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RENATA SIANO GONÇALVES

UM ESTUDO COM OS NÚMEROS INTEIROS USANDO O PROGRAMA APLUSIX COM ALUNOS DE 6ª SÉRIE

DO ENSINO FUNDAMENTAL

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

PUC/SP São Paulo

2007

RENATA SIANO GONÇALVES

UM ESTUDO COM OS NÚMEROS INTEIROS USANDO O PROGRAMA APLUSIX COM ALUNOS DE 6ª SÉRIE

DO ENSINO FUNDAMENTAL

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de Mestre Profissional em Ensino de Matemática, sob a orientação da Professora Doutora Bárbara Lutaif Bianchini.

PUC/SP São Paulo

2007

Banca Examinadora

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Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Tese por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

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Assinatura Local e Data

“Fale, e eu esquecerei; Ensina-me, e eu poderei lembrar;

Envolva-me, e eu aprenderei“.

(Benjamin Franklin)

AGRADECIMENTOS

Durante o percurso desse trabalho pude contar com a compreensão e carinho de muitas pessoas queridas. Quero iniciar o meu agradecimento a Deus por me dar amor e dedicação a minha vocação, a essa profissão que dediquei grande parte da minha vida. Deus não escolhe os mais capacitados para a realização de uma tarefa, mas capacita os escolhidos. Ao meu marido pela paciência em momentos difíceis e incentivos nos momentos que mais precisei. Aos meus pais e ao meu irmão pelo carinho, compreensão e incentivo. À minha sogra pelas orações e carinho que teve comigo durante esse trajeto. Ao governo do Estado de São Paulo por meio da Escola Estadual Profº José Liberatti, pelo apoio financeiro. À minha orientadora profª Drª Barbara Lutaif Bianchini, pelo seu respeito, dedicação e contribuição em suas orientações. No início dessa pesquisa fui orientada pela Profª Drª Leila Zardo Puga, a qual devo a minha gratidão pela paciência, respeito e contribuição por grande parte desse trabalho e agora como integrante da banca examinadora. A Drª Maria Cristina S. A. Maranhão integrante da banca examinadora pelas sugestões que muito contribuíram para o enriquecimento desse trabalho. Aos professores do Programa de Mestrado Profissional em Educação Matemática que durante esse curso contribuíram muito para o meu crescimento profissional. Aos meus colegas que juntos estudamos e trocamos experiências enriquecedoras em especial aos amigos José Anísio, Ivan, Margarete, Lourdes e Raquel. À equipe gestora da Escola Estadual Irmã Gabriela Maria Elisabeth Wienkem e particularmente à Profª Auxiliadora e seus alunos que acolheram esse trabalho e contribuíram para a realização da nossa pesquisa.

A Autora

RESUMO

Nosso trabalho teve por objetivo investigar como alunos de 6ª série do Ensino Fundamental II resolvem situações-problema envolvendo Números Inteiros, utilizando o programa computacional chamado Aplusix. Nossa pesquisa foi desenvolvida numa escola estadual de ensino, localizado na periferia da zona oeste de São Paulo, a qual dispunha de um laboratório de informática equipado, com número suficiente de computadores. Para a realização da mesma, contamos com a participação de 8 alunos de uma classe de 34, que se dispuserem em ficar na escola após o horário das aulas. Nesta pesquisa procuramos investigar como os alunos fazem a conversão do enunciado do problema no registro da língua natural para o registro simbólico numérico, fundamentada na teoria dos registros de representação semiótica de Raymond Duval. Percebemos a motivação e o interesse dos alunos em realizarem as atividades num ambiente computacional. Não apresentaram dificuldades no manuseio das ferramentas apresentadas pelo programa. Diante dos resultados apresentados nos protocolos verificamos que o problema envolvendo um jogo de cartas, houve uma porcentagem maior de acertos em relação ao problema envolvendo deslocamento de andares de um prédio. Acreditamos que os jogos são mais familiares para esses alunos. Observamos que uma das maiores dificuldades apresentadas por eles na resolução dos problemas concentrou-se nos cálculos das operações de adição e subtração envolvendo os Números Inteiros. Houve um trabalho coletivo entre a professora e a pesquisadora que foi importante, pois indiretamente permitiu que a professora da turma percebesse as dificuldades que seus alunos apresentavam e possibilitou que ela mudasse a sua estratégia de ensino viabilizando uma aprendizagem mais significativa, favorecendo um avanço na aprendizagem dos alunos. Palavras-chave: Números Inteiros; problemas aditivos; ensino fundamental; programa Aplusix.

ABSTRACT

The aim of this dissertation is to investigate how 6th grade elementary school students solve problem-situations involving whole numbers whilst working with the Aplusix software. Our research was developed in an elementary school from the public education systems of the state of São Paulo, located in the outskirts of the western region of Sao Paulo, where an equipped computer lab was available. 8 students from a class of 34 who were able to stay in the premises after school hours participated in the study. In this research, we aim to investigate how learners convert problems presented in their mother tongue register into the symbolic register using Raymond Duval’s theoretical framework of semiotic representation. The students were observed to be both motivated and interested as they worked upon the computer-based activities throughout the project. No major difficulties in handling the program tools were apparent. There is strong evidence in the protocols to suggest that the problem involving a card game had a better percentage of correct results than the problem involving the dislocation of floors in a building. We believe that card games are more familiar to the learners. In addition, it was observed that most of the difficulties presented by the students when solving of the problems were due to errors in the adding and subtracting calculations involving whole numbers. There was a joint effort between the researcher and the teacher which proved to be extremely important since it allowed the teacher to diagnose the students´ difficulties and to focus her teaching strategy in a more meaningful way. Key words: whole numbers; adding problems; elementary school; Aplusix program

LISTA DE ABREVIATURAS

EGEM: Encontro Gaúcho de Educação Matemática

ENEM: Exame Nacional do Ensino Médio

HD: Hard Disk

FDE: Fundação para o Desenvolvimento da Educação

PCN: Parâmetros Curriculares Nacionais

PNLD: Plano Nacional de Livro Didático

PUC: Pontifícia Universidade Católica

RAM : Random Access Memory

SARESP: Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do estado de São Paulo.

SAEB: Sistema Nacional de Avaliação Escolar da educação Básica

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 13

CAPITULO 1 .......................................................................................................... 16Problemática e Justificativa .......................................................................... 161.1 Artigos da Marilena Bittar e outros ............................................................. 201.2 Experiências vivenciadas com o Programa Aplusix ................................... 271.3 Objetivo ...................................................................................................... 34

CAPITULO 2 .......................................................................................................... 36Aporte Teórico ................................................................................................ 362.1 A Teoria da Representação Semiótica de Raymond Duval ....................... 362.2 Tecnologia e Ensino ................................................................................... 39

CAPITULO 3 .......................................................................................................... 43Análise de Propostas de Ensino do Conceito ............................................. 433.1 Algumas Pesquisas sobre números inteiros .............................................. 43

CAPITULO 4 .......................................................................................................... 53Procedimentos Metodológicos ..................................................................... 534.1 Nossos Sujeitos de Pesquisa ..................................................................... 534.2 Usando Aplusix com alunos de 6ª série ..................................................... 544.3 Instrumento Diagnóstico ............................................................................. 574.4 Análise a Priori ........................................................................................... 58

CAPITULO 5 .......................................................................................................... 63Análise dos Protocolos dos Alunos ............................................................. 635.1 Análises dos Resultados do 1º problema ................................................... 635.2 Análises dos Resultados do 2º problema ................................................... 71

CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................. 80

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................... 85

APÊNDICE ............................................................................................................ iFamiliarizando-se com as ferramentas do Aplusix ...........................................

ANEXOS ................................................................................................................ xlviInstrumento Diagnóstico ................................................................................... xlvi

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Regras em ação ................................................................................... 24Tabela 2 – Classificação dos diferentes registros mobilizáveis ............................. 37Tabela 3 – Competências para formação contínua ............................................... 40Tabela 4 – Porcentagem de acertos ...................................................................... 64Tabela 5 – Erros mais freqüentes .......................................................................... 65Tabela 6 – Resultados do problema 2 ................................................................... 71

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Atividade: Variações de Temperatura .................................................. 45Figura 2 – Atividade: Fusos horários ..................................................................... 46Figura 3 – Atividade: Situação dos países antes da Copa América ...................... 47Figura 4 – Atividade: Contratações e Demissões nos últimos dois anos .............. 48Figura 5 – Atividade: “Ganho e Perda” .................................................................. 51Figura 6 – Atividade realizada no Aplusix .............................................................. 66Figura 7 – Resolução realizada no Aplusix ............................................................ 68Figura 8 – Resolução realizada em folha de papel ................................................ 68Figura 9 – Resolução realizada em folha de papel ................................................ 69Figura 10 -Resolução realizada no Aplusix ........................................................... 69Figura 11 -Resolução realizada no Aplusix ........................................................... 72Figura 12 -Resolução realizada no Aplusix ........................................................... 74Figura 13 -Resposta aluna Yandra ........................................................................ 75Figura 14 -Problema proposto por Todesco (2006) ............................................... 76Figura 15 -Resolução realizada no Aplusix ........................................................... 76Figura 16 -Rascunho na folha ................................................................................ 76

INTRODUÇÃO

Estamos vivendo um momento em que as profissões no mercado de

trabalho exigem cada vez mais pessoas com habilidades e competências na área

computacional. Com o grande número de informações veiculadas pela Internet e

alunos tendo acesso às tecnologias desde muito cedo, novas visões ou propostas

no campo da Educação têm sido colocadas em discussão, sobretudo aquelas

relacionadas ao processo de ensino-aprendizagem e, em particular, as referentes

à nossa prática de ensino.

D’Ambrósio nos diz que:

Como educadores, podemos oferecer às crianças de hoje, que constituem a geração, que em vinte ou trinta anos, estarão em posição de decisão, uma visão crítica do presente e os instrumentos intelectuais e materiais que dispomos para essa crítica. Estamos vivendo uma profunda transição, com mais intensidade que em qualquer outro período da história, na comunicação, nos modelos econômicos e sistemas de produção, e nos sistemas de governança e tomada de decisões. A Educação nessa transição não pode focalizar a mera transmissão de conteúdos obsoletos, na sua maioria desinteressantes e inúteis, e inconseqüentes na construção de uma nova sociedade. O que podemos fazer para nossas crianças é oferecer a elas os instrumentos comunicativos, analíticos e materiais para que elas possam viver, com capacidade de crítica, numa sociedade multicultural e impregnada de tecnologia. (2002, p. 45-46)

Sob esse enfoque perguntamos então: Como ensinar? O que fazer para

que os alunos aprendam? O uso de computadores e programas educacionais

podem propiciar um melhor desenvolvimento do processo ensino-aprendizagem?

Certamente, tais perguntas já foram formuladas por professores ou educadores

pelo menos uma vez, antes de qualquer decisão ou organização de ensino.

Introdução Renata Siano Gonçalves

14

Nesse contexto, o presente trabalho visa apresentar resultados de uma

pesquisa sobre a aprendizagem de alunos de 6ª série do ensino fundamental de

uma escola estadual sobre Números Inteiros.

Nosso objetivo principal é estudar as resoluções de problemas envolvendo

Números Inteiros norteada pela teoria dos registros de representação semiótica

de Raymond Duval.

Temos a intenção em contribuir para a compreensão de algumas

dificuldades relacionadas à aprendizagem do conceito de Números Inteiros

envolvendo situações-problema representado na língua natural.

Temos constatado no trabalho em sala de aula assim como há relatos de

pesquisas que mostram as dificuldades apresentadas na resolução de problemas

ou expressões numéricas envolvendo Números Inteiros.

Baldino nos revela que:

As dificuldades dos números inteiros são antigas. Em sua resenha histórica, Glaeser [1981] descreve as hesitações e perplexidades de matemáticos famosos que, embora usassem os números inteiros sem tropeços em suas pesquisas, buscavam em vão uma explicação convincente da regra dos sinais. A explicação definitiva, tal como a conhecemos hoje, foi apresentada pela primeira vez por Haenkel, em fins do século passado. Glaeser cita Stendhal, escritor francês que, em autobiografia, se refere a um episódio de sua meninice, datado de fins do Século XVIII, pelo qual se vê que suas dúvidas diante dos números inteiros eram essencialmente as mesmas ainda exibidas pelos alunos de hoje. (1996, p. 4)

Para tanto, sistematizamos nossos estudos e investigações em cinco

capítulos.

No capítulo 1 identificamos a problemática e a justificativa, artigos,

pesquisas e experiências sobre o uso do programa Aplusix, o objetivo deste

trabalho e sua questão de pesquisa.

O capítulo 2 tem como objetivo apresentar nosso principal aporte teórico

Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval (2003) e ainda citar

diferentes abordagens sobre o uso da tecnologia na Educação, sob o prisma de

diferentes pesquisadores.

Introdução Renata Siano Gonçalves

15

No capítulo 3 divulgaremos alguns comentários sobre como são feitas

considerações e comentários sobre estudos com números inteiros a partir de

dissertações, livros e artigos científicos.

O conteúdo do capítulo 4 enfoca os procedimentos metodológicos

aplicado em nosso trabalho utilizando em nossos estudos a ferramenta

computacional Aplusix, na sala de informática com alunos de 6ª série do ensino

Fundamental.

No capítulo 5, são apresentados os resultados e as análises dos

problemas realizados no ambiente computacional embasados na teoria dos

registros de representação semiótica de Raymond Duval, e por fim,

apresentaremos as considerações finais.

CAPÍTULO 1

PROBLEMÁT ICA E JUST I F ICAT IVA

No decorrer dos anos, lecionando e aperfeiçoando nossos conhecimentos

matemáticos, e sempre preocupados com o processo de ensino-aprendizagem,

resolvemos escolher os Números Inteiros abordando problemas aditivos, com o

intuito de contribuirmos na aprendizagem de problemas matemáticos.

De acordo com os PCN do ensino fundamental as provas de matemática

aplicadas em 1993, pelo SAEB indicam que:

Na primeira série do ensino fundamental, 67,7% dos alunos acertavam pelo menos metade dos testes. Esse índice caía para 17,9% na terceira série, tornava a cair para 3,1% na quinta série e subia para 5, 9% na sétima série. Nas provas de matemática, aplicadas em 1995, abrangendo alunos de quartas e oitava séries do ensino fundamental, os percentuais de acerto por série/grau e por capacidades cognitivas, além de continuar diminuindo à medida que aumentavam os anos de escolaridade, indicavam também que as maiores dificuldades encontravam-se nas questões relacionadas à aplicação de conceitos e à resolução de problemas. (1998, p. 24)

Hoje em dia, percebemos que nossos educandos esperam um

envolvimento maior de nós educadores, esperam uma docência dinâmica para

tornar o próprio estudo mais prazeroso e envolvente.

O PNLD nos afirma que:

O período de escolaridade da 5ª à 8ª séries caracteriza-se pela solidificação e ampliação dos conhecimentos adquiridos nos quatro primeiros anos de escolaridade, pela a apresentação de novos conceitos, pelo início da sistematização dos conhecimentos matemáticos do aluno e

Capítulo 1 – Problemática e Justificativa Renata Siano Gonçalves

17

pela aplicação da Matemática a situações-problema mais complexas. Pode-se dizer que é neste período que começa, para o aluno, a explicitação da estruturação da Matemática. Não com a apresentação sistemática e excessiva de demonstrações rigorosas, mas pela organização do assunto de maneira a respeitar uma lógica interna, suas grandes linhas de desenvolvimento, a interdependência entre suas diversas partes, o relacionamento entre a teoria e a prática e entre a intuição e os raciocínios abstratos. (2005, p. 197)

A formação de conceitos em crianças pequenas acontece mesmo antes da

fase escolar. Notamos que a maioria delas já possui um conjunto de idéias,

noções ou conceitos desenvolvidos, facilitando em parte, a aprendizagem quando

ingressam na escola.

Vários teóricos da educação, entre eles Vygotsky apud Oliveira relata que:

O processo de Ensino-Aprendizagem na escola deve ser construído, então, tomando como ponto de partida o nível de desenvolvimento real da criança – num dado momento e com relação a um determinado conteúdo a ser desenvolvido e como ponto de chegada os objetos estabelecidos pela escola, supostamente adequados à faixa etária e ao nível de conhecimentos e habilidades de cada grupo de crianças. (1998, p. 82).

Há educadores, pesquisadores ou teóricos da educação, preocupados e

envolvidos com o processo de ensino-aprendizagem, que buscam caminhos e

soluções para um melhor desempenho e aproveitamento dos conteúdos

trabalhados em sala de aula.

De acordo com Soares apud Oliveira:

O trabalho do docente na escola de hoje é muito maior e bem mais complexo do que o de outrora. Eis porque exige de nós, mestres, uma formação mais sólida, arguta, sensível ao discernimento das estratégias e dos verdadeiros objetivos educacionais que nos movem no sentido de levar ao alunado não uma gama de informações, denominada na atualidade “lixocultura”, mas um acervo bem selecionado de conhecimentos e os princípios de uma verdadeira Educação geral crítica analítica, construtivista, capaz de contribuir decisivamente para uma sólida formação geral de nossos educandos. (2003, p. 112)

Diante de nossas experiências constatamos dificuldades encontradas pela

maioria dos alunos, quando enfocamos conteúdos envolvendo operações com

Números Inteiros. A dificuldade é extrema e exige que o assunto em pauta seja

deixado de lado, para se retomar conteúdos ou explicações sobre as operações


18

com Números Inteiros. Isso acontece, insistentemente, a partir da 6ª série,

quando é introduzido o conjunto dos Números Inteiros.

Com alunos do Ensino Médio, identificamos situação análoga, pois há

também grandes lacunas acarretando dificuldades na aplicação dos números

inteiros.

Segundo os PCN (1998, p. 97), também na escola o estudo dos Números

Inteiros costuma ser cercado de dificuldades, e os resultados, no que se refere à

sua aprendizagem ao longo do ensino fundamental, têm sido bastante

insatisfatório.

Os PCN de Matemática do Ensino Fundamental auxiliam na escolha de

caminhos mais adequados para abordar os Números Inteiros e sugerem o

conhecimento de alguns obstáculos encontrados pelos alunos ao entrar em

contato com esses números, como:

• Conferir significado às quantidades negativas; • Reconhecer a existência de números em dois sentidos a partir de zero

enquanto para os naturais a sucessão acontece num único sentido; • Reconhecer diferentes papéis para o zero (zero absoluto e zero origem) • Perceber a lógica dos números negativos, que contraria a lógica dos

números naturais – por exemplo, é possível “adicionar 6 a um número e obter 1 como resultado”, como também é possível “subtrair um número de 2 e obter 9”;

• Interpretar sentenças do tipo x = -y, (o aluno costuma pensar que necessariamente x é positivo e y é negativo). (1998, p. 98)

É necessário ressaltarmos a importância do papel do professor para a

escolha de uma estratégia ou teoria a seguir numa proposta pedagógica para se

empregar no processo de ensino-aprendizagem. Neste sentido, Oliveira diz que:

A aprendizagem do aluno passa a ser responsabilidade da escola e espera-se que o professor seja cúmplice do educando em seu esforço de crescimento, não havendo mais lugar para colocações simplórias do tipo: ”Ele não aprende, não tem jeito”. Cabe ao professor e à escola achar o jeito. Para isso, ela tem total liberdade, em termos de organização, estratégias, métodos, e precisará exercitar sua criatividade e responsabilidade para com o aluno. (2003, p. 62)

Sem dúvida, uma peça fundamental na organização do ensino educacional

é o docente. O professor trabalha diretamente com o aluno, tem autonomia para


19

escolher seus caminhos ou estratégias a fim de organizar o plano de ensino para

suas aulas.

Estabelecer relações entre o Ensino e a Aprendizagem, é uma

preocupação constante em Educação e os PCN citam que:

Por muito tempo a pedagogia valorizou o que deveria ser Ensinado, supondo que, como decorrência, estaria valorizando o conhecimento. Ensino, então, ganhou autonomia em relação à aprendizagem, criou seus próprios métodos e o processo de aprendizagem ficou relegado a segundo plano. Os fracassos escolares decorrentes da Aprendizagem, das pesquisas que buscam apontar como sujeito conhecedor, das teorias que provocam reflexão sobre os aspectos que interferem no ensinar e no aprender, indicam que é necessário dar novo significado à unidade entre Aprendizagem e Ensino uma vez que, em última instância, sem aprendizagem não há ensino. (1998, p. 71)

Torna-se necessário comentar aqui, que o trabalho do professor tem

sempre que estar direcionado à qualidade do ensino e não necessariamente à

quantidade.

Para isso o professor precisa se preparar para ensinar, ou seja, precisa

saber o que vai ensinar e qual é a melhor estratégia de ensino e,

conseqüentemente, de avaliação.

Para que esse processo de ensino-aprendizagem ocorra da melhor forma

possível com resultados satisfatórios, torna-se importante conscientizar o aluno

sobre ele ser “autoformador”, da responsabilidade de envolver-se com

informações novas, que por meio de estratégias inteligentes e objetivas ele possa

construir ou produzir seu próprio conhecimento, conquistando autonomia na

aprendizagem e se preparando para outras tarefas mais complexas que na vida

surgirão.

A bagagem de conhecimentos extra-escolar que os alunos trazem consigo

é de grande importância e tem que ser considerada como tal pelos educadores.

Em nosso trabalho, propomos a resolução de problemas envolvendo os

Números Inteiros, acreditando que dar ênfase no método de resoluções de

problemas favorece o espírito criativo, inovador e independente dos nossos


20

alunos, podendo contribuir favoravelmente no processo de ensino-aprendizagem

da matemática.

Durante nosso trabalho serão relatadas pesquisas e experiências que

defendem propostas em trabalhar com a resolução de problemas enquanto

prática educativa em sala de aula.

1.1 Artigos da Marilena Bittar e outros

Não podemos deixar de citar novas ferramentas tecnológicas que podem

ser usadas e aproveitadas nos processos de ensino e de aprendizagem. É o caso,

por exemplo, da ferramenta computacional por meio do uso de programas

educativos que permitem aos educadores optarem por mais uma estratégia de

ensino, podendo despertar o interesse e o prazer do aluno pelo estudo.

Dentre os programas matemáticos disponíveis, em particular na área de

álgebra, escolhemos o programa Educativo de Álgebra Aplusix. Ele apresenta

diferentes funções no processo ensino-aprendizagem disponibilizando opções

para resolver exercícios formais, problemas de modelagem, testes ou situações

problemas.

Aplusix permite que o professor crie arquivos de exercícios bem como

gerencie as classes por meio de um servidor, podendo assim, verificar o processo

percorrido pelo aluno no desenvolvimento de cada exercício ou problema

proposto.

O programa mencionado Aplusix está disponível no site

http://aplusix.imag.fr/baccueil-pt.htm apenas como demonstração, com tempo

determinado para download até dia 31 de dezembro de 2006. Este site conta com

a supervisão de pesquisadores da equipe DidaTIC, do laboratório Leibiniz, em

Granoble-França.

Aplusix permite resolver exercícios de cálculo numérico e álgebra formal,

bem como rever o que já foi feito pelo aluno, possibilitando, portanto, ao professor


21

identificar as passagens de uma resolução ou, ainda, analisar a construção do

raciocínio percorrida pelo aluno.

O Aplusix possui um sistema de autocorreção, por meio de ícones ou

símbolos, avisando ao aluno que a passagem de sua resolução no exercício não

está correta, assim, o aluno poderá rever as etapas utilizadas e reformulá-las.

O programa Aplusix possui muitas ferramentas, com suas respectivas

funções e opções de uso, embora encontremos manual que está disponível no

site optamos por elaborar um novo manual mais detalhado, com o objetivo de

orientar aqueles que se interessarem em usá-lo como uma ferramenta

educacional.

ARTIGOS SOBRE O PROGRAMA APLUSIX

Apresentaremos uma síntese de alguns artigos como resultado de nossos

estudos e investigações no uso do programa algébrico Aplusix.

Este artigo refere-se a um mini-curso intitulado Um programa para o ensino

de álgebra elementar, da autoria de Marilena Bittar, Hamid Chaachoua e José

Luiz Magalhães de Freitas, no VIII Encontro Nacional de Educação Matemática

em 2004, em Recife.

Em linhas gerais os autores afirmam que a informática está se infiltrando

cada vez mais na sociedade e, conseqüentemente, na vida das pessoas. Os

computadores estão em todos os lugares, inclusive nas escolas tanto particulares

quanto públicas. A informática aplicada à educação não é utilizada com todo o

seu potencial, mas já é vivenciada em muitas instituições educacionais. Não é

possível falar de computadores e escolas sem falar de programas educacionais.

Educadores preocupados com o processo ensino-aprendizagem estão buscando

programas que atribui ao aluno papel ativo no processo aprendizagem.

Para esses autores, muitas pesquisas evidenciam a colaboração da

informática como meio facilitador da construção da aprendizagem. Destacam os


22

programas educacionais na geometria que visam essa formação, como cabri-

gèometré e o logo.

Estes autores afirmam, no entanto, que muitos alunos e professores ainda

não conhecem programas educativos, que há educadores que ainda resistem em

“olhar” para o computador como seu aliado.

Apresentam o programa Aplusix como possibilidade de contribuição para

que o aluno tenha um maior controle no desenvolvimento do seu trabalho.

Apresentam ainda as principais ferramentas que o Aplusix oferece ao

usuário: Micro-mundo, Exercícios, Lista de Exercícios e Videocassete.

• Micro-mundo, em que o programa funciona como um papel em branco,

no qual o aluno pode resolver o exercício que quiser; ele poderá dispor

de exercícios de livros ou mesmo construí-los. A vantagem desse modo

é que o programa oferece o retorno automático do trabalho realizado.

• No modo exercícios, o aluno resolverá os exercícios propostos pelo

professor. Nesse caso é o professor quem decide se o aluno terá o

retorno imediato do trabalho ou não.

• No modo lista de exercícios, o aluno pode efetuar as seguintes ações:

digitar um exercício a partir de um livro ou de uma lista fornecida pelo

professor ou, ainda, resolver exercícios do Mapa de Testes.

• E por último temos videocassete, que consiste em mostrar todo

trabalho desenvolvido pelos alunos, pois o programa permite gravar

tudo que o aluno fez durante as atividades, o tempo gasto que

demorou, o que apagou, ou seja, é uma sondagem mais fina sobre as

atividades realizadas pelos alunos.

Os autores destacam, ainda, que no ambiente papel e lápis é comum o

professor pedir que o aluno resolva a caneta para que não apaguem o que

escreveram, pois a intenção é verificar o raciocínio do aluno durante a realização

de suas atividades. Muitas vezes os alunos não escrevem o que realmente

pensam, ficam se “policiando” o tempo todo, porque sabem que uma terceira

pessoa (professor ou pesquisador) poderá ver seu trabalho. No Aplusix ele pode


23

trabalhar mais à vontade, poderá apagar e escrever quantas vezes quiser. O

Aplusix gravará tudo, até o tempo oferecido em horas, minutos e segundos que

usou para realizar as atividades.

Os autores evidenciam que o programa Aplusix oferece várias opções no

momento da construção de uma lista de exercícios:

• Sem verificação – com esse tipo de personalização, o aluno não

poderá identificar se a resolução do exercício está correta ou não.

• Verificação a pedido: Nesse modo, o aluno solicita a verificação

quando achar necessário. Ele pode resolver o exercício e no final pedir

verificação, ou mesmo durante o desenvolvimento do trabalho.

Ressaltaremos que nesse modo o aluno poderá resolver o exercício

passando de uma etapa a outra mesmo que a anterior não esteja correta. O

professor também poderá pedir ao aluno que selecione a opção de verificação em

um número fixo de vezes, nesse modo o aluno é quem decidirá o momento de

solicitar ajuda ao Aplusix.

• Verificação permanente: Escolhendo essa opção, o aluno poderá

realizar seus cálculos com um monitoramento constante, caso resolva o

exercício incorreto durante alguma passagem, não poderá prosseguir,

pois o programa apresenta o símbolo e o aluno terá que voltar e

verificar o que errou. O Aplusix não avisa qual é o erro, é o próprio

aluno quem identifica, podendo desenvolver, assim, a autocrítica em

relação ao seu trabalho.

Além disso, o professor poderá solicitar a ferramenta videocassete para

verificar se o aluno cometeu algum engano e em seguida corrigiu ou se ele está

realmente com dificuldades em resolver exercícios propostos de um determinado

conteúdo abordado.

Neste aspecto, num subitem do artigo intitulado Usando o Aplusix para

compreender dificuldades dos alunos, os autores evidenciam a importância da

ferramenta videocassete.


24

Para mostrar a função dessa ferramenta, BITTAR et al (2004) relatam uma

experiência iniciada em 2003, na França, com alunos de uma série

correspondente ao nosso 1º ano do ensino médio, sendo que o foco do estudo

referia-se à modelagem de concepções dos alunos em álgebra.

Nessa experiência foi aplicado um teste de sondagem para 70 alunos com

11 exercícios sobre a fatoração de expressões algébricas e resoluções de

equações. O texto do artigo apresenta resultados analisados por meio da

ferramenta videocassete, em que podem ser revistas todas as ações realizadas

por cada aluno.

Entre outros, citam os seguintes exemplos:

a² + b² = ( a+ b ).(a+ b)

2 a+2b = (a + b ) ²

2 a +2b = (a+b). (a-b)

(a +b) ² = a² + b²

a² +b² = (a+b). (a –b )

(a-b) ² = a² -2ab – b²

( a-b)(a-b) = a² -b²

(a-b) ² = (a +b) – (a –b)

Tabela 1: Regras em ação (2004, p. 8)

Diante dos resultados obtidos, foi então realizado um estudo para a

elaboração de novos exercícios para que os alunos pudessem resolver, aplicando

as mesmas regras já supostamente vistas. Agora, o programa estará na opção de

validação permanente, o que não permitirá que se continue resolvendo o

exercício, caso haja algum erro.

O artigo ressalta a importância do Aplusix, destacando que em sala de aula

é muito difícil para o professor perceber todas as dificuldades do aluno no dia-a-

dia, sendo assim, o aluno permanece com elas e comete os mesmos erros,

praticamente, por muito tempo sem auxílio para mudar esse quadro.


25

Além de perceber essas dificuldades, o Aplusix muitas vezes apresenta

situações que o papel não mostra, até mesmo numa avaliação em que o aluno

apaga a resolução do exercício várias vezes. Uma das informações que o Aplusix

fornece é o tempo de execução do exercício. Num exercício realizado no

ambiente papel e lápis, nem sempre é possível verificar o ponto de dificuldade

que o aluno encontrou no desenvolvimento do trabalho, não identificando,

portanto, o que ele apagou ou qual foi a passagem que mais demorou ou mesmo

se ficou confuso e ainda outros tipos de reações.

Outro artigo intitulado Integração de um programa para a aprendizagem da

álgebra: Aplusix é de autoria de Marilena Bittar e Hamid Chaachoua apresentado

no VIII Encontro Nacional de Educação Matemática de 15 a 18 de julho de 2004,

em Recife.

Os autores argumentam sobre a existência de muitas pesquisas, que lidam

ou tratam das dificuldades que os alunos têm no desenvolvimento de exercícios

de álgebra.

Eles descrevem que propostas diferentes do papel e lápis são sugeridas

por outros pesquisadores e um dos exemplos citados é o uso da calculadora

gráfica para dar sentido à noção de variável.

O referido artigo cita o trabalho de BROUSSEAU (1996) que mostra a

importância do meio no processo de aprendizagem do aluno, sendo este meio

organizado pelo professor. A aprendizagem no modelo construtivista defende a

idéia de que o aluno aprende se adaptando ao meio.

Um meio que é produtor de contradições e dificuldades, de desequilíbrios, um pouco como o faz a sociedade humana. Esse saber, fruto da adaptação do aluno, se manifesta por meio de respostas novas que são a prova da aprendizagem. (apud Bittar e Chaachoua, 2004, p. 2)

Este artigo cita, também, os estudos LABORDE e CAPPONI (1994),

justificando o trabalho de aprendizagem num ambiente informatizado, defendendo

o processo de ação e retroação que o programa oferece, sendo este considerado

um ambiente de experimentação.


26

Como em toda situação, as retroações do meio podem ser solicitadas pelo sujeito que decide se dedicar a certas ações cuja sansão pelo meio fornecerá elementos de informação sobre sua produção. Trata-se de certo modo, de uma experimentação dentro do modelo fornecido pelo ambiente informatizado. (apud Bittar e Chaachoua, 2004, p. 2)

ALGUMAS OUTRAS PESQUISAS USANDO O PROGRAMA APLUSIX

Nesse artigo serão ressaltadas experiências com Aplusix vivenciadas com

alunos da França (BITTAR et al. 2004, p. 8, anais do VIII ENEM).

Após dois anos de uso do Aplusix (2002-2003 et 2003-2004) Said

Mouffack, professor do Ensino Médio da escola Jean Monet, na França,

lecionando para alunos do 1º ano do Ensino Médio conteúdos de álgebra do

currículo, relata seu depoimento sobre o uso do Aplusix após o período de uso,

afirmando que:

• A familiarização com o programa não apresentou nenhuma dificuldade e foi muito rápida;

• a utilização do Aplusix em rede é muito interessante, pois permite o uso tanto coletivo quanto individual;

• as personalizações permitem adaptar o programa à classe e aos objetivos de cada atividade;

• todos os alunos trabalharam ao final da sessão com o Aplusix, contrariamente ao que se passa no contexto papel e lápis;

• os alunos com dificuldades de aprendizagem se sentiram motivados a resolverem os exercícios sozinhos, em sessão livre; eles o fizeram utilizando-se de exercícios de um livro e resolvendo-os com o Aplusix;

• os alunos precisaram muito menos da ajuda do professor quando trabalharam com o Aplusix, favorecendo a independência na resolução dos exercícios. (apud Bittar et al, 2004, p. 8)

Pascal Chantrieux, professor do ensino Médio da escola do hospital

Domiciliar (LCHD) de Grenoble França, para alunos doentes, após um ano de uso

(ano escolar 2003-2004), relata que por ser um programa simples de ser

trabalhado, os alunos puderam desenvolver as atividades propostas sem a ajuda

diária do professor e também podendo ser mais prazeroso do que papel e lápis.

O autor ressalta que o Aplusix não ensina diretamente as regras e métodos

como o professor faz em sala de aula. Ele oferece ajuda, fornecendo informações


27

adequadas para viabilizar a aplicação das regras e formalidades que favorecem

as especificidades das operações matemáticas.

Comentários:

De acordo com os artigos mencionados, podemos relatar que o programa

Aplusix pode favorecer um ambiente motivador, por saber que a maioria dos

alunos de hoje tem contato com ambientes informatizados, podemos dizer

também que o programa permite a independência na resolução e correção dos

exercícios propostos, isso pode favorecer tanto ao professor como o aluno, pois

como já dissemos anteriormente, em sala de aula, o professor muitas vezes não

consegue perceber todas as dificuldades do aluno no dia-a-dia, sendo assim, o

aluno permanece com essas dificuldades e erros por muito tempo sem auxílio

para mudar esse quadro.

As experiências citadas estão relacionadas a propostas de exercícios

formais, visando estudo de regras algébricas.

Nosso interesse em usar o programa Aplusix difere dessas experiências,

pois usaremos a ferramenta Aplusixeditor para construir situações-problema

envolvendo números inteiros. Iremos observar e estudar as resoluções dos

problemas realizados pelos alunos, fundamentada na teoria dos registros de

representação semiótica de Raymond Duval.

1.2 Experiências vivenciadas com o Programa Aplusix

Uma oficina na Teia do Saber Em 2005, ministramos cursos para professores da rede pública dos

Ensinos Fundamental e Médio. Nessa ocasião tivemos a oportunidade de

apresentar o programa Aplusix e suas ferramentas direcionadas ao ensino e a

aprendizagem da álgebra.


28

Na verdade trata-se de um curso inserido no Projeto denominado Teia do

Saber que é um programa de formação continuada, promovido pelo Governo do

Estado de São Paulo. O curso foi ministrado na Faculdade Editora Nacional.

Visando observar o comportamento e interesse desses professores em

conhecer o Aplusix, gravamos e anotamos uma dessas aulas do curso.

Em linhas gerais, o curso procurou apresentar inicialmente explicações

sobre as ferramentas e suas respectivas funções. Foram distribuídas atividades

para que os professores pudessem se familiarizar com o Aplusix.

Pensando em auxiliar o trabalho dos professores que quisessem trabalhar

futuramente com o programa Aplusix, preparamos um manual explicativo de todas

as ferramentas e suas respectivas funções, que se encontra no apêndice desse

trabalho.

Organizamos um questionário para ser respondido pelos professores após

a realização do curso.

A primeira questão foi:

− Em sua escola você faria uso desse programa com seus alunos?

Justifique sua resposta.

Percebemos diante das respostas dadas pelos professores a insatisfação

de recursos tecnológicos oferecidos pelas escolas estaduais do estado de São

Paulo, muitas delas ainda não oferecem uma sala de informática adequada para

explorar atividades que precisam de computadores. Também pudemos observar

que os professores estão carentes de atividades diferenciadas que os motivem a

ensinar e os alunos a aprender.

A segunda questão foi:

− Dentre as ferramentas que você utilizou nesta oficina, quais delas você

julga importante, ou seja, aquela que mais lhe chamou a atenção no

processo de ensino-aprendizagem? Por quê?


29

As respostas, de forma geral, apontaram a ferramenta videocassete, por

oferecer um sistema de gravação que permite observar todas as passagens

realizadas pelos alunos. Uma das ferramentas bastante comentadas também foi o

sistema de autocorreção que o programa pode oferecer, o Aplusix avisa por meio

do símbolo que a resolução da passagem está incorreta. O aluno poderá

retornar e repensar na resolução realizada por ele.

A terceira questão realizada foi:

− Pesquisas como SARESP e documentos como PCN mostram que

muitos alunos têm dificuldades em manusear exercícios algébricos.

Segundo a sua opinião de que maneira o programa poderia contribuir

para melhorar esta estatística?

Em seus relatos, salientam que por serem atividades realizadas em um

ambiente computacional os alunos estarão mais dispostos a aprender.

As ferramentas do Aplusix favorecem o manuseio do desenvolvimento

adequado das formalidades específicas dos conteúdos matemáticos.

Uma vivência na Mostra Cultural

Durante nossa atuação num colégio particular em São Paulo, em 2005,

realizou-se uma atividade cultural, onde houve a oportunidade de se apresentar

para todas as séries dos Ensinos Fundamental e Médio, alguns exercícios para

serem resolvidos com o Aplusix com a intenção de verificar os possíveis erros

envolvendo números negativos.

A escola disponibilizou dois computadores, um para o ensino fundamental

e outro para o médio.

As regras para essa atividade cultural, propostas por meio de um jogo,

foram as seguintes: escolher uma família de exercícios na forma de teste, nesta

opção não tem como verificar se a resposta está correta ou não, e resolver todos

os exercícios em menor tempo possível. Foi muito divertido para eles, como um

jogo desafiador.


30

A média de participação foi de 80% dos alunos.

No término da mostra cultural, foi possível verificar por meio da ferramenta

videocassete como os exercícios foram resolvidos pelos alunos. No ensino médio,

pudemos observar que nos resultados após as resoluções, as dificuldades com os

exercícios algébricos residem, principalmente, nas operações que lidam com os

Números Inteiros. Isso nos possibilitou a oportunidade de retomar o assunto e

repensar numa nova proposta de ensino mais significativo.

Um mini-curso no EGEM (Encontro Gaúcho de Educação matemática)

Em abril de 2006, houve a oportunidade de se ministrar o mini-curso no IX

Encontro Gaúcho de Educação Matemática Frente às Diferenças: Como educar

na diversidade? Como educar para a diversidade? Na Universidade Caxias do

Sul.

Participaram desse mini-curso 17 professores da Educação Básica e do

Ensino Superior e um aluno da Graduação Licenciatura em Matemática.

O curso teve como objetivo apresentar um panorama sobre o programa

Aplusix, com suas principais ferramentas e suas funções, permitindo no final do

mesmo curso, uma reflexão sobre seu uso, suas vantagens e limitações.

Preparamos algumas questões para que estes professores pudessem

expor suas opiniões sobre o programa Aplusix.

A primeira questão realizada foi:

− Qual foi a sua primeira impressão ao conhecer o programa Aplusix ?

As respostas dos participantes se limitaram às funções oferecidas pelo

programa como: a autocorreção, uma enorme quantidade de exercícios, a

formalização dos exercícios algébricos que o programa exige; a verificação dos

exercícios resolvidos pelos alunos de uma forma mais detalhada, ou seja, a

ferramenta videocassete que nos permite observar todo processo de execução da

resolução realizada pelo aluno, sendo possível verificar o que ele apagou, quanto


31

tempo ele demorou na realização dos cálculos, privilégios que no ambiente papel

e lápis seria mais difícil detectar e a estatística que permite ter um panorama geral

do desempenho do aluno, da série e de várias turmas.

A segunda questão realizada foi:

− Dentre as ferramentas que você utilizou nesta oficina, quais delas você

julga importante, ou seja, aquela que lhe chamou mais atenção? Por

quê?

Diante das respostas dos participantes pudemos notar que algumas

ferramentas do programa destacaram-se como é o caso, por exemplo, da edição

de problemas, que permite ao usuário a preparação de exercícios

contextualizados. Esta ferramenta foi utilizada na construção dos problemas na

linguagem natural, para que pudéssemos analisar o desempenho dos alunos.

Também salientaram a importância da ferramenta sobre a autocorreção, que

favorecem uma maior independência ao aluno, podendo ele próprio verificar e

corrigir o erro de uma passagem que o programa detectou.

A ferramenta videocassete também foi ressaltada pelos participantes,

valorizando o gerenciamento sobre a resolução dos problemas e dos exercícios

formais estabelecidos pelo programa Aplusix ou monitorados pelos professores

tendo em vista o objetivo da aula.

Os comentários sobre a ferramenta estatística também foram elogiados,

por proporcionar ao professor uma visão geral do rendimento por aluno, série ou

mesmo várias turmas ao mesmo tempo.

A terceira questão realizada foi:

− Pesquisas como SARESP e documentos como PCN mostram que

muitos alunos têm dificuldades em manusear exercícios algébricos.

Segundo a sua opinião de que maneira o programa poderia contribuir

para melhorar esta estatística?

Lendo as respostas dos professores, percebemos que os mesmos estão

preocupados com a forma de estimular os alunos, diante de uma nova geração

ligada diretamente aos meios de comunicação e informação informatizados.


32

Segundo os professores, a escola propicia poucos atrativos desse tipo. É

oportuno ressaltar que muitos professores ainda não têm computador em casa, e

que também têm muitas dificuldades em manuseá-lo e confirmarmos então a

importância e a necessidade de se oferecer meios de qualificação para o

professor diante dessa nova perspectiva educacional.

Entre as respostas dos participantes, e o diálogo durante o mini-curso, o

que mais nos chamou a atenção foi a ansiedade desses educadores em buscar

meios estimulantes para ajudar no processo de ensino-aprendizagem. Ao que

tudo indica, o professor percebeu que as atividades formais em sala de aula sem

qualquer contextualização ou estímulo para os alunos, tem rendimento não muito

satisfatório na aprendizagem.

Nesse contexto, podemos citar os PCN:

O Brasil é um grande país com grande diversidade regional, cultural e com grandes desigualdades sociais; portanto, não é possível pensar em um modelo único para incorporação de recursos tecnológicos na educação. É necessário pensar em propostas que atendam aos interesses e necessidades de cada região ou comunidade. O desenvolvimento das tecnologias da informação permite que a aprendizagem ocorra em diferentes lugares e por diferentes meios. Portanto, cada vez mais as capacidades para criar, inovar, imaginar, questionar, encontrar soluções e tomar decisões com autonomia assumem importância. A escola tem um importante papel a desempenhar ao contribuir para a formação de indivíduos ativos e agentes criadores de novas formas culturais. As novas tecnologias da informação oferecem alternativas de educação a distância, o que possibilita a formação contínua, trabalhos cooperativos e interativos. Podem ser ferramentas importantes para desenvolver trabalhos cooperativos que permitam a atualização de conhecimentos, a socialização de experiências e a aprendizagem permanente. (1998, p. 140)

Comentários: A maioria dos participantes, grande parte de professores, preferiu ressaltar

os aspectos positivos do uso do computador, destacando seu papel em

proporcionar situações que possibilitam ao aluno observar, ter a oportunidade de

retomar seus cálculos e repensar no seu processo de resolução. Destacam ainda

o ambiente que proporciona ao professor verificar o processo da resolução

realizada pelo aluno. Pudemos ressaltar também que durante nossos diálogos, os


33

participantes ressaltaram a importância da ferramenta Aplusixeditor, com a qual o

professor pode construir problemas na língua natural, favorecendo a

contextualização do assunto abordado em sala de aula.

Em nossos estudos apontaremos também alguns aspectos importantes em

relação ao uso dos computadores.

Maranhão et al., tecem comentários sobre:

O uso recente de computadores e calculadoras no ensino levanta questões sobre as contribuições das novas tecnologias para o ensino e aprendizagem de Matemática, para não mencionar a possibilidade de que essa introdução gere por si só novos problemas de compreensão e raciocínio. No mundo todo aumentou o uso de computadores e calculadoras no ensino de Matemática. Isso certamente levanta questões sobre quais são as contribuições das novas tecnologias para o ensino e aprendizagem e sobre os possíveis problemas de compreensão e raciocínio que elas podem gerar. É necessário coletar exemplos do uso de informação tecnológica que enriquecem a experiência matemática dos estudantes e resultam em melhor compreensão e aprendizagem. (2004, p. 3).

Podemos ressaltar também que os programas educativos possuem suas

limitações, é necessário o professor saber identificá-los para atuar no processo de

ensino-aprendizagem.

Iniciamos comentando os próprios relatos dos professores, e diante de

nossas experiências ressaltamos que os recursos tecnológicos nas escolas

estaduais ainda ficam a desejar. Isto já é um grande empecilho em se trabalhar

com computadores e programas educativos nas escolas. Posso relatar minha

experiência de trabalho numa escola estadual, em que não me foi possível

realizar pesquisas por falta de computadores adequados, ou seja, número

insuficiente de máquinas e memórias (RAM e /ou HD) insuficientes para instalar

um programa.

Diante de programas educativos é muito importante o professor saber qual

é o seu objetivo em trabalhar com eles, saber dominar suas ferramentas e o uso

apropriado. Esse foi um dos motivos pelos quais preparamos um Manual do

Aplusix para que as pessoas, dentro da área da educação, que se interessarem

em trabalhar com o programa, possam ter acesso às ferramentas e suas


34

respectivas funções. Sabemos da importância em se elaborar atividades com

estratégias diferentes de ensino, pois quanto mais os alunos refletem sobre um

determinado assunto, ou seja, falando, escrevendo, observando ou

representando, o processo de aprendizagem deste aluno passa a ser muito mais

significativo.

Embora vivamos num mundo cercado de informações computadorizadas,

sabemos que existem ainda profissionais na área de educação que não sabem

manusear os computadores. Esse é dos motivos pelos quais muitos deles nem

procuram programas educacionais para trabalharem com seus alunos.

1.3 Objetivo

Nossa pesquisa está centrada no estudo das resoluções de problemas,

envolvendo Números Inteiros por meio da ferramenta computacional o programa

Aplusix, a qual possui um ambiente que permite a visualização do trabalho

desenvolvido pelo aluno.

Pesquisas, artigos, livros tecem relatos sobre a importância dos

educadores abordarem a resolução de problemas no processo de ensino-

aprendizagem.

Polya apud Brito enfatiza que:

Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na solução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios, experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade suscetível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, sua marca na mente e no caráter. (2006, p. 13)

Com isso, realizaremos análises das resoluções de problemas envolvendo

operações de adição e subtração envolvendo Números Inteiros, fundamentada na

teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval.

Nosso público alvo é formado por alunos de 6ª série do Ensino

Fundamental, da Rede Estadual de Ensino de São Paulo.


35

Optamos pela utilização de uma ferramenta computacional, pois o avanço

da tecnologia propicia cada vez mais aparelhos e jogos eletrônicos que estão

diante dos nossos alunos em seu cotidiano, essa é uma das vantagens em

trabalhar com computadores nas escolas, ou seja, podemos obter a motivação da

maioria dos alunos.

Diante deste contexto citaremos Francos apud Paschoal;

Qualquer indivíduo da sociedade atual está sujeito à ação das tecnologias da informação e da comunicação, tornando-se imprescindível estar preparado para compreender, utilizar e criar conhecimentos fundamentados nos recursos propiciados pelas novas tecnologias (2006, p. 174)

Como já mencionado o programa escolhido para a realização da nossa

pesquisa possibilita uma maior independência na correção de exercícios, pois

possui ferramentas que permitem o aluno retornar na passagem considerada

incorreta pelo programa, podendo o aluno repensar na resolução do exercício.

Embora acreditemos que o computador não resolverá todos os

problemas apresentados na aprendizagem, ele poderá ser mais um recurso para

o processo de ensino-aprendizagem integrado ao projeto político-pedagógico.

Acreditamos que a proposta em trabalhar com resolução de situações-

problema é o primeiro passo para se fazer matemática em sala de aula.

Podemos então, salientar uma questão pertinente da nossa pesquisa que

iremos responder no decorrer desse trabalho. Como alunos de 6ª série resolvem

problemas de adição e subtração envolvendo Números Inteiros na língua natural

por meio de uma ferramenta computacional?

CAPÍTULO 2

APORTE TEÓR ICO 2.1 A Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval

Entre vários teóricos e estudiosos preocupados com a educação focada no

processo de ensino-aprendizagem dos alunos, podemos destacar o filósofo e

psicólogo francês Raymond Duval.

Este pesquisador apresenta a noção de registros de representação

semiótica que permite analisar a influência das representações dos objetos

matemáticos. Sua teoria aponta dois tipos de transformação de representação de

registros.

Os tratamentos são transformações de representações dentro de um mesmo registro: por exemplo, efetuar um cálculo ficando estritamente no mesmo sistema de escrita ou de representação dos números; resolver uma equação ou um sistema de equações; completar uma figura segundo critérios de conexidade e de simetria. As conversões são transformações de representações que consistem em mudar de registro conservando os mesmos objetos denotados: por exemplo, passar da escrita algébrica de uma equação à sua representação gráfica. (2003, p. 16) (grifo nosso)

Segundo Duval:

Como compreender dificuldades muitas vezes insuperáveis que muitos alunos têm na compreensão matemática? Qual é a natureza dessas dificuldades? Onde elas se encontram? Essas questões passaram a ter uma amplitude e uma importância particulares com a recente exigência de uma maior formação matemática inicial para todos os alunos, a fim de prepará-los para enfrentar um ambiente informático e tecnológico cada vez mais complexo. Mas, para responder a essas questões, não podemos nos restringir ao campo

Capítulo 2 – Aporte Teórico Renata Siano Gonçalves

37

matemático ou à sua história. É necessária uma abordagem cognitiva, pois o objetivo do ensino da matemática, em formação inicial, não é nem formar futuros matemáticos, nem dar aos alunos instrumentos que só lhes serão eventualmente úteis muito mais tarde, e sim contribuir para o desenvolvimento geral de suas capacidades de raciocínio, de análise de visualização. (2003, p. 11)

Para se apresentar um novo assunto matemático é necessária a

conscientização dos educadores em alguns aspectos importantes para a

compreensão do objeto matemático a ser estudado.

Desenvolver um trabalho com aluno envolvendo a teoria de registros de

representação semiótica de Duval é realizar uma abordagem cognitiva da

construção do conhecimento deste aluno.

Segundo Todesco, Duval (1999) postula a complexidade cognitiva da

conversão em que podemos observar duas situações importantes que são: uma

de congruência e outra de não-congruência.

Em alguns casos a conversão é óbvia e imediata. Como se a representação de um registro de partida fosse transparente para a representação do registro de chegada e, nesse caso, dizemos que a conversão é congruente. (2006, p. 26)

Para Duval, o quadro dos registros se posiciona como mostra a tabela

abaixo:

REPRESENTAÇÃO DISCURSIVA REPRESENTAÇÃO NÃO

DISCURSIVA REGISTROS MULTIFUNCIONAIS: Os tratamentos não são algoritmizáveis.

Língua natural Associações verbais (conceituais). Forma de raciocinar: • argumentação a partir de observações,

de crenças...; • dedução válida a partir de definição ou

de teoremas.

Figuras geométricas planas ou em perspectivas (configurações em dimensão 0, 1, 2 ou 3). • apreensão operatória e

não somente perspectiva; • construção com instrumentos

REGISTROS MONOFUNCIONAIS: Os tratamentos são principalmente algoritmos.

Sistemas de escritas: • numéricas (binárias, decimal, fracionária...);

• algébricas; • simbólicas (línguas formais). Cálculo.

Gráficos Cartesianos. • mudanças de sistemas

de coordenadas; • interpolação,

extrapolação

Tabela 2 - Classificação dos diferentes registros mobilizáveis no funcionamento matemático

(Fazer matemático, atividade matemática). (2003, p. 14)


38

De acordo com Duval apud Passoni foram desenvolvidos com finalidades

específicas de tratamento, e os registros plurifuncionais foram desenvolvidos

como a língua natural. O mesmo afirma que:

Os processos matemáticos envolvem pelo menos dois desses quatros tipos de processamentos, como podemos ver em qualquer resolução de problemas ou em alguns campos, como o da Geometria. O entendimento matemático requer a coordenação entre pelo menos dois registros, dos quais um é multifuncional e o outro é monofuncional. As problématiques clássicas das relações entre matemática e linguagem podem ser colocadas de uma maneira precisa e relevante somente no interior de tal estrutura de funcionamento cognitivo. Agora, se considerarmos o nível de ensino mais avançado, parece crescer a predominância dos registros discursivos monofuncionais. Além disso, é com esse tipo de registro que tanto os desempenhos quanto a perda de sentido são muito freqüentemente observados. Por quê? Acredita-se erroneamente que aplicações ao quotidiano ou a situações extramatemáticas possam ser uma fonte de significado e, portanto, de entendimento. Não! O principal problema é primeiramente com os registros multifuncionais. Eles são implícita e explicitamente necessários para o entendimento matemático, mas a maneira como eles operam nos processos de pensamento matemático é muito diferente da forma como operam em outros campos do conhecimento e, a fortiori, no dia-a-dia. (2002, p. 25)

A análise dos resultados dos problemas aplicados em nossa pesquisa está

fundamentada na teoria dos registros de representação semiótica de Raymond

Duval. Segundo Almouloud (2003) falar de registro de representação semiótica,

da conversão e da coordenação de registros significa colocar em jogo o problema

da aprendizagem e disponibilizar ao professor instrumentos que deverão ajudá-lo

a tornar mais acessível a compreensão da matemática.

Várias pesquisas e nossas investigações dentre os estudos mostram as

dificuldades que nossos alunos enfrentam quando precisam fazer a conversão do

enunciado do problema do registro na língua natural para o registro simbólico

numérico.

Acreditamos que dentre as dificuldades que os alunos enfrentam ao

realizar um problema do registro na língua natural, uma delas pode ser a falta de

compreensão do enunciado do problema, diante deste contexto nosso estudo tem

o propósito de verificar e estudar a resolução de situações-problema realizada

pelos nossos alunos.


39

2.2 Tecnologia e Ensino

Entendemos que para propiciar um ensino satisfatório envolvendo todos os

alunos, a aula precisa ser motivadora e interessante. O computador utilizado

como um recurso didático é uma das ferramentas que pode incentivar e propiciar

aulas que despertem a curiosidade e o interesse dos alunos nos estudos.

Os PCN de Matemática reforçam a importância do uso dos computadores

aplicados na sala de aula, ao apresentar os seguintes comentários:

As experiências escolares com o computador também têm mostrado que seu uso efetivo pode levar ao estabelecimento de uma nova relação professor-aluno, marcada por uma maior proximidade, interação e colaboração. Isso define uma nova visão do professor, de longe de considerar-se um profissional pronto, ao final de sua formação acadêmica, tem de continuar em formação permanente ao longo de sua vida profissional. (1998, p. 44)

Quando o professor se propõe a elaborar atividades no ambiente

computacional, é necessário que no preparo das aulas se tenha um determinado

objetivo ou uma intenção pré-estabelecida, ou seja, é importante elaborar

atividades no ambiente computacional, usando programas educativos que

favoreçam a promoção do ensino ou a construção do conhecimento pelo aluno.

Sabemos que a maioria de nossos alunos tem tido contato lúdico com a

tecnologia em seu cotidiano, e conseqüentemente o uso adequado que fazem do

computador pode ajudá-los no processo de aprendizagem, favorecendo uma

aprendizagem significativa.

Valente ressalta a importância do uso do computador quando diz que:

O mundo atualmente exige um profissional crítico, criativo, com capacidade de pensar, de aprender a aprender, de trabalhar em grupo e de conhecer o seu potencial intelectual, com capacidade de constante aprimoramento e depuração de idéias e ações. Certamente, essa nova atitude não é passível de ser transmitida mas deve ser construída e desenvolvida por cada indivíduo, ou seja, deve ser fruto de um processo educacional em que o aluno vivencie situações que lhe permitam construir e desenvolver essas competências. E o computador pode ser um importante aliado nesse processo. (2001, p. 3)

Perrenoud (1998) nos mostra a importância da formação contínua visando

as competências para ensinar, ressaltando o trabalho com alunos a partir dos


40

erros e obstáculos à aprendizagem; trabalhar com alunos em grande dificuldade;

observar e avaliar o aluno para verificar se o trabalho do professor foi adequado

ao objetivo estabelecido inicialmente; utilizar tecnologias explorando o que o

programa tem de útil para viabilizar o ensino e a aprendizagem, visando o objetivo

estabelecido pelas áreas de ensino.

O autor propõe algumas competências para ensinar, como vemos na

tabela a seguir:

Competências de Referência Competências mais específicas a serem trabalhadas em formação contínua

1. Organizar e animar situações de aprendizagem

• Conhecer, em uma determinada disciplina, os conteúdos a ensinar e sua tradução em objetivos de aprendizagem;

• Trabalhar a partir das representações dos alunos; • Trabalhar a partir dos erros e obstáculos à

aprendizagem; • Construir e planejar dispositivos e seqüências

didáticas; • Comprometer os alunos em atividades de pesquisa,

em projetos de conhecimento. 2. Gerir a progressão das

aprendizagens • Conceber e gerir situações-problema ajustadas aos

níveis e possibilidades dos alunos; • Adquirir uma visão longitudinal dos objetivos do

ensino primário; • Estabelecer laços com teorias subjacentes às

atividades de aprendizagem; • Observar e avaliar os alunos em situações de

aprendizagem, segundo uma abordagem formativa; • Estabelecer balanços periódicos de competências e

tomar decisões de progressão. 3. Conceber e fazer evoluir

dispositivos de diferenciação • Gerir a heterogeneidade dentro de uma classe. • Ampliar a gestão da classe para um espaço mais

vasto. • Praticar o apoio integrado, trabalhar com alunos em

grande dificuldade. • Desenvolver a cooperação entre alunos e certas

formas simples de ensino mútuo. 4. Utilizar tecnologias novas • Utilizar softwares de edição de documentos;

• Explorar as potencialidades didáticas dos softwares em relação aos objetivos das áreas de ensino;

• Promover a comunicação a distância através da telemática;

• Utilizar instrumentos multimídia no ensino.

Tabela 3 - Competências para formação contínua (FDE 1998, p. 205-251).

É necessário relatarmos que as máquinas (calculadoras, computadores)

podem ser aliadas ao processo de ensino-aprendizagem a partir do momento em

que exista conscientização de que estas máquinas não podem explicar conceitos,


41

discernir, interagir, relacionar. Isso quem faz é o usuário, ou seja, as máquinas

podem ser úteis, mas, possuem suas limitações.

Nogueira e Andrade nos dizem que:

Mas poderiam as calculadoras e os computadores, muitas vezes acusados de fazerem os alunos perderem o senso numérico, exercerem o papel oposto, Isto é, usando máquinas e atividades apoiadas por computadores, seria possível proporcionar uma formação matemática mais condizente com o exercício da cidadania?

Acreditamos que sim, alem de tornar as aulas mais atraentes, permitem a aplicação e a confrontação com a realidade dos conhecimentos adquiridos; bem como motiva a investigação que conduz a prazerosas descobertas, constituindo-se, assim, num poderoso facilitador da construção de conceitos. As novas tecnologias, juntamente com os softwares de computação simbólica de matemática, que hoje já poderiam ser usados no ensino, dão apoio as funções intelectuais que amplificam, exteriorizam e modificam importantes funções cognitivas, como a memória (banco de dados), a imaginação (simulação) e a percepção (realidades virtuais).

De novo, entra em questão aqui a formação matemática do usuário, pois discernir entre a resposta obtida e a resposta esperada não é tarefa fácil para quem tem uma formação deficiente em conceitos e pouca experiência matemática.

As atividades apresentadas aos alunos devem ser especialmente elaboradas de modo a enfatizar o uso correto do conceito a serem abordado, tomando-se o cuidado de não apenas enfatizar as qualidades e virtudes do computador, mas também de propor atividades que mostrem as limitações e deficiências da máquina. (2004, p. 28)

Diante de programas que procuram favorecer o processo de ensino-

aprendizagem, cabe a nós, orientador do processo, distinguir o que o computador

pode oferecer e o que o professor tem como objetivo de ensino.

Segundo Fiorentini e Cristóvão (2006) podemos dizer que as máquinas têm

seus limites, o uso indiscriminado e não crítico de computadores pode ter efeitos

negativos.

MARQUES e CAETANO (2002) apud PASCHOAL e LANZONI, nos dizem

que:

Se a função do computador não for bem compreendida e ele for implementado na escola como virador de páginas de um livro eletrônico, ou um recurso para fixar conteúdo, corre o risco de informatizar uma educação obsoleta, fossilizando-a definitivamente. (2006, p. 175).


42

No caso do Aplusix, ele não ensina o conceito, ou seja, é necessário o

professor desenvolver estratégias de ensino, focando o conceito do conteúdo em

sala de aula.

Um dos recursos positivo que o Aplusix oferece é permitir que o usuário

envolva-se em suas resoluções. O programa oferece o retorno das respostas do

exercício, dando ao aluno a oportunidade de repensar em sua resolução. Ele

permite ao professor observar e analisar as estratégias usadas pelos alunos

durante o desenvolvimento de suas resoluções.

Nesta pesquisa, resolvemos utilizar uma ferramenta disponível no

programa chamada aplusixeditor que permite a construção de situações-

problema, pois o nosso objetivo é verificar como os alunos resolvem situações-

problema envolvendo Números Inteiros, representado no registro da língua

natural.

CAPÍTULO 3

ANÁL ISE DE PROPOSTAS DE ENS INO DO CONCE I TO DE

NÚMEROS INTE IROS

3.1 Algumas pesquisas sobre Números Inteiros

Pesquisamos alguns trabalhos envolvendo Números Inteiros. Dentre eles,

o de Passoni (2002) intitulado (Pré-) Álgebra: Introduzindo os Números Inteiros

Negativos (Mestrado em Educação Matemática da PUC-SP-2002). Passoni

pesquisou as vantagens ou benefícios de se iniciar Números Inteiros por meio de

problemas aditivos e propôs as representações algébricas, para crianças de 9

anos, que cursam a 3ª série do Ensino Fundamental.

Durante essa pesquisa Passoni usou problemas aditivos já propostos em

um outro trabalho por Vergnaud (1976). O trabalho procurou mostrar que esses

alunos podem resolver problemas com mais facilidade se for introduzido o

conceito dos Números Inteiros, ressaltando suas representações algébricas.

O autor elaborou, então, uma seqüência de atividades, fundamentada na

teoria de registros de representação semiótica de Raymond Duval, com base nos

problemas de Vergnaud.

Segundo Passoni (2002), os resultados foram positivos, e afirma: “Temos

convicção de que esse procedimento propiciou aos alunos a compreensão dos

conceitos e algoritmos estudados” (p. 203).

Capítulo 3 – Análise de Propostas de Ensino do Conceito de Números Inteiros Renata Siano Gonçalves

44

Há ainda o trabalho que aborda números relativos de Jahn, PUC (1994)

intitulado “Construção e Estudo do Funcionamento de um Processo de Ensino

sobre o Caso Aditivo”. Essa pesquisa foi realizada com alunos de 5ª série de uma

escola particular de São Paulo, sendo que essas crianças não tinham visto ou

entrado em contato com números relativos na escola.

A pesquisa teve por objetivo a aprendizagem das operações aditivas em Z por meio de uma engenharia didática1, dando sentido a estes números pela

passagem do conhecimento espontâneo para o formal.

A problemática a que Janh (1994) se refere é que o início da álgebra na 6ª

série, quando se apresenta equação do 1º grau, é o momento em que as

incógnitas são introduzidas e inicia-se um trabalho de resoluções de equações e

para que haja sucesso nesse trabalho, exige-se uma compreensão dos números

inteiros e de operações com os mesmos.

A autora salienta ainda a importância da contextualização, ressaltando que

os alunos erravam menos quando os exercícios estavam contextualizados. Nessa

dissertação, Jahn comenta sobre as concepções dos alunos diante dos números

inteiros. Ressalta que os números naturais sempre são representados por objetos

e modelos empíricos, o que não acontece com os números inteiros.

Jahn comenta que:

A subtração sempre é abordada através de uma única situação, a de “tirar”, “retirar”, fazendo-se pouca alusão à subtração enquanto diferença entre dois números, isto é, em x – y qual deve ser o número que somado a y resulte x; numa subtração o subtraendo é sempre menor ou igual ao minuendo, não se pode subtrair mais do que se tem; numa subtração o resultado sempre é menor que o minuendo (subtrair é diminuir) numa multiplicação o produto sempre é maior que os fatores (multiplicar é aumentar) [...] na resolução de problemas há uma valorização de palavras-chaves tais como: ganhou, perdeu, vendeu, etc. enquanto indicativos das operações a serem efetuadas, o que vem dificultar a resolução daqueles que exigem aplicação de operações inversas. (1994, p. 48)

1 Engenharia didática: [...] um conjunto de seqüências de atividades em classe, concebidas, organizadas e articuladas num determinado tempo, de modo coerente por um professor-engenheiro para realizar um projeto de aprendizagem para uma certa população de alunos. (DOUADY, 1993, p. 2)


45

Ela relata ainda que o objetivo do trabalho foi alcançado na medida em que

a engenharia didática apresentada proporcionou ao aluno uma boa concepção de

números relativos e a evolução desses números enquanto operadores no caso

aditivo.

Em suas conclusões a autora ressalta que é necessário um número maior

de sessões para o amadurecimento e utilização de uma representação que a

princípio é complexa e distante para os alunos.

Encontramos também a pesquisa realizada pela professora Maria

Auxiliadora B. A Megid intitulada Construindo matemática na sala de aula: uma

experiência com os números relativos. Como o próprio título ressalta, a autora

propôs situações problemas envolvendo números negativos para alunos da 6ª

série do ensino fundamental.

Em sua pesquisa, apresenta os números relativos com diferentes situações

problemas envolvendo o cotidiano do aluno. Os problemas escolhidos foram:

ATIVIDADE 1 - Em qual cidade, de acordo com o mapa abaixo, a

temperatura mínima foi mais baixa? E em qual a máxima foi mais alta? Diga qual foi a variação entre essas duas temperaturas.

Figura 1 – Atividade: Mapa Variações de Temperatura (p. 152)


46

Em suas análises sobre as respostas dos alunos diante desses problemas,

ressaltou alguns pontos:

Nesse problema todos os grupos responderam acertadamente qual foi a

cidade teve a temperatura mínima e a máxima.

Nenhum dos alunos representou corretamente as variações das

temperaturas em linguagem matemática, a operação de subtração, isto é: 23 - (-

2) = 23 + 2 = 25.

ATIVIDADE 2 - A seguir, há duas tabelas de fusos horários. Observando-

as, responda: Quando são duas horas em Brasília, que horas são em:

Figura 2 – Atividade: Fusos Horários (p. 153)


47

Nessa atividade, todos os alunos tiveram muita facilidade em responder.

Todos acertaram.

ATIVIDADE 3 – a tabela seguinte descreve a situação dos países antes da

Copa América. Significado das abreviações: J=Jogos; V=Vitórias; E=Empates;

D=Derrotas; GP=Gols Pró (feitos pelo time); GC=Gols contrários; SG=Saldo de

Gols.

a) Por que o equador está em 9º lugar, se fez mais gols que os concorrentes anteriores?

b) Como se faz para conseguir o saldo de gols de um time? Dê exemplos.

Figura 3 – Atividade: Situação dos países antes da Copa América (p. 154)

Nessa 3ª atividade, as meninas tiveram mais dificuldades que os meninos,

talvez pelo fato de não conseguirem calcular o número de gols. A professora

ressalta que se surpreendeu pela falta de interesse das meninas pelo futebol. Os

meninos ajudaram as meninas nesta fase.


48

ATIVIDADE 4 - Depois de observar o quadro seguinte, faça um

comentário, destacando quais foram os pontos que mais lhe chamaram atenção

e diga qual a interpretação que você dá para a situação das contratações e

demissões nos últimos dois anos.

Figura 4 – Atividade: Contratações e Demissões nos últimos dois anos (p. 155)

Nessa atividade os alunos responderam que o maior número de demissões

havia acontecido em setembro. A autora relata que procurou abordar esse

assunto em sala, mas não teve muito sucesso, os alunos não se interessaram

sobre o tema.

ATIVIDADE 5 – Um construtor está encomendando um elevador para o

prédio que acabou de construir. Este edifício tem 13 andares, sendo que dois

deles ficam no subsolo e servirão para a garagem, além do andar que está no

nível da rua onde ficará a portaria e o salão de festas. Dê sugestões para o

quadro dos andares desse elevador. Faça desenho. (p. 155)


49

Nessa última atividade os desenhos e suas justificativas foram de diversas

formas descritas. Segundo a professora, esse problema foi importante para

auxiliar a apresentação da reta numérica.

Após a aplicação das atividades, a professora Maria Auxiliadora discutiu-as

em sala com os alunos. Fazendo-os refletir sobre as respostas apresentadas por

eles. Ela ressalta que diante das discussões, das dúvidas levantadas pela classe

antes de responder, ela perguntava se alguém tinha explicação para o problema

levantado, abrindo assim a possibilidade para discussão. Os alunos se

envolveram tornando o assunto mais significativo. A autora ressalta a importância

do mediador saber o momento propício para institucionalizar o objeto matemático

estudado.

Diante de suas considerações sobre as atividades, ressalta a importância

da escolha de problemas, pois livros didáticos e professores apresentam

situações-problema que consideram fazer parte do cotidiano do aluno. Ela

ressalta a importância em abordar, assuntos que estão à nossa volta, porém não

pode faltar para o mediador a percepção adequada da escolha das atividades que

pertence ao universo percebido do aluno.

Após a aplicação e discussões dos problemas é que em sua experiência

introduziu as operações com números inteiros, discutindo e associando as

situações-problema anteriores.

Em suas experiências a Profª Maria Auxiliadora também ressalta a

utilização de materiais concretos, atividades com jogos, atividades envolvendo

situações do cotidiano-recortes de jornais, interpretação de gráficos, construção

de tabelas e painéis, juntamente com o professor desenvolvendo seu papel de

mediador de não lhes dar a resposta pronta, mas instigando-os a buscar, junto

com os outros, as soluções ou saídas para os questionamentos.

Outro trabalho que gostaríamos de relatar é o trabalho intitulado

Antecipação do Ensino dos Números Inteiros Negativos para a Quarta série do

primeiro Grau: Um estudo das possibilidades de Solange dos Santos Nieto (1994)

dissertação de mestrado pela Universidade Mackenzie em São Paulo.


50

Este trabalho visa verificar se os alunos de séries anteriores à 6ª série do

1º grau, já se encontram preparados para assimilar os conceitos referentes aos

Números Inteiros.

A pesquisa realizada por Nieto (1994) apóia-se na “Matemática Informal”

aprendida fora do processo educacional, estudada por Carraher e Schliemann

(1982) em suas pesquisas. Os autores separam seus testes em:

1-) Teste Formal: com lápis e papel resolviam operações aritméticas sem

qualquer contexto e problemas que envolviam as mesmas operações

aritméticas.

2-) Teste Informal: o sujeito era avaliado através de questões orais na

própria barraca ou carrinho no qual ele trabalhava.

De acordo com os resultados desta pesquisa, Nieto (1994) ressalta que os

alunos envolvidos na pesquisa de Carraher e Schliemann obtiveram 98,2% dos

problemas resolvidos corretamente no teste informal e no teste formal apenas

36,8% resolveram corretamente as operações aritméticas, enquanto que nos

problemas tiveram uma porcentagem de 73,7% de acerto.

Diante dos resultados do teste informal em que as crianças souberam

resolver corretamente problemas relacionados com o seu cotidiano, Nieto (1994)

ressalta a importância dos professores trabalharem problemas contextualizados

antes das operações aritméticas isoladas de qualquer contexto.

Segundo Nieto (1994), o quadro não se repete quando estas crianças

entram para a escola, estas diferenças se revertem fazendo com que elas

passem a agir passivamente. Essa atitude só vem reforçar o conceito de o quanto

à escola está afastada dessa clientela.

Nieto (1994) relata que o currículo escolar é considerado deficiente, pois

não favorece o desenvolvimento crítico dos alunos. Nieto apud Mizukami (1986)

A escola é vista como “templo da sabedoria”. Não há preocupação com a formação do pensamento. O professor é agente, e o aluno, o ouvinte. A avaliação é medida através das informações que se conseguem reproduzir; enfim, a memorização é o elemento primordial. (p. 7)


51

Os dados da pesquisa de Nieto foram coletados em três escolas diferentes.

A escola A, representado por alunos de uma Escola Particular com turmas de 1ª à

4ª série, pertencentes a uma classe social média alta. A escola B é representada

por alunos de uma Escola Pública Estadual de 1º e 2º graus com crianças de 1ª à

4ª série, pertencentes a uma classe social média. A escola C é representada por

alunos de uma Escola Pública Municipal, pertencente a uma classe social média

baixa.

A faixa etária das crianças envolvidas nesta pesquisa é de 10 e 12 anos.

O material utilizado para a realização desta pesquisa foi no total 116

questionários aplicados aos grupos de alunos de 4ª série. Esse questionário foi

distribuído da seguinte forma: 22 questionários para os alunos que representavam

o grupo A, 57 questionários para os representantes do grupo B e 37 questionários

para os alunos do grupo C.

Apresentaremos a seguir um dos problemas aplicados a esses alunos. A

questão oito solicitava das crianças a representação das palavras “ganho” e

“perda”, associados a símbolos matemáticos:

P(8) Com símbolos matemáticos, represente:

Ganhei cinco bolinhas _____________ Perdi cinco bolinhas ______________

Figura 5 – Atividade: Ganho e Perda

Segundo Nieto (1994), esses termos são comuns às crianças, pois fazem

parte de seu cotidiano, como por exemplo, em jogos de quadra, em jogos de


52

videogame, para saber a classificação do time de sua preferência, que é dada

através de pontos ganhos e perdidos.

Nos resultados, conclui-se que nas três escolas as porcentagens de

utilização dos símbolos, (+) para representar ganho e (-) para representar perda

esteve acima de 54%.

Nieto (1994) após os resultados de sua pesquisa conclui apresentando

argumentos quanto à possibilidade de antecipação da aprendizagem dos

números negativos. Diante dos dados coletados, ressalta-se que as crianças já

demonstram possuir conhecimentos sobre os números negativos.

Eles conceituam um número como quantidade, ou explicam com exemplos,

o zero é o menor número que conhecem, porém duas escolas, A e B, acham

possível ter-se menos do que nada.

Utilizam-se símbolos adequados para representar “perdas” e “ganhos” e

dão conhecimento da noção de oposto como mostra os resultados do problema

nove.

Nieto (1994) afirma que diante dessas conclusões as crianças investigadas

podem aprender números negativos.

Diante dos trabalhos apresentados podemos perceber que tanto o

resultados da pesquisa apresentada no trabalho do Passoni (2002) como no

trabalho da Jahn (1994) e de Nieto (1994) verifica-se que as crianças já trazem

consigo uma experiência com os números associados a jogos, reportagens,

leituras que envolvem números negativos, enfim os trabalhos mostram a

importância de se trabalhar com Números Inteiros antes das séries iniciais do

Ensino Fundamental II.

O trabalho da Maria Auxiliadora como pesquisadora e professora nos

permite ressaltar a importância da pesquisa no trabalho do professor.

CAPÍTULO 4

PROCED IMENTOS METODOLÓG ICOS

Neste capítulo apresentaremos os nossos sujeitos de pesquisa, o

instrumento diagnóstico e análises das atividades desenvolvidas pelos alunos.

4.1 Nossos sujeitos de Pesquisa

Nossos sujeitos de pesquisa são alunos do período matutino, de uma

escola estadual, localizada na zona oeste de São Paulo. Esta escola atende

aproximadamente 1800 alunos dentro dos dois ciclos do Ensino Fundamental,

funcionando em período matutino com oito classes de 4ª série, sete classes de 5ª

séries, e três classes de 6ª série. No vespertino, cinco classes de 1ª série, sete de

2ª série, e seis de 3ª série, e no noturno 13 classes do Ensino Fundamental II com

alunos do Ensino de Jovens e Adultos (EJA).

A opção por esta escola estadual de ensino se deu pelo fato dela ter um

laboratório de informática, oferecendo boas condições físicas, com números de

computadores suficientes e memórias adequadas para a realização do nosso

trabalho.

Escolhemos alunos da 6ª série do Ensino Fundamental II, pois verificamos

que consta no programa da escola, o trabalho com os Números Inteiros, que

coincide com o tema do nosso interesse.

Capítulo 4 – Procedimentos Metodológicos Renata Siano Gonçalves

54

Após uma conversa com uma das professoras de Matemática da escola,

confirmamos que o tema já havia sido abordado entre os alunos dessa série.

Pretendíamos realizar nossos encontros para a coleta de dados em

momentos extraclasse. Para isso contávamos com a disponibilidade e interesse

de alunos voluntários.

Dentre os 34 alunos da classe, oito se dispuseram a colaborar com nosso trabalho. A idade média deles é de aproximadamente 12 anos.

Tivemos conhecimento por meio da professora da classe, que estes alunos apresentavam dificuldades na realização das tarefas propostas por ela em sala de aula.

Essas informações foram importantes, pois nosso trabalho propõe

conhecer as dificuldades dos alunos na resolução de problemas envolvendo

operações com números inteiros, fundamentada na teoria dos registros de


4.2 Usando Aplusix com Alunos de 6ª Série

Nossa pesquisa teve início em agosto de 2006 e término em novembro de

2006.

Numa primeira etapa do nosso trabalho, apresentamos as principais

ferramentas do Aplusix para todos os 34 alunos da classe. A sala de informática

oferecia 9 computadores e fizemos revezamentos de duplas, para que todos os

alunos tivessem a oportunidade de conhecer o programa.

Nós propusemos aos alunos vários exercícios que o próprio Aplusix

oferece e se encontra na família de exercícios. O propósito deste teste além de

familiarizá-los com as principais ferramentas do Aplusix, também tínhamos a

intenção de verificar como resolvem operações envolvendo Números Inteiros.

O horário disponível para permanecermos na sala de informática foi de

duas aulas de 50 minutos cada, pois era o tempo disponível do horário


55

estabelecido pela escola para a professora de Matemática da classe, a qual

acompanhou todo processo.

Mostraremos algumas resoluções realizadas no Aplusix por esses alunos,

as quais foram observadas por meio da ferramenta videocassete do programa:

Aluno 1

Diante dos resultados, consideramos que o aluno não levou em conta a

operação de multiplicação entre 5 e ( 5-2). Entendemos que por não estar

explícita, foi um elemento dificultador.

Ele resolveu a operação dentro dos parênteses (5-2) e adiciona ao

número 5 obtendo o resultado 8.

Aluno 2 Calcular: - 7 - (- 6 + 8)

A resolução nos permite considerar que ele repetiu os -7, fez o cálculo da

operação -6+8 obtendo o resultado +2 e não levou em conta a operação

)2(7 +−− , porém calculou corretamente -7+2, obtendo o resultado -5.


56

Aluno 3 Calcular: 6- 12

Consideramos que esse aluno fez o cálculo 12-6, provavelmente não

considerando a ordem dos números apresentados na subtração ou não

percebendo que o resultado é um número negativo e não positivo.

Esses exercícios foram apresentados por meio da opção teste do

programa, que não permite que o aluno verifique se seu exercício foi resolvido

corretamente. Caso tivesse resolvido por meio da opção exercício, o Aplusix

indicaria entre as passagens o símbolo . Nesse caso o aluno poderá verificar

que houve erro, retornar e repensar na resolução da passagem indicada como

incorreta.

Aluno 4 Resolver (- 4) + (- 8)

Provavelmente este aluno ao resolver (-4) + (-8), não considerou o sinal

negativo do número 8. Já na resolução - 4 + 8, ele resolveu corretamente as

operações com números negativos.

Durante o percurso das aulas podemos perceber que os alunos se

familiarizaram rapidamente com as ferramentas do Aplusix.


57

Diante dos protocolos estudados foi possível notar que a maioria dos

alunos teve dificuldades em calcular operações com números inteiros.

Foi importante a presença da professora da classe durante o percurso das

atividades, pois pôde notar as principais dúvidas e dificuldades dos alunos.

Após essa familiarização, perguntamos aos alunos quem poderia ficar após

o horário escolar para realizar outras atividades no computador. Oito alunos se

dispuseram em participar da nossa pesquisa.

A nossa proposta, nesse segundo momento do trabalho, é analisar como

esses alunos resolvem situações-problema representadas na língua natural

envolvendo os números inteiros.

Sternberg apud Brito (2006) salientou que o ensino centrado na solução de

problemas propicia o desenvolvimento da inteligência e do pensamento criativo,

pois, desde a infância somos levados a solucionar problemas que o mundo nos

apresenta, sendo que, “a solução de problemas é uma habilidade cognitiva

complexa que caracteriza uma das atividades humanas mais inteligentes!.” (p. 36)

Acreditamos que desenvolver um trabalho focando a resolução de

situações-problema possa contribuir para o processo ensino-aprendizagem, pois

favorece um estudo mais minucioso em relação ao desenvolvimento do raciocínio

humano.

4.3 Instrumento Diagnóstico

De acordo com nossa proposta de pesquisa, preparamos dois problemas

envolvendo operações de adição e subtração com números inteiros que foram

editados no Aplusix por meio da ferramenta editorAplusix, com a intenção de

verificar as conversões e os tratamentos embasados na teoria dos registros de



58

1º problema: o jogo

Fabrício joga cartas com Paula. As cartas com bolinhas vermelhas

correspondem a pontos perdidos, que será representado por números com sinal

negativo e as bolinhas pretas (pontos ganhos), que será representado por

números positivos.

Na 1ª jogada Fabrício ganhou 3 e Paula perdeu 5; na 2ª jogada Fabrício

perdeu 6 e Paula ganhou 8; na 3ª jogada Fabrício ganhou 7 e Paula ganhou 9; na

última jogada Fabrício perdeu 4 e Paula perdeu 9.

Calcule o saldo de jogadas de cada jogador e responda quem ganhou,

sabendo que o vitorioso é aquele que conseguir o maior número de pontos.

2º problema: o prédio

Num prédio onde mora a tia de Ana, há 10 andares e 2 subsolos. No painel

do elevador aparecem números negativos, positivos e zero. A garagem usada

pela tia de Ana fica no segundo subsolo.

Quantos andares elas teriam que descer se fossem do décimo para o

segundo subsolo? Justifique sua resposta.

4.4 ANÁLISE A PRIORI

Os problemas selecionados para esse instrumento diagnóstico são problemas

aditivos2.

Damm (2003) cita dois fenômenos que devemos levar em consideração

para fazer uma análise a respeito do que consiste a tarefa de resolução:

2 Problemas aditivos são aqueles nos quais os enunciados, em geral, descrevem uma situação social ou econômica muito simples (jogo de bola de gude, compra, deslocamento etc.) e a resolução pede somente a utilização das operações de adição e subtração. (Damm, 2003, p. 35).


59

1. O primeiro fenômeno é que, por exemplo, para 5+3=8, podemos ter diferentes enunciados de problemas, seja porque as situações extramatemáticas evocadas no texto (jogo, compra, deslocamento etc.) são diferentes, seja pelo fato de que em uma mesma situação, temos descrições que fornecem mais ou menos explicitamente as informações pertinentes;

2. O segundo fenômeno é que a resolução de um problema exige uma conversão entre dois registros de representação, isto é, que o aluno passe do texto à escrita da operação aditiva a ser efetuada. Ora, para efetuar essa conversão é necessário:

• Selecionar, no enunciado, os dados pertinentes para a resolução: os números indicados, os valores que lhes são atribuídos lexicamente;

• Organizar esses dados de tal forma que a operação matemática a ser efetuada (no caso, adição e subtração) se torne evidente. (p.36)

A autora cita ainda que:

Para fazer essa conversão, isto é, para selecionar os dados pertinentes dos problemas e para organizar de forma a obter a operação de adição ou subtração a ser efetuada, é preciso dispor, implícita ou explicitamente, de uma representação. Essa representação deve, ao mesmo tempo, permitir extrair os dados pertinentes e fornecer uma apreensão global da situação descrita, de tal forma que a conversão do texto (enunciado) no tratamento aditivo venha a ser feita naturalmente. (2003, p.36)

Decidimos propor essas situações-problema, pois é necessário que os

alunos articulem as informações dadas no problema, Segundo Duval (2003), nos

domínios ou nas fases da pesquisa em uma resolução de problema, um registro

pode aparecer explicitamente privilegiado, mas deve existir sempre a

possibilidades de passar de um registro a outro. Ele também tece comentários

sobre a importância dessas transformações de representações:

Do ponto de vista matemático, a conversão intervém somente para escolher o registro no qual os tratamentos a serem efetuados são mais econômicos, mais potentes, ou para obter um segundo registro que serve de suporte ou de guia aos tratamentos que se efetuam em um outro registro.Em outros termos, a conversão não tem papel intrínseco nos processos matemáticos de justificação ou de prova, pois eles se fazem baseados num tratamento efetuado em um registro determinado, necessariamente discursivo (...). É por isso que a conversão não chama a atenção, como se se tratasse somente de uma atividade lateral, evidente e prévia à “verdadeira” atividade matemática. Mas, do ponto de vista cognitivo, é a atividade de conversão que, ao contrário, aparece como a atividade de transformação representacional fundamental, aquelas que conduz aos mecanismos subjacentes à compreensão. No entanto, essa diferença entre o estrito ponto matemático e o ponto de vista cognitivo não é muitas vezes levada em conta nas pesquisas em didática e no ensino de matemática. É preciso, então, se deter sobre aquilo que torna absolutamente necessário levar em conta o ponto de vista cognitivo nas


60

análises das aprendizagens e naquelas dos processos de compreensão. (2003, p. 16)

Elaboramos questões fazendo uso do registro de representação semiótica

na linguagem natural. Isso se justifica, pois há pesquisas que relatam que o aluno

não consegue resolver problemas por não compreender o enunciado.

Damm afirma que:

As dificuldades, não são referentes a aspectos numéricos e pragmáticos, mas que elas se encontram na compreensão das relações de ordem temporal, indicadas no enunciado e no sentido dos verbos portadores de uma informação numérica e sobre os quais aparentemente se concentram prioritariamente as dificuldades. (2003, p. 37)

É necessária a preocupação dos professores no ensino da Matemática

com relação linguagem na elaboração de um problema.

De acordo com este contexto, Brito nos diz que:

A compreensão do problema surge a partir da leitura da situação proposta que precisa apresentar lógica e coerência para o aprendiz. Após a compreensão do enunciado verbal e representação do problema, o solucionador forma o espaço de solução de problema, ou seja, o conjunto de todas as operações possíveis sobre o estado inicial do problema, com a finalidade de encontrar o estado final desejado. As operações que o sujeito realiza sobre as informações obtidas no enunciado do problema dependem das estratégias utilizadas pelo sujeito na solução. (2006, p. 34) (grifo do autor)

O primeiro problema proposto apresenta dois jogadores que realizam

quatro jogadas cada. A questão desse problema é responder quem foi o vitorioso,

sabendo-se que o vencedor será aquele que fizer o maior número de pontos.

O objetivo desse problema é observar se os alunos associam os pontos

ganhos como positivos e os pontos perdidos como negativos, ou seja, se fazem a

conversão da linguagem natural para a numérica e verificar se os mesmos sabem

operar com números inteiros.

Segundo Damm (2003, p. 41) o ponto importante nessa passagem do

texto, sobre a escrita do tratamento aditivo é a escolha da operação “+” ou “-“. A

evidência da dificuldade dessa escolha vai depender do caráter congruente ou

não- congruente da passagem a ser efetuada.


61

Diante desse contexto Duval nos diz que:

Para analisar a atividade de conversão, é suficiente comparar a representação no registro de partida com a representação terminal no registro de chagada. Esquematicamente, duas situações podem ocorrer. Ou a representação terminal transparece na representação de saída e a conversão está próxima de uma situação de simples codificação - diz-se então que há congruência -, ou ela não transparece absolutamente e se dirá que ocorre a não-congruência. (2003, p. 19)

Nas possíveis resoluções do primeiro problema apresentadas nos

protocolos dos alunos, podemos esperar algumas respostas como: a soma dos

valores absolutos dos pontos apresentados, sendo desconsiderados os sinais

positivos e negativos dos números inteiros, como está exemplificado abaixo:

• Jogadas de Paula: perdeu 5 por +5 , ganhou 8 por +8, ganhou 9 por +9 e

na última perdeu 9 por +9, obtendo como resultado a soma de todas as

jogadas obtendo 31 pontos.

• Jogadas de Fabrício: ganhou 3 por +3, perdeu 6 por +6, ganhou 7 por +7

e na última jogada perdeu 9 por +9.

Podemos esperar também resoluções em que a passagem do texto escrito

na linguagem natural para a Aritmética seja feita corretamente, mas podem

encontrar dificuldades em operar com os Números Inteiros.

Segundo a professora da classe, nas atividades propostas por ela em sala,

na apresentação desse assunto, ela não abordou situações-problema, mesmo

assim acreditamos que os alunos por conviverem em situações semelhantes em

seu cotidiano, poderão fazer a conversão do enunciado do problema

representado no registro da língua natural para o registro simbólico numérico.

Diante desse contexto podemos citar os PCN:

Os números inteiros podem surgir como uma ampliação do campo aditivo, pela análise de diferentes situações em que esses números estejam presentes. Eles podem representar diferença, “falta”, orientação e posições relativas. As primeiras abordagens dos inteiros podem apoiar-se nas idéias intuitivas que os alunos já têm sobre esses números por vivenciarem situações de perdas e ganhos num jogo, débitos e créditos bancários ou outras situações. (1998, p. 66)


62

O segundo problema aborda uma situação de deslocamento, em que duas

pessoas se concentram no 10º andar e se deslocam para o segundo subsolo. O

enunciado relata sobre o painel de um elevador onde aparece número positivo e

negativo, sendo o andar térreo, indicado por zero.

O propósito é verificar se o aluno associa a ordem dos andares do prédio

com os números inteiros, ou seja, se ele representa os andares acima do térreo

com números positivos, o térreo como zero e os andares relativos às garagens

com sinais negativos.

Duval apud Todesco nos diz que:

A aprendizagem matemática não consiste em uma construção de conceitos pelos estudantes, mas na construção da arquitetura cognitiva do sujeito epistêmico. Assim para que esses alunos consigam enfatizar o processo de aprendizagem é necessário que o mais cedo possível, que se apropriem de vários registros de representação para mudança de uma situação matemática. (2006, p. 125)

Nesse exercício esperamos que os alunos organizem e estabeleçam a

posição relativa dos números. Alguns alunos podem até pensar em subtrair os

números representados pelos andares como -2-(+10)=-12 e fazer a

correspondência de que tal resultado representa descer 12 andares. Acreditamos

que essa resposta aparecerá com pouca freqüência, pois teriam que associar os

números que representam os andares abaixo do subsolo com números negativos

e os números que representam os andares acima do térreo com números

positivos e efetuar uma operação iniciando com dados do final do enunciado do

problema.

Outros podem somar 10 andares com os 2 da garagens e apresentar o

resultado 12, representando na forma de escrita “Elas desceram 12 andares”, o

sinal negativo pode estar associado ao verbo descer. Essa resposta deve

aparecer com mais freqüência, pelo fato de ter dez andares acima do zero e dois

andares abaixo do zero, onde estão as garagens.

Podemos obter também como resposta esperada o aluno subtrair 2 de 10

andares, chegando ao resultado 8 andares.

CAPÍTULO 5

ANÁL ISE DOS PROTOCOLOS DOS ALUNOS

Neste capítulo, descreveremos nossos resultados. Faremos uma análise

das resoluções dos problemas realizados pelos alunos, orientados por nosso

aporte teórico.

Como já citamos, Duval nos diz que:

os tratamentos são transformações de representações dentro de um mesmo registro:por exemplo, efetuar um cálculo ficando estritamente no mesmo sistema de escrita ou de representação dos números (...). As conversões são transformações de representações que consistem em mudar de registro conservando os mesmos objetos denotados: por exemplo, passar da escrita algébrica de uma equação à sua representação gráfica. (2003, p. 16)

5.1 Análises dos resultados do 1º problema

1º problema Fabrício joga cartas com Paula. As cartas com bolinhas vermelhas

correspondem a pontos perdidos que será representado por números com sinal

negativo e as bolinhas pretas (pontos ganhos) que será representado por

números positivos.

Capítulo 5 – Análise dos Protocolos dos Alunos Renata Siano Gonçalves

64

Na 1ª jogada, Fabrício ganhou 3, e Paula perdeu 5; na 2ª jogada, Fabrício

perdeu 6, e Paula ganhou 8; na 3ª jogada, Fabrício ganhou 7, e Paula ganhou 9;

na última jogada, Fabrício perdeu, 4 e Paula perdeu 9.



Apresentaremos, a seguir, um panorama geral dos protocolos estudados

referentes ao 1º problema aplicado.

Alunos Problema 1

Bárbara

Luiz

Fabiana

Talita

Yandra

Laís

Alan

Andressa

Porcentagem de acertos 12,5%

Legenda: Correto Incorreto

Tabela 4 – Porcentagem de Acertos

Como podemos verificar na tabela 4, o índice de acertos do primeiro

problema corresponde a 12,5% dos protocolos estudados, mostra que a questão

pode ser considerada difícil para esses alunos.

Vamos apresentar um panorama geral dos resultados dos protocolos das

resoluções do primeiro problema, em que alguns alunos selecionaram e

organizaram os dados e converteram a passagem do enunciado do problema

representado no registro da língua natural para o registro numérico corretamente

e outros não. Podemos verificar também na tabela, aqueles alunos que efetuaram

a conversão corretamente, mas não souberam operar com os Números Inteiros.


65

Problema 1 Jogadas de Paula Jogadas de Fabrício

Alunos Conversão Tratamento Conversão Tratamento Bárbara Luiz Fabiana Talita Yandra Lais Alan Andressa Porcentagem de acertos 87,5 62,5 25 25


Tabela 5 – Erros mais freqüentes

Entre os erros mais freqüentes do 1º problema, vamos apresentar alguns

protocolos que melhor ilustram esses erros.

Aluna: Bárbara

Antes de apresentar resoluções incorretas desse problema sugerido para

nossa análise, iremos apresentar uma resolução que consideramos correta.

Essa aluna representou corretamente a passagem do enunciado do

problema do registro na língua natural para o registro simbólico numérico.

Podemos verificar em seu protocolo que ela tem conhecimento da propriedade

associativa da adição, pois provavelmente associou 3 com -6 obtendo como

resultado -3 e associou +7 com -4 obtendo +3.


66

Podemos considerar também diante do processo de resolução que a aluna

tem conhecimento das operações de adição e subtração que envolvem os

números inteiros.

No resultado final, ela respondeu “Paula ganhou o jogo”, o Aplusix possui

um ícone que é possível a representação da escrita na linguagem natural,

. Esse recurso é importante quando o aluno quer justificar

seus cálculos numéricos, dar suas respostas ou quando solicitado pelo professor.

Podemos dizer que esse foi o único dos oito protocolos apresentados

considerado completamente correto.

A aluna não recorreu a outro recurso, como por exemplo, uma folha de

papel para rascunho, ou outro material do nosso conhecimento, para a resolução

do problema, usou somente o programa Aplusix.

Aluno: Luiz

Figura 6 - Atividade realizada no Aplusix

Diante do protocolo desse aluno, podemos considerar que ele representou

nas jogadas de Paula, perdeu 5 pontos por 5, ganhou 8 por +8, perdeu 9 por +9 e


67

ganhou 9 por +9. Associou 5 + 8, tendo como resultado 13 repetiu + 9 +9, na

próxima passagem somou todos os pontos obtendo o resultado 31.

Podemos considerar também que ocorreu o mesmo raciocínio na resolução

dos pontos do outro jogador em que possivelmente representou “ganhou 3 pontos

por 3, perdeu 6 por +6, ganhou 7 por +7 e perdeu 4 por +4. Possivelmente

associou 3 com + 6 tendo 9 e associou +7 com +4 obtendo o resultado 11, somou

9 + 11 obtendo um resultado 20. Na resposta final, utilizou o ícone para escrever

“Paula foi a vencedora”.

Diante dos protocolos estudados, podemos considerar que apenas esse

aluno resolveu o problema com esta natureza de erro.

Podemos dizer que esse tipo de resolução permite considerar que o aluno

não possui conhecimento da transformação verbal (ganhar, perder) em

informação numérica (+ , -).

Damm tece comentários sobre esse tipo de dificuldade:

Acreditamos que a origem das dificuldades na resolução dos problemas aditivos deve ser procurada prioritariamente no nível da compreensão do enunciado. De fato, a análise dos resultados obtidos em diferentes pesquisas. Damm mostra que as dificuldades não são referentes a aspectos numéricos e pragmáticos, mas que elas se encontram na compreensão das relações de ordem temporal, indicadas no enunciado e no sentido dos verbos portadores de uma informação numérica e sobre os quais aparentemente se concentram prioritariamente as dificuldades. Ora, esses aspectos se referem mais à organização redacional do texto do problema do que ao conteúdo cognitivo (nesse caso, a operação de adição) necessário à sua resolução. (2003, p. 37)

Consideramos diante da sua resolução que tem conhecimento das

operações de adição, pois resolveu corretamente estas operações.

O aluno não recorreu a outro recurso, como por exemplo, uma folha de

papel para rascunho, ou outro material do nosso conhecimento, para a resolução

dos problemas, usou somente o programa Aplusix.


68

Aluna: Yandra

Figura 7 - Resolução realizada no Aplusix

Figura 8 - Resolução realizada em folha de papel

Diante do resultado do protocolo do rascunho realizado na folha de papel,

verificamos que ela construiu quatro colunas separando os pontos ganhos e

perdidos. Usou as iniciais dos nomes dos jogadores F (Fabrício) e P (Paula), para

organizar os pontos correspondentes de cada jogador.

A aluna fez a conversão do enunciado do problema para o registro de

representação numérica corretamente, provavelmente representou nas jogadas

de Fabrício, ganhou 3 pontos por 3, perdeu 6 por -6, ganhou 7 por +7 e perdeu 4

por -4. Pela resposta dada ao saldo de pontos das jogadas de Fabrício podemos

considerar que, ela somou todos os pontos desconsiderando seus respectivos

sinais, 3 + 6+7+4 obtendo o resultado 20.

O mesmo ocorreu nos pontos das jogadas de Paula, ela provavelmente

considerou: ganhou 8 pontos por 8, perdeu 5 por -5, ganhou 9 por +9 e perdeu 9

por -9. A aluna provavelmente utiliza a idéia de pontos ganhos por números

positivos e pontos perdidos por números negativos, apesar de operar

desrespeitando essa representação.

Possivelmente somou todos os números desconsiderando os sinais

negativos 8+5+9+9 obtendo o resultado 31.

Diante dos protocolos estudados, podemos considerar que 50% dos erros

são de mesma natureza. Fizeram a conversão do enunciado do problema para o


69

registro de representação numérica, mas não souberam operar com os Números

Inteiros.

O que permite justificar esse erro como erro de tratamento.

Diante do protocolo apresentado no Aplusix e nossas investigações

durante o processo da pesquisa, podemos dizer que a aluna representou os

dados do problema e calculou primeiramente no papel e depois transportou as

respostas para o computador.

O ícone que aparece na resolução do protocolo indica que a resolução

não foi realizada corretamente, mas nesse sistema de resolução (teste) escolhida

por nós administradores, o aluno não teve acesso a esta informação, somente

apareceu no momento em que o administrador resgatou o que o aluno fez.

Aluna: Andressa

Figura 9 - Resolução realizada na folha de papel



70

Diante da resolução do protocolo realizado na folha de papel foi possível

observar que a aluna separou em duas colunas os pontos ganhos e perdidos dos

dois jogadores. Provavelmente considerou nas jogadas de Fabrício: ganhou 3 por

3, perdeu 6 por -6, ganhou 7 por +7 e perdeu 4 por -4. Podemos dizer também

que considerou nas jogadas de Paula perdeu 5 por -5 ganhou 8 por +8 ganhou 9

por +9 e perdeu 9 por -9. Diante desses dados podemos dizer que esta aluna tem

conhecimento da relação pontos ganhos representado pelo sinal “+” e pontos

perdidos representado pelo sinal ( - ).

Diante da investigação desse trabalho, percebemos que a aluna primeiro

usou a folha de papel para separar os pontos de cada jogador e depois transferiu

para o computador. Ao transferir os números representados na folha de papel

para o computador a aluna inverteu o último sinal das jogadas de Fabrício, ela

trocou a representação da última jogada que representa -4 por +4. Não podemos

dizer que essa aluna desconhece a relação dos pontos ganhos e perdidos com

seus respectivos sinais, pois representou corretamente na folha de papel, o que

pode ter ocorrido é a falta de atenção com a representação dos sinais de cada

número no momento da transferência dos dados do papel para o computador.

Observando-se a resolução realizada no Aplusix, podemos verificar que

provavelmente essa aluna não tenha conhecimento sobre a operação com os

Números Inteiros. Possivelmente associou 3 com -6 obtendo o resultado 5,

associou +7com +4 obtendo o resultado 11. O resultado 5+11 obteve o resultado

16. E os cálculos com as jogadas de Paula a resolução apresentada dos números

-5+8+9-9 foi 8.

O que podemos perceber é que a aluna tem conhecimento das operações

quando envolve os números naturais, mas apresenta dificuldades em operar com

os Inteiros.

Nos estudos dos protocolos desses oito alunos percebemos que 50% têm

dificuldades em operar com os Números Inteiros.


71

5.2 Análises dos Resultados do 2º problema

Num prédio onde mora a tia de Ana há 10 andares e 2 subsolos. No painel


pela tia de Ana fica no segundo subsolo. Quantos andares elas teriam que descer

se fossem do décimo para o segundo subsolo? Justifique sua resposta.

Diante dessa situação-problema consideraremos correta a resolução

representada da forma: segundo subsolo por (-2) e o décimo andar por (+ 10),

resolvendo -2 – (+10) poderá obter -12, mas não consideraremos incorreta caso o

aluno faça a soma dos andares como (+10) + (+2) obtendo como resposta

“desceram 12 andares”.

No primeiro caso, o aluno faz a conversão do enunciado do problema no

registro da língua natural para o registro simbólico numérico, quando representa o

segundo subsolo por (-2) e o décimo andar por (+10). No segundo caso, o aluno

poderá pensar no deslocamento dos andares desconsiderando os sinais, mas

obtendo como resposta “desceram 12 andares”.

Vamos apresentar um panorama geral dos resultados do problema 2.

Alunos Problema 2 Bárbara

Luiz

Fabiana

Talita

Yandra

Laís

Alan

Andressa

Porcentagem de acertos 37,5%


Tabela 6 – Resultados do Problema 2

Podemos dizer que diante desse problema tivemos respostas variadas.


72

Entre os erros mais freqüentes do 2º problema, vamos apresentar alguns

protocolos que melhor ilustrem esses erros.

Aluna: Bárbara


Na resolução desse problema, podemos dizer que provavelmente a aluna

somou 10 andares mais dois andares (subsolos), obtendo como resultado 12

andares. Analisando o resultado obtido: 10, provavelmente subtraiu 2 andares

(subsolos) dos 12 andares que já havia calculado. Essa foi uma suposição feita

por nós pesquisadores.

Resolvemos fazer uma entrevista para verificar se realmente a aluna

pensou dessa forma.

Diálogo entre a pesquisadora e a aluna:

Pesquisadora: Como você pensou para encontrar o resultado 12?

Bárbara: Ah, o prédio tem 10 andares acima do térreo e duas garagens,

então tem 12 andares.

Pesquisadora: E o resultado 10 como você encontrou?

Bárbara: Se no prédio tem 10 andares e 2 garagens, então desceu 10

andares.

Ela usou a ferramenta para justificar seu resultado

10 “Se no prédio tem 10 andares e 2 subsolos ela desceu 10 andares.”


73

No estudo dos demais protocolo, verificou-se que além desse há mais

37,5% dos protocolos com a mesma resposta.

A resposta apresentada por “10” deve–se provavelmente pelo fato do

aluno, na escola, estar habituado a realizar uma operação matemática mesmo

não entendendo o problema proposto.

Segundo Silva (2002), a relação professor-aluno está subordinada a muitas

regras e convenções que funcionam como se fossem cláusulas de um contrato.

Esse conjunto de cláusulas, que estabelecem as bases das relações que os

professores e os alunos mantêm com o saber, constitui o chamado contrato

didático.

BROUSSEAU apud SILVA estabelece que:

Chama-se contrato didático o conjunto de comportamentos do professor que são esperados pelos alunos e o conjunto de comportamentos do aluno que são esperados pelo professor (...). Esse contrato é o conjunto de regras que determinam, uma pequena parte explicitamente mas sobretudo implicitamente, o que cada parceiro da relação didática deverá gerir e aquilo que, de uma maneira ou de outra, ele terá de prestar conta perante o outro. (1986, p. 43-44)

Observando os dois problemas resolvidos por esta aluna, podemos notar

que na análise do 1º problema, ela não teve dificuldades em fazer a conversão do

enunciado do problema, do registro de representação da língua natural para o

registro de representação numérico e provavelmente também não teve

dificuldades em operar com os inteiros. No segundo problema, não associou as

garagens abaixo do térreo com os sinais negativos. Podemos observar essa

informação por meio dos cálculos e por meio da sua resposta dada no registro de

representação linguagem natural.


74

Aluno: Luiz


A resolução apresentada pelo aluno na forma numérica 10 + 2 = 12 e em

seguida, explicitação na língua natural “Ela desceu 10 andares e mais 2 subsolos”

justificando seu raciocínio na resolução do problema. Parece-nos que o aluno

considerou que além de ter descido os 10 andares até o térreo essas pessoas

tiveram que descer mais dois andares para chegar onde desejavam, o que pode

ser representado pela adição como fez o aluno.

Diante dos protocolos estudados, além desse, tivemos mais 25% com o

mesmo resultado. Diante desse resultado, podemos dizer que esses alunos não

realizaram a conversão do enunciado do problema, associando os andares abaixo

do térreo como negativos, mesmo tendo como resposta 12 andares. Somaram 10

andares acima do térreo e mais dois abaixo do térreo obtendo o resultado 12.

Salientamos que nenhum aluno usou os sinais citados no enunciado do

problema para representar os andares do prédio.

Podemos dizer que, a maioria dos protocolos estudados apresenta

dificuldades na mudança de registro, ou seja, fazer a conversão do enunciado do

problema no registro de representação da língua natural para o registro de

representação numérica.

A este respeito Duval (2003) nos diz que:

Numerosas observações nos permitiram colocar em evidência que os fracassos ou os bloqueios dos alunos, nos diferentes níveis de ensino, aumentam consideravelmente cada vez que uma mudança de registro é necessária ou que a mobilização simultânea de dois registros é requerida.


75

No caso de as conversões requeridas serem não-congruentes, essas dificuldades e/ou bloqueios são mais fortes. Falando de outra maneira, o sucesso, para grande parte dos alunos em matemática, ocorre no caso dos monorregistros. Existe com que um “enclausuramento” de registro que impede o aluno de reconhecer o mesmo objeto matemático em duas de suas representações bem diferentes. Isso limita consideravelmente a capacidade dos alunos de utilizar os conhecimentos já adquiridos e suas possibilidades de adquirir novos conhecimentos matemáticos, fato esse que rapidamente limita sua capacidade de compreensão e aprendizagem. (p. 21)

Como salientamos nas palavras de Duval(2003), é muito importante

envolver o aluno em atividades que permitem articular ao menos dois registros de

representação diferentes, isto favorece a compreensão em matemática.

Aluna: Yandra

Figura 13 – Resposta aluna Yandra

De acordo com os protocolos estudados podemos dizer que somente essa

aluna teve como resposta 11. Durante as investigações, pedimos inúmeras vezes

que não esquecessem de justificar suas respostas. Essa aluna não recorreu a

outro recurso, como por exemplo, uma folha de papel para rascunho, ou outro

material do nosso conhecimento, para a resolução do problema, usou somente o

programa Aplusix.

Diante de sua justificativa “Ela não precisa descer o andar dela ela precisa

descer onze”, fizemos uma entrevista com a aluna para verificar como pensou

inicialmente.

Diálogo entre a pesquisadora e a aluna:

Pesquisadora: Como você pensou para resolver esse problema?


76

Yandra: Se o elevador tem 10 andares mais duas garagens, então a soma

dos andares dá 12.

Pesquisadora: E o resultado 11?

Yandra: Elas desceram 11 andares por que não precisa contar o andar

onde elas estão.

Podemos dizer que essa aluna não reconhece o décimo andar como

posição inicial, de acordo com nossas experiências essas respostas acontecem

quando envolvemos atividades com a reta numérica.

Para ilustrar melhor o que acabamos de dizer, daremos um exemplo de

uma situação problema extraído da pesquisa da dissertação de Todesco (2006, p.

167).

Figura 14 – Problema proposto por Todesco (2006, p.)

Podemos verificar na resposta do item b, essa natureza de erro.

Aluna: Andressa


Figura 16 - Rascunho na folha


77

Percebemos diante do rascunho feito pela aluna que ela teve a

necessidade de representar o problema fazendo uma conversão no registro

figural, não algoritmizável, representando os andares de um prédio.

Podemos ressaltar que o programa Aplusix possui suas limitações nesse

aspecto, pois não disponibiliza de um ambiente em que o aluno represente seu

raciocínio por meio de figuras de uma forma espontânea e criativa.

Diante da justificativa dessa aluna “porque há dez andares no prédio”.

Podemos dizer que possivelmente não associou garagens ou subsolos como

andares de um prédio.

Diante dessas respostas, vale a pena comentar que muitas vezes, nós

educadores, preparamos atividades que nos parecem ser familiares para nossos

alunos, pensando que os mesmos por morar nas grandes cidades não teriam

dificuldades em resolver uma situação-problema como esta. Acredito que a

maioria desses alunos já utilizou um elevador, mas isso não significa que

associem todas as situações-problema do dia-a-dia com conteúdos estudados em

sala de aula.

Diante deste contexto podemos citar Megid:

Os professores geralmente julgam que é bom explorar o “cotidiano”, pois os alunos já têm um conhecimento sobre ele. Isso traz vitalidade às discussões, permitindo explorar melhor as coisas ao nosso redor. No entanto, falta-nos a percepção sobre muitos aspectos deste cotidiano. (2003, p.167)

Mesmo que este tipo de problema seja uma sugestão para introdução ao

estudo dos números inteiros, cabe aos professores preparar situações didáticas3

que permitam o aluno fazer conexões com situações cotidianas e conteúdos

escolares.

3 Situações didáticas: é um conjunto de relações estabelecidas explicitamente e ou implicitamente entre um aluno ou um grupo de alunos, num certo meio, compreendendo eventualmente instrumentos e objetos, e um sistema educativo(o professor) com a finalidade de possibilitar a estes alunos um saber constituído ou em vias de constituição (...) o trabalho do aluno deveria, pelo menos em parte, reproduzir características do trabalho científico propriamente dito, como a garantia de uma construção efetiva de conhecimentos pertinentes. (FREITAS, 2003, p. 67)


78

Diante dos protocolos estudados podemos ressaltar que 37,5% tiveram

respostas consideradas corretas. Eles realizaram a operação de adição, somando

10 andares com mais 2 do subsolo obtendo 12 andares e responderam que

“desceram 12 andares”. Nenhum aluno representou com sinal negativo o 2º

subsolo (-2) e para o 10º andar (+10), fazendo a operação -2-(+10) obtendo -12.

Damm esclarece melhor esse tipo de dificuldade que os alunos enfrentam

nos problemas aditivos, ela nos revela que a presença ou ausência de verbos

antônimos, isto é, de polarização contrária (ganha/perde, sobe/desce) no

enunciado, reforça ainda mais a não-congruência num problema aditivo.

Um problema aditivo é estritamente congruente quando, de um lado, existe a correspondência e, do outro, não exige a inversão e os verbos que fornecem a informação numérica e exprimem uma transformação forem antônimos, as passagens a serem efetuadas podem ser não-congruentes. Os resultados de várias pesquisas efetuadas, após o trabalho de Vergnaud e Durand (1976), mostram que os problemas congruentes e não-congruentes correspondem a duas categorias de problemas separados por uma barreira longa e difícil de ser ultrapassada para a grande maioria dos alunos da escola primária, e mesmo para aqueles em níveis de escolarização mais adiantados. (2003, p. 42)

Diante dos resultados dos protocolos dos alunos dos dois problemas

podemos ressaltar a importância de trabalhar com no mínimo dois registros de

representação para o estudo da compreensão em matemática.

Segundo Duval,

[...] não podemos analisar as produções dos alunos unicamente por meio de critérios matemáticos, procurando reconstruir de maneira mais ou menos hipotética os procedimentos utilizados. Os mecanismos de compreensão não ressaltam somente justificações feitas pelos alunos – eles dependem de um funcionamento cognitivo que se deve e pode descrever. (2003, p. 24)

Diante dos protocolos estudados tanto aqueles realizados na folha de papel

como no ambiente computacional nos permitem verificar as dificuldades

encontradas pelos alunos nas resoluções dos problemas envolvendo números

Inteiros.

Ressaltando as resoluções dos protocolos do primeiro problema, podemos

concluir que, mesmo a professora da classe não tendo abordado o assunto


79

envolvendo situações-problema, a maioria dos alunos, mais de 50% fizeram a

conversão do enunciado do problema do registro de representação na língua

natural para o registro simbólico numérico. Podemos ressaltar o índice de acertos

pelo fato de ser um problema com enunciado de um jogo lúdico em que os alunos

se confrontam com situações semelhantes em seu cotidiano.

Observando o tratamento realizado no registro simbólico numérico dos

protocolos estudados do 1º problema, podemos dizer que não tivemos um mesmo

desempenho na conversão. Os resultados confirmam menos de 50% de acertos

na realização dos cálculos com as operações de adição e subtração envolvendo

os Números Inteiros. Podemos concluir que é indiscutível a importância de

retomar o conteúdo dos Números Inteiros, pois os resultados mostram as

dificuldades que os alunos encontraram em operar com esses números.

Nos resultados dos protocolos estudados do 2º problema, podemos

concluir que os alunos tiveram dificuldades em relacionar os andares do prédio

com os Números Inteiros, acreditamos que por esses alunos morarem em

residências térreas e provavelmente o contato com elevadores e prédios não

fazerem parte do dia-a-dia deles pode ser a origem dessas dificuldades, mas por

outro lado 37,5% dos protocolos mostram que os alunos souberam trabalhar o

conceito de deslocamento, quando somaram +10 com +2 e obtiveram +12 e suas

respostas foram “desceram 12 andares”.

Não pudemos obter uma conclusão mais refinada como no 1º problema em

relação ao tratamento no registro numérico do 2º problema, pelo fato dos dados

do problema não serem favoráveis para esta análise, a maioria dos alunos

respondeu esse problema por meio do registro de representação na língua

natural.

Como já mencionado nesse trabalho, a dissertação de Nieto (1994),

documentos como PCN (1998) e outras dissertações e artigos relatam que os

alunos possuem um maior desempenho nas atividades quando são apresentadas

de uma forma contextualizada.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

O objetivo desse trabalho foi propor problemas no registro de

representação na língua natural envolvendo operações de adição e subtração

com Números Inteiros por meio de um ambiente computacional, utilizando um

programa de álgebra chamado Aplusix.

Nosso trabalho foi de natureza experimental e de acordo com nossos

estudos está focalizado no processo de ensino-aprendizagem.

O trabalho teve como aporte teórico a teoria dos registros de representação

semiótica de Raymond Duval que nos ajudou a direcionar a análise das

resoluções e resultados apresentados nos protocolos. Essa teoria nos permitiu

realizar o estudo da conversão do enunciado do problema no registro da língua

natural para o registro simbólico numérico, e os tratamentos apresentados pelos

alunos por meio dos seus protocolos.

Utilizamos as ferramentas do programa Aplusix para editarmos os

problemas para os alunos resolverem e para analisarmos os resultados obtidos.

Durante nosso trabalho percebemos a motivação e o envolvimento dos

alunos em trabalharem no ambiente computacional.

Diante da proposta em trabalhar com o computador, tivemos a intenção de

colaborar com o processo de ensino-aprendizagem dos Números Inteiros,

proporcionando desta forma, mais uma ferramenta para envolver os alunos,

motivá-los e instigá-los nesse percurso à aprendizagem e favorecer ao professor

de uma certa forma a busca constante de meios favoráveis para o ensino.

Considerações Finais Renata Siano Gonçalves

81

Diante de um trabalho realizado com a participação de um programa

educacional podemos dizer que é importante conhecer e saber utilizar com

objetivo as ferramentas oferecidas por ele. Com esse propósito, disponibilizamos

um manual detalhado do mesmo, o qual se encontra no apêndice desse trabalho.

O tempo que disponibilizamos para a elaboração do manual do Aplusix foi de

aproximadamente um ano.

Diante dos nossos estudos com o programa Aplusix podemos ressaltar

algumas vantagens em trabalhar com o programa visando o processo de ensino-

aprendizagem. Iniciaremos ressaltando a importância da autocorreção das

resoluções dos exercícios propostos a qual favorece uma maior independência do

aluno em relação ao professor; outra ferramenta que consideramos importante é a

ferramenta videocassete que oferece ao professor a oportunidade em observar o

processo de desenvolvimento do raciocínio obtido pelo aluno durante a resolução

dos exercícios propostos; não podemos deixar de ressaltar a importância que teve

em nosso trabalho a ferramenta AplusixEditor, por meio desta ferramenta é que

pudemos propor atividades no registro na língua natural para a realização da

nossa pesquisa.

Pudemos perceber também algumas desvantagens, ou seja, algumas

ferramentas que o programa não proporciona e que sentimos falta, por exemplo: o

programa não permite o uso de construções de desenhos, representações que

muitas vezes os alunos precisam para expor o seu raciocínio; outra fonte que o

programa poderia obter é um ambiente em que os alunos pudessem pesquisar,

relacionar e comparar teorias juntamente com suas propriedades favorecendo a

pesquisa e o estudo dos conteúdos selecionados pelo Aplusix.

Podemos dizer então que os programas possuem suas limitações Pachoal

e Lanzoni nos dizem que:

[...] é preciso que o professor seja cuidadoso e tenha uma visão crítica sobre as limitações do uso dessas tecnologias no ensino da matemática. É importante saber o momento mais adequado para a introdução ou uso do computador, da calculadora ou de outro recurso. A leitura, a escrita com lápis e papel e os cálculos e raciocínios orais, não podem ser abandonados, pois ainda continuam sendo importantes no ensino e na aprendizagem da matemática escolar. (2006, p. 188)


82

Os autores concluem que:

A máquina mostra-se limitada, pois não substitui o intelecto humano. O computador pode, se conveniente, substituir o lápis e o papel no momento dos cálculos e dos registros, mas não fornece justificativas ou argumentos lógico-matemático para as conjecturas estabelecidas. [...] o computador pode, de um lado, trazer vantagens ao ensino e à aprendizagem matemática do aluno, mas, de outro, não dispensa a presença do professor, nem as explorações e o trabalho com lápis e papel. (2006, p. 186-187)

Antes de iniciar nossos estudos com esses alunos, já tínhamos o

conhecimento de que a professora da classe já tinha trabalhado exercícios

envolvendo Números Inteiros, mas não exercícios contextualizados. Justamente

foi isto que nos motivou a realizar uma pesquisa com resoluções de problemas,

para verificarmos como os alunos resolvem problemas no registro de

representação na língua natural.

Diante de vários estudos em artigos, livros, dissertação sobre problemas

envolvendo Números Inteiros relata-se a importância do professor iniciar a sua

proposta de ensino com situações-problema, pois sabemos que a formalização do

conceito de números negativos acontece antes mesmo do período escolar,

quando alguém comenta sobre temperatura abaixo de zero, em jogos que

relacionam pontos ganhos e perdidos ou até mesmo em casa, quando se escuta

alguém dizer sobre saldos de contas bancárias com valores negativos.

Se os Números Inteiros estão tão presentes na vida dos alunos, então

porque muitos alunos têm dificuldades em trabalhar com esses números?

Dificuldades estas encontradas nos alunos tanto no Ensino Fundamental como no

Ensino Médio que prosseguem por vários anos no decorrer dos estudos.

Talvez uma das respostas já tenha sido apresentada no decorrer desse

trabalho, como já dissemos provavelmente um dos empecilhos é o professor

apresentar os Números Inteiros com atividades descontextualizadas, focalizando

o ensino nos estudos das operações.

Em nossos estudos, nos deparamos com pesquisadores que sugerem

propostas de introduzir os Números Inteiros antes do Ensino Fundamental II. As


83

pesquisas apresentadas por Nieto (1994), Passoni (2003), Todesco (2006),

apresentam resultados favoráveis para a introdução do assunto antes da 6ª série.

Em nosso trabalho, de acordo com os resultados dos protocolos no 1º

problema, em que o enunciado se referia a um jogo de cartas que deveriam

representar os pontos ganhos pelo sinal (+) e pontos perdido pelo sinal (-),

podemos dizer que a maior dificuldade dos alunos foi operar com esses números

do que representar os pontos ganhos e perdidos por seus respectivos sinais. O

aluno vem para a escola com uma bagagem de experiências que pode ser

aproveitada e relacionada com o assunto abordado em sala de aula, favorecendo

uma aprendizagem mais significativa.

Outro fator importante que detectamos em nossa pesquisa, é que nem

sempre todos os problemas são familiares para nossos alunos como por exemplo:

o problema dos painéis e andares de um elevador, que parece ser simples pelo

fato de estarmos muito próximos do contato com elevadores, mas para muitos

alunos, isto não faz parte do “mundo” em que vivem.

Diante dos resultados gerais dos protocolos das resoluções dos problemas

podemos dizer que mesmo o índice de acertos do problema do “prédio” ser maior

que o índice de acertos do problema do “jogo das cartas” podemos ressaltar que

56,5% dos alunos souberam fazer a conversão corretamente, relacionando os

pontos perdidos pelo sinal (-) e pontos ganhos pelo sinal (+). O que não ocorreu

com o problema do prédio, em que nenhum aluno relacionou os andares do

prédio com os Números Inteiros.

Podemos ressaltar que mesmo a professora tendo trabalhado números

inteiros em sala de aula, os alunos apresentaram dificuldades consideráveis. Esse

fato, não é considerado incomum no meio escolar, mas também não podemos

banalizar essas dificuldades.

Nós educadores e pesquisadores da área de matemática temos que nos

ater nessas dificuldades e proporcionar meios favoráveis que viabilizem a

construção do conhecimento dos alunos.


84

Ao anunciarmos o resultado dos protocolos dos alunos e de acordo com

nossas experiências e estudos de pesquisas relacionadas a este assunto,

sugerimos à professora novas propostas de ensino.

Após nossa conversa, a professora iniciou um novo trabalho com os

alunos, utilizando novas estratégias para favorecer a aprendizagem sobre o

conceito dos Números Inteiros, como: construções de jogos, como exemplo “o

jogo das cartas”, visando oferecer situações que favoreçam a aprendizagem das

operações de adição e subtração de Números Inteiros, problemas

contextualizados, ou seja, situações-problema que envolva atividades como:

variação de temperatura, saldos de contas bancárias e outros.

Durante uma conversa com a professora da classe, ela comentou que os

alunos tiveram um considerável avanço na resolução de situações-problema

representas na língua natural após o nosso trabalho em equipe.

Para nós pesquisadores foi muito gratificante trabalhar com uma professora

motivada em mudar suas estratégia de ensino, preocupada com a aprendizagem

dos alunos. Também não vamos deixar de comentar o interesse e motivação dos

alunos em aprender.

O resultado positivo desse trabalho nos proporcionou novas idéias e

propostas para uma futura pesquisa. Pensando-se agora em trabalhar com a

multiplicação e divisão envolvendo Números Inteiros.

Vamos concluir nosso trabalho, dizendo que uma das alternativas para

uma das possíveis soluções em favor da contribuição com o Ensino da

Matemática, pode estar centrada na orientação pedagógica aos professores, a

qual precisa estar voltada ao ensino que ofereça subsídios, ou seja, meios que

favoreçam a aprendizagem do conceito do conteúdo abordado.

REFERÊNCIAS BIBL IOGRÁFICAS

BALDINO, Roberto Ribeiro. Sobre a epistemologia dos números inteiros.

Educação Matemática. São Paulo: Sociedade Brasileira de educação Matemática,

2003, v. 3 n. 5, p. 4-11, nov. 1996. 11p.

BELLEMAIN F. O paradigma micromundo. História e Tecnologia no Ensino de

Matemática. Carvalho, L. M. & Guimarães L. C. (orgs.), Rio de Janeiro: IME-

UERJ, 2002, volume 1, págs: 49:60.

BITTAR, M.; CHAACHOUA, H.; NICAUD, J.F. Determinação automática de

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APÊNDICE

Este Apêndice foi elaborado durante a fase inicial de nossa pesquisa com o

objetivo de uma maior familiarização com as ferramentas do Aplusix.

Em fases posteriores, contando com a colaboração da professora

orientadora Drª Leila Zardo Puga, foi sistematizado em 6 etapas na forma de um

guia prático para o usuário do software visando apresentar mais detalhes, bem

como outras informações não constantes no próprio manual do software Aplusix

quanto à instalação, edição e administração.

As 6 Etapas, que apresentamos na seqüência, são as seguintes:

Etapa 1: Instalação (p. 2)

Etapa 2: Administração (p. 5)

Etapa 3: Descrição das Pastas (p. 11)

Etapa 4: Familiarização com as ferramentas (p. 14)

Etapa 5: Os quatro modos de resolução de uma atividade (p. 36)

Etapa 6: Editor de exercícios (p. 43)

Ao digitarmos na Internet o endereço eletrônico http://aplusix.imag.fr,

surgirá uma janela contendo dados gerais sobre Aplusix: software de ajuda à

aprendizagem da álgebra, como podemos notar na

Tela 1 seguinte:

Apêndice Renata Siano Gonçalves

ii

Tela 1

Clicando-se no ícone da bandeira brasileira é possível fazer um download

do software no idioma português. Uma vez efetuado esse download,

provavelmente em alguma pasta de arquivo de seu computador no diretório C, o

passo seguinte é iniciar a instalação do software.

ETAPA 1: Instalação

O arquivo obtido por download AplusixZIP173c-pt, , é uma

pasta que depois de descompactada surgem três ícones ou subpastas, a saber:

AplusixStdNew, Leia-me e SetUpAplusix, como mostra a Tela 2 seguinte:

Tela 2

Na pasta AplusixStdNew, , constam nove arquivos, como

se pode notar na Tela 3 abaixo, cujas principais características e funções

descrevemos no decorrer deste nosso trabalho.


iii

Tela 3

Ao clicar-se na pasta Leia-me , surge a Tela 4 seguinte:

Tela 4

Trata-se de um bloco de notas contendo informações sobre como proceder

na instalação, termo legal de aceite, direitos e deveres do usuário, garantias,

atualização em servidor e mais outros dados que abordamos mais adiante.

Ao selecionarmos o ícone, , pasta SetUpAplusix, surge a Tela 5

abaixo contendo informações sobre o programa de instalação ou de atualização.


iv

Tela 5

Basta ler essas instruções, escolher a tecla , aparecendo assim

a Tela 6, para aceitar ou não o termo de licença. Clicar em e, ainda,

em para continuar a instalação, obtendo-se então a Tela 7 como vemos

abaixo:

Tela 6 Tela 7

Na Tela 7, o próximo passo é escolher o tipo de instalação desejado, Casa

ou Estabelecimento, para abrir-se então a Tela 8 seguinte:


v

Tela 8

Lendo essas instruções, vemos que chegamos ao fim da etapa de

instalação devendo, em seguida, abrir o aplicativo AplusixAdmin

para criarmos os primeiros professores e as primeiras classes.

ETAPA 2: Administração

Após clicarmos na Tela 8 no ícone , surge a Tela 9 informando

sobre o Primeiro uso do software de administração do Aplusix.

Tela 9

Nessa Tela 9, selecionando-se Ok aparece uma nova janela, Tela 10, em

que são solicitados os dados do professor-administrador, que somente ele tem

acesso, tais como: Identificação, Nome, Sobrenome, Endereço de e-mail e

Fornecer a senha.


vi

Tela 10

Nessa Ficha do professor, Tela 10, a Identificação pode ser qualquer nome

ou número e as demais informações como registrar Nome, Sobrenome e

Endereço de e-mail devem ser preenchidos e, então, clicar em ,

surgindo outra janela, Tela 11, para digitar uma senha de no mínimo seis dígitos.

Tela 11

Após clicar-se em Ok, nessa Tela 11, vemos uma nova janela, Tela 12, que

solicita os seguintes dados sobre a escola:


vii

Tela 12

Acionando-se a tecla Ok, nessa Tela 12, temos uma outra janela, Tela 13

abaixo, que permite criar as classes dos alunos que manipularão o Aplusix.

Tela 13

Nessa Tela 13, abrindo-se o menu Arquivo encontramos diversas opções

de administração, como mostra a Tela 14, cujas funcionalidades são descritas a

seguir:

Tela 14


viii

Mudar a senha: Caso o usuário não queira mais a senha que escolheu no

momento da instalação pode, portanto, mudá-la.

Minhas classes: Nesta opção é possível verificar todas os nomes das

classes que foram gravadas no decorrer da instalação e do uso do

Aplusix.

Meus alunos: Ficam registrados todos os nomes dos alunos com dados

sobre identificação, sobrenome, nome e sua respectiva classe.

Os professores: Nesta opção encontramos os nomes de todos os

professores que foram cadastrados, com suas identificações,

sobrenomes, nomes e suas respectivas classes cadastradas.

As classes: Estão todas as classes cadastradas pelo professor

administrador.

Os alunos: Encontram-se aqui todos os nomes dos alunos que já se

cadastraram.

Informações sobre a escola: Nesta opção pode-se verificar ou alterar os

dados da escola cadastrada no momento da instalação.

Sair: Usa-se esta opção, ou a tecla de atalho Ctrl+Q, caso queira fechar a

janela do software.

Para o menu Classes, Tela 15, há as opções: Novo, Visualizar, Modificar,

Apagar arquivos e Os alunos. Suas funções são as seguintes:

Tela 15

Novo: Selecionando-se esta opção, ou a tecla de atalho Ins, surge uma

nova janela, Tela 16, para incluirmos uma nova turma. É possível

também no menu Arquivo escolher Minhas classes para se obter a Ficha

da classe, como vimos na Tela 14.


ix

Tela 16

Visualizar: Abre a janela Tela 14, com a série selecionada.

Modificar: Abre a janela Tela 14, com opção para modificar o nome da

classe.

Apagar arquivos: É necessário identificar a data e um dos modos de

Atividade que foi realizada, Teste, Exercício ou Autocorreção, como

vemos na Tela 17 abaixo:

Tela 17

Os alunos: Clicando-se nesta opção surge a Tela 18 onde é possível

obter informações sobre o aluno, tais como: Identificação, Sobrenome,

Nome e Classes.

Tela 18


x

Com dois cliques em resi (Identificação), por exemplo, abre-se uma janela

em que é possível fazer alterações em Identificação, Nome, Sobrenome, Fornecer

a senha e Classe, como vemos na Tela 19, a seguir:

Tela 19

As opções do menu Edição, como se pode ver na Tela 20, são: Eliminar,

que não está disponível no momento e Atualizar, que pode ser acionada pela

tecla de atalho F5.

Tela 20

Na Tela 21, através do menu Ajuda, encontramos o manual de ajuda com

instruções sobre a utilização e administração do Aplusix, na versão 1.73 -

setembro 2005, em documento tipo Word. É possível também acessar esse

manual de ajuda diretamente pela tecla de atalho F1.

Tela 21


xi

Após ter concluído a Etapa 2 sobre a Administração é possível acessarmos

as pastas que se encontram na Tela 22, abaixo, que então descrevemos:

Tela 22

ETAPA 3: Descrição das Pastas

: Trata-se de uma pasta com diversos arquivos internos ao

software sobre conteúdos algébricos.

: Nesta pasta estão disponíveis todos os exercícios que os

alunos realizam e gravam e que o professor-administrador pode

visualizar quando quiser.

: Esta pasta permite o acesso a todas as classes que foram

criadas. Cada classe tem uma pasta específica que ao abrir-se surgem

novos arquivos especificando o nome de cada aluno e seus respectivos

exercícios já realizados.

: Nessa pasta constam alguns arquivos da pasta

Exercícios.

: Ao abrir esta pasta, novas subpastas estarão disponíveis

com arquivos de exercícios, problemas e algumas figuras geométricas e

ilustrativas.

: Aqui estão as pastas de todos os professores cadastrados.


xii

: Ao clicar-se nesta pasta aparecem mais algumas outras

subpastas, como podemos observar na Tela 23 abaixo, trazendo

informações sobre o Aplusix.

Tela 23

: Este ícone é importante para o professor-administrador, e

somente ele tem acesso por meio de identificação e senha. Como

vimos na Etapa 2 sobre Administração, nesta pasta o professor

encontra diversas opções de gerenciamento.

: Neste ícone o professor-administrador tem acesso ao

menu Arquivo com as opções Novo e Abrir e, também, ao menu Ajuda,

para criar e modificar exercícios e problemas, como vemos na Tela 24.

Uma descrição mais detalhada deste aplicativo será visto no item Etapa

6: Editor.

Tela 24

: Nesta pasta está disponível o manual do Editor

do Aplusix.


xiii

: Como o ícone já evidencia, esta pasta dá acesso

ao manual de Administração do Aplusix.

: Nesta pasta está disponível o manual do Aplusix

Standard onde se descrevem as ferramentas do software.

: Clicando-se no ícone SetUpAplusix, , este

último ícone será substituído pelo primeiro, dando início então ao

processo de instalação do software Aplusix.

: Nesta pasta constam o manual de instalação e as

informações legais do Software, já mencionadas anteriormente.

: Ao clicar-se neste ícone aparece a janela principal, Tela 25,

do Aplusix na qual resolvem-se as atividades exercícios (livre e lista) e,

ainda, os testes.

Tela 25

Após termos visto na Etapa 3 uma Descrição das Pastas, o passo seguinte

é manipular o software Aplusix para uma familiarização na resolução de

atividades. Sobre isso, tratamos na próxima Etapa 4.

ETAPA 4: Familiarização com Aplusix

Clicando-se no ícone aparece uma janela, Tela 26, em que há

duas possibilidades: (1) Professor administrador, que usará sua identificação e

senha escolhidas anteriormente e (2) Novo aluno, que neste caso irá se cadastrar

uma única vez inicialmente.


xiv

Tela 26

Na primeira possibilidade, o professor deve digitar a Identificação e Senha.

Na segunda, se for o primeiro contato do aluno com o Aplusix então é necessário

clicar em para preencher um cadastro, como mostra a Tela 27,

procurando por sua classe específica.

É interessante notar que o professor-administrador já cadastrou essa

classe no início da instalação. Num segundo acesso não é mais necessário esse

cadastro, pois pode identificar-se nas janelas em branco que se encontram do

lado esquerdo na Tela 26.

Tela 27


xv

Feito isso, surge a Tela 28 dando as boas-vindas e, escolhendo-se Ok,

abre-se a página principal do Aplusix, Tela 29, como se pode notar abaixo.

Tela 28

Tela 29

No que se segue, visando uma familiarização com os ícones dessa janela,

Tela 29, vamos descrever cada um deles.

Na Barra de ferramentas, Tela 30, do software Aplusix constam 13 ícones,

cujas funcionalidades são as seguintes:

Tela 30

Atividade em desenvolvimento: Indica o modo da atividade

atual em resolução. Há quatro modos de atividades: o modo exercícios(livre), o modo exercícios(lista), o modo teste e o modo autocorreção. Sobre a possibilidade de escolha, bem como sobre as características do modo de cada atividade, vamos descrever mais adiante ao tratarmos do ícone Mapa de testes.


xvi

Apagar a etapa: Caso queira refazer a digitação ou escrita este ícone

apaga a etapa atual, a linha que está sendo resolvida. Apaga somente o

escrito da linha, ou seja, permanece o ícone com cursor para novas

digitações.

Eliminar essa etapa e as seguintes: Ao clicar neste ícone podemos

eliminar todas as etapas de resolução do exercício. O cursor retorna a

linha ou etapa inicial.

Verificar a equivalência: Verifica a equivalência entre as etapas. É

realizada quando no menu Preferência escolhe-se a opção Verificação

dos cálculos a pedido, da seguinte forma:

- Para exercícios dos tipos Calcular, Desenvolver e Fatorar as formas

canônicas das duas expressões são calculadas. Há equivalência quando

os resultados são iguais.

- Para exercícios do tipo Resolver, as formas canônicas dos conjuntos

soluções das duas equações, inequações ou sistemas de equações são

calculadas. Há equivalência quando estes resultados são iguais.

A igualdade entre dois resultados, para os cálculos em formas canônicas, é

obtida pela comparação considerando-se 10 dígitos.

Teclado virtual: Para se escrever ou digitar a resolução de um

exercício é possível usar diretamente o teclado do computador ou esse

teclado virtual, Tela 31. Para exibi-lo na janela principal de resolução,

Tela 29, escolhe-se a opção Teclado virtual no menu Edição ou clicando-

se simplesmente nesse o botão. Mais adiante vamos descrever cada um

de seus ícones.

Tela 31


xvii

Clicar aqui para terminar o exercício: Permite indicar o final

da resolução de um exercício. No término da resolução de um exercício é

necessário o uso deste ícone para prosseguir na resolução dos próximos

exercícios.

Aqui temos uma ferramenta com três ícones. O ícone

permite o acesso à atividade anterior da lista, o ícone indica a

posição do exercício ou teste na lista e o ícone dá acesso a atividade

seguinte da lista.

Nova página: Este ícone produz uma nova página em branco. É

usado no modo exercícios(livre) que, uma vez clicado, apaga a resolução

de um exercício na janela atual.

Abrir: Permite abrir uma pasta contendo arquivos do tipo exo ou

bitmap contendo exercícios ou imagens-figuras.

: Interrompe o exercício atual e volta aos exercícios(livre).

: Dá acesso a um mapa contendo famílias de exercícios e

testes, como podemos ver na Tela 32 abaixo.

Tela 32


xviii

Nesse Mapa de testes, Tela 32, as famílias de exercícios(lista) e testes

estão representadas em forma de círculos e dispostas em linhas, de A até F e,

também, em colunas enumeradas de 1 a 9.

Cada círculo, conforme a coluna, determina o nível de dificuldade do

conteúdo escolhido, sendo que quanto maior o número maior será o grau de

dificuldade. No menu Abrir, pode-se escolher Exercícios ou Testes. Aplusix

oferece nesse Mapa de testes conteúdos diversificados, sendo:

- Cálculo numérico A: Envolve números inteiros e racionais, ou seja,

decimais, frações e raiz quadrada.

- Desenvolvimento B: desenvolvimento e reduções com coeficientes

inteiros, fracionários

- e radicais, expressões polinomiais de uma ou duas variáveis e de grau

máximo quatro.

- Fatoração C: Com coeficientes inteiros ou fracionários, de expressões

polinomiais de uma variável e de grau 2.

- Resolução de equações D: Apresenta equações de graus 1 e 2 podem

ser resolvidas com a ajuda de desenvolvimento e de fatoração

envolvendo coeficientes inteiros, fracionários e raízes quadradas.

- Resolução de inequações E: Apresenta Inequações polinomiais com uma

incógnita e de grau máximo1, envolvendo coeficientes inteiros,

fracionários, decimais e raízes quadradas.

- Resolução de sistemas F: Sistemas de duas equações lineares com duas

incógnitas envolvendo coeficientes inteiros, fracionários, decimais e

raízes quadradas.

Nessa Tela 32, note que as informações Família A1 e Cálculos numéricos

com inteiros aparecem na parte inferior dessa Tela 32 identificando, portanto, as

escolhas feitas.

A Barra de Estado do software Aplusix é apresentada no rodapé da janela

principal para indicar o estado da expressão em cada passagem da resolução da

atividade. Por exemplo, o ícone indica que o exercício

ainda está inacabado.


xix

Na Tela 31 temos o Teclado virtual com diversos ícones, cujas

funcionalidades descrevemos no que se segue:

Tela 31

Nesse Teclado há o seguinte menu com as

opções Desfazer, Refazer, Cortar, Copiar e Colar, cujas funções são as mesmas

normalmente utilizadas.

Além disso, os ícones deste Teclado virtual são bem intuitivos, pois cada

um deles mostra sua funcionalidade usual. Isto é, temos os ícones comuns para

os operadores correspondentes às operações adição, subtração, multiplicação e

divisão. Para esses ícones suas descrições são as seguintes:

: Pode ser escrito diretamente com o teclado do computador ou com o

teclado virtual. Para escrever, por exemplo, um conjunto de valores da

solução de um exercício, temos : em x= 1 ou x= 13.

: Esse símbolo corresponde ao operador e. Clicando neste ícone

podem-se escrever as equações de um sistema. Uma outra forma de se

digitar um sistema de equações é escrever inicialmente uma equação e,

em seguida, clicar sobre esse ícone e, então, escrever a segunda

equação do sistema.

: Esses símbolos binários são representados pelos ícones usuais e

suas funções são exatamente as comumente empregadas.

: Parênteses. Os parênteses podem ser inseridos aos pares com a

ajuda desse ícone do teclado virtual. Podem, também, ser inseridos um a

um com a ajuda do teclado virtual através dos ícones e ou, ainda,

diretamente do teclado do computador. Neste último caso, deve-se levar


xx

em conta que o uso de parênteses ocorre aos pares, isto é, se há um que

abre então deve haver também um que fecha. Nesta situação, havendo

erro de digitação, um dos parênteses assume a cor azul mostrando,

então, a necessidade de se digitar o outro parêntese que está faltando.

: Fração: Para escrever uma fração há três possibilidades de

digitação usando o teclado virtual, a saber:

- Clicar sobre esse ícone e completar a fração escrevendo o numerador e

o denominador.

- Selecionar uma expressão e clicar sobre esse ícone para obter uma

fração e depois completá-la escrevendo o denominador, que é o termo

que falta na fração.

- Escrever inicialmente um número ou uma expressão. Posicionando-se

o cursor antes desse número e depois clicando sobre o ícone do

teclado virtual surge a fração para digitar o numerador. Se

posicionarmos o cursor depois do número digitado então surge a fração

com denominador para completar.

: Essa ferramenta auxilia na edição de números com expoente 2.

Digita-se primeiro o número da base e depois clica-se neste ícone para

elevar esse número ao quadrado (potência 2).

: Apagar à esquerda. Este ícone é utilizado para apagar os últimos

números digitados à esquerda na janela de edição da resolução da

atividade.

: Apagar à direita. É análogo ao ícone anterior, isto é, serve para

apagar os últimos dígitos à direita na janela de edição da resolução da

atividade.

: A potência para qualquer índice pode ser obtida com a ajuda do

teclado virtual usando este ícone.

: Pode-se escrever a raiz quadrada de um número selecionando-o e

depois clicando sobre este ícone. É possível, também, começar clicando

sobre esse ícone e, em seguida, digitar o número ou a expressão

algébrica desejada.


xxi

: Aqui temos quatro ícones que permitem que se façam

deslocamentos nessas direções indicadas. É possível também usar,

diretamente, as teclas do computador.

: Nesta parte do Teclado virtual temos disponíveis ícones

associados às letras a, b, x e y, bem como aos números de 0 a 9 e,

ainda, ao símbolo vírgula. É possível também usar, diretamente, as

teclas do computador.

: Aqui estão disponíveis os ícones associados às operações de adição,

subtração e multiplicação do Teclado virtual. Podem, ainda, ser digitados

diretamente através das teclas correspondentes no computador.

Ainda na Tela 29, janela principal de resolução de atividades do Aplusix,

encontra na parte superior uma barra de menu principal, Tela 33, com as

opções Arquivo, Edição, Etapa, Cálculo, Preferências, Atividades

anteriores e Ajuda, que descrevemos a seguir:

Tela 33

Menu Arquivo: Neste ícone, como podemos notar na Tela 34 abaixo,

constam as opções Novo, Abrir, Salvar como, Imprimir, Mudar a senha e

Sair, cujas funções são as seguintes:

Tela 34


xxii

Novo: Esta opção é usada para interromper a janela atual de digitação da

atividade, abrindo uma outra nova.

Abrir: Esta opção tem a função de abrir a janela contendo pastas com

arquivos gravados ou pelo professor-administrador ou pelo próprio

ambiente interno do Aplusix.

Salvar como: Caso queira salvar uma atividade resolvida, esta opção

abre uma janela para salvar em uma pasta que indica, automaticamente,

o nome do arquivo de alunos.

Imprimir: O Aplusix permite imprimir os exercícios desejados.

Mudar a senha: Caso não queira mais a mesma senha instalada na

primeira utilização com o software, pode-se alterá-la com o uso desta

opção.

Sair: É empregada para fechar a janela principal do software.

Menu Edição: Neste ícone temos as opções de Teclado virtual,

Desfazer, Refazer, Cortar, Copiar e Colar como vemos na seguinte Tela

35, que descrevemos:

Tela 35

Teclado virtual: Caso queira fazer uso do teclado virtual basta clicar neste

ícone. Para maiores detalhes ver descrições referentes à Tela 31.

Desfazer: É usado para eliminar ou voltar à situação anterior numa etapa

de resolução.

Refazer: Caso queira retornar algo que apagou de uma etapa de

resolução.


xxiii

Cortar: Coloca a expressão selecionada na área de transferência para

futuras colagens, eliminando-a da tela de digitação.

Copiar: Coloca a expressão selecionada na área de transferência para

colagens futuras, conservando-a na tela de digitação.

Colar: Com o cursor de inserção sobre o ícone , ponto de

interrogação, uma expressão selecionada é substituída por uma

expressão da área de transferência e esse procedimento resulta na

introdução de parênteses. É o que acontece, por exemplo, se a

expressão copiada é x+4 e queremos colar em 3x+5, que ao

selecionarmos x obtemos então 3(x+4)+5. Se o cursor de inserção está

antes ou após uma expressão então o conteúdo da área de transferência

é colado no lugar do cursor e unida à expressão por um operador, que

freqüentemente é + (adição) ou × (multiplicação). Caso este último

operador não é o desejado então deve ser substituído.

Menu Etapa: Para este item do menu, como se pode notar na Tela 36,

constam as opções Nova etapa, Duplicar, Nova etapa independente,

Apagar, Eliminar, Fornecer o tipo de exercício e Comentar a etapa. Suas

funcionalidades são as seguintes:

Tela 36

Nova etapa: Esta opção oferece uma nova etapa para a digitação sem se

importar com a anterior. Há a possibilidade de se usar diretamente a tecla

de atalho Crtl+N.

Duplicar: As informações dadas numa etapa são imediatamente

transcritas numa linha abaixo. Há a possibilidade de se usar diretamente

a tecla de atalho Crtl+D.


xxiv

Nova etapa independente: Possibilita construir um novo exercício sem

alteração de cálculos anteriores.

Apagar: Esta opção é responsável por apagar cálculos da etapa que está

sendo resolvida. Relaciona-se ao ícone com a mesma

funcionalidade.

Eliminar: Esse ícone tem a função de apagar cálculos das etapas. Tem a

mesma função do ícone .

Fornecer o tipo de exercício: Os procedimentos de resolução dos

exercícios podem ser Calcular, Desenvolver, Fatorar e Resolver, como

podemos ver na Tela 37:

Tela 37

Comentar a etapa: Trata-se de um espaço em branco, Tela 38 abaixo,

em que o aluno pode digitar ou registrar comentários sobre como efetuou

seus cálculos, a pedido do professor ou não.

Tela 38

Menu Cálculo: Para este menu, Tela 39, temos as opções Calcular,

Desenvolver, Fatorar, Resolver, Em decimal e Em fração, cujas funções

são:

Calcular: Esta opção é para usada efetuar cálculos numéricos. Substitui

uma expressão numérica como, por exemplo, 2+4–9, por sua forma

calculada, isto é, por –3. Esta opção pode ser utilizada com os números

inteiros, decimais ou frações.


xxv

Tela 39

Desenvolver: Trata-se de uma opção para desenvolver ou reduzir termos

semelhantes numa expressão polinomial. Por exemplo, se a expressão é

dada por 2x(x–4)+7x–1 então ao selecionarmos a parcela 2x(x–4),

obtemos a expressão 2x2–8x+7x–1. Se selecionarmos, contudo, a

expressão toda então obtemos 2x2–x–1.

Fatorar: Substitui uma expressão polinomial por sua forma fatorada. Por

exemplo, substitui 2x2–3x por x(2x–3). Limita-se ao uso com polinômios

de grau um ou dois.

Resolver: Substitui uma equação polinomial como é o caso de 2x2=3x,

por sua forma resolvida, que é x=0 ou x= 3/2. Limita-se às equações de

grau um ou dois.

Em decimal: Substitui as representações na forma de frações por suas

representações nas formas decimais quando possível. Por exemplo,

x43

52+ por 0,4+0,75x. Esta opção está ativa quando o comando Calcular

pode ser aplicado às frações.

Em fração: Substitui as representações nas formas decimais por suas

representações na forma de frações. Por exemplo, substitui 0,4+0,75x

por x43

52+ . Está ativo quando o comando Calcular pode ser aplicado aos

decimais.

Menu Preferências: Na Tela 40, abaixo, temos o menu preferências com

algumas opções sobre o uso de A flecha pequena e Verificação dos

cálculos.


xxvi

Tela 40

A flecha pequena Duplica: Esta opção é empregada para repetir os

mesmos cálculos anteriores de uma linha, na próxima etapa de digitação.

Temos um exemplo na seguinte Tela 41:

Tela 41

A flecha pequena cria uma Nova etapa: Esta opção cria uma nova linha

de digitação através do ícone , como vemos na Tela 42, a seguir:

Tela 42

Verificação permanente dos cálculos: Se esta opção é selecionada então,

caso o exercício não esteja correto, aparece o símbolo indicando que

a passagem está incorreta. Um exemplo desta situação tem na Tela 43:


xxvii

Tela 43

Verificação dos cálculos a pedido: Pode ser exibida sobre as transições

da atividade ou somente sobre a transição da etapa atual. Nesta opção

mesmo que uma das etapas ou o resultado final não esteja correto, nada

será informado durante a resolução do exercício. Como exemplo, temos a

seguinte Tela 44:

Tela 44

Verificação dos cálculos com 2 créditos: Esta opção é usada para

resolver uma atividade no modo exercícios(lista), em que pode ocorrer

até dois erros em cada exercício da lista e, nessa situação, não será

considerado para fins de pontuação .

Verificação dos cálculos com 4 créditos: É uma opção análoga a opção

acima em que, agora, pode ocorrer até quatro erros em cada exercício da

lista.

Fonte: Ao selecionar esta opção uma nova janela surgirá, Tela 45, sendo

possível selecionar as opções que desejar, como observamos em:


xxviii

Tela 45

Menu Atividades Anteriores: É muito usada pelo professor-

administrador. Na Tela 46 podemos notar as opções de Observar/corrigir

meu trabalho, Observar o trabalho dos alunos e Estatísticas, cujas

funcionalidades descrevemos:

Tela 46

Observar/corrigir meu trabalho: Nesta opção o aluno pode ver e corrigir

suas atividades. Ao selecioná-la surge uma nova janela, Tela 47, para

escolher Observar ou Corrigir e, ainda, Data e Atividade. Os alunos têm

acesso às escolhas das atividades somente pela Data, na primeira coluna

da Tela 47. Em Atividade pode selecionar o modo e a hora em que foi

feita a atividade, disponíveis na segunda coluna da Tela 47. Na parte

inferior da janela há uma descrição com os dados da atividade. Se o

aluno quiser alterar a atividade deve então clicar em Corrigir.


xxix

Tela 47

Na opção Observar, o aluno ou professor podem rever a atividade

conforme foi concluída. A Tela 48, a seguir, exemplifica essa situação:

Tela 48

Como se pode notar nessa Tela 48 é possível selecionar a opção

Videocassete para rever todas as etapas, com os respectivos detalhes de

resolução da atividade. Neste caso, uma nova janela se abre, como vemos na

Tela 49 abaixo. Com o uso das setas disponíveis no ícone , pode-se

ver novamente todas as passagens de resolução.


xxx

Tela 49

Observar o trabalho dos alunos: Esta opção está disponível somente para

o professor-administrador. Permite ver todas as passagens efetuadas por

um aluno numa dada atividade. Na Tela 50, abaixo, vemos que é possível

escolher a Classe, o Aluno, a Data de resolução e a Atividade. Nessa

mesma janela, na parte inferior, constam informações sobre o tempo que

o aluno usou para resolver a atividade em horas e minutos.

Tela 50

Estatísticas: Ao clicar nesta opção abre-se uma janela em que é preciso

então selecionar uma classe e aluno, bem como uma data inicial e uma

data final, uma atividade e uma família de exercícios ou um arquivo,

como vemos na Tela 51, a seguir:


xxxi

Tela 51

Se o usuário é o professor, ele pode escolher uma certa classe e um dado

aluno. Se ele não selecionar algum aluno, então todos os alunos daquela classe

escolhida são considerados. Quando o usuário é um aluno, não há escolhas que

ele possa fazer. Clicando-se em Validar, nessa Tela 51, aparece uma nova janela,

Tela 52, com histograma ou curva do tempo e diversas outras informações, tais

como: Exercícios tratados, Exercícios bem resolvidos, Cálculos incorretos,

Pontuação (somente para a atividade teste), Tempo passado (com possibilidade

de escolha da unidade). Na escolha da população, quando as datas do começo e

do final são iguais à data do dia, as informações exibidas na Tela 52 são

atualizadas a cada 30 segundos, o que permite visualizar a evolução do trabalho

efetuado pelo aluno. É possível modificar esse intervalo de tempo de atualização

com a ajuda do menu Exibir/Atualizar. Nesse mesmo menu é possível também

ativar ou anular essa atualização automática. Há a possibilidade, ainda, de se

imprimir o histograma ou a curva do tempo.


xxxii

Tela 52

Menu Ajuda: Como se pode ver na Tela 53, abaixo, temos as opções de

Manual de ajuda, Pesquisar, Sobre Aplusix e Site Web, cujas funções são

as seguintes:

Tela 53

Manual de ajuda: Este ícone fornece o manual do software na versão

Standard 1.73, como se pode observar na Tela 54 abaixo:


xxxiii

Tela 54

Pesquisar: Nesta opção basta digitar uma palavra e então o usuário terá

disponível uma janela contendo informações sobre a busca, como

notamos na seguinte Tela 55:

Tela 55

Sobre Aplusix: Trata-se de uma janela contendo informações como

Licença, Laboratório, Autores, Testes e versão como vemos na Tela 56,

dada a seguir:

Tela 56


xxxiv

Site Web: Ao clicar nessa opção temos a Tela 57 exibindo diversas

informações sobre o software Aplusix.

Tela 57

ETAPA 5: Os quatro modos de resolução para uma Atividade

Como mencionamos no Capítulo 3, o software Aplusix oferece os seguintes

modos de atividades: Exercícos(livre), Exercícios(lista), Testes e Autocorreção.

Nesta Etapa 5 vamos apresentar exemplos referentes a esses quatro

modos de atividades no conjunto dos números inteiros.

(1) Resolvendo uma Atividade no modo exercícos(livre):

Na Tela 58, abaixo, temos uma atividade no modo exercícos(livre) em que

a expressão inicial envolve adição, subtração e potência no conjunto dos números

inteiros.


xxxv

Na resolução da atividade é necessário também especificar o tipo de

exercício. Isto pode ser feito, clicando-se no retângulo pontilhado acima do ícone

.

Neste caso abre-se uma nova janela para fazer essa

escolha. No exemplo abaixo, como operamos somente com números então a

opção escolhida foi Calcular.

Tela 58

Nas linhas seguintes alguns cálculos foram efetuados. Para resolver a

atividade basta clicar em Enter do teclado do computador ou, ainda, na seta que

se encontra abaixo do exercício como podemos ver em .

Há duas opções para a digitação de uma nova etapa ou linha conforme

seja escolhido no menu Preferências a opção A flecha pequena Duplica ou A

flecha pequena cria uma Nova etapa. A opção A flecha pequena Duplica inicia

uma nova linha com a mesma resolução da etapa anterior que, neste caso, deve

ser apagada pelo aluno e substituída pelos novos cálculos. Se optar por A flecha

pequena cria uma Nova etapa então, neste caso, uma linha em branco surge para

digitar uma nova etapa de resolução.


xxxvi

Ao término da resolução deve-se clicar em e selecionar

uma das duas possibilidades: Resolvido ou Deixo o exercício assim.

Clicando-se no retângulo pontilhado do lado direito , surge um outro

retângulo no qual o aluno pode escrever uma justificativa ou comentar o raciocínio

usado nessa etapa ou linha, tal como se pode notar na Tela 58.

Além disso, existe a opção de se verificar a pontuação obtida ao término da

atividade. Para isso basta clicar com o botão direito do mouse em qualquer lugar

da janela de resolução aparecendo uma tela especificando o valor na

atividade. A pontuação é calculada considerando-se os cálculos corretos

efetuados pelo aluno. Quando a resolução está próxima da forma resolvida, com

cálculos corretos, a pontuação se aproxima da máxima. Se o usuário completou a

resolução, mas não escolheu, no menu Fim do exercício a opção Resolvido, a

pontuação ainda não é máxima, pois falta fornecer essa informação. Se há

cálculos incorretos o Aplusix considera a situação antes do primeiro cálculo

errado. Se a pontuação é baixa, Aplusix analisa os cálculos corretos feitos após o

erro e adiciona alguns pontos. Não há pontuações para os problemas.

(2) Resolvendo uma Atividade no modo exercícos(lista)

Usando o ícone Mapa de testes da janela principal de Aplusix

é possível selecionar, como vemos abaixo na Tela 59, uma família de Exercício

ou Teste.

Para exemplificar a resolução de uma atividade com os números inteiros no

modo exercícios(lista), vamos escolher a Família A1–Cálculos numéricos com

inteiros.


xxxvii

Tela 59

Na Tela 60, abaixo, temos um exemplo de atividade na situação descrita

acima:

Tela 60

Pode-se notar que nessas etapas alguns cálculos foram efetuados. Se

durante a resolução da atividade ocorre algum tipo de erro então, no mesmo

instante, aparecerá o ícone indicando que há um engano naquela passagem

ou etapa. Enquanto o erro não for corrigido, o símbolo não é eliminado. Caso o

aluno não consiga identificar qual é o seu erro, para escrever a resposta correta,

basta então teclar no ícone que se abre uma nova janela, Tela 61,

informando que há erro na passagem e sugere a solução. Clicando-se em


xxxviii

Solução obtemos a resposta correta, como vemos na Tela 62. Esse modo

exercícios(lista) também permite verificar a pontuação .

Tela 61 Tela 62

(3) Resolvendo uma Atividade no modo Teste:

De forma similar à descrita acima, usando o Mapa de testes, selecionamos

uma família de Teste em Família A1-Cálculos numéricos com inteiros, como

vemos na Tela 63 abaixo.

Neste modo de atividade Teste há um relógio digital que

fornece o tempo de resolução e neste exemplo da Tela 63 mostra que o aluno

demorou 1 minuto para a resolução do teste. O tempo é visualizado em contagem

regressiva a partir de um total de 30 minutos.

Ao término de um teste, para continuar na resolução de outros numa lista

total de 10 testes, basta clicar na seta à direita do ícone e, então outro

exercício é proposto.

Tela 63


xxxix

Durante a resolução da atividade não é fornecida a pontuação e nem a

correção dos testes. Para verificar a correção dos testes já realizados, bem como

saber a pontuação obtida é necessário clicar em .

(4) Resolvendo uma Atividade no modo Autocorreção:

Nesse modo de atividade, o aluno pode rever e alterar todas as passagens

de um exercício resolvido nos modos Exercício ou Teste.

Isso permite então que se façam correções em exercícios resolvidos

incorretamente, bastando clicar em Fim do exercício e em Deixo o exercício

assim, como vemos no ícone . Uma nova janela surge, Tela 64,

para clicar no menu Modificar exercício e reescrever a solução.

Tela 64

O aluno pode efetuar a Autocorreção da atividade imediatamente após a

resolução. Basta clicar em Fim do exercício e Resolvido e responder sim à

questão Interrupção do exercício?, como vemos na Tela 65. Nesse caso, temos

também a Tela 66 fornecendo informações sobre o erro e, uma vez selecionado

Ok, obtém-se o resultado correto.

Tela 65


xl

Tela 66

É possível também efetuar a Autocorreção posteriormente, com a ajuda do

menu Atividades Anteriores. Nesse caso, temos a seguinte janela Tela 67:

Tela 67

Em Autocorreção, a página de resolução do exercício é exibida da mesma

forma como o aluno concluiu o exercício. As passagens incorretas são mostradas

em vermelho. A pontuação do exercício é indicada na barra menu que, neste

caso, é 8/20.


xli

ETAPA 6: Editor de exercícios do Aplusix

Nesta Etapa 6 vamos apresentar uma descrição do aplicativo Aplusixeditor

que permite ao professor-administrador editar exercícios.

Para isso deve-se selecionar o arquivo, clicando no ícone , para

ter acesso ao menu Arquivo com as opções Novo e Abrir, como vemos na Tela 24

abaixo:

Tela 24

Escolha a opção Novo e uma nova janela surge solicitando algumas

informações, com vemos abaixo na Tela 68 .

Tela 68

É necessário inserir o nome do autor, seu respectivo e-mail e selecionar o

Modo de execução da lista de exercícios podendo escolher os modos Teste ou

Exercício. A diferença de edição para os modos Exercício e Teste está no fato

que para Teste estipula-se um tempo limite de resolução enquanto que no modo

Exercício não há essa exigência. Nessa Tela 68, selecionamos o modo Teste, por

exemplo.


xlii

No menu exercícios, dessa mesma janela anterior, escolher Novo

exercício, Tela 69, ou, simplesmente, clicar duas vezes com o botão esquerdo do

mouse que uma nova janela, Tela 70, abre-se para formalizar o exercício.

Tela 69

Tela 70

A janela que identifica a Questão pode ser completada por meio de

números ou nomes. Caso queira formar uma lista de exercícios, por exemplo,

envolvendo cálculos numéricos então em Palavras chaves pode-se completar

com Cálculos Numéricos. Em Tipo de exercício (*) escolher uma das 4 seguintes

possibilidades: Calcular, Desenvolver, Fatorar ou Resolver conforme seja o caso.

Em Expressão (*) deve-se clicar em para surgir uma nova janela para

editar o exercício, como vemos na Tela 71 abaixo.

Tela 71


xliii

Após esses passos, o próximo é salvar clicando-se então no ícone que

uma outra janela surge, Tela 72, para salvar esse arquivo.

Tela 72

Para se editar um problema o procedimento é, praticamente, o mesmo.

Basta escolher na Tela 69, , a opção Inserir um problema...

que uma nova janela, Tela 73, surge.

Na Tela 73, a seguir, há diversas informações a serem fornecidas como:

Título do problema (*): Escolhido para diferenciar um problema de outro.

Palavras chave: Uma palavra que diferencia o problema na lista.

Título da seção (*): Registrar algo para indicar ao aluno o que fazer nesse

problema.

Texto: Espaço destinado à digitação do enunciado do problema.

Cálculos: Se clicar em Copiar a resposta precedente então na janela

Expressão, nada poderá ser digitado. Isso significa que o aluno não terá

acesso a uma expressão quando for resolver o problema e não poderá

então conferir a resposta.

Questão: Neste espaço digita-se uma pergunta para o problema.

Tipo de exercício: Nesta opção é necessário escolher um dos seguintes

procedimentos: Calcular, Desenvolver, Fatorar ou Resolver.


xliv

Expressão: Como já dissemos, não se pode digitar a expressão

correspondente ao problema caso tenha escolhido a opção Copiar a

resposta precedente.

Tela 73

Convite: Sugere ao aluno uma resposta para a questão proposta.

Expressão: Neste espaço é necessário digitar a resposta do problema

caso se não tenha escolhido a opção Copiar a resposta precedente.

Modo de comparação entre a reposta esperada e a resposta do aluno:

Poderá selecionar uma das três seguintes opções: Expressões idênticas,

Expressões sintaticamente próximas, Expressões equivalentes. Para

escolher uma dessas opções é necessário que não se tenha clicado em

Copiar a resposta precedente.


xlv

Após preencher todos os dados solicitados é necessário clicar em

para gravar e dar um nome para o arquivo .

Para acessar esse problema basta clicar em no menu Arquivo, na opção

Abrir e escolher Exercícios da janela principal de Aplusix, como vemos na Tela 29

abaixo.

Tela 29

ANEXO

Tes t e d i agnós t i co

1º problema: o jogo

Fabrício joga cartas com Paula. As cartas com bolinhas vermelhas

correspondem a pontos perdidos que será representado por números com sinal

negativo e as bolinhas pretas (pontos ganhos) que será representado por

números positivos.

Na 1ª jogada Fabrício ganhou 3 e Paula perdeu 5; na 2ª jogada Fabrício

perdeu 6 e Paula ganhou 8; na 3ª jogada Fabrício ganhou 7 e Paula ganhou 9; na

última jogada Fabrício perdeu 4 e Paula perdeu 9.



Aluna: Bárbara

Resolução realizada no Aplusix

Anexo – Teste Diagnóstico Renata Siano Gonçalves

xlvii

Aluna: Fabiana (rascunho no caderno)


Aluno: Luiz


xlviii

Aluna: Talita (rascunho no caderno)



xlix

Aluna: Yandra (rascunho no papel)


Aluno: Alan (Rascunho no caderno)


l


Aluna: Andressa (Rascunho no caderno)



li

Aluna: Lais (Rascunho no caderno)


2º problema: o prédio

Num prédio onde mora a tia de Ana há 10 andares e 2 subsolos. No painel


pela tia de Ana fica no segundo subsolo.

Quantos andares elas teriam que descer se fossem do décimo para o

segundo subsolo? Justifique sua resposta.


lii

aluna: Bárbara


Aluna: Fabiana


Aluno: Luiz


Aluna: Talita (rascunho no caderno)


liii


aluna: Yandra

aluno: Alan

Aluna: Andressa (Rascunho no caderno)



liv

Aluna: Lais


um estudo com os nÚmeros inteiros usando o … · natural para o registro simbólico numérico,...

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