UIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ

CETRO DE TECOLOGIA

CURSO DE EGEHARIA ELÉTRICA

TRASMISSÃO DE EERGIA ELÉTRICA SEM FIO

FELIPE PONTES GONDIM

Fortaleza

Dezembro de 2010

ii

FELIPE PONTES GONDIM

TRASMISSÃO DE EERGIA ELÉTRICA SEM FIO

Monografia apresentada para obtenção dos créditos da

disciplina Trabalho de Conclusão de Curso do Centro de

Tecnologia da Universidade Federal do Ceará, como

parte das exigências para graduação no curso de

Engenharia Elétrica.

Orientador: Prof. Dr. José Almeida do Nascimento.

Fortaleza

Dezembro de 2010

iv

Aos meus pais, Vera Lúcia e Airton Gondim,

Às minhas irmãs, Samia e Dulce Gondim,

Aos meus familiares,

A todos os amigos e namorada.

v

AGRADECIMETOS

Aos meus pais e irmãs, não apenas pelo apoio durante este trabalho, mas em todos os

momentos de minha graduação e, principalmente, durante meu período acadêmico no

exterior.

Aos amigos e companheiros de equipe do projeto descrito nesta dissertação: Leandro

Goulart, Marcos Cabral e Tiago Marques.

Aos professores orientadores do projeto desenvolvido na Ecole Centrale Paris (França)

e do trabalho de conclusão de curso realizado na Universidade Federal do Ceará, Jean-Pierre

Fanton e José Almeida do Nascimento, respectivamente.

Aos funcionários do laboratório LISA, pelo apoio e auxílio em todos os momentos de

trabalho.

vi

Gondim, F. P. “Transmissão de Energia Elétrica Sem Fio”, Universidade Federal do Ceará –

UFC, 2010, 42p.

Esta monografia apresenta uma análise da teoria de acoplamento indutivo ressonante. O

estudo foi realizado a partir do conhecimento das leis que regem a teoria de circuitos elétricos

RLC e da resposta em freqüência de um dado sistema. O coeficiente de acoplamento

caracteriza a transferência de energia entre as bobinas de um circuito primário e de um

circuito secundário. As simulações realizadas no software PSpice evidenciam tais

características para todos os tipos de acoplamento: crítico, subcrítico e supercrítico. Os

circuitos simulados foram concebidos a partir do uso do teorema de normalização de

freqüência e impedância. Os principais métodos estudados para a determinação do valor de

indutância de uma bobina em função de suas características estruturais foram: modelo de um

solenóide comprida, fórmula de Wheeler e método do indutor em forma de tronco de cone.

Por fim, o a realização de uma experiência de transmissão de uma potência de 11mW

evidenciou o princípio de funcionamento do sistema estudado, uma vez efetuada a

comparação dos resultados experimentais com os resultados teóricos obtidos por intermédio

da simulação.

Palavras-Chave: Coeficiente de acoplamento, Indutância mútua, Transmissão sem fio,

Acoplamento indutivo.

vii

Gondim, F. P. “Wireless Power Transmission”, Universidade Federal do Ceará – UFC, 2010,

42p.

This monograph presents an analysis of the resonant inductive coupling and how the two tesla

coils can be linked for the wireless energy transmission. The study was based on the electrical

circuit’s laws and the frequency domain response of a given system. The coupling coefficient

defines the energy transference between the primary and the secondary circuits. The

simulations made in the software PSpice attests the characteristics of all kinds of coupling:

critical, subcritical and supercritical coupling. The circuits simulated were designed after the

use of the frequency and impedance normalization theorem. Some methods for estimating the

inductance value of a solenoid were studied: Long solenoid model, Wheeler’s Formula and

Tapered Inductor. An experience of 11mW power transmission attested how the system

analyzed works, once that the comparison between experimental and theory results was

successfully done.

Key-Words: Tesla Coil, Mutual Inductance, Wireless Power Transmission, Inductive

Coupling.

viii

SUMÁRIO

1INTRODUÇÃO..................................................................................................................................................... 1

1.1 CONTEXTUALIZAÇÃO GERAL ............................................................................................................... 1

1.2 HISTÓRICO .................................................................................................................................................. 2

1.3 TÉCNICAS EXISTENTES ........................................................................................................................... 3

1.3 OBJETIVOS .................................................................................................................................................. 6

2 A TEORIA DE ACOPLAMENTO RESSONANTE ........................................................................................... 8

3 CONCEPÇÃO DO CIRCUITO E SIMULAÇÕES............................................................................................ 14

3.1 SIMULAÇÃO I ........................................................................................................................................... 17

3.2 SIMULAÇÃO II .......................................................................................................................................... 20

4 MODELAGEM DAS BOBINAS ....................................................................................................................... 22

4.1 MODELO DE UM SOLENÓIDE COMPRIDA ......................................................................................... 24

4.2 FÓRMULA DE WHEELER ....................................................................................................................... 24

4.3 MÉTODO DO INDUTOR EM FORMA DE TRONCO DE CONE ........................................................... 25

4.4 CONCEPÇÃO FÍSICA DAS BOBINAS .................................................................................................... 25

4.5 CONSIDERAÇÕES ESPECIAIS ............................................................................................................... 27

4.6 ACOPLAMENTO ENTRE DUAS BOBINAS PLANAS .......................................................................... 28

5 COEFICIENTE DE ACOPLAMENTO ............................................................................................................. 30

6 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ............................................................................................................. 36

6.1 MATERIAL UTILIZADO .......................................................................................................................... 36

6.2 REALIZAÇÃO PRÁTICA DO CIRCUITO ............................................................................................... 36

6.3 ANÁLISE DE RESULTADOS OBTIDOS ................................................................................................. 37

7 CONCLUSÕES .................................................................................................................................................. 41

8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................................... 43

ix

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 Esquema representativo do acoplamento indutivo ressonante. [5] ........................................................ 4

Figura 1.2 Esquema representativo da radiação eletromagnética. [7] .................................................................... 5

Figura 1.3 Projeto de transmissão de energia solar com antenas retificadoras. [7] ................................................. 6

Figura 2.1 Circuito RLC ilustrativo do acoplamento entre duas bobinas. [PSpice] ................................................ 8

Figura 3.1 Modelo inicial de circuito .................................................................................................................... 14

Figura 3.2 Modelo representativo do novo circuito. [PSPice] .............................................................................. 16

Figura 3.3 Simulação nº 1 (V x kHz) – K subcrítico: 0,0004390. [PSpice] ........................................................ 17

Figura 3.4 Simulação nº 2 (V x kHz) - K subcrítico: 0,0018915. [PSpice] ........................................................ 18

Figura 3.5 Simulação nº 3 (V x kHz) – K subcrítico: 0,002057. [PSpice] ........................................................... 18

Figura 3.6 Simulação nº 4 (V x kHz) – K supercrítico: 0,008645. [PSpice] ........................................................ 19

Figura 3.7 Simulação nº 5 (W x kHz) – Análise de Potências. [PSpice] ............................................................ 19

Figura 3.8 Simulação nº 6 (mW x kHz) – Análise de Potências II. [PSPice] ...................................................... 20

Figura 3.9 Simulação nº 7 – Potência na resistência primária. [PSpice] .............................................................. 21

Figura 3.10 Simulação nº 8 – Tensão e corrente na resistência primária. [PSpice] .............................................. 21

Figura 4.1 Aproximação cilíndrica de uma bobina. [1] ......................................................................................... 22

Figura 4.2 Modelo real de uma bobina. [1] ........................................................................................................... 23

Figura 4.3 Fotografia da bobina real utilizada no experimento. [Arquivo Pessoal] ............................................. 26

Figura 4.4 Modelo real de uma bobina. [1] .......................................................................................................... 27

Figura 4.5 Esquema acoplamento magnético ....................................................................................................... 28

Figura 5.1 Esquema montado em laboratório. ....................................................................................................... 30

Figura 5.3 Medições efetuadas no laboratório. [Arquivo Pessoal] ........................................................................ 31

Figura 5.4 Gráfico Vsaída x Ientrada para d = 0,8m. [MATLAB] ........................................................................ 32

Figura 5.5 Gráfico Vsaída x Ientrada para d = 1,2m. [MATLAB] ....................................................................... 33

Figura 5.6 Gráfico do coeficiente de acoplamento K em função da distância D. [MATLAB] ............................ 34

Figura 5.7 Gráfico Vsaída x Ientrada para d = 1,2m. [MATLAB] ...................................................................... 35

Figura 5.8 Circuito efetivamente montado no laboratório. [PSpice] .................................................................... 36

Figura 5.9 – Fotografia do circuito montado no laboratório LISA. [Arquivo Pessoal] ......................................... 38

Figura 5.10 Fotografia do circuito – Introdução material não ferromagnético. [Arquivo Pessoal] ...................... 39

Figura 5.11 Fotografia do circuito – Introdução material ferromagnético. [Arquivo Pessoal] .............................. 40

x

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1 Variáveis acoplamento crítico. ............................................................................................................ 16

Tabela 4.1 Medidas obtidas para as bobinas construídas ...................................................................................... 23

Tabela 5.1 Valores de tensão e corrente coletados para uma distância D = 0,8m. ................................................ 32

Tabela 5.2 Valores de tensão e corrente coletados para uma distância D = 1,2m. ................................................ 33

Tabela 6.1 Resultados obtidos ............................................................................................................................... 37

Tabela 6.2 Resultados obtidos com a introdução de materiais. ............................................................................. 39

1.0 ITRODUÇÃO

1.1 COTEXTUALIZAÇÃO GERAL

O conceito de transmissão de energia elétrica no espaço livre foi estudado a partir do

fim do século XIX, por Heinrich Hertz. Sabe-se que inúmeros métodos de transmissão de

energia sem fio (Wireless Power Transmission) já foram testados. Muito provavelmente, o

método mundialmente mais famoso de transmissão diz respeito ao uso de ondas

radiomagnéticas. No entanto, tais radiações se dispersam em todas as direções, tornando

completamente inviável o seu uso para a transmissão de energia, contrariamente à sua

utilização para transmissão de dados.

Recentemente, uma equipe de pesquisadores do MIT obteve sucesso ao realizar uma

experiência de transmissão de energia sem a utilização de fios. Diferentemente de

experimentos anteriormente desenvolvidos, a equipe do MIT fez uso de frequências da ordem

de 10 Mhz, ao passo que hiperfrequências eram usualmente empregadas.

Estes cientistas foram capazes de acender uma lâmpada de 60 W, cuja fonte de

eletricidade encontrava-se a 2 metros de distância e adotou-se a inexistência de conexão física

entre a fonte e a mesma. O conceito de não utilização de fios para a transmissão de energia

tornou-se conhecido como Witricity (Wireless Electricity) [5] e baseia-se na ressonância por

acoplamento indutivo magnético. Esta monografia consiste em descrever um projeto efetuado

no laboratório LISA (“Laboratoire d’Informatique et des Systèmes Avancés”), situado em

Chatenay-Malabry, na escola de engenharia francesa Ecole Centrale Paris. O projeto consistiu

em reproduzir, nas condições existentes, a experiência realizada pelo MIT. O experimento

fora conduzido por um grupo de 4 alunos de engenharia, dentro os quais o autor deste

trabalho.

É válido ressaltar que o sucesso na realização de experiências fundamentadas em

Witricity e o domínio crescente da teoria envolvida representam, sem dúvidas, um avanço

importantíssimo no que se refere ao nível de desenvolvimento tecnológico atual. Este conceito

pode ser aplicado, por exemplo, na alimentação a distância de veículos espaciais, na

transmissão de energia produzida no espaço para a terra, na alimentação de cidades ou regiões

geograficamente isoladas, na alimentação de alto-falantes ou no carregamento de aparelhos

celulares. Em um futuro no qual a transferência de eletricidade se faria sem o intermédio de

fios, dispositivos como telefones, computadores portáteis, leitores mp3 ou outras máquinas

2

eletrônicas seriam capazes de serem carregados sem a necessidade de conectá-los a uma

tomada ou qualquer outro meio físico.

1.2 HISTÓRICO

A idéia de transferência de eletricidade sem intermédio de fiação fascina a humanidade

há muito tempo. Nikola Tesla escreveu sua teoria de transmissão de corrente elétrica sem fios

no fim do século XIX, o que poderia revolucionar o mundo. Nesta, Tesla afirmou que havia

experimentado um raio de energia elétrica excitando átomos dentro de uma substância,

impulsionando a realização de diversos experimentos baseados em seus trabalhos.

A história da transmissão de energia elétrica efetivamente começou com os trabalhos de

Maxwell, em 1864, uma vez que o mesmo modelou matematicamente o comportamento de

radiações eletromagnéticas. Heinrich Rudolf Hertz confirmou a existência desta radiação em

1888, com a criação do primeiro transmissor a rádio. Em 1893, Nikola Tesla[10] acendeu uma

ampola a vácuo e sem fios, durante um evento denominado World Columbian Exposition,

realizado em Chicago.

Os primeiros a iniciarem os estudos na área de indução eletromagnética foram os irmãos

Hutin e Leblanc, que patentearam a transmissão de energia a 3kHz. Entre 1969 e 1975,

William C. Brown dirigiu um projeto de transferência de energia por microondas, obtendo

sucesso na transmissão de 30kW a uma distância de aproximadamente 1,5km, obtendo um

rendimento de 84%. O aparelho utilizado para transformar microondas em corrente contínua,

denominado rectenna, figura na grande maioria dos futuros projetos de TESF (Transmissão

de Energia Sem Fio).

Em 1975, o professor Don Otto desenvolveu, na Universidade de Auckland, Nova

Zelândia, uma máquina que funcionava a partir da energia transmitida por indução elétrica.

Nesta mesma universidade, em 1988, a equipe do professor John Boys desenvolveu um

projeto utilizando a indução elétrica, patenteando o experimento. Esse projeto foi

recentemente retomado pela equipe de pesquisadores da Intel.

Atualmente, o modelo de sistema de ônibus a energia elétrica desenvolvido na

Universidade de Auckland é utilizado no fornecimento de energia para uma linha de ônibus

comercial, em Whakarewarewa, também na Nova Zelândia. Este sistema baseia-se novamente

na transmissão de energia por indutância, IPT (Inductive Power Transfer). [6]

Em 2007, como citado na introdução deste trabalho, a equipe de pesquisadores do MIT,

3

liderada pelo professor Marin Soljacic, transmitiu 60W a uma distância de 2 metros com uma

eficiência de 40%. Este experimento teve como base o projeto do professor Boys. Em 2008, a

Intel realizou uma nova experiência, utilizando esta mesma tecnologia e obteve um

rendimento de 75%, transmitindo 60W a uma distância de 3 metros.

1.3 TÉCICAS EXISTETES

As técnicas utilizadas para realizar-se a transmissão de energia sem o intermédio de

fios, tanto historicamente quanto nos dias atuais, baseiam-se em dois conceitos: acoplamento

indutivo ressonante e radiação eletromagnética.

1.3.1 Acoplamento indutivo ressonante

O acoplamento indutivo é o método atual que se encontra em expansão e

desenvolvimento após experiências realizadas pela equipe do MIT e da Intel. O Prof. John

Boys provou que este método, que faz uso de duas bobinas sob ressonância eletromagnética, é

bastante eficaz comparativamente a outras transmissões de baixas potências. A base deste

sistema é a mesma de um transformador usual, com a existência de um campo magnético

produzido por uma bobina, que induz uma corrente em uma segunda bobina. Alguns

aparelhos domésticos aplicam esta tecnologia atualmente para a recarga de suas baterias.

A diferença fundamental entre as novas e as antigas experiências reside nas tensões e

freqüências aplicadas ao sistema. Os melhores resultados foram obtidos utilizando-se pulsos e

baixas freqüências em um sistema onde duas bobinas se encontram em ressonância.

A figura 1.1 representa a disposição das bobinas durante uma experiência envolvendo o

acoplamento indutivo ressonante. A bobina 1 é ligada à tomada convencional 2 e a um

conversor de tensão e freqüência. A bobina 4 é a bobina ressonante ligada à lâmpada a ser

acendida e 3 corresponde a um obstáculo existente entre as duas bobinas que estão em

ressonância.

4

Figura 1.1 Esquema representativo do acoplamento indutivo ressonante. [5]

O acoplamento ocorre quando uma fonte de energia é capaz de transmitir sua potência

para a fonte diretamente acoplada. O acoplamento indutivo se dá quando o campo magnético

de uma bobina ligada a uma fonte interage com a bobina acoplada e induz uma corrente

elétrica na mesma, possibilitando assim a transferência de energia de uma fonte a outro

dispositivo. [7]

A freqüência de ressonância pode ser definida como a frequência natural que permite

transferência máxima de energia a um sistema oscilante. A ressonância em um sistema

composto por dois indutores ocorre quando a frequência natural de oscilação do campo

magnético das mesmas é idêntico.

1.3.2 Radiação eletromagnética

A transmissão de energia por radiação eletromagnética apresenta uma série de

obstáculos. Primeiramente, sabe-se que radiações eletromagnéticas são dissipadas em todas as

direções e, portanto, faz-se necessário a utilização de um laser e a existência de um caminho

livre de obstáculos entre transmissor e receptor para a viabilidade da transmissão. Além disto,

devem ser considerados os prováveis efeitos negativos à saúde causados por estas radiações,

tanto de microondas quanto de outros tipos.

O fato é que, desde o início dos anos 60, alguns projetos foram bem sucedidos na

5

transmissão de energia a uma distância de aproximadamente 1,5km. O mais impressionante,

no entanto, é que a potência transmitida chegou à ordem de algumas dezenas de kW e a

eficiência da transmissão apresentou-se de cerca 85%. A tecnologia usual utilizada consistia

em microondas (alta freqüência) para a transmissão e um tipo de antena que transforma

microondas em energia elétrica para a recepção da energia: a chamada rectenna, ou antena

retificadora[4]. O esquema é ilustrado a partir da figura 1.2.

Figura 1.2 Esquema representativo da radiação eletromagnética. [7]

Ainda trabalhando com altas potências, a empresa Powercast conseguiu um

considerável progresso a partir do uso de radiofreqüência. No entanto, a transmissão não

passou da ordem de 6V a um metro de distância.

Para o futuro, os projetos envolvendo esta tecnologia são audaciosos: A NASA e outros

organismos planejam a transmissão de altas potências de energia solar do espaço à terra a

partir de microondas. Um satélite com uma antena emitiria a radiação direcionada para uma

antena retificadora fixada na superfície terrestre. Os principais inconvenientes para tal projeto

seriam o custo e o tamanho das antenas: com as tecnologias atuais, seriam necessárias uma

antena de 1 km de diâmetro para a transmissão e uma antena retificadora de 10 km para a

recepção.

A transmissão a laser, por sua vez, apesar da sua vantagem de confinar energia

direcionada ao invés da difusão em todas as direções, é muito pouco eficiente levando-se em

conta as perdas envolvidas no processo. Os resultados obtidos a partir da utilização deste

método não são favoráveis à aplicação do mesmo.

6

Tendo em vista todas as razões anteriormente apresentadas e que o projeto descrito

neste trabalho é de nível universitário, optou-se pela utilização de baixas frequências e do

método de acoplamento indutivo ressonante para a experiência a ser desenvolvida.

1.3 OBJETIVOS

Este trabalho de conclusão de graduação objetiva a compreensão da teoria de

acoplamento ressonante entre duas bobinas, bem como dos parâmetros que se fazem

importantes para a eficiência na utilização deste método como forma de transmissão de

energia. É válido reiterar que o presente trabalho baseia-se em um experimento anteriormente

efetuado pelo autor em um laboratório situado em sua escola de engenharia na França, durante

o tempo em que participou de um programa de dupla graduação. Não está presente nos

objetivos do mesmo, no entanto, refazer a experiência na qual se baseia esta monografia.

De forma mais geral, lista-se os objetivos abaixo:

(i) Revisar teoria de análise de circuito RLC;

(ii) Compreender o equacionamento matemático que nos leva a encontrar, a partir da

resposta em freqüência do sistema, as freqüências de ressonância para os

diversos tipos de acoplamento;

(iii) Compreender as diferenças entre os acoplamentos críticos, supercríticos e

subcríticos;

(iv) Estudo dos modelos de construção de bobinas;

(v) Estudo da concepção do circuito construído para a experiência;

Figura 1.3 Projeto de transmissão de energia solar com antenas retificadoras. [7]

7

(vi) Simular, por meio do software Orcad PSpice, o circuito em questão, de forma a

comprovar o modelo matemático analisado;

(vii) Explicitar a adaptação das simulações às condições reais do experimento;

(viii) Descrever detalhadamente os passos tomados para o desenvolvimento da

experiência;

(ix) Aplicação de métodos estatísticos como forma de obter a distância mais próxima

possível da distância ótima para o acoplamento;

(x) Apresentar e analisar os resultados obtidos.

Segundo os objetivos específicos descritos anteriormente, a metodologia empregada

será constituída de três importantes etapas:

(i) Consolidação da base teórica, através da revisão bibliográfica,

(ii) Simulação do circuito construído e análise dos resultados obtidos na simulação,

(iii) Apresentação dos detalhes construtivos no desenvolvimento de duas bobinas e na

concepção de um circuito RLC, bem como do tratamento estatístico realizado para a obtenção

de parâmetros importantes, segundo o estudo feito em (i) e a simulação em (ii) e ainda dos

rendimentos obtidos ao final do experimento.

O item (i) será abordado nos capítulos 2 e 4, que se referem à teoria de acoplamento

ressonante e à modelagem de bobinas. O item (ii) será abordado no capítulo 3 e o item (iii)

será abordado ao longo do capítulo 5, 6 e 7 que concernem o tratamento estatístico empregado

e a descrição final do experimento, bem como dos resultados obtidos.

8

2.0 A TEORIA DE ACOPLAMETO RESSOATE

Neste capítulo, revisaremos a teoria de acoplamento ressonante. De forma geral,

analisaremos o equacionamento descritivo do modelo apresentado e analisaremos os tipos de

acoplamento existentes em função da constante de acoplamento K.

O modelo de acoplamento ressonante consiste em dois circuitos RLC paralelos e

acoplados magneticamente, como pode ser visto na figura 2.1. O circuito atua como um

transformador, transferindo energia do circuito primário para o circuito secundário. A base da

transferência de energia está no uso de sistemas ressonantes modelados e dispostos de forma

tal que a transmissão seja viabilizada.

O efeito de acoplamento entre quaisquer indutâncias é descrito pelo modelo[1] a seguir:

()() = 1 2 × ()()

(2.1)

Na equação 2.1, i1 e i2 correspondem às correntes no primário e no secundário,

respectivamente, bem como v1 e v2 correspondem às respectivas tensões em cada circuito. A

constante = (), conforme será demonstrado posteriormente, corresponde à indutância mútua do sistema. K, por sua vez, é denominado coeficiente de acoplamento do

Figura 2.1 Circuito RLC ilustrativo do acoplamento entre duas bobinas. [PSpice]

9

sistema e deve situar-se entre zero e um.

Ao combinar-se 2 circuitos de segunda ordem, cada qual com sua própria freqüência de

ressonância e fator de qualidade Q (assunto que será abordado em seguida), o circuito de

quarta ordem resultante não possui comportamento equivalente à soma, diferença ou média

dos dois circuitos constituintes. Neste caso, diferentes partes do circuito possuem distintas

frequências de ressonância, que estão relacionadas às frequências independentes de origem.

Para o caso em estudo, L1 = L2. Logo, a matriz em 2.1 torna-se L kLkL L . Aplicando as leis de Kirchhoff ao circuito e efetuando a transformada de Laplace com condições iniciais

nulas, chegamos ao sistema linear seguinte:

+ 0100 + 01

10−−01−− " #1()#2()$1()$2() = $()000

(2.2)

Em seguida, encontramos o polinômio característico do sistema, calculando o

determinante da matriz acima:

det = )(1 − *) + (1 − *) + 1+ )(1 + *) + (1 + *) + 1+

(2.3)

Chegamos, em seguida, a um sistema de quarta ordem e, evidentemente, quatro pólos:

, = −2 ∓ ./0 1(1 + ) − 42

(2.4)

3,4 = −2 ∓ ./0 1(1 − ) − 42

(2.5)

10

Introduz-se a notação:

567 8 = 29: = 1(1 + *) ; 9: = 1(1 − *)

<

(2.6)

Ao utilizarmos as notações explicitadas na equação 2.6 em 2.4 e 2.5, nós podemos

escrever os pólos de forma simplificada em 2.7 e 2.8:

= , = −8 ∓ >(9: − 8) = −8 ∓ >9?3,4 = −8 ∓ >(9: − 8) = −8 ∓ >9? <

(2.7)

(2.8)

É fácil deduzirmos que K = 0 resulta em 2 sistemas desacoplados independentes com

somente dois pólos distintos, como nós podemos observar através das figuras 2.1a e 2.1b.

Figura 2.2a Diagrama de pólos (K = 0). [1] Figura 2.2b Diagrama de pólos (K ≠ 0). [1]

Ainda a partir do sistema linear, nós podemos deduzir também a expressão de

impedância de transferência V2(s) /I(s) do circuito ressonante, equacionada em 2.9:

#()$() = *@(1 − *) + (1 − *) + 1AB(1 + *) + (1 + *) + 1C

(2.9)

11

Utilizando-se a notação apresentada e fazendo s = jɷ (a fim de obter-se a curva da

resposta em freqüência) e usando as definições em 2.6, chega-se à equação 2.10:

#(>9)$(>9) = *(1 − *) 1>9 >9(9: − 9 + >289) >9(9: − 9 + >289)

(2.10)

Com a expressão na forma acima, é fácil previrmos a curva de resposta em frequência

do circuito, uma vez que a expressão consiste no produto de quatro fatores: o primeiro é

independente e é, portanto, um fator de escala; o segundo cresce com o inverso da freqüência

e os dois últimos apresentam um comportamento ressonante com seus respectivos picos em 9: e 9:. Faz-se necessário, neste momento da teoria, uma breve revisão sobre o conceito de fator

de qualidade: O fator de qualidade representa, do ponto de vista físico, a energia armazenada

em um sistema dividido pela energia perdida em cada ciclo de funcionamento.

Para um circuito RLC de segunda ordem, o fator de qualidade Q pode ser relacionado à

razão entre a impedância total e a resistência total do circuito na frequência de ressonância 9D. No domínio da frequência, um circuito genérico apresenta função de transferência que

pode ser escrito em função do fator de qualidade do circuito. Desta forma, é possível verificar

que o fator de qualidade afeta a resposta em frequência do circuito tanto em sua magnitude

quanto em sua oscilação.

O fator de qualidade de componente do indutor é dado por EFGH , onde Rs representa a

resistência em série com a mesma. O fator de qualidade de um capacitor, por sua vez, é

escrito por 9IJ, onde Rp representa a resistência em paralelo com a capacitância. Em seguida, retomando a atenção para a equação 2.10, introduziremos, nesta expressão,

os fatores de qualidade:

567Q01 = ω01CG = 1LGω01(1+k)Q02= ω02CG = 1LGω02(1+k)

< (2.11)

(2.12)

12

Como o objetivo do projeto é trabalhar com valores de K o quanto menores, pode-se

fazer a aproximação seguinte:

O: ≈ O: = ω0QR = Gω0F (2.13)

onde: 9: = 1√

(2.14)

Uma vez que trabalharemos na banda 0 ≤ 9 ≤ 29:, adotaremos a noção de desvio de freqüência[1]:

9 = 9:(1 + )

(2.15)

para: − 1 ≤ ≤ 1

(2.16)

Em seguida, a partir de 2.6, podemos escrever as equações de 9: e 9: na forma seguinte:

9: = 9:(1 + *)

(2.17)

9: = 9:(1 − *)

(2.18)

Ao substituirmos as equações 2.15, 2.17 e 2.18 na equação 2.10 da resposta em

freqüência, chegamos à equação 2.19:

#2(>)$(>) = −>*O:I1 − O:(4 − *) + >4O:

(2.19)

Maximizando-se o valor da expressão acima em função de , deduzimos a existência de 2 pontos de máximo caso > \]. Chamaremos o fator \] de coeficiente de acoplamento crítico [2].

13

Analisaremos a seguir os três tipos de regimes distintos. É válido atentarmos que toda

análise feita em seguida assume que o fator de qualidade é grande o suficiente para que

alguma dinâmica possa ser observada antes do fim da curva estabelecida.

Acoplamento subcrítico: Ocorre quando o coeficiente de acoplamento é inferior ao

coeficiente crítico (0 < K < Kcrítico). A tensão de saída oscila e cresce até um pico e, em

seguida, decresce até atingir um valor nulo. A curva de resposta apresenta apenas um ponto

máximo (em = 0 ou 9 = 9:). A tensão de saída transmissão de potência acontece com baixa eficiência, visto que o primário não emite fluxo suficiente para que a energia seja

absorvida pelo secundário antes que ocorra a dissipação da mesma neste lado do circuito.

Acoplamento crítico: Ocorre para K = Kcrítico. A curva de resposta continua a apresentar

apenas um ponto de máximo, mas o pico é bem menor. É importante sabermos que o pico não

representa o valor de máxima tensão para um pulso no domínio do tempo. O pico nos

explicita que a freqüência no qual o mesmo ocorre corresponde à freqüência de ressonância

dada em um circuito ressonante em que as impedâncias estão perfeitamente casadas. A

transmissão é máxima e as perdas são mínimas, mas a construção de um sistema com

coeficiente de acoplamento K preciso é muito difícil de ser feita. Essa dificuldade será

abordada ulteriormente neste trabalho.

Acoplamento supercrítico: Ocorre para Kcrítico < K < 1. A resposta em freqüência

apresenta 2 pontos de máximo e a transmissão de um lado ao outro é satisfatória. Os picos

representam a transferência do primário para o secundário e vice-versa. Os desvios em

freqüência máximos são dados a partir da equação 2.20:

, = ∓ 12 /* − 1O:

(2.20)

O estudo da teoria de acoplamento realizado neste capítulo nos permitiu concluir que o

coeficiente de acoplamento, K, é o fator mais importante para se determinar a operação de um

modelo de acoplamento ressonante, uma vez que sua magnitude relativamente à magnitude do

coeficiente de acoplamento crítica caracteriza a eficiência da transmissão de energia a ser

efetuada.

14

3.0 COCEPÇÃO DO CIRCUITO E SIMULAÇÕES

Após a conclusão da revisão bibliográfica, notou-se que os objetivos estipulados

dependeriam da correta concepção e desenvolvimento do circuito e, em seguida, da simulação

do circuito idealizado e adotado.

A análise da teoria de indutância mútua [1] nos permitiu a tomada do circuito

mostrado na figura 3.1 como base:

Figura 3.1 Modelo inicial de circuito

É importante atentarmos que a concepção de um circuito próprio foge aos objetivos do

trabalho. Portanto, o modelo conforme mostrado na figura 3.1 foi adotado como base inicial

para o experimento.

Como pode ser visto na figura 3.1, o modelo encontrado durante a revisão bibliográfica

utiliza uma fonte de corrente de 1mA.

Algumas modificações foram feitas no modelo inicial. A fonte de corrente foi

substituída por uma fonte de tensão, devido à facilidade de uso e de manipulação. A

substituição possibilitou a utilização do módulo gerador de ondas existente no laboratório

LISA.

É válido ressaltarmos que algumas dificuldades foram encontradas ao dar-se início à

simulação do circuito, principalmente no que é referente à fonte de energia do primário do

circuito. É possível observarmos que a bobina recebe uma corrente proveniente da fonte e

uma corrente proveniente do acúmulo de carga no capacitor. Em um instante qualquer, é

notável a variação da quantidade de energia fornecida à bobina primária, visto que a troca de

energia neste lado do circuito é intermitente. Desta forma, deve-se trabalhar de forma tal que a

energização do sistema seja feita em um tempo t inferior ao tempo de descarga do capacitor.

15

É neste contexto que se conclui que a utilização de trens de pulso é a solução ideal para

tal impasse. Ela nos permite calcular de maneira mais confiável a energia existente no

primário do circuito para a transmissão e evita o problema causado pela descarga do capacitor

durante um período de tempo no qual ocorre, simultaneamente, o fornecimento de energia a

partir da fonte de tensão.

O controle do sistema pode também ser efetuado a partir da utilização de transistores e

de contadores e tal controle representa outra solução para a resolução do problema relativo à

não estabilização do processo de troca de energia entre a bobina existente no primário e o

restante do circuito.

As ordens de grandezas dos elementos R, L e C existentes no circuito podem variar

dentro de um enorme intervalo. Para a simulação teórica, os dados apresentados no modelo

inicial, conforme figura 3.1 são satisfatórios. No entanto, tendo em vista a inviabilidade de

utilização de tais ordens de grandeza no laboratório, recorreu-se à utilização do teorema de

normalização de frequência e impedância de circuitos: [2]

Seja dado um circuito com fonte de tensão ou corrente alternada A que apresenta

resistência Ra, indutância La e capacitância Ca, um novo circuito B, oscilando em mesma

frequência, poderá ser obtido a partir do circuito A, uma vez que as modificações

apresentadas a partir das equações 3.1, 3.2 e 3.3 sejam colocadas em práticas:

I^ = 1 _ I` (3.1)

^ = 1 _ 2 _ ` (3.2)

^ = 21 _ ` (3.3)

Procedeu-se de maneira a baixar a resistência do circuito a 100kΩ, o que, de acordo

com a equação 3.1, nos fornece um valor de K1 igual a 0,2. Em seguida, mediu-se a

indutância da bobina construída (a descrição de tal fase do experimento será descrita no

capítulo 4.0 deste trabalho) e constatou-se o valor de 3,2mH, o que nos permitiu o cálculo de

K2 a partir da equação 3.2 (neste caso, K2 é igual a 500). Conseqüentemente, o valor da nova

capacitância do circuito corresponde a 17,25nF.

Devido à inexistência de tal capacitância no laboratório LISA, optou-se pela utilização

de 3 capacitores de 6,8 nF em paralelo, o que resultou em uma capacitância total de 20,4nF.

16

O novo circuito é representado na figura 3.2 abaixo:

Como mencionado no capítulo 2, o coeficiente de acoplamento K é função da

distância entre as duas bobinas.

Após a modelagem das bobinas, ajustou-se a distância entre as mesmas para a obtenção

de certos coeficientes de acoplamento.

Estes valores de coeficientes obtidos foram utilizados para as simulações efetuadas no

software OrCAD / PSpice.

Antes da análise da simulação, calculou-se os valores do coeficiente de acoplamento

crítico, bem como os valores correspondentes às freqüências de ressonância. Os resultados

são sintetizados na tabela 3.1

Tabela 3.1 Variáveis acoplamento crítico.

Variável Equações utilizadas Resultado

Coeficiente crítico = 1O: 0,00396

Freqüência crítica 9:2a 19,7kHz

Freqüência supercrítica

(2.20)

(2.15) * = 0,008645

19,6kHz e 19,8kHz

Figura 3.2 Modelo representativo do novo circuito. [PSPice]

17

3.1 SIMULAÇÃO I

Na figura 3.3, observa-se a existência de uma única freqüência de ressonância. Esta

apresenta magnitude da ordem de 19,5 KHz. É interessante atentarmos que a transmissão

conforme a simulação acima nos mostra é de baixa qualidade, haja vista a diferença entre os

picos de tensão obtidos nos circuitos secundários e primários. O resultado obtido está

nitidamente em acordo com a análise feita no capítulo precedente para acoplamento

subcrítico.

Figura 3.3 Simulação nº 1 (V x kHz) – K subcrítico: 0,0004390. [PSpice]

De maneira semelhante ao que foi observado na simulação número 1, continuamos a

observar, na figura 3.4, a existência de apenas uma freqüência de ressonância. No entanto, o

aumento no coeficiente de acoplamento resultou uma melhoria na qualidade da transmissão

de energia entre os 2 circuitos, haja visto que a diferença entre os valores de tensão de pico

referentes aos circuitos primário e secundário diminuiu frente ao que fora obtido na primeira

simulação.

18

Os mesmos comentários podem ser tecidos para a terceira simulação efetuada, uma vez

que o coeficiente de acoplamento utilizado continua inferior ao coeficiente crítico calculado.

Os valores de tensão obtidos podem ser observados na figura 3.5.

Na figura 3.6, observa-se que o coeficiente de acoplamento é superior ao coeficiente

crítico calculado. Como havia sido previsto no capítulo 2.0, a existência de um mínimo de

Figura 3.5 Simulação nº 3 (V x kHz) – K subcrítico: 0,002057. [PSpice]

Figura 3.4 Simulação nº 2 (V x kHz) - K subcrítico: 0,0018915. [PSpice]

19

tensão e de dois picos simétricos pode ser vista. A simetria decorre do fato de o fator de

qualidade das duas bobinas serem idênticos. Os dois picos representam a transmissão de

energia do primário para o secundário e a transmissão inversa do secundário para o primário.

Além disto, as freqüências de ressonância encontradas na simulação (19,6 kHz e 19,9

kHz) são bastante próximas das freqüências calculadas no estudo teórico: 19,6kHz e 19,8kHz.

O resultado das simulações realizadas mostrou-se satisfatório, uma vez que a relação

existente entre as tensões no secundário e no primário permite a teórica obtenção de uma alta

eficiência na transmissão de energia.

Figura 3.6 Simulação nº 4 (V x kHz) – K supercrítico: 0,008645. [PSpice]

Na figura 3.7, é possível observarmos a transferência de potência entre as duas

bobinas.

Figura 3.7 Simulação nº 5 (W x kHz) – Análise de Potências. [PSpice]

20

Apesar dos baixos valores de potência obtidos, a simulação está de acordo com os

objetivos do projeto. A partir das curvas obtidas, confirmou-se o cálculo dos coeficientes de

acoplamento obtidos a partir da teoria, conforme mostrado anteriormente.

Decidiu-se, portanto, que o estudo teórico efetuado propiciou o conhecimento

necessário para o início do procedimento experimental no laboratório.

3.2 SIMULAÇÃO II

Uma vez iniciado o procedimento experimental, deparou-se com um grande problema:

a inexistência de uma fonte de tensão da ordem de 100 V para a qual fosse possível a escolha

da freqüência a ser utilizada. Logo, tornava-se inviável a escolha da freqüência de ressonância

para a fonte de tensão escolhida durante a concepção do circuito.

A equipe foi obrigada a baixar a fonte de tensão a 5 V, mesmo sabendo-se que o valor

de potência transferida seria demasiadamente baixo. No entanto, a eficiência da transmissão

entre o primário e o secundário poderia continuar a ser estudada na prática.

Na figura 3.8, observou-se a transferência de potência entre o primário e o secundário

do circuito para o coeficiente de acoplamento supercrítico encontrado. É possível notar que a

magnitude das potências transferidas é muito baixa. No entanto, a eficiência de transmissão,

objetivo principal do procedimento experimental, continua aceitável.

Figura 3.8 Simulação nº 6 (mW x kHz) – Análise de Potências II. [PSPice]

21

Nas figuras 3.9 e 3.10, mediu-se os valores de corrente e de potência na resistência

primária do circuito. Observa-se que a corrente, bem como a potência na mesma são muito

baixas. Isto significa que praticamente toda a energia da fonte de 5 V é passada para a bobina.

Desta forma, deu-se início ao procedimento experimental, conforme será descrito

posteriormente.

Figura 3.9 Simulação nº 7 – Potência na resistência primária. [PSpice]

Figura 3.10 Simulação nº 8 – Tensão e corrente na resistência primária. [PSpice]

22

4.0 MODELAGEM DAS BOBIAS

Neste capítulo serão abordados os métodos encontrados na literatura para a

determinação da indutância referente à bobina construída manualmente.

Após a conclusão do estudo bibliográfico, iniciou-se a fase de construção das bobinas

que seriam utilizadas na realização do experimento. Antes de descrever o procedimento

realizado para a construção das bobinas, é importante conhecermos como estimar o valor das

indutâncias a partir das suas dimensões.

Como será discuto posteriormente, nossas bobinas não são cilindros perfeitos, mas

aproximam-se de troncos de cone. Serão apresentadas quatro metodologias diferentes para a

estimativa das indutâncias[8],[9]. Estas serão obtidas a partir das seguintes dimensões do

dispositivo:

(i) r1: raio interno

(ii) r2: raio externo

(iii) a: raio médio

(iv) b: comprimento das bobinas

(v) N: número de fios

(vi) w: diferença entre os raios

(vii) ϴ: ângulo interno

Figura 4.1 Aproximação cilíndrica de uma bobina. [1]

23

A figura 4.1 explicita as considerações feitas para a aproximação cilíndrica da bobina,

ao passo que a figura 4.2 apresenta o modelo real de uma bobina.

A tabela 4.1 sintetiza todas as medidas realizadas na bobina construída. É válido

ressaltarmos que devido ao curto período de tempo existente para a realização do

experimento, bem como à complexidade da teoria envolvida, a equipe optou por construir

uma bobina sem a preocupação com o valor exato da indutância a ser obtido, haja visto a

imprecisão evidente. O interesse girou em torno da ordem de grandeza da mesma.

Desta forma, utilizou-se os modelos que serão mostrados a seguir para estimar a ordem

de grandeza da indutância e verificar a viabilidade de sucesso do experimento. Em seguida,

mediu-se a indutância através de um multímetro digital e comparou-se o valor medido com o

valor encontrado a partir dos métodos aqui descritos. Conforme explicitado no capítulo

precedente, fez-se o uso do teorema de normalização de freqüência e impedância [2] para a

adaptação do circuito elétrico concebido para o experimento.

Tabela 4.1 Medidas obtidas para as bobinas construídas

r1 (205,0 ∓ 0,5)ee r2 (180,0 ∓ 0,5)ee a (190,0 ∓ 0,5)ee b (150,0 ∓ 0,5)ee (88 ∓ 1) ghijk`eghj l (200 ∓ 0,7)ee ϴ (82 ∓ 1)°

Figura 4.2 Modelo real de uma bobina. [1]

24

4.1 MODELO DE UM SOLEÓIDE EXTESO

Este modelo corresponde a uma relação direta da lei de Ampère e assume que o campo

magnético dentro da bobina é constante. Além disto, considera-se ainda que a bobina seja um

solenóide cilíndrico uniforme. Estas aproximações serão discutidas posteriormente.

Os cálculos exigidos para chegar à equação 3.1 fogem ao escopo e aos objetivos do

trabalho e não serão apresentados. No entanto, eles estão demonstrados na referência

bibliográfica [1].

jkghóg = paq`^ )r+ (4.1)

Para que a equação 4.1 seja válida, o valor de b deve ser superior a oito vezes o valor

de a. Tal fato inviabilizou a utilização deste modelo para o experimento efetuado, uma vez

que as dimensões das bobinas construídas não satisfazem a condição desejada.

4.2 FÓRMULA DE WHEELER

Uma outra forma de calcular a indutância de um solenóide cilíndrico uniforme é a

fórmula de Wheeler, mostrada na equação 4.2. Esta é uma equação empírica, constantemente

empregada para a concepção de bobinas de radiofrequência e é útil para o cálculo de bobinas

mais curtas. É preciso salientar que a e b são expressos em polegadas e que a quantidade de fios

superpostos no solenóide não deve ser superior a 200. O método é válido para bobinas com a

dimensão b superior a 0,8a. Tal exigência está de acordo com as dimensões das bobinas

construídas e, desta forma, ela poderá ser empregada para prever o valor da indutância.

jkghóg = stutvuw:x )yr+

(4.2)

A partir da equação acima, obtemos = 3,50er ∓ 0,1.

25

4.3 MÉTODO DO IDUTOR EM FORMA DE TROCO DE COE

Este método consiste em uma equação que se mostra mais precisa para o cálculo de

nossas bobinas, pois, conforme será descrito em seguida, essas foram construídas com base

em um tronco de cone, o que faz com que elas possuam um formato aproximadamente cônico.

Ainda que os raios das duas extremidades sejam bastante próximos, foi constatado que esta

equação fornece resultados mais precisos do que os outros métodos descritos neste trabalho.

_ = q²`9` + 10^

(4.3)

= q²`8` + 11~

(4.4)

= ((_gh) + (j)) )yr+

(4.5)

Nas equações 4.3, 4.4 e 4.5, é válido atentarmos novamente que a, b e w são dados em

polegadas (1 polegada equivale a aproximadamente 2,54cm).

A partir da equação acima, obtemos = 3,42er ∓ 0,08, o que é ainda mais próximo do valor medido após a construção das bobinas. Isto comprova que nossas bobinas são,

efetivamente, troncos de cone.

A modelização da bobina conforme este método permite que um valor

consideravelmente preciso de indutância seja obtido a partir da manipulação dos parâmetros

apresentados.

4.4 COCEPÇÃO FÍSICA DAS BOBIAS

A estimativa do valor da bobina que seria encontrada a partir dos métodos

demonstrados nos permitiu ter uma ordem de grandeza de todos os dispositivos do circuito,

uma vez que se fez o uso do teorema de normalização (ver capítulo 3.0) para adequar o

modelo inicial adotado às condições de realização do experimento, sem alterar a frequência

natural de oscilação do sistema. Os resultados obtidos na seção anterior e a existência de

dispositivos com ordens de grandeza próximas aos valores obtidos em nossos cálculos

26

permitiram que a construção das bobinas fosse efetuada.

Para a construção das duas bobinas, utilizou-se 200 m de fio de cobre de secção

correspondente a 2,5 mm². Como suporte auxiliar, optou-se por um tronco de cone de raio

conhecido (200 mm de base). Enrolou-se os fios em volta dos troncos de cone, de forma que

tal que 100 m de fio foram utilizados para cada bobina. Estimou-se 88 voltas em torno do

suporte em cada bobina. Em seguida, adicionou-se uma superfície de papelão no interior de

cada bobina, de forma a poder retirar o suporte auxiliar sem deformá-las. Por fim, placas

metálicas e fita adesiva foram utilizadas para adicionar sustentação às mesmas.

Uma fotografia da bobina pode ser vista na figura 4.3.

Figura 4.3 Fotografia da bobina real utilizada no experimento. [Arquivo Pessoal]

Em seguida, fez-se uso de um multímetro para a medição dos valores de indutância. A

bobina A apresentou ` = (3,35 ∓ 0,5) er. A bobina B apresentou ^ = (3,23 ∓ 0,5)er. Os resultados encontrados na medição a partir do multímetro foram bastante satisfatórios, haja

vista o erro da ordem de 3% comparativamente aos valores obtidos na teoria. É possível

trabalharmos como se as indutâncias fossem as mesmas, uma vez que trabalha-se com o

intervalo de incertitude apresentado. Desta forma, utilizaremos uma indutância média de = (3,29 ∓ 0,5) er. Este valor será adotado em todos os nossos cálculos.

27

4.5 COSIDERAÇÕES ESPECIAIS

Conforme mencionado anteriormente, as bobinas construídas apresentaram valores

muito próximos dos valores previstos pelo método do indutor em forma de tronco de cone.

No entanto, sabe-se que uma verdadeira bobina apresenta também valores de

capacitância e de resistência intrínsecos, embora estes sejam de pequena magnitude. É

possível haver a existência de uma diferença de potencial entre dois fios adjacentes de uma

bobina. Estes são afetados pelo campo elétrico do fio vizinho, o que faz com que eles se

comportem como placas de um capacitor. Qualquer mudança de tensão na bobina deve

ocasionar a carga e descarrega destas pequenas capacitâncias.

O modelo real de uma bobina pode ser visto na figura 4.4.

Figura 4.4 Modelo real de uma bobina. [1]

Como o intuito do experimento aqui descrito é trabalhar no domínio das baixas

frequências, a tensão nos capacitores parasitas não varia rapidamente, ou seja, a corrente

adicional é muito pequena. Além disto, esta capacitância parasita pode ser negligenciada, uma

vez que o circuito conforme mostrado no capítulo 3 deste trabalho apresenta uma capacitância

relativamente alta. Desta forma, assumimos que tais capacitâncias em nada influenciam no

experimento.

De maneira semelhante, assume-se que a resistência parasita também pode ser

negligenciada, tendo em vista a resistência da ordem de 100kΩ existente em paralelo.

28

4.6 ACOPLAMETO ETRE DUAS BOBIAS PLAAS

Sejam duas bobinas planas circulares idênticas de raio R. Estas se posicionam de

forma coaxial e afastadas de uma distância D, conforme mostrado na figura 4.5. A bobina a

esquerda é a bobina emissora de campo magnético e, logo, temos a bobina receptora a direita.

Supondo D >> R e D ≈ D’, é possível verificarmos que em um caso limite no qual R =

0,2m, D = 0,8m e D’ = 0,825m, esta diferença não interfere de forma decisiva no resultado

final, tendo em vista a existência de outros fatores que nós não podemos controlar.

Procederemos de maneira a calcular o campo no eixo da bobina e a determinar as

indutâncias próprias e mútuas[3]. Em seguida, calcularemos o coeficiente de acoplamento.

Figura 4.5 Esquema acoplamento magnético

Aplica-se a lei de Biot-Savart:

= p:4a $k × i (4.6)

A corrente I na bobina emissora produz um fluxo que excita a bobina receptora. Este

fluxo é calculado conforme a equação 4.7:

≈ p:4a $k (4.7)

A indução no eixo x pode ser obtida por projeção (conforme mostram as equações 4.8,

4.9 e 4.10):

29

≈ p:4a $k I (4.8)

≈ p:4a $k I k = $p:2 I3 (4.9)

r = $ 0 I232 (4.10)

É válido atentarmos para o fato de que o campo axial decresce fortemente em função

da distância (vide equação 4.10). O fluxo magnético na bobina a direita é dado pela

equação 4.11.

∅ = qraIp: (4.11)

Da definição de indutância mútua (equação 4.12) e das equações 4.10 e 4.11, é

possível deduzirmos o valor da indutância mútua em 4.13:

= ∅$uçã (4.12)

= qp:a I423

(4.13)

Como as duas bobinas são idênticas, elas possuem a mesma indutância própria L. O

coeficiente de acoplamento pode ser dado pela equação 4.14:

* = √12 =

(4.14)

Com a equação 4.12 em mãos e sabendo-se que o valor de R corresponde a 0,18 cm,

foi possível construir o gráfico teórico do coeficiente de acoplamento em função da distância

(K x D). A derivada da curva de regressão montada nos permite obter o valor da sensibilidade

do coeficiente de acoplamento relativamente à distância. A curva será mostrada no capítulo

seguinte.

30

5.0 COEFICIETE DE ACOPLAMETO

Neste capítulo, abordaremos o procedimento utilizado para calcular o coeficiente de

acoplamento existente entre as duas bobinas. Para o cálculo, serviu-se do software MATLAB

e da equação 4.13.

Após a construção das bobinas (conforme descrito no capítulo precedente), o passo

seguinte correspondeu ao cálculo experimental da indutância mútua e do coeficiente de

acoplamento entre as mesmas.

Logo, construiu-se no laboratório LISA o circuito que pode ser representado pela

figura 5.1.

Figura 5.1 Esquema montado em laboratório.

Conectou-se um amperímetro ao circuito primário e um osciloscópio ao circuito

secundário para verificar as respectivas correntes e tensões eficazes. Alimentou-se a bobina

por uma fonte de tensão variável de 50Hz. Em seguida, variou-se a distância entre as duas

bobinas e, a cada distância, variou-se a tensão de alimentação.

Uma fotografia do experimento pode ser vista na figura 5.2.

31

Figura 5.2 Medições efetuadas no laboratório. [Arquivo Pessoal]

A partir das medidas obtidas, tornou-se possível a realização de uma regressão linear

entre a tensão de saída e a corrente de entrada, a fim de efetuar o cálculo da indutância mútua

entre as bobinas para cada distância. Para isto, as equações 5.1 foi útil:

= #9$J )yr+

(5.1)

Uma vez obtida a indutância mútua M, o coeficiente de acoplamento, por sua vez,

pode ser obtido a partir da equação 4.13.

No laboratório, a bobina foi alimentada diretamente pela fonte a uma tensão variando

entre 0 e 20 V. A distância entre as duas bobinas variou entre 0,8m e 1,2m.

A tabela 5.1 sintetiza os dados coletados a uma distância de 0,8m. É essencial

relembrarmos que estes dados foram colocados para cada uma das 5 distâncias (de 0,8m a

1,2m, com um passo de 0,1m).

32

Tabela 5.1 Valores de tensão e corrente coletados para uma distância D = 0,8m.

A partir dos valores mostrados na tabela 5.1, foi viável traçar em MATLAB a curva da

tensão de saída em função da corrente de entrada (Figura 5.3).

Figura 5.3 Gráfico Vsaída x Ientrada para d = 0,8m. [MATLAB]

33

O coeficiente angular da reta traçada na figura 5.3 nos indica que a indutância mútua

para D = 0,8m equivale a 0,027665. O valor do coeficiente de acoplamento K, por sua vez,

corresponde a 0,008645.

Tabela 5.2 Valores de tensão e corrente coletados para uma distância D = 1,2m.

A tabela 5.2 sintetiza as mesmas medidas (corrente de entrada e tensão de saída) para

uma distância entre as bobinas D de 1,2m

Figura 5.4 Gráfico Vsaída x Ientrada para d = 1,2m. [MATLAB]

34

De maneira idêntica, o gráfico mostrado na figura 5.4 nos permite calcular os valores

de M e K para D = 1,2 m: M = 0,006053 e K = 0,001892.

É perceptível que o valor de K decresce conforme a distância entre as duas bobinas

aumenta. A conclusão é lógica e intuitiva, visto que a perda do fluxo magnético é maior

quando as bobinas estão mais afastadas uma da outra.

É importante ressaltarmos que o objetivo em questão não é obter-se o maior valor de

K possível, mas sim a relação que melhor descreve o comportamento de K em função da

distância.

É a partir desta relação que se pretende encontrar a distância para a qual corresponderá

o coeficiente de acoplamento crítico (rever capítulo 2.0). Desta maneira, construiu-se uma

nova curva com os valores de K em função das distâncias D (figura 5.5).

Figura 5.5 Gráfico do coeficiente de acoplamento K em função da distância D. [MATLAB]

A partir da figura 5.5, é possível calcular a sensibilidade de K em relação a D (equação

5.2):

= *() = −0,01726 (5.1)

35

O resultado encontrado na equação 5.2 nos mostra que o coeficiente de acoplamento é

muito sensível à distância, o que nos indica que é experimentalmente muito difícil encontrar o

ponto de ressonância.

Em seguida, ainda sob análise do gráfico mostrado na figura 5.5, extraiu-se a distância

para a qual corresponde o K crítico (0,00396, conforme calculado no capítulo 3.0): 1 metro.

Logo, assumiremos que a distância crítica para o acoplamento em questão corresponde a 1

metro. As bobinas deverão estar distanciadas de 1 metro para que a transferência de energia

do primário ao secundário seja maximizada.

É válido ressaltarmos que, nesta monografia, assumiu-se a hipótese de que as

indutâncias são idênticas. Desta forma, decidiu-se testar se ambas respondem de maneira

idêntica ao campo magnético produzido pela corrente no circuito primário.

Para isto, mediu-se os valores de tensão e corrente na distância de 1m e, em seguida,

inverteu-se a posição das duas bobinas. Com os dados obtidos, procedeu-se de maneira a

efetuar uma análise da variância entre as tensões das bobinas na condição de bobina

secundária, i.e, quando a mesma não se encontrava diretamente alimentada pela fonte.

Com este teste, foi possível demonstrar que as duas variáveis são semelhantes,

conforme figura 5.6, o que significa que as duas bobinas respondem de forma semelhante

quando excitadas por um mesmo campo magnético. Desta forma, a escolha de qual bobina

corresponderá à primária e qual corresponderá à bobina do circuito secundário não afetará o

resultado final do experimento.

Figura 5.6 Gráfico Vsaída x Ientrada para d = 1,2m. [MATLAB]

36

6.0 PROCEDIMETO EXPERIMETAL

Neste capítulo, não apenas será descrito o procedimento experimental final efetuado,

mas também os resultados que puderam ser obtidos a partir do mesmo.

6.1 MATERIAL UTILIZADO

i. 1 Gerador de onda;

ii. 1 Osciloscópio digital;

iii. 1 Voltímetro 0 – 500V;

iv. 1 Multímetro digital;

v. 2 Bobinas de 3,2mH construídas durante o projeto;

vi. 4 Capacitores de 10nF (utilizadas duas a duas em paralelo);

vii. 2 Resistências de 100kΩ;

O circuito montado durante o procedimento experimental é mostrado na figura 6.1

6.2 REALIZAÇÃO PRÁTICA DO CIRCUITO

Figura 6.1 Circuito efetivamente montado no laboratório. [PSpice]

O gerador de onda do laboratório LISA foi ajustado em 5 V e conectado ao terminais

da resistência e das capacitâncias colocadas em paralelo. As bobinas, por sua vez, foram

conectadas aos terminais dos capacitores.

37

Utilizou-se fita adesiva como forma de melhor ajustar as bobinas na mesa do

laboratório, para que as medições realizadas em dias diferentes ocasionasse o mínimo de

distorções possíveis, haja visto que o posicionamento e acoplamento das bobinas é crucial

para a obtenção de resultados satisfatórios. É válido destacar que as bobinas estavam

inicialmente distanciadas de 1 metro (conforme resultado encontrado no capítulo 5.0).

Mediu-se o valor de corrente eficaz na bobina primária e o valor de corrente eficaz na

bobina secundária, a partir do osciloscópio digital.

Em seguida, anotou-se o valor de tensão nos terminais da resistência do secundário.

Na segunda parte do experimento, introduziu-se materiais entre as duas bobinas e

observou como tal ato afetou as grandezas medidas. De início, introduziu-se duas caixas de

papelão (material não ferromagnético) entre as indutâncias e, em seguida, uma placa de ferro

foi colocada (material ferromagnético).

6.3 AÁLISE DE RESULTADOS OBTIDOS

Conforme explicado anteriormente, a fonte de energia do sistema precisou ser trocada

de 100 V para 5 V, de forma tal que viabilizasse a escolha da freqüência do sinal de entrada.

A construção de um circuito de comando seria a solução ideal para o trabalho pretendido. No

entanto, o pouco tempo disponível para a realização do experimento e o foco do projeto em

questão inviabilizaram tal prática.

Os resultados obtidos e sintetizados na tabela 6.1 foram considerados satisfatórios.

Tabela 6.1 Resultados obtidos

Observa-se, na tabela 6.1, que um rendimento da ordem de 62% fora obtido para o

experimento realizado. Embora a simulação realizada sugira um rendimento teórico da ordem

de 85%, é facilmente compreensível que a manipulação do dispositivo e do experimento

possua inúmeros fatores que contribuam para a diminuição da eficiência da transmissão:

(i) A construção das bobinas feita de forma manual pode ser fonte da diminuição

do rendimento, tendo em vista que elas não são 100% idênticas, embora a

Primário Secundário

Tensão (mV) 309 240

Corrente(mA) 56 45

Potência (uW) 17304 10800

38

análise de variância efetuada nos mostre que o resultado final não seria

alterado caso invertêssemos o posicionamento dos dois troncos de cone;

(ii) O alinhamento entre as duas bobinas é perfeito na teoria. No entanto, dadas as

condições existentes para a realização do experimento, é impossível a

construção de dois dispositivos que sejam perfeitamente alinhados;

(iii) As medições foram efetuadas em dias distintos em um período de 1 mês. Neste

intervalo de tempo, inúmeras pessoas transitaram pelo laboratório e não há

garantias de que o circuito foi mantido intacto;

(iv) A pouca experiência inerente aos estudantes responsáveis pelo experimento,

comparativamente à experiência de pesquisadores do MIT ou da IBM, o que

explicita a susceptibilidade de diversos erros experimentais.

A figura 6.2 corresponde a uma fotografia do experimento realizado.

Figura 6.2 – Fotografia do circuito montado no laboratório LISA. [Arquivo Pessoal]

O circuito inicial montado apresentava um distanciamento de 1 m entre as duas

bobinas construídas. No entanto, durante a realização do experimento, as bobinas foram

colocadas em diversas distâncias. Como explicado na teoria, o coeficiente de acoplamento

varia com o cubo da distância. Portanto, o mesmo é bastante sensível ao afastamento e

aproximação das bobinas.

Apesar de a metodologia adotada, conforme descrito no capítulo 5, para a obtenção da

distância cujo rendimento da transmissão é máximo ser bastante confiável, o rendimento

39

máximo, na prática, foi obtido para um distanciamento de 0,9 m entre as duas bobinas. O

resultado, no entanto, é bastante próximo daquele encontrado na teoria (1 metro). A

discrepância se deve, principalmente, ao fato de as medições efetuadas para a obtenção do

acoplamento máximo terem sido realizadas em dias distintos do dia da realização do

experimento. Embora o cuidado empregado, tais valores são muito sensíveis a qualquer

mudança no posicionamento dos indutores.

A introdução de materiais distintos entre os troncos de cone construídos apresentou os

resultados sintetizados na tabela 6.2.

Tabela 6.2 Resultados obtidos com a introdução de materiais.

As figuras 6.3 e 6.4 são fotografias tiradas no instante em que os materiais foram introduzidos

no espaço existente entre as indutâncias do circuito.

Figura 6.3 Fotografia do circuito – Introdução material não ferromagnético. [Arquivo Pessoal]

Tipo de Obstrução Tensão na bobina emissora Tensão na bobina receptora Eficiência alcançada

Sem Obstrução 309mV 240mV 62%

Obstrução não

ferromagnética 308mV 240mV 62%

Obstrução

ferromagnética 299mV 210mV 49%

40

Figura 6.4 Fotografia do circuito – Introdução material ferromagnético. [Arquivo Pessoal]

É interessante observarmos que a introdução de um material não ferromagnético em

nada alterou os valores de tensão e corrente medidos no primário e no secundário do circuito.

No entanto, o mesmo não pode ser dito para um material ferromagnético, pois a indução de

corrente elétrica neste material ocasiona uma perda de 13% (conforme tabela 6.2) no

rendimento do experimento.

Tal constatação é importante, pois materiais ferromagnéticos podem constituir uma

barreira em diversas aplicações reais da tecnologia fundamentada no modelo aqui descrito.

41

7.0 COCLUSÕES

Abordou-se os experimentos realizados ao longo da história envolvendo a transmissão

de energia entre dois pontos sem o intermédio de um condutor físico entre os mesmos, bem

como as principais técnicas existentes para tal realização.

Em seguida, aplicou-se as leis de circuito a um circuito RLC que apresenta duas

bobinas acopladas magneticamente. Isto permitiu a revisão e consolidação dos conhecimentos

de circuitos elétricos adquiridos ao longo da graduação, bem como a compreensão da teoria

de acoplamento indutivo ressonante. Analisou-se as diversas formas de acoplamento e foi

possível caracterizá-las a partir do coeficiente de acoplamento.

Estudou-se alguns modelos existentes que auxiliam na construção de bobinas e

evidenciou-se a conformidade de um modelo escolhido a partir da medição da indutância da

bobina construída na prática.

A partir da revisão das leis de eletromagnetismo abordadas durante o curso de

engenharia elétrica, compreendeu-se a equação que fornece a indutância mútua entre duas

bobinas.

As simulações realizadas em PSpice permitiram a análise da transferência de potência

entre os circuitos primário e secundário em função do tipo de acoplamento. As simulações

foram realizadas em um circuito elétrico adaptado às características de suprimento de energia

e de valores de indutância das bobinas construídas durante o projeto.

Analisou-se a correlação existente entre o tipo de acoplamento e a distância entre as

duas bobinas acopladas. Testes estatísticos foram realizados para a obtenção da distância

ótima para a transferência de energia, uma vez conhecidos os valores de indutância.

É interessante ressaltar que a utilização desta tecnologia em aplicações práticas muitas

vezes acontece com uma distância pré-determinada, o que obriga a concepção do circuito ser

feita após o conhecimento desta grandeza.

Os resultados experimentais obtidos ao final deste experimento se mostraram

satisfatórios. A obtenção de uma potência próxima da esperada evidenciou a boa compreensão

da teoria descrita nos primeiros capítulos desta tese.

As dificuldades e limitações para a realização de um projeto com este nível de

complexidade, citadas ao decorrer desta monografia, foram muitas. No entanto, pode-se dizer

que os objetivos foram atingidos, não apenas no contexto técnico, mas em todo o contexto

acadêmico e organizacional do projeto: identificação dos riscos envolvidos, cumprimento do

cronograma, etc.

A experiência realizada contribui para o desenvolvimento científico, uma vez que

serve de base para futuras experiências. Nestas, aconselha-se a determinação prévia da

distância e potência a serem obtidas. Desta forma, é possível focar as atenções no controle dos

valores de indutância, indutância mútua e coeficiente de acoplamento para obter resultados

42

mais consistentes com os esperados para a utilização prática da transmissão de energia elétrica

sem fio.

A conclusão da monografia conforme o cronograma elaborado no início do semestre

letivo também representa um motivo de satisfação com o trabalho realizado. Conclui-se,

portanto, que os objetivos gerais, específicos e educacionais foram atingidos.

43

8.0 REFERÊCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] ORSINI, L.Q; CONSONNI, D. “Curso de Circuitos Elétricos”, Vol. 2 , 2ª Edição. São

Paulo-SP, Brasil: Ed. Blucher, 2004, 437 p.

[2] STARCK III, Joseph C. “Wireless Power Transmission Utilizing A Phased Array Of

Tesla Coils”, Department of Electrical Engineering and Computer Sciences, Massachusetts

Institute of Technology. Cambridge, ma, EUA. 2004, 247 p.

[3] HAYT JR., W. H. Eletromagnetismo, 6ª Edição, LTC, 2003, 313 p.

[4] H.A. Haus, “Waves and Fields in Optoelectronics”, Prentice-Hall, 1984, 464 p.

[5] Disponível na URL http://www.wirelesspowerconsortium.com/, acessada no dia 14/09/10.

[6] Disponível na URL http://www.witricity.com/, acessada no dia 14/09/10.

[7] Disponível na URL http://ssi.org/solar-power-satellites/solar-power-satellite-art/, acessada

no dia 14/09/10.

[8] H.A. Wheeler, "Simple Inductance Formulas for Radio Coils," Proc. I.R.E., vol. 16, 1928,

p. 1398-1400.

[9] R. Lundin, "A Handbook Formula for the Inductance of a Single-Layer Circular Coil,"

Proc. IEEE, vol. 73, n. 9, 1985, p. 1428-1429.

[10] Disponível na URL http://www.tfcbooks.com/articles/tws8c.htm, acessada no dia

17/09/2010.