universidad popular del cesar

Taller del Segundo Corte 2020- I

1

Ejemplo 2.1 Capacitor de placas paralelas

Un capacitor de placas paralelas tiene un área A = 2.00x10-

4 m2 y una separación de placa d = 1.00 m. Encontrar su capacitancia.

Solución

Figura 2.1 Un capacitor de placas paralelas se compone de dos placas paralelas cada una de área A, separadas por una distancia d. Cuando se carga el capacitor, las cargas tienen cargas iguales

de signo opuesto.

De la ecuación d

AC 0=

, encontramos

=

−

−−

mx

mx

mN

CxC

3

24

2

212

1000.1

1000.2

.1085.8

pFFxC 77.11077.1 12 == −

Ejemplo 2.2 Capacitor cilíndrico

Un capacitor cilíndrico de radio a y carga Q coaxial con un cascarón cilíndrico más grande de radio b y carga –Q (ver figura 2.2a). Encuentre la capacitancia de este capacitor cilíndrico si su longitud es .

Razonamiento y solución

Si suponemos que es grande comparada con a y b, podemos ignorar los efectos de borde. En este caso, el campo es perpendicular a los ejes de los cilíndricos y está confinado a la región entre ellos (figura 2.2b). Debemos calcular primero la diferencia de potencial entre los dos cilíndricos, la cual está en general por

•−=−b

aab sdEVV

Figura 2.2 (a) El capacitor cilíndrico se compone de un conductor cilíndrico de radio a y longitud rodeado por un cascarón cilíndrico coaxial de radio b (b) Vista lateral de un capacitor cilíndrico. La línea de la superficie gaussiana cilíndrica de radio r y longitud .

donde E es el campo eléctrico en la región bra . Se demostró en ejemplo 1.18, utilizando la ley Gauss, que el campo eléctrico de un cilindro de carga por unida de longitud λ es E = 2keλ/r. El mismo resultado se aplica aquí debido a que el cilindro exterior no contribuye al campo eléctrico dentro de él. Con este resultado y notando que E está a lo largo de r en la figura 2.2b, encontramos que

−=−=−b

ae

b

arab

r

drkdrEVV 2

−=−

a

bkVV eab ln2

Al sustituir en la ecuación que define la capacitancia de un capacitor C ≡ Q/ΔV y utilizando el hecho de que λ = Q/ , obtenemos

=

=

=

a

bk

a

bQk

Q

V

QC

e

e ln2ln2

donde │ΔV│ es la magnitud de la diferencia de potencial, dada por 2keλln(b/a), una cantidad positiva. Es decir, ΔV = Va – Vb es positiva debido a que el cilindro interior está a un potencial mayor.

Nuestro resultado para C tiene sentido debido a que muestra que la capacitancia es proporcional a la longitud de los cilindros. Como podría esperarse, la capacitancia depende también de los radios de los dos cilindros conductores. Un cable coaxial, ejemplo, se compone de dos conductores cilíndricos concéntricos de radios a y b separados por un aislador. El cable conduce corrientes en direcciones opuesta en los conductores interior y exterior.


2

Dicha geometría es en especial útil para proteger una señal eléctrica de influencias externas. De acuerdo con la ecuación anterior vemos que la capacitancia por unidad de longitud de un cable coaxial es

=

a

bk

C

e ln2

1

Ejemplo 2.3 Capacitor esférico

Un capacitor esférico de un cascarón conductor esférico de radio b y carga –Q concéntrico con una esfera conductora más pequeña de radio a y carga Q (Figura 2.3). Encuentre su capacitancia.

Figura 2.3 Un capacitor esférico consta de una esfera interior de radio a rodeada por un cascarón esférico de radio b. El campo eléctrico entre las esferas apunta radialmente hacia afuera si la

esfera interior está cargada positivamente.

Razonamiento y solución

Como demostramos en el ejemplo 1.16 el campo eléctrico fuera de una distribución de carga simetría esféricamente es radial y está dado por keQ/r2. En este caso corresponde al campo entre las esferas (a < r < b). (El campo es cero en cualquier otro lado). De la ley de Gauss vemos que sólo la esfera interior contribuye a este campo. De este modo, la diferencia de potencial entre las esferas está dada por

b

a

e

b

ae

b

arab

rQk

r

drQkdrEVV

=−=−=−

12

−=−

abQkVV eab

11

La magnitud de la diferencia de potencial es

ab

abQkVVV eab

)( −=−=

Sustituyendo esto en la ecuación C ≡ Q/ΔV, obtenemos

)( abk

ab

V

QC

e −=

=

Pregunta rápida 2.1

¿Por qué es peligroso tocar los extremos de un condensador de alto voltaje, incluso después de desconectado de la fuente utilizada para cargar el condensador? ¿Qué puede hacerse para que sea seguro manipular el condensador después de desconectar la fuente de voltaje?

Respuesta y explicación

El condensador a menudo permanece cargado mucho tiempo después de que la fuente de voltaje se desconecta. Esta carga residual puede ser mortal. El condensador puede manipularse de manera segura después de descargar las placas cortocircuitando el dispositivo con un conductor, como ejemplo un destornillador con mango aislante.

Situación problémica 2.1

Se carga un condensador y a continuación se retira de la batería. El condensador consiste en conjunto de grandes placas móviles con aire entre ellas. Se retiran las placas de modo que la distancia entre ellas sea lago mayor. ¿Qué ocurre con la carga del condensador? ¿Y con la diferencia de potencial? ¿Y con la energía almacenada en el condensador? ¿Y con la capacitancia? ¿Y con el campo eléctrico existente entre las placas? ¿Se realiza trabajo al alejar las placas?

Razonamiento

Dado que se retira el condensador de la batería, la carga de las placas no tiene adónde ir. Por tanto, la carga del condensador permanece constante cuando se alejan las placas. Puesto que el campo eléctrico asociado a placas de gran tamaño no depende de la distancia para los campos uniformes, el campo eléctrico permanece constante. Dado que el campo eléctrico es una medida del cambio de potencial con la distancia, la diferencia de potencial entre las placas aumenta cuando aumenta la separación entre placas. Ya que se almacena la misma carga pero el potencial es mayor, la capacitancia disminuye. Puesto que la energía almacenada en el condensador aumenta. Dicha energía debe ser transferida al sistema desde alguna parte; las placas se atraen entre sí, de modo que se realiza trabajo al alejar las placas.


El localizador eléctrico de columna de madera utilizada por los carpinteros sirve para localizar columnas de madera en algunos tipos de pared. Consta de un condensador de placas paralelas, con las placas muy cerca una de otra, como se muestra en la figura 2.4. ¿Aumenta o disminuye la capacitancia cuando el dispositivo se mueve sobre una columna de madera?


3

Figura 2.4 Localizador de columnas eléctrico. (a) Los materiales entre las placas del condensador son el panel de la pared y el aire. (b) Cuando el condensador se mueve sobre una columna de madera colocada en el interior de la pared, los materiales entre las placas son el panel de la pared y la columna de madera. La variación en la constante dieléctrica hace que brille una señal

luminosa.


Aumenta. Las líneas de campo eléctrico penetran en la pared. La constante dieléctrica de madera (y cualquier otro material aislante) es mayor que 1; por tanto, la capacitancia aumenta (C = kC0). Este aumento se detecta mediante un circuito especial que hace se encienda la luz.


Considere un condensador de placas con un material dieléctrico entre las placas. ¿Es la capacitancia mayor en un día frío o un día cálido?

Razonamiento

La polarización de las en el dieléctrico hace que aumente la capacitancia cuando se introduce el dieléctrico. Si la temperatura aumenta, las moléculas polarizadas tienen un movimiento de vibración mayor. Este movimiento perturba la estructura ordenadas de las moléculas polarizadas, de modo que la polarización neta disminuye. Por tanto, cuando la temperatura aumenta, la capacitancia disminuye.

Ejemplo 2.4 Capacitancia equivalente

Encuentre la capacitancia equivalente entre a y b para la combinación de capacitares que se muestra en la figura 2.5a. Todas las capacitancias están en microfaradios

Solución

Con el empleo de las ecuaciones

neq CCCCC . . . 321 ++++= (combinación en

paralelo) y neq CCCCC

1 . . .

1111

321

++++=

(combinación en serie), reducimos la combinación paso a paso, como se indica en la figura 2.5.

Los capacitares de 1.0 μF y 3.0 μF están en paralelo y se

combinan de acuerdo con 21 CCCeq += . Su capacitancia

equivalente es 4.0 μF. De igual modo, los capacitores de 2.0 μF y 6.0 μF están también en paralelo y tienen una capacitancia equivalente de 8.0 μF.

Figura 2.5 Para encontrar la capacitancia equivalente de la combinación de los capacitares en a), las diversas combinaciones se reducen en pasos como se indica en b), c) y d), utilizando las reglas relativas a las combinaciones en serie y en paralelo descritas en las clases.

La rama superior en la figura 2.5b consta ahora de dos capacitores de 4.0 μF en serie, los cuales se combinan de acuerdo con

F 0.2

1

0.4

1

F 4.0

1111

21 =+=+=

FCCCeq

F 0.2 =eqC

De igual manera, la rama inferior en la figura 2.2b se compone de dos capacitores de 8.0 μF en serie, la cual produce un equivalente 4.0 μF. Por último, los capacitores de 2.0 μF y 4.0 μF en la figura 2.5c están en paralelo y tienen una capacitancia equivalente de 6.0 μF. Por tanto, la


4

capacitancia equivalente del circuito es 6.0 μF, como se muestra en la figura 2.5d

Ejemplo 2.5 Recolectado de dos capacitores cargados

Dos capacitores C1 y C2 (donde C1 > C2) están cargados a la misma diferencia de potencial V0 pero con polaridad opuesta. Los capacitores cargados se separan de la batería y sus placas se conectan como se indican en la figura 2.6a. Los interruptores S1 y S2 se cierran después, como en la figura 2.6b (a) Determine la diferencia de potencial final entre a y b después de que se cierran los interruptores.4

Figura 2.6 Ejemplo 2.5

Solución

(a) Las cargas en las placas de la izquierda de los capacitores antes de que los interruptores se cierren son

011 VCQ = y 022 VCQ −=

El signo negativo de Q2 es necesario porque la polaridad de este capacitor es opuesta a la del capacitor C1. Después de cerrar los interruptores, las cargas sobre las placas se redistribuyen hasta que las cargas total Q compartida por los capacitores es

( ) 02121 VCCQQQ −=+=

Los dos capacitores están ahora en paralelo, por lo cual la diferencia de potencial final en cada en cada uno es la misma:

0

21

21

21

VCC

CC

CC

QV

+

−=

+=

(b) Determine la energía total almacenada en los capacitores antes y después de cerrar los interruptores.

Solución

Antes de cerrar los interruptores, la energía total almacenada en el capacitor es

( ) ( ) ( ) 2

0212

12

022

12

012

1 )( VCCVCVCU i +=+=

Después de que los interruptores se cierran y los capacitores alcanzan una carga de equilibrio, la energía total almacenada en ellos es

( ) ( ) ( ) 2

212

12

22

12

12

1 )( VCCVCVCU f +=+=

( ) if UCC

CCV

CC

CCCCU

2

21

212

0

2

21

21212

1 )(

+

−=

+

−+=

Por tanto, la proporción entre la energía almacenada final e inicial es

2

21

21

+

−=

CC

CC

U

U

i

f

Esto muestra que la energía final es menor que la energía inicial. En principio, se podría pensar que la conservación de la energía se ha violado, pero éste no es el caso. Parte de la energía faltante aparece como energía térmica en los alambres de conexión, y parte se radica en forma de ondas electromagnéticas.

Ejemplo 2.6 Un capacitor relleno de papel

Las placas de un capacitor de placas paralelas miden 2.0 cm x 3.0 cm y están separadas por un espesor de papel de 1.0 mm a) Determine la capacitancia de este dispositivo.

Solución

Puesto que k = 3.7 para el papel, obtenemos

==

−

−−

mx

mx

mN

Cx

d

AkC

3

24

2

2120

100.1

100.6

.1085.87.3

pF 20F1020 12 == −xC

b) ¿Cuál es la carga máxima que puede brindarse al capacitor?

Solución

La resistencia dieléctrica del papel es 16x106 V/m. Puesto que el espesor del papel es 1.0 mm, máximo voltaje que puede aplicarse antes de la ruptura dieléctrica es

( )( )mxxdEV máxmáx

36 100.1V/m1016 −==

V1016 3xVmáx =

Por tanto, la carga máxima es

( ) ( )( ) C 32.0V1016F1020 312 === − xxVCQ máxmáx

Ejemplo 2.7 Energía almacenada antes y después

Un capacitor de placas paralelas se carga con una batería hasta una carga Q0, como la figura 2.7a. Después se separa la batería y una placa de material que tiene una constante dieléctrica k se inserta entre placas como se muestra figura 2.7b. Encuentre la energía almacenada en el capacitor antes y después de insertar el dieléctrico.

Solución

La energía almacenada en el capacitor en ausencia del dieléctrico es


5

( )2

002

10 VCU =

Puesto que ΔV0 = Q0/C0, como puede expresarse como

0

2

0

02C

QU =

Después de que se quita la batería y se inserta el dieléctrico entre las placas, la carga en el capacitor permanece igual.


Por consiguiente, la energía almacenada en presencia del dieléctrico es

C

QU

2

2

0=

Pero la capacitancia en presencia del dieléctrico es C = kC0, por tanto, U se convierte en

k

UU 0=

Puesto que k > 1, vemos que la energía final es menor que la energía inicial en factor 1/k. Esta energía faltante puede explicarse observando que cuando se inserta el dieléctrico dentro del capacitor, éste es atraído hacia interior del dispositivo. Un agente externo debe efectuar trabajo negativo para evitar que la placa acelere. Este trabajo es simplemente la diferencia U – U0. (Alternativamente, el trabajo positivo hecho por el sistema sobre el agente externo es U0 – U)

Ejemplo 2.8 La molécula de H2O

La molécula de H2O tiene un momento de dipolo de 6.3x10-

30 C.m (ver figura 2.8). Una muestra contiene 1x1021 moléculas de este tipo, cuyos momentos de dipolo están orientados en su totalidad en la dirección de un campo eléctrico de 2,5x105 N/C. ¿Cuánto trabajo se requiere para girar los dipolos a partir de esta orientación (θ = 0°) hasta una en la cual todos los momentos son perpendiculares al campo (θ = 90°)?

Solución

El trabajo necesario para girar una molécula en 90° es igual a la diferencia de energía potencial entre la orientación de

90° y la orientación de 0°. Con la ecuación U = -pEcosθ se obtiene

Figura 2.8 La molécula de agua, H2O, tiene una polarización permanente resultado de su geometría curvada. El centro de carga positiva está en el punto X.

)0cos()90cos( 0

090 −−−=−= pEpEUUW

( )( )N/C 105.2C.m 103.6 530 xxpEW −==

J 106.1 24−= xW

Puesto que hay 1x1021 moléculas en la muestra, el trabajo total requerido es

J1.6x10 J) 106.1)(101( -32421

total == −xxW

Ejemplo 2.9 Un capacitor parcialmente lleno

Un capacitor de placas paralelas tiene una capacitancia C0 en ausencia de un dieléctrico. Una placa de material dieléctrico de constante dieléctrica k y espesor ⅓d se inserta dentro de las placas (Figura 2.9). ¿Cuál es la nueva capacitancia cuando está presente el dieléctrico?

Rozamiento

Este capacitor es equivalente a dos capacitores de placas paralelas de la misma área A conectados en serie, uno con una separación de placa d/3 (lleno de dieléctrico) y la otra con una separación de placas de 2d/3 y aire entre las placas (figura 2.9b). (Esta descomposición en dos etapas es permisible debido a que no hay diferencia de potencial entre la placa inferior de C1 y placa superior C2).

De acuerdo con las ecuaciones d

AC 0= y

d

AkC 0= , las

dos capacitancias son:

3/

01

d

AkC

=

3/2

02

d

AC

=

Solución

La capacitancia para los dos capacitores combinados en serie, se obtiene

A

d

Ak

d

CCC 0021

3/23/111

+=+=

+=

+=

k

k

A

d

kA

d

C

21

32

1

3

1

00


6

d

A

k

kC 0

12

3

+=

Figura 2.9 (a) Un capacitor de placas paralelas de separación de placas d lleno parcialmente con un dieléctrico de espesor d/3. (b) El circuito equivalente del capacitor se compone de dos capacitores conectados en serie.

Puesto que la capacitancia sin el dieléctrico es C0 =ε0A/d, vemos que

012

3C

k

kC

+=

Ejemplo 2.10 Efecto de placa metálica

Un capacitor de placas paralelas tiene una separación de placa d y un área de placa A. Una placa metálica descargada de espesor a se inserta en la placa en la parte media entre las dos placas, como se indica en la figura 2.10. Determine la capacitancia del dispositivo.

Razonamiento

Este problema puede resolverse al observar que cualquier carga que aparezca sobre una placa del capacitor debe inducir una carga igual y opuesta sobre la placa metálica, como en la figura 2.10a. En consecuencia, la carga neta sobre la placa metálica permanece igual a cero, y el campo dentro de la placa es cero. Por tanto, el capacitor es equivalente a dos capacitores en serie, cada uno con una separación de placa (d –a)/2, como en la figura 2.10b

Figura 2.10 (a) Un capacitor de placas paralelas de separación de placas d lleno parcialmente con una placa metálica de espesor a. (b) El circuito equivalente del dispositivo (a) consta de dos capacitores en serie, cada uno con una separación de placa (d – a) /2.

Solución

Al usar la regla para sumar dos capacitores en serie obtenemos

2/)(

1

2/)(

1111

0021

ad

A

ad

ACCC

−

+

−

=+=

ad

AC

+= 0


Supongamos un hilo conductor por el que fluye una corriente y que tiene una cierta sección transversal que gradualmente se hace más estrecha a lo largo del cable, de modo que éste tiene la forma de un cono muy largo. ¿Cómo varía la rapidez de arrastre de los electrones a lo largo del cable?

Razonamiento

Cada porción del hilo transporta la misma cantidad de corriente (si no fuera así, se estaría creando o eliminando carga en algún lugar a lo largo del hilo). Por tanto, para que la ecuación se satisfaga, cuando la sección del hilo disminuya, la velocidad de arrastre debe aumentar para


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mantener una corriente constante. Este aumento de la rapidez de arrastre es el resultado de que las líneas de campo eléctrico en el cable tienen que distribuirse en un área menor, por lo que la magnitud del campo aumenta y, como consecuencia, aumenta la fuerza eléctrica ejercida sobre electrones.


Los dispositivos eléctricos domésticos a menudo se especifican mediante un voltaje y una corriente nominales, como por ejemplo 220 V, 5 A. Sin embargo, las baterías sólo se especifican mediante su voltaje nominal, por ejemplo 1,5 V. ¿Por qué en una batería no se indica corriente?


Los dispositivos eléctricos domésticos están diseñados para funcionar a partir de una diferencia de potencial de 120 voltios o 220 voltios. Partiendo de una de estas diferencias de potencial, la corriente en el dispositivo se puede calcular basándose en la resistencia del mismo. Una batería se puede utilizar para operar muchos dispositivos, con diferentes resistencias. Como consecuencia, la corriente en la batería variará dependiendo del dispositivo que esté operando.


En los artículos de los periódicos a menudo aparecen afirmaciones como “10 000 voltios de electricidad recorrieron el cuerpo de la víctima”. ¿Qué es erróneo en esta afirmación?


Un voltaje no es algo que “recorra” un circuito. Un voltaje es una diferencia de potencial que se aplica entre los terminales de un dispositivo o circuito. Lo que atraviesa un dispositivo es el campo eléctrico, que hace que la carga fluya por el mismo, dando origen a una corriente. Por tanto, sería más correcto decir “1 coulomb de carga eléctrica recorrió el cuerpo de la víctima por segundo”. Aunque esta corriente sería desastrosa para el cuerpo humano, un valor 1 amperio no suena tan excitante en artículo periodístico como un valor de 10 000 voltios. Otra posibilidad sería escribir: “10 000 voltios de diferencia de potencial fueron aplicados al cuerpo de la víctima”, lo que no es aún muy impactante.


Para los dos focos mostrados en la figura 2.11, clasificar de mayor a menos las corrientes en los puntos a – f.


Ia = Ib > Ic = Id > Ie = If. Las cargas que dan lugar a la corriente Ia salen de la terminal positiva de la batería y luego se dividen para fluir a través de los dos focos; por tanto, Ia = Ic

+ Ie. Dado que la diferencia de potencial ΔV es la misma en los dos focos y puesto que la potencia suministrada a un dispositivo es P = I(ΔV), el foco de 60 W, con mayor potencial nominal, debe transportar una mayor corriente. Dado que la carga no se acumula en los focos, sabemos que toda la carga que entra en el foco por la izquierda debe salir por la derecha; en consecuencia, Ic = Id y Ie = If. Las dos corrientes que salen de los focos se combinan de nuevo para formar la corriente que vuelve a la batería, If + Id = Ib.

Figura 2.11 Pregunta rápida 2.6 y situación problémica 2.4


Los dos focos A y B están conectados a la misma diferencia de potencial, como se muestra figura 2.11. También se muestra la potencia eléctrica suministrada a los focos. ¿Qué foco presenta la potencia mayor potencia? ¿Cuál de ellos transporta la mayor corriente?

Razonamiento

Dado que el voltaje en cada uno de los focos es la misma y que el ritmo de suministro de energía a una resistencia es P = (ΔV)2/R, el foco con la resistencia más pequeña presenta el mayor ritmo de transferencia de energía. En este caso, la resistencia de A es mayor que la de B. Además, dado que P = I(ΔV), vemos que la corriente en el foco B es mayor que la corriente en A.


¿Cuánto es mayor el ritmo de suministro de energía a un foco, justo después de encenderlo, cuando el brillo del filamento comienza a aumentar, o después de que lleva encendido unos pocos segundos y el brillo ha alcanzado su valor permanente?

Razonamiento

Cuando se cierra el interruptor, aparece una diferencia de potencial a través del foco. La resistencia es baja en un


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filamento frío. Por tanto, la corriente es alta y se suministra una cantidad de energía relativamente grande al foco por unidad de tiempo. Cuando el filamento se calienta, su resistencia aumenta y la corriente disminuye. Como resultado, el ritmo al que se suministra energía al foco disminuye. La razón por la que los focos fallan a menudo justo en el momento de encenderlos es por el pico de corriente que tiene lugar al principio del proceso.

Ejemplo conceptual 2.11 ¿Hay paradoja?

Hemos visto que un campo eléctrico debe existir en el interior de un conductor que conduce corriente. ¿Cómo es esto posible en vista del hecho de que en electrostática concluimos que el campo eléctrico es cero dentro de un conductor?

Razonamiento

En el caso electrostático donde las cargas están estacionarias, el campo eléctrico interno debe ser cero debido a que un campo diferente de cero produciría una corriente (interactuar con los electrones libres en el conductor), lo cual violaría la condición de equilibrio estático. En este caso trataremos con conductores que producen corriente, una situación no electrostática. La corriente se origina debido a una diferencia de potencial aplicada entre los extremos del conductor, lo que produce un campo eléctrico interno. Así que no hay paradoja.

Ejemplo 2.12 La resistencia de un conductor

Calcule la resistencia de un cilindro de aluminio que mide 10.0 cm de largo y tiene un área de sección transversal de 2.00x10-4 m2. Repita el cálculo para un cilindro de vidrio de 3.0x1010 Ω.m de resistividad.

Solución

Aplicando la ecuación A

R

= y como la resistividad del

aluminio a 20°C es igual a 2.82x10-8 Ω.m, entonces se calcula la resistencia del cilindro de aluminio:

== −

24-

8

m 2.00x10

m 100Ω.m)1082.2(

.x

AR

= − 1041.1 3xR

De manera similar, para el vidrio encontramos

==

24-

10

m 2.00x10

m 100Ω.m)1000.3(

.x

AR

= 105.1 13xR

Como usted esperaría, el aluminio tiene una resistencia mucho menor que el vidrio. Ésta es la razón por la que el aluminio se considera un buen conductor y vidrio un pobre conductor.

Ejemplo 2.13 La resistencia de un alambre de nicromio

(a) Calcule la resistencia por unidad de longitud de un alambre de nicromio de calibre 22, que tiene un radio de 0.321 mm.

Solución

El área transversal de este alambre es

( ) 27232 m 1024.3m 10321.0r −− === xxA

La resistividad del nicromio es 1.5x10-6 Ω.m. De este modo,

podemos usar la ecuación A

R

= para encontrar la

resistencia por unidad de longitud.

/m 5.4m 3.24x10

.m 105.127-

6

=

==−x

A

R

b) Si se mantiene una diferencia de potencial de 10 V a través de un alambre de nicromio de 1.0 m de largo, ¿cuál es la corriente en el alambre?

Solución

Puesto que una longitud de 1.0 m de este alambre tiene una resistencia de 4.6 Ω, la ley de Ohm produce

A 2.2Ω 4.8

V 10==

=

R

VI

La resistividad del alambre de nicromio (1.5x10-6 Ω.m) es casi 100 veces la del cobre (1.7x10-8 Ω.m). Por tanto, un alambre de cobre del mismo radio tendría una resistencia por unidad de longitud de sólo 0.042 Ω/m. Un alambre de cobre de 1.0 m de largo del mismo radio conduciría la misma corriente (2.2 A) con una diferencia de potencial de sólo 0.11 V.

Debido a esta elevada resistividad y su resistencia a la oxidación el nicromio de emplea a menudo en elementos calefactores de tostadores, planchas y calefactores eléctricos

Ejemplo 2.14 La resistencia de un cable coaxial

Un cable coaxial consta de dos conductores cilíndricos. El entrehierro entre los conductores está lleno completamente de silicón, como se muestra en la figura 2.12a. El radio interior del conductor es α = 0.500 cm, el radio del exterior b =1.75 cm, y su longitud es L = 15.0 cm. Calcule la resistencia total del silicón cuando se mide entre los conductores interno y externo

Razonamiento

En este tipo de problema debemos dividir el objeto cuya resistencia estamos calculando en elemento de espesor infinitesimal sobre los cuales el área puede considerarse constante


9


Comenzamos empleando la forma diferencial de la

ecuación A

R

= , la cual es A

ddR

= , donde dR es

la resistencia de una sección de silicón de espesor dℓ y área A. En este ejemplo, tomamos como nuestro elemento un cilindro hueco de espesor dr y longitud L como se muestra en la figura 2.12b. Cualquier corriente que pase entre los conductores interno y externo debe pasar radialmente a través de estos elementos y el área a través de la cual pasa dicha corriente es A = 2πrL. (Ésta es el área superficial de nuestro cilindro hueco sin tomar en cuenta el área de sus entremos). Por tanto, podemos escribir la resistencia de nuestro cilindro hueco como

drrL

dR 2

=

Solución

Puesto que deseamos conocer la resistencia total del silicón necesitamos integrar esta expresión sobre dr desde r = a hasta r = b.

=== a

b

Lr

dr

LdRR

b

a

b

aln

22

Al sustituir los valores dados y usar ρ = 640 Ω.m para silicón, obtenemos

=

= 851

cm 500

cm 75.1ln

m) 150.0(2

.m 640

.R

Ejemplo 2.15 Un termómetro de resistencia de platino

Un termómetro de resistencia, que mide temperatura mediante la medición del cambio de resistencia de un conductor, está hecho de platino y tiene una resistencia de 50.0 Ω a 20.0 °C. Cuando se sumerge en un recipiente que contiene indio fundido, su resistencia aumenta a 76.8 Ω. ¿Cuál es el punto de fusión del indio?

Solución

Resolviendo la ecuación R = R0[1 + α(T –T0)], el coeficiente de temperatura (α) para el platino es igual a 3.92x10-3 (°C)-1, encontramos a ΔT

( )( )C 137

Ω 50.0C)( 3.92x10

50.0- 8.761-3-

0

0 =

=

−=

R

RRT

Puesto que T0 = 20.0 °C, encontramos que T = 157 °C.

Ejemplo conceptual 2.16

Dos focos eléctricos A y B se conectan a través de la misma diferencia de potencial, como en la figura 2.13. La resistencia A es dos veces la de B ¿Cuál foco eléctrico disipa más potencial? ¿Cuál conduce la mayor corriente?

Figura 1.13 (Ejemplo conceptual 2.16) Dos focos conectados a través de la misma diferencia de potencial

Razonamiento


10

Debido a que el voltaje en cada foco eléctrico es el mismo,

y la potencia disipada por un conductor es R

VP

2)(= ,

el conductor con la resistencia más baja disipara más potencia. En este caso, la potencia disipada por B es el doble de la de A y brinda dos veces más iluminación. Además debido a que )( VIP = , vemos que la

corriente conducida por B es el doble que la de A.

Ejemplo 2.17 Potencia en calefactor eléctrico

Un calefactor eléctrico se construye aplicando una diferencia de potencial de 110 V a un alambre de nicromio de 8.0 Ω de resistencia total. Encuentre la corriente conducida por el alambre y valor nominal de potencia del calefactor.

Solución

Puesto que IRV = , tenemos

V 8.13 08

V 110=

=

=

.R

VI

Podemos encontrar el valor nominal de potencia utilizando

RIP 2=

W152 ) 0.8(A) 8.13( 22 === RIP

Si duplicamos el voltaje aplicado, la corriente se duplicaría pero la potencia se cuadriplicaría.

Ejemplo 2.18 Valor nominal eléctrico de un foco eléctrico

Un foco eléctrico se especifica en 120 V / 75 W, lo que significa que su voltaje de operación es 120 V y tiene un valor nominal de potencia de 75.0 W. El foco es activado por un suministro eléctrico de corriente directa de 120 V. Encuentre la corriente en el foco y su resistencia.

Solución

Puesto que el valor nominal de potencia del foco es 75.0 W y voltaje de operación es 120 V. podemos usar P = I(ΔV) para determinar la corriente:

A 625.0V 120

W0.75==

=

V

PI

Utilizando la ley Ohm, ΔV = RI, la resistencia se calcula como

==

= 192V 625.0

V 120

I

VR

Ejemplo 2.19 El costo de operación de foco eléctrico

¿Cuánto cuesta mantener encendido un foco eléctrico de 100 W durante 24 horas si la electricidad cuesta ocho centavos de dólar por kilowatt-hora?

Solución

Puesto que la energía consumida es igual a la potencia por el tiempo, la cantidad de energía por la que usted debe de pagar, expresada en kWh, es

Energía = (0.10 kW)(24 h) = 2.4 kWh

Si la energía se compra a ocho centavos de dólar 1 kWh, el costo es

Costo = (2.4 kWh)($ 0.08 /kWh) = $ 0.19

Es decir, cuesta 19 centavos de dólar operar un foco durante un día. Ésta es una cantidad de pequeña, pero cuando se están usando dispositivos más grandes y complejos, el costo sube rápidamente.

La exigencia en nuestros suministros de energía ha hecho necesario estar conscientes de los requerimientos de energía de nuestros dispositivos eléctricos. Esto es cierto no sólo porque es más costos operarlos sino también debido a que, con la merma de carbón y de los recursos petroleros con los que últimamente se nos está brindando la energía eléctrica, se vuelve necesaria una mayor conciencia respecto de la conservación. En cada aparato eléctrico hay una etiqueta que contiene la información que usted necesita para calcular los requerimientos de potencia del dispositivo. El consumo de potencia en watts a casos, se brindan la cantidad de corriente utilizada, por el dispositivo y el voltaje al cual opera. Esta información y la ecuación P = I(ΔV) son suficientes para calcular el costo de operación de cualquier dispositivo eléctrico.

Ejemplo 2.20 Corriente en haz de electrones

En cierto acelerador, los electrones emergen con energías de 40.0 MeV (1MeV = 1.6x10-13 J). Los electrones no emergen en una corriente estable, sino en pulsos que se repiten 250 veces por segundo. Esto corresponde a un tiempo entre cada pulso de 4.0 ms en la figura 2.14. Cada pulso dura 200 ns y los electrones en el pulso constituyen una corriente de 250 mA. La corriente es cero entre pulsos (a) ¿Cuántos electrones son entregados por el acelerador por cada pulso?

Figura 2.14 (Ejemplo 2.20) Corriente contra tiempo para un haz de un pulso de electrones.

Solución


11

Podemos usar la ecuación dt

dQI = en forma dQ =

Idt e integrar para encontrar la carga por pulso. Mientras el pulso está ocurriendo la corriente es constante, por lo que

)10200)(A10250( 93

pulso sxxItdtIQ −−

===

C 100.5 8

Pulso

−= xQ

Esta cantidad de carga por pulso dividida por la carga electrónica da el número de electrones por pulso.

1.6x10

100.5

C/electrón

C/pulsopulsopor electrones

0N

19-

8−

=x

pulso electrón / 11

0 1013.3 pulsopor electrones N x=

(b) ¿Cuál es la corriente promedio entregada por el acelerador?

Solución

La corriente promedio está dada por la ecuación I = ΔQ/Δt. Puesto que la duración de un pulso es 4.0 ms y la carga por pulso se conoce del inciso (a) obtenemos

μA 512s 4.0x10

C 100.53-

8pro

pro .x

t

QI ==

=

−

Esto representa sólo 0.0005% de la corriente pico.

(c) ¿Cuál es la máxima potencia entregada por el haz de electrones?

Solución

Por definición, la potencia es la energía entregada por unidad de tiempo. De este modo, la potencia máxima es igual a la energía entregada por haz durante el periodo del pulso.

100.2

) )(40.0 1013.3(

s/pulso

7

11onMeV/electrulsoelectrón/p

−=

=

x

x

t

EP

J/MeV x10MeV/s)(1.6 1026.6( -1919xP =

MW 0.10 W 100.1 7 == xP


Si la energía transferida a una batería durante la carga es E, ¿será también igual a E la energía total transferida desde la batería a una carga eléctrica durante la operación, suponiendo que la batería se descarga completamente?


La energía total suministrada por la batería es menor que E. Recuerde que una batería real se puede considerar como una batería ideal sin resistencia, en serie con la resistencia interna. Durante el proceso de carga, la energía suministrada a la batería incluye la energía necesaria para

cargar la batería ideal, más la energía que se invierte en aumentar la temperatura de la batería (mediante la resistencia interna). Esta última energía no está disponible durante el proceso de descarga de la batería. Durante la descarga, parte de la energía disponible se transforma en energía interna en la resistencia interna, reduciendo aún más (con respecto a E) la energía disponible.


Si al arrancar un automóvil se tienen las luces encendidas, ¿Por qué se reduce la intensidad luminosa durante el arranque?


El motor de arranque del automóvil extrae una corriente relativamente grande de la batería. Esta corriente da lugar a que aparezca una diferencia de potencial significativa entre los extremos de la resistencia interna de la batería. Como resultado, la diferencia de potencial entre los terminales de la batería se reduce y las luces se atenúan.


Se dispone de una serie de focos y una batería. Se comienza con un foco conectado a la batería y se observa su brillo. A continuación, se añade otro foco y cada nuevo foco que se va añadiendo se conecta en serie con el anterior. A medida que se añaden focos. (a) ¿Qué ocurre con el brillo de los focos? (b) ¿Y con la corriente de los focos? (c) ¿Y con la potencia transferida por la batería? (d) ¿Y con el tiempo de vida de la batería? (e) ¿y con el voltaje entre los terminales de la batería? Responda a estas mismas preguntas si los focos se añaden uno por uno en paralelo con el primero.


Serie: (a) disminuye; (b) disminuye; (c) disminuye; (d) aumenta; (e) aumenta. A medida que se añaden más focos en serie, la resistencia total del circuito aumenta. Por tanto, la corriente en los focos disminuye, dando lugar a un menor brillo. Esta disminución de la corriente da lugar a una disminución en la potencia transferida desde la batería. Como resultado, el tiempo de vida de la batería aumenta. Cuando la corriente disminuye, el voltaje entre los terminales de la batería se aproxima cada vez más a la fuerza electromotriz de la misma.

Paralelo: (a) disminuye; (b) disminuye; (c) aumenta; (d) disminuye; (e) disminuye. A medida que se añaden focos en paralelo, la resistencia global del circuito disminuye. La corriente que sale de la batería aumenta según se van añadiendo focos. Este aumento de corriente da lugar a un aumento de la potencia transferida desde la batería. Como resultado, el tiempo de vida de la batería disminuye. Cuando la corriente aumenta, el voltaje en los terminales de


12

la batería disminuye por debajo de la fem de la misma. Debido a la disminución de la diferencia de potencial en los terminales, que es la que se aplica a cada foco, la corriente en cada foco disminuye, dando lugar a una reducción de su brillo. La reducción de brillo es mucho menor que en caso de añadir en serie y puede no ser apreciable hasta que se hayan añadido varios focos.


Compare el brillo de los cuatro focos idénticos mostrado en la figura 2.15 ¿Qué ocurre si el foco A falla, de modo que deja de conducir? ¿Qué ocurre si falla el foco C? ¿Qué ocurre si falla el foco D?

Figura 2.15 (Situación problémica 2.6)

Razonamiento

Los focos A y B están conectados en serie con la fem de la batería y el foco C está conectado en paralelo con dicha fem. Por tanto, la fem se divide entre los focos A y B. Como resultado, el foco C brillará más que los focos A y B, los cuales brillarán del mismo modo. El foco D tiene conectado un cable en paralelo. Por tanto, no hay ninguna diferencia de potencial entre los extremos de D y éste no se encenderá nunca. Si el foco A falla, B tampoco funcionará, pero C permanecerá encendido. Si el foco C falla, no tendrá ningún efecto sobre los focos restantes. Si el foco D falla, el suceso tampoco será detectado, dado que D inicialmente no está encendido.


En la figura 2.16 ilustra cómo se ha fabricado un foco para proporcionar tres niveles de intensidad de luz. El enchufe de la lámpara está equipado con interruptor de tres posiciones que permite seleccionar diferentes intensidades de luz. El foco tiene dos filamentos. ¿Por qué los filamentos se conectan en paralelo? Explique cómo se utilizan los dos filamentos para proporcionar tres intensidades diferentes.

Razonamiento

Si los filamentos estuvieran conectados en serie y de ellos fallara, no circularía corriente por el foco y éste no se iluminaría, independientemente de la posición del interruptor. Sin embargo, cuando los filamentos se conectan en paralelo y uno de ellos (por ejemplo, el filamento de 75 W) falla, el foco todavía funciona en una de las

posiciones del interruptor, dado que existe corriente en el otro filamento (el de 100 W). Las tres intensidades de luz son posibles seleccionando uno de los tres valores de resistencia de filamento, utilizando un único valor de 120 V para el voltaje aplicado. El filamento 75 W ofrece un valor de resistencia, el filamento de 100 W ofrece un segundo valor y la tercera resistencia se obtiene combinando los dos filamentos en paralelo. Cuando el interruptor S1 se cierra y el interruptor S2 se abre, sólo circula corriente por el filamento de 75 W. Cuando el interruptor S1 se abre y el interruptor S2 se cierra, sólo circula corriente por el filamento de 100 W. Cuando ambos interruptores se cierran, ambos filamentos transportan corriente y la iluminación es la que corresponde a una potencia total de 175 W.

Figura 2.16 (Situación problémica 2.7)


En muchas zonas de obra en las carreteras, se dispone de lámparas amarillas intermitentes para advertir a los automovilistas del posible peligro. ¿Qué hace que los focos se enciendan de forma intermitentes?

Figura 2.17 (Situación problémica 2.8) Circuito RC en una lámpara intermitente usada para señalizar una zona de obras en una carretera. Cuando el interruptor se cierra, la carga en el condensador aumenta, hasta que la diferencia de potencial cae en el condensador (y en la lámpara de descarga) es lo suficientemente alta como para que la lámpara se ilumine, descargando el condensador

Razonamiento


13

Un circuito típico para lámpara intermitente se muestra en la figura 2.17. La lámpara L es una lámpara de rellena de gas que actúa como un circuito abierto hasta que una diferencia de potencial grande produce una descarga eléctrica en el gas, la cual hace que se emita un brillante pulso luminoso. Durante esta descarga, la carga eléctrica fluye a través del gas entre los electrodos de la lámpara. Después de que el interruptor S se cierra, la batería carga el condensador de capacitancia C. Al principio, la corriente es alta y la carga en condensador es baja, porque la mayor parte de la diferencia de potencial cae en la resistencia R.

A medida que el condensador se carga, aparece una mayor diferencia de potencial en él, reflejando el hecho de que existe una menor corriente y, por tanto, una menor diferencia de potencial en los extremos de la resistencia. En un determinado momento la diferencia de potencial en el condensador alcanza un valor para el cual la lámpara conducirá, haciendo que ésta se ilumine. De este modo, se descarga el condensador a través de la lámpara y proceso de carga comienza de nuevo. El periodo de intermitencia puede ajustarse variando la constante de tiempo del circuito RC.


Muchos automóviles están equipados con limpiaparabrisas que se pueden utilizar de forma intermitente durante una lluvia ligera. ¿Cómo depende el funcionamiento de los limpiaparabrisas de la carga y descarga de un condensador?

Razonamiento

Los limpiaparabrisas son parte de un circuito RC cuya constante de tiempo puede variarse seleccionado diferentes valores de R mediante un interruptor de múltiples posiciones: El tiempo entre barridos de los limpiaparabrisas se determinan mediante el valor de la constante de tiempo del circuito.

Ejemplo 2.21 Voltaje de las terminales de una batería

Una batería tiene una fem de 12.00 V y una resistencia interna de 0.05 Ω. Sus terminales están conectados a una resistencia de carga de 3.00Ω (a) Encuentre la corriente en el circuito y el voltaje de las terminales de la batería.

Solución

Utilizando primero la ecuación y luego la

, obtenemos

Para comprobar este resultado podemos calcular la caída de voltaje a través de la resistencia de carga R:

(b) Calcule la potencia disipada en el resistor de carga, la potencia disipada por la resistencia interna de la batería y la potencia entregada por la batería.

Solución

La potencia disipada por el resistor de carga es

La potencia disipada por la resistencia interna es

Por tanto, la potencia entregada por la batería es la suma de estas cantidades, es 47.1 W. Este valor puede verificarse usando la ecuación P = Iε.

Ejemplo 2.22 Igualación de la carga

Demuestre que la máxima potencia disipada en la resistencia de carga R en la figura 2.18a ocurre cuando R = r, es decir, cuando la resistencia de carga iguala la resistencia interna

Solución

La potencia disipada en la resistencia de carga es igual a I2R, donde I está dada por la ecuación

rR

I+

=

:

2

22

)( rR

RRIP

+==

cuando P se gráfica contra R, como en la figura 2.18, encontramos que P alcanza un valor máximo ε2/4r en R = r. Esto puede probarse también al diferenciar P respecto de R, igualando a cero el resultado y despejando R.

rRI

+=

IrV −=

AV

rRI 93.3

05.3

00.12=

=

+=

VAAVIrV 8.11)05.0)(93.3(00.12 =−=−=

V 811Ω) 00.3)(A 93.3( .IRV ===

W 3.46 00.3(A) 93.3( 22 === )RIPR

W 722.0 05.0(A) 93.3( 22 === )rIPr


14

FIGURA 2.18 (a) Diagrama de circuito de una fem ε de resistencia interna r conectada a un resistor externo R, (b) Representación gráfica que muestra cómo los cambios de potencial como el circuito en serie del inciso (a) se recorre en el sentido de las manecillas del reloj.

Figura 2.18 (Ejemplo 2.22) Gráfica de la potencia P entregada a un resistor de carga como función de R. La potencia entregada a R es un máximo cuando la resistencia de carga del circuito es igual a la resistencia interna a la batería.

Ejemplo 2.23 Determinación de la resistencia equivalente

Cuando resistores se conectan como se muestra en la figura 2.19a. (a) Encuentre la resistencia equivalente entre a y b

Solución

El circuito puede reducirse en pasos, como se muestra en la figura 2.19. Los resistores de 8.0 Ω y 4.0 Ω están en serie, porque la resistencia equivalente entre a y b es 12 (ecuación Req = R1 + R2 + R3 + . . . ).

Los resistores de 6.0 Ω y 3.0 Ω están en paralelo, de

manera que la ecuación

, encontramos que la resistencia equivalente de b a c es 14 Ω. Por tanto, la resistencia equivalente de a a c es 14 Ω.

Figura 2.19 (Ejemplo 2.23). La resistencia de los cuatro resistores mostrados en (a) puede reducirse en la etapa a un resistor equivalente de 14 Ω.

(b) ¿Cuál es la corriente en cada resistor si se mantiene una diferencia de potencial de 42 V entre a y c?

Solución

La corriente en los resistores de 8.0 Ω y 4.0 Ω es la misma debido a que éstos están en serie. Utilizando la ley de Ohm y los resultados del inciso (a), obtenemos

A 0.3 14

V 42=

=

=

eq

ac

R

VI

Cuando esta corriente entra a la unión en b se divide, y una parte pasa por el resistor de 6.0 Ω (I1) y parte por el resistor de 3.0 Ω (I2). Puesto que la diferencia de potencial a través de estos resistores, ΔVbc es la misma (están en paralelo) vemos que 6I1 = 3I2 o 2I1 = I2. Empleando este resultado y hecho que I = I1 + I2 = 3.0A, encontramos que I1 = 1.0 A e I2 = 2.0 A. Pudimos haber sugerido este resultado desde el principio al advertir que la corriente que circula por el resistor de 3.0 Ω es el doble de la que circula por el resistor de 6.0 Ω en vista de sus resistencias relativas y del hecho de que se les aplica a ambos el mismo voltaje.

Como una verificación final, observe que ΔVbc = 6I1 = 3I2 = 6.0 V y ΔVab = 12I =36 V, por tanto, ΔVac = ΔVab + ΔVbc = 42 V, como debe ser.

Ejemplo 2.24 Tres resistores en paralelo

En la figura 2.20 se muestran tres resistores conectados en paralelo. Una diferencia de potencial de 18 V se mantiene entre los puntos a y b (a) Encuentre la corriente en cada resistor.

. . . 1111

321

+++=RRRReq


15

Figura 2.20 (ejemplo 2.24) Tres resistores conectados en paralelo. El voltaje de cada resistor es de 18 V

Solución

Los tres resistores conectados en paralelo y la diferencia de potencial a través de ellos es de18 V. Al aplicar ΔV = IR a cada resistor se obtiene

A 0.603

V 18

1

1 =

=

= .R

VI

A 0.306

V 18

2

2 =

=

= .R

VI

A 0.209

V 18

3

3 =

=

= .R

VI

(b) Calcule la potencia disipada por cada resistor y la potencia disipada por los tres resistores.

Solución

La aplicación de P = I2R en cada resistor da como resultado.

W54 ) 0.6()A 0.3( : 0.6 22

1 === RIP

W 36 ) 0.9()A 0.2( : 0.9 22

1 === RIP

Esto demuestra que el resistor más pequeño disipa la mayor potencia puesto que conduce la corriente más alta. (Advierta que es posible emplear también P = (ΔV)2/R para determinar la potencia disipada por cada resistor). La suma de las tres cantidades brinda una potencia total de 200 W.

(c) Calcule la resistencia equivalente de los tres resistores.

Podemos utilizar la ecuación

para encontrar Req

Solución

.0.9

1

0.6

1

0.3

11++=

eqR

Ω6.1Ω11

18==eqR

Ejemplo 2.25 Determinación de Req mediante argumento de simetría.

Considere los cinco resistores conectados como se indica en la figura 2.21a. Determine la resistencia equivalente entre los puntos a y b.

Figura 2.21 (Ejemplo 2.25) Debido a la simetría en este circuito, el resistor de 5 Ω no contribuye a la resistencia entre los puntos a

y b y puede descartarse.

Solución

En este tipo de problemas es convenientes suponer que una corriente entra a la unión a y aplicar después el argumento de simetría. Debido a la simetría en el circuito (todos los resistores de 1Ω en el lazo exterior) las corrientes en las ramas ac y ad deben ser iguales; por tanto, los potenciales en los puntos c y d deben ser iguales. Como Vc = Vd los puntos c y d pueden conectarse juntos, como se muestra en la figura 2.21b, sin influir el circuito. Así, el resistor de 5 Ω puede eliminarse del circuito y éste puede reducirse, como se muestra en la figura 2.21c y 2.21d. A partir de esta reducción, vemos que la resistencia equivalente de la combinación es 1 Ω. Advierta que el resultado de 1 Ω. Independientemente de cuál resistor esté conectado entre c y d.

Ejemplo 2.26 Un circuito de un solo lazo

Un circuito de un solo lazo contiene dos resistores y dos baterías como se muestra en la figura 2.22 (Ignore las resistencias internas de las baterías) (a) encontrar la corriente en el circuito

Razonamiento

No hay uniones en este circuito de un solo lazo, por lo cual la corriente es la misma en todos los elementos. Supongamos que la corriente es en la dirección de las manecillas del reloj, como en la figura 2.22

W 110 ) 0.3()A 0.6( : 0.3 22

1 === RIP

. . . 1111

321

+++=RRRReq


16

Figura 2.22 (ejemplo 2.26) Un circuito en serie que contiene dos bacterias y dos resistores, donde las polaridades de las baterías están en oposición entre sí.

Recorriendo el circuito en esta dirección, empezando en a, vemos que a→b representa un incremento de potencial de +ε1, b→c representa una disminución de potencial de –IR1, c→d representa una reducción de potencia de -ε2 y d→a representa una reducción de potencial de -IR2. Al aplicar la segunda regla de Kirchhoff se obtiene

0=i

V

02211 =−−− IRIR

Solución

Al despejar I y con los valores dados en la figura 2.22, obtenemos

A 3

1

10 8

V 12 V 6

21

21 −=+

−=

+

−=

RRI

El signo negativo para I indica que la dirección de la corriente es opuesta a la dirección supuesta.

(b) ¿Cuál es la potencia disipada en cada resistor?

Solución

W 9

8) 8()A ( 2

31

1

2

1 === RIP

W 9

10) 10()A ( 2

31

2

2

2 === RIP

Es consecuencia, la disipación de potencia total es P = P1 +P2 = 2 W. Advierta que la batería de 12 V entregada a los resistores Iε2 = 4 W. La mitad de esta potencia se entrega a los resistores externos. La otra mitad se entrega a la batería de 6 V, la cual es cargada por la batería de 12 V. su hubiéramos incluido las resistencias internas de las baterías, una parte de la potencia se disiparía como calor en ellas, por lo que se entregaría menos potencia a la batería de 6 V.

Ejemplo 2.27 Aplicación de las reglas Kirchhoff

Determine las corrientes I1, I2 y I3 en el circuito mostrado en la figura 2.23

Figura 2.23 (Ejemplo 2.27) Un circuito que contiene tres lazos.

Razonamiento

Elegimos las direcciones de las corrientes como en la figura 2.23. La aplicación de la primera regla de Kirchhoff a la unión c produce.

213 III += (1)

Hay tres lazos en el circuito, abcda, befcb y aefda (el lazo exterior). Por tanto, necesitamos dos ecuaciones de lazo para determinar las corrientes desconocidas. La tercera ecuación de lazo no brindaría nueva información. Con la aplicación de la segunda regla Kirchhoff a los lazos abcda y befcb y con el recorrido de estos lazos en la dirección de las manecillas del reloj, obtenemos las expresiones

Lazo abcda: 0)I 2() 6(V 10 32 =−− I (2)

Lazo befcb: 0)I 4() 6( V 10V 14 22 =−+−− I (3)

Advierta que en el lazo befcb se obtiene un signo positivo cuando se recorre el resistor de 6 Ω debido a que la dirección de la trayectoria es opuesta a la dirección de I1. Una tercera ecuación de lazo aefda – 14 V = 2I3 + 4I2, lo cual es justamente la suma de (2) y (3)

Solución

Las expresiones (1) y (2) y (3) representa tres ecuaciones independientes con tres incógnitas. Podemos resolver el problema como sigue: Sustituyendo (1) en (2) se obtiene

0)( 2 6 10 212 =+−− III

02 8 10 21 =+= II (4)

Al dividir cada término en (3) por 2 y ordenado la ecuación, obtenemos

21 2 3 12 II +−=− (5)

Al sustraer (5) de (4) se elimina I2, resultando

11122 I= , entonces A 21 =I

Con este valor de I1 en (5) se obtiene un valor para I2:


17

612)2(312 3 2 12 −=−=−= II

A 3 2 −=I

Por último, I3 = I1 + I2 = -1 A. Por tanto, las corrientes tienen valores

A 21 =I 3A 2 −=I A 1 3 −=I

El hecho que I2 e I3 sean negativas indica sólo que elegimos la dirección incorrecta para estas corrientes. Sin embargo, los valores numéricos son correctos.

Ejemplo 2.28 Un circuito de lazos múltiples

(a) En condiciones de estado estable, determine las corrientes desconocidas en el circuito de lazos múltiples mostrado en la figura 2.24

Razonamiento

Advierta primero que el capacitor representa un circuito abierto y que, por tanto, no hay corriente a lo largo de la trayectoria ghab en condiciones de estado estable. En consecuencia, Igf = I1. Marcando las corrientes como se indica en la figura 2.24 y aplicando la primera regla de Kirchhoff a unión c, obtenemos

213 III += (1)

Figura 2.24 (Ejemplo 2.28) Un circuito de lazos múltiples. Observe que la ecuación de lazo de Kirchhoff puede aplicarse a cualquier

lazo cerrado, incluyendo al que contiene al capacitor.

La segunda regla de Kirchhoff aplicada a los lazos defcd y cfgbc produce

Lazo defcd: 0)I 5() 3(V 4 32 =−− I (2)

Lazo cfgbc: 0)I 3() 5(V 8 21 =+− I (3)

Solución

En (1) vemos que I1 = I3 – I2, la cual cuando se sustituye en (3) da

0)I8() 5(V 8 23 =+− I (4)

Restando (4) de (2), eliminamos I3 y encontramos

A 3640- A 114

2 .I =−=

Puesto que I2 es negativa, concluimos que I2 circula de c a f a través del resistor de 3.00 Ω. Usando este valor de I2 en (3) y (1), se obtienen los siguientes valores para I1 y I3:

A 1.38 1 ==I A 1.02 3 ==I

En condiciones de estado estable, el capacitor representa un circuito abierto, por lo que no hay corriente en la rama ghab.

(b) ¿Cuál es la carga en el capacitor?

Solución

Podemos aplicar la segunda regla de Kirchhoff al lazo abgha (o a cualquier otro lazo que contenga al capacitor) para determinar la diferencia de potencial ΔVc a través del capacitor

0V 00.3V 00.8 =−+− cV

V 0.11= cV

Puesto que Q = CΔVc, la carga en el capacitor es

μC 0.66)V 0.11)(μF 00.6( ==Q


18

PREGUNTAS DE CAPACITANCIA

1) Si a usted se le dan tres capacitores diferentes de C1, C2 y C3 ¿cuántas combinaciones diferentes de capacitancias puede usted producir?

2) Explique por qué el trabajo necesario para mover una carga Q a través de una diferencia de potencial ΔV es W = Q ΔV, en tanto que la energía almacenada en capacitor cargado es U = ½ Q ΔV. ¿De dónde proviene el factor ½?

3) Un capacitor lleno de aire se carga, luego desconecta del suministro de energía eléctrica y por último se conecta a un voltímetro. Explique cómo y por qué las lecturas de voltaje cambian cuando se inserta un dieléctrico entre las placas del capacitor.

PROBLEMAS DE CAPACITANCIA

1) Un capacitor lleno de aire está compuesto de dos placas paralelas, cada una con área de 7.60 cm2, separadas por una distancia de 1.8 mm. Si se aplica una diferencia de potencial de 20.0 V a estas placas, calcule (a) el campo eléctrico entre las mismas (b) la densidad de carga superficial, (c) la capacitancia, y (d) la carga sobre cada placa.

2) Un cable coaxial de 50.0 cm de largo tiene un conductor interior con un diámetro de 2.58 mm que conduce una carga de 8.10 μC. El conductor circundante tiene un diámetro interior de 7.27 mm y una carga de -8.10 μC. (a) ¿Cuál es la capacitancia de este cable? (b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los conductores? Suponga que la región entre los conductores es aire.

3) Cuatro capacitores se conectan como se muestran en la figura P2.3 (a) Encuentre la capacitancia equivalente entre los puntos a y b (b) Calcule la carga en cada capacitor si ΔVab = 15 V.

4) Considere el circuito mostrado en la figura P2.4, donde C1 = 6.00 μF, C2 = 3.00 μF y ΔV = 20.0 V: El capacitor C1 se carga primero cerrando el interruptor S1. Este interruptor se abre después, y el capacitor cargado se conecta al capacitor descargado al cerrar S2 Calcular la carga inicial adquirida por C1 y la carga final en cada capacitor

Figura P2.3

Figura P2.4

5) Una placa conductora de espesor d y área A se inserta dentro del espacio entre las placas de un capacitor de placas paralelas con espaciamiento s y área superficial A, como se muestra en la figura P2.5 ¿Cuál es la capacitancia del sistema?

Figura P2.5

6) Un capacitor de placas paralelas de 16.0 pF se carga por medio de una batería de 10.0 V. Si cada placa tiene un área de 5.00 cm2, ¿cuál es el valor de la energía almacenada en el capacitor? ¿Cuál es la densidad de energía almacenada (energía por unidad de volumen) en el campo eléctrico del capacitor si las placas están separadas por aire?

7) Un capacitor de placas paralelas tiene un área de placa de 0.64 cm2. Cuando las placas están en el vacío, la capacitancia del dispositivo es de 4.9 pF. a) Calcule el valor de la capacitancia si el espacio entre las placas se llena con nylon. (b) ¿Cuál es la diferencia de potencial máxima que puede aplicarse a las placas sin producir rompimiento dieléctrico?

8) Un capacitor se construye a partir de dos placas cuadradas de lado ℓ y separación d. Un material de constante dieléctrica k se inserta una distancia x dentro del capacitor, como en la figura P2.8 (a) Encuentre la capacitancia equivalente del dispositivo (b) Calcule la energía almacenada en el capacitor si la de potencia es ΔV. (c) Encuentre la dirección y magnitud de la fuerza ejercida sobre el dieléctrico, suponiendo una diferencia de potencial constante ΔV. Ignore la fricción y los efectos de borde. (d) Obtenga un valor numérico para la fuerza suponiendo que ℓ = 5.0 cm, ΔV = 2000 V, d = 2.0 mm, y que el dieléctrico es vidrio (k = 4.5). (Sugerencia: El sistema puede


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considerarse como dos capacitores conectados en paralelo).

Figura P2.8

PREGUNTAS DE CORRIENTE Y RESISTENCIA

4) ¿Qué factores afectan la resistencia de un conductor?

5) ¿Todos los conductores obedecen a la ley de Ohm? Dé ejemplos que justifiquen su respuesta.

6) ¿Cómo cambia la resistencia con la temperatura en el cobre y el silicón? ¿Por qué son diferentes?

7) Si las cargas fluyen muy lentamente por un metal, ¿por qué no se requieren varias horas para que la luz aparezca cuando usted activa un interruptor?

PROBLEMAS DE CORRIENTE Y RESISTENCIA

9) Suponga que la corriente que circula por un conductor disminuye exponencialmente con el tiempo de acuerdo con

/0)( teItI −=

Donde I0 es al corriente inicial (en t = 0) y τ es una constante que tiene dimensiones de tiempo. Considere un punto de observación fijo dentro del conductor. (a) ¿Cuánta carga pasa por este punto entre t = 0 y t = τ? (b) ¿Cuánta carga pasa por este punto entre t = 0 y t =10 τ? (c) ¿Cuánta carga pasa entre t = 0 y t = ∞)

10) Un conductor coaxial con una longitud de 20 m está compuesto por un cilindro interior con un radio de 3.00 mm y tubo cilíndrico exterior concéntrico con un radio interior de 9.00 mm. Una corriente de fuga distribuida uniformemente de 10 μA fluye entre los dos conductores. Determine la densidad de la corriente de fuga (en A/m2) a través de una superficie cilíndrica (concéntrica con los conductores) que tiene un radio de 6.0 mm.

11) Suponga que usted desea fabricar un alambre uniforme a partir de 1.0 g de cobre. Si el alambre va a tener una resistencia de R = 0.50 Ω y se va a usar todo cobre. ¿Cuáles serán (a) la longitud y (b) el diámetro de este alambre?

12) ¿Cuál es el cambio fraccionario de la resistencia de un filamento de hierro cuando su temperatura cambia de 25 °C a 50 °C?

13) Suponga que un sobrevoltaje produce 140 V durante un momento. ¿En qué porcentaje aumentará la salida de un foco eléctrico de 100 W y 120 V, suponiendo que su resistencia no cambia?

14) Cierto tostador tiene un elemento calefactor hecho de alambre de resistencia de nicromio. Cuando se conecta primero a una fuente de voltaje de 120 V (y el alambre está a una temperatura de 20.0 °C) la corriente inicial es de 1.80 A, pero empieza a disminuir cuando el elemento resistivo se caliente. Cuando el tostador ha alcanzado su temperatura de operación final, la corriente se ha reducido a 1.53 A (a) Determine la potencia que el tostador consume cuando se encuentra a su temperatura de operación (b) ¿Cuál es la temperatura final del elemento calefactor?

PREGUNTAS DE CIRCUITO DE CORRIENTE CONTINUA

8) ¿Cómo podría usted conectar resistores de manera que la resistencia equivalente sea más grande que las resistencias individuales? Dé un ejemplo que incluya dos o tres resistores

9) Cuando se conectan resistores en paralelo ¿de lo siguiente qué sería igual en cada resistor: ¿diferencia de potencia, corriente, potencia?

10) Si la corriente que circula por un cuerpo es la que determina qué tan serio será un choque eléctrico, ¿por qué vemos anuncios de peligro de alto voltaje en vez de alta corriente cerca de equipos eléctricos?

PROBLEMAS DE CIRCUITO DE CORRIENTE CONTINUA

15) Dos baterías de 1.50 V (con sus terminales positivas en la misma dirección) se insertan en serie dentro del cilindro de una linterna. Una de las baterías tiene una resistencia interna de 0.255 Ω y la resistencia interna de la otra es igual a 0.153 Ω. Cuando el interruptor se cierra, se produce una corriente de 600 mA en la lámpara. (a) ¿Cuál es la resistencia de la lámpara? (b) ¿Qué fracción de la potencia disipada ocurre en las baterías?

16) Una corriente en un circuito se triplica conectada un resistor de 500 Ω en paralelo con la resistencia del circuito. Determine la resistencia del circuito en ausencia del resistor 500 Ω

17) Calcule la potencia disipada en cada resistor en el circuito de la figura P2.17


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Figura P2.17

18) En la figura P2.18, encuentre (a) la corriente en el resistor de 20 Ω y (b) la diferencia de potencial entre los puntos a y b.

Figura P2.18

19) Determine la corriente en cada rama en la figura P2.19

Figura P2.19

20) Utilizando las reglas de Kirchhoff (a) encuentre la corriente en cada resistor en la figura P2.20 (b) Determine la diferencia de potencial entre los puntos c y f ¿Qué punto está al potencial más alto?

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