Uma Introdução àTeoria Econômica dos Jogos

Humberto José Bortolossi1 Gilmar Garbugio2

Brígida Alexandre Sartini3

1Universidade Federal Fluminense

2Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia

3Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro

26o Colóquio Brasileiro de MatemáticaIMPA

29 de julho a 3 de agosto de 2007

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 1

Parte 1

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Teoria dos jogos: descrição informal

Criada para se modelar fenômenos que podem serobservados quando dois ou mais agentes de decisãointeragem entre si.

Aplicações em eleições, leilões, balança de poder,evolução genética, etc. Mas sua teoria matemática éinteressante por si própria.

Teoria econômica × teoria combinatória dos jogos.

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Um pouco de história . . .

Waldegrave Cournot Zermelo Borel(1713) (1838) (1913) (1921)

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Um pouco de história . . .

1944: John von Neumann e OscarMorgenstern (The Theory of Games andEconomic Behaviour).

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Um pouco de história . . .

1950: John Nash (existência deum equilíbrio de estratégias mistaspara jogos não-cooperativos comn jogadores).

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Um pouco de história . . .

1994: John Nash, John Harsanyi e Reinhard Selten(prêmio Nobel de economia)

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O que é um jogo?

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Exemplo: o dilema do prisioneiro

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Exemplo: o dilema do prisioneiro

G={Al,Bob}, SAl={confessar,negar}, SBob={confessar,negar},

S={(confessar,confessar),(confessar,negar),(negar,confessar),(negar,negar)}.

Função utilidade de Al

uAl : S→R

uAl(confessar,confessar)=−5, uAl(confessar,negar)=0,

uAl(negar,confessar)=−10, uAl(negar,negar)=−1,

Função utilidade de Bob

uBob : S→R

uBob(confessar,confessar)=−5, uBob(confessar,negar)=−10,

uBob(negar,confessar)=0, uBob(negar,negar)=−1

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Exemplo: o dilema do prisioneiro

G={Al,Bob}, SAl={confessar,negar}, SBob={confessar,negar},

S={(confessar,confessar),(confessar,negar),(negar,confessar),(negar,negar)}.

Função utilidade de Al

uAl : S→R

uAl(confessar,confessar)=−5, uAl(confessar,negar)=0,

uAl(negar,confessar)=−10, uAl(negar,negar)=−1,

Função utilidade de Bob

uBob : S→R

uBob(confessar,confessar)=−5, uBob(confessar,negar)=−10,

uBob(negar,confessar)=0, uBob(negar,negar)=−1

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Exemplo: o dilema do prisioneiro

G={Al,Bob}, SAl={confessar,negar}, SBob={confessar,negar},

S={(confessar,confessar),(confessar,negar),(negar,confessar),(negar,negar)}.

Função utilidade de Al

uAl : S→R

uAl(confessar,confessar)=−5, uAl(confessar,negar)=0,

uAl(negar,confessar)=−10, uAl(negar,negar)=−1,

Função utilidade de Bob

uBob : S→R

uBob(confessar,confessar)=−5, uBob(confessar,negar)=−10,

uBob(negar,confessar)=0, uBob(negar,negar)=−1

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Exemplo: o dilema do prisioneiro

G={Al,Bob}, SAl={confessar,negar}, SBob={confessar,negar},

S={(confessar,confessar),(confessar,negar),(negar,confessar),(negar,negar)}.

Função utilidade de Al

uAl : S→R

uAl(confessar,confessar)=−5, uAl(confessar,negar)=0,

uAl(negar,confessar)=−10, uAl(negar,negar)=−1,

Função utilidade de Bob

uBob : S→R

uBob(confessar,confessar)=−5, uBob(confessar,negar)=−10,

uBob(negar,confessar)=0, uBob(negar,negar)=−1

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Exemplo: o dilema do prisioneiro

MATRIZ DE PAYOFFS

Bobconfessar negar

Alconfessar (−5,−5) (0,−10)

negar (−10, 0) (−1,−1)

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O que é um jogo?

JOGO FINITO NA FORMA ESTRATÉGICA

Existe um conjunto finito de jogadores: G = {g1, . . . , gn}.

Cada jogador gi ∈ G possui um conjunto finito deestratégias puras: Si = {si1, si2, . . . , simi}.

O produto cartesiano S =∏n

i=1 Si = S1 × S2 × · · · × Sn,é denominado espaço de estratégia pura do jogo e seuselementos de perfis de estratégia pura.

Para cada jogador gi ∈ G, existe uma função utilidadeui : S → R que associa o ganho (payoff) ui(s) do jogador gia cada perfil de estratégia pura s ∈ S.

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O que é um jogo?

JOGO FINITO NA FORMA ESTRATÉGICA

Existe um conjunto finito de jogadores: G = {g1, . . . , gn}.

Cada jogador gi ∈ G possui um conjunto finito deestratégias puras: Si = {si1, si2, . . . , simi}.

O produto cartesiano S =∏n

i=1 Si = S1 × S2 × · · · × Sn,é denominado espaço de estratégia pura do jogo e seuselementos de perfis de estratégia pura.

Para cada jogador gi ∈ G, existe uma função utilidadeui : S → R que associa o ganho (payoff) ui(s) do jogador gia cada perfil de estratégia pura s ∈ S.

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O que é um jogo?

JOGO FINITO NA FORMA ESTRATÉGICA

Existe um conjunto finito de jogadores: G = {g1, . . . , gn}.

Cada jogador gi ∈ G possui um conjunto finito deestratégias puras: Si = {si1, si2, . . . , simi}.

O produto cartesiano S =∏n

i=1 Si = S1 × S2 × · · · × Sn,é denominado espaço de estratégia pura do jogo e seuselementos de perfis de estratégia pura.

Para cada jogador gi ∈ G, existe uma função utilidadeui : S → R que associa o ganho (payoff) ui(s) do jogador gia cada perfil de estratégia pura s ∈ S.

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O que é um jogo?

JOGO FINITO NA FORMA ESTRATÉGICA

Existe um conjunto finito de jogadores: G = {g1, . . . , gn}.

Cada jogador gi ∈ G possui um conjunto finito deestratégias puras: Si = {si1, si2, . . . , simi}.

O produto cartesiano S =∏n

i=1 Si = S1 × S2 × · · · × Sn,é denominado espaço de estratégia pura do jogo e seuselementos de perfis de estratégia pura.

Para cada jogador gi ∈ G, existe uma função utilidadeui : S → R que associa o ganho (payoff) ui(s) do jogador gia cada perfil de estratégia pura s ∈ S.

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Exemplo: a batalha dos sexos

G={homem,mulher}, Shomem={futebol,cinema}, Smulher={futebol,cinema},

S={(futebol,futebol),(futebol,cinema),(cinema,futebol),(cinema,cinema)}.

MATRIZ DE PAYOFFS

Mulherfutebol cinema

Hom

em

futebol (10, 5) (0, 0)

cinema (0, 0) (5, 10)

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Exemplo: o jogo sete/meio de Silvio Santos

(NADA, NADA) (TUDO, NADA)

(NADA, TUDO) (METADE, METADE)

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Notações

S = S1×· · ·Si−1×Si×Si+1×· · ·×Sn, Si = {si1, . . . , simi},

s = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, siji , s(i+1)ji+1

, . . . , snjn) ∈S = S1 × · · ·Si−1 × Si × Si+1 × · · · × Sn,

s−i = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, s(i+1)ji+1

, . . . , snjn) ∈S−i = S1 × · · · × Si−1 × Si+1 × · · · × Sn,

s = (siji , s−i) = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, siji , s(i+1)ji+1

, . . . , snjn).

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Notações

S = S1×· · ·Si−1×Si×Si+1×· · ·×Sn, Si = {si1, . . . , simi},

s = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, siji , s(i+1)ji+1

, . . . , snjn) ∈S = S1 × · · ·Si−1 × Si × Si+1 × · · · × Sn,

s−i = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, s(i+1)ji+1

, . . . , snjn) ∈S−i = S1 × · · · × Si−1 × Si+1 × · · · × Sn,

s = (siji , s−i) = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, siji , s(i+1)ji+1

, . . . , snjn).

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Notações

S = S1×· · ·Si−1×Si×Si+1×· · ·×Sn, Si = {si1, . . . , simi},

s = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, siji , s(i+1)ji+1

, . . . , snjn) ∈S = S1 × · · ·Si−1 × Si × Si+1 × · · · × Sn,

s−i = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, s(i+1)ji+1

, . . . , snjn) ∈S−i = S1 × · · · × Si−1 × Si+1 × · · · × Sn,

s = (siji , s−i) = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, siji , s(i+1)ji+1

, . . . , snjn).

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Notações

S = S1×· · ·Si−1×Si×Si+1×· · ·×Sn, Si = {si1, . . . , simi},

s = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, siji , s(i+1)ji+1

, . . . , snjn) ∈S = S1 × · · ·Si−1 × Si × Si+1 × · · · × Sn,

s−i = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, s(i+1)ji+1

, . . . , snjn) ∈S−i = S1 × · · · × Si−1 × Si+1 × · · · × Sn,

s = (siji , s−i) = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, siji , s(i+1)ji+1

, . . . , snjn).

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Notações

S = S1×· · ·Si−1×Si×Si+1×· · ·×Sn, Si = {si1, . . . , simi},

s = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, siji , s(i+1)ji+1

, . . . , snjn) ∈S = S1 × · · ·Si−1 × Si × Si+1 × · · · × Sn,

s−i = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, s(i+1)ji+1

, . . . , snjn) ∈S−i = S1 × · · · × Si−1 × Si+1 × · · · × Sn,

s = (siji , s−i) = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, siji , s(i+1)ji+1

, . . . , snjn).

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Solução de um jogo: dominância estrita

Dizemos que uma estratégia pura sik ∈ Si dojogador gi ∈ G é estritamente dominada pelaestratégia sik ′ ∈ Si se

ui(sik ′ , s−i) > ui(sik , s−i),

para todo s−i ∈ S−i .

Dominância estrita iterada é o processo no qual,seqüencialmente, se eliminam as estratégias que sãoestritamente dominadas.

Se, no final do processo, o jogo se reduz para um únicoperfil de estratégias puras s∗, dizemos que s∗ é umequilíbrio de estratégia estritamente dominante.

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Solução de um jogo: dominância estrita

Dizemos que uma estratégia pura sik ∈ Si dojogador gi ∈ G é estritamente dominada pelaestratégia sik ′ ∈ Si se

ui(sik ′ , s−i) > ui(sik , s−i),

para todo s−i ∈ S−i .

Dominância estrita iterada é o processo no qual,seqüencialmente, se eliminam as estratégias que sãoestritamente dominadas.

Se, no final do processo, o jogo se reduz para um únicoperfil de estratégias puras s∗, dizemos que s∗ é umequilíbrio de estratégia estritamente dominante.

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Dominância estrita: exemplo

g2s21 s22 s23 s24

g1

s11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)

s12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1)

s13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)

s14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)

(s12, s22) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.

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Dominância estrita: exemplo

g2s21 s22 s23 s24

g1

s11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)

s12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1)

s13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)

s14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)

(s12, s22) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.

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Dominância estrita: exemplo

g2s21 s22 s23 s24

g1

s11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)

s12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1)

s13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)

s14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)

(s12, s22) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.

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Dominância estrita: exemplo

g2s21 s22 s23 s24

g1

s11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)

s12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1)

s13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)

s14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)

(s12, s22) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.

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Dominância estrita: exemplo

g2s21 s22 s23 s24

g1

s11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)

s12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1)

s13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)

s14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)

(s12, s22) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.

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Dominância estrita: exemplo

g2s21 s22 s23 s24

g1

s11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)

s12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1)

s13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)

s14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)

(s12, s22) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.

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Dominância estrita: exemplo

g2s21 s22 s23 s24

g1

s11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)

s12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1)

s13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)

s14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)

(s12, s22) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.

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Dominância estrita: exemplo

g2s21 s22 s23 s24

g1

s11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)

s12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1)

s13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)

s14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)

(s12, s22) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.

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Dominância estrita: exemplo

g2s21 s22 s23 s24

g1

s11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)

s12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1)

s13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)

s14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)

(s12, s22) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.

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Dominância estrita: exemplo

g2s21 s22 s23 s24

g1

s11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)

s12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1)

s13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)

s14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)

(s12, s22) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.

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Dominância estrita: exemplo

g2s21 s22 s23 s24

g1

s11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)

s12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1)

s13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)

s14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)

(s12, s22) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.

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Dominância estrita: o dilema do prisioneiro

MATRIZ DE PAYOFFS

Bobconfessar negar

Alconfessar (−5,−5) (0,−10)

negar (−10, 0) (−1,−1)

(confessar, confessar) é umequilíbrio de estratégia estritamente dominante.

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Dominância estrita: o dilema do prisioneiro

MATRIZ DE PAYOFFS

Bobconfessar negar

Alconfessar (−5,−5) (0,−10)

negar (−10, 0) (−1,−1)

(confessar, confessar) é umequilíbrio de estratégia estritamente dominante.

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Dominância estrita: a batalha dos sexos

MATRIZ DE PAYOFFS

Mulherfutebol cinema

Hom

em

futebol (10, 5) (0, 0)

cinema (0, 0) (5, 10)

Este jogo não possui estratégias estritamente dominantes!

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Dominância estrita: a batalha dos sexos

MATRIZ DE PAYOFFS

Mulherfutebol cinema

Hom

em

futebol (10, 5) (0, 0)

cinema (0, 0) (5, 10)

Este jogo não possui estratégias estritamente dominantes!

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Dominância estrita: mais um exemplo

g2s21 s22

g1s11 (1, 1) (1, 0)

s12 (1, 0) (0, 1)

Este jogo também não possui estratégias estritamentedominantes!

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Solução de um jogo: dominância fraca

Dizemos que uma estratégia pura sik ∈ Si dojogador gi ∈ G é fracamente dominada pelaestratégia sik ′ ∈ Si se

ui(sik ′ , s−i) ≥ ui(sik , s−i),

para todo s−i ∈ S−i e, pelo menos para um s•−i ∈ S−i ,

ui(sik ′ , s•−i) > ui(sik , s•−i).

Se, no final do processo de eliminação de estratégiasfracamente dominadas, o jogo se reduz para um únicoperfil de estratégias puras s∗, dizemos que s∗ é umequilíbrio de estratégia fracamente dominante.

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Dominância fraca: exemplo

g2s21 s22

g1s11 (1, 1) (1, 0)

s12 (1, 0) (0, 1)

(s11, s21) é um equilíbrio de estratégia fracamente dominante.

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O resultado da eliminação pode depender da ordem?

Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].

Sim para dominância fraca.

g2

s21 s22 s23

g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)

s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)

g2

s21 s22 s23

g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)

s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)

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O resultado da eliminação pode depender da ordem?

Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].

Sim para dominância fraca.

g2

s21 s22 s23

g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)

s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)

g2

s21 s22 s23

g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)

s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)

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O resultado da eliminação pode depender da ordem?

Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].

Sim para dominância fraca.

g2

s21 s22 s23

g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)

s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)

g2

s21 s22 s23

g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)

s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 48

O resultado da eliminação pode depender da ordem?

Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].

Sim para dominância fraca.

g2

s21 s22 s23

g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)

s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)

g2

s21 s22 s23

g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)

s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 49

O resultado da eliminação pode depender da ordem?

Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].

Sim para dominância fraca.

g2

s21 s22 s23

g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)

s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)

g2

s21 s22 s23

g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)

s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 50

O resultado da eliminação pode depender da ordem?

Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].

Sim para dominância fraca.

g2

s21 s22 s23

g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)

s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)

g2

s21 s22 s23

g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)

s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 51

O resultado da eliminação pode depender da ordem?

Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].

Sim para dominância fraca.

g2

s21 s22 s23

g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)

s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)

g2

s21 s22 s23

g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)

s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 52

O resultado da eliminação pode depender da ordem?

Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].

Sim para dominância fraca.

g2

s21 s22 s23

g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)

s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)

g2

s21 s22 s23

g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)

s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 53

O resultado da eliminação pode depender da ordem?

Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].

Sim para dominância fraca.

g2

s21 s22 s23

g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)

s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)

g2

s21 s22 s23

g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)

s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 54

Solução de um jogo: equilíbrio de Nash

Uma solução estratégica ou equilíbrio de Nash de umjogo é um ponto onde cada jogador não tem incentivode mudar sua estratégia se os demais jogadores não ofizerem.

Mais precisamente, dizemos que um perfil de estratégia

s∗ = (s∗1, . . . , s∗(i−1), s∗i , s∗(i+1), . . . , s∗n) ∈ S

é um equilíbrio de Nash em estratégias puras se

ui(s∗i , s∗−i) ≥ ui(siji , s∗−i)

para todo i = 1, . . . , n e para todo ji = 1, . . . , mi .

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 55

Equilíbrio de Nash: o dilema do prisioneiro

MATRIZ DE PAYOFFS

Bobconfessar negar

Alconfessar (−5,−5) (0,−10)

negar (−10, 0) (−1,−1)

(confessar, confessar) é o único equilíbrio de Nash.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 56

Equilíbrio de Nash: a batalha dos sexos

MATRIZ DE PAYOFFS

Mulherfutebol cinema

Hom

em

futebol (10, 5) (0, 0)

cinema (0, 0) (5, 10)

(futebol, futebol) e (cinema, cinema)são os únicos equilíbrios de Nash.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 57

Equilíbrio de Nash: outro exemplo

g2s21 s22 s23 s24

g1

s11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)

s12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1)

s13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)

s14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)

(s12, s22) é o único equilíbrio de Nash.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 58

Equilíbrio de Nash: comparar moedas

NEM TODO JOGO POSSUI UM EQUILÍBRIO DE NASH EM

ESTRATÉGIAS PURAS!

g2cara coroa

g1

cara (+1,−1) (−1,+1)

coroa (−1,+1) (+1,−1)

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 59

Equilíbrio de Nash: comparar moedas

NEM TODO JOGO POSSUI UM EQUILÍBRIO DE NASH EM

ESTRATÉGIAS PURAS!

g2cara coroa

g1

cara (+1,−1) (−1,+1)

coroa (−1,+1) (+1,−1)

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 60

Relações entre dominância e equilíbrio de Nash

Proposição 1. O processo de dominância estritaiterada não pode eliminar um equilíbrio de Nash aosimplificar um jogo.

Proposição 2. Se o processo de dominância estritaiterada deixa apenas um único perfil de estratégiaspuras s∗, então s∗ é o único equilíbrio de Nash do jogo.

A Proposição 1 é falsa para dominância fraca.(exercício [10], página 58)

A Proposição 2 continua verdadeira para dominância fraca(sem unicidade).

(exercício [11], página 58)

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 61

Relações entre dominância e equilíbrio de Nash

Proposição 1. O processo de dominância estritaiterada não pode eliminar um equilíbrio de Nash aosimplificar um jogo.

Proposição 2. Se o processo de dominância estritaiterada deixa apenas um único perfil de estratégiaspuras s∗, então s∗ é o único equilíbrio de Nash do jogo.

A Proposição 1 é falsa para dominância fraca.(exercício [10], página 58)

A Proposição 2 continua verdadeira para dominância fraca(sem unicidade).

(exercício [11], página 58)

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 62

Relações entre dominância e equilíbrio de Nash

Proposição 1. O processo de dominância estritaiterada não pode eliminar um equilíbrio de Nash aosimplificar um jogo.

Proposição 2. Se o processo de dominância estritaiterada deixa apenas um único perfil de estratégiaspuras s∗, então s∗ é o único equilíbrio de Nash do jogo.

A Proposição 1 é falsa para dominância fraca.(exercício [10], página 58)

A Proposição 2 continua verdadeira para dominância fraca(sem unicidade).

(exercício [11], página 58)

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 63

Relações entre dominância e equilíbrio de Nash

Proposição 2. Se o processo de dominância estritaiterada deixa apenas um único perfil de estratégiaspuras s∗, então s∗ é o único equilíbrio de Nash do jogo.

A recíproca da Proposição 2 é falsa!

g2s21 s22 s23

g1

s11 (−1,+1) (+1,−1) (−1,+1)

s12 (+1,−1) (−1,+1) (+1,−1)

s13 (−1,+1) (+1,−1) (+5,+5)

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 64

Exercício [01]: simplifique usando dominância estrita

g2s21 s22 s23 s24

g1

s11 (3, 0) (1, 1) (5, 4) (0, 2)

s12 (1, 1) (3, 2) (6, 0) (2,−1)

s13 (0, 2) (4, 4) (7, 2) (3, 0)

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 65

Exercício [07]: simplifique usando dominância estrita!

Cz1 z2 z3 z4

Se B escolhe y1: A

x1 (5, 0, 2) (1, 0, 1) (3, 0, 6) (1, 2, 1)

x2 (3, 2, 2) (9, 1, 8) (2, 0, 5) (2, 0, 2)

x3 (1, 0, 0) (1, 0, 9) (4, 0, 8) (3, 0, 3)

Cz1 z2 z3 z4

Se B escolhe y2: A

x1 (0, 1, 1) (0, 1, 2) (2, 1, 3) (0, 3, 9)

x2 (0, 3, 2) (1, 2, 3) (2, 1, 8) (2, 1, 0)

x3 (1, 1, 0) (2, 1, 1) (3, 2, 2) (3, 1, 3)

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 66

Exercício [08]: simplifique usando dominância estrita!

Cz1 z2 z3 z4

Se B escolhe y1: A

x1 (1, 2, 9) (2, 9, 9) (3, 7, 9) (2, 8, 9)

x2 (3, 8, 3) (4, 5, 4) (4, 1, 3) (3, 9, 3)

x3 (2, 9, 9) (3, 9, 9) (3, 9, 9) (2, 9, 9)

Cz1 z2 z3 z4

Se B escolhe y2: A

x1 (2, 1, 9) (3, 9, 9) (2, 9, 9) (1, 9, 9)

x2 (4, 9, 1) (4, 2, 2) (3, 2, 1) (2, 2, 1)

x3 (1, 9, 9) (2, 9, 9) (2, 9, 9) (1, 9, 9)

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 67

Parte 2

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 68

Solução de um jogo: equilíbrio de Nash

Uma solução estratégica ou equilíbrio de Nash de umjogo é um ponto onde cada jogador não tem incentivode mudar sua estratégia se os demais jogadores não ofizerem.

Mais precisamente, dizemos que um perfil deestratégia s∗ = (s∗i , s∗−i) é um equilíbrio de Nashem estratégias puras se

ui(s∗i , s∗−i) ≥ ui(siji , s∗−i)

para todo i = 1, . . . , n e para todo ji = 1, . . . , mi .

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 69

Equilíbrio de Nash: o dilema do prisioneiro

MATRIZ DE PAYOFFS

Bobconfessar negar

Alconfessar (−5,−5) (0,−10)

negar (−10, 0) (−1,−1)

(confessar, confessar) é o único equilíbrio de Nash.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 70

Melhor resposta: o dilema do prisioneiro

Bobconfessar negar

Alconfessar (−5,−5) (0,−10)

negar (−10, 0) (−1,−1)

Se Bob confessar, qual é a melhor resposta de Al ?

Al deve confessar.

MRAl (confessar) = {confessar} MRAl (negar) = {confessar}MRBob(confessar) = {confessar} MRBob(negar) = {confessar}

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 71

Melhor resposta: o dilema do prisioneiro

Bobconfessar negar

Alconfessar (−5,−5) (0,−10)

negar (−10, 0) (−1,−1)

Se Bob confessar, qual é a melhor resposta de Al ?

Al deve confessar.

MRAl (confessar) = {confessar} MRAl (negar) = {confessar}MRBob(confessar) = {confessar} MRBob(negar) = {confessar}

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 72

Melhor resposta: o dilema do prisioneiro

Bobconfessar negar

Alconfessar (−5,−5) (0,−10)

negar (−10, 0) (−1,−1)

Se Bob confessar, qual é a melhor resposta de Al ?

Al deve confessar.

MRAl (confessar) = {confessar} MRAl (negar) = {confessar}MRBob(confessar) = {confessar} MRBob(negar) = {confessar}

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 73

Melhor resposta: o dilema do prisioneiro

Bobconfessar negar

Alconfessar (−5,−5) (0,−10)

negar (−10, 0) (−1,−1)

Se Bob negar, qual é a melhor resposta de Al ?

Al deve confessar.

MRAl (confessar) = {confessar} MRAl (negar) = {confessar}MRBob(confessar) = {confessar} MRBob(negar) = {confessar}

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 74

Melhor resposta: o dilema do prisioneiro

Bobconfessar negar

Alconfessar (−5,−5) (0,−10)

negar (−10, 0) (−1,−1)

Se Bob negar, qual é a melhor resposta de Al ?

Al deve confessar.

MRAl (confessar) = {confessar} MRAl (negar) = {confessar}MRBob(confessar) = {confessar} MRBob(negar) = {confessar}

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 75

Melhor resposta: o dilema do prisioneiro

Bobconfessar negar

Alconfessar (−5,−5) (0,−10)

negar (−10, 0) (−1,−1)

Se Al confessar, qual é a melhor resposta de Bob?

Bob deve confessar.

MRAl (confessar) = {confessar} MRAl (negar) = {confessar}MRBob(confessar) = {confessar} MRBob(negar) = {confessar}

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 76

Melhor resposta: o dilema do prisioneiro

Bobconfessar negar

Alconfessar (−5,−5) (0,−10)

negar (−10, 0) (−1,−1)

Se Al confessar, qual é a melhor resposta de Bob?

Bob deve confessar.

MRAl (confessar) = {confessar} MRAl (negar) = {confessar}MRBob(confessar) = {confessar} MRBob(negar) = {confessar}

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 77

Melhor resposta: o dilema do prisioneiro

Bobconfessar negar

Alconfessar (−5,−5) (0,−10)

negar (−10, 0) (−1,−1)

Se Al negar, qual é a melhor resposta de Bob?

Bob deve confessar.

MRAl (confessar) = {confessar} MRAl (negar) = {confessar}MRBob(confessar) = {confessar} MRBob(negar) = {confessar}

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 78

Melhor resposta: o dilema do prisioneiro

Bobconfessar negar

Alconfessar (−5,−5) (0,−10)

negar (−10, 0) (−1,−1)

Se Al negar, qual é a melhor resposta de Bob?

Bob deve confessar.

MRAl (confessar) = {confessar} MRAl (negar) = {confessar}MRBob(confessar) = {confessar} MRBob(negar) = {confessar}

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 79

Melhor resposta: o dilema do prisioneiro

Bobconfessar negar

Alconfessar (−5,−5) (0,−10)

negar (−10, 0) (−1,−1)

confessar ∈ MRAl (confessar) e confessar ∈ MRBob(confessar)

Bob deve confessar.

MRAl (confessar) = {confessar} MRAl (negar) = {confessar}MRBob(confessar) = {confessar} MRBob(negar) = {confessar}

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 80

Melhor resposta: o dilema do prisioneiro

Bobconfessar negar

Alconfessar (−5,−5) (0,−10)

negar (−10, 0) (−1,−1)

confessar ∈ MRAl (confessar) e confessar ∈ MRBob(confessar)

Bob deve confessar.

MRAl (confessar) = {confessar} MRAl (negar) = {confessar}MRBob(confessar) = {confessar} MRBob(negar) = {confessar}

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 81

Melhor resposta: o dilema do prisioneiro

Bobconfessar negar

Alconfessar (−5,−5) (0,−10)

negar (−10, 0) (−1,−1)

confessar ∈ MRAl (confessar) e confessar ∈ MRBob(confessar)

Bob deve confessar.

MRAl (confessar) = {confessar} MRAl (negar) = {confessar}MRBob(confessar) = {confessar} MRBob(negar) = {confessar}

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 82

Melhor resposta: a batalha dos sexos

Mulherfutebol cinema

Hom

em

futebol (10, 5) (0, 0)

cinema (0, 0) (5, 10)

futebol ∈ MRHomem( futebol) e futebol ∈ MRMulher ( futebol)

cinema ∈ MRHomem(cinema) e cinema ∈ MRMulher (cinema)

MRHomem(futebol) = {futebol} MRHomem(cinema) = {cinema}MRMulher (futebol) = {futebol} MRMulher (cinema) = {cinema}

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 83

Melhor resposta: a batalha dos sexos

Mulherfutebol cinema

Hom

em

futebol (10, 5) (0, 0)

cinema (0, 0) (5, 10)

futebol ∈ MRHomem( futebol) e futebol ∈ MRMulher ( futebol)

cinema ∈ MRHomem(cinema) e cinema ∈ MRMulher (cinema)

MRHomem(futebol) = {futebol} MRHomem(cinema) = {cinema}MRMulher (futebol) = {futebol} MRMulher (cinema) = {cinema}

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 84

Melhor resposta: a batalha dos sexos

Mulherfutebol cinema

Hom

em

futebol (10, 5) (0, 0)

cinema (0, 0) (5, 10)

futebol ∈ MRHomem( futebol) e futebol ∈ MRMulher ( futebol)

cinema ∈ MRHomem(cinema) e cinema ∈ MRMulher (cinema)

MRHomem(futebol) = {futebol} MRHomem(cinema) = {cinema}MRMulher (futebol) = {futebol} MRMulher (cinema) = {cinema}

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 85

Melhor resposta: a batalha dos sexos

Mulherfutebol cinema

Hom

em

futebol (10, 5) (0, 0)

cinema (0, 0) (5, 10)

futebol ∈ MRHomem( futebol) e futebol ∈ MRMulher ( futebol)

cinema ∈ MRHomem(cinema) e cinema ∈ MRMulher (cinema)

MRHomem(futebol) = {futebol} MRHomem(cinema) = {cinema}MRMulher (futebol) = {futebol} MRMulher (cinema) = {cinema}

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 86

Melhor resposta: a batalha dos sexos

Mulherfutebol cinema

Hom

em

futebol (10, 5) (0, 0)

cinema (0, 0) (5, 10)

futebol ∈ MRHomem( futebol) e futebol ∈ MRMulher ( futebol)

cinema ∈ MRHomem(cinema) e cinema ∈ MRMulher (cinema)

MRHomem(futebol) = {futebol} MRHomem(cinema) = {cinema}MRMulher (futebol) = {futebol} MRMulher (cinema) = {cinema}

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 87

Melhor resposta: a batalha dos sexos

Mulherfutebol cinema

Hom

em

futebol (10, 5) (0, 0)

cinema (0, 0) (5, 10)

futebol ∈ MRHomem( futebol) e futebol ∈ MRMulher ( futebol)

cinema ∈ MRHomem(cinema) e cinema ∈ MRMulher (cinema)

MRHomem(futebol) = {futebol} MRHomem(cinema) = {cinema}MRMulher (futebol) = {futebol} MRMulher (cinema) = {cinema}

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 88

Melhor resposta: a batalha dos sexos

Mulherfutebol cinema

Hom

em

futebol (10, 5) (0, 0)

cinema (0, 0) (5, 10)

futebol ∈ MRHomem( futebol) e futebol ∈ MRMulher ( futebol)

cinema ∈ MRHomem(cinema) e cinema ∈ MRMulher (cinema)

MRHomem(futebol) = {futebol} MRHomem(cinema) = {cinema}MRMulher (futebol) = {futebol} MRMulher (cinema) = {cinema}

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 89

Melhor resposta: a batalha dos sexos

Mulherfutebol cinema

Hom

em

futebol (10, 5) (0, 0)

cinema (0, 0) (5, 10)

futebol ∈ MRHomem( futebol) e futebol ∈ MRMulher ( futebol)

cinema ∈ MRHomem(cinema) e cinema ∈ MRMulher (cinema)

MRHomem(futebol) = {futebol} MRHomem(cinema) = {cinema}MRMulher (futebol) = {futebol} MRMulher (cinema) = {cinema}

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 90

Melhor resposta: a batalha dos sexos

Mulherfutebol cinema

Hom

em

futebol (10, 5) (0, 0)

cinema (0, 0) (5, 10)

futebol ∈ MRHomem( futebol) e futebol ∈ MRMulher ( futebol)

cinema ∈ MRHomem(cinema) e cinema ∈ MRMulher (cinema)

MRHomem(futebol) = {futebol} MRHomem(cinema) = {cinema}MRMulher (futebol) = {futebol} MRMulher (cinema) = {cinema}

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 91

Melhor Resposta e Equilíbrios de Nash

s∗ = (s∗1, . . . , s∗i , . . . , s∗n) ∈ S é um equilíbrio de Nash

m

s∗i ∈ MRi(s∗−i), ∀i = 1, . . . , n.

Proposição

MRi : S−i → 2Si

MRi(s−i) = argmaxsi∈Siui(si , s−i)

= {s∗i ∈ Si | ∀si ∈ Si , ui(s∗i , s−i) ≥ ui(si , s−i)},

Definição

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 92

Equilíbrio de Nash: comparar moedas

O que fazer quando não existem equilíbrios de Nash emestratégias puras?

Tente a sorte!

g2cara coroa

g1

cara (+1,−1) (−1,+1)

coroa (−1,+1) (+1,−1)

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 93

Equilíbrio de Nash: comparar moedas

O que fazer quando não existem equilíbrios de Nash emestratégias puras?

Tente a sorte!

g2cara coroa

g1

cara (+1,−1) (−1,+1)

coroa (−1,+1) (+1,−1)

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 94

Distribuições de probabilidades

S = {A, B}

AB

AB

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Distribuições de probabilidades

Quais são todas as distribuições de probabilidade sobreum conjunto S = {A, B} de dois elementos?

∆2 = {(p1, p2) ∈ R2 | 0 ≤ p1, p2 ≤ 1 e p1 + p2 = 1}.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 96

Distribuições de probabilidades

Quais são todas as distribuições de probabilidade sobreum conjunto S = {A, B} de dois elementos?

∆2 = {(p1, p2) ∈ R2 | 0 ≤ p1, p2 ≤ 1 e p1 + p2 = 1}.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 97

Distribuições de probabilidades

Quais são todas as distribuições de probabilidade sobreum conjunto S = {A, B} de dois elementos?

∆2 = {(p1, p2) ∈ R2 | 0 ≤ p1, p2 ≤ 1 e p1 + p2 = 1}.

10

1

p1

p2

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Distribuições de probabilidades

Quais são todas as distribuições de probabilidade sobreum conjunto S = {A, B} de dois elementos?

∆2 = {(p1, p2) ∈ R2 | 0 ≤ p1, p2 ≤ 1 e p1 + p2 = 1}.

11/20

1

p1

p2

AB

1/2

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Distribuições de probabilidades

Quais são todas as distribuições de probabilidade sobreum conjunto S = {A, B} de dois elementos?

∆2 = {(p1, p2) ∈ R2 | 0 ≤ p1, p2 ≤ 1 e p1 + p2 = 1}.

11/40

1

p1

p2

AB

3/4A

B

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Distribuições de probabilidades

Quais são todas as distribuições de probabilidade sobreum conjunto S = {A, B, C} de três elementos?

∆3 = {(p1, p2, p3) ∈ R3 | 0 ≤ p1, p2, p3 ≤ 1 e p1+p2+p3 = 1}.

00

1

1

1

p1

p2

p3

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Distribuições de probabilidades

Quais são todas as distribuições de probabilidade sobreum conjunto S = {A, B, C} de três elementos?

∆3 = {(p1, p2, p3) ∈ R3 | 0 ≤ p1, p2, p3 ≤ 1 e p1+p2+p3 = 1}.

00

1

1

1

p1

p2

p3

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Distribuições de probabilidades

Quais são todas as distribuições de probabilidade sobreum conjunto S = {A, B, C} de três elementos?

∆3 = {(p1, p2, p3) ∈ R3 | 0 ≤ p1, p2, p3 ≤ 1 e p1+p2+p3 = 1}.

00

1

1

1

p1

p2

p3

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Distribuições de probabilidades

∆n =

{(p1, . . . , pn) ∈ Rn | 0 ≤ p1, . . . , pn ≤ 1 e

n∑i=1

pi = 1

}.

∆n é convexo e compacto em Rn.

Um conjunto C ⊂ Rn é convexo se o segmento de reta que unedois pontos quaisquer de C está sempre contido em C.

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Distribuições de probabilidades

∆n =

{(p1, . . . , pn) ∈ Rn | 0 ≤ p1, . . . , pn ≤ 1 e

n∑i=1

pi = 1

}.

∆n é convexo e compacto em Rn.

Um conjunto C ⊂ Rn é convexo se o segmento de reta que unedois pontos quaisquer de C está sempre contido em C.

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Distribuições de probabilidades

∆n =

{(p1, . . . , pn) ∈ Rn | 0 ≤ p1, . . . , pn ≤ 1 e

n∑i=1

pi = 1

}.

∆n é convexo e compacto em Rn.

Um conjunto C ⊂ Rn é convexo se o segmento de reta que unedois pontos quaisquer de C está sempre contido em C.

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Distribuições de probabilidades

∆n =

{(p1, . . . , pn) ∈ Rn | 0 ≤ p1, . . . , pn ≤ 1 e

n∑i=1

pi = 1

}.

∆n é convexo e compacto em Rn.

Um conjunto C ⊂ Rn é convexo se ∀p, q ∈ C,(1− t) · p + t · q ∈ C, ∀t ∈ [0, 1].

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Distribuições de probabilidades

∆n =

{(p1, . . . , pn) ∈ Rn | 0 ≤ p1, . . . , pn ≤ 1 e

n∑i=1

pi = 1

}.

∆n é convexo e compacto em Rn.

Um conjunto C ⊂ Rn é compacto se ele é limitado e fechado.dois pontos quaisquer de C está sempre contido em C.

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Média dos payoffs

q1 q2U V

p1 A (a, x) (b, y)

p2 B (c, z) (d , w)

0 ≤ p1, p2 ≤ 1, p1 + p2 = 1.

0 ≤ q1, q2 ≤ 1, q1 + q2 = 1.

u1(p1, p2, q1, q2) = p1q1a + p1q2b + p2q1c + p2q2d ,

u2(p1, p2, q1, q2) = p1q1x + p1q2y + p2q1z + p2q2w .

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Exemplo: média dos payoffs

1/3 2/3s21 s22

1/4 s11 (+1,−1) (−1,+1)

3/4 s12 (−1,+1) (+1,−1)

u1(14 , 3

4 , 13 , 2

3) = 14

13(+1)+ 1

423(−1)+ 3

413(−1)+ 3

423(+1) = +

16

,

u2(14 , 3

4 , 13 , 2

3) = 14

13(−1)+ 1

423(+1)+ 3

413(+1)+ 3

423(−1) = −1

6.

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Exemplo: média dos payoffs

1/2 1/2s21 s22

1/2 s11 (+1,−1) (−1,+1)

1/2 s12 (−1,+1) (+1,−1)

u1(12 , 1

2 , 12 , 1

2) = 12

12(+1) + 1

212(−1) + 1

212(−1) + 1

212(+1) = 0,

u2(12 , 1

2 , 12 , 1

2) = 12

12(−1) + 1

212(+1) + 1

212(+1) + 1

212(−1) = 0.

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Exemplo: média dos payoffs

1 0s21 s22

1 s11 (+1,−1) (−1,+1)

0 s12 (−1,+1) (+1,−1)

u1(1, 0, 1, 0) = (1)(1)(+1) + (1)(0)(−1) + (0)(1)(−1) + (0)(0)(+1) = +1,

u2(1, 0, 1, 0) = (1)(1)(−1) + (1)(0)(+1) + (0)(1)(+1) + (0)(0)(−1) = −1.

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Notações

S = S1×· · ·Si−1×Si×Si+1×· · ·×Sn, Si = {si1, . . . , simi},

∆ = ∆m1 × · · ·∆mi−1 ×∆mi ×∆mi+1 × · · · ×∆mn ,

p = (p1, p2, . . . , pn)

= (p11, p12, . . . , p1m1︸ ︷︷ ︸p1

; p21, p22, . . . , p2m2︸ ︷︷ ︸p2

; . . . ; pn1, pn2, . . . , pnmn︸ ︷︷ ︸pn

),

∈ ∆ = ∆m1 × · · ·∆mi−1 ×∆mi ×∆mi+1 × · · · ×∆mn ,

p = (pi , p−i).

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Notações

S = S1×· · ·Si−1×Si×Si+1×· · ·×Sn, Si = {si1, . . . , simi},

∆ = ∆m1 × · · ·∆mi−1 ×∆mi ×∆mi+1 × · · · ×∆mn ,

p = (p1, p2, . . . , pn)

= (p11, p12, . . . , p1m1︸ ︷︷ ︸p1

; p21, p22, . . . , p2m2︸ ︷︷ ︸p2

; . . . ; pn1, pn2, . . . , pnmn︸ ︷︷ ︸pn

),

∈ ∆ = ∆m1 × · · ·∆mi−1 ×∆mi ×∆mi+1 × · · · ×∆mn ,

p = (pi , p−i).

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Notações

p = (p1, p2, . . . , pn)

= (p11, p12, . . . , p1m1︸ ︷︷ ︸p1

; p21, p22, . . . , p2m2︸ ︷︷ ︸p2

; . . . ; pn1, pn2, . . . , pnmn︸ ︷︷ ︸pn

),

∈ ∆ = ∆m1 × · · ·∆mi−1 ×∆mi ×∆mi+1 × · · · ×∆mn ,

ui(p) =

m1∑j1=1

m2∑j2=1

· · ·mn∑

jn=1

p1j1 · p2j2 · · ·pnjn · ui(s1j1 , s2j2 , . . . , snjn).

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Solução de um jogo: equilíbrio de Nash

Um equilíbrio de Nash em estratégias mistas de um jogoé um ponto onde cada jogador não tem incentivo demudar sua escolha de distribuição de probabilidades seos demais jogadores não o fizerem.

Mais precisamente, dizemos que um perfil de estratégia

p∗ = (p∗1, p∗2, . . . , p∗n) ∈ ∆ = ∆m1 ×∆m2 × · · · ×∆mn

é um equilíbrio de Nash em estratégias mistas se

ui(p∗i , p∗−i) ≥ ui(p, p∗−i)

para todo p ∈ ∆mi , com i = 1, . . . , n.

Definição

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Exemplo: equilíbrio de Nash

q 1− qs21 s22

p s11 (+1,−1) (−1,+1)

1− p s12 (−1,+1) (+1,−1)

u1(p, q) = +4pq − 2q − 2p + 1 e u2(p, q) = −4pq + 2q + 2p − 1.

(p, q) = (1/2, 1/2) é um equilíbrio de Nash em estratégias mistas.

u1(p, 1/2) = 0 ≤ 0 = u1(1/2, 1/2),

u2(1/2, q) = 0 ≤ 0 = u2(1/2, 1/2).

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Exemplo: equilíbrio de Nash

q 1− qs21 s22

p s11 (+1,−1) (−1,+1)

1− p s12 (−1,+1) (+1,−1)

u1(p, q) = +4pq − 2q − 2p + 1 e u2(p, q) = −4pq + 2q + 2p − 1.

(p, q) = (1/3, 2/3) não é um equilíbrio de Nash em estratégias mistas.

u1(1/3, 2/3) = −1/9 < +1/3 = u1(1, 2/3).

u1(1/3, 2/3) = −1/9 < +1/3 = u1(1, 2/3).

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O teorema de equilíbrio de Nash (1950)

Todo jogo finito na forma estratégicapossui pelos um equilíbrio de Nash emestratégias mistas.

Mas como calculá-lo?

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O teorema de equilíbrio de Nash (1950)

Todo jogo finito na forma estratégicapossui pelos um equilíbrio de Nash emestratégias mistas.

Mas como calculá-lo?

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Funções de melhor resposta em estratégias mistas

MRi(p−i)

=

argmaxpi∈∆(Si )ui(pi , p−i)

=

{p∗i ∈ ∆(Si) | ∀pi ∈ ∆(Si), ui(p∗i , p−i) ≥ ui(pi , p−i)}

MRi : ∆(S−i) → 2∆(Si )

MRi(p−i) 6= ∅ pelo Teorema de Weierstrass:∆(Si) é compacto não-vazio e pi 7→ ui(pi , p−i) é contínua.

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Funções de melhor resposta em estratégias mistas

MRi(p−i)

=

argmaxpi∈∆(Si )ui(pi , p−i)

=

{p∗i ∈ ∆(Si) | ∀pi ∈ ∆(Si), ui(p∗i , p−i) ≥ ui(pi , p−i)}

MRi : ∆(S−i) → 2∆(Si )

MRi(p−i) 6= ∅ pelo Teorema de Weierstrass:∆(Si) é compacto não-vazio e pi 7→ ui(pi , p−i) é contínua.

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Funções de melhor resposta em estratégias mistas

MRi(p−i) = argmaxpi∈∆(Si )ui(pi , p−i)

p∗ = (p∗1, . . . , p∗i , . . . , p∗n) ∈ ∆ é um equilíbrio de Nash

m

p∗i ∈ MRi(p∗−i), ∀i = 1, . . . , n.

Proposição

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Funções de melhor resposta em estratégias mistas

q 1− qfutebol cinema

p futebol (10, 5) (0, 0)

1− p cinema (0, 0) (5, 10)

uMulher(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 10− 10 q − 10 p

uHomem(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 5− 5 q − 5 p

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Funções de melhor resposta em estratégias mistas

uMulher(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 10− 10 q − 10 p= 5 (3 p − 2) q + 10 (1− p).

MRMulher(p) = argmaxq∈[0,1](5 (3 p − 2) q + 10 (1− p)),

MRMulher(p) =

{0}, se p ∈ [0, 2/3),[0, 1], se p = 2/3,{1}, se p ∈ (2/3, 1].

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Funções de melhor resposta em estratégias mistas

uMulher(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 10− 10 q − 10 p= 5 (3 p − 2) q + 10 (1− p).

MRMulher(p) = argmaxq∈[0,1](5 (3 p − 2) q + 10 (1− p)),

MRMulher(p) =

{0}, se p ∈ [0, 2/3),[0, 1], se p = 2/3,{1}, se p ∈ (2/3, 1].

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 126

Funções de melhor resposta em estratégias mistas

uMulher(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 10− 10 q − 10 p= 5 (3 p − 2) q + 10 (1− p).

MRMulher(p) = argmaxq∈[0,1](5 (3 p − 2) q + 10 (1− p)),

MRMulher(p) =

{0}, se p ∈ [0, 2/3),[0, 1], se p = 2/3,{1}, se p ∈ (2/3, 1].

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 127

Funções de melhor resposta em estratégias mistas

uMulher(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 10− 10 q − 10 p= 5 (3 p − 2) q + 10 (1− p).

MRMulher(p) = argmaxq∈[0,1](5 (3 p − 2) q + 10 (1− p)),

MRMulher(p) =

{0}, se p ∈ [0, 2/3),[0, 1], se p = 2/3,{1}, se p ∈ (2/3, 1].

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 128

Funções de melhor resposta em estratégias mistas

uMulher(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 10− 10 q − 10 p= 5 (3 p − 2) q + 10 (1− p).

MRMulher(p) = argmaxq∈[0,1](5 (3 p − 2) q + 10 (1− p)),

MRMulher(p) =

{0}, se p ∈ [0, 2/3),[0, 1], se p = 2/3,{1}, se p ∈ (2/3, 1].

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 129

Funções de melhor resposta em estratégias mistas

uMulher(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 10− 10 q − 10 p= 5 (3 p − 2) q + 10 (1− p).

MRMulher(p) = argmaxq∈[0,1](5 (3 p − 2) q + 10 (1− p)),

MRMulher(p) =

{0}, se p ∈ [0, 2/3),[0, 1], se p = 2/3,{1}, se p ∈ (2/3, 1].

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Funções de melhor resposta em estratégias mistas

uMulher(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 10− 10 q − 10 p= 5 (3 p − 2) q + 10 (1− p).

MRMulher(p) = argmaxq∈[0,1](5 (3 p − 2) q + 10 (1− p)),

MRMulher(p) =

{0}, se p ∈ [0, 2/3),[0, 1], se p = 2/3,{1}, se p ∈ (2/3, 1].

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 131

Funções de melhor resposta em estratégias mistas

MRMulher(p) =

{0}, se p ∈ [0, 2/3),[0, 1], se p = 2/3,{1}, se p ∈ (2/3, 1].

1 p (Homem)0

1

q

2/3

(Cinema)

(Cinema)

(Futebol)

(Mulher)

(Futebol)

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Funções de melhor resposta em estratégias mistas

uHomem(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 5− 5 q − 5 p= 5 (3 q − 1) p + 5 (1− q).

MRHomem(q) = argmaxp∈[0,1](5 (3 q − 1) p + 5 (1− q)).

MRHomem(q) =

{0}, se q ∈ [0, 1/3),[0, 1], se q = 1/3,{1}, se q ∈ (1/3, 1].

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Funções de melhor resposta em estratégias mistas

uHomem(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 5− 5 q − 5 p= 5 (3 q − 1) p + 5 (1− q).

MRHomem(q) = argmaxp∈[0,1](5 (3 q − 1) p + 5 (1− q)).

MRHomem(q) =

{0}, se q ∈ [0, 1/3),[0, 1], se q = 1/3,{1}, se q ∈ (1/3, 1].

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 134

Funções de melhor resposta em estratégias mistas

uHomem(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 5− 5 q − 5 p= 5 (3 q − 1) p + 5 (1− q).

MRHomem(q) = argmaxp∈[0,1](5 (3 q − 1) p + 5 (1− q)).

MRHomem(q) =

{0}, se q ∈ [0, 1/3),[0, 1], se q = 1/3,{1}, se q ∈ (1/3, 1].

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 135

Funções de melhor resposta em estratégias mistas

uHomem(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 5− 5 q − 5 p= 5 (3 q − 1) p + 5 (1− q).

MRHomem(q) = argmaxp∈[0,1](5 (3 q − 1) p + 5 (1− q)).

MRHomem(q) =

{0}, se q ∈ [0, 1/3),[0, 1], se q = 1/3,{1}, se q ∈ (1/3, 1].

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 136

Funções de melhor resposta em estratégias mistas

uHomem(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 5− 5 q − 5 p= 5 (3 q − 1) p + 5 (1− q).

MRHomem(q) = argmaxp∈[0,1](5 (3 q − 1) p + 5 (1− q)).

MRHomem(q) =

{0}, se q ∈ [0, 1/3),[0, 1], se q = 1/3,{1}, se q ∈ (1/3, 1].

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 137

Funções de melhor resposta em estratégias mistas

uHomem(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 5− 5 q − 5 p= 5 (3 q − 1) p + 5 (1− q).

MRHomem(q) = argmaxp∈[0,1](5 (3 q − 1) p + 5 (1− q)).

MRHomem(q) =

{0}, se q ∈ [0, 1/3),[0, 1], se q = 1/3,{1}, se q ∈ (1/3, 1].

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 138

Funções de melhor resposta em estratégias mistas

uHomem(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 5− 5 q − 5 p= 5 (3 q − 1) p + 5 (1− q).

MRHomem(q) = argmaxp∈[0,1](5 (3 q − 1) p + 5 (1− q)).

MRHomem(q) =

{0}, se q ∈ [0, 1/3),[0, 1], se q = 1/3,{1}, se q ∈ (1/3, 1].

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 139

Funções de melhor resposta em estratégias mistas

MRHomem(q) =

{0}, se q ∈ [0, 1/3),[0, 1], se q = 1/3,{1}, se q ∈ (1/3, 1].

1 q (Mulher)0

1

p

1/3

(Cinema)

(Cinema)

(Futebol)

(Homem)

(Futebol)

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Funções de melhor resposta em estratégias mistas

1 p (Homem)0

1

q

2/3

1/3

(Cinema)

(Cinema)

(Futebol)

(Mulher)

(Futebol)

Existem 3 equilíbrios de Nash em estratégias mistas:(0, 1; 0, 1), (2/3, 1/3; 1/3, 2/3) e (1, 0; 1, 0).

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 141

Funções de melhor resposta em estratégias mistas

1 p (Homem)0

1

q

2/3

1/3

(Cinema)

(Cinema)

(Futebol)

(Mulher)

(Futebol)

Demonstração do teorema de equilíbrio de Nashpara jogos 2× 2.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 142

Funções de melhor resposta em estratégias mistas

1 p (Homem)0

1

q

2/3

1/3

(Cinema)

(Cinema)

(Futebol)

(Mulher)

(Futebol)

Genericamente, o número de equilíbrios de Nash é finito e ímpar:(Wilson, 1971) e (Harsanyi, 1973).

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 143

Exercício: o dilema dos prisioneiros

Bobconfessar negar

Alconfessar (−5,−5) (0,−10)

negar (−10, 0) (−1,−1)

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 144

Resposta

MRBob(p) = argmaxq∈[0,1]((4 p + 1) q − (9 p + 1)) = {1},MRAl (q) = argmaxp∈[0,1]((4 q + 1) p − (9 q + 1)) = {1}.

1 p

(Bob)

0

1

q

(Negar)

(Negar)(Al)

(Confessar)

(Confessar)

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 145

Exercício: comparar moedas

g2s21 s22

g1s11 (+1,−1) (−1,+1)

s12 (−1,+1) (+1,−1)

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 146

Resposta

MR2(p) = argmaxq∈[0,1](2 (+1− 2 p) q − 1 + 2 p)

=

{1}, se p ∈ [0, 1/2),[0, 1], se p = 1/2,{0}, se p ∈ (1/2, 1],

MR1(q) = argmaxp∈[0,1](2 (−1 + 2 q) p + 1− 2 q)

=

{0}, se q ∈ [0, 1/2),[0, 1], se q = 1/2,{1}, se q ∈ (1/2, 1].

11/2 p0

1/2

1

q

(s )12

(s )22

(s )21

(s )11

(g )1

(g )2

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 147

Exercício

jogador 2U V

joga

dor1 A

(+

5471000

,− 5471000

) (+

5481000

,− 5481000

)B

(+

5491000

,− 5491000

) (+

5451000

,− 5451000

)

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 148

Parte 3

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 149

Solução de um jogo: equilíbrio de Nash

Dizemos que um perfil de estratégia

p∗ = (p∗1, p∗2, . . . , p∗n) ∈ ∆ = ∆m1 ×∆m2 × · · · ×∆mn

é um equilíbrio de Nash em estratégias mistas se

ui(p∗i , p∗−i) ≥ ui(p, p∗−i)

para todo p ∈ ∆mi , com i = 1, . . . , n.

Definição

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 150

Funções de melhor resposta em estratégias mistas

MRi(p−i) = argmaxpi∈∆(Si )ui(pi , p−i)

p∗ = (p∗1, . . . , p∗i , . . . , p∗n) ∈ ∆ é um equilíbrio de Nash

m

p∗i ∈ MRi(p∗−i), ∀i = 1, . . . , n.

Proposição

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 151

Exercício

jogador 2U V

joga

dor1 A

(+

5471000

,− 5471000

) (+

5481000

,− 5481000

)B

(+

5491000

,− 5491000

) (+

5451000

,− 5451000

)

Quem fez?

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 152

Resposta

MR2(p) = argmaxq∈[0,1]((5 p − 4) q − 545− 3 p)/1000

=

{0}, se p ∈ [0, 4/5),[0, 1], se p = 4/5,{1}, se p ∈ (4/5, 1],

MR1(q) = argmaxp∈[0,1]((3− 5 q) p + 545 + 4 q)/1000

=

{1}, se q ∈ [0, 3/5),[0, 1], se q = 3/5,{0}, se q ∈ (3/5, 1].

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 153

Resposta

14/5 p0

3/5

1

q

(A)(B)

(V)

(U)

(g )1

(g )2

Existe um único equilíbrio de Nash em estratégias mistas:(4/5, 1/5; 3/5, 2/5).

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 154

Equilíbrio de Nash via otimizaçãoq1 q2U V

p1 A (a, x) (b, y)

p2 B (c, z) (d , w)

u1(p1, p2; q1, q2) = p1q1a + p1q2b + p2q1c + p2q2d

=[

p1 p2] [

a bc d

] [q1q2

]= p1 · u1(1, 0; q1, q2) + p2 · u1(0, 1; q1, q2).

u2(p1, p2; q1, q2) = p1q1x + p1q2y + p2q1z + p2q2w

=[

p1 p2] [

x yz w

] [q1q2

]= q1 · u2(p1, p2; 1, 0) + q2 · u2(p1, p2; 0, 1).

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 155

Equilíbrio de Nash via otimizaçãoq1 q2U V

p1 A (a, x) (b, y)

p2 B (c, z) (d , w)

u1(p1, p2; q1, q2) = p1q1a + p1q2b + p2q1c + p2q2d

=[

p1 p2] [

a bc d

] [q1q2

]= p1 · u1(1, 0; q1, q2) + p2 · u1(0, 1; q1, q2).

u2(p1, p2; q1, q2) = p1q1x + p1q2y + p2q1z + p2q2w

=[

p1 p2] [

x yz w

] [q1q2

]= q1 · u2(p1, p2; 1, 0) + q2 · u2(p1, p2; 0, 1).

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 156

Equilíbrio de Nash via otimizaçãoq1 q2U V

p1 A (a, x) (b, y)

p2 B (c, z) (d , w)

u1(p1, p2; q1, q2) = p1q1a + p1q2b + p2q1c + p2q2d

=[

p1 p2] [

a bc d

] [q1q2

]= p1 · u1(1, 0; q1, q2) + p2 · u1(0, 1; q1, q2).

u2(p1, p2; q1, q2) = p1q1x + p1q2y + p2q1z + p2q2w

=[

p1 p2] [

x yz w

] [q1q2

]= q1 · u2(p1, p2; 1, 0) + q2 · u2(p1, p2; 0, 1).

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 157

Equilíbrio de Nash via otimizaçãoq1 q2U V

p1 A (a, x) (b, y)

p2 B (c, z) (d , w)

u1(p1, p2; q1, q2) = p1q1a + p1q2b + p2q1c + p2q2d

=[

p1 p2] [

a bc d

] [q1q2

]= p1 · u1(1, 0; q1, q2) + p2 · u1(0, 1; q1, q2).

u2(p1, p2; q1, q2) = p1q1x + p1q2y + p2q1z + p2q2w

=[

p1 p2] [

x yz w

] [q1q2

]= q1 · u2(p1, p2; 1, 0) + q2 · u2(p1, p2; 0, 1).

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 158

Equilíbrio de Nash via otimização

z11(p1, p2; q1, q2) = u1(1, 0; q1, q2) − u1(p1, p2; q1, q2),

z12(p1, p2; q1, q2) = u1(0, 1; q1, q2) − u1(p1, p2; q1, q2),

z21(p1, p2; q1, q2) = u2(p1, p2; 1, 0) − u2(p1, p2; q1, q2),

z22(p1, p2; q1, q2) = u2(p1, p2; 0, 1) − u2(p1, p2; q1, q2).

(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) é equilíbrio de Nashm

z11(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,

z12(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,

z21(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,

z22(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 159

Equilíbrio de Nash via otimização

z11(p1, p2; q1, q2) = u1(1, 0; q1, q2) − u1(p1, p2; q1, q2),

z12(p1, p2; q1, q2) = u1(0, 1; q1, q2) − u1(p1, p2; q1, q2),

z21(p1, p2; q1, q2) = u2(p1, p2; 1, 0) − u2(p1, p2; q1, q2),

z22(p1, p2; q1, q2) = u2(p1, p2; 0, 1) − u2(p1, p2; q1, q2).

(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) é equilíbrio de Nashm

z11(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,

z12(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,

z21(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,

z22(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 160

Equilíbrio de Nash via otimização

g11(p1, p2; q1, q2) = max{0, z11(p1, p2; q1, q2)},g12(p1, p2; q1, q2) = max{0, z12(p1, p2; q1, q2)},g21(p1, p2; q1, q2) = max{0, z21(p1, p2; q1, q2)},g22(p1, p2; q1, q2) = max{0, z22(p1, p2; q1, q2)}.

(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) é equilíbrio de Nashm

z11(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,

z12(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,

z21(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,

z22(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0.

mg11(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0,

g12(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0,

g21(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0,

g22(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 161

Equilíbrio de Nash via otimização

g11(p1, p2; q1, q2) = max{0, z11(p1, p2; q1, q2)},g12(p1, p2; q1, q2) = max{0, z12(p1, p2; q1, q2)},g21(p1, p2; q1, q2) = max{0, z21(p1, p2; q1, q2)},g22(p1, p2; q1, q2) = max{0, z22(p1, p2; q1, q2)}.

(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) é equilíbrio de Nashm

z11(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,

z12(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,

z21(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,

z22(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0.

mg11(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0,

g12(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0,

g21(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0,

g22(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 162

Equilíbrio de Nash via otimização

(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) é equilíbrio de Nash

mg11(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0,

g12(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0,

g21(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0,

g22(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0.

m

(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2)

minimiza

[g11(p1, p2; q1, q2)]2 + [g12(p1, p2; q1, q2)]

2 + [g21(p1, p2; q1, q2)]2 + [g22(p1, p2; q1, q2)]

2

sujeito a

0 ≤ p1, p2, q1, q2 ≤ 1, p1 + p2 = 1, q1 + q2 = 1.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 163

Equilíbrio de Nash via otimização

minimizar

[g11(p1, p2; q1, q2)]2 + [g12(p1, p2; q1, q2)]

2 + [g21(p1, p2; q1, q2)]2 + [g22(p1, p2; q1, q2)]

2

sujeito a

0 ≤ p1, p2, q1, q2 ≤ 1, p1 + p2 = 1, q1 + q2 = 1.

A função que queremos minimizar é de classe C1

(McKelvey, 1998).

g11(p1, p2; q1, q2) = max{0, z11(p1, p2; q1, q2)},g12(p1, p2; q1, q2) = max{0, z12(p1, p2; q1, q2)},g21(p1, p2; q1, q2) = max{0, z21(p1, p2; q1, q2)},g22(p1, p2; q1, q2) = max{0, z22(p1, p2; q1, q2)}.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 164

Equilíbrio de Nash via otimização

minimizar

[g11(p1, p2; q1, q2)]2 + [g12(p1, p2; q1, q2)]

2 + [g21(p1, p2; q1, q2)]2 + [g22(p1, p2; q1, q2)]

2

sujeito a

0 ≤ p1, p2, q1, q2 ≤ 1, p1 + p2 = 1, q1 + q2 = 1.

A função que queremos minimizar é de classe C1

(McKelvey, 1998).

g11(p1, p2; q1, q2) = max{0, z11(p1, p2; q1, q2)},g12(p1, p2; q1, q2) = max{0, z12(p1, p2; q1, q2)},g21(p1, p2; q1, q2) = max{0, z21(p1, p2; q1, q2)},g22(p1, p2; q1, q2) = max{0, z22(p1, p2; q1, q2)}.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 165

Equilíbrio de Nash via otimização

minimizar

[g11(p1, p2; q1, q2)]2 + [g12(p1, p2; q1, q2)]

2 + [g21(p1, p2; q1, q2)]2 + [g22(p1, p2; q1, q2)]

2

sujeito a

0 ≤ p1, p2, q1, q2 ≤ 1, p1 + p2 = 1, q1 + q2 = 1.

A função que queremos minimizar é de classe C1

(McKelvey, 1998).

g11(p1, p2; q1, q2) = max{0, z11(p1, p2; q1, q2)},g12(p1, p2; q1, q2) = max{0, z12(p1, p2; q1, q2)},g21(p1, p2; q1, q2) = max{0, z21(p1, p2; q1, q2)},g22(p1, p2; q1, q2) = max{0, z22(p1, p2; q1, q2)}.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 166

Exemplo: o dilema do prisioneiro

minimizar G(p, q) = (max {0,− (−1 + p) (4 q + 1)})2 +

(max {0,−p (4 q + 1)})2 +

(max {0,− (4 p + 1) (−1 + q)})2 +

(max {0,−q (4 p + 1)})2

sujeito a 0 ≤ p ≤ 1,0 ≤ q ≤ 1.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 167

Exemplo: o dilema do prisioneiro

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1p

0

0.5

1

q0

5

10

15

20

25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1p

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

q

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 168

Exemplo: a batalha dos sexos

minimizar G(p, q) = (max {0,−5 (−1 + p) (3 q − 1)})2 +

(max {0,−5 p (3 q − 1)})2 +

(max {0,−5 (3 p − 2) (−1 + q)))2 +

(max {0,−5 q (3 p − 2)})2

sujeito a 0 ≤ p ≤ 1,0 ≤ q ≤ 1.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 169

Exemplo: a batalha dos sexos

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1p

00.2

0.40.6

0.81

q

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1p

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

q

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 170

Exemplo: combinar moedas

minimizar G(p, q) = (max {0,−2 (−1 + p) (2 q − 1)})2 +

(max {0,−2 p (2 q − 1)})2 +

(max {0, 2 (2 p − 1) (−1 + q)})2 +

(max {0, 2 (2 p − 1) q})2

sujeito a 0 ≤ p ≤ 1,0 ≤ q ≤ 1.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 171

Exemplo: combinar moedas

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

p0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

q

1

2

3

40 0.2 0.4 0.6 0.8 1

p

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

q

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 172

Le Her simplificado

Vamos jogar!

1713: James Waldegrave (solução emestratégia mista para o jogo Le Her).

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 173

Le Her simplificado

Analysis of N-Card Le HerA. T. Benjamin e A. J. Goldman

(2002)

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 174

Le Her simplificado

http://www.professores.uff.br/hjbortol/arquivo/2007.1/applets/leher1_br.html

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 175

Parte 4

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 176

Le Her simplificado

Analysis of N-Card Le HerA. T. Benjamin e A. J. Goldman

(2002)

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 177

Le Her simplificado

A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K

A 0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462

2 0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500

3 0.571 0.538 0.506 0.480 0.460 0.447 0.440 0.439 0.445 0.457 0.476 0.501 0.533

4 0.596 0.569 0.543 0.517 0.496 0.481 0.473 0.471 0.476 0.487 0.505 0.529 0.559

5 0.613 0.592 0.571 0.550 0.529 0.513 0.503 0.499 0.502 0.512 0.527 0.550 0.578

6 0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590

7 0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593

8 0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553 0.547 0.548 0.555 0.568 0.588

9 0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555 0.549 0.545 0.548 0.558 0.573

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Q 0.526 0.524 0.523 0.521 0.519 0.517 0.516 0.514 0.512 0.510 0.509 0.508 0.514

J 0.474 0.474 0.473 0.473 0.472 0.471 0.471 0.470 0.470 0.469 0.469 0.468 0.468

K 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 178

Le Her simplificado

http://www.professores.uff.br/hjbortol/arquivo/2007.1/applets/leher2_br.html

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 179

Le Her simplificado

A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K

A 0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462

2 0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500

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6 0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590

7 0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593

8 0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553 0.547 0.548 0.555 0.568 0.588

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Q 0.526 0.524 0.523 0.521 0.519 0.517 0.516 0.514 0.512 0.510 0.509 0.508 0.514

J 0.474 0.474 0.473 0.473 0.472 0.471 0.471 0.470 0.470 0.469 0.469 0.468 0.468

K 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 180

Le Her simplificado

A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K

A 0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462

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7 0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593

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Q 0.526 0.524 0.523 0.521 0.519 0.517 0.516 0.514 0.512 0.510 0.509 0.508 0.514

J 0.474 0.474 0.473 0.473 0.472 0.471 0.471 0.470 0.470 0.469 0.469 0.468 0.468

K 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 181

Le Her simplificado

A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K

A 0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462

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6 0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590

7 0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593

8 0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553 0.547 0.548 0.555 0.568 0.588

9 0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555 0.549 0.545 0.548 0.558 0.573

10

0.566 0.563 0.559 0.556 0.552 0.549 0.545 0.542 0.538 0.535 0.533 0.538 0.549

Q

0.526 0.524 0.523 0.521 0.519 0.517 0.516 0.514 0.512 0.510 0.509 0.508 0.514

J

0.474 0.474 0.473 0.473 0.472 0.471 0.471 0.470 0.470 0.469 0.469 0.468 0.468

K

0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 182

Le Her simplificado

A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K

A 0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462

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7 0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593

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9 0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555 0.549 0.545 0.548 0.558 0.573

10

0.566 0.563 0.559 0.556 0.552 0.549 0.545 0.542 0.538 0.535 0.533 0.538 0.549

Q

0.526 0.524 0.523 0.521 0.519 0.517 0.516 0.514 0.512 0.510 0.509 0.508 0.514

J

0.474 0.474 0.473 0.473 0.472 0.471 0.471 0.470 0.470 0.469 0.469 0.468 0.468

K

0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 183

Le Her simplificado

A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K

A

0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462

2

0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500

3

0.571 0.538 0.506 0.480 0.460 0.447 0.440 0.439 0.445 0.457 0.476 0.501 0.533

4

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5

0.613 0.592 0.571 0.550 0.529 0.513 0.503 0.499 0.502 0.512 0.527 0.550 0.578

6

0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590

7 0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593

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9 0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555 0.549 0.545 0.548 0.558 0.573

10

0.566 0.563 0.559 0.556 0.552 0.549 0.545 0.542 0.538 0.535 0.533 0.538 0.549

Q

0.526 0.524 0.523 0.521 0.519 0.517 0.516 0.514 0.512 0.510 0.509 0.508 0.514

J

0.474 0.474 0.473 0.473 0.472 0.471 0.471 0.470 0.470 0.469 0.469 0.468 0.468

K

0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 184

Le Her simplificado

A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K

A

0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462

2

0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500

3

0.571 0.538 0.506 0.480 0.460 0.447 0.440 0.439 0.445 0.457 0.476 0.501 0.533

4

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5

0.613 0.592 0.571 0.550 0.529 0.513 0.503 0.499 0.502 0.512 0.527 0.550 0.578

6

0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590

7 0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593

8 0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553 0.547 0.548 0.555 0.568 0.588

9 0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555 0.549 0.545 0.548 0.558 0.573

10

0.566 0.563 0.559 0.556 0.552 0.549 0.545 0.542 0.538 0.535 0.533 0.538 0.549

Q

0.526 0.524 0.523 0.521 0.519 0.517 0.516 0.514 0.512 0.510 0.509 0.508 0.514

J

0.474 0.474 0.473 0.473 0.472 0.471 0.471 0.470 0.470 0.469 0.469 0.468 0.468

K

0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 185

Le Her simplificado

A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K

A

0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462

2

0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500

3

0.571 0.538 0.506 0.480 0.460 0.447 0.440 0.439 0.445 0.457 0.476 0.501 0.533

4

0.596 0.569 0.543 0.517 0.496 0.481 0.473 0.471 0.476 0.487 0.505 0.529 0.559

5

0.613 0.592 0.571 0.550 0.529 0.513 0.503 0.499 0.502 0.512 0.527 0.550 0.578

6

0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590

7

0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541

0.538 0.543

0.553 0.570 0.593

8

0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553

0.547 0.548

0.555 0.568 0.588

9

0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555

0.549 0.545

0.548 0.558 0.573

10

0.566 0.563 0.559 0.556 0.552 0.549 0.545 0.542 0.538 0.535 0.533 0.538 0.549

Q

0.526 0.524 0.523 0.521 0.519 0.517 0.516 0.514 0.512 0.510 0.509 0.508 0.514

J

0.474 0.474 0.473 0.473 0.472 0.471 0.471 0.470 0.470 0.469 0.469 0.468 0.468

K

0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 186

Le Her simplificado

A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K

A

0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462

2

0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500

3

0.571 0.538 0.506 0.480 0.460 0.447 0.440 0.439 0.445 0.457 0.476 0.501 0.533

4

0.596 0.569 0.543 0.517 0.496 0.481 0.473 0.471 0.476 0.487 0.505 0.529 0.559

5

0.613 0.592 0.571 0.550 0.529 0.513 0.503 0.499 0.502 0.512 0.527 0.550 0.578

6

0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590

7

0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541

0.538 0.543

0.553 0.570 0.593

8

0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553

0.547 0.548

0.555 0.568 0.588

9

0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555

0.549 0.545

0.548 0.558 0.573

10

0.566 0.563 0.559 0.556 0.552 0.549 0.545 0.542 0.538 0.535 0.533 0.538 0.549

Q

0.526 0.524 0.523 0.521 0.519 0.517 0.516 0.514 0.512 0.510 0.509 0.508 0.514

J

0.474 0.474 0.473 0.473 0.472 0.471 0.471 0.470 0.470 0.469 0.469 0.468 0.468

K

0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 187

Le Her simplificado

A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K

A

0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462

2

0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500

3

0.571 0.538 0.506 0.480 0.460 0.447 0.440 0.439 0.445 0.457 0.476 0.501 0.533

4

0.596 0.569 0.543 0.517 0.496 0.481 0.473 0.471 0.476 0.487 0.505 0.529 0.559

5

0.613 0.592 0.571 0.550 0.529 0.513 0.503 0.499 0.502 0.512 0.527 0.550 0.578

6

0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590

7

0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593

8

0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553

0.547 0.548

0.555 0.568 0.588

9

0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555

0.549 0.545

0.548 0.558 0.573

10

0.566 0.563 0.559 0.556 0.552 0.549 0.545 0.542 0.538 0.535 0.533 0.538 0.549

Q

0.526 0.524 0.523 0.521 0.519 0.517 0.516 0.514 0.512 0.510 0.509 0.508 0.514

J

0.474 0.474 0.473 0.473 0.472 0.471 0.471 0.470 0.470 0.469 0.469 0.468 0.468

K

0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410

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Le Her simplificado

A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K

A

0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462

2

0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500

3

0.571 0.538 0.506 0.480 0.460 0.447 0.440 0.439 0.445 0.457 0.476 0.501 0.533

4

0.596 0.569 0.543 0.517 0.496 0.481 0.473 0.471 0.476 0.487 0.505 0.529 0.559

5

0.613 0.592 0.571 0.550 0.529 0.513 0.503 0.499 0.502 0.512 0.527 0.550 0.578

6

0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590

7

0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593

8

0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553

0.547 0.548

0.555 0.568 0.588

9

0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555

0.549 0.545

0.548 0.558 0.573

10

0.566 0.563 0.559 0.556 0.552 0.549 0.545 0.542 0.538 0.535 0.533 0.538 0.549

Q

0.526 0.524 0.523 0.521 0.519 0.517 0.516 0.514 0.512 0.510 0.509 0.508 0.514

J

0.474 0.474 0.473 0.473 0.472 0.471 0.471 0.470 0.470 0.469 0.469 0.468 0.468

K

0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410

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Exercício

jogador 2U V

joga

dor1 A

(+

5471000

,− 5471000

) (+

5481000

,− 5481000

)B

(+

5491000

,− 5491000

) (+

5451000

,− 5451000

)

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Resposta

14/5 p0

3/5

1

q

(A)(B)

(V)

(U)

(g )1

(g )2

Existe um único equilíbrio de Nash em estratégias mistas:(4/5, 1/5; 3/5, 2/5).

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Le Her simplificado

A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K

A

0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462

2

0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500

3

0.571 0.538 0.506 0.480 0.460 0.447 0.440 0.439 0.445 0.457 0.476 0.501 0.533

4

0.596 0.569 0.543 0.517 0.496 0.481 0.473 0.471 0.476 0.487 0.505 0.529 0.559

5

0.613 0.592 0.571 0.550 0.529 0.513 0.503 0.499 0.502 0.512 0.527 0.550 0.578

6

0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590

7

0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593

8

0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553

0.547 0.548

0.555 0.568 0.588

9

0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555

0.549 0.545

0.548 0.558 0.573

10

0.566 0.563 0.559 0.556 0.552 0.549 0.545 0.542 0.538 0.535 0.533 0.538 0.549

Q

0.526 0.524 0.523 0.521 0.519 0.517 0.516 0.514 0.512 0.510 0.509 0.508 0.514

J

0.474 0.474 0.473 0.473 0.472 0.471 0.471 0.470 0.470 0.469 0.469 0.468 0.468

K

0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410

Equilíbrio de Nash: (4/5, 1/5; 3/5, 2/5)

Payoff médio: (0.5474, 0.4526)

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Le Her simplificado

A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K

A 858 792 737 693 660 638 627 627 638 660 693 737 792

2 924 858 803 759 726 704 693 693 704 726 759 803 858

3 979 924 869 824 790 767 755 754 764 785 817 860 914

4 1022 977 932 887 851 826 812 809 817 836 866 907 959

5 1052 1016 980 944 908 880 863 857 862 878 905 943 992

6 1068 1040 1012 984 956 928 907 897 898 910 933 967 1012

7 1069 1048 1027 1006 985 964 943 928 924 931 949 978 1018

8 1054 1039 1024 1009 994 979 964 949 939 940 952 975 1009

9 1022 1012 1002 992 982 972 962 952 942 936 941 957 984

10 972 966 960 954 948 942 936 930 924 918 915 923 942

Q 903 900 897 894 891 888 885 882 879 876 873 872 882

J 814 813 812 811 810 809 808 807 806 805 804 803 803

K 704 704 704 704 704 704 704 704 704 704 704 704 704

× 11716

Equilíbrio de Nash: (6/7, 1/7; 4/7, 3/7)

Payoff médio: (0.551, 0.449)

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Le Her

(Benjamim e Goldman, 2002): redução para umamatriz 2 × 2 ocorre para qualquer baralho com umnúmero N ≥ 3 de cartas de um mesmo naipe.

Jogo original: 52 cartas e o o jogador 2 pode se negara trocar de cartas com o jogador 1 se sua carta for K .Para cartas de mesmo valor (mas naipes diferentes), ojogador 2 vence.

Estudado por Montmort, Bernoulli e Waldegrave: IsaacTodhunter, A History of the Mathematical Theory ofProbability, 1949. (http://gallica.bnf.fr/).

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O Teorema de Equilíbrio de Nash

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Solução de um jogo: equilíbrio de Nash

Dizemos que um perfil de estratégia

p∗ = (p∗1, p∗2, . . . , p∗n) ∈ ∆ = ∆m1 ×∆m2 × · · · ×∆mn

é um equilíbrio de Nash em estratégias mistas se

ui(p∗i , p∗−i) ≥ ui(p, p∗−i)

para todo p ∈ ∆mi , com i = 1, . . . , n.

Definição

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O teorema de equilíbrio de Nash

Todo jogo finito na forma estratégicapossui pelos um equilíbrio de Nash emestratégias mistas.

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O teorema do ponto fixo de Brouwer

Se ∆ é um subconjunto compacto, convexo e não-vazio de um espaço euclidiano de dimensão finita e seF : ∆ → ∆ é uma função contínua, então F possui umponto fixo em ∆, isto é, existe p∗ ∈ ∆ tal que

F(p∗) = p∗.

ReferênciasC. H. Hönig, Aplicações da Topologia à Análise. Projeto Euclides, IMPA, 1986.

T. Stuckless, Brouwer’s Fixed Point Theorem: Methods of Proof and Generaliza-tions. Master dissertation, Simon Fraser University, 2003.

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O teorema do ponto fixo de Brouwer

Se ∆ é um subconjunto compacto, convexo e não-vazio de um espaço euclidiano de dimensão finita e seF : ∆ → ∆ é uma função contínua, então F possui umponto fixo em ∆, isto é, existe p∗ ∈ ∆ tal que

F(p∗) = p∗.

ReferênciasC. H. Hönig, Aplicações da Topologia à Análise. Projeto Euclides, IMPA, 1986.

T. Stuckless, Brouwer’s Fixed Point Theorem: Methods of Proof and Generaliza-tions. Master dissertation, Simon Fraser University, 2003.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 199

Funções de melhor resposta em estratégias mistas

∆ = [0, 1]

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 200

Funções de melhor resposta em estratégias mistas

∆ = [0, 1]

1 p0

1

q

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Funções de melhor resposta em estratégias mistas

∆ = [0, 1]

1∆ p0

1

∆

q

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Funções de melhor resposta em estratégias mistas

∆ = [0, 1]

1∆ p0

1

∆

q

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 203

Funções de melhor resposta em estratégias mistas

∆ = [0, 1]

1∆ p0

1

∆

q

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 204

Funções de melhor resposta em estratégias mistas

∆ = [0, 1]

1∆ p0

1

∆

q

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Combinações convexas

q1 q2U V

p1 A (a, x) (b, y)

p2 B (c, z) (d , w)

u1(p1, p2; q1, q2) = p1q1a + p1q2b + p2q1c + p2q2d

= p1 · u1(1, 0; q1, q2) + p2 · u1(0, 1; q1, q2).

u2(p1, p2; q1, q2) = p1q1x + p1q2y + p2q1z + p2q2w

= q1 · u2(p1, p2; 1, 0) + q2 · u2(p1, p2; 0, 1).

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Teorema 3.2

z11(p1, p2; q1, q2) = u1(1, 0; q1, q2) − u1(p1, p2; q1, q2),

z12(p1, p2; q1, q2) = u1(0, 1; q1, q2) − u1(p1, p2; q1, q2),

z21(p1, p2; q1, q2) = u2(p1, p2; 1, 0) − u2(p1, p2; q1, q2),

z22(p1, p2; q1, q2) = u2(p1, p2; 0, 1) − u2(p1, p2; q1, q2).

(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) é equilíbrio de Nashm

z11(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,

z12(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,

z21(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,

z22(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 207

Teorema 3.3

g11(p1, p2; q1, q2) = max{0, z11(p1, p2; q1, q2)},g12(p1, p2; q1, q2) = max{0, z12(p1, p2; q1, q2)},g21(p1, p2; q1, q2) = max{0, z21(p1, p2; q1, q2)},g22(p1, p2; q1, q2) = max{0, z22(p1, p2; q1, q2)}.

(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) é equilíbrio de Nashm

g11(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0,

g12(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0,

g21(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0,

g22(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0.

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Teorema 3.4

F : ∆2 ×∆2 → ∆2 ×∆2

F (p1, p2; q1, q2) = (y11(p1, p2; q1, q2), y12(p1, p2; q1, q2); y21(p1, p2; q1, q2), y22(p1, p2; q1, q2))

y11(p1, p2; q1, q2) =p1 + g11(p1, p2; q1, q2)

1 + g11(p1, p2; q1, q2) + g12(p1, p2; q1, q2)

y12(p1, p2; q1, q2) =p2 + g12(p1, p2; q1, q2)

1 + g11(p1, p2; q1, q2) + g12(p1, p2; q1, q2)

y21(p1, p2; q1, q2) =q1 + g21(p1, p2; q1, q2)

1 + g21(p1, p2; q1, q2) + g22(p1, p2; q1, q2)

y22(p1, p2; q1, q2) =q2 + g22(p1, p2; q1, q2)

1 + g21(p1, p2; q1, q2) + g22(p1, p2; q1, q2)

(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) é equilíbrio de Nash ⇔ (p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) é ponto fixo de F

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Teorema 3.4

F : ∆2 ×∆2 → ∆2 ×∆2

F (p1, p2; q1, q2) = (y11(p1, p2; q1, q2), y12(p1, p2; q1, q2); y21(p1, p2; q1, q2), y22(p1, p2; q1, q2))

y11(p1, p2; q1, q2) =p1 + g11(p1, p2; q1, q2)

1 + g11(p1, p2; q1, q2) + g12(p1, p2; q1, q2)

y12(p1, p2; q1, q2) =p2 + g12(p1, p2; q1, q2)

1 + g11(p1, p2; q1, q2) + g12(p1, p2; q1, q2)

y21(p1, p2; q1, q2) =q1 + g21(p1, p2; q1, q2)

1 + g21(p1, p2; q1, q2) + g22(p1, p2; q1, q2)

y22(p1, p2; q1, q2) =q2 + g22(p1, p2; q1, q2)

1 + g21(p1, p2; q1, q2) + g22(p1, p2; q1, q2)

(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) é equilíbrio de Nash ⇔ (p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) é ponto fixo de F

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 210

O teorema de equilíbrio de Nash

F : ∆2 ×∆2 → ∆2 ×∆2

F (p1, p2; q1, q2) = (y11(p1, p2; q1, q2), y12(p1, p2; q1, q2); y21(p1, p2; q1, q2), y22(p1, p2; q1, q2))

y11(p1, p2; q1, q2) =p1 + g11(p1, p2; q1, q2)

1 + g11(p1, p2; q1, q2) + g12(p1, p2; q1, q2)

y12(p1, p2; q1, q2) =p2 + g12(p1, p2; q1, q2)

1 + g11(p1, p2; q1, q2) + g12(p1, p2; q1, q2)

y21(p1, p2; q1, q2) =q1 + g21(p1, p2; q1, q2)

1 + g21(p1, p2; q1, q2) + g22(p1, p2; q1, q2)

y22(p1, p2; q1, q2) =q2 + g22(p1, p2; q1, q2)

1 + g21(p1, p2; q1, q2) + g22(p1, p2; q1, q2)

∆ = ∆2 ×∆2 é compacto, convexo e não-vazio e F é contínua.

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Os teoremas de Brouwer e Nash são equivalentes

(Torrez-Martínez, 2006) e (Zhao, 2002)

demonstraram o teorema do ponto fixo de Brouwer a partir doteorema de equilíbrio de Nash.

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Parte 5

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Gambit

Gambit é um programa de computador,gratuito e multiplataforma,

orientado para a construção e análise de jogos finitos.

http://econweb.tamu.edu/gambit

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Jogos infinitos

G = {g1, . . . , gi , . . . , gn}, S = S1 × · · · × Si × · · · × Sn

mas, agora, os conjuntos de estratégias puras S1, . . . , Snpodem ser infinitos.

ui : S = S1 × · · · × Si × · · · × Sn → Rs = (s1, . . . , si , . . . , sn) 7→ ui(s1, . . . , si , . . . , sn)

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Jogos infinitos

G = {g1, . . . , gi , . . . , gn}, S = S1 × · · · × Si × · · · × Sn

mas, agora, os conjuntos de estratégias puras S1, . . . , Snpodem ser infinitos.

ui : S = S1 × · · · × Si × · · · × Sn → Rs = (s1, . . . , si , . . . , sn) 7→ ui(s1, . . . , si , . . . , sn)

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Jogos infinitos: dominância estrita

Dizemos que uma estratégia pura si ∈ Si do jogadorgi ∈ G é estritamente dominada pela estratégia s′i ∈ Sise

ui(s′i , s−i) > ui(si , s−i),

para todo s−i ∈ S−i .

Definição

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Jogos infinitos: equilíbrio de Nash

Dizemos que um perfil de estratégias

s∗ = (s∗1, . . . , s∗(i−1), s∗i , s∗(i+1), . . . , s∗n) ∈ S

é um equilíbrio de Nash se

ui(s∗i , s∗−i) ≥ ui(si , s∗−i)

para todo i = 1, . . . , n e para todo si ∈ Si .

Definição

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Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

G = {g1, g2}, S1 = S2 = [0, 1], u1, u2 : S = S1 × S2 → R

u1(x , y) =

x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,

u2(x , y) =

y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.

Toda estratégia pura x ∈ [0, 1) do jogador g1 é estritamente dominada.

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Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

G = {g1, g2}, S1 = S2 = [0, 1], u1, u2 : S = S1 × S2 → R

u1(x , y) =

x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,

u2(x , y) =

y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.

Toda estratégia pura x ∈ [0, 1) do jogador g1 é estritamente dominada.

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Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

G = {g1, g2}, S1 = S2 = [0, 1], u1, u2 : S = S1 × S2 → R

u1(x , y) =

x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,

u2(x , y) =

y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.

Toda estratégia pura x ∈ [0, 1) do jogador g1 é estritamente dominada.

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Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

G = {g1, g2}, S1 = S2 = [0, 1], u1, u2 : S = S1 × S2 → R

u1(x , y) =

x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,

u2(x , y) =

y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.

Para x ∈ [0, 1), u1( ? , y) > u1(x , y), para todo y ∈ [0, 1].

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Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

G = {g1, g2}, S1 = S2 = [0, 1], u1, u2 : S = S1 × S2 → R

u1(x , y) =

x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,

u2(x , y) =

y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.

Para x ∈ [0, 1), u1((x + 1)/2, y) > u1(x , y), para todo y ∈ [0, 1].

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Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

G = {g1, g2}, S1 = S2 = [0, 1], u1, u2 : S = S1 × S2 → R

u1(x , y) =

x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,

u2(x , y) =

y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.

Toda estratégia pura y ∈ [0, 1) do jogador g2 é estritamente dominada.

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Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

G = {g1, g2}, S1 = S2 = [0, 1], u1, u2 : S = S1 × S2 → R

u1(x , y) =

x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,

u2(x , y) =

y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.

Para y ∈ [0, 1), u2(x , ? ) > u2(x , y), para todo x ∈ [0, 1].

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Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

G = {g1, g2}, S1 = S2 = [0, 1], u1, u2 : S = S1 × S2 → R

u1(x , y) =

x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,

u2(x , y) =

y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.

Para y ∈ [0, 1), u2(x , (y + 1)/2 ) > u2(x , y), para todo x ∈ [0, 1].

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Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

G = {g1, g2}, S1 = S2 = [0, 1], u1, u2 : S = S1 × S2 → R

u1(x , y) =

x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,

u2(x , y) =

y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.

(x , y) = (1, 1) é o único equilíbrio de Nash do jogo.

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Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

G = {g1, g2}, S1 = S2 = [0, 1], u1, u2 : S = S1 × S2 → R

u1(x , y) =

x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,

u2(x , y) =

y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.

u1(1, 1) = 1 ≥ u1(x , 1) e u2(1, 1) = 1 ≥ u2(1, y), ∀x , y ,∈ [0, 1].

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 228

Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

u1(x , y) =

x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,

u2(x , y) =

y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.

Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:

g21 t

g11 (

1

,

1

) (

0

,

t

)

t (

t

,

0

) (

t

,

t

)

Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 229

Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

u1(x , y) =

x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,

u2(x , y) =

y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.

Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:

g21 t

g11 (

1

,

1

) (

0

,

t

)

t (

t

,

0

) (

t

,

t

)

Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 230

Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

u1(x , y) =

x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,

u2(x , y) =

y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.

Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:

g21 t

g11 (1,

1

) (

0

,

t

)

t (

t

,

0

) (

t

,

t

)

Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 231

Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

u1(x , y) =

x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,

u2(x , y) =

y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.

Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:

g21 t

g11 (1,

1

) (0,

t

)

t (

t

,

0

) (

t

,

t

)

Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 232

Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

u1(x , y) =

x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,

u2(x , y) =

y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.

Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:

g21 t

g11 (1,

1

) (0,

t

)

t (t ,

0

) (

t

,

t

)

Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 233

Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

u1(x , y) =

x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,

u2(x , y) =

y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.

Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:

g21 t

g11 (1,

1

) (0,

t

)

t (t ,

0

) (t ,

t

)

Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 234

Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

u1(x , y) =

x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,

u2(x , y) =

y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.

Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:

g21 t

g11 (1, 1) (0,

t

)

t (t ,

0

) (t ,

t

)

Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!

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Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

u1(x , y) =

x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,

u2(x , y) =

y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.

Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:

g21 t

g11 (1, 1) (0, t)

t (t ,

0

) (t ,

t

)

Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 236

Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

u1(x , y) =

x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,

u2(x , y) =

y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.

Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:

g21 t

g11 (1, 1) (0, t)

t (t , 0) (t ,

t

)

Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 237

Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

u1(x , y) =

x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,

u2(x , y) =

y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.

Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:

g21 t

g11 (1, 1) (0, t)

t (t , 0) (t , t)

Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!

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Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

u1(x , y) =

x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,

u2(x , y) =

y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.

Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:

g21 t

g11 (1, 1) (0, t)

t (t , 0) (t , t)

Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 239

Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

u1(x , y) =

x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,

u2(x , y) =

y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.

Qual é a melhor resposta de g1 à estratégia y = 1/2 de g2?

g21 t

g11 (1, 1) (0, t)

t (t , 0) (t , t)

Moral: em jogos infinitos, pode não existir a melhor resposta!

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Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

u1(x , y) =

x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,

u2(x , y) =

y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.

Qual é a melhor resposta de g1 à estratégia y = 1/2 de g2?

g21 t

g11 (1, 1) (0, t)

t (t , 0) (t , t)

Moral: em jogos infinitos, pode não existir a melhor resposta!

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 241

Jogos infinitos

E estratégias mistas?

Para estudar soluções em estratégias mistas em jogos infinitos,a teoria de medida e integração é necessária!

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Jogos infinitos

E estratégias mistas?

Para estudar soluções em estratégias mistas em jogos infinitos,a teoria de medida e integração é necessária!

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O modelo de duopólio de Cournot

1838: Augustin Cournot.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 244

O modelo de duopólio de Cournot (Gibbons)

Quantidades produzidas pelas empresas 1 e 2: q1 e q2.

Situação de market-clearing.

O preço depende da quantidade agregada Q = q1 + q2:

P(Q) =

{A−Q, se Q < A,0, se Q ≥ A,

=

{A− (q1 + q2), se q1 + q2 < A,0, se q1 + q2 ≥ A.

A é o preço máximo aceitável pelo mercado.

Custos totais: C1(q1) = c ·q1 e C2(q2) = c ·q2, com c > 0.

Para simplificar: c < A.

O ganho de cada empresa é o lucro que ela obtém.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 245

O modelo de duopólio de Cournot

g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.

q1 ∈ S1 = [0,∞), q2 ∈ S2 = [0,∞), S = S1 × S2.

Funções utilidade u1, u2 : S1 × S2 → R:

u1(q1, q2) = q1 · P(q1 + q2)− c · q1

=

{q1 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,

=

{q1 · (−q1 + (A− q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,

u2(q1, q2) = q2 · P(q1 + q2)− c · q2

=

{q2 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A,

=

{q2 · (−q2 + (A− q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A.

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O modelo de duopólio de Cournot

g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.

q1 ∈ S1 = [0,∞), q2 ∈ S2 = [0,∞), S = S1 × S2.

Funções utilidade u1, u2 : S1 × S2 → R:

u1(q1, q2) = q1 · P(q1 + q2)− c · q1

=

{q1 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,

=

{q1 · (−q1 + (A− q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,

u2(q1, q2) = q2 · P(q1 + q2)− c · q2

=

{q2 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A,

=

{q2 · (−q2 + (A− q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A.

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O modelo de duopólio de Cournot

g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.

q1 ∈ S1 = [0,∞), q2 ∈ S2 = [0,∞), S = S1 × S2.

Funções utilidade u1, u2 : S1 × S2 → R:

u1(q1, q2) = q1 · P(q1 + q2)− c · q1

=

{q1 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,

=

{q1 · (−q1 + (A− q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,

u2(q1, q2) = q2 · P(q1 + q2)− c · q2

=

{q2 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A,

=

{q2 · (−q2 + (A− q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A.

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O modelo de duopólio de Cournot

g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.

q1 ∈ S1 = [0,∞), q2 ∈ S2 = [0,∞), S = S1 × S2.

Funções utilidade u1, u2 : S1 × S2 → R:

u1(q1, q2) = q1 · P(q1 + q2)− c · q1

=

{q1 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,

=

{q1 · (−q1 + (A− q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,

u2(q1, q2) = q2 · P(q1 + q2)− c · q2

=

{q2 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A,

=

{q2 · (−q2 + (A− q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A.

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O modelo de duopólio de Cournot

g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.

q1 ∈ S1 = [0,∞), q2 ∈ S2 = [0,∞), S = S1 × S2.

Funções utilidade u1, u2 : S1 × S2 → R:

u1(q1, q2) = q1 · P(q1 + q2)− c · q1

=

{q1 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,

=

{q1 · (−q1 + (A− q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,

u2(q1, q2) = q2 · P(q1 + q2)− c · q2

=

{q2 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A,

=

{q2 · (−q2 + (A− q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A.

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O modelo de duopólio de Cournot

g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.

q1 ∈ S1 = [0,∞), q2 ∈ S2 = [0,∞), S = S1 × S2.

Funções utilidade u1, u2 : S1 × S2 → R:

u1(q1, q2) = q1 · P(q1 + q2)− c · q1

=

{q1 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,

=

{q1 · (−q1 + (A− q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,

u2(q1, q2) = q2 · P(q1 + q2)− c · q2

=

{q2 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A,

=

{q2 · (−q2 + (A− q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 251

O modelo de duopólio de Cournot

g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.

q1 ∈ S1 = [0,∞), q2 ∈ S2 = [0,∞), S = S1 × S2.

Funções utilidade u1, u2 : S1 × S2 → R:

u1(q1, q2) = q1 · P(q1 + q2)− c · q1

=

{q1 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,

=

{q1 · (−q1 + (A− q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,

u2(q1, q2) = q2 · P(q1 + q2)− c · q2

=

{q2 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A,

=

{q2 · (−q2 + (A− q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A.

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O modelo de duopólio de Cournot

g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.

q1 ∈ S1 = [0,∞), q2 ∈ S2 = [0,∞), S = S1 × S2.

Funções utilidade u1, u2 : S1 × S2 → R:

u1(q1, q2) = q1 · P(q1 + q2)− c · q1

=

{q1 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,

=

{q1 · (−q1 + (A− q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,

u2(q1, q2) = q2 · P(q1 + q2)− c · q2

=

{q2 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A,

=

{q2 · (−q2 + (A− q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 253

O modelo de duopólio de Cournot

g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.

q1 ∈ S1 = [0,∞), q2 ∈ S2 = [0,∞), S = S1 × S2.

Funções utilidade u1, u2 : S1 × S2 → R:

u1(q1, q2) = q1 · P(q1 + q2)− c · q1

=

{q1 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,

=

{q1 · (−q1 + (A− q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,

u2(q1, q2) = q2 · P(q1 + q2)− c · q2

=

{q2 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A,

=

{q2 · (−q2 + (A− q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 254

O modelo de duopólio de Cournot

u1(q1, q2) =

{q1 · (−q1 + (A− q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,

MR1(q2) =

{{(A− c − q2)/2}, se q2 ≤ A− c,{0}, se q2 > A− c,

u2(q1, q2) =

{q2 · (−q2 + (A− q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A,

MR2(q1) =

{{(A− c − q1)/2}, se q1 ≤ A− c,{0}, se q1 > A− c.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 255

O modelo de duopólio de Cournot

u1(q1, q2) =

{q1 · (−q1 + (A− q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,

MR1(q2) =

{{(A− c − q2)/2}, se q2 ≤ A− c,{0}, se q2 > A− c,

u2(q1, q2) =

{q2 · (−q2 + (A− q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A,

MR2(q1) =

{{(A− c − q1)/2}, se q1 ≤ A− c,{0}, se q1 > A− c.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 256

O modelo de duopólio de Cournot

u1(q1, q2) =

{q1 · (−q1 + (A− q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,

MR1(q2) =

{{(A− c − q2)/2}, se q2 ≤ A− c,{0}, se q2 > A− c,

u2(q1, q2) =

{q2 · (−q2 + (A− q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A,

MR2(q1) =

{{(A− c − q1)/2}, se q1 ≤ A− c,{0}, se q1 > A− c.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 257

O modelo de duopólio de Cournot

u1(q1, q2) =

{q1 · (−q1 + (A− q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,

MR1(q2) =

{{(A− c − q2)/2}, se q2 ≤ A− c,{0}, se q2 > A− c,

u2(q1, q2) =

{q2 · (−q2 + (A− q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A,

MR2(q1) =

{{(A− c − q1)/2}, se q1 ≤ A− c,{0}, se q1 > A− c.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 258

O modelo de duopólio de Cournot

MR1(q2) =

{{(A− c − q2)/2}, se q2 ≤ A− c,{0}, se q2 > A− c,

MR2(q1) =

{{(A− c − q1)/2}, se q1 ≤ A− c,{0}, se q1 > A− c.

0 (A { c)/2 A { c

(A { c)/2

A { c

q1

(q , q )1* *

2

q2

Equilíbrio de Nash: (q∗1, q∗2) =

(A− c

3,A− c

3

).

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Tem no livro, mas não vimos . . .

Demonstração do teorema de equilíbrio de Nash usandoo teorema de Kakutani.

Cálculo do equilíbrio de Nash resolvendo-se equaçõespolinomiais.

Jogos de soma zero: programação linear.

Cálculo do equilíbrio de Nash via um problema decomplementaridade.

Jogos seqüênciais.

Outros exemplos: os modelos de duopólio de Bertrand eStackelberg, a tragédia dos comuns.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 260

Tem no livro, mas não vimos . . .

Demonstração do teorema de equilíbrio de Nash usandoo teorema de Kakutani.

Cálculo do equilíbrio de Nash resolvendo-se equaçõespolinomiais.

Jogos de soma zero: programação linear.

Cálculo do equilíbrio de Nash via um problema decomplementaridade.

Jogos seqüênciais.

Outros exemplos: os modelos de duopólio de Bertrand eStackelberg, a tragédia dos comuns.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 261

Tem no livro, mas não vimos . . .

Demonstração do teorema de equilíbrio de Nash usandoo teorema de Kakutani.

Cálculo do equilíbrio de Nash resolvendo-se equaçõespolinomiais.

Jogos de soma zero: programação linear.

Cálculo do equilíbrio de Nash via um problema decomplementaridade.

Jogos seqüênciais.

Outros exemplos: os modelos de duopólio de Bertrand eStackelberg, a tragédia dos comuns.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 262

Tem no livro, mas não vimos . . .

Demonstração do teorema de equilíbrio de Nash usandoo teorema de Kakutani.

Cálculo do equilíbrio de Nash resolvendo-se equaçõespolinomiais.

Jogos de soma zero: programação linear.

Cálculo do equilíbrio de Nash via um problema decomplementaridade.

Jogos seqüênciais.

Outros exemplos: os modelos de duopólio de Bertrand eStackelberg, a tragédia dos comuns.

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 263

Tem no livro, mas não vimos . . .

Demonstração do teorema de equilíbrio de Nash usandoo teorema de Kakutani.

Cálculo do equilíbrio de Nash resolvendo-se equaçõespolinomiais.

Jogos de soma zero: programação linear.

Cálculo do equilíbrio de Nash via um problema decomplementaridade.

Jogos seqüênciais.

Outros exemplos: os modelos de duopólio de Bertrand eStackelberg, a tragédia dos comuns.

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Tem no livro, mas não vimos . . .

Demonstração do teorema de equilíbrio de Nash usandoo teorema de Kakutani.

Cálculo do equilíbrio de Nash resolvendo-se equaçõespolinomiais.

Jogos de soma zero: programação linear.

Cálculo do equilíbrio de Nash via um problema decomplementaridade.

Jogos seqüênciais.

Outros exemplos: os modelos de duopólio de Bertrand eStackelberg, a tragédia dos comuns.

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O que não tem no livro?

Jogos de informação incompleta, leilões.

Jogos cooperativos, jogos repetidos.

Jogos diferenciais (jogos seqüências infinitos).

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 266

O que não tem no livro?

Jogos de informação incompleta, leilões.

Jogos cooperativos, jogos repetidos.

Jogos diferenciais (jogos seqüências infinitos).

H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 267

O que não tem no livro?

Jogos de informação incompleta, leilões.

Jogos cooperativos, jogos repetidos.

Jogos diferenciais (jogos seqüências infinitos).

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Obrigado!

http://www.professores.uff.br/hjbortol/

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