da Matemática
Educação para a Cidadania
1-0 consumo Proporcionalidade directa Grandezas directamente
proporcionais
Vantagens e desvantagens das promoções. Saber escolher.
2 -0 consumo Constante de
proporcionalidade Consequências do desperdício de água. Leitura de uma factura/recibo da água.
3-Vamos aos saldos! Motivação para o estudo das
percentagens Significado da percentagem
num dado contexto
Vantagens e desvantagens dos saldos para o consumidor e para os vendedores.
4-Aumentos salariais Significado da percentagem
num dado contexto Resolução de problemas
com percentagens
Justiça social: proporcionalidade dos aumentos salariais. Actualidades.
5-Os recibos do supermercado
Resolução de problemas com percentagens
Justiça social: variação das taxas do IVA, consoante os produtos.
6-Orçamento familiar dos portugueses Gráficos circulares
Despesas das famílias portuguesas. Causas e consequências de determinadas despesas familiares.
7-Evolução da população residente em Portugal
Interpretação de gráficos de barras
Evolução da população residente em Portugal: Causas e Consequências. A imigração: vantagens e desvantagens.
8- 0 consumo Apresentação da informação Média aritmética
Leitura e interpretação de facturas recibos. Os cidadãos e a competência matemática. Diferença de direitos no que diz respeito ao acesso à informação.
9 e 10 - As aparências iludem!
Erros na construção de gráficos
As medidas de tendência central
Os abusos da Estatística Publicidade enganosa Manipulação da informação. A necessidade de se ser um consumidor atento.
61
As primeiras cinco tarefas enquadram-se na temática da proporcionalidade
directa, as últimas quatro enquadram-se na estatística e a Tarefa 6 abrange assuntos
relacionados com as duas temáticas. Apesar dos assuntos mencionados, estas tarefas
podem proporcionar a abordagem de outros temas, consoante o contexto da aula e as
questões colocadas pelos alunos.
Implementação da Proposta Pedagógica
Os alunos trabalharam habitualmente em grupos de três e quatro alunos. Nas
aulas de Matemática era habitual os alunos trabalharem em pares, pelo que, na formação
dos grupos tive em atenção as indicações dadas pelos docentes que leccionam a Área de
Projecto, onde os alunos habitualmente trabalham em grupos, com este número de
elementos. Assim, mantiveram-se os grupos de trabalho das aulas de Área de Projecto,
cujo critério de formação foi o relacionamento/aceitação dos alunos e a heterogeneidade
em termos de desempenho escolar. Na Tarefa 6 os alunos trabalharam em pares, devido
às características da mesma e ao facto de serem apresentadas questões de resposta mais
fechada e integrar uma questão que convida a uma resposta individual. A Tarefa 3 foi
realizada em grande grupo.
A carga horária semanal dos alunos era dois blocos de 90 minutos e um bloco de
45 minutos. As primeiras seis tarefas foram implementadas após ter leccionado quatro
aulas onde foram abordados os conceitos de razão, proporção e proporcionalidade
directa. Após a realização da Tarefa 6 realizaram-se algumas actividades no âmbito da
Estatística, nomeadamente, um estudo estatístico sobre os níveis atingidos pela turma na
disciplina de Matemática, no primeiro período, a partir do qual se abordaram os
conceitos de moda e média e se construíram gráficos. De seguida implementaram-se as
Tarefas 7, 8 ,9 e 10.
A realização das tarefas, basicamente efectuada em grupos, iniciava-se por uma
pequena introdução da qual constava (a) por vezes, a leitura do enunciado feita por mim
em voz alta, (b) a indicação dos materiais a utilizar e (c) algum esclarecimento
necessário sobre a forma como os alunos iam trabalhar e apresentar os resultados. Na
realização dos problemas os alunos podiam utilizar a máquina calculadora, se dela
necessitassem.
62
Durante o trabalho em grupo o meu papel foi circular pelos diferentes grupos
dialogando com os alunos. Quando me solicitavam qualquer esclarecimento, desafiava o
seu pensamento com novas questões.
Após o trabalho de grupo era feita a apresentação das respostas acompanhada de
uma discussão colectiva com o objectivo de (a) dar a conhecer o ponto de vista dos
diferentes grupos, (b) promover o confronto de ideias e proceder á sua clarificação, (c)
levantar questões que não surgiram durante a realização da tarefa e (d) esclarecer
dúvidas relacionadas com a compreensão de conceitos matemáticos.
No final da realização de cada tarefa os alunos faziam a auto-avaliação do seu
trabalho que consistia num balanço das aprendizagens efectuadas e das dificuldades
sentidas na realização da tarefa (Questionário 2).
No final da experiência foi proposto aos alunos que imaginassem uma carta a um
amigo a contar como decorreram as aulas de Matemática e como se sentiram durante as
mesmas.
Recolha de Dados
A recolha de dados decorreu durante o segundo período do ano lectivo
2005/2006. Com o intuito de obter um conjunto de dados que me permitissem um
estudo aprofundado da problemática e formar uma eventual resposta às questões que ela
originou, procurei seguir as recomendações de Yin (1989) e Tuckman (1994), no
sentido de que é importante recorrer a múltiplas fontes de evidência, nomeadamente
entrevistas, documentos, questionários, notas, diários e observação dos fenómenos em
acção. Os dados obtidos de diversas fontes podem permitir uma abordagem a partir de
diferentes perspectivas podendo ser utilizados também para se complementarem. Assim,
os instrumentos de recolha de dados usados nesta investigação são de quatro tipos: (a)
documentos escritos produzidos pelos alunos; (b) questionários realizados a todos os
alunos da turma; (c) entrevistas feitas aos alunos do grupo que se estudou mais
aprofundadamente; (d) gravações áudio das aulas e (e) diário de bordo com notas de
campo feitas pela investigadora, com base na observação das aulas e em conversas
informais tidas com os alunos.
O Quadro 3 apresenta a relação existente entre as questões do estudo e os
métodos de recolha de dados utilizados.
63
Quadro 3. Questões do estudo e método de recolha de dados
Questões Objecto de Estudo Técnicas e Instrumentos de Recolha de Dados
Em que medida o trabalho escolar em Matemática, baseado em tarefas com referência à realidade, contribui para desenvolver: a) 0 espírito crítico; b) uma dimensão de cidadania
democrática?
Tarefas Tipo de questões
Aspectos relacionados com a prática da sala de
aula
Observação Registo áudio das aulas Notas de campo
Que dificuldades e motivações demonstram os alunos quando a sua actividade se centra em tarefas matemáticas com referência à realidade e à semi-realidade?
Práticas dos Alunos Perspectiva dos Alunos
Entrevista semi-estruturada (4 alunos) Observação das aulas em que os alunos realizam este tipo de tarefas Documentos -Questionário de auto-
avaliação.
Que vantagens/desvantagens os alunos reconhecem na concretização de tarefas com referência á realidade e à semi-realidade? De que modo este tipo de tarefas são percebidas e valorizadas pelos alunos?
Perspectiva dos Alunos
Questionário
Documentos (carta a um amigo a realizar no fmal da proposta pedagógica)
Entrevista semi-estruturada (4 alunos)
Poderão estas actividades proporcionar, simultaneamente, o sucesso na disciplina de Matemática e o desenvolvimento de competências de cidadania?
Actividade dos alunos em contexto
Observação das aulas. Análise documental. - Resoluções das tarefas
Documentos Produzidos Pelos Alunos
Na investigação qualitativa, em especial nos estudos "em que a tónica principal é
a observação participante ou a entrevista" (Bogdan e Biklen, 1994, p. 176), uma das
formas de obter dados é analisar os materiais escritos pelos participantes. Os
documentos são uma fonte de recolha de dados usada em quase todo o tipo de estudos
interpretativos, o seu uso é sobretudo importante uma vez que permite corroborar e
confirmar a evidência sugerida por outro tipo de fontes de dados (Yin, 1989).
Resolução das Tarefas
Decorrendo este estudo da implementação de uma proposta pedagógica, da qual
faz parte um conjunto de tarefas que se pede aos alunos que resolvam, os documentos
escritos produzidos por eles constituem um tipo importante de dados para o investigador
64
analisar. Assim, foram pedidas as produções escritas de todos os grupos, nas aulas em
que realizaram estas tarefas. Estas, para além de constituírem um conjunto de dados,
serviram, em alguns casos, para auxiliar os momentos de discussão colectiva, quando os
mesmos ocorriam na aula a seguir à sua concretização.
Carta a um Amigo
No fmal da experiência, na aula destinada à realização da auto-avaliação fmal do
período, foi pedido a todos os alunos que, individualmente, escrevessem uma carta a um
amigo (anexo 12) sobre a forma como decorreram as aulas de Matemática. Através
deste instrumento pretendia-se recolher dados sobre a forma como os alunos encararam
a experiência vivida. Por se tratar de uma "questão" de resposta não-estruturada, e por
se ter dado bastante tempo aos alunos, criaram-se condições para que estes realçassem
os aspectos que consideraram mais importantes ao longo da experiência, permitindo ter
mais confiança nos dados recolhidos.
Questionários
Os questionários podem fornecer dados que a observação das aulas e as
entrevistas aos alunos não permitem obter. São um recurso indicado quando se pretende
ter como informantes um conjunto numeroso de pessoas e as condicionantes de tempo
inviabilizam o recurso à entrevista (Varandas, 2000).
Para a realização deste estudo elaborei dois questionários, um para ser aplicado
no princípio da investigação e outro no final das aulas em que os alunos realizaram as
tarefas.
O primeiro questionário (anexo 10) tem como objectivo diagnosticar o que os
alunos gostam mais de fazer nas aulas e a importância que os alunos atribuem à
Matemática, enquanto disciplina do currículo do ensino básico.
O segundo (anexo 11) tem como objectivo reunir dados que ajudem
compreender como é que as tarefas são percebidas pelos alunos e possibilitar um
diagnóstico mais completo das dificuldades sentidas na realização das mesmas. É
constituído apenas por dois itens. Num pretende-se que os alunos reflictam e escrevam
o que, eles acham, que aprenderam na(s) aula(s) em que a sua actividade se baseou
numa dada tarefa, no outro pretende-se que registem as dificuldades que sentiram.
Chamei-lhe por isso Auto-avaliação do Trabalho da Aula.
65
Entrevistas
As entrevistas, utilizadas de várias formas por diversos investigadores,
desempenham um papel importante na investigação qualitativa (Léssard-hérbert; Goyett
& Boutin, 1990). Tuckman (1994) considera-as como "um dos processos mais directos
de encontrar informações sobre um determinado fenómeno" (p. 517) e que as respostas
dos entrevistados vão reflectir as suas percepções e interesses.
Neste estudo as entrevistas constituíram um papel importante na recolha de
dados, pois as questões formuladas requeriam informações sobre alguns aspectos da
actividade dos alunos, o conhecimento das suas perspectivas e dos significados que
atribuem à experiência. Os dados recolhidos nas entrevistas realizadas no final da
experiência ajudaram a complementar os recolhidos durante as aulas. A entrevista
principal desta investigação foi realizada no final da experiência a cada um dos quatro
alunos do grupo em estudo. Optei pela entrevista semi-estruturada, ou seja orientada, a
partir um guião para que os alunos pudessem falar mais à vontade, sem estarem
submetidos a um interrogatório. O guião desempenhou a função apontada por Patton
(1987) de garantir que todos os tópicos fossem abordados na entrevista, permitindo
explorar mais proflmdamente algumas questões de acordo com o rumo do diálogo com
o entrevistado. As entrevistas foram gravadas em áudio e posteriormente transcritas na
totalidade.
Conversas Informais
No início da concretização da proposta pedagógica, havia um conjunto de
aspectos que considerava necessário conhecer, relativamente aos alunos do grupo que
pretendia estudar mais pormenorizadamente. Por isso, elaborei um conjunto de questões
para abordar em conversas informais. Os aspectos relevantes das conversas informais
foram registados como notas de campo. Contudo, as que aconteceram no final das aulas
também foram gravadas.
Notas de Campo
As notas de campo constituíram informações auxiliares tanto na recolha como na
análise de dados. Como desempenhei o papel de professora e investigadora a maior
parte das mesmas foram redigidas no final de cada aula e incluem aspectos das aulas ou
66
comentários, que os alunos fizeram e que me chamaram a atenção, ideias e
preocupações que me ocorreram durante as mesmas. Também elaborei notas de campo
de conversas informais tidas com os alunos nos intervalos das aulas.
Segundo Bogdan e Biklen (1994) estes registos são essenciais para que um
estudo qualitativo seja bem sucedido. Para isso é fundamental que o investigador
observe e registe sistematicamente, tentando fazê-lo o mais objectivamente possível.
Este registo sistemático evita que as observações, ficando apenas na memória do
investigador, percam objectividade com o decorrer do tempo (Varandas, 2000). A parte
descritiva das notas de campo funcionou como um arquivo com informações bastante
fidedignas acerca do ambiente natural onde decorreu a sessão e das pessoas nela
envolvidas.
Gravações Áudio
As situações vividas pelos alunos, durante a realização das tarefas e na
apresentação e discussão dos trabalhos, são bastante complexas e a sua observação
obriga ao registo de todas as ocorrências. Por conseguinte, não é fácil conciliar a fiinção
de professora com a de observadora. Para minimizar esta dificuldade, recorri a outros
instrumentos de observação, nomeadamente, a um gravador áudio colocado na mesa de
trabalho do grupo de alunos que pretendia estudar mais pormenorizadamente. Contudo,
nos momentos de discussão colectiva este instrumento era colocado em local
estratégico.
Os registos em áudio, proporcionados pelo gravador, constituíram um conjunto
de informações sempre disponível para o esclarecimento de qualquer dúvida acerca do
que se passou na aula. Além disso, libertaram-me o receio de deixar passar algo de
importante no grupo em estudo, enquanto trabalhava com outros grupos, aumentando
assim a minha disponibilidade para atender às solicitações de todos os alunos. A
transcrição das interacções, que os alunos mantiveram durante a realização das tarefas e
nas discussões colectivas, permitiu-me conhecer os êxitos e as dificuldades que estes
sentiram e o modo como as ultrapassaram, proporcionando-me uma melhor
compreensão da sua actividade.
67
Análise de Dados
A análise dos dados começou ainda antes de terminar a sua recolha. A reflexão
no fmal de cada aula, a elaboração de notas de campo, a leitura dos trabalhos dos alunos
(resolução das tarefas, auto-avaliação do trabalho da aula, carta a um amigo) podem ser
considerados os primeiros passos da análise. Mas, a maior parte dos registos áudio das
aulas só foi transcrita quando terminou o trabalho de campo.
Após a transcrição dos registos das primeiras aulas, já mais familiarizada com as
vozes dos alunos, procedi a uma nova audição dos mesmos, o que me permitiu melhorar
as primeiras transcrições, onde alguns diálogos tinham ficado incompletos. Por último
transcrevi a entrevista que fiz aos alunos no final da experiência.
Feitas as transcrições dos registos áudio, procedi a uma leitura cuidadosa de todo
o material que possuía: transcrições das aulas e das entrevistas, notas de campo e
trabalhos dos alunos. De seguida voltei a ler as notas de campo e as transcrições das
aulas e fiz uma descrição analítica da actividade dos alunos, tendo em atenção o
problema e as questões da investigação. Tentei identificar episódios que mostram como
os alunos abordam as tarefas e como se mobilizam para a sua resolução, que atitudes
demonstram, o que discutem, como contribuem para a discussão, que questões colocam,
que conhecimentos mobilizam, com que dificuldades se deparam e como as resolvem.
Nos documentos escritos identifiquei excertos que contivessem aspectos
relacionados com as questões do estudo. As aprendizagens e as dificuldades que os
alunos registaram no documento (questionário) relativo á auto-avaliação do trabalho da
aula foram agrupadas em categorias.
Na última fase da análise fiz o cruzamento de todos os dados, tentando encontrar
relações nas diversas categorias, com o objectivo de compreender globalmente o
fenómeno. A compreensão dos sentimentos dos alunos face à proposta foi feita através da
análise de episódios ocorridos nas aulas, das opiniões que exprimiram nos documentos
escritos (carta a um amigo e questionário) e da entrevista realizada aos quatro alunos, no
final da experiência.
A tarefa de interpretar os dados recolhidos na investigação foi um trabalho bastante
demorado, dada a diversidade de instrumentos que utilizei e a enorme quantidade de dados
úteis de que dispunha para a problemática da investigação.
68
Capítulo 4
EDUCAÇÃO PARA A CIDADANIA NA SALA DE AULA DE MATEMÁTICA
Neste capítulo, apresento os aspectos gerais da concretização da proposta
pedagógica na turma e descrevo com maior pormenor o trabalho desenvolvido por um
grupo de alunos. De seguida, discuto em que medida esta proposta contribuiu para
promover competências de cidadania e as suas potencialidades na aula de Matemática.
Posteriormente apresento a perspectiva dos alunos sobre a experiência.
Desenvolvimento da Proposta Pedagógica
Tarefa 1 - O Consumo
A tarefa 1 (anexo 1), relacionada com o consumo, foi construída a partir de uma
situação real, dado que o anúncio da promoção vinha num folheto publicitário,
distribuído por um hipermercado do concelho onde os alunos vivem. Na imagem do
produto apenas foi realçado o seu prazo de validade, o qual terminava três dias após a
data prevista para a realização da tarefa.
Esta tarefa tinha como objectivos (a) reconhecer situações onde existe
proporcionalidade directa e situações onde isso não acontece e (b) mobilizar
conhecimentos, incluindo o conhecimento matemático, para tomar decisões relativas á
aquisição de um produto em promoção. A pertinência da mesma deve-se à necessidade
da escola, e especificamente da educação matemática, proporcionar aos alunos a
oportunidade de reflectirem sobre a importância de uma leitura crítica da publicidade.
Concretização da Tarefa
Na turma
Após a distribuição das fotocópias da tarefa, procedi á leitura da mesma e os
grupos começaram a trabalhar. Leram individualmente o enunciado e alguns tiraram
69
uma folha de rascunho para elaborarem as respostas. Salientei que poderiam fazer tudo
na ficha, a qual me entregariam no fmal da aula. Os alunos demoraram algum tempo a
iniciar a tarefa. Ao passar pelos grupos referi que, se representassem os dados numa
tabela, talvez fosse mais fácil analisar a situação. Três grupos adoptaram esta estratégia.
Relativamente à primeira questão, que pedia para averiguar se a situação
apresentada era ou não uma situação de proporcionalidade directa, apenas um grupo não
conseguiu responder. Alguns foram consultar o manual e o caderno diário e só depois
deram a resposta. Três grupos apresentaram os dados numa tabela. Para dar resposta à
questão, quatro grupos calcularam o quociente entre os valores correspondentes às duas
grandezas e responderam que não havia proporcionalidade directa, porque o quociente
não era constante, e dois grupos usaram relações aditivas. Alguns fizeram de ambas as
formas e depois apagaram uma. Um dos grupos respondeu que o preço não era
directamente proporcional ao número de pacotes porque "3 pacotes de natas não custam
2,49 euros, custam 3,45 euros" (Grupo II). Ao passar por este grupo vi a sua resposta e
questionei-os:
Professora: Não custam 2,49 euros? Ora olhem para a figura! É uma promoção! Está lá escrito que 3 pacotes custam 2,49 euros. Daniela: Então enganaram-se! A s'tora enganou-se!
Este grupo achou que houve um engano na escrita dos preços e que o preço de
três pacotes de natas não podia ser 2,49 euros. A sua resposta e as observações de
alguns alunos demonstraram que não conheciam a existência de promoções e o seu
funcionamento ou interpretaram superficialmente a questão e não reconheceram que a
situação representada era real.
Na segunda questão, pedia-se aos alunos a opinião sobre a aquisição ou não
deste produto em promoção. Observei que, no geral, os grupos discutiram pouco a
situação, levantaram poucas questões e consequentemente deram respostas curtas, tais
como:
Grupo I: Sim porque na promoção tem de se pagar dois pacotes e recebe-se um grátis. Mas 2,49 euros a dividir por 3 é 0,83 euros, o que significa que ao aceitar a promoção paga-se menos por pacote. Grupo 11: Sim, porque paga-se menos na promoção;
Grupo III: Sim. Porque levar 3 só custa mais 19 cêntimos do que 2 e se precisar de mais algum não é preciso ir comprar porque já tem.
70
Grupo IV: Sim. Porque o preço está mais barato e quando não tiver [sic] promoção o preço vai aumentar. Grupo V: Nós achamos que não. Porque apezar [sic] de dizer leve 3 pague 2 o terceiro pacote não é totalmente grátis e depois as natas podem-se estragar. Grupo VI: Sim, pode levar 3 pelo preço de 2.
Alguns grupos não verificaram que, nesta situação, três pacotes de natas
custavam mais que dois e que por isso o slogan Leve 3 pague 2 não era totalmente
verdadeiro, o que demonstra que nem sempre os alunos utilizam a matemática como um
recurso para a resolução de problemas de contextos não matemáticos, mesmo sendo
uma actividade de sala de aula.
Nesta tarefa, os alunos estiveram sempre motivados a trabalhar e quase não
solicitaram o meu apoio. Contudo, revelaram pouca capacidade de análise crítica e de
argumentação. Alguns não utilizaram o conhecimento matemático para elaborar uma
resposta e ignoraram alguns aspectos fimdamentais na tomada de decisão, tais como:
necessidade do produto, prazo de validade e dinheiro disponível.
Na auto-avaliação do trabalho da aula, realizada no final da discussão colectiva
da tarefa, referiram que tiveram dificuldade em escrever aquilo que queriam dizer, facto
que eu observei em alguns grupos, os quais me chamaram para eu validar a sua resposta
e de seguida me perguntaram como escreviam o que estavam a exprimir oralmente.
Perante esta questão eu respondi: "escrevam o que me estão a dizer". Alguns alunos
mencionaram dificuldades na compreensão e/ou na resolução do problema. Quatro
alunos afirmaram terem sentido dificuldades na segunda questão: "Vou necessitar de
dois pacotes de natas. Achas que devo aproveitar a promoção? Porquê?". Os alunos
estavam habituados a questões de resposta fechada ou de resposta aberta mas com
aplicação directa dos conhecimentos escolares da disciplina. Nesta questão podiam
utilizá-los ou não. Esta liberdade de resposta e o facto de não estarem familiarizados
com este tipo de questões poderá justificar as dificuldades que os alunos dizem que
sentiram.
No grupo
O grupo demorou algum tempo a iniciar a tarefa. Começaram por ler novamente
o enunciado, tiraram uma folha de rascunho e uma régua para fazer as linhas na folha do
enunciado e só depois começaram a trabalhar. Na Questão 1.1, o Pedro começou por
71
fazer adições de parcelas iguais. Surgiram alguns desentendimentos no grupo.
Questionados sobre o que se estava a passar, a Carolina retorquiu: "S'tora o Pedro está
para ali a fazer contas de mais e então eu tenho que lhe ensinar de outra forma". Ela
estava a calcular o quociente entre os valores correspondentes às duas grandezas. Nesta
fase do trabalho, verifica-se uma tendência para os alunos trabalharem em pares e a
preocupação em ensinarem a sua estratégia de resolução aos outros elementos do grupo.
Após os cálculos, os alunos verificaram facilmente que as grandezas não eram
directamente proporcionais mas tiveram algumas dificuldades em explicar porquê.
Carolina: S'tora isto é fácil, não é proporcional mas agora explicar... Diogo: 2, 49 euros e ...não é proporcional mas se fosse 3,45 euros e ... já era. Professora : Então escrevam isso. Diana: Vamos fazer as tabelas, fazemos a tabela verdadeira ou a tabela falsa?
Após terem construído uma tabela que denominaram como quadro não
proporcional elaboraram uma resposta, em conjunto, baseada em argumentos informais,
e passaram à questão seguinte. O Diogo e a Carolina começaram a falar noutras
promoções. O Pedro acha que os comerciantes podem fazer publicidade a uma
promoção que, na realidade, não existe.
Pedro: Vou comprar as coisas, é leve 3 e pague 2, mas depois, quando for a pagar, tenho que pagar tudo.
Este aluno parece desconhecer o direito que os consumidores têm de reclamar
esta situação e os riscos que ela traria ao comerciante. Diz isto como se fosse algo
normal.
Apresentação e Discussão Colectiva dos Trabalhos
Os grupos foram convidados, através do seu porta-voz, a apresentar a sua
resposta à primeira questão. Todos os grupos queriam participar. O porta-voz de um
grupo apresentou a sua resposta e a forma como foi obtida. Perguntei aos restantes
grupos se concordavam com o que foi apresentado, eles apresentaram estratégias de
resolução diferentes e explicaram os raciocínios que fizeram. Por vezes os outros
72
elementos do grupo ajudavam a dar explicação. O grupo que não conseguiu resolver a
questão foi solicitado a participar. Os alunos já tinham compreendido o problema e
foram capazes de dar uma resposta correcta.
A segunda questão foi lida num tom de desafio. Todos queriam responder. Fui
dando a palavra a um e depois a outro.
Professora: Vou precisar de dois pacotes de natas! Acham que devo aproveitar a promoção? Adriana: Sim. Porque depois pode acabar! Professora: E que vantagens há em aceitar a promoção? Joana: Leva um de graça! Professora: De graça não. Fica por 19 cêntimos.
Nesta fase verifiquei que uma aluna, a Joana, não tinha compreendido bem a
situação problemática. Voltámos a ler e expliquei-lha por outras palavras. A própria
aluna referiu "eu percebi de outra forma" e explicou. Assim, parece poder afirmar-se
que a segunda questão foi essencial para que a aluna e a professora verificassem que o
problema não foi bem compreendido.
A discussão continuou:
Professora: Então que vantagem me traz a promoção? Alunos: Paga menos? Professora: Menos quanto? Rodrigo: Um pacote na promoção fica por 19 cêntimos mas se não aproveitar fica por 1,15 euros. Pedro: Só deve comprar dois porque o outro pacote pode-se estragar. Professora: Porquê? Pedro: As natas passavam da época. Ora veja setora. O prazo acaba na sexta.
Fez-se um silêncio na turma. Os alunos olharam novamente para a folha e
continuaram a apresentar argumentos para as suas respostas. Porque será que nenhum
grupo mencionou este aspecto na ficha de trabalho? Será que não repararam? Será que
lhes despertou a atenção mas não o consideraram importante para dar resposta á
questão?
Carlos: Para não se estragar gastava. Gastava já. Professora: Gastava sem necessidade? O terceiro pacote era totalmente grátis? Alunos: Não.
73
Rodrigo: Devia aproveitar mas se não precisasse de tantos não. António: Não porque estragava material e dinheiro. Diogo: Na próxima comprava outro. Professora: Porque é que os comerciantes fazem promoções? André: Num minimercado ao pé de minha casa fizeram uma promoção de maçãs. As maçãs já estavam muito maduras e puseram leve dois quilos e pague uiu. Alunos: Para as coisas não se estragarem. Professora: Só? Diogo: Eu queria comprar ... a minha mãe mandou-me esperar e quando fui ao Feira Nova já estava em promoção.
Os alunos confrontaram-se com um problema que foi levantado pela professora.
As questões que foram surgindo, obrigaram a uma análise mais profunda da situação e á
mobilização de diversos tipos de conhecimento, todos eles valorizados durante a
discussão. Notou-se uma grande preocupação dos alunos em encontrarem uma resposta
fundamentada, utilizando todas as informações disponíveis, pesando e discutindo os
argumentos apresentados e questionando as intervenções dos restantes participantes.
Todos mostraram vontade de apresentar sugestões, mesmo aqueles que só
participavam na aula quando solicitados. Assim, deu-se poder aos alunos,
proporcionando-lhe uma participação activa e valorizando todas as suas intervenções.
No trabalho de grupo, os alunos chegaram a uma resposta mas não ponderaram
todas as situações, pelo que a actividade de grupo por si só não permitiria alcançar os
objectivos desejados. O mesmo seria mais rico se eu, ao passar pelos grupos, tivesse
questionado as suas repostas, promovendo a discussão. O conjunto de actividades
proporcionou aos alunos a oportunidade de desenvolverem o pensamento crítico, tal
como é definido por Emest (2001), ao mesmo tempo que aplicavam conhecimentos de
matemática e abordavam temas de cidadania.
Na auto-avaliação do trabalho da aula os alunos referiram que aprenderam: (a) a
identificar situações onde não existe proporcionalidade directa (dez alunos); (b) a não
aceitar as promoções sem pensar (cinco alunos); (c) a ter em atenção o prazo de
validade (dois alunos); (d) a estar atento a todos os pormenores do problema (três
alunos) e (e) a trabalhar em grupo. Estes dois últimos aspectos apenas foram
mencionados na auto-avaliação das primeiras tarefas. Com a continuidade das mesmas
eles deixaram de aparecer, o que indicia que estas competências foram desenvolvidas ao
longo da aplicação da experiência.
74
Tarefa 2 - O Consumo
A tarefa 2 (anexo 2), relacionada com o consumo e o desperdício de água, tinha
como objectivos (a) resolver problemas que envolvem o conceito de proporcionalidade
directa e (b) avaliar as consequências do desperdício de água (Questão 1.3). Nela
solicita-se aos alunos que completem a tabela abaixo representada (Tabela 1), indiquem
a constante de proporcionalidade (Questões 1.1 e 1.2) e avaliem as consequências de
deixar uma torneira mal fechada durante um dia (Questão 1.3).
Tabela 1. Tabela que traduz uma situação de proporcionalidade directa
Tempo (min) 1 5 10 15
Quantidade de água (ml) 70
A pertinência desta tarefa deve-se à necessidade de sensibilização dos alunos,
por parte da escola e da educação matemática, para a conservação dos recursos
existentes na Terra. Para a sua concretização, pedi aos alunos que trouxessem de casa
uma factura/recibo do consumo de água e, na própria aula, distribui um esquema
informativo da EPAL e o tarifário de águas potáveis do Concelho (anexo 2).
Concretização da Tarefa
Na turma
Antes dos grupos iniciarem a realização da tarefa, não li nem lhes prestei
qualquer esclarecimento sobre a mesma. Apenas lhes disse que na Questão 1.3 podiam
utilizar (ou não) os documentos que foram distribuídos com a ficha e as máquinas
calculadoras disponíveis num kit da sala de aula. Os alunos observaram os materiais que
lhes foram entregues e começaram a resolução das questões.
Todos os grupos preencheram a tabela sem dificuldade. Um grupo utilizou e
representou a identidade fundamental das proporções, outro efectuou os cálculos
mentalmente e os restantes fizeram multiplicações utilizando algoritmos de papel e
lápis. Na Questão 1.2 alguns grupos foram consultar o caderno diário e o manual mas,
todos conseguiram indicar correctamente a constante de proporcionalidade.
75
Na Questão 1.3 os alunos consultaram os documentos que foram distribuídos e
fizeram algumas observações sobre eles, contudo, na elaboração da resposta, nem todos
os grupos utilizaram informações dos mesmos. Ao passar pelos grupos verifiquei que as
discussões se centravam em vários temas consoante as vivências dos alunos e a sua
capacidade de as articular com as práticas escolares. Por exemplo, alguns alunos deram
a sugestão de começar por calcular quantos mililitros de água uma torneira desperdiça
durante o dia, servindo-se dos dados representados na Tabela 1, para depois avaliarem
as consequências; outros referiram os perigos de uma inundação e/ou consequências
ambientais. Ao elaborarem as respostas, dois grupos não demonstraram ter utilizado
qualquer procedimento matemático ou informação dos documentos que foram
distribuídos, limitando-se a dar uma resposta geral. Exemplo:
Gasta-se mais. Pagamos mais na conta e daqui a uns anos pode não existir água potável. (Resposta do Grupo II)
Dois grupos serviram-se das informações do documento da EPAL e dois (Grupo
III e Grupo VI) calcularam a quantidade de água que a torneira desperdiça durante um
dia, depois, foram ao tarifário ver quanto seria o prejuízo em termos económicos,
contudo, revelaram dificuldades nesta consulta e o Grupo VI também cometeu alguns
erros de cálculo.
ê:o Jl~mo ^ ^ 6 = ^
' - ' ^o Soo 'A - ^ P o o a
(Resposta do Grupo VI)
Todos os grupos responderam ao que se pedia, porém, o nível de respostas dadas
e as ferramentas utilizadas foram diferentes. O desempenho dos alunos configurou-se a
partir das suas práticas não escolares, dos seus conhecimentos gerais e da sua
capacidade de os articular com as práticas matemáticas. Esta questão, pela diversidade
de actividades que desencadeou, demonstrou potencialidades para a inclusão, uma vez
que proporcionou a participação activa de todos os alunos.
76
No grupo
Nenhum aluno do grupo tinha trazido uma factura/recibo por isso, entreguei-lhes
uma das que eu levava. Logo que lha entreguei, o Diogo perguntou-me, apontando para
o gráfico do recibo, o que queria dizer J M M.
ORÍjRCP oe ipACTURAÇiO <Eur>
M J 8 N J M M J S N J M
Gráfico 1. Gráfico extraído de uma factura/recibo da água.
Disse-lhe que eram os meses do ano e que a cobrança era de dois em dois meses.
Depois de olharem para os materiais, os alunos preencheram o cabeçalho da ficha e,
após alguma demora, leram a situação problemática. Na primeira questão dividiram
tarefas:
Diana: Vou fazer o do 70. Diogo: 70 a dividir por 1 não custa nada é 1 [sic], é 70. CarolÍDa: Agora sou eu. 70 vezes 5 é... 350.
Preencheram rapidamente a tabela e chamaram-me. O Diogo perguntou: "S'tora
é preciso fazer a proporção?". Os alunos em aulas anteriores tinham aprendido a
identidade fundamental das proporções e por isso achavam que era necessário usar o
sistema de representação formal que fora ensinado.
A segunda questão pedia para identificarem a constante de proporcionalidade.
Os alunos concluíram que já tinham feito os cálculos na questão anterior e por isso
encontraram facilmente a resposta.
Diogo: Oh Carolina. Nós já temos os cálculos atrás por isso não é
preciso fazer mais contas.
Carolina: É 70.
77
o '
Após elaborarem, em conjunto, a resposta à Questão 1.2 leram a questão que
vinha a seguir e depois consultaram os documentos que eu distribuí. O Diogo comentou
que eu "gastei pouquinho de água", o Pedro olhou para o esquema da EPAL e
perguntou o significado de mm (abertura da torneira em milímetros). A Diana olhou
para o tarifário e solicitou a atenção do Diogo para o mesmo.
Enquanto os seus colegas viam os materiais, a Carolina fez cálculos de papel e
lápis, multiplicou 70 por 60 e o resultado desta operação por 24, para ver quanto se
gasta num dia uma torneira que desperdiça 70 ml de água por minuto. A Diana que
entretanto, também, fez os cálculos retorquiu, "Eu já fiz. Gasta-se aproximadamente
200 000 ml [sic] por dia" (gravação áudio). A aluna parece ter efectuado, sem reflectir,
o arredondamento incorrectamente. Na folha de resposta escreveu o valor exacto.
i yi.3-Prevê as consequências de debtar uma tomeira mal fechada durante um dia. Se i quiseres pòdes consultar o recibo da água, em anexo. GO c\k O r !
i MílOO !
I íCVlRCX) fínS. Qsdô Í ' ^ -. ufo j ^ ^ " lA I-VV* - -- -
Quando o grupo me informou que já tinha terminado, li a sua resposta e
questionei-os sobre as consequências deste desperdício em termos económicos e
ambientais. O Diogo respondeu: "desperdiça-se água... indispensável ao bom
funcionamento do organismo". O aluno serviu-se dos assuntos estudados nas aulas de
Ciências para elaborar a sua resposta.
Continuei a interrogar os alunos sobre as consequências desse comportamento
em termos económicos. Eles consultaram o tarifário e o Diogo perguntou, o que
significam os termos escalão e m^l O Pedro respondeu: "é metros triquadrados [sic]". O
grupo corrige: "metros cúbicos". De seguida pediram-me esclarecimentos sobre a
equivalência entre as unidades de volume e as de capacidade.
S'tora os litros também são iguais aos metros cúbicos? Professora: O metro cúbico equivale ao quilolitro.
Assim, pode-se dizer que estes materiais permitiram o estabelecimento de
conexões entre vários temas da matemática, pois os alunos foram colocando questões ao
78
grupo e à professora, no sentido de esclarecerem o seu conteúdo ou determinados
pormenores.
Apesar de terem consultado o tarifário, os alunos não conseguiram estimar
valores que justifiquem as consequências, em termos económicos, de deixar uma
torneira mal fechada durante um dia. Em relação a este aspecto limitaram-se a dizer que
aumentava o orçamento. O comportamento e as respostas dadas mostram que eles ainda
não são capazes de desvendar a informação contida nestes documentos, os quais são
distribuídos a todas as famílias.
Apresentação e Discussão Colectiva dos Trabalhos
Todos os grupos responderam correctamente às duas primeiras questões, apesar
de utilizarem duas estratégias diferentes. A apresentação das respostas foi feita por dois
alunos de cada grupo e eu flii comentando os seus raciocínios. Salientei em que
situações é mais vantajoso usar um processo ou outro. De seguida, coloquei a questão:
"Qual o significado da constante de proporcionalidade". Perante o silêncio da turma
referi: "A constante de proporcionalidade é 70, o que significa, neste contexto, o 70?".
Vários alunos tentaram responder à questão.
Joana: Significa a água que a torneira desperdiça por minuto. Professora: Alguém quer aperfeiçoar a resposta?
Vários alunos tentaram. Eu fui acrescentando alguma coisa às suas respostas. A
Joana voltou a intervir:
Joana: S'tora! Significa a quantidade de água, em mililitros, que a torneira desperdiça num minuto.
A Joana chamou-me para ouvir a sua resposta, agora muito completa. Eu pedi-
lhe que se dirigisse à turma. Os alunos acham que o professor é quem tem que ouvir e
validar as suas respostas. Desta forma, tentei que os alunos partilhassem as suas
respostas. As discussões colectivas são importantes para dar voz a todos os alunos e o
professor tem aqui o papel de impedir que elas se transformem num diálogo, onde
apenas intervêm um ou dois alunos.
79
A Questão 1.3 é de resposta aberta. Os alunos podiam consultar os vários
documentos e fazer, ou não, cálculos, para avaliar os prejuízos de deixar uma torneira
mal fechada durante um dia. Deixar uma torneira a gotejar é um comportamento
habitual e involuntário na rotina diária e sobre o qual pouco se reflecte. Assim, toma-se
importante que todos conheçam e reflictam nas suas consequências.
O grupo que mais utilizou a matemática para avaliar o comportamento atrás
referido, explicou à turma como fez.
Joana: Fomos ver quanto é que uma tomeira mal fechada desperdiça num dia, depois reduzimos ml a kl. Professora: Sim. Porque o kl é equivalente ao metro cúbico. Joana: Depois fomos ver o tarifário e muhiplicamos.
O gmpo da Joana tentou descobrir qual seria o prejuízo, em termos monetários,
de deixar uma tomeira mal fechada durante um dia e, para isso, partiu do princípio que
esta tomeira desperdiçava 70 ml de água por minuto. Enquanto a Joana explicou, eu
representei no quadro os cálculos que ela ia verbalizando.
Um aluno informou-me que o seu gmpo também fez cálculos mas que os
apagou. O Luís e, de seguida, outros alunos, informaram que não compreenderam bem
os escalões de cobrança de água. Consciente de que não era um assunto fácil para os
alunos, tentei explicar-lhes. Pedi-lhes que olhassem para a folha do tarifário ou para a
explicação de valores da factura/recibo (anexo 2) e comecei a explicar:
Professora (enquanto olhava para o tarifário]: Se num mês eu consumir 5m^ de água pago 0,49 euros por m^; se gastar 9m^ pago 5m^ a 0,49 euros e os restantes 4 a 0,99 euros, ... Daniela: Pensava que a água era mais cara! Professora: O que acham do pagamento da água se processar por escalões? Joana: É para não se gastar á balda. Professora: Acham que é uma medida justa? Pedro: Não. António: Não porque numa casa só mora uma pessoa nalgumas [casas] moram sete ou oito.
Rodrigo: Deviam ver quantas pessoas há em cada casa. André: Quem tem muito dinheiro pode gastar muita água.
A Daniela afirmou que pensava que a água era mais cara. Será que esta aluna
tem a noção de quanta água se gasta nas diferentes actividades do dia a dia? Como
80
extensão desta actividade, seria importante propor-lhe uma pesquisa sobre a quantidade
de água que é razoável gastar em certas actividades básicas.
Durante a discussão, surgiu a questão se seria ou não justo o modelo de cobrança
deste bem. O António surpreendeu-me com a sua intervenção. Relembrou que o modelo
é o mesmo para todos os agregados familiares, o que não é justo pois nas famílias onde
há mais pessoas a água que cada uma gasta pode ser mais cara.
A observação do André "Quem tem muito dinheiro pode gastar muita água"
permitiu sensibilizar os alunos para a importância da conservação dos recursos
essenciais. Solicitei que comentassem o que o André dissera. Informei que um sexto da
população tem escassez de água potável. Um aluno acrescentou: "metade?", relembrei
que um sexto não era equivalente a metade, para ser metade teriam que ser três sextos.
Durante a discussão colectiva, surgiu uma questão de justiça social que eu não
tinha previsto quando planifiquei a actividade: o facto do modelo de venda da água não
considerar o número de consumidores de cada habitação. Os alunos tiveram
oportunidade de discutir uma decisão que afecta os orçamentos familiares, sem que
alguns cidadãos se apercebam. Este é um dos grandes objectivos da escola, contribuir
para o poder social e político do aluno através de actividades que desenvolvam a
capacidade de julgamento crítico e independente. Frankenstein (1998) aponta a
importância desta articulação entre o trabalho da aula de matemática e os movimentos
económicos, políticos e sociais, na direcção de uma sociedade mais justa, igualitária e
humana. A matemática tem um poder formatador da sociedade e são actividades como
esta que proporcionam o desenvolvimento de competências que ajudam os cidadãos a
não aceitar passivamente este poder.
Esta tarefa está associada à actividade escolar como um texto que apresenta
dados para resolver questões de matemática, mas ao mesmo tempo tem a ílinção de
mostrar a quantidade de água que se desperdiça se deixarmos uma torneira mal fechada
durante um determinado período de tempo, para possibilitar uma avaliação desse
comportamento e propor dicas de economia. Durante a sua concretização, verificou-se a
existência de mobilidade de saberes de várias disciplinas, fomentando a troca de ideias e
a criatividade. Os alunos revelaram motivação intrínseca para aprender e descobrir. Os
aspectos referidos vão ao encontro das ideias apontadas por Beltrão e Nascimento
(2000) para que o desenvolvimento do espírito crítico aconteça.
A concretização desta tarefa permitiu aos alunos ampliar conhecimentos que
lhes poderão ser úteis, no quotidiano, quando precisarem de interpretar um recibo da
81
água. Questionados sobre o que aprenderam durante a realização desta tarefa os alunos
referiram aspectos relacionados com conteúdos da Matemática - proporcionalidade
directa (13 alunos) e resolução de problemas (dois alunos) - e aspectos gerais
relacionados com a tarefa - consultar a factura da água e os tarifários e os prejuízos de
deixar uma torneira aberta.
Os alunos tiveram dificuldades em interpretar as tarifas de venda da água e a
explicação de valores na factura/recibo. Na auto-avaliação do trabalho da aula, sete
alunos referiram que tiveram dificuldades em consultar a factura da água e os tarifários.
Além destes, três referiram que tiveram dificuldades na Questão 1.3. Será que esta
dificuldade é comum a muitos cidadãos? Não será responsabilidade da escola o
desenvolvimento destas competências? A quem cabe a responsabilidade de informar os
consumidores destes aspectos? Será que alguém o faz? E eles procuram estas
informações?
Tarefa 3 - Vamos aos Saldos
A Tarefa 3 consiste na observação e na interpretação de algumas fotografias de
montras de lojas, da área de residência dos alunos, na época de saldos (época que estava
a decorrer). Tem como objectivo motivar os alunos para o tema percentagens.
Atendendo à natureza desta tarefa e aos seus objectivos, a sua concretização foi
um pouco diferente das outras, uma vez que se adoptou a modalidade de trabalho
individual e em grande grupo.
Concretização e Discussão Colectiva da Tarefa
Para a concretização da tarefa comecei por perguntar: "Têm reparado nas
montras? O que é que nesta altura chama mais a vossa atenção?". Todos os alunos a
quem foi dada a vez de responder, excepto um, referiram produtos do seu
interesse/gosto pessoal: consola playstation, computadores e telemóveis. Apesar de
estarmos em época de saldos, apenas o Rodrigo fez referência a este aspecto.
Após esta breve introdução, projectei algumas fotografias de montras de lojas e
depois distribuí fotocópias das mesmas. Propus que eles escolhessem uma fotografia e
que, por escrito, explicassem a mensagem que ela lhes transmitia. Os alunos
demonstraram dificuldades nesta actividade. As respostas mais completas não foram
82
além da utilização dos temios saldos e/ou descontos. Perante a dificuldade dos alunos,
projectei de novo uma das fotografias e formulei questões sobre ela:
Professora: Que informações retiram desta montra? Vários alunos: Saldos. Cinquenta. Setenta. Professora: O que são saldos? Rodrigo: Descontos. Vários alunos: Cinquenta. Setenta. Professora: Que descontos? O que significa cinquenta, setenta? Rodrigo: É o desconto. Professora: Que desconto? Pedro: 70 cêntimos. Rodrigo: Cinquenta por cento. Cinquenta por cento é metade.
Este episódio mostra que os alunos não estavam familiarizados com os termos
percentagem e por cento e desconheciam como se processam os descontos em
percentagem. Apenas o Rodrigo mostrou que cinquenta por cento equivale a metade do
preço. É de referir que em algumas escolas, a informação dos resultados das fichas de
avaliação é dada em percentagem mas, na escola onde foi realizado este estudo, os
alunos apenas tomam conhecimento da menção qualitativa equivalente.
Será que os alunos nunca tinham pensado que desconto poderá corresponder aos
números (percentagens) que são exibidos nas montras? Será que estão familiarizados
com a palavra saldosl Entretanto, este tema aparece frequentemente nos problemas e
exercícios dos manuais escolares. Estarão os alunos preparados para responder a
questões contextualizadas nesta temática? Um contexto real para o professor/autor do
livro também será real para os alunos? Quem deve preparar os alunos para temas como
este?
Após discussão sobre o significado de percentagem, informei os alunos das
formas de representar esta razão e propus uma situação problemática, para os alunos
indicarem o preço final de um produto em saldo, dada a percentagem de desconto. De
seguida colocou-se a questão: "Quais as vantagens e desvantagens dos saldos?". Foram
apontados aspectos positivos e negativos, tal como se pode ver pelas seguintes
intervenções:
Joana: É para vender coisas que já não estão na moda. Rodrigo: É para vender coisas que não se venderam durante anos. Paulo: Antes de começarem os saldos aumentam o preço para depois pôr em saldo. Professora: E para as pessoas que compram não há vantagens?
83
Alunos (vários): Pagar menos. Carolina: Às vezes compramos coisas de que não necessitamos. Vimos uma coisa, parece-nos barata compramos, vimos outra compramos e depois chegamos a casa com o saco cheio de coisas de que não necessitamos.
Os resultados da concretização desta tarefa, mostram que é importante investir
na discussão das temáticas que os problemas envolvem, não só para a promoção de
competências de cidadania mas para averiguar se elas facilitam ou impedem a
compreensão/aplicação de um procedimento matemático. O desempenho de um aluno
na resolução de um problema pode depender da compreensão ou não do contexto que o
envolve. E, um problema, pode parecer contextualizado na realidade mas essa realidade
não ser a do(s) aluno(s) a quem se destina pois, por vezes, os professores não têm
conhecimento suficiente sobre o que é ou não a vida real do aluno. Assim, é importante
que os problemas de Matemática sejam reais e propostos pelos alunos (Tomline, 2002)
ou então que sejam discutidos e clarificados os contextos a que eles se referem, de
forma a tomá-los familiares.
Tarefa 4 - Aumentos Salariais
A Tarefa 4 (anexo 4) foi elaborada com base numa notícia publicada no jornal e
tem como objectivos: (a) interpretar uma percentagem num dado contexto; (b) resolver
problemas em que intervêm percentagens e (c) formular juízos elementares sobre uma
situação concreta. Esta tarefa pede aos alunos que (a) interpretem a mensagem
transmitida pela manchete "Aumentos salariais no próximo ano . . . não deverão
ultrapassar os 2,2 por cento"; (b) formulem uma opinião sobre o facto de todos os
trabalhadores da Administração Pública terem a mesma percentagem de aumento; (c)
indiquem qual seria o aumento salarial no ano de 2006 e (d) apliquem o conceito de
percentagem na resolução de um problema sobre os aumentos salariais.
Na altura em que a tarefa foi proposta aos alunos estavam a ser discutidos os
aumentos salariais. Este era um tema que marcava as páginas dos jornais e as
informações televisivas.
84
Concretização da Tarefa
Na turma
Para a concretização desta tarefa os alunos mantiveram os seus lugares e grupos
habituais. Após a distribuição das fotocópias, os alunos começaram a trabalhar. No
momento em que os grupos estavam a fazer a leitura e a interpretação da proposta, um
aluno, o Rúben, chamou-me para perguntar o que é manchete. A pergunta do Ruben
despertou a curiosidade dos outros grupos, os quais fizeram uma pausa no seu trabalho
para ouvir a explicação.
Na questão onde era necessário explicar a informação transmitida pela
manchete, os grupos limitaram-se a dizer que o aumento ia ser pequeno porque está
escrito que não deveria ultrapassar os 2,2 por cento. O Grupo II tentou dar um exemplo,
usando um vencimento de 200 euros, mas como não representou a percentagem de
forma correcta, o resultado não lhe permitiu extrair conclusões.
Por exemplo se uma pessoa ganha 200 euros, 200 x 2,2 [sic] = 440. (Grupo II)
A dificuldade de representar a percentagem foi comum a vários grupos. Por isso,
ao passar pelos grupos, fui questionando as suas respostas e usando exemplos concretos
para que os alunos desenvolvessem a compreensão deste conceito e das formas de
representação. Alguns alunos, quando foram questionados sobre o significado de um
aumento de 2,2 por cento, afirmaram que era dois euros, ..., dois cêntimos,
demonstrando incerteza nas respostas que davam.
Na segunda questão, vários grupos referiram que não achavam justo que todos
os trabalhadores tivessem a mesma percentagem de aumento salarial porque quem
trabalha mais devia ter uma percentagem de aumento maior. Alguns só discutiram as
vantagens/desvantagens do aumento ser uma percentagem igual para todos os
funcionários, quando os questionei sobre o significado da percentagem, naquele
contexto.
Professora: Ter a mesma percentagem de aumento salarial significa aumentar a mesma quantia de dinheiro? Grupo II: Não.
85
De facto, sem interiorizarem o significado deste conceito, os alunos não
conseguem emitir uma opinião fundamentada sobre o assunto.
A maior parte dos grupos demonstrou não ter conhecimento sobre qual seria o
aumento salarial no ano civil que estava a começar, apesar de ser um assunto actual da
comunicação social. Dois grupos referiram que ainda não estava decidido e o Grupo IV
afirmou que era 6,6 por cento. Questionados sobre o modo como obtiveram este valor
os alunos referiram:
Aluna do Grupo IV: Se em 2004 estava previsto um aumento de 2,2 por cento em 2006 será de 6,6 por cento.
Estes alunos não conheciam a resposta e como não fizeram uma análise
exaustiva da questão, tentaram realizar um jogo de operações com os números
envolvidos, de modo a obterem uma resposta imediata. Só quando foram levados a
reflectir sobre a ausência de significado dos cálculos que efectuaram, é que verificaram
que a resposta á questão não dependia da realização de um procedimento matemático.
Durante a realização da tarefa, os alunos demonstraram entusiasmo. Todos se
empenharam em expor o seu ponto de vista e em esclarecer as suas dúvidas.
No grupo
Os alunos começaram a colocar os seus nomes na folha e a traçar linhas para
escrever as respostas. Após lerem a primeira questão referiram, em coro, que o aumento
era pouco. Quando os questionei sobre o significado da percentagem, o Pedro referiu
que o aumento era de dois euros e o Diogo corrigiu imediatamente o erro: "Não é nada!
Depende dos salários.".
O Diogo e a Diana explicaram ao Pedro que uma percentagem é uma parte em
cem. Na segunda questão, os alunos discutiram quem deveria ganhar mais, quem
deveria aumentar mais e se os aumentos deveriam ser ou não proporcionais. As
questões que coloquei ao passar pelo grupo foram fundamentais para clarificar alguns
aspectos e enriquecer a discussão.
Carolina: É injusto. Os que precisam mais deviam aumentar mais... muitas pessoas não fazem nada e recebem mais e por vezes entraram para os empregos por cunhas. Diana: É injusto. Porque os que recebem mais dinheiro vão receber [aumentar] mais do que os que recebem menos. Alguns que recebem
86
500 euros vão receber 2,2 por cento dos 500 euros e os que recebem 1000 euros vai aumentar 2,2 por cento do mil. Carolina: Não percebi nada.
A Diana explicou novamente aos colegas a sua opinião. O Diogo chamou-me
para dizer que achavam injusto, porque quem tem mais vai ter um aumento maior.
Perguntei: " Então como seria mais justo?".
Diana: Aumentar cinco euros para todos. Professora: Mas não se esqueçam que algumas pessoas ganham mais porque têm mais responsabilidades, mais despesas, necessitam de gastar mais na sua formação, ....
Depois do meu comentário, o grupo continuou a discutir, apontando vantagens e
desvantagens do aumento ser proporcional ao vencimento, ou seja uma percentagem
igual para todos. Nesta discussão, os alunos estão a pôr em causa a legitimidade do
facto dos aumentos serem proporcionais, a averiguar a implicação deste modelo, a
reflectir sobre um modelo e a questioná-lo em termos de justiça social, um dos
objectivos da educação matemática apontado por Skovsmose (2001) e da educação
matemática com preocupações de cidadania.
A primeira reacção à pergunta "sabes qual será o aumento salarial previsto para
2006" foi de desconhecimento. No entanto, quando relembrei que este assunto passou
na televisão, dois alunos lembraram-se que tinham ouvido falar nele.
Diogo: S'tora, esta não sabemos! Professora: Não viram na televisão? Diana: Eu vi. Acho que é dois por cento Professora: Tem a certeza? Se nenhum grupo souber, vão tentar informar-se, em casa.
Passado algum tempo, após reformularem algumas questões, a Diana lembrou-se
que tinha visto na televisão que o aumento seria de 1,5 por cento, informação que foi
validada pelo Pedro, por confiar na Diana, ou por se lembrar naquele momento da
informação transmitida no telejornal.
Diana: Eu acho que vi que [o aumento previsto] é de 1,5 por cento. Metemos que é 1,5 por cento e depois vimos se é ou não. Pedro: Eu também vi no telejornal que é de 1,5 por cento.
87
Apresentação e Discussão Colectiva dos Trabalhos
A apresentação e a discussão colectiva das respostas dadas à tarefa Aumentos
Salariais fizeram-se na aula seguinte à da sua concretização. Por isso, no início da aula,
distribuí as fichas de trabalho já analisadas aos respectivos grupos e infomiei como iam
ser apresentados os trabalhos. A leitura e a apresentação das respostas foram feitas
rotativamente pelo porta-voz de cada grupo. As respostas foram comentadas por mim e
pelos alunos dos restantes grupos.
Durante a discussão colectiva, tentei esclarecer alguns aspectos provenientes da
análise dos trabalhos produzidos pelos alunos. Os grupos que demonstraram ainda não
compreender o significado da percentagem neste contexto foram confrontados com
questões para clarificarem este conceito. Uma aluna foi ao quadro escrever a
percentagem sob a forma de razão e o numeral decimal que lhe corresponde.
A discussão da Questão 1.1 - Será justo que todos os trabalhadores tenham a
mesma percentagem de aumento? - também permitiu aprofundar o conceito.
Carlos: Não é justo. Quem trabalha mais devia aumentar mais. Professora: Mas, aumentam todos a mesma quantia? O facto de aumentarem todos 2,2 %, significa que aumentam todos o mesmo? Carlos: Aumentam todos o mesmo, só que o salário não fica igual... Professora: Reparem que o aumento não é igual. O que é igual é a percentagem de aumento. António: Oh ... [Carlos]! Não aumentam todos o mesmo dinheiro. Depende do valor que ganham. Joana: Vão aumentar 2,2 euros por cada 100 euros ou 2, 2 cêntimos em cem cêntimos.
Na Questão 1.1 discutiu-se a justiça/injustiça de todos os funcionários terem a
mesma percentagem de aumento e fizeram-se algumas inferências sobre o porquê dos
salários aumentarem. Da discussão sobressaíram as seguintes ideias:
Pedro: Quem trabalha mais deveria aumentar mais [ter uma percentagem de aumento maior]. António: O aumento deveria ser igual para todos, se o aumento for em percentagem vai ser grande para quem já ganha muito... Joana: Era mais justo ser em euros. Aumentarem todos o mesmo dinheiro. António: Aumentarem todos o mesmo dinheiro era bom para quem ganha pouco mas para quem ganha muito já não era tão bom.
88
Rodrigo: Por um lado é injusto, por outro é justo porque há empregos que são mais difíceis...
Na Questão 1.2, alguns alunos referiram que talvez não houvesse aumento,
outros que já tinham ouvido falar mas não sabiam quanto era, um aluno informou que
viu na televisão alguns trabalhadores a pedir 2,3 por cento; o Pedro e a Diana
informaram os colegas do valor que viram na televisão.
Na resolução do Problema 1.3 não houve dificuldades significativas. Parece
poder afirmar-se que a discussão das questões anteriores facilitaram a resolução desta.
Questionados sobre o que aprenderam com estas actividades, os alunos fizeram
referência às percentagens e aos aumentos salariais. Contudo, a maior parte dos alunos
referiu ambos os temas. Destacam-se as respostas do André, que afirmou ter aprendido
que as "percentagens fazem parte do dia-a-dia das pessoas", e o Carlos, que salientou
que aprendeu a "pensar como é o aumento dos salários".
Ao nível das dificuldades, os alunos referiram o interpretar as questões e o
cálculo o valor do aumento. Neste campo, destacam-se as respostas da Adriana e da
Patrícia que afirmaram ter dificuldades em dar as suas opiniões.
Tarefa 5 - Os Recibos do Supermercado
A Tarefa 5 (anexo 5), relacionada com o IVA, tem como objectivos (a) a
resolução de problemas em que intervêm percentagens e (b) a produção de argumentos
válidos, assentes em informações diversas. Esta consiste na interpretação de um recibo
do supermercado e inclui três itens. No primeiro (Questão 1.1) pretende-se que alunos
calculem o valor do IVA para um dos produtos mencionados; no segundo (Questão 1.2)
solicita-se que averigúem, através da consulta dos vários recibos, quais os produtos que
têm menor percentagem de IVA e tentem apresentar possíveis justificações para esse
facto; o terceiro (Questão 1.3) pretende levar os alunos a reflectir sobre a pertinência de
existirem três taxas específicas de IVA.
Antes da implementação desta tarefa apresentei aos alunos a imagem de uma
consola playstation e o respectivo preço - Consola Playstation 400 euros, IVA incluído
- e questionei-os sobre (a) o significado de " IVA", (b) o preço (aproximado) da consola
antes de lhe ser aplicado este imposto, (c) o destino do dinheiro proveniente do mesmo
e (d) a necessidade de existirem impostos. Alguns alunos afirmaram que já tinham
ouvido falar do IVA, contudo nenhum soube explicar o que é.
89
Concretização da Tarefa
Na turma
A resolução da Tarefa 5 foi feita numa folha de acetato e apresentada à turma na
aula seguinte. Após a distribuição dos materiais - fichas de trabalho, acetatos, canetas,
máquinas calculadoras e recibos do supermercado - fiz a leitura das questões e os
alunos começaram a trabalhar. Durante a aula circulei pelos grupos intervindo, quando
solicitada, e levantando questões que ajudassem os alunos a reflectir sobre as suas
respostas. Os alunos realizaram todas as questões quase sem o meu apoio. Apenas me
solicitaram para lhes mostrar, nos recibos, onde está o IVA (Luís), para lhes ensinar a
ver a percentagem na calculadora (André e António) e para os aconselhar sobre a
organização da informação nos acetatos. O Grupo VI consultou o manual do aluno
"para ver se lá existia um problema parecido com este" (Joana).
Todos os alunos trabalharam com entusiasmo e discutiram as questões de forma
organizada. No final da aula, todos entregaram os acetatos com as respostas a todas as
questões.
A situação problemática apresentada na Questão 1.1 pedia para calcular o valor
do IVA para um dos produtos apresentados nos recibos. Três grupos adoptaram uma
estratégia de resolução adequada e chegaram a um resultado correcto. Dois grupos
calcularam o valor do IVA sobre o preço final do produto. Um dos grupos leu o valor
do IVA no resumo do recibo, não se apercebendo que esse valor era a soma das quantias
correspondentes ao IVA de todos os produtos daquela categoria e deu a seguinte
resposta incorrecta: "Por exemplo os ovos de meia dúzia [sic] custavam 1.00 € [sic] e
agora com o IVA custam 1,80 € [sic]" (Grupo II).
'OVOS UPT H/0uz1a 7 " ~ M 0.50 X 2 1.00
PK) ALENTEJANO 645G íh l.QOOXg 1 a Ò.80 0.80
FIAHBRE PERNA NOBRE m ' O.lSSKg 1 a 9.37 1.4S ' SUB-TOTAL Resuoo IVA:
3.25
Taxa Sase IVA Total
5* 1.714 0.086 1.80
I7k 1.295 O.ISS 1.«;
Excerto de um recibo
As dificuldades que os alunos demonstraram na concretização desta tarefa foram
a análise dos recibos e o cálculo do IVA, por não compreenderem que ele estava
90
incluído no preço final dos produtos e/ou por não conseguirem arranjar uma estratégia
de resolução adequada. Esta questão parece ter grau de dificuldade acrescido para este
nível de ensino. Ao invés de pedir para os alunos calcularem o valor do IVA talvez
fosse melhor ter pedido apenas para estimarem esse valor. Todos os grupos, à excepção
do Grupo II, chegaram à conclusão das categorias de produtos com determinada
percentagem de IVA e todos consideraram que é justa a diferença de percentagem de
IVA, consoante o produto.
Durante a discussão, os alunos utilizaram os saberes adquiridos nas aulas de
Ciências da Natureza: "Os alimentos com menor valor de IVA são os necessários para o
bom funcionamento do organismo" (António); "A água é um bem essencial para o
nosso corpo".
Alguns grupos fizeram os cálculos utilizando algoritmos de papel e lápis porque
"tinham medo de se enganar" (Grupo V). Será que este grupo teve dificuldades em
arredondar os resultados obtidos com a calculadora?
No grupo
Após a leitura da ficha de trabalho, o Pedro chamou a atenção do grupo para um
dos recibos: " Olhem a s'tora deu 50 euros para pagar 7,58 euros, vai lá vai!". Os
colegas olharam para o recibo e fizeram um ar de admirados.
O grupo esteve indeciso quanto ao produto que deveriam escolher para calcular
o valor do IVA (questão l . l) . Quando analisavam os recibos, o Diogo manifestou o seu
espanto com a percentagem de IVA de um detergente.
Diogo: Olha! Olha! Este tem 21%.
Após a escolha do produto a Carolina chamou-me.
Carolina (apontando para o preço de um frasco de café): S'tora este
é o preço com IVA incluído?
Professora: Sim.
Apesar desta pergunta, os alunos calcularam a quantia relativa ao IVA, sobre o
preço fmal do produto. Após arredondarem o resultado mostraram admiração:
91
Diogo: 26 cêntimos, o IVA? Diana: Aproximadamente. Diogo: Ainda é dinheiro. Quarenta escudos. Foge!
O Diogo fez, mentalmente e de forma pouco rigorosa, a conversão do valor
obtido pelo grupo, de euros para escudos. Com base neste cálculo fez uma avaliação
deste valor, considerando-o significativo. A intervenção do Diogo demonstra a presença
da actividade matemática na avaliação de situações não matemáticas.
Apesar do valor do IVA encontrado por este grupo de alunos não estar correcto,
o mesmo não interfere nas suas ideias, por estar próximo da resposta correcta. Pelo
mesmo motivo, a interpretação do resultado não conduziu os alunos a reflectirem na sua
estratégia de resolução. Em problemas contextualizados na realidade, os resultados a
que se chega são importantes porque permitem conhecer com mais detalhe as situações,
avaliá-las e formular argumentos baseados neles. Em situações inventadas pelos
professores, muitas vezes, o que importa é a aplicação e o treino do procedimento, neste
caso a regra de três simples, não importando muito o resultado dessa aplicação.
Após uma nova leitura da Questão 1.2 os alunos voltaram a consultar o IVA dos
produtos mencionados nos recibos e tentaram formar categorias:
Carolina: Os bens mais necessários têm menos IVA! Pedro: Os bens que não são naturais têm mais IVA! Diana: Os lacticínios e a fruta têm menos IVA!
Após apresentarem as suas ideias, concluíram que a taxa do IVA de alguns
produtos é mais baixa porque "é deles que mais precisamos" e, por isso, é justo que
assim seja (Questão 1.3). Quando observei o que os alunos escreveram na ficha de
trabalho questionei-os: "necessitamos mais de fiambre ou de manteiga? Já verificaram a
taxa do IVA destes produtos?". Os alunos voltaram a consultar os recibos e continuaram
a discussão.
O desenrolar da aula mostra que a actividade se tomou específica e situada, pois
a participação de cada aluno foi-se configurando a partir das suas práticas familiares,
das ideias dos colegas e das questões que eu ia colocando.
92
Apresentação e Discussão Colectiva dos Trabalhos
A apresentação dos trabalhos foi organizada de forma que a resposta a cada
questão fosse apresentada pelo porta-voz de dois grupos diferentes. Os outros podiam
comentar o trabalho dos colegas e apresentai* o seu, caso fosse diferente. A tcndcncia
dos alunos era apresentar o acetato e ler a resposta. O grupo da Joana (Grupo VI),
apesar de se ter enganado a copiar o preço do produto para a ficha e para o acetato,
apresentou uma estratégia correcta de resolução da Questão 1.1. A Joana explicou à
turma os procedimentos matemáticos efectuados pelo seu grupo:
y I '
Joana: Escolhemos o pão. Custava 1,57 euros e o IVA é de 5%. (apresenta a proporção). Professora: Porque pôs 105 na proporção. Joana: Porque é o 100% mais o IVA. Professora: E o que é o 100%? Joana: É o preço sem IVA Joana: Depois fizemos a conta que é o preço do pão com IVA menos o preço sem IVA e deu sete cêntimos
A Joana demonstra ter compreendido como funciona o IVA e o trabalho com
percentagens. Apresentou o seu raciocínio de forma clara e utilizou correctamente os
conceitos matemáticos.
Na Questão 1.2, quando se discutiram as diferentes percentagens de IVA, a
Joana disse que viu no manual de Matemática um barco de recreio que tinha 19%. A
intervenção da Joana levou à discussão da subida da taxa do IVA de 19% para 21%, a
qual se verificou no dia um de Julho de 2005, e à realização de inferências das razões
que motivaram este aumento.
Durante o trabalho de grupo e nas respostas escritas, os alunos consideraram
justo o facto de existirem diferentes percentagens de IVA, contudo, durante a discussão
93
colectiva, reflectiram nas suas respostas, puseram em causa a sua firmeza e alguns
pareceram estar dispostos a mudar de ideias.
Professora; Reparem na percentagem de IVA do fiambre e da manteiga. É igual? Porquê? Ana: Porque consumimos mais manteiga do que fiambre. Luísa: Há pessoas que gostam mais de fiambre do que de manteiga e têm que pagar mais IVA pelo fiambre. É injusto. Joana: É injusto haver produtos que são igualmente essenciais ao nosso corpo terem diferente percentagem de IVA.
Nesta aula, os alunos mostraram interesse em conhecer a percentagem de IVA
de alguns produtos como o queijo, os brinquedos e os livros. Disse-lhes que
pesquisassem em casa e que noutra aula poderíamos voltar a falar no assunto. No dia
seguinte foram os próprios alunos a abordarem-me, no recreio da escola, para me darem
a informação que anteriormente tinham solicitado.
Na auto-avaliação do trabalho todos os alunos referiram que aprenderam a
calcular o valor do IVA, dois referiram que aprenderam que existiam diferentes taxas de
IVA cinco dos alunos referiram que aprenderam a consultar os recibos. A participação
dos alunos e os seus depoimentos aquando do preenchimento da ficha de auto-avaliação
demonstram como as tarefas matemáticas contextualizadas na realidade podem
promover a educação para a cidadania. Os recibos neste sistema de actividades estão
associados à actividade escolar, como um esquema que apresenta dados para resolver
problemas de matemática, ao mesmo tempo que informam os alunos sobre aspectos do
quotidiano e possibilitam a avaliação de normas instituídas e o desenvolvimento do
espírito crítico e da participação democrática.
Tarefa 6 - Orçamento Familiar dos Portugueses/ Os Gastos com o Ensino
A Tarefa 6 (anexo 6) foi construída a partir de um gráfico publicado em 2002
pelo Instituto Nacional de Estatística (INE) no relatório Inquérito aos orçamentos
familiares 2000. Com ela pretendia que os alunos (a) fizessem a leitura e a interpretação
de um gráfico circular - primeira e segunda questões; (b) comparassem a representação
das despesas dos agregados familiares portugueses, em 2000, com uma possível
representação das referentes ao seu agregado familiar - terceira questão e (c) inferissem
uma justificação para informações contidas no gráfico. A tarefa foi realizada em pares
94
devido ao facto das questões que a constituem serem de resposta fechada e atendendo às
características da terceira questão, onde os alunos podiam apresentar uma resposta
individual.
Concretização da Tarefa
Na turma
Após a correcção dos trabalhos de casa, distribuí as fichas de trabalho e os
alunos começaram a ler e a responder às questões. A tarefa foi bem aceite. Os alunos
empenharam-se nas questões e elaboraram as respostas num curto espaço de tempo.
Apenas solicitaram o meu apoio para esclarecerem como ordenavam duas despesas com
percentagem igual e para lhes explicar, já na terceira questão, o significado de agregado
familiar. Apesar deste nome também aparecer na introdução da tarefa, os alunos apenas
se preocuparam em saber o seu significado quando a compreensão do mesmo
condicionava a resposta a uma questão.
A ficha foi resolvida com bastante entusiasmo e alguma facilidade. A questão
em que os alunos revelaram mais dificuldades foi na última, a qual pedia para indicarem
uma possível justificação para a baixa percentagem dos gastos das famílias portuguesas
em Ensino. Os próprios alunos salientaram esta dificuldade quando fizeram a avaliação
do trabalho.
Em pares
O grupo dividiu-se, o Pedro resolveu a ficha com a Carolina, o Diogo resolveu-a
com a Diana. O Pedro e a Carolina, após lerem as questões, verbalizaram o significado
de ordem decrescente - expressão mencionada na primeira questão - e começaram a dar
as respostas que foram registadas na ficha pela Carolina Na terceira questão,
concluíram que a distribuição das despesas dos seus agregados familiares era diferente e
por isso resolveram dar cada um a sua resposta apresentando as diferenças existentes.
Na última questão, os alunos responderam que a baixa percentagem de gastos
com o ensino é "porque só têm um filho porque se tivessem p'r'aí quatro já gastavam
mais". Quando os questionei sobre a sua resposta, apercebi-me que o Pedro não tinha
compreendido que as percentagens do gráfico correspondiam à média das despesas dos
agregados familiares, face ao total. Nesta altura os alunos ainda não tinham abordado o
conceito de média, tentei esclarecer o Pedro.
95
Pedro: Isto é em todas as famílias? Eu pensava que era numa família. Carolina: É em média. Pedro: Esta é difícil. Carolina: íamos tão bem! Pedro: Se calhar é porque têm SASE [subsidio]. Carolina: Mas isso não é para todas as pessoas. Porque SASE só têm alguns.
Parece poder afírmar-se que as dificuldades destes alunos persistiram porque
ainda não tinham interiorizado o conceito de média. A Carolina tentou arranjar uma
justificação geral e válida para todos os agregados familiares. Após alguma discussão
entre ambos ela referiu que a baixa percentagem de despesas com o ensino se deve ao
facto de se comprarem materiais escolares uma vez por ano, resposta que teve a
aprovação do Pedro. Esta dificuldade não foi visível nos restantes alunos. O Diogo e a
Diana trabalharam com entusiasmo na terceira questão, também escreveram duas
respostas individuais e na última referiram, sem hesitação, que a baixa percentagem de
gastos no ensino se deve ao facto da segurança social ajudar as famílias mais
carenciadas a pagarem os materiais escolares.
Na avaliação do trabalho da aula, os quatro alunos escreveram que tiveram
dificuldades em perceber porque se gasta tão pouco com o ensino. Na entrevista final o
Diogo referiu esta tarefa como uma das que mais gostou porque "vimos o que as
pessoas consomem no dia a dia, os gastos médios, e comparamos com o que nós
gastamos" (Diogo)
Apresentação e Discussão Colectiva dos Trabalhos
Na discussão colectiva, foram apresentadas e discutidas as respostas dadas às
questões e uma aluna, a Daniela, foi ao quadro fazer uma síntese das justificações
apresentadas na última questão. Os alunos mostraram-se surpreendidos com este estudo.
Joana: Pensei que se gastasse mais em vestuário. António: Achava que se gastava mais na saúde e no ensino.
Durante esta fase da aula, eu e os alunos fomos levantando várias questões.
Discutimos os seguintes assuntos: (a) funções do INE; (b) formas de recolher
informações para estudar uma situação; (c) censos 2001; (d) relação entre percentagem
96
e fracção; (e) percentagem da totalidade do círculo (gráfico circular) e (f) ordem
crescente e decrescente.
A aula em que se realizou esta tarefa foi muito boa em termos do grau de
participação de todos os alunos, do entusiasmo, da qualidade das discussões, da
ampliação de conhecimentos e das conclusões a que sc chegou.
Tarefa 7 - A População Portuguesa
A Tarefa 7 (anexo 7) tem como objectivo contribuir para o desenvolvimento das
seguintes competências: a aptidão para ler e interpretar gráficos à luz das situações a
que dizem respeito e a tendência para dar resposta a problemas com base na análise de
dados estatísticos (DEB/ME, 2001). Foi construída a partir de três gráficos publicados
pelo INE em 2002 e do seguinte excerto de uma notícia publicada pelo Diário de
Notícias:
Cinco por cento da população em Portugal é estrangeira e originária de mais de 170 países diferentes. Portugal tomou-se um país de chegada. (DN, 23/11/2003)
Os gráficos apresentam dados sobre a evolução da população residente em
Portugal entre 1981 e 2001, o número médio de pessoas por família nos dois anos civis
referidos bem como o número e a distribuição, por países de origem, de estrangeiros
com autorização de permanência em Portugal. A partir deles elaboraram-se as seguintes
questões:
1.1- Quantas pessoas residiam em Portugal em 1984? 1.2- Poderemos afirmar que entre 1981 e 2001 a população residente em Portugal esteve sempre a aumentar? Justifica a tua resposta. 1.3- Qual foi, aproximadamente, o aumento verificado na população residente, entre 1994 e 1999? Na tua opinião, quais são as razões desse aumento? 1.4- O que significa dizer que em 1991, em Portugal o número médio de pessoas por família era 3,1 e em 2001 era 2,8. 1.4.1- Sugere possíveis razões para a diminuição do número médio de pessoas por família. 1.5.1- Como explicas que nascendo menos crianças a população residente em Portugal esteja a aumentar? 1.5.2- Achas que é importante haver pessoas de outros países a trabalhar em Portugal? Porquê?
97
Concretização da Tarefa
Na turma
No início da aula, distribuí as fichas de trabalho e informei os alunos de que
teriam metade da aula para a sua realização e o restante tempo seria destinado à
correcção e discussão das respostas. Não li nem dei explicações sobre a mesma antes
dos alunos começarem a sua resolução.
Após o preenchimento do cabeçalho, os »alunos olharam para os gráficos e
começaram a responder às questões com grande entusiasmo. Durante a realização da
tarefa apenas solicitaram a minha ajuda para responderem às Questões 1.3 e 1.4.1. As
dificuldades nestas questões também foram referidas por duas alunas na auto-avaliação
do trabalho da aula no item Tive dificuldades em... e parecem dever-se ao facto da
resposta à Questão 1.3 necessitar, em parte, da consulta e comparação das informações
dadas pelos três gráficos e da resposta à questão 1.4.1 não depender da consulta de
nenhum deles. Este obstáculo foi ultrapassado quando eu lhe relembrei que a questão
apenas pede possíveis razões e que era importante a análise da informação dos três
gráficos.
Durante a realização desta primeira questão a Ana fez a seguinte observação:
"olha não pode ser, os filhos diminuem e aumentam as pessoas". A aluna parece ter
deduzido, a partir do gráfico que apresenta a diminuição do número de pessoas por
família, que diminuiu o número de filhos e que esse dado não ia de encontro ao aumento
da população. Apesar desta dificuldade, os alunos apresentaram razões que superaram
as minhas expectativas, por terem indicado aspectos que eu não tinha previsto quando
lhes apresentei a tarefa. Por exemplo na Questão 1.4.1, o Grupo VI responde:
Cada vez há mais divórcios e evidentemente as famílias separam-se vai cada um para seu lado. E hoje em dia as pessoas não acreditam no casamento...
Esperava que os alunos fizessem referência à diminuição do número de filhos
por casal, mas não às famílias mono parentais. Este grupo parece ter relacionado bem a
informação dos gráficos, pois já na Questão 1.3 utilizou a informação de todos e referiu
que a população pode ter aumentado devido aos imigrantes.
A presença de várias questões mais gerais, ainda que menos relacionadas com
conteúdos específicos de matemática, levou os alunos a olharem novamente para os
98
gráficos, a fazerem uma análise mais profunda dos mesmos e a usarem/confrontarem
todas as informações apresentadas.
No grupo
Os alunos leram a Questão 1.1, consultaram o primeiro gráfico e deram logo a
resposta. Ao registar a resposta na folha, confrontaram-se com uma dúvida relacionada
com a leitura do mesmo:
Diogo: Escreve Carolina. Em Portugal, em 1994 residiam dez mil [sic] pessoas. Diana: Olha lá, isto é em milhares, não é dez mil. Carolina: Dez milhares, então. Diogo: Dez milhares!? Dez mil milhares! Carolina: Dez mil milhares. (risos) Professora: Haverá outra forma de ler o número? Diana: Milhões. Diogo: Dez mil milhões. Pedro: Portugal tem dez milhões de habitantes. Diana: Dez milhões. É dez milhões, não é dez mil milhões.
Os alunos demonstraram dificuldades na leitura de números, contudo, o facto do
Pedro ter conhecimentos relacionados com o contexto da questão favoreceu o
desempenho do grupo, ao nível da comunicação matemática, evitando um possível erro de
leitura e escrita do número. Se o gráfico não fosse contextualizado no real ou em assuntos
do conhecimento dos alunos, esta mais valia seria impossível. Este episódio mostra-nos
como o contexto da tarefa pode influenciar o desempenho em matemática e vice-versa.
Os alunos continuaram entusiasmados a resolver a questão e na Questão 1.3
hesitaram um pouco ao tentarem justificar o aumento da população entre 1994 e 1999:
Carolina: Porque a média [de pessoas] por família aumentou e os imigrantes...". Professora: Olhem novamente para os gráficos. Olhem bem!
Os alunos olham para os gráficos e lêem em voz alta os seus títulos. A Diana
coloca a questão:
Diana: Como aumenta a população e diminui o número de pessoas por família?
Passado algum tempo a Carolina diz:
99
Carolina: Porque vieram muitos estrangeiros para Portugal, eu acho que é mais por isso porque este aqui [aponta para o gráfico da ficha que representa o número médio de pessoas por família em 1991 e 2001] este aqui desceu, não tem nada a ver.
O facto da Carolina ter descoberto uma pista para esta questão parece ter
influenciado a sua preferência por esta tarefa, pois na entrevista final, quando lhe
perguntei qual foi a tarefa que gostou mais, ela referiu que gostou de todas mas desta
em especial, justificando a sua preferência da seguinte forma:
Para já aquilo não era esclarecedor. Nós olhávamos para aquilo e não víamos logo a resposta....
Na Questão 1.4, ao olhar para o gráfico que indica o número médio de pessoas
por família, o Diogo faz o seguinte comentário:
Olha aqui. Vem sempre a diminuir em todos [todas as regiões]. Então tem duas vírgula oito pessoas! (risos). Duas pessoas e meio! (Ri-se novamente).
Parece que os colegas do Diogo não deram importância ao seu comentário e
salientaram que "se todas as pessoas tivessem o mesmo número ia dar, a média dá 2,8 "
(Diana). Eu apenas presenciei este episódio quando ouvi as gravações, por isso não o
aprofundei. O Diogo parece ter o conceito de número decimal desenvolvido, ele sabe
que não há décimas de pessoas, mas será que reflectiu sobre o conceito de média? Será
que está familiarizado com esta medida de tendência central? Porque que razão os
colegas do Diogo não comentaram a sua observação?
As restantes questões da ficha foram resolvidas rapidamente e sem dificuldades.
Na Questão 1.5.2, os alunos, apesar de considerarem que não era importante a vinda de
pessoas de outros países para trabalhar em Portugal, fizeram referência a vários aspectos
que poderiam contrariar esta conclusão. No entanto, na ficha, apenas escreveram: "Não.
Porque estão a retirar o emprego a alguns portugueses e o desemprego em Portugal tem
vindo a aumentar.".
Nesta aula, o Pedro estava adoentado e trabalhou pouco. Este facto foi
reconhecido por ele quando fez a auto-avaliação das aprendizagens e das dificuldades
nesta tarefa. No item das dificuldades, escreveu que teve "dificuldades em ajudar os
colegas nas questões da ficha".
100
Apresentação e Discussão Colectiva dos Trabalhos
Na discussão colectiva desta tarefa, foi dada prioridade de participação aos
alunos com dificuldades em Matemática de forma a apurar se ainda havia dificuldades
na leitura de gráficos. Durante esta parte da aula fizeram-se revisões à leitura e escrita
de números, à interpretação de gráficos, á noção de percentagem e ao conceito de
média. Os alunos demonstraram grande vontade em participar na discussão da aula.
Na questão 1.3, foram referidos todos os fenómenos que fazem variar a
população de um país. Durante esta fase da aula, reparei que o Grupo V apresentava
ideias contraditórias na resposta às Questões 1.3 e 1.4.1, respondendo na primeira que a
população aumentou porque o número de filhos aumentou e na segunda precisamente o
contrário. Os alunos do grupo foram sensibilizados para os perigos de analisarem
apenas uma parte da informação, não cruzarem os dados e não analisarem as respostas
que escrevem.
Na última questão, a participação de vários alunos foi muito rica em argumentos,
o que permitiu a mudança de opinião de alguns grupos. Foram referidos os prós e os
contras da imigração e a imigração ilegal. Inicialmente a maior parte dos alunos referiu
que a existência de pessoas de outros países a trabalhar em Portugal não era importante
devido ao desemprego, contudo após ouvirem as intervenções de alguns colegas,
acabaram por mudar de opinião dizendo que havia vantagens e desvantagens.
Luís: Há vantagens porque ficamos a conhecer a cultura de outras pessoas. Rodrigo: É bom porque eles escolheram Portugal e não outro país. É porque Portugal tem boas condições de vida, boa cultura. António: Eles também trabalham e isso é bom para Portugal. Muitas vezes vão fazer trabalhos que os portugueses não querem.
Apesar de fugir um pouco do contexto da aula de Matemática, a discussão
inerente a esta questão revelou potencialidades ao nível da educação para a cidadania,
uma vez que promoveu a participação de todos, o confronto de ideias e a mudança de
opiniões. Na auto-avaliação das aprendizagens e das dificuldades encontradas na
resolução desta tarefa, seis alunos referiram ter desenvolvido conhecimentos de
estatística, nomeadamente interpretar gráficos, seis referiram ter adquirido
conhecimentos relacionados com a população portuguesa e os restantes apontaram
aspectos relacionados com as duas temáticas. No item das dificuldades deram respostas
101
muito variadas, tais como: analisar alguns gráficos, responder a algumas questões,
nomeadamente às Questões 1.3 e 1.4.1 e "fazer algumas questões por o tempo não ser
muito e por dar muita atenção a outras perguntas" (Joana).
Tarefa 8 - O Consumo
A Tarefa 8, relacionada com o consumo de água e electricidade, enquadra-se na
unidade didáctica Estatística e tem como objectivos específicos da Matemática a
interpretação de gráficos de barras e o cálculo da média de um conjunto de valores. Esta
tarefa tem como base a análise das facturas/recibos do consumo de água e de
electricidade e inclui as seguintes actividades: (a) retirar informações do gráfico de
facturação da água (Questão 1.1); (b) calcular a despesa média diária, relativamente ao
consumo de água de uma dada família, durante um ano (Questão 1.2); (c) extrair
informações da factura da electricidade (Questão 1.3.1) e (d) discutir até que ponto os
cidadãos conseguem ler e interpretar estes documentos (Questão 1.4).
As razões que levaram à implementação desta tarefa foram as dificuldades
demonstradas pelos alunos na consulta das facturas/recibos da água, actividade
subjacente à Tarefa 2, descrita anteriormente. Para a sua concretização, na aula anterior
informei os alunos que iríamos trabalhar com estes materiais e solicitei que, se possível,
os trouxessem de casa.
Concretização da Tarefa
Na turma
No início da aula, os alunos foram informados das actividades que iriam realizar
e procedeu-se à distribuição das fichas de trabalho, de calculadoras e de fotocópias de
uma factura/recibo da água e da electricidade (anexo 8). O uso da calculadora justifica-
se porque a Questão 1.2 envolve cálculos rotineiros cuja resolução a papel e lápis pode
demorar algum tempo e consequentemente provocar nos alunos desinteresse pela
actividade.
Durante a concretização da tarefa, fiii circulando pelos grupos esclarecendo
dúvidas e colocando novas questões, tais como: "Olhem para o gráfico de facturação,
em que mês esta família gastou mais electricidade? E menos?".
102
ORÍACO 06 f ACnjfUCAO<EuO
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R»«d j , 36.0% I ' 35.0% j 35,0% .
Gráfico 2. Gráfico extraído de uma factura/recibo da água
Os alunos do Grupo V alertaram-me para o facto dos valores correspondentes a
cada barra do gráfico de facturação não serem bem legíveis, devido à falta de rigor na
graduação do eixo vertical. Pedi-lhes que usassem o valor que lhes parecesse mais
próximo. Esta diferença levou a que a despesa média diária calculada pelos grupos que
realizaram esta actividade com sucesso, variasse entre 38 e 40 cêntimos.
Os alunos empenharam-se na concretização destas actividades. Todos os grupos
responderam a todas as questões e só o Grupo II não calculou correctamente a média
(Questão 1.2). Os grupos preocuparam-se com a apresentação e construção das
respostas, mas discutiram pouco.
Na avaliação do trabalho, os alunos referiram que aprenderam a consultar
recibos da água e da electricidade, a calcular a média e a interpretar gráficos. Como
dificuldades, foram apontadas por alguns alunos a interpretação das questões, o cálculo
da média e a consulta dos gráficos de barras. Estas dificuldades vão ao encontro dos
estudos realizados, sobre a aprendizagem da estatística, que demonstraram que muitos
alunos revelam dificuldades na compreensão do significado matemático dos conceitos
estatísticos trabalhados durante a escolaridade básica (Carvalho e César, 2000).
No grupo
Os alunos começaram a olhar para o cabeçalho da factura/recibo da água e
depois para o gráfico. A Diana e a Carolina observaram o eixo horizontal e repararam
que cada barra se referia a dois meses. Estas alunas estavam a trabalhar como se se
tratasse de um trabalho a pares, enquanto os outros dois alunos observavam a factura da
electricidade e faziam comentários sobre ela.
103
Na Questão 1.1, apenas registaram que o gráfico lhe fornecia a informação de
quanto se pagou de Maio de 2003 a Março de 2005.
Após fazerem este registo passaram imediatamente ao cálculo da média
(Questão 1.2). Nestas, identificaram os valores correspondentes a cada barra, calcularam
a sua soma e dividiram-na por doze. Ao observar o seu procedimento questionei-os:
Professora: Porque dividiram por 12? Carolina: Para sabermos quanto gastam, p'ra saber a despesa média no ano. Professora: No ano!? Mas a questão pede a despesa média diária! Diana [com ar de insegura]: Pelos dias todos do ano. Por . . . . Pedro: Por 360 e....361. Professora: 361? Carolina e Diana: 365. Professora: mas vocês estão a fazer de 2004. Foi um ano bissexto. Carolina e Diana: 366.
Neste episódio solicitei a atenção dos alunos para o erro que estavam a cometer
e para a expressão despesa média diária. Será que, se o grupo tivesse continuado a
resolução, conseguia analisar a razoabilidade do resultado e descobrir o erro? Gastar
determinada quantia mensal de água não é o mesmo que gastar essa quantia
diariamente. Será que os alunos, no contexto desta actividade, conseguiam ver isso? As
dificuldades apresentadas no cálculo da média põem em causa a aparente ideia de que a
estatística é um item programático onde os alunos não apresentam grandes dificuldades.
No entanto, vai ao encontro da considerável quantidade de literatura que põe em
evidência a complexidade conceptual do conceito de média, particularmente quando
contextualizado (Greer, 2000).
Após o episódio referido, a Diana e a Carolina, com o auxílio da calculadora,
determinaram o quociente da soma das despesas por 366, tendo obtido 0,3797814, valor
que rapidamente fizeram desaparecer do visor da máquina para iniciarem o cálculo por
escrito. Quando as questionei sobre este comportamento, elas referiram a sua
preferência pela utilização de algoritmos de papel e lápis. Nesse momento, pensei que
elas tivessem dificuldades em efectuar arredondamentos, por isso pedi-lhes "façam lá
com a máquina". Elas atenderam ao meu pedido e eu perguntei ao grupo: "então quanto
é a despesa média diária?". A Diana respondeu 38 cêntimos. Os restantes elementos do
grupo não compreenderam bem a resposta da Diana, por isso, solicitei-lhe que os
ajudasse a analisar esse valor. As questões dos manuais são, muitas vezes, elaboradas de
forma a obter-se um valor exacto, o que justifica o facto dos alunos demonstrarem, por
104
vezes, dificuldades em trabalhar com valores aproximados, competência necessária à
resolução de problemas da realidade. Ao olhar de novo para a factura o Pedro ficou
admirado pelo facto da mesma trazer mencionado o valor do IVA.
Pedro: Olha o IVA. Isto também traz o IVA.
Este comentário do Pedro parece dever-se ás actividades relacionadas com a
Tarefa 5 - 0 IVA - realizada anteriormente.
Na Questão 1.4, os alunos consideraram que nem toda a gente consegue
interpretar as facturas, revelando uma atitude crítica sobre a forma como estas
informações são apresentadas aos consumidores.
Carolina: Os gráficos nem toda a gente consegue interpretar, já eu, que aprendi, me custa. Pedro: Podem ler as despesas mas o gráfico não. Diogo: Nem os conceitos [discriminação das despesas na factura recibo da água]
Apresentação e Discussão Colectiva dos Trabalhos
A discussão colectiva desta tarefa foi feita na aula seguinte à da sua realização,
num bloco de 45 minutos. No início da aula distribuíram-se os trabalhos já corrigidos
com as devidas anotações. Os alunos analisaram os comentários que eu escrevi e depois
discutiram em grande grupo os seguintes aspectos: significado da média aritmética e a
importância desta informação para o consumidor e o facto do recibo da electricidade
mencionar o consumo médio diário.
Professora: O que significa consumo médio diário de água? Pedro: É o gasto por dia? Professora: Mas será que, por exemplo, o meu agregado familiar gastou todos os dias aproximadamente 38 cêntimos? Pedro: Mais ou menos. Professora: Quer explicar melhor? Pedro: A s'tora vai tomar banho, não deixa a torneira aberta todo o dia, a média que a s'tora gasta. A média vai juntar. Diana: A média é como se fosse o mesmo preço todos os dias, se gastasse sempre o mesmo era 38 cêntimos. (...)
105
Professora: Acham que a informação do consumo médio diário é importante? António: Assim já sabemos o gasto médio por dia. Professora: E isso é importante para quê? Luísa: Para sabermos quanto gastamos mais ou menos por dia. Carolina: Para orientarmos melhor as despesas. Daniela: Porque podem nos estar a enganar. Joana: Nós usamos a água, será que estamos a exagerar? (...) Para nos orientarmos.
Relativamente á última questão, os alunos acham que a maioria dos cidadãos não
consegue interpretar as facturas/recibos por falta de conhecimentos e por elas serem
demasiado complexas.
Carolina: Eles vêem mas não sabem o que significa. António: Estes gráficos [das facturas/recibos] são confusos. Não se compreendem bem. Não têm tracinhos e por isso não se consegue ver o valor exacto. Raquel: Algumas pessoas não têm vontade outras não sabem porque não têm o 4°ano. Joana: Mesmo com o 4°ano não conseguem ler aquilo. É como nos livros, nós sabemos ler mas se nos puserem um daqueles livros dos Lusíadas nós não conseguimos ler.
A intervenção da Joana parece mostrar que ela acha que, para compreender as
facturas/recibos é necessário ter conhecimentos sobre elas. Os alunos referiram que
"para que todos entendessem as facturas devia vir uma carta a ensinar como se faz uma
leitura estatística" (Luísa) e que deveriam "ser gráficos e depois números" (António)
Quando, na aula, foram questionados sobre a importância que tem para eles a
realização deste tipo de tarefas, eles responderam:
António: Assim no futuro já sabemos como se fazem as coisas. Problemas do livro não dá. Assim é realidade e no livro não é. Joana: Vimos a realidade e aprendemos matemática ao mesmo tempo. Luísa: Acho que a professora põe estas coisas porque é para nos ajudar no futuro e porque envolve muita matemática. Ana: Para explicar aos nossos pais. Queremos diminuir os gastos, ajudamos os nossos pais e explicamos.
106
Tarefas 9 e 10 - As Aparências Iludem!
As Tarefas 9 e 10 (anexo 9) fazem parte da mesma ficha de trabalho e
enquadram-se na unidade didáctica Estatística. Foram propostas aos alunos na mesma
aula.
A Tarefa 9 (Questão 1) tem como objectivo a análise crítica de três gráficos. O
Gráfico 3 foi adaptado de um manual escolar do 7° ano de escolaridade.
: 2 -C. 'S ca i/i i / i o
C
:E 3ÒÒ • -
"J V
Í--' ' 1' ., ,' -
Gráfico 3. Gráfico que pretende sugerir um grande aumento dos salários numa empresa
O Gráfico 4 foi retirado de uma embalagem de champô e o Gráfico 5 de um
anúncio publicitário da Onivox, exibido por uma estação televisiva.
-ACÇÃO DO CONCENTRADO-
TESTE DE
• AMTES
• DEPOIS OA TESTE DE A l ^ B I T O
^ €0,47
X
1
i . 1 •
i
PfGÇode chamado do Imtiuito®
i k .
1
1 i j SSBSö: PfGÇode chamado do Imtiuito®
i k . > u 1 J
Gráfico 4. Gráfico retirado de uma embalagem de champô.
Gráfico 5. Gráfico retirado de um anúncio
publicitário.
A Tarefa 10 (Questão 2) também foi adaptada de um manual escolar e tem como
objectivos (a) calcular a média de um conjunto de dados, (b) identificar a moda e (c)
107
avaliar informações baseadas em dados de natureza quantitativa. Nesta tarefa propõe-se
a interpretação do seguinte texto:
Numa empresa há 20 funcionários: 15 funcionários ganham 300 euros por mês; 4 funcionários ganham 1500 euros e um funcionário ganha 4000 euros por mês. Num relatório feito á comunicação social, o director da empresa informa que o salário médio é de 725 euros.
Concretização da Tarefa
Na turma
No início da aula procedi à distribuição das fichas e os grupos começaram a
trabalhar. Fui circulando pela sala, desafiando os alunos para uma análise atenta dos
gráficos e do texto, incentivando-os a encontrar dentro do grupo as respostas para as
dúvidas que iam surgindo. Após análise do Gráfico 3, os alunos responderam á primeira
questão tendo apontado três aspectos como sendo erros do gráfico: (a) a falta de rigor na
graduação do eixo dos yy; (b) o facto do gráfico não indicar o ano correspondente a
cada barra e (c) o erro da escala. Nem todos os grupos apontaram estes três aspectos.
Uns apontaram dois aspectos, outros apenas um. Quando elaborei a ficha apenas
esperava que os alunos indicassem o terceiro aspecto supra citado, razão que justifica a
segunda questão: "Achas que este erro foi propositado? Porquê?"
Apesar dos grupos terem apontado vários erros do gráfico, na auto-avaliação
alguns alunos registaram que inicialmente tiveram dificuldades nesta questão. Esta
incongruência pode dever-se ao facto dos alunos trabalharem em grupo e a auto-
avaliação ser individual. Os alunos no grupo conseguiram ultrapassar as dificuldades e
realizar a tarefa proposta.
Na análise dos restantes gráficos (Gráfico 4 e 5) foram apontados vários
aspectos entre os quais (a) a falta de rigor na sua construção, (b) a ambiguidade da
informação apresentada, (b) a insuficiência de dados.
% «Tb tss^iíftAcr A ET V"® ^ ^ (àowiaiio ,
(Grupo V)
108
Na quarta questão da Tarefa 9 (Caso 3), os alunos discutiram as razões pelas
quais os anúncios publicitários recorrem frequentemente a gráficos para apresentar os
produtos e salientaram que os gráficos influenciam e chamam mais a atenção do que os
textos, porque muitas pessoas só olham para o gráfico e não lêem as legendas nem os
valores.
(Yl O <4!AVvn ^áAO, gj) M / ) ^ ^ÍJULMiq^ ^
Na Tarefa 10, os alunos calcularam a média e indicaram a moda dos dados que
lhe foram fornecidos. De seguida, verificaram que a informação dada pelo director da
empresa estava correcta pelo que, inicialmente, revelaram dificuldades em fazer um
comentário da mesma, solicitando o meu apoio. Ajudei-os a clarificar este facto através
das questões:
Qual é a moda dos salários? Comparem os valores da moda e da média. Porque razão o director da empresa deu a conhecer a média dos salários e não a moda? Se ele apenas comunicasse a moda, a reacção das pessoas a quem ele transmitiu a informação seria a mesma?
Durante a concretização destas tarefas, os alunos demonstraram empenho,
alegria e um bom ritmo de trabalho. A sua actividade foi intensa e as conclusões a que
chegaram foram significativas ao nível da matemática e da educação para a cidadania.
Na auto-avaliação realizada no final da discussão colectiva, os alunos referiram
que aprenderam: "uma grande lição de vida" (Luísa); "a não se deixar enganar ou seja a
observar melhor os gráficos" (Diana) e "que as pessoas podem usar o seu conhecimento
de matemática para enganar os outros" (André). Apresento a seguir, um excerto da auto-
avaliação efectuada pela Luísa, onde refere o que aprendeu.
109
aprendi.
^ '^o^^iSítM MíífX -J^ÇOJ d? iK^a^
Um dos alunos leu a introdução da ficha e a primeira questão, depois olharam
para o Gráfico 3 e tentaram encontrar os erros. Quando chamei a sua atenção para o
eixo das ordenadas, os alunos descobriram que alguma coisa não estava bem na sua
graduação.
Diogo: Vai de 100 em 100, mas aqui vai 300.... de zero para 300. Tem de ir sempre a mesma quantidade. Professora: Então onde deveria estar o 400? Carolina: [Apontando para próximo do 300] Aqui. Isto deveria ir de 100 em 100. Diogo: Só agora chegaste aí?
Após detectarem este erro do gráfico, os alunos reflectiram sobre os motivos do
mesmo, conforme proposto na Questão 1.2 desta tarefa. A Carolina começou por ler
novamente a questão e, de seguida, todos os elementos do grupo contribuíram com a
sua opinião:
Carolina: Achas que este erro é propositado? Pedro: Pode ter sido. Carolina: Pode ter sido porquê? Diogo: É propositado. Olha lá. Os trabalhadores pensam que aumentou muito e não aumentou. Olha lá! Se eles olhassem p'r'aqui viam. Mas se eles não olhassem p'r'aqui? Diana: É propositado de certeza. De certeza porque os trabalhadores vão pensar que o aumento é mais ou menos 300 euros e é só 100.
O facto da ficha incluir a questão "Achas que este erro é propositado? Porquê?"
permitiu que os alunos reflectissem sobre a forma como a informação é apresentada e
sobre a possibilidade da mesma manipular a opinião dos receptores. Sem esta questão.
110
apresentada por escrito ou oralmente, os alunos poderiam limitar-se à procura e ao
registo dos erros do gráfico e perder a oportunidade de perceberem o poder do uso da
estatística. A exploração da mesma proporcionou situações favoráveis ao
desenvolvimento do espírito crítico dos alunos e ao reconhecimento da necessidade de
analisarem a informação com que contactam diariamente.
Após a observação dos Gráficos 4 e 5, o Pedro mostrou-se admirado quando
teve a sensação de que já tinha visto um dos gráficos. Por isso chamou-me e perguntou:
"S'tora este é o gráfico do champô da maçã?". O facto de o aluno já ter visto o gráfico
fora dos livros parece ter constituído um factor de motivação para a realização da
tarefa. Este, após ter ouvido uma resposta afirmativa por parte da professora, disse
"Que fixe!" e começou de imediato a ler as questões propostas.
Após a análise de ambos os gráficos o grupo registou o seguinte: "Achamos que
o Caso 2 [gráfico 4] não é suficientemente esclarecedor ao contrário do Caso 3
[gráficoS] que é bastante esclarecedor."
Após ter olhado para a resposta dos alunos, fiquei com a ideia de que eles
poderiam não ter lido a legenda do gráfico do caso 2, desta forma chamei a sua atenção
para a mesma. Os alunos referiram que o gráfico só se percebe quando se olha para a
legenda e que as pessoas nem sempre olham.
Carolina (dirigindo-se para o grupo): Olhas para isto e percebes, mas olhas só para aqui e não percebes.
A um nível mais avançado, também se poderiam questionar os alunos sobre a
clareza da legenda do gráfico para os consumidores, principalmente sobre a facilidade de
confundirem a acção do concentrado activo de frutos com a do próprio champô.
Relativamente ao Gráfico 5, que os alunos acharam esclarecedor questionei o
grupo sobre o seu conteúdo.
Professora: A diferença entre o preço da chamada da Onivox e das outras redes é significativa? É muito grande? Diogo: Da PT para a Onivox é Cjuase o dobro. Professora: Vejam os valores. E o dobro? Carolina: Não. Em termos do gráfico a diferença é muito grande mas em termos de valores nem por isso.
111
Os alunos verificaram que a altura das barras não era proporcional aos valores
nelas registados.
Na discussão das razões que levam os anúncios publicitários a recorrer a
gráficos os alunos referiram que:
Por um lado os gráficos são bons porque ainda há pessoas que não sabem ler e que por isso os gráficos ajudam. Mas por outro é mau porque utilizando os gráficos pode-se enganar as pessoas que não estão informadas.
Na Tarefa 10 (Questão 2), os alunos calcularam a média dos salários dos vinte
funcionários e indicaram a moda. Estas actividades foram executadas sem dificuldade e
com o auxílio da calculadora.
A tarefa solicita ainda a realização de um comentário á informação dada pelo
director da empresa, tendo em atenção a moda dos salários. Após a leitura desta questão,
os alunos mencionaram o facto da informação transmitida estar correcta, pois o valor
indicado pelo ftincionário era igual ao que eles próprios calcularam. Por isso, revelaram
dificuldade em compreender o propósito desta questão.
Carolina: S'tora não estou a perceber! Diogo: Qual é o objectivo?
Para colmatar as dúvidas que surgiram, criei uma situação hipotética análoga á
descrita, baseada nos níveis da avaliação sumativa dos alunos. Perante a mesma, a
Diana fez o seguinte comentário "pois é p'ra não dizer que tem funcionários a ganhar
pouco diz a média, é para tentar enganar as pessoas".
Esta tarefa permitiu que os alunos desenvolvessem a compreensão do conceito
de média e tomassem conhecimento das limitações da estatística e do seu poder
persuasivo.
Apresentação e Discussão Colectiva dos Trabalhos
A discussão das Tarefas 9 e 10 foi feita na aula a seguir à sua realização. Nesta
aula pedi a um aluno que fosse ao quadro construir um gráfico mais rigoroso, utilizando
112
os dados do Gráfico 3, e levei representado num acetato um gráfico circular com os
dados do Gráfico 5.
Durante a discussão colectiva, todos os alunos mostraram vontade em apresentar
as suas críticas aos gráficos, as quais foram de vários tipos. Fizeram referência à falta de
rigor da escala, a qual não pemiite uma leitura rigorosa, e à ausência de datas, facto que
impossibilita o receptor de saber se o aumento foi a curto ou a longo prazo. Na sua
crítica, os alunos referiram mais aspectos do que aqueles que eu tinha detectado quando
concebi a tarefa. A participação dos alunos veio assim proporcionar a ampliação de
conhecimentos.
Quando a Joana desenhou no quadro um novo gráfico com a informação do
Gráfico 3, os alunos reagiram imediatamente, fazendo os seguintes comentários: "assim
já não parece o aumento tão grande" (Diogo); "fizeram o gráfico mal para as pessoas
pensarem que era uma aumento maior" (Tatiana).
Na interpretação do Gráfico 4, os alunos afirmaram que o mesmo é enganador
porque nem todas as pessoas lêem a legenda que se encontra em letras de tamanho
pequeno. A respeito deste gráfico a Luísa referiu: "Oh S'tora quem vir o gráfico parece
que o cabelo alisa logo e não alisa".
Na discussão do Caso 3, foram referidos os aspectos mencionados pelo grupo
que se estudou mais pormenorizadamente e acrescentaram-se outros tais como (a) o
facto do gráfico não mencionar a rede para a qual eram feitas as chamadas, (b) a
dificuldade de leitura dos valores e (c) a cor referente à Onivox ser mais garrida.
Quando apresentei os dados deste gráfico num gráfico circular os alunos demonstraram
admiração pela diferença entre ambos.
Na Tarefa 10 discutiu-se o significado da média no respectivo contexto. As
dúvidas colocadas pelos alunos, na última questão, fomecem indícios de que os mesmos
revelam dificuldades na compreensão deste conceito no contexto onde estava inserido.
As Tarefas 9 e 10 parecem revelar potencialidades para o ensino e a
aprendizagem da estatística uma vez que as actividades inerentes às mesmas se centram
na compreensão das ideias e no sentido crítico. Na sua concretização, os alunos
chegaram às seguintes conclusões: (a) muitas vezes a matemática presente nos anúncios
publicitários é utilizada de forma a deixar transparecer ou reforçar certa ideia e (b) se as
pessoas estiverem informadas fazem uma leitura atenta dos anúncios publicitários e não
se deixam enganar por eles. Ao compreenderem e responderem a questões como as que
surgiram durante a realização desta tarefa, os alunos estão a desenvolver o poder
113
matemático e o poder social para a sua emancipação, objectivos da educação
matemática crítica apontados por Ernest (2002).
Promoção da Educação para a Cidadania
Nesta secção vou tentar encontrar relações entre a proposta pedagógica
apresentada e a promoção da educação para a cidadania. Para isso pretendo debruçar-me
sobre as tarefas que foram propostas, a forma como foram concretizadas, o trabalho dos
alunos e a avaliação que eles fazem desta experiência.
Mostrou-se possível desenvolver actividades para promover o desenvolvimento
da literacia matemática e a promoção de competências de cidadania. As tarefas
permitiram um maior conhecimento e debate de temas que poderiam constituir os
conteúdos de uma área curricular de educação para a cidadania. Estes temas foram
referidos pelos alunos na auto-avaliação do trabalho (anexo II) e na carta que
escreveram a um amigo.
O contexto das tarefas proporcionou a promoção de valores, a compreensão de
conceitos e a aquisição de conhecimentos que poderão ser úteis no quotidiano dos
alunos. Estes reconheceram as suas potencialidades, investiram na sua concretização e
demonstraram que a actividade escolar baseada nestas tarefas teve neles um impacto
positivo e grande importância na sua formação pessoal. Os indicadores
comportamentais que demonstraram que esta proposta pedagógica favoreceu o
desenvolvimento de competências de cidadania crítica e participativa foram os
seguintes:
a) Emissão de juízos de valor e opiniões baseadas na reflexão crítica, em
conhecimentos matemáticos no raciocínio lógico e na análise das situações. Os
alunos questionaram situações concretas e expressaram ideias, sobre pessoas e
problemas, argumentando-as;
b) Proposta de soluções e desenvolvimento de acções em situações difíceis ou
de impasse. Os alunos contribuíram em momentos precisos com sugestões,
apresentando, no momento adequado, soluções para os problemas que surgiram;
c) Tomada de decisões. Os alunos tomaram decisões com base em actividades
matemáticas e na opinião dos colegas de grupo;
d) Superação de difículdades sem a ajuda contínua de outras pessoas.
114
d) Respeito pela opinião dos outros. Os alunos relacionaram-se sem causar
situações de conflito.
Nesta proposta privilegiou-se o aluno enquanto cidadão consumidor, tomando
consciência das consequências de determinadas opções de consumo, pretendendo-se
que ele desenvolvesse uma postura de cidadão informado e crítico usando a
matemática. Na avaliação da experiência, feita através da escrita de uma carta a um
amigo, a Adriana escreveu:
Estas aulas foram importantes para mim porque trabalhámos com assuntos reais e isso faz-me compreender o mundo dos adultos e acho que isso me vai ajudar imenso no futuro.
Em conversas informais com os alunos do grupo que analisei, os mesmos
referiram que os problemas que costumavam fazer eram inventados e apontaram
vantagens em trabalhar sobre tarefas com referência à realidade. A este respeito a
Carolina referiu:
Os problemas dos livros são inventados . . . metem sempre os mesmos nomes...fazer problemas sobre coisas reais é mais giro e dá mais interesse.
Os problemas descontextualizados da realidade podem levar á desmotivação de
alguns alunos e, para muitos, a aquisição de saberes descontextualizados de nada lhes
servirá. Muitos professores preocupam-se que os seus alunos assimilem o maior
número de conhecimentos possível, contudo não lhes mostram a aplicação dos mesmos
nem lhes dão tempo para aprenderem a servir-se deles, embora sejam necessários na
vida quotidiana, familiar, profissional e política dos cidadãos. A acumulação de um
saber desçontextualizado só é verdadeiramente útil para os alunos que tiverem o
privilégio de o aprofundar durante o prosseguimento de estudos ou a formação
profissional, de o contextualizar e de se servirem dele para resolver problemas e tomar
decisões (Perrenoud, 2002).
Os participantes neste estudo referiram que, após esta experiência, já olhavam
para as facturas do consumo de água e electricidade e para os recibos do supermercado
e que estavam mais atentos.
115
Não costumava analisar as facturas ...nem sequer sabia o que era o IVA, agora já analiso . . . no IVA ainda tenho um bocadinho de dificuldade. Agora quando vêm os anúncios eu reparo (entrevista com o Diogo). Eu não sabia o que era o IVA. Já tinha ouvido falar mas não sabia o que era (Entrevista com a Carolina). Eu costumava ver aqueles números na montra [saldos] ...mas nunca percebi muito bem quanto era o desconto (Conversas informais com a Carolina). Eu olhava para os preços que vêm nos recibos e nas facturas, agora já olho para os gráficos e para o IVA . . . agora já estou virada para ver as coisas, os gastos, a tomar mais atenção às coisas, (entrevista com a Diana).
As observações descritas demonstram que esta experiência foi importante e que
essa importância não se restringiu à aula de Matemática, estendendo-se para fora da
escola.
A proposta pedagógica proporcionou aos alunos o reconhecimento do contributo
da matemática na resolução de problemas da sociedade. Para tomarem decisões ou
opinarem sobre determinado assunto, os alunos tiveram que recorrer a conceitos e
procedimentos matemáticos. Quando tiveram que decidir se deveriam ou não aproveitar
uma promoção, quando necessitaram de avaliar o prejuízo causado por uma torneira
mal fechada durante um dia, quando precisaram de saber qual o valor do IVA de
determinado produto ou quando foram solicitados a emitir a sua opinião sobre o
conteúdo de uma informação, os alunos tiveram que utilizar ferramentas matemáticas.
Os alunos foram confrontados com situações que ilustram o poder da
matemática na formatação da sociedade. A discussão destas situações proporcionou-
lhes a tomada de consciência de como a matemática é usada e do papel fundamental
que exerce na organização da sociedade. Quando foram confrontados com as taxas do
IVA, o facto dos aumentos serem proporcionais, os escalões de cobrança da água, a
utilização das medidas de tendência central, e as formas de representação de algumas
informações por meio de gráficos, tiveram oportunidade de olhar a matemática de
forma crítica. Os resultados observados vêm fortalecer a ideia de que analisar e
desconstruir modelos matemáticos presentes no dia-a-dia da sociedade, cria
oportunidades de debate e reflexão sobre os seus aspectos sociais e políticos e pode
constituir a matemática como vector da educação para a cidadania (Matos, 2000) e de
que a aula de Matemática é um espaço que pode servir de base ao dia-a-dia do cidadão
informado, crítico e participativo (Jablonka, 2002).
116
As problemáticas das tarefas: Aumentos Salariais; Os Recibos do
Supermercado; O Consumo e As Aparências Iludem parecem enquadrar-se na
perspectiva de literacia matemática cujo foco é a educação para a cidadania crítica e na
perspectiva da educação matemática crítica, defendida por diversos autores, segundo o
qual o conhecimento também se pode construir mediante a discussão e análise crítica de
problemas sociais e políticos controversos (Matos, 2004a; Skovsmose, 2001;
Skovsmose, 2005).
Esta experiência permitiu fomentar junto dos alunos que a importância de nos
sentirmos informados e com opinião formada acerca das decisões que se tomam ao
nível político, e que muito afectam o nosso dia-a-dia. Também promoveu a tomada de
consciência de que a matemática exerce um papel fundamental na sociedade, e que um
cidadão matematicamente competente tem maior poder de participação nas estruturas
sociais do que um cidadão que não interpreta correctamente a informação transmitida
por um gráfico, que não consegue argumentar critica e logicamente na defesa dos seus
pontos de vista ou que não desenvolveu competências que lhes permitem ir bastante
mais longe ao nível do cálculo e da experimentação na resolução de problemas. Na
discussão das últimas tarefas, vários alunos referiram a necessidade de se estar
informado para evitar ser-se enganado. Esta ideia é visível nas seguintes intervenções:
Querem [as pessoas que construíram os gráficos] enganar as pessoas que não são formadas (Carolina, trabalho de grupo. Tarefas 9 e 10) As pessoas pensam que a matemática está sempre correcta, mas nem sempre os gráficos estão correctos (João). Devemos ter atenção às coisas de Matemática . . . nem todos sabem matemática e as pessoas servem-se disso para enganar, vender mais e até outras coisas. (Joana, auto-avaliação. Tarefas 9 e 10).
Questionada sobre o facto da escola preparar ou não as pessoas para não se
deixarem enganar a Carolina salienta esta experiência dizendo:
A mim alertou-me. Mas não sei se nas outras aulas fazem isso...se outros professores fazem o mesmo.
Estas aulas parecem ter dado poder aos alunos que, em diversas situações,
referiram "nós sabemos porque estudamos, mas a maior parte das pessoas não sabe,
porque andaram pouco tempo na escola e não aprenderam". Além disso, a participação
de todos fez com que não se notassem tantas diferenças individuais entre os
117
considerados bons alunos e aqueles que revelam dificuldades ao nível da matemática
escolar. Este aspecto é visível numa afirmação do Pedro durante a entrevista: "os alunos
mais fracos trabalharam mais nestas aulas. . . nestas há mais entusiasmo, mais
compreensão".
As vantagens desta proposta consistiram na fomentação de uma posição mais
crítica, activa, participativa e autónoma por parte dos alunos que, através dela, foram
chamados a interpretar, discutir e criticar situações contextualizadas na realidade e
problemas sociais. Promoveu-se o pensamento crítico de forma a preparar os alunos
para não se deixarem manipular pelas informações confusas e incompletas a que somos
submetidos diariamente.
A metodologia de trabalho adoptada - trabalho em pares, trabalho de grupo e
trabalho em grande grupo - também parece ter contribuído para o sucesso desta
experiência em termos de educação para a cidadania. A este respeito a Carolina diz:
Ao estarmos em grupo um dá uma ideia, outro dá outra e ao fim juntamos tudo e obtemos a resposta final" (entrevista).
O Pedro salienta que a Diana, aluna com bom rendimento escolar, nestas tarefas
não teria tanto sucesso, se estivesse a trabalhar sozinha:
Estas fichas eram diferentes na compreensão. Tinham assim mais aperto . . . mais resposta. Se for só um a fazer não consegue. Por exemplo se for só a ... [Diana] a fazer ela não deve conseguir.
Esta intervenção demonstra que o aluno reconheceu que para a realização destas
tarefas não basta possuir muitos conhecimentos em matemática, são necessárias outras
competências, e que a participação e intervenção de todos é fundamental para se obter
sucesso nas respostas. O aluno reconhece que apesar de ter algumas dificuldades em
Matemática o seu contributo foi essencial para a realização deste trabalho. Este aspecto
também foi reconhecido pelos elementos do grupo.
Em síntese, a exploração deste tipo de tarefas parece ter contribuído para criar
espaços de debate e de discussão, orientar o processo de ensino e aprendizagem segundo
uma lógica de "empowering" dos alunos, levando-os a fazer escolhas, a tomar decisões,
a avaliar o impacto que uma decisão pode ter e a compreender o poder da matemática na
sociedade. Neste sentido, as aulas foram espaços onde, em simultâneo com as
118
exigências inerentes ao processo de ensino e aprendizagem de conhecimentos
específicos da disciplina de Matemática se proporcionaram aos alunos vivências de
cidadania, uma vez que, os alunos foram chamados a participar, a fazer escolhas, a
criticar e a decidir.
Os resultados desta experiência mostram-nos que é possível desenvolver uma
prática pedagógica que vise o desenvolvimento da literacia matemática e a promoção de
competências de cidadania e que as tarefas matemáticas contextualizadas na realidade
parecem, de acordo com os resultados, desempenhar um importante papel. Estas tarefas
permitiram extrapolar o foco da aprendizagem da matemática em si para valorizar a
formação de alunos mais atentos, críticos, conhecedores dos problemas que afectam a
sociedade e motivados para participar na comunidade.
Aprendizagem da Matemática Escolar
Nesta secção pretendo analisar as relações entre esta proposta pedagógica e a
aprendizagem da matemática escolar.
Em todas as tarefas que constituem a proposta estiveram envolvidos objectivos,
conteúdos e competências específicas da Matemática propostas nos documentos
oficiais. A proposta engloba um conjunto de conceitos que se relacionam com vários
domínios da Matemática, proporcionando conexões entre vários conteúdos da
Matemática e, também, conexões com outras áreas do currículo.
Durante as aulas em que decorreu esta experiência os alunos adquiriram e
mobilizaram conhecimentos, utilizaram estratégias formais e informais de resolução de
problemas e utilizaram processos cognitivos complexos. A diversidade e complexidade
de acções e processos mentais que esta proposta implicou proporcionaram-lhe
oportunidades para desenvolverem capacidades e competências de um nível superior.
Na carta que escreveu a um amigo, a Joana fez o seguinte resumo do trabalho realizado
durante as aulas em que decorreu a experiência:
Fizemos diversas coisas. Demos as proporções, a propriedade fundamental das proporções, fizemos acetatos, demos a proporcionalidade directa, a estatística, os gráficos e outras coisas, fizemos fichas, resolvemos problemas em grupo, vimos, explorámos, analisámos, retirámos conclusões...
119
Nestas aulas não houve problemas de indisciplina, embora tivesse registado
alguns momentos em que os alunos estavam mais agitados, consequência das
metodologias de trabalho adoptadas - trabalho de grupo e discussão colectiva das
respostas dos alunos - e do facto de todos quererem participar. Todos os alunos, mesmo
aqueles que eram considerados alunos com mais dificuldades, deram contributos para a
concretização das tarefas. Todos se envolveram nas discussões, nos confrontos de ideias
e tentaram justificar os seus pontos de vista.
A partir dos resultados desta experiência, parece poder afirmar-se que o tempo
investido na discussão de temas que saem do domínio específico da disciplina de
Matemática não dificultaram o cumprimento do programa nem reduziram a aquisição de
conhecimentos programáticos. Este tempo foi compensado, uma vez que os alunos
revelaram maior predisposição para a aprendizagem, maior investimento na execução
das tarefas, motivação para continuarem as suas aprendizagens fora da sala de aula e do
contexto escolar e uma melhor compreensão dos conceitos envolvidos. Alguns destes
aspectos foram reconhecidos pelos alunos, que referiram nas entrevistas:
Acho que [estas aulas] nos puxam mais à atenção e temos mais vontade de fazer as perguntas que nos pedem (Carolina). O nosso grupo acabou sempre, nunca desistiu. Eu senti-me mais importante. Porque me senti mais confiante porque senti que ia subir a nota porque achei que com tanto trabalho poderia subir a nota. Nestas aulas tinha mais vontade de fazer, não tinha tanta preguiça. Eu nos outros problemas tinha fraqueza . . . aqui tive muita genica (Pedro).
O depoimento do Pedro mostra como esta experiência foi útil para ele,
proporcionando-lhe o desenvolvimento de uma atitude positiva face ao seu
desempenho na disciplina e também da sua auto-estima.
Na entrevista fmal, os alunos do grupo que se estudou mais
pormenorizadamente, foram confrontados com a questão "nas aulas em que realizaste
estas tarefas aprendeste mais ou menos matemática que nas outras aulas, por exemplo
em aulas do género das do primeiro período?". Todos afirmaram que aprenderam mais,
alegando que nestas aulas tiveram uma postura mais activa, que os assuntos eram mais
interessantes e que foram resolvidos mais problemas. O Diogo respondeu que aprendeu
mais porque "a s'tora estava sempre a picar-nos. Tínhamos de estar sempre a tentar. E
tínliamos que estar sempre a justificar". A Diana hesitou nesta questão, confrontada com
120
ela, respondeu: "mais matemática... mais matemática... aprende-se nas duas mas talvez
nestas se aprenda mais porque tocamos noutros assuntos que são importantes para a
Matemática... não é só contas que é importante para a Matemática". A Carolina referiu
que aprendeu mais matemática porque "a s'tora insistiu muito nos problemas e isso é
importante . . . ficamos muito mais preparados".
O facto dos alunos trabalharem a Matemática a partir de situações reais ajudou-
os a dar sentido às aprendizagens e a envolverem-se activamente na resolução das
tarefas. Os conceitos e os procedimentos matemáticos, surgiram como ferramentas
auxiliares para ajudar à compreensão das tarefas, à sua resolução, à fundamentação das
suas opiniões e à tomada de decisões, tal como se pode verificar nas seguintes respostas
dadas, respectivamente, às questões 1.2 da Tarefa I e 2.4 da Tarefai0:
Sim. Porque levar 3 só custa mais 19 cêntimos do que 2 e se precisar de mais algum não é preciso ir comprar porque já tem. (Grupo III) A média dos salários que o director da empresa deu é correcta mas os salários são muito desequilibrados (Grupo V)
No trabalho escolar da turma foi visível uma cultura de participação, conseguida
através desta proposta pedagógica. Os alunos interagiram dentro do grupo de trabalho a
que pertenciam e fora do grupo, com outros alunos da turma e com a professora. Em
casa, alguns alunos discutiram estes assuntos com os seus familiares, tal como se pode
ver nos seguintes excertos:
Falei com minha mãe sobre os gastos dos portugueses . . . eu e ela estivemos a ver os recibos da água e da luz e a comparar com o que a s'tora deu (Entrevista com o Diogo). Quando vou ao supermercado com o meu pai peço-lhe os recibos e olho (Entrevista com a Diana).
Questionado sobre o seu papel no grupo de trabalho o Diogo disse:
Dei-me bem com todos . . . trabalhávamos todos e tirávamos as dúvidas uns aos outros. A . . . [Carolina] escreve mais, porque tem uma letra fixe. A . . . [Diana] dá muitas opiniões depois é ela que... é ela que costuma dizer as frases. A gente damos [sic] muitas opiniões, mas é entre todos, e depois vamos juntando aquilo e depois fazemos as frases. Eu costumo dar opiniões e fazer os problemas. O . . . [Pedro] também dá muitas opiniões e faz contas, escrever é que ele não costuma escrever (Entrevista com o Diogo).
121
o contributo de cada aluno e o modo como se envolveu nas actividades foi
muito importante para que a proposta fosse bem sucedida. No trabalho da turma,
verifica-se a existência de um fazer conjunto com complementaridade de papéis e
competências e com troca de experiências e conhecimentos.
A visão com que fiquei desta turma aproxima-se do conceito de comunidade de
prática, apontado por Lave e Wenger (1991) e Wenger (1998). Há um engajamento
mútuo dos participantes que se caracteriza por um envolvimento activo dos mesmos nas
actividades no qual se verificam relações, interacções e práticas (Wenger, 1998). O
conhecimento foi construído a partir da prática, baseada nas interacções entre os
participantes. Os alunos e a professora trabalharam conjuntamente, deram opiniões,
partilharam dúvidas e discutiram ideias com o objectivo de chegarem a um consenso e
tomarem decisões sobre determinada situação. A participação de uns levou ao ajuste e
reformulação das ideias dos outros, as actividades foram-se estruturando de forma
própria a partir das transformações internas e das mudanças de participação dos alunos
na actividade que ia configurando novas formas de participação. Neste processo, os
alunos foram desenvolvendo significados, que não sendo idênticos, acabaram por se
conjugar e ganhar visibilidade dentro da prática, contribuindo para se atingirem os
objectivos visados.
As aulas consistiram fundamentalmente na participação activa dos alunos e da
professora tendo ambos partilhado os mesmos recursos: ferramentas, vocabulário,
procedimentos, hábitos e comportamentos. Ao utilizar artefactos da matemática para
resolver as situações contextualizadas na realidade, os alunos atribuíram novos
significados aos conceitos matemáticos, ampliando o seu significado e dando-lhe até
uma maior importância. Também ficou evidente nas entrevistas e nas conversas
informais que, para os alunos, ter estudado matemática foi fundamental para
interpretarem as situações propostas e para não se "deixarem enganar". Durante esta
experiência, foi visível a perspectiva da aprendizagem situada no contexto criado, pois
os alunos ao mesmo tempo que pensavam nas tarefas propostas como sendo problemas
reais tentavam solucioná-los com os meios escolares, servindo-se do contributo
resultante da experiência de cada participante.
Ao longo das actividades notou-se uma evolução dos alunos quando
trabalhavam em grupo e quando faziam a discussão colectiva, estes mostraram-se
progressivamente mais organizados e mais capazes de ouvir os outros e de argumentar.
Também se notou uma melhoria na compreensão dos conceitos matemáticos
122
subjacentes às tarefas. A Carolina na entrevista parece referir-se a algum destes
progressos.
Nas primeiras tive mais dúvidas, mas depois comecei a ver como fiincionava e já foi melhor . . . muitas pessoas não gostam de matemática mas quando começam a ver como aquilo funciona começam a gostar.
A Diana, apesar de ser boa aluna, apenas participava oralmente na aula quando
solicitada e só o fazia se tivesse a certeza de que a sua resposta estava correcta. Nestas
aulas, talvez por ter reconhecido a valorização deste parâmetro, melhorou a sua
participação, aumentando as suas intervenções orais, aspecto que ela própria
reconheceu:
Agora participo mais, falo mais por causa destas aulas . . . Este período foi importante para mim porque eu antes tinha vergonha de por o dedo no ar (Entrevista).
Os argumentos utilizados pelos alunos foram-se tomando mais ricos em
conteúdo: com o avançar da experiência, foram incorporando nas suas discussões
conhecimentos escolares de várias áreas curriculares, sobretudo de Matemática, e
conhecimentòs adquiridos fora do contexto escolar.
A Percepção dos Alunos Sobre a Experiência
Na carta que os alunos escreveram a um amigo na qual relataram a forma como
decorreram as aulas de Matemática do segundo período (anexo 12), todos os alunos
consideraram que estas foram diferentes e as avaliaram positivamente. Nos textos que
escreveram, a maior parte dos alunos fez referência a conteúdos específicos da
Matemática - proporcionalidade directa, proporções, identidade fundamental das
proporções, moda, média, gráficos e tabelas - a temas do quotidiano - saldos,
promoções, IVA, consumo, imigração - e as competências - participação, reflexão e
análise.
123
A Joana reconheceu nestas aulas duas potenciahdades: a aprendizagem de
conteúdos específicos da Matemática e a preparação para o futuro, como se estes dois
aspectos fossem independentes:
A s'tora de matemática ensinou a matéria de um modo diferente. Dividiu a turma em grupos e deu a matéria através de problemas com a realidade, ou seja ensinou-nos a matéria e preparou-nos para o futuro . . . esta maneira de ensinar acho que é sem dúvida muito útil para nós.
A preparação para o futuro é referida por vários alunos, os quais escreveram que
(a) estas aulas lhe fizeram "compreender o mundo dos adultos" (Adriana), (b)
adquiriram conhecimentos para que, quando forem adultos, não se deixem enganar e (c)
que as mesmas os vão ajudar no futuro. A este respeito a Luísa escreveu que "nestas
aulas deu para ver que a professora se preocupa com o nosso futuro". Que aspectos da
aula teriam conduzido a esta afirmação? Será que nas outras aulas esta preocupação não
está presente? Porque razão não é percepcionada pelos alunos?
Apesar de ter seguido a mesma metodologia em diversas aulas da proposta
curricular e as tarefas serem do mesmo tipo, os alunos não se mostraram saturados e a
diversidade foi apontada por vários alunos:
As aulas eram todas diferentes, umas eram da água, outras dos imigrantes, ...não foi nada igual (Carlos). As aulas foram diferentes porque não fazíamos sempre a mesma coisa, e isso é muito bom, porque ao fazermos coisas diferentes não nos fartamos da matéria, foi o que aconteceu comigo (Carolina).
O facto de se terem discutido diversos temas levou os alunos a sentirem-se
motivados e a considerarem as aulas diferentes umas das outras.
Vários alunos fizeram referência à relação das tarefas com assuntos da
realidade, aspecto que lhes agradou bastante e que teve um peso especial no seu
desempenho. A Adriana referiu que estas aulas foram importantes porque "trabalharam
em assuntos reais" e a Daniela referiu que tinha gostado de "fazer trabalhos com coisas
reais e do dia-a-dia".
A realização destas tarefas parece ter tido uma influência positiva no
desenvolvimento de novas concepções sobre a aprendizagem da Matemática. No
primeiro questionário realizado à turma, no item que pedia a escrita de argumentos que
124
justificassem a introdução desta disciplina no currículo do 6°ano (item 2 anexo 10), seis
alunos referiram como argumento a necessidade da Matemática para "arranjar
emprego" ou "ir para um curso [superior] com Matemática". Na carta que escreveram a
um amigo e nas entrevistas realizadas registam-se argumentos diferentes, baseados
nesta experiência, tais como:
Resolver problemas que me vão ser postos no dia-a-dia (Carolina). Utilizar talões . . . ver o IVA . . . trabalhar com facturas de água e electricidade (Rodrigo). Para aprendermos coisas do mundo e da vida . . . para nunca cair numa armadilha (Pedro).
Nestas aulas os alunos tiveram uma participação mais activa. Mesmo os alunos
que noutras aulas desistiam facilmente das tarefas, nestas mostraram-se mais
empenhados. Este aspecto foi reconhecido por muitos. O Carlos escreveu que
neste período trabalhei mais do que no primeiro . . . as aulas não foram iguais, fizemos trabalhos diferentes uns eram da água outros dos imigrantes foi tudo diferente.
O Paulo é um aluno com Necessidades Educativas Especiais associadas a
problemas emocionais. Nas aulas em geral, revela alguns problemas de concentração.
No seu relato escreveu: "Eu nas aulas de Matemática estou empenhado e gosto muito
de participar". O João, aluno que também tem Necessidades Educativas Especiais e
que, nas diversas disciplinas, apresenta dificuldades de aprendizagem, escreveu:
Eu gostei das aulas de Matemática porque puxam pela cabeça e a s'tora chega sempre ao ponto de tirar da nossa cabeça a resposta.
A Adriana também menciona que "as aulas foram mais animadas que as do
primeiro período porque aprendi mais coisas".
Os relatos dos alunos mostram a importância que eles atribuíram à experiência
que lhes permitiu melhorar a participação e desenvolver uma atitude positiva face á
Matemática. Os alunos, com poucos conhecimentos dos conteúdos da matemática
escolar, reconheceram esta proposta como uma ponte para a participação activa nas
aulas e uma oportunidade para demonstrarem que também são capazes.
125
Capítulo 5
CONCLUSÕES
Neste capítulo apresento uma síntese do estudo, onde recordo os objectivos, a
metodologia de investigação e a proposta pedagógica. De seguida, apresento as
principais conclusões sobre as questões do estudo, nomeadamente sobre as
potencialidades da proposta pedagógica, na promoção da educação para a cidadania e na
aprendizagem da Matemática, e a perspectiva dos alunos sobre a experiência.
Finalmente, concluo com as limitações do estudo e algumas recomendações para
trabalhos futuros.
Síntese do Estudo
Este trabalho tinha como objectivo compreender de que forma a actividade
escolar, baseada em tarefas matemáticas contextualizadas na realidade e na semi-
realidade, contribui para a promoção da educação para a cidadania.
O quadro teórico é constituído por vários aspectos relacionados com a
aprendizagem situada em comunidades de prática, a aprendizagem da matemática
escolar, a educação para a cidadania e a educação matemática crítica.
A proposta pedagógica foi construída com base em diversos princípios que
emergiram das orientações curriculares, do Currículo Nacional do Ensino Básico
(DEB/ME, 2001) e dos Principies and Standards for School Mathematics (NCTM,
2000), e também no conhecimento resultante da minha experiência docente. Para a
elaboração das tarefas recorri na maior parte dos casos a documentos autênticos:
folhetos publicitários, recibos do supermercado, anúncios televisivos, estudos do
Instituto Nacional de Estatística e recibos da cobrança da água e da electricidade.
O estudo segue uma metodologia de tipo interpretativo. A recolha de dados
incidiu sobre uma turma do 6.° ano, tendo-se feito um estudo mais pormenorizado de
um grupo de quatro alunos dessa turma. A observação participante, a gravação das
aulas, o diário da aula da professora, os documentos produzidos pelos alunos e as
entrevistas aos quatro alunos foram os principais instrumentos de recolha de dados.
126
o Trabalho Escolar em Matemática Baseado em Tarefas Contextualizadas
na Realidade e na Semi-Realidade
A escola, no âmbito da formação do indivíduo, tem um importante papel ao
nível do desenvolvimento de competências que possibilitem a sua integração na
sociedade. Esta integração implica diversos factores, nomeadamente, ao nível cultural,
científico e económico. Como tal, implica também uma educação matemática que
possibilite aos alunos compreender a realidade e agir nas diversas situações do
quotidiano.
A necessidade de incluir no ensino da Matemática uma dimensão de cidadania
deve-se às seguintes razões: impedir a exclusão dos alunos da aula de Matemática, da
escola e da sociedade, proporcionar-lhes um melhor conhecimento da realidade e
contribuir para a transformação do mundo em que vivemos, melhorando a qualidade de
vida dos cidadãos. Parece consensual que fazer da aula de Matemática um espaço de
discussão crítica, no âmbito de situações problemáticas da sociedade, pode ser uma
forma de contribuir para o desenvolvimento de atitudes de cidadania democrática junto
dos alunos.
Os resultados deste estudo revelam que é possível articular conteúdos
matemáticos com ideias relacionadas com a educação para a cidadania. A proposta
pedagógica proporcionou aos alunos a obtenção de dados para formularem e discutirem
diversas questões relacionadas com temas do quotidiano, compreenderem a utilidade da
Matemática e desenvolverem uma atitude crítica sobre o seu uso.
Contributo para a Educação para a Cidadania
Analisar em que medida o trabalho escolar, baseado em tarefas com referência à
realidade e à semi-realidade, contribuiu para desenvolver competências de cidadania,
implica olhar para as tarefas que foram propostas e para o ambiente de trabalho que se
construiu/desenvolveu.
O contexto das tarefas possibilitou a ampliação de conhecimentos e a
compreensão de conceitos relacionados com o consumo, o ambiente, a população
portuguesa, a publicidade, a economia doméstica e outros, temas estes que podem
integrar a educação para a cidadania (Beltrão & Nascimento, 2000; Fonseca, 2001) e
que fazem parte do conjunto de temas transversais às diversas áreas curriculares
127
apontadas no Currículo Nacional do Ensino Básico (DEB/ME, 2001). Possuir
conhecimentos sobre o assunto em questão ou capacidade para os procurar é uma das
condições referidas por Beltrão e Nascimento (2000) para se formular um juízo pessoal
sobre determinado assunto.
As tarefas permitiram-nos trabalhar com o contexto no qual os números estão
inseridos e interpretar as situações junto com os alunos. Os recursos utilizados -
recibos, facturas de cobrança da água e da electricidade, fotografias, excertos de
notícias - ao mesmo tempo que informaram os alunos sobre aspectos da realidade
possibilitaram a avaliação de modelos e o desenvolvimento do espírito crítico e da
participação, acções que se enquadram no âmbito da educação matemática crítica.
As tarefas contextualizadas na realidade, ao proporcionarem actividades com
dados autênticos, parecem ter motivado os alunos para a sua realização, para a
discussão das situações a que fazem referência e para as aplicações da matemática,
aspecto que também é apontado por Skovsmose (2000). O autor salienta que quando as
informações fomecidas pelas tarefas, mesmo sendo exercícios, vêm da vida real
oferecem uma condição diferente para a comunicação entre o professor e os alunos,
uma vez que ao trabalhar neles faz sentido questionar e suplementar a informação.
O número de tarefas, que integram a proposta pedagógica, construídas a partir
de dados semi-reais é reduzido. A actividade dos alunos com base nestas tarefas
também possibilitou o debate de ideias e a participação activa dos alunos. Este aspecto
parece dever-se (a) à natureza das tarefas, (b) à forma como foram implementadas, (c)
ao facto de algumas questões convidarem os alunos a explorar ideias e procurar
explicações em contextos não descritos nos enunciados, (d) à oportunidade dos alunos
apresentarem questões e soluções baseadas nas vivências de cada um e (e) a outros
factores inerentes ao ambiente da aula. Tal como Skovsmose (2000) salienta, a forma
como uma proposta é desenvolvida e trabalhada pelos alunos e pelos professores pode
possibilitar a migração de um cenário de aprendizagem para outro.
A elaboração da proposta pedagógica implicou pensar em questões que
ajudassem os alunos a reflectir, a experimentar o processo de questionamento e a tomar
decisões. Contudo, na sua concretização, foi importante proporcionar aos alunos
abertura para trazerem à discussão questões do seu dia-a-dia ou situações que vêem na
comunicação social. Este último aspecto atribuiu aos alunos um papel na defmição das
actividades da aula e fez com que elas fossem ao encontro dos seus interesses.
128
tomando-as assim mais significativas e proporcionando uma maior participação dos
alunos com fraco rendimento escolar em Matemática.
A metodologia de trabalho adoptada, no âmbito desta proposta pedagógica,
também parece ter contribuído para o êxito da actividade dos alunos. A concretização
das tarefas em grupo permitiu a discussão de diferentes opiniões, a procura de dados
para fundamentar ideias, a apropriação de novas ferramentas e consequentemente uma
melhor compreensão dessas tarefas por parte dos alunos. Dentro do grupo os alunos
colocaram questões, esclareceram dúvidas, deram explicações, manifestaram a sua
opinião de forma mais espontânea e, por vezes, alteraram a sua posição após as
questões colocadas por outros colegas. As discussões em grande grupo permitiram o
confronto de pontos de vista diferentes, a emergência de novas questões, a clarificação
de ideias e a exploração e compreensão de conceitos matemáticos que não advinham
directamente da resolução da tarefa.
A experiência pedagógica permitiu dar visibilidade a alunos, que habitualmente
não se destacavam nas aulas, porque lhes permitiu experimentar algum sucesso e ver
reconhecidas as suas capacidades, pelos seus pares. Os alunos passaram a valorizar as
sugestões dos colegas, reconhecendo que a discussão e a diversidade de ideias podiam
ser úteis para realizar um trabalho de maior qualidade. No grupo que se estudou mais
pormenorizadamente, os alunos passaram a valorizar as sugestões do Pedro, aspecto
que também foi reconhecido por ele. Assim, parece poder afirmar-se que experiências
como esta podem atenuar algumas desigualdades na sala de aula, pelas seguintes
razões: por um lado, porque desta maneira, o trabalho escolar tem mais sentido, pode
dizer mais a alguns alunos; por outro, porque exclui menos os que estão menos à
vontade na Matemática, pois podem ver os seus colegas a valorizar e a admirar as suas
intervenções. Também outros alunos, com bom rendimento escolar, e a própria Diana,
melhoraram a sua intervenção nas aulas, fazendo-o mais frequentemente por iniciativa
própria.
Os resultados desta experiência mostram-nos que o trabalho escolar em
matemática, baseado em tarefas com referência á realidade e à semi-realidade,
contribuiu para criar espaços de debate e de discussão e consequentemente orientar o
processo de ensino e aprendizagem rumo a uma educação para a cidadania. Os alunos
(a) participaram activamente nas discussões, (b) realizaram escolhas, (c) tomaram
decisões, (d) elaboraram argumentos fundamentados em resultados matemáticos e nas
suas vivências, (e) tomaram conhecimento do contributo da matemática na resolução de
129
problemas e (f) criticaram o modo como é usada, aspectos que são compatíveis com a
perspectiva da educação matemática crítica apresentada por Skovsmose (2001) e Ernest
(2001). As potencialidades da actividade dos alunos centrada nesta proposta vêm
aliviar-nos da inquietude que Perrenoud (2002) nos provoca com a questão "para que
serve escolarizar alguém durante dez a quinze anos da sua vida se a pessoa não fica a
saber lidar com um contrato de seguro ou com as instruções de uso de um produto
farmacêutico?" (p. 135).
Potencialidades na Aprendizagem da Matemática Escolar
Esta proposta possibilitou que os alunos tomassem conhecimento de alguns
exemplos da aplicação e do uso da matemática no dia-a-dia. Também contribuiu para a
construção de momentos de reflexão e análise crítica do modo como, por vezes, a
matemática é utilizada. Além disso, permitiu a aplicação e exploração de conceitos e
procedimentos matemáticos, bem como a tomada de decisões com base em resultados
obtidos por processos matemáticos. Possibilitou, ainda, o estabelecimento de conexões
dentro do tema que os alunos estavam a trabalhar, entre vários temas da Matemática e
entre a Matemática e outras disciplinas.
A actividade baseada neste tipo de tarefas ajudou a estabelecer um ambiente
dinâmico em que os alunos tiveram parte activa. Ao longo da experiência, foi notório o
entusiasmo de todos os alunos, nas aulas em que trabalhavam em grupo e em que
apresentavam e discutiam o seu trabalho.
A participação dos alunos nesta experiência proporcionou a alguns o
desenvolvimento de uma atitude positiva face à Matemática. Na carta que escreveram a
um amigo e na entrevista realizada aos quatro alunos, encontram-se manifestações de
uma grande satisfação em relação às aulas de Matemática, que é justificada com
aspectos da sua participação nesta experiência: a importância dada ao trabalho de
grupo, ao debate de ideias, à participação activa e às tarefas contextualizadas na
realidade.
A experiência também parece ter contribuído para que alguns alunos
desenvolvessem uma concepção mais abrangente sobre a aprendizagem da Matemática
escolar os quais, passaram a usar argumentos diferentes, baseados nesta proposta
pedagógica, para justificarem a importância desta área.
130
Na concretização das primeiras tarefas, os alunos demonstraram dificuldades em
exprimir por escrito as suas ideias, conforme eles próprios afirmaram na auto-avaliação
da sua actividade. Esta dificuldade não foi tão visível nas últimas tarefas. Além disso,
os comentários que faziam e as justificações que davam eram breves e baseadas num ou
noutro aspecto. As respostas escritas eram curtas, com um ou outro argumento,
conforme se pode ver nos resultados da resolução da terceira questão da Tarefa 2. Com
o avançar da proposta, os alunos foram integrando as ideias uns dos outros na discussão
e esta tomou-se mais rica. Esta evolução foi mais visível ao nível da oralidade do que
da escrita. Contudo, a riqueza dos argumentos variava um pouco consoante o contexto
da tarefa e o rumo que as discussões tomavam.
Os alunos revelaram dificuldades em interpretar alguns dados dos documentos
de apoio às tarefas (recibos do supermercado, facturas/recibos de cobrança da água e
tarifários) e em responder a algumas questões relacionadas com eles. De facto, se os
alunos não sabem o que é o IVA ou nunca olharam para uma factura/recibo é natural
que tenham dúvidas em responder a questões matemáticas contextualizadas nestes
temas.
Os contextos reais, por vezes, são complexos para alunos de determinada faixa
etária, facto que pode, em parte, explicar a razão pela qual muitos professores e autores
de programas e manuais optam por tarefas baseadas em contextos completamente
artificiais, onde tudo se consegue com a aplicação directa de um procedimento e onde o
resultado dá sempre um valor exacto. Mas essa opção pode trazer consequências. Por
um lado, porque não capacita os alunos para validar resultados. O que significa o
resultado ser 10 ou 100? Que decisão fica afectada por uma resolução incorrecta do
problema ou exercício? Por outro lado, porque pode transmitir a ideia oculta de que a
Matemática não é útil para compreender o mundo (Simmt, 2001).
Propor tarefas contextualizadas numa realidade, que seja familiar aos alunos,
pode atenuar os efeitos da complexidade da tarefa, contudo tem que se reflectir que um
contexto pode ser familiar a um aluno e não o ser a outros. Assim, trabalhar em
questões propostas pelos alunos ou optar pelo trabalho de projecto pode trazer
vantagens.
Por vezes, nota-se alguma resistência dos professores em levar para a aula
tarefas de natureza mais aberta, devido à pressão do cumprimento dos programas.
Contudo, os resultados desta experiência mostraram que: o tempo investido na
discussão de temas que saem do domínio específico da Matemática foi compensado (a)
131
peio empenho constante dos alunos nas tarefas propostas, (b) pela motivação para
continuarem as suas aprendizagens fora da sala de aula e do contexto escolar, (c) por
uma melhor compreensão dos conceitos matemáticos envolvidos e (d) pela
oportunidade de se estabelecerem conexões.
Perspectiva dos Alunos
Os alunos reconheceram vantagens nesta proposta de trabalho e avaliaram a
experiência positivamente. Fizeram referência às vantagens de trabalharem com
assuntos da realidade, ao facto de terem uma participação activa e ao papel que
desempenharam no grupo e na turma. Salientaram que estiveram mais motivados e
mais empenhados. A Joana, na carta a um amigo, após ter escrito as potencialidades
que reconheceu nas aulas do segundo período (periodo em que se desenvolveu a
experiência) escreveu "acho que pela V vez me senti interessada em alguma coisa".
Esta aluna foi-se destacando pela positiva durante a experiência. Este aspecto é
demonstrado pela pertinência dos argumentos que apresentava e pelo facto de estar
sempre a querer intervir.
A preparação para o futuro foi uma das vantagens desta experiência referidas
por vários alunos, quer na carta que escreveram quer nas entrevistas. Alguns referiram
que aprenderam a não se deixar enganar, porque "assim já estão mais prevenidos"
(Diogo, na entrevista), "para nunca cair em nenhuma armadilha" (Pedro, na entrevista),
"porque assim é mais difícil nos enganarem . . . temos ideia como as coisas são feitas"
(Carolina, na entrevista), "porque agora já estou virada para ver as coisas" (Diana, na
entrevista). Assim, parece poder afirmar-se que os alunos reconheceram nesta
experiência uma das finalidades da educação matemática crítica: dar poder aos
cidadãos.
Alguns alunos referiram que aprenderam a resolver os problemas da realidade.
A Carolina na carta que escreveu a um amigo salientou "vai-me ser útil lembrar . . .
para resolver os problemas que me vão ser postos no dia-a-dia". Este aspecto é um
pouco crítico, porque os problemas que surgem no dia-a-dia surgem num ambiente
diferente do ambiente da sala de aula. Mesmo que os alunos estejam informados e
alertados, as práticas podem ser diferentes, porque os contextos têm diferenças. Por
exemplo, se a segunda questão da Tarefa 1 - "Vou necessitar de dois pacotes de natas.
132
Achas que devo aproveitar a promoção? Porquê?" - surgisse dentro de um
supermercado as respostas seriam as mesmas? Qual seria a reacção dos alunos?
Dowling (2001) refere que escola e supermercado são dominados por modos opostos da
actividade social e que privilegiam modos opostos de prática. O autor salienta que as
experiências concretas estão abertas á aplicação de múltiplas estruturas interpretativas,
não todas aproximadas do conhecimento que é privilegiado na matemática escolar, por
isso as práticas vão ter características próprias em cada um dos lugares.
E importante que os alunos conheçam as aplicações da matemática, tenham
competências matemáticas e capacidades para criticar o modo como é usada mas, no
dia-a-dia, em contextos concretos, também há outros factores que influenciam as suas
práticas, escolhas e decisões.
Em suma, esta experiência parece ter seguido algumas ideias da educação
matemática crítica em direcção a uma educação para a cidadania. Permitiu fazer das
aulas de Matemática espaços onde, em simultâneo, se abordaram conteúdos específicos
da disciplina e se proporcionaram oportunidades de desenvolvimento de competências
de cidadania, ou seja os alunos participaram, fizeram escolhas, criticaram e decidiram,
aspectos que foram percebidos e valorizados por eles.
Reflexão, Limitações do Estudo e Recomendações
A parte empírica deste trabalho correu bem, pela receptividade dos alunos, pelo
entusiasmo e pelos resultados obtidos, tendo superado as minhas expectativas. Contudo,
trata-se de uma experiência específica, com um grupo concreto de participantes, pelo
que os resultados da mesma não permitem fazer generalizações. É necessário fazer mais
estudos neste âmbito. Tarefas com outras características, outros temas, outro grau de
estruturação, outras questões e outros materiais terão resultados idênticos? Esta
proposta envolvendo outros participantes pode tomar outro rumo e trazer-nos outras
respostas? De que modo se reflecte, na resolução de tarefas deste tipo, a forma como os
alunos encaram a Matemática e a sua aprendizagem? Deste estudo, emerge também a
pertinência de se realizar investigação sobre os instrumentos e critéríos de avaliação,
que serão mais adequados para avaliar o trabalho dos alunos, em aulas onde reside a
preocupação de educar para a cidadania.
133
Esta proposta pedagógica não foi totalmente diferente das que se propõem em
muitas aulas de Matemática, apenas havia objectivos mais alargados: "educar para a
cidadania", por isso foram necessárias novas questões. Este aspecto, pouco inovador, da
proposta, inicialmente parecia-me um obstáculo: vislumbrava as potencialidades do
trabalho de projecto e as mais valias do recurso à Intemet, dentro da sala de aula para
tirar dúvidas e ampliar conhecimentos. Reflectindo nos resultados fmais, fico um pouco
mais tranquila e até vejo vantagens. É que uma grande mudança em todos os aspectos
do ambiente da aula, por vezes gera controvérsias. Então parece vantajoso começar por
dar pequenos passos, para gerar mudanças sólidas.
Desenvolver actividades com preocupações de cidadania exige outros
conhecimentos e outras competências da parte dos professores e pode criar-lhes
algumas inseguranças. Estes, podem confrontar-se com questões que se situam fora da
sua área específica e para as quais não têm resposta imediata. A implementação desta
proposta exigiu algum investimento da minha parte, obrigou-me a estar mais atenta ao
que se passa à nossa volta e a aprofundar e actualizar alguns assuntos não matemáticos,
relacionados com o contexto das tarefas.
A experiência resultante deste trabalho e de outras leituras que fiz permitir-me-
ia agora, com mais segurança, elaborar e implementar tarefas mais abertas e enriquecer
o questionamento com aspectos específicos da Matemática e questões sociais.
Ao caminhar neste estudo, como autora e como participante, encontro nele
aspectos positivos e também limitações. Uma limitação do mesmo e que me parece
importante referir é o facto de não ter conseguido fazer uma análise exaustiva dos
dados, durante ou imediatamente a seguir á sua recolha. A sobrecarga de trabalho que
vivi nessa altura impediu-me de o fazer, como desejava, e isso provavelmente trouxe
prejuízos para o estudo. Todavia, a audição repetida das gravações e a leitura das notas
de campo proporcionaram-me o relembrar dos episódios.
Os resultados deste estudo são específicos e contextualizados nesta experiência
mas, há algo muito forte que sobressai: educar para a cidadania a partir de tarefas
matemáticas não só é necessário, como também é possível.
134
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Yin, R. K. (1989). Case Study Research. Design and Methods. Newbury park: sage Publications.
140
ANEXOS
141
A n e x o 1
Tarefa 1 - O Consumo
142
Escola
Matemática - 6°Ano de Escolaridade
Nome : N"
Nome : N°
Nome: N°
Nome: N°
Data:
Obs.
1-Num hipermercado de Loures um pacote de natas ALPRO custa 1,15 euros.
Nesta semana este hipermercado está a fazer a seguinte promoção:
Val.20/01/06
3 f ^ U i 1
Se eu comprar 2 pacotes de natas pago 2,30 euros; se comprar 3 pago 2,49
euros; se comprar 4 pago 3,64 euros; ...
1.1-0 preço das natas será directamente proporcional ao número de pacotes?
Justifica a tua resposta.
1.2- Vou necessitar de dois pacotes de natas. Achas que devo aproveitar a
promoção? Porquê?
143
Anexo 2
Tarefa 2 - 0 Consumo
144
Escola
Nome:
Nome:
Nome:
Nome:
»••••••«•••••••«••«•••a
Matemática - 6®Aiio de E^olaridade
N^
N^ • • • • • • • •
• • • « • • • • • • • • • • • • • • • • « • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • « • • • • • • • • • • • • • • • a
O C o f l S u m o
1-Uma torneira mal fechada desperdiçou 70 ml de água por minuto.
i .1- Completa a tabela que traduz uma situação de proporcionalida:de directa.
Tempo (min) 1 5 10 20 Ouantidadè de água (ml)
70
1.2- Indica a constante de proporcionalidade.
1.3-Prevê as consequências de deixar uma torneira mal fechada durante um dia. Se quiseres podes consultar o recibo da água, em anexo.
\
145
ERVIÇOS MUNICIPAUZADOS L O 5
EstimadoCUente: FACTURA / RECIBO' ^ ^ ^ apresenlada para pagamenlo no Banco a partir da data
Rua Ilha da Madeira, 2 - 2674-504 LOURES NIPC 680 009671
TITUl DO COrffRATO / MORADA 00 LQCAL DE CONSUMO
WCUENTE
1 8 4 7 4 0
OBAHCO DE FACTURAÇÃO (Bir)
MJ S N ^M M J S N J M EXMJCAÇAO OS VALORES ( 2 , 0 M X S B S ) B«o.(n) QTD(M3) Agua Sana
. - lOrO Ò,480000 ^ • '3B.0% 10 4,0 0,970000 ' '35,0% ao
1,790000 32SOOÒO
35,0%.: 35,0%
B*ad .. 35,0%
35.0% • 39,0%
35,0%
IVA i (5,0% »/ 3 ,72 - Õ,79 )
TAnPA . p O I ^ S T I C O S >.
TIPO Dg CONSUMO COL^AOOR
AQUA • ••• .156978
PERÍODO 06 FACTURAÇÃO 2005 1.4)5 a 2009-03-01
N- FACTURA
5001006266 • / •
LEITURA AMTEUIOR
2O09-O1-OS 451
LEITURA ACTUAL
CONCEITOS ÇONSUMÒ Á Q U A ' Q T DISPONIBILIDAOEÍ 2.0) T AQUAS R E 8 (VAR) T AQUAS RES (FOCAM, 2.0) T RES S O L (VARIAVEL) T R E 8 S q L ,(FIXA)( 2.0) •iVAfi%.': s •
TIPO Oe LEITURA E S T I M A D A
TOTAL (EURO)
COEF.
UULT.
1.00
CONSUMO . 14
CONSUMO ESTUADO AMTÊHOR (raV
O
.7 .04 3.04 0.86 a.04 0.86 0 . 0 0
PERÍODO ANTERIOR
(EURO)
; Õ.OO 0.00 0.Ò0
0.00 ' .0,00
0 . 0 0 .0 ,00
T O T A L (EURO)
U Q U O O (EURO)
8,68-7,04
• '3,04 0.88 3.04 0.8« 0,79
CÔO. IVA
€ 2 4 , 3 1
C o m u n i c a ç ã o d a l e i t u r a s . |
P e r í o d o d o 2 1 / 0 4 a 2 7 / 0 4
T e l e r . 8 0 0 5 0 2 0 3 0
R o r . 1 8 4 7 4 0 0 3 8 7
ffooDociMemo-3 8 0 5 0 3 1 0 0 3 9 4 0 7 7 7 7
' OATA oe EmssÀo 2 0 0 5 - 0 3 - 0 1
OeBfTOA pAfíjmoe 2 0 0 5 - 0 3 - 1 6
1 V^OfíAPAOÀfí 1 e 2 4 , 3 1 E U R O
-
\
146
M I A
SABE QUANTA AGUA PERDE NUM DIA COM UMA TORNEIRA MAL FECHADA?
A i g o í e j a í A b e r f u f a d e
Imm 2 m m 6mm 9 m m l2mm
X-ii mã
'-r^-'.-Li. - ."ff
• -
•V" _ >r.i. '.'-rc
•N •
147
Página Web 1 de 2
^ : .. ' " • • f ' '
00
Laboratório
Tarifário
Publicações
. Links Diversos
Rua Ilha da Madeira, 2 - 2674-504 Uxires - Telefone: 21 984 85 00 - Fax: 21.984 85 85
Nós e o Ambiente
, Espaço do Cliente ^
Águas Potáveis
Águas Residuais
Resíduos Sólidos
ÁGUAS POTÁVEIS
TARIFAS DE VENDA DE ÁGUA - (2006)
TIPOS DE CONSUMO
CONSUMOS DOMÉ^COS:
10 Escalão{Até 5 m3/mês) € 0,49
2° Escalão(>5:a lOmS/mês) € 0,99
Escalão(>10 a 20 m3/mês) € 1,83
4? Escalâo(>20 m3/niês) € 2,30
CONSUMOS DOMÉSTICOS TRANSITORIAMENTE NÃO SUJEITOS A
. ESCALÕES € 0,64
CONSUMOS NÃO. DOMÉSTICOS:
10 Escalão(Até 15 m3/mês) € 1,53
20 EscaIão(>15 a 150 m3/mês) € 1,62
30 Éscalão(>150 m3/mês) € 2,19
CONSUMOS DE INSTTTLIIÇÕES E AGREMIAÇÕES PRIVADAS DE.
BENEFiaÊNOA, CULTURAIS E DE INTERESSE PÚBLICO € 0,64
CONSUMOS DE AUTARQUIAS € 1,47
CONSUMOS DO ESTADO E DE OUTRAS PESSOAS COLECTIVAS DE
!!R(íglsloVutomátÍcodB iolíu ^
Loures/Odivelas
Marquo o númçfo: 800 50 20 30 (Sbtfimodtt vot)
WDOrtOo ooi DOdítíOJ íeftoi.
Olgd pousódomente os 10 algarismos
da referõncEo fndicodo fK» $\ÍO íoctufo.
Digo os oigoilsnrtos do leitura do seu contodòr
e oguofda (o» olgorUmos tfõ vfrgvla
ßdo tflo CO Dsidtffoctet)
Ò A fê/furo Que r€»c©tx?moj foi...
Se esth/er corocta. digo sím.
Cl SAM ogíoUccenvo Jwo coioboiQM
l.**—.// 1 i . m : — / — UUn^i
A n e x o 3
Tarefa 3 - Vamos aos Saldos
149
Esco la
M a t e m á t i c a - 6°Ano d e Esco lar idade
N o m e : N' Data :
1- Obse rva as fo togra f i a s de mont ras de lojas, d a nossa c idade .
1 .1-Escolhe u m a fo togra f i a e expl ica qual a m e n s a g e m que ela nos
t ransmite .
1.2- Discu te , c o m os teus colegas , as van tagens e desvan tagens dos saldos.
Reg i s t a as conc lusões a que chegaram.
150
Fotografias Utilizadas na Tarefa
„ V
"v . ^
<
151
152
Anexo 4
Tarefa 4 - Aumentos Salariais
153
Esco la
M a t e m á t i c a - 6®Ano de Esco lar idade
N o m e : N"
N o m e : N®
N o m e : N"
N o m e :
D a t a :
Obs.
à i O í í Q d i t e 1 - Exp l i ca o q u e en tendes pela seguin te manche te ret i rada do jo rna l
P Ú B L I C O de 12/11/04.
Aumentos salariais do próximo ano na Administração Pública não deverão ultrapassar os 2 por cento
1.1- A c h a s j u s to que todos os t raba lhadores t enham a m e s m a p e r c e n t a g e m de a u m e n t o salarial? Po rquê?
1.2- Sabes qual será o aumen to salarial , para os func ioná r ios públ icos , e m 2006?
1.3- O Sr. João em 2004 ganhava 365,60 euros mensa i s . Qua l o seu v e n c i m e n t o e m 2005 sabendo que teve u m aumen to de 2,2 p o r cento .
154
Anexo 5
Tarefa 5 - Os Recibos do Supermercado
155
Esco l a
M a t e m á t i c a - A n o de Esco la r idade
N o m e : N°
N o m e : N°
N o m e : N°
N o m e : N°
Da ta :
Obs .
O
1 - Obse rva nos rec ibos do supermercado a pe rcen tagem de impos to ( I V A )
sobre a lguns produtos .
1 .1-Calcula o valor deste impos to pa ra u m dos p r o d u t o s adquir idos .
1.2- Qua i s são os p rodu tos que têm m e n o r pe rcen tagem de impos to? T e n t a
expl icar po rquê .
1.3- C o m o p o d e s ver i f i ca r o I V A não é igual pa ra todos os produtos . A c h a s
essa d i f e rença j u s t a? P o r q u ê ?
156
Recibos de Supermercado Utilizados na Resolução da Tarefa
C O N T I N E N T E - L O U R E S Modelo Continente Hipermercados. SA
Cent. 502011475 Tel. 210171200
C O N T I N E N T E L O U R E S Modelo Continente Hipermercados. SA
Cònt. 502011475 Te)-. 210171200
i2% 2004675 12X 2004088 5% 2211038
12X 2050525 5X 2339822 5% 3035984 5X 3035750 5% 2211084 5X 2076479
2,730 17% 20505Ä 5% 2936778
12% 2050525 12% 2050525
CAFE SOL.NÉSCAF CEVADA SOL.NEST VIGOR M/G VHB TD REI 75a lOG.AR.DANONE KXà.NAT.NESTLE BIF.FIB.ACTIVIA MANT MIMOSA 250 BANANA IMPORTAD X 0.85 VMB TO REI 75CL LHTE i DINA 2 VMB TD REI 75CL VMB TD REI 75a
T O T A L VOLUMES (13) Total ESCUDOS 01101064800199 TALAO OIFE Nuraerario T R O C O
2,19 0.85 0,72 0.96. 1.98 0,97 2,29 1,29
2,32 0,96
10,79 Ó.96 0i96
5.481$ 10,88 20,00
3 / 6 - 4
011 010 035428 80808 17:32:(» 06/02/06 AGRADECEMOS PREFERENCIA. ANA RAMOS
IVA INaUIDO Tal ao Indispensável para a Troca
Prazo para troca : 15 dias * * * O B R I G A D O * * * .
21% 3035741 DET.MAQ.SKIP Desconto Tal ao
5% '2211038 VIGOR M/G 5X- 2675402 PERNIL PORCO
1.758 X 0,99 Desconto Tal ao
12% 3022597 BIPACK lOGOLINO 12% 3022990 PURE FR.4*130GR 5% 2885107 CENOUR EMB.l KG 5% 2076693 ALFACE FRISADA
0,232 X 1,49
T O T A L .VOLUMES (7) Total ESCUDOS NiMerari o T R O C O
19.99 10,00 0,72
1.74 0.88 3,58 1.57 0,29
0,35
2-a
. 5.662$ 30,00
1 , 7 6
Talso Ddsconto<01101064800199> 10,8^ 011 010 032201 81493 13:48:31 28/01/06 AGRADECEMOS PREFERENCIA, CATIA LEHAO
IVA INaUIDO Tal ao Indispensável para a Troca
Prazo para troca : 15 dias ^•^ißc O B R I G A D O
SUPERMERCADOS SAMPEDRO SAMPEORD SUPERMERCADOS LDA
RUA VASCO DA GAt4A Nlt38 ^RB.INFANTADO - LOURES TEL:21 9828084 CÒNTt5a0588Í71
04 PAULA PINTO
Venda en EURO -Descrição Qt IVA Valor
ovos UP L-M/Dii2ia 5* 0.50 X 2 1.00
PfO ALENTEJANO-6456 5« 0.80 1.D00K9 1 a 0.80 0.80
FIAMBRE PERNA NOBÍÍE 124 • O.lSSKg 1 a 9.37 1.45 SUB-.TOTAL 3.25
TOTAL 3.25 DINHEIRO EUR. 3.25
Resuao IVA: Taxa Base IVA Total
5% 1.714 0.086 1.80 12* 1.295 0.155 1.45
\ GRATOS PELA VISITA PROCESSADO POR COMPUTADOR
T:0096700 02469 04 SOI 17:45 2006/02/08
G a r r d f & a r ^ ^ LOURES
Boas CoBPfBs Senpre . fel: 210424200 / Fax: 210424201 Cantrlbüints N 501.591.109
íflLflO UEIJDfl SQ:201712 fíuto 21) LIHPO TAPEFES 2n COCKPH SPRflV PI 2U REPARA RISCOS
3 VÓlUBSS TOTftL DINHEIRO
2,20 2,79 2.59
7,58 50.00
TROCO 42.42 » « » lUft DICLUIDO * » »
31/01/06 10:12 108234/000576/000.6/038 Atendido por: AHDREIA FAOUNDES
T a 1 a o 1 n d 1 s p e n s a v e l p / T r o c a / R e e m b o l s o
No p r a z o d e 15 d i a s ' Ja escolhHU o qua quar' coaprar ainda sais barato?
utftf.carrefour.Pt
157
Anexo 6
Tarefa 6 - Orçamento Familiar dos Portugueses/Os Gastos com o Ensino
158
E s c o l a
M a t e m á t i c a - 6 ° A n o d e E s c o l a r í d a d e
Nome :
Nome:
Data:
Obs.
IKMMM? TE / @§ ^ ^ ^ M ©©ODO ® ® M M
1- o gráfico representa a distribuição das despesas dos agregados familiares portugueses, no ano 2000 (fonte INE).
Estrutura da despesa média anual dos agregados familiares, em Portugal, em 2000
Véstuájío e calçado 7%
Ssbidás õlcpólicas e tabnco 3%
Comunicagflfís
R^od. alimehTnres e ^ ' X t r b - Dfio-fiieoólicaa 10% / { Ccnjrcj bens e serviços G%
Hziéu, roKUiurantca, t.i:c5 ç BÍruiUrcs 9%
EOiind ICf.
Lf í içr . distrncçfio e cuitui-a 5%
Fbnto: INE í
1.1- Ordena por ordem decrescente os tipos de despesas apresentadas pelas famílias portuguesas.
1.2- Selecciona os três tipos de despesas das famílias portuguesas que, em conjunto, são responsáveis por cerca de metade da despesa total.
1.3- Se o gráfico se referisse às despesas do teu agregado familiar, a distribuição seria igual? Justifica
1.4- Sugere uma justificação para a baixa percentagem dos gastos das famílias portuguesas em Ensino.
159
Ánexo 7
Tarefa 7 - A População Portuguesa
160
Escola
Matemática - 6®Ano de Escolaridade
Nome : N®
Nome : N®
Nome:
Noraé: N®
1- O Instituto Nacional dé Estatística (INE), tornou públicos os seguintes dadòs:
EVOLUÇÃO DArôPULAÇÃO RESIDENTE EM PORTUGAL
milhares
10,400
í l
- 10 200
-- 1ÖOOO
9800
- 9600
9400
9200
9000 —T fO «n cn «n 2« ÇN' b\ o\ a»
pessoas por família 4
Bulgária
Guiné-Bissau
V-1-- i --»n
i m
3
8 Í5 ^ — -
161 Fonte: INE - 20^2
14 16 18 Blílhares
1.1- Quantas pessoas residiam em Portugal em 1984?
1.2- Poderemos afirmar que entre 1981 e 2001 a população residente em Portugal esteve sempre a aumentar? Justifica a tua resposta.
1.3- Qual foi, aproximadamente, o aumento verificado na população residente, entre 1994e 1999? Na tua opinião, quais são as razões desse aumento?
1.4- O que significa dizer que em 1991, em Portugal o número médio de pessoas por família era 3,1 e em 2001 era 2,8.
1.4.1- Sugere possíveis razões para a diminuição do número médio de pessoas por família.
V.P.P.F
162
1.5- Lê, agora, a notícia que se segue:
Cinco por cento da população em Portugal é estrangeira e originária de mais de 170 países diferentes. Portugal tomou-se um país de chegada.
DN, 23/11/2003
1.5.1- Como explicas que nascendo menos crianças a população residente em Portugal esteja a aumentar?
1.5.2- Achas que é importante haver pessoas de outros países a trabalhar em Portugal? Porquê?
163
A n e x o 8
Tarefa 8 - O Consumo
164
Escola
Matemática - 6®Ano de Escolaridade
Nome : N®
Nome :
Nome: N®
Nome:
Data: Obs.
(g(õ)[iá]®QflDm]®
1- Observa o gráfico de facturação do teu recibo da água.
1.1-Que informações podes retirar dele?
1.2-Calcula a despesa média diária, relativa ao consumo de água, no ano 2004?
1.3- Observa, agora, a factura/recibo do consumo de electricidade. 1.3.1-Que outras informações podes retirar dela.
1.4-Achas que todos os cidadãos conseguem ler e interpretar estas informações? Porquê?
165
^ ^ SERVIÇOS MUNICIPALIZADOS
Rua Ilha da Madeira, 2 - 2674-504 LOURES • NIPC 680 009 671
TITULAfl 0 0 CONTRATO / MORADA OO LOCAL OE CONSUMO
N* CUENTg 184740
Eslimado Cliente FACTU RA / RECIBO* Esla(s) faclura(s) será apresentada para pagamenlo no Banco a oarlir da dala abaixo indicada.
GRARCO DE FACTURAÇÃO (Eur)
M J S N J M M J S N J M IfOa 2M4 SúiS -
EXPUCAÇAOOE VALORES ( 2 , 0 MSS ES ) B « a . ( M 3 ) QTD(K3) Agu« Sana . . • . . 5 . 1 0 , 0 9 , 4 8 0 0 0 0 ;. • ' 3 5 , 0 % .
' 1 0 4 , 0 0 , 9 7 0 0 0 0 ' 35 .0% • 1 , 7 9 0 0 0 0 . . . 3 5 , 0%-..
> 30 2 , 2 5 0 0 0 0 35 ,0%
Ra«d . . 35,0%
35,0% • 35,0%
35,0%
IVA 1 (5,0% a/ 15,72 • 0,79 )
TARtFA .DOMÉSTICOS •,
T I P O O E C O N S U M O
AGUA .
PER/OOO DE FACTURAÇÃO
2 0 0 5 - 0 1 - 0 5 â 2 0 0 5 - 0 3 - 0 1
W FACTURA
5001096286
LSTURA ANTERIOR
CONTADOR 2005-01-05 - .156078 . 451
LEITURA ACTUAL
CONSUMO AQUA OT DISPONIBIHDADE( 2,0) T AGUAS RÊS (V AR) • T AQUAS RES (FIXA)( 2,0) I R E S SOL ( V A R J A V E L ) -T RES SQL (FIXA)( 2,0)
. | V A 5 % ; :
nPO DE LEITURA
.ESTIMADA
TOTAL (EURO)
7.04 3.04 0.86 3.04 0 , 0 6 0,00
TOTAL (EURO)
COER UULT. 1,00
CONSUMO - («>)
14
PERÍODO ANTERIOR
(EURO)
. 0,00 0 . 0 0 0.00 0 , 0 0 .0,00 0,00
. 0 . 0 0
CONSUMO ESTIMADO ANTERIOR {m^
O ..•.
UQUIOO CÓD. (EURO) IVA
8,68- 1 7,04 1 3,04 0,86 3.04 • 0,86 0.79
€24,31
Comunicação do leituras. i Q Q Q Q O o T g ] Teief. 800 502 030
Período do 21/04 a 27/04 Ref. 1847 400 387 CONTADOR
fT'OOOOCUUEtm 38050310039407777.
DATAOE EMISSÃO 2005-03-01
oeaiTOA PARTIR DE 2005-03-16
VALOR A PAGAR € 24,31 EURO
166
Código de Identificação do Local: o 045 850147 1/1
A p o i o Técn ico 600 506 506 {24h por dia)
À p o l o Comerc ia l 800 505 505 (8h às 20h/d}as úteis)
Le i tura d o Con tador 800 507 507 (24h por dia)
Data Limite de Pagamento Valor a pagar: €193,58
Comunicação de leituras: deverá utilizar o Código Ident. Local O 045 650 147 através do telefone 800 607 507. Adira à transferência bancária: é mais seguro... ómals cómodo... e é graluito. Contacte a EDP através do telefoneSOO 505 505
"Elactr lcidade- _Qtd. Preço •Vaior IVA (%) Tarifa BTN-Slmples 20.7 kVA Consumo medido de 2005-07-08 a 2005-12-31 3Ó42 0,0988 300,55 5 Consumo medido de 2006-01-01 a 2006-01-07 123 0,1011 12,44 5 Consumo estimado do 2006-01-08 a 2008-03-06 955 0,1011 96,55 5
. Consumo já facturado de 2005-07-08 a 2005-12-31 -2354 0,0988 -232,57 5 Consumo Já facturado de 2006-01-01 a 2006-01-05 - 6 8 0,1011 -6 ,87 5 Pptônda Contratada (3,45 kVA) 2 5,4700. 10,94 5 Taxa Exploraçfio DGQE 2 0,0/00 0,14 5 IVA ( 5 % ' 1 8 1 , 1 8 ) 9,06 Total e 190,24
Outros DébItoa/Créditos Qtd. Valor IVA (%) Contribuição áudlo-vlsual (Nota de Débito n." 00129503908) 2 3,34; Total
Contador r r 852638 Leitura: Empresa Simples 2005-Ò7-07 51614 2Ut)M1-<I7 54679
C o o s u r ^ . ^ ) 3165
De 2006-01-05 a 2 0 0 8 - ( » ^ Movimentos Saldo Saldo anterior 98,55 Pagamento efechjatte -98.55 Valores fàctuiBdos 193,53 'Saldo BútlrtT" 193,58
167
Anexo 9
Tarefas 9 e 10 - As Aparências Iludem!
168
\
Escola
Matemática - 6°Ano de Escolaridade
Nome : N®
Nome : N®
Nome:
Nome: N®
^ D 1-Lê com atenção o texto que se segue e responde às questões:
"É preciso ter cuidado com a Estatística! Os gr^cos são talvez a maior fonte de enganos- alguns involuntários, outros proposi^os".
Casò 1: Gráfico que pretende Sugerir imi grande aumento dos salários numa empresa.
1.1- Qxial p erro deste gráfico?
12- Achas que este erro foi propositado? Poixiuê?
Caso 2: Gráfico retirado de uma embalagem de champô.
-ACÇftODOCX)NŒNTRADa
m • ANTES
H DEPOIS TESTE DE RESI TESTE DE AUSAMENTO
^ OBTIDOS: FORÇA E BIWLHO
^ r i ^ U ã ^ * ; ; ; ^ frutos para cabolos « l U a n ^ o
vezes
Í M l ^ ^ ^ ^ a ^ i ^ - o - o comp,e,nento o
169
Caso 3. Gráfico ret i rado de um anúncio publicitário exibido por uma estação televisiva.
....
C 0 , 4 7
• • V 1 1 • . —
€ 0 , 3 3
Preço de ctvamada do
RM MT 2 mlniTtos RM MT RM
1.3- O que achas dos gráficos representados nos Casos 2 e 3?
1.4- Porque razão os anúncios publicitários recorrem frequentemente a gráficos para fazer a apresentação dos produtos?
2- Numa empresa há 20 funcionários: 15 funcionários ganham 300 euros por mês, 4 funcionários ganham 500 euros e 1 funcionário ganha 4000 euros por mês . ' Num relatório feito para a Comunicação Social, o director da empresa informa que o salário médio dos funcionários é 725 euros. 2.1- Calcula a média dos salários dos 20 funcionários.
2.2- Com base na média que calculaste, diz se a informação dada pelo director é correcta.
2.3- Indica a moda dos salários.
2.4- Tendo em conta a moda dos salários comenta a informação dada pelo director da empresa.
(TPC) Sugestão: Procura, em jornais e revistas gráficos que possam traduzir situações
enganadoras e propõe a discussão dessas situações na turma.
170
Gráficos Apresentados em Acetato na Discussão da Tarefa 9
• CO,47
«V
C0.40 € 0 , 3 3
Preço de chamada d« PT 2mlnutoff w.
PT 2mlnutoff w. l J
Gráfico extraído de um anúncio publicitário
Preço das chamadas em 2 minutos
0,5 -
J 0,2 -
(Q > 0.1 -
o -Tele2 OniVox
Preço das chamadas em 2 minutos
0,33 .0.47 • Tele2
HPT • OniVox
Gráficos Construídos com os Dados do Gráfico Extraído de um Anúncio Publicitário
171
A n e x o 10
Questionário 1
172
ESCOLA
Nome: N°_
Data:
Questionário
1 - O que mais gostas de fazer nas aulas de Matemática?
2- Supõe que conhecias um colégio onde os alunos da tua idade não têm Matemática e
tu querias convencer o Director a integrar esta disciplina no horário dos alunos. O
que lhe dirias? Que argumentos utilizarias?
173
Anexo 11
Questionárío 2
174
Avaliação do Trabalho da Aula
Nome:
COMPLETA
Na aula de hoje:
aprendi
^
tive dificuldades em
/
Avaliação do Trabalho da Aula
Nome:
COMPLETA
Na(s) aula(s) em que realizei a tarefa
aprendi
tive dificuldades em
Anexo 12
Carta a um Amigo
176
ACTIVIDADE
Imagina uma carta para um(a) amigo(a) de outra escola. Conta-lhe como decorreram as
aulas de Matemática, deste período, e como te sentiste durante as mesmas.
177
FIM
Nome: N° Data:
178
A n e x o 13
Guião de Entrevista
179
ENTREVISTA SEMI-ESTRUTURADA
Guião para a entrevista a realizar aos 4 alunos
1. Este ano, em algumas aulas de Matemática realizaste um trabalho diferente do habitual. O
que achaste destas aulas?
2. Em que é que estas aulas foram diferentes das outras que tiveste ao longo do ano?
3. Nestas aulas trabalhaste mais ou menos que nas outras? Porquê?
4. Gostaste de realizar este tipo de tarefas? Porquê?
5. De que tarefa gostaste mais? Porquê?
6. Das tarefas que realizaste qual te levantou mais dúvidas? Porquê?
7. O que aprendeste nas aulas em que realizaste estas tarefas?
8. Achas que as actividades que realizaste nestas aulas e as aprendizagens que fizeste te vão ser úteis no futuro? Para quê?
9. Nas aulas em que realizaste estas tarefas [tarefas matemáticas contextualizadas na realidade e na semi-realidade] aprendeste mais ou aprendeste menos "matemática"? Porquê?
10. Para que serve aprender matemática? (FACULTATIVA)
11. Achas que as tarefas matemáticas contextualizadas na realidade podem contribuir para a melhoria do teu aproveitamento em Matemática? Porquê?
12. Achas que tarefas deste tipo deveriam ser realizadas em mais aulas? 12.1 Deveriam ser realizadas em todas as aulas?
13. No final de cada aula ou sessão fazias a avaliação do teu trabalho. Achas que esta avaliação é importante? Porquê? Achas que ela é útil para o professor? Porquê?
14. O que achaste de trabalharmos em grupo em muitas aulas. Como te sentiste a trabalhar em grupo?
15. Queres salientar mais algum aspecto acerca destas aulas?
180