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INVESTIGANDO OS CONCEITOS DE TRIGONOMETRIA UTILIZANDO O GEOPLANO E O SOFTWARE GEOGEBRA

Autor: Maristel do Nascimento1

Orientador: José Trobia2

Resumo

Situações envolvendo a matemática fazem parte da vida das pessoas, no entanto, para os alunos no Ensino Médio é uma das causas do insucesso, levando-os muitas vezes a abandonarem a escola. Neste contexto insere-se a nossa pesquisa, como parte integrante do Programa de Desenvolvimento Educacional PDE, da Secretaria de Estado da Educação do Paraná. Está pesquisa teve como questão norteadora: “A utilização de materiais didáticos, pode contribuir para que o aluno do Ensino Médio compreenda melhor os conceitos de trigonometria?” Neste sentido, desenvolvemos uma proposta de utilizar materiais manipuláveis aliados aos recursos tecnológicos na construção dos conceitos trigonométricos. O desenvolvimento abordou situações didáticas que utilizam como pressuposto teórico a teoria dos registros de representação semiótica de Raymond Duval. A intervenção pedagógica foi desenvolvida em uma 1ª série do Ensino Médio de um colégio da rede estadual da cidade de Ponta Grossa – Paraná e foi dividida em duas etapas. Na primeira foram construídos materiais manipuláveis como o Geoplano e o Teodolito para a exploração das razões trigonométricas no triângulo retângulo e o cálculo de distâncias inacessíveis. Na segunda etapa, com a utilização do software GeoGebra foram realizados estudos do comportamento das funções trigonométricas a partir da representação gráfica. Acredita-se que, o conteúdo de trigonometria, quando abordado de forma reflexiva e contextualizado contribui positivamente para o desenvolvimento integral do aluno e com esta atividade seja possível o professor articular um trabalho de forma a levar os alunos a construírem conceitos matemáticos e participarem ativamente das aulas.

Palavras-chave: Ensino. Trigonometria. Representação semiótica. Geoplano.

Software Geogebra.

1 Secretaria de Estado da Educação do Paraná - SEED, Programa de Desenvolvimento Educacional - PDE Colégio Estadual Regente Feijó. mnasci202@hotmail.com

2 Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG), Departamento de Matemática e Estatística . jtrobia@uepg.br

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1.INTRODUÇÃO

Este artigo visa apresentar reflexões e apreciações sobre a utilização de

materiais didáticos na abordagem dos conceitos de Trigonometria no Ensino Médio.

Trazer para a educação escolar um ensino que possibilite os estudantes

realizarem análises, discussões, conjecturas, apropriações de conceitos e

formulação de ideias, diferente daquele proveniente do ensino clássico, que

privilegiava métodos puramente sintéticos, cuja premissa pautava o rigor das

demonstrações matemáticas são objetivos indicados nas (DCE) Diretrizes

Curriculares Estaduais para o ensino de Matemática. (PARANÀ, 2008, p.47)

A matemática no Ensino Médio caracteriza - se como uma das causas do

insucesso do aluno, tendo em vista a notória dissociação de seu ensino com a

matemática estudada por pesquisadores, isto é, a matemática ensinada na escola

guarda pouquíssima ou nenhuma relação com a matemática vivenciada por todos no

dia a dia. A esse respeito Fiorentini (1995) aponta:

Assim como acontece com todo conhecimento, a Matemática é também um conhecimento historicamente em construção que vem sendo produzido nas e pelas relações sociais. E, como tal, tem seu pensamento e sua linguagem. Ocorre, entretanto, que essa linguagem, com o passar dos anos, foi se tornando formal, precisa e rigorosa, [...] distanciando-se daqueles conteúdos dos quais se originou, ocultando, assim, os processos que levaram a Matemática a tal nível de abstração e formalização. O acesso a esse saber matemático altamente sistematizado e formalizado tornou-se muito difícil e passou a ser privilégio de poucos. (FIORENTINI, 1995, p. 32).

Desta forma, buscar metodologias e práticas na tentativa de tornar o ensino

de matemática mais eficiente do ponto de vista de seu uso nas práticas sociais é um

desafio constante para o professor.

Nesse cenário, é possível inserir o conteúdo de trigonometria, tendo em vista

que a maneira como é ensinado, em muitas escolas se torna desarticulado do

cotidiano, sendo apenas, baseado em fórmulas, com exercícios modelos e

decoreba, não possibilitando que o aluno perceba que seus conceitos surgiram em

função da necessidade de resolver problemas do dia-a-dia do homem.

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De acordo com Diretrizes Curriculares Estaduais do Paraná o conteúdo de

Trigonometria permeia os conteúdos estruturantes “Grandezas e Medidas” e

“Funções”, permitindo ao professor a articulação dos conteúdos e estes podem ser

abordados por meio das tendências metodológicas da Educação Matemática,

sugeridas neste documento: Paraná (2008)

Os conteúdos propostos devem ser abordados por meio de tendências metodológicas da Educação Matemática que fundamentam a prática docente, das quais destacamos: Resolução de problemas; modelagem matemática; mídias tecnológicas; etnomatemática; história da matemática e investigação matemática. (PARANÁ, 2008, p. 63)

Nesta pesquisa, optamos em desenvolver o conteúdo via a tendência

“Investigação Matemática” que segundo estas diretrizes devem possibilitar ao aluno

o desenvolvimento da lógica do raciocínio, da formulação e verificação de

conjecturas, iniciando um processo do “fazer matemática” no qual o aluno é

chamado a agir como matemático, para tanto, é necessário que os conteúdos sejam

abordados de forma significativa e prática, se possível de forma concreta.

Cabe salientar que a possibilidade da inserção de materiais manipuláveis na

construção de conceitos matemáticos permite ao professor uma abordagem mais

dinâmica e enriquecedora e ao aluno uma participação mais ativa no processo de

aprendizagem, nesse sentido, é viável, a utilização do Geoplano, no qual o aluno

poderá visualizar situações, observar relações e construir conceitos.

Para a construção e estudo da variação das funções trigonométricas, foi

utilizado o software Geogebra, tendo em vista as possibilidades de investigações

que este software permite.

Completando o desenvolvimento foram abordadas questões didáticas que

utilizam como pressuposto teórico a teoria dos registros de representação semiótica

de Raymond Duval1.

Considerando a importância do estudo dos conceitos trigonométrico e da

articulação das Tendências da Educação Matemática no processo ensino-

1Filósofo e psicólogo de formação Raymond Duval desenvolveu importantes estudos relativos à Psicologia Cognitiva no Instituto de Pesquisa em Educação Matemática (Irem) de Estrasburgo, na França.

< http://www.livrariadafisica.com.br> acessado em 10 de abril de 2011.

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aprendizagem, o objetivo geral que norteou a ação investigativa foi:

Analisar as contribuições da metodologia da investigação matemática

articulada ao uso de materiais manipuláveis e recursos tecnológicos, sob a luz da

teoria das representações semióticas de Duval, para o ensino e aprendizagem dos

conceitos de trigonometria.

Para o desenvolvimento das atividades com os alunos elencamos os objetivos

específicos: Propor atividades baseadas na metodologia da Investigação

Matemática; refletir sobre os registros de representação semiótica no ensino e

aprendizagem dos conceitos trigonométricos; utilizar materiais manipuláveis e

recursos tecnológicos na construção de conceitos trigonométricos; desenvolver

reflexões com os alunos do Ensino Médio envolvendo os conceitos de

Trigonometria.

Neste sentido, justifica-se o interesse pelo ensino de trigonometria e o ensejo

do desenvolvimento deste estudo no qual se pretende explorar os conceitos

trigonométricos no ensino médio. Almeja-se, abordar o conteúdo por meio de

materiais manipuláveis e as mídias tecnológicas, tendo como suporte metodológico

a Investigação Matemática.

A pesquisa aplicada, denominada de “Intervenção Pedagógica” ocorreu

através de atividades realizada no contra turno para alunos do 1º ano do Ensino

Médio vespertino de um colégio da rede estadual de ensino da cidade de Ponta

Grossa.

2.FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Segundo as Diretrizes Curriculares Estaduais do Paraná, “no Ensino Médio,

os conteúdos deverão ser abordados articuladamente, contemplando os conteúdos

ministrados no Ensino Fundamental e também através de intercomunicação dos

conteúdos estruturantes” (PARANÁ, 2008, p. 80).

As tendências metodológicas e o registro de representações semióticas

serviram de aporte teórico, visando desenvolver os conhecimentos matemáticos a

partir do processo dialético que possam intervir como instrumento na aprendizagem.

As atividades elaboradas neste trabalho, mostraram evidências a essa

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maneira diferenciada de ver e conceber o ensino de matemática no ensino médio,

sendo o foco da pesquisa os conceitos trigonométricos, foi necessário, entender o

seu desenvolvimento e importância na vida do homem.

2.1 A Origem da Trigonometria

A necessidade de evoluir na Agrimensura, Navegação e Astronomia, foram

fatores que impulsionaram seu estudo e marcam a origem da trigonometria, segundo

historiadores, como EVES,1992, BOYER,1996.

A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri = três, gonos =

ângulos e metrûn = medida. Inicialmente a trigonometria era considerada parte da

matemática que tinha como objetivo o cálculo das medidas dos elementos de um

triângulo, lados e ângulos.

Aristarco de Samos (310a.C – 230a.C) fez estimativas sobre as distâncias do

Sol e da Lua relacionadas com a Terra e Arquimedes de Siracusa (287a.C –

212a.C), desenvolveu um método de precisão para calcular o valor do número pi (π)

Considerado o pai da Astronomia foi o grego Hiparco de Niceia (180a.C-

125a.C) quem empregou pela primeira vez a relação entre os lados e ângulos de um

triângulo retângulo por volta do ano 140a.C, foi ele quem introduziu as medidas

sexagesimais em Astronomia.

Ptolomeu (125a.C) apresenta o documento mais antigo que trata da

trigonometria “O Almagesto” no qual apresenta um tratado de trigonometria retilínea

e esférica.

No século XV Purback, matemático nascido na Baviera, para restabelecer a

obra de Ptolomeu, constrói a primeira tábua trigonométrica, introduzindo o seno,

cosseno e a tangente à trigonometria.

Johann Müller (1436-1476) matemático alemão, discípulo de Purback,

sistematizou o estudo de trigonometria escrevendo o “De Triangulis” ou “Tratado dos

Triângulos”.

No século XVI, François Viète (1540-1603) associou as soluções de equações

do 3º grau com as relações trigonométricas, introduzindo novos teoremas, ligando a

trigonometria à Álgebra. Neper e Briggs estabeleceram novas fórmulas

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trigonométricas utilizando cálculos logarítmicos.

A aplicabilidade da trigonometria se estende por vários campos da atividade

humana, como: a Eletricidade, Mecânica, Acústica, Música, Engenharia Cível e

Topografia.

O objetivo inicial da trigonometria era o tradicional problema da resolução de

triângulos, que basicamente consistia em determinar os seis elementos dessa figura

(três lados e três ângulos), mas provavelmente os matemáticos que fizeram os

primeiros estudos não vislumbraram a aplicabilidade dos conceitos trigonométricos

na atualidade.

2.2 Materiais manipuláveis na construção do saber matemático

Material didático é qualquer instrumento útil ao processo de ensino-

aprendizagem. No ensino podem desempenhar diferentes funções: para apresentar

um assunto, para motivar os alunos para auxiliar a memorização dos resultados,

para facilitar a construção do conceito. Para Lorenzato (2007).

O material concreto exerce um papel importante na aprendizagem. Facilita a observação e a análise, desenvolve o raciocínio lógico, critico e científico, é fundamental para o ensino experimental e é excelente para auxiliar o aluno na construção de seus conhecimentos. (LORENZATO, 2007, p.42)

No entanto, por melhor que seja o material didático, ele nunca ultrapassa a

categoria de meio para auxiliar o ensino, isto significa que, não é garantia de um

bom ensino, nem de uma aprendizagem significativa e não substitui o professor. No

ensino de geometria a sua utilização auxilia na visualização das figuras e

compressão de seus elementos. A este propósito afirma Mendes (2009):

Os materiais devem proporcionar uma verdadeira personificação ou representação dos conceitos matemáticos ou das ideias exploradas. Devem ser motivadores da aprendizagem matemática dos alunos, bem como apropriados para serem utilizados em diferentes níveis de escolaridade e em diferentes níveis de formação de um mesmo conceito matemático, favorecendo a abstração matemática, através da manipulação individual ou em grupo. (MENDES, 2009, p. 26)

O mesmo autor, também argumenta sobre como o professor pode proceder ao utilizar em suas aulas o material concreto:

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Esses materiais devem ser tocados, sentidos, manipulados e movimentados pelos alunos. Podem ser extraídos das aplicações do dia-a-dia, como balança, trena, fita métrica, fio de prumo, entre outros, ou podem ser confeccionados com a finalidade de representar ideias matemáticas. (MENDES (2009, p.25)

Serrazina e Matos (1988) confirmam a importância da utilização de materiais

concretos no ensino quando afirmam que ao oferecermos oportunidade ao aluno a

experiência da matematização por meio da manipulação de materiais, criamos

situações que desenvolvem o pensamento abstrato, segundo as autoras “as

experiências concretas são a essência da aprendizagem da Matemática”. Neste

sentido, entendemos que as práticas pedagógicas precisam estar baseadas na

experiência, assim, na pesquisa realizada foram utilizados materiais como:

2.2.1 O GeoplanoO geoplano é um material criado pelo matemático inglês Calleb Gattegno.

Constitui-se por uma placa de madeira, marcada com uma malha quadriculada ou

pontilhada. Em cada vértice dos quadrados formados fixa-se um prego, onde se

prenderão os elásticos, usados para "desenhar" sobre o geoplano. Podem-se criar

geoplanos de vários tamanhos, de acordo com o n.º de pinos de seu lado, por

exemplo, 5x5, ou seja, cada lado do geoplano tem 5 pinos (pregos).

Machado (2004) afirma que um objeto concreto, como o Geoplano, facilita o aprendizado:

Geoplano é um recurso didático-pedagógico, dinâmico e manipulativo (construir, movimentar e desfazer). Contribui para explorar problemas geométricos e algébricos, possibilitando a aferição de conjecturas e podendo-se registrar o trabalho em papel quadriculado. Além disso, o Geoplano facilita o desenvolvimento das habilidades de exploração plana, comparação, relação, discriminação, sequência, envolvendo conceitos de frações e suas operações, simetria, reflexão, rotação e translação, perímetro, área. O Geoplano é um meio, uma ajuda didática, que oferece apoio à representação mental e uma etapa para o caminho da abstração, proporcionando uma experiência geométrica aos participantes (MACHADO, 2004, p.1).

Diante do exposto, o geoplano é um excelente material para o trabalho com

polígonos regulares, área e perímetro e trigonometria. Este material permite traduzir

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ideias matemáticas, constituindo-se em um suporte para a representação mental,

um recurso que leva ideias abstratas à realidade.

No desenvolvimento dos conceitos de trigonometria foram construídos o

geoplano quadrangular e também o geoplano circular, tendo em viata a

compreensão das razões trigonométricas a partir do círculo trigonométrico.

2.2.2 Software Geogebra

Os recursos tecnológicos estão cada vez mais presente no ambiente escolar,

e na vida de nossos alunos, muitos deles acessam a internet no próprio celular em

sala de aula, assim é importante que o professor busque aliar essa ferramenta no

processo ensino aprendizagem para formação dos conceitos. Segundo Bionde e

Felício (2007, p. 17), a utilização do computador é significativo e positivo no

desempenho dos alunos.

No Paraná, nos 399 municípios em todas as escolas estaduais foram

implantados laboratórios de informática, chamados de Laboratório do Paraná Digital

(PRD). Esse investimento em tecnologia possibilita aos professores e alunos da

escola pública, além do acesso a tecnologia, a utilização desta ferramenta na

melhoria da prática pedagógica.

O uso de softwares de geometria dinâmica surgiu como uma alternativa, pois

eles podem representar possibilidades de simulação de material concreto, já que

proporcionam situações virtuais que adquirem aspectos próximos da realidade,

apresentando inclusive possibilidades de colaboração.

Por outro lado, utilizar novas tecnologias em sala de aula requer do professor

uma reestruturação de suas concepções. Borba e Penteado (2001, p. 98), afirmam

que "o professor deve relacionar os antigos desafios com a incorporação das novas

tecnologias", visando mobilizar os alunos, favorecendo as experimentações

matemática e potencializando maneiras de compreensão de conceitos.

Os computadores dos PRD utilizam o sistema Linux, na qual se encontram

instalados vários aplicativos, entre eles o software Geogebra. O Geogebra é um

programa livre, desenvolvido por Marcus Hohenwarter, disponível, em português, no

endereço eletrônico http://www.geogebra.org/cms, é um software matemático que

junta Geometria, Álgebra e Cálculo, a vantagem didática da utilização desse tido de

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software nas atividades de ensino, destaca-se pela simultaneidade da presença do

registro gráfico e do algébrico, possibilitando uma melhor visualização dos conceitos

e a participação ativa do aluno.

Portanto, o uso do Geogebra no estudo de trigonometria é de grande

importância, pois permite ao aluno descobrir as razões trigonométricas, reformular

suas ideias e interagir com o objeto construído através da construção e

movimentação.

A figura 1, mostra a janela básica do software Geogebra, a partir da qual

serão construídos as funções do seno, cosseno e tangente.

Figura 1 - Janela do software Geogebra. Fonte: disponível em http://www.geogebra.org/c

A utilização da informática nas práticas pedagógicas como recursos

metodológicos, no sentido de desenvolver o pensamento matemático, são indicados

por vários pesquisadores da área.

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2.3 A Investigação Matemática

Optamos em aplicar na metodologia a Investigação Matemática, pois a prática

pedagógica de investigações matemáticas tem sido recomendada por diversos

estudiosos com forma de contribuir para uma melhor compreensão da matemática.

Na investigação matemática o aluno é chamado a agir como um matemático, não

apenas porque é solicitado a propor questões, mas principalmente, porque formula

conjecturas a respeito do que está investigando.

Ponte, Brocardo e Oliveira (2003, p.21), apresentam um resumo dos quatros

principais momentos para a realização de uma investigação matemática:

Exploração e Formulação de Questões: Reconhecer uma situação problemática;

explorar a situação problemática e formular questões.

Conjecturas: Organizar dados; formular conjecturas, fazer afirmações sobre uma

conjectura.

Testes e Reformulações: Realizar testes, refinar uma conjectura.

Justificação e Avaliação: Justificar uma conjectura, avaliar o raciocínio ou

resultado do raciocínio.

Neste sentido, ao fazer a opção por trabalhar com a Investigação Matemática,

devemos ter em mente que o papel do professor passa de expositor de conteúdo

para mediador da aprendizagem e deve segundo Lorenzato (1995), ter sempre

presente nas aulas de matemática os seguintes questionamentos: Por que você

pensa assim? Como você chegou a essa conclusão? Isso vale para outros casos?

Como isso pode ser dito de outro modo? É possível representar essa situação? O

que isso quer dizer? Por que você concorda? Existem outras possibilidades? O que

mudou? Como isso é possível? O aluno passa a ter voz na aula de matemática, e a

aprendizagem torna-se dinâmica.

Portanto, é da responsabilidade do professor, buscar organizar em sua prática

pedagógica um ambiente favorável à experimentação possibilitando a interação,

tendo em vista desenvolver no aluno a capacidade de ser agente de sua

aprendizagem e construtora de seu conhecimento.

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2.4 As representações Semióticas e o Ensino de Trigonometria

Raynond Duval, filósofo e psicólogo de formação, desenvolveu importantes

estudos relativos à Psicologia cognitiva, a teoria dos registros de representação

semiótica esta teoria trata de como os conceitos se organizam. Duval, tem como

centro de suas pesquisas o funcionamento do pensamento humano, principalmente

em relação as atividades matemáticas, sua teoria é uma teoria da aprendizagem.

Para Duval (2004) o grande problema da aprendizagem matemática é que o

educando não consegue reconhecer o mesmo objeto através dos diversos sistemas

semióticos de representação. "A compreensão (integral) de um conteúdo conceitual

repousa sobre a coordenação de ao menos dois registros de representação, e essa

coordenação se manifesta pela rapidez e espontaneidade da atividade cognitiva de

conversão" (Duval, 2004, p.63).

As representações semióticas são sistemas particulares de signos: língua

natural, gráficos, figuras geométricas. Duval propõe que na abordagem dos

conceitos matemáticos o professor estabeleça situações de aprendizagem que

possibilite aos alunos fazerem uso de diferentes registros de representação

semiótica. No desenvolvimento do trabalho com os conceitos de trigonometria, será

possível abordar várias representações: geométrica, algébrica e da própria

linguagem.

Segundo Duval, o ensino de Matemática é específico, diferente das outras

ciências. O acesso a um objeto matemático é intermediado por registros de

representações semióticas, assim o professor, em sua prática diária precisa ter a

preocupação de envolver propostas que coordenem diferentes registros. Duval

(1995) aponta três atividades cognitivas essenciais à produção de uma

representação semiótica: a formação, o tratamento e a conversão. A interpretação

em língua natural de uma tarefa no registro de representação simbólica, é um

exemplo de conversão.

Muitas vezes os conteúdos matemáticos são tratados isoladamente e são apresentados e exauridos num único momento. Quando acontece de serem retomados (geralmente num mesmo nível de aprofundamento, apoiando-se nos mesmos recursos), é apenas com a perspectiva de utilizá-los como

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ferramentas para a aprendizagem de novas noções. De modo geral, parece não se levar em conta que, para o aluno consolidar e ampliar um conceito, é fundamental que ele o veja em novas extensões, representações ou conexões com outros conceitos (BRASIL, 1998, p.21).

E também, Duval (1995), citado por Faiguelernet (1999) e Almouloud (2009)

aponta, que o ensino deve ter como fundamento três tipos de processos cognitivos

os quais são interligados: Processo de visualização com respeito à representação

espacial; processo de construção através de ferramentas (régua, compasso,

esquadro e software); processo de raciocínio, que é básico para ser demonstrado e

comprovado (teorema, axioma e definições).

Neste projeto, as atividades que foram elaboradas, e constituíram a Unidade

Didática, para aplicação durante a intervenção pedagógica, tiveram como objetivo

investigar o desempenho dos alunos nas conversões das diferentes representações:

da representação da língua natural para a representação simbólica (algébrica) e da

representação algébrica para a representação gráfica. As atividades com a

utilização de diferentes materiais didáticos, teodolito, geoplano e do software

Geogebra, permitem a exploração das diferentes representações. Ao interpretar o

enunciado do problema, ao representar na forma algébrica, ao representar

graficamente o aluno transita nas diferentes representações e visualiza o mesmo

objeto de estudo, no caso as funções trigonométricas, facilitando a compreensão e a

descoberta.

3.A EXPERIÊNCIA DESENVOLVIDA

A intervenção pedagógica foi realizada no Colégio Estadual Regente Feijó,

município de Ponta Grossa. O universo da pesquisa foi delimitado pelos alunos de

uma 1ª séries do Ensino Médio Regular, turno vespertino em que a

professora/pesquisadora ministrava aulas, totalizando 32 alunos, que foram

convidados a participar.

As características deste colégio são peculiares, tendo em vista a sua

localização, região central da cidade e que também oferta apenas a modalidade de

Ensino Médio regular e Ensino Profissional, neste sentido, recebe alunos oriundos

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dos diversos bairros da cidade, que completaram o Ensino Fundamental em

diferentes escolas, determinando turmas bastante heterogêneas em relação aos

fundamentos básicos de Matemática, havendo assim, uma necessidade do

professor, fazer uso de práticas pedagógicas diversificadas, visando conhecer e

identificar seus alunos.

A metodologia proposta é a Investigação Matemática, com a utilização de

materiais manipuláveis e no Software GeoGebra na construção dos conceitos

trigonométricos. Para isso foram elaborados planos de aulas com situações

problemas, com o objetivo de explorar as diferentes representações dos conceitos

trigonométricos como: a representação da linguagem materna e algébrica e

representação gráfica. Em sala de aula as atividades foram desenvolvidas em

grupos com três alunos possibilitando a discussão de ideias. Após cada atividade

realizada, os alunos registraram suas observações e conclusões por meio de

relatórios.

Tendo em vista que, no processo de ensino e aprendizagem, a exploração

dos conceitos precisa partir do conhecimento que os alunos já trazem, foi aplicada

uma atividade diagnóstica inicial visando a verificação dos conhecimentos prévios

dos alunos, referentes aos conceitos trigonométricos.

O desenvolvimento do projeto constituiu-se de quatro etapas:

1ª. Aplicação de uma atividade inicial diagnóstica, envolvendo diferentes

registros de representações, referentes aos conteúdos básicos de trigonometria,

relações métricas e trigonométricas no triângulo retângulo.

2ª.Introdução histórica e contextualizada do desenvolvimento da

trigonometria, mostrando uma diversidade de problemas de situações diárias e

curiosas cuja solução utiliza-se dos conceitos de trigonometria;

3ª. Construção dos materiais manipuláveis (geoplano e teodolito) bem como

sua utilização na resolução de problemas envolvendo os conceitos de trigonometria;

4ª. Estudar e familiarizar-se como software de Geometria Dinâmica, no caso

em estudo o GeoGebra, para construir o círculo trigonométrico e determinar sua

funções seno, cosseno e tangente.

No desenvolvimento das atividades com os alunos os registros foram

realizados em fichas e arquivadas em pastas para posterior análise dos avanços

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alcançados pelos mesmos. Também para coleta de dados foram utilizados registros

fotográficos.

Os recursos tecnológicos utilizados foram: software Geogebra, vídeos, TV

multimídia.

4.ANÁLISE E DISCUSSÕES DOS RESULTADOS

A seguir estão sistematizadas as atividade que foram desenvolvidas na

intervenção pedagógica, elas exploram os conceitos trigonométricos por meio de

materiais manipuláveis e tecnológicos e constituem o Unidade Didática, instrumento

elaborado como requisito para a conclusão do programa, e que, poderá auxiliar o

professor na abordagem do tema em sala de aula. Consideramos este material em

processo de construção, outras atividades e abordagens poderão ser inseridas.

Primeiro Momento – Revendo conceitos geométricos utilizando o Geoplano

Objetivos: Construir no geoplano, figuras geométricas planas;

Reconhecer as propriedades das figuras planas construídas;

Calcular a medida da diagonal do quadrado e do retângulo;

Rever e compreender a veracidade do Teorema de Pitágoras.

Tempo de Duração: 6 horas/aulas

Conteúdos: Triângulos e quadriláteros, classificação de triângulos e quadriláteros,

elementos de um triângulo e quadrilátero e Teorema de Pitágoras.

Construção do GeoplanoMaterial necessário:

- uma tábua quadrada de madeira de 30 cm de lado

- 25 pregos

- elásticos coloridos para construção das figuras

Construção: Para as atividades elaboradas será utilizado o geoplano 5 X 5, isto é, o

geoplano formado por 25 pregos dispostos em filas de cinco pregos cada. Na

construção, iniciar quadriculando a tábua em quadrados de 3 cm de lados, na

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intersecção dos vértices fixar os pregos.

Orientação para o professor:

Inicialmente é importante que os alunos se familiarizem com o geoplano, assim

elencamos algumas atividades para exploração do material. *Atividades apresentadas

pela professora Marília do Amaral durante o mini - curso “Construindo Conceitos

geométricos no Geoplano” CIEM (outubro – 2010 - Porto Alegre)

ATIVIDADE*

1)Construir linhas no geoplano;

2)Construir figuras: quadrados, retângulos ....

3)Reconhecer figuras com os olhos fechados.

4)Construir um triângulo a partir do quadrado, do retângulo.

5)Construir um quadrado que seja a 3ª parte de um retângulo.

6)Construir um retângulo de base igual ao dobro da altura.

ATIVIDADE 1

Construa no Geoplano diferentes triângulos, desenhem no caderno os triângulos

construídos, classifique-os quanto aos lados e ângulos.

ATIVIDADE 2

Construa no Geoplano diferentes quadriláteros, desenhe no seu caderno e nomeie-os

ATIVIDADE 3

Construa quatro diferentes quadrados. Calcule a área e o perímetro de cada um.

ATIVIDADE 4

Construa no Geoplano, diferentes retângulos com 12 unidades de perímetros.

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ATIVIDADE 5

Construa no geoplano os polígonos:

Quatro lados de mesma medida e nenhum ângulo reto;

Quatro lados, quatro ângulos retos

Três lados e um ângulo reto;

Três lados e um ângulo obtuso

Após a construção desenhe as construções no caderno e nomeie cada uma.

Orientação para o professor:

Durante a realização da atividade, se o professor achar necessário é possível construir

uma tabela com a classificação dos triângulos e quadriláteros.

DESENHO NOMENCLATURA DEFINIÇÃO

Isso possibilitará ao aluno reconhecer as diferentes representações dos polígonos.

ATIVIDADE 6

Construir a figura abaixo no geoplano e responder:

Quantos quadrados, quantos retângulos e quantos triângulos podemos visualizar?

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ATIVIDADE 7

Construir, no geoplano três diferentes retângulos e três diferentes quadrados e completar

as tabelas: Indicaremos B= base, H = altura, D= diagonal, L= lado.

Polígono BASE ALTURA DIAGONAL B2 H2 D2 B2+ H2

RET 1

RET 2

RET 3

Polígono LADO LADO 2 DIAGONAL DIAGONAL 2 LADO 2+ LADO 2

QUAD. 1

QUAD. 2

QUAD. 3

Concluindo:

O que você observa nos resultados obtidos na primeira tabela nas colunas 6 e 7?

Explique.

O que você observa nos resultados obtidos na segunda tabela nas colunas 4 e 5?

Explique.

Você recorda do Teorema de Pitágoras? Explique com suas palavras.

Qual a relação entre os cálculos que você realizou nas tabelas e o Teorema de

Pitágoras?

ATIVIDADE 8

Construir no geoplano três triângulos retângulos de diferentes medidas para os catetos.

A seguir:

a) Indicar para a hipotenusa, a, a1, a2, e para os catetos b e c, b1 e c1, b2 e c2

b) Encontrar a medida de cada lado.

c) Utilizando a calculadora, encontrar a razão entre as medidas: b/a, b1/ a1, b2 / a2 , c/a,

c1 /a1, c2 / a2 e b/c, b1 / c1 , b2 /c2 .

d) Medir os ângulos agudos do triângulo compare os valores encontrados com os

valores de seno cosseno e tangente dos ângulos dos triângulos com os valores da

tabela trigonométrica, o que você conclui? Faça os desenhos dos triângulos no caderno

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anote os cálculos e escreva sua conclusão.

Figura 2 – Construindo no Geoplano Fonte: Autoria própria

Análise do Momento

Optamos em desenvolver as atividades, distribuindo os alunos em equipes, isso

facilitou as discussões e investigações. Cada equipe, no primeiro encontro, recebeu

uma pasta na qual todas as atividades foram arquivadas para análise. Na primeira

atividade, a ideia inicial era que cada aluno construísse o seu geoplano, mas devido

ao número de alunos, e a dificuldade de encontrar o material necessário ( madeira e

pregos), optamos em construir uma para cada equipe, sugestão: para construir o

geoplano é necessário fazer bem longe das demais salas de aula da escola, (o

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barulho das marteladas). Com este material realizamos as atividades do 1º momento

da Unidade Didática.

Durante a realização das atividades foi possível perceber a dificuldade nos

conceitos básicos de geometria, as atividades de reconhecimento do Geoplano

constituiu-se em uma retomada dos conceitos geométrico em todos os momentos a

intervenção do professor foi necessária, nas atividades 7 e 8, os alunos, até sabiam

o Teorema de Pitágoras, a2=b2c2 operavam com os valores mas não

compreendiam o que significava e, se invertíamos as letras no triângulo (hipotenusa

b ou c e cateto a), para muitos, não fazia diferença, aplicavam o teorema, utilizando

um cateto como hipotenusa. Assim, como complemento das atividades fizemos a

proposta de uma pesquisa, com o objetivo de desenvolver melhor compreensão do

Teorema de Pitágoras, utilizando como pressuposto a Teoria das Representações

Semióticas de Duval, buscando as diferentes representações do Teorema de

Pitágoras, a algébrica, a Geométrica e a própria linguagem natural. Assim, cada

equipe, pesquisou e apresentou uma diferente prova do Teorema de Pitágoras.

Figura 2 - Resultado da atividade: Provando o Teorema de Pitágoras Fonte: Autoria própria

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REGISTRO DE REPRESENTAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS

Registro geométrico

Registro algébrico a2 = b2+c2Hip 2=cat 2 cat 2

Registro na língua materna “Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos”

Quadro 1 Teorema de Pitágoras nas diferentes representações Fonte: Autoria própria

Durante as discussões nos grupos de trabalhos (GTR) uma professora/participante

apresentou como sugestão que o professor em vez de usar letras para representar o

Teorema de Pitágoras utilize apenas o nome dos lados do triângulo, por exemplo:

(Hip)2 = (cat)2 + (cat)2 , assim o aluno não fixa apenas as letras. Nas fotos a

apresentação das atividades “Provando o Teorema de Pitágoras”.

21

Figura 3 - Resultado da atividade: Provando o Teorema de Pitágoras Fonte: Autoria própria

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Figura 6 - Resultado da atividade: Provando o Teorema de Pitágoras Fonte: Autoria Própria

Segundo Momento – Calculando distâncias inacessíveis utilizando o Teodolito Objetivos:

Construir o teodolito, aparelho que será utilizado para os cálculos;

Reconhecer e representar a figura formada (triângulo retângulo) no

desenvolvimento da atividade;

Aplicar a relação trigonométrica adequada (relação da tangente) para o

cálculo das alturas inacessíveis.

Tempo de Duração: 4 horas/aulas

Conteúdos: Triângulo retângulo, razões trigonométricas, cálculo de distâncias

inacessível, função tangente.

Construção do Teodolito de MadeiraMaterial necessário:

- Três ripas, sendo duas de mesma espessura (aprox. 30 X 5 cm e outra 60 X 5

cm ) e outra mais fina de aprox. 60 cm de comprimento.

- 2 transferidores de plástico de meia volta (180°)

23

- 30 cm de fio flexível

- uma pequena argola.

- porca com ruela

Construção: Com as duas ripas de mesma espessura construir um T invertido fixo,

ripa menor serve para apoio. A ripa fina será a haste móvel do teodolito, fixar na

haste fixa, juntamente com um dos transferidores, utilizando um a porca com ruela,

na outra extremidade fixar o outro transferidor o fio flexível e na ponta do fio a

argola.

Orientação ao professor:

Como utilizar:

Coloque o teodolito em uma base plana e posicione o ponteiro em 0°. Em seguida,

meça a distância entre o instrumento e o que você deseja medir. Mire na extremidade

do objeto ou construção e observe o ângulo indicado no teodolito. Utilizando a

trigonometria, é possível determinar a altura de um objeto, mas não se esqueça de

considerar a altura em que o teodolito se encontra.

Observação:As atividades foram elaboradas para que o desenvolvimento fosse realizado em um

local externo a sala de aula. Escolhemos o Parque Ambiental Governador Manuel

Ribas (Ponta Grossa – Paraná) construído em 1995 onde funcionava a Estação

Ferroviária. Este parque é dividido em três partes, cada parte representa um

elemento da natureza: Sol, Terra e Fogo, e são caracterizadas por uma torre. A torre

do Sol, em sua extremidade tem um sólido geométrico em amarelo, representando o

Sol, na torre da Terra temos um Globo terrestre em azul e na Torre do Fogo uma Pira

Olímpica em vermelho. A parte que representa o Sol, na construção ficou separada

das outras duas pelo prolongamento da Avenida Vicente Machado, assim para a

segurança dos pedestres foi construído um viaduto ligando as partes. Além das

Torres o viaduto também será utilizado como objeto de altura inacessível para o

cálculo.

Orientação ao professor:

Caso não existam praças próximas a escola, crie outras situações práticas para os

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alunos calcularem alturas inacessíveis (árvores, postes de iluminação, prédios...)

Figura 7 - Parque Ambiental – Ponta Grossa – Pr Fonte: hpbysandra.com.br

ATIVIDADE 1

Após posicionar o aparelho para calcular a altura da Torre do Sol, representar a

situação por meio de uma figura. Indicar por H a altura inacessível ( torre), por B a

distância do observador até a base da torre (distância conhecida). E por alfa o ângulo

marcado no teodolito (ângulo de visada). Considerando a linha imaginária do aparelho

até o topo da torre responda:

Qual a figura formada?

O que representa na figura a altura procurada?

Como calcular a altura da torre? Qual relação trigonométrica podemos utilizar neste

cálculo?

ATIVIDADE 2

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Utilizando o mesmo processo da atividade anterior encontre a altura do viaduto que

une as partes do Parque Ambiental.

ATIVIDADE 3

Se for um dia ensolarado, uma maneira de comprovar os resultados obtidos é realizar

os mesmos cálculos utilizando o processo de Semelhança de triângulo, (Teorema de

Tales), comparando a sombra do objeto a ser medido com a sombra de um dos alunos.

Análise do Momento Para a construção do material “teodolito” participaram apenas 10 alunos,

realizado no período da manhã, contra turno no qual os alunos estudam, assim ficou

estabelecido a construção de apenas um aparelho de madeira. Após a construção

os alunos realizaram alguns cálculos na própria escola, altura da sala de aula, altura

dos próprios colegas, altura do mastro da bandeira. Na sequência nos dirigimos até

a Praça do Parque Ambiental, por estar localizada próximo ao colégio, fomos

caminhando.

Durante a realização da atividade optamos em utilizar a calculadora para

facilitar a realização das operações geralmente com números decimais.

Percebeu-se durante a realização da atividade o envolvimento do aluno na

busca da resposta da questão, confirmando a importância do uso de concreto na

abordagem dos conceitos. Para finalizar o trabalho com o calculo de distâncias

inacessíveis, os alunos organizaram uma apresentação para a turma. Nesta

atividade ficou evidente a facilidade em reconhecer os lados do triângulo retângulo

( Hipotenusa e Catetos) e a facilidade na utilização das razões trigonométricas.

Este trabalho deu origem a produções intessantes na busca de representar e

calcular distâncias inacessíveis. Como apresentada na figura 8.

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Figura 8- Resultado da atividade: Calculando distâncias inacesíveis Fonte: Autoria própria

No decorrer do processo de cálculo da altura da “Torre do Sol” no parque

Ambiental, surgiu questionamento dos alunos: – Profª como vamos saber se a altura

que encontramos é a correta? (aluno A1). Assim para tirar está dúvida foi sugerido

aos alunos que calculassem a altura da torre utilizando outro processo fazendo uso

das sombras da torre e de um aluno da turma. Desse modo, os alunos mediram a

sombra que a torre projetava no solo e ao mesmo tempo mediram a altura de um

dos alunos, utilizando o Teorema de Tales e encontraram também a altura da torre.

Com os cálculos puderam perceber que a diferença entre os resultados era bem

pequena, confirmando a validade do processo.

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Figura 11 - Resultado da atividade: Calculando distâncias inacesíveis Fonte: Autoria própria

Terceiro Momento – Explorando as razões trigonométricas no Geoplano circular.Objetivos:

Construir no geoplano circular, triângulos retângulos, dados um dos ângulos

agudos;

Reconhecer as variações das funções trigonométricas nos quatro quadrantes;

Analisar o valor do seno cosseno e tangente nos diferentes quadrantes.

Tempo de Duração: 6 horas/aulas

Conteúdos: Triângulo retângulo, razões trigonométricas, função seno, cosseno e

tangente.

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Construção do Geoplano Trigonométrico Circular Material necessário:

- uma folha de isopor retangular 20cm por 15 cm.

- uma cópia em papel de um transferidor de uma volta, 360º

- um alfinete comum, e uma linha de fio flexível.

Construção:

Colar a cópia do transferidor no isopor, construir o eixo cartesiano fazendo coincidir

o centro do círculo com a origem do eixo. Fixar no centro o transferidor, o alfinete e

nele o fio flexível.

ATIVIDADE 1

No geoplano circular de centro O, estique a linha marcando um ponto A no círculo em

30°, pelo ponto A trace uma perpendicular ao eixo x, marcando no eixo um ponto B,

tomando como referência o triângulo AÔB, responda:

a) Que tipo de triângulo foi traçado?

b) Meça os lados do triângulo, OA, AB e OC.

c) Encontre a razão entre os lados: AB/OA; OC/AO e AB/OC.

d) Os valores encontrados são conhecidos por você? Você reconhece estas razões?

e) Compare os valores encontrados com os valores da tabela trigonométrica de seno,

cosseno e tangente de 30°.

Orientação ao professor:

Neste momento da atividade é importante a formalização dos conceitos de seno,

cosseno e tangente, mostrando na prática como a tabela trigonométrica foi elaborada.

ATIVIDADE 2

Utilizando o mesmo processo encontre as razões para os arcos de 150°, 210° e 330°.

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ATIVIDADE 3

No geoplano circular construir e encontrar o valor de sen 30°, cos 60°, tg 45° .

ATIVIDADE 4*

Utilizando o geoplano circular verifique as igualdades:

a)cos 60° é igual a 0,5

b)sen60° é maior que 0,5

c)cos30° = sen de 60°

d)sen90° = 1

e)cos90° =0

f)sen45° = cos45°

g)tg45°=1

ATIVIDADE 5*

No geoplano circular verificar os sinais de:

a)sen30° d)cos300°

b)sen105° e)cos105°

c)sen60° f)cos60°

ATIVIDADE 6

Explicar por que:

a)cos 0° = 1

b) cos90° = 0

c) sen90° = 1

d) sen150° = sen30°.

ATIVIDADE 7

Mostre e explique o porquê da tg 0° = 0 e porque não existe tangente para os arcos de

90° e 270°.

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Análise do Momento Para o desenvolvimento das atividades construimos o Geoplano circular em

pequenas placas de isopor, como mostra a figura 12, devido a dificuldade com a

construção do geoplano quadrangular. Sendo um conteúdo novo para os alunos,

Funções trigonométrica no círculo, foi necessário um trabalho mais efetivo e

sistemático. Durante a realização das atividades ficou evidente, que o material

concreto facilitou a compreensão dos resultados, como mostra os fragmentos dos

relatos dos alunos:

- Profª agora ententi porque o valor da tg de 45° é 1, pois a medida do cateto

oposto fica igual a medida do cateto adjacente. (aluno A2).

- E também porque o valor do seno 45º é igual ao cosseno de de 45° (Aluno A3).

Da mesma forma quando buscavam explicação para a não existência da

tangente de 90° e 270° tendo em vista que a divisão por zero ainda não é bem

compreendida pelo aluno, a visualização no material auxiliou na compreensão.

Figura 12 - Geoplano circular construído pelos alunos Fonte: Autoria própria

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Quarto Momento – Explorando as funções trigonométricas no software GeoGebraObjetivos: Rever os conceitos geométricos básicos;

Construir no software GeoGebra o gráfico das funções trigonométricas;

Analisar o comportamento do gráfico das funções trigonométricas seno,

cosseno e tangente.

Tempo de Duração: 6 horas/aulas

Orientação ao professor:

Inicialmente é importante que os alunos se familiarizem com a utilização do software

GeoGebra, para esta atividade, postamos um resumo da apostila elaborada pelas

alunas elaboradas por Gilmara Teixeira Barcelos e Silvia Cristina Freitas Batista com

atividades para exploração do software GeoGebra. Disponível em:

<http://www.es.cefetcampos.br/softmat/projeto_TIC/download/atividades1/Apostilageog

ebra_2007.pdf>

EXPLORANDO O SOFTWARE - Atividades iniciais

ATIVIDADE - 1

a. Crie dois pontos livres.

b. Construa um segmento de reta com extremidades nos pontos criados no item

anterior.

c. Para criar um ponto selecione a ferramenta novo ponto ,

e dê um clique na área de trabalho. Marque no plano cartesiano cada um dos seguintes

pontos: A (2, 1); B (8, 1); C (8, -2) e D (2, -2). Outra forma de marcar os pontos é digitá-

los na Caixa de Entrada da seguinte forma: A=(2,1) e teclar Enter.

Para mudar a cor do ponto, clique sobre ele com o lado direito do mouse, selecione a

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opção Propriedades e, em seguida, a opção Cor. No lado esquerdo dessa janela

aparecem os pontos. Clique neles, um a um, e na cor desejada. Para a operação ser

concluída, clique em Fechar.

d. Utilizando a ferramenta polígono

clique sobre os pontos e forme o Polígono ABCD. Lembre-se de fechar o polígono no

ponto A. Para mudar a cor do polígono, repita o procedimento utilizado para mudar a

cor dos pontos, clicando dentro do polígono com o lado direito do mouse.

e. Inicialmente ative o software GeoGebra, abra a tela algébrica e geométrica, na tela

geométrica exiba o eixo e a malha, isso facilitará a análise.

Vamos verificar a existência de um triângulo.

É possível construir um triângulo com os segmentos AB = 3, CD = 5 e EF = 7?

E com os segmentos HI = 2, JK = 3 e LM = 6?

a)O que você concluí, qual a condição para a existência de um triângulo?

EXPLORANDO AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS COM SOFTWARE GEOGEBRA

ATIVIDADE 1

Na caixa de entrada digite a função y = sin(x), observe o gráfico da função, encontre o

domínio e a imagem desta função. Digite a função y= 2 sin(x) e a função y= 2+sin(x).

mude a cor e estilo de cada gráfico.

Compare as funções, o que você observa? Escreva no caderno suas conclusões.

ATIVIDADE 2

Na caixa de entrada digite a função y = cos(x), observe o gráfico da função, encontre o

domínio e a imagem desta função. Digite a função y= 2 cos(x) e a função y= 2+

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cos(x).

Faça a edição: mude cor e estilo. Para isso clique com o botão contrário do mouse em

cima do gráfico. Clique em propriedades e, ao abrir a janela, acione as opções cor e

estilo e faça as alterações. Em seguida clique em fechar

Compare as funções, o que você observa? Anote no caderno suas conclusões.

ATIVIDADE 3

Função Seno

Construa a função f(x) = sen (x).

No campo de entrada do GeoGebra construa o seletor a = 1.

Construa agora a função g(x) = a f(x).

Mude a cor da função g(x).

Ativar animação do seletor.

O que você observa?

ATIVIDADE 4

Função Cosseno

Construa o gráfico da função h(x) = cos (x).

No campo de entrada do Geogebra construa o seletor a = 1.

Construa agora a função t(x) = a + h(x).

Mude a cor da função t(x).

Ativar animação do seletor.

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O que você observa?ATIVIDADE 5*

Faça um seletor de -3,14 a 3,14. Acione a ferramenta seletor. Clique na tela e digite

para mínimo -3,14 e para máximo 3,14. Clique em aplicar.

a) Digite, no campo de entrada, a*sin(x).

b) Faça a edição: mude cor e estilo. Para isso clique com o botão contrário do mouse

em cima do gráfico. Clique em propriedades e, ao abrir a janela, acione as opções cor

e estilo e faça as alterações. Em seguida clique em fechar.

c) Movimente o seletor a, anote suas observações e discuta com os colegas.

Análise do Momento Autores apontam o uso de recursos tecnológicos com os computadores um

grande potencial para a aprendizagem e que cabe ao professor utilizar esse recurso

em atividades educacionais, tendo em vista que os nossos alunos utilizam

regularmente a internet, em casa ou em Law House. No entanto a utilização deste

recurso em nossas escolas é um desafio ao professor.

O número de alunos em sala, o número reduzido de computadores funcionando

no laboratório, foram fatores que dificultaram o desenvolvimento efetivo do trabalho.

Durante o desenvolvimento das atividade ficou evidente, que mesmo os alunos

que têm familiaridade com o uso do computador, apresentam dificuldade em seguir

orientações especificas.

Mesmo com dificuldade, três alunos em cada computador, foi possível utilizar

o software Geogebra e construir gráficos de funções trigonométricas e observar as

variações das curvas. Os alunos tiveram dificuldade na digitação, no campo de

entrada do software, necessitando da orientação do professor, isso diminuiu o tempo

para responderem as atividades propostas, enfim acreditamos, que um tutorial,

indicando como digitar as funções facilitaria o entendimento.

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5.CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este artigo objetivou apresentar a pesquisa desenvolvida como requisito para

complementação do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) e buscou

analisar as potencialidades do uso de materiais concreto no ensino de Trigonometria

e que o ensino contextualizado estimula o aluno e facilita a aprendizagem, bem

como valoriza a Matemática como construção humana.

Neste trabalho a mediação do professor para a efetivação da aprendizagem

na passagem do concreto para o abstrato é fundamental, tendo em vista a não

fragmentação do trabalho.

A utilização de atividades envolvendo diferentes representações, na qual os

alunos percebem o mesmo conceito nas diferentes linguagens, facilita a

compreensão. Para Duval (2004) a aprendizagem se concretiza quando o aluno

consegue transitar nas diferentes representações do mesmo conceito.

Acreditamos que se os conceitos trigonométricos forem abordados de forma

dinâmica e contextualizada, fugindo do ensino tradicional de forma axiomática, no

qual se explora apenas a capacidade de memorização do aluno, estes

compreenderão com mais facilidade.

Enfim, esta atividade ultrapassou a tarefa de analisar o uso de materiais

concreto no ensino de trigonometria. Permitiu que os alunos estabelecessem

correlações entre a Matemática e a Tecnologia e a História ampliando seus

conhecimentos gerais.

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6.REFERÊNCIAS

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LORENZATO, Sérgio. Por que não ensinar Geometria? Educação Matemática em Revista, SBEM, ano III, 1º semestre, 1995.

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