27/03/2015 Trombeta de Gabriel – Wikipédia, a enciclopédia livre

http://pt.wikipedia.org/wiki/Trombeta_de_Gabriel 1/2

Renderização POV­Ray da Trombeta de Gabriel.

Trombeta de GabrielOrigem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Trombeta de Gabriel, trombeta doanjo Gabriel ou ainda trombeta deTorricelli, é uma superfície derevolução que se obtém girando a

curva , com ,

em torno do eixo das abscissas. Talconstrução tem a característica depossuir uma superfície com áreainfinita, envolvendo um volume finito.

Paradoxo

Um curioso resultado descoberto em 1641 por Torriceli foi sua prova de que se uma área infinita talcomo a limitada pela hipérbole , uma ordenada , e o eixo das abscissas, é girada emtorno do eixo , o volume do sólido gerado pode ser finito. A descoberta de que uma figura dedimensões infinitas pode ter grandeza finita envolveu outros grandes pensadores como Fermat, Oresme eRoberval.

Utilizando integral imprópria podemos chegar a esse resultado:

1. Aqui utilizamos a fórmula para o cálculo do volume;

2. Como a integral imprópria converge dizemos que a trombeta, apesar do comprimento infinito, tem unidades cúbicas de volume.

1. Aqui utilizamos a fórmula para o cálculo da área;

2. Utilizando que diverge, pelo teste do limite do quociente, sabemos que a integral

27/03/2015 Trombeta de Gabriel – Wikipédia, a enciclopédia livre

http://pt.wikipedia.org/wiki/Trombeta_de_Gabriel 2/2

imprópria também diverge. Ou seja, a área que recobre a trombeta é

infinita.

O Arcanjo Gabriel poderia encher a trombeta com pouco mais de 3 unidades cúbicas de tinta, masmesmo que usasse toda a tinta do universo, não poderia pintá­la.

Explicação do Paradoxo

Para compreender como uma superfície infinita pode encerrar uma região de volume finito, vamoslançar mão de uma analogia simples. Considere uma massa de moldar (massinha de criança) em formade uma cobra (aqui imaginada como perfeitamente cilindrica). Se o raio inicial da cobra é e o seucomprimento é , então o volume da cobra é dado por , enquanto a área superficial é dadapor . Considere agora uma segunda situação. Se rolamos a massa de modelar no chão,fazendo o seu raio se reduzir pela metade (ou seja ), o seu volume se manterá inalterado (

), onde estamos imaginando um material totalmente incompressível. Mas, uma vez que ovolume não se modifica, o seu comprimento quadruplicará (ou seja ), como se vê em

. Nesta situação, a área superficial da cobra será dada por , ou seja, ela fica o dobro de antes. Assim, a medida que se reduz o raio da

cobra, a área superficial da região cilindrica tende a infinito enquanto o volume se mantém constante.Isto é exatamente o que ocorre no aparente Paradoxo da Trombeta de Gabriel.

Referências

Boyer, Carl B. (1996). História da matemática. 2ª Edição. São Paulo. Edgard Blücher ltda. ISBN85­212­0023­4.Silva, Mário Olivero da. (2004). Cálculo 2. v.2. 2ª Edição. Rio de Janeiro. Fundação CECIERJ.ISBN 85­7648­046­8.Keisler, H. Jerome (2000). Elementary calculus. Disponibilizado pelo autor emhttp://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html

Obtida de "http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Trombeta_de_Gabriel&oldid=34890251"

Categorias: Análise matemática Cálculo integral Paradoxos

Esta página foi modificada pela última vez à(s) 15h59min de 27 de março de 2013.Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons ­ Atribuição ­ CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC BY­SA 3.0) ; pode estar sujeito a condições adicionais. Para maisdetalhes, consulte as Condições de Uso .