ufrgs - elementos superficiais laminares em concreto armado

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Renan Weber Kirst

ELEMENTOS SUPERFICIAIS LAMINARES EM CONCRETO

ARMADO: ESTUDO COMPARATIVO ENTRE

MTODOS DE CLCULO

Porto Alegre

junho 2010

RENAN WEBER KIRST


ARMADO: ESTUDO COMPARATIVO ENTRE

MTODOS DE CLCULO

Trabalho de Diplomao apresentado ao Departamento de

Engenharia Civil da Escola de Engenharia da Universidade Federal

do Rio Grande do Sul, como parte dos requisitos para obteno do

ttulo de Engenheiro Civil

Orientador: Joo Ricardo Masuero

Porto Alegre

junho 2010

RENAN WEBER KIRST


ARMADO: ESTUDO COMPARATIVO ENTRE MTODOS DE

CLCULO

Este Trabalho de Diplomao foi julgado adequado como pr-requisito para a obteno do

ttulo de ENGENHEIRO CIVIL e aprovado em sua forma final pelo Professor Orientador e

pela Coordenadora da disciplina Trabalho de Diplomao Engenharia Civil II (ENG01040) da

Universidade Federal do Rio Grande do Sul.

Porto Alegre, junho de 2010

Prof. Joo Ricardo Masuero

Dr. pela UFRGS

Orientador

Profa. Carin Maria Schmitt

Coordenadora

BANCA EXAMINADORA

Luiz Eduardo Pillar da Silva(Simon Eng.)

Eng. pela PUCRS Prof. Incio Benvegnu Morsch (UFRGS)

Dr. pela UFRGS

Prof. Roberto Domingo Rios (UFRGS)

Dr. pela UFRGS Prof. Joo Ricardo Masuero (UFRGS)

Dr. pela UFRGS

Dedico este trabalho aos meus pais, Roger e Ldia, que me

ensinaram as lies mais essenciais da vida.

AGRADECIMENTOS

Agradeo ao Prof. Joo Ricardo Masuero, orientador deste trabalho, pelas diversas horas de

ateno a mim prestadas durante o desenvolvimento deste trabalho.

Agradeo Profa. Carin Maria Schmitt, pela dedicao e esforo no desenvolvimento deste

trabalho.

Agradeo minha namorada, Clarissa Alves de Sampaio, pelo apoio incondicional, carinho e

compreenso, sobretudo nos momentos mais difceis.

Agradeo ao colega e amigo, Alisson Ramos Madeira, pelo companheirismo durante todo o

curso de graduao.

Agradeo aos Eng. Luiz Eduardo Pillar da Silva e Henrique Moller, pela ateno e ajuda na

compreenso de diversos assuntos ligados engenharia de estruturas.

Agradeo aos meus irmos, Rogrio Weber Kirst e Ronald Weber Kirst, pela confiana e

incentivo.

Agradeo aos meus pais, Ldia Maria Weber Kirst e Roger Leite Kirst, pelos valores a mim

ensinados durante toda a minha vida.

Tudo deve ser feito o mais simples possvel, mas no de

forma simplista.

Albert Einstein

RESUMO

KIRST, R. W. Elementos Superficiais Laminares em Concreto Armado: estudo

comparativo entre mtodos de clculo. 2010. 79 f. Trabalho de Diplomao (Graduao em

Engenharia Civil) Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre.

Dada a necessidade de garantir a segurana, e a grande influncia do dimensionamento de

qualquer estrutura sobre o peso da construo, a verificao das solicitaes em elementos

estruturais atravs de diferentes mtodos de clculo pode ter impacto direto sobre o custo final

de um empreendimento. Este trabalho discorre sobre a variao dos resultados obtidos no

clculo de elementos estruturais laminares planos em concreto armado valendo-se das

solicitaes e das deformaes obtidas atravs do mtodo dos elementos finitos

comparativamente aos obtidos atravs dos mtodos de dimensionamento baseados na teoria

das grelhas e na teoria simplificada de Marcus. Para a concepo do modelo numrico dos

elementos estruturais e a sua dissociao em elementos finitos de geometria adequada foram

utilizados como ferramentas de apoio os softwares SAP 2000 e STRAP 12.5. Foi abordada

essencialmente uma anlise elstico-linear esttica dos elementos estudados. Vale ressaltar

que a maioria dos softwares de dimensionamento de estruturas de concreto armado utiliza

anlises plsticas na obteno das solicitaes. Os elementos em questo so solicitados

predominantemente por cargas normais ao seu plano mdio e tm duas dimenses

predominantes em relao terceira. Observou-se dificuldade de adequao da rigidez de

flexo e da rigidez de toro para o modelo de analogia s grelhas, de forma que os resultados

obtidos por este mtodo tornam-se diferentes conforme a calibrao efetuada para cada

modelo. Verifica-se que os valores de momentos obtidos com a aplicao da Teoria

Simplificada de Marcus so, em sua maioria, inferiores aos obtidos com o Mtodo dos

Elementos Finitos. O Mtodo de Analogia s Grelhas, por sua vez, apresentou momentos

fletores mximos coerentes quando comparados ao Mtodo dos Elementos Finitos para a

calibrao proposta.

Palavras-chave: lajes; Mtodo dos Elementos Finitos; Analogia s Grelhas; Teoria de Marcus.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: delineamento do trabalho .................................................................................. 18

Figura 2: valores de para lajes retangulares armadas em duas direes ....................... 27

Figura 3: malha 50 x 50 cm. Momentos na direo x [kgf.m/m]...................................... 38

Figura 4: malha 25 x 25 cm. Momentos na direo x [kgf.m/m] ..................................... 39

Figura 5: malha 10 x 10 cm. Momentos na direo x [kgf.m/m] ..................................... 40

Figura 6: malha 10 x 10 cm no software SAP2000. Momentos na direo x [kgf.m/m].. 41

Figura 7: laje 1 - dimenses 5,00 x 5,00 x 0,10 m ........................................................... 46

Figura 8: grelha representativa da laje 1 .......................................................................... 47

Figura 9: diagrama de momento fletor nas barras centrais da grelha em ambas as

direes [kgf.m] ................................................................................................. 47

Figura 10: mapa de contorno dos momentos na direo x da laje 1 [kgf.m/m] ............... 49

Figura 11: laje 2 - dimenses 4,00 x 6,00 x 0,10 m ......................................................... 50

Figura 12: grelha representativa da laje 2 ........................................................................ 51

Figura 13: diagrama de momento fletor na barra central da grelha na direo x [kgf.m] 52

Figura 14: diagrama de momento fletor na barra central da grelha na direo y [kgf.m] 52


Figura 16: mapa de contorno dos momentos na direo y da laje 2 [kgf.m/m] ............... 54



Figura 19: diagrama de momento fletor na barra central da grelha em ambas as

direes [kgf.m] ................................................................................................. 57


Figura 21: mapa de contorno dos momentos na direo y da laje 3 [kgf.m/m] ............... 59



Figura 24: diagrama de momento fletor na barra central da grelha na direo x [kgf.m] 62

Figura 25: diagrama de momento fletor na barra central da grelha na direo y [kgf.m] 62

Figura 26: de contorno dos momentos na direo x da laje 4 [kgf.m/m] ......................... 63

Figura 27: de contorno dos momentos na direo y da laje 4 [kgf.m/m] ......................... 64

Figura 28: laje 5 - dimenses 10,00 x 10,00 x 0,20 m ..................................................... 66


direes [kgf.m] ................................................................................................. 67




direes [kgf.m] ................................................................................................. 71


LISTA DE QUADROS

Quadro 1: momentos fletores e carga de colapso para uma laje com lx=5m e ly=3,6m ... 34

Quadro 2: momentos equilibrantes totais de uma laje com lx=5m e ly=3,6m................... 35

Quadro 3: comparativo de malhas de elementos finitos .................................................. 42

Quadro 4: momento fletor Mx de acordo com a relao J/Ixx e com o espaamento da

grelha .................................................................................................................. 43

Quadro 5: deformao de acordo com a relao J/Ixx e com o espaamento da grelha ... 44

Quadro 6: momentos na laje 1 pela Teoria de Marcus ..................................................... 46

Quadro 7: momentos na laje 1 por Analogia s Grelhas .................................................. 48

Quadro 8: momentos na laje 1 por Elementos Finitos ..................................................... 49

Quadro 9: momentos na laje 2 pela Teoria de Marcus ..................................................... 51

Quadro 10: momentos na laje 2 por Analogia s Grelhas ................................................ 53

Quadro 11: momentos na laje 2 por Elementos Finitos ................................................... 54

Quadro 12: momentos na laje 3 pela Teoria de Marcus ................................................... 56












Quadro 24: momentos fletores pelos trs mtodos [kgf.m/m] ......................................... 74

Quadro 25: erro nos momentos considerando-se os resultados do MEF como corretos . 75

Quadro 26: deformaes por grelhas e MEF [cm] ........................................................... 76

SUMRIO

1 INTRODUO ........................................................................................................... 12

2 MTODO DE PESQUISA ......................................................................................... 15

2.1 QUESTO DE PESQUISA ....................................................................................... 15

2.2 OBJETIVOS DO TRABALHO ................................................................................. 15

2.2.1 Objetivo Principal ................................................................................................. 15

2.2.2 Objetivos Secundrios ........................................................................................... 16

2.3 PRESSUPOSTO ......................................................................................................... 16

2.4 PREMISSA ................................................................................................................ 16

2.5 DELIMITAES ...................................................................................................... 16

2.6 LIMITAES ........................................................................................................... 17

2.7 DELINEAMENTO .................................................................................................... 17

2.7.1 Pesquisa Bibliogrfica ........................................................................................... 18

2.7.2 Definies de Elementos Estruturais para Estudo ............................................. 18

2.7.3 Calibrao dos Modelos Numricos .................................................................... 19

2.7.4 Clculo pela Teoria Simplificada de Marcus ...................................................... 19

2.7.5 Clculo pelo Mtodo de Analogia s Grelhas ..................................................... 19

2.7.6 Clculo pelo Mtodo dos Elementos Finitos ....................................................... 19

2.7.7 Comparao dos Resultados ................................................................................ 20

2.7.8 Concluses .............................................................................................................. 20

3 TIPOS DE ANLISE ESTRUTURAL ..................................................................... 21

3.1 ANLISE LINEAR ................................................................................................... 22

3.2 ANLISE LINEAR COM REDISTRIBUIO ....................................................... 22

3.3 ANLISE PLSTICA ............................................................................................... 23

3.4 ANLISE NO-LINEAR ......................................................................................... 23

3.5 ANLISE ATRAVS DE MODELOS FSICOS ..................................................... 24

4 MTODOS DE DIMENSIONAMENTO ................................................................. 25

4.1 TEORIA SIMPLIFICADA DE MARCUS ................................................................ 25

4.2 MTODO DE ANALOGIA S GRELHAS ............................................................. 28

4.2.1 Consideraes Tericas ......................................................................................... 28

4.2.2 Aplicao Computacional ..................................................................................... 29

4.3 MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ................................................................. 30

4.3.1 Consideraes Tericas ......................................................................................... 30

4.3.2 Aplicao Computacional ..................................................................................... 33

4.4 EXEMPLO COMPARATIVO ................................................................................... 34

5 AJUSTE DOS MODELOS COMPUTACIONAIS .................................................. 36

5.1 REFINAMENTO DA MALHA DE ELEMENTOS FINITOS ................................. 37

5.2 GEOMETRIA E RIGIDEZ DAS GRELHAS ........................................................... 42

6 OBTENO DAS SOLICITAES ........................................................................ 45

6.1 LAJE QUADRADA SIMPLESMENTE APOIADA ................................................ 45

6.1.1 Laje 1: soluo pela Teoria Simplificada de Marcus ......................................... 46

6.1.2 Laje 1: soluo por Analogia s Grelhas ............................................................. 47

6.1.3 Laje 1: soluo pelo Mtodo dos Elementos Finitos ........................................... 48

6.2 LAJE RETANGULAR SIMPLESMENTE APOIADA ............................................ 50




6.3 LAJE QUADRADA COM DOIS BORDOS ENGASTADOS ................................. 55




6.4 LAJE RETANGULAR COM DOIS BORDOS ENGASTADOS ............................. 60




7 LAJES ESPECIAIS .................................................................................................... 66

7.1 LAJE QUADRADA DE GRANDES DIMENSES ................................................ 66




7.2 LAJE QUADRADA DE PEQUENAS DIMENSES ............................................... 69




8 COMPARAO DOS RESULTADOS .................................................................... 74

9 CONCLUSES ........................................................................................................... 77

REFERNCIAS ............................................................................................................... 79

__________________________________________________________________________________________

Renan Weber Kirst. Porto Alegre: DECIV/EE/UFRGS, 2009

12

1 INTRODUO

Com uma gama cada vez maior de diferentes mtodos de clculo para as mais variadas

situaes estruturais, muitos problemas estruturais acabam por ter suas solues obtidas

atravs de mtodos simplificados. Graas ao avano da tecnologia e ao consequente

crescimento da oferta de ferramentas computacionais cada vez mais poderosas, tornou-se

possvel efetuar o dimensionamento de estruturas atravs de diferentes mtodos de clculo.

No Brasil, os mtodos tradicionais e amplamente difundidos de dimensionamento de lajes e

de outros elementos superficiais em concreto armado, tais como paredes de reservatrios e

escadas, so os mtodos de associao ao modelo simplificado de grelhas e os baseados na

teoria simplificada de Marcus. Na soluo por associao ao modelo simplificado de grelhas

possvel considerar os apoios (vigas) em conjunto com o modelo de grelha das lajes e analisar

o conjunto inteiro como uma grelha, tornando a laje e seus apoios uma estrutura nica que

funciona como um todo. O mtodo baseado na teoria simplificada de Marcus, entretanto,

considera os apoios rgidos, de forma que a estrutura em questo individualizada da

estrutura global.

Para analisar uma laje por analogia a uma grelha, deve-se discretiz-la em uma sequncia de

faixas de largura previamente determinada a serem substitudas por elementos estruturais de

barra locados nos seus eixos. Este modelo muito conveniente para aplicao em

configuraes de lajes contnuas, nas quais se obtm configuraes de deformao e de

esforos prximos da situao real em regime elstico. O mtodo com base na teoria

simplificada de Marcus, por sua vez, constitui-se em uma adaptao da teoria das grelhas para

o dimensionamento de lajes retangulares. Baseia-se no princpio de que a carga aplicada pode

ser equilibrada apenas por flexo.

Entretanto, especialmente para elementos superficiais laminares no-retangulares, ou para

aqueles com condies de apoio e de solicitaes que fogem prtica comum dos projetistas,

os mtodos convencionais de dimensionamento prevem aproximaes e simplificaes para

garantir a segurana do elemento em questo. Estas simplificaes podem ter como

__________________________________________________________________________________________

Elementos superficiais laminares em concreto armado: estudo comparativo entre mtodos de clculo

13

conseqncia o superdimensionamento da estrutura, gerando maiores gastos de material, ou o

seu subdimensionamento, colocando em risco a utilizao do elemento estruturalmente.

Foram estudados elementos superficiais laminares em concreto armado valendo-se das

solicitaes obtidas atravs do mtodo de analogia s grelhas com o auxlio do software

STRAP 12.5, da teoria simplificada de Marcus e das solicitaes obtidas atravs do mtodo

dos elementos finitos, sendo estas ltimas obtidas com o auxlio dos softwares

computacionais SAP 2000 e STRAP 12.5, respectivamente. Utilizando elementos de

geometria plana, ambos os programas elaboram a malha de elementos finitos e calculam os

esforos e deslocamentos para cada elemento disponibilizando seus resultados de forma

grfica e por tabelas.

A escolha das configuraes de lajes a serem estudadas obedeceu ao critrio de viabilidade de

aplicao dos trs mtodos propostos por este trabalho, restringindo as possibilidades de

geometria a lajes retangulares submetidas a cargas uniformemente distribudas. Desta forma,

efetuou-se a calibrao dos modelos subsequentes atravs de uma laje quadrada simplesmente

apoiada em seus quatro bordos, a qual foi submetida a uma carga distribuda de 700 kgf/m.

Para esta, utilizou-se a soluo da teoria geral de placas para encontrar o momento fletor e a

deformao mxima, resultados estes comparados aos obtidos pelo mtodo dos elementos

finitos, pelo modelo simplificado de grelhas e pela teoria simplificada de Marcus.

Foi considerado o comportamento elstico-linear do concreto armado, sendo realizada apenas

uma anlise esttica dos esforos solicitantes nos elementos estudados. Vale salientar que os

principais softwares de dimensionamento de lajes disponveis no mercado consideram os

efeitos da perda de rigidez do concreto devido fissurao, de forma que anlise da estrutura

feita para o comportamento elasto-plstico do concreto armado.

O trabalho apresentado 9 captulos. A este captulo de introduo segue o captulo 2, no qual

se apresenta o mtodo de pesquisa do estudo, incluindo a questo de pesquisa, objetivos,

pressuposto, limitao, delimitao, premissa e delineamento que orientaram a sua realizao.

O captulo 3 apresenta o embasamento terico sobre os diferentes tipos de anlise estrutural

previstos pela NBR 6118/2007.

O captulo 4, por sua vez, explana sobre os trs mtodos utilizados no trabalho para a

obteno dos momentos e das deformaes, falando sobre as suas principais consideraes

__________________________________________________________________________________________


14

tericas e, no caso do Mtodo de Analogia s Grelhas e do Mtodo dos Elementos Finitos,

sobre as suas respectivas aplicaes computacionais neste estudo.

O captulo 5 prope a calibrao dos modelos numricos a serem utilizados nos softwares,

estudando parmetros como a rigidez a ser utilizada nas barras das grelhas e o grau de

refinamento necessrio para que o modelo de elementos finitos possa ser considerado

satisfatrio. Neste captulo utilizou-se a soluo da Teoria Geral de Placas para a deformao

e para o momento mximo na laje de calibrao como valores de referncia para os outros

mtodos.

O captulo 6 mostra a aplicao dos trs diferentes mtodos para os 4 primeiros casos

estudados neste trabalho, valendo-se da calibrao dos modelos numricos efetuada no

captulo anterior.

O captulo 7 estuda a aplicao dos trs mtodos para duas outras configuraes de lajes,

consideradas especiais.

O captulo 8 compara os resultados obtidos por cada um dos trs mtodos, assumindo que as

calibraes feitas no Captulo 5 so vlidas para os casos estudados.

Por ltimo, o captulo 9 apresenta as concluses e os comentrios a respeito da utilizao de

cada mtodo estudado para a obteno das solicitaes e das deformaes em elementos

superficiais laminares em concreto armado submetidos a cargas de flexo.

Este trabalho tem em seu contexto a sequncia dos estudos realizados por BRCH (2009) e

por ROSA (2008), ambos visando a calibrao dos elementos de barra utilizados na Analogia

de Grelha para a obteno de resultados satisfatrios quando comparados aos obtidos atravs

do Mtodo dos Elementos Finitos.

__________________________________________________________________________________________


15

2 MTODO DE PESQUISA

Este captulo detalha o escopo do projeto, apresentando as principais diretrizes para o

desenvolvimento do estudo.

2.1 QUESTO DE PESQUISA

A questo de pesquisa referente a este trabalho surge como base para toda a pesquisa

subsequente e pode ser definida como: mtodos aproximados (Teoria Simplificada de Marcus

e Mtodo de Analogia s Grelhas) fornecem solicitaes em elementos superficiais laminares

em concreto armado prximas s fornecidas pelo Mtodo dos Elementos Finitos e pela

soluo da Teoria Geral de Placas?

2.2 OBJETIVOS DO TRABALHO

Os objetivos deste trabalho esto classificados em principal e secundrio com o intuito de

direcionar a pesquisa, e so apresentados a seguir.

2.1.1 Objetivo Principal

O objetivo principal deste trabalho a comparao dos resultados obtidos atravs de mtodos

aproximados (Teoria Simplificada de Marcus e Mtodo de Analogia s Grelhas) com os

resultados obtidos atravs do Mtodo dos Elementos Finitos e da soluo da Teoria Geral de

Placas.

__________________________________________________________________________________________


16

2.2.2 Objetivos Secundrios

Este trabalho tem como objetivos secundrios a obteno das solicitaes nos elementos em

questo atravs dos seguintes mtodos:

a) Teoria Simplificada de Marcus;

b) Analogia s Grelhas;

c) Elementos Finitos.

2.3 PRESSUPOSTO

Pressupe-se que uma anlise elstico-linear para obteno das solicitaes em elementos

superficiais laminares em concreto armado suficiente para se efetuar a comparao dos

resultados obtidos neste trabalho, no sendo considerada a anlise elasto-plstica, comumente

utilizada pelos softwares de dimensionamento existentes no mercado.

2.4 PREMISSA

Como premissa para este estudo coloca-se que mtodos aproximados para a soluo esttica

em elementos superficiais laminares em concreto armado possam ser utilizados para o

dimensionamento dos elementos em questo.

2.5 DELIMITAES

Devido ao grande nmero de variveis que surgiriam com a ampliao do estudo para outros

elementos estruturais, este trabalho tem por delimitao o estudo de elementos superficiais

laminares em concreto armado convencional executado in loco, desconsiderando-se assim

elementos amplamente utilizados como pr-moldados ou tcnicas como protenses, por

exemplo.

__________________________________________________________________________________________


17

2.6 LIMITAES

Este trabalho tem como limitao a utilizao de apenas 2 softwares para o seu

desenvolvimento, sendo apenas um deles aplicado no dimensionamento dos elementos

estruturais quando utilizado o mtodo de analogia s grelhas (STRAP 12.5) e ambos quando

aplicado o mtodo dos elementos finitos (STRAP 12.5 e SAP 2000).

O trabalho tambm limitou-se anlise de somente 6 diferentes geometrias de lajes planas

isotrpicas, com espessura constante. Foram estudadas as seguintes configuraes:

a) quadrada, com dimenses 5x5 m, apoiada nos quatros lados;

b) retangular, com dimenses 4x6 m, apoiada nos quatro lados;

c) quadrada, com dimenses 5x5 m, com dois lados engastados;

d) retangular, com dimenses 4x6 m, com dois lados engastados;

e) quadrada, com dimenses 10x10 m, apoiada nos quatro lados;

f) quadrada, com dimenses 2x2 m, apoiada nos quatro lados.

2.7 DELINEAMENTO

As etapas definidas no trabalho de pesquisa esto ilustradas na figura 1 e sero detalhadas a

seguir. So elas:

a) pesquisa bibliogrfica;

b) definio de elementos estruturais para estudo;

c) calibrao dos modelos numricos;

d) clculo pelos mtodos,

- Teoria Simplificada de Marcus;

- Analogia s Grelhas;

- Elementos Finitos;

d) comparao dos resultados;

e) concluses.

__________________________________________________________________________________________


18

Figura 1: delineamento do trabalho

2.7.1 Pesquisa Bibliogrfica

Apesar de ter dado incio ao trabalho, a pesquisa bibliogrfica teve sequncia ao longo de

todo o estudo com o objetivo de fundamentar os mtodos utilizados e de apoiar a verificao

da coerncia dos resultados obtidos por cada um deles. Utilizaram-se como materiais de

consulta livros, artigos, trabalhos acadmicos e normas tcnicas.

2.7.2 Definio de Elementos Estruturais para Estudo

Com o intuito de direcionar o trabalho, alguns parmetros tiveram de ser definidos, tais como:

a) elementos estruturais a serem estudados;

__________________________________________________________________________________________


19

b) configuraes geomtricas e condies de apoio usuais;

c) parmetros e variveis que sero comparados aps obtidos os resultados por

cada um dos diferentes mtodos.

2.7.3 Calibrao dos Modelos Numricos

Esta etapa consiste na calibrao dos modelos utilizados para a obteno das solicitaes

quando aplicado o Mtodo de Analogia s Grelhas e o Mtodo dos Elementos Finitos. A

calibrao deu-se pela comparao dos resultados obtidos por cada mtodo com os resultados

obtidos pela resoluo da Teoria Geral de Placas para uma laje especfica.

2.7.4 Clculo pela Teoria Simplificada de Marcus

Esta etapa do trabalho foi baseada na obteno das solicitaes de momentos fletores

mximos atravs de tabelas encontradas na bibliografia estudada e j reconhecidas como

vlidas para a utilizao deste mtodo de clculo. Tais tabelas so baseadas na resoluo da

equao geral de placas submetidas flexo.

2.7.5 Clculo pelo Mtodo de Analogia s Grelhas

Nesta etapa do trabalho foram elaborados os clculos dos elementos estruturais pelo mtodo

de analogia s grelhas com o auxlio do software de apoio STRAP em sua verso 12.5. Os

resultados obtidos atravs deste mtodo foram os momentos fletores mximos e suas

respectivas posies e as deformaes das lajes em questo.

2.7.6 Clculo pelo Mtodo dos Elementos Finitos

Nesta etapa do trabalho foram realizados os clculos necessrios para a obteno das

solicitaes nos elementos estudados atravs do mtodo dos elementos finitos com o auxlio

__________________________________________________________________________________________


20

de dois softwares, sendo eles o STRAP 12.5 e o SAP 2000. Alm dos momentos fletores,

foram obtidas atravs deste mtodo as deformaes mximas sofridas pelos elementos.

2.7.7 Comparao dos Resultados

Nesta etapa foram comparados os resultados obtidos para as solicitaes atravs de cada um

dos mtodos estudados. Foram comparados principalmente os valores dos momentos fletores

mximos, bem como as suas posies na laje em questo. A comparao dos resultados

tornou possvel a desconsiderao de algum resultado especfico que no apresentou o

comportamento esperado para as condies estudadas, ou valores demasiadamente diferentes

daqueles obtidos pelos outros mtodos.

Ainda, foram elaborados quadros comparativos para a melhor visualizao das implicaes

qualitativas oriundas da utilizao dos diferentes mtodos de clculo. Estes quadros so

compostos pelos momentos fletores e pelas deformaes obtidas para cada mtodo de clculo.

2.7.8 Concluses

Esta etapa tem a funo de concluso a respeito da utilizao dos diferentes mtodos de

obteno de solicitaes, valendo-se principalmente da comparao de resultados. A

concluso permitiu descobrir qual a ordem de grandeza da diferena entre os resultados

obtidos por cada mtodo, e a influncia destas diferenas no dimensionamento das lajes

estudadas.

__________________________________________________________________________________________


21

3 TIPOS DE ANLISE ESTRUTURAL

A correta anlise de uma estrutura o passo inicial e imprescindvel para a realizao de um

bom projeto estrutural. O projeto de estruturas em concreto armado tem critrios de anlise

estabelecidos pela NBR 6118/2007, que tambm apresenta os mtodos de anlise pelos quais

o comportamento das estruturas pode ser avaliado.

Para o clculo dos esforos nas lajes existem dois grandes grupos de mtodos. Os mtodos

clssicos, fundados na teoria da elasticidade, supem que o material homogneo e istropo e

se comporta linearmente. Os mtodos em ruptura, fundados na teoria da plasticidade, supem,

ao contrrio, que o material se comporta como um corpo rgido-plstico perfeito (MONTOYA

et al., 2000, p. 539).

Montoya et al. (2000, p. 540) indicam ainda que mediante os mtodos clssicos obtm-se,

com grande aproximao, os esforos na situao de servio, a partir dos quais se pode

escolher a distribuio das armaduras, nas diferentes zonas da laje, que representa de forma

adequada o comportamento em servio da mesma. Os mtodos de ruptura no proporcionam,

entretanto, qual a distribuio adequada das armaduras, uma vez que este um dado de

entrada.

Para situaes de projeto, a anlise estrutural pode ser efetuada por um dos mtodos

apresentados a seguir, que se diferenciam pelo comportamento admitido para os materiais

constituintes da estrutura, no perdendo de vista em cada caso as limitaes correspondentes

(ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 75), ou seja, anlise:

a) linear;

b) linear com redistribuio;

c) plstica;

d) no-linear;

e) atravs de modelos fsicos.

__________________________________________________________________________________________


22

Cada um dos mtodos apresentados ser brevemente discutido a seguir com o intuito de

estabelecer os conhecimentos bsicos necessrios para o seu correto emprego, de forma a

garantir a segurana dos modelos que sero posteriormente dimensionados pelos diferentes

mtodos de clculo.

3.1 ANLISE LINEAR

Para este tipo de anlise, admite-se o comportamento elstico-linear dos materiais. Na anlise

global, as caractersticas geomtricas podem ser determinadas pela seo bruta de concreto

dos elementos estruturais. Em anlises locais para clculo dos deslocamentos, na

eventualidade da fissurao, esta deve ser considerada. Os resultados de uma anlise linear

so usualmente empregados para a verificao de estados limites de servio, sendo possvel

estender os resultados para verificaes de estado limite ltimo, mesmo com tenses elevadas,

desde que se garanta a ductilidade dos elementos estruturais (ASSOCIAO BRASILEIRA

DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 75).

3.2 ANLISE LINEAR COM REDISTRIBUIO

Na anlise linear com redistribuio, os efeitos das aes, determinados em uma anlise

linear, so redistribudos na estrutura, para as combinaes de carregamento do estado limite

ltimo. Nesse caso, as condies de equilbrio e de ductilidade devem continuar satisfeitas

aps a redistribuio das aes, como segue (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS

TCNICAS, 2007, p. 76):

Todos os esforos internos devem ser recalculados de modo a garantir o equilbrio

de cada um dos elementos estruturais e da estrutura como um todo. Os efeitos de

redistribuio devem ser considerados em todos os aspectos do projeto estrutural,

inclusive as condies de ancoragem e corte de armaduras e os esforos a ancorar.

As verificaes de combinaes de carregamento de estado limite de servio ou de fadiga

podem ser baseadas na anlise linear sem redistribuio. De uma maneira geral desejvel

que no haja redistribuio de esforos em servio (ASSOCIAO BRASILEIRA DE

NORMAS TCNICAS, 2007, p. 76).

__________________________________________________________________________________________


23

3.3 ANLISE PLSTICA

A anlise estrutural denominada plstica quando as no linearidades puderem ser

consideradas, admitindo-se materiais de comportamento rgido-plstico perfeito ou elasto-

plstico. A anlise plstica de estruturas reticuladas no pode ser adotada quando

(ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 76):

a) se consideram os efeitos de segunda ordem global;

b) no houver suficiente ductilidade para que as configuraes adotadas sejam

atingidas.

Deve-se tambm evitar o clculo plstico para os casos de carregamento cclico com

possibilidade de fadiga (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p.

76).

A plastificao no concreto armado se d pelo escoamento da armadura, diminuindo o valor

da posio da linha neutra e aumentando o brao de alavanca obtido em regime elstico. No

entanto, o momento resistente permanece praticamente constante at a ruptura, pois o

aumento do brao de alavanca apenas compensa a diminuio da zona de concreto

comprimido. Desta forma, a anlise plstica recomendada apenas para o estado limite

ltimo, com o concreto j fissurado e o escoamento da armadura, enquanto a verificao de

estado limite de servio deve ser efetuada com uma anlise linear ou no-linear.

3.4 ANLISE NO-LINEAR

Para tal considera-se o comportamento no-linear dos materiais, de forma que


Toda a geometria da estrutura, bem como todas as suas armaduras, precisam ser

conhecidas para que a anlise no-linear possa ser efetuada, pois a resposta da

estrutura depende de como ela foi armada.

Condies de equilbrio, de compatibilidade e de dutilidade devem ser

necessariamente satisfeitas. Anlises no-lineares podem ser adotadas tanto para

verificaes de estados limites ltimos como para verificaes de estados limites de

servio.

__________________________________________________________________________________________


24

3.5 ANLISE ATRAVS DE MODELOS FSICOS

Este modelo apropriado e aconselhado especialmente quando os modelos de clculo so

insuficientes ou esto fora do escopo da norma NBR 6118/2007. Para realizar-se a anlise

atravs de modelos fsicos, [...] o comportamento estrutural determinado a partir de ensaios

realizados com modelos fsicos de concreto, considerando os critrios de semelhana

mecnica (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 76). Ainda,

com o intuito de garantir a validade do estudo, obrigatoriamente devem ser obtidos resultados

para todos os estados limites ltimos e de servio a serem empregados na anlise da estrutura,

e todas as aes, condies e possveis influncias que possam ocorrer durante a vida da

estrutura deve ser convenientemente reproduzidas nos ensaios (ASSOCIAO

BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 77).

__________________________________________________________________________________________


25

4 MTODOS DE DIMENSIONAMENTO

4.1 TEORIA SIMPLIFICADA DE MARCUS

As tabelas de dimensionamento de Marcus so amplamente utilizadas na ausncia de recursos

computacionais e na anlise prvia da estrutura em estudos de viabilidade de implantao,

bem como na obteno da espessura da laje que servir como base para iteraes no

dimensionamento realizado por outros mtodos. Dada uma laje que trabalha em duas

direes, o mtodo consiste em considerar na mesma duas faixas largas, uma em cada direo.

A carga que atua sobre as lajes deve repartir-se entre as duas faixas ou vigas de forma que as

flechas que estas possuem em seu ponto de cruzamento sejam iguais (MONTOYA et al.,

2000, p. 545).

Para as lajes macias, o processo das grelhas apresenta resultados conservadores quando

comparados com o clculo exato, ou seja, como placa propriamente dita, por no levar em

considerao a ao favorvel da unio entre as faixas e a existncia de momentos torores. O

processo de Marcus resultou do confronto entre esses resultados e a posterior correo dos

valores obtidos atravs do processo da grelhas, de modo a aproxim-los mais dos valores reais

das placas.

Marcus observou que o processo das grelhas fornecia valores relativamente altos para os

momentos fletores positivos, propondo ento coeficientes de correo para os mesmos. Os

momentos negativos apresentaram valores semelhantes, no sendo, portanto, alterados. Os

coeficientes de correo de Marcus so apresentados abaixo (CAMACHO, 2004):

23

201

x

x

xM

K (frmula 1)

__________________________________________________________________________________________


26

23

201

y

y

yM

K (frmula 2)

Onde:

Mx, My = coeficientes dos momentos positivos para as faixas isoladas [kgf.m/m];

Kx, Ky = obtidos pela teoria das grelhas.

Segundo Silva e Horowitz (2008, p. 201) este mtodo baseia-se no princpio de que a carga

pode ser equilibrada apenas por flexo. Uma vez observado que o processo das grelhas

fornecia valores relativamente altos para os momentos fletores positivos, Marcus props uma

correo destes momentos atravs da adoo de coeficientes especficos de modo a aproxim-

los dos valores reais advindos da teoria das placas.

Silva e Horowitz (2008, p. 199) indicam que para a verificao de estados limites de servio,

deve-se considerar os momentos fletores determinados pelo regime elstico. No caso das lajes

armadas em duas direes, estes valores podem ser calculados com a correo dada pelo fator

na equao do momento fletor conforme dado na figura 2.

Tabelas como esta so encontradas para diversas configuraes de geometria e de apoio de

lajes, mas tem sua aplicao restrita ao emprego de lajes retangulares, inviabilizando sua

aplicao em lajes de geometrias variadas. Baseadas na teoria elstica das placas, so

sistematizaes da soluo geral das placas para casos particulares de apoio e de

carregamento (SILVA; HOROWITZ, 2008, p. 204).

__________________________________________________________________________________________


27

Figura 2: valores de para lajes retangulares armadas em duas direes

__________________________________________________________________________________________


28

Para a obteno dos momentos fletores mximos em cada uma das duas direes principais da

laje, utiliza-se o coeficiente de correo conforme a frmula 3.

100

.. xlpm (frmula 3)

Onde:

m = momento na direo desejada [kgf.m/m];

= coeficiente de correo;

p = carga superficial atuante na laje [kgf/m];

lx = menor vo da laje [m].

4.2 MTODO DE ANALOGIA S GRELHAS

O Mtodo de Analogia s Grelhas a abordagem utilizada pela maioria dos programas de

clculo estrutural para o clculo e detalhamento de estruturas em concreto armado de edifcios

residenciais. Alm de ser de fcil aplicao, tal tcnica fundamentada em conceitos fsicos

de aplicao bastante simplificada e atrativa, o que sustenta o fato de ser um mtodo

amplamente difundido entre calculistas.

4.2.1 Consideraes Tericas

Baseado na substituio de um pavimento por uma grelha equivalente, onde os elementos da

mesma (barras da grelha equivalente) passam a representar os elementos estruturais do

pavimento (lajes e vigas), este processo permite reproduzir o comportamento estrutural de

pavimentos com praticamente qualquer geometria, seja ele composto de lajes de concreto

armado macias, com ou sem vigas, ou ento de lajes nervuradas (SILVA, 2003, p. 2).

Silva (2003, p. 2) indica que:

__________________________________________________________________________________________


29

Para analisar um pavimento atravs do processo de analogia de grelha deve-se

dividir as lajes que o compem em um nmero adequado de faixas, as quais tero

larguras dependentes da geometria e das dimenses do pavimento. Considerando

que, assim como as vigas, estas faixas possam ser substitudas por elementos

estruturais de barras exatamente nos seus eixos, obtm-se ento uma grelha

equivalente que passa a representar o pavimento.

Quanto aos carregamentos, considera-se que as cargas distribudas atuantes no pavimento se

dividem entre as barras da grelha equivalente de acordo com a rea de influncia de cada uma.

As cargas podem ser consideradas uniformemente distribudas ao longo das barras da grelha

ou ento concentradas diretamente nos seus ns (SILVA, 2003, p. 3).

O equilbrio de um elemento de placa exige que os momentos torores sejam idnticos nas

duas direes ortogonais, do mesmo modo que as distores angulares. Para o caso da grelha

no existe nenhum princpio fsico ou matemtico que garanta que os momentos e as

distores sejam iguais nas direes ortogonais, em um determinado ponto. Alm disso, para

uma grelha o momento em uma barra depende apenas de sua curvatura, enquanto em uma

placa o momento em qualquer direo depende da curvatura na mesma direo e na direo

ortogonal (STRAMANDINOLI, 2003).

Este mtodo bastante interessante do ponto de vista prtico, uma vez que possui fcil

automatizao. Dispondo os momentos solicitantes em faixas equivalentes a vigas, o

dimensionamento flexo simples de cada faixa passa a ser idntico ao de uma viga com base

igual rea de influncia da faixa e altura igual espessura da laje, desconsiderando-se os

esforos cortantes. Atualmente, os principais softwares de dimensionamento de estruturas de

concreto armado no Brasil utilizam este mtodo para a obteno dos momentos fletores e das

deformaes em lajes.

4.2.2 Aplicao Computacional

Para a dissociao das lajes em uma grelha equivalente foi utilizado o software STRAP 12.5,

no qual foram testadas diferentes configuraes de grelha e diferentes parmetros de rigidez.

As cargas foram aplicadas como carga global por unidade de rea na estrutura, de forma que o

programa efetua a distribuio das cargas equivalentes para cada barra de grelha por rea de

influncia.

__________________________________________________________________________________________


30

4.3 MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

De acordo com Soriano (2009, p. 8), na maioria dos modelos contnuos, a resoluo analtica

costuma oferecer grandes dificuldades, ou at mesmo ser impossvel. A alternativa no

obteno da soluo analtica atravs da integrao das equaes diferenciais com condies

de contorno ou iniciais utilizar um mtodo aproximado que substitua os infinitos graus de

liberdade do modelo contnuo por um nmero finito de parmetros a serem determinados, ou

graus de liberdade de um modelo aproximado. E, assim, tem-se a troca das equaes

diferenciais daquele modelo por um sistema de equaes algbricas deste modelo.

O mtodo dos elementos finitos uma ferramenta para anlise numrica de estruturas em

geral. Em geral, na aplicao do mtodo dos elementos finitos a elementos de placa, substitui-

se a placa por uma srie de elementos de forma quadrangular ou triangular, podendo variar as

dimenses e caractersticas de um elemento a outro (MONTOYA et al., 2000, p. 544).

4.3.1 Consideraes Tericas

De acordo com Montoya et al. (2000, p. 539), uma placa uma estrutura limitada por dois

planos paralelos de separao h, sendo a espessura h pequena comparada s outras dimenses.

Supe-se, ainda, que as cargas atuem sobre o plano mdio da placa e so normais ao mesmo.

Estruturas de placas so analisadas admitindo-se as seguintes hipteses pela NBR 6118


a) manuteno da seo plana aps a deformao, em faixas suficientemente

estreitas;

b) representao dos elementos por seu plano mdio.

Cada laje pode, ainda, estar submetida a diferentes tipos de carga, como carga pontual,

uniforme ou triangular (paredes de reservatrios). Tudo isto cria uma grande variedade de

problemas de lajes (MONTOYA et al., 2000, p. 539).

Para verificao do estado limite de deformao excessiva podem ser utilizados valores de

rigidez do estdio I, considerando o mdulo de elasticidade secante do concreto, desde que os

__________________________________________________________________________________________


31

momentos fletores sejam menores que o de fissurao (ASSOCIAO BRASILEIRA DE

NORMAS TCNICAS, 2007, p. 84).

Supe-se que os deslocamentos w dentro de cada elemento sejam dados por uma funo

simples (um polinmio, por exemplo), cujos coeficientes numricos permaneam fixos uma

vez conhecidos os valores da funo e de suas derivadas nos vrtices dos mesmos. Desta

forma, ainda que sejam diferentes as funes w e suas derivadas quando analisadas de um

elemento a outro, garante-se a compatibilidade de deformaes entre elementos subsequentes

ao igualar-se seus valores nos vrtices (MONTOYA et al., 2000, p. 545).

Montoya et al. (2000, p. 545) afirmam que as condies de equilbrio dos distintos elementos

(ou o que equivalente, a condio de mnima energia potencial total, funo das incgnitas

escolhidas) proporcionam um sistema de equaes lineares, que uma vez resolvido, permite o

clculo imediato de deslocamentos e de esforos na placa.

As teorias que fundamentam o problema de placas so (AWRUCH; MORSCH, 2009, p. 108):

a) teoria de Kirchhoff, aplicvel especialmente s lajes finas;

b) teoria de Reissner-Mindlin, aplicvel s lajes espessas, nas quais a relao

vo/espessura da laje menor do que 10.

No que diz respeito a este estudo, somente sero estudadas placas que atendem os requisitos

de fina ou mdia. Alm disso, as lajes podem diferenciar-se por suas diferentes caractersticas,

tais como (MONTOYA et al., 2000, p. 539):

a) forma: contorno poligonal ou circular, macias ou com furos;

b) disposio de apoios: somente apoiadas em seus contornos, balano, contnuas

em uma ou duas direes;

c) coao dos apoios: simples, engastamento, sustentao elstica.

Para que seja vlida a equao geral das placas, sero levados em considerao os chamados

postulados de Kirchhoff-Love juntamente com outras hipteses de carter elstico e

geomtrico. So elas (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 1991):

a) o material elstico, homogneo e istropo;

__________________________________________________________________________________________


32

b) a placa inicialmente plana;

c) a espessura pequena comparada com as outras duas dimenses;

d) o ngulo, em radianos, em um ponto qualquer da placa, formado entre a

tangente superfcie mdia deformada da placa e o plano mdio da placa antes

da aplicao da carga, pequeno quando comparado com a unidade;

e) o estado de deformao tal que as linhas retas, normais superfcie mdia da

placa, permaneam retas, inextensveis e normais superfcie mdia

deformada;

f) as tenses normais superfcie mdia so de uma ordem de grandeza

desprezvel;

g) os deslocamentos so calculados apenas para a superfcie mdia da placa.

A teoria de Kirchhof no permite considerar o efeito da deformabilidade por esforo

transversal, ao passo que a teoria de Reissner-Milin j permite a considerao deste efeito. A

sua utilizao , desta forma, aconselhvel sempre que a espessura da laje ultrapassa os

limites que a permitem classificar como laje fina. Esta condio sucede sempre que a

influncia do esforo de corte se torna no desprezvel e as hipteses sobre as quais se baseia

a teoria de Kirschoff deixam de ser vlidas (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 1991).

Quando se desenvolve uma formulao de elementos finitos para a anlise de lajes finas, o

campo de deslocamentos transversais que importa aproximar. Uma vez obtida uma soluo

aproximada para a funo de deslocamentos w, a aproximao para todas as outras grandezas

envolvidas na caracterizao do comportamento da laje pode ser obtida a partir da aplicao

sucessiva das condies de compatibilidade, elasticidade e equilbrio (ZIENKIEWICZ;

TAYLOR, 1991).

Quando se baseia a formulao de elementos finitos de laje na teoria de Kirchhoff, torna-se

necessrio garantir a continuidade dos deslocamentos transversais, w, e de suas derivadas,

entre elementos adjacentes. Esta uma diferena muito importante em relao ao problema de

placas, onde apenas se tem que garantir a continuidade dos deslocamentos interpolados

(ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 1991).

Para justificar de uma forma muito simplista esta imposio, recorda-se que existe uma

grande analogia entre as equaes de lajes de Kirchhoff e as equaes das vigas. Ainda,

quando se impe a continuidade dos deslocamentos entre elementos de viga adjacentes,

__________________________________________________________________________________________


33

necessrio garantir no s a continuidade dos deslocamentos transversais, mas tambm a

continuidade de sua derivada, o que corresponde a assegurar a continuidade das rotaes

(ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 1991).

A necessidade de garantir a continuidade dos deslocamentos e das suas derivadas dificulta

significativamente a tarefa de obteno das funes para efetuar a aproximao dos campos

cinemticos. Torna-se bastante complexa e trabalhosa a obteno de elementos que permitam

verificar por completo as equaes de compatibilidade. A utilizao de funes polinomiais

simples e a utilizao dos deslocamentos nodais como incgnitas do problema (situao tpica

dos elementos finitos de placa) conduz, regra geral, obteno de elementos em que pelo

menos uma das condies de compatibilidade/continuidade violada (ZIENKIEWICZ;

TAYLOR, 1991).

Este dilema coloca-se com frequncia a quem pretende desenvolver elementos de lajes finas.

Se por um lado as construes mais simples no permitem verificar todas as condies de

compatibilidade, os elementos que permitem satisfazer todos aqueles requisitos so mais

complexos, o seu desenvolvimento muito mais trabalhoso e por vezes a sua aplicao bem

mais restrita (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 1991).

Apesar de possibilitar a anlise de estruturas de praticamente qualquer geometria, este mtodo

ainda tem a sua utilizao restrita devido dificuldade de interpretao e de utilizao dos

resultados por ele obtidos. Ainda, requer ferramentas computacionais compatveis com a

utilizao do mtodo e experincia para a total confiana na entrada de dados dos modelos

numricos.

4.3.2 Aplicao Computacional

Por tratar-se de um mtodo numrico, valeu-se de dois softwares como ferramenta de apoio,

sendo eles o STRAP 12.5 e o SAP 2000. Ambos os programas permitem a discretizao da

estrutura em elementos de barra, placa ou slidos. Para a execuo deste estudo foram

utilizados elementos de placa nos quais podem ser aplicados cargas de presso uniforme,

presso varivel, temperatura e peso prprio. Ainda, podem ser definidas cargas de rea a

__________________________________________________________________________________________


34

serem decompostas nos ns ou nos elementos de barras ou planos adjacentes selecionados,

simulando assim o comportamento combinado de uma laje e de suas vigas de apoio.

4.4 EXEMPLO COMPARATIVO

Silva e Horowitz (2008, p. 206) propuseram a anlise de uma laje com lx=5 m e ly=3,6 m

submetida a uma carga uniformemente distribuda de 6,0 kN/m para os trs processos de

clculo estudados neste trabalho, a Teoria Simplificada de Marcus, o Mtodo de Analogia s

Grelhas e o Mtodo dos Elementos Finitos, e compararam os resultados obtidos por cada um

deles.

O quadro 1 apresenta os momentos fletores positivos e negativos para o dimensionamento das

armaes da laje analisada para cada um dos diferentes processos, bem como as respectivas

cargas de colapso, enquanto o quadro 2 apresenta os momentos equilibrantes totais para as

duas direes do painel citado acima (SILVA; HOROWITZ, 2008, p. 206).

Quadro 1: momentos fletores e cargas de colapso para uma laje com lx=5 m e

ly=3,6 m (SILVA; HOROWITZ, 2008)

__________________________________________________________________________________________


35

Quadro 2: momentos equilibrantes totais de uma laje com lx=5m e ly=3,6m

(SILVA; HOROWITZ, 2008)

Conforme Silva e Horowitz (2008, p. 206), observa-se do quadro 2 que a relao mais

desfavorvel entre o momento resistente e o momento equilibrante corresponde ao mtodo da

Teoria Simplificada de Marcus, com subdimensionamento de 16%. Os autores afirmam que,

do ponto de vista da segurana, o processo de dimensionamento da laje com a utilizao da

Teoria Simplificada de Marcus no apresenta necessariamente colapso, uma vez que este

subdimensionamento coberto pelos valores dos coeficientes de segurana e pelo

superdimensionamento das armaduras dispostas no menor vo. Entretanto, no justificvel

do ponto de vista econmico o superdimensionamento de um dos vos de lajes para garantir a

sua estabilidade.

__________________________________________________________________________________________


36

5 AJUSTE DOS MODELOS COMPUTACIONAIS

Devido necessidade de utilizao de softwares para a realizao deste trabalho, foi

necessrio calibrar os modelos computacionais, ajustando parmetros que influenciam

diretamente nos resultados obtidos por cada mtodo.

Para os modelos relativos obteno dos esforos pelo mtodo de analogia s grelhas, viu-se

necessrio adequar a rigidez flexo, a rigidez toro e a rea de influncia das barras que

formam a grelha.

Para a utilizao do mtodo dos elementos finitos, estudou-se o grau de refinamento da malha

de elementos necessrio para que os resultados obtidos fossem considerados convergentes e,

portanto, satisfatrios.

Os resultados obtidos pelas grelhas propostas, bem como pelas malhas de elementos finitos,

foram comparados com a soluo analtica geral de placas para deflexo e momentos, que

esto apresentadas nas equaes 1 a 4 (THIMOSHENKO; WOINOWSKY, 1959).

b

yn

a

xm

bmannmD

baqw

m n

sensen

116

1 12

22226

440 (equao 1)

b

yn

a

xm

bmannm

nambbaqM

m n

x

sensen

16

1 12

2222

2222

4

220 (equao 2)

b

yn

a

xm

bmannm

mbnabaqM

m n

y

sensen

16

1 12

2222

2222

4

220 (equao 3)

__________________________________________________________________________________________


37

b

yn

a

xm

bman

baqM

m n

xy

coscos

1161

1 12

22222

330 (equao 4)

Onde:

w = deflexo na placa [m];

a e b = dimenses da placa [m];

x e y = coordenadas do sistema [m];

D = rigidez flexo de uma placa [m4];

q0 = taxa de carga aplicada na placa [N/m];

Mx = momento fletor na direo x [N.m/m];

My = momento fletor na direo y [N.m/m];

Mxy = momento toror [N.m/m].

Os modelos de calibrao foram comparados a uma laje de dimenses 4,00 x 4,00 x 0,10

metros, sobre a qual foi aplicada uma carga q0 de 700 kgf/m. Dada a resoluo das equaes

acima, esta laje apresenta para um coeficiente de Poison igual a 0,3 e um mdulo de

elasticidade igual a 28x109 Pa, um momento Mmax = 540,22 kgf.m/m e uma deflexo wmax = -

2,84.10- m (ROSA, 2008, p.44).

5.1 REFINAMENTO DA MALHA DE ELEMENTOS FINITOS

Foram testadas e comparadas 3 malhas com diferentes graus de refinamento, sendo elas com

elementos quadrangulares dos seguintes tamanhos:

a) 50 x 50 cm;

b) 25 x 25 cm;

c) 10 x 10 cm.

__________________________________________________________________________________________


38

As propriedades dos elementos utilizados nas malhas de calibrao so idnticas s utilizadas

na resoluo das expresses da Teoria Geral de Placas, ou seja, coeficiente de Poisson 0,3 e

mdulo de elasticidade correspondente a 28x109 Pa.

Figura 3: malha 50 x 50 cm. Momentos na direo x [kgf.m/m] (STRAP, 2009)1

Apesar de fornecer um valor de momento mximo coerente com aquele obtido pela resoluo

das equaes gerais de uma placa submetida flexo, a primeira malha (50 x 50 cm)

apresentou uma distribuio de momentos descontnua e com incoerncias na regio dos seus

cantos conforme ilustra a figura 3.

1 O software STRAP 12.5 trabalha com a conveno de sinais relativos s tenses de compresso e de trao

inversas ao usual. Portanto, tanto os mapas de contorno de momentos quanto os diagramas de momentos de

barras apresentam momentos negativos para tenses de trao na fibra mais inferior do elemento,

inversamente ao usual no Brasil.

__________________________________________________________________________________________


39

A malha composta por elementos de 25 x 25 cm, por sua vez, apresentou resultados bastante

satisfatrios no que diz respeito distribuio dos momentos fletores ao longo da laje. Ainda,

possvel observar a convergncia dos momentos ao longo dos apoios para o valor zero,

conforme esperado para uma laje simplesmente apoiada em seus quatro bordos. A figura 4

mostra a distribuio de momentos na direo x para a malha de elementos de 25 x 25 cm.

Figura 4: malha 25 x 25 cm. Momentos na direo x [kgf.m/m] (STRAP, 2009)

A utilizao de uma malha de elementos com dimenses de 10 x 10 cm permite uma

visualizao ainda mais uniforme da distribuio dos momentos na placa, conforme mostra a

figura 5. Entretanto, vale ressaltar que quanto melhor for o refinamento da malha de

elementos finitos, maior ser o tempo de clculo do modelo numrico, o que pode inviabilizar

a utilizao do mtodo na ausncia de um processador compatvel.

__________________________________________________________________________________________


40

Figura 5: malha 10 x 10 cm. Momentos na direo x [kgf.m/m] (STRAP, 2009)

A malha de 10 x 10 cm foi tambm discretizada no software SAP 2000, obtendo-se resultados

muito prximos aos obtidos pelo software STRAP, conforme ilustra a figura 6. Desta forma,

os modelos gerados no STRAP foram considerados suficientes para a comparao de

resultados subsequente.

__________________________________________________________________________________________


41

Figura 6: malha 10 x 10 cm no software SAP2000. Momentos na direo x

[kgf.m/m]

O quadro 3 mostra a convergncia dos momentos no vo e no apoio conforme o refinamento

da malha de elementos finitos, bem como as deformaes mximas encontradas com a

utilizao de cada malha. Por tratar-se da anlise de uma laje simplesmente apoiada em seus

quatro bordos, espera-se que os momentos no apoio sejam iguais a zero.

__________________________________________________________________________________________


42

Quadro 3: comparativo de malhas de elementos finitos

Conforme citado anteriormente, o material do modelo de calibrao utilizado nos clculo

anteriores possui um coeficiente de Poisson igual a 0,3 e um mdulo de elasticidade igual a

28x109 Pa, e foi utilizado de modo a salientar a convergncia dos resultados obtidos atravs

do mtodo dos Elementos Finitos para a soluo exata do problema, obtida atravs da soluo

da Teoria Geral de Placas.

Desta forma, deste ponto em diante, os modelos em elementos finitos utilizados no trabalho

sero efetuados com malhas de elementos quadrangulares de 10 cm de lado, e os resultados

obtidos sero considerados convergentes. Ainda, o mdulo de elasticidade do concreto

utilizado nos modelos subsequentes de 23,8x109 Pa, com coeficiente de Poisson igual a 0,2,

uma vez que estes valores so mais coerentes para estruturas em concreto armado.

Para o exemplo de laje quadrangular acima com essas propriedades de material, obtm-se um

valor de momento Mmax = 495 kgf.m/m e uma deflexo wmax = -3,52.10- m

5.2 GEOMETRIA E RIGIDEZ DAS GRELHAS

Para a determinao da geometria de grelha a ser utilizada, primeiro viu-se necessrio

estabelecer critrios de atribuio de rigidez flexo Ixx e de rigidez toro J para as barras

da grelha. O momento de inrcia flexo calculado com as dimenses da seo transversal

da faixa de influncia de cada barra da grelha, conforme a frmula 2:

__________________________________________________________________________________________


43

12

3bhI xx (frmula 2)

Onde:

Ixx = momento de inrcia flexo [m4];

b e h = dimenses da seo transversal da faixa de influncia da barra [m].

Para definir a rigidez toro das barras da grelha, testaram-se diferentes relaes J/Ixx com o

intuito de definir a proporo a ser adotada para os modelos subsequentes. As relaes

propostas no quadro 3 foram utilizadas em grelhas com espaamento de 10 x 10 cm, de 25 x

25 cm e de 50 x 50 cm, respectivamente.

Quadro 4: momento fletor Mx de acordo com a relao J/Ixx e com o espaamento da grelha

__________________________________________________________________________________________


44

Quadro 5: deformao de acordo com a relao J/Ixx e com o espaamento da grelha

Observa-se que no foi possvel encontrar uma situao de convergncia do resultado para a

soluo atravs do Mtodo dos Elementos Finitos. Os resultados que mais se aproximaram da

soluo atravs da resoluo da equao de placas foram aqueles obtidos com a relao J/Ixx

igual a 2,3 para uma grelha de espaamento 25 cm e com a relao J/Ixx igual a 3,5 para uma

grelha de espaamento 50 cm.

Para o estudo das lajes propostas sero utilizadas grelhas de 25 cm com relao J/Ixx igual a

2,3, uma vez que esta apresentou a menor variao de resultados quando aplicada a diferentes

espaamentos.

importante ressaltar que esta relao adequou-se resoluo desta geometria de laje apenas,

de forma que a qualidade dos resultados obtidos com a aplicao desta mesma relao J/Ixx

para diferentes lajes ser estudada a seguir.

__________________________________________________________________________________________


45

6 OBTENO DAS SOLICITAES

Para o estudo comparativo foram escolhidas quatro configuraes de lajes, diferenciadas entre

si pelas suas dimenses ou pelas suas condies de apoio. Cada uma das lajes foi calculada de

acordo com as calibraes feitas no captulo anterior, de forma que as grelhas utilizadas tm

espaamento de 25 x 25 cm e suas barras com rigidez toro obedecendo proporo J/Ixx

igual a 2,3. As malhas de elementos finitos aplicadas possuem elementos quadrangulares de

10 x 10 cm, e os resultados apresentados so aqueles obtidos com o auxlio do software

STRAP para ambos os mtodos.

Todas as lajes foram carregadas com uma carga total de 500 kgf/m, sendo considerados 250

kgf/m a carga correspondente ao peso prprio de uma laje de 10 cm de espessura, e 250

kgf/m a sobrecarga de utilizao. Como o foco do trabalho a variao do momento

resultante por cada mtodo, e no o dimensionamento dos elementos em questo, foram

analisados apenas os momentos mximos obtidos por cada mtodo de clculo.

6.1 LAJE QUADRADA SIMPLESMENTE APOIADA

O primeiro caso a ser analisado neste trabalho o de uma laje quadrada simplesmente apoiada

ao longo do seu contorno, com dimenses 5,00 x 5,00 x 0,10 m, ilustrada na figura 7.

__________________________________________________________________________________________


46

Figura 7: laje 1 - dimenses 5,00 x 5,00 x 0,10 m

6.1.1 Laje 1: Soluo pela Teoria Simplificada de Marcus

Para se obter a soluo desta laje pela Teoria Simplificada de Marcus, faz-se a relao entre

os vos ly e lx da laje, sendo ambos iguais a 5 m neste caso, resultando em uma relao ly/lx=

1. Para uma laje simplesmente apoiada com esta relao entre vos, a figura 2 fornece o valor

de = 4,23 para os momentos em ambas as direes.

Utilizando a frmula 1 com lx = 5 m e p = 500 kgf/m, tem-se os momentos mximos no

centro dos vos com valores conforme o quadro 6.

Quadro 6: momentos na laje 1 pela Teoria de Marcus

__________________________________________________________________________________________


47

6.1.2 Laje 1: Soluo por Analogia s Grelhas

A figura 8 mostra a representao da laje 1 como uma grelha de barras equivalente, espaadas

a cada 25 cm conforme proposto anteriormente.

Figura 8: grelha representativa da laje 1

Como a laje quadrada, suas condies de apoio so as mesmas nos quatro lados e a carga

uniformemente distribuda por rea de influncia de cada barra, os diagramas de momentos

fletores nas barras centrais das direes x e y so idnticos e esto representados na figura 9.

Figura 9: diagrama de momento fletor nas barras centrais da grelha em ambas as

direes [kgf.m]

__________________________________________________________________________________________


48

O momento fletor mximo observado na barra de 134 kgf.m para uma rea de influncia de

25 cm. Desta forma, para se obter o momento fletor mximo por faixa, tem-se 134/0.25, o que

resulta em 536 kgf.m/m para ambas as direes (x e y). Ainda, a flecha observada no centro

do vo para a grelha com a relao J/Ixx igual a 2,3 de -0,769 cm. Estes valores esto

apresentados no quadro 7.

Quadro 7: momentos na laje 1 por Analogia s Grelhas

6.1.3 Laje 1: Soluo pelo Mtodo dos Elementos Finitos

Conforme proposto no captulo 5, foram utilizadas malhas de 10x10 cm para o clculo das

lajes atravs do Mtodo dos Elementos Finitos. O mapa de contorno descrito na figura 10

mostra a distribuio dos momentos na direo x da laje 1. Analogamente soluo pelos

mtodos anteriores, a distribuio dos momentos em ambas as direes idntica, devido

geometria da laje e s suas condies de apoio.

__________________________________________________________________________________________


49

Figura 10: mapa de contorno dos momentos na direo x da laje 1 [kgf.m/m]

(STRAP, 2009)

O momento mximo encontrado em ambas as direes igual a 552 kgf.m no centro do vo

da laje, ponto este em que a deformao encontrada de -0,614 cm. Estes valores esto

apresentados no quadro 8 a seguir.

Quadro 8: momentos na laje 1 por Elementos Finitos

__________________________________________________________________________________________


50

6.2 LAJE RETANGULAR SIMPLESMENTE APOIADA

A segunda laje a ser analisada, tambm simplesmente apoiada em seu contorno, tem

dimenses 4,00 x 6,00 x 0,10 m, e est ilustrada na figura 11.



Para uma laje retangular com esta configurao tem-se a relao ly/lx = 1,5. Para tal relao

entre os vos de uma laje simplesmente apoiada em seus quatro bordos, a figura 2 fornece

valores de x e de y iguais a 7,72 e 3,89 respectivamente. Com p = 500 kgf/m e lx = 4 m, a

frmula 1 permite obter os valores dos momentos mximos na laje conforme o quadro 9.

__________________________________________________________________________________________


51



Para o clculo da laje 2 por Analogia s Grelhas, utilizou-se a grelha representada na figura

12, com elementos de barra espaados a cada 25 cm. Desta forma, a laje foi dividida em 16

faixas na direo y e em 24 faixas na direo x.


As figuras 13 e 14 mostram os diagramas de momentos fletores nas barras mais solicitadas

nas direes x e y, respectivamente. Observa-se que as calibraes de rigidez flexo e

toro propostas provocam descontinuidades no grfico dos momentos na direo y. Ainda,

observa-se que o momento mximo na direo y no acontece no meio do vo conforme

esperado, concluindo-se que a calibrao de rigidez adequada para uma laje quadrada no ,

necessariamente, adequada para lajes retangulares.

__________________________________________________________________________________________


52

Entretanto, do ponto de vista esttico, o mtodo apresenta resultados coerentes para

dimensionamento, visto que os momentos mximos obtidos para cada direo so:

a) Mx = 167 kgf.m ou, por rea de influncia da barra, Mx = 668 kgf.m/m;

b) My = 77,3 kgf.m ou, por rea de influncia da barra, My = 309,2 kgf.m/m;

Figura 13: diagrama de momento fletor na barra central da grelha na direo x

[kgf.m]

Figura 14: diagrama de momento fletor na barra central da grelha na direo y

[kgf.m]

O quadro 10 sintetiza os momentos mximos encontrados em cada direo, bem como a

deformao mxima encontrada pelo mtodo.

__________________________________________________________________________________________


53



Assim como no exemplo anterior, adotou-se uma malha de elementos de 10 x 10 cm, nos

quais se aplicou uma carga distribuda de 500 kgf.m/m. O mapa de contorno ilustrado na

figura 15 mostra a distribuio dos momentos na direo x da laje 2. O valor mximo

encontra-se no centro do vo da laje, igual a 626 kgf.m/m.


(STRAP, 2009)

A figura 16, por sua vez, mostra a distribuio dos momentos na direo y da laje 2. O valor

mximo encontra-se no centro do vo da laje, igual a 340 kgf.m/m.

__________________________________________________________________________________________


54

Figura 16: mapa de contorno dos momentos na direo y da laje 2 [kgf.m/m]

(STRAP, 2009)

O quadro 11 a seguir mostra os valores de momentos mximos obtidos para cada direo,

bem como a deformao encontrada com a utilizao do mtodo.


Apesar do vo x ter comprimento menor do que o vo y, coerente que os momentos sejam

maiores na direo do menor vo para lajes retangulares, uma vez que a laje tende a distribuir

suas solicitaes para os apoios mais prximos. Em lajes em que a relao ly/lx for maior ou

igual a 2, a bibliografia aconselha que a laje seja armada em apenas uma direo, uma vez que

as cargas sero distribudas para os apoios paralelos ao vo maior.

__________________________________________________________________________________________


55

6.3 LAJE QUADRADA COM DOIS BORDOS ENGASTADOS

O terceiro caso a ser analisado trata de uma laje quadrada com dimenses de 5,00 x 5,00 x

0,10 m, na qual dois bordos perpendiculares entre si so considerados engastados, conforme

figura 17.



Para uma laje quadrada com esta configurao de apoios e com relao ly/lx igual a 1, obtm-

se os valores do coeficiente conforme a figura 2. Os momentos positivos e negativos

mximos so representados no quadro 12.

__________________________________________________________________________________________


56



A figura 18 mostra a grelha utilizada no clculo da laje pelo mtodo de Analogia s Grelhas.

Assim como na laje 1, os diagramas de momentos em ambas as direes so idnticos.

Analisando a figura 19 possvel observar que a calibrao proposta no captulo 5 parece

adequada para esta configurao, devido uniformidade do grfico de momentos e a seus

valores coerentes. Os momentos negativos nos engastes valem, nas duas direes, -227 kgf.m

ou, por rea de influncia, -908 kgf.m/m. Os momentos positivos, por sua vez, valem 90

kgf.m, ou 360 kgf.m/m.


__________________________________________________________________________________________


57


direes [kgf.m]

Era esperado que a calibrao proposta fosse adequada para esta configurao de laje visto

que se trata de uma laje quadrada de dimenses pouco maiores do que aquelas utilizadas no

modelo de calibrao, o que no acontece com as lajes retangulares estudadas. O quadro 13

sintetiza os resultados obtidos pelo mtodo.



O mapa de contorno descrito na figura 20 mostra a distribuio dos momentos na direo x da

laje 3. O momento negativo mnimo encontrado na borda com engaste de -867 kgf.m/m, ao

passo que o momento positivo mximo de 380 kgf.m/m.

__________________________________________________________________________________________


58


(STRAP, 2009)

Conforme esperado para uma laje quadrada com configurao de apoios simtrica em relao

a sua diagonal, o mapa de contorno da figura 21 apresenta a mesma distribuio de momentos

na direo y que o mapa apresentado para a direo x.

__________________________________________________________________________________________


59

Figura 21: mapa de contorno dos momentos na direo y da laje 3 [kgf.m/m]

(STRAP, 2009)

O quadro 14 apresenta os resultados obtidos atravs da utilizao do Mtodo dos Elementos

Finitos para esta configurao de laje, solicitada por uma carga de 500 kgf.m/m.


__________________________________________________________________________________________


60

6.4 LAJE RETANGULAR COM DOIS BORDOS ENGASTADOS

A prxima laje estudada tem dimenses 4,00 x 6,00 x 0,10 m e condio de engastamento

igual da terceira laje, com dois bordos perpendiculares entre si engastados. A laje est

ilustrada na figura 22.



Para uma laje retangular com esta configurao tem-se a relao ly/lx = 1,5. Para esta relao

entre os vos de uma laje engastada em dois bordos perpendiculares, a figura 2 fornece

valores de x e de y para os momentos positivos e negativos. Com p = 500 kgf/m e lx = 4 m,

a frmula 1 permite obter os valores dos momentos mximos na laje conforme apresenta o

quadro 15.

__________________________________________________________________________________________


61



A grelha de barras utilizada no software STRAP est ilustrada na figura 23 a seguir, enquanto

os diagramas de momentos fletores nas direes x e y seguem nas figuras 24 e 25,

respectivamente.


__________________________________________________________________________________________


62

Figura 24: diagrama de momento fletor na barra central da grelha na direo x

[kgf.m]

Figura 25: diagrama de momento fletor na barra central da grelha na direo y

[kgf.m]

Observa-se que, mais uma vez, a calibrao proposta no parece adequada a uma

configurao de laje retangular, resultando em descontinuidades no grfico do momento na

direo do maior vo. Estas descontinuidades ocorrem devido ao erro introduzido com a

aplicao de coeficientes multiplicadores para a rigidez torcional de cada barra. Com sua

rigidez alterada, existe uma redistribuio de cargas para as barras da grelha que no reproduz

o comportamento real da estrutura.

O quadro 16 resume os valores mximos e mnimos de momentos encontrados em cada

direo, fornecendo o valor do momento fletor por barra, bem como o momento resultante da

rea de influncia de 0,25 m de cada barra da grelha.

__________________________________________________________________________________________


63

Quadro 16:

ufrgs - elementos superficiais laminares em concreto armado

Documents