UMA PROPOSTA PARA A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE

FRAÇÃO CENTRADA NA CULTURA DA ANTIGA CIVILIZAÇÃO

EGÍPCIA

Edmar Luiz Gomes Júnior

Davidson Paulo Azevedo Oliveira

Resumo: O objetivo deste trabalho é apresentar uma proposta de ensino na qual a história das frações

no Antigo Egito aliado à Teoria das Situações Didáticas de Brousseau, pode ser utilizada como

ferramenta didática para a introdução e exploração de conceitos iniciais deste conteúdo. Propomos

atividades que apresentam situações rotineiras dessa antiga civilização, adaptadas aos dias atuais,

usando como instrumento de medida um “pedaço de corda com nós” no intuito de proporcionar um

ensino e aprendizagem mais natural e intuitivo da ideia conceitual de fração. Assim, temos uma proposta

baseada nas experiências pedagógicas dos autores e em leituras realizadas. Além disso, apresentamos

tanto um referencial teórico marcado pela Teoria das Situações Didáticas (TSD) e por argumentos que

justificam e norteiam a utilização da História da Matemática em sala de aula e enquanto perspectiva no

Educação Matemática quanto um panorama histórico do Egito Antigo e de uma Matemática mais

prática, desenvolvida por eles, destacando essencialmente o modo singular de suas frações unitárias.

Palavras-chave: Frações, História da Matemática, Teoria das Situações Didáticas, Educação

Matemática.

Introdução

Durante nossas práticas pedagógicas percebemos o quanto o tópico de frações e seus

conceitos iniciais são importantes e, ao mesmo tempo, não enfatizados, seja nos livros didáticos

ou nos materiais de apoio ao professor. Nesse sentido, Brolezzi (1996, p. 1) afirma que,

atualmente, não é possível “construir na mente dos alunos um conceito de número racional que

permita sua utilização mais tarde. As operações com racionais são, quando muito, mecanizadas

em torno de algumas regrinhas básicas geralmente confundidas umas com as outras”.

Para Patrono (2011) as dificuldades em relação aos números Racionais, principalmente

quando representados por frações, geralmente acompanham o aluno durante todo o ensino

básico, além de estarem relacionadas, em partes à construção do conceito. Para a autora os

alunos têm dificuldade em perceber as frações como números.

É nesse sentido que Hiebert e Beher citados por Tinoco e Lopes (1994) constatam que,

para as crianças, a ideia de fração seria um par de números naturais e que essa ideia persiste até

mesmo depois delas terem iniciado o estudo dos Números Racionais.

É importante destacar que, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais, Brasil

(1997), um dos objetivos da Matemática para o segundo é a construção do significado do

número racional e de suas representações, além de afirmar que o contato com representações

fracionárias é bem menos frequente no cotidiano do aluno pois seu uso limita-se a metades,

terços, quartos e mais pela via da linguagem oral do que por meio de representações escritas.

Desta forma, tal significação já deveria ter sido construída junto aos alunos que ingressam no

3º ciclo, diferentemente do percebido durante a prática pedagógica.

Portanto, apresentamos uma proposta pedagógica que se justifica, tanto para os alunos

que ainda não construíram o conceito de fração ao ingressar no 3º ciclo, quanto para aqueles

que já possuem o conceito consolidado, de modo a retomar tal significação. A proposta utiliza

de discussões envolvendo a História ao percebê-la do ponto de vista metodológico e ao utilizar

a história como uma ferramenta, no sentido de auxiliar o ensino e aprendizagem de Matemática

para a introdução do tópico de fração e na construção de seu significado junto aos alunos.

Sendo assim. apresenta-se, neste trabalho, uma proposta de ensino na qual a história

das frações, especificamente o surgimento de seu conceito no Antigo Egito, pode ser utilizado

como ferramenta didática para a introdução deste tópico em turmas do Ensino Fundamental.

São reproduzidas situações rotineiras dessa civilização, adaptadas aos dias atuais, usando como

instrumento de medida um “pedaço de corda com nós” no intuito de proporcionar uma

aprendizagem intuitiva do conceito inicial de fração.

A História da Matemática como perspectiva pedagógica

Acreditamos que, por ser o tópico de frações um conhecimento que advém de uma

necessidade histórica, como a medição de terras no antigo Egito, o uso da História da

Matemática poderia contribuir no processo de ensino e aprendizagem. Em consonância com os

argumentos reforçadores e questionadores defendidos por autores brasileiros, apresenta-se a

categorização realizada por Jankvist (2009) das potencialidades pedagógicas da História da

Matemática em dois tipos, ferramenta (Tool) e meta (Goal).

A história, como ferramenta, é vista como uma auxiliadora no processo de ensino e

aprendizagem de Matemática, diferentemente da história vista como meta, que teria finalidade

em si mesma “os argumentos presentes na visão da história como ferramenta se referem a como

os estudantes aprendem Matemática” (JANKVIST, 2009, p. 237).

Entre os argumentos classificados como ferramenta está a motivação, a ideia de que a

história pode melhorar o ensino e aprendizagem oferecendo diferentes pontos de vista, além de

nos oferecer, enquanto educadores, uma visão hipotética da construção de determinado

conhecimento ao longo da história a fim de preparar um caminho didático mais natural e

intuitivo aos alunos, pois na realidade os caminhos de tal construção na história podem ser

complexos e muitas vezes não seguir determinada lógica didática .

Um importante ponto de vista é de que a história, ainda na categoria de ferramenta,

não seja utilizada sem que antes haja modificações e adequações. Além disso, a história como

ferramenta se refere aos argumentos evolutivos, que afirmam não haver aprendizagem de

Matemática sem história. Jankvist (2009, p. 239) ainda afirma que:

O argumento recapitulação não se aplica apenas para a Matemática como um

todo, mas para conceitos matemáticos individuais e teorias. Muitas vezes, é

em relação ao desenvolvimento de conceitos matemáticos simples que outro

argumento para a história como ferramenta se relacionada com o argumento

evolutivo, o chamado paralelismo histórico, é colocado em "teste"; o

paralelismo histórico diz respeito à observação das dificuldades e obstáculos

que apareceram na história e como eles reaparecem na sala de aula.

Por outro lado, ele afirma em relação aos argumentos contidos na categorização da

história como meta, que os aspectos da aprendizagem da História da Matemática teriam um

propósito em si mesmos e ao mesmo tempo, atenta para que:

(...) quando nos referimos à história como tendo um objetivo em si, este não

deve ser confundido com o conhecimento da História da Matemática como

um tópico independente, ou seja, História da Matemática pela História da

Matemática. Em vez disso, o foco é sobre os aspectos de desenvolvimento e

evolução da Matemática enquanto disciplina (JANKVIST, 2009 p.239).

Sendo assim, o intuito seria mostrar aos alunos que a Matemática existe e que evolui

de acordo com o tempo e o espaço, ou seja, não surgiu do nada e que, os seres humanos possuem

um papel importantíssimo nesse processo de evolução que a disciplina vem sofrendo ao longo

da história através de diferentes culturas e vice-versa. Por este ponto de vista, saber a História

da Matemática não é a principal ferramenta para aprender Matemática, melhor e mais

profundamente, embora não a descarte como um subproduto que pode vir a ser positivo. Ao

utilizar a história como meta, a aprendizagem de aspectos do desenvolvimento e evolução da

Matemática tanto serve um objetivo em si mesmo quanto serve para ilustrar outros aspectos

históricos da disciplina.

Além disso, é preciso levar em consideração também, a diferenciação que Grattan-

Guiness faz de termos como História e Herança da Matemática (ROGERS, 2009). Para ele,

História foca em detalhes, contexto cultural, influências negativas, anomalias, de modo que

forneça evidências, muito distante do que nós estamos aptos a compartilhar, do que aconteceu

e como aconteceu. Herança, em contrapartida, trata da questão em si, “como chegamos aqui?”.

Onde conhecimentos prévios são vistos em termos de explicações contemporâneas e

similaridades são solicitadas. Mas o autor ainda faz um alerta, pois ao utilizarmos a Herança,

podemos deixar no aluno a impressão de que esse progresso de ideias mostre a Matemática de

maneira simples como uma disciplina cumulativa.

Desta forma, apresentados exemplos de uso da História da Matemática tanto nos

aspectos culturais da civilização egípcia (Seu sistema de numeração e atividades rotineiras que

requeriam raciocínio lógico-matemático) que serão abordados quando na maneira de tornar

lúdica a Herança da Matemática que se justificará na reprodução do sistema de medição egípcio

a fim de proporcionar ao aluno um conceito próprio e verdadeiro das frações.

A abordagem dos conceitos iniciais de fração por meio da reprodução de situações de

medição rotineiras do Antigo Egito parte de uma abordagem histórica do seu conceito tendo a

História da Matemática como perspectiva e a Teoria das Situações Didáticas (TSD) como

metodologia.

Metodologia

Este trabalho propõe que a TSD seja utilizada como a metodologia responsável por

conectar determinados saberes da antiga civilização egípcia aos conceitos iniciais de fração.

Brousseau (2008) destaca a importância da tendência natural dos indivíduos de se adaptarem

ao meio citando alguns psicólogos como, Skinner, que estudou os estímulos e propôs a

construção de um modelo de sujeito, Piaget, que estudou principalmente a gênese não escolar

dos conhecimentos através de dispositivos nos quais a criança demonstra seus padrões de

pensamento percebendo-se assim suas estruturas e conhecimentos matemáticos, além de

Vigotsky que estudou a influência do meio sociocultural na aprendizagem. Sendo assim, para

Brousseau (2008) o ensino passa a ser, pois, uma atividade que concilia dois processos: um, de

aculturação, e outro, de adaptação independente.

Segundo Brousseau (2008), é primordial que o meio, considerado como um sistema,

seja modelado, fazendo com que um problema, ou exercício, não seja considerado somente

reformulação de um conhecimento, mas um instrumento, um sistema autômato, antagônico ao

sujeito, que responde a determinadas regras e que se torne uma ferramenta que faça mais do

que apenas reformular um conhecimento, é necessário que o meio, intencionalmente, se torne

um campo fértil para a descoberta de novos conhecimentos.

Brousseau (2008) denomina situação como um modelo interacionista, do aluno com

um meio distinto que define certo conhecimento como artifício do aluno para alcançar ou

conservar, nesse meio, um estado a seu favor. Assim, a situação didática é todo o contexto que

envolve o aluno, incluindo o professor e o sistema educacional, com o intuito de produzir um

efeito de ensino, pressupondo a aprendizagem pela adaptação do aluno. Enfatiza-se que os

conhecimentos se manifestam essencialmente como instrumentos de controle das situações.

Para Brousseau (2008), as relações de um aluno com o meio podem ser dispostas em

categorias como, troca de informações não codificadas ou sem linguagem, troca de informações

codificadas em uma determinada linguagem e troca de opiniões.

A troca de informações não codificadas ou sem linguagem correspondem aos

momentos de ação e de tomada de decisão, é o momento que o aluno trilha seu próprio caminho,

diferentemente da troca de informações codificadas em uma determinada linguagem que ocorre

através de mensagens do aluno com o meio, seja na linguagem Matemática ou na linguagem

habitual do aluno. Por último, tem-se a troca de opiniões que são sentenças referentes a um

conjunto de enunciados que exercem o papel de teoria.

Um aspecto das Situações Didáticas é sua classificação em etapas, denominadas por,

devolução, ação, formulação, validação e institucionalização. As quatro primeiras fases são

denominadas situações adidáticas, pois são momentos em que o professor permite que o aluno

trilhe seu próprio caminho na busca pelo conhecimento além de não revelar a intenção didática

da situação, agindo como mediador.

A devolução é o momento em que o aluno, por intermédio do professor, aceita o

compromisso de uma situação de aprendizagem (adidática) e toma para si o peso dessa

transferência. Pommer (2008, p.2) enfatiza que na fase da devolução:

(...) o aluno se defronta com situações intencionalmente elaboradas pelo

professor (não arbitrárias), a fim de promover uma ação do aluno em busca do

conhecimento, porém os alunos inicialmente não devem perceber os

pressupostos didáticos envolvidos no objeto de estudo (o que está sendo

ensinado, o que deve ser conhecido ou sabido), a não ser pelo êxito de uma

tarefa complexa.

Com relação às situações que devem ser elaboradas pelo professor, Pommer (2008)

afirma que:

(...) cabe ao docente fazer um duplo papel cíclico: procurar situações onde os

alunos possam dar sentido ao conhecimento, através da contextualização e

personalização do saber, num movimento de vivenciar o conhecimento pelo

aluno e ajudá-los no sentido inverso, ou seja, descontextualizando e

despersonalizando os conhecimentos, como fazem os matemáticos, de modo

a tornar as produções dos alunos fatos universais e reutilizáveis (POMMER,

2008, p. 4).

Nesse sentido, as situações devem ser contextualizadas e ao mesmo tempo

proporcionar ao aluno sua descontextualização de modo que ele consiga tornar os fatos

universais e reutilizáveis em qualquer outro contexto.

Na fase da ação, o aluno deve refletir acerca do problema recebido, simular e eleger

um procedimento para sua resolução por meio da sua interação com o milieu. Pommer (2008,

p.7) afirma ainda que “(...) o termo milieu indica o meio adidático, um sistema antagonista, sem

intenção didática explícita e exterior ao aluno, que pode abranger, dentre outros, situações-

problema, jogos, os conhecimentos dos colegas e do professor”.

Nesse sentido, percebe-se que no momento da ação, as interações que se processam

entre os envolvidos na aprendizagem vão além de uma simples resolução de um exercício ou

problema proposto, é necessário que o aluno reflita acerca de tal tema e busque junto ao milieu

um procedimento que permita sua resolução.

A formulação de um conhecimento, segundo Brousseau (2008), corresponderia a uma

capacidade do sujeito de retomá-lo (reconhece-lo, identificá-lo, decompô-lo e reconstruí-lo em

um sistema linguístico). Nesta fase, o aluno deve reescrever sua estratégia, utilizando uma

linguagem mais adequada mesmo que não seja uma linguagem formal, mas que seja diferente

da usada por ele habitualmente.

Sendo assim, as fases anteriores carecem de validação, de um processo de correção,

que pode ser tanto empírica quanto apoiada em aspectos culturais. Os alunos devem colaborar

na busca da verdade, esforçando-se para vincular, seguramente, um conhecimento a um campo

de saberes já estabelecido.

Cada um pode se posicionar e, havendo divergências, solicitar uma demonstração por

parte do colega. Nessa fase, os alunos tentam convencer uns aos outros da veracidade de suas

afirmações utilizando uma linguagem Matemática apropriada (demonstrações, provas).

No passado, Brousseau (2008) acreditava que, considerando somente as ações

anteriores, devolução, ação, formulação e validação, já se possuía todos os tipos possíveis de

situação, porém, percebeu-se que havia a necessidade de incluir o professor nesse processo.

Garantir a solidez do processo e eliminar o que fosse contraditório exigia um trabalho teórico.

A fase de institucionalização se tornou fundamental e de responsabilidade do professor, pois,

nela é que se daria a determinado conhecimento o status de saber.

Nesta fase, o professor deve retomar para ele a responsabilidade concedida ao aluno

dando o status de saber e descartando produções dos alunos que não estejam de acordo com o

proposto além de definir seu objetivo de estudo formalizando e generalizando. Para Pommer

(2008) é na institucionalização que o papel explícito do professor é manifestado, o objeto é

oficialmente aprendido pelo aluno e o professor reconhece tal aprendizagem.

O Antigo Egito e a Matemática

A agricultura surge no Vale do Nilo por volta de 7000 anos atrás sendo que a primeira

dinastia a governar o Alto Egito (o vale do rio) e o Baixo Egito (o delta do rio) data de

aproximadamente 3100 antes da era comum. Dentre o legado dos primeiros faraós está a elite

de funcionários e os sacerdotes, uma corte extremamente luxuosa e, para eles mesmos, os reis,

o papel de conectar os mortais aos deuses. Katz (2008) credita justamente a esse papel do faraó,

essa ligação entre o mundo terrestre e o mundo espiritual, o desenvolvimento da esplêndida

arquitetura do Antigo Egito, como as Pirâmides, construídas para ser as tumbas reais, e os

magníficos templos em Luxor e em Karnak.

Um aspecto importante levantado por Eves (2005) é o isolamento geográfico natural

do Egito Antigo em relação a outros impérios contemporâneos a ele, o que proporcionou certa

proteção a invasões estrangeiras e consequentemente governos pacíficos e ininterruptos por

uma sucessão de dinastias. Eves (2005) contraria ainda a opinião popular ao afirmar que a

Matemática no Egito antigo não teria alcançado o nível obtido pelos babilônicos possivelmente

por esse semi-isolamento mencionado anteriormente. Enquanto a Babilônia se localizava em

um local que era rota de grandes caravanas e necessitava de grandes obras de engenharia que

se justificavam em seus caprichosos rios, o Tigre e o Eufrates, o Egito permanecia em seu

isolamento geográfico com seu sereno rio Nilo.

É importante destacar que a escrita teria começado neste período também e que,

segundo Katz (2008) essas primeiras escritas eram sobre contabilidade, principalmente sobre

os vários tipos de bens que eles possuíam.

Acerca dos sistemas de medidas utilizados pelos egípcios na era antiga, que é em

particular o foco deste trabalho, Katz (2008) afirma que “existiam muitos tipos de sistemas de

medida diferentes, que dependiam dos bens a serem mensurados. Mas uma vez que existia um

limitado número de símbolos, o mesmo símbolo poderia ter diferentes significados e se conectar

a diferentes sistemas de medida” (p. 2).

Ainda sobre o início de escrita dos antigos egípcios, Katz (2008) afirma que eles

possuíam dois estilos diferentes para tal. Geralmente, eram utilizados os hieróglifos para se

escrever em monumentos e o hierático, uma espécie de letra cursiva, para se escrever em papiros

com pincel e tinta.

O autor afirma ainda que a dominação grega sobre o Egito no início da nossa era foi a

principal responsável pelo desaparecimento das duas formas de escrita. Mas felizmente, no séc.

XIX, a partir do grande achado que foi a Pedra de Roseta e que continha um mesmo texto escrito

em hieróglifo, demótico, uma variante do grego tardio, e em grego, Jean-François Champollion

(1790 – 1832), um linguista e egiptólogo francês, foi capaz de iniciar o processo de

entendimento da escrita egípcia.

Outro ponto importante levantado por Katz (2008) é sobre o desenvolvimento das

técnicas Matemáticas naquele período, que segundo ele, foi feito pelos escribas. Esses

funcionários do governo teriam sido cruciais para garantir a coleta e distribuição de bens

contribuindo assim para garantir a base material para o governo do faraó.

Katz (2008) também afirma que as evidências das técnicas Matemáticas utilizadas por

eles vêm da educação e do trabalho diário dos escribas e são relatadas em dois papiros que

contêm uma coleção de problemas matemáticos com suas soluções, o Papiro Matemático Rhind

e o Papiro de Moscou.

Além disso, os egípcios desenvolveram dois sistemas diferentes de numeração, sendo

um para cada um dos dois estilos de escrita, hieroglífico e hierático. Para o sistema hieroglífico,

Cada uma das primeiras potências de 10 era representada por um símbolo diferente e os outros

números inteiros que não fossem potências de 10, eram representas pela repetição conveniente

daqueles símbolos.

As potências eram representadas da seguinte maneira: 100 = 1 por , 10¹ = 10 por ,

10² = 100 por , 10³ = 1000 por , 104 = 10000 por , 105 = 100000 por e 106 = 1000000

por .

Já o sistema de numeração hierático estaria em oposição ao sistema hieroglífico. Cada

número entre 1 e 9 tem seu próprio símbolo, assim como cada múltiplo de 10, entre 10 e 90, e

cada múltiplo de 100, entre 100 e 900 e assim por diante. Uma das grandes diferenças entre os

dois sistemas é que, os hieróglifos podiam ser escritos em qualquer direção, ou seja, a que fosse

mais adequada no momento da inscrição. Já no sistema hierático, os símbolos sempre deveriam

ser escritos da direita para a esquerda.

As frações egípcias

Os egípcios trabalhavam com frações unitárias, com a única exceção de 2

3. Em geral, as

frações 1

𝑛 eram representadas tanto nos sistema hieroglífico quanto no sistema hierático. Por

meio dos hieróglifos eles utilizavam o símbolo correspondente para o inteiro n e acima dele, o

símbolo . Podemos ver as frações 1

2, 1

3, 1

8, 1

16, 1

4 e

1

120 respectivamente e, de cima para baixo,

representadas no lado direito de um relevo no templo de Kom Ombo que foi usado como um

sanatório. Já no sistema hierático, o símbolo era substituído por um ponto, mas todo o

processo permanecia o mesmo.

Portanto, ao representar, por exemplo, a fração 1

7, teríamos, no sistema hieroglífico,

e no sistema hierático, . Katz (2008) acrescenta ainda que, a única exceção, a fração

2

3, também tinha símbolos especiais que, em hieróglifo e em hierático, seria respectivamente,

e . Duas outras frações, 1

2 e

1

4, segundo o autor, também tinham símbolos especiais

para sua representação, e X, respectivamente.

Katz (2008) afirma que a técnica aritmética mais complexa desenvolvida pelos

egípcios, a representação de qualquer fração por meio de frações unitárias, se deu justamente

da necessidade de trabalhar com as outras frações, que não as unitárias, consequentes de

divisões não exatas. Contudo, possivelmente os egípcios não enxergavam dessa maneira, pois

assim, culturalmente, pensamos e usamos as frações não unitárias, os egípcios simplesmente

escreviam-nas através de uma soma de frações unitárias.

A PROPOSTA

A primeira tarefa tem como objetivo introduzir a antiga civilização egípcia a partir do

documentário “A História da Matemática – Episódio 1 – A linguagem do Universo” produzido

pela rede britânica de televisão BBC e discutir alguns aspectos daquela cultura e da Matemática

produzida por eles. Sugerimos que, após o documentário, os alunos possam discutir e em

seguida redigir um texto com suas primeiras impressões sobre a antiga civilização egípcia e

sobre como a Matemática foi importante para ela.

QUADRO 1: Tarefa 1: Explorando a Matemática egípcia Tarefa 1: Explorando a Matemática egípcia

A Cultura e a Matemática da antiga civilização egípcia

A tarefa inicial tem como objetivo discutir alguns aspectos da cultura egípcia e da Matemática

produzida por eles, a partir do documentário “A História da Matemática – Episódio 1 – A linguagem

do Universo”.

Para discutir

Considerando o documentário assistido, realize uma discussão com seus colegas levando em

consideração os pontos a seguir e redija um texto com suas primeiras impressões sobre a antiga

civilização egípcia e sobre como a Matemática foi importante para ela.

a) O conhecimento dos egípcios sobre o sistema decimal.

b) O método de multiplicação e divisão egípcios.

c) Números binários.

d) Frações.

e) Frações unitárias.

f) Sólidos geométricos presentes naquela cultura.

Fonte: Produzido pelos autores.

Para a segunda tarefa necessitaremos de um espaço extra-classe maior, como o pátio

ou a quadra da escola, giz para demarcar os “terrenos antes inundados pelo Nilo” e uma corda

pré-delimitada com nós (por exemplo de 10 cm em 10 cm).

Na área escolhida para realização da atividade sugerimos que o professor demarque

uma área retangular que será tida como o terreno a ser repartido novamente após a cheia do rio

Nilo. Em seguida, o professor seleciona os alunos que serão os “agricultores” que tiveram seus

terrenos invadidos durante a cheia do rio Nilo e aqueles que serão os “esticadores de corda”

(agrimensores), que são funcionários do Faraó e que medem o terreno através de nós em cordas.

Cada agricultor, irá se reunir com seus estiradores de corda e lhes dizer “quantos nós”

acredita que seriam necessários para delimitar suas terras. Será pensada em uma demarcação

horizontal e não levado em consideração a área, visto que, o intuito da atividade é fornecer

números fracionários como consequência. No entanto, se algum aluno questionar sobre as áreas,

aproveite para discutir com eles esse conceito. Tudo isso se caracterizará pela primeira fase das

Situações Didáticas, isto é, a devolução, momento em que o aluno, por intermédio do professor,

aceita o compromisso de uma situação de aprendizagem (adidática) e toma para si o peso dessa

transferência.

Em seguida vai o primeiro esticador de corda e demarca a terra do primeiro agricultor,

e assim por diante. É preciso estimular os alunos agricultores a solicitarem uma maior

quantidade de nós de modo que não sobre terra a ser dividida para os últimos agricultores.

Surgindo assim um primeiro problema como o do exemplo a seguir.

QUADRO 2: Exemplo de um possível problema

Fonte: Produzido pelos autores.

Problema: Falta ainda demarcar o terreno de 15 agricultores.

Diante disso, o professor pode ter em mãos um papiro com um decreto do Faraó no

qual solicita que a terra invadida pelo rio Nilo seja dividida igualmente entre os agricultores.

Toda a demarcação anterior será desfeita e todos os alunos, esticadores de corda e agricultores,

serão reunidos e discutirão o problema.

É necessário pensar na quantidade demarcada para medição (área riscada pelo

professor) como uma quantidade de números naturais de nós que, quando dividida pela

quantidade de alunos agricultores resulte em números decimais que não sejam dizimas

periódicas.

Nesse momento se dará fase da ação, na qual o aluno deve refletir acerca do problema

recebido, simular e eleger um procedimento para sua resolução através da sua interação com o

milieu, ou seja, o meio adidático, um sistema antagonista, sem intenção didática explícita e

exterior ao aluno, que neste caso pode abranger, dentre outros, a própria situação-problema, e

os conhecimentos dos colegas e do professor.

Nesse sentido, percebe-se que no momento da ação, as interações que se processam

entre os envolvidos na aprendizagem vão além de uma simples resolução de um exercício ou

problema proposto, é necessário que o aluno reflita acerca de tal tema e busque junto ao milieu

um procedimento que permita sua resolução.

É necessário pensar na quantidade demarcada para medição (área riscada pelo

professor) como uma quantidade de números naturais de nós que, quando dividida pela

quantidade de alunos agricultores resulte em números decimais que não sejam dizimas

periódicas. É importante que a atividade seja direcionada, de modo que os alunos façam a

divisão do número de cordas total (número natural) e percebam o resto, com o qual deverão

trabalhar e discutir quantas das partes daquele resto ficará para cada agricultor.

Sugerimos, ainda, que o professor inicie uma discussão quanto à representação ser

referente ao inteiro, ou à uma quantidade, isto quando o resto da divisão do terreno pelo número

de alunos for maior que 1, o que não é o ideal, visto que é uma atividade de introdução e os

alunos possivelmente ainda não estarão familiarizados com os números decimais, apesar de eles

provavelmente já terem estudado nas séries iniciais. Por isso a importância de se demarcar a

área pensando na quantidade de alunos e, quando possível, em um resto 1 para essa divisão.

Discutido isto, o professor deve apresentar aos alunos o método pelo qual os egípcios

escreviam as frações e cada esticador de corda registrará em sua atividade a demarcação dos

terrenos de cada agricultor.

Este é o momento em que possivelmente ocorrerá a terceira fase das situações

didáticas, a formulação de um conhecimento, a uma capacidade do estudante de retomá-lo

(reconhecê-lo, identificá-lo, decompô-lo e reconstruí-lo em um sistema linguístico, no caso o

sistema egípcio de representação de frações). É necessário que haja ainda outro momento entre

os estudantes, para que possam discutir os resultados finais encontrados por cada dupla

(esticador e agricultor), a fase denominada por Brousseau de validação.

Seria interessante que, nesta fase, os alunos percebessem que uma prova possível da

validade dos resultados encontrados seriam a soma de cada um deles, que, caso estejam

corretos, resultará na medida total da área demarcada anteriormente pelo professor.

Levando em consideração que os estudantes possivelmente não tenham trabalhado

ainda com os métodos formais de soma de frações, tais operações devem ser feitas

intuitivamente, não sendo exigida esta formalidade (é possível que já tenham trabalhado com

operações com frações no terceiro ano).

Outra questão é quanto à forma de validação utilizada pelos estudantes que deve ser

avaliada pelo professor, não sendo necessariamente a soma das medidas individuais resultando

na medida total. A seguir, seria interessante um retorno à sala de aula (Se a atividade ocorrer

em outro local), onde o professor deve retomar para ele a responsabilidade concedida ao aluno

dando o status de saber e descartando produções dos alunos que não estejam de acordo com o

proposto, além de explicitar o conceito de fração formalizando e generalizando.

É nesta fase que o professor pode dar a determinado conhecimento o status de saber

(levando em consideração que saber seja produto cultural de uma instituição que tem como

objetivo identificar, analisar e organizar os conhecimentos, a fim de facilitar sua comunicação).

QUADRO 3: Tarefa 2: Trabalhando com o conceito de fração Tarefa 2: Trabalhando com o conceito de fração

A seguir temos um fragmento do texto do historiador grego Heródoto que nos diz um pouco sobre a medição

dos antigos egípcios por cordas:

“Quando o Nilo transborda, cobre o Delta e as terras chamadas Líbia e Arábia, numa distância de uma viagem

de dois dias desde as duas margens, não consegui saber nada da sua natureza, nem dos sacerdotes nem de

qualquer outra pessoa. Tinha curiosidade em saber por que é que o rio transborda durante cem dias desde o

solstício de Verão... e o rio está baixo durante todo o Inverno até transbordar de novo no solstício de Verão.

Por esta razão o Egito foi dividido. Disseram-me que este rei (Sesóstris) repartiu todo o país entre os egípcios,

dando a cada um uma porção igual de terra, e fê-lo sua fonte de rendimento, avaliando o pagamento de um

tributo anual. E se qualquer homem que fosse roubado pelo Nilo de uma porção de suas terras podia dirigir-se

a Sesóstris e expor a ocorrência, então o rei enviaria um homem para verificar e calcular e parte pela qual a

terra tinha sido reduzida, de tal forma que a partir dessa altura ele deveria pagar proporcionalmente ao tributo

imposto originalmente.

Esta foi a forma como, em minha opinião, os Gregos aprenderam a arte de medir a terra; os relógios de sol, os

gnomos e as doze divisões do dia, vêm para a Grécia da Babilónia e não do Egito.

Heródoto (II, 109)

Esticadores de cordas, túmulo de Djeserkareseneb - (OsirisNet, 2010)

Se você foi escolhido como agricultor, irá se reunir com um estirador de corda e lhe dizer “quantos nós” acredita

que delimitam suas terras. Se você foi escolhido como esticador de corda, deve junto com os demais esticadores

estabelecer uma ordem e iniciar as demarcações de terra de cada agricultor, um por um, sabendo que uma mesma

parte do terreno não pode pertencer a mais de um agricultor.

Houve algum problema?

Se sim, continue.

Diante do problema encontrado, houve um decreto do Faraó no qual ele solicita que a terra alagada pelo rio Nilo

seja dividida igualmente entre todos os agricultores. Desfaçam toda a demarcação anterior, reúna-se com seu

colega (agricultor e esticador de corda responsáveis um pelo outro) e discutam o novo problema.

Registro

Registre aqui como representariam a parte do terreno de cada um de dois modos diferentes sendo um deles,

necessariamente, o modo como os egípcios faziam.

Para discutir

Discutam com as demais duplas os resultados encontrados por cada um. Tente convencer os colegas, caso os

resultados não sejam os mesmos, usando argumentos matemáticos.

Fonte: Produzido pelos autores.

O professor poderá utilizar aproximadamente duas aulas de 50 minutos para

desenvolver essa tarefa. Sugerimos a possibilidade de não apresentar aos alunos nenhum

detalhamento ou explicação sobre o tema, ou seja, realizar o mínimo de intervenção possível.

Propomos ainda que as anotações dos alunos sejam recolhidas e analisadas. Com esta atitude o

professor poderá encontrar elementos que não estavam presentes nas falas dos alunos durante

os debates e que poderão auxiliá-lo a tomar decisões em relação às intervenções que porventura

se façam necessárias.

A terceira tarefa, e última tarefa proposta, tem como objetivo trabalhar as frações

unitárias principalmente o que concerne ao processo de multiplicação ou divisão, sequências e

soma de frações. Um dos intuitos da atividade é proporcionar aos alunos o conhecimento da

mitologia por trás do olho de Hórus para, em seguida, solicitar que os mesmos completem a

sequência, sabendo que cada fração equivaleria à metade da fração anterior.

Segundo Robins e Shute (1987) as frações 1

2, 1

4, 1

8, 1

16, 1

32 e

1

64, eram conhecidas pelos

egípcios como “Frações do olho de Hórus”, pois eram escritas utilizando símbolos especiais,

os quais representavam partes do olho do deus que possuía cabeça de falcão, Hórus, conhecido

também como olho wedjat.

As frações 1

2, 1

4, 1

8,

1

16,

1

32 e

1

64 na terminologia moderna, formam uma progressão

geométrica convergente de seis termos na qual o primeiro termo é igual à razão. O segundo

intuito da atividade seria o de instigar os alunos a somar essas frações na intenção de descobrir

o inteiro, ou seja, que os alunos verifiquem se o deus Thoth conseguiu reunir todas as partes do

olho de Hórus.

Diante da constatação de que o inteiro não pode ser obtido, por parte dos alunos,

instigue-os a acrescentarem mais termos à sequência (respeitando a razão 1

2) e que continuem

verificando se a soma será um inteiro. Seria interessante trabalhar esta atividade também

quando o assunto proposto for os números decimais, visto que a visualização de que a sequência

tende a um inteiro (mas nunca será um inteiro) por meio dos números decimais pode ser mais

fácil para alguns alunos.

QUADRO 4: Tarefa 3: Trabalhando com frações unitárias

Tarefa 3: Trabalhando com frações unitárias O Olho de Hórus

As frações 1

2, 1

4, 1

8, 1

16, 1

32 e

1

64, eram conhecidas pelos egípcios como “Frações do olho de Hórus”, pois eram

escritas utilizando símbolos especiais, os quais representavam partes do olho do deus que possuía cabeça de

falcão, Hórus, conhecido também como olho wedjat. Segundo a mitologia egípcia, o olho de Hórus foi ferido,

arrancado ou até mesmo comido pelo assustador deus Seth e que, posteriormente, foi reconstruído pelo deus com

cabeça do pássaro íbis, Thoth (suposto criador da Matemática), por meio de um feitiço do Livro dos Mortos.

Descobrindo o Olho de Hórus

Complete a sequência das frações que eram representadas pelos egípcios por partes do Olho de Hórus, sabendo

que cada fração equivale à metade da fração anterior.

Reconstruindo o Olho de Hórus

Agora, verifique se o deus Thoth conseguiu reunir todas as partes do olho de Hórus somando todas as frações

que as partes representam.

Despois de reconstruído, o Olho de Hórus voltou a ser um inteiro como antes?

Se não, acrescente mais termos à sequência de frações (sabendo que o próximo termo sempre será metade da

fração anterior) e tente somá-los novamente.

O que aconteceu? Conseguiu encontrar um inteiro desta vez?

Se não, por que você acha que mesmo adicionando mais termos a essa sequência, o inteiro não pode ser obtido

novamente?

Qual ou quais relações você consegue estabelecer entre suas descobertas Matemáticas e a mitologia do Olho de

Hórus?

Fonte: Produzido pelos autores.

Ao propor estas tarefas para a sala de aula, chamamos a atenção para a necessidade de

cuidados em relação à postura do professor e também na do aluno. As tarefas buscam uma

investigação que promova discussões entre os diferentes modos de pensar dos alunos. Caso se

utilize as tarefas como exercícios rotineiros, resolvidos pelo professor na lousa, toda a

potencialidade da tarefa pode ficar comprometida. É importante observar que essas tarefas

também têm como objetivo exercitar a leitura e interpretação dos estudantes e, como

consequência, estimulá-los a falar sobre o que entenderam daquilo que foi apresentado além de

apresentar ideias que julgamos importantes acerca do conteúdo de frações.

Considerações Finais

Discutimos um exemplo de como a TSD pode ser utilizada para o desenvolvimento da

ideia inicial de frações visando, sobretudo, um processo de ensino e aprendizagem mais natural

e intuitivo, norteado principalmente pela História da Matemática. Para tanto, estabeleceu-se

como base para a pesquisa a elaboração de uma tarefa respeitando as fases propostas por

Brousseau bem como de uma tarefa introdutória e outra complementar onde algumas ideias

trabalhadas na tarefa principal pudessem ser retomadas e aprimoradas.

Referências

BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais (1ª à 4ª série). Vol. 3 – Matemática. Brasília,

1997. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf. Acesso em 30 jun

de 2015.

BROLEZZI, Antônio Carlos. Frações decimais: História e significado. CAEM/USP, 1996.

BROUSSEAU, G. Introdução ao Estudo das Situações Didáticas – Conteúdos e Métodos

de Ensino. São Paulo. Ática, 2008.

EVES, H. Introdução à história da matemática. Trad. Hygino H. Domingues. Campinas:

Editora da Unicamp, 1995.

JANKVIST, U. T. A categorization of the “whys” and “hows” of using history in

mathematics education. Educational Studies in Mathematics. 2009.

KATZ, V. J. A history of mathematics. New York, Addison Wesley, 3.ed., 2008.

PATRONO, Rosângela Milagres. A aprendizagem de Números Racionais na forma

fracionária no 6ºano do Ensino Fundamental: Analise de uma proposta de Ensino.

Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, UFOP, 2011.

POMMER, Wagner M. Brousseau e a ideia de Situação Didática. São Paulo: SEMA –

Seminários de Ensino de Matemática/FEUSP, 2008.

ROBINS, G.; SHUTE, C. Mathematical Bases of Ancient Egyptian Archtecture and

Graphic Art. Historia Mathematica, n 12. p. 107-122. Cambridge. 1985.

ROBINS, G.; SHUTE, C. The Rhind mathematical papyrus: an ancient Egyptian text.

British Museum Publications. Michigan. 1987.

ROGERS, L. History, Heritage, and the UK Mathematics Classroom. Proceedings of

CERME 6. 2009.

TINOCO, L. A. A.; LOPES, M. L. Frações: dos resultados de pesquisa à prática em sala de

aula. In: Educação Matemática em Revista – SBEM, n 2, p. 13-18, 1° sem, 1994.