unidade2_vetores

Baseado em: Geometria Analítica – UnisulVirtual - autores: Mario Selhorst; Carlos Henrique Hobold

Prof. Mário Selhorst e-mail: [email protected]

26

2 - Vetores

2.1 - Sistemas de coordenadas bi e tridimensionais Para a representação de um ponto no plano são necessários dois números reais, que associados a dois eixos coordenados (retas reais perpendiculares), constituem um par ordenado que indica a posição do ponto. Se os eixos são denominados x e y, conforme na figura 1, o ponto A é definido pelo par ordenado (a, b). O par ordenado (a, b) corresponde as coordenadas do ponto A no plano xy

situado no espaço bidimensional )( 2R .

Para representar pontos no espaço tridimensional precisamos de três números reais e de três eixos coordenados

)( 3R . Geralmente chamamos estes eixos de x, y e z e são dispostos perpendicularmente entre si, x e y na

horizontal e z na vertical, cruzando-se mutuamente na origem 0. Um ponto P no espaço é definido por uma

tripla ordenada (a, b, c) de números reais, como na figura 2.2(a). Os três eixos coordenados determinam três

planos coordenados xy, xz e yz que dividem o espaço em oito octantes. O primeiro octante é aquele definido

pelos eixos positivos como mostrado na figura .

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1

A representação dos pontos

A (2, 1, 3) e C(-3, 2, 3) é a das

figuras:



27

2.2 - Vetores No nosso dia a dia estamos acostumados a diversas situações que na maioria das vezes passam despercebidas quanto ao seu significado. Por exemplo, quando ligamos a televisão e assistimos os noticiários, o jornalista informa que a temperatura mínima na cidade para o dia seguinte será de 17º C e máxima de 32º C ou quando ouvimos sobre a pavimentação de uma rodovia de com 22 km de extensão, ou ainda, que o preço de 1 kg de frango está 30% mais barato. Nas três situações descritas abordamos as grandezas temperatura, comprimento e massa, que na física recebem o nome de grandezas escalares.

Grandeza escalar é aquela que fica perfeitamente caracterizada por um número associado a uma unidade de medida.

Vamos agora considerar outra situação: Se eu dissesse que viajei 200 km, provavelmente alguém perguntaria, “para onde?”, ou seja, para que a informação fosse adequada deveríamos acrescentar, por exemplo, que viajamos de Florianópolis a Joinville, teríamos uma direção norte-sul, um sentido de Florianópolis a Joinville, e uma intensidade do deslocamento de 200 km. Esta situação é definida como grandeza vetorial, pois só falando em 200 km a informação fica muito vaga.

Grandeza vetorial é aquela que fica caracterizada quando conhecemos sua direção, seu sentido e sua intensidade.

Uma grandeza, que precisa ser caracterizada por uma direção, um sentido e um número chamado módulo (ou intensidade) é chamada de vetor. Vetor é ente matemático caracterizado por uma direção, um sentido e um módulo (ou intensidade).

Representamos vetor por um segmento orientado de reta →

AB , ou também por uma letra minúscula, com uma

flecha em cima ABBAv −==rr

. Na figura 4 representamos estas características.

Figura 2.4: Características de um vetor Agora vamos observar as situações representadas nas figuras. São segmentos orientados em diferentes posições.

Situação 1 Situação 2



28

Observe que nas duas situações,

os três segmentos têm mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido, por isso, podemos dizer que estes segmentos são eqüipolentes.

Se estes segmentos representam vetores, são vetores iguais?

São sim. Vetores iguais são representados por segmentos eqüipolentes. Assim os segmentos cbarrr

, ,

representam vetores iguais, assim como fedrrr

, , . Observe agora a situação 3, na figura ao lado, onde também representamos segmentos orientados. Os segmentos orientados têm o mesmo comprimento, mesma direção e sentidos contrários, e são denominados vetores opostos. Na situação 4, representada na figura ao lado, os segmentos orientados são

somente paralelos, representando vetores paralelos: cbarrr

//// Observação: Quando a origem de um vetor coincide com a extremidade, é denominado vetor nulo e

representado por 0 ou AA , isto é, não possui direção, sentido ou intensidade. Um vetor bastante utilizado é o chamado vetor unitário ou versor, cujo módulo é 1. Em geral, se 0≠a

r, então o

vetor que tem a mesma direção e sentido de ar

e módulo 1 é o vetor unitário de ar

. Exemplo 1: Na figura, representamos um vetor unitário v

rde um vetor u

r de módulo 4.

Observação: Num vetor vr

, unitário, temos 1=vr

. Na

figura, 4=ur

e 1=vr

.

Os vetores podem ser representados e utilizados no espaço bidimensional e tridimensional. Se a origem e a extremidade de diversos vetores estão situadas num mesmo plano ou não, estes são denominados coplanares ou não coplanares, como nas figuras seguintes.



29

Vetores coplanares Vetores não coplanares

Um pouco de História

Os Vetores surgiram no início do século XIX com trabalhos de Caspar Wessel (1745--1818), Jean Robert Argand (1768--1822) e Carl Friedrich Gauss (1777--1855) que no estudo dos números complexos como pontos no plano bidimensional os representaram como segmentos de reta orientados com representação bidimensional. Diversos matemáticos e cientistas trabalharam na mesma época com este tipo de representação, sem a denominação de vetores, mas como pares ordenados de números reais. Avanço significativo houve em 1827 com August Ferdinand Möbius quando publicou um pequeno livro, The Barycentric Calculus, no qual introduziu diretamente segmentos de reta denotados por letras do alfabeto, vetores na essência, mas ainda não no nome. No seu estudo de centros de gravidade e geometria projetiva, Möbius desenvolveu uma aritmética destes segmentos de reta; adicionou-os e mostrou como multiplicá-los por um número real. Seus interesses estavam em outro lugar, e ninguém se importou em notar a importância destes cálculos (Eves, 2002, p.491). 2.3 – Operações com Vetores Nesta seção estaremos tratando das operações com vetores, especificamente, a adição e a subtração, produto de vetores por números reais e a representação de vetores no plano e no espaço. Quando operamos grandezas escalares, usamos apenas regras aritméticas e a unidade de medida da grandeza. Exemplo 1: Grandezas como massa de um corpo, distância entre dois pontos e volume de um líquido, são grandezas escalares e podem ser somadas aritmeticamente, mantendo a unidade de medida:

kgkgkg 7 5 2 =+

kmkmkm 500030002000 =+

mlmlml 725 =+ Quando lidamos com grandezas vetoriais, o cálculo aritmético vem acompanhado com a interpretação e representação gráfica, pois além do módulo, trabalhamos também com a direção e o sentido do vetor que representa a grandeza. Exemplo 2: Vamos considerar um carro que sai da cidade A e percorre 40 km em linha reta para o Sul, atingindo a cidade B; em seguida, percorre mais 30 km, a partir da cidade B, para o Oeste, até chegar a cidade C.. Qual é a distância que separa a cidade A da cidade C?



30

Para resolver a questão temos que considerar as referências dadas para os deslocamentos. Na figura, representamos estes deslocamentos.

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, temos que:

( ) ( ) 50250090016003040 22222222 =⇒=⇒+=⇒+=⇒+= ddddBCABd , logo a distância da

cidade A até a cidade C, é de km50 , na direção e sentido previstos. Observação: As grandezas vetoriais exigem a utilização de representações gráficas. Para resolvermos problemas que envolvam adição de vetores vamos recorrer a duas regras conhecidas: a regra do polígono e a regra do paralelogramo. Vamos ver como funcionam.

2.3.1 - Adição de Vetores Regra do polígono A soma de dois vetores u

r e v

r, representados na figura se dá transportando o vetor u

r, mantendo sua direção,

sentido e comprimento, e, a partir da extremidade desse vetor, transportamos o segundo vetor vr

mantendo também suas características. Ligamos a origem do primeiro vetor u

r com a extremidade do segundo vetor v

r e

obtemos o vetor sr

, que é a adição de ur

e vr

.

Observação: Para determinar a adição de mais vetores procede-se da mesma maneira, ligando cada um deles a extremidade do anterior, mantendo o módulo, a direção e o sentido, até desenhar todos. O vetor resultante da adição se obtém ligando a origem do primeiro com a extremidade do último vetor representado. Regra do paralelogramo Esta regra utiliza a representação de um paralelogramo construído sobre cada dois vetores a serem somados. Na soma de dois vetores u

r e v

r transportamos os dois vetores, fazendo que suas origens coincidam e, pela

extremidade de cada um dos vetores, traça-se uma reta paralela ao outro, construindo um paralelogramo a partir de suas extremidades. A soma s

rde u

r e v

ré o vetor que corresponde a diagonal desse paralelogramo.



31

Observação: A diferença de vetores é definida através da operação soma, do primeiro vetor com o oposto do

segundo vetor. Se dr

é o vetor diferença entre ar

e br

temos a operação )( badbadrrrrrr

−+=⇒−= , conforme representamos na figura.

Logo, para subtrairmos um vetor de outro, vamos somar o oposto desse vetor ao outro. 2.3.2 - Propriedades da Adição de Vetores A adição de vetores apresenta algumas propriedades peculiares à adição de escalares.

Sejam dados cbarrr

e , , vetores quaisquer, então:

a) abbarrrr

+=+ (comutativa)

b) )()( cbacbarrrrrr

++=++ (associativa)

c) aarrr

=+ 0 (elemento neutro)

d) 0)(rrr

=−+ uu (elemento simétrico) 2.3.3 - Produto de um número real por um vetor É possível multiplicar um vetor por um número real. O produto de um número real ou escalar diferente de zero por um vetor mantém a mesma direção do vetor original, enquanto que a direção e o módulo dependem do número real. O novo vetor diminui, aumenta de tamanho e até pode mudar o sentido se o número tiver sinal negativo, preservando a mesma direção. Exemplo 1 Seja a

r o vetor dado, podemos multiplicar este por números reais conforme representado na figura.



32

A multiplicação de vetores também tem suas propriedades. Seja a

r e b

rvetores quaisquer e c e d números reais

temos:

a) bcacbacrrrr

+=+ )( (distributiva)

b) adacadcrrr

+=+ )( (distributiva)

c) )()( adcacdrr

= (associativa)

d) aarr

=⋅1 (elemento neutro) 2.4 - Vetores como combinação linear dos vetores da base ortogonal i, j e k; Até agora tratamos os vetores exclusivamente do ponto de vista geométrico, como segmento de reta orientado.

Os vetores também podem ser associados com os sistemas de coordenadas do plano )( 2R e do espaço )( 3R .

a) Vetores no plano )( 2R Para representar vetores no plano, podemos utilizar como base os vetores cujas origens são a origem do plano cartesiano xy e extremidades os pontos

)0,1( e )1,0( , conhecidos respectivamente como vetores ir

e jr

, as vezes simplesmente representados por i e j, conforme a figura.

Observação: A base formada pelos vetores ir

e jr

é chamada de base canônica que é particularmente importante por estar associada à representação cartesiana usual da geometria plana. Os vetores e os pares ordenados compartilham os mesmos pontos do plano cartesiano.

Conhecidos os vetores ir

e jr

, de módulo 1, qualquer vetor vr

do plano cartesiano pode ser decomposto

segundo as direções de ir

e jr

, ou seja, temos que determinar dois vetores cujas direções sejam ir

e jr

, e cuja

soma seja vr

. Considerando a multiplicação de um vetor por um escalar

(número real), podemos indicar o vetor vr

como a soma dos vetores ir

e jr

multiplicados pelos escalares a e b convenientes.

Temos então, o vetor jbiavrrr

+= , que pode ser representado no plano

usando as projeções ortogonais das extremidades de vr

sobre os eixos coordenados x e y, determinando ali os componentes escalares a e b, da representação vetorial. A figura ao lado ilustra essa decomposição. Assim, qualquer vetor no plano xy pode ser expresso em função da base

padrão ir

e jr

.



33

Um vetor bidimensional jbiavrrr

+= pode ser representado genericamente por um par ordenado:

jbiavrrr

+= pode ser representado por ),( bav =r

ou bav ,=r

Exemplo 2

Vejamos a representação genérica de vetores com base ortogonal ir

e jr

para os vetores:

a) )0,1(0,1 ==ir

b) )1,0(1,0 ==jr

c) )3,2(3,232 ==+= jivrrv

d)

−=−=+−=

5

3,1

5

3,1

5

3jiurrr

Exemplo 3

O vetor jiwrrr

22

3+= tem a representação gráfica conforme a figura

Considerando esta modalidade de representação, a adição de dois vetores ),( 11 bau =r

e ),( 22 bav =r

define-se como: ),( 2121 bbaavu ++=+

rr

A multiplicação de um vetor ),( bau =

r por um escalar c define-se como:

),( cbcauc =⋅r

Exemplo 4

Se jiurrr

32 += e jivrrr

−= 4 , determine vurr

+ , vurr

− , ur

2 , vurr

32 + .

a) vurr

+

)2,6()1,4()3,2( =−+=+ vurr

, ou seja, jivurrrr

26 +=+ b) vu

rr−

)4,2()1,4()3,2( −=−−=− vurr

, ou seja, jivurrrr

42 +−=− c) u

r2

)6,4()3,2(22 =⋅=ur

, ou seja, jiurrr

642 += d) )3,16()3,12()6,4()1,4(3)3,2(232 =−+=−⋅+⋅=+ vu

rr, ou

seja, jivurrrr

31632 +=+



34

Matemática e informática

Alguns softwares matemáticos permitem fazer cálculos com vetores e representá-los graficamente. Entre eles

estão o Derive, já comentado, e o GeoGebra, um software gratuito que relaciona a geometria plana com a

álgebra e o cálculo. O GeoGebra pode ser obtido fazendo download do site www.geogebra.at e é constituído de

duas janelas paralelas, uma gráfica e outra algébrica, e uma barra de entrada de dados na parte inferior da

interface. É um software de geometria dinâmica cuja principal característica é a possibilidade de “arrastar” os

objetos construídos (com o ponteiro) preservando suas propriedades e atualizando suas características. Com

vetores é possível, entre outras, representar, adicionar, subtrair e multiplicar vetores, calcular vetor unitário e

vetores perpendiculares. Para representar os vetores é conveniente exibir os eixos coordenados e a malha, para

melhor visualização.

Faça o download do programa, instale-o, faça a exploração básica de suas funções e utilize-o.

b) Vetores no espaço tridimensional )( 3R Quando estivermos tratando com vetores no espaço tridimensional, vamos utilizar como base os vetores cujas origens são a origem do plano cartesiano xyz e extremidades os pontos )0,0,1( , )0,1,0( e )1,0,0( , constituindo os

vetores ir

, jr

e kr

, denominada base canônica, representados na figura ao lado. Alguns autores utilizam simplesmente i, j e k.

Assim como no plano, qualquer vetor vr

do espaço tridimensional pode ser decomposto segundo as direções de

ir

e jr

e kr

, ou seja, podemos determinar três vetores cujas direções sejam ir

, jr

e kr

, e cuja soma seja vr

.

Considerando a multiplicação de um vetor por um escalar (número real), podemos indicar o vetor vr

como a

soma dos vetores ir

, jr

e kr

multiplicados pelos escalares a, b e c convenientes.

Similar aos vetores no plano, temos o vetor kcjbiavrrrr

++= , que pode ser representado no sistema cartesiano xyz usando as projeções ortogonais das extremidades de v

r sobre os eixos

coordenados x, y e z, determinando ali os componentes escalares a, b e c, da representação vetorial. A figura ao lado ilustra essa decomposição.

Assim, qualquer vetor no espaço xyz pode ser expresso em função da base padrão ir

, jr

e kr

.

Um vetor tridimensional kcjbiavrrrr

++= pode ser representado genericamente por uma tripla ordenada:

kcjbiavrrrr

++= pode ser representado por ),,( cbav =r

ou cbav ,,=r

As operações com vetores no )( 3R são realizadas tal como no plano.



35

Exemplo 5

Dados os vetores kjisrrrr

62 +−= e kjiwrrrr

−−= 2 , determine wsrr

+ , wsrr

− , wr

3

1− .

a) wsrr

+

)5,3,3()1,2,1()6,1,2( −=−−+−=+ wsrr

, ou seja, kjiwsrrrrr

533 +−=+

b) wsrr

−

)7,1,1()1,2,1()6,1,2( =−−−−=− wsrr

, ou seja, kjiwsrrrrr

7++=−

c) wr

3

1−

)3

1,

3

2,

3

1()1,2,1(

3

1

3

1−=−−⋅−=− w

r, ou seja, kjiw

rrrr

3

1

3

2

3

1

3

1++−=−

Observação: Um vetor jbiaurrr

+= do plano pode ser representado como um vetor kcjbiawrrrr

++= do espaço tridimensional considerando a componente c igual a zero. Afinal, o plano xy está contido no espaço xyz. Exemplo 6

Determine wurr

+ , wurr

3− , sendo jiurrr

53 += e kjiwrrrr

42 ++−= a) wu

rr+

)4,6,1()4,1,2()0,5,3( =−+=+ wurr

, ou seja, kjiwurrrrr

46 ++=+ b) wu

rr3−

)12,2,9()12,3,6()0,5,3()4,1,2(3)0,5,3(3 −=−−=−⋅−=− wurr

, ou seja, kjiwurrrrr

12293 −+=− No início desta seção, descrevíamos que um vetor v

r de origem A e extremidade B pode ser expresso como uma

diferença: ABABv −==r

. Vamos analisar um exemplo. Exemplo 7

Se vr

é um vetor com origem no ponto A(1, 4) e extremidade no ponto B(5, 6), determine o vetor vr

como a

diferença ABABv −==r

ABABv −==r

)2,4()4,1()6,5( =−=vr

, ou seja, jivrrr

24 += Graficamente, podemos observar na figura ao lado que o vetor

AB é o mesmo que o vetor ABABv −==r

, ou seja, corresponde a um vetor de origem zero. O vetor v

r é representante

do vetor AB . O que podemos então concluir? Ë fácil: o vetor v

r é o

representante na origem do sistema, de qualquer vetor que possui mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento de v

r.



36

Se considerarmos um outro vetor →

CD com origem no ponto )3,5(C e extremidade no ponto )5,9(D , temos

)2,4()3,5()5,9( =−=−=→

CDCD , portanto igual a vr

, que é representante também do vetor →

CD . 2.5 - Módulo ou norma de um vetor

O módulo, ou magnitude, ou norma, ou comprimento de um vetor vr

, representado por vr

é o comprimento de

qualquer um dos seus representantes e é calculado pela fórmula da distância entre dois pontos no plano, ou seja, a distância entre a origem 0 e a extremidade do vetor.

Se ),( bajbiav =+=rrr

é um vetor bidimensional como na figura 2.25, e aplicando o teorema de

Pitágoras no triângulo retângulo OAB formado, tem-se que: 222bav +=

r, logo

22 bav +=r

Se ),,( cbakcjbiav =++=rrrr

é um vetor tridimensional, como na figura abaixo, tem-se dois triângulos retângulos: OAB e OBC. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo OAB, obtém-se que

222baOB += e no triângulo OBC tem-se que 222

cOBv +=r

.

Substituindo ter-se-á: 2222cbav ++=

r

E assim, 222 cbav ++=

r

Exemplo 8

Se )4,1(=wr

e )1,2,2( −=mr

, calcule wr

e mr

.

1741 22 =+=wr

391)2(2 222 ==+−+=mr

2.6 - Vetor unitário ou versor de um vetor Se tomarmos qualquer vetor diferente do vetor nulo, e dividirmos pelo seu módulo, teremos um novo vetor de mesma direção e sentido, seu módulo será igual a 1. Este vetor representa a unidade do vetor considerado para o

problema. Assim para o vetor vr

, diferente do vetor nulo, o seu versor ou vetor unitário será v

vr

r

.



37

Exemplo 9:

Dado o vetor )2,2,1(−=vr

, o seu versor v

vu r

rr

= pode ser obtido calculando primeiro o módulo do vetor vr

:

3944122)1( 222 ==++=++−=vr

Logo:

−=

−==

3

2,

3

2,

3

1

3

)2,2,1(

v

vu r

rr

Podemos verificar se o módulo do vetor obtido é realmente 1, calculando vr

:

119

9

9

4

9

4

9

1

3

2

3

2

3

1222

===++=

+

+

−=u

r

Observação: Os vetores i

r, jr

e kr

são exemplos de versores ou vetores unitários. Exemplo 10

Determine o versor ur

do vetor )4,1(=wr

a) O módulo do vetor 1741 22 =+=wr

Sendo w

wu r

rr

= , temos que

===

17

4,

17

1

17

)4,1(

w

wu r

rr

.

Se houver necessidade de conferir o módulo do vetor u

r obtido, fazemos:

1117

17

17

16

17

1

17

4

17

122

===+=

+

=u

r

2.7 – Produto de Vetores Nesta seção trataremos dos produtos de vetores, denominados produto escalar, produto vetorial e produto misto, bem como a interpretação geométrica destes produtos.



38

2.7.1 - Produto escalar Qual é o significado físico do produto escalar?

Segundo (Halliday, 2002) uma força fr

constante que atua sobre um corpo e este corpo sofre um deslocamento

dr

, o produto interno entre a força fr

e o deslocamento dr

, e se representa por w , é o trabalho w realizado para mover o corpo.

O autor exemplifica com uma situação em que um corpo de massa m se move sob ação de uma força fr

, que forma um ângulo α com a direção do movimento. O corpo parte da posição A para a posição B, conforme a

figura abaixo. Usando conceitos da Física estabelece que o trabalho )(w da força fr

é dado por

αcosdfwrr

⋅= , que é caracterizado por um produto de dois vetores, denominado produto escalar.

Trabalho de uma força

Matematicamente o produto escalar ou interno de dois vetores ur

e vr

representa um número que é expresso por:

αcos⋅⋅=• vuvurrrr

onde α é a medida do ângulo formado entre os vetores ur

e vr

, e 00 1800 ≤≤ α . Graficamente pode ser representado como na figura.

Podemos observar que αcosvr

é exatamente o comprimento da projeção do vetor vr

sobre ur

.

Propriedades do produto escalar

Quaisquer que sejam os vetores u

r, vr

, wr

e Rm ∈ , temos:

I) uvvurrrr

•=• II) wuvuwvu

rrrrrrr•+•=+• )(

III) )()()( vmuvumvumrrrrrr

•=•=• Para realizar o produto escalar de dois vetores consideramos suas componentes cartesianas e as propriedades já relacionadas, conforme apresentamos a seguir:



39

Expressão cartesiana do produto escalar

Sejam os vetores kcjbiaurrrr

111 ++= e kcjbiavrrrr

222 ++= , temos que:

)()( 222111 kcjbiakcjbiavurrrrrrrr

++•++=• Aplicando a propriedade II, obtemos a expressão:

)(

)()(

212121

212121212121

kckcjbkciakc

kcjbjbjbiajbkciajbiaiaiavurrrrrr

rrrrrrrrrrrrrr

•+•+•+

+•+•+•+•+•+•=•

Considerando a propriedade III podemos organizar o produto agrupando escalar com escalar e vetor com vetor:

=•+•+•

+•+•+•+•+•+•=•

kkccjkbcikac

kjcbjjbbijabkicajibaiiaavurrrrrr

rrrrrrrrrrrrrv

212121

212121212121

Resolvendo os produtos escalares com kjirrr

e , sendo vetores unitários, obtemos:

11110cos

11110cos

11110cos

0

0

0

=⋅⋅==•

=⋅⋅==•

=⋅⋅==•

kkkk

jjjj

iiii

rrrr

rrrr

rrrr

e ainda

001190cos 0 =⋅⋅==• jijirrrr

, consequentemente pela propriedade I, 0=• ijrr

001190cos 0 =⋅⋅==• kjkjrrrr

, consequentemente pela propriedade I, 0=• jkvr

001190cos 0 =⋅⋅==• kikirrrr

, consequentemente pela propriedade I, 0=• kirr

Concluímos que a expressão cartesiana do produto escalar é:

212121 ccbbaavu ++=•rr

Exemplo 1:

Dados os vetores )1,1,2( −=ar

e )4,2,3( −=br

, calcule barr

• . Para resolver basta utilizar a expressão cartesiana do produto escalar:

1242641)2()1(32 =++=⋅+−⋅−+⋅=• barr

Exemplo 2:

Dados os vetores )3,2(=ur

e )1,6(=vr

, calcule o produto escalar vurr

• .



40

Distância entre dois pontos

A distância entre os pontos ),,( 1,11 cbaA e ),,( 222 cbaB do espaço pode ser definida como sendo o

comprimento do vetor →

AB conforme figura:

O comprimento do vetor →

AB se obtém calculando o módulo da diferença entre os dois pontos:

),,( 121212 ccbbaad

ABABd

−−−=

−==→

212

212

212 )()()( ccbbaad −+−+−=

Exemplo 2:

Calcule a distância entre os pontos )1,2,1( −−A e )2,4,2( −B

14)1(23

))1(2()24())1(2(

222

222

=−++=

−−−+−+−−=

d

d

Ângulo entre dois vetores

Da definição de produto escalar temos que αcosvuvurrrr

=• .

Se u

r e v

r são diferentes do vetor nulo podemos isolar a expressão αcos e assim,

vu

vurr

rr•

=αcos

que nos permite determinar o ângulo existente entre os dois vetores. Exemplo 3: Calcular o ângulo entre os vetores:

a) jimrrr

23 −= e jinrrr

24 +=

b) kjiurrrr

352 −+= e kjivrrrr

−−= 2 .



41

Resolvendo:

a) Como nm

nmrr

rr•

=αcos , precisamos calcular o produto escalar nmrr

• , como no exemplo 1, e o módulo de

cada um dos vetores jimrrr

23 −= e jinrrr

24 += :

2024

13)2(3

84122)2(43

22

22

=+=

=−+=

=−=⋅−+⋅=•

n

m

nm

r

r

rr

Se nm

nmrr

rr•

=αcos , então

4961,0cos2013

8cos

≅

⋅=

α

α

Utilizando uma calculadora e calculando o inverso da função cosseno, temos:

025,60

)4961,0(

≅

≅

α

α arctg

b) Como vu

vurr

rr•

=αcos , calculamos inicialmente o produto escalar vurr

• e o módulo de cada um dos vetores

kjiurrrr


−−= 2 .

6)1()2(1

38)3(52

53102)1()3()2(512

222

222

=−+−+=

=−++=

−=+−=−⋅−+−⋅+⋅=•

v

u

vu

r

r

rr

Se vu

vurr

rr•

=αcos , então

3311,0cos638

5cos

−≅

⋅

−=

α

α

Utilizando uma calculadora e calculando o inverso da função cosseno, temos:

033,109

)3311,0(

≅

−≅

α

α arctg

Observação:

Se dois vetores u e v forem ortogonais, seu produto escalar será igual a zero, pois 090cos =o.

0=• vurr



42

Exemplo 4

Verifique se os vetores )3,2,1(−=ar

e )0,1,2(=br

, são ortogonais?

Resposta: Devemos verificar se 0=• barv

00220.31.22.1 =++−=++−=• barr

, logo os vetores são ortogonais. Ângulos diretores Um vetor forma ângulos com os eixos x, y, e z, chamados ângulos diretores, conforme a figura.

Utilizando a formula do ângulo entre dois vetores,

vu

vurr

rr•

=αcos podemos deduzir que o ângulo formado

pelo vetor ),,( cbav =r

com o eixo x, é o mesmo que o

ângulo formado entre o vetor vr

o vetor unitário ir

.

v

a

v

cba

iv

ivrrrr

rr

=⋅

•=

•=

1

)0,0,1(),,(cosα

O ângulo formado pelo vetor v

rcom o eixo y, é o mesmo que o ângulo formado entre o vetor v

ro vetor unitário

jr

, conforme figura 2.31.

v

b

v

cba

jv

jvrrrr

rr

=⋅

•=

•=

1

)0,1,0(),,(cos β

O ângulo formado pelo vetor vr

com o eixo z, é o mesmo ângulo formado entre o vetor vr

o vetor unitário kr

, conforme figura 2.31.

v

c

v

cba

kv

kvrrrr

rr

=⋅

•=

•=

1

)1,0,0(),,(cosδ

Exemplo 5.

Calcular o ângulo que o vetor kjimrrrr

432 +−= forma com os eixos coordenados x, y e z. Resolução: Devemos achar primeiramente o módulo do vetor m

r, para depois calcular os cossenos dos ângulos

δβα e , e finalmente, os ângulos.

294)3(2 222 =+−+=mr

o

m

x2,68371,0arccos371,0cos

29

2cos ≅⇒=⇒=⇒== αααα r

o

m

y8,123)557,0arccos(557,0cos

29

3cos ≅⇒−=⇒−=⇒

−== ββββ r

o

m

z0,42743,0arccos743,0cos

29

4cos ≅⇒=⇒=⇒== δδδδ r



43

2.7.2 - Produto vetorial O que significa produto vetorial? Na física o produto vetorial representa o torque τ , para os engenheiros significa momento. Torque é uma palavra que vem do latim e significa torcer, pode ser identificada como a ação de girar ou de torcer de uma força. Vamos partir da seguinte situação: Na hora que usamos o saca-rolha para abrir uma garrafa de vinho estamos

aplicando uma força fr

sobre ele, fazendo-o girar para penetrar na rolha conforme figura a) abaixo. Na figura, o

braço do saca-rolha, que vai do centro até a extremidade, é chamado de alavanca e corresponde a um vetor rr

.

Definimos o módulo do vetor torque τr

como sendo o produto do vetor comprimento rr

e a intensidade da

força fr

pelo seno do ânguloα formado entre fr

e rr

, sendo que fr

e rr

estão no mesmo plano.

Assim sendo ατ senfrrrr

= .

O vetor torque τr

é perpendicular a fr

e rr

. É expresso pela equação frrrr

×=τ , a qual define como produto vetorial.

Na situação inversa, de retirar o saca-rolha, a ação dos vetores se dá conforme a figura b), ou seja, frrrr

×−=τ . a) Forças num saca-rolha1 b) Forças num saca-rolha 2 A partir desta idéia, podemos definir produto vetorial ou externo. Dados dois vetores u

re v

r, não paralelos entre si, o produto vetorial ou externo, é um terceiro vetor que

apresenta as seguintes características: 1- A direção do vetor vu

rr× é perpendicular

aos vetores ur

e vr

; 2- Os sentidos dos vetores vu

rr, e vu

rr× nesta ordem

formam um triedro positivo; ou seja, se observado a partir de vu

rr× , u

r está situado a direta e v

r a esquerda,

conforme a figura.

3- Seu módulo é ,αsenvuvurrrr

=× onde α é a

medida do ângulo entre ur

e vr

.



44

Produto vetorial nulo

O produto vetorial é nulo, ,0rrr

=× vu quando um dos vetores for nulo ou quando os dois vetores forem

paralelos, isto é 0=αsen , ou seja, 00=α ou 0180 . Vetores paralelos Podemos tratar da condição de paralelismo de dois vetores

Sejam 0rr

≠u e 0rr

≠v . Os vetores ),,( 111 cbau =r

e ),,( 222 cbav =r

são paralelos, se acontecer a

condição vmurr

= , isto é, ),,(),,( 222111 cbamcba = , ou ),,(),,( 222111 mcmbmacba = .

Donde vem que: 21 maa = , 21 mbb = e 21 mcc = , consequentemente, 2

1

a

am = ;

2

1

b

bm = e

2

1

c

cm = , logo

2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a== é uma condição de paralelismo.

Observação: Se uma das componentes do vetor for zero então para que os vetores sejam paralelos a componente correspondente também terá que ser igual a zero. Exemplo 1 Verificar se os vetores )4,1,2( −=u

re )12,3,6( −−=vr

são paralelos?

Aplicando a condição 2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a== , obtemos

12

4

3

1

6

2

−=

−=

−.

Simplificando, resulta em 3

1

3

1

3

1== .

Verificada a igualdade, concluímos que os vetores são paralelos. Exemplo 2

Qual dever ser o valor de x para que os vetores )0,2,( −= xar

e )0,3,4( −=br

sejam paralelos?

Aplicando a condição 2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a== , obtemos

3

2

4 −

−=

x.

Não consideramos a terceira componente dos dois vetores pelo fato de ambas serem iguais a zero.

Da igualdade obtida, podemos escrever: 3

8

3

2

4=⇒

−

−= x

x

Propriedades do Produto Vetorial I) )( uvvu

rrrr×−=× (figura 2.35)

II) )()()( vmuvumvumrrrrrr

×=×=×

III) wuvuwvurrrrrrr

×+×=+× )(



45

Produto vetorial dos versores ir, jr

e kr

Em particular os versores ir, jr

e kr

, nesta ordem, formam um triedro positivo, representado na figura abaixo. E como você pode identificar um triedro positivo?

Digamos que fosse possível ficar em pé na posição do versor kr

, a sua direita estaria o versor ir e a sua

esquerda o versor jr

.

Triedro positivo Circunferência do produto vetorial Na prática, podemos utilizar a circunferência ou a regra da mão direita para efetuar o produto externo de dois desses versores. Na circunferência, o resultado é o versor faltante, de sinal positivo se no sentido anti-horário, negativo se no sentido horário. Exemplo 3:

a) kjirrr

=× b) jkirrr

−=× c) ijkrrr

−=× d) jikrrr

=× Exemplo 4: Casos particulares

Por serem paralelos 0rrr

=× ii , 0rr

=× jj e 0rrr

=× kk . Regra da mão direita

Podemos também aplicar a regra da mão direita para determinar o sentido do produto vetorial de dois vetores não nulos: colocamos a mão sobre o primeiro vetor u

r fechamos

para cima do vetor vr

, o polegar indica o sentido do vetor resultante do produto de vurr

× . Conforme a figura 2.38:



46

Expressão cartesiana do produto vetorial


111 ++= e kcjbiavrrrr

222 ++= , então:

)()( 222111 kcjbiakcjbiavurrrrrrrr

++×++=× Pela propriedade III, do produto vetorial, temos:

kckcjbkciakc

kcjbjbjbiajbkciajbiaiaiavurrrrrr

rrrrrrrrrrrrrr

212121

212121212121

×+×+×+

+×+×+×+×+×+×=×

Usando a propriedade II agrupamos escalar com escalar e vetor com vetor:

=×+×+×+

+×+×+×++×+×+×=×

kkccjkbcikac

kjcbjjbbijabkicajibaiiaavurrrrrr

rrrrrrrrrrrrrr

212121

212121212121

Resolvendo os produtos escalares conforme os exemplos 3 e 4 desta seção:

=−++−−=× ibcjacicbkabjcakbavurrrrrrrr

212121212121 Fatorando obtemos:

kbabajcaacibccbvurrrrr

)()()( 122121212121 −+−+−=× A expressão obtida corresponde ao determinante de uma matriz formada pelos vetores u

r e v

r.

222

111

cba

cba

kji

vu

rrr

rr=×

Exemplo 5:

Sendo dados os vetores kjiurrrr

−+= 23 e kjivrrrr

242 −−= , calcule vurr

× .

Inicialmente calculamos o determinante de vurr

× .

)16,4,8(16484641224

242

123 −−=−+−=−+−−−−=

−−

−=× kjiijkkji

kji

vurrrrrrrrr

rrr

rr

Exemplo 6:

Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores ar

2 e barr

− , sendo dados os vetores

)3,2,1(−=ar

e )1,0,2( −=br

.

Iniciamos a resolução calculando os vetores ar

2 e barr

− : )6,4,2()3,2,1(22 −=−=a

r

)4,2,3()1,0,2()3,2,1( −=−−−=− barr

Como o produto vetorial é um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores que compõe o produto, conforme a definição, podemos escrever:



47

423

642)()2(

−

−=−×

kji

baa

rrr

rrr.

Resolvendo o determinante

)8,10,4(8104)()2(

8121241816)()2(

−=+−=−×

+−+−−=−×

kjibaa

jikkjibaarrrrrr

rrrrrrrrr

Assim, o vetor simultaneamente ortogonal aos vetores ar

2 e barr

− é kjirrr

8104 +− .

2.7.3 - Produto misto Dados os vetores w e ,

rrrvu , tomados nesta ordem, chama-se

produto misto dos vetores w e ,rrr

vu ao número real

)( wvurrr

×• ou ),,( wvurrr

.

Podemos escrever que : αcos)( ⋅×=×• wvuwvurrrrrr

onde o1800 ≤≤ α .

Note que, se o ângulo entre ur

e wvrr

× for de 090 , já que wvrr

× é perpendicular a v

re w

r, os três vetores u

r, vr

e wr

serão coplanares (vetores no mesmo plano). Podemos então deduzir que para três vetores serem coplanares o produto misto

0)( =×• wvurrr

. Expressão cartesiana do produto misto


111 ++= , kcjbiavrrrr

222 ++= e kzjyixwrrrr

333 ++= , então:

Para determinar )( wvurrr

×• , determinamos por etapas o produto. 1ª etapa: Calculamos o produto vetorial

kabbajcaacibccbwv

jcaibckabkbajacicb

cba

cba

kji

wv

rrrrr

rrrrrr

rrr

rr

)()()( 323232323232

323232323232

333

222

−+−+−=×

=−−−++==×

2ª etapa: Calculamos o produto escalar

[ ]

321321321321321321

323213232132321

323232323232111

)(

)()()()(

)()()()()(

abcbaccabacbbcacbawvu

abbaccaacbbccbawvu

kabbajcaacibccbkcjbiawvu

−+−+−=×•

−+−+−=×•

−+−+−•++=×•

rrr

rrr

rrrrrrrrr

Que é equivalente ao determinante da matriz composta pelos componentes dos três vetores u

r, vr

e wr

envolvidos:



48

333

222

111

)(

cba

cba

cba

wvu =×•rrr

Exemplos

1) Dados os vetores kjiarrrr

232 −+= , kjibrrrr

−+= 2 e kicrrr

3−= , calcule:

a) )( cbarrr

×•

b) )()( cbbarrrr

×•+ Resolvendo:

a) Devemos calcular o determinante conforme a definição )( cbarrr

×• .

Assim sendo,

301

121

232

)(

−

−

−

=×• cbarrr

Calculando o determinante:

215139040312)(

3.1).3(2).1.(0)2.(2.10.1).2(1).1.(3)3.(2.2)(

−=−=+−++−−=×•

=−−−−−−−+−+−=×•

cba

cbarrr

rrr

b) )()( cbbarrrr

×•+ Primeiramente calculamos

)3,5,3()1,2,1()2,3,2( −=−+−=+ barr

Calculamos o produto misto )()( cbbarrrr

×•+ usando o determinante da expressão cartesiana do produto misto.

301

121

353

)()(

−

−

−

=×•+ cbbarrrr

Calculando:

2)()(

15060518)()(

5.1).3(3).1.(0)3.(2.10.1).3(1).1.(5)3(23)()(

−=×•+

++++−−=×•+

=−−−−−−−+−+−⋅⋅=×•+

cbba

cbba

cbba

rrrr

rrrr

rrrr

2) Verificar se os vetores )1,1,2( −−=u

r, )0,1,1(−=vr

e )2,3,2( −=wr

são coplanares.

Devemos mostrar que o produto misto 0)( =×• wvurrr

=

−

−

−−

=×•

232

011

112

)( wvurrr

156202304

)1).(1).(2()2.(0.31.1.23).1.(12.0).1()2.(1.2

=−=+−−−+=

=−−−−−−−−+−+−−=

Logo, como 01)( ≠=×• wvu

rrr, os vetores não são coplanares.



49

3) Determine o valor do componente x do vetor ar

para que vetores ar

, br

e cr

sejam coplanares, sendo dados

kxjiarrrr

−+−= 32 , kjibrrrr

32 −+−= e kjicrrrr

−+= 2 .

Se os três vetores são coplanares o produto misto 0)( =×• cbarrr

. Podemos escrever:

0

112

321

32

)( =

−

−−

−−

=×•

x

cbarrr

5

23

0364184

03)1()1()2()3(1)(221)1()(2)3(3)1(22

0

112

321

32

=

=−−++−

=⋅−⋅−−−⋅−⋅−−⋅⋅−⋅−⋅−+⋅−⋅+−⋅⋅−

=

−

−−

−−

x

xx

xx

x

Interpretação Geométrica do módulo do produto vetorial A interpretação geométrica do módulo do produto vetorial pode ser entendida a partir de um paralelogramo construído sobre dois vetores, conforme a figura. O paralelogramo da figura tem a área definida como o produto da medida da base b pela sua altura h, o seja hbAp ×= .

A base b do paralelogramo corresponde ao módulo

do vetor ur

, ou seja, ubr

= , assim, a área pode ser:

huÁreaABCD

r= , onde αα senvh

v

hsen

rr =⇒=

Substituindo, temos: αsenvuÁreaABCD

rr=

A expressão obtida corresponde ao produto vetorial de dois vetores u

r e v

r, definido anteriormente,

αsenvuvurrrr

=× .

Concluímos que o módulo do produto vetorial de dois vetores corresponde área do paralelogramo obtido pelas projeções paralelas aos vetores a partir dos seus vértices conforme a figura 2.40. Logo:

vuÁreaABCD

rr×=

Exemplo 1:

Calcule a área do paralelogramo cujos lados são construídos com os vetores ar

3 e barr

+ , onde )3,2,1( −−=ar

e

)4,1,0( −−=br

. Como o módulo do produto vetorial de dois vetores corresponde a área do paralelogramo construído sobre estes vetores, podemos considerar que:



50

( ) ( )baaAP

rrr+×= 3

Inicialmente determinamos os vetores ar

3 e barr

+ .

)7,1,1()4,1,0()3,2,1(

)9,6,3()3,2,1(33

−−=−−+−−=+

−−=−−⋅=

ba

arr

r

)3,30,33(33033

21963942

711

963)()3(

−=++−=

=+++−++−=

−−

−−=+×

kji

jikkji

kji

baa

rrr

rrrrrr

rrr

rrr

Como ( ) ( )baaAP

rrr+×= 3 , precisamos ainda calcular o módulo do vetor obtido:

( ) ( ) 22231998330)33()3,30,33(3 222 ==++−=−=+×= baaAP

rrr

Logo, 2223=PA unidades quadradas Exemplo 2:

Calcule a área do triangulo de vértices ),0,2,1(−A )1,4,1( −B e )3,2,0( −−C . O triângulo está situado no espaço tridimensional e pode ser representado de modo simplificado pela figura:

Da geometria elementar sabemos que a área de um triangulo é igual a medida da área de um paralelogramo dividido por dois. Assim podemos propor que a área do triângulo ABC corresponde à metade do módulo do produto vetorial dos dois

vetores AB e AC que determinam o paralelogramo. Logo,

2

ACABAABC

×=

Como não temos os vetores, temos que determiná-los a partir dos pontos que determinam os vértices, ou seja,

AB e AC .

kjiACAC

kjiABABrrr

rrr

34)3,4,1()0,2,1()3,2,0(

62)1,6,2()0,2,1()1,4,1(

−−=−−=−−−−=−=

+−=−=−−−=−=

Como 2

ACABAABC

×= , calculamos inicialmente o produto vetorial ACAB× .

)2,7,22(2722664818

2)3(1)4()6(1)4(211)6()3(

341

162

−=−+=+++−+=

=⋅⋅−−⋅⋅−−−⋅−⋅−⋅+⋅⋅+⋅−⋅−=

−−

−=×

kjikjikji

jikkji

kji

ACAB

rrrrrrrrr

rrrrrr

rrr



51

Calculando o módulo do produto vetorial:

537)2(722 222 =−++=× ACAB

Finalizando temos que a área do triângulo é

2

537

2=

×=

ACABAABC u.a (unidades de área).

Interpretação geométrica do módulo do produto misto A interpretação geométrica do módulo de um produto misto é desenvolvida a partir do cálculo do volume de um paralelepípedo construído sobre os três vetores que o compõem, conforme a figura. Para calcular o volume do paralelepípedo )( PPV

utilizamos, da geometria espacial, que hAbVPP ⋅= Vimos anteriormente que a área da base do paralelepípedo, que é um paralelogramo, é dado pelo

módulo do produto vetorial dos vetores vr

e wr

, ou seja, wvAbrr

×= .

Na figura observamos que αα cos cos ⋅=⇒= uhu

h rr

Como hAbVPP ⋅= , podemos escrever que αcos⋅⋅×= uwvVPP

rrr ou αcoswvuVPP

rrr×= .

A expressão obtida é igual ao produto misto de três vetores, αcos)( wvuwvurrrrrr

×=×• , logo:

)( wvuVPP

rrr×•=

, que corresponde ao volume do paralelepípedo. Exemplo 1:

Calcular o volume do paralelepípedo construído sobre os vetores kjiarrrr

32 ++= , kjibrrrr

22 +−= e

kjicrrrr

+−= 24 .

O volume do paralelepípedo é dado pelo módulo do produto misto dos vetores ar

, br

e cr

, ou seja,

)( cbaVPP

rrr×•= .

Inicialmente calculamos o produto misto )( cbarrr

×• .

291.1.12.2).2(3).2.(4)2.(1.34.2.11).2.(2

124

221

312

)( =−−−−−−++−=

−

−=×• cbarrr

Como )( cbaVPP

rrr×•=

2929 ==PPV u.v (unidades de volume)



52

Exercícios propostos A 1) Dados os vetores u

r e v

r da figura, mostrar graficamente um representante do vetor:

a) u

r + v

r

b) 2ur

- vr

c) 2 v

r - u

r

2) Represente analiticamente os vetores u

r, vr

, wv

e zr

representados na figura ao lado: 3) Determinar o vetor w

v na igualdade 3 w

v +2u

r = ½ v

r + w

v, sendo dados u

r = (3, -1) e v

r = (-2, 4)

4) Encontrar os números a1 e a2 tais que w

v = a1 u

r + a2 v

r, sendo u

r = (1,2), v

r = (4,-2) e w

v = (-1,8)

5) O que tem em comum os vetores representados na figura ao lado? Como escrever sua representação analítica?

6) Dados os pontos A(-1, 2), B(3, -1) e C(-2, 4), determinar D(x,y) de modo que ABCD2

1=



53

Exercícios propostos B



54



55

Exercícios Propostos C



56

Exercícios propostos D



57

Exercícios propostos E



58

Exercícios Resolvidos

1) Dados os vetores ar

, br

e cr

, representados na figura abaixo, apresentar um representante de cada um itens propostos:

a) ba

rr+

b) cbarrr

+− 2

2) Dados os pontos no 3R como )5,4,1(−A , )1,2,3(−B e )1,3,4( −C , determinar o vetor CBCArr

23 − .

3) Dados os vetores )2,3,4(=ur

, )1,2,1( −=vr

e )4,1,0(=wr

, calcule as operações wvurrr

32 +− e

)()(2 wvvurrrr

−−+ .

4)Sabendo que 22=ar

, calcule o valor de m no vetor kjmiarrrr

23 ++= .

5) Qual deve ser o valor de x para que os vetores )3,2,(xu =r

e )4,2,3( xv −=r

sejam ortogonais?

6) Considere o triângulo ABC de vértices )4,1,3( −−A , )0,1,4(−B e )1,2,3( −C . Determine o ângulo interno ao

vértice C desse triângulo.

7)Mostrar que 1coscoscos 222 =++ γβα , sendo α , β e γ os ângulos diretores de um vetor.

8) Os ângulos diretores de um vetor podem ser 045 , 030 e 030 ?

9)Uma força fr

, cuja intensidade é igual a N4 , desloca um carrinho por m8 , num plano horizontal, sem atrito.

A força fr

faz um ângulo de 060 com o deslocamento. Qual o trabalho realizado pela força fr

?

10)Dados os vetores )1,0,1(−=ur

, )1,1,2( −=vr

e )3,1,1( −=wr

, calcule os produtos vetorial e produto misto solicitados em cada item. a) )2()3( vu

rr×

b) )()( wvvurrrr

×•+

c) )()( uvvurrrr

−•+

11)Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores kjiurrrr


+−= 2 . 12) Calcule a área do triângulo ABC do exercício 6. 13)Verificar se os pontos )2,3,1(A , )0,1,1(−B , )0,3,0(C e )1,2,2( −−D estão no mesmo plano.



59

14)Dados os vetores )1,,2( −= mar

, )1,2,1( −=br

e )2,1,1( −=cr

. Calcular o valor de x para que o volume do

paralelepípedo determinado por ar

, br

e cr

seja igual a 9 u.v. (unidades de volume). 15)Calcular a intensidade do torque (ou momento)

sobre o segmento 20,0=AO m da figura a seguir quando giramos a ferramenta apertando o parafuso. RESPOSTAS - Vetores

1) a) barr

+

Vamos utilizar a regra do polígono. Para isso transportamos os vetores ar

e br

com mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento, fazendo com que a origem de

br

coincida com a extremidade de ar

. Ligando a origem de ar

com a extremidade de br

,

temos a soma de ar

e br

conforme mostramos na figura:

b) cbarrr

+− 2 Usando a regra do polígono, representamos: Tal como no item a, transportamos os vetores de modo que a origem de cada um deles coincida com a extremidade do anterior. O resultado da operação corresponde ao vetor que inicia na origem do primeiro vetor e termina na extremidade do último.

2) Primeiramente vamos determinar os vetores CAr

e CBr

.

)6,1,5()5,4,1()1,3,4( −−=−−−=−= ACCAr

)2,1,7()1,2,3()1,3,4( −=−−−=−= BCCBr

Calculando o valor da expressão CBCArr

23 − , temos:

)14,5,1()4,2,14()18,3,15()2,1,7(2)6,1,5(323 −−=−−+−−=−−−−=− CBCArr

ou kjirrr

145 −− 3) a) wvu

rrr32 +−

Calculando: )12,10,2()12,3,0()2,4,2()2,3,4()4,1,0(3)1,2,1(2)2,3,4(32 =+−−+=+−−=+− wvu

rrr

b) )()(2 wvvu

rrrr−−+

neste caso podemos calcular inicialmente algumas partes da expressão: )3,1,5()1,2,1()2,3,4( =−+=+ vu

rr

)3,3,1()4,1,0()1,2,1( −−=−−=− wvrr

Calculando o valor de toda a expressão, temos:



60

)9,5,9()3,3,1()6,2,10()3,3,1()3,1,5(2)()(2 =−−−=−−−=−−+ wvvu

rrrr

4) Sabemos que o módulo de um vetor vr

é dado por 222 cbav ++=r

.

Adaptando temos: 222 23 ++= ma

r, como 22=a

r

222 2322 ++= m , elevando os dois lados da igualdade ao quadrado

( ) ( )22222

2322 ++= m

4922 2 ++= m

13222 −=m

92 =m

9±=m 3±=m

Logo o valor de m pode ser 3− e 3. 5) Para que u

r e v

rsejam ortogonais devemos ter o produto escalar destes vetores nulo, ou seja, 0=• vu

rr.

Assim, 0)4,2,3()3,2,( =−• xx ,

04.3)2.(23 =+−+ xx

01243 =+− xx 12=− x multiplicando por ( 1− ), temos 12−=x

6) Fazendo um esboço do triângulo podemos representar os lados CB e CA como vetores. Para determinar o ângulo entre dois vetores u

r e v

r utilizamos

a expressão vu

vurr

rr•

=αcos , onde α é o ângulo entre os lados no vértice C.

Chamando de ur

o vetor CB e de vr

o vetor CA , temos a representação: Primeiramente determinamos os vetores u

r e v

r .

)1,3,7()1,2,3()0,1,4( −−=−−−=−== CBBCurr

)3,1,6()1,2,3()4,1,3( −=−−−−=−== CAACvrr

Em seguida, o produto escalar e o módulo desses vetores:

4233423).1(1.3)6).(7()3,1,6()1,3,7( =−+=−++−−=−•−−=• vurr

591949)1(3)7( 222 =++=−++−=ur

46913631)6( 222 =++=++−=vr

Calculando o ângulo com vu

vurr

rr•

=αcos , temos:

o27,362714

42arccos

2714

42cos

46.59

42cos ≅⇒=⇒=⇒= αααα

Logo o ângulo C mede aproximadamente 36,27°. 7) Considerando um vetor ),,( cbav =

r, os cossenos diretores de v

r são as expressões:

v

ar=αcos ,

v

br=βcos e

v

cr=γcos

Substituindo estas expressões na equação dada, temos:



61

1

1

1

1coscoscos

2

222

2

2

2

2

2

2

222

222

=++

=++

=

+

+

=++

v

cba

v

c

v

b

v

a

v

c

v

b

v

a

r

rrr

rrr

γβα

Como módulo do vetor ),,( cbav =r

é 222 cbav ++=r

, podemos escrever que 2222cbav ++=

r

Logo, se 12

222

=++

v

cbar então 1

222

222

=++

++

cba

cba, ou seja, 11 = .

Portanto, 1coscoscos 222 =++ γβα

8) Usando a relação demonstrada no exercício anterior, 1coscoscos 222 =++ γβα , e nomeando α , β e

γ , respectivamente como 045 , 030 e 030 , temos:

12

14

3

4

3

4

2

12

3

2

3

2

2

130cos30cos45cos222

020202

=

=++

=

+

+

=++

Como 12 ≠ , os ângulos descritos não satisfazem a condição e não são ângulos diretores de um vetor. 9) Desenhando podemos observar a situação

Definimos o trabalho w realizado por uma força fr

como αcosdfwrr

=

Assim, sendo 4=fr

, 8=dr

e 060=α , temos que o trabalho é:

162

32

2

1.8.4

60cos.8.4 0

===

=

w

w Logo Jw 16=

10) a) )2()3( vu

rr×

Inicialmente calculamos os vetores que compõem o produto vetorial: )3,0,3()1,0,1.(33 −=−=u

r

)2,2,4()1,1,2.(22 −=−=vr

Para calcular o produto vetorial utilizamos o cálculo do determinante dos componentes dos vetores. Assim temos:

kjijikkji

kji

vurrrrrrrrr

rrr

rr61866606120

224

303)2()3( ++=++−++=

−

−=×



62

b) )()( wvvurrrr

×•+ Neste caso, primeiro calculamos a adição e depois o valor do produto misto.

)2,1,1()1,1,2()1,0,1( −=−+−=+ vurr

O produto misto é equivalente ao determinante da matriz composta pelos componentes dos três vetores envolvidos:

189612413

311

112

211

)()( =−=+++−−−=

−

−

−

=×•+ wvvurrrr

c) )()( uvvurrrr

−•+

Já calculamos vurr

+ do item b, ou seja, )2,1,1()1,1,2()1,0,1( −=−+−=+ vurr

.

Também )0,1,3()1,0,1()1,1,2( −=−−−=− uvrr

Assim temos os vetores que compõem o produto escalar:

40130.2)1).(1(3.1)0,1,3()2,1,1()()( =++=+−−+=−•−=−•+ uvvurrrr

11) O resultado do produto vetorial vurr

× é o vetor que é simultaneamente ortogonal aos vetores ur

e vr

. Calculando o produto vetorial,

)6,8,1(68234262

112

322 −−−=−−−=−−−−−=

−

−=× kjijikkji

kji

vurrrrrrrrr

rrr

rr

Concluímos que kjivurrrrr

68 −−−=× é simultaneamente ortogonal a ur

e vr

.

Observação: Como não foi especificada a ordem dos vetores, o produto poderia ser na ordem )6,8,1(=× uvrr

,

que também é ortogonal a ur

e vr

.

12) A área de um triângulo é dado por 2

vuAt

rr×

= , sendo ur

e vr

os vetores que determinam dois dos lados do

triângulo. No exercício 6 os vetores obtidos foram )1,3,7( −−=u

r e )1,3,6(−=v

r, vamos calcular o determinante .

kjijikkji

kji

vurrrrrrrrr

rrr

rr24271021184269

316

137 −+=+++−+=

−

−−=×

Como 2

vuAt

rr×

= , ou seja, corresponde a metade do módulo do produto vetorial, escrevemos:

2

1405

2

576729100

2

)24(2710 222

=++

=−++

=tA u.a (unidades de área)

13) Se os pontos são coplanares então os vetores que podem ser construídos com estes pontos também são coplanares. Para que três vetores sejam coplanares o produto misto destes é nulo, ou seja, 0)( =×• wvu

rrr.

Como não temos os vetores ur

, vr

e wr

, começamos pela sua determinação. Podemos escolher qualquer um dos pontos A , B , C e D como a origem dos vetores u

r, vr

e wr

. Escolhemos o ponto A, como na figura seguinte. Assim temos:

)2,2,2()2,3,1()0,1,1( −−−=−−=−== ABBAurr



63

)2,0,1()2,3,1()0,3,0( −−=−=−== ACCAvrr

)3,1,3()2,3,1()1,2,2( −−−=−−−=−== ADDAwrr

Para que os três vetores sejam coplanares 0)( =×• wvu

rrr

Calculando 012126402120

313

201

222

)( =+−=++−−−=

−−−

−−

−−−

=×• wvurrr

Os vetores são coplanares, consequentemente os pontos estão no mesmo plano.

14) O volume de um paralelepípedo determinado por três vetores ar

, br

e cr

é dado pela expressão

)( cbaVPP

rrr×•= , ou seja, pelo módulo do produto misto. Assim temos:

722218

211

121

12

)( −−=−+−++−=

−

−

−

=×• mmm

m

cbarrr

Como 9=PPV e )( cbaVPP

rrr×•= , podemos escrever:

97 =−− m e resolvendo a equação modular temos que:

97 =−− m ou 97 −=−− m Resolvendo:

16167997 −=⇒=−⇒+=−⇒=−− mmmm 227997 =⇒−=−⇒+−=−⇒−=−− mmmm Logo o valor de m pode ser 16− ou 2 15) Podemos observar que a força de intensidade NF 4= está na direção do eixo z e forma um ângulo de

090 com o segmento AO . O vetor jAOrr

20,0= , por estar na direção do eixo y e o vetor força kfrr

4−= .

O vetor torque é dado pelo produto vetorial fAOrrr

×=τ .

Assim,

mNi

mNii

kji

rr

rr

rrr

r

80,0

80,020,0.4

400

020,00

−=

−=−=

−

=

τ

τ

Calculando a intensidade (ou módulo) do torque teremos:

( ) 80,080,0 2=−=τ

rmN .

Também podemos calcular utilizando a expressão

mNsen

senfr

80,01.80,0904.20,0 0 ===

=

τ

ατ

r

rrr

unidade2_vetores

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