trigonometria em cálculo

8/18/2019 Trigonometria em cálculo

1/56

Anotações sobre trigonometria

Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡

-

[email protected]

‡


2/56

1


3/56

Sumário

1 Trigonometria 5

1.1 Definição de funções trigonométricas por meio de série de potências . . . . 5

1.1.1 cos2(x) = cos(2x) + 12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2 Definição do número π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Funções seno e cosseno e equações diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 sen2(x) = 1− cos(2x)

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 cossec(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.1 cotg

2

(x) + 1 = cossec

2

(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Sec(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7 T g(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7.1 tg2(x) + 1 = sec2(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7.2 tg(a + b) = tg(a) + tg(b)

1− tg(a).tg(b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7.3 Fórmulas de Tangente do arco metade . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8 Cotg(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8.1 cotg(a + b) = cotg(a)cotg(b) − 1

cotg(a) + cotg(b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.8.2 cotg(x)− 2cotg(2x) = tg(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.8.3 cossec(x) = cotg(

x

2)− cotg(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.9 Fórmulas de Werner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.10 Funções trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.10.1 arcsen(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.10.2 D[arcsen(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.10.3

∫ 1√

1− x2 dx = arcsen(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2


4/56

SUM ´ ARIO 3

1.10.4 Série de arcsen(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.10.5 arccos(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.10.6 D[arccos(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.10.7∫ −1√

1− z 2 dz = arccos(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.10.8 Relação entre arccos(x) e arcsen(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.10.9 Série de arccos(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.10.10 Função arctg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.10.11 Darctg(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.10.12

∫ 1

a2 + x2dx =

1

aarctg(

u

a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.10.13 Série para arctg(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.10.14 Função arccotg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.10.15 D[arccotg(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.10.16 Série de arccotg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.11 Função arcsec(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.11.1 D[arcsec(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.11.2 arcos(1

z ) = arcsec(z ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.11.3 Série de arcsec(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.12 Função arccossec(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.12.1 D[arccossec(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.12.2 Série de arccossec(z ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.13 Integração de funções trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.13.1

∫ arcsen(x)dx = xarcsen(x) +

√ 1− x2 . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.13.2

∫ arccos(x)dx = xarccos(x)−

√ 1− x2 . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.13.3

∫ arctg(x) = xarctg(x)− 1

2ln(1 + x2). . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.13.4 ∫ arccotg(x) = xarccotg(x) + 1

2

ln(1 + x2). . . . . . . . . . . . . . . 34

1.14 Funções hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.14.1 Definição das funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.14.2 Funções hiperbólicas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.14.3 Série para arccossech(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.14.4 Série de arccotgh(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.14.5 Representando arccosh(x) por meio de ln . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.14.6 Representando arcsenh(x) por meio de ln . . . . . . . . . . . . . . . 38


5/56

SUM ´ ARIO 4

1.15 Relação com complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.15.1 sen(ix) = isenh(x) e senh(ix) = isen(x). . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.15.2 i.arcsenh(x) = arcsen(ix) e arcsenh(ix) = iarcsen(x). . . . . . . 39

1.15.3 cosh(ix) = cos(x) e cos(ix) = cosh(x). . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.15.4 Identidade fundamental cosh2(x)− senh2(x) = 1 . . . . . . . . . . . 401.15.5 senh(x + y) = senh(x).cosh(y) + senh(y).cosh(x) . . . . . . . . . . 41

1.15.6 tg(ix) = itgh(x) e tgh(ix) = itg(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.15.7 cotgh(ix) = −icotg(x) e cotg(ix) = −icotgh(x). . . . . . . . . . . . 421.15.8 sec(ix) = sech(x) e sech(ix) = sec(x). . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.15.9 sech2(x) = 1− tgh2(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.15.10 cossech(ix) = −icossec(x) e cossec(ix) = −icossech(x). . . . . . . 431.15.11 cossech2(x) = cotgh2(x)− 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.15.12 sen(3x) = 3sen(x)− 4sen3(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.15.13 cos(3a) = 4cos3(a)− 3cos(a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.15.14 tg(3x) = tg(60◦ − x)tg(x)tg(60◦ + x). . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.15.15

cotg(θ)

i =

e2θi + 1

e2θi − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.15.16 cosn(x) = 1

2n

n∑k=0

n

k

cos((n− 2k)x) . . . . . . . . . . . . . . . . . 53


6/56

Caṕıtulo 1

Trigonometria

1.1 Definição de funções trigonométricas por meio de

série de potências

Propriedade 1. As śeries∞

∑k=0(−1)kx2k+1

(2k + 1)!

∞∑k=0

(−1)kx2k(2k)!

convergem em toda reta.

Demonstração. Aplicamos o critério da razão, para a primeira séries temos

lim k√ |akxk| = |x| lim k

√ |ak| = 0

pois se k é par tem-se ak = 0 e se k é ı́mpar |x| lim 2k+1√ |a2k+1| = |x| lim 2k+1 1(2k + 1)!

que também converge para zero, logo logo o critério da razão é aplicável e a série converge

com qualquer entrada real x. Para a segunda série temos o mesmo

lim k√ |akxk| = |x| lim k

√ |ak| = 0

pois se k é ı́mpar tem-se ak = 0 e se k é ı́mpar |x| lim 2k√ |a2k| = |x| lim 2k

1

(2k)! que

também converge para zero.

5


7/56

CAP ́ ITULO 1. TRIGONOMETRIA 6

Definição 1 (Função seno). Definimos a função seno, por

sen(x) =∞

∑k=0(−1)kx2k+1

(2k + 1)!

para todo x real.

Definição 2 (Função cosseno). Definimos a função cosseno, por

cos(x) =∞∑k=0

(−1)kx2k(2k)!

para todo x real.

Corolário 1.

(sen(x))′ = cosx

pois

(sen(x))′ =∞∑k=0

(−1)k(2k + 1)x2k(2k + 1)!

=∞∑k=0

(−1)kx2k(2k)!

= cos(x).

Corolário 2.

(cos(x))′ =

−sen(x)

pois

(cos(x))′ =∞∑k=0

(−1)k(2k)x2k−1(2k)!

=∞∑k=1

(−1)k(2k)x2k−1(2k)!

= −∞∑k=1

(−1)kx2k−1(2k − 1)! =

= −∞∑k=1

(−1)kx2k+1(2k + 1)!

= −sen(x).

Corolário 3.

cos(0) =∞∑k=0

(−1)k

02k

(2k)! = 1.

Logo cos(0) = 1.

Corolário 4.

sen(0) =∞∑k=0

(−1)k02k+1(2k + 1)!

= 0.

Logo sen(0) = 0.


9/56


Demonstração. Vale que f ′′(0) = −f (0) = 0, vamos mostrar que Dnf (0) = 0 ∀n.Supondo que D2kf (0) = 0 vamos provar que D2k+2f (0) = 0, aplicando D2k na identidade

f ′′(x) =−

f (x) tem-se

D2k+2f (x) = −D2kf (x), D2k+2f (0) = −D2kf (0) = 0

o mesmo para as derivadas de ordem ́ımpar. Supondo que D2k+1f (0) = 0 vamos provar

que D2k+3f (0) = 0, aplicando D2k+1 na identidade f ′′(x) = −f (x) tem-se

D2k+3f (x) = −D2k+1f (x), D2k+3f (0) = −D2k+1f (0) = 0

por isso Dnf (0) = 0 ∀n ∈ N. Como os coeficientes ak da série de potências são dadospor ak =

Dk

k!

f (0), segue que cada ak é nulo, portanto a série é identicamente nula .

Propriedade 5 (Seno da soma). Para quaisquer a, b ∈ R

sen(a + b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a).

Demonstração. Consideramos a função definida como

f (x) = sen(a + x)− sen(a).cos(x)− sen(x).cos(a)

que é uma série de potência que converge em R, temos que

f (0) = sen(a)− sen(a).cos(0)− sen(0).cos(a) = 0vale também que

f ′(x) = cos(a+x)+sen(a).sen(x)−cos(x).cos(a), f ′(0) = cos(a)+sen(a).sen(0)−cos(0).cos(a) =

f ′′(x) = −sen(a + x) + sen(a).cos(x) + sen(x).cos(a) = −f ′(x)portanto f satisfaz as condições do lema anterior e dáı

f (x) = 0 ⇒ sen(a + x) = sen(a).cos(x) + sen(x).cos(a).

Corolário 5 (Cosseno da soma). Derivando a identidade

sen(a + x) = sen(a).cos(x) + sen(x).cos(a)

tem-se

cos(a + x) = −sen(a).sen(x) + cos(x).cos(a).


10/56


Corolário 6. Se a = b temos

sen(2a) = sen(a).cos(a) + sen(a).cos(a) = 2sen(a).cos(a).

Propriedade 6.

cos(2x) = cos2(x)− sen2(x)

Demonstração.

cos(2x) = cos(x + x) = cos(x).cos(x)− sen(x).sen(x) = cos2(x)− sen2(x).

1.1.1 cos

2

(x) =

cos(2x) + 1

2 .

Propriedade 7.

cos2(x) = cos(2x) + 1

2 .

Demonstração. cos(2x) = cos2(x)− sen2(x) e sen2(x) = 1− cos2(x) substituindo

cos(2x) = cos2(x)− 1 + cos2(x) ⇒ cos(2x) + 1 = 2cos2(x) ⇒ cos(2x) + 12

= cos2(x).

Corolário 7.

cos(2x) = 2cos2(x)− 1

Propriedade 8. Existe a > 0 tal que cos(a) = 0.

Demonstração. Suponha por absurdo que não exista tal a, então vale que cos(x) >

0 ∀x, pois caso existisse x tal que cos(x) ≤ 0 então pelo fato do cosseno ser cont́ınuaexistiria a tal que cos(a) = 0. como vale [sen(x)]′ = cos(x) > 0 então seno é crescente em

[0,∞), sendo x1 > x2 tem-se

sen(x1) > sen(x2) ⇒ 1−sen(x2) > 1−sen(x1) ⇒√

1− sen(x2) >√

1− sen(x1) ⇒ cos(x2) > co

logo cosseno é decrescente e sendo limitada, existe c ∈ [0, 1) tal que

limx→∞

cos(x) = c,

da mesma maneira como seno é crescente e limitada existe b ∈ (0, 1] tal que

limx→∞

sen(x) = b,


11/56


usando as identidades cos(2x) = 2cos2(x)− 1 e sen(2x) = 2sen(x)cos(x) no limite tem-se

c = 2c2 − 1 ⇔ (c− 1)(c + 12

)2 = 0

b = 2cb

dáı c = 1, pois não pode ser c = −12

e b = 0, isso contraria o que já notamos para tais

números, então chegamos num absurdo!, logo existe a tal que cos(a) = 0.

1.1.2 Definição do número π .

Definição 3 (Número π.). Existe a > 0 tal que cos(a) = 0 tal que cos(x) > 0 para

x ∈ [0, a), pois cosseno é contı́nua e como cos(0) = 1 deve existir um intervalo em queseja positiva. Definimos

π = 2a.

Vale

cos(π

2) = 0.

Corolário 8. sen(x) é crescente em [0,

π

2 ), pois nesse intervalo vale [sen(x)]′

= cos(x) >

0.

Corolário 9. Vale sen(π

2) = 1 pois

sen2(π

2) + cos2(

π

2) = 1 = sen2(

π

2)

como sen(x) é crescente em [0, π

2) e sen(0) = 0 então o valor de sen(

π

2) deve ser positivo

e da relação acima

sen( π2

) = 1.

Corolário 10. Da identidade

sen(2a) = 2sen(a).cos(a).

tomando a = π

2 segue

sen(π) = 2sen(π

2).cos(

π

2) = 0.


12/56



cos(2x) = cos2(x)

−sen2(x)

tomando x = π

2 tem-se

cos(π) = cos2(π

2)− sen2(π

2) = −1.


sen(2a) = 2sen(a).cos(a).

tomando a = π segue

sen(2π) = 2sen(π).cos(π) = 0.


cos(2x) = cos2(x)− sen2(x)

tomando x = π tem-se

cos(2π) = cos2(π)

−sen2(π) = 1.

Corolário 14. As funções seno e cosseno são peŕıodicas de peŕıodo 2π

cos(x + 2π) = cos(x)cos(2π)− sen(x)sen(2π) = cos(x)

sen(x) + 2π) = sen(x)cos(2π) + cos(x)sen(2π) = sen(x).

1.2 Funções seno e cosseno e equações diferenciais

Propriedade 9. Sejam f e g duas funções de R em R deriváveis, satisfazendo f (0) = 0

, g(0) = 1 e

f ′(x) = g(x)

g′(x) = −f (x)

então f (x) = sen(x) e g(x) = cos(x)∀x.


13/56


Demonstração.

Considere a função definida de R em R com lei

h(x) = (f (x) − sen(x))2 + (g(x)− cos(x))2

vamos mostrar que tal função é identicamente nula. Primeiro, vale que

h(0) = (f (0)− sen(0) 0−0

)2 + (g(0)− cos(0) 1−1

)2 = 0.

Agora derivamos a função

h′(x) = 2(f ′(x) − cos(x))(f (x)− sen(x)) + 2(g′(x) + sen(x))(g(x)− cos(x))

substituindo as condições f ′(x) = g(x) e g′(x) = −f (x) segue

h′(x) = 2(g(x)− cos(x))(f (x)− sen(x) A

) + 2(−f (x) + sen(x) −A

)(g(x) − cos(x)) = 0

logo h(x) é constante, devendo ser 0 que implica f (x) = sen(x), g(x) = cos(x).

1.3 Cosseno

1.3.1 sen2(x) = 1− cos(2x)

2 .

Propriedade 10. Para todo x vale

sen2(x) = 1− cos(2x)

2 .

Demonstração. De cos(2x) = cos2(x) − sen2(x) e cos2(x) + sen2(x) = 1 segue quecos2(x) = 1− sen2(x), substituindo na primeira temos cos(2x) = 1− sen2(x) − sen2(x),

cos(2x) = 1− 2sen2

(x)

cos(2x) = 1− 2sen2(x) ⇒ cos(2x)− 1 = −2sen2(x) ⇒ 1− cos(2x) = 2sen2(x) ⇒

sen2(x) = 1− cos(2x)

2 .

Corolário 15 (Fórmula de divisão).

sen(x

2) = ±

1− cos(x)

2 .


14/56


Propriedade 11.

sen(a− b) = sen(a).cos(b) − sen(b).cos(a)

Demonstração.

sen(a− b) = sen(a)cos(−b) + sen(−b).cos(a) = sen(a).cos(b) − sen(b).cos(a)

pela função seno ser ı́mpar e cosseno par.

Propriedade 12. A função cosseno é periódica de peŕıodo 2π.

cos(x + 2π) = cos(x).

Propriedade 13 (Zeros da função cosseno).

cos(x) = 0 ⇔ x = kπ2

, k ∈ Z.

Propriedade 14 (Valores especiais).

Ângulo de 30◦,

cos(π

6) =

√ 3

2 .

Ângulo de 45◦,

cos(π

4) =

√ 2

2 .

Ângulo de 60◦,

cos( π4 ) =

√ 22 .

cos(0) = 1.

cos(π) = −1.


15/56


1.4 Seno

Propriedade 15 (Zeros da função). sen(x) = 0

⇔x = kπ k

∈Z.

Propriedade 16 (Valores especiais).

Ângulo de 30◦,

sen(π

6) =

1

2.

Ângulo de 45◦,

sen(π

4) =

√ 2

2 .

Ângulo de 60◦,

sen(π

4) =

√ 3

2 .

sen(π

2) = 1.

cos(3π

2 ) = −1.

Usando essas propriedades básicas vamos demonstrar outras

Propriedade 17. Para todo k inteiro vale

cos(

π

2 + kπ) = 0.

Demonstração.

cos(π

2 + kπ) = cos(

π

2)cos(kπ)− sen(π

2).sen(kπ) = 0.

Propriedade 18.

sen(d− π2

) = −cos(d).


16/56


Demonstração.

sen(d− π2

) = sen(d).cos(π

2) + cos(d).sen(−π

2) = −cos(d)

Propriedade 19.

cos(d− π2

) = sen(d)

Demonstração.

cos(d− π2

) = cos(d).cos(π

2)− sen(−π

2)sen(d) = sen(d)

Propriedade 20.

cos(π − x) = −cos(x)Demonstração.

cos(π − x) = cos(π)cos(x) − sen(π).sen(−x) = −cos(x).

Exemplo 1. Mostrar que

cos4(x) − sen4(x) = 2cos2(x)− 1.

Temos que

cos4(x)− sen4(x) = [cos2(x)− sen2(x)][cos2(x) + sen2(x)] = cos2(x)− sen2(x)

dáı a identidade segue do fato que sen2(x) = 1− cos2(x).

Corolário 16 (Fórmula de divisão).

cos(x

2) = ±

cos(x) + 1

2 .

Corolário 17. Com as fórmulas de divisão de seno e cosseno, dividindo temos

tg(x

2) = ±

1− cos(x)1 + cos(x)

.

Exemplo 2 (ITA-1967). Se sen(x) = −1 então quanto vale sen(2x)?Se sen(x) = −1 então x = 3π

2 + 2kπ dáı 2x = π + 2π + 2kπ cujo seno é sen(2x) =

sen(π) = 0.


17/56


1.5 cossec(x)

Propriedade 21. Vale

cossec(x) = 1

sen(x) x̸ = kπ, k ∈ Z.

Corolário 18. cossec(x) é ı́mpar.

1.5.1 cotg2(x) + 1 = cossec2(x).

Propriedade 22. Vale a identidade

cotg2(x) + 1 = cossec2(x).

Demonstração.

cotg2(x) + 1 = cos2(x)

sen2(x) + 1 =

cos2(x) + sen2(x)

sen2(x) =

1

sen2(x) = cossec2(x).

1.6 Sec(x)

Propriedade 23. Vale que

Sec(x) = 1

cos(x) x̸ =

kπ

2 .

Corolário 19. sec(x) é par.

1.7 T g(x)


tg(x) = sen(x)

cos(x), x̸ =

kπ

2 .

Corolário 20. tg(x) é ı́mpar .


18/56


1.7.1 tg2(x) + 1 = sec2(x).


tg2(x) + 1 = sec2(x).

Demonstração. De tg2(x) = sen2(x)

cos2(x) tem-se

tg2(x) + 1 = sen2(x)

cos2(x) + 1 =

sen2(x) + cos2(x)

cos2(x) =

1

cos2(x) = sec2(x) .

Corolário 21.

1

tg2(x) + 1 = cos2

(x).

Corolário 22. Da identidade 1

tg2(x) + 1 = cos2(x) multiplicando por tg2(x) =

sen2(x)

cos2(x)segue

tg2(x)

tg2(x) + 1 = sen2(x).

1.7.2 tg(a + b) = tg(a) + tg(b)

1−

tg(a).tg(b)

Propriedade 26.

tg(a + b) = tg(a) + tg(b)

1− tg(a).tg(b)Demonstração.

tg(a) + tg(b) = sen(a)

cos(a) +

sen(b)

cos(b) =

sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)

cos(a)cos(b) =

sen(a + b)

cos(a)cos(b) =

= tg(a + b)cos(a + b)

cos(a)cos(b)

poŕem

1− tg(a)tg(b) = 1− sen(a)cos(a)

sen(b)

cos(b) =

cos(a)cos(b)− sen(a)sen(b)cos(a)cos(b)

= cos(a + b)

cos(a)cos(b)

portanto


1− tg(a).tg(b) .


19/56


1.7.3 Fórmulas de Tangente do arco metade

Propriedade 27. Valem as identidades

1.

sen(x) = 2tg(x2 )

1 + tg2(x2

)

2.

tg(x) = 2tg(x2 )

1− tg2(x2

).

3.

cos(x) = 1− tg2

(x

2 )1 + tg2(x

2)

Demonstração.

1. Usamos que 1 + tg2(x) = sec2(x)

2tg(x)

1 + tg2(x) =

2sen(x)

cos(x) cos2(x) = 2sen(x)cos(x) = sen(2x).

2. Dividimos a expressão anterior por cos(x) = cos2(x

2)−

sen2(x

2) dáı

tg(x) = 2tg(x)

1− tg2(x2 ).

3. Dividimos seno por tangente, chegando ao resultado.

1.8 Cotg(x)


cotg(x) = cos(x)

sen(x) =

1

tg(x), x̸ = kπ.


20/56


1.8.1 cotg(a + b) = cotg(a)cotg(b)− 1

cotg(a) + cotg(b)

Propriedade 29.

cotg(a + b) = cotg(a)cotg(b) − 1

cotg(a) + cotg(b)

Demonstração.

cotg(a) + cotg(b) = cos(a)

sen(a) +

cos(b)

sen(b) =

sen(b)cos(a) + sen(a)cos(b)

sen(a)sen(b) =

sen(a + b)

sen(a)sen(b) =

= cos(a + b)

cotg(a + b)sen(a)sen(b)

poŕem

cotg(a)cotg(b)− 1 = cos(a)sen(a)

cos(b)

sen(b) − 1 = cos(a)cos(b)− sen(a)sen(b)

sen(a)sen(b) =

cos(a + b)

sen(a)sen(b)

portanto


1− tg(a).tg(b) .

1.8.2 cotg(x)

−2cotg(2x) = tg(x)

Propriedade 30.

cotg(x)− 2cotg(2x) = tg(x)

Demonstração.

cotg(x)− 2cotg(2x) = cos(x)sen(x)

− 2 cos(2x)sen(2x)

=

usando que cos(2x) = 2cos2(x)− 1 e sen(2x) = 2sen(x)cos(x)

= cos(x)

sen(x)−2 (2cos

2(x)− 1)2sen(x).cos(x)

= cos(x)

sen(x)−(2cos

2(x)− 1)sen(x).cos(x)

= 1

sen(x)

cos(x)− 2cos

2(x)− 1cos(x)

=

= 1

sen(x)

cos2(x)− 2cos2(x) + 1

cos(x)

=

1

sen(x)

−cos2(x) + 1cos(x)

=

usando sen2(x) = 1− cos2(x)

= 1

sen(x)

sen(x).sen(x)

cos(x)

=

sen(x)

cos(x) = tg(x).


21/56


1.8.3 cossec(x) = cotg(x

2)− cotg(x)

Propriedade 31.

cossec(x) = cotg(x2

)− cotg(x)

Demonstração. Da identidade cos(2x) + 1

2 = cos2(x), temos cos(x) = ±

cos(2x) + 1

2 ,

que implica

cos(x

2) = ±

cos(x) + 1

2

da identidade sen2(x) = 1− cos(2x)

2 , tem-se

sen(x

2) = ±

1− cos(x)

2 .

Temos

cotg(x

2) =

cos(x2 )

sen(x2 ), cotg(x) =

cos(x)

sen(x)

cotg(x

2)− cotg(x) =

cos(x) + 1

2 .

2

1− cos(x) −

cos(2x) + 1

2 .

2

1− cos(2x) =

= cos(x) + 11 . 11− cos(x) − cos(2x) + 11 . 11− cos(2x) =multiplicando a primeira fração por

√ 1− cos(x) e a segunda por

√ 1− cos(2x) no nu-

merador e no denominador

=

√ 1 + cos(x)

√ 1− cos(x)

1− cos(x) −√

1 + cos(2x)√

1− cos(2x)1− cos(2x) =

pela propriedade de produto de ráızes e por sen2(x) = 1− cos2(x)

= √ 1− cos2(x)1− cos(x) −√ 1− cos2(2x)

1− cos2(x) = sen(x)

1− cos(x)− sen(2x)

1− cos(2x) = sen(x)

1− cos(x)−2sen(x).cos(x)

1− cos(2x) =

usando agora que 2sen2(x) = 1− cos(2x)

= sen(x)

1− cos(x)−2sen(x).cos(x)

2sen2(x) =

sen(x)

1− cos(x)−cos(x)

sen(x) =

sen2(x)− cos(x) + cos2(x)(1− cos(x))(sen(x)) =

1

sen(x).


22/56


1.9 Fórmulas de Werner

Propriedade 32 (Fórmulas de Werner). Valem as identidades

1.

sen( p)− sen(q ) = 2sen( p− q 2

).cos( p + q

2 )

2.

sen( p) + sen(q ) = 2sen( p + q

2 ).cos(

p− q 2

)

3.

cos( p) + cos(q ) = 2cos( p + q

2 ).cos( p−

q

2 )

4.

cos( p) − cos(q ) = −2sen( p + q 2

).sen( p− q

2 ).

Tais identidades são conhecidas como fórmulas de Werner.

Demonstração.

1. Das identidades

sen(a + b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a) (I )

sen(a− b) = sen(a).cos(b)− sen(b).cos(a) (II )

subtraindo as expressões

sen(a + b)− sen(a− b) = sen(b).cos(a) ⇒ sen(a + b)− sen(a− b)2

= cos(a).sen(b)

tomando a + b = p e a − b = q , tem-se p + q = 2a dáı p + q 2

= a e de p − q = 2btem-se

p− q 2

= b , substituindo na expressão anterior

sen( p)− sen(q ) = 2sen p− q 2

.cos p + q

2 .

Essa identidade pode ser escrita como

sen( p)− sen(q ) = 2sen p− q 2

.sen p + q + π

2


23/56


2. Somando I e I I temos

sen(a + b) + sen(a

−b) = 2sen(a).cos(b)


2 ).cos(

p− q 2

).

3. Das identidades

cos(a + b) = cos(a)cos(b)− sen(a)sen(b) (III )

cos(a− b) = cos(a).cos(b) + sen(b).sen(a) (IV )

somando as relações

cos(a + b) + cos(a− b) = 2cos(a)cos(b)

cos( p) + cos(q ) = 2cos( p + q

2 )cos(

p− q 2

).

4. Tomando a subtração de I II e I V tem-se

cos(a + b)− cos(a− b) = −2sen(a)sen(b)

cos( p) − cos(q ) = −2sen( p + q 2

)sen( p− q 2

).

Exemplo 3. Mostre que

sen2( p)− sen2(q ) = sen( p + q ).sen( p− q )

usando as fórmulas de Werner. Temos que

sen( p)

−sen(q ) = 2sen(

p− q 2

)cos( p + q

2

)


2 )cos(

p− q 2

).

multiplicando as duas identidades temos a expressão desejada após usar a simplificação

sen(2x) = 2sen(x)cos(x)

sen2( p)− sen2(q ) = 2sen( p− q 2

)cos( p− q

2 )

sen( p−q)

2sen( p + q

2 )cos(

p + q

2 )

sen( p+q)


24/56


Propriedade 33. Se f (0) = 0 e f ′(x) é par então f é ı́mpar.

Demonstração. Vamos mostrar que f (−x) = −f (x) . Seja g(x) = f (−x) + f (x),vale que g(0) = 0 e

g′(x) = −f ′(−x) + f (x) = −f ′(x) + f ′(x) = 0.

Logo g é constante, valendo então g(x) = 0∀x.

Corolário 23. Se f (0) ̸= 0 então podemos tomar h(x) = f (x) − f (0) que será ı́mpar,pois vale h(0) = f (0)− f (0) e h′(x) = f ′(x) é par, então vale

h(−x) = −h(x)

f (−x)− f (0) = −f (x) + f (0)

implicando que

f (−x) = 2f (0)− f (x).

Então se f ′(x) é par vale

f (

−x) = 2f (0)

−f (x).

1.10 Funções trigonométricas inversas

1.10.1 arcsen(x).

Definição 4 (arcsen(x)). A função f de [−π2

, π

2] → [−1, 1] dada por f (x) = sen(x)

é injetora e bijetora, pois é crescente nesse intervalo valendo Dsen(x) = cos(x) > 0.

Definimos então a função inversa de sen(x) que é chamada de arco seno [−1, 1] → [−π2

, π2

],

com a seguinte lei

y = arcsen(x) ⇔ sen(y) = x.

Devemos observar bem que a definição é feita para valores de x tais que |x| ≤ 1.

Exemplo 4. Quanto vale arcsen(0) ? arcsen(0) = y então sen(y) = 0, como sen(0) = 0

segue que arcsen(0) = 0.


25/56


Exemplo 5. Quanto vale arcsen(1) ? arcsen(1) = y então sen(y) = 1, como sen(π

2) = 1

segue que arcsen(1) = π

2.

1.10.2 D[arcsen(x)]

Propriedade 34. D[arcsen(x)] = 1√ 1− x2 .

Demonstração. Tomando arcsen(x) = y então sen(y) = x, derivando y′cos(y) = 1

e dáı y ′ = 1

cos(y) como cos2(y) = 1− sen2(y) segue que cos(y) =

√ 1− sen2(y) e

y′ = 1

√ 1− x2.

Propriedade 35. A função de lei arcsen(x) é ı́mpar.

Demonstração. Seja f (x) = arcsen(−x)+arcsen(x), vale f (0) = 0, derivando segueque

f ′(x) = −1√

1− x2 + 1√ 1− x2 = 0

logo f (x) = 0 valendo arcsen(−x) = −arcsen(x).

1.10.3∫ 1√

1− x2 dx = arcsen(x).

Exemplo 6. Mostrar que ∫ 1√

1− x2 dx = arcsen(x).

Vamos mostrar que (arcsen(x))′ = 1√

1− x2 . seja y = arcsen(x) temos seny = x deri-

vando y′

.cosy = 1, y′

=

1

cosy =

1

√ 1− x2 (fazer figura depois.)arcsen(x) está definido com |z | ≤ 1 , com esses valores vale∫ z

0

1√ 1− x2 dx = arcsen(z )− arcsen(0) = arcsen(z ).


26/56


1.10.4 Série de arcsen(x) .

Temos1

√ 1 + x =∞∑k=0

(−

1)k(2k)!xk

(k!2)4k

logo1√

1− x2 =∞∑k=0

(2k)!x2k

(k!2)4k

integrando de [0, y]∫ y0

1√ 1− x2 dx = arcsen(y) =

∞∑k=0

(2k)!y2k+1

((k)!2)4k(2k + 1).

arcsen(y) =∞∑k=0

2kk

y2k+1

4k(2k + 1).

1.10.5 arccos(x)

Definição 5 (arcsen(x)). A função f de [0, π] → [−1, 1] dada por f (x) = cos(x) éinjetora e bijetora, pois é decrescente nesse intervalo valendo Dcos(x) = −sen(x) < 0 em[0, π], pois o seno é positivo nesse intervalo. Definimos então a função inversa de cos(x)

que é chamada de arco cosseno [−1, 1] → [0, π], com a seguinte lei

y = arccos(x) ⇔ cos(y) = x.

Devemos observar bem que a definição é feita para valores de x tais que |x| ≤ 1.

Exemplo 7. Quanto vale arccos(0)?. Temos que arccos(0) = y então cos(y) = 0, mas

temos cos(π

2

) = 1, logo y = π

2

.

Exemplo 8. Quanto vale arccos(1)?. Temos que arccos(1) = y então cos(y) = 1, mas

temos cos(0) = 1, logo y = 0.

Exemplo 9. Quanto vale arccos(1

2)?. Temos que arccos(

1

2) = y então cos(y) =

1

2, mas

temos cos(π

3) =

1

2, logo y =

π

3.


27/56


1.10.6 D[arccos(x)]

Propriedade 36. Vale D[arccos(x)] = −1√

1−

x2.

Demonstração. Tomando y = arccos(x) tem-se cos(y) = x e dáı −y′sen(y) = 1 logo

y′ = − 1sen(y)

como sen(y) =√

1− cos2(x) tem-se sen(y) =√

1− x2 então

y′ = − 1√ 1− x2 .

Corolário 24. Como a derivada de arccos(x) é par e 2arccos(0) = π, segue que

arccos(−x) = π − arccos(x)

1.10.7

∫ −1√ 1− z 2 dz = arccos(x)


∫ −1√ 1− z 2 dz = arc cos(x) pois D[arccos(x)] =

−1√ 1− z 2 , como

a função é definida para valores

|x

| ≤1, vale∫ 1

x

−1√ 1− z 2dz = arccos(1)− arccos(x) = −arccos(x).

Exemplo 10. Calcular a integral

∫ 11

2

−1√ 1− z 2 dz. Vale

∫ 11

2

−1√ 1− z 2dz = −arccos(

1

2) =

−π3

.

1.10.8 Relação entre arccos(x) e arcsen(x)


arccos(x) = π

2 − arcsen(x).

Demonstração. Valem as identidades D[arccos(x)] = −1√

1− x2 e D[arcsen(x)] =1√

1− x2 , logoD[arccos(x) + arcsen(x)] = 0


28/56


isso implica que a função é constante, tomando um valor, digamos x = 0, segue

arccos(0) + arcsen(0) = c = arcos(0) = π

2

de onde segue que

arccos(x) = π

2 − arcsen(x).

1.10.9 Série de arccos(x) .

Como valem arccos(x) = π

2 − arcsen(x) e arcsen(y) =

∞∑k=0

2kk

y2k+1

4k(2k + 1) segue que

arccos(x) = π2 −

∞∑k=0

2kk y2k+14k(2k + 1)

.

1.10.10 Função arctg

Definição 6 (arctg(x)). A função f de [−π2

, π

2] → R dada por f (x) = tg(x) é injetora e

bijetora, pois é crescente nesse intervalo valendo Dtg(x) = sec2(x) ≥ 0. Definimos entãoa função inversa de tg(x) que é chamada de arco tangente R → [−π

2, π

2], com a seguinte

lei

y = arctg(x) ⇔ tg(y) = x.

Exemplo 11. Alguns valores especiais

arctg 3√

3=

π

3 , pois tg

π

3 =

senπ3cosπ

3

=

√ 3

2

2

1 =√

3 = 3√

3.

arctg 1√

3=

π

6 , pois tg

π

6 =

senπ6cosπ6

= 1

2

2√ 3

= 1√

3.

arctg(1) = π

4, pois tg

π

4 = 1.

arctg(0) = 0, pois tg(0) = 0.

1.10.11 Darctg(x)

Propriedade 39. Vale D[arctg(x] = 1

x2 + 1.


29/56


Demonstração. Se arctg(x) = y então tg(y) = x, derivando ambos lados tem-se

y′sec2(y) = 1 logo y ′ = 1

sec2(y). Da identidade sec2(y) = tg2(y) + 1 então sec2(y) = x2 + 1

de onde segue

y′ = 1x2 + 1

.

Corolário 25. A função de lei arctg(x) é ı́mpar pois vale arctg(0) = 0 e D[arctg(x)] é

par.

arctg(−x) = −arctg(x).

1.10.12 ∫ 1

a2 + x2dx =

1

aarctg(

u

a)

Propriedade 40. ∫ du

a2 + u2 =

1

aarctg(

u

a)

Demonstração. Vamos calcular a derivada de 1

aarctg(

u

a), temos que

1

aarctg(

u

a) = y

logo ay = arctg(u

a), tg(ay) =

u

a, podemos tomar assim um triângulo com cateto oposto ao

ângulo ay como u e adjacente como a, assim temos por teorema de Pitágoras a2 + u2 = h2

h =√

a2 + u2 e cos(ay) = a√ a2 + u2

assim cos2(ay) = a2

a2 + u2 e

1

cos2(ay) =

a2 + u2

a2 =

sec2(ay), agora voltando a tangente, temos tg(ay) = ua

derivando ambos lados em u,

ay′.sec2(ay) = 1

a, y ′sec2(ay) =

1

a2 substituindo a expressão da secante segue

y′.a2 + u2

a2 =

1

a2

, assim y′ = 1

a2 + u2

Exemplo 12. Calcule

∫ x21 + x2dx.∫ x2

1 + x2dx =

∫ x2 + 1 − 1

1 + x2 dx =

∫ 1− 1

1 + x2dx = x − arctgx + c.

1.10.13 Série para arctg(x)

arctg(x) =∞∑k=0

(−1)k x2k+1

2k + 1


30/56


Sabemos que

∫ y

0

1

1 + x2dx = arctg(y)

daı́ transformando em série tem-se∫ y0

∞∑k=0

(−1)kx2kdx =∞∑k=0

(−1)ky2k+12k + 1

.

1.10.14 Função arccotg

Definição 7 (arctg(x)). A função f de [0, π] → R dada por f (x) = cotg(x) é injetora e

bijetora, pois é decrescente nesse intervalo valendo Dcotg(x) = −cossec2

(x) ≤ 0. Defini-mos então a função inversa de cotg(x) que é chamada de arco tangente R → [0, π], com aseguinte lei

y = arccotg(x) ⇔ cotg(y) = x.

Exemplo 13. Quanto vale arccotg(0)? arccotg(0) = y logo cotg(y) = 0, implicando

y = π

2.

1.10.15 D[arccotg(x)]

Propriedade 41.

D[arccotg(x)] = −1x2 + 1

.

Demonstração. Tomando arccotg(x) = y tem-se cotg(y) = x, derivando em relação

à x, segue −y′cossec2(x) = 1, usando a relação cotg2(x) + 1 = cossec2(x) segue que

y′ = −1x2 + 1

.

Corolário 26. Como a derivada de arccotg(x) é par e 2arccotg(0) = π segue que

arccotg(−x) = π − arccotg(x).

Propriedade 42. Vale a relação

arccotg(x) = π

2 − arctg(x).


31/56


Demonstração. Vale D[arccotg(x)] = −1x2 + 1

e D[arctg(x] = 1

x2 + 1, somando am-

bas temos

D[arccotg(x) + arctg(x)] = 0

então

arccotg(x) + arctg(x) = c

tomando x = 0 segue

arccotg(0) = c = π

2

logo

arctg(x) = π

2 − arctg(x).

1.10.16 Série de arccotg

Demonstração. Vale D[arccotg(x)] = −1x2 + 1

e D[arctg(x] = 1

x2 + 1, somando am-

bas temos

D[arccotg(x) + arctg(x)] = 0

então

arccotg(x) + arctg(x) = c

tomando x = 0 segue

arccotg(0) = c = π

2

logo

arctg(x) = π

2 − arctg(x).

Da identidade arctg(x) = π

2 − arctg(x) segue que

arccotg(x) = π

2 −

∞

∑k=0

(−

1)k x2k+1

2k + 1

1.11 Função arcsec(x)

Definição 8 (arcsec(x)). A função f de [0, π

2) ∪ (π

2, π] → (−∞,−1] ∪ [1,∞) dada

por f (x) = sec(x) é bijetora, pois é crescente nesses intervalos valendo Dsec(x) =

sec(x)tg(x) ≥ 0, pois em [0, π2

) vale tg(x) ≥ 0 e sec(x) ≥ 0 e em ( π2

, π] vale tg(x) ≤ 0 e


32/56


sec(x) ≤ 0 logo o produto é não negativo e ela é positiva no primeiro intervalo e negativano segundo. Definimos então a função inversa de sec(x) que é chamada de arco secante

(−∞,−1] ∪ [1,∞) → [0, π

2 ) ∪ (π

2 , π], com a seguinte lei

y = arcsec(x) ⇔ sec(y) = x.

Exemplo 14. Quanto vale arcsec(1)? arcsec(1) = y logo sec(y) = 1, o único valor

posśıvel é y = 0, logo

arcsec(1) = 0.

Exemplo 15. Quanto vale arcsec(−1)? arcsec(−1) = y logo sec(y) = −1, o único valorposśıvel é y = π, logo

arcsec(−1) = π.

1.11.1 D[arcsec(x)]

Propriedade 43.

D[arcsec(x)] = 1

|x|√ x2

− 1.

Demonstração. Tomando arcsec(x) = y tem-se sec(y) = x, derivando em relação à

x, segue y ′tg(y)sec(y) = 1, usando a relação tg2(x) + 1 = sec2(x) segue que

y′ = 1

|x|√ x2 − 1 .


arcsec(

−x) + arcsec(x) = π.

Demonstração. Seja g(x) = arcsec(−x) + arcsec(x), então g(1) = arcsec(−1) +arcsec(1) = π derivando segue que

g′(x) = − 1|x|√ x2 − 1 + 1

|x|√ x2 − 1


33/56


1.11.2 arcos(1

z ) = arcsec(z )

Propriedade 45. Vale que arcos(

1

z ) = arcsec(z ).

Demonstração. Considere a função de lei f (z ) = arcos(1

z ) − arcsec(z ), vale f (1) =

arcos(1)− arcsec(1) = 0. Vamos derivar a função agora

f ′(z ) = −1

z 2(−z )√ z 2 − 1 −

1

z √

z 2 − 1 = 1

z √

z 2 − 1 − 1

z √

z 2 − 1 = 0

logo f (z ) = c = f (1) = 0 implicando que

arcos(1

z ) = arcsec(z ).

1.11.3 Série de arcsec(x).

Das identidades arcos(1

z ) = arcsec(z ) e arccos(x) =

π

2 −

∞∑k=0

2kk

y2k+1

4k(2k + 1) segue que

arcsec(z ) = π

2 −

∞∑k=0

2kk

z 2k+14k(2k + 1)

.

1.12 Função arccossec(x)

Definição 9 (arccossec(x)). A função f de [−π

2 , 0) ∪ (0, π

2] → (−∞,−1] ∪ [1,∞) dada

por f (x) = cossec(x) é bijetora, pois é decrescente nesses intervalos valendo Dcossec(x) =

−cossec(x)cotg(x) ≤ 0 (argumentar), além disso no primeiro intervalo a função é negativae no segundo a função é positiva. Definimos então a função inversa de cossec(x) que é

chamada de arco cossecante (−∞

,−

1]∪

[1,∞

)→

[−

π

2 , 0)

∪(0,

π

2], com a seguinte lei

y = arccossec(x) ⇔ cossec(y) = x.

Exemplo 16. Quanto vale arccossec(1)? arccossec(1) = y logo cossec(y) = 1, o único

valor posśıvel é y = π

2, logo

arccossec(1) = π

2.


34/56


Exemplo 17. Quanto vale arccossec(−1)? arccossec(−1) = y logo cossec(y) = −1, oúnico valor posśıvel é y =

π

2, logo

arccossec(−1) = −π2

.

1.12.1 D[arccossec(x)]

Propriedade 46.

D[arccossec(x)] = −1|x|√ x2 − 1 .

Demonstração. y = arccossec(x) então cossec(y) = x, derivando ambos membros

tem-se −y′

cotg(y).cossec(y) = 1 usando a relação cotg2

(x) + 1 = cossec2

(x) segue que

y′ = −1|x|√ x2 − 1 .


arccossec(z ) = arcsen(1

z ).

Demonstração. Tomando a função de lei f (z ) = arccossec(z )− arcsen( 1z

), temos

f (1) = arccossec(1)− arcsen(1) = π2 − π

2 = 0.

Derivamos a função

f ′(z ) = −1

z √

z 2 − 1 + z

z 2√

z 2 − 1 = 0

logo arccossec(z )− arcsen(1z

) = c = arccossec(1)− arcsen(1) = 0 implicando

arccossec(z ) = arcsen(1

z ).

Propriedade 48. Se f (−c) = −f (c) para alguma constante c e f ′(x) é par então f éı́mpar.

Demonstração. Vamos mostrar que f (−x) = −f (x) . Seja g(x) = f (−x) + f (x),vale que g(c) = 0 e

g′(x) = −f ′(−x) + f (x) = −f ′(x) + f ′(x) = 0.Logo g é constante, valendo então g(x) = 0∀x.

Corolário 27. Vale arccossec(−1) = −arccosec(1) e D[arccossec(z )] é par então a funçãoé ı́mpar.


35/56


1.12.2 Série de arccossec(z ).

Da identidade arccossec(z ) = arcsen(1

z ) e da série arcsen(y) =

∞

∑k=0 2kk

y2k+1

4k(2k + 1) segue

que

arccossec(z ) =∞∑k=0

2kk

4k(2k + 1)z 2k+1

.

1.13 Integração de funções trigonométricas inversas

1.13.1

∫ arcsen(x)dx = xarcsen(x) +

√ 1− x2

Propriedade 49. Vale que∫

arcsen(x)dx = xarcsen(x)+√ 1− x2 pois derivando temos

arcsen(x) + x√ 1− x2 +

−2x2√

1− x2 = arcsen(x).

1.13.2


√ 1− x2



√ 1− x2 pois derivando temos

arccos(x)− x√ 1− x2 +

2x

2√

1− x2 = arccos(x).

1.13.3

∫ arctg(x) = xarctg(x)− 1

2ln(1 + x2).


∫ arctg(x) = xarctg(x) − 1

2ln(1 + x2), pois derivando

arctg(x) + x

x2 + 1 − 2x

2x(1 + x2)

= arctg(x).

1.13.4

∫ arccotg(x) = xarccotg(x) +

1

2ln(1 + x2).


∫ arctg(x) = xarctg(x) − 1

2ln(1 + x2), pois derivando

arccotg(x)− xx2 + 1

+ 2x

2x(1 + x2) = arccotg(x).


36/56


1.14 Funções hiperbólicas

1.14.1 Definição das funções

Definição 10 (Seno hiperbólico). Definimos a função de R em R , chamada de seno

hiperbólico pela lei

senh(x) = ex − e−x

2 .

Propriedade 53 (Seno hiperbólico é ı́mpar).

senh(

−x) =

e−x − ex

2

=

−

ex − e−x

2

=

−senh(x).

Definição 11 (Cosseno hiperbólico). Definimos a função de R em R , chamada de cosseno

hiperbólico pela lei

cosh(x) = ex + e−x

2 .

Propriedade 54 (Cosseno hiperbólico é par).

cosh(−x) = e−x + ex

2 =

ex + e−x

2 = coshx.

Definição 12 (Tangente hiperbólica).

tgh(x) = senh(x)

cosh(x)

Definição 13 (Cotangente hiperbólica).

cotgh(x) = cosh(x)

senh(x)

Propriedade 55. O seno hiperbólico é uma função crescente.

Demonstração. Vale que

senh′(x) = ex + e−x

2 = cosh(x) > 0

logo a função é crescente.


37/56


Definição 14 (Secante hiperbólica ).

sech(x) = 1

cosh(x)

.

Tal função é par por sua relação com cosh(x).

Definição 15 (Cossecante hiperbólica ).

cossech(x) = 1

seh(x).

Tal função é ı́mpar por sua relação com senh(x).

1.14.2 Funções hiperbólicas inversas

Definição 16 (Inversa do seno hiperbólico). O seno hiperbólico é crescente, logo a função

é bijetora, assim definimos de maneira única sua inversa

arcsenh(x) = y ⇔ senh(y) = x

que é chamada de arco seno hiperbólico .

Definição 17 (Inversa do cosseno hiperbólico). O cosseno hiperbólico é par, logo se existe

x tal que cosh(x) = t então cosh(−x) = cosh(x) = t, então a função não é bijetora e nãopodemos definir sua inversa de maneira única. A função inversa é definida para x ≥ 1.

arccosh(x) = y ⇔ cosh(y) = x.

Exemplo 18. Quanto vale arccosh(1)? arccosh(1) = y então cosh(y) = 1, vale para

y = 0, logo arccosh(1) = 0.

Definição 18 (Inversa da tangente hiperbólica).

arctgh(x) = y ⇔ tgh(y) = x.

Definição 19 (Inversa da cotangente hiperbólica).

arccotgh(x) = y ⇔ cotgh(y) = x.


38/56


Propriedade 56.

arccotgh(x) = arctgh(1

x).

Demonstração. Se tgh(y) = x então cotgh(y) = 1x

implicando que arctgh(x) = y e

arccotg(1

x) = y .

Definição 20 (Inversa da cossecante hiperbólica).

arccossech(x) = y ⇔ cossech(y) = x.

Propriedade 57.

arccossech(x) = arcsenh( 1x

).

Demonstração. Se senh(y) = x então cossech(y) = 1

x implicando que arcsenh(x) =

y e arccossech(1

x) = y.

Definição 21 (Inversa da secante hiperbólica).

arcsech(x) = y ⇔ sech(y) = x.

Propriedade 58.

arcsech(x) = arccos(1

x).

Demonstração. Se cosh(y) = x então sech(y) = 1

x implicando que arccosh(x) = y

e arcsech(1

x) = y.

1.14.3 Série para arccossech(x)

Da identidade arccossech(x) = arcsenh(1

x) e da śerie arcsenh(y) =

∞∑k=0

2kk

(−1)ky2k+1

(2k + 1)4k

temos

arccossech(x) =∞∑k=0

2kk

(−1)k

(2k + 1)4kx2k+1


39/56


1.14.4 Série de arccotgh(x).

Das identidades arccotgh(x) = arctgh(1

x) e arctgh(x) =

∞

∑k=0x2k+1

2k + 1. segue que

arccotgh(x) =∞∑k=0

1

(2k + 1)x2k+1.

1.14.5 Representando arccosh(x) por meio de ln .

Vale

cosh(t)

x=

et + e−t

2

tomando et

= u, cáımos na equação de segundo grau

u2 − 2ux + 1 = 0

que possui solução da forma

et = u = x ±√

x2 − 1aplicando o logaritmo segue que

t = ln(x±√

x2 − 1)

arccosh(x) = ln(x±√ x2 − 1)para x ≥ 1.

1.14.6 Representando arcsenh(x) por meio de ln .

Vale

senh(t)

x=

et − e−t2

tomando et = u, cáımos na equação de segundo grau

u2 − 2uy − 1 = 0

que possui solução da forma

et = u = y ±√

y2 + 1

aplicando o logaritmo segue que

t = ln(y ±√ y2 + 1)


40/56


arcsenh(y) = ln(y +√

y2 + 1)

tomamos o valor positivo e y pode ser qualquer valor real.

1.15 Relação com complexos

A partir da identidade eix = cos(x) + isen(x) seguem as identidade

eix − e−ix2

= isenx

eix + e−ix

2 = cos(x).

1.15.1 sen(ix) = isenh(x) e senh(ix) = isen(x).

Corolário 28.

senh(ix) = isen(x)

isen(ix) = senh(i2x) = senh(−x) = −senh(x)

multiplicando ambos lados por i

−sen(ix) = −isenh(x)

logo

sen(ix) = isenh(x)

senh(ix) = isen(x).

1.15.2 i.arcsenh(x) = arcsen(ix) e arcsenh(ix) = iarcsen(x).

Da identidade isenh(y) = sen(iy) segue que

iy = arcsen(isenh(y))

, tomando y = arcsenh(x) segue que

iarcsenh(x) = arcsen(ix).


41/56


42/56


1.15.5 senh(x + y) = senh(x).cosh(y) + senh(y).cosh(x)

Demonstração. Sabemos a identidade sen(x + y) = sen(x).cos(y) + sen(y).cos(x),

trocando x por ix e y por iy tem-se

sen(ix + iy) = isenh(x + y) = isenh(x).cosh(y) + isenh(y).cosh(x)

cortando i em cada lado tem-se

senh(x + y) = senh(x).cosh(y) + senh(y).cosh(x) .

Corolário 29. Tomando x = y na propriedade anterior segue

senh(2x) = 2senh(x).cosh(x).


cosh(x + y) = cosh(x).cos(y) + senh(x).senh(y).

Demonstração. Da identidade cos(x + y) = cos(x).cos(y)− sen(x).sen(y), tomandoix e iy tem-se

cosh(x + y) = cosh(x).cosh(y)− isenh(x).isenh(y) = cosh(x).cosh(y) + senh(x).senh(y).Corolário 30. Tomando x = y na propriedade anterior, tem-se

cosh(2x) = cosh2(x) + senh2(x).

1.15.6 tg(ix) = itgh(x) e tgh(ix) = itg(x).

tgh(ix) = senh(ix)cosh(ix) = isen(x)cos(x) = itg(x).

itg(ix) = tgh(−x) = senh(−x)cosh(−x) = −

senh(x)

cosh(x) = −tgh(x)

multiplicando ambos lados por −i

tg(ix) = itgh(x)

tgh(ix) = itg(x).


43/56


1.15.7 cotgh(ix) = −icotg(x) e cotg(ix) = −icotgh(x).Como temos cotg(x) =

1

tg(x) e cotgh(x) =

1

tgh(x) segue

1

tg(ix) = cotg(ix) =

1

itgh(x) =

cotgh(x)

i

assim

cotg(ix) = cotgh(x)

i

multiplicando por i temos

icotg(ix) = cotgh(x)

por i novamente

icotgh(x) = −cotg(ix)

de onde segue

cotg(ix) = −icotgh(x)

substituindo i por ix

cotg(−x) = −cotg(x) = −icotgh(ix)

cotg(x) = icotgh(ix)multiplicando por −i

cotgh(ix) = −icotg(x)

cotg(ix) = −icotgh(x).

Essas identidades serão importantes pois , dada uma identidade trigonométrica po-

demos deduzir uma identidade hiperbólica ou dada uma hiperbólica deduzir uma trigo-

nométrica.

1.15.8 sec(ix) = sech(x) e sech(ix) = sec(x).

sech(ix) = 1

cosh(ix) =

1

cos(x) = sec(x).

Substituindo i por ix

sech(−x) = sech(x) = sec(ix)


44/56


então vale

sec(ix) = sech(x)

sech(ix) = sec(x).

1.15.9 sech2(x) = 1− tgh2(x).Corolário 31. Da identidade tg2(x) + 1 = sec2(x) tem-se trocando x por ix e usando as

relações complexas

sech2(x) = 1− tgh2(x).

1.15.10 cossech(ix) = −icossec(x) e cossec(ix) = −icossech(x).

cossech(ix) = 1

senh(ix) =

1

isen(x) =

cossec(x)

i

multiplicando por −i2 segue

cossech(ix) = −icossec(x).

Substituindo x por ix segue

cossech(−x) = −cossec(x) = −icossec(ix)

logo

cossech(x) = icossec(ix)

multiplicando por −i segue

−icossech(x) = cossec(ix)

1.15.11 cossech2(x) = cotgh2(x)− 1.Corolário 32. Da identidade cotg2(x) + 1 = cossec2(x) substituindo x por ix segue

−cotgh2(x) + 1 = −cossech2(x)

logo

cossech2(x) = cotgh2(x)− 1.


45/56



2

3

senh(3x) = 9(2

3

senh(x))3 + 3(2

3

senhx).

Mostrar essa identidade é equivalente a demonstrar

2

3senh(3x) = 9

8

3.9(senh(x))3 + 2senhx =

8

3(senh(x))3 + 2senhx

multiplicando ambos termos por 3

2senh(3x) = 8(senh(x))3 + 6senhx

dividindo por 2

senh(3x) = 4(senh(x))3 + 3senhx.

Chamando ex = A e e−x = A−1, temos

4(senh(x))3 + 3senhx = 4(A−A−1)3

4.2 + 3(

A− A−12

) =

= (A3 − 3A2A−1 + 3A.A−2 −A−3 + 3A− 3A−1)

2 =

(A3 + A−3)

2 =

(e3x + e−3x)

2 = senh3x .

1.15.12 sen(3x) = 3sen(x)− 4sen3(x).

Corolário 33. Substituindo x por ix chegamos em outra relação

2

3senh(3ix) = 9(

2

3senh(ix))3 + 3(

2

3senhix)

como senh(3ix) = isen3x e senh(ix) = isenx substituindo temos

2

3isen(3x) = 9(−i)(2

3sen(x))3

+ 3i(

2

3senx)

anulando os fatores i segue a identidade

2

3sen(3x) = −9( 2

3sen(x))3 + 3(

2

3senx)

sen3(x) = 3sen(x) − sen(3x)

4

sen(3x) = 3sen(x)− 4sen3(x).


46/56


Exemplo 20. Partindo da identidade trigonométrica

sen(a + b) = sena.cosb + senb.cosa

de onde segue

sen(ia + ib) = isenh(a + b) = senia.cosib + senib.cosia = isenha.coshb + isenhb.cosha

logo

senh(a + b) = senha.coshb + senhb.cosha

caso b = a

senh(2a) = 2senha.cosha


−23

cosh(3x) = 9(−23

cosh(x))3 − 3(−23

coshx)

fazendo manipulações semelhantes as que fizemos para senh(x) podemos mostrar que é

equivalente a identidade

cosh(3x) = 4(coshx)3 − 3coshx

que vamos demonstrar

4(coshx)3−3coshx = 42.4

(ex+e−x)3−32

(ex+e−x) = 1

2(e3x+3e2xe−x+3exe−2x+e−3x−3ex−3e−x) =

= (e3x + e−3x)

2 = cosh(3x).

Corolário 34. Usando a relação cosh(ix) = cosx temos

−23

cosh(3ix) = 9(−23

cosh(ix))3 − 3(−23

coshix)

−23

cos(3x) = 9(−23

cos(x))3 − 3(−23

cosx).


47/56


1.15.13 cos(3a) = 4cos3(a)− 3cos(a).Corolário 35. Multiplicando a identidade

−23

cos(3x) = 9(−23

cos(x))3 − 3(−23

cosx)

por i temos

−i23

cos(3x) = 9i(−23

cos(x))3 − 3(−23

icosx)

agora multiplicando e dividindo o termo com 9i por i2/i2 e usando que i2 = −1 segue

−2

3

icos(3x) =

−9(

−2

3

icos(x))3

−3(

−2

3

icosx)

de onde segue a identidade

cos(3a) = 4cos3(a)− 3cos(a).

1.15.14 tg(3x) = tg(60◦ − x)tg(x)tg(60◦ + x).

Corolário 36. Das identidades cos(3x) = 4cos3(x) − 3cos(x) e sen(3x) = 3sen(x) −4sen3(x), segue que

tg(3x) = 3sen(x)− 4sen3(x)

4cos3(x)− 3cos(x) = sen(x)(3− 4sen2(x))(cos(x))(4cos2(x) − 3) =

= tg(x)(34 − sen2(x))(cos2(x)− 34)

poŕem

sen(60

◦

−x)sen(60◦

+x) = (sen(60

◦

)cos(x)−sen(x)cos(60◦

))(sen(60

◦

)cos(x)+sen(x)cos(60

◦

)) =

= 3

4cos2(x)− 1

4sen2(x)

usando que cos2(x) = 1− sen2(x) segue que sen(60◦ − x)sen(60◦ + x) = 34− sen2(x), da

mesma maneira podemos mostrar que cos(60◦ − x)cos(60◦ + x) = cos2(x)− 34

.

Corolário 37. Da identidade tg(3x) = tg(60◦ − x)tg(x)tg(60◦ + x), temos


48/56


com x = 10◦ temos √ 3

3 = tg(10◦)tg(50◦)tg(70◦),

x = 15◦ implica

1 = tg(15◦)tg(45◦)tg(75◦)

tomando x = 20◦ tem-se

√ 3 = tg(20◦)tg(40◦)tg(80◦).

Corolário 38. Como1 cos(20◦)cos(40◦)cos(80◦) = 1

8(demonstre) e

√ 3 = tg(20◦)tg(40◦)tg(80◦)

segue que sen(20◦)sen(40◦)sen(80◦) =√ 3

8 .

Exemplo 22. Partindo da identidade

tg(a + b) = tga + tgb

1− tga.tgbtemos que

tg(ia + ib) = itgh(a + b) = tgia + tgib

1− tgia.tgib = i

tgha + tghb

1− itgha.itghblogo

itgh(a + b) = i tgha + tghb

1 + tgha.tghb

logo

tgh(a + b) = tgha + tghb

1 + tgha.tghb.

Exemplo 23. Da identidade

cotg(a + b) = cotga.cotgb− 1

cotga + cotgb

segue

cotg(ai + bi) = −icotgh(a + b) = cotgai.cotgbi− 1cotgai + cotgbi

= −icotgha.(−i)cotghb − 1(−i)cotgha + (−i)cotghb

1 Resolvido no texto sobre produtórios


49/56


logo

(−i)cotgh(a + b) = (−i)cotgha.(−i)cotghb − 1(−i)(cotgha + cotghb)

cotgh(a + b) = cotgha.cotghb− 1(cotgha + cotghb)

.

Propriedade 62. A função senh(x) é injetiva.

Demonstração. Temos que senh(x) = ex − e−x

2 , derivando temos (senh(x))′ =

ex + e−x

2 > 0 para todo x, logo é uma função crescente e por isso injetora.

1.15.15

cotg(θ)

i =

e2θi + 1

e2θi − 1Propriedade 63.

cotg(θ)

i =

e2θi + 1

e2θi − 1Demonstração.

Valem as identidades

eix − e−ix2i

= sen(x) = e2ix − 1

2iexi

eix + e−ix

2 = cos(x) =

e2ix + 1

2exi

como

cotg(x) = cos(x)

sen(x) =

e2ix + 1

2exi2iexi

e2ix − 1 = e2ix + 1

1

i

e2ix − 1logo

cotg(x)

i =

e2ix + 1

e2ix − 1 .

Fórmulas para cos(nx) e sen(nx).

Da identidade

eix = cosx + isenx

segue

einx = cos(nx) + isen(nx) = (cosx + isenx)n =n∑

k=0

n

k

(cosx)n−k(i)k(senx)k


50/56


Podemos dividir os inteiros em [0, n] com a seguinte cisão, A como sendo o conjunto

dos pares em [0, n] e B como sendo o conjunto dos ı́mpares em [0, n] e como temos i2k sendo

real e i2k+1 sendo complexo, igualamos a parte real e complexa na identidade anterior,

para chegar em

cos(nx) =∑K ∈A

n

k


isen(nx) =∑K ∈B

n

k


cos(nx) =

⌊n−12 ⌋∑

k=0

n

2k

(cosx)n−2k(−1)k(senx)2k

sen(nx) =

⌊n−12 ⌋∑

k=0

n

2k + 1

(cosx)n−2k−1(−1)k(senx)2k+1

Propriedade 64.

cos2n(x) = 1

22n−1

2n− 1

n

+

n∑k=1

cos(2kx)

2n

n− k

cos

2n+1

(x) =

1

22n2n + 1n + 1 cos(x) +n

∑k=1 cos[(2k + 1)(x)]

2n + 1n− k Demonstração. Primeiro o caso par. Por indução sobre n. n = 1 temos

cos2(x) = 1

22−1

2− 1

1

+

1∑k=1

cos(2kx)

2

1− k

= 1

2(1 + cos(2x)).

Supondo a validade para n

cos2n(x) = 1

22n−12n− 1

n +n

∑k=1 cos(2kx) 2n

n−

kvamos provar para n + 1

cos2n+2(x) = 1

22n+1

2n + 1

n + 1

+

n+1∑k=1

cos(2kx)

2n + 2

n + 1 − k

multiplicando a hipótese da indução por cos2(x) = 1 + cos(2x)

2 tem-se

cos2n+2(x) =


51/56


= 1

22n

2n− 1

n

cos(2x)+

n∑k=1

cos(2kx)cos(2x)

2n

n− k

+

2n− 1

n

+

n∑k=1

cos(2kx)

2n

n− k

=

usamos agora a relação cos(a + b) + cos(a

−b)

2 = cos(a).cos(b)

= 1

22n

2n− 1

n

cos(2x) +

1

2

n∑k=1

cos(2(k + 1)x)

2n

n− k

+

+1

2

n∑k=1

cos(2(k − 1)x)

2n

n− k

+

2n− 1

n

+

n∑k=1

cos(2kx)

2n

n− k

=

= 1

22n

2n− 1

n

cos(2x) +

1

2

n+1

∑k=2cos(2(k)x)

2n

n + 1

−k

+

+1

2

2n

n− 1

+ 1

2

n−1∑k=1

cos(2(k)x)

2n

n− 1− k

+

2n− 1

n

+

n∑k=1

cos(2kx)

2n

n− k

=

usamos que 1

2

2n

n− 1

+

2n− 1

n

=

1

2

2n + 1

n

=

1

2

2n + 1

n + 1

e que

2n− 1

n

=

2nn

2

= 1

22n

1

2

2n + 1

n + 1

+

1

2

n+1∑k=1

cos(2(k)x)

2n

n + 1 − k

+

+

1

2

n−1∑k=1

cos(2(k)x) 2nn− 1− k +n∑

k=1cos(2kx) 2nn− k =

usando agora que 1

2

2n

n− 1− k

+

2n

n− k

+ 1

2

2n

n + 1 − k

= 1

2

2n + 2

n + 1 − k

= 1

22n

1

2

2n + 1

n + 1

+

1

2cos(2nx)

2n

1

+

1

2cos(2(n + 1)x)

2n

0

+

+1

2

n−1∑k=1

cos(2(k)x)

2n + 2

n + 1 − k

+ cos(2nx)

2n

0

=

= 122n

12

2n + 1n + 1

+ 1

2cos(2(n + 1)x)

2n + 20

+

+1

2

n−1∑k=1

cos(2(k)x)

2n + 2

n + 1 − k

+ 1

2cos(2nx)

2n + 2

1

=

= 1

22n

1

2

2n + 1

n + 1

+

1

2

n+1∑k=1

cos(2(k)x)

2n + 2

n + 1 − k

= cos2n+2(x).

Caso ı́mpar. Multiplicamos o caso par por cos(x).


52/56


cos2n+1(x) = 1

22n−1

2n− 1

n

cos(x) +

n

∑k=1cos(2kx)cos(x)

2n

n− k

=

= 1

22n−1

2n− 1

n

cos(x)+

1

2

n∑k=1

cos((2k+1)x)

2n

n− k

+1

2

n∑k=1

cos((2k−1)x)

2n

n− k

=

= 1

22n−1

1

2

2n + 1

n + 1

cos(x) +

1

2

n∑k=1

cos((2k + 1)x)

2n

n− k

+

+1

2

n−1∑k=0

cos((2k + 1)x)

2n

n− 1− k

=

= 1

22n−11

22n + 1

n + 1 cos(x) + 1

2

n−1

∑k=1

cos((2k + 1)x)2n + 1n− k + 1

2cos((2n + 1)x)2n0 =

= 1

22n−1

1

2

2n + 1

n + 1

cos(x) +

1

2

n∑k=1

cos((2k + 1)x)

2n + 1

n− k

= cos2n+1(x).

Corolário 39. Fazendo x = 0 tem-se

n∑k=1

2n

n− k

= 22n−1 −

2n− 1n

n∑k=1

2n + 1

n− k

= 22n −

2n + 1

n + 1

.

Tomando x = π

2

−

2n− 1n

=

n∑k=1

(−1)k

2n

n− k

Corolário 40. Podemos integrar

∫ cos2n(x)dx =

1

22n−1

2n− 1

n

x +

n∑k=1

sen(2kx)

2k

2n

n− k

∫ cos2n+1(x)dx =

1

22n

2n + 1

n + 1

sen(x) +

n∑k=1

sen[(2k + 1)(x)]

2k + 1

2n + 1

n− k


53/56


Corolário 41. Podemos derivar

Dcos2n(x) =

−

1

22n−1

n

∑k=1(2k)sen(2kx) 2n

n− k

Dcos2n+1(x) = − 122n

2n + 1

n + 1

sen(x) +

n∑k=1

(2k + 1)sen[(2k + 1)(x)]

2n + 1

n− k

Corolário 42. Das identidades,

cos2n(x) = 1

22n−12n− 1

n +n

∑k=1 cos(2kx) 2n

n−

kcos2n+1(x) =

1

22n

2n + 1

n + 1

cos(x) +

n∑k=1

cos[(2k + 1)(x)]

2n + 1

n− k

trocando x por ix

cosh2n(x) = 1

22n−1

2n− 1

n

+

n∑k=1

cosh(2kx)

2n

n− k

cosh2n+1(x) = 1

22n

2n + 1n + 1

cosh(x) +

n∑k=1

cosh[(2k + 1)(x)]2n + 1

n− k

Propriedade 65.

cos((2n + 1)x) =n∑

k=0

cos2k+1(x)(−1)n+k(2n + 1) 4k

2k + 1

n + k

2k

cos(2nx) = (

−1)n +

n

∑k=1 cos2k(x)(

−1)n+k(n)

22k−1

k n + k − 1

2k − 1 .Corolário 43. Tomando x = 0.

1 =n∑

k=0

(−1)n+k(2n + 1) 4k

2k + 1

n + k

2k

1 = (−1)n +n∑

k=1

(−1)n+k(n) 22k−1

k

n + k − 1

2k − 1

.


54/56


1.15.16 cosn(x) = 1

2n

n∑k=0

n

k

cos((n− 2k)x)

Exemplo 24. Outra maneira

(eix + e−ix)n =n∑

k=0

n

k

ekixeix(−n+k) =

n∑k=0

n

k

ekixeix(−n+k) =

n∑k=0

n

k

eix(2k−n)

poŕem eix + e−ix = 2cos(x), de onde segue

2n.cosn(x) =n

∑k=0 n

keix(2k−n)

como o resultado deve ser real a soma na parte complexa deve ser nula, ent ão vale

n∑k=0

n

k

sen(x(2k − n)) = 0.

e

cosn(x) = 1

2n

n

∑k=0

n

kcos((n− 2k)x).Corolário 44. Podemos integrar e derivar facilmente cosn(x)

Dcosn(x) = 1

2n

n∑k=0

n

k

D[cos((n− 2k)x)] = − 1

2n

n∑k=0

n

k

(n− 2k)[sen((n− 2k)x)]

Dncosn(x) = 1

2n

n∑k=0

n

k

(n− 2k)[sen((2k − n)x)]

aplicando a integral segue∫ cosn(x)dx =

1

2n

n∑k=0

n

k

∫ [cos((n−2k)x)]dx = 1

2n

n∑k=0

n

k

[

1

(n− 2k) sen((n−2k)x)]dx

∫ cosn(x)dx =

1

2n

n∑k=0

n

k

[

1

(n− 2k)sen((n− 2k)x)]dx.

Exemplo 25. Sabemos que

eix − e−ix = 2isen(x)


55/56


, elevamos a potência n

(eix

−e−ix)n =

n

∑k=0 n

keixkeix(−n+k)(

−1)n+k = (2i)nsenn(x)

(2i)nsenn(x) =n∑

k=0

n

k

eix(−n+2k)(−1)n+k

separamos o caso par do ı́mpar, para 2n temos

(4n)(−1)nsen2n(x) =2n∑k=0

2n

k

eix(−2n+2k)(−1)2n+k =

2n∑k=0

2n

k

eix(−2n+2k)(−1)k =

nesse caso a parte complexa deve ser nula e a soma deve ser o valor da parte real

dáı

sen2n(x) = 1

4n

2n∑k=0

2n

k

cos[(2n− 2k)(x)](−1)n+k

e2n∑k=0

2n

k

sen[(2n− 2k)(x)](−1)k = 0.

Tomando agora o caso n ı́mpar, tem-se

(2)2n+1(−1)n.isen2n+1(x) =2n+1∑k=0

2n + 1

k

eix(−2n−1+2k)(−1)k+1

agora a parte real deve ser nula e a parte complexa fornece a soma

sen2n+1(x) = 1

(2)2n+1

2n+1∑k=0

2n + 1

k

sen[(2n + 1 − 2k)x](−1)k+n

e2n+1

∑k=0 2n + 1

k cos[(2n + 1 − 2k)x](−1)k = 0.

Então valem as expressões

sen2n+1(x) = 1

(2)2n+1

2n+1∑k=0

2n + 1

k

sen[(2n + 1 − 2k)x](−1)k+n

sen2n(x) = 1

4n

2n∑k=0

2n

k

cos[(2n− 2k)(x)](−1)n+k.


56/56


Corolário 45. Podemos derivar e integrar as expressões chegando em

∫ sen2n(x)dx = 14n2n

∑k=0 2n

k 1

(2n− 2k)sen[(2n

−2k)(x)](

−1)n+k

Dsen2n(x) = 1

4n

2n∑k=0

2n

k

(2n− 2k)sen[(2k − 2n)(x)](−1)n+k

Dsen2n+1(x) = 1

(2)2n+1

2n+1∑k=0

2n + 1

k

(2n + 1 − k)cos[(2n + 1 − 2k)x](−1)k+n

∫ sen2n+1(x)dx = − 1

(2)2n+1

2n+1∑k=0

2n + 1

k

1

(2n + 1 − 2k) cos[(2n + 1 − 2k)x](−1)k+n

trigonometria em cálculo

Documents