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UNIVERSIDADE DE BRASILIA
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
MODELAGEM NUMÉRICA DO COMPORTAMENTO DE SOLOS NÃO SATURADOS
CONSIDERANDO MODELOS ELÁSTICOS E DE ESTADOS CRÍTICOS
GILSON DE FARIAS NEVES GITIRANA JUNIOR
ORIENTADOR: PROF. JOSÉ HENRIQUE FEITOSA PEREIRA, PhD
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM GEOTECNIA PUBLICAÇÃO G.DM - 63A/99
BRASILIA / DF: AGOSTO / 1999
ii
UNIVERSIDADE DE BRASILIA
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
MODELAGEM NUMÉRICA DO COMPORTAMENTO DE SOLOS NÃO SATURADOS
CONSIDERANDO MODELOS ELÁSTICOS E DE ESTADOS CRÍTICOS
GILSON DE FARIAS NEVES GITIRANA JUNIOR
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E
AMBIENTAL DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE.
APROVADA POR:
_______________________________ JOSÉ HENRIQUE FEITOSA PEREIRA, PhD, UnB (ORIENTADOR)
______________________________
LUCIANO MENDES BEZERRA, PhD, UnB (CO-ORIENTADOR)
_______________________________ MÁRCIO MUNIZ DE FARIAS, PhD, UnB (EXAMINADOR INTERNO)
_______________________________
SANDRO LEMOS MACHADO, DSc, UFBa (EXAMINADOR EXTERNO)
iii
FICHA CATALOGRÁFICA
GITIRANA JR, GILSON DE FARIAS NEVES
Modelagem Numérica do Comportamento de Solos Não Saturados Considerando Modelos
Elásticos e de Estados Críticos.
xxi, 126 p., 297 mm (ENC/FT/UnB, Mestre, Geotecnia, 1999)
Dissertação de Mestrado - Universidade de Brasília.
Faculdade de Tecnologia. Departamento de Engenharia Civil e Ambiental
1. Solos Não Saturados 2. Modelagens Constitutivas
3. Estados Críticos 4. Métodos Numéricos
I. ENC/FT/UnB II. Título (série)
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA GITIRANA JR, G.F.N.; 1999. Modelagem Numérica do Comportamento de Solos Não Saturados Considerando Modelos Elásticos e de Estados Críticos. Dissertação de Mestrado, Publicação G.DM - 63A/99, Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de Brasília, Brasília, DF, 126 p. CESSÃO DE DIREITOS NOME DO AUTOR: Gilson de Farias Neves Gitirana Junior TÍTULO DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO: Modelagem Numérica do Comportamento de Solos Não Saturados Considerando Modelos Elásticos e de Estados Críticos. GRAU: Mestre ANO: 1999 É concedida à Universidade de Brasília a permissão para reproduzir cópias desta dissertação de mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta dissertação de mestrado pode ser reproduzida sem a autorização por escrito do autor. _____________________________ Gilson de Farias Neves Gitirana Junior Rua 5 Q/D No 18 Conj. Barra Bella, Bairro Parque 10 69054-410 Manaus/AM – Brasil
iv
DEDICATÓRIA
Este trabalho é dedicado à minha mãe, Amélia Machado de Vasconcelos
e à memória dos meus avós,
Terezinha Machado de Vasconcelos e Genes Darles Gitirana
v
AGRADECIMENTOS
Acima de tudo obrigado Deus, por todas as benções concedidas. Peço que continue
iluminando meu caminho.
Gostaria de agradecer as seguintes pessoas:
À toda minha família, em particular à minha mãe, que me dá forças para atingir meus objetivos.
Ao meu orientador, Professor José Henrique Feitosa Pereira, pela amizade, confiança, conhecimentos transmitidos e por ter me presenteado com este tema.
À família Ribeiro Barroncas, no nome do Sr. Joaquim e da Sra. Deusa. Sem seu apoio esse trabalho teria sido muito mais difícil.
À Professora Consuelo Alves da Frota, pelo apoio, amizade e por ter me incentivado a fazer pós-graduação.
À Alessandra Lionço, pela amizade e dedicação. À Ronny Peixoto, pela amizade e por ter cedido os resultados experimentais de sua
dissertação, para que fossem utilizados nas análises numéricas deste trabalho. Aos Professores do Programa de Pós-Graduação em Geotecnia da UnB, em especial
aos professores André Pacheco de Assis, Ennio Marques Palmeira, José Camapum de Carvalho e Márcio Muniz de Farias.
À todos os colegas da UnB, pelo alegre e agradável convívio. Aos amigos de Manaus, que mesmo de longe continuaram sempre me dando força. Ao Colégio Militar de Manaus, à Universidade do Amazonas e à Universidade de
Brasília. Me orgulho e sou grato por ter passado por essas Instituições, responsáveis pela minha formação.
À CAPES (Comissão de apoio à formação de pessoal de nível superior), pelo suporte financeiro durante à execução desse trabalho.
vi
RESUMO
Neste trabalho é apresentada a modelagem numérica do comportamento mecânico de
solos não saturados e são analisadas modelagens constitutivas para a estrutura de solos não
saturados. É avaliada a performance do modelo elástico incremental de Fredlund e do modelo
de estados críticos para solos não saturados de Alonso. São efetuadas simulações analíticas e
numéricas, com base em ensaios oedométricos em solos colapsíveis, sob trajetórias de
molhagem. Com esse fim, foi implementado um programa para a simulação analítica de
trajetórias de tensão utilizando o modelo de Alonso, denominado de CRISMUS e foi
implementado no programa COUPSO o modelo de Alonso. Os parâmetros constitutivos
utilizados nas análises correspondem à argila porosa e colapsível, típica do Distrito Federal.
Com base nas análises realizadas, considerando o modelo elástico incremental de
Fredlund, verifica-se que com a aplicação de coeficientes de anisotropia variáveis o
comportamento do solo em trajetórias de molhagem é melhor reproduzido, quando
comparado à utilização de coeficientes constantes.
Em relação às simulações utilizando o modelo de Alonso, verifica-se, utilizando o
programa CRISMUS, que as deformações axiais e radiais são muito influenciadas pela
utilização da lei de fluxo associada ou da lei de fluxo não associada proposta originalmente.
Observa-se que, para a trajetória simulada, utilizando uma le i de fluxo associada o
comportamento do solo é melhor reproduzido. As simulações numéricas utilizando o modelo
de Alonso evidenciaram a necessidade de maiores investigações, em relação aos
procedimentos numéricos.
vii
ABSTRACT
This work deals with the numerical modelling for the mechanical behaviour of
unsaturated soils and the analysis of the performance of Fredlund’s elastic incremental and
Alonso’s critical state constitutive models for unsaturated soils. Analytical and numerical
modelling, by us ing back-analyses of oedometer tests were performed on collapsing soils
under wetting paths. A computer code, named CRISMUS, based on Alonso’s critical state
model was developed. The subroutines of this code were added into the finite element
program COUPSO. Back analyses of oedometer tests were performed by using experimental
results on a typical natural collapsing soil of the Federal District.
In terms of Fredlund’s elastic incremental modelling, is shown that the use of variable
anisotropic stress induced coefficients produces better results as compared to using constant
values, when simulating wetting stress paths.
In terms of Alonso’s model, it is verified, by using the code CRISMUS, that the radial
and axial strains do suffer a strong influence of the flow law adopted. A better reproduction of
the experimentally observed behaviour is obtained when using an associated flow law, for the
stress path reproduced. The use of numerical modelling to reproduce soil behaviour, by using
Alonso’s model, has shown the need of additional research on numerical procedures.
viii
ÍNDICE
1 INTRODUÇÃO...................................................................................................................... 1
1.1 RELEVÂNCIA DA PESQUISA.......................................................................................... 1
1.2 OBJETIVOS DA DISSERTAÇÃO ..................................................................................... 2
1.3 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO ............................................................................. 3 2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA................................... 4
2.1 CONCEITOS BÁSICOS PARA SOLOS NÃO SATURADOS.......................................... 4
2.1.1 VARIÁVEIS DE TENSÃO PARA SOLOS NÃO SATURADOS................................... 4
2.1.2 RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO DE SOLOS NÃO SATURADOS.................... 6
2.2 MODELOS PARA A ESTRUTURA DOS SOLOS NÃO SATURADOS.......................... 7
2.2.1 MODELO ELÁSTICO INCREMENTAL DE FREDLUND (1979).................................7
2.2.1.1 MODIFICAÇÕES PROPOSTAS POR PEREIRA (1996)........................................... 10
2.2.2 GENERALIDADES DA RELAÇÃO CONSTITUTIVA ELASTOPLÁSTICA............ 14
2.2.3 MODELO DE ESTADOS CRÍTICOS DE ALONSO ET AL. (1990)............................18
2.2.4 MODELO DE ESTADOS CRÍTICOS DE BALMACEDA (1991)................................ 24
2.2.5 OUTROS ESTUDOS EM TORNO DE MODELOS DE ESTADOS CRÏTICOS..........27
2.3 MODELOS CONSTITUTIVOS PARA AS FASES ÁGUA E AR....................................30
2.3.1 LEIS DE MOVIMENTO................................................................................................. 31
2.3.2 VARIAÇÃO VOLUMÉTRICA.......................................................................................33
2.4 RESUMO............................................................................................................................ 34
3 MODELAGEM MECÂNICA E NUMÉRICA..................................................................36
3.1 DESCRIÇÃO GERAL DA MODELAGEM E HIPÓTESES BÁSICAS ADOTADAS....36
3.2 EQUAÇÕES BÁSICAS QUE REGEM A MECÂNICA DO PROBLEMA......................38
3.2.1 EQUAÇÕES EM COORDENADAS CARTESIANAS..................................................38
3.2.2 EQUAÇÕES EM COORDENADAS CILÍNDRICAS.................................................... 40
3.3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS FINAIS DO PROBLEMA................................................42
3.3.1 EQUAÇÕES PARA A CONDIÇÃO DE DEFORMAÇÕES PLANAS......................... 42
3.3.2 EQUAÇÕES PARA A CONDIÇÃO AXISSIMÉTRICA............................................... 44
3.4 SOLUÇÃO NUMÉRICA DAS EQUAÇÕES.................................................................... 45
3.4.1 DISCRETIZAÇÃO ESPACIAL PARA A CONDIÇÃO
DE DEFORMAÇÕES PLANAS..................................................................................... 46
ix
3.4.2 DISCRETIZAÇÃO ESPACIAL PARA A CONDIÇÃO AXISSIMÉTRICA................ 48
3.4.3 DISCRETIZAÇÃO TEMPORAL DAS EQUAÇÕES.................................................... 49
3.5 SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES CONSIDERANDO A NÃO-LINEARIDADE FISÍCA.. 51
3.6 RESUMO............................................................................................................................ 54
4 IMPLEMENTAÇÃO DO PROGRAMA CRISMUS E DA NOVA VERSÃO DO
PROGRAMA COUPSO E VALIDAÇÕES.......................................................................... 55
4.1 PROGRAMA CRISMUS................................................................................................... 55
4.1.1 DESCRIÇÃO GERAL DO PROGRAMA...................................................................... 55
4.1.2 VALIDAÇÃO DO PROGRAMA CRISMUS................................................................. 59
4.1.2.1 SIMULAÇÃO DE UMA TRAJETÓRIA COM O DESENVOLVIMENTO DE
TENSÕES CISALHANTES......................................................................................... 59
4.1.2.2 SIMULAÇÃO DE TRAJETÓRIAS DE MOLHAGEM SOB TENSÕES TOTAIS
LÍQUIDAS DIFERENTES........................................................................................... 61
4.1.2.3 SIMULAÇÃO DE TRAJETÓRIAS DE AUMENTO DA TENSÃO TOTAL
LÍQUIDA MÉDIA SOB DIFERENTES SUCÇÕES................................................... 62
4.1.2.4 SIMULAÇÃO DE UMA TRAJETÓRIA COM ESCOAMENTO DEVIDO A
AUMENTO DE SUCÇÃO........................................................................................... 63
4.2 PROGRAMA COUPSO..................................................................................................... 64
4.2.1 DESCRIÇÃO GERAL DO PROGRAMA...................................................................... 64
4.2.2 ORGANIZAÇÃO DO PROGRAMA.............................................................................. 65
4.2.3 APLICAÇÃO DO NEWTON-RAPHSON NA INTEGRAÇÃO DA RELAÇÃO
CONSTITUTIVA DE ESTADOS CRÍTICOS................................................................ 70
4.2.4 VALIDAÇÃO DO PROGRAMA COUPSO................................................................... 73
4.2.4.1 SIMULAÇÃO DE ADENSAMENTO COM CONFINAMENTO LATERAL........... 73
4.2.4.2 SIMULAÇÃO DE CARREGAMENTO UNIFORME COM CONFINAMENTO
LATERAL.....................................................................................................................76
4.3 RESUMO............................................................................................................................ 77
5 SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ENSAIOS OEDOMÉTRICOS.................................... 78
5.1 INTRODUÇÃO.................................................................................................................. 78
5.2 RESULTADOS EXPERIMENTAIS DE PEIXOTO (1999) E SUPERFÍCIES
AJUSTADAS AOS RESULTADOS.................................................................................. 79
5.2.1 SUPERFÍCIE DE ESTADOS DE ÍNDICE DE VAZIOS............................................... 79
5.2.2 SUPERFÍCIE DE ESTADOS PARA GRAU DE SATURAÇÃO.................................. 81
x
5.2.3 SUPERFÍCIE DE ESTADOS PARA CONDUTIVIDADE HIDRÁULICA.................. 82
5.2.4 SUPERFÍCIE DE VARIAÇÃO DO COEFICIENTE DE POISSON............................. 84
5.2.5 EVOLUÇÃO DAS TENSÕES HORIZONTAIS DURANTE A MOLHAGEM............ 85
5.3 TRAJETÓRIA DE TENSÕES SIMULADA, GEOMETRIA DO PROBLEMA E
DETALHES DA SOLUÇÃO NUMÉRICA....................................................................... 86
5.4 SIMULAÇÃO DE ENSAIOS OEDOMÉTRICOS DE MOLHAGEM
UTILIZANDO O MODELO ELÁSTICO INCREMENTAL............................................ 88
5.4.1 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES.......................................................................... 88
5.4.2 RESULTADO DAS SIMULAÇÕES NUMÉRICAS UTILIZANDO O MODELO
ELÁSTICO INCREMENTAL......................................................................................... 90
5.5 SIMULAÇÕES DE ENSAIOS OEDOMÉTRICOS DE MOLHAGEM
UTILIZANDO O MODELO DE ALONSO ET AL. (1990).............................................. 95
5.5.1 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES...........................................................................95
5.5.2 ANÁLISES PARAMÉTRICAS DE φ‘ e k...................................................................... 97
5.5.2.1 ANÁLISES PARAMÉTRICAS VARIANDO k.......................................................... 98
5.5.2.2 ANÁLISES PARAMÉTRICAS VARIANDO φ‘......................................................... 99
5.5.3 RESULTADO DAS SIMULAÇÕES NUMÉRICAS UTILIZANDO O MODELO DE
ALONSO ET AL. (1990)...............................................................................................101
5.6 RESUMO.......................................................................................................................... 103 6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA PESQUISAS FUTURAS...............................105
6.1 CONCLUSÕES.................................................................................................................105
6.2 SUGESTÕES PARA PESQUISAS FUTURAS............................................................... 107
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS................................................................................ 109
A. TERMOS DA RELAÇÃO ELASTOPLÁSTICA PARA O
MODELO DE ALONSO ET AL. (1990)............................................................................... 113
B. SOLUÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS DAS EQUAÇÕES
DE EQUILÍBRIO E FLUXO.................................................................................................. 120
B.1 CASO DE DEFORMAÇÕES PLANAS EM COORDENADAS CARTESIANAS....... 120
B.2 CASO AXISSIMÉTRICO EM COORDENADAS CILÍNDRICAS............................... 123
xi
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 – Superfície de estado de variação volumétrica da estrutura do solo........................ 9
Figura 2.2 – Deformações em trajetórias de redução da sucção............................................... 11
Figura 2.3 – Variação do coeficiente de Poisson adotada por Pereira (1996).......................... 13
Figura 2.4 – Gráficos de compressibilidade em relação às variações da tensão média p......... 18
Figura 2.5 – Gráficos de compressibilidade em relação às variações de sucção mátrica s.......19
Figura 2.6 – Influência do parâmetro β na forma da curva de variação de λ(s)....................... 20
Figura 2.7 – Superfícies de escoamento para o modelo de Alonso et al. (1990) e algumas
trajetórias de tensão.............................................................................................. 21
Figura 2.8 – Forma de evolução da superfície LC para o modelo de Alonso et al. (1990)...... 22
Figura 2.9 – Forma de evolução da superfície LC para o modelo de Balmaceda (1991)......... 26
Figura 2.10 – Curva de variação da condutividade hidráulica com as variáveis de tensão...... 32
Figura 2.11 – Superfície de estado de variação volumétrica da estrutura do solo.................... 33
Figura 3.1 – Sistema de coordenadas cartesianas..................................................................... 39
Figura 3.2 – Sistema de coordenadas cilíndricas...................................................................... 40
Figura 3.3 – Método de Newton-Raphson................................................................................ 53
Figura 4.1 – Simulação 1: (a) trajetória de tensões no espaço p:q; (b) tensões desviatórias
por deformações cisalhantes; (c) volume específico por tensão total média;
(d) volume específico por deformação cisalhante.................................................60
Figura 4.2 – Simulação 2: (a) trajetórias de tensão; (b) volume específico : tensão total
média..................................................................................................................... 62
Figura 4.3 – Simulação 3: (a) trajetórias de tensão; (b) volume específico : tensão total
média..................................................................................................................... 62
Figura 4.4 – Simulação 4: (a) trajetórias de tensão; (b) volume específico : tensão total
média..................................................................................................................... 63
Figura 4.5 – Fluxograma do programa COUPSO..................................................................... 69
Figura 4.6 – Problema de adensamento para uma camada de solo homogênea e saturada...... 74
Figura 4.7 – Distribuição de excesso de pressão de água no caso de adensamento
unidimensional de uma camada de solo saturado e homogêneo.......................... 75
xii
Figura 4.8 – Variação do índice de vazios com a tensão efetiva durante o adensamento.........75
Figura 4.9 – Problema de carregamento uniforme e infinito.................................................... 76
Figura 4.10 – Variação do índice de vazios com a tensão efetiva durante o carregamento......76
Figura 5.1 – Dados experimentais de compressibilidade da estrutura do solo (Peixoto, 1999)
e curvas ajustadas: (a) índice de vazios por tensão total líquida média sob
várias sucções; (b) volume específico por logaritmo natural da tensão
total líquida média para várias sucções................................................................ 79
Figura 5.2 – Curvas de compressibilidade da estrutura do solo ajustadas aos resultados de
Peixoto (1999): (a) índice de vazios por sucção para várias tensões totais
líquidas médias; (b) volume específico por logaritmo natural da sucção
para várias tensões totais líquidas médias............................................................ 80
Figura 5.3 – Curva característica para os resultados de Peixoto (1999)................................... 82
Figura 5.4 – Curvas arbitradas de condutividade hidráulica para o solo estudado por Peixoto
(1999): (a) curvas de condutividade hidráulica em função do logaritmo
da sucção; (b) curvas de condutividade hidráulica em função da sucção............ 83
Figura 5.5 – Superfície de variação do coeficiente de Poisson................................................. 84
Figura 5.6 – Variação das tensões horizontais obtidas por Peixoto (1999) e curvas
ajustadas: (a) tensões horizontais líquidas por tensões verticais líquidas
para várias sucções; (b) tensões horizontais líquidas por sucção para
várias tensões verticais líquidas............................................................................ 85
Figura 5.7 – Geometria e malha do ensaio oedométrico...........................................................86
Figura 5.8 – Avanço típico da molhagem nas simulações........................................................ 87
Figura 5.9 – Índice de vazios por sucção.................................................................................. 91
Figura 5.10 – Índice de vazios por tensão total líquida média.................................................. 91
Figura 5.11 – Tensão horizontal por sucção............................................................................. 92
Figura 5.12 – Coeficiente de anisotropia horizontal por sucção............................................... 92
Figura 5.13 – Segundo invariante do tensor desviatório de tensões totais líquidas por
sucção.................................................................................................................. 93
Figura 5.14 – Trajetórias de tensão total líquida....................................................................... 94
Figura 5.15 – Ajuste da superfície LC aos resultados de Peixoto (1999): (a) variação de λ(s);
(b) superfície LC................................................................................................. 96
Figura 5.16 – Superfícies de escoamento variando a taxa de ganho de coesão com a
sucção, k............................................................................................................. 97
xiii
Figura 5.17 – Superfícies de escoamento variando o ângulo de atrito, φ’................................ 97
Figura 5.18 – Deformações para vários valores de k, considerando lei de fluxo associada:
(a) deformações específicas em x e y; (b) variação do índice de vazios............. 99
Figura 5.19 – Deformações para vários valores de k, considerando lei de fluxo não associada:
(a) deformações específicas em x e y; (b) variação do índice de vazios............. 99
Figura 5.20 – Deformações para vários valores de φ’, considerando lei de fluxo associada: (a)
deformações específicas em x e y; (b) variação do índice de vazios................100
Figura 5.21 – Deformações para vários valores de φ’, considerando lei de fluxo não associada:
(a) deformações específicas em x e y; (b) variação do índice de vazios........... 100
Figura 5.22 – Índice de vazios por sucção.............................................................................. 102
Figura 5.23 – Tensão horizontal líquida por sucção............................................................... 102
xiv
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1 – Dados de entrada do programa CRISMUS.......................................................... 56
Tabela 4.2 – Parâmetros utilizados na simulação 1.................................................................. 60
Tabela 4.3 – Parâmetros utilizados nas simulações 2, 3 e 4..................................................... 61
xv
LISTA DE SÍMBOLOS, NOMENCLATURA E ABREVIAÇÕES
A Módulo plástico
A Matriz do modelo numérico final
Acr Módulo plástico crítico
B Matriz do modelo numérico final
bx, by, bz Forças de massa nas direções x, y e z respectivamente
br, by, bθ Forças de massa nas direções r, y e θ respectivamente
c’ Coesão
cv Coeficiente de adensamento
CW Matriz de acoplamento
CW1, CW2 Sub-matrizes da matriz de acoplamento
d Incremento
D Matriz constitutiva que relaciona tensões totais líquidas com deformação
D11, D12, D13,
D21, D22, D23,
D31, D32, D33
Termos da matriz constitutiva que relaciona tensões totais líquidas com
deformação
dυep Variação elástica de volume específico devido à variação de tensão total
dυes Variação elástica de volume específico devido à variação de sucção
dυpp Variação plástica de volume específico devido à variação de tensão total
dυps Variação plástica de volume específico devido à variação de sucção
De Matriz constitutiva elástica que relaciona tensões totais líquidas com
deformação
Dep Matriz constitutiva elastoplástica que relaciona tensões totais líquidas com
deformação
DK Matriz de rigidez
DK11, DK12,
DK21, DK22
Sub-matrizes da matriz de rigidez
duw Pressão de água desequilibrada
e Índice de vazios
e Erro
E Módulo de Young
xvi
e0 Índice de vazios inicial
et al. et alli (e outros)
etc. et cetera (e assim por diante)
F Vetor de força relacionado com a estrutura do solo
F Superfície de escoamento
F1 Superfície de escoamento LC
F2 Superfície de escoamento SI
FW Vetor de força relacionado com a fase água
G Módulo cisalhante
G1 Potencial plástico relacionado com escoamento pela superfície LC
G2 Potencial plástico relacionado com escoamento pela superfície SI
g(θ) Inclinação da linha de estados críticos
H Módulo elástico para variações de sucção
H Vetor constitutivo que relaciona deformações com sucção
h1, h2, h3 Termos do vetor constitutivo que relaciona tensões totais líquidas e sucção
H1, H2, H3 Termos do vetor constitutivo que relaciona deformações com sucção
he Vetor constitutivo elástico que relaciona tensões totais líquidas com sucção
He Vetor constitutivo elástico que relaciona deformações com sucção
hep Vetor constitutivo elastoplástica que relaciona tensões totais líquidas com
sucção
Hp Vetor constitutivo plástico que relaciona deformações com sucção
Hs Vetor de termos constitutivos que relacionam deformações com sucção
HW Matriz de massa de água
J Segundo invariante do tensor de tensões totais líquidas desviatórias
J3 Termo auxiliar do terceiro invariante do tensor de tensões totais líquidas
desviatórias
k Taxa de ganho de resistência ao cisalhamento com o aumento de sucção
k kilo (x 103)
K0 Coeficiente de empuxo em repouso
kw Condutividade hidráulica
kra, ky
a, kθa Condutividade da fase ar, nas direções r, y e θ respectivamente
krw, ky
w, kθw Condutividade da fase água, nas direções r, y e θ respectivamente
kxa, ky
a, k za Condutividade da fase ar, nas direções x, y e z respectivamente
xvii
kxw, ky
w, k zw Condutividade da fase água, nas direções x, y e z respectivamente
LC Superfície de escoamento para carga e molhagem, “Loading Colapse”
m Metro
m Função auxiliar do modelo de Balmaceda (1991)
MHz Mega Hertz
Mb Mega Bites
m1s Compressibilidade da estrutura do solo em relação à variações de tensões
totais líquidas
m1w Compressibilidade da fase água em relação à variações de tensões totais
líquidas
m2s Compressibilidade da estrutura do solo em relação à variações de sucção
m2w Compressibilidade da fase água em relação à variações de sucção
n Porosidade
N Newton
p Primeiro invariante do tensor de tensões totais líquidas desviatórias
p Tensão total líquida média
p0 Tensão total líquida média de escoamento em trajetórias isotrópicas de
tensão para sução s
p0* Tensão total líquida média de escoamento em trajetórias isotrópicas de
tensão para sução nula
Pa Pascais
patm Pressão atmosférica
pc Tensão média de referência
pc Parâmetro de ajuste da superfície LC
pp. entre páginas
p(s) Tensão total líquida média de escoamento em trajetórias isotrópicas de
tensão para sução s
p0*máx Tensão total líquida média para a qual tem-se máximo colapso em trajetória
de molhagem
q Segundo invariante do tensor de tensões totais líquidas desviatórias para
condições axissimétricas de tensão (σ2=σ3)
r Coordenada na direção r
r Parâmetro de ajuste de λ(s)
xviii
RAM “Random access memory”, memória de acesso aleatório
s Sucção
s0 Sucção que delimita o domínio elástico para aumentos de sucção
SI Superfície de escoamento para aumento de sucção, “Suction Increase”
SMOB Razão entre a resistência ao cisalhamento mobilizada e a disponível
Sr Grau de saturação
t Tensão de superfície
t Variável tempo
tol Tolerância para convergência do método Newton-Raphson
TW Matriz de condutância
u Deslocamento na direção x
u Deslocamento na direção r
u& Taxa de deslocamento com o tempo na direção x
u& Taxa de deslocamento com o tempo na direção r
ua Pressão de ar
ua0 Pressão de ar inicial
ua - uw Sucção
uw Pressão de água
wu& Taxa de variação da pressão de água com o tempo
uw0 Pressão de água inicial
v Deslocamento na direção y
v& Taxa de deslocamento com o tempo na direção y
V0 Volume total inicial
Va Volume de ar
vra, vy
a, vθa Velocidades do ar no sentido da lei de Darcy, nas direções r, y e θ
respectivamente
vrw, vy
w, vθw Velocidades da água no sentido da lei de Darcy, nas direções r, y e θ
respectivamente
Vv Volume de vazios
vxa, vy
a, v za Velocidades do ar no sentido da lei de Darcy, nas direções x, y e z
respectivamente
vxw, vy
w, v zw Velocidades da água no sentido da lei de Darcy, nas direções x, y e z
respectivamente
xix
Vw Volume de água
w Umidade
w Deslocamento na direção z
w Deslocamento na direção θ
w1, w2, w3 Funções peso
w Vetor de incógnitas do modelo numérico
WK Matriz de acoplamento
WK1, WK2 Sub-matrizes da matriz de acoplamento
x Coordenada na direção x
y Coordenada na direção y
y Elevação
z Coordenada na direção z
α Tamanho do incremento de tensões
α Parâmetro do modelo de Balmaceda (1991)
β Tamanho do incremento de tensões corrigido
β Inclinação da superfície do maciço
β Parâmetro de ajuste da variação de λ(s)
β Compressibilidade da fase ar
β1rw, β1y
w, β1θw Parâmetros constitutivos de acoplamento entre equilíbrio e fluxo para a
formulação em coordenadas cilíndricas
β1xw, β1y
w, β1zw Parâmetros constitutivos de acoplamento entre equilíbrio e fluxo para a
formulação em coordenadas cartesianas
χ Parâmetro constitutivo da equação de Bishop
χx, χy, χz Coeficientes de anisotropia nas direções x, y e z respectivamente
∆t Variação de tempo
∆εvpmáx Máxima Deformação volumétrica possível em trajetória de molhagem
~ε Vetor de deformações
e
~ε Vetor de deformações elásticas
p
~ε Vetor de deformações plásticas
εr, εy, εθ Deformação nas direções r, y e θ respectivamente
xx
εv Deformação volumétrica
εvp Deformação volumétrica plástica
εx, εy, εz Deformação nas direções x, y e z respectivamente
φ Função interpoladora
φ’ Ângulo de atrito
φb Ângulo de atrito em relação à sucção
γa Peso específico da fase ar
γxy Deformação cisalhante no plano x, e na direção y
γxz Deformação cisalhante no plano x, e na direção z
γyz Deformação cisalhante no plano y, e na direção z
γw Peso específico da fase água
Γ Parâmetro de endurecimento
ϕ Número muito pequeno
κ Coeficiente de compressibilidade elástico para variações isotrópicas de
tensões totais líquidas
κs Coeficiente de compressibilidade elástico para variações de sucção
λ Coeficiente de compressibilidade elástoplástico para variações isotrópicas
de tensões totais líquidas
Λ Constante de proporcionalidade da lei elastoplástica
λ(0) Coeficiente de compressibilidade elástoplástico para variações isotrópicas
de tensões totais líquidas com sucção nula
λ(s) Coeficiente de compressibilidade elástoplástico para variações isotrópicas
de tensões totais líquidas com sucção s
λs Coeficiente de compressibilidade elástoplástico para variações isotrópicas
de sucção
µ Coeficiente de Poisson
µf Coeficiente de Poisson para o solo saturado
µs Coeficiente de Poisson para o solo saturado
µu Coeficiente de Poisson para o solo com elevada sucção
θ Coordenada na direção θ
θ Terceiro invariante do tensor desviatório de tensões totais líquidas
θ Valor utilizado na integração no tempo das equações diferenciais
xxi
ρw Densidade da água
σ Tensão
σ’ Tensão efetiva
*
~σ Vetor de tensões totais líquidas
σ1 Tensão principal maior
σ2 Tensão principal intermediária
σ3 Tensão principal menor ou tensão de confinamento
σc Tensão total de confinamento
σf Tensão total normal no plano de ruptura, na ruptura
σh Tensão total horizontal
σméd Tensão total média
σr, σy, σθ Tensões normais totais nas direções r, y e θ respectivamente
σv Tensão total vertical
σx, σy, σz Tensões normais totais nas direções x, y e z respectivamente
σx0, σy0, σz0 Tensões normais totais iniciais nas direções x, y e z respectivamente
(σ - ua) Tensão total líquida
τff Tensão cisalhante no plano de ruptura, na ruptura
τry Tensão cisalhante no plano r, e na direção y
τrθ Tensão cisalhante no plano r, e na direção θ
τxy Tensão cisalhante no plano x, e na direção y
τxz Tensão cisalhante no plano x, e na direção z
τyz Tensão cisalhante no plano y, e na direção z
τyθ Tensão cisalhante no plano y, e na direção θ
τxy0 Tensão cisalhante inicial no plano x, e na direção y
τxz0 Tensão cisalhante inicial no plano x, e na direção z
τyz0 Tensão cisalhante inicial no plano y, e na direção z
υ Volume específico
ω Parâmetro de desassociação do modelo de Alonso et al. (1990)
ζx, ζy Funções auxiliares do modelo de Balmaceda (1991)
1
CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO
1.1 RELEVÂNCIA DA PESQUISA
Nos últimos anos tem crescido muito o interesse pelo estudo de solos não saturados
em todo o mundo. A importância econômica dos problemas geotécnicos que envolvem solos
colapsíveis e solos expansivos, que são por natureza materiais não saturados, justifica o
aprofundamento das pesquisas em torno desses solos. Tem-se, por exemplo, que um dos
problemas mais importantes envolvendo solos não saturados no Distrito Federal e em outras
regiões do país refere-se à execução de obras de engenharia que envolvem solos colapsíveis.
Estes solos sofrem considerável e brusca redução de volume e de resistência ao cisalhamento,
quando submetidos a determinadas variações em seu estado de tensões, como por exemplo,
em trajetórias de molhagem (redução de sucção), sob certa faixa de tensões.
O entendimento do comportamento mecânico dos solos não saturados requer o
desenvolvimento e aprimoramento de recursos experimentais específicos para esses materiais
e avanços em outras duas direções. A primeira consiste na elaboração de modelagens
constitutivas que reproduzam, de forma adequada, observações experimentais. A segunda
compreende a implementação das modelagens constitutivas em soluções numéricas,
permitindo a aplicação desses modelos em problemas de valor de contorno e valor inicial.
Baseadas na utilização de duas variáveis de tensão, foram apresentadas diversas
modelagens constitutivas para a compressibilidade e resistência da estrutura de solos não
saturados. A mais simples consiste na modelagem elástica incremental baseada na superfície
de estado de índice de vazios (Matyas & Radhakrishna, 1968 e Fredlund, 1979), combinada
com um critério de ruptura que consiste na extensão do critério de Mohr-Coulomb (Fredlund
et al., 1978). Como avanços mais recentes, tem-se as pesquisas em torno da extensão dos
conceitos de estados críticos para solos não saturados, destacando-se o trabalho de Alonso et
al. (1990).
Lawton et al. (1991) e Pereira (1996) verificaram, para solos colapsíveis em trajetórias
de molhagem, que a relação entre as variáveis de tensão e as deformações é anisotrópica.
Apesar dos modelos constitutivos elástico incremental e de estados críticos citados se
proporem a reproduzir o comportamento de solos não saturados, não se sabe até que ponto o
comportamento anisotrópico observado para solos colapsíveis, em trajetória de molhagem,
2
pode ser reproduzido por essas modelagens. Assim, torna-se necessária uma investigação em
relação à tais aspectos dos modelos.
A avaliação da performance desses modelos em simulações numéricas de ensaios de
laboratório pode ser uma grande contribuição no sentido de aferir a resposta desses modelos
em tais situações, onde é conhecida a resposta correta que as análises devem reproduzir.
Realizando este tipo de análise, pode-se determinar como esses modelos simulam o
comportamento do solo e quais suas qualidades e limitações. Além disso, com a
implementação desses modelos em soluções numéricas, possibilita-se futuras simulações de
problemas de campo.
1.2 OBJETIVOS DA DISSERTAÇÃO
Inserido no contexto apresentado, este trabalho tem dois objetivos principais:
• Implementar modelos constitutivos para solos não saturados em um programa que
permita a solução numérica de problemas de contorno e valor inicial;
• Analisar a performance, em trajetórias de molhagem, do modelo elástico
incremental e do modelo de Alonso et al. (1990), por meio de simulações
analíticas de trajetórias de molhagem e por meio de simulações numéricas de
ensaios oedométricos de molhagem;
O motivo da escolha do modelo de Alonso et al. (1990) deveu-se ao fato desse modelo
ser um dos mais referenciados na bibliografia e se tratar de uma proposta de simulação do
comportamento de solos colapsíveis pouco ou não expansivos.
Para permitir simulações analíticas de trajetórias de tensão utilizando o modelo de
Alonso et al. (1990), foi escrito um programa em linguagem FORTRAN, batizado de
CRISMUS (“CRItical State Model for Unsaturated Soil”). Esse programa calcula as
deformações produzidas por uma trajetória de tensões imposta qualquer, permitindo a
simulação de quaisquer trajetórias de tensões desejadas.
De forma a permitir a simulação numérica de ensaios oedométricos, foi utilizado o
programa de Elementos Finitos COUPSO (Pereira, 1996). Neste programa, que foi
desenvolvido em sua versão original para casos de deformação plana utilizando um modelo
elástico incremental, foi incluído o modelo de estados críticos de Alonso et al. (1990) e foi
feita a extensão para o caso axissimétrico, permitindo análises trid imensionais.
3
Os ensaios oedométricos com controle de sucção sob trajetórias de molhagem
simulados foram baseados nos resultados experimentais de Peixoto (1999). Tratam-se de
ensaios realizados em amostras naturais da argila porosa e colapsível, típica do Distrito
Federal. Nesses ensaios oedométricos foram feitas medidas das tensões horizontais, o que será
fundamental para a análise da performance dos modelos constitutivos.
1.3 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO
Esta dissertação é dividida em seis capítulos, da seguinte forma:
• no presente capítulo são apresentados a relevância e os objetivos da pesquisa;
• no Capítulo 2 são apresentados os modelos constitutivos analisados neste trabalho,
bem como uma revisão de outras propostas de modelagens constitutivas baseadas
na teoria de estados críticos;
• no Capítulo 3 é apresentada a modelagem do comportamento mecânico de solos
não saturados e a solução numérica das equações obtidas;
• no Capítulo 4 são apresentados o programa de simulação de trajetórias impostas de
tensões CRISMUS e o programa de Elementos Finitos COUPSO, bem como a
validação desses programas;
• no Capítulo 5 são apresentadas simulações analíticas utilizando o programa
CRISMUS e simulações numéricas de ensaios oedométricos utilizando o programa
COUPSO. É apresentada também a análise dos resultados obtidos nessas
simulações;
• no Capítulo 6 são apresentadas as conclusões do trabalho, bem com sugestões para
pesquisas futuras.
Em relação à simbologia matemática adotada, convencionou-se representar escalares
com fonte normal e matrizes e vetores utilizando negrito. Foi feita exceção aos vetores de
termos dos tensores de tensões e deformações, que serão representados com os símbolos ~
σ e
~ε , respectivamente.
4
CAPÍTULO 2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Neste capítulo são apresentadas e discutidas algumas propostas existentes na literatura
de modelos constitutivos de solos não saturados. São abordadas relações constitutivas para a
estrutura do solo, ou seja, modelos para a relação entre tensões e deformações e conceitos
envolvidos na modelagem constitutiva das fases ar e água.
Os modelos para as fases ar, água e da estrutura do solo formam o conjunto de
relações constitutivas requerido para a modelagem do comportamento mecânico de solos não
saturados. Será dada maior atenção à análise de modelos para a relação entre tensões e
deformações, principal foco deste trabalho.
Antes da abordagem dos modelos propriamente ditos, será feita uma breve
apresentação de alguns conceitos básicos da teoria dos solos não saturados. Será apresentada a
discussão em torno da definição de variáveis de tensão adequadas e a modelagem da
resistência ao cisalhamento.
2.1 CONCEITOS BÁSICOS PARA SOLOS NÃO SATURADOS
2.1.1 VARIÁVEIS DE TENSÃO PARA SOLOS NÃO SATURADOS
Algumas das primeiras tentativas de explicar o comportamento mecânico de solos não
saturados foram apresentadas por Bishop (1959), em relação à resistência ao cisalhamento e
Blight (1965) em relação à compressibilidade. A preocupação desses autores era definir uma
equação para uma única variável de tensões, que seria a tensão efetiva em solos não saturados.
Assim, seria possível a modelagem do comportamento mecânico de solos não saturados de
forma semelhante à que é feita para solos saturados. A equação proposta é conhecida como
equação de Bishop:
)(' waa uuu −+−= χσσ (2.1)
onde:
χ é um parâmetro constitutivo assumido como função da saturação do solo;
5
σ é a tensão normal total em qualquer direção;
ua é a pressão de ar;
uw é a pressão de água.
Jennings & Burland (1962) e Burland (1965) mostraram que a equação de tensões
efetivas proposta por Bishop não tem completa validade. No caso de solos colapsíveis, por
exemplo, essa equação não se adequa bem à modelagem da resistência ao cisalhamento e da
mudança de volume. Os autores enfatizaram a importância de separar duas variáveis de
tensões: o excesso de tensões totais do solo em relação à pressão de ar, aqui chamado
simplesmente de tensões totais líquidas (σ–ua), e o excesso de pressão de ar no solo em
relação à pressão de água, ou seja, a sucção mátrica (ua–uw).
Coleman (1962), de forma semelhante, sugeriu o uso das variáveis (σ1–ua), (σ3–ua) e
(ua–uw) para representar as tensões axial e confinante e a poro pressão, respectivamente, em
ensaios de compressão triaxial. Além disso, Blight (1967), reconhecendo os problemas em
relação à equação de Bishop, apontou dificuldades de obtenção do parâmetro χ,
principalmente devido às diferentes formas como poderiam ser interpretados os resultados dos
ensaios realizados para sua determinação.
Baseados no fato de que para conhecer o estado de um solo não saturado é necessário
conhecer o índice de vazios e a umidade w (ou o grau de saturação Sr) e reconhecendo a
necessidade de utilizar duas variáveis de tensão, Mathias & Radhakrishna (1968)
introduziram o conceito de superfícies de estado. Os autores estabeleceram que o estado de
um solo não saturado é completamente descrito por duas superfícies: a superfície que
representa a variação do índice de vazios com as variáveis de tensão (σ–ua) e (ua–uw) e a
superfície que representa a variação do grau de saturação com as variáveis de tensão (σ–ua) e
(ua–uw). Os autores ressaltaram também as restrições que a abordagem por superfícies de
estado podem ter, no caso de solos que apresentam histerese, limitando a unicidade das
superfícies de estado a trajetórias de tensão com grau de saturação não decrescente e a casos
em que o solo não apresenta expansão.
Fredlund & Morgenstern (1976, 1977) apresentaram uma teoria geral para solos não
saturados, baseada em uma abordagem do ponto de vista da mecânica do contínuo. O solo não
saturado foi considerado como um sistema composto por quatro fases: ar, água, esqueleto
sólido e película contráctil. Os autores mostraram teórica e experimentalmente que o
comportamento mecânico dos solos não saturados pode ser adequadamente descrito, quando
baseado em qualquer par de variáveis de tensão escolhido utilizando as três variáveis
6
seguintes: (σ–ua), (σ–uw) e (ua–uw). Na prática, prefere-se trabalhar com (σ–ua) e (σ–uw), pois
assim separam-se os efeitos de mudanças na tensão total dos efeitos de mudanças na pressão
de água. Foi apontada uma incompatibilidade conceitual em relação à utilização da equação
de Bishop, argumentando que a introdução de um parâmetro constitutivo na equação que
define tensões efetivas está em desacordo com princípios da mecânica dos meios contínuos.
Após os trabalhos de Mathias & Radhakrishna (1968) e de Fredlund & Morgenstern
(1976, 1977), a discussão em torno do estabelecimento de variáveis de tensão adequadas
parece ter atingido razoável consenso. A partir daí, a maior parte dos avanços em modelagem
constitutiva de solos não saturados seguiu a linha de utilização das variáveis (σ–ua) e (ua–uw).
Todos os modelos estudados neste trabalho, tanto o elástico incremental quanto os
modelos de estados críticos, utilizam as variáveis de tensão (σ–ua) e (ua–uw). A variável de
tensão (ua–uw), conhecida como sucção mátrica do solo, será chamada neste trabalho
simplesmente de sucção.
2.1.2 RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO DE SOLOS NÃO SATURADOS
Fredlund et al. (1978) apresentaram uma equação para a resistência ao cisalhamento de
solos não saturados baseada nas duas variáveis de tensão, (σ–ua) e (ua–uw):
( ) ( ) bfwafafff uuuc φφστ tan'tan' −+−+= (2.2)
onde:
τff é a tensão cisalhante no plano de ruptura, na ruptura;
c’ é o intercepto da envoltória de ruptura com o eixo de tensões cisalhantes, para o solo na
condição saturada;
(σf – ua)f é a tensão total líquida normal ao plano de ruptura, na ruptura;
φ’ é o ângulo de atrito interno associado com a variável de tensão (σ–ua);
(ua – uw)f é a sucção mátrica na ruptura;
φb é o ângulo que indica a taxa de aumento de τff com a variável de tensão (ua–uw).
Evidências experimentais têm demonstrado que para solos que possuem estrutura
estável, os parâmetros c’ e φ’ são razoavelmente constantes, enquanto que o parâmetro φb
pode ser não constante (Escario & Saez, 1986 e Fredlund, Rahardjo & Gan, 1987). Para solos
7
altamente colapsíveis, parece ser necessário idealizar um comportamento não linear para os
três parâmetros: c’, φ’ e φb (Pereira, 1996).
A idéia implícita na equação proposta por Fredlund et al. (1978), de que a resistência
ao cisalhamento pode ser representada pelos parâmetros c’, φ’ e φb, quer constantes ou não,
permite uma modelagem adequada da resistência ao cisalhamento de solos não saturados. Por
esse motivo esta proposta tem grande aceitação.
2.2 MODELOS PARA A ESTRUTURA DOS SOLOS NÃO SATURADOS
Neste item são apresentados modelos para a estrutura dos solos não saturados. Todos
os modelos apresentados neste item seguem a linha de utilização das duas variáveis de tensão
(σ–ua) e (ua–uw). Serão apresentados em detalhe o modelo elástico incremental de Fredlund
(1979) e os modelos de estados críticos de Alonso et al. (1990) e de Balmaceda (1991).
Após a apresentação dos três modelos citados, será feito um breve relato de outros
estudos em torno de modelos de estados críticos para solos não saturados, dando uma visão
geral de quão validados têm sido esses modelos e mostrando que tipos de aperfeiçoamentos
têm sido propostos.
2.2.1 MODELO ELÁSTICO INCREMENTAL DE FREDLUND (1979)
Fredlund (1979) sugeriu uma relação constitutiva elástica, baseada em observações
semi-empíricas. Trata-se da equação de Hooke generalizada, estendida para o caso de solos
não saturados por meio da utilização de duas variáveis de tensão: (σ–ua) e (ua–uw). No caso de
um solo isotrópico tem-se:
)()()( waazyaxx uudH
udE
udE
d −+−+−−=1
21
σσµ
σε (2.3)
)()()( waazxayy uudH
udE
udE
d −+−+−−=1
21
σσµ
σε (2.4)
)()()( waayxazz uudH
udE
udE
d −+−+−−=1
21
σσµ
σε (2.5)
onde:
dε i são incrementos de deformações normais nas direções i;
8
dσi são incrementos de tensões normais nas direções i;
E é o módulo de Young;
µ é o coeficiente de Poisson;
H é o módulo de elasticidade para variações de sucção.
As relações entre tensões e deformações cisalhantes são admitidas independentes do
estado das fases ar e água, assim como é feito para solos saturados. Desta forma, tem-se:
xyxy dG
d τγ1
= (2.6)
xzxz dG
d τγ1
= (2.7)
yzyz dG
d τγ1
= (2.8)
onde:
dγij são incrementos de deformações cisalhantes nos planos cuja normal é i e nas direções j;
dτij são incrementos de tensões cisalhantes nos planos cuja normal é i e nas direções j;
G é o módulo cisalhante ( )1(2 µ−= EG ).
Reconhecendo que a relação entre tensões e deformações de solos não saturados pode
ser não linear, admite-se que as Eqs. 2.3 a 2.8 são válidas apenas para pequenos incrementos.
Os parâmetros da relação entre tensões e deformações podem ser obtidos por meio da
superfície de estado de índice de vazios, ou equivalentemente por meio da superfície de
estado de variação volumétrica (Fig. 2.1). Pode-se modelar a variação volumétrica do solo
simulando os carregamentos em pequenos incrementos, onde para cada incremento tem-se
novos módulos, que variam conforme caminha-se sobre a superfície de estados de índice de
vazios.
Para relacionar os parâmetros das Eqs. 2.3, 2.4 e 2.5 com a superfície de estado de
índice de vazios, primeiramente deve-se observar que partindo de um ponto qualquer sobre a
superfície (Fig. 2.1), tem-se que a variação volumétrica é função das inclinações nas direções
de (σ–ua) e (ua–uw). Essas inclinações representam os parâmetros de compressibilidade do
solo em relação à tensão total líquida e em relação à sucção. Os parâmetros de
compressibilidade são definidos de acordo com as Eqs. 2.9 e 2.10:
9
)()( amédaméd
vs
udde
eudd
m−+
=−
=σσ
ε
01 1
1 (2.9)
)()( wawa
vs
uudde
euudd
m−+
=−
=0
2 11ε
(2.10)
onde:
m1s representa a compressibilidade da estrutura do solo em relação a variações de tensões
totais líquidas;
m2s representa a compressibilidade da estrutura do solo em relação a variações de sucção;
d representa incremento;
εv é a deformação volumétrica específica (εv= εx+ εy+ εz);
σméd é a tensão normal total média ( 3)( zyxméd σσσσ ++= );
e0 é o índice de vazios inicial;
de é a variação de índice de vazios.
m1s
m2s
(ua - uw)
(σméd - ua)
∆Vv /V0
Figura 2.1 – Superfície de estado de variação volumétrica da estrutura do solo.
Por outro lado, das relações elásticas (Eqs. 2.3, 2.4 e 2.5), tem-se que:
)()( waamédvv uud
Hud
Ed
VdV
−+−
−
==321
30
σµ
ε (2.11)
10
Comparando a Eq. 2.11 com as Eqs. 2.9 e 2.10, obtém-se as relações entre as
compressibilidades, os módulos de elasticidade (E e H) e o coeficiente de Poisson (µ):
Em s )( µ213
1−
= (2.12)
Hm s 3
2 = (2.13)
Pode-se observar que a Eq. 2.12 é insuficiente para a obtenção dos módulos requeridos
pela relação elástica. Uma opção é arbitrar um valor constante para o coeficiente de Poisson e,
juntamente com o valor de sm1 , calcular o módulo E. No entanto, nos casos em que as
variações de µ são grandes, como no caso de solos que sofrem mudança em sua estrutura
(solos colapsíveis, por exemplo), este tipo de simplificação pode ser inadequado, pois a
avaliação correta da variação de µ passa a ser mais importante. Para obter a variação de µ são
necessários ensaios nos quais se tenha controle das tensões e deformações em todas as
direções, como ensaios triaxiais com medidas de deformações radiais ou ensaios
oedométricos com medidas de tensões horizontais.
2.2.1.1 MODIFICAÇÕES PROPOSTAS POR PEREIRA (1996)
Uma interessante aplicação do modelo incremental de Fredlund (1979) foi apresentada
por Pereira (1996). Analisou-se o comportamento mecânico de barragens de terra colapsíveis
durante o primeiro enchimento do reservatório. O solo utilizado foi uma areia argilosa
residual de gnaisse compactada com um teor de umidade abaixo da umidade ótima e com
massa específica seca em torno de 90% da obtida com a energia de compactação do Proctor
normal. Como tratava-se da análise do primeiro enchimento de barragens, o problema
estudado consistia do estudo de trajetórias monotônicas de molhagem. Os parâmetros da
modelagem da estrutura do solo foram provenientes de uma superfície de estado de índice de
vazios obtida para trajetórias de molhagem em ensaios em uma célula de compressão
isotrópica com controle de sucção. Esses resultados foram combinados com dados de ensaios
oedométricos e retroanálises numéricas.
Pereira (1996) propôs uma modificação do modelo elástico incremental de Fredlund,
baseado em seus resultados experimentais e em observações de Lawton et al. (1991), de que
sob trajetórias de molhagem o colapso volumétrico do solo é uma função da tensão total
11
média. Lawton et al. (1991) observou também que pode ocorrer compressão nas direções
submetidas às maiores tensões totais líquidas e expansão nas direções submetidas às menores
tensões totais líquidas. Em outras palavras, foi observada uma anisotropia induzida pelo
estado de tensões, em trajetórias de molhagem (Fig. 2.2).
O mesmo padrão de comportamento de solos colapsíveis submetidos à trajetórias de
molhagem foi observado por Daylac (1994), Oliveira (1998) e Peixoto (1999). Estes autores,
utilizando células oedométricas com controle de sucção e instrumentação para a obtenção das
tensões laterais, obtiveram aumento do valor da razão ( ) ( )avah uuK −−= σσ0 com a redução
da sucção, o que tem o mesmo significado físico dos resultados de Lawton et al. (1991).
σx
σy
σx = σyσx
σy
σx < σy
Figura 2.2 – Deformações em trajetórias de redução da sucção.
Para modelar a anisotropia induzida pelo estado de tensões, a modificação introduzida
por Pereira (1996) consistiu em uma alteração nos módulos H, da seguinte forma:
)()()( wax
azyaxx uudH
udE
udE
d −
+
+−+−−=χ
σσµ
σε1
21
(2.14)
)()()( way
azxayy uudH
udE
udE
d −
++−+−−=
χσσ
µσε
12
1 (2.15)
)()()( waz
ayxazz uudH
udE
udE
d −
+
+−+−−=χ
σσµ
σε1
21 (2.16)
onde χi são os fatores de anisotropia.
É necessário que os fatores χi sejam tais que se tenha χx +χy +χz = 0. Assim, garante-
se que o efeito da inclusão dos fatores de anisotropia não altere a deformação volumétrica,
ocorrendo mudança apenas nas componentes de deformações individuais.
Na falta dos dados experimentais necessários (medidas de tensões e deformações
12
laterais), Pereira (1996) obteve os fatores de anisotropia em um processo de tentativa e erro.
Procurou-se os valores de χx, χy e χz constantes para os quais a simulação numérica de ensaios
oedométricos em trajetórias de molhagem, sob tensão vertical constante, reproduzisse o
colapso obtido em ensaios oedométricos deste tipo. Foram adotados iguais valores de χ nas
duas direções horizontais. O autor reconheceu que no caso de análises de deformações planas,
como era o caso da barragem analisada, a utilização de fatores χi iguais para as duas direções
horizontais é conservativa, porque valores menores na direção horizontal fora do plano
perfeitamente confinado deveriam diminuir os deslocamentos verticais induzidos pela
molhagem. Outro problema em relação à forma como foram obtidos os fatores χi é que os
coeficientes de anisotropia não são necessariamente constantes ao longo da trajetória de
molhagem.
Para obter a variação dos fatores χi, o ideal seria obter experimentalmente uma relação
dos χi com o estado de tensões. Caso sejam disponíveis resultados de ensaios oedométricos
com medidas de tensões laterais, pode-se obter tal relação utilizando as Eqs. 2.14, 2.15 e 2.16,
contanto que se arbitre o valor do coeficiente de Poisson. O fato é que a obtenção simultânea
de µ e dos fatores χi utilizando as equações disponíveis não é possível, pois existem mais
incógnitas do que equações.
Além da inclusão dos fatores χi, outro detalhe interessante do trabalho de Pereira
(1996) foi a forma alternativa de avaliação do coeficiente de Poisson, µ. Como não haviam
disponíveis ensaios com medidas de tensões e deformações laterais, foi necessário fazer uma
avaliação relativamente arbitrária. A variação de µ na condição saturada foi obtida
relacionando o resultado de ensaios oedométricos e de ensaios de compressão isotrópica.
Considerando que iguais deformações volumétricas correspondem a iguais tensões médias
(Lawton et al, 1991), chega-se à seguinte expressão:
cv
vcs σσ
σσµ
33
+−
= (2.17)
onde:
µs é o coeficiente de Poisson para o solo saturado;
σc é a tensão total de confinamento em um ensaio de compressão isotrópica, para um dado
índice de vazios;
σv é a tensão vertical em um ensaio oedométrico, para o mesmo índice de vazios.
13
Para a variação de µ com a sucção, Pereira (1996) adotou uma função que obedece aos
limites obtidos para o solo saturado e ao limite arbitrado de 0,3 para o solo na condição não
saturada de compactação. Para a forma da função entre esses limites, arbitrou-se uma equação
semelhante à obtida pelo autor para a variação do índice de vazios, ou seja, proporcional ao
colapso volumétrico do solo. A equação adotada foi a seguinte:
−
+
−+=
dwa
ufu
cuu
1
µµµµ (2.18)
)ln( amédf uba −+= σµ (2.19)
322
1 cucucc amédaméd +−+−= )()( σσ (2.20)
21
daméd udd )( −= σ (2.21)
onde a, b, c1, c2, c3, d1, d2, e µu são parâmetros constante obtidos a partir dos dados
experimentais, utilizando técnicas de ajuste através de regressão.
Utilizando os dados de Pereira (1996), a Eq. 2.18 gera a seguinte variação do
coeficiente de Poisson para o solo estudado:
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
30 60 90 120 150 180 210 240
(σméd - ua) - kPa
Coe
f. de
Poi
sson
- µ
0 kPa50 kPa
100 kPa
150 kPa
400 kPa
sucção
Figura 2.3 – Variação do coeficiente de Poisson adotada por Pereira (1996).
Conforme foi mostrado no trabalho de Pereira (1996), a modelagem elástica
incremental de Fredlund (1979) baseada em superfícies de estado pode ser adequadamente
aplicada no caso de trajetórias de variação de sucção monotônicas. Os resultados obtidos
puderam ser adequadamente ajustados, com a inclusão dos fatores χi. No entanto, no caso de
14
ciclos de molhagem e secagem, a superfície de estado não pode mais ser considerada única
(Mathias & Radhakrishna, 1968), o que prejudica a modelagem.
Neste trabalho, será comparada a performance da modelagem elástica incremental de
Fredlund (1979) com e sem os coeficientes de anisotropia, com um modelo de estados críticos
para solos não saturados. As comparações serão feitas considerando trajetórias de molhagem.
2.2.2 GENERALIDADES DA RELAÇÃO CONSTITUTIVA ELASTOPLÁSTICA
Para compreender os modelos de estados críticos que serão apresentados a seguir, é
importante abordar algumas generalidades em torno dos modelos elastoplásticos com
endurecimento isotrópico. As expressões apresentadas neste item têm por objetivo demonstrar
quais os componentes de um modelo elastoplástico e suas funções na formulação.
Adicionalmente, apresenta-se uma forma adequada de escrever estes modelos, objetivando
sua implementação em uma solução numérica.
No caso de se resolver pelo Método dos Elementos Finitos as equações de equilíbrio
expressas em termos de deslocamentos, é conveniente escrever a relação constitutiva
elastoplástica para solos não saturados em função das variáveis de tensão (σ–ua) e (ua–uw), da
seguinte forma:
dsdd epep hD*~~−= εσ (2.22)
onde:
d representa incremento;
*~
σ é o vetor de tensões totais líquidas: yzxzxyazayaxT uuu τττσσσ −−−=
~*σ ;
~ε é o vetor de deformações: yzxzxyzyx
T γγγεεε=~ε ;
s é a sucção mátrica: wa uus −= ;
Dep é uma matriz de termos constitutivos;
hep é um vetor de termos constitutivos.
Para obter as expressões dos termos constitutivos de Dep e hep, deve-se primeiramente
assumir que incrementos de deformação total ~ε podem ser divididos em uma parcela elástica,
e
~ε , e em uma plástica, p
~ε . O limite que divide os domínios elástico e plástico, ou seja, a
superfície de escoamento, pode ser postulada como sendo função do estado de tensões e de
15
um parâmetro de endurecimento, Γ :
0 =Γ ),*,(~
sF σ (2.23)
No caso dos modelos de estados críticos analisados neste trabalho, considera-se apenas
endurecimento plástico isotrópico, sendo este controlado pela deformação volumétrica
plástica. O endurecimento plástico isotrópico significa variações no tamanho da superfície de
escoamento. Outro tipo de endurecimento, não considerado nestes modelos, é o
endurecimento cinemático, representado por translações da superfície de escoamento.
Enquanto a superfície de escoamento não é atingida (F<0), as deformações são
admitidas recuperáveis, puramente elásticas, podendo ser expressas da seguinte forma:
dsddsdd eeeeee H*DhD*D~~~
+=+=−−−
σσε111
(2.24)
onde De é a matriz elástica, dependente do módulo de Young (E) e do coeficiente de Poisson,
(µ) e o vetor He armazena os termos constitutivos que levam em conta incrementos de sucção.
Uma vez atingido o escoamento, as deformações passam a ser definidas em função do
potencial plástico. Nos modelos de Alonso et al. (1990) e Balmaceda (1991) existe uma
superfície de escoamento (F1) que possui a forma elíptica apresentada na Fig. 2.7. As
deformações relacionadas com o escoamento nessa superfície são obtidas com uma lei de
fluxo não associada (G1). Nestes modelos existe também outra superfície de escoamento para
incrementos de sucção (Fig. 2.7), assumida como sendo um plano (F2). Para obter as
deformações relacionadas com escoamento nesta superfície, esses modelos utilizam uma lei
de fluxo associada (G2), de forma que a derivada total do potencial plástico em relação à
sucção torna-se igual à unidade. Assim, tem-se que as deformações plásticas podem ser
escritas conforme a equação:
dsG
d p p
~~
H*
+∂∂
Λ=σ
ε 1 (2.25)
onde Λ é uma constante de proporcionalidade e o termo Hpds fornece as deformações
produzidas quando ocorre escoamento na superfície planar (F2).
Se a lei de escoamento G2 não fosse tão simples, ter-se-ia que expressar a Eq. 2.25
16
utilizando duas constantes de proporcionalidade e as deduções destas duas constantes de
proporcionalidade resultariam em uma relação entre deformações e variáveis de tensão mais
complexa.
Pelo princípio da aditividade, deformações totais podem ser escritas como a soma das
parcelas dadas pelas Eqs. 2.24 e 2.25, resultando em:
dsG
dsdddd p p
~
e
~
1e
~
e
~~H
*H*D +
∂∂
Λ++=+=σ
σεεε− 1 (2.26)
Para tornar a Eq. 2.26 completamente definida, a constante de proporcionalidade Λ
precisa ser obtida. Considerando a lei de consistência em relação à superfície F1, pode-se
escrever:
01111 =Γ
Γ∂∂
+∂
∂+
∂∂
= dF
dssF
dF
dF
T
** ~
~
σσ
(2.27)
ou, de outra forma:
0111 =Λ−
∂∂
+
∂∂
= AdssF
dF
dF
T
** ~
~
σσ
(2.28)
onde:
*~~
~
~σε
ε
ε ∂∂
∂Γ∂
Γ∂∂
−=Λ
∂Γ∂
Γ∂∂
−=ΛΓ
Γ∂∂
−= 1111 GFdFdFA
T
p
pT
p (2.29)
Na Eq. 2.29, verifica-se que A é zero no caso de modelos perfeitamente plásticos.
O próximo passo para a definição de Λ é pré multiplicar a Eq. 2.26 por
( ) eTF D*~σ∂∂ 1 , obtendo:
( )dsFGF
dF
dF e
T
e
T
e
TT
pe
~~~~
~~
~
HHD**
D*
D*
**
+
∂∂
−Λ∂∂
∂∂
−
∂∂
=
∂∂
σσσε
σσ
σ11111 (2.30)
17
Finalmente, substituindo a Eq. 2.30 na Eq. 2.28 e rearranjando, obtém-se a expressão
buscada para Λ, conforme definido abaixo:
( )
∂∂
−+
∂∂
−
∂∂
−=Λ ds
sFF
dF
AAe
T
e
T
cr
1111 pe
~~
~
HHD*
D* σ
εσ
(2.31)
onde:
*D
*~~
σσ ∂∂
∂∂
−= 11 GFA e
T
cr (2.32)
A partir da definição de uma relação para Λ, pode-se escrever uma equação final para
a relação elastoplástica procurada. Substituindo a Eq. 2.31 na Eq. 2.26, tem-se:
( ) ( ) dsG
AAsFF
dFG
AAdsdd
cr
p
T
p
T
cr
epep
∂∂
−
∂∂
++
∂∂
−++−
∂∂
∂∂
−−=−=
*DHHD
*HHD
D**
DDhD*
~
eee
~
ee
~
e
~~
ee
~~
σσ
εσσ
εσ
111
11
1
1
(2.33)
Usualmente faz-se algumas simplificações na relação constitutiva dada pela Eq. 2.33,
baseadas em aspectos fenomenológicos, idealizando o comportamento físico do solo. Como
simplificação, assume-se que deformações cisalhantes não geram tensões normais, tensões
cisalhantes não geram deformações normais e deformações cisalhantes em uma direção geram
tensões cisalhantes apenas nesta mesma direção (Chou & Pagano, 1967). Assume-se também
que variações de sucção mátrica resultam em incrementos de deformação normal, mas não
produzem deformações cisalhantes (Alonso, 1993). Desta forma, tem-se que admitir que
certos termos da matriz Dep e do vetor hep são nulos.
Levando em conta a forma dos termos obtidos para a relação elastoplástica
apresentados no Apêndice A e as simplificações assumidas, pode-se escrever a seguinte
relação constitutiva genérica:
dsdd H*D~~
+= − σε 1 (2.34)
dsddsdd hDDHD*~~~−=−= εεσ (2.35)
18
sendo:
=
=
=
000
e
000
,
000000000000000000000000
3
2
1
3
2
1
66
55
44
332313
322212
312111
hhh
HHH
DD
DDDDDDDDDD
hHD (2.36)
Não foram colocados índices nas matrizes constitutivas das Eqs. 2.34 a 2.36, para
ressaltar que tratam-se de equações gerais, que abrangem todos os modelos analisados neste
trabalho. Tanto os modelos elastoplásticos de estados críticos assumindo a simplificação
mencionada, quanto o elástico incremental, produzem matrizes constitutivas que são casos
particulares ou coincidentes com as Eqs. 2.34 a 2.36.
2.2.3 MODELO DE ESTADOS CRÍTICOS DE ALONSO ET AL. (1990)
Alonso et al. (1987) apresentaram uma extensão qualitativa a solos não saturados do
conceito de estados críticos. Partindo do modelo qualitativo, Alonso et al. (1990)
apresentaram uma modelagem quantitativa, baseada em resultados de ensaios oedométricos
com controle de sucção em solos compactados pouco ou não expansivos. O modelo elaborado
consiste basicamente em uma extensão do modelo Cam-Clay modificado para solos não
saturados. Detalhes sobre o modelo Cam-Clay modificado podem ser vistos em Wood (1990).
De acordo com o modelo, as variações de volume específico (υ=1+e) podem ser
produzidas por variações de sucção, s = ua – uw, ou da tensão normal líquida média, p.
Admite-se para a forma desta variação linhas retas em relação ao valor do logaritmo natural
de p ou s, conforme ilustram as Figs. 2.4 e 2.5.
κ
λ(s2)λ(s1)
λ(0)
p0(s2)p0(s1)p0*
υ = e+1
ln p
Figura 2.4 – Gráficos de compressibilidade em relação às variações da tensão média p.
19
κs
λs
s0
υ = e+1
ln s
Figura 2.5 – Gráficos de compressibilidade em relação às variações de sucção mátrica s.
No caso de variações de p, o parâmetro κ corresponde às deformações recuperáveis e
λ(s), às deformações elastoplásticas, sendo que o limite do domínio elástico é dado por p0(s).
Para variações de s, o parâmetro κs corresponde às deformações recuperáveis e λs, às
deformações elastoplásticas, sendo que o limite do domínio elástico é dado por s0. As
equações a seguir correspondem às retas descritas:
pdp
d ep κυ −= (2.37)
( )atms
es ps
dsd
+−= κυ (2.38)
( )p
dpsd p
p λυ −= (2.39)
( )atms
ps ps
dsd
+−= λυ (2.40)
Nas Eqs. 2.37 e 2.39 foi adicionada a pressão atmosférica, patm, para evitar divisão por zero.
Os parâmetros de compressibilidade κ, κs e λs foram admitidos constantes, por simplicidade e
por falta de evidências experimentais suficientes para definir seus padrões de variação. Como
demonstra a simbologia adotada e conforme é ilustrado na Fig. 2.4, o parâmetro de
compressibilidade λ(s) é admitido função da sucção mátrica. Para tal, adotou-se uma relação
assintótica:
]r)sexp()r)[(()s( +−−= βλλ 10 (2.41)
onde:
20
λ(0) é a compressibilidade do solo saturado;
r é uma constante que indica a máxima variação de compressibilidade do solo;
β é uma constante que controla a forma de variação da compressibilidade do solo.
A Figura 2.6 mostra o aspecto da função de variação de λ(s) e o papel dos parâmetros
r e β . Alonso et al. (1990) limitaram r a valores inferiores a 1, pois seus resultados
experimentais indicam que a compressibilidade do solo diminui com o aumento da sucção.
Este tipo de comportamento foi observado por outros autores, para amostras compactadas
submetidas à trajetórias de compressão (Rico & Del Castillo citado por Alonso et al., 1990,
Vicol citado por Alonso et al., 1990 e Oliveira, 1998). No entanto, outros autores têm
observado aumento da compressibilidade associado ao aumento de sucção (Wheeler &
Sivakumar, 1995 e Futai, 1997), o que se contrapõe ao padrão de comportamento que é
reproduzido pelo modelo de Alonso.
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450sucção - s
λ(s)
0.10
0.06
0.03
0.02
0.01
r = λ(0)/λ(s=>oo) = 0,20/0,40 = 0,5
β
Figura 2.6 – Influência do parâmetro β na forma da curva de variação de λ(s).
Considera-se que o limite do domínio elástico é dado por duas superfícies de
escoamento: um elipsóide chamado superfície LC (“Load Collapse”), e um plano chamado
superfície SI (“Suction Increase”). As superfícies de escoamento são mostradas na Fig. 2.7.
As equações que definem as superfícies de escoamento LC (F1) e SI (F2), em função
dos invariantes de tensões p, J e θ, são dadas a seguir:
ss
*
pppp
)pp)((gJ
)p,s,,J,p(F+−
−+
= 022
2
01 θθ (2.42)
21
02 ss)s(F −= (2.43)
κλκλ
−−
=
)()(
* s
cc
pp
pp
0
00 (2.44)
ksp s = (2.45)
onde:
p, J e θ são invariantes de tensões definidos no Apêndice A;
s0 indica a posição da superfície SI (F2);
p0* é a tensão média de escoamento para sucção zero;
pc é uma tensão de referência, obtida por ajuste dos resultados experimentais;
g(θ) corresponde à inclinação da linha de estados críticos (critério de Mohr-Coulomb).
k corresponde à taxa de ganho de resistência ao cisalhamento com o aumento da sucção.
q
p
s
SI
LC
p0*
arc tan(k)
s0
1
3a2
4
3b
M
MM
Figura 2.7 – Superfícies de escoamento para o modelo de Alonso et al. (1990) e algumas
trajetórias de tensão.
No caso de se ter σ2=σ3, os invariantes p, J e θ se reduzem a: ( ) aup −+= 32 31 σσ ,
( ) 331 σσ −== qJ e 6πθ −= . Tem-se também que ( ) ( ) ( )φφθ sensen −== 363Mg .
O modelo de Alonso reproduz importantes aspectos do comportamento dos solos não
saturados pouco ou não expansivos. O modelo prevê o aumento da pressão de escoamento
22
com a sucção, dado pela Eq. 2.44, e o aumento da coesão do solo com a sucção mátrica, dado
pela Eq. 2.45. Graficamente, tais características do modelo são evidenciadas pela forma do
elipsóide de escoamento, cuja seção cresce com o aumento da sucção (Fig. 2.7).
Além do modelo reproduzir a existência de deformações plásticas induzidas por
variações da tensão total líquida média e da tensão cisalhante (trajetórias 1 e 2 da Fig. 2.7), o
modelo prevê também a possibilidade de ocorrerem deformações plásticas induzidas por
variação de sucção (trajetórias 3a e 4 da Fig. 2.7). O nível de colapso modelado em trajetórias
de molhagem depende da tensão total média. Para baixos valores de p, tem-se apenas
expansão elástica (trajetória 3b da Fig. 2.7) e, a partir de certo valor de p, começa a ocorrer
colapso, reproduzido pelo escoamento (trajetória 3a da Fig. 2.7).
Em trajetórias de molhagem, o comportamento reproduzido pelo modelo mostra, para
maiores tensões totais médias, maiores colapsos, de forma indefinida. Portanto, o modelo não
permite a correta modelagem de solos que apresentam máximo colapso. Na Fig. 2.8 é
apresentada a forma de evolução da superfície LC para parâmetros arbitrários, no plano q=0,
conforme aumenta p0* (endurecimento). O fato da superfície se tornar indefinidamente mais
inclinada é o que produz um colapso maior para tensões maiores, de forma indefinida.
0
100
200
300
400
500
0 200 400 600 800 1000 1200tensão total líquida média - p
sucç
ão -
s
p0*= 20
p0*= 40p0*= 60
p0*=100
Figura 2.8 – Forma de evolução da superfície LC para o modelo de Alonso et al. (1990).
O modelo de Alonso et al. (1990) relaciona a expansão das superfícies LC e SI, ou
seja, o endurecimento do solo, com a deformação volumétrica plástica, pυε (subscrito υ indica
volumétrica e sobrescrito p indica plástica), da seguinte forma:
( )pd
pdp
υεκλ
υ−
=00
0*
*
(2.46)
23
p
ssatm
dps
dsυε
κλυ−
=+0
0 (2.47)
Assim, deformações plásticas induzidas por secagem produzem também expansão da
superfície LC, ou seja, é reproduzido o aumento da “pressão de pré adensamento” induzido
por secagem. Da mesma forma, deformações plásticas induzidas por variação de tensões
totais induzem também expansão da superfície SI. De acordo com a lei de endurecimento
apresentada na Eq. 2.29, o termo Γ deve ser substituído por p0*.
Para escoamento na superfície LC (F1), a lei de fluxo adotada (G1) é a seguinte:
~~~~**** σσσσ ∂
∂∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂ θ
θω 1111 FJ
JFp
pFG
(2.48)
onde ω é um parâmetro de desassociação.
Segundo Gens & Potts citado por Alonso et al. (1990), os modelos de estados críticos
convencionais freqüentemente superestimam valores de K0. Procurando evitar esse problema,
foi adotada a sugestão de Ohmaki citado por Alonso et al. (1990), de adoção de um valor de ω
tal que a lei de fluxo preveja deformação lateral nula em trajetórias K0. Analiticamente,
obtém-se:
( ) ( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )011
3627
3933λκθ
θθθω
−−
−−=
g
ggg (2.49)
Quando ocorre escoamento na superfície SI (F2), a lei de fluxo adotada (G2) é
associada. Assim, tem-se:
122 =∂
∂=
∂∂
sF
sG
(2.50)
No total, o modelo de Alonso et al. (1990) requer 10 parâmetros: λ(0), κ, λs, κs, r, β ,
pc, µ ou G, φ, k. No caso de trajetórias em que não ocorre aumento de sucção mátrica
atingindo a superfície SI, o parâmetro λs é dispensado, sendo necessários neste caso um total
de 9 parâmetros. De qualquer forma, é um número de parâmetros bem maior do que os 4
requeridos pelo Cam-Clay para solos saturados, que são: λ, κ, µ ou G e φ.
24
Para a obtenção dos parâmetros do modelo são requeridos ensaios em diversas
trajetórias. São necessários ensaios em trajetória de aumento e redução de sucção, sob tensão
total líquida constante, para a obtenção de κs e λs e ensaios em trajetórias de compressão
isotrópica ou confinada sob várias sucções, para a obtenção de λ(0), κ , r, β e pc.
Adicionalmente, são necessários ensaios em trajetórias de cisalhamento levando à ruptura sob
várias sucções e tensões totais, para a obtenção de φ, φb e G ou µ.
No Apêndice A são apresentados detalhes adicionais da formulação matemática do
modelo, demonstrando a forma de obtenção dos termos da relação constitutiva elastoplástica.
2.2.4 MODELO DE ESTADOS CRÍTICOS DE BALMACEDA (1991)
O modelo de Balmaceda (1991) foi desenvolvido com base no modelo de Alonso et al.
(1990). Este modelo possui como principais modificações novas leis para as curvas (υ, p), de
forma que se prevê um máximo colapso para determinado valor de p. Para tal, propôs-se uma
nova equação para a variável p0 da superfície LC, que passou a depender de um maior número
de variáveis e de funções mais complexas. Manteve-se para a superfície de escoamento LC a
forma elipsóide e para a superfície SI a forma planar proposta por Alonso et al. (1999). As
variações de volume específico produzidas por variações no estado de tensões são dadas pelas
equações a seguir, no domínio elástico e plástico, respectivamente:
υκυp
dpd e
p −= (2.51)
( )υκυatm
ses ps
dsd
+−= (2.52)
( ) υλυ*
*
0
00p
dpd p
p −= (2.53)
( )υλυatm
sps ps
dsd
+−= (2.54)
Como pode-se observar, uma das diferenças em relação ao modelo de Alonso et al.
(1990) é que estas equações são hipérboles, ou seja, são representadas por retas em gráficos
bi- log. Neste caso, a representação gráfica das Eqs. 2.51 a 2.54 é idêntica à mostrada nas Figs.
2.4 e 2.5, a menos da substituição do eixo de υ por ln(υ). Balmaceda (1991) considera essas
25
equações mais adequadas que as linhas retas em escala mono-log adotadas no modelo de
Alonso et al. (1990).
A equação escolhida para p0 é uma função exponencial:
)]me)m[(p)pp(p scc* +−+−= −α100 (2.55)
onde pc é uma tensão de referência e α controla a forma da função p0.
Os parâmetros pc e α são obtidos por ajuste da superfície LC aos valores obtidos
experimentalmente de pressões de escoamento, em trajetórias de compressão para diferentes
sucções. A função m controla a forma de evolução da inclinação da função p0 e foi escolhida
de forma a permitir a modelagem do máximo colapso. A equação escolhida de m é dada a
seguir:
)p(
)p(
c*c
x
y cx
*x
e)pp()p(
)(m −
−
−−−
+= ζ
ζ
ζζ 0
0
11 (2.56)
onde ζx e ζy são constantes que são obtidas em função de outros parâmetros.
Aplicando 2.56 em 2.55, obtém-se:
]e)pp)(e()p(
)(p[pp )p(
)p(
c*sc
x
yc* cx
*x
−
−
− −−−−
+= ζ
ζ
α
ζζ 0
000 11
(2.57)
Os princípios básicos seguidos no desenvolvimento da formulação para a função p0 e
para a função m baseiam-se em que deve-se ter um endurecimento com o aumento de sucção
limitado (função p0 assintótica) e que deve-se ter uma função p0 convexa, de forma a respeitar
a condição de irreversibilidade de Prager. Além disso, a função m foi escolhida de forma a
permitir que a função p0 apresente um aumento em sua inclinação até certo ponto e, em
seguida uma diminuição nesta inclinação, simulando o máximo colapso. A forma de evolução
da LC pode ser vista na Fig. 2.9.
A formulação de Balmaceda (1991) prevê um máximo colapso porque a deformação
volumétrica plástica é maior para maiores valores da razão *pp 00 , ou seja, a deformação
volumétrica plástica é maior quanto mais inclinada é a superfície LC.
26
0
2
4
6
8
10
12
14
16
2.0 7.0 12.0 17.0 22.0 27.0p
s
p0* p0*máx p0oo
máx
Figura 2.9 – Forma de evolução da superfície LC para o modelo de Balmaceda (1991).
As constantes ζx e ζy são obtidas em função de dois parâmetros que possuem
significado físico mais claro: pvmaxε∆ , que é a máxima deformação volumétrica em trajetórias
de molhagem, partindo da máxima sucção possível, e ∞máxp0 , que é a tensão média para a qual
ocorreu o máximo colapso. As expressões de ζx e ζy são as seguintes:
2
0 21
43
−−=
c
máxcc
xp
pp
p *ζ (2.58)
( )42
1
21
43
2
000
2
0
2
00
421
11
cc
máxc
c
máxc
c
máx
ppp
p
pp
pp
p
cc
máxcscmáx
y epp
ppep
pp −
−
−−−
−
−
−
−−
−=*
**
**
αζ (2.59)
( )
−∆
−∞= κλ
ε0
00
pv
epp máxmáx
max
* (2.60)
Apesar de ser um parâmetro que possui significado físico mais evidente, a máxima
deformação volumétrica plástica não é obtida de forma direta. O que se faz é uma estimativa
baseada na máxima deformação volumétrica total ocorrida partindo de uma sucção mátrica
que normalmente não é a máxima possível. A sucção normalmente não é a máxima possível
devido a limitações experimentais.
Balmaceda (1991) sugere a existência de uma superfície de escoamento para reduções
de sucção, de forma a reproduzir o comportamento de solos expansivos. Esta superfície não é
27
considerada neste trabalho, pois interessa aqui analisar apenas o potencial destes modelos em
reproduzir o comportamento de solos colapsíveis em trajetórias de molhagem. Por fim, as leis
de fluxo e de endurecimento do modelo de Balmaceda (1991) são iguais às utilizadas no
modelo de Alonso et al. (1990).
Para se obter um modelo mais geral, Balmaceda (1991) teve que incluir um parâmetro
a mais. Apesar da diferença entre os modelos de Alonso et al. (1990) e Balmaceda (1991) não
ser tão evidente, a reformulação da função p0 e das funções para a variação volumétrica
implicam em sensíveis diferenças entre as previsões dos modelos.
2.2.5 OUTROS ESTUDOS EM TORNO DE MODELOS DE ESTADOS CRÍTICOS
Nos itens 2.2.3 e 2.2.4 foram apresentados em detalhe os modelos elastoplásticos para
solos não saturados de Alonso et al. (1990) e Balmaceda (1991). Estes dois modelos são
extensões do modelo Cam-Clay modificado.
Além desses modelos, surgiram muitas outras propostas e estudos em torno de
modelagens constitutivas elastoplásticas de solos não saturados. A maioria desses estudos
utilizam as variáveis de tensão, (σ–ua) e (ua–uw). Apesar disso, encontra-se também na
literatura alguns poucos trabalhos que procuram estender a teoria de estados críticos para
solos não saturados, utilizando equações para as tensões efetivas, como Modaressi & Abou-
Bekr (1994) e Bolzon et al. (1996). Trabalhos que tentam utilizar conceitos de tensões
efetivas não são tratados neste trabalho.
Após a modelagem qualitativa utilizando o teoria de estados críticos proposta por
Alonso et al. (1987), Karube & Kato (1989) apresentaram uma modelagem quantitativa para
solos não saturados, baseada nas variáveis de tensão (σ–ua) e (ua–uw). Foi proposta uma
superfície de escoamento semelhante à superfície do modelo Cam-Clay original (função da
equação de dissipação de trabalho plástico). A forma de crescimento da superfície de
escoamento com o aumento de sucção foi admitida linear. Foi proposta uma lei de fluxo
associada. Resultados de ensaios triaxiais com sucção controlada em uma argila caolinítica
compactada mostraram pouca concordância com a superfície de escoamento proposta.
Toll (1990), baseado em resultados de ensaios triaxiais com sucção controlada em um
solo laterítico compactado colapsível, mostrou que a extensão dos conceitos de estado crítico
utilizando uma única variável de tensão é inadequada. O autor sugeriu para tal a utilização das
duas variáveis de tensão: (σ–ua) e (ua–uw). O trabalho de Toll (1990) tem o mérito de
28
acrescentar novos dados experimentais que mostram que a teoria de estados críticos pode ser
aplicada a solos não saturados, muito embora não tenha sido sugerida nenhuma proposta
inovadora em seu trabalho.
Wheeler & Sivakumar (1995) elaboraram um modelo semelhante ao modelo de
Alonso et al. (1990). Os autores realizaram ensaios triaxiais em uma caulinita compactada em
condições que favoreciam o colapso, no ramo seco da curva de compactação. As amostras
foram submetidas a trajetórias de compressão isotrópica e de cisalhamento. Nestes ensaios
observou-se aumento da compressibilidade com aumento da sucção, contrariando o
comportamento que o modelo de Alonso et. al. (1990) procura reproduzir. Para modelar esse
comportamento diferenciado, a equação proposta para a superfície LC recebeu algumas
modificações que a tornaram mais flexível, porém mais complicada. Em relação à modelagem
do efeito de tensões desviatórias, foram incluídas modificações na forma da superfície de
escoamento, que passou a possuir uma área à esquerda da linha de estados críticos reduzida
em relação à elipse do Cam-Clay modificado.
Maâtouk et al. (1995) realizaram ensaios de compressão isotrópica e triaxiais com
sucção controlada em um silte compactado e colapsível. Os resultados apresentados
mostraram, assim como trabalhos anteriores, que a teoria de estados críticos pode ser
estendida a solos não saturados, utilizando as variáveis de tensão (σ–ua) e (ua–uw). Foi
observada uma forma para a superfície de escoamento no espaço (p:q) bem diferente da
proposta por Alonso et al. (1990). A forma encontrada se aproxima mais da forma observada
para argilas naturais com elevado ângulo de atrito (Diaz-Rodriguez citado por Maâtouk et al.,
1995). Os autores ressaltam que esta forma da superfície de escoamento reflete, além de um
elevado ângulo de atrito, uma anisotropia adquirida pelo solo, devido ao processo de
compactação.
Cui & Delage (1996) realizaram ensaios triaxiais com sucção controlada
osmoticamente em um silte colapsível, compactado por energia estática. As trajetórias
escolhidas incluíram ensaios com σ3 constante e ensaios com razões entre tensões (η=σ3/σ1)
constantes, iguais a 1 e 0,5. Os autores observaram que os conceitos introduzidos pelo modelo
de Alonso et al. (1990) em relação à superfície LC se aplicaram bem. Foi observado
decréscimo de λ(s) e aumento de p0(s) com o aumento da sucção mátrica. Constatou-se
também expansão acoplada de todas as superfícies de escoamento qua ndo aplicado um
aumento da sucção mátrica além do máximo valor já imposto, s0. As superfícies de
escoamento no espaço (p,q) obtidas possuem uma forma elíptica inclinada, que se estende em
29
torno da linha K0. Essa inclinação foi atribuída ao estado de tensões anisotrópico aplicado
durante o processo de compactação. Foi observada uma lei de fluxo claramente não associada,
sendo que a direção de fluxo foi aproximadamente radial. Como resultado dessas observações
experimentais, Cui & Delage (1996) propuseram um modelo que adota uma superfície de
escoamento elíptica inclinada e uma lei de fluxo baseada na relação de Nova-Wood (Nova &
Wood citados por Cui & Delage, (1996), elaborada para areias dilatantes.
Futai (1997) realizou ensaios oedométricos com sucção controlada em amostras
indeformadas de um latossolo argiloso altamente colapsível, com o objetivo de estudar o
colapso do solo. O autor avaliou a aplicabilidade de alguns modelos elastoplásticos aos
resultados experimentais obtidos. Não foram discutidos os aspectos dos modelos que dizem
respeito a q ≠ 0.
Em suas análises foi considerado p como sendo igual à tensão vertical, pois não havia
instrumentação de tensões laterais disponível. Sabe-se no entanto que podem ocorrer
variações sensíveis de K0 em trajetórias de redução da sucção (Daylac, 1994, Pereira, 1996,
Oliveira, 1998 e Peixoto, 1999), fazendo com que a variação de tensão vertical não reflita a
variação de tensão média. Na hipótese de que o colapso seja função da tensão média (Lawton
et al., 1991), tem-se que a utilização da tensão vertical na obtenção dos parâmetros dos
modelos é inadequada.
Futai (1997) obteve aumento de λ(s) com a aumento da sucção. Com base nisto e em
outros aspectos dos resultados obtidos, observou-se que o modelo de Alonso et. al. (1990) não
se adaptou aos resultados experimentais e que os modelos de Balmaceda (1991) e de Wheeler
e Sivakumar (1995) se ajustaram melhor.
Foi proposto por Futai (1997) um novo modelo, elaborado a partir dos modelos de
Alonso et al. (1990) e Wheeler & Sivakumar (1995), para o caso de estado de tensões
isotrópico (q=0). Neste novo modelo é adotada a mesma função de λ(s) utilizada por Alonso
et al. (1990). No entanto, é permitido ao parâmetro r assumir valores superiores a 1, o que não
é admitido no modelo de Alonso et al. (1990). Com isso, permite-se valores crescentes de λ(s)
com o aumento da sucção. Outra modificação introduzida é a adoção de valores variáveis de κ
com a sucção. Apesar do número de parâmetros ao final ser maior, o número de ensaios
necessários para sua obtenção é o mesmo do necessário para os outros modelos. O novo
modelo apresentou muito boa concordância com os resultados experimentais obtidos.
Machado (1998) realizou ensaios triaxiais com controle de sucção em amostras
indeformadas de um perfil de solo colapsível. Foi obtida boa concordância com a elipse do
30
Cam-Clay modificado para ensaios em que o escoamento foi atingido à direita da projeção da
linha de estados críticos. Para o caso de ensaios em que o escoamento se deu à esquerda da
projeção da linha de estados críticos, observou-se que a utilização da superfície do Cam-Clay
modificado superestimaria o valor da tensão de escoamento. Este resultado pode ser
comparado aos obtidos para solos compactados por Wheeler & Sivakumar (1995), Maâtouk et
al. (1995) e Cui & Delage (1996), muito embora a anisotropia adquirida no processo de
compactação seja um fator a mais, não necessariamente presente no solo natural.
Machado (1998) obteve aumento de λ(s) com a aumento da sucção. Com base em seus
resultados experimentais, algumas modificações do modelo de Balmaceda (1991) são
propostas por Machado (1998), como a utilização de uma função hiperbólica que permite
valores crescentes de λ(s) e o emprego de um fator multiplicador utilizado para achatar a
superfície de escoamento do lado esquerdo da linha de estados críticos.
Esses são alguns dos principais trabalhos encontrados na literatura investigando
modelos de estados críticos para solos não saturados. Como pode-se observar, a principal
preocupação tem sido a validação da forma das superfícies de escoamento, deixando-se em
segundo plano a avaliação das respostas dos modelos em termos de componentes individuais
de deformações, ou seja, existem poucos trabalhos que apresentam avaliações das leis de
fluxo empregadas pelos modelos.
2.3 MODELOS CONSTITUTIVOS PARA AS FASES ÁGUA E AR
Conforme comentado anteriormente, a modelagem do comportamento mecânico de
solos não saturados requer, além da relação entre tensões e deformações e de um critério de
ruptura, leis constitutivas para as fases ar e água. Em um elemento de solo não saturado,
enquanto a estrutura do solo e a película contrátil entram em equilíbrio, as fases ar e água
fluem. Assim, são requeridas leis de movimento e leis para a variação volumétrica das fases ar
e água.
Tem-se também a relação de continuidade entre as fases de um solo não saturado,
deformando sob um dado gradiente de tensões aplicado. Desprezando o volume da película
contráctil, pode-se expressar a continuidade entre as fases da seguinte forma (Fredlund &
Rahardjo, 1993):
000 VV
VV
VV awv ∆
+∆
=∆
(2.61)
31
onde Vv, Vw e Va são os volumes de vazios, água e ar, respectivamente, dentro do volume total
de controle, V0.
Essa relação mostra que apenas duas mudanças de volume precisam ser medidas,
enquanto que a terceira pode ser calculada. Na prática, mudanças do volume de vazios a do
volume da fase água são medidos e as mudanças de volume da fase ar são calculadas. A
seguir serão apresentadas leis de movimento e leis para a variação volumétrica das fases ar e
água em solos não saturados.
2.3.1 LEIS DE MOVIMENTO
O fluxo de água e ar em solos não saturados pode ser descrito utilizando uma
generalização da lei de Darcy (Bear et al., 1968). Em coordenadas cartesianas, tem-se para as
fases água e ar, respectivamente:
( ) ( ) ( )z
yukv
yyu
kvx
yukv www
zwz
wwwy
wy
wwwx
wx ∂
+∂−=
∂+∂
−=∂
+∂−=
γγγ e , (2.62)
( ) ( ) ( )z
yukv
yyu
kvx
yukv aaa
zaz
aaay
ay
aaax
ax ∂
+∂−=
∂+∂
−=∂
+∂−=
γγγ e , (2.63)
onde: wiv e a
iv são as velocidades da água e do ar, respectivamente, na direção i; wik e a
ik são os coeficientes de condutividade à água e ao ar, respectivamente, na direção i;
γw e γa são os pesos específicos da água e do ar, respectivamente;
y representa a elevação, adotada na direção “y” .
Os símbolos viw e vi
a representam as velocidades das fases no sentido considerado na
lei de Darcy. Tratam-se de vazões por unidade de área total de solo, e não pela área de vazios.
Em coordenadas cilíndricas, para a fase água e ar tem-se, respectivamente:
( ) ( ) ( )z
yukv
yur
kv
ryu
kv wwwz
wz
www
wwwwr
wr ∂
+∂−=
∂+∂
−=∂
+∂−=
γθγγ θ
θ e , (2.64)
( ) ( ) ( )z
yukv
yur
kv
ryu
kv aaaz
az
aaa
aaaar
ar ∂
+∂−=
∂+∂
−=∂
+∂−=
γθγγ θ
θ e , (2.65)
32
onde novamente y representa a elevação, adotada como sendo na direção “y” .
Pode-se admitir as Eqs. 2.62 a 2.65 apenas quando a posição da base ortogonal
utilizada coincide com as direções principais de condutividade hidráulica, ou seja, quando as
direções x, y e z ou r, θ e z coincidem com as direções de máxima e mínima condutividade. Se
as direções não coincidirem, a velocidade em cada direção deverá ser relacionada com os
gradientes nas três direções, exigindo nove parâmetros de condutividade (Bear et al., 1968).
O peso específico da água (γw) normalmente é admitido constante. No entanto, o peso
específico do ar, γa, é muito variável e é função da pressão de ar absoluta. Pode-se admitir que
o ar se comporta como um gás ideal:
aa uβγ = (2.66)
sendo β ≅ 0,5x10-6 m2/kN.
Normalmente, os coeficientes de condutividade wik e a
ik são fortemente dependentes
do grau de saturação do solo e, em menor importância, do índice de vazios do solo. Para
determinar como variam os coeficientes de condutividade com o estado do solo, deve-se obter
a superfície de estado de condutividade hidráulica, que fornece seus valores para quaisquer
par de valores (σméd–ua) e (ua–uw).
A forma de variação da condutividade com a sucção segue um padrão razoavelmente
bem definido. Quanto maior a sucção, maiores os valores de aik . Em contrapartida, quanto
menor a sucção, maior os valores de wik . Um exemplo de como pode ser a variação da
condutividade hidráulica é mostrado na Fig. 2.10. Tratam-se de curvas obtidas por Pereira
(1996), para um solo compactado e colapsível.
1.0E-14
1.0E-13
1.0E-12
1.0E-11
1.0E-10
1.0E-09
1.0E-08
1.0E-07
1.0E-06
1.0E-050 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Sucção - kPa
Con
dutiv
idad
e H
idrá
ulic
a -
m/s
25 kPa
50 kPa
200 kPa
tensão total líquida média
Figura 2.10 – Curva de variação da condutividade hidráulica com as variáveis de tensão.
33
É importante ressaltar que a superfície de variação dos valores das condutividades com
as variáveis de tensão pode apresentar forte histerese para certos solos, como os colapsíveis.
A existência de histerese pode limitar a validade da utilização de tais superfícies em previsões
de casos em que ocorram trajetória com ciclos de secagem e molhagem. Para o caso de
trajetórias monotônicas esse problema não existe e a utilização de tais superfícies fornece
resultados muito bons (Pereira, 1996).
2.3.2 VARIAÇÃO VOLUMÉTRICA
A variação volumétrica das fases ar e água pode ser obtida utilizando superfícies de
estado. No caso da fase água, por exemplo, em um ponto qualquer sobre a superfície de
estado de volume de água (Fig. 2.11) tem-se que a variação volumétrica é função das
inclinações nas direções de (σ–ua) e (ua–uw):
( ))()()( amédamédaméd
ww
uddSr
ee
udde
eSr
udVVd
m−+
+−+
=−
=σσσ 00
01 11
(2.67)
( ))()()( wawawa
ww
uuddSr
ee
uudde
eSr
uudVVd
m−+
+−+
=−
=00
02 11
(2.68)
m1w
m2w
(ua - uw)
(σméd - ua)
∆Vw /V0
Figura 2.11 – Superfície de estado de variação volumétrica da estrutura do solo.
Essas inclinações representam a compressibilidade da fase água em relação a
variações de tensão total e em relação a variações de sucção. Assim, a variação volumétrica
34
da fase água pode ser expressa pela seguinte equação:
)()( waw
amédw
o
w uudmudmVdV
−+−= 21 σ (2.69)
Utilizando um procedimento incremental, pode-se simular a variação volumétrica dada
pela superfície de estado. Da mesma forma que para a modelagem da estrutura do solo
baseada na superfície de estado de índice de vazios, a modelagem da variação volumétrica da
fase água possue a limitação de não se aplicar a solos que apresentam histerese, quando em
trajetórias cíclicas de molhagem e secagem.
2.4 RESUMO
Neste capítulo foram apresentadas algumas propostas de modelagens constitutivas da
estrutura de solos não saturados e das fases ar e água, dando-se ênfase aos modelos para a
estrutura do solo.
Verificou-se que o modelo elástico incremental de Fredlund (1979) é simples, de fácil
aplicação e que possui parâmetros que têm significados físicos claros e de imediata
interpretação. Estas são qualidades que tornam o modelo elástico incremental atraente. Além
disso, observou-se que com a inclusão de fatores de anisotropia proposta por Pereira (1996), a
modelagem elástica incremental de solos submetidos à trajetória de molhagem pode ser bem
ajustada aos resultados experimentais, tornando o modelo muito fiel ao comportamento real
do solo, pelo menos em termos de deformabilidade.
Pôde-se verificar que os modelos de estados críticos para solos não saturados, como os
de Alonso et al. (1990) e de Balmaceda (1991), teoricamente têm potencial para reproduzir de
forma mais realista o comportamento de solos não saturados, principalmente em se tratando
de aspectos como a dependência das trajetórias de tensões. No entanto, verificou-se que a
matemática por trás desses modelos é mais complexa e que o número de parâmetros
requeridos é maior, o que dificulta sua aplicação prática.
Em relação a outros estudos de modelos de estados críticos para solos não saturados,
viu-se que existe uma grande preocupação em validar a forma das superfícies de escoamento
e pouca preocupação em analisar as leis de fluxo dos modelos. Vários estudos evidenciam que
a adequabilidade da forma da superfície de escoamento do Cam-Clay modificado e da forma
como a superfície se estende com a sucção é muito dependente do tipo de solo. Enquanto para
35
alguns solos os modelos propostos podem se ajustar bem, para outros pode-se verificar fortes
discrepâncias.
Por fim, surgem alguns questionamentos em relação aos modelos de estados críticos
para solos não saturados. É necessário, por exemplo, averiguar se a previsão do
comportamento do solo em trajetórias de molhagem seria adequada, considerando a existência
de uma anisotropia induzida pelo estado de tensões, tal com a observada por Lawton et al.
(1991) e Pereira (1996).
36
CAPÍTULO 3 MODELAGEM MECÂNICA E NUMÉRICA
Neste capítulo apresenta-se a conceituação matemática do problema acoplado de
equilíbrio e fluxo transiente de água em solos não saturados e a solução numérica das
equações obtidas. Utiliza-se o Método dos Elementos Finitos para a discretização espacial e o
Método das Diferenças Finitas para a discretização temporal do fenômeno.
Inicialmente, apresenta-se as equações básicas que regem o problema sob análise. Em
seguida, partindo das equações básicas, desenvolve-se as equações diferenciais finais do
problema, utilizando uma relação constitutiva generalizada para a estrutura do solo e relações
constitutivas da fase água baseadas em módulos obtidos da curva característica e da superfície
de estado de condutividade hidráulica. Não serão considerados gradientes de pressão de ar,
dispensando a modelagem constitutiva da fase ar. Tal consideração reflete condições usuais
de avanço de saturação em solos porosos e colapsíveis.
As relações constitutivas generalizadas para a estrutura do solo utilizadas abrangem
todos os modelos analisados neste trabalho, ou seja, o modelo elástico incremental e o modelo
elastoplástico de estados críticos. Portanto, as equações diferenciais obtidas são compatíveis
com todos os modelos constitutivos estudados, o que é muito útil do ponto de vista da
implementação computacional. Preliminarmente serão apresentadas as hipóteses básicas que
delimitam a abrangência da modelagem mecânica aqui apresentada.
3.1 DESCRIÇÃO GERAL DA MODELAGEM E HIPÓTESES BÁSICAS ADOTADAS
A análise do comportamento mecânico de solos não saturados em condições
isotérmicas requer a consideração de três equações básicas: (i) as equações de equilíbrio; (ii) a
equação de conservação de massa da fase água e (iii) a equação de conservação da massa da
fase ar. A solução dessas equações requer a definição de uma série de relações constitutivas
para os materiais envolvidos.
É requerida, por exemplo, uma relação constitutiva entre tensões e deformações. No
Capítulo 2 foram apresentados alguns modelos para a relação entre tensões e deformações em
solos não saturados. São requeridas também uma relação entre o volume da fase água e as
tensões, uma relação entre o volume da fase ar e as tensões, uma lei de movimento para a fase
37
água e uma lei de movimento para a fase ar.
Conforme apresentado no Capítulo 2, os modelos constitutivos estudados neste
trabalho relacionam o comportamento mecânico dos solos não saturados com as variáveis de
tensão (σ – ua) e (ua – uw). Tal proposição, apresentada por Matyas & Radhakrishna (1968) e
reforçada teórica e experimentalmente por Fredlund (1979), é uma alternativa muito bem
sucedida às tentativas de extensão aos solos não saturados do conceito de tensões efetivas.
Para a fase água utilizou-se uma modelagem constitutiva baseada no conceito de
superfícies de estado (Matyas & Radhakrishna, 1968). A modelagem constitutiva da fase ar
não foi necessária, pois considerou-se a condição de macrovazios interconectados, onde a
pressão de ar pode ser admitida constante e igual à pressão atmosférica. Desta forma, não
ocorrem gradientes de pressão de ar, o que elimina a equação de conservação da massa da
fase ar. De acordo com Barden (1965), essa situação se aplica aos solos compactados abaixo
da umidade ótima (com Sr < 90%), nos quais a fase ar se encontra predominantemente
contínua. Pereira (1996) utilizou esta consideração na análise numérica do comportamento
mecânico de barragens de terra em que o solo foi compactado em condição meta-estável.
Apesar da condição de fluxo livre de ar ser muito freqüente, deve-se reconhecer que na
realidade essa condição pode em alguns casos não prevalecer. Segundo Barden (1965),
quando o solo é compactado em torno da umidade ótima, ocorre uma fase de transição, em
que o ar na condição contínua e na condição de bolhas de ar oclusas estão em proporções
consideráveis. Quando o solo é compactado acima da umidade ótima, a condição do ar em
forma de bolhas de ar oclusas passa a prevalecer. Neste caso, pode-se modelar o
comportamento do solo considerando a mistura ar-água como sendo uma fase única e
compressível (Biot, 1941, Chang & Duncan, 1983 e Santos Neto & Almeida, 1993).
Em relação à forma como as equações serão solucionadas, primeiramente deve-se
reconhecer que, devido à natureza complexa das equações, mesmo para condições de fronteira
simples, não existem soluções analíticas disponíveis. Portanto, deve-se recorrer a soluções
aproximadas das equações, utilizando técnicas numéricas. Apresenta-se neste capítulo a
solução numérica das equações diferenciais de equilíbrio e fluxo transiente de água em solos
não saturados, utilizando-se o Método dos Elementos Finitos para a discretização espacial e o
Método das Diferenças Finitas para a discretização temporal.
Outro aspecto da solução a ser adotada é o acoplamento das equações. Como o fluxo
de água e as deformações do solo são altamente interdependentes (Lloret & Ledesma, 1993),
a forma mais adequada de resolver as equações do fenômeno é acoplando-as, ou seja,
resolvendo-as em conjunto. A solução numérica apresentada neste trabalho resolve as
38
equações do problema de forma acoplada, simulando de forma rigorosa a dinâmica iteração
entre estrutura do solo e fluxo de água.
A modelagem apresentada considera dois casos. O primeiro é o caso bidimensional de
deformações planas, utilizando coordenadas cartesianas. A condição de deformações planas é
uma simplificação utilizada em muitos problemas de engenharia. O segundo é o caso
axissimétrico, formulado utilizando coordenadas cilíndricas. No caso da simulação do
comportamento de uma fundação de seção circular, que é um exemplo de problema
axissimétrico, a utilização de coordenadas cilíndricas torna a aplicação das condições de
fronteira e dos carregamentos de superfície muito simples. Apesar de se tratar de uma
formulação em três dimensões, o problema axissimétrico não é mais complexo do que o
problema bidimensional de deformações planas, pois na condição axissimétrica existem
apenas duas componentes de deslocamento nas equações do problema.
3.2 EQUAÇÕES BÁSICAS QUE REGEM A MECÂNICA DO PROBLEMA
A seguir são apresentadas as equações básicas que regem o comportamento mecânico
de solos não saturados, considerando o caso em que não existem gradientes de pressão de ar.
As equações básicas da física dizem respeito ao equilíbrio da estrutura do solo e ao fluxo de
água. As equações estão colocadas em coordenadas cartesianas e em coordenadas cilíndricas.
3.2.1 EQUAÇÕES EM COORDENADAS CARTESIANAS
Nos casos em que se utiliza coordenadas cartesianas, adotou-se a direção do eixo y
coincidente com a direção que indica elevação, conforme ilustrado na Fig. 3.1. Utilizando
coordenadas cartesianas, a equação de conservação de massa da fase água considerando um
volume de controle fixo, em coordenadas fixas, pode ser escrita da seguinte forma:
0=∂
∂+
∂∂
+∂
∂+
∂∂
t)nS(
z)v(
y
)v(
x)v( rw
wzw
wyw
wxw ρρρρ
(3.1)
onde:
ρw é a densidade da água; wiv é a velocidade da água na direção i, no sentido físico considerado pela lei de Darcy;
39
n é a porosidade do solo: ov VVn = ;
Sr é o grau de saturação do solo: vw VVSr = ;
V0 é o volume total, de controle;
Vw é o volume de água, dentro do volume de controle.
Vv é o volume de vazios, dentro do volume de controle.
z0
y0
z
x0
y
x
Figura 3.1 – Sistema de coordenadas cartesianas.
Considerando a água incompressível, a Eq. 3.1 pode ser reescrita da seguinte forma:
∂∂
−=∂
∂+
∂
∂+
∂∂
0VV
tzv
y
v
xv w
wz
wy
wx (3.2)
A equação de equilíbrio é obtida considerando o equilíbrio linear de um elemento
infinitesimal. Para o caso de coordenadas cartesianas tem-se:
0=+∂
∂+
∂
∂+
∂∂
xxzxyx bzyx
ττσ (3.3)
0=+∂
∂+
∂
∂+
∂
∂y
yzyxy bzyx
τστ (3.4)
0=+∂
∂+
∂
∂+
∂∂
zzyzxz b
zyxσττ
(3.5)
onde σi e τij são as tensões totais normais e cisalhantes, respectivamente, e bi são as forças de
massa.
40
O equilíbrio rotacional do elemento já está implícito nas equações 3.3, 3.4 e 3.5, pois
considerou-se o tensor de tensões simétrico. Para o caso de deformações planas, as equações
de equilíbrio se reduzem a apenas duas:
0=+∂
∂+
∂∂
xxyx byx
τσ (3.6)
0=+∂
∂+
∂
∂y
yxy byx
στ (3.7)
As componentes de deformação e os deslocamentos, considerando coordenadas
cartesianas, se relacionam da seguinte forma:
yw
zv
xw
zu
xv
yu
zw
yv
xu
yzxzxy
zyx
∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
=
∂∂
=∂∂
=∂∂
=
γγγ
εεε
, ,
, ,
(3.8)
onde u, v e w são as componentes do deslocamento, nas direções x, y e z, respectivamente.
3.2.2 EQUAÇÕES EM COORDENADAS CILÍNDRICAS
Para coordenadas cilíndricas também adotou-se a direção do eixo y coincidente com a
direção que indica elevação, conforme ilustrado na Fig. 3.2. Em coordenadas cilíndricas a
posição de um ponto é definida pelas coordenadas nas direções r, y e θ .
θ
r0r
z0
y0
z
x0
y
x
Figura 3.2 – Sistema de coordenadas cilíndricas.
41
Seguindo as mesmas considerações feitas para o caso de coordenadas cartesianas, em
coordenadas cilíndricas a equação de conservação de massa da fase água pode ser escrita da
seguinte forma:
∂∂
−=+∂∂
+∂
∂+
∂∂
0
1VV
trvv
ry
v
rv w
wr
wwy
wr
θθ (3.9)
As equações de equilíbrio para o caso de coordenadas cilíndricas são escritas
conforme apresentado a seguir:
01
=+−
+∂
∂+
∂
∂+
∂∂
rrrryr b
rryrθθ σσ
θττσ
(3.10)
011
=++∂
∂+
∂
∂+
∂
∂yry
yyry brryr
τθ
τστ θ (3.11)
021
=++∂
∂+
∂
∂+
∂∂
θθθθθ τ
θσττ
brryr r
yr (3.12)
Para o caso axissimétrico, as equações de equilíbrio se reduzem a apenas duas:
0=+−
+∂
∂+
∂∂
rrryr b
ryrθσστσ
(3.13)
01
=++∂
∂+
∂
∂yry
yry bryr
τστ
(3.14)
Em coordenadas cilíndricas, tem-se as seguintes relações entre as componentes de
deformação e os deslocamentos:
θγγ
θγ
θεεε
θθ
θ
∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
=−∂∂
+∂∂
=
∂∂
+=∂∂
=∂∂
=
vry
wrv
yu
rw
rwu
r
wrr
uyv
ru
yryr
yr
1 , ,
1
1 , ,
(3.15)
onde u, v e w são os deslocamentos nas direções r, y e θ respectivamente.
42
3.3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS FINAIS DO PROBLEMA
A seguir é apresentada a obtenção das equações diferenciais finais da modelagem do
comportamento mecânico de solos não saturados. As equações estão colocadas em
coordenadas cartesianas e em coordenadas cilíndricas.
3.3.1 EQUAÇÕES PARA A CONDIÇÃO DE DEFORMAÇÕES PLANAS
As variáveis escolhidas para serem as incógnitas primárias são os deslocamentos e a
pressão de água. Para o caso de deformações planas, tem-se como incógnitas os
deslocamentos u e v e a pressão de água uw. Assim, são exigidas três equações para a solução
do problema. Essas equações devem ser obtidas partindo das equações básicas que regem o
fenômeno, colocando-as em termos das componentes de deslocamento e da pressão de água.
As duas primeiras equações diferenciais são obtidas a partir das equações diferenciais
de equilíbrio, considerando o caso de deformações planas (Eqs. 3.6 e 3.7). Com o auxílio da
relação genérica entre tensões e deformações (Eq. 2.35) e das relações entre componentes de
deformação e deslocamento (Eq. 3.8), pode-se colocar as tensões em função dos
deslocamentos. Desta forma, as equações de equilíbrio podem ser reescritas da seguinte
forma:
( ) 01442111 =+∂
∂+−
∂∂
−
∂∂
+∂∂
∂∂
+
∂∂
+∂∂
∂∂
xa
wa bx
uuu
xh
xv
yu
yD
yv
Dxu
Dx
(3.16)
( ) 02221244 =+∂∂
+−∂∂
−
∂∂
+∂∂
∂∂
+
∂∂
+∂∂
∂∂
ya
wa byu
uuy
hyv
Dxu
Dyx
vyu
xD (3.17)
A terceira equação diferencial é obtida a partir da equação de conservação de massa da
fase água. Uma das relações constitutivas requeridas pela equação de conservação de água é a
relação entre o volume da fase água e as variáveis de tensão. Exprimindo a variação de
volume da fase água em função de coeficientes de compressibilidade, conforme apresentado
no Capítulo 2, tem-se:
( ) ( ) ( ) ( )waw
az
w
ay
w
ax
ww uudmud
mud
mud
mVdV
−+−+−+−= 2111
0 333σσσ (3.18)
Essa relação é semelhante à Eq. 2.71, exceto pelo fato de que a tensão total média foi
43
desmembrada, assumindo-se uma isotropia de variação de volume de água em relação à
variação das tensões totais líquidas. Utilizando a relação genérica entre tensões e deformações
(Eq. 2.35), a Eq. 3.18 pode ser reescrita da seguinte forma:
( ) ( )
( ) )()( wa
ww
z
w
y
w
x
ww
uudhhhm
mdDDDm
dDDDm
dDDDm
VdV
−
++−++++
+++++=
3211
23332311
2322211
1312111
0
33
33
ε
εε
(3.19)
Aplicando na equação de conservação de massa da fase água (Eq. 3.2) a generalização
da lei de Darcy (Eq. 2.62), a Eq. 3.19 e a relação entre componentes de deformação e
deslocamentos (Eq. 3.8), obtém-se a seguinte equação diferencial para a condição de
deformações planas:
( )
+∇∇=−
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
yu
kuuty
vtx
ut w
wwwa
wwy
wx γ
βββ 211 (3.20)
onde:
( )
( )
++−=
++=
++=
)( 3211
22
2322211
1
1312111
1
3
3
3
hhhm
m
DDDm
DDDm
www
wwy
wwx
β
β
β
(3.21)
As Eqs. 3.16, 3.17 e 3.20 são as equações que regem o problema de equilíbrio e fluxo
para a condição de deformações planas. Como pode ser verificado, a natureza acoplada do
equilíbrio e do fluxo de água no solo fica bem evidente na formulação matemática.
Observando as equações originadas das equações de equilíbrio (Eqs. 3.16 e 3.17), pode-se
verificar que deslocamentos podem ser produzidos por alterações na pressão de água. Por
outro lado, a equação originada da equação de conservação de massa de água (Eq. 3.20)
mostra que pressões de água podem ser produzidas por deslocamentos. Desta forma, tem-se
que, pelo fato das equações serem interdependentes, é necessário resolvê- las em conjunto, ou
seja, de forma acoplada.
3.3.2 EQUAÇÕES PARA A CONDIÇÃO AXISSIMÉTRICA
44
Da mesma forma que foi feito para a condição de deformações planas, para o caso
axissimétrico as equações de equilíbrio (Eqs. 3.13 e 3.14) podem ser reescritas utilizando a
relação genérica entre tensões e deformações (Eq. 2.35) e as relações entre componentes de
deformação e deslocamento (Eq. 3.15). Desta forma, obtém-se as seguintes equações:
( )[ ]
( ) 013232133111331
1442111
=+−
−+
∂∂
−+
−+
∂∂
−+
+∂
∂+−
∂∂
−
∂∂
+∂∂
∂∂
+
∂∂
+
+
∂∂
∂∂
rwa
awa
buur
hhyv
rDD
ru
rDD
ru
rDD
ru
uuhrr
vyu
Dyy
vD
ru
ru
Dr
(3.22)
( )[ ] 02
4422231244
=+∂
∂+−
∂∂
−
−
∂∂
+∂∂
+
∂∂
++∂∂
∂∂
+
∂∂
+∂∂
∂∂
ya
wa byu
uuhy
rv
yu
rD
yv
Dru
Dru
Dyr
vyu
Dr
(3.23)
A terceira equação diferencial é obtida considerando a equação de conservação de
massa da fase água e as mesmas leis constitutivas mencionadas para o caso de deformações
planas. A relação entre o volume da fase água e as variáveis de tensão, por exemplo, é escrita
da seguinte forma:
( ) ( ) ( ) ( )waw
a
w
ay
w
ar
ww uudmud
mud
mud
mVdV
−+−+−+−= 2111
0 333 θσσσ (3.24)
Utilizando a relação genérica entre tensões e deformações (Eq. 2.35), a Eq. 3.24 pode
ser reescrita da seguinte forma:
( ) ( )
( ) )()( wa
ww
w
y
w
r
ww
uudhhhm
mdDDDm
dDDDm
dDDDm
VdV
−
++−++++
+++++=
3211
23332311
2322211
1312111
0
33
33
θε
εε
(3.25)
Aplicando na equação de conservação de massa da fase água (Eq. 3.9) a generalização
da lei de Darcy (Eq. 2.64), a Eq. 3.25 e a relação entre componentes de deformação e
deslocamentos (Eq. 3.15), obtém-se a seguinte equação diferencial para a condição de
45
axissimetria:
( )
+
∂∂
+
+
∂∂
+
+
∂∂
=−∂∂
+
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
yu
yky
urr
ky
ur
k
uutr
uty
vtr
ut
w
wwy
w
wwr
w
wwr
wawww
ywr
γγγ
ββββ θ
2
2
2
2
2111
(3.26)
onde:
( )
( )
( )
++−=
++=
++=
++=
)( 3211
22
3332311
1
2322211
1
1312111
1
3
3
3
3
HHHm
m
DDDm
DDDm
DDDm
www
ww
wwy
wwr
β
β
β
β
θ
(3.27)
As Eqs. 3.22, 3.23 e 3.26 são as equações que regem o problema de equilíbrio e fluxo
para a condição de axissimetria, em coordenadas cilíndricas. Novamente pode-se verificar que
na formulação matemática, a natureza acoplada do equilíbrio e do fluxo de água no solo fica
bem evidente, exigindo que as equações sejam resolvidas de forma acoplada.
3.4 SOLUÇÃO NUMÉRICA DAS EQUAÇÕES
Foram obtidas no item anterior as equações finais do problemas para a condição de
deformações planas (Eqs. 3.16, 3.17 e 3.20) e as equações finais para a condição axissimétrica
(Eqs. 3.22, 3.23 e 3.26). Devido à natureza complexa das equações diferenciais obtidas, não
existem soluções analíticas disponíveis, sendo necessário recorrer a soluções aproximadas,
utilizando técnicas numéricas. Para obter a solução aproximada das equações, recorre-se neste
trabalho ao Método dos Elementos Finitos associado ao Método das Diferenças Finitas. A
solução aproximada das equações diferenciais apresentada utiliza o Método dos Elementos
Finitos para a discretização espacial. O Método das Diferenças Finitas é utilizado para obter a
discretização temporal, que é necessária devido à natureza transiente do problema analisado.
3.4.1 DISCRETIZAÇÃO ESPACIAL PARA A CONDIÇÃO
46
DE DEFORMAÇÕES PLANAS
A solução das equações 3.16, 3.17 e 3.20 pelo método dos resíduos ponderados de
Galerkin é obtida reduzindo os requisitos de diferenciabilidade das equações. Para tal,
multiplica-se as equações diferenciais por funções peso e faz-se a integral das equações.
Utiliza-se como funções peso as próprias funções interpoladoras, φ, utilizadas para a
aproximação das variáveis primárias das equações (Reddy, 1993).
A seguir deve-se fazer a derivada em relação ao tempo da solução variacional das
equações 3.16 e 3.17. Considerando para todas as equações o caso em que a pressão de ar não
varia com o tempo, obtém-se a seguinte solução:
=
+
2
1
2
1
2212
2111
FF
uCWCW
vu
DKDKDKDK
w&&&
(3.28)
[ ] [ ] [ ] FWuTWvu
WKWKuHW =+
+ ww &&&21 (3.29)
∫
∫
∫
∫
Ω
Ω
Ω
Ω
∂
∂
∂∂
+∂
∂
∂∂
=
∂
∂
∂∂
+∂
∂
∂∂
=
∂
∂
∂∂
+∂
∂
∂∂
=
∂
∂
∂∂
+∂
∂
∂∂
=
e
e
e
e
dxdyyy
Dxx
DDK
dxdyxy
Dyx
DDK
dxdyxy
Dyx
DDK
dxdyyy
Dxx
DDK
jijiij
jijiij
jijiij
jijiij
][
][
][
][
φφφφ
φφφφ
φφφφ
φφφφ
224422
124412
442121
441111
(3.30)
∫∫ ΩΩ ∂
∂−=
∂
∂−=
eedxdy
yhCWdxdy
xhCW j
iijj
iij
φφ
φφ 2
21
1 , (3.31)
∫ ∫∫∫ Ω ΓΓΩ ∂∂
+∂
∂=
∂∂
+∂∂
=e eee
dstt
dxdytb
Fdstt
dxdyt
bF y
iy
iix
ix
ii φφφφ 21 , (3.32)
∫Ω ∂
∂
∂∂
+∂
∂
∂∂
=e
dxdyyy
k
xxk
HW ji
w
wyji
w
wx
ij ][φφ
γ
φφγ
(3.33)
47
∫∫ ΩΩ ∂
∂=
∂
∂=
eedxdy
yWKdxdy
xWK j
iwyij
ji
wxij
φφβ
φφβ 1
21
1 , (3.34)
∫Ω−=
edxdyTW ji
wij φφβ 2 (3.35)
∫∫ ΓΩ+
∂∂
−= ee dsdxdyy
kFW iiw
yi λφφ
(3.36)
onde:
u& e v& são as derivadas em relação ao tempo dos deslocamentos u e v;
wu& é a derivada em relação ao tempo da pressão de água, uw;
φi são as funções interpoladoras;
ti são tensões de superfície;
λ representa fluxo imposto na fronteira.
Detalhes da formulação são apresentados no Apêndice B. Finalmente, as equações
3.28 e 3.29 podem ser agrupadas da seguinte forma:
[ ] [ ] TwBwA =+ & (3.37)
onde:
[ ] [ ] [ ] [ ]
=
=
=
=
wuvu
wFWFF
TTWWKWK
CWDKDKCWDKDK
BHW
A e , , 00
000000
2
1
21
22212
12111
(3.38)
Como pode ser visto, utiliza-se neste trabalho a abordagem variacional para explicar a
solução espacial das equações. A utilização do Princípio dos Trabalhos Virtuais produziria as
mesma equações, conforme mostrado em Lloret & Ledesma (1993) e em Pereira (1996).
A solução em conjunto das Eqs. 3.28 e 3.29 caracteriza a solução acoplada, onde a
pressão de água e os deslocamentos são obtidos de forma interdependente. É importante
ressaltar que os termos responsáveis pela interdependência entre pressão de água e
deslocamentos são os termos CW e WK, cujos parâmetros são hi e wi1β .
48
3.4.2 DISCRETIZAÇÃO ESPACIAL PARA A CONDIÇÃO AXISSIMÉTRICA
De forma semelhante à utilizada a condição de deformações planas, obtém-se a
seguinte solução aproximada para as Eqs. 2.22, 2.23 e 2.26:
=
+
2
1
2
1
2212
2111
FF
uCWCW
vu
DKDKDKDK
w&&&
(3.39)
[ ] [ ] [ ] FWuTWvu
WKWKuHW =+
+ ww &&&
21 (3.40)
∫
∫
∫
∫
Ω
Ω
Ω
Ω
∂
∂
∂∂
+∂
∂−
∂
∂
∂∂
=
∂∂
+∂
∂
∂∂
+∂
∂−
∂
∂
∂∂
=
∂
∂−+
∂
∂
∂∂
+∂
∂
∂∂
=
−+∂
∂−+
+∂
∂
∂∂
+∂
∂+
∂
∂
∂∂
=
e
e
e
e
drdyyy
Drrrr
DDK
drdyyr
Dry
Dyryr
DDK
drdyyr
DDry
Dyr
DDK
drdyr
DDrr
DD
yyD
rrrrDDK
jiji
jiij
jijij
iji
ij
ji
jijiij
jij
i
jij
ijiij
])([
])([
])([
])()(
)([
φφφφ
φφ
φφφφφ
φφφ
φφ
φφφφ
φφφ
φ
φφφ
φφφ
224422
23124412
2123442121
211333113
441111
1
11
1
11
1
(3.41)
∫∫ ΩΩ ∂
∂−=−−
∂
∂−=
eedrdy
yhCWdrdyhh
rrhCW j
iijjij
iij
φφφφ
φφ 2
2131
1 , 1
])([ (3.42)
∫ ∫∫∫ Ω ΓΓΩ ∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂
∂=
e eeeds
tt
drdyt
bFds
tt
drdytb
F yi
yii
ri
rii φφφφ 21 , (3.43)
∫Ω ∂
∂
∂∂
+∂
∂+
∂
∂
∂∂
=e
drdyyy
k
rrrrk
HW ji
w
wyj
iji
w
wr
ij )])([φφ
γ
φφ
φφγ
1 (3.44)
∫∫ ΩΩ ∂
∂=+
∂
∂=
eedrdy
yWKdrdy]
rr[WK j
iwyijji
wy
ji
wxij
φφβφφβ
φφβ 1
211
1 , 1
(3.45)
∫Ω−=
edrdyTW ji
wij φφβ 2 (3.46)
∫∫ ΓΩ+
∂∂
−= ee dsdrdyy
kFW iiw
yi λφφ
(3.47)
49
Novamente tomou-se a derivada em relação ao tempo da solução das equações 3.22 e
3.23 e considerou-se que a pressão de ar não varia com o tempo. Detalhes da formulação são
apresentados no Apêndice B. Da forma semelhante à feita para as equações obtidas para o
caso de deformações planas, as equações 3.39 e 3.40 podem ser agrupadas, formando o
mesmo sistema de equações apresentado na Eq. 3.37:
[ ] [ ] TwBwA =+ & (3.48)
onde:
[ ] [ ] [ ] [ ]
=
=
=
=
wuvu
wFWFF
TTWWKWK
CWDKDKCWDKDK
BHW
A e , , 00
000000
2
1
21
22212
12111
(3.49)
A solução em conjunto das Eqs. 3.39 e 3.40 caracteriza a solução acoplada, onde a
pressão de água e os deslocamentos são obtidos de forma interdependente. Em relação ao
acoplamento das equações, tem-se que os termos responsáveis pela interdependência entre
pressão de água e deslocamentos são os termos CW e WK, cujos parâmetros são hi e wi1β .
3.4.3 DISCRETIZAÇÃO TEMPORAL DAS EQUAÇÕES
Os sistemas de equações obtidos com a discretização espacial para os condições de
deformações planas e de axissimetria (Eq. 3.37 e Eq. 3.48) possuem um vetor de incógnitas de
deslocamentos e de pressão de água, w, e um de incógnitas de taxa de variação no tempo de
deslocamento e de taxa de variação de pressão de água, w& . A derivada em relação ao tempo
identifica um fenômeno transiente, que requer uma solução em relação ao tempo. Como o
sistema de equações obtido para a condição de deformação plana (Eq. 3.37) é igual ao obtido
para a condição axissimétrica (Eq. 3.48), a apresentação da solução temporal do sistema de
equações é coincidente para ambos os casos.
Para a solução de problemas transientes usualmente se associa à discretização espacial
pelo Método dos Elementos Finitos uma aproximação temporal, utilizando o Método das
Diferenças Finitas. Existe também outras alternativas, como por exemplo uma formulação
analítica que se propõe a evitar os problemas de instabilidade e/ou oscilação que podem
50
ocorrer quando se utiliza diferenças finitas. No entanto, este tipo e alternativa ainda está em
estudo e necessita de maior comprovação de sua eficiência (Castro, 1998).
A solução aqui apresentada utiliza o Método das Diferenças Finitas para a
aproximação temporal das equações acopladas. Para o caso do sistema obtido (Eq. 3.37 ou
Eq. 3.48), em um dado instante t+θ∆t qualquer tem-se:
[ ] [ ] tttttt ∆+∆+∆+ =+ θθθ TwBwA & (3.50)
O valor de θ adotado define o esquema de integração numérica adotado. Neste
trabalho preferiu-se utilizar o esquema de integração com θ = 1 (“backward difference
scheme”), por sua reconhecida estabilidade numérica (Zienkiewicz, 1977). Utilizando um
esquema de tempo em dois níveis e assumindo uma variação linear do vetor de incógnitas
para um dado incremento de tempo, tem-se:
ttttt ∆+∆+ +−= ww)(w θθθ 1 (3.51)
A derivada em relação ao tempo das incógnitas pode ser expressa da seguinte forma:
t
ttttt ∆
−= ∆+
∆+
www θ& (3.52)
Substituindo as Eqs. 3.51 e 3.52 em 3.50, tem-se:
[ ] FGwAG =∆+ tt (3.53)
onde:
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] ttt
twBA)(TFG
BAAG−−∆−∆=
+∆=θ
θ1
(3.54)
Esta é a solução final da equações diferenciais do problema. Com a Eq. 3.53 tem-se o
valor do vetor de incógnitas em um instante de tempo t+∆t, em função do vetor de incógnitas
obtido no passo anterior de tempo e das matrizes de rigidez. Desta forma, tem-se o valor dos
deslocamento e da pressão de água integrados no tempo.
51
3.5 SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES CONSIDERANDO A NÃO LINEARIDADE FÍSICA
Os problemas não lineares podem ser definidos como aqueles cuja solução é obtida
resolvendo equações do seguinte tipo:
( )[ ] FwwK = (3.55)
Portanto, tratam-se de problemas nos quais a obtenção da solução não é direta. A
solução da Eq. 3.55 seria encontrada quando fosse arbitrada uma solução w, com essa solução
fosse obtida a matriz K e após resolvido o sistema fosse obtida a mesma solução w
anteriormente arbitrada.
Existem dois tipos de não linearidades muito comuns em problemas de engenharia:
não linearidade geométrica e não linearidade física. A ocorrência de grandes deformações
produz não linearidade geométrica. Por sua vez, a análise de tensões e deformações utilizando
modelos constitutivos não lineares caracteriza problemas com não linearidade física.
No caso da Eq. 3.54, considerando a utilização de modelos constitutivos não lineares,
tem-se que as matrizes [AG] e [FG] são função do estado de tensões, ou seja, são função da
própria solução do sistema. Portanto, a solução da Eq. 3.54 se enquadra na classe de
problemas com não linearidade física.
Existe na literatura uma grande variedade de procedimentos para a solução de
problemas não lineares. Os mais utilizados são técnicas iterativas nas quais a partir de uma
estimativa inicial procura-se obter a solução por meio de repetidas soluções lineares. O
método de iteração direta de Picard e o método de Newton-Raphson são exemplos destas
técnicas. Estes dois métodos iterativos são utilizados pelo programa COUPSO.
O método de iteração direta de Picard consiste na sucessiva solução do sistema de
equações partindo no primeiro passo de uma solução inicial arbitrária e utilizando para o
cálculo de K em cada nova iteração, a solução obtida no último passo:
( )[ ] FwwK =+1ii (3.56)
Admite-se a convergência da solução quando o erro encontrado é menor que um valor
admissível (e < eadm ). Uma medida de erro freqüentemente utilizada é apresentada a seguir
(Cook et al., 1989):
52
i
iiew
ww −= +1 (3.57)
onde 1+i
w e i
w são as normas de dois vetores solução sucessivos.
Alternativamente, pode-se utilizar no lugar da norma do vetor solução, o maior dos
valores de erro obtidos de cada termo do vetor solução. Evidentemente, essa é uma medida de
erro mais rigorosa de se atender dependendo da tolerância admitida.
O método de Newton-Raphson está ilustrado na Fig. 3.3. Considerando uma função
que relaciona cargas e deslocamentos, F = f(D), tem-se que a partir de um ponto em equilíbrio
A, se o carregamento é incrementado para FB, o valor correto de deslocamento a ser obtido é
DB. O valor da função em um ponto qualquer pode ser aproximado utilizando uma expansão
por série de Taylor. Fazendo a expansão no pondo DA e desprezando derivadas de segunda
ordem em diante, obtém-se:
11 DdDdF
DfDDfA
AA ∆
+=∆+ )()( (3.58)
Considerando que FA = f(DA) e que ( ) AA KdDdF = é a rigidez tangente em A, tem-se:
ABA FFDK −=∆ )( 1 (3.59)
Os próximos passos consistem em atualizar os deslocamentos D1 = DA + ∆D1, usar D1
para a obtenção da solicitação F1 e a nova rigidez K1 e encontrar o próximo incremento ∆D2,
utilizando-se a expressão:
121 FFDK B −=∆ )( (3.60)
A diferença FB – F1 é o atual desequilíbrio de forças. Após um certo número de
iterações, espera-se que DA + ∆D1 + ∆D2 + ... ≅ DB e que o desequilíbrio de forças torne-se
suficientemente pequeno, sendo atingida a convergência.
Esta é uma descrição bem simplificada do método de Newton-Raphson. Existem
53
muitas variantes do método. Por exemplo, tem-se o Método de Newton-Raphson Modificado,
onde não se atualiza K, utilizando sempre a matriz de rigidez inicial. Alternativamente, pode-
se optar por atualizar K sistematicamente após um certo número de iterações, ou atualizar K
quando for detectado um aumento muito grande no número de iterações necessário para se
atingir a convergência (Cook et al., 1989).
DA D1 D2 DB
FA
F1
F2
FB
∆D1D
F
F = f ( D )
A
1
2B
b
∆D2
Figura 3.3 – Método de Newton-Raphson.
No caso da análise de tensões e deformações utilizando modelos não lineares com
dependência da trajetória de tensões, normalmente associa-se à solução iterativa um
procedimento incremental, onde as cargas são aplicadas ao sistema em pequenos incrementos.
Neste caso, o método iterativo é utilizado para obter a solução em cada pequeno passo de
aplicação de carga.
Intuitivamente espera-se também que a aplicação da carga em pequenos incrementos
facilite a reprodução da não linearidade. Quanto menor for o incremento, maior a segurança
de que a não linearidade do modelos será bem reproduzida. A utilização de pequenos
incrementos de carga é tão efetiva na reprodução de não linearidades, que a utilização de
pequenos incrementos, sem a adoção de procedimentos iterativos, conduz a resultados que
podem ser considerados suficientemente acurados, quando a não-linearidade é suave (Britto &
Gun, 1985).
O esquema iterativo de Newton-Raphson foi implementado e testado no programa
COUPSO. Detalhes sobre a forma de inclusão do Newton-Raphson e sobre os procedimentos
desenvolvidos serão apresentados no Capítulo 4.
54
3.6 RESUMO
Neste capítulo foi apresentada a modelagem do problema de equilíbrio e fluxo em
solos não saturados. Em relação às hipóteses básicas que delimitam a abrangência da
modelagem mecânica aqui apresentada, pôde-se observar que as simplificações exigidas para
a modelagem do fenômeno são aceitáveis e permitem atingir suficiente simplicidade. Mesmo
com algumas simplificações, a modelagem apresentada ainda preserva os mais importantes
aspectos do fenômeno de fluxo de água e equilíbrio em solos não saturados, particularmente
no caso de solos muito porosos e colapsíveis submetidos à molhagem.
Verificou-se que a equação de continuidade de massa de água, que governa o fluxo de
água no solo, mostra que existe geração de pressões de água devido a deformações. Ao
mesmo tempo, foi observado que as equações provenientes das equações de equilíbrio
mostram que a ocorrência de deformações é dependente de variações na pressão de água.
Assim, evidencia-se a interdependência das equações do fenômeno, requerendo a solução das
equações de forma acoplada.
Foi verificado que, como fluxo de água nos solos não saturados depende da variável
tempo, graças ao acoplamento das equações as deformações do solo também dependem do
tempo. Observou-se, portanto, a natureza transiente do fenômeno acoplado.
Apresentou-se a solução numérica das equações obtidas utilizando o Método dos
Elementos Finitos para a discretização espacial e o Método das Diferenças Finitas para a
discretização temporal. Graças à natureza dessas técnicas numéricas, a solução apresentada
permite a abordagem de problemas de valor de contorno e inicial com condições de fronteira
complexas e com a presença de materiais com diferentes propriedades. Por fim foi
apresentada a descrição de técnicas iterativas para a solução das equações. Essas técnicas
iterativas são requeridas devido à não linearidade física do problema.
55
CAPÍTULO 4 IMPLEMENTAÇÃO DO PROGRAMA CRISMUS E DA NOVA VERSÃO
DO PROGRAMA COUPSO E VALIDAÇÕES
Este capítulo é destinado à apresentação do programa CRISMUS (sigla para “CRItical
State Model for Unsaturated Soils”) e à apresentação da nova versão do programa COUPSO
(sigla para “COUPled SOlution”).
Primeiramente apresenta-se o programa CRISMUS. Este programa foi escrito com o
objetivo de permitir a reprodução de trajetórias de tensões pré estabelecidas, utilizando o
modelo elastoplástico de estados críticos de Alonso et al. (1990). Como verificação são
apresentadas comparações entre trajetórias reproduzidas utilizando o programa e resultados
disponíveis na literatura. Aproveitou-se a apresentação destes casos de validação para fazer
uma demonstração das potencialidades do modelo de Alonso et al. (1990), reforçando a
descrição do modelo, feita anteriormente no Capítulo 2 desta dissertação.
Em seguida é apresentada a nova versão do programa COUPSO. Faz-se uma descrição
geral do programa, apresentando o seu fluxograma geral e descrevendo suas principais
subrotinas. Em sua nova versão, foi introduzido o modelo elastoplástico de estados críticos de
Alonso et al. (1990) e foi feita a extensão para condições axissimétricos. Conforme será visto,
a inclusão de um modelo elastoplástico com endurecimento exigiu diversas adaptações e o
desenvolvimento de procedimentos adicionais, com a elaboração de novas subrotinas. São
apresentados dois exemplos de validação para a nova versão do programa, demonstrando o
seu funcionamento em simulações com o novo modelo e para condições axissimétricas.
4.1 PROGRAMA CRISMUS
4.1.1 DESCRIÇÃO GERAL DO PROGRAMA
O programa CRISMUS permite a reprodução de trajetórias de tensões pré
estabelecidas utilizando o modelo elastoplástico de estados críticos de Alonso et al. (1990). O
programa foi escrito utilizando a formulação do modelo para estados de tensões
tridimensionais. Assim, além de manter completa generalidade, tem-se que os procedimentos
escritos para o programa CRISMUS podem ser incluídos, com adaptações convenientes, em
56
um programa de Elementos Finitos, tal como o programa COUPSO, que foi formulado
utilizando as variáveis de tensão (σ–ua) e (ua–uw). A formulação do modelo de Alonso et al.
(1990) para estados de tensões tridimensionais foi apresentada no Capítulo 2 e outros detalhes
desta formulação são dados no Apêndice A.
O programa CRISMUS aplica uma variação total de tensões desejada, ou seja, ∆ *~
σ
e/ou ∆(ua–uw) de forma incremental, conforme é feito para qualquer modelo não- linear com
dependência da trajetória de tensões. Na Tabela 4.1 são apresentados os dados de entrada
requeridos.
Tabela 4.1 – Dados de entrada do programa CRISMUS.
Estado de tensões inicial: σx0, σy0, σz0, τxy0, τxz0, τyz0, ua0 e uw0
Parâmetros do modelo: λ(0), κ, λs, κs, r, β , pc, µ, φ e φ b
Posição inicial das superfícies de escoamento LC e SI: po* e s0
Variação total de tensões a ser aplicada: ∆σx, ∆σy, ∆σz, ∆τxy, ∆τxz, ∆τyz, ∆ua e ∆uw
Tamanho dos incrementos a serem aplicados: α
Os incrementos de tensões aplicados são proporcionais às variações totais de tensões,
e definidos pelo fator α, ou seja, determinados como α ∆σx, α ∆σy, α ∆σz, α ∆τxy, α ∆τxz,
α ∆τyz, α ∆ua e α ∆uw. Para cada incremento de variável de tensão tem-se a seguinte
seqüência básica de cálculos:
i) Acumular o incremento de estado de tensão, α∆ *~
σ e/ou α∆(ua–uw);
ii) Verificar se o novo estado de tensões incrementado atinge o escoamento,
calculando ),*,*(~~
*pssF 01 ss ∆+∆+ αα e ),*,*(~~
*pssF 02 ss ∆+∆+ αα . No início do
incremento de carga tem-se 0ss **~~
= e 00 wa uus −= . Nos demais incrementos estes
valores passam a ser atualizados em cada passo, ou seja, a cada incremento de tensões;
iii) Calcular as matrizes constitutivas D e h. A forma de cálculo destas matrizes
depende da verificação da ocorrência ou não de plastificação e no caso de ter ocorrido
plastificação, da verificação de qual superfície de escoamento foi atingida;
iv) Obter as deformações totais resultantes do incremento aplicado, utilizando a
expressão sd ∆+∆= −− αα hD*D~~
11 σε ;
57
v) Conforme os valores de F1 e F2, faz-se necessário ou não corrigir o estado de
tensões:
v.1) Caso não tenha ocorrido plastificação, apenas atualizar o estado de tensões
e as deformações totais;
v.2) Caso tenha ocorrido plastificação, de posse das deformações totais faz-se a
correção da trajetória de tensões, considerando a movimentação da superfície
de escoamento. Com o estado de tensões corrigido, atualiza-se o estado de
tensões e as deformações totais;
vi) Partir para o novo incremento de tensões, ou seja, de volta ao passo (i).
A seqüência é repetida até que todos os incrementos tenham sido aplicados ou caso
tenha sido atingido o estado crítico. Dentro da seqüê ncia de cálculos apresentada, um ponto
que merece maiores explicações é a forma de correção do estado de tensões citada no passo
(v.2). De acordo com o modelo de Alonso et al. (1990), tem-se que a movimentação das
superfícies de escoamento, ou seja, o endurecimento do solo, é obtida pelas seguintes
expressões:
( ) ( ) )(*** ep ddpdpdp υυυ εεκλ
υε
κλυ
−−
=−
=00 000 (4.1)
)()()( e
ssatm
p
ssatm ddpsdpsds υυυ εε
κλυ
εκλ
υ−
−+=
−+= 000 (4.2)
Pode-se observar que a nova posição da superfície de escoamento é função das
deformações plásticas, que por sua vez dependem das deformações elásticas. O incremento de
deformações elásticas é dado pela seguinte equação:
sd eee ∆+∆=−−
βαβα hD*D~~
11σε (4.3)
onde β é o fator multiplicador pelo qual obtêm-se um estado de tensões corrigido, ou seja, um
estado de tensões que fica exatamente sobre a superfície de escoamento movimentada.
Conclui-se que as posições finais das superfícies de escoamento dependem do próprio
estado de tensões corrigido que está sendo procurado. Quando o incremento de tensões é
58
alterado por meio do fator β , procurando fazer com que o estado de tensões final caia sobre a
superfície de escoamento, a própria superfície é deslocada para uma nova posição.
Para obter o estado de tensões corrigido, foi desenvolvido um procedimento de
procura do fator multiplicador β , que consiste na sistemática alteração do valor de β . A
alteração de β é controlada pela posição do estado de tensões em relação às superfícies LC e
SI. A posição do estado de tensões em relação às superfícies de escoamento é dada pelo valor
das funções ),*,*(~~
*pssF 01 ss ∆+∆+ βαβα e ),*,*(~~
*pssF 02 ss ∆+∆+ βαβα . A seqüência
de cálculos do procedimento é dada a seguir.
i) Definir a tolerância admitida durante o prodedimento, tol;
ii) Iniciar com 1=β ;
iii) Calcular F1 e F2;
iv) Conforme o valor de F1 e F2, tomar a decisão sobre a convergência ou sobre o
novo valor de β a ser testado:
iv.1) Se F1>0 ou F2>0 fazer 2βββ −= ;
iv.2) Se F1<tol e F2<tol fazer 2βββ += ;
iv.3) Caso nenhuma das duas alternativas acima sejam verdadeiras, tem-se que
o estado de tensões obtido respeita ambas as superfícies de escoamento e que o
estado de tensões está sobre uma das superfície (ou sobre ambas), dentro de
uma certa faixa de precisão (tol). Neste caso, encerrar aqui a procura;
v) Caso a tolerância não tenha sido respeitada, retornar ao passo (ii), utilizando o novo
valor de β .
O número de ciclos de cálculos necessários varia muito com a tolerância exigida. Para
valores de tol=0,005, tem-se normalmente menos de 10 ciclos. Como resultado da adoção
deste procedimento, tem-se que o incremento corrigido do estado de tensões tem uma norma
diferente, porém conserva a mesma direção do incremento original. Em outras palavras, o
tamanho dos componentes dos incrementos são corrigidos de forma proporcional. Assim, ao
fim tem-se que é respeitada a direção para a qual o estado de tensões está tendendo a evoluir,
o que parece mais coerente do que utilizar uma correção do estado de tensões em uma direção
pré determinada. Uma avaliação de vários procedimentos de correção do estado de tensões de
volta à superfície de escoamento é apresentada por Potts & Gens (1985), sendo que o
59
procedimento para o qual os autores obtiveram os melhores resultados é semelhante ao
implementado no programa CRISMUS, pois também considera o deslocamento da superfície
de escoamento durante a correção da trajetória de tensões. A diferença é que a solução de
Potts & Gens (1985) corrige o estado de tensões na direção do potencial plástico.
O cálculo das matrizes constitutivas D e h depende da verificação da ocorrência ou
não de plastificação e no caso de ter ocorrido plastificação, da verificação de qual a superfície
de escoamento foi atingida. As superfícies de escoamento do modelo apresentam um ponto de
singularidade, onde as superfícies LC e SI se tocam, tendo-se dois potenciais plásticos
diferentes. No caso de ser atingido escoamento neste ponto, o programa adota o potencial
dado pela superfície LC.
4.1.2 VALIDAÇÃO DO PROGRAMA CRISMUS
Serão apresentadas a seguir quatro simulações feitas com o intuito de validar o
programa CRISMUS. Foram reproduzidas diversas trajetórias utilizando o programa. São
trajetórias com e sem o desenvolvimento de tensões cisalhantes e com a ocorrência de
escoamento em diversas direções. Os resultados foram analisados e comparados com outros
resultados disponíveis na literatura.
4.1.2.1 SIMULAÇÃO DE UMA TRAJETÓRIA COM O DESENVOLVIMENTO
DE TENSÕES CISALHANTES
A primeira simulação (1) teve o objetivo de testar o programa CRISMUS para um
caso com desenvolvimento de tensões cisalhantes em que a sução permanece nula, ou seja, no
estado saturado. Para a condição de sucção nula, o modelo de Alonso et al. (1990) se reduz ao
modelo Cam-Clay Modificado. Os resultados obtidos com o programa CRISMUS foram
comparados com os do programa CRIS (Ortigão, 1995). Para tal, utilizou-se uma trajetória de
compressão com σ2=σ3, pois o programa CRIS foi formulado para estados de tensões
triaxiais, trabalhando com os invariantes p e q e não p e J.
Como trata-se de uma trajetória com sucção nula, não foram necessários os parâmetros
introduzidos pelo modelo de Alonso et al. (1990) para a extensão ao caso não saturado, ou
seja, λs, κs, r, β , pc, s0, e k. Foram requeridos apenas os parâmetros do modelo Cam-Clay
Modificado original. Os valores arbitrados de forma livre estão apresentados no Tab. 4.2.
60
Tabela 4.2 – Parâmetros utilizados na simulação 1.
Parâmetros eo po* λ(0) κ µ φ ecs
do Modelo 1,00 200,0 kPa 0,850 0,150 0,30 30,0o 4,97
Tratam-se de parâmetros que caracterizam um solo com grande compressibilidade e
com um índice de vazios relativamente elevado. O módulo cisalhante G, requerido pelo
programa CRIS, foi calculado para o nível de tensões médio da trajetória e corresponde aos
valores do coeficiente de Poisson µ e do módulo de recompressão κ apresentados na Tab. 4.2.
Como resultado, obteve-se um módulo cisalhante de 1056 kPa.
O parâmetro ecs apresentado na Tab. 4.2 é requerido apenas pelo programa CRIS. Este
parâmetro é utilizado no cálculo do índice de vazios que corresponde ao estado crítico. No
programa CRISMUS a determinação de quando é atingido o estado crítico é feita de forma
direta, verificando por meio do estado de tensões se o solo plastificado atingiu a linha de
estados críticos, dentro de certa tolerância. Os resultados estão apresentados na Fig. 4.1.
0
50
100
150
200
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Deformação Cisalhante - 2(εz-εx)/3
(b)
q -
kPa CRIS
CRISMUS
0
50
100
150
200
250
0 100 200 300 400 500p - kPa
(a)
q -
kPa
Linha de estadoscríticos
TT
1.21.31.41.51.61.71.81.92.02.1
140 190 240 290 340 390
p - kPa
(c)
(1+e
)
CRISCRISMUS
Linha de compressãoisotrópica
1.21.31.41.51.61.71.81.92.02.1
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Deformação Cisalhante - 2(εz-εx)/3
(d)
(1+e
)
CRISCRISMUS
Figura 4.1 – Simulação 1: (a) trajetória de tensões no espaço p:q; (b) tensões desviatórias por
deformações cisalhantes; (c) volume específico por tensão total média; (d) vo lume específico
por deformação cisalhante.
61
Como pode ser visto na Fig. 4.1, as trajetórias reproduzidas por ambos os programas
apresentam ótima concordância, demonstrando que o programa CRISMUS forneceu bons
resultados. Pode-se verificar que a Fig. 4.1b apresenta um trecho inicialmente linear muito
inclinado, seguido de uma repentina diminuição desta inclinação. Essa mudança de
comportamento coincide com a mudança de declividade da curva de compressão da Fig. 4.1c.
Verifica-se que foi atingido o estado crítico. A ocorrência de estado crítico está bem
caracterizada pelo pouco acréscimo de variação do volume específico e do estado de tensões,
para grandes deformações cisalhantes.
4.1.2.2 SIMULAÇÃO DE TRAJETÓRIAS DE MOLHAGEM SOB TENSÕES TOTAIS
LÍQUIDAS DIFERENTES
A segunda simulação (2) teve como objetivo reproduzir a ocorrência de deformações
plásticas em trajetórias de molhagem, ou seja, em trajetórias com redução da sucção. Utilizou-
se um exemplo apresentado por Alonso et al. (1990), cujos parâmetros podem ser vistos na
Tab. 4.3. Estes mesmos parâmetros serão usados nas simulações 3 e 4. Observa-se pelos
parâmetros da Tab. 4.3 que trata-se de um solo moderadamente compressível e cuja
diminuição de compressibilidade com a sucção chega a 25%.
Tabela 4.3 – Parâmetros utilizados nas simulações 2, 3 e 4.
eo φ λ(0) κ µ
Parâmetros 0,90 30,0o 0,200 0,020 0,30
do Modelo r β pc λs κs
0,75 0,0125 kPa-1 100,0 kPa 0,080 0,008
Os resultados da simulação utilizando o programa CRISMUS e os apresentados em
Alonso et al. (1990) são mostrados na Fig. 4.2. Observa-se excelente concordância entre os
resultados. Nestas trajetórias pôde-se observar importantes aspectos do modelo. As reduções
de sucção se deram em três diferentes tensões confinantes. No trecho AB, que possui a menor
tensão confinante, tem-se apenas uma pequena e elástica expansão, pois não foi atingida a
superfície LC. No trecho CD ocorreu escoamento, resultando em uma grande redução de
volume, o que demonstra a modelagem de colapso devido à diminuição de sucção. No trecho
EF houve uma diminuição ainda maior de volume, mostrando que o colapso cresceu com o
aumento da tensão confinante, conforme prevê a formulação do modelo.
62
0
50
100
150
200
250
300
350
0 150 300 450 600 750 900 1050 1200p - kPa
(a)
s - k
Pa A
B
C
D
E
F
LC 0 LC f
SI i
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
1.95
150 250 350 450 550 650p - kPa
(b)
(e+1
)
Alonso et al. (1990)
CRISMUS
A
B
C
D E
F
Figura 4.2 – Simulação 2: (a) trajetórias de tensão; (b) volume específico : tensão total média.
4.1.2.3 SIMULAÇÃO DE TRAJETÓRIAS DE AUMENTO DA TENSÃO TOTAL
LÍQUIDA MÉDIA SOB DIFERENTES SUCÇÕES
A terceira simulação (3) teve como objetivo reproduzir a variação volumétrica devido
ao aumento de tensão média, sob três condições diferentes de sucção constante. Novamente
utilizou-se um exemplo apresentado em Alonso et al. (1990). Os parâmetros constitutivos são
os mesmo utilizados na simulação 2, apresentados na Tab 4.3.
0
50
100
150
200
250
300
350
0 150 300 450 600 750 900 1050 1200p - kPa
(a)
s - k
Pa
A B
C D
E F
LC i LC b
SI i
LC f LC d
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
1.95
150 250 350 450 550 650p - kPa
(b)
(e+1
)
Alonso et al. (1990)
CRISMUSA
B
C
D
E
F
FF
Figura 4.3 – Simulação 3: (a) trajetórias de tensão; (b) volume específico : tensão total média.
Os resultados da simulação utilizando o programa CRISMUS e os apresentados em
Alonso et al. (1990) podem ser vistos na Fig. 4.3. Verifica-se excelente concordância entre os
63
resultados. Pode-se observar importantes aspectos do modelo nesta simulação. Os resultados
mostram que quanto maior a sucção, menor a variação volumétrica, devido a um aumento da
pressão de escoamento e devido à uma diminuição na compressibilidade. Ao fim das trajetória
pode-se ver também uma pequena e recuperável diminuição de volume devido a um aumento
na sucção do solo.
4.1.2.4 SIMULAÇÃO DE UMA TRAJETÓRIA COM ESCOAMENTO DEVIDO À
AUMENTO DE SUCÇÃO
A quarta simulação (4) teve como objetivo demonstrar a ocorrência de deformações
plásticas devido à escoamento pela superfície SI e mostrar o acoplamento da expansão das
superfícies de escoamento LC e SI. Mais uma vez utilizou-se um exemplo apresentado em
Alonso et al. (1990) e os parâmetros constitutivos apresentados na Tab 4.3.
Os resultados da simulação utilizando o programa CRISMUS e as curvas mostradas
por Alonso et al. (1990) estão apresentados na Fig. 4.4. Observa-se excelente concordância
entre os resultados. Verifica-se que a trajetória AC produz deformações volumétricas plásticas
que induzem, além da expansão da superfície SI, uma expansão também da superfície LC.
Essa expansão faz com que a trajetória DE apresente uma tensão de escoamento maior do que
a apresentada pela trajetória AB.
0
50
100
150
200
250
300
350
0 150 300 450 600 750 900 1050 1200p - kPa
(a)
s - k
Pa
C
D, A E, B
LC i LC b,e
SI c
LC d
SI i1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
1.95
150 250 350 450 550 650p - kPa
(b)
(e+1
)
Alonso et al. (1990)
CRISMUSA
B, E
CD
Figura 4.4 – Simulação 4: (a) trajetórias de tensão; (b) volume específico : tensão total média.
Como pode ser visto, as quatro trajetórias apresentadas demonstram o potencial do
programa CRISMUS em reproduzir trajetórias de tensão utilizando o modelo de Alonso et al.
64
(1990). Mostrou-se escoamento pelas superfícies LC e SI sob trajetórias com estado
isotrópico de tensões totais líquidas e mostrou-se também escoamento pela superfície LC sob
trajetórias de cisalhamento. Apesar da generalidade do programa, é importante lembrar que as
trajetórias analisadas neste trabalho são trajetórias nas quais o escoamento ocorre pela
superfície LC, devido à redução na sucção, não sendo portanto acionada a superfície SI.
4.2 PROGRAMA COUPSO
Neste item é apresentada a nova versão do programa COUPSO. Inicialmente é feita
uma descrição geral do programa e em seguida é apresentado o seu fluxograma geral e a
descrição das suas principais subrotinas. São apresentados casos de validação para a nova
versão do programa, demonstrando as suas potencialidades e seu funcionamento utilizando o
modelo constitutivo de estados críticos de Alonso et al. (1990).
4.2.1 DESCRIÇÃO GERAL DO PROGRAMA
O programa COUPSO faz a análise acoplada de equilíbrio e fluxo em solos não
saturados, sendo a condição saturada um caso particular. O programa COUPSO utiliza
elementos quadrilaterais de nove nós, tanto para os deslocamentos quanto as pressão de água.
A interpolação é feita utilizando polinômios de Lagrange e a integração numérica é feita
utilizando a quadratura de Gauss-Legendre. A matriz de equações lineares é armazenada em
“skylines”, de acordo com o procedimento de Dhat e Touzot citados por Pereira (1996).
Neste trabalho foram feitas diversas modificações no programa original. A versão
original do programa (Pereira, 1996) utiliza como modelo para a relação entre tensões e
deformações o modelo elástico incremental de Fredlund (1979) e considera a situação
bidimensional de deformações planas. Foi acrescentada à nova versão do programa o modelo
elastoplástico de estados críticos de Alonso et al. (1990). Além disso, o programa foi
estendido para a análise sob condições axissimétricas. A inclusão do modelo de estados
críticos e a extensão para casos axissimétricos exigiu diversas modificações na organização
geral do programa e a modificação de várias subrotinas pré-existentes. Foi necessária também
a elaboração de várias novas subrotinas e a implementação de um novo procedimento
iterativo, utilizando o método de Newton-Raphson, para permitir a conservação de energia,
respeitando o equilíbrio do sistema.
Para análises axissiméticas é utilizado o mesmo elemento de nove nós usado nas
65
análises de deformações planas. Conforme foi visto no Capítulo 2, a diferença entre a
formulação para condições de deformações planas e axissimétricas é que as equações
diferenciais do problema são diferentes e que no caso axissimétrico a integral das equações
diferenciais é feita em um volume de rotação. Portanto, ao fim tem-se equações diferentes
para os termos das matrizes do modelo numérico.
4.2.2 ORGANIZAÇÃO DO PROGRAMA
Na Fig. 4.5 é apresentado o fluxograma da nova versão do programa COUPSO. As
caixas em linhas duplas representam pontos de controle ou comandos dentro do programa
principal. As caixas em linhas cheias simples representam subrotinas que são sempre
utilizadas, qualquer que seja o modelo constitutivo utilizado na análise. As caixas em linhas
tracejadas simples representam subrotinas que são utilizadas apenas em análises utilizando o
modelo de estados críticos.
Procurou-se organizar o programa de forma a permitir a fácil inclusão de novos
modelos, esquemas iterativos, elementos, etc.. O programa principal controla todas as
operações, chamando as subrotinas requeridas pela análise. Existem três ciclos principais no
programa. O ciclo externo corresponde à sucessiva aplicação de passos de tempo, que
permitem o avanço do fenômeno transiente, de forma incremental. O ciclo intermediário é
executado várias vezes dentro de cada ciclo de passo de tempo e corresponde ao
procedimento de iteração simples, utilizado na solução do sistema não linear. O terceiro e
último ciclo é executado várias vezes dentro do intermediário e corresponde ao procedimento
iterativo de Newton-Raphson. O método de Newton-Raphson, utilizado no programa apenas
em analises com o modelo de estados críticos, consiste na reaplicação sucessiva de cargas
desbalanceadas que surgem quando da integração da relação constitutiva de estado crítico.
Assim, permite-se a conservação do equilíbrio do sistema, inicialmente desfeita. Detalhes
sobre a implementação do método de Newton-Raphson serão dados no item 4.2.3.
No programa principal é feito o controle de erro e a conseqüente determinação da
convergência, durante as iterações simples e durante o procedimento do Newton-Raphson. É
executado também o pós-processamento e a saída de dados, em intervalos de tempo pré-
determinados. Uma breve descrição das principais subrotinas é dada a seguir.
SUBROTINA DATAIN: controla a entrada de dados e o pré-processamento dos
dados. São lidos os dados de controle, para a escolha de qual o tipo de análise será feita:
66
• escolha do tipo de análise: consolidação ou fluxo;
• escolha da condição da análise: deformações planas ou condição axissimétrica;
• escolha do número de pontos de integração: 4 ou 9;
• escolha do modelo para a estrutura do solo utilizado na análise: modelo elástico
incremental de Fredlund (1979) ou de estados críticos de Alonso et al. (1999).
Na subrotina DATAIN são obtidas as coordenadas dos nós, a conectividade dos elementos, as
propriedades dos materiais, as condições de fronteira em termos de deslocamento e pressão de
água e os carregamentos externos aplicados. Por fim, são lidos os dados da análise transiente,
que incluem as condições iniciais e o tamanho dos passos de tempo.
SUBROTINA TENSI: calcula as tensões iniciais do problema nos pontos de Gauss.
Para a tensão vertical considera-se o peso da coluna de solo sobre o ponto. As tensões nas
direções horizontais são calculadas para a condição K0. As tensões cisalhantes são calculadas
em função da inclinação da superfície do maciço, β , de acordo com uma aproximação
sugerida por Poulos & Davis (1974):
βστ senyxy = (4.4)
Após o cálculo da tensões iniciais, a subrotina TEPRIN é chamada para calcular as tensões
principais, para o estado de tensões plano, e as direções dos planos de tensões principais. A
subrotina MOBLZ é chamada para o cálculo da resistência ao cisalhamento mobilizada,
considerando a envoltória de ruptura estendida proposta por Fredlund et al. (1978). A
resistência mobilizada calculada corresponde à máxima razão entre tensões cisalhantes
mobilizadas e disponíveis, SMOB, dada pela seguinte expressão:
( ) [ ] ( ) ( )[ ][ ] ( ) ( )[ ]2
312
31
231
23131
2
2
'tan'tantan)('
'tan'tantan)('
φσσφσσφ
φσσφσσφσσ
−−++−+
−−++−+−=
bwa
bwa
uuc
uucSMOB (4.5)
SUBROTINA TIMESCH: atualiza o tamanho dos passos de tempo aplicados. É
possível assinalar um primeiro passo de tempo diferente dos demais, de forma a evitar
problemas de oscilação devido à incrementos de tempo muito pequenos no primeiro passo.
67
SUBROTINA GLOBAL: calcula o sistema global de equações lineares para o modelo
numérico em cada iteração da análise transiente e nas iterações do método de Newton-
Raphson. Conforme foi dito, iterações do método de Newton-Raphson ocorrem apenas
quando é utilizado o modelo de estados críticos. É chamada a subrotina ASSEMATRIX, que
faz a montagem das matrizes globais e dos vetores de força globais do sistema acoplado.
Estas matrizes e vetores são: a matriz de rigidez (DK), as matrizes de acoplamento (CW e
WK), a matriz de condutância (TW), de massa de água (HW) e vetores de força relacionados
com a estrutura e com a fase água (F e FW). A subrotina ASSEMATRIX utiliza a subrotina
ELEM2Q para calcular as matrizes citadas para cada elemento, em função das propriedades
dos pontos de integração, obtidas na subrotina SOILPARAM. Na subrotina GLOBAL são
também aplicadas as condições de fronteira e os carregamentos. Para tal é chamada a
subrotina NBC2, para a aplicação das condições de fronteira naturais e a subrotina ESSBC,
para a aplicação das condições de fronteira essenciais.
SUBROTINA SOILPARAM: no caso da utilização do modelo elástico incremental,
esta subrotina chama as subrotinas VCPARAM, STATESUR e PERMEAB para calcular as
propriedade hidráulicas e mecânicas nos pontos de Gauss. No caso da utilização do modelo de
estados críticos, esta subrotina chama as subrotinas VCPARAM, STATESUR, PERMEAB e
ALONSO1. É calculada a variação de peso próprio devido à variações no grau de saturação e
são aplicados coeficientes de anisotropia sugeridos por Pereira (1996), quando assim for
especificado. As propriedades são calculadas utilizando a média entre o candidato a novo
estado de tensões e o antigo estado de tensões.
SUBROTINA VCPARAM: esta subrotina chama a subrotina STATESUR para
calcular propriedades que serão utilizados no cálculo das matrizes do modelo numérico.
SUBROTINA STATESUR: calcula o grau de saturação, o índice de vazios do solo e o
coeficiente de Poisson, para um dado estado de tensões, utilizando superfícies de estado. São
calculadas também as derivadas das superfícies de estado de grau de saturação e de índice de
vazios, em relação às variáveis de tensão. Caso seja utilizado na análise o modelo de estados
críticos, os dados em relação ao índice de vazios não são calculados e são necessários apenas
os parâmetros para o grau de saturação e para o coeficiente de Poisson.
SUBROTINA PERMEAB: esta subrotina calcula a condutividade hidráulica do solo
para um dado estado de tensões, utilizando a superfície de estado de condutividade hidráulica.
68
SUBROTINA ALONSO1: calcula as propriedades da relação entre tensões e
deformações, considerando o modelo de Alonso et al. (1990). Para um dado estado de tensões
é determinado se houve escoamento e em função disso são calculadas as propriedades. É
permitida a escolha de uma lei de fluxo associada ou de uma lei de fluxo não associada,
determinada pelo coeficiente ω, conforme sugerido por Alonso et al. (1990).
SUBROTINA MASOLSKY: esta subrotina resolve o sistema de equações lineares
A(x)=B do modelo numérico utilizando “skylines”, de acordo com o procedimento
desenvolvido por Dhat e Touzot citados por Pereira (1996).
SUBROTINA STRESSES: calcula as deformações, as tensões e as pressões de água
nos pontos de Gauss, usando os valores de deslocamentos e pressão de água nodais
calculados. Em cada iteração as tensões em um elemento são obtidas utilizando as mesmas
propriedades anteriormente obtidas para o cálculo das matrizes do sistema. Neste trabalho
adotou-se integração reduzida, utilizando apenas quatro pontos de Gauss. A utilização de
apenas quatro pontos produz melhores resultados que a integração utilizando nove pontos de
Gauss. Utilizando nove pontos as tensões avaliadas nos pontos de Gauss podem apresentar
algumas inconsistências em problemas com elevada não linearidade física.
SUBROTINA DFORCE: esta subrotina é chamada para calcular cargas nodais
equivalentes à valores de tensões nos pontos de Gauss. As cargas nodais são necessárias para
o cálculo do desbalanço de carga durante o Newton-Raphson.
SUBROTINA FCOR: esta subrotina faz a extrapolação de valores de pressão de água
dos pontos de integração para os nós. No caso da utilização de apenas quatro pontos de
integração, é feita uma extrapolação linear.
SUBROTINA ALONSO2: nesta subrotina é feita a correção do estado de tensões de
forma a respeitar as superfícies de escoamento. Essa subrotina é aplicada apenas aos pontos
que já escoaram. Utiliza-se para tal o mesmo procedimento utilizado no programa CRISMUS,
descrito anteriormente. É calculado também o endurecimento do solo, correspondente às
deformações volumétrica plásticas. Assim como as tensões, o endurecimento do solo é
calculado nos pontos de Gauss.
69
Cic
lo d
o N
ewto
n-R
aphs
on
Cic
lo d
a ite
raçã
o si
mpl
es
Cic
lo d
e in
crem
ento
de
carg
aDATAIN
TENSI
TIMESCH
GLOBAL
MASOLSKY
STRESSES
SOILPARAM
ALONSO2
DFORCE
GLOBAL
MASOLSKY
STRESSES
SAÍDA DOSRESULTADOS
STATESUR
VCPARAM PERMEABALONSO1
INÍCIO
CONTROLE DOSPASSOS DE TEMPO
CONTROLE DA CONVERGÊNCIA NA ITERAÇÃO SIMPLES
FIM
CONTROLE DA CONVERGÊNCIANO NEWTON-RAPHSON
FCOR
TEPRIN MOBLZ
TEPRIN MOBLZ
SOILPARAM
STATESUR
VCPARAM PERMEABALONSO1
Figura 4.5 – Fluxograma do programa COUPSO.
70
4.2.3 APLICAÇÃO DO NEWTON-RAPHSON NA INTEGRAÇÃO DA RELAÇÃO
CONSTITUTIVA DE ESTADOS CRÍTICOS
Conforme foi mostrado, durante a integração da relação constitutiva do modelo de
estados críticos ocorre um desbalanço entre as forças aplicadas e resistentes, fazendo com que
o sistema fique em desequilíbrio. Para restabelecer o equilíbrio o programa COUPSO utiliza
uma solução iterativa fazendo uso do método de Newton-Raphson. Neste método as forças
desbalanceadas são sistematicamente reaplicadas, até que o desequilíbrio do sistema, ou seja,
o resíduo, seja suficientemente pequeno.
No Capítulo 3 verificou-se que o fenômeno físico estudado pode ser modelado por um
sistema acoplado, composto por duas equações provenientes das equações de equilíbrio e por
uma equação que governa o fluxo de água no solo, totalizando três equações. As três equações
da modelagem numérica do fenômeno, utilizando elementos finitos, são as seguintes:
22
1
2212
2111
=
−
FF
uCWCW
vu
DKDKDKDK 1
w&&&
(4.6)
[ ] [ ] [ ] FWuTWvu
WKWKuHW w21
w =+
+ &&&
(4.7)
Os termos das Eqs. 4.6 e 4.7 foram definidos no Capítulo 3. Para reequilibrar o
sistema, devido a oscilação numérica e problemas de convergência adotou-se um esquema em
que o desbalanço de carga é reaplicado apenas nas equações de equilíbrio, desconsiderando-se
a equação de fluxo. Ressalta-se que o desequilíbrio gerado pela integração da relação
constitutiva é minimizado para discretizações mais refinadas, tanto temporais quanto
espaciais. Com o esquema implementado, tem-se que durante o Newton-Raphson a pressão de
água obtida na iteração simples não é alterada. A forma de aplicação das cargas
desbalanceadas apenas nas equações de equilíbrio é dada pela seguinte expressão:
w
1
duCWCW
FDFD
vu
DKDKDKDK
+
=
2
1
22212
2111
(4.8)
onde:
DK11, DK12, DK21 e DK22 são os termos da matriz de rigidez;
71
CW1 e CW2 são os termos da matriz de acoplamento, que é função dos módulos hi;
FD1 e FD2 são os termos do vetor de cargas desbalanceadas;
duw é o vetor de poro-pressões desbalanceadas, obtido conforme será explicado a seguir.
Os termos DK11, DK12, DK21, DK22, CW1 e CW2 podem ser atualizados, ou não,
durante o procedimento do Newton-Raphson e, alternativamente, podem ser atualizados
sistematicamente, após um certo número de passos. Esse número de passos pode ser
estabelecido de acordo com um critério baseado, por exemplo, na velocidade com que está
sendo atingida a convergência. A não atualização das matrizes implica em economia do
esforço computacional requerido para o cálculo dessas matrizes, ao custo de um aumento do
número de ciclos necessários para ser atingida a convergência. Apesar dessas alternativas
poderem ser implementadas facilmente no programa COUPSO, não foram comparadas
análises utilizando vários tipos de esquema. Nas análises feitas adotou-se a atualização das
matrizes a cada passo do Newton-Raphson. A escolha do esquema com atualização em todos
os ciclos foi motivada pelo fato de que, com a constante atualização da matrizes, tem-se uma
maior probabilidade de que a convergência será atingida em problemas cuja não linearidade
não é suave (Cook et al., 1989 e Farias, 1993).
O vetor de cargas desbalanceadas corresponde à diferença entre o vetor de cargas
aplicadas e o vetor de cargas resistentes. O vetor de cargas resistentes é obtido em função da
relação constitutiva de estados críticos. Para a condição de deformações planas, as cargas
nodais são calculadas em função das tensões, pelas expressões seguintes:
∫
∫
Ω
Ω
∂∂
+∂∂
=
∂∂
+∂∂
=
e
e
dxdyyx
F
dxdyyx
F
yi
xyi
i
xyi
xi
i
σφ
τφ
τφ
σφ
2
1
(4.9)
Para a condição de axissimetria, tem-se as seguintes expressões:
∫
∫
Ω
Ω
+
∂∂
+∂∂
=
−+
∂∂
+∂∂
=
e
e
drdyryr
F
drdyryr
F
ryyi
ryi
i
rry
ir
ii
τσφ
τφ
σστ
φσ
φ θ
12
1
(4.10)
72
O vetor duw corresponde ao desbalanço que ocorre apenas em análises com solo na
condição não saturada. Enquanto no caso do solo saturado a diferença entre as forças
aplicadas e resistentes é obtida em função de tensões efetivas, no caso do solo não saturado
esta diferença é função da tensão total líquida e da sucção (s = ua – uw). Assim, é necessário
reaplicar desbalanços provenientes de duas variáveis de tensão, conforme a Eq. 4.8.
A medida de erro utilizada nas análises para a verificação da convergência no Newton-
Raphson, é dada pela seguinte expressão:
i
jij w
we
ϕ+=
0
,max (4.11)
onde:
ε j é o erro no ciclo j do método de Newton-Raphson;
ϕ é um número muito pequeno, introduzido para evitar divisão por zero;
iji ww )(, ϕ+0 é a razão entre o deslocamento resultante da aplicação de uma carga no ciclo
j do Newton-Raphson, 22 vuw += , e o deslocamento inicialmente obtido, 20
200 vuw += ,
para o nó i.
Nessa medida de erro procura-se o máximo erro, nó a nó. Foi testada em algumas
análises a utilização da norma dos vetores solução, para a medida de erro:
ϕ+=
0w
wj
je (4.12)
onde j
w é a norma do deslocamento resultante da aplicação de uma carga no ciclo j do
Newton-Raphson e 0w é a norma do deslocamento inicialmente obtido.
Como era esperado, verificou-se que o critério da norma na avaliação da convergência
é mais fácil de ser atendido, dependendo da tolerância admitida. Após atingida a convergência
no método de Newton-Raphson, ou seja, quando o resíduo for suficientemente pequeno,
passa-se para a nova iteração simples, onde novamente será utilizado o Newton-Raphson.
Somente após atingida a convergência da iteração simples passa-se para o novo incremento de
carga (passo de tempo). A medida de erro adotada na iteração simples é semelhante à medida
adotada para o Newton-Raphson.
73
Apesar de o procedimento utilizando o método de Newton-Raphson descrito neste
item sacrificar o acoplamento, nos ciclos da iteração simples, que ocorrem por fora dos ciclos
de reequilíbrio de cargas desbalanceadas, o acoplamento continua sendo respeitado. Se for
considerado que a parcela de avanço do fenômeno nos ciclos da iteração simples (seja entre
termos de variação de tensões ou de pressões de água) é bem maior que a parcela de avanço
durante o reequilíbrio de cargas desbalanceadas, pode-se considerar que o acoplamento está
sendo bem reproduzido.
4.2.4 VALIDAÇÃO DO PROGRAMA COUPSO
Serão apresentadas a seguir duas simulações feitas com o intuito de validar as
modificações implementadas no programa COUPSO. Foi simulado o adensamento de um
corpo de prova saturado confinado lateralmente e o carregamento lento de um corpo de prova
saturado, também confinado lateralmente. Por existir confinamento lateral, ambas as
simulações são unidimensionais. Em todas as simulações foi utilizado o modelo de estado
crítico de Alonso et al. (1990) e foi utilizada a formulação axissimétrica. Os resultados
obtidos foram comparados com outros resultados disponíveis. Simulações de casos não
saturados serão apresentadas no próximo capítulo.
4.2.4.1 SIMULAÇÃO DE ADENSAMENTO COM CONFINAMENTO LATERAL
A primeira simulação teve o objetivo aplicar o programa COUPSO na simulação do
adensamento de uma camada de solo homogênea e saturada, utilizando o modelo de estados
crítico de Alonso et al. (1990) para a modelagem da deformabilidade da estrutura do solo. A
camada de solo adensada na condição confinada. Foi utilizada a formulação axissimétrica. O
resultado dessas simulações utilizando a formulação axissimétrica é idêntico ao obtido
utilizando a formulação de deformações planas, pois tratam-se de casos unidimensionais.
Desta forma, tem-se que uma forma adicional de se verificar o correto funcionamento do
programa é comparando as duas formulações.
Para que fosse simulado o adensamento, aplicou-se um excesso de pressão de água
inicial de 100 kPa e deixou-se a água drenar por apenas uma fronteira do domínio. Para tal,
foi aplicada uma condição de fronteira essencial no topo da camada, especificando uma
pressão de água no contorno superior igual à 0 kPa. Na Figura 4.6 é mostrado o problema
simulado e os parâmetros adotados. O valor de mv adotado corresponde ao valor de λ(0), para
74
o nível médio de tensões efetivas alcançado durante a consolidação, de 50 kPa.
A camada de solo foi discretizada utilizando quatro elementos de igual altura,
dispostos verticalmente. Os passos de tempo foram determinados em um processo de tentativa
e erro, onde procurou-se valores para os quais não ocorresse oscilação. Adotou-se nesta
simulação um primeiro passo de tempo de 83 horas, seguido de passos de tempo de 0,27
horas. Para a convergência do Newton-Raphson adotou-se um erro admissível de 5%.
Observou-se que em alguns passos não foi atingida a convergência após 20 ciclos, ocorrendo
erros que chegaram a 15 %. Neste caso, após 20 ciclos assumiu-se o resultado obtido e partiu-
se para a próxima iteração. Como a freqüência com que ocorreram esses erros dentro da
simulação foi pequena, estima-se que os resultados sejam pouco afetados.
O tempo de processamento necessário para ser completada a análise utilizando o
modelo de estado críticos e quatro elementos foi de cerca de 30 minutos para um
microcomputador Pentium 166Mhz, com 32MB de memória RAM. O período de tempo
requerido é função não apenas do número de elementos, mas também do número de passos de
tempo e do modelo utilizado. Quando é utilizado o modelo de estados críticos, dentro de cada
iteração simples existem vários ciclos do Newton-Raphson. Isso implica em um aumento
considerável no período de computação requerido. Este mesmo problema requer menos de 4
minutos para ser solucionado quando é utilizado o modelo elástico incremental.
Foram testadas malhas mais refinadas. Houve uma melhoria razoável em termos de
diminuição dos erros durante o Newton-Raphson. No entanto, como o tempo de
processamento cresceu muito, julgou-se que a malha de quatro elementos é mais adequada
Cv = 1,39x10-9 m2/smv = 1,02x10-2 m2/kNkw = 1.39x10
-10 m/s
u0 = 100 kPae0 = 1,0 µ = 0,43κ = 0,10 λ(0) = 1,02 p0*=40,0 kPa
1,0 m
base rígida e impermeável
superfície livre e drenantenível da água
Figura 4.6 – Problema de adensamento para uma camada de solo homogênea e saturada.
Os resultados obtidos com o programa COUPSO foram comparados com os obtidos
utilizando o programa de elementos finitos SEEP/W (Geo-Slope, 1994). Na Fig. 4.7
apresenta-se a distribuição de excesso de pressão de água em quatro instantes. Pode-se
75
observar que os resultados obtidos são bem próximos.
Na Fig. 4.8 é apresentada a curva de compressibilidade de um ponto de Gauss
escolhido na malha, representativo dos demais. O resultado obtido com o programa COUPSO
foi comparado ao obtido fazendo a simulação da mesma trajetória de tensões, utilizando o
programa CRISMUS. Observa-se uma ótima concordância entre os resultados, demonstrando
que o esquema de integração do modelo constitutivo de estados críticos implementado
fornece bons resultado.
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
pressão de água - kPa
Dis
tânc
ia d
e D
rena
gem
SEEP/W - 1000hs
SEEP/W - 400hsSEEP/W - 200hs
SEEP/W - 100hs
COUPSO - 1000hs
COUPSO - 400hs
COUPSO - 200hsCOUPSO - 100hs
Figura 4.7 – Distribuição de excesso de pressão de água no caso de adensamento
unidimensional de uma camada de solo saturado e homogêneo.
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
0 10 20 30 40 50 60 70tensão total líquida média - p ( kPa)
índi
ce d
e va
zios
- e
Trajetória Imposta (CRISMUS)
COUPSO
Figura 4.8 – Variação do índice de vazios com a tensão efetiva durante o adensamento.
76
4.2.4.2 SIMULAÇÃO DE CARREGAMENTO UNIFORME COM CONFINAMENTO
LATERAL
A segunda simulação teve o objetivo aplicar o programa COUPSO na simulação da
aplicação de carregamento vertical uniforme e infinito sobre uma camada de solo homogênea,
utilizando o modelo de estados crítico de Alonso et al. (1990) para a deformabilidade da
estrutura do solo. Aplicou-se 100kPa de carga, de forma lenta, e em pequenos incrementos,
minimizando a geração de pressão de água devido ao acoplamento do sistema. Na Figura 4.9
é mostrado o problema simulado e os parâmetros adotados.
kw = 1.00x10-6 m/su0 = 0,0 kPae0 = 1,0 µ = 0,30κ = 0,05 λ(0) = 0,50 p0*=40,0 kPa
0,02 m
base rígida e impermeável
carregamento infinitonível da água
100,0 kPa
Figura 4.9 – Problema de carregamento uniforme e infinito.
A camada de solo fo i discretizada utilizando cinco elementos de igual altura, dispostos
verticalmente. O mesmo tipo de cuidado tomado no problema anterior em relação aos passos
de tempo foram tomados neste. Na Fig. 4.10 são apresentados os resultados obtidos.
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
0 10 20 30 40 50 60 70tensão total líquida média - p ( kPa)
índi
ce d
e va
zios
- e
Trajetória Imposta (CRISMUS)
COUPSO
Figura 4.10 – Variação do índice de vazios com a tensão efetiva durante o carregamento.
77
Adotou-se para a convergência do Newton-Raphson um erro admissível de 5%. Em
alguns poucos passos esse critério não foi atingido após 20 ciclos. Após 20 ciclos o resultado
obtido foi aceito e passou-se ao próximo passo. A curva de compressibilidade apresentada na
Fig. 4.10 corresponde a um ponto de Gauss do terceiro elemento de malha. O resultado obtido
com o programa COUPSO foi comparado ao obtido fazendo a simulação da mesma trajetória
de tensões, utilizando o programa CRISMUS. Observa-se uma ótima concordância entre os
resultados.
4.3 RESUMO
Foram apresentados neste capítulo os programas CRISMUS e a nova versão do
programa COUPSO. Primeiramente apresentou-se o programa CRISMUS. Mostrou-se sua
aplicabilidade na reprodução de trajetórias de tensões pré estabelecidas, utilizando o modelo
elastoplástico de estados críticos de Alonso et al. (1990). Foram apresentadas comparações
entre algumas trajetórias reproduzidas utilizando o programa CRISMUS e alguns resultados
disponíveis na literatura, demonstrando a validade do programa e, adicionalmente, mostrando
as potencialidades do modelo de Alonso et al. (1990).
Em seguida foi apresentada a nova versão do programa COUPSO. Foi feita uma
descrição geral do programa, mostrando o seu fluxograma geral e descrevendo suas principais
subrotinas. Apresentou-se a forma como foi introduzido o modelo elastoplástico de estados
críticos de Alonso et al. (1990) no programa. Como pôde-se verificar, a utilização do modelo
elastoplástico com endurecimento exigiu diversas adaptações e a elaboração de novas
subrotinas. Por fim apresentou-se dois casos de validação para a nova versão do programa
COUPSO, demonstrando sua aplicação e parte de suas potencialidades.
78
CAPÍTULO 5 SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ENSAIOS OEDOMÉTRICOS
5.1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo são apresentadas simulações numéricas de ensaios oedométricos em
trajetórias de molhagem, utilizando o programa de Elementos Finitos COUPSO e simulações
de trajetórias impostas de molhagem, utilizando o programa CRISMUS. As simulações
realizadas se basearam em resultados experimentais de Peixoto (1999). Tratam-se de ensaios
oedométricos com controle de sucção e medidas das tensões horizontais que foram realizados
em amostras da argila porosa e colapsível do Distrito Federal. É verificado o desempenho dos
modelos na reprodução de uma trajetória de molhagem e é feita a comparação entre as
previsões dos modelos.
Os modelos constitutivos utilizados nas simulações são três versões do modelo
elástico incremental e o modelo de estados críticos de Alonso et al. (1990). A primeira versão
do modelo elástico incremental corresponde à proposta original de Fredlund (1979). A
segunda versão consiste em uma modificação do modelo, proposta por Pereira (1996), onde
são utilizados coeficientes de anisotropia constantes, obtidos em retro-análises. A terceira
versão consiste em uma modificação elaborada com base nas medidas de tensões horizontais
dos ensaios de Peixoto (1999). Nesta modificação os coeficientes de anisotropia propostos por
Pereira (1996) variam durante a molhagem, e são calculados em função de equações que
indicam como se desenvolvem as tensões horizontais durante a redução de sucção.
Nas simulações utilizando o modelo de Alonso et al. (1990), foi analisado o papel dos
parâmetros de resistência ao cisalhamento φ‘ e k, com base em análises paramétricas
utilizando o programa CRISMUS. Com essas análises paramétricas, além de obter uma
indicação de que valores de φ‘ e k permitiriam a melhor reprodução dos ensaios, verificou-se
para uma trajetória semelhante à simulada numericamente, qual a influência da lei de fluxo
adotada, na deformação volumétrica e nas componentes vertical e horizontal de deformação.
Conforme será evidenciado, a reprodução do comportamento do solo é fortemente
ligada à correta reprodução da evolução das tensões horizontais, de forma que a
disponibilidade de ensaios oedométricos com medidas de tensões horizontais, como os de
Peixoto (1999), é fundamental para a verificação da performance dos modelos.
79
5.2 RESULTADOS EXPERIMENTAIS DE PEIXOTO (1999) E SUPERFÍCIES
AJUSTADAS AOS RESULTADOS
Peixoto (1999) estudou o comportamento mecânico do solo poroso e colapsível típico
do Distrito Federal. O solo estudado é uma argila areno-siltosa, que apresenta limites de
liquidez e plasticidade da ordem de 50% e 32% respectivamente, densidade relativa dos grãos
igual à 2,77 e índice de vazios em torno de 1,47. Foram realizados ensaios com controle de
sucção em uma célula oedométrica com medidas de tensões laterais. Neste item é apresentada
parte dos resultados experimentais obtidos e superfícies que foram ajustadas à esses
resultados. Não serão discutidos pormenores dos resultados experimentais de Peixoto (1999).
Limita-se aqui apenas a examinar superficialmente os resultados, objetivando determinar os
dados necessários à modelagem constitutiva do solo, utilizada nas simulações numéricas.
5.2.1 SUPERFÍCIE DE ESTADO DE ÍNDICE DE VAZIOS
Na Fig. 5.1 é apresentada a variação do índice de vazios em função das variáveis de
tensão, ou seja, em função da tensão total líquida média e da sucção. Esses dados foram
obtidos de ensaios oedométricos em trajetórias de compressão sob sucção constante. São
mostradas também curvas de nível correspondentes à uma superfície de estado de índice de
vazios ajustada aos dados experimentais.
1.95
2.05
2.15
2.25
2.35
2.45
2.55
3.00 3.50 4.00 4.50 5.00
ln(σméd - ua)
(b)
volu
me
espe
cífic
o - υ
= e
+1
sucção = 500 kPa
sucção = 90 kPa
sucção = 60 kPa
sucção = 10 kPa
sucção = 0 kPa
Equação Ajustada
sucção = 500 kPa
sucção = 90 kPa
sucção = 60 kPa
sucção = 10 kPasucção = 0 kPa
0.95
1.05
1.15
1.25
1.35
1.45
1.55
0 50 100 150 200
(σméd - ua) - kPa
(a)
índi
ce d
e va
zios
- e
sucção = 500 kPa
sucção = 90 kPa
sucção = 60 kPa
sucção = 10 kPa
sucção = 0 kPa
Equação Ajustada
sucção = 10 kPa
sucção = 500 kPa
sucção = 90 kPa
sucção = 60 kPa
sucção = 0 kPa
Figura 5.1 – Dados experimentais de compressibilidade da estrutura do solo (Peixoto, 1999) e
curvas ajustadas: (a) índice de vazios por tensão total líquida média sob várias sucções; (b)
volume específico por logaritmo natural da tensão total líquida média para várias sucções.
80
A equação da superfície ajustada aos dados experimentais (Peixoto, 1999), é igual à
utilizada por Pereira (1996). A equação adotada e os coeficientes obtidos são apresentados a
seguir:
−+
−+=
dwa
ufu
cuu
eeee
1
(5.1)
onde:
( )amédu ue −−= σln,, 0259804781 , ( )[ ] 415139163079210 ,,,, amédf ue −+−= σ ,
( ) ( ) 87808996000099730 2 ,,, −−+−= amédaméd uuc σσ e ( ) 6500043 ,, −−= améd ud σ
A Eq. 5.1 é válida apenas para a faixa de tensões dos resultados experimentais
disponíveis. Esta equação gera os seguintes gráficos de variação do índice de vazios por
sucção, para várias tensões totais líquidas médias:
2.00
2.05
2.10
2.15
2.20
2.25
2.30
2.35
2.40
2.45
2.50
3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00
ln(sucção)
(b)
u =
e+
1
150 kPa
120 kPa
90 kPa
30 kPa
10 kPa
Tensão total líquida média
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
1.35
1.40
1.45
1.50
0 100 200 300 400 500
sucção - kPa
(a)
e
150 kPa
120 kPa
90 kPa
30 kPa
10 kPa
Tensão total líquida média
Figura 5.2 – Curvas de comp ressibilidade da estrutura do solo ajustadas aos resultados de
Peixoto (1999): (a) índice de vazios por sucção para várias tensões totais líquidas médias; (b)
volume específico por logaritmo natural da sucção para várias tensões totais líquidas médias.
Observando a Fig. 5.1, verifica-se o comportamento colapsível do solo. Observa-se
também que existe um grande aumento da pressão de pré-adensamento com o aumento da
sucção e pouca variação da declividade das linhas de compressão virgem com a variação da
81
sucção. Acompanhando na Fig. 5.2 trajetórias de redução de sucção sob várias tensões totais
líquidas constantes, observa-se que quanto maior a tensão total líquida média, maior a sucção
para a qual o solo inicia o processo de colapso.
Conforme foi dito, a superfície de estado de índice de vazios mostrada na Fig. 5.1
baseou-se em ensaios oedométricos de carregamento vertical sob sucção constante. Peixoto
(1999) realizou também ensaios de molhagem sob várias tensões verticais constantes, porém
sem controle de sucção. Com esses resultados não é possível gerar uma superfície de estado,
porque não foram feitas medidas de sucção durante a saturação. No entanto, nestes resultados
Peixoto (1999) pôde verificar que para o solo estudado os ensaios oedométricos de molhagem
sob tensão vertical constante mostram deformações volumétricas finais próximas às previstas
pela superfície da Fig. 5.1. Portanto, considerando a variação de índice de vazios desse solo,
tem-se que é uma boa aproximação simular os ensaios de molhagem sob tensão vertical
constante a partir dos resultados obtidos em ensaios de carregamento sob sucção constante.
5.2.2 SUPERFÍCIE DE ESTADO PARA GRAU DE SATURAÇÃO
Peixoto (1999) obteve a curva característica do solo por meio de ensaios em uma
panela de Richard. Foi ajustada aos dados obtidos uma curva semelhante à utilizada por
Pereira (1996). Admitiu-se independência do grau de saturação em relação às tensões totais,
muito embora deva existir alguma dependência, devido à alteração da estrutura do solo,
causada por carregamentos impostos. A curva ajustada é apresentada na Fig. 5.3. A equação
adotada e os parâmetros obtidos por ajuste são os seguintes:
−+
−+=
dwa
uu
cuu
SrSrSr
1
1 (5.2)
onde:
( )amédu uln,,Sr −+= σ004500 , 03,=c e 11,=d
Pode-se observar na Fig. 5.3 que o solo apresenta uma curva característica típica de
solos arenosos, com um valor de entrada de ar muito baixo, próximo a 1,0 kPa. Isso indica
que a entrada de água no solo se dá de forma brusca, como é característico de solos porosos.
82
As simulações numéricas apresentadas mais a frente se defrontaram com problemas de
convergência associados à oscilações numéricas. Uma das causas desses problemas é a forte
declividade da curva característica do solo. Foram tentadas várias mudanças de discretização
espacial e temporal, sem sucesso. Desta forma, não foi possível preservar a forma da curva
inicialmente ajustada, sendo necessário suavizá-la, conforme pode ser visto na Fig. 5.3. Os
parâmetros da equação suavizada são: ( )amédu uln,,Sr −+= σ004200 , 030,=c e 11,=d . O
resultado desta suavização é que ocorre aceleração da saturação do solo, em relação à que
ocorreria se fosse utilizada a curva original, não interferindo, no entanto, na análise dos
modelos constitutivos para a estrutura do solo apresentada aqui.
40
50
60
70
80
90
100
0 50 100 150 200sucção - kPa
satu
raçã
o -
%
Equação ajustadaEquação suavizadaDados Experimentais
Figura 5.3 – Curva característica para os resultados de Peixoto (1999).
5.2.3 SUPERFÍCIE DE ESTADO PARA CONDUTIVIDADE HIDRÁULICA
Não foram realizados ensaios para a determinação da condutividade hidráulica do solo
não saturado, tendo sido obtida apenas a condutividade hidráulica do solo saturado, por meio
de valores de cv de ensaios oedométricos na condição saturada. Obteve-se uma condutividade
hidráulica saturada em torno de 1x10-8m/s. Para as simulações realizadas neste trabalho
arbitrou-se, de forma livre, uma função para gerar a variação da condutividade hidráulica com
a sucção. A função escolhida é igual à proposta por Brooks e Corey citado por Pereira (1996).
As curvas ajustadas são apresentadas na Fig. 5.4. As equações adotadas para as curvas e os
parâmetros arbitrados são os seguintes:
λψ
−=
wa
crpw
uukk (5.3)
83
onde:
( )amédp uk −+= − σln,0010 6 , 03,=crψ e 12,=λ
Na Fig. 5.4 a função ( )améds uk −+= − σln,0010 8 corresponde à condutividade do solo
sob baixa ou nenhuma sucção. Se ks é menor que o valor de kw, adota-se o valor de ks. Poderia
ter sido arbitrada uma variação maior da condutividade hidráulica com a variação da sucção.
No entanto, para minimizar prováveis oscilações numéricas que podem ocorrer quando tem-se
curvas muito inclinadas, preferiu-se manter uma superfície razoavelmente suavizada. Foi
admitida independência da condutividade hidráulica em relação a tensão total líquida média.
1E-11
1E-10
1E-09
1E-08
1E-071 10 100 1000
sucção - kPa
cond
utiv
idad
e hi
dráu
lica
- m
/s
(a)
k s
k w
1E-11
1E-10
1E-09
1E-08
1E-070 100 200 300 400 500
sucção - kPaco
ndut
ivid
ade
hidr
áulic
a -
m/s
(b)
Figura 5.4 – Curvas arbitradas de condutividade hidráulica para o solo estudado por Peixoto
(1999): (a) curvas de condutividade hidráulica em função do logaritmo da sucção; (b) curvas
de condutividade hidráulica em função da sucção.
Os valores de permeabilidade influem na velocidade com que ocorre a saturação do
solo e, consequentemente, na velocidade com que ocorrem as deformações. No entanto, não
há interferência na relação entre as variáveis de tensões e as correspondentes deformações.
Desta forma, a adoção de uma curva de permeabilidade arbitrária para o solo, da forma como
foi feito, não interfere na análise dos modelos constitutivos apresentada neste trabalho. Como
o objetivo das análises é avaliar modelos constitutivos para a relação entre tensões e
deformações, poderia ter sido adotada até mesmo um valor de condutividade constante.
Adotou-se valores variáveis apenas para demostrar as capacidades do programa COUPSO em
simular tais variações.
84
5.2.4 SUPERFÍCIE DE VARIAÇÃO DO COEFICIENTE DE POISSON
Além das superfícies mostradas nos itens 5.2.1 à 5.2.3, a modelagem acoplada de
equilíbrio e fluxo requer o valor do coeficiente de Poisson. Para obter uma superfície de
variação de µ, admitiu-se um limite constante de 0,2 para o solo com sucção elevada (solo
seco) e um limite constante de 0,39 para o solo saturado, obtido com as medidas de tensões
horizontais dos ensaios de Peixoto (1999). Por fim, adotou-se para sucções intermediárias
uma função que satisfaz os valores extremos para as condições seca e saturada (0,2 e 0,39
respectivamente) e que possui para valores intermediários de sucção a mesma forma da
função adotada para o índice de vazios, conforme feito por Pereira (1996). Assim, considera-
se que a variação de µ é proporcional à deformação volumétrica do solo. A equação obtida
para a variação de µ e as curvas geradas são apresentados a seguir:
−+
−+=
dwa
ufu
cuu
1
µµµµ (5.4)
onde:
200,=uµ , ( )amédf u−+= σµ ln,, 0038740 ,
( ) ( ) 87808996000099730 2 ,,, −−+−= amédaméd uuc σσ e ( ) 6500043 ,, −−= améd ud σ
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0 50 100 150 200 250 300 350 400
(σméd - ua) - kPa
coef
icie
nte
de P
oiss
on -
µ
s - 0 kPas - 30 kPas - 60 kPas - 90 kPas - 500 kPa
sucção
Figura 5.5 – Superfície de variação do coeficiente de Poisson.
Pode-se observar na Fig. 5.5 que para níveis de tensões totais muito baixos a
modelagem da variação do coeficiente de Poisson utilizando esta equação não é muito boa.
85
No entanto, a partir de certa tensão a superfície reproduz uma variação mais gradual de µ,
conforme se esperava.
5.2.5 EVOLUÇÃO DAS TENSÕES HORIZONTAIS DURANTE A MOLHAGEM
Conforme foi dito, nos ensaios oedométricos de Peixoto (1999) utilizou-se uma célula
oedométrica instrumentada para a medição das tensões horizontais. Essas medidas serão
utilizadas em formulações constitutivas empregadas nas simulações numéricas apresentadas
mais à frente. São mostradas na Fig. 5.6 medidas de tensões horizontais obtidas nos mesmos
ensaios oedométricos de compressão sob sucção constante que foram apresentados no item
5.2.1. Apresenta-se também curvas ajustadas à esses dados. A equação geradora dessas curvas
é a seguinte:
−
+
−+=−
dwa
uhfhuhah
cuu
u
1
σσσσ )( (5.5)
onde:
)(,, avuh u−+= σσ 125000 , )(,, avfh u−−= σσ 6324000 , 061,=c e 9100,=d
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 50 100 150 200 250(σv - ua) - kPa
(a)
( σh -
ua)
- kP
a
sucção = 500 kPa
sucção = 90 kPa
sucção = 60 kPa
sucção = 10 kPa
sucção = 0 kPa
Curvas Ajustadas
sucção = 500 kPa
sucção = 90 kPa
sucção = 60 kPa
sucção = 10 kPa
sucção = 0 kPa
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 100 200 300 400 500sucção - kPa
(b)
(σh-
u a) -
kP
a
sv=250 kPa
sv=200 kPa
sv=150 kPa
sv=100 kPa
sv=50 kPa
Curvas Ajustadas
sv - tensão vertical total líquida
sv = 50 kPasv = 100 kPa
sv = 150 kPa
sv = 200 kPa
sv = 250 kPa
Figura 5.6 – Variação das tensões horizontais obtidas por Peixoto (1999) e curvas ajustadas:
(a) tensões horizontais líquidas por tensões verticais líquidas para várias sucções; (b) tensões
horizontais líquidas por sucção para várias tensões verticais líquidas.
86
Pode-se ver na Fig. 5.6 que as tensões horizontais são maiores para menores sucções.
Assim, para menores sucções o solo tende a expandir mais nas direções submetidas à menores
tensões. Conforme foi dito no item 5.2.1, Peixoto (1999) realizou também ensaios de
molhagem sob várias tensões verticais constantes, porém sem controle de sucção. Com esses
resultados verificou-se que, para o solo estudado, os ensaios oedométricos de molhagem sob
tensão vertical constante mostram crescimento das tensões horizontais com a molhagem.
Discussões em relação às medições obtidas nas tensões horizontais são apresentadas
em Peixoto (1999). Para fim das simulações realizadas aqui, assume-se que todas as
superfícies obtidas com base em ensaios sob trajetória de carregamento vertical sob sucção
constante representam o comportamento do solo em quaisquer trajetórias de molhagem.
5.3 TRAJETÓRIA DE TENSÕES SIMULADA, GEOMETRIA DO PROBLEMA E
DETALHES DA SOLUÇÃO NUMÉRICA
Na Fig. 5.7 são apresentadas as dimensões da célula oedométrica utilizada por Peixoto
(1999). É mostrada a malha utilizada na maioria das análises e as condições de fronteira.
Tem-se restrições de deslocamentos nas laterais e na base do corpo de prova.
superfície livreuw < 0,0 kPa
0,025 m
0,025 m
0,025 m
0,050 m
paredesimpermeáveis
uw = 5,0 kPa
Figura 5.7 – Geometria e malha do ensaio oedométrico.
Serão simuladas trajetórias de molhagem sob tensão vertical constante. A molhagem,
ou seja, a redução da sucção do solo, é obtida por meio da aplicação de uma pequena pressão
de água (5,0 kPa) na base do corpo de prova, na forma de condição de fronteira essencial. No
87
topo do corpo de prova utiliza-se uma condição de fronteira ajustável, onde permite-se uma
máxima pressão de água de 0,0 kPa. Assim, a frente de saturação avança da base para o topo,
até que a água aflore na superfície do corpo de prova. Ao fim o estado estacionário é atingido,
resultando em uma distribuição de pressão de água na forma de um diagrama linear, que
começa com 5,0 kPa na base do corpo de prova e termina em 0 kPa no topo do corpo de
prova. Um exemplo típico da evolução das pressões de água nas análises executadas é
apresentado na Fig. 5.8.
Na Fig. 5.8 observa-se uma sucção inicial de 500 kPa. Este foi o valor inicial adotado
nas análises. As simulações numéricas realizadas consideram que ua = 0 kPa e que este valor
permanece constante durante o ensaio. Conforme foi apresentado no Capítulo 3, essa é uma
condição típica de solos muito porosos e colapsíveis onde a fase ar se encontra essencialmente
contínua e em contato com a atmosfera. É com base nessa hipótese que foi formulado o
programa COUPSO.
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012
0.014
0.016
0.018
0.020
-550 -450 -350 -250 -150 -50 50pressão de água - kPa
elev
ação
- m
0,0 seg
1,8 seg
4,6 seg
6,0 seg
8,8 seg27,0 seg
56,6 seg - regime estacionário
Figura 5.8 – Avanço típico da molhagem nas simulações.
Escolheu-se um estado de tensões inicial para o qual fosse obtido o máximo de
colapso possível e que estivesse dentro da faixa de tensões dos ensaios de Peixoto (1999).
Assim, adotou-se um estado de tensões inicial com σv = 250,0 kPa. Conforme pode ser
verificado na Fig. 5.6, para este valor de tensão vertical e para s = 500 kPa, tem-se σh = 47,55
kPa e, portanto, σméd = 115,03 kPa. Considerando este estado de tensões, as curvas ajustadas
(Figs. 5.1 e 5.3) mostram um índice de vazios de 1,34 e um grau de saturação de 44,5 %.
A excitação que é aplicada ao sistema consiste na brusca redução das pressões de água
nos nós do contorno inferior da malha. Um problema que ocorre quando é aplicado este tipo
88
de condição de fronteira é que nos elementos próximos à fronteira excitada os deslocamentos
são mal avaliados. Isso ocorre porque estes elementos recebem um elevado gradiente,
independente do tamanho do primeiro passo de tempo. Uma forma de se amenizar o problema
é refinar a discretização próximo à fronteira submetida à excitação. Assim, apesar dos
primeiros elementos ainda estarem sendo submetidos à gradientes elevados, tem-se como
resultado uma maior área do domínio bem modelada.
Na maior parte das simulações utilizou-se a malha de 5 elementos mostrada na Fig.
5.7. Testou-se malhas mais refinadas, procurando minimizar oscilações e problemas no
contorno inferior, submetido à altos gradientes. Para malhas mais refinadas, em geral as
mudanças obtidas nos resultados não compensaram o conseqüente aumento de tempo de
processamento.
Nos problemas simulados o passo de tempo utilizado é a variável mais importante na
procura da minimização de oscilações, de problemas no contorno inferior e, adicionalmente,
de problemas de convergência do método Newton-Raphson. A determinação do passo de
tempo ideal é difícil, pois ao mesmo tempo que deve-se procurar evitar oscilações que surgem
quando são utilizados incrementos muito pequenos, deve-se também procurar utilizar passos
pequenos, para que as não linearidades sejam bem reproduzidas. Embora não tenha sido
tentado, sabe-se que a implementação de um algoritmo acelerador de convergência e de um
algoritmo para determinação automática dos passos de tempo poderia trazer economia de
tempo computacional e minimização de problemas de oscilação numérica.
5.4 SIMULAÇÃO DE ENSAIOS OEDOMÉTRICOS DE MOLHAGEM
UTILIZANDO O MODELO ELÁSTICO INCREMENTAL
5.4.1 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES
Utilizando o modelo elástico incremental de Fredlund (1979) para a modelagem da
relação entre tensões e deformações, tem-se que a simulação numérica acoplada de equilíbrio
e fluxo em solos não saturados requer superfícies de estado de índice de vazios, grau de
saturação, condutividade hidráulica e coeficiente de Poisson. No item 5.2. foram apresentadas
as equações das superfícies ajustadas aos resultados de Peixoto (1999). Estas equações são
utilizadas nas simulações que são apresentadas neste item.
Os resultados de Peixoto (1999) mostram um crescimento das tensões horizontais
durante a molhagem, sugerindo uma anisotropia induzida pelo estado de tensões, de forma
89
semelhante ao que foi observado por Pereira (1996). No Capítulo 2 descreveu-se a proposta
de Pereira (1996), de inclusão de coeficientes de anisotropia na relação elástica incremental,
de forma a modelar esta anisotropia induzida pelo estado de tensões. Como Pereira (1996) não
dispunha de ensaios com controle das tensões e deformações laterais, a obtenção dos fatores
de anisotropia foi feita de forma indireta, por meio da retroanálise de ensaios oedométricos.
Procurava-se os valores de χx, χy e χz constantes para os quais a simulação numérica de
ensaios oedométricos em trajetórias de molhagem sob tensão vertical constante produzisse o
colapso obtido em ensaios desse tipo.
Com os resultados de Peixoto (1999), onde se dispõe de medidas de tensões
horizontais em ensaios oedométricos, tem-se a possibilidade de modelar a forma como variam
os coeficientes de anisotropia propostos por Pereira (1996), obtendo-os de forma direta e não
mais por retroanálises. Para obter uma relação dos χi com o estado de tensões, inicialmente
considera-se a Eq. 2.14, para a condição oedométrica:
)()()( wah
ahvahh uudH
udE
udE
d −
+
+−+−−==χ
σσµ
σε1
21
0 (5.6)
A Eq. 5.6 pode ser rearranjada da seguinte forma:
11
−−−
−
−−−
=)()(
)()(
wa
ah
wa
avh uud
udH
Euudud
HE
σµσµχ (5.7)
Considerando que o ensaio oedométrico do qual serão obtidos os parâmetros é de
molhagem com tensão vertical constante, pode-se simplificar a Eq. 5.7, da seguinte forma:
11
−−−
−
−=)()(
wa
ahh uud
udH
Eσµ
χ (5.8)
Assim, tem-se que o coeficiente de anisotropia na direção horizontal pode ser expresso
em função dos módulos E e H, do coeficiente de Poisson, µ, e de uma função que expresse a
variação das tensões horizontais com a variação do estado de tensões (sucção e tensão
vertical), semelhante à Eq. 5.5. O coeficiente de anisotropia induzida na direção vertical é
obtido pela relação χx +χy +χz = 0 e fazendo a hipótese de que os coeficientes de anisotropia
90
nas duas direções horizontais são iguais, conforme apresentado no item 2.2.1.1 do Capítulo 2.
Desta forma, obtêm-se:
hv χχ 2−= (5.9)
Tem-se, portanto, três formas de aplicar o modelo elástico incremental:
• Sem coeficientes de anisotropia;
• Com coeficientes de anisotropia constantes;
• Com coeficientes de anisotropia variáveis.
Pode-se dizer que utilizando a terceira proposta, a trajetória obtida experimentalmente
é reproduzida com fidelidade na simulação de um ensaio oedométrico. Portanto, tem-se que
esta proposta serve de referência para as demais.
5.4.2 RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES NUMÉRICAS UTILIZANDO O MODELO
ELÁSTICO INCREMENTAL
A seguir são apresentados os resultados obtidos na simulação numérica, utilizando o
programa COUPSO e o modelo elástico incremental, da trajetória de molhagem descrita no
item 5.3. Todos os resultados apresentados correspondem a um ponto de Gauss no terceiro
elemento, a partir da base da malha (Fig. 5.7), e que é representativo dos demais pontos.
Os resultados apresentados correspondem à três simulações distintas. Na primeira
utilizou-se o modelo elástico incremental original, sem coeficientes de anisotropia. Na
segunda análise utilizou-se coeficientes de anisotropia constantes, obtidos conforme o
procedimento utilizado por Pereira (1996). De acordo com os resultados de Peixoto (1999),
para a trajetória simulada espera-se uma tensão horizontal, no estado saturado, de 158,1 kPa
(Fig. 5.6) e, portanto, uma tensão média de 188,7 kPa. Essa tensão média corresponde à um
índice de vazios de 1,05 (Fig. 5.1). Considerou-se que este seria o índice de vazios final,
esperado em um ensaio de molhagem sob tensão vertical constante. Para este valor de índice
de vazios final, fazendo a retroanálise do valor de χh constante obteve-se χh = – 4,7. Na
terceira análise utilizou-se coeficientes de anisotropia variáveis. Este coeficientes foram
calculados com base em medidas de tensões laterais, conforme o procedimento apresentado
no item 5.4.1 e utilizando as equações 5.5 e 5.8.
A variação do índice de vazios em função da variação de sucção obtida nas simulações
91
numéricas é apresentada na Fig. 5.9. Observa-se que sem a aplicação dos coeficientes de
anisotropia, a variação volumétrica é muito inferior à obtida com a consideração da
anisotropia induzida pelo estado de tensões. Observa-se também que a trajetória utilizando
coefic ientes de anisotropia constantes é diferente da trajetória utilizando coeficiente variáveis,
muito embora o índice de vazios final obtido seja o mesmo. A explicação para a diferença
entre as trajetórias é dada pela forma como evoluiu o estado de tensões.
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
1.35
1.40
0 100 200 300 400 500sucção - kPa
índi
ce d
e va
zios
- e
Sem coeficientes de anisotropia
Com coeficientes de anisotropia constantes
Com coeficientes de anisotropia variáveis
Figura 5.9 – Índice de vazios por sucção.
Na Fig. 5.10 pode-se verificar que sem a aplicação de coeficientes de anisotropia,
houve uma redução das tensões totais líquidas médias. Com a aplicação de coeficientes de
anisotropia constantes e variáveis, observa-se aumento das tensões totais líquidas médias,
seguindo trajetórias diferentes, porém chegando ao mesmo valor final. Como a variação
volumétrica é diretamente proporcional à variação das tensões médias, este é o motivo da
menor variação volumétrica obtida sem a utilização de coeficientes de anisotropia.
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
1.35
1.40
1.45
0 50 100 150 200(σméd - ua) - kPa
índi
ce d
e va
zios
- e
Sem coeficientes de anisotropia
Com coeficientes de anisotropia constantes
Com coeficientes de anisotropia variáveis
sucção = 0 kPa
sucção = 500 kPa
Figura 5.10 – Índice de vazios por tensão total líquida média.
92
Naturalmente, conforme foi evidenciado nas formulações do modelo apresentadas, as
diferenças entre as três trajetórias são função da diferença na forma como evoluíram as
tensões horizontais. Na Fig. 5.11 pode-se verificar que sem a aplicação de coeficientes de
anisotropia houve uma redução das tensões horizontais, o que significa que o corpo de prova
“tentou descolar do anel” durante a molhagem, estando o resultado em completo desacordo
com observações experimentais de Pereira (1996) e Peixoto (1999), entre outros. Com a
aplicação de coeficientes de anisotropia constantes e variáveis, observa-se aumento das
tensões horizontais, seguindo trajetórias diferentes, porém chegando ao mesmo valor final. As
tensões horizontais finais, utilizando coeficientes de anisotropia constantes, começaram a
crescer bem antes (para maiores sucções) do que utilizando coeficientes de anisotropia
variáveis.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 100 200 300 400 500sucção - kPa
tens
ão h
oriz
onta
l líq
uida
(σh-
u a)-
kP
a
Sem coeficientes de anisotropia
Com coeficientes de anisotropia constantes
Com coeficientes de anisotropia variáveis
Figura 5.11 – Tensão horizontal por sucção.
-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
00 100 200 300 400 500
sucção - kPa
coef
icie
nte
horiz
onta
l de
anis
otro
pia
- χ h Com coeficientes de anisotropia constantes
Com coeficientes de anisotropia variáveis
Figura 5.12 – Coeficiente de anisotropia horizontal por sucção.
93
Na Fig. 5.12 pode-se verificar que para sucções elevadas tem-se valores de χh
variáveis menores que o valor aplicado na formulação utilizando coeficientes constantes. Isso
explica porque no início as tensões horizontais evoluem mais rápido quando utilizando a
formulação com coeficientes constantes. Para a formulação utilizando coeficientes variáveis,
quando a sucção é suficientemente baixa os valores do coeficiente de anisotropia crescem
repentinamente, concentrando a maior parte do crescimento das tensões horizontais neste
nível de sucção.
Além de interferir na evolução das deformações, uma importante conseqüência da
diferença entre as trajetórias de tensões é a que a variação, da resistência ao cisalhamento
mobilizada é muito afetada durante a molhagem. Na Fig. 5.13 observa-se que sem a aplicação
de coeficientes de anisotropia houve um crescimento da tensão desviatória, pois as tensões
horizontais diminuíram. Utilizando coeficientes de anisotropia constantes e variáveis houve
uma redução da tensão desviatória, seguindo trajetórias diferentes, porém chegando ao mesmo
valor final.
Na Fig. 5.14 apresenta-se as trajetórias de tensões obtidas e linhas Kf hipotéticas, com
coesão nula, para o estado saturado. Observa-se que sem a utilização de coeficientes de
anisotropia, o estado final de tensões, para o estado saturado, requer um ângulo de atrito
superior à 45o para que não tenha havido ruptura, o que é um absurdo para esse solo. O
procedimento de alteração das propriedades de deformabilidade que é realizado no programa
COUPSO quando é atingida a ruptura foi desativado para que fosse possível prosseguir com a
análise até a completa saturação do solo.
0
20
40
60
80
100
120
140
0 100 200 300 400 500sucção - kPa
tens
ão d
esvi
atór
ia (
J) -
kP
a
Sem coeficientes de anisotropia
Com coeficientes de anisotropia constantes
Com coeficientes de anisotropia variáveis
Figura 5.13 – Segundo invariante do tensor desviatório de tensões totais líquidas por sucção.
94
0
20
40
60
80
100
120
140
0 50 100 150 200(σméd - ua) - kPa
tens
ão d
esvi
atór
ia (
J) -
kP
a
Sem coeficientes de anisotropiaCom coeficientes de anisotropia constantes
Com coeficientes de anisotropia variáveis
φ' = 15o
φ ' = 20o
φ' = 25o
φ' = 30o
φ' = 35o
Linhas K f hipotéticaspara o solo saturado
Ponto de partida da molhagem,com sução igual a 500 kPa
trajetórias demolhagem
Figura 5.14 – Trajetórias de tensão total líquida.
Observando a Fig. 5.14, verifica-se também que para a simulação numérica utilizando
coeficientes de anisotropia constantes e variáveis, o estado de tensões evolui para uma
condição mais estável. Apesar das trajetórias seguidas utilizando coeficientes de anisotropia
constantes atingirem o mesmo resultado final das obtidas utilizando coeficientes variáveis,
elas não são exatamente iguais e mostram menores tensões desviatórias em estágios
intermediários do processo de molhagem. Assim, utilizando coeficientes de anisotropia
constantes pode-se ter uma zona de ruptura menor do que a prevista utilizando coeficientes
variáveis.
Com base nos resultados apresentados neste item, pode-se afirmar que a utilização do
modelo elástico incremental, sem a utilização de coeficientes de anisotropia, não permite a
correta modelagem do comportamento mecânico em trajetórias de molhagem do solo
estudado por Peixoto (1999). Os resultados obtidos utilizando essa formulação estão longe do
esperado, tanto em termos de deformabilidade, quanto em termos de evolução do estado de
tensões. Verifica-se também que com a aplicação de coeficientes de anisotropia constantes
consegue-se reproduzir muito bem o comportamento do solo.
A modelagem utilizando coeficientes de anisotropia variáveis reproduz a trajetória de
tensões do solo com maior fidelidade do que a modelagem com coeficientes de anisotropia
constantes. Apesar disso, deve-se ter em mente que tal formulação exige a execução de
ensaios com medidas de tensões horizontais, enquanto que a utilização de coeficientes de
anisotropia constantes exige apenas ensaios convencionais, utilizados na prática da
investigação laboratorial de solos não saturados. Assim, deve-se julgar se é necessário investir
neste tipo de sofisticação dos recursos experimentais. No caso de problemas onde é mais
95
importante avaliar as deformações finais, os resultados utilizando coeficientes de anisotropia
constantes são muito bons, e parecem dispensar maiores sofisticações do modelo. No entanto,
nos casos onde é mais importante avaliar a estabilidade da obra, a formulação utilizando
coeficientes variáveis pode trazer importantes melhorias nas previsões, pois as tensões
cisalhantes mobilizadas podem evoluir de forma diferente, dependendo do tipo de solo.
Um último ponto que deve ser esclarecido se refere à aplicação da formulação
utilizando coeficientes de anisotropia em simulações numéricas de problemas de campo, onde
o estado principal de tensões não coincide com as direções horizontal e vertical (x e y). No
caso das tensões horizontais e verticais não serem mais tensões principais, sugere-se calcular
o estado de tensões principal e a sua direção, obter os coeficientes de anisotropia para este
estado principal e por fim calcular componentes desses coeficientes de anisotropia nas
direções horizontal e vertical.
5.5 SIMULAÇÃO DE ENSAIOS OEDOMÉTRICOS DE MOLHAGEM
UTILIZANDO O MODELO DE ALONSO ET AL (1990)
5.5.1 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES
Baseado nos resultados experimentais que geraram a superfície de estado de índice de
vazios (Fig. 5.1) e em um ensaio oedométrico sem controle de saturação, admitido com
sucção s = 500 kPa, constante, no qual chegou-se a uma tensão vertical de 800 kPa, foi obtida
parte dos parâmetros do modelo de Alonso et al. (1990) e foi ajustada a superfície LC. Como
pode ser visto na Fig. 5.15, foram encontrados parâmetros com o quais foi possível respeitar
razoavelmente bem as pressões de pré-adensamento obtidas experimentalmente. Obteve-se os
seguintes parâmetros: • λ(0) = 0,216; β = 0,0011 kPa-1; r = 0,05
• κ = 0,03
• ks = 0,01
• p0* = 47,9 kPa
• pc = 7,5 kPa
Os parâmetros λs e s0 não são requeridos para as simulações feitas, pois se referem à
escoamento causado por secagem. Os parâmetros λ(0), β , r, κ e p0* foram obtidos
diretamente dos dados apresentados na Fig. 5.1. A forma ideal de se obter ks seria com base
96
em ensaios de variação de sucção sob tensão total líquida constante. No entanto, considerando
que a influência deste parâmetro nos resultados é muito pequena, é uma boa aproximação
obtê-lo a partir da Fig. 5.2. O parâmetro pc obtido foi aquele para o qual a superfície LC
melhor se ajustou aos valores experimentais de pressão de pré-adensamento em diversas
sucções. Para o ajuste da superfície LC foi muito importante o valor da tensão de escoamento
para sucção 500 kPa, como pode ser verificado na Fig. 5.15. Observa-se também que para
obter um bom ajuste das superfícies, foi necessário adotar um valor de r muito baixo, que
indica uma grande redução da compressibilidade do solo, para sucções muito elevadas. No
entanto, considerando a faixa de tensões dos resultados disponíveis, os valores adotados para
os parâmetros são adequados, pois a variação da compressibilidade do solo com a sucção é
bem reproduzida.
Além desses parâmetros, o modelo de Alonso et al. (1990) requer o ângulo de atrito,
φ’ e a taxa de ganho de coesão com o aumento da sucção, k. Esses parâmetros determinam a
forma como a superfície LC se estende na direção de q e qual o aumento de coesão induzido
por aumentos de sucção. No caso da trajetória de molhagem, como as tensões horizontais são
muito diferentes das verticais, tem-se que os valores de φ’ e k podem ser muito importantes na
determinação de quando ocorrerá escoamento.
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0 100 200 300 400 500
sucção - kPa
(a)
com
pres
sibi
lidad
e vi
rgem
( λ(
s) )
Valores experimentais
Curva ajustada
0
100
200
300
400
500
600
0 100 200 300p ou (σméd - ua) - kPa
(b)
sucç
ão -
kPa
Valores experimentais
Curva ajustada
Superfície LC
estado de tensões inicial
Figura 5.15 – Ajuste da superfície LC aos resultados de Peixoto (1999): (a) variação de λ(s);
(b) superfície LC.
Não foram realizados ensaios para a obtenção de φ’ e k. Ao invés de arbitrar
livremente valores para estes parâmetros, de posse dos parâmetros já obtidos foi feita uma
97
análise paramétrica, utilizando o programa CRISMUS, de forma a obter indicações de qual
seriam os valores mais adequados para a simulação do ensaio oedométrico em trajetórias de
molhagem. Adicionalmente analisou-se as diferenças obtidas utilizando-se uma lei de fluxo
associada ou a lei de fluxo não associada proposta por Alonso et at. (1990). As análises
paramétricas realizadas serão apresentadas a seguir.
5.5.2 ANÁLISES PARAMÉTRICAS DE φ‘ E k
Nas Figs. 5.16 e 5.17 tem-se o estado de tensões inicial das simulações apresentadas
neste capítulo e tem-se também diversas superfícies de escoamento, correspondentes à vários
valores arbitrados de φ’ e k e ao valor de p0 obtido com os parâmetros constitutivos de que se
dispõe. O valor de p0 obtido é indicado pela Fig. 5.15b, considerando o valor de sucção
adotado (s=500 kPa).
0
50
100
150
200
250
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 300p - kPa
q -
kP
a
40 - 0.340 - 0.240 - 0.1
ângulo de atrito k
estado de tensões inicial
Figura 5.16 – Superfícies de escoamento variando a taxa de ganho de coesão com a sucção, k.
0
50
100
150
200
250
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 300p - kPa
q -
kP
a
45 - 0.340 - 0.330 - 0.3
ângulo de atrito k
estado de tensões inicial
Figura 5.17 – Superfícies de escoamento variando o ângulo de atrito, φ’.
98
As variações arbitradas para k (de 0,1 a 0,3) correspondem a variações relativamente
proporcionais de φ’ (de 30o a 45o). Pode-se verificar isto pela variação do tamanho das
superfícies de escoamento, mostrada nas Figs. 5.16 e 5.17.
Partindo deste estado de tensões inicial, foram simuladas trajetórias de redução de
sucção utilizando o programa CRISMUS. As tensões totais líquidas iniciais foram mantidas
sem qualquer variação durante a simulação, de forma que não se trata de uma simulação de
molhagem com perfeito confinamento lateral. Além de variar os valores de φ’ e k, obtendo as
superfícies mostradas nas Figs. 5.16 e 5.17, fez-se simulações adotando uma lei de
escoamento associada e a lei não associada (Eqs. 2.48 e 2.49) proposta por Alonso et al.
(1990). São apresentados a seguir os resultados obtidos.
5.5.2.1 ANÁLISES PARAMÉTRICAS VARIANDO k
Nas Figs. 5.18 e 5.19 tem-se as deformações obtidas nas trajetórias impostas,
considerando φ’ = 40o e três valores diferentes de k. Conforme era esperado, para menores
valores de k ocorreu escoamento mais cedo, com maiores sucções. Nas três análises foi
atingido o estado crítico. Foi atingida ruptura porque o estado de tensões inicial já estava bem
próximo da ruptura e porque ocorre diminuição da elipse de escoamento conforme a sucção é
reduzida.
Para todos os casos a defo rmação volumétrica não foi muito influenciada pelo valor de
k adotado. As deformações individuais, nas direções x e y, foram muito influenciadas pela lei
de fluxo adotada. Utilizando lei de fluxo associada as deformações obtidas são muito maiores
e ocorre dilatação nas direções submetidas às menores tensões. Esse resultado indica a
princípio que utilizando uma lei de fluxo associada, se existisse confinamento lateral ocorreria
crescimento das tensões laterais maior do que o obtido utilizando lei de fluxo não associada e,
portanto, as respostas do modelo seriam melhores, considerando o solo estudado por Peixoto
(1999).
Procurando observar o que ocorreria na simulação de um ensaio oedométrico em
termos de ruptura, tem-se que conforme cresceriam as tensões horizontais, o valor das tensões
desviatórias diminuiria, levando as tensões para um estado mais longe da ruptura. Talvez
sequer fosse atingido o estado crítico. No caso a utilização da lei não associada, o
comportamento seria inverso, sendo atingida a ruptura mais rápido do que foi atingida na
simulação de trajetória sem confinamento.
99
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0 100 200 300 400 500
sucção - kPa
(a)
defo
rmaç
ão e
spec
ífica
dx - 40 - 0,3dy - 40 - 0,3dx - 40 - 0,2dy - 40 - 0,2dx - 40 - 0,1dy - 40 - 0,1
ângulo de atrito k
Lei de fluxo associada
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
1.35
1.40
0 100 200 300 400 500 600sucção - kPa
(b)
índi
ce d
e va
zios
- e
40 - 0,340 - 0,240 - 0,1
ângulo de atrito k
Lei de fluxo associada
Figura 5.18 – Deformações para vários valores de k, considerando lei de fluxo associada: (a)
deformações específicas em x e y; (b) variação do índice de vazios.
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0 100 200 300 400 500
sucção - kPa
(a)
defo
rmaç
ão e
spec
ífica
dx - 40 - 0,3dy - 40 - 0,3dx - 40 - 0,2dy - 40 - 0,2dx - 40 - 0,1dy - 40 - 0,1
ângulo de atrito k
Lei de fluxo não associada
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
1.35
1.40
0 100 200 300 400 500 600sucção - kPa
(b)
índi
ce d
e va
zios
- e
40 - 0,340 - 0,240 - 0,1
ângulo de atrito k
Lei de fluxo não associada
Figura 5.19 – Deformações para vários valores de k, considerando lei de fluxo não associada:
(a) deformações específicas em x e y; (b) variação do índice de vazios.
5.5.2.2 ANÁLISES PARAMÉTRICAS VARIANDO φ‘
Nas Figs. 5.20 e 5.21 são apresentados resultados obtidos na simulação de trajetórias
impostas, considerando k = 0,3 e três valores diferentes de φ’. Conforme era esperado,
verifica-se que para menores valores de φ’ ocorreu escoamento mais cedo, para maiores
sucções. Apenas para φ’ = 45o não foi atingido o estado crítico. Observa-se que a variação do
índice de vazios foi mais sensível ao valor de φ’ do que ao valor de k.
100
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
1.35
1.40
0 100 200 300 400 500 600sucção - kPa
(b)
índi
ce d
e va
zios
- e
45 - 0,340 - 0,330 - 0,3
ângulo de atrito k
Lei de fluxo associada
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0 100 200 300 400 500
sucção - kPa
(a)
defo
rmaç
ão e
spec
ífica
dx - 45 - 0,3dy - 45 - 0,3dx - 40 - 0,3dy - 40 - 0,3dx - 30 - 0,3dy - 30 - 0,3
ângulo de atrito k
Lei de fluxo associada
Figura 5.20 – Deformações para vários valores de φ’, considerando lei de fluxo associada: (a)
deformações específicas em x e y; (b) variação do índice de vazios.
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
1.35
1.40
0 100 200 300 400 500 600sucção - kPa
(b)
índi
ce d
e va
zios
- e
45 - 0,340 - 0,330 - 0,3
ângulo de atrito k
Lei de fluxo não associada
-0.18
-0.16
-0.14
-0.12
-0.10
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0 100 200 300 400 500
sucção - kPa
(a)
defo
rmaç
ão e
spec
ífica
dx - 45 - 0,3dy - 45 - 0,3dx - 40 - 0,3dy - 40 - 0,3dx - 30 - 0,3dy - 30 - 0,3
ângulo de atrito k
Lei de fluxo não associada
Figura 5.21 – Deformações para vários valores de φ’, considerando lei de fluxo não associada:
(a) deformações específicas em x e y; (b) variação do índice de vazios.
Novamente verifica-se as deformações individuais, nas direções x e y, foram muito
influenciadas pela lei de fluxo adotada. Utilizando uma lei de fluxo associada, se existisse
confinamento lateral ocorreria crescimento das tensões laterais maior do que o obtido
utilizando lei de fluxo não associada e, portanto, as respostas do modelo seriam melhores em
termos de evolução das tensões. Em relação à ruptura, utilizando uma lei de fluxo associada
espera-se que o solo caminhe para um estado de tensões mais estável, enquanto que com a lei
de fluxo não associada ocorreria o oposto.
101
De acordo com as simulações apresentadas nas Figs. 5.18 a 5.21, tem-se que tanto em
termos de evolução das tensões horizontais, quanto em termos da ruptura do solo, a utilização
de uma lei de fluxo associada parece ser mais adequada. A trajetória de molhagem
apresentada no item 5.3, considerando as características do solo estudado por Peixoto (1999),
seria melhor reproduzida utilizando lei de fluxo associada, porque as deformações obtidas na
direção x mostram que ocorreria crescimento das tensões horizontais.
Em relação aos parâmetros φ’ e k mais adequados para as simulações numéricas do
ensaio oedométrico de molhagem, verifica-se que a princípio o ideal seria utilizar o par de
valores mais altos (φ’ = 45o e k =0,3), para evitar que seja atingida a ruptura. Caso a influência
do crescimento das tensões horizontais na diminuição da resistência ao cisalhamento
mobilizada seja muito grande, talvez va lores inferiores sejam suficientes para que não ocorra
ruptura.
5.5.3 RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES NUMÉRICAS UTILIZANDO O MODELO DE
ALONSO ET AL. (1990)
Conforme foi mostrado no Capítulo 4, a inclusão do modelo de Alonso et al. (1990) no
programa COUPSO foi verificada com a simulação de problemas onde as solicitações são
devido à cargas externas. Os resultados demonstraram ótima concordância com soluções
analíticas das mesmas trajetórias e observou-se que as cargas aplicadas ao sistema foram
todas absorvidas, sem a ocorrência de grandes resíduos, indicando que o método Newton-
Raphson permitiu o adequado reequilíbrio do sistema.
No caso dos problemas simulados neste capítulo, a solicitação aplicada ao sistema não
é mais em forma de carga externa. Nestes problemas a solicitação aplicada ocorre na forma da
redução da sucção do solo, por meio da aplicação de uma pressão de água na base do corpo de
prova. Neste tipo de solicitação, além de problemas de convergência devido à não linearidade
dos modelos, ocorrem oscilações numéricas e problemas nos elementos próximos à face onde
é aplicado o fluxo de água.
Devido à esse tipo de problema numérico, não conseguiu-se, da forma como era
desejado, simular trajetórias de molhagem utilizando o modelo de Alonso et al. (1990).
Procurou-se discretizações espaciais e temporais mais refinadas e diferentes formas de
reaplicação das cargas desequilibradas, sem sucesso. Foi diminuído também o grau de não
linearidade da permeabilidade e da curva característica, tentando isolar a fonte dos problemas.
Concluiu-se que, realmente, a não linearidade que traz os problemas é devida ao modelo de
102
estados críticos. Evidenciou-se que a forma de seguir a não linearidade do modelo é muito
mais complexa e envolve questões que precisam ser melhor investigadas.
Tentou-se também simular o problema sem a reaplicação das cargas desequilibradas,
simplesmente utilizando passos de tempo o mais pequenos possíveis, que permitissem da
melhor forma possível a reprodução da não linearidade do modelo. Na Fig. 5.22 apresenta-se
a variação de índice de vazios durante a molhagem.
Na simulação apresentada na Fig. 5.22 a pressão de água nos pontos de Gauss não
avançou junto a pressão de água no nós, demonstrando que ocorreu um resíduo muito alto.
Desta forma, verifica-se que as deformações volumétricas ficaram muito aquém daquelas
esperadas. A Fig. 5.23 mostra a variação das tensões horizontais. Verifica-se que houve uma
diminuição das tensões, mesmo tendo sido utilizada uma lei de fluxo associada nessa
simulação.
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
1.35
1.40
0 100 200 300 400 500sucção - kPa
índi
ce d
e va
zios
- e
Alonso et al. (1990)
Elástico incremental com coeficientesde anisotropia variáveis
Figura 5.22 – Índice de vazios por sucção.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 100 200 300 400 500sucção - kPa
tens
ão h
oriz
onta
l líq
uida
(σh-
u a)-
kP
a
Alonso et al. (1990)
Elástico incremental com coeficientesde anisotropia variáveis
Figura 5.23 – Tensão horizontal líquida por sucção.
103
Verifica-se, portanto, que o nível de desequilíbrio é muito grande. Assim, conclui-se
que é necessário que seja encontrada uma forma adequada de reaplicar as cargas
desequilibradas, surgidas quando da integração da relação constitutiva de estados críticos.
5.6 RESUMO
Foram apresentadas neste capítulo simulações numéricas, utilizando o programa
COUPSO, de ensaios oedométricos em trajetórias de molhagem em um solo colapsível. A
maior parte dos parâmetros adotados foram baseados em resultados experimentais de Peixoto
(1999). Verificou-se o desempenho dos modelos na reprodução das deformações e da
evolução das tensões horizontais e foram feitas comparações entre as previsões dos modelos.
Os modelos constitutivos utilizados nas simulações foram três versões do modelo
elástico incremental e o modelo de estados críticos de Alonso et al. (1990). Em relação às
análises utilizando o modelo elástico incremental, verificou-se que sem a aplicação dos
coeficientes de anisotropia, a variação volumétrica é muito inferior à esperada, pois as tensões
médias diminuem durante a molhagem. Com a aplicação de coeficientes de anisotropia
atinge-se o índice de vazios esperado. Em relação à comparação das formulações utilizando
coeficientes de anisotropia constantes e variáveis, observou-se que as trajetórias obtidas são
diferentes, apesar de ter sido atingido ao fim o mesmo índice de vazios.
A explicação para as diferenças obtidas entre as variações de índice de vazios das três
formulações está na forma como evoluíram as tensões horizontais. Sem a aplicação de
coeficientes de anisotropia ocorreu uma redução das tensões horizontais, estando o resultado
em completo desacordo com observações experimentais de Pereira (1996) e Peixoto (1999),
entre outros. Com a aplicação de coeficientes de anisotropia constantes e variáveis, foi
reproduzido o aumento das tensões horizontais observado por Peixoto (1999), seguindo
trajetórias diferentes, porém chegando ao mesmo valor final.
Verificou-se que a diferença entre as trajetórias de tensões obtidas pode levar a valores
de resistência ao cisalhamento mobilizada muito diferentes. Sem a utilização de coeficientes
de anisotropia são produzidas tensões cisalhante muito elevadas, irreais. Utilizando
coeficientes de anisotropia, o estado de tensões evolui para um estado mais estável, o que é
mais coerente. Observou-se que no caso de problemas onde é mais importante avaliar a
estabilidade da obra, a formulação utilizando coeficientes variáveis pode trazer importantes
melhorias nas previsões, em relação à formulação utilizando coeficiente constantes. Isso foi
verificado porque, apesar das trajetórias seguidas atingirem o mesmo estado de tensões finais,
104
elas seguem caminhos diferentes. É claro que esta diferença entre as duas formulações
depende do tipo de solo e principalmente de como evoluem a resistência ao cisalhamento e as
tensões horizontais durante a molhagem.
Em relação às simulações utilizando o modelo de Alonso et al. (1990), foi analisada a
influência dos parâmetros de resistência ao cisalhamento φ‘ e k e da lei de fluxo utilizada,
com base em análises paramétricas utilizando o programa CRISMUS. Verificou-se que as
deformações individuais, nas direções x e y, foram muito influenciadas pela lei de fluxo
adotada. Observou-se que utilizando uma lei de fluxo associada, se existisse confinamento
lateral ocorreria crescimento das tensões laterais maior do que o obtido utilizando lei de fluxo
não associada e, portanto, as respostas do modelo seriam melhores. Em relação à escolha dos
parâmetros φ’ e k mais adequados para a simulações da trajetória de molhagem em uma célula
oedométrica, verificou-se que a princípio o ideal seria utilizar o par de valores mais altos (φ’ =
45o e k = 0,3), para evitar que fosse atingida a ruptura.
Por fim, verificou-se nas simulações numéricas utilizando o modelo de Alonso et al.
(1990), que devido à natureza da solicitação aplicada, necessária à simulação da molhagem do
corpo de prova, não conseguiu-se da forma como era desejada, simular trajetórias de
molhagem utilizando o modelo de Alonso et al. (1990). Evidenciou-se que a forma de seguir a
não linearidade do modelo é muito mais complicada e envolve questões que precisam ser
melhor investigadas.
105
CAPÍTULO 6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA PESQUISAS FUTURAS
6.1 CONCLUSÕES
Neste trabalho foi apresentada a modelagem numérica do comportamento mecânico de
solos não saturados e foi feita uma avaliação da performance de modelos constitutivos para a
estrutura de solos não saturados em trajetórias de molhagem. Para tal foram feitas simulações
analíticas de trajetórias de molhagem, utilizando o programa CRISMUS e simulações
numéricas de ensaios oedométricos, utilizando o programa COUPSO (Pereira, 1996). Os
modelos analisados foram três versões do modelo elástico incremental de Fredlund (1979) e o
modelo de estados críticos de Alonso et al. (1990).
Apresentou-se uma revisão bibliográfica abordando alguns dos principais modelos
constitutivos de solos não saturados, desenvolveu-se o programa CRISMUS, para permitir a
simulação de trajetórias induzidas de tensões utilizando o modelo de estados críticos de
Alonso et al. (1990), foi implementado no programa COUPSO o modelo de estados críticos e
foi feita a extensão do programa para condições axissimétricas. Com base na revisão
bibliográfica e nas análises realizadas, foram obtidas as conclusões resumidas a seguir.
Baseado na revisão bibliográfica, verificou-se que o modelo elástico incremental de
Fredlund (1979) é muito simples, de fácil aplicação e possui parâmetros que têm significados
físicos bem claros e de relativamente fácil interpretação. Observou-se que com a inclusão de
fatores de anisotropia proposta por Pereira (1996), a modelagem elástica incremental de solos
submetidos à trajetória de molhagem pode ser muito bem ajustada aos resultados
experimentais, tornando o modelo muito fiel ao comportamento real do solo. Pôde-se verificar
também que os modelos de estados críticos para solos não saturados, como os de Alonso et al.
(1990) e de Balmaceda (1991), têm potencial para reproduzir de forma mais realista o
comportamento de solos não saturados, principalmente em se tratando de aspectos como a
dependência das trajetórias de tensões. No entanto, observou-se que a matemática por trás
desses modelos é muito mais complexa e que o esforço requerido para a obtenção dos
parâmetros é maior, dificultando sua aplicação prática.
No Capítulo 3 verificou-se que a modelagem do problema de equilíbrio e fluxo em
solos não saturados ut ilizada neste trabalho permite a reprodução dos mais importantes
aspectos do fenômeno de fluxo de água e equilíbrio em solos não saturados, particularmente
106
no caso de solos muito porosos e colapsíveis submetidos à molhagem. Evidenciou-se uma
nítida interdependência das equações do fenômeno, requerendo a solução das equações de
forma acoplada. Foi verificada também a natureza transiente do fenômeno acoplado. Foi
apresentada a solução numérica das equações obtidas, utilizando o Método dos Elementos
Finitos para a discretização espacial e o Método das Diferenças Finitas para a discretização
temporal. Foi constatada a necessidade da utilização de técnicas iterativas na solução das
equações, devido à não linearidade física do problema.
No Capítulo 4 foi verificada a aplicabilidade do programa CRISMUS na reprodução
de trajetórias de tensões pré estabelecidas, utilizando o modelo elastoplástico de estados
críticos de Alonso et al. (1990). Apresentou-se a nova versão do programa COUPSO. Foi
feita uma descrição geral do programa, mostrando o seu fluxograma geral e descrevendo suas
principais subrotinas. Apresentou-se a forma como foi introduzido o modelo elastoplástico de
estados críticos de Alonso et al. (1990) no programa. Como pôde-se verificar, a utilização do
modelo elastoplástico com endurecimento exigiu diversas adaptações e a elaboração de novas
subrotinas. Por fim apresentou-se dois casos de validação para a nova versão do programa
COUPSO, demonstrando sua aplicação e parte de suas potencialidades.
No Capítulo 5 foram apresentadas simulações numéricas, utilizando o programa
COUPSO, de ensaios oedométricos em trajetórias de molhagem em um solo colapsível. A
maior parte dos parâmetros adotados foram baseados em resultados experimentais de Peixoto
(1999). Os modelos constitutivos utilizados nas simulações foram três versões do modelo
elástico incremental (sem coeficientes de anisotropia e com coeficientes constante e variáveis)
e o modelo de estados críticos de Alonso et al. (1990).
Em relação às análises utilizando o modelo elástico incremental, concluiu-se que, sem
a aplicação dos coeficientes de anisotropia, a variação volumétrica é muito inferior à
esperada, pois as tensões médias diminuem durante a molhagem. Por outro lado, com a
aplicação de coeficientes de anisotropia atinge-se o índice de vazios esperado. Observou-se
que as trajetórias obtidas utilizando as três versões do modelo elástico incremental são
diferentes, pois as tensões horizontais evoluem de forma diferente. Sem a aplicação de
coeficientes de anisotropia ocorreu uma redução das tensões horizontais, estando o resultado
em completo desacordo com observações experimentais de Pereira (1996) e Peixoto (1999),
entre outros. Com a aplicação de coeficientes de anisotropia constantes e variáveis, foi
reproduzido o aumento das tensões horizontais observado por Peixoto (1999), seguindo
trajetórias diferentes, porém chegando ao mesmo valor final.
Verificou-se que a diferença entre as trajetórias de tensões obtidas pode levar a valores
107
de resistência ao cisalhamento mobilizada muito diferentes, sendo que utilizando coeficientes
de anisotropia, o estado de tensões evolui para um estado mais estável. Concluiu-se que no
caso de problemas onde é mais importante avaliar a estabilidade da obra, a formulação
utilizando coeficientes variáveis pode trazer relevantes melhorias nas previsões, em relação à
formulação utilizando coeficiente constantes. Isso foi verificado porque, apesar das trajetórias
seguidas atingirem o mesmo estado de tensões finais, elas seguem caminhos diferentes.
Observou-se, no entanto, que esta diferença entre as duas formulações depende do tipo de
solo e principalmente de como evoluem a resistência ao cisalhamento e as tensões horizontais
durante a molhagem.
Em relação às simulações utilizando o modelo de Alonso et al. (1990), foi analisada a
influência dos parâmetros de resistência ao cisalhamento φ‘ e k e da lei de fluxo utilizada,
com base em análises paramétricas utilizando o programa CRISMUS. Concluiu-se que as
deformações individuais, nas direções x e y, foram muito influenciadas pela lei de fluxo
adotada. Verificou-se que utilizando uma lei de fluxo associada, se existisse confinamento
lateral ocorreria crescimento das tensões laterais maior do que o obtido utilizando lei de fluxo
não associada e, portanto, as respostas do modelo seriam melhores, para o solo estudado por
Peixoto (1999). Em relação à escolha dos parâmetros φ’ e k mais adequados para a simulações
da trajetória de molhagem em condições oedométricas, verificou-se que o ideal seria utilizar o
par de valores mais altos (φ’ = 45o e k = 0,3), para evitar que fosse atingida a ruptura. Caso a
influência do crescimento das tensões horizontais na diminuição da resistência mobilizada
fosse grande, valores inferiores poderiam ser suficientes para que não ocorresse ruptura.
Por fim, verificou-se nas simulações numéricas de ensaios oedométricos em trajetórias
de molhagem utilizando o modelo de Alonso et al. (1990), que devido à natureza da
solicitação aplicada, necessária à simulação da molhagem do corpo de prova, não conseguiu-
se, da forma como era desejado, simular trajetórias de molhagem utilizando o modelo de
Alonso et al. (1990). Evidenciou-se que a forma de seguir a não linearidade do modelo é
muito mais complicada e envolve questões que precisam ser melhor investigadas.
6.2 SUGESTÕES PARA PESQUISAS FUTURAS
Sugere-se aprofundamentos e novas pesquisas nos seguintes pontos:
• Realizar análises paramétricas mais abrangentes dos modelos de estados críticos,
utilizando o programa CRISMUS, estendendo as análises para outros modelos
108
semelhantes, tais como o modelo de Balmaceda (1991) e de Wheeler (1996);
• Aplicar o programa COUPSO, utilizando as formulações do modelo elástico
incremental com coeficientes de anisotropias constantes e variáveis, na simulação
de problemas de campo submetidos à trajetórias de molhagem. Com isso, verificar
as diferenças obtidas nas análises;
• Determinar experimentalmente a variação dos parâmetros φ‘ e k em trajetórias de
molhagem, para o solo do Distrito Federal;
• Analisar a influência da consideração de parâmetros φ‘ e k variáveis, na simulação
de ensaios oedométricos em trajetórias de molhagem e na simulação de problemas
de campo submetidos à trajetórias de molhagem, verificando as diferenças obtidas
nas análises;
• Investir em mais pesquisas procurando simular trajetórias de molhagem com o
programa COUPSO, utilizando o modelo de estados crítico.
• Retroanalisar o parâmetro de desassociação do modelo de Alonso et al. (1990), ω,
para o qual seriam obtidas as melhores respostas em simulações numéricas de
ensaios oedométricos.
109
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS ALONSO, E.E. (1993). Constitutive modelling of unsaturated soils. Civil Engineering European Courses, Barcelona, Spain, 86 p. ALONSO, E.E., GENS, A. & WIGHT, D.W. (1987). Special problem soils. 9th European Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, Dublin, Ireland, 3: 1087-1146. ALONSO, E.E., GENS, A. & JOSA, A. (1990). A constitutive model for partly saturated soil. Géotechnique, 40(3): 405-430. BALMACEDA, A. (1991). Compacted Soils: a Theoretical and Experimental Study (in Spanish). Tesis Doctoral, Universitat Politécnica de Catalunya, Barcelona, España, 433 p. BARDEN, L. (1965). Consolidation of compacted and unsaturated clays. Géotechnique, 15(3): 267-286. BEAR, J., ZASLAVSKY, D. & IRMAY, S. (1968). Phys ical Principles of Water Percolation and Seepage. UNESCO, Paris, 465 p. BIOT, M.A. (1941). General theory of three-dimensional consolidation. Journal of Applied Physics, 12(2): 155-164. BISHOP, A.W. (1959). The principle of effective stress. Tecknisk Ukeblab, 106(39): 859-863. BLIGHT, G.E. (1965). A study of effective stresses for volume change. Procedures of the. Conference on Moisture Equilibria and Moisture Changes in Soil beneath Covered Areas, Sidney, Australia, 259-269. BLIGHT, G.E. (1967). Effective stress evaluation for volume change. Procedures of the. Conference on Moisture Equilibria and Moisture Changes in Soil beneath Covered Areas, Sidney, Australia, 125-148. BOLZON, G., SCHREFLER, B.A. & ZIENKIEWICZ, O.C. (1996). Elastoplastic soil constitutive laws generalized to partially saturated states. Géotechnique, 46(2): 279-289. BRITO, A.M. & GUNN, M.J. (1987). Critical State Soil Mechanics Via Finite Elements. John Wiley & Sons, London, United Kingdom, 488 p. BURLAND, J.B. (1965). Some aspects of the mechanical behaviour of partly saturated soils. Procedures of the. Conference on Moisture Equilibria and Moisture Changes in Soil beneath Covered Areas, Sidney, Australia, 270-278. CASTRO, M.A.H. (1998). Um método numérico-analítico para a solução de problemas transientes envolvendo a percolação de água em um solo saturado. Anais do XI Congresso Brasileiro de Mecânica dos Solos e Engenharia Geotécnica, Brasília, DF, 1: 309-314.
110
CHANG, C.S. & DUNCAN, J.M. (1983). Consolidation analysis of partly saturated clay by using an elasto-plastic effective stress-strain model. International Journal of Numerical ad Analytical Methods in Geomechanics, 7: 35-55. CHOU, P.C. & PAGANO, N.J. (1967). Elasticity: Tensor, Dyadic and Engineering Appoaches. Dover, New York, United States of America, 290 p. COLEMAN, J.D. (1962). Stress/Strain relations for partly saturated soils (Correspondence). Géotechnique, 12(4): 348-350. COOK, R.D., MALKUS, S.D. & PLESHA, M.E. (1989). Concepts and Applications of Finite Analysis. John Wiley & Sons, New York, United States of America, 3e, 656 p. CUI, Y.J. & DELAGE, P. (1996). Yielding and plastic behavior of an unsaturated compacted silt. Géotechnique, 46(2): 291-311. DAYLAC, R. (1994). Desenvolvimento e Utilização de uma Célula para Medição de K0 com Controle de Sucção. Dissertação de Mestrado, PUC-Rio, Rio de Janeiro, RJ, 152 p. ESCARIO, V. & SAEZ, J. (1986). The shear strength of partly saturated soils. Géotechnique, 36(3): 453-456. FARIAS, M.M. (1993). Numerical Analysis of Clay Core Dams. PhD Thesis, University of Wales, Swansea, United Kingdom, 159 p. FREDLUND, D.G. (1979). Appropriate concepts and technology for unsaturated soils. Canadian Geotechnical Journal, 16(1): 121-139. FREDLUND, D.G. & MORGENSTERN, N.R. (1976). Constitutive relations for volume change in unsaturated soils. Canadian Geotechnical Journal, 13(3): 261-276. FREDLUND, D.G. & MORGENSTERN, N.R. (1977). Stress state variables for unsaturated soils. Procedures of the American Society of Civil Engineers, 103: 447-466. FREDLUND, D.G., MORGENSTERN, N.R. & WIDGER, R.A. (1978). The shear strength of unsaturated soils. Canadian Geotechnical Journal, 15(3): 447-466. FREDLUND, D.G. & RAHARDJO, H. (1993). Soil Mechanics for Unsaturated Soil. John Wiley & Sons, New York, United States of America, 517 p. FREDLUND, D.G., RAHARDJO, H. & GAN, J.K.M. (1987). Non- linearity of strength envelope for unsaturated soils. Procedures of the 6th International Conference on Expansive Soils, New Delhi, India, 49-54. FUTAI, M.M. (1997). Análise de Ensaios Oedométricos com Sucção Controlada em Solos Colapsíveis. Tese de Mestrado, COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, 255 p. GEO-SLOPE (1994). SEEP/W 3.0 User’s Manual. Geo-slope International, Calgary, Canada, 1Vol.
111
JENNINGS, J.E.B. & BURLAND, J.B. (1962). Limitations to the use of effective stresses in partly saturated soils. Géotechnique, 12(2): 125-144. KARUBE, D. & KATO, S. (1989). Yield functions of unsaturated soil. XII International Congress of Soil Mechanics and Foundation Engineering, Rio de Janeiro, RJ, 3: 615-618. LAWTON, E.C., FRAGASZY, R.J. & HARDCASTLE, J.H. (1991). Stress ratio effects on collapse of compacted clayey sand. Journal of Geotechnical Engineering, 117(5): 714-730. LLORET, A. & LEDESMA, A. (1993). Finite element analysis of deformations of unsaturated soils. Civil Engineering European Courses, Barcelona, Spain, 20 p. MAÂTOUK, A., LEROUIEL, S. & ROCHELLE, P.L. (1995). Yielding and critical state of a collapsible unsaturated silty soil. Géotechnique, 45(3): 465-477. MACHADO, S.L. (1998). Aplicação de Conceitos de Elastoplasticidade a Solos Não Saturados. Tese de Doutorado, EESC/USP, São Carlos, SP, 361 p. MATYAS, E.L. & RADHAKRISHNA, H.S. (1968). Volume change characteristics of partially saturated soils. Géotechnique, 18(4): 432-448. MODARESSI, A. & ABOU-BEKR, N. (1994). Constitutive model for unsaturated soils: Validation on a silty material. Proceedings of the 3rd European Conference of Numerical Methods in Geotechnical Engineering, Manchester, United Kingdom, 1: 91-96. OLIVEIRA, S.A.G. (1998). Uma Célula Oedométrica para Medição de Tensões Horizontais em Solos Não Saturados. Dissertação de Mestrado, Publicação G.MD 53A/98, Departamento de Engenharia Civil, Universidade de Brasília, Brasília, DF, 104 p. ORTIGÃO, J.A.R. (1995). Introdução à Mecânica dos Solos dos Estados Críticos. Livros Técnicos e Científicos Editora, Rio de Janeiro, RJ, 378 p. PEIXOTO, R.J. (1999). Modelagem Constitutiva do Comportamento da Argila Porosa Colapsível do Distrito Federal. Dissertação de Mestrado, Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de Brasília, Brasília, DF, (em preparação). PEREIRA, J.H.F. (1996). Numerical Analysis of the Mechanical Behavior of Collapsing Earth Dams During First Reservoir Filling. PhD Thesis, University of Saskatchewan, Saskatoon, Canada, 449 p. POTTS, D.M. & GENS, A. (1985). A critical assessment of methods of correcting for drift from the yield surface in elasto-plastic finite element analysis. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 9: 149-159. POULOS, H.G. & DAVIS, E.H. (1974). Elastic Solutions for Soil and Rock Mechanics. John Wiley & Sons, New York, United States of America, 411 p. REDDY, J.N. (1993). An Introduction to the Finite Element Method. McGraw-Hill, New York, United States of America, 2e, 684 p.
112
SANTOS NETO, P.M. & ALMEIDA, M.S.S. (1993). Cálculo de recalques por adensamento em solos não-saturados com bolhas de ar oclusas. Solos e Rochas, 16(4): 235-243. TOLL, D.G. (1990). A framework for unsaturated soil behavior. Géotechnique, 40(1): 31-44. WHEELER, S.J. (1996). Inclusion of specific water volume within an elasto-plastic model for unsaturated soil. Canadian Geotechnical Journal, 33(1): 42-57. WHEELER, S.J., & SIVAKUMAR, V. (1995). An elasto-plastic critical state framework for unsaturated soils. Géotechnique, 45(1): 35-53. WOOD, D.M. (1990). Soil Behaviour and Critical State Soil Mechanics. Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom, 462 p. ZIENKIEWICZ, O.C. (1977). The Finite Element Method. McGraw-Hill, London, United Kingdom, 3e, 787 p.
113
APÊNDICE A TERMOS DA RELAÇÃO ELASTOPLÁSTICA PARA O MODELO DE
ALONSO ET AL. (1990)
Neste Apêndice apresenta-se, de forma explícita, os termos da relação elastoplástica
para o modelo de Alonso et al. (1990). Conforme foi apresentado no Capítulo 2, a relação
elastoplástica entre tensões e deformações para solos não saturados, considerando o modelo
estudado, pode ser escrita da seguinte forma:
dsG
AAsFF
dFG
AAdsdd
crs
T
s
T
cr
epep
∂∂
−
∂∂
+
∂∂
−+−
∂∂
∂∂
−−=−=
*DHD
*HD
D**
DDhD*
~
ee
~
e
~
e
~~
ee
~~
σσ
εσσ
εσ
111
11
1
1
(A.1)
onde:
=
e
e
e
eee
eee
eee
DD
DDDDDDDDDD
44
44
44
111212
121112
121211
000000000000000000000000
eD (A.2)
*~~σε ∂
∂
∂Γ∂
Γ∂∂
−= 11 GFA
T
p (A.3)
*D
*~~
σσ ∂∂
∂∂
−= 11 GFA e
T
cr (A.4)
( )000321 sssT
s HHH=H (A.5)
yzxzxyazayaxT uuu τττσσσ −−−=
~*σ (A.6)
yzxzxyzyxT γγγεεε=
~ε (A.7)
114
Os termos F1 e G1 representam a lei de escoamento e o potencial plástico,
respectivamente, correspondentes à superfície LC. No modelo de Alonso et al. (1990) adota-
se como parâmetro de endurecimento, Γ, a pressão de pré-adensamento para sucção igual a
zero, po*, da mesma forma que é feito nos modelos de estados críticos convencionais, para
solos saturados. Assim, o termo A pode ser reescrito da seguinte forma:
*~~
*
* σε ∂∂
∂∂
∂∂
−= 10
0
1 GppF
A
T
p (A.8)
Quando o escoamento estiver se dando pela superfície SI tem-se:
pe
s HHH += (A.9)
onde:
( )Teee HHH 000321=eH (A.10)
( )Tppp HHH 000321=pH (A.11)
Caso o escoamento esteja ocorrendo pela superfície LC, tem-se:
e
s HH = (A.12)
Os termos dos vetores He e Hp e os termos da matriz De se relacionam com os
parâmetros de compressibilidade do modelo, da seguinte forma:
)( atm
seee
psHHH
+===
υκ
3321 (A.13)
)( atm
ssppp
psHHH
+−
===υ
κλ3321 (A.14)
( )( )( ) ( )( ) ( )µµµ
µµµ
µ+
=−+
=−+
−=
12 e
211 ,
2111
441211E
DE
DE
D eee (A.15)
( )κ
υµ pE
213 −= (A.16)
115
Outros termos da relação entre tensões e deformações (Eq. A.1) são apresentados nas
Eqs. A.17 a A.21:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
∂∂∂∂∂∂
−∂∂
+−∂
∂+
−∂∂
−∂∂
+−∂
∂+
−∂∂
−∂∂
+−∂
∂+
−∂∂
=∂∂
yz
e
xz
e
xy
e
ayax
e
az
e
azax
e
ay
e
azay
e
ax
e
GD
GD
GD
uG
uG
Du
GD
uG
uG
Du
GD
uG
uG
Du
GD
G
τ
τ
τ
σσσ
σσσ
σσσ
144
144
144
1112
111
1112
111
1112
111
1
)(
)(
)(
*D
~
e
σ (A.17)
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )
( )( )( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
++++++++++++
++
++++
++++++++++++++++++
++++++++++++
++++++++++++++++++++++++
=
∂∂
∂∂
66
2
4456
2
44
65
2
4455
2
44
64
2
4454
2
44
21123116442112311544
31122116443112211544
32121116443212111544
46
2
442112311666
45
2
442112311555
44
2
442112311444
211231144421123112112311
311221144421123113112211
321211144421123113212111
31122116443212111644
31122115443212111544
31122114443212111444
3112211211231132121112112311
3112211311221132121113112211
3112211321211132121113212111
11
YUDYUDYUDYUDYUDYUD
UUDUDYDUUDUDYDUUDUDYDUUDUDYDUUDUDYDUUDUDYD
YUDYYDYDUD
YUDYYDYDUDYUDYYDYDUD
UUDUDYDYYDYDUUDUDUUDUDYDYYDYDUUDUDUUDUDYDYYDYDUUDUD
YYDYDUDYYDYDUDYYDYDUDYYDYDUDYYDYDUDYYDYDUD
YYDYDUUDUDYYDYDUUDUDYYDYDUUDUDYYDYDUUDUDYYDYDUUDUDYYDYDUUDUD
FG
ee
ee
ee
eeeeee
eeeeee
eeeeee
eeee
eeee
eeee
eeeeeee
eeeeeee
eeeeeee
eeeeee
eeeeee
eeeeee
eeeeeeee
eeeeeeee
eeeeeeee
T
)()()()()()(
)(
)()(
)()()()()()()()()(
)()()()()()(
)()()()()()()()()()()()(
D**
D e
~~
e
σσ
(A.18)
116
onde:
( ) ( ) ( )yzxzxy
azayax
GUGUGU
uGUuGUuGU
τττ
σσσ
∂∂=∂∂=∂∂=
−∂∂=−∂∂=−∂∂=
161514
131211
,
,
,,,
e
( ) ( ) ( )yzxzxy
azayax
FYFYFY
uFYuFYuFY
τττ
σσσ
∂∂=∂∂=∂∂=
−∂∂=−∂∂=−∂∂=
161514
131211
,
,
,,,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
yzyz
e
xzxz
e
xyxy
e
ayaxaz
e
azaz
e
azaxay
e
ayay
e
azayax
e
axax
e
e
T
cr
GFD
GFD
GFD
uG
uG
uF
Du
Gu
FD
uG
uG
uF
Du
Gu
FD
uG
uG
uF
Du
Gu
FD
GFA
ττττττ
σσσσσ
σσσσσ
σσσσσ
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−
−∂∂
+−∂
∂−∂
∂−
−∂∂
−∂∂
−
−∂
∂+
−∂∂
−∂∂
−−∂
∂−∂
∂−
−∂∂
+−∂
∂−∂
∂−
−∂∂
−∂∂
−=
=∂∂
∂∂−=
1144
1144
1144
11112
1111
11112
1111
11112
1111
11
*D
*~~
σσ
(A.19)
++++++
=
000
2112311
3112211
3212111
)()()(
HD e sse
se
sse
se
sse
se
s
HHDHDHHDHDHHDHD
(A.20)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
−∂∂
++−∂
∂++
−∂∂
++
−∂∂
+−∂
∂+
−∂∂
=
∂∂
azss
ayss
axss
e
azs
ays
axs
es
T
uF
HHu
FHH
uF
HHD
uF
Hu
FH
uF
HDF
σσσ
σσσ
121
131
13212
13
12
1111
1
)()()(
HD e*σ
(A.21)
Conforme foi apresentado no Capítulo 2, a equação para a superfície de escoamento F1
pode ser colocada em função dos invariantes do tensor desviatório de tensões toais líquidas p,
J e θ, da seguinte forma:
117
ss
*
pppp
)pp)((gJ
)p,s,,J,p(F+−
−+
= 022
2
01 θθ (A.22)
onde:
azyx u)(
p −++
=3
σσσ (A.23)
21
222222
21
222222
61
21
])()()[(
])()()[(
yzxzxyzyzxyx
yzxzxyazayax pupupuJ
τττσσσσσσ
τττσσσ
+++−+−+−=
+++−−+−−+−−= (A.24)
−= 3
3
233
31
JJ
arcsenθ (A.25)
222
3
32
32
32
2222271
xyyxz
xzzxy
yzzyx
yzxzxyyxzzxyzyx ))()((J
τσσσ
τσσσ
τσσσ
τττσσσσσσσσσ
−−−
−−−
−−−
+−−−−−−= (A.26)
φθθ
φθ
sensen)(cos
sen)(g
31+= (A.27)
κλκλ
−−
=
)()(
* s
cc
pp
pp
0
00 (A.28)
ksp s = (A.29)
Os parâmetros constitutivos do modelo de Alonso et al. (1990) foram apresentados no
Capítulo 2 e dispensam novas apresentações. A derivada de F1 em relação às componentes do
tensor de tensões pode ser colocada, utilizando a regra da cadeia, da seguinte forma:
~~~~**** σσσσ ∂
∂∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂ θ
θ1111 FJ
JFp
pFF
(A.30)
As derivadas de F1 em relação aos invariantes p, J e θ são dadas pelas seguintes
expressões:
232
21 2
)pp()pp(
)pp)((gJ
pF
s
os
s ++
++
−=
∂∂
θ (A.31)
118
221 2
)pp)((gJ
JF
s+=
∂∂
θ (A.32)
223
21
31312
]sensen)([cos)pp)((g]sencos)([sensenJF
s φθθθφθθφ
θ ++−−
=∂∂
(A.33)
As derivadas dos invariantes em relação às componentes do tensor de tensões,
considerando a condição de pressão de ar constante, são dadas pelas seguinte expressões:
=
∂∂
00031
31
31
*~σp
(A.34)
−−−−−−=
∂∂
yzxzxyyxzzxyzyx
JJ
τττσσσσσσσσσ
2223
2
3
2
3
2
21
*~σ
(A.35)
***~~~σσσ ∂∂
+∂∂−
=∂∂ J
cosJJJ
cosJ θθθ
3233
323
433
3 (A.36)
3332
22271
22271
22272
222
3
xyxzyzzxyzyx
yxzzyxyxzzxyx
))((
))(())((J
τττσσσσσσ
σσσσσσσσσσσσσ
++−−−−−−
−−−−−−−−−=∂∂
(A.37)
332
322
271
22272
22271
222
3
xyxzyzzxyzyx
yxzzyxyxzzxyy
))((
))(())((J
τττσσσσσσ
σσσσσσσσσσσσσ
+−+−−−−−
−−−−+−−−−−=∂∂
(A.38)
32
3322
272
22271
22271
222
3
xyxzyzzxyzyx
yxzzyxyxzzxyz
))((
))(())((J
τττσσσσσσ
σσσσσσσσσσσσσ
−++−−−−+
−−−−−−−−−−=∂∂
(A.39)
xyyxzyzxzxy
)(J
τσσστττ
−−−=∂∂
232
23 (A.40)
xzzxyyzxyxz
)(J
τσσστττ
−−−=∂∂
232
23 (A.41)
yzzyxxzxyyz
)(J
τσσστττ
−−−=∂∂
232
23 (A.42)
119
A derivada de F1 em relação à sucção pode ser obtida, utilizando a regra da cadeia:
sp
pF
sp
pF
sF s
s ∂∂
∂∂
+∂
∂∂∂
=∂∂ 0
0
111 (A.43)
Portanto, a derivada de F1 em relação à sucção requer as seguintes derivadas:
20
32
21 2
)pp()pp(
)pp)((gJ
pF
sss +−
++
−=
∂∂
θ (A.44)
ks
ps =∂∂
(A.45)
spppF
+−
=∂∂ 1
0
1 (A.46)
−
−−
=
∂∂
20
00 00
))s(()r)()s(())((
pp
lnpsp
c
*
κλλλβκλ
(A.47)
A equação A.1 requer adicionalmente, as seguintes derivadas:
**0
0
0
1
0
1
pp
pF
pF
∂∂
∂∂
=∂∂
(A.48)
** pp
)s()(
pp
0
0
0
0 0κλκλ
−−
=∂∂
(A.49)
*p
*
p)(
p0
0
0 κλυ
ευ −=
∂∂
(A.50)
Assume-se as seguintes equações para se definir o potencial plástico:
~~~~**** σσσσ ∂
∂∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂ θ
θω 1111 FJ
JFp
pFG
(A.51)
( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )01
1
3627
3933λκθ
θθθω
−−
−−=
g
ggg (A.52)
O coeficiente ω é inserido para garantir deformações laterais nulas em condição K0, conforme
foi apresentado no Capítulo 2.
120
APÊNDICE B SOLUÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS DAS EQUAÇÕES DE
EQUILÍBRIO E FLUXO
Neste apêndice é apresentada a solução numérica das equações de equilíbrio e de fluxo
em solos não saturados. Considera-se aqui a solução espacial, utilizando o método de
Galerkin dos resíduos ponderados. A solução é apresentada para a condição de deformações
planas, em coordenadas cartesianas, e de axissimetria, em coordenadas cilíndricas.
B.1 CASO DE DEFORMAÇÕES PLANAS EM COORDENADAS CARTESIANAS
Para a condição de deformações planas, as três equações obtidas a partir das equações
de equilíbrio e de fluxo, utilizando apropriadas relações constitutivas, são as seguintes:
( ) 01442111 =−∂∂
−−∂∂
+
∂∂
+∂∂
∂∂
−
∂∂
+∂∂
∂∂
− xa
wa bxu
uux
hxv
yu
yD
yv
Dxu
Dx
(B.1)
( ) 02221244 =−∂∂
−−∂∂
+
∂∂
+∂∂
∂∂
−
∂∂
+∂∂
∂∂
− ya
wa byu
uuy
hyv
Dxu
Dyx
vyu
xD (B.2)
( ) 0211 =−∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
+∇∇− wa
wwy
wx
w
ww uuty
vtx
ut
yu
k βββγ
(B.3)
A solução das equações B.1, B.2 e B.3 pelo método dos resíduos ponderados de
Galerkin é obtida reduzindo os requisitos de diferenciabilidade das equações. Multiplicando
as equações por funções peso (w1, w2, e w3) e integrando no domínio do elemento tem-se:
( ) 014421111 =−∂∂
−−∂∂
+
∂∂
+∂∂
∂∂
−
∂∂
+∂∂
∂∂
−∫Ωedxdyb
xu
uux
hxv
yu
yD
yv
Dxu
Dx
w xa
wa (B.4)
( ) 022212442 =−∂∂
−−∂∂
+
∂∂
+∂∂
∂∂
−
∂∂
+∂∂
∂∂
−∫Ω dxdybyu
uuy
hyv
Dxu
Dyx
vyu
xDw
e ya
wa (B.5)
( ) 02113 =−∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
+∇−∇∫Ωe dxdyuu
tyv
txu
ty
ukw wa
wwy
wx
w
ww βββγ
(B.6)
121
Desenvolvendo em integral por partes as Eqs. B.4, B.5 e B.6, obtém-se:
( )
04421111
1111441
21111
=
∂∂
+∂∂
+
∂∂
+∂∂
−
−∂∂
−−∂∂
+
∂∂
+∂∂
∂∂
+
∂∂
+∂∂
∂∂
∫
∫
Γ
Ω
dsnxv
yu
Dnyv
Dxu
Dw
dxdybwx
uwuu
xhw
xv
yu
Dyw
yv
Dxu
Dxw
e
e
yx
xa
wa
(B.7)
( )
02212442
222222122
442
=
∂∂
+∂∂
+
∂∂
+∂∂
−
−∂∂
−−∂∂
+
∂∂
+∂∂
∂∂
+
∂∂
+∂∂
∂∂
∫
∫
Γ
Ω
dsnyv
Dxu
Dnxv
yu
Dw
dxdybwyu
wuuy
hwyv
Dxu
Dyw
xv
yu
Dx
w
e
e
yx
ya
wa
(B.8)
( )
03
2313133
=
+
∂∂
−
−∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
+∇∇
∫
∫
Γ
Ω
dsyu
w
dxdyuut
wyv
tw
xu
twy
ukw
e
e
w
w
waww
ywx
w
ww
γ
βββγ
n
(B.9)
O próximo passo é colocar as incógnitas das Eqs. B.7, B.8 e B.9 em função de valores
nodais, utilizando interpolações com funções de Lagrange. Tratam-se de interpolações do
seguinte tipo:
∑=
=n
jjj tuyxtyxu
1
)(),(),,( φ (B.10)
∑=
=n
jjj tvyxtyxv
1
)(),(),,( φ (B.11)
∑=
=n
jjaja tuyxtyxu
1
)(),(),,( φ (B.12)
∑=
=n
jjwjw tuyxtyxu
1
)(),(),,( φ (B.13)
onde:
φ é a função interpoladora de Lagrange;
uj, vj, uaj e uwj são valores nodais das variáveis das equações;
n é o número de nós do elemento utilizado.
Colocando as incógnitas das Eqs. B.7, B.8 e B.9 em função dos valores nodais e
utilizando como funções peso as próprias funções interpoladoras, φ, utilizadas para a
122
aproximação das variáveis primárias das equações, tem-se:
( ) 011
11
1
1144
121
111
=−−∂
∂−+
∂∂
−
−
∂
∂+
∂∂
∂∂
+
∂
∂+
∂∂
∂∂
∫∑∑
∫ ∑∑∑∑
Γ==
Ω====
dstdxdybx
uhx
uh
xv
yuD
yyvD
xuD
x
e
e
xixi
n
j
jjai
n
j
jjwi
n
j
jj
n
j
jj
in
j
jj
n
j
jj
i
φφφ
φφ
φ
φφφφφφ
(B.14)
( ) 011
21
2
122
112
1144
=−−∂
∂−+
∂∂
−
−
∂
∂+
∂
∂
∂∂
+
∂
∂+
∂
∂
∂∂
∫∑∑
∫ ∑∑∑∑
Γ==
Ω====
dstdxdyby
uhy
uh
yvD
xuD
yxv
yuD
x
e
e
yiyi
n
j
jjai
n
j
jjwi
n
j
jj
n
j
jj
in
j
jj
n
j
jj
i
φφφ
φφ
φ
φφφφφφ
(B.15)
011
21
11
1
11
=−
−
∂∂
+∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
+
+
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
∫∑∑∑∑
∫ ∑∑
Γ====
Ω==
+ dsdxdyuutyt
v
xt
u
ky
uk
yxu
kx
e
e
i
n
jjjw
n
jjjai
wn
j
jji
wy
n
j
jji
wx
wy
n
j
jjw
w
wyi
n
j
jjw
w
wxi
λφφφφβφ
φβφ
φβ
φγ
φφγ
φ
(B.16)
onde ti são tensões de superfície e λ representa fluxo imposto na fronteira.
Finalmente, fazendo a derivada em relação ao tempo das equações B.14 e B.15 e
considerando que a derivada em relação ao tempo da pressão de água é nula, chega-se ao
sistema final procurado:
=
+
2
1
2
1
2212
2111
FF
uCWCW
vu
DKDKDKDK
w&&&
(B.17)
[ ] [ ] [ ] FWuTWvu
WKWKuHW =+
+ ww &&&21 (B.18)
∫
∫
∫
∫
Ω
Ω
Ω
Ω
∂
∂
∂∂
+∂
∂
∂∂
=
∂
∂
∂∂
+∂
∂
∂∂
=
∂
∂
∂∂
+∂
∂
∂∂
=
∂
∂
∂∂
+∂
∂
∂∂
=
e
e
e
e
dxdyyy
Dxx
DDK
dxdyxy
Dyx
DDK
dxdyxy
Dyx
DDK
dxdyyy
Dxx
DDK
jijiij
jijiij
jijiij
jijiij
][
][
][
][
φφφφ
φφφφ
φφφφ
φφφφ
224422
124412
442121
441111
(B.19)
123
∫∫ ΩΩ ∂
∂−=
∂
∂−=
eedxdy
yhCWdxdy
xhCW j
iijj
iij
φφ
φφ 2
21
1 , (B.20)
∫ ∫∫∫ Ω ΓΓΩ ∂∂
+∂
∂=
∂∂
+∂∂
=e eee
dstt
dxdytb
Fdstt
dxdyt
bF y
iy
iix
ix
ii φφφφ 21 , (B.21)
∫Ω ∂
∂
∂∂
+∂
∂
∂∂
=e
dxdyyy
k
xxk
HW ji
w
wyji
w
wx
ij ][φφ
γ
φφγ
(B.22)
∫∫ ΩΩ ∂
∂=
∂
∂=
eedxdy
yWKdxdy
xWK j
iwyij
ji
wxij
φφβ
φφβ 1
21
1 , (B.23)
∫Ω−=
edxdyTW ji
wij φφβ 2 (B.24)
∫∫ ΓΩ+
∂∂
−= ee dsdxdyy
kFW iiw
yi λφφ
(B.25)
Conforme foi apresentado no Capítulo 3, essa formulação considera a condição da fase
ar contínua e em livre contato com a atmosfera.
B.2 CASO AXISSIMÉTRICO EM COORDENADAS CILÍNDRICAS
Para a condição de axissimetria, as três equações obtidas a partir das equações de
equilíbrio e de fluxo, utilizando apropriadas relações constitutivas, são as seguintes:
( )[ ]
( ) 013232133111331
1442111
=−−
−
−∂∂
−
−
−
−∂∂
−
−
−∂∂
−−∂∂
+
∂∂
+∂∂
∂∂
−
∂∂
+
+
∂∂
∂∂
−
rwa
awa
buur
hhyv
rDD
ru
rDD
ru
rDD
ru
uuhrr
vyu
Dyy
vD
ru
ru
Dr
(B.26)
( )[ ] 02
4422231244
=−∂∂
−−∂∂
+
+
∂∂
+∂∂
−
∂∂
++∂∂
∂∂
−
∂∂
+∂∂
∂∂
−
ya
wa byu
uuhy
rv
yu
rD
yv
Dru
Dru
Dyr
vyu
Dr
(B.27)
( ) 02111
2
2
2
2
=−∂∂
+
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
+
+
∂∂−
+
∂∂−
+
∂∂−
wawww
ywr
w
wwy
w
wwr
w
wwr
uutr
uty
vtr
ut
yuy
kyurr
kyur
k
ββββ
γγγ
θ
(B.28)
124
Multiplicando as equações B.26, B.27 e B.28 por funções peso (w1, w2, e w3) e
integrando no domínio do elemento, que neste caso é um volume de rotação, tem-se:
( )[ ]
( ) 0213232133111331
14421111
=−−
−
−∂∂
−
−
−
−∂∂
−
−∂∂
−−∂∂
+
∂∂
+∂∂
∂∂
−
∂∂
+
+
∂∂
∂∂
−
−
∫Ω
rdrdybuur
hhyv
rDD
ru
rDD
ru
rDD
ru
uuhrr
vyu
Dyy
vD
ru
ru
Dr
w
rwa
awae
π
(B.29)
( )[ ] 022
44222312442
=−∂∂
−−∂∂
+
+
∂∂
+∂∂
−
∂∂
++∂∂
∂∂
−
∂∂
+∂∂
∂∂
−∫Ω
rdrdybyu
uuhy
rv
yu
rD
yv
Dru
Dru
Dyr
vyu
Dr
w
ya
wa
e
π
(B.30)
( ) 022111
2
2
2
2
3
=−∂∂
+
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
+
+
∂∂−
+
∂∂−
+
∂∂−∫Ω
rdrdyuutr
uty
vtr
ut
yuy
kyurr
kyur
kw
wawww
ywr
w
wwy
w
wwr
w
wwre
πββββ
γγγ
θ
(B.31)
Desenvolvendo em integral por partes as Eqs. B.29, B.30 e B.31, obtém-se:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
022
111
44211111
1312321123311113311
111441
21111
=
∂∂
+∂∂
+
∂∂
+
+
∂∂
−−
−−−−∂∂
−−−−∂∂
−−
−∂
∂−−
∂∂
+
∂∂
+∂∂
∂∂
+
∂∂
+
+
∂∂
∂∂
∫
∫
Γ
Ω
dsnrv
yu
Dnyv
Dru
ru
Dwrrdrdybw
uur
hhwyv
rDDw
ru
DDwru
rDDw
ru
wuur
hwrv
yu
Dyw
yv
Dru
ru
Dr
w
e
e
yrr
wa
awa
ππ
(B.32)
( )
02
2
222312442
2222
442222312
244
2
=
∂∂
++∂∂
+
∂∂
+∂∂
−
−−∂
∂−−
∂∂
+
+
∂∂
+∂∂
−
∂∂
++∂∂
∂∂
+
∂∂
+∂∂
∂∂
∫
∫
Γ
Ω
dsnyv
Dru
Dru
Dnrv
yu
Dwr
rdrdybwy
uwuu
yhw
rv
yu
rD
wyv
Dru
Dru
Dy
wrv
yu
Dr
w
e
e
yr
ya
wa
π
π (B.33)
( )
02
2
3
231313
13333
=
+
∂∂
+
+
∂∂
−
−−∂∂
+
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
+
∂∂
∂∂
+
+
∂∂
+
+
∂∂
∂∂
+
+
∂∂
∂∂
∫
∫
Γ
Ω
dsnyu
ykny
ur
kwr
rdrdyuut
wru
tw
yv
tw
ru
twy
urr
kwy
uyy
wky
urr
wk
e
e
yw
wwyr
w
wwr
wawww
y
wr
w
wwr
w
wwy
w
wwr
γγπ
πβββ
βγγγ
θ
(B.34)
125
O próximo passo é colocar as incógnitas das Eqs. B.32, B.33 e B.34 em função de
valores nodais, utilizando interpolações com funções de Langrange. Tratam-se de
interpolações do seguinte tipo:
∑=
=n
jjj tuyrtyru
1
)(),(),,( φ (B.35)
∑=
=n
jjj tvyrtyrv
1
)(),(),,( φ (B.36)
∑=
=n
jjaja tuyrtyru
1
)(),(),,( φ (B.37)
∑=
=n
jjwjw tuyrtyru
1
)(),(),,( φ (B.38)
Colocando as incógnitas das Eqs. B.32, B.33 e B.34 em função dos valores nodais e
utilizando como funções peso as próprias funções interpoladoras, φ, tem-se:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
111
111
1
113
113
11
11
12321
123311
11331
1144
121
1111
=−−
−−+−−∂∂
−+∂∂
−
−∂∂
−−−−∂∂
−−
+
∂∂
+∂∂
∂∂
+
∂∂
+
+
∂∂
∂∂
∫
∑∑∑∑
∑∑∑
∫ ∑∑∑∑∑
Γ
====
===
Ω=====
dstdrdyb
ur
hhur
hhr
uhr
uh
yv
rDDu
rDD
ru
rDD
rv
yuD
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rruD
r
e
e
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n
jjjwi
n
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n
j
jjai
n
j
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n
j
jji
n
jjji
n
j
jji
n
j
jj
n
j
jj
in
j
jj
n
jjj
n
j
jj
i
φφ
φφφφφ
φφ
φ
φφφφ
φφ
φφφφφ
φφ
(B.39)
( ) 01
1
12
12
11
44
122
123
112
1144
=−−∂∂
−+
+∂∂
−
∂∂
+∂∂
−
∂∂
+
++
∂∂
∂∂
+
∂∂
+∂∂
∂∂
∫∑
∑∑∑∑
∫ ∑∑∑∑
Γ=
====
Ω====
dstdrdyby
uh
yuh
rv
yu
rD
yvD
ur
Dr
uDyr
vy
uDr
e
e
yiyi
n
j
jjai
n
j
jjwi
n
j
jj
n
j
jji
n
j
jj
n
jjj
n
j
jj
in
j
jj
n
j
jj
i
φφφ
φ
φφ
φφφ
φ
φφφφφφ
(B.40)
0
1
12
12
11
11
11
111
=−∂
∂−
∂
∂+
+∂
∂+
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂
∂∂
+∂
∂
∂∂
∫∑∑
∑∑∑
∫ ∑∑∑
Γ==
===
Ω===
dsdrdyt
u
t
u
tu
rytv
rtu
ru
ky
ky
uk
yru
kr
e
e
i
n
jj
jwwi
n
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jawi
n
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jwi
n
j
jjwyi
n
j
jjwri
n
j
jjw
w
wr
iiw
y
n
j
jjw
w
wyi
n
j
jjw
w
wri
λφφβφφβφ
φβφφ
βφφ
βφ
φ
γφ
φφ
γφφ
γφ
θ
(B.41)
126
onde:
ti são tensões de superfície;
λ representa fluxo imposto na fronteira.
Finalmente, fazendo a derivada em relação ao tempo das equações B.39 e B.40 e
considerando que a derivada em relação ao tempo da pressão de água é nula, chega-se ao
sistema final procurado:
=
+
2
1
2
1
2212
2111
FF
uCWCW
vu
DKDKDKDK
w&&&
(B.42)
[ ] [ ] [ ] FWuTWvu
WKWKuHW =+
+ ww &&&21 (B.43)
∫
∫
∫
∫
Ω
Ω
Ω
Ω
∂
∂
∂∂
+∂
∂−
∂
∂
∂∂
=
∂∂
+∂
∂
∂∂
+∂
∂−
∂
∂
∂∂
=
∂
∂−+
∂
∂
∂∂
+∂
∂
∂∂
=
−+∂
∂−+
+∂
∂
∂∂
+∂
∂+
∂
∂
∂∂
=
e
e
e
e
drdyyy
Drrrr
DDK
drdyyr
Dry
Dyryr
DDK
drdyyr
DDry
Dyr
DDK
drdyr
DDrr
DD
yyD
rrrrDDK
jiji
jiij
jijij
iji
ij
ji
jijiij
jij
i
jij
ijiij
])([
])([
])([
])()(
)([
φφφφ
φφ
φφφφφ
φφφ
φφ
φφφφ
φφφ
φ
φφφ
φφφ
224422
23124412
2123442121
211333113
441111
1
11
1
11
1
(B.44)
∫∫ ΩΩ ∂
∂−=−−
∂
∂−=
eedrdy
yhCWdrdyhh
rrhCW j
iijjij
iij
φφφφ
φφ 2
2131
1 , 1
])([ (B.45)
∫ ∫∫∫ Ω ΓΓΩ ∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂
∂=
e eeeds
tt
drdyt
bFds
tt
drdytb
F yi
yii
ri
rii φφφφ 21 , (B.46)
∫Ω ∂
∂
∂∂
+∂
∂+
∂
∂
∂∂
=e
drdyyy
k
rrrrk
HW ji
w
wyj
iji
w
wr
ij )])([φφ
γ
φφ
φφγ
1 (B.47)
∫∫ ΩΩ ∂
∂=+
∂
∂=
eedrdy
yWKdrdy]
rr[WK j
iwyijji
wy
ji
wxij
φφβφφβ
φφβ 1
211
1 , 1
(B.48)
∫Ω−=
edrdyTW ji
wij φφβ 2 (B.49)
∫∫ ΓΩ+
∂∂
−= ee dsdrdyy
kFW iiw
yi λφφ
(B.50)