TRELIÇASSistema estrutural composto por elementos lineares (barras) ligados por meio de nós, que só resistem à esforços axiais (esforços normais de tração ou compressão).

Treliças para Pontes e PassarelasTreliças para Pontes e Passarelas

a) Exemplos de esquemas estáticosa) Exemplos de esquemas estáticos

b) Exemplos de pontes treliçadas

Treliças Planas para Coberturas: tesourasTreliças Planas para Coberturas: tesouras

Treliça plana

Esquema estáticoExemplos:

a)

Treliça plana

Pilar que serve de apoio para a treliça

b)

Ligação de várias tesouras com um pilar

Exemplos de Estruturas Treliçadas

Cobertura em treliça espacial de aço

EXEMPLOS DE VIGAS ISOSTÁTICAS TRELIÇADAS SOBRE 2 APOIOS

EXEMPLOS DE VIGAS ISOSTÁTICAS TRELIÇADAS EM BALANÇO

EXEMPLOS DE ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS TRELIÇADAS TRIARTICULADAS

ARTICULAÇÃO A: articulação de ligação das 2 partes da estrutura

EXEMPLOS DE VIGAS GERBER TRELIÇADAS

ARTICULAÇÃO A: dente Gerber

SOLUÇÃO DA VIGA GERBER TRELIÇADA

Calculam-se as reações de apoio através da viga Gerber abaixo:

Com os valores das reações de apoio, calculam-se as forças normais nas barras

CÁLCULO DOS ESFORÇOS NAS BARRAS DA TRELIÇA PLANA

NÓ (articulação)

Treliça conjunto de barras biarticuladas

Se as forças são aplicadas nos nós articulados: o esforço cortante e o momento fletor são nulos nas barras: há apenas o esforço normal:

P1

N

Rv =P1

N

P2

Rv =P2

Barra bi-articulada:: Qs = 0 Ms = 0

Simplificação: o peso próprio da barra (carga uniformemente distribuída) provocaria momento fletor e esforço cortante, porém o peso da barra é substituído por duas forças concentradas aplicadas nas extremidades

pL/2 pL/2

p

L

Transferências das cargas do telhado para os nós da treliça (tesoura)

Esquema estático das terças

tesoura

terça terças

Esquema estático das Esquema estático das treliças

Ligação entre as barras através de um pino, sem atrito: as barras ficam articuladas nas

Exemplo de como se faz uma articulação:

sem atrito: as barras ficam articuladas nas extremidades, isto é, as barras ficam livres para girar.

Normalmente a ligação não é feita dessa forma e quando se faz, é difícil garantir a condição de atrito nulo no pino.

Em geral, os nós não são articulados. Exemplos:

Barras interligadas por meio de cordões de solda

Barras interligadas nos nós por meio de chapas e rebites

Se o nó não é articulado O nó impede a rotação das barras nas extremidades surgem momentos fletores e forças cortantes

Obs: se na ligação, as barras tiverem seus eixos no mesmo plano e se esses eixos se encontrarem num único ponto em cada nó, pode-se considerar a ligação como articulação, os erros são pequenos.

O cálculo que leva em conta essa rigidez dos nós é um problema da hiperestática. Porém, em muitos casos a rigidez dos nós não influi consideravelmente no dimensionamento das barras, podendo-se então calcular a treliça adotando-se os nós articulados.

Seja: n = nº de nósb = nº de barras

A treliça é geometricamente indeformável se: 32 −≥ nb

32 −> nbSe diz-se que a treliça possui barras superabundantes

A condição é necessária para a t reliça ser 32 −≥ nbA condição é necessária para a t reliça ser geometricamente indeformável, mas não suficiente, p ois mesmo que essa condição seja verificada a treliça pode se r geometricamente deformável dependendo das disposiçã o das barras. Exemplos:

32 −≥ nb

32 −= nb

treliça geometricamente

32 −> nb

treliça geometricamente indeformável, c/ barras

3323 −= x3426 −> x

32 −= nb

treliça geometricamente indeformável

treliça geometricamente indeformável

indeformável, c/ barras superabundantes

32 −= nb

treliça geometricamente deformável

Trecho deformável

3425 −= x 3629 −= x

Treliça simples: é aquela que obedece á seguinte lei de formação: a cada nó acrescentado à treliça devem-se acrescentar 2 novas barras (não-colineares), que partindo de 2 nós já existente vão se encontrar no novo nó.Exemplos:

Treliça composta: é aquela que resulta da associação de 2 ou mais treliças simples e que não podem ser obtidas através da lei de formação das treliças simples

Treliça complexa: é aquela que não pode ser definida como treliça simples nem treliça composta

PROCEDIMENTO DE CÁLCULO:

HIPÓTESE: os nós são perfeitamente articulados barras são sujeitas apenas ao esforço normal

P1P2 P4

3

4 8

7

P3

1

2

3

6

57

Por simplificação será considerado que todas as barras estão tracionadas. Cortando, por exemplo, as barras 4, 5, 7 e 8 nas suas extremidades aparecerão os seguintes esforços normais de tração:

F F4

F F8

F4 F4 4 F8 F8 8

F7

F7

7

O nó que interliga essas barras estará sujeito as seguintes forças:

F4 F8

P1

F5 F7

F5

F5

5

P1P2 P4

P3

1

2

3

4

6

8

57

x

y

Cada nó fica sujeito à ação das forças normais das barras que no nó se interligam, além das forças externas nele aplicadas:

0∑ =xF

0∑ =yFPara o nó estar em equilíbrio deve-se verificar:

Têm-se 2 equações de equilíbrio por nó.

Incógnitas do problema: forças normais nas barras e reações de apoio

ESTRUTURA ISOSTÁTICA:

Nº de incógnitas = Nº de equações de equilíbrio

Seja:n = nº de nósb = nº de barrasv = nº de vínculos (reações incógnitas)v = nº de vínculos (reações incógnitas)

Portanto: nº de incógnitas = b+v; nº de equações = 2n

A estrutura será isostática se b+v = 2n

A condição b+v = 2n é necessária para a treliça se r isostática, mas não suficiente, pois mesmo que essa condição seja v erificada a treliça pode ser geometricamente deformável ou os v ínculos podem estar dispostos de forma incorreta formando um meca nismo (a estrutura pode se deslocar em determinada direção)

32 −= nb 32 −= nb3629 −= x

Vínculos colocados de forma correta, mas a treliça é geometricamente deformável

32 −= nb

treliça geometricamente indeformável, mas os vínculos estão dispostos de forma incorreta (há deslocamento vertical no apoio móvel).

b+v = 2nb+v = 2n

9+3= 2x6

móvel).

Isostática e geometricamente indeformável

32 −= nb

b+v > 2n 17+4> 2x10310217 −= x

Treliça hiperestática

32 −= nb 310217 −= x32 −= nb

b+v = 2n 17+3= 2x10

310217 −= x

Treliça isostática

Treliças isostáticasa b

b

Treliça b) foi obtida da treliça a), tirando a barra inferior e acrescentando 1 vínculo externo

b+v = 2n 15+3= 2x9

b+v = 2n 14+4= 2x9

a

32 −> nb

b+v > 2n 21+3 > 2x10

310221 −> x

Isostática externamente (com as equações de equilíbrio consegue

Geometricamente indeformável c/ barras superabundantes

Isostática externamente (com as equações de equilíbrio consegue obter as reações de apoio), mas é hiperestática internamente (aplicando as 2n equações nos nós,não se consegue obter as normais em todas as barras

b+v > 2n 21+4 > 2x10

Hiperestática interna e externamente Hiperestática interna e externamente (com as equações de equilíbrio não se consegue determinar as reações de apoio nem as normais nas barras)

PROCEDIMENTO DE CÁLCULO:

1.Calculam-se as reações de apoio considerando-se as equações de equilíbrio:

0∑ =xF 0∑ =yF 0∑ =MAplica em qualquer ponto da estrutura

2. Calculam-se as normais nas barras, aplicando as 2 equações de equilíbrio em cada nó:

Obs: se aplicar as equações nos nós numa seqüência adequada, as normais nas barras são obtidas após a solução de vários sistemas de 2 equações e 2 incógnitas facilita o cálculo (no equilíbrio de cada nó, obtêm-se 2 incógnitas).

0∑ =xF 0∑ =yF

Obs: na montagem do sistema de equações consideram todas as normais de tração; após a solução do sistema se o valor obtido para a normal for negativo, quer dizer que é compressão; se for positivo é tração.

P1P2 P4

P3

1

2

3

4

6

8

57

x

y

Exemplo:

AC

D EB

1. Cálculo das

G

F

I

H

K

JM

L

N

A C

DB

0∑ =F 0=+ FR

1. Cálculo das reações de apoio: RHA, RVA e RVM

RvA

RHA

0∑ =F 0cos =+ FF α

αααα

0∑ =xF

0∑ =yF2. Nó A:

02 =+ FRHA

01 =+ FRVA

0∑ =xF

0∑ =yF3. Nó B:

0cos 43 =+ FF α

013 =−− FsenF α

0∑ =xF

0∑ =yF4. Nó C:

0cos 632 =+−− FFF α

053 =+ FsenF α

5. Nó D ......, nó N

TRELIÇAS COMPOSTASÉ a associação de duas ou mais treliças simples através de um sistema de ligação isostático (sistema que restringe os três graus de liberdade de uma treliça simples em relação à outra). Se o nº de barras de liga uma treliça a outra for maior que o necessário para restringir esses 3 graus de liberdade, tem-se uma treliça composta hiperestática.de liberdade, tem-se uma treliça composta hiperestática.Há 2 formas de se obter uma treliça composta isostática:

a)Ligando as 2 treliças através de 3 barras não paralelas nem concorrentes no mesmo ponto

b)Ligando as 2 treliças através de 1 nó e 1 barra não concorrente nesse nó.

MÉTODO DAS SEÇÕES

É mais usado quando se quer o esforço N em apenas 1 barra ou poucas barrasExemplo: calcular a normal na barra DE:

- Corta a barra DE, onde se quer calcular N, formando uma estrutura triarticulada composta de 2 reticulados geometricamente estrutura triarticulada composta de 2 reticulados geometricamente indeformáveis ligados por meio da articulação em F. -Para a estrutura triarticulada, tem-se:ΣMF(considerando o reticulado da esquerda)=0ΣMF(considerando o reticulado da direita)=0

ΣMF(considerando o reticulado da esquerda)=0

-2991x8-NDEx3+1000x4=0

NDE=-6443kg

Reticulado da esquerda: 7=2x5-3

Obs: Para ser geometricamente indeformável: b=2n-3

Reticulado da direita: 9=2x6-3

Exemplo: calcular a normal nas barras 1, 2 e 3: corta as 3 barras de uma só vez, formando 2 reticulados separados e geometricamente indeformáveis

Quando rompe a treliça nessas barras, nada se alterará sob o ponto de vista estático se substituirmos as barras rompidas pelos esforços normais nelas atuantes. Cada reticulado formado deve estar em equilíbrio, pois pertence a uma peça que está em equilíbrio.equilíbrio, pois pertence a uma peça que está em equilíbrio.

b=2xn-3: 3=2x3-3

1

2

5=2x4-3Para os reticulados 1 e 2, deve-se ter:

0∑ =xF 0∑ =yF 0∑ =M

Aplicando essas equações a um dos reticulados:3 equações e 3 incógnitas: obtém N1, N2 e N3

Obs: pode acontecer de ao cortar várias barras ao mesmo tempo resulte em um dos reticulados geometricamente deformável. Quando acontece isso, deve-se analisar a deformabilidade do reticulado deformável, o que pode ser complicado. Se não for simples analisar essa deformabilidade, é melhor cortar menos barras e ir calculando as normais através de cortes sucessivos em várias barras.

Cálculo das treliças compostas: para facilitar a solução, primeiro aplica o método das seções para achar as normais nas barras de ligação. Conhecidas essas normais, aplica-se o método do equilíbrio dos nós normalmente. Exemplo:

Corta a barra 1 e calcula N1, depois faz o equilíbrio dos nós começando pelo nó D

N1D

Treliças simples conectadas pela barra 1 e articulação C

N1

1m

D

E F

Treliça Composta

ΣMC(considerando o reticulado da direita)=0

Cortando a barra 1, obtém 2 reticulados geometricamente indeformáveis (7=2x5-3) unidos pela articulação C

Ou ΣMC(considerando o reticulado da esquerda)=0

-3x6+2x3+N1x4=0 N1=3t

Faz o equilíbrio dos nós na seguinte ordem: D, A, E, F

F H

IJ

Treliça Composta

Treliças simples conectadas pela barra DE e articulação C

NDE

ΣMC(considerando o reticulado da direita)=0

Cortando a barra DE, obtém 2 reticulados geometricamente indeformáveis (13=2x8-3) unidos pela articulação C

F

G

H

ΣMC(considerando o reticulado da direita)=0

Ou ΣMC(considerando o reticulado da esquerda)=0

-14x10+4x(7,5+5+2,5)+NDEx6=0 NDE=13,3t

Faz o equilíbrio dos nós na seguinte ordem: A, F, G, D, H, I, JNa outra metade da treliça os resultados são simétricos

Cortando as barra BF e AF,

Treliça Composta

Treliças simples conectadas pela barra FG e articulação C

Cortando as barra BF e AF, obtém 2 reticulados unidos pela articulação C

Considerando o reticulado da esquerda:

ΣM (pelo lado AB)=0ΣMB(pelo lado AB)=0

acha NAF

ΣMC(pelo lado ABC)=0

acha NBF

Barras de ligação:DE, AB e GI

Treliça Composta

Cortando as barras DE, AB e GI, obtém 2 reticulados separados, que devem estar em equilíbrio

Impondo as equações de equilíbrio a um dos reticulados, obtém as

0∑ =xF 0∑ =yF 0∑ =M

reticulados, obtém as normais NDE, NAB e NGI

Através do equilíbrio dos nós acham-se as outras normais (nó G, F, E).

Treliça Composta

Barras de ligação:DE, HI e GJ

Cortando as barras DE, HI e GJ, obtém 2 reticulados separados, que devem estar em equilíbrio

Impondo as equações de equilíbrio a um dos reticulados, obtém as normais N ,

0∑ =xF 0∑ =yF 0∑ =M

dos reticulados, obtém as normais NDE, NGJ e NHI

Através do equilíbrio dos nós acham-se as outras normais (nó D, C, A, I e G).