trigonometria_64
TRANSCRIPT
-
7/26/2019 Trigonometria_64
1/7
Lista de Trigonometria 2
Por Felipe Marambaia
1)
Sejam a, b e c nmeros reais, todos diferentes de -1 e 1, tais que a + b + c = abc. Prove que:1 + 1 + 1 = 41212(12).
Soluo
Seja a = tgx, b = tgy, c = tgz, onde x, y, z 4
, para todos inteiros k.
A condio a + b + c = abc se transforma em tg(x + y + z) = 0.
Sabemos que tg(2x + 2y + 2z) =2(++)
1(++)= 0.Portanto tg(2x) + tg(2y) + tg(2z) = tg(2x)tg(2y)tg(2z).
Isso implica que 21 + 21 + 21= 21 21 21e ento est provado.2) Determine todas as solues reais do sistema:
2 + = 2 + = 2 + = .
Soluo
Do sistema de equaes acima temos que x, y, z 1.x(2 + xy) = y 2x + xy = y 2x = y(1x) y = 21. Analogamente, z = 21e x = 21.Fazendo x = tga, vem que:
y = tg(2a), z = tg(4a) e x = tg(8a). Da,
tg(8a) = tga 8a = a + k a = 7
, k .Ento x = tg(
7
), y = tg(2
7), z = tg(
47
), k .3) Se a, b, c (0,1), prove que:
+
1
1
(1
) < 1 .
Soluo
Fazendo a = sen, b = sen e c = sen, com , e [0, 2
], vem que + 1 1 (1 )= sen()sen()sen() + cos()cos()cos() == (sen(), cos()) (sen()sen(), cos()cos()) (sen())2 + (cos())2 (sen()sen())2 + (cos()cos())2.Mas (sen()sen())2 + (cos()cos())2= (sen+ cos)(sen + cos) (sencos ++ sencos) < (sen+ cos)(sen + cos) = 1 .
Portanto, (sen(), cos()) (sen()sen(), cos()cos()) < 1 e ento est provado.
-
7/26/2019 Trigonometria_64
2/7
Lista de Trigonometria 2
Por Felipe Marambaia
4) Resolva a equao:
tg(2x) + 2tg(2x)tg(3x)1 = 0 .
Soluo
Sabendo que tg(3x) + 1 = sec(3x), temos que -1 = tg(3x)sec(3x). Substituindo na
equao acima, temos que
tg(2x) + 2tg(2x)tg(3x) +tg(3x)sec(3x) = 0, ou seja,
tg(2x) + 2tg(2x)tg(3x) +tg(3x) = sec(3x) (tg(2x) + tg(3x)) = sec(3x) tg(2x) + tg(3x) = sec(3x). Desenvolvendo, temos que sen(2x)cos(3x) + sen(3x)cos(2x) = cos(2x), ou seja,
sen(5x) = sen(2 2).
Ento sen(32
+4
)cos(72
4
)= 0 ou sen(72
4
)cos(32
+4
)= 0 .
Portanto, x =27 14ou x = 23 6.
5) Sejam a, b e c nmeros reais. Prove que:
(ab + bc + ca1)(a + 1)(b + 1)(c + 1) .Soluo
Fazendo a = tgu, b = tgv e c = tgw,com u,v e w (- 2
,2
) e multiplicando por
sec(u)sec(v)sec(w) temos que
(tg(u)tg(v) + tg(v)tg(w) + tg(w)tg(u)1)cos(u)cos(v)cos(w) 1 , ou seja,
-1 (tg(u)tg(v) + tg(v)tg(w) + tg(w)tg(u)1)cos(u)cos(v)cos(w) 1 .
Mas tg(u)tg(v) + tg(v)tg(w) + tg(w)tg(u)1)cos(u)cos(v)cos(w) =
= sen(u)sen(v)cos(w) + sen(v)sen(w)cos(u) + sen(w)sen(u)cos(v)cos(u)cos(v)cos(w) =
= sen(u)sen(v+ w)cos(u)cos(v + w) = - cos(u + v+ w) [-1, 1].Ento est provado.
6) Encontre a soluo real da equao:1 = 2x - 1 + 2x1 .Soluo
Fazendo x = cost, vem que:1 (1 22) = 2 1 + 21 2 (2)= cos(2t) + 2cost. Abrindo em 4 casos, temos:
2 2 = cos(2t) + sen(2t) = 2(
4+ 2)
4+ 2
2 = 0
28
+34 os(
8+
54
) = 0 8
+34
= = 43
6;
8+
54
=2
+
= 45
+310
.
-
7/26/2019 Trigonometria_64
3/7
Lista de Trigonometria 2
Por Felipe Marambaia
2
2
= cos(2t) - sen(2t) =
2
(4
2
)
4
2
2
= 0
2 8 + 54 os(8 34 ) = 0 8 + 54 = = 45 + 10 ; 8 34 =2
+ = 43
2.
2 2 = cos(2t) + sen(2t) = 2(
4+ 2)
4+ 2 +
2 = 0
28
+54 os(
8 +
34
) = 0 8
+54
= = 45
10;
8+
34
=2
+
= 43
+2
.
+
2
2= cos(2t) - sen(2t) =
2
(
4
2
)
4 2
+
2=
0 28 34 os(8 54 ) = 0 8 34 = = 43 + 6 ; 8 54 =2
+ = 45 3
10.
7) Resolva a equao:
6x + 81 = 5(1 + + 1 ), para x no intervalo ]35,1[ .
Soluo
Faamos x = cos(2t). Vem que
6cos(2t) + 8(2)= 52( + ) . Seja = arccos(45). Abrindo em casos,temos que6cos(2t) + 8sen(2t) = 52(cost + sent)6cos(2t) + 8sen(2t) = 10sen(t + 4
) sen(t + 4
) =3
5cos(2t) +
4
5sen(2t) = sen(2t + ) sen(2t + ) - sen(t +
4) = 0 2sen(
2+
2
-8
)cos(32
+2
+8
) = 0 ,ou seja,
2+
2-
8= k
t = 2k
+
4
ou
3
2+
2+
8=
2+ k
t =
2
3+
4-
3.
6cos(2t) + 8sen(2t) = 52(cost - sent) 6cos(2t) + 8sen(2t) = 10sen(-t + 4
) sen(-t + 4
) =3
5cos(2t) +
4
5sen(2t) = sen(2t + ) sen(2t + ) - sen(-t +
4) = 0 2sen(3
2+
2
-8
)cos(2
+2
+8
) = 0 ,ou seja,
32
+2
-8
= kt = 2k 3
+
12
3
ou2
+2
+8
=2
+ kt = 2+ 34
- .6cos(2t) + 8sen(2t) = 52(-cost + sent)
-
7/26/2019 Trigonometria_64
4/7
Lista de Trigonometria 2
Por Felipe Marambaia
6cos(2t) + 8sen(2t) = -10sen(-t + 4
) sen(t - 4) =
3
5cos(2t) +4
5sen(2t) = sen(2t + ) sen(2t + ) - sen(t - 4) = 0 2sen(2+
2
+8
)cos(32
+2
-8
) = 0 ,ou seja,2+
2
+8
= kt = 2k- 4
ou . 32
+2
-8
=2
+ kt = 23
+4
-3
.
6cos(2t) + 8sen(2t) = 52(-cost - sent) 6cos(2t) + 8sen(2t) = -10sen(t + 4
)
-sen(t +
4
) =3
5cos(2t) +
4
5sen(2t) = sen(2t +
)
sen(2t + ) + sen(t + 4) = 0 2sen(32
+2
+8
)cos(2
+2
-8
) = 0 ,ou seja,
32
+2
+8
= kt = 2k 3
-
12-3
ou2
+2
-8
=2
+ kt = 2+ 54
- .6cos(2t) - 8sen(2t) = 52(cost + sent)6cos(2t) - 8sen(2t) = 10sen(t +
4) sen(t +
4) =
3
5cos(2t) +
4
5sen(2t) = sen(-2t + )
-sen(-2t +
) + sen(t +
4
) = 0
2sen(32 - 2 + 8)cos(- 2 + 2 + 8) = 0 ,ou seja,32
-2
+8
= kt = 2k 3
-
12+
3
ou 2
+2
+8
=2
+ kt = 2- 34
+ .6cos(2t) - 8sen(2t) = 52(cost - sent)6cos(2t) - 8sen(2t) = 10sen(-t +
4) sen(t -
4) =
3
5cos(2t) -
4
5sen(2t) = sen(-2t + ) sen(-2t + ) + sen(-t + 4
) = 0 2sen(2- 2 + 8)cos(-
3
2 + 2 + 8) = 0 ,ou seja,2-
2+
8= kt = 2k- 4+ ou . 32 + 2 + 8= 2+ kt = 23 - 4+3 .
6cos(2t) - 8sen(2t) = 52(-cost + sent) 6cos(2t) - 8sen(2t) = -10sen(-t + 4
) sen(t - 4
) =3
5cos(2t) +
4
5sen(2t) = sen(-2t + ) -sen(-2t + ) + sen(t -
4) = 0
2sen(
32
-2
-8
)cos(-2
+2
-8
) = 0 ,ou seja,
32 - 2 - 8= kt = 2k 3 + 12+ 3 ou 2 + 2 - 8= 2+ kt = 2- 54 + .
-
7/26/2019 Trigonometria_64
5/7
Lista de Trigonometria 2
Por Felipe Marambaia
6cos(2t) - 8sen(2t) = 5
2(-cost - sent)
6cos(2t) - 8sen(2t) = -10sen(t + 4) sen(t + 4
) =3
5cos(2t) -
4
5sen(2t) = sen(-2t + ) sen(-2t + ) + sen(t +
4) = 0 2sen(
2+
2
+8
)cos( 32
+2
-8
) = 0 ,ou seja, 2+
2
+8
= kt = 2k+ 4
+ ou . 32
+2
-8
=2
+ kt = 23
-512
+3
.
8) Sejam x, y e z nmeros reais, tais que x + y + z = xyz. Prove que:
x(1y)(1z) + y(1x)(1z) + z(1x)(1y) = 4xyz .
Soluo
A concluso imediata se xyz = 0, ento vamos assumir que x, y, z 0.Dividindo a
equao por 4xyz, transformamos para a seguinte equao:
12 12 + 12 12 + 12 12 = 1.
Fazendo x = tg a, y = tg b e z = tg c , onde a, b e c so ngulos de um tringulo, e
substituindo na equao acima temos que
cotg(2b)cotg(2c) + cotg(2c)cotg(2a) + cotg(2a)cotg(2b) = 1.
A equao acima equivalente a
tg(2a) + tg(2b) + tg(2c) = tg(2a)tg(2b)tg(2c), o que leva a
tg(2a + 2b + 2c) = tg(2) = 0.
Ento est provado.
9) Resolva, nos nmeros reais, a equao:
x - 3x = + 2.Soluo
Primeiro, note que se x > 2, ento x - 3x > 4x3x = x > + 2, ento todo x devesatisfazer -2 x 2 . Portanto, podemos substituir x = 2cost para alguma t
[0,
].
Ento a equao torna-se 2cos(3t) = 2(1 + ) = cos 2, ou seja,2sen(74
)sen(54
)= 0, logo t {0, 47
,45
} . Portanto as solues da equao original so
x {2, 2cos(47
), -1
2(1 + 5)}.
10)Prove para todos os nmeros reais a, b e c a desigualdade: 1+1+ 1+1+ + 1+1+.Soluo
-
7/26/2019 Trigonometria_64
6/7
Lista de Trigonometria 2
Por Felipe Marambaia
Seja a = tgu, b = tgv e c = tgw,com u,v e w (- 2
,2
). Ento a + 1 = secu, b + 1 = secv, c +
1 = secw, e a desigualdade torna-se( ) ( ) + ( ). Isso provado abaixo: = + == cos + cos ( ) + + .
11)Resolva o sistema de equaes nos nmeros reais:33 = 3
3 = 33 = .Soluo
Da primeira equao, segue que se x = 0, y tambm zero, fazendo com que x fique
indeterminado; ento x, e analogamente y e z, no podem ser 0. Resolvendo as equaes,
respectivamente, para y, z e x, obtemos o sistema equivalente
y =3 13, z = 3 13, x = 313,onde x, y e z so nmeros reais diferentes de 0.
Existem um nico nmero u no intervalo (-2
,2
) tais que x= tgu. Ento
y =33132 = 3,
z =33(3)
13(3) = tg(9u),x =
39(9)13(9) = tg(27u).
A ltima igualdade d tgu = tg(27u), portanto u e 27u diferem de um mltiplo inteiro de .Portanto u =
26
, para algum k satisfazendo - 2