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Wagner de Campos Sanz UMA INVESTIGAO ACERCA DAS REGRAS PARA A NEGAO E O

ABSURDO EM DEDUO NATURAL

Tese de Doutorado apresentada ao Departamento de

Filosofia do Instituto de Filosofia e Cincias Humanas

da Universidade Estadual de Campinas sob a

orientao do Prof. Dr. Marcelo Esteban Coniglio.

Este exemplar corresponde redao final da Tese defendida e aprovada pela Comisso Julgadora em

28 / 07 / 2006

BANCA

Prof. Dr. Marcelo Esteban Coniglio

Prof. Dr. Luiz Carlos Pinheiro Dias Pereira

Prof. Dr. Rodolfo Ertola Biraben

Prof. Dr. Daniel Durante Pereira Alves

Profa. Dr

a. Geiza Maria Hamazaki da Silva

Prof. Dr. Marcelo Finger

Profa. Dr

a. Itala LOffredo DOtaviano

Julho/2006

2

FICHA CATALOGRFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA DO IFCH - UNICAMP

Palavras chaves em ingls (keywords) :

rea de Concentrao: Filosofia Titulao: Doutorado em Filosofia Banca examinadora: Data da defesa: 28/07/2006

Deductive logic Proof theory Negation (Logic) Deduction (Logic)

Prof. Dr. Marcelo Esteban Coniglio (orientador) Prof. Dr. Luiz Carlos Pinheiro Dias Pereira Prof. Dr. Rodolfo Ertola Biraben Prof. Dr. Daniel Durante Pereira Alves Prof. Dr. Geiza Maria Hamazaki da Silva Prof. Dr. Marcelo Finger (suplente) Prof. Dr. tala LOffredo DOtaviano (suplente)

Sanz, Wagner de Campos Sa59i Uma investigao acerca das regras para a negao e o absurdo

em deduo natural / Wagner de Campos Sanz. - Campinas, SP : [s. n.], 2006.

Orientador: Marcelo Esteban Coniglio. Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Filosofia e Cincias Humanas.

1. Lgica. 2. Teoria das demonstraes. 3. Negao (Lgica). 4. Deduo natural. I. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Filosofia e Cincias Humanas. II.Ttulo. (mfbm/ifch)

3

Agradecimentos

Em primeiro lugar gostaria de agradecer a Abel Lassalle Casanave, a Luiz Carlos Pereira,

a Javier Legris, a Jorge Molina e a Jos Seoane com os quais discuti amplamente os temas desta

tese. Suas opinies, sugestes e crticas foram de valor inestimvel. De modo geral, agradeo aos

demais participantes dos Colquios Cone-Sul de Filosofia das Cincias Formais. Tambm quero

lembrar o proveito que tirei de algumas trocas de idias com Daniel Alves e Rodolfo Ertola

Em segundo lugar quero agradecer ao meu orientador Marcelo Coniglio pelas sugestes e

apoio para o desenvolvimento da pesquisa, bem como aos demais professores e funcionrios do

CLE e do IFCH. Ressaltamos em particular o papel de destaque que teve a biblioteca do CLE

para realizao das nossas investigaes, em especial Eliana Marquetis.

Em terceiro lugar gostaria de agradecer o apoio e incentivo recebido dos colegas da UFG,

assim como o incentivo que nos aportam os alunos com suas inquietaes e sua capacidade de

nos obrigar a reelaborar nossas concepes, em particular: meus monitores de lgica na UFG,

Alexandre, Ricardo, Wellington, Marcondes, Stefano, Cristina, Alessandro, Toni, Renata, Paulo,

Patrcia e Renato; e aluna Helena, pela suas questes incisivas. Somos gratos profa Belkiss

Mendona, que nos franqueou acesso ao material bibliogrfico do prof. Simo Mendona. Na

pessoa de todos eles agradeo ao povo acolhedor de Gois.

Em quarto lugar agradeo de corao minha esposa Helena Reis e a sua me Yolanda

Reis que me deram imensurvel apoio, constante e cotidiano. Se Deus existe, ele sabe o quanto

lhes devo.

4

5

Na esperana de ter acertado mais do que errado

E de que o balano seja suficiente para honr-los,

Dedico este trabalho

s minhas filhas Ana e Camila,

Aos meus pais Wilson e Romilda

E minha esposa Helena.

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7

Sumrio

Resumo ..............................................................................................................................13

Abstract .............................................................................................................................13

Introduo.........................................................................................................................15

Captulo I O Conceito de Deduo e o Problema da Negao .....................................35

1. Os Conceitos de Prova, Argumento e Conseqncia Dedutiva............................39

1.1. Os Intuicionistas e os Sistemas de Deduo Natural...........................................43

1.2. Dificuldades na Posio Intuicionista .................................................................50

1.3. Uma Proposta Alternativa para Interpretar os Sistemas de Deduo Natural.....60

1.4. A Definio Formal do Conceito de Conseqncia Dedutiva.............................70

2. Acerca da Negao ...................................................................................................73

2.1. Regra de Introduo para a Negao...................................................................73

2.1.1. Outras Propostas Elucidatrias Relacionadas ..............................................81

2.1.2. Negao versus Conseqncia Dedutiva......................................................85

2.1.3. Observaes acerca do Clculo de Seqentes ..............................................86

2.2. Regra de Introduo para a Proposio Absurda ................................................90

2.3. Observaes quanto aos Parmetros Proposicionais...........................................97

2.4. Existem Provas Cannicas da Negao?.............................................................98

2.5. Refutabilidade e Absurdidade ...........................................................................100

2.5.1. Curry e o Conceito de Negao..................................................................101

3. Consideraes Finais ..............................................................................................111

Captulo II Sistemas Lgicos de Deduo Natural Parte I ......................................113

1. Sistemas Minimais sem Deduo Indireta ...........................................................115

1.1. O Sistema Minimal M ....................................................................................115

8

1.2. O Sistema Minimal............................................................................................116

1.2.1. O que Podemos Representar com o Sistema Minimal ...............................116

1.3. O Sistema Minimal para Preservao da Falsidade ..........................................121

1.4. Regras de Deduo Natural e Sintaxe ...............................................................127

1.5. Rejeio e Refutabilidade..................................................................................128

1.6. Faria Sentido Adicionar a Negao aos Sistemas Minimais? ...........................130

1.7. Tautologicidade Minimal no Sistema para Preservao da Falsidade ..............135

1.8. A Dualidade entre Implicao e Desimplicao ...............................................137

1.9. Sistema Minimal para a Falsidade com Implicao ..........................................141

1.10. Convergncia entre as Duas Noes de Refutabilidade acima Definidas.......142

2. Sistemas Minimais com Deduo Indireta ...........................................................144

2.1. Sistema Peirce para {,,} ...........................................................................156

2.2. Sistema Peirce para {,,} com Regra Peirce Bsica ..................................158

2.3. Que Sentido Faria a Negao no Sistema Peirce?.............................................160

2.4. O Sistema para a Refutabilidade de Lpez-Escobar .........................................163

3. Consideraes Finais ..............................................................................................169

Captulo III Sistemas Lgicos de Deduo Natural Parte II...................................171

1. Sistemas Intuicionistas ...........................................................................................171

1.1. Observaes acerca do Absurdo........................................................................174

1.2. Observaes acerca da Regra de Introduo do Absurdo .................................180

1.3. Faria Sentido um Sistema Intuicionista para a Preservao da Falsidade? .......180

1.4. Traduo de I em M.........................................................................................185

1.5. Observaes acerca da Equivalncia das Regras Indiretas ...............................186

2. Sistemas Clssicos...................................................................................................186

2.1. Observaes sobre o Sistema Clssico para a Preservao da Falsidade..........194

2.2. Sistema Clssico para {,,,}, ...................................................................196

2.3. Sistema Clssico para {,,,} com Regra cm Bsica ................................198

2.4. Sistema Clssico para {,,,}.....................................................................200

2.5. Traduo de C em P ..........................................................................................202

2.6. Observaes acerca das Regras de Deduo Indireta........................................203

2.7. O Problema da Desimplicao ..........................................................................204

9

3. Outros Sistemas Construtivos ...............................................................................206

3.1. At onde a Deduo Indireta Construtivamente Admissvel?........................206

3.2. O Sistema Icm'...................................................................................................208

3.3. Os Sistemas Icmo, Icmo_, Icm{,,, } ...............................................................214

4. As Regras Extralgicas de uma Teoria e o Uso de Suposies...........................217

5. Consideraes Finais ..............................................................................................229

Captulo IV Forma Normal, Redues, Permutaes e Simplificaes.....................239

1. Da Utilidade dos Rodeios .......................................................................................239

2. O Problema da Harmonia entre as Introdues e as Eliminaes.....................241

2.1. Observao acerca da Validade das Regras de Introduo-Eliminao............247

3. Rodeios.....................................................................................................................248

3.1. Pares Operacionais Imediatos............................................................................248

3.1.1. Observao sobre o Descarte de Suposies..............................................251

3.1.2. Observaes acerca dos Parmetros ...........................................................252

3.2. Par Operacional Imediato para ......................................................................252

3.2.1. O Princpio de Inverso e a Falta de Regra de Introduo de Absurdo .....256

3.2.2. O Princpio de Harmonia para o Absurdo ..................................................260

3.2.3. A Regra de Eliminao do Absurdo e o Princpio de Inverso..................261

3.3. Pares Permutativos de Eliminaes...................................................................264

3.4. Par Permutativo Imediato para Consequentia Mirabilis....................................269

3.5. Como Justificar a Permutao sobre Consequentia Mirabilis? .........................274

3.6. Da Permutabilidade Geral das Regras de Deduo Indireta .............................277

3.6.1. Observao sobre o Contedo Computacional das Provas Clssicas ........287

4. Pares/Unidades Multiplicativas x No-Multiplicativas.......................................288

5. Reduo ...................................................................................................................289

6. Conveno e Notao .............................................................................................289

7. Forma Normal ........................................................................................................290

7.1. IE-Forma para Derivaes Puras.......................................................................291

7.2. IE-Forma e Consistncia ...................................................................................293

7.3. Propriedade da Subfrmula ...............................................................................299

10

7.4. Unicidade da Forma Normal .............................................................................299

8. Outros Tipos de Rodeios ........................................................................................302

8.1. Simplificaes sobre as Derivaes ..................................................................302

8.1.1. Rejeitando as Simplificaes para e e e .................................................302

8.1.2. Rejeitando as Simplificaes para i .........................................................306

8.1.3. Acerca da Simplificao Envolvendo E ..................................................306

8.1.4. Simplificaes Acolhidas ...........................................................................307

8.1.4.1. Pares de Regras Simplificveis ...........................................................308

8.1.4.2. Unidades Simplificveis......................................................................315

8.2. Acerca dos Critrios de Admissibilidade para Simplificaes..........................317

9. Rodeios e Forma Normal .......................................................................................318

9.1. Propriedades das Operaes No-Multiplicativas.............................................319

9.2. O Valor Redutivo dos Novos RDs ....................................................................320

10. Consideraes Finais ............................................................................................323

Captulo V O Processo de Normalizao......................................................................327

1. Esquemas Genricos para as Operaes sobre as Derivaes............................327

2. Definies de Normalizao e Confluncia ..........................................................331

3. Exemplos de Sistemas Sem Normalizao ...........................................................333

4. Hauptsatz para LJ*................................................................................................335

5. Normalizao Fraca para Deduo Natural ........................................................338

5.1. Normalizao Fraca com Cota Para Icm' ..........................................................340

5.2. Normalizao Fraca com Consequentia Mirabilis No-Restringida .................352

6. Finitude de Toda Cadeia de Reduo via Propriedade da Validade Forte.......359

7. Confluncia .............................................................................................................371

8. Definio da Pior Seqncia ..................................................................................394

9. Consideraes Finais ..............................................................................................395

Captulo VI Cotas e Operao de Expanso Sobre Derivaes .................................397

1. Operao de Expanso...........................................................................................397

1.1. Pares No-Imediatos e a Forma Normal Expansiva..........................................397

11

1.1.1. Forma Normal Expansiva para C'...............................................................402

1.1.2. Novas Operaes sobre as Derivaes em C' .............................................404

1.1.2.1. Uniformizao .....................................................................................404

1.1.2.2. Operao de Expanso ........................................................................410

1.2. Normalizao e Confluncia Para Multiplicao com Cota..............................414

1.2.1. Normalizao Fraca com Cota para as FNEs .............................................415

1.2.2. Church-Rosser e Finitude para a Multiplicao .........................................419

1.2.3. A Estrutura da Prova de Normalizao Forte para a Multiplicao ...........424

1.2.4. Valor de Induo ........................................................................................424

2. Conseqncias da Operao de Expanso ...........................................................425

2.1. Normalizao Forte para C' ...............................................................................425

2.2. Cotas para a FN e para a Seqncia de Reduo..............................................430

2.3. Cotas no Fragmento M ...................................................................................431

2.3.1. O Processo de Cotao ...............................................................................438

2.3.2. Melhoria nas Cotas .....................................................................................439

2.4. Cota sem Valor no Sistema C'? .........................................................................441

3. Consideraes Finais ..............................................................................................450

Captulo VII Concluso .................................................................................................451

Apndice - Conceitos Bsicos de Deduo Natural .....................................................461

1. A Proposio e a sua Forma ..................................................................................462

1.1. Smbolos ............................................................................................................463

1.2. Frmulas ............................................................................................................464

2. Observao quanto Representao das Frmulas ...........................................468

2.1.1. Observaes acerca da rvore de Construo de uma Frmula ................468

2.1.2. Observao acerca dos Parmetros ............................................................469

2.1.3. Observao acerca do Papel dos Quantificadores em uma Frmula..........470

2.1.4. Observao acerca da Identidade Sinttica entre Frmulas .......................471

2.1.5. Observao acerca das Definies Explcitas ............................................471

2.2. Operadores Lgicos Definidos ..........................................................................471

2.3. Notaes ............................................................................................................471

3. Derivaes ...............................................................................................................472

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3.1. Derivaes e Regras Lgicas para Deduo Natural ........................................474

3.2. Caracterizao das Regras Lgicas ...................................................................476

3.2.1. Observaes quanto Natureza da Validade de uma Regra ......................480

1.1.1.1. A Harmonia das Eliminaes com respeito s Introdues ...............483

3.2.2. Mais Observaes quanto Operao de Substituio Sinttica ...............487

3.2.3. Observaes acerca da Semntica dos Operadores Lgicos ......................488

3.3. Regras No-Contempladas no Quadro Anterior................................................490

3.3.1. A Regra de Eliminao do Absurdo...........................................................490

3.3.2. Regras de Deduo Indireta........................................................................490

3.4. rvores de Derivao ........................................................................................491

3.4.1. Observaes sobre o Descarte de Suposies ............................................497

3.4.2. Observaes quanto aos Parmetros Individuais .......................................499

3.4.3. Observaes quanto Identidade das Derivaes......................................502

3.5. Notaes ............................................................................................................503

Bibliografia Referida......................................................................................................505

Bibliografia Adicional ....................................................................................................511

ndice Remissivo .............................................................................................................513

13

Resumo

O objetivo desta tese o de propor uma elucidao da negao e do absurdo no mbito

dos sistemas de deduo natural para as lgicas intuicionista e clssica. Nossa investigao pode

ser vista como um desenvolvimento de uma proposta apresentada por Russell h mais de cem

anos e a qual ele parece ter abandonado posteriormente. Focaremos a ateno, em primeiro lugar,

sobre a negao e, depois, como conseqncia das propostas para a negao, sobre a constante de

absurdo. Nosso ponto de partida , na verdade, um problema de natureza conceitual.

Questionaremos a correo e a adequao da anlise da negao e do absurdo atualmente

predominante no meio-ambiente de deduo natural de estilo gentzeniano. O questionamento

dessas anlises adota como ponto focal o conceito de hiptese. O conceito de hiptese uma

noo central para os sistemas de deduo natural e a nossa proposta de anlise desse conceito

servir de esteio para a formulao das propostas elucidatrias para a negao e o absurdo dentro

dos sistemas de deduo natural.

Abstract

The purpose of this thesis is to present an elucidation of negation and absurd for intuitionist and

classical logics in the range of natural deduction systems. Our study could be seen as a development of a

proposal presented by Russell over a hundred years ago, which he presumably abandoned later on. First,

we will focus on negation and then on the absurd constant, as a consequence of the claims we are making

for negation. As a matter of fact, our starting point is a problem of a conceptual nature. We will question

the correctness and the adequacy of the analysis of negation and absurd, prevailing nowadays in the

Gentzen-style natural deduction circle. The concept of hypothesis is the focus point in questioning these

analyses. The concept of hypothesis is a central notion for natural deduction systems and the purpose of

our analysis of this concept is to support the formulation of elucidative propositions for negation and

absurd in natural deduction systems.

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15

Introduo

O objetivo geral desta tese o de propor uma elucidao da negao e do absurdo no

mbito dos sistemas de deduo natural para as lgicas intuicionista e clssica, bem como alguns

de seus subsistemas. Nossa investigao pode ser vista como um desenvolvimento de uma

proposta apresentada por Russell h mais cem anos, que ele parece ter abandonado

posteriormente. Focaremos a ateno, em primeiro lugar, sobre a negao e, depois, como

conseqncia das propostas para a negao, sobre a constante de absurdo. imensa a quantidade

de bibliografia que trata desse mesmo assunto, inclusive em deduo natural, e, dessa forma, no

teremos como trat-lo exaustivamente. As reflexes aqui contidas faro referncia sobretudo

queles materiais que, de algum modo, envolvem deduo natural. Nosso ponto de partida , na

verdade, um problema de natureza conceitual. Questionaremos a correo e a adequao da

anlise da negao e do absurdo atualmente predominante no meio-ambiente de deduo natural

de estilo gentzeniano.

Nessa introduo faremos uma breve apresentao de natureza metodolgica envolvendo

o processo de elucidao conceitual e a relevncia desse processo para os temas que nos que

propusemos tratar.

A posio interpretativa dominante no meio-ambiente de deduo natural de estilo

gentzeniano nutre certa simpatia pelas teses intuicionistas e por isso ns a designaremos de

intuicionismo natural. Pretendemos examinar criticamente suas propostas no decorrer da tese.

Muitos so os autores que poderamos classificar de intuicionistas naturais. Entre esses,

com certeza, incluiramos Prawitz, Martin-Lf e Dummett1. Basicamente, segundo esse ponto de

vista, as derivaes seriam constructos que elucidariam o conceito de prova, em particular o

conceito de prova construtiva. Mas, embora essa interpretao possa hoje parecer natural,

discutvel que ela estivesse presente nas formulaes originais de Gentzen [Gen35] ou de

1 O prprio Prawitz indica o mesmo trio no prefcio edio Dover de [Pra65], pg. viii.

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Jaskowski [Jas34]. De nossa parte, queremos apresentar uma interpretao alternativa quela dos

intuicionistas naturais, embora mantendo uma parcela importante do seu aparato conceitual e de

seus resultados. A necessidade de um novo ponto de vista surgiu quando passamos a acreditar na

possibilidade de uma elucidao da negao e do absurdo distinta daquela por eles sugerida.

Nossa proposta elucidatria adotar outra concepo do papel que as derivaes em

deduo natural desempenham na anlise dos princpios lgicos. Para ns, as derivaes em

deduo natural so mais bem interpretadas como uma tentativa de esclarecer o conceito de

conseqncia dedutiva entre proposies/formas proposicionais2 envolvendo constantes lgicas.

Ou ainda, desde outra perspectiva, as regras de deduo seriam regras que estabeleceriam ou

fixariam uma extenso a qualquer relao de conseqncia dedutiva entre proposies/formas

proposicionais elementares. Nessa caracterizao das constantes lgicas por meio das regras de

deduo, o nico conceito usado o conceito de conseqncia dedutiva. A relao de

conseqncia dedutiva que temos em mente distinta da relao de conseqncia semntica

tarskiana [Tar36], embora a relao de conseqncia dedutiva entre proposies/formas

proposicionais implique uma relao de conseqncia tarskiana.

Entendemos que, primariamente, a relao de conseqncia dedutiva vigora entre

proposies e formas proposicionais. A relao vigorar entre as asseres somente de forma

derivada, na medida em que o contedo de uma assero uma proposio. Assim, desde o nosso

ponto de vista, as regras de deduo natural no devem ser interpretadas como regras

inferenciais, ou seja, regras que envolvem asseres. A razo que achamos difcil considerar

como regras de inferncia aquelas regras cujas condies de aplicabilidade fazem referncia

relevante ao uso de hipteses. Se no fizermos uma distino entre as regras de deduo e as

regras de inferncia, o que em nossa opinio ocorreria no intuicionismo natural, acabaramos por

gestar uma interpretao do conceito de hiptese que parece ser criticvel sob vrios aspectos.

Considere-se, por exemplo, que, em um argumento que envolva um raciocnio por absurdo, a

hiptese ser finalmente rejeitada. Desse modo, seria preciso fazer um malabarismo sofisticado

para assimilar aquela suposio a uma assero. Por isso, o exame do conceito de suposio

tomar uma parcela importante da nossa investigao.

A elucidao da negao e do absurdo, presente na maior parte da literatura de deduo

natural para as lgicas intuicionista e clssica, apresenta regras de eliminao para essas

constantes lgicas, mas ou no apresenta regras de introduo ou, quando apresenta, o faz de

2 Para um esclarecimento acerca da forma como os conceitos de proposio e forma proposicional esto sendo usados nesta tese ver o Apndice.

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modo que a constante j ocorre nas condies de aplicabilidade da regra. Porm, um dos

princpios elementares que as elucidaes via deduo natural devem respeitar o de que a parte

nuclear do uso dedutivo das constantes lgicas deve ser explicitada por meio de uma dade de

regras: regras de introduo e regras de eliminao. Um segundo princpio o de que a descrio

do uso da constante no pode estar condicionada por uma compreenso prvia da mesma. No

entanto, questionvel que esses princpios tenham sido seguidos risca na literatura.

De modo a poder aquilatar a tarefa que estamos nos propondo, talvez no seja demasiado

lembrar a opinio de um professor importante para a nossa formao, A. Raggio [Rag88]:

Como bem conhecido, a tese de Gentzen comea construindo um sistema de deduo natural para a teoria da quantificao. Pareceria impossvel que uma aproximao entre a lgica sistemtica e certos fatos psicolgicos pudesse ter qualquer relevncia terica. No entanto por meio do seu sistema de deduo natural Gentzen mostrou que os conectivos exceto a negao e os quantificadores podem ser analisados por regras de introduo e eliminao de tal modo que os as ltimas so o inverso das primeiras. ... de modo a prevenir e clarificar certas dificuldades conectadas com a negao, Gentzen, na segunda parte de sua tese, desenvolveu um novo sistema: a lgica de seqncias. Nesse segundo sistema as regras naturais de eliminao tornam-se regras de introduo no antecedente. Nesse novo sistema a negao deixa de ser problemtica "como que por mgica".3

Assim, se Raggio estava correto, a formulao de regras de introduo e de eliminao

para a negao em deduo natural um problema para o qual o admirvel Gentzen no pde

encontrar soluo satisfatria em termos de deduo natural. Isso nos leva a crer que esse

problema seja digno de ateno e respeito e que uma investigao sobre esse tema seja altamente

desejvel.

As regras em dades introduo-eliminao propiciam um esclarecimento para o ncleo

do significado dedutivo das constantes, caso certas condies sejam cumpridas. Para que o

esclarecimento seja efetivo, a condio principal a ser preenchida a de que as regras s

poderiam fazer referncia a uma outra constante qualquer caso o uso dedutivo dessa constante j

estivesse claramente estabelecido. Desse modo, deveria haver um conjunto mnimo de constantes

cujas regras no fariam nenhuma referncia a outras. A isso podemos chamar de propriedade de

independncia. Da propriedade de independncia seguir-se-ia a propriedade da completa

3 As is well known, Gentzens thesis begins building a system of natural deduction for quantification theory. It seems impossible that an approximation of systematic logic to psychological facts could have any theoretical relevance. Nevertheless by means of this system of natural deduction Gentzen showed that the connectives except negation and the quantifiers can be analyzed by introduction and elimination rules in such a way that the latter are the inverses of the former. ... in order to prevent and clarify certain difficulties connected with negation, Gentzen, in the second part of his thesis, developed a new system: the logic of sequences. In this second system the natural rules of elimination become rules of introduction in the antecedent. In this new system negation loses "as by magic" all its problems.

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separabilidade para as constantes lgicas bsicas. A elucidao do uso dedutivo dessas

constantes, por meio de regras de introduo e de eliminao independentes, seria, assim, similar

a uma definio explcita.

Nossa proposta elucidatria para a negao e o absurdo compreende a reduo das duas a

um denominador comum. A nosso ver, a condio para estabelecer que a negao de uma

proposio ou forma proposicional conseqncia dedutiva de uma lista de hipteses, ou que o

absurdo conseqncia dedutiva de uma lista de hipteses, requer a percepo de que a situao

correspondente lista de hipteses impossvel. A constatao de que a situao que

putativamente corresponderia lista de hipteses uma situao impossvel , na verdade, uma

constatao de que a prpria lista de hipteses no realizvel, ou seja, de que no h situao de

fato sob a qual todas as hipteses sejam verdadeiras. Um meio de representar essa noo dentro

do sistema, a noo de irrealizabilidade de uma lista de hipteses, ser a de mostrar que, sob a

suposio da sua realizabilidade, qualquer proposio seria realizvel. Do modo como vemos a

questo, temos, agora, como conseqncia positiva do emprego desse conceito de

impossibilidade, a faculdade de aplicar distines mais finas sobre o conjunto das situaes que

consideraramos como situaes suficientes para a introduo de uma negao ou do absurdo.

No s situaes de contradio em que a lista de hipteses contm uma proposio, ou forma

proposicional, e sua negao sero consideradas como situaes suficientes para introduzir a

negao, mas tambm situaes de contrariedade, situaes que, a nosso ver, so formas

elementares da constituio do que entendemos pelo conceito de incompatibilidade. Os termos

contradio e contrariedade esto sendo aqui empregados em um sentido que se origina em

Aristotteles4. Lembramos que esses dois conceitos no se confundem na lgica aristotlica.

Quando algum diz que um conjunto de sentenas contraditrio porque nenhum modelo o

satisfaz, est justamente apagando a distino entre contrariedade e contraditoriedade. Parece-nos

melhor dizer que o conjunto das sentenas incompatvel, quando isso ocorre, ao invs de dizer

que ele contraditrio. Desse modo, o conceito de contradio ficaria reservado para um uso

mais especfico. Contraditrias so certos pares de proposies que corresponderiam a A e ~A.

Uma conseqncia relevante de tratar a negao e o absurdo dessa forma est no fato de poder

reconduzir o conceito de impossibilidade ao conceito de conseqncia dedutiva. Mas, segundo

nosso ponto de vista, como essa justamente a noo objeto de elucidao dos sistemas de

deduo natural, ento a negao e o absurdo devem poder ser elucidados completamente em

4 Acerca desses dois conceitos ver [Bla69].

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termos de regras de deduo natural. Ao menos ser possvel fazer essa reconduo se certas

condies forem aceitas. Esperamos esclarec-las no decorrer da investigao.

As regras de eliminao da negao e do absurdo na lgica clssica e na lgica

intuicionista so concebidas de tal modo que ambas incorporam o princpio de ex falso quodlibet.

A validade desse princpio tem sido historicamente debatida. Para um nmero no desprezvel de

estudiosos, esse princpio necessita de algum tipo de justificao. Queremos, no decorrer da tese,

aduzir um argumento em suporte da sua validade dentro de determinados contextos. O argumento

a ser aduzido funcionaria sobretudo para aqueles contextos em que os sistemas de lgica so

pensados em estreita conexo com a formalizao das teorias matemticas. Na verdade,

queremos mostrar que a validade do princpio est estreitamente relacionada aceitao ou

rejeio de uma determinada proposta elucidatria para o uso da negao e do absurdo dentro de

um determinado contexto. O esteio da proposta estar dado justamente por uma regra de

introduo para cada uma das constantes, no caso a negao e o absurdo, e esse um dos pontos

importantes da nossa tese.

A estrutura da justificativa , em linhas gerais, a seguinte. A aceitabilidade do princpio de

ex falso quodlibet decorrer da aceitabilidade da regra de eliminao da negao ou do absurdo e

a aceitabilidade dessas regras decorrer da aceitao das respectivas regras de introduo.

Basicamente, isso se dar naqueles contextos em que for importante preservar a homogeneidade

da estrutura da prova das proposies que sejam instncia de uma mesma forma vlida. Contudo,

admitimos, sempre restar a possibilidade de rejeitar as regras de introduo que iremos propor,

inclusive por razes pragmticas. Como a forma pela qual estamos interpretando a negao est

considerando o mbito de formalizao das teorias matemticas, admissvel que, sob outros

usos, tais regras sejam inapropriadas. Em todo caso, aquele que venha a rejeitar essas regras tem

a liberdade de propor outras, embora tambm tenha o nus de explic-las e justific-las.

Alm do princpio de ex falso quodlibet, h uma classe de princpios que aparece

constantemente associada ao uso da negao e do absurdo na lgica clssica, mas que rejeitada

dentro da lgica intuicionista. Essa classe de princpios o que podemos chamar de classe dos

princpios de deduo indireta. Desde o ponto de vista da elucidao que estamos propondo,

esses princpios estenderiam o conceito de conseqncia dedutiva. A diferena entre a lgica

intuicionista e a lgica clssica repousa exatamente sobre a ausncia/presena desses princpios.

Ns nos proporemos, no decorrer da investigao, a determinar qual forma de regra de deduo

indireta seria a mais adequada para definir a lgica clssica a partir da intuicionista e qual forma

de regra seria minimamente necessria e suficiente para incorporar esses princpios a um sistema.

20

Alis, uma idia que tambm considerada uma noo central dos sistemas de deduo natural

a de que o conjunto de regras a partir do qual esclarecemos as conexes lgicas entre as

proposies/formas proposicionais est constitudo de regras que so as mais elementares

possveis. Sob esse aspecto, veremos que existem boas razes para questionar a forma usual de

definir a lgica clssica nos sistemas de deduo natural comumente encontrados na literatura,

pois a regra empregada, a assim chamada regra de absurdo clssico, envolve eliminao do

absurdo e deduo indireta ao mesmo tempo, mescladas em uma mesma regra.

Do nosso ponto de vista, os princpios de deduo indireta no tratariam especificamente

de nenhuma constante lgica, embora a constante proposicional de implicao seja a constante

mais intimamente afetada ao introduzirmos a regra. A razo para isso parece ser a de que essa

constante corresponde expresso lingstica de conseqncia dedutiva entre proposies/formas

proposicionais. Assim, aquilo que uma regra de deduo indireta expressaria mais ou menos o

seguinte: se da suposio de que uma determinada frmula tem uma conseqncia segue-se a

prpria frmula como conseqncia, ento essa frmula j era estritamente conseqncia das

demais hipteses envolvidas. Em certo sentido, essa extenso do conceito de conseqncia

dedutiva transforma situaes de conseqncia dedutiva negativa em situaes de conseqncia

dedutiva positiva. Os princpios de deduo indireta, ao serem incorporados a um sistema de

deduo natural, produziriam uma extenso do conceito de conseqncia dedutiva, caracterizado

dentro do sistema. Mas, assim, justamente pelo fato de que o ncleo de significao das

constantes lgicas estava esclarecido por meio de regras de deduo, de introduo e eliminao,

aparecer uma nova franja de significado dedutivo para essas constantes, resultante da

modificao sobre o conceito de conseqncia dedutiva. Logo, para que a formulao usual da

lgica clssica em deduo natural seja considerada admissvel, deveramos ou romper com o

princpio estrito de que a elucidao das conexes lgicas se d unicamente por meio de dades,

admitindo uma terceira forma de regras de deduo natural, ou romper com a restrio de que

essas regras devem ser totalmente independentes. A segunda ruptura possui certos atrativos, pois

algumas constantes lgicas podem ser definidas explicitamente no sistema intuicionista e, para

elas, a propriedade de independncia falha. s vezes, falha na regra de introduo; outras vezes,

na regra de eliminao. Todavia, sobre esse assunto ainda preciso efetuar investigaes mais

aprofundadas que aquelas que desenvolveremos em nossa tese.

Temos usado nos pargrafos acima dois termos fortemente carregados de significado e

deveramos adotar a precauo de melhor explicitar o significado dos conceitos envolvidos. So

eles os conceitos de princpio lgico e de elucidao.

21

Com respeito ao primeiro, os princpios lgicos geralmente so entendidos como

sentenas logicamente verdadeiras e fundamentais. Porm, o nosso uso da expresso princpio

lgico no ser exatamente esse. Consideraremos que cada princpio lgico corresponde, na

verdade, a uma regra de deduo correta e, mais ainda, a uma regra que podemos chamar de

elementar ou primitiva. Grosso modo, h duas formas sob as quais os princpios so encarados

como sentenas vlidas: um ponto de vista que podemos chamar de ontologizante e um ponto de

vista que podemos chamar analtico. Segundo o ponto de vista ontologizante, os princpios

lgicos so sentenas verdadeiras que apresentam certas caractersticas essenciais do mundo.

Segundo o analtico, os princpios so sentenas vazias de contedo informativo sobre o mundo.

Todavia, ns acreditamos que h uma outra forma de conceituar os princpios lgicos. Ela

consiste em dizer que, de algum modo, os princpios lgicos so inerentes atividade racional.

Eles corresponderiam a certas operaes ou aes fundamentais que fazem parte da atividade

racional humana. Por atividade racional entendemos a arte de argumentar, de justificar, de pesar

pontos de vistas e decidir. Para ns, os sistemas de deduo natural tm uma conexo ntima com

essa segunda interpretao, pois neles a atividade do sujeito racional parece ser a fonte primria

dos elementos que estariam sendo elucidados pelas regras do sistema. No caso ontologizante, a

atividade do sujeito racional considerada praticamente irrelevante e a elucidao dos princpios

lgicos consiste em desvelar como se d a relao de conseqncia lgica. Em outros termos,

nesse caso, a nica atividade subjetiva que interviria seria a apreenso dos princpios atravs do

olho da mente, que desse modo buscaria descobrir em um mundo supra-sensvel as verdades

eternas. No caso analtico puro, procura-se evitar qualquer compromisso ontolgico, apelando

para a linguagem como uma espcie de fato primordial. Alis, desde nossa modesta perspectiva, a

sensao de que, de algum modo, a viso ontologizante se coaduna bem com o conceito de

conseqncia semntica tarskiano [Tar36], embora tambm possa ser pensado sob o ponto de

vista que estamos chamando de analtico.

Quanto ao termo elucidao, por ele entendemos uma atividade de esclarecimento

conceitual. Os sistemas de deduo natural seriam, desde essa perspectiva, o resultado de um

esforo elucidatrio. O objeto de elucidao nesse caso seria uma certa idealizao da atividade

de argumentao racional5. Assim, considerando que uma idealizao da atividade de

argumentao racional ser a fonte para a nossa atividade elucidatria dos princpios lgicos,

seria provavelmente mais adequado pensar tais princpios como certas operaes que, quando

efetuadas, nos levariam a construir um argumento dedutivamente correto e, eventualmente,

5 Ver [Seo02].

22

epistemologicamente til. Mas, se uma certa idealizao da atividade de argumentao est sendo

considerada como o ponto de partida original para uma elucidao da propriedade de

conseqncia dedutiva, de se esperar que, ao procurarmos esclarecer a trama das conexes

lgicas, tenhamos de levar em conta a forma na qual essa trama est realizada na atividade de

argumentar. Os componentes principais de um argumento so asseres e eles comportam certas

conexes intrnsecas. Pois bem, a atividade de esclarecer que conexes seriam conexes

adequadas uma atividade elucidatria. Justamente, entendemos que os sistemas de deduo

natural servem para tornar claras essas conexes que chamamos de lgicas. Ou seja, com esses

sistemas procuramos tornar claro como e quando h uma relao de conseqncia dedutiva entre

os componentes de uma argumentao. Para elucidar as conexes lgicas presentes na

argumentao, precisamos de uma pr-anlise dos caracteres que consideramos essenciais

argumentao conclusiva.

Idealmente, um argumento correto deveria ter duas caractersticas importantes. Em

primeiro lugar, a verdade das premissas deveria ser condio suficiente para a verdade da

concluso. Em segundo lugar, preciso ainda que o argumento esteja dotado de certa capacidade

de mostrar que a verdade efetivamente se transmite das premissas para a concluso e, por

conseguinte, o argumento deve ter certas caractersticas que propiciem ao interlocutor ver que a

transmisso se d. Alguns interlocutores precisam de argumentos mais detalhados, outros nem

tanto. Porm, o que no possvel oferecer as asseres das premissas e a assero da

concluso sem nenhuma mediao, sobretudo nos casos em que a maioria dos interlocutores teria

dificuldades de ver onde est a conexo entre as premissas e a concluso.

H que se notar tambm que as prticas argumentativas, em particular no mbito da

matemtica, resultam historicamente de uma atividade reflexiva. Assim, aquilo que estamos

chamando de elucidao , na verdade, uma elucidao sobre elucidaes. Alis, um fato que

parece confirmar esse ponto de vista o de que historicamente existiu, e provavelmente sempre

existir, algum desacordo no interior da comunidade acerca de quais prticas so justificveis ou

no, aceitveis ou no. Se isso correto, parece-nos inclusive razovel que a elucidao do

conceito de conseqncia dedutiva procure levar essas querelas em conta e procure represent-las

da forma mais simples possvel. Uma das querelas importantes se d entre construtivistas e

clssicos e envolve a aceitabilidade de mtodos de demonstrao indireta. Assim, parece-nos

interessante e razovel que a elucidao mostre onde se localizam as diferenas entre os pontos

de vista de forma articulada e puntual. Acreditamos que, sob esse aspecto, os sistemas de

deduo natural parecem ter sido bastante bem sucedidos.

23

Notamos que, nos sistemas de deduo natural, a representao das hipteses um

componente primitivo constitutivo dos constructos elucidatrios e justamente por representar as

hipteses de forma primitiva que certas diferenas conceituais entre clssicos e intuicionistas

podem vir tona de modo mais claro. Na verdade, a maior parte da diferena conceitual entre

eles radica em aceitar certas formas de descarte de hipteses. isso justamente o que nos

propiciam as regras de deduo indireta. Mas o conceito de hiptese importante ainda por outra

razo. Desde o nosso ponto de vista, uma elucidao adequada da negao e do absurdo tambm

exige um esclarecimento satisfatrio do conceito de hiptese.

De modo geral, fizemos acima uma descrio inicial dos temas que investigaremos nesta

tese. Passamos, a seguir, a detalhar como e onde tais temas estaro sendo tratados.

Dissemos que, do nosso ponto de vista, os sistemas de deduo natural envolvem uma

elucidao do conceito de conseqncia dedutiva. A apresentao introdutria dessa elucidao,

bem como a formalizao de conceitos e expresses que so empregados na tese, se encontra no

Apndice. medida que o objetivo de uma tese apresentar uma investigao, pareceu-nos

mais adequado pospor essa parte propedutica de modo a subtrair ao leitor informado o

aborrecimento de passar por vrias definies cujo contedo em sua maior parte de

conhecimento geral e, quando no o for, pode ser acessado de forma independente, sempre que

houver necessidade. por essa razo que inclumos um ndice remissivo ao final do trabalho.

Todavia, como nossa interpretao dos sistemas de deduo natural difere um pouco das

interpretaes correntes, o Apndice conter algum material que julgamos ser original. Vrios

dos conceitos l presentes so conceitos que, de uma forma ou de outra, esto presentes em

[Pra65]. Algumas vezes, eles recebem certas adaptaes originadas pelos propsitos que temos

em mente. A nosso ver, a diferena mais relevante com respeito s definies propeduticas

contidas na literatura est na forma de apresentao das regras de deduo. Por essa razo,

pareceu-nos tambm adequado dissertar brevemente sobre o que entendemos pelo princpio de

harmonia para as regras de introduo e de eliminao, da forma como as estamos caracterizando

no Apndice. At onde nosso conhecimento alcana, no haveria na literatura uma formulao

com o mesmo nvel de detalhe dessa que estamos propondo. No entanto, o tema da harmonia foi

discutido, entre outros, por Belnap [Bel62] e por Dummett [Dum91].

Fizemos a incluso de um ndice remissivo em nosso trabalho para facilitar a busca pela

definio de termos e conceitos e para tornar facultativa a leitura do Apndice. No entanto, a tese

tambm poder ser lida comeando do Apndice para depois prosseguir aos demais captulos na

ordem usual.

24

O Captulo I tem o objetivo de apresentar a proposta de uma elucidao para a

negao e para o absurdo por meio de regras de deduo natural de introduo e de eliminao.

Mas, antes que isso seja feito, examinaremos a forma pela qual os sistemas de deduo natural

so normalmente interpretados, sobretudo pelos intuicionistas naturais, que os vem como

devotados a elucidar o conceito de prova. Veremos que o conceito de hiptese desempenha um

papel chave em nossa exposio e pretendemos oferecer uma crtica a concepo que aparece

amide entre intuicionista.

Para os intuicionistas naturais, as regras de introduo destacam-se das demais medida

que elas capturariam uma noo de prova considerada como a noo mais fundamental. Quando

usadas nesse tipo de regras, as hipteses funcionariam como suposio da posse de uma prova.

Em oposio a essa concepo, ns avanaremos a tese de que os sistemas de deduo natural

podem ou devem ser interpretados como sistemas que elucidariam o conceito de conseqncia

dedutiva e, doravante, j no saberamos mais dizer qual tipo de regra mereceria algum tipo de

primazia. As regras de introduo parecem boas candidatas, como querem em geral os

intuicionistas. Todavia, como pretendemos defender, para compreender quais situaes

permitiriam introduzir uma negao, precisamos usar e compreender as regras de eliminao. O

fato que a negao, diferentemente das demais constantes lgicas, parece requerer que nos seja

dada uma refutao como base para a sua introduo, e a prpria noo de refutao parece

depender de modo relevante das regras de eliminao. Assim, torna-se essencial buscar outra

forma de conceber a natureza da atividade elucidatria inerente formulao dos sistemas de

deduo natural. A reviso que estamos propondo nos levar a uma concepo do conceito de

hiptese distinta da concepo intuicionista. Uma hiptese ou suposio ser para ns apenas o

ponto de partida da tessitura de uma cadeia de conseqncias dedutivas. A elucidao da negao

e do absurdo por meio de regras de introduo e eliminao parece se adequar melhor noo de

hiptese que estaremos propondo.

O ponto de vista que estaremos defendendo tem conseqncias que no podem ser

desprezadas. Uma delas de que a diferena entre os sistemas de deduo natural e de seqentes

tenderia a resumir-se a uma diferena de perspectiva. Enquanto os sistemas de deduo natural

serviriam para mostrar a relao de conseqncia dedutiva, os sistemas de seqentes poderiam

ser interpretados como sistemas assercionais envolvendo a relao de conseqncia dedutiva

aplicada no s proposies, mas a certos termos ou listas de termos nomeando as proposies.

Desse modo, cada regra assercional operacional simplesmente refletiria uma regra em deduo

natural. Alis, uma idia similar a essa pode ser encontrada em Prawitz no Apndice de [Pra65].

25

Ele relaciona os dois sistemas dizendo que o sistema de seqentes seria uma espcie de

metaclculo para a relao de dedutibilidade presente nos sistemas de deduo natural. Se

entendermos que um metaclculo simplesmente a forma assercional de apresentao da relao

de dedutibilidade, ento as duas interpretaes convergiriam. Entretanto, notamos, aquele autor

no tinha propriamente uma soluo de interpretao para a relao entre as regras de deduo

natural envolvendo a negao e as respectivas regras de seqentes. Uma proposta de resposta a

esse problema ser feita ao longo dos trs primeiros captulos da nossa investigao.

Encerraremos o Captulo I fazendo uma anlise das noes de refutabilidade e de

absurdidade presentes em Curry no VI captulo de [Cur63]. Em nossa investigao, adotamos de

modo amplo certas idias de Curry a respeito da negao e do absurdo, embora lhes faamos

alguns reparos. Em particular, pretendemos mostrar que, com as regras de introduo e

eliminao que estamos propondo, estaremos aptos a definir os mesmos conceitos de

refutabilidade e de absurdo que Curry havia definido.

Com o Captulo II pretendemos dar continuidade ao exame do conceito de

refutabilidade ao qual chegamos com as regras para a negao e o absurdo. Este captulo contm

uma exposio dos sistemas de deduo natural nos quais a regra de eliminao para a negao e

o absurdo no contempla o princpio de ex falso quodlibet. Da mesma forma como

freqentemente ocorre na literatura, chamaremos esses sistemas de sistemas minimais. Eles

estaro divididos em dois grupos: aqueles em que nenhum princpio de deduo indireta est

presente; aqueles onde acrescentamos um princpio de deduo indireta, no caso a chamada regra

Peirce. Temos boas razes para crer que a noo de refutabilidade simples de Curry

representvel por meio das regras de introduo e eliminao da negao e do absurdo nos

primeiros. Porm, esses sistemas minimais com regras de introduo e eliminao do absurdo

acabam por ter uma caracterstica indesejvel, cuja correo exigiria o acrscimo do princpio de

ex falso quodlibet.

A bem da verdade, apresentaremos ainda uma segunda forma de definir a noo de

refutabilidade dentro de um sistema minimal. Pretendemos mostrar que possvel formular um

sistema de deduo natural para a preservao da falsidade. Esse sistema permitiria representar

uma noo de refutabilidade um pouco distinta da noo de refutabilidade simples representvel

no sistema minimal para preservao da verdade. Veremos que essas duas noes s podero ser

consideradas idnticas quando admitimos a validade de um princpio de deduo indireta.

A seguir, apresentaremos os sistemas minimais com deduo indireta, procurando

investigar as propriedades da regra Peirce em isolamento do princpio de ex falso quodlibet. Em

26

particular, estaremos mostrando que certas simplificaes muito similares quelas que Prawitz

aplicava ao sistema clssico em [Pra65], reduzindo as aplicaes da regra de absurdo clssico ao

caso atmico, tambm podem ser aplicadas aos sistemas que contm a regra Peirce.

Procuraremos, nessa etapa, dar sustentao tese de que a regra Peirce deve ser considerada

como uma extenso ao conceito de dedutibilidade representvel no sistema. Mas essa perspectiva

s far algum sentido se adotarmos outra interpretao da noo de hiptese, uma interpretao

diferente daquela que adotam os intuicionistas naturais. Como resultado dessa nova postura,

acreditamos que uma parte relevante das objees intuicionistas s regras de deduo indireta

deveria ser repensada, basicamente porque no mais faria sentido pedir garantias da

demonstrabilidade de uma hiptese descartada, como os intuicionistas esto tentados a fazer em

geral. Isso no significa que, em nossa proposta de interpretao, estejamos simplesmente

aceitando que a regra Peirce ou as regras de deduo indireta sejam consideradas

inquestionveis. Se o papel de um argumento o de efetivamente mostrar a conexo dedutiva

entre as premissas e a concluso, ao usar uma regra de deduo indireta estaramos subvertendo

aquilo que anteriormente entendamos ser a apresentao da conexo dedutiva. Veremos o porqu

disso no decorrer da investigao.

Ao final do segundo captulo, discutiremos ainda a formulao de um sistema refutacional

apresentado em 1972 por Lpez-Escobar, em clculo de seqentes, cujo objetivo o de capturar a

noo de falsidade construtiva de Nelson. A nosso ver, existe um elo entre esse clculo e o

sistema para preservao da falsidade que estamos definindo nesse captulo. Tambm veremos

que o clculo para a falsidade que estaremos propondo difere bem pouco de um sistema de

deduo natural que Tamminga [Tam94] havia proposto para capturar o conceito de

rejeitabilidade. Uma das diferenas a presena/ausncia das regras para o operador de

desimplicao. Essa diferena de extremo interesse para ns, pois, ao considerar as regras para

esse operador, obteremos dois resultados relevantes. Um deles o de que o famoso princpio de

inverso parece estar aqum do princpio de harmonia. Essa concluso segue-se da anlise que

fazemos do tratamento que Bowen [Bow71] deu constante que estamos presentemente

chamando de desimplicao. com base nesse tratamento que focalizaremos o problema da

harmonia entre as regras de introduo e eliminao no captulo IV. O outro resultado diz

respeito ao problema da cidadania lgica do conceito de preservao da falsidade. Temos razes

para crer que a preservao da verdade e a preservao da falsidade so conceitos estruturalmente

idnticos e, por isso, estariam dotados de igual grado de cidadania lgica, o que seria claramente

visualizvel sobre os sistemas de deduo natural.

27

O Captulo III continua com a apresentao dos sistemas de deduo natural, mas os

sistemas passam a incorporar o princpio de ex falso quodlibet. Comeamos o captulo por uma

definio de um sistema equivalente ao sistema intuicionista. Em seguida, consideramos um

sistema equivalente ao sistema clssico. Em ambos os casos, com regras de introduo e

eliminao da negao e do absurdo. Para definir o sistema clssico a partir do sistema

intuicionista, poderamos simplesmente acrescentar a regra Peirce, como fizemos no caso dos

sistemas minimais. Todavia, como veremos, para obter a lgica clssica, j ser suficiente

acrescentar um princpio de deduo indireta mais fraco, o princpio que chamamos de

consequentia mirabilis, ou ainda um princpio equivalente, o princpio de terceiro excludo

(formulado como uma regra de deduo). O princpio de consequentia mirabilis caso particular

de Peirce, seja a negao tomada como primitiva ou como definida. J a derivao contrria

exige o princpio de ex falso quodlibet.

Assim como fizemos com a regra Peirce, mostraremos que a regra consequentia mirabilis

permite definir subsistemas da lgica clssica que so suficientemente fortes para representar

todas as relaes de dedutibilidade clssicas (via traduo de constantes). Destacamos, sobretudo,

o sistema que chamaremos de C, no qual a regra consequentia mirabilis estar restringida s

concluses bsicas6. Esse sistema , na verdade, uma reformulao de um sistema que Prawitz

tambm chamava de C, em [Pra65]. A reformulao procura preservar a relao de

dedutibilidade do sistema original de Prawitz, mas, ao mesmo tempo, estende as dades de

introduo e eliminao para todas as constantes lgicas, mais precisamente para a constante de

absurdo. Um outro subsistema da lgica clssica, que tambm ser apresentado nessa forma de

dades para todas as constantes e que desperta interesse por outras razes, o sistema sobre as

constantes {,,,}. Mostraremos, no quarto captulo, que, nesse sistema, a cada derivao

corresponder uma outra a partir das mesmas hipteses e com a mesma concluso tal que haver,

no mximo, uma s aplicao de consequentia mirabilis como ltima regra da derivao

Logo aps o exame desses subsistemas da lgica clssica, apresentaremos alguns sistemas

que admitem uma leitura intuicionista, embora incorporem, em alguma medida, uma regra de

deduo indireta. J em 1971, Prawitz [Pra71] havia apontado a possibilidade de dar uma

interpretao construtiva a C. Ns procuraremos estender essa interpretao para sistemas mais

compreensivos, que admitam todo o leque usual de constantes lgicas intuicionistas:

{,,,,,}.

6 Chamamos de bsica aquelas frmulas que no contm constantes lgicas de primeira ordem.

28

Aps fazermos a apresentao dos sistemas lgicos de deduo natural com regras de

introduo para a negao e o absurdo, mas tambm com regras de deduo indireta, apresenta-se

uma questo qual no podemos negar nossa ateno. Ela envolve as proposies simples. Se as

regras de introduo para o absurdo e para a negao requerem a constatao dedutiva da

impossibilidade de uma situao, deveramos nos perguntar o que significaria dizer que uma

proposio simples impossvel. Um sistema de deduo natural que s envolva regras para

constantes lgicas s nos permitiria deduzir que uma situao impossvel caso tivssemos

partido de uma lista de hipteses da qual fosse possvel deduzir uma proposio e sua negao.

Mas, alm dessa, certamente deve haver uma noo de impossibilidade envolvendo proposies

simples. Em nossa opinio, essa a noo de impossibilidade realmente fundamental. Assim,

ser preciso representar a impossibilidade de uma proposio simples ou a impossibilidade de

uma lista de proposies simples de algum modo e tal que, posteriormente, possamos aplicar uma

introduo da negao. Como veremos, isso ser feito com base em regras de deduo que, de

algum modo, incorporam um princpio de ex falso quodlibet para proposies simples dentro de

uma base terica. Nossa ltima tarefa nesse terceiro captulo ser a de mostrar como poderamos

definir a aritmtica dos nmeros naturais incorporando uma regra de deduo para proposies

simples sem usar constantes lgicas: uma regra que seja da natureza de um ex falso quodlibet.

Tambm ser preciso mostrar por quais razes um princpio dessa natureza poderia ser

considerado vlido ou admissvel na base de uma teoria, em particular na base da aritmtica dos

nmeros naturais. Como teremos ocasio de ver, essa discusso nos levar novamente a examinar

a noo de hiptese.

O captulo ser fechado com uma srie de consideraes gerais acerca do uso de hipteses

nas derivaes, acerca da natureza dos sistemas de deduo natural e acerca do processo

elucidatrio do qual esses sistemas seriam as resultantes. Finalizaremos com uma breve

considerao acerca de uma hierarquia para a validade/admissibilidade das regras de

deduo/inferncia.

Nos trs primeiros captulos, portanto, nossa investigao tem um carter eminentemente

conceitual. Nossa inteno a de propor uma forma de conceber os sistemas de deduo natural

diferente daquela pela qual os intuicionistas naturais os concebem. Em primeiro lugar,

assumiremos que a construo de um sistema de deduo natural o resultado de um processo

elucidatrio para o conceito de conseqncia dedutiva. Assumiremos tambm que a elucidao

do referido conceito toma por base uma certa compreenso intuitiva e idealizada da prxis

argumentativa. Desde o nosso ponto de vista, essa prxis deve ser tomada como primitiva e a

29

noo de prova deve ser considerada como uma especializao da noo de argumento. Para ns,

essa prxis que mostra que as hipteses so usadas de modo tal que no faz sentido consider-

las parte do conjunto de asseres que compem a argumentao. Em geral, as hipteses

constituem simplesmente um ponto de partida para desenvolver uma cadeia de conseqncias.

Essa concepo do conceito de hiptese ser empregada na proposta de elucidao da negao e

do absurdo em termos de regras de deduo natural. A proposio absurda, em particular, ser

encarada como um constructo ideal que nos permitir dividir as condies para introduo da

negao em duas partes distintas, conforme veremos no primeiro captulo.

Nos captulos restantes, procuraremos desenvolver uma parte da maquinaria de

procedimentos e teoremas usualmente associada aos sistemas de deduo natural. Ou seja, do

quarto captulo em diante, nos ocuparemos da existncia de formas normais, da sua unicidade e

da finitude dos processos de obteno da forma normal. Contudo, ao cuidar da prova dessas

propriedades, no estaremos preocupados em justificar a validade das regras de eliminao a

partir das regras de introduo, no pelo menos da mesma forma que tem sido feito pelo

intuicionismo natural. Nele as regras de introduo so vistas como formas bsicas cannicas de

construo de provas, sendo a validade das regras de eliminao apenas uma conseqncia da

validade das regras de introduo. O caso que a introduo da negao parece requerer o

conceito de refutabilidade e a definio desse conceito, por sua vez, requer o uso das regras de

eliminao. S seria possvel manter o conceito de prova cannica como conceito primitivo se

admitssemos que a negao uma operao cuja elucidao s poder ser feita depois de

havermos elucidado as demais constantes lgicas. Todavia, esse ponto de vista colocaria a

compreenso da negao na dependncia da compreenso de outras operaes, contrrio ao que

usualmente tem sido assumido em deduo natural. Assim, como nossa tarefa diferente da

tarefa que os intuicionistas naturais se propem, a demonstrao da propriedade de normalizao

j no ter para ns a mesma importncia que para eles. Contudo, a prova dessas propriedades

ainda guardar outro tipo de relevncia, medida que a noo de forma normal parece ser um

bom esteio para provar uma srie de resultados importantes. A consistncia do sistema um

deles. Alm disso, a forma normal das derivaes ofereceria um critrio para a definio da

noo de identidade para derivaes.

O Captulo IV estar dedicado a investigar o chamado princpio de inverso e as

operaes de eliminao de rodeios de introduo-eliminao fundadas sobre esse princpio.

Temos razes para crer que o princpio de inverso corresponde apenas a uma parcela da

propriedade de harmonia que deve vigorar entre as regras de introduo e eliminao. A noo de

30

harmonia com a qual estaremos trabalhando apresentada no Apndice. No quarto captulo,

fazemos uma breve discusso acerca da relao do princpio de inverso e do princpio de

harmonia. A anlise do problema tem incio com a tentativa de interpretar o dito gentzeniano de

que as eliminaes seriam como que conseqncia das introdues e que estas seriam como que a

definio das constantes lgicas. Ao cabo da anlise, daremos forma final s crticas que

dirigimos ao modo pelo qual o princpio de inverso tem sido aplicado pelos intuicionistas

naturais constante de absurdo. Finalizamos a argumentao com a demonstrao da validade

do princpio de harmonia para as regras de introduo e eliminao para o absurdo.

No quarto captulo, tambm examinaremos outros tipos de operaes sobre as derivaes,

sendo as operaes de permutao as mais importantes. A permutao uma operao essencial

para obter formas normais com a propriedade da subfrmula no mbito do sistema intuicionista

de deduo natural. Outro tipo de operao essencial ser a operao de eliminao de rodeios

para aqueles casos em que uma ocorrncia de frmula premissa maior de uma regra de

eliminao e, ao mesmo tempo, concluso de uma deduo indireta. Obviamente, esse tipo de

rodeio s surge nos sistemas que comportam uma regra de deduo indireta. A priori, esse tipo de

operao pode no parecer com uma permutao. Lembra, talvez, mais uma operao de

eliminao de rodeios de introduo-eliminao. Entretanto, temos fortes razes para crer que,

nesses casos, tambm est envolvida uma permutao. Se isso for correto, a admissibilidade da

operao envolvendo deduo indireta poderia compartilhar a mesma justificao empregada

para admitir as permutaes no sistema intuicionista. Por essa razo, as permutaes passam a

tomar grande parte da nossa ateno nesse captulo. Inclusive, dedicaremos uma parcela de nossa

exposio a expor como a operao de permutao envolvendo regras de deduo indireta

constitui o esteio de uma srie de propriedades bem conhecidas na literatura. Referimo-nos aos

resultados formulados por Kolmogorov em [Kol25], Glivenko em [Gli29], Prawitz & Malmnas

em [Pra68], Seldin [Sel89] etc, nos quais, via de regra, as derivaes clssicas esto

correlacionadas a certas derivaes em sistemas mais elementares. O procedimento consiste em

apresentar vrias situaes onde possvel obter uma prova clssica contendo uma nica

aplicao de deduo indireta como ltimo passo dedutivo na prova.

Finalmente, ainda no quarto captulo, investigaremos uma srie de operaes sobre

derivaes, geralmente agrupadas sob o nome de simplificaes. Algumas das simplificaes que

aparecem na literatura sero rejeitadas. Todavia, constataremos a necessidade de aplicar outras

simplificaes envolvendo regra de deduo indireta, mais especificamente envolvendo

consequentia mirabilis. Alis, uma das razes importantes para no termos empregado a regra

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Peirce na definio do sistema clssico deve-se ao fato de que sob essa forma de deduo

indireta, nem todas as operaes que aplicamos sobre consequentia mirabilis podem ser aplicadas

sobre Peirce, ao menos isso no ser possvel se desejamos preservar a unicidade da forma

normal.

Consideramos de suma relevncia a tarefa de justificar a admissibilidade das operaes

sobre as derivaes. A remoo dos rodeios de introduo-eliminao e as permutaes de

eliminaes parecem ambas bem justificadas. Contudo, ainda restar o problema de justificar as

simplificaes adotadas em vista das provas dos teoremas de normalizao. Em alguns casos,

no divisamos justificativas mais possantes. No entanto, sempre adotaremos um critrio mnimo.

Para ns, a perda da propriedade de unicidade da forma normal constituir uma boa razo para

rejeitar uma operao, o que no significa que estejamos assumindo que o contrrio seja razo

suficiente para aceit-la.

O Captulo V estar dedicado a apresentar teoremas de normalizao e de confluncia

para os sistemas definidos nos captulos II e III. preciso notar que, diferentemente da literatura,

nos sistemas a serem definidos, todas as constantes lgicas empregadas estaro sendo dadas por

dades de introduo e eliminao, em particular a constante de absurdo. Alm disso, como regra

de deduo indireta, estaremos usando a regra consequentia mirabilis. Comearemos o captulo

com uma rpida apresentao do Hauptsatz para um sistema de sequentes variante do sistema LJ

de Gentzen. Essa prova j seria uma primeira garantia da adequao da elucidao da negao

que estamos propondo. Em seguida tratamos dos sistemas de deduo natural. Comeamos com a

apresentao do teorema de normalizao fraca, com cota para o comprimento da derivao em

forma normal, para o sistema Icm. Notamos que o sistema intuicionista I e o sistema C so

subsistemas de Icm. Apresentaremos uma estratgia de normalizao - a assim chamada

estratgia das crticas que servir de base para a cotao do resultado final. A estratgia a ser

definida uma extenso da estratgia empregada por Pereira em [Per82]. A seguir, estenderemos

a prova de normalizao fraca para o sistema clssico C, mas, infelizmente, perderemos a

possibilidade de dar cotas ao comprimento da forma normal. Mais adiante, demonstraremos a

finitude de toda cadeia de reduo para o sistema I, adaptando e estendendo uma tcnica que

Prawitz havia usado em [Pra71] para o sistema intuicionista.

A demonstrao de finitude de toda cadeia para o sistema I tem um significado especial

que vai alm do mero enunciado do teorema. A prova original de Prawitz tida como uma prova

de natureza semntica, pois com base em uma propriedade das derivaes que somos levados a

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concluir pela finitude de todas as cadeias de reduo. A propriedade em questo a chamada

validade forte e, segundo o autor, essa propriedade derivvel de uma interpretao das regras de

introduo e eliminao segundo a qual a validade das regras de introduo "cannica" e a

validade das regras de eliminao seria derivada da validade das regras de introduo. Porm,

justamente, em nossa prova usamos a mesma tcnica de Prawitz s que levando em conta uma

regra de introduo para a constante de absurdo. Ou seja, ao que parece, a propriedade de

validade forte funcionaria bem para as regras de introduo e eliminao do absurdo na forma

como as estamos propondo nesta tese.

Logo a seguir, apresentaremos uma prova de natureza combinatria, mostrando a

confluncia local para o sistema clssico C, definido com introduo e eliminao de absurdo e

com consequentia mirabilis. Alm disso, como praticamente todos os sistemas definidos so

subsistemas de C, a prova tambm valer para esses casos. Em particular, depois de haver

mostrado confluncia local, poderemos mostrar confluncia geral e unicidade da formal normal

para a nossa formulao do sistema intuicionista, o sistema I, tomando por base a confluncia

local e a finitude de toda cadeia de normalizao mostradas anteriormente.

Os captulos V e VI esto dedicados apresentao e prova dos metateoremas de deduo

natural. O que h de intrinsecamente belo nesses teoremas o fato de que, em geral, um teorema

vlido para um sistema ser tambm vlido para os subsistemas que, de algum modo, mantenham

com ele certa similaridade estrutural. Isso ocorre, por exemplo, com os sistemas para preservao

da verdade e para preservao da falsidade. Todavia, h que notar um carter desagradvel nesses

metateoremas. Raramente suas provas so de tamanho razovel. Demonstr-los e compreender a

sua demonstrao exige, em geral, um esforo de monta. Infelizmente, no parece haver outro

remdio a no ser buscar provas que sejam mais enxutas e, ao mesmo tempo, compreensveis e

informativas, o que nem sempre fcil de obter. Com efeito, embora tenhamos nos esforado

para dar provas com aquelas caractersticas, estamos longe de hav-lo feito. H que salientar que,

ao buscar cotar o processo de normalizao, as provas dos lemas e teoremas tornam-se muito

mais complexas.

Nos captulos iniciais, freqentemente formulamos uma propriedade e a sua prova de

forma intuitiva sem maiores cerimnias, j que uma narrativa intuitiva poderia ser mais

informativa. Ao apresentar as provas dos teoremas de confluncia e normalizao mantivemos o

princpio de buscar a intuio da relao entre os objetos formais envolvidos. Dito dessa forma,

isso poderia parecer uma heresia, j que o tratamento formal da lgica no sculo XX esteve

orientado, em grande parte, a livrar as provas dos contrabandos introduzidos pela intuio.

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Ocorre que provas demasiado longas, em geral, acabam por ser pouco compreensveis. Provas

demasiadamente formalizadas so, em geral, demasiado longas. Confessamos que, apesar de

nossos esforos em contrrio, as provas apresentadas ainda sero bastante longas. Como

dissemos, as demonstraes envolvendo propriedades dos sistemas de deduo natural costumam

ser complexas. Todavia, procuramos, na medida do possvel, manter um certo nvel de

intuitividade nas provas, inclusive como forma de permitir que algum ajuste possa vir a ser feito.

No limite, a aprovao/desaprovao de uma proposta de demonstrao depende da comunidade

e, embora a intuio se equivoque (razo por que construmos provas), tambm nos parece que as

melhores provas so aquelas que nos permitem construir uma boa intuio da propriedade que

est sendo demonstrada. Nesse sentido, uma exposio excessivamente formal corre o risco de

perder sua valia.

O Captulo VI trata unicamente do sistema clssico que chamamos de sistema C.

Novamente, notamos que nossa definio para o sistema envolve regras de introduo e de

eliminao para o absurdo, alm de consequentia mirabilis restringida s concluses bsicas.

Nesse captulo, demonstramos a finitude de toda cadeia de normalizao para esse sistema,

aplicando uma idia para a prova de normalizao apresentada por Alves em [Alv99] que, por

seu turno, um desenvolvimento de uma idia de Massi apresentada em [Mas90]. A prova que

apresentaremos uma adaptao da prova apresentada no I Encontro de Deduo Natural em

2001 [San01]. Contudo, a presente prova leva em conta a formulao do sistema C com regras de

introduo e eliminao do absurdo mais consequentia mirabilis. O cerne da prova consiste,

basicamente, em estender o conjunto de operaes que aplicamos sobre as derivaes. Com base

nessas novas operaes, demonstramos a finitude de toda cadeia de reduo e a unicidade da

forma normal. As novas operaes so a homogeneizao de derivaes e a multiplicao de

derivaes. Como, para tais operaes, tambm vale a propriedade de finitude e a propriedade de

unicidade do resultado, elas fornecero o esteio para a demonstrao de normalizao forte com

cota para C. O passo a seguir consiste em fazer algumas comparaes do resultado obtido com

outros resultados da literatura que tambm envolvam a demonstrao de cota e de finitude da

cadeia de normalizao. Destacamos, em particular, a comparao de cotas que fazemos com o

trabalho de Beckmann [Bec01]. Finalmente, apresentamos um novo resultado de cotas para o

comprimento da forma normal das derivaes de C, mas tal que a cota s depende de uma nica

varivel: o comprimento da derivao original. Esse resultado obtido adaptando idias similares

desenvolvidas por Orevkov para o clculo de seqentes [Ore91].

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Antes de passar ao texto propriamente dito, queremos propor duas convenes, uma delas

acerca de como representar expresses que sejam variao sinttica de outras expresses.

Expresses sero seqncias finitas de smbolos. Dadas expresses quaisquer 1, 2 e 3, a

expresso resultante de substituir na expresso 1 cada uma das distintas ocorrncias da expresso

2 pela expresso 3, haja ou no ocorrncias de 2, ser representada por 1[2/3]. Diremos que

esse tipo de substituio uma substituio homognea. Eventualmente, ser necessrio o

acrscimo de parnteses para indicar, sem ambigidades, sobre qual expresso deve ser efetuada

a substituio sinttica. Por exemplo, na expresso complexa 4(1[2/3])5, a substituio deve

ser feita em cima da expresso 1 unicamente, substituindo todas as ocorrncias de 2, dentro de

1, por 3, sem alterao dos contextos 4 e 5. Essa operao de substituio ser usada como

uma forma prtica de descrever certas particularidades dos sistemas de deduo natural. A outra

das convenes uma forma de apresentar certas definies e propriedades evitando repeties

desnecessrias. Quando tivermos um texto da forma 1 2 [3] 4 onde 1, 2, 3 e 4 so textos

quaisquer, duas leituras distintas podero ser feitas sobre a seqncia de expresses: uma leitura

1 2 4; a outra leitura 1 3 4. Essa estratgia j era empregada por Prawitz em [Pra65].

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Captulo I O Conceito de Deduo e o Problema da Negao

A investigao que levaremos a cabo nesta tese estar focada principalmente sobre dois

tipos de princpios lgicos: o primeiro tipo aquele caracterizado pelas regras genericamente

rotuladas como regras de deduo indireta, principalmente a assim chamada consequentia

mirabilis; o segundo tipo aquele que envolve as conseqncias de uma contradio ou, mais

amplamente, de uma falsidade: os princpios de ex contradictione quodlibet e ex falso

quodlibet. A explorao desses dois tipos de princpios por meio das regras de deduo natural

constituir, na sua globalidade, o exame daquilo que podemos entender pelo conceito de negao,

seja do ponto de vista intuicionista7, seja do ponto de vista clssico. Basicamente, em deduo

natural, as distintas operaes lgicas so elucidadas por meio de dois tipos de regras ou

princpios, as chamadas regras de introduo e as chamadas regras de eliminao. A diferena

entre a lgica clssica e a lgica intuicionista reflete-se sobre esta dicotomia introduo-

eliminao e a eventual necessidade de estend-la com regras de deduo indireta.

Neste captulo, faremos uma proposta de elucidao do conceito de negao, tomando por

base o conceito de deduo e sob o pano de fundo metodolgico dos sistemas de deduo natural.

Antes de propor essa elucidao, ser preciso fazer um exame da natureza dos objetos aos quais

supostamente as derivaes em deduo natural deveriam corresponder como constructos.

Salientamos que uma resposta bastante freqente a esse problema, principalmente da parte dos

assim chamados intuicionistas, a de que as provas seriam exatamente os objetos que estariam

sendo esclarecidos (p. ex., [Pra74], pg. 68). Ns procuraremos dar sustentao a uma outra tese

alternativa. A necessidade de sustentar outra alternativa motivada em parte pela necessidade de

considerar um quadro metodolgico que contemple as chamadas regras de deduo indireta. No

7 Essencialmente, o ponto de vista intuicionista no aceita a validade irrestrita dos princpios de deduo indireta, como, por exemplo, o princpio de terceiro excludo. Eles no seriam aplicveis a situaes em que estivesse sendo considerada uma pluralidade infinita. Notamos tambm que Brouwer, pai do intuicionismo, havia sido reticente com respeito formulao de um sistema lgico intuicionista. Todavia, a formulao de Heyting para a lgica intuicionista parece ter sido amplamente aceita como a forma mais adequada de capturar a lgica subjacente ao intuicionismo conforme [Man98], pg. 276-277.

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entanto, acreditamos que a alternativa que proporemos pode ser sustentada de modo independente

da inteno de contemplar as regras indiretas. Acreditamos tambm que essa alternativa tem seus

mritos prprios, redundando em uma concepo do conceito de suposio que difere daquela

concepo que faz parte do arcabouo intuicionista. Assim, por essa razo, o conceito de

suposio ser objeto de exame neste e nos captulos subseqentes.

Desde o nosso ponto de vista, h um processo elucidatrio mais sofisticado por trs da

formulao dos sistemas de deduo natural em comparao com aquele por trs dos sistemas

logsticos. No caso de deduo natural, o conceito de suposio entra como um conceito

primitivo. Em essncia, a alternativa que estaremos defendendo aquela que interpreta as

derivaes como constructos elucidatrios para a relao de conseqncia dedutiva, que, por sua

vez, permitiria um esclarecimento daquilo que usualmente chamamos de argumento vlido. S

depois de realizada essa tarefa, poderemos avanar uma proposta de esclarecimento parcial para o

conceito de prova. A condio necessria para que uma elucidao do conceito de conseqncia

dedutiva seja considerada adequada obviamente a preservao da verdade8.

Considere o seguinte exemplo de uma comunicao possvel entre um professor e um

aluno: "- Caso CAMESTRES fosse invlido, ento CELARENT seria invlido; o que

impossvel. Logo, CAMESTRES no pode ser invlido ( vlido)."9. Parece-nos indubitvel que

existe aqui um argumento envolvendo temas formais. O argumento conteria ao menos as

seguintes asseres: (i) "caso CAMESTRES fosse invlido, ento CELARENT seria invlido"; (ii)

"CAMESTRES no pode ser invlido ( vlido)". primeira das asseres ns usualmente

chamaramos de premissa do argumento; ltima, de concluso do argumento.

A justificao de uma assero feita, freqentemente, por meio de um argumento. A

assero de concluso o objeto da justificao. De fato, parece razovel dizer que no poderia

existir argumento se no houvesse assero. Nesse sentido, entendemos que qualquer

conceituao que seja feita do ato de assero/afirmao dever contemplar a idia de que esse

ato um ato de compromisso, compromisso com a verdade10 de um certo contedo, sendo esse

8 Ver Apndice acerca da validade das regras. 9 O silogismo CELARENT da primeira figura da forma: XeY, YaZ; portanto XeZ. O silogismo CAMESTRES da segunda figura da forma: YaX, YeZ; portanto XeZ, onde a frmula PaS significa P pertence a todo S e a frmula PeS significa P no pertence a nenhum S. 10 Em geral, aquele que assere de modo livre no pode normalmente se negar a apresentar justificativas para sua assero, poder, no mximo, mostrar razes do por que no pode dar uma justificativa. O dever de no poder deixar de dar justificativas s faria sentido se aquele que assere tivesse assumido um compromisso, ou seja, s faria sentido se aquele que assere criasse para si mesmo uma obrigao. O interessante acerca desta idia de ato de compromisso que, aparentemente, ela nos permite resolver o problema do ator posto por Frege. A diferena entre a assero de um ator e a assero da personagem representada pelo ator corresponderia a uma diferena entre as "entidades" que fazem o compromisso. Se o ator assere, ele quem faz o compromisso. Se o personagem assere, o personagem

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contedo freqentemente designado na literatura pelo nome de proposio11. Para nossos

propsitos, assumiremos essa caracterizao parcial sem a preocupao de oferecer uma defesa

especial desse ponto de vista, o que nos levaria muito alm do que pretendemos. No obstante,

faremos consideraes no sentido de aduzir alguma plausibilidade a essa posio.

Adotando o ponto de vista de que a assero de uma proposio envolve um

compromisso, talvez se torne possvel compreender melhor a ligao entre uma assero e um

argumento, entre uma assero e a sua justificao. No exemplo acima, teremos um exemplo de

argumentao se concordarmos em admitir que o objetivo de dar um argumento simplesmente

o de justificar a assero de uma concluso, tomando por base, como ponto