Ficha 1 Trigonometria Pág.1

Problemas de aplicação 1. Leonardo de Pisa (séc. XII), mais conhecido por Fibonacci, pôs o

seguinte problema:

Dois postes de madeira, um de 30pés e outro de 40 pés, estão à

distância de 50 pés. Entre os postes há um fontanário para o qual

dois pombos, descendo dos seus topos, se dirigem à mesma

velocidade, partindo e chegando ao mesmo tempo.

1.1. Determina a distância do centro do fontanário, F, às bases dos postes.

1.2. Determina o ângulo α segundo o qual se vê, o centro do fontanário e os topos dos

dois postes.

2. Um pássaro avista de cima de um rochedo R um

peixe no mar. A altura do rochedo é 399,69m.

Num voo em linha recta, apanha-o em P e, em

seguida e também em linha recta vai para cima

da falésia F onde o come.

A altura da falésia BF é de 100m.

2.1. A que distância PB da falésia o pássaro apanha o peixe?

2.2. Qual foi a distância percorrida pelo pássaro desde que parte para apanhar o peixe e o

momento em pára para o comer? (Apresenta o resultado aproximado ao decímetro)

3. Certas peças de metal têm formas tais que algumas das suas

dimensões não são determináveis directamente e tem de se

recorrer a um cilindro de diâmetro conhecido.

Assim, para determinar a profundidade do entalhe numa peça

de metal, dispõe-se a peça cilíndrica como indica a figura.

A medida do comprimento de [ED] pode ser determinada; chamemos-lhe h.

Com um cilindro de 20 mm de diâmetro, h = 80 mm; co m um cilindro de 30 mm de diâmetro,

h= 95 mm.

3.1. Mostre que:

1070DB

sen α+ = e 15

80DBsen α

+ =

Ficha 1 Trigonometria Pág.2

3.2. Determine o valor de sen α e, em seguida, calcule a amplitude do ângulo ABC e a

medida do comprimento do segmento [BD].

4. Uma chaminé de cozinha tem a forma de um tronco de pirâmide com bases rectangulares.

As faces [ADHE] e [ABFE] são perpendiculares às duas bases. Na figura, as di mensões estão

expressas em milímetros.

Calcule:

4.1. As alturas [BF] e [DH] dos trapézios [BCGF] e [CDHG], com aproximação ao milímetro.

4.2. A área de cada uma das faces [BCGF] e [CDHG], com aproximação ao 2cm .

4.3. As medidas dos ângulos α e β , com aproximação a décima do grau.

4.4. O comprimento da aresta [GC], com aproximação ao milímetro.

5. Do alto de prédios circundantes, foram feitas

medições de ângulos e outras, com vista a

determinar a altura da Torre Eiffel.

Tendo em conta todas as medições

apresentadas na figura determina a altura

total da torre, incluindo a antena.

6. Numa escola fez-se um acesso a um primeiro andar a 3 m de altura, através de construção de

um lanço de rampa, subindo até um patamar e, um out ro lanço concluindo a subida.

Se o primeiro lanço tiver uma inclinação de 5,9°, c om um comprimento de 18 m (na

horizontal), qual deverá ser a inclinação do segund o lanço de forma a que tenha um

comprimento (na horizontal) de 12 m ?

Apresente o resultado arredondado a décima de grau.

Ficha 1 Trigonometria Pág.3

7. Numa dada cidade, o número de horas H de luz solar, em cada dia, ao longo de um ano

bissexto é aproximadamente dado por ( ) ( )π − = +

8112 2,64

183

tH t sen , em que t é o número do

dia desse ano (0 dia 1 é o dia 1 de Janeiro e o dia 81 é o dia 21 de Março).

7.1. Determine um valor aproximado, em horas e minutos, da duração de luz solar no dia 23

de Janeiro.

7.2. Mostre que, nesta cidade, não há dias com menos de 9,6 nem com mais de 14,4 horas

de luz solar.

7.3. Nos equinócios a duração do dia é igual à da n oite (12 horas). Determine os números

dos dias em que tal acontece.

8. Os valores captados por um microfone ligado a um computador, quando se produz um

determinado som podem ser aproximado pela expressão matemática 70,2 2, 6

8y sen t

π = +

t refere-se ao tempo em ms (milésimos de segundo) desde o inicio da captação d o som até

aos 8 ms e y ao valor lido pelo computador .

8.1. Qual o valor captado pelo computador passados 4 ms do inicio das leituras?

8.2. Determine valores aproximados, a décima do ms, dos instantes em que o valor

captado foi máximo?

9. Num certo pistão, peça usada em mecânica na tran smissão de

certos movimentos, a distancia x, em metros, do centro do eixo a

cabeça do pistão, conforme se assinala na figura, é dada pela

fórmula cos 16 0,5cos2x θ θ= + +

em que θ é a amplitude do ângulo representado na figura.

Determine o valor exacto de x quando:

1. 30ºθ = 2. 45ºθ =