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134

Declive e inclinação De uma reta5UNIDADE

TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS

Tarefa 1 Na figura está representada, num referencial o.n. xOy , a reta AB , em que A e B têm coordenadas (0, 2) e (4, 0) , respetivamente.

1.1 Determine a equação reduzida da reta AB .

1.2 Determine a amplitude do ângulo OBA . Apresente o resultado em graus, aproximado às unidades.

1.3 Considere a reta r , paralela a AB , que passa na origem do referencial, e um ponto P dessa reta de ordenada positiva.

Determine, em graus, a amplitude do ângulo convexo formado pelo semieixo positivo Ox e a semirreta OoP .

Apresente o resultado em graus, aproximado às unidades.

1.1 As coordenadas do vetor AB = B - A são (4, -2) ; logo,

m = 42-

= 21

- .

Assim sendo, a reta AB é dada por y = 21

- x + 2 .

1.2 Tem-se OA = 2 e OB = 4 .

Então, tan(OBAW ) = 42

= 21

, donde OBAW c 27° .

1.3 O ângulo pretendido tem de amplitude 180° - 27° = 153° .

1 No referencial o.n. da figura estão representadas duas retas r e s .

A reta s tem equação x = 1 .

1.1 Indique a amplitude do menor ângulo formado pelas retas r e s .

1.2 Determine a amplitude do ângulo que a reta r forma com o eixo Oy .

x

y

u2p102h1

O

A

B

x

y rs

u2p102h4

O

70º

1

000707 134-139 U5.indd 134 01/07/16 12:07

135

5UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA

1.1 Os ângulos formados pelas retas r e s têm amplitudes 90° - 70° = 20° e 90° + 70° = 160° . Portanto, a amplitude do menor ângulo formado pelas retas r e s é igual a 20° .

1.2 A amplitude é de 20°.

2 Considere, num referencial ortonormado, a reta r de equação y = 2x .

Determine um valor aproximado às décimas do grau da inclinação da reta r .

Seja a a inclinação da reta r . O ponto (1, 2) pertence à reta r , então,

tan a = 12

, donde a c 63,4° .

3 Determine a inclinação das retas que num referencial ortonormado são definidas por:

a) (x, y) = (2, -3) + k(-4, 4), k ! IR

b) x + 3y = 4

c) 2x + y = 1

Apresente o valor aproximado às décimas de grau.

a) O declive desta reta é dado por m = 4

4-

= -1 ; logo, é paralela à bissetriz

dos quadrantes pares.

Portanto, a inclinação da reta é 90° + 45° , ou seja, 135° .

b) x + 3y = 4 + y = 3

1- x +

3

4 +

+ y = 33

- x + 3

4 3

Esta reta interseta os eixos coordenados nos pontos de coordenadas

,03

4 3e o e (4, 0) .

Assim, a inclinação, a , da reta é tal que:

tan(180° - a) = 43

4 3

+ -tan a = 33

+

+ tan a = 33

-

Como 0° G a < 180° , conclui-se que a = 150° .

000707 134-139 U5.indd 135 01/07/16 12:07

136

Declive e inclinação De uma reta

c) 2x + y = 1 + y = -2x + 1

Esta reta interseta os eixos coordenados nos pontos de coordenadas (0, 1)

e ,21

0c m .

Assim, a inclinação, a , da reta é tal que:

tan(180° - a) =

211

+ -tan a = 2 +

+ tan a = -2

Como 0° G a < 180° , conclui-se que a c 116,6° .

4 Considere, num referencial o.n., a reta de inclinação 135° e que passa no ponto de coordenadas (2, -3) .

Determine a sua equação reduzida.

Seja m o declive da reta.

Então:

m = tan 135° = -tan 45° = -1

Logo, a equação reduzida da reta é da forma y = -x + b , e como (2, -3) pertence à reta, tem-se:

-3 = -2 + b + b = -1

Portanto, a equação reduzida da reta é:

y = -x - 1

5 Determine a inclinação das retas que num referencial ortonormado são definidas por:

a) (x, y) = (2, 3) + k(-2, 0), k ! IR

b) y = x + 1

c) y = 3x + 2

a) O declive desta reta é igual a 0 ; logo, a reta é horizontal.

Portanto, a inclinação da reta é 0° .

b) Esta reta tem inclinação 45° , pois o seu declive é 1 ( tan 45° = 1 ) .

c) Esta reta tem inclinação 60° , pois o seu declive é igual a 3

e tan 60° = 3 .

000707 134-139 U5.indd 136 01/07/16 12:07

137


6 No referencial o.n. xOy da figura estão representadas duas retas, r e s .

Sabe-se que:• aretar é definida pela equação

y = 2x - 1 ;• asretasr e s são perpendiculares e

intersetam-se no ponto de coordenadas (2, 3) ;• a é a inclinação da reta s .

6.1 Determine o valor exato de sin(r + a) - cos a .

6.2 Determine a equação reduzida da reta s .

6.1 Seja b a inclinação da reta r . Então:

b = r - 2r

- (r - a) = a + 2r

Por outro lado:

tan b = 2 + tan2

ar

+c m = 2 + cos

sin

2

2

ar

ar

+

+

c

c

m

m

= 2 +

+ sincos

aa-

= 2 + tan a = 21

-

Sabe-se também que:

1 + tan2 a = cos

12a

+ 1 + 21 2

-c m = cos

12a

+

+ cos2 a = 54

° °90 180+1 1a

cos a = 5

2 5-

Pela fórmula fundamental da trigonometria:

sin2 a = 1 - cos2 a + sin2 a = 1 - 54

+

+ sin2 a = 51

0 180° °

+1 1a

sin a = 55

Portanto: sin(r + a) - cos a = -sin a - cos a =

= -55

- 5

2 5-e o =

55

6.2 Pela alínea anterior, sabe-se que o declive da reta s é 21

- , já que

tan a = - 21

.

Assim, a ordenada na origem da reta s é dada por b = 3 + 21

× 2 = 4 .

Logo, a equação reduzida da reta s é y = 21

- x + 4 .

x

y

u2p104h3

O

3

2

s

r

a

000707 134-139 U5.indd 137 01/07/16 12:07

138

Declive e inclinação De uma reta

Tarefa 2 No referencial o.n. xOy da figura estão representadas duas retas, r e s .

Sabe-se que:

• aretar é definida pela equação (x, y) = (0, -1) + k(1, 1), k ! IR ;

• aretas é perpendicular à reta r e passa no ponto de coordenadas (0, 3) .

2.1 Determine a inclinação da reta r .

2.2 Determine a equação reduzida da reta s .

2.3 Calcule as coordenadas do ponto de interseção das retas r e s .

2.1 Um vetor diretor da reta r é (1, 1) ; logo, o declive é m = 1 .

Sendo a a inclinação, tem-se que tan a = 1 e, portanto, a = 45° .

2.2 O declive da reta s é dado por ms = tan(45° + 90°) = -tan(45°) = -1 .

Logo, a equação reduzida da reta s é y = -x + 3 , pois a ordenada na origem é 3 .

2.3 O ponto de interseção das duas retas é dado pela solução do seguinte sistema, em que a primeira equação é a equação reduzida da reta r com ordenada na origem -1 e declive 1 (por 2.1).

y x

y x

1

3

= -

=- +* +

x x3 1

———

- + = -( +

x

y

2

1

=

=*

O ponto de interseção tem coordenadas (2, 1) .

7 No referencial o.n. da figura estão representadas duas retas, r e t , e uma circunferência.

Sabe-se que:

• acircunferênciatemequaçãox2 + y2 = 1 ;

• ainclinaçãodaretar é 3

2r rad ;

• aretat tem equação x = 1 ;• opontoA pertence ao eixo das abcissas;• opontoB tem coordenadas (1, 0) ;• C é o ponto de interseção das retas r e t ;• D é o ponto de interseção da circunferência

com a reta r , com abcissa positiva;• ospontosA e D têm a mesma abcissa.Determine a área do trapézio [ABCD] .

x

y

u2p105h1

O

3s

r

x

y

u2p105h3

OA

D

C

B

r t

000707 134-139 U5.indd 138 01/07/16 12:07

139


Determine-se a equação reduzida da reta r :

O declive de r é tan 3

2r = - 3 .

Como a reta r passa na origem do referencial, a equação reduzida da reta r

é y = - 3x .

Determine-se as coordenadas do ponto D :

x y

y x

1

3

2 2+ =

=-* +

( )x x3 1

———

2 2+ - =) +

+ x

41

———

2 =*

x 0+2

x

y

21

23

=

=-*

Portanto, D ,21

23

-e o .

Determine-se as coordenadas do ponto C :

x

y x

1

3

=

=-* +

x

y

1

3

=

=-*

Portanto, C 1̂, - 3h .

Assim, a área do trapézio [ABCD] é dada por:

A[ABCD] = BC AD

2+

× AB = 2

323

21

#+

=

= 42

3 3

= 8

3 3 u. a.

000707 134-139 U5.indd 139 01/07/16 12:07

140

produto escalar de vetores6UNIDADE


6.1 Definição e aplicações

1 Num referencial o.n. xOy , a reta r tem equação y = -3x + 1 .

Determine a equação reduzida da reta s , perpendicular a r e que passa no ponto de coordenadas (-4, -1) .

Como o declive da reta r é igual a -3 , tem-se que o declive da reta s

é igual a 31

.

Assim, a ordenada na origem da reta s é dada por b = -1 - 31

× (-4) = 31

.

Logo, a equação reduzida da reta s é y = 31

x + 31

.

2 No referencial o.n. da figura, a reta t é perpendicular a [AB] , em que A e B têm coordenadas (-6, 2) e (5, 6) , respetivamente.

A reta t interseta o eixo das abcissas no ponto de abcissa 3 .

2.1 Determine a equação reduzida da reta t .

2.2 Seja a a inclinação da reta AB .

Determine cos a .

2.3 Escreva uma condição que defina a região colorida da figura.

2.4 Determine as coordenadas do ponto de interseção das retas t e AB .

2.1 O declive da reta que passa pelos pontos A e B é dado por

mAB = 5 66 2

+-

= 114

; portanto, o declive da reta t é mt = -4

11 .

Assim, a ordenada na origem da reta t é igual a b = 0 + 4

11 × 3 =

433

.

Logo, a equação reduzida da reta t é y = -4

11x +

433

.

u2p106h3

t

26 3

6

2

5 xO

A

B

y

000707 140-175 U6.indd 140 01/07/16 12:08

141


2.2 A inclinação, a , da reta AB é tal que tan a = 114

.

Então:1 + tan2 a =

cos1

2a + 1 +

114 2

c m = cos

12a

+

cos2 a = 137121

0 09° °

+1 1a

+ cos a = 137

11 137

2.3 Determine-se a equação reduzida da reta AB :

Sabe-se, por 2.1, que mAB = 114

; logo, a equação reduzida da reta AB

é da forma y = 114

x + b .

Substituindo as coordenadas do ponto A , obtém-se:

b = 2 - 114

× (-6) = 1146

Assim, y = 114

x + 1146

.

Portanto, a condição que define a região colorida da figura é:

y G 114

x + 1146

/ y H -4

11x +

433

/ y H 0 / x < 5

2.4 y x

y x

114

1146

411

433

= +

=- +* +

x x114

1146

411

433

———

+ =- +* +

+ x x16 121 363 184

———

+ = -( +

x

y

137179

411

137179

433

#

=

=- +* +

+ x

y

137179

137638

=

=*

O ponto de interseção das retas t e AB tem coordenadas ,137179

137638

d n .

3 Considerando como unidade de comprimento o lado da quadrícula, determine u v$ .

a) b) c)

a) u $ v = 2 × 3 = 6 b) u $ v = -1 × 2 = -2 c) u $ v = -1 × 2 = -2

u2p107h3

v

u

u2p107h4

u v

u2p107h5

u

v

000707 140-175 U6.indd 141 01/07/16 12:08

142

produto escalar de vetores

4 Considere o retângulo representado na figura ao lado.

Prove que:

BA $ BD = AB2

A projeção ortogonal do ponto D na reta AB é o ponto A ; logo:

BA $ BD = BA × BA = BA2 = AB

2 = AB

2

5 Na figura está representado um paralelepípedo retângulo, em que na unidade de comprimento fixada AB = 6 , BC = 5 e CG = 4 .

Determine:

a) AB $ AF

b) AB $ DC

c) BF $ FG

d) AD $ FG

a) AB $ AF = 6 × 6 = 36

b) AB $ DC = 6 × 6 = 36

c) FB $ FG = 4 × 0 = 0

d) AD $ GF = -5 × 5 = -25

6 Determine o produto escalar de u e v em cada caso:

a) u = 3 e v = 2 b) u = 3,2 e v = 1,5

a) u $ v = u v cos u v_ iT = 3 × 2 × cos 30° = 6 × 23

= 3 3

b) u $ v = u v cos u v_ iT = 3,2 × 1,5 × cos 3

2r = 3,2 × 1,5 × sin

6r

-c m =

= 3,2 × 1,5 × (-0,5) = -2,4

u2p108h3

D C

A B

u2p109h3

A

E

H G

B

CD

6

5

4F

u2p110h4

30º u

v

u2p110h5

u

v 2p3}

000707 140-175 U6.indd 142 01/07/16 12:08

143


7 Considere o cubo [ABCDEFGH] de aresta 3 , representado na figura.

Indique, utilizando letras da figura, dois vetores cujo produto escalar seja igual a:

a) 9

b) 18

c) 0

d) -18

a) Por exemplo, AB e DC .

b) Por exemplo, AB e 2DC .

c) Por exemplo, AB e AE .

d) Por exemplo, AB e 2 DC .

8 Na figura está representado um tetraedro regular [ABCD] , em que AB = 5 .

Determine:

a) AB $ BC

b) AC $ CA

c) AC $ BD

a) AB $ BC = 5 × 5 × cos 120° = 225

-

b) AC $ CA = 5 × 5 × cos 180° = -25

c) AC $ BD = 5 × 5 × cos 90° = 0

9 Na figura está representado um paralelogramo, em que AD = 3 e AB = 5 .

Determine:

a) AB $ AD

b) AB $ BC

c) DC $ AB AB+_ i

d) CB $ AB BD+_ i

a) AB $ AD = AB AD cos AAB D_ iT = 5 × 3 × cos 30° = 2

15 3

b) AB $ BC = 5 × 3 × cos 30° = 2

15 3

c) DC $ AB AB+_ i = DC AB2 cos DC AB_ iT = 5 × 10 × cos 0° = 50

d) CB $ AB BD+_ i = CB $ AD = 3 × 3 × cos 180° = -9

u2p111h1

D

C

A

B

u2p111h2

DC

AB

30º

u9p96ha

A 3 B

C

GH

EF

D

000707 140-175 U6.indd 143 01/07/16 12:08

144


10 Várias pessoas empurram um carro exercendo uma força de 18 130 newtons. Sabendo que o trabalho realizado por essa força é de 455 000 joules, determine a distância percorrida pelo carro, em metros, aproximada às décimas.

Seja d a distância percorrida pelo carro. Então:

d = 18 130455 000

c 25,1 m

11 O Pedro puxa um carrinho aplicando uma força constante de 50 newtons, deslocando-o 10 metros na horizontal. Sabendo que o trabalho realizado pela força é de 250 joules, determine o ângulo entre a força e o deslocamento.

Seja a o ângulo entre a força e o deslocamento. Então:

250 = 50 × 10 × cos a + cos a = 21

+ a = 60°

Tarefa 1 1.1 Seja a o ângulo entre as retas r e s . Sendo u e v , respetivamente,

vetores diretores de r e s , justifique que:

a = arccos u v

u v$

1.2 Determine a amplitude, em graus, do ângulo entre as retas r e s , definidas, respetivamente, pelas equações y = 2x + 3 e x + y = 2 , apresentando o resultado aproximado às unidades.

1.1 O ângulo entre as retas é o ângulo dos vetores u e v , se este for agudo ou reto, ou o seu complementar, caso contrário. Em qualquer dos casos, obtém-se o pretendido.

1.2 a = arccos 55

c 63°

12 Considere o triângulo [ABC] cujos lados [AB] e [BC] medem 2 cm e 3 cm , respetivamente.

Sabendo que AB $ BC = 0 , determine:

a) AC , justificando os procedimentos efetuados.

b) AB $ CA

c) ACWB , arredondada às décimas de grau.

000707 140-175 U6.indd 144 01/07/16 12:08

145


a) Como AB $ BC = 0 , tem-se que AB = BC . Pelo teorema de Pitágoras, vem:

AC2 = AB

2 + CB

2 + AC

2 = 22 + 32 + AC = 13 cm

b) Pela lei dos cossenos, tem-se:

32 = 22 + 132 - 2 × 2 × 13 cos AAB C_ iT +

+ cos AAB C_ iT = 13

2 =

132 13

Portanto:

AB $ BC = AB AC cos AAB C_ iT = 2 × 13 × 13

2 13 = 4

c) cos AAB C_ iT = 13

2 13 + BACW c 56,3°

ACWB = 180° - 90 - 56,3 = 33,7°

13 Sejam u e v dois vetores tais que:

• u = v = 2 • u v_ iT = 120°

Determine:

a) u $ v b) u $ u c) v $ (-3v)

a) u $ v = u v cos u v_ iT = 2 × 2 × cos 120° = 4 × 21

-c m = -2

b) u $ u = u2 = 22 = 4

c) v $ (-3v) = v × v3- × cos ( )v v3-` jT = 2 × 6 × cos 180° = -12

14 No referencial ortonormado da figura está representado o triângulo [ABC] , em que A(2, 4) , B(-1, 1) e C(3, -2) .

14.1 Utilize o teorema de Carnot para mostrar

que cos(ABWC) = 10

2 .

14.2 Calcule BA $ BC e averigue se o triângulo [ABC] é retângulo em B .

14.1 Calcule-se o comprimento dos lados de [ABC] :

BA = ( ) ( )1 2 1 42 2- - + - = 9 9+ = 3 2

AC = ( ) ( )3 2 2 42 2- + - - = 1 36+ = 37

BC = ( ) ( )3 1 2 12 2+ + - - = 16 9+ = 5u2p114h2

x

y

O

A

B

C

000707 140-175 U6.indd 145 01/07/16 12:08

146


Pelo teorema de Carnot, tem-se:

AC2 = BA

2 + CB

2 - 2 BA BC cos BA CB_ iT +

+ 372 = 3 2

2_ i + 52 - 2 × 3 2 × 5 × cos(ABCW ) +

+ cos(ABCW ) = 2 3 2

3 2

5

5 372 2 2

# #

+ -_ i =

30 2

6 =

606 2

= 10

2

14.2 BA $ BC = BA BC cos BA BC_ iT = 3 2 × 5 × 10

2 = 3

Como BA $ BC = 3 ! 0 , os vetores BA e BC não são perpendiculares. Logo, o triângulo [ABC] não é retângulo em B .

15 Determine, em cada alínea, o produto escalar dos vetores cujas coordenadas, num referencial o.n. do plano, são:

a) u(2, -3) e v(1, -2) b) u(3, -1) e v(1, 3) c) u(1, 1) e v(2, 2)

a) u $ v = 2 × 1 + (-3) × (-2) = 2 + 6 = 8

b) u $ v = 3 × 1 + (-1) × 3 = 3 - 3 = 0

c) u $ v = 1 × 2 + 1 × 2 = 2 + 2 = 4

16 Num referencial o.n. do plano, considere os vetores u(7, -2) e v(m, 6) , em que m é um número real.

Determine o valor de m , de modo que:

a) u e v sejam perpendiculares.

b) u e v sejam colineares.

c) u = v

a) u $ v = 0 + 7m + (-2) × 6 = 0 + 7m = 12 + m = 712

b) (m, 6) = k(7, -2), k ! IR + m k

k

7

6 2

=

=-) +

( )m

k

7 3

3

#= -

=-) +

m

k

21

3

=-

=-)

c) u = v + ( )7 22 2+ - = m 62 2+ + 53 = m2 + 36 +

+ m2 = 17 + m = ! 17

17 Num referencial o.n. do plano, considere os vetores u(8, -6) e v(m, 3) , em que m é um número real.

Determine o valor de m , de modo que u v_ iT = 60° .

000707 140-175 U6.indd 146 01/07/16 12:08

147


u v cos u v_ iT = u1v1 + u2v2 +

+ ( ) m8 6 32 2 2 2+ - +` _j i cos 60° = 8m - 18 +

+ ( ) ( )m

2

8 6 32 2 2 2+ - +_ i = 8m - 18 +

m2

100 9002 + = 8m - 18 &

& m

4100 9002 +

= (8m - 18)2 + 25m2 + 225 = 64m2 - 288m + 324 +

+ 39m2 - 288m + 99 = 0 + 13m2 - 96m + 33 = 0 +

+ m = ( )

( )2 13

96 96 4 13 332! # #- - + m =

2696 7500!

+

+ m = 26

96 50 3! + m =

1348 25 3+

0 m = 13

48 25 3-

Como 8 × 13

48 25 3- - 18 < 0 e 8 ×

1348 25 3+

- 18 > 0 ,

m = 3

1348 25+

.

18 No referencial o.n. xOy da figura estão representados o quadrado [OABC] e o retângulo [OPQR] .

Os pontos A e P pertencem ao semieixo positivo Ox e os pontos C e R pertencem ao semieixo positivo Oy .

O ponto Q pertence ao interior do quadrado [OABC] .

Sabe-se que:

•OA = a •OP = b • RC = b

Prove que as retas QB e RP são perpendiculares.

Teste Intermédio do 11.º ano, 2012

As retas QB e RP são perpendiculares se, e só se, QB $ RP = 0 .

Tem-se que B(a, a) , P(b, 0) , Q(b, a - b) e R(0, a - b) .

Então, QB = B - Q tem coordenadas:(a, a) - (b, a - b) = (a - b, a - a + b) = (a - b, b)

e RP = P - R tem coordenadas:(b, 0) - (0, a - b) = (b, -a + b)

Assim:

QB $ RP = (a - b, b) $ (b, -a + b) = ab - b2 + (-ab) + b2 = 0

Logo, as retas QB e RP são perpendiculares.

x

y

P

Q

B

A

R

C

u2p116h2

O

000707 140-175 U6.indd 147 01/07/16 12:09

148


Tarefa 2 Justifique a igualdade u $ v = u1v1 + u2v2 + u3v3 para vetores não colineares

no espaço. Observe que u2 = u2

1 + u22 + u2

3 .

Sejam A , B e C pontos e os vetores u e v , tais que u = AB e v = AC .

Considerando a = BC , b = AC e c = AB , tem-se, pelo teorema de Carnot:

BC2 = u

2 + v

2 - 2 u v cos u v_ iT = u

2 + v

2 - 2u $ v (I)

Num referencial o.n. Oxyz , sejam u(u1, u2, u3) e v(v1, v2, v3) .

Como BC = v - u , tem-se que BC(v1 - u1, v2 - u2, v3 - u3) .

Então: BC

2 = (v1 - u1)2 + (v2 - u2)2 + (v3 - u3)2

Ou seja,

BC2 = v1

2 - 2v1u1 + u12 + v2

2 - 2v2u2 + u22 + v2

3 - 2v3u3 + u32 =

= u12 + u2

2 + u32 + v1

2 + v22 + v2

3 - 2v1u1 - 2v2u2 - 2v3u3

donde, reparando que u12 + u2

2 + u32 = u

2 e v1

2 + v22 + v2

3 = v2 :

BC2 = u

2 + v

2 - 2v1u1 - 2v2u2 - 2v3u3 (II)

Comparando (I) e (II), obtém-se u $ v = u1v1 + u2v2 + u3v3 .

6.2 Propriedades do produto escalar

Tarefa 3 Prove as seguintes propriedades:• Propriedade comutativa ou simétrica Dados os vetores u e v , u $ v = v $ u .

•Propriedade associativa mista Dados os vetores u e v e um número real m , ^muh $ v = m^u $ vh .

Considere-se que se tem u e v , vetores num referencial o.n. xOy , em que u e v têm coordenadas (u1, u2) e (v1, v2) , respetivamente.

Tem-se:

u $ v = u1v1 + u2v2 = v1u1 + v2u2 = v $ u

E para m número real:

(mu) $ v = (mu1)v1 + (mu2)v2 = m(u1v1) + m(u2v2) = m(u $ v)

Isto prova as propriedades comutativa e associativa mista num referencial o.n. xOy .

Analogamente, para um referencial o.n. Oxyz do espaço, basta considerar vetores com três coordenadas e aplicar o produto escalar usando coordenadas no espaço.

000707 140-175 U6.indd 148 01/07/16 12:09

149


Ou seja:Considere-se u(u1, u2, u3) e v(v1, v2, v3) ; então:

u $ v = u1v1 + u2v2 + u3v3 = v1u1 + v2u2 + v3u3 = v $ uE para m número real:

(mu) $ v = (mu1)v1 + (mu2)v2 + (mu3)v3 = m(u1v1) + m(u2v2) + m(u3v3) = m(u $ v)

Tarefa 4 Prove que, dados dois vetores u e v , se u = v , então, os vetores u + v e u - v são perpendiculares.

Pela propriedade distributiva do produto escalar em relação à adição de vetores:

^u + vh^u - vh = u $ u + u $ ^-vh + v $ u + v $ ^-vh =

= u2 - v

2 - v $ u + v $ u = u

2 - v

2 = 0

Portanto, (u + v) 9 (u - v) .

19 Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz , a pirâmide quadrangular [ABCOV] contida no plano xOy e com vértice V de coordenadas (0, 0, 4) .

O ponto B tem coordenadas (4, 4, 0) .

19.1 Justifique que OB $ AC = 0 .

19.2 Calcule:

a) BA $ CB b) BA $ BV

19.3 Considere a reta r de equação:

(x, y, z) = (0, 0, 4) + k(1, 0, 1) , k ! IR

Averigue se as retas r e BV são perpendiculares.

19.1 Tem-se A(4, 0, 0) , B(4, 4, 0) , C(0, 4, 0) e O(0, 0, 0) .

Então, OB = B - O tem coordenadas (4, 4, 0) e AC = C - A tem coordenadas (0, 4, 0) - (4, 0, 0) = (-4, 4, 0) .

Logo:

OB $ AC = 4 × (-4) + 4 × 4 + 0 = -16 + 16 + 0 = 0

19.2 a) AB = B - A tem coordenadas (0, 4, 0) .

BC = C - B tem coordenadas (-4, 0, 0) .

AB $ BC = -4 × 0 + 4 × 0 + 0 = 0

b) AB(0, 4, 0) e BV(-4, -4, 4)

AB $ BV = -4 × 0 + (-4) × 4 + 0 = -16

19.3 O vetor r(1, 0, 1) é um vetor diretor da reta r . Então:

r $ BV = 1 × (-4) + 0 × (-4) + 1 × 4 = 0 Logo, as retas r e BV são perpendiculares.

y

x

z

A

V

B

C

u2p117h1

O

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150


20 Relativamente a três vetores u , v e w , sabe-se que:

• u $ v = 4

• u $ w = -2

•w $ v = 3

Determine:

a) (2u) $ v

b) u $ (-v)

c) w $ (u + v)

d) u $ (2w + v)

a) (2u) $ v = 2(u $ v) = 2 × 4 = 8

b) u $ (-v) = -(u $ v) = -4

c) w $ (u + v) = w $ u + w $ v = u $ w + w $ v = -2 + 3 = 1

d) u $ (2w + v) = 2(u $ w) + u $ v = 2 × (-2) + 4 = -4 + 4 = 0

21 Mostre que as diagonais de um losango são perpendiculares.

SUGESTÃO:

Repare que os lados opostos de um losango são paralelos e têm o mesmo comprimento.

Considere-se o losango [ABCD] , em que AB = CD = AD = BC ,

AD = BC = v e BA = CD = u .

Então:

BD $ CA = (u + v)(u - v) = u $ u + u $ (-v) + v $ u + v $ (-v) =

= u2 - v

2 - v $ u + v $ u = u

2 - v

2 = AB - BC = 0

Portanto, (u + v) = (u - v) . Logo, as diagonais de um losango são perpendiculares.

22 Considere, num referencial o.n. xOy , o vetor u de coordenadas (-2, 1) .

Escreva uma equação da reta perpendicular ao vetor u que passa pelo ponto P(2, 3) .

Seja m o declive da reta perpendicular ao vetor u . Então, m = 12

--c m = 2 .

A ordenada na origem da reta perpendicular ao vetor u é dada por: b = 3 - 2 × 2 = -1

Logo, a equação reduzida da reta perpendicular ao vetor u que passa pelo ponto P(2, 3) é y = 2x - 1 .

u2p118h1

A

B

D

C

u

u

v

v

000707 140-175 U6.indd 150 01/07/16 12:09

151


23 Considere, num referencial o.n. xOy , os pontos A e B de coordenadas (2, 4) e (-3, 0) , respetivamente.

Seja M o ponto médio de [AB] .

Identifique o conjunto dos pontos P do plano tais que MP $ BA = 0 .

Escreva uma condição que defina o conjunto referido.

Os pontos P definem uma reta perpendicular à reta AB que passa no ponto M , ou seja, definem a mediatriz de [AB] .

Sabe-se que AB(-5, -4) , então, o declive da reta AB é 54

.

Logo, o declive de uma reta perpendicular a esta é 45

- .

Então, como M ,21

2-c m , a ordenada na origem da reta perpendicular à reta

AB que passa no ponto M é b = 2 + 45

× 21

-c m = 811

.

Portanto, a condição que define o conjunto referido é y = 45

- x + 811

.

6.3 Resolução de problemas geométricos envolvendo o produto escalar

Tarefa 5 Considere a circunferência definida pela equação (x - 1)2 + (y - 2)2 = 25 num determinado referencial o.n. xOy . 5.1 Prove que o ponto P(5, -1) pertence

à circunferência.

5.2 Determine a equação reduzida da reta tangente à circunferência no ponto P .

5.1 Basta substituir x por 5 e y por -1 na equação dada:

(5 - 1)2 + (-1 - 2)2 = 25 + 25 = 25

E como tal, o ponto P pertence à circunferência.

5.2 A circunferência dada tem centro em C(1, 2) .

Como a reta pretendida é tangente à circunferência em P , todo o ponto

Q(x, y) pertencente à reta verifica CP $ PQ = 0 .

Então:

(4, -3) $ (x - 5, y + 1) = 0 + 4(x - 5) - 3(y + 1) = 0 + y = 34

x - 323

Logo, a equação reduzida da reta tangente à circunferência no ponto P

é y = 34

x - 323

.

y

x

u2p119h3

O

C

P

000707 140-175 U6.indd 151 01/07/16 12:09

152


24 De dois vetores do plano u e v sabe-se que:

• u =3 • oângulodosvetoresu e v é obtuso.

• v =2 • sin u v_ iT = 41

Determine u $ v .

Pela fórmula fundamental da trigonometria, tem-se:

sin2 u v_ iT + cos2 u v_ iT = 1 + cos2 u v_ iT = 1 - 41 2

c m ° °u v90 180

&1 1_ iT

& cos u v_ iT = -415

Portanto:

u $ v = u v cos u v_ iT = 3 × 2 × 415

-e o = 2

3 15-

25 No referencial o.n. da figura está representada uma circunferência de centro em C(-3, 2) e raio 4 , inscrita no quadrado [MNOP] . A reta NO é tangente à circunferência em T , ponto do eixo Oy .

Determine:

a) as coordenadas de T .

b) a equação reduzida da reta NO .

c) o declive da reta MN .

a) Sabe-se que o ponto T pertence ao eixo Oy ; logo, tem abcissa nula, ou seja, T(0, y) .

Substituindo as coordenadas de T na equação da circunferência, (x + 3)2 + (y - 2)2 = 16 , obtém-se:

(0 + 3)2 + (y - 2)2 = 16 + y2 - 4y - 3 = 0 +

+ y = ( ) ( )

2 14 4 4 1 32

#

! # #- - - + y =

24 28!

y 0>+

+ y = 2 + 7

Portanto, as coordenadas de T são _0, 2 + 7 i .

b) A circunferência dada tem centro em C(-3, 2) .

Como a reta NO é tangente à circunferência em T_0, 2 + 7i , tem-se

que CT $ TQ = 0 , sendo Q(x, y) um ponto da reta.

y

x

u2p119h2

O

C

23

2

M

P N

T

000707 140-175 U6.indd 152 01/07/16 12:09

153


Portanto:

_3, 7i $ _x, y - 2 - 7i = 0 +

+ 3x + 7_y - 2 - 7i = 0 + 3x + 7y - 2 7 - 7 = 0 +

+ 7y = -3x + 2 7 + 7 + y = 7

3 7- x + 7

14 7 7+ +

+ y = - 73 7

x + 2 + 7

c) Como a reta MN é perpendicular à reta NO , então, o seu declive é dado por

3 7

7

3 7

7

7

737

#= =

26 Considere os vetores u e v , tais que u = 3 , v = 7 e u v_ iT = 120° .

Calcule os seguintes produtos escalares:

a) u $ (5v)

b) 2u $ (-3v)

c) (u - 3v) $ u

a) u $ (5v) = 5 u × v × cos u v_ iT = 3 × 35 × 23

-e o = -2

105 3

b) 2u $ (-3v) = 6 × (-21) × 23

-e o = 63 3

c) (u - 3v) $ u = -18 × 3 × 23

-e o = 27 3

27 Considere um ponto P , do 1.o quadrante (eixos não incluídos), pertencente à circunferência de centro na origem e raio 1 .

Sejam (r, s) as coordenadas do ponto P , t a reta tangente à circunferência no ponto P e Q o ponto de interseção da reta t com o eixo Ox .

27.1 Justifique que:

r2 + s2 = 1

27.2 Prove que a equação reduzida da reta t é:

y = - sr

x + s1

27.3 Determine a abcissa do ponto Q em função de r e s .Adaptado do Teste Intermédio do 11.º ano, 2007

y

x

u2p120h2

O

P

Q

t

s

r

000707 140-175 U6.indd 153 01/07/16 12:09

154


27.1 Considere-se o círculo trigonométrico e a fórmula fundamental da trigonometria. Seja a a inclinação da reta OP , então:

cos2 a + sin2 a = 1 + r2 + s2 = 1

O ponto P pertence à circunferência de centro em (0, 0) e raio 1 .

Em alternativa, a equação da circunferência é x2 + y2 = 1 e P(r, s) pertence à circunferência, logo, r2 + s2 = 1 .

27.2 Tem-se que OP tem coordenadas (r, s) ; logo, um vetor diretor da reta t pode ser u(-s, r) .

O declive da reta t é, portanto, igual a sr

- .

Então, a ordenada na origem da reta t que passa no ponto P(r, s) é:

b = s + sr

× r = s + sr2

= ss r

s12 2+

=

Logo, a equação reduzida da reta t é y = sr

- x + s1

.

27.3 Sabe-se que Q(x, 0) . Substituindo as coordenadas de Q na equação

reduzida da reta t , y = sr

- x + s1

, obtém-se:

0 = - sr

x + s1

+ x =

srs1

= r1

Logo, a abcissa de Q é r1

.

Tarefa 6 Considere, num plano munido de um referencial o.n. xOy , o vetor u(a, b) .

Prove que:

a) os vetores cujas coordenadas se obtêm trocando a ordem às coordenadas de u e o sinal a uma delas, ou seja, v(b, -a) e v(-b, a) , são perpendiculares a u .

b) a reta perpendicular ao vetor u que passa no ponto P0(x0, y0) pode ser definida pela equação

ax + by = c , em que c = ax0 + by0

a) Tomando v(b, -a) , tem-se que u $ v = a × b + b × (-a) = 0 ; logo, u = v .

De igual modo, tomando v(-b, a) , tem-se u $ v = 0 , donde u = v .

b) Dado um ponto P(x, y) qualquer da reta, tem-se que u é perpendicular a P P0 ; logo:

u $ P P0 = 0 + (a, b) $ (x - x0, y - y0) = 0 +

+ a(x - x0) + b(y - y0) = 0 + ax + by = c

em que c = ax0 + by0 .

000707 140-175 U6.indd 154 01/07/16 12:09

155


28 Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy , um círculo e as retas r e s .

Sabe-se que:• r 9 s• opontodecoordenadas(0,-2) é comum

às duas retas e à circunferência;• r interseta a circunferência e o eixo Ox

no ponto de coordenadas (-1, 0) ;• s e a circunferência intersetam o eixo Ox no mesmo ponto.

Determine uma condição que defina o círculo.

Sejam A(0, -2) , B(-1, 0) e C(x, 0) o ponto de interseção da reta s com o eixo Ox .

Como AB tem coordenadas (-1, 2) , então, o declive da reta r é igual

a -2 e o declive da reta s (perpendicular a r ) é igual a 21

. A ordenada

na origem de ambas as retas é igual a -2 ; logo, a equação reduzida da reta r é

y = -2x - 2 e da reta s é y = 21

x - 2 .

Assim, como as retas são perpendiculares, tem-se que [ABC] é retângulo em A . Portanto, como o triângulo [ABC] está inscrito na circunferência e é retângulo, [AC] é um diâmetro.

Substituindo y por 0 na equação reduzida da reta s , obtém-se a abcissa do ponto C .

Tem-se C(4, 0) ; logo, o diâmetro [BC] mede 5 unidades de comprimento

e o centro da circunferência tem coordenadas ,23

0c m .

Portanto, uma condição que define o círculo é x y23

4252

2 G- +c m .

29 Considere, fixado um referencial ortonormado no espaço, os pontos A(2, 3, -1) , B(-4, 1, -1) e P(x, y, z) , (x, y, z ! IR) , e as condições:

(I) AP $ PB = 0

(II) AB $ PM = 0 , em que M é o ponto médio de [AB] .

(III) AB $ AP = 0

29.1 Identifique a região do espaço definida por cada uma das condições descritas.

29.2 Caracterize por uma condição, em x , y e z , as regiões do espaço obtidas em 29.1.

y

O

s

r

x

u2p121h3

21

22

000707 140-175 U6.indd 155 01/07/16 12:09

156


29.1 (I) Superfície esférica de diâmetro [AB] .

(II) Plano mediador do segmento [AB] .

(III) Plano perpendicular ao segmento [AB] que passa por A .

29.2 (I) (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z + 1)2 = 10

(II) 3x + y + 1 = 0

(III) 3x + y - 9 = 0

AVALIAR CONHECIMENTOS

ESCOLHA MÚLTIPLA

Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre as alternativas que lhe são apresentadas.

1 No referencial o.n. da figura as retas r e s são perpendiculares e a reta s passa na origem do referencial.

De acordo com os dados da figura, a equação reduzida da reta s é:

(a) y = tan 50° x

(B) y = °tan50

1x

(C) y = -tan 0

113 °

x

(D) y = tan 0

113 °

x

O declive de r é tan 50° . Logo, o declive de s é -tan50

1°

= tan130

1°

.

A opção correta é a (D).

2 Considere dois vetores u e v colineares, ambos de norma 1 .

De entre as afirmações seguintes, indique a que é necessariamente verdadeira.

(a) u $ v = -1 (B) u $ v = 0 (C) u v$ = 1 (D) u $ v = 2

A opção correta é a (C).

3 Considere o triângulo equilátero representado na figura.

O valor de BA $ CB é igual a:

(a) -AB

2

2

(B) - AB × BC

(C) AB

2

2

(D) AB2

y r

sO x

u2p122h1

130º

A B

C

u2p122h2

000707 140-175 U6.indd 156 01/07/16 12:09

157


Como AB BC_ iT = 120° , então:

AB $ BC = AB BC cos 120° = -AB

2

2

A opção correta é a (A).

4 Considere, num referencial o.n., as retas r e s .

Sabe-se que as retas são perpendiculares e que a inclinação de r é 120° .

Então, o declive da reta s é igual a:

(a) - 3 (B) -33

(C) 33

(D) 3

O declive da reta r é igual a tan 120° = -tan 60° = - 3 .

O declive da reta s é igual a 3

133

--

= .


5 Na figura está representada uma esfera inscrita num cubo.

A esfera tem 3 centímetros de raio e centro em C , e [AB] é uma diagonal espacial do cubo.

O valor de BA $ CB é:

(a) -54 (B) -36 (C) 36 (D) 54

Como o raio da esfera é 3 cm , sabe-se que o lado do cubo mede 6 cm .

Usando o teorema de Pitágoras:

AB2 = 62 + 62 + 62 & AB = 6 3

Assim:

BC = 3 3 e AB $ BC = AB BC cos r = 6 3 × 3 3 × (-1) = -54


6 Na figura está representado o losango [ABCD] de lado 3 , tal que BAWD = a .

Se BA $ AD = 6 , o valor de a , em graus, arredondado às unidades, é:

(a) 41° (B) 42° (C) 48° (D) 49°

AB AD cos a = 6 + cos a = 32

0 180° °

&1 1a

a = arccos 32

+ a c 48°


A B

CD

u2p122h4

a

A

B

C

u2p122h3

000707 140-175 U6.indd 157 01/07/16 12:09

158


7 Considere o triângulo representado na figura, retângulo em A , cujos catetos medem 5 e 12 .

O valor de CA $ CB é igual a:

(a) 13300

(B) 25 (C) 13720

(D) 60

Seja a = BCA C_ iT . Tem-se que tan a = 5

12 .

Pelo teorema de Pitágoras, tem-se CB = 13 . Então, como a ! ]0, 90°[ ,

cos a = 135

.

Logo, CA CB cos a = 5 × 13 × 135

= 25 .

A opção correta é a (B).

8 Uma força constante de 20 newtons produz, num corpo, um deslocamento de 0,5 metros no sentido da força.

O trabalho realizado por essa força é, em joules, igual a:

(a) 40 (B) 20 (C) 10 (D) 5

20 × 0,5 = 10


9 Num referencial o.n. xOy , as retas de equação

x + by - 1 = 0 e x = 3y

são perpendiculares para b igual a:

(a) -31

(B) 0 (C) 31

(D) 3

x + by - 1 = 0 + y = -b1

x + b1

e x = 3y + y = x3

Portanto, as retas são perpendiculares se, e só se, b1

-d n × 31

= -1 ,

ou seja, se, e só se, b = 31

.


u2p123h2

0,5 m

20 N

A B

C

12

5

u2p123h1

000707 140-175 U6.indd 158 01/07/16 12:09

159


10 Na figura estão representadas, num referencial o.n. xOy , a circunferência de equação x2 + y2 = 4 e a reta r tangente a essa circunferência no ponto B , de coordenadas

,1 3_ i .

Seja u um vetor diretor da reta r .

O valor de u $ OB é:

(a) -4 (B) 0 (C) 4 (D) 2 u

Como u = OB , u $ OB = 0 .


11 Num referencial o.n. Oxyz , os vetores u e v têm coordenadas (-3, 1, 4) e (2, 3p - 1, -2) , respetivamente.

O valor de p para o qual os vetores u e v são perpendiculares é:

(a) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 5

u $ v = 0 + -6 + 3p - 1 - 8 = 0 + p = 5


12 Num referencial ortonormado do plano, considere os vetores a e b de coordenadas (2, -3) e (1, 1) , respetivamente.

O ângulo dos vetores a e b é:

(a) agudo. (B) obtuso. (C) reto. (D) raso.

Como a $ b = -1 , o ângulo formado pelos vetores tem uma amplitude maior

do que 90º . No entanto, não pode ser raso, pois, nesse caso, a $ b = - a b ,

mas a b = 13 $ 2 = 26 .


13 De dois vetores u e v sabe-se que u = v = 2 e que u $ v = -2 .

Então, (u + v) $ (3u) é igual a:

(a) -12 (B) 0 (C) 6 (D) 8

(u + v) $ (3u) = 3u $ u + 3u $ v = 3 u2 + 3u $ v = 12 - 6 = 6


u2p123h3

y

B

x1O

000707 140-175 U6.indd 159 01/07/16 12:09

160


RESPOSTA ABERTA

Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.

14 No referencial o.n. xOy da figura ao lado estão representados a reta r de equação x + 2y + 3 = 0 e o ponto P de coordenadas (5, 2) .

14.1 Seja a a inclinação da reta r . Determine cos2a .

14.2 Determine as coordenadas da projeção ortogonal de P , Pl , sobre a reta r .

SUGESTÃO: Comece por determinar uma equação da reta PPl .

14.1 Como x + 2y + 3 = 0 + y = 21

- x - 23

, tan a = 21

- .

Portanto:

1 + tan2 a = cos

12a

+ 1 + 41

= cos

12a

+ cos2 a = 54

14.2 O declive da reta PPl é 2 ; assim, a sua equação é da forma y = 2x + b .

Substituindo as coordenadas de P na equação da reta PPl , vem:

2 = 2 × 5 + b + b = -8

Então, a abcissa de Pl é tal que:

2x - 8 = 21

- x - 23

+ 4x - 16 = -x - 3 + x = 5

13

Portanto, a ordenada é dada por y = 2 × 5

13 - 8 = -

514

.

Assim, as coordenadas de Pl são ,5

135

14-d n .

15 Na figura está representada uma circunferência de centro em O e raio r .

Sabe-se que:• [AB] é um diâmetro da circunferência;• opontoC pertence à circunferência;• a é a amplitude do ângulo COB ;• [OD] é perpendicular a [AC] .

Prove que BA $ AC = 4r2cos2

2ac m .


u2p124h1

y

P

P'

x

2

O

r

5

u2p124h2

O

D

C

aA B

000707 140-175 U6.indd 160 01/07/16 12:09

161


AB $ AC = AB AC cos AAB C_ iTTem-se que AB = 2r .

Como o triângulo [AOC] é isósceles, AAB C_ iT = ° ( ° )

2180 180 a- -

= 2a

. Assim:

cos2ac m = r

AD + AD = r cos

2ac m

Logo, AC = 2r cos2ac m .

Portanto:

AB $ AC =2r × 2r cos2ac m × cos

2ac m = 4r2 cos2

2ac m

c.q.d.

16 Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz , um cubo [OABCDEFG] .

O vértice O do cubo coincide com a origem do referencial.

Os vértices A , C e G pertencem aos semieixos positivos Ox , Oy e Oz , respetivamente.

O ponto M é o ponto médio de [OC] e N é o ponto médio de [FC] .

Sabendo que DM $ DN = 32 , mostre que cos(NDXM) = 98

.

Seja x a medida da aresta do cubo. Então, as coordenadas de D , M e N são,

respetivamente, (x, 0, x) , , ,x

02

0c m e , ,xx

02

c m .

Assim, DM tem coordenadas . ,xx

x2

- -c m e DN tem coordenadas

, ,x xx2

- -c m .

Tem-se que:

DM $ DN = 32 + , ,xx

x2

- -c m $ , ,x xx2

- -c m = 32 +

+ x2 + x2

2

+ x2

2

= 32 + x2 = 16 x 0>+ x = 4

Por outro lado:

DM = ( ) ( )4 2 42 2 2- + + - = 6 e DN = ( ) ( )4 4 22 2- + + - = 6

Logo:

DM $ DN = 32 + 6 × 6 × cos(NDMX ) = 32 + cos(NDMX ) = 98

y

x

z

u2p124h3

OA

B

CM

E

G

D

F

N

000707 140-175 U6.indd 161 01/07/16 12:09

162


17 Na figura está representada uma pirâmide quadrangular regular cuja aresta da base mede 8 cm .

O ponto O é o centro da base da pirâmide, M é o ponto médio de [AD] e OMYV = 60° .

Determine:

a) VO $ VM

b) BD $ BA

c) CD $ AB

d) VO $ BD

a) VO = MO tan 60° = 4 3 e °cos

VMMO

60= = 8

VO $ VM = 4 3 × 8 × cos 30° = 4 3 8 3

2# #

= 48

b) BD BA AD2 2

= + = 8 2

BD $ BA = 8 2 × 8 × cos 45° = 64

c) CD $ AB = 8 × 8 × cos 180° = -64

d) VO $ BD = 4 3 × 8 2 × cos 90° = 0

18 Na figura estão representados, em referencial ortonormado, as retas r e s e o triângulo [ABC] retângulo em C .

Sabe-se que:

• opontoA ,3 0_ i pertence à reta r ;• opontoC de interseção das retas

r e s tem abcissa 6 ;• B é o ponto de interseção da reta s com o eixo Ox ;• aretar tem inclinação 30º .

18.1 Determine as equações reduzidas das retas r e s .

18.2 Determine a área do triângulo [ABC] .

18.1 O declive da reta r é dado por tan 30° = 33

; logo, a sua equação

reduzida é da forma y = 33

x + b . Substituindo na equação

as coordenadas de A , obtém-se: 0 = 33

× 3 + b + b = -1 .

Portanto, r: y = 33

x - 1 .

u2p124h4

BA

M

DO

C

V

60º

y

O

sr

A 30º

C

Bx

u2p125h1

000707 140-175 U6.indd 162 01/07/16 12:09

163


Como C pertence à reta r e tem abcissa 6 , as coordenadas de C são:

,633

6 1# -e o = ^6, 2 3 - 1h

Como as retas r e s são perpendiculares, o declive de s é - 3 .

Logo, a equação reduzida de s é da forma y = - 3x + b .

Substituindo as coordenadas de C na equação, obtém-se:

2 3 - 1 = - 3 × 6 + b + b = 8 3 - 1

Portanto, s: y = - 3x + 8 3 - 1 .

18.2 Calcule-se a abcissa de B :

- 3x + 8 3 - 1 = 0 + x = 8 - 33

Seja h a altura de [ABC] relativa à base [AB] :

AB = 8 - 33

- 3 = 3

24 4 3- e h = 2 3 - 1

Assim:

A[ABC] = AB h

2#

= ( )

23

24 4 32 3 1#

--

=

= 6

48 3 24 24 4 3- - + =

326 3

- 8

19 Na figura está representado, no referencial xOy , o triângulo [ABC] .

Sabe-se que:• opontoO é o ponto médio do lado

[AC] ;• ovetor BA tem coordenadas (10, 2) ;• ovetor CB tem coordenadas (-6, -8) .

19.1 Determine as coordenadas dos pontos A e C .

19.2 Calcule:

a) BA $ AC

b) ABWC , arredondada às décimas de grau.

19.3 Diga, justificando, se OB é a mediatriz de [AC] .

19.1 Tem-se que AC = AB + BC tem coordenadas (4, -6) . Como O é o ponto médio de [AC] , deduz-se que as coordenadas de A e C são, respetivamente, (-2, 3) e (2, -3) .

y

O

A

C

B

x

u2p125h2

000707 140-175 U6.indd 163 01/07/16 12:09

164


19.2 a) AB $ AC = 10 × 4 + 2 × (-6) = 28

b) BA $ BC = BA BC cos ABCW + -AB $ BC = AB BC cos ABCW +

+ -[10 × (-6) + 2 × (-8)] = 100 4+ × 36 64+ × cos ABCW +

+ cos ABCW = 10 400

76 & ABCW = arccos

10 400

76 + ABCW c 41,8°

19.3 Não, porque AB = 104 ! 10 = BC .

20 Considere, num referencial o.n. Oxyz , o vetor u(a, b, c) , com a , b e c números reais.

20.1 Prove que os vetores v(b, -a, 0) , w(0, c, -b) e t (-c, 0, a) são perpendiculares a u .

20.2 Indique dois vetores não colineares, perpendiculares ao vetor a(-5, 1, 7) .

20.3 Escreva uma equação vetorial de uma reta perpendicular ao vetor u(0, -2, 3) e que passa no ponto de coordenadas (1, -1, 6) .

20.1 v $ u = ba - ab + 0c = 0 , logo, v = u .

w $ u = 0a + cb - bc = 0 , logo, w = u .

t $ u = -ca + 0b + ac = 0 , logo, t = u .

20.2 Por exemplo, vetores de coordenadas (1, 5, 0) e (0, 7, 1) .

20.3 Por exemplo, (x, y, z) = (1, -1, 6) + k(0, -3, -2), k ! IR .

21 Na figura está representado, em referencial o.n. xOy , o triângulo [ABC] , em que A(1, 1) , B(-1, -2) e C(-3, 4) .

Por cada um dos vértices do triângulo [ABC] traçaram-se retas paralelas ao lado oposto, obtendo um novo triângulo [AlBlCl] .

21.1 Justifique que o triângulo [AlBlCl] não é retângulo.

21.2 Determine as coordenadas de Al .

21.3 Seja D o ponto de coordenadas ,021

-c m .

Identifique o conjunto dos pontos do plano, P , definidos pela equação

DP $ BA = 0 .

y

O

B'

A'

C'

B

A

C

x

u2p125h3

000707 140-175 U6.indd 164 01/07/16 12:09

165


21.1 Tem-se que AB(-2, -3) , AC(-4, 3) e BC(-2, 6) .

Pelo teorema de Tales, o triângulo [AlBlCl] é semelhante ao triângulo [ABC] .

Se o triângulo [ABC] fosse retângulo em A , verificar-se-ia o teorema

de Pitágoras, mas BC2 ! AC

2 + AB

2 , pois 40 ! 38 .

Analogamente se verifica que [ABC] não é retângulo em B nem em C ,

pois AC2 ! AB

2 + BC

2 e AB

2 ! AC

2 + BC

2 .

Como tal é absurdo, o triângulo [ABC] não é retângulo e, portanto, o triângulo [AlBlCl] também não.

21.2 Al = C + AB tem coordenadas (-3, 4) + (-2, -3) = (-5, 1) .

21.3 A condição define a reta que passa por D e é perpendicular a AB . Como D é o ponto médio de [AB] , esta reta é a mediatriz de [AB] .

22 Na figura estão representadas, em referencial o.n., uma circunferência de centro C (1, -1) e duas retas b e d .

O ponto B de coordenadas (-1, 2) é a imagem de A pela reflexão de eixo b e a reta d é tangente à circunferência em A .

22.1 Justifique que as retas b e d são paralelas.

22.2 Determine a equação reduzida da reta b .

22.3 Determine as coordenadas do ponto A e escreva uma equação da reta d .

22.1 Como B é a imagem de A pela reflexão de eixo b , AB é perpendicular a b .

Por outro lado, d é tangente à circunferência em A ; logo, d é também perpendicular a AB . Conclui-se que b é paralela a d .

22.2 Como CB(-2, 3) , o declive de AB é 23

- .

Então, o declive de b é 32

e a equação de b é da forma y = 32

x + a .

Substituindo na equação as coordenadas de C , obtém-se:

-1 = 32

× 1 + a + a = 35

-

Assim, b: y = 32

x - 35

.

y

O

C

A

B

x

d

b

u2p126h1

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166


22.3 As coordenadas de A são: A = _C - CBi(3, -4) .

A equação de d é da forma y = 32

x + a . Substituindo na equação

as coordenadas de A , obtém-se:

-4 = 32

× 3 + a + a = -6

Assim, d: y = 32

x - 6 .

23 Considere, num referencial o.n. Oxyz , o triângulo [ABC] , em que A(-2, 1, 0) , B(3, 2, 1) e C(-4, 5, 2) .

Seja a a amplitude do ângulo BAC .

23.1 Determine sin2a .

23.2 Seja T um ponto do plano xOy com a mesma abcissa que B . Determine as coordenadas de T , sabendo que TC $ BA = -26 .

23.1 Tem-se AB(5, 1, 1) e AC(-2, 4, 2) , então:

AB $ AC = AB AC cos a +

+ -10 + 4 + 2 = 25 1 1+ + × 4 16 4+ + × cos a +

+ -4 = 18 2 × cos a + cos a = 92

-

Calcule-se o valor de sin2 a :

sin2 a + cos2 a = 1 + sin2 a + 812

= 1 + sin2 a = 8179

23.2 Seja T(3, y, 0) . Então, TC(-7, 5 - y, 2) .

Assim, TC $ AB = -26 + -35 + 5 - y + 2 = -26 + y = -2 .

Logo, T(3, -2, 0) .

24 Considere, num referencial ortonormado, um hexágono regular.

Sabe-se que:• C é o centro do hexágono e tem coordenadas

(6, -2) ;• olado[AB] do hexágono está contido

na reta r , definida pela equação

-4x + 3y + 5 = 0

Determine a área do hexágono.

A

B

r

u2p126h2

C

000707 140-175 U6.indd 166 01/07/16 12:09

167


Tem-se que -4x + 3y + 5 = 0 + y = 34

x - 35

.

Seja r um vetor diretor da reta r de coordenadas (3, 4) .

Seja Cl ,x x34

35

-d n a projeção ortogonal de C na reta r .

Então, CCl é perpendicular a r .

Assim:

CCl $ r = 0 + (x - 6) × 3 + x34

35

2- +d n × 4 = 0 +

+ 3x - 18 + 3

16x +

34

= 0 + 9x - 54 + 16x + 4 = 0 + x = 2

Logo, Cl(2, 1) e 'CC = ( ) ( )2 6 1 22 2- + + = 5 .

Como o hexágono é regular, CBAW = 60° ; logo, 'BC = tan

CC

60°

l =

5 33

,

donde BA = 3

310 .

Portanto:Ahexágono = 6 × A[ABC] = 6 ×

BA CC2# l

= 6 × 2

10 35

3#

= 50 3

25 Na figura está representado, num referencial o.n., o lado [AB] do retângulo [ABCD] .

Sabe-se que:• osvérticesA e B têm coordenadas (2, 5)

e (0, 1) , respetivamente;• ovérticeD pertence à reta de equação x = 6 .

Determine as coordenadas dos vértices C e D .

AD tem coordenadas (6 - 2, y - 5) = (4, y - 5) e AB tem coordenadas (-2, -4) .

Tem-se que AD $ AB = 0 + -8 - 4y + 20 = 0 + y = 3 .

Assim, D(6, 3) e C = D + AB tem de coordenadas (6, 3) + (-2, -4) = (4, -1) .

26 Considere, num referencial o.n. Oxyz , as retas r e s definidas pelas seguintes condições:

r: (x, y, z) = (0, 1, -1) + k(1, 2, -5), k ! IR e s:

x t

y t

z t

1 2

1

=-

= -

=- -

* , t ! IR

26.1 Mostre que as retas r e s são concorrentes e perpendiculares.

26.2 Sejam A o ponto de interseção das retas r e s , B o ponto de coordenadas (2, 0, -3) e C o ponto da reta s tal que BA $ AC = 1 .

Determine as coordenadas do ponto C .

y

x 5 6

O

D

A5

12

B

x

u2p126h3

000707 140-175.indd 167 20/07/16 16:15

168


26.1 O ponto de coordenadas (0, 1, -1) pertence a ambas as retas; logo, r e s são concorrentes.

Considere-se r(1, 2, -5) um vetor diretor de r e s(-1, -2, -1) , um vetor diretor de s .

Como r $ s = -1 - 4 + 5 = 0 , as retas r e s são perpendiculares.

26.2 AB(2 - 0, 0 - 1, -3 + 1) = (2, -1, -2)

AC(-t - 0, 1 - 2t - 1, -1 - t + 1) = (-t, -2t, -t)

AB $ AC = 1 + -2t + 2t + 2t = 1 + t = 21

C , ,21

1 221

121

#- - - -c m = , ,21

023

- -c m

27 No referencial o.n. da figura, estão representadas uma circunferência de centro em C , ponto de abcissa 5 , e a reta r tangente à circunferência em T(3, 3) .

Tal como a figura sugere, o ponto de coordenadas (0, -3) pertence à reta r .

Determine:

a) a equação reduzida da reta r .

b) uma equação da circunferência.

a) Como o declive de r é dado por m = 3 03 3

-+

= 2 e o ponto (0, -3) lhe pertence, r : y = 2x - 3 .

b) Seja r(1, 2) um vetor diretor de r . Como TC é perpendicular a r e C(5, y) , tem-se:

TC $ r = 0 + (5 - 3) × 1 + (y - 3) × 2 = 0 + + 2 + 2y - 6 = 0 + y = 2

Assim, C(5, 2) .

Logo, TC = 4 1+ = 5 .

Portanto, a equação da circunferência é (x - 5)2 + (y - 2)2 = 5 .

28 Considere, num referencial o.n. xOy , a reta a e o ponto C de coordenadas (2, -3) .

Sabendo que a reta a interseta os eixos coordenados nos pontos de coordenadas (3, 0) e (0, 3) , determine uma equação da circunferência de centro C , tangente à reta a .

y

O

T

r

C3

23

3 5 x

u2p127h1

000707 140-175 U6.indd 168 01/07/16 12:10

169


Como o declive de a é dado por m = 0 33 0

--

= -1 e o ponto (0, 3) lhe pertence, a: y = -x + 3 .

Sejam a(1, -1) o vetor diretor de a e Cl a projeção ortogonal de C na reta a . Tem-se que CCl é perpendicular a a e Cl(x, -x + 3) , então:

CCl $ a = 0 + (x - 2) × 1 + (-x + 3 + 3) × (-1) = 0 +

+ x - 2 + x - 6 = 0 + x = 4

Assim, Cl(4, -1) .

Logo, CCl = 4 4+ = 2 2 .

Portanto, a equação da circunferência é (x - 2)2 + (y + 3)2 = 8 .

29 Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy , a circunferência de equação x2 + y2 = 16 , o ponto P(5, 0) e as retas r e t , tangentes à circunferência e que se intersetam em P .

29.1 Mostre que a equação reduzida de uma reta não horizontal que contenha P é da forma:

y = mx - 5m , m ! IR e determine, em função de m , as coordenadas dos pontos de interseção de uma reta, com equação desta forma, com a circunferência.

29.2 Determine a equação reduzida da reta r e da reta t .

29.1 Seja m o declive da reta s não horizontal que contém P . A equação da reta s é da forma y = mx + b , m, b ! IR . Como P(5, 0) ! s , tem-se 0 = 5m + b + b = -5m .

Portanto, s: y = mx - 5m , m ! IR .

Tem-se que:

x2 + y2 = 16 / y = mx - 5m + x2 + (mx - 5m)2 = 16 +

+ x2 + m2x2 - 10m2x + 25m2 = 16 +

+ (1 + m2)x2 - 10m2x + 25m2 - 16 = 0 +

+ x = ( )

( ) ( )

m

m m m m

2 1

10 100 4 1 25 162

2 4 2 2! # #

+

- + - +

+ x = m

m m m m m1

5 25 25 16 25 162

2 4 2 4 2!

+

- + - + +

+ x = m

m m1

5 16 92

2 2!

+

-

y

O

P

t

r

5 x

u2p127h2

000707 140-175 U6.indd 169 01/07/16 12:10

170


y = mm

m m1

5 16 92

2 2!

+

- - 5m =

= m

m m mm

m m1

5 16 91

5 52

2

2

33 !

+

--

+

+ =

mm m m

15 16 9

2

2!

+

- -

Logo, os pontos de interseção de uma reta com equação da forma y = mx - 5m com a circunferência x2 + y2 = 16 têm as seguintes coordenadas:

,m

m mm

m m m1

5 16 91

5 16 92

2 2

2

2

+

- --

+

+ -f p

e ,m

m mm

m m m1

5 16 91

5 16 92

2 2

2

2

+

+ --

+

- -f p

29.2 Por 29.1 sabe-se que as retas r e t têm equações da forma y = mx - 5m, m ! IR e conhecem-se as coordenadas dos pontos de tangência das retas r e t com a circunferência. Como para cada reta existe um único ponto

de tangência, tem-se que 16 - 9m2 = 0 , ou seja, m = !34

.

Portanto, como r tem declive positivo e t tem declive negativo, as respetivas equações reduzidas são:

r: y = 34

x - 3

20 e t: y = -

34

x + 3

20

30 No referencial ortonormado xOy da figura, estão representados duas retas, r e s , e um ponto P de coordenadas (-2, 2) .

Sabe-se que:

• aequaçãoreduzidadaretar

é y = -x2

;

• aequaçãoreduzidadaretas

é y = x2

- 2 ;

• a é a amplitude, em graus, do menor ângulo formado pelas retas r e s .

Determine:

a) as coordenadas dos pontos da reta r que distam 2 unidades do ponto P .

b) um valor aproximado às décimas de a .

c) a distância do ponto P à reta s .

NOTA: A distância de um ponto a uma reta é a distância desse ponto ao pé da perpendicular tirada desse ponto para a reta.

y

O

2

22

P

x

s

a

u2p127h3

r

000707 140-175 U6.indd 170 01/07/16 12:10

171


a) Seja R(x, y) um ponto da reta r . Então, R ,xx2

-c m .

Assim:

PR = 2 + ( )xx

22

222

+ + - -c m = 2 +

+ x xx

x4 44

2 422

+ + + + + = 2 +

+ x x

424 32 5 2+ +

= 2 + x x24 32 5 2+ + = 4 &

& 24x + 32 + 5x2 = 16 + 5x2 + 24x + 16 = 0 +

+ x = 2 5

24 576 4 5 16#

! # #- - +

+ x = 10

24 16!- + x = -4 0 x = -

54

Tem-se que:

( )4 224

222

- + + -c m = 4 0+ = 2

54

2254

22

2

- + + - -df

np

= 2536

25144

+ = 2

Logo, -4 e -54

são soluções.

Portanto, R(-4, 2) ou R ,54

52

-d n .

b) r(2, -1) e s(2, 1) são vetores diretores de r e s , respetivamente.

Tem-se que:

r $ s = r s cos a +

+ 4 - 1 = 4 1+ × 4 1+ × cos a +

+ 53

= cos a & a c 53,1°

c) Seja Pl a projeção ortogonal de P na reta r . Tem-se que Pl ,aa2

2-c m .

Sabe-se que PPl é perpendicular a s(2, 1) , donde:

PPl $ s = 0 + (a + 2) × 2 + a2

2 2- -c m × 1 = 0 +

+ 2a + 4 + a2

- 4 = 0 + a = 0

Assim, PPl = 4 16+ = 2 5 .

000707 140-175 U6.indd 171 01/07/16 12:10

172

preparação para o teste 3

PREPARAÇÃO PARA O TESTE 3

I

Para cada uma das questões deste grupo, selecione a opção correta de entre as alternativas que lhe são apresentadas.

1 Fixada uma unidade de comprimento, o produto escalar de dois vetores, a e b , é a $ b = -2 .

Sabe-se que, na unidade fixada, a = 4 e b = 3 .

Então, pode-se afirmar que o ângulo dos vetores a e b é:

(a) agudo. (B) reto. (C) obtuso. (D) raso.

-2 = a $ b = 12 cos ba_ iT + cos ba_ iT = -61

< 0


2 Na figura ao lado, está representado, em referencial o.n. xOy , o losango [OACB] de lado 2 . Considere que o ponto B se desloca ao longo do arco AD , nunca coincidindo com o ponto A nem com o ponto D .

A expressão que dá o produto escalar

OD $ OB em função de a ! ,02r ;E é:

(a) 2 cos a (B) 4 cos a (C) -4 sin a (D) 4 sin a

OD $ OB = 2 × 2 × cos2r

a-c m = 4 cos a


3 Num referencial o.n. xOy , considere a circunferência definida por:

x2 + y2 = 13

A reta r é tangente à circunferência no ponto de coordenadas (-2, 3) .

Qual da equações seguintes define a reta r ?

(a) -2x + 3y - 5 = 0

(B) 2x - 3y + 13 = 0

(C) 3x + 2y = 0

(D) y = 23

x + 6

Como (-2, 3) são as coordenadas de um vetor perpendicular à reta r , o declive

da reta é 32

.

y

a

O A

CB

x

u2p128h1

D

000707 140-175 U6.indd 172 01/07/16 12:10

173

Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA

Então, a equação de r é da forma y = 32

x + b .

Substituindo as coordenadas do ponto de tangência na equação, obtém-se:

3 = 32

× (-2) + b + b = 3

13

Assim, r : y = 32

x + 3

13 + 3y = 2x + 13 + 2x - 3y + 13 = 0 .


4 Na figura ao lado está representado, num referencial o.n. xOy , um triângulo equilátero [ABC] .

Sabe-se que :• opontoA tem ordenada positiva;• ospontosB e C pertencem ao eixo Ox ;• opontoB tem abcissa 1 e o ponto C

tem abcissa maior do que 1 .

Qual é a equação reduzida da reta AB ?

(a) y = 2x + 2

(B) y = 2x - 2

(C) y = 3x + 3

(D) y = 3x - 3

Exame Nacional do 12.º ano, 2015

Como o triângulo é equilátero, a inclinação da reta AB é 60° .

Logo, o seu declive é tan 60° = 3 .

Então, a equação de AB é da forma y = 3x + b .

Substituindo na equação as coordenadas de B : 0 = 3 × 1 + b + b = - 3 .


5 Considere, num referencial o.n. Oxyz , os vetores u(1, a, -2) e v(3, 5, 1) .

Qual é o valor de a para o qual u $ v = 11 ?

(a) 5

(B) 2

(C) -2

(D) -1

u $ v = 11 + 3 + 5a - 2 = 11 + a = 2


y

O

A

CB x

u2p128h2

000707 140-175 U6.indd 173 01/07/16 12:10

174


II

Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.

1 Considere os vetores u e v tais que u = 4 , v = 3 e u v_ iT = 120° .

1.1 Calcule:

a) (-2u) $ v

b) (u - 3v) $ u

1.2 Determine o número real m para o qual os vetores u - mv e v são perpendiculares.

1.1 a) (-2u) $ v = -2(u $ v) = -2 u v cos 120° =

= -2 × 12 × 21

-c m = 12

b) (u - 3v) $ u = u $ u - 3v $ u = u2 - 3 u v cos 120° =

= 16 - 3 × 12 × 21

-c m = 34

1.2 (u - mv) $ v = 0 + u $ v - mv $ v = 0 +

+ u v cos 120° - m v2 = 0 + -6 - 9m = 0 +

+ m = -32

2 No referencial o.n. da figura xOy estão representadas a circunferência definida pela equação x2 + y2 = 1 e a reta, t , tangente à circunferência no ponto P .

Seja a a inclinação da reta que contém

o segmento de reta [OP] ,02

!ar

e o;E .

2.1 Determine o declive da reta t sabendo

que sin a = 32

.

2.2 Determine as coordenadas do ponto P quando a inclinação da reta t

é 3

2r radianos.

2.3 Prove que o declive da reta t é dado em função de a por - tan1

a .

2.4 Escreva uma equação da reta t , se a = 4r

.

y

O

P

a

x

u2p129h1

t

000707 140-175 U6.indd 174 01/07/16 12:10

175


2.1 Tem-se que:

sin2 a + cos2 a = 1 + 1 + tan

12a

= sin

12a

+

+ 1 + tan

12a

= 49

+ tan2 a = 54

,0

2

&!a

r <F tan a = 5

52

Logo, o declive da reta OP é 5

2 5 .

Como OP é perpendicular a t , vem que o declive de t é -5

2 .

2.2 A circunferência é trigonométrica; logo, P(cos a, sin a) .

Como a = r - 2r

- 3r

= 6r

, P ,cos sin6 6r r

c m , ou seja, P , sin23

31

e o .

2.3 A reta OP é perpendicular à reta t , pois passa no ponto de tangência P . Como o declive de OP é dado por m = tan a , então, o declive da reta t , ml , é tal que:

mml = tan a × ml = -1 + ml = - tan1

a

2.4 Pela alínea anterior, o declive de t é -tan

4

1r = -1 .

Assim, a equação de t é da forma y = -x + b .

A reta OP tem equação y = x , então, OP(x, x) .

Como OP é um raio da circunferência:

OP = 1 + x x2 2+ = 1 + 2 x = 1 + x = !22

Para a = 4r

, x toma um valor positivo; logo, as coordenadas de P são

,22

22

e o .

Substituindo as coordenadas de P na equação de t , obtém-se:

22

= -22

+ b + b = 2

Assim, t: y = -x + 2 .

3 Na figura ao lado está representado, num referencial o.n. Oxyz , um cubo de aresta a .

Sabendo que MT = 2UM e UN = NV , prove que

MN $ MQ = a9

2

.

Tem-se que M , ,a a a32

d n , N , ,a

a a2c m e Q(a, a, 0) .

Assim, MN , ,a a2 3

0-c m e MQ , ,a

a03

-c m .

Logo, MN $ MQ = -a2

× 0 + a3

× a3

+ 0 × (-a) = a9

2

.u2p129h2

z

T

PQ

Oy

x

R

U

V

NM

S

000707 140-175 U6.indd 175 01/07/16 12:10

176

EquaçõEs dE planos no Espaço7UNIDADE


Tarefa 1 Considere, num referencial o.n Oxyz do espaço, o ponto A(2, 4, 1) e a reta r definida por:

(x, y, z) = (-1, 3, 5) + k(-1, 0 ,1), k ! IR

1.1 Justifique que o ponto A e a reta r definem um plano.

1.2 Mostre que o vetor u de coordenadas (1, 1, 1) é normal ao plano definido pela reta r e pelo ponto A .

1.1 (2, 4, 1) = (-1 - k, 3, 5 + k) é impossível; então, A " r e, assim, A e r não definem um plano.

1.2 O vetor u(1, 1, 1) é perpendicular ao vetor AB(-3, -1, 4) , sendo B o ponto definido em 1.1, pois u $ AB = -3 - 1 + 4 = 0 e é perpendicular ao vetor diretor da reta dada, r , de coordenadas (-1, 0, 1) , uma vez que u $ r = -1 + 0 + 1 = 0 .

Concluindo-se, assim, que o vetor u é normal ao plano definido pela reta r e pelo ponto A .

7.1 Vetores normais a um plano

1 Considere, num referencial o.n. Oxyz , o plano a de equação z = -2 .

Indique:

a) dois pontos pertencentes ao plano a .

b) um vetor de norma 2 normal ao plano a .

a) Por exemplo, (2, 2, -2) e (1, 4, -2) .

b) Sejam A(2, 2, -2) , B(3, 3, -2) e C(4, 3, -2) três pontos pertencentes ao plano a e seja u um vetor de norma 2 normal ao plano a .

Tem-se que AB = B - A e AC = C - A têm coordenadas, respetivamente, (1, 1, 0) e (2, 1, 0) ; logo:

u

u

u

AB

AC

0

0

2

$

$

=

=

=

* +

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

x y z

x y z

x y z

1 1 0 0

2 1 0 0

22 2 2

$

$

=

=

+ + =

* +

x y

x y

x y z

0

2 0

42 2 2

+ =

+ =

+ + =

* +

x

y

z

0

0

2!

=

=

=

*

000707 176-205 U7.indd 176 01/07/16 12:10

177


Por exemplo, (0, 0, 2) é um vetor de norma 2 normal a a .

Em alternativa:

Um vetor normal ao plano a tem coordenadas (0, 0, 1) ; logo, o vetor pretendido tem coordenadas (0, 0, 2) ou (0, 0, -2) .

2 Considere, num referencial o.n., os pontos A(1, 2, 0) , B(0, 1, 1) e C(-1, 0, 1) .

Mostre que:

a) os pontos A , B e C são não colineares.

b) o vetor u(1, -1, 0) é normal ao plano ABC .

a) Tem-se que AB = B - A tem coordenadas (-1, -1, 1) .

Uma equação vetorial da reta AB é (x, y, z) = (1, 2, 0) + k(-1, -1, 1), k ! IR .

Verifique-se que o ponto C não pertence à reta AB :

(-1, 0, 1) = (1, 2, 0) + k(-1, -1, 1) Então:

k

k

k

1 1

2 0

1

- =-

- =

=

* +

k

k

k

2

2

1

=

=

=

*

Como 1 ! 2 , C não pertence à reta AB e, por isso, os pontos A , B e C são não colineares.

b) Considere-se u(1, -1, 0) e os pontos A e B pertencentes ao plano ABC :

AB $ u = -1 × 1 + (-1) × (-1) + 1 × 0 = -1 + 1 + 0 = 0

BC $ u = -1 × 1 + (-1) × (-1) + 0 × 0 = 0

Logo, o vetor u é normal ao plano ABC .

7.2 Equações cartesianas de planos

3 Determine uma equação do plano que passa pelo ponto P0 de coordenadas (1, 2, 3) e tem como vetor normal o vetor u de coordenadas:

a) (-2, 4, -1) b) (0, -1, 0) c) (1, -2, 0)

Sejam P0(1, 2, 3) e P(x, y, z) pontos pertencentes ao mesmo plano e u , um vetor normal ao plano.

a) P P0 $ u = 0 + -2(x - 1) + 4(y - 2) - 1(z - 3) = 0 +

+ -2x + 2 + 4y - 8 - z + 3 = 0 + 2x - 4y + z + 3 = 0

b) P P0 $ u = 0 + 0(x - 1) + (-1)(y - 2) + 0(z - 3) = 0 +

+ -y + 2 = 0 + y = 2

c) P P0 $ u = 0 + 1(x - 1) + (-2)(y - 2) + 0(z - 3) = 0 +

+ x - 1 - 2y + 4 = 0 + x - 2y + 3 = 0

000707 176-205 U7.indd 177 01/07/16 12:10

178

EquaçõEs dE planos no Espaço

z

x

O y

u2p133h1

K

E

B

C

FGD

A

4 No referencial ortonormado do espaço da figura está representado um cubo de aresta 6 cm , em que um dos seus vértices é a origem do referencial e as suas faces são paralelas aos planos coordenados.

4.1 Indique as coordenadas do ponto K (centro do cubo).

4.2 Determine KF KG_ iT , aproximada às unidades de grau.

4.3 Determine uma equação cartesiana do plano BCD .

4.1 K(3, 3, 3)

4.2 O vetor KF = F - K tem coordenadas (-3, 3, 3) , e o vetor

KG = G - K tem coordenadas (-3, -3, 3) .

Tem-se que o triângulo KFG é isósceles:

KF = KG = ( ) ( )3 3 32 2 2- + - + = 27

Portanto:

KF $ KG = KF KG cos KF KG_ iT +

+ 9 + (-9) + 9 = 27 × 27 × cos KF KG_ iT +

+ cos KF KG_ iT = 279

+ cos KF KG_ iT = 31

+ KF KG_ iT c 71°

4.3 Considere-se u um vetor normal ao plano BCD e K(3, 3, 3) , um ponto pertencente a este plano.

u = KM = M - K , em que M(3, 6, 6) é ponto médio da aresta EF . Então, tem-se u(0, 3, 3) .

Uma equação cartesiana do plano BCD :

0(x - 3) + 3(y - 3) + 3(z - 3) = 0 + + 3z - 9 + 3z - 9 = 0 + y + z - 6 = 0

5 Determine uma equação do plano que passa no ponto A(0, 0, -1) e é perpendicular à reta de equação:

(x, y, z) = (0, -1, 0) + k(2, 1, -1), k ! IR

Se o plano passa no ponto A(0, 0, -1) e é perpendicular à reta de equação (x, y, z) = (0, -1, 0) + k(2, 1, -1), k ! IR , então, um dos vetores normais a esse plano pode ser u(2, 1, -1) .

Uma das equações desse plano pode ser dada por:

2(x - 0) + 1(y - 0) + (-1)(z + 1) = 0 + 2z + y - z - 1 = 0

000707 176-205 U7.indd 178 01/07/16 12:11

179


6 Determine uma equação do plano ABC , em que, num dado referencial ortonormado, os pontos A , B e C têm coordenadas (2, 1, 0) , (0, 0, 3) e (-3, 0, 0) , respetivamente.

Como A , B e C são três pontos não colineares do plano ABC , então,

um vetor u perpendicular a AB e AC é normal ao plano.

Então, o vetor u é tal que:

u $ AB = 0 / u $ AC = 0

Como AB(-2, -1, 3) e AC(-5, -1, 0) , se u tem coordenadas (a, b, c) , tem-se:

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

a b c

a b c

2 1 3 0

5 1 0 0

$

$

- - =

- - =* +

a b c

a b

2 3 0

5 0

- - + =

- - =) +

+ a c

b a

3 3

5

=-

=-) +

c a

b a5

=-

=-(

Fazendo a = -1 , tem-se b = 5 e c = 1 . Então, um vetor u , normal ao plano ABC , tem coordenadas (-1, 5, 1) .

Assim, uma equação cartesiana do plano ABC é -x + 5y + z + d = 0 .

Como A pertence ao plano, tem-se -2 + 5 + d = 0 + d = -3 .

Assim, uma equação do plano é dada por:

-x + 5y + z - 3 = 0 + x - 5y - z + 3 = 0

7 Considere, num referencial o.n. Oxyz , os pontos A , B e C , de coordenadas (10, 0, 0) , (0, 2, 1) e (0, 5, 0) , respetivamente, e as retas AB e BC .

7.1 Justifique que as retas AB e BC são complanares.

7.2 Prove que o plano definido por AB e BC admite como equação:

x + 2y + 6z = 10

7.3 Calcule o volume da pirâmide [OABC] .Adaptado da Prova Modelo do 12.º ano, 1999

7.1 As retas AB e BC são complanares se os pontos A , B e C definirem um plano.

Como AB(-10, 2, 1) , a reta AB pode ser definida pela equação:

(x, y, z) = (10, 0, 0) + k(-10, 2, 1), k ! IR

Verifique-se se C pertence à reta AB substituindo as coordenadas de C na sua equação:

(0, 5, 0) = (10 - 10k, 2k, k) + 0 = 10 - 10k / 2k = 5 / k = 0

x

O

A

BC

y

u2p134h2

z

000707 176-205 U7.indd 179 01/07/16 12:11

180


Como uma das condições obtidas é impossível, conclui-se que C não pertence a AB e, então, os três pontos são não colineares (definem um plano). Logo, as retas AB e BC são complanares.

7.2 Como A , B e C são três pontos não colineares do plano ABC , então, um vetor u perpendicular a BA e BC é normal ao plano.

Então, o vetor u é tal que u $ BA = 0 / u $ BC = 0 .

Como BA(10, -2, -1) e BC(0, 3, -1) , se u tem coordenadas (a, b, c) , tem-se:

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

a b c

a b c

0

0

10 2 1

0 3 1

$

$

- =

=

-

-* +

a b c

b c

10 2 0

3 0

- - =

- =) +

+ a b

c b

10 5

3

=

=) +

a b

c b

21

3

=

=

*

Fazendo b = 2 , tem-se a = 1 e c = 6 , então, um vetor u , normal ao plano, tem coordenadas (1, 2, 6) .

Assim, uma equação cartesiana do plano ABC é x + 2y + 6z + d = 0 .

Como A pertence ao plano, tem-se 10 + d = 0 + d = -10 .

Assim, uma equação do plano é dada por x + 2y + 6z = 10 .

Em alternativa, pode-se substituir as coordenadas dos pontos (não colineares) A , B e C na equação x + 2y + 6z = 10 e verificar que se mantém a igualdade:

10 + 2 × 0 + 6 × 0 = 10 + 10 = 10

0 + 2 × 2 + 6 × 1 = 10 + 10 = 10

0 + 2 × 5 + 6 × 0 = 10 + 10 = 10

7.3 Considere-se a base da pirâmide [OABC] como sendo o triângulo retângulo [AOC] e a altura, h , a distância da base da pirâmide ao ponto B (paralela ao eixo Oz ) .

Então:

V[OABC] = A h

3[ ]AOC #

= 3

210 5

1#

# =

325

u. v.

Tarefa 2 Na figura ao lado estão representados, em referencial o.n. Oxyz do espaço, a superfície esférica definida pela equação

(x - 2)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = 36

e o plano tangente à superfície esférica no ponto A(-2, y, 3), y ! IR .

x

A

y

u2p135h1

z

000707 176-205 U7.indd 180 01/07/16 12:11

181


2.1 Determine a ordenada do ponto A sabendo que esta é superior à do centro da superfície esférica.

2.2 Escreva uma equação do plano tangente à superfície esférica no ponto A .

2.1 Substituindo x e z , respetivamente, por -2 e 3 , na equação que define a superfície esférica, obtém-se:

(-2 - 2)2 + (y - 3)2 + (3 + 1)2 = 36 + 16 + (y - 3)2 + 16 = 36 +

+ (y - 3)2 = 4 + y - 3 = 2 0 y - 3 = -2 + y = 5 0 y = 1

Como a ordenada do centro é 3 , tem-se que a ordenada do ponto A é 5 .

2.2 O centro da superfície esférica, C , tem coordenadas (2, 3, -1) .

O vetor CA(-4, 2, 4) é normal ao plano tangente à superfície esférica no ponto A . Logo, o plano pretendido pode-se escrever na forma:

-4x + 2y + 4z + d = 0

Substituindo x , y e z pelas coordenadas do ponto A , respetivamente, obtém-se:

-4 × (-2) + 2 × 5 + 4 × 3 + d = 0 + d = -30

e, sendo assim, o plano pode ser dado pela equação:

-4x + 2y + 4z - 30 = 0 + 2x - y - 2z + 15 = 0

8 Considere um referencial o.n. Oxyz .

Determine uma equação do plano tangente à superfície esférica de equação

x2 + y2 + (z - 1)2 = 1na origem do referencial.

O centro da superfície esférica, C , tem coordenadas (0, 0, 1) .

O vetor CO(0, 0, -1) é normal ao plano tangente à superfície esférica no ponto O (origem do referencial). Logo, o plano pretendido pode-se escrever na forma -z + d = 0 .

Substituindo z pela cota do ponto O , obtém-se d = 0 e, sendo assim, o plano pode ser dado pela equação z = 0 .

9 No referencial o.n. Oxyz da figura está representado um prisma triangular reto em que:• C tem coordenadas (4, 0, 1) ;• aface[ABDO] está contida no plano xOy ;• ED = 3

9.1 Defina por meio de uma equação cartesiana o plano mediador de [BD] .

9.2 Identifique, usando letras da figura, o lugar geométrico definido pela

condição x = 4 / y + 2 2z = 2 2 .

x

O

E

D

BA

C y

u2p135h3

z

000707 176-205 U7.indd 181 01/07/16 12:11

182


9.1 Determine-se as coordenadas de D :

ED OD OE2 2 2= + + 32 = OD

2 + 12 + OD = 2 2

Logo, D , ,0 2 2 0_ i .

Considere-se M , ,2 2 02_ i o ponto médio do segmento de reta [BD] .

Como BD = D - B tem coordenadas , ,0 4 2 2 2 2 0 0- - -_ i = = (-4, 0, 0) , a equação cartesiana do plano é -4x + d = 0 .

O valor de d é tal que -4 × 2 + d = 0 + d = 8 ; logo, uma equação cartesiana do plano mediador de [BD] pode ser dada por:

-4x + 8 = 0 + -x + 2 = 0 Em alternativa: d(B, M) = d(D, M) +

+ ( ) ( )x y z4 2 2 022

2- + - + -` j = ( ) ( )x y z0 2 2 022

2- + - + -` j +

+ x2 - 8x + 16 + y2 - 4 2y + 8 + z2 = x2 + y2 - 4 2y + 8 + z2 +

+ -8x + 16 = 0 + -x + 2 = 0

Ou então pode-se afirmar que é x = 2 , pois se é perpendicular a [BD] também é perpendicular a [AO] e, como passa pelo ponto médio de [AO] de coordenadas (2, 0, 0) , tem-se x = 2 .

9.2 Os pontos B , ,4 2 2 0_ i e C(4, 0, 1) verificam a condição dada; portanto, a reta BC é o lugar geométrico definido pela mesma.

7.3 Posição relativa de dois planos

10 Num referencial ortonormado Oxyz , o plano c é definido pela equação:

x - y + 3z - 5 = 0

10.1 Determine as coordenadas do ponto de interseção do plano c com o eixo Ox .

10.2 Escreva uma condição que defina a reta perpendicular a c e que passa por A(0, -1, 6) .

10.3 Determine uma equação cartesiana do plano paralelo a c e que passa no ponto de coordenadas (1, 1, 1) .

10.1 Seja I o ponto de interseção do plano c com o eixo Ox , então, I(x, 0, 0) . Substituindo na equação do plano, obtém-se:

x - 0 + 3 × 0 - 5 = 0 + x = 5 Portanto, I(5, 0, 0) .

10.2 Pela equação que define o plano c , obtém-se o vetor normal ao plano de coordenadas (1, -1, 3) .

Por exemplo, uma condição que define a reta perpendicular a c e que passa por A(0, -1, 6) é:

(x, y, z) = (0, -1, 6) + k(1, -1, 3), k ! IR

000707 176-205 U7.indd 182 01/07/16 12:11

183


10.3 Como o plano é paralelo a c , pode-se considerar o mesmo vetor normal ao plano de coordenadas (1, -1, 3) .

O ponto (1, 1, 1) pertence ao plano paralelo a c ; logo:

1 - 1 + 3 × 1 + d = 0 + d = -3

Assim, uma equação cartesiana do plano paralelo a c é:

x - y + 3z - 3 = 0

11 Considere, num referencial ortonormado Oxyz , os planos definidos pelas seguintes equações:

a: x + y + z = 10

b: -2x - 2y - 2z = -20

d: 3x + 3y + 3z = 4

n: 2x + 2y - 2z = 20

Indique, justificando, quais destes planos são paralelos e quais são coincidentes.

Considere-se a e b :

Os vetores normais a a e b têm coordenadas (1, 1, 1) e (-2, -2, -2) , respetivamente.

Como (1, 1, 1) = 21

- (-2, -2, -2) , conclui-se que os dois vetores são

colineares, pelo que os planos a e b são paralelos.

Como -2x - 2y - 2z = -20 + x + y + z = 10 , a e b são coincidentes.

Considere-se a , b e d :

x + y + z = 10 + 3(x + y + z) = 3 × 10 + 3x + 3y + 3z = 30

Como 30 ! 4 , então, d é paralelo a a e a b .

No caso de n , o seu vetor normal não é colinear a nenhum dos outros vetores normais; logo, n não é paralelo nem coincidente com nenhum dos outros planos. Além disso, os vetores normais também não são perpendiculares.

Portanto, a e b são coincidentes e d é paralelo a a e b .

12 Considere os planos definidos, em determinado referencial o.n. do espaço, pelas equações:

a: x + 2y + z = 10

b: x + y - 2z = 5

d: -x - y + 2z = 4

n: 2x + 2y - 4z = -8

Indique, caso seja possível, um par de planos cuja interseção seja:

a) um plano. b) uma reta. c) o conjunto vazio.

a) d e n , pois são planos coincidentes.

b) a e b , pois são planos concorrentes.

c) b e n , pois são planos paralelos.

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184


13 Averigue, em cada alínea, se os planos definidos, num referencial o.n., pelas seguintes equações são perpendiculares:

a) a: 3x - 4y + z = 2 b: 4x + 3y = 3

b) a: -2x + y - 3z = 0 b: 4x + y - z = 11

a) Considere-se ua(3, -4, 1) e ub(4, 3, 0) vetores normais aos planos a e b , respetivamente. Os planos a e b são perpendiculares se, e só se, ua $ ub = 0 .

ua $ ub = 3 × 4 + (-4) × 3 + 1 × 0 = 0

Logo, os planos a e b são perpendiculares.

b) Considere-se ua(-2, 1, -3) e ub(4, 1, -1) vetores normais aos planos a e b , respetivamente. Os planos a e b são perpendiculares se, e só se, ua $ ub = 0 .

ua $ ub = -2 × 4 + 1 × 1 + (-3) × (-1) = -4 ! 0

Logo, os planos a e b não são perpendiculares.

14 Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz , o cubo [ABCDEFGO] .

A face [OGCD] está contida no plano yOz e os pontos E , G e D têm coordenadas ^ 10, 0, 0h , (0, 3, 1) e (0, -1, 3) , respetivamente.

14.1 Mostre que a equação -y + 3z = 0 define o plano OEG .

14.2 Determine uma condição que defina:

a) o plano ABC .

b) o plano BCF .

c) a reta FG .

14.1 Considere-se OD(0, -1, 3) um vetor normal ao plano OEG .

Tem-se que a equação é da forma -y + 3z + d = 0 .

Como E , ,10 0 0_ i pertence ao plano, conclui-se que d = 0 .

Portanto, a equação -y + 3z = 0 define o plano OEG .

14.2 a) Como o plano ABC é paralelo a OEG , tem-se que a equação é da forma -y + 3z + d = 0 . Como D(0, -1, 3) pertence ao plano, conclui-se que -(-1) + 3 × 3 + d = 0 + d = -10 .

Portanto, uma condição que define o plano ABC é -y + 3z - 10 = 0 .

b) Considere-se GO(0, -3, -1) um vetor normal ao plano BCF .

Tem-se que a equação é da forma -3y - z + d = 0 . Como G(0, 3, 1) pertence ao plano, conclui-se que -3 × 3 - 1 + d = 0 + d = 10 .

Portanto, uma condição que define o plano BCF é -3y - z + 10 = 0 .

c) A reta FG é a interseção dos planos BCF e OEG ; logo, uma condição que a define é:

-3y - z + 10 = 0 / -y + 3z = 0

x

O

E

G

DB

A

C

y

u2p138h1

z

F

000707 176-205 U7.indd 184 01/07/16 12:11

185


7.4 Equação vetorial de um plano

15 Considere num referencial o.n. Oxyz os pontos A , B e C de coordenadas (0, -1, 3) , (2, 4, 5) e (0, -1, 0) , respetivamente.

15.1 Determine as coordenadas de dois vetores, não nulos, paralelos ao plano ABC .

15.2 Escreva uma equação vetorial do plano ABC .

15.1 Por exemplo, AB(2, 5, 2) e AC(0, 0, -3) .

15.2 Sabe-se que AB e AC são vetores, não colineares, paralelos ao plano ABC , e o ponto A pertence ao plano. Logo, uma equação vetorial do plano ABC é dada por:

(x, y, z) = (0, -1, 3) + s(2, 5, 2) + t(0, 0, 3), s, t ! IR

Tarefa 3 Na figura ao lado está representada, em referencial o.n. Oxyz , a pirâmide quadrangular regular [ABCOV] cuja base [ABCO] está contida no plano xOz e o vértice V tem coordenadas (2, 8, 2) .

3.1 Determine o volume da pirâmide.

3.2 Escreva um sistema de equações paramétricas do plano OCV .

3.3 A equação x + 4y - z - 14 = 0 define o plano mediador de uma das arestas laterais da pirâmide. Indique, justificando, qual é essa aresta.

3.1 O ponto V tem de abcissa 2 ; logo, o quadrado base da pirâmide tem de lado 4 u. c. Como a ordenada do ponto V é 8 , a altura da pirâmide é 8 u. c.

O volume da pirâmide é dado por:

V[ABCOV] = 3

4 82 # =

3128

u. v.

3.2 O ponto C tem coordenadas (0, 0, 4) .

Os vetores OC e OV têm de coordenadas, respetivamente, (0, 0, 4) e (2, 8, 2) ; assim sendo, o plano OCV pode ser dado pelo sistema de equações paramétricas:

x t

y t

z s t

2

8

4 2

=

=

= +

* , s, t ! IR

3.3 A equação define o plano mediador de [CV] , pois o ponto médio tem coordenadas (1, 4, 3) e verifica a equação:

1 + 4 × 4 - 3 - 14 = 0

Além disso, CV(2, 8, -2) é colinear ao vetor de coordenadas (1, 4, -1) , normal ao plano dado, uma vez que CV = 2(1, 4, -1) .

x

OV

B

A

C

y

u2p140h1

z

000707 176-205 U7.indd 185 01/07/16 12:11

186


16 Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz , o tetraedro regular [ABCD] .

Sabe-se que o plano que contém a face [ABC] é definido pelo seguinte sistema:

x s

y t

z s t

1= -

=-

= +

* , s, t ! IR

16.1 Determine a medida da aresta do poliedro.

16.2 Sabendo que a reta AD é definida pelo sistema

x k

y k

z k

1 4= +

=

=

* , k ! IR

determine as coordenadas do ponto D .

16.3 Determine uma equação cartesiana do plano paralelo ao plano ABC e que passa no ponto de coordenadas (3, 0, 7) .

16.1 Determine-se a abcissa x do ponto A(x, 0, 0) :

x s

t

s t

1

0

0

= -

=-

= +

* +

x

t

s

1

0

0

=

=

=

*

Logo, A(1, 0, 0) .

Determine-se a cota z do ponto C(0, 0, z) :

s

t

z s t

0 1

0

= -

=-

= +

* +

s

t

z

1

0

1

=

=

=

*

Logo, C(0, 0, 1) .

Então, AC = ( ) ( )0 1 0 1 02 2- + + - = 2 .

Logo, a aresta do poliedro tem de comprimento 2 u. c.

16.2 Tem-se que:

x k

y k

z k

1 4= +

=

=

* , k ! IR + (x, y, z) = (1, 0, 0) + k(4, 1, 1), k ! IR

Sabe-se que (1, 0, 0) são as coordenadas de A e u(4, 1, 1) são

as coordenadas do vetor diretor da reta AD , AD = 2 e u = 18 .

Portanto, D = A ! 18

2u = A !

31

u .

Logo, D tem coordenadas , ,31

31

31

- - -d n , pois situa-se no 1.º octante.

x

BA D

C

y

u2p142h1n

z

O

000707 176-205 U7.indd 186 01/07/16 12:11

187


16.3 Do sistema

x s

y t

z s t

1= -

=-

= +

* , s, t ! IR obtêm-se os dois vetores, s(-1, 0, 1)

e t (0, -1, 1) , paralelos ao plano ABC e, por sua vez, paralelos ao plano pretendido. Então, um vetor, u , perpendicular a estes vetores, é normal ao plano paralelo a ABC .

Logo, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ s = 0 / u $ t = 0 :

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

a b c

a b c

1 0 1 0

0 1 1 0

$

$

- =

- =* +

a c

b c

0

0

- + =

- + =) +

c a

c b

=

=(

Fazendo c = 1 , tem-se a = 1 e b = 1 . Então, um vetor u , normal ao plano paralelo a ABC , tem coordenadas (1, 1, 1) .

Assim, uma equação cartesiana do plano paralelo a ABC é:

x + y + z + d = 0

Como (3, 0, 7) pertence ao plano, tem-se:

3 + 0 + 7 + d = 0 + d = -10

Assim, uma equação cartesiana do plano paralelo a ABC é dada por:

x + y + z - 10 = 0

17 No referencial ortonormado da figura está representado o prisma quadrangular regular [ABCDEFGH] (o vértice H não está representado na figura).

Sabe-se que:• oplanoEFG é definido pela equação

3x - 6y + 2z + 6 = 0• ovérticeE pertence ao plano xOy ;• aretaAE é definida pelo sistema

x k

y

z

k

k

14 3

7 6

4 2

= +

=

=

- -

+

* , k ! IR

• B(16, -4, 10) e D(8, -9, 7)

17.1 Determine as coordenadas de A e de E .

17.2 Determine uma equação da reta perpendicular ao plano ABC e que passa por B .

17.3 Determine uma equação vetorial do plano mediador de [AC] .

17.1 Como E(x, y, z) pertence ao plano xOy , tem cota igual a 0 . Logo:

x k

y k

k

14 3

7 6

0 4 2

= +

=- -

= +

* +

( )

( )

x

y

k

14 3 2

7 6 2

2

= + -

=- - -

=-

* +

x

y

k

8

5

2

=

=

=-

*

Portanto, E(8, 5, 0) .

x

y

u2p141h2

zC

G

F

EA

D B

000707 176-205 U7.indd 187 01/07/16 12:11

188


Em alternativa:

3(14 + 3k) - 6(-7 - 6k) + 2(4 + 2k) + 6 = 0 + k = -2

Para determinar as coordenadas de A , sabe-se que:

x k

y k

k

14 3

7 6

0 4 2

= +

=- -

= +

* + (x, y, z) = (14, -7, 4) + k(3, -6, 2), k ! IR

As coordenadas de A são da forma (14 + 3k, -7 - 4k, 4 + 2k), k ! IR .

Por outro lado, sabe-se que DB(8, 5, 3) é perpendicular a

AE(-6 - 3k, 12 + 4k, -4 - 2k) ; logo:

DB $ AE = 0 + - 48 - 24k - 60 + 20k - 12 + 6k = 0 + k = 0

Portanto, A(14, -7, 4) .

17.2 A reta perpendicular ao plano ABC que passa por B é paralela à reta AE ; logo, pode ter o mesmo vetor diretor.

Portanto, uma equação que define a reta pedida é:

(x, y, z) = (16, -4, 10) + k(3, -6, 2), k ! IR

17.3 O plano mediador de [AC] é o plano BDF .

Sabe-se que AE(-6, 12, -4) e BD(-8, -5, -3) são vetores paralelos ao plano BDF e que o ponto B pertence ao plano.

Logo, uma equação vetorial do plano BDF é dada por:

(x, y, z) = (16, -4, 10) + s(-6, 12, -4) + t(-8, -5, -3), s, t ! IR

Tarefa 4 Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz , a pirâmide [ABCDV] .

Sabe-se que:• asretasAB e CD são definidas,

respetivamente, pelas equações vetoriais: (x, y, z) = (2, 1, 1) + k(0, 1, -1), k ! IR (x, y, z) = (0, 1, 1) + k(0, -2, 2), k ! IR• opontoA pertence ao plano xOz ,

B pertence ao plano xOy , C pertence a Oy e D pertence a Oz .

4.1 Mostre que as retas AB e CD definem um plano.

4.2 Escreva uma equação cartesiana do plano que contém a base da pirâmide.

4.3 Justifique que o quadrilátero [ABCD] é um retângulo.

4.4 Admitindo que o ponto V tem coordenadas (2, 3, 2) , determine o volume da pirâmide.

x

y

u2p142h1

z

CO

V

A

D

B

000707 176-205 U7.indd 188 01/07/16 12:11

189


4.1 Um vetor u , diretor de AB , tem coordenadas (0, 1, -1) e um vetor diretor de CD tem coordenadas (0, -2, 2) . Como (0, -2, 2) = -2(0, 1, -1) , os vetores são colineares e as retas são paralelas. O ponto C , por exemplo, não pertence a AB ; logo, AB e CD são paralelas e definem um plano.

4.2 Sejam E e F tais que E(2, 1, 1) ! AB e F(0, 1, 1) ! CD . Os vetores FE(2, 0, 0) e u(0, 1, -1) são não colineares e paralelos ao plano ABC .

O vetor n(0, 1, 1) é normal a ambos os vetores; logo, é normal ao plano ABC .

O plano ABC pode ser definido por y + z + d = 0 . Substituindo x , y e z por 2 , 1 e 1 , respetivamente, obtém-se d = -2 .

Logo, uma equação do plano ABC é y + z - 2 = 0 .

4.3 Como A pertence ao plano xOz , tem-se A(x, 0, z) . Por outro lado, A pertence à reta AB ; logo:

(x, 0, z) = (2, 1, 1) + k(0, 1, -1) +

x

k

z k

2

0 1

1

=

= +

= -

* +

x

z

k

2

1

2

=

=-

=

*

Portanto, A(2, 0, 2) .

Analogamente, tem-se B(2, 2, 0) , C(0, 2, 0) e D(0, 0, 2) .

Assim, AC(-2, 2, -2) , BD(-2, -2, 2) , AD(-2, 0, 0) e BC(-2, 0, 0) .

Como AC = BD = 2 3 e AD = BC , [ABCD] é um retângulo.

4.4 Seja r a reta perpendicular a ABC e que passa por V . Uma equação da reta r é dada por:

(x, y, z) = (2, 3, 2) + k(0, 1, 1), k ! IR

Considere-se M(x, y, z) a interseção da reta r com o plano ABC ; então:

x

k

z k

y z

y

2

2 0

3

2

=

= +

=

+ - =

+* + k y

k z

3

2

———

———

=

=

-

-* +

z y

y y

1

1 2 0

———

———

=- +

- + - =

* +

x

z

y

2

1

32

2

———=

=

=

*

Portanto, M , ,223

21

c m .

Tem-se que MV = 2

3 2 , AD = 2 e AB = 2 2 ; logo,

o volume da pirâmide é dado por:

3

2 22

3 22# #

= 4 u. v.

000707 176-205 U7.indd 189 01/07/16 12:11

190


18 Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz , uma pirâmide quadrangular regular [ABCDV] , cuja base está contida no plano xOy .

O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto B tem coordenadas (5, 3, 0) . O ponto V pertence ao plano de equação z = 6 . Os planos ADV e ABV têm equações 6x + 18y - 5z = 24 e 18x - 6y + 5z = 72 , respetivamente.

18.1 Determine o volume da pirâmide.

18.2 Determine as coordenadas do ponto V .

18.3 Seja S o ponto de coordenadas (-1, -15, 5) . Seja r a reta que contém o ponto S e é perpendicular ao plano ADV .

Verifique que a reta r contém o ponto B .Teste Intermédio do 11.º ano, 2010

18.1 A altura da pirâmide é 6 u. c. , pois V tem cota 6 .

O ponto A(x, y, z) pertence ao eixo Ox ; logo, tem coordenadas (x, 0, 0) . Como o ponto A pertence ao plano ADV , tem-se:

6x + 18 × 0 - 5 × 0 = 24 + 6x = 24 + x = 4

Portanto, A(4, 0, 0) .

Calcule-se o comprimento da aresta da base:

AB = ( ) ( ) ( )5 4 3 0 0 02 2 2- + - + - = 10

Logo, o volume da pirâmide é igual a 3

10 62#_ i

= 20 u. v.

18.2 Sabe-se que V é o ponto de interseção de três planos: o plano de equação z = 6 , o plano ADV e o plano ABV . Portanto:

x y z

x y z

z

6 18 5 24

18 6 5 72

6

+ - =

- + =

=

* +

x y

x y

z

6 18 30 24

18 6 30 72

6

+ - =

- + =

=

* +

x y

x y

9 3

18 6 42

———

= -

- =* +

+ ( )y y18 9 3 6 42

———

———

- - =* +

x

y

z

3

2

6

=

=

=

*

Deste modo, tem-se V(3, 2, 6) .

18.3 Através da equação do plano ADV , 6x + 18y - 5z = 24 , obtém-se o vetor de coordenadas (6, 18, -5) , perpendicular ao plano ADV , sendo um vetor diretor da reta r . Portanto, uma equação vetorial de r é:

(x, y, z) = (-1, -15, 5) + k(6, 18, -5), k ! IR

Como 6

5 118

3 155

0 5+=

+=

--

é uma proposição verdadeira, a reta r

contém o ponto B(5, 3, 0) .

x

y

u2p142h2

z

C

O

V

AD

B

000707 176-205 U7.indd 190 06/07/16 17:30

191


19 Na figura seguinte estão representados, num referencial o.n. Oxyz , um cubo e um octaedro cujos vértices são os centros das faces do cubo.

Um dos vértices do cubo é a origem do referencial e as suas faces estão contidas nos planos coordenados.

O plano MNK é definido pela equação x + y + z = 2

19.1 Determine a medida da aresta do cubo.

19.2 Escreva uma equação vetorial do plano JUL .

19.3 Seja T um ponto da aresta [GF] .

Determine as coordenadas de T de modo que

LJ $ LT = -21

19.1 O plano de equação x + y + z = 2 tem o vetor de coordenadas (1, 1, 1) como vetor normal.

Seja a a medida da aresta do cubo. Sabe-se que M , ,a a2

02

c m

é o ponto médio da face [ABOE] que pertence ao plano xOy ; logo, tem ordenada nula. Substituindo as coordenadas de M na equação

do plano MNK , vem que a2

+ a2

= 2 + a = 2 .

Portanto, a medida da aresta do cubo é 2 u. c.

19.2 Tem-se que as coordenadas dos pontos J , U e L são, respetivamente, (2, 1, 1) , (1, 2, 1) e (1, 1, 2) .

Sabe-se que JL(-1, 0, 1) e JU(-1, 1, 0) são vetores paralelos ao plano JUL e que o ponto J pertence ao plano.

Logo, uma equação vetorial do plano JUL é dada por:

(x, y, z) = (2, 1, 1) + s(-1, 0, 1) + t(-1, 1, 0), s, t ! IR

19.3 Seja T(0, 2, z) , pois pertence à aresta [GF] .

Tem-se LJ(1, 0, -1) e LT(-1, 1, z - 2) ; então:

LJ $ LT = -21

+ 1 × (-1) + 0 × 1 + (-1) × (z - 2) = -21

+

+ -1 - z + 2 = -21

+ z = 23

Portanto, T , ,0 223

c m .

x

y

u2p143h2

z

O

A

B

DE

U

G

F

C

L

MK

J

N

000707 176-205 U7.indd 191 01/07/16 12:11

192


AVALIAR CONHECIMENTOS

ESCOLHA MÚLTIPLA


1 Considere um referencial o.n. Oxyz . Uma equação do plano que contém o ponto P(1, 3, 4) e é perpendicular a u(2, 0, 1) é:

(a) x + 2z = 9

(B) 2x - z + 2 = 0

(C) x + 3y + 4z = 9

(D) 2x + z = 6

Tem-se 2x + z + d = 0 . Como P(1, 3, 4) pertence ao plano, conclui-se que:

2 × 1 + 4 + d = 0 + d = -6

Portanto, a condição que define o plano é 2x + z = 6 .


2 Considere um referencial o.n. Oxyz . O ponto de coordenadas (-1, 3, k) pertence ao plano definido analiticamente por -x + 3y + z = 4 , se:

(a) k = -6

(B) k = -4

(C) k = -3

(D) k = 4

-(-1) + 3 × 3 + k = 4 + k = -6


3 No referencial o.n. da figura está representado um octaedro regular.

Os vértices do octaedro pertencem aos eixos coordenados e a sua aresta mede 2 2 .

Uma equação do plano que contém a face BCF é:

(a) x + y - z = 2

(B) x + y + z = 2 2

(C) x + y - z = 2 2

(D) x + y + z = 2

x

y

u2p144h1

z

OA

B

D

E

F

C

000707 176-205 U7.indd 192 01/07/16 12:11

193


Pelo teorema de Pitágoras, obtém-se BD = AC = 2 2 2 22 2

+_ _i i = 4 , logo, as coordenadas de B , C e F são, respetivamente, (2, 0, 0) , (0, 2, 0) e (0, 0, -2) .

Seja u um vetor perpendicular a BC(-2, 2, 0) e BF(-2, 0, -2) , vetores normais ao plano BCF .

Então, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ BA = 0 / u $ BC = 0 :

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

a b c

a b c

2 2 0 0

2 0 2 0

$

$

- =

- - =* +

a b

a c

2 2 0

2 2 0

- + =

- - =) +

a b

a c

=

=-)

Fazendo a = 1 , tem-se b = 1 e c = -1 . Então, um vetor u , normal ao plano, tem coordenadas (1, 1, -1) .

Assim, uma equação cartesiana do plano BCF é x + y - z + d = 0 .

Como B pertence ao plano, tem-se 2 + d = 0 + d = -2 .

Portanto, uma equação do plano é dada por x + y - z = 2 .


4 Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz , um paralelepípedo reto.

Sabe-se que:• aorigemdoreferencialéumdosvértices;• osvérticesP , R e S pertencem aos eixos

Ox , Oy e Oz , respetivamente; • ovérticeU tem coordenadas (2, 4, 2) .

Considere a reta r definida pela equação

(x, y, z) = (2, 0, 2) + k(0, 0, 1), k ! IR

Qual é o ponto de interseção da reta r com o plano OUV ?

(a) O ponto P . (B) O ponto T . (C) O ponto U . (D) O ponto V .


Pode-se afirmar pela equação da reta r que esta contém a aresta [PT] .

Logo, a interseção da reta r com o plano OUV é o ponto P .


5 Num referencial o.n. Oxyz , sejam a e b os planos definidos pelas equações

a: x + y - z = 1 e b: 2x + 2y - 2z = 1

A interseção dos planos a e b é:

(a) o conjunto vazio. (B) um ponto. (C) uma reta. (D) um plano.


x

y

u2p144h2

z

T

PQ

U

R

VS

O

000707 176-205 U7.indd 193 01/07/16 12:11

194


Tem-se ua(1, 1, -1) perpendicular a a e ub(2, 2, -2) perpendicular a b .

Estes vetores são colineares, pelo que os dois planos são paralelos. Como as duas equações não são equivalentes, os planos não são coincidentes. Portanto, são estritamente paralelos.


6 Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz , um cubo.

Sabe-se que:• aorigemdoreferencialéumdosvértices;• osvérticesE , G e A pertencem aos eixos

Ox , Oy e Oz , respetivamente; • H é o centro da face [OGFE] ;• umaequaçãodoplanoDBH é x + y = 10 .

Qual é a medida da aresta do cubo?

(a) 5 (B) 10 (C) 5 2 (D) 10 2


O ponto H pertence ao plano DBH ; logo, tem cota igual a zero e abcissa igual à ordenada.

Portanto, x + x = 10 + x = 5 . Logo, H(5, 5, 0) e a medida da aresta do cubo é 10 u. c.


7 Considere a pirâmide quadrangular regular representada na figura onde o ponto M é o centro da base. Num determinado referencial o.n., as coordenadas dos pontos V e M são (2, 3, 4) e (-1, 2, 5) , respetivamente.

Uma equação do plano ABC é:

(a) 3x + y + z = -6

(B) x - 3y = -7

(C) 3x + y - z = -6

(D) x + 3z = 14

Considere-se o vetor MV(3, 1, -1) , perpendicular ao plano ABC .

Assim, uma equação cartesiana do plano é 3x + y - z + d = 0 .

Como M pertence ao plano, tem-se:

3 × (-1) + 1 × 2 - 1 × 5 + d = 0 + d = 6

Logo, uma equação cartesiana do plano é dada por 3x + y - z + 6 = 0 .


x

y

u2p145h1

z

E F

G

BA

DC

OH

u2p145h2

M B

A

D

C

V

000707 176-205 U7.indd 194 01/07/16 12:11

195


8 Na figura, o plano a é, num referencial o.n., definido pela equação x - 2y + 3z = 3 e é tangente à superfície esférica, de centro em C , no ponto A de coordenadas (-1, 1, 2) .

Uma equação da superfície esférica pode ser:

(a) (x + 1)2 + (y - 1)2 + (z - 2)2 = 3

(B) x2 + y2 + z2 = 6

(C) x2 + (y + 1)2 + (z - 5)2 = 6

(D) (x + 2)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = 14

Substituindo as coordenadas do ponto A nas quatro hipóteses de equações, obtêm-se como verdadeiras as opções (B) e (D).

Se C(0, 0, 0) , tem-se que AC(1, -1, -2) e AC não é colinear a (1, -2, 3) .

Se C(-2, 3, -1) , tem-se que AC(-1, 2, -3) e AC é colinear a (1, -2, 3) .


9 Num referencial ortonormado do espaço, o plano a é definido pela seguinte equação vetorial:

(x, y, z) = (1, 2, 3) + s(1, 1, 2) + t(-1, 0, 2), s, t ! IR

Uma equação cartesiana do plano a é:

(a) 2x - 4y + z + 3 = 0

(B) -2x + 4y - z + 1 = 0

(C) x - 2y + 21

z = 0

(D) 2x + 4y + z - 13 = 0

Os vetores s(1, 1, 2) e t (-1, 0, 2) são paralelos ao plano a . Então, um vetor u perpendicular a estes vetores é normal ao plano a . Logo, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ s = 0 / u $ t = 0 :

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

a b c

a b c

1 1 2 0

1 0 2 0

$

$

=

- =* +

a b c

a c

2 0

2 0

+ + =

- + =) +

b c

a c

4

2

=-

=)

Fazendo c = 1 , tem-se a = 2 e b = -4 . Então, um vetor u , normal ao plano a , tem coordenadas (2, -4, 1) .

Assim, uma equação cartesiana do plano a é 2x - 4y + z + d = 0 .

Como (1, 2, 3) pertence ao plano, tem-se:

2 × 1 - 4 × 2 + 3 + d = 0 + d = 3

Portanto, uma equação cartesiana do plano a é dada por:

2x - 4y + z + 3 = 0


u2p145h3

A

C

000707 176-205 U7.indd 195 01/07/16 12:11

196


10 Na figura estão representados o plano a e a reta r definidos, num referencial o.n. do espaço, pelas equações x - y + z = 1 e (x, y, z) = (-1, 0, 0) + k(1, 1, -2), k ! IR , respetivamente.

Seja a o ângulo que a reta r faz com a sua projeção ortogonal sobre o plano a .

Então, a amplitude de a , em graus, aproximada às décimas, é:

(a) 28,1°

(B) 60°

(C) 61,9°

(D) 118,1°

Sejam u(1, -1, 1) vetor normal ao plano a e v(1, 1, -2) vetor diretor da reta r .

Então:

u $ v = u v cos u v_ iT + cos u v_ iT = 3

1 1 2

6#

- - =

18

2- =

32

-

Como u v_ iT c 118,1° , tem-se que aU c 180 - 90 - 118,1° = 28,1° .


RESPOSTA ABERTA


11 Considere três pontos A , B e C , pertencentes aos eixos coordenados representados no referencial Oxyz da figura.

Os pontos A e C têm coordenadas (3, 0, 0) e (0, 0, 4) ,

respetivamente, B pertence ao eixo Oy e AB = 13 .

11.1 Determine as coordenadas do ponto B .

11.2 Determine a amplitude, em graus, do ângulo

dos vetores CA e CB , aproximada às décimas.

11.3 Determine uma equação cartesiana do plano ABC .

11.1 Tem-se que A(3, 0, 0) e B(0, y, 0) , então:

AB = 13 + ( , , )y3 0- = 13 + y9 2+ = 13 y9 02+

H+

+ 9 + y2 = 13 y 0>+ y = 2

Logo, B(0, 2, 0) .

x

y

u2p146h1

z

O B

A3

4 C

a

r

a

u2p145h4

000707 176-205 U7.indd 196 01/07/16 12:11

197


11.2 CA = A - C tem coordenadas (3, 0, -4) e CB = B - C tem coordenadas (0, 2, -4) .

Logo:

CA $ CB = CA CB cos CA CB_ iT + cos CA CB_ iT = 5 2 5

16

# +

+ cos CA CB_ iT = 25

8 5 + CA CBT c 44,3°

11.3 Os dois vetores CA(3, 0, -4) e CB(0, 2, -4) são paralelos ao plano ABC . Então, um vetor u perpendicular a estes vetores é normal ao plano ABC .

Logo, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ CA = 0 / u $ CB = 0 :

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

a b c

a b c

0 0

0

3 4

0 2 4

$

$

=

=

-

-* +

a c

b c

3 4 0

2 4 0

- =

- =) +

a c

b c

34

2

=

=

*

Fazendo c = 3 , tem-se a = 4 e b = 6 . Então, um vetor u , normal ao plano ABC , tem coordenadas (4, 6, 3) .

Assim, uma equação cartesiana do plano ABC é 4x + 6y + 3z + d = 0 .

Como A(3, 0, 0) pertence ao plano, tem-se 4 × 3 + d = 0 + d = -12 .

Portanto, uma equação cartesiana do plano ABC é dada por:

4x + 6y + 3z - 12 = 0

12 Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz , um triângulo [ABC] .

Relativamente ao triângulo [ABC] , sabe-se que:• estácontidonoplanoa de equação

20x + 15y - 12z = 60• ospontosA , B e C pertencem aos eixos Ox , Oy e Oz , respetivamente.

12.1 Determine as coordenadas dos vértices do triângulo.

12.2 Classifique o triângulo quanto aos ângulos.

12.3 Determine uma equação cartesiana de um plano perpendicular a a e que contém o ponto B .

12.1 Tem-se que A(x, 0, 0) , B(0, y, 0) e C(0, 0, z) , pois pertencem aos eixos Ox , Oy e Oz , respetivamente. Então, substituindo na equação do plano a , obtém-se:

20x = 60 + x = 3

15y = 60 + y = 4

-12z = 60 + z = -5

Logo, A(3, 0, 0) , B(0, 4, 0) e C(0, 0, -5) .

x

y

u2p146h2

z

O B

A

C

000707 176-205 U7.indd 197 01/07/16 12:11

198


12.2 Como AB(-3, 4, 0) , AC(-3, 0, -5) e BC(0, -4, -5) , então:

AB = ( )3 42 2- + = 5

AC = ( ) ( )3 52 2- + - = 34

BC = ( ) ( )4 52 2- + - = 41

Aplicando o teorema de Carnot, obtêm-se os ângulos internos AW e BW do triângulo ABC :

412 = 52 + 34

2 - 2 × 5 × 34 cos AW +

+ 41 = 59 - 10 34 cos AW + cos AW = 10 34

59 41- +

+ cos AW = 170

9 34 + AW c 72°

342 = 52 + 41

2 - 2 × 5 × 41 cos BW + cos BW =

10 41

66 34- +

+ cos BW = 205

16 41 + BW c 89°

Logo, CW = 180° - AW - BW c 19° .

Portanto, o triângulo é acutângulo.

12.3 Seja BA(3, -4, 0) , por exemplo, um vetor normal ao plano perpendicular a a .

Uma equação cartesiana do plano é 3x - 4y + d = 0 .

Como a contém o ponto B(0, 4, 0) , tem-se d = 16 .

Logo, uma equação cartesiana do plano perpendicular a a é dada por:3x - 4y + 16 = 0

13 No referencial o.n. da figura está representado um prisma, em que um dos vértices é a origem do referencial, a base [OABC] está contida no plano xOy e o ponto F tem coordenadas (4, 3, -2) .

13.1 Calcule BG $ AD .

13.2 Determine uma equação cartesiana do plano OBF .

13.3 Calcule o valor real de p , de modo que o ponto P , de coordenadas (2p, - p + 2, 4) , pertença ao plano mediador de [AB] .

13.1 BG = G - B tem coordenadas (0 - 4, 3 - 0, -2 - 0) = (-4, 3, -2) .

AD = D - A tem coordenadas (4 - 0, 0 - 3, -2 - 0) = (4, -3, -2) .

BG $ AD = -4 × 4 + 3 × (-3) + (-2) × (-2) = -21

x

y

u2p146h3

z

A

GC

FD

B

E

O

000707 176-205 U7.indd 198 01/07/16 12:11

199


13.2 Os vetores BO(-4, 0, 0) e BF(0, 3, -2) são paralelos ao plano OBF . Então, um vetor u perpendicular a estes vetores é normal ao plano OBF .

Logo, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ BO = 0 / u $ BF = 0 .

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

a b c

a b c

0 0

0 0

4 0

3 2

$

$

=

- =

-* +

a

b c

4 0

3 2 0

- =

- =) +

a

b c

0

32

=

=*

Fazendo c = 3 , tem-se b = 2 . Então, um vetor u , normal ao plano OBF , tem coordenadas (0, 2, 3) .

Assim, uma equação cartesiana do plano OBF é 2y + 3z + d = 0 .

Como O(0, 0, 0) pertence ao plano, tem-se d = 0 .

Portanto, uma equação cartesiana do plano OBF é dada por:

2y + 3z = 0

13.3 Seja M o ponto médio de [AB] . Então, M , ,223

0c m .

Sabe-se que MP $ AB = 0 , ou seja:

, ,p p2 2 223

4- - + -c m $ (4, -3, 0) = 0 +

+ 8p - 8 + 3p - 6 + 29

+ 0 = 0 + p = 2219

Em alternativa:

Plano mediador de [AB] :

d(A, M) = d(B, M) +

+ ( ) ( ) ( )x y z0 3 02 2 2- + - + - = ( ) ( ) ( )x y z4 0 02 2 2- + - + - +

+ x2 + y2 - 6y + 9 + z2 = x2 - 8x + 16 + y2 + z2 +

+ 8x - 6y - 7 = 0

Como o ponto P(2p, -p + 2, 4) pertence ao plano mediador [AB] :

8(2p) - 6(-p + 2) - 7 = 0 + 16p + 6p = 7 + 12 + p = 2219

14 Considere as retas r e s , definidas num referencial ortonormado por:

r: (x, y, z) = (1, 2, 3) + k(1, -1, 2), k ! IR

s: (x, y, z) = (1, 2, 3) + k(3, -1, 0), k ! IR

14.1 Justifique que as retas r e s definem um plano e determine uma equação vetorial desse plano.

14.2 Determine um sistema de equações paramétricas de uma reta perpendicular a s e que passa pela origem do referencial.

14.3 Determine a interseção da reta r com o plano xOz .

000707 176-205 U7.indd 199 01/07/16 12:11

200


14.1 Como os vetores ur(1, -1, 2) e us(3, -1, 0) são não colineares e as retas r e s se intersetam no ponto (1, 2, 3) , então, as retas definem um plano, pois são concorrentes.

Uma equação vetorial desse plano é:

(x, y, z) = (1, 2, 3) + a(1, -1, 2) + b(3, -1, 0), a, b ! IR

14.2 Dados dois vetores ur(1, -1, 2) e us(3, -1, 0) , paralelos ao plano que contém r e s , obtém-se um vetor v perpendicular a estes vetores que é normal ao plano.

Logo, o vetor v(a, b, c) é tal que v $ ur = 0 / v $ us = 0 :

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

a b c

a b c

0

0

1 1 2

3 1 0

$

$

=

=

-

-* +

a b c

a b

2 0

3 0

- + =

- =) +

+ a c

b a

2 2 0

3

- + =

=) +

a c

b a3

=

=(

Fazendo c = 1 , tem-se a = 1 e b = 3 . Então, um vetor v , normal ao plano, tem coordenadas (1, 3, 1) .

Assim, uma equação vetorial da reta pedida é:

(x, y, z) = (0, 0, 0) + k(1, 3, 1), k ! IR

Logo, um sistema de equações paramétricas da reta perpendicular a s e que passa pela origem do referencial pode ser dado por:

x k

y k

z k

3

=

=

=

* , k ! IR

14.3 Seja I o ponto de interseção da reta r com o plano xOz .

Então, I(x, 0, z) ! r , ou seja: (x, 0, z) = (1, 2, 3) + k(1, -1, 2), k ! IR

Logo: x k

k

z k

1

0 2

3 2

= +

= -

= +

* +

x

k

z

3

2

7

=

=

=

*

Portanto, I(3, 0, 7) .

15 Na figura está representada, em referencial ortonormado, uma superfície esférica centrada na origem do referencial à qual pertencem os pontos A , B , C e D , tais que:• ospontosA e B têm coordenadas (0, 8, 6) e (0, -8, 6) ,

respetivamente; • opontoD pertence ao semieixo positivo das abcissas;• opontoC pertence ao semieixo negativo das cotas. x

y

u2p147h1

z

AB

O

D

C

000707 176-205 U7.indd 200 01/07/16 12:11

201


15.1 Escreva uma equação da superfície esférica.

15.2 Defina analiticamente o plano ABD .

15.3 Calcule sin^BCWAh .

15.4 Escreva uma equação vetorial do plano tangente à superfície esférica no ponto B .

15.1 OA = ( ) ( )0 8 0 6 02 2+ - + - = 100 = 10

Uma equação da superfície esférica é x2 + y2 + z2 = 100 .

15.2 As coordenadas de D são (10, 0, 0) , pois pertence ao semieixo positivo das abcissas.

Os vetores AB(0, -16, 0) e AD(10, -8, -6) são paralelos ao plano ABD . Então, um vetor u perpendicular a estes vetores é normal ao plano.

Logo, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ AB = 0 / u $ AD = 0 .

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

a b c

a b c

16 0

0

0 0

10 8 6

$

$

- =

- =-* +

b

a b c

16 0

10 8 6 0

- =

- - =) +

b

a c

0

53

=

=*

Fazendo c = 5 , tem-se a = 3 . Então, um vetor u , normal ao plano, tem coordenadas (3, 0, 5) .

Assim, uma equação cartesiana do plano ABD é 3x + 5z + d = 0 .

Como D(10, 0, 0) pertence ao plano, tem-se:

3 × 10 + d = 0 + d = -30

Portanto, pode-se, por exemplo, definir o plano ABD por 3x + 5z - 30 = 0 .

15.3 As coordenadas de C são (0, 0, -10) , pois pertence ao semieixo negativo das cotas.

Como AB(0, -16, 0) , AC(0, -8, -16) e BC(0, 8, -16) , então:

AB = ( )16 2- = 16

AC = ( ) ( )8 162 2- + - = 320

BC = ( )8 162 2+ - = 320

Aplicando o teorema de Carnot, obtém-se:

162 = 3202 + 320

2 - 2 × 320 × 320 cos CW +

+ 256 = 640 - 640 cos CW + cos CW = 640

640 256- + cos CW =

53


sin2 CW + cos2 CW = 1 + sin2 CW = 1 - 259

+ sin2 CW = 2516

sinC 0>+W

+ sin CW = 2516

+ sin CW = 54

000707 176-205 U7.indd 201 01/07/16 12:11

202


15.4 Seja a o plano tangente à superfície esférica no ponto B . Então, o vetor

BO(0, 8, -6) é um vetor normal a a . Considerem-se dois vetores, não colineares entre si, perpendiculares a BO , de coordenadas, por exemplo, (1, 0, 0) e (0, 3, 4) . Como estes dois vetores são paralelos a a e o ponto B pertence a a , tem-se que uma equação vetorial de a é, por exemplo:

(x, y, z) = (0, -8, 6) + a(1, 0, 0) + b(0, 3, 4), a, b ! IR

16 No referencial o.n. Oxyz está representado um octaedro, constituído por duas pirâmides quadrangulares regulares geometricamente iguais.

Sabe-se que: • oquadrado[ABCD] está contido

no plano xOy ;• osvérticesU e V pertencem

ao eixo Oz ;• afaceABV está contida no plano de equação

- 3y + 3z = 3 3• oânguloagudoquecadafacedasduaspirâmidesformacomabase

tem amplitude de 30° .

16.1 Determine o volume do sólido.

16.2 Determine uma equação cartesiana do plano UDC e mostre que este é paralelo ao plano ABV .

16.3 Seja r a reta perpendicular ao plano ABV que passa por D . Calcule as coordenadas do ponto de interseção da reta r com o plano ABV .

16.1 Considere-se a pirâmide quadrangular [ABCDV] .

Como V pertence ao eixo Oz , tem abcissa e ordenada nula; e como pertence ao plano ABV , tem-se:

- 3 × 0 + 3z = 3 3 + z = 3

Então, V , ,0 0 3_ i e a altura da pirâmide [ABCDV] é de 3 u. c.

Seja E o ponto médio de [DC] .

Então:

tan 30° = OE

3 + OE =

33

3 = 3

Logo, a aresta do quadrado [ABCD] tem de comprimento 6 u. c.

Portanto:

Voctaedro = 2V[ABCDV] = 2 × 3

6 32 # = 24 3 u. v.

x

y

u2p147h2

z

A

B

OD

30º

U

V

C

000707 176-205 U7.indd 202 01/07/16 12:11

203


16.2 Tem-se que C(-3, 3, 0) , D(3, 3, 0) e U , ,0 0 3-_ i .

Os vetores DC(-6, 0, 0) e DU , ,3 3 3- - -_ i são paralelos ao plano UDC . Então, um vetor u(a, b, c) perpendicular a estes vetores é normal ao plano.

Logo:

( , , ) ( , , )

( , , ) , ,

a b c

a b c

0 0

3 3 3 0

6 0$

$

=

- - - =

-

_ i* +

a

a b c

6 0

3 3 3 0

- =

- - - =) +

+ a

c b

0

3

=

=-)

Fazendo b = 1 , tem-se c = - 3 . Então, um vetor u , normal

ao plano, tem coordenadas , ,0 1 3-_ i .

Assim, uma equação cartesiana do plano UDC é:

y - 3z + d = 0

Como U , ,0 0 3-_ i pertence ao plano, tem-se d = -3 .

Portanto, uma equação cartesiana do plano UDC é dada por:

y - 3z - 3 = 0

Os planos UDC e ABV são paralelos porque os vetores , ,0 1 3-_ i

e , ,0 3 3-_ i são colineares:

, ,0 1 3-_ i = - 3 , ,0 1 3-_ i = , ,0 3 3-_ i

16.3 Uma equação que define a reta r :

(x, y, z) = (3, 3, 0) + k , ,0 3 3-_ i, k ! IR

Assim, um ponto que pertença a r tem coordenadas da forma

, ,k k3 3 3 3-_ i .

Como o ponto de interseção da reta r com o plano ABV pertence a ambos, tem-se:

- 3 k3 3-_ i + 3(3k) = 3 3 +

+ -3 3 + 3k + 9k = 3 3 +

+ k = 23

Portanto, o ponto tem coordenadas:

, ,3 3 323

323

##-e o = , ,323

233

e o

000707 176-205 U7.indd 203 01/07/16 12:11

204


17 Considere, num referencial o.n. Oxyz , os pontos A , B e C de coordenadas (3, 0, 0) , (0, -2, 0) e (0, 0, 4) , respetivamente.

17.1 Determine uma equação cartesiana do plano:

a) ABC

b) tangente à superfície esférica, de diâmetro [AB] , no ponto A .

c) perpendicular ao plano ABC e que passa por B .

17.2 Seja D um ponto de ordenada positiva pertencente à reta paralela ao eixo Oy e que passa por C . Determine as coordenadas de D

sabendo que CDXA = 6r

.

17.3 Identifique o lugar geométrico dos pontos P(x, y, z) tais que AP $ BP = 0 .

17.4 Determine o volume da pirâmide triangular [OABC] .

17.5 Seja r a reta perpendicular ao plano ABC e que passa pelo ponto de coordenadas (2, 2, -1) . Determine as coordenadas do ponto de interseção da reta r com o plano ABC .

17.1 a) Os vetores AB(-3, -2, 0) e AC(-3, 0, 4) são paralelos ao plano ABC . Então, um vetor u(a, b, c) perpendicular a estes vetores é normal ao plano.

Logo:

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

a b c

a b c

3 2 0 0

3 0 4 0

$

$

- - =

- =* +

a b

a c

3 2 0

3 4 0

- - =

- + =) +

b a

c a

23

43

=-

=*

Fazendo a = 4 , tem-se b = -6 e c = 3 . Então, um vetor u , normal ao plano, tem coordenadas (4, -6, 3) .

Assim, uma equação cartesiana do plano ABC é 4x - 6y + 3z + d = 0 .

Como A(3, 0, 0) pertence ao plano, tem-se d = -12 .

Portanto, uma equação cartesiana do plano ABC é dada por:

4x - 6y + 3z - 12 = 0

b) O vetor BA(3, 2, 0) é normal ao plano a tangente à superfície esférica no ponto A . Logo, o plano a pode-se escrever na forma

3x + 2y + d = 0

Como A ! a , tem-se:

3 × 3 + 2 × 0 + d = 0 + d = -9

Portanto, uma equação cartesiana do plano a pode ser dada pela equação 3x + y - 9 = 0 .

c) O vetor BA(3, 2, 0) pertence ao plano ABC ; logo, BA é um vetor normal ao plano b perpendicular a ABC .

Logo, o plano b pode-se escrever na forma 3x + 2y + d = 0 .

000707 176-205 U7.indd 204 01/07/16 12:11

205


Como B(0, -2, 0) pertence ao plano b , tem-se:3 × 0 + 2 × (-2) + d = 0 + d = 4

Assim, uma equação cartesiana do plano perpendicular a ABC que passa por B pode ser: 3x + 2y + 4 = 0 .

17.2 Pelo enunciado, sabe-se que o ponto D tem coordenadas (0, y, 4) , com ordenada positiva.

Como DC(0, -y, 0) e DA(3, -y, -4) , então:

DC = ( )y 2- y 0>+ y

DA = ( ) ( )y3 42 2 2+ - + - = y 252 + Tem-se:

DC $ DA = DC × DA × cos CDAX +

+ y2 = y y 252 +` j23

y 0>+ y = y 252 +` j

23

y 0>+

+ y2 - 43

y2 - 475

= 0 + 41

y2 - 475

= 0 +

+ y = !5 3 y 0>& y = 5 3

Logo, D , ,0 5 43_ i .

17.3 É a superfície esférica de centro no ponto médio de [AB] e raio igual a AB2

:

x23 2

-c m + (y + 1)2 + z2 = 4

13

17.4 Considere-se como base da pirâmide o triângulo [OAB] e como altura [OC] :

V[OABC] = A OC

3[ ]OAB #

= 3

23 2

4#

# = 4 u. v.

17.5 Uma equação que define a reta r :(x, y, z) = (2, 2, -1) + k(4, -6, 3), k ! IR

Assim, um ponto que pertença a r tem coordenadas da forma: (2 + 4k, 2 - 6k, -1 + 3k)

Como o ponto de interseção da reta r com o plano ABC pertence a ambos, tem-se:

4(2 + 4k) - 6(2 - 6k) + 3(-1 + 3k) - 12 = 0 + + 8 + 16k - 12 + 36k - 3 + 9k - 12 = 0 + 61k = 19 + k =

6119

Portanto:

x

y

z

2 4 6119

2 6 6119

1 3 6119

#

#

#

= +

= -

=- +

* +

x

y

z

61198

618

614

=

=

=-

*

As coordenadas desse ponto são , ,61

198618

614

-d n .

000707 176-205 U7.indd 205 01/07/16 12:11

206

AvAliAção globAl de conhecimentos

AVALIAÇÃO GLOBAL DE CONHECIMENTOS

ESCOLHA MÚLTIPLA


1 Na figura está representado, num referencial o.n. xOy , um triângulo equilátero [OPQ] de altura 12 .

Tal como a figura sugere, o vértice O coincide com a origem do referencial, o vértice P pertence ao eixo das ordenadas e o vértice Q pertence ao 3.º quadrante.

Qual é o declive da reta OQ ?

(A) 13

(B) 16

(C) 3

3(D)

36

Como o triângulo [OPQ] é equilátero, tem-se POQW = 60° .

Logo, a inclinação da reta OQ é igual a 90° - 60° = 30º .

tan 30° = 33


2 Considere, num referencial o.n . xOy , duas retas, r e s , perpendiculares. Sabe-se que a reta s tem declive 3 e que as retas se intersetam no ponto de coordenadas ,3 1_ i .

Qual é a ordenada na origem da reta r ?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 2

Como s e r são perpendiculares, o declive da reta r é -33

.

Logo, a equação da reta r é da forma:

y = -33

x + b

Substituindo as coordenadas do ponto de interseção, obtém-se:

1 = -33

× 3 + b + b = 2


y

O

P

x

u2p152h1

Q

000707 206-242.indd 206 01/07/16 12:32

207


3 Considere, num referencial o.n. xOy , uma reta t , de declive -

43

.

Sendo a a inclinação da reta t , qual é o valor de sin2r

a+c m ?

(A) -45

(B) -53

(C) 53

(D) 45

sin2r

a+c m = cos a e tan a = 34

- , com a ! 2.o Q

1 + tan2 a = cos

12a

+ 1 + 9

16 =

cos1

2a + cos2 a =

259

.2 Qo

&!a

cos a = -53


4 Considere o triângulo [ABC] da figura, com dois ângulos de amplitude a e em que BC = a .

Qual é a expressão que representa AC $ CB ?

(A) a2 cos(2a)

(B) -a2 cos(2a)

(C) -a2 sin(2a)

(D) a2 sin(2a)

AC $ CB = AC BC cos AC BC_ iT = a2 cos(180° + 2a) = -a2 cos(2a)


5 Considere um vetor BA , em que AB = 2 .

Qual é o valor do produto escalar BA $ BA ?

(A) 4 (B) -4 (C) 0 (D) 2

AB $ BA = AB BA cos A BB A_ iT = 2 × 2 × cos 180° = -4


6 Considere, num referencial o.n. xOy , para um determinado valor de k ! IR , o vetor u(k + 1, 3) e os pontos A(2, -1) e B(-1, 3) .

Os valores de k para os quais o ângulo de u e BA é agudo são:

(A) ]3, +3[ (B) ]-3, 3[ (C) ]-3, -3[ (D) ]-3, +3[

AB(-3, 4)

u $ AB > 0 + -3k - 3 + 12 > 0 + k < 3


A B

C

u2p152h2

a a

000707 206-242.indd 207 01/07/16 12:32

208


7 Considere, num referencial o.n. do plano, o vetor u(1, sin x), x ! [0, r] .

O valor de x tal que u $ u = 2 é:

(A) 6r

(B) 2r

(C) 23r

(D) r

u $ u = 2 + u2 = 2 + 12 + sin2 x = 2 +

+ sin2 x = 1 [ , ]x 0+! r

x = 2r


8 Considere, no referencial o.n. xOy , os vetores a(1, 2) e b(-2, 2) .

A amplitude, em graus, do ângulo formado pelos vetores a e b é, aproximadamente, de:

(A) 43° (B) 58° (C) 72° (D) 81°

a $ b = a b cos a b_ iT + -2 + 4 = 5 × 8 × cos a b_ iT +

+ cos a b_ iT = 1010

& a b_ iT . 72°


9 Considere um triângulo [ABC] retângulo em B .

Sabendo que, num referencial o.n. do plano, A e C têm coordenadas (1, 1) e (4, 5) , respetivamente, e que B pertence ao eixo Oy , as coordenadas de B são:

(A) (0, 2) (B) (0, 3) (C) ,025

d n (D) (0, -3)

Considere-se B(0, y) ; então, BA(1, 1 - y) e BC(4, 5 - y) .

Como o triângulo [ABC] é retângulo em B , tem-se:

BA $ BC = 0 + 4 + 5 - y - 5y + y2 = 0 + y2 - 6y + 9 = 0 +

+ y = 2

6 36 4 1 9! # #- + y = 3

Portanto, B(0, 3) .


000707 206-242.indd 208 01/07/16 12:32

209


10 No referencial o.n. da figura está representado um triângulo.

De acordo com os dados da figura, uma condição que define o triângulo, incluindo a fronteira é:

(A) y H 2x - 2 / y G -21

x + 23

/ x H 0

(B) y G 2x - 2 / y G -21

x + 23/ x H 0

(C) y H 2x - 2 / y H -21

x + 23/ x H 0

(D) y H 2x - 2 / y G -21

x + 23/ y H 0

Sejam r a reta que passa nos pontos (0, -2) e (1, 0) e s a reta perpendicular a r que passa no ponto (3, 0) . Então, tem-se:

r: y = 2x - 2 e s: y = -21

x + 23


11 Considere, num referencial o.n. do plano, a reta r de equação x + 2y = 1 .

Qual das afirmações é falsa?

(A) A inclinação da reta r é de, aproximadamente, 153,4° .

(B) Uma equação vetorial da reta r é:

(x, y) = (3, -1) + k(-4, 2), k ! IR

(C) Uma equação da reta t , perpendicular a r , pode ser:

y = -2x + 2

(D) A reta r interseta a bissetriz dos quadrantes pares no ponto (-1, 1) .

x + 2y = 1 + y = -x2

+ 21

(A) Verdadeira. Seja a a inclinação de r . Então:

tan a = -21

+ tan(180° - a) = 21

& a . 153,4°

(B) Verdadeira. O ponto (3, -1) ! r , pois 3 + 2 × (-1) = 1 ,

e (-4, 2) é um vetor diretor de r , pois -42

= -21

.

(C) Falsa. Como -2 × -21

! -1 , t e r não são perpendiculares.

(D) Verdadeira. O ponto (-1, 1) ! r , pois -1 + 2 × 1 = 1 .


y

O 1 3

22

x

u2p153h1

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210


12 Dados dois pontos A e B do plano, o conjunto dos pontos P do plano,

tais que PA $ PB = 0 , é:

(A) uma circunferência.

(B) um segmento de reta.

(C) uma reta.

(D) um círculo.


13 Considere as retas r e s definidas, num referencial o.n. xOy , respetivamente, por:

r: y = 2x - 1

s: (x, y) = (3, 1) + k(-3, 1), k ! IR

A amplitude do menor ângulo formado pelas retas r e s é, com aproximação à décima de grau:

(A) 81,7° (B) 81,8° (C) 81,9° (D) 82,0°

Um vetor diretor de r é r(1, 2) e de s é s(-3, 1) . Portanto:

r $ s = r s cos r s_ iT + -3 + 2 = 5 10 cos r s_ iT +

+ cos r s_ iT = 10

2- + r s_ iT á 98,1°


14 Considere, num referencial o.n. Oxyz , o plano definido pela equação:

2x - y + 3z = 7

As coordenadas de um vetor normal ao plano podem ser:

(A) (1, -1, -1) (B) (1, 2, 0) (C) (-2, 1, -3) (D) (-3, 0, 2)


15 Considere, num referencial o.n. Oxyz :• asuperfícieesféricaE definida pela condição x2 + y2 + z2 = 25 ;• aretar de equação (x, y, z) = (0, 0, 4) + k(1, 0, 0), k ! IR .

A reta r interseta a superfície esférica E em dois pontos, A e B .

Qual é a amplitude, em graus, do ângulo AOB (valor arredondado às unidades)?

(A) 72° (B) 74° (C) 76° (D) 78°

000707 206-242.indd 210 01/07/16 12:32

211


Os pontos da reta r têm coordenadas da forma (k, 0, 4) .

Como A e B pertencem à superfície esférica, tem-se:

k2 + 02 + 42 = 25 + k = 3 0 k = -3

Portanto, OA(-3, 0, 4) e OB(3, 0, 4) . Assim:

OA $ OB = OA OB cos AOB_ iW + -9 + 0 + 16 = 25 cos AOB_ iW +

+ cos AOB_ iW = 257

+ AOBW á 74°


16 Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz , a pirâmide de base quadrangular [ABCO] contida no plano xOy e com vértice V de coordenadas (0, 0, 1) .

O ponto B tem coordenadas (1, 1, 0) .

O valor de AC $ BV é:

(A) 6 (B) 3 (C) 2 (D) 0

Tem-se A(1, 0, 0) e C(0, 1, 0) ; logo:

AC $ BC = (-1, 1, 0) $ (-1, -1, 1) = 1 - 1 + 0 = 0


17 Considere, num referencial o.n. Oxyz , os planos a e b definidos, respetivamente, por

a: x + y - z = 0 e b: x + kz = 1, k ! IR

O valor de k de modo que a e b sejam perpendiculares é:

(A) 0 (B) 0,5 (C) 1 (D) 2

Sejam ra(1, 1, -1) e rb(1, 0, k) vetores normais aos planos a e b , respetivamente. Então, a e b são perpendiculares se, e só se:

(1, 1, -1) $ (1, 0, k) = 0 + 1 - k = 0 + k = 1


z

y

xA

B

CO

V

u2p154h1

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212


18 Considere, num referencial o.n. Oxyz , o prisma quadrangular reto [ABCDEFGH] cuja base superior está contida no plano xOy . A origem do referencial é o ponto médio da aresta [CD] .

A aresta [CD] está contida no eixo Oy .

Sabe-se que F tem coordenadas (2, 1, -4) .

Seja a o plano perpendicular à reta CE e que passa na origem do referencial.

O valor de m de modo que o vetor de coordenadas (-4, 4, m) seja perpendicular a a é:

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

CE(2, -2, -4) é perpendicular a a . Logo, (-4, 4, m) tem de ser colinear

a CE .


19 Considere, num referencial o.n. Oxyz , o ponto A(1, 2, 3) e a reta r de equação:

(x, y, z) = k(-1, 1, 1), k ! IR

Qual dos seguintes pontos pertence ao plano perpendicular a r e que passa por A ?

(A) (-1, 1, 1) (B) (0, 2, 2) (C) (1, 0, 3) (D) (2, 1, 0)

A equação cartesiana desse plano é da forma -x + y + z + d = 0 .

Substituindo as coordenadas de A : -1 + 2 + 3 + d = 0 + d = -4 .

Como 0 + 2 + 2 - 4 = 0 , o ponto de coordenadas (0, 2, 2) pertence ao plano em questão.


20 Considere, num referencial o.n. Oxyz , o plano definido pela equação:

x + 2y + 3z = 10

Para um certo número real p , a condição:

(x, y, z) = (0, 2, 0) + k(1, 1, p), k ! IR

define uma reta paralela ao referido plano.

Indique o valor de p .

(A) -2

(B) -1

(C) 1

(D) 2

z

y

x

O

E F

BA

D C

GH

u2p155h1

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213


Seja u(1, 2, 3) um vetor normal ao plano e v(1, 1, p) um vetor diretor da reta.

Então, u = v e, portanto:

u $ v = 0 + (1, 2, 3) $ (1, 1, p) = 0 + 1 + 2 + 3p = 0 + p = -1


21 Num dado referencial o.n. Oxyz , a reta definida por

x k

y k

z k

1 3

2

1 2

= +

= +

=- +

* , k ! IR

é perpendicular ao plano de equação:

(A) 3x + y + 4z = 2

(B) 3x + y - 2z = 1

(C) 3x + y + 2z = 1

(D) 3x + y = 2z

Como a reta é perpendicular ao plano, u(3, 1, 2) , vetor diretor da reta, é também vetor normal ao plano.

Logo, uma equação do plano é da forma 3x + y + 2z + d = 0 .


22 Considere o plano a definido, num dado referencial o.n Oxyz , pelo sistema de equações paramétricas:

x

y

z

s

s t

t

1

2

1

= +

= +

=- +

+* , s, t ! IR

O plano a pode igualmente ser definido por:

(A) x + 2y - z = 0

(B) x - y + z = 0

(C) x - y + z + 2 = 0

(D) 2x - y = 0

x + 2y = 1 + y = -x2

+ 21

Os vetores de coordenadas (1, 1, 0) e (0, 1, 1) são paralelos ao plano. Ambos são perpendiculares ao vetor (1, -1, 1) , que é um vetor normal aos planos das opções (B) e (C). No entanto, o ponto (1, 2, -1) apenas pertence ao plano da opção (C).


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214


RESPOSTA ABERTA


23 Determine a equação reduzida das retas que passam no ponto de coordenadas (-1, 2) e fazem com o eixo das ordenadas um ângulo de 60° .

Há duas retas nestas condições. Uma r , de inclinação 30º, e outra s , de inclinação 150º .

Como o declive de r é 33

, a equação de r é da forma y = 33

x + b .

Substituindo na equação de r as coordenadas do ponto dado:

2 = 33

× (-1) + b + b = 3

6 3+

Logo, r: y = 33

x + 3

6 3+ .

Analogamente, o declive de s é -33

e, por isso, substituindo na equação

y = -33

x + b as coordenadas do ponto dado:

2 = -33

× (-1) + b + b = 3

6 3-

Logo, s: y = -33

x + 3

6 3- .

24 Na figura ao lado, estão representadas em referencial o.n., duas retas paralelas, r e t , sendo que r interseta os eixos coordenados nos pontos (-2, 0) e (0, -3) .

Sabe-se ainda que t interseta o eixo das abcissas em (3, 0) .

24.1 Mostre que a reta t tem equação:

3x + 2y - 9 = 0

24.2 Seja a , o ângulo assinalado na figura ao lado, a inclinação da reta t . Verifique que:

sin a + cos a = 1313

24.3 Defina por uma condição a região colorida (incluindo a fronteira).

y

O

rt

a

x

u2p156h1

000707 206-242.indd 214 01/07/16 12:32

215


24.1 A reta r tem declive -23

. Como as retas são paralelas, t tem equação

da forma y = -23

x + b . Substituindo na equação de t as coordenadas

do ponto dado: 0 = -

23

× 3 + b + b = 29

Assim:

t : y = -23

x + 29

+ 2y = -3x + 9 + 2y + 3x - 9 = 0

24.2 Tem-se que tan a = -23

e 1 + tan2 a = cos

12a

+ cos2 a = 134

.

Como a ! 2.º Q , cos a = -13

2 13 .

Assim, sin a = cos a × tan a = 13

133 .

Portanto:

sin a + cos a = 13

3 3 -

132 13

= 1313

24.3 cy G 0 / x G 0 / y H -23

x - 3m 0 cy H 0 / x H 0 / y G -23

x + 29m

Ou seja, xy H 0 / y H -23

x - 3 / y G -23

x + 29

.

25 Represente a região colorida (incluindo a fronteira), da figura ao lado por meio de uma condição, sabendo que:• s 9 t• asretaspassamporA(2, 2) ;• ainclinaçãodaretat é 120° .

A reta t tem declive tan 120° = - 3 . Assim, t: y = - 3x + b .

Substituindo as coordenadas de A : 2 = - 3 × 2 + b + b = 2 + 2 3 .

Portanto, t: y = - 3x + 2 + 2 3 .

Como as retas r e s são perpendiculares, s: y = 33

x + b .

Substituindo as coordenadas de A : 2 = 33

× 2 + b + b = 3

6 2 3- .

Portanto, s: y = 33

x + 3

6 2 3- .

Assim, a região colorida é definida por:

y H 0 / y G 33

x + 3

6 2 3- / y G - 3x + 2 + 2 3

y

O

As

tx

u2p156h2

000707 206-242.indd 215 01/07/16 12:32

216


26 Considere, num referencial o.n. xOy , a reta s definida por y - 2x + 1 = 0 e os pontos de coordenadas A(1, 2) e B(-2, 0) .

Determine:

a) a inclinação da reta AB , com aproximação à décima de grau.

b) a equação reduzida da reta perpendicular à reta s e que passa pelo ponto B .

a) Como AB(-3, -2) , o declive de AB é 32

. Logo, a sua inclinação

é arctan 32

á 33,7° .

b) O declive da reta pretendida é 21

- ; logo, a reta tem equação da forma

y = 21

- x + b . Substituindo as coordenadas de B :

0 = 21

- × (-2) + b + b = -1

Assim, a equação reduzida da reta é y = 21

- x - 1 .

27 O quadrilátero [ABCD] da figura é um quadrado de centro O , em que o lado mede 2 unidades.

Determine:

a) OA $ AB b) AC $ BD

a) AC = AB BC2 2

+ = 2 2

OA $ AB = OA AB cos(180° - 45°) = 2 × 2 × 22

-e o = -2

b) AC $ BD = AC BD cos 90° = 0

28 O João desloca um corpo de A para B ,

aplicando uma força F representada na figura.

Sabendo que a força é de 200 N , a distância entre A e B é de 8 metros e o ângulo entre a força e o deslocamento é de 50° , determine, aproximadamente, o trabalho realizado pelo João.

W = F × d × cos 50° = 200 × 8 × cos 50° á 1028 J

u2p156h3

O

A B

D C

F

A B

000707 206-242.indd 216 06/07/16 17:32

217


29 Considere os vetores u e v , tais que

u = 4 e u $ v = 8

29.1 Calcule k , tal que u e u + kv sejam perpendiculares.

29.2 Sabendo que v faz um ângulo de 60° com o vetor u , mostre que:

v = u

29.1 u $ (u + kv) = 0 + u $ u + ku $ v = 0 + 42 + k × 8 = 0 + k = -2

29.2 u $ v = u v cos 60° + 8 = 4 × v × 21

+ 4 = v

Logo, v = u .

30 Sejam u e v vetores unitários em que:

(u + v) $ (u + 2v) = 5

30.1 Mostre que u $ v = 32

.

30.2 Calcule o ângulo de u com v , aproximado à décima de grau.

30.1 (u + v) $ (u + 2v) = 5 + u $ u + v $ u + 2u $ v + 2v $ v = 5 +

+ 1 + v $ u + 2u $ v + 2 × 1 = 5 + 3u $ v = 2 + u $ v = 32

30.2 u $ v = u v cos u v_ iT + 32

= cos u v_ iT & u v_ iT á 48,2°

31 Considere o quadrado [ABCD] representado na figura, em que se sabe que M é o ponto médio do lado [CD] e o ponto N está no lado [AD] , sendo a sua distância

a D igual a 31

da distância de A a D .

Utilizando dois processos distintos, determine um valor aproximado de i em graus e minutos.

Sejam x a medida do lado do quadrado, a a amplitude do ângulo ABNW e b a amplitude do ângulo CBMW .

Tem-se que tan a = x

x32

& a á 33,69° e tan b = x

x21

& b á 26,57° . Assim:

i á 90 - 33,69 - 26,57 á 29,74°

Como 0,74 × 60 = 44,4 , b á 29° 45l .

Em alternativa:Seja x a medida do lado do quadrado. Considere-se um referencial o.n. em que o ponto A coincide com a origem do referencial e o lado [AB] está contido no eixo Ox .

u2p157h2

A B

u

D

N

CM

000707 206-242.indd 217 01/07/16 12:32

218


Assim, B(x, 0) ; M ,x x21c m e N , x0

32

d n .

Logo, BN ,x x32

-d n e BM ,x x21

-c m .

Então:

BN $ BM = BN BM cos i +

+ 21

x2 + 32

x2 = x x x x94

412 2 2 2#+ + × cos i +

+ 67

x2 = 313

x × 25

x × cos i + cos i = 65

7 65 & i á 29° 45l

32 Num referencial o.n. xOy , considere os pontos A(-2, 1) , B(2, 4) e C(5, 0) .

32.1 Determine o declive e a inclinação da reta AC .

32.2 Defina, por meio de uma equação vetorial, a reta perpendicular a AB que passa por C .

32.3 Mostre que o triângulo [ABC] é isósceles e retângulo em B .

32.1 O declive de AC é 5 20 1+-

= - 71

, e a inclinação é dada por:

180° + arctan 71

-c m . 171,9º

32.2 AB(4, 3) ; logo, a equação da reta é (x, y) = (5, 0) + k(-3, 4), k ! IR .

32.3 AB(4, 3) , BC(3, -4) e AC(7, -1) . Tem-se que AB $ BC = 0 ; logo, o triângulo [ABC] é retângulo em B .

Além disso, AB = 5 = BC ! AC ; logo, o triângulo [ABC] é isósceles.

33 Considere, num referencial o.n. xOy , os pontos A(2, -1) e B(0, 1) .

Determine as coordenadas de um ponto C de forma que o triângulo [ABC] seja retângulo em B e tenha área 8 .

Sejam (x, y) as coordenadas de C . Tem-se que AB(-2, 2) e BC(x, y - 1) .

Como [ABC] é retângulo em B , tem-se:

AB $ BC = 0 + -2x + 2y - 2 = 0 + y = x + 1

Portanto, BC(x, x) . Assim:

A[ABC] = 8 + AB BC

2

# = 8 +

+ x x

24 4 2 2#+ +

= 8 + x

2

2 2 2# = 8 + x = !4

Logo, as coordenadas de C podem ser (4, 5) ou (-4, -3) .

000707 206-242.indd 218 01/07/16 12:32

219


34 Considere a reta t , na figura ao lado, que passa pelos pontos A(-2, 3) e B(2, 0) e tem inclinação a .

Determine:

a) as coordenadas de um ponto C de forma que o triângulo [ABC] , de base [AB] , seja isósceles e tenha uma altura igual ao dobro do comprimento da base.

b) o valor exato de sin2

3ra-c m + cos(r + a) .

a) Considere-se C(x, y) , então, CA(-2 - x, 3 - y) e CB(2 - x, -y) .

Tem-se que:

CA = CB + ( ) ( )x y2 32 2- - + - = ( )x y2 2 2- + &

& 4 + 4x + x2 + 9 - 6y + y2 = 4 - 4x + x2 + y2 + y = x

68 9+

Seja M ,23

0c m o ponto médio de [AB] .

Assim, CM ,x y23

- -c m = ,xx

34

- -d n , donde:

CM = 2 AB + x x9

162 2+ = 2 × 16 9+ +

+ x35

= 10 + x = !6

Portanto, como -6 e 6 satisfazem a igualdade CM = 2 AB ,

as coordenadas de C podem ser ,62

13- -c m ou ,6

219

c m .

b) sin2

3ra-c m + cos(r + a) = -cos a - cos a = -2 cos a

O declive de t é -43

; logo:

tan a = -43

, com a ! 2.º Q

Assim:

1 + tan2 a = cos

12a

+ cos2 a = 2516

& cos a = -54

Portanto:

sin2

3ra-c m + cos(r + a) = -2 cos a = -2 ×

54

-d n = 58

y

O

t

a

x

u2p158h1

000707 206-242.indd 219 01/07/16 12:32

220


35 Na figura ao lado está representado, em referencial o.n. xOy de um plano, o triângulo [AOB] inscrito na semicircunferência de centro C(5, 0) e que contém o ponto A de abcissa 8 .

O ponto B pertence ao eixo Ox .

35.1 Mostre que a ordenada de A é 4 .

35.2 Determine o valor exato de sin(AOWB) .

35.1 A equação cartesiana desta circunferência é (x - 5)2 + y2 = 25 . Seja yl a ordenada de A . Tem-se que:

(8 - 5)2 + yl2 = 25 + yl2 = 16 + yl = !4

De acordo com a figura, a ordenada de A é positiva; logo, é 4 .

35.2 Como o triângulo [AOB] está inscrito numa semicircunferência,

[AOB] é retângulo em A . Assim, sin^AOBW h = OB

AB . Tem-se que

AB tem coordenadas (10, 0) - (8, 4) = (2, -4) e OB = 10 .

Logo:

sin^AOBW h = ( ) ( )

1010 8 0 42 2- + -

= 55

36 Num referencial o.n., considere a reta r: (x, y) = (0, 1) + k(-2, 1), k ! IR , e os pontos A(-3, 2) e B(1, 4) .

36.1 Escreva a equação reduzida da reta s que passa em A e é perpendicular à reta r .

36.2 Calcule, com aproximação à décima de grau, a amplitude do menor ângulo formado pelas retas r e AB .

36.3 Considere os pontos P(x, y) do plano que satisfazem a condição:

AP $ BP = 0 Identifique e caracterize por uma condição em x e y o lugar geométrico

dos pontos P .

36.1 O declive da reta pretendida é 2 . Logo, a equação dessa reta é da forma y = 2x + b . Substituindo as coordenadas de A , obtém-se:

2 = 2 × (-3) + b + b = 8

Logo, a equação reduzida da reta pretendida é y = 2x + 8 .

y

O C B

A

x

u2p158h2

000707 206-242.indd 220 01/07/16 12:32

221


36.2 Sejam v(-2, 1) o vetor diretor da reta r e a o ângulo formado pelos

vetores v e AB(4, 2) .

Assim:

v $ AB = v AB cos a + -8 + 2 = 4 1 16 4+ + cos a +

+ cos a = -53

& a á 126,9°

Logo, o menor ângulo formado pelas retas tem uma amplitude aproximada de 180° - 126,9° = 53,1° .

36.3 Esta condição define uma circunferência de diâmetro [AB] :

AP $ BP = 0 + (x + 3)(x - 1) + (y - 2)(y - 4) = 0 +

+ x2 + 2x - 3 + y2 - 6y + 8 = 0 +

+ x2 + 2x + 1 + y2 - 6y + 9 = 5 +

+ (x + 1)2 + (y - 3)2 = 5

37 Considere as retas r e s definidas por:

r: y = 2x - 4

s: (x, y) = (0, 2) + k(-3, 1), k ! IR

37.1 Determine o declive e a inclinação da reta r .

Apresente a inclinação com valor aproximado à décima de grau.

37.2 Defina, por meio de uma equação reduzida, a reta perpendicular a s que passa pelo ponto de interseção da reta r com o eixo das abcissas.

37.3 Determine um valor aproximado à unidade de grau da amplitude do menor ângulo formado pelas retas r e s .

37.4 Defina, por meio de uma condição, a circunferência que tem centro na origem e é tangente à reta r .

37.1 A reta r tem declive 2 e inclinação de, aproximadamente, 63,4º .

37.2 O ponto de interseção de r com o eixo das abcissas tem coordenadas (2, 0) .

A equação reduzida da reta pretendida é da forma y = 3x + b . Substituindo as coordenadas do ponto: 0 = 3 × 2 + b + b = -6 . Assim, y = 3x - 6 .

37.3 Sejam r(1, 2) e s(-3, 1) vetores diretores das retas r e s , respetivamente, e a o ângulo formado pelos vetores r e s .

Tem-se que:

r $ s = r s cos a + -3 + 2 = 5 10 cos a +

+ cos a = -10

2 & a á 98°

Logo, o menor ângulo formado pelas retas é de, aproximadamente, 82º .

000707 206-242.indd 221 01/07/16 12:32

222


37.4 Seja C(x, 2x - 4) o ponto de interseção da reta r com a circunferência.

Então, OC $ r = 0 + x + 4x - 8 = 0 + x = 58

.

Logo, o raio da circunferência é igual a OC = 2564

2516

54 5

+ = .

Assim, a equação da circunferência é x2 + y2 = 5

16 .

38 Considere, num referencial o.n. Oxyz , o vetor u(1, 2, -1) e os pontos A(2, 3, 1) e B(1, -1, 2) .

38.1 Defina, por meio de uma equação vetorial, a reta que passa por A e tem u por vetor diretor e justifique que o ponto B não pertence a essa reta.

38.2 Escreva uma equação cartesiana do plano que passa em A e é perpendicular a u .

38.1 (x, y, z) = (2, 3, 1) + k(1, 2, -1), k ! IR

Tem-se que:

(1, -1, 2) = (2, 3, 1) + k(1, 2, -1) +

+ (-1, -4, 1) = (k, 2k, -k) +

k

k

k

1

1

2

=-

=-

=-

*

Este sistema é impossível; logo, B não pertence à reta.

38.2 O vetor u é normal ao plano; logo, a sua equação é da forma:

x + 2y - z + d = 0

Substituindo as coordenadas de A :

2 + 2 × 3 - 1 + d = 0 + d = -7

Logo, uma equação cartesiana do plano é x + 2y - z - 7 = 0 .

39 Considere, num referencial o.n. Oxyz , uma pirâmide regular de base quadrada, em que:• ovérticeV da pirâmide pertence ao semieixo

positivo Oz ;• abasedapirâmideestácontidanoplanoxOy ;• aaresta[PQ] é paralela ao eixo Oy ;• ospontosV e Q têm coordenadas (0, 0, 6)

e (2, 2, 0) , respetivamente. O

P Q

R

V

S

y

x

u2p159h1

z

000707 206-242.indd 222 01/07/16 12:32

223


39.1 Determine:

a) PQ $ PR

b) PO $ QR

c) o valor exato de sin a , designando por a o ângulo formado entre as retas PV e VR .

39.2 Mostre que o vetor u(0, 3, 1) é perpendicular a VQ e a VR e utilize esse facto para determinar uma equação cartesiana do plano VQR .

39.3 Determine uma equação da superfície esférica que contém os cinco vértices da pirâmide.

39.1 a) P(2, -2, 0) e R(-2, 2, 0) ; logo, PQ(0, 4, 0) e PR(-4, 4, 0) . Assim:

PQ $ PR = 0 × (-4) + 4 × 4 + 0 = 16

b) Tem-se PO(-2, 2, 0) e QR(-4, 0, 0) ; logo:

PO $ QR = -2 × (-4) + 4 × 0 + 0 = 8

c) Tem-se VP(2, -2, -6) e VR(-2, 2, -6) ; logo:

VP $ VR = VP VR cos a +

+ -4 - 4 + 36 = 4 4 36+ + × 4 4 36+ + cos a +

+ cos a = 117

Assim:

cos2 a + sin2 a = 1 + sin2 a = 12172

& sin a = 121

72 =

12126

39.2 Como VQ(2, 2, -6) e VR(-2, 2, -6) , tem-se:

u $ VQ = 0 × 2 + 3 × 2 + 1 × (-6) = 0

u $ VR = 0 × (-2) + 3 × 2 + 1 × (-6) = 0

Assim, u é um vetor normal ao plano VQR e, por isso, uma equação cartesiana do plano VQR é 3y + z + d = 0 .

Como V(0, 0, 6) pertence ao plano, tem-se d = -6 .

Portanto, uma equação cartesiana do plano VQR é dada por: 3y + z - 6 = 0

39.3 O centro C da superfície esférica terá coordenadas do tipo (0, 0, z) . Assim:

VC = PC + ( )z 6 2- = ( ) z2 22 2 2- + + &

& z2 - 12z + 36 = 4 + 4 + z2 + -12z + 36 = 8 + z = 37

Substituindo na equação inicial, verifica-se que 37

é a solução.

Como o raio da superfície esférica é VC = 37

63

112

- =c m ; logo, a sua equação cartesiana é:

x2 + y2 + z37

91212

- =c m

000707 206-242.indd 223 01/07/16 12:32

224


40 Considere, num referencial o.n. Oxyz , os pontos A(1, 2, -1) , B(1, 2, 2) e C(2, 0, 1) .

40.1 Determine a amplitude do ângulo BAC .

Apresente o resultado final arredondado à décima de grau.

40.2 Determine uma equação cartesiana do plano ABC .

40.3 Identifique, e defina por uma condição, o lugar geométrico dos pontos P , tais que:

AP 9 BP

40.1 Tem-se AB(0, 0, 3) e AC(1, -2, 2) ; logo:

AB $ AC = AB AC cos BAC_ iW +

+ 6 = 3 1 4 4+ + cos BAC_ iW + 32

= cos BAC_ iW & BACW á 48,2°

40.2 Determine-se as coordenadas de um vetor n(x, y, z) , normal ao plano ABC :

n

n

AB

AC

0

0

$

$

=

=* +

z

x y z

3 0

2 2 0

=

- + =* +

z

x y

0

2

=

=*

Suponha-se que y = 1 , então, n(2, 1, 0) . Assim, a equação do plano ABC é da forma 2x + y + d = 0 .

Substituindo as coordenadas de A , obtém-se d = -4 .

Portanto, uma equação cartesiana do plano ABC é 2x + y - 4 = 0 .

40.3 Esta condição define uma superfície esférica de diâmetro [AB] .

Sejam (x, y, z) as coordenadas de P . Tem-se que:

AP $ BP = 0 +

+ (x - 1)(x - 1) + (y - 2)(y - 2) + (z + 1)(z - 2) = 0 +

+ (x - 1)2 + (y - 2)2 + z2 - z - 2 = 0 +

+ (x - 1)2 + (y - 2)2 + z21 2

-c m = 49

41 Considere, num referencial o.n. Oxyz em que a unidade corresponde a 1 cm , a pirâmide triangular de vértice V(0, 0, 6) e cuja base é um triângulo isósceles assente no plano xOy .

Sabe-se que a pirâmide tem de volume 16 cm2 .

41.1 Mostre que A tem de coordenadas (4, 0, 0) .

41.2 Seja a o ângulo entre as retas AB e AV .

Determine o valor exato de 2 cos a - tan a .

41.3 Escreva uma equação cartesiana do plano ABV .

O

V

AB y

x

u2p159h2

z

000707 206-242.indd 224 01/07/16 12:32

225


41.1 Pela figura, observa-se que a abcissa x de A corresponde à medida do lado [OA] do triângulo. Tome para base do triângulo [OAB] o segmento [OA] , então:

A[OAB] = x2

2

Assim:

V[OABV] = 16 + A OV

3[ ]OAB #

= 16 +

x

32

62

# = 16 +

+ x2 = 16 + x = !4

Como a abcissa de A é positiva, vem que as coordenadas de A são (4, 0, 0) .

41.2 Tem-se AB(-4, 4, 0) e AV(-4, 0, 6) ; logo:

AB $ AV = AB AV cos a +

+ 16 = 16 16+ × 16 36+ cos a + 16 = 8 2 × 13 cos a +

+ cos a = 1326

, a ! 1.o Q

Assim, 1 + tan2 a = cos

12a

+ tan2 a = 211

& tan a = 222

.

Logo, 2 cos a - tan a = 13

2 26222

264 26 13 22

- =-

.

41.3 Determine-se as coordenadas de um vetor n(x, y, z) , normal ao plano ABV :

n

n

AB

AV

0

0

$

$

=

=* +

x y

x z

4 4 0

4 6 0

- + =

- + =) +

y x

zx

32

=

=*

Suponha-se que x = 1 , então, n , ,1 132

d n .

Então, a equação do plano ABV é da forma x + y + 32

z + d = 0 .

Substituindo as coordenadas de A , obtém-se d = -4 .

Portanto, uma equação cartesiana do plano ABV é x + y + 32

z - 4 = 0 .

42 Considere, num referencial o.n. do espaço, os vetores u(1, 0, 1) , v(-2, 3, 0) e w(0, 3, 2) .

Mostre que:

a) u e v formam um ângulo obtuso.

b) u , v e w são paralelos a um mesmo plano.

000707 206-242.indd 225 01/07/16 12:32

226


a) u $ v = u v cos u vc_ i + -2 = u v cos u vc_ i ; logo, cos u vc_ i é negativo, o que implica que o ângulo formado entre os dois vetores seja obtuso.

b) Determine-se as coordenadas de um vetor n(x, y, z) , normal a u e a v :

n

n

u

v

0

0

$

$

=

=* +

x z

x y

0

2 3 0

+ =

- + =* +

z x

yx32

=-

=*

Suponha-se que x = 1 , então, n , ,132

1-d n .

Tem-se que n $ w = 0 + 2 - 2 = 0 ; logo, n é também perpendicular a w , donde u , v e w são paralelos a um mesmo plano.

43 Considere, no referencial o.n. do espaço Oxyz , os planos:

a: x + y + z = 3 b: 2x - y + 3z = 4 c: -x + 2y - 2z = -1

43.1 Represente por uma equação vetorial:

a) a reta perpendicular a a que passa pela origem do referencial.

b) a reta resultante da interseção dos planos a e b .

c) o plano representado por c .

43.2 Supondo que um ponto A tem de coordenadas (2 cos i, 2 - cos2 i, 1 - sin2 i), i ! [0, 2r[

e que pertence a a , determine, recorrendo a processos exclusivamente analíticos, o(s) valor(es) exacto(s) de i .

43.1 a) (x, y, z) = k(1, 1, 1), k ! IR

b) x y z

x y z

3

2 3 4

+ + =

- + =* +

x y z

y z y z

3

6 2 2 3 4

= - -

- - - + =* +

x y

z y2 3

5 4= -

=- +*

Para y = 0 , obtém-se o ponto de coordenadas B(5, 0, -2) ; e para y = 1 , obtém-se C(1, 1, 1) .

Como BC(-4, 1, 3) , uma equação vetorial da reta pretendida é:

(x, y, z) = (5, 0, -2) + k(-4, 1, 3), k ! IR

c) Se x = 0 e y = 0 , obtém-se o ponto de coordenadas , ,0 021

c m .

Se x = 0 e y = 1 , obtém-se o ponto de coordenadas , ,0 123

c m .

Se x = 1 e y = 0 , obtém-se o ponto de coordenadas (1, 0, 0) .

Assim, dois vetores do plano c têm coordenadas (0, 1, 1) e , ,1 021

-c m .

Portanto, a equação vetorial do plano c pode ser:

(x, y, z) = (1, 0, 0) + s(0, 1, 1) + t , ,1 021

-c m, s, t ! IR

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227


43.2 2 cos i + 2 - cos2 i + 1 - sin2 i = 3 +

+ 2 cos i - 1 = 0 + 2 cos i - 1 = 0 + cos i = 21

+

+ i = 3r

+ 2kr 0 i = -3r

+ 2kr, k ! Z

Como i ! [0, 2r[ , as soluções são 3r

e 3

5r .

44 Na figura ao lado está representada, em referencial o.n. Oxyz , uma pirâmide quadrangular regular cuja base está contida no plano xOy , pertencendo o vértice A ao eixo Ox e o vértice D ao eixo Oy .

Sabe-se que uma equação do plano ADE é:

3x + 3y - z = 3

44.1 Determine a amplitude do ângulo AED .

Apresente o resultado em graus, com aproximação à décima de grau.

44.2 Defina o plano AED por um sistema de equações paramétricas.

44.1 Coordenadas de A : y = 0 , z = 0 , 3x + 0 - 0 = 3 + x = 1

Logo, A(1, 0, 0) .

Coordenadas de D : x = 0 , z = 0 , 0 + 3y - 0 = 3 + y = 1

Logo, D(0, 1, 0) .

Coordenadas de E : x = 1 , y = 1 , 3 + 3 - z = 3 + z = 3

Logo, E(1, 1, 3) .

Assim, EA(0, -1, -3) e ED(-1, 0, -3) .

Tem-se que:

EA $ ED = EA ED cos AEDW +

+ 9 = 1 9+ × 1 9+ cos AEDW +

+ 109

= cos AEDW & AEDW á 25,8°

44.2 Desenvolvendo a equação (x, y, z) = A + sEA + tED, s, t ! IR , obtém-se:

(x, y, z) = A + sEA + tED, s, t ! IR +

+ (x, y, z) = (1, 0, 0) + s(0, -1, -3) + t(-1, 0, -3), s, t ! IR +

+

x

y s

z

t

s t

1

3 3

=

=-

=

-

- -

* , s, t ! IR

Ou seja, x = 1 - t / y = -s / z = -3s - 3t, s, t ! IR .

AD

O

E

B

Cy

x

u2p160h1

z

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228


45 Considere a reta r de equação

(x, y, z) = (1, 0, -1) + k(-6, -2, -4), k ! IRe o plano a definido pela equação

3x + y + 2z = 6

45.1 Indique, justificando, o valor lógico da proposição:

« r é paralela a a »

45.2 Determine, se possível, as coordenadas do ponto de interseção de r com a .

45.1 Tem-se que o vetor u(3, 1, 2) é normal ao plano a e o vetor r(-6, -2, -4) é um vetor diretor da reta r .

Como -2(3, 1, 2) = (-6, -2, -4) , u e r são colineares. Portanto, a reta r é perpendicular ao plano a e, por isso, o valor lógico da proposição é falsidade.

45.2 Um ponto da reta r tem coordenadas da forma (1 - 6k, -2k, -1 - 4k) .

Substituindo na equação do plano a :

3(1 - 6k) - 2k + 2(-1 - 4k) = 6 +

+ 3 - 18k - 2k - 2 - 8k = 6 + k = -285

Logo, o ponto de interseção tem coordenadas:

, ,12830

2810

12820

+ - +d n = , ,1429

145

72

-d n

46 Considere, num referencial Oxyz , o plano a definido por x + y + 2z = 4 e os pontos A(2, 0, 1) , B(0, 2, 1) e C(2, 2, -1) .

46.1 Mostre que a reta AB está contida no plano a .

46.2 Escreva uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto C e é perpendicular a a .

46.3 Sendo O a origem do referencial, qual é a amplitude do ângulo AOC aproximada à centésima de radiano?

46.4 Escreva uma equação cartesiana do plano ABC .

46.5 Escreva um sistema de equações paramétricas que representem o plano a .

46.1 Substituindo as coordenadas de A e de B na equação do plano a , obtêm-se, respetivamente, as igualdades 2 + 0 + 2 = 4 e 0 + 2 + 2 = 4 .

Logo, os pontos A e B pertencem a a . Assim, a reta AB está contida em a .

46.2 Como a reta é perpendicular a a , o vetor (1, 1, 2) , normal a a , é um vetor diretor da reta. Logo, uma equação vetorial da reta pedida é:

(x, y, z) = (2, 2, -1) + k(1, 1, 2), k ! IR

000707 206-242.indd 228 01/07/16 12:32

229


46.3 OA $ OC = OA OC cos AOCW + 3 = 5 × 9 cos AOCW +

+ 5

1 = cos AOCW & AOCW á 1,11 rad

46.4 AB(-2, 2, 0) e AC(0, 2, -2)

Determine-se as coordenadas de um vetor n(x, y, z) , normal a AB e a AC :

n

n

AB

AC

0

0

$

$

=

=* +

x y

y z

2 2 0

2 2 0

- + =

- =* +

x y

z y

=

=)

Suponha-se que x = 1 , então, n(1, 1, 1) .

Logo, a equação do plano ABC é da forma x + y + z + d = 0 .

Substituindo as coordenadas de A : 2 + 1 + d = 0 + d = -3 .

Portanto, uma equação cartesiana do plano ABC é dada por:x + y + z - 3 = 0

46.5 Se x = 0 e y = 0 , obtém-se o ponto de coordenadas (0, 0, 2) .


c m .


c m .

Logo, dois vetores do plano a têm coordenadas , ,0 121

-c m e , ,1 021

-c m .

Assim, desenvolvendo:

(x, y, z) = (0, 0, 2) + s , ,0 121

-c m + t , ,1 021

-c m, s, t ! IR

obtém-se o seguinte sistema de equações paramétricas do plano a :

x = t / y = s / z = 2 - 21

s - 21

t, s, t ! IR

47 Considere, num dado referencial o.n. do espaço, os vetores u e v , tais que:

• u(-2, 2, 1) • v = 2 • u $ v = -3

Determine o valor:

a) de k para o qual os vetores 2u + v e u + kv são perpendiculares.

b) da amplitude do ângulo entre os vetores u e v , em graus.

a) (2u + v ) $ (u + kv) = 0 + 2u $ u + 2ku $ v + u $ v + kv $ v = 0 +

+ 2(4 + 4 + 1) + 2k × (-3) - 3 + k × 4 = 0 +

+ 15 - 2k = 0 + k = 2

15

b) u $ v = u v cos u vc_ i + -3 = 3 × 2 cos u vc_ i +

+ cos u vc_ i = 21

- & u vc = 120°

000707 206-242.indd 229 01/07/16 12:32

230


48 Considere a reta r e o plano a definidos num dado referencial o.n. do espaço, respetivamente, por

r: (x, y, z) = (2, 1, -1) + k(1, 1, 1), k ! IR

a: x + y + z = 4

e os pontos A , B e C , resultantes da interseção de a com os eixos Ox , Oy e Oz , respetivamente.

48.1 Mostre que as coordenadas de A , B e C são, respetivamente, (4, 0, 0) , (0, 4, 0) e (0, 0, 4) e que o triângulo [ABC] tem de área 8 3 .

48.2 Justifique que r e a são concorrentes e indique o ponto de interseção.

48.3 Seja D pertencente a Oz e a um plano b , paralelo a xOy .

Determine as coordenadas de D de forma que a secção resultante da interseção do plano b com a pirâmide [OABC] tenha de área 4,5 .

48.1 Um ponto no eixo Ox tem a ordenada e a cota iguais a 0 .

Assim, como A ! IR , tem-se x + 0 + 0 = 4 + x = 4 .

Logo, as coordenadas de A são (4, 0, 0) .

Com um raciocínio análogo, obtêm-se as coordenadas de B e C .

Tem-se que AB = ( )4 4 02 2- + + = 4 2 e as coordenadas do ponto médio de [AB] são M(2, 2, 0) . Assim, ao tomar-se para base do triângulo o lado [AB] , a altura será [MC] . Logo:

A[ABC] = AB MC

2

# =

( ) ( )2

4 2 2 2 42 2 2# - + - + =

= 2

4 2 2 6# = 8 3

48.2 Um vetor diretor da reta r tem coordenadas (1, 1, 1) , o que coincide com o vetor normal ao plano a . Logo, a reta é perpendicular ao plano a , ou seja, r e s são concorrentes.

Um ponto da reta r tem coordenadas da forma (2 + k, 1 + k, -1 + k) . Substituindo na equação do plano a :

2 + k + 1 + k - 1 + k = 4 + k = 32

Portanto, o ponto de interseção de r e a tem coordenadas:

, ,232

132

132

+ + - +d n = , ,38

35

31

-d n

48.3 O ponto D tem coordenadas da forma (0, 0, z) .

Sejam Al e Bl os pontos de interseção da pirâmide [OABC] com o plano b e com os planos xOz e yOz , respetivamente. A secção resultante da interseção do plano b com a pirâmide [OABC] é um triângulo retângulo em D , semelhante ao triângulo AOB .

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231


Como a abcissa x de Al é igual à ordenada de Bl , tem-se Al(x, 0, z) e Bl(0, x, z) .

Logo, a área da secção é dada por A[DAlBl] = DA DB

2

#l l , em que

DAl = ( , , ) ( , , )x z z0 0 0- = x2 = DBl .

Assim:

A[DAlBl] = 4,5 + x2

2

= 4,5 + x2 = 9 + x = !3 x 0>& x = 3

O ponto Al(3, 0, z) pertence ao plano ABC , que coincide com o plano a , pois os pontos A , B e C pertencem-lhe. Assim:

3 + 0 + z = 4 + z = 1

Portanto, D(0, 0, 1) .

49 No referencial ortonormado Oxyz da figura está representada uma pirâmide quadrangular regular de base [OACB] .

Sabe-se que:• ovérticeV tem coordenadas (-2, -1, 7) ;• opontoM é o centro da base da pirâmide;• oplanoOAC é definido pela condição:

x + 2y - 2z = 0

Determine o volume da pirâmide.

(1, 2, -2) são as coordenadas de um vetor normal ao plano OAC . Este vetor é também um vetor diretor da reta VM .

A equação vetorial de VM é: (x, y, z) = (-2, -1, 7) + k(1, 2, -2), k ! Z .

Um ponto da reta VM tem coordenadas da forma (-2 + k, -1 + 2k, 7 - 2k) .

Substituindo na equação do plano OAC , obtém-se:

-2 + k + 2(-1 + 2k) - 2(7 - 2k) = 0 +

+ -2 + k - 2 + 4k - 14 + 4k = 0 + k = 2

Portanto, o ponto M tem coordenadas:

(-2 + 2, -1 + 4, 7 - 4) = (0, 3, 3)

Tem-se que OC = 2 OM = 2 0 9 9+ + = 6 2 .

Pelo teorema de Pitágoras:

OC2 = OA

2 + OB

2 + 72 = 2 OA

2 & OA = 6

Tem-se que VM = 4 16 16+ + = 6 .

Assim, V[OACBV] = A VM

3[ ]OACB #

= 3

6 6 6# # = 72 u. v.

A

V

B

C

O y

x

u2p161h1

z

M

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232



I


1 Considere, num referencial o.n. do plano xOy , a reta t de inclinação 30° .

Sabendo que a reta s é perpendicular a t e que passa no ponto A

de coordenadas ,12 1_ i , qual das equações seguintes define a reta s ?

(A) 3y - x = - 3

(B) y - 3x = -5

(C) y + 3x = 7

(D) 3y + x = 3 3

O declive de t é 33

e o de s é - 3 . Substituindo as coordenadas de A

na equação y = - 3x + b :

1 = - 3 × 12 + b + b = 7


2 Considere o triângulo [ABC] equilátero de lado a e seja M o ponto médio do lado [BC] .

Pode-se concluir que o produto escalar de BA por MC é:

(A) a4

2

(B) 0 (C) -a2

2

(D) -a4

2

AB $ MC = a × a2

× cos 120°


3 Considere, num referencial o.n. Oxyz , os pontos A(-1, 3, 4) e B(3, 1, 0) .

Um vetor perpendicular a BA tem coordenadas:

(A) (-2, 1, 2) (B) (0, 1, 1) (C) (1, 0, 1) (D) (2, -1, 2)

AB(4, -2, -4) e (4, -2, -4) $ (1, 0, 1) = 4 - 4 = 0


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233


4 Considere, num referencial o.n. xOy , as retas r e s , definidas, respetivamente, por:

r: y = -2x + 1

s: x - y = 0

Qual é a amplitude, em graus, do menor ângulo formado por estas duas retas (valor aproximado à décima de grau)?

(A) 54,2° (B) 108,4° (C) 65,1° (D) 71,6°

A inclinação de s é de 45º e a de r é, aproximadamente, de 116,6º , pois tan-1 1 = 45° e 180° + tan-1(-2) . 116,6 .

Assim, 116,6° - 45° = 71,6° .


5 Considere, num referencial o.n. do espaço Oxyz , o plano a definido pelo seguinte sistema de equações paramétricas:

x s t

y s

z t

1 2

2 2

=- + -

=

= +

* , s, t ! IR

O plano a pode ser definido pela seguinte equação cartesiana:

(A) x + 4y - z = 0

(B) x + 4y - z + 3 = 0

(C) -2x + 4y - z + 1 = 0

(D) 2x - 4y + z = 0

Determine-se as coordenadas de um vetor n(x, y, z) , normal ao plano:

x y

x z

2 0

2 0

+ =

- + =) +

y x

zx

2

2

=-

=*

Suponha-se que x = 1 , então, n , ,1 221

-c m .

Assim, a equação do plano é da forma x - 2y + 21

z + d = 0 .

Substituindo as coordenadas do ponto (-1, 0, 2) pertencente ao plano a :

-1 + 21

× 2 + d = 0 + d = 0

Portanto, o plano a pode ser definido pela equação cartesiana:

x - 2y + 21

z = 0 + 2x - 4y + z = 0


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234


II


1 Considere, num referencial do plano xOy , uma circunferência de centro C(-2, 0) e uma reta r , tangente à circunferência no ponto T de coordenadas (2, 2) .

1.1 Mostre que a reta r é definida por y = -2x + 6 .

1.2 Seja a a inclinação da reta r .

Determine o valor exato de sin a - cos2r

a+c m .

1.3 Determine, com aproximação à décima de grau, a amplitude do ângulo OTC .

1.1 TC(-4, -2) ; logo, um vetor diretor de r é (2, -4) , por exemplo.

Assim, o declive de r é -24

= -2 .

Substituindo as coordenadas do ponto T na equação y = -2x + b :2 = -2 × 2 + b + b = 6

Logo, r: y = -2x + 6 .

1.2 Tem-se que tan a = -2 , em que a é a amplitude de um ângulo do 2.º quadrante.

Então:

1 + tan

12a

= sin

12a

+ 45

= sin

12a

+ sin2 a = 54

Assim, sin a = 5

2 5 .

Logo:

sin a - cos2r

a+c m = 2 sin a = 5

4 5

1.3 Tem-se TO(-2, -2) ; logo:

TO $ TC = TO TC cos OTCW +

+ 8 + 4 = 4 4+ × 16 4+ cos OTCW +

+ cos OTCW = 10

3 10

Como 0 G OTCW G 180 , OTCW á 18,4° .

000707 206-242.indd 234 01/07/16 12:33

235


2 Sejam u e v vetores de norma 1 , que verificam:

(u + 2v) $ (u - v) = x (x ! IR)

Determine os valores reais de x para os quais u e v formam um ângulo agudo.

Tem-se:

(u + 2v) $ (u - v) = x +

+ u $ u - u $ v + 2v $ u - 2v $ v = x +

+ 1 + v $ u - 2 = x +

+ v $ u = x + 1

Os vetores u e v formam um ângulo agudo se, e só se, o seu produto interno for positivo; logo:

x + 1 > 0 + x > -1 + x ! ]-1, +3 [

Por outro lado, como os vetores são unitários, o seu produto interno é necessariamente inferior a 1 ; portanto, x ! ]-1, 0[ .

3 Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz , um octaedro regular [ABCDEF] .

Sabe-se que:• ovértice A tem coordenadas (5, 5, 10) ;• ovérticeB tem coordenadas (5, 0, 5) ;• ovérticeE tem coordenadas (0, 5, 5) ;• ovérticeF pertence ao plano xOy .

3.1 Verifique que a reta r de equação

(x, y, z) = (5, 5, 5) + k(1, 1, 1), k ! IR

é perpendicular ao plano ACD e determine uma equação cartesiana do plano ACD .

3.2 Calcule o ponto de interseção da reta r com o plano ACD .

3.3 Considere a superfície esférica à qual pertencem todos os vértices do octaedro.

Seja P um ponto pertencente a essa superfície esférica de coordenadas (a, 7, 7), a ! ]5, 10[ .

Determine o valor de a .

B D

E

A

F

C

O y

x

u2p163h1

z

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236


3.1 Tem-se C(10, 5, 5) e D(5, 10, 5) .

Logo, AC(5, 0, -5) e AD(0, 5, -5) .

O vetor u(1, 1, 1) é um vetor diretor da reta r .

Como

AC $ u = 5 + 0 - 5 = 0

AD $ u = 0 + 5 - 5 = 0 ,

u é um vetor normal ao plano.

Logo, a reta r é perpendicular ao plano ACD .

Assim, a equação cartesiana do plano ACD é da forma:

x + y + z + d = 0

Substituindo as coordenadas de C :

10 + 5 + 5 + d = 0 + d = -20

Portanto:

ACD: x + y + z - 20 = 0

3.2 Como

x = y = z = 5 + k

e a equação do plano é

x + y + z - 20 = 0 ,

tem-se:

3x = 20 + x = 3

20

Portanto, o ponto de interseção de r com ACD tem coordenadas

, ,3

203

203

20d n .

3.3 As coordenadas do centro da superfície esférica são (5, 5, 5) e o seu raio é de 5 unidades; logo, a sua equação cartesiana é:

(x - 5)2 + (y - 5)2 + (z - 5)2 = 25

Substituindo as coordenadas de P na equação da superfície esférica:

(a - 5)2 + (7 - 5)2 + (7 - 5)2 = 25 +

+ (a - 5)2 = 17 + a - 5 = ! 17 +

+ a = 5 ! 17

Como a ! ]5, 10[ , vem que a = 5 + 17 .

000707 206-242.indd 236 01/07/16 12:33

237



I


1 Sejam u e v dois vetores de norma 1 e i ! [0, r] o ângulo por eles formado.

Qual dos gráficos seguintes representa a função definida por g(i) = u $ v ?

(A)

(B)

(C)

(D)

Como u $ v = 1 , então, u × v × cos u v_ iT = cos u v_ iT = cos i .


2 Seja i = arctan

52

-d n a inclinação de uma reta r que passa na origem do referencial.

Qual das seguintes equações representa uma reta perpendicular a r que passsa no ponto de coordenadas (0, -2) ?

(A) y = 52

x - 2

(B) y = -25

x - 2

(C) 2x - 5y - 2 = 0

(D) 5x - 2y - 4 = 0

Tem-se tan i = -52

; logo, o declive da reta perpendicular a r é 25

.

Substituindo o ponto (0, -2) na equação y = 25

x + b , obtém-se b = -2 .

Logo, y = 25

x - 2 + 5x - 2y - 4 = 0 .


y

O p x

u2p164h1y

Op

x

u2p164h2

y

O p x

u2p164h3

y

O x

u2p164h4

—p2

2—p2

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238


3 Num referencial o.n. do espaço, as equações

x - y + z + 1 = 0 e 2x + 4y + 2z + 2 = 0

definem:

(A) dois planos paralelos.

(C) dois planos perpendiculares.

(B) duas retas perpendiculares.

(D) o mesmo plano.

Das equações de planos dadas, obtêm-se os vetores normais u(1, -1, 1) e v(2, 4, 2) , respetivamente. Como u $ v = 2 - 4 + 2 = 0 , os vetores são perpendiculares. Logo, os planos são perpendiculares.


4 Fixada, no espaço, uma unidade de comprimento e dados dois pontos A e B , o plano perpendicular à reta AB em B pode ser definido por uma das seguintes condições em P . Qual?

(A) AB $ AP = 0

(B) AP $ BP = 0

(C) AB $ PB = 0

(D) AB $ BA = -1


5 Indique as soluções da equação 4 + 2 sin x = 3 no intervalo [-r, r[ .

(A) -23r

e 23r

(B) -6r

e 6r

(C) -6

5r e -

6r

(D) -23r

e -3r

4 + 2 sin x = 3 + sin x = 21

-


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239


II


1 No referencial o.n. xOy da figura estão representados a circunferência trigonométrica e os vetores u e v .

Sabe-se que:• A é um ponto da circunferência e AO = v ;• B(0, 1) e OB = u

• AOWB = a e a ! ]0, r[

1.1 Determine as coordenadas do vetor v em função de a .

1.2 Sabendo que u $ v = 73

, determine sin2r

a- +c m - 2 tan2(r + a) .

1.1 Tem-se A ,cos sin2 2r

ar

a+ +c ce m mo , isto é, A(-sin a, cos a) ,

donde v = O - A tem coordenadas (sin a, -cos a) .

1.2 Tem-se que:

u × v × cos u v_ iT = 73

+ 1 × 1 × cos(r - a) = 73

+

+ cos(r - a) = 73

+ cos a = - 73


tan2 a + 1 = cos

12a

+ tan2 a =

73

12

-c m

- 1 + tan2 a = 9

40

Logo:

sin2r

a- +c m - 2 tan2(r + a) =

= -cos a - 2 tan2 a = 73

- 2 × 9

40 = -

63533

2 Na figura está representado, em referencial o.n. xOy , um triângulo isósceles, retângulo em P .

Os pontos P e R têm coordenadas (1, -1) e (-2, 1) , respetivamente.

2.1 Determine, em graus, a inclinação da reta PQ arredondada às unidades.

2.2 Determine as coordenadas do ponto Q .

y

O

A

B

a

x

u2p165h1

u

v

y

R

O

P

Q

x

u2p165h2

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240


2.1 Como o triângulo é retângulo em P , os vetores PR e PQ são

perpendiculares. O vetor PR tem coordenadas (-3, 2) , e um vetor perpendicular a este pode ser, por exemplo, (2, 3) .

Assim, a inclinação, a , da reta é tal que tan a = 23

.

Como 0° G a G 180° , conclui-se que a á 56° .

2.2 Como o triângulo é retângulo em P , então, PR $ PQ = 0 .

Como o triângulo é isósceles, então, PR = PQ .

Os pontos P , R e Q têm coordenadas (1, -1) , (-2, 1) e (x, y) , respetivamente.

PR(-3, 2) ; PQ(x - 1, y + 1) ; PR = ( )3 22 2- + = 13 ;

PQ = ( ) ( )x y1 12 2- + + = x x y y2 2 22 2- + + +

Determine-se as coordenadas de Q :

PR PQ

PR PQ

0$ =

=* +

( , ) ( , )x y

x x y y

3 2 1 1 0

13 2 2 22 2

$- - + =

= - + + +* +

+ x y

x x y y

3 3 2 2 0

2 2 2 132 2

- + + + =

- + + + =* +

+ x

y

y yy y

32 5

32 5

23

2 52 2 13

2

2

=+

+-

++ + + =d dn n

* +

+ y y y y y

94

920

925

34

310

2 2 13

——————

2 2+ + - - + + + =* +

+ y y

913

926

9104

0

——————

2 + - =* +

y y13 26 104 0

——————2 + - =

) +

+ y y2 8 0

——————2 + - =

) + ( )

( ) ( )y

2 12 2 4 1 8

——————2!

=- - -* +

+ x

y

3

2

=

=*

Logo, Q(3, 2) .

Em alternativa:

Como PR(-3, 2) , um vetor perpendicular a PR e com a mesma norma tem coordenadas (2, 3) ou (-2, -3) .

Assim, as coordenadas de Q são: (1, -1) + (2, 3) = (3, 2) ou (1, -1) + (-2, -3) = (-1, -4) . Atendendo à figura, Q(3, 2) .

x > 0 e y > 0

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241


3 Considere, num referencial o.n. Oxyz , uma pirâmide [OPQV ] .

Sabe-se que:• V(0, 4, 2) e P(2, 2, 2)• ovérticeQ pertence ao plano xOy ;• umaequaçãodoplanoOPQ é x - y = 0 ;• umaequaçãodoplanoPQV é

(x, y, z) = (0, 4, 2) + s(1, 1, -2) + t(-3, 1, 2), s, t ! IR

3.1 Mostre que o ponto Q tem coordenadas (3, 3, 0) .

3.2 Determine uma equação cartesiana do plano OPV .

3.3 Mostre que o ângulo OPQ é reto .

3.4 Justifique que a reta PV é perpendicular ao plano OPQ e utilize este facto para determinar o volume da pirâmide.

Adaptado do Exame Nacional do 12.º ano, 1998

3.1 Q(x, y, 0) , porque pertence ao plano xOy .

Então:x y

x s t

y s t

s t

0

3

4

0 2 2 2

- =

= -

= + +

= - +

* +

x y

y s t

y s t

s t

3

4

1

=

= -

= + +

= +

* + y t

y t

1 2

5 2

———

———

= -

= +* +

+ t t5 2 1 2

———

———

———

+ = -* +

t

y

s

1

3

0

———

=-

=

=

* +

x

t

y

s

3

1

3

0

=

=-

=

=

*

Logo, o ponto Q tem coordenadas (3, 3, 0) .

3.2 Os vetores OP(2, 2, 2) e OV(0, 4, 2) são paralelos ao plano OPV e são não colineares. Então, um vetor u perpendicular a estes vetores é normal ao plano.

Logo, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ OP = 0 / u $ OV = 0 :

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

a b c

a b c

2 2 2 0

0 4 2 0

$

$

=

=* +

a b c

b c

2 2 2 0

4 2 0

+ + =

+ =) +

+ a b

c b

2 2 0

2

- =

=-) +

a b

c b2

=

=-)

Fazendo b = 1 , tem-se a = 1 e c = -2 . Então, o vetor u(1, 1, -2) é normal ao plano OPV .

Assim, uma equação cartesiana do plano OPV é x + y - 2z + d = 0 .

Como O(0, 0, 0) pertence ao plano, tem-se d = 0 .

O

PV

Q

y

x

u2p165h3

z

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242


Logo, uma equação cartesiana do plano OPV é dada por:

x + y - 2z = 0

3.3 Tem-se PO(-2, -2, -2) e PQ(1, 1, -2) .

Então:

PO $ PQ = (-2, -2, -2) $ (1, 1, -2) = 2 - 2 + 4 = 0

Portanto, o ângulo OPQ é reto.

Em alternativa:

QO2 = OP

2 + PQ

2 +

+ 32 + 32 = (-2)2 + (-2)2 + (-2)2 + 12 + 12 + (-2)2 +

+ 18 = 12 + 6 + 18 = 18

Proposição verdadeira; logo, o ângulo OPQ é reto.

3.4 O vetor u(1, -1, -2) é um vetor normal ao plano OPQ , e o vetor PV , de coordenadas (-2, 2, 0) , é um vetor diretor da reta PV .

Como (-2, 2, 0) = -2(1, -1, 0) , os vetores u e PV são colineares e,

por isso, também o vetor PV é perpendicular ao plano OPQ .

Portanto, a reta PV é perpendicular ao plano OPQ .

Assim:

V[OPQV] = A PV

3[ ]OPQ #

= 3

212

86

##

=

= 6576

= 4 u. v.

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unidade d - pedronoiapedronoia.pt/11ano/sol2.pdf · apresente o resultado em graus, aproximado às...

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