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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
MODELAGEM NUMÉRICA DE ENSAIOS DE ENROCAMENTO
BRUNA MOTA MENDES SILVA TEDESCO
ORIENTADOR: MANOEL PORFÍRIO CORDÃO NETO, DSc
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM GEOTECNIA
PUBLICAÇÃO: G.DM-277/2016
BRASÍLIA/DF: SETEMBRO/2016
ii
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
MODELAGEM NUMÉRICA DE ENSAIOS DE
ENROCAMENTO
BRUNA MOTA MENDES SILVA TEDESCO
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL DA
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A
OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE.
APROVADA POR:
_________________________________________
MANOEL PORFÍRIO CORDÃO NETO, DSc. (UnB)
(ORIENTADOR)
_________________________________________
MÁRCIO MUNIZ DE FARIAS, PhD (UnB)
(EXAMINADOR INTERNO)
_________________________________________
CARLOS ALEXANDER RECAREY MORFA, PhD (UCLV)
(EXAMINADOR EXTERNO)
DATA: BRASÍLIA/DF, 19 de SETEMBRO de 2016.
iii
FICHA CATALOGRÁFICA
TEDESCO, BRUNA MOTA MENDES SILVA
Modelagem numérica de ensaios de enrocamento, Distrito Federal, 2016.
xiv, 87p., 297 mm (ENC/FT/UnB, Mestre, Geotecnia, 2016)
Dissertação de Mestrado - Universidade de Brasília. Faculdade de Tecnologia. Departamento
de Engenharia Civil e Ambiental.
1. Método dos Elementos Discretos 2. Enrocamento
3. Compressão unidimensional 4. Cisalhamento direto
I. ENC/FT/UnB II. Mestre
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
TEDESCO, B.M.M.S. (2016). Modelagem numérica de ensaios de enrocamento, Distrito
Federal. Dissertação de Mestrado, Publicação G.DM-277/16, Departamento de Engenharia
Civil e Ambiental, Universidade de Brasília, Brasília, DF, 87p.
CESSÃO DE DIREITOS
NOME DO AUTOR: Bruna Mota Mendes Silva Tedesco
TÍTULO DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO: Modelagem numérica de ensaios de
enrocamento
GRAU: Mestre
ANO: 2016
É concedida à Universidade de Brasília a permissão para reproduzir cópias desta dissertação de
Mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e
científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta dissertação de
Mestrado pode ser reproduzida sem a autorização por escrito do autor.
_________________________________________
Bruna Mota Mendes Silva Tedesco
Rua 30 Norte, Lote 03, Ed. Milena Baqui Muniz – Águas Claras
71918-180 - Brasília/DF - Brasil
iv
À Cristo, cuja morte me deu vida!
v
AGRADECIMENTOS
Agradeço, primeiramente, a Deus, dono de todo o conhecimento e criador de todas as coisas.
Ele me sustentou todos os dias e me capacitou para chegar até aqui. A Ele toda a honra e toda
a glória.
Agradeço ao meu querido marido Abimael que em todo tempo foi minha força. Obrigada pelo
amor e por nunca me abandonar nessa longa caminhada. Sem você, eu não conseguiria.
Agradeço aos meus pais Denise e Leonardo que sempre são o meu suporte. Obrigada por serem
meus intercessores e por me apoiarem em tudo. Obrigada, também, ao meu irmão Bernardo
pelo companheirismo e por alegrar a minha vida. Vocês são essenciais para mim.
Agradeço ao meu orientador Manoel por toda a dedicação e paciência. Obrigada pelo incentivo
e por acreditar em mim. Sem seu apoio nada disso seria possível.
Agradeço ao Doutor Irvin Pérez Morales que, de todas as maneiras, contribuiu com este
trabalho, auxiliando na utilização da ferramenta empregada na realização de ensaios.
Agradeço ao professor Márcio Muniz que disponibilizou meios para execução desta
dissertação, além de estar sempre presente, auxiliando no que fosse preciso.
Agradeço a todos os meus amigos de curso que contribuíram direta ou indiretamente para a
realização desta pesquisa, e, especialmente, ao amigo Bernardo Cascão que nunca mediu
esforços para auxiliar em diversas dificuldades, sendo um grande companheiro em todo o
tempo.
Agradeço aos meus amigos Nathalie, Renata e Gustavo. Obrigada por torcerem tanto por mim.
Agradeço à CAPES e ao CNPq pelo apoio financeiro.
Agradeço ao Programa de Pós-Graduação em Geotecnia da Universidade de Brasília e todos os
professores que contribuíram nessa jornada.
vi
RESUMO
Um enrocamento é constituído por rocha sã britada e possui comportamento essencialmente
discreto. Apesar disso, na maior parte dos casos, os enrocamentos são simulados como meios
contínuos. Os parâmetros necessários para execução de um projeto de uma barragem de
enrocamento são difíceis de serem determinados devido à dificuldade de manipulação de suas
grandes partículas para montagem de amostras, bem como devido à falta de equipamentos em
escala suficiente para comportá-las. Assim, o método dos elementos discretos apresenta-se
como uma solução para estes problemas, pois trata o enrocamento como um meio discreto e
possibilita a realização de ensaios de grande escala de maneira computacional. Os
enrocamentos possuem comportamentos complexos que são, na maior parte dos casos,
influenciados pelos parâmetros microscópicos da amostra. De modo a analisar a influência
desses parâmetros no comportamento macroscópico, reproduziram-se os ensaios de
caracterização mecânica dos enrocamentos utilizando o método dos elementos discretos por
meio do software de código aberto Yade. Os ensaios reproduzidos foram os ensaios de
compressão unidimensional e cisalhamento direto que já haviam sido executados em um granito
de baixa resistência em um laboratório anteriormente. Eles mostraram que o parâmetro que
possui maior influência sobre o comportamento do material é o módulo de Young das
partículas, visto que influencia diretamente as forças nos contatos entre elas. Ângulo de atrito
e rigidez a rotação também exercem alguma influência sobre o comportamento, porém de
maneira bem mais reduzida. O ensaio de compressão unidimensional foi realizado com e sem
quebra, apresentando respostas muito semelhantes entre si, visto que a quebra para o material
ensaiado foi insignificante. A utilização do método dos elementos discretos mostrou-se eficaz
na representação do comportamento real do material ensaiado.
Palavras-chave: Método dos elementos discretos, enrocamento, ensaio de compressão
unidimensional, ensaio de cisalhamento direto.
vii
ABSTRACT
A rockfill comprises sound rock and behave itself in a manner essentially discrete.
Nevertheless, in most cases, rockfills are simulated as continuous medium. The required
parameters for a rockfill dam project execution are difficult to be determined due to the
difficulty of handling their large particles for mounting samples and the lack of availability of
equipment on a sufficient scale to test the enormous samples. Thus, the discrete element method
is presented as a solution for these problems because treats rockfills as a discrete medium and
allows the achievement of large-scale tests in a computational manner. Overall, rockfills present
complex behavior that is, in most cases, influenced by microscopic sample parameters. In order
to analyze the influence of the microscopic parameters on the macroscopic behavior, rockfill
characterization tests were reproduced using the discrete element method by the open source
software Yade. The tests reproduced were the one-dimensional compression test and the direct
shear test that already were executed previously in a low resistance granite in laboratory. The
tests have shown that the most influent parameter was the Young’s modulus of the particles
since it directly influences the forces on the contacts between them. The friction angle and the
rotational stiffness also exert some influence on the sample behavior but in a such smaller way.
The one-dimensional compression test was carried out with and without breakage having both
very similar responses. This happens because the breakage of the particles was negligible. The
application of the discrete element method proved effective in the representation of the real
behavior of the tested material.
Keywords: Discrete element method, rockfill, one-dimensional compression test, direct shear
test.
viii
SUMÁRIO
Capítulo Página
1. INTRODUÇÃO 1
1.1 CONTEXTO GERAL 1
1.2 MOTIVAÇÃO 2
1.3 OBJETIVOS 3
1.3.1 OBJETIVO GERAL 3
1.3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS 3
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 4
2.1 BARRAGENS E ENROCAMENTOS 4
2.1.1 BREVE HISTÓRICO 4
2.1.2 CARACTERÍSTICAS GERAIS E COMPORTAMENTO DOS ENROCAMENTOS 5
2.1.3 ESTUDOS E MODELOS CONSTITUTIVOS ACERCA DOS ENROCAMENTOS 7
2.2 A ASPECTOS MICROMECÂNICOS REAIS QUE INFLUENCIAM NO
COMPORTAMENTO MACROMECÂNICO DE UM MATERIAL 10
2.2.1 TAMANHO DOS GRÃOS 12
2.2.2 FORMA DOS GRÃOS 12
2.2.3 QUEBRA DAS PARTÍCULAS 14
2.3 MÉTODO DOS ELEMENTOS DISCRETOS 15
2.3.1 VANTAGENS E DESVANTAGENS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS
DISCRETOS 16
2.3.2 PRINCÍPIOS DO MÉTODO 18
2.3.3 ASPECTOS CONSIDERADOS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS DISCRETOS
20
2.3.3.1 GERAÇÃO DAS AMOSTRAS 20
ix
2.3.3.2 MODELOS DE CONTATO 22
a) Interações Normais 22
b) Interações Tangenciais 24
c) Modelo de Hertz-Mindlin 25
d) Detecção dos Contatos 25
2.3.3.3 PASSO DE TEMPO 27
2.3.3.4 FORMA 28
2.3.3.5 QUEBRA 29
a) Critérios de Quebra 30
b) Procedimentos de Separação (Spawning Procedure) 31
3. METODOLOGIA 34
3.1 DADOS UTILIZADOS 34
3.2 YADE 36
3.2.1 GERAÇÃO DAS AMOSTRAS 36
3.2.2 MODELOS E PARÂMETROS 43
3.3 QUEBRA 45
3.4 COMPRESSÃO 49
3.5 CISALHAMENTO DIRETO 52
4. RESULTADOS 56
4.1 COMPRESSÃO UNIDIMENSIONAL 56
4.1.1 CALIBRAÇÃO DE PARÂMETROS PARA COMPRESSÃO UNIDIMENSIONAL
56
4.1.2 RESULTADOS DE ENSAIOS DE COMRPESSÃO SIMPLES SEM QUEBRA 61
4.1.3 RESULTADOS DE ENSAIOS DE COMRPESSÃO UNIDIMENSIONAL COM
QUEBRA 63
4.2 CISALHAMENTO DIRETO 67
x
4.2.1 CALIBRAÇÃO DE PARÂMETROS PARA CISALHAMENTO DIRETO 67
4.2.2 RESULTADOS DE ENSAIOS DE CISALHAMENTO DIRETO 76
5. CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA PESQUISAS FUTURAS 78
5.1 CONCLUSÕES 78
5.2 RECOMENDAÇÕES PARA ESTUDOS FUTUROS 80
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 81
xi
LISTA DE TABELAS
Tabela Página
Tabela 3.1 – Características Gerias do Material Simulado 34
Tabela 3.2 – Comparação dos módulos de Young entre gerações aleatórias de amostras. 38
Tabela 3.3 – Número de partículas e massa distribuídos pelos diâmetros da amostra. 38
Tabela 3.4 – Granulometrias truncadas. 40
Tabela 3.5 – Tempo decorrido para ensaio das amostras. 41
Tabela 3.6 – Comparação dos módulos de Young das granulometrias truncadas 41
Tabela 3.7 – Parâmetros para geração de amostra. 43
Tabela 3.8 – Densidades calculadas para aplicação de tensão normal. 53
Tabela 4.1 – Parâmetros utilizados nos ensaios de compressão unidimensional 61
Tabela 4.2 – Granulometria das amostras utilizadas no ensaio de compressão unidimensional
62
Tabela 4.3 – Ângulo de atrito macroscópico a partir do ângulo de atrito microscópico 72
Tabela 4.4 – Influência do módulo de Young. 74
Tabela 4.5 – Influência da rigidez rotacional – κrot – no ângulo de atrito da amostra. 76
Tabela 4.6 – Propriedades para calibração da amostra. 77
Tabela 4.7 – Ângulo de atrito da amostra a partir das calibrações realizadas. 77
xii
LISTA DE FIGURAS
Figura Página
Figura 2.1 – Modelo de Patton (modificado - Patton, 1966). 7
Figura 2.2 – Influências micromecânicas (Zuluaga, 2014). 11
Figura 2.3 – Efeito da forma na compressibilidade de areias (Chuhan et al., 2003). 13
Figura 2.4 – Comportamento de compressão unidimensional de areias (Chuhan et al., 2003).
15
Figura 2.5 - Círculo exterior em contato com outros dois, obtidos pelo método de envoltórias
de intersecção (Morales et al., 2015) 22
Figura 2.6 – Gradeamento para detecção de contatos (Safuryn, 2016). 26
Figura 2.7 – Procedimento de separação após quebra (Poschel e Schwager, 2005). 32
Figura 2.8 – Procedimento de separação após quebra (Ben-Nun e Einav, 2010). 32
Figura 3.1 – Granulometria do material utilizado por Dias (2001). 35
Figura 3.2 – Comparação entre gerações aleatórias de amostras. 37
Figura 3.3 – Média de partículas por ensaios (modificado - O’Sullivan, 2014). 39
Figura 3.4 – Comportamento das granulometrias truncadas. 40
Figura 3.5 – Procedimento de geração da amostra: (a) geração de partículas por meio de uma
fábrica; (b) compressão das partículas criadas até a altura desejada. 42
Figura 3.6 – Máxima distância de Rtanθ_0 abaixo do centro do contato (Ciantia et al., 2015).
46
Figura 3.7 – Quebra e inserção de novas partículas (Ciantia et al., 2015). 48
Figura 3.8 – Equipamento para ensaio de compressão unidimensional (Dias,2001). 50
Figura 3.9 – Influência da velocidade – Parâmetros da amostra: E = 109 e ϕ = 64º. 51
Figura 3.10 – Equipamento utilizado no ensaio de cisalhamento direto de grande escala (Dias,
2001). 52
Figura 3.11 – Estabilização das amostras: (a) E = 14E+07 Pa e ϕ = 30º; (b) E = 14E+09 e ϕ =
30º. 53
Figura 3.12 – Esquema do ensaio de cisalhamento virtual. 54
Figura 3.13 – Comparação de medições na caixa e na esfera. 55
xiii
Figura 4.1 – Comparação do comportamento de uma amostra devido ao Poisson – E = 108 e ϕ
= 30º. 56
Figura 4.2 – Comparação do comportamento de uma amostra devido ao Ângulo de Atrito – E
= 108 e ν = 0,3. 57
Figura 4.3 – Comparação do comportamento de uma amostra devido ao módulo de Young – ν
= 0,3 e ϕ = 55º 57
Figura 4.4 – Comportamento assintótico do comportamento de compressão em relação ao
ângulo de atrito para uma tensão normal de 400 kPa – E = 108, ν = 0,3. 59
Figura 4.5 – Comparação do comportamento de compressão devido ao módulo de Young em
escala log – ν = 0,3 e ϕ = 53º. 59
Figura 4.6 – Relação entre o módulo de Young e tensão necessária para provocar uma
deformação de 1,5% - ϕ = 53º, ν = 0,3. 61
Figura 4.7 – Resultado do ensaio de compressão unidimensional - ϕ = 53º e ν = 0,3 62
Figura 4.8 – Relação entre força limite e módulo de Young. 64
Figura 4.9 – Ensaio de compressão com quebra – E = 14x107 e ϕ = 53º. 64
Figura 4.10 – Granulometrias inicial e final do ensaio de compressão unidimensional 65
Figura 4.11 – Granulometrias inicial e final do ensaio de compressão unidimensional com
material de Itapebi (Dias, 2001). 65
Figura 4.12 – Esquema de ensaio de rolamento 68
Figura 4.13 – Influência do ângulo de atrito - E = 14x109 e κ = 0. 69
Figura 4.14 – Influência da rigidez rotacional - E = 14x109 e κ = 0. 70
Figura 4.15 – Influência da rigidez rotacional. 71
Figura 4.16 – Influência do ângulo de atrito – E = 14x109 e κ = 0. 72
Figura 4.17 – Influência do módulo de Young – φ = 10º e κ = 0. 73
Figura 4.18 – Influência do módulo de Young – φ = 30º e κ = 0. 74
Figura 4.19 – Anomalia no comportamento das partículas devido a Young muito baixo. 75
Figura 4.20 – Influência da rigidez rotacional (κrot) – E = 14x109 e ϕ = 10º. 76
Figura 4.21 – Calibração do Ensaio de Cisalhamento. 77
xiv
LISTA DE SÍMBOLOS
𝐴𝐹 – Área de contato entre as partículas
𝐹𝑙𝑖𝑚 – Força limite para quebra
𝑑0 – Diâmetro de referência
𝑒𝑖 – Coeficiente de restituição
𝑟𝐻 – Raio de contato entre partículas
d – Diâmetro das partículas
E - Módulo de Young
m – Parâmetro do material
R – Raio da partícula
𝐼𝑠 – Resistência a compressão puntiforme
𝛽𝑖 – Taxa de amortecimento viscoso
𝜅𝑚𝑜𝑏 – Força mobilizada dos grãos
𝜎𝑐 – Resistência a compressão uniaxial
𝜎𝑙𝑖𝑚 – Tensão limite para quebra
𝜎𝑡 – Resistência a tração uniaxial
κrot – Rigidez a rotação
ν – Coeficiente de Poisson
ϕ – Ângulo de Atrito
χ – Parâmetro de propriedades micro estruturais dos parâmetros
𝜅 – Força intrínseca dos grãos
1
1. INTRODUÇÃO
1.1 CONTEXTO GERAL
O crescimento populacional bem como o aumento de atividades comerciais e industriais
eleva a necessidade de energia elétrica de uma região. Estima-se que, atualmente, a demanda
de energia elétrica no Brasil varia anualmente de 3.000 a 4.000 MW. A fim de suprir tal
demanda no país, onde o potencial hidráulico é bastante elevado, uma das maneiras utilizadas
é o emprego de hidroeletricidade cujo objetivo é a conversão do fluxo natural da água em
eletricidade. Desta forma, grande parte da matriz energética brasileira pauta-se neste tipo de
energia. Neste contexto, surgem as barragens visto que um de seus principais objetivos é o
represamento de água para o aproveitamento hidrelétrico pela regularização de vazões, além de
abastecimento de água, controle de inundações, e, até mesmo, irrigação.
Uma barragem pode ter diferentes constituições o que irá classificá-la em barragem de
concreto ou barragem geotécnica. As barragens geotécnicas, por sua vez, subdividem-se em
barragens de terra e barragens de enrocamento, sendo estas barragens aquelas em que há
predominância de material rochoso em sua seção, consistindo sua impermeabilização em
membrana externa, que pode ser, por exemplo, de concreto ou asfalto, ou em núcleo interno de
argila.
Para execução do projeto de uma barragem de enrocamento, geralmente, utilizam-se
programas computacionais que exigem determinados parâmetros geotécnicos e baseiam seu
funcionamento no método dos elementos finitos. A ideia central deste método é discretizar a
barragem, considerada, portanto, contínua, representando-a por um conjunto de elementos
conhecidos.
Apesar da consideração como meios contínuos para execução de seus projetos, os
enrocamentos são, assim como o solo, essencialmente discretos, ou seja, sua formação é
composta por partículas que interagem por meio de contatos mecânicos. O problema desta
consideração está no fato de materiais granulares, ao contrário dos materiais contínuos,
apresentarem comportamentos bastante distintos de acordo com a circunstância a que estão
submetidos. Observou-se, por exemplo, acumulação de lentas deformações nos enrocamentos
ao longo de décadas, além do colapso da face quando submersa, dentre outros.
Percebe-se, assim, que o comportamento dos enrocamentos é complexo, não sendo, desta
forma, suficiente o seu tratamento como contínuo. Neste contexto, surge a necessidade da
2
aplicação do método dos elementos discretos para projeto e análise das barragens de
enrocamento uma vez que a principal característica deste método é o controle das respostas
complexas por leis simples de contato entre partículas. Desta forma, é possível simular quebras
e fraturas de partículas, além de prever o comportamento da mecânica granular.
A aplicação do método dos elementos finitos aos enrocamentos, além disso, exige a
determinação de parâmetros que são mantidos constantes ao longo de toda a simulação, ou seja,
mesmo havendo acumulação de deformações ou quebra, estes parâmetros são considerados
invariáveis. Além disso, sabe-se que a obtenção destes parâmetros se dá de forma aproximada
tendo em vista a dificuldade de ensaiar amostras tão grandes, sendo, portanto, os parâmetros
obtidos por ensaios em escalas reduzidas que buscam reproduzir o comportamento do material.
Este procedimento inevitavelmente agregará erros à simulação, aumentando, assim as
incertezas associadas à utilização do método dos elementos finitos nos enrocamentos.
1.2 MOTIVAÇÃO
Parâmetros de enrocamentos necessários para execução de projetos são difíceis de serem
determinados devido à dificuldade de manipulação de grandes partículas para montagem de
amostras, bem como devido à falta de equipamentos gigantescos para realizar os ensaios.
Assim, devido a essa realidade, poucos ensaios são executados.
A fim de suprir a falta de ensaios para determinação dos parâmetros, adotou-se solução
que busca adaptar as amostras aos equipamentos existentes, utilizando para isto granulometria
inferior à real. Assim, os ensaios, que deveriam ser feitos para a granulometria real dos
enrocamentos, são feitos em menor granulometria de forma que se adequem aos equipamentos
disponíveis para os ensaios. Este procedimento, entretanto, é complicado e arraigado de
imprecisões e incertezas, pois os parâmetros obtidos referem-se a materiais distintos dos quais
deseja-se realmente conhecer o comportamento. Além disso, não é conhecida a relação entre os
parâmetros da granulometria ensaiada e a granulometria real.
Percebe-se, desta forma, a necessidade de estabelecer parâmetros para os materiais dos
enrocamentos que melhor se aproximem às condições reais. Assim, baseando-se nos ensaios
existentes, a principal motivação desta dissertação consiste em simular o comportamento dos
enrocamentos a partir de suas partículas, sistematizando a forma pela qual os parâmetros
3
obtidos em uma granulometria menor se relacionam com os parâmetros reais, considerando a
quebra de grãos.
1.3 OBJETIVOS
1.3.1 OBJETIVO GERAL
O objetivo geral desta dissertação consiste na análise da maneira pela qual parâmetros a
nível de grãos, oriundos do comportamento complexo do material, influenciam nos parâmetros
macroscópicos dos enrocamentos.
1.3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Levantar e analisar de dados de ensaios de enrocamentos existente na literatura;
Realizar estudo teórico acerca dos parâmetros microscópicos de partículas;
Simular os dados analisados da forma mais adequada à realidade;
Observar a influência dos parâmetros a nível de grãos no comportamento macroscópico de
um enrocamento.
4
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 BARRAGENS E ENROCAMENTOS
Uma barragem pode ser definida como um elemento estrutural construído transversalmente
à direção de escoamento de um curso d’água com o objetivo de criar um reservatório artificial
para acumular água (Marangon, 2004). Define-se enrocamento, por sua vez, como uma
aglomeração de partículas de rocha, sendo suas dimensões compreendidas entre 1 cm e 2 m
(Deluzarche e Cambou, 2006). Trata-se de um conceito atual que sofreu alterações ao longo
dos anos, devido a experiência adquirida no manuseio deste elemento e do desenvolvimento de
técnicas construtivas (Affonso, 2004). Inicialmente, por exemplo, Terzaghi e Peck (1967)
classificaram uma partícula originada do fragmento de uma rocha sã como enrocamento
baseado no seu peso, que deveria estar entre 13 kg e 18 t, e não no seu tamanho, como é feito
atualmente.
2.1.1 BREVE HISTÓRICO
As barragens estão intimamente ligadas ao crescimento e declínio das civilizações ao longo
da história e, com o passar do tempo, suas técnicas construtivas foram evoluindo. Durante o
século XIX, importantes avanços nas técnicas de dimensionamento aconteceram. Engenheiros
franceses começaram a incorporar aproximações racionais às suas análises de forças,
defendendo que as pressões em uma barragem devem ser levadas a limites específicos e que a
estrutura deve ser dimensionada para suportar escorregamento.
No século XX, grandes avanços foram feitos. Os norte-americanos fizeram importantes
progressos nas construções de aterro e a nova tecnologia de barragens de enrocamento deram
novo impulso aos Estados Unidos (Jansen, 1980). A primeira vez que um maciço de
enrocamento foi utilizado como elemento principal de uma barragem foi em Serra Nevada,
Califórnia (Davis e Sorensen, 1974).
No que se refere às barragens de enrocamento, a divisão histórica do seu desenvolvimento
é feita em três partes. O período inicial, compreendido entre os anos de 1850 a 1940, é
representado pela utilização de aterros constituídos de enrocamento lançado, sem compactação.
O período de transição, que abrange os anos entre 1940 e 1965, caracteriza-se por uma
experimentação agressiva, através das técnicas inovadoras de projeto e construção, e pela
5
comprovação da importância da compactação no processo construtivo. Por fim, o período
recente, que se iniciou em 1965 e se estende até os dias atuais, há um refinamento dos projetos
de enrocamento, guardando uma certa padronização (Coke, 1984).
A primeira barragem de enrocamento construída no Brasil foi a barragem de Furnas,
iniciada em 1958. Ao longo dos últimos anos, foram construídas 40 barragens de enrocamento,
sendo 29 com núcleo de argila, 9 com face de concreto e 2 com núcleo asfáltico (Donadon,
2015).
2.1.2 CARACTERÍSTICAS GERAIS E COMPORTAMENTO DOS
ENROCAMENTOS
O enrocamento é constituído por rocha sã britada, geralmente, com granulometria bem
uniforme. Destacam-se com os mais importantes atributos dos enrocamentos, sua baixa
compressibilidade e a alta resistência ao cisalhamento (Silva, 2007). Segundo Sowers et al.
(1965), o comportamento de um enrocamento caracteriza-se pelo acumulo de lentas
deformações através de muitas décadas (apud Oldecop e Alonso, 2001). Assim como nos solos
arenosos e granulares, existem algumas características que irão influenciar diretamente a
resistência e o grau de deformação dos enrocamentos. As principais características são:
mineralogia, resistência da rocha, faturamento dos blocos, índice de vazios, forma e textura dos
blocos, saturação, tamanho dos blocos, velocidade de carregamento e magnitude das tensões
aplicadas (Dias, 2001). Nota-se, desta forma, que o comportamento de uma estrutura de
enrocamento sofre influência direta da rocha-mãe que o formou.
Além desses parâmetros, pode-se acrescentar ao comportamento de um enrocamento a alta
taxa de quebra de suas partículas, o que não é observado para areias, exceto em estados de
elevadas tensões. Segundo Terzaghi (1960), uma possível razão para as grandes deformações
dos enrocamentos seria, então, a quebra de partículas em regiões próximas a elevadas tensões
de contato que se rearranjam de modo a formar uma estrutura mais estável.
Várias barragens de enrocamento foram construídas no início do século XX. Nesta fase
algumas apresentaram mau comportamento devido à ocorrência de vazões elevadas e
surgimento de grandes deformações após o período de construção. Tais problemas foram
relacionados ao enchimento do reservatório e molhagem dos contatos dos blocos de rocha.
Provou-se à época que a molhagem dos contatos provocava perda de resistência dos blocos de
6
rocha, levando à quebra dos grãos. Sugeriu-se, então, a molhagem inicial dos maciços de
enrocamento. Tal prática acentuou o esmagamento dos blocos uma vez que os contatos eram
enfraquecidos, fato que diminuía os recalques seguintes (Affonso, 2004). Sabe-se atualmente
que, além disso, durante a construção de uma barragem, o enrocamento é compactado camada
por camada até que atinja a densidade e inclinação desejadas. Gradualmente, a carga vertical
nas camadas mais inferiores é aumentada devido a compactação de novas camadas superiores
até que se atinja a altura necessária. Esse procedimento resulta em uma elevada carga nas
camadas inferiores, provocando a quebra de partículas (Sharma et al, 2011).
Clements (1981), em testes de carga constante, observou que a deformação nos contatos
entre partículas de um enrocamento é dependente do tempo, ou seja, quanto maior o tempo
transcorrido, maior a deformação observada nos contatos. Além disso, se, após algum tempo
sob carga constante, houver molhagem, deslocamentos adicionais ocorrerão. Comparando estes
resultados com os resultados de Sowers (1965), notou-se que, tanto as deformações
dependentes do tempo quanto a colapso das rochas estão associadas ao fenômeno de quebras
de partículas (Oldecop e Alonso, 2001).
O elevado nível de quebra dos enrocamentos deve-se a existência de fraturas existentes nas
partículas do enrocamento que são submetidas a elevadas forças de contato. Desta forma,
quanto maior a partícula, maior a possibilidade de a partícula quebrar (Deluzarche e Cambou,
2006).
De forma geral, a quebra dos blocos de rocha altera as características de deformabilidade
dos enrocamentos. Tal fato ocorre devido à alteração da granulometria consequente do processo
de quebra, decorrendo em alteração do índice de vazios do material. Ao quebrar, pedaços
menores de rocha ocuparão os vazios antes existentes. Desta forma, o imbricamento do
enrocamento poderá ser elevado, aumentando sua resistência. Destaca-se, entretanto, que o
processo de quebra pode ocasionar deformações elevadas durante o processo de rearranjo e
quebra de blocos (Dias, 2001).
7
2.1.3 ESTUDOS E MODELOS CONSTITUTIVOS ACERCA DOS
ENROCAMENTOS
Devido a sua ampla utilização e importância, existem diversos tipos de estudos e modelos
constitutivos que buscam caracterizar o comportamento de um enrocamento. Modelos
constitutivos definem a relação entre estímulos externos e as respostas do material (Bolton et
al., 2008). Tratam-se de aproximações teóricas para o que se observa na realidade, baseado em
certas premissas de acordo com determinados princípios teóricos, aproximações matemáticas e
observações de campo ou laboratório.
Segundo Jing e Stephansson (2006), o desenvolvimento de um modelo constitutivo deve
atender a dois requisitos principais. O primeiro requisito diz respeito a necessidade que o
modelo tem de capturar o comportamento das rochas encontrados nos ensaios de laboratório e
observações de campo, com limites aceitáveis de tolerância, no que diz respeito às tensões e
deformações características dos problemas de engenharia. O segundo requisito trata da
necessidade que o modelo tem de simular o comportamento da rocha sob condições gerais de
carregamento e os caminhos de tensões e deformações associadas sem violar a segunda lei da
termodinâmica.
Patton (1966) correlacionou em seu modelo a rugosidade da rocha com a força de
cisalhamento na superfície de uma fratura, assumindo que a rugosidade na superfície de uma
fratura tem a mesma forma e um ângulo de inclinação i, que representa o efeito do ângulo de
dilatância. O esquema do modelo está esquematizado na Figura 2.1 a seguir.
Figura 2.1 – Modelo de Patton (modificado - Patton, 1966).
Tensão Normal σn
Tensão Cisalhante σs
Falha da
rocha intacta
Cisalhamento na
superfície rugosa
Tensão Normal σn
Fo
rça
Cis
alhan
te τ
8
Ladanyi e Archambault (1969), por sua vez, consideraram, em seu modelo, variação do
ângulo de dilatância i, de acordo com a magnitude da força normal, e efeito de imrbricamento
entre os grãos, causado pela rugosidade de cada partícula.
Mais recentemente, Oldecop e Alonso (2001) sugeriram um mecanismo básico de
deformação volumétrica baseado na propagação de fraturas. Essa deformação é capaz de
explicar fisicamente a dependência do tempo e a influência da tensão e da ação da água em
deformações e quebras de um enrocamento. Segundo os autores, a rigidez do enrocamento
durante a compressão depende da sucção, aumentando com o aumento desta, e, o aumento da
umidade, reduzindo a sucção, depende da pressão confinante aplicada na amostra.
Um comportamento dependente do tempo intrínseco do enrocamento surge do modelo
proposto pelos autores, desde que a velocidade da propagação de fratura subcrítica, função das
tensões de contato e da umidade da rocha, determine a taxa de deformação do enrocamento. Se
o enrocamento for molhado sob baixas tensões, o material não sofrerá deformações de modo
geral, mas se a tensão aumenta, as fraturas irão surgir com um rápido aumento na sua velocidade
de propagação.
Por meio de ensaios, os autores provaram que a maior parte da água utilizada para
molhagem do enrocamento, foi armazenada dentro das partículas de rocha, isto é, em seus
poros, preenchendo suas fraturas, e somente uma pequena parte estava presente nos vazios
existente entre as partículas. Assim, os autores consideraram como componente fundamental
para análise do comportamento do enrocamento a sucção total. Trata-se de uma variável
constitutiva fundamental se considerada sob um ponto de vista termodinâmico, pois pode se
considerar uma medida do potencial químico da água que influencia a taxa da tensão de reação
de corrosão, que será maior quanto maior o potencial químico da água. Um aumento na taxa de
reação produz não só um aumento na taxa de deformação do enrocamento, mas também na
deformação para o colapso. Existe, portanto, segundo os autores, uma correlação entre a
deformação e a sucção total no enrocamento. Assim, qualquer situação que conduzisse a uma
alteração na umidade das partículas de rocha é suficiente para causar deformações colapsíveis
e aumentar a conformidade do material contra carregamentos futuros.
Varadarajan et al. (2003), por sua vez, realizaram ensaios triaxiais de grande escala em
materiais de enrocamento para desenvolver um modelo constitutivo baseado em uma teoria
elasto-plástica de modo a prever sua mudança de volume devido ao seu comportamento tensão-
deformação. Para desenvolver seu modelo, os autores adaptaram o modelo constitutivo
9
desenvolvido por Desai (1994), que considera o conceito de estado perturbado (DSC) e utiliza
parâmetros como forças de plastificação irreversíveis, endurecimento plástico, ângulos
friccionais e degradação devido à quebra das partículas (apud Varadarajan et al., 2003).
Segundo o modelo de Desai (1994), à medida que o material, inicialmente intacto, se
deforma, devido a aplicação de uma carga, sofre mudanças micro estruturais que envolvem
reorientação de partículas, micro fraturas, quebra de partículas e anisotropia induzida. Nesta
etapa o material pode permanecer contínuo ou tornar-se descontínuo. O limite entre estes
estados é chamado estado completamente ajustado. Uma função de perturbação, então, define
a resposta do material nos estados relativamente intacto e completamente ajustado (apud
Varadarajan et al., 2003).
Varadarajan et al. (2003) concluíram com suas análises que o seu modelo, baseado em
teorias elasto-plásticas, descrevem melhor o comportamento de um enrocamento que os
modelos baseados em teorias elásticas.
Netmati et al. (2011) investigaram o ângulo de dilatância de um enrocamento, parâmetro
comumente utilizado no modelo constitutivo elasto-plástico. Através de ensaios triaxiais, os
autores concluíram que o ângulo de dilatância é dependente do grau de quebra do material, que
aumenta sob elevada tensão confinante, pois a expansão do material é restringida. Além disso,
a dilatância se relaciona diretamente com a resistência a abrasão de partículas angulosas. Em
enrocamentos cujas partículas apresentam forma mais arredondada, a quebra é induzida
principalmente em elevadas pressões confinantes.
Xiao et al. (2014) definiram, por sua vez, um modelo constitutivo dependente do estado do
enrocamento. Para isso, os autores investigaram o comportamento da relação de tensão e
deformação de um enrocamento, do ângulo de atrito crítico e da linha de estado crítica (CSL)
no plano e-log p’, todos baseados em um ensaio de cisalhamento de grande escala, e testaram
o modelo constitutivo de Li e Dafalias (2000), proposto para areais, que acrescenta dilatância
ao conceito básico de estado crítico dos solos.
Segundo ensaios realizados por Xiao et al. (2014), a dilatância e o pico de quebra do
enrocamento é muito similar ao proposto para areia de Li e Dafalias (2000). Além disso,
percebeu-se que o ângulo de atrito crítico do enrocamento diminui com um aumento da pressão
confinante inicial. As linhas de estado críticas do enrocamento analisado crescia com o aumento
10
do índice de vazios inicial, fato atribuído a alterações na curva granulométrica devido à quebra
de partículas.
O modelo proposto pelos autores mostrou-se aplicável para simular o comportamento
dependente do estado de dilatância, tensão-deformação, e ângulo de atrito mobilizado de um
enrocamento para diferentes densidades e pressões.
2.2 A ASPECTOS MICROMECÂNICOS REAIS QUE INFLUENCIAM NO
COMPORTAMENTO MACROMECÂNICO DE UM MATERIAL
O mecanismo mais importante de deformação de uma massa de solos trata-se do
deslizamento relativo entre suas partículas. A resistência ao esforço cortante entre duas
partículas é tensão que se deve mobilizar de forma que se produza um deslizamento relativo. A
resistência tangencial total, função do número de contatos do material, por sua vez, é
proporcional à força normal exercida entre as partículas em contato (Lambe e Whitman, 1969).
A resistência ao cisalhamento, desta forma, é bastante influenciada pela resistência tangencial
dos contatos entre partículas, sendo o grau de acomodação entre partículas também contribuinte
para a resistência total (Neves, 2009).
Assim, as características microscópicas dos solos, como o tamanho dos seus grãos, forma
das suas partículas, granulometria, dentre outros, e os fenômenos micro mecânicos relacionados
ao solo, como seu grau de saturação, cimentação e quebra, influenciam a sua geomecânica
(Zuluaga, 2014). Tal fato acontece, pois, conforme definido pelo método dos elementos
discretos, os contatos entre as partículas do meio que se está analisando é muito importante,
explicando, muitas vezes, comportamentos complexos do material. Assim, analisar os aspectos
micro mecânicos associados aos contatos da partícula é fundamental para compreensão do
comportamento geral do material.
O arranjo das partículas, por exemplo, define a forma pela qual as partículas, e
consequentemente os contatos, estão organizados. Assim, o arranjo das partículas relaciona-se
diretamente com a transmissão das tensões distribuídas no material. A cimentação, por sua vez,
restringe o movimento entre partículas nos contatos devido às forças químicas que surgem ali.
Desta forma, Zuluaga (2014) afirma que a rigidez de alguns materiais será aumentada devido
ao efeito de cimentação.
11
A presença de meniscos nos contatos entre partículas, advindos da não saturação do
material, sujeita as partículas a um estado de tensão negativa. Assim, esta presença de meniscos
influencia a tensão efetiva, a resistência e a rigidez do mesmo (Zuluaga, 2014).
A distribuição granulométrica do material determinará a forma pela qual os vazios serão
preenchidos. Materiais bem graduados apresentam menor índice de vazios, visto que as
partículas menores ocuparão os vazios deixados pelas partículas maiores. Consequentemente,
há maior entrosamento entre os grãos, ocasionando maior ângulo de atrito (Neves, 2009). Além
disso, o fenômeno microscópico da quebra de partículas relaciona-se também com a
distribuição granulométrica do material visto que em materiais mal graduados este fenômeno
se dá com maior intensidade (Zuluaga, 2014).
O tamanho das partículas, na geotecnia clássica, é um parâmetro qualificado como
determinante para a compreensão do desempenho do material. Nakata et al. (2001), em seus
estudos, evidenciam a relação deste parâmetro com a quebra de partículas, visto que explica o
início do processo que será mais rápido para partículas cujo tamanho é maior.
A Figura 2.2 a seguir esquematiza os aspectos micro mecânicos que influenciam no
comportamento do material.
Figura 2.2 – Influências micromecânicas (Zuluaga, 2014).
Não Saturação
H2O
Arranjo das Partículas
% P
assa
Diâmetro das partículas
Distribuição Granulométrica
Quebra de Partículas Cimentação entre partículas
Cimento
Forma das Partículas Tamanho das Partículas
12
2.2.1 TAMANHO DOS GRÃOS
Um parâmetro importante para entendimento do comportamento de um material é o
tamanho dos seus grãos. Além disso, esse parâmetro também pode ser utilizado para
classificação como indicador de possíveis fenômenos físicos (Zuluaga, 2016).
Uma explicação clássica do efeito do tamanho dos grãos em uma amostra está associada
ao conceito das quebras da amostra. Falhas são entendidas como consequência da total
propagação de um defeito existente ou rachadura no material. Se em determinada massa rochosa
há uma grande distribuição de falhas de diferentes tamanhos, maior a probabilidade dessa massa
quebrar, ou seja, o tamanho da partícula e o tamanho da possibilidade de falha máxima são
equivalentes. Assim, o fraturamento da rocha depende do tamanho da partícula (Alonso et al.,
2012). Quanto maior a partícula, maior serão suas chances de quebra.
Além disso, em aplicações geomecânicas, a resposta do sistema a carregamentos externos
é o que mais interessa (Ciantia et al., 2015). Torok et al. (2005) realizaram estudos de modo a
determinar a forma pela qual as forças e respostas do material são dependentes da sua
granulometria. Assim, segundo os autores, a força máxima é inversamente proporcional ao
número de partículas em uma determinada seção. Desse modo, se muitas partículas pequenas
forem adicionadas, as cargas serão transmitidas por muitos pequenos contatos. Se, ao contrário,
partículas maiores forem adicionadas, o número de contatos diminui e, então, a força máxima
aumenta. Percebe-se assim que, segundo Torok et al. (2005), as partículas maiores participam
de forma muito mais intensa na transmissão de forças através do material granular que as
partículas menores.
2.2.2 FORMA DOS GRÃOS
Entender o comportamento dos solos exige o conhecimento da forma das partículas que
o compõe, pois, este comportamento é intrinsecamente dependente das características das
partículas. O comportamento macroscópico dos materiais granulares é resultado da interação
entre partículas, sendo tais mecanismos micro mecânicos função da forma das partículas
(Zuluaga, 2014).
Existem três principais características quando se refere à forma das partículas.
Inicialmente, a esfericidade refere-se a forma geral da partícula. Trata-se de um parâmetro que
13
traduz a similaridade entre o comprimento, a largura e a altura da partícula. O arredondamento,
por sua vez, é quantificado como a relação entre o raio médio de curvatura de características de
superfície e o raio da maior esfera inscrita na partícula. Esta propriedade, portanto, mostra a
escala das características principais de superfície. Por fim, a rugosidade traduz a textura das
partículas em relação aos seus raios. (Cho et al., 2006)
Encontraram-se na literatura alguns estudos que revelam como a forma das partículas
pode influenciar o comportamento do material. Estes estudos, entretanto, em sua maioria
restringem-se ao comportamento de solos arenosos. Apesar disso, tais estudos são importantes
para que se possa notar que existem influências significativas da forma dos grãos no
comportamento geral do material. A Figura 2.3 a seguir mostra, por exemplo, resultado dos
estudos de Chuhan et al. (2003) que revelam os efeitos da variação da forma das partículas na
compressibilidade de materiais granulares com diâmetros similares.
Figura 2.3 – Efeito da forma na compressibilidade de areias (Chuhan et al., 2003)
Cho et al. (2006), por sua vez, em seu estudo avaliam os efeitos da forma das partículas
na densidade e no comportamento dos solos arenosos. O aumento do arredondamento, por
exemplo, eleva o ângulo de atrito no estado crítico, assim como os índices de vazio extremos,
ou seja, índice de vazios máximo e mínimo. Além disso, os autores também destacam a redução
do índice de compressibilidade devido a regularidade da forma das partículas do material.
Assim, conclui-se neste estudo, que como exercício de caracterização do material, a forma das
partículas deve ser sempre avaliada visto que exerce significativa influência no comportamento
do material.
32
36
40
44
48
0,1 1 10 100
Po
rosi
dad
e (%
)
Tensão Vertical Efetiva (MPa)
Subarredondada (0,17mm)
Subangular (0,19mm)
14
2.2.3 QUEBRA DAS PARTÍCULAS
A quebra das partículas é um fenômeno que acontece em escala microscópica. Trata-se
do faturamento das partículas após alcançarem determinado nível de tensões. Determinadas
características definem este processo como gradação e tamanho das partículas, mineralogia e
nível de tensões (Zuluaga, 2014).
Tudo na natureza tende a um estado de menor energia. Assim, a quebra de partículas
ocorre em consequência da busca do material de encontrar este estado de maior equilíbrio, ou
seja, havendo maior número de contatos entre as partículas, resultado da quebra, as cargas se
distribuirão de melhor forma no material. Oldecop e Alonso (2007), utilizando-se do conceito
de propagação de fissuras, consideram a quebra retardada de partículas de rocha como o
caminho a um rearranjo estrutural granular cujo objetivo é encontrar uma nova configuração de
equilíbrio. Em seus estudos, os autores mostraram que em enrocamentos, por exemplo,
fragmentos se encaixariam de forma mais eficiente em vazios pré-existentes, permitindo, assim,
maior densificação do material.
A resistência de um sólido a quebra por fratura é determinada pelo surgimento de falhas
no seu ponto mais fraco. As quebras levam ao amolecimento dos materiais e acréscimo de
tensões de compressão à medida que os fragmentos gerados formam uma melhor gradação dos
grãos. Os novos grãos gerados irão se encaixar de melhor maneira nos espaços preenchidos
anteriormente por gases e/ou líquidos, formando uma estrutura com acondicionamento mais
compacto (Knok e Bolton, 2013).
A mineralogia pode influenciar o processo de quebra de partículas a partir do momento
em que se relaciona com a facilidade de quebra, possibilitando, assim, a determinação da
velocidade com que acontecem os processos, além de definir o tipo de fragmentação que
ocorrerá (Zuluaga, 2014). A influência da mineralogia na quebra das partículas que compõe os
materiais está ilustrada na Figura 2.4 a seguir.
15
Figura 2.4 – Comportamento de compressão unidimensional de areias (Chuhan et al., 2003).
2.3 MÉTODO DOS ELEMENTOS DISCRETOS
Para simular um sistema, duas aproximações podem ser realizadas. Na primeira
aproximação, o meio é tratado como contínuo e o seu comportamento é descrito por leis
constitutivas, expressas na forma de equações que correlacionam parâmetros mecânicos de
tensão e deformação. No caso de materiais granulares, essa aproximação assume que o meio é
contínuo e completamente preenchido, sem espaços vazios. Na outra aproximação, o meio é
tratado como discreto, formado por um conjunto de partículas individuais e independentes
(Safuryn, 2016).
O solo é um meio essencialmente granular. Um dos problemas que se encontra na análise
dos meios granulares deve-se ao fato da dificuldade de se representar de maneira confiável sua
sensibilidade bem como suas propriedades. Uma análise rigorosa do comportamento desses
meios é cientificamente desafiadora devido à natureza homogênea das partículas (Hassanpour
e Pasha, 2015), mas extremamente necessária, visto a grande influência de aspectos micro
mecânicos no comportamento macro do material.
O uso de aproximações discretas foi introduzido em 1956 por Alder e Wainwright, através
de estudos da dinâmica molecular para investigar o movimento de átomos e moléculas. O
método dos elementos discretos aplicado à modelagem de solos foi apresentado pela primeira
vez em 1979 por Cundall e Strack. Segundo os autores, um meio granular é composto por
partículas distintas que se locomovem independentemente das outras, interagindo entre si
Poro
sidad
e (%
)
Tensão Vertical Efetiva (MPa)
Poro
sidad
e (%
)
Tensão Vertical Efetiva (MPa)
32
36
40
44
48
28
0 10 5020 30 40 0 10 5020 30 40
32
36
40
44
48
28
Micas (0,18mm)
Carbonato (0,19mm)
Lítio (0,17mm)
Quartzo(0,19mm)
Carbonato (0,38mm)
Lítio (0,37mm)
Quartzo(0,38mm)
16
somente nos pontos de contato. O comportamento do solo, segundo apresentado, era, então,
representado por discos ou esferas. O que diferencia o método dos elementos discretos da
mecânica molecular é a inserção de seis graus de liberdade às partículas, adoção de partículas
com formatos esféricos ou complexos e uso de modelos de contato avançados.
De acordo com O’Sullivian (2011), o método dos elementos discretos trata-se de uma
modelagem numérica ou simulação computacional aproximada capaz de analisar solos e outros
materiais granulares, sendo sua principal característica o fato de considerar individualmente as
partículas constituintes do meio, além de suas interações. Assim, ao contrário do método dos
elementos contínuos, amplamente empregado na modelagem dos solos em Geotecnia, o método
dos elementos discretos analisa determinado meio como uma união de partículas, sendo cada
uma caracterizada por suas próprias propriedades mecânicas e por sua geometria definida.
2.3.1 VANTAGENS E DESVANTAGENS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS
DISCRETOS
O comportamento macroscópico do solo é resposta da atividade microscópica individual
das partículas que o compõe. Isso significa que para se obter uma melhor compreensão dos
sistemas particulados e suas funcionalidades, as interações entre as partículas no nível
microscópico devem ser analisadas (Zhu et al., 2007). Segundo Zuluaga (2016), este método,
portanto, permite avaliar o comportamento físico e mecânico dos materiais granulares uma vez
que possibilita o entendimento das propriedades micromecânicas das partículas, além da
interação entre as mesmas.
Sabe-se que analisar partículas individualmente para examinar o comportamento de um
material é extremamente complicado por meio de um ensaio de laboratório. Desta forma,
modelar o comportamento de partículas através de simulações numéricas é muito eficaz. Além
disso, o uso de simulações computacionais fornece um método mais eficiente em termos de
custo como alternativa para os ensaios de laboratório uma vez que não são necessárias amostras
físicas ou equipamentos reais (Hassanpour e Pasha, 2015). Acrescenta-se ainda que essas
simulações fornecem informações dinâmicas, como as trajetórias e as forças transientes atuando
em cada partícula (Zhu et al., 2007).
17
Poschel e Schwager (2005) destacam, por sua vez, que a partir do momento em que não
há uma teoria que seja confiável no que diz respeito ao comportamento dos materiais granulares
em equipamentos técnicos, as simulações numéricas, utilizando o método dos elementos
discretos, podem ser usadas para prever e otimizar a função desses equipamentos antes mesmo
que sejam construídos. Além disso, experimentos com equipamentos de engenharia são,
normalmente, caros, demorados e, em alguns casos, perigosos. Assim, nesses casos, as
simulações numéricas podem complementar ou até mesmo substituir experimentos reais. Além
disso, as simulações computacionais permitem que não haja limitações nos ensaios devido, por
exemplo, ao tamanho das partículas, podendo as simulações serem feitas em seus tamanhos
reais (Donzé et al., 2009).
O’Sullivian (2011), além de destacar a vantagem de aplicar carregamentos e deformações
a amostras virtuais de modo a simular testes de laboratórios, monitorando e analisando o
comportamento de cada partícula, responsáveis pelo comportamento complexo do material, cita
também como vantagem o fato de ser possível analisar mecanismos envolvidos em problemas
de grandes deformações e deformações localizadas. Esses problemas não são facilmente
modelados com a utilização do método dos elementos finitos. O surgimento de falhas na
geomecânica, geralmente, envolve grandes deslocamentos e deformações. O método dos
elementos discretos pode revelar a influência e importância desses mecanismos.
Safuryn (2016) destaca como motivos para se usar o método dos elementos discretos a
necessidade de se analisar o comportamento das partículas para se avaliar o comportamento
complexo dos materiais granulares, o fato do método modelar precisamente a micromecânica
dos materiais granulares e, por fim, o fato do método superar as dificuldades encontradas pelas
leis constitutivas. No caso dos meios granulares, as leis constitutivas relacionando tensão e
deformação são geralmente inexistentes ou muito complexas.
Apesar, todavia, dos pontos positivos apresentados, existem algumas limitações e
desvantagens oriundas da utilização do Método dos Elementos Discretos. Ardiç (2006)
apresenta, como uma das maiores desvantagens do método, a dificuldade de configuração da
geometria dos modelos uma vez que os métodos de geração de amostra ainda são limitados.
Além disso, o autor também cita o tempo computacional excessivo necessário para realização
das simulações, o que torna inviável a simulação de alguns problemas maiores, a necessidade
de estudos de calibração para determinação das propriedades dos materiais e, por fim, a
disponibilidade de programas computacionais focados no método dos elementos discretos ainda
18
é muito pequena quando comparado à disponibilidade de programas focados no método dos
elementos finitos que apresenta uma grande variedade de programas.
Segundo Kuhn (2013), por sua vez, dentre as desvantagens desse método, cita-se a
dificuldade de criar e calibrar formas reais de partículas, uma vez que na maioria das simulações
utilizam-se partículas esféricas. Além disso, o autor também destaca a não modelagem de
textura, rugosidade e angulosidades das partículas, o fato de os contatos entre as partículas
serem extremamente idealizados e, por fim, a impossibilidade de quebra das partículas,
devendo-se providenciar algoritmos de substituição ou clumps para simulação da quebra.
Além disso, Safuryn (2016) destaca ainda que o método dos elementos discretos é
amplamente dependente dos recursos computacionais disponíveis. Cálculos para determinação
dos contatos e posições são necessários a cada passo de tempo. Esse processo demanda muito
computacionalmente e será maior quanto maior a quantidade de partículas. Desta forma, apesar
de um grande número de vantagens que o método possui, todas elas são amplamente limitadas
pelos recursos computacionais disponíveis aos usuários.
2.3.2 PRINCÍPIOS DO MÉTODO
As partículas de um material granular interagem por meio de forças de baixo alcance, ou
seja, somente por meio de contatos mecânicos. Desta forma, estabeleceu-se que a mecânica de
um material granular é dirigida pelas equações de movimento de Newton (Poschel e Schwager,
2005). As leis de Newton, desta forma, são aplicadas para descrever o movimento do sistema
de partículas. As interações entre a partícula e as partículas vizinhas, por sua vez, são descritas
por meio da mecânica dos contatos (Hassanpour e Pasha, 2015).
Diversas técnicas numéricas têm sido usadas para modelagem dos elementos discretos nos
últimos anos. Essas técnicas são classificadas como técnicas de contato não-suaves ou técnica
de contatos suaves. Enquanto no método dos contatos suaves a penetração entre partículas é
permitida, no método dos contatos não-suaves a penetração não é permitida (Zuluaga, 2016).
No método de aproximação não-suave, utilizado para simular sistemas dinâmicos, onde a fração
de sólidos é pequena, as forças entre as partículas são consideradas impulsivas e, portanto, as
partículas transferem momento na colisão. Nesse método as forças entre as partículas não são
consideradas. Em contrapartida, no método de aproximação suave as forças entre as partículas
19
são analisadas de forma precisa, devendo ser usado para sistemas quase-estáticos onde há
muitas partículas sólidas, ou seja, sistemas densos (Hassanpour e Pasha, 2015).
No modelo proposto por Cundall e Strack (1979), utilizou-se o método de aproximação
suave, dividindo-se a análise em duas etapas. Inicialmente, no momento em que as partículas
se interpenetram levemente, as forças de interação são computadas. Em seguida, a segunda lei
de Newton é utilizada para determinar a aceleração resultante, que integrada no tempo fornece
a nova posição de cada partícula (Donzé et al., 2009). Apesar de parecer distante da realidade
física que duas partículas se interpenetrem, o que realmente é representado com essa
interpenetração é a deformação relativa das superfícies dos elementos (Cundall e Hart, 1992).
A partir do método, então, proposto por Cundall e Strack (1979), propõe-se os seguintes
princípios como base do método dos elementos discretos (Kishino, 1999, Potyondy e Cundall,
2004):
1. As partículas básicas são rígidas, possuem inércia finita e podem ser descritas
analiticamente;
2. As partículas podem se mover independentemente umas das outras, translacionando ou
rotacionando;
3. Os programas computacionais identificam automaticamente os contatos entre as
partículas;
4. O contato entre partículas ocorre em uma área infinitesimal e envolve somente duas
partículas;
5. É permitido que as partículas se interpenetrem suavemente nos pontos de contato. Esta
interpenetração é análoga a deformação real que ocorre entre partículas. A magnitude
da deformação de cada partícula no ponto de contato é considerada pequena;
6. As forças de compressão entre partículas podem ser calculadas pelo tamanho da
interpenetração entre as partículas;
7. Nos pontos de contato, é possível que haja transmissão de forças de compressão e tração
entre as partículas tanto na direção normal de contato quanto na direção tangencial,
ortogonal a força de contato normal;
8. Forças de tensão entre partículas podem ser calculadas considerando a distância de
separação entre elas. Uma vez excedida a máxima tração para o contato, as partículas
se separam e o contato é deletado;
20
9. O tempo considerado em uma simulação deve ser pequeno o bastante para que o seu
movimento em um passo de tempo influencie somente seus vizinhos imediatos;
10. Aglomerados de partículas rígidas podem ser utilizados para representar uma única
partícula, e o movimento relativo entre essas partículas pode causar deformação
considerável.
2.3.3 ASPECTOS CONSIDERADOS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS
DISCRETOS
Alguns aspectos são de fundamental importância para que as simulações computacionais
que utilizam o Método dos Elementos Discretos reproduzam da melhor maneira possível o que
acontece na realidade. Entre os principais aspectos destacam-se os modelos de contato
utilizados, forma das partículas, quebra e maneira como as amostras são geradas.
2.3.3.1 GERAÇÃO DAS AMOSTRAS
As propriedades macroscópicas de um material granular são grandemente influenciadas
pelo arranjo de suas partículas (Sherwood, 1997). O empacotamento de partículas é um
fenômeno natural que ocorre em várias escalas indo desde partículas em nível atômico até o
nível de corpos celestes. O pacote pode estar tanto desconfinado, quando não há paredes
contendo as partículas, ou confinado, quando está submetido a uma estrutura confinante. Além
disso, o pacote pode ser homogêneo ou variar em tamanho e forma. O processo de
empacotamento é um evento dinâmico que pode envolver diversas forças distintas.
Independente da natureza do pacote de partículas, o equilíbrio estável geométrico das partículas
é de interesse principal e influencia diretamente todas as propriedades do pacote. Algumas
propriedades macroscópicas específicas, como a porosidade, são determinadas pela estrutura
do pacote e as paredes confinantes, se existirem (Mueller, 2005). Dentre os vários métodos de
geração de pacotes de partículas, alguns serão citados a seguir.
Zinchenko (1994) considera, em sua metodologia, um conjunto de esferas de mesmo
tamanho, tangentes umas às outras. Cada partícula possui, pelo menos, três partículas vizinhas.
Seu algoritmo, então, faz com que suas partículas dilatem, mantendo os contatos através de uma
solução numérica de equações diferenciais de densificação, resultando em um deslocamento
21
coletivo de esferas em cada passo de tempo. De modo geral, a densificação consiste em duas
etapas: a primeira quando se forma a estrutura completa de contatos e, a segunda, que é a etapa
principal, quando contatos excessivos se formam e, a cada passo de tempo, contatos são
quebrados de modo a continuar a densificação. O processo de geração termina quando nenhuma
ligação pode ser quebrada depois que contatos excessivos se formaram.
Mueller (2005) desenvolveu, por sua vez, um algoritmo sequencial aplicável para qualquer
pacote uniforme não-denso em um cilindro com diâmetro maior que duas vezes o diâmetro das
partículas. As esferas são consideradas unitárias com diâmetro igual a um. Inicialmente,
posicionam-se esferas uma ao lado da outra e próximas a base do cilindro. Esse procedimento
foi denominado algoritmo de base. Em seguida, o algoritmo de base move-se em direção ao
centro do cilindro e novas esferas são posicionadas até que todos os espaços estejam
preenchidos. O número das esferas de base e seus centros são calculados por meio de equações.
Pelo estudo da localização das esferas de base a partir de dados experimentais, porosidade e
distribuição de poros radialmente, desenvolveu-se um parâmetro de empacotamento que
combina uma variável axial e radial ao invés de determinar a localização da partícula no pacote.
Jin e Makse (2010) propõe uma visão termodinâmica para o problema do empacotamento
de esferas. Apesar da inerente natureza em desequilíbrio da natureza granular, a formação de
um pacote denso pode ser mapeada através de um processo termodinâmico que ocorre em uma
determinada compactação onde o volume e a entropia são descontínuos. Desta forma, os
autores sugeriram um algoritmo que sugere que o pacote aleatório denso é bem definido através
de uma estrutura termodinâmica para materiais monodispersos friccionais ou não.
Morales et al. (2015) sugerem, por sua vez, a geração de um pacote denso de partículas com
tamanhos e formas genéricas. Para obter um pacote denso, cada nova partícula é posicionada
de modo que esteja em contato com outras duas partículas, para o caso de simulações
bidimensionais, ou três, para simulações tridimensionais. Os problemas dos contatos são
resolvidos analiticamente, utilizando a técnica de envoltória das interseções. Essa técnica
consiste na localização do local geométrico descrito por um ponto c cujas rotações e translações
aplicadas nele obrigam rotações e translações em uma partícula p[c] definida por ele. Assim,
localizado o local geométrico, encontram-se as interseções do local e, por fim, translada-se c
com o objetivo de fazê-lo coincidir com elas. Este método é exemplificado na Figura 2.5.
22
Figura 2.5 - Círculo exterior em contato com outros dois, obtidos pelo método de envoltórias de
intersecção (Morales et al., 2015)
2.3.3.2 MODELOS DE CONTATO
O método dos elementos discretos utiliza forças de contato para representar a interação real
entre duas partículas. Como um resultado de deslocamentos relativos entre partículas
adjacentes, forças são geradas nos contatos entre elas. O comportamento força-deslocamento
dos contatos depende das propriedades das partículas, seus tamanhos e as condições das suas
superfícies (Thornton, 2015).
As superfícies em contato podem ser classificadas como conformes ou não-conformes.
Superfícies conformes são aquelas que se encaixam perfeitamente antes de sofrerem
deformação. Ao contrário, superfícies não-conformes são superfícies que possuem perfis
distintos e irão interagir, inicialmente, em um único ponto. Neste último caso, a área de contato
é pequena quando comparada às dimensões das partículas e, desta forma, as tensões são
altamente concentradas na região de contato (Johnson, 1999). Um dos modelos mais utilizados
no campo da geomecânica é o modelo de contato de Hertz baseado na aplicação da teoria
elástica a corpos esféricos com superfícies não-conformes (O’Sullivan, 2011).
a) Interações Normais
O modelo mais simples de se representar contatos no método dos elementos discretos é
através do uso de molas elasticamente lineares. As constantes das molas não podem ser
diretamente relacionadas às propriedades dos materiais. Desta forma, onde este modelo é usado,
23
deve-se considerar as molas agindo como “molas de penalidade”, ou seja, usam-se molas
rígidas com o objetivo de reduzir a quantidade de interpenetrações que podem ocorrer no ponto
de contato (O’Sullivan, 2011).
A fim de superar a natureza não física da rigidez da mola elástica, o modelo proposto por
Hertz, a partir da teoria da elasticidade, busca relacionar os parâmetros de uma mola aos
parâmetros de material de uma esfera, formulando expressões para distribuição de tensões e
deformações no contato entre duas partículas. Esse modelo assume um ponto inicial de contato
entre dois corpos sólidos não rígidos e, então, descreve o crescimento da área de contato, as
deformações da superfície e as tensões nas partículas à medida que a interação normal entre as
partículas aumenta (Johnson, 1982). Assim, o modelo de contato de Hertz é um conjunto de
formulações de contatos não-lineares que assume uma área de contato suficientemente pequena,
quando comparada ao tamanho das partículas, e possui formato elíptico (O’Sullivan, 2011).
Uma das vantagens do modelo de Hertz está no fato de considerar a geometria e
características do material das superfícies de contato que são de suma importância nas respostas
dinâmicas dos contatos. Por outro lado, o modelo de Hertz apresenta também algumas
limitações. Dentre elas, destaca-se o fato de, para se definir a rigidez de um contato de partículas
esféricas ou elipsoides, usa-se, sem dificuldades o modelo proposto. Todavia, para áreas de
contato retangulares, por exemplo, o conceito físico do parâmetro da rigidez de contato não se
obtém de forma direta (Machado et al., 2012). Outro ponto fraco que pode ser destacado do
modelo proposto por Hertz associa-se ao tamanho da área de contato que é muito pequena
quando comparada ao raio de curvatura das superfícies em contato. Para o caso de grandes
deformações, que acontecem nas regiões dos contatos, assumir a área de contato tão pequena
não será totalmente verdade (Johnson, 1999).
Thornton (2015) sugere que o modelo de Hertz, inicialmente elástico, se torna plástico a
partir do momento em que o centro da região de contato atinge determinado limite de tensão.
Compressões futuras, a partir deste momento, resultarão em um aumento zona de deformação
plástica abaixo da superfície e assim haverá uma pequena alteração da forma da distribuição de
tensão. Desta forma, durante o contato normal, haverá um estágio em que a distribuição de
tensões é puramente elástico, como proposto por Hertz, e em seguida, haverá um estágio
plástico em que a distribuição de Hertz será truncada, definindo a tensão máxima suportada
pelo estágio elástico. No caso das interações tangenciais, por sua vez, assume-se que a rigidez
tangencial da partícula seria maior quanto maior a área de contato.
24
Walton e Braun (1986), por sua vez, sugeriram um modelo de contato que dissipa energia.
Os autores argumentaram que essa dissipação representa o comportamento não-conservativo
dos contatos que dissipam energia cinética a cada colisão.
O modelo de molas e amortecedores, no que lhe diz respeito, inclui um amortecedor vico-
dissipativo no ponto de contato. A inserção do amortecedor age de modo a considerar a
dissipação de energia devido a deformação plástica nos pontos de contato (O’Sullivan, 2011).
b) Interações Tangenciais
Modelos de contato tangenciais devem ser elaborados de modo a descrever a resposta do
material antes do deslizamento chamado grosseiro, isto é, quando pelo menos uma das
superfícies ainda se encontra parada, ou seja, quando se inicia plastificação, e durante o
deslizamento entre ambas superfícies. A aproximação mais simples para definir a plastificação
é através do modelo friccional de Coloumb que define um critério de plastificação baseado em
um coeficiente de fricção. Este coeficiente é de difícil obtenção uma vez que as dimensões das
partículas são muito pequenas. A natureza não-conforme do contato também dificulta a
determinação deste coeficiente (O’Sullivan, 2011).
Os trabalhos de Mindlin e Mindlin e Deresiewicz formam a base dos modelos de contato
tangenciais. A principal premissa desses modelos consiste em afirmar que as forças tangenciais
não influenciam as forças normais que seguem o modelo descrito por Hertz. Sabe-se,
atualmente, que essa premissa só é considerada verdadeira para esferas com as mesmas
propriedades elásticas (Johnson, 1999). Mindlin provou que não há movimento relativo nas
superfícies que são ditas “coladas”. A aplicação da força tangencial provoca uma deformação
cisalhante na região adjacente da superfície de contato (Thornton, 2015).
De acordo com Mindlin e Deresiewicz, a rigidez da mola de contato tangencial depende das
tensões normal e tangencial no momento da análise, da história dos carregamentos e se o
carregamento tangencial está crescendo ou decrescendo (Denzo e Maio, 2003).
Thorton e Yin (1991) propuseram um modelo em que o contato das esferas se dá
obliquamente, havendo coesão entre as partículas. Este modelo é utilizado para determinar o
contato tangencial entre esferas, desta forma, para o cálculo da força normal, utiliza-se a teoria
de Hertz.
25
c) Modelo de Hertz-Mindlin
Cundall e Strack (1979) propuseram, em seu trabalho, a utilização dos modelos de Hertz e
Mindlin. Os contatos entre partículas eram definidos por meio de uma lei de força-deslocamento
e as esferas utilizadas em seus estudos eram permitidas interpenetrar-se, correspondendo a
deformação das partículas individualmente. A magnitude da interpenetração relaciona-se
diretamente a força de contato entre as partículas.
Os autores propuseram, em seu modelo, para a direção normal, um sistema de mola e
amortecedor linear paralelos. Para a direção tangencial, por sua vez, foi proposto um sistema
de mola e amortecedor linear paralelos, em série com um deslizador. Enquanto a mola é
responsável pela resposta elástica, o amortecedor responde pelas deformações plásticas. Neste
modelo, os parâmetros dos materiais serão constantes de mola nas direções normal e tangencial,
sendo que a dissipação devido às deformações plásticas é, geralmente, proveniente dos
coeficientes de restituição das molas.
Apesar de serem considerados modelos satisfatórios, há algumas limitações no uso das
teorias de Hertz e Hertz-Mindlin para solos reais. Inicialmente, destaca-se que o comportamento
da superfície de contato é extremamente idealizado, não sendo encontrada na natureza, pois,
demonstrou-se que, mesmo para materiais simples e manufaturados, os contatos reais entre
partículas não segue a teoria elástica, ao contrário, há plastificação devido a rugosidade das
superfícies e essa plastificação é mais dominante que o comportamento elástico. Além disso,
provou-se que a resposta real do solo mostra que o modelo de contato de Hertz-Mindlin não
simula corretamente a natureza dependente da pressão para pequenas deformações (O’Sullivan,
2011). Apesar disso, a utilização desse modelo é bastante atrativa uma vez que provê uma base
racional para o desenvolvimento e aplicação no método dos elementos discretos.
d) Detecção dos Contatos
Outro aspecto importante do método dos elementos discretos é a detecção de contatos.
Trata-se de um processo extremamente caro computacionalmente uma vez que envolve
contínuas checagens das distâncias entre elementos na simulação.
Maior parte dos pesquisadores faz uso da checagem por meio de uma espécie de
gradeamento que divide o espaço tridimensional em células, checando os contatos nos
26
subespaços formados, reduzindo, assim, o gasto de tempo computacional, conforme mostra a
Figura 2.6 a seguir (Safuryn, 2016).
Figura 2.6 – Gradeamento para detecção de contatos (Safuryn, 2016).
O processo para a detecção de contatos segue uma sequência definida. Incialmente, o
domínio é discretizado em células tridimensionais. Normalmente, a escolhas dessas células
depende da distribuição granulométrica do material que se está estudando. O tamanho
considerado ótimo é de 3 a 5 vezes o tamanho do menor diâmetro. Em seguida, células ativas
são identificadas, ou seja, células que contém partículas. Essas duas primeiras etapas são
realizadas uma única vez, sempre no começo das simulações. O algoritmo de contato, então,
identifica os contatos entre partículas nas células ativas. Nesse momento, somente serão
gravados na memória do computador as células que possuem as interpenetrações, reduzindo,
assim, o custo computacional.
Identificando os contatos entre partículas, então, calculam-se as forças entre elas por meio
das interpenetrações. Pelas leis de newton de movimento, assim, calculam-se as acelerações e,
por meio de integração numérica, as velocidades e as novas posições dos corpos. No final do
passo de tempo, reposicionam-se, a partir dessas informações, as partículas. Finalmente, as
células ativas são então atualizadas e todo o processo se repete.
Para o contato entre partícula e geometria, um processo similar é utilizado, onde divide-se
a geometria em elementos triangulares que são checados a cada passo de tempo (Hassanpour e
Pasha, 2015).
27
2.3.3.3 PASSO DE TEMPO
Os ciclos de cálculos no método dos elementos discretos acontecem a cada passo de tempo.
A escolha, portanto, do passo de tempo é algo crítico que deve ser analisado. Os passos de
tempo devem ser curtos o suficiente para assegurar estabilidade numérica e acurácia na
transmissão de forças de contato, prevenindo interpenetrações excessivas, mas deve também
ser suficientemente longo de modo a permitir a análise do sistema. Quanto maior os passos de
tempo, mais longa a simulação será (Safuryn, 2016).
Para Hassanpour e Pasha (2015), uma maneira de se aproximar os passos de tempo a uma
solução numericamente estável é através das ondas de Rayleigh. Em uma amostra real de
materiais granulares a transmissão de forças entre partículas individuais se dá através desta
onda que se propaga através de superfícies elásticas e plásticas. O passo de tempo crítico seria,
então, aquele em que a onda de Rayleigh demoraria para atravessa a superfície da partícula de
menor diâmetro, evitando as ondas de se propagarem por espaços maiores que a superfície da
menor partícula. A equação que define o passo de tempo para a propagação da onda de Rayleigh
depende da densidade do material, módulo de cisalhamento e módulo de Poisson da partícula,
ou seja, apresenta alta dependência das propriedades do material. No método dos elementos
discretos, como os corpos são rígidos, não apresentando superfícies plásticas ou elásticas por
onde as ondas se propagariam, e visto que a equação da onda de Rayleigh não considera o
movimento relativo entre as partículas, usa-se uma aproximação.
Smilauer et al. (2016), por sua vez, consideram que estimar o passo de tempo crítico baseia-
se em uma relação entre rigidez das interações e propriedades das partículas. Assim, os autores
utilizam como forma de calcular o passo de tempo crítico, o tempo de propagação da onda-P.
A onda-P é um tipo de onda de corpo que viaja por um meio provocando compressões e
descompressões à medida que passa. A equação que define o passo de tempo, utilizando este
método, leva em consideração a densidade da partícula e seu módulo de Young, ou seja, trata-
se também de um cálculo depende das propriedades do material e define o tempo necessário
para que a onda atravesse a partícula de menor diâmetro.
28
2.3.3.4 FORMA
De modo geral, o método dos elementos discretos utiliza, de forma simplificada, esferas
rígidas para representar o grão do material que se deseja simular. A influência da forma dos
grãos, entretanto, é um fator importante para compacidade, fricção e características de quebra
do material (Neto Gamboa, 2011).
O uso de partículas esféricas deve-se a facilidade de identificar seus contatos e se as
partículas estão de fato se tocando ou quase se tocando, ou seja, a detecção de colisão se dá de
uma maneira muito simples: basta comparar a distância entre os centros de duas partículas com
a soma dos seus raios (O’Sullivan, 2011). Desta forma, o uso de partículas esféricas confere a
simulação uma boa eficiência numérica. Além disso, simulações com milhares de partículas
esféricas é algo viável (Poschel e Schwager, 2005).
Apesar de partículas esféricas se mostrarem adequadas para muitos problemas, existem
também algumas limitações. A força normal entre duas partículas que colidem, por exemplo, é
derivada de propriedades materiais básicas, ou seja, há uma boa base teórica. Para a componente
tangencial, entretanto, existem somente leis fenomenológicas, incorporando parâmetros que
não derivados teoricamente de propriedades materiais, ou seja, tratam-se de parâmetros
determinados somente comparações indiretas. Além disso, para velocidades relativas pequenas
entre partículas, a força tangencial desaparece. Desta forma, torna-se complicado aplicar um
modelo de partículas esféricas a um sistema estático (Poschel e Schwager, 2005).
Além desses problemas, O’Sullivan (2011) ainda cita, como um dos problemas de se
simularem materiais utilizando esferas o fato de apresentarem maior número de rotações se
comparado com o material real. A rotação excessiva deve-se ao fato da geometria inibir a
transferência de momentos às partículas pela componente normal da força de contato. Optando-
se, todavia, por utilizar partículas não-esféricas, o número de contatos torna-se maior que o
número de esferas, elevando consideravelmente o custo computacional. Desta forma, alguns
artifícios devem ser utilizados de modo a simular a fricção entre superfícies que partículas não
esféricas apresentam.
Segundo Zuluaga (2016), existem atualmente duas tendências quanto a representação da
forma das partículas. A primeira diz respeito a geração de formas por meio de funções
matemáticas. A segunda, por sua vez, diz respeito a aglomeração de esferas (clusters),
construindo uma determinada forma.
29
Ferellec e McDowell (2010) desenvolveram um modelo para reproduzir a forma de uma
partícula por meio da representação dessa partícula como uma nuvem de pontos no espaço. A
definição da forma da partícula depende da densidade de pontos na superfície, sendo que quanto
maior o número de pontos, melhor a definição da superfície. Utilizando estereofotogrametria,
a partir de duas imagens de dois ângulos distintos de um objeto, o método proposto pelos
autores permite uma reconstituição numérica da superfície do objeto no espaço.
Tapias et al. (2015), por outro lado, desenvolveram um modelo particulado que procurava
representar o comportamento de um enrocamento. Os autores consideraram importante
representar a forma dos grãos e, desta forma, optaram por uma pirâmide formada por quatorze
microesferas idênticas, formando um cluster, representando, portanto, uma única partícula.
Desta forma, em uma amostra granular uniforme, todas as macro partículas possuíam as
mesmas formas e dimensões com orientações, entretanto, formada por padrões aleatórios.
Hassanpour e Pasha (2015), entendem que a forma de uma partícula pode ser estabelecida
através de um poliedro ou por um cluster de esferas. Através do poliedro, a forma é definida
por meio de cantos, ângulos e faces. A localização dos cantos é dada por meio de vetores que
partem do centro de massa da partícula e um vetor unitário normal define cada face. A
localização e orientação no espaço de cada poliedro é definida por componentes de um vetor
em relação ao centro de gravidade e pelos principais eixos de inércia do corpo. A vantagem
desta representação, segundo os autores, deve-se a possibilidade de representar formas
extremamente complexas. No caso dos clusters, os autores defendem a formação de formas
por um número de esferas com tamanhos diferentes que se interpenetram ou somente se tocam.
Como vantagem desse procedimento cita-se a aproximação à irregularidade da superfície
enquanto se mantém a eficiência computacional, visto que se continua trabalhando com esferas.
2.3.3.5 QUEBRA
A quebra tem se mostrado importante em diversos problemas geotécnicos. Segundo Ciantia
et al. (2015), por mais que haja um bom modelo numérico para esses problemas, se a quebra
for ignorada, tais modelos não serão suficientemente precisos.
Existem duas formas principais para simular a quebra de uma partícula. Na primeira
maneira, micropartículas são unidas, formando uma única partícula, ou seja, um cluster,
30
suscetível a quebrar. À medida que as quebras vão ocorrendo, as partículas menores se separam
das suas partículas de origem, representando um fragmento. Apesar de seu simples conceito e
implementação, esta aproximação é computacionalmente dispendiosa e se torna inviável para
grandes amostras ou à medida que as quebras se tornam repetitivas. A segunda maneira para
simular a quebra de uma partícula consiste em substituir a partícula que quebra por outras
partículas menores. Trata-se do método de fragmentação discreta. A vantagem desta
metodologia está na flexibilidade para produzir qualquer número de fragmentos. Em
contrapartida, se eleva complexidade para descrever a partícula de origem e as “partículas
filhas” com a utilização desta metodologia (Bruchmuller et al., 2011).
Para aplicar o método de fragmentação discreta, algumas escolhas devem ser feitas quanto
aos modelos de critério de quebra e procedimento de criação das novas partículas. O modelo
do critério de quebra diz respeito ao momento em que a quebra irá ocorrer, ou seja, define qual
a condição deve ser satisfeita para que a partícula quebre. O procedimento de criação de novas
partículas, por sua vez, estabelece a relação entre a partícula inicial que desaparece e as novas
partículas que surgem, isto é, os fragmentos, cujos tamanhos, estado inicial e propriedades
requerem especificações (Ciantia et al., 2015).
a) Critérios de Quebra
Poschel e Schwager (2005), em seus estudos, relacionaram a probabilidade de fragmentação
de uma partícula com a distribuição estatística de falhas na superfície e com a distribuição de
tensão resultante na superfície da partícula. Assim, uma partícula submetida a uma força que
fornece a energia elástica específica, irá quebrar obedecendo uma lei de probabilidade que
depende de determinadas constantes materiais.
Ben-Nun e Einav (2010) desenvolveram dois critérios de quebra. O primeiro critério
representa o surgimento de uma fratura em uma partícula sujeita a um conjunto arbitrário de
forças de contato. Durante seus ensaios, uma partícula era quebrada se o critério “brasileiro”
fosse alcançado, ou seja, se subtraindo a força nominal normal de duas vezes a força nominal
cisalhante, o resultado fosse maior que uma força crítica. A força crítica, para esse primeiro
critério, é definida pela combinação da tensão crítica para quebrar a maior partícula da amostra,
o diâmetro desta partícula e um fator de redução devido a heterogeneidades e variações dos
grãos. O segundo critério desenvolvido pelos autores, permite que a partícula quebre sob
31
carregamentos isotrópicos, comparando a componente normal das forças de contato com uma
nova força crítica. Essa nova força crítica combina os mesmos elementos do primeiro critério,
adicionando dois novos parâmetros que representam a dependência do carregamento isotrópico
e a curvatura da partícula carregada.
Bruchmuller et al. (2011) utilizaram, por sua vez, o critério de Griffith. Segundo os autores,
inicialmente, quando há uma colisão entre duas partículas, há deformação elástica e absorção
de energia de impacto na forma de energia de deformação elástica. A tensão dentro da partícula,
então, começa a crescer até a tensão crítica, onde a tensão da falha mais sensível é atingida. O
nível de tensão crítica, então, relaciona-se com a massa específica limite para futuros danos nas
partículas. Devido a relação entre o estado fraturado ou danificado e o estado fragmentado, os
danos das partículas são incrementados quando a energia do impacto específico supera a massa
específica. As fraturas começam em um ponto de fraqueza na superfície. Quando as frações
destruídas da partícula ou a probabilidade de quebra for alta o suficiente, a quebra ocorrerá.
Ciantia et al. (2015) combinaram dois parâmetros materiais em um critério de força com a
análise da distribuição de tensões elásticas induzidas por carregamentos pontuais em uma
esfera. Dos parâmetros materiais utilizados, um reflete as propriedades micro estruturais do
material, enquanto o outro define a força intrínseca dos grãos. Uma partícula irá quebrar, então,
quando a força máxima que atua nela alcançar um limite que depende do raio da partícula, do
ângulo que define área de aplicação da tensão na esfera, função dos parâmetros materiais
citados anteriormente, e da tensão limite do material. Destaca-se que no modelo proposto pelos
autores haverá diferentes tensões limites visto que estas são dependentes do tamanho da
partícula. Assim, partículas menores exigirão maiores forças para quebrar, enquanto as maiores
quebram com maior facilidade.
b) Procedimentos de Separação (Spawning Procedure)
Alcançado o critério de quebra, o procedimento de separação indicará a forma pela qual a
partícula inicial será substituída por novas partículas, representando seus fragmentos. Um ponto
de debate entre os procedimentos de separação da antiga partícula que quebra está na
conservação de massa. Alguns pesquisadores defendem a estrita conservação de massa
enquanto outros permitem perda total ou até mesmo parcial da massa quando uma partícula
quebra. Conservar a massa, entretanto, gera alguns problemas como elevada interpenetração
32
entre as novas partículas que faz surgir forças de repulsão entre elas ou elevado custo
computacional para procurar vazios onde as novas partículas podem ser acomodadas (Cianta et
al., 2015).
Poschel e Schwager (2005) definiram que a partícula original será substituída por partículas
de fragmento completamente contidas na superfície da partícula original, havendo compressão
entre elas. A interação entre o fragmento e as outras partículas se dá de maneira comum,
entretanto, a interação entre os fragmentos será diferente até que haja completa separação entre
eles. O tamanho dos fragmentos obedecerá uma distribuição de tamanhos de fragmentos que é
uma distribuição cumulativa de massa. A Figura 2.7 a seguir exemplifica o processo de
separação proposto pelos autores.
Figura 2.7 – Procedimento de separação após quebra (Poschel e Schwager, 2005)
Ben-Nun e Einav (2010), em seu modelo, propõe conservação de massa. Dessa forma,
inicialmente, fragmentos são determinados de modo a preencher o espaço deixado pela
partícula quebrada inexistindo interpenetração entre eles. Esses fragmentos são, então,
aleatoriamente rotacionados sem haver, nesta etapa, conservação de massa. Em seguida, os
autores sugerem uma rápida expansão linear de modo a recuperar a massa inicialmente perdida.
A Figura 2.8 a seguir representa o procedimento de separação proposto por Ben-Nun e Einav
(2010).
Figura 2.8 – Procedimento de separação após quebra (Ben-Nun e Einav, 2010)
33
Bruchmuller et al. (2011), por sua vez, utilizam equações matemáticas para obter a curva
granulométrica específica após os eventos de quebra. Essas funções não dependem de partículas
físicas ou propriedades materiais. Conhecida a curva granulométrica, fragmentos discretos de
diferentes diâmetros são gerados. Assim, atingido o critério de quebra, a partícula original é
multiplicada por um fator de 0,999 de modo a equiparar a um novo fragmento. A massa
percentual restante, então, é dada pela inserção de novas partículas, respeitando a curva
granulométrica obtida.
Ciantia et al. (2015) assumem que as partículas geradas após a quebra herdam a
velocidade e parâmetros materiais da partícula de origem, exceto pela tensão intrínseca que é
aleatoriamente atribuída, seguindo um critério de distribuição normal. Os autores admitem que
em seu procedimento de quebra não haverá conservação de massa visto que na geomecânica o
comportamento será mais fortemente influenciado pela fração de partículas maiores do
material. Assim, massas mais finas são ignoradas durante o procedimento de quebra e
reincorporadas na etapa de pós-processamento. Atingido, então, o critério de quebra, as
partículas originais são substituídas por pacotes apollonian de esferas, ou seja, arranjos de
esferas tangentes que não se interpenetram, localizadas dentro de uma esfera circundante.
Ensaios mostraram que quanto maior o número de esferas dentro do novo arranjo, menor a
perda de volume. Desta forma, os autores optaram por um arranjo composto por 14 esferas visto
que o comportamento do material se mantinha constante a partir deste número, sendo
computacionalmente mais dispendioso aumentar o número de esferas.
34
3. METODOLOGIA
3.1 DADOS UTILIZADOS
Acredita-se que uma simulação virtual bem calibrada, utilizando o método dos elementos
discretos, alimentado com os parâmetros microscópicos corretos, representa de forma adequada
o comportamento macroscópico de um enrocamento. O objetivo desta pesquisa, portanto, é
analisar o comportamento de um enrocamento a partir de suas características microscópicas e,
principalmente, quebra dos grãos, observando a maneira como estas características influenciam
o comportamento macroscópico do material.
Para poder calibrar de maneira adequada os modelos e ensaios que permitem a análise
microscópica do comportamento do material, procurou-se reproduzir resultados reais, obtidos
por meio de ensaios de laboratório. Assim, buscaram-se dados na literatura de ensaios de grande
escala realizados com enrocamento de modo a poder simulá-los. Desta forma, optou-se pela
reprodução dos ensaios de compressão 1D e cisalhamento direto realizados por Dias (2001).
Assim, simulou-se os ensaios realizados com o material da barragem de Itapebi. A
barragem está localizada no rio Jequitinhonha, no estado da Bahia. Sua altura máxima é de 106
m e sua seção do tipo enrocamento com face de concreto. O material utilizado na construção
da barragem, simulado nesta dissertação, foi classificado por Dias (2001) como um granito de
baixa resistência. Trata-se de um material cujas características gerais são apresentadas na
Tabela 3.1 a seguir.
Tabela 3.1 – Características Gerias do Material Simulado
Granito de baixa resistência de Itapebi
Massa específica dos grãos 2,60 g/cm³
Absorção 0,96 %
Abrasão Los Angeles 62 %
Resistência à compressão puntiforme 1,84 MPa – Paralelo à xistosidade
2,47 MPa – Perpendicular à xistosidade
Apesar de ser caracterizado como granito, observa-se que as características do material
apresentadas não correspondem a um comportamento esperado de granito. Dados da literatura,
por exemplo, mostram que a abrasão Los Angeles de granitos se encontram entre 20%, como o
35
granito encontrado na Serra da Mesa, e 47%, granito encontrado no maciço de Lafarge no Rio
de Janeiro. Uma abrasão Los Angeles de 62%, portanto, mostra-se muito elevada, não sendo
característica desse material.
A resistência a compressão uniaxial (𝜎𝑐) do material pode ser estimada a partir dos valores
de resistência à compressão puntiforme (𝐼𝑠) através da seguinte correlação muito utilizada em
mecânica das rochas:
𝜎𝑐 = 25 𝑥 𝐼𝑠 (3.1)
Desta forma, a resistência à compressão uniaxial seria da ordem de 46 MPa, paralelo à
xistosidade, e 62 MPa, perpendicular à xistosidade.
A granulometria do material analisado encontra-se na Figura 3.1 a seguir. O coeficiente
de uniformidade (Cu) deste solo é de 8. Desta forma, pode-se classificar o material como de
uniformidade média. A diferença entre o maior e menor diâmetro é significativa.
Figura 3.1 – Granulometria do material utilizado por Dias (2001).
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
1 10 100 1000
% P
assa
nte
Diâmetro dos Grãos (mm)
36
3.2 YADE
Para analisar a influência das características microscópicas no comportamento
macroscópico do enrocamento, optou-se pela utilização do software de código aberto Yade.
Trata-se de um software de fácil aprendizagem, além de possuir uma ampla base de suporte dos
desenvolvedores e outros usuários. Além disso, é bastante versátil, permitindo, por exemplo, a
utilização de elementos de diversas formas, não se limitando, portanto, somente ao uso de
esferas, se adaptando, desta forma, à necessidade do usuário.
O software Yade é uma estrutura extensível focada no método dos elementos discretos. A
parte computacional do programa é escrita em C++, utilizando modelo de objeto flexível. Isso
permite que implementações independentes de novos algoritmos e interfaces sejam feitas. Para
a construção do cenário no qual o método dos elementos discretos será utilizado, utiliza-se a
linguagem interpretada Python.
3.2.1 GERAÇÃO DAS AMOSTRAS
No Yade existem duas principais maneiras de se gerar uma amostra: por meio de um
pacote de esferas ou através de uma fábrica de esferas. No primeiro caso, existem algumas
opções determinadas que permitem ao usuário importar um número de esferas com
propriedades pré-determinadas. Trata-se de uma forma relativamente rápida, visto que as
esferas são posicionadas na simulação de uma única vez. Este processo, entretanto, se restringe
a poucos casos, visto que suas propriedades são extremamente fixas, sendo, algumas vezes,
complexo adequar determinadas amostras às exigências de criação do pacote.
Desta forma, optou-se pela segunda maneira de geração permitida pelo programa. Esta
escolha deveu-se às características da amostra, especificamente à sua granulometria que possui
os diâmetros máximo e mínimo muito diferentes. Os métodos de pacotes de esferas privilegiam
amostras com diâmetros iguais ou muito semelhantes, enquanto que o método da fábrica de
esferas permite a criação de qualquer granulometria.
A fábrica de esferas ou factory é um dos motores do programa e gera esferas de forma
aleatória, seguindo uma taxa de fluxo de massa determinada pelo usuário, ou seja, quantos
quilos de esferas deseja-se criar em cada passo de tempo. Além disso, o usuário pode determinar
a curva granulométrica que deverá ser seguida durante a geração das esferas. Quando uma
37
determinada massa total ou número de partículas máximo é atingido, a geração para. Em um
motor secundário, define-se a geometria da região em que serão produzidas as esferas, podendo
ser uma região volumétrica, criando um volume dentro do qual as esferas serão criadas, ou de
superfície, criando um plano do qual as esferas sairão em direção a uma outra região.
Destaca-se que o processo de geração por meio da fábrica é aleatório, ou seja, dando os
mesmos parâmetros, duas amostras geradas por esse processo podem ser diferentes e,
consequentemente terem seus comportamentos ligeiramente distintos. Este fato é
exemplificado na Figura 3.2 a seguir, onde três amostras com os mesmos parâmetros foram
geradas e comprimidas. Percebe-se que as amostras A e B possuem comportamentos bastante
semelhantes enquanto a amostra C apresenta-se levemente destoante. Os comportamentos
diferentes das amostras podem também ser observadas na Tabela 3.2 a seguir, onde mostram-
se os módulos de Young calculados. Conforme pode-se observar, a aleatoriedade da amostra
foi capaz de gerar uma variação de aproximadamente 30% no módulo de Young das amostras.
Figura 3.2 – Comparação entre gerações aleatórias de amostras.
0,E+00
1,E+05
2,E+05
3,E+05
4,E+05
5,E+05
6,E+05
7,E+05
0,0% 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5% 3,0% 3,5% 4,0% 4,5%
Ten
são
(kP
a)
Deformação (%)
Amostra A Amostra B Amostra C
38
Tabela 3.2 – Comparação dos módulos de Young entre gerações aleatórias de amostras.
Amostra Módulo de Young
Amostra A 1,4x107 Pa
Amostra B 2,0x107 Pa
Amostra C 1,5x107 Pa
Com base na densidade da amostra, determinada por Dias (2001), estabeleceu-se,
portanto, como parâmetro para geração da amostra computacional, a massa total que se deseja
alcançar. Assim, atingida essa massa, a fábrica deixa de produzir mais partículas. Desta forma,
para preencher um cilindro de ensaio com raio de 0,5 m e altura de 0,6 m, uma amostra com
densidade de 18 kN/m³, deverá possuir uma massa total de 848 kg.
Como pode-se perceber da Figura 3.1, a maior parte da granulometria do material que se
deseja ensaiar encontra-se na região de menores diâmetros. Desta forma, com base na
granulometria da amostra e sabendo que a densidade da partícula é de 26 kN/m³, pode-se
determinar o número de partículas que cada diâmetro da amostra possui bem como a sua massa.
O número de partículas e massa distribuídos pelos diâmetros da amostra está mostrada na
Tabela 3.3 a seguir.
Tabela 3.3 – Número de partículas e massa distribuídos pelos diâmetros da amostra.
Diâmetro (mm) Número de Partículas Massa (Kg)
9,50 341561 398,66
12,50 25521 67,86
19,00 9084 84,82
25,00 2791 59,37
37,50 1300 93,30
50,00 449 76,34
63,00 25 8,48
75,00 103 59,37
TOTAL 380834 848,2
Analisando a tabela anterior, percebe-se que o número de partículas a ser criado é bastante
elevado. Como o método dos elementos discretos considera cada partícula individualmente e
39
calcula suas interações, o gasto computacional para o total de partículas da amostra é muito
alto, bem como o tempo necessário para as simulações, tornando, desta forma, inviáveis ensaios
com amostras com essa quantidade de partículas. Para se ter uma noção, segundo O’Sullivan
(2014), até 2013, a média de partículas utilizadas em simulações no método dos elementos
discretos estava em torno de 10.000 partículas, conforme mostra a Figura 3.3 a seguir.
Figura 3.3 – Média de partículas por ensaios (modificado - O’Sullivan, 2014).
Além do elevado número de partículas, nota-se, também, da Tabela 3.1, que 47% da massa
total da amostra está concentrada no menor diâmetro, representando mais de 89% das
partículas. Segundo análises de Torok et al. (2005), as partículas maiores tem participação
muito mais significativa na transmissão de forças através da massa granular que as partículas
menores. Desta forma, visando viabilizar a realização dos ensaios, optou-se pelo truncamento
da curva granulométrica de Dias (2001).
Truncou-se, então, a curva de Dias (2001) de algumas maneiras diferentes visando
analisar a maneira pela qual a alteração na granulometria poderia afetar o comportamento da
amostra. Criaram-se, assim, 6 amostras formadas por sequencias distintas de diâmetros. A
granulometria destas amostras está representada na Tabela 3.4 a seguir. Destaca-se que a
amostra de 8 diâmetros é a amostra original de Dias (2001).
Nú
mer
o d
e P
artí
cula
s
Ano
2D
3D
Mediana 2D
Mediana 3D
Mediana Total
40
Tabela 3.4 – Granulometrias truncadas.
Amostras Diâmetros (mm)
75 63 50 37,5 25 19 12,5 9,5
2 diâmetros 87% 13%
3diâmetros 41% 6% 53%
4 diâmetros 25% 4% 32% 39%
5 diâmetros 20% 3% 26% 31% 20%
6 diâmetros 16% 2% 20% 24% 16% 22%
7 diâmetros 13% 2% 17% 21% 13% 19% 15%
8 diâmetros 7% 1% 9% 11% 7% 10% 8% 47%
O processo de truncamento de uma curva granulométrica, envolve manter a mesma massa
da amostra de modo a manter sua densidade e, consequentemente, seu índice de vazios. Assim,
mantidas essas propriedades, conserva-se a mesma relação de diâmetros, formando a nova
curva granulométrica.
As amostras geradas, então, foram comprimidas de modo a verificar possíveis variações
em seus comportamentos. Os resultados das curvas ensaiadas encontram-se na Figura 3.4 a
seguir e o tempo necessário para realização de cada um destes ensaios encontra-se na Tabela
3.5.
Figura 3.4 – Comportamento das granulometrias truncadas.
0,0E+00
5,0E+03
1,0E+04
1,5E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0E+04
3,5E+04
4,0E+04
4,5E+04
5,0E+04
0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7%
Ten
são
(kP
a)
Desformação (%)
Amostra 2 Amostra 3 Amostra 4 Amostra 5 Amostra 6
41
Tabela 3.5 – Tempo decorrido para ensaio das amostras.
Amostra Tempo
Amostra 2 2 horas
Amostra 3 5 horas
Amostra 4 24 horas
Amostra 5 46 horas
Amostra 6 110 horas
Conforme pode-se perceber, as amostras formadas a partir das curvas granulométricas
truncadas apresentam comportamento semelhante. Tal fato também é comprovado pela Tabela
3.6 que mostra a relação entre os módulos de Young. Nesta tabela, percebe-se uma variação
máxima de 20% entre os módulos, porcentagem menor que a diferença oriunda da aleatoriedade
da geração comentada anteriormente. Assim, devido ao elevado tempo e gasto computacional
e, levando em consideração as possíveis divergências, que podem surgir nos resultados,
oriundas da própria aleatoriedade da geração, optou-se por utilizar a Amostra 5, ou seja, a
amostra composta por 5 diâmetros da curva granulométrica original, sabendo que ela
representaria de forma satisfatória o comportamento do material.
Tabela 3.6 – Comparação dos módulos de Young das granulometrias truncadas
Amostra Módulo de Young
Amostra 2 7,8x108
Amostra 3 7,2x108
Amostra 4 7,2x108
Amostra 5 6,6x108
Amostra 6 6,3x108
Independentemente do número de diâmetros para geração da amostra escolhida, o
processo de geração de amostra seguirá os mesmos passos. Inicialmente, todas as partículas que
formam a amostra serão geradas por meio de uma fábrica de esferas. Nesta etapa as esferas são
colocadas em um volume cuja altura é maior que a altura da amostra que se deseja. As esferas
geradas, então, são comprimidas, por um plano, lentamente, até que se atinja a altura da amostra
desejada que é de 60 centímetros para o ensaio de compressão 1D e 45 centímetros para o ensaio
42
de cisalhamento direto. O procedimento de geração da amostra encontra-se exemplificado na
Figura 3.5 a seguir.
(a) (b)
Figura 3.5 – Procedimento de geração da amostra: (a) geração de partículas por meio de uma fábrica;
(b) compressão das partículas criadas até a altura desejada.
Em alguns casos, dependendo da amostra que se esteja trabalhando, haverá um grande
número de esferas com diâmetros grandes para ocupar o mesmo volume ocupado por uma
granulometria melhor graduada. Tal fato irá gerar uma elevada quantidade de interpenetrações
entre as esferas, gerando, assim, uma força interna entre as partículas. Devido a este fato, após
comprimida a amostra até a altura desejada, a amostra é estabilizada, ou seja, com o plano
parado, deixa-se que as partículas se rearranjem dissipando a maior quantidade de energia
possível. A etapa de estabilização se finaliza quando a força for estável, indicando que todas as
partículas se rearranjaram da maneira possível, dissipando toda a energia que podiam. Caso,
após a estabilização ainda haja alguma força interna, ela é compensada posteriormente.
Realizaram-se, neste trabalho, tanto ensaios com quebra como ensaios sem quebra de
grãos. No caso dos ensaios com quebra, durante a fase de estabilização, pode haver quebra
devido a força oriunda da grande interpenetração das partículas. Dependendo do módulo de
Young da partícula, o número de elementos da amostra pode chegar a 180.000, tornando
inviável a simulação. A dependência do módulo de Young e detalhes do processo de quebra
serão vistos mais detalhadamente em seção apropriada.
43
Alguns parâmetros tiverem que ser adotados para a geração da amostra, conforme
esquematizado na Tabela 3.7 a seguir. O ângulo de atrito foi adotado como zero visando
eliminar ao máximo as possíveis resistências ao deslocamento de uma partícula de modo que o
movimento relativo entre as partículas fosse facilitado. Tal fato promove, portanto, um melhor
e mais rápido arranjo das partículas. O módulo de Young, por sua vez, foi adotado com um
valor considerado alto. Como o módulo de Young indica a rigidez de um corpo, ou seja, o
quanto ele irá deformar, escolheu-se adotar um módulo de Young elevado de modo que a alta
rigidez da partícula impedisse um elevado número de interpenetrações, gerando força interna
na amostra.
Tabela 3.7 – Parâmetros para geração de amostra.
Parâmetros para geração de amostra
Ângulo de Atrito 0o
Módulo de Young 1010 Pa
Poisson 0,3
3.2.2 MODELOS E PARÂMETROS
Para que o cenário criado no Yade funcione conforme desejado, devem-se configurar
corretamente diversos modelos disponíveis. Os modelos que o Yade disponibiliza ditam a
maneira pela qual os materiais irão se comportar, a forma pela qual irão interagir com outros
materiais, a lei que deverão seguir nestas interações e quais modelos constitutivos serão
seguidos, dentre outros.
Inicialmente, determinam-se as interações que ocorrerão entre um par de corpos. As
interações são baseadas na proximidade espacial, entretanto, podem ser criadas explicitamente
e existir independentemente da distância. Cada interação possui duas componentes. A primeira
componente, denominada IGeom define a configuração geométrica de duas partículas em
contato. Dentre as várias opções fornecidas pelo programa, optou-se pela classe de configuração
geométrica ScGeom. Através desta classe, os contatos possuem três graus de liberdade, sendo
um normal e dois cisalhantes.
44
A segunda componente das interações é denominada IPhys e representa configurações
não-geométricas das interações. Algumas dessas características são computadas através da
classe de material escolhida pelo usuário. Outras, por sua vez, são variáveis internas.
Definir um material significa definir as propriedades de um corpo. Cada modelo de
material possui seus parâmetros que, preenchidos corretamente, simulam materiais reais. Como
se está trabalhando com enrocamento, material essencialmente não-coesivo, optou-se pela
utilização do modelo de material FrictMat. Esse modelo reproduz o comportamento de um
material elástico com atrito nos contatos. Dentre os parâmetros possíveis, trabalhou-se com
módulo de Young, ângulo de atrito e Poisson.
Definidos os materiais, determina-se as propriedades físicas das interações entre materiais
através da lei de contato que irão seguir. A classe escolhida para as propriedades físicas foi
MindlinPhys que representa interações do tipo Hertz-Mindlin.
Os parâmetros viscosos desse modelo são especificados utilizando-se ou coeficientes de
restituição normal (en) e cisalhante (es) ou utilizando taxa de amortecimento normal (βn) e
cisalhante (βs). Optou-se pela utilização de coeficientes de restituição. Segundo a literatura, os
coeficientes de restituição mais comumente utilizadas para rochas são, na direção normal de
0,5 e na direção cisalhante de 0,7.
Baseado nos valores dos coeficientes de restituição, calcula-se, então, a taxa de
amortecimento segundo a equação a seguir.
𝛽𝑖 = −(log 𝑒𝑖)
√𝜋2+(log 𝑒𝑖)2 (3.1)
sendo i = n ou s, caso se deseja o coeficiente de restituição na direção normal ou tangentes
respectivamente.
Além dos valores de coeficiente de restituição, o modelo de Hertz-Mindlin permite que
outros parâmetros sejam estabelecidos. Dentre estes parâmetros, estabeleceu-se krot que é a
rigidez rotacional, ktwist que é a rigidez torsional e θ, coeficiente para determinar o momento de
flexão plástico. Estes parâmetros foram calibrados durante o ensaio de cisalhamento simples e
serão melhor especificados adiante.
Por fim, determina-se a lei constitutiva que será seguida nas interações através de um
LawFunctor. A lei determinada foi Law2_ScGeom_MindlinPhys_Mindlin. Trata-se de uma lei
45
constitutiva para a formulação Hertz-Mindlin que inclui elasticidade não-linear na direção
normal, como definido por Hertz, para dois contatos não-conformes. Por sua vez, na direção
cisalhante, a lei constitutiva se assemelha ao caso simplificado sem escorregamento,
relacionando linearmente a força de cisalhamento e deslocamento tangencial. A força máxima
de atrito nos contatos é calculada com base no critério de Mohr-Coloumb. Como deseja-se
analisar o comportamento no cisalhamento do material, inclui-se na lei constitutiva, critério que
adiciona dificuldade ao rolamento das partículas.
3.3 QUEBRA
Com o objetivo de verificar a influência das características microscópicas do material no
seu comportamento macroscópico, buscou-se inserir um mecanismo de quebra no
comportamento do material. Para isso, utilizou-se a aproximação desenvolvida por Ciantia et
al. (2015). Essa aproximação de quebra divide-se em duas etapas. Inicialmente, há uma
verificação da condição limite para a quebra e, existindo tal condição, há o procedimento de
quebra propriamente dito.
Ciantia et al. (2015), utilizaram o critério de quebra desenvolvido por Russel e Wood
(2009). Segundo os autores, a expressão de força mobilizada de cisalhamento fornece um limite
máximo da força de contato atuando em uma determinada partícula. A condição para quebra
do grão, então, pode ser expressada como:
𝜅𝑚𝑜𝑏 = 𝜅 (3.2)
onde 𝜅𝑚𝑜𝑏 é tensão mobilizada dos grãos e 𝜅 é a tensão intrínseca de resistência dos grãos.
A força intrínseca dos grãos é derivada de um critério bi paramétrico de força, onde os
parâmetros χ, que reflete as propriedades microestruturais dos materiais, e κ são relacionados a
resistência a compressão uniaxial 𝜎𝑐 e a tração 𝜎𝑡 do material. A relação entre esses parâmetros
se dá segundo as seguintes expressões:
𝜅 = 1+ 𝜒
√3 |𝜎𝑐| (3.3)
𝜒 = |𝜎𝑐|
𝜎𝑡− 1 (3.4)
46
𝜎𝑐 foi tomado como 54 MPa, pois é a média entre os valores de resistência à compressão
paralelo e perpendicular à xistosidade do material que se está estudando. Tomou-se a média
visto que as esferas que se trabalha no método dos elementos discretos não possuem xistosidade
e não foi possível implementá-la nestes ensaios. Desta forma, visando abranger as possíveis
formas de posicionamento das partículas, optou-se pela média entre as 𝜎𝑐 características do
material. 𝜎𝑡, por sua vez, foi tomado como 𝜎𝑐
40⁄ , valor comumente encontrado na literatura.
A partir dos parâmetros anteriormente apresentados, Ciantia et al. (2015) desenvolvem
uma expressão para a máxima tensão mobilizada 𝜅𝑚𝑜𝑏, mostrada a seguir, que é a máxima
distância de 𝑅𝑡𝑎𝑛𝜃0 abaixo do centro do contato, como mostra a Figura 3.6.
𝜅𝑚𝑜𝑏 = 𝑓(𝜒, 𝑣) 𝐹
𝜋𝑅2𝑠𝑖𝑛2𝜃0 (3.5)
onde,
𝑓 (𝜒, 𝑣) = √3 (1+ 𝜒)2
𝜒x
(3
32+
√2
24+(
√2
12−
1
4)𝑣+(
1
2−
√2
3)𝑣2)
(2−√2)(1+𝑣) (3.6)
Essa expressão é válida para pequenos ângulos de contato, onde 𝑡𝑎𝑛𝜃0 ≈ 𝑠𝑖𝑛𝜃0. F é a
máxima força de contato normal atuando na esfera, v é o Poisson da partícula, R é o raio e 𝜃0 é
o ângulo que define a área de aplicação da tensão.
Figura 3.6 – Máxima distância de 𝑅𝑡𝑎𝑛𝜃0 abaixo do centro do contato (Ciantia et al., 2015).
47
Substituindo a equação (3.5) na (3.2), tem-se o critério limite para as forças normais de
contato como mostrado na equação a seguir.
𝐹𝑙𝑖𝑚 = 𝜅
𝑓 (𝜒,𝑣)𝜋𝑅2𝑠𝑖𝑛2𝜃0 = 𝜎𝑙𝑖𝑚𝐴𝐹 (3.7)
Sendo 𝐴𝐹 a área de contato entre as partículas.
A área de contato entre as partículas pode ser calculada mediante a teoria de contato de
Hertz, sendo possível expressá-la em termos das propriedades elásticas do material. Assim, o
raio da área de contato pode ser expressado conforme a expressão seguinte.
𝑟𝐻 = (3𝑟′
4𝐸′)
13⁄
(3.8)
sendo:
𝑟′ = (1
𝑟1+
1
𝑟2)
−1
(3.9)
𝐸′ = (1− 𝑣1
2
𝐸1+
1− 𝑣22
𝐸2)
−1
(3.10)
Sabendo que se adotou para todas as partículas o mesmo valor de módulo de Young e
Poisson, a equação (17), torna-se:
𝐸′ = (2 𝑥 1− 𝑣2
𝐸)
−1
(3.11)
Desta forma, a área de contato 𝐴𝐹 das partículas pode ser expresso a partir da seguinte
equação:
𝐴𝐹 = 𝜋
4 2𝑟𝐻
2 = 𝜋 (3𝑟′
4𝐸′)
23⁄
(3.12)
Partículas menores são mais fortes que partículas maiores. Este efeito de tamanho foi
incorporado através de um fator 𝑓𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜.
𝑓𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜 (𝑑) = (𝑑
𝑑0)
−3𝑚⁄ (3.13)
sendo m o parâmetro do material e 𝑑0 o diâmetro de referência. Tomou-se como diâmetro de
referência, o diâmetro médio da granulometria da amostra truncada escolhida.
Vários estudos foram realizados de modo a calibrar o parâmetro m. Segundo essas
análises, valores entre 3 e 20 representam de maneira adequada o comportamento de materiais
cuja composição é rica em quartzo, feldspato e mica, minerais comumente encontrados nos
granitos. Desta forma, adotou-se m = 10, visto que se trata de um valor que se adequaria ao
material analisado.
48
Substituindo, então, os parâmetros e equações na equação (3.7), tem-se, para o material
em questão, a seguinte expressão para determinação da força limite de quebra:
𝐹𝑙𝑖𝑚 ≤ 𝜎𝑙𝑖𝑚𝐴𝐹 = [𝜅
𝑓(𝜒,𝑣) (
𝑑
2𝑟𝑚é𝑑𝑖𝑜)
−3 3⁄
𝜋 (3𝑟′
4𝐸′)
2 3⁄
]3
(3.14)
Atingida a força limite, haverá a quebra da partícula. A quebra é representada pela
exclusão da partícula, cuja força excedeu a limite, e adição de outras 14 esferas que ocuparão o
seu volume inicial. Trata-se de um arranjo de esferas tangentes que não se interpenetram
contidas dentro do espaço ocupado pela esfera anterior. Neste processo, haverá perda de massa,
mas acredita-se que o pacote de 14 novas esferas representa de maneira satisfatória a esfera
quebrada. Desta forma, o processo de quebra pode ser representado pela Figura 3.7 a seguir.
Figura 3.7 – Quebra e inserção de novas partículas (Ciantia et al., 2015).
O critério da força limite, visando poupar o gasto computacional, foi aplicado apenas para
partículas a partir de um determinado tamanho. Trata-se do limite de fragmentação. Esse limite
não altera o comportamento macroscópico do material uma vez que, como já discutido, as
partículas maiores são responsáveis pelo comportamento macroscópico do material. Adotou-se
como limite de fragmentação 20% do menor raio da distribuição granulométrica.
Assim, de forma resumida, o script de quebra utilizado neste trabalho segue os seguintes
passos:
Passo 1: A partir dos valores de 𝜎𝑐 e 𝜎𝑡, calculam-se os valores dos parâmetros χ e κ e,
consequentemente de 𝜎𝑙𝑖𝑚
49
Passo 2: Determina-se, na amostra, aquela que possui a maior tensão. Esta etapa é feita a
partir da comparação da tensão de todas as esferas da amostra. Inicia-se com uma esfera
qualquer e guarda-se sua tensão. Comparando com a próxima esfera, caso sua tensão seja maior,
substitui-se a esfera e a tensão. Caso contrário, o processo de comparação continua até que haja
uma esfera com tensão maior.
Passo 3: Calcula-se a força normal atuante na esfera cuja tensão é a maior da amostra.
Passo 4: Caso a força normal calculada seja maior que a força limite, compara-se o seu
diâmetro com o limite de fragmentação. Caso seu diâmetro seja maior que o limite, dá-se o
comando para quebrar a partícula. Caso contrário, nada acontecesse e o processo é retomado
do início em um novo passo de tempo.
Passo 5: Sendo o diâmetro da partícula superior ao limite de fragmentação, a esfera é
eliminada e 14 novas esferas são adicionadas no volume ocupado pela esfera anterior. Destaca-
se que haverá perda de massa e volume nesta substituição, mantendo-se, porém, as
características de comportamento da partícula que foi substituída.
Passo 6: Recomeço do processo em um novo passo de tempo.
3.4 COMPRESSÃO
Como o objetivo desta pesquisa envolve analisar o comportamento macroscópico do
material a partir de suas características microscópicas, buscou-se reproduzir da maneira mais
fiel possível os ensaios de resistência mecânica de um enrocamento, qual sejam, compressão
uniaxial e cisalhamento direto.
O equipamento do ensaio de compressão que se reproduziu está apresentado na Figura 3.8.
Trata-se de uma câmara formada por uma sequência de anéis de alumínio e de borracha
chegando a 1 m de altura por 1 m de diâmetro. “Strain-gates” localizados no centro da câmara
mede a tensão horizontal durante o ensaio, sendo, portanto, um ensaio oedométrico.
50
Figura 3.8 – Equipamento para ensaio de compressão unidimensional (Dias,2001).
Em mecânica das rochas, há uma relação mínima entre a menor dimensão do equipamento
e o diâmetro máximo dos grãos. Normalmente, esta relação varia entre seis e dez. A relação
utilizada no ensaio de compressão 1D foi de sete, seguindo a prática do Centro Tecnológico de
Engenharia Civil de Furnas, local onde os ensaios que se buscou reproduzir foram realizados.
Como o maior diâmetro disponível é de 76,2 mm, optou-se, então, por utilizar uma altura de
0,6 m. Desta forma, reproduziu-se o equipamento do ensaio pela inserção de um cilindro cujo
raio era de 0,5 m e a altura de 0,6 m.
A primeira etapa do ensaio consiste na geração da amostra, conforme explicado em seção
anterior. Gerou-se, então, amostra com granulometria correspondente à amostra 5, ou seja,
possuindo 5 diâmetros da granulometria completa de Dias (2001).
Gerada e estabilizada, a amostra é então importada para o ensaio de compressão 1D
propriamente. O ensaio consiste basicamente na descida de um plano com velocidade constante
até que se atinja a deformação máxima de 7% ou a capacidade de carga da célula de 200 t,
mantendo restritos os deslocamentos laterais e no fundo.
Vários testes foram realizados de modo a verificar a influência da velocidade no ensaio de
compressão. A seguir, na Figura 3.9, os resultados dos testes são mostrados.
51
Figura 3.9 – Influência da velocidade – Parâmetros da amostra: E = 109 e ϕ = 64º.
Conforme se pode notar, até determinada velocidade, não há influência entre o
comportamento do material e a velocidade. A partir de determinado velocidade, entretanto, esta
influência começa a surgir. Nos casos testados, as velocidades de plano de 1 cm/s, 10 cm/s e
100 cm/se apresentam comportamentos muito semelhantes, enquanto a velocidade de 1000
cm/s apresenta-se muito diferente.
O trecho linear da curva que representa a velocidade de 1000 cm/s deve-se a um efeito do
amortecimento. Devido a rápida velocidade, o efeito do carregamento demora para ser
transferido para as molas dos contatos. Assim, surge esse patamar tendo em vista a não-
linearidade do amortecimento em relação a velocidade.
Definida, então, a velocidade de 10 cm/s, passa-se a execução dos ensaios. Para que os
ensaios reproduzam de maneira fiel o comportamento do material, é necessário calibrar bem os
parâmetros das partículas, ou seja, ângulo de atrito, módulo de Young e Poisson. A relação
entre os parâmetros da partícula e os parâmetros do material ainda são pouco conhecidas. Desta
forma, o processo de calibração foi realizado mediante tentativa e erro. Os resultados são
mostrados em capítulo apropriado. Destaca-se que os parâmetros que se busca calibrar referem-
se às propriedades das próprias partículas e não da amostra.
0,0% 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5%
0,E+00
1,E+04
2,E+04
3,E+04
4,E+04
5,E+04
6,E+04
7,E+04
Deformação (%)
Ten
são
(kP
a)
V = 1 cm/s V = 100 cm/s V = 10 cm/s V = 1000 cm/s
Amortecimento
52
3.5 CISALHAMENTO DIRETO
O equipamento utilizado para a realização do ensaio de cisalhamento direto é composto
essencialmente por uma caixa de dimensões 80 cm x 80 cm x 45 cm, um macaco com
capacidade de 200 t no sentido da força normal e outro de igual capacidade no sentido na força
cisalhante, conforme mostra a Figura 3.10 a seguir. Devido a relação entre a menor dimensão
do equipamento e o maior diâmetro da amostra, citada anteriormente, o diâmetro máximo de
grão utilizado nos ensaios de cisalhamento foi 63,5 mm.
Figura 3.10 – Equipamento utilizado no ensaio de cisalhamento direto de grande escala (Dias,
2001).
Inicialmente, a amostra é gerada, conforme processo já comentado anteriormente. Após
a geração, a amostra necessariamente passará por um processo de estabilização, onde, além da
dissipação de forças pelo rearranjo de partículas, poderá se detectar possíveis forças internas
causadas pela interpenetração de partículas, como explicado anteriormente. Essas forças
internas são importantes, pois serão acrescentadas à tensão normal aplicada sobre a amostra de
modo a equilibrá-las. A seguir, na Figura 3.11, apresentam-se as curvas de estabilização para
algumas amostras.
53
(a) (b)
Figura 3.11 – Estabilização das amostras: (a) E = 14E+07 Pa e ϕ = 30º; (b) E = 14E+09 e ϕ = 30º.
A tensão normal sobre a amostra é aplicada por meio de uma caixa cuja densidade é
controlada de modo a gerar a tensão desejada como mostra a Tabela 3.8. Havendo, portanto,
força interna, transformando-a em massa, acrescenta-se ela à massa que comporá a densidade
responsável pela tensão normal.
Tabela 3.8 – Densidades calculadas para aplicação de tensão normal.
Tensão Aplicada Densidade Calculada
400 kPa 400000 kg/m³
800 kPa 800000 kg/m³
1600 kPa 1600000 kg/m³
Optou-se por utilizar uma caixa para exercer a tensão normal de ensaio, pois, o software de
código aberto Yade não permite a aplicação de força de maneira contínua. Desta forma, para
alcançar a tensão desejada, utiliza-se uma velocidade. A velocidade utilizada poderia ser
aplicada em um plano que se moveria durante o ensaio. Nesta situação, entretanto, seria
impossível medir dilatância na amostra, pois, o plano não é um objeto que pode ser deixado
livre na simulação, ou seja, ele sempre possui uma determinada posição. Alcançada, então, a
posição que garante a tensão normal de ensaio, se fixaria a posição do plano e, a partir de então,
ele permaneceria nesta posição até o final do ensaio. Desta forma, por mais que a amostra
aplique no plano uma força no sentido de movê-lo para cima como consequência da dilatância,
0 0,005 0,01 0,015 0,02
6,0E+05
6,1E+05
6,2E+05
6,3E+05
6,4E+05
6,5E+05
6,6E+05
6,7E+05
Tempo
Forç
a (N
)
0,000 0,002 0,004 0,006 0,008
6,0E+07
6,1E+07
6,2E+07
6,3E+07
6,4E+07
6,5E+07
6,6E+07
6,7E+07
Tempo
Forç
a (N
)
54
ele continuaria preso na posição inicial que garantiu a amostra a tensão normal de ensaio
desejada.
A caixa, ao contrário, pode ter um ou mais de seus graus de liberdades tornados livres.
Assim, estabelecida a densidade da caixa, ela é configurada de modo que se permita seu
movimento somente na direção z. Portanto, desta forma, inicialmente, a caixa se moverá no
sentido de comprimir a amostra, atingindo a tensão normal de ensaio, e, durante o ensaio, ela
poderá ser empurrada para cima caso haja dilatância.
O cisalhamento propriamente dito começará, então, após a estabilização da caixa que exerce
a tensão normal, ou seja, quando sua velocidade vertical, após o início do ensaio, for nula. Após
esta estabilização, aplica-se uma velocidade horizontal na parte superior da amostra, simulando
o movimento de cisalhamento. A única parte da caixa superior que não receberá velocidade,
mas será mantida livre de modo que se permita seu movimento, é a parede esquerda superior,
representada na Figura 3.12. As paredes da parte superior da caixa que contem a amostra
passam então a empurrar a amostra que empurrará, por reação, a parede livre. Finalmente, a
parede livre empurrará, então, uma esfera que mede a força cisalhante. Apesar de ser possível
medir a força diretamente na parede livre, optou-se pela esfera de medição por representar o
comportamento de maneira mais precisa, conforme apresentado na Figura 3.13.
Figura 3.12 – Esquema do ensaio de cisalhamento virtual.
Caixa de Tensão Normal
Parede Livre
Esfera de Medição
Caixa de Cisalhamento
55
Figura 3.13 – Comparação de medições na caixa e na esfera.
A esfera de medição simula os anéis de carga de ensaios de cisalhamento convencionais.
Desta forma, consegue-se medir a força, pois a rigidez da esfera é conhecida. Assim, por meio
do deslocamento que a esfera sobre, sabe-se a força que está atuando nela.
Os anéis de carga de ensaios convencionais são feitos de aço temperado. Desta forma,
acredita-se que sua rigidez se encontra em torno de 200 GPa. Essa rigidez foi adotada como
módulo de Young da esfera de medição para reproduzir o seu comportamento visto que o
principal objetivo dos ensaios realizados é a reprodução dos comportamentos dos materiais
encontrados na realidade.
Assim, para que os ensaios reproduzam de maneira fiel o comportamento do material é
necessário calibrar bem os parâmetros das partículas, ou seja, ângulo de atrito, módulo de
Young e Poisson. Outro parâmetro muito importante que deve ser calibrado neste ensaio é a
rigidez ao rolamento das partículas, κrot. Este parâmetro simula a forma das partículas, impondo
uma resistência ao movimento de rolagem. Os resultados dos processos de calibração serão
mostrados em seção apropriada.
1,0E-03 2,1E-02 4,1E-02 6,1E-02 8,1E-02 1,0E-01 1,2E-01
0,001
0,01
0,1
1
10
100
1000
10000
100000
1000000
Deslocamento Horizontal (mm)
Forç
a (N
)
Medida na Esfera de Medição Medida na Parede Livre
56
4. RESULTADOS
4.1 COMPRESSÃO UNIDIMENSIONAL
Este capítulo será dividido em duas seções, sendo a primeira relativa a compressão 1D e
segunda relativa ao cisalhamento direto. Cada seção é subdividida em calibração dos
parâmetros e simulação do ensaio real. Porém, devido à natureza da calibração de parâmetros,
em alguns casos serão apresentados resultados secundários que auxiliaram na definição dos
parâmetros utilizados na fase de simulação dos ensaios.
4.1.1 CALIBRAÇÃO DE PARÂMETROS PARA COMPRESSÃO
UNIDIMENSIONAL
Os parâmetros que alimentam o modelo que define o comportamento de um determinado
material são inúmeros. O software Yade permite, dentro de seus modelos, que se utilize uma
variedade de parâmetros para definir o desempenho desejado. Para o ensaio de compressão 1D,
os parâmetros calibrados foram módulo de Young da partícula, coeficiente de Poisson da
partícula e ângulo de atrito da partícula. Os resultados dos testes de compressão para diferentes
módulos de Young, Poisson e ângulo de atrito estão expostos nas figuras 4.1 a 4.3.
Figura 4.1 – Comparação do comportamento de uma amostra devido ao Poisson – E = 108 e ϕ = 30º.
0,0% 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5%
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Deformação (%)
Ten
são
No
rmal
(kP
a)
ν = 0.1
ν = 0.2
ν = 0.3
57
Figura 4.2 – Comparação do comportamento de uma amostra devido ao Ângulo de Atrito – E = 108 e ν
= 0,3.
Figura 4.3 – Comparação do comportamento de uma amostra devido ao módulo de Young – ν = 0,3 e
ϕ = 55º
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0,0% 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5%
Ten
são
No
rmal
(kP
a)
Deformação Vertical (%)
φ = 15o
φ = 30o
φ = 45o
φ = 60o
0,0% 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5%
0,E+00
1,E+04
2,E+04
3,E+04
4,E+04
5,E+04
6,E+04
7,E+04
Deformação (%)
Ten
são
(kP
a)
E = 10E+05 Pa E = 10E+07 Pa E = 10E+09 Pa
58
Os ensaios para obtenção destes resultados foram feitos mantendo-se constante a
granulometria da amostra e variando os seus parâmetros. Pela análise das figuras 4.1, 4.2 e 4.3
pode-se perceber que o ângulo de atrito e o coeficiente de Poisson da partícula exercem pouca
influência no comportamento macroscópico do material em um ensaio de compressão 1D. Ao
contrário, a influência do módulo de Young é muito grande, fazendo, inclusive com que a tensão
varie em sua ordem de grandeza.
O coeficiente de Poisson, no modelo de Hertz-Mindlin, possui certa influência na rigidez
das molas. Assim, quanto maior o coeficiente, maior a rigidez das molas dos contatos entre as
partículas. Sua variação, entretanto, conforme pode-se observar a Figura 4.1, é muito pequena.
Desta forma, pode-se associá-la à própria aleatoriedade de comportamento das amostras,
conforme discutido no capítulo anterior.
O ângulo de atrito, por sua vez, representa a dificuldade que uma partícula tem de deslizar
em relação a outra. Desta forma, analisando a Figura 4.2, pode-se perceber que ângulos de atrito
maiores, necessitarão de maiores forças para gerar a mesma deformação que ângulos de atritos
menores provocam. Este fato acentua-se no final da curva de compressão visto que quanto
maior a força atuando sobre as partículas, mais difícil será o movimento entre as partículas e
mais atuante será o ângulo de atrito.
Outro resultado interessante que se pode analisar a partir do comportamento do material
diante da variação do ângulo de atrito diz respeito ao seu comportamento assintótico. O ângulo
de atrito não influencia de maneira indefinida o comportamento do material. A partir de um
determinado momento, aumentar o ângulo de atrito não implicará, necessariamente, no
aumento da tensão para gerar a mesma deformação. Tomando, por exemplo, a tensão normal
de 400 kPa, como mostra a Figura 4.4 a seguir, aproximadamente a mesma deformação será
gerada, a partir de 45º de ângulo de atrito.
59
Figura 4.4 – Comportamento assintótico do comportamento de compressão em relação ao ângulo de
atrito para uma tensão normal de 400 kPa – E = 108, ν = 0,3.
O módulo de Young, por fim, é o parâmetro que apresenta maior influência sobre o
comportamento do material no ensaio de compressão 1D. A Figura 4.5 a seguir mostra essa
influência mediante um gráfico de tensão x deformação em escala logarítmica para auxiliar na
análise.
Figura 4.5 – Comparação do comportamento de compressão devido ao módulo de Young em escala
log – ν = 0,3 e ϕ = 53º.
0,0%
0,5%
1,0%
1,5%
2,0%
2,5%
0 10 20 30 40 50 60 70
Def
orm
ação
(%
)
Ângulo de Atrito (o)
0,0% 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5%
1,E+00
1,E+01
1,E+02
1,E+03
1,E+04
1,E+05
Deformação (%)
Ten
são
(kP
a)
E = 10E+05 Pa E = 10E+07 Pa E = 10E+09 Pa
60
O módulo de Young, no método dos elementos discretos, controla a força entre os contatos.
Tanto a rigidez normal quanto a tangencial das molas entre as partículas são fortemente
influenciadas por este parâmetro. Assim, quanto maior o módulo de Young, maior a rigidez da
mola e, consequentemente, maior a força nos contatos. Uma vez que a força nos contatos é
maior, as partículas são impedidas de se interpenetrar, ou seja, há uma menor deformação das
partículas, simulando um comportamento rígido de uma partícula. Ao contrário, se a força é
pequena, não haverá grandes impedimentos para a interpenetração das partículas, havendo,
assim, deformações maiores.
Enquanto os outros parâmetros geram pequenas variações no comportamento do material,
esse parâmetro provoca grandes alterações. Observando, por exemplo, a deformação de 1,5%,
a tensão necessária para obtê-la, durante o ensaio de compressão, pode variar até duas ordens
de grandeza de acordo com o módulo de Young adotado. A Figura 4.6 a seguir mostra a
variação crescente entre a tensão necessária para provocar a deformação de 1,5% e o módulo
de Young adotado.
Uma partícula pouca rígida apresenta uma grande capacidade de deformação. Desta
forma, uma pequena força já é capaz de gerar uma deformação considerável. No caso de um
ensaio de compressão 1D, se a amostra é formada por partículas pouco rígidas, a sua
deformação, em grande parte, será consequência da deformação das próprias esferas. Ao
contrário, quando as esferas são mais rígidas, a deformação da amostra será em maior parte
função do rearranjo das partículas, sendo, neste caso, necessária uma força maior para obter o
mesmo resultado.
Tendo em vista, portanto, a grande influência que o módulo de Young possui em
detrimento dos outros parâmetros, estes resultados orientaram as calibrações a se iniciaram por
este módulo. Os outros parâmetros, portanto, são calibrados em seguida de modo a melhorar o
ajuste.
61
Figura 4.6 – Relação entre o módulo de Young e tensão necessária para provocar uma deformação de
1,5% - ϕ = 53º, ν = 0,3.
4.1.2 RESULTADOS DE ENSAIOS DE COMRPESSÃO SIMPLES SEM QUEBRA
Após observada a influência, no comportamento do material, do coeficiente de Poisson,
ângulo de atrito e módulo de Young, o gráfico da Figura 4.7 foi obtido pela calibração desses
parâmetros de modo a reproduzir o resultado de Dias (2001). Neste gráfico observa-se o
comportamento de três amostras diferentes: uma gerada com somente três diâmetros dos totais
– Amostra 3, uma gerada com quatro diâmetros dos totais – Amostra 4, e, finalmente, uma
gerada com cinco diâmetros dos totais – Amostra 5. Todas as amostras foram calibradas com
os mesmos parâmetros (Tabela 4.1). A Tabela 4.2 apresenta a granulometria das amostras
utilizadas.
Tabela 4.1 – Parâmetros utilizados nos ensaios de compressão unidimensional
Módulo de Young 14x107 Pa
Coeficiente de Poisson 0,3
Ângulo de Atrito Interno 53º
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05
1,E+05
1,E+06
1,E+07
1,E+08
1,E+09
1,E+10
Tensão (kPa)
Mó
du
lo d
e Yo
un
g (P
a)
62
Tabela 4.2 – Granulometria das amostras utilizadas no ensaio de compressão unidimensional
Amostras Diâmetros (mm)
75 63 50 37,5 25 19 12,5 9,5
3diâmetros 41% 6% 53%
4 diâmetros 25% 4% 32% 39%
5 diâmetros 20% 3% 26% 31% 20%
Pode-se observar que os resultados são satisfatórios. Para as três amostras, os mesmos
valores de módulo de Young, ângulo de atrito e Poisson foram suficientes para que seus
comportamentos se aproximassem do comportamento real obtido por Dias (2001). Assim,
possíveis preocupações devido ao truncamento da curva granulométrica provaram-se
desnecessários uma vez que, independente da curva granulométrica utilizada, os
comportamentos das curvas se aproximaram do comportamento real.
Dentre as três amostras calibradas, entretanto, a amostra com 5 diâmetros mostrou-se a
mais próxima da amostra real, tendo, portanto, um número de partículas suficientes para
representar o material ensaiado em um tempo e gasto computacional aceitáveis.
Figura 4.7 – Resultado do ensaio de compressão unidimensional - ϕ = 53º e ν = 0,3
0,0% 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5%
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
Deformação (%)
Ten
são
(kP
a)
E =14E+07 Pa – Amostra 3 E =14E+07 Pa – Amostra 4
E =14E+07 Pa – Amostra 5 Dias (2001)
63
4.1.3 RESULTADOS DE ENSAIOS DE COMRPESSÃO UNIDIMENSIONAL COM
QUEBRA
De modo a compreender melhor o comportamento do mecanismo de quebra utilizado,
realizou-se a compressão de uma única esfera, analisando a força limite necessária para sua
quebra a partir da determinação do seu módulo de Young e raio. O único parâmetro testado foi
o módulo de Young, pois, como visto ao longo das seções anteriores, é o parâmetro mais
sensível. Além disso, segundo as expressões analisadas por Ciantia et al. (2015), não há
influência do atrito na quebra, podendo haver uma pequena influência do coeficiente de
Poisson.
O que se observou foi, primeiramente, a relação entre força limite para quebra e raio:
quanto maior o raio, menor a força limite necessária para quebrar a partícula. Além disso, outra
relação inversamente proporcional se dá entre o módulo de Young e a força necessária para
quebrar a partícula: quanto maior o módulo de Young, menor a força necessária para quebrar a
partícula. Esse fato acontece, pois, ao contrário de partículas flexíveis, partículas mais rígidas
tem suas deformações limitadas. Por consequência, as interpenetrações da partícula também
são limitadas. Uma força elevada em um contato provavelmente significa que houve
interpenetração com alguma partícula vizinha. Assim, a fim de evitar interpenetrações
improváveis, forças menores, que já seriam indicativos de interpenetração, são capazes de
quebrar a partícula. Ao contrário, uma partícula mais flexível, capaz de suportar maiores
deformações, tolera forças maiores que são resultado de interpenetrações mais significativas
entre partículas. Estes resultados encontram-se na Figura 4.8 a seguir.
Utilizando, então as amostras geradas e calibradas pelo ensaio de compressão 1D,
executou-se o mesmo ensaio de compressão, agora com quebra. O resultado encontra-se na
Figura 4.9 a seguir.
64
Figura 4.8 – Relação entre força limite e módulo de Young.
Figura 4.9 – Ensaio de compressão com quebra – E = 14x107 e ϕ = 53º.
1,E+04
1,E+05
1,E+06
1,E+07
1,E+08
1,E+09
1,E+10
1,E+11
1,E+12
1,E+13
1,E+07 1,E+08 1,E+09 1,E+10 1,E+11 1,E+12 1,E+13
Forç
a Li
mit
e (N
)
Módulo de Young (Pa)
d = 0,0095 m
d = 0,0125 m
d = 0,025 m
d = 0,0375 m
d = 0,05 m
d = 0,063 m
d = 0,075 m
0,0% 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5%
0
100000
200000
300000
400000
500000
600000
700000
800000
900000
Deformação (%)
Ten
são
(P
a)
Sem Quebra Com Quebra Dias (2001)
65
Percebe-se da análise dos resultados que não houve quebra significativa de partículas,
conforme pode-se analisar das figuras 4.10 e 4.11 que apresentam a granulometria antes e
depois dos ensaios. Desta forma, tanto o ensaio de compressão 1D com quebra como o ensaio
de compressão 1D sem quebra apresentam-se suficientes para reprodução do ensaio realizado
em laboratório.
Figura 4.10 – Granulometrias inicial e final do ensaio de compressão unidimensional
Figura 4.11 – Granulometrias inicial e final do ensaio de compressão unidimensional com material
de Itapebi (Dias, 2001).
1 10 100 1000
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Diâmetro (mm)
% q
ue
Pas
sa
Inicial
Final
66
Segundo pode-se perceber da análise das curvas granulométricas, tanto do ensaio de Dias
(2001) quanto dos ensaios realizados por meio do método dos elementos discretos, a quebra em
ambos casos foi bastante reduzida. Nos ensaios de Dias (2001), o índice de quebra Bg é igual a
aproximadamente 7,8%. Por sua vez, nos ensaios reproduzidos pelo método dos elementos
discretos, o índice de quebra calculado foi de Bg = 6,5%. Percebe-se, assim, uma certa
proximidade entre o resultado reproduzido e o resultado real. Ao contrário do que se esperava,
portanto, em ambos ensaios, a quebra das partículas não aconteceu de modo a tornar a estrutura
mais estável, contrariando a teoria apresentada por Terzaghi (1960), que associa parte das
deformações às quebras.
Conforme mencionado anteriormente, a ocorrência dos maus comportamentos nos
enrocamentos foram relacionados a molhagem dos contatos dos blocos de rocha que provoca
perda de resistência dos blocos, levando à quebra (Affonso, 2004). Os ensaios de Dias (2001)
foram realizados em material seco, assim como os ensaios realizados neste trabalho, pois, não
se considerou presença de água e seus possíveis efeitos. Assim, acredita-se que a ausência de
água em ambos casos, limitou a ocorrência de quebras das partículas do material, ou seja, a
pouquíssima quantidade de quebra nos ensaios deve-se à ausência de molhagem dos grãos.
Além disso, no caso dos ensaios realizados por meio do método dos elementos discretos,
acredita-se que o modelo utilizado para simular a quebra dos grãos não representa de maneira
satisfatória a realidade. Existem dois principais mecanismos de quebra encontrados na natureza.
O primeiro deles, já estudado anteriormente, é a propagação de fissura pré-existentes, onde
haverá o surgimento de falha no ponto mais fraco do grão. Outro mecanismo de quebra é pela
fragmentação da partícula em suas arestas, com desprendimento de pequenos fragmentos.
O modelo utilizado, entretanto, não simula nenhum dos mecanismos citados. Ao
contrário, ele quebra a partícula de uma maneira grosseira, se preocupando apenas com a
questão da conservação das propriedades das partículas, e, deixando de lado a questão da
representação do mecanismo real. Assim, enquanto nos mecanismos reais, a quebra se dá de
forma gradual e, em alguns casos, não definitiva, no mecanismo utilizado, uma única força é
responsável por quebrar a partículas por completo e de maneira definitiva.
67
4.2 CISALHAMENTO DIRETO
Assim como nos ensaios de compressão 1D, inicialmente, serão discutidos os resultados
provenientes das etapas de calibração dos ensaios. Em seguida, serão mostrados os resultados
dos ensaios com os parâmetros calibrados.
4.2.1 CALIBRAÇÃO DE PARÂMETROS PARA CISALHAMENTO DIRETO
Além dos parâmetros calibrados no ensaio de compressão 1D, um outro parâmetro deve
ser analisado no âmbito do ensaio de cisalhamento direto: a rigidez rotacional de uma esfera
(κrot). Trata-se de um parâmetro que relaciona o momento aplicado em um corpo e a rotação
consequente desta aplicação, assim, no sistema internacional de medidas este parâmetro é
expresso em N.m/rad.
Em ensaios de cisalhamento reais, as partículas ensaiadas não são perfeitamente esféricas.
Desta forma, uma vez que se está buscando reproduzir um ensaio real, procurou-se entender e
calibrar o funcionamento deste parâmetro. A rigidez rotacional de uma esfera, assim, impõe
certa dificuldade ao movimento de uma partícula, simulando, portanto, que a partícula possui
uma forma mais complexa que a esférica.
A fim de verificar o nível de influência da rigidez rotacional de uma esfera, assim como
do seu ângulo de atrito, realizou-se um ensaio simples. Do alto de um plano inclinado 30º,
soltava-se uma esfera, permitindo que ela rolasse até a base do plano (Figura 4.12). Alterando
os valores de κrot e φ é possível verificar suas influências sobre o movimento de rolamento de
uma partícula, parâmetro fundamental para um ensaio de cisalhamento direto.
68
Figura 4.12 – Esquema de ensaio de rolamento
Mantendo-se a rigidez a rotação κrot constante e variando o ângulo de atrito interno,
verifica-se que a esfera, mesmo sempre rolando em direção a base, apresentará um maior ou
menor tempo para o trajeto. O gráfico da Figura 4.13 mostra o tempo que levou até que a esfera
atingisse uma parede na base do plano inclinado, fazendo, assim, um pico de força nessa parede.
Alterando o ângulo de atrito, portanto, os picos demoram mais ou menos a aparecer. Outro
ponto que merece destaque diz respeito a altura e quantidade dos picos. Analisando a curva
originada do ensaio com ângulo de atrito nulo percebe-se um maior pico comparado às demais
curvas. Tal fato deve-se a ausência de dissipação de energia ao longo da descida que aconteceria
pelo atrito entre a esfera e o plano. Além disso, ao colidir contra a parede, outros três pequenos
picos ainda aparecerão no gráfico do seu comportamento. Ao atingir a parede, a esfera volta
uma determinada distância no plano. Mais uma vez, devido à ausência de atrito, este fato se
repetirá mais vezes que uma esfera com atrito, visto que não há dissipação da energia da esfera.
Por exemplo, enquanto que com a esfera de atrito nulo há quatro picos, a esfera de maior atrito
(φ = 50º) apresenta somente dois, ou seja, duas colisões nas paredes aliadas ao atrito com a
rampa dissipam completamente sua energia.
30º
69
Figura 4.13 – Influência do ângulo de atrito - E = 14x109 e κ = 0.
Tomando agora o ângulo de atrito interno e aliando à rigidez rotacional, tem-se o gráfico
da Figura 4.14. Inicialmente, com a rigidez nula, tem-se o mesmo resultado apresentado no
gráfico anterior, ou seja, a esfera rola até a base, colidindo contra a parede e dispersando parte
da sua energia que será dissipada em outras colisões, além do atrito com a rampa, visto que o
ângulo de atrito adotado para esses testes foi de 50º.
Aumentando o valor de κ para 1000 N.m/rad, pode-se observar uma redução significativa
do primeiro pico, ou seja, há uma resistência ao movimento da partícula que se manifesta pela
dissipação da energia do movimento de rolamento até a base da rampa.
Aumentando ainda mais o valor de κ, agora para 1000 kN.m/rad, percebe-se que não
haverá colisões contra a parede. Isso acontece, pois, a esfera ficará parada no topo da rampa,
ou seja, a rigidez ao rolamento, aliada ao ângulo de atrito, imprimiram à esfera uma resistência
ao movimento. Percebe-se, assim, que, como a rigidez rotacional simularia uma mudança de
forma da partícula.
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
1 10
Forç
a n
o P
lan
o (
N)
Tempo (s)
φ = 0
φ = 10
φ = 30
φ = 50
70
Figura 4.14 – Influência da rigidez rotacional - E = 14x109 e κ = 0.
Após estes testes, realizou-se, também, um teste bastante simples cujo esquema
encontra-se representado na Figura 4.15. Trata-se de um cisalhamento realizado com um
número reduzido de partículas, a amostra possui apenas nove esferas. Para a obtenção da
envoltória dessa pequena amostra, utilizaram-se tensões normais de 2, 4, 8 e 16 kgf/cm².
O principal objetivo deste pequeno ensaio é analisar o movimento das partículas passando
umas sobre as outras. Desta forma, uma das consequências é poder observar, por exemplo, o
movimento da caixa responsável pela tensão normal no ensaio e, se houver, a dilatância da
amostra. Assim, em uma escala grosseira, é possível observar a influência do ângulo de atrito,
rigidez rotacional, módulo de Young e coeficiente de Poisson em um ensaio de cisalhamento.
0
500000
1000000
1500000
2000000
2500000
3000000
0 2 4 6 8 10 12 14
Forç
a n
o P
lan
o (
N)
Tempo (s)
Kr = 0
Kr = 1e3
Kr = 1e6
71
Figura 4.15 – Influência da rigidez rotacional.
Inicialmente, mantendo o módulo de Young e a rigidez rotacional constantes, alteraram-
se os ângulos de atrito das partículas. Notou-se à princípio que o aumento do ângulo de atrito
eleva a resistência da amostra, sendo necessários tensões cisalhantes maiores para uma mesma
tensão normal (Figura 4.16).
Além disso, dos resultados obtidos destes primeiros ensaios, destaca-se a envoltória de
ruptura da amostra com ângulo de atrito interno zero. Como poucas partículas estão sendo
ensaiadas, o grau de entrosamento entre elas é pequeno. Ainda assim, este entrosamento entre
partículas mostrou-se suficiente para que, mesmo sem rigidez rotacional e ângulo de atrito,
fosse medido algum atrito da amostra, que, como mostra a Tabela 4.3 foi de 19,10º. Desta
forma, com este ensaio foi possível detectar o atrito devido exclusivamente ao processo de
rolagem de uma partícula sobre a outra, ou seja, pode-se concluir que existe uma parcela do
ângulo de atrito da amostra que é devido, simplesmente, ao movimento de uma partícula
passando sobre a outra.
Outro ponto importante destes resultados refere-se ao comportamento assintótico que se
apresenta a partir de um determinado ponto. Analisando a Figura 4.16, percebe-se que as curvas
de φ = 30º e φ = 50º apresentam comportamento extremamente semelhante. Desta forma, nota-
se que aumentar o atrito indefinidamente é pouco eficaz uma vez que, a partir de determinado
ponto, seu efeito passa a se diluir, ou seja, a partir de determinado ângulo há uma redução da
sua contribuição no comportamento da amostra.
Observando as envoltórias, percebe-se que há detecção de interceptos coesivos na
amostra. Esse comportamento, entretanto, não era esperado uma vez que se está testando um
material puramente friccional. Desta forma, não há motivos para que o material tenha coesão,
72
mas, ainda assim, a coesão é medida. Essa coesão trata-se, então, simplesmente, da dificuldade
de uma partícula passar sobre a outra. Além do próprio entrosamento, como citado
anteriormente, essa dificuldade deve-se também à rigidez da partícula. Uma vez que as
partículas são mais ou menos rígidas, haverá maior ou menor interpenetração entre elas. Essa
interpenetração é, então, responsável pelo surgimento inesperado de interceptos coesivos que
aparece no material.
Figura 4.16 – Influência do ângulo de atrito – E = 14x109 e κ = 0.
Tabela 4.3 – Ângulo de atrito macroscópico a partir do ângulo de atrito microscópico
Atrito Interno Atrito Macroscópico
φ = 50º 29,29º
φ = 30º 30,96º
φ = 10º 22,38º
φ = 0o 19,10º
Mantendo, agora, o ângulo de atrito e a rigidez rotacional das partículas constantes,
alterou-se o módulo de Young das partículas. Como se pode observar da Figura 4.17 a seguir,
o módulo de Young não é um parâmetro simples, ao contrário, o comportamento da amostra é
y = 0,3461x + 155,43
y = 0,4117x + 208,7
y = 0,6x + 200
y = 0,5607x + 218,26
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
0 500 1.000 1.500 2.000
Ten
são
Cis
alh
ante
(kP
a)
Tensão Normal (kPa)
φ = 0
φ = 10
φ = 30
φ = 50
Linear (φ = 0)
Linear (φ = 10)
Linear (φ = 30)
Linear (φ = 50)
73
muito sensível a ele. Assim, a alteração de uma ordem de grandeza deste módulo leva a grandes
alterações tanto relacionadas ao ângulo de atrito como relacionadas a falsa coesão da amostra.
Este fato acontece, pois, no método dos elementos discretos, o módulo de Young é a
propriedade que controla de maneira mais expressiva a força entre partículas. O ângulo de atrito
da amostra, por sua vez, ao contrário do que se espera, não é simplesmente a fricção entre dois
corpos. Ele traduz a maneira pela qual uma partícula interage com a outra. Percebe-se, assim,
que módulo de Young da partícula e atrito da amostra estão intimamente correlacionados.
Assim, alterar o módulo de Young, altera, consequentemente, a força de interação entre duas
partículas, e, alterar a interação entre partículas significa alterar o atrito da amostra.
O grau de influência do módulo de Young pode ser também observado a partir dos
resultados da Tabela 4.4 a seguir. Observou-se o comportamento da amostra a partir de dois
ângulos de atrito diferentes: φ = 10º (Figura 4.17) e φ = 30º (Figura 4.18). Alterar o ângulo de
atrito interno de uma amostra que possui o mesmo Young provoca um acréscimo no ângulo de
atrito da amostra de, no máximo, 8,6º, no caso do Young = 14E+09. Ao contrário, manter o
atrito das partículas e aumentar seu Young, provoca uma variação de, no mínimo, 9,23º. Assim,
nota-se a sensibilidade e, consequente importância do módulo de Young no processo de
calibragem deste ensaio.
Figura 4.17 – Influência do módulo de Young – φ = 10º e κ = 0.
y = 0,0322x + 53,37
y = 0,2091x + 70,652
y = 0,4117x + 208,7
0,E+00
1,E+02
2,E+02
3,E+02
4,E+02
5,E+02
6,E+02
7,E+02
8,E+02
9,E+02
1,E+03
0,0E+00 5,0E+02 1,0E+03 1,5E+03 2,0E+03
Ten
são
Cis
alh
ante
(kP
a)
Tensão Normal (kPa)
E = 14E+07 Pa
E = 14E+08 Pa
E = 14E+09 Pa
Linear (E = 14E+07 Pa)
Linear (E = 14E+08 Pa)
Linear (E = 14E+09 Pa)
74
Figura 4.18 – Influência do módulo de Young – φ = 30º e κ = 0.
Tabela 4.4 – Influência do módulo de Young.
φ Módulo de Young Atrito Macroscópico
10º
E = 14 x 107 Pa 1,84º
E = 14 x 108 Pa 11,81º
E = 14 x 109 Pa 22,38º
30º
E = 14 x 107 Pa 5,69º
E = 14 x 108 Pa 14,92º
E = 14 x 109 Pa 30,96º
Um cuidado especial deve-se ter em relação a rigidez da partícula no sentido de se evitar
anomalias. Na Figura 4.19 é apresentado o resultado de uma simulação onde o valor do módulo
de Young é reduzido para 106 Pa. O baixo valor da rigidez da partícula permitiu que ocorresse
a interpenetração, passando, literalmente, umas por dentro das outras, e, finalmente, escapando
por baixo.
y = 0,0996x + 67,826
y = 0,2665x + 77,609
y = 0,6x + 200
0,0E+00
2,0E+02
4,0E+02
6,0E+02
8,0E+02
1,0E+03
1,2E+03
1,4E+03
0,0E+00 5,0E+02 1,0E+03 1,5E+03 2,0E+03
Ten
são
Cis
alh
ante
(kP
a)
Tensão Normal (kPa)
E = 14E+07 Pa
E = 14E+08 Pa
E = 14E+09 Pa
Linear (E = 14E+07 Pa)
Linear (E = 14E+08 Pa)
Linear (E = 14E+09 Pa)
75
Figura 4.19 – Anomalia no comportamento das partículas devido a Young muito baixo.
Por fim, a influência da rigidez a rotação foi avaliada. Conforme pode-se observar na
Figura 4.20, assim como o ângulo de atrito, a rigidez a rotação de uma esfera também não é
uma propriedade linear.
Como mostrado na Tabela 4.5, uma alteração de cinco ordens de grandeza, indo de κrot =
0 a κrot = 105, provoca um aumento de aproximadamente 1º entre os ângulos de atrito das
amostras, ou seja, quanto menores os valores de κrot, menor a influência no comportamento do
material. Alterar, por sua vez, a rigidez rotacional de κrot = 105 a κrot = 107 provoca um aumento
um pouco maior de cerca de 5º. Percebe-se, desta forma, que a alteração dos valores da rigidez
rotacional provoca mudanças de comportamento mais semelhantes às alterações causadas por
mudanças no ângulo de atrito. Por sua vez, a alteração do módulo de Young é muito mais
sensível, sendo, desta forma, a interpenetração entre partículas e sua consequente, força mais
importantes na calibração dos parâmetros da amostra.
76
Figura 4.20 – Influência da rigidez rotacional (κrot) – E = 14x109 e ϕ = 10º.
Tabela 4.5 – Influência da rigidez rotacional – κrot – no ângulo de atrito da amostra.
κrot Atrito Macroscópico
κ = 0 22,38º
κ = 105 23,76º
κ = 107 28,43º
4.2.2 RESULTADOS DE ENSAIOS DE CISALHAMENTO DIRETO
Após a calibração de todos os parâmetros que influenciam no comportamento da amostra
de cisalhamento direto, o gráfico de envoltórias da Figura 4.21 foram definidos. O módulo de
Young de partida foi o mesmo encontrado no ensaio de compressão 1D uma vez que se trata da
mesma amostra. Ajustou-se, então, em seguida, este módulo de maneira que se aproximasse o
y = 0,4117x + 208696
y = 0,4404x + 212174
y = 0,5415x + 327609
0,0E+00
2,0E+05
4,0E+05
6,0E+05
8,0E+05
1,0E+06
1,2E+06
1,4E+06
0,0E+00 5,0E+05 1,0E+06 1,5E+06 2,0E+06
Ten
são
Cis
alh
ante
(kP
a)
Tensão Normal (kPa)
κ = 0
κ = 1E+05
k = 1E+07
Linear (κ = 0)
Linear (κ = 1E+05)
Linear (k = 1E+07)
77
máximo possível do resultado obtido por Dias (2001). Os parâmetros utilizados para as
calibrações encontram-se na Tabela 4.6.
Pela análise da Figura 4.21 e da Tabela 4.7, baseado no ângulo de atrito macroscópico
resultante das amostras, os resultados ensaiados se mostraram satisfatórios.
Figura 4.21 – Calibração do Ensaio de Cisalhamento.
Tabela 4.6 – Propriedades para calibração da amostra.
Parâmetros Calibrados
Módulo de Young 1x108 Pa
Ângulo de Atrito 10º
Rigidez Rotacional 0 N.m/rad
Tabela 4.7 – Ângulo de atrito da amostra a partir das calibrações realizadas.
Atrito Macroscópico
Dias (2001) 35º
Calibragem 37,6º
y = 0,7x
y = 0,7701x
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 500 1000 1500 2000
Ten
são
Cis
alh
ante
(kP
a)
Tensão Normal (kPa)
DIAS
Calibração 1
Linear (DIAS )
Linear (Calibração 1)
78
5. CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA PESQUISAS FUTURAS
5.1 CONCLUSÕES
O principal objetivo proposto por esta pesquisa, conforme exposto anteriormente, foi
analisar a maneira pela qual parâmetros a nível de grãos, oriundos do comportamento complexo
do material, influenciam nos parâmetros macroscópicos dos enrocamentos.
Inicialmente, observando os ensaios de calibração dos parâmetros do material, conclui-
se que o principal parâmetro que controla o seu comportamento, tanto nos ensaios de
compressão como nos ensaios de cisalhamento, é o módulo de Young da partícula. Tal fato
deve-se a dependência entre o cálculo das forças nos contatos e esse parâmetro. Assim, quanto
maior o valor adotado para o módulo de Young, maiores as tensões necessárias para deformar
as amostras. Este comportamento representa a rigidez da partícula, sendo tanto mais rígida
quanto maior o valor adotado.
Em relação ao coeficiente de Poisson, se apresentou uma variação ínfima no
comportamento dos materiais. Pode-se associar este comportamento à aleatoriedade existente
no método dos elementos discretos que não repete rigorosamente cada ensaio, mesmo que seus
parâmetros sejam os mesmos. Ou seja, por mais que o cenário seja idêntico, cada situação
apresentará um cálculo diferente unicamente devido à aleatoriedade dos processos, que sempre
acontecerão, entretanto, não necessariamente na mesma ordem. Isso pode, portanto, causar uma
pequena diferença entre os resultados.
No que diz respeito ao ângulo de atrito das partículas, notou-se uma pequena variação
de comportamento, visto que este parâmetro age no sentido de impedir o deslizamento de uma
partícula em relação a outra. Mesmo amostras que não possuem nenhum atrito interno,
apresentaram envoltórias com atrito maior que zero. Trata-se, portanto, de um parâmetro
importante que, entretanto, não possui a significância do módulo de Young. Sua calibração,
desta forma, influencia em um ajuste mais fino do comportamento do material, ou seja, definido
o módulo de Young, o ângulo de atrito realizará os ajustes finais do comportamento da amostra.
Observou-se dos ensaios, tanto de compressão como de cisalhamento, que o ângulo de
atrito possui comportamento assintótico, ou seja, tende a um determinado comportamento. Isso
significa que aumentar o ângulo de atrito indefinidamente, não acarretará em um aumento
indefinido no comportamento da amostra. Destaca-se que os ensaios de compressão e
cisalhamento foram feitos para amostras com módulos de Young distintos, sendo o módulo do
79
ensaio de compressão de 108 Pa e do ensaio de cisalhamento de 109 Pa. Tal fato prova, desta
forma, que o ângulo de atrito apresentará o comportamento assintótico independente do módulo
de Young adotado.
Em relação, por fim, a rigidez rotacional, verificou-se um comportamento semelhante
ao comportamento verificado pela variação do ângulo de atrito, ou seja, a variação deste
parâmetro confere mudança de comportamento na amostra. Esta mudança, todavia, não é tão
significante quanto aquelas causadas pelo módulo de Young da amostra. Além disso, a rigidez
rotacional também apresenta um comportamento assintótico, tendendo a uma mesma resposta.
O critério adotado para a quebra das partículas não se comportou conforme desejava-se.
Esperava-se, conforme visto na revisão bibliográfica, uma grande influência da quebra das
partículas no comportamento da amostra, inclusive no sentido de garantir uma maior
estabilização. Esta influência, entretanto, não foi observada nem nos ensaios realizados
computacionalmente pelo método dos elementos discretos nem nos ensaios de laboratório
realizados por Dias (2001). Acredita-se que esta ausência de comportamento se deve a não
realização da molhagem dos contatos responsável pelo enfraquecimento dos grãos e
consequente quebra, dentre outros possíveis parâmetros.
Além disso, a quebra apresentou-se de maneira ineficaz nos ensaios realizados
computacionalmente uma vez que o processo de separação das partículas ou spawning mostrou-
se distante da realidade. Enquanto que, na realidade, justifica-se a quebra pela propagação de
uma fissura, quebrando a partícula em duas partes, ou pela fragmentação das arestas, quebrando
a partícula gradualmente, o procedimento adotado quebra a partícula em 14 novas esferas,
simulando uma quebra total e definitiva. Percebe-se que a preocupação maior neste
procedimento foi a manutenção do volume e outras propriedades, ao invés de se preocupar com
a reprodução fiel ao comportamento físico.
O método dos elementos discretos mostrou-se eficaz na reprodução de comportamentos
observados na realidade. Essa reprodução será tanto mais eficaz quanto melhor calibrados os
parâmetros das partículas. Sabe-se que existem outros inúmeros parâmetros microscópicos para
calibrar. Assim, de modo geral, tendo em vista os parâmetros utilizados, foi possível observar
a influência de características microscópicas no comportamento macroscópico do material.
80
5.2 RECOMENDAÇÕES PARA ESTUDOS FUTUROS
O uso do método dos elementos discretos ainda não está amplamente consolidado,
existindo, portanto, muitos tópicos nos quais ainda se pode trabalhar. Desta forma,
recomendam-se as seguintes abordagens para estudos futuros:
Aprimoramento da geração de partículas para amostras com ampla variedade de
diâmetros na granulometria;
Implantação de comportamento oriundo da molhagem para análise do
comportamento de partículas de enrocamento;
Implantação de um script de quebra que reproduza o comportamento físico do
processo e não somente se preocupe com as propriedades das partículas;
Implantação de comportamento viscoso na quebra;
Estudo da influência de outros parâmetros microscópicos como a forma, por
exemplo;
Simulação do comportamento das barragens de enrocamento a partir dos
parâmetros obtidos por meio do método dos elementos discretos.
81
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