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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
“RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS EM HIDROLOGIA SUBTERRÂNEA
UTILIZANDO O MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS PARA MALHAS
ARBITRÁRIAS”
GUSTAVO BARBOSA LIMA DA SILVA
ORIENTADOR: SÉRGIO KOIDE
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM TECNOLOGIA AMBIENTAL E RECURSOS
HÍDRICOS
PUBLICAÇÃO: MTARH.DM – 031 A/2001
BRASÍLIA/DF: MARÇO/2001
ii
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
“RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS EM HIDROLOGIA SUBTERRÂNEA
UTILIZANDO O MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS PARA MALHAS
ARBITRÁRIAS”
GUSTAVO BARBOSA LIMA DA SILVA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA FACULDADE DE TECNOLOGIA DA
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA, COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE.
APROVADA POR:
____________________________________________________
Profº. SÉRGIO KOIDE, Ph.D (UnB)
(ORIENTADOR)
____________________________________________________
Profª. NÉSTOR ALDO CAMPANA, DSc (UnB)
(EXAMINADOR INTERNO)
________________________________________________
Profº. JAIME JOAQUIM DA SILVA PEREIRA CABRAL, Ph.D (UFPE)
(EXAMINADOR EXTERNO)
BRASÍLIA/DF, 29/03/2001
iii
FICHA CATALOGRÁFICA
LIMA, GUSTAVO BARBOSA DA SILVA
Resolução de Problemas em Hidrologia Subterrânea pelo Método de diferenças Finitas para
Malhas Arbitrárias [Distrito Federa] 2001.
xv, 105 p, 297 mm (ENC/FT/UnB, Mestre, Tecnologia Ambiental e Recursos Hídricos, 2001)
Dissertação de Mestrado – Universidade de Brasília. Faculdade de Tecnologia.
Departamento de Engenharia Civil e Ambiental.
1. Fluxo Subterrâneo 2. Modelagem Numérica
3. Diferenças Finitas 4. Malhas Arbitrárias
I. ENC/FT/UnB II. Título (série)
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA LIMA, Gustavo Barbosa (2001). Resolução de Problemas em Hidrologia Subterrânea
Utilizando o Método de Diferenças Finitas para Malhas Arbitrárias . Dissertação de Mestrado,
Publicação MTARH.DM – 031 A/2001, Departamento de Engenharia Civil, Universidade de
Brasília, Brasília, DF, 105 p.
CESSÃO DE DIREITOS
NOME DO AUTOR: Gustavo Barbosa Lima da Silva
TÍTULO DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO: Resolução de Problemas em Hidrologia
Subterrânea Utilizando o Método de Diferenças Finitas para Malhas Arbitrárias
GRAU / ANO: Mestre / 2001
É concedida a Universidade de Brasília permissão para reproduzir cópias desta dissertação de
mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e
científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta dissertação de
mestrado pode ser reproduzida sem autorização por escrito do autor.
____________________________ Gustavo Barbosa Lima da Silva SQN 216, Bloco H, Apto 120. 70875-000 Brasília/DF Brasil
iv
DEDICATÓRIA
À Deus
À minha esposa Andrea
Ao meu sobrinho Társis
v
AGRADECIMENTOS A Deus pela força e conforto durante os momentos mais difíceis deste trabalho. Ao professor Sérgio Koide pela orientação deste trabalho e pelo incentivo e dedicação durante todo o curso de mestrado. Agradeço também por ter me concedido um micro computador pessoal para que eu pudesse desenvolver mais tranquilamente o trabalho. A todos os professores do MTARH pelos conhecimentos transmitidos durante o mestrado. Ao professor Nabil, também pelo apoio constante dado nos momentos em que o meu computador “resolvia” não funcionar. Um agradecimento muito especial a minha esposa, Andrea, pelo incentivo, dedicação, amor e compreensão durante todo o curso de mestrado e, sobretudo, durante todo o tempo que estamos juntos. Aos meus pais que sempre me aconselharam e me incentivaram, mas me deixaram escolher o caminho profissional a seguir. A todos os colegas do MTARH pela convivência saudável e agradável durante todo o curso de mestrado, em especial a Edith pela amizade sincera desde o tempo da graduação em João Pessoa. Aos colegas do mestrado de Estruturas, por toda amizade que criamos durante esses dois anos. Em especial a Julianne, Valter, Glauceny e José Neres pelos momentos agradáveis que passamos juntos. Ao professor Pedro Christiano da UFPB, meu orientador de iniciação científica e um dos maiores incentivadores para que eu desse prosseguimento a vida acadêmica. Ao professor Athail Rangel Pulino Filho pela sugestão do tema deste trabalho.
A CAPES pelo auxílio financeiro que viabilizou minha vinda e permanência em Brasília.
vi
RESUMO
Grande parte dos modelos matemáticos de fluxo de água no solo utilizam o método de
diferenças finitas (MDF) em sua versão clássica para malhas regulares. Embora a técnica seja
de fácil formulação, a rigidez geométrica imposta à malha de discretização e a dificuldade no
tratamento das condições de contorno são fatores que contribuíram para a crescente
substituição do método de diferenças finitas pelo método dos elementos finitos (MEF) na
abordagem dos modelos de fluxo. Entretanto, o MEF apresenta uma formulação sofisticada
que exige base matemática mais elaborada.
Para contornar essas dificuldades alguns trabalhos propõem o uso de malhas arbitrárias no
contexto de diferenças finitas. O método de diferenças finitas para malhas arbitrárias
(MDFMA) além de flexibilizar a discretização do domínio tanto quanto o MEF, uma vez que
os pontos nodais podem ser localizados, a princípio, aleatoriamente, conserva a forma direta
do MDF na discretização dos operadores e facilita o tratamento das condições de contorno.
Neste trabalho, são apresentados dois esquemas (moléculas) para a geração de operadores
discretos utilizando malhas arbitrárias no contexto de diferenças finitas: moléculas com seis
pontos e moléculas com mais de seis pontos. As aproximações são obtidas via o
desenvolvimento da série de Taylor da função solução do problema sobre as moléculas.
Foram desenvolvidos modelos de fluxo de água no solo utilizando o Método de Diferenças
Finitas para Malhas Arbitrárias (MDFMA) na linguagem Fortran 90/95 e aplicados a cinco
exemplos, sendo dois de fluxo de água em solo saturado e três para a simulação do fluxo em
meio não saturado. Vários tipos de malhas incluindo malhas regulares, malhas irregulares e
malhas de elementos finitos triangulares, foram utilizadas e moléculas com diferentes
números de pontos foram testadas. Os resultados apontam as melhores configurações, de
malha e molécula, obtidas e discutem-se as falhas ocorridas na utilização da técnica.
vii
ABSTRACT
Most of the mathematical models of water flow in soil use the finite difference method (FDM)
in it’s traditional form with regular meshes. Although this technique can be easily equated, the
geometric stiffness imposed by the of discretization grid and the difficulties in dealing with
the boundary conditions are factors that have contributed to a gradual replacement of the
finite difference method by the finite element method (FEM). However, the FEM present a
more complex formulation that demands for a more elaborated mathematical basis.
To overcome these difficulties some studies use arbitrary meshes in finite difference. The
finite difference method with arbitrary meshes in a addition to allowing discretization as
flexible as the FEM, because the nodal points can be localized randomly, it maintains the
direct form of the FDM in the discretization of the operators and it allows easy handling the of
boundary conditions.
In this study, two schemes to generate the discrete operators using arbitrary meshes in the
context of finite difference: a star with six points and stars with more than six points. The
approximation are obtained by the development of Taylor series for the solution function
problem on the stars.
Soil water flow models were developed using the finite difference method with arbitrary
meshes in Fortran 90/95 language and applied to five examples, two for water flow in
saturated soils and three to simulate flow in unsaturated soil. Many mesh distribuitions,
including regular meshes, irregular meshes and triangular finite element meshes, are used and
stars with different number of points are tested. The results show the best configurations of
meshes and stars obtained and the problems in using the technique are discussed.
viii
ÍNDICE
1- INTRODUÇÃO 1
1.1- OBJETIVOS 2
1.2- ESTRUTURA DO TRABALHO 3
2- FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 4
2.1- A DISTRIBUIÇÃO INTERNA DE ÁGUA NO SOLO 4
2.2- POTENCIAL DA ÁGUA NO SOLO E CURVA DE RETANÇÃO 5
2.3- PRINCIPAIS PROPRIEDADES DO SOLO RELACIONADAS À ÁGUA 9
2.3.1- Porosidade 9
2.3.2- Umidade 10
2.3.3- Condutividade Hidráulica 10
2.4- EQUAÇÕES DO MOVIMENTO DA ÁGUA NO SOLO 11
2.4.1- Equação de Darcy 11
2.4.2- Equações do fluxo em solo saturado 12
2.4.3 Equações do fluxo na zona não saturada 15
2.5- REVISÃO DE LITERATURA SOBRE A MODELAGEM MATEMÁTICA DO
FLUXO EM SOLO NÃO SATURADO 18
2.5.1- Tipos de equações utilizadas 18
2.5.2- Cálculo das propriedades do solo 21
2.5.3- Integração no tempo 23
2.5.4- Incremento de tempo 25
3- MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS PARA MALHAS ARBITRÁRIAS 27
3.1- INTRODUÇÃO 27
3.2- GERAÇÃO DE OPERADORES DISCRETOS DE ATÉ SEGUNDA ORDEM 29
3.3- ESTUDO DA MOLÉCULA IRREGULAR DE SEIS PONTOS 32
3.3.1- Geração das aproximações 32
3.3.2- Molécula de seis pontos em malha regular 35
3.3.3- Condições de Contorno 37
3.3.4- Seleção da molécula de seis pontos 39
3.4- MOLÉCULA IRREGULAR COM MAIS DE SEIS PONTOS 42
ix
3.4.1- Geração das aproximações 42
3.4.2- Moléculas no contorno 45
3.5- APLICAÇÕES DE DIFERENÇAS FINITAS EM MALHAS ARBITRÁRIAS 46
4- DESENVOLVIMENTO DO MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS PARA
MALHAS ARBITRÁRIAS PARA PROBLEMAS DE FLUXO DE ÁGUA
NO SOLO 48
4.1- FLUXO EM SOLO SATURADO 48
4.2- FLUXO EM SOLO NÃO SATURADO 52
4.3- PROGRAMAS COMPUTACIONAIS DESENVOLVIDOS UTILIZANDO
O MDFMA 58
4.3.1- Programas para a simulação do fluxo em meio saturado 58
4.3.2- Programas para a simulação do fluxo em meio não saturado 61
4.4- OUTRAS FORMULAÇÕES UTILIZADAS 65
5- APLICAÇÕES E ANÁLISE DOS RESULTADOS 67
5.1- CASOS – TESTE 67
5.1.1- Problemas de fluxo em solo saturado 67
5.1.1.1- Bombeamento em aquífero 67
5.1.1.2- Bombeamento e recarga simulatâneos em um aquífero 68
5.1.2- Problemas de fluxo em solo parcialmente saturado 69
5.1.2.1- Experimento de Elmaloglou (1980) 69
5.1.2.2- Caso Teórico de Rathfelder e Abriola (1994) 71
5.1.2.3- Experimento de Vauclin et al. (1979) 72
5.2- RESULTADOS E ANÁLISES 75
5.2.1- Problemas de fluxo em solo saturado 75
5.2.1.1- Bombeamento em aquífero 75
5.2.1.2- Bombeamento e recarga simulatâneos em um aquífero 83
5.2.2- Problemas de fluxo em solo não saturado 86
5.2.2.1- Experimento de Elmaloglou (1980) 87
5.2.2.2- Caso Teórico de Rathfelder e Abriola (1994) 92
5.2.2.3- Experimento de Vauclin et al. (1979) 96
x
6- CONCLUSÕES 100
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 103
xi
ÍNDICE DE FIGURA
Figura 2.1- Curvas de retenção é o fenômeno de histerese (modificado – Hillel, 1998)............8
Figura 2.2- Balanço de massa em um volume elementar de lados ∆x, ∆y e ∆z.......................13
Figura 3.1- Aquífero discretizado em diferenças finitas (a) e em elementos finitos (b).
Os pontos vazios são fontes de bombeamento ou recarga de água
(modificado Wang e Anderson, 1983)...................................................................28
Figura 3.2 - Molécula de seis pontos com os desenvolvimentos da série de Taylor
da função f (x,y).....................................................................................................33
Figura 3.3 - Molécula de seis pontos e fatores de ponderação associados ao nós....................34
Figura 3.4 - Molécula de seis pontos montada em malha regular quadrada.............................35
Figura 3.5 - Fatores de ponderação associados aos pontos de uma molécula
regular de seis pontos para o operador ∂f/∂x.......................................................36
Figura 3.6- Moléculas em pontos internos do domínio com matriz [D] singular....................40
Figura 3.7- Moléculas em pontos do contorno com matriz [D] singular..................................40
Figura 4.1- Estrutura do programa para simulação fluxo em meio saturado pelo MDFMA...60
Figura 4.2- Estrutura do programa desenvolvido para a simulação do fluxo em
meio não saturado utilizando o MDFMA............................................................63
Figura 5.1- Descrição física do problema com suas condições de contorno............................68
Figura 5.2- Descrição física do problema de aquífero submetido
a recarga e bombeamento.......................................................................................69
Figura 5.3- Perfil de umidade obtido experimentalmente por Elmaloglou (1980)...................70
Figura 5.4- Solução de Philip (1969) para o caso teórico de Rathfelder e Abriola (1994).......72
Figura 5.5- Diagrama esquemático do experimento (modificado – Vauclin et al., 1979)........73
Figura 5.6- Detalhe do experimento (modificado – Vauclin et al., 1979)................................73
Figura 5.7- Posição do nível freático em diferentes tempos
(modificado–Vauclin et al., 1979).........................................................................74
Figura 5.8- Discretização do domínio em malha regular quadrada de 250m x 250m..............76
Figura 5.9- Resultado obtido na utilização de moléculas de seis pontos
em malha regular.................................................................................................76
Figura 5.10- Resultado obtido na utilização de moléculas de nove pontos
em malha regular.................................................................................................77
xii
Figura5.11- Discretização do domínio em malha irregular adensada
próximo ao bombeamento.....................................................................................78
Figura 5.12 - Resultado obtido na utilização de moléculas de nove pontos em
malha irregular.....................................................................................................78
Figura 5.13- Discretização do domínio em malha de elementos finitos triangulares...............79
Figura 5.14- Resultados para molécula de seis pontos em malha de elementos finitos...........80
Figura 5.15- Resultados para molécula de sete pontos em malha de elementos finitos...........80
Figura 5.16- Resultados para molécula de seis pontos em malha de
elementos finitos triangulares..............................................................................81
Figura 5.17- Utilização de moléculas com estrutura variável em malha
de elementos finitos.............................................................................................82
Figura 5.18- Discretização do domínio em malha regular quadrada e tipos de moléculas ......84
Figura 5.19- Utilização de moléculas de seis pontos em malha regular quadrada...................84
Figura 5.20 - Utilização de moléculas de seis pontos em malha regular quadrada..................85
Figura 5.21- Malha de elementos finitos triangulares com os tipos de
moléculas utilizados.............................................................................................85
Figura 5.22- Simulação utilizando moléculas variáveis em malha de elementos finitos.........86
Figura 5.23- Malha regular simétrica totalizando 105 nós (a) e malha
de elementos finitos triangulares com 314 nós (b) .............................................88
Figura5.24- Resultados numéricos obtidos para o experimento do
Elmaloglou (1980), utilizando MDFMA com moléculas
de 6 pontos em malha regular, MEF e MDF.....................................................89
Figura 5.25- Simulação utilizando a malha de elementos finitos com moléculas
variáveis e comparação com a simulação em malha regular para
moléculas de seis pontos......................................................................................92
Figura 5.26- Malha retangular regular com 93 nós (a) e malha de
elementos finitos triangulares com 243 nós (b)...................................................93
Figura 5.27- Resultados das simulações no caso teórico de Rathfelder e Abriola (1994)........95
Figura5.28- Resultado obtido pelo MDFMA utilizando a malha de elementos
finitos triangulares...............................................................................................96
Figura 5.29- Malha utilizada nas simulações do experimento de
Vauclin et al. (1979), medidas em cm.................................................................97
xiii
Figura 5.30- Comparação dos resultados obtidos para o MDFMA com moléculas
de seis pontos e o MEF........................................................................................97
Figura 5.31- Comparação dos resultados obtidos para o MDFMA com moléculas
de nove pontos e o MEF......................................................................................98
Figura 5.32- Comparação entre os resultados obtidos para moléculas de seis
e nove pontos no experimento de Vauclin et al. (1979)......................................99
xiv
LISTA DE SÍMBOLOS
A área da seção transversal [L2]
[A] matriz inversa de [D]
b espessura do aquífero [L]
C(ψ) coeficiente de capacidade [L-1]
[D] matriz de diferenças
h carga hidráulica [L]
∆h variação da carga hidráulica [L]
{∆h} vetor de diferenças da variável h [L]
{h} vetor da carga hidráulica nos pontos da molécula [L]
{h0} vetor da carga hidráulica no ponto central da
molécula [L]
K condutividade hidráulica [LT1]
K(ψ) condutividade hidráulica em função de ψ [LT1]
Ksat condutividade para o solo saturado [LT-1]
Kx,y,z condutividade hidráulica nas direções x, y e z [LT-1]
L distância percorrida pelo fluxo [L]
Q fluxo volumétrico [L3T-1]
q velocidade de Darcy [LT-1]
qx,y,z velocidades de Darcy nas direções x, y e z [LT-1]
R recarga ou retirada [LT-1]
Se saturação [adimensional]
S armazenamento [adimensional]
Ss armazenamento específico [L-1]
Va volume de ar [L3]
Vg volume de grãos [L3]
Vw volume de água [L3]
z elevação em relação a um nível de referência [L]
∆va volume de água armazenado [L3]
∆vol volume elementar representativo de solo [L3]
xv
φ potencial total de água no solo [JM-1] ou [L]
φo potencial osmótico [JM-1] ou [L]
φp potencial de pressão [JM-1] ou [L]
φe potencial eletroquímico [JM-1] ou [L]
φg potencial gravitacional [JM-1] ou [L]
µ viscosidade dinâmica do fluido [ML-1T-1]
ρ massa específica do fluido [ML-3]
η porosidade [adimensional]
θ umidade volumétrica [adimensional]
θr umidade residual [adimensional]
θs umidade de saturação [adimensional]
ψ carga de sucção [L]
{∆ψ} vetor de diferenças da variável ψ [L]
{ψ} vetor da carga de sucção nos pontos da molécula [L]
{ψ0} vetor da carga de sucção no ponto central da
molécula [L]
1
1. INTRODUÇÃO
O desenvolvimento da tecnologia dos computadores digitais observado nas últimas décadas,
aliado ao surgimento de técnicas numéricas cada vez mais sofisticadas, capazes de gerar
algoritmos bastante robustos, ampliando o universo restrito às soluções analíticas,
contribuíram para o avanço de estudos nas diversas áreas da engenharia. Na hidrologia
subterrânea, em particular, a utilização de modelos numéricos tem se constituído em
importante via para o entendimento dos processos de movimentação de água no subsolo.
O estudo do fluxo de água no solo mostra-se como parte integrante de processos associados a
diversas áreas na engenharia, a saber (Campos, 1998):
- na agricultura, para irrigação, drenagem, melhoria do solo e suprimento regional de água
para as plantas;
- no estudo de barragens de terra, onde a resistência do solo é função da umidade;
- no estudo de perdas por percolação em canais;
- no estudo de recarga de aquíferos;
- no estudo de propagação de contaminantes no solo.
Segundo Wood (1993), as técnicas numéricas que estão em uso corrente na solução dos
problemas de recursos hídricos são: método de diferenças finitas, método dos elementos
finitos, método de diferenças finitas integradas, método das características, métodos de
integral de contorno, volume finito e modelos de células.
Diante da disponibilidade de grande quantidade de técnicas numéricas e da adaptabilidade aos
diferentes tipos de problemas, não é possível afirmar a superioridade de alguns métodos em
detrimento de outros. O fato é que diferentes técnicas trabalham bem em diferentes situações
e alguns problemas requerem a combinação de vários métodos.
Na modelagem do fluxo de água no subsolo, entretanto, é inegável a importância do método
de diferenças finitas e do método dos elementos finitos, até mesmo pela frequência com que
vêm sendo utilizados na abordagem de tal problema. Os trabalhos de Freeze (1971),
utilizando o método de diferenças finitas (MDF), e de Neuman (1973), utilizando o método de
elementos finitos (MEF), podem ser considerados como referências. A partir desses, vários
2
outros modelos de fluxo foram propostos utilizando as mesmas técnicas numéricas (ver
referências em Célia et al.,1990, Koide, 1990) para a modelagem do fluxo de água no solo.
Embora o método de diferenças finitas tenha eficiência comprovada na resolução de vários
problemas em hidrologia subterrânea, a técnica dos elementos finitos vem substituindo
gradativamente o uso de diferenças finitas. Isso deve-se, principalmente, à flexibilidade na
discretização de domínios irregulares, além da facilidade no tratamento das condições de
contorno. Entretanto, o método dos elementos finitos exige uma formulação com base
matemática mais elaborada que a técnica de diferenças finitas.
Nas últimas décadas, alguns trabalhos associados à mecânica estrutural (Perrone e Kao, 1975,
Snell et al. 1981 e Pulino Filho, 1989) propõem uma abordagem utilizando malhas irregulares
arbitrárias no contexto de diferenças finitas. Além de flexibilizar a malha de dicretização, o
método conserva a simplicidade da técnica de diferenças finitas convencional (MDF) na
obtenção dos operadores discretos.
Em princípio, a utilização de malhas irregulares em diferenças finitas pode ser vista como
uma forma de ganho de versatilidade e eficiência frente ao MDF convencional. Entretanto a
técnica de diferenças finitas para malhas arbitrárias (MDFMA) tem se mostrado restrita à área
da mecânica estrutural.
1.1 OBJETIVOS
Este trabalho tem como objetivo principal aplicar o método de diferenças finitas para malhas
arbitrárias (MDFMA) na resolução de problemas de fluxo de água, tanto na zona saturada do
solo como na zona não saturada do solo e comparar os resultados obtidos com outras soluções
obtidas, seja por outro método numérico, como o método de diferenças finitas convencional
e/ou o método dos elementos finitos, seja por método analítico ou resultados obtidos
experimentalmente.
Como objetivos específicos pretende-se:
3
• adaptar o método de diferenças finitas para malhas arbitrárias (MDFMA) à malhas
geradas automaticamente, como a malha de elementos finitos triangulares, visto que, a
ausência de um gerador automático da malha, para esse método, pode ser um fator
limitante na sua utilização;
• avaliar diferentes tipos de malha e tipos de estruturas de moléculas irregulares na solução
dos problemas abordados.
1.2 ESTRUTURA DO TRABALHO
O trabalho está dividido em capítulos que podem ser sintetizados da seguinte forma:
- No capítulo 2, apresenta-se uma fundamentação teórica sobre o sistema solo-água, as
equações de fluxo e modelagem matemática, procurando-se dar os subsídios necessários para
a abordagem dos problemas de fluxo. Apresenta-se, também, uma revisão bibliográfica sobre
a modelagem matemática do fluxo em solo não saturado.
- No capítulo 3 é apresentado o Método de Diferenças Finitas para Malhas Arbitrárias
(MDFMA). Discute-se os processos de geração dos operadores discretos para dois tipos de
esquemas, moléculas de seis pontos e moléculas com mais de seis pontos. Um breve histórico
sobre a utilização de malhas arbitrárias em diferenças finitas também é apresentado.
- No capítulo 4 desenvolve-se o MDFMA para a formulação das equações de fluxo. Discute-
se as estruturas básicas utilizadas na elaboração dos programas computacionais utilizados nas
simulações.
- No capítulo 5 apresenta-se os exemplos de aplicação incluindo problemas de fluxo na zona
saturada e não saturada do solo. Em seguida os resultados são apresentados acompanhados de
análises e discussões; no capítulo 6 algumas conclusões são apresentadas com base nos
resultados apresentados no capítulo 5.
4
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
A interação entre a água e o solo influencia em vários fenômenos naturais, inclusive em parte
do ciclo hidrológico compreendida pelo escoamento subterrâneo. Nos estudos de hidrologia
subterrânea é necessário o conhecimento de conceitos associados ao sistema solo-água,
sobretudo quando se deseja desenvolver algum tipo de modelo matemático que englobe tal
sistema. Este capítulo consiste de uma revisão de alguns conceitos fundamentais para o
entendimento do fenômeno de fluxo de água no subsolo do ponto de vista qualitativo e
também quantitativo, por meio do uso de equações matemáticas.
2.1 A DISTRIBUIÇÃO INTERNA DE ÁGUA NO SOLO
O solo é um material poroso, bastante complexo, resultante do intemperismo sobre rochas.
Sendo assim, é comum encontrar diversos componentes em um mesmo solo, atribuindo-lhe a
característica de material heterogêneo.
De modo geral, o solo é composto por partículas sólidas e por espaços vazios. A porção
ocupada pelo material sólido é, normalmente, conhecida por matriz sólida. A parte restante é
chamada de espaço intersticial. Esse espaço é ocupado por água e por ar. De maneira mais
formal, o solo é, comumente, apresentado como um sistema formado por três fases:
• fase sólida - que compreende a matriz sólida, consistindo de partículas que variam em
composição química assim como em tamanho e forma. A estrutura da matriz sólida determina
as características dos espaços intersticiais onde a água e o ar são armazenados;
• fase líquida - que compreende a água e os materiais dissolvidos que se encontram nos
interstícios entre as partículas;
• fase gasosa - constituída pelo ar, vapor de água e outros gases que, eventualmente, podem
estar presentes.
As proporções relativas dessas três fases no solo não são fixas e podem variar continuamente.
Entretanto, a fase sólida sempre existirá numa porção de solo, ao passo que as demais fases
podem inexistir em algumas situações. Analisando um perfil vertical da subsuperfície,
verificam-se diferentes concentrações de água, de modo que é possível dividir a região em
5
zonas. Essencialmente, tem-se a zona de saturação, onde a água presente ocupa todos os
vazios da matriz sólida e a fase gasosa inexiste, e a zona de aeração ou zona não saturada,
onde os interstícios contêm ar e água (Bear e Verruijt, 1987).
Nos aquíferos não confinados, a chamada zona saturada é limitada superiormente pela
superfície freática. Essa zona acumula a água infiltrada proveniente, em geral, da precipitação
e irrigação, dando origem às fontes, poços e correntes do fluxo subterrâneo.
A zona não saturada estende-se desde a superfície do terreno até a linha de saturação
(superfície freática) e é, geralmente, dividida em três subzonas: zona das raízes, localizada
subjacente à superfície do terreno e estendendo-se pela região de raízes das plantas; a zona
intermediária ou zona de água vadosa considerada desde o limite inferior da zona das raízes
até o limite superior da franja capilar e a zona ou franja capilar que compreende a faixa entre
a superfície freática até o limite da ascensão capilar da água. (Bear e Verruijt,1987).
Um fator de distinção entre as duas zonas mencionadas (saturada e não saturada) está
relacionado à pressão da água no interior dos poros. Na zona saturada, a água se encontra a
uma pressão superior ou igual à atmosférica. Na zona não saturada a pressão da água é
inferior à atmosférica, estando incluída, nessa zona, a região capilar onde os poros podem
ainda estar cheios de água, porém existem regiões com pressão negativa.
2.2 POTENCIAL DA ÁGUA NO SOLO E CURVA DE RETENÇÃO
A água no solo pode conter energia em quantidade e forma variáveis. A física clássica
reconhece dois tipos principais de energia: as energias cinética e potencial. Devido à baixa
velocidade com que a água se move no interior do solo, a energia cinética é, geralmente,
desprezada e o estado de energia da água no solo é descrito, preponderantemente, pela
energia potencial, sendo, por isso, conhecido por potencial de água no solo (Hillel, 1998).
Conceitualmente, esse potencial expressa a energia potencial da água no solo relativo à
energia da água em um estado de referência padrão. O estado padrão é, geralmente, assumido
como um reservatório hipotético de água pura, à pressão atmosférica, na mesma temperatura
da água no solo e numa elevação constante (Stephens, 1996).
6
O potencial da água no solo é composto por diversas formas de energia que, juntas,
quantificam o potencial total. Segundo Fetter (1993), o potencial total da água no solo
representa a soma do potencial gravitacional, potencial de pressão, potencial osmótico e
potencial eletroquímico:
φ = φg + φp + φo + φe (2.1)
em que: φ : potencial total de água no solo
φg : potencial gravitacional
φp : potencial de pressão
φo : potencial osmótico
φe : potencial eletroquímico
Esses potenciais são expressos, geralmente, em unidade de energia por unidade de peso.
Entretanto, é comum usar dimensões de comprimento [L], sendo que os potenciais são, dessa
forma, conhecidos como cargas. Além dos potenciais apresentados em (2.1) é possível,
também, a ocorrência de potenciais devidos a diferentes níveis de concentração de solutos no
solo ou devido a presença de gradiente térmico.
Conforme a preponderância das formas de energia, é possível classificar o estado energético
da água. Entretanto, os potenciais osmótico e eletroquímico são significativos apenas em
situações bastante particulares, de modo que sua influência sobre o fluxo da água no solo é,
comumente, desprezada. Assim, o potencial total da água no solo é reduzido à soma dos
potenciais de pressão e gravitacional:
φ = φp + φg (2.2)
Em termos de carga, o potencial total é usualmente escrito como:
φ = ψ + z (2.3)
em que: ψ = carga de pressão [ L ]
z = elevação em relação a um nível de referência [ L ]
7
Nos solos saturados, o potencial de pressão deve-se ao efeito das forças hidrostáticas
representando, assim, o potencial piezométrico com valor positivo para a carga de pressão.
Em condições não saturadas, o potencial de pressão está relacionado à ação das forças
capilares, existentes no sistema solo-água, e às forças de adsorção, resultantes da interação
entre as moléculas de água e o solo. Nesse caso, tem-se o que se conhece por potencial
matricial, com valores negativos para a carga de sucção.
O potencial gravitacional se estabelece devido à força gravitacional terrestre. É uma medida
da energia gravitacional por unidade de peso do solo e depende apenas da posição da água em
relação ao nível de referência padrão adotado, independendo das condições químicas ou de
pressão da água no solo.
O potencial total é fundamental para o movimento da água no solo. Assim, como a tendência
espontânea de toda a matéria na natureza, a água no solo move-se de pontos com potenciais
mais altos para pontos com potenciais mais baixos, não importando a quantidade de energia
disponível, mas, sim, a diferença entre os potenciais nos pontos. Mais especificamente,
o indutor do movimento da água no solo é o gradiente do potencial (∂φ/∂z ).
Existe uma importante relação entre a carga de pressão no solo (potencial da água no solo) e a
umidade presente que é representada pela curva de retenção de água no solo ou curva
característica. Essa curva descreve a energia relativa a um volume de água armazenado em
um material poroso sobre condições de saturação variáveis (Stephens, 1996).
A curva de retenção de água no solo pode ser construída por dois caminhos: obtendo-se dados
de uma amostra de solo inicialmente saturada e submetida, gradualmente, a valores de sucção
crescentes ou molhando-se uma amostra inicialmente seca e medindo-se os valores de sucção
correspondentes. No primeiro caso, a curva obtida é conhecida por curva de secamento e na
outra situação tem-se a curva de umedecimento.
O que se observa é que, para um mesmo solo, o levantamento dos valores do potencial
matricial em função da água presente no solo pelos processos de secamento e umedecimento,
resulta em duas curvas de retenção diferentes. Para uma mesma carga de sucção, o valor de
umidade obtido da curva de secamento é maior que o obtido por molhamento. Sendo assim,
9
Nesse sentido, é possível associar a forma da curva de retenção com a textura do solo. Para
solos com distribuição dos poros mais uniforme, como as argilas, a maior parte da água está
adsorvida, de tal forma que o aumento da sucção matricial causa uma diminuição gradual da
umidade, resultando numa curva característica com declividade mais suave. Por outro lado,
em solos estritamente arenosos a retenção da água se dá, praticamente, por capilaridade.
Nesse caso, os poros são esvaziados mais rapidamente com a variação da carga de sucção e a
curva de retenção apresenta forte inclinação após atingida a carga de entrada de ar no solo
denominada de carga de borbulhamento.
Por conveniência matemática, algumas vezes é preferível quantificar a retenção de água por
um outro parâmetro que não a carga de pressão, a capacidade específica. Essa grandeza, C(ψ),
é simplesmente a declividade da curva de retenção (C(ψ)=∂θ/∂ψ) sendo definida como o
volume de água liberado ou armazenado por volume da zona vadosa por unidade da mudança
na carga de pressão (Stephens, 1996). Nas simulações do fluxo de água é fundamental o
conhecimento da curva de retenção para se poder estimar valores de umidade, condutividade
hidráulica ou coeficiente de capacidade do solo a partir da carga de pressão.
2.3 PRINCIPAIS PROPRIEDADES DO SOLO RELACIONADAS À ÁGUA
O estudo do movimento da água no subsolo requer, geralmente, o conhecimento de algumas
características físicas do solo. Tais características dependem, principalmente, da textura do
solo, isto é, do tamanho das partículas constituintes, e da proporção relativa com que ocorrem
no solo e interferem, normalmente, no processos do fluxo subterrâneo.
2.3.1 Porosidade
O solo, por ser um material poroso, contém vazios interconectados uns aos outros. A
porosidade representa a fração de vazios interconectados, contidos em um volume
representativo de solo e é dada pela relação entre o volume de vazios e o volume total da
matriz sólida:
10
wag
wa
VVVVV++
+=η (2.4)
em que:
Va : volume de ar [ L3 ]
Vw : volume de água [ L3 ]
Vg : volume de grãos [ L3 ]
Solos mais grossos tendem a apresentar menos poros do que os solos finos. Entretanto,
possuem poros maiores, facilitando o fluxo da água.
2.3.2 Umidade
A umidade do solo pode ser expressa em termos de massa ou volume. A umidade volumétrica
(θ), mais utilizada na hidrologia, é expressa como a relação entre o volume de água presente
em fase líquida e o volume total de solo:
wag
w
VVVV
++=θ (2.5)
Outra medida da quantidade de água no solo é definida pelo grau de saturação (S), dada em
porcentagem. Tal medida expressa a razão entre o volume de água presente no solo e o
volume total dos poros:
S = 100 . ηθ ( % ) (2.6)
2.3.3 Condutividade Hidráulica
A condutividade hidráulica (K) é uma medida que expressa a facilidade com que o fluido é
transportado através de um meio poroso (Bear e Verruijt, 1987). É um coeficiente que
depende tanto da matriz sólida como das propriedades do fluido. Seu valor é mais alto para
solos grossos e mais baixo para solos de granulometria fina, desde que os poros estejam
11
interconectados. Para separar os efeitos do meio e do fluido, a condutividade hidráulica pode
ser expressa por (Maidment, 1993):
µρ
=gkK (2.7)
em que: k: permeabilidade intríseca do solo [L2]
µ: viscosidade dinâmica do fluido [ML-1T-1]
ρ: massa específica do fluido [ML-3]
g: aceleração da gravidade [LT-2]
Na zona saturada, o valor da condutividade hidráulica de um volume de solo pode ser
considerado constante, para qualquer carga, qualquer que seja o tipo de solo, desde que
homogêneo. Em contrapartida, na zona não saturada, o seu valor varia, consideravelmente,
com o conteúdo de água. Isto ocorre porque o ar localizado no interior dos poros impede a
passagem da água. Nessas condições, a condutividade hidráulica, K, é função direta de θ e,
consequentemente, de Ψ, sendo que quanto maior θ ou Ψ, maior K. Assim, quando θ atinge o
seu valor de saturação (θs), o fluxo passa a ocorrer sob condições saturadas e o valor de K
atinge o valor máximo (K = Ksat ).
2.4 EQUAÇÕES DO MOVIMENTO DA ÁGUA NO SOLO
2.4.1 Equação de Darcy
O estudo da movimentação da água no solo é baseado na lei de Darcy. Em 1856, Henry Darcy
realizou um estudo experimental do fluxo de água em meio poroso, investigando o fluxo
vertical de água em uma coluna de areia homogênea sob condições de saturação (Bear e
Verruijt, 1987). Ele observou que o fluxo de água através da coluna era diretamente
proporcional à área da seção transversal ao fluxo e à variação da carga hidráulica, e
inversamente proporcional à distância percorrida pelo fluxo:
Q ∝ A Lh∆ (2.8)
12
Introduzindo-se um constante de proporcionalidade chega-se a:
Q = - A.K.Lh∆ (2.9)
em que:
Q = fluxo volumétrico [ L3T-1 ]
K = condutividade hidráulica [ L T-1]
∆h = variação da carga hidráulica [ L ]
h = carga hidráulica [ L ]
L= distância percorrida pelo fluxo [ L ]
A equação (2.9) pode ser expressa, também, em termos da velocidade de Darcy. Essa
quantidade é representada pela razão entre o fluxo volumétrico e a área da seção transversal:
q = - K.Lh∆ ou q = -K
lh
∂∂ (2.10)
em que: q = velocidade de Darcy [ L.T-1 ]
O sinal negativo indica que o fluxo se dá na direção contrária ao gradiente de carga. A lei de
Darcy é válida apenas para fluxo laminar, uma condição encontrada na grande maioria das
formações geológicas. Possíveis exceções incluem rochas cársticas (calcáreos), basaltos com
macroporos e formações rochosas com grandes fraturas e sujeitas a altos potenciais
hidráulicos (Smith e Wheatcraft, 1993).
2.4.2 Equações do fluxo em solo saturado
O estudo matemático do fluxo de água no solo tem como princípio a equação da conservação
da massa. Assim, a massa de água que entra em um volume elementar representativo menos a
que sai, é igual a taxa de armazenamento de água nesse volume.
13
xxqq x
x ∆∂∂
+xq
Zq
zzqq z
z ∆∂∂
+
yyq
q yy ∆
∂
∂+
x
y
z
Yqx∆
y∆
z∆
Figura 2.2- Balanço de massa em um volume elementar de lados ∆x, ∆y e ∆z.
Para um volume elementar, conforme apresentado na Figura 2.2, cujos lados tem
comprimento ∆x, ∆y, ∆z o seu volume é dado por ∆vol = ∆x.∆y.∆z. A quantidade de água que
atravessa uma face do elemento é dada pelo produto do fluxo pela área da face. Aplicando a
equação da conservação da massa ao volume elementar chega-se a:
t)V(
y.xzz
z.xyy
qqz.yx
xq
qy.x.qz.x.qz.y.q
azz
yy
xxzyx
∂∆∂
=∆∆⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∆∂
∂+−
∆∆⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆
∂
∂+−∆∆⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∆∂
∂+−∆∆+∆∆+∆∆
(2.11)
∆Va = Ss. ∆vol. ∆h (2.12)
em que:
∆Va : volume de água armazenado [ L3 ]
qx, qy, qz : velocidade de Darcy nas direções x, y, z [ L.T-1]
Ss : armazenamento específico, ou seja, o volume de água que sai ou entra em um meio por
unidade de volume por unidade de variação da carga hidráulica [ L-1]
Substituindo a equação (2.12) na equação (2.11) e simplificando os termos, tem-se:
14
thz)∆y.∆x.∆(Sy)∆x.∆z.(∆
zq
z)∆x.∆y.(∆y
qz)∆y.∆x.(∆
xq
szyx
∂∂
−=∂
∂∂
∂+
∂∂
(2.13)
Dividindo a equação (2.13) por ∆x.∆y.∆z e substituindo-se o valor de q pela equação (2.10)
chega-se a:
thS
zhK
zyhK
yxhK
x szyx ∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ (2.14)
Para aquíferos com espessura constante tem-se Ss = S/b e, considerando-se solo homogêneo e
os eixos principais de condutividade hidráulica paralelos aos eixos coordenados, a equação
(2.14) pode ser escrita da seguinte forma, conhecida como equação de Poisson em regime
transiente:
th
bS
zhK
yhK
xhK zyx ∂
∂=
∂∂
+∂∂
+∂∂
2
2
2
2
2
2
(2.15)
em que:
S = armazenamento - volume de água que sai ou entra no meio, por unidade de área, por
unidade de variação da carga hidráulica [ adimensional ]
b = espessura do aquífero [ L ]
Conforme a situação, alguns termos podem ser adicionados ou excluídos da equação (2.15),
originando-se outras expressões. Para aquíferos em que sejam considerados acréscimos de
volumes de água devidos a recarga ou poços, ou retiradas de água por drenagem ou poços,
uma nova variável pode ser incorporada e a equação (2.15 ) passa a:
th
bS
b)t,z,y,x(R
zhK
yhK
xhK 2
2
z2
2
y2
2
x ∂∂
=+∂∂
+∂∂
+∂∂ (2.16)
onde: R: taxa de recarga (+) ou retirada (-) [LT-1]
Se o solo for isotrópico ( Kx = Ky = Kz =K) a equação (2.16) pode ser escrita na forma:
15
T)t,z,y,x(R
th
TS
zh
yh
xh
2
2
2
2
2
2
−∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂ (2.17)
onde: T = K.b – transmissibilidade do aquífero [L2 T-1]
Para casos de regime permanente (∂h/∂t = 0) sem recargas ou retiradas a equação (2.17) passa
a:
02
2
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
+∂∂
zh
yh
xh (equação de Laplace) (2.18)
Para todas as equações apresentadas neste item, a condutividade hidráulica, nas três direções
coordenadas, independe sempre do valor da variável dependente, dada pela carga hidráulica,
não importando a forma como a equação de fluxo esteja representada, devido à própria
condição de saturação do solo. Nesse caso, diz-se que as equações governantes do fluxo em
solo saturado são lineares.
2.4.3 Equações do fluxo na zona não saturada
A formulação do fluxo de água no solo não saturado baseia-se nas mesmas equações do fluxo
em meio saturado. Embora a equação de Darcy tenha sido proposta, originalmente, para solos
saturados, os trabalhos de Buckingham (1907) e Richards (1931) (apud Koide, 1990), a
adaptaram para solos não saturados.
Segundo Fetter (1993), Buckingham, em 1907, foi o primeiro a reconhecer as leis básicas para
o fluxo na zona não saturada. Ele descreveu que o potencial matricial era função da umidade,
da temperatura e massa específica do solo. Descreveu, também, que o fluxo de água através
de uma área de seção unitária era proporcional ao gradiente do potencial matricial do solo. A
constante de proporcionalidade, K(θ), seria, então, função da umidade. Richards (1931),
formalizou a lei de Buckingham e estendeu o conceito ao potencial total:
q = - K(Ψ).∇φ (2.19)
16
em que: q = fluxo de água no solo [ L.T-1]
K(Ψ) = condutividade hidráulica em função de Ψ [L.T-1 ]
∇φ = gradiente do potencial [adimensional]
Aplicando-se a equação da continuidade a um volume elementar de solo não saturado, tem-se:
t)Vol.(y.xz
zq
q
z.xyy
qqz.yx
xq
qy.x.qz.x.qz.y.q
zz
yy
xxzyx
∂∆θ∂
=∆∆⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∆∂
∂+−
∆∆⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆
∂
∂+−∆∆⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∆∂
∂+−∆∆+∆∆+∆∆
(2.20)
Considerando-se que não há variação de volume da matriz sólida do solo e simplificando a
equação (2.20) chega-se a:
tzq
yq
xq zyx
∂θ∂
−=∂
∂+
∂
∂+
∂∂
(2.21)
Substituindo-se a equação (2.19) na equação (2.21) chega-se a equação geral do fluxo não
saturado, conhecida como equação de Richards:
tz)(K
zy)(K
yx)(K
x zyx ∂θ∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂φ∂
Ψ∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂φ∂
Ψ∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂φ∂
Ψ∂∂ (2.22)
Substituindo-se a expressão de φ (equação 2.3) na equação (2.22) obtém-se:
t]1
z)[(K
zy)(K
yx)(K
x zyx ∂θ∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∂Ψ∂
Ψ∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂Ψ∂
Ψ∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂Ψ∂
Ψ∂∂ (2.23)
A expressão (2.23) é função das variáveis Ψ e θ, sendo conhecida, portanto, como a forma
mista da equação de Richards.
17
A partir de curva de retenção do solo é possível estabelecer uma relação funcional θ=θ(Ψ), de
modo que a equação (2.23) pode ser escrita na forma:
t]1
z)[(zK
zy)(yK
yx)(xK
x ∂Ψ∂
Ψ∂θ∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∂Ψ∂
Ψ∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂Ψ∂
Ψ∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂Ψ∂
Ψ∂∂ (2.24)
Fazendo )(C Ψ=Ψ∂θ∂ , a equação do fluxo não saturado passa a ter apenas Ψ como variável
sendo, por isso, conhecida como a forma da equação de Richards baseada em Ψ:
t)(C
z)(K
z)(K
zy)(K
yx)(K
xz
zyx ∂Ψ∂
Ψ=∂
Ψ∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂Ψ∂
Ψ∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂Ψ∂
Ψ∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂Ψ∂
Ψ∂∂ (2.25)
onde, C(ψ) é chamado de coeficiente de capacidade [L-1].
Da curva de retenção também é possível obter as relações Ψ = Ψ(θ) e K = K(θ) de modo que
a equação (2.23) pode ser representada na forma:
t1
zz)(K
zy)(K
yx)(K
x zyx ∂θ∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
∂θ∂
∂Ψ∂
θ∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂θ∂
θ∂Ψ∂
θ∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂θ∂
θ∂Ψ∂
θ∂∂ (2.26)
Introduzindo uma nova variável D(θ) = K(θ)/C(θ), a equação (2.26) passa a ter θ como única
variável, sendo, por isso, conhecida como a forma da equação de Richards baseada em θ:
tz)(K
z)(D
zy)(D
yx)(D
xz
zyx ∂θ∂
=∂
θ∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂θ∂
θ∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂θ∂
θ∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂θ∂
θ∂∂ (2.27)
onde, D(θ) é chamada de difusividade [ L2T].
As três formas da equação de Richards são obtidas sob as hipóteses de temperatura e pressão
do ar constantes, matriz sólida do solo indeformável, água incompressível, densidade da água
independente da concentração de soluto e invariante sobre o domínio. Além do mais, assume-
se que a presença do ar pode ser ignorada, exceto quando afetar o valor de K (Fetter, 1993).
18
Diferentemente das equações de fluxo saturado, nas equações de Richards a condutividade
hidráulica depende da variável dependente. Por esse motivo, essas equações assumem a
característica de não lineares e, nesse caso, a modelagem matemática pode apresentar maiores
dificuldades.
2.5 REVISÃO DE LITERATURA SOBRE A MODELAGEM MATEMÁTICA DO
FLUXO EM SOLO NÃO SATURADO
2.5.1 Tipos de equações utilizadas
Uma característica comum às diversas formas de equação de Richards consiste na forte
dependência não linear entre as suas variáveis. Valores de carga próximos podem resultar, por
exemplo, em grandes variações na condutividade hidráulica ou na umidade do sistema,
dificultando a simulação, sobretudo em situações de solo inicialmente muito seco ou
submetido a altas taxas de infiltração. A forte não linearidade leva, quase sempre, a
dificuldades para se obter convergência e o aumento do esforço computacional é inevitável.
Erros no balanço de massa também são comuns, isto é, parte da massa é perdida durante a
simulação atribuindo ao sistema a falsa característica de não conservativo.
Segundo Celia et al. (1990), uma das vantagens de se utilizar a formulação baseada em θ
como incógnita é a propriedade de conservação da massa do sistema, ou seja, erros aceitáveis
no balanço de massa. Entretanto, essa forma se degenera em meio completamente saturado,
uma vez que, após a saturação, Ψ se torna independente de θ, além de apresentar problemas
de discontinuidade de θ entre camadas de diferentes tipos de solo. A formulação baseada em
Ψ, embora funcione tanto para solo saturado como para solo não saturado, pode apresentar
erros de balanço de massa consideráveis e requer grande tempo de computação para que seja
obtida convergência do problema, sobretudo para condições de solo inicialmente muito seco,
no qual necessita-se de incrementos de tempo muito pequenos. Celia et al. (1990) fizeram um
estudo comparativo entre as três formas da equação de Richards, resolvidas por diferenças
finitas e elementos finitos, utilizando o método iterativo de Picard. A formulação baseada em
Ψ apresentou grandes erros no balanço de massa, aceitáveis (<5%) apenas para pequenos
19
incrementos de tempo. A principal fonte de erro é o termo ∂θ/∂t substituído por C∂Ψ/∂t. Essas
expressões são matematicamente equivalentes na forma contínua, mas não em sua forma
discreta. A formulação mista produziu um balanço de massa aceitável para os dois métodos,
não requerendo um esforço computacional maior do que a solução baseada em Ψ.
Rathfelder e Abriola (1994) simularam situações com condições iniciais muito secas por meio
dos métodos de diferenças finitas e elementos finitos. Os algoritmos foram desenvolvidos
para a forma baseada em ψ e a forma mista. Os autores utilizaram uma forma para o cálculo
do coeficiente de capacidade (C) baseada na declividade da corda que torna a equação
baseada em ψ mais conservativa. Para ambos os métodos numéricos utilizados, essa forma se
apresentou mais eficiente do que a forma mista tradicional, com erros menores no balanço de
massa.
Campos (1998), testou a eficiência de diferentes algoritmos, em elementos finitos, para o
cálculo do fluxo bidimensional de água em meio parcialmente saturado, adotando a equação
de Richards com o potencial matricial como variável. Foram utilizadas as formulações
propostas por Neuman (1973), Celia et al. (1990) e Rathfelder e Abriola (1994), variando-se a
forma adotada para matriz de armazenamento (distribuída ou aglutinada) e a integração das
propriedades do solo dentro dos elementos de forma linear ou por quadratura de Gauss,
totalizando treze opções de cálculo. Essas opções foram analisadas por meio da comparação
da distribuição de θ ou ψ simulados com os valores observados experimentalmente ou com
solução analítica, análise da evolução do erro relativo no balanço volumétrico em função do
tempo simulado e o tempo computacional gasto por cada opção de cálculo na simulação de
um mesmo caso. Os algoritmos foram testados em três casos: experimento unidimensional de
Elmaloglou (1980), caso teórico apresentado por Rathfelder e Abriola (1994) e o experimento
de Vauclin et al. (1979), bidimensional. Campos (1998) conclui que o modelo de Neuman
utilizando a matriz de armazenamento na forma aglutinada, integração por quadratura de
Gauss foi o que apresentou melhor desempenho global, sendo a opção mais confiável.
A transformação de variáveis é um outro caminho que se busca para melhorar a eficiência dos
algoritmos, sobretudo em situações de baixos teores de umidade em que a ocorrência de
instabilidade numérica é comum, devido à manipulação de valores muito baixos.
20
Huyakorn e Pinder (1983) argumentaram que um tipo de transformação utilizada comumente
na simulação de fluxo em meio não saturado é a transformação de Kirchoff. Ross (1990)
aponta que o uso da transformada de Kirchoff limita-se a casos homogêneos, uma vez que
depende das propriedades do solo e portanto não é definida na interface de diferentes tipos de
solo. O autor utilizou a transformação de Kirchoff de ψ que lineariza os termos espaciais de
segunda ordem, introduzindo uma correção na formulação para casos que apresentem
mudança nas propriedades do solo. A forma transformada torna-se, por conseguinte, válida
para simular fluxo em solos heterogêneos.
Ross (1990) propôs, para o cálculo do fluxo unidimensional, uma função de transformação p
que é a inversa do seno hiperbólico, sendo p representada por duas funções de Ψ (uma para a
zona saturada e uma para a zona não saturada), para permitir um incremento no tempo maior e
melhorar a eficiência computacional. O autor utiliza o método da frente avançada (AF) nos
casos em que o fluxo é, inicialmente, desprezível. Dada uma malha inicial com n pontos (x0,
x1,...xn ) em um dado tempo, um novo ponto xn+1 é acrescentado no próximo passo de tempo,
e assim sucessivamente, até que o contorno inferior seja atingido. Então, aplica-se o método
da malha fixa. O autor conclui que grandes passos de tempo são possíveis quando a forma
mista é combinada com esquemas iterativos implícitos, enquanto uma transformação seno
hiperbólica do potencial matricial permite incrementos espaciais grandes.
Kirkland et al. (1992) apresentaram um método baseado na variável ϕ para duas dimensões,
que é uma função transformada de Ψ na zona saturada e de θ na zona não saturada. Dessa
forma, introduz-se características da forma baseada em θ quando o solo está saturado e da
forma baseada em Ψ quando o solo se aproxima da saturação, procurando-se melhorar a
performance dos algoritmos baseados em Ψ e ainda permitir condições de completa
saturação. A formulação foi resolvida por um esquema implícito de diferenças finitas e
testada para situações inicialmente muito secas e condições saturadas em solos heterogêneos,
e comparada com um algoritmo baseado na solução mista utilizando o processo iterativo de
Picard, semelhante ao apresentado por Celia et al. (1990). Os resultados indicaram que esse
método reduz o tempo de CPU em comparação com a formulação mista, entretanto possui a
mesma precisão de cálculo, além de apresentar código numérico muito mais complexo por ser
não iterativo. Para solos variavelmente saturados a eficiência computacional do método foi
21
melhor, entretanto apresentou maior erro no balanço de massa do que o algoritmo na forma
mista.
Pan e Wierenga (1995 e 1997) propuseram, inicialmente para uma dimensão e posteriormente
para duas dimensões, uma formulação cuja variável é Pt, uma função de Ψ e β, onde β é uma
constante dimensional [L-1] independente do tipo de solo. O algoritmo foi comparado com
outros três algoritmos: o algoritmo de Celia et al. (1990), o algoritmo da variável
transformada p (Ross, 1990) e o algoritmo com a variável transformada ϕ ( Kirkland et al.
1992). O algoritmo de Pt se mostrou o mais eficiente computacionalmente. Além do mais,
mostrou ser o mais simples dos três métodos de transformação e apresentou o mesmo erro no
balanço de massa.
Hills et al. (1989), usaram um algoritmo baseado em θ para modelar o fluxo de água
unidimensional em solos não saturados estratificados. A eficiência computacional dessa
formulação é comparada com outros dois algoritmos baseados em Ψ e sua solução é dada
pelo esquema de diferenças finitas de Crank-Nicholson, com passo duplo. A aplicação do
modelo resultou em erros de balanço de massa (<5%) com ordem de grandeza muito inferior
à formulação baseada em Ψ. Outra vantagem da formulação é a redução no tempo de
computação requerido para a convergência do problema.
2.5.2 Cálculo das propriedades do solo
Uma das etapas na construção de um modelo de fluxo em meio não saturado consiste da
estimativa dos valores das propriedades do solo, a saber: a condutividade hidráulica (K) e o
coeficiente de capacidade (C). Dependendo do método numérico utilizado essas propriedades
podem ser avaliadas de diferentes formas.
No método de diferenças finitas a condutividade hidráulica e o coeficiente de capacidade
assumem valores nos pontos nodais, devido a própria formulação da técnica. No modelo de
Freeze (1971), a condutividade hidráulica é avaliada entre os nós enquanto o parâmetro C é
estimado nos pontos nodais. Li (1993) argumentou que um dos fatores que afeta a acurácia e
eficiência da solução numérica do fluxo em solo não saturado é a estimativa da condutividade
22
hidráulica entre nós, sobretudo em solos com propriedades altamente não lineares, onde uma
estimativa precisa da condutividade hidráulica é fundamental.
As formas mais comuns de estimativa da condutividade hidráulica entre os nós incluem a
utilização das médias aritmética, geométrica e harmônica. A escolha é quase sempre baseada
na conveniência. Haverkamp e Vauclin (1979), testaram nove diferentes formas de
ponderação da condutividade hidráulica entre os nós, incluindo as opções das médias
aritmética, geométrica e harmônica calculadas a partir dos valores de K nos nós e utilizando-
se a relação K(ψ) para valores médios de ψ nos pontos. Testes foram feitos em um solo não
saturado homogêneo e a influência nas soluções por diferenças finitas foram verificadas. O
autores indicam que menores erros são produzidos para a opção da média geométrica
calculada sobre a condutividade de dois pontos adjacentes.
Warrick (1991) testou duas novas alternativas, além das médias aritmética e geométrica, a
denominada media horizontal, calculada a partir da relação K(ψ) para um valor de ψ
representado pela variação linear dessa variável entre pontos adjacentes, e a média upstream
que considera o máximo valor de K entre nós adjacentes. As alternativas são comparadas
utilizando como parâmetro o fluxo de Darcy calculado analiticamente em um determinado
instante. O autor indica que o cálculo da condutividade hidráulica entre nós baseado na média
aritmética resulta em velocidades altas. Ao contrário, a média geométrica tende a subestimar a
velocidade. Os melhores resultados foram encontrados para a média horizontal.
Na formulação por elementos finitos as propriedades do solo são aproximadas por funções de
forma e integradas no elemento. A maioria dos modelos (Neuman (1973), Celia et al. (1990),
Rathfelder e Abriola (1994)) utilizam para a condutividade e coeficiente de capacidade a
mesma função, com forma linear, utilizada para aproximar a variável ψ. Entretanto, em
situações de forte não linearidade uma variação linear dessas propriedades pode não trazer
bons resultados ou levar a necessidade de um nível de discretização bastante denso.
Li (1993) avaliou diferentes formas de integração no estudo de um caso fluxo unidimensional.
Foram utilizadas a regra de Simpson a 1/3 do intervalo, quadratura de Gauss com dois e três
pontos, média aritmética e média geométrica. Para todos os exemplos testados a regra de
23
Simpson se mostrou melhor, sendo que a quadratura de Gauss se apresentou melhor que a
utilização das médias.
Campos (1998) utilizou a técnica de quadratura de Gauss, em um modelo bidimensional, para
a integração dentro do elemento assumindo, implicitamente, uma variação não linear das
propriedades. A formulação de Neuman (1973) com quadratura de Gauss apresentou
resultados superiores as formulações considerando variações lineares, quer seja quanto ao erro
relativo de balanço volumétrico quer seja quanto a acurácia dos resultados.
Koide (1995) realizou uma análise comparativa utilizando funções lineares, quadratura de
Gauss com 4 pontos e com 9 pontos, na simulação de uma experimento unidimensional, com
elementos retangulares. Quanto ao número de pontos, o autor conclui que o uso de 9 pontos
não foi relevante em relação ao de 4 pontos, em termos de minorar o erro volumétrico.
A estimativa do coeficiente de capacidade, C, na simulação do fluxo em meio não saturado é
feita, geralmente, por meio da derivada analítica ∂θ/∂ψ (aproximação tangente). Entretanto,
essa aproximação não preserva a forma discretizada da expansão do termo de armazenamento
∂θ/∂t na equação de Richards (Celia et al., 1990). Rathfelder e Abriola (1994) apresentaram
um algoritmo conservativo, em termos de massa, para a estimativa do coeficiente C por meio
da aproximação pela declividade da corda. Testes realizados com diferenças finitas e
elementos finitos, para condições iniciais de solo muito seco, indicam melhora nos resultados
quando comparados com as formulações utilizando a aproximação tangente nas equações
baseadas em ψ e na forma mista. O mesmo fato foi constatado por Campos (1998).
2.5.3 Integração no tempo
A eficiência na solução numérica das equação de Richards depende também do esquema
utilizado para se fazer a integração no tempo. A não linearidade inerente às equações, impõe,
geralmente, o uso de técnicas iterativas. As simulações do fluxo na zona não saturada utiliza,
normalmente, os esquemas iterativos de Newton-Raphson e de Picard. O uso da forma mista da equação de Richards, juntamente com técnicas iterativas, tem
melhorado bastante os erros de balanço de massa provocados pelos algoritmos baseados em
Ψ. Brutsaert (1971) desenvolveu um esquema completamente implícito para a solução de um
24
problema de infiltração em um meio heterogêneo. O esquema aproxima a equação de
Richards na forma mista por diferenças finitas implícitas e utiliza o método de Newton-
Raphson na resolução do sistema de equações. O autor enfatiza que, embora requeira maior
trabalho computacional a cada passo de tempo, o menor erro de truncamento com relação ao
tempo, resulta em ganho de estabilidade e convergência, além de permitir o uso de um passo
de tempo maior.
Li (1993) propôs uma modificação no método de Newton para a solução da equação de
Richards. Essa modificação é feita em duas etapas. Inicialmente, como no processo de fluxo a
difusão é predominante, os termos das derivadas resultantes do fluxo devido à gravidade são
desprezados. Posteriormente, os termos das derivadas da difusão são simplificados. O método
modificado é ligeiramente diferente do método de Picard e por isso o esforço computacional
de ambos é bem próximo. Entretanto, o método de Newton é mais eficiente por apresentar
convergência mais rápida. No entanto, a sensibilidade à estimativa inicial da variável, como
no método original, não foi eliminada e o método pode falhar em alguns casos. Além disso,
na maior parte dos problemas não é razoável desprezar a gravidade em fluxos verticais.
Paniconi e Putti (1994) compararam os esquemas de Newton e Picard na simulação de fluxos
uni, bi e tridimensionais em meio parcialmente saturado por meio de elementos finitos. As
técnicas foram testadas em casos com diferentes fatores que podem afetar a convergência e
eficiência incluindo: geometrias diferentes do sistema, discretização espacial e temporal,
solução inicial estimada, critério de convergência, matriz de armazenamento aglutinada ou
distribuída, condutividade hidráulica e condições de contorno. Os testes mostraram que o
esquema de Picard é, na maior parte dos casos, adequado para resolver as equações de
Richards. No entanto o método pode falhar ou convergir lentamente como no caso de
condições de contorno variáveis com o tempo, com equações altamente não lineares e na
interface das zonas saturada e não saturada. O esquema de Newton é, geralmente, mais
robusto mas em alguns casos pode falhar pelas mesmas razões do método de Picard ou devido
a estimativa inicial da solução.
Koide (1990) fez uma análise comparativa entre os esquemas de Newton e Picard na
resolução do fluxo em meio não saturado via elementos finitos. O autor conclui que ambas as
técnicas apresentam erros globais similares, mas o tempo de computação requerido pelo
25
método de Newton Raphson é bem maior e mostrou vantagens apenas nos casos com grande
número de elementos na malha.
Outros algoritmos não iterativos baseados em diferenças finitas também são propostos na
modelagem do fluxo não saturado. Dentro do enfoque dos métodos previsor-corretor,
Amokrane e Villeneuve (1996) utilizaram o método de diferenças finitas para a simulação da
água em solo não saturado. O modelo numérico utiliza o esquema explícito previsor-corretor
de MacCormack, que alterna esquemas de diferenças finitas progressivas e regressivas. O
trabalho utiliza diferenças finitas progressivas no passo previsor e o esquema regressivo no
passo corretor, para aproximar as primeiras derivadas espaciais. As segundas derivadas são
aproximadas normalmente. O efeito de histerese é desprezado, entretanto o método apresenta
precisão de segunda ordem e estabilidade condicionada.
A aplicação de esquemas implícitos à equação de Richards, resulta na solução de sistemas não
lineares bastante robustos a cada passo de tempo. Para reduzir o tempo de computação,
Hornung e Messing (1980) utilizaram a estratégia que combina a acurácia dos métodos
previsor-corretor e a eficiência do esquema implícito com direções alternantes ADI (Implicit
Alternaning Direction). Nesse trabalho, para seguir de um instante de tempo para o instante
seguinte, aplica-se, em sequência, o método previsor-corretor por duas vezes. Do instante
inicial à metade do intervalo de tempo, utiliza-se o esquema previsor-corretor com
aproximações das derivadas parciais espaciais implícitas para a direção x e explícita para a
direção y. No passo seguinte, as aproximações são explícitas para a direção x e implícitas para
a direção y. Com isto , a cada passo de tempo, quatro conjuntos de sistemas tridiagonais são
resolvidos.
2.5.4 Incremento de tempo
A simulação do fluxo de água em meio não saturado apresenta dificuldades que podem estar
relacionadas à ocorrência de camadas de diferentes solos, à presença de oscilações que podem
ocorrer nos instantes iniciais da simulação ou até mesmo quando há variações bruscas nas
condições de contorno. Nessas situações, há a necessidade de um incremento de tempo (∆t)
muito pequeno para se conseguir convergência, que seria desnecessário no restante da
simulação numérica.
26
Huyakorn et al. (1984) indicam que o ajuste do incremento de tempo, ∆t, é uma das formas
para tornar a solução numérica eficiente e recomendam um ajuste automático que permita o
aumento logarítmico de ∆t quando a convergência é atingida com um número mínimo de
iterações, e a diminuição quando o número de iterações máximo por passo de tempo for
atingido.
Koide (1990) propôs a seguinte equação empírica para restabelecer o valor padrão de ∆t, após
uma redução do mesmo:
i
Z
1i tNI2
NI11t ∆
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=∆ + (2.28)
em que: NI = número de iterações requeridas para a convergência (NI ≥ 2)
Z = coeficiente de retardo da taxa de aumento de ∆t (Z ≥ 1)
27
3. MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS PARA MALHAS ARBITRÁRIAS
3.1 INTRODUÇÃO
É inegável que o método de diferenças finitas, em sua versão clássica para malhas regulares,
tem eficiência comprovada na resolução de grande parte dos problemas de hidrologia
subterrânea, onde estão incluídos estudos de fluxo de água nas zonas saturada e não saturada
do solo. Entretanto, algumas restrições inerentes à malha de diferenças finitas traduzem-se em
perda de eficiência do método, tornando a técnica pouco competitiva em situações bastante
comuns.
Por sua rigidez geométrica, que acaba por determinar posições fixas para os pontos nodais, a
malha de diferenças finitas convencional pode ser pouco conveniente na abordagem de
problemas, que exijam, por exemplo, a discretização próxima a contornos irregulares. Pulino
Filho (1989) argumentou que para problemas com geometria irregular onde existem contornos
curvos, a utilização de malhas regulares nem sempre é suficiente para representar bem o
domínio do problema como pode ser visto na Figura 3.1a. A necessidade da escolha de pontos
adicionais no contorno fora da malha de discretização pode causar mau condicionamento da
matriz de coeficientes do sistema, devido a proximidade entre esses pontos e pontos internos
ao domínio. Nesses casos, é preferível o uso de métodos com formulação mais sofisticada,
como o método dos elementos finitos, onde seja possível utilizar malhas de elementos com
geometria mais flexível que facilitem a discretização de domínios com forma complexa, como
na Figura 3.1b.
Em situações que apresentam variações acentuadas do gradiente da função, a necessidade de
adensamento da malha em determinadas regiões do domínio, acaba por resultar na adição de
um grande número de pontos menos relevantes ao problema. Isso porque, para se manter a
regularidade na distribuição dos pontos, não é possível o refinamento da malha de diferenças
finitas convencional apenas em regiões isoladas. Como mostrado na Figura 3.1a, o
adensamento das linhas e colunas na região das fontes de bombeamento e recarga,
representadas pelo pontos brancos, obriga que as mesmas linhas e colunas continuem
próximas mesmo nas regiões mais afastadas, onde o gradiente da solução varia menos e a
densidade de pontos poderia ser menor. Com isso diminui-se a eficiência do método,
28
principalmente em problemas de grande porte em que o aumento do número de pontos
representa um gasto considerável de armazenamento e tempo de processamento. Para uma
malha de elementos finitos como a apresentada na figura 3.1b, entretanto, a geometria mais
flexível permite o adensamento da malha apenas na região próxima às fontes.
(a)
(b)
Figura 3.1 – Aquífero discretizado em diferenças finitas (a) e em elementos finitos (b). Os
pontos vazios são fontes de bombeamento ou recarga de água (modificado Wang e Anderson,
1983).
29
Nas últimas décadas, essas restrições impostas ao método de diferenças finitas têm sido
tratadas por meio de duas diferentes abordagens: o uso de grades flexíveis (Frey, 1977), onde
uma malha regular é mapeada dentro de um domínio irregular por uma representação
isoparamétrica similar àquela usada nas análises de elementos finitos, e o uso de malhas
irregulares arbitrárias onde expressões discretas para operadores diferenciais são obtidas por
meio da teoria de série de Taylor.
Neste trabalho, a segunda abordagem será efetivamente explorada. Além de conservar uma
formulação tão simples e direta quanto a formulação da técnica clássica de diferenças finitas,
o método flexibiliza a discretização do domínio, uma vez que permite, a priori, a localização
aleatória dos pontos nodais. Em seguida descreve-se o processo de geração das expressões
discretas para operadores diferenciais, utilizando uma malha irregular arbitrária no contexto
de diferenças finitas. Trata-se da mesma técnica descrita por Pulino Filho (1989), aplicada a
outros problemas.
3.2 GERAÇÃO DE OPERADORES DISCRETOS DE ATÉ SEGUNDA ORDEM
O método de diferenças finitas para malhas irregulares arbitrárias consiste de uma técnica
simples que não envolve a utilização de integração numérica nem a necessidade de malha
com estrutura geométrica definida. A discretização dos operadores diferenciais é feita de
forma direta por meio da expansão em série de Taylor da função solução do problema em
pontos do domínio, com relação a pontos vizinhos.
Semelhantemente ao método de elementos finitos, associa-se a cada ponto do domínio um
elemento, formado por um ponto central e pontos envolventes, que pode variar de acordo com
o número de pontos envolventes adotado e com a disposição relativa entre eles. Cada um
desses elementos é denominado como molécula, sobre a qual são geradas as aproximações
discretas para os operadores diferenciais.
Seja f=f(x,y) a função solução de um problema genérico. Assumindo que as derivadas da
função existam e sejam contínuas em todo o domínio, é possível obter o desenvolvimento em
série de Taylor dessa função em torno do ponto de coordenadas (x0, y0):
30
f(x,y) = f(x0,y0) +0x
f∂∂ ∆x +
0yf
∂∂ ∆y +
21
⎢⎢⎣
⎡
∂∂
02
2
xf ∆x2 +
0
2
yxf
∂∂∂ 2∆x∆y +
⎥⎥⎦
⎤∆
∂∂ 2
02
2
yy
f
+…+)!1n(
1−
fyy
xx
)1n( −
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∆
∂∂
+∆∂∂ (3.1)
Para n=2 a equação (3.1) passa a conter apenas derivadas de até segunda ordem e reduz-se a:
f(x,y) = f(x0,y0) +0x
f∂∂ ∆x +
0yf
∂∂ ∆y +
02
2
xf
∂∂
2x 2∆ +
0
2
yxf∂∂
∂ ∆x∆y +0
2
2
yf
∂∂
2y 2∆ + e (3.2)
em que: e = resíduo resultante do truncamento da série no termo de ordem (n-1)
∆x = x-x0, ∆y = y-y0
Considerando uma molécula centrada no ponto (x0, y0) e escrevendo a equação (3.2) para “m”
pontos vizinhos envolventes, a representação das equações resultantes, na forma matricial, é
dada por:
{f} = {f0} + [D] {∂f}0 + {E} (3.3)
em que: {f} = vetor dos valores da função f(x,y) nos pontos vizinhos ao ponto (x0, y0)
{f0} = vetor com o valor da função f(x,y) no ponto (x0, y0)
[D] = matriz de diferenças
{∂f0} = vetor das derivadas parciais da função f(x,y) no ponto (x0, y0)
{E} = vetor dos resíduos resultantes dos truncamentos das expansões no sexto termo
Fazendo {∆f}={f}-{f0} e escolhendo os “m” pontos, próximos o suficiente do ponto (x0,y0),
de forma que o termo {E} possa ser desprezado, obtém-se de (3.3):
{∆f} = [D] {∂f}0 (3.4)
Os elementos da matriz [D] equivalem aos coeficientes das expansões da função f(x,y) em
série de Taylor e estão relacionados às coordenadas cartesianas dos “m+1” pontos
31
componentes da molécula, sendo possível determiná-los conhecendo-se apenas a localização
dos pontos nodais no domínio.
A expressão (3.4) corresponde a um sistema de equações onde o número “m” de pontos
vizinhos ao ponto central (x0,y0) corresponde ao número de equações, resultantes dos
desenvolvimentos em série de Taylor da função, e o número de incógnitas é indicado pelas
cinco derivadas presentes.
Se as posições relativas dos “m+1” pontos forem tais que a matriz [D] resulte não singular, é
sempre possível obter uma aproximação discreta para os operadores diferenciais, de até
segunda ordem, no ponto central (x0, y0), resolvendo-se o sistema de equações (3.4).
Entretanto é necessário que um número mínimo de pontos esteja envolvido, de modo que o
número de incógnitas presentes não exceda o número de equações, tornando possível assim,
encontrar uma solução para o sistema, seja de forma direta ou por um processo de
minimização do erro devido ao truncamento da série de Taylor.
A utilização do desenvolvimento da série de Taylor até os termos de segunda ordem, resulta
em uma aproximação da função do problema em torno do ponto central por um polinômio
completo de segundo grau, como mostra a equação 3.2, e além disso, as aproximações obtidas
para todas as derivadas envolvidas são de segunda ordem.
Segundo Perrone e Kao (1975), se a função f(x,y) for um polinômio de segunda ordem, as
formas aproximadas obtidas para as derivadas coincidirá com a solução exata. Por outro lado,
se a função for um polinômio de ordem superior ou outra função, as derivadas obtidas são
aproximações cuja acurácia dependerá da ordem das derivadas assim como do tamanho da
malha utilizada e da posição entre os pontos nodais.
O método de diferenças finitas para malhas arbitrárias (MDFMA), como estudado neste
trabalho, trata apenas da geração de moléculas de até segunda ordem, ou seja, da aproximação
discreta de operadores de até ordem dois. Entretanto, o estudo de moléculas de ordem
superior, necessárias no caso de equações que envolvam derivadas de ordem três em diante, é
possível utilizando-se a mesma teoria. Maiores detalhes podem ser encontrados em Pulino
Filho (1989).
32
3.3 ESTUDO DA MOLÉCULA IRREGULAR DE SEIS PONTOS
3.3.1 Geração das aproximações
A composição de uma molécula pode variar conforme o número de pontos selecionados. A
escolha de cinco pontos, próximos ao ponto central (x0, y0), determina uma molécula de seis
pontos. A seleção de um número menor de pontos, resultaria em um sistema com menos
equações que incógnitas, sendo, portanto seis o número mínimo de pontos necessários para
que o processo de geração dos operadores discretos seja aplicável.
No esquema de seis pontos, cada molécula passa então a ser formada por um ponto nodal
central e cinco pontos nodais envolventes. A esses pontos, designa-se uma numeração local de
0 a 5, respectivamente, como mostrado na Figura 3.2. A equação (3.4), escrita de forma
explícita para moléculas de seis pontos, assume a forma de um sistema determinado de
dimensões 5 x 5 expresso por:
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−
−
−
05
04
03
02
01
ff
ff
ff
ff
ff
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
2yyx
2xyx
2yyx
2xyx
2yyx
2xyx
2yyx
2xyx
2yyx
2xyx
25
55
25
55
24
44
24
44
23
33
23
33
22
22
22
22
21
11
21
11
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
2
2
2
2
2
yfyxf
xf
yfxf
(3.5)
onde, f0, f1, f2, f3, f4 e f5 representam os valores da função f(x,y) avaliados nos pontos da
molécula e cada equação representa o desenvolvimento da série de Taylor de f(x,y) com
relação a um dos pontos envolventes.
Sendo a matriz de diferenças [D] não singular e assumindo as derivadas parciais ∂f/∂x, ∂f/∂y,
∂2f/∂x2, ∂2f/∂x∂y e ∂2f/∂y2 como incógnitas do problema, é possível obter, para cada um dos
33
1
5
0
2
34
2y
yfyx
yxf
2x
xfy
yfx
xfff
21
2
2
11
221
2
2
1101∆
∂∂
+∆∆∂∂
∂+
∆∂∂
+∆∂∂
+∆∂∂
+=
2y
yfyx
yxf
2x
xfy
yfx
xfff
25
2
2
55
225
2
2
5505∆
∂∂
+∆∆∂∂
∂+
∆∂∂
+∆∂∂
+∆∂∂
+=
2y
yfyx
yxf
2x
xfy
yfx
xfff
24
2
2
44
224
2
2
4404∆
∂∂
+∆∆∂∂
∂+
∆∂∂
+∆∂∂
+∆∂∂
+=
2y
yfyx
yxf
2x
xfy
yfx
xfff
22
2
2
22
222
2
2
2202∆
∂∂
+∆∆∂∂
∂+
∆∂∂
+∆∂∂
+∆∂∂
+=
2y
yfyx
yxf
2x
xfy
yfx
xfff
23
2
2
33
223
2
2
3303∆
∂∂
+∆∆∂∂
∂+
∆∂∂
+∆∂∂
+∆∂∂
+=
f0
Figura 3.2 – Molécula de seis pontos com os desenvolvimentos da série de Taylor da função f (x,y).
34
operadores de até segunda ordem, aproximações discretas no ponto central da molécula,
simplesmente resolvendo-se o sistema de equações 3.5:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
5554535251
4544434241
3534333231
2524232221
1514131211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−
−
−
05
04
03
02
01
ff
ff
ff
ff
ff
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
2
2
2
2
2
yfyxf
xf
yfxf
(3.6)
Nesse novo conjunto de equações, a matriz [A] corresponde a inversa da matriz [D] e
qualquer das derivadas parciais, de até segunda ordem, pode ser escrita multiplicando-se a
linha correspondente da matriz [A] pelo vetor {∆f}0. As aproximações discretas resultantes
são, portanto, dadas por uma combinação linear da diferença entre os valores da função no
ponto central e em seus pontos envolventes, ponderada por um fator de distância entre eles.
Os fatores de ponderação estarão relacionados aos elementos da matriz [A] e,
consequentemente, da matriz [D]. A Figura 3.3, mostra os fatores de ponderação associados
aos pontos da molécula para o operador ∂2f/∂x2.
2
1
0
3
4 5
a33
b
a34
a32
a31
a35
3
( )35343332313 aaaaab ++++−=
Figura 3.3 – Molécula de seis pontos e fatores de ponderação para o operador ∂2f/∂x2.
35
3.3.2 Molécula de seis pontos em malha regular
A distribuição de pontos em uma malha regular conduz a moléculas de seis pontos com boas
aproximações. Para uma molécula regular, como a mostrada na Figura 3.4, os
desenvolvimentos da série de Taylor da função resultam no seguinte sistema de equações:
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−
−
−
05
04
03
02
01
ff
ff
ff
ff
ff
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
222
2
2
2
2
a5.0aa5.0aa
a5.000a0
a5.000a0
00a5.00a
00a5.00a
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
2
2
2
2
2
yfyxf
xf
yfxf
(3.7)
3 5
02
4
1
y
x
a
a
a a
Figura 3.4 – Molécula de seis pontos montada em malha regular quadrada
Nesse caso, a matriz [A] pode ser determinada analiticamente e seus elementos escritos em
função do espaçamento constante da malha. A solução do sistema de equações (3.7) resulta
em:
36
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
−−
−−−
−−
−−
−−
0aa00
a0a0a
000aa
0a5.0a5.000
000a5.0a5.0
22
222
22
11
11
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−
−
−
05
04
03
02
01
ff
ff
ff
ff
ff
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
2
2
2
2
2
yfyxf
xf
yfxf
(3.8)
A equação (3.8), mostra claramente que os coeficientes de ponderação, representados pelos
elementos da matriz [A], estão relacionados com a distância entre os pontos da molécula. Para
esse tipo de molécula, as aproximações obtidas se mostram bem balanceadas uma vez que,
para os pontos distribuídos simetricamente foram atribuídos valores de ponderação iguais
como apresentado na Figura 3.5 para a primeira derivada em x.
É interessante observar que, para moléculas de seis pontos montadas sobre malhas regulares, a
menos da derivada cruzada, as aproximações obtidas para os operadores resgatam os
esquemas convencionais de diferenças finitas centrada.
0 0
0
0.5 a-1-0.5 -1a
Figura 3.5 – Fatores de ponderação associados aos pontos de uma molécula regular de seis
pontos para o operador ∂f/∂x.
37
3.3.3 Condições de contorno
Uma das vantagens do MDFMA apontada por Gonçalves e Pamplona (1980), consiste na
facilidade do tratamento das condições de contorno. Há dois casos a serem considerados: o
primeiro diz respeito aos trechos do contorno em que se verificam condições do tipo Dirichlet
(contorno com f(x,y) conhecido) e o segundo diz respeito aos trechos onde se verificam
condições de Neumann (contorno com fluxo conhecido).
Nos trechos onde o contorno do problema é do tipo Dirichlet, não há necessidade de se criar
moléculas com pontos centrais pertencentes ao contorno. Nesses casos, os valores conhecidos
de f(x,y) são introduzidos automaticamente no sistema de equações algébricas global do
problema, a medida que os pontos no contorno participem da composição das moléculas,
cujos pontos centrais são internos ao domínio.
Em casos onde o contorno é do tipo Neumann, Pulino Filho (1989) apresenta uma forma de se
introduzir automaticamente as condições de fluxo conhecido nas expressões discretas dos
operadores. Nos problemas abordados por Pulino Filho (1989) a equação de fluxo é dada por:
yf m
xf q
∂∂
+∂∂
= l (3.9)
onde: q = fluxo conhecido no contorno
l , m = cossenos diretores do vetor normal unitário externo
A condição de contorno do tipo Neumann é introduzida no sistema de equações da molécula
substituindo-se a última linha de (3.5), correspondente ao desenvolvimento da série de Taylor
da função com respeito ao quinto ponto envolvente, pela equação de fluxo (3.9). Nesse caso,
o número de pontos é reduzido e a molécula passa a ter quatro pontos envolventes, resultando
no seguinte sistema de equações:
38
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−
−
q
ff
ff
ff
ff
04
03
02
01
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
000m
2yyx
2xyx
2yyx
2xyx
2yyx
2xyx
2yyx
2xyx
24
44
24
44
23
33
23
33
22
22
22
22
21
11
21
11
l ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
2
2
2
2
2
yfyxf
xf
yfxf
(3.10)
Se a matriz [D] é não singular e, portanto, admite inversa, as aproximações para os operadores
diferenciais são obtidas resolvendo-se a equação (3.10), resultando em:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
5554535251
4544434241
3534333231
2524232221
1514131211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−
−
q
ff
ff
ff
ff
04
03
02
01
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
2
2
2
2
2
yfyxf
xf
yfxf
(3.11)
As fórmulas discretas dos operadores passam a conter, como componente, o valor de fluxo
conhecido, o que gera uma forma automática de se impor condições de contorno do tipo
Neumann ao problema. Do ponto de vista da codificação computacional, nenhum esforço
adicional é acrescentado no tratamento das condições de contorno e, além do mais, é possível
tratar de forma genérica qualquer tipo de contorno, conhecendo-se apenas a direção do vetor
normal.
39
3.3.4 Seleção da molécula de seis pontos
O sucesso na implementação do método de diferenças finitas para malhas arbitrárias envolve
a escolha dos pontos para comporem as moléculas. Uma seleção inadequada pode resultar na
singularidade da matriz [D], que torna o método inaplicável, ou seu mau condicionamento
onde a matriz inversa existe mas resulta em aproximações pouco acuradas.
Quanto à singularidade da matriz de diferenças Perrone e Kao (1975) indicam situações em
que, seguramente, [D] é singular e devem ser evitadas. A Figura 3.6 mostra algumas delas.
No caso (a), da Figura 3.6, os pontos da molécula possuem os mesmos valores de ordenadas.
Os elementos da segunda coluna da matriz [D], na equação 3.5, passam, então, a assumir
valor nulo, tornando-a singular. O mesmo raciocínio pode ser aplicado ao caso (b), em que os
pontos possuem valores idênticos para as abscissas tornando nulos os elementos da primeira
coluna de [D].
Na situação (c), os pontos da molécula estão localizados sobre uma mesma reta suporte. A
relação de proporcionalidade entre a diferença das ordenadas de dois pontos e a diferença
entre suas abcissas é mantida e tem valor dado pela inclinação da reta. Então, a primeira e a
segunda coluna de [D] passam a ser combinação linear uma da outra e, portanto, a matriz
também é singular.
Para moléculas no contorno, também é possível que a matriz de diferenças seja singular. Isto
ocorrerá, por exemplo, nas moléculas que tiverem três ou mais pontos situados em retas
paralelas à reta suporte do vetor normal unitário (Pulino Filho, 1989). Essas situações são
ilustradas na Figura 3.7.
No caso (a), os pontos 0, 3 e 4 estão sobre a mesma reta suporte que tem a direção do vetor
normal unitário. Assim os vetores definidos pelos pontos (x0, y0), (x3, y3 ) e (x0, y0), (x4, y4),
além do vetor unitário nr
= ( l , m), são colineares, de modo que é possível obter uma
combinação linear entre as suas coordenadas. Portanto, as linhas 3, 4 e 5 da matriz [D], na
equação 3.10, passam a ser linearmente dependentes, tornando-a singular. Pelo mesmo
motivo, a situação (b) também resulta em [D] singular.
40
2 1 0 3 4 5
321045
21
03
45
(a) (b)
(c)
Figura 3.6 – Moléculas em pontos internos do domínio com matriz [D] singular
0
1
3
4
2
n n
0
1
3
4
2
(a) (b)
Figura 3.7 – Moléculas em pontos do contorno com matriz [D] singular
41
Diante da importância na composição das moléculas, alguns autores propõem formas para a
seleção dos pontos envolventes. Perrone e Kao (1975) sugeriram uma forma para se
determinar a composição de uma molécula de seis pontos onde a área em torno do ponto
central é dividida em oito zonas formando segmentos com ângulos centrais de 45 graus.
Quatro dos pontos envolventes são escolhidos nos setores principais que têm como bissetriz
os eixos coordenados. O quinto ponto é selecionado em um dos setores restantes obedecendo-
se, sempre, o critério de os pontos escolhidos estarem o mais próximo possível do ponto
central.
Liszka e Orkisz (1980) argumentaram que o critério sugerido por Perrone e Kao (1975)
resulta em moléculas bem selecionadas, mas tende a ser muito complicado e rigoroso, além de
consumir muito tempo de computação. Os autores sugeriram que o domínio em torno do
ponto central seja dividido em quatro quadrantes, onde os pontos mais próximos em cada
quadrante sejam incluídos na molécula. Nesse caso o controle dos nós é feito computando-se
apenas a distância ao nó central e comparando os sinais das coordenadas locais dos nós para
identificar o quadrante.
A questão não é tão simples se [D] é não singular mas mal condicionada. Estudos feitos por
Godoy (1986) indicam que aproximações obtidas a partir de matrizes mal condicionadas
podem estar distantes daquelas exatas. O autor indica o número de condição da matriz de
diferenças [D] como parâmetro de escolha da localização dos pontos das moléculas. Tal
parâmetro, pode ser definido pela seguinte expressão:
C([D]) = ||[D]|| . ||[D]-1|| (3.12)
onde ||[D]|| pode ser, por exemplo, definido como:
||[D]|| = ∑=≤≤
N
1jijNi1
|d|max (3.13)
sendo, N a ordem da matriz [D] e dij seus elementos.
Conforme mostrado por Pulino Filho (1989) o número de condição da matriz [D] é o fator de
magnificação de erros e, portanto, deve-se procurar moléculas que resultem em valores
42
mínimos desse fator. Em seu trabalho, o autor mostra que, em termos de condicionamento da
matriz de diferenças, a melhor escolha seria uma molécula de base pentagonal. Entretanto,
outros fatores devem ser levados em conta, como, por exemplo, a viabilidade desse tipo de
molécula próximo ao contorno. Moléculas escolhidas aleatoriamente devem ser evitadas pois,
quase sempre, conduzem a números de condição da matriz [D] elevados.
3.4 MOLÉCULA IRREGULAR COM MAIS DE SEIS PONTOS
3.4.1 Geração das aproximações
Nos casos de malhas completamente irregulares, o mau condicionamento da matriz [D] pode
produzir soluções aproximadas piores que as obtidas por esquemas convencionais de
diferenças finitas ou outro método numérico (Pulino Filho, 1989). Uma forma de melhorar a
acurácia do método, nessas situações, consiste em tomar um número maior de pontos para
compor a molécula (m > 5).
Para “m” pontos envolventes, a matriz de diferenças assume a forma retangular, de
dimensões m x 5. O número de equações ultrapassa o número de incógnitas (∂f/∂x, ∂f/∂y,
∂2f/∂x2, ∂2f/∂x∂y, ∂2f/∂y2) e o sistema não tem mais solução única. Liszka e Orkisz (1980)
propuseram minimizar os erros das expansões em série de Taylor:
e1 = - (f1 – f0) + 1xxf
∆∂∂ + 1y
yf
∆∂∂ +
2x
xf 2
12
2 ∆∂∂ + 11
2
yxyxf
∆∆∂∂
∂ +2y
yf 2
12
2 ∆∂∂ (3.14a)
e2 = - (f2 – f0) + 2xxf
∆∂∂ + 2y
yf
∆∂∂ +
2x
xf 2
22
2 ∆∂∂ + 22
2
yxyxf
∆∆∂∂
∂ +2y
yf 2
22
2 ∆∂∂ (3.14b)
.
em = - (fm – f0) + mxxf
∆∂∂ + my
yf
∆∂∂ +
2x
xf 2
m2
2 ∆∂∂ + mm
2
yxyxf
∆∆∂∂
∂ +2
yy
f 2m
2
2 ∆∂∂ (3.14c)
Em notação matricial as equações (3.14) podem ser agrupadas na forma:
43
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⋅
⋅
m
2
1
e
e
e
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
∆∆∆
⋅
⋅
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
2y
yx2
xyx
.
.
2y
yx2x
yx
2y
yx2x
yx
2m
mm
2m
mm
22
22
22
22
21
11
21
11
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
2
2
2
2
2
yfyxf
xf
yfxf
-
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−
0m
02
01
ff
.
.
ff
ff
(3.15)
De forma mais concisa, representa-se o sistema de equações (3.15) na forma:
{E} = [D] {∂f}0 – {∆f} (3.16)
A função a ser minimizada é representada pela soma dos erros ao quadrado:
S = ∑=
m
1i
2ie (3.17)
Derivando-se S em relação às derivadas parciais, resultam, da equação (3.17), cinco
expressões:
∑=
=∂∂∂
∂ m
1i1iide2
)x/f(S (3.18a)
∑=
=∂∂∂
∂ m
1i2iide2
)y/f(S (3.18b)
∑=
=∂∂∂
∂ m
1i3ii22 de2
)x/f(S (3.18c)
∑=
=∂∂∂∂
∂ m
1i4ii2 de2
)yx/f(S (3.18d)
∑=
=∂∂∂
∂ m
1i5ii22 de2
)y/f(S (3.18e)
44
em que: dij = elementos da matriz [D]
Expandindo-se as equação (3.18) e igualando-as a zero, de modo a considerar a condição de
mínimo local, tem-se as seguinte expressões:
e1d11 + e2d21 + e3d31 + ... + emdm1 = 0 (3.19a)
e1d12 + e2d22 + e3d32 + ... + emdm2 = 0 (3.19b)
e1d13 + e2d23 + e3d33 + ... + emdm3 = 0 (3.19c)
e1d14 + e2d24 + e3d34 + ... + emdm4 = 0 (3.19d)
e1d15 + e2d25 + e3d35 + ... + emdm5 = 0 (3.19e)
Em notação matricial, as equações (3.19) resultam na seguinte expressão:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
5m352515
4m342414
3m332313
2m322212
1m312111
dddd
dddd
dddd
dddd
dddd
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⋅
⋅
m
2
1
e
e
e
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
0
0
0
0
0
(3.20)
Em notação mais concisa a equação (3.20) pode ser escrita na forma:
[D]T{E} = {0} (3.21)
em que: [D]T = matriz transposta de [D]
Substituindo-se a expressão (3.16), do vetor {E}, na equação (3.21), chega-se à seguinte
expressão:
[D]T ([D].{∂f}0 – {∆f}) ={0} (3.22)
45
Expandindo a equação (3.22) tem-se:
[D]T [D] {∂f}0 = [D]T{∆f} (3.23)
O vetor solução {∆f} pode ser obtido multiplicando-se ambos os membros da equação (3.23)
pelo fator ([D]T[D])-1, de forma que:
{∂f}0 = ([D]T[D])-1 [D]T{∆f} (3.24)
A matriz ([D]T[D])-1 [D]T assume o mesmo papel da matriz [A] na molécula de seis pontos. É
possível, então, escrever (3.24) da seguinte forma:
{∂f}0 = [A]{∆f} (3.25)
onde: [A] = ([D]T[D])-1 [D]T
Embora seja possível o uso de um número genérico de pontos envolventes, a escolha de um
número excessivo de pontos para compor as moléculas não é utilizado com frequência. O
aumento do número de pontos nem sempre aumenta a acurácia dos resultados e torna difícil
uma boa escolha desses pontos, principalmente numa malha pouco densa. Os trabalhos
desenvolvidos com esse método (Liszka e Orkisz, 1980, Snell et al., 1981) utilizam um
máximo de oito pontos envolventes gerando, portanto, moléculas de nove pontos.
3.4.2. Moléculas no contorno
Como no caso de molécula de seis pontos, não é necessário localizar moléculas no contorno
do tipo Dirichlet, ou seja, onde seja conhecido o valor da função f(x,y). Para pontos no
contorno do tipo Neumann, não é recomendável o procedimento usado em (3.10), uma vez
que a minimização do erro se faria por valores de variáveis de natureza diferente. Liszka e
Orkisz (1980), recomendam a adoção de um ponto virtual para cada ponto do contorno e o
acréscimo de uma equação do tipo (3.9).
46
É também eficiente o emprego de moléculas de dois tipos diferentes: moléculas de “m”
pontos no interior do domínio e moléculas de cinco pontos no contorno (Pulino Filho, 1989),
sendo esse procedimento o adotado neste trabalho.
3.5 APLICAÇÕES DE DIFERENÇAS FINITAS EM MALHAS ARBITRÁRIAS
No contexto de malhas irregulares arbitrárias, Perrone e Kao (1975) utilizaram a teoria de
série de Taylor na geração de operadores discretos de até segunda ordem para problema
bidimensionais. As aproximações foram geradas sobre um esquema de seis pontos, sendo um
ponto central e cinco envolventes. Dois tipos de problemas foram abordados: problemas
governados pela equação de Poisson sem aplicação específica e problemas de membranas
quadradas sujeitas a grandes deflexões. Os autores concluem que, para que sejam obtidas boas
aproximações para os operadores diferenciais, a distribuição dos pontos nodais, em torno do
ponto central, assim como a forma pela qual essas aproximações são obtidas, devem ser
fatores considerados cuidadosamente.
Liszka e Orkisz (1980) apresentaram um método análogo ao proposto por Perrone e Kao
(1975). Os autores utilizaram um esquema de nove pontos e para gerar as aproximações
discretas sugeriram minimizar o erro de truncamento da série de Taylor usando coeficientes
de ponderação inversamente proporcionais à distância de cada ponto envolvente ao ponto
central. Esse procedimento foi aplicado a equações não elípticas e a problemas não lineares,
como no caso de torção elasto-plástica em uma barra, e, nesses casos, a técnica se mostrou
mais acurada que o método de diferenças convencional e que a técnica apresentada por
Perrone e Kao (1975).
Snell et al. (1981) utilizaram um esquema de nove pontos na resolução de dois problemas,
com características distintas, como forma de mostrar a aplicabilidade do método em diferentes
situações. O primeiro diz respeito a um sistema governado pela equação de Poisson sem
aplicação específica. O segundo trata de deformações elásticas em placas com contornos
complexos consistindo de um problema de quarta ordem. As aproximações foram obtidas
utilizando-se o procedimento de mínimos quadrados proposto por Liszka e Orkisz (1980). Os
autores apontam a técnica como uma ferramenta viável para solucionar muitos dos problemas
resolvidos normalmente por elementos finitos.
47
Pamplona e Gonçalves (1980) apresentaram uma nova técnica, semelhante àquela apresentada
por Perrone e Kao (1975), cujo emprego conduz a programas de cálculo automático com a
mesma flexibilidade apresentada pelo método dos elementos finitos, quer seja quanto à
arbitrariedade da malha de discretização, quer seja quanto à organização dos dados de entrada.
Trata-se de uma modificação do método das diferenças finitas, baseada na série de Taylor,
que permite automatizar a geração de moléculas irregulares para operadores diferenciais
parciais. O método é aplicado a problemas de condução de calor em placa quadrada com
condições de contorno de Dirichlet e de Neumann e um caso de escoamento de fluido não
viscoso incompressível em torno de um obstáculo cilíndrico entre paredes paralelas. Os
exemplos demostram a eficácia da técnica com resultados bem próximos das soluções
analíticas e os programas gerados mostram-se bastante eficientes em vista da simplicidade do
algoritmo e da compacidade do programa.
Pulino Filho (1989) aplicou o esquema de diferenças finitas para malhas arbitrárias, proposto
por Perrone e Kao (1975), para geração de operadores discretos sobre um esquema de seis
pontos, e o método proposto por Liszka e Orkisz (1980), para a geração de esquemas de nove
pontos, em problemas de condução de calor em regime permanente, torção livre em hastes
retas e vibração livre de membranas. As duas técnicas mostraram-se, em geral, eficientes
quando aplicadas a problemas lineares relativamente simples. Moléculas de seis pontos
também foram empregadas na solução de problema de difusão de calor (regime transiente)
apresentando bons resultados (estabilidade e convergência).
48
4. DESENVOLVIMENTO DO MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS PARA
MALHAS ARBITRÁRIAS PARA PROBLEMAS DE FLUXO DE ÁGUA NO SOLO
Um dos objetivos do presente trabalho é formular e aplicar o método de diferenças finitas para
malhas arbitrárias na resolução de problemas de fluxo. São abordados dois tipos de equações:
a equação de Poisson transiente, utilizada na representação de casos de fluxo em solo saturado
em regime permanente ou variável no tempo como, por exemplo, fluxo devido a fonte de
recarga ou bombeamento em aquífero, e a equação de Richards, que representa casos de fluxo
em solo não saturado ou parcialmente saturado como em problemas relacionados a infiltração
de água.
Os modelos formulados consideram duas dimensões espaciais, escolhidas para cada caso,
conforme as direções preferenciais de fluxo, e admitem um número genérico de pontos para
comporem as moléculas, evidentemente respeitando o número mínimo de seis pontos. As
formulações apresentam em comum o esquema de discretização implícito, usando-se
diferenças finitas convencional no tempo e diferenças finitas para malhas arbitrárias no
espaço. No caso do fluxo não saturado, o modelo concebido utiliza a equação de Richards
baseada em ψ adotando-se o processo iterativo de Picard.
Nos ítens seguintes, mostra-se o desenvolvimento das equações de fluxo por meio do método
de diferenças finitas para malhas arbitrárias (MDFMA).
4.1 FLUXO EM SOLO SATURADO
Considerando o fluxo de água em duas direções em meio saturado homogêneo anisotrópico,
com os eixos da condutividade hidráulica, K, paralelos aos eixos cartesianos, e sujeito a taxas
de recarga ou retirada de água, tem-se a equação de Poisson transiente para duas dimensões:
th
bS
b)y,x(R
yhK
xhK 2
2
y2
2
x ∂∂
=+∂∂
+∂∂ (4.1)
49
Os valores de permeabilidade, Kx e Ky, no caso considerado de solo saturado, independem da
carga hidráulica atuante e das coordenadas espaciais e, portanto, assumem valores constantes,
restando como única incógnita do problema a carga hidráulica.
Para uma molécula com “m” pontos envolventes, a solução do sistema de equações de
diferenças para a função h é dada pela seguinte expressão:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
m55251
m44241
m33231
m22221
m11211
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
⋅
⋅
−
−
0m
02
01
hh
hh
hh
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
2
2
2
2
2
yhyxh
xhyhxh
(4.2)
As expressões discretas dos operadores ∂2h/∂x2 e ∂2h/∂y2 envolvem os elementos das terceira
e quinta linhas da matriz [A], de tal forma que :
∑=
−=∂∂ m
1i0ii32
2
)hh(ax
h (4.3)
∑=
−=∂∂ m
1i0ii52
2
)hh(ay
h (4.4)
Substituindo-se as equações (4.3) e (4.4) na equação (4.1), obtém-se a forma discretizada da
equação de Poisson em termos de diferenças finitas, para moléculas com pontos centrais
internos ao domínio:
∑=
+++
∆−
=+−+m
1i
n0
1n001n
01n
ii50yi30x thh
bS
bR)hh)(aKaK( (4.5)
50
em que: hi: valores de carga hidráulica nos pontos envolventes da molécula
h0: valor de carga hidráulica no ponto central da molécula
R0: taxa de recarga ou retirada de água no ponto central da molécula
n: índice de tempo
m: número de pontos envolventes da molécula (m>5).
a3i, a5i: elementos das terceira e quinta linhas da matriz [A] da molécula
Em pontos sobre o contorno do tipo Neumann, é possível a ocorrência das seguintes equações
de fluxo correspondentes as duas direções coordenadas:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−=xhKq xx (4.6)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−=yhKq yy (4.7)
Pelo mesmo raciocínio utilizado por Pulino Filho (1989), as condições de fluxo são
adicionadas à molécula, substituindo-se a última linha da matriz de diferenças, [D], pelas
equações (4.6) ou (4.7), conforme a direção de fluxo presente. Considerando-se moléculas de
cinco pontos no contorno, sendo um central e quatro envolventes, e fluxo conhecido na
direção x, as equações que originam a matriz [D] dessas moléculas correspondem ao seguinte
sistema linear:
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−
−
0x
0x
04
03
02
01
Kq
hh
hh
hh
hh
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
00001
2y
yx2x
yx
2y
yx2x
yx
2y
yx2x
yx
2y
yx2x
yx
24
44
24
44
23
33
23
33
22
22
22
22
21
11
21
11
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
2
2
2
2
2
yhyxh
xhyhxh
(4.8)
51
Para fluxo conhecido na direção y, o mesmo procedimento pode ser utilizado substituindo-se
o valor do elemento da quinta linha e segunda coluna da matriz [D] pelo valor -1,
conservando os demais valores da linha como nulos, e considerando, na última linha do vetor
{∆h}, o valor do fluxo nessa direção.
A solução do sistema de equações (4.8) resulta em aproximações que levam em conta a
condição de fluxo conhecido, como apresentado na equação (4.9):
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
5554535251
4544434241
3534333231
2524232221
1514131211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−
−
0x
0x
04
03
02
01
Kq
hh
hh
hh
hh
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
2
2
2
2
2
yhyxh
xhyhxh
(4.9)
Assim, para pontos no contorno, os operadores da equação (4.1) passam a ser dados pelas
seguintes expressões:
0x
xo35
4
1i0ii32
2
Kq
.a)hh(ax
h+−=
∂∂ ∑
=
(4.10)
0x
xo55
4
1i0ii52
2
Kq
.a)hh(ay
h+−=
∂∂ ∑
=
(4.11)
Substituindo as equações (4.10) e (4.11) na equação (4.1), obtém-se a forma discretizada da
equação de Poisson para moléculas no contorno, em termos de diferenças finitas:
∑=
+++
∆−
=+++−+4
1i
n0
1n00
0x
0x55y35x
1n0
1nii50yi30x t
hhbS
bR
Kq).aKaK()hh)(aKaK( (4.12)
52
Portanto, uma solução discreta aproximada do fluxo transiente na zona saturada do solo é
obtida escrevendo-se a equações (4.5) ou (4.12) para os pontos do domínio.
4.2 FLUXO EM SOLO NÃO SATURADO
Considerando o fluxo de água em duas direções em meio não saturado anisotrópico, com os
eixos da condutividade hidráulica K paralelos aos eixos cartesianos, tem-se a equação de
Richards baseada em Ψ para duas dimensões:
t)(C
zK
z)(K
zx)(K
xz
zx ∂Ψ∂
Ψ=∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂Ψ∂
Ψ∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂Ψ∂
Ψ∂∂ (4.13)
Conforme descrito no ítem (2.4.3) as equações de Richards apresentam uma forte
dependência não linear entre seus parâmetros e a variável dependente, nesse caso representada
pelas relações funcionais entre a condutividade hidráulica K e o coeficiente de capacidade C
com a carga matricial ψ. A não linearidade inerente a essa equação, gera o aparecimento de
operadores diferenciais, como os representados pelos dois primeiros termos na equação
(4.13), que não são contemplados no método de diferenças finitas para malhas arbitrárias.
A abordagem utilizada neste trabalho, assume uma variação espacial da condutividade
hidráulica, uma vez que sendo K função de ψ, K=K(ψ(x,z)), é possível considerar K=K(x,z).
Derivando-se a equação (4.13) com relação as coordenadas espaciais, obtém-se a expressão:
t)(C
zK
zK
zzK
xK
xxK z
2
2
zz
2
2
xx
∂Ψ∂
Ψ=∂
∂+
∂Ψ∂
+∂Ψ∂
∂∂
+∂
Ψ∂+
∂Ψ∂
∂∂ (4.14)
Assim, os operadores passam a ser considerados de maneira explícita, sendo possível gerar
formas discretas de aproximação.
Diferentemente do caso linear, para cada ponto do domínio estão envolvidas as discretizações
de operadores para duas variáveis, K e Ψ, funções das coordenadas espaciais. Então, para uma
53
molécula com “m” pontos envolventes, o processo de desenvolvimento das funções em série
de Taylor resulta nas seguintes formas discretizadas dos operadores da equação (4.14):
∑=
−=∂
∂ m
1i0xixi1
x )KK(ax
K (4.15a )
∑=
−=∂
∂ m
1i0zizi2
z )KK(az
K (4.15b)
∑=
Ψ−Ψ=∂Ψ∂ m
1i0ii1 )(a
x (4.15c)
∑=
Ψ−Ψ=∂Ψ∂ m
1i0ii2 )(a
z (4.15d)
∑=
Ψ−Ψ=∂
Ψ∂ m
1i0ii32
2
)(ax
(4.15e)
∑=
Ψ−Ψ=∂
Ψ∂ m
1i0ii52
2
)(az
(4.15f)
em que: aij : elementos da matriz [A] da molécula centrada no nó 0
Assumindo uma discretização implícita com esquema iterativo de Picard, chega-se a forma
discretizada da equação de Richards para moléculas internas do domínio, em termos de
diferenças finitas, bastando substituir as equações (4.15) na equação (4.14):
tC)KK(a
)(aK)(a)KK(a
)(aK)(a)KK(a
n0
1n,1r0
0
m
1i
1n,r0z
1n,rzii2
m
1i
1n,1r0
1n,1ri
m
1ii5
1n,r0
m
1i
1n,1r0
1n,1rii2
1n,r0z
1n,rzii2
m
1i
1n,1r0
1n,1ri
m
1ii3
1n,r0
m
1i
1n,1r0
1n,1rii1
1n,r0x
1n,rxii1
∆Ψ−Ψ
=−+
Ψ−Ψ⋅+Ψ−Ψ⋅−
+Ψ−Ψ⋅+Ψ−Ψ⋅−
++
=
++
=
++++
=
+
=
++++++
=
++++
=
+
=
++++++
∑
∑ ∑∑
∑ ∑∑
(4.16 )
em que: r: representa o índice de iteração.
n: índice de tempo
Ψi: valores de Ψ nos pontos envolventes da molécula
Ψ0: valor de Ψ no ponto central da molécula
Ki: valores de K nos pontos envolventes da molécula
54
K0: valor de K no ponto central da molécula
C0: coeficiente de capacidade no ponto central da molécula
Para simplicar a equação (4.16) é possível fazer:
∑=
−=m
1i0xxii10x )KK(aK (4.17)
∑=
−=m
1i0zzii20z )KK(aK (4.18)
Substituindo as equações (4.17) e (4.18) na equação (4.16) e rearranjando os termos, chega-se
a:
( )( )n
01n,1r
o0
1n,r0z
1n,1r0
1n,1rj
m
1jj5
1n,r0zj3
1n,r0xj2
1n,r0zj1
1n,r0x
tC
K)(aKaKaKaK
Ψ−Ψ∆
=
+Ψ−Ψ⋅⋅+⋅+⋅+⋅
++
+++++
=
++++
∑ (4.19)
Nesse caso, os valores associados a variável K num ponto são estimados a partir do valor de ψ
no mesmo ponto, por meio da curva característica do solo K(ψ). Seguindo a lógica do
esquema iterativo de Picard, esses valores são avaliados na iteração anterior (r),onde se
conhece o valor de ψ, restando com incógnitas os valores de carga matricial na iteração
seguinte (r+1) no tempo futuro (n+1).
Em pontos sobre o contorno do tipo Neumann, considera-se duas equações possíveis para o
fluxo, nas direções x e z respectivamente:
xKq xx ∂
Ψ∂−= (4.20)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∂Ψ∂
−= 1z
Kq zz (4.21)
55
Para adicionar as condições válidas no contorno ao problema, as expressões (4.20) ou (4.21)
devem ser incorporadas às equações de diferenças correspondentes a variável ψ, como na
equação (4.8) . Assumindo moléculas de cinco pontos no contorno e dependendo do tipo de
fluxo conhecido no problema, duas equações de diferenças podem ser consideradas:
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
Ψ−Ψ
Ψ−Ψ
Ψ−Ψ
Ψ−Ψ
0x
0x
04
03
02
01
K q
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
00001
2z
zx2x
zx
2z
zx2x
zx
2z
zx2x
zx
2z
zx2x
zx
24
44
24
44
23
33
23
33
22
22
22
22
21
11
21
11
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂Ψ∂
∂∂Ψ∂
∂Ψ∂
∂Ψ∂
∂Ψ∂
2
2
2
2
2
z
zx
x
z
x
(4.22)
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
+
Ψ−Ψ
Ψ−Ψ
Ψ−Ψ
Ψ−Ψ
0z
0z
04
03
02
01
K q1
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
00010
2z
zx2x
zx
2z
zx2x
zx
2z
zx2x
zx
2z
zx2x
zx
24
44
24
44
23
33
23
33
22
22
22
22
21
11
21
11
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂Ψ∂
∂∂Ψ∂
∂Ψ∂
∂Ψ∂
∂Ψ∂
2
2
2
2
2
z
zx
x
z
x
(4.23)
Entretanto, nenhuma modificação deve ser feita nas matrizes de diferenças correspondentes a
função K(x,z). As equações de fluxo, válidas no contorno, não envolvem operadores
diferenciais que levem em consideração as derivadas de K(x,z). Assim, o sistema de equações
de diferenças, para essa variável, para moléculas de seis pontos no contorno continua a ser
expresso por:
56
z,x05
04
03
02
01
K K
K K
K K
K K
KK
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−
−
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
2y
yx2x
yx
2y
yx2x
yx
2y
yx2x
yx
2y
yx2x
yx
2y
yx2x
yx
25
55
25
55
24
44
24
44
23
33
23
33
22
22
22
22
21
11
21
11
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂
2z,x
2
z,x2
2z,x
2
z,x
z,x
zK
zxKxKz
Kx
K
(4.24)
Dessa forma, as moléculas no contorno passam a ter duas composições diferentes sendo de
cinco pontos para a função ψ e seis ou mais pontos para K e, portanto, diferentemente das
moléculas internas ao domínio, as matrizes [D] para as duas variáveis não coincidem.
A solução dos sistemas (4.22) ou (4.23), e (4.24), resultam nas possíveis aproximações das
derivadas de ψ e K para moléculas no contorno, respectivamente:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ ∗
*55
*54
*53
*52
*51
*45
*44
*43
*42
*41
*35
*34
*33
*32
*31
*25
*24
*23
*22
*21
*15
*14
*13
*1211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
Ψ−Ψ
Ψ−Ψ
Ψ−Ψ
Ψ−Ψ
0x
0x
04
03
02
01
K q
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂Ψ∂
∂∂Ψ∂
∂Ψ∂
∂Ψ∂
∂Ψ∂
2
2
2
2
2
z
zx
x
z
x
(4.25)
57
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
**55
**54
**53
**52
**51
**45
**44
**43
**42
**41
**35
**34
**33
**32
**31
**25
**24
**23
**22
**21
**15
**14
**13
**12
**11
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
+
Ψ−Ψ
Ψ−Ψ
Ψ−Ψ
Ψ−Ψ
0z
0z
04
03
02
01
K q1
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂Ψ∂
∂∂Ψ∂
∂Ψ∂
∂Ψ∂
∂Ψ∂
2
2
2
2
2
z
zx
x
z
x
(4.26)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
5554535251
4544434241
3534333231
2524232221
1514131211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
z,x05
04
03
02
01
K K
K K
K K
K K
KK
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−
−
−
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂
2z,x
2
z,x2
2z,x
2
z,x
z,x
zK
zxKxKz
Kx
K
(4.27)
Note que os elementos das matrizes [A*] e [A**] para as aproximações em Ψ diferem da
matriz [A] para as aproximações em K. A forma discretizada da equação (4.14) para
moléculas no contorno, considerando-se o processo iterativo de Picard e assumindo-se
moléculas de cinco pontos para a variável Ψ, passa a ser escrita nas formas a seguir,
dependendo do fluxo considerado:
( )( )
( )n0
1n,1ro
0
1n,r0z1nr,
x0
0x *55
1n,r0z
*35
1n,r0x
*25
1n,r0z
*15
1n,r0x
1n,1r0
1n,1rj
4
1j
*j5
1n,r0z
*j3
1n,r0x
*j2
1n,r0z
*j1
1n,r0x
tC
KKq
.aKaKaKaK
)(aKaKaKaK
Ψ−Ψ∆
=
+⋅+⋅+⋅+⋅+
+Ψ−Ψ⋅⋅+⋅+⋅+⋅
++
+
+++++
++++
=
++++
∑
(4.28)
58
( )( )
( )n0
1n,1ro
0
1n,r0z1nr,
z0
0z**55
1n,r0z
**35
1n,r0x
**25
1n,r0z
**15
1n,r0x
1n,1r0
1n,1rj
4
1j
**j5
1n,r0z
**j3
1n,r0x
**j2
1n,r0z
**j1
1n,r0x
tC
K)Kq
1.(aKaKaKaK
)(aKaKaKaK
Ψ−Ψ∆
=
++⋅+⋅+⋅+⋅+
+Ψ−Ψ⋅⋅+⋅+⋅+⋅
++
+
+++++
++++
=
++++
∑
(4.29)
Uma solução discreta aproximada para a equação de Richards pode ser obtida aplicando as
equações (4.19), (4.28) ou (4.29) para todas as moléculas do domínio.
4.3 PROGRAMAS COMPUTACIONAIS DESENVOLVIDOS UTILIZANDO O
MÉTODO DE DIFERENÇA FINITAS PARA MALHAS ARBITRÁRIAS (MDFMA)
As formulações desenvolvidas nos ítens 4.1 e 4.2 foram codificadas em programas
computacionais na linguagem Fortran 90/95. Seguindo a mesma metodologia das formulações
numéricas, dois programas distintos correspondentes ao fluxo em meio saturado e ao fluxo em
meio não saturado, foram desenvolvidos.
Neste item a estrutura básica dos programas desenvolvidos é apresentada, por meio de
fluxograma, e as etapas são explicadas levando-se em consideração a ordem de execução.
4.3.1 Programa para a simulação do fluxo em meio saturado
Para o fluxo em meio saturado, os programas desenvolvidos possuem uma estrutura bastante
simples por se tratar de um problema linear, onde se tem uma única variável dependente a ser
determinada e não há necessidade de processo iterativo. Basicamente, três blocos diferentes
podem ser considerados no desenvolvimento computacional dessa etapa:
- a leitura dos dados de entrada;
- a determinação dos coeficientes correspondentes às aproximações e à alocação no sistema
de equações global;
- a resolução do sistema linear resultante e a obtenção da variável no instante futuro.
59
• Entrada de dados
Essa etapa refere-se à leitura, via arquivo, dos parâmetros necessários para a simulação
referentes às características do aquífero, à malha de discretização, além da incidência das
moléculas que inclui o número de pontos envolventes e os nós que as compõem. São lidas
também as condições inicias e de contorno.
• Geração das aproximações
A geração das aproximações corresponde à etapa em que são determinados os coeficientes
envolvidos na discretização dos operadores diferenciais. Nessa fase, a matriz de diferenças
[D] é determinada para cada molécula do domínio, inclusive as localizadas sobre o contorno.
Conforme o número de pontos envolventes de cada molécula, a matriz [A] é calculada, por
processo de minimização ou de forma direta, e os elementos correspondentes às terceira e
quinta linhas são armazenados na matriz [AG]. A cada duas linhas da matriz [AG],
correspondem, então, os elementos necessários para a discretização dos operadores presentes
na equação sobre cada molécula. O fluxograma 4.1 mostra a sequência das etapas
desenvolvidas.
• Montagem da matriz global do sistema
A montagem da matriz global [P] do sistema é feita com base nos elementos da matriz [AG]
determinada anteriormente. Para cada molécula, aloca-se os coeficientes guardados na matriz
[AG], na matriz global do sistema [P] tomando-se a numeração global dos nós da molécula na
malha de discretização.
Cada linha de [P] corresponde, então, aos coeficientes da variável h, no tempo futuro, na
equação (4.1) discretizada. Os termos constantes são armazenados em um vetor coluna {B},
representando o segundo membro das equações. Cada equação do sistema global representa,
então, a equação de Poisson na sua forma discretizada para um ponto do domínio.
Impondo-se as condições de contorno do tipo de Dirichlet ao problema e eliminando-se as
linhas e colunas correspondentes a esses nós de contorno, passa-se a conhecer o sistema
global de equações lineares do problema, com solução única.
60
Geração das aproximações
Cálculo de [D]
Cálculo de [A]
Guardar 3ª e 5ª linhas de [A] em [AG]
Montagem da matriz global [P]
vetor {h}it >itmax
end
1
não
sim
Solução do sistema linear
Entrada de dados
Figura 4.1 – Estrutura do programa para simulação fluxo em meio saturado pelo MDFMA
61
• Solução do sistema linear
O sistema linear foi resolvido por meio do algoritmo de decomposição LU. A solução do
sistema linear resulta nos valores da carga hidráulica no tempo seguinte (it). Se o it supera o
tempo total de simulação requerido (itmax), o programa pára e devolve os valores de carga
hidráulica no fim da simulação. Caso contrário, procede-se novas iterações até se chegar ao
tempo final de simulação requerido pelo modelador.
4.2.2 Programa para simulação do fluxo em meio não saturado pelo MDFMA
Para o programa de fluxo não saturado algumas modificações foram incluídas para retratar a
não linearidade do problema. Os programas desenvolvidos incluem o esquema iterativo de
Picard e um algoritmo de ajuste de tempo que permite o uso de incremento de tempo variável.
Assim, o incremento de tempo é aumentado quando a convergência é atingida e diminuído
quando o número máximo de iterações por passo de tempo for atingido. Trata-se do mesmo
algoritmo utilizado por Koide (1990) e, posteriormente, por Campos (1998).
A estrutura geral do programa pode ser observada no fluxograma da Figura 4.2 onde:
iterto = número máximo de iterações;
iter = número de iterações;
maxit = número máximo de iterações no tempo;
k = nível de iteração no tempo;
itmax = número máximo de iterações dentro de cada ∆t;
tk = tempo na iteração k;
tmax = tempo total de simulação
• Dados de entrada
Os dados de entrada necessários à simulação correspondem aos dados referentes ao problema,
como tipo de solo, condições iniciais e de contorno, parâmetros do solo, e dados de
simulação, como a malha utilizada e a incidência das moléculas, incremento de tempo padrão,
tolerância de erro admitida, número máximo de iterações, etc.
62
• Geração das aproximações
A etapa de geração das aproximações, parte (A) no fluxograma, consiste de três fases
distintas, a saber: o cálculo da matriz [D], cálculo da inversa de [D] obtendo-se a matriz [A],
armazenamento das 1ª, 2ª, 3ª e 5ª linhas da matriz [A], na matriz [AG]. A matriz [AG] guarda,
então, os elementos necessários para a discretização dos operadores diferenciais da variável K
para todos os pontos do domínio e de Ψ para pontos internos. Isso porque, nessa fase não está
incluído o cálculo da matriz [D] para pontos no contorno, com relação as derivadas que
envolvam a variável Ψ. Como já colocado, no contorno do tipo Neumann a estrutura das
moléculas para aproximação dos operadores em Ψ é diferente das moléculas para a obtenção
das aproximações dos operadores em K. Para moléculas no contorno a matriz [A], com
relação a variável Ψ, é calculada na fase (C) do fluxograma.
• Montagem da matriz global [P]
No cálculo dos elementos da matriz global, correspondente à etapa (C) do fluxograma, aloca-
se, para cada molécula, os elementos guardados na matriz [AG] na matriz global [P],
tomando-se a numeração global dos nós envolvidos. Para pontos no contorno do tipo
Neumann, determina-se as matrizes [A*] ou [A**] para a variável Ψ, levando-se em conta a
condição de fluxo presente, e, em seguida, aloca-se os coeficientes obtidos, na matriz global
do sistema [P].
Cada linha da matriz [P] corresponde, então, aos coeficientes da variável Ψ na equação de
Richards discretizada, correspondente às equações 4.19, 4.26 ou 4.27, para uma molécula. Os
termos constantes, a cada iteração, são armazenados em um vetor coluna {B} correspondente
ao segundo membro do sistema de equações.
Eliminando-se as linhas e colunas do sistema global correspondentes aos nós do contorno tipo
Dirichlet, chega-se ao sistema de equações global cuja solução corresponde aos valores da
pressão matricial no tempo futuro, na iteração presente.
63
Entrada de dados
Geração das aproximações
Cálculo de [D]
Cálculo de [A]
Guardar 1ª,2ª,3ª e 5ª linhas de [A] em [AG]
to=0, k=1
tk=tk+DTT
Estimativa de Ψ inicial
iter=1
Cálculo das funções de solo K(Ψ), C(Ψ)
Cálculo dos elementos da matriz global [P]
Vetor Ψ Converge?
iterto=iterto+iter
Cálculo do incremento de
tempo DTT
tk>=tmax ? END
k>maxit ?
k=k+1
iter=0
iter>itmax ? iter=iter+1
Supera nº máx de divisões
Diminui DTTiterto=iterto+iter
1
3
4
2
3
1
4
1
STOP
2
sim
não
sim
não
não
sim
não
sim
sim
não
Solução do sistema linear
(A)
(B)
(C)
Figura 4.2 – Estrutura do programa desenvolvido para a simulação do fluxo em meio não
saturado utilizando o MDFMA.
64
• Verificação da convergência e incremento de tempo
Para que seja dado um passo de tempo é necessário, primeiramente, verificar a convergência
do sistema. Para tanto, calcula-se o erro relativo cometido entre duas iterações:
ER = maxm
m
||||
Ψ∆Ψ , m=1,..., nº total de nós (4.28)
em que: ∆Ψ = 1n,rm
1n,1rm
+++ Ψ−Ψ
Para que haja convergência, é preciso que o erro relativo seja menor que um fator de
tolerância (TOL) adotado. Dependendo da convergência do sistema o algoritmo de ajuste do
tempo é ativado. Na simulação numérica do fluxo não saturado, o incremento de tempo
(DTT) pode ser pré-fixado ou variar com as condições de convergência. No segundo caso,
adota-se um valor máximo (DT) para DTT. Na primeira iteração faz-se DTT=DT, sendo o
tempo calculado na forma:
tk = tk-1+DTT (4.29)
O incremento de tempo padrão serve de referência para o incremento DTT. Quando a
convergência é atingida normalmente, DTT assume o mesmo valor de DT. Quando a
convergência não é conseguida após um número máximo de iterações (itmax), aplica-se uma
redução em DTT dividindo o seu valor por 3. Essa divisão ocorre em um número limitado de
vezes (MAXDIV), e se a convergência não é atingida o programa pára. Após a divisão do
valor de DTT, caso ocorra convergência, o incremento de tempo é aumentado segundo a
equação 2.28, até que atinja o valor de DT ou que nova divisão seja necessária.
De modo geral o algoritmo de ajuste de tempo pode ser descrito da seguinte forma:
a) verifica-se a convergência e caso não seja atingida, verifica-se:
- se o número de iterações é menor ou igual ao máximo permitido dentro de cada iteração
de tempo, procede-se nova iteração;
65
- se o número de iterações é maior que o máximo permitido dentro de cada iteração no
tempo, verifica-se se é possível dividir DTT;
- se for possível, divide-se DTT, restabelece-se o valor anterior do tempo e procede-se nova
iteração para outro DTT;
- se não for possível o programa pára;
b) se a convergência é atingida:
- se DTT≠DT, calcula-se o novo valor de DTT pela equação (2.28);
- se o tempo máximo e o número de iterações não forem superados, procede-se nova
iteração no tempo.
4.4 OUTRAS FORMULAÇÕES UTILIZADAS
Para comparar os resultados obtidos pelo método de diferenças finitas para malhas arbitrárias,
utilizaram-se outras técnicas numéricas, o método de diferenças finitas convencional e
método dos elementos finitos.
No caso de fluxo em solo saturado foi desenvolvido, neste trabalho, um programa em
elementos finitos considerando elementos triangulares com aproximações lineares das funções
de forma. Os resultados obtidos serviram de comparação para os casos de utilização de malha
de elementos finitos triangulares no método de diferenças finitas para malhas arbitrárias.
Optou-se por desenvolver o programa para melhor controle da simulação em termos de
comparação com o MDFMA.
Para o fluxo de água em solo não saturado foram desenvolvidos, neste trabalho, programas
em diferenças finitas convencional utilizando a formulação original proposta por Freeze
(1971). Nessa formulação utiliza-se uma malha de discretização bloco-centrada e lineariza-se
as propriedades do solo. Para a comparação com o método dos elementos finitos utilizou-se
os resultados obtidos por Campos (1998) em sua dissertação de mestrado. Campos (1998)
utilizou, dentre várias outras opções, a formulação originalmente proposta por Neuman
(1973). Nessa formulação, considera-se elementos finitos triangulares, com aproximações
lineares para a função Ψ, assim como para as propriedades do solo K e C. Os resultados
66
obtidos por Campos (1998), foram simulados utilizando o programa computacional SSFLO
desenvolvido por Koide (1990) e modificado pela própria autora.
67
5. APLICAÇÕES E ANÁLISE DOS RESULTADOS
5.1 CASOS-TESTE
Neste item, são apresentados exemplos de aplicações utilizando o método de diferenças finitas
para malhas arbitrárias. Os testes foram divididos em duas partes: a primeira diz respeito ao
fluxo de água em meio saturado e consiste de uma análise de problemas com comportamento
linear; a segunda está relacionada a simulação do fluxo em meio não saturado
correspondendo, portanto, a uma análise de problemas não lineares.
5.1.1 Problemas de fluxo em solo saturado 5.1.1.1 Bombeamento em aquífero
O primeiro exemplo testado trata de um caso hipotético de aquífero confinado, homogêneo e
isotrópico sujeito a uma taxa de bombeamento constante. A área do aquífero foi adotada de
dimensões 4000m x 4000m para manter a pressão da água constante em todo o contorno, de
modo a garantir apenas condições de Dirichlet no problema. A descrição física do problema
está indicada na Figura 5.1.
Inicialmente, o aquífero apresenta uma carga hidráulica uniforme de 10m e esse mesmo valor
foi adotado como condições de contorno: h(x,0) = 10m, h(x,4000) = 10m, h(0,y) = 10m e
h(4000,y) = 10m. A fonte de bombeamento está localizada no centro do domínio, nas
coordenadas (2000m, 2000m). Os parâmetros do aquífero tem os seguintes valores:
Kx = Ky = 30 m/dia (condutividades hidráulicas nas direções x e y)
S = 0,002 (coeficiente de armazenamento)
Q = 1000 m3/dia (vazão de bombeamento)
b = 10m (espessura do aquífero)
A carga hidráulica no aquífero foi determinada para um tempo total de 5 dias de
bombeamento, sendo o intervalo de simulação de ∆t=0,01dia. O resultado obtido via
simulação numérica foi comparado com a solução analítica dada pela equação de Theis
(Driscoll, 1986).
68
0 4000
Coordenada x(m)
0
4000
Coo
rden
ada
y(m
)
h = 10m
h = 10m
h =
10m
h = 10mBombeamento
Figura 5.1 – Descrição física do problema com suas condições de contorno
5.1.1.2 Bombeamento e recarga simultâneos em um aquífero
Neste exemplo, um aquífero confinado, homogêneo e isotrópico foi submetido a taxas
constantes de bombeamento e recarga, simultaneamente. As dimensões do aquífero adotadas
foram de 4000m x 4000m e considerou-se a presença de uma barreira impermeável. A fonte
de bombeamento foi localizada nas coordenadas (500m, 2000m), e a de recarga, nas
coordenadas (1000m, 2000m). A descrição física do problema é apresentada na figura 5.2.
Inicialmente, o aquífero apresenta uma carga hidráulica de 10m e esse mesmo valor é mantido
nos contornos h(x,0) = 10m, h(x,4000) = 10m e h(4000,y) = 10m, onde devido a distância às
fontes de recarga e bombeamento não ocorrem alterações no valor da carga hidráulica durante
a simulação. No contorno correspondente à barreira impermeável o fluxo é nulo. Os
parâmetros utilizados para o aquífero correspondem aos mesmos do caso anterior, entretanto
as vazões de bombeamento e recarga foram adotadas de 1500 m3/dia. A solução analítica foi
obtida por meio de uma composição da solução de Theis, para cada poço separadamente,
utilizando-se o artifício de poços virtuais para simular o fluxo nulo no contorno impermeável.
69
0 4000
Coordenada x (m)
0
4000
Coo
rden
ada
y (m
)Bombeamento
Recarga
q =
0
h = 10m
h = 10m
h = 10m
Figura 5.2 – Descrição física do problema de aquífero submetido a recarga e bombeamento
5.1.2 Problema de fluxo em solo parcialmente saturado
5.1.2.1 Experimento de Elmaloglou (1980)
O experimento foi realizado em uma caixa com uma amostra de solo de 80cm de altura com
dois tipos diferentes de solo. A camada superior de 44,5cm continha areia grossa posicionada
sobre uma camada inferior de solo fino. A amostra foi submetida a uma taxa de infiltração
constante de 0,78cm/h sobre a superfície de areia, sendo o valor da umidade medido ao longo
do perfil de solo.
Os parâmetros dos solos e suas curvas características foram determinados por Elmaloglou
(1980):
resressat ||)()( θ+
Ψ+αα
θ−θ=Ψθβ
(5.1)
Bsat ||AAK)(KΨ+
=Ψ (5.2 )
70
Os parâmetros para os dois tipos de solo são apresentados na Tabela 5.1:
Tabela 5.1 – Parâmetros das curvas características no Experimento de Elmaloglou (1980)
Parâmetro Areia Grossa Areia Fina
θsat (cm3/cm3) 0,270 0,312
θres (cm3/cm3) 0,060 0,208
Ksat (cm/h) 18,0 0,72
α 5,6241x104 6,0359x106
β 3,163 3,922
A 3,098x107 769,4
B 6,355 2,349
Embora o caso seja tipicamente unidimensional, tem-se a oportunidade de testar o modelo em
solos estratificados já que a interface de diferentes solos é uma das principais fontes de erro
em simulações numéricas. Os valores experimentais obtidos por Elmaloglou (1980), no tempo
inicial e após 3, 5, 7, 9, e 11h são apresentados na Figura 5.3.
0
20
40
60
80
Prof
undi
dade
(cm
)
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40Umidade do Solo
Interface
0h
Dados Experimentais
3h5h7h9h11h
Figura 5.3 – Perfil de umidade obtido experimentalmente por Elmaloglou (1980)
71
5.1.2.2 Caso teórico de Rathfelder e Abriola (1994)
Esse exemplo trata de um caso teórico que envolve infiltração sob carga vertical constante na
superfície superior, aplicado a um tipo de solo real.
O caso é unidimensional e apresenta condições iniciais muito secas. A carga de pressão inicial
é -1000cm, apresentando uma variação brusca durante o processo de umedecimento, o que
torna o caso difícil de ser resolvido numericamente.
As curvas das propriedades do solo de uma amostra do Novo México, foram apresentadas em
Celia et al. (1990):
( )( )[ ] rmn
rs
1θ+
Ψα+
θ−θ=Ψθ (5.3 )
( )( ) ( )[ ]
( )[ ] 2/mn
2mn1n
s1
11KK
Ψα+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ Ψα+Ψα−
=Ψ
−−
(5.4)
onde: α = 0,035
θs = 0,368
θr = 0,102
n = 2
m = 0,5
Ks = 0,00922 cm/h
O caso foi simulado para condições iniciais de Ψ(x,z)=-1000cm e condições de contorno de
Dirichlet, constantes, com valores de Ψ = -75cm no topo e Ψ = -1000cm no fundo,
correspondendo à profundidade de 30cm. As simulações realizadas foram comparadas com a
solução exata semi-analítica desenvolvida por Philip (1969), apud Rathfelder e Abriola
(1994), mostrada na Figura 5.4.
72
-1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
Prof
undi
dade
(cm
)
-1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0Potencial de Sucção (cm)
Solução Analítica
Figura 5.4 – Solução de Philip (1969) para o caso teórico de Rathfelder e Abriola (1994)
5.1.2.3 Experimento de Vauclin et al. (1979)
O experimento de Vauclin et al. (1979) foi desenvolvido com o objetivo de estudar a análise
de recarga de aquíferos. O experimento foi montado em um tanque de laboratório com 3m de
largura, 2m de altura e 5cm de espessura, preenchido com areia fina de distribuição
granulométrica uniforme e o nível freático mantido constante a 135cm do topo pela rede de
drenagem. Na parte inferior do tanque a superfície era impermeável. Na parte superior
esquerda foi instalada uma bomba volumétrica na extensão de x=0 a x=50cm. O restante da
superfície superior do tanque foi coberto para evitar evaporação. Após estabilizado o nível
freático, aplicou-se uma taxa de recarga constante de 14,8 cm/h, através de bomba. A Figura
5.5 mostra o diagrama esquemático do experimento. Como na seção de simetria não há fluxo,
foi montado apenas uma das seções do esquema no experimento como mostrado na Figura
5.6.
73
Figura 5.5 – Diagrama esquemático do experimento (modificado – Vauclin et al., 1979)
Figura 5.6 – Detalhe do experimento (modificado – Vauclin et al., 1979)
A umidade volumétrica foi obtida com atenuação de raios gama, emitidos por uma fonte
Am24 e a carga de pressão foi obtida via 20 tensiômetros. Pelo método dos mínimos
quadrados determinou-se a seguinte curva de retenção do solo:
74
*
||)( sat βΨ+α
αθ=Ψθ Ψ ≤ 0 (5.5)
onde: θsat = 0,30
α = 4000
β = 2,9
A curva K(ψ) foi determinada por meio da análise do fluxo bidimensional em vários
experimentos de infiltração:
*B*
*
sat||A
AK)(KΨ+
=Ψ (5.6)
onde: Ksat = 35cm/h
A* = 2,99x106
B* = 5,0
A análise de Vauclin et al. (1979) baseou-se em vários resultados, dos quais utilizou-se, neste
estudo, o gráfico da Figura 5.7, que indica a mudança de posição do nível freático com o
tempo.
Figura 5.7 – Posição do nível freático em diferentes tempos (modificado–Vauclin et al., 1979)
75
5.2 RESULTADOS E ANÁLISES
5.2.1 Fluxo em solo saturado
5.2.1.1 Bombeamento em aquífero
Os testes realizados para este exemplo são divididos em três fases, de acordo com a malha de
discretização utilizada. Na primeira etapa considera-se uma malha de discretização regular
quadrada com os pontos espaçados de uma distância de 250m, totalizando 294 nós, conforme
mostrado na Figura 5.8.
Para essa configuração inicial, foram testados dois tipos de moléculas: moléculas de seis
pontos e moléculas de nove pontos. Os resultados apresentados nas Figuras 5.9 e 5.10
correspondem aos valores de carga hidráulica obtidos numericamente em pontos de
coordenadas (x,2000) localizados à direita da fonte de bombeamento e comparados com a
solução analítica dada pela equação de Theis (Driscoll, 1986). Como o problema é
radialmente simétrico, não há necessidade de apresentar o corte pelos dois lados do poço.
Os resultados obtidos para moléculas de seis pontos, praticamente coincidiram com a solução
analítica em toda a extensão do domínio. A utilização desse tipo de molécula em malha
regular quadrada resgata as aproximações convencionais de diferenças finitas centradas e,
portanto, a boa performance da técnica pode ser atribuída a tal fato uma vez que, nesse caso,
os coeficientes atribuídos aos pontos das moléculas são bem balanceados .
A utilização de moléculas de nove pontos, entretanto, introduziu um erro visível na solução
numérica em uma determinada região do domínio nas proximidades do bombeamento onde é
dado início a uma variação mais acentuada no gradiente da função. Ocorreu uma mudança na
forma da curva, afastando-a da solução analítica e, nesse caso, os fatores de ponderação
obtidos no processo de minimização não parecem suficientes para representar o problema de
forma tão precisa quanto a molécula de seis pontos.
76
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
Coordenada x (m)
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
Coo
rden
ada
y(m
)
Figura 5.8 – Discretização do domínio em malha regular quadrada de 250m x 250m.
0 400 800 1200 1600 2000Distância ao poço (m)
7.00
7.50
8.00
8.50
9.00
9.50
10.00
Car
ga h
idr
ulic
a (m
) Solução Analítica
MDFMA (6 Pontos)
Figura 5.9 – Resultado obtido na utilização de moléculas de seis pontos em malha regular
77
0 400 800 1200 1600 2000Distância ao poço (m)
7.00
7.50
8.00
8.50
9.00
9.50
10.00
Car
ga h
idr
ulic
a (m
) Solução Analítica
MDFMA (9 Pontos)
Figura 5.10– Resultado obtido utilizando-se moléculas de nove pontos em malha regular
Um segundo nível de discretização, para o mesmo problema, foi testado. Trata-se de uma
malha com uma estrutura irregular, onde procurou-se manter um afastamento maior dos
pontos na região mais distante da fonte de bombeamento e uma densidade de pontos maior na
região de variação acentuada do gradiente da função próximo à fonte. A malha utilizada está
representada na Figura 5.11 e totaliza 121 nós. Para a simulação, foram utilizadas moléculas
de seis pontos e novamente os resultados foram comparados com a solução analítica, como
mostrado na Figura 5.12.
O resultado obtido numericamente se apresentou tão bom quanto aquele conseguido para
malha regular, coincidindo com a solução analítica. É importante destacar que a malha
utilizada nesse caso não permite a aplicação do método convencional de diferenças finitas.
Para tanto, seria necessário a continuação do refinamento da malha para toda a linha e toda
coluna adensada próxima a região de bombeamento.
A possibilidade de adensamento apenas em uma determinada área resulta em uma economia
do número de pontos sem que haja perda de precisão na solução. Essa redução do número de
78
pontos, levada para uma esfera de problemas de grande porte, pode ser traduzida por um
ganho significativo de tempo de processamento computacional.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
Coordenada x(m)
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
Coo
rden
ada
y(m
)
Figura 5.11 – Discretização do domínio em malha irregular adensada próximo ao
bombeamento
0 400 800 1200 1600 2000Distância ao poço (m)
7.00
7.50
8.00
8.50
9.00
9.50
10.00
Car
ga h
idr
ulic
a (m
) Solução Analítica
MDFMA (6 Pontos)
Figura 5.12 - Resultado obtido na utilização de moléculas de nove pontos em malha irregular
79
Um terceiro tipo de discretização foi considerado na análise do mesmo problema. O domínio
foi representado por uma malha de elementos finitos triangulares, com 274 nós, gerada
automaticamente utilizando o programa EasyMesh (Niceno, 1999). Na Figura 5.13 a malha é
apresentada, ilustrando-se alguns tipos de moléculas utilizadas na simulação.
Três simulações iniciais foram realizadas, analisando o comportamento das soluções obtidas
para moléculas com um número fixo de seis, sete e nove pontos. As moléculas foram
montadas considerando os pontos envolventes como sendo os mais próximos ao ponto
central, por meio de um programa computacional desenvolvido neste trabalho.
Os resultados estão apresentados nas Figuras 5.14, 5.15 e 5.16 e são comparados com o
resultados obtidos por meio do método de elementos finitos e com a solução analítica dada
pela equação de Theis.
0 1000 2000 3000 4000
Coordenada x (m)
0
1000
2000
3000
4000
Coo
rden
ada
y (m
)
Figura 5.13 – Discretização do domínio em malha de elementos finitos triangulares
80
0 400 800 1200 1600 2000Distância ao poço (m)
7.00
7.50
8.00
8.50
9.00
9.50
10.00
Car
ga h
idr
ulic
a (m
) Solução Analítica
MDFMA (6 Pontos)
MEF
Figura 5.14 – Resultados para molécula de seis pontos em malha de elementos finitos
0 400 800 1200 1600 2000Distância ao poço (m)
7.00
7.50
8.00
8.50
9.00
9.50
10.00
Car
ga h
idr
ulic
a (m
) Solução Analítica
MDFMA (7 Pontos)
MEF
Figura 5.15 – Resultados para molécula de sete pontos em malha de elementos finitos
81
0 400 800 1200 1600 2000Distância ao poço (m)
7.00
7.50
8.00
8.50
9.00
9.50
10.00
Car
ga h
idr
ulic
a (m
) Solução Analítica
MDFMA (9 Pontos)
MEF
Figura 5.16 - Resultados para molécula de seis pontos em malha de elementos finitos
triangulares
Os resultados obtidos na utilização de moléculas de seis pontos, apresentados na Figura 5.14,
apresentaram um erro visível, afastando a solução pelo MDFMA da solução analítica e da
solução por elementos finitos, sendo que esta última praticamente se confunde com a solução
analítica. Os valores obtidos numericamente pelo MDFMA resultam em uma curva mais
suave, não representando tão bem as regiões com variações mais acentuadas do gradiente da
função.
A alteração na solução parece ser devida ao desbalanceamento na estrutura das moléculas,
uma vez que a malha de elementos finitos utilizada apresenta uma estrtutura,
preponderantemente, hexagonal com um ponto central e seis pontos vizinhos mais próximos e
não um ponto central e cinco pontos envolventes como adotado para as moléculas de seis
pontos utilizadas. Nesse caso, os fatores de ponderação encontrados nas aproximações dos
operadores diferenciais, tendem a uma distribuição mal balanceada tornando a solução pouco
acurada.
82
O aumento de um ponto na composição das moléculas, formando-se moléculas de sete
pontos, aproxima a estrutura das moléculas da estrutura natural preponderante da malha,
resultando numa melhora considerável da solução, como pode ser visto na Figura 5.15.
Certamente, as aproximações obtidas distribuem de forma mais uniforme os coeficientes de
ponderação em volta de toda a molécula.
O uso de moléculas de nove pontos volta a introduzir erros na solução numérica que passa a
diferir da solução pelo MEF, embora em menor escala que quando utilizadas moléculas de
seis pontos. Tal fato parece estar relacionado à adoção de um número excessivo de pontos
para comporem as moléculas, ultrapassando a estrutura natural dos elementos da malha e
desbalanceando a estrutura das moléculas.
Diante das análises feitas, realizou-se uma quarta simulação utilizando estruturas variáveis
para as moléculas na malha. Nesse caso, o número de pontos para comporem as moléculas são
escolhidos de forma variável, conforme a estrutura da malha de elementos finitos presente em
torno de cada ponto do domínio. Os resultados estão apresentados na Figura 5.17.
0 400 800 1200 1600 2000Distância ao poço (m)
7.00
7.50
8.00
8.50
9.00
9.50
10.00
Car
ga h
idr
ulic
a (m
) Solução Analítica
MDFMA (variável)
MEF
Figura 5.17 – Utilização de moléculas com estrutura variável em malha de elementos finitos
83
A simulação obtida por essa nova abordagem apresentou resultados que praticamente se
confundem com a solução por elementos finitos e com a solução analítica. Nesse caso todas
as moléculas apresentam uma estrutura bem balanceada em torno do seu ponto central, sendo,
portanto, os coeficientes obtidos para as aproximações, bem distribuídos em termos de
distância e de direção.
5.2.1.2 Bombeamento e recarga em aquífero
Os testes realizados para este exemplo são divididos em duas fases, de acordo com a malha de
discretização utilizada. Na primeira etapa considera-se a mesma malha de discretização
regular quadrada, utilizada no exemplo de bombeamento, com os pontos espaçados de uma
distância de 250m, totalizando 294 nós. A Figura 5.18, mostra a estrutura da malha ilustrando
os tipo de moléculas internas e no contorno de fluxo conhecido.
Para essa configuração inicial, foram testados dois tipos de moléculas: moléculas de seis
pontos e moléculas de nove pontos. Em ambos os casos, as moléculas no contorno foram
consideradas como sendo de cinco pontos. Os resultados, apresentados nas Figuras 5.19 e
5.20, foram comparados com a solução analítica dada por uma superposição da equação de
Theis utilizando poços virtuais externos para simular fluxo nulo no contorno.
Os resultados obtidos utilizando moléculas de seis pontos, Figura 5.19, mostraram-se bastante
acurados quando comparados com a solução analítica, representando bem o problema mesmo
nas regiões de variação acentuada do gradiente da função, como próximo ao contorno e
próximo aos pontos de bombeamento e recarga.
Quando utilizadas moléculas de nove pontos, Figura 5.20, os pontos obtidos na solução
numérica, em algumas regiões como próxima ao contorno e próximo a fonte de recarga,
apresentam erros que tendem a alterar a forma da curva obtida. O mesmo fato ocorreu no
exemplo de bombeamento considerando-se moléculas de nove pontos em malha regular. O
uso de nove pontos tende a suavizar a solução e afastá-la da solução analítica em pontos onde
a curvatura é mais acentuada.
84
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
Coordenada x (m)
0
4000
Coo
rden
ada
y(m
)
Figura 5.18 – Discretização do domínio em malha regular quadrada e tipos de moléculas
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000Coordenada x (m)
7.00
8.00
9.00
10.00
11.00
12.00
Car
ga h
idr
ulic
a (m
)
MDFMA (6 pontos)
Solução Analítica
Figura 5.19 – Utilização de moléculas de seis pontos em malha regular quadrada
85
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000Coordenada x (m)
7.00
8.00
9.00
10.00
11.00
12.00
Car
ga h
idr
ulic
a (m
)
MDFMA (9 pontos)Solução Analítica
Figura 5.20 - Utilização de moléculas de seis pontos em malha regular quadrada
O mesmo exemplo também foi simulado para a malha irregular de elementos finitos
triangulares do exemplo 5.5.1.1. A Figura 5.21 destaca os tipos de moléculas utilizadas.
0 4000
Coordenada x (m)
0
4000
Coo
rden
ada
y (m
)
Figura 5.21 – Malha de elementos finitos triangulares com os tipos de moléculas utilizados
86
A simulação foi feita, nesse caso, utilizando moléculas com estruturas variáveis, de acordo
com a disposição dos pontos em torno de cada nó, sendo, no contorno, as moléculas
consideradas, de cinco pontos. Os resultados estão apresentados na Figura 5.22, juntamente
com a solução por elementos finitos e a solução analítica.
Como é possível observar, a solução obtida pelo método de diferenças finitas para malhas
arbitrárias se comportou próxima da solução por elementos finitos e da solução analítica.
Próximo ao contorno de fluxo conhecido, entretanto, a solução por diferenças finitas se
aproxima melhor da solução analítica do que a solução por elementos finitos.
0 1000 2000 3000 4000Coordenada x (m)
7.00
8.00
9.00
10.00
11.00
12.00
Car
ga h
idr
ulic
a (m
)
MDFMA (variável)Solução Analítica
MEF
Figura 5.22 – Simulação utilizando moléculas variáveis em malha de elementos finitos
5.2.2 Problemas de fluxo em solo não saturado
Nesta etapa, os modelos desenvolvidos foram testados e comparados com soluções já
conhecidas a saber: resultados experimentais, solução pelo método dos elementos finitos
obtida com o programa desenvolvido por Campos (1998), solução pelo método de diferenças
87
finitas convencional obtida com o programa desenvolvido neste trabalho, além da solução
analítica.
5.2.2.1 Experimento de Elmaloglou (1980)
Nesse exemplo, os resultados obtidos pelo método de diferenças finitas para malhas
arbitrárias são comparados com os resultados de Campos (1998), por elementos finitos, e com
o método de diferenças finitas convencional, além dos resultados obtidos experimentalmente.
Para se testar o caso unidimensional no modelo bidimensional desenvolvido, considerou-se
uma pequena porção de solo com 4cm de largura e utilizaram-se dois tipos de malha.
Inicialmente, uma malha retangular regular simétrica com elementos de 2,5 cm de altura e
1,5cm próximo a interface, a mesma utilizada por Campos (1998) na análise considerando
elementos finitos triangulares montados sobre essa malha. Posteriormente, foi utilizada uma
malha irregular, de elementos finitos triangulares. As duas malhas utilizadas estão
apresentadas nas Figura 5.23.
A simulações foram realizadas utilizando os seguintes parâmetros:
-Tempo total de simulação (tmax) = 11,0 h
- Incremento de tempo padrão (DT) = 1 h
- Incremento de tempo mínimo (DTMIN) = 10-7h
- Tolerância no erro de Ψ (TOL) = 10-4
- Número máximo de iterações em cada DT (itmax) = 10
- Número máximo de iterações totais (maxit) = 100000
- Número máximo de divisões de DT por 3 (MAXDIV) = 20
Na primeira fase de simulações testou-se o MDFMA utilizando moléculas internas de seis
pontos e de cinco pontos no contorno para a variável Ψ e moléculas de seis pontos para a
variável K, montadas sobre a malha regular apresentada na Figura 5.23a, e comparou-se os
resultados com os obtidos por Campos (1998) e com o MDF convencional. Os resultados
estão mostrados na Figura 5.24.
88
(a) (b)
Figura 5.23 – (a) malha regular simétrica totalizando 105 nós, e (b) malha de elementos
finitos triangulares com 314 nós.
89
0
20
40
60
80
Prof
undi
dade
(cm
)
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40Umidade do Solo
Interface
0h
Dados Experimentais
3h5h7h9h11h
MEF (Campos,1998)
MDFMDFMA
(6 Pontos)
Figura 5.24 – Resultados numéricos obtidos para o experimento do Elmaloglou (1980),
utilizando MDFMA com moléculas de 6 pontos em malha regular, MEF e MDF.
O resultado pelo método de diferenças finitas para malhas arbitrárias, para moléculas de seis
pontos, apresentou um adiantamento na frente de umidade. Como é possível observar na
Figura 5.24, a curva correspondente ao tempo de simulação de 5h encontra-se próximo aos
pontos experimentais para 7h de experimento e daí em diante a frente chega sempre adiantada
cerca de 2h, exceto para os resultados correspondentes a 11h de simulação, quando a frente
atinje o fundo (com Ψ considerado conhecido).
Os resultados obtidos por diferenças finitas convencional e por elementos finitos se
comportam de forma semelhante. Ocorre sempre um retardo na chegada da frente de umidade
em relação aos resultados experimentais, sendo um pouco mais acentuado para o MEF. Tal
fato deve estar relacionado com a linearização das propriedade do solo considerada na
formulação de Neuman (1973), utilizada por Campos (1998), e na formulação de Freeze
(1971) utilizada neste trabalho.
90
Uma distinção entre as formulações utilizadas pelos três métodos está relacionada a
consideração explícita do termo ∂K/∂z na formulação pelo MDFMA, o que não acontece nas
formulações pelos MDF e MEF. Simulações realizadas com o método de diferenças finitas
convencional, considerando a forma explícita da equação de Richards, como a equação (4.14),
para outros problemas com condições iniciais muito secas, não apresentadas neste trabalho,
também mostraram problemas de adiantamento da frente.
Ao contrário dos casos lineares, a utilização de um número distinto de pontos para comporem
as moléculas não resultou em respostas muito diferentes. As simulações feitas com moléculas
de sete e nove pontos mostraram diferenças imperceptíveis com relação ao uso de moléculas
de seis pontos e, por isso, não estão apresentadas. Acredita-se que, devido à forte não
linearidade presente na equação, o desbalanceamento na estrutura das moléculas em qualquer
direção tem influência pouco significativa frente à não linearidade.
Na Figura 5.24 é possível observar também a ocorrência de uma instabilidade próxima à
interface dos dois solos no MDFMA. Os resultados obtidos não registram um aumento na
umidade próxima a interface, o que aconteceu no experimento e foi reproduzido pelos outros
dois métodos numéricos utilizados. Observou-se, durante a simulação, que os nós localizados
próximos à interface transformaram-se em “sumidouros” de água não permitindo o
molhamento na interface.
Tal fato parece estar ligado à discontinuidade das propriedades do solo na interface, uma vez
que a aplicação do MDFMA exige que as funções envolvidas no problema sejam contínuas e
deriváveis em todos os pontos domínio. Na interface, entretanto, as moléculas passam a ser
compostas por pontos com diferentes propriedades (K e C), formando, então, uma fonte de
erro na avaliação das derivadas.
Foram testadas duas formas para a estimativa do valor de K na interface: tomando-se o valor
médio dos K’s calculados para os dois solos e utilizando o valor mínimo de K calculado para
os dois solos, como utilizado por Elmaloglou (1980). Entretanto, para nenhuma dessas formas
as derivadas calculadas na interface permitiram a convergência do sistema.
A solução encontrada foi atribuir diferentes valores para K de acordo com a localização das
moléculas no solo. Assim, o valor de K para pontos localizados na interface e pertencentes a
91
uma determinada molécula com ponto central fora da interface, seria calculado considerando
o tipo de solo correspondente ao nó central da molécula. Dessa forma, as moléculas passavam
a ser homogêneas, compostas por um único tipo de solo, não comprometendo o cálculo da
derivada.
Moléculas centradas na interface, entretanto, poderiam ter pontos pertencentes a um e a outro
tipo de solo diferentes. Neste caso, o valor de K atribuído ao ponto central no cálculo da
derivada, dependeria do tipo de solo a que o nó estivesse ligado. Por exemplo, se o nó 1 da
molécula estivesse em um tipo de solo e o nó 2 em outro tipo de solo, o valor de K no ponto
central localizado na interface (K0), para o cálculo da parcela (K1-K0) necessária na
determinação da derivada, seria atribuído considerando o nó 0 pertencente ao solo do nó 1 e
no cálculo da parcela (K2-K0) considerando o nó 0 pertencente ao solo do nó 2. Dessa forma,
consegue-se separar as propriedades do solo e eliminar, em parte, problemas de convergência
causados pela grande diferença entre propriedades de tipos de solos distintos.
A não ocorrência de problemas de convergência no método de diferenças finitas
convencional pode estar ligada à utilização da malha de bloco centrado, onde pontos não são
localizados na interface. Nesse caso, as propriedades do solo são avaliadas em pontos dentro
de blocos com mesmo tipo de solo e, portanto, garante-se a continuidade da função em todos
os pontos.
O método dos elementos finitos, por ser um método de integração, a discontinuidade nas
propriedades do solo não representa problema adicional. Como as propriedades são avaliadas
nos elementos e não nos nós, basta então garantir que os elementos sejam distribuídos de
modo que não cortem a linha de interface, garantindo assim a homogeneidade de suas
propriedades.
Para a simulação utilizando uma malha irregular de elementos finitos triangulares apresentada
na Figura 5.23b, considerou-se as moléculas com estrutura variável, de acordo com a
disposição natural da malha em torno dos pontos nodais, tanto para a variável Ψ como para a
variável K, como forma de se obter aproximações o mais balanceadas possíveis. Entretanto,
para a variável Ψ as moléculas no contorno são de cinco pontos. Os resultados estão
apresentados na Figura 5.25 e comparados com os resultados obtidos com malha regular para
moléculas de seis pontos.
92
É possível perceber que com o uso de uma malha mais refinada, houve uma melhora visível
da frente de umidade para todos os tempos observados, aproximando mais a solução numérica
dos pontos experimentais, quando comparada com a solução obtida para a malha regular.
Entretanto problemas de instabilidade na interface continuaram a ocorrer, uma vez que essa
simulação também não conseguiu reproduzir o aumento de umidade na região de fronteira
entre os dois solos.
0
20
40
60
80
Prof
undi
dade
(cm
)
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40Umidade do Solo
Interface
0h
Dados Experimentais
3h5h7h9h11h
MDFMA (regular)
MDFMA(irregular)
Figura 5.25 – Simulação utilizando a malha de elementos finitos com moléculas variáveis e
comparação com a simulação em malha regular para moléculas de seis pontos
5.2.2.2 Caso teórico de Rathfelder e Abriola (1994)
Para simular o caso unidimensional apresentado por Rathfelder e Abriola (1994), considerou-
se uma pequena porção de solo com 4cm de largura e utilizou-se, da mesma forma que o
exemplo de Elmaloglou (1980) dois tipos de malha. Uma malha retangular regular simétrica
com elementos de 1cm de altura, a mesma utilizada por Campos (1998) na análise utilizando
93
elementos finitos triangulares montados sobre essa malha, e uma malha irregular de elementos
finitos triangulares. As duas malhas utilizadas estão apresentadas na Figura 5.26.
(b)(a) Figura 5.26 – (a) malha retangular regular com 93 nós, e (b) malha de elementos finitos
triangulares com 243 nós.
As simulações foram realizadas utilizando os seguintes parâmetros:
-Tempo total de simulação (tmax) = 6,0 h
- Incremento de tempo padrão (DT) = 1,0 h
94
- Incremento de tempo mínimo (DTMIN) = 10-7h
- Tolerância no erro de Ψ (TOL) = 10-4
- Número máximo de iterações em cada DT (itmax) = 10
- Número máximo de iterações totais (maxit) = 100000
- Número máximo de divisões de DT por 3 (MAXDIV) = 20
Na primeira fase de simulações utilizou-se a malha regular com moléculas de seis pontos,
tanto para a variável Ψ como para a variável K, sendo as moléculas no contorno de cinco
pontos para a variável Ψ. Os resultados (Figura 5.27) são comparados com os obtidos por
Campos (1998), por elementos finitos, e com os resultados por diferenças finitas convencional
obtidos neste trabalho.
Como pode ser observado, a solução obtida pelo método de diferenças finitas para malhas
arbitrárias, também apresenta um adiantamento na chegada da frente de umidade, com relação
a solução analítica ao final do tempo de simulação e não consegue reproduzir de forma
acurada a solução analítica.
Embora o solo seja homogêneo, a simulação é bastante dificultada pelas condições do solo
inicialmente muito seco e pela variação brusca na umidade do solo e, consequentemente, nas
propriedades do solo durante a simulação. Devido a essa variação brusca, uma boa estimativa
para a derivada de K fica comprometida e a consideração explícita dessa derivada, feita na
formulação por MDFMA, parece influenciar no resultado obtido.
Outras simulações para a mesma malha utilizando moléculas de sete e nove pontos foram
realizadas. Os resultados obtidos são os mesmos daqueles obtidos para moléculas de seis
pontos e por isso não são apresentados.
A solução por diferenças finitas convencional é a que mais se aproxima da solução analítica.
No método dos elementos finitos a frente de umidade chega atrasada, quando comparada com
a solução analítica, ao contrário do que ocorre na solução por diferenças finitas para malhas
arbitrárias. Esse atraso está ligado à consideração linear das propriedades do solo na
formulação de Neuman (1973) utilizada por Campos (1998).
95
-1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
Prof
undi
dade
(cm
)
-1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0Potencial de Sucção (cm)
Solução Analítica
MDFMA (6 pontos)
MDF
MEF (Campos, 1998)
Figura 5.27 – Resultados das simulações no caso teórico de Rathfelder e Abriola (1994), para
t=6h.
Uma segunda simulação foi realizada para o MDFMA, utilizando moléculas com estruturas
variáveis de acordo com a disposição da malha em torno do ponto central. Para moléculas no
contorno, com relação à variável Ψ, considerou-se moléculas de cinco pontos. Os resultados
estão apresentados na Figura 5.28 e comparados com os resultados por elementos finitos
(Campos,1998) e diferenças finitas convencional.
Mesmo refinando a malha o método de diferenças finitas para malhas arbitrárias não consegue
gerar soluções próximas à solução analítica. A frente de umidade prevista no final da
simulação continua bem abaixo da solução analítica e da solução por diferenças finitas
convencional.
96
-1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
Prof
undi
dade
(cm
)
-1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0Potencial de Sucção (cm)
Solução Analítica
MDFMA
MDF
MEF (Campos, 1998)
Figura 5.28 – Resultado obtido pelo MDFMA utilizando a malha de elementos finitos
triangulares para t=6h.
5.2.2.3 Experimento de Vauclin et al. (1979)
O experimento de Vauclin et al. (1979) foi simulado utilizando a malha apresentada na Figura
5.29. Inicialmente foi realizada uma simulação utilizando moléculas de seis pontos tanto para
a variável K como para a variável Ψ, sendo, para esta última, consideradas moléculas de cinco
pontos no contorno. Posteriormente, utilizou-se a mesma malha com moléculas internas de
nove pontos para ambas as variáveis, com moléculas, no contorno, de seis pontos para K e
cinco pontos para Ψ.
A utilização de uma malha bastante densa como a da Figura 5.29 foi necessária para que fosse
obtida convergência do sistema. Simulações com uma malha menos densa, como a utilizada
por Campos (1998), não obtiveram convergência.
Os testes realizados com o método de diferenças finitas para malhas arbitrárias foram
comparadas com os resultados obtidos por Campos (1998) pelo método de elementos finitos.
As posições obtidas para a superfície freática estão apresentadas nas Figuras 5.30 e 5.31.
97
10
10
101515
20
30
25 251010 10 10 25
.
Figura 5.29 – Malha utilizada nas simulações do experimento de Vauclin et al. (1979),
medidas em cm.
0 100 200 300x(cm)
50
75
100
125
150
Z(cm
)
8h4h3h
2h
0h
Pontos ExperimentaisMDFMA (6 Pontos)
MEF (Campos,1998)
Figura 5.30 – Comparação dos resultados obtidos para o MDFMA com moléculas de seis
pontos e o MEF.
98
0 100 200 300x(cm)
50
75
100
125
150
Z(cm
)
8h4h3h
2h
0h
Pontos ExperimentaisMDFMA (9 Pontos)
MEF (Campos,1998)
Figura 5.31 – Comparação dos resultados obtidos para o MDFMA com moléculas de nove
pontos e o MEF.
Para os dois testes realizados, com moléculas de seis e nove pontos, o método de diferenças
finitas para malhas arbitrárias se aproximou melhor dos pontos experimentais que os
resultados por elementos finitos obtidos por Campos (1998). Entretanto é importante ressaltar
que a malha utilizada por campos (1998) era menos densa.
Nesse exemplo o método não apresentou os mesmos problemas de adiantamento na chegada
da frente de umidade. Talvez as condições iniciais, com baixa variação da carga matricial por
todo o domínio, provocando uma variação mais branda das propriedades do solo, tenha
favorecido uma melhor estimativa das derivadas da condutividade hidráulica e, portanto, para
uma melhor performance da técnica.
Os resultados obtidos para moléculas de seis e nove pontos não diferiram significativamente.
Entretanto, a utilização de moléculas de seis pontos, apresentou resultados um pouco
melhores, ou seja, a solução mais próxima dos pontos experimentais, sobretudo para o tempo
de simulação de 2h como pode ser visto na Figura 5.32.
99
0 100 200 300x(cm)
50
75
100
125
150
Z(cm
)
8h4h3h
2h
0h
Pontos Experimentais
MDFMA (9 Pontos)
MDFMA (6 pontos)
Figura 5.32 – Comparação entre os resultados obtidos para moléculas de seis e nove pontos
no experimento de Vauclin et al. (1979).
100
6. CONCLUSÕES
Para problemas lineares como os de fluxo saturado abordados neste trabalho, o método de
diferenças finitas para malhas arbitrárias mostrou, de um modo geral, bons resultados.
O fato de não ser necessária uma malha de discretização com uma estrutura geométrica
definida torna a técnica tão competitiva quanto o método de elementos finitos, nesse aspecto.
A possibilidade de gerar uma malha de elementos finitos triangulares e utilizá-la no MDFMA
é um caminho para se suprir a ausência de um gerador automático no método.
O balanceamento na estrutura das moléculas é um fator fundamental para a obtenção de bons
resultados em problemas lineares. No caso de se utilizar uma malha de elementos finitos
triangulares, o uso de moléculas com estrutura variável, de acordo com a configuração da
malha, e não com um número fixo de pontos, é a melhor alternativa para se obter moléculas
balanceadas. Nos testes realizados, as soluções por MDFMA praticamente coincidem com a
solução por MEF e com a solução analítica.
Para malhas regulares, a utilização de moléculas de seis pontos apresentou-se como a melhor
configuração. Quando utilizadas moléculas de nove pontos, ocorreram desvios nas soluções
numéricas, principalmente em regiões onde a variação no gradiente da função é mais
acentuada.
O fato de se poder adensar a malha de discretização apenas em regiões isoladas do domínio,
permite um ganho de eficiência do MDFMA com relação ao método de diferenças finitas
convencional. A necessidade de um número menor de nós pode resultar numa grande
economia no tempo de processamento, principalmente em problemas de grande porte ou em
problemas tridimensionais (não testados neste trabalho).
Para os casos não lineares, o MDFMA apresentou sérios problemas de convergência. Em
situações de heterogeneidade do solo, como no experimento de Elmaloglou (1980), o método
não produziu bons resultados. Na região da inteface, a discontinuidade das funções de solo
levaram a instabilidade da solução numérica. Além disso, ocorreu, sempre, um adiantamento
na chegada da frente de umidade, o que também aconteceu no caso de se ter condições iniciais
101
muito secas, mesmo após o refinamento da malha, como no caso do problema de Rathfelder e
Abriola (1994).
É possível que esse adiantamento seja causado pela consideração explícita das derivadas na
equação de Richards. A forte não linearidade das funções do solo impede uma boa estimativa
para as derivadas envolvidas. Em situações mais amenas com baixa variação na umidade do
solo, como no caso de Vauclin et al. (1979), o método conseguiu reproduzir melhor os
resultados, embora utilizando-se uma malha bastante densa.
Para o MDF e MEF o comportamento foi exatamente o contrário, ocorrendo um retardo na
chegada da frente de umidade, e os resultados obtidos se mostraram mais próximos das
soluções reais. Essas técnicas não apresentaram instabilidade em casos heterogêneos. O atraso
é causado principalmente pela consideração de linearidade das propriedades do solo. A
utilização de elementos finitos considerando as propriedades do solo não lineares no elemento
e utilizando integração por quadratura de Gauss no MEF (Campos, 1998) consegue eliminar
o retardo da frente. Entretanto, este trabalho se limita a comparar o MDFMA com a
formulação de Neuman (1973) em elementos finitos utilizando elementos lineares, para
verificar se haveria alguma melhora na solução
O fato de se utilizar moléculas com diferentes números de pontos, nos casos não lineares, não
altera significativamente os resultados. Nos casos de forte não linearidade das propriedades do
solo, o desbalanceamento da molécula não provocou mudanças nos resultados.
Pode-se concluir que, o MDFMA apresenta, para problemas de fluxo em meio saturado
ganhos representativos em relação ao MDF convencional, no que diz respeito a flexibilidade
da malha de discretização e no tratamento das condições de contorno, e, em relação ao
método dos elementos finitos, no que se refere à simplicidade na formulação. Para problemas
em solo não saturado o método apresenta problemas de convergência e estabilidade, mas
acredita-se que possam ser melhorados utilizando-se uma abordagem diferente na derivação
das funções do solo dentro da equação de Richards.
Para trabalhos futuros recomenda-se:
102
- estender a formulação de fluxo saturado para três dimensões e avaliar o ganho de tempo
de processamento em relação ao método de diferenças finitas convencional, em
problemas que exijam malhas refinadas localmente;
- avaliar o MDFMA em problemas de contaminação e comparar o desempenho com o
MEF;
- utilizar uma formulação baseada na forma mista da equação de Richards para se verificar
se há melhora nos resultados.
103
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Amokrane, H. e Villeneuve, P. (1996). “A numerical method for solving the water flow
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