unesp – universidade estadual paulista campus de rio claro disciplina: hidrogeologia 2010

UNESP – Universidade Estadual Paulista

Campus de Rio Claro

Disciplina: Hidrogeologia

MODELOS EM HIDROGEOLOGIAMODELOS EM HIDROGEOLOGIA

2010

O QUE É UM MODELO ?

“Modelo é uma ferramenta desenvolvida para representar uma versão simplificada da realidade.”

WANG & ANDERSON (1982)

MODELOS

A principal motivação para a utilização de modelos matemáticos é realizar previsão de certos fenômenos.

REALIDADREALIDADEE

MODELMODELOO PREVISÃOPREVISÃO

?

MODELOS

Qual a necessidade de se fazer previsões em Hidrogeologia?

Rebaixamento do lençol freático em minas

Migração de contaminantes em água subterrâneas

Elevação da potenciometria após a construção de barragens

Impacto gerado pela explotação de aquíferos para abastecimento

2010-2020

Well Locations and Pumping Rates

Shallow Deep

Water Levels in the Sandstone Aquifer(feet above sea level)

Previsão do impacto na potenciometria induzida pela explotação excessiva de aquíferos

MODELOS

MODELOSPrevisão do impacto na potenciometria induzida pela explotação excessiva de aquíferos

MODELOS

Previsão de migração de plumas de contaminantes

Modelos físicos

Modelos analógicos

Modelos matemáticos

TIPOS DE TIPOS DE MODELOSMODELOS

MODELOS

O modelo físico ou modelo reduzido constitui a representação em escala laboratorial dos processos estudados.

Normalmente este tipo de modelagem física é utilizado auxiliar no entendimento de fenômenos complexos e complementar os resultados dos modelos matemáticos.

Possuem a vantagem de serem realizados através de experimentos controlados em laboratório.

Modelos físicosModelos físicos

Fonte: http://www.wvca.us/education/groundwater_model/groundwater_model.jpgFonte: http://www.wvca.us/education/groundwater_model/groundwater_model.jpg

Modelos físicosModelos físicos

Modelos analógicosModelos analógicos

Diversos fenômenos na natureza obedecem o mesmo princípio físico e, são portanto, matematicamente idênticos.

dl

dhKAQ

dl

dVAI

Lei de DarcyLei de Darcy Lei de OhmLei de Ohm

dl

dTKAQ

Lei de FourrierLei de Fourrier

Em virtude da existência de uma analogia matemática e física entre as leis de Ohm e Darcy, circuitos elétricos foram empregados no passado para representar e simular explotação de aquíferos.

Tais modelos consistem na representação de certos fenômenos a partir de outros em menor escala, por analogia com as leis físicas que regem estes fenômenos (WANG & ANDERSON, 1982).


A existência de similaridades nas formulações matemáticas que descrevem o fluxo de corrente elétrica (Lei de Ohm) com aquelas que descrevem o fluxo de água subterrânea (Lei de Darcy) permitiu que o primeiro fenômeno fosse utilizado para a simulação do segundo.

http://www.sws.uiuc.edu/hilites/achieve/gwmodded.asp


Conjunto de Conjunto de resistores e resistores e capacitores capacitores elétricos elétricos representando representando um aquífero.um aquífero.

http://www.sws.uiuc.edu/hilites/achieve/gwmodded.asp


Modelos MatemáticosModelos Matemáticos

Soluções analíticasSoluções analíticas

Soluções por aproximação numéricaSoluções por aproximação numérica

Tipos:Tipos:

Diferenças finitasDiferenças finitas

Elementos finitosElementos finitos

Volumes finitosVolumes finitos

Elementos de contornoElementos de contorno

Elementos analíticosElementos analíticos


Os modelos matemáticos são representados por um conjunto Os modelos matemáticos são representados por um conjunto de expressões matemáticas compostas pelos seguintes de expressões matemáticas compostas pelos seguintes elementos:elementos:

Equações GovernantesEquações GovernantesCondições de contorno e iniciaisCondições de contorno e iniciais

Equações GovernantesEquações Governantes

As Equações Governantes representam a estrutura básica dos Modelos As Equações Governantes representam a estrutura básica dos Modelos Matemáticos, constituindo representações matemáticas que descrevem Matemáticos, constituindo representações matemáticas que descrevem um fenômeno físico, tais como fluxo de corrente elétrica, fluxo um fenômeno físico, tais como fluxo de corrente elétrica, fluxo térmico, propagação de deformação em mecânica e fluxo de água térmico, propagação de deformação em mecânica e fluxo de água subterrânea (WANG e ANDERSON, 1982).subterrânea (WANG e ANDERSON, 1982).

Patankar (1980) define as equações governantes como equações Patankar (1980) define as equações governantes como equações diferenciais parciais que satisfazem um princípio de conservação. diferenciais parciais que satisfazem um princípio de conservação. Diante deste princípio, as formulações de um modelo matemático, em Diante deste princípio, as formulações de um modelo matemático, em essência, trabalham com balanço de massa ou energia. essência, trabalham com balanço de massa ou energia.

Equações GovernantesEquações Governantes

dt

dhSsW

z

hK

zy

hK

yx

hK

x zzyyxx

Para Wang & Anderson (1982), a equação governante que representa o fluxo de água subterrânea, em sua forma analítica, é derivado da combinação da Lei de Darcy com a conservação de massa, como expresso abaixo:

Onde:Ss é o armazenamento especificoW é a recarga

x

hKq xxx

y

hKq yyy

z

hKq zzz

Lei de Darcy:

Condições de contornoCondições de contorno

Presentes nas fronteiras do Modelo, as condições de contorno Presentes nas fronteiras do Modelo, as condições de contorno são elementos físicos que representam a interação entre os são elementos físicos que representam a interação entre os processos no interior do modelo e sua parte externa.processos no interior do modelo e sua parte externa.

A princípio, um modelo pode possuir um número infinito de A princípio, um modelo pode possuir um número infinito de soluções. As condições de contorno direcionam as simulações soluções. As condições de contorno direcionam as simulações para a solução única do modelo.para a solução única do modelo.

Condições de contornoCondições de contorno

As condições de contorno podem ser agrupadas em 3 As condições de contorno podem ser agrupadas em 3 tipos:tipos:

Condição de primeiro tipoCondição de primeiro tipo

Condição de segundo tipoCondição de segundo tipo

Condição de terceiro tipoCondição de terceiro tipo

Condições de primeiro tipoCondições de primeiro tipo

Exemplos de condição de carga hidráulica especificada (primeiro tipo).

Tipo I - Contorno de carga hidráulica especificada ou carga hidráulica constante (condição de Dirichlet), que pode ser matematicamente representado pela expressão:

h(x,y,z,t) = conhecido

Condições de primeiro tipoCondições de primeiro tipo

H = 10 m

Condições de segundo tipoCondições de segundo tipo

onde: dh (x,y,z,t) é a variação elementar tridimensional e temporal de carga hidráulica,dn é a variação elementar de distância perpendicular à direção de fluxo.

O fluxo especificado pode ser nulo ou não. A condição de fluxo nulo é aplicável quando existe um contorno impermeável, uma linha de simetria, uma linha de fluxo, ou seja, onde inexista fluxo transversal a este contorno. É comum que se use este tipo de condição de contorno em simulações de dimensões reduzidas, situação onde não se conhece a extensão real do aquífero, sendo a forma deste limite delineada a partir de uma linha de fluxo obtida a partir da elaboração da potenciometria local.

Reilly et al (1987), exemplifica lagos e rios como tipos de condições de contorno de fluxo especificado (não nulo), desde que estes tenham sua interação com o aqüífero bem conhecida:

q = f(x,y,z,t)


02

2

y

h

02

2

y

h

Condições de terceiro tipoCondições de terceiro tipo

cchdn

dh

Um exemplo comumente usado para este tipo de contorno é aquele no qual existe uma camada semipermeável separando dois aqüíferos ou um aqüífero e um corpo de água superficial. O fluxo que passa deste corpo aquoso sobrejacente para o aqüífero, através da camada semipermeável é expressa pela equação de Darcy:

Onde:q é a o volume de água que atravessa a camada semipermeável em virtude da diferença de carga hidráulica,K’ é a condutividade hidráulica da camada semiconfinada,H’-h é a diferença de carga entre o aqüífero livre e o semiconfinado,b’ é a espessura da camada semiconfinante

Condições de terceiro tipoCondições de terceiro tipo

Área do modelo

Área do modelo

Condição modelo

CONDIÇÃO SEMI-PERMEÁVEL OU DE TERCEIRO TIPO (CAUCHY)

Aquitardo separando sistemas hidrogeológicos adjacentes Água superficial com camada semi-permeável

Condições iniciaisCondições iniciais

As condições iniciais são componentes essenciais em As condições iniciais são componentes essenciais em modelos transientes. A simulação em regime transiente modelos transientes. A simulação em regime transiente requer, no início da simulação, uma distribuição de carga requer, no início da simulação, uma distribuição de carga hidráulica, uma vez que os valores de cargas hidráulicas hidráulica, uma vez que os valores de cargas hidráulicas calculadas em um determinado passo de tempo são calculadas em um determinado passo de tempo são dependentes dos valores de carga hidráulica do passo dependentes dos valores de carga hidráulica do passo anterior. anterior.

Protocolos para Aplicação de Modelos Matemáticos Protocolos para Aplicação de Modelos Matemáticos (PAMMs) (PAMMs)

1)1) Compilação de informações de relevância;Compilação de informações de relevância;

Informações referentes a Geologia Regional e Local, Informações referentes a Geologia Regional e Local, Geomorfologia, Climatologia, Dados de investigações Geomorfologia, Climatologia, Dados de investigações geológicas previamente existentes;geológicas previamente existentes;

2) Elaboração de um Modelo Conceitual;2) Elaboração de um Modelo Conceitual;

A segunda etapa é representada pela formulação de modelo A segunda etapa é representada pela formulação de modelo hidrogeológico conceitual (formulação teórica sobre a hidrogeológico conceitual (formulação teórica sobre a Configuração do domínio), norteado pelo levantamento de Configuração do domínio), norteado pelo levantamento de informações relevantes existentes do domínio a ser informações relevantes existentes do domínio a ser simulado, tais como aquelas relacionadas aos aspectos simulado, tais como aquelas relacionadas aos aspectos geológicos, propriedades hidráulicas e potenciometria da geológicos, propriedades hidráulicas e potenciometria da área a ser simulada.área a ser simulada.

Etapas de modelagem numérica de fluxoEtapas de modelagem numérica de fluxo

FAIRFIELD

LINCOLN PARK

CHATHAM

TROY HILLS

MONTVILLE

SOUTHERN MILLBURN

NORTHERN MILLBURN

FLORHAM PARK

EAST HANOVER

CEDAR KNOLLS

PARSIPPANY

LONG HILLOAKWOOD

SUMMITGREEN VILLAGE

CANOE BROOK

SLOUGH BROOK

MODELO CONCEITUAL

Arenito, Siltito, Basalto

Silte, argila(Unidade semi-confinante)

ROCHA(CAMADA 3)

SUPERFICICAL

Areia e conglomerado(CAMADA 1)

Layer 1

Layer 2

Layer 3

Areia e conglomerado(CAMADA 2)


Modelo Conceitual

Sedimentos aluvionaresSiltitos da Fm.

Rio Claro

Diabásio

Modelo

3) Simulação numérica de fluxo3) Simulação numérica de fluxoStream –aquifer System

Representation of Stream –aquifer System

River Surface

Water Table

Streambed

River Stage (HRIV)

Impermeable Walls

M

WRBOT

Land Surface

Head in Cell (h)

Realidade

3) Simulação numérica de fluxo3) Simulação numérica de fluxo

Representação do Modelo conceitual em línguagem matemática, Representação do Modelo conceitual em línguagem matemática, no ambiente do no ambiente do softwaresoftware..


4) Calibração do Modelo4) Calibração do Modelo

Ajustes nos parâmetros do modelo (condutividade Ajustes nos parâmetros do modelo (condutividade hidráulica, recarga, espessura do aquífero, descarga hidráulica, recarga, espessura do aquífero, descarga no rio) até que exista uma correspondência em nível no rio) até que exista uma correspondência em nível satisfatório entre os os valores calculados pela satisfatório entre os os valores calculados pela simulação e os valores reais de carga hidráulica, simulação e os valores reais de carga hidráulica, vazão ou concentração.vazão ou concentração.


3) Calibração3) Calibração


Coeficiente de correlação linear ® entre os valores de cargas hidráulicas reais e calculadas

Raiz média do erro residual quadrático (RMS)

Média absoluta do resíduo (MA)

Variância do residuo (VAR)

Resíduo Médio (M)

N

ii obscalN

M1

)(1

2

1

])[(1

1Mobscal

NVAR

N

ii

2/1

1

])[(1

N

ii obscalN

MA

N

i

i

N

i

i

N

i

obsobscalcal

obsobscalcalr

ii

1

2

1

2

1

)()(

))((

2/1

1

])(1

[2

ii

N

obscalN

RMS

cali é o valor de carga hidráulica calculada, obsi é o valor de carga hidráulica observada, é o valor médio de carga hidráulica calculada, é o valor médio de carga hidráulica observada.

3) Calibração3) Calibração


6) Previsão6) Previsão

Se o modelo matemático representa com fidelidade Se o modelo matemático representa com fidelidade satisfatória a realidade, este pode ser empregado satisfatória a realidade, este pode ser empregado para realizar previsões do comportamento do para realizar previsões do comportamento do aquífero ao longo do tempo.aquífero ao longo do tempo.



Os Modelos analíticos fornecem valores exatos do problema. Contudo pressupõe um meio isotrópico, homogêneo, com geometrias simples do aquífero (retângulos, elipses, quadrados).

Os Modelos numéricos fornecem valores aproximados do problema. Contudo, possuem a vantagem de permitirem a representação de meio heterogêneos, anisotrópicos e geometrias complexas dos aquíferos.


Soluções analíticasSoluções analíticas

Soluções por aproximação numéricaSoluções por aproximação numérica

Tipos:Tipos: Diferenças finitasDiferenças finitas Elementos finitosElementos finitos Volumes finitosVolumes finitos Elementos de contornoElementos de contorno Elementos analíticosElementos analíticos


0 0

2201212

12124

2 m s/ymcoshm

s/ymcoshs/xmcoscscsy)y,x(h

Solução analítica de Toth (1962):

Modelos numéricos - Discretização(a)

Figura 3.6. Representações de d iferenças fin itas e e lem entos fin itos da região de um aquifero.

(a) Vista do m apa do aquifero m ostrando o cam po de poços, os poços de observação e seus lim ites.(b) G rid de d iferenças fin itas com nós centrados no bloco, onde D é o espaçam ento na direção , D é o espaçam ento na d ireção e é a espessura do aquifero. (c)

x x y y,b

G rid de diferença fin ita com nós centrados na m alha(d) M alha de e lem entos fin itos com elem entos triangulares onde b é a espessura do aquifero

(Adaptado de M ER C ER & FAU ST, 1980 apud W ANG & AN D ER SO N, 1982).

N ó de fonte/descarga



y

x

b

x

yR io

Poço de observação

Poço de bom beam ento

Lim ite do aquífero

C am po de poços

( )c

(b)

B loco de d iferença fin ita

x

by

x

y

E lem ento fin itotriangularb

( )d

Conceitos básicos em diferenças finitasConceitos básicos em diferenças finitas

02

2

2

2

2

2

z

hK

y

hK

x

hK zzyyxx

Considere a equação governante do fluxo de águas subterrâneas no meio poroso:

02

2

2

2

2

2

z

h

y

h

x

h

Se o meio é isotrópico, então Kxx = Kyy = Kzz e, deste modo, podemos retirar os valores de condutividade hidráulica da equação, o que reduz a expressão para a Expressão Laplaciana.


02

2

2

2

2

2

z

h

y

h

x

h

Se simplificarmos o problema 3D para 2D:

02

2

2

2

y

h

x

h

Podemos aproximar a equação de laplace através de seu truncamento para equações algébrica simples.

xx

hh

x

hh

x

hj,ij,ij,ij,i

11

2

2

2

11

2

2 2

x

hhh

x

h j,ij,ij,i


xx

hh

x

hh

x

hj,ij,ij,ij,i

11

2

2

2

11

2

2 2

x

hhh

x

h j,ij,ij,i

h

x

Dx

Dx

Dx


2

1,,1,

2

2 2

y

hhh

y

h jijiji

O mesmo tipo de aproximação é empregada na direção Y:

041111 j,ij,ij,ij,ij,i hhhhh

Se o Dx = Dy, então, a equação de Laplace para o ponto (i,j) simplifica para:


41111

j,ij,ij,ij,ij,i

hhhhh

A solução do problema através de métodos numéricos é realizada através de métodos iterativos.

(i,j-1)

(i,j)(i+1,j)(i-1,j)

(i,j+1)


Solução numérica:

É considerado um É considerado um conjunto finito de conjunto finito de pontos em uma malha pontos em uma malha regular. regular.

Se localiza os pontos Se localiza os pontos (ou nós) mediante (ou nós) mediante suas coordenadas suas coordenadas i,ji,j


04 2232122321 ,,,,, hhhhh

04 3222333121 ,,,,, hhhhh

04 3343233432 ,,,,, hhhhh

04 2333132422 ,,,,, hhhhh

Para i=2,j=2

Para i=2,j=3

Para i=3,j=2

Para i=3,j=3

Métodos iterativosMétodos iterativos

A solução do problema através de métodos numéricos é realizada através de métodos iterativos.

Os métodos iterativos fazem aproximações sucessivas até que exista a convergência do modelo, isto é, até que a diferença entre duas iterações sucessivas seja menor que o critério de convergência.

411111

mj,i

mj,i

mj,i

mj,im

j,i

hhhhh

15151515

1515

1515

15151515

Utilizando a equação acima, resolva o problema abaixo, utilizando o método iterativo de Jacobi, empregando um critério de convergência de 0,01.

? ?

? ?

Método iterativo de Jacobi

15151515

1515

1515

15151515

13,125 13,125

13,125 13,125

3ª iteração

13,125 13,125

13,125 13,125

Resíduo 2 = 13,125 -11,250 = 1,875

14,993 14,993

14,993 14,993

11ª iteração

14,993 14,993

14,993 14,993

Resíduo 11 = 14,993 -14,985 = 0,007

14,985 14,985

14,985 14,985

10ª iteração

14,985 14,985

14,985 14,985

Resíduo 10 = 14,985 -14,971 = 0,015

14,98 14,98

14,98 14,98

9ª iteração

14,980 14,980

14,980 14,980

Resíduo 9 = 14,971 -14,941 = 0,030

14,941 14,941

14,941 14,941

8ª iteração

14,941 14,941

14,941 14,941

Resíduo 8 = 14,941 -14,883 = 0,059

14,883 14,883

14,883 14,883

7ª iteração

14,883 14,883

14,883 14,883

Resíduo 7 = 14,883 -14,766 = 0,117

14,766 14,766

14,766 14,766

6ª iteração

14,766 14,766

14,766 14,766

Resíduo 6 = 14,766 -14,531 = 0,234

14,531 14,531

14,531 14,531

5ª iteração

14,531 14,531

14,531 14,531

Resíduo 5 = 14,531 -14,063 = 0,469

14,063 14,063

14,063 14,063

4ª iteração

14,063 14,063

14,063 14,063

Resíduo 4 = 14,063 -13,125 = 0,938

11,250 11,250

11,250 11,250

2ª iteração

11,250 11,250

11,250 11,250

Resíduo 2 = 11,250 -7,500 = 3,500

7,500 7,500

7,500 7,500

1ª iteração

7,500 7,500

7,500 7,500

Resíduo 1 = 7,5 – 0 = 7,500

411111

mj,i

mj,i

mj,i

mj,im

j,i

hhhhh

CC = 0,01

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Iteração

Res

ídu

o

Método iterativo de Jacobi

411

11

111

mj,i

mj,i

mj,i

mj,im

j,i

hhhhh

Neste método, ao contrário do Jacobi, são usados dois resultados já calculados dentro da iteração.

Método iterativo de Gauss-Siedel

15151515

1515

1515

15151515

7,500 9,357

9,357 12,188

1ª iteração

7,500 9,357

9,357 12,188

411

11

111

mj,i

mj,i

mj,i

mj,im

j,i

hhhhh

12,188 13,594

13,594 14,297

2ª iteração

12,188 13,594

13,594 14,297

14,297 14,648

14,648 14,824

3ª iteração

14,297 13,594

14,684 14,824

14,824 14,912

14,912 14,956

14,956 14,978

14,978 14,989

14,989 14,995

14,995 14,997

14,997 14,998

14,998 14,999

14,824 14,912

14,912 14,956

4ª iteração

14,956 14,978

14,978 14,989

5ª iteração

14,989 14,995

14,995 14,997

6ª iteração

14,997 14,998

14,998 14,999

7ª iteraçãoCC = 0,010

Máximo Resíduo 1 = 12,188Máximo Resíduo 2 = 4,688Máximo Resíduo 3 = 2,109Máximo Resíduo 4 = 0,507Máximo Resíduo 5 = 0,312Máximo Resíduo 6 = 0,033Máximo Resíduo 7 = 0,008

0

2

4

6

8

10

12

14

1 2 3 4 5 6 7 8

Iteração

Res

ídu

o m

áxim

o

Método iterativo de Gauss-Siedel

41 11

11

111

mj,i

mj,i

mj,i

mj,im

j,i

hhhh)(h

Neste método são empregados dois resultados já calculados dentro da iteração e o resíduo é multiplicado por fator de relaxação, w (valores entre 1 e 2), o que promove a aceleração da convergência do modelo.

Método iterativo de SOR (Successive Over Relaxation)

15151515

1515

1515

15151515

CC = 0,010

41 11

11

111

mj,i

mj,i

mj,i

mj,im

j,i

hhhh)(h

w = 1,1

8,250 10,519

10,519 14,035

13,210 14,691

14,691 14,926

15,009 15,013

15,013 15,038

15,006 15,011

15,011 15,005

8,250 10,519

10,519 14,035

1ª iteração

13,210 14,691

14,691 14,926

2ª iteração

15,099 15,013

15,013 15,038

3ª iteração

15,006 15,011

15,011 15,005

4ª iteração

15,005 15,002

15,002 15,000

5ª iteração

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

1 2 2 3 3 4 4 5 5 6

Iteração

Res

ídu

o M

áxim

o

15,005 15,002

15,002 15,000

Máximo Resíduo 1 = 14,035Máximo Resíduo 2 = 4,960Máximo Resíduo 3 = 1,799Máximo Resíduo 4 = -0,033Máximo Resíduo 5 = -0,009

Método iterativo de SOR (Successive Over Relaxation)

Diferenças Finitas

EXEMPLO

Suponha um hipotético aquífero aluvial, delimitado lateralmente por rochas impermeáveis do Embasamento Cristalino. O aquífero recebe influxo de água de um lago artificial a montante e descarrega em um rio à jusante. Calcule com o Excel, empregando técnicas de Diferenças Finitas, a distribuição de carga hidráulica entre o rio e o lago, admitindo-se que o aquífero seja homogêneo e isotrópico.

Diferenças Finitas

Diferenças FinitasCélulas fictícias

1 j,ij,i hh

1 j,ij,i hhCélulas fictícias

41111

j,ij,ij,ij,ij,i

hhhhh

Diferenças Finitas

CCCNCSCWCE

WHCNHCSHCWHCEHCCH jijijijijijim

ji

,1,1,,1,1,,

).().().().().(

jijijiji KKKKx

CE ,1,,1,22

1

jijijiji KKKKx

CW ,1,,1,22

1

1,,1,,22

1

jijijiji KKKKx

CS

1,,1,,22

1

jijijiji KKKKx

CN

ji

jiji yHx

QW

.

,,

Diferenças Finitas

unesp – universidade estadual paulista campus de rio claro disciplina: hidrogeologia 2010

Documents