EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

TRIGONOMETRIA 1

1) Uma escada está apoiada em um muro de 2 m de altura, formando um ângulo de 45º. Forma-se, portanto, um triângulo retângulo isósceles. Qual é o comprimento da escada?

45

°

45

°

2m x

Resposta: O comprimento aproximado da escada

é de 2,83 m

2m

1

2

A questão também poderia ser

respondida através da aplicação

do Teorema de Pitágoras.

2m x

2m

Resposta: O comprimento aproximado da escada é

de 2,83 m

2) Usando os triângulos retângulos a seguir, determine as razões trigonométricas para o ângulo x.

3) No exercício anterior, o que podemos

concluir sobre o ângulo x? Quanto mede

esse ângulo?

2)

3) O ângulo mede 45°

4) Observe a figura a seguir e determine a

altura “h” do edifício, sabendo que AB mede

25m e cos ϴ= 0,6 .

ϴ

h

O problema informa o valor de

cos ϴ, mas para utilizar a razão

trigonométrica cosseno,

deveríamos relacionar a medida

do cateto adjacente ao ângulo ϴ

com a medida da hipotenusa.

Cateto

Oposto ao

ângulo ϴ

Hipotenus

a

No caso, precisamos calcular a medida do

cateto oposto ao ângulo ϴ, conhecendo a

medida da hipotenusa, ou seja, o ideal seria

termos o valor de sen ϴ e, para isso,

aplicaremos a Relação Fundamental da

Trigonometria:

A partir daí, o cálculo da altura torna-

se bastante simples:

Resposta: A altura do prédio é de 20 m

Para ângulos agudos,

as razões

trigonométricas são

positivas e, portanto,

não há necessidade de

usar ±

5) Em certa hora do dia, os raios do Sol incidem

sobre um local plano com uma inclinação de

60° em relação à horizontal. Nesse momento, o

comprimento da sombra de uma construção de

6m de altura será aproximadamente igual a:

a) 10,2 m

b) 8,5 m

c) 5,9 m

d) 4,2 m

e) 3,4 m

60°

6m

x

Cateto adjacente

ao ângulo de 60°

Cateto oposto ao

ângulo de 60°

Conhecemos a medida do cateto

oposto ao ângulo de 60° e

desejamos calcular a medida do

cateto adjacente a esse mesmo

ângulo.

A melhor escolha é trabalhar com

a tangente de 60°!

Resposta: Opção E

x

Os raios do Sol incidem sobre um

local plano com uma inclinação de

60° em relação à horizontal. Calcular

o comprimento da sombra de uma

construção de 6m de altura.

1

2

6) A figura representa um barco atravessando

um rio, partindo de A em direção ao ponto B. A

forte correnteza arrasta o barco em direção ao

ponto C, segundo um ângulo de 60º. Sendo a

largura do rio de 120 m, a distância percorrida

pelo barco até o ponto C, é:

a) 240 m

b) 240 m

c) 80 m

d) 80 m

e) 40 m

120m x

A

B C

Cateto adjacente

ao ângulo de 60° Hipotenusa

Conhecemos a medida do cateto adjacente ao ângulo de 60° e desejamos

calcular a medida da hipotenusa do triângulo ABC.

Dessa vez é melhor escolher trabalhar com o cosseno de 60°!

Resposta: Opção C

7) Para permitir o aceso a um monumento que está em um pedestal de 2m de altura, vai ser construída uma rampa com inclinação de 30° com o solo, conforme a ilustração. O comprimento da rampa será igual a:

a) /2 m

b) m

c) 2 m

d) 4 m

e) 4 m

30°

2m

x

Hipotenusa Cateto oposto ao

ângulo de 30°

Conhecemos a medida do cateto oposto ao ângulo de 30° e desejamos

calcular a medida da hipotenusa do triângulo esboçado acima.

Sem dúvida é um caso para aplicar o seno de 30°!

Resposta: Opção D

8) Um observador, no ponto O da figura, vê um prédio segundo um ângulo de 75°. Se esse observador está situado a uma distância de 12m do prédio e a 12m de altura do plano horizontal que passa pelo pé do prédio, então qual é a altura do prédio, em metros?

45°

75° 30°

12

12

O

A

B

C

x

45° O triângulo AOB é

isósceles e,

portanto, o ângulo

AÔB é igual ao

ângulo OÂB

Sendo o

triângulo AOB

isósceles e

retângulo,

temos

 = Ô = 45°

O ângulo AÔC, que

mede 75° ficou

dividido em duas

partes:

m(AÔB) = 45°

m(BÔC) = 30°

•Vamos trabalhar então no triângulo

retângulo BÔC onde Ô = 30°.

•Desejamos calcular a medida do

cateto oposto a esse ângulo e

conhecemos a medida de seu cateto

adjacente.

•Um caso claro de utilização da

tangente!

1 4

Finalmente, a altura total do prédio é a medida do segmento AC,

ou seja:

Resposta: A altura

aproximada do prédio é

18,93 m

9) Determine a área do triângulo abaixo de base

igual a 6 cm:

60°

A

45°

75°

b c

H

B C

a = 6

h

h 6 – h

O triângulo AHB é

retângulo e tem um

ângulo medindo

45°, logo é

isósceles com AH

= BH

Sabendo que

BH= h, como BC

= 6, podemos

escrever que

HC = 6 – h

No triângulo ABC,

se  = 75° e B =

45°, como  + B +

C = 180°, então C

= 60°

^ ^

^

^

60°

A

b

H

C

h

6 – h

1

3

10) Um turista vê o topo de uma torre construída em um terreno plano, sob um ângulo de 30°. Aproximando-se da torre mais 374 m, passa a vê-la sob um ângulo de 60°. Considerando que a base da torre está no mesmo nível do olho do turista, calcule a altura da torre. (Você imagina por onde anda esse turista?)

30° 30°

60°

30°

374m A B C

T

h

• ∆ BCT é retângulo em C com CBT = 60° ⇒ CTB = 30°

• ∆ ACT é retângulo em C com CÂT = 30° ⇒ CTA = 60°

• Sendo CTA = 60° e CTB = 30° ⇒ BTA = 30° e ∆ ABT é isósceles com AB = BT = 374 m

• Aplicando agora o seno de 60° no ∆BCT, temos:

^ ^

^

^ ^ ^

60°

60°

30°

374m A B C

T

30° 30°

h

Resposta: 324 m de altura, e só pode ser a Torre

Eiffel...

O turista está em Paris!

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Professora Telma Castro Silva

ISERJ – 2012