uma abordagem baseada em relaxação lagrangiana e busca

ResumoEste trabalho aborda o problema de dimensionamento de lotes multiestágio, com capacidade limitada. O obje-tivo é determinar o tamanho do lote de cada item a ser produzido, em diferentes períodos, de tal modo que uma demanda seja atendida, minimizando custos de produção, preparação e estoque. A formulação é feita como um problema de programação matemática inteira-mista e pertence à classe NP-hard. As heurísticas utilizam a técnica de relaxação Lagrangiana, incorporando Busca Tabu. Os resultados computacionais são comparados com outros encontrados na literatura em França et al. (1997), Tempelmeier e Derstroff (1996) e Özdamar e Barbarosoglu (2000).Palavras-chave: Dimensionamento de Lotes; Relaxação Lagrangiana; Busca Tabu.

AbstractThis paper addresses the multistage capacitated lot-sizing problem. The objective is to determine the quantity to be produced in order to attain the demand xx in each period of a planning horizon. The aim is to minimize production, inventory and setup costs. The resources are limited and the setup times are considered. The for-mulation presented is a mixed integer programming and the problem is NP-Hard. The heuristics use Lagrange relaxation and Tabu Search and they are compared with the ones in França et al. (1997), Tempelmeier and Derstroff (1996) and Özdamar and Barbarosoglu (2000). Keywords: Lot-Sizing, Lagrangean Relaxation, Tabu Search.

Uma abordagem baseada em relaxação lagrangiana e busca tabu para o problema de dimensionamento de lotes multiestágio

Lilian Kátia de Oliveira (Faculdade de Engenharia Centro Universitário Fundação Santo André) – lí[email protected]• R Heloisa Pamplona 720 apto 41A - Bairro Fundação – CEP 09520-310 – São Caetano do Sul-SP

Regina Berretta (School of Electrical Engineering and Computer Science The University of Newcastle, Australia) [email protected]

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1. IntROdUçãO

O problema de dimensionamento de lotes consiste em determinar a quantidade de cada item a ser produzida, em diferentes períodos, de tal modo que uma dada demanda seja atendida. O objetivo é minimizar custos de produção, de estoque e de preparação, sujeitos a restrições de limitações de ca-pacidade, que incorporam tempos de preparação. Devido ao sistema de produção ser multiestágio, a produção de um item final depende da fabricação de componentes que também, devem ser produzidos e/ou comprados.

Quanto à complexidade computacional, encontrar a solução ótima do problema, com recur-sos de produção limitados e custos de preparação, é pertencente à classe NP-hard (Florian et al., 1980). Além disso, apenas determinar a existência de solução factível para problemas com tempo de preparação (setup time), pertence à classe NP-Completo (Maes et al., 1991).

Devido à complexidade de resolução, mesmo para encontrar solução factível, a pesquisa envol-ve, em sua maioria, métodos heurísticos, entre os quais podemos citar Billington et al. (1986), Clark e Armentano (1995), Tempelmeier e Derstroff (1996), Tempelmeier (1997), França et al. (1997), Katok et al. (1998), Berretta et al. (1999), Oliveira e Berretta (2000), Özdamar e Barbarosoglu (2000), Armentano et al. (2001), Berretta e Rodrigues (2004), Berretta et al. (2005) e Rizk et al. (2006).

Os métodos heurísticos existentes para resolução do problema de dimensionamento de lotes multiestágio, com recursos limitados, em sua maioria, consistem, inicialmente, em obter um pla-no de produção que satisfaça a demanda. Geralmente, essa solução é infactível em relação à capa-cidade de produção. Dessa forma, procedimentos que efetuam transferências de produção entre períodos, são executados com o objetivo de encontrar uma solução factível, buscando minimizar os custos. Além disso, os métodos tratam de ter um procedimento que reinicialize esse processo, ou seja, consiga obter uma nova solução inicial.

No artigo de Billington et al. (1986), é proposto um método heurístico baseado em relaxação Lagrangiana, utilizando a metodologia branch-and-bound, considerando um único centro gargalo, no qual o tempo e custo de preparação são relevantes. Tempelmeier e Derstroff (1996) apresentam uma heurística similar à apresentada por Billington et al. (1986), considerando estrutura geral de produto, múltiplas restrições de capacidade e tempos de preparação.

França et al. (1997) apresentam um método heurístico, composto por quatro procedimentos. O inicial constrói uma solução que, geralmente, é infactível. A seguir, os outros três procedimen-tos, com distintos objetivos, tentam encontrar uma solução factível e de melhor custo, através de transferências da produção entre períodos. A qualidade das soluções encontradas é avaliada, atra-vés de limitantes inferiores Lagrangianos.

Katok et al. (1998) introduzem um método heurístico para encontrar soluções factíveis para o problema, com estrutura de montagem, múltiplas restrições de recurso, custos e tempos de preparação não nulos.

O trabalho de Berretta et al. (1999) apresenta uma heurística que incorpora Busca Tabu e “Simulated Annealing” na heurística, apresentada em França et al. (1997) e, além disso, consideram lead time diferente de zero. Oliveira e Berretta (2000) avaliam a incorporação da técnica de relaxação Lagrangiana na mesma heurística (França et al., 1997). Armentano et al. (2001) apresentam uma heurística específica para estrutu-ra serial, considerando lead time diferente de zero.

O trabalho de Özdamar e Barbarosoglu (2000) propõe uma heurística para estrutura geral de produto. A técnica proposta combina relaxação Lagrangiana e “Simulated Annealing”. Como primeira tentativa, são feitos dois esquemas de relaxação Lagrangiana e diferentes versões de “Simulated Annealing” são incorpo-radas nestas relaxações, as quais são chamadas de heurísticas Lagrangianas. O desempenho destas aproxi-mações é comparado com problemas disponível em literatura (Tempelmeier e Derstroff, 1996).

Berretta e Rodrigues (2004) apresentam métodos baseados em meta-heurísticas (mais especificamen-te, em algoritmo memético) e os resultados obtidos são melhores do que os apresentados em Tempelmeier

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Lilian Kátia de Oliveira; Regina Berretta

e Derstroff (1996). O trabalho de Berretta et al. (2005) propõe uma meta-heurística híbrida, combinando Busca Tabu e “Simulated Annealing”. Esse método heurístico é baseado em transferências de produção, com o objetivo de obter capacidade factível e melhorar a qualidade das soluções.

Esse trabalho apresenta uma heurística Lagrangiana, incorporando Busca Tabu para o problema de di-mensionamento de lotes, considerando estrutura geral e tempos e custos de preparação. A heurística utiliza procedimentos encontrados em França et al. (1997). Os resultados computacionais são comparados com os encontrados em França et al. (1997), Tempelmeier e Derstroff (1996) e Özdamar e Barbarosoglu (2000).

O trabalho está organizado, como descrito a seguir. Na Seção 2, é apresentada a formulação do proble-ma. A heurística de França et al. (1997), as heurísticas Lagrangianas e a heurística que utiliza Busca Tabu estão descritas na Seção 3. Finalmente, os resultados e conclusões são apresentados nas seções 4 e 5.

2. FORmUlAçãO dO PROblEmA

Uma formulação para o problema de dimensionamento de lotes multiestágio pode ser como um pro-blema de programação matemática inteira-mista, dada a seguir.

sujeito a:

onde são utilizados os seguintes dados:N - número de itens.T - número de períodos.K - número de recursos.pit - custo de produção de uma unidade do item i, no período t.hit - custo de estocar uma unidade do item i, no período t.sit - custo de preparação (setup).aij - unidades do item i requeridos na produção de uma unidade do item j.dit - demanda do item i, no período t.vikt - quantidade do recurso k utilizado na produção do item i, no período t.fikt - quantidade do recurso k utilizado na preparação do item i, no período t.CAPkt- capacidade disponível do recurso k no período t.Mit - limite superior para Xit.Si - conjunto dos itens sucessores imediatos do item i.e as variáveis de decisões são:Xit - unidades do item i produzidas no período t.Iit - unidades do item i estocadas no período t.Yit - 1 se houver produção do intem i no período t

0 caso contrário

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A função objetivo (1) minimiza o custo total que é formado pelo custo de produção, estoque e pre-paração de N itens ao longo de T períodos do horizonte de planejamento. Em (2), têm-se as equações de balanço entre as variáveis de estoque e produção, onde é determinado que a demanda de um item i em um

período t (dit) e a quantidade para os lotes de itens sucessores

K

it

i

1

sejam supridas pela combinação

da produção em t (Xit) e pelo estoque em t-1 (Ii,t-1) e que o excedente ficará estocado em t ( )itI . As inequa-ções (3) representam a utilização do recurso k na preparação (fikt Yit) e produção (vikt Xit) de todos os itens em um período t, sendo limitadas pela quantidade disponível do recurso, no período t (CAPkt). As inequa-ções (4) fornecem um limite superior para Xit, caso Yit =1e assegura Xit =0, caso Yit =0.

Considerar sistemas de produção multiestágios, faz com que o modelo torne-se não decomponível por item nas restrições de balanceamento de estoque e produção. Assim, não é possível aplicar o algoritmo ótimo de Wagner e Whitin (1958). Tal algoritmo é utilizado para a resolução do problema de dimensio-namento de lotes, sem restrições de capacidade com um único item e pode ser aplicado a cada item, sepa-radamente, se o modelo for decomponível por item. Dessa forma, uma formulação que pode apresentar vantagens, pode ser obtida adotando-se o conceito de estoque de escalão, introduzido por Clark e Scarf (1960) e implementado por Afentakis et al. (1984).

Estoque de escalão de um item é a quantidade total do item presente no sistema, incluindo a quanti-dade do item em estoque, mais a quantidade do item contido no estoque de seus sucessores. A formulação em termos de estoque de escalão é dada a seguir.

(2)

(1)Min ( )1 1

N T

it it it it it iti t

p X h I s Y= =

+ +

(7)+ +Min ( )1 1

N T

i t= =

eit E it pit X it s it Y it

I + - - = =i,t -1 Xit Iit aijj Si

d i N1itX ij ,..., =t T1 ,...,;

(3)( )N

1=+v X fikt iktit Y CAPit kt

j

=k K1,..., =t T1 ,...,;≤

(4)-Xit M it Y 0it =i N1,..., =t T1 ,...,;≤

(11)=i N1,..., =t T1 ,...,;-Xit M it Y 0it ≤

(9)j Si

=i N1,..., =t T1 ,...,;-a ij E jt E it 0≤

(10)+( )1

N

i=

vikt X it f iktY CAPit kt=k K1,..., =t T1 ,...,;≤

(8)=i N1,..., =t T1 ,...,;+ -E i,t -1 X it E it Dit=

(5)Xit I it0, =i N1,..., =t T1 ,...,;≥ 0≥

(12)=i N1,..., =t T1 ,...,;Xit E it0,≥ 0≥

(6)Y { }it 0,1 =i N1,..., =t T1 ,...,;

(13)Y { }it 0,1 =i N1,..., =t T1 ,...,;

(14)-( )1

N

t= 1

K

k= 1

T

t =

Z iZ =, ( CAPkt), kt

sujeito a:

(2)

(1)Min ( )1 1

N T


p X h I s Y= =

+ +

(7)+ +Min ( )1 1

N T

i t= =



d i N1itX ij ,..., =t T1 ,...,;

(3)( )N


j

=k K1,..., =t T1 ,...,;≤

(4)-Xit M it Y 0it =i N1,..., =t T1 ,...,;≤

(11)=i N1,..., =t T1 ,...,;-Xit M it Y 0it ≤

(9)j Si

=i N1,..., =t T1 ,...,;-a ij E jt E it 0≤

(10)+( )1

N

i=



(5)Xit I it0, =i N1,..., =t T1 ,...,;≥ 0≥

(12)=i N1,..., =t T1 ,...,;Xit E it0,≥ 0≥

(6)Y { }it 0,1 =i N1,..., =t T1 ,...,;

(13)Y { }it 0,1 =i N1,..., =t T1 ,...,;

(14)-( )1

N

t= 1

K

k= 1

T

t =


onde

Pi - conjunto dos itens predecessores imediatos do item i.

eit - custo de estoque de escalão do item i, no período t, sendo dado por

K

it

i

1

.

Eit - estoque de escalão do item i, no período t, sendo dado por

K

it

i

1

.

Dit - demanda de escalão do item i, no período t, sendo dada por

K

it

i

1

.

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A equivalência entre (1)-(6) e (7)-(13) é mostrada por Afentakis et al. (1986). Observe que utilizando o conceito de estoque de escalão, não há a dependência entre os itens que apa-

recem na equação (2) do modelo (1)-(6). A dependência encontra-se na equação (9) do modelo (7)-(13). Dessa forma, a aplicação de relaxação Lagrangiana nas restrições (9) e (10) torna o problema resultante, completamente decomponível em N problemas monoestágios, independentes e com capacidade infinita de produção. Isto torna possível a utilização do algoritmo de Wagner e Whitin (1958), para a resolução do problema Lagrangiano.

2.1. Relaxação lagrangiana

A técnica de relaxação Lagrangiana é muito utilizada e existem várias razões que justificam o seu uso. Muitos problemas de otimização combinatória são problemas “fáceis”, complicados pela adição de algumas restrições “difíceis”. No entanto, se estas restrições forem retiradas e introduzidas na função objetivo com uma certa penalidade (os conhecidos multiplicadores de Lagrange), é possível obter um problema fácil de se resolver e, assim, pode-se dar uma atenção maior para a escolha de valores numéricos para os multipli-cadores de Lagrange, pois estes são muito importantes para a qualidade dos limitantes. Além disso, experi-ências com relaxação Lagrangiana indicam que esta fornece bons limitantes inferiores e de razoável custo computacional (Beasley, 1993).

Utilizando a técnica de relaxação Lagrangiana, em (7)-(13), o problema Lagrangiano obtido pela du-alização das restrições (9) e (10), pode ser escrito, como a seguir.

K

it

i

1

sujeito a:

K

it

i

1

onde

K

it

i

1

são os multiplicado-res Lagrangianos correspondentes ao conjunto de restrições (9) e (10), respectivamente.

Reescrevendo o problema Lagrangiano para cada item i, temos:

K

it

i

1

sujeito a:

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Uma abordagem baseada em relaxação lagrangiana e busca tabu para o problema de dimensionamento de lotes multiestágioK

it

i

1

onde

K

it

i

1

Como o problema Lagrangiano decompõe-se em N problemas monoestágios de dimensionamento de lotes, com capacidade infinita de produção (um para cada componente), pode-se utilizar o algoritmo de Wagner e Whitin (1958) para a resolução de cada um dos N problemas. Logo, o limitante inferior para o problema representado pelo modelo (7)-(13), é dado por:

(2)

(1)Min ( )1 1

N T


p X h I s Y= =

+ +

(7)+ +Min ( )1 1

N T

i t= =



d i N1itX ij ,..., =t T1 ,...,;

(3)( )N


j

=k K1,..., =t T1 ,...,;≤

(4)-Xit M it Y 0it =i N1,..., =t T1 ,...,;≤

(11)=i N1,..., =t T1 ,...,;-Xit M it Y 0it ≤

(9)j Si

=i N1,..., =t T1 ,...,;-a ij E jt E it 0≤

(10)+( )1

N

i=



(5)Xit I it0, =i N1,..., =t T1 ,...,;≥ 0≥

(12)=i N1,..., =t T1 ,...,;Xit E it0,≥ 0≥

(6)Y { }it 0,1 =i N1,..., =t T1 ,...,;

(13)Y { }it 0,1 =i N1,..., =t T1 ,...,;

(14)-( )1

N

t= 1

K

k= 1

T

t =


Com a resolução do problema Lagrangiano tem-se um limitante inferior para o problema represen-tado pelo modelo (7)-(13). No entanto, sua solução provavelmente é infactível, pois foram relaxados dois grupos de restrições.

3. HEURíStIcAS PROPOStAS

Inicialmente, será descrita a heurística encontrada em França et al. (1997), pois seus procedimentos são utilizados nas heurísticas propostas neste trabalho. A seguir, serão descritas as heurísticas Lagrangianas e, finalmente, a incorporação de Busca Tabu.

3.1. Heurística H0 – Heurística encontrada em França et al. (1997)

A heurística encontrada em França et al. (1997) é composta por quatro procedimentos: um procedi-mento para a obtenção da solução inicial (P1), um procedimento de factibilização (P2), um procedimento de melhoria (P3) e um de alteração (P4), como mostra a Figura 1. O procedimento inicial constrói uma so-

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lução que, geralmente, é infactível. A seguir, os outros três procedimentos, com objetivos distintos, tentam encontrar uma solução factível e de melhor custo, através de transferências da produção entre períodos.

P1

factível

infactível

infactível

infactível

factível

factível

factível

P3P2

P4

FIGURA 1 – Diagrama da heurística H0.

A seguir, cada procedimento será descrito mais detalhadamente.

P1 - Procedimento para obtenção da solução inicial

O procedimento P1 considera o modelo (1)-(6) sem o conjunto de restrições de capacidade (3). A solução é obtida pela aplicação seqüencial do algoritmo de Wagner e Whitin (1958) para cada item separa-damente. Inicialmente, aplica-se o algoritmo aos itens finais

K

it

i

1

e, a seguir, para cada item i tal que

K

it

i

1

, após o cálculo de uma nova demanda (dit’), que depende da solução dos sucessores imediatos

K

it

i

1

e da própria demanda (dit), isto é,

K

it

i

1

.Após N aplicações do algoritmo de Wagner e Whitin (1958), obtém-se uma seqüência de soluções, que

reunidas, formam uma solução para o problema (7)-(13). Como as restrições de capacidade foram ignora-das, provavelmente a solução é infactível em relação ao consumo de recursos. Se isso acontecer, inicia-se o procedimento P2, na tentativa de obter uma solução factível.

P2 - Procedimento de factibilização

Esse procedimento tenta obter uma solução factível, a partir de uma infactível. Uma solução é considerada infactível, se em algum período t, a produção neste período consome uma quantidade de recursos maior que a disponível. A cada período t infactível, é feita uma tentativa de transferir uma quantidade de produção q da produção Xit do componente i, no período t (período infactível), para outro período tl (período destino), até que o período t se torne factível. O procedimento é dividido em dois passos: passo Regressivo, onde são analisados os períodos t = T,..., 2 e tl <t; e Progressivo, onde são analisados os períodos t =1,..., T-1 e tl >t . Em cada período t, para a escolha da transferência, é feito um cálculo que analisa a variação no custo e no excesso da utilização dos recursos que cada transferên-cia causa, no caso de ser efetuada. De todas as transferências analisadas, a que obtiver menor variação, é realizada. Os dois passos, Progressivo e Regressivo, são repetidos até que uma solução factível seja obtida ou um contador de passos atinja o limite máximo pré-especificado.

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P3 – Procedimento de melhoriaA partir de uma solução factível, este procedimento tenta encontrar uma solução com menor custo,

sem permitir infactibilidade. O mecanismo é similar ao procedimento P2, com passos Regressivo e Pro-gressivo. A cada período analisado, a transferência efetuada é a que causa maior redução no valor da função objetivo, sem provocar infactibilidade. Os dois passos são sucessivamente executados até que um passo Regressivo e um Progressivo não tenham efetuado nenhuma transferência, terminando com uma solução igual ou melhor que a inicial.

P4 – Procedimento de alteraçãoNeste procedimento, executa-se uma seqüência de transferências, com o objetivo de obter uma nova

solução, mesmo que esta seja infactível. É composto de apenas um passo, onde para cada item é efetuada uma transferência (q,i,t,tl). Os períodos t (período origem) e tl (período destino) são determinados, a partir de uma ordenação prévia dos períodos, segundo a quantidade dos recursos não utilizados em cada período. A cada item é feita a tentativa de transferência do período mais “apertado” para o mais “folgado”, em termos de recursos disponíveis.

Após a execução do procedimento P1, os procedimentos P2, P3 e P4 são continuamente executados até que um critério de parada seja atingido.

3.2. Heurísticas HR1 e HR2 – heurísticas lagrangianas

Como dito anteriormente, as heurísticas Lagrangianas apresentadas são baseadas no trabalho de França et al. (1997), o qual não incorpora as informações do problema Lagrangiano na sua resolução. Serão apresentadas duas heurísticas Lagrangianas: uma típica e outra, um pouco mais sofisticada. As heurísticas podem possuir os seguintes procedimentos:

P1 – Procedimento para a obtenção da solução inicial.P2 – Procedimento de factibilização.P3 – Procedimento de melhoria.P4 – Procedimento de alteração.P5 – Procedimento para a atualização dos multiplicadores de Lagrange.A seguir, é descrito o procedimento para a atualização dos multiplicadores de Lagrange (P5), já que

este não é encontrado no trabalho de França et al. (1997).

P5 – Procedimento de atualização dos multiplicadores de LagrangeEste procedimento utiliza a otimização do subgradiente para atualização dos multiplicadores de La-

grange, fornecendo, dessa forma, novos custos Lagrangianos de produção, preparação e estoque. Dados os valores iniciais dos multiplicadores de Lagrange, o método de otimização do subgradiente, gera uma seqüência de multiplicadores, movendo-se na direção do subgradiente por uma distância dada por um determinado passo.

Os multiplicadores de Lagrange das restrições (9) e (10) são atualizados de acordo com as equações abaixo:

K

it

i

1

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Neste trabalho, para maximizar a função dual Z(λ, µ) (14), o método do subgradiente utilizado, in-corpora as modificações propostas por Camerini et al. (1975).

Após a atualização dos multiplicadores de Lagrange, os custos Lagrangianos de produção, preparação e estoque são atualizados, possibilitando a obtenção de uma nova solução inicial, utilizando-se o algoritmo de Wagner e Whitin (1958) (procedimento P1).

A heurística Lagrangiana típica (HR1) é composta pelos procedimentos P1, P2, P3 e P5, como mostra a Figura 2. Inicialmente, é obtida uma solução inicial (P1) que geralmente é infactível. Caso esta solução seja in-factível, executa-se o procedimento de factibilização (P2), na tentativa de obter uma solução factível. Caso tenha sido obtida uma solução factível (em P1 ou em P2), o procedimento de melhoria (P3) tenta encontrar melhores soluções, a partir da obtida anteriormente. A seguir, para a atualização dos multiplicadores de Lagrange, o pro-cedimento P5 utiliza a otimização do subgradiente, fornecendo novos custos de produção, estoque e preparação, os quais serão utilizados novamente no procedimento P1, obtendo uma nova solução inicial.

A Figura 2 apresenta o pseudo-código da heurística HR1, considerando:• iter: contador de iterações;• f(S(iter)): valor da função objetivo, utilizando a solução S(iter);• S*: solução incumbente (melhor solução);• iter_max: número máximo de iterações da heurística;

f(S*) = ∞para iter = 1 até iter_max faça

S(iter) = Solução de partida (Procedimento P1)se (S(iter) é infactível) então

S(iter) = Factibilizacão (Procedimento P2)fimse (S(iter) é factível) então

S(iter) = Melhoria (Procedimento P3)se f(S(iter)) < f(S*) então S* = S(iter)

fimAtualiza_Mult (Procedimento P5)

fim {para iter}Se S* é infactível, então o método falhou.

FIGURA 2 – Pseudo-código da heurística HR1.

A outra heurística Lagrangiana (HR2) é composta pelos procedimentos P1, P2, P3, P4 e P5, como mostra a Figura 3. O que a diferencia de HR1, é a presença do procedimento de alteração (P4), estando a heurística H0 de forma completa internamente na heurística HR2. Como na heurística anterior, primei-ramente é obtida uma solução inicial (P1) que geralmente é infactível. A seguir, caso a solução encontrada em P1 seja infactível, executa-se o procedimento de factibilização (P2). No caso de encontrar uma solução factível, executa-se o procedimento de melhoria (P3), para tentar encontrar soluções de melhor qualidade e, em seguida, o procedimento de alteração (P4) é aplicado para a obtenção de novas soluções, mesmo in-factíveis ou de pior custo, com o objetivo de obter um novo ponto de partida para o procedimento P2. Os procedimentos P2, P3 e P4 são executados durante um certo número de vezes. Então, o procedimento para a atualização dos multiplicadores de Lagrange (P5) é executado, obtendo novos custos Lagrangianos, para então ser executado novamente o procedimento P1 e assim obter-se um novo ponto de partida.

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f(S*) = ∞ para a = 1 até a_max faça

S(1) = solução de partida (Procedimento P1)para iter = 1 até iter_max faça

se (S(iter) é infactível) entãoS(iter) = Factibilizacão (Procedimento P2)

fimse (S(iter) é factível) então

S(iter) = Melhoria (Procedimento P3)se f(S(iter)) < f(S*) então S* = S(iter)

fimS(iter) = Alteração (Procedimento P4)

fimAtualiza_Mult (Procedimento P5)

fim {para iter}Se S* é infactível, então o método falhou.

FIGURA 3 – Pseudo-código da heurística HR2.

As heurísticas executam os procedimentos até que um critério de parada seja atingido, retornando à melhor solução factível obtida ou informando que nenhuma solução factível foi encontrada e, nesse caso, não é possível garantir que o problema não possua solução factível.

O que diferencia a heurística de França et al. (1997) e as heurísticas Lagrangianas é o procedimento para a obtenção de uma nova solução inicial. Em França et al. (1997), o procedimento de alteração (P4), que é baseado apenas em transferências de partes da produção entre períodos, é quem tem como objetivo obter uma nova solução de partida mesmo que estas sejam infactíveis ou de pior custo. Já nas heurísticas Lagrangianas, o procedimento para a atualização dos multiplicadores de Lagrange (P5), é que obtém novos custos Lagrangianos, para então ser executado novamente o procedimento P1 e assim, obter uma nova solução inicial.

3.3. Heurística HRt – heurística utilizando busca tabu

A incorporação de Busca Tabu (Glover e Laguna, 1997) foi feita na heurística HR2, pois como será visto na próxima seção, foi a heurística de melhor desempenho, antes da incorporação de Busca Tabu. O objetivo foi a prevenção da ciclagem durante a execução dos procedimentos P2, P3 e P4, onde transfe-rências feitas no passo Progressivo desfaziam transferências efetuadas no passo Regressivo. Além disso, movimentos realizados no procedimento P4 eram desfeitos no procedimento P2. Foram testados vários atributos, critérios de aspiração e tamanhos diferentes de listas. Apresentam-se os que obtiveram melhores resultados. A escolha desses parâmetros foi baseada no trabalho de Berretta et al. (1999).

Durante a execução dos procedimentos P2, P3 e P4, um movimento pode ser caracterizado por (q,i,t,tl), representando a transferência de uma quantidade q do item i, do período t ao período tl. A cada movimento (q,i,t,tl) efetuado, o atributo (i,t) recebe a condição tabu durante um determinado número de transferências. A cada movimento (q,i,t,tl), nos procedimentos P2 e P4, verifica-se se o par (i,tl) está proibido. Caso não exista nenhum movimento disponível, sem a condição tabu, durante a análise de um período t, o critério de aspiração seleciona o movimento “menos tabu”, ou seja, o que está mais próximo de tornar-se não tabu.

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4. RESUltAdOS cOmPUtAcIOnAIS

As implementações foram realizadas em linguagem C e os testes foram realizados em um Pentium III 650 MHz.

Os exemplos numéricos utilizados nos testes computacionais foram divididos em três grupos, G1, G2 e G3. Os grupos G1 e G2 foram gerados aleatoriamente e o grupo G3 é o encontrado em Tempelmeier e Derstroff (1996). O grupo G1 é composto por 160 exemplos de pequena dimensão, onde para cada exem-plo a solução ótima foi determinada, usando CPLEX 4.0. Exemplos de média dimensão são encontrados no grupo G2, composto de 240 exemplos. Neste caso, a heurística é comparada com o valor do limitante inferior, obtido usando relaxação Lagrangiana. A Tabela 1 descreve os intervalos de valores usados para gerar os exemplos dos grupos G1 e G2. Tais valores são os mesmos encontrados em França et al. (1997). As características dos exemplos encontrados nos grupos G1 e G2 estão descritas na Tabela 2.

TABELA 1 – Parâmetros utilizados para a geração dos exemplos dos grupos G1 e G2.

TABELA 2 – Características dos grupos G1 e G2.

Parâmetro Intervalo Grupo G1 Grupo G2

pit U[1,5;2] Estrutura Serial e geral Serial e geral

sit para custo baixo de preparação U[5;95] NxT 3x6, 3x12, 6x6,

10x610x12, 10x18, 17x12, 17x18, 40x12, 40x18

sit para custo alto de preparação U[50;950] Custo de

preparação Baixo e alto Baixo e alto

eit U[0,2;0,4] Capacidade c1 e c2 c1 e c2

vit U[2;3] Sementes 5 5

fit U[150;250] Total 160 240

dit para itens finais U[0;180]

dit para itens não finais U[0;18]

Os parâmetros aij e K foram considerados constantes com valor 1 em G1 e G2. Para a capacidade (CA-Pkt), foram realizados cálculos para que os valores deste parâmetro estejam relacionados com a quantidade de recursos necessários e os valores de demanda gerados.

Inicialmente, foi utilizada a solução obtida com a política lote-por-lote, ou seja, para cada período t, calcula-se a quantidade de recursos utilizada, caso a produção neste período seja exatamente a demanda do período, isto é,

K

it

i

1

A partir desse valor foi calculada uma média, de tal modo que a quantidade de um determinado re-curso k em cada período t, seja a mesma, isto é,

K

it

i

1

Assim, os problemas foram divididos em duas categorias, segundo a disponibilidade de recursos:c1: fazendo CAPt = Ct t=1,...,Tc2: fazendo CAPt = 1,1*Ct t=1,...,TDesta forma, os problemas que consideram c1 são os com capacidade que chamamos de normal e os

que consideram c2, são os chamados de folgados.As estruturas gerais para os exemplos com 10, 17 e 40 itens são as encontradas em França et al. (1997),

Maes et al. (1991) e Clark e Armentano (1995), respectivamente.

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O grupo G3 é composto por 600 exemplos, com 10 itens, 4 períodos e 3 recursos. Cada exem-plo foi gerado combinando duas estruturas de produto, três estruturas de demanda para os itens finais, cinco combinações de time-between orders (TBO) e cinco combinações de utilização de capacidade. Mais detalhes da geração desses exemplos, podem ser encontrados em Tempelmeier e Derstroff (1996).

Para a análise dos resultados, foi calculada a percentagem de exemplos, onde a heurística consegue obter solução factível. Além disso, para avaliar a qualidade das soluções, calculamos o gap entre o valor obtido pela heurística e um limitante inferior, obtido pela aplicação de relaxação Lagrangiana ou o valor da solução da heurística, com valor ótimo obtido pelo pacote CPLEX 4.0. As Tabelas 3 e 4 descrevem as nomenclaturas desses valores e das heurísticas, respectivamente.

TABELA 3 – Descrição das legendas utilizadas para análise dos resultados.

FAc Percentagem de exemplos onde foi obtida solução factível.

GAP Média entre os gaps das soluções obtidas, onde gap representa a diferença percentual entre a solução atingida pela heurística e um limitante inferior, obtido pela aplicação de relaxação Lagrangiana.

GAPO Diferença percentual entre a solução atingida pela heurística e valor ótimo obtido pelo pacote CPLEX.

TABELA 4 – Descrição da nomenclatura das heurísticas.H0 Heurística composta pelos procedimentos P1, P2, P3 e P4 (França et al., 1997).

HR1 Heurística composta pelos procedimentos P1, P2, P3 e P5.

HR2 Heurística composta pelos procedimentos P1, P2, P3, P4 e P5.

HRt Heurística HR2 com a incorporação de Busca Tabu.

Os parâmetros utilizados em cada uma das heurísticas, para obtenção dos resultados aqui presentes, são descritos a seguir. Vale ressaltar que diferentes valores para os parâmetros foram testados e são apresen-tados os que obtiveram melhores resultados.

O método do subgradiente presente nas heurísticas HR1, HR2 e HRT, foi executado por 30 iterações. Todas as heurísticas foram executadas por 100 iterações. Nas heurísticas HR2 e HRT, a heurística interna H0 foi executada até que 5 iterações tenham sido realizadas, sem que uma nova solução incumbente tenha sido encontrada. A Busca Tabu, presente na heurística HRT, foi executada, a partir da iteração 10 e o tem-po tabu (TAG) foi gerado aleatoriamente no intervalo [a,a*4], onde a é o número médio de transferências realizado por iteração.

A seguir, estão descritos os resultados obtidos para cada grupo e sua respectiva análise.

4.1. Resultados das heurísticas utilizando os grupos G1 e G2

As Tabelas 5 e 6 mostram os resultados para o grupo G1. A Tabela 5 mostra FAC e GAP obtido pelas heurísticas, enquanto na Tabela 6, estão descritos os valores de GAP e GAPO para as heurísticas H0 e HRT, além do tempo computacional gasto em ambas. Nas Tabelas 7 e 8, estão os resultados para o grupo G2, mostrando, respectivamente, os resultados de FAC e GAP para esse grupo.

Observando os resultados em relação à obtenção de soluções factíveis (Tabelas 5 e 7), as heurís-ticas são muito similares. Para o grupo G1, as heurísticas conseguem obter soluções factíveis para a mesma quantidade de exemplos. No grupo G2, nota-se uma pequena superioridade para as heurísticas que incorporam os custos Lagrangianos em sua estratégia.

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TABELA 5 – GAP e FAC para os exemplos do grupo G1.

Estrutura custo de Preparação nxt

GAPFAc

H0 HR1 HR2 HRt

Geral

baixo

3x6 4,6 4,5 4,3 4,3 70,03x12 5,4 4,8 4,6 4,5 90,06x6 2,3 2,4 1,7 1,7 80,010x6 2,5 2,5 2,0 1,8 90,0

Alto

3x6 29,2 25,7 25,5 26,7 70,03x12 22,8 21,0 19,7 21,1 90,06x6 20,0 18,0 16,6 16,7 80,010x6 11,1 8,6 8,3 8,4 90,0

média 12,0 10,7 10,1 10,4 82,5

Serial

baixo

3x6 4,1 3,8 3,9 3,6 80,03x12 4,7 4,5 4,2 4,1 90,06x6 3,7 3,8 3,1 3,0 90,010x6 3,2 3,0 2,9 2,6 80,0

Alto

3x6 28,1 26,5 24,7 24,7 80,03x12 20,9 16,9 16,7 17,0 90,06x6 21,7 21,9 19,2 20,8 90,010x6 16,0 15,4 15,1 14,2 80,0

média 12,8 12,0 11,2 11,2 85,0

TABELA 6 – GAP e GAPO para os exemplos do grupo G1.

Estrutura custo de Preparação nxt

H0 HRtGAPO GAP tempo (s) GAPO GAP tempo (s)

Geral

baixo

3x6 3,2 4,6 0,03 0,0 4,3 3,843x12 1,9 5,4 0,09 0,1 4,5 8,776x6 1,7 2,3 0,09 0,0 1,7 7,2410x6 2,4 2,5 0,31 0,1 1,8 19,20

Alto

3x6 4,1 29,2 0,02 2,1 26,7 3,833x12 3,1 22,8 0,07 3,2 21,1 10,146x6 4,1 20,0 0,07 1,3 16,7 8,4810x6 3,9 11,1 0,14 1,9 8,4 15,03

média 3,0 12,0 0,10 1,1 10,4 9,57

Serial

baixo

3x6 0,6 4,1 0,01 0,1 3,6 3,393x12 0,8 4,7 0,05 0,2 4,1 7,436x6 1,0 3,7 0,05 0,3 3,0 6,1410x6 0,7 3,2 0,15 0,1 2,6 14,79

Alto

3x6 3,8 28,1 0,05 1,0 24,7 3,663x12 4,5 20,9 0,04 1,3 17,0 8,666x6 2,7 21,7 0,03 2,1 20,8 6,5410x6 2,1 16,0 0,11 0,5 14,2 11,34

média 2,0 12,8 0,06 0,7 11,2 7,74

No que diz respeito à qualidade das soluções, observe, primeiramente, as diferenças entre H0 e HR1. No grupo G1, HR1 foi superior à H0. No grupo G2, H0 foi superior à HR1 nos exemplos com estrutura geral de produto, enquanto para os exemplos com estrutura serial, HR1 foi superior. Essas duas heurísticas distinguem-se apenas na obtenção da solução inicial. Na heurística H0, é realizada pelo procedimento P4

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(baseado em transferências de produção entre períodos), enquanto na heurística HR1, é realizada pelo procedimento P5 e P1 (utilizando os custo Lagrangianos, obtidos em P5, para executar o procedimento P1 novamente). Pode-se dizer que o uso dos multiplicadores Lagrangianos é responsável por uma melhoria na eficiência da heurística, na maioria dos exemplos, mas não no total deles.

Observando agora, as heurísticas HR2 e HRT: ambas obtiveram resultados superiores a H0 e HR1, o que era esperado, pois ambas possuem a heurística H0 internamente. A inclusão de Busca Tabu não re-sultou em melhoras significativas, mas vale ressaltar, que esses resultados podem estar muito próximos do ótimo, como os resultados do grupo G1, na Tabela 6, mostram quando são comparados GAP e GAPO.

TABELA 7 – Percentagem de soluções factíveis (FAC) para os exemplos do grupo G2.

Estrutura custo de Preparação N H0 HR1 HR2 HRT

Geral

baixo

10 65 70 70 70

17 90 90 90 90

40 40 55 40 50

Alto

10 65 70 70 70

17 90 90 90 90

40 40 50 45 50

média 65,0 70,8 67,5 70,0

Serial

baixo10 70 75 70 7517 85 85 85 8540 55 55 55 55

Alto10 75 75 75 7517 85 85 85 8540 55 55 55 55

média 70,8 71,7 70,8 71,7

TABELA 8 – Qualidade das soluções (GAP) para os exemplos do grupo G2.

Estrutura custo de Preparação N H0 HR1 HR2 HRT

Geral

baixo

10 3,1 3,2 2,6 2,3

17 1,2 0,9 0,8 0,7

40 1,9 2,3 1,6 1,2

Alto

10 12,9 15,6 11,9 12,4

17 6,2 5,6 5,0 4,6

40 12,5 14,2 10,8 11,0

média 5,8 6,2 4,9 4,8

Serial

baixo10 4,0 4,2 3,6 3,517 5,2 5,0 4,7 4,440 0,6 0,6 0,6 0,6

Alto10 18,7 16,6 16,4 16,117 21,1 20,4 17,7 16,640 24,3 24,0 22,9 21,9

média 12,5 11,9 11,0 10,5

O tempo computacional gasto pela heurística H0, para os exemplos do grupo G2, foi de alguns segun-dos (1, 2 e 15 para os exemplos com 10, 17 e 40 itens, respectivamente) e para as heurísticas HRT e HR2, foi de 1, 2 e 15 minutos para os mesmos exemplos. Vale ressaltar que as heurísticas H0 e HR1 foram executadas

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por um tempo superior (equivalente aos tempos computacionais de HR2 e HRT), mas os resultados não foram da mesma qualidade que HR2 e HRT.

4.2. Resultados das heurísticas utilizando o grupo G3

A Tabela 9 apresenta os resultados que estão no artigo de Tempelmeier e Derstroff (1996) e os resulta-dos obtidos pela heurística HRT, para o mesmo grupo de exemplos.

Na média geral, a heurística HRT ficou a 2,9% da solução ótima, enquanto Tempelmeier e Derstro-ff (1996) reportam que obtiveram um gap de 1,3%. Özdamar e Barbarosoglu (2000), que apresentaram uma heurística Lagrangiana, com a inclusão de “Simulated Annealing”, obtiveram, para o mesmo grupo de exemplos, um gap de 4,2%. Os resultados parciais obtidos por Özdamar e Barbarosoglu (2000) não estão na Tabela 9, porque temos apenas a média geral obtida por eles no grupo G3. Vale ressaltar que Özdamar e Barbarosoglu (2000) reportam que implementaram a heurística de Tempelmeier e Derstroff (1996) e com a implementação que eles realizaram, o gap obtido foi de 12,1%.

TABELA 9 – Resultados de HRT e de Tempelmeier e Derstroff (1996) para o grupo G3.

Estrutura Perfil de Preparação

tempelmeier e derstroff (1996) HRt

GAPO GAPO GAPt tempo (s)Geral 1 2,0 2,4 0,4 33,7

2 1,8 3,2 1,4 33,3Média 1,9 2,8 0,9 33,5

Montagem1 0,7 3,1 2,4 44,52 0,7 3,1 2,4 41,1

Média 0,7 3,1 2,4 42,8Média Geral 1,3 2,9 1,6 38,2

5. cOnclUSõES

Este trabalho apresentou heurísticas Lagrangianas, com a inclusão de Busca Tabu, para o problema de dimensionamento de lotes, com restrições de capacidade, incluindo custos e tempos de preparação. O objetivo foi avaliar a utilização de diferentes estratégias e comparar os resultados com as heurísticas apre-sentadas em França et al. (1997), Tempelmeier e Derstroff (1996) e Özdamar e Barbarosoglu (2000).

Foram três as heurísticas apresentadas: HR1, HR2 e HRT. Todas as heurísticas obtêm uma solução inicial, geralmente infactível e, a seguir, procedimentos baseados em transferências de produção são execu-tados, na tentativa de se obter uma solução factível. A heurística HR1 é uma típica heurística Lagrangiana, onde o método do subgradiente é utilizado para obter novos custos Lagrangianos e utilizá-los para obten-ção de uma nova solução inicial. Esta heurística contrasta com a encontrada em França et al. (1997) (H0) exatamente na estratégia de obtenção de uma nova solução inicial. Em H0, um procedimento baseado em transferências de produção (sem utilização de custos Lagrangianos) é utilizado para obtenção de uma nova solução inicial. A utilização de custos Lagrangianos, como estratégia heurística, resultou em uma heurística mais eficiente na maioria dos exemplos testados.

As heurísticas HR2 e HRT utilizaram a heurística H0, como uma busca local antes de obter uma nova solução inicial, com o uso dos custos Lagrangianos. Essas duas heurísticas conseguiram melhorar o desempenho. No grupo G1, H0 consegue obter soluções a 3,0% e 2,0%, em relação ao ótimo para exemplos com estrutura geral e serial, respectivamente, enquanto HRT consegue obter soluções a 1,1% e 0,7%. Para

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o grupo G2, H0 obtém resultados a 5,8% e 12,5% (estruturas geral e serial, respectivamente), en-quanto HRT obtém valores de 4,8% e 10,5%. Vale ressaltar que esses resultados podem estar muito próximos da solução ótima, como foi constatado pelos resultados do grupo G1. Nesse grupo (G1), observamos que a diferença entre GAPO e GAP é em torno de 10 pontos percentuais. Mostrando um grande gap de dualidade.

Finalmente, para o grupo G3, HRT obteve soluções a 2,9% do ótimo, enquanto Özdamar e Barbaro-soglu (2000) obtiveram 4,2%. Os resultados apresentados por Tempelmeier e Derstroff (1996) são de 1,3%. Entretanto, Özdamar e Barbarosoglu (2000) reportam que implementaram a heurística de Tempelmeier e Derstroff (1996) e quando executada, os resultados ficaram a 12,1% do ótimo.

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uma abordagem baseada em relaxação lagrangiana e busca

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