uma abordagem centrada em situaÇÕes de
TRANSCRIPT
UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
Juvenal de Gouveia
A NOÇÃO DE FUNÇÃO:
UMA ABORDAGEM CENTRADA EM SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM
São Paulo
2014
UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
Juvenal de Gouveia
A NOÇÃO DE FUNÇÃO:
UMA ABORDAGEM CENTRADA EM SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM
Trabalho submetido à banca examinadora
da Universidade Bandeirante de São Paulo,
como exigência para defesa de tese para
obtenção do título de Doutor em Educação
Matemática, sob a orientação da Professora
Doutora Marlene Alves Dias e
coorientação da Professora Doutora Tânia
Maria Mendonça Campos.
São Paulo
2014
Banca Examinadora
Presidente e Orientadora
Marlene Alves Dias
Titulação: Doutora em Matemática – Universidade Dennis Diderot - Paris 7
Instituição: Universidade Anhanguera.
Assinatura: ________________________________
2º Examinador: Coorientadora
Tânia Maria Mendonça Campos
Titulação: Doutora em Matemática
Instituição: Universidade Anhanguera.
Assinatura: ________________________________
3º Examinador
Frederico da Silva Reis
Titulação: Doutor em Educação Matemática
Instituição: Universidade Federal de Ouro Preto
Assinatura: ________________________________
4º Examinador: Divanízia do Nascimento Souza
Titulação: Doutora em Tecnologia Nuclear
Instituição: Universidade Federal de Sergipe
Assinatura: ________________________________ 5º Examinador: Angélica Fontoura Garcia
Titulação: Doutora em Educação - PUC - SP
Instituição: Universidade Anhanguera.
Assinatura: ________________________________
AGRADECIMENTOS
Agradeço inicialmente à minha orientadora, Marlene Alves Dias, pelas
incansáveis revisões dos textos preliminares deste trabalho, mas que, com
suas observações, sugestões e sabedoria, fizeram esta obra tomar forma e se
concretizar.
À minha coorientadora, Tânia Maria Mendonça Campos, pelas ideias sempre
pertinentes, pelas oportunidades que me concedeu, e por seus conselhos que
me fizeram crescer enquanto pessoa e educador.
Aos professores da banca de qualificação e defesa, Frederico, Divanízia, Maria
Elisabette, pelas observações, apontamentos e sugestões, permitindo que o
trabalho tomasse o rumo acadêmico pretendido.
À minha esposa Dalva e meus filhos Tatiana e Bruno, que pacientemente,
aguardaram esse período da minha vida, com total compreensão.
A todos os professores da UNIBAN, que participaram da minha formação.
À CAPES, por permitir, por meio da bolsa de estudo disponibilizada, que eu
realizasse meu sonho.
À Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, que me apoiou nas
pesquisas tanto relativas a dados sobre o SARESP, quanto na disponibilização
de professores e alunos respondendo questionários ou participando de testes.
À minha amiga, Patrícia Monteiro, da SEE, que foi uma das responsáveis por
eu ter iniciado esse curso, e pelas discussões que tivemos ao longo deste
trabalho, nos momentos de estudo ou de tarefas, e que me fizeram refletir e
consolidar as ideias que, de alguma forma, estão inseridas nesta obra.
À prof.ª Angélica da SEE e da UNIBAN, que também foi uma das responsáveis
por eu ter iniciado esse curso, e também por suas ideias e apontamentos sobre
os textos preliminares.
À minha amiga, Márcia, da Diretoria de Ensino de Suzano, que viabilizou os
contatos com as professoras Andiara e Laudimara, para aplicação dos testes
com seus alunos.
A todos os Professores Coordenadores das Oficinas Pedagógicas que me
ajudaram na coleta de dados.
Aos Professores Michèle Artigue, Janine Rogalski e Mark Rogaslki, pelas
sugestões dadas a este trabalho, enriquecendo-o de detalhes.
RESUMO
Neste trabalho de pesquisa identifica-se a forma como a noção de função é
tratada pelos materiais de apoio ao ensino dos estudantes da rede de ensino
da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, e assim apontam-se como
esses materiais têm influenciado o trabalho do professor em sala de aula e os
resultados do sistema educacional paulista frente às avaliações em larga
escala, quanto ao conceito de função. Dessa forma, analisando e comparando
diversos materiais referentes à educação básica, incluindo documentos oficiais
brasileiros e franceses, livros didáticos dos dois países e os Cadernos do
Professor e do Aluno introduzidos na rede de ensino paulista nos anos de 2008
e 2009, comparamos as abordagens adotadas no ensino da noção de função.
O trabalho contou ainda com uma pesquisa a um grupo de professores por
meio de formulários e um teste com duas turmas de estudantes, uma turma de
um professor que supostamente utiliza os Cadernos em suas aulas e outra
turma de um professor que supostamente utiliza os Livros Didáticos. A
pesquisa com os professores teve a intenção de verificar a maneira deles
trabalharem o conceito de função em sala de aula e compará-la à abordagem
trazidas pelos materiais de apoio de forma a detectar qual desses materiais o
professor coloca em prática em suas aulas. O teste com as turmas de
estudantes teve a intenção de verificar em qual delas os resultados às
questões relacionadas ao conceito de função se apresentariam mais eficiente.
O cruzamento dessas análises, à luz da teoria antropológica do didático
(CHEVALLARD, 1992), forneceu material suficiente para uma reflexão a
respeito do trabalho que o professor faz em sala de aula, ao se defrontar com
diversos materiais de apoio que lhe são oferecidos, e confrontar a abordagem
utilizada por esses materiais com as diferentes técnicas e tecnologias trazidas
da formação inicial e continuada desse professor, e de que forma ele gerencia
os pontos positivos e negativos dessa miscigenação.
Palavras-chave: Função, Caderno do Professor, Caderno do Aluno, Livro Didático, Teoria Antropológica do Didático.
RESUMÉ Dans ce travail de recherche, nous avons identifié la façon dont la notion de
fonction est assurée par les matériaux de support à l’enseignement, concernant
le réseau d’enseignement de la “Secretaria de Educação de São Paulo”. Nous
soulignons ainsi, comment ces matériaux ont influencé le travail de l'enseignant
dans la classe, ainsi que les résultats du système éducatif de São Paulo par
rapport aux évaluations à grande échelle considérant le concept de fonction.
Ainsi, l'analyse et la comparaison de divers documents relatifs à l'éducation de
base comprenant: les documents officiels Brésiliens et Français, les manuels
des deux pays, les cahiers de l’enseignant et des élèves introduits dans le
système scolaire de São Paulo en 2008 et 2009, ont permis d’identifier les
régularités et différences dans les approches adoptées pour l'enseignement de
la notion de fonction dans les deux pays. Cette recherche a également inclus
une enquête sur un groupe d'enseignants utilisant un questionnaire et un test
avec deux groupes d'étudiants. Le premier groupe d’étudiants utilise les cahiers
de l’enseignant et de l’élève pour développer le travail dans sa classe. L’autre
groupe d’étudiants utilise les manuels pour développer le même travail.
L’enquête auprès des enseignants a pour but de vérifier la façon d’introduire le
concept de fonction en classe, puis de comparer les approches avec les
matériaux de support. Le but, étant de détecter quels sont les matériaux mis en
pratique par l’enseignant. Le test avec les deux groupes d’étudiants vérifie
quels matériaux se rapportant aux questions relatives à la notion de fonction
semblent le plus efficaces. Le croisement de ces analyses, à la lumière de la
théorie anthropologique de la didactique - TAD de Chevallard, a fourni un
matériel suffisant permettant d’avancer sur la réflexion concernant le travail des
deux enseignants dans leurs classes. C’est en confrontant l’approche mise en
place par les matériaux de support, les différentes techniques et technologies
relatives à la formation initiale et continue des deux enseignants;que nous
avons pû observer comment ceux-ci, gèrent les points positifs et négatifs dû à
ce métissage.
Mots-clés: Fonction, Cahier de l’Enseignant, Cahier de l'Élève, Théorie
Anthropologique de la Didactique.
ABSTRACT
The propose of the present work is to identify in which way the notion of
function is managed by the teaching support materials students of the
Education Department of Sao Paulo State, and so, show how these materials
have affected the work of the teacher in the classroom, and the outcomes of
paulista educational system face of large-scale assessments, as the concept of
function.
Thereby, analyzing and comparing several kinds of materials related to
education, including official documents from Brazil and France, textbooks from
both countries and the workbooks from students and teachers, introduced on
paulista educational system between 2008 and 2009, we compared the
selected methodology on teaching of function notion.
The present work relies a group of teachers research by means of forms and a
test with two different classes of students, in one of these groups, teacher was
supposed to work with workbook on his classes, in the other, teacher works with
the textbook.
The research made with teachers, was intended to verify their ways to work with
the function concept in the classes and compare it with the support materials
methodology, seeking identify which of these materials can really be applied on
the classes. The aim of this test was to verify on which one of these classes,
questions related with function would produce more effective results.
The crossover of these information, and the conception of anthropological
theory of the didactic (CHEVALLARD, 1992), together, provided enough
material to reflect regarding the real job developed by teacher in the classroom,
dealing with several support materials offered, and comparing the used
methodology in these materials with the different techniques and technologies
brought from the initial and continuing training of this teacher, and how he
manages the positives and negatives points of this miscegenation.
Key-words: Function, Teacher’s Workbook, Student’s Workbook, Textbook,
Praxeology.
SUMÁRIO
1 – INTRODUÇÃO ........................................................................................... 17
2 – PROBLEMATICA E OBJETIVOS ............................................................... 23
3 – REFERENCIAL TEÓRICO ......................................................................... 27
3.1 – Teoria Antropológica do Didático ......................................................... 28
3.2 – Registros de Representação Semiótica ............................................... 44
3.3 - Níveis de Conhecimentos Esperados dos Estudantes ......................... 50
4 – UMA BREVE HISTÓRIA SOBRE FUNÇÕES ............................................ 55
5 – METODOLOGIA ......................................................................................... 63
5.1 – Descrição das características da pesquisa relativa aos documentos
oficiais ........................................................................................................... 65
5.2 – Descrição das características da pesquisa relativa aos Cadernos do
Professor e do Aluno e Livros Didáticos ....................................................... 65
5.3 – Descrição das Análises das Avaliações – SAEB e SARESP ............... 68
5.4 – Descrição das características da pesquisa relativa aos professores ... 69
5.5 – Descrição das características da pesquisa relativa aos alunos ........... 76
6 – ANÁLISES DOS DOCUMENTOS OFICIAIS .............................................. 81
6.1 – Documentos oficiais da União ............................................................. 82
6.1.1 – Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – LDB ............... 82
6.1.2 - Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio – DCNEM
1998 .......................................................................................................... 84
6.1.3 Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental ..... 85
6.1.4 Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio ................ 89
6.1.5 – Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros
Curriculares Nacionais .............................................................................. 91
6.1.6 – Orientações Curriculares para o Ensino Médio ............................. 96
6.1.7 – Programa Curricular Francês ........................................................ 98
6.2 – Documentos Oficiais do Estado de São Paulo .................................. 102
6.2.1 – Proposta Curricular do Estado de São Paulo .............................. 102
6.2.2 – Currículo do estado de São Paulo............................................... 106
7 – ANÁLISE DOS CADERNOS DO PROFESSOR E DO ALUNO E DE
LIVROS DIDÁTICOS ...................................................................................... 109
7.1 – Análise dos Cadernos do Professor e do Aluno ................................ 109
7.1.1 – Caderno do 9º Ano do Ensino Fundamental – Vol. 2 .................. 114
7.1.2 – Caderno da 1ª série do Ensino Médio – Vol. 2 ............................ 124
7.1.3 – Caderno da 1ª série do Ensino Médio – Vol. 3 ............................ 143
7.1.4 – Caderno da 2ª série do Ensino Médio – Vol. 1 ............................ 151
7.1.5 – Caderno da 3ª série do Ensino Médio – Vol. 3 ............................ 158
7.2 – Análise de Livros Didáticos ................................................................ 172
7.2.1 – Tudo é Matemática – Dante 8ª série – 2005 ............................ 172
7.2.2 – Bezerra Matemática – 2º Grau – 1994 – Volume Único .............. 180
7.2.3 – Matemática Ensino Médio – Kátia Smole e Maria Ignez Diniz –
2010 ........................................................................................................ 193
7.2.4 – Mathématiques – Colletion Phare. Brault, Roger et al. Classe de
troisième .................................................................................................. 211
7.2.5 – Declic Mathématiques. Beltramone, Jean-Paul, et al. Classe de
seconde ................................................................................................... 217
7.2.6 – Declic Mathématiques. Beltramone, Jean-Paul, et al. Classe de
première .................................................................................................. 220
7.2.7 – Declic Mathématiques. Beltramone, Jean-Paul, et al. Classe de
terminale ................................................................................................. 221
8 – ANÁLISE DAS AVALIAÇÕES EM LARGA ESCALA ................................ 225
8.1 – Sistema de Avaliação da Educação Básica – SAEB ......................... 225
8.2– Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo –
SARESP ..................................................................................................... 228
9 – ANÁLISE DOS QUESTIONÁRIOS DO PROFESSOR E TESTES DOS
ALUNOS......................................................................................................... 247
9.1 – Análise dos Questionários respondidos pelos professores ................ 247
9.2 – Análise dos Testes dos Alunos .......................................................... 260
10 – CONCLUSÃO ...................................................................................... 278
11 – BIBLIOGRAFIA .................................................................................... 299
12 – ANEXOS .............................................................................................. 308
FIGURAS
Figura 1 Exemplo de Atividade sobre proporcionalidade 32
Figura 2 Exemplo de Atividade com máximos e mínimos 34
Figura 3 Exemplos das valências de ostensivos usadas na tarefa 36
Figura 4 Exemplo de atividade no teste do aluno 37
Figura 5 Atividade do aluno TTCB 38
Figura 6 Interdependência entre x e n 45
Figura 7 Gráficos da função f(x) = ax2, variando o valor de a 45
Figura 8 Uso de fórmulas para representar funções 46
Figura 9 Classificação dos diferentes registros 46
Figura 10 Representação semiótica para uma reta no plano 47
Figura 11 Tratamento na resolução de uma equação matemática 48
Figura 12 Conversão na obtenção da função, dado o gráfico
cartesiano
49
Figura 13 Exemplo de tarefa de nível técnico 51
Figura 14 Exemplo de tarefa de nível mobilizável 52
Figura 15 Exemplo de tarefa de nível disponível 52
Figura 16 Segundo exemplo de tarefa de nível disponível 53
Figura 17 Representação gráfica dada por Oresme 58
Figura 18 Tipos de tarefa 67
Figura 19 Grade de Análise das Questões 68
Figura 20 Seleção das escolas por índice de desempenho 70
Figura 21 Hipótese 1 73
Figura 22 Hipótese 2 73
Figura 23 Ordem hipotética das respostas 73
Figura 24 Exemplos de respostas à questão 3 74
Figura 25 Exemplos de respostas à questão 4 74
Figura 26 Exemplos de respostas à questão 6 75
Figura 27 Exemplos de respostas à questão 7 76
Figura 28 Temas estruturantes 94
Figura 29 Comparação das séries escolares no Brasil e na França 98
Figura 30 Competências nas classes do collége 99
Figura 31 Conteúdos do lycée 100
Figura 32 Dados sobre a Situação de Aprendizagem 110
Figura 33 Atividade sobre relação de proporcionalidade e função 116
Figura 34 Tabela mostrando a relação de x com y e y - 1 118
Figura 35 Quadro dos tipos de tarefas utilizadas na atividade 119
Figura 36 Gráficos de funções 120
Figura 37 Atividade sobre função 122
Figura 38 Quadro de Tarefas utilizadas na atividade 123
Figura 39 Representações gráficas das funções kxxf )( ,
hkxxf )( e x
kxf )(
126
Figura 40 Atividade relativa ao conceito de função 127
Figura 41 Quadro de Atividades da Situação de Aprendizagem 1 129
Figura 42 Gráfico das funções do tipo baxxf )( 130
Figura 43 Atividade sobre função dada por partes 131
Figura 44 Quadro de Tarefas da Situação de Aprendizagem 2 133
Figura 45 Atividade sobre função polinomial do 2º grau 137
Figura 46 Quadro de Tarefas da Situação de Aprendizagem 3 139
Figura 47 Atividade sobre problemas do 2º grau 140
Figura 48 Quadro de Tarefas da Situação de Aprendizagem 4 141
Figura 49 Gráficos da função exponencial 143
Figura 50 Atividades sobre função exponencial 144
Figura 51 Quadro de Tarefas da Situação de Aprendizagem 145
Figura 52 Atividade sobre as função exponencial e logarítmica 149
Figura 53 Quadro de Tarefas da Situação de Aprendizagem 3 150
Figura 54 Gráfico das funções xy sen e xy sen.2 153
Figura 55 Atividade sobre a função seno 154
Figura 56 Quadro de Tarefas da Situação de Aprendizagem 3 156
Figura 57 Quadro de Tarefas da Situação de Aprendizagem 4 157
Figura 58 Atividade sobre gráfico de função polinomial 159
Figura 59 Quadro de Tarefas da Situação de Aprendizagem 1 161
Figura 60 Etapas de construção de 1
1)(
2
xxf 163
Figura 61 Etapas de construção de xxxf sen 3)( 163
Figura 62 Construção de gráfico de funções 163
Figura 63 Quadro de Tarefas da Situação de Aprendizagem 165
Figura 64 Taxa de variação e variação da taxa de variação 166
Figura 65 Quadro de Tarefas da Situação de Aprendizagem 3 167
Figura 66 Gráfico de funções exponenciais xaxf )( e xexf )( 169
Figura 67 Atividade com aplicação da função exponencial 170
Figura 68 Quadro de Tarefas da Situação de Aprendizagem 4 171
Figura 69 Atividade sobre função 175
Figura 70 Quadro de Tarefas da atividade sobre funções 176
Figura 71 Atividade sobre função quadrática 178
Figura 72 Quadro de Tarefas da atividade sobre função quadrática 179
Figura 73 Resolver a equação 10)7()( 2 mmxxf 181
Figura 74 Quadro de Tarefas da atividade sobre função 182
Figura 75 Atividade sobre função dada por partes 183
Figura 76 Quadro de Tarefas sobre funções 184
Figura 77 Atividade sobre construção gráfica 186
Figura 78 Quadro de Tarefas sobre funções 187
Figura 79 Atividade sobre crescimento e decrescimento 188
Figura 80 Quadro de Tarefas sobre funções exponenciais 189
Figura 81 Atividade sobre a função logarítmica 190
Figura 82 Quadro de Tarefas das atividades sobre funções
logarítmicas
191
Figura 83 Funções trigonométricas 192
Figura 84 Quadro de Tarefas sobre funções trigonométricas 193
Figura 85 Gráficos de funções 195
Figura 86 Quadro de tarefas sobre gráficos de funções 197
Figura 87 Atividades sobre funções quadráticas 198
Figura 88 Atividades sobre funções exponenciais 200
Figura 89 Quadro de tarefas sobre funções exponenciais 202
Figura 90 Atividade sobre funções logarítmicas 203
Figura 91 Quadro de tarefas sobre funções logarítmicas 204
Figura 92 Atividade sobre operações com funções 206
Figura 93 Atividade sobre funções trigonométricas 209
Figura 94 Quadro de tarefas sobre funções trigonométricas 210
Figura 95 Quadro da relação comprimento da diagonal x área do
quadrado
213
Figura 96 Relação de proporcionalidade do crescimento de f(x) 216
Figura 97 Noção de intervalos sobre R 218
Figura 98 Teste de conjecturas 218
Figura 99 Quadro de PROFICIÊNCIAS MÉDIAS – SAEB 1997 226
Figura 100 Quadro da ESCALA DE PROFICIÊNCIAS – SAEB 227
Figura 101 Quadro dos Níveis de Proficiência no SAEB de 1995 a
2011. Matemática – Médias da União
228
Figura 102 Gráfico da Evolução dos Níveis de Proficiência em
Matemática no SAEB
228
Figura 103 Quadro dos Níveis de Proficiência no Saresp 230
Figura 104 Quadro dos Níveis de Proficiência em Matemática 230
Figura 105 Aplicações do SARESP, 1996 a 2012 231
Figura 106 Níveis de Proficiência no SARESP – 2007 a 2012 -
Matemática
231
Figura 107 Gráfico da Evolução dos Níveis de Proficiência em
Matemática no SAEB – 2007 a 2012
232
Figura 108 Níveis de Proficiência SAEB e SARESP para o 9º ano EF -
Matemática
233
Figura 109 Níveis de Proficiência SAEB e SARESP para a 3ª série EM
- Matemática
233
Figura 110 Questão 2 do período noturno – SARESP 2000 236
Figura 111 Questão 3 do período diurno – SARESP 2000 236
Figura 112 Questão 3 do período noturno – SARESP 2000 237
Figura 113 Questão 4 do período noturno – SARESP 2000 237
Figura 114 Questão 5 do período diurno – SARESP 2000 238
Figura 115 Questão 5 do período noturno – SARESP 2000 238
Figura 116 Exemplo de questão do nível 325 da 8ª série (a) – SARESP
2007
239
Figura 117 Exemplo de questão do nível 325 da 8ª série (b) – SARESP
2007
239
Figura 118 Exemplo de questão do nível 350 da 8ª série – SARESP
2007
240
Figura 119 Exemplo de questão do nível básico da 3ª série EM –
SARESP 2008
240
Figura 120 Exemplo de questão do nível adequado da 3ª série EM –
SARESP 2008
241
Figura 121 Exemplo de questão do nível avançado da 3ª série EM –
SARESP 2008
241
Figura 122 Exemplo 10 da 3ª série EM – SARESP 2009 242
Figura 123 Exemplo 16 da 3ª série EM – SARESP 2009 242
Figura 124 Exemplo 11 da 3ª série EM – SARESP 2010 243
Figura 125 Exemplo 11 da 3ª série EM – SARESP 2011 243
Figura 126 Exemplo 1 da 3ª série EM – SARESP 2012 244
Figura 127 Quadro comparativo dos índices de acertos no SARESP 244
Figura 128 Questão 1 247
Figura 129 Questão 2 248
Figura 130 Questão 3 248
Figura 131 Índices de respostas à questão 3 249
Figura 132 Questão 4 249
Figura 133 Índices de respostas à questão 4 250
Figura 134 Questão 5 251
Figura 135 Índices de respostas à questão 5 252
Figura 136 Questão 6 252
Figura 137 Questão 7 253
Figura 138 Questão 8 253
Figura 139 Questão 9 253
Figura 140 Quadro de porcentagens relativas ao uso do Caderno ou
Livro Didático
254
Figura 141 Seleção das escolas por índice de desempenho 256
Figura 142 Questão 1 257
Figura 143 Questão 2 257
Figura 144 Quadro de porcentagens relativas ao uso do Caderno ou
Livro Didático por grupos de professores
257
Figura 145 Análise preliminar da questão 1 – item a 260
Figura 146 Representação em diagrama de Venn 261
Figura 147 Análise preliminar da questão 1 – item b 261
Figura 148 Gráfico da função f(x) = x – 1 262
Figura 149 Análise preliminar da questão 1 – item c 262
Figura 150 Análise preliminar da questão 2 263
Figura 151 Gráfico da função s = 2t - 3 264
Figura 152 Análise preliminar da questão 3 – item a 264
Figura 153 Análise preliminar da questão 3 – item b 265
Figura 154 Análise preliminar da questão 3 – item c 265
Figura 155 Análise preliminar da questão 4 266
Figura 156 Atividades de alguns estudantes do prof_4 para a questão 1 269
Figura 157 Atividades de alguns estudantes do prof_4 para a questão 2 270
Figura 158 Atividades de alguns estudantes do prof_4 para a questão 3 271
Figura 159 Atividades de alguns estudantes do prof_4 para a questão 4 271
Figura 160 Atividades de alguns estudantes do prof_7 para a questão 1 272
Figura 161 Atividades de alguns estudantes do prof_7 para a questão 2 274
Figura 162 Atividades de alguns estudantes do prof_7 para a questão 3 276
Figura 163 Atividades de alguns estudantes do prof_7 para a questão 4 276
Figura 164 Atividades sobre situações discretas 286
Figura 165 Exemplo de níveis de codeterminação para a função afim 295
17
1 – INTRODUÇÃO
Um Currículo é uma tentativa de comunicar os princípios
essenciais e as características de uma proposta
educacional de forma que seja aberta ao escrutínio
crítico e capaz de ser traduzido numa prática.
Stenhouse
O Currículo escolar é uma prática social, pois a educação em si é, acima
de tudo, uma prática social. Alunos interagem com professores e vice-versa.
Estes por sua vez interagem com o conhecimento universal e científico numa
instituição. Nessa interação o Currículo apresenta-se como uma questão
prática envolvendo os atores da pedagogia.
O Currículo inicia-se como uma teoria concebida nas mentes de quem a
idealiza. Na sua implantação ela passa a constituir um desafio para a práxis
educacional e dependerá de um comprometimento na utilização dos princípios
propostos. Na sua implantação, seus impactos positivos e/ou negativos são –
ou deveriam ser – utilizados para as adequações necessárias. O Currículo
deve estar em constante movimento. Ele deve ser constantemente avaliado
para verificar se está na direção do que foi planejado. Pois,
O Currículo se preocupa com o que é planejado,
implementado, ensinado, aprendido, avaliado e pesquisado nas
escolas em todos os níveis de educação. Experimentar um
Currículo não é chegar a um determinado destino, mas ter
viajado com uma visão diferente. É na jornada e em suas
experiências que um Currículo é realizado, não no ato de
descer do trem. (MCKERNAN, 2009, p. 35).
No sentido acima é que nos propomos a analisar o Currículo de
Matemática na rede pública estadual de São Paulo, por se tratar de um novo
documento que está fundamentado nas Propostas Curriculares Para o Ensino
de Matemática, cujas primeiras publicações datam do final dos anos 1980.
Propostas estas que serviram de base para a construção dos Parâmetros
Curriculares Nacionais – PCN e Propostas Curriculares Nacionais para o
18
Ensino Médio – PCNEM, cujas primeiras edições datam de 1996. Estes
documentos foram uma marca presente na educação e desde sua publicação
têm influenciado a elaboração de livros didáticos no Brasil, conforme já
verificados por Andrade (2006, p. 10 e 35) ao analisar os saberes provenientes
dos programas de livros didáticos à luz dos estudos propostos por Tardif (2002,
p. 63 apud ANDRADE, 2006).
Considerando também a influência que estes documentos tiveram na
elaboração e construção do atual Currículo do Estado de São Paulo, nos
incitou a verificar a eficácia deste último relativa à implantação, implementação,
utilização, adequações, usos e dificuldades encontradas em seu percurso, por
ser um documento mais atual e presente na realidade da educação do Estado
de São Paulo.
Também é nesse sentido que procuraremos as relações existentes entre
o Currículo atual e os agentes que o coloca em prática, pesquisando o trabalho
desses agentes em sala de aula, seja no papel de ensinar (o professor) ou no
papel de aprender (o aluno) – ou em ambos.
No Estado de São Paulo, a Secretaria de Estado da Educação
implantou, a partir de 2008, o Currículo como uma nova proposta de trabalho
em todas as disciplinas da grade curricular, mas que, apesar de novo, as ideais
centrais seguem as orientações validadas dos documentos descritos acima.
Tendo em vista que a Lei de Diretrizes e Base da Educação Básica de
1996 - LDB 9394/96, em seu artigo 9°, inciso IV, afirma que a União deverá
estabelecer os conteúdos mínimos que nortearão os Currículos de forma a
assegurar uma base comum nacional. O artigo 26, específico sobre Currículo,
diz que tal programa deverá conter uma base nacional comum e ser
complementada por uma parte diversificada, com características regionais e
locais da sociedade, de sua cultura e sua economia, estabelecidas a critério de
cada sistema de ensino.
Diante dos apontamentos da respectiva lei, as redes de ensino de todo o
Brasil, seguindo os documentos nacionais, iniciaram um movimento de
elaboração de seus Currículos. Na rede de ensino do Estado de São Paulo, em
particular, no ano de 2008, foi publicada a “Proposta Curricular”, contendo
orientações gerais e pedagógicas. Acompanhou a publicação da Proposta
19
Curricular, os materiais de apoio: Caderno do Professor e Caderno do Gestor,
e em 2009 acrescentou-se o Caderno do Aluno.
Essa implantação fez parte de uma política de melhoria da qualidade da
educação no estado e foi denominado “Programa São Paulo Faz Escola”, e
pretendia-se que o uso dos materiais de apoio ao Currículo favorecesse a
aprendizagem. Teoricamente, os resultados desse processo seriam obtidos a
partir das avaliações externas como o Sistema de Avaliação do Rendimento
Escolar do Estado de São Paulo - SARESP. No entanto, não houve um estudo
mais detalhado e abrangente sobre os resultados dessa avaliação em larga
escala que pudesse servir de parâmetro para indicar o sucesso ou fracasso do
programa. Por outro lado, somente a análise dos resultados gerais das
avaliações externas não seria suficiente para indicar o sucesso ou não do
programa. É necessário questionar professores e testar os estudantes com
foco bem definido e observar os demais agentes da educação para sabermos
se os materiais de apoio estão sendo utilizados e, neste caso, de que forma
estão sendo utilizados e quais as vantagens esses materiais têm trazido à
educação.
Nas últimas décadas, as pesquisas educacionais sobre Currículos
estiveram em pauta. Muitos pesquisadores debruçaram-se sobre esse assunto.
Alguns analisando os conteúdos programáticos do Currículo, como é o caso de
Godoy (2011), outros analisando a metodologia subjacente ao Currículo, como
se observa em Costa (2011), muitos analisando o Currículo em prática ou na
prática, como podemos observar em Lopes (2010) e Pessoa (2011). Há
inclusive pesquisas que analisam outros trabalhos sobre Currículo como é o
caso de Macedo (2006).
Em nosso trabalho, nossa intenção é analisar o Currículo e os materiais
de apoio (Cadernos do Professor e Cadernos do Aluno, livros didáticos do
Programa Nacional do Livro Didático – PNLD e do Programa Nacional para o
Livro Didático do ensino médio – PNLEM, entre outros) na prática de aula do
professor. Verificar como se dá a influência do Currículo na prática e como a
prática do professor e do estudante direciona o Currículo. Dessa forma esse
trabalho se diferencia dos trabalhas analisados até então, sendo, portanto uma
nova proposta que trará uma visão abrangente sobre a forma de aplicação do
Currículo numa instituição educacional em grande escala, como é o caso da
20
educação pública estadual da Secretaria de Educação do Estado de São
Paulo.
Por se tratar de uma pesquisa EM larga escala, analisaremos os
pressupostos e diretrizes em que se baseia o atual Currículo de Matemática
proposto para o estado de São Paulo, Brasil, com foco no que se refere ao
conceito de função, procurando identificar a relação das indicações propostas
pelo movimento de implementação curricular e outras orientações (Caderno do
Professor e Caderno do Gestor) e a prática atual desse currículo pelos agentes
escolares. Em particular, verificar se os materiais de apoio ao Currículo do
Estado de São Paulo publicados juntamente com a Proposta Curricular de
2008 e 2009, quais sejam os Cadernos do Professor e os Cadernos do Aluno,
estão sendo utilizados pelos entrevistados e se o uso é espontâneo e se está
favorecendo a aprendizagem dos estudantes. Pelo fato que o trabalho do
professor pode e deve ser complementado por outros materiais, como por
exemplo, os livros dos programas descritos acima, tais materiais também
entrarão em segundo plano nesta pesquisa, analisando-se um livro mais antigo
do ensino médio e um livro mais atual do mesmo nível de ensino, além de um
livro atual para o ensino fundamental.
A análise dos livros didáticos favorecerá uma comparação entre as
metodologias utilizadas pelos autores dos Cadernos do Professor e do Aluno
com as metodologias utilizadas pelos autores dos livros didáticos,
principalmente relacionada às noções de função. A escolha de um Livro
Didático mais antigo fornecerá elementos de comparação às metodologias e
definições do conceito de função anteriormente à publicação dos PCN, PCNEM
e Currículo do Estado de São Paulo, enquanto que um livro mais atual poderá
colocar em comparação o que estes documentos oficiais põem em discussão
sobre as metodologias do estudo de função com o que os livros didáticos
trazem em seu bojo sobre a noção desse objeto matemático.
Por pretendermos tratar o Currículo com foco no conceito de função,
descreveremos o que nos levou a tomar esse conceito para delimitar o trabalho
de pesquisa.
Função é um dos conceitos fundamentais da Matemática e é
compreendido como uma relação entre duas ou mais grandezas na qual o
amalgama entre elas é sua interdependência. Essa relação, que foi nomeada
21
por Leibniz de “função”, é que permite conhecer e descrever uma grandeza
quando observada à luz de outra, ou vice-versa.
Diante dessa dependência irrestrita e inerente às funções, se deriva um
estudo muito abrangente que já tomou conta de mentes excepcionais na
história da Matemática. Os pitagóricos, ao relacionar o comprimento e a tensão
de uma corda a uma nota musical estavam estabelecendo uma noção funcional
de interdependência. Também não é demais dizer que os gregos, no século II
d.C, num estudo sistemático de relações entre arcos num círculo e os
comprimentos das cordas determinadas por esses arcos, estabelecendo
tabelas trigonométricas, já remetiam à ideia de dependência e, por
consequência, à ideia de função. Vale citar também que os problemas que
estão ligados às sequências matemáticas, como as de Fibonacci entre outras,
já nascem com uma relação de valor quanto à posição ocupada por um
quantificador e que podem ser expressas por lei de formação, fórmulas que
remetem à ideia de função.
Pelos exemplos descritos, é bem visível pensar que a interdependência
entre as grandezas não é uma interdependência estática, imóvel, como seria a
interdependência entre a vida biológica e a água. Essa interdependência
pensada na Matemática como condição intrínseca de função é uma
interdependência variável, móvel, dinâmica, como se vê na interdependência
entre o espaço percorrido por um objeto em queda livre pela ação gravitacional
e o tempo medido desde sua partida.
Por ser um conceito que assume um papel importantíssimo na
Matemática e nas outras ciências, servindo para modelar diferentes fenômenos
dessas ciências, esse conceito tem um papel também importantíssimo na
educação, em especial na educação básica que deve preparar o estudante
para a cidadania, para o trabalho e dar-lhe condições para a continuidade de
seus estudos.
Pesquisas no Brasil e no exterior, voltadas a esse tema foram feitas,
para procurar compreender como se dá o desenvolvimento cognitivo do
estudante sobre o conceito de função quando de sua representação por
gráficos ou tabelas de valores, como é o caso do artigo de Coppé et al (2006)
ou para identificar as diversas percepções psicológicas da representação de
uma função por um estudante, como é o caso do trabalho de Rogalski (2013),
22
apresentado na 6ª jornada internacional sobre a educação científica e técnica
em 1984.
No Brasil identificamos diversos trabalhos utilizando o conceito de
funções, seja no estudo de função particular ou das noções associadas a esse
conceito. Entre estes trabalhos podemos citar a dissertação de Silva (2012)
que trata de função quadrática e da transição desse conceito entre os diversos
níveis de ensino, ou ainda a dissertação de Gouveia (2007) que, trabalhando
com a noção de intervalos sobre os números reais, remeteu sua pesquisa a
análise funcional, observando os intervalos do domínio ou imagem das
mesmas, não só no sentido matemático restrito, mas no sentido da aplicação
da função em situações práticas. Ainda o trabalho de Andrade (2012) que trata
de noções de análise matemática associada ao conceito de função exponencial
e a prática do ensino e aprendizagem do conceito dessa noção.
As obras citadas, tanto as elaboradas no Brasil como as elaboradas no
exterior, procuram mostrar a importância de um trabalho sobre as diferentes
representações de funções (analítica, gráfica, tabela), outras sobre a
metodologia do ensino desse conceito com estudantes do ensino médio ou
com estudantes do Ensino Superior, outras ainda comparando as
apresentações desse conceito em diferentes livros didáticos, e por aí se vai.
Porém, o diferencial entre nosso trabalho e os trabalhos apresentados, é
pensar o conceito de função como um fio condutor para a análise dos
pressupostos curriculares observados enquanto Currículo prescrito, e enquanto
Currículo em ação na atuação da prática escolar.
23
2 – PROBLEMATICA E OBJETIVOS
…si la courbe peut paraître un moyen attractif pour aborder la
notion de fonction, elle ne peut, à elle seule, permettre un travail
suffisant sur cette notion et doit au moins être conjuguée avec
d'autres modes de représentation. (COPPE et al, 2006, p. 35)
Os resultados das avaliações em larga escala como o SARESP,
aplicado aos estudantes do Estado São Paulo, e o Exame Nacional do Ensino
Médio – ENEM, aplicado aos estudantes em todo o Brasil, parecem indicar que
o conhecimento relativo aos conteúdos escolares dos estudantes dos anos
finais do ensino fundamental e estudantes do ensino médio (com idades entre
11 a 17 anos) não tem sido aquele esperado para as séries analisadas, uma
vez que o professor geralmente desenvolve atividades em nível técnico ou
mobilizável e, em contra partida, as avaliações abordam questões em nível
mobilizável ou disponível.
Junta-se a isso o fato de os professores do Ensino Básico reclamarem
que os estudantes mostram-se cada vez mais indiferentes aos conteúdos
ensinados, e os professores do Ensino Superior por sua vez reclamam que os
estudantes chegam à universidade cada vez com mais dificuldades em relação
aos conteúdos da Matemática desenvolvidos na Educação Básica, e não
conseguem acompanhar a contento os conteúdos do Ensino Superior. Esse
nível de ensino tem proposto então, momentos de nivelamento, mas com
poucos recursos didáticos para atacar o problema pois, em geral, não se tem
ideia precisa do que pode ser realmente considerado como conhecimento
prévio para os estudantes que iniciam o Ensino Superior.
O Currículo do Estado de São Paulo está posto e sua proposta foi ir à
busca de uma educação de qualidade. Por isso, neste trabalho, faremos uma
análise mais fina sobre suas diversas aplicabilidades e de seus resultados.
Mesmo que o ciclo de utilização desse Currículo não tenha se fechado, uma
vez que foi implantado em 2008 e o ciclo deve ser completado em 2015, as
análises das avaliações citadas e uma proposta de aplicação de formulário e
de acompanhamento da aplicação de um teste aos estudantes poderão
24
fornecer indícios, ao menos considerados sobre a noção de função, do alcance
dos objetivos desse novo currículo. Caso este trabalho mostre que os
resultados estão sendo positivos ou negativos, poderemos conjecturar o
porquê desses resultados, baseados nos cruzamentos das análises efetuadas
em todos os materiais que se propõem analisar e nas análises dos
questionários dos professores e dos testes dos alunos.
Por outro lado, é preciso verificar como os conteúdos discutidos nos
Parâmetros Curriculares Nacionais a respeito do conceito de função estão
contemplados nos materiais de apoio ao Currículo (Caderno do Professor e
Caderno do Aluno) e como estes materiais seguem as orientações de estudo
ali propostas. Também é importante verificar quais os diferentes registros de
representação semiótica para o conceito de funções são utilizados, segundo
definição de Duval (1995), e quais atividades, pois segundo Coppe, et al (2006,
p. 35) “...se a curva pode parecer um meio para abordar a noção de função, ela
por si só não permite um trabalho suficiente sobre essa noção e deve ser ao
menos conjugada com outros modos de representação.1”
Muitas vezes, por questões diversas, até mesmo de tempo, o professor
opta por trabalhar uma ou outra representação da noção de função com maior
destaque em relação às outras, ou trabalha as diferentes representações
desarticuladas. Assim, pretendemos verificar de que forma os temas abordados
nos materiais de apoio permitem um trabalho articulado e abrangente sobre as
diferentes formas de representação semiótica da noção de função, isto é, qual
o papel da conversão nessa proposta de trabalho, e dessa forma identificar a
relação das indicações propostas pelo movimento de implementação curricular
e outras orientações (Caderno do Professor e Caderno do Gestor) e a prática
atual desse currículo pelos agentes escolares.
Em particular, pretendemos, com esta pesquisa, verificar se os materiais
de apoio ao Currículo do Estado de São Paulo publicados juntamente com a
Proposta Curricular de 2008, quais sejam os Cadernos do Professor e os
Cadernos do Aluno, estão sendo utilizados pelos entrevistados, se o uso
desses é espontâneo e se está favorecendo a aprendizagem dos estudantes.
1 Tradução nossa.
25
Pelo fato que o trabalho do professor pode e deve ser complementado por
outros materiais, como, por exemplo, os livros dos programas descritos acima,
tais materiais também entrarão em segundo plano nesta pesquisa, analisando-
se um livro mais antigo do ensino fundamental, assim como outro do ensino
médio, e um livro mais atual do ensino fundamental assim como outro do
ensino médio.
De forma geral, intensifica-se a justificativa de ter feito a escolha pelo
objeto função como instrumento de análise para o trabalho de pesquisa do
Currículo, como apresentado, pelos seguintes fatos:
1. este conceito está apoiado na ideia de proporcionalidade no Currículo
do Estado de São Paulo, o que permite associá-lo a outros conceitos
matemáticos;
2. o objeto matemático função permite representar problemas a partir de
modelagem, podendo-se então investigar a relação que se faz entre a
contextualização e a prática escolar;
3. a função utiliza linguagem e estruturas algébricas que permitem uma
análise cognitiva sobre o processo de ensino e aprendizagem; e
4. pode-se acompanhar os diversos graus de desenvolvimento desse
conceito nos diversos níveis de ensino, Fundamental, Médio e Superior.
Com o objetivo de verificar como o novo Currículo do Estado de São
Paulo se insere na política desse Estado e nos Programas Nacionais e as
problemáticas sociais apontados, levantam-se algumas questões que nortearão
esta pesquisa.
Entre os conhecimentos relacionados ao conceito de função,
abordados no Currículo, quais são aqueles que devem estar
disponíveis ou mobilizáveis na transição do ensino fundamental
para o ensino médio e ao final do ensino médio?
Como os professores organizam as atividades para seus alunos
para esse fim (comparação entre o Currículo Prescrito e o Currículo
em Ação)?
26
Que meio os estudantes dispõem para trabalhar as tarefas
propostas nos materiais de apoio ao Currículo (Caderno do
Professor e Caderno do Aluno)?
Que conhecimentos são esperados disponíveis aos professores
para apoiar seus trabalhos com as tarefas propostas
(conhecimento sobre o objeto função, os tratamento e as
conversões sobre os diferentes registros e sobre as dificuldades
dos estudantes)?
Quais as dificuldades apresentadas pelos professores para o
trabalho com o atual Currículo, apesar de já terem passado por uma
formação inicial?
Diante disso, este trabalho procura respostas a estas questões a partir
de uma análise qualitativa e documental, buscando evidenciar a presença de
pressupostos teóricos e relações de conteúdos presentes no Currículo, em
comparação com as orientações oriundas em nível federal, como é o caso do
PCN, PCNEM e as Orientações Curriculares para o Ensino Médio. As questões
acima serão analisadas à luz do referencial teórico. Analisaremos as relações
institucionais e pessoais que se dão entre si e com o objeto de estudo,
segundo definição da Teoria Antropológica do Didático, de Chevallard (1992) e
Bosch e Chevallard (1999); os diferentes registros de representação das
noções de função expostas no Currículo, segundo a teoria de Registros de
Representação Semiótica, de Duval (1995, 2011); e os níveis de
conhecimentos esperados dos estudantes quando colocados frente às
atividades apontadas no Currículo ou nas avaliações externas, segundo as
noções de Níveis de Conhecimentos Esperados dos Estudantes, conforme
definição de Robert (1997, 1998).
Faremos então, a seguir, a apresentação do referencial teórico que
servirá de apoio à pesquisa documental e às análises dos materiais.
27
3 – REFERENCIAL TEÓRICO
Um Currículo é um plano formal orientador das ações e de experiências
educacionais. Compreendê-lo e compreender sua concepção faz parte do
movimento de prática e reflexão sobre questões advindas de sua
implementação. Para analisar as relações pessoais e institucionais com vista
no objeto Currículo, focado no conceito de função, a Teoria Antropológica do
Didático (TAD) de Chevallard (1992) e Bosch e Chevallard (1999) será a
fundamentação central deste trabalho. Da mesma forma pretendemos que as
análises das práticas pedagógicas nos forneçam uma representação da
abrangência do Currículo. Isso nos conduz a situar as organizações
matemáticas, e em particular a identificar quais as diferentes formas de
representar função, como por exemplo, tabelas, gráficos ou expressões
algébricas (registros de representação semiótica, na teoria de Duval), em
função dos objetos que se põem em prática no trabalho matemático como a
escrita, os gestos, ou as representações semióticas, (os ostensivos, segundo a
TAD) e suas noções (ou não-ostensivos segundo a mesma teoria) necessários
para implementar os diferentes materiais que serão analisados.
Focado no conceito de função abordada no Currículo do Estado de São
Paulo, acreditamos na importância de verificar a existência de diferentes
registros de representação semiótica. Verificar como a noção de função pode
ser tratada de maneira específica em diferentes registros, e também se as
conversões de um registro para outro são meios de construir e validar a
aquisição de conceitos; e se isso é apresentado como uma dificuldade
específica para os estudantes. Dessa forma, como meio de fazer essa análise,
escolhemos o quadro teórico Registro de Representação Semiótica,
desenvolvido por Duval (1995, 2011), para avaliar como as situações de
aprendizagem propostas no Currículo podem ser tratadas como transposição
do registro em língua natural a um dos diferentes registros matemático da
noção de função (fórmula, tabela e gráfico).
Enfim, para comparar as atividades propostas nos materiais de apoio ao
Currículo, e aquelas que são efetivamente dadas pelos professores em classe
28
e realizadas pelos seus estudantes, elas serão analisados de acordo com os
níveis de conhecimentos esperados dos estudantes. Esses níveis são os
definidos por Robert (1997, 1998) e compreendem o nível técnico, o nível
mobilizável e o nível disponível.
A seguir descreveremos brevemente as noções por nós utilizadas de
cada uma dessas teorias, relacionando-as com os temas de pesquisa deste
trabalho.
3.1 – Teoria Antropológica do Didático
Chevallard (1992, p. 76), em seu artigo “Concepts Fondamentaux de la
Didactique”, cita a importância do uso da metáfora como ferramenta para o
pensamento, sustentando que é importante pensar em teorias em termos de
modelos, imagens e representações. Para ele toda a atividade científica,
incluindo entre elas a Matemática, se constitui e se descreve pela utilização da
metáfora, pois o pensamento torna-se mais forte quando se apoia em
metáforas.
Conforme o autor, as metáforas são, numa visão etimológica, uma
transposição do sentido próprio ao figurado. Assim pensar um objeto por
metáforas implica em pensar nos símbolos que o representam. A constituição
da ideia de um objeto se dá por metáforas. No entanto, a escolha das “boas
metáforas” se faz importante. A metáfora ou a compreensão da metáfora
requer o uso do pensamento abstrato e generalizador.
Assim, é importante que se trabalhe de forma abrangente as diferentes
representações dos conceitos matemáticos, em particular para a noção de
função e suas diversas formas de representação, de maneira que essas
diferentes representações sejam as “boas metáforas” e que permitam que o
trabalho matemático, tanto por parte dos profissionais dessa área quanto dos
estudantes, possa se produzir pela escolha adequada de uma das formas de
representar as funções ou conceber seu conceito.
Pode-se fazer uma associação entre a abordagem de Chevallard e a
adotada por Duval, mantendo as diferenças características de cada teoria,
lembrando que a proposta de estudo das representações por meio dos
ostensivos e não-ostensivos segundo a Teoria Antropológica do Didático (TAD)
29
de Chevallard está associada ao estudo das atividades do ponto de vista do
objeto matemático enquanto que os registros de representação semiótica de
Duval são ferramentas importantes para a análise da atividade cognitiva como
ressaltam Bosch e Chevallard (1999).
Consideramos ainda a possibilidade de associação entre a teoria
antropológica desenvolvida por Chevallard e a abordagem teórica em termos
de níveis de conhecimento esperados dos estudantes, pois a teoria
antropológica permite estudar, por exemplo, sobre o plano matemático, as
possibilidades de trabalho em relação aos três níveis de conhecimento
esperados dos estudantes conforme definição de Robert (1997, 1998) para a
noção de função a partir das relações institucionais encontradas no processo
de ensino e aprendizagem para, em seguida, identificar as marcas das
relações institucionais sobre as relações pessoais e assim compreender melhor
sobre que nível se encontra os estudantes na transição entre o ensino
fundamental e o ensino médio, observando que no ensino fundamental já se
introduz a noção de função por meio da associação com a noção de
proporcionalidade.
A teoria antropológica do didático inicia-se com a ideia de transposição
didática, na qual o saber matemático vislumbra de uma análise epistemológica
do saber, de um ponto de vista didático. A transposição é então o acesso que
toma o “saber sábio” e o transforma no “saber a ser ensinado”, ou seja, a
transposição didática implica nas transformações pelas quais devem passar os
saberes para se tornarem escolarizáveis.
Nesta perspectiva antropológica é que Chevallard (1998) adota como
primeira noção de organização didática, o conceito fundamental de objeto.
Compreendendo aqui objeto como uma entidade material ou imaterial que
existe para, pelo menos, um indivíduo. A segunda noção é a relação que um
indivíduo pode ter com um objeto, manipulando-o. Diz-se que um objeto existe
para um indivíduo se o indivíduo tem uma relação pessoal com este objeto
(ibid., p. 1). A terceira noção constituída por Chevallard (1998) é a de “pessoa”.
Neste caso, “pessoa” é o par constituído pelo indivíduo e o sistema de suas
relações com os objetos. Há de se considerar que esses sistemas evoluem.
Alguns objetos que não estavam nesta relação passam a fazer parte dele,
30
outros deixam de fazer parte e outros se modificam. Nesta relação o invariante
é o indivíduo, mas muda-se a pessoa.
Para explicar a evolução desses sistemas antropológicos há de se
definir ainda a noção de instituição. As instituições são obras específicas. Ainda
que essas obras possam ser uma parte de uma organização didática (em
particular, um livro, um retroprojetor, etc.), uma instituição é um dispositivo
social, que apesar de ter uma pequena extensão no espaço social, impõe-se
sobre os sujeitos (ibid., 1998).
No sentido acima, o Caderno do Professor e o Caderno do Aluno são as
obras que foram institucionalizadas, assim como os são os livros didáticos, o
Currículo, os PCN, etc. Enquanto que a sala de aula, onde se permite o
emprego concreto desses materiais, é outra forma de instituição, assim como
os são as escolas, as secretarias, etc., onde os indivíduos nessas instituições
são, entre outros agentes, o professor e os estudantes. Temos nessa relação
um sistema de ensino.
Chevallard (1998) chama a atenção no sentido de que um objeto existe
se é reconhecido por um indivíduo ou por uma instituição, essas relações são
denominadas relação pessoal e relação institucional respectivamente. Neste
caso, o saber, os indivíduos e a instituição se relacionam numa prática social.
O conjunto dessas relações é chamado de Universo Cognitivo.
Nessas relações, Chevallard (1995, 1996 apud DIAS, 1998), anuncia
que a atividade matemática é composta por certo número de tarefas, assim
como toda atividade humana, e para cumprir essas tarefas, são desenvolvidas
as técnicas, que para se tornarem viáveis devem ser compreensíveis e
justificáveis, dando assim lugar ao desenvolvimento das tecnologias ou
discurso tecnológico. Essas tecnologias sendo, por sua vez, objetos de novas
tecnologias que Chevallard identifica como teorias.
As atividades humanas, conforme citado acima, são cumpridas de
acordo com certa organização que coloca em prática as tarefas e seus tipos, as
técnicas, as tecnologias e as teorias. A esta organização antropológica
Chevallard (2002) chama de praxeologia ou organização praxeológica. Dessa
forma, o bloco composto pelas tarefas e as técnicas utilizadas para resolvê-las
relaciona-se à "praxi" e o bloco tecnologia e teoria à "logia", ou em grego
"logos" ou “a razão”.
31
Além disso, para manipular as técnicas utilizam-se os objetos ostensivos
que correspondem às representações externas, e para justificar o trabalho que
se está desenvolvendo evocam-se os objetos não-ostensivos ou
representações mentais, o que coloca em evidência a dialética entre os
ostensivos e os não-ostensivos.
Os objetos ostensivos referem-se a todos os objetos do saber que
podem ser materializados, que possuem uma natureza sensível, que têm uma
realidade perceptível aos indivíduos. São exemplos de objetos ostensivos as
representações semióticas, como símbolos, gráficos, etc., registros escritos,
falados, gesticulados, etc. (CHEVALLARD, 1994b). Assim, é possível
reconhecer os ostensivos gestuais, os ostensivos discursivos, os ostensivos
gráficos e os ostensivos escriturais.
Os objetos não-ostensivos podem somente ser evocados por meio da
manipulação dos ostensivos. Esses objetos referem-se aos conceitos ou as
ideias presentes no tratamento ou conversões entre os objetos ostensivos (ibid.
p. 5). Em nosso trabalho, por exemplo, uma vez que focaremos as análises
baseadas no conceito de função, esse conceito, tal como o compreendemos
matematicamente, é um não-ostensivo, uma noção que existe somente
mentalmente, mas que pode ser materializado pelos ostensivos que o
representam. Assim os ostensivos para essa noção pode ser uma expressão
escrita com variáveis e coeficientes, pode ser as representações gráficas
específicas, ou um discurso, os gestos que correspondem à evolução de
valores numéricos ou de outra natureza, etc.
Para ilustrar o funcionamento da atividade matemática segundo a forma
acima, proposta por Chevallard, apresentamos alguns exemplos que mostram,
para um tipo de tarefa, as técnicas e as tecnologias associadas quando se
introduz a noção de função no ensino fundamental e médio brasileiro
atualmente, e ainda alguns ostensivos e não-ostensivos que poderão ser
utilizados na manipulação da situação-problema.
O primeiro exemplo trata-se de uma questão apresentada no ensino
fundamental no Caderno do Aluno e diz respeito ao conceito de
proporcionalidade:
32
Figura 1: Exemplo de Atividade sobre proporcionalidade
Atividade 5 – item e. A diagonal d de um quadrado é diretamente proporcional
ao lado a do quadrado?
Fonte: Caderno do Aluno, 9º ano, vol. 2, p. 37
Temos apresentado no exemplo acima uma tarefa cuja uma possível
técnica de resolução consiste em procurar generalizar os diversos quadrados
com suas diferentes medidas de lados e uma de suas diagonais de maneira a
evidenciar que seus comprimentos guardam alguma relação de
proporcionalidade, que pode ser organizado pela construção de uma tabela
que relacione alguns valores de d em relação a a, tratando assim de uma
relação funcional a relação entre o lado e a diagonal de um quadrado. Para a
técnica apresentada podemos verificar que a tecnologia, ou seja, o discurso da
técnica, pode ser bem mais detalhado ao descrevermos como a tabela poderá
ser organizada de forma a chegar à noção de proporcionalidade, tal como
pretendido.
No entanto, podemos introduzir ao problema a noção do Teorema de
Pitágoras, consistindo neste caso a outra técnica. O estudante pode,
dependendo de seu grau de generalização, aplicar o teorema a vários
quadrados de lados determinados e observar a relação kl
d
l
d
2
2
1
1 . Ou então,
para uma técnica mais avançada para esse público, o estudante pode aplicar o
Teorema de Pitágoras a um quadrado cujos lados são representados de forma
generalizada por uma variável, assim como sua diagonal, e chegar à fórmula
2ld , verificando que a relação kl
d , onde 2k . A tecnologia, neste
caso, nos permite chegar à conclusão sobre a noção de proporcionalidade, ou
seja, verificar que há proporcionalidade entre a diagonal e o lado de um
quadrado.
a
a
a
d
33
Os ostensivos envolvidos na tarefa são desde a representação de um ou
de vários quadrados, caso o estudante adote esse caminho, até os registros
das operações realizadas, as tabelas construídas, assim como o discurso que
ele venha a ter com o professor ou com seus pares. Os não-ostensivos serão o
conceito de diagonal, a ideia de proporcionalidade e os conceitos de múltiplos.
Esses não-ostensivos possibilitam construir o conceito de função.
Ainda no exemplo acima, haverá relação pessoal ocorrendo entre o
estudante e a atividade apresentada no material, dentro de uma instituição que
é a escola, permitindo que o estudante coloque em prática seus saberes
aprendidos em funcionamento, para que se institua nessa relação o conceito
de função. A mediação realizada pelo professor, que faz uso do material
instituído, pretende transformar um saber a ser ensinado em um saber
aprendido. A relação institucional é efetivada no ambiente de trabalho e pelo
professor, que precisará considerar os esforços de seus estudantes na procura
da relação de proporcionalidade apontada na atividade e ampliar o
conhecimento dos estudantes quanto à questão de variabilidade, introduzindo
uma ideia funcional à situação ( )(afd , ou seja, 2ad ).
Cabe ao professor também apresentar, caso seja necessário, outras
técnicas mais adequadas à solução do problema, assim como apresentar
determinadas tecnologias, como teoremas e propriedades elementares que
permitam elucidar a situação, ampliando o conhecimento dos estudantes. O
professor atuará neste, e em outros casos, como um indivíduo que na
instituição ajuda o estudante a entrar em contato com o objeto do saber, e que
vem formar com o estudante um “sistema didático” (CHEVALLARD, 1997, p.
17)
O segundo exemplo Trata-se de uma atividade do ensino médio. As
atividades relativas à função apresentadas no ensino médio nos Cadernos do
Professor e do Aluno iniciam-se como uma continuidade do trabalhado iniciado
no ensino fundamental. De certa forma, os tipos de tarefas são bem parecidas
com aquelas do ensino fundamental. Inicia-se também pela relação de
proporcionalidade, mas em seguida se ampliam os conceitos mais relativos à
variabilidade e de representação gráfica. Tomaremos como exemplo uma
atividade da Situação de Aprendizagem 3, do Caderno do Aluno.
34
Figura 2: Exemplo de Atividade com máximos e mínimos
Atividade 2 – item a. Determine, [...] os valores de máximos ou mínimos [...],
indicando o valor de x em tais extremos.
100)12(3)( 2 xxf
Fonte: Caderno do Aluno, 1ª série do Ensino Médio, vol. 2, p. 43
Na atividade acima, o estudante dispõe de várias técnicas para resolver
a tarefa. Uma delas poderia ser atribuir valores à variável x e calcular o
respectivo valor da função. Uma tabela de valores dessa correspondência
auxiliará o estudante na verificação do valor mínimo da função, uma vez que
nessa função xv e f(xv) são valores inteiros, o que seria apenas inferido caso
algum desses valores fosse irracional. A tecnologia consiste em observar na
tabela de valores construída os valores que se apresentem como o menor (ou
maior) valor, em relação aos valores de sua vizinhança.
No entanto, a função é dada na forma canônica, nesse caso, se o
professor já tiver instruído o estudante a visualizar a função na forma
vhxaxf 2)()( , onde h representa xv e v representa f(xv), uma vez que é
essa uma das formas apresentadas nos Cadernos, o estudante possivelmente
saberá de imediato dizer que o valor mínimo (ou máximo) de f é 100 e que se
dá para o valor de x = 12.
Os ostensivos envolvidos na tarefa são a representação da expressão
algébrica e os registros das operações realizadas, assim como a possível
tabela da relação )(, xfx e todos os discursos do estudante com o professor
ou com seus pares. Os não-ostensivos serão o conceito de valor máximo ou
mínimo, as noções de valor numérico da função, as relações de
interdependência entre os valores de x e de f(x) e o conceito de função como
ideia de variação, além da noção de intervalos sobre os números reais.
Também nesse exemplo, a relação pessoal ocorrerá entre o estudante,
o professor e o material didático – Caderno do Aluno. A relação institucional é
efetivada no ambiente de trabalho e pelo professor que precisará considerar os
esforços de seus estudantes na procura dos valores da função e na escolha ou
determinação dos valores x e y do vértice, identificando-os como relativos ao
valor mínimo. Também cabe ao professor apresentar, caso seja necessário,
35
outras técnicas mais adequadas à solução do problema, assim como
apresentar outras tecnologias como teoremas e propriedades que permitam
elucidar a situação, ampliando o conhecimento dos estudantes.
Os exemplos mostram que existe a preocupação, por parte dos autores
do material, de propor tarefas que utilizem os conhecimentos do ensino
fundamental enquanto conhecimentos disponíveis para a introdução de novos
conhecimentos no ensino médio.
Precisamos notar também que a função semiótica dos ostensivos, sua
capacidade em produzir sentido, não pode ser separado de sua função
instrumental, de sua capacidade de se integrar nas manipulações técnicas,
tecnológicas, teóricas. Tentaremos precisar esta dupla função dos ostensivos
presentes no tipo de análise que esta distinção nos permite realizar.
A dialética entre o caráter instrumental e o semiótico dos objetos
ostensivos, conduz a diferentes casos. Os objetos ostensivos podem
notadamente perder sua instrumentalidade ao perder sua função semiótica.
Isso pode acontecer, por exemplo, quando as técnicas de manipulação, que os
tornam operatórios, deixam de ser inteligíveis e justificáveis. Em outras
palavras, caso o ostensivo se priva de sentido ou da obsolescência das
tecnologias associadas às técnicas que os mobilizam, perde sua
instrumentalidade (BOSCH e CHEVALLARD, 1999, p. 26).
Ao contrário, os ostensivos podem adquirir uma maior instrumentalidade
por fazer um trabalho tecnológico ou teórico que permitem legitimar e controlar
os novos usos das técnicas.
Essa análise em termos de ostensivos e não-ostensivos é,
particularmente, bem precisa e explorada por Bosch em sua tese (BOSCH,
1995, apud DIAS, 1998). Os objetos ostensivos aparecem como possuindo
duas valências: uma valência instrumental, por um lado, e uma valência
semiótica, por outro lado. A valência instrumental de um ostensivo os
especifica enquanto instrumentos de ação, de produção. Ela é local, definida e
relativa a certo tipo de tarefa. A valência semiótica de um ostensivo o
especifica enquanto instrumento, tornando possível enxergá-lo e, nesse
sentido, permitindo apreciar o trabalho efetuado e também considerar o que
poderá ser efetuado.
36
Figura 3: Exemplo das valências de ostensivos presentes na tarefa
Fonte: Dante, 2010, p. 74. A noção de função dada por meio de conjuntos
No exemplo acima, a valência instrumental do ostensivo fica
caracterizada pelos gestos (representados pelas setas) mostrando-se a
correspondência de cada número em particular ao seu triplo, que facilita a
interpretação da tarefa e da relação dos elementos dos conjuntos A e B, ou
ainda pelos pares associados representados numa mesma linha na tabela. A
valência semiótica do ostensivo está representada pelos ostensivos de
representação composto pelos diagramas de Venn e pela tabela de valores
que possibilitam evocar os não-ostensivos que é a ideia de triplo de um
número.
Vale ressaltar que o diagrama de Venn perde sua instrumentalidade a
partir do momento em que não se considera a introdução da noção de função
por meio de relação entre dois conjuntos, mas utilizam-se situações de
aprendizagem contextualizada, como é o caso do que apresenta o Material de
Apoio ao Currículo Caderno do Professor.
Apesar da Teoria Antropológica do Didático de Chevallard e a teoria
sobre os registros de representação semiótica de Duval serem bem diferentes
uma da outra, elas mantém pontos em comum que justamente é o interesse
que as duas dão à questão semiótica e a não aceitarem que a Matemática seja
vista como uma simples atividade de conceituação, conforme ressaltam Bosch
e Chevallard (1999). Ainda que os registros de representação semiótica sejam
Observe os conjuntos A e B relacionados da seguinte forma: em A estão
alguns inteiros e em B, outros. Devemos associar cada elemento de A a seu
triplo em B.
x ϵ A y ϵ B
- 2 - 6
- 1 - 3
0 0
1 3
2 6
A B
-2.
-1.
0.
1.
. – 8
. – 6
. – 4
. – 3
. 0
. 3
. 6
37
considerados do ponto de vista cognitivo e os ostensivos e não-ostensivos
sejam vistos do ponto de vista do funcionamento da Matemática, estes
conceitos guardam uma relação de similaridade.
Apresentamos a seguir uma atividade trabalhada com os estudantes
pesquisados neste trabalho, procurando mostrar o seu desenvolvimento
cognitivo frente aos diferentes registros de representação semiótica e o
desenvolvimento Matemático na resolução dessa tarefa. A atividade consistiu
em apresentar dois conjuntos e uma lei de formação, solicitando aos
estudantes representar esta relação por um diagrama de Venn, por um gráfico
no plano cartesiano e alguns valores numéricos de f(x).
Figura 4: Exemplo de Atividade no teste dos alunos
Fonte: Bezerra Matemática, 1994 (adaptada) – (Q. 20, p. 43)
O estudante TTCB (sigla de seu nome) utilizou os ostensivos “Diagrama
de Venn”, “as linhas ligando os valores de x do conjunto domínio à y no
conjunto contradomínio”, “a representação gráfica cartesiana”, e “registros
escriturais”. Além desses ostensivos registrados na folha de atividade,
podemos perceber que os não-ostensivos, que é a noção de função, ainda
aparece como não totalmente desenvolvida. Diversos pontos nos permitem
fazer esta observação. Uma delas é o fato de o estudante em questão utilizar,
no espaço dedicado aos elementos do conjunto B, somente os valores relativos
à imagem de f, deixando de fora os elementos -3 e 6 pertencentes à B. Ou
seja, o estudante acabou por representar uma função, que a princípio é injetora
mas não é sobrejetora, numa função injetora e sobrejetora. Além disso, o
registro gráfico cartesiano de f, que precisamente seria um gráfico de pontos
discretos, apareceu como uma linha contínua ligando os pontos alinhados
desenhados sobre o plano.
Atividade: Uma função f de A = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 6} em
B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} é definida pela seguinte lei: f(x) = x – 1.
a) Represente f em um diagrama de Venn.
b) Faça o gráfico de f.
c) Determine x de modo que as sentenças f(x) = 3, f(x) = 0 e f(x) = -1 sejam
verdadeiras.
38
Figura 5: Atividade do aluno TTCB
Uma função f de A = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} em B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} é definida pela
seguinte lei: f (x) = x – 1.
a) Represente f em um diagrama de Venn.
b) Faça o gráfico de f.
Fonte: A pesquisa
Completando o estudo da relação didática entre os saberes e seus
atores, há ainda que se considerar as ações de cada um na instituição de
ensino, isto é, seu “topos”. Em um de seus estudos Chevallard e Grenier (1997)
introduzem a noção de “topos”, isto é, o papel que professor e estudante
desempenham durante a ação didática.
O “topos” do professor pode ser identificado como a práxis do indivíduo,
que na instituição deve garantir o processo de ensino, relacionando os objetos
do saber, manipulando os não-ostensivos próprios à sua tarefa, pois é ele que
tem condições de prever e decidir sobre a introdução de novos objetos nessa
relação didática. É dele que dependem as instruções para a realização das
tarefas institucionalizadas pelos materiais didáticos. Enquanto que o “topos” do
estudante corresponde a operar os objetos do saber e os ostensivos próprios
que o cabe, com certa autonomia, de maneira a introduzir em sua rede
cognitiva, os não-ostensivos relativos ao conhecimento que está sendo
construído nesta relação.
Dessa forma, a diferença entre o saber do professor e o saber do
estudante pode ser apenas temporal, incluindo-se necessariamente as
subjetividades relativas aos sujeitos (CHEVALLARD e GERNIER, 1997). Os
não-ostensivos repassados ou materializados pelo professor em sua práxis, por
39
diversos tipos de ostensivos, podem então, nessa relação didática, conceituar-
se como não-ostensivos pelo estudante na manipulação desses objetos do
saber, transformando-se em conhecimento.
A fim de melhor explorar e localizar as praxeologias, que correspondem
às organizações matemáticas associadas a um determinado domínio de
estudo, numa relação com o saber, Chevallard (2002) define os seguintes
níveis de codeterminação: civilização, sociedade, escola, pedagogia,
disciplina, domínios, setores, temas e tópicos.
Segundo Chevallard (2002), esses níveis descrevem as relações
recíprocas entre os níveis mais específicos e os mais gerais do sistema
didático. Observa ainda que o novo problema de fazer funcionar organizações
didáticas concebidas segundo um determinado ponto de vista conduz a
enfrentar restrições que distorcem a estrutura e eliminam as funções quando
deixam de ser apenas um mundo no papel.
Assim, o autor explicita essas restrições associando as diferentes
organizações matemáticas à hierarquia dos níveis de codeterminação
mostrando que seu interesse é permitir a triagem das restrições que dirigem o
estudo escolar e a escolha das que serão consideradas de maneira a evitar um
desequilíbrio muito flagrante.
Dessa forma, Chevallard (2002) parte da afirmação que as restrições
indicadas acima se devem ao fato que uma organização matemática não se faz
em um vazio de obras2, pois uma organização matemática pontual
praticamente não é encontrada no desenvolvimento de estudos reais, pois essa
abstração existe para o aluno que, em geral, é avaliado sobre tipos de tarefas
que para ele corresponde a um tópico completo quase independente dos
outros. Já, para o professor existe uma unidade em torno de uma tecnologia
que tem status de tema de estudo e que agrupa em uma organização regional
que corresponde ao amálgama de organizações locais admitindo uma mesma
teoria e que é associada ao setor de estudo.
2 Segundo Chevallard (1998) uma obra pode ser uma parte qualquer de um complexo de
organizações praxeológicas. Como exemplo de um tipo particular de obra, o autor cita as
instituições além dos componentes materiais como livro, retroprojetor, etc.
40
Existem ainda níveis superiores de determinação de uma organização
matemática, ou seja, o correspondente ao amálgama de varias organizações
regionais que conduz a uma organização global identificada a um domínio de
estudo cujo conjunto é amalgamado em uma disciplina.
Como exemplo do nosso estudo, podemos supor que uma organização
matemática pontual corresponde à tarefa construir o gráfico da função afim cuja
tecnologia está associada à passagem do ostensivo de representação
algébrico para o ostensivo de representação gráfico e para o qual existe uma
técnica que pode ser utilizada para os outros tipos de funções formando assim
uma organização matemática local associada ao tema de estudo gráfico de
funções que se referem ao setor de estudo funções de uma variável real a
valores reais cujo domínio de estudo é o das funções que amalgamado com os
outros domínios, por exemplo, a da geometria analítica, conduz a disciplina
matemática. Chevallard (2002) observa que os professores, em geral, se
referem apenas aos níveis tópicos e temas, pois nas organizações didáticas
escolares existem poucas possibilidades de atuar sobre os outros níveis. O
autor apresenta como exemplo, iniciar uma aula apresentando o programa de
estudos da classe para o ano escolar, mostrando que assim o professor
poderia expor cada domínio que o compõe e completar no decorrer do ano com
uma apresentação dos setores de estudo que compõem os diferentes domínio
situando temas e tópicos que serão estudados na sequência. O autor ressalta
ainda que se o professor não localiza temas e tópicos nos setores e domínios
de estudo e segue o programa introduzindo-os um após o outro como uma fila
indiana, irá provocar uma atomização do material de estudo que contrasta com
a ambição original que é ensinar matemática. Chevallard (2002) ressalta a
importância da desconstrução/reconstrução no estudo das obras por meio da
metáfora do quebra cabeça, pois reconstituímos apenas fragmentos de um
quebra cabeça que jamais será reconstruído em seu conjunto.
Para Chevallard (2002) o principal déficit, que gera essa forma de
trabalho em que o professor se refere apenas aos níveis tópicos e temas, está
associada primeiro às organizações matemáticas efetivamente utilizadas em
aula o que segundo o autor, conduz a ausência de motivação dos tipos de
tarefas estudadas, pois as tarefas que servem para motivar o trabalho
matemático se encontram nos níveis superiores das organizações
41
matemáticas, a saber, setores e domínios. Utilizando como exemplo o cálculo
da média de uma série estatística, Chevallard (2002) coloca em evidência o
fato que essa tarefa é considerada como auto motivadora por razões culturais,
o que corresponde mais a uma cópia formal das obras que a sua
desconstrução/reconstrução. Assim, encontrar tarefas que motivem o
desenvolvimento de uma determinada noção exige que tenhamos acesso aos
níveis superiores de codeterminação matemática.
Dessa forma, conforme Chevallard (2002), encontramos assim um
fenômeno ecológico central, o da codeterminação das organizações
matemáticas e didáticas, pois a ausência da relação do tópico ou tema com os
níveis superiores: setores e domínios, além da própria disciplina, torna
impossível pensar a relação de motivação entre os tipos de tarefas, ou seja, a
organização do estudo de um tópico ou tema conduz a considerar os níveis
superiores da hierarquia de determinação matemática.
Assim, se os professores ficam confinados ao nível tema, as diferentes
esferas da noosfera cuidam dos níveis superiores – setores, domínios,
disciplinas. A inscrição de determinados domínios da matemática passa a ser
controlada por instâncias de capital cientifico e político.
A escala tópicos, temas, setores, domínios e disciplinas juntam-se ainda
níveis suplementares (sociedade, escola) que não representam um dado, mas
uma construção histórica. Cada nível determina a ecologia das organizações
matemáticas e das organizações didáticas por meio dos pontos de apoio que
oferecem e das restrições que impõem.
Por meio do exemplo que um tópico, em geral, está incluído em um
tempo curto de uma aula o autor mostra que isso contraria a existência de
formas didáticas em que o trabalho da classe sobre esse tópico possa ser
articulado sobre um tempo longo. Isso o conduz a considerar que em função
desse nível de condições oferecidas e restrições impostas, no quadro do
sistema escolar existente, o estudo de um tópico de qualquer disciplina
pertence ao que se denomina nível pedagógico. Sendo esse nível aquele em
que termina a ação da noosfera disciplinar. As restrições pedagógicas tomam a
forma de um conjunto de meios de estudo impostos e alocados em todo estudo
escolar, com algumas exceções, que convém negociar com autoridade
pedagógica.
42
Mas, o esquema de níveis de codeterminação matemática não termina
no nível pedagógico, esse representa apenas a fronteira entre a noosfera, que
é composta por especialista de pedagogia que propõem a lei sem se preocupar
com os decretos de aplicação. É onde reina o que o autor denomina política.
Como exemplo, o autor indica o que ele chama de fórmula tradicional
apresentada nos programas segundo o qual “o professor tem toda liberdade na
organização de seu ensino com a condição que sejam observados os objetivos
visados pelo programa”, ou seja, o professor deve respeitar o conjunto de
restrições pedagógicas, o que lhe proporciona uma margem de manobra muito
reduzida.
Além do nível pedagógico encontramos o nível escola, isto é o nível de
restrições e pontos de apoio próprios da instituição escolar, pois em uma
escola pode existir determinada disciplina e não existir outra, da mesma forma
que na sociedade existem escolas de 6 a 16 anos e também escolas para
menores de 6 anos e ainda escolas para maiores de 16 anos.
Assim, a escola é definida como instituição social dedicada ao estudo,
onde se suspende temporariamente o fluxo das atividades comuns da vida
para estudar, isto é, desconstruir e reconstruir as praxeologias da vida. Dessa
forma, Chevallard (2002) considera que a escola determina uma ecologia e
uma economia da difusão dos conhecimentos na sociedade.
No nível sociedade existe uma enorme quantidade de restrições e como
exemplo o autor apresenta o fato que uma sociedade pode compreender a
instrução dada em sua escola de pontos de vista diferentes, que não são
didaticamente equivalentes, isto é, que não criam as mesmas condições na
classe para um mesmo tópico de estudo.
Um primeiro ponto de vista, que ainda é dominante, corresponde ao
sistema de disciplinas reduzidas em si mesmas como sendo totalidades e não
considerando o que elas nos possibilitam em termos de conhecimento e ação.
A escola aparece como uma obrigação cultural mais ou menos formal em que
algumas obras, cuja escolha é vivenciada por muitos como arbitraria e cuja
visita se impõe sem que seja conveniente permanecer por muito tempo.
Um segundo ponto de vista, em emergência a partir dos anos 90,
corresponde à tentativa de projetos oficiais e semi oficiais que consiste em ver
a escola diluída na sociedade civil por meio de uma rede de lugares de difusão
43
e validação de competências variadas, constantemente e localmente
redefinidas, adquiridas e validadas sem referência nem reverência aos saberes
“monumentais”, visando à eficácia pragmática na vida profissional e no
reconhecimento das pessoas por meio de títulos que as classificam. Como
exemplo, Chevallard (2002) indica os apresentados por Authier e Lévy (1992
Apud CHEVALLARD, 2002), isto é, os « brevets », « arbres » et « blasons ».
Assim, conforme Chevallard (2002) com tal problemática, a escola pode
tomar a forma de uma sala de negócios onde, no lugar de longos discursos
“teóricos”, administramos fervorosamente um “portfólio de competências” que é
conveniente atualizar rapidamente para responder as necessidades de
diferentes mercados sobre os quais o indivíduo deve perceber o seu valor.
Chevallard (2002) apresenta ainda um terceiro ponto de vista, por ele
exposto na escola de verão de 1999, no qual o nível escola é considerado
como um lugar aberto ao estudo de toda questão umbilical possível de uma
sociedade, de uma geração, de um meio social para determinados meios,
podendo motivar um saber que sem isso seria de ordem puramente
especulativa. Dessa forma, tal ponto de vista parece suscetível de suspender o
tempo social sem repudiá-lo para dar lugar a um tempo de estudo em que se
constroem pacientemente as praxeologias que, por principio escolar, só serão
utilizadas com certa diferença no mundo das práticas extraescolares.
Outro exemplo correspondente ao nível sociedade é que atualmente
vivemos em nossa sociedade, mesmo que de forma implícita, divisões rígidas
que delimitam domínios de legitimidade exclusivos. Assim, conforme
Chevallard (2002) o hábito de não falar muito, até mesmo de se recusar a
pronunciar e guardar para si as verdades tem um longo passado na cultura e
nas ciências. Isso inspirou em parte a fragmentação sábia da produção dos
conhecimentos, um princípio reivindicado pela ideologia comum dos cientistas.
Dessa forma, na divisão existente no campo de estudo existem a
ambiguidade determinada pela história deste campo, pelas restrições impostas
às vezes a revelia dos pesquisadores, pela cultura e pela organização da
sociedade. Esse obstáculo não é próprio à didática da matemática, não mais
que a instrução pública, sendo isso que devemos enfrentar.
44
Os níveis de codeterminação matemática propostos por Chevallard
(2002) nos ajudam a melhor analisar as propostas curriculares e compreender
as dificuldades enfrentadas pelos professores para colocá-las em prática.
Baseado no que foi discutido sobre a TAD, consideramos ainda que um
trabalho matemático completo deve contemplar a conversão entre os diferentes
tipos de representações semióticas e os diferentes níveis de conhecimento
esperados dos estudantes, passaremos a descrever alguns pontos do trabalho
de Duval (1995, 2011) sobre registro de representação semiótica e, em
seguida, passaremos a descrever o trabalho de Robert (1997, 1998).
3.2 – Registros de Representação Semiótica
A noção de função impõe certo número de representações e estas
podem se mostrar mais ou menos adequadas em razão das tarefas que são
propostas aos estudantes, seja como objeto de estudo da própria Matemática,
seja como ferramenta de modelagem para situações contextualizadas.
Considerando ainda que o tratamento das questões de aprendizagem,
em particular as questões de aprendizagem da Matemática, que podem ser
representadas de diferentes formas por meio de diversos registros de
representação semiótica, e que a noção de registro de representação semiótica
da forma como discutida por Duval (1995) se mostra adaptada ao trabalho
proposto nesta pesquisa, escolhe-se esse trabalho como referencial teórico
auxiliar para as análises tanto das tarefas que serão propostas aos estudantes,
a partir dos materiais de apoio ao Currículo, como dos resultados por eles
apresentados.
Sendo assim, quando se leva em conta a abordagem em termos de
registro de representação semiótica de Duval (1995), verifica-se que para a
noção de função, é necessário que se pense em introduzir suas possíveis
representações e que se trabalhem as conversões entre elas, pois, em geral, é
por meio destas representações que vislumbram outras noções matemáticas
como, por exemplo, domínio de uma função, conjunto solução de uma
inequação, entre outros.
45
Os diferentes registros de representações de funções, sejam eles na
forma de tabelas (figura 6), na forma de gráficos (figura 7), na forma de
expressões algébricas ou fórmulas (figura 8) ou as representadas na forma oral
na língua materna, favorecem uma compreensão mais abrangente desse
conceito, podendo, em cada caso, passar de uma representação a outra por
meio de diferentes interpretações, ampliando a noção do objeto estudado pelo
estudante.
Figura 6: Representação em forma de tabela - Interdependência entre x e n
Fonte: São Paulo, 2009, CP, 1s, vol2, p. 15
Figura 7: Representação gráfica – Gráficos da função f(x) = ax2, variando o valor de a
Fonte: São Paulo, 2009, CP, 1s, vol2, p. 31
n x
1 400 000
2 200 000
4 100 000
5 80 000
8 50 000
10 40 000
20 20 000
46
Figura 8 – Uso de fórmulas para representar funções
Fonte: São Paulo, 2009, CP, 1s, vol2, p. 31
Duval (2003) aponta que há grande variedade de representações
semióticas em Matemática. Para ele há quatro tipos diferentes de registros os
quais são apresentados no quadro a seguir.
Figura 9: Classificação dos diferentes registros mobilizáveis no funcionamento
matemático (fazer matemático, atividade matemática)
REPRESENTAÇÃO DISCURSIVA
REPRESENTAÇÃO NÃO-DISCURSIVA
REGISTROS MULTIFUNCIONAIS: Os tratamentos não são algoritimizáveis
Língua Natural Associações verbais (conceituais). Forma de raciocinar:
Argumentação a partir de observações, de crenças, ...;
Dedução válida a partir de definições ou de teoremas.
Figuras geométricas planas ou em perspectivas (configurações em dimensão 0, 1, 2ou 3).
Apreensão operatória e não somente perceptiva;
Construção com instrumentos.
REGISTROS MONOFUNCIONAIS: Os tratamentos são principalmente algoritimizáveis
Sistemas de escritas:
Numéricas (binária, decimal, fracionária ...);
Simbólicas (línguas formais).
Cálculo
Gráficos cartesianos.
Mudanças de sistemas de coordenadas;
Interpolação, extrapolação.
Fonte: (DUVAL, 2003, p.14)
Para Duval, quanto mais se dispõe de diferentes registros para
representações de um mesmo objeto matemático, mais este se fixa à rede
cognitiva e a outros objetos que se encontram disponíveis nesta rede,
favorecendo uma melhor compreensão pela sua abrangência. Portanto, para
se estender aos diversos domínios ou quadros pelas quais se utiliza ou se
constrói a Matemática, torna-se mais rica a exposição e representação dos
objetos desses domínios ou quadros a partir de suas diversas formas de
2
2
2
2
10)(g)
)(e)
10)(c)
)(a)
xxf
xxf
xxf
xxf
2
2
2
2
10
1)(h)
2)(f)
10
1)(d)
2b)
xxf
xxf
xxf
xf(x)
47
representação semiótica. Seria difícil pensar que haveria Matemática sem uso
das diferentes representações para seus objetos. O estudo da noção intuitiva
de conjuntos, com todas as suas representações, símbolos, elementos,
relações e operações, dificilmente poderia ser articulado sem uma
representação simbólica adequada de seus conceitos.
O exemplo a seguir permite verificar uma série de registros de
representações semióticas para uma reta em IR2.
Figura 10 – Exemplo de registros de representação semiótica para uma reta no plano
Fonte: Jamal, 2011, pp. 99 e 100
Representação funcional de uma reta em R2.
baxy
Representação cartesiana de uma reta ou equação geral da reta em R2.
cbyax
Equação segmentária da reta.
0b 0;a 1 b
y
a
x
Equação paramétrica ou equação vetorial de uma reta.
parâmetro) e vetor ponto,A e (X R AX:r
R ),(),(y)(x,:r 1 baxx y
Representação simétrica de uma reta ou equação da reta r na forma
simétrica em R².
),( e )( nde 1111 ba,yxAo
b
yy
a
xx
Representação gráfica de uma reta.
Representação funcional de uma reta em 2.
baxy
Representação cartesiana de uma reta ou equação geral da reta em 2.
cbyax
Equação segmentária da reta.
0b 0;a 1 b
y
a
x
Equação paramétrica ou equação vetorial de uma reta.
parâmetro) e vetor ponto,A e (X
R AX:r
R ),(),(y)(x,:r 1 baxx y
Representação simétrica de uma reta ou equação da reta r na forma
simétrica em IR ².
),( e )( nde 1111 ba,yxAo
b
yy
a
xx
Equação determinante de uma reta, onde P(x,y) é um ponto qualquer e
A(x1,y1) e B(x2,y2) são dois pontos da reta.
0
1
1
1
22
11
yx
yx
yx
Representação gráfica de uma reta.
y
x
r
48
Além disso, sendo a Matemática uma ciência para a qual um mesmo
objeto pode ser representado de diferentes formas, não é de se estranhar que
ela utilize as representações semióticas para o desenvolvimento e
interpretação das questões que lhe são associadas.
Verifica-se ainda que a própria ideia de número, a qual se utilizam
símbolos para sua representação (no nosso caso os algarismos do sistema de
numeração decimal) que dão as ideias de seu valor, ou ainda, as equações
que, de certa forma traduzem um problema modelado de uma situação de
referência, mas que também podem ser vistas como objetos matemáticos
quando estão sendo tratadas em relação às propriedades associadas à noção
de grupo, isto é, podendo assumir diferentes papéis em função da noção que
se quer evidenciar, assumindo assim seu papel ferramenta no primeiro caso e
objeto no segundo, possuem diferentes formas de representação.
Observamos aqui também a questão da teoria associada a uma
determinada tecnologia, pois essa última depende da técnica empregada.
Num desenvolvimento de um trabalho matemático um determinado
registro pode ser privilegiado em relação a outro. No entanto, a possibilidade
de passar de um registro a outro é o que torna a Matemática mais
compreensível. Dessa forma, Duval (2003) sinaliza que há dois tipos de
transformações de representações semióticas: os tratamentos e as
conversões.
Os tratamentos são transformações que se dão dentro de um mesmo
registro, isto é, lida-se com os elementos que compõem o registro sem, no
entanto, passar para outro registro, como por exemplo, resolver uma equação
ou um sistema de equações.
Figura 11: Tratamento na resolução de uma equação matemática
Fonte: Elaborado pelo pesquisador
2
9
2
9
2
2
92
312332
1232
x
x
x
x
x
49
As conversões são transformações de representação que consistem em
mudar de registros conservando os mesmo objetos em questão, como por
exemplo, representar uma função por uma lei de formação e por uma tabela de
valores.
Figura 12: Conversão na obtenção da função, dado o gráfico cartesiano
Fonte: Dante (2010, p. 121)
Constantemente em Matemática passa-se de uma representação
semiótica a outra a fim de explorar os conceitos envolvidos nas diferentes
tarefas e fazer-se representar as diferentes ideias associadas aos conceitos em
questão. Por exemplo, em geometria analítica faz-se frequentemente as
conversões equação«tabela«gráfico, registros associados, por exemplo, às
retas e planos em IR 2 e IR 3 que permitem modelar uma situação desse
domínio ou quadro da Matemática. Essas conversões se mostram necessárias
tanto para a solução de uma tarefa como para uma melhor interpretação. No
entanto, os sentidos da conversão mostram dificuldades distintas na
compreensão e no trabalho por conta do estudante, como aponta o trabalho de
Santos e Curi (2012). Essas autoras mostram que os estudantes têm menos
dificuldade em converter um registro algébrico para o gráfico que a conversão
contrária.
Sendo o estudo de funções uma noção essencial no estudo da
Matemática e de outras ciências, é preciso considerar suas diferentes
representações e suas possíveis conversões e tratamentos. Também
Dado o gráfico da função de IR em IR, escrever a função f(x) = ax + b
correspondente.
Respostas: 23
2)(
xxf
50
acreditamos ser preciso compreender o papel dessas noções nas tarefas
propostas aos estudantes. Sendo assim, expõe-se aqui, brevemente, a
abordagem teórica em termos de níveis de conhecimento esperados dos
estudantes, segundo definição de Robert (1997, 1998) que conduz à definição
dos níveis técnico, mobilizável e disponível, que compreendemos que
completará o trabalho de análise que pretendemos.
3.3 - Níveis de Conhecimentos Esperados dos Estudantes
Para observar como o Currículo se desenvolve em nível escolar e que
conhecimentos podem ser esperados dos estudantes dos Ensinos
Fundamental e Médio quando se introduz a noção de função, no sentido de
analisar o desenvolvimento do Currículo; para que seja possível diagnosticar os
conhecimentos prévios esperados e em que nível, para propor uma atividade
que permita atingi-los, mesmo quando esses já fazem parte dos conhecimentos
prévios dos estudantes, mas ainda não apresentam o nível esperado; para
detectar o nível que se encontram os estudantes e propor situações que
permitam atingir o nível disponível; recorre-se à abordagem teórica em termos
dos níveis de conhecimento esperados dos estudantes (técnico, mobilizável,
disponível), conforme definição de Robert (1997, 1998).
Essa abordagem em termos dos três níveis de conhecimentos
esperados dos estudantes foi proposta por Robert no seu artigo intitulado
“Quelques outils d’analyse épistemologique et didactique de connaissances
mathématiques à enseigner au lycée et à l’université”, apresentado na França
em 1997. O artigo de Robert se inicia observando que um dos meios e também
um dos fins que se deve evidenciar nas pesquisas na área da educação é a
elaboração de cenários que devem ser colocados em prática em sala de aula
para se obter uma análise mais apurada dessa experiência. Dessa forma, a
autora acredita que uma parte do trabalho do didata consiste em adaptar às
especificidades das Matemáticas escolhidas, em um determinado nível, às
hipóteses cognitivas e didáticas que serão adotadas e que permitirão trabalhar
as especificidades dos conteúdos e os tipos de atividades esperadas dos
estudantes para o desenvolvimento desses conteúdos. Isso vem ao encontro
de uma de nossas propostas que é a de observar de que forma o professor
51
trabalha o Currículo de acordo com as especificidades exigidas por sua
clientela e se o Currículo é adaptável às diferenças encontradas nas práticas.
Dessa forma, consideramos importante levar em conta a abordagem
teórica em termos de níveis de conhecimentos esperados dos estudantes
segundo definição de Robert (1997, 1998), que deverá auxiliar na identificação
dos conhecimentos prévios esperados quando se trabalha o conceito de função
no Currículo de Matemática do Estado de São Paulo. Dessa forma, é possível
analisar as tarefas quanto ao nível de conhecimentos esperados dos
estudantes, assim como as atividades desenvolvidas por eles.
Os diferentes níveis de conhecimentos propostos por Robert (1997)
podem ser resumidos por:
Nível Técnico: Corresponde a um nível de trabalho individual do
estudante no qual este encontra na tarefa todos os elementos necessários para
sua realização além do que, está explicitamente indicado o caminho para esta
realização. Geralmente são tarefas propostas como fixação da aprendizagem
de uma determinada definição ou do uso de uma determinada ferramenta.
Figura 13: Exemplo de tarefa de nível técnico
Construa, no espaço a seguir, em um mesmo plano cartesiano, os gráficos
das seguintes funções a, b, c e d, e em outro plano os gráficos das funções e,
f, g e h.
2
2
2
2
10)(g)
)(e)
10)(c)
)(a)
xxf
xxf
xxf
xxf
2
2
2
2
10
1)(h)
2)(f)
10
1)(d)
2b)
xxf
xxf
xxf
xf(x)
Fonte: São Paulo, 2010, CA, 1s, vol2, p. 28
Nível Mobilizável: Corresponde ao nível de conhecimento esperado dos
estudantes na resolução de uma tarefa de forma que ele saiba utilizar as
ferramentas específicas para o tipo de tarefa. O que se pede na tarefa está
explícito, mas o estudante deve procurar um caminho de resolução baseado no
uso da ferramenta que se espera que ele utilize.
52
Figura 14: Exemplo de tarefa de nível mobilizável
Na casa de uma família que gasta cerca de 0,5 kg de gás de cozinha por dia,
a massa de gás m contida em um botijão doméstico de 13 kg varia com o
tempo de acordo com a fórmula m = 13 - 0,5t , onde t é o tempo em dias.
a) Calcule o número de dias necessários para um consumo de 6 kg de
gás.
b) Calcule a massa de gás que resta em um botijão após 10 dias de uso.
c) Esboce o gráfico de m em função de t.
Fonte: São Paulo, 2010, CA, 1s, vol2, p. 11
Nível Disponível: Neste nível os dados necessários para a realização
da tarefa encontram-se no enunciado, porém não é indicado nenhum caminho
ou ferramenta que possam auxiliar na resolução. O estudante pode chegar à
solução partindo de várias formas, até mesmo sem uso de ferramentas
específicas. Em alguns casos o estudante acaba chegando à solução optando
por tentativas e experimentando-as, eliminando os erros para chegar, por
aproximações, à resposta correta. Certamente, quando isso é possível.
Esse nível de conhecimento está associado à familiaridade, ao conhecimento
de situações de referências que o estudante sabe poder manipular. Em geral,
para resolver tarefas propostas em nível disponível o estudante procura em sua
estrutura cognitiva situações próximas ao que foi proposto, que possam auxiliá-
lo a reconhecer os conhecimentos que servem de ferramenta para o
desenvolvimento do trabalho.
Figura 15 – Exemplo de tarefa de nível disponível
Mostre que a curva do gráfico de f(x) = x2 não tem um “bico” na origem do
sistema de coordenadas, ou seja, ela tangencia suavemente o eixo x.
Fonte: (São Paulo, 2010, CA, 1s, vol2, p. 29)
53
Figura 16 – Segundo exemplo de tarefa de nível disponível
Um queijo tem o formato de paralelepípedo, com dimensões 20 cm x 8 cm x 5 cm. Sem descascar o queijo, uma pessoa o divide em cubos com 1 cm de aresta, de modo que alguns cubos ficam totalmente sem casca, outros permanecem com casca em apenas uma face, alguns com casca em duas faces e os restantes com casca em três faces. Nesse caso, o número de cubos que possuem casca em apenas uma face é igual a
a) 360.
b) 344.
c) 324.
d) 368.
Fonte: Unicamp, Vestibular 2012
Baseado nas teorias dos autores que apresentamos neste capítulo,
pretendemos analisar as obras oficiais estatuais e federais, os materiais de
apoio aos professores e estudantes, os questionários apresentados em nossa
pesquisa e os testes realizados com estudantes. Articulando as teorias desses
três autores poderemos verificar, por exemplo, quais as relações pessoais e
institucionais nos objetos analisados, os registros de representações
semióticas utilizados e suas possíveis transformações e os níveis de
conhecimentos esperados dos estudantes ao realizar determinadas tarefas.
Pelo fato de que os estudos que trataremos neste trabalho terem um
foco sobre o conceito de função, faremos um breve histórico sobre o
desenvolvimento desse conceito com vistas às suas definições ao longo de sua
aplicação.
54
55
4 – UMA BREVE HISTÓRIA SOBRE FUNÇÕES
Apesar de função ser um objeto matemático que passou a ter um
interesse de estudo mais acirrado por volta do século XVII, sua ideia é muito
mais antiga e provavelmente iniciou-se com o surgimento da ideia de números.
Relacionar quantidades de objetos dos conjuntos, mesmo que os objetos
sejam de natureza diferente, está no fundamento abstrato e discreto da ideia
de número. Portanto, o conceito de número que surge como um dos objetos
mais fundamentais do desenvolvimento humano e que é a base da
Matemática, é também um conceito que surge de forma intuitiva, informal,
desinteressada e ingênua, e que somente mais tarde passa a ser um objeto de
estudo mais formalizado.
Assim provavelmente também surge a ideia de função. Não surgiu com
suas definições formais como a concebemos hoje, mas de forma também
ingênua como a ideia de números. Surge com a ideia de relacionar
quantidades, de fazer correspondências. Nesse sentido, podemos tomar uma
citação de Caraça:
A ideia de correspondência é tão importante que nos vamos
demorar um pouco no seu estudo; ele facilitar-nos-á
enormemente a compreensão de certas questões que
aparecerão adiante, como seja a questão dos irracionais, o
conceito de função, etc. (CARAÇA, 1951, p. 10).
Há um ponto de divisão de águas quando se trata de estudar
historicamente o desenvolvimento da noção de função. Segundo Rogalski
(2013), esta época fica dividida pelo século XVII. Assim tem o período antes do
século XVII e o após o século XVII. Segundo este matemático, o período antes
do século XVII está motivado pelas relações entre grandezas de fenômenos
naturais (Astronomia, Mecânica, Física), onde o tempo atua com um papel
fundamental. Trabalhava-se com funções particulares, mesmo que em
diferentes registros (tabular, linguagem natural, fórmulas, curvas geométricas),
não havia ainda uma conceituação geral. Usava-se as funções como
56
ferramentas sem unificação de forma e sem uma simbologia específica que lhe
desse padronização, até a época de Viète e Descartes.
Um conceito unificado sobre a noção de função, colocando esse
conceito como um objeto matemático, começa a evoluir a partir do século XVII
e as sucessivas definições de função vão surgindo e evoluindo em função dos
problemas, sobretudo para modelar problemas físicos (ROGALSKI, 2013).
Acompanhando mais intimamente o desenvolvimento histórico do
conceito de funções, vemos que os povos primitivos, ao associar quantidades,
tinham intuitivamente a ideia funcional. Essa ideia foi se estruturando, tanto que
foi a base de construções de tabelas de inter-relações numéricas, encontrados
em papiros antigos como alguns das coleções de Berlim, de Yale e do Louvre,
que apresentam tábuas de relações entre na e n , e que permite escrever a
relação ba x , na linguagem atual (EVES, 2004, p. 77).
As relações estabelecidas por quantidades ou grandezas aparecem
primitivamente como para explicar fenômenos naturais, principalmente
associados a movimentos. Os movimentos dos corpos celestes, por exemplo,
foi um grande precursor para a construção de tabelas de senos como as de
Ptolomeu, 150 d.C. conhecidas como Almagesto. Porém, indícios apontam que
Hiparco c.140 a.C., usava tabelas semelhantes. No entanto, tábuas de
cotangentes já eram percebidas em alguns problemas no papiro Rhind, de
cerca de 1650 a.C. (Ibid., p. 70, 142, 202, 203).
Também recorrendo à ideia de relacionar, porém utilizando
comprimentos, os pitagóricos estabeleceram uma função entre os
comprimentos de cordas tensas e a nota musical produzida quando esta corda
era colocada a vibrar. Os pitagóricos, que já estabeleciam diversas relações
matemáticas aritméticas como as sequências, a exemplo dos números
triangulares, observaram uma lei simples da música:
Pitágoras observou que quando os comprimentos de cordas vibrantes
podem ser expressos como razão de números inteiros simples, como dois para
três (para a quinta) ou três para quatro (para a quarta), os tons serão
harmoniosos. Em outras palavras, se uma corda produz a nota dó quando
tocada, então uma corda semelhante com o dobro do comprimento produzirá o
dó uma oitava abaixo; e os tons entre essas notas são emitidos por cordas
cujos comprimentos são dados por razões intermediárias: 16:9 para ré, 8:5
57
para mi, 3:2 para fá, 4:3 para sol; 6:5 para lá e 16:15 para si, em ordem
ascendente. Aqui temos talvez as mais antigas leis quantitativas da acústica –
talvez as mais antigas leis quantitativas da física. (BOYER, 1974, p. 40, 41).
Estudos esses de Pitágoras, associados às médias harmônicas, ou seja,
à expressão ba
baM H
..2, dados a e b, posteriormente deram origem à
construção da lira, ao alaúde, ao cravo, ao violão, ao piano, ao órgão e aos
instrumentos de sopro que funcionam com os mesmos princípios
(CONTADOR, 2008).
Mas, mesmo com uma Matemática bastante desenvolvida para a época,
a formalização do conceito de função só começaria a aparecer mais tarde, no
século XVII.
Anteriormente ainda à conceituação de funções, a aritmética e, em
seguida, a álgebra das equações haviam evoluído. Também evoluiu o trabalho
com a geometria analítica.
A essência da ideia [a geometria analítica], quando aplicada ao
plano, [...], consiste em estabelecer uma correspondência entre
pontos do plano e pares ordenados de números reais,
viabilizando assim uma correspondência entre curvas do plano
e equações em duas variáveis, de maneira tal que para cada
curva do plano está associada uma equação bem definida.
(EVES, 2004, P. 382).
René Descartes em sua obra Discours de la Méthode de 1637, deu
grande contribuição à geometria analítica como a concebemos hoje e a qual
podemos associá-la com curvas de equações da forma )(xfy (Ibid., p. 383),
porém, em 1361, Nicole Oresme, pensando em traçar uma “figura” ou um
“gráfico” que representasse a variação das coisas, construiu um precursor das
“representações gráficas de funções”. Oresme traçou um gráfico de velocidade
x tempo para um corpo que se move com aceleração constante. Ao longo de
uma reta horizontal ele marcou pontos representando instantes de tempo (ou
longitudes), e para cada instante ele traçou perpendicularmente à reta de
longitudes um segmento de reta (latitude) cujo comprimento representava a
velocidade. As extremidades desses segmentos representará a velocidade.
58
Caso o movimento parta do repouso, a figura formará um triângulo retângulo
(BOYER, 1974, p. 192).
Figura 17: Representação gráfica dada por Oresme
Fonte: BOYER, 1974, p. 192
A relação entre um valor que se obtém quando outro valor varia já vai se
estabelecendo nessa época. As representações gráficas já parecem
representar algumas dessas variações. No entanto, ainda faltava dizer que,
quando uma variável y é dependente de uma variável x, y é função de x, e
estabelecer os critérios de x e de y. E isso não tardaria a acontecer.
No início do século XVII, dois italianos contribuíram com o
desenvolvimento da Matemática, incluindo também o desenvolvimento do
conceito de função. Galileu provando que os corpos em queda livre
desenvolvem distâncias dadas pela lei 2
. 2tgs , coloca o movimento dos
corpos em queda livre como função do tempo t de queda. Pouco tempo depois,
Johann Kepler, embebido nos registros de observação dos movimentos dos
corpos celestes de Tycho Brahe, expressou suas três leis dos movimentos
planetários. A terceira lei, por exemplo, pode ser representada algebricamente
pela relação KR
T
3
2
, onde T é o período de translação de um planeta e R o
semieixo maior da órbita (EVES, 2004, p. 357). Essas e outras leis que iam se
estabelecendo na Física e em outras áreas do conhecimento já estavam
consolidando o conceito de função.
Instantes
(longitude)
velocidades (latitude)
59
Após a metade do século XVII, pouco antes de Newton e Leibniz, James
Gregory, matemático escocês, deu a seguinte definição de função em 1667:
“uma quantidade obtida de outras quantidades pela sucessão de operações
algébricas ou por qualquer outra operação imaginável” (KLINE, 1990 apud
BOTELHO e REZENDE, 2007). Por essa definição e pelas representações
anteriores já podemos perceber que, não só as representações gráficas já
estavam bastante consoantes com a ideia de função, mas também as
representações algébricas e os conceitos já estavam se consolidando. No
entanto, essa ideia de variação e correspondência ainda não se chamava
função.
Com a advinda de Newton e Leibniz, as relações de variação, ou fluxos
como eram conhecidas, foram utilizadas para o desenvolvimento de uma das
ferramentas mais importantes da Matemática: O Cálculo Diferencial e Integral.
Para Newton, o que hoje chamamos de função era uma relação entre
fluentes. A palavra função foi usada por Leibniz para nomear a relação de
fluentes, ou de variáveis. Coube a Euler implantar a nomenclatura )(xf para
representar algebricamente uma função.
A partir dessa época, o conceito de função já estava bastante
fundamentado, porém, muitas discussões ainda se estabeleceriam e muitas
definições de funções seriam descritas por grandes matemáticos de forma a
eliminar pontos obscuros ou armadilhas desse conceito. Entre as definições
que se tem conhecimento, apresentamos abaixo uma relação de algumas
delas e seus autores, de forma cronológica. Algumas dessas definições foram
extraídas de Rüthing (1984, apud BOTELHO e REZENDE, 2007), outras de
Serge (2013).
1718. Johann Bernoulli. “Uma função de uma grandeza variável é uma
quantidade composta de qualquer maneira desta grandeza variável e de
constantes”.
1748: Leonhard Euler. “Uma função de uma quantidade variável é uma
expressão analítica composta de alguma maneira desta quantidade variável e
números ou quantidades constantes”.
60
1755: Leonhard Euler. “Se x denota uma quantidade variável, então
todas as quantidades que dependem de x ou que são determinadas por ele são
chamadas de função”.
1797: Joseph-Louis Lagrange. “Uma função de uma ou várias
quantidades é toda expressão para cálculo na qual estas quantidades entram
de uma maneira qualquer, envolvidas ou não com outras quantidades
consideradas todas como sendo dadas e valores invariáveis, enquanto as
quantidades da função podem assumir todos os valores possíveis. [...]
Designada em geral pela letra f ou F colocada antes da variável, toda
quantidade que depende desta variável e que varia com ela segundo uma lei
dada”.
1822: Gustav Lejeune Dirichlet. “Sejam a e b dois valores dados e x
uma quantidade variável que assume, gradualmente, todos os valores
localizados entre a e b. Se para cada x corresponde um único y, de modo que,
enquanto x percorre o intervalo de a até b, y = f(x) varia gradualmente da
mesma forma, então y é chamada função contínua de x para este intervalo.
Além disso, não é absolutamente necessário que y dependa de x no intervalo
inteiro de acordo com a mesma lei”.
1823: Augustin Louis Cauchy. Quando quantidades variáveis estão
interligadas, tal que, quando o valor de uma delas é dado, pode-se concluir o
valor de todos os outros valores, estes geralmente expressos utilizando várias
quantidades que levam o nome de variável independente, e os outros,
expressos por meio da variável independente, são chamados de função desta
variável.
1845: George Boole. “Qualquer expressão algébrica envolvendo o
símbolo x é chamada uma função de x e pode ser representada sob a forma
geral abreviada f(x). [...] Nestes mesmos princípios de notação, se em alguma
função transformarmos x em 1, o resultado será expresso pela forma f(1); se na
mesma função transformarmos x em 0, o resultado será expresso pela forma
f(0)”.
1861: Richard Dedekind. “Em uma aplicação de um sistema S uma lei
é entendida, de acordo com a qual cada elemento s de S está associado a um
determinado objeto que é chamado a imagem de s e denotada por f(s);
61
dizemos também que f(s) corresponde ao elemento s, que f(s) é originada ou
gerada pela aplicação f, que s é transformado em f(s) pela aplicação f”.
1939. Bourbaki. “Sejam E e F dois conjuntos distintos ou não. Uma
relação entre uma variável x de E e uma variável y de F é dita uma relação
funcional em y, ou relação funcional de E em F, se, para qualquer x E existe
um único y F, e apenas um, que está na relação dada com x. Damos o nome
de função à operação que associa a todo elemento x E o elemento y F que
se encontra na relação dada com x; dizemos que y é o valor da função para o
elemento x, e que a função é determinada pela relação funcional considerada.
Duas relações funcionais equivalentes determinam a mesma função.”
Dessa forma, podemos notar que o conceito de função passou
historicamente por diversas versões e por diversas representações e foi se
estruturando até os dias atuais. Muitas mentes trabalharam de maneira a
consolidar as ideias por detrás desse que é um dos conceitos mais importantes
da Matemática e que ajudou a desenvolver a humanidade representando os
fenômenos da natureza, auxiliando em sua compreensão e ajudando nas
previsões que se podem obter a partir do seu uso.
O ensino básico de todo o mundo, e inclusive do Brasil, se preocupa em
incluir esse estudo em seu Currículo. No Brasil, os Parâmetros Curriculares
Nacionais sugerem o início do estudo desse conceito no 9º ano do ensino
fundamental e um estudo um pouco mais detalhado na 1ª série do ensino
médio. O estudo de funções mais complexas vai se estendendo nas séries
subsequentes. Os livros didáticos em geral acompanham essa sequência e os
materiais de apoio ao Currículo – o Caderno do Professor e o Caderno do
Aluno – também fazem esse percurso.
Uma definição dada no Livro Didático do programa PNLD 2012 –
Matemática Contexto & Aplicações, de Luiz Roberto Dante (DANTE, 2010), é a
seguinte: “Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B é
uma regra que indica como associar cada elemento x ϵ A a um único elemento
y ϵ B”. No ensino superior, uma definição encontrada no livro “Cálculo” de
James Stewart (STEWART, 2011), é a seguinte: “Uma função f é uma lei que
62
associa cada elemento x em um conjunto D exatamente a um elemento f(x),
em um conjunto E.
No Caderno do Professor, a definição de função dada é a seguinte:
“Duas grandezas x e y podem variar de modo interdependente, de tal forma
que seus valores assumem valores inter-relacionados. Quando, deixando variar
livremente os valores de uma grandeza x, notamos que os valores de outra
grandeza y também variam, de tal forma que a cada valor de x corresponde um
e somente um valor de y, então dizemos que y é uma função de x; dizemos
ainda que x é a variável independente e y é a variável dependente”.
Para fechar a definição de função, tomaremos a definida no livro
“Matemática do Ensino Médio” de Elon Lages Lima et al (2006), uma obra
voltada mais precisamente para o estudo do professor de Matemática. Nesta
obra a definição de função é a seguinte: “Dados dois conjuntos X, Y, fuma
função f: X→Y é uma regra (ou conjunto de instruções) que diz como associar
a cada elemento x ϵ X um elemento y = f(x) ϵ Y.”
Podemos verificar que as definições mais atuais de função são aquelas
associadas às funções numéricas de variáveis reais enquanto que as mais
antigas são as funções associadas à covariação de grandezas.
Enquanto que os livros analisados neste trabalho definem funções por
meio de conjuntos, associando-as a funções numéricas, nem todos trabalham
seus exemplos e exercícios iniciais nesse sentido, o que mostra que ainda não
há uma clara diferenciação entre estes dois tipos de compreensão no conceito
de função.
Notamos que os Cadernos do Professor e do Aluno não fazem a
definição de função pelos meios atuais. Não definem função como uma lei de
formação associando elementos de dois conjuntos. Assim, na definição dadas
nesses cadernos, função assume uma característica mais voltada à covariação
de grandezas. Essa forma possibilita ou facilita para os autores desses
materiais fazerem a correspondência entre diversos tipos de funções e as
relações de proporcionalidade.
63
5 – METODOLOGIA
Esta pesquisa tem características qualitativas no sentido que, uma parte
do trabalho é a análise dos formulários de questões aplicadas diretamente aos
professores de Matemática de escolas públicas do Estado de São Paulo e de
um teste para um grupo de estudantes.
Além dessa pesquisa realizada em loco, também faremos uma análise
documental do Currículo do estado de São Paulo, a partir da Proposta
Curricular publicada em 2008, e o Currículo publicado em 2010, comparando-
os aos documentos oficiais em nível federal, como é o caso da LDB, dos PCN
e das orientações curriculares, e ainda, uma comparação com o Programa
Francês, analisando documentos relativos a esse programa, e comparando-os
com o trabalho desenvolvido no estado de São Paulo, em ação nas salas de
aula.
Dessa forma, primeiramente analisaremos os documentos oficiais da
união com vista ao que esses documentos orientam em relação ao trabalho do
professor e a prática de estudo do estudante, com luz na noção de “topos”
esperado do professor e do estudante, segundo Chevallard e Grenier (1997).
Na sequência serão verificados como os conceitos de função (definição,
domínio, contradomínio, imagem, injetividade, sobrejetividade, bijetividade,
função composta e função inversa) estão sendo trabalhadas no Currículo do
Estado de São Paulo. Essa análise será efetuada por meio de pesquisa
documental, discutindo a maneira como o conceito de função é introduzido nos
materiais de apoio, qual a metodologia adotada e sugerida para o trabalho com
os estudantes em sala de aula, como são articulados os diferentes registros de
representação semiótica para o trabalho desse tema, segundo definição de
Duval (1990, 1995), e como é a sua distribuição nas diferentes séries do ensino
fundamental e do ensino médio.
Em seguida a análise será feita relativa à aplicação do Currículo em
Ação e dos materiais de apoio. Para essa análise aplicaremos questionários
aos professores e testes para um determinado grupo estudantes.
64
Com esses levantamentos pretendemos saber se o trabalho baseado
em Situações de Aprendizagem, como está proposto no Currículo, dão conta
de permitir ao professor ensinar e ao estudante aprender o conceito de função,
e se é possível verificar se há inter-relação entre as Situações de
Aprendizagem e outras áreas do conhecimento a partir das orientações
curriculares. Também pretendemos saber como os estudantes se apropriam
dos conceitos estudados a partir de Situações de Aprendizagem; como os
estudantes do ensino fundamental, que já têm em sua grade curricular o estudo
preliminar de função no 9º ano, levam essa bagagem de conhecimento ao
ensino médio; como os estudantes do ensino médio compreendem e utilizam
os conceitos de função; quais conhecimentos prévios são considerados
mobilizáveis ou disponíveis ao final do ensino fundamental, segundo definição
de Robert (1997), e durante o ensino médio. E finalmente pretendemos
comparar o Currículo Prescrito com o Currículo em Ação nas escolas do
Estado, comparando os conteúdos destes com o que é proposto no Programa
Curricular Francês.
Essa comparação entre o Programa Francês e o Currículo do Estado de
São Paulo, acrescentando os resultados dos questionários aplicados aos
professores e dos testes aplicados a um grupo de estudantes, poderá fornecer
subsídios para uma análise mais precisa e objetiva para os objetivos
pretendidos neste trabalho.
Anteriormente a exposição da pesquisa em sua abrangência,
construiremos um panorama geral sobre a necessidade da mesma.
Para verificar se o Currículo do Estado de São Paulo, implementado
pelos Cadernos do Professor e pelos Cadernos dos Alunos, traz um
rendimento satisfatório e adequado no que diz respeito à aprendizagem em
Matemática, será necessário verificar se tais Cadernos estão sendo utilizados
pelos professores e pelos estudantes, e ainda, de que forma estão sendo
usados. É preciso verificar também se as avaliações externas têm trazido
resultados mais satisfatórios que os anteriores à implantação do programa,
analisando os resultados gerais e de forma bastante detalhada, para poder
focar um ponto de observação, analisar os resultados que envolvem conceitos
de funções ou que estejam relacionadas a esse conceito.
65
5.1 – Descrição das características da pesquisa relativa aos documentos
oficiais
A análise desses documentos buscará uma descrição geral sobre sua
apresentação, sobre os públicos a quem se destinam, sobre as orientações
metodológicas, os termos utilizados e principalmente os conteúdos apontados
para o ensino nos diversos níveis de ensino, percebendo-se fundamentalmente
àqueles relativos ao conceito de função. Dessa forma, poderemos buscar uma
relação entre a metodologia de ensino e os conceitos de funções nos
documentos da União, nos do Estado de São Paulo e no Programa Francês.
5.2 – Descrição das características da pesquisa relativa aos Cadernos do
Professor e do Aluno e Livros Didáticos
Os Cadernos do Professor e do Aluno serão analisados conjuntamente,
uma vez que, teoricamente, os dois seguem a mesma sequência, apenas com
características didáticas diferentes. O primeiro serve de orientação ao
professor, trazendo um detalhamento mais completo do assunto estudado,
apresentando a parte teórica da disciplina e relacionando o conteúdo com
outros conceitos matemáticos quando pertinentes. Enquanto o Caderno do
Aluno cabe, mais precisamente, às questões que devem ser respondidas em
sala ou em casa, apresentando algumas vezes um aporte teórico resumido ou
um fato histórico, procurando subsidiar o estudante de dados para a construção
da solução às questões ou para motivá-lo a respondê-las.
Na análise desses materiais, que incluirá os Cadernos do 9º ano do
ensino fundamental e as três séries do ensino médio, pelo fato de
apresentarem o estudo de funções, discutiremos como esse conceito é
apresentado, qual ou quais as ideias principais para definir o objeto função,
quais exemplos são apresentados aos estudantes e como esses exemplos são
abordados, quais os ostensivos e não ostensivos se apoiam os autores para
trabalharem e definirem a função, quais as formas de representação semiótica
são exploradas e com quais intensidades, e quais os níveis de conhecimentos
podem ser esperados dos estudantes para resolverem as atividades sugeridas.
66
Para cada tópico ou Situação de Aprendizagem trabalhados nos
cadernos, tomaremos ao menos uma questão apresentada no Caderno e a
analisaremos baseada na grade de análise que apresentaremos mais abaixo.
Essa análise, então, poderá ser posteriormente cruzada às analises dos
livros didáticos.
Os livros didáticos que optamos para as análises estão baseados em
alguns preceitos como: Livro Didático antigo, livros didático atual que esteja
incluído nos programas PNLD ou PNLEM, livros dos anos ou séries que
normalmente se trabalham os conceitos de função.
Escolhemos os seguintes livros para incluirmos nas análises neste
trabalho:
TUDO É MATEMÁTICA – DANTE. Ensino Fundamental. 8ª série
(2005).
BEZARRA MATEMÁTICA. 2º Grau (1994).
MATEMÁTICA. Kátia Smole & Maria Ignez. Ensino Médio (2010).
MATHEMATIQUES – Colletion Phare. Brault, Roger et al. Classe
de troisième (2008).
DECLIC MATHEMATIQUES. Beltramone, Jean-Paul, et al. Lycée
(2010, 2011, 2012).
Nestes livros iremos analisar, da mesma forma como faremos nos
Cadernos, como o conceito de função é apresentado, qual ou quais as ideias
principais para definir o objeto função, quais exemplos são apresentados aos
estudantes e como esses exemplos são abordados, quais os ostensivos e não-
ostensivos se apoiam os autores para trabalharem e definirem a função, quais
as formas de representação semiótica são exploradas e com quais
intensidades, e quais os níveis de conhecimentos podem ser esperados dos
estudantes para resolverem as atividades sugeridas.
A análise dos livros didáticos nos permitirá uma comparação mais
eficiente sobre como os conceitos relativos à função estão sendo trabalhados
nesses materiais e compará-los com as apresentadas no material de apoio ao
Currículo – Cadernos do Professor e do Aluno.
67
Em cada um dos materiais analisados, algumas questões próprias a
estes materiais serão eleitas e constituirão um objeto de análise. A comparação
entre diversas grades, horizontalmente, fazendo relação entre questões
internamente a um mesmo material, ou verticalmente, entre as questões eleitas
entre diversos materiais, possibilitarão uma discussão sobre a forma de
apresentação do conceito de função e a forma de trabalho própria a cada
material.
Para organizar a forma como as questões serão analisadas quanto aos
tipos de tarefas, tanto nos livros didáticos a serem analisados como nos
Cadernos do Professor e Aluno, trataremos dez tipos de tarefas, as quais
classificaremos entre T1 e T10, conforme segue:
Figura 18: Tipos de tarefa
Categoria Tipo de Tarefa
T1 Resolver uma equação.
T2 Encontrar um valor para uma função.
T3 Encontrar uma raiz de uma equação.
T4 Identificar características de proporcionalidade.
T5 Calcular uma constante de proporcionalidade.
T6 Escrever uma expressão algébrica.
T7 Representar um gráfico cartesiano.
T8 Preencher ou utilizar uma tabela.
T9 Encontrar informações e/ou propriedades em gráficos cartesianos.
T10 Encontrar informações e/ou propriedades em expressões algébricas.
Fonte: Elaborado pelo Pesquisador
Para cada questão tomada nos materiais analisados, indicaremos em
sua grade de análise o tipo de tarefa exigida. Dessa forma, poderemos, em
seguida, quantificar as tarefas mais ou menos exigidas em cada material, as
quais servirão para determinar um mapa de comparação entre os mesmos.
A seguir apresentamos a grade de análise que será utilizada quando
tomarmos algumas questões para a análise à luz do referencial teórico utilizado
neste trabalho. Nessa grade faremos também uma breve descrição de o que
será verificado em cada item.
68
Figura 19: Grade de Análise das Questões
Descrição da questão a ser analisada
Tarefa T1, T2, T3, T4, T5, T6, T7, T8, T9 e T10.
Técnica A técnica numa atividade matemática é a consolidação consciente e instrumental associada a realização de certo número de tarefas (CHEVALLARD, 1994b).
Tecnologia A tecnologia é um discurso racional tendo por objetivo justificar a técnica, tornando-a compreensível (CHEVALLARD, 1994b).
Ostensivos manipulados na técnica
Os ostensivos são os instrumentos manipulativos ou operatórios na conceituação do objeto em questão (CHEVALLARD, 1994b).
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Os não-ostensivos são os conceitos utilizados ou desenvolvidos cognitivamente na manipulação do objeto (CHAVALLARD, 1994b).
Registro de Representação Semiótica
Verificar as possíveis representações do conceito de função, as
conversões e tratamento entre elas Duval (1995). Por meio destas
representações será possível interpretar outras noções matemáticas
como, por exemplo, domínio de uma função, conjunto solução de uma
inequação, entre outros.
“Topos” do Professor
Aquilo que cabe ao professor na conceituação de um objeto. Seu discurso, seus exemplos, as atividades propostas por ele, etc. (CHEVALLARD E GRANIER, 1997).
“Topos” do estudante
Aquilo que cabe ao estudante na aprendizagem de um objeto de estudo. Suas tarefas, suas técnicas, a mobilização de outros conceitos, etc. (CHEVALLARD E GRANIER, 1997).
Nível de conhecimento esperado do estudante
O Nível de Conhecimento do Estudante está relacionado às hipóteses cognitivas e didáticas adotadas na atividade e que permitem trabalhar as especificidades dos conteúdos e os tipos de atividades esperadas dos estudantes para o desenvolvimento desses conteúdos (ROBERT, 1997).
Fonte: Elaborado pelo Pesquisador
5.3 – Descrição das Análises das Avaliações – SAEB e SARESP
Uma forma que possibilita inferir a respeito da aquisição de
conhecimentos por parte dos estudantes, relativo ao conceito de função,
compreendendo o período anterior à implantação do Currículo do Estado de
São Paulo e o período posterior, é a análise dos resultados de avaliações em
larga escala. Para o estado de São Paulo, duas avaliações são destaques: o
SAEB e o SARESP.
O levantamento de dados dessas avaliações será feito analisando
alguns documentos que tratam da implantação, da aplicação e de seus
resultados, assim como relatórios técnicos e pedagógicos que apontam os
resultados gerais e por ano/série, comparativamente entre os respondentes de
um mesmo ano, entre respondentes de anos anteriores e entre respondentes
do estado comparativamente às redes municipais ou federais.
69
Tomaremos também algumas questões que foram disponibilizadas
dessas avaliações, que de alguma forma estejam relacionadas ao conceito de
função ou que tenham alguma relação com o conceito de função, verificando o
índice de acertos e fazendo também a distinção e comparação entre os
períodos anteriores e posteriores a implantação do Currículo. A análise de tais
questões utilizará a “grade de análise” apresentada no quadro da figura 19.
Dessa forma, poderemos analisar as questões à luz de nosso referencial
teórico.
A comparação entre os resultados gerais apontados pelo SAEB e
comparados com os resultados do SARESP, juntamente com a comparação
técnica das questões, será mais um elemento de reflexão sobre o aprendizado
dos estudantes frente ao objeto de estudo: função.
5.4 – Descrição das características da pesquisa relativa aos professores
Incluímos neste trabalho uma pesquisa com professores da rede pública
estadual de São Paulo. Isso nos muniu de dados reais sobre o trabalho
desenvolvido em sala de aula a respeito da metodologia adotada,
possibilitando comparar tais metodologias com aquelas apontadas ou
sugeridas pelos documentos oficiais.
Assim pudemos verificar se o Currículo e/ou os Cadernos do Professor e
do Aluno estão sendo utilizados pelos professores em sala de aula ou se os
professores estão preferindo utilizar como apoio didático os livros dos
programas federais (PNLD e PNLEM).
A pesquisa com professores foi feita por meio de questionários. Esses
questionários continham perguntas relativas à forma como o professor trabalha
a noção de função em sala de aula e como ele a define. Dessa forma pudemos
comparar suas respostas às formas de trabalho sugeridas pelos materiais de
apoio, neste caso os Cadernos, que fazem parte do Currículo do Estado de
São Paulo, e os Livros Didáticos que também têm sua forma específica e
predominante de apresentar o estudo de funções. Comparando a resposta dos
professores com a definição sugerida pelo Caderno do Professor ou com as
sugeridas pelos livros didáticos, tivemos alguns indícios sobre a utilização ou
não desses materiais. Cruzando os dados das respostas do professor,
70
pudemos tirar conclusões sobre suas escolhas de materiais didáticos para uso
no trabalho com os estudantes em sala de aula.
Para essa pesquisa, selecionamos alguns professores de Matemática da
rede pública estadual do Estado de São Paulo que lecionam nos anos finais do
ensino fundamental (6º ao 9º anos) e/ou no ensino médio (1ª a 3ª séries).
De forma a ter um panorama representativo de toda a rede de ensino do
Estado de São Paulo, fizemos a escolha dos professores e das escolas onde
os mesmos lecionam, de forma bastante dispersa, porém abrangendo o estado
como um todo.
Utilizando os resultados do SARESP 2010, mais especificamente a lista
de “Indicadores de Desempenho” relativo à Matemática extraída dessa edição
do SARESP, fornecida gentilmente pela Coordenadoria de Informação,
Monitoramento e Avaliação Educacional - CIMA, órgão da Secretaria de Estado
da Educação de São Paulo – SEE/SP. Selecionamos as escolas por meio das
seguintes atribuições:
Figura 20: Seleção das escolas por índice de desempenho
P1 10 escolas com desempenhos favoráveis em Matemática quando juntado os resultados
dos estudantes do 9° ano com os da 3ª série
P2 10 escolas com desempenhos não favoráveis em Matemática quando juntado os
resultados dos estudantes do 9° ano com os da 3ª série
P3 10 escolas com desempenhos favoráveis e que só possuem o ensino fundamental
P4 10 escolas com desempenhos não favoráveis e que só possuem o ensino fundamental
P5 10 escolas com desempenhos favoráveis e que só possuem o ensino médio
P6 10 escolas com desempenhos não favoráveis e que só possuem o ensino médio
P7 5 escolas onde a diferença nos desempenhos do 9° ano e da 3ª série foram as maiores
possíveis
P8 5 escolas onde a diferença nos desempenhos do 9° ano e da 3ª série foram as
menores possíveis
Fonte: Elaborado pelo Pesquisador
Dessa forma, as escolas, pela própria característica dos resultados
obtidos na avaliação em Matemática, foram o fator de dispersão da localidade.
Foi possível contatar escolas em diversos pontos no estado.
71
Os contatos foram estabelecidos, a princípio, com os professores
coordenadores das Diretorias de Ensino – PCNP de cada região do estado. A
rede de ensino paulista possui um total de 91 regiões, controladas por suas
diretorias de ensino, onde as diretorias têm certo número de municípios que
varia pela quantidade de escolas contidas nestes municípios e das distâncias
em poder percorrer e atender estas escolas. Assim, há diretorias que
abrangem dois municípios bastante populosos; há diretorias que abrangem até
6 municípios, geralmente no interior do estado. Por outro lado, há município
com 23 diretorias, é o caso do município de São Paulo, subdividido em regiões
menores, devido à sua extensão territorial e à quantidade de escolas.
Como as diretorias de ensino possuem, ao menos, um professor
coordenador para a área de Matemática, e devido à estreita relação que o
pesquisador possui com esses professores coordenadores pelo fato do
pesquisador ser um dos coordenadores gerais de Matemática na Secretaria de
Educação, foi possível solicitar, informalmente, este contato inicial com os
professores das escolas estabelecidas.
Diante desse contato, os professores receberam os formulários com as
questões de pesquisa por meio do Professor Coordenador. Os professores
então devolviam o questionário preenchido aos seus coordenadores. Os
professores pesquisados sempre foram esclarecidos de que o questionário se
tratava de uma pesquisa de ordem particular e que os mesmos tinham toda a
liberdade para responderem ou se recusarem.
Ao todo repassamos cerca de 280 questionários a 40 Diretorias de
Ensino que possuíam escolas com as características apontadas acima, de
acordo com as classificações P1 à P8. Como nem todos os formulários podem
ter sido entregues, assim como nem todos os professores se disponibilizaram a
responder, tivemos um retorno de 40 questionários. Desses, dois estavam
incompletos e foram suprimidos. Assim analisamos um total de 38
questionários.
No anexo 1 trazemos a relação das escolas que se enquadraram nos
grupos P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7 e P8, e o município onde as mesmas estão
localizadas e no anexo 2 apresentamos as questões que compuseram o
questionário do professor.
72
Depois de preenchidos, os formulários foram analisados com base nos
fundamentos teóricos utilizados neste trabalho de forma a permitir uma
resposta confiável às questões de pesquisa que tratam do trabalho do
professor. Uma parte da análise se deu de maneira estatística direta, baseada
nos quantitativos dos respondentes. Outra parte se deu por inferência no
cruzamento dos dados dos respondentes, procurando verificar a relação entre
suas respostas e o uso efetivo do material de apoio ao Currículo.
A análise de cruzamento de dados foi realizada em cada um dos
formulários individualmente e posteriormente os dados foram consolidados
para apresentação geral.
A maneira que cruzamos os dados dos respondentes para inferir se os
mesmos estão mais propensos à utilização do Caderno ou do Livro Didático foi
feita, especialmente analisando as repostas fornecidas às questões 3, 4, 6 e 7.
Passaremos à descrição da metodologia da análise dos questionários.
A análise foi dividida basicamente em três momentos distintos. No
primeiro deles os resultados representavam os dados brutos, isto é, os
quantitativos relativos aos 38 formulários analisados. Em cada uma das
questões 1, 2, 6, 7, 8 e 9 contamos as respostas fornecidas pelos professores
em cada alternativa e, baseado neste acumulado, descrevemos os resultados,
inferindo as possíveis causas que motivaram os professores a estas respostas.
Nas questões 3, 4 e 5, onde os professores deveriam ordenar as
alternativas de acordo com sua forma de trabalho, apresentamos os resultados
em tabelas mais completas, quantificando os resultados por ordem de
apresentação nas respostas. Assim, indicamos quantas vezes determinada
alternativa foi indicada como primeira opção, segunda opção, e assim por
diante. As descrições dos resultados também levam a observar a ordem de
resposta fornecida pelos professores.
A segunda parte da análise procurou verificar, de forma indireta e
hipotética, como a ordem das respostas de cada respondente poderia fornecer
indícios sobre o uso dos Cadernos ou do Livro Didático.
Para prosseguir com essa análise, utilizamos um procedimento
conhecido como “Método de Borda”, descrito pelo matemático francês Jean-
Charles Borda, para atribuir classificação de mérito aos candidatos numa
73
eleição (PINTO, 2010). Atribuímos às questões 3 e 4, valores às alternativas,
de acordo com a posição em que foram ordenadas e de acordo com a
quantidade de alternativas. Em seguida comparamos a posição das
alternativas com a posição hipotética que um professor responderia se
utilizasse os Cadernos. Da mesma forma, comparamos esta posição com a
posição hipotética que um professor responderia se utilizasse outro material
didático.
As posições das alternativas, supondo hipoteticamente que um
professor utilize o Caderno ou o Livro Didático estão apresentadas nos quadros
a seguir.
Figura 21: Hipótese 1
Hipótese: Professor que utiliza os Cadernos em sala de aula
Q3 Proporcionalidade Aritmética Gráfico/
Interdependência
Álgebra Variabilidade Conjuntos
Q4 Tabela Gráfico Fórmula Língua Materna
Q6 Uma função pode ser descrita como uma relação de proporcionalidade direta, inversa ou composta entre duas grandezas.
Q7 Iniciando com aplicações, passando à definição e prosseguindo com exercícios.
Fonte: Elaborado pelo Pesquisador
Figura 22: Hipótese 2
Fonte: Elaborado pelo Pesquisador
Seguindo esta hipótese, podemos dizer que nas questões 3, 4, 6 e 7 as
respostas que apresentam as alternativas em certa ordem, supondo que o
professor utilize o Caderno, estão numa ordem inversa comparada à ordem
das alternativas do professor que não utilize o Caderno.
Figura 23: Ordem hipotética das respostas
CADERNO ↔ ↔ ↔ ↔
LIVRO
Proporcionalidade Aritmética Gráfico/ Interdependência
Álgebra Variabilidade Conjuntos
- Tabela Gráfico Fórmula Língua Materna
-
- Relação Proporcionalidade
Relação entre variáveis
Operação Matemática
Associação Conjuntos
-
Aplic./Def./Exe. - Exe./Def./Aplic. - - Def./Exe./Aplic.
Fonte: Elaborado pelo Pesquisador
Hipótese: Professor que utiliza outro material de apoio em sala de aula (Livro didático)
Q3 Conjuntos Variabilidade Álgebra Gráfico/
Interdependência
Aritmética Proporcionalidade
Q4 Língua Materna Fórmula Tabela Gráfico
Q6 Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função é uma relação que a cada elemento x de A faz corresponder um único
elemento y de B.
Q7 Iniciando com a definição, passando a exemplos e prosseguindo com aplicações.
74
Tanto no caso da hipótese de o professor usar os Cadernos como a
hipótese de não os utilizar, os valores atribuídos permitiram verificar se as
respostas de cada professor estão mais parecidas ou mais afastadas da
resposta hipotética. Em seguida, o valor acumulado, parametrizado num
intervalo de 0 a 1, indicará essa aproximação.
Na questão 3, por possuírem seis alternativas, atribuímos o valor 3 para
cada alternativa caso ela apareça na posição da hipótese, e esse valor
decresce de uma unidade caso ele se afaste de sua posição hipotética. Dessa
forma, o melhor caso resulta em 18 pontos e os piores casos terão 0 pontos.
Por exemplo, se a resposta hipotética representa as alternativas na
ordem ABCDEF, uma resposta com as alternativas nessa posição terá
probabilidade de 100% de responder à hipótese. Se estiver na ordem ECADBF
terá probabilidade de 44% de responder à hipótese. Vejamos alguns exemplos.
Figura 24: Exemplos de respostas à questão 3
Q3 A B C D E F
Resposta 1 2 3 4 5 6
Pontuação 3 3 3 3 3 3 18 (100%)
Resposta 4 5 6 1 2 3
Pontos 0 0 0 0 0 0 0 (0%)
Resposta 4 6 5 3 1 2
Pontos 0 -1 1 2 -1 -1 0 (0%)
Resposta 3 5 2 4 1 6
Pontos 1 0 2 3 -1 3 8 (44%)
Fonte: Elaborado pelo Pesquisador
Na questão 4, como há menos alternativas, atribuímos o valor 2 caso a
as alternativas estejam na posição da hipótese, e esse valor decresce de uma
unidade caso ele se afaste dessa posição. O melhor resultado neste caso
resulta em 8 e os piores casos, em 0. Vejamos alguns exemplos.
Figura 25: Exemplos de respostas à questão 4
Fonte: Elaborado pelo Pesquisador
Q4 A B C D
Resposta 1 2 3 4
Pontuação 2 2 2 2 8 (100%)
Resposta 2 1 4 3
Pontos 1 1 1 1 4 (50%)
Resposta 4 3 2 1
Pontos -1 1 1 -1 0 (0%)
75
A questão 5 não nos indica a preferência do professor pelo Livro
Didático ou pelo Caderno, uma vez que a ordem das alternativas, que indicam
os tipos de funções que o professor ensina no ensino médio, geralmente segue
o mesmo padrão na maioria dos materiais didáticos.
Na questão 6, onde o professor escolheu somente uma alternativa
dentre as quatro existentes, atribuímos os valores 0%, 33%, 67% e 100% caso
a posição da resposta estivesse, respectivamente, de acordo com a hipótese,
mais ou menos próxima ou afastada do Livro ou do Caderno. Neste caso, o
valor atribuído à resposta para o uso do Caderno é complementar ao valor da
resposta atribuída ao uso do Livro.
Figura 26: Exemplo de resposta à questão 6
Relação Proporcionalidade
Relação entre variáveis
Operação Matemática
Associação Conjuntos
Hip.: Caderno 100 67% 33% 0%
Hip.: Livro 0% 33% 67% 100%
Fonte: Elaborado pelo Pesquisador
Os professores que respondem a esta questão escolhendo a alternativa
que está à esquerda na lista relativa à hipótese do uso do Caderno, está mais
propenso à utilização do mesmo, pelo fato de que, nesse material, o conceito
de função se constrói pela ideia fundamental de proporcionalidade. A segunda
opção também demonstra uma forte tendência ao uso do caderno, uma vez
que as relações kx
hy
e k
x
hy
2
entre x e y, que representam
proporcionalidade, são utilizadas para definir funções nos Cadernos, desde o
9º ano do ensino fundamental. Já as duas últimas opções definem funções a
partir de conjuntos e seus elementos. A penúltima opção é relativa ao uso de
uma lei de formação para obter os elementos da imagem )(xfy , e a última
opção apresenta a relação entre dois conjuntos, bastante comum nas
definições de função dadas nos livros didáticos.
A questão 7 tem a mesma estrutura da questão 6, pois os professores
também deveriam escolher uma única alternativa. Como eram 3 as
alternativas, os valores atribuídos foram 0%, 50% e 100% caso a posição da
resposta estivesse, respectivamente, de acordo a hipótese, mais ou menos
próximo ou afastada do Livro ou do Caderno. Também neste caso, o valor
76
atribuído à resposta para o uso do Caderno é complementar ao valor da
resposta atribuída ao uso do Livro.
Figura 27: Exemplos de respostas à questão 7
Fonte: Elaborado pelo Pesquisador
Os professores que responderam apontando a opção que está à
esquerda na lista relativa à hipótese do uso do Caderno estão mais propensos
a utilização do mesmo, uma vez que os Cadernos, trabalhando com Situações
de Aprendizagem, iniciam os conceitos matemáticos com aplicações
contextualizadas, partindo em seguida para a definição. Já se o professor
escolhe a última opção da lista acima, ele trabalha uma forma mais arraigada
de definir função, ainda comum nos livros.
A terceira forma de analisarmos os questionários é agrupando-os de
acordo com as características das escolas de onde os professores
respondentes estão alocados, ou seja, de acordo com os grupos P1 a P8.
Verificaremos qual a maior tendência de cada um desses grupos em relação ao
uso do Caderno ou do Livro didático, utilizando as mesmas técnicas já
descritas anteriormente.
Além do questionário aplicado a professores da rede, também aplicamos
um teste para um grupo de estudantes. Passaremos a descrever a metodologia
de análise desse teste.
5.5 – Descrição das características da pesquisa relativa aos alunos
Para a escolha dos estudantes participantes da pesquisa, procuramos,
entre os questionários respondidos pelos professores, um que evidenciasse o
uso dos Cadernos do Professor e do Aluno e outro que evidenciasse o
contrário.
Dentre os questionários que apontaram nesse sentido, demos
preferência a dois, pela natureza da localidade dos mesmos, permitia uma
Aplic./Def./Exe. Exe./Def./Aplic. Def./Exe./Aplic.
Hipótese: Caderno 100 50% 0%
Hipótese: Livro 0% 50% 100%
77
maior facilidade de trabalho. Dessa forma, determinamos duas salas de aula
em Suzano – São Paulo. O coordenador pedagógico dessa Diretoria de
Ensino, gentilmente contatou os professores que permitiram a aplicação de
testes com seus alunos.
Como os dois professores lecionam para classes de 3ª série do ensino
médio, preferimos aplicar os testes aos estudantes dessa série.
As questões que compõe este teste variam na apresentação do
enunciado e no tipo de pergunta. Algumas perguntas têm características de
questões frequentes em livros didáticos mais antigos, com uma formalidade
mais acentuada, com uma apresentação mais técnica. Já outras questões têm
características mais atuais, utilizando uma Situação de Aprendizagem para que
o estudante possa identificar a ferramenta necessária para a realização da
tarefa. As questões aplicadas aos alunos desses dois professores estão
apresentadas no anexo 3.
Os testes foram aplicados nas salas de aula pelo próprio professor, no
decorrer de uma aula de Matemática.
As questões que compõem os testes foram escolhidas de maneira que
pudessem fornecer indícios de como o conhecimento relativo ao conceito de
função foi trabalhado com os estudantes pelo professor. Ou seja, se o
professor fez uso do Caderno do Professor e do Caderno do Aluno, ou se fez
uso do Livro Didático mais antigo ou se fez uso do Livro Didático mais atual
inserido no Programa Nacional do Livro Didático – PNLD. Vale a pena ressaltar
que o professor não foi questionado diretamente se usa ou não os Cadernos.
A primeira questão foi tomada do livro de Jairo Manuel Bezerra, de
1994. A segunda questão foi extraída do livro de Luiz Roberto Dante, de 2010
que faz parte do Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio –
PNLEM. A terceira questão foi extraída do Caderno do Aluno, 1ª série, Vol. 2
de 2009. A quarta questão foi extraída do vestibular da Unicamp, de 2012. Esta
última foi inserida com a intenção de verificar se os estudantes que saem do
ensino médio das escolas públicas paulistas possuem conhecimentos
disponíveis e estão preparados para enfrentar o vestibular de uma universidade
pública.
Nossa intenção em escolher tais questões foi verificar as possíveis
resoluções ou encaminhamento por parte do estudante, inferindo a partir
78
desses encaminhamentos, qual a metodologia utilizada em sua formação,
relativa aos conceitos de funções. Verificar também se o trabalho foi
desenvolvido com embasamentos mais voltados àqueles discutidos nos
materiais de apoio ao Currículo, a partir de Situações de Aprendizagem, ou se
a formação foi mais direcionada aos trabalhos que costumam ser tratados nos
Livros Didáticos. Ou seja, a intenção é tirar algumas conclusões sobre as
metodologias aplicadas na formação escolar destes estudantes e comparar
com os dados fornecidos pelas pesquisas realizadas com os professores.
Sabemos que um estudante pode resolver uma questão que exige o
nível técnico e também resolver outra que exige o nível mobilizável ou
disponível. Da mesma forma que um estudante pode não resolver nenhuma
das questões. Mas os que resolvem uma ou outra questão fornecerão indícios
claros sobre sua maneira de raciocinar frente aos problemas propostos. Dessa
maneira fornecerá subsídios importantes para a pesquisa que se deseja
concluir.
Observando a forma como cada estudante resolve cada uma das
questões, poderemos verificar se ele fica mais focado às representações
gráficas, algébricas, tabulares ou em língua natural. Também se ele trabalha
mais confortavelmente com questões que exigem o nível técnico, ou se ele
avança para as questões que exigem o nível mobilizável, ou ainda se ele
alcança o nível disponível na resolução de questões com característica que
exigem esse nível, pela definição de Robert (1997). Esse cruzamento, a partir
de um número razoável de estudantes, permitirá inferir uma conclusão a
respeito da metodologia adotada por seus professores.
Após essa descrição de como a pesquisa está orientada, pretendemos
que o cruzamento entre as diversas análises sirva para a construção de uma
percepção fundamentada em dados concretos sobre a eficácia do Currículo da
Secretaria de Estado da Educação e sobre os materiais de apoio ao Currículo –
Caderno do Professor e Caderno do Aluno.
Dessa maneira, nos capítulos a seguir apresentaremos as análises
detalhadas de cada uma das etapas desse trabalho, procurando ser o mais fiel
possível aos dados levantados, inferindo tão somente o que for confiável e
79
abandonando as hipóteses não justificáveis, de tal forma que este trabalho
possa ter um nível de confiabilidade aceitável.
80
81
6 – ANÁLISES DOS DOCUMENTOS OFICIAIS
Os documentos utilizados para análises e comparações incluirão tanto
os publicados por órgãos oficiais da união como os publicados pelo estado de
São Paulo.
Abaixo faremos uma relação dos documentos que pretendemos juntar a
esta pesquisa e que servirão de base para análise e comparação com o
Currículo oficial do Estado de São Paulo.
Lei de Diretrizes e Bases da Educação – LDB. (Lei federal 9394/96).
Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio – DCNEM.
Resolução 3, de 26 de julho de 1998.
Parâmetro Curricular Nacional – PCN (1998). Matemática par os terceiro
e quarto ciclos do ensino fundamental.
Parâmetro Curricular Nacional para o Ensino Médio – PCNEM (2000).
Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias.
Orientações Educacionais Complementares ao Parâmetro Curricular
Nacional para o Ensino Médio – PCN+ (2002). Ciências da Natureza,
Matemática e suas Tecnologias.
Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006). Ciências da
Natureza, Matemática e suas Tecnologias.
Proposta Curricular do Estado de São Paulo de Matemática (2008).
Currículo do Estado de São Paulo de Matemática (2010).
Programa Escolar Francês.
A pesquisa documental se dará, cruzando as orientações dadas pelos
documentos oficiais da união, com as dos documentos oficiais do estado,
utilizando a noção de “topos” do professor e do estudante, conforme definição
de Chevallard e Grenier (1997).
Com essa análise pretendemos observar como o Currículo do Estado de
São Paulo se fundamenta nos documentos federais. Como as indicações
oriundas da União são contempladas pelo estado, tanto relativas aos
conteúdos de estudo da Matemática quanto às sequências seriais de
desenvolvimento de conteúdos.
82
Pretendemos também observar como as propostas atuais de educação,
como “educação para todos”, “educação de qualidade”, “educação para o
trabalho e para a prática social” etc., estão alinhadas nos documentos desses
dois segmentos da educação.
6.1 – Documentos oficiais da União
6.1.1 – Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – LDB
No ano de 1996, na gestão do Ministro da Educação Paulo Renato
Souza, o Congresso Nacional decreta a lei federal 9394, sancionada pelo
Presidente da República Fernando Henrique Cardoso, que estabelece as
diretrizes e bases da educação nacional. A principal finalidade estabelecida
pela lei é o pleno desenvolvimento do educando para exercer sua cidadania e
que esteja qualificado para o trabalho, além da condição de igualdade de
acesso e permanência na escola.
Em seu artigo 9°, inciso IV, a lei afirma que a união deverá estabelecer
os conteúdos mínimos que nortearão os Currículos de forma a assegurar uma
base comum nacional. Esse artigo foi assegurado pelo Ministério da Educação
com a publicação, no ano de 1998, dos PCN (Parâmetros Curriculares
Nacionais), e no ano de 2000, dos PCNEM (Parâmetros Curriculares Nacionais
para o Ensino Médio). Além de outros documentos orientadores nos anos
subsequentes.
Ainda no mesmo artigo 9º, em seu inciso VI, também afirma que a união
deve assegurar processo de avaliação, em nível nacional, do rendimento
escolar no ensino fundamental, médio e superior, com o objetivo de fornecer
subsídios para a melhoria da qualidade do ensino. A avaliação nacional de que
trata esse inciso é elaborada, desde o ano de 1990, pelo INEP (Instituto
Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira) e é
denominada Prova Brasil / Saeb (Sistema de Avaliação da Educação Básica).
A partir do ano de 2001 tal avaliação passou a avaliar apenas os conteúdos de
Língua Portuguesa e Matemática, o que se mantém atualmente. Vale ressaltar
que a avaliação, prioritariamente aquela realizada a partir de 2001, teve como
característica um atendimento aos gestores, educadores, pesquisadores e
sociedade civil em geral, de forma a auxiliar as tomadas de decisões e o
83
direcionamento de recursos destinados à educação pelo poder público,
estabelecimento de metas educacionais e ações pedagógicas, além da
divulgação do desenvolvimento da educação básica nacional, por meio do
IDEB (Índice de Desenvolvimento da Educação Básica).
O artigo 26, específico sobre Currículo, diz que tal programa deverá
conter uma base nacional comum e ser complementada por uma parte
diversificada, com características regionais e locais da sociedade, de sua
cultura e sua economia, estabelecidas a critério de cada sistema de ensino.
Este Currículo deve abranger, obrigatoriamente, a Língua Portuguesa e a
Matemática, além do conhecimento do mundo físico e natural e da realidade
social e política, especialmente a do Brasil. Uma língua estrangeira deverá
constar no Currículo a partir do 6° ano.
O antepenúltimo artigo desta lei estabelece que as questões de
transição entre o regime anterior e o que se institui por esta lei, serão
resolvidas pelo Conselho Nacional de Educação.
Uma análise mais detalhada a respeito dos interesses que promovem a
publicação desse documento e, consequentemente, as intenções por trás
desse plano, nos mostra uma necessidade de mudanças educacionais
atreladas às mudanças políticas e sociais vividas em todo o mundo e,
consequentemente no Brasil (MARTINS, 2000), e o processo de globalização.
Os ideais políticos ficam marcados pelos princípios partidários, porém as
questões sociais (ética, racial, gênero, religião etc.), culturais (modos de ser e
de agir), ecológicas, etc. afloram e superam os demais pressupostos
apontados na lei promulgada.
Dessa forma a lei determina uma maneira de agir diante dessas
mudanças que vêm, há décadas, remodelando a educação. Estabelece uma
reforma, especialmente em relação ao ensino médio. Por se tratar de uma
mudança, ela pode, conforme descreve Martins (2000, p.68), desacomodar
alguns atores e os sistemas em que atuam. Mas o processo de implantação e
implementação acaba acomodando o processo e dessa acomodação pode-se
analisar a situação e, quando necessário, estabelecer novas reformas ou
alterações, que são as adequações.
O próprio texto do documento espera que adequações sejam instaladas
nos sistemas educacionais à medida que impõe, em seu artigo 90, que os
84
órgãos competentes (Conselho Nacional de Educação entre outros) baixem
normas que favoreçam a transição entre o regime anterior e aquele que se
institui pela atual lei.
6.1.2 - Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio – DCNEM 1998
Em relação ao ensino médio foi o que fez a Câmara de Educação
Básica, com parecer favorável do Conselho Nacional de Educação. Publicou
em junho de 1998 as Diretrizes Nacionais para o Ensino Médio – DCNEM.
Documento em forma de resolução que objetiva definir e direcionar os
trabalhos de organização pedagógica e curricular a cada unidade escolar que
integram diferentes sistemas de ensino. Tal organização deverá ser mantida
pelos valores éticos de cidadania, os vínculos de família, e a tolerância
recíproca, da mesma forma como estabelecida pela LDB 9394/96. Também é
bastante presente a ideia de exercício da cidadania e do trabalho.
Dessa forma, em seu artigo 5, estabelece que, para cumprir as
finalidade do ensino médio, as escolas organizarão seus Currículos tendo em
vista que os conteúdos não serão fins em si mesmo, mas meios para constituir
competências sociais e cognitivas. Priorizando-as sobre as informações. Nota-
se aqui que a intenção expressada pelos membros da Câmara de Educação
Básica pretende uma educação sustentada por competências, e por
consequência, por habilidades que comporão, em conjunto, as competências
do ser humano. Ainda no mesmo artigo, sugere-se que se trabalhe a
experimentação e a solução de problemas, permitindo um trabalho com
Situações de Aprendizagem, pois estas requerem trabalhar a afetividade do
estudante.
A respeito da avaliação do sistema de ensino, fica estabelecido que as
instituições deverão utilizar os sistemas de avaliação do MEC ou instituir seus
próprios sistemas de avaliação. Tal atitude, segundo o DCNEM, servirá para
que os sistemas de ensino divulguem os resultados da qualidade de sua
formação e de prestação de contas, desenvolvendo a cultura de
responsabilidade, além de utilizar os resultados para orientar as ações futuras.
Vale observar que o Estado de São Paulo tem seu próprio sistema de ensino, o
SARESP, desde o ano de 1996.
85
No artigo 10 a lei institui que a base nacional comum dos Currículos do
ensino médio deverá ser organizada em três áreas do conhecimento, incluindo
as competências e habilidades específicas de cada uma delas. As três áreas
instituídas são:
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias;
Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias; e
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Vale lembrar, no entanto, que outra decisão do Conselho, publicada no
diário oficial da união, na forma da resolução n° 2 de 30 de janeiro de 2012,
estabelece outra divisão em quatro áreas, retirando dos nomes a palavra
tecnologia, ficando então:
Linguagens,
Matemática,
Ciências da Natureza, e
Ciências Humanas.
No mais, a resolução orienta a constituição da base comum e da parte
diversificada do currículo e da formação profissional.
Os DCNEM refletem bem que as reformas estabelecidas pela LDB
9394/96 afetaram principalmente o ensino médio. Nesse sentido, além dos
PCN que posteriormente foram desenvolvidos para orientar os ensinos
fundamental e médio, o CNE adiantou-se com a publicação dos DCNEM. O
estabelecimento das três áreas do conhecimento, agrupando as diversas
disciplinas em suas específicas áreas, mostra a intencionalidade de um
trabalho interdisciplinar, o que é também uma característica que vinha sendo
apontada como um trabalho metodológico por alguns teóricos da educação.
6.1.3 Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental
Os PCN para o Ensino Fundamental de 5ª a 8ª série, de 1998, são
elaborados com a intenção de intensificar as discussões no meio educacional,
envolvendo escolas, pais, governo e sociedade no sentido de se fornecer às
instituições de ensino, condições de elaborar um Currículo que venha ao
86
encontro das expectativas da comunidade e que orientem o trabalho dos
profissionais – professores e especialistas – da área da educação nesse nível
de ensino, de todo o país.
Tais Parâmetros indicam vários objetivos que contemplam as
capacidades sociais e intelectuais dos estudantes. Dentre estes objetivos,
destacamos àqueles relativos ao nosso foco principal desse trabalho, de forma
a possibilitar relacionar tais objetivos com os apresentados no Currículo do
Estado de São Paulo. São estes objetivos:
utilizar as diferentes linguagens verbal, musical, matemática, gráfica,
plástica e corporal como meio para produzir, expressar e comunicar
suas ideias, interpretar e usufruir das produções culturais, em
contextos públicos e privados, atendendo a diferentes intenções e
situações de comunicação;
saber utilizar diferentes fontes de informação e recursos tecnológicos
para adquirir e construir conhecimentos;
questionar a realidade formulando-se problemas e tratando de
resolvê-los, utilizando para isso o pensamento lógico, a criatividade,
a intuição, a capacidade de análise crítica, selecionando
procedimentos e verificando sua adequação.
Tais Parâmetros também indicam que ao apresentar os conteúdos de
Matemática, estará fazendo de forma inovadora, pois os explorará não
somente na dimensão de conceitos, mas também na dimensão de
procedimentos e atitudes. No entanto, na maior parte do documento, destaca-
se um olhar sobre o desenvolvimento individual e social do estudante. A
Matemática é apresentada como uma forma de consolidar o caráter cidadão e
sua liberdade de expressão. Nesse sentido o documento explora a inter-
relação entre a Matemática e outras áreas do conhecimento, assim como a
relação com os temas transversais. A sugestão do trabalho da Matemática a
partir da História dessa disciplina também é evidenciada, assim como o uso da
tecnologia para o desenvolvimento do cidadão atuante na sociedade e no
mundo do trabalho.
87
Quanto a apresentação do conteúdo que deve ser ensinado nas séries
finais do ensino fundamental, o documento enfatiza que se deve contemplar o
estudo de quatro grandes blocos:
Números e operações;
Espaço e Forma;
Grandezas e Medidas; e
Tratamento de informações.
Segundo se afirmam no documento, tais blocos estiveram em pauta nas
discussões atuais sobre a Matemática e fazem parte de um consenso àqueles
que trabalham esta disciplina, como vemos abaixo:
Atualmente, há consenso a fim de que os currículos de Matemática
para o ensino fundamental devam contemplar o estudo dos números
e das operações (no campo da Aritmética e da Álgebra), o estudo do
espaço e das formas (no campo da Geometria) e o estudo das
grandezas e das medidas (que permite interligações entre os campos
da Aritmética, da Álgebra, e da Geometria e de outros campos do
conhecimento). Um olhar mais atento para nossa sociedade mostra a
necessidade de acrescentar a esses conteúdos aqueles que
permitam ao cidadão “tratar” as informações que recebe
cotidianamente, aprendendo a lidar com dados estatísticos, tabelas e
gráficos, a raciocinar utilizando ideias relativas à probabilidade e à
combinatória. (BRASIL, 1998a, p. 49).
Os Parâmetros Curriculares não trazem uma lista de conteúdos a serem
ensinados no ensino fundamental. O que estes documentos fazem é instruir a
forma de selecionar os conteúdos e de determinar as metodologias a serem
adotadas em cada sistema de ensino, em cada comunidade escolar, com cada
profissional que trabalhará diretamente com o ensino dessa disciplina. Assim, é
imposto que para a seleção desejada haverá um desafio na identificação de
conteúdos, procedimentos e atitudes que sejam socialmente relevantes dentro
de cada um dos vastos campos que é o ensino da Matemática; e ainda saber
em que medidas os conteúdos selecionados podem contribuir para o
desenvolvimento intelectual do estudante. São apresentadas algumas
intenções relativas aos conhecimentos que os estudantes devem desenvolver
88
em cada uma das séries do ensino fundamental. No Currículo do Estado de
São Paulo estas intenções vão se traduzir como “competências”.
Ao orientar a escolha dos conteúdos do bloco números e operações,
fica explicito a sugestão de que deva ser incluído o estudo de números
naturais, negativos, racionais e irracionais. Para o estudo da álgebra os
conteúdos deverão explorar as funções algébricas como generalizar padrões
aritméticos, estabelecer relação entre duas grandezas, modelizar, resolver
problemas aritmeticamente difíceis, além de diferenciar parâmetros, variáveis,
incógnitas quando do tratamento de funções e equações. É dito que esse
encaminhamento dado à álgebra, a partir de generalização de padrões,
possibilita explorar a noção de função, mas que a abordagem formal desse
conceito deverá se estabelecer no ensino médio.
Também na forma de orientação pela escolha de conceitos, se mantém
as instruções quanto aos blocos espaço e forma, grandezas e medidas e
tratamento da informação. Neste caso preferimos nos ater a discussão do
bloco números e operações, por se tratar do foco mais direto relacionado ao
nosso trabalho, ficando os outros blocos em segundo plano.
O Documento deixa livre a organização sequencial do conteúdo, opção
que deverá ser feita pelos profissionais que elaborarão o Currículo. Orienta que
os assuntos não precisam estar sequenciados de forma rígida como se um
deles fosse pré-requisito para outros, assim como um determinado conteúdo
não precisa ser esgotado para que se inicie outro. O que se deve, segundo os
Parâmetros, é chegar a um nível de sistematização satisfatória para que
possam ser aplicados em novas situações. A ênfase maior ou menor que deve
ser dada a cada item também deve ser decidida de forma a elaborar uma
proposta que venha ao encontro das necessidades locais e em função do
público que se vai trabalhar. Deve estar integrada ao projeto pedagógico da
escola (Ibid., p. 53). Exemplos de conteúdos e tarefas relacionadas são
apresentadas, mas sem especificar a que série ou em que momento devem ser
aplicadas, e sem impor que tais tarefas sejam utilizadas na confecção dos
Currículos.
Podemos observar que os PCN de 5ª a 8ª séries são bastante maleáveis
em propor os conteúdos que deverão ser trabalhados no ensino fundamental. É
percebido então que a escolha da metodologia e a seleção dos conteúdos para
89
este segmento de ensino ficará totalmente a critério dos elaboradores do
Currículo os dos planos de ensino de cada instituição.
Após essa discussão sobre os PCN para o ensino fundamental,
passaremos a analisar como foram elaborados os PCN para o Ensino Médio.
6.1.4 Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio
Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio ao se dirigir
especificamente à construção do Currículo, afirmam que:
[...] enquanto instrumentação da cidadania democrática, deve
contemplar conteúdos e estratégias de aprendizagem que capacitem
o ser humano para a realização de atividades nos três domínios da
ação humana: a vida em sociedade, a atividade produtiva e a
experiência subjetiva, visando à integração de homens e mulheres
no tríplice universo das relações políticas, do trabalho e da
simbolização subjetiva. (BRASIL, 2000, p.15).
Assim, as instruções desse documento apontam para uma escolha de
conteúdos e metodologia, que também será tarefa de cada instituição ou
sistema de ensino, que privilegie a formação cidadã crítica, a vida para o
trabalho e o conhecimento científico. Para isso são apresentadas as quatro
premissas apontadas pela UNESCO como eixos estruturais da educação na
sociedade contemporânea:
Aprender a conhecer;
Aprender a fazer;
Aprender a viver;
Aprender a ser.
Os Parâmetros sugerem que o Currículo seja voltado à realização de
uma formação que compreenda a complexidade do mundo, o enfrentamento de
novas situações, o conhecimento do outro, o desenvolvendo de pensamentos
autônomos e o estimulo do senso crítico.
Relembram que a reforma curricular do ensino médio, como já
discutimos em relação às Diretrizes Nacionais para o Ensino Médio,
estabeleceu a divisão do conhecimento em três áreas:
90
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias,
Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias, e
Ciências Humanas e suas Tecnologias.
Cada uma das áreas é tratada especificamente em partes distintas nos
Parâmetros Curriculares, que conterá, inclusive, as competências que os
estudantes deverão alcançar ao concluir o ensino médio. Percebemos que,
diferentemente dos Parâmetros Curriculares para o Ensino Fundamental, os
Parâmetros Curriculares para o Ensino Médio são mais explícitos ao tratarem a
questão das competências. O documento aponta ainda que “Os estudos nessa
área devem levar em conta que a Matemática é uma linguagem que busca dar
conta de aspectos do real e que é instrumento formal de expressão e
comunicação para diversas ciências” (BRASIL, 2000, p.20).
As diretrizes expostas como orientação da proposta curricular, solicitam
que se leve em conta a identidade institucional, a diversidade de ensino e a
autonomia por parte da escola. Que o Currículo seja voltado às competências
básicas, sem ser um “ensino enciclopedista e academicista dos currículos de
Ensino Médio tradicionais, reféns do exame vestibular” (Ibid., p. 73). Ser
interdisciplinar, contextualizado e conter uma base comum e uma parte
diversificada.
Os Parâmetros não se prendem em explicar a decisão do Conselho na
divisão da educação do ensino médio em três áreas, uma vez que as Diretrizes
Nacionais para o Ensino Médio de 1998 já tiveram esse cuidado.
Diferentemente dos Parâmetros Curriculares do Ensino Fundamental, os
do Ensino Médio não sugerem tarefas relativas ao trabalho que se deve
realizar com estudantes desse nível de ensino e não traz, nem ao menos de
forma implícita, os conteúdos que devem ser selecionados ao propor o
Currículo para o ensino médio. As orientações apresentam mais uma
preocupação na formação social do que de formação teórica.
Devido a essa superficialidade dos Parâmetros Curriculares Nacionais
para o Ensino Médio, muitos educadores fizeram críticas a sua falta de
objetividade. Devido a essas críticas, o MEC publicou, no ano de 2002, o
PCN+. Documento que trataremos de analisar em seguida.
91
6.1.5 – Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros
Curriculares Nacionais
Os novos Parâmetros Curriculares (PCN+) trazem informações
complementares aos PCNEM. Seus objetivos, segundo destaca em sua
introdução, é a de facilitar a organização do trabalho da escola. Nesse sentido,
explicita a articulação das competências gerais que se deseja promover, além
de apresentar um conjunto de sugestões de práticas educativas e de
organização dos Currículos. Uma proposta que, obviamente, não se via na
edição anterior dos PCN para o Ensino Médio.
Nos textos preliminares dos PCN+, discorrem-se as intenções referentes
ao ensino médio visto como novo, inovador, diferentemente do antigo 2° grau,
que tinha a intenção de preparar o estudante para o vestibular. Esse novo
ensino médio deve preparar o estudante para a vida, formando um estudante
capaz de se realizar pessoal e profissionalmente, o que indica, segundo esse
documento, a necessidade de revisão do projeto pedagógico de muitas escolas
que não se renovaram há décadas pois foram criadas em outras circunstâncias
e com outros propósitos.
Muito mais explicito que os PCN, os PCN+ trazem em seu bojo a ideia
do desenvolvimento de competências, associando-as à aprendizagem dos
conceitos escolares e aos temas estruturantes dos conteúdos.
Para quem possa temer que se estejam violando os limites
disciplinares, quando estes se compõem com conhecimentos e
competências, vale lembrar que as próprias formas de organização
do conhecimento, as disciplinas, têm passado por contínuos
rearranjos. Muitas disciplinas acadêmicas e muitos campos da cultura
resultam de processos recentes de sistematização de conhecimentos
práticos ou teóricos, reunindo elementos que, em outras épocas,
estavam dispersos em distintas especialidades. (BRASIL, 2002,
p.14).
Os temas estruturantes dos quais tratam tal documento estão bastante
próximos daquilo que sugeria os PCN para o Ensino Fundamental que eram os
quatro blocos da Matemática, a saber: números e operações, espaço e forma,
grandezas e medidas, além do tratamento da informação. Os PCN+
apresentam três temas estruturantes para a Matemática, a saber: números,
92
formas, além de análise de dados. Em todas as disciplinas da área de Ciências
da Natureza, Matemática e suas Tecnologias são apresentadas sugestões de
conteúdos amarrados aos temas estruturantes.
As sugestões trazidas a respeito de habilidades e competências para
serem utilizadas como essenciais à educação são colocadas gradualmente,
sem fazer nenhum aparte a respeito dessas duas colocações. Para um
professor que estivesse acompanhando tal documento na época de sua
publicação, possivelmente teria que procurar um esclarecimento mais
aprofundado para compreender o que seria trabalhar com “habilidades e
competências”. Apesar do PCN+ trazer essa metodologia, não é claro como ela
deve ser desenvolvida na sala de aula. Quando o uso de habilidade e
competências é apontado no documento, indica-se que esses termos estão
presentes nos temas organizadores das disciplinas, em forma de elementos
curriculares.
No âmbito de cada disciplina – Biologia, Física, Química e
Matemática –, os temas com os quais se pode organizar ou estruturar
o ensino constituem uma composição de elementos curriculares com
competências e habilidades, no sentido em que esses termos são
utilizados nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio
(PCNEM), ou no Exame Nacional do Ensino Médio (Enem). (BRASIL,
2002, p.13).
Também se afirmam que, como área que envolve as disciplinas de
Biologia, Física, Química e Matemática, como forma de facilitar a apresentação
de objetivos educacionais que organizam o aprendizado na escola, indicados
aqui como “conjunto de competências” elegem-se três objetivos:
representação e comunicação;
investigação e compreensão; e
contextualização sociocultural.
Estes três objetivos são discutidos especificamente, mais à frente no
documento oficial, para cada uma das disciplinas que compõe a área em
questão. E é claro que ainda neste ponto não se vê claramente o uso de
habilidades e competências da forma como esses itens deveriam ser tratados
93
no âmbito da educação, ou da forma como são utilizados atualmente nas
teorias relativas a esses conceitos. São ideias superficiais sobre competências
que ainda estão em fase de conceituação. Todavia, era possível verificar que
os DCNEM tinham mais clara essas ideias ao propor o desenvolvimento delas
na formação dos indivíduos no ensino médio.
Ao tratar especificamente a disciplina de Matemática, os PCN+ colocam
que a Matemática deve ser ensinada de forma contextualizada, integrada e
relacionada a outros conhecimentos pois, dessa forma ela:
[...] traz em si o desenvolvimento de competências e habilidades que
são essencialmente formadoras, à medida que instrumentalizam e
estruturam o pensamento do aluno, capacitando-o para compreender
e interpretar situações, para se apropriar de linguagens específicas,
argumentar, analisar e avaliar, tirar conclusões próprias, tomar
decisões, generalizar e para muitas outras ações necessárias à sua
formação. (BRASIL, 2002, p.111).
Quanto às orientações para a escolha de “temas estruturadores”
(chamados assim os blocos de conteúdos que deverão compor o Currículo), o
documento chama a atenção que esses temas tenham relevância científica e
cultural, de forma a permitir ao estudante conhecer o mundo e desenvolver
sentidos estéticos e éticos. Que se tenha o cuidado com os tempos de ensino e
aprendizagem e os espaços onde isso deve ocorrer, fazendo-se alguns
recortes onde for necessário. É apresentada uma exemplificação sobre os tais
“recortes” anunciados:
É importante evitar detalhamentos ou nomenclaturas excessivos. Por
exemplo, se o único caso de funções inversas que os alunos verão no
ensino médio forem as funções exponencial e logaritmo, não há
necessidade de todo o estudo sobre funções injetoras, sobrejetoras e
inversíveis, assim como se o foco do estudo estiver na análise de
gráficos e nas aplicações da função logarítmica, podemos questionar
por que estudar cologaritmos, característica e mantissa. (BRASIL,
2002, p.120).
Ao orientar o estudo das funções, indica-se que ele deve ser feito dando
ênfase às propriedades, às operações, na interpretação de seus gráficos e nas
aplicações práticas desse conceito. Diz também que se deve evitar ou relativar
94
uma linguagem excessivamente formal, assim como o estudo de funções
injetoras, sobrejetoras, compostas e modulares.
Na verdade, a orientação discutida acima poderia ser indicada como
sugestão e que a profundidade do estudo dado ao conceito de função devesse
ficar por conta dos idealizadores do Currículo, uma vez que o parágrafo 1º do
artigo 36 da LDB indica que “os conteúdos, as metodologias e as formas de
avaliação serão organizados de tal forma que ao final do ensino médio o
educando demonstre domínio dos princípios científicos e tecnológicos que
presidem a produção moderna”. Os autores do Currículo podem entender que
o aprofundamento do estudo do conceito de função possa ser necessário para
aquele grupo ou sistema educacional no que diz respeito ao artigo comentado
acima.
Ainda em relação ao estudo de funções, os PCN+ dizem que os
problemas de aplicação não devem ser deixados para o final do estudo. Ao
contrário, devem ser utilizados como motivo e contexto para esse fim, uma vez
que há uma gama ampla de situações que envolvem funções e que pertencem
ao cotidiano.
Os PCN+ trazem um quadro com uma proposta de seleção de temas
estruturantes para as três séries do ensino médio, conforme reproduzimos
abaixo.
Figura 28: Temas estruturantes para o ensino médio
1ª série 2ª série 3ª série
1. Noção de função; funções analíticas e não analíticas; análise gráfica; sequências numéricas; função exponencial ou logarítmica.
1. Trigonometria do triângulo retângulo.
1. Funções senos, cosseno e tangente.
1. Trigonometria do triângulo qualquer e da primeira volta.
1. Taxas de variação de grandezas.
2. Geometria plana: semelhança e congruência; representações de figuras.
2. Geometria espacial: poliedros; sólidos redondos; propriedades relativas à posição; inscrição e circunscrição de sólidos.
2. Métrica: áreas e volumes; estimativas.
2. Geometria analítica: representação no plano cartesiano e equações; intersecção e posições relativas de figuras.
3. Estatística: descrição de dados; representações gráficas.
3. Estatística: análise de dados.
3. Contagem.
3. Probabilidade.
Fonte: Brasil, 2002, p. 128
95
Mesmo os PCN+ trazendo os temas estruturantes, reconhecidos no
quadro acima pelos indicadores: 1. Álgebra: números e funções, 2. Geometria
e Medidas e 3. Análise de dados; os PCN+ ainda deixam a escolha dos
conteúdos específicos bastante maleável e abrangente. Escolha que deve ser
feita no momento em que os educadores farão seu plano de ensino ou
estruturarem o Currículo, possibilitando toda uma liberdade deixada aos
elaboradores do Currículo.
Percebemos que muitos conteúdos que geralmente são trabalhados no
ensino médio e frequentes em livros didáticos, não são apresentados nesse
quadro. Podemos citar, por exemplo, Matemática Financeira, Matrizes e
Determinantes, Sistemas Lineares, Números Complexos e Polinômios. No
entanto, desde o princípio, o documento afirma que a intenção no “novo Ensino
médio” deixa de ser um curso preparatório para o Ensino Superior para
assumir a responsabilidade de completar o Ensino Básico e, portanto deixa de
exigir certos conteúdos que podem ser dispensados nesse novo modo de
trabalhar esse segmento de ensino. Também porque, desde a elaboração dos
PCN para o Ensino Médio, já havia uma intenção a respeito da liberdade de
escolha de conteúdos para o ensino médio que viesse ao encontro das
necessidades da comunidade ou do sistema de ensino.
A respeito dos números complexos, esse documento aponta, quando
trata de funções, que é uma opção de escolha tratar esse conceito no campo
numérico dos números reais ou, eventualmente, dos números complexos.
Porém tratando as funções ou equações com variáveis ou incógnitas reais.
Também o trabalho com resolução de sistemas lineares é dito que deve ser
deixado para a parte flexível do Currículo, isto é, que deve ser introduzida
quando se verificar necessidade de ensinar tal conteúdo para o sistema de
ensino em questão.
Para que se alcancem os objetivos pretendidos e se promova as
competências gerais e o conhecimento matemático, conforme sugestão desse
manual, é sugerido que se privilegiem o tratamento de situações-problema,
preferencialmente a partir de contextos reais. Assim, a resolução de problemas
é a metodologia que deve ser tomada como princípio na elaboração do plano
de ensino ou na elaboração do Currículo.
96
6.1.6 – Orientações Curriculares para o Ensino Médio
Alguns anos após a publicação dos PCN+, o MEC publicou, em 2006,
as Orientações Curriculares para o Ensino Médio. Analisaremos o volume 2
que refere-se a orientações à área de Ciências da Natureza, Matemática e
suas Tecnologias. Trata-se de uma iniciativa do Ministério da Educação de
apoiar o professor desse segmento de ensino com o trabalho com o jovem, que
segundo o documento, requer uma aprendizagem mais autônoma e contínua
ao longo da vida. Assim, sua formação na terceira etapa do Ensino Básico
deve ter o caráter de prepará-lo para a vida social e para o trabalho, tendo
desenvolvido nesse jovem sua visão crítica e possibilidade de enfrentamento
de situações e tomadas de decisão, em conformidade com o artigo 35 da LDB
9394/96.
O documento foi organizado pelo DPEM (Departamento de Políticas de
Ensino Médio), órgão vinculado à Secretaria de Educação Básica do MEC,
após a realização de vários seminários, organizados pelo próprio DPEM, que
visavam discutir as especificidades de cada currículo em cada sistema de
ensino. Dessa forma, as discussões, reflexões, apontamentos, e sugestões dos
seminaristas possibilitaram a criação do documento a qual nos referimos.
Pelo que podemos verificar na introdução trazida nesse compêndio, as
discussões estiveram sempre voltadas ao Currículo. O Currículo foi o eixo
motivador da realização dos debates em seminários, das discussões e
reflexões que culminaram nas orientações publicadas. Apesar de ser indicado
ao professor que trabalhada diretamente com estudantes do ensino médio na
sala de aula, como afirma o próprio documento, ele também acaba por ser um
norteador do trabalho de elaboração curricular, uma vez que no cerne de seu
contexto a palavra chave é Currículo.
Em seguida, cada disciplina da área de Ciências da Natureza,
Matemática e suas Tecnologias são tratadas em capítulos distintos. O terceiro
capítulo foi dedicado à Matemática.
No capítulo relativo a esta disciplina, o documento diz que três aspectos
serão apontados permitindo um debate sobre as orientações curriculares.
Porém o documento aponta quatro, e não três aspectos: a escolha de
97
conteúdos; a forma de trabalhar os conteúdos; o projeto pedagógico e a
organização curricular.
Partindo dessa intenção, afirma-se que este documento organizará os
conteúdos básicos em quatro blocos:
Números e operações;
Funções;
Geometria; e
Análise de dados e probabilidade.
Notamos que, a cada documento, a cada publicação, estes blocos vão
variando, assim como alguns objetivos da educação básica. Isso demonstra os
impactos provocados pelas reformas inovadores na educação desde a
implantação da LDB 9394/96, que na publicação dessas Orientações estava
completando 10 anos e que ainda está para se estabilizar a partir das
discussões e reflexões na área da educação, seja no meio acadêmico, no
âmbito das políticas públicas, nas secretarias estaduais de educação e na
prática da sala de aula com os profissionais da educação.
Enquanto os PCN de 5ª a 8ª série do ensino fundamental trata de quatro
blocos (números e operações, espaço e forma, grandezas e medidas,
tratamento da informação), os PCN+ trata de três “temas estruturadores”
(álgebra: números e funções, geometria e medidas, análise de dados). Já as
Orientações Curriculares para o Ensino Médio trata de quatro blocos já
apontados acima.
Quanto aos blocos de conteúdos, as Orientações Curriculares incluem
no primeiro bloco (números e operações), além das operações com os
números que compõe os diversos conjuntos numéricos, subconjunto do
conjunto dos números reais, incluem também as medidas indicadas por
instrumentos, como o termômetro, o relógio etc., diferentemente como
indicavam os PCN+ que incluíam estas leituras no tema “geometria e medidas”.
Também é verificado que, enquanto os PCN+ trata o estudo de funções no
tema “álgebra: números e funções”, os PCN do Ensino Fundamental o introduz
no bloco “números e operações”. Já as Orientações Curriculares o trata num
bloco independente.
98
6.1.7 – Programa Curricular Francês
A fim de localizar nosso sistema de ensino no sistema internacional,
analisaremos o programa francês, por meio dos “Bulletins Officiel”
disponibilizados pelo Ministère de l’Éducation Nationale, pelo site
www.education.gouv.fr, para sabermos se os conteúdos e a metodologia de
ensino são comparáveis e em que sentido podemos dizer quais as vantagens e
desvantagens de um ou outro sistema.
O sistema francês de educação básica se divide em três etapas:
maternalle, collège e lycée. Faremos análise apenas dos programas do collège
e do lycée, pois o estudo do tema função se dá nestas etapas.
Comparativamente às idades dos estudantes, o quadro abaixo relaciona
o collegè e o lycée e suas séries com os anos finais do ensino fundamental e
as séries do ensino médio do sistema brasileiro.
Figura 29: Comparação das séries escolares no Brasil e na França
França Brasil
Collège
Sixième 6º ano anos finais do
ensino fundamental
Cinquième 7º ano
Quatrième 8º ano
Troisème 9º ano
Lycée
Seconde générale et technologique
1ª série
ensino médio Première générale
2ª série Prémière technologique
Terminale générale
3ª série Terminale technologique
Fonte: A pesquisa
Em Matemática, o programa do Collège procura desenvolver nos
estudantes a capacidade de raciocínio, de imaginação e de análise crítica,
formando a base indispensável da cultura matemática. Por meio de resolução
de problemas os estudantes devem aprender a:
Identificar e formular questões,
Fazer hipóteses e experimentá-las sobre seus exemplos,
Construir um argumento,
Controlar os resultados obtidos e verificar sua pertinência,
Comunicar uma pesquisa,
Apresentar soluções.
99
O ensino de Matemática no collége compreende quatro campos:
Organização e gestão de dados, funções.
Números e Cálculos.
Geometria.
Grandezas e Medidas.
O quadro abaixo apresenta as competências que os estudantes devem
adquirir em cada série dessa etapa de estudo.
Figura 30: Competências nas classes do collége
Sixième
Situações de proporcionalidade, representação de dados. Números decimais, desenvolvimento de cálculo mental e utilização de calculadora. Reconhecimento e construção de figuras, noção de simetria em relação a um eixo. Unidades de medidas, ângulos.
Cinquième et Quatrième
Porcentagens, ferramentas estatísticas, posições sobre reta ou plano. Cálculo sobre os números relativos inteiros e decimais, iniciação ao cálculo literal. Representação de figuras espaciais, estudo de simetrias. Cálculo de áreas e volumes.
Troisème
Elementos básicos de estatística descritiva e probabilidade. Cálculo numérico (números inteiros, decimais e fracionários, relativos ou não, proporcionalidade) e primieras noções de cálculo literal, noção de funções. Figuras elementares e propriedades de configuração do plano e do espaço. Redução e ampliação, composição de grandezas e mudanças de unidades.
Fonte: A pesquisa
No lycée, a classe do seconde é comum a todos os estudantes. No
première e no terminale os estudantes escolhem o tipo de ensino que devem
seguir: lycée général ou lycée technique.
Na classe de seconde o estudo de Matemática, segundo o programa do
governo, e desenvolvido sobre três eixos: As funções, a geometria e as
estatísticas e probabilidades. As atividades em Matemática devem ser
diversificadas e os estudantes devem ser incentivados a pesquisar,
experimentar, em particular com a ajuda de ferramentas computacionais.
Devem ser capazes de desenvolver e colocar em práticas algoritmos. Devem
ser capazes de raciocinar de forma lógica, fazer demonstrações, explicar
oralmente ou por escrito, o resultado de uma pesquisa.
No première ou no terminale das classes do lycée générale, o programa
deve permitir que os estudantes adquiram saberes e competências
100
necessárias para passar no “baccalauréat”, uma qualificação acadêmica do
final do lycée que possibilita o ingresso no ensino superior. No lycée technique,
o objetivo é preparar os estudantes aos estudos superiores de cursos
tecnológicos e também incluir os estudantes diretamente no mundo do
trabalho.
O quadro a seguir apresenta, de forma compacta, os conteúdos dos
programas de Matemática do lycée.
Figura 31: Conteúdos do lycée
Seconde
Funções: Imagem, curvas e representação.
Estudo qualitativo de funções: Crescentes, decrescentes, máximo e mínimo
num intervalo.
Expressões algébricas para modelar problemas.
Resolução gráfica e algébrica de equações.
Funções lineares e afim.
Variações da função quadrática e da função inversa.
Funções polinomiais do segundo grau.
Funções homográficas.
Inequações.
Estudo de trigonometria no ciclo trigonométrico.
Estudo de seno e cosseno.
Première Generale
Estudo de funções do segundo grau na forma canônica.
Funções raiz quadrada e função cúbica.
Valor da derivada de uma função num ponto.
Tangente à curva num ponto.
Derivada de funções usuais.
Porcentagens.
Estudo de sequências numéricas.
Sequências aritméticas e sequências geométricas.
Première Technologique
Equações do segundo grau. Trinômio quadrado perfeito.
Funções circulares. Trigonometria no ciclo trigonométrico.
Funções seno e cossenos.
Funções modulares.
Derivação. Valor da derivada. Reta tangente.
Derivadas de funções trigonométricas.
Sequências.
Sequências geométricas.
Limite de uma sequência.
Terminale Generale
Sequências geométricas.
Limites de uma sequência (qn).
Sequências aritiméticas e geométricas.
Noções de continuidade sobre um intervalo.
Funções exponenciais.
Derivada de funções exponenciais. ex.
Funções logarítmica neperiana.
Funções convexa e côncova. Convexidade.
Variação de derivada.
Pontos de inflexão.
101
Posições relativas de curvas.
Integração.
Primitiva de uma função.
Valor médio de uma função contínua sobre um intervalo.
Terminale Technologique
Limites de uma sequência definida pelo termo geral.
Notação de limite.
Sequências geométricas: soma de termos consecutivos. Limites.
Assíntotas.
Limites no infinito. Limites infinitos. Operações com limites.
Derivadas e primitivas.
Primitiva de uma função sobre um intervalo.
Funções Logarítmicas.
Número e.
Funções exponenciais. ex.
Fonte: A pesquisa
Podemos notar pelo quadro acima que as grades de conteúdos a serem
estudados no lycée, na França, são bem diferentes dos estudados no ensino
médio no Brasil, enquanto no Brasil a noção de função é desenvolvida no
domínio da álgebra na França ela é trabalhada no domínio da análise.
Finalizando nossa análise em documentos oficiais brasileiros e
franceses, retomamos aos estudos de materiais produzidos no Brasil e mais
especificamente no estado de São Paulo.
Nessa diversidade de informações e orientações apresentadas pelos
documentos oficiais, os Currículos dos sistemas de ensino vão se construindo,
traçando-se as metodologias que se pretende aplicar em sua implementação,
assim como escolhendo, de forma autônoma, os conteúdos de suas áreas e
disciplinas. Nesse movimento, o Currículo do Estado de São Paulo foi se
construindo. Implantado no ano de 2008, após a publicação dos documentos
que trouxemos nas discussões acima, esse material passou a fazer parte
habitual da educação paulista. Dessa maneira, passaremos a analisar esse
Currículo, basicamente na parte que interessa a essa pesquisa, ou seja, o que
estiver relacionado à Matemática e, mais especificamente, ao conceito de
funções.
102
6.2 – Documentos Oficiais do Estado de São Paulo
6.2.1 – Proposta Curricular do Estado de São Paulo
No ano de 2008 a Secretaria de Estado da Educação, na gestão do
governador José Serra e como secretária da educação a Prof.ª Maria Helena
Guimarães de Castro, divulga-se a Proposta Curricular para as séries finais do
ensino fundamental e para o ensino médio. A publicação se deu em formato
físico relativo a um exemplar para cada uma das áreas do conhecimento.
A distribuição foi feita de forma que todas as mais de 5000 escolas do
estado recebessem exemplares das diferentes áreas. Trataremos com maiores
detalhes o exemplar que trata da área/disciplina de Matemática.
O documento inicia sua apresentação afirmando que a Secretaria estava
realizando um projeto que visava instituir um Currículo para o ensino
fundamental, ciclo II e para o ensino médio. Portanto podemos notar que a
proposta é uma pedra fundamental para a elaboração de tal Currículo. Essa
intenção se instituiu como “Programa São Paulo Faz Escola”.
Para a constituição do Currículo, o documento afirma que realizará um
levantamento do acervo documental e técnico pedagógico, além de uma
consulta às escolas e aos professores, sendo esta uma “declaração de
intenções”. Com esta iniciativa, a Secretaria pretende cumprir o dever de
garantir a todos uma base de conhecimentos e competências para que as
escolas do Estado funcionem realmente como uma rede.
Juntamente com esta Proposta Curricular, a Secretaria publica o
documento Orientações para a Gestão do Currículo na Escola e os Cadernos
do Professor. O primeiro deles destinados aos gestores da educação como
diretores, professores coordenadores etc., o segundo destinado ao trabalho do
professor. Dos dois documentos indicados anteriormente, analisaremos
oportunamente os Cadernos do Professor, pelo fato de estar mais diretamente
ligado ao trabalho institucional e pessoal a que nos propomos, deixando as
Orientações para a Gestão apenas para a consulta quando necessário.
A Proposta Curricular da qual estamos discorrendo é uma orientação
específica sobre a metodologia pretendida para o trabalho do professor em
sala de aula para os anos finais do ensino fundamental e para o ensino médio.
Seus princípios estão centrados em:
103
a escola que aprende;
o Currículo como espaço de cultura;
as competências como eixo de aprendizagem;
a prioridade da competência de leitura e escrita;
a articulação das competências para aprender; e
a contextualização no mundo do trabalho.
A Proposta Curricular traz uma visão geral relativa a todas as disciplinas
no que diz respeito à educação dos tempos atuais e aborda as diversas
vertentes que se articulam com a educação contemporânea como o espaço
dado à cultura, às competências – principalmente a competência da leitura e da
escrita -, e ao mundo do trabalho.
Ao menos no que dizem respeito à formação cidadã, as Propostas
Curriculares estão bastante alinhadas aos documentos oficiais da união.
Porém, a proposta curricular traz uma divisão por áreas diferentemente
daquela estabelecida nos DCNEM vigente na época da publicação desta
proposta. Na proposta curricular as áreas do conhecimento se distinguem em:
Área de Ciências Humanas e suas Tecnologias.
Área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias.
Área de Linguagens, Códigos e suas Tecnologias.
Área de Matemática e suas Tecnologias.
Na Proposta Curricular de Matemática é apresentada uma justificativa
por colocar a Matemática com uma área do conhecimento, diferentemente do
que orienta os PCN, que indicavam três áreas, incluindo a Matemática na área
de Ciências da Natureza. A justificativa apontada na Proposta se baseia no
fato que essa disciplina teria partes específicas que resultariam esmaecidas
caso a mesma fosse agregada ao grupo das linguagens ou de outras ciências.
(SÃO PAULO, 2008a. p. 38).
Para dar garantias de que esta Proposta Curricular pretendia um
trabalho voltado às competências e habilidades, justifica-se no documento
(SÃO PAULO, 2008a. p. 41) que nos últimos dez anos, principalmente com a
publicação dos PCN e o estabelecimento do ENEM, explicitou-se com mais
nitidez “que o foco permanente da ação educacional deve situar-se no
104
desenvolvimento das competências pessoais dos alunos”. Nesse sentido, o
documento expõe três pares de competências que chamam de “três eixos
norteadores da ação educacional” que são: o eixo “expressão/compreensão”
que evidencia a expressão do “eu” e compreensão do “outro” por meio de
diversas linguagens. O eixo “argumentação/decisão” que compreende a análise
de informações e relações entre estas e a construção de consensos e a
capacidade de decisão e elaboração de sínteses. O eixo
“contextualização/abstração” que demonstra a capacidade do enraizamento
dos conteúdos estudados e suas significações com a capacidade de abstração.
Esse documento procura mostrar que a Matemática pode estar
intimamente ligada a cada um desses três eixos. Para o primeiro deles, afirma-
se que a Matemática e a Língua Materna compõem um par complementar
como meio de expressão e de compreensão da realidade. Quanto ao par
argumentação/decisão diz que a Matemática atua neste eixo como um
instrumento para o desenvolvimento do raciocínio lógico. E em relação ao
terceiro eixo diz que a Matemática é a instância bastante adequada para se
lidar e compreender a relação dos elementos concretos e abstratos.
Relativo aos conteúdos a serem ensinados, apontados na Proposta
Curricular, tanto para o ensino fundamental quanto para o ensino médio, são
organizados em quatro blocos temáticos a saber:
Números;
Geometria;
Grandezas e Medidas; e
Tratamento da Informação.
Da mesma forma que os PCN para o ensino fundamental, a Proposta
Curricular assume quatro temas para englobar os conteúdos de Matemática. As
diferenças são pequenas, tanto na nomenclatura, quando nos conteúdos que
devem compor cada tema. Enquanto os PCN – EF chamam os quatro
agrupamentos de blocos, a Proposta os chama de temas.
No tema “números”, o objetivo principal é a ampliação da ideia do campo
numérico (naturais, inteiros, decimais e fracionários, real, complexo).
105
No tema “geometria”, preocupa-se inicialmente com o reconhecimento e
classificação das formas planas e espaciais. A abordagem deve se dar de
forma espiralada nos sete anos que compõem as séries tratadas nesta
proposta, isto é, que os assuntos não precisam se esgotar numa determinada
série, o assunto pode ser iniciado e retornar com maior aprofundamento em
séries posteriores.
O tema “grandezas e medidas” incorporará o estudo de áreas e
volumes. Ainda nesse tema será tratado o assunto de proporcionalidade e a
relação entre grandezas, incluindo o estudo de funções.
O tema “tratamento da informação”, segundo essa Proposta, deve se
situar além das fronteiras da organização e análise de dados. Esse tema
incluirá o estudo e planejamento de pesquisa estatísticas que utilizem técnicas
de elaboração de questionários e amostragem. Incluirá também a estatística
descritiva e de inferência, o cálculo de probabilidade e as técnicas de
contagem.
Ao final do exemplar, são apresentados os conteúdos a serem
trabalhados, por série/semestre em quadros próprios. Apresentamos no anexo
2 resumidamente, os conteúdos apenas com os temas principais de estudo.
Por meio dos conteúdos expostos na Proposta Curricular de Matemática
podemos perceber que o assunto “funções” é iniciado na 8ª série (atual 9º ano)
do ensino fundamental. Este é também geralmente a série escolhida na maioria
dos livros didáticos e dos programas de ensino, mesmo que os PCN para o
ensino fundamental não estabeleçam um parâmetro para o início desse
conceito.
A Proposta Curricular não especifica uma metodologia clara sobre a
forma de trabalho com os conteúdos que se apresentam. Talvez supondo que
tal metodologia seja explicitada nos materiais de apoio, que neste momento da
publicação da Proposta, tratava tão somente dos Cadernos do Professor.
O fato de a Proposta Curricular ter sido somente um documento
preliminar que deveria abrir caminho para o Currículo Oficial do Estado de São
Paulo, em 2010 a Secretaria da Educação publica o Currículo.
106
6.2.2 – Currículo do estado de São Paulo
Dois anos após a publicação da Proposta Curricular, a Secretaria de
Estado da Educação de São Paulo, na gestão do Secretário Paulo Renato
Souza e do governo de José Serra, lança o Currículo. Da mesma forma que a
Proposta, cada área do conhecimento é contemplada com um exemplar
específico.
O Currículo de Matemática apresenta algumas alterações em relação ao
seu antecessor: a Proposta Curricular. Uma das mais evidentes é a redução
dos temas. Enquanto que no documento anterior os conteúdos eram
concentrados em quatro temas, o Currículo passa a agrupá-los em três temas,
justificando que, “todos os conteúdos estudados na escola básica, em todas as
disciplinas, podem ser classificados como ‘Tratamento da Informação’.” (SÃO
PAULO, 2010a, p. 36).
Os três temas apresentados no Currículo, agora chamados também
neste documento de “blocos temáticos” são os elencados a seguir:
Números;
Geometria;
Relações.
O bloco temático “números” envolvem as noções de contagem, medida e
a representação simbólica. Ainda inclui a álgebra e as ideias de equivalência e
ordem para a noção de número.
O bloco temático “geometria” está relacionado às formas e às figuras
planas e espaciais. Fazem parte desse bloco as concepções do espaço que
servem como suporte para a compreensão do mundo físico (SÃO PAULO,
2010a, p. 39).
O bloco temático “relações” inclui a noção de medida considerada como
aproximação. Também as relações métricas em geral, as relações de
interdependência, de proporcionalidade e a ideia de função.
Quanto aos eixos norteadores para a educação não houve alterações.
Mas um ponto que mereceu destaque neste documento foi a explicitação das
“ideias fundamentais”. O Currículo aponta que essas “ideias”, pelo fato de
107
serem fundamentais, conduzem à sua reiteração no estudo de grandes temas
(SÃO PAULO, 2010a, p. 36). Algumas ideias fundamentais são exibidas
juntamente com uma breve descrição. Na página 37 do documento são
explicitadas as ideias fundamentais: proporcionalidade, equivalência, ordem e
aproximação.
O tratamento dado à função, por exemplo, da forma como é tratada nos
materiais de apoio ao Currículo, se dá, utilizando principalmente a ideia
fundamental de “proporcionalidade”.
O Currículo é mais enfático que seu documento precedente no que diz
respeito ao Caderno do Professor. Tal material de apoio é anunciado nas
páginas 3, 8, 35, 51 e 53, enquanto que a Proposta Curricular não fazia
menção desse recurso. Também no Currículo, a metodologia que se iniciou no
Caderno do Professor, que trata das “Situações de Aprendizagem”, é apontada
diretamente nesse documento nas páginas 8 e 53.
Da mesma forma que tratamos as tabelas de conteúdos apontados pela
Proposta Curricular, faremos também para o Currículo, de modo que possamos
comprar as posições que ocupam os conteúdos em cada série/bimestre e se
houve alguma alteração como, por exemplo, adequação, supressão ou
inclusão. Estes conteúdos estão apresentados no anexo 3.
Por meio da tabela de conteúdos apresentados pelo Currículo de
Matemática, notamos que não houve alterações significativas, apenas uma ou
outra palavra foi substituída por outras de mesmo significado. Os conteúdos
mantiveram-se inalterados em quantidades e qualidades, comparativamente
entre a Proposta Curricular de 2008 e o Currículo de 2010.
A função principal do Currículo era, assim como era a da Proposta
Curricular, direcionar e unificar o trabalho dos professores, garantindo
oportunidades igualitárias a todos os estudantes da rede pública estadual,
contribuindo o acesso aos mesmos conhecimentos à sociedade como um todo,
em todos os pontos do Estado.
Desde a publicação da Proposta Curricular, o material de apoio
destinado ao trabalho do professor em sala de aula foi o Caderno do Professor,
publicado também em 2008.
Em 2009, como forma de apoio ao Caderno do Professor, é publicado
também o Caderno do Aluno.
108
Passaremos, então, a discorrer sobre estes materiais, fazendo as
devidas análises e observações.
109
7 – ANÁLISE DOS CADERNOS DO PROFESSOR E DO ALUNO E DE
LIVROS DIDÁTICOS
7.1 – Análise dos Cadernos do Professor e do Aluno
No mesmo ano da implantação da Proposta Curricular – 2008, também
foi implantado em todas as escolas do ensino fundamental – séries finais (6º ao
9º anos) e de ensino médio (1ª a 3ª séries), o Caderno do Professor.
Para cada série/disciplina dos anos finais do ensino fundamental e do
ensino médio foram produzidos quatro cadernos, um para cada bimestre,
totalizando 28 cadernos por disciplina. Os Cadernos de cada disciplina têm
coloração específica. Cada caderno traz quatro “situações de aprendizagem”
para serem trabalhadas em sala de aula. Dessa forma, durante um ano letivo,
são trabalhadas 16 Situações de Aprendizagem por série.
Uma Situação de Aprendizagem é uma abordagem metodológica que
apresenta uma situação problema, intra ou extra matemática, e várias
atividades que sugerem um aprendizado do estudante a partir da exploração e
construção de conceitos. O professor atua como um mediador do
conhecimento e deve institucionalizar os temas abordados, fazendo uma ponte
entre os conteúdos explorados e o conhecimento em jogo nas situações
propostas.
Segundo o texto introdutório dos Cadernos, a abordagem utilizada
[...] busca evidenciar os princípios norteadores do processo de
aprendizagem, destacando-se a contextualização dos
conteúdos, as competências pessoais envolvidas,
especialmente aquelas relacionadas à leitura e à escrita
matemática, bem como os elementos culturais referentes à
Matemática (SÃO PAULO, 2009a, p.8).
No início de cada Situação de Aprendizagem é fornecida ao professor
uma tabela contendo o tempo previsto para o desenvolvimento da mesma, os
conteúdos e os temas a serem trabalhados, as competências e habilidades a
serem desenvolvidas e as estratégias que devem ser utilizadas pelo professor,
como podemos evidenciar na figura que segue.
110
Figura 32: Dados sobre a Situação de Aprendizagem
Fonte: Caderno do Professor, 2010, Vol. 2, 1ª série3
Ao final das apresentações das Situações de Aprendizagem, são dadas
algumas “orientações para recuperação” e em seguida alguns “recursos para
ampliar a perspectiva do professor e do estudante para compreensão do tema”.
Especificamente no material destinado à Matemática, no final do Caderno é
apresentada uma grade de conteúdos por série/bimestre, fazendo relações
entre conteúdos de um bimestre com outros e entre diferentes séries
destacadas em cores diferentes.
Todos estes ingredientes teoricamente parecem ser essenciais para o
sucesso na aprendizagem do estudante, uma vez que o processo de ensino foi
totalmente delimitado pelas orientações contidas nos materiais. A forma como
o professor deve proceder diante do material fornecido é descrita, as Situações
de Aprendizagem são exibidas e os objetivos são totalmente delimitados.
No entanto, considerando a experiência vivida pelo pesquisador e
baseado nos depoimentos de demais profissionais que atuavam na rede na
época da implantação do Caderno do Professor, esses materiais chegaram às
escolas sem nenhuma orientação específica, nenhum curso preparatório,
nenhuma informação mais direcionada à aplicação e uso desse recurso. O que
havia na rede, e posteriormente verificado por outros profissionais de diversas
3 As cores estão invertidas em relação ao Caderno, para tornar mais legíveis as inscrições.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
FUNÇÕES DE 1º GRAU: SIGNIFICADO, GRÁFICOS,
CRESCIMENTO, DECRESCIMENTO, TAXAS
Tempo previsto: 1 semana e maia.
Conteúdos e temas: funções de 1º grau: significado dos coeficientes, crescimento, decrescimento, taxas
de variação, gráficos e inequações.
Competências e habilidades: compreender a função de 1º grau como expressão de uma
proporcionalidade direta entre grandezas; expressar essa proporcionalidade por meio de gráficos.
Estratégias: apresentação de uma síntese dos fatos já apresentados anteriormente sobre
proporcionalidade e funções de 1º grau; exploração desses fatos em situações problema em diferentes
contextos.
111
localidades no estado, é que havia uma obrigação por parte dos professores
em utilizar os Cadernos. Em cada Diretoria de Ensino foi destacado um
Supervisor de Ensino para percorrer as escolas e verificar o uso desse
material.
O que ocorreu então foi um uso totalmente despropositado dos
Cadernos. Alguns professores que se comprometeram a utilizá-lo
desconheciam sua metodologia. Outros que se vendo pressionados ao seu
uso, ou o fizeram de forma descompromissada ou se recusaram a usá-lo como
forma de protesto. O que se viu então foram um grande descontentamento e
desconforto da rede frente ao novo material que se colocava como um novo
recurso didático.
Dentre as reclamações dos professores, uma delas era a de que as
Situações de Aprendizagens, que eram destinadas aos estudantes,
necessitavam ser reescritas na lousa para que os estudantes pudessem utilizá-
las, uma vez que o material era destinado somente aos professores.
Diante desse desconforto e procurando garantir o uso de tal material, a
Secretaria de Estado da Educação implantou em 2009 o Caderno do Aluno, e o
Caderno do Professor passou por algumas adequações. Ao menos foi este o
argumento utilizado pelo Estado ao publicar estes novos materiais; porém,
muitos questionaram esta informação, uma vez que para satisfazer uma
demanda surgida em 2008 durante o uso do Caderno do Professor, era preciso
ainda um tempo maior para preparação e publicação do Caderno do Aluno. É
possível que o projeto Caderno do Aluno já estivesse em vias de fato, mesmo
durante a publicação do Caderno do Professor.
Observamos aqui que os professores, mesmo que de forma
inconsciente, demandam sua participação no desenvolvimento dos conteúdos
a serem trabalhados, pois se nos referirmos aos níveis de codeterminação
definidos por Chevallard (2007), em geral, segundo o autor os professores
tradicionalmente são responsáveis pelas organizações matemáticas e didáticas
dos temas e setores, ou seja, para o domínio das funções ficaria a cargo dos
professores escolherem o melhor momento e a forma de tratar o tema “gráfico
de uma função” ao trabalhar com o setor correspondente as funções afins, uma
vez que ainda conforme Chevallard (2007) os tópicos que correspondem aos
112
tipos de tarefas que os estudantes devem desenvolver dependem de seus
conhecimentos para que essas possam ser trabalhadas com certa autonomia.
Nesse caso, os professores optariam por abordagens, estratégias e
métodos mais adequados aos diferentes grupos de estudantes com os quais
estão trabalhando no momento em que desenvolvem um determinado setor da
disciplina Matemática, para dar vez aos estudantes de trabalharem a
autonomia necessária para o seu desenvolvimento.
Ressaltamos aqui que os estudantes de uma mesma série não dispõem
todos dos mesmos conhecimentos, sendo muitas vezes necessária a revisita
ou mesmo a introdução de conhecimentos supostos disponíveis para que se
possa avançar no desenvolvimento de um determinado setor relativo a um
domínio, por exemplo, ao domínio das funções.
De acordo com a grade de conteúdos exibida ao final do Caderno do
Professor, o conteúdo relativo ao estudo de funções inicia-se na 8ª série/9º ano
do ensino fundamental, volume 2.
Os volumes 1, 3 e 4 do 9º ano do ensino fundamental não tratam de
função. Portanto, somente um dos bimestres do 9º ano, e somente esse
período do ensino fundamental é utilizado para o estudo de funções.
No ensino médio, o volume 1 do caderno do Professor da 1ª série inicia
com o estudo de sequências, mais especificamente, das progressões
aritméticas e geométricas, sem dar muito destaque às funções, mas sempre
pedindo, nas atividades, que o estudante encontre a sequência adequada em
função de uma determinada variável (posição, figura etc.).
Porém somente no final da Situação de Aprendizagem 2 deste mesmo
volume, após a atividade 19 o material aponta que, intuitivamente, as
sequências podem ser associadas às funções. Afirma então que a fórmula
relativa à PA é uma expressão que representa a função f: S IR, onde S IN *
(SÃO PAULO, 2009e, vol. 1, p. 33), representação essa que o estudante ainda
desconhece, pois no 9º ano o estudo das funções está associado à covariação
de grandezas que segundo Rogalski (2013) não pode ser concebido como uma
função numérica de uma variável numérica.
O volume 2 da 1ª série do ensino médio entra efetivamente no estudo de
funções, e logo no texto introdutório os autores afirmam que “neste bimestre o
conteúdo básico é uma retomada da noção de função, que traduz uma relação
113
de interdependência entre duas grandezas, explorando-se especialmente as
funções de 1º e 2º graus” (SÃO PAULO, 2009e, vol. 2, p. 9). É possível notar
nesse parágrafo do Caderno que os autores utilizam os termos “funções do 1º
e 2º graus” para expressar funções polinomiais do 1º e 2º graus.
Um fato que chama a atenção é que, apesar de ter trabalhado no ensino
fundamental o conceito de função a partir da ideia de proporcionalidade, e
como são relembrados no mesmo texto introdutório do Vol. 2 da 1ª série do
ensino médio, os autores introduzem aqui a ideia de interdependência.
Assim, diferentes ideias que fundamentam o conceito de função são
trabalhadas indistintamente. A questão é a forma introdutória desse domínio de
estudo.
No Caderno do Professor do 9º ano a opção é pela abordagem por meio
da ideia fundamental de proporcionalidade, exigindo do professor uma
atualização e mudança na forma de ensino, mas o tempo de implementação
parece não possibilitar a apropriação pelo professor dessa nova forma de
trabalho, uma vez que o mesmo, em geral, não trabalhou com essa abordagem
na formação inicial e continuada.
Na sequência, no primeiro ano do ensino médio, para o trabalho com
este conceito, as ideias de variabilidade, interdependência, relações, entre
outras, vão sendo introduzidas e vão compondo o conceito de função. Nesse
momento as ideias associadas à função, apesar de mais próximas daquelas
conhecidas do professor, introduzidas em sua formação inicial, ainda é por
meio da ideia de proporcionalidade. Existe a dificuldade do conceito ser
introduzido sem articulação com a noção intuitiva de conjuntos, suas
representações, operações e propriedades. Portanto, são tratadas funções
como covariação de grandezas, mas atreladas ao conceito de funções de uma
variável real a valores reais, supondo que os estudantes disponham de
conhecimentos disponíveis em relação ao conjunto dos números reais.
O estudo de funções continua no vol. 3 dos Cadernos da 1ª série do
ensino médio, trabalhando com as funções exponenciais e logarítmicas. Na 2ª
série do ensino médio funções são tratas somente no vol. 1 com funções
trigonométricas. E finalmente esse domínio é revisitado na 3ª série do ensino
médio onde é feito um estudo mais analítico sobre funções.
114
Analisamos a seguir cada um dos volumes dos Cadernos que tratam
funções. As análises se darão conjuntamente com os Cadernos do Professor e
do Aluno.
7.1.1 – Caderno do 9º Ano do Ensino Fundamental – Vol. 2
O primeiro conteúdo estudado sobre funções, portanto, se dá no volume
2 do 9º ano, na Situação de Aprendizagem 3, com o título “Grandezas
Proporcionais: Estudo Funcional, Significados e Contextos”.
Nota-se claramente que a ideia central para desenvolver a noção de
função é o conceito de proporcionalidade, aqui a noção de função é tratada por
meio da covariação de grandezas e não de funções numéricas de uma variável
numérica, como observamos na breve evolução histórica do conceito de função
segundo Rogalski (2013).
As Situações de Aprendizagem apresentadas nos Cadernos, tanto do
ensino fundamental quanto do ensino médio, impõe a utilização e verificação
da proporcionalidade nas atividades propostas e cabe ao professor sugerir ao
estudante que observe a variação entre grandezas, estabelecendo relações
entre elas, verificando que tais relações são proporcionais ou que podem ser
readequadas para uma relação de proporcionalidade, imprimindo um artifício
para a adequação a uma das formas kx
hy
ou k
x
hy
2
.
Como o professor muitas vezes também não utilizou dessa estratégia
para introduzir a noção de variação de grandezas poderá não compreender a
relação de proporcionalidade e assim ter dificuldade em encontrar uma fórmula
que associe a covariação entre as grandezas consideradas.
Mais uma vez ressaltamos que seria necessário um tempo para a
implementação que permitisse ao professor se apropriar dessa forma de
abordagem, que nos parece associada historicamente aos estudos de
covariações por meio de casos particulares associados à astronomia; e as
funções aparecem sob forma de tabelas onde a variável é a variável tempo
conforme ressalta Rogalski (2013). Esse retorno utilizando os recursos da
história para a proposta de introdução ao estudo das funções exige um estudo
mais detalhado por parte dos professores, pois a evolução do conceito para ser
115
tratado como funções numéricas de uma variável numérica não foi imediata e
levou muito tempo.
No texto introdutório no Caderno da 8ª série/9ºano, vol. 2, da Situação
de Aprendizagem 3, já se faz menção sobre a maneira de pensar a função
polinomial do 1º grau a partir da ideia fundamental de proporcionalidade, mas
sem definir tal ideia como uma função afim.
Assim, aponta ao professor que, se duas grandezas x e y são
diretamente proporcionais então kx
y . E ainda que, se y varia a partir de certo
valor h de x, ou seja, hkxy , então kx
hy
(SÃO PAULO, 2009d, vol. 2,
p.42). Também aponta que, se a cada valor para a variável independente “x”
existir um único valor associado à variável dependente “y”, então y é função de
“x”, sendo que aqui a noção de função é tratada como covariação de
grandezas, isto é, a variação da grandeza y depende da variação de x dada.
No entanto, nas atividades do Caderno da 8ª série/9ºano a palavra
função é utilizada de maneira informal para representar uma relação entre duas
grandezas. Nas atividades iniciais essa expressão linguística aparece seguida
de uma expressão algébrica, mas ainda não se faz nenhuma definição para o
conceito de função para o estudante. Ainda para essas atividades o nível de
conhecimento esperado dos estudantes é o mobilizável, visto que os autores
solicitam, nas atividades, que seja verificado se há ou não relação de
proporcionalidade entre as variáveis apresentadas por meio de uma tabela.
Quanto ao tipo de registro de representação semiótica utilizado, de acordo com
a teoria de Duval (1995), percebe-se uma conversão do registro discursivo,
com o uso da linguagem natural, para o registro algébrico, mas sem ainda
expressar uma estrutura algébrica para as funções.
Em atividades anteriores, e mesmo em Cadernos de séries anteriores,
os estudantes já tiveram contato com expressões algébricas como, por
exemplo, as equações de 1º e 2º graus. Assim, é possível introduzir
expressões que vão tomando forma das expressões que representam funções.
Várias atividades nas Situações de Aprendizagem da 8ª série/9ºano e da 1ª
série do ensino médio solicitam que o estudante escreva uma expressão
algébrica que dê conta da relação com os valores das entradas das tabelas
116
fornecidas. Algumas dessas tabelas indicam relação direta entre as grandezas,
outras relações inversas e outras ainda relações diretas com o quadrado.
Neste último caso, já esperando que o professor possa mostrar a seus
estudantes que uma função polinomial do 2º grau, mas ainda sem utilizar essa
nomenclatura, possa ser representada a partir da ideia de proporcionalidade,
fazendo kx
y
2, ainda aqui essa relação é vista como covariação de
grandezas.
Das 16 Situações de Aprendizagens trabalhadas na 8ªsérie/9º ano,
somente duas delas tratam da noção de função. São as Situações de
Aprendizagem 3 e 4 do volume 2. Como a primeira Situação de Aprendizagem
trata praticamente da relação de proporcionalidade entre as grandezas,
tomamos a segunda atividade apresentada no Caderno para fazer uma análise
mais apurada com vista no referencial teórico utilizado nesta pesquisa.
Figura 33: Atividade sobre relação de proporcionalidade e função
Fonte: Caderno do Professor, 2009, 8ª série/9ºano, vol. 2, p. 43
Descrição: Essa atividade não tem a pretensão que o estudante perceba que há uma relação funcional entre variáveis numéricas, mas sim que ele verifique se há uma relação de proporcionalidade entre as grandezas dadas. Ficará a cargo de o professor fazer uma ponte entre a proporcionalidade, caso haja, e a sentença algébrica que caracteriza a covariação entre as grandezas.
Tarefa T4 – Identificar características de proporcionalidade T6 – Escrever uma expressão algébrica
Técnica
Comparar os pares (x, y), testando os produtos ou as divisões, de forma a encontrar alguma relação de proporcionalidade. Verificar os mesmos produtos ou divisões para os pares (x, y – 1) para verificar a proporcionalidade.
Tecnologia Utilizar as relações de proporcionalidade k
x
y ou k
x
hy
para
117
verificar se os valores da tabela podem ser expressos de forma proporcional.
Ostensivos manipulados na técnica
Tabela. Produtos ou divisões.
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Conceito de Proporcionalidade e a noção de função enquanto covariação de grandezas
Registro de Representação Semiótica
Registro de representação monofuncional: tabela.
“Topos” do Professor
Mostrar ao estudante que há relação de proporcionalidade somente se tomar a relação entre os pares (x, y – 1).
“Topos” do estudante
Verificar que não há proporcionalidade, sofrer uma desconstrução de conceitos, reconstruir o conceito de proporcionalidade em relação a uma constante e verificar que a proporcionalidade será da forma
21
x
y.
Nível de conhecimento esperado do estudante
Nível mobilizável em relação ao conceito de proporcionalidade e a noção de função enquanto covariação de grandezas
Nessa atividade do Caderno do Professor, se aplicada diretamente aos
estudantes, possivelmente os mesmos chegariam à conclusão que não há
relação de proporcionalidade entre os valores apresentados na tabela, o que
pode ter ocorrido em 2008. Esse possivelmente era o objetivo dos autores. O
estudante mobiliza seus conhecimentos de proporcionalidade no primeiro
momento e nega o resultado. Em seguida entra em pauta a relação pessoal do
professor com o Caderno e o estudante. O professor desestabiliza o estudante,
mostrando uma nova forma de “enxergar” essa proporcionalidade, ao subtrair
uma unidade dos valores de y e verificando a existência de uma relação de
proporcionalidade direta, isto é, kx
y
1. Podemos perceber que a opção
oferecida pela material de apoio ao professor não é, de imediato, uma condição
de interdependência. O professor também passa por uma desconstrução de
seus conceitos aprendidos na sua formação inicial e desenvolvidos nos livros
didáticos, para então se apropriar de uma nova tecnologia, para ensinar o
estudante essa nova forma de construção do conhecimento.
Não podemos dizer que uma função real a valores reais possa ser obtida
a partir de uma tabela como a apresentada nesta atividade, uma vez que não
temos como verificar o que ocorre com os valores nos intervalos de dois
118
números xa e xb fornecidos. Logo, não podemos definir funções que possam ter
uma estrutura no conjunto dos números reais a partir de uma tabela.
No Caderno do Aluno, implantado em 2009, foi acrescentada uma
atividade, a de número 3, diferente da ordem numérica apresentada no
Caderno do Professor, e é dada uma nova tabela para essa atividade, onde o
estudante deve preencher uma nova linha com os valores de y – 1, de forma
que perceba a relação de proporcionalidade entre y – 1 e x. Exatamente como,
a princípio, o Caderno do Professor orientava que o professor mostrasse essa
relação.
Agora, o Caderno do Aluno oferece um recurso que torna os
conhecimentos esperados dos estudantes mobilizáveis enquanto que a do
caderno do professor exige um conhecimento disponível em relação a um
artifício para tornar as grandezas diretamente proporcionais.
Pretende-se, ao final, que o estudante possa verificar a relação
mostrada na tabela a seguir e concluir que a relação de proporcionalidade se
dá para 21
x
y, portanto 12 xy .
Figura 34: Tabela mostrando a relação de x com y e y - 1
X 1 2 3 4 5 6 7
Y 3 5 7 9 11 13 15
y – 1 2 4 6 8 10 12 14
Fonte: Caderno do Professor, 2009, 8ª série/9º ano, vol. 2
Na atividade, a princípio, parece não haver a preocupação de
caracterizar uma função, mesmo porque, não se dá nenhuma importância
sobre a variação de x. Não informa se as variáveis são discretas ou contínuas,
não mostra a qual conjunto pertence x ou y. Apenas informa que y varia em
função de x, mas deixa claro que x é a variável independente e y é a variável
dependente para a covariação de grandezas dadas. Provavelmente para essa
questão não houve a preocupação em mostrar que uma relação como esta,
que implica numa relação de proporcionalidade entre x e y + h, seja uma
função real de variável real, mas apenas direcionar que uma função pode ser
descrita como uma relação de proporcionalidade, ou seja, a função é descrita
como covariação entre grandezas.
119
Na sequência, as atividades da Situação de Aprendizagem 3 vão
incluindo outros tipos de tarefas. Em algumas são apresentadas as expressões
algébricas de funções e solicita seus valores numéricos, mas na maioria das
vezes articulando tabelas com as expressões que lhe cabem, ou seja, ainda a
noção de função é tratada como covariação de grandezas.
A seguir apresentamos o quadro que aponta os tipos de tarefas
abordadas nas atividades da Situação de Aprendizagem 2 no Caderno do
Professor, vol. 2 do 9º ano, nas atividades de A1 até A9.
Figura 35: Quadro dos tipos de tarefas utilizadas na Situação de Aprendizagem 2
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
A1 █
A2 █ █
A3 █ █
A4 █ █
A5 █ █ █
A6 █
A7 █ █
A8 █ █
A9 █ █
Fonte: A pesquisa
Para o quadro acima, utilizamos os tipos de tarefas definidas na
metodologia deste trabalho , pela figura 18, exposta novamente a seguir.
Categoria Tipo de Tarefa
T1 Resolver uma equação.
T2 Encontrar um valor para uma função.
T3 Encontrar uma raiz de uma equação.
T4 Identificar características de proporcionalidade.
T5 Calcular uma constante de proporcionalidade.
T6 Escrever uma expressão algébrica.
T7 Representar um gráfico cartesiano.
T8 Preencher ou utilizar uma tabela.
T9 Encontrar informações e/ou propriedades em gráficos cartesianos.
T10 Encontrar informações e/ou propriedades em expressões algébricas.
120
Pelo quadro da figura 35 vemos que há um forte apelo para que os
estudantes encontrem ou utilizem a condição de proporcionalidade para
associá-la ao conceito de função enquanto covariação de grandezas.
Na Situação de Aprendizagem 4, cujo título é “Representação gráfica de
Grandezas Proporcionais e de Algumas não Proporcionais”, os temas são
centrados nas construções gráficas, e o termo “função” é mais frequente. No
texto de introdução os autores apontam que os professores poderão sugerir
aos estudantes que tragam para a sala de aula alguns gráficos retirados de
jornais ou revistas, de maneira a poder mostrar suas formas e as grandezas
envolvidas. Talvez essa sugestão auxilie o professor a relacionar o estudo de
funções a fatos cotidianos, porém possivelmente o professor deverá filtrar
bastante os gráficos trazidos pelos seus estudantes, uma vez que a maioria
dos gráficos publicados na imprensa é relativa a tratamento da informação,
como gráficos de barras ou de setores o que pouco ajudaria na construção dos
gráficos das funções a serem estudadas.
Anterior às atividades dessa Situação de Aprendizagem, são
apresentados três gráficos. Um com as representações das funções do tipo
mxy e nmxy , outro com a representação da função do tipo kyx . , e a
última com a representação de função do tipo 2kxy (SÃO PAULO, 2009d,
vol. 2, p. 51).
Figura 36: Gráficos de funções
Fonte: Caderno do Professor, 2009, 8ª série/9ºano, vol. 2, p. 51
As funções, suas representações gráficas ou algébricas e suas
propriedades são sempre apresentadas por uma situação-problema o que pode
facilitar a aprendizagem e a compreensão dos conceitos trabalhados em cada
121
caso por parte dos estudantes, mas a compreensão e aprendizagem nesta
metodologia exigem a mediação do professor quando de sua introdução,
ficando claro que a relação com o objeto de conhecimento depende dos
conhecimentos prévios dos estudantes. Alguns estudantes podem não dispor
de conhecimentos necessários para a solução das situações sem as
orientações e acompanhamento do professor. Isto é, os estudantes podem não
ser capazes de resolver as situações problemas por não disporem de uma
situação de referência.
A ideia de proporcionalidade é utilizada como conhecimento prévio
disponível para o estudante, que poderá ser mobilizada pelo professor, uma
vez que ele fará a articulação entre os estudos de proporcionalidade e sua
relação com o estudo de funções enquanto covariação de grandezas. Caso
contrário, ou seja, se o estudo ficasse totalmente por conta do estudante, o
conhecimento que ele colocaria em prática seria o disponível, o que poderia
gerar um fracasso na aprendizagem, em particular, para o caso em que é
necessário fazer uso de algum artifício, como é o caso de articular as relações
dadas nas tabelas com as relações de proporcionalidade direta ou inversa.
A seguir analisamos uma atividade dessa Situação de Aprendizagem,
comparando-a com a atividade analisada anteriormente, observando que se
trata de um exemplo que corresponde à utilização das funções enquanto
ferramentas para o estudo de um problema de Física. Conforme Rogalski
(2013) os problemas relacionados à Física apresentam-se como motivação
enunciada por meio da relação entre grandezas de um fenômenos natural.
Observamos aqui que as grandezas são contínuas e que o gráfico representa
uma relação média entre as grandezas observadas podendo corresponder a
uma curva como a representada na figura, mas não se trata de uma função de
IR em IR, ou seja, de uma função numérica de uma variável numérica.
122
Figura 37: Atividade sobre função
Fonte: Caderno do Professor, 2009, 8ª série/9º ano, vol. 2, p. 53
Nessa atividade, caso o estudante saiba fazer as correspondências entre as abscissas e as ordenadas, ou seja, se ele reconhece e disponibiliza o conceito de par ordenado, ele é capaz de preencher corretamente a tabela.
Tarefa T4 – Identificar característica de proporcionalidade T8 - Preencher uma tabela a partir de uma correspondência
Técnica Encontrar a correspondência entre v e t.
Tecnologia Analisar as relações de proporcionalidade direta k
x
y ou inversa
kxy . , para que a correspondência entre x e y seja garantida.
Ostensivos manipulados na técnica
Gráfico cartesiano, correspondência descritiva de um ponto no gráfico e seus valores t e v. Preenchimento de uma tabela de dupla entrada.
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Conceito de par ordenado, conceito de correspondência, conceito de função como covariação de grandezas.
Registro de Representação Semiótica
Registro de representação monofuncional: gráfico e tabela. Conversão entre os dois tipos de registros.
“Topos” do Professor
Diagnosticar o conhecimento do estudante referente ao conceito de par ordenado e relação de correspondência num plano cartesiano.
“Topos” do estudante
Procurar a correspondência apontada no gráfico e transferi-los para a tabela.
123
Nível de conhecimento esperado do estudante
Nível mobilizável em relação ao conceito de par ordenado. Nível disponível em relação ao conceito de proporcionalidade inversa.
Ao terminar esta atividade, cabe ao professor associar a tabela
preenchida pelo estudante com os conceitos de proporcionalidade inversa. O
gráfico auxilia o estudante a completar a tabela, e o professor pode levá-lo a
perceber que as funções dadas pelas relações de proporcionalidade inversa
têm a representação gráfica no formato de hipérbole.
Podemos verificar que as atividades analisadas se complementam. Num
primeiro momento os estudantes devem ampliar seus conhecimentos e suas
percepções sobre as relações ditas “proporcionais” ou “inversamente
proporcionais” e num segundo momento devem “enxergar” que estas relações
podem ser expressas graficamente por uma das três formas gráficas
apresentadas na introdução da Situação da Aprendizagem 4. O Caderno do
Aluno não apresenta as três formas gráficas de função como faz o Caderno do
Professor, cabendo mais uma vez ao professor apresentá-las aos estudantes,
possivelmente escrevendo-as na lousa e mostrando que se supõe que os
valores intermediários entre dois valores dados na tabela obedecem a mesma
relação e que por isso o gráfico será representado de forma contínua.
Em outras atividades dessa Situação de Aprendizagem, são
apresentadas tarefas onde se fornece expressões algébricas representando
funções e pede-se, entre outras coisas, a representação gráfica dessas
funções. Podemos considerar aqui apenas como um trabalho de conversão
entre os registro de representação algébrico e tabular para o registro gráfico
para o caso da noção de função considerada apenas como covariação de
grandezas.
No quadro a seguir indicamos os tipos de tarefas abordadas nas
atividades da Situação de Aprendizagem 3 do vol. 2 do 9º ano.
124
Figura 38: Quadro dos tipos de tarefas utilizadas na Situação de Aprendizagem 3
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
A1 █
A2 █ █ █ █
A3 █ █
A4 █ █
A5 █ █ █
A6 █ █
A7 █ █
A8 █
Fonte: A pesquisa
Novamente, mesmo nas atividades que concentram as representações
gráficas cartesianas, o apelo às relações de proporcionalidade ainda dão um
tom às questões.
Nas “considerações sobre a avaliação” que são apresentadas ao final da
Situação de Aprendizagem no Caderno do Professor, é que o material chama a
atenção para que “o conceito de função está associado, particularmente, às
observações das variações e das relações de interdependência na expressão
algébrica ou na construção de tabelas” (SÃO PAULO, 2009d, vol. 2, p. 49).
Talvez algo tenha chamado a atenção dos autores que, caso não seja atingido
o efeito esperado com o ensino de funções por meio da ideia de
proporcionalidade, o professor possa utilizar outras técnicas como, por
exemplo, usando a ideia de relações entre conjuntos.
A seguir apresentamos a análise da proposta de ensino do estado de
São Paulo para a noção de função para a 1ª série do ensino médio.
7.1.2 – Caderno da 1ª série do Ensino Médio – Vol. 2
Na introdução da Situação de Aprendizagem 1 do vol. 2 dos Cadernos
do Professor e do Aluno, cujo título é “Funções como Relações de
Interdependência: Múltiplos Exemplos”, faz-se um comentário sobre a
dependência que uma variável pode ter em relação à outra, ainda observando
a variação de suas grandezas.
125
Nessa introdução é dito que se há uma relação de interdependência,
então pode-se escrever )(xfy . Diz ainda que se a relação de
interdependência for uma relação de proporcionalidade entre x e y , é preciso
que se verifique a razão kx
y para o caso de proporcionalidade direta e
kxy . para o caso de proporcionalidade inversa.
Ainda que seja apontado o trabalho de funções como uma relação de
interdependência como a ideia fundamental para a construção do conceito de
função, mesmo nos Cadernos do ensino médio, essa interdependência ainda é
apresentada como relação de proporcionalidade, ou seja, a introdução é feita
via a noção de covariação de grandezas. Assim, a primeira atividade do
Caderno solicita que os estudantes indiquem em cada caso se as relações
expressas em linguagem natural representam situações de proporcionalidade
direta, inversa ou nenhuma delas. (SÃO PAULO, 2009e, 1ª série, vol. 2, p. 12)
A representação )(xfy para função é utilizada na introdução da
atividade 6. Porém não foi realizado nenhum estudo mais formal sobre esta e
outras representações, apenas aquela apresentação singela na introdução do
Caderno do Professor. Também o estudo de funções não foi realizado tomando
como base o estudo da noção intuitiva de conjuntos, mesmo que no volume 1
da 8ª série o Caderno tenha apontado que o estudo de conjuntos,
principalmente a ampliação do conjunto numérico dos naturais para os
racionais e dos racionais para os irracionais, compondo o conjunto dos
números reais, constituiriam uma base para o prosseguimento dos estudos no
ensino médio, principalmente no que se refere a funções. (SÃO PAULO,
2009e, vol. 1, p. 22).
Da atividade 1 até a atividade 5 do Caderno do professor, as tarefas de
tratamento ou conversão ficam centradas nas equações e nas tabelas.
Somente após a atividade 5 o Caderno do Professor apresenta um texto sobre
gráficos de funções, mas ainda permanece o conceito de função enquanto
covariação de grandezas. Essa abordagem teórica não é fornecida no Caderno
do Aluno.
Nesse texto, os autores observam que se a relação de proporcionalidade
entre x e y é tal que kx
y , então o gráfico é uma reta que passa pela origem.
126
Se as grandezas x e y variam de tal forma que hkxy , a representação
gráfica é uma reta com inclinação k, e h é o valor inicial. No caso da
proporcionalidade inversa, x
kxf )( , o gráfico é uma curva chamada de
hipérbole, ou seja, por meio do ostensivo de representação gráfica os autores
iniciam a introdução da noção de função numérica de uma variável numérica
supondo que as mesmas variam no conjunto dos números reais mesmo se
esse conjunto não é explicitado, ele aparece de forma implícita em função da
variação de x e y nas retas reais correspondentes.
Figura 39: Representações gráficas das funções kxxf )( , hkxxf )( e x
kxf )(
Fonte: Caderno do Professor, 2009, 1º série do EM, vol. 2, p. 16
Observamos que no Caderno do Professor 8º série/9º ano, ao
apresentar as representações gráficas, os autores incluíram também a relação
2kxy , cujo gráfico é uma parábola. Possivelmente, no ensino médio, queiram
deixar esse caso para o estudo mais particular de funções polinomiais do 2º
grau nas Situações de Aprendizagem trabalhadas mais a frente.
A seguir apresentamos uma atividade da Situação de Aprendizagem 1
do vol. 2 do Caderno da 1ª série do ensino médio, a qual analisaremos por
meio da grade de análise.
127
Figura 40: Atividade relativa ao conceito de função
Fonte: Caderno do Professor, 2009, 1ª série do ensino médio, vol. 2, p. 18
Trata-se de uma atividade que fornece uma expressão algébrica e solicita uma operação de nível técnico no item a. Porém, somente pelo item b o estudante pode interpretar tal expressão como uma função.
Tarefa T1 – Resolver uma Equação. T7 – Representar um Gráfico Cartesiano.
Técnica Substituir os valores de x na expressão fornecida, resolvendo as equações. Representar graficamente a equação.
Tecnologia
Utilizar as noções de equações do 1º grau para a resolução de equações.
Associar as equações do tipo kxy . a gráficos em forma de
hipérbole.
Ostensivos manipulados na técnica
Manipulação de uma equação algébrica. Gráfico cartesiano, correspondência descritiva de pontos no gráfico e seus valores x e N. Representação de um gráfico no plano cartesiano.
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Conceito de equações algébricas. Conceito de plano cartesiano, conceito de gráfico de função.
Registro de Representação Semiótica
Registro de representação monofuncional: expressão algébrica e gráfica. Tratamento da expressão, substituindo os valores de x e calculando os respectivos N. Conversão entre a expressão algébrica e o registro gráfico.
“Topos” do Professor
Diagnosticar o conhecimento do estudante relativo à resolução de equações algébricas e construção de gráficos cartesianos.
“Topos” do estudante
Resolver as equações algébricas correspondentes às substituições dos valores de x indicados. Construção gráfica da expressão algébrica fornecida.
Nível de conhecimento esperado do estudante
Nível disponível em relação à resolução de equações algébricas. Nível técnico em relação à resolução da equação. Nível mobilizável em relação à construção gráfica.
128
A Análise da atividade nos mostra que um trabalho de tratamento e
conversão entre diferentes registro é explorado. Num primeiro momento,
enquanto o estudante está realizando os cálculos para encontrar o valor de N
(número de dias necessários para esvaziar o tanque), ele não tem uma visão
de que a expressão algébrica fornecida é a representação de uma função. O
comportamento da expressão é apenas tratado como uma equação do 1º grau.
Somente no item b é que o estudante começa a se liberar de situações
pontuais e discretas para perceber que uma série de valores de N, associados
com determinados valores de x, resultam no valor 20 000, o que caracteriza
uma relação de interdependência e de relação entre grandezas e possibilita a
construção de um gráfico de uma função.
Como a noção de função não se deu pelo estudo de conjuntos
numéricos, onde se poderiam associar os diferentes volumes que o tanque
pode assumir com valores do conjunto dos números reais, o estudante precisa
associar às grandezas dadas a noção de continuidade para dar sentido a
construção gráfica. Porém, se um trabalho sobre essas grandezas e suas
respectivas representações não é desenvolvido de forma explicita, os
estudantes podem tratar outras situações onde os valores assumidos pelas
variáveis sejam grandezas discretas, e representar essa situação particular
com um gráfico contínuo.
As 10 atividades apresentadas nesta Situação de Aprendizagem
envolvem as tarefas de verificar proporcionalidade em situações
contextualizadas e calcular valores para as funções apresentadas de forma
algébrica. O quadro a seguir apresenta os diferentes tipos de tarefas solicitas
nessas atividades.
129
Figura 41: Quadro de Atividades da Situação de Aprendizagem 1
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
A1 █ █
A2 █
A3 █
A4 █
A5 █ █
A6 █ █
A7 █ █ █
A8 █ █
A9 █
A10 █
Fonte: A pesquisa
Pelo quadro acima verificamos que as tarefas associadas a identificar
características de proporcionalidade e o cálculo da constante de
proporcionalidade foram inferiores às encontradas na análise do Caderno do
ensino fundamental. A característica mais frequente nestas atividades foi a
representação de gráficos cartesianos.
A Situação de Aprendizagem 2 do Caderno da 1ª série do ensino médio
tem o título “Funções do 1º Grau: Significado, Gráficos, Crescimento,
Decrescimento, Taxas”. Nessa Situação de Aprendizagem supõe-se que os
estudantes devam “desenvolver as competências de compreender a função do
1º grau como expressão de uma proporcionalidade direta entre grandezas;
expressar essa proporcionalidade por meio de gráficos” (SÃO PAULO, 2009e,
vol. 2, p. 20).
A introdução teórica é feita no Caderno do Professor, discorrendo sobre
a taxa de crescimento ou decrescimento da função relacionada à constante de
proporcionalidade k, e a dedução dessa proporcionalidade direta entre x e y ou
entre x e y + h, mostrada a partir das expressões: baxxf )( , então
axbxf )( , logo ax
bxf
)(. Neste caso, o Caderno do Professor aponta
que se a > 0 a função é crescente e se a < 0 a função é decrescente.
130
O Caderno do Aluno não tem esta parte teórica da forma como
apresentada no Caderno do Professor. No entanto, na atividade 1, que no
Caderno do Professor é apresentada de forma curta e direta, solicitando que se
determine os valores de a e b a partir dos gráficos de funções polinomiais do 1º
grau, essa mesma atividade no Caderno do Aluno apresenta um resumo da
parte teórica, dizendo que em axbxf )( , as grandezas bxf )( e x são
diretamente proporcionais, ou seja, aqui f(x) representa uma grandeza cuja
variação depende de x. Assim, para a atividade proposta aos estudantes se
solicita que os mesmos determinem os valores de a e b nos gráficos
apresentados no mesmo plano cartesiano, conforme figura 41 que segue.
Figura 42. Gráfico das funções do tipo baxxf )(
Fonte: Caderno do Professor, 2009, 1ª série do EM, vol. 2, p. 22
Nessa atividade, apesar de representar o gráfico de função como
covariação de grandezas exige a passagem do registro de representação
gráfico para o registro de representação por meio de uma expressão algébrica
o que segundo trabalho de Duval (2005) corresponde ao sentido mais difícil na
conversão entre esses dois registros de representação.
A atividade que analisamos a seguir de forma mais detalhada é a
atividade 8 do Caderno do Professor e de mesma numeração no Caderno do
Aluno. Trata-se de uma atividade onde o gráfico de uma situação
contextualizada é apresentado por meio de uma representação que
corresponde a intervalos para os valores de x que é a variável independente,
mas ainda nesse caso trata-se da noção de função como covariação de
grandezas, mais especificamente, grandezas contínuas.
131
Figura 43: Atividade sobre função dada por partes
Fonte: Caderno do Professor, 2009, 1ª série do EM, vol. 2, p. 26
A atividade solicita que o estudante tire várias informações do gráfico fornecido. Uma diferença bastante marcante neste tipo de atividade é a forma do gráfico, com aparência bem diferente dos gráficos apresentados em outras atividades, o que pode desestabilizar o estudante.
Tarefa T6 – Escrever uma expressão algébrica. T9 – Encontrar informações em gráficos cartesianos
Técnica
Associar valores da abscissa com valores da ordenada.
Encontrar a taxa de crescimento da função para 3800800 x ,
fazendo 8003800
200500
, encontrando a = 0,1. Em seguida escrever que
bxy 1,0 . Tomando as informações do gráfico, percebe-se que
para x = 800, y = 200, obtendo b = 120.
Tecnologia
Usar a relação de proporcionalidade entre x e y + h, que fornece a
expressão ax
bxf
)(.
Ostensivos manipulados na técnica
Gráficos Cartesianos. Resolução de Equações do 1º grau.
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Conceito de pares ordenados. Ideia de proporcionalidade. Conceito de interdependência e de variabilidade em funções polinomiais do 1º grau.
Registro de Representação
Registro monofuncional: gráfico cartesiano. Registro algébricos: equações do 1º grau. Tratamento da equação do 1º grau. Conversão
132
Semiótica da representação gráfica para a representação algébrica.
“Topos” do Professor
Mostrar ao estudante que cada parte do gráfico possui taxas de variações diferentes. Cada uma dessas partes pode ser representada por expressões algébricas que serão diferentes entre si. Que para cada valor de x só pode haver uma correspondência em y, frisando os intervalos considerados.
“Topos” do estudante
Buscar dentro dos conceitos que aprendeu sobre gráficos de funções polinomiais do 1º grau, algumas semelhanças com as formas gráficas apresentadas no exercício. Identificando essas semelhanças. Passar a calcular as taxas de crescimento e valores iniciais em cada setor do gráfico.
Nível de conhecimento esperado do estudante
Mobilizável em relação a taxas de crescimento e valor inicial da função polinomial do 1º grau. Disponível em relação a funções dadas por partes.
Essa atividade teve o objetivo de desestabilizar o estudante em relação
ao seu conhecimento. Nas atividades anteriores o estudante é induzido a
trabalhar os conceitos de funções polinomiais do 1º grau na forma algébrica e
gráfica conforme foi apresentado na introdução teórica, com gráficos
apresentados por uma única expressão. Na sequência é apresentada uma
atividade cujo gráfico difere daqueles já trabalhados anteriormente, mas para o
qual cada parte representaria um determinado gráfico. Isso pode conduzir os
estudantes a pensar nas semelhanças em função das referências anteriores,
podendo pensar em relacionar o registro de representação gráfico com o
registro de representação por meio de uma expressão algébrica para cada
parte do gráfico, o que supõe algum conhecimento de intervalos sobre IR. Mas,
cabe ao professor oferecer informações adicionais como, para cada intervalo
do domínio da função, sua relação de interdependência é diferenciada e assim
ele deve informar também que, para certos valores de x deve-se procurar seu
respectivo valor de y por meio de outra expressão algébrica, ainda nesse caso
a noção de função é trabalhada enquanto covariação de grandezas com duas
grandezas contínuas, mas esse tratamento é implícito pela situação e não
explicitado nem no Caderno do Professor, nem no Caderno do Aluno.
Outras atividades apresentadas nesta Situação de Aprendizagem
incluem ainda outros conceitos matemáticos ou físicos como cálculo de área e
perímetro e variação de temperatura, ou seja, ainda os exemplos dados
correspondem à noção de função como covariação de grandezas como
encontramos nos estudos que se desenvolveram da antiguidade até século XIV
133
conforme breve histórico sobre a evolução da noção de função segundo
Rogalski (2013).
A seguir apresentamos um quadro que aponta os tipos de tarefas
abordadas nas atividades da Situação de Aprendizagem 2 do vol. 2 da 1ª série
do ensino médio.
Figura 44: Quadro de Atividades da Situação de Aprendizagem 2
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
A1 █
A2 █ █ █ █
A3 █ █
A4 █
A5 █ █
A6 █
A7 █
A8 █ █
A9 █
Fonte: A pesquisa
Verificamos que a tendência principal nesta Situação de Aprendizagem é
o tratamento de gráficos cartesianos, principalmente o trabalho de encontrar
informações nesses gráficos que possam ser utilizados para escrever
expressões algébricas relacionadas ou que respondam a alguma questão
direta a respeito da situação contextualizada. Mesmo assim, a solicitação em
encontrar a taxa de crescimento associada à relação de proporcionalidade
direta entre x e y ou entre x e y + h, ainda é bastante presente.
Observamos aqui que a ênfase é dada a passagem do registro de
representação gráfico para o registro de representação tabela ou expressão
algébrica, ou seja, o sentido considerado mais difícil quando se trata da
atividade de conversão entre os registros de representação considerados.
A Situação de Aprendizagem 3 do Caderno da 1ª série tem como título
“Funções do 2º Grau: Significados, Gráficos, Intersecções com os Eixos,
Vértices, Sinais”, e como no caso da Situação de Aprendizagem anterior,
pretende desenvolver nos estudantes a competência em “compreender a
função de 2º grau como expressão de uma proporcionalidade direta com o
quadrado da variável independente; expressar por meio de gráficos tal
proporcionalidade.” (SÃO PAULO, 2009e, vol. 2, p. 28). Os autores afirmam
134
que se aposta na forma de tratamento construtivista, por considerarem a
menos técnica e que mais permanece aderente ao significado em relação de
proporcionalidade. (ibid., p. 28).
Na introdução dessa Situação de Aprendizagem, indica-se que, se a
relação de interdependência entre as grandezas x e y é tal que y é diretamente
proporcional ao quadrado de x, então se escreve kx
y
2, ou 2kxy . Também
é apontado que a relação 2kxy servirá como base para iniciar o estudo de
funções polinomiais do 2º grau, cuja forma geral será cbxaxxf 2)( )0( a .
As orientações teóricas introduzidas no Caderno do Professor são
fornecidas de maneira reduzida no Caderno do Aluno. A primeira atividade está
relacionada à verificação da abertura da concavidade da parábola ou da sua
posição relativa ao coeficiente a.
São fornecidas várias funções do tipo 2)( axxf e é pedido aos
estudantes que construam seus gráficos num mesmo plano cartesiano.
Portanto, no Caderno do Aluno o estudante deve perceber o fenômeno relativo
à abertura da parábola relativa ao coeficiente a, construindo alguns gráficos.
No Caderno do Professor esse fato é anunciado na introdução teórica.
Após essas duas atividades o tema dos Cadernos é sobre o
deslocamento da parábola representada pela função vaxxf 2)( . Neste
caso, afirma o texto, a proporcionalidade é admitida em 2kxvy , e que as
parábolas dessas novas funções são deslocadas na direção do eixo y.
A atividade 3 fornece várias funções do tipo vaxxf 2)( , e pede que
os estudantes construam seus gráficos no mesmo plano cartesiano.
Logo após a atividade 3, são apresentados, formalmente, as funções do
tipo 2)()( hxaxf , representando graficamente os deslocamentos horizontais
dessas funções. Apesar de trabalhar com covariação de grandezas o gráfico
corresponde a funções de IR em IR. O texto conclui ainda que haverá uma
relação de proporcionalidade entre os valores de y com os valores de 2)( hx .
A atividade 4, como nos casos anteriores, apresenta várias funções do
tipo 2)()( hxkxf , e solicita que os estudantes construam os gráficos dessas
funções num mesmo plano cartesiano, aqui as representações gráficas
135
esperadas são contínuas, mas nenhuma observação é feita em relação as
grandezas x e y.
Em seguida, outro texto apresenta as funções que sofrem
descolamentos verticais e/ou horizontais. As funções do tipo
vhxkxf 2)()( , afirmando ser o caso mais geral. Afirma então que a
proporcionalidade pode ser verificada pela relação khx
vxf
2)(
)(. Certamente
essa propriedade é valida para as funções de IR em IR, mas os exemplos
tratados nem sempre representam funções de IR em IR o que exigiria a
articulação entre as duas formas de definir função, em particular, quando se
trata do estudo do gráfico dessas funções.
Uma sequência de funções do tipo vhxkxf 2)()( , é apresentada
nas atividades 5 e 6, que solicitam que os estudantes construam seus gráficos
num mesmo plano cartesiano. Aqui o tratamento dado também é genérico o
que nos conduz a considerar que as funções da sequência estão definidas por
meio da forma moderna formal4.
Observamos aqui, que se consideramos que a noção de função inicia
com estudos de Ptolomeu (150 d.C), onde segundo Rogalski (2013) as funções
aparecem sob forma de tabelas, tendo como variável dependente a “variável
tempo” e as grandezas que dela dependem são as “grandezas ângulos”, mas
ainda nos estudos de Ptolomeu encontramos um exemplo de covariação sem a
variável tempo que corresponde ao ângulo de refração da luz entre o ar e a
água como já apresentado no capítulo 4, e que a primeira definição formal de
função de uma variável é a de Cauchy (1823, apud MEHL, 2013) observamos
que muitos estudos foram apresentados durante esses quase 1900 anos entre
as duas formas de tratamento das funções.
A questão que se coloca aqui é de saber se é mesmo o caso de se
repetir a história e, mais particularmente, como desenvolver esse trabalho de
4 Função de uma variável : Segundo Cauchy (1823 apud MEHL, 2013) Quando as quantidades
variáveis estão de tal forma associadas entre si que, sendo dado o valor de uma delas,
podemos determinar o valor de todas as outras, concebemos normalmente essas diversas
quantidades exprimindo-as por meio de uma dentre elas, que leva o nome de variável
independente ; e as outras quantidades, exprimidas por meio da variável independente, é o que
denominamos funções dessa variável.
136
forma que os professores e estudantes sejam capazes de articular esses dois
níveis de tratamento da noção de função, pois a covariação de grandezas
exige o estudo em termos de casos particulares como observamos nos
exemplos acima, pela análise do Caderno. Já a definição de função numérica
de uma variável inicia o processo de generalização do conceito de função por
meio de relação de interdependência de quantidades variáveis.
Após isso, o texto mostrará que se pode expressar toda função do tipo
vhxkxf 2)()( por cbxaxxf 2)( , com )0( a . Ou seja, os autores
dizem que sempre a forma geral da função polinomial do 2º grau pode ser
compreendida como uma relação de interdependência, onde uma grandeza é
diretamente proporcional ao quadrado de outra. (ibid., p. 39).
Ainda para a introdução das funções quadráticas observamos que os
autores mantém a abordagem inicial em que a noção de função é definida
enquanto covariação de grandezas, o que lhes permite associar os registros de
representação tabela, expressões algébricas e gráficos.
Apesar de se referir e definir função como a relação de interdependência
entre grandezas, a proposta nas atividades dessa Situação de Aprendizagem
considera a noção de função de uma variável para quantidades variáveis o que
lhes permite introduzir a noção de vértice de uma função quadrática e de
máximos e mínimos da mesma função.
Todas as apresentações formais apresentadas no Caderno do Professor
são também encontradas no Caderno do Aluno, porém sempre de forma
resumida.
Na sequência, ainda no Caderno do professor é apresentado um texto
para discutir os temas: simetria da parábola, raízes da função polinomial do 2º
grau e sinais da função. Esses três textos não são apresentados no Caderno
do Aluno. Nestes casos essas propriedades devem ser observadas a partir de
atividades específicas introduzidas no Caderno do Aluno, ou seja, a
explicitação das propriedades corresponde ao “topos” do professor que devem
expor os conteúdos para que os estudantes possam utilizar os conceitos
apresentados como conhecimentos mobilizáveis no momento de resolver as
atividades do Caderno do Aluno.
137
Escolhemos analisar a atividade de número 9 do Caderno do Professor
que corresponde à atividade 3 do Caderno do Aluno da seção “você
aprendeu?”, por se tratar de uma atividade que exige a conversão do registro
de representação gráfica para o registro de representação por meio de
expressão algébrica, conversão essa que geralmente traz muita dificuldade
para os estudantes e são apontadas como tarefas com alto grau de dificuldade
por Duval (2003).
Figura 45: Atividade sobre função polinomial do 2º grau
Fonte: Caderno do Aluno, 2009, vol. 2, 1ª série do Ensino Médio, p. 39
A partir das representações gráficas das funções polinomiais do 2º grau, escrever suas expressões algébricas.
Tarefa T6 – Escrever uma expressão algébrica. T9 – Encontrar informações em gráficos cartesianos.
Técnica
Determinar as coordenadas do vértice, determinar as raízes e determinar os pontos (x, y) pertencentes à parábola. Utilizar os dados nas expressões das funções polinomiais do 2º grau.
Tecnologia Utilizar as relações vhxkxf 2)()( e cbxaxxf 2)( para
obter as expressões algébricas das funções.
Ostensivos manipulados na técnica
Gráficos cartesianos e expressões algébricas.
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Conceito de gráfico de funções quadráticas. Conceito de vértices e raízes.
Registro de Representação Semiótica
Registros gráficos cartesianos. Expressões algébricas. Conversão de gráficos cartesianos para as expressões algébricas. Tratamento das expressões algébricas.
“Topos” do Professor
Mobilizar os conceitos estudados sobre construção de gráficos de funções polinomiais do 2º grau, como forma do gráfico, vértices,
138
translações verticais e horizontais, raízes e simetrias, sinais da função.
“Topos” do estudante
Procurar informações nos gráficos como raízes, coordenadas dos vértices, simetrias, valor numérico das funções para utilizá-los nas
relações gerais vhxkxf 2)()( ou cbxaxxf 2)( .
Nível de conhecimento esperado do estudante
Nível mobilizável em relação às informações colhidas nos gráficos das funções quadráticas e em relação à construção das expressões algébricas das funções. Nível disponível em relação às noções de sistemas de equações de ordem 2 e a noção de produto notável.
Os três gráficos apresentados na atividade exploram bem os conceitos
tratados no Caderno do Professor. No primeiro deles os estudantes precisam
identificar as coordenadas do vértice, substituir na função na forma
vhxkxf 2)()( , e resolver a equação ao substituir na função os valores da
coordenada (0, 0), encontrando a = 1. Em seguida voltar na expressão
vhxkxf 2)()( substituir os valores encontrados, desenvolver o quadrado
da diferença para determinar a expressão algébrica da função quadrática na
forma cbxaxxf 2)( . No segundo e no terceiro gráficos, o estudante pode
assumir que o coeficiente c da função quadrática é dado pelo valor da função
ao cortar o eixo y, ele pode construir e resolver um sistema de ordem 2 para
encontrar os coeficientes a e b.
Nesse tipo de atividade o estudante possivelmente vai necessitar muito
do auxílio do professor. Este por sua vez precisa estar bastante atento ao tipo
de dúvida do estudante e encaminhar seu raciocínio de forma que ele possa
relacionar o exercício à parte teórica relativa ao tema e trabalhada pelo
Caderno do Professor e do Aluno.
A seguir apresentamos um quadro que aponta os tipos de tarefas
abordadas nas atividades da Situação de Aprendizagem 3 do vol. 2 da 1ª série
do ensino médio.
139
Figura 46: Quadro de Atividades da Situação de Aprendizagem 3
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
A1 █
A2 █
A3 █ █
A4 █ █
A5 █ █
A6 █ █
A7 █ █
A8 █ █
A9 █
A10 █ █ █
A11 █
A12 █ █
A13 █ █
Fonte: A pesquisa
Pelo quadro anterior vemos que a maior parte das tarefas se concentra
na representação gráfica e em encontrar informações nos gráficos cartesianos.
Nestes casos também, a maioria das atividades apresentou-se em nível técnico
quando analisados à luz do nível de conhecimento esperado dos estudantes de
acordo com a abordagem teórica de Robert (1997, 1998), pois as atividades 1,
3, 4, 5 e 6 solicitaram que os estudantes construíssem os gráficos das funções
apresentadas por meio do registro de representação expressão algébrica.
Tratava-se, portanto de uma conversão entre os dois tipos de registro de
representação semiótica: do registro de representação expressão algébrica
para o registro de representação gráfico considerado para esse estudo o
sentido mais simples conforme Duval (2003).
Para a Situação de Aprendizagem 4, estudantes e professores
encontrarão problemas que serão resolvidos por meio de funções quadráticas.
O título dessa Situação de Aprendizagem é “Problemas Envolvendo Funções
do 2º Grau em Múltiplos Contextos: Problemas de Máximos e Mínimos”.
Conforme descrito no quadro de informações sobre a Situação de
Aprendizagem dada no caderno, pretende-se desenvolver as seguintes
competências e habilidades nos estudantes:
140
... compreender fenômenos que envolvem a proporcionalidade
direta entre uma grandeza e o quadrado de outra, traduzindo
tal relação na linguagem matemática das funções; equacionar
e resolver problemas que envolvem funções de 2º- grau,
particularmente os que envolvem otimizações (máximos ou
mínimos). (SÃO PAULO, 2009e, vol.2, p. 51).
Todas as atividades dessa Situação de Aprendizagem envolvem a
construção de gráficos e a determinação de pontos de máximo ou de mínimo,
ou seja, determinar o vértice das funções quadráticas. São problemas que se
apresentam como situações disponíveis aos estudantes, pois, a princípio, se o
professor não lhes orienta que os problemas envolvem equações do 2º grau e
funções polinomiais do 2º grau, o estudante, por si, sem situações de
referência, não reconhecerão estes problemas como do 2º grau.
Alguns problemas fornecem as expressões algébricas a serem
utilizadas, outros solicitam que os estudantes encontrem tais expressões. A
modelagem de problemas dessa natureza não é fácil para estudantes dessa
etapa de ensino, portanto cabe ao professor orientá-los, auxiliá-los e estimulá-
los para que os estudantes não abandonem suas primeiras ideias e tentem
buscar meios nos conhecimentos teórico desenvolvidos até o momento para
resolvê-los.
Tomamos para análise um problema que envolve a área de um
retângulo em função de seus lados que corresponde a noção de perímetro de
uma figura geométrica, pois trata-se de uma situação para a qual a noção de
área e perímetro de um retângulo é suposta disponível por ser um
conhecimento desenvolvido no ensino fundamental anos iniciais e finais.
141
Figura 47: Atividade sobre problemas do 2º grau
Fonte: Caderno do Professor, 2009, 1ª série do Ensino Médio, vol. 2, p. 53
A atividade coloca o estudante frente a um desafio. Se ele não tem uma situação de referência, todas as operações mentais desenvolvidas estarão no nível disponível. O estudante precisará testar algumas hipóteses.
Tarefa T1 – Resolver uma equação. T6 – Escrever uma expressão algébrica. T7 – Representar um gráfico cartesiano.
Técnica
Relacionar as medidas dos lados do retângulo com a fórmula de área, encontrando a função correspondente. Construir o gráfico da função. Encontrar seu ponto de máximo ou encontrar o vértice por meio de uma fórmula.
Tecnologia
Expressar a área de um retângulo em função de seus lados a partir da expressão A = x.y, associando-a à função quadrática da forma
cbxaxxf 2)( . Tratar os pontos de máximo ou mínimo utilizando
a
bxv
2
e )( vv xfy .
Ostensivos manipulados na técnica
Construção de retângulos, construção de gráfico cartesiano. Resolução de equação do 2º grau (tratamento). Conversão de expressão algébrica para a construção gráfica cartesiana.
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Conceito de funções e equações quadráticas. Conceito de gráficos cartesianos, máximo e mínimo de uma função quadrática.
Registro de Representação Semiótica
Registros Multifuncionais: Figuras retangulares. Registros Monofuncionais: linguagem natural, gráficos cartesianos, expressões algébricas.
“Topos” do Professor
Mobilizar o estudante a utilizar conceitos de funções polinomiais do 2º grau. Auxiliá-lo na modelagem de expressões algébricas a partir de dados de situações contextualizadas. Motivar os estudantes em resolver as equações e encontrar soluções para os problemas.
“Topos” do estudante
Modelar situações problemas por meio de expressões algébricas (funções polinomiais do 2º grau), resolver estas equações e encontrar pontos de máximo ou mínimo para as funções quadráticas. Representar seus gráficos cartesianos.
Nível de conhecimento esperado do estudante
Nível disponível em relação à modelagem das situações problemas por meio de funções quadráticas. Nível mobilizável em relação à resolução de equações e determinação de pontos de máximo e mínimo. Nível mobilizável em relação à construção gráfica.
142
A atividade apresentada acima, uma das mais fáceis entre as 6
atividades desta Situação de Aprendizagem, exige que o estudante relembre a
fórmula da área de um retângulo hbA . , onde neste caso xb 236 e xh ,
obtendo a expressão 2236)( xxxA . O estudante, buscando as raízes dessa
expressão, encontra x = 0 e x = 18, cujo xv = 9. Ao calcular 29.29.36)9( A
encontra-se a área máxima 162 m2. Mesmo considerando a atividade a mais
fácil entre as outras dessa Situação de Aprendizagem, o professor deverá
auxiliar bastante seus estudantes tanto quanto aos conceitos e conversões
exigidas na situação quanto nos tratamentos e soluções.
Segundo Silva (2012), tarefas que exigem a modelagem matemática de
situações contextualizadas aparecem nas três etapas escolares, nos Ensinos
Fundamental, Médio e Superior, e a autora pôde observar que a maior
dificuldade associada a estas tarefas está na modelagem da situação por meio
de uma função quadrática, o que é compreensível uma vez que a tarefa é
artificialmente introduzida.
A seguir apresentamos um quadro que aponta os tipos de tarefas
abordadas nas atividades da Situação de Aprendizagem 4 do vol. 2 da 1ª série
do ensino médio.
Figura 48: Quadro de tarefas da Situação de Aprendizagem 4
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
A1 █ █
A2 █ █
A3 █ █ █
A4 █ █ █
A5 █ █
A6 █ █
Fonte: A pesquisa
Pelo quadro acima percebemos que as atividades se concentram entre
resolver as equações relacionadas às funções fornecidas ou modeladas e na
construção de gráficos destas funções. Por se tratar de resolução de
problemas, ou seja, como o nível de conhecimento esperado é o disponível, os
estudantes geralmente demonstram muita dificuldade na resolução desses
tipos de tarefas.
143
7.1.3 – Caderno da 1ª série do Ensino Médio – Vol. 3
Os tipos de funções apresentados neste Caderno são as funções
exponencial e logarítmica. A Situação de Aprendizagem 1 inicia comentando
que se espera que os estudantes do ensino médio disponham de
conhecimentos sobre a noção de potenciação, inclusive com expoentes
racionais ou irracionais, pois essa noção foi desenvolvida no ensino
fundamental, e que o objetivo dessa Situação de Aprendizagem é consolidar
essas noções por meio da função exponencial xaxf )( .
Assim, o texto introdutório já define a função exponencial descrevendo:
“sendo a > 0 e a ≠ 1, então, a cada número real x corresponde outro número
real ax”. Em seguida ilustra os gráficos de funções como xy 2 , x
y
2
1,
xy 3 , x
y
3
1, etc., como se pode verificar abaixo:
Figura 49: Gráficos da função exponencial
Fonte: Caderno do Professor, 1ª série do Ensino Médio, vol. 3, p. 15
A definição acima indica que os autores passam a conceber a noção de
função como variação de quantidades em que a função assume o status
função uma variável real a valores reais.
A ordem da apresentação das atividades, comparativamente com o
Caderno do Aluno, é bem diferente e acaba ficando muito confusa, o que pode
causar um problema para o professor quando pretende indicar ao estudante
uma atividade ou apresentar um exemplo. Por exemplo, o exercício “e” do
Caderno do Professor é a atividade 3 do Caderno do Aluno. O exercício 3 do
144
Caderno do Professor é o item “c” da atividade 2 da seção “Pesquisa
Individual”.
As atividades variam entre construir gráficos a partir das expressões
algébricas apresentadas e resolver algumas situações problemas por meio de
cálculo do valor numérico dessas funções.
Aqui, nos referindo ao estudo de Rogalski (2013) podemos considerar
que a noção de função exponencial é trabalhada por meio da noção de função
dada por Cauchy (1823 apud MEHL, 2013), ou seja, uma quantidade está em
função de uma outra se ela muda quando essa última muda, o que possibilita
admitir as funções dadas por meio de quantidades variáveis.
Mas, o exemplo apresentado na atividade 4 do Caderno do Professor,
que corresponde a atividade 1 da seção “lição de casa” do Caderno do Aluno,
que analisaremos à luz do referencial teórico, retorna ao tratamento de função
como covariação de grandezas sem fazer comentários sobre a condição de
existência dessa função, dessa forma não satisfazendo a definição dada
anteriormente. Além disso, em um dos exemplos anteriores que também se
refere a uma população, no caso de micróbios, os autores constroem o gráfico
da função considerando-a uma função contínua de IR+ em IR, ou seja, a
interpretação gráfica conduz a uma função teórica que não modela o exemplo
dado, que pode ser apresentado enquanto progressão geométrica.
Figura 50: Atividades sobre função exponencial
Fonte: Caderno do Professor, 2009, 1ª série do Ensino Médio, vol. 3, p. 17
145
A atividade fornece a expressão algébrica para a função exponencial. O estudante precisa substituir o valor de t ou N na expressão para encontrar as soluções.
Tarefa T1 – Resolver uma equação. T2 – Encontrar um valor para uma função.
Técnica Substituir os valores fornecidos de t para calcular o valor da função ou substituir os valores fornecidos de N para resolver a equação obtida.
Tecnologia
Usar o conceito de função exponencial kxaNxf .)( 0 , onde a>1,
caracterizando a função dada como crescente. Compreender que N0 é o valor inicial, que a
k é a base da função e x caracteriza a variável.
Ostensivos manipulados na técnica
Representação de potência e representação de equações exponenciais.
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Ideia de função exponencial, ideia de crescimento e decrescimento de funções exponenciais, noção de potenciação e suas propriedades.
Registro de Representação Semiótica
Registro Monofuncionais: Expressões algébricas e tratamento de equações exponenciais.
“Topos” do Professor
Mobilizar no estudante a ideia que, além de resolver as equações e valores numéricos, percebam os conceitos relativos às variações próprias da função exponencial mostrando a condição de existência para determinadas funções.
“Topos” do estudante
Resolver as equações e valores numéricos das funções por substituição das variáveis. Reconhecer, de forma mobilizável, as variações próprias das funções exponenciais.
Nível de conhecimento esperado do estudante
Nível técnico em relação à substituição e resolução das equações exponenciais e valor das funções exponenciais. Nível mobilizável em relação às taxas de crescimento ou decrescimento das funções exponenciais.
Esse é um tipo de problema que o estudante pode resolver a partir dos
conhecimentos básicos de equações exponenciais e até mesmo de cálculo
sobre as potências. Cabe ao professor mostrar ao estudante que as variações
de t ou de N se sucedem de forma interdependente, caracterizando N como
uma função de t, para determinados valores de t, somente.
Nessa Situação de Aprendizagem há 4 atividades apresentadas no
Caderno do Professor. No Caderno do Aluno há mais atividades, pois muitos
conceitos apresentados como exemplo no caderno do Professor, são dados
como atividades no Caderno do Aluno. A seguir apresentamos um quadro que
resume os tipos de tarefas nas 4 atividades do caderno do Professor.
Figura 51: Quadro de Tarefas da Situação de Aprendizagem
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
A1 █ █
A2 █ █
A3 █
A4 █ █
Fonte: A pesquisa
146
Das quatro atividades apresentadas na Situação de Aprendizagem 1, a
maioria pede a solução de equações ou a determinação do valor das funções
definidas como covariação de grandezas, sendo que todas elas envolvem o
conceito de potenciação e suas propriedades. Duas atividades solicitam a
construção gráfica sendo que para uma delas é apresentado o gráfico de uma
função contínua, mas por se tratar de uma população variando com o tempo,
não podemos associar um valor de elementos para a população para todo valor
de t em IR.
No Caderno do Aluno a ênfase é dada às atividades relativas à
construção gráfica, pois os exemplos que foram apresentados no texto
introdutório do caderno do Professor sobre as formas assumidas pelos gráficos
das funções exponenciais, seus crescimentos ou decrescimentos, são
apresentados em forma de atividade no Caderno do Aluno, ou seja, os gráficos
são os ostensivos utilizados para verificar se existe uma quantidade que muda
quando a outra muda, isto é, se a função é apresentada como uma função de
uma variável real a valores reais.
No tema desenvolvido na Situação de Aprendizagem 1, que refere-se ao
desenvolvimento da noção de função exponencial, diferentemente do
desenvolvimento construído para a definição dos outros tipos de funções já
apresentadas, não utiliza a ideia fundamental de proporcionalidade. Nem ao
menos há uma justificativa ao estudante ou ao professor do porquê essa ideia
fundamental foi deixada de lado nesse momento. Nenhuma das ideias
fundamentais apresentadas no Currículo como proporcionalidade, equivalência,
ordem e aproximação foi explicitada, mesmo que o Currículo de Matemática
tenha afirmado que:
Em cada conteúdo devem ser identificadas as ideias
fundamentais e serem exploradas. Tais ideias constituem a
razão do estudo das diversas disciplinas: é possível estudar
muitos conteúdos sem uma atenção adequada às ideias
fundamentais envolvidas, como também o é amplificar tais
ideias, tendo por base a exploração de alguns poucos
conteúdos. (SÃO PAULO, 2010a, p. 36).
147
A Situação de Aprendizagem 2 aborda conceitos de logaritmo como
uma forma de determinação de expoentes de certa base, de forma a resultar
num determinado valor, ou seja, determinar x de forma que a = bx, conhecidos
a e b.
A Situação de Aprendizagem 3 inicia o estudo de funções logarítmicas.
E esta é geralmente a forma natural de abordar funções logarítmicas logo
depois do estudo de funções exponenciais e seguida pela maioria das
propostas de estudos didáticos sobre funções. Com o título “As funções com
variável no expoente: A exponencial e sua Inversa, a Logarítmica”, é que no
Caderno se inicia a definição da função logarítmica. Em principio é revisitado a
representação da função exponencial e são dados alguns de seus gráficos,
sugerindo que, como xay , então yx alog . Assim é dito que se pode definir
uma função que, a cada número positivo, associa-se seu logaritmo. E essa
função é chamada função logarítmica e representada por xxf alog)( .
Nota-se que, mesmo depois de definida a função logarítmica como
xxf alog)( , o segundo parágrafo insiste em dizer que a variável independente
é um valor positivo y e que a variável dependente é o logaritmo x de y, que
poderá assumir qualquer valor real. (SÃO PAULO, 2009e, vol. 3, p. 38). Pode
criar confusão essa transferência de variáveis que não segue uma ordem
convencional.
Após apresentar as representações gráficas das funções exponenciais e
logarítmicas e mostrar algumas propriedades de simetria em relação a essas
construções gráficas, afirma-se que “funções como xay e yx alog são
chamadas funções inversas uma da outra.” (ibid., p. 39). Um pouco mais
adiante chama a atenção de que “as funções xaxf )( e xxg alog)( são
chamadas inversas uma da outra, e é verdade que xxfg ))(( , e que
xxgf ))(( .” (ibid., p. 40).
Provavelmente caberá ao professor, “topos” do professor, justificar para
o estudante a linguagem utilizada pelos autores que trata de função composta,
tema até então não abordado e que exige um tratamento formal da noção de
função.
148
No Caderno do Aluno há um texto introdutório praticamente idêntico ao
apresentado no caderno do Professor. Porém, antes de apresentar a parte final
do texto que no Caderno do Professor mostra as relações xxfg ))(( , e
xxgf ))(( , o Caderno do Aluno aplica as atividades 1 e 2, não contidas no
Caderno do Professor, para tratar de funções inversas. Somente depois dessas
duas atividades o Caderno do Aluno apresenta a parte final do texto teórico.
Ainda aqui, fica a cargo do professor, “topos” do professor, explicitar como se
determina a inversa das funções estudadas até o momento.
Depois dessas atividades os Cadernos do Aluno e do Professor têm a
mesma numeração, mesmo porque o Caderno do Aluno retorna a numeração
das atividades para 1 fazendo uma mudança de seção. Já a atividade 3 do
Caderno do Professor é a atividade 1 da “lição de casa” no Caderno do Aluno.
As atividades são todas relativas a observações sobre o crescimento ou
decrescimento da função logarítmica comparativamente à função exponencial,
cujo estudo é feito por meio do gráfico dessas funções.
Assim como no caso das funções exponenciais, no desenvolvimento das
noções associadas às de funções logarítmicas não se comentou nada a
respeito de proporcionalidade e não explicita nenhuma outra ideia fundamental
apontada pelo Currículo, isto é, a função logarítmica é tratada por meio do
conceito moderno formal, levando até mesmo ao tratamento formal da função
composta.
Tomamos como exemplo da Situação de Aprendizagem 3 a atividade 1
que, por meio de construções gráficas de duas funções, uma inversa da outra,
pretende que os estudantes percebam as propriedades de simetria entre as
duas por meio da propriedade do trapézio isósceles que será construído
juntamente com as funções. Trata-se aqui da articulação entre geometria e
álgebra que exige que os estudantes disponham de conhecimentos de
geometria euclidiana e geometria analítica. Mais uma vez essa articulação fica
a cargo do professor, “topos” do professor, que poderá ou não discutir essa
tarefa em função dos conhecimentos prévios de seus estudantes.
149
Figura 52: Atividade sobre as função exponencial e logarítmica
Fonte: Caderno do Aluno, 2009, vol. 3. 1ª série EM, p. 39 e 40
Trata da representação, num mesmo plano cartesiano, de duas funções inversas uma da outra.
Tarefa T7 – Representar um gráfico cartesiano. T9 – Encontrar informações e/ou propriedades em gráficos cartesianos.
Técnica Representar graficamente as funções xxf 10)( e xxf log)( .
Tecnologia
Trabalhar o conceito de continuidade das funções xxf 10)( e
xxf log)( e analisar cada ponto com vista à noção de simetria de
cada ponto em relação à reta de equação xy .
Ostensivos manipulados na técnica
Gráfico das funções exponenciais e logarítmicas dadas, marcação dos pontos e de suas distâncias. Cálculos a partir de fórmulas como o Teorema de Pitágoras.
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Ideias de Funções exponenciais e logarítmicas. Ideia de simetria. Ideia de figuras semelhantes. Ideia de continuidade. Teorema de Pitágoras.
Registro de Representação Semiótica
Registro gráfico. Registro algébrico. Conversão do registro algébrico para o registro gráfico. Tratamentos das fórmulas do Teorema de Pitágoras.
“Topos” do Professor
Auxiliar o estudante na representação dos gráficos e da reta bissetriz. Orientá-lo a perceber a simetria em relação à reta bissetriz dos quadrantes ímpares. Auxiliá-los a traçar os lados do trapézio e calcular suas medidas. Esclarecer a questão da relação entre a propriedade do trapézio isósceles e a noção de função inversa.
“Topos” do estudante
Seguir os passos indicados pelos itens dos exercícios, de forma a concluir a simetria entre as funções inversas e perceber o formato isósceles do trapézio construído.
Nível de conhecimento esperado do estudante
Nível mobilizável na construção gráfica das funções exponencial e logarítmica e na identificação dos lados do trapézio isósceles. Nível disponível em relação a perceber a simetria entre essas funções inversas e a relação entre a propriedade do trapézio isósceles e a noção de inversa de funções.
Como nas duas outras atividades apresentadas no Caderno do
Professor nessa Situação de Aprendizagem, esta traz também, num mesmo
exercício, a função exponencial e a função logarítmica. Nesta os estudantes
devem construir os gráficos das duas funções num mesmo plano cartesiano
150
para encontrar propriedades entre suas formas gráficas e reconhecer que se
trata de funções inversas a partir de propriedades geométricas, como é o caso
de verificar se o quadrilátero construído segundo as indicações apresentadas,
é isósceles.
Aqui a verificação, pelo estudante, “topos” do estudante, de que o
trapézio construído é isósceles, é tomado como condição suficiente para ele
perceber que as funções xxf 10)( e xxf log)( são inversas. No entanto é
preciso muito mais que isso; as bases desse trapézio devem ser
perpendiculares à reta de equação xy . Mostrar esse fato e também mostrar
que o ponto médio das bases pertencem à reta xy e que, para cada ponto
(m, n) da função xxf 10)( será o ponto (n, m) da função xxf log)( ficará por
conta do professor, expondo os textos teóricos apresentados no Caderno do
Professor e, mais resumidamente, no Caderno do Aluno.
O quadro a seguir mostra as tarefas solicitadas nas três atividades
dessa Situação de Aprendizagem.
Figura 53: Quadro de Tarefas da Situação de Aprendizagem 3
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
A1 █ █
A2 █
A3 █ █
Fonte: A pesquisa
Do quadro acima podemos perceber que as atividades estão centradas
em encontrar informações das funções, sejam elas apresentadas em forma
gráfica ou algébrica. E nas três atividades os exercícios apresentam sempre as
funções logarítmicas e exponenciais juntas. A atividade 2, por exemplo,
apresenta várias funções expressas de forma algébrica e solicita que os
estudantes verifiquem se são crescentes ou decrescentes e na atividade 3
apresenta num mesmo plano cartesiano duas funções genéricas xaxf )( e
xxf alog)( , pedindo que os estudantes compare-as com a função xy , o
que lhes permite concluir qual cresce mais rapidamente se utilizarem a noção
de taxa unitária de variação, isto é, para cada variação de 1 unidade de x
temos uma variação no valor de )(xf . Por meio da figura, os estudantes
151
visualizam que para a reta xy a variação é constante; para a curva xaxf )(
a variação cresce quando x cresce e para xxg alog)( a variação decresce
quando x cresce.
A Situação de Aprendizagem 4 desse volume trabalha com problemas
contextualizados que envolvem apenas os conceitos de equações
exponenciais e logarítmicas. Portanto, a noção de função só retorna na 2º série
do ensino médio.
7.1.4 – Caderno da 2ª série do Ensino Médio – Vol. 1
Na 2ª série do ensino médio os estudantes revisitam as noções de
trigonometria no triângulo retângulo. Desta vez a ideia fundamental relacionada
com os objetivos desse tema é a de periodicidade.
As situações de Aprendizagem 1 e 2 são situações para o estudante
identificar como periódicas. As duas tratam do movimento aparente do Sol.
Num primeiro momento analisando esse movimento durante um prazo de 2
anos, sempre num mesmo horário do dia, desenvolvendo assim uma situação
onde se identifica o período em ano e a amplitude que corresponde ao
comprimento da sombra medida a partir de alguma unidade.
Num segundo momento é analisado o comprimento da sombra durante o
dia, observando-se esse fenômeno durante alguns dias de forma a mostrar
para os estudantes situações que sejam periódicas, mas que os valores
obtidos são descontínuos ao longo da observação.
Assim, mesmo sem tratar do conceito de função e sem defini-la, na
Situação de Aprendizagem 2 se trabalha os arcos na circunferência e os
valores de senos e cossenos determinados por estes arcos. Na atividade 4 é
pedido que os estudantes, utilizando uma folha de papel milimetrado,
desenhem uma circunferência de raio 10 cm e que marquem alguns arcos
evidentes; pede-se ainda que construam uma tabela para inscrever os valores
de senos e cossenos encontrados nesse plano que contém a circunferência e
com isso, em seguida, os estudantes devem construir os gráficos das funções
xy sen e xy cos num mesmo sistema cartesiano. Observamos aqui que
152
essas funções ainda não foram definidas. A representação gráfica será
realizada apenas pela covariação entre as grandezas comprimento do arco e a
medida sobre os eixos x (cosseno) e y (seno), assumindo o gráfico uma curva
contínua. Porém, uma observação é apresentada no Caderno, que não se trata
ainda de aprofundar o estudo de gráficos de funções, assunto que será
explorado mais adiante, pois os estudantes não dispõem de conhecimentos
suficientes para compreender que as funções assumem valores para qualquer
x real (SÃO PAULO, 2009f, vol.1, p. 30).
Ainda na Situação de Aprendizagem 2 é tratado o caso em que os arcos
são medidos em radianos e assim é introduzida a conversão entre as medidas
de graus e radianos. Não se apresenta uma clara justificativa de porque será
feito o estudo sobre essa nova ótica, apenas é dito que é “aconselhável
apresentar aos estudantes a unidade radiano” (ibid., p.30), apesar dos autores
ressaltarem que a medida em graus se refere a ângulos e que a medida em
radianos se refere a comprimento de arco.
A Situação de Aprendizagem 3, sob o título “Gráfico de Funções
Periódicas Envolvendo Senos e Cossenos” é a que tratará especificamente das
funções trigonométricas. As competências e habilidades que se pretende
desenvolver nos estudantes com as atividades dessa Situação são construir o
gráfico de uma função trigonométrica, dada a equação que a representa;
identificar alguns parâmetros importantes do modelo ondulatório para a
descrição matemática de fenômenos periódicos; determinar a equação da
função representada por um gráfico dado.
O Caderno aconselha que os estudantes construam as funções do tipo
xCy B. sen.A e xCy B. cos.A , e procurem reconhecer suas propriedades.
Sugere um percurso e alerta que o professor pode ou não seguir. Nesse
percurso, a primeira etapa é a construção de gráficos a partir de uma tabela de
valores especialmente escolhidos. Na segunda etapa sugere que o professor
utilize um software de construção gráfica de forma a imprimir maior velocidade
às conclusões. Num terceiro momento sugere que o professor discuta com os
estudantes os gráficos onde o seno ou o cosseno variem em função do tempo,
ou seja, gráficos das funções dos tipos tCy B. sen.A .
153
As atividades de 1 a 8 são elaboradas baseadas na primeira etapa de
trabalho sugerida pelos autores, isto é, construção de gráficos a partir de
tabelas. Para evitar que os estudantes liguem os pontos de forma
indiscriminada ao transportar os mesmo das tabelas aos planos cartesianos; no
momento de iniciar a primeira atividade, tanto no Caderno do Professor como
no do Aluno, são apresentados tabelas com valores de senos e cossenos para
alguns arcos notáveis e em seguida os gráficos das funções xy sen e
xy sen2 .
Figura 54: Gráfico das funções xy sen e xy sen.2
Fonte: Caderno do Professor, 2009, 2ª série do Ensino Médio, vol 1, p. 37.
Dessa forma, quando os estudantes forem ligar os pontos obtidos por
outras tabelas, serão induzidos a fazê-lo de forma contínua e obedecendo ao
formato das curvas senoidais apresentadas no modelo.
Analisaremos, sob a ótica da teoria utilizada neste trabalho, a atividade 5
do Caderno do Professor. Vale lembrar que a ordem das atividades no
Caderno do Aluno são bastante diferentes da ordem apresentada no Caderno
do Professor.
154
Figura 55: Atividade sobre a função seno
Fonte: Caderno do Professor, 2009, 2ª série do Ensino Médio, vol. 1, p. 41
Preencher a tabela de dados a partir dos valores de 2
x, calculando ao final os valores de
221
xsen .
Tarefa T7 – Representar um gráfico cartesiano. T8 – Preencher uma tabela a partir de uma correspondência.
Técnica
Preencher a coluna relativa aos valores de x, multiplicando por 2 os
valores da coluna de 2
x, isto é, resolver a equação a
x
2, onde a
corresponde a um dos valores dos arcos notáveis.
Calcular os valores de seno de 2
x, multiplicar os resultados por 2,
preenchendo os valores da 3º coluna. Subtrair 1 dos valores da 3ª coluna para preencher os valores d 4ª coluna. Transportar os pontos para o plano cartesiano. Ligar os pontos obtidos.
Tecnologia
Trabalhar os conceitos de funções do tipo tCy B. sen.A ,
operando cada um dos coeficientes da função. Construir o gráfico de
uma função do tipo tCy B. sen.A conhecendo os arcos notáveis e
os valores de seno para esses arcos e seus côngruos. Escolher a variação de x em radianos.
Ostensivos manipulados na técnica
Tabela de dupla entrada. Operações aritméticas e equações algébricas. Representação de pontos no sistema cartesiano ortogonal.
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Conceito de função trigonométrica (periodicidade, amplitude, continuidade, curvas características da função seno).
Registro de Representação Semiótica
Registro Tabular. Registro gráfico cartesiano. Registro algébrico. Conversão de tabela ao gráfico cartesiano.
“Topos” do Professor
Auxiliar o estudante nos cálculos das funções trigonométricas relativa aos seus coeficientes. Acompanhar a construção dos gráficos pelos
155
estudantes, evitando que os mesmos liguem dois pontos de forma linear e explicitando as diferentes etapas para o desenvolvimento da tabela.
“Topos” do estudante
Operar as funções trigonométricas de maneira a preencher as colunas da tabela de dados. Transportar os pontos obtidos para o plano cartesiano, ligando os pontos obtidos, seguindo o exemplo da função dada xy sen .
Nível de conhecimento esperado do estudante
Nível disponível em relação às operações com os coeficientes da função. Nível mobilizável em relação à construção do gráfico da função apresentada.
Esse é o tipo de atividade em que, se o estudante aprendeu bem
relacionar os arcos de circunferência aos valores de seno e de cosseno no
sistema cartesiano ortogonal lendo seno no eixo y e cosseno no eixo x, é
possível que ele preencha a tabela sem problemas e transfira os pontos
obtidos para o plano cartesiano. No entanto, o professor deve auxiliá-lo a
transferir para o plano cartesiano somente os valores relativos às colunas de x
e os da função final. O professor também deve mostrar ao estudante o caráter
contínuo da função, uma vez que o estudante tem nas tabelas apenas alguns
pontos discretos dessa relação. Outro detalhe que caberá ao professor orientar
o estudante é que os valores de x, que podem ser utilizados nesse tipo de
função, correspondem a valores reais, uma vez que nas atividades são
utilizados apenas alguns arcos notáveis, não fica muito claro que x pode
assumir outros valores, mesmo que o formato do gráfico seja contínuo. Parece
difícil que o estudante, sem a orientação do professor, possa perceber a
questão da continuidade.
O quadro a seguir apresenta as tarefas exigidas nas atividades da
Situação de Aprendizagem 3 desse volume.
156
Figura 56: Quadro de Tarefas da Situação de Aprendizagem 3
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
A1 █ █
A2 █ █
A3 █ █
A4 █ █
A5 █ █
A6 █ █
A7 █ █
A8 █
A9 █
A10 █
A11 █ █
Fonte: A pesquisa
Pelo quadro acima podemos perceber que as atividades variam entre a
conversão do registro em forma de tabelas para a representação gráfica e em
encontrar informações em expressões algébricas e em gráficos de funções,
especificamente de funções senos e cossenos. Apenas a atividade 6, sugere a
conversão inversa, isto é, converter uma função apresentada na forma de
registro gráfico para o registro algébrico.
A Situação de Aprendizagem 4 desse volume tratará somente de
equações trigonométricas e entre as atividades apresentadas, notamos que o
conceito de função trigonométrica está presente nessas questões. Assim,
passaremos a analisar como esta Situação de Aprendizagem é apresentada
aos estudantes.
As competências que se deseja desenvolver nos estudantes com as
atividades dessa Situação de Aprendizagem é relacionar situações-problema,
apresentadas em língua materna, com os significados associados aos
fenômenos periódicos; resolver equações trigonométricas envolvendo senos e
cossenos; interpretar resultados e fazer inferências.
São apresentadas quatro atividades, cada uma delas inicia com a
apresentação do contexto que motivará a questão. A primeira trata do “período
da claridade de uma cidade”, sugerindo que para uma determinada cidade
esse período pode ser determinado pela fórmula
365
x2 .
3
7
3
35 senN , onde x
157
corresponde ao número de dias contados a partir de certa data e N a
quantidade de horas de claridade. A outra atividade trata da periodicidade da
pressão sanguínea, sugerindo uma fórmula para a determinação da pressão
3
t8 cos.20100)(
tP , com t em segundos e P em mmHg. A terceira
atividade apresenta uma correspondência entre a temperatura num
determinado local e os dias analisados, apresentando como exemplo a fórmula
7
360
101-t2sen .50
T , com T medido em Fahrenheit e t em dias. A quarta
atividade apresenta um fenômeno chamado fenômeno das marés, e baseado
num gráfico que registra esse fenômeno para a cidade de Recife, analisado no
período de agosto a setembro de 2004, pede que se determine a expressão
algébrica que se ajuste a esse gráfico, orientando e sugerindo pontos
específicos do gráfico de forma que os estudantes possam encontrar a
expressão
ty
13
2sen .5,08,1
, com t em dias e y em metros. Essas
atividades estiveram mais associadas aos cálculos relativos às suas fórmulas
que aos seus gráficos. Pelo quadro abaixo podemos verificar as tarefas
solicitadas em cada uma dessas quatro atividades.
Figura 57: Quadro de Tarefas da Situação de Aprendizagem 4
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
A1 █ █
A2 █ █
A3 █
A4 █ █ █
Fonte: A pesquisa
Dessa maneira percebemos que as atividades privilegiaram os cálculos
de resolução de equações trigonométricas e o cálculo do valor numérico das
funções apresentadas ou determinadas, como foi o caso da atividade 4.
Depois do estudo de funções trigonométricas no 1º bimestre da 2º série
do ensino médio, o tópico sobre funções somente terá retorno no 3º bimestre
da 3ª série do ensino médio.
158
7.1.5 – Caderno da 3ª série do Ensino Médio – Vol. 3
Nesse volume a ideia central de estudo são as funções expressas como
uma relação de interdependência entre duas ou mais grandezas. Na introdução
do volume os autores comentam que, o fundamento da noção de função pode
ser encontrado no 7º ano (6ª série), que é a proporcionalidade direta ou
inversa. Os autores também comentam que na 1ª série também foram
estudadas funções especiais como as exponenciais e as logarítmicas, que não
envolvem proporcionalidade, e que na 2ª série apresentaram as funções
trigonométricas que são especialmente adequadas para representar
fenômenos periódicos. (SÃO PAULO, 2009g, vol. 3, p. 9).
Neste volume serão exploradas qualidades e características das funções
já estudadas, ampliando-se a possibilidade de construção de gráficos e da
compreensão de formas básicas de crescimento ou decrescimento.
A primeira Situação de Aprendizagem que se apresenta sob o título
“Grandezas, Interdependência: Um Panorama Sobre Funções” pretende
desenvolver nos estudantes as competências e habilidades em expressar e
compreender fenômenos de diferentes tipos por meio da linguagem
matemática, especificamente por meio da representação de funções;
argumentar e tomar decisões na resolução de situações-problema vinculadas a
fenômenos da realidade.
O texto introdutório dessa Situação de Aprendizagem sugere que o
professor retome os conceitos básicos sobre as funções estudadas na 1ª e na
2ª série do ensino médio. As atividades de 1 a 5 são então problemas
contextualizados que envolvem algumas dessas funções estudadas. Porém as
atividades 6 e 7 envolvem funções um pouco mais complexas com três ou
quatro raízes, solicitando a construção dos gráficos das funções
)5)(2)(1()( xxxxf (atividade 6) e )73)(2)(1()( xxxxxf (atividade 7)
já representadas por meio de monômios e/ou binômios, o que permite
determinar diretamente suas raízes, para em seguida utilizar as propriedades
discutidas no Caderno do Professor, quais sejam: o gráfico de um função
polinomial é contínuo assumindo todos os valores intermediários entre dois
valores dados, o número de raízes reais de uma equação polinomial (algébrica)
159
de grau 3 é no máximo 3, o valor de f(0) = (-1).(-2).(-5) = -10 (atividade 6) que
corresponde ao ponto que a curva corta o eixo y.
A Atividade 6 do Caderno do Professor é apresentada como “leitura e
análise de texto” no Caderno do Aluno. A atividade 7 do Caderno do Professor
aparece como atividade 1 da “lição de casa” do Caderno do Aluno. Tomaremos
essa atividade para um estudo mais detalhado sob a luz dos referenciais
teóricos nesta questão.
Figura 58: Atividade sobre gráfico de função polinomial
Fonte: Caderno do Professor, 2009, 3ª série do Ensino Médio, Vol. 3, p. 20
A atividade pede que os estudantes esbocem o gráfico de uma função polinomial do 4º grau pela análise de suas raízes e pelo crescimento ou decrescimento em certos intervalos.
Tarefa T7 – Representar um gráfico cartesiano.
Técnica
Determinar os valores de x que tornem a função nula, marcar esses valores sobre o eixo x. Determinar o ponto onde a função intersecta o eixo y. Calcular f(x) para um x menor que -1 ou maior que 7/3 e a partir desse ramo da curva esboçar o gráfico observando que entre dois valores dados a curva assume todos os valores intermediários, ou seja, ela é contínua.
Tecnologia
Utilizar o conceito que uma função polinomial de grau n tem, no máximo, n raízes reais. Utilizar o conceito de que, se x = 0, o valor de f(x) corta o eixo das ordenadas. Utilizar as condições de crescimento ou decrescimento de funções. Utilizar a propriedade que uma função polinomial para valores reais assume todos os valores intermediários entre dois valores dados.
Ostensivos manipulados na técnica
Equações do 1º grau do tipo ax+b = 0. Coordenadas cartesianas (x, 0) e (0, y). Representação de pontos em um sistema cartesiano ortogonal. Esboço de curvas sobre um plano cartesiano.
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Conceito de raízes de equações do 1º grau. Conceito de raízes de funções polinomiais. Conceito de crescimento e decrescimento de funções. Conceito de plano cartesiano. Teorema fundamental da álgebra, teorema do valor intermediário, ideia de continuidade de funções.
Registro de Representação Semiótica
Registro algébrico. Registro gráfico. Conversão do registro algébrico para o registro gráfico cartesiano.
“Topos” do Auxiliar os estudantes a identificarem as raízes da função pela análise
160
Professor dos monômios e dos binômios apresentados na expressão. Auxiliar os estudantes na construção do gráfico, principalmente no que diz respeito às fases de crescimento e decrescimento da função e as propriedades das funções polinomiais.
“Topos” do estudante
Calcular as raízes dos monômios e binômios apresentados, analisando-os como raízes do polinômio de grau 4 fornecido pela expressão, e marcá-los sobre o eixo x. Procurar o termo independente de x na expressão para marcá-lo sobre o eixo y. Passar uma curva pelos pontos marcados observando as propriedades das funções polinomiais.
Nível de conhecimento esperado do estudante
Nível disponível em relação à determinação das raízes dos polinômios que compõe a função na forma dada e em relação à construção da função relativa ao seu crescimento ou decrescimento. Nível mobilizável em relação a construção gráfica da função polinomial.
As orientações dadas no Caderno do Aluno na seção “leitura e análise
do texto”, que antecede a atividade do exemplo, sugere que os estudantes
tomem os valores que tornem f(x) nula e que tomem o valor de f(0) que é o
ponto onde o gráfico de f corta o eixo das ordenadas. É afirmado também que
a quantidade de raízes de uma função polinomial é, no máximo, igual ao grau
do polinômio e que a curva entre dois pontos é contínua e suave, (SÃO
PAULO, 2009g, vol. 3, p. 9), o que corresponde aos conceitos e propriedades
das funções polinomiais, necessários para esboçar o gráfico da função pedida.
Portanto, o estudante deverá identificar na expressão apresentada, os
valores que, atribuídos à x, resultem em resultado nulo. Assim, ao encontrar os
números 0, -1, 2 e 3
7, deverá marcá-los sobre o eixo x. Verificar também que
f(0) é zero, pois zero é uma raiz de f, percebendo que o gráfico deve cortar o
eixo das ordenadas exatamente no ponto de intersecção dos eixos.
Uma dificuldade que os estudantes podem enfrentar é saber qual o
sentido do gráfico quando está passando pelas raízes, por exemplo, se a
função será crescente ou decrescente antes de x = -1 e depois de x = 3
7. Um
simples teste com um valor menor que -1 ou maior que 3
7 poderá resolver esta
questão. No entanto, os estudantes certamente precisarão do auxílio do
professor, nesta e em outras questões dessa atividade.
Outras atividades dessa Situação de Aprendizagem empregam outros
tipos de funções como aquelas trabalhadas nas séries anteriores, fazendo uma
revisita às várias formas de funções. Nas atividades 1 e 2 apresentam
situações problemas associadas às funções polinomiais do 2º grau. Nas
161
atividades 2 e 3 são tratados problemas envolvendo as funções exponenciais e
as equações logarítmicas. A atividade 5 retoma uma função trigonométrica. As
atividades 6 e 7 tratam da construção gráfica de funções polinomiais de graus 3
e 4, ou seja, as tarefas apresentadas acima.
No quadro a seguir apresentamos as tarefas exigidas em cada uma das
sete atividades apresentadas nessa Situação de Aprendizagem.
Figura 59: Quadro de Tarefas da Situação de Aprendizagem 1
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
A1 █ █ █ █
A2 █ █
A3 █ █ █
A4 █ █ █
A5 █ █ █
A6 █
A7 █
Fonte: A pesquisa
Pelo quadro anterior percebemos que nas atividades de 1 a 5, os
procedimentos de determinação do valor numérico das funções fornecidas ou
encontradas é bastante evidente, além de, algumas delas solicitar também a
resolução de algum tipo de equação, seja ela polinomial, logarítmica ou
trigonométrica. As atividades 6 e 7 são as discutidas acima.
A Situação de Aprendizagem 2 focará precisamente a construção
gráfica, inclusive o título dessa Situação é “Construção de Gráficos: Um Olhar
Funcional”. Nesse capítulo os autores pretendem mostrar uma nova estratégia
de construção de gráficos que não seja somente aquela de atribuir valores à
função para determinar um ou outro ponto de seu gráfico. Sugerindo um
período de duas semanas para explorar esse novo ponto de vista, os autores
pretendem que os estudantes desenvolvam as competências e habilidades de
expressar fenômenos diversos por meio de gráficos e compreender
transformações realizadas sobre eles em diferentes contextos.
O texto introdutório apresentado no Caderno do Professor e no Caderno
do Aluno começa discutindo a propriedade de que o gráfico de uma função
162
sofre uma translação vertical de fator v quando se toma a função y = f(x) + v.
Em seguida mostra que a função sofre uma translação horizontal de fator h
quando toma a função y = f(x – h). E que as duas composições provocam uma
translação composta por v e h simultaneamente.
Em seguida apresenta técnicas de construção de gráficos como
1
1)(
2
xxf , pela construção do gráfico de 2)( xxf , e somando 1 unidade
para deslocá-lo de uma unidade para cima, obtendo o gráfico de 1)( 2 xxf ,
em seguida determinar os pontos do plano cartesiano cujos valores de f(x) são
os inversos dos valores encontrados para alguns valores de x; verificar que a
função 1
1)(
2
xxf é sempre positiva, visualizar no gráfico que quando x
aumenta y diminui de forma que a curva se aproxima do eixo dos x, ou seja,
trata-se aqui da noção intuitiva de limite. A figura 59 abaixo permite visualizar
as etapas anunciadas para a construção do gráfico de 1
1)(
2
xxf .
Figura 60: Etapas de construção de 1
1)(
2
xxf
Fonte: Caderno do Professor, 2009, 3ª série do Ensino Médio, vol. 3, p. 25.
Também entre os exemplos apresentados no Caderno do Professor,
tem-se a construção do gráfico da função xxxf sen 3)( , sugerindo a
construção dos gráficos das funções xy 3 e xy 3 fazendo com que o
gráfico oscile entre essas duas retas, obtendo o gráfico conforme mostrado na
figura a seguir. No Caderno do Aluno a parte do texto com a apresentação
dessa técnica não é apresentada.
163
Figura 61: Etapas de construção de xxxf sen 3)(
Fonte: Caderno do Professor, 2009, 3ª série do Ensino Médio, vol. 3, p. 25.
As atividades de 1 a 5 apresentadas no Caderno do Professor não são
exatamente as mesmas que as nove atividades no Caderno do Aluno. Algumas
funções apresentadas no Caderno do Aluno são diferentes das do Caderno do
Professor e vice-versa. Tomaremos a atividade 4 apresentada no Caderno do
Professor para analisarmos sob a ótica dos referenciais teóricos abordados.
Figura 62: Construção de gráfico de funções
Fonte: Caderno do Professor, 2009, 3ª série do Ensino Médio, vol. 3, p. 26
A atividade requer que o estudante construa a função 23
1)(
xxh
, a partir da
construção gráfica da função 2)( xxf e depois a partir do deslocamento vertical
dessa última, de 3 unidades para cima e dos inversos de seus valores.
Tarefa T7 – Representar um gráfico cartesiano.
Técnica
Esboçar o gráfico da função 2)( xxf .
A partir desse gráfico, deslocá-lo para cima em três unidades, obtendo
a função 23)( xxg .
Marcar alguns valores inversos da função 23)( xxg , para marcar
alguns pontos que permitam esboçar o gráfico da função .
23
1)(
xxh
.
164
Tecnologia Utilização dos conceitos de translação de gráfico de funções e do conceito de inverso de um número real.
Ostensivos manipulados na técnica
Sistema cartesiano ortogonal. Representação gráfica. Representação algébrica de funções.
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Funções polinomiais do 2º grau e seu o gráfico. Translação vertical do gráfico da função pela adição de uma fator v. Conceito de inverso de um número real e sua posição sobre o plano cartesiano. Noção intuitiva de limite de uma função.
Registro de Representação Semiótica
Registro algébrico. Registro gráfico. Conversão do registro algébrico para o registro gráfico cartesiano.
“Topos” do Professor
Auxiliar o estudante a localizar os pontos de uma função para outras funções por translação vertical e inversão de alguns valores reais. Auxiliar na determinação dos valores para os quais a função não está definida. Chamar a atenção para a questão da visualização dos limites laterais da função dada para os pontos em que a função não está definida.
“Topos” do estudante
Calcular os valores numéricos para a função 2)( xxf e localizar
esses valores no plano cartesiano para construir o gráfico da função. Transladar essa função três unidades para cima para obter o gráfico da
função 23)( xxg . Escolher alguns valores de g para inverter e
marcar os respectivos resultados no plano cartesiano, traçando a
função 23
1)(
xxh
.
Determinar os pontos para os quais a função não está definida e visualizar seus limites laterais.
Nível de conhecimento esperado do estudante
Mobilizável em relação às translações e inversão de alguns valores reais.
Disponível em relação à construção gráfica da função 2)( xxf , e
em particular, em relação aos intervalos em que a função
23
1)(
xxh
está definida e a determinação do crescimento e
decrescimento na vizinhança dos pontos em que a função não está definida (limites laterais).
A atividade apresentada acima exige do estudante alguns
conhecimentos que serão mobilizáveis em relação à abordagem das funções
neste caderno, como é o caso de translação vertical e a inversão de alguns
valores de números reais, porém, inicialmente o estudante deve dispor de
conhecimentos para esboçar o gráfico da função quadrática, das propriedades
dessa função em relação à variação de seus coeficientes.
Em outras atividades os estudantes também serão chamados a trabalhar
nos níveis disponíveis e mobilizáveis, pois as mesmas ultrapassam a técnica
de determinação de raízes de equações e valor numérico para as funções. O
quadro a seguir apresenta as tarefas solicitadas nas atividades de 1 a 5 do
Caderno do Professor.
165
Figura 63: Quadro de Tarefas da Situação de Aprendizagem 2
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
A1 █
A2 █
A3 █
A4 █
A5 █
Fonte: A pesquisa
Pelo quadro acima percebemos que todas as atividades dessa Situação
de Aprendizagem exigem que os estudantes apresentem os gráficos de
funções. E, como os textos teóricos apresentados nos Cadernos do Professor e
do Aluno, essa construção utiliza as noções de translação vertical e horizontal,
além de cálculo de inverso para alguns números reais a fim de expressar
funções racionais. Para chegar à representação gráfica final das funções
solicitadas os estudantes utilizam técnicas de resolução de diversos tipos de
equações (de primeiro grau, quadrática, exponencial, logarítmica,
trigonométrica, etc.) e cálculo de valores numéricos para as funções
intermediárias. Além disso, é preciso mobilizar conhecimentos sobre a noção
intuitiva de limite para os intervalos em que a função está definida.
A Situação de Aprendizagem 3 apresenta as formas de crescimento e
decrescimento das funções. Essa Situação tem como título “As Três Formas
Básicas de Crescimento ou Decrescimento: A Variação e a Variação da
Variação”. O objetivo dessa Situação de Aprendizagem é que os estudantes
compreendam os fenômenos que envolvem crescimento ou decrescimento,
bem como expressar a rapidez com que esses fenômenos crescem ou
decrescem a partir de qualidades expressas nos gráficos das funções
representadas. (SÃO PAULO, 2009g, vol. 3, p. 27).
No texto introdutório no Caderno do Professor, que também é
apresentado no Caderno do Aluno após uma atividade de “desafio”, os autores
dizem que a ideia é utilizar as funções polinomiais do 1º e 2º graus como base
para a compreensão dos estudos das variações e das taxas de variação. De
modo geral, o texto afirma que a taxa de variação unitária de uma função, para
cada valor de x, será o valor obtido por )()1( xfxf . As atividades e os
166
exemplos apresentados permitem analisar como são os crescimentos de
algumas funções em determinados intervalos para os quais a função está
definida. Algumas dessas atividades apresentam uma situação
contextualizada.
Para analisarmos de forma mais detalhada, tomaremos a atividade 4 do
caderno do Professor.
Figura 64: Taxa de variação e variação da taxa de variação
Fonte: Caderno do Professor, 2009, 3ª série do Ensino Médio, vol. 3, p. 34
A atividade apresenta uma função polinomial do 2º grau dada por sua expressão algébrica na forma fatorada. O estudante deverá fazer o esboço gráfico da mesma para responder as questões sobre crescimento ou decrescimento.
Tarefa T9 – Encontrar informações e/ou propriedades em gráficos cartesianos.
Técnica Construção de gráficos e análise gráfica do sinal da função, do crescimento e da taxa de crescimento.
Tecnologia
Construção do gráfico da função quadrática utilizando raízes, vértice e suas propriedades. Sinal da função por meio da visualização gráfica, intervalos em que a curva está acima do eixo dos x. Crescimento e decrescimento por meio da visualização gráfica, intervalos em que a função cresce e decresce. Taxa de crescimento e decrescimento por meio da visualização gráfica do crescimento e decrescimento e da concavidade para cada intervalo.
Ostensivos manipulados na técnica
Representações gráficas. Representações algébricas.
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Noção de gráficos de funções e esboço dos mesmos. Taxas de crescimento e decrescimento de uma função nos intervalos em que ela está definida. Propriedade gráfica da variação das taxas a valores crescentes ou decrescentes.
Registro de Representação Semiótica
Registro algébrico. Registro gráfico. Conversão do registro algébrico para o registro gráfico.
“Topos” do Professor
Auxiliar os estudantes na comparação dos intervalos em que as funções são crescentes ou decrescentes e análise da variação das taxas a valores crescentes ou decrescentes.
167
“Topos” do estudante
Construir os gráficos da função solicitada, analisando os intervalos em que a mesma é crescente ou decrescente e a relação com a variação das taxas a valores crescentes ou decrescentes.
Nível de conhecimento esperado do estudante
Mobilizável em relação à construção do gráfico da função quadrática. Disponível em relação a determinar os intervalos em que a função é crescente ou decrescente e a variação das taxas a valores crescentes ou decrescentes para esses mesmos intervalos.
Nessa atividade o estudante deve dispor de conhecimentos de séries ou
bimestres anteriores para construir o gráfico da função quadrática dada de
forma fatorada pela expressão algébrica. O estudante deve reconhecer a
função como uma função polinomial do 2º grau. Após representar o gráfico
dessa função o estudante deve mobilizar conhecimentos trabalhados no
bimestre atual para verificar os intervalos em que a função é crescente ou
decrescente e as taxas de variação.
As demais atividades apresentadas nessa Situação de Aprendizagem
também solicitam a verificação do crescimento ou decrescimento e das taxas
de variação dessas funções. O quadro abaixo mostra as tarefas exigidas em
cada uma das seis atividades apresentadas no caderno do Professor.
Figura 65: Quadro de Tarefas da Situação de Aprendizagem 3
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
A1 █
A2 █
A3 █ █ █ █
A4 █
A5 █ █
A6 █ █
Fonte: A pesquisa
Pelo quadro acima notamos que a construção de gráficos e a análise
que permite encontrar informações e propriedades dessas funções a partir de
suas representações gráficas são as tarefas predominantes.
A última Situação de Aprendizagem desse volume trabalha com
situações-problemas que tratam de crescimento e decrescimento da função
exponencial. O título dessa Situação de Aprendizagem é “Os fenômenos
Naturais e o Crescimento ou Decrescimento Exponencial: O Número e .” Essa
168
Situação de Aprendizagem tem como objetivo levar o estudante a expressar e
compreender fenômenos envolvendo crescimento ou decrescimento
exponencial e contextualizar e formular propostas de intervenção na realidade
a partir de tal compreensão. O tema apresentará a forma como as funções
exponenciais variam de maneira que, sua taxa de variação unitária dada por
)()1( xfxf é diretamente proporcional ao valor de )(xf em cada ponto x.
O texto teórico dessa Situação de Aprendizagem no Caderno do
Professor é apresentado em forma de exemplo no Caderno do Aluno, de
maneira que o estudante possa chegar à conclusão que, de forma geral, para
xaxf )( , a razão entre a taxa unitária e a função equivale a )1( a ,
provavelmente com a intenção de mostrar que de alguma maneira existe uma
relação entre a função exponencial e a noção de proporcionalidade. O
interessante é que os autores não optaram por descrever a relação de
proporcionalidade pela razão entre )1( xf e )(xf , o que apresentaria como
constante de proporcionalidade a base “a” da função exponencial.
Após a apresentação de duas atividades, aparece um novo texto teórico
que tratará agora de mostrar como determinar o número e . Esse texto é
comum aos dois Cadernos e ocupa seis páginas no Caderno do Aluno.
Utilizando um exemplo de crescimento populacional, os autores vão
distribuindo a taxa de crescimento de um determinado intervalo em partes cada
vez menores de maneira a distribuir uniformemente a taxa nesse intervalo.
Esse processo corresponde a determinar o limite para
n
n
11 , quando n
cresce, tendendo ao infinito, mas esse processo não é apresentado nos
Caderno. O exemplo apresentado nos Cadernos parte da ideia de um aumento
de população que cresce 100% ao ano para mostrar que, neste caso, a
expressão que representa esse crescimento é dada por eNN 0 .
Nesse momento, não é clara a escolha da base e , pois esse mesmo
exemplo já tinha sido utilizado quando da introdução da noção de função
exponencial de base a qualquer.
Observamos que no trabalho desenvolvido por Stewart (2011) que essa
ideia é desenvolvida a partir do ostensivo de representação gráfico da função
exponencial de base e, cuja taxa de variação no ponto x = 0 é 1, o que não
169
acontece com funções exponenciais de outras bases, cujas taxas de variação
no mesmo ponto x = 0 corresponde ao logaritmo natural dessa base. Isso
permite visualizar a importância da escolha da base e.
Figura 66: Gráfico de funções exponenciais xaxf )( e
xexf )(
Fonte: Stewart, 2011, p. 165
Em seguida o Caderno aproveita para mostrar que a função inversa de
xexf )( é a função xxf ln)( e esboça os gráficos da função exponencial e
sua inversa, explorando a condição de crescimento a taxa crescente para a
função exponencial e do crescimento a taxa decrescente para a função
logarítmica natural.
As atividades que são apresentadas nos Cadernos do Professor e do
Aluno vão explorando os problemas que tratam de crescimentos exponenciais.
Apesar das atividades nos dois Cadernos serem um pouco diferentes, tratam
situações parecidas.
Analisaremos mais detalhadamente a atividade 4 do Caderno do
Professor, que equivale a atividade 2 da seção “você aprendeu” do Caderno do
Aluno e que corresponde ao “topos” do estudante.
170
Figura 67: Atividade com aplicação da função exponencial
Fonte: Caderno do Professor, 3ª Série do Ensino Médio, vol. 3, p. 46.
A atividade explora o fato de o estudante precisar utilizar diversas estratégias relacionadas às funções exponenciais para utilizá-las em cada item.
Tarefa T1 – Resolver uma equação. T6 – Escrever uma expressão algébrica.
Técnica
No item a, a técnica consiste em expressar o capital dobrado 2C como função de (1,12)
tC e usar o cálculo de logaritmo para encontrar t, em
anos. No item b, a técnica consiste em expressar o capital dobrado 2C como função de (1,01)
tC e usar o cálculo de logaritmo para encontrar t, em
meses. No item c, a técnica consiste em expressar o capital dobrado 2C como
função de te 12,0C e usar o cálculo de logaritmo para encontrar t, em
anos.
Tecnologia
Uso do conceito de juros compostos e da função exponencial de bases
diversas e de base e . Associar a taxa 12% a representação 0,12 e somar com 100%, ou seja, 1, obtendo 1,12
t. Supor o capital final igual a 2C.
Associar a taxa 12% à representação 0,01 que corresponde a taxa mensal e somar com 100%, ou seja, 1, obtendo 1,01
t para o caso de
incorporação mensal. Supor o capital final igual a 2C. Associar a taxa 12% à representação 0,12 para o caso de incorporação anual. Utilizar a equação 0,12
t=2.
Ostensivos manipulados na
técnica
Representação de juros compostos e de funções exponenciais. Representação decimal de porcentagem.
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Conceito de função exponencial. Conceito de porcentagem. Conceito de juros compostos.
Registro de Representação
Semiótica
Registro algébrico. Tratamento sobre as expressões algébricas.
“Topos” do Professor
Auxiliar os estudantes a escreverem corretamente as funções relativas a cada alternativa na questão e mostrar a melhor aproximação.
“Topos” do estudante
Associar as situações apresentadas em cada alternativa com os conceitos teóricos apresentados pelos Cadernos.
Nível de conhecimento esperado do
estudante
Nível mobilizável em relação ao conceito de função exponencial e porcentagem. Nível disponível em relação a juros compostos.
171
A atividade apresentada no exemplo parece bastante complexa para ser
deixada a cargo do estudante. O tópico apesar de bastante pertinente,
necessitará do auxílio do professor em todas as suas etapas, em particular, na
interpretação dos resultados.
As demais atividades dessa Situação de Aprendizagem também tratam
de utilizar as funções exponenciais na resolução de problemas. O quadro a
seguir mostra os tipos de tarefas exigidas em cada uma delas.
Figura 68: Quadro de Tarefas da Situação de Aprendizagem 4
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
A1 █ █ █
A2 █ █ █
A3 █
A4 █ █
A5 █
A6 █ █
A7 █ █
A8 █
Fonte: A pesquisa
As atividades são bastante variadas em relação às tarefas exigidas. No
entanto, as resoluções de equações ou o cálculo de valores numéricos de
funções aparecem com destaque nos tratamentos das funções exponenciais e
logarítmicas.
Como vimos na análise dos Cadernos do Professor e do Aluno a
respeito do conceito e do estudo de funções, fica clara a estreita relação que a
definição de função é feita abordando a ideia de proporcionalidade.
Para a função linear é imediato para o estudante perceber essa relação
que se dá da forma kx
y . Com algum preparo é possível ampliar essa ideia
para as funções afim, escrevendo ax
by
, ou para as funções quadráticas
k
hx
vy
2
o que exigirá um maior trabalho por parte do professor, uma vez que
não é tão evidente perceber a proporcionalidade dessas formas.
Ao definir a função exponencial não se toma a condição de
proporcionalidade, também não se utiliza dessa ideia para a definição de
172
função logarítmica. Somente após trabalhar o conceito de taxa unitária de
variação é que os autores apresentam uma ideia de proporcionalidade
associada a função exponencial, mostrando que se xaxf )( então
kxf
xfxf
)(
)()1( , onde 1 ak .
O uso da ideia de proporcionalidade no trabalho com as funções
trigonométricas aparece no momento de expressar as relações seno, cosseno
e tangente, onde, num triângulo retângulo definido um ângulo agudo , então
os catetos oposto (co) e adjacente (ca), se estabelece 1k
h
co ,
2kh
ca e
3kca
co
onde sen 1 k , cos2 k , tg3 k , respectivamente.
Dessa forma, com a intenção de comparar a forma de trabalho proposta
pelo Currículo do Estado de São Paulo, expressa pelos materiais de apoio
Caderno do Professor e Caderno do Aluno, com outros materiais que objetivam
tratar o mesmo tema: “o estudo de funções”, passaremos a analisar alguns
livros didáticos do ensino fundamental e médio.
7.2 – Análise de Livros Didáticos
7.2.1 – Tudo é Matemática – Dante 8ª série – 2005
Esse livro fez parte do PNLD de 2008 e retrata um momento importante
na educação do estado de São Paulo por conta de implantação da Proposta
Curricular e do Caderno do Professor. Um momento, portanto em que os
professores tinham outro material para utilização em sala de aula onde,
anteriormente havia somente os livros didáticos.
Como os Cadernos apareciam como uma novidade na rede, grande
parte dos professores, não sabendo exatamente que se tratava de uso
obrigatório, ou se tratava de uso conjunto aos livros didáticos ou se eram
apenas material de consulta. Mesmo porque, após a implantação do Caderno
do Professor e do Caderno do Aluno, os programas PNLD e PNLEM
continuaram na rede estadual, por se tratar de um programa do Governo
173
Federal. Ou seja, as escolas continuam recebendo os materiais Caderno do
Professor, Caderno do Aluno e Livros Didáticos.
O livro em questão apresenta o estudo de funções no capítulo 4, sob o
título: “Explorando a Ideia de Função”. Nesse mesmo livro e volume, nos
capítulos anteriores foram estudados os números reais e as equações do 2º
grau.
No capítulo 4, o texto inicial aponta uma situação contextualizada, onde
a quantidade de gasolina observada nos giros de uma bomba, num posto,
apresentava uma correspondência com o preço da gasolina. Uma tabela é
mostrada para apresentar essa relação e, a partir dela uma expressão
algébrica mostra como pode ser obtido o preço registrado por aquela máquina
de fornecer combustível conforme os números correspondentes à quantidade
de litros de gasolina iam passando pelo registrador. Em seguida um gráfico
mostra essa relação associando “número de litros de gasolina” com “preço a
pagar”.
Assim, o autor diz no texto que essa correspondência é um exemplo de
função e que a expressão algébrica ou fórmula é a lei da função que pode ser
associada a gráficos.
Comenta ainda outras situações que exprimem a “ideia intuitiva de
função” e conclui que o “conceito de função está presente em situações em
que relacionamos duas grandezas variáveis.” (DANTE, 2005, p. 80). Portanto,
a definição de função é a de covariação de grandezas conforme historicamente
este conceito foi se estabelecendo, de acordo com Rogalski (2013).
Em seguida o autor procura aprofundar e explicar o que são a “lei da
função”, “variáveis” e “gráficos”, e segue uma série de tarefas apresentando
algumas situações cuja relação aponta para o conceito de função como:
produção de número de peças e preço de custo, máquina a qual entre um
número e sai outro a partir de uma lei, distância percorrida e tempo gasto para
percorrê-la, etc. Na atividade 3, onde solicita a construção do gráfico que
relaciona perímetro de um quadrado em relação ao seu lado, afirma que o
gráfico pode ser construído por uma linha contínua pelo fato de se tratar de
medidas e portanto de números reais. Entre os exemplos apresentados e o
tratamento que se dá às funções como funções numéricas, as definições
apresentadas neste momento passam a ser de funções de uma variável real a
174
valores reais, tratando assim da relação entre quantidades e não somente
como covariação de grandezas.
Logo depois inicia um parágrafo para tratar especificamente à
construção de gráficos. Para auxiliar a construção utiliza de tabelas e, no
exemplo onde pretende construir os gráficos de y = 2x +1 e y = x2 – 4, diz que x
é um número real. Após a construção dos gráficos, a reta obtida na primeira
construção passa pelo ponto x =2
1 e a curva do gráfico da segunda função
passa pelos pontos x = – 2 e x = 2. O autor chama esses pontos de zeros da
função.
A atividade a qual tomamos para analisar trata de um conceito físico, o
de densidade. Nessa atividade o autor apresenta o registro algébrico e solicita
que se representem os registros tabular e gráfico.
175
Figura 69: Atividade sobre função
27. A grandeza física densidade d de um material é definida como o quociente entre a massa
m e volume V desse material
V
md . Disso conclui-se que a massa e o volume estão
relacionados por meio da fórmula dVm . Observe a tabela que relaciona m com V de
determinado material:
V (cm3) 10 30 25
M (g) 80 480 720
a) Qual é a densidade desse material? b) Complete a tabela com os valores que faltam. c) Represente graficamente m em função de V. d) No gráfico, é possível ligar os pontos ou deve-se deixar só os pontos da tabela? Por
quê?
Fonte: Tudo é Matemática – Dante 8ª série – 2005
Com a atividade pretende-se que o estudante verifique que a relação entre massa e volume é uma relação funcional e que a representação gráfica é uma curva contínua.
Tarefa T7 – Representar um gráfico cartesiano. T8 – Preencher ou utilizar uma tabela.
Técnica
Preencher as células correspondentes às massas, multiplicando os correspondentes valores de volume por 8. Preencher as células correspondentes aos volumes, dividindo os correspondentes valores de massa por 8.
Tecnologia Proporcionalidade direta: Se kb
a , então bka . .
Ostensivos manipulados na técnica
Expressões algébricas representando as relações entre m e V. Gráfico cartesiano dessa relação.
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Conceito de proporcionalidade direta. Conceito de plano cartesiano. Conceito de números reais.
Registro de Representação Semiótica
Registro de representação algébrica. Tratamento. Registro de representação gráfica
“Topos” do Professor
Sugerir ao estudante que verifique os valores de volume e massa fornecidos na segunda coluna da tabela de forma a encontrar o fator de proporcionalidade. Sugerir que verifiquem se a relação de proporcionalidade é direta ou inversa e que utilizem o fator de proporcionalidade para preencher os dados que faltam na tabela.
“Topos” do estudante
Preencher a tabela utilizando o fator de proporcionalidade, verificando em qual momento é preciso multiplicar a grandeza pelo fator encontrado e em que momento é preciso fazer a divisão.
Nível de conhecimento esperado do estudante
Nível mobilizável em relação a função. Nível disponível em relação proporcionalidade direta. Nível técnico nos cálculos para o preenchimento da tabela.
176
A tarefa utiliza uma fórmula ou lei que relaciona massa e volume, que é
o conceito físico de densidade. Essa relação representa uma variação
diretamente proporcional, mas o autor não mencionou isso no livro, porém o
estudante, ao resolver a atividade, pode perceber facilmente essa relação. Por
se tratar de grandezas físicas como massa e volume cujos valores são
assumidos no conjunto dos números reais, o gráfico será formado por uma reta
contínua. Quando o autor coloca essa questão na última alternativa, ele insita o
estudante a refletir sobre as variáveis contínuas e discretas, e poderá ser mais
fácil orientar esse estudante no momento de traçar um gráfico com variáveis
discretas como o caso de população, por exemplo.
O quadro apresentado a seguir nos mostra os tipos de tarefas solicitadas
nas atividades de 1 a 30 do tema geral sobre funções. Tomamos somente as
atividades de números múltiplos de três para não nos alongarmos
demasiadamente sobre esse quadro.
Figura 70: Quadro de Tarefas da atividade sobre funções
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
A3 █
A6 █ █
A9 █ █
A12 █
A15 █ █
A18 █
A21 █
A24 █
A27 █ █
A30 █
Fonte: A pesquisa
Podemos notar pelo quadro anterior que em grande parte das atividades
é solicitado um trabalho com a construção de gráficos e com a observação de
informações que se pode retirar da representação gráfica. Não foram
percebidas atividades onde a conversão do registro gráfico para o registro
algébrico tenha sido solicitado.
177
Após a introdução de uma breve história sobre funções e a proposição
de tarefas aos estudantes, o autor introduz o tema “Função afim”, definindo-a
da seguinte forma “Chamamos de função afim toda função cuja lei de formação
pode ser indicada por y = ax + b, com a e b reais. Na função afim x pode
assumir qualquer valor real.” (ibid., p. 90).
Após fornecer alguns exemplos e propor algumas atividades, o autor
comenta que “os matemáticos já provaram que os gráficos de função afim é
uma reta”, e assim bastam dois pontos para traçar o gráfico de uma função
afim.
Define em seguida a função linear como um caso particular da função
afim: y = ax, com a real e a ≠ 0. E novamente apresenta alguns exemplos e
propõe algumas atividades. Em seguida, aponta que as funções lineares
guardam uma grande familiaridade com a proporcionalidade direta entre os
valores de x e y.
Na sequência define as funções quadráticas da seguinte forma:
“Chamamos de função quadrática toda função cuja lei de formação pode ser
indicada por y = ax2 + bx + c, com a, b e c reais e a ≠ 0. Na função quadrática,
x pode assumir qualquer valor real.” (ibid., p. 96).
Segue da mesma forma como tratou as funções lineares e afins,
apresentando alguns exemplos e propondo algumas atividades aos estudantes,
muitas delas representando situações contextualizadas.
Quando trata da construção dos gráficos das funções quadráticas,
comenta, antes da construção propriamente dita, que os gráficos das funções
quadráticas, onde y é igual a um polinômio do 2º grau, são curvas chamadas
parábolas. E assim, com o uso auxiliar de tabelas, constrói os gráficos para
algumas funções desse tipo e dá alguns exemplos onde há construções
arquitetônicas com curvas correspondentes a parábolas e também exemplos
de antenas com formatos paraboloides.
O capítulo segue a partir desse ponto até o final apresentando algumas
curiosidades onde se observa a formação de parábolas, como, por exemplo, o
lançamento de projéteis e de bolas de futebol em lançamentos verticais.
Apresenta uma série de atividades para os estudantes fixarem sua
aprendizagem.
178
Tomamos a atividade 58 para uma análise à luz do referencial teórico de
nosso trabalho. Essa atividade perpassa as representações algébricas e
gráficas, além de solicitar dos estudantes a verificação de alguns pontos
notáveis na parábola.
Figura 71: Atividade sobre função quadrática
58. Considere a função definida por y = 3x2 – 2x – 1 para todos os valores reais de x. Responda em seu caderno: a) Essa função é afim ou quadrática? b) Como é seu gráfico? c) Ela corta o eixo x? Em que pontos? d) Ela corta o eixo y? Em que pontos? e) O ponto (-1, 4) pertence ao gráfico? f) Qual é o vértice da parábola?
Fonte: Tudo é Matemática – Dante 8ª série - 2005
A atividade propõe que os estudantes verifiquem a que tipo de função estudada no livro é tratado na questão. Em seguida, é necessário construir o gráfico da função e encontrar alguns pontos notáveis.
Tarefa
T7 – Representar um gráfico cartesiano. T9 – Encontrar informações e/ou propriedades em gráficos cartesianos. T10 – Encontrar informações e/ou propriedades em expressões algébricas.
Técnica
Com o auxílio de uma tabela, escolher alguns valores para a variável x e calcular os correspondentes y. Fixar os pontos correspondentes no plano cartesiano e traçar a curva característica à função quadrática. Procurar os pontos notáveis, zeros da função e vértice.
Tecnologia Função afim: y = ax + b. Função quadrática: y = ax
2 + bx + c.
Zero de funções: ax + b = 0 ou ax2 + bx + c = 0.
Ostensivos manipulados na técnica
Expressões algébricas. Gráficos de funções.
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Conceito de função quadrática. Conceito de zeros de funções. Conceito de simetria.
Registro de Representação Semiótica
Registro de representação algébrica. Registro de representação tabular. Registro de representação gráfica. Conversão da representação algébrica para a representação gráfica.
“Topos” do Professor
Verificar se o estudante constrói uma tabela e a preenche de forma correta relativamente à expressão apresentada. Verificar se o estudante associa os pontos da tabela no plano cartesiano e se encontra os pontos solicitados.
“Topos” do estudante
Construir uma tabela. Escolher alguns valores de x e calcular os correspondentes y. Registrar os valores da tabela no plano cartesiano. Procurar os pontos notáveis solicitados pela atividade.
Nível de conhecimento esperado do estudante
Nível mobilizável em relação à construção gráfica de função. Nível mobilizável em relação às raízes da função quadrática. Nível técnico em relação ano ponto onde o gráfico corta o eixo y, caso esse ponto tenha surgido na tabela (0, y) ou disponível caso não tenha ocorrido isso. Nível disponível em relação a coordenada do vértice, utilizando-se de simetria.
179
A atividade aproveita para rever conceitos apresentados formalmente
nos textos do livro, mas solicita também que os estudantes encontrem outros
pontos notáveis que não foram tratados formalmente. Com esta atividade os
estudantes podem refletir sobre algumas condições como simetria da parábola
e notar que a abscissa do vértice é a média dos zeros da função. Também
devem perceber, pelo uso da tabela ou pela construção gráfica que o valor da
função que corta o eixo y é assumido quando x = 0 e nesse caso corresponde
ao coeficiente c da função.
O quadro apresentado a seguir aponta os tipos de tarefas solicitados nas
atividades que tratam de função afim e função quadrática. As atividades desses
temas iniciam no número 32, assim tomaremos atividades numeradas de três
em três.
Figura 72: Quadro de Tarefas da atividade sobre função quadrática
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
A34 █
A37 █
A40 █
A43 █ █
A46 █ █
A49 █ █ █
A52 █ █
A55 █ █ █
A58 █ █ █
A61 █
A64 █ █
A67 █ █ █
A70 █ █
A73 █
Fonte: A pesquisa
Pelo quadro anterior percebemos que apresentar a expressão algébrica
que representa uma função e a representação gráfica de funções são as
tarefas com maior destaque nas atividades. Essa característica reforça bem o
trabalho que o autor impõe no estudo com funções, apresentando situações
problemas, solicitando encontrar a lei que representa a relação entre as
grandezas apontadas e a representação gráfica dessa relação, tomando o
180
cuidado de, em cada caso, apontar se as grandezas relacionadas são
contínuas, representando variáveis no conjunto dos números reais, ou
discretas, assumindo apenas alguns valores do conjunto dos números reais.
A análise que fizemos dessa obra, associada as outras análises que
faremos de outras obras do ensino médio, poderá nos fornecer material
necessário para uma comparação com o tratamento sobre o conceito de
função tratado nos materiais de apoio ao Currículo do Estado São Paulo, os
Cadernos do Professor e do Aluno.
7.2.2 – Bezerra Matemática – 2º Grau – 1994 – Volume Único
Trata-se de um livro utilizado na década de 1990, publicado
anteriormente à LDB 9394/96 e anteriormente também à Proposta Curricular do
Estado de São Paulo de 2008. Portanto será uma análise que permitirá
comparar com outro Livro Didático mais recente a maneira como o conceito de
função estava e está sendo apresentado, e permitirá, inclusive, comparar esse
estudo com o estudo feito nos Cadernos do Professor e do Aluno.
Logo no início do capítulo que trata de função, o primeiro parágrafo é a
definição, dada da seguinte forma: “Sejam A e B dois conjuntos não vazios.
Chama-se função de A em B, qualquer relação de A em B que associa a cada
elemento de A um único elemento de B.” (BEZERRA, 1994, p. 41). Mas antes,
porém de adentrar no estudo desse conceito, o livro já tratou o estudo de
conjuntos e de relações.
Os exemplos de casos que são ou não funções de acordo com a
definição são mostrados por meio de diagramas de Venn, e nos exercícios que
se seguem também procuram fazer a distinção entre função ou somente
relação, com o uso do plano cartesiano. Em seguida fornece a representação
de funções por leis associativas de forma que f(x) seja uma expressão
algébrica relativa à variável x e que seu valor numérico quando x = a é obtido
calculando o valor de f(a). Passa a analisar os sinais da função, o crescimento
e decrescimento das funções e as funções dadas por partes.
O Próximo capítulo então, intitulado “Função de 1º Grau”, inicia fazendo
a definição de função polinomial e na sequência definindo função polinomial do
181
1º grau como sendo uma função de IR em IR dada por baxxf )( , com *Ra .
O autor comenta que para facilitar a linguagem passará a adotar função de 1º
grau em vez de função polinomial de 1º grau. (ibid., p. 49). Logo em seguida é
dada a definição para a função linear como sendo a função definida por
axxf )( .
Afirma-se no paragrafo seguinte que o gráfico de uma função de 1º grau
é uma reta, mas sem demonstração, e segue exemplos de construções
gráficas desse tipo de função. Não há aplicações para esse tipo de função nem
nos exemplos nem nos exercícios propostos para os estudantes.
Analisaremos, com base nas fundamentações teóricas desse trabalho,
uma atividade apresentada nesse capítulo do livro.
Figura 73: Resolver a equação 10)7()( 2 mmxxf
Fonte: Bezerra Matemática – 2º Grau – 1994
Trata a atividade de resolver uma equação a partir de um conhecimento relativo à gráfico de função.
Tarefa T1 – Resolver uma equação.
Técnica Substituir f(x) por -10 obtendo uma equação do 2º grau. Determina-se as raízes da equação encontrando os possíveis valores de m.
Tecnologia Usar o conceito de que uma função polinomial do primeiro grau deve
ser da forma baxxf )( e que bf )0( .
Ostensivos manipulados na técnica
Resolução de equação do 2º grau.
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Conceito de função polinomial do 1º grau. Conceito de raízes de equações quadráticas e seu significado. Conceito de coeficiente linear de uma equação de reta.
Registro de Representação Semiótica
Registro de representação algébrica. Tratamento.
“Topos” do Professor
Sugerir ao estudante a substituição de f(x) por -10, explicando-lhe esse conceito para que ele note os procedimentos que deverá tomar para solucionar a questão.
“Topos” do estudante
Resolver uma equação quadrática, encontrando suas raízes que representará os possíveis valores de m, interpretando seu resultado.
Nível de conhecimento esperado do estudante
Nível mobilizável em relação a função polinomial do 1º grau. Nível disponível em relação a equação do segundo grau. Nível técnico na resolução da equação do segundo grau.
8. Calcule m para que o gráfico de )7()( 2 mmxxf corte o eixo Oy no
ponto de ordenada –10.
182
A tarefa utiliza os conceitos definidos pela teoria dada no capítulo do
livro. No entanto, ao utilizar o conceito de que f(0) é o ponto de intersecção da
reta com o eixo y, o estudante se defronta com uma equação do 2º grau.
Caberá ao estudante interpretar que a resolução deverá ser dada pela
resolução da equação quadrática ou o professor deverá sugestionar a
resolução dessa equação e orientar a verificar as raízes como valores de m na
expressão inicialmente fornecida.
Pela análise das demais atividades apresentadas neste capítulo
podemos perceber uma característica de conhecimento de nível técnico. A
tabela abaixo mostra os tipos de tarefas solicitadas nas atividades sobre
funções polinomiais do 1º grau.
Figura 74: Quadro de Tarefas da atividade sobre funções
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
A1 █
A2 █ █
A3 █
A4 █ █
A5 █
A6 █
A7 █
A8 █ █
A9 █ █
A10 █ █
Fonte: A pesquisa
Nota-se pelo quadro acima que a maior parte das atividades trata de
gráficos de funções. É uma característica forte nessas atividades a
representação gráfica a partir das representações algébricas, tirar informações
e perceber características nas representações gráficas, além dos tratamentos
sobre as expressões algébricas, em nível técnico.
O próximo capítulo desse livro trata da função polinomial do 2º grau. O
primeiro parágrafo é utilizado para definir esse tipo de função da seguinte
forma: “Chama-se função do 2º grau, ou quadrática, toda função definida de R
em R por baxxf )( , com Rcba , , e 0a .” (BEZERRA, 1994, p. 56).
183
Na sequência trata das raízes da função, da fatoração do trinômio do 2º
grau, dos pontos notáveis do gráfico, (raízes, coordenadas do vértice e
cf )0( ), máximo e mínimo, conjunto imagem de f, sinais, crescimento e
decrescimento.
A atividade 15 será utilizada como exemplo para nossa análise mais
apurada.
Figura 75: Atividade sobre função dada por partes
15. Desenhe o gráfico da função definida de IR – {1} em IR por:
1 se ,56
1 se ,32)(
2
2
xxx
xxxxf
Quais são as raízes da função f?
Fonte: Bezerra Matemática – 2º Grau – 1994
A atividade consiste em encontrar os pontos notáveis do gráfico de f para representá-lo no plano cartesiano, notando que um dos valores de x utilizado para determinar um ponto notável não pertence ao domínio de f.
Tarefa T7 – Representar um gráfico cartesiano. T9 – Encontrar informações e/ou propriedades em gráficos cartesianos.
Técnica
Determinar os pontos notáveis dos gráficos de cada uma das expressões fornecidas na função para traçar seus gráficos. Verificar os intervalos do domínio de cada uma delas para fornecer as raízes para a função que estejam no domínio de f.
Tecnologia Representação algébrica e gráfica de funções do tipo
cbxaxxf 2)( .
Ostensivos manipulados na técnica
Resolução de equações do 2º grau. Representação de gráfico de funções quadráticas no plano cartesiano.
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Conceito de funções do tipo cbxaxxf 2)( e da construção dos
gráficos desse tipo de função. Conceito de domínio e contradomínio de funções quadráticas.
Registro de Representação Semiótica
Registro de representação algébrica. Tratamento sobre as representações algébricas. Conversão do registro algébrico para o registro gráfico cartesiano. Registro de representação gráfica.
“Topos” do Professor
Solicitar ao estudante que pense isoladamente em cada uma das expressões fornecidas como funções independentes f1 e f2. Após a construção dos gráficos de cada uma delas, trate os intervalos do domínio em que cada uma delas está definida, verificando as raízes que determinam esta função.
“Topos” do estudante
Construir os gráficos de f1 e f2. Verificar os domínios de f1 e f2. Fazer a intersecção dos domínios para encontrar as raízes dentro do domínio de f.
Nível de conhecimento esperado do
Nível mobilizável em relação à construção gráfica de funções quadráticas. Nível mobilizável em relação à determinação das raízes da equação do
184
estudante 2º grau. Nível disponível em relação à intersecção dos domínios de cada expressão para determinar o domínio de f.
Essa atividade seria uma questão simples de construção de gráfico de
função do 2º grau, com nível de conhecimento técnico e mobilizável em relação
à determinação de raízes e a construção gráfica se não fosse o caso de a
função ter sido apresentada como uma função dada por partes. Dessa forma o
estudante precisaria de situações de referência para fazer a intersecção dos
intervalos de domínio de cada uma das partes, de forma a determinar o
domínio da função como um todo, já que as raízes solicitadas pela questão
devem estar no domínio de f. Quem deve auxiliar o estudante nessa parte da
questão é o professor que irá lhe apresentar situações de referência, seja com
exemplos ou encaminhando o estudante nesta direção.
O livro oferece diversas tarefas para que o estudante execute como
exercício para sua aprendizagem. Além disso, ainda há uma indicação que
mais exercícios se encontram no final do livro. Apresentaremos no quadro
abaixo somente as atividades de número ímpar para que esse quadro não
fique demasiadamente extenso, mas de forma que possamos tomar atividades
dentre todos os temas tratados neste capítulo.
Figura 76: Quadro de Tarefas sobre funções
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
A1 █
A3 █ █
A5 █
A7 █ █
A9 █
A11 █
A13 █
A15 █ █
A17 █
A19 █ █
A21 █ █
A23 █
Fonte: A pesquisa
185
Como podemos perceber pela análise das tarefas apresentadas no
quadro acima que grande parte dessas atividades solicitam, ou resolver uma
equação ou calcular um valor numérico, ou encontrar informações em gráficos
ou expressões algébricas. A maioria, portanto fica no nível de conhecimento
mobilizável e/ou técnico. Nenhuma das atividades são problemas
contextualizados.
O capítulo seguinte, sob o título “Generalidade Sobre Funções”, tratará
de funções compostas e das transformações sofridas pelos gráficos de f. O
primeiro parágrafo apresenta uma definição para função composta da seguinte
forma: “Dadas as funções f e g, chama-se composta de f com g, e representa-
se por fg, a função definida por )()( xgfxgf .” (ibid., p. 68). Seguramente,
esta definição está fora da compreensão da maioria dos estudantes. Logo, o
Livro Didático precisa da presença do professor que irá ajudar o estudante a
compreender estas notações ou, caso o estudante esteja usando o livro
individualmente, precisará avançar algumas páginas, retornando às definições
para chegar a compreensão da linguagem utilizada.
Após a apresentação de funções compostas e de algumas atividades a
respeito desse tema, é tratado então o tema sobre transformações no gráfico
de )(xfy . Apresenta o caso de simetria, onde, se )(xfy , então os pontos
do gráfico de )(xfy são simétricos em relação ao eixo Ox. Em seguida,
apresenta a função dada pelo seu módulo, ou seja, )(xfy , onde seus
valores são todos positivos. Depois apresenta as translações vertical obtendo
)(xfy , e finalmente a horizontal da forma )( xfy .
As atividades quase sempre exigem do estudante o nível técnico e estão
focados na resolução de equações ou construções gráficas. Veja o exemplo 18
dado abaixo, a qual analisaremos detidamente.
186
Figura 77: Atividade sobre construção gráfica
18. Seja a função h de IR em IR definida por xxh )( . Faça os gráficos de:
a) )(xhy
b) )(xhy
c) 3)( xhy
d) 3)( xhy
Fonte: Bezerra Matemática – 2º Grau – 1994
A atividade consiste em representar o gráfico de xxf )( e em seguida aplicar as
transformações solicitadas em cada alternativa.
Tarefa T7 – Representar um gráfico cartesiano. T9 – Encontrar informações e/ou propriedades em gráficos cartesianos.
Técnica
Construir a reta de equação xy . Transportar os pontos do terceiro
quadrante para o 2º quadrante, simetricamente, obtendo o gráfico de
xy . Subtrair três unidades de cada ordenada dos pontos da função
anterior, obtendo 3 xy .
Voltando ao gráfico de xy , somar três unidades em cada abscissa
dos pontos dessa função.
Tecnologia
Dado uma função )(1 xfy , o gráfico de )(2 xfy é obtido
tomando os pontos do gráfico de y1<0 rebatendo-os simetricamente em relação ao eixo Ox.
Dado uma função )(1 xfy , o gráfico de )(2 xfy é obtido
deslocando verticalmente o gráfico de y1 em unidades.
Dado uma função )(1 xfy , o gráfico de )(2 xfy é obtido
deslocando horizontalmente o gráfico de y1 em – unidades.
Ostensivos manipulados na técnica
Construção gráfica de funções.
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Conceito de construção gráfica de funções polinomial do primeiro grau e conceito de translação vertical, horizontal e reflexão em relação a uma reta.
Registro de Representação Semiótica
Registro de representação gráfica cartesiano. Conversão do registro algébrico para o registro gráfico cartesiano. Tratamento de translação e reflexão sobre o plano cartesiano.
“Topos” do Professor
Orientar o estudante em relação às transformações no gráfico de h.
“Topos” do estudante
Construir o gráfico de xy . Por reflexão, construir o gráfico de
xy . Por translação vertical construir o gráfico de 3 xy a partir
do gráfico de xy . Por translação horizontal construir o gráfico de
3 xy a partir do gráfico de xy .
Nível de conhecimento
Nível de conhecimento disponível em relação à construção do gráfico de xy .
187
esperado do estudante
Nível de conhecimento técnico e mobilizável em relação à construção
dos gráficos de xy , 3 xy , 3 xy .
Se o estudante compreende os conceitos de reflexão e translação,
resolve a questão de forma totalmente técnica. Caso ele não compreenda
quais os encaminhamentos a serem adotados para a resolução da questão, o
professor entra como mediador, tornando o nível adotado para a questão como
mobilizável e técnico.
Outras atividades apresentadas neste capítulo tratam, além das
transformações dos gráficos de funções, também a questão da função
composta. O quadro a seguir mostra quais as tarefas solicitadas nas atividades
do capítulo. Também pelo fato de serem muitas atividades, apresentaremos no
quadro somente as atividades de numeração par.
Figura 78: Quadro de Tarefas sobre funções
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
A2 █
A4 █
A6 █ █ █
A8 █
A10 █ █
A12 █ █
A14 █ █
A16 █ █
A18 █ █
A20 █
A22 █
Fonte: A pesquisa
Podemos perceber pelo quadro acima que o trabalho com o registro de
representação gráfica é bastante solicitado, mas as atividades iniciais, que
estão relacionadas ao conceito de função composta solicitam mais as tarefas
de resolução de equação e cálculo do valor numérico de funções.
O próximo capítulo deste livro inicia o estudo das funções exponenciais.
Como é comum, é feito um estudo inicial sobre potências e raízes, as
propriedades de potências e sobre equações exponenciais. Em seguida se
188
define a função exponencial da seguinte forma: “Chama-se exponencial toda
função definida de IR em IR por xaxf )( , com *
Ra e 1a .” (ibid., p. 26).
Logo em seguida apresenta os gráficos das funções exponenciais, mostrando
como exemplo os gráficos de xxf 3)( e
x
xf
3
1)( . Esses exemplos já
deixam o caminho para que o autor aponte os conceitos de crescimento e
decrescimento de funções exponenciais. A maior parte das atividades desse
capítulo, que é bastante curto, refere-se ao estudo das equações exponenciais.
Como exemplo de atividade de função exponencial apresentaremos a atividade
31.
Figura 79: Atividade sobre crescimento e decrescimento
31. Dentre as funções exponenciais seguintes, identifique as que são
crescentes e as que são decrescentes.
a) xxf 5)(
b)
x
xf
5
1)(
c)
x
xf
3
2)(
d) xxf 2)(
e) xxf 1,1)(
f)
x
xf
5
1)(
Fonte: Bezerra Matemática – 2º Grau – 1994
A atividade objetiva saber se o estudante compreendeu a propriedade relativa ao crescimento ou decrescimento da função exponencial.
Tarefa T10 – Encontrar informações e/ou propriedades em expressões algébricas.
Técnica Verificar se a base “a” das funções exponenciais são maiores ou menores que a unidades, determinando dessa forma se a função é crescente ou decrescente, respectivamente.
Tecnologia
Dado o gráfico da função xaxf )( , com
*
Ra e 1a .
se 1a , então f é crescente.
se 10 a , então f é decrescente.
Ostensivos manipulados na técnica
Expressões representando as funções exponenciais. Gráficos de funções exponenciais.
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Conceito de função exponencial. Crescimento e decrescimento de função exponencial em relação ao valor da base.
Registro de Representação Semiótica
Registro de representação algébrico.
“Topos” do Professor
Verificar se o estudante faz a comparação da base da função exponencial com a unidade. Caso o estudante não estabeleça essa
189
relação, deverá retomar o conceito.
“Topos” do estudante
Analisar, em cada caso, o valor da base “a” da função exponencial, comparando esse valor com o número 1. Caso a > 1 ele marca como função crescente. Caso a < 1 ele classifica como função decrescente.
Nível de conhecimento esperado do estudante
Nível técnico e mobilizável em relação à comparação da base com a unidade.
Essa atividade consiste somente na comparação direta do valor da base
“a” da função exponencial com a unidade. Caso o estudante não esteja
fazendo essa relação, o professor deve retomar com ele esse conceito,
mostrando algum exemplo.
O quadro a seguir apresenta as tarefas solicitadas nas cinco atividades
desse capítulo que tratam exclusivamente de funções exponenciais.
Figura 80: Quadro de Tarefas sobre funções exponenciais
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
A29 █ █
A30 █ █
A31 █
A32 █
A33 █
Fonte: A pesquisa
As duas primeiras atividades tratam da representação gráfica, ficando as
três últimas nas representações algébricas. Não havia neste capítulo atividade
relacionada a situações contextualizadas.
Como acontece normalmente, na sequência o livro trabalha o conceito
de função logarítmica. O capítulo inicia contando um pouco a história dos
logaritmos. Depois define logaritmo, mostra a condição de existência, dá as
propriedades operatórias e dá exemplos de equações logarítmicas. Após essa
introdução é definida a função logarítmica da seguinte forma: “Chama-se
logarítmica toda função f, definida de IR *+ em IR por xxf alog)( , com *
Ra e
1a .” (ibid., p. 97). Em seguida mostra os exemplos de gráficos de funções
logarítmicas xxf 3log)( e xxf3
1log)( . Aproveita esses dois exemplos para
encaminhar o conceito de crescimento e decrescimento de funções
logarítmicas. O que coube ao livro trabalhar especificamente com funções
190
logarítmicas tomou duas páginas. As demais definições ou atividades são
relativas às equações ou inequações logarítmicas, o que foi trabalhado
exaustivamente.
Tomamos a atividade 38 para fazermos uma análise mais detalhada.
Figura 81: Atividade sobre a função logarítmica
38. Construa o gráfico da função RRf
*: definida por xxf 2log)( . Após
você ter feito o gráfico, responda: a função f é crescente ou decrescente.
Fonte: Bezerra Matemática – 2º Grau – 1994
A atividade consiste em representar o gráfico de uma função logarítmica, verificando se a função é crescente ou decrescente.
Tarefa T7 – Representar um gráfico cartesiano. T9 – Encontrar informações e/ou propriedades em gráficos cartesianos.
Técnica Verificar se a base “a” das funções logarítmicas são maiores ou menores que a unidades, determinando dessa forma se a função é crescente ou decrescente, respectivamente.
Tecnologia
Dado o gráfico da função xxf alog)( , com *
Ra e 1a .
se 1a , então f é crescente.
se 10 a , então f é decrescente.
Ostensivos manipulados na técnica
Expressões representando as funções logarítmicas. Gráficos de funções logarítmicas.
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Conceito de função logarítmica. Crescimento e decrescimento de função logarítmica em relação ao valor da base.
Registro de Representação Semiótica
Registro de representação algébrico.
“Topos” do Professor
Verificar se o estudante faz a comparação da base da função logarítmica com a unidade. Caso o estudante não estabeleça essa relação, deverá retomar o conceito.
“Topos” do estudante
Analisar, em cada caso, o valor da base “a” da função logarítmica, comparando esse valor com o número 1. Caso a > 1 ele marca como função crescente. Caso 0 < a < 1 ele classifica como função decrescente.
Nível de conhecimento esperado do estudante
Nível técnico e mobilizável em relação à comparação da base com a unidade.
Essa atividade consiste somente na comparação direta do valor da base
“a” da função logarítmica com a unidade. Caso o estudante não esteja fazendo
essa relação, o professor deve retomar com ele esse conceito, mostrando
algum exemplo.
O quadro a seguir apresenta as tarefas solicitadas nas atividades desse
capítulo que tratam exclusivamente de funções exponenciais.
191
Figura 82: Quadro de Tarefas das atividades sobre funções logarítmicas
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
A37 █
A38 █ █
A39 █ █
A40 █
A41 █
A42 █
A43 █
Fonte: A pesquisa
A primeira atividade trata somente do cálculo do valor numérico da
função logarítmica. As duas seguintes tratam da representação gráfica, ficando
as quatro últimas nas representações algébricas. Também não havia neste
capítulo atividade relacionada a situações contextualizadas.
O último conjunto de funções trabalhado no livro de Bezerra é o das
funções trigonométricas. Esse estudo inicia após ter trabalhado com a
trigonometria no triângulo retângulo e com a trigonometria no ciclo
trigonométrico. A definição de função seno é feita da seguinte forma: “Chama-
se função seno a função definida de IR em IR por xxf sen )( .” (ibid., p. 190).
Faz-se a afirmação de que a função seno é periódica, mostra o gráfico de
xxf sen )( e indica-se que seu domínio é RfD )( e sua imagem é
]1;1[)Im( f . Apresenta alguns exemplos de gráficos que se descolam
verticalmente ( xDxf sen )( ) ou horizontalmente ( )(sen )( Cxxf ), gráficos
de funções que têm sua amplitude aumentada ou diminuída ( xAxf sen )( ) e
gráficos de funções que têm seu período modificado ( )(Bsen )( xxf ).
A definição de função cosseno é apresentada de forma mais curta. A
definição de função cosseno é feita da seguinte forma: “Chama-se função
cosseno a função definida de R em R por xxf cos)( .” (ibid., p. 194). Faz-se a
afirmação de que a função cosseno é periódica, mostra o gráfico de
xxf sen )( e indica-se que seu domínio é RfD )( e sua imagem é
]1;1[)Im( f . Em seguida já passa para a definição da função tangente.
“Chama-se função tangente a função definida para
kx 2
, Zk , por
192
xxf tg)( .” Afirma-se que a função tangente também é periódica, apresenta o
gráfico da função tangente juntamente com seu domínio e sua imagem.
As atividades ficam praticamente no nível de técnico. Porém, em relação
à tarefa que essas atividades solicitam dos estudantes, algumas também
ocupam a categoria de mobilizável. Analisaremos a atividade 47.
Figura 83: Funções trigonométricas
47. Determine o período de cada uma destas funções:
a) )4(sen 1 xy
b)
2sen 3
xy
c) xy sen 2
d)
35en
xsy
e) xy 3sen 2
1x3 cos
2
3
Fonte: Bezerra Matemática – 2º Grau – 1994
A atividade objetiva verificar o coeficiente que acompanha a variável de modo a determinar o período das funções.
Tarefa T10 – Encontrar informações e/ou propriedades em expressões algébricas.
Técnica Tomar o coeficiente B, que acompanha a variável em cada função, usando-os como coeficiente na expressão do período.
Tecnologia
Dada a função CBxADxf sen )( , seu período é dado por
BT
2 .
Ostensivos manipulados na técnica
Expressões representando as funções senos e cossenos.
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Conceito de período das funções trigonométricas, relativa à sua construção a partir do ciclo trigonométrico.
Registro de Representação Semiótica
Registro algébrico. Tratamento algébrico.
“Topos” do Professor
Definir para o estudante, período de funções trigonométricas e apresentar a fórmula para o cálculo do período.
“Topos” do estudante
Verificar o coeficiente B em cada expressão, substituir na fórmula, tratar aritmeticamente a expressão e determinar o período de cada função.
Nível de conhecimento esperado do estudante
Nível técnico em relação ao cálculo do período da função. Nível mobilizável no reconhecimento do coeficiente B na função e seu uso no cálculo do período.
A atividade é bastante simples para o estudante que compreendeu o
conceito de período de funções trigonométricas e reconhece o coeficiente B na
193
função e consegue utilizá-lo na fórmula do período. Outras atividades
apresentadas neste capítulo, que têm relação estritamente com as funções
seno, cosseno e tangente, também têm características de resolução que exige
o nível de conhecimento técnico. O quadro a seguir apresenta os tipos de
tarefas exigidas nestas atividades.
Figura 84: Quadro de Tarefas sobre funções trigonométricas
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
A41 █ █
A42 █ █
A43 █ █
A44 █ █
A45 █ █
A46 █ █
A47 █
A48 █ █
A49 █
A50 █
Fonte: A pesquisa
Notamos pelo quadro acima que as atividades estão bastante
relacionadas com a representação gráfica e com a observação de informações
ou propriedade, seja nas expressões algébricas das funções trigonométricas ou
nas representações gráficas.
Após fazermos essa análise de um livro que foi publicado na década de
1990, e verificarmos qual era a tendência seguida pelo autor naquele momento
da educação, passaremos a analisar um livro mais recente utilizado pela rede
de ensino estadual por fazer parte do Plano Nacional do Livro Didático para o
Ensino Médio (PNLD – 2012).
7.2.3 – Matemática Ensino Médio – Kátia Smole e Maria Ignez Diniz – 2010
O livro que iremos analisar, trata-se de um obra que compõe o Programa
de Livros Didáticos do Governo Federal – PNLD 2012, e que faz parte da
escolha dos professores da rede pública estadual e portanto é material de
194
apoio em muitas escolas do Estado de São Paulo. Por se tratar de um livro
recente, cuja publicação é do ano de 2010, é uma obra que deve estar alinhada
com o pensamento educacional atual. É também uma publicação que surge
dois anos depois da publicação da Proposta Curricular Paulista e no mesmo
ano da publicação do Currículo do Estado de São Paulo.
Pretendemos analisar esta obra, focando no conceito de função, de
forma que possamos compará-la com outro Livro Didático anteriormente
analisado. Além disso, compará-la com os materiais de apoio ao Currículo –
Caderno do Professor e Caderno do Aluno – e discutir as diretrizes
encaminhadas por estas obras.
O estudo de funções no livro da Kátia Smole e Maria Ignez inicia na
unidade 3, após o estudo de conjuntos, dados na unidade 1. A unidade 3 inicia
com um texto que trata da localização geográfica em cidades por meio do GPS,
com a intenção de introduzir a ideia de plano cartesiano. Logo em seguida o
texto começa a apresentar alguns gráficos relativos à variação de salários, de
desenvolvimento estatural, e outras relações que indicam interdependência
entre grandezas. Diz então no próximo item que deverá analisar mais
detalhadamente alguns elementos de uma função que inclui domínio,
contradomínio e imagem. Devemos lembrar que ainda não foi feita nenhuma
definição formal sobre funções.
A partir desse ponto o livro indica que, em uma função de A → B usa-se
a notação: BAf : ; )(xfyx . Aplicam-se então alguns exemplos e
atividades cujas tarefas incluem, entre outras coisas, o cálculo do valor
numérico de uma função, mas não é feito uma observação sobre o que
representam A e B, parece que a representação por si só já seria suficiente
para a definição de função.
No entanto, devemos observar, conforme orienta Lima et al (2006, p.
39), “uma função consta de três ingredientes: domínio, contradomínio e a lei de
correspondência )(xfx ”, e esses ingredientes devem ser especificados para
que se torne claro a noção de função e seu campo de atuação ou abrangência.
O próximo tema apresenta o tópico representação gráfica de funções.
Sugere o uso de tabelas para passar da representação algébrica para a
195
representação gráfica. Sugere também o uso de um software para a
representação dinâmica de gráficos de funções.
A unidade 4 entra no estudo da função afim, cujo texto chama também
de função polinomial do 1º grau, dizendo que são funções correspondentes as
relações entre variável dependente e variável independente, expressas por
polinômios do 1º grau. Fornece um exemplo contextualizado e o gráfico
correspondente. Por meio de tabelas mostra um exemplo de construção de
gráficos a partir da expressão algébrica da função. Inclusive apresenta uma
demonstração para afirmar que o gráfico de uma função polinomial do 1º grau
é uma reta. Mostra que dois pontos são suficientes para a construção gráfica
dessas funções. Aproveita para apresentar a determinação da raiz, o
coeficiente angular e o coeficiente linear de funções afins. Trata inclusive da
translação vertical da reta que representa o gráfico da função afim. Define
função crescente e função decrescente, mostrando graficamente os aspectos
dos gráficos de funções afins que possuem estas características, ou seja, as
autoras induzem a construção do gráfico para confirmar se a função é
crescente ou decrescente.
Analisaremos a atividade 24 sob a ótica da fundamentação teórica de
nosso trabalho.
Figura 85: Gráficos de funções
24. Construa os gráficos das funções a seguir, em um mesmo referencial
cartesiano, e verifique a posição relativa entre as retas que representam cada
função.
a) xy 5 e 25
1 xy
b) 12 xy e 12
1 xy
c) 23 xy e 23
1 xy
Fonte: SMOLE E DINIZ, 2010, Vol.1, p. 103
196
A atividade pretende fornecer aos estudantes outras informações que não foram tratadas nos textos teóricos como, por exemplo, posições relativas entre as retas dos gráficos das funções.
Tarefa T7 – Representar um gráfico cartesiano. T9 – Encontrar informações e/ou propriedades em gráficos cartesianos.
Técnica Representar graficamente no mesmo plano cartesiano as funções fornecidas por meio da determinação de dois pontos.
Tecnologia Dois pontos distintos A e B determinam uma única reta. Retas perpendiculares têm coeficientes angulares inversos e opostos.
Ostensivos manipulados na técnica
Plano cartesiano. Gráficos de funções. Expressões algébricas.
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Conceito de função afim. Gráfico de retas. Coeficiente angular. Perpendicularismo.
Registro de Representação Semiótica
Registro de representação algébrico. Registro de representação gráfico cartesiano. Conversão do registro algébrico para o registro gráfico cartesiano.
“Topos” do Professor
Verificar se o estudante percebe a relação de perpendicularismo entre as retas e se associa esse fato aos coeficientes angulares das retas.
“Topos” do estudante
Desenhar os gráficos das funções por meio da determinação de dois pontos. Observar as posições relativas das retas formadas.
Nível de conhecimento esperado do estudante
Nível mobilizável em relação à construção gráfica. Nível disponível em relação ao perpendicularismo e a associação dos coeficientes angulares das retas.
A atividade mobiliza os estudantes para a construção gráfica. Os
estudantes podem optar em determinar dois pontos e desenhar a reta ou mais
pontos que estarão alinhados. Ao final da construção das retas no mesmo
plano cartesiano os estudantes devem perceber que algumas retas são
perpendiculares entre si e devem entender que, neste caso, seus coeficiente
são inversos e com sinais opostos. Caso os estudantes somente construam os
gráficos e não cheguem à conclusão do perpendicularismo ou da relação entre
os coeficientes angulares, cabe ao professor auxiliá-los nesta observação.
Outras atividades desse capítulo vão se alternando entre problemas
técnicos e mobilizáveis. Alguns são problemas contextualizados. O quadro a
seguir mostra apenas as atividades com numeração múltipla de três, pelo fato
de não nos alongarmos nas 29 atividades apresentadas, mas podendo tomar
ao menos uma em cada tema e incluir a atividade do exemplo mostrado acima.
197
Figura 86: Quadro de tarefas sobre gráficos de funções
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
A3 █
A6 █
A9 █ █
A12 █
A15 █ █ █
A18 █ █
A21 █
A24 █ █
A27 █
Fonte: A pesquisa
É bastante frequente o tratamento com representações gráficas e a
conversão entre expressões algébricas para a representação gráfica e também
há atividades que solicitam a conversão da representação gráfica para a
representação algébrica, mas esta última conversão não é tratada
explicitamente, ficando a cargo do professor. Os pontos nas colunas relativas
às tarefas T9 e T10 mostram também um forte movimento de observação
sobre as propriedades e características presentes nos gráficos ou nas fórmulas
que representam as funções.
A próxima unidade desse livro, neste volume, trata das funções
quadráticas. O texto introdutório toma como exemplo a trajetória de um foguete
em queda, afirmando se tratar de uma função chamada de função polinomial
do 2º grau. Então define essa função como: “Uma função f, de IR em IR, que a
todo número x associa o número cbxax 2, com a , b e c reais e 0a , é
denominada função quadrática ou função polinomial do 2º grau”.
Em seguida afirma que o gráfico da função quadrática é uma parábola e
mostra geometricamente como se obter uma parábola no plano, usando régua
e compasso. Para representar uma função quadrática no plano cartesiano, o
texto sugere que se determinem alguns pontos que pertençam à parábola,
organizando-os numa tabela e marcando estes pontos no plano cartesiano.
Nos dois exemplos mostrados, as autoras vão tirando conclusões como a
concavidade da parábola em relação ao coeficiente a, a ordenada onde x = 0,
as raízes sobre o eixo x, as coordenadas dos vértices. Com essa observação
198
inicia-se uma apresentação teórica sobre os pontos importantes do gráfico da
função quadrática.
A próxima apresentação nessa unidade é a de máximo ou mínimo e
conjunto imagem da função quadrática. Passa-se em seguida para a discussão
sobre os sinais da função. As atividades que perpassam por essa unidade são
tanto em nível técnico, como mobilizável e ainda disponível em algum sentido,
pois várias atividades representam problemas contextualizados e que
necessitam outros conhecimentos que os estudantes devem recordar de outras
fases de seus estudos e colocá-los em jogo como problemas de referência
para a resolução desse tipo de atividade.
A atividade 47 nos mostra uma situação contextualizada e
interdisciplinar com a disciplina de Física. Analisaremos essa atividade a partir
do referencial teórico que indicamos neste trabalho.
Figura 87: Atividades sobre funções quadráticas
47. Uma bola é lançada verticalmente para cima. Suponha que sua altura h,
em metros, t segundos após o lançamento seja 642 tth .
a) Qual é o tempo que a bola leva para voltar à sua altura inicial?
b) Qual é a altura máxima atingida pela bola?
Fonte: SMOLE E DINIZ, 2010, Vol.1, p. 135
A atividade tem o objetivo de verificar se os estudantes conseguem interpretar a questão e utilizar os conhecimentos sobre equações quadráticas para resolvê-lo.
Tarefa T1 – Resolver uma equação. T2 – Encontrar um valor numérico para uma função.
Técnica
Igualar a equação inicial a 6, e resolver a equação quadrática encontrando suas duas raízes. Abandonar a raiz nula, pois se trata do instante da posição inicial, ficando com a segunda raiz. Tomar o ponto médio das duas raízes encontradas, obtendo 2. Calcula-se o valor numérico h(2), obtendo 10 metros.
Tecnologia
As raízes de uma função quadrática cbxaxy 2, se houverem,
podem ser obtidas, complementando um quadrado e fatorando o
trinômio, obtendo a
acbbx
2
42 .
O vértice da parábola, gráfico de uma função quadrática, pode ser
obtido por
a
bac
a
bV
4
4,
2
2
.
Ostensivos manipulados na técnica
Resolução de equações algébricas.
199
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Conceito de raízes. Conceito de quadrado perfeito. Conceito de gráficos no plano cartesiano e pontos críticos da função quadrática.
Registro de Representação Semiótica
Registro algébrico. Tratamento do registro algébrico.
“Topos” do Professor
Sugerir que o estudante transponha seus conhecimentos aprendidos em Matemática para a disciplina de Física.
“Topos” do estudante
Tratar a equação horária do movimento, relativa à disciplina de Física, como um objeto da Matemática: função polinomial do 2º grau.
Nível de conhecimento esperado do estudante
Nível disponível em relação a transposição dos conhecimentos físicos para os conhecimentos matemáticos. Nível mobilizável em relação ao cálculo de raízes da equação e ponto de máximo da função polinomial do 2º grau.
A atividade apresentada procura fazer uma conexão entre duas
disciplinas, a Física e a Matemática, a partir de um problema contextualizado.
Problemas contextualizados são uma prática frequente dentre as atividades
apresentadas neste capítulo. Há uma seção cujo título é “Problemas e
Exercícios” onde encontramos muitas dessas aplicações, em geral, as
aplicações correspondem a articulação com outras ciências e poucos exemplos
são de situações cotidianas não artificiais.
Na atividade acima, o estudante, ao reconhecer a equação como um
objeto da Física e da Matemática, a resolve com seus conhecimentos
aprendidos na disciplina de Matemática, mas com um olhar nos conceitos que
aprendeu na disciplina de Física. Enquanto ele se exercita com as técnicas
próprias da Matemática, suas soluções são apropriadas para as situações no
contexto de outra ciência.
O livro apresenta no próximo capítulo o tema sobre progressões.
Funções irão retornar somente no capítulo 7, onde trata do tópico funções
exponenciais.
Na unidade 7, assim como nas unidades anteriores, na introdução desse
tópico também é apresentado um exemplo contextualizado para motivar o
estudo de funções exponenciais. Neste exemplo aponta os resultados de uma
pesquisa numa tabela e em seguida apresenta seu gráfico, que caracteriza um
crescimento exponencial. Então é feita a seguinte definição: “A função f, de R
em R , que a cada número x associa o número xa , com 0a e 1a , é
denominada função exponencial de base a .” (SMOLE e DINIZ, 2010, vol. 1,
p. 173).
200
Em seguida, afirma-se que todas as propriedades das potências valem
para a função exponencial xay , uma vez que podemos ter Qx .
Na seção “Para saber mais”, apresenta a relação que há entre a
progressão geométrica e a função exponencial, apresentando também dois
exemplos de situações, uma correspondente a figuras geométricas e outras
relativa ao crescimento de uma planta, onde a relação apresentada refere-se à
progressão geométrica e que essas situações podem ser representadas pela
expressão xqxf )( , Rx .
Em seguida, inicia-se a análise dos gráficos das funções exponenciais
onde é tratado o conceito de crescimento e decrescimento desses gráficos,
mostrando pelos dois exemplos, que, se a base é maior que 0 e menor que 1, a
função é decrescente e que se a base for maior que 1 a função é crescente.
Também para a função exponencial as propriedades são estabelecidas por
meio do ostensivo de representação gráfico, ou seja, de forma visual.
São apresentados em seguida exemplos e exercícios, contanto também
com problemas contextualizados. Apresentaremos a seguir a atividade 9 que
trata de um problema de nível técnico para sua resolução, mas que envolve
também um conhecimento adquirido pelo estudante, que neste caso apresenta-
se em nível mobilizável, uma vez que a atividade aponta o que deve ser
realizado: verificar se a função é crescente ou decrescente.
Figura 88: Atividades sobre funções exponenciais
9. Classifique em crescente ou decrescente a função f dada por:
a)
x
xf
3
2)(
b)
x
xf
2)(
c) xxf 12)(
d)
x
xf
2
5)(
Fonte: SMOLE E DINIZ, 2010, Vol.1
201
A atividade objetiva saber se o estudante compreendeu a propriedade relativa ao crescimento ou decrescimento da função exponencial.
Tarefa T10 – Encontrar informações e/ou propriedades em expressões algébricas.
Técnica Verificar se a base “a” das funções exponenciais são maiores ou menores que a unidade, determinando dessa forma se a função é crescente ou decrescente, respectivamente.
Tecnologia
Dado o gráfico da função xaxf )( , com
*
Ra e 1a .
se 1a , então f é crescente.
se 10 a , então f é decrescente.
Ostensivos manipulados na técnica
Expressões representando as funções exponenciais. Gráficos de funções exponenciais.
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Conceito de função exponencial. Crescimento e decrescimento de função exponencial em relação ao valor da base.
Registro de Representação Semiótica
Registro de representação algébrico.
“Topos” do Professor
Verificar se o estudante faz a comparação da base da função exponencial com a unidade. Caso o estudante não estabeleça essa relação, deverá retomar o conceito.
“Topos” do estudante
Analisar, em cada caso, o valor da base “a” da função exponencial, comparando esse valor com o número 1. Caso a > 1 ele marca como função crescente. Caso 0 < a < 1 ele classifica como função decrescente. É importante observar que para a solução dessa tarefa é preciso que o estudante disponha de conhecimentos sobre números irracionais.
Nível de conhecimento esperado do estudante
Nível técnico e mobilizável em relação à comparação da base com a unidade. Disponível em relação à noção de número irracional.
Essa é uma atividade que verifica somente se o conceito de função
crescente ou decrescente relativa ao valor da base “a” foi aprendido. Não
verifica se o estudante compreende o que é função crescente ou decrescente,
pois não pede uma representação gráfica nem o cálculo de valores numéricos
para diferentes valores de x. Apenas verifica se ele sabe relacionar o valor da
base com a classificação crescente ou decrescente. Trata-se de uma atividade
numérica que depende principalmente de conhecimentos sobre os conjuntos
numéricos.
Apresentaremos no quadro abaixo somente as atividades de número
ímpar para mostrarmos os tipos de tarefas estão sendo exigidas nas questões
desse capítulo.
202
Figura 89: Quadro de tarefas sobre funções exponenciais
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
A1 █
A3 █
A5 █
A7 █
A9 █
A11 █ █
A13 █ █ █
Fonte: A pesquisa
Uma forte característica nas atividades verificadas é a de procurar
propriedades nas expressões exponenciais que representam as funções desse
tipo. Mas as atividades envolvem também a construção de gráficos e tarefas
técnicas de resolução de equações e cálculo de valor numérico de funções.
O próximo capítulo desse livro trata de funções logarítmicas. Na
introdução do capítulo é apresentado um texto sobre a história do
desenvolvimento das tábuas de logaritmos. Em seguida, volta um dos
problemas da introdução de função exponencial para discutir, não o resultado
do cálculo exponencial, mas da potência que o resultaria, que consistia a
resolver uma equação como, por exemplo, 92 x. Com esse exemplo entre em
cena o conceito de logaritmo. Após essa apresentação define-se o logaritmo e
apresenta-se suas propriedades, seguidas de exercícios. Posteriormente, inicia
especificamente a função logarítmica a definindo como “A função f, de ],0[
em R , que a todo número 0x associa o logaritmo de x , em uma base a
( 0a e 0a ), é denominada função logarítmica de base a .” (ibid., vol. 1, p.
200).
Dois exemplos são apresentados para mostrar a construção gráfica das
funções logarítmicas. Uma delas tomando como base 2a , e outra tomando
2
1a . Aproveita para fazer também os gráficos das funções exponenciais de
mesma base e comparar seus gráficos com as da função logarítmicas para
afirmar que se trata de funções inversas. Aproveita também para afirmar que,
caso 1a , a função logarítmica é crescente e que se 10 a , então a função
logarítmica é decrescente. Apresenta então mais alguns exercícios e
203
problemas e parte para as inequações logarítmicas. Tomaremos a atividade 34
para fazermos uma análise sob a ótica de nossa fundamentação teórica.
Figura 90: Atividade sobre funções logarítmicas
34. Cada placa de 2 mm de espessura de certo vidro acrílico reduz a
intensidade da luz em 10%. Quantas placas devem ser acopladas para reduzir
a intensidade da luz em 50%?
Fonte: SMOLE E DINIZ, 2010, vol. 1, p. 202
A atividade consiste em resolver uma equação logarítmica para encontrar a solução para o problema proposto, porém para encontrar a equação é preciso utilizar os conhecimentos de função exponencial.
Tarefa T1 – Resolver uma equação. T6 – Escrever uma expressão algébrica.
Técnica
Procurar uma expressão que corresponda à sequência
x
10
11 , com
Rx e, na função
x
xf
10
11)( , procurar o valor de x que
corresponde a 5,0)( xf . Assim, deve-se resolver a equação
9,0log
5,0logx .
Tecnologia As funções exponenciais e logarítmicas são decrescentes para
10 a , sendo a a base desse tipo de função.
Ostensivos manipulados na técnica
Resolução de equações exponenciais e logarítmicas.
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Conceito de funções e equações logarítmicas e exponenciais. Conceito de crescimento e decrescimento de funções logarítmicas e exponenciais.
Registro de Representação Semiótica
Registro algébrico. Tratamento algébrico das expressões.
“Topos” do Professor
Auxiliá-lo na obtenção da expressão algébrica que representa a função exponencial, mostrando-lhe que essa função deve se igualar a 0,5 pelo fato de ter reduzido 50% da intensidade da luz.
“Topos” do estudante
Tomar a expressão obtida com a ajuda do professor, aplicar os conceitos de logaritmo e de funções logarítmica relativa ao decrescimento da função. Resolver a equação logarítmica para encontrar a solução para o problema.
Nível de conhecimento esperado do estudante
Nível disponível em relação à representação algébrica da função que expressa à situação problema. Nível disponível em relação à associação dessa expressão ao valor 0,5 do problema. Nível mobilizável em relação à resolução da equação logarítmica.
204
A atividade mescla conhecimentos de funções exponenciais e funções
logarítmicas. É uma atividade que dá oportunidade de o estudante perceber
com mais propriedade que essas funções são inversas uma da outra e que sua
utilização, geralmente, aparece relacionada. É uma atividade que necessita
que o estudante tenha uma situação de referência em que possa se apoiar
para a construção da solução. No entanto, sabendo que o estudante está tendo
contato com esse tópico somente neste período escolar, a ajuda do professor
para encaminhar a solução em vários momentos dessa construção, será
necessária.
No quadro abaixo apresentaremos os tipos de tarefas solicitadas nas
atividades de número 27 a 37, uma vez que as atividades anteriores neste
capítulo referem-se a equações logarítmicas e as posteriores referem-se a
inequações logarítmicas.
Figura 91: Quadro de tarefas sobre funções logarítmicas
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
A27 █
A28 █
A29 █ █
A30 █
A31 █ █
A32 █
A33 █ █
A34 █ █
A35 █
A36 █
A37 █ █
Fonte: A pesquisa
Pelo quadro acima vemos que um trabalho com construções gráficas de
funções logarítmicas é pouco exigido. Mesmo quando se trata de crescimento
ou decrescimento de funções dessa natureza, o conceito paira sobre o cálculo
de valores numéricos e na sequência dos resultados obtidos. A característica
marcante nestas atividades é o uso de resolução de equações logarítmicas.
Na unidade seguinte às funções logarítmicas, abre-se outro tópico para
tratar de maneira mais abrangente as operações com funções e o estudo de
outras propriedades sobre funções. Esta unidade que se intitula “Operações
205
entre Funções” pretende tratar outras funções não mostradas até então, assim
como funções obtidas por operações conjuntas entre funções, como funções
compostas, e suas propriedades. Logo na introdução é apresentado um quadro
definindo: soma de funções, diferença de funções, produto de funções e
quociente de funções. Mais a frente apresenta a composição entre funções de
tal forma que uma função h seja a composição da função f e g, onde, sendo f
de A em B e g, de B em C, então h será definido de A em C, onde
))(())(()( xfgxfgxh , mais uma vez as autoras utilizam a noção de função
enquanto covariação de grandezas ou funções numéricas a variáveis
numéricas sem explicitar o que representam as notações A, B e C. A noção
intuitiva de conjunto não é introduzida pelas autoras. Nesse caso, observamos
que segundo Vergnaud (1999 apud CHEVALLARD, 2002) podemos considerar
que utilizar essas representações sem as respectivas definições pode
corresponder a uma desestabilização que prejudica a aprendizagem, pois as
noções representadas não fazem parte da zona de desenvolvimento proximal
dos estudantes uma vez que os mesmo desconhecem as noções em jogo.
A apresentação seguinte trata de ideia de injeção, sobrejeção e bijeção.
Categorias assumidas pelas funções de acordo com suas propriedades
relativas à associação dos elementos do domínio da função e os elementos do
contradomínio. Após alguns exemplos e exercícios, entre em pauta a inversão
de funções, afirmando que toda função bijetora assume uma função inversa. A
seguir trata de funções definidas por partes, onde, entre esses tipos de funções
aparece a função módulo.
A grande parte das atividades apresentadas para a resolução por parte
dos estudantes neste capítulo é de cunho técnico, isto é, exige principalmente
o nível de conhecimento técnico segundo a definição de Robert (1997).
Pouquíssimo refere-se a situações contextualizadas e as tarefas estão mais
relacionadas às operações entre funções. Tomaremos, para uma análise mais
segura, a atividade 2 que trata da uma operação entre funções, mas que
espera do estudante, mais do que o conceito de operações entre funções, mas
sim, operações entre números racionais na forma fracionária.
206
Figura 92: Atividade sobre operações com funções
2. Resolva a equação x
cgxf )()( , sendo 3)( xxf e
106
30)(
2
xxxg .
Fonte: SMOLE e DINIZ, 2010, vol. 1, p. 215
A atividade consiste em substituir na equação fornecida as expressões de f(x) e g(x), obtendo dessa maneira uma equação cúbica, simplificável a uma quadrática, a qual, encontrando suas raízes, encontra-se a solução à questão.
Tarefa T1 – Resolver uma equação.
Técnica
Substituir f(x) e g(x) por suas expressões na equação dada, simplificar a expressão, obtendo um produto de um monômio do primeiro grau por um trinômio do 2º grau. Encontrar suas raízes, verificar se essas raízes dão condição de existência à equação inicial e expor os resultados.
Tecnologia
Se Za e Zb , então Qb
a , caso 0b .
Sendo 023 cxbxax , então uma raiz da equação é nula e as
outras são obtidas da expressão 02 cbxax .
Ostensivos manipulados na técnica
Resolução de equações. Verificação da existência da equação dado um valor conhecido.
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Conceito de denominador não nulo. Raízes de equações quadráticas.
Registro de Representação Semiótica
Registro algébrico. Tratamento de equações algébricas.
“Topos” do Professor
Orientar o estudante a colocar o valor de x em evidência, transformando a equação cúbica numa equação quadrática, encontrando suas raízes. Orientar o estudante a experimentar as três raízes obtidas na equação cúbica, na equação inicial para verificar a condição de existência.
“Topos” do estudante
Substituir as expressões relativas às funções na equação dada, fazer as devidas simplificações, resolver a equação cúbica obtida e verificar se as três raízes encontradas resolvem a equação inicial.
Nível de conhecimento esperado do estudante
Nível técnico em relação à substituição de valores na equação e em relação à simplificação e resolução de equações. Nível disponível em relação à resolução de equação cúbica incompleta. Nível disponível em relação à verificação das raízes para constatar a condição de existência.
Apesar de ser uma tarefa que exija um nível bastante técnico por parte
do estudante, tanto para a substituição da expressão relativa às funções na
equação dada, o estudante poderá ficar com dúvidas em três momentos.
Provavelmente no momento de simplificação da expressão que exige eliminar
alguns denominadores devido à igualdade por zero. Duvidas no momento em
que aparece a equação cúbica e o estudante não encontra uma situação de
referência para a sua solução. E possivelmente no momento em que o
estudante apresenta as três raízes (0, 4, -7) como solução, não verificando que
207
o valor 0 não pode ser aplicado na equação inicial. Logo, é uma atividade que
exige bastante o auxílio do professor, mas é uma tarefa que ajuda a fixar
alguns conhecimentos relativos à articulação funções e equações.
O tema sobre funções será retomado somente no volume 2, em dois
momentos. Na unidade 2 com o tópico “Funções trigonométricas: definição,
periodicidade e gráfico” e no volume 4 com o tópico “Funções trigonométrica da
soma”.
A unidade 2 do volume 2 inicia com um texto sobre as provas de
ciclismo e as inclinações das pistas, onde aponta que a trigonometria, em
forma de funções, deve trazer algumas respostas sobre cálculo dessas
inclinações. Diz também que o estudo de funções trigonométricas será muito
útil em outras disciplinas como a Física. Na sequência toma o ciclo
trigonométrico para caracterizar um ponto P que o descreve, apontando que o
seno do ângulo formado pelo raio vetor OP com o eixo x, no sentido horário a
ordenada de P, onde O é o centro do plano cartesiano. Daí passa a definir a
função seno da seguinte forma: “Função seno (sen) é a função, de IR em IR,
que a todo número associa a ordenada do ponto P, imagem de no círculo
trigonométrico;” (SMOLE e DINIZ, 2010, vol. 2, p. 32).
Em seguida mostra os casos onde a função seno assume os valores 0, 1
ou -1. Trabalha em seguida com os sinais da função. Passa a mostrar o seno
para alguns arcos notáveis. Trata o caso do seno do oposto de um número. Em
seguida apresenta o seno dos arcos côngruos e a periodicidade da função
seno. Todas essas definições são apontadas sobre o ciclo trigonométrico, de
forma bastante técnica e direta. Não há situações contextualizadas neste
intervalo. Somente depois dessas apresentações são realizados alguns
exercícios resolvidos e são fornecidos exercícios para os estudantes.
A apresentação da função cosseno é feita da mesma maneira, apenas
trocando, na definição, que o cosseno (cos) associa todo número real à
abscissa do ponto P. A sequência das propriedades e casos especiais tratados
para o seno são exatamente iguais para o cosseno.
Antes de entrar no estudo da função tangente, mostra-se a relação
fundamental da trigonometria, usando para isso, o ciclo trigonométrico e a
abscissa e a ordenada do ponto P.
208
Para definir a função tangente, é preparado o ciclo trigonométrico com a
reta T que o tangencia no ponto de coordenada A(1, 0), sendo U a intersecção
do prolongamento raio vetor que liga o centro O do plano cartesiano ao ponto P
no ciclo. Dessa forma, a definição dada nesta obra é a seguinte: “Função
tangente (tg) é a função, de R em
ZkkR ,2
, que a todo número
associa a ordenada do ponto T, intersecção de AU com OP , onde P é a
imagem de no círculo trigonométrico.” (ibid., vol. 2, p. 46).
Na sequência, os mesmos tratamentos dados ao seno e ao cosseno
também são feitos com a tangente. Apresenta os casos particulares que tg de
0º e de 180º é nula. Mostra os sinais da tangente, valores da tangente para
arcos notáveis, tangente do oposto de um número, de arcos côngruos,
periodicidade, domínio e imagem por meio da associação entre o ostensivo de
representação ciclo trigonométrico e o ostensivo de representação gráfico. No
estudo desse tema não são propostos problemas contextualizados e os
exercícios de exemplos são deixados para o final do capítulo.
O estudo dos gráficos das funções seno, cosseno e tangente é realizado
com a utilização de registro em forma de tabela que organiza os valores dessas
funções para os arcos notáveis, tomados visualmente sobre o ciclo
trigonométrico. Assim, esses pontos (x, f(x)) são transportados para um plano
cartesiano que tem em sua abscissa os valores dos arcos e na ordenada o
valor da função, mostrando por meio desse registro de representação, com
curvas contínuas, as formas gráficas dessa função. Daí mostra que as funções
seno e cosseno são limitadas, com valores entre -1 e 1. Sugere que o
professor mostre aos estudantes a representação gráfica dessas funções
usando um programa gráfico no computador.
Um exemplo que tomamos para mostra a forma de trabalho do livro é a
atividade 72, que exige que o estudante determine o período, o conjunto
imagem e faça um esboço do gráfico da função dada.
209
Figura 93: Atividade sobre funções trigonométricas
72. Determine o período e o conjunto imagem e esboce o gráfico de cada
função.
a)
42cos)(
f
b) 2cos3)( f
c) 2
cos2)(
f
Fonte: SMOLE e DINIZ, 2010, vol. 1
A atividade pretende verificar se o estudante fixou os conhecimentos sobre a função cosseno.
Tarefa T7 – Representar um gráfico cartesiano. T10 – Encontrar informações e/ou propriedades em expressões algébricas.
Técnica
Tomar os argumentos das funções apresentadas e verificá-los
percorrendo um intervalo de comprimento 2, determinando os extremos. Representar as funções graficamente.
Tecnologia Sendo o período de cos igual a 2, então )cos( BA será tal que
01 BA e 22 BA , e o período será 21 .
Ostensivos manipulados na técnica
Resolução de sistema de equações do 1º grau.
Não ostensivos evocados nas tecnologias
Conceito de período de funções seno e cosseno.
Registro de Representação Semiótica
Registro algébrico. Tratamento de expressões algébricas.
“Topos” do Professor
Indicar a técnica a ser utilizada para a determinação do período, uma vez que o texto teórico não fornece uma fórmula explícita para a determinação do período.
“Topos” do estudante
Utilizar a técnica exibida pelo professor como situação de referência para resolver o sistema de equações do 1º grau, encontrando o período solicitado pela questão. Construir e interpretar o gráfico da função.
Nível de conhecimento esperado do estudante
Nível disponível em relação à determinação do período, mas mobilizável pelo professor como exemplo explícito. Nível técnico na resolução do sistema de duas equações do 1º grau e na diferença dos resultados do sistema para obter o período solicitado. Mobilizável para a construção do gráfico e disponível para a interpretação das propriedades da função, em particular, do conjunto imagem.
Essa atividade solicita o período de uma função com argumento mais
complexo do que aquele fornecido no texto teórico que apenas apresentava a
função cosseno para o número , sendo neste caso o período igual a 2.
Somente nos exercícios resolvidos é que há uma situação de referência
210
calculando o período para uma função com argumento mais complexo. O
professor então deve mostrar esse exemplo para que o estudante tome como
referência para resolver a questão, uma vez que não foi fornecida a fórmula
comum em outras obras, que o período T é tal que A
T2
, em )cos( BA . A
construção do gráfico das funções assim como a interpretação dos mesmos
exige que os estudantes disponham de situações de referência.
O quadro abaixo apresenta os tipos de tarefas solicitadas nas atividades
dessa unidade. Tomamos somente as tarefas que, iniciando em 2, aumenta de
7 em 7, de forma a não tomarmos muito espaço desse trabalho com quadros
extensos.
Figura 94: Quadro de tarefas sobre funções trigonométricas
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
A2 █
A9 █
A16 █
A23 █
A30 █
A37 █
A44 █
A51 █
A58 █
A65 █ █
A72 █ █
Fonte: A pesquisa
O quadro acima reflete a tendência com que essa unidade do livro
solicita as tarefas nas atividades. Em geral, as atividades são técnicas e
solicitam que se resolvam equações ou encontre valores numéricos para as
funções trigonométricas.
Passando à unidade 4, onde a obra trata de funções trigonométricas da
soma, vemos que as relações apresentadas aí são o que alguns autores
chamam de “identidades trigonométricas”. Não notamos nenhum trabalho com
domínio ou imagem da função, nem com as representações gráficas ou
situações contextualizadas que indicassem um tratamento restrito a funções.
211
Como não utilizaremos dados dessa unidade para fazermos comparações com
outras obras, não faremos um estudo mais detalhado neste ponto.
Analisamos, portanto, dois livros do ensino médio. Um mais antigo e
outro mais recente. Passaremos então a analisar uma coleção de livros
utilizados no sistema de ensino francês para que possamos comparar seus
conteúdos e a forma de trabalho, tanto com os livros nacionais anteriormente
analisados quanto com os Cadernos que fazem parte do programa de ensino
paulista.
Já vimos nas análise dos documentos oficiais, que o currículo oficial
francês se difere bastante daquele aplicado no Brasil e, portanto, do aplicado
no estado de São Paulo. Essa diferença é mais evidente quando observamos
as classes de première e terminale. Portanto, nossa análise se restringirá a um
livro do troisième e um livro do seconde, que correspondem, respectivamente
ao 9º ano do ensino fundamental e à 1ª série do ensino médio brasileiros.
7.2.4 – Mathématiques – Colletion Phare. Brault, Roger et al. Classe de
troisième
O exemplar analisado neste trabalho é o “Livro do Professor” versão de
correção dos exercícios. A escolha deste livro se deve ao fato de ser a única
obra disponibilizada na internet, devido à dificuldade de encontrar material de
publicações recentes em livrarias brasileiras. Nesta versão, os conteúdos são
apresentados de forma resumida, mas abrangem todos os temas apresentados
no sumário e igualmente à versão completa do “Livro do Professor”. Os
conteúdos abordados são exatamente aqueles sugeridos no programa nacional
francês para a classe de troisième, mudando somente a ordem dos eixos
estruturantes. No livro em questão essa ordem é:
Números e Cálculos.
Organização e Gestão de Dados. Funções.
Geometria.
Grandezas e Medidas.
212
Na introdução do livro os autores indicam que
[...]os objetivos gerais desse livro são validar e consolidar as
estruturas e aquisições dos métodos e do modo de
pensamentos característicos da Matemática das séries
precedentes. Desenvolver a capacidade de utilizar a
Matemática em diferentes domínios (vida cotidiana, outras
disciplinas). Ao final dessa série os estudantes devem possuir
uma quantidade maior de saberes e visão.
(BRAULT et al, 2008, p. 4).
Os capítulos de 1 a 6 pertencem ao eixo “números e cálculos” e
envolvem o estudo de cálculo com potências, com raízes, com produtos
notáveis, equações e inequações. O estudo de função inicia-se no capítulo 7,
primeiro capítulo do eixo “organização e gestão de dados, funções”. É
interessante notar que o tema função é estudado num eixo que trata também
de gestão de dados. Não é comum estudarmos estes assuntos de forma
coligada no Brasil.
No início do capítulo, os autores indicam que a competência apontada
como necessária a ser desenvolvida é a de que o estudante deve “determinar a
imagem de um número por uma função determinada por uma curva, uma
tabela de dados ou uma fórmula” (Ibid., p. 115).
O primeiro exemplo sobre função apresenta uma “máquina” de
transformar números. Os autores apresentam o exemplo de uma máquina que
transforma um valor de entrada. Dessa forma aproveitam o exemplo para
introduzir a notação de função.
A partir do segundo exemplo, os vocabulários “imagem” e
“antecedentes” são introduzidos. Atividades apresentando uma fórmula do tipo
2:
2xxf , cuja expressão é a representação da seguinte proposição:
Se as diagonais de um quadrilátero AEBF se encontram no ponto médio,
são perpendiculares e têm a mesma medida, então o quadrilátero AEBF
é um quadrado. Chamando de x o comprimento da diagonal, a área do
quadrado é da forma 2
2x.
213
A tarefa solicita que os estudantes encontrem as áreas quando são
dadas algumas medidas de AB e em seguida que preencham uma tabela,
como a apresentada a seguir. Trata-se aqui de uma situação que articula os
conhecimentos de geometria trabalhados em anos anteriores com o novo
conhecimento, a noção de função.
Figura 95: Quadro da relação comprimento da diagonal x área do quadrado
Fonte: Brault et al, 2008, p. 116
As atividades vão se seguindo, e o conceito de função vai se definindo
como funções numéricas de valores reais. A definição não tende a conceber a
função como covariação de grandezas, como se concebe no estudo de funções
pelo Caderno e que geralmente também se utiliza pelos Livros Didáticos
brasileiros.
Mesmo que em outros exemplos na obra francesa são propostas
situações problemas que representam relações entre grandezas utilizando o
conceito de função como covariação de grandezas, não é dessa forma que o
conceito é introduzido. Portanto, os estudantes possivelmente percebem na
introdução desse estudo, que função é uma operação matemática que associa
um número (provavelmente real) a um resultado (também possivelmente real) a
partir de uma lei de formação. É depois, no uso dessa ferramenta matemática,
os estudantes a vão utilizando para modelar situações contextualizadas.
Na sequência da obra, é introduzido a notação )(xf e )3(f , a unicidade
da imagem, a representação gráfica associando no plano cartesiano os pares
da forma )(, xfx .
Ao exibir o gráfico de determinadas funções, a associação com os
problemas de Física, como velocidade e aceleração começa a ser articulada
com os conceitos de função. Neste ponto, vai-se estabelecendo o duplo sentido
de função: função numérica a valores reais e função como covariação de
grandezas.
214
Uma série de atividades se seguem para que os estudantes preencham
tabelas e construam os gráficos de algumas funções. Há também tarefas que
solicitam o valor numérico de funções e a operação oposta, ou seja, dado a
expressão e o seu valor numérico, os estudantes devem encontrar os
antecedentes que geraram tal valor, devem resolver uma equação do tipo
cxf )( .
O capítulo 8 estuda especificamente as funções lineares. O título desse
capítulo é “Proporcionalidade e Funções Lineares”. Os objetivos desse
capítulo, segundo os autores, são “determinar a imagem de um número dado
ou o antecedente de um número dado por meio de uma expressão. Determinar
a expressão algébrica de uma função linear. Representar graficamente uma
função linear” (Ibid., p. 127).
Parte das atividades fornece tabelas de valores que os estudantes
devem completar e, a partir desses valores, encontrar a expressão algébrica da
função e fazer sua representação gráfica. Em outras atividades são fornecidos
as representações gráficas para que os estudantes encontrem as expressões
correspondentes. Após esses exercícios, os autores demonstram as
propriedades das funções lineares e as associam à relação de
proporcionalidade.
A demonstração da linearidade parte da seguinte suposição:
Seja axxf )( ,
)()(..).()( 21212121 xfxfxaxaxxaxxf
)(.....).( 1111 xfkxakxkaxkf
Em seguida faz a interpretação gráfica do coeficiente da função linear.
Passa a mostrar alguns exercícios sobre aumento percentual e sua relação
com as funções lineares. Por exemplo, a função f(x)=1,05x, representa um
aumento de 5% no valor de x.
Uma das atividades que aparece corrigida neste capítulo diz respeito ao
preço unitário de DVD e os preços associados a quantidades maiores. Os
autores solicitam que os estudantes preencham uma tabela de preços para
algumas quantidades de DVD e pedem ainda que os estudantes expressem a
fórmula que permite calcular o preço. Depois solicitam que os estudantes
215
utilizem a fórmula para calcular o seu resultado para x = 2,5 e para x = -3.
Depois pedem que os estudantes comentem o resultado.
A atividade é bastante completa e faz com que os estudantes repensem
em todos os fatores que interferem na função linear e na sua associação com
os problemas contextualizados, ou seja, com sua modelagem. Além de ser
uma atividade fácil de ser trabalhada em sala de aula, é uma atividade que fixa
os conhecimentos sobre o conceito de função linear e colabora para que os
estudantes verifiquem a relação de proporcionalidade existente nas funções
lineares.
Supõe-se aqui que os autores observam no livro texto a importância do
professor em verificar se os estudantes percebem que, para x não inteiro,
como, por exemplo, 2,5, apesar de ser possível calcular matematicamente os
resultado, uma vez que a função linear está definida no conjunto dos números
reais, o resultado não faz parte do contexto da questão. Também para o valor
de x = -3 que, sendo negativo, não representa quantidade de DVD possível
numa situação real.
O capítulo 9 inicia o estudo das funções afins. Segundo os autores, os
objetivos desse estudo são “que os estudantes possam determinar a imagem
de um número dado ou o antecedente de um número dado por uma função
afim. Determinar uma função afim dados dois números e suas imagens.
Representar graficamente uma função afim. Ler a representação gráfica de
uma função afim, podendo determinar as imagens ou os antecedentes” (Ibid.,
p. 145).
Um comentário no início do capítulo anuncia que o estudo de funções
afins deve permitir analisar situações que não se revelam como proporcionais,
mas que modelam uma função cuja representação gráfica seja uma reta.
Segundo os autores, esse pode ser um ponto de partida para o estudo das
funções afins. Nestes casos, a proporcionalidade de x é acrescida de uma
constante b. Assim a notação para a função afim será baxxf : . O texto
ainda aproveita para alertar que a função linear é um caso particular da função
afim. A relação y = ax + b coloca em correspondência os valores de x e y, e as
coordenadas (x, y) fornecem um ponto M pertencente ao gráfico da reta
correspondente ao gráfico de f. Assim, o coeficiente “a” é chamado de
216
coeficiente diretor e fornece a direção da reta enquanto que o coeficiente “b” é
a ordenada do ponto de abscissa nula.
Os autores fazem questão de mostrar as regularidades e as diferenças
entre a função linear e a função afim, a começar pelo fato de que, para a
função linear, f(0) = 0, o que não ocorre com a função afim.
Uma questão bastante interessante apresentada na obra para mostrar a
regularidade entre esses dois tipos de função é a modelagem de uma situação
de pagamento de um suplemento por atraso. Se o valor normal de uma fatura é
de 40 €, e o suplemento por atraso é de 0,3 € por dia. Assim, o suplemento é
proporcional aos dias de atraso, mas o valor da fatura não o é. Com este
exemplo, os autores aproveitam para fixar a seguinte propriedade: O
crescimento de f(x) é proporcional ao crescimento de x, com coeficiente de
proporcionalidade a.
Figura 96: Relação de proporcionalidade do crescimento de f(x)
Fonte: Brault et al, 2008, p. 129
Em seguida são estudadas as representações gráficas das funções
afins. Os gráficos são acrescidos de b unidades em relação à função linear
f(x) = ax.
São apresentadas inúmeras atividades para fixar a aprendizagem. Os
níveis de dificuldades são diversos. Os exercícios são divididos por sub-temas
como “eu pratico falando”, “praticando”, “meu recorde”, “me aprofundando”,
“dever de casa” e “procurando”.
A obra também incentiva o uso de calculadoras gráficas e softwares de
representações gráficas. Também apresenta alguns exercícios que recriam as
atividades práticas que necessitam do uso da Matemática, como problemas de
engenharia, economia, entre outros.
O capítulo 10 e os demais tratam de outros temas como estatística,
probabilidades, teoremas de geometria, estudo de ângulos, etc. Assim, o
estudo de funções na classe de troisième se resume ao estudo de funções
lineares e afim.
217
Não há uma diferença acentuada na forma geral de apresentação de
funções lineares e afins se comparada como o estudo feito pelos livros
brasileiros do 9º ano. O que é bastante notado é que, normalmente os livros
brasileiros introduzem um princípio do estudo das funções quadráticas no 9º
ano, enquanto que o programa francês deixa esse estudo para as séries do
lycée.
Após ter analisado uma obra da classe de troisième, que corresponde à
classe do 9º ano do ensino fundamental no sistema brasileiro, passaremos a
analisar um livro da classe de seconde, correspondente à classe da 1º série do
ensino médio.
7.2.5 – Declic Mathématiques. Beltramone, Jean-Paul, et al. Classe de seconde
Da mesma forma que o exemplar que utilizamos na análise da classe de
troisième, o exemplar tratado aqui também é o “Livro do Professor” versão de
correção dos exercícios e a escolha foi realizada pela mesma razão. Nesta
versão, os conteúdos são apresentados de forma resumida, mas abrangem
todo o conteúdo apresentado no sumário e igualmente à versão completa do
“Livro do Professor”. Os conteúdos apresentados exploram de forma mais
abrangente aqueles sugeridos pelo programa oficial francês.
A obra inicia o estudo de funções no primeiro capítulo. Em sua
introdução os autores apontam as intenções ao escrever este capítulo. Dessa
forma eles apontam que pretendem colocar em prática o vocabulário
necessário para o estudo de Matemática, ampliando aquele desenvolvido no
collège. Devem definir função sobre um intervalo de forma a precisar o conceito
de função. E também concentrar o trabalho sobre o sentido de variação das
funções para torná-las ferramentas eficientes de comparação.
A primeira atividade fornece como exemplo a exploração de curvas, de
forma a observar a variação da função, os valores máximos e mínimos, as
imagens e os antecedentes, o vocabulário, etc. Outros exemplos e atividades
que se seguem apresentam funções definidas sobre intervalos. O exemplo a
218
seguir solicita que os estudantes indiquem em qual intervalo se encontra o
número escrito na linha.
Figura 97: Noção de intervalos sobre IR
Fonte: Beltramone, 2010, p. 9
Observamos aqui que os autores utilizam funções de variáveis reais a
valores reais. Para estudar o sentido de variação introduzem a noção de
intervalo sobre IR e dirigem o trabalho dos estudantes para a identificação dos
números naturais, inteiros, racionais e irracionais nos respectivos intervalos.
Há problemas também que envolvem conjecturas para que os
estudantes testem e confirmem certas situações utilizando seus conhecimentos
prévios de geometria. As conjecturas são explicadas por meio do conceito de
função para mostrar o resultado favorável à situação. Na sequência são
propostas demonstrações que articulam conhecimentos geométricos com os
novos conhecimentos relacionados à noção de função.
Figura 98: Teste de conjecturas
Fonte: Beltramone et al, 2010, p. 10
219
Os problemas vão associando situações que envolvem áreas, volumes,
compra, venda, etc., ao estudo de funções e suas propriedades, tratando de
máximos, mínimos, crescimentos e decrescimentos, valor da função, etc.
O Capítulo 2 trata de equações algébricas e equações. É um capítulo
curto que estuda a associação de problemas a equações na forma polinomial,
racional ou outras. Motiva a resolução de equações de forma algébrica ou
gráfica.
O capítulo 3 retorna ao estudo de funções. O título desse capítulo é
“funções de referência”. Nesse capítulo serão estudadas as funções
polinomiais do primeiro grau, ou seja, funções da forma baxx , as funções
quadráticas 2xx e a função inversa
xx
1 , inclusive suas representações
gráficas.
O estudo da variação das funções é efetuado por meio de tabelas e
visualização gráfica.
Muitos exercícios são fornecidos de maneira que os estudantes possam
ter uma gama de material para fixar seus conhecimentos. Há problemas
técnicos, fornecidos para que os estudantes desenvolvam os procedimentos de
cálculos, e problemas de aplicação para que os estudantes coloquem em
prática seus conhecimentos considerados mobilizáveis ou disponíveis.
O capítulo 4 se dedica ao estudo de funções polinomiais do 2º grau, ou
seja, funções da forma cbxaxx 2 . O estudo envolve mostrar o
crescimento ou decrescimento dessa função em cada intervalo de seu domínio,
em função do coeficiente a. Trata também a forma canônica 2
xx
para obter as coordenadas do vértice e a variação de sua curva. Também é
explorado o eixo de simetria da parábola, gráfico de f, para obter a abscissa do
vértice a partir de dois pontos da parábola com mesma ordenada.
No mesmo capítulo são estudadas as funções homográficas, ou seja, as
funções racionais.
Segue os exemplos e exercícios da mesma forma que os capítulos
antecedentes, incluindo exercícios técnicos e problemas de aplicação.
O capítulo 5 trata de resolução de inequações. Esse capítulo, apesar de
não ser específico do estudo de funções, objetiva estudar as desigualdades
220
dos tipo kxf )( e )()( xgxf . O uso de programas gráficos é bastante
incentivado para que os estudantes visualizem os resultados das inequações
graficamente.
O Capítulo 6 inicia o estudo de trigonometria no ciclo trigonométrico. O
capítulo 7 trata de estatística. O capítulo 8, sobre probabilidades. O Capítulo 9
trata das bases da geometria plana que, comparada com os temas que
trabalhamos nos livros brasileiros, referem-se a geometria analítica e
coordenadas no plano. O capítulo 10 tem como título a geometria no espaço, e
é uma continuação da geometria estudada no capítulo 9, mas também trabalha
os pontos de vista, as planificações e as posições relativas de retas e planos
no espaço.
O capítulo 11 trata do estudo de retas no plano. É um estudo analítico
das equações de retas no plano cartesiano. O capítulo 12 inicia o estudo de
vetores.
Pelo que verificamos nos capítulos que estudam funções, o conceito
desse objeto é concebido como funções numéricas de variáveis reais.
7.2.6 – Declic Mathématiques. Beltramone, Jean-Paul, et al. Classe de
première
Da mesma forma quer os exemplares que utilizamos na análise da
classe de troisième e seconde, o exemplar tratado aqui também é o “Livro do
Professor” versão de correção dos exercícios. Nesta versão, os conteúdos são
apresentados de forma resumida, mas abrange todo o conteúdo apresentado
no sumário e igualmente à versão completa do “Livro do Professor”.
O capítulo 1 retorna o estudo de funções polinomiais do segundo grau,
mais especificamente o estudo da forma canônica. Procura também mostrar a
forma mais adequada para tratar esse tipo de funções do ponto de vista da
resolução de problemas: fatorada, desenvolvida ou canônica. O estudo da
função polinomial do segundo grau é feito sobre o conjunto dos números reais.
Estuda-se a variação de sinal da função, seus intervalos de crescimento, seu
gráfico e suas propriedades gráficas ou algébricas. Uma parte do capítulo se
221
dedica a estruturar e escrever algoritmos computacionais para encontrar raízes
ou calcular valores de funções polinomiais do segundo grau.
Este estudo é um complemento do estudo das funções polinomiais do
segundo grau realizado na classe de seconde.
O capítulo 2 estuda as funções raiz quadrada e a função módulo.
Deseja-se que os estudantes compreendam as variações de funções xx e
xx suas representações gráficas. Demonstra-se que a função raiz quadrada
é crescente no intervalo [0, + ]. Procura mostrar e justificar as posições
relativas entre as curvas das funções apresentadas neste capítulo com as das
funções xx e 2xx .
O capítulo 3 trata de derivação das funções já estudadas. O capítulo 4
estuda mais especificamente as variações de funções. Neste caso o estudo
implica em operações com funções como soma de funções, produto de funções
por constantes e por funções, raiz quadrada de funções e inverso de funções.
O capítulo 5 trata de sequências numéricas. O capítulo 6, sobre
sequências aritméticas e geométricas. Estudando estas sequências nos
capítulos 5 e 6 os autores vão representar graficamente algumas sequências e
vão aproveitar para definir a função exponencial.
O capítulo 7 tem como título a geometria plana, e é um estudo sobre
geometria analítica.
O capítulo 8 trata de trigonometria no ciclo trigonométrico e o estudo de
equações trigonométricas em IR. Neste capítulo os autores aproveitam para
definir e estudar as funções trigonométricas.
O capítulo 9 é sobre produto escalar de vetores. O capítulo 10, sobre
estatística. O capítulo 11, sobre probabilidade e o capítulo 12 sobre lei
binomial.
7.2.7 – Declic Mathématiques. Beltramone, Jean-Paul, et al. Classe de
terminale
Da mesma forma quer os exemplares que utilizamos na análise da
classe de troisième, seconde e première, o exemplar tratado aqui também é o
222
“Livro do Professor” versão de correção dos exercícios. Nesta versão, os
conteúdos são apresentados de forma resumida, mas abrangem todo o
conteúdo apresentado no sumário e igualmente à versão completa do “Livro do
Professor”.
O capítulo 1 inicia com o estudo de sequências, seus limites, as
operações sobre limites, sequência majoritárias, minoritárias, etc. O capítulo 2
trata de limites e funções contínuas.
O capítulo 3 tem como título “complementos sobre as funções
numéricas”. Inicia com o estudo de derivadas das funções raízes quadradas e
trata também de derivadas de funções compostas. Ainda no mesmo capítulo
aborda as funções trigonométricas e trata também de suas derivadas.
O capítulo 4, que trata da função exponencial, inicia procurando
demostrar a existência e a unicidade de uma função cuja derivada sobre IR seja
igual ao valor de sua função em cada ponto e que tem o valor 1 em 0. Aqui
vemos uma definição parecida àquela que vimos na obra de Stewart (2011),
onde, por meio de taxa de variação, procura uma função exponencial numa
determinada base, que o valor dessa taxa para x = 0 seja exatamente 1.
O capítulo 5 fará o estudo das funções logarítmicas neperianas, como a
função inversa da função exponencial de base e.
O capítulo 6 inicia o estudo de cálculo integral. O capítulo 7, o estudo
dos números complexos. O capítulo 8 sobre retas e planos no espaço – um
estudo vetorial. O capítulo 9, sobre produto escalar do espaço.
O capítulo 10 estuda as probabilidades condicionais. O 11 a lei das
probabilidades contínuas. O capítulo 12 estuda as amostragens e estimação. O
capítulo 13 estuda as divisibilidades e as congruências. O capítulo 14 estuda o
PGCD (máximo divisor comum) e os números primos entre si. E finalmente o
capítulo 15 estuda as matrizes.
Podemos verificar que o estudo de funções, principalmente nas classes
do première e do terminale, relativas às classes da 2ª e 3ª séries do ensino
médio, é mais aprofundado do que temos nos materiais didáticos utilizados no
Brasil. Observamos aqui que no nosso estudo consideramos as classe
científicas que correspondem aqueles em que no première e no terminale
inicia-se a formação para os cursos superiores de ciências exatas.
223
Verificamos que o estudo de algumas funções está inserido no estudo
de outros conceitos, como é o caso das funções exponenciais. Também
diferente dos estudos nos contextos brasileiros é o tratamento das funções
exponenciais e logarítmicas que apresentam durante o tratamento desses
tópicos, os conceitos de derivadas. O estudo da função logarítmica é iniciado a
partir da função exponencial de base e, tratando então da função logarítmica
natural.
A comparação, no entanto, entre o estudo de funções nos materiais
didáticos franceses e nos brasileiros, é que o estudo da noção de função inicia-
se no 9º ano do ensino fundamental ou nas classes de troisième, são
retomados na 1ª série do ensino médio ou classe de seconde. Mas a partir daí
as diferenças vão se acentuando. Enquanto que no Brasil as funções
exponenciais e logarítmicas são estudadas na 1ª série do ensino médio e
iniciam com funções de base a qualquer, geralmente 2, 3, 2
1 e
3
1, na França,
esse estudo se inicia mais tarde, porém após ter introduzido o conceito de
derivadas e quando as funções exponenciais e logarítmicas são definidas, já se
inicia estas funções com base natural e se trata também de suas derivadas
demonstrando as condições de existência e unicidade dessas funções.
224
225
8 – ANÁLISE DAS AVALIAÇÕES EM LARGA ESCALA
Incluímos na análise das avaliações em larga o Sistema de Avaliação da
Educação Básica (SAEB) e o Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do
Estado de São Paulo (SARESP). Após apresentarmos um breve histórico sobre
essas avaliações, partiremos para as análises de algumas questões relativas
ou associadas ao conceito de função que a compuseram. O objetivo é verificar
se os resultados gerais ou específicos obtidos pelos estudantes da rede
estadual de educação sofreram alguma alteração após a introdução dos
materiais de apoio ao Currículo como os Cadernos do Professor e do Aluno.
As avaliações em larga escala tiveram impacto no Brasil com o Sistema
de Avaliação da Educação Básica (SAEB) no ano de 1990. No entanto, já no
ano de 1988 era criado o Sistema de Avaliação do Ensino Público de 1º Grau
(SAEP) com avaliações aplicadas no Paraná e Rio Grande do Norte, mas a
falta de recursos impediu sua implementação (BONAMINO e FRANCO, 1999
apud SILVA, 2010). No período precedente a essa década, muitos educadores
discutiam a filosofia da educação e orientavam sua metodologia, como por
exemplo, Passeron, Baudelot & Establet, Gramsci, Snyders, Saviani, Nóvoa,
Perrenoud, estes apontados por Souza (1998).
Aproveitaremos os trabalhos citados acima para fazer uma pequena
descrição dos sistemas de avaliação nacional no Brasil e estadual em São
Paulo, de maneira a situar os resultados às mudanças no contexto educacional
brasileiro e paulista. A partir disso, analisamos os resultados das avaliações
SAEB e SARESP, e fazemos as possíveis comparações, principalmente
quando essa comparação nos permitir verificar as relações de ensino e
aprendizagem do conceito de função.
8.1 – Sistema de Avaliação da Educação Básica – SAEB
O SAEB nasce em 1990 com o objetivo de diagnosticar o sistema
educacional brasileiro e fornecer um indicativo sobre a qualidade de ensino
ofertado pelo ensino público brasileiro. A primeira edição contou com uma
amostra de escolas de 1ª, 3ª, 5ª e 7ª série das escolas públicas rurais nas
disciplinas de Língua Portuguesa, Matemática e Ciências. Este formato foi
mantido até o ano de 1993.
226
A partir de 1993, a aplicação deu-se a cada dois anos. Em 1995 iniciou-
se uma nova metodologia estatística de análise dos resultados, a chamada
Teoria de Resposta ao Item (TRI), podendo utilizar os resultados
comparativamente com os resultados das provas anteriores ou entre provas de
diferentes séries ou segmentos de ensino. Nesse ano também se iniciou a
avaliação das séries finais de ciclos: 4ª e 8ª séries do ensino fundamental e 3ª
série do ensino médio. Manteve-se ainda a análise por amostragem,
abrangendo diversas regiões e Estados da União, possibilitando uma
comparabilidade setorial.
Em 1997 e em 1999, os estudantes do ensino fundamental realizaram as
provas convencionais de Língua Portuguesa, Matemática e Ciências e os
estudantes do ensino médio tiveram acrescentadas as disciplinas de História e
Geografia.
Também em 1997 foi definida uma escala de proficiência para as provas
do SAEB. Esta escala de proficiência permitiu compor um índice denominado
Índice de Desenvolvimento da Educação Básica – IDEB. Índice este que busca
relacionar o desempenho dos estudantes e das unidades escolares com os
resultados do rendimento alcançado no SAEB. No quadro a seguir encontram-
se os valores obtidos na avaliação de 1997 na escala de proficiência criada
para esta avaliação.
Figura 99: Quadro de PROFICIÊNCIAS MÉDIAS – SAEB 1997
Séries Matemática Língua Portuguesa
4ª série EF 190,8 186,5
8ª série EF 250,0 250,0
3ª série EM 288,7 283,9
Fonte: Inep / MEC
A média obtida pelos estudantes da 8ª série (250, com desvio padrão
50) manteve-se como padrão para a comparação com as outras séries, assim
como comparação entre as aplicações do SAEB de anos posteriores.
A partir da média padronizada (250) e de meio desvio-padrão (25) o
Instituto Nacional de Estudo e Pesquisa Educacionais Anísio Teixeira (INEP),
responsável pela elaboração e aplicação do SAEB, estipulou a escala de
227
proficiência subdividida em quatorze níveis. A escala de Matemática é a
descrita a seguir.
Figura 100: Quadro da ESCALA DE PROFICIÊNCIAS – SAEB
Nível de Desempenho dos estudantes em Matemática
Valor na Escala de Proficiência EF
Valor na Escala de Proficiência EM
Nível 0 Abaixo de 125 -
Nível 1 125 a 150 -
Nível 2 150 a 175 -
Nível 3 175 a 200 -
Nível 4 200 a 225 -
Nível 5 225 a 250 -
Nível 6 250 a 275 -
Nível 7 275 a 300 250 a 300
Nível 8 300 a 325 300 a 325
Nível 9 325 a 350 325 a 350
Nível 10 350 a 375 350 a 375
Nível 11 375 a 400 375 a 400
Nível 12 400 a 425 400 a 425
Nível 13 - 425 ou mais
Fonte: Inep / MEC
A partir do ano de 2001 as provas passaram a ser aplicadas apenas nas
disciplinas de Língua Portuguesa e Matemática. E em 2005 houve uma
reestruturação subdividindo o SAEB em duas avaliações diferentes: a
Avaliação Nacional da Educação Básica (ANEB) e a Avaliação Nacional do
Rendimento Escolar (ANRESC), esta última conhecida como Prova Brasil. A
ANEB manteve o formado adotado anteriormente pelo SAEB enquanto que o
ANRESC passou a ser uma avaliação censitária.
Não havia uma norma do SAEB em elaborar relatórios e torná-los
públicos. Não havia uma sistemática padronizada que permitisse uma boa
comparação de resultados por região ou estado, focado em um segmento de
ensino ou por tipo de escola. Por exemplo, enquanto um quadro de resultados
apresenta as médias por estados, das escolas urbanas, exceto as federais, em
outro quadro os resultados por estados agrupam todos os tipos de escolas
(urbanas, rurais, federais, etc.) dificultando a comparação de dados (ver por
exemplo IDEB – Prova Brasil 2007 e SAEB – resultados de 1995 à 2005). Da
mesma forma, somente a partir do ano de 2011 o INEP disponibiliza relatório
228
de análise com exemplos de questões apontando seus descritores
(habilidades) com índices de respostas por alternativas das questões.
Assim, apresentamos abaixo os níveis de proficiência médios da União,
obtidos pelo SAEB, que usaremos apenas como comparativos com os índices
de proficiência do Estado de São Paulo obtidos com o SARESP. Faremos
então um comparativo mais aproximado com as questões do ano de 2011 da
prova Brasil, àquelas que utilizam habilidades voltadas ao trabalho com o
conceito de função com as questões de mesma natureza da prova do
SARESP.
Figura 101: Quadro dos Níveis de Proficiência no SAEB de 1995 a 2011. Matemática – Médias da União
1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011
8ª série EF 253,2 250 246,4 243,4 245,0 239,5 247,4 248,7 250,6
3ª série EM 281,9 288,7 280,3 276,7 278,7 271,3 272,9 274,7 273,9
Fonte: Brasil, 2007, 2010, 2012
Figura 102: Gráfico da Evolução dos Níveis de Proficiência em Matemática no SAEB
Fonte: A pesquisa
Podemos observar que, tanto na série final do ensino fundamental como
na do ensino médio, os atuais níveis de proficiência tiveram uma baixa desde
sua criação e implantação na década de 1990.
8.2 – Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo –
SARESP
Na mesma linha da Prova Brasil, a Secretaria de Estado da Educação
de São Paulo implanta, em 1996, o Sistema de Rendimento Escolar do Estado
220
240
260
280
300
1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011
8ª série EF
3ª série EM
229
de São Paulo (SARESP), sendo uma avaliação em larga escala aplicada
anualmente nas escolas da rede pública paulista. Sua finalidade é a de
diagnosticar a situação das escolas públicas do Estado de São Paulo e
fornecer subsídios para o trabalho dos gestores do ensino (avaliação
democrática5) e no monitoramento das políticas voltadas para a melhoria da
qualidade de ensino (avaliação autocrática6).
Desde sua implantação, o SARESP mudou as séries e as disciplinas
foco da avaliação. Atualmente e desde o ano de 2008, são avaliadas as 2ª, 4ª,
6ª e 8ª séries do ensino fundamental (hoje os atuais 3º, 5º, 7º e 9º anos do
ensino fundamental) e a 3ª série do ensino médio, nas disciplinas de Língua
Portuguesa e Matemática. E alternando de dois em dois anos, as disciplinas de
Ciências da Natureza e Ciências Humanas. As avaliações são sempre
censitárias nas séries determinadas em cada ano.
A partir do ano de 2008 as provas são elaboradas, tendo como
parâmetro uma matriz de competências e habilidades, baseada na então
recém-criada Proposta Curricular. Neste mesmo ano os resultados do SARESP
compõem o Índice de Desenvolvimento da Educação do Estado de São Paulo
– IDESP.
De maneira análoga ao SAEB, por meio dos resultados alcançados no
SARESP, os estudantes, a partir do ano de 2008, puderam ser classificados
em níveis de proficiência. De acordo com estes níveis foi possível compor
quatro níveis de desempenho (Abaixo do Básico, Básico, Adequado,
Avançado). A escala de proficiência segue a mesma métrica da escala de
proficiência do SAEB, onde se padroniza os valores da escala pela média 250,
com desvio padrão 50, equivalente à média e desvio padrão obtido pela 8ª
série no SAEB de 1997. Dessa forma, utilizando a mesma metodologia
estatística de análise de dados, a TRI, é possível a comparação entre os
resultados do SARESP e do SAEB.
Utilizando essa metodologia estatística, questões do SAEB, autorizadas
e disponibilizadas pelo Instituto Anísio Teixeira (INEP) do Ministério da
5 A avaliação democrática é aquela realizada para atender a necessidade de informação e
análise de uma dada comunidade sobre um programa educacional (SOUZA, 1998, p. 164). 6 A avaliação autocrática é desenvolvida por/para agências governamentais, tendo como
propósito a análise mais objetiva e rigorosa de políticas educacionais (SOUZA, 1998, p. 164).
230
Educação (MEC), e da mesma série, são incluídas na avaliação do SARESP.
Estes itens identificados como itens de ligação, permitem alinhar as duas
escalas. Da mesma forma, questões de anos anteriores à edição do SARESP
são utilizadas como itens de ligação permitindo alinhar as escalas de anos
diversos à aplicação. O mesmo se dá com questões de séries anteriores
incluídas como itens de ligação em séries posteriores. Dessa forma, a escala é
única, o que variam são os resultados dos estudantes sobre ela.
Figura 103: Quadro dos Níveis de Proficiência no Saresp
Níveis de Proficiência Descrição
Abaixo do Básico Os estudantes, neste nível, demonstram domínio insuficiente dos conteúdos, competências e habilidades desejáveis para o ano/série escolar em que se encontram.
Básico Os estudantes, neste nível, demonstram domínio mínimo dos conteúdos, competências e habilidades, mas possuem as estruturas necessárias para interagir com a proposta curricular no ano/série subsequente.
Adequado Os estudantes, neste nível, demonstram domínio pleno dos conteúdos, competências e habilidades desejáveis para o ano/série escolar em que se encontram.
Avançado Os estudantes, neste nível, demonstram conhecimentos e domínio dos conteúdos, competências e habilidades acima do requerido no ano/série escolar em que se encontram.
Fonte: SÃO PAULO, 2009h
A diferença no enquadramento dos resultados alcançados pelo
SARESP, comparativamente com os do SAEB está apenas no agrupamento
dos níveis de proficiência. Enquanto o SAEB agrupa os estudantes em níveis
classificados de 0 a 13, o SARESP classifica em quatro níveis já identificados
acima.
A seguir apresentamos os valores de proficiências agrupados em cada
um dos níveis apontados pela Matriz de Proficiência para o SARESP.
Figura 104: Quadro dos Níveis de Proficiência em Matemática
Níveis de Proficiência
5º ano EF 7º ano EF 9º ano EF 3ª série EM
Abaixo do Básico
< 175 < 200 < 225 < 275
Básico 175 a 225 200 a 250 225 a 300 275 a 350
Adequado 225 a 275 250 a 300 300 a 350 350 a 400
Avançado >275 >300 >350 >400
Fonte: São Paulo, 2009h
231
Um quadro descritivo das disciplinas que fizeram parte da prova do
SARESP de 1996 até 2012 é apresentado a seguir.
Figura 105: Aplicações do SARESP, 1996 a 2012
Ano Séries do EF Série do EM Disciplinas
1996 3ª e 7ª - LP, MAT, CIE, GEO, HIS7
1997 4ª e 8ª 1ª LP e MAT
1998 5ª 1ª LP, MAT, BIO8
1999 - - -
2000 5ª e 7ª 3ª LP e MAT
2001 4ª e 8ª - LP
2002 4ª e 8ª LP
2003 Todas Todas LP
2004 Todas Todas LP
2005 Todas Todas LP e MAT
2006 - - -
2007 1ª, 2ª, 4ª, 6ª e 8ª 3ª LP e MAT
2008 2ª, 4ª, 6ª e 8ª 3ª LP, MAT, CN9
2009 2ª, 4ª, 6ª e 8ª 3ª LP, MAT, CH10
2010 3º, 5º, 7º e 9º (11)
3ª LP, MAT, CN
2011 3º, 5º, 7º e 9º 3ª LP, MAT, CH
2012 3º, 5º, 7º e 9º 3ª LP, MAT, CN
Fonte: Relatórios Pedagógicos do SARESP de 1996 a 2012
Para podermos comparar os resultados obtidos pelos estudantes no
estado de São Paulo, através do SARESP, com os resultados obtidos pelos
estudantes em todo o Brasil, através do SAEB, apresentamos a seguir os
resultados da média de proficiência do SARESP desde 2007 até 2012.
Figura 106: Níveis de Proficiência no SARESP – 2007 a 2012 - Matemática
2007 2008 2009 2010 2011 2012
9º ano EF 231,5 245,7 251,5 243,3 245,2 242,3
3ª série EM 263,7 273,8 269,4 269,2 269,7 270,4
Fonte: Relatórios Pedagógicos do SARESP de 1996 a 2012
7 LP: Língua Portuguesa, MAT: Matemática, CIE: Ciências, GEO, Geografia, HIS: História.
8 BIO: Biologia
9 CN: Ciências da Natureza (Ciências, Física, Química e Biologia).
10 CH: Ciências Humanas (Geografia e História).
11 Os anos 3º. 5º, 7º e 9º do ensino fundamental referem-se as 2ª, 4ª, 6ª e 8ª séries na antiga
nomenclatura.
232
Figura 107: Gráfico da Evolução dos Níveis de Proficiência em Matemática no SAEB – 2007 a
2012
Fonte: A pesquisa
Podemos observar que o ensino fundamental apresentou um pico em
2009, ano que completava um ano da introdução do material de apoio Caderno
do Professor e ano em que o Caderno do Aluno foi introduzido. Porém após
esse ano os resultados estiveram sempre na margem do valor 245, que
corresponde ao nível básico para o 9º ano do ensino fundamental, mas que
não representa o nível adequado nem mesmo para os estudantes do 7º ano do
ensino fundamental.
É possível também observar que os dados do ensino médio tiveram um
pico em 2008, chegando ao nível 273,8, e após a introdução dos materiais de
apoio Caderno do Professor e Caderno do Aluno, esses valores não
apresentaram nenhuma melhora, ao contrário, mostraram uma queda,
estabilizando-se na marca de 270, que corresponde ao nível abaixo do básico
para a série em questão e, comparativamente à escala de proficiência, fazendo
as devidas correspondências ano a ano na escala de proficiência, esse valor
corresponde ao nível adequado para um estudante que termina o 8º ano do
ensino fundamental. Isso mostra que um estudante que finda o ensino médio
tem, em média, uma defasagem de quatro anos de escolaridade.
Fazendo uma comparação entre os valores de proficiência obtidos pelos
estudantes no SAEB e no SARESP em Matemática podemos verificar se os
valores se distanciam muito entre os resultados nas duas avaliações. Assim,
esse comparativo poderá ser mais um indicativo sobre a adequação do uso dos
materiais utilizados pela rede estadual paulista.
230
240
250
260
270
280
2007 2008 2009 2010 2011 2012
9º ano EF
3ª série EM
233
Figura 108: Níveis de Proficiência SAEB e SARESP para o 9º ano EF - Matemática
9º ano do ensino Fundamental
2007 2008 2009 2010 2011 2012
SAEB 247,4 - 248,7 - 250,6 -
SARESP 231,5 245,7 251,5 243,3 245,2 242,3
Fonte: Relatórios SARESP
Apesar dos resultados do SAEB serem um pouco maiores que os do
SARESP, a diferença não é representativa. Portanto, a média dos estudantes
do 9º ano do Brasil representam resultados que corresponde ao nível
adequado para estudantes do 6º ano do ensino fundamental.
Figura 109: Níveis de Proficiência SAEB e SARESP para a 3ª série EM - Matemática
3ª série do ensino médio
2007 2008 2009 2010 2011 2012
SAEB 272,9 - 274,7 - 273,9 -
SARESP 263,7 273,8 269,4 269,2 269,7 270,4
Fonte: Relatórios do SARESP
Novamente percebemos que os resultados obtidos no SAEB são
ligeiramente superiores aos dos obtidos pelo SARESP, mas a diferença é muito
pequena e não é significativa.
A forma de exibir os resultados do SARESP e a forma como esta
avaliação se estruturou e se firmou no estado de São Paulo mudou ao longo
dos anos durante sua aplicação. Sofrendo algumas mudanças de estratégias,
rupturas e resistências que causaram efeitos na configuração das provas e
questionários, formatando o sistema de avaliação às tendências da evolução
da avaliação educacional brasileira e mundial e de acordo com a relação
suscitada pelo governo paulista (OLIVEIRA JUNIOR, 2013).
Os relatórios do SARESP começaram realmente a se estruturar a partir
do ano de 2008. Antes, porém, não havia uma rotina para elaboração dos
resultados, outras vezes esses resultados eram liberados somente às escolas,
por meio de boletins online, outras vezes os relatórios ficavam somente no
âmbito da Secretaria da Educação. Atualmente as escolas recebem diversos
relatórios do SARESP. A lista abaixo descreve cada um dos relatórios
disponibilizados às escolas no ano de 2013.
234
Relatório Pedagógico de Língua Portuguesa e Matemática – 3º ano
do Ensino Fundamental
Traz os resultados alcançados pelas escolas que possuem classes de 3º
ano do ensino fundamental, acompanhados por uma análise pedagógica por
habilidades.
Relatório Pedagógico de Matemática
Aponta a abrangência do SARESP e os resultados alcançados pelas
escolas que possuem os 3º, 5º, 7º e 9º anos do ensino fundamental e a 3º série
do ensino médio. Faz a comparação dos resultados do SARESP com os
resultados da Prova Brasil. Traz a análise do desempenho dos estudantes em
Matemática dos 5º, 7º e 9º anos do ensino fundamental e da 3ª série do ensino
médio.
Relatório Pedagógico de Língua Portuguesa
Aponta a abrangência do SARESP e os resultados alcançados pelas
escolas que possuem os 3º, 5º, 7º e 9º anos do ensino fundamental e a 3º série
do ensino médio. Faz a comparação dos resultados do SARESP com os
resultados da Prova Brasil. Traz a análise do desempenho dos estudantes em
Língua Portuguesa dos 5º, 7º e 9º anos do ensino fundamental e da 3ª série do
ensino médio.
Relatório Pedagógico de Ciências da Natureza
Aponta a abrangência do SARESP e os resultados alcançados pelas
escolas que possuem os 3º, 5º, 7º e 9º anos do ensino fundamental e a 3º série
do ensino médio. Faz a comparação dos resultados do SARESP com os
resultados da Prova Brasil. Traz a análise do desempenho dos estudantes em
Ciências da Natureza dos 5º, 7º e 9º anos do ensino fundamental e da 3ª série
do ensino médio.
Relatório dos Estudos do SARESP
A característica essencial dessa publicação é o seu caráter
primordialmente descritivo, fornecendo um panorama da realidade dos diversos
235
agentes educacionais em sua interação com o ambiente educacional. Traz uma
descrição geral dos estudantes e de seus pais, da Rede de Ensino de São
Paulo, relativamente ao seu desenvolvimento intelectual, social e econômico.
Aponta o perfil dos professores, coordenadores e dos diretores das escolas
públicas. Ainda faz uma análise dos fatores associados aos desempenhos das
escolas estaduais, municipais e particulares.
Sumário Executivo
Esse documento apresenta informações sobre a edição do SARESP de
cada ano. Indica de que forma os instrumentos de avaliação são elaborados e
aplicados. Aponta a abrangência dessa avaliação na rede estadual, municipal e
particular. Traz os resultados alcançados por cada uma das redes avaliadas,
assim como destaca os níveis de proficiência atingidos por cada unidade de
ensino que fez parte do processo de avaliação.
A comparação dos resultados divulgados pelos relatórios no período
avaliado por esta pesquisa mostra que os índices não tiveram aumentos ou
quedas significativos na disciplina de Matemática. Assim, não podemos, a partir
dos resultados obtidos pelas avaliações em Larga Escala, seja no âmbito
federal ou em âmbito estadual, atribuir qualquer melhora ou piora na
aprendizagem relativa a qualquer mudança realizada no sistema educacional
paulista, entre elas, a implantação da Proposta Curricular de 2008, o Caderno
do Professor em 2009, o Caderno do Aluno em 2009 e o Currículo em 2010.
A análise dos índices de acertos em questões relativas ao conceito de
funções que fizeram parte do SARESP será apresentada em duas etapas: a
primeira corresponde ao período de 2000 à 2008, período anterior à introdução
do novo Currículo e dos materiais de apoio, Cadernos do Professor e do Aluno,
e que inclui provas dos anos de 2000 e 2007, pois nos demais anos não houve
avaliação de Matemática ou não há resultados divulgados. O segundo período
de 2008 à 2012, período que corresponde à implantação do novo Currículo e
dos materiais de apoio Cadernos do Professor e do Aluno.
1º Período – Fase anterior à implantação dos Cadernos
236
SARESP 2000
Figura 110: Questão 2 do período noturno – SARESP 2000
Fonte: Relatório SARESP 2000, p. 82
Figura 111: Questão 3 do período diurno – SARESP 2000
Fonte: Relatório SARESP 2000, p. 84
237
Figura 112: Questão 3 do período noturno – SARESP 2000
Fonte: Relatório SARESP 2000, p. 85
Figura 113: Questão 4 do período noturno – SARESP 2000
Fonte: Relatório SARESP 2000, p. 86
238
Figura 114: Questão 5 do período diurno – SARESP 2000
Fonte: Relatório SARESP 2000, p. 86
Figura 115: Questão 5 do período noturno – SARESP 2000
Fonte: Relatório SARESP 2000, p. 87
239
SARESP 2007
Figura 116: Exemplo de questão do nível 325 da 8ª série (a) – SARESP 2007
Fonte: Relatório SARESP 2007, p. 29 (acerto 39%)
Figura 117: Exemplo de questão do nível 325 da 8ª série (b) – SARESP 2007
Fonte: Relatório SARESP 2007, p. 29 (Acerto 42%)
240
Figura 118: Exemplo de questão do nível 350 da 8ª série – SARESP
Fonte: Relatório SARESP 2007, p. 37 (Acerto 32%)
2º Período: Fase que compreende a implantação dos Cadernos aos dias atuais
SARESP 2008
Figura 119: Exemplo de questão do nível básico da 3ª série EM – SARESP 2008
Fonte: Relatório SARESP 2008, p. 117
241
Figura 120: Exemplo de questão do nível adequado da 3ª série EM – SARESP 2008
Fonte: Relatório SARESP 2008, p. 121
Figura 121: Exemplo de questão do nível avançado da 3ª série EM – SARESP 2008
Fonte: Relatório SARESP 2008, p. 125
242
SARESP 2009
Figura 122: Exemplo 10 da 3ª série EM – SARESP 2009
Fonte: Relatório SARESP 2009, p. 195
Figura 123: Exemplo 16 da 3ª série EM – SARESP 2009
243
Fonte: Relatório SARESP 2009, p. 201
SARESP 2010
Figura 124: Exemplo 11 da 3ª série EM – SARESP 2010
Fonte: Relatório SARESP 2010, p. 190
SARESP 2011
Figura 125: Exemplo 11 da 3ª série EM – SARESP 2011
Fonte: Relatório SARESP 2011, p. 190 (Acerto 29%)
244
SARESP 2012
Figura 126: Exemplo 1 da 3ª série EM – SARESP 2012
Fonte: Relatório SARESP 2012, p. 151
Representamos abaixo os índices de acertos das questões expostas,
relativas aos períodos pré e pós-implantação dos Cadernos, num quadro,
indicando os temas associados ao setor funções, para podermos compará-los
e tecer alguns comentários.
Figura 127: Quadro comparativo dos índices de acertos no SARESP
Função
Polinomial
do 1º grau
Função
Polinomial
do 2º grau
Função
exponencial
Função
Logarítmica
Função
trigonométrica
Função
Racional
AN
TE
S
2000 17%
33%
38%
39%
41% 36%
2007 39%
42%
32%
DE
PO
IS
2008 17% 52% 28%
2009 27%
21,3%
2010 26,5%
2011 29%
2012 51%
Fonte: A pesquisa
245
Atualmente as questões do SARESP que são disponibilizadas para
consulta são as apresentadas nos relatórios, enquanto que as questões
anteriores ao ano de 2008 eram todas disponibilizadas. Dessa forma, a
comparação que faremos será apenas baseada nesta pequena amostra e com
questões que, de alguma forma, estejam relacionadas ao conceito de função.
De forma bastante genérica, separamos as questões por tema como
funções polinomiais do 1º grau, até funções racionais. Assim, tomamos, em
cada ano, o índice de acerto e o expusemos no quadro acima.
É possível observar que há uma concentração de questões relativas às
funções polinomiais do 1º grau, seguidas por funções polinomiais do 2º grau,
funções exponenciais e racionais. Na amostra que dispúnhamos não foi
possível observar funções logarítmicas e trigonométricas.
Quanto aos índices de acerto, percebemos um resultado bem superior
às questões do SARESP compreendido no primeiro período, isso é, àquele
anterior à implantação dos Cadernos. Essa verificação se dá nos três tipos de
funções que se aparecem nos dois períodos.
246
247
9 – ANÁLISE DOS QUESTIONÁRIOS DO PROFESSOR E TESTES DOS
ALUNOS
Esse capítulo apresentará os resultados obtidos ao analisar os
questionários aplicados aos professores pesquisados e os resultados obtidos
pelas análises dos testes realizados com os estudantes de dois desses
professores.
9.1 – Análise dos Questionários respondidos pelos professores
Dos questionários que distribuímos em algumas escolas no estado de
São Paulo, de acordo com os critérios que foram estabelecidos e identificados
no capítulo relativo à metodologia, tivemos retorno de trinta e oito (38) deles,
autorizados e completamente respondidos.
Nossa análise será feita de duas formas. A primeira abordará as
respostas de modo geral, fornecidas por cada um dos 38 respondentes,
independentemente dos grupos a qual pertencem. Assim teremos os
resultados gerais que darão uma visão global sobre como esses professores
trabalham em suas classes o conceito de função. A segunda forma de análise
será realizada devidamente em cada grupo de professores, de acordo com os
alguns critérios pré-estabelecidos.
A análise sobre os questionários, que corresponde a primeira forma,
aponta os resultados de maneira geral, sem agrupar os respondentes por
categorias, e foi elaborada verificando os índices apontados nas alternativas
em cada uma das questões. Dessa forma, segue os resultados relativos às
nove questões apresentadas.
Figura 128: Questão 1
A quanto tempo você leciona Matemática?
A mais de 20 anos Entre 10 e 20 anos Entre 3 e 10 anos A menos de 3 anos
11 17 9 1
Fonte: A pesquisa
Vemos que os professores que responderam a pesquisa têm bastante
experiência em sala de aula. A maioria tem mais de 10 anos atuando na
248
educação. Podemos supor que as respostas que os mesmos imprimiram nos
formulários retratam suas experiências vividas na tarefa de ensinar. Além
disso, a maioria vivenciou o período de transição.
Figura 129: Questão 2
Em quais anos/séries você, em geral, ministra suas aulas?
6ºano 7º ano 8º ano 9º ano 1ª série 2ª série 3ª série
12 15 13 15 17 19 14
Fonte: A pesquisa
A distribuição dos anos/séries em que os professores que responderam
os formulários atuam, são distribuídos de forma bastante uniforme, com um
pouco mais de ênfase ao ensino médio. Portanto, podemos também supor que
esses professores têm experiência com o ensino de função. Logo, suas
respostas às questões a seguir poderão nos fornecer indicativos importantes
sobre esse conceito e sua relação com o ensino e a aprendizagem do mesmo.
Figura 130: Questão 3
Entre as alternativas abaixo, quais, em sua opinião, estão relacionadas ao conceito de
função?
Proporcionalidade Variabilidade Relação entre
Grandezas /
Gráfico de
Interdependência
Álgebra Aritmética Conjutos
1ª opção 7 5 15 2 2 7
2ª opção 11 10 9 3 3 2
3ª opção 14 7 6 9 1 1
4ª opção 4 12 3 14 3 2
5ª opção 2 2 5 4 18 7
6ª opção 0 2 0 6 11 19
Fonte: A pesquisa
Observando a resposta apontada pelos professores pesquisados como a
primeira opção, foi mais frequente a resposta no item que aponta a “relação
entre grandezas / Gráfico de interdependência”. Baseado nesse resultado
podemos verificar que as respostas indicam para uma visão mais condensada
de função, formada historicamente, firmemente associada à ideia de
interdependência e de covariação de grandezas, sendo que apenas uma
pequena parcela dos professores apontam que o conceito de função está mais
associado à ideia de proporcionalidade como primeira opção, que é o caso da
ideia central indicada no Caderno do Professor. Isso permite inferir que, ou os
249
professores pouco usam o Caderno do Professor ou não se desvincularam da
ideia mais ligada ao conceito de função que foi enraizada em sua formação.
No entanto, contrapondo a ideia elaborada sobre os conceitos da teoria
ingênua de conjuntos, a ideia de relacionar funções com a noção de conjuntos
foi a menos acentuada.
Atribuindo-se peso pela posição que uma indicação aparece na ordem
de escolha, ou seja, atribuindo peso 6 quando a alternativa comparece como
primeira opção, peso 5 se comparece na segunda opção, e assim
sucessivamente, dividindo o resultado por 21 (6+5+4+3+2+1=21) teremos a
seguinte correspondência às alternativas das respostas:
Figura 131: Índices de respostas à questão 3
Índice
Relação entre Grandezas / Gráfico de Interdependência 8,5
Proporcionalidade 8,0
Variabilidade 7,1
Álgebra 5.7
Conjuntos 4,5
Aritmética 4,1
Fonte: A pesquisa
Ainda através dessa relação, podemos notar que o conceito de função
visto pela maioria dos professores pesquisados está relacionado à covariação
de grandezas, ou seja, o conceito de função não apresenta para eles uma
associação entre números de dois conjuntos por uma correspondência
biunívoca. Mesmo que uma função possa ser calculada sobre os números
reais, obtendo-se valores reais, o conceito ainda é uma interdependência entre
grandezas, como historicamente foi desenvolvido, principalmente na Física,
onde uma grandeza se relaciona a outra por meio de uma relação matemática,
caracterizando uma covariação de grandezas, de acordo com Rogalski (2013).
Figura 132: Questão 4
Quanto a forma de representação de uma função, como você classificaria em ordem
de importância?
Tabela Gráfico Fórmula Língua Materna
1ª opção 6 9 20 3
2ª opção 13 11 2 12
3ª opção 17 6 3 12
4ª opção 2 12 13 11
Fonte: A pesquisa
250
Quanto à forma de representação de função, a maioria dos professores
analisados aponta para a representação de função por fórmulas, ou seja, pela
lei de formação que caracteriza a relação entre a variável e ao valor numérico
associado às mesmas.
O fato dos professores responderem que a representação mais comum
de função é aquela relacionada às fórmulas mostra que o trabalho associado a
esse tema tem sido feito de maneira mais técnica, calculando-se o valor
numérico das funções e possivelmente resolvendo equações da forma f(x) = p.
Esse tipo de trabalho é bastante comum nos livros didáticos, pois os mesmos
têm a preocupação de mostrar com maior abundância o trabalho com os
procedimentos de operações para que, quando um trabalho com situação-
problema for necessário, além do trabalho de modelagem do problema para a
linguagem algébrica, se fará necessário também um trabalho técnico de
operacionalização.
Da mesma forma como realizado na questão anterior, iremos atribuir
pesos de 4 a 1, respectivamente à primeira até a última opção dada pelos
professores, dividindo o resultado por 10. Dessa forma, os resultados já
ordenados estão representados a seguir.
Figura 133: Índices de respostas à questão 4
Índice
Fórmula 10,5
Tabela 9,9
Gráfico 9,3
Língua Materna 8,3
Fonte: A pesquisa
Quando observamos os dados ajustados pelas médias ponderadas,
percebemos que a distribuição é bastante equilibrada. Mas mesmo assim, é
bastante interessante notar que, em geral, os livros didáticos apresentam as
funções pela sua lei de formação, ou seja, pela sua fórmula, em seguida
constroem-se tabelas para alguns valores do domínio da função e constroem-
se seus gráficos. Também é importante verificar que, na introdução da maioria
dos materiais didáticos, a apresentação da lei de formação é dada pela língua
materna, mas isso fica tão implícito na leitura dos professores que não é
251
notada essa forma de representação de função. Assim podemos supor que
essa forma de representação de função ocupa a última opção na média das
respostas obtidas dos professores pesquisados.
Figura 134: Questão 5
Quais das funções abaixo você acha que sejam necessárias serem ensinadas no
ensino médio?
Exponencial Quadrática Linear /
Afim
Logarítmica Racional Trigonométrica Grau maior que 2
1ª opção 3 0 29 2 4 0 0
2ª opção 0 31 3 1 1 2 0
3ª opção 23 3 5 0 2 2 3
4ª opção 4 2 0 23 4 4 1
5ª opção 5 0 0 7 4 9 14
6ª opção 3 0 0 2 13 10 9
7ª opção 0 2 1 3 6 11 6
Fonte: A pesquisa
Os professores que responderam os questionários, em sua maioria,
apontaram que a função polinomial do 1° grau deveria ser ensinada no ensino
médio, e como segunda escolha pela maioria dos respondentes, que a função
polinomial do 2° grau deve ser ensinada no ensino médio.
Mesmo que funções polinomiais do 1° e 2° graus tenham sido
trabalhadas ou iniciadas no ensino fundamental, a maioria dos professores que
respondeu às questões indica que é preciso trabalhar essas mesmas funções
no ensino médio. Isso também é apontado pelo PCN que indicava que “Esse
encaminhamento dado à Álgebra, [...] como o estudo da variação de grandezas
possibilita a exploração da noção de função nos terceiro e quarto ciclos12.
Entretanto, a abordagem formal desse conceito deverá ser objeto de estudo do
ensino médio” (BRASIL, 1998, p. 51).
Quatro professores indicaram ainda que as funções racionais não devem
ser ensinadas no ensino médio e cinco também disseram que as funções
polinomiais de grau maior que o 2º não devem ser ensinadas no ensino médio.
Um quadro apresentando as médias ponderadas relativas às respostas
apresentadas acima encontram-se na tabela a seguir.
12 Os terceiro e quarto ciclos referidos nos PCN indicam as atuais 6°/7° e 8°/9° anos do ensino
fundamental.
252
Figura 135: Índices de respostas à questão 5
Índice
Linear / Afim 8,8
Quadrática 7,5
Exponencial 6,2
Logarítmica 5,0
Racional 3,7
Trigonométrica 3,4
Grau maior que 2 3,0
Fonte: A pesquisa
Pelo quadro acima, observamos também que a sequência das funções
que os professores que responderam a pesquisa apontam como necessárias
serem ensinadas no ensino médio segue o mesmo princípio da maioria dos
materiais didáticos que temos conhecimento no Brasil, a menos da função
racional, que geralmente não é trabalhada como um tópico específico, mas se
insere no estudo das demais funções.
Figura 136: Questão 6
Entre as definições dadas abaixo, qual você considera mais adequada para expor em
sala de aula?
Função é uma operação matemática que associa a cada elemento "a" de um conjunto, sua imagem "b" no outro conjunto.
6
Função é uma relação entre duas variáveis que estão intimamente associadas. 7
Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função é uma relação que a cada elemento x de A faz corresponder um único elemento y de B.
21
Uma função pode ser descrita como uma relação de proporcionalidade direta, inversa ou composta entre duas grandezas
4
Fonte: A pesquisa
Os professores deveriam escolher uma única alternativa que permitia
definir uma função. Mesmo que na questão 3 os professores não optaram por
relacionar função com a ideia de conjuntos, a forma como se define função por
meio de conjuntos foi a mais representativa entre as opções escolhidas.
Geralmente é essa definição que encontramos nos livros didáticos. A quarta
alternativa, que indica que uma função pode ser descrita como uma relação de
proporcionalidade entre duas grandezas foi apontada somente por quatro dos
respondentes.
Os Cadernos do Professor e Aluno procuram dar às funções a ideia de
proporcionalidade. No entanto, somente quatro professores apontaram essa
opção como possibilidade de definição de função. Isso nos permite observar
que, mesmo que o professor esteja fazendo uso dos Cadernos, a ideia
253
fundamental utilizada pelos autores dos Cadernos para definir o conceito de
função ainda não foi bem absorvida pelos professores da rede.
Figura 137: Questão 7
Ao iniciar um trabalho com alguma forma de função, você o faz:
Iniciando com a definição, passando a exemplos e prosseguindo com aplicações. 15
Iniciando com exemplos, passando à definição e prosseguindo com aplicações. 12
Iniciando com aplicações, passando à definição e prosseguindo com exercícios 11
Fonte: A Pesquisa
Houve uma distribuição mais homogênea com relação às três
alternativas dadas. Mas a alternativa mais apontada foi a primeira, que mostra
que os professores que responderam as questões geralmente começam os
estudos de função pela definição, passando a mostrar exemplos e
posteriormente realizam a aplicação da mesma.
A terceira opção foi a menos escolhida. Justamente aquela que é
trabalhada nos Cadernos do Professor. Podemos considerar que, mesmo que
o resultado da pesquisa realizado pela Fundação Cesgranrio intitulada “Boas
Práticas Docentes no Ensino de Matemática” acenar que os professores de
Matemática utilizam o Caderno em sala de aula, na prática do dia a dia, seu
uso parece ser menos abundante.
Figura 138: Questão 8
Você considera que seus alunos estudam:
Sempre Quase Sempre Às vezes Nunca
3 3 24 6
Fonte: A pesquisa
Vemos que os professores respondentes consideram que seus alunos
estudam às vezes, portanto, os resultados nas avaliações poderiam ser
melhores caso os alunos estudassem com mais frequência.
Figura 139: Questão 9
Fonte: A pesquisa
O comportamento de seus alunos é:
Excelente Muito Bom Bom Regular Ruim
0 4 19 8 5
254
Baseados nas respostas desses professores podemos dizer que os
mesmos têm condições de expor suas aulas, dar suas explicações e mostrar
os exemplos dos conteúdos ensinados, uma vez que o comportamento da
maioria dos alunos é bom. Assim, podemos dizer que os conteúdos estão
sendo ensinados, porém, temos ainda que verificar se estão sendo aprendidos.
Após esse estudo relativo às respostas agrupadas dos respondentes,
vamos iniciar o estudo da segunda parte da análise que é o cruzamento entre
as respostas dos professores. Lembrando que traçamos hipoteticamente as
respostas que julgamos natural que um professor que utiliza prioritariamente os
Cadernos, em sala de aula, responderia e, em outro extremo, as respostas que
julgamos que um professor que utiliza prioritariamente outro material de apoio
responderia. Essa análise se dará nas respostas às questões de 3, 4, 6 e 7. A
tabela a seguir apresenta os resultados consolidados dos 38 questionários
respondidos e, para cada um deles, a média dos índices de cada uma das
questões, tanto as referentes à hipótese do uso do Caderno quanto a referente
à hipótese do uso do Livro Didático.
Figura 140: Quadro de porcentagens relativas ao uso do Caderno ou Livro Didático
Professor Grupo Q3 Q4 Q6 Q7 Média
C L C L C L C L C L
Prof_1 P5 78% 11% 75% 0 0 100% 100% 0 0,63% 28%
Prof_2 P2 33% 44% 75% 0 0 100% 50% 50% 0,40% 49%
Prof_3 P1 56% 44% 50% 25% 67% 33% 100% 0 68% 26%
Prof_413
P5 67% 33% 0 75% 0 100% 0 100% 17% 77%
Prof_5 P5 56% 22% 25% 50% 67% 33% 100% 0 62% 26%
Prof_6 P5 67% 11% 100% 0 33% 67% 50% 50% 63% 32%
Prof_714
P6 67% 33% 75% 0 100% 0 100% 0 86% 8%
Prof_8 P1 33% 33% 25% 50% 67% 33% 0 100% 31% 54%
Prof_9 P3 11% 67% 0 75% 33% 67% 50% 50% 24% 65%
Prof_10 P3 11% 67% 0 75% 0 100% 0 100% 3% 86%
Prof_11 P3 11% 67% 0 75% 0 100% 0 100% 3% 86%
Prof_12 P3 11% 67% 0 75% 0 100% 0 100% 3% 86%
13 Prof_4 que aplicou teste com seus alunos.
14 Prof_7 que aplicou teste com seus alunos.
255
Prof_13 P5 33% 33% 0 75% 100% 0 0 100% 33% 52%
Prof_14 P1 22% 56% 50% 25% 33% 67% 100% 0 51% 37%
Prof_15 P1/P8 33% 22% 100% 0 100% 0 0 100% 58% 31%
Prof_16 P7 33% 22% 100% 0 100% 0 0 100% 58% 31%
Prof_17 P1 33% 22% 75% 0 33% 67% 0 100% 35% 47%
Prof_18 P3 33% 33% 0 75% 67% 33% 0 100% 25% 60%
Prof_19 P5 44% 22% 0 75% 0 100% 100% 0 36% 49%
Prof_20 P8 44% 33% 100% 0 0 100% 50% 50% 49% 46%
Prof_21 P8 44% 33% 25% 25% 0 100% 50% 50% 30% 52%
Prof_22 P8 44% 33% 25% 50% 0 100% 50% 50% 30% 58%
Prof_23 P8 44% 33% 25% 50% 0 100% 100% 0 42% 46%
Prof_24 P8 44% 33% 25% 50% 0 100% 100% 0 42% 46%
Prof_25 P8 44% 33% 25% 50% 0 100% 0 100% 17% 71%
Prof_26 P3 22% 44% 0 75% 0 100% 0 100% 6% 80%
Prof_27 P4 22% 44% 0 75% 0 100% 50% 50% 18% 67%
Prof_28 P8 56% 11% 25% 50% 0 100% 50% 50% 33% 53%
Prof_29 P8 44% 33% 25% 50% 0 100% 100% 0 42% 46%
Prof_30 P6 67% 11% 75% 0 33% 67% 0 100% 44% 45%
Prof_31 P5 33% 22% 75% 0 0 100% 50% 50% 40% 43%
Prof_32 P3 56% 22% 100% 0 33% 67% 50% 50% 60% 35%
Prof_33 P5 56% 22% 25% 50% 0 100% 50% 50% 33% 56%
Prof_34 P3 22% 33% 0 75% 67% 33% 0 100% 22% 60%
Prof_35 P5 56% 22% 75% 0 0 100% 100% 0 58% 31%
Prof_36 P5 22% 33% 25% 50% 67% 33% 100% 0 54% 29%
Prof_37 P5 44% 33% 75% 0 67% 33% 50% 50% 59% 29%
Prof_38 P1/P7 56% 22% 0 75% 0 100% 0 100% 14% 74%
Média - 41% 33% 39% 39% 28% 72% 45% 55% 38% 50%
Fonte: A pesquisa
Na média dos 38 professores que responderam ao questionário, temos
uma probabilidade de 38% que aponta ser favorável que estes professores
utilizam o Caderno em sala de aula contra 50% de chance de que utilizam o
Livro Didático, baseado na hipótese que levantamos inicialmente. Destacamos
na tabela o prof_7 que apresentou uma probabilidade de 86% ao uso do
caderno, assim como os prof_10,11 e 12 que apresentaram uma probabilidade
também de 86% do uso do Livro Didático, baseado na hipótese levantada.
A terceira parte da análise dos questionários dos professores será
realizada sobre os grupos de respondentes relativos à distribuição das escolas
256
pelos “Indicadores de Desempenho” em Matemática, extraído da edição do
SARESP – 2010, seguindo a distribuição que relembramos a seguir, incluindo a
quantidade de respondentes em cada um dos grupos pesquisados:
Figura 141: Seleção das escolas por índice de desempenho
P1 10 escolas com desempenhos favoráveis em Matemática quando juntado os resultados dos estudantes do 9° ano com os da 3ª série
615
P2 10 escolas com desempenhos não favoráveis em Matemática quando juntado os resultados dos estudantes do 9° ano com os da 3ª série
1
P3 10 escolas com desempenhos favoráveis e que só possuem o ensino fundamental 8
P4 10 escolas com desempenhos não favoráveis e que só possuem o ensino fundamental
1
P5 10 escolas com desempenhos favoráveis e que só possuem o ensino médio
11
P6 10 escolas com desempenhos não favoráveis e que só possuem o ensino médio
2
P7 5 escolas onde a diferença nos desempenhos do 9° ano e da 3ª série foram as maiores possíveis
2
P8 5 escolas onde a diferença nos desempenhos do 9° ano e da 3ª série foram as menores possíveis
9
Fonte: Elaborado pelo Pesquisador
Pelo quadro acima vemos que geralmente quem esteve mais pré-
disposto a responder os questionários foram os professores das escolas de
ensino médio que, em geral, apresentam resultados mais satisfatórios.
Um consolidado dos resultados às questões 1 e 2 do formulário, por
grupo de professores, nos mostra que em todos os grupos há professores que
tem, ao menos, mais de 3 anos de magistério e sempre há ao menos 1
professor que leciona no 9º do ensino fundamental ou na 1ª série do ensino
médio. Dessa forma, os resultados obtidos por cada um dos grupos podem ser
considerados confiáveis por ter ao menos um respondente que já lecionou o
tema função.
15 Há 1 professor do grupo 1 que pertence também ao grupo 7, e outro que pertence ao grupo
8.
257
Figura 142: Questão 1
Tempo de magistério
A mais de 20 anos Entre 10 e 20 anos Entre 3 e 10 anos Menos que 3 anos
P1 0 2 3 1
P2 0 1 0 0
P3 1 4 3 0
P4 1 0 0 0
P5 6 3 2 0
P6 1 1 0 0
P7 1 0 116
0
P8 1 6 217
0
Fonte: A pesquisa
Figura 143: Questão 2
Fonte: A pesquisa
Com relação às questões 3, 4, 6 e 7, agruparemos os resultados da
figura 137, por grupos de professores, de forma a verificar as probabilidades
relativas ao uso do Caderno ou do Livro Didático.
Figura 144: Quadro de porcentagens relativas ao uso do Caderno ou Livro Didático por
grupos de professores
Grupo Q3 Q4 Q6 Q7 Média
C L C L C L C L C L
P1 39% 33% 50% 29% 50% 50% 33% 67% 43% 45%
P2 33% 44% 75% 0% 0% 100% 50% 50% 40% 49%
P3 22% 50% 13% 66% 25% 75% 13% 88% 18% 70%
P4 22% 44% 0% 75% 0% 100% 50% 50% 18% 67%
P5 51% 24% 43% 34% 30% 70% 64% 36% 47% 41%
P6 67% 22% 75% 0% 67% 34% 50% 50% 65% 26%
P7 45% 22% 50% 38% 50% 50% 0% 100% 36% 52%
P8 44% 29% 42% 36% 11% 89% 56% 44% 38% 50%
Fonte: A pesquisa
16 Valor anteriormente contabilizado no grupo P1.
17 Um dos valores já está anteriormente contabilizado no grupo P1.
Anos/série em que, geralmente, ministra aulas
6º ano 7º ano 8º ano 9º ano 1ª série 2ª série 3ª série
P1 1 1 0 1 3 5 3
P2 1 1 1 1 0 0 0
P3 4 5 5 3 0 1 0
P4 1 1 1 1 0 0 0
P5 3 5 4 5 10 9 8
P6 0 0 1 1 1 1 2
P7 0 0 0 0 2 2 2
P8 2 2 1 3 3 3 1
258
Na maioria dos grupos há uma tendência maior de que os professores
estejam utilizando o Livro Didático para trabalhar o tema funções. Porém, os
grupos 5 e 6 mostram que a tendência é a utilização dos cadernos. Os dois
grupos pertencem a escolas que só possuem o ensino médio. O resultado
relativo ao grupo 5 tem maior representatividade, já que são 11 respondentes,
enquanto do grupo 6 só tem 2. Os professores do grupo 5 são de escolas que
só possuem ensino médio e que os resultados foram satisfatórios no Saresp –
2010. O grupo 3 mostrou a maior probabilidade dos professores trabalharem o
Livro Didático. As escolas que compõe esse grupo só possuem o ensino
fundamental e tem os resultados favoráveis no Saresp – 2010.
Em geral, os professores resistem à utilização do Caderno e isto pode
estar associado ao trabalho que o professor estava acostumado a fazer,
centrado nos exemplos e definições, correspondendo mais à forma de trabalho
proposta nos livros didáticos e/ou a maneira como o professor estudou essa
noção na sua formação inicial e continuada, anteriormente à implantação dos
Cadernos.
A resistência à utilização do Caderno precisa ser mais bem avaliada,
pois, em geral, nas conversas e encontros com os professores, os mesmos
apresentam diferentes motivos para não trabalharem com esse material,
mesmo se muitas vezes respondem a questionários e entrevistas afirmando
que fazem o uso do mesmo.
Seria interessante identificar esses motivos para explorá-los no futuro se
desejamos que os professores recorram a esse material para auxiliá-los na
formação de seus estudantes. Assim, a Secretaria de Educação do Estado de
São Paulo deve intensificar os cursos de formação continuada de forma a
abranger um número maior de professores da rede e auxiliá-los a compreender
essa nova abordagem que se distancia de sua formação inicial e da prática que
os mesmos vinham desenvolvendo.
Sabemos que alguns cursos já foram oferecidos com o objetivo de
formar os professores para o uso do Caderno.
Em 2010, por exemplo, a Secretaria da Educação de São Paulo
formatou um curso de Matemática, ministrado pelos autores dos Cadernos, que
foi oferecido aos professores coordenadores das oficinas pedagógicas – PCNP
259
de todo o estado, num total de 182 participantes. Estes PCNP deveriam
replicar esse curso aos professores de sua região. Os problemas da replicação
foram muitos, começando por alguns PCNP que não formaram nenhuma
turma, até PCNP que, mesmo disponibilizando horários para seus professores
se inscreverem, não tiveram inscritos devido a problemas de horários por
acúmulo de cargos dos professores da rede.
Em 2012 a Secretaria da Educação formatou, então, um curso
totalmente à distância. O curso, batizado de Currículo e Prática Docente, tinha
o objetivo de trabalhar com os professores inscritos, alguns conteúdos dos
Cadernos do Professor e do Aluno em todas as disciplinas, e de mostrar a
metodologia de trabalho com esse material. No entanto, o curso não atingiu o
número de professores esperados e a evasão atingiu números acima do
previsto.
Em 2013, pensando em atingir um maior número de professores da rede
em cursos de formação continuada, a Secretaria da Educação ofertou um
curso que teria uma parte à distância e uma parte presencial com dispensa de
horário de trabalho para todos os professores de Matemática e Língua
Portuguesa dos anos finais do ensino fundamental.
Apesar do esforço da Secretaria da Educação em elaborar cursos no
sentido de levar o conhecimento sobre o Currículo da rede aos professores
como um todo, os maiores problemas sempre foram o tempo que o professor
tem para dispor a estes cursos. Dessa forma, mesmo com curso, considerado
maciço como o de 2013, a participação dos professores ficou muito abaixo do
que se pretendia pela pasta.
A estrutura dos cursos oferecidos aos professores da rede pública
estadual precisa ser repensada pela Secretaria. É preciso rever o formato
desses cursos e pensar numa maneira mais eficaz dessa formação atingir um
número maior de professores. Repensar os conteúdos que comporão os
cursos. Se realmente mantém a metodologia oferecida pelos Cadernos ou se
mantém uma formação voltada ao estudo da Matemática tradicionalmente
exposta nos Livros Didáticos, uma vez que os professores e estudantes
recebem os exemplares desse material para trabalho em sala de aula, pelo
programa PNLD, do Ministério da Educação.
260
Assim, após esta breve descrição dos resultados dos questionários dos
professores, pretendíamos colocar mais uma questão no questionário, isto é,
perguntar ao professor quais os motivos que o levam a utilizar ou rejeitar o
Caderno do Professor e o Caderno do Aluno como material didático para ser
desenvolvido em sala de aula, uma vez que em participações em congressos
ouvimos dos pesquisadores e estudantes de pós-graduação que “os Cadernos
servem apenas como material de trabalho fora da aula”, que “as tarefas dos
Cadernos do Aluno estão resolvidas na internet”, que “o Caderno é incompleto
tratando o conteúdo de forma superficial”, que “o Caderno é importante por
tratar os conteúdos cobrados no SARESP”, entre outros comentários.
No entanto, após enviar aos PCNP essa nova questão para que eles
repassassem aos professores inicialmente pesquisados, tivemos retorno de
apenas dois formulários completados. Por isso, resolvemos não prosseguir
com a análise dessa nova questão.
Após expor os resultados obtidos pelos questionários dos professores,
iremos analisar os resultados dos testes aplicados a alunos de dois dos
professores que responderam aos questionários.
9.2 – Análise dos Testes dos Alunos
Inicialmente faremos uma análise preliminar das questões incluídas no
teste realizado com os estudantes, apontando algumas possíveis soluções que
poderão emergir na aplicação in loco, discutindo as possíveis conclusões que
se podem fazer a respeito do encaminhamento dado à questão pelo estudante,
e fazendo comentários a respeito do possível trabalho desenvolvido pelo
professor juntamente a este grupo de alunos, ao cruzar os dados do
questionário respondido pelo professor.
Figura 145: Análise preliminar da questão 1 – item a
1. Uma função f de A = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} em
B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} é definida pela seguinte lei: f(x) = x – 1
a) Represente f em um diagrama de flechas.
Fonte: Bezerra, 1994, p. 44
261
O estudante deve notar que o conjunto A é o domínio da função,
enquanto o conjunto B é seu contradomínio. Assim, no item a, é preciso colocar
todos os elementos do conjunto A no diagrama de Venn representado por A,
assim como os elementos de B no diagrama B. Associar com setas os
elementos de A aos de B, onde cada elemento de B é uma unidade menor que
os elementos de A. Logo, o item a deverá ser representado da seguinte forma:
Figura 146: Representação em diagrama de Venn
Fonte: Elaborado pelo Pesquisador
Nível de Conhecimento exigido
Técnico em relação às operações dos valores numéricos de f.
Ostensivo Diagrama de Venn. Flechas da relação. Representação explicita de conjunto. Representação algébrica (fórmula) de função afim.
Não-ostensivo Noção de valor numérico.
Registro de representação semiótica
Registro diagrama. Registro de representação explicita de conjunto. Representação algébrica (fórmula) de uma função afim. Conversão do registro algébrico para o registro diagrama.
Figura 147: Análise preliminar da questão 1 – item b
Fonte: Bezerra, 1994, p. 44
Para a construção gráfica de f, o estudante deve marcar no plano
cartesiano os pontos associados aos pares relacionados pelas flechas obtidas
no item a. Ainda, ele deve notar que os conjuntos A e B apresentam valores
discretos, portanto ele não poderá traçar uma reta ligando tais pontos.
b) Faça o gráfico de f.
262
Figura 148: Gráfico da função f(x) = x – 1
Fonte: Elaborado pelo Pesquisador
Figura 149: Análise preliminar da questão 1 – item c
Fonte: Bezerra, 1994, p. 44
Para encontrar os valores de x, partindo dos valores numéricos de f: 3, 0
e -1, o estudante pode utilizar os valores ligados ou associados no diagrama de
flechas ou no gráfico de f, onde é possível verificar quais os valores do domínio
estão associados aos números 3, 0 e -1, obtendo os resultados 4, 1 e 0.
Também é possível que os estudantes resolvam as equações x - 1 = 3,
x – 1 = 0 e x – 1 = -1. Nesse último caso ele precisa dispor de conhecimento
associado à resolução de equação do 1° grau. Após resolver as equações,
Nível de Conhecimento exigido
Técnico em relação às operações dos valores numéricos de f. Disponível em relação à ideia de valores discretos.
Ostensivo Representação algébrica (fórmula) de uma função. Representação de uma função por diagrama de Venn. Representação gráfica de uma função. Representação explicita de conjunto (indicando seus elementos).
Não-ostensivo Noção de valor numérico. Noção de par ordenado. Noção de plano cartesiano
Registro de representação semiótica
Registro gráfico: Gráfico de f. Registro diagrama. Registro de representação explicita de conjunto. Representação algébrica (fórmula) de uma função afim. Trata-se de uma tarefa que exige a atividade cognitiva de conversão do registro diagrama para o registro gráfico ou do registro algébrico para o registro gráfico.
c) Determine x de modo que as sentenças f(x) = 3, f(x) = 0 e f(x) = -1 sejam verdadeiras.
263
deve verificar se os resultados encontrados para x pertencem ao domínio da
função.
Figura 150: Análise preliminar da questão 2
Fonte: Dante, 2010, p. 121
Na questão 2, o estudante percebendo pelo enunciado que a equação
fornecida (s = 2t – 3) tem como variável o tempo, e que o tempo somente é
válido para t 0 e sendo t um número real, então, ele toma alguns valores para
t, marca os pontos obtidos no plano cartesiano, e os liga, formando uma linha
reta. Esta questão é parecida com o item b da questão 1, no entanto, na
questão 1 os pontos do domínio eram todos dados, neste caso o estudante
deve eleger valores que poderá utilizar na equação que lhe fornecerá os pontos
para a construção do gráfico. Outra diferença entre estas duas questões é que
a primeira se tratava de valores discretos e nesta segunda questão, os valores
que a variável t pode assumir pertencem a um intervalo contínuo. Portanto ele
poderá traçar a reta a partir dos pontos marcados no plano cartesiano.
Nível de Conhecimento exigido
Mobilizável em relação aos pares ordenados de valores obtidos no item a. Disponível em relação à equação do 1° grau e a noção de domínio da função.
Ostensivo Representação de relações de correspondência. Representação de equações do 1° grau.
Não-ostensivo Noção de relação. Noção de valor numérico. Noção equação do 1° grau.
Registro de representação semiótica
Registro gráfico. Registro algébrico. Registro por meio de um diagrama. Registro de representação explicita de conjunto. Representação algébrica (fórmula) de uma função afim.
2. Um corpo se movimenta em velocidade constante de acordo com a fórmula matemática s = 2t – 3, em que s indica a posição do corpo (em metros) no instante t (em segundos). Construa o gráfico de s em função de t.
264
Figura 151: Gráfico da função s = 2t - 3
Fonte: Elaborado pelo Pesquisador
Figura 152: Análise preliminar da questão 3 – item a
Fonte: Caderno do Professor, 1ª série EM, vol. 2, p. 15
A questão trata de uma situação contextualizada artificial, pois os dados
do contexto não interferem na sua solução, ou seja, como é dada a equação
que relaciona a distância percorrida pela pedra e o tempo de queda, a
contextualização deixa de ser necessária tornando-se artificial.
O item a da questão pede que encontre a constante de
proporcionalidade k. Para este caso, o estudante pode substituir t = 1 e d = 4,9
na equação, obtendo k = 4,9.
Nível de Conhecimento exigido
Técnico em relação aos cálculos de s. Mobilizável em relação à construção gráfica. Disponível em relação ao intervalo de validade da situação.
Ostensivo Representação algébrica (fórmula) de uma função. Representação gráfica de uma função.
Não-ostensivo Noção equação do 1° grau. Noção de par ordenado. Noção de plano cartesiano. Noção de função afim e de movimento uniforme.
Registro de Representação Semiótica
Registro algébrico (fórmula) de uma função afim. Registro gráfico de uma função afim.
3. Quando uma pedra é abandonada em queda livre (sem considerar a resistência do ar ao movimento), a distância vertical d que ela percorre em queda é diretamente proporcional ao quadrado do tempo t de queda, ou seja, d = kt
2. Observando-se que após 1 segundo de queda
a pedra caiu 4,9 metros, pergunta-se:
a) qual e o valor da constante de proporcionalidade k?
265
Figura 153: Análise preliminar da questão 3 – item b
Fonte: Caderno do Professor, 1ª série EM, vol. 2, p. 15
Para resolver o item b, caso o estudante já tenha determinado a
constate k, ele vai utilizar a equação d = 4,9 t2. Neste caso então ele deverá
substituir t pelo valor 5, obtendo a distância de 122,5 metros.
Figura 154: Análise preliminar da questão 3 – item c
Fonte: Caderno do Professor, 1ª série EM, vol. 2, p. 15
No item c, o estudante pode substituir d pelo valor 49 na equação
d = 4,9t2, ficando com a equação 49 = 4,9t2. Ou t = , já descartando a
solução negativa. O estudante pode dar um valor aproximado para a raiz de 10.
Nível de Conhecimento exigido
Técnico em relação à resolução da equação. Mobilizável em relação à utilização dos valores t = 1 e d = 4,9.
Ostensivo Representação algébrica de uma função polinomial do segundo grau.
Não-ostensivo Noção de divisão. Determinação de valor numérico.
Registro de Representação Semiótica
Registro algébrico (fórmula). Trata-se de uma tarefa que exige a atividade cognitiva de tratamento.
b) qual é a distancia vertical percorrida após 5 segundos?
Nível de Conhecimento exigido
Técnico em relação à resolução da equação.
Ostensivo Representação algébrica de uma função polinomial do segundo grau.
Não-ostensivo Noção de multiplicação, potenciação e valor numérico.
Registro de Representação Semiótica
Registro Algébrico (fórmula). Trata-se de uma tarefa que exige a atividade cognitiva de tratamento.
c) quanto tempo a pedra levará para cair 49 m?
Nível de Conhecimento exigido
Técnico em relação à resolução da equação.
Ostensivo Representação algébrica (fórmula) de uma função polinomial do segundo grau.
Não-ostensivo Noção de potenciação, radiciação e equação do segundo grau.
Registro de Representação Semiótica
Registro Algébrico (fórmula). Trata-se de uma tarefa que exige a atividade cognitiva de tratamento.
266
Figura 155: Análise preliminar da questão 4
Fonte: Vestibular Unicamp 2012
Nessa questão, cujo contexto não é artificial, o estudante deve procurar
uma função v(x), conforme solicita o enunciado, que forneça a velocidade real
para cada valor marcado no velocímetro. Como também é a informação do
enunciado que esta relação é linear, o estudante deve dispor de
conhecimentos que lhe permita escrever que v(x) = ax + b. Usando então as
informações do enunciado, ele pode escrever v(20) = a.20 + b = 20 e
v(70)=a.70 + b = 65, encontrando para a e b os valores a = 0,9 e b = 2,
podendo escrever a equação v(x) = 0,9x + 2.
Esse é um problema bastante diferente daqueles trabalhados em sala de
aula, seja com Situações de Aprendizagem inseridas nos Cadernos do
Professor e Aluno, seja nos exercícios trabalhados nos Livros Didáticos, por se
tratar de uma tarefa que exige o nível disponível. Dessa forma, resolver esse
tipo de questão exige um conhecimento disponível em relação às noções
matemáticas necessárias para a sua solução e exige também que o estudante
encontre no conjunto de situações que dispõe, uma situação de referência que
o auxilie a interpretar a questão e utilizar os conhecimentos necessários para a
sua solução.
4. O velocímetro é um instrumento que indica a velocidade de um veículo. A figura ao lado mostra o velocímetro de um carro que pode atingir 240 km/h. Observe que o ponteiro no centro do velocímetro gira no sentido horário à medida que a velocidade aumenta. Determinado velocímetro fornece corretamente a velocidade do veículo quando ele trafega
a 20 km/h, mas indica que o veículo está a 70 km/h quando a velocidade real é de 65 km/h. Supondo que o erro de aferição do velocímetro varie linearmente com a velocidade por ele indicada, determine a função v(x) que representa a velocidade real do veículo quando o velocímetro marca uma velocidade de x km/h.
Nível de Conhecimento exigido
Disponível em relação à polinomial do primeiro grau. Disponível em relação à resolução de sistema de equações lineares com duas incógnitas. Disponível em relação a passagem do registro de representação em língua natural para o registro de representação algébrico.
Ostensivo Representação de função afim. Representação de um sistema de equações lineares com duas equações e duas incógnitas.
Não-ostensivo Noção de função afim. Noção de sistema de equações lineares. Método de resolução de um sistema de equações lineares.
Registro de Representação Semiótica
Registro da língua natural. Registro Algébrico (fórmula). Trata-se de uma tarefa que exige a atividade cognitiva de conversão do registro da língua natural para o registro algébrico e na sequência a atividade de tratamento.
267
Após as análises preliminares dos testes dos alunos e após a aplicação
do teste para as turmas de dois professores, analisamos como os estudantes
se saíram frente a estes testes.
Como comentamos anteriormente, dois professores foram escolhidos
para aplicar os testes a seus alunos. Um dos professores, o qual o
designaremos de prof_4, cujo resultado teórico que encontramos para uso do
Caderno ou do Livro Didático foi de 17% e 77%, respectivamente, aplicou o
teste em uma de suas salas de aula, com 18 estudantes da 3ª série do ensino
médio. O outro professor, o qual designaremos de prof_7, cujo resultado
teórico que encontramos para uso do Caderno ou do Livro Didático foi de 86%
e 8%, respectivamente, aplicou o teste em duas de suas salas de aula com um
total de 44 estudantes da 3ª série do ensino médio. Incialmente, fazemos as
análises separadas para cada um dos professores.
Análise das questões dos estudantes do prof_4.
Como dissemos na análise preliminar, no item “a” dessa questão, os
estudantes precisavam apenas organizar os elementos de cada conjunto nos
diagramas e ligá-los utilizando para isso a lei de formação fornecida na
questão. Porém, nos Cadernos do Professor ou do Aluno, durante o estudo de
funções, não se utiliza os Diagrama como os de Venn. Os diagramas dessa
natureza, nos Cadernos, foram utilizados somente no início do 9º ano, mas
para trabalhar problemas relacionados a conjuntos. Como o prof_4 tem uma
alta probabilidade de ter trabalhado com o Livro Didático com seus estudantes,
e os Livros Didáticos geralmente utilizam essa representação para a definição
de função, uma grande quantidade de estudantes deve saber como representar
f em um diagrama de Venn. Vale a pena lembrar também que esta atividade foi
retirada de um Livro Didático da década de 1990 e talvez os livros atuais
utilizados por estes estudantes não utilizarem desses diagramas.
Na resposta para o item “a” da questão 1, onze estudantes fizeram as
representações de forma totalmente correta. Os 7 que não fizeram totalmente
correta, apenas não incluíram no diagrama B os números -3 e 6, pois estes
valores, apesar de pertencerem ao contradomínio de f, não fazem parte da
268
imagem da função. Mas mesmos estes estudantes fizeram a correspondência
(-1 → -2), (0 → -1), ... (6 → 5) corretamente.
No item “b”, os estudantes não deveriam ligar os pontos por eles
marcados no plano cartesiano. Somente dois dos estudantes marcaram os
pontos de forma correta e não os ligaram. Outros doze restantes marcaram os
pontos de forma correta, no entanto ligaram os pontos, traçando uma reta. Um
dos estudantes marcou os pontos nos lugares corretos, mas traçou uma reta
que não corresponde aos pontos, e dois estudantes que ligaram os pontos,
fizeram com que o traço passasse na origem do plano cartesiano, pois
consideraram o ponto de coordenada (0, 1) como (0, 0).
Observamos aqui que, em geral, nos livros didáticos são tratadas
apenas as funções contínuas e o caso de funções discretas é desenvolvido
apenas por alguns autores.
No item “c”, os problemas começaram a ser mais acentuados e os erros
mais diferentes um dos outros. Somente 3 estudantes resolveram corretamente
e utilizaram uma notação matemática correta, apresentando o símbolo (→) ou
(=), como, por exemplo, f(x) = 3 → x = 4. Seis estudantes indicaram também a
resposta correta, mas a notação não foi a desejada. Utilizaram notações como,
por exemplo, f(x) = 3 → 4 ou, f(x) = 3, 4 = 3. Quatro estudantes deixaram
registrado as operações que nos mostraram o erro cometido como, por
exemplo, x = 4 – 1 = 3. Neste último caso, eles usaram para x a expressão de
f(x). Eles usaram no cálculo o antecedente mentalmente, para mostrar que o
cálculo levaria ao resultado que a atividade informava. Dois estudantes
indicaram que, se f(x) = 0, então x = 0 (não com esta notação), indicando que
estes estudantes fixaram a ideia de que a representação gráfica de uma função
deve passar necessariamente pela origem do sistema. Um estudante deixou o
item em branco.
269
Figura 156: Atividades de alguns estudantes do prof_4 para a questão 1
Aluno TTCB Aluno VGL Aluno KM
Fonte: A pesquisa
A questão 2 que retiramos de um Livro Didático atual. Independente de
qual material o professor tenha utilizado em sua sala de aula, os alunos
provavelmente deveriam ter desenvolvido competências para resolver
problemas dessa natureza. Oito estudantes representaram o gráfico da função
s = 2t – 3 de forma que podemos considerar aceitável como resposta, mas há
bastante imperfeições na construção gráfica pois, em algumas delas o traçado
se interrompe no primeiro e no último ponto demarcado sobre o plano. Ou
então os pontos não estão perfeitamente alinhados. Alguns estudantes
marcaram apenas dois pontos para t variando num intervalo de uma unidade, e
traçaram o gráfico apenas no intervalo desses dois pontos.
Cerca de cinco estudantes marcaram alguns pontos na posição correta e
outros pontos em posições indevidas, traçando o gráfico de forma incorreta.
Dois estudantes marcaram apenas um ponto no plano.
Grande parte dos estudantes deixou registrada a forma como obtiveram
os valores que permitiram marcar os pontos no plano cartesiano. Alguns
deixaram os valores registrados em tabelas, outros deixaram registradas as
operações. Dois deles não deixaram nenhum registro de cálculos.
O traçado de gráficos é bastante trabalhado nas atividades dos
Cadernos e nos Livros Didáticos. Assim, era de se esperar que os estudantes
da 3ª série do ensino médio tivessem a habilidade de traçar gráficos. Mas o
número de estudantes que mostrou a atividade resolvida de forma correta e
bem apresentada ficou abaixo do esperado.
270
Figura 157: Atividades de alguns estudantes do prof_4 para a questão 2
Aluno VG Aluno TTCB Aluno ACC
Fonte: A pesquisa
A questão 3 foi extraída dos Cadernos. Dessa forma, esperávamos que
a maioria dos estudantes desse professor mostrasse menos conhecimento de
como desenvolver a questão, uma vez que, provavelmente, esse professor
tenha trabalhado com ênfase na abordagem do Livro Didático em sala de aula.
No item “a” da questão 3 tivemos três estudantes que deixaram a
atividade em branco. Quatorze estudantes apresentaram corretamente o valor
da constante k = 4,9, porém somente nove deles mostraram o cálculo para
chegar a este resultado. Dos quatorze iniciais que apresentaram a constante
correta no item “a”, apenas onze acertaram o item “b”, inclusive apresentando
os cálculos: d = 4,9 . 52 = 122,5 m.
No item “c” dessa questão, aumentou o número de estudantes que o
deixou em branco, cinco. Do total de estudantes dessa turma, sete
apresentaram a resposta com 10, sem extrair seu valor. Nem todos eles
utilizaram notações corretas. Alguns registraram o resultado como t2 = 10.
Nenhum dos estudantes indicou a unidade de tempo ao final da resposta.
Outros estudantes fizeram cálculos sem sentido. Alguns por exemplo
registraram d = 49 – 4,9 = 44,1.
271
Figura 158: Atividades de alguns estudantes do prof_4 para a questão 3
Aluno VG Aluno MLT Aluno ACC
Fonte: A Pesquisa
A questão 4, como comentamos anteriormente, foi extraída do vestibular
da Unicamp – 2012. Esperávamos encontrar alguns estudantes preparados
para responder uma questão de vestibular. Nesta turma, quatorze estudantes
deixaram a questão em branco. Os outros quatro estudantes procuraram
utilizar alguns valores fornecidos no enunciado da questão e procuraram
relacionar estes valores. Porém, não chegaram a responder ao solicitado, pois
não chegaram a resultados satisfatórios.
Figura 159: Atividades de alguns estudantes do prof_4 para a questão 4
Aluno TTCB Aluno MLCM
Fonte: A Pesquisa
Análise das questões dos estudantes do prof_7.
As respostas desse professor ao questionário mostraram que ele tem
alta probabilidade de que utilize os Cadernos em suas aulas. Neste caso então,
esperamos que a questão 3 tenha melhor rendimento que as duas anteriores e
também, comparando com os estudantes da primeira turma, estes devem ter
resultados melhores. Dos quarenta e quatro estudantes dessa turma, dois
deles deixaram a folha de atividade totalmente em branco. Passaremos a
analisar as 42 respondidas.
No item “a” da questão 1, trinta e cinco estudantes representaram
corretamente os diagramas, com todos os valores dos conjuntos e com todas
as setas ligadas corretamente. Dos outros seis, dois não terminaram de
272
completar as setas que associavam os números dos dois conjuntos, um não
inclui os valores -3 e 6 no diagrama B e três deles cruzaram algumas flechas,
associando (2 → 0) e (1 → 1). Este resultado começa a mostrar algo
surpreendente, uma vez que o professor responde seu questionário com
características que utiliza o caderno, mas seus alunos têm conhecimento para
resolver diagramas de flechas, tema não trabalhado nos Cadernos.
Possivelmente esses estudantes, em algum momento de sua formação tiveram
contato com esse tema a partir de um trabalho provavelmente apoiado pelo
Livro Didático.
No item “b” o número de estudantes que deixou a questão em branco
aumentou para 10. Apenas dois estudantes marcaram os pontos no plano
cartesiano e não os ligaram. Desses, um acertou a posição de todos os pontos,
outro registrou o ponto de coordenada (1, 0) na marca do ponto (0, 0). Vinte e
um estudantes marcaram os pontos nas posições corretas, mas traçaram uma
linha sobre eles. Os demais estudantes marcaram pontos em locais incorretos
e também os ligaram, formando figuras parecidas com curvas ou segmentos de
retas que se encontravam formando zig-zag.
No item “c”, tivemos doze estudantes que indicaram corretamente os
valores que x deveria assumir em cada um dos casos, e todos os doze
representaram seus resultados de forma parecida, escrevendo a expressão
original f(x) = x – 1, substituindo f(x) pelo valor fornecido, por exemplo 3 = x – 1,
e em seguida, apresentando o valor de x, que no caso do exemplo tomado, x =
4. Treze estudantes apresentaram corretamente os dois primeiros valores de x,
ou seja, x = 4 e x = 1, mas na terceira operação, ao resolverem a equação
– 1 = x – 1, indicaram x = – 2, (cinco estudantes) ou x = 2 (sete estudantes),
demonstrando ainda terem problemas na resolução de equações desse tipo.
Seis estudantes apresentaram respostas erradas ou cálculos inacabados.
273
Figura 160: Atividades de alguns estudantes do prof_7 para a questão 1
Aluno BLF Aluno DBS Aluno LBS
Fonte: A Pesquisa
Na resolução da questão 2, tivemos dezenove estudantes que deixaram
a questão em branco. Dos estudantes que trabalharam na questão, apenas dez
construíram o gráfico de forma correta, e a maioria deixou registrados os
valores utilizados nas coordenadas dos pontos, ou em forma de tabela, ou
mostrando os cálculos na equação. A grande maioria dos estudantes que
trabalharam na questão, ou erraram os cálculos e fixaram os pontos em
coordenadas indevidas, ou simplesmente marcaram alguns pontos sobre o
plano cartesiano baseados em alguma indicação do enunciado do exercício.
Por exemplo, um estudante marcou somente o ponto de coordenadas (-3, 2),
possivelmente porque esses dois valores apareciam como coeficientes da
equação s = 2t – 3. Outros erros bastante frequentes eram os traçados de
linhas segmentadas, formando zig-zag, ou linhas curvas, às vezes sem passar
pelos pontos registrados.
274
Figura 161: Atividades de alguns estudantes do prof_7 para a questão 2
Aluno DBS Aluno LBS Aluno MLCM
Fonte: A Pesquisa
Comparativamente à turma do prof_4 (livro), as turmas do prof_7
(caderno) parece apresentar um rendimento bem inferior, tanto na resolução da
questão 1 como na resolução da questão 2 do teste. Como os estudantes da
primeira turma provavelmente estudam mais frequentemente com os Livros
Didáticos, e estas questões foram extraídas de um Livro Didático, era de se
esperar uma diferença. Porém, a diferença foi bastante acentuada. Mesmo que
os estudantes da segunda turma estudem com o uso dos Cadernos, deveriam
desconhecer somente o item “a” da questão 1, e deveriam ter melhor
rendimento nos demais itens. Por exemplo, na questão 2, enquanto que os
alunos da turma 1 tiveram um índice de acerto de 8 para 18, na segunda turma
o índice foi de 10 para 44.
Analisando os resultados para a questão 3, percebemos que mais
estudantes se aventuraram procurando resolver a questão, pois o número
daqueles que deixaram a questão em branco caiu para quinze.
Para o item “a”, vinte e dois estudantes indicaram corretamente que a
constante k valeria 4,9. No entanto, aqueles que apresentaram corretamente as
equações e fizeram corretamente os cálculos foram dezoito. Os outros quatro
ou simplesmente apontaram a resposta ou apresentaram erros na escrita das
equações.
275
Entre os estudantes que erraram o item “a” da terceira questão, ou
resolveram incorretamente os cálculos chegando a valores incorretos, ou
utilizaram de forma incorreta as equações. Um dos estudantes, por exemplo,
escreveu 4,9 = k.12 e em seguida apresentou k = 98.
No item “b” tivemos um número bem menor de estudantes que
apresentaram uma resposta correta à questão, apenas seis. Estes escreveram
corretamente a equação, substituíram o t por 5, encontrando como solução o
resultado d = 122,5 m. No entanto, nenhum deles indicou a unidade de medida.
Tivemos ainda quatro estudantes que escreveram corretamente a equação e
fizeram a substituição de t pelo valor 5, mas ao resolver o cálculo d = 4,9 . 52 ,
apresentaram como resposta 12,25, um desses estudantes ainda forneceu esta
solução e ainda usou a unidade “seg”.
Os outros estudantes que erraram, cometeram erro na operação
(4,9 . 25 = 0,196), outros não fizeram a potência do 5, resolvendo
4,9 . 5 = 24,5, ou dividindo 25 por 4,9. Muitos fizeram algumas operações sem
sentido.
No item “c” apenas um estudantes chegou ao resultado t = 10, mesmo
não colocando a unidade de tempo. Outro estudante que chegou mais próximo,
deixou a resposta como t2 = 10. Os demais, ou deixaram a resposta em branco
(22) ou utilizaram as equações indevidamente ou fizeram cálculos incorretos.
Como temos teoricamente que estes estudantes têm aulas com os Cadernos,
esperávamos que o índice de acerto nesta questão fosse melhor, pelo fato dela
ter sido extraída do Caderno. No entanto, somente dois dos quarenta e quatro
estudantes acertam tal questão. Muito menos do que os estudantes da turma
do prof_4, que supostamente têm aulas com o uso do Livro Didático.
276
Figura 162: Atividades de alguns estudantes do prof_7 para a questão 3
Aluno EOS Aluno WTL Aluno LBS
Fonte: A Pesquisa
A quarta questão foi deixada em branco por dez estudantes. Porém,
como ocorreu na turma do prof_4, nesta turma também nenhum estudante
chegou ao resultado correto, ou seja, nenhum estudante apresentou como
resposta a função v(x) = 0,9x + 2. Encontramos 20 folhas de atividades
somente a inscrição v(x) = x + 5. Possivelmente um ou alguns estudantes
usando o fato de que, para a velocidade de 65 km/h o velocímetro marcava 70
km/h, devem ter associado o número 5 à expressão. Outros estudantes podem
ter copiado esse resultado.
Um protocolo com a inscrição v(x) = x – 5. Um protocolo com a inscrição
x = x + 5. Dois protocolos com a inscrição v(x) = 5. Cinco protocolos com v(x) =
-5. Cinco protocolos com uma sequência de valores, como 65, 70, 85, 90, 115,
120. Provavelmente neste último caso, procurando chegar a alguma conclusão
sobre o comportamento do registro do velocímetro defeituoso.
Figura 163: Atividades de alguns estudantes do prof_7 para a questão 4
Aluno MRS Aluno KSS Aluno EMS
Fonte: A Pesquisa
277
As análises das atividades dos estudantes nos permitiram verificar que,
independentemente se eles estudaram com os Cadernos ou com os Livros
Didáticos, seus conhecimentos estão muito aquém daquilo que se esperava
para estudantes da série terminal do ensino médio. Também vemos que os
estudantes analisados nas duas turmas, têm dificuldades para resolver
problemas mais elaborados, como a questão 4 do teste, que normalmente são
apresentados em concursos vestibulares de universidades públicas.
Se realmente os estudantes da turma do prof_4 estudaram com o uso do
Livro Didático, seus resultados um pouco acima dos resultados dos estudantes
do prof_7, podem ter sido favorecidos por isso. Porém, não podemos afirmar
que o conhecimento um pouco superior demonstrado por essa turma,
comparado à segunda turma, tenha sido mérito do uso do Livro Didático.
Lembramos que o prof_4 pertence ao grupo 5, ou seja, o grupo que
conta com 10 escolas com desempenhos favoráveis e que só possuem o
ensino médio, enquanto que o prof_7 pertence ao grupo 6, ou seja, das 10
escolas com desempenhos não favoráveis e que só possuem o ensino médio.
Dessa forma, os resultados obtidos pelos alunos da primeira turma estão de
acordo com o grupo ao qual eles pertencem. Porém, comparativamente em
relação ao uso de material didático, os estudantes que possivelmente estudam
com o uso do Caderno tiveram rendimento inferior aos estudantes que
possivelmente estudam com o Livro Didático.
278
10 – CONCLUSÃO
Nosso trabalho envolveu análises de diversos materiais como
documentos, questionários e testes com questões, com foco no conceito de
função. Essas análises nos permitiram refletir sobre a abordagem desse
conceito, historicamente e epistemologicamente, apontando as concepções
próprias desses materiais e mais precisamente nos materiais de apoio ao
Currículo do Estado de São Paulo, os Cadernos do Professor e do Aluno.
As comparações dessas abordagens e concepções nos permitiram
traçar um perfil sobre as formas de tratamento desse objeto matemático e
como os autores dos diversos materiais pensaram no ensino e na
aprendizagem do conceito de função.
Os questionários aplicados aos professores permitiram verificar os tipos
de materiais que predominantemente esses professores utilizam em sua
prática da sala de aula e de que forma os mesmos fazem uso desses materiais.
Os testes aplicados aos alunos de dois desses professores pesquisados
nos permitiram verificar como esses alunos aprenderam o conceito de função a
partir dos materiais que supostamente esses professores utilizaram na sua
aula, e quais os conhecimentos supõe-se disponíveis por esses alunos ao
prestarem um exame vestibular para sua continuação dos estudos em nível
superior.
E, finalmente, analisando um conjunto de questões das avaliações em
larga escala do Estado de São Paulo – SARESP, verificamos os possíveis
rendimentos que os alunos tiveram nos períodos pré e pós-implantação dos
materiais de apoio ao Currículo do Estado de São Paulo.
Historicamente, vemos que o conceito de função foi se estabelecendo
como um objeto matemático em função do uso que se faziam dessa
ferramenta. Conforme Rogalski (2013), antigamente a ideia de função estava
bastante relacionada aos conceitos físicos, colocando a função como uma
noção de covariação entre grandezas. Somente a partir do século XVII a
função começa a ganhar o status de função numérica.
Hoje concebemos função como função numérica no interior da
Matemática. Grande parte das definições de funções em livros textos utilizam
279
os conceitos de conjuntos numéricos, como podemos ver em Dante (2010),
Lima et al. (2006) e Smole e Diniz (2010), apesar dessa última obra não
precisar os conjuntos utilizados.
No entanto, nos exemplos de aplicação as funções são utilizadas, na
maioria das vezes, como covariação de grandezas, ou seja, na forma como foi
concebida historicamente.
Esse é o grande mérito desse objeto matemático. Enquanto existe na
Matemática uma teoria da análise desenvolvida para o estudo de funções,
analisando-a como função numérica, procurando eliminar as armadilhas que
poderiam colocar em risco sua definição precisa, outras ciências tiram proveito
dessa noção para colocá-la a prova, utilizando-a em grande parte das vezes
com a condição de covariação de grandezas.
Nesse sentido vemos a aplicação desse conceito nas obras por nós
analisadas. A definição tende a conceber função como função numérica e os
exemplos contextualizados tendem à noção de covariação de grandezas.
Alguns com mais intensidade à primeira forma, outros com tendência maior à
segunda.
Os documentos oficiais brasileiros não parecem se importar com estas
diferenças. Mesmo porque, por esses documentos percebemos que a intenção
é introduzir o conceito de função aos estudantes do ensino básico de forma a
permitir que esses estudantes possam utilizar esse conceito como ferramenta
de modelagem de situações contextualizadas.
Essa é uma diferença marcante se compararmos a forma de conceituar
função com os documentos oficiais franceses, principalmente aqueles voltados
ao estudo científico do lycée. Nestes documentos percebe-se uma forte
tendência ao estudo de funções de forma analítica, isto é, os conceitos de
intervalos, de cardinalidade, de sequências finitas ou infinitas, variação e taxas
de variação, primitivas e outros conceitos que estão fortemente relacionados ao
estudo da teoria dos conjuntos e é posto em prática no estudo de funções.
Certamente, são feitos exemplos de aplicação nos estudos de funções
nos livros didáticos, como vimos em Brault et al. (2008) e Breltramone et al.
(2010, 2011, 2012), utilizando as funções como covariação de grandezas, no
entanto são colocadas questões nestes exemplos que remetem à reflexão de
funções numéricas, por parte dos estudantes.
280
Voltando aos documentos oficiais brasileiros, vemos que a LDB 9394/96,
se estabelecendo como norteadora das ações procedimentais e sociais
deixando a questão dos conteúdos a serem ensinados por conta dos sistemas
de ensinos, que devem estruturar seus Currículos de acordo com suas
realidades sociais e políticas.
As Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (DCENEM) de
1998 reforçam o que aponta a LDB 9394/96 sobre a elaboração do Currículo,
que este deve expressar a ideia do exercício da cidadania e do mundo do
trabalho. Também não indica conteúdos, mas orienta que os Currículos devem
se constituir de forma a desenvolver nos educandos competências e
habilidades necessárias ao desenvolvimento do ser humano.
Os PCN de 1998 e os PCNEM de 2000 começam a elaborar um esboço
do que viriam a ser os conteúdos para o ensino básico. Com a definição de
eixos na Matemática, no ensino fundamental, indicam que o estudo de funções
deve se estabelecer no eixo “Números e Operações” e a explorar a relação
entre duas grandezas e a generalização de padrões aritméticos, e no ensino
médio os parâmetros não apontam como deve ser estruturado os Currículos e
nem os conteúdos a serem ensinados. Mas, em 2002 os PCN+ apresentam
uma relação de conteúdos, incluindo o estudo de funções.
Dessa forma, vemos que os documentos oficiais brasileiros precisaram
ser readequados ao longo de sua implementação, pois pretendiam deixar
totalmente por conta dos sistemas de ensino e por conta das regiões, a escolha
da metodologia de ensino mais adequada e os conteúdos necessários. Porém,
sem ter uma diretriz que fosse comum às instituições de ensino, os educadores
não se sentiram apoiados e cobraram da União a elaboração de um plano de
ensino mais unificado, conforme observa Pereira (2013) em sua tese.
Assim, após a readequação dos documentos oficiais, o ensino de
funções passa a ser indicado a iniciar no 9º ano do ensino fundamental,
incluindo o estudo de funções polinomiais do 1º e do 2º graus. No ensino médio
essas funções são retomadas na 1ª série, quando também são ensinadas as
funções exponenciais e logarítmicas, sendo deixadas as funções
trigonométricas para a 2ª série. E o estudo analítico de funções ficou para a 3ª
série do ensino médio.
281
Vemos que, em geral, os Livros Didáticos brasileiros que analisamos e
os Cadernos seguem esta sequência. O que, em geral, se altera, é a forma de
abordar estes conteúdos.
Enquanto percebemos que a abordagem do conceito de função feita
pelos Livros Didáticos é realizada por meio do estudo de conjuntos numéricos,
tanto aqueles empregados no Brasil como os empregados na França, a
abordagem utilizada pelos Cadernos do Professor e do Aluno é feita por meio
da relação de proporcionalidade. Neste último caso, a variabilidade associada
ao conceito de função está mais diretamente relacionada às grandezas
envolvidas, concebendo função como variação de grandezas. Ou seja, a
abordagem feita pelos Cadernos é mais parecida àquela desenvolvida
historicamente.
No Estado de São Paulo, a Proposta Curricular de Matemática,
publicada em 2008, aponta que o estudo de funções deve ser iniciado no 9º
ano, com as “funções de 1º e 2º graus”, se referindo às funções polinomiais do
1º e 2º graus. E na 1ª série do ensino médio retoma a esses tipos de funções,
ampliando o estudo para as funções exponenciais e logarítmicas. Na 2ª série
estuda as funções trigonométricas e na 3ª série indica o estudo analítico de
funções, como indicava os PCN+.
O Currículo de Matemática do Estado de São Paulo de 2010, relativo ao
estudo de funções, não fez nenhuma alteração sobre a sequência do estudo de
funções expressa pela Proposta Curricular de 2008.
Uma diferença que notamos em relação a esse conceito nos dois
documentos, foi que, no primeiro deles o estudo de função estava inserido no
eixo grandezas e medidas, enquanto que no segundo foi inserido no eixo
relações. Nos dois casos percebemos claramente a ideia do conceito de
função concebida como covariação de grandezas.
Fazendo uma comparação com o programa nacional francês, que inclui
o estudo de funções no eixo “organização e gestão de dados, funções”,
notamos que neste caso, o olhar para o conceito de funções é feito por meio da
ideia de função numérica.
O Caderno do Professor, que foi implantado no Estado de São Paulo em
2008 pelo programa “São Paulo Faz Escola”, mostra acentuadamente que o
estudo de funções é feito a partir da ideia de proporcionalidade. As Situações
282
de Aprendizagens, que compreendem a forma de apresentação dos conteúdos
por esses materiais, iniciam o estudo de funções nos Cadernos do 9º ano do
ensino fundamental por meio de atividades que compreendem a verificação da
relação de proporcionalidade direta entre duas grandezas.
E dessa forma, quando em vários momentos, os autores dos Cadernos
pretendem mostrar algebricamente a expressão que representam as funções,
os fazem de forma a mostrar uma relação de proporcionalidade, seja entre o
valor da função e seu antecedente ( kxxf )( ), seja utilizando algum artifício
que permita representar alguma característica da função a partir de uma
relação de proporcionalidade ( kxhxf )( para a função afim,
2)()( hxkvxf para a função quadrática, )(.)()( 112 xfkxfxf para a
função exponencial, etc.).
A formação inicial do professor, quando se trata do conceito de função,
se dá por meio da definição com a utilização de conjuntos numéricos, como
podemos verificar em Stewart (2011) ou Lima et al (2006). Ou seja, as funções
são concebidas como funções numéricas e seu estudo implica na relação entre
elementos de dois conjuntos.
Por outro lado, os livros didáticos, atuais ou antigos, utilizados pelos
professores, também definem funções por meio de conjuntos, concebendo-as
como funções numéricas, mesmo fazendo aplicações das mesmas por meio de
covariação de grandezas, como podemos verificar em Bezerra (1994), Dante
(2005, 2010) e Smole e Diniz (2010).
É uma abordagem bastante ousada fazer o estudo de funções por meio
das relações de proporcionalidade. Neste caso, havíamos de esperar que uma
formação continuada intensa tivesse que fazer parte desse cenário, desde a
introdução dos Cadernos do Professor.
Isso foi idealizado pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo
ao criar o curso “A Rede aprende com a Rede - RAR” e o programa “Apoio a
Continuidade de Estudos”.
Segundo Pipitone et al (2010), os cursos do RAR foram desenvolvidos
por meio de estratégias de educação a distância com 30 horas de trabalho
online na forma de vídeo aulas, fóruns e outros recursos de mediação
pedagógica não presencial acompanhados por tutores. A tutoria foi
283
desenvolvida por professores coordenadores de oficina pedagógica – PCOP,
de acordo com suas áreas de atuação.
Esse curso foi um dos primeiros da rede estadual realizado à distância e
não teve um retorno como se desejava, além de não ter sido uma formação
voltada diretamente aos conteúdos dos materiais de apoio.
Se levarmos em conta que grandes recursos são destinados
para este fim parece bastante importante que sejam
aprimoradas as condições de êxito de tais cursos com objetivos
claros de incorporação de ganhos ao processo de educação
básica. (PIPITONE ET AL, 2010).
O primeiro curso voltado especificamente para o estudo dos conteúdos
dos Cadernos se deu inicialmente em 2010 pelos autores dos Cadernos aos
Professores Coordenadores das Oficinas Pedagógicas. Esses Professores
Coordenadores começaram a aplicar o curso aos professores de sua região no
ano seguinte. Ou seja, três anos após ter sido iniciado o uso dos Cadernos. E
lembrando ainda que poucos professores tiveram a oportunidade de participar
do curso, seja por limitação de vagas, seja por acumulo de funções.
Os Cadernos do Aluno tiveram sua implantação no ano seguinte aos
Cadernos dos Professores. Os professores necessitavam de um material
voltado aos seus alunos, uma vez que os Cadernos do Professor eram
exclusivos para este público e as atividades sugeridas já se apresentavam
respondidas.
Com a inclusão dos Cadernos dos Alunos, os professores tiveram a
facilidade de utilizar as atividades de forma mais abrangente, podendo inclusive
se utilizar das atividades para o lar e atividades de pesquisa incluídas nos
Cadernos que faziam parte dos materiais comuns dos estudantes.
Mas, um agravante se somou à facilidade. As atividades não seguiam a
mesma sequência de atividades dos Cadernos do Professor, e as mesmas
dificuldades que os professores encontraram no estudo de funções por meio
das relações de proporcionalidade permaneciam nas atividades que se
apresentavam aos estudantes.
Na época da implantação dos Cadernos do Professor e do Aluno, os
professores foram orientados a utilizarem em suas aulas, os materiais que
284
estavam sendo disponibilizados, mesmo que as escolas estivessem recebendo
os Livros Didáticos do programa federal – PNLD. Provavelmente essa transição
entre a utilização exclusiva dos Livros Didáticos para o uso de outro material
pode ter trazido um desconforto para os professores. Mas, em 2010, a rede
estadual comunicou publicamente que os Cadernos do Professor e do Aluno
eram materiais de apoio ao Currículo e que poderiam ser utilizados quando
fossem julgados convenientes e juntamente com outros materiais de estudo.
Portanto, hoje faz sentido verificarmos, como pretendeu este trabalho, se
o professor faz uso dos Cadernos do Professor e do Aluno, se faz uso dos
Livros Didáticos, ou se mescla esses materiais, inclusive com outras fontes de
pesquisa e estudo.
Os questionários aplicados a 38 professores da rede pública do Estado
de São Paulo mostraram que, nesse grupo de professores, a maioria não faz
uso dos Cadernos do Professor e do Aluno.
Foi possível verificar também por meio do formulário que, mesmo que o
professor responda que a função esteja fortemente relacionada com a ideia de
proporcionalidade, pois deve ser essa a ideia que lhe vem em mente quando
quer responder que utiliza os cadernos, acaba respondendo, em outra questão,
que faz a definição de função pela ideia de conjuntos, associando os elementos
do conjunto A aos elementos de um conjunto B, por meio de uma relação.
Ou seja, o professor não se desvinculou da ideia que formou sobre
funções, desde sua formação básica nos estudos escolares, quando de sua
formação superior inicial para o magistério ou de sua experiência obtida no
ensino por meio de Livros Didáticos que, geralmente, também definem função
utilizando conjuntos numéricos.
A metodologia utilizada pelos Cadernos envolve iniciar um tema
matemático por meio de uma Situação de Aprendizagem. Isso significa iniciar
um conteúdo por meio de suas aplicações, em seguida apresentar exemplos
de aplicações, e por fim espera-se que o estudante esteja preparado para
compreender a definição do tema em questão.
Essa forma de expor o conteúdo pode ser eficiente. No entanto, os
Cadernos especificam os caminhos que devem levar os estudantes às
reflexões necessárias para a definição de funções como covariação de
grandezas, utilizando-se das relações de proporcionalidade. Ou seja, a forma
285
como se conduz a construção do conhecimento pelos Cadernos é direcionada
por uma ideia central estruturante. Logo, mesmo que o aluno deva construir
seu conhecimento por meio das Situações de Aprendizagem, estas situações
são bem definidas, mas é preciso lembrar que Chevallard (2002) ressalta a
importância da desconstrução/reconstrução no estudo das obras por meio da
metáfora do quebra cabeça, pois reconstituímos apenas fragmentos de um
quebra cabeça que jamais será reconstruído em seu conjunto, com isso o
estudante nem sempre alcança a conclusão desejada pelo Caderno.
No ensino fundamental e no ensino médio o estudo das funções
polinomiais dos 1º e 2º graus se repetem, como geralmente se repetem
também nos estudos dos Livros Didáticos. No entanto, o estudo desse conceito
no ensino médio é mais aprofundado.
No ensino fundamental a relação entre o conceito de função e a ideia de
conjuntos numéricos parece não ser um fator preocupante. Enquanto uma
atividade apresenta uma situação discreta, faz a representação gráfica dessa
situação e apresenta sua lei de formação, outra atividade na sequência
também trata de uma situação discreta, mas representa um gráfico contínuo,
conforme podemos observar na figura 162. Em nenhuma dessas situações se
discutiu as características dos valores abordados.
286
Figura 164: Atividades sobre situações discretas
Fonte: Caderno do Professor, 2009d, vol. 2, 8ª série
Também é possível notar que situações como essas não são vistas
apenas nos Cadernos. Casos menos evidentes representam crescimentos
populacionais, como os crescimentos de colônias de bactérias, por exemplo,
por um gráfico contínuo, e não fazem nenhum comentário sobre as grandezas
envolvidas serem discretas ou contínuas.
Analisando os quadros dos tipos de tarefas relativas às atividades
apresentadas no volume 2 do Caderno do 9º ano, nas duas Situações de
Aprendizagem que tratam do domínio função, a Situação de Aprendizagem 2 e
a Situação de Aprendizagem 3, vemos que T4 (Identificar características de
proporcionalidade) e T5 (Calcular a constante de proporcionalidade) são as
tarefas predominantes. O que não percebemos em outras obras. No livro do 9º
ano de Dante (2005), por exemplo, não houve nenhuma ocorrência de T4 e T5.
Os tipos de tarefas mais frequentes foram T6 (Escrever uma expressão
algébrica) e T7 (Representar um gráfico cartesiano).
287
Nota-se também uma maior dispersão nos tipos de tarefas nos quadros
relativos aos Livros Didáticos analisados. Podemos supor que um professor
que utilizasse tais livros teria maior oportunidade para variar as atividades
apresentadas aos seus estudantes, possibilitando criar situações de referência
que os estudantes podem utilizar como disponíveis em outras oportunidades.
No estudo de funções feito pelos Cadernos do ensino médio, vemos que
ele também é centrado na ideia de proporcionalidade, concebendo, desse
modo, funções como covariação de grandezas. O professor poderia esperar
um estudo mais formal de funções na 1ª série do ensino médio, no entanto, a
introdução do estudo do conceito de função é praticamente idêntica àquela
realizada no ensino fundamental.
Faz-se a apresentação de notações como )(xfy , e f: S IR, onde
S IN *, mas não há um estudo voltado às relações entre conjuntos. Logo, não
há nenhuma atividade nos Cadernos, voltados ao ensino de função, que faça
representações por meio de diagramas de Venn (ou de flechas).
Assim, o professor poderá ver-se desprovido de situações que o
auxiliem a efetuar um estudo mais formal, apoiado no conceito de função
concebida como função numérica, e precisa recorrer a outros materiais como,
por exemplo, os Livros Didáticos se quiser ampliar a forma de trabalho com
esse objeto.
Mas resta sabermos se o professor terá tempo para pesquisar outros
materiais que servirão de apoio às suas aulas e se o tempo de suas aulas
comportará o uso de diversos materiais e diferentes métodos para o ensino de
determinados conceitos.
Comparando os tipos de tarefas solicitadas nas atividades do vol. 2 do
Caderno da 1ª série do ensino médio, notamos que a ocorrência da tarefa T4
(Identificar características de proporcionalidade) e T5 (Calcular a constante de
proporcionalidade) foi mais reduzida, sendo mais recorrentes as tarefas do tipo
T7 (Representar um gráfico cartesiano) e T9 (Encontrar informações e/ou
propriedades em gráficos cartesianos).
Portanto, as representações gráficas são as formas mais acentuadas do
trabalho com funções nesse Caderno. Isso também fica bastante evidente
288
quando verificamos que o título da Situação de Aprendizagem 2 e da Situação
de Aprendizagem 3 trazem embutido o tópico de representações gráficas.
Quando comparamos o estudo de funções apresentado nesse volume
do Caderno, que trata mais especificamente as funções polinomiais do 1º e 2º
graus, com os apresentados pelos livros didáticos da 1ª série do ensino médio
analisados neste trabalho, notamos que as diferenças começam a surgir desde
o momento da definição de função. O livro “Bezerra Matemática” e o livro
“Matemática Ensino Médio” definem estes tipos de funções por meio de
conjuntos.
A relação que estas obras fazem entre os conceitos de função e as
relações de proporcionalidade se restringe às funções lineares.
O mesmo acontece com o livro Declic Mathématiques, que também
define função por meio de conjuntos e também associa somente a função
linear com as relações de proporcionalidade.
Já o vol. 3 do Caderno da 1ª série do ensino médio apresenta tarefas
mais voltadas a T1 (Resolver uma equação) e T2 (Encontrar um valor para
uma função) quando trata de funções exponenciais, T9(Encontrar informações
e/ou propriedades em gráficos cartesianos) e T10 (Encontrar informações e/ou
propriedades em expressões algébricas) quando trata de funções logarítmicas.
Portanto, para esses tipos de funções os autores dos Cadernos não as
associaram às relações de proporcionalidade e as desenvolveram como
geralmente são desenvolvidas nos Livros Didáticos, ou seja, mostrando os
gráficos das funções de bases bem definidas e, recorrendo ao ostensivo gráfico
cartesiano tiram-se conclusões visuais sobre crescimento e decrescimento e
outras propriedades.
A diferença entre os Cadernos e os Livros Didáticos começa a se
evidenciar no momento em que os Cadernos passam a mostrar a função
exponencial e a logarítmica como inversas uma das outras, apelando mais uma
vez para o ostensivo de representação gráfica e mostrando que os pontos
(m, n) do gráfico de uma delas representa o ponto (n, m) em outra.
Diferentemente das obras brasileiras analisadas, a francesa apresenta o
estudo de funções exponenciais e logarítmicas no vol. 3, após ter introduzido
os conceitos de derivação. Portanto, as funções exponenciais mais usuais
289
neste estudo são as de base “e” e a função logarítmica, sendo tratadas como
inversa da função exponencial, é a função logarítmica neperiana.
Os Cadernos da 2ª série do ensino médio que tratam de funções
abordam as funções trigonométricas. O estudo é feito pela correspondência
entre os valores das relações trigonométricas obtidas por arcos sobre uma
circunferência e os gráficos cartesianos. As tarefas das atividades da Situação
de Aprendizagem 2 ficam todas concentradas entre T6 e T10 ou seja, se
concentram nas representações gráficas e nas representações algébricas. E as
tarefas das atividades da Situação de Aprendizagem 3 são apenas as T1 e T2,
centrando na resolução de equações trigonométricas. Já a obra de Bezerra
(1994) as tarefas são T7 (Representar um gráfico cartesiano), T9 (Encontrar
informações e/ou propriedades em gráficos cartesianos) e T10 (Encontrar
informações e/ou propriedades em expressões algébricas), enquanto que na
obra de Smole e Diniz (2010), as tarefas analisadas ficam quase todas entre
T1(Resolver uma equação) e T2 (Encontrar um valor para uma função).
Se o professor opta por trabalhar apenas uma dessas obras, seja os
Cadernos ou um dos livros didáticos, fica limitado no trabalho de diversificar as
situações de referência para seus estudantes. Daí a importância de mesclar as
fontes de pesquisa e os materiais de uso nas salas de aula.
Também neste tema função trigonométrica do setor de funções
numéricas os autores não fazem relações dessas funções com
proporcionalidade.
Comparando esse trabalho dos Cadernos e os analisados nos livros
mais antigo e mais atual, percebemos que esse estudo tem se mantido com a
mesma estrutura anteriormente à LDB 9394/96 e posteriormente a ela.
O que é percebido nos Cadernos é a forma de introduzir o conceito de
funções trigonométricas por meio de situações periódicas, utilizando como
exemplos o movimento aparente do sol e os comprimentos das sombras
durante o dia.
O vol. 3 do Caderno da 3ª série do ensino médio, o único dessa série
que trata do conceito de funções, faz o tratamento analítico de funções e este
tratamento aproveita muito do ostensivo gráfico cartesiano. Tem suas tarefas
bastante concentradas em T7 (Representar um gráfico cartesiano). O estudo
da função exponencial de base “e” segue um apelo analítico desconexo dos
290
outros tópicos. Sua apresentação se faz considerando o limite da sequência
n
n
11 para n crescendo indefinidamente, da mesma forma que Dante (2010,
p. 249) quando apresenta o mesmo tipo de função.
Comparando o que algumas obras apresentam no estudo das funções
exponenciais de base “e”, talvez fosse mais natural se os Cadernos seguissem
uma linha de raciocínio verificada na obra de Beltramone et al (2012) e Stewart
(2011), onde se justifica que a taxa de variação da função exponencial de base
“e” no ponto x = 0 é 1, enquanto que para a função exponencial de base “a” é
ln(a), ou seja para a = 2 a taxa é aproximadamente 0,693 e para a = 3 a taxa é
de aproximadamente 1, 099. Portanto a base que melhor se ajusta para o caso
citado é e 2, 718.
De certo que as obras de Beltramone et al (2012) e Stewart (2011)
utilizam o conceito de derivadas como taxa de variação, mas as
representações gráficas apresentada na obra de Stewart (2011) permitem uma
compreensão relativa às taxas de variação para as funções exponenciais no
ponto x = 0, mesmo sem o apelo ao conhecimento de derivação.
Ao analisar a relação pessoal esperada dos estudantes, comparando
seus rendimentos anteriormente ao momento de implantação do Currículo e
dos materiais de apoio Cadernos do Professor e do Aluno com o período
posterior à implantação, por meio das questões do SARESP disponibilizadas
pelos relatórios desse Sistema, vemos que os índices de acertos foram
inferiores no segundo momento.
Confrontando estes resultados como os índices apresentados pela
avaliação do SAEB e do SARESP, por meio dos gráficos que representam
estes índices, vemos que eles são um pouco inferior a partir do ano de 2008.
Isso vem corroborar com as análises que fizemos sobre os resultados das
questões do SARESP.
Os testes aplicados aos estudantes de dois dos professores analisados
nos mostraram também que o nível de conhecimento dos estudantes da série
final do ensino médio está bem abaixo daquilo que se espera para um
estudante dessa série.
291
Esse resultado não é muito diferente daqueles observados nos relatórios
do SARESP. No relatório de 2010, por exemplo, foi apresentada a comparação
dos índices obtidos pelos estudantes do 5º ano do ensino fundamental e dos
estudantes da 3ª série do ensino médio, apontando essa diferença como sendo
73,5 pontos na escala de proficiência, enquanto que essa diferença deveria ser
de 125 pontos nesses 7 anos de escolaridade (SÃO PAULO, 2011, p. 32).
No mesmo relatório indica que a 3ª série do ensino médio também
apresenta maior distanciamento do índice que deviria ser considerado
adequado para essa série. Essa diferença é de 80,8 pontos na escala de
proficiência, onde essa defasagem representa cerca de 4 anos de escolaridade
(São Paulo, 2011, p. 32). Portanto, por meio desses índices podemos comparar
os resultados dos estudantes da 3ª série do ensino médio com aqueles
adequados para os estudantes do 8º ano do ensino fundamental.
A falta de crescimento nos resultados obtidos pelos estudantes da rede
pública do Estado de São Paulo, principalmente os da 3ª série do ensino
médio, pode estar atrelada a forma como eles são ensinados.
Os resultados das pesquisas realizadas com os professores por meio
de questionário mostram que estes têm conhecimento dos conteúdos e da
metodologia trabalhados pelos Cadernos. O quadro da figura 140 nos mostra
que os resultados nas questões 3 e 4, que os professores pesquisados
apontam como probabilidade do uso dos Cadernos de 41% e 39%, contra a
probabilidade de 33% e 39%, respectivamente. Essas questões apontam que o
professor conhece os conteúdos e as metodologias utilizadas pelos Cadernos,
pois respondem que a ideia de proporcionalidade é aquela que mais se
relaciona com função e que a função deve ser representada, preferencialmente
na ordem tabela > gráfico > fórmula > língua materna.
Mas esses índices diminuem drasticamente quando os professores
apontam de que forma eles costumam definir funções ao ensinar esse
conceito. São 28% de probabilidade favorável ao uso dos Cadernos contra
72% de probabilidade ao uso do Livro Didático.
Ou seja, os professores reconhecem os materiais distribuídos pela
Secretaria de Educação Estado de São Paulo e possivelmente até o colocam
em uso. Mas no momento do professor realizar seu trabalho, o faz da forma
292
tradicionalmente reconhecida nos Livros Didáticos e daquela que corresponde
ao desenvolvimento do saber que fez parte de sua formação inicial.
Nesse sentido, podemos notar que há um descompasso no uso dos
materiais de apoio ao Currículo, que são os Cadernos do Professor e do Aluno.
Se por um lado os professores se sentem ou se sentiram obrigados a utilizar
esses materiais, o fizeram sem uma formação específica, vista como
necessária à implantação de um material que apresenta uma metodologia de
estudo bastante diferenciada daquela verificada na formação inicial do
professor ou de sua experiência no ensino, com a utilização de outros materiais
de apoio como os livros didáticos.
A formação continuada pensada para minimizar esse quadro iniciou-se
tardiamente. Mesmo assim, o público envolvido foi muito reduzido e o formato
dessa formação não atingiu os objetivos necessários. Tanto que foi pensado
posteriormente um curso no formato à distância.
Pelo fato da rede pública estadual de São Paulo abranger um território
muito extenso, comportando mais de 5000 escolas, e possuindo um material
próprio de apoio ao Currículo, esse fato deveria estimular as instituições de
nível superior de formação inicial a prepararem seus cursos voltados ao uso
desses materiais. Se não o fazem ou não o fizeram até o momento, ou foi
porque não houve boa vontade ou interesses econômicos nessa formação, ou
porque os materiais não agradaram as instituições por não acreditarem em seu
valor didático.
Diante dessas observações, as questões levantadas no início deste
trabalho poderão ser respondidas, levando em conta todas as análises
efetivadas, todos os pontos considerados e todas as reflexões realizadas.
Assim, levando em conta a questão “Entre os conhecimentos
relacionados ao conceito de função, abordados no Currículo, quais são
aqueles que devem estar disponíveis ou mobilizáveis na transição do
ensino fundamental para o ensino médio e ao final do ensino médio?”,
podemos dizer que o Currículo pretende que os estudantes tenham seus
conhecimentos disponíveis ou mobilizáveis na utilização dos diversos tipos de
funções como ferramentas de modelagem às situações cotidianas ou relativas
às ciências ou ao mundo do trabalho, e que possam utilizar esse conhecimento
293
como situações de referência em problemas onde os conceitos de função
possam ser colocados em prática.
No entanto, para que esses objetivos sejam atingidos, os alunos
deveriam demostrar seus conhecimentos frente às avaliações colocadas a
eles, envolvendo os diversos temas e tópicos relativos a funções. E vimos que
os conhecimentos dos estudantes ainda estão aquém daquilo que seja
considerado desejável.
Mesmo que os professores analisados respondam que seus alunos
estudam às vezes, possivelmente os estudos que os estudantes estejam
fazendo podem estar comprometidos com a mesma confusão que talvez esteja
comprometendo o ensino dos mesmos, pelo fato de diferentes metodologias de
ensino serem aplicadas aos mesmos pelo sistema de ensino ao qual estão
engajados.
Sobre a questão “Como os professores organizam as atividades
para seus alunos para esse fim (comparação entre o Currículo Prescrito e
o Currículo em Ação)?”, podemos perceber que os professores pesquisam os
materiais de apoio ao Currículo, Cadernos do Professor e do Aluno. É possível
que esses professores até utilizam as atividades em sala de aula. Os
estudantes provavelmente procuram responder as questões apresentadas
pelos Cadernos do Aluno, possivelmente levam as questões dirigidas para o lar
para estudarem fora do ambiente escolar. Mas, quando o professor vai expor
os conteúdos de algum tema ou tópico na sala de aula, em geral, utiliza de
métodos e concepções adquiridas por sua experiência e pela sua formação
inicial, o que, muitas vezes diverge da metodologia utilizada pelos Cadernos do
Professor e do Aluno. Essa combinação de concepções certamente traz mais
prejuízos do que lucros ao desenvolvimento dos conhecimentos dos
estudantes.
E isso já é um principio do que se pode responder à questão “Que meio
os estudantes dispõem para trabalhar as tarefas propostas nos materiais
de apoio ao Currículo (Caderno do Professor e Caderno do Aluno)?”. Pois
os meios que os estudantes dispõem para trabalhar as tarefas propostas são
aqueles tratados na sala de aula pelo professor. E como vimos pelos quadros
apresentados ao longo da pesquisa com os Cadernos do Professor e do Aluno
e dos Livros didáticos, os tipos de tarefas são bastante limitados. Muitas vezes
294
durante uma Situação de Aprendizagem do Caderno as tarefas se limitam a
alguns tipos somente. Podemos citar como exemplo a Situação de
Aprendizagem 2 do vol. 3 do Caderno da 3ª série do ensino médio que solicita
somente a tarefa do tipo T7 (Representar um gráfico cartesiano) em suas
atividades. E essa falta de variação dos tipos de tarefas não é privilégio
somente dos Cadernos, pois os Livros Didáticos também apresentam as
mesmas fragilidades. Por exemplo, as atividades do livro de Smole e Diniz
(2010, p. 202 - 209) apresentam uma concentração de tarefas do tipo T1
(Resolver uma equação), ao estudar as funções logarítmicas.
Assim, para que os estudantes tenham meios mais eficientes para tratar
as tarefas que são apresentadas nos Cadernos, o professor deve ampliar os
tipos de atividades apresentadas aos seus estudantes, procurando utilizar uma
metodologia central para seu trabalho que venha ao encontro dos materiais
diversos de sua prática, de forma que os conflitos entre metodologias e
concepções sejam superáveis.
Logo, em relação à questão “Que conhecimentos são esperados
disponíveis aos professores para apoiar seu trabalho com as tarefas
propostas (conhecimento sobre o objeto função, os tratamento e as
conversões sobre os diferentes registros e sobre as dificuldades dos
estudantes)?”, a resposta é clara. Se a rede de ensino pública do Estado de
São Paulo pretende manter o programa “São Paulo Faz Escola”, com a
distribuição e uso regular dos materiais de apoio ao Currículo, Cadernos do
Professor e do Aluno, é preciso pensar numa formação continuada eficiente,
que realmente envolva todos os professores da rede, voltada à metodologia e
as concepções adotadas pelos materiais. Os conhecimentos que os
professores trazem como disponíveis da sua formação inicial são conflitantes
com a concepção que os materiais de apoio ao Currículo apresentam em
relação ao objeto de estudo funções. Dessa forma os possíveis tratamentos e
conversões entre diferentes registros de representação de função utilizados
pelo professor ao expor os conteúdos aos seus alunos, são afetados pelos
conhecimentos que o docente adquiriu. As dificuldades dos estudantes podem
ser agravadas diante dessa situação.
E esses fatos implicam também em responder a questão “Quais as
dificuldades apresentadas pelos professores para o trabalho com o atual
295
Currículo, apesar de já terem passado por uma formação inicial?”, pois as
dificuldades estão na mudança de concepção pela qual o professor deve
passar para dar conta de trabalhar os Cadernos com seus alunos.
O Currículo do Estado de São Paulo, cuja implantação foi iniciada em
2008 com a Proposta Curricular, atendeu as demandas que se instalou no
Brasil, por conta da LDB 9394/96. Este por sua vez atendia a demandas mais
amplas que ocorriam no mundo, como as políticas e sociais desencadeadas
pelo processo de globalização (MARTINS, 2000).
As leis, as Diretrizes e os Parâmetros elaborados e publicados pelos
órgãos de educação federais indicavam que os sistemas de ensino deveriam
elaborar seus Currículos para que estivessem à altura das expectativas da
comunidade e que orientasse o trabalho dos profissionais da educação.
O Currículo do Estado de São Paulo foi elaborado, procurando
estabelecer diretrizes para o trabalho do professor e orientações sobre o
desenvolvimento de habilidades e competências. Inclusive indicando os
conteúdos a serem desenvolvidos durante os anos finais do ensino
fundamental e o ensino médio, abrangência desse documento. A orientação do
trabalho por meio de Situações de Aprendizagem (SÃO PAULO, 2010, p. 53) e
o desenvolvimento de conteúdos por ideias fundamentais (ibid., p. 36) também
são trazidas nesse documento.
Os Cadernos, que tiveram sua implantação no mesmo ano que a
Proposta Curricular com o Caderno do Professor, foram elaborados de acordo
com as regras estipuladas no Currículo. Mantiveram as competências como
referência e abordaram os conteúdos conforme sugerido.
As questões acima corroboram com a noção de níveis de
codeterminação de Chevallard (2002), pois os estudos mostraram que, em
geral, os professores utilizam os Livros Didáticos e os Cadernos para o
desenvolvimento de suas aulas e, muitas vezes, para a construção dos planos
de aula.
Assim, é comum que esses planos apresentem os domínios e setores na
mesma ordem que aparecem nos Livros Didáticos ou nos Cadernos. Mas
geralmente o professor se refere apenas aos tópicos e temas no decorrer das
aulas, trabalhando em fila indiana. Mas, como ressalta Chevallard (2002), se o
296
professor não localiza temas e tópicos nos setores e domínios, irá provocar
uma atomização do material de estudo.
O exemplo a seguir apresenta o esquema de níveis de codeterminação
matemática para o domínio funções e coloca em evidência que, em geral, o
trabalho do professor se restringe ao nível domínio e os outros níveis
dependem da noosfera disciplinar e da política, mas é preciso que o professor
compreenda a proposta para atuar nos níveis setor e domínio, senão ele se
limita aos níveis tema e tópicos.
Figura 165: Exemplo de níveis de codeterminação para a função afim
Nível de Codeterminação Exemplo Responsabilidade
Sociedade
Ponto de vista disciplinar
com projetos de
competências
Política
Escola
Ensino médio para
maiores de 16 anos na
EJA (Educação de Jovens
e Adultos)
Política
Pedagogia
Número de aulas de cada
tópico em função da carga
horária
Noosfera disciplinar
Disciplina Matemática Noosfera disciplinar
Domínio Funções Noosfera disciplinar
Professor
Setor
Função numérica de uma
variável real a valores
reais
Noosfera disciplinar
Professor
Tema Função afim Professor
Tópico Gráfico de função afim Professor
Fonte: Elaborado pelo Pesquisador
Assim, concordamos com Chevallard que é preciso que o professor
assuma as possibilidades de trabalho sobre setores e domínios, procurando
tarefas que motivem o desenvolvimento de um tópico associado a um
determinado tema.
297
Dessa forma, além do material didático desenvolvido pela noosfera
disciplinar, seria interessante propor cursos em que os professores pudessem
construir suas próprias tarefas motivadoras.
Podemos considerar que a concepção de trabalho apresentada nos
Cadernos foi inovadora. O tratamento do conceito de função por meio da ideia
central de proporcionalidade colocou em jogo uma maneira diferenciada do
tratamento desse conceito no ensino médio, mas pegou o professor
despreparado para lidar com essa mudança, pois, em geral, os mesmos não
têm o habito de desenvolver determinado conteúdo matemático por meio de
tarefas por eles mesmo construídas.
Assim, nosso trabalho de pesquisa parece mostrar que o professor ficou
atordoado no meio dessas mudanças e sem possibilidades de encontrar a
relação entre antigas e novas praxeologias, pois essas eram propostas pela
noosfera disciplinar sem a participação do grupo de professores que deveriam
implementá-las. Dessa forma, o estudante parece ter sofrido as consequências
negativas do descompasso entre as relações institucionais esperadas e
aquelas que são efetivamente colocadas em prática pelos professores.
Como o ciclo da implantação dos materiais de apoio ao Currículo ainda
não se encerrou, e como as acomodações podem ser mais morosas que
desejamos, é possível que dentro de algum tempo possamos ter resultados
mais positivos do sistema que se instalou na educação. Porém, se a formação
inicial e continuada do professor não acompanhar as mesmas mudanças
sofridas pelo sistema educacional paulista, é possível que fiquemos
estagnados nos mesmos níveis de conhecimento observados pelas diferentes
avaliações realizadas.
Por outro lado, se as formações inicial e continuada dos professores se
mantiverem irredutíveis às mudanças que venham ao encontro das
concepções dos Cadernos, então as autoridades que mantém a produção,
distribuição e as orientações relativas ao uso dos Cadernos é que vão precisar
repensar o futuro desses materiais e procurar novos meios de motivar
professores para que os mesmos sejam capazes de tornar a Matemática uma
disciplina de interesse dos estudantes, mostrando suas possibilidades de
aplicação para o desenvolvimento pessoal e da sociedade que estão inseridos.
298
299
11 – BIBLIOGRAFIA
ANDRADE, S. N. Possibilidades de Articulação entre as Diferentes Formas
de Conhecimento: a Noção de Função Afim. Dissertação de Mestrado.
Universidade Cruzeiro do Sul - UNICSUL. São Paulo, 2006.
_______. Expectativas Institucionais Relacionadas à Transição Entre o
Ensino Médio e Ensino Superior Para o Caso da Noção de Função
Exponencial. Tese de Doutorado. Universidade Bandeirantes de São Paulo –
UNIBAN. São Paulo, 2012.
BELTRAMONE, J. P. et al. Déclic Mathématiques. 2de. Livre du Professeur.
Corretion des exercices. Paris : Hachette Éducation, 2010.
_______. Déclic Mathématiques. 1re. Livre du Professeur. Corretion des
exercices. Paris : Hachette Éducation, 2011.
_______. Déclic Mathématiques. Tale. Livre du Professeur. Corretion des
exercices.Paris : Hachette Éducation, 2012.
BEZERRA, J. M.. PUTNOKI, J. C. Bezerra Matemática – 2º grau – Volume
Único. São Paulo: Scipione, 1994.
BOSCH, M.; CHEVALLARD, Y. La sensibilité de l’activité mathématique aux
ostensifs Objet d’etude et problematique. Recherches en Didactique des
Mathématiques. Vol 19, no 1, p.77-124. 1999.
BOTELHO, L. REZENDE, W. Um breve histórico do conceito de função.
Revista Dá Licença, vol. 6, ano 9. Universidade Federal de Fluminense. Pág.
64 a 75. Rio de Janeiro, 2007.
BOYER, C. B. História da Matemática: tradução: Elza Furtado Gomide. São
Paulo, Edgar Blücher, 1974.
BRASIL. Ministério da Educação. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas
Educacionais Anísio Teixeira. SAEB 2005: Médias de desempenho do
Saeb/2005 em perspectiva comparada. Brasília, MEC, 2007.
300
_______. Ministério da Educação. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas
Educacionais Anísio Teixeira. SAEB/Prova Brasil: Metodologia, Estratégias
e Resultados. Brasília, MEC, 2010.
_______. Ministério da Educação. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas
Educacionais Anísio Teixeira. SAEB/Prova Brasil 2011- Primeiros
Resultados. Brasília, MEC, 2012.
_______. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares
Nacionais – 3° e 4° Ciclos do Ensino Fundamental: Matemática. Brasília:
MEC / SEF, 1998a.
_______. Câmara da Educação Básica. Diretrizes Curriculares Nacionais
para o Ensino Médio. Resolução 03, de 26 de julho de 1998. Brasília: MEC,
1998b.
_______. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros
Curriculares Nacionais Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e
suas Tecnologias. Brasília: MEC / SEMT, 2000.
_______. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros
Curriculares Nacionais Ensino Médio: PCN+ – Ciências da Natureza,
Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC / SEMT, 2002.
_______. Secretaria de Educação Básica. Orientações Curriculares para o
Ensino Médio: volume 2 – Ciências da Natureza, Matemática e suas
Tecnologias. Brasília: MEC / SEB, 2006.
_______. Câmara da Educação Básica. Diretrizes Curriculares Nacionais
para o Ensino Médio. Resolução 02, de 30 de janeiro de 2012. Brasília: MEC,
2012.
BRAULT, R. et al. Mathématiques – Colletion Phare - 3e. Livre du Professeur.
Corretion des exercices. Paris : Hachette Éducation, 2008.
301
CHEVALLARD, Y. Concepts fondamentaux de la didactique : perspectives
apportées par une approche anthropologique. Recherches en Didactique
des Mathématiques 12 /1, p. 77-111. Paris, 1992.
_______. Ostensifs et non-ostensifs dans l’activité mathématique,
Séminaire de l’Associazione Mathesis, Turin, 3 février 1994, in Actes du
Séminaire 1993-1994, 190-200. 1994a.
_______. Les processus de transposition didactique et leur theorization ,
in La Transposition didactique à l’épreuve des faits, (ouvrage en
collaboration avec G. Arsac, J.-L. Martinand et A. Tiberghien), La Pensée
Sauvage. Paris: 1994b.
_______. Famillière et problémathique, la figure du professeur. Recherche
de Didactique de Mathématiques, 17/3. 1997.
_______. Organisation Didatique 1. Dictionnaire de didactique des
mathématiques. 1998.
_______. Organiser l’étude 1. Structures & fonctions » Actes de la Xie école
d’été de didactique des mathématiques (Corps, 21-30 août 2001), La Pensée
Sauvage, Grenoble, p. 3-32. 2002.
_______. Organiser l’étude 3. Ecologie & Regulation. Actes de la Xie école
d’été de didactique des mathématiques, La Pensée Sauvage, Grenoble, 2002.
_______. Les mathématiques dans les formations universitaires: un
schéma alternative. Notes pour exposé présenté au séminaire.
Mathématiques et sciences humaines de la Faculté des sciences de Luminy,
Méditerranée, 2007.
CHEVALLARD, Y. GERNIER, J. Le topos de l’éleve. Actes de la IX école d’été
de didactique des mathématique. Houlgate, France. 1997.
CARAÇA, B. J. Conceito Fundamental de Matemática. Lisboa, 1951.
CONTADOR, P. R. M. Matemática, uma breve história. São Paulo: Editora
Livraria da Física, 2008.
302
COSTA, J. C. O. O Currículo de Matemática no Ensino Médio do Brasil e a
Diversidade de Percursos Formativos. Tese (Doutorado) – Faculdade de
Educação da Universidade de São Paulo, São Paulo, 2011.
COPPÉ, S., DORIER J., YAVUZ, I. Elements d’analyse sur le programme de
2000 concernat l’enseignement des fonctions. Petiti x num. 71. . IREM de
Grenoble, 2006.
DANTE, L. R. Tudo é Matemática. Ensino Fundamental. Vol. 4. 8ª série, 2 ed.
São Paulo: Ática, 2005.
_______. Matemática: Contexto e Aplicações. Ensino Médio. São Paulo:
Ática, 2010.
DEDE, Y. OSYBAS, D. Preservice Mathematics Teacher’s Experiences
about Function and Equation Concepts. Eurasia Journal of Mathematics,
Science & Technology Education, 2011.
DIAS, M. A. Les problèmes d’articulation entre points de vue « cartésien »
et « paramétrique » dans l’enseignement de l’algèbre linéaire. Thése de
doctorat. Université de Paris VII Denis Diderot. Paris, 1998.
DUVAL, R. Sémiosis et pensée humaine. Perter Lang, Paris, 1995.
______. Registro de Representação Semióticas e Funcionamento
cognitivo da Compreensão em Matemática. In Aprendizagem em
Matemática. Org. Silvia Dias Alcântara Machado. Coleção Papirus Educação.
Campinas, 2003.
______. Ver e ensinar Matemática de outra forma: entrar no modo
matemático de pensar: os registros de representação semióticas. 1ª Ed.
São Paulo. PROEM, 2011.
EDNA, M. Z., PACCA, J. L. A. O conceito de função e sua linguagem para
os professores de Matemática e de Ciências. Revista Ciência & Educação,
v.8, n° 1. Brasil, 2002.
303
EVES, H. Introdução à História da Matemática. Tradução: Hygino H.
Domingues. Campinas, São Paulo: Editora da Unicamp, 2004.
FERREIRA, A. B. H. Novo Aurélio, Século XXI: o dicionário da língua
portuguesa. 3 ed. Rio de Janeiro, Nova Fronteira, 1999.
FRANCE. Ministère de l’Éducation Nationale. Bulletin Officiel nº 30 du 23 julliet
2009. Mathématiques, classe de seconde. Paris, 2009. Disponible dans
http://www.education.gouv.fr/cid52692/les-enseignements-nouvelle-
seconde.html. Consulté le 8 Janvier 2014.
______. Ministère de l’Éducation Nationale. Bulletin Officiel nº 3 du 17 mars
2011. Mathématiques, classe de 1ère des séries technologiques. Paris,
2011. Disponible dans
http://www.education.gouv.fr/cid55412/mene1104152a.html. Consulté le 8
Janvier 2014.
______. Ministère de l’Éducation Nationale. Bulletin Officiel nº 8 du 13 octobre
2011. Mathématiques, classe terminale de la série technologique. Paris,
2011. Disponible dans
http://cache.media.education.gouv.fr/file/special_8_men/98/8/mathematiques_S
TL_biotechnologies_195988.pdf. Consulté le 8 Janvier 2014.
GODOY, E. V. Currículo, cultura e Educação Matemática: uma
aproximação possível? Tese (Doutorado) Faculdade de Educação,
Universidade de São Paulo, São Paulo 2011.
GOUVEIA, J. Estudo de Intervalo sobre R a partir de Situações
Contextualizadas Aplicadas ao Ensino Médio e Superior. Dissertação de
Mestrado. Universidade Cruzeiro do Sul – UNICSUL. São Paulo, 2007.
LOPES, R. S. P. Projeto Pedagógico e Currículo: percursos de construção
e poder. Tese (Doutorado) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo,
São Paulo, 2010.
LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Vol. 1. 9ª Ed. Rio de
Janeiro: SBM, 2006.
304
MACEDO, E. Currículo: Política, cultura e poder. In Currículo sem
Fronteiras, v.6, n.2, pp.98-113, Jul/Dez 2006.
MARTINS, Â. M. Diretrizes Curriculares para o Ensino Médio: Avaliação de
Documento. Cadernos de Pesquisa. Unicamp, 2000.
MEHL, S. CAUCHY, baron Augustin-Louis, français, 1789-1857.
ChronoMath, une chronologie des Mathematiques. Disponível em
http://serge.mehl.free.fr/chrono/Cauchy.html. Acesso em 23 de novembro de
2013.
MCKERNAN, J. Currículo e Imaginação: teoria do processo, pedagogia e
pesquisa-ação. Tradução Gisele Klein. Porto Alegre: Artmed, 2009.
OLIVEIRA JUNIOR, R. G. Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do
Estado de São Paulo: Um estudo a partir da produção científica Brasileira
(1996, 2011). Dissertação (Mestrado em Educação). Pontifícia Universidade
Católica de Campinas. São Paulo, 2013.
PESSOA, V. I. F. O Cuidado interdisciplinar na construção de um
Currículo de formação de educadores. Tese (Doutorado). Pontifícia
Universidade Católica de São Paul, São Paulo, 2011.
PEREIRA, M. D. Um Estudo sobre Interpretações das Diretrizes
Curriculares para o Curso de Licenciatura em Matemática por uma
Instituição Federal de São Paulo. Tese de doutorado não publicada,
Universidade Bandeirante de São Paulo. Brasil, 2013.
PINTO, J. A. Teoria Matemática das Eleições. São Paulo: Editora Livraria da
Física, 2010.
ROBERT, A. Quelques outils d’analyse épistemologique et didactique de
connaissances mathématiques à enseigner au lycée et à l’université.
Actes de la IX école d’ete de didactique dês mathématiques. Houlgate.
França.1997.
305
ROBERT, A. Outils d’analyse des contenus mathématiques à enseigner au
lycée et à l’université. Recherches en Didactique des Mathématiques,
[S.l.], v. 18, n. 2, p.139-190, 1998.
ROGALSKI, M. Quelques Points sur l’Histoire et l’Epistemologie des
Fonctions, Pouvant Eclairer Certaines Questions Didactiques sur leur
Enseignement. Jornal Internacional de Estudos em Educação Matemática -
JIEEM. Vol 6. No 1. São Paulo, 2013.
SANDIM E.M.P. Pesquisa qualitativa em educação: fundamentos e
tradições. Tradução Miguel Cabrera.. Porto Alegre: AMGH, 2010.
SANTOS, C. A. B. CURI, E. O papel dos registros de representação
semiótica na mobilização de conteúdos matemáticos no ensino da física.
In Revista Eletrônica de Ciências da Educação, Campo Largo, v. 11, n. 1. 2012.
São Paulo (Estado). Secretaria da Educação. Relatório Pedagógico:
SARESP 2000 – Matemática. São Paulo, SEE, 2001.
______. Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática.
Coordenação Maria Inês Fini. São Paulo: SEE, 2008a.
______. SARESP 2007: Sumário Executivo. São Paulo, SEE, 2008b.
______. Caderno do professor: matemática, ensino fundamental – 5ª série.
Coordenação Maria Inês Fini; equipe: Nilson José Machado, Carlos Eduardo de
Souza Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés e Walter
Spinelli. São Paulo: SEE, 2009a.
______. Caderno do professor: matemática, ensino fundamental – 6ª série.
Coordenação Maria Inês Fini; equipe: Nilson José Machado, Carlos Eduardo de
Souza Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés e Walter
Spinelli. São Paulo: SEE, 2009b.
______. Caderno do professor: matemática, ensino fundamental – 7ª série.
Coordenação Maria Inês Fini; equipe: Nilson José Machado, Carlos Eduardo de
306
Souza Granja, J. Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés e Walter Spinelli.
São Paulo: SEE, 2009c.
______. Caderno do professor: matemática, ensino fundamental – 8ª série.
Coordenação Maria Inês Fini; equipe: Nilson José Machado, Carlos Eduardo de
Souza Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés e Walter
Spinelli. São Paulo: SEE, 2009d.
______. Caderno do professor: matemática, ensino médio – 1ª série.
Coordenação Maria Inês Fini; equipe: Nilson José Machado, Carlos Eduardo de
Souza Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés e Walter
Spinelli. São Paulo: SEE, 2009e.
______. Caderno do professor: matemática, ensino médio – 2ª série.
Coordenação Maria Inês Fini; equipe: Nilson José Machado, Carlos Eduardo de
Souza Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés e Walter
Spinelli. São Paulo: SEE, 2009f.
______. Caderno do professor: matemática, ensino médio – 3ª série.
Coordenação Maria Inês Fini; equipe: Nilson José Machado, Carlos Eduardo de
Souza Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés e Walter
Spinelli. São Paulo: SEE, 2009g.
______. Matriz de referência para a avaliação SARESP: documento básico;
coordenação Maria Inês Fini. São Paulo: SEE, 2009h.
______. Relatório Pedagógico: SARESP 2008 – Matemática. São Paulo:
SEE, 2009i.
_______. Currículo: Matemática e suas tecnologias: Ensino Fundamental
Ciclo II e Ensino Médio. São Paulo: SEE, 2010a.
_______. Relatório Pedagógico: SARESP 2009 – Matemática. São Paulo:
SEE, 2010b.
_______. Relatório Pedagógico: SARESP 2010 – Matemática. São Paulo:
SEE, 2011.
307
_______. Relatório Pedagógico: SARESP 2011 – Matemática. São Paulo:
SEE, 2012.
_______. Relatório Pedagógico: SARESP 2012 – Matemática. São Paulo:
SEE, 2013.
SILVA, A. A. A noção de função quadrática na transição entre os ensinos
fundamental, médio e superior. Dissertação de Mestrado. Universidade
Bandeirantes de São Paulo. São Paulo, 2012.
SILVA, I. F. O Sistema Nacional de Avaliação: características, dispositivos
legais e resultados. Est. Aval. Educ., São Paulo, v. 21, n. 47, p. 427-448,
set./dez. 2010.
SMOLE, Kátia Stocco e DINIZ, Maria Ignez. Matemática – Ensino Médio –
Vol. 3. São Paulo: Saraiva, 2010.
SOUZA, C. P. Descrição de uma Trajetória na/da Avaliação Educacional.
Ideias, n. 30, p. 161-174. São Paulo: FDE, 1998.
STEWART, J. Cálculo, volume I. Tradução técnica Antonio Carlos Moretti,
Antonio Carlos Gilli Martins. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
308
12 – ANEXOS
Anexo 1 Relação de escolas pesquisadas 9° 3ª
Escola Município
Desempenho em Matemática
TIPO
9° ano 3ª série
ALAYDE MARIA VICENTE PROFESSORA GUARULHOS 1,4697 P4
ALBERTO SCHWEITZER SAO PAULO 0,7377 P6
ALFREDO PUJOL DOUTOR PINDAMONHANGABA 2,9880 P5
ANIS DABUS DR AVAI 6,3930 5,8973 P1
ANTONIO ALVES CRUZ PROFESSOR SAO PAULO 3,7503 P5
ASSENTAMENTO SANTA ZELIA TEODORO SAMPAIO 6,6667 2,2223 P1
ASSENTAMENTO SANTA ZELIA TEODORO SAMPAIO 6,6667 2,2223 P7
BAIRRO DA BOCAINA CUNHA 6,6667 P3
BAIRRO JAIRE IGUAPE 1,0527 P4
BENEDITO FERRAZ BUENO PROFESSOR MOCOCA 4,8720 1,2820 P7
BENEDITO FERREIRA DE ALBUQUERQUE PROF SAO PAULO 1,5553 0,4850 P2
CARLOS LIMA DIAS DOUTOR MOCOCA 5,5870 1,2700 P7
CARMELA MORANO PREVIDELLI PROFA TAQUARITINGA 4,5507 5,1800 P1
CELIA VASQUES FERRARI DUCH PROFESSORA TAQUARIVAI 0,8503 P6
CELSO AUGUSTO DANIEL PREFEITO ENGENHEIRO SANTO ANDRE 1,1907 0,7070 P2
CELSO PACHECO BENTIN PROFESSOR CARAPICUIBA 0,6770 P6
CLOVIS RENE CALABREZ PROF SAO PAULO 1,4857 P4
ELOI CHAVES PIRASSUNUNGA 1,1110 P4
FELICIA ADELVAIS PAGLIUSO PROFA TAQUARITINGA 2,2997 3,8273 P8
FERNANDO BARBOSA LIMA FERNANDOPOLIS 5,2380 P3
FERNANDO BRASIL PROF TABATINGA 3,2413 4,6667 P8
FRANCISCO DE PAULA ABREU SODRE DR UBIRAJARA 6,6660 5,2500 P1
FRANCISCO RIBEIRO SOARES JUNIOR BURITIZAL 3,4920 P5
309
GLETE DE ALCANTARA PROFESSORA RIBEIRAO PRETO 1,1647 0,7893 P2
GUIA LOPES BAURU 1,4140 P4
HAROLDO VELOSO BRIGADEIRO GUARULHOS 1,4640 0,6180 P2
IGNACIO ZURITA JUNIOR ARARAS 5,2300 P3
JARDIM CANAA SAO PAULO 0,8473 P6
JARDIM MARIA LUIZA CAJAMAR 0,8823 P6
JARDIM PROGRESSO RIBEIRAO PRETO 1,5030 P4
JARDIM TRABALHISTA CACHOEIRA PAULISTA 0,8333 P6
JOAO ERNESTO FIGUEIREDO CORONEL JOANOPOLIS 3,2303 P5
JOAO RAMALHO DE JOAO RAMALHO 6,8930 2,4600 P1
JOAO RAMALHO DE JOAO RAMALHO 6,8930 2,4600 P7
JOAQUIM FRANCO DE ALMEIDA CORONEL JAMBEIRO 2,8437 P5
JOAQUIM LEITE DE SOUZA CEL MOGI-GUACU 2,9167 P5
GERALDO JUSTINIANO DE REZENDE SILVA PROFESSOR SUZANO 3,2200 2,1810 P5
GIOVANNI BATTISTA RAFFO PROFESSOR DOUTOR SUZANO 2,3307 0,9180 P6
JOSE JORGE NETO PROFESSOR ANALANDIA 3,0667 P5
JOSE CAMILO DE ANDRADE SUZANO 1,3097 P4
JOSE ROMAO PROFESSOR PIRACICABA 4,4220 P3
JULIA DELLA CASA PAULA PROFESSORA SAO PAULO 1,3460 0,6943 P2
LIDIA PERRI BARBOSA PROFA SANTO ANTONIO DO ARACANGUA 0,7800 P6
LIDIA SANAE OYA EUCLIDES DA CUNHA PAULISTA 5,6250 4,6667 P1
MARCELO TADEU DE OLIVEIRA CASTRO CAMPOS MARQUES PROFESSOR ITAQUAQUECETUBA 1,5620 0,3603
P2
MARIA ANTONIA ZANGARINI FERREIRA PROFESSORA EUCLIDES DA CUNHA PAULISTA 4,3133 0,6060 P7
MARIA APARECIDA COIMBRA PROFA PRESIDENTE ALVES 4,6030 4,5710 P1
MARIA APARECIDA VIANA MUNIZ PROFESSORA ELDORADO 4,8143 P3
MARIA DE LOURDES GENTILLE STEFANO PROFA ITAPOLIS 5,9017 P3
MARIA NELIDA SAMPAIO DE MELLO DONA EMBU DAS ARTES 1,4287 P4
NARCISO BERTOLINO CAPITAO OLIMPIA 3,0950 4,7410 P8
NEIDE CELESTINA DE OLIVEIRA PROFA EMBU-GUACU 1,4037 P4
OSCARLINA DE ARAUJO OLIVEIRA PROFESSORA ITATIBA 3,9140 P5
PARQUE ECOLOGICO SAO PAULO 7,1347 P3
310
PAULINA MADRE SAO PAULO 1,4933 0,5643 P2
PAULO LEIVAS MACALAO PASTOR SAO PAULO 1,5873 0,4937 P2
PEDRO ELIAS PROFESSOR UCHOA 2,8177 P5
PEDRO MASCARI ITAPOLIS 5,6520 5,3697 P1
PEDRO PAULO DE AGUIAR FRANCISCO MORATO 1,4557 0,6017 P2
REPUBLICA DE CUBA BARUERI 0,5127 P6
REPUBLICA DE EL SALVADOR BARUERI 0,6450 P6
ROGER JULES DE CARVALHO MANGE SAO PAULO 0,8697 P6
SAMUEL DE CASTRO NEVES DOUTOR PIRACICABA 4,0863 5,7403 P1
SAMUEL DE CASTRO NEVES DOUTOR PIRACICABA 4,0863 5,7403 P8
SATURNINO LEON ARROYO FERNANDOPOLIS 5,6017 4,5710 P1
SEBASTIAO FRANCISCO FERRAZ DE ARRUDA PROF ITAPOLIS 4,4280 P3
SILVERIO DA CUNHA LACERDA GENERAL SALGADO 5,0003 P3
SITIO CONCEICAO SAO PAULO 1,4870 P4
TEOFILO DE ANDRADE DOUTOR SAO JOAO DA BOA VISTA 4,4750 P3
TONICO BARAO GENERAL SALGADO 2,8703 P5
WALDEMAR DA SILVA RIGOTTO PROFESSOR GUARUJA 1,3587 0,4503 P2
YOLANDA ASCENCIO PROFESSORA SAO CAETANO DO SUL 2,6733 3,6260 P8
311
Anexo 2 Questionário aplicado aos professores
1. Há quanto tempo você leciona Matemática?
A mais de 20 anos.
Entre 10 e 20 anos.
Entre 3 e 10 anos.
A menos de 3 anos.
2. Em quais anos / séries você, em geral, ministra suas aulas?
6° ano.
7° ano.
8° ano.
9° ano.
1ª série.
2ª série.
3ª série.
3. Entre as alternativas abaixo, qual, em sua opinião, está relacionado ao conceito de função. (Numere-as de acordo com a ordem de prioridade que você julgue necessário)
Proporcionalidade.
Variabilidade.
Relação entre grandezas (gráficos de interdependência).
Álgebra.
Aritmética.
Conjuntos Numéricos.
Outra: ________________________________________.
4. Quanto à forma de representação de uma função, como você classificaria em ordem de importância. (Numere-as de acordo com a ordem de prioridade que você julgue necessário)
Tabela.
Gráfico.
Fórmula.
Definição em Língua Portuguesa.
Outra: ________________________________________.
5. Quais das funções abaixo você acha serem necessárias serem ensinadas no ensino médio? (Numere-as de acordo com sua escolha, colocando zero naquela que você não vê necessidade de ensinar)
Exponencial.
Polinomial do segundo grau (quadrática).
Polinomial do primeiro grau (linear ou afim).
Logarítmica.
Racionais.
Trigonométrica.
Polinomial de grau maior que 2
312
Outra: ________________________________________.
6. Entre as definições de função dadas abaixo, qual você considera mais adequada para expor em sala de aula?
Função é uma operação matemática que associa a cada elemento “a” de um conjunto, sua imagem “b” no outro conjunto.
Função é uma relação entre duas variáveis que estão intimamente associadas.
Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função é uma relação que a cada elemento x de A faz corresponder um único elemento y de B.
Uma função pode ser descrita como uma relação de proporcionalidade direta, inversa ou composta entre duas grandezas.
7. Ao iniciar um trabalho com alguma forma de função, você o faz:
Iniciando com a definição, passando a exemplos e prosseguindo com aplicações.
Iniciando com exemplos, passando a definição e prosseguindo com aplicações.
Iniciando com aplicações, passando a definição e prosseguindo com exercícios.
Outra: ________________________________________.
8. Você considera que seus alunos estudam:
Sempre.
Quase sempre.
Às vezes.
Nunca.
9. O comportamento de seus alunos em aula é:
Excelente.
Muito bom.
Bom.
Regular.
Ruim.
313
Anexo 3 Testes aplicados aos alunos
1. Uma função f de A = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} em B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} é definida pela seguinte lei: f(x) = x – 1
a. Represente f em um diagrama de flechas.
b. Faça o gráfico de f.
c. Determine x de modo que as sentenças f(x) = 3,
f(x) = 0 e f(x) = -1 sejam verdadeiras
314
2. Um corpo se movimenta em velocidade constante de acordo com a fórmula matemática s = 2t – 3, em que s indica a posição do corpo (em metros) no instante t (em segundos). Construa o gráfico de s em função de t.
3. Quando uma pedra é abandonada em queda livre (sem considerar a resistência do ar ao movimento), a distância vertical d que ela percorre em queda é diretamente proporcional ao quadrado do tempo t de queda, ou seja, d = kt
2. Observando-se que
apos 1 segundo de queda a pedra caiu 4,9 metros, pergunta-se:
a. qual e o valor da constante de proporcionalidade k?
b. qual é a distancia vertical percorrida após 5 segundos?
c. quanto tempo a pedra levará para cair 49 m?
4. O velocímetro é um instrumento que indica a velocidade de um veículo. A figura ao lado mostra o velocímetro de um carro que pode atingir 240 km/h. Observe que o ponteiro no centro do velocímetro gira no sentido horário à medida que a velocidade aumenta.
315
Determinado velocímetro fornece corretamente a velocidade do veículo quando ele trafega a 20 km/h, mas indica que o veículo está a 70 km/h quando a velocidade real é de 65 km/h. Supondo que o erro de aferição do velocímetro varie linearmente com a velocidade por ele indicada, determine a função v(x) que representa a velocidade real do veículo quando o velocímetro marca uma velocidade de x km/h
0 240
200
160 120
80
40
316
Anexo 4 Conteúdos apresentados na Proposta Curricular de Matemática de 2008.
5ª série – EF
1º Bimestre 2º Bimestre 3º Bimestre 4º Bimestre
Conteúdos Números naturais Frações
Números Decimais Sistemas de Medidas
Formas Geométricas Perímetro e Área
Estatística (Gráficos, média, contagem)
6ª série – EF
1º Bimestre 2º Bimestre 3º Bimestre 4º Bimestre
Conteúdos Sistemas de numeração Números negativos Números racionais
Geometria (ângulos, polígonos, circunferência, construções, poliedros)
Proporcionalidade Álgebra (resolução de equações)
7ª série – EF
1º Bimestre 2º Bimestre 3º Bimestre 4º Bimestre
Conteúdos Números racionais Potenciação
Expressões algébricas
Equações (1º grau) Gráficos (pontos no plano cartesiano)
Geometria (teorema de Tales, Pitágoras, áreas, volumes)
8ª série – EF
1º Bimestre 2º Bimestre 3º Bimestre 4º Bimestre
Conteúdos Números reais Álgebra (equações do 2º grau) Funções (ideia de variação, gráficos e tabelas para funções polinomiais do 1º e 2º graus)
Proporcionalidade (semelhança, razões trigonométricas)
Corpos redondos Probabilidade
1ª série – EM
1º Bimestre 2º Bimestre 3º Bimestre 4º Bimestre
Conteúdos Números e sequências
Funções (relação entre grandezas, proporcionalidade, 1º e 2º graus)
Função exponencial e logarítmica
Geometria (polígonos regulares) Trigonometria (razões nos triângulos retângulos, lei dos senos e cossenos)
2ª série – EM
1º Bimestre 2º Bimestre 3º Bimestre 4º Bimestre
Conteúdos Trigonometria (funções trigonométricas)
Matrizes, determinantes e sistemas lineares
Análise combinatória e probabilidade
Geometria métrica espacial
3ª série – EM
1º Bimestre 2º Bimestre 3º Bimestre 4º Bimestre
Conteúdos Geometria Analítica Equações algébricas e números complexos
Estudo das funções Estatística
317
Anexo 5 Conteúdos apresentados no Currículo de Matemática de 2010.
5ª série/6º ano do Ensino Fundamental
1º Bimestre 2º Bimestre 3º Bimestre 4º Bimestre
Conteúdos Números Números naturais Frações
Números/ relações Sistemas de Medidas
Geometria/ relações Perímetro e Área
Números/relações Estatística (Gráficos, média, contagem)
6ª série/7º ano do Ensino Fundamental
1º Bimestre 2º Bimestre 3º Bimestre 4º Bimestre
Conteúdos Números Sistemas de numeração Números negativos Números racionais
Geometria (ângulos, polígonos, circunferência, construções, simetrias poliedros)
Relações Proporcionalidade
Números Álgebra (resolução de equações)
7ª série/8º ano do Ensino Fundamental
1º Bimestre 2º Bimestre 3º Bimestre 4º Bimestre
Conteúdos Números Números racionais Potenciação
Números/ relações Expressões algébricas
Números/ relações Equações (1º grau) Gráficos (pontos no plano cartesiano)
Geometria Geometria (teorema de Tales, Pitágoras, áreas, volumes)
8ª série/9º ano do Ensino Fundamental
1º Bimestre 2º Bimestre 3º Bimestre 4º Bimestre
Conteúdos Números Números reais
Números/ relações Álgebra (equações do 2º grau) Funções (ideia de variação, gráficos e tabelas para funções polinomiais do 1º e 2º graus)
Geometria/ relações Proporcionalidade (semelhança, razões trigonométricas)
Geometria/ números Corpos redondos Probabilidade
1ª série do Ensino Médio
1º Bimestre 2º Bimestre 3º Bimestre 4º Bimestre
Conteúdos Números Números e sequências
Relações Funções (relação entre grandezas, proporcionalidade, 1º e 2º graus)
Relações Função exponencial e logarítmica
Geometria/ relações Geometria (polígonos regulares) Trigonometria (razões nos triângulos retângulos, lei dos senos e cossenos)
2ª série do Ensino Médio
1º Bimestre 2º Bimestre 3º Bimestre 4º Bimestre
Conteúdos Relações Trigonometria (funções trigonométricas)
Números/ relações Matrizes, determinantes e sistemas lineares
Números Análise combinatória e probabilidade
Geometria Geometria métrica espacial
3ª série do Ensino Médio
1º Bimestre 2º Bimestre 3º Bimestre 4º Bimestre
Conteúdos Geometria/ relações Geometria Analítica
Números Equações algébricas e números complexos
Relações Estudo das funções
Números/ relações Estatística
318
Anexo 6 Conteúdos de Matemática por Bimestre dos Anos Finais do Ensino
Fundamental 6° ano 7° ano 8° ano 9° ano
1°
bim
es
tre
NÚMEROS NATURAIS - Múltiplos e Divisores - Números Primos - Operações básicas - Introdução à potências FRAÇÕES - Representação - Comparação e Ordenação - Operações
NÚMEROS NATURAIS - Sistemas de numeração na antiguidade - O sistema posicional decimal NÚMEROS RACIONAIS - Representação fracionária e decimal Operações com decimais e frações
NÚMEROS RACIONAIS - Transformação de decimais finitos em fração - Dízimas periódicas e fração geratriz POTENCIAÇÃO - Propriedade para expoentes inteiros TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO - a linguagem das potências
NÚMEROS REAIS - Conjuntos numéricos Números irracionais Potenciação e radiciação em R - Notação científica
2°
bim
es
tre
NÚMEROS DECIMAIS - Representação - Transformação em fração decimal - Operações SISTEMA DE MEDIDAS - Comprimento, massa e capacidade - Sistema métrico decimal
GEOMETRIA/ MEDIDAS - Ângulos - Polígonos - Circunferência - Simetrias - Construções Geométricas - Poliedros
ÁLGEBRA - Equivalências e transformações de expressões algébricas - Produtos notáveis - Fatoração algébrica
ÁLGEBRA - Equações do 2° grau: resolução de problemas - Noções básicas sobre função, a ideia de interdependência - Construção de tabelas e gráficos para representar funções de 1° e 2° graus
3°
bim
es
tre
GEOMETRIA/MEDIDAS - Formas planas e espaciais Noção de perímetro e área de figuras planas - Cálculo de área por composição e decomposição
NÚMEROS/ PROCORCIONALIDADE - Proporcionalidade direta e inversa - Razões, proporções, porcentagem - Razões constantes na geometria: π TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO - Gráfico de setores - Noções de probabilidade
ALGEBRA/EQUAÇÕES - Equações do 1° grau - Sistema de equações e resolução de problemas - Inequações do 1° grau - Sistemas de coordenadas (plano cartesiano)
GEOMETRIA/MEDIDAS - Proporcionalidade: noção de semelhança Relações métricas entre triângulos retângulos - Razões trigonométricas
4°
bim
es
tre
TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO - Leitura e construção de gráficos e tabelas - Média aritmética - Problemas de contagem
ÁLGEBRA - Uso de letras para representar um valor desconhecido - Conceito de equação - Resolução de equações - Equações e problemas
GEOMETRIA/MEDIDAS - Teorema de Tales e Pitágoras: apresentação e aplicações - Área de polígonos - Volume do prisma
GEOMETRIA/MEDIDAS - O número π; a circunferência, o círculo e suas partes; área do círculo - Volume e área do cilindro TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO - Contagem indireta e probabilidade
319
Anexo 7
Conteúdos de Matemática por Bimestre das Séries do Ensino Médio
1ª Série 2ª Série 3ª Série 1
°
bim
estr
e
2
°
bim
estr
e
-3
°
bim
estr
e
4°
bim
estr
e
320
Anexo 8
FORMULÁRIO DE ENCAMINHAMENTO DE PROJETO DE
PESQUISA
( ) Projeto docente ( x ) Projeto discente/docente
( ) Plano de Aula
Código COPI nº Protocolo CEP( )/CEUA( )nº
________ Recebido em ___/____/______ Recebido em ___/____/______
( x ) 1ª. Submissão ( ) 2ª. Submissão
● Título do Projeto: “UMA ABORDAGEM CENTRADA EM SITUAÇÕES DE
APRENDIZAGEM (do Currículo do Estado de São Paulo): A NOÇÃO DE FUNÇÃO”
● Programa/Curso/Grupo de Estudo: Doutorado em Educação Matemática
● Linha de Pesquisa: Ensino e Aprendizagem
● Pesquisador Principal: Juvenal de Gouveia
RA/RGF: 100925227 CPF: 154480128 - 92
Endereço: Rua Wanir Hungria, 45 – Ferraz de Vasconcelos
Telefone fixo: (11) 4675 2797 Celular: (11) 7693 7481
e-mail: [email protected]
● Orientador: Marlene Alves Dias
RA/RGF: CPF: 806.724.858-34
Telefone fixo: (11) 5631 9002 Celular: (11) 7253 – 4772
e-mail:
● Possui Financiamento? ( x ) Sim/ Fonte: CAPES / PROSUP ( ) Não
● Tem previsão de geração de marcas/patentes/direito autoral? ( ) Sim. Caso sim, enviar para a CEIT. ( x ) Não
Comprovante emitido por e-mail pela COPI/CEP/CEUA:
COMPROVANTE DE ENTREGA DE PROTOCOLO DE PESQUISA
(uso exclusivo COPI/CEP/CEUA)
321
CÓDIGO/PROTOCOLO Nº: RECEBIDO EM: /
/
● Título do Projeto: “UMA ABORDAGEM CENTRADA EM SITUAÇÕES DE
APRENDIZAGEM (do Currículo do Estado de São Paulo): A NOÇÃO DE FUNÇÃO”
322
Anexo 9
MINISTÉRIO DA SAÚDE - Conselho Nacional de Saúde - Comissão Nacional de Ética em Pesquisa - CONEP
FOLHA DE ROSTO PARA PESQUISA ENVOLVENDO SERES HUMANOS
1. Projeto de Pesquisa: UMA ABORDAGEM CENTRADA EM SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM (do Currículo do Estado de São Paulo): A NOÇÃO DE FUNÇÃO
2. Área do Conhecimento: (Ver relação no verso)
Ciências Humanas
3. Código:
7
4. Nível: (Só áreas do conhecimento 4)
5. Área(s) Temática(s) Especial(is): (Ver fluxograma no verso) Educação
6. Código(s): 7.08
7. Fase: (Só área temática 3) I ( ) II ( ) III ( ) IV ( )
8. Unitermos: (3 opções)
Currículo, funções, situação de aprendizagem
SUJEITOS DA PESQUISA
9. Número de sujeitos: 100
No Centro: Total:
10. Grupos Especiais: <18 anos ( 80 ) Portador de Deficiência Mental ( ) Embrião/Feto ( )
Relação de Dependência (Estudantes , Militares, Presidiários, etc) ( ) Outros ( 20 ) Não se aplica ( )
PESQUISADOR RESPONSÁVEL
11. Nome: JUVENAL DE GOUVEIA
12. Identidade:
15.156.068 - 7
13. CPF.:
154.480.128-92
19. Endereço (Rua, n.º ):
Rua Wanir Hungria, 45
14. Nacionalidade:
Brasileira
15. Profissão:
Professor
20. CEP:
08530-050
21. Cidade:
Ferraz de Vasconcelos
22. U.F.:
SP
16. Maior Titulação: Mestre
17. Cargo: PEB II
23. Fone: (11) 4675 - 2797
24. Fax:
18. Instituição a que pertence:
Universidade Bandeirantes
25. Email:
Termo de Compromisso: Declaro que conheço e cumprirei os requisitos da Res. CNS 196/96 e suas complementares. Comprometo-me a utilizar os materiais e
dados coletados exclusivamente para os fins previstos no protocolo e a publicar os resultados sejam eles favoráveis ou não. Aceito as responsabilidades pela
condução científica do projeto acima.
Data: 15 / 05 / 2012 ______________________________________
Assinatura
INSTITUIÇÃO ONDE SERÁ REALIZADO
26. Nome:
29. Endereço (Rua, nº):
27. Unidade/Órgão:
30. CEP:
31. Cidade:
32. U.F.:
28. Participação Estrangeira: Sim ( ) Não ( ) 33. Fone:
34. Fax.:
35. Projeto Multicêntrico: Sim ( ) Não ( ) Nacional ( ) Internacional ( ) (Anexar a lista de todos os Centros Participantes no Brasil)
Termo de Compromisso (do responsável pela instituição) :Declaro que conheço e cumprirei os requisitos da Res. CNS 196/96 e suas Complementares e como
esta instituição tem condições para o desenvolvimento deste projeto, autorizo sua execução.
Nome: __________________________________________________________ Cargo: __________________________________________________________
Data: _______/_______/_______ ___________________________________
Assinatura
PATROCINADOR Não se aplica ( x )
36. Nome:
39. Endereço (Rua, nº):
37. Responsável:
40. CEP:
41. Cidade:
42. U.F.:
38. Cargo/Função:
43. Fone:
44. Fax.:
COMITÊ DE ÉTICA EM PESQUISA - CEP
45. Data de Entrada:
_____/_____/_____
46. Registro no CEP:
47. Conclusão: Aprovado ( )
Data: ____/_____/_____
48. Não Aprovado ( )
Data: _____/_____/_____
49. Relatório(s) do Pesquisador responsável previsto(s) para: Data: _____/_____/_____ Data: _____/_____/_____
Encaminho a CONEP: 50. Os dados acima para registro ( )
51. O projeto para apreciação ( )
52. Data: _____/_____/_____
53. Coordenador/Nome:
_________________________________________
Assinatura
Anexar o parecer consubstanciado
COMISSÃO NACIONAL DE ÉTICA EM PESQUISA - CONEP
54. Nº Expediente:
55. Processo:
56. Data Recebimento: 57. Registro na CONEP:
Anexo 10
323
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Título da Pesquisa: “UMA ABORDAGEM CENTRADA EM SITUAÇÕES DE
APRENDIZAGEM (do Currículo do Estado de São Paulo): A NOÇÃO DE FUNÇÃO”
Nome do (a) Pesquisador (a): JUVENAL DE GOUVEIA
Nome do (a) Orientador (a): MARLENE ALVES DIAS
O sra (sr.) está sendo convidada (o) a participar desta pesquisa que tem como
finalidade realizar um estudo sobre o currículo do Estado de São Paulo e sua
comparação com o currículo francês.
Ao participar deste estudo a sra (sr) permitirá que o (a) pesquisador realize seu
trabalho conforme objetivo indicado acima. A sra (sr.) tem liberdade de se recusar a
participar e ainda se recusar a continuar participando em qualquer fase da pesquisa, sem
qualquer prejuízo para a sra (sr.). Sempre que quiser poderá pedir mais informações
sobre a pesquisa através do telefone do (a) pesquisador (a) do projeto e, se necessário
através do telefone do Comitê de Ética em Pesquisa.
Sobre as entrevistas: (se houver, especificar como serão realizadas).
Riscos e desconforto: a participação nesta pesquisa não traz complicações legais.
(especificar aqui possíveis riscos e desconfortos gerados durante a pesquisa). Os
procedimentos adotados nesta pesquisa obedecem aos Critérios da Ética em Pesquisa
com Seres Humanos conforme Resolução no. 196/96 do Conselho Nacional de Saúde.
Nenhum dos procedimentos usados oferece riscos à sua dignidade.
Confidencialidade: todas as informações coletadas neste estudo são estritamente
confidenciais. Somente o (a) pesquisador (a) e o (a) orientador (a) terão conhecimento
dos dados.
Benefícios: ao participar desta pesquisa a sra (sr.) não terá nenhum benefício
direto. Entretanto, esperamos que este estudo traga informações importantes sobre (...),
de forma que o conhecimento que será construído a partir desta pesquisa possa (...),
onde pesquisador se compromete a divulgar os resultados obtidos.
324
Pagamento: a sra (sr.) não terá nenhum tipo de despesa para participar desta
pesquisa, bem como nada será pago por sua participação.
Após estes esclarecimentos, solicitamos o seu consentimento de forma livre para
participar desta pesquisa. Portanto preencha, por favor, os itens que se seguem: Confiro
que recebi cópia deste termo de consentimento, e autorizo a execução do trabalho de
pesquisa e a divulgação dos dados obtidos neste estudo.
Obs: Não assine esse termo se ainda tiver dúvida a respeito.
Tendo em vista os itens acima apresentados, eu, de forma livre e esclarecida,
manifesto meu consentimento em participar da pesquisa
______________________________
Nome :
__________________________________
Juvenal de Gouveia
___________________________________
Marlene Alves Dias
Pesquisador: Juvenal de Gouveia, RG 15.156.068 – 7, tel (11) 4675 27 97
Orientador: Marlene Alves Dias, RG 6.148.297, tel (11) 5631 9002
Telefone da Comissão de Ética: (11) 2972-9000
E-mail: [email protected]
325
Anexo 11
TERMO DE COMPROMISSO
Declaro que, no desenvolvimento do projeto de pesquisa “UMA
ABORDAGEM CENTRADA EM SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM (do Currículo do Estado
de São Paulo): A NOÇÃO DE FUNÇÃO” e antes do início da coleta de dados,
juntarei na Folha de Rosto os dados e a assinatura do responsável pela
instituição onde será realizada a pesquisa.
São Paulo, 15 de maio de 2012
Marlene Alves Dias
Orientadora
Juvenal de Gouveia
Orientando