universidade candido mendes pÓs-graduaÇÃo … · trajetória da minha vida sempre foram...

UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES

POacuteS-GRADUACcedilAtildeO ldquoLATO SENSUrdquo

INSTITUTO A VEZ DO MESTRE

MATEMAacuteTICA NOVOS CAMINHOS E NOVAS PRAacuteTICAS

PEDAGOacuteGICAS

Por Flavia Costa Lima Ferreira

Orientador

Prof Marcelo Saldanha

Rio de Janeiro

2010

2





PEDAGOacuteGICAS

Apresentaccedilatildeo de monografia agrave Universidade

Candido Mendes como requisito parcial para

obtenccedilatildeo do grau de especialista em Docecircncia do

Ensino Superior


3

AGRADECIMENTOS

Aos meus pais que ao longo de toda

trajetoacuteria da minha vida sempre foram

presentes e dedicados

Aacute minha irmatilde que foi minha

companheira de classe e durante

esse periacuteodo de um ano muito

aprendemos juntas

4

DEDICATOacuteRIA

A todos que se dedicam a Educar

Aos meus familiares de um modo geral

pois foram os responsaacuteveis pela minha

formaccedilatildeo

5

RESUMO

A Tecnologia natildeo causa mudanccedilas apenas no que fazemos mas

tambeacutem em nosso comportamento na forma como se elabora conhecimentos

e no nosso relacionamento com o mundo Vivemos num mundo tecnoloacutegico

estruturamos nossa accedilatildeo atraveacutes da tecnologia Dessa forma o objetivo deste

estudo eacute entender o uso das mais diversas tecnologias no processo de

ensino-aprendizagem da matemaacutetica Estas natildeo satildeo mais ferramentas

neutras que usamos simplesmente para apresentar um conteuacutedo Quando as

usamos estamos sendo modificados por ela Analisar o uso das diversas

tecnologias e praacuteticas pedagoacutegicas na Educaccedilatildeo Matemaacutetica significa

sobretudo identificar grandes temas a partir dos quais eacute possiacutevel extrair

importantes elementos para a compreensatildeo da complexa relaccedilatildeo que

envolve as mais distintas praacuteticas pedagoacutegicas miacutedias jogos e a Educaccedilatildeo

Matemaacutetica Quando se discute a relaccedilatildeo entre as novas praacuteticas

pedagoacutegicas tecnologias miacutedias jogos atividades luacutedicas e Educaccedilatildeo

frequentemente emergem questotildees sobre qual seria o verdadeiro papel das

mesmas em atividades de ensino Cada resposta uniacutevoca a este propoacutesito

parece livre de fundamento uma vez que as aplicaccedilotildees dos recursos

provenientes de praacuteticas pedagoacutegicas no campo educativo dependem dos

objetivos que se quer alcanccedilar Seja como instrumento de trabalho como

amplificador intelectual ou simplesmente com fenocircmeno de grande

repercussatildeo social as experiecircncias demonstram que mesmo com muitos

limites aprender ou simplesmente trabalhar com uso de tecnologias pode ser

uma experiecircncia muito agradaacutevel tanto para professores quanto para os

alunos

6

METODOLOGIA

Este estudo dar-se-aacute atraveacutes de uma abordagem qualitativa

Com o objetivo de proporcionar maior vivecircncia com o problema

abordado e com isso tornaacute-lo mais claro esta pesquisa seraacute exploratoacuteria

Todo embasamento teoacuterico desta pesquisa seraacute feito atraveacutes de

materiais jaacute publicados constituiacutedo basicamente de livros manuais artigos e

materiais disponibilizados na Internet

De acordo com as teorias de aprendizagem Skinner (1972) ensina que

a aprendizagem deriva do condicionamento e treinamento Para Vygotsky

(1998) o desenvolvimento da pessoa se realiza atraveacutes de estiacutemulos

auxiliares retirados da cultura e pela interaccedilatildeo social atraveacutes do uso de

signos Os meacutetodos que favorecem o desenvolvimento mental satildeo os que

levam o aluno a pensar

Piaget (1987) diz que o desenvolvimento da aprendizagem resulta da

interaccedilatildeo do homem com o ambiente que consiste em adaptar-se por meio

de acomodaccedilotildees e assimilaccedilotildees Assimilaccedilatildeo do novo a partir do antigo

atraveacutes da sensibilizaccedilatildeo dos esquemas existentes O conhecimento eacute o

resultado de constante construccedilatildeo do indiviacuteduo processada pelos esquemas

mentais e agregada a esses esquemas

Paulo Freire (1986) defende a educaccedilatildeo progressista e emancipadora

do homem como ser em transformaccedilatildeo no mundo O diaacutelogo eacute agrave base do seu

meacutetodo com a devoluccedilatildeo organizada ao educando dos elementos que este

lhe entregou de forma desestruturada

O homem tem naturalmente a potencialidade de aprender pois possui

curiosidade a respeito do mundo em que vive A aprendizagem se adquire

atraveacutes das accedilotildees sobre o mundo Interessa normalmente mais aquilo que

leva agraves percepccedilotildees materiais e intelectuais mais imediatas Eacute importante abrir

espaccedilo para que o conhecimento do educando se manifeste Daiacute a grande

7

importacircncia de se conhecer o educando exigindo do educador uma

caracteriacutestica de pesquisador

O ensino para ser bem sucedido deve utilizar meacutetodos e teacutecnicas com

objetivos mais ajustados aos educandos Para sua maior eficiecircncia deve

buscar o desenvolvimento integral do educando

Os cidadatildeos do futuro necessitam saber lidar com desafios com

problemas inesperados para os quais natildeo haacute explicaccedilatildeo preestabelecida e

para que isso ocorra eacute necessaacuterio compreender a situaccedilatildeo conceber um

plano de accedilatildeo e executar esse plano

Durante toda pesquisa apresenta-se as mais variadas miacutedias jogos

tecnologias atividades luacutedicas enfim praacuteticas pedagoacutegicas que podem

auxiliar no ensino-aprendizagem da Matemaacutetica

8

SUMAacuteRIO

INTRODUCcedilAtildeO 08

CAPIacuteTULO I - Didaacutetica o desafio do ensino-aprendizagem da

contemporaneidade 11

CAPIacuteTULO II - Matemaacutetica dificuldades enfrentadas no ensino-

aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III ndash A praacutetica pedagoacutegica e as diversas tecnologias 19

CAPIacuteTULO IV ndash A aplicaccedilatildeo de tecnologias na Educaccedilatildeo Matemaacutetica 23

CONCLUSAtildeO 32

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 38

BIBLIOGRAFIA CITADA 39

IacuteNDICE 41

FOLHA DE AVALIACcedilAtildeO 42

9

INTRODUCcedilAtildeO

No mundo contemporacircneo o indiviacuteduo sem um entendimento da

evoluccedilatildeo ocorrida na ciecircncia e na tecnologia passou a ter uma enorme

dificuldade para acompanhar a vida poliacutetica social e econocircmica da sociedade

em que vive e cada vez mais vem sentindo necessidade de uma educaccedilatildeo

que o possibilite participar desta sociedade e se tornar cidadatildeo

Temos esta sociedade entatildeo cada vez mais exigente no que concerne

a postura dos educadores matemaacuteticos A comunidade educativa atual tem

solicitado a tais educadores que os mesmos deixem de mostrar a

Matemaacutetica como a mais abstrata das ciecircncias

Hoje precisamos perceber que a construccedilatildeo do conhecimento eacute

fundamental para que o indiviacuteduo possa dar significado a um novo conceito

nessa aacuterea O educador assim deve buscar formas de proporcionar ao

educando a construccedilatildeo do seu proacuteprio conhecimento a partir de orientaccedilotildees

encaminhamentos e da proacutepria accedilatildeo das crianccedilas sobre o objeto do

conhecimento Rizzo (1996) reforccedila essa necessidade quando coloca que

ldquoUma convicccedilatildeo cada vez mais forte de que seja impossiacutevel

ensinar matemaacutetica posto que matemaacutetica eacute a ciecircncia o

conhecimento que se ocupa das relaccedilotildees de grandeza que

por si tambeacutem a sua essecircncia satildeo conceitos abstratos me

faz acreditar que matemaacutetica seja um conhecimento que

tenha que ser construiacutedo pelo proacuteprio indiviacuteduo atraveacutes do

crescimento construccedilatildeo e acomodaccedilatildeo de seus esquemas

de raciociacutenio resultantes de experiecircncias de sua mente

quando em tentativas de resolver desafios de ordem loacutegico-

matemaacuteticardquo (p19)

10

Ao buscar uma nova postura o educador precisa esclarecer a forma

como pretende apresentar a Matemaacutetica para seus educandos Muitos

acabam resumindo essa ciecircncia a um aglomerado de conhecimentos

ultrapassados e sem significado algum para o educando Frente a essa

apresentaccedilatildeo vimos a tradicional pergunta ecoar nas salas de aula

ldquoProfessor para que serve issordquo ou ldquoProfessor para que vou usar issordquo O

educador que apresenta os conhecimentos matemaacuteticos de forma pronta e

acabada natildeo permite que o seu educando descubra o porquecirc da

necessidade de tal conceito Essa apresentaccedilatildeo natildeo facilita a compreensatildeo

do educando dessa ampla ciecircncia e de seu desenvolvimento favorece

apenas que ela seja vista como a mais difiacutecil e abstrata das disciplinas

escolares ou seja o bicho-papatildeo

Se o educador realmente deseja apresentar a Matemaacutetica como uma

ciecircncia em constante construccedilatildeo deve ter claro que natildeo basta propor

algumas atividades diferentes daquelas que os educandos estatildeo

acostumados Tal educador deveraacute proporcionar aos seus educandos uma

caminhada semelhante a da humanidade buscando justificar o

estabelecimento de novos conhecimentos assim como aproximar o

conhecimento do educando do conhecimento matemaacutetico

Natildeo seraacute uma breve mudanccedila de estrateacutegia de ensino que faraacute a

diferenccedila mas sim uma nova concepccedilatildeo estabelecida pelo educador em

relaccedilatildeo agrave Matemaacutetica adicionada a uma metodologia incrementada de

diferentes atividades eacute que realmente iraacute gerar uma mudanccedila Lara (2003)

esclarece o que seria uma forma a nosso ver inovadora de pensar a

Matemaacutetica da escola

Esse ldquobicho-papatildeordquo ou terror dosas nossosas alunosas soacute

perderaacute sua aacuteurea de ldquolobo-maurdquo quando noacutes educadoresas

centrarmos todos os nossos esforccedilos para que ensinar

Matemaacutetica seja desenvolver o raciociacutenio loacutegico e natildeo

apenas a coacutepia ou repeticcedilatildeo exaustiva de exerciacutecios-

padratildeo estimular o pensamento independente e natildeo apenas

11

a capacidade mnemocircnica desenvolver a criatividade e natildeo

apenas transmitir conhecimentos prontos e acabados

desenvolver a capacidade de manejar situaccedilotildees reais e

resolver diferentes tipos de problemas e natildeo continuar

aquela ldquomesmicerdquo que vivemos quando eacuteramos alunosas

(p18-19)

No momento em que se desafia o educando motivam-se os mesmos a

encontrar soluccedilotildees proacuteprias para novas situaccedilotildees e criam-se conexotildees entre

a Matemaacutetica e o cotidiano eacute que realmente transformar-se-aacute o ensino e a

aprendizagem da Matemaacutetica Essa educaccedilatildeo consequentemente tornar-se-

aacute mais interessante e prazerosa para o educando e eficiente para o

educador visto que estaraacute permeada de significados

Sob essa nova perspectiva eacute que se torna possiacutevel analisar novas

estrateacutegias de ensino e aprendizagem como por exemplo as miacutedias os

jogos os desafios Este estudo foi desenvolvido com base nas dificuldades

do ensino-aprendizagem da Matemaacutetica enfrentadas tanto por educadores

como por educandos com objetivo de apresentar alguns meacutetodos e praacuteticas

que visam desmistificar tal ciecircncia

12

CAPIacuteTULO I

Didaacutetica o desafio do ensino-aprendizagem da

contemporaneidade

ldquoos seres humanos satildeo constituiacutedos por teacutecnicas que estendem e

modificam o seu raciociacutenio e ao mesmo tempo esses mesmos seres

humanos estatildeo constantemente transformando essas teacutecnicasrdquo (BORBA

2001 p46)

O termo didaacutetica foi instituiacutedo por Comenius (Jan Amos Komensky) em

sua obra Didaacutetica Magna (1657) e o mesmo no seu conceito original significa

ldquoarte de ensinarrdquo Durante muito tempo a didaacutetica era vista e entendida como

teacutecnicas e meacutetodos de ensino sendo parte da pedagogia responsaacutevel em dar

ferramentas e teacutecnicas para se ensinar Em sua essecircncia orientavam os

professores em como deveriam conduzir suas aulas em sala

Tradicionalmente os elementos da accedilatildeo didaacutetica satildeo professor aluno

conteuacutedo contexto e estrateacutegias metodoloacutegicas

Com o passar dos tempos vaacuterios estudos foram desenvolvidos na

Pedagogia e a Didaacutetica seguiu novos rumos Durante todo periacuteodo de estudo

da Pedagogia vaacuterias foram as correntes e as escolas Vaacuterias concepccedilotildees

sobre o homem e o mundo surgiram e com isso muitas foram agraves finalidades

da educaccedilatildeo Sendo assim vaacuterios foram os papeacuteis do professor do aluno a

metodologia a avaliaccedilatildeo e consequentemente diversificadas formas de

ensinar surgiram

Da Antiguidade ateacute o iniacutecio do seacuteculo XIX a praacutetica escolar

fundamentava-se basicamente em uma aprendizagem passiva onde o aluno

recebia tudo pronto e o professor era meramente repassador de conteuacutedos

O meacutetodo de ensino predominante era o da memorizaccedilatildeo

13

A criatividade a compreensatildeo a reflexatildeo ficavam em segundo plano

Ensinava-se com base em repeticcedilotildees de exerciacutecios e estes ficavam cada vez

mais complexos ateacute que o educando os resolvia com habitualidade Pode-se

dizer que nesta eacutepoca os conhecimentos a serem apreendidos eram ateacute certo

ponto reduzidos E para que os objetivos da aprendizagem fossem atingidos

o professor utilizava como principal procedimento agrave teacutecnica de perguntas e

respostas Este meacutetodo era conhecido como meacutetodo catequeacutetico

O importante neste processo de ensino-aprendizagem era que o

educando reproduzisse exatamente as palavras e frases decoradas Na

verdade nenhuma importacircncia tinha se o educando compreendia aquilo que

era reproduzido

Embora este meacutetodo tenha predominado na praacutetica docente por longo

periacuteodo vaacuterios filoacutesofos e educadores lutaram para o desenvolvimento de um

ensino onde fosse dada maior ecircnfase a compreensatildeo ao diaacutelogo agrave

constataccedilatildeo agrave pesquisa onde o educando aprende criando vivendo

experimentando Com isso pretendiam aproximar o ensino-aprendizagem do

educando das suas vivecircncias

Atualmente a didaacutetica eacute uma aacuterea especiacutefica da Pedagogia e se refere

agrave teoria e agrave praacutetica da instruccedilatildeo e do ensino conforme denominada por

Libacircneo (1990) como ldquoteoria do ensinordquo (p25) por investigar os fundamentos

as condiccedilotildees e as formas de realizaccedilatildeo do ensino Segundo Libacircneo (1990)

ldquoa ela cabe converter objetivos soacutecio-poliacuteticos e

pedagoacutegicos em objetivos de ensino selecionar

conteuacutedos e meacutetodos em funccedilatildeo desses objetivos

estabelecer os viacutenculos entre ensino e aprendizagem

tendo em vista o desenvolvimento das capacidades

mentais dos alunos [] trata da teoria geral do ensinordquo

(p 26)

A didaacutetica atualmente tem por objetivo desenvolver a capacidade criacutetica

dos educadores para que os mesmos analisem cada realidade educacional

14

conforme diz Freire (1996) ldquouma das tarefas preciacutepuas da praacutetica educativo-

progressista eacute exatamente o desenvolvimento da curiosidade criacutetica

insatisfeita indoacutecilldquo (p32) Articular os conhecimentos adquiridos sobre o

ldquocomordquo ensinar e refletir sobre ldquopara quemrdquo ensinar ldquoo querdquo ensinar e o ldquopor

querdquo ensinar eacute um dos desafios da didaacutetica Segundo Libacircneo (1990) a

didaacutetica eacute

ldquouma das disciplinas da Pedagogia que estuda o

processo de ensino atraveacutes de seus componentes ndash os

conteuacutedos escolares o ensino e aprendizagem ndash para

com o embasamento numa teoria da educaccedilatildeo formular

diretrizes orientadoras da atividade profissional dos

professoresrdquo (p25)

Esse mesmo autor indica que a didaacutetica ldquoinvestiga as condiccedilotildees e

formas que vigoram no ensino e ao mesmo tempo os fatores reais (sociais

poliacuteticos culturais psicossociais) condicionantes das relaccedilotildees entre docecircncia

e aprendizagemrdquo (p 52)

A didaacutetica fundamentada na dialeacutetica eacute um campo em constante

construccedilatildeoreconstruccedilatildeo de uma praacutexis que natildeo tem como objetivo ficar

pronta e acabada

Analisando os objetivos da didaacutetica e as exigecircncias da

contemporaneidade eacute posto ao educando o grande desafio de aliar os

processos educativos tradicionais com novas tecnologias pois atraveacutes desse

processo poderaacute ser possiacutevel ter uma maior interaccedilatildeo entre educador e

educando aleacutem de uma maneira atrativa de se adquirir conhecimento

A educaccedilatildeo pelos meacutetodos tecnoloacutegicos pode ser uma boa estrateacutegia

para serem obtidos a participaccedilatildeo e as respostas mais raacutepidas agraves questotildees

relativas agraves aulas Estes meacutetodos promovem a discussatildeo e a reformulaccedilatildeo

dos pontos de vista de maneira descontraiacuteda uma vez que natildeo se encontram

enquadrados nas salas de aula sob o estereoacutetipo do educador como centro

das atenccedilotildees e o quadro negro como testemunha do silecircncio discente

15

Partindo do princiacutepio de que segundo Freire (1996) ldquoEducar eacute uma

especificidade humanardquo (p91) e de que educamos aos educandos e a noacutes

mesmos quando o fazemos pelo diaacutelogo cabe aos docentes de qualquer

aacuterea seguir as indagaccedilotildees de Freire (1996) ldquopor que natildeo estabelecer uma

ldquointimidaderdquo entre os saberes curriculares fundamentais aos alunos e a

experiecircncia social que eles tecircm como indiviacuteduosrdquo (p30)

Cabe ao docente planejar suas aulas pautados nos objetivos

conteuacutedos e estrateacutegias instrucionais ou seja a finalidade de sua aula o

conteuacutedo que seraacute abordado e as estrateacutegias utilizadas tanto para explicar

determinada disciplina quanto para verificar o grau de interesse da turma em

relaccedilatildeo ao tema

Aleacutem disso o docente deveria se guiar pelos criteacuterios de significaccedilatildeo

flexibilidade logicidade e continualidade para que suas aulas natildeo percam o

foco do conteuacutedo exigido pelas grades curriculares Estes criteacuterios deveratildeo

ser observados concomitantemente ao serem aplicados os meacutetodos

tecnoloacutegicos em suas aulas

Fato importante a ser observado eacute que natildeo soacute o educador mas tambeacutem

os educandos deveratildeo conhecer os objetivos propostos para a situaccedilatildeo de

ensino-aprendizagem

Entretanto alguns recursos tecnoloacutegicos e eletrocircnicos da atualidade

podem servir de grande valia para o docente que deseja incrementar e inovar

suas aulas No entanto qualquer teacutecnica e meacutetodo de ensino satildeo nulos

quando os educadores natildeo se apresentam dispostos a encarar riscos

conforme diz Freire (1996) ldquoeacute proacuteprio do pensar certo a disponibilidade ao

riscordquo (p35) Um educador que natildeo planeja suas aulas mesmo que ela seja

integralmente expositiva natildeo conseguiraacute obter como resposta a

aprendizagem

Uma didaacutetica que associa analisa e respeita o saber dos educandos e a

praacutetica criacutetica docente que expotildee questionamentos analisa o contexto social

16

local e potildee estes para pensar e agir dentro de sua comunidade eacute a didaacutetica

esperada para os dias de hoje

Todavia alguns educadores ainda mantecircm a educaccedilatildeo nos moldes da

Didaacutetica Magna de Comenius onde o educador insiste em natildeo revitalizar sua

funccedilatildeo aprisionando-se na aula de saliva e giz e levando com isso o

educando a manter uma posiccedilatildeo passiva sem nenhum dinamismo

17

CAPIacuteTULO II

Matemaacutetica dificuldades enfrentadas no Ensino-

Aprendizagem

rdquoNatildeo posso estar no mundo de luvas nas matildeos constatando apenasrdquo

(FREIRE 1996 p77)

Garantir uma educaccedilatildeo de qualidade pautada em valores eacuteticos e

morais respeitando a individualidade e o ritmo de aprendizagem de cada

aluno natildeo eacute uma tarefa faacutecil nos tempos atuais haja vista que segundo

Freire (1996) ldquo() formar eacute muito mais do que puramente treinar o educando

no desempenho de destrezasrdquo (p 14)

Isto evidencia a necessidade de se observar as possiacuteveis dificuldades de

cada aluno buscar e desenvolver ferramentas apropriadas ao ensino e

observar procedimentos que possibilitem ao aluno aprender a aprender pois

segundo Freire (1996) ldquoensinar natildeo eacute transferir conhecimento mas criar as

possibilidades para sua proacutepria produccedilatildeo ou a sua construccedilatildeordquo (p47)

Em todo processo de aprendizagem por vezes o professor percebe que

suas praacuteticas pedagoacutegicas natildeo garantem que o aluno iraacute dominar o conteuacutedo

que se pretende ensinar Eacute importante ressaltar por exemplo que muitas das

vezes conhecimentos anteriores de um indiviacuteduo sobre um determinado

assunto podem condicionar a aprendizagem Haacute aprendizagens preacutevias que

se natildeo tiverem sido concretizadas natildeo permitem a possibilidade de se

aprender No ensino da Matemaacutetica essa realidade eacute ainda mais acentuada

Conforme especificado por Ausubel (1982) a aprendizagem eacute o processo

atraveacutes do qual uma nova informaccedilatildeo relaciona-se com um aspecto relevante

da estrutura de conhecimento do indiviacuteduo

18

Carretero (1997) tambeacutem reforccedila essa ideacuteia ldquoA organizaccedilatildeo e a

sequenciaccedilatildeo de conteuacutedos docentes devem levar em conta os

conhecimentos preacutevios do alunordquo (p22)

Daiacute deve-se considerar que o processo de aprendizagem eacute muito mais

do que simplesmente querer ensinar Levando-se em consideraccedilatildeo a

aprendizagem da matemaacutetica segundo Becker (1997) ldquoeacute fato notoacuterio que

poucos satildeo os alunos que realmente aprendem matemaacutetica para natildeo falar do

pouco que resta desta aprendizagem nos antigos alunosrdquo (p117)

Aprender matemaacutetica talvez seja o desejo de muitos Ensinar

matemaacutetica talvez natildeo seja uma das tarefas mais faacuteceis Como trazer para o

nosso mundo tatildeo concreto conceitos de uma das ciecircncias mais abstratas

Podemos dizer que satildeo muitos os desafios entre o saber matemaacutetico e as

accedilotildees inerentes ao ensino e agrave aprendizagem escolar

A consciecircncia da dificuldade em levar o outro a aprender a aprender o

conhecimento matemaacutetico natildeo eacute nova Talvez remonte aos tempos em que

Euclides um dos maiores matemaacuteticos da Antiguidade greco-romana fundou

sua escola em Alexandria cerca de trecircs seacuteculos antes de Cristo

Ter habilidades com nuacutemeros requer uma capacidade de apreender

abstraccedilotildees O resultado desse aprendizado poreacutem eacute bem concreto A

sociedade contemporacircnea exige que pelo menos se tenha um miacutenimo de

conhecimento matemaacutetico A falta desse conhecimento pode comprometer a

proacutepria cidadania

Administrar seu negoacutecio controlar o orccedilamento domeacutestico verificar o

rendimento de uma aplicaccedilatildeo financeira analisar seu saldo bancaacuterio tudo

exige algum conhecimento preacutevio sobre os algarismos as proporccedilotildees a

linguagem matemaacutetica de um modo geral

O grande problema que tudo isto acarreta eacute que as duacutevidas natildeo

dirimidas quando o indiviacuteduo ainda estaacute em sala de aula em geral o

acompanham pelo resto da vida

19

A forma tradicional de ensinar matemaacutetica deixou muitas viacutetimas pelo

caminho Poucas conseguiram reagir Hoje podemos dizer que este ensino

tradicional da matemaacutetica natildeo acompanha as exigecircncias tecnoloacutegicas e

cientiacuteficas da contemporaneidade

Vive-se em um periacuteodo em que a criatividade eacute posta como uma das

competecircncias indispensaacuteveis ao uso qualitativo das tecnologias por isso natildeo

eacute mais concebiacutevel centralizar o ensino da Matemaacutetica em torno de atividades

que priorizam a memorizaccedilatildeo e a repeticcedilatildeo

Deve-se levar o aluno a perder menos tempo com contas e investir mais

na resoluccedilatildeo criativa de problemas usando o raciociacutenio e aprendendo a fazer

relaccedilotildees contextualizadas A partir dos avanccedilos da pedagogia os

matemaacuteticos tecircm usado diferentes recursos como jogos histoacuterias

informaacutetica relaccedilotildees culturais ligaccedilotildees com o cotidiano e modelos

matemaacuteticos associados a situaccedilotildees reais

Na escola um dos objetivos do ensino da matemaacutetica eacute a interpretaccedilatildeo

da realidade que vive os alunos pois segundo Freire (1996) de um modo

geral ldquopensar certo coloca ao professor ou mais amplamente agrave escola o

dever de natildeo soacute respeitar os saberes com que os educandos sobretudo os

das classes populares chegam a ela saberes socialmente construiacutedos na

praacutetica comunitaacuteriardquo (p30)

Qualquer que seja a linha a ser adotada o certo eacute que a necessidade de

renovaccedilatildeo eacute consensual entre os pesquisadores O surgimento de tempos

em tempos de novos meacutetodos de ensino eacute uma tentativa de resposta a essa

dificuldade intriacutenseca de estimular o raciociacutenio abstrato sem perder o viacutenculo

com o mundo real

20

CAPIacuteTULO III

A praacutetica pedagoacutegica e as diversas tecnologias

ldquoda mesma forma como a criatividade inventiva do homem gera novas ferramentas tecnoloacutegicas e modifica constantemente os instrumentos que inventa existe um efeito inverso a tecnologia modifica a expressatildeo criativa do homem modificando sua forma de adquirir conhecimento e inferindo em sua cogniccedilatildeordquo (FROacuteES 1998 p56)

Sabemos que a evoluccedilatildeo tecnoloacutegica cresce de forma acelerada

Vivemos em um mundo que seja nos bancos nas ruas nos shoppings ao

falarmos ao telefone celular nas nossas residecircncias sentimos a necessidade

de um preparo teacutecnico devido agrave presenccedila marcante da tecnologia nas vaacuterias

aacutereas da atividade humana e sendo utilizada para as mais diversas

finalidades em nossas vidas

Como pensar entatildeo em uma Educaccedilatildeo ensinada e aprendida nos

moldes do passado onde o educador era o detentor do conhecimento e os

replicava aos educando

De acordo com Freire (1996) eacute preciso sobretudo e aiacute vai um destes

saberes indispensaacuteveis que o formando desde o princiacutepio mesmo de sua

experiecircncia formadora assumindo-se como sujeito tambeacutem da produccedilatildeo do

saber se convenccedila definitivamente de que ldquoensinar natildeo eacute transferir

conhecimento mas criar as possibilidades para a sua produccedilatildeo ou a sua

construccedilatildeordquo (p47)

Daiacute nesse cenaacuterio o educador passa a ter uma funccedilatildeo muito mais

especial passa a ser um estimulador do conhecimento do educando um

viabilizador do ensino-aprendizagem

As tecnologias as miacutedias os jogos natildeo substituem o educador mas

transformam algumas das suas funccedilotildees Educar eacute segundo Haidt (2006)

ldquopreparar o educandocidadatildeo para saber usar essa tecnologia e ter

21

condiccedilotildees e interpretar seus efeitos sociaisrdquo (p278) Ser o detentor das

informaccedilotildees pode por exemplo ser uma tarefa para os livros os artigos da

Internet os programas os CDS os viacutedeos e documentaacuterios

Uma vez que o educador compreenda e mobilize na escola o seu papel

de instigador considerando como Freire (1977) jaacute na deacutecada de 70 que o

que importa agrave educaccedilatildeo () eacute a problematizaccedilatildeo do mundo do trabalho das

obras das ideacuteias dos produtos das convicccedilotildees das aspiraccedilotildees dos mitos

da arte da ciecircncia enfim o mundo da cultura e da histoacuteria que resultando

das relaccedilotildees homem-mundo condiciona os proacuteprios homens seus

criadoresrdquo(p 83) poderaacute redimensionar o uso do livro do laacutepis do quadro de

giz Redimensionaraacute tambeacutem o uso do gravador audiocassete o

retroprojetor a TV o videocassete como miacutedias para a expressatildeo e a

comunicaccedilatildeo de si proacuteprio e de seus alunos sobre o mundo em que vivemos

natildeo mais como monstros ameaccediladores ou meras ferramentas de apoio

Passaraacute a integrar o computador a multimiacutedia e as redes de computadores

com diversas outras miacutedias que alargaratildeo os horizontes seus e de seus

alunos numa verdadeira rede de comunicaccedilotildees sobre as relaccedilotildees homem-

mundo dando outra significaccedilatildeo agrave contribuiccedilatildeo da comunicaccedilatildeo escolar que

deve ajudar os alunos a compreenderem os elos com as realidades que lhes

dizem respeito e lhes pertencem

Pode-se dizer que estas novas tecnologias apresentadas aos

educandos atualmente possibilitam tambeacutem que a escola abra suas portas as

novas realidades e oportunidades de aprendizado e trocas entre educandos e

docentes das mais variadas realidades e partes do mundo Os trabalhos de

pesquisa podem ser compartilhados por outros educandos e divulgados

instantaneamente na rede para quem quiser Educandos e educadores

encontram inuacutemeras bibliotecas eletrocircnicas revistas on line com muitos

textos imagens e sons que facilitam a tarefa de preparar as aulas fazer

trabalhos de pesquisa e ter materiais atraentes para apresentaccedilatildeo O

educador pode estar mais proacuteximo do aluno Pode receber mensagens com

duacutevidas pode passar informaccedilotildees complementares para determinados

22

educandos Pode adaptar a sua aula para o ritmo de cada educando Pode

procurar ajuda em outros colegas sobre problemas que surgem novos

programas para a sua aacuterea de conhecimento O processo de ensino-

aprendizagem pode ganhar assim um dinamismo inovaccedilatildeo e poder de

comunicaccedilatildeo inusitados

Daiacute segundo Marques (1986)

ldquoA relaccedilatildeo de ensino eacute uma relaccedilatildeo de comunicaccedilatildeo por

excelecircncia que visa formar e informar e instrumentos

que possam se encaixar nesta dinacircmica tecircm sempre a

possibilidade de servir ao ensino Livro viacutedeo fotografia

computadores e outros satildeo formas de comunicar

conhecimento e como tais interessam agrave educaccedilatildeordquo

(p17)

O re-encantamento em fim natildeo reside principalmente nas tecnologias -

cada vez mais sedutoras - mas em noacutes mesmos na capacidade em tornar-

nos pessoas plenas num mundo em grandes mudanccedilas e que nos solicita a

um consumismo devorador e pernicioso Eacute maravilhoso crescer evoluir

comunicar-se plenamente com tantas tecnologias de apoio Eacute frustrante por

outro lado constatar que muitos soacute utilizam essas tecnologias nas suas

dimensotildees mais superficiais alienantes ou autoritaacuterias O re-encantamento

em grande parte vai depender de noacutes

Sendo assim o uso de qualquer tecnologia no processo pedagoacutegico

conforme diz Haidt (2006) ldquoexige do educador uma reflexatildeo criacuteticardquo (p280)

Atraveacutes dessa reflexatildeo criacutetica o educador deve colocar as tecnologias como

aliadas para facilitar o seu trabalho docente Deve usaacute-las nos sentidos

culturais cientiacuteficos e tecnoloacutegicos de modo que os educandos adquiram

condiccedilotildees para enfrentar os problemas e buscar soluccedilotildees para viver no

mundo contemporacircneo Ao educador cabe o processo de decisatildeo e

conduccedilatildeo do aprendizado De acordo com Gadotti o educador deve ser um

aprendiz permanente e um organizador da aprendizagem Esclarecemos que

23

um ambiente de aprendizagem natildeo pode se transformar em mero transmissor

de informaccedilotildees mas na efetivaccedilatildeo da comunicaccedilatildeo e construccedilatildeo

colaborativa do conhecimento

Em concordacircncia com essas visotildees acredito nas possibilidades de

incorporaccedilatildeo mais significativa e mais criacutetica do uso das miacutedias dos jogos

sites programas na praacutetica pedagoacutegica do educador problematizando as

conexotildees entre as culturas existentes e os novos conhecimentos durante ou

poacutes-periacuteodo de conscientizaccedilatildeo familiarizaccedilatildeo e domiacutenio na utilizaccedilatildeo em

particular das redes de comunicaccedilotildees humanas quer tradicionais

(presencial correio telefone) quer as mais novas (fax e redes de

computadores) concretizando um desenvolvimento contiacutenuo de sua accedilatildeo e

reflexatildeo pedagoacutegica efetiva com vistas agrave formaccedilatildeo de cidadatildeos

questionadores que ajudem nas transformaccedilotildees necessaacuterias para a

construccedilatildeo de uma sociedade menos injusta e mais igualitaacuteria

24

CAPIacuteTULO IV

A aplicaccedilatildeo de tecnologias na Educaccedilatildeo Matemaacutetica

ldquocompreender eacute inventar ou reconstruir atraveacutes da reinvenccedilatildeo e seraacute

preciso curvar-se ante tais necessidades se o que se pretende para o futuro

eacute moldar indiviacuteduos capazes de produzir ou de criar e natildeo apenas repetirrdquo

(PIAGET 1988 p17)

Refletindo sobre o conhecimento matemaacutetico deparamo-nos com o

seguinte questionamento Como se daacute o conhecimento matemaacutetico em cada

indiviacuteduo Certamente no ensino-aprendizagem da Matemaacutetica essa eacute uma

questatildeo-chave a ser discutida pois a forma como o educador desenvolve as

suas accedilotildees pedagoacutegicas estaacute impregnada pela concepccedilatildeo que tem sobre

esse tema

Uma das maiores dificuldades no ensino-aprendizagem da educaccedilatildeo

matemaacutetica decorre do fato que muitos educadores consideram os conceitos

matemaacuteticos como objetos prontos natildeo percebendo que estes conceitos

devem ser construiacutedos pelos educandos De alguma maneira os educandos

devem vivenciar as mesmas dificuldades conceituais e superar os mesmos

obstaacuteculos epistemoloacutegicos encontrados pelos matemaacuteticos Solucionando

problemas discutindo conjecturas e meacutetodos ou seja tornando-se

conscientes de suas concepccedilotildees e dificuldades os educandos sofrem

importantes mudanccedilas em suas ideacuteias

Eacute necessaacuterio repensar o ensino e a aprendizagem colocando-se numa

postura de educador inovador criando situaccedilotildees significativas e

diferenciadas cabendo propiciar diferentes situaccedilotildees ldquoproblemasrdquo ao

educando O educando precisa ser motivado a envolver-se ativamente nesse

processo construindo o seu conhecimento a partir de muacuteltiplas interaccedilotildees

25

Segundo Freire (1996)

ldquoantes de qualquer tentativa de discussatildeo de teacutecnicas de

materiais de meacutetodos para uma aula dinacircmica assim eacute

preciso indispensaacutevel mesmo que o professor se ache

ldquorepousadordquo no saber de que a pedra fundamental eacute a

curiosidade do ser humano Eacute ela que me faz perguntar

conhecer atuar mais perguntar re-conhecerrdquo (p86)

O educador de matemaacutetica deve refletir quando a organizaccedilatildeo de um

trabalho estruturado atraveacutes de atividades que propiciem o desenvolvimento

de exploraccedilatildeo informal e investigaccedilatildeo reflexiva e que natildeo privem os

educando nas suas iniciativas e controle da situaccedilatildeo Este tambeacutem precisa

refletir quanto agrave formulaccedilatildeo de desafios que estimulem o questionamento a

colocaccedilatildeo de problemas e a busca de soluccedilatildeo Os educandos natildeo se tornam

ativos aprendizes por acaso mas por desafios propostos e estruturados que

visem agrave exploraccedilatildeo e investigaccedilatildeo

O educador deve ter consciecircncia de que a aprendizagem da Matemaacutetica

depende de accedilotildees que caracterizem o ldquofazer matemaacuteticardquo Experimentar

interpretar visualizar induzir conjecturar abstrair generalizar e enfim

demonstrar satildeo etapas relacionadas a toda aprendizagem matemaacutetica e

quando o educando coloca-se como sujeito ativo investigando explorando

orientado por um educador preparado para colocar-se na postura de

mediador a formalizaccedilatildeo e a concretizaccedilatildeo mental de conceitos tratam-se

simplesmente de uma consequecircncia do processo

A partir de todas as reflexotildees feitas acima apresentam-se a seguir

algumas teacutecnicas pedagoacutegicas que visam tornar possiacutevel atraveacutes da utilizaccedilatildeo

de ambientes informatizados com miacutedias variadas jogos e desafios aos

educandos apropriar-se de ideacuteias matemaacuteticas profundas e significativas pois

segundo Freire (1996) ldquoNatildeo tenho duacutevida nenhuma do enorme potencial de

estiacutemulos e desafios agrave curiosidade que a tecnologia potildee a serviccedilo das

crianccedilas e dos adolescentesrdquo (p87)

26

41 ndash Programas ilustrativos

Nos dias atuais com o advento da informaacutetica cresce o nuacutemero de

programas usados para o ensino e aprendizagem da matemaacutetica Disciplinas

como Caacutelculo Aacutelgebra Linear Estatiacutestica e algumas disciplinas da Fiacutesica

tambeacutem fazem uso de algum software em seu processo de ensino Jaacute natildeo eacute

de hoje que software eacute usado em escolas e faculdades

Seguem abaixo alguns exemplos desses programas que auxiliam no

ensino-aprendizagem da Matemaacutetica

411 ndash Cabri-Geacuteomegravetre II

O Cabri-Geacuteomegravetre eacute um software didaacutetico que foi desenvolvido com o

objetivo de auxiliar no estudo da Geometria Foi desenvolvido na Franccedila a

partir da deacutecada de 80 no Instituto de Informaacutetica e Matemaacutetica Aplicada da

Universidade Joseph Fourier de Grenoble por um grupo multidisciplinar

formado por educadores psicoacutelogos matemaacuteticos e cientistas da

computaccedilatildeo Atualmente o Cabri eacute utilizado em mais de 40 paiacuteses traduzido

em mais de 20 idiomas

A palavra Cabri eacute na verdade uma sigla que representa a expressatildeo

Cahier de brouillon interactif que ao ser traduzida significa caderno de

rascunho interativo Daiacute temos entatildeo que a interatividade eacute a principal

caracteriacutestica deste programa permitindo assim criaccedilatildeo de objetos

matemaacuteticos na tela do computador e a manipulaccedilatildeo direta sobre os

mesmos

O Cabri permite construir e explorar as figuras da Geometria

elementar Tudo que se faz com um laacutepis reacutegua e compasso em um papel

pode ser feito no Cabri com o grande diferencial do movimento ndash e eacute esse

diferencial que permite ao educador desmistificar determinados conceitos que

27

na maioria das vezes satildeo complicados para o aluno Em questatildeo de

segundos a partir de um uacutenico desenho pode-se ter inuacutemeros triacircngulos

desenhados na tela do computador (diferentes visualizaccedilotildees de um triacircngulo

desenhado inicialmente e modificado de forma dinacircmica) portanto pode-se

explorar o que eacute imutaacutevel nas figuras Natildeo basta apenas desenhar uma

figura eacute preciso preservar as relaccedilotildees geomeacutetricas que existem Por

exemplo pode-se desenhar um quadrado fazendo um traccedilado cuidadoso

verificando suas medidas poreacutem soacute seraacute de fato um quadrado se ao ser

movimentado continuar com as propriedades de um quadrado

As figuras nele construiacutedas podem ser deformadas a partir do

deslocamento de seus elementos de base ou ainda com opccedilotildees de

animaccedilatildeo conservando-se suas propriedades Eacute possiacutevel marcar e medir

acircngulos distacircncias aacutereas de superfiacutecies e observar as alteraccedilotildees em tempo

real durante a manipulaccedilatildeo dinacircmica das figuras

As possibilidades oferecidas pelo Cabri demonstram a preocupaccedilatildeo

fundamental que originou a sua concepccedilatildeo auxiliar o educando na

construccedilatildeo do seu conhecimento Nas atividades propostas aos educandos

no sentido de solucionar um problema utilizando o Cabri apoacutes a efetivaccedilatildeo

de uma construccedilatildeo uma exploraccedilatildeo da figura acontece Isso pode levar agrave

formulaccedilatildeo de uma conjectura a qual vai-se procurar verificar sobre

diferentes configuraccedilotildees e depois validar (busca de um contra-exemplo) e

enfim demonstrar formalmente Os passos de construccedilatildeo e exploraccedilatildeo da

figura podem ser feitos no Cabri o que levaraacute o educando a formular uma

conjectura A verificaccedilatildeo e a validaccedilatildeo dessa conjectura tambeacutem podem ser

feitas no Cabri

O suporte oferecido pelo programa natildeo soacute ajuda na superaccedilatildeo dos

obstaacuteculos inerentes ao proacuteprio processo de construccedilatildeo do conhecimento

matemaacutetico como pode tambeacutem acelerar e enriquecer esse processo Faz-se

importante destacar ainda que o Cabri permite rever todos os passos

utilizados pelo educando na construccedilatildeo geomeacutetrica realizada permitindo ao

educador percorrer o caminho jaacute trilhado pelo aluno e quando houver

28

dificuldades identificar o ponto em que isso ocorreu e assim intervir

apropriadamente

412 ndash Winplot

Desenvolvido pelo professor Richard Parris (Rick) da Philips Exeter

Academy por volta de 1985 Escrito em linguagem C chamava-se PLOT e

rodava no antigo DOS Com o lanccedilamento do Windows 31 o programa foi

rebatizado de Winplot A versatildeo para o Windows 98 surgiu em 2001 e estaacute

escrita em linguagem C++

Aleacutem da versatildeo original em inglecircs o Winplot possui versotildees em mais

seis idiomas incluindo o portuguecircs No Brasil o trabalho de traduccedilatildeo resultou

da iniciativa e empenho de Adelmo Ribeiro de Jesus professor Baiano uma

oacutetima traduccedilatildeo que facilitou muito o uso do programa

Uma de suas vantagens eacute a de ser um ldquoprograma leverdquo funciona em

computadores antigos tambeacutem sem perder sua eficiecircncia ou rapidez pode

ser usado em todos os niacuteveis educacionais e possui recursos que variam de

uma simples funccedilatildeo de 1ordm grau ateacute funccedilotildees do 3ordm grau integrais de todos os

tipos Eacute um oacutetimo plotador de graacuteficos e possui uma interface graacutefica muito

boa que dispensa que os usuaacuterios decorem comandos para utilizaacute-lo

Este software traz uma exploraccedilatildeo das funccedilotildees em duas e trecircs

dimensotildees com a forma de enuciados que natildeo difere muito da forma vista

em sala de aula

O Winplot eacute um freeware o que significa que eacute gratuito e ainda mais

cabe em um disquete

413 ndash Graphmatica

O Graphmatica eacute um aplicativo que trabalha com duas dimensotildees foi

um software foi criado por Keith Hertzer um bacharel em Engenharia Eleacutetrica

29

e Ciecircncia da Computaccedilatildeo sendo capaz de representar graficamente funccedilotildees

de qualquer grau funccedilotildees exponenciais logariacutetmicas trigonomeacutetricas

hiperboacutelicas etc Tambeacutem eacute uacutetil no Caacutelculo Diferencial e Integral hachura

aacutereas para ilustrarem integrais desenha graacuteficos de derivadas e cria graacuteficos

de equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias Possibilita assim aplicaccedilotildees diversas

em Matemaacutetica O Graphmatica eacute versaacutetil uma vez que possibilita em

trigonometria trabalhar com o acircngulo em graus ou em radianos Aleacutem disso

os graacuteficos podem ser representados com coordenadas cartesianas ou em

polares facilitando a criaccedilatildeo de figuras que envolvam funccedilotildees

trigonomeacutetricas Eacute permitida a construccedilatildeo por paracircmetros (retas parameacutetricas

por exemplo) e inequaccedilotildees satildeo representadas muito facilmente

Eacute ambiente para plotagem de equaccedilotildees funccedilotildees e derivada de funccedilotildees

desigualdade no plano cartesiano curvas parameacutetricas e polares Trabalha

com coordenadas cartesianas coordenadas polares e escalas logariacutetmicas

Tem o recurso de muacuteltiplas representaccedilotildees expressatildeo analiacutetica graacuteficos

podendo plotar ateacute vinte e cinco graacuteficos simultaneamente e tabelas Permite

a construccedilatildeo de famiacutelias de funccedilotildees e o recurso de muacuteltiplas representaccedilotildees

viabiliza exploraccedilotildees algeacutebricas e geomeacutetricas simultaneamente Calcula

derivada de funccedilatildeo simbolicamente e numericamente e plota a reta tangente

agrave curva num dado ponto tambeacutem calcula numericamente integral definida

atraveacutes de diferentes meacutetodos desenhando no graacutefico as regiotildees poligonais

correspondentes com possibilidade de escolha da particcedilatildeo

414 ndash Lathe e Poly

Satildeo destacados aqui dois programas que aleacutem de serem de faacutecil

utilizaccedilatildeo tambeacutem satildeo gratuitos Tais programas foram desenvolvidos com o

intuito de desenvolver o ensino-aprendizagem da geometria espacial

O primeiro abordado seraacute o Lathe desenvolvido para com intuito de

auxiliar na construccedilatildeo e visualizaccedilatildeo de soacutelidos geomeacutetricos A partir de um

desenho em duas dimensotildees o software gera o objeto tridimensional Tal

30

objeto pode ser visualizado em aramado ou preenchido com cores a serem

escolhidas em vaacuterias fatias por vaacuterios acircngulos podendo-se rotacionaacute-lo

completamente e em escala Aleacutem disso pode-se ter sobre ele o efeito de

uma luz (que tambeacutem pode ter cores diferentes) que pode incidir no objeto a

partir dos diferentes pontos distantes selecionados

O outro software apresentado eacute o Poly Esse programa apresenta

vaacuterias categorias de soacutelidos geomeacutetricos e a partir da escolha do usuaacuterio

permite que se visualize sua superfiacutecie planificada diretamente ou atraveacutes de

animaccedilatildeo Possibilita a escolha de cores e impressatildeo

42 - Atividades de Exploraccedilatildeo

Ao educando eacute apresentado um modelo jaacute pronto o qual deve ser

explorado entendido analisado Natildeo satildeo suas ideacuteias que ali estatildeo

representadas e portanto existe o desafio intelectual de compreendecirc-las A

proacutepria compreensatildeo do modelo o entendimento dos princiacutepios de

construccedilatildeo jaacute satildeo por si soacute estiacutemulos ao raciociacutenio que favorecem a

construccedilatildeo de relaccedilotildees e conceitos

Nesta pesquisa natildeo foi propoacutesito a anaacutelise de ferramentas mais gerais

Satildeo os programas de caacutelculo simboacutelico (Mathematica Mapple) ou planilhas

eletrocircnicas (Excel Lotus) ou ainda linguagens de programaccedilatildeo Isto

porque embora sendo potentes ferramentas para a realizaccedilatildeo de caacutelculos

matemaacuteticos ou plotagem de graacuteficos ou implementaccedilatildeo de algoritmos natildeo

foram projetados com propoacutesitos educativos no sentido de oferecem

recursos que auxiliem o aluno na construccedilatildeo de conhecimento e superaccedilatildeo

de dificuldades Por exemplo com um programa de caacutelculo simboacutelico um

educando pode calcular eficientemente a derivada ou integral de uma funccedilatildeo

sem necessariamente estar entendendo os significados de tais conceitos Um

trabalho de adaptaccedilatildeo orientado por propoacutesitos pedagoacutegicos ateacute pode ser

31

feito mas certamente natildeo eacute simples e estaacute eacute uma questatildeo que vem sendo

objeto de pesquisa

Vale ressaltar que durante esta pesquisa verificou-se a existecircncia de

algumas linguagens de programaccedilatildeo que tambeacutem auxiliam no ensino-

aprendizagem da Matemaacutetica Dentre as linguagens de programaccedilatildeo deve-se

excetuar a linguagem Logo projetada a partir de princiacutepios pedagoacutegicos

construtivistas Seu potencial estaacute amplamente documentado em pesquisas

(Hoyles Noss Sutherland Edwards e outros) e transparece claramente nas

palavras de Papert (1994)

programar a tartaruga comeccedila com a reflexatildeo sobre

como noacutes fazemos o que gostariacuteamos que ela fizesse

assim ensinaacute-la a agir ou lsquopensarrsquo pode levar-nos a

refletir sobre nossas proacuteprias accedilotildees ou pensamentos E

a medida que as crianccedilas progridem passam a

programar o computador para tomar decisotildees mais

complexas e acabam engajando-se na reflexatildeo de

aspectos mais complexos do seu proacuteprio pensamento

(p38)

43 ndash Atividades Luacutedicas de Raciociacutenio Loacutegico

O ensino da Matemaacutetica estaacute diretamente ligado ao desenvolvimento de

atividades luacutedicas no intuito de estimular as crianccedilas e os jovens Com a

implantaccedilatildeo dos jogos no cotidiano do educando verificou-se uma evoluccedilatildeo

no aprendizado da Matemaacutetica Os PCNrsquos defendem e indicam a utilizaccedilatildeo de

ferramentas luacutedicas na educaccedilatildeo pois eles valorizam a criatividade do

educando a partir do momento que a procura pela soluccedilatildeo eacute desenvolvida de

32

forma livre Cada educando apresenta sua forma de resoluccedilatildeo com todos

chegando agrave resposta ideal

Existem inuacutemeros jogos e desafios cujo objetivo eacute desenvolver o

raciociacutenio loacutegico devendo entatildeo o usuaacuterio estabelecer estrateacutegias para a

resoluccedilatildeo dos problemas propostos Alguns exemplos satildeo os jogos de

encaixe de peccedilas as torres de Hanoacutei os desafios de movimentaccedilatildeo tais

como resta um cubo maacutegico Outros materiais interessantes para qualquer

idade encontrados na Internet satildeo os desafios loacutegicos

O jogo eacute uma experiecircncia de aprendizagem que pelo seu caraacuteter

motivador deveria estar mais presente na aula de Matemaacutetica Ao longo dos

anos vaacuterios foram os objetivos da aplicaccedilatildeo dos jogos e tambeacutem desafios em

sala de aula como desenvolver o raciociacutenio loacutegico desenvolver a agilidade

mas na verdade esta atividade se traduz numa atividade de construccedilatildeo de

conhecimento e de desenvolvimento de motivaccedilatildeo para aprendizagem

Associando esta atividade de jogos ao mundo digital atual temos hoje

vaacuterias atividades luacutedicas e pedagoacutegicas em meio digital que podem ser

encontradas com relativa facilidade ndash cabe ao educador avaliar a relevacircncia e

o momento apropriado para oportunizaacute-las aos seus educandos

33

CONCLUSAtildeO

Para alcanccedilar os objetivos exigidos pela contemporaneidade com

relaccedilatildeo agrave educaccedilatildeo eacute necessaacuterio aprimorar o conhecimento sobre esse

processo A escola deveraacute trabalhar mais a capacidade de aprender do

educando do que a informaccedilatildeo pronta Na medida que o homem cria recria e

decide vai formando as eacutepocas histoacutericas E eacute criando recriando e decidindo

que ele participa dessas eacutepocas Eacute necessaacuterio dar-se oportunidade para que

o educando seja ele mesmo A educaccedilatildeo deve ser desinibidora e natildeo

restritiva pois em todo homem existe um iacutempeto criador

Eacute necessaacuterio desenvolver uma consciecircncia criacutetica para permitir ao

homem transformar a realidade O futuro baseia-se no passado e no

presente Precisamos saber o que fomos e o que somos para saber o que

seremos Para isso satildeo necessaacuterias algumas caracteriacutesticas para que se

desenvolva uma consciecircncia criacutetica tais como

bull Aceitar que a realidade eacute mutaacutevel

bull Aceitar o novo na medida em que seja vaacutelido

bull Livrar-se de preconceitos

bull Substituir explicaccedilotildees maacutegicas por princiacutepios autecircnticos

bull Testar as descobertas sempre que possiacutevel

bull Procurar o diaacutelogo

A pesquisa eacute uma atividade em que tanto educandos como educadores

devem estar sempre mergulhados buscando os porquecircs A pesquisa deve

ser trabalhada como modo de educar indicando a necessidade da educaccedilatildeo

ser questionadora e informadora O educador que insistir no seu papel de

fonte e transmissor de conhecimento estaacute fadado a ser dispensado pelos

34

educandos pela escola e pela sociedade em geral O novo papel do

educador seraacute o de gerenciar de facilitar o processo de aprendizagem e

naturalmente de interagir com o educando na produccedilatildeo criacutetica de novos

conhecimentos e isso eacute essencialmente o que justifica a pesquisa

Como em toda atividade a avaliaccedilatildeo eacute necessaacuteria Esta deveria ser uma

autocriacutetica do progresso atingido Pois aprende-se tentando refletindo

testando hipoacuteteses e errando e natildeo simplesmente punindo o erro

O educador ao iniciar sua carreira vai fazer na sala de aula

basicamente o que ele viu algueacutem que o impressionou fazer E vai deixar de

fazer algo que viu e natildeo aprovou

A educaccedilatildeo atualmente passa por um processo de renovaccedilatildeo de

espaccedilos e de valores tendo como ponto de partida todas as mudanccedilas

ocorridas na sociedade A escola como instituiccedilatildeo integrante e atuante dessa

sociedade e desencadeadora do saber sistematizado natildeo pode ficar a

margem deste dinamismo O padratildeo educativo vigente apresenta divisotildees

seriaccedilotildees conteuacutedos preestabelecidos carga horaacuteria calendaacuterios etc e

permanece quase sempre inalteraacutevel O tempo destinado agrave criaccedilatildeo a

interpretaccedilatildeo a reflexatildeo e a descoberta de novas tecnologias aleacutem de

escasso nem sempre eacute aproveitado de maneira racional contudo fora da

escola educandos e educadores estatildeo constantemente em contato com

tecnologias cada vez mais avanccediladas

Questotildees como essas nos levam a perceber a possibilidade de uma

nova postura no processo de ensinar e aprender tomando como premissa o

fato de que miacutedias jogos desafios loacutegicos e educaccedilatildeo matemaacutetica natildeo

podem mais ser dissociada

A missatildeo de educador eacute preparar as novas geraccedilotildees para o mundo em

que iratildeo viver por isso eacute de suma importacircncia desenvolver a criatividade do

educando

Criatividade para adaptar-se a novas situaccedilotildees da vida

35

A educaccedilatildeo natildeo pode ficar longe do uso da tecnologia e ela sugere

transformaccedilotildees substanciais no funcionamento da escola e da sala de aula A

tecnologia sozinha natildeo resolveraacute o problema da aprendizagem mas poderaacute

enriquecer seus ambientes despertar a curiosidade do educando agilizar

todo e qualquer processo de comunicaccedilatildeo e oportunizar a iteraccedilatildeo entre

educandosxeducandos educandosxeducadores e educadoresxeducadores

O educador deve olhar os tempos atuais com uma nova perspectiva e

se habilitar ao uso das novas ferramentas A tecnologia sozinha natildeo garante

a participaccedilatildeo real mas pode servir de apoio ao projeto pedagoacutegico que foca

a aprendizagem ligada a ao dia-a-dia do educando a sua vida como um todo

Eacute imprescindiacutevel que o educador perceba e saiba a importacircncia dos

recursos tecnoloacutegicos e didaacuteticos para o bom desempenho e eficaacutecia do

trabalho escolar A tecnologia aleacutem de renovar o processo de ensino-

aprendizagem pode propiciar o desenvolvimento integral do educando

valorizando o seu lado social emocional criacutetico e ainda deixar margens para

a exploraccedilatildeo de nova possibilidades de criaccedilatildeo

Portanto os recursos tecnoloacutegicos servem para explorar novas

possibilidades pedagoacutegicas e contribuir para uma melhoria do trabalho

docente em sala de aula valorizando o aluno como sujeito do processo

educativo

Esta pesquisa foi realizada com o objetivo de analisar a forma de

atuaccedilatildeo do educador matemaacutetico frente agraves inovaccedilotildees do mundo atual

verificando assim as metodologias e tecnologias utilizadas em sala de aula e

fora dela sempre levando em consideraccedilatildeo a aceitaccedilatildeo rejeiccedilatildeo e

principalmente a compreensatildeo da Matemaacutetica

Esta pesquisa visou propor alternativas e sugestotildees para que a

aprendizagem da Matemaacutetica possa se efetivar ajudando-os a compreender

melhor o mundo em que vivem desenvolvendo o espiacuterito criativo o raciociacutenio

loacutegico e o modo de pensar matemaacutetico

36

Nesta pesquisa a partir do estabelecimento de relaccedilotildees entre

aprendizagem e processos cognitivos procurou-se evidenciar o quanto certas

miacutedias jogos desafios teacutecnicas pedagoacutegicas satildeo ferramentas de grande

potencial nos processos de ensino-aprendizagem O que se pretendeu

destacar foi a quatildeo natural e intensa se tornam com estas teacutecnicas e

tecnologias as accedilotildees reflexotildees e abstraccedilotildees dos aprendizes Estas

estrateacutegias pedagoacutegicas natildeo soacute ajudam a superaccedilatildeo dos obstaacuteculos

inerentes ao proacuteprio processo de construccedilatildeo do conhecimento matemaacutetico

mas tambeacutem podem acelerar o processo de apropriaccedilatildeo de conhecimento

Conforme os ambientes tornam-se mais ricos nos seus recursos mais

acessiacuteveis vatildeo se tornando aos educandos ideacuteias matemaacuteticas significativas

e profundas

Mas as diversas tecnologias e praacuteticas pedagoacutegicas na forma que se

apresentam hoje por si soacute natildeo garantem a construccedilatildeo do conhecimento

Para que haja avanccedilo no conhecimento matemaacutetico eacute importante que o

educador projete as atividades a serem desenvolvidas Uma tarefa difiacutecil eacute

conciliar o que se julga importante a ser aprendido (e eacute matemaacutetica

socialmente aceita que fornece os paracircmetros para tal) com a liberdade de

accedilatildeo do aluno Assim por exemplo se o objetivo eacute o aprendizado da

Geometria atividades devem ser projetadas para tal Natildeo basta colocar a

disposiccedilatildeo do educando um programa de construccedilatildeo em Geometria o

educando certamente vai aprender alguma coisa Mas a apropriaccedilatildeo de

ideacuteias matemaacuteticas significativas nem sempre acontecem de forma

espontacircnea mesmo nestes ambientes e assim um trabalho de orientaccedilatildeo

por parte do educador se faz necessaacuterio Satildeo os desafios propostos pelo

educador que vatildeo orientar o trabalho desafios estes que se tornam de

genuiacuteno interesse dos educandos desde que natildeo sejam eles privados de

suas accedilotildees e exploraccedilotildees

Pode-se dizer que as tecnologias os jogos os desafios loacutegicos

apresentam-se ainda como simples ferramentas de suporte ao processo de

ensino e aprendizagem Estaacute-se procurando mudanccedila nos meacutetodos a partir

37

da incorporaccedilatildeo dos novos recursos Eacute dentro deste espiacuterito que esta

pesquisa se insere O primeiro passo natural em todo momento de transiccedilatildeo

eacute a adaptaccedilatildeo do antigo ao novo ainda que de forma um tanto tiacutemido Isto se

percebe tanto na forma como estatildeo sendo concebidas tais tecnologias jogos

etc como na forma como estatildeo sendo incorporados ao processo educativo A

efetiva utilizaccedilatildeo destes eacute um grande desafio

Eacute um desafio que envolve aspectos como a proacutepria seleccedilatildeo de tais

tecnologias jogos etc a formaccedilatildeo de professores e novas propostas

curriculares Mas por outro lado natildeo eacute difiacutecil pensar num futuro para a

educaccedilatildeo em que todos esses meacutetodos recursos e praacuteticas pedagoacutegicas vatildeo

ultrapassar sua funccedilatildeo de simples ferramentas de apoio ao pensar na forma

que a psicologia cognitiva hoje explica passando entatildeo a ter papel

fundamental no proacuteprio desenvolvimento de novas capacidades cognitivas do

indiviacuteduo ainda hoje natildeo imaginada E com consequecircncias sobre a proacutepria

natureza do conhecimento e do conhecimento matemaacutetico em particular

38

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40

LARA Isabel Cristina Machado de Jogando com a Matemaacutetica de 5ordf a 8ordf

seacuterie Satildeo Paulo Recircspel 2003

LIBAcircNEO Joseacute Carlos Didaacutetica Satildeo Paulo Cortez 1990

MARQUES Cristina MATTOS MIsabel e LA TAILLE Yves de Computador

e ensino Satildeo Paulo Aacutetica 1986

PAPERT S A Maacutequina das crianccedilas repensando a escola na era da

Informaacutetica Porto Alegre Artes Meacutedicas 1994

PIAGET Jean Para onde vai a educaccedilatildeo 10 ordf Ediccedilatildeo Rio de Janeiro Joseacute

Olympio 1988

RIZZO Gilda Jogos Inteligentes a construccedilatildeo do raciociacutenio a escola natural

Rio de Janeiro Bertrand Brasil 1996

41

IacuteNDICE

FOLHA DE ROSTO 2

AGRADECIMENTO 3

DEDICATOacuteRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III

A praacutetica pedagoacutegica e as diversas tecnologias 19

CAPIacuteTULO IV

A aplicaccedilatildeo de tecnologias na Educaccedilatildeo Matemaacutetica 23

41 ndash Programas ilustrativos 25

411 ndash Cabri-Geacuteomegravetre II 25

412 ndash Winplot 27

413 ndash Graphmatica 27

414 ndash Lathe e Poly 28

42 ndash Atividades de Exploraccedilatildeo 29

43 ndash Atividades Luacutedicas de Raciociacutenio Loacutegico 30

CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

42

FOLHA DE AVALIACcedilAtildeO

Nome da Instituiccedilatildeo Universidade Cacircndido Mendes

Tiacutetulo da Monografia Matemaacutetica Novos caminhos e novas

praacuteticas pedagoacutegicas

Autor Flavia Costa Lima Ferreira

Data da entrega 16072010

Avaliado por Conceito

AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO

CAPIacuteTULO I- Didaacutetica o desafio do ensino-aprendizagem da contemporaneidade


aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


2





PEDAGOacuteGICAS

Apresentaccedilatildeo de monografia agrave Universidade

Candido Mendes como requisito parcial para

obtenccedilatildeo do grau de especialista em Docecircncia do

Ensino Superior


3

AGRADECIMENTOS







aprendemos juntas

4

DEDICATOacuteRIA




formaccedilatildeo

5

RESUMO
























alunos

6

METODOLOGIA




























7













8

SUMAacuteRIO





aprendizagem 16



CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


9



























10
































11






(p18-19)













12

CAPIacuteTULO I


contemporaneidade




2001 p46)















ensinar surgiram





13











era reproduzido

















(p 26)



14



















pronta e acabada












15



















ensino-aprendizagem








aprendizagem



16







17

CAPIacuteTULO II


Aprendizagem


(FREIRE 1996 p77)





















18






























19

























com o mundo real

20

CAPIacuteTULO III
























21
































22













(p17)


















23















24

CAPIacuteTULO IV





(PIAGET 1988 p17)






esse tema















25































26






















mesmos





27

























feitas no Cabri







28


apropriadamente

412 ndash Winplot


















em sala de aula


cabe em um disquete




29






























30




























31


objeto de pesquisa
















(p38)








32



















33

CONCLUSAtildeO

























34




























educando


35




















educativo










36












e profundas




















37
















38





1993






1998











39

BIBLIOGRAFIA CITADA













1980




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Olympio 1988



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IacuteNDICE

FOLHA DE ROSTO 2

AGRADECIMENTO 3

DEDICATOacuteRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


3

AGRADECIMENTOS







aprendemos juntas

4

DEDICATOacuteRIA




formaccedilatildeo

5

RESUMO
























alunos

6

METODOLOGIA




























7













8

SUMAacuteRIO





aprendizagem 16



CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


9



























10
































11






(p18-19)













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CAPIacuteTULO I


contemporaneidade




2001 p46)















ensinar surgiram





13











era reproduzido

















(p 26)



14



















pronta e acabada












15



















ensino-aprendizagem








aprendizagem



16







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CAPIacuteTULO II


Aprendizagem


(FREIRE 1996 p77)





















18






























19

























com o mundo real

20

CAPIacuteTULO III
























21
































22













(p17)


















23















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CAPIacuteTULO IV





(PIAGET 1988 p17)






esse tema















25































26






















mesmos





27

























feitas no Cabri







28


apropriadamente

412 ndash Winplot


















em sala de aula


cabe em um disquete




29






























30




























31


objeto de pesquisa
















(p38)








32



















33

CONCLUSAtildeO

























34




























educando


35




















educativo










36












e profundas




















37
















38





1993






1998











39

BIBLIOGRAFIA CITADA













1980




40









Olympio 1988



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IacuteNDICE

FOLHA DE ROSTO 2

AGRADECIMENTO 3

DEDICATOacuteRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


4

DEDICATOacuteRIA




formaccedilatildeo

5

RESUMO
























alunos

6

METODOLOGIA




























7













8

SUMAacuteRIO





aprendizagem 16



CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


9



























10
































11






(p18-19)













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CAPIacuteTULO I


contemporaneidade




2001 p46)















ensinar surgiram





13











era reproduzido

















(p 26)



14



















pronta e acabada












15



















ensino-aprendizagem








aprendizagem



16







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CAPIacuteTULO II


Aprendizagem


(FREIRE 1996 p77)





















18






























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com o mundo real

20

CAPIacuteTULO III
























21
































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(p17)


















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CAPIacuteTULO IV





(PIAGET 1988 p17)






esse tema















25































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mesmos





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feitas no Cabri







28


apropriadamente

412 ndash Winplot


















em sala de aula


cabe em um disquete




29






























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objeto de pesquisa
















(p38)








32



















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CONCLUSAtildeO

























34




























educando


35




















educativo










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e profundas




















37
















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1993






1998











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BIBLIOGRAFIA CITADA













1980




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Olympio 1988



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IacuteNDICE

FOLHA DE ROSTO 2

AGRADECIMENTO 3

DEDICATOacuteRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


5

RESUMO
























alunos

6

METODOLOGIA




























7













8

SUMAacuteRIO





aprendizagem 16



CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


9



























10
































11






(p18-19)













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CAPIacuteTULO I


contemporaneidade




2001 p46)















ensinar surgiram





13











era reproduzido

















(p 26)



14



















pronta e acabada












15



















ensino-aprendizagem








aprendizagem



16







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CAPIacuteTULO II


Aprendizagem


(FREIRE 1996 p77)





















18






























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com o mundo real

20

CAPIacuteTULO III
























21
































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(p17)


















23















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CAPIacuteTULO IV





(PIAGET 1988 p17)






esse tema















25































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mesmos





27

























feitas no Cabri







28


apropriadamente

412 ndash Winplot


















em sala de aula


cabe em um disquete




29






























30




























31


objeto de pesquisa
















(p38)








32



















33

CONCLUSAtildeO

























34




























educando


35




















educativo










36












e profundas




















37
















38





1993






1998











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BIBLIOGRAFIA CITADA













1980




40









Olympio 1988



41

IacuteNDICE

FOLHA DE ROSTO 2

AGRADECIMENTO 3

DEDICATOacuteRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


6

METODOLOGIA




























7













8

SUMAacuteRIO





aprendizagem 16



CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


9



























10
































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CAPIacuteTULO I


contemporaneidade




2001 p46)















ensinar surgiram





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era reproduzido

















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14



















pronta e acabada












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ensino-aprendizagem








aprendizagem



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CAPIacuteTULO II


Aprendizagem


(FREIRE 1996 p77)





















18






























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com o mundo real

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CAPIacuteTULO III
























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CAPIacuteTULO IV





(PIAGET 1988 p17)






esse tema















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mesmos





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feitas no Cabri







28


apropriadamente

412 ndash Winplot


















em sala de aula


cabe em um disquete




29






























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31


objeto de pesquisa
















(p38)








32



















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CONCLUSAtildeO

























34




























educando


35




















educativo










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e profundas




















37
















38





1993






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BIBLIOGRAFIA CITADA













1980




40









Olympio 1988



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IacuteNDICE

FOLHA DE ROSTO 2

AGRADECIMENTO 3

DEDICATOacuteRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


7













8

SUMAacuteRIO





aprendizagem 16



CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


9



























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CAPIacuteTULO I


contemporaneidade




2001 p46)















ensinar surgiram





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era reproduzido

















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14



















pronta e acabada












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ensino-aprendizagem








aprendizagem



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CAPIacuteTULO II


Aprendizagem


(FREIRE 1996 p77)





















18






























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com o mundo real

20

CAPIacuteTULO III
























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(p17)


















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CAPIacuteTULO IV





(PIAGET 1988 p17)






esse tema















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mesmos





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feitas no Cabri







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apropriadamente

412 ndash Winplot


















em sala de aula


cabe em um disquete




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31


objeto de pesquisa
















(p38)








32



















33

CONCLUSAtildeO

























34




























educando


35




















educativo










36












e profundas




















37
















38





1993






1998











39

BIBLIOGRAFIA CITADA













1980




40









Olympio 1988



41

IacuteNDICE

FOLHA DE ROSTO 2

AGRADECIMENTO 3

DEDICATOacuteRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

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AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


8

SUMAacuteRIO





aprendizagem 16



CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


9



























10
































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(p18-19)













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CAPIacuteTULO I


contemporaneidade




2001 p46)















ensinar surgiram





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era reproduzido

















(p 26)



14



















pronta e acabada












15



















ensino-aprendizagem








aprendizagem



16







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CAPIacuteTULO II


Aprendizagem


(FREIRE 1996 p77)





















18






























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com o mundo real

20

CAPIacuteTULO III
























21
































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(p17)


















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CAPIacuteTULO IV





(PIAGET 1988 p17)






esse tema















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mesmos





27

























feitas no Cabri







28


apropriadamente

412 ndash Winplot


















em sala de aula


cabe em um disquete




29






























30




























31


objeto de pesquisa
















(p38)








32



















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CONCLUSAtildeO

























34




























educando


35




















educativo










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e profundas




















37
















38





1993






1998











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BIBLIOGRAFIA CITADA













1980




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Olympio 1988



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IacuteNDICE

FOLHA DE ROSTO 2

AGRADECIMENTO 3

DEDICATOacuteRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


9



























10
































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(p18-19)













12

CAPIacuteTULO I


contemporaneidade




2001 p46)















ensinar surgiram





13











era reproduzido

















(p 26)



14



















pronta e acabada












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ensino-aprendizagem








aprendizagem



16







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CAPIacuteTULO II


Aprendizagem


(FREIRE 1996 p77)





















18






























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com o mundo real

20

CAPIacuteTULO III
























21
































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(p17)


















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CAPIacuteTULO IV





(PIAGET 1988 p17)






esse tema















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mesmos





27

























feitas no Cabri







28


apropriadamente

412 ndash Winplot


















em sala de aula


cabe em um disquete




29






























30




























31


objeto de pesquisa
















(p38)








32



















33

CONCLUSAtildeO

























34




























educando


35




















educativo










36












e profundas




















37
















38





1993






1998











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BIBLIOGRAFIA CITADA













1980




40









Olympio 1988



41

IacuteNDICE

FOLHA DE ROSTO 2

AGRADECIMENTO 3

DEDICATOacuteRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


10
































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(p18-19)













12

CAPIacuteTULO I


contemporaneidade




2001 p46)















ensinar surgiram





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era reproduzido

















(p 26)



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pronta e acabada












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ensino-aprendizagem








aprendizagem



16







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CAPIacuteTULO II


Aprendizagem


(FREIRE 1996 p77)





















18






























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com o mundo real

20

CAPIacuteTULO III
























21
































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(p17)


















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CAPIacuteTULO IV





(PIAGET 1988 p17)






esse tema















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mesmos





27

























feitas no Cabri







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apropriadamente

412 ndash Winplot


















em sala de aula


cabe em um disquete




29






























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objeto de pesquisa
















(p38)








32



















33

CONCLUSAtildeO

























34




























educando


35




















educativo










36












e profundas




















37
















38





1993






1998











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BIBLIOGRAFIA CITADA













1980




40









Olympio 1988



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IacuteNDICE

FOLHA DE ROSTO 2

AGRADECIMENTO 3

DEDICATOacuteRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


11






(p18-19)













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CAPIacuteTULO I


contemporaneidade




2001 p46)















ensinar surgiram





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era reproduzido

















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pronta e acabada












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ensino-aprendizagem








aprendizagem



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CAPIacuteTULO II


Aprendizagem


(FREIRE 1996 p77)





















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com o mundo real

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CAPIacuteTULO III
























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CAPIacuteTULO IV





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esse tema















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mesmos





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feitas no Cabri







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apropriadamente

412 ndash Winplot


















em sala de aula


cabe em um disquete




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30




























31


objeto de pesquisa
















(p38)








32



















33

CONCLUSAtildeO

























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educando


35




















educativo










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e profundas




















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BIBLIOGRAFIA CITADA













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Olympio 1988



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IacuteNDICE

FOLHA DE ROSTO 2

AGRADECIMENTO 3

DEDICATOacuteRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

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AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


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CAPIacuteTULO I


contemporaneidade




2001 p46)















ensinar surgiram





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era reproduzido

















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pronta e acabada












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ensino-aprendizagem








aprendizagem



16







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CAPIacuteTULO II


Aprendizagem


(FREIRE 1996 p77)





















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com o mundo real

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CAPIacuteTULO III
























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(p17)


















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CAPIacuteTULO IV





(PIAGET 1988 p17)






esse tema















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mesmos





27

























feitas no Cabri







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apropriadamente

412 ndash Winplot


















em sala de aula


cabe em um disquete




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objeto de pesquisa
















(p38)








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CONCLUSAtildeO

























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educando


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educativo










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e profundas




















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1993






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BIBLIOGRAFIA CITADA













1980




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Olympio 1988



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IacuteNDICE

FOLHA DE ROSTO 2

AGRADECIMENTO 3

DEDICATOacuteRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

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AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


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era reproduzido

















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pronta e acabada












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ensino-aprendizagem








aprendizagem



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CAPIacuteTULO II


Aprendizagem


(FREIRE 1996 p77)





















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com o mundo real

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CAPIacuteTULO III
























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CAPIacuteTULO IV





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mesmos





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feitas no Cabri







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apropriadamente

412 ndash Winplot


















em sala de aula


cabe em um disquete




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objeto de pesquisa
















(p38)








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CONCLUSAtildeO

























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educando


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educativo










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e profundas




















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1993






1998











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BIBLIOGRAFIA CITADA













1980




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Olympio 1988



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IacuteNDICE

FOLHA DE ROSTO 2

AGRADECIMENTO 3

DEDICATOacuteRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


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pronta e acabada












15



















ensino-aprendizagem








aprendizagem



16







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CAPIacuteTULO II


Aprendizagem


(FREIRE 1996 p77)





















18






























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com o mundo real

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CAPIacuteTULO III
























21
































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(p17)


















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CAPIacuteTULO IV





(PIAGET 1988 p17)






esse tema















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mesmos





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feitas no Cabri







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apropriadamente

412 ndash Winplot


















em sala de aula


cabe em um disquete




29






























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31


objeto de pesquisa
















(p38)








32



















33

CONCLUSAtildeO

























34




























educando


35




















educativo










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e profundas




















37
















38





1993






1998











39

BIBLIOGRAFIA CITADA













1980




40









Olympio 1988



41

IacuteNDICE

FOLHA DE ROSTO 2

AGRADECIMENTO 3

DEDICATOacuteRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


15



















ensino-aprendizagem








aprendizagem



16







17

CAPIacuteTULO II


Aprendizagem


(FREIRE 1996 p77)





















18






























19

























com o mundo real

20

CAPIacuteTULO III
























21
































22













(p17)


















23















24

CAPIacuteTULO IV





(PIAGET 1988 p17)






esse tema















25































26






















mesmos





27

























feitas no Cabri







28


apropriadamente

412 ndash Winplot


















em sala de aula


cabe em um disquete




29






























30




























31


objeto de pesquisa
















(p38)








32



















33

CONCLUSAtildeO

























34




























educando


35




















educativo










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e profundas




















37
















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1993






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BIBLIOGRAFIA CITADA













1980




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Olympio 1988



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IacuteNDICE

FOLHA DE ROSTO 2

AGRADECIMENTO 3

DEDICATOacuteRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


16







17

CAPIacuteTULO II


Aprendizagem


(FREIRE 1996 p77)





















18






























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com o mundo real

20

CAPIacuteTULO III
























21
































22













(p17)


















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CAPIacuteTULO IV





(PIAGET 1988 p17)






esse tema















25































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mesmos





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feitas no Cabri







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apropriadamente

412 ndash Winplot


















em sala de aula


cabe em um disquete




29






























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objeto de pesquisa
















(p38)








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CONCLUSAtildeO

























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educando


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educativo










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e profundas




















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1993






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BIBLIOGRAFIA CITADA













1980




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Olympio 1988



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AGRADECIMENTO 3

DEDICATOacuteRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


17

CAPIacuteTULO II


Aprendizagem


(FREIRE 1996 p77)





















18






























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com o mundo real

20

CAPIacuteTULO III
























21
































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(p17)


















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CAPIacuteTULO IV





(PIAGET 1988 p17)






esse tema















25































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mesmos





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feitas no Cabri







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apropriadamente

412 ndash Winplot


















em sala de aula


cabe em um disquete




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objeto de pesquisa
















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CONCLUSAtildeO

























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educando


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e profundas




















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1993






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BIBLIOGRAFIA CITADA













1980




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Olympio 1988



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DEDICATOacuteRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


18






























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com o mundo real

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CAPIacuteTULO III
























21
































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(p17)


















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CAPIacuteTULO IV





(PIAGET 1988 p17)






esse tema















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mesmos





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feitas no Cabri







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apropriadamente

412 ndash Winplot


















em sala de aula


cabe em um disquete




29






























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objeto de pesquisa
















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CONCLUSAtildeO

























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educando


35




















educativo










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e profundas




















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1993






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BIBLIOGRAFIA CITADA













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RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


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com o mundo real

20

CAPIacuteTULO III
























21
































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CAPIacuteTULO IV





(PIAGET 1988 p17)






esse tema















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mesmos





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feitas no Cabri







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apropriadamente

412 ndash Winplot


















em sala de aula


cabe em um disquete




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1980




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CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


20

CAPIacuteTULO III
























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CAPIacuteTULO IV





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esse tema















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feitas no Cabri







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apropriadamente

412 ndash Winplot


















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cabe em um disquete




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educando


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RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


21
































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CAPIacuteTULO IV





(PIAGET 1988 p17)






esse tema















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feitas no Cabri







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apropriadamente

412 ndash Winplot


















em sala de aula


cabe em um disquete




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CONCLUSAtildeO

























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CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



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42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


22













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CAPIacuteTULO IV





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feitas no Cabri







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apropriadamente

412 ndash Winplot


















em sala de aula


cabe em um disquete




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CONCLUSAtildeO

























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educando


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e profundas




















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DEDICATOacuteRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

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CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


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24

CAPIacuteTULO IV





(PIAGET 1988 p17)






esse tema















25































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mesmos





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feitas no Cabri







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apropriadamente

412 ndash Winplot


















em sala de aula


cabe em um disquete




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DEDICATOacuteRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


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CAPIacuteTULO IV





(PIAGET 1988 p17)






esse tema















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mesmos





27

























feitas no Cabri







28


apropriadamente

412 ndash Winplot


















em sala de aula


cabe em um disquete




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objeto de pesquisa
















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educando


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CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



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42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


25































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mesmos





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feitas no Cabri







28


apropriadamente

412 ndash Winplot


















em sala de aula


cabe em um disquete




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objeto de pesquisa
















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educando


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e profundas




















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1980




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DEDICATOacuteRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



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AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


26






















mesmos





27

























feitas no Cabri







28


apropriadamente

412 ndash Winplot


















em sala de aula


cabe em um disquete




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objeto de pesquisa
















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educando


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e profundas




















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BIBLIOGRAFIA CITADA













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AGRADECIMENTO 3

DEDICATOacuteRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


27

























feitas no Cabri







28


apropriadamente

412 ndash Winplot


















em sala de aula


cabe em um disquete




29






























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objeto de pesquisa
















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CONCLUSAtildeO

























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educando


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SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



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AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



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FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


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412 ndash Winplot


















em sala de aula


cabe em um disquete




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DEDICATOacuteRIA 4

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CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



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AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



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AGRADECIMENTOS

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CONCLUSAtildeO 32



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AGRADECIMENTOS

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CONCLUSAtildeO 32



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AGRADECIMENTOS

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Aprendizagem 16

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CAPIacuteTULO IV









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AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



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CONCLUSAtildeO 32



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AGRADECIMENTOS

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AGRADECIMENTOS

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CONCLUSAtildeO 32



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AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



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CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


38





1993






1998











39

BIBLIOGRAFIA CITADA













1980




40









Olympio 1988



41

IacuteNDICE

FOLHA DE ROSTO 2

AGRADECIMENTO 3

DEDICATOacuteRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


39

BIBLIOGRAFIA CITADA













1980




40









Olympio 1988



41

IacuteNDICE

FOLHA DE ROSTO 2

AGRADECIMENTO 3

DEDICATOacuteRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


40









Olympio 1988



41

IacuteNDICE

FOLHA DE ROSTO 2

AGRADECIMENTO 3

DEDICATOacuteRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


41

IacuteNDICE

FOLHA DE ROSTO 2

AGRADECIMENTO 3

DEDICATOacuteRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMAacuteRIO 7


CAPIacuteTULO I



CAPIacuteTULO II


Aprendizagem 16

CAPIacuteTULO III


CAPIacuteTULO IV









CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41

42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


42








AGRADECIMENTOS

SUMAacuteRIO



aprendizagem 16


CONCLUSAtildeO 32



IacuteNDICE 41


FOLHA DE ROSTO2

AGRADECIMENTO3


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