trelicas

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TRELIÇAS Sistema estrutural composto por elementos lineares (barras) ligados por meio de nós, que só resistem à esforços axiais (esforços normais de tração ou compressão). Treliças para Pontes e Passarelas Treliças para Pontes e Passarelas a) Exemplos de esquemas estáticos a) Exemplos de esquemas estáticos b) Exemplos de pontes treliçadas

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Modulo treliças

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Page 1: trelicas

TRELIÇASSistema estrutural composto por elementos lineares (barras) ligados por meio de nós, que só resistem à esforços axiais (esforços normais de tração ou compressão).

Treliças para Pontes e PassarelasTreliças para Pontes e Passarelas

a) Exemplos de esquemas estáticosa) Exemplos de esquemas estáticos

b) Exemplos de pontes treliçadas

Page 2: trelicas

Treliças Planas para Coberturas: tesourasTreliças Planas para Coberturas: tesouras

Treliça plana

Esquema estáticoExemplos:

a)

Treliça plana

Pilar que serve de apoio para a treliça

b)

Page 3: trelicas

Ligação de várias tesouras com um pilar

Page 4: trelicas

Exemplos de Estruturas Treliçadas

Page 5: trelicas

Cobertura em treliça espacial de aço

Page 6: trelicas

EXEMPLOS DE VIGAS ISOSTÁTICAS TRELIÇADAS SOBRE 2 APOIOS

Page 7: trelicas

EXEMPLOS DE VIGAS ISOSTÁTICAS TRELIÇADAS EM BALANÇO

Page 8: trelicas

EXEMPLOS DE ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS TRELIÇADAS TRIARTICULADAS

ARTICULAÇÃO A: articulação de ligação das 2 partes da estrutura

Page 9: trelicas

EXEMPLOS DE VIGAS GERBER TRELIÇADAS

ARTICULAÇÃO A: dente Gerber

Page 10: trelicas

SOLUÇÃO DA VIGA GERBER TRELIÇADA

Calculam-se as reações de apoio através da viga Gerber abaixo:

Com os valores das reações de apoio, calculam-se as forças normais nas barras

Page 11: trelicas

CÁLCULO DOS ESFORÇOS NAS BARRAS DA TRELIÇA PLANA

NÓ (articulação)

Treliça conjunto de barras biarticuladas

Se as forças são aplicadas nos nós articulados: o esforço cortante e o momento fletor são nulos nas barras: há apenas o esforço normal:

P1

N

Rv =P1

N

P2

Rv =P2

Barra bi-articulada:: Qs = 0 Ms = 0

Simplificação: o peso próprio da barra (carga uniformemente distribuída) provocaria momento fletor e esforço cortante, porém o peso da barra é substituído por duas forças concentradas aplicadas nas extremidades

pL/2 pL/2

p

L

Page 12: trelicas

Transferências das cargas do telhado para os nós da treliça (tesoura)

Esquema estático das terças

tesoura

terça terças

Esquema estático das Esquema estático das treliças

Page 13: trelicas

Ligação entre as barras através de um pino, sem atrito: as barras ficam articuladas nas

Exemplo de como se faz uma articulação:

sem atrito: as barras ficam articuladas nas extremidades, isto é, as barras ficam livres para girar.

Normalmente a ligação não é feita dessa forma e quando se faz, é difícil garantir a condição de atrito nulo no pino.

Page 14: trelicas

Em geral, os nós não são articulados. Exemplos:

Barras interligadas por meio de cordões de solda

Barras interligadas nos nós por meio de chapas e rebites

Se o nó não é articulado O nó impede a rotação das barras nas extremidades surgem momentos fletores e forças cortantes

Obs: se na ligação, as barras tiverem seus eixos no mesmo plano e se esses eixos se encontrarem num único ponto em cada nó, pode-se considerar a ligação como articulação, os erros são pequenos.

O cálculo que leva em conta essa rigidez dos nós é um problema da hiperestática. Porém, em muitos casos a rigidez dos nós não influi consideravelmente no dimensionamento das barras, podendo-se então calcular a treliça adotando-se os nós articulados.

Page 15: trelicas

Seja: n = nº de nósb = nº de barras

A treliça é geometricamente indeformável se: 32 −≥ nb

32 −> nbSe diz-se que a treliça possui barras superabundantes

A condição é necessária para a t reliça ser 32 −≥ nbA condição é necessária para a t reliça ser geometricamente indeformável, mas não suficiente, p ois mesmo que essa condição seja verificada a treliça pode se r geometricamente deformável dependendo das disposiçã o das barras. Exemplos:

32 −≥ nb

32 −= nb

treliça geometricamente

32 −> nb

treliça geometricamente indeformável, c/ barras

3323 −= x3426 −> x

32 −= nb

treliça geometricamente indeformável

treliça geometricamente indeformável

indeformável, c/ barras superabundantes

32 −= nb

treliça geometricamente deformável

Trecho deformável

3425 −= x 3629 −= x

Page 16: trelicas

Treliça simples: é aquela que obedece á seguinte lei de formação: a cada nó acrescentado à treliça devem-se acrescentar 2 novas barras (não-colineares), que partindo de 2 nós já existente vão se encontrar no novo nó.Exemplos:

Treliça composta: é aquela que resulta da associação de 2 ou mais treliças simples e que não podem ser obtidas através da lei de formação das treliças simples

Treliça complexa: é aquela que não pode ser definida como treliça simples nem treliça composta

Page 17: trelicas

PROCEDIMENTO DE CÁLCULO:

HIPÓTESE: os nós são perfeitamente articulados barras são sujeitas apenas ao esforço normal

P1P2 P4

3

4 8

7

P3

1

2

3

6

57

Por simplificação será considerado que todas as barras estão tracionadas. Cortando, por exemplo, as barras 4, 5, 7 e 8 nas suas extremidades aparecerão os seguintes esforços normais de tração:

F F4

F F8

F4 F4 4 F8 F8 8

F7

F7

7

O nó que interliga essas barras estará sujeito as seguintes forças:

F4 F8

P1

F5 F7

F5

F5

5

Page 18: trelicas

P1P2 P4

P3

1

2

3

4

6

8

57

x

y

Cada nó fica sujeito à ação das forças normais das barras que no nó se interligam, além das forças externas nele aplicadas:

Page 19: trelicas

0∑ =xF

0∑ =yFPara o nó estar em equilíbrio deve-se verificar:

Têm-se 2 equações de equilíbrio por nó.

Incógnitas do problema: forças normais nas barras e reações de apoio

ESTRUTURA ISOSTÁTICA:

Nº de incógnitas = Nº de equações de equilíbrio

Seja:n = nº de nósb = nº de barrasv = nº de vínculos (reações incógnitas)v = nº de vínculos (reações incógnitas)

Portanto: nº de incógnitas = b+v; nº de equações = 2n

A estrutura será isostática se b+v = 2n

Page 20: trelicas

A condição b+v = 2n é necessária para a treliça se r isostática, mas não suficiente, pois mesmo que essa condição seja v erificada a treliça pode ser geometricamente deformável ou os v ínculos podem estar dispostos de forma incorreta formando um meca nismo (a estrutura pode se deslocar em determinada direção)

32 −= nb 32 −= nb3629 −= x

Vínculos colocados de forma correta, mas a treliça é geometricamente deformável

32 −= nb

treliça geometricamente indeformável, mas os vínculos estão dispostos de forma incorreta (há deslocamento vertical no apoio móvel).

b+v = 2nb+v = 2n

9+3= 2x6

móvel).

Isostática e geometricamente indeformável

Page 21: trelicas

32 −= nb

b+v > 2n 17+4> 2x10310217 −= x

Treliça hiperestática

32 −= nb 310217 −= x32 −= nb

b+v = 2n 17+3= 2x10

310217 −= x

Treliça isostática

Treliças isostáticasa b

b

Treliça b) foi obtida da treliça a), tirando a barra inferior e acrescentando 1 vínculo externo

b+v = 2n 15+3= 2x9

b+v = 2n 14+4= 2x9

a

Page 22: trelicas

32 −> nb

b+v > 2n 21+3 > 2x10

310221 −> x

Isostática externamente (com as equações de equilíbrio consegue

Geometricamente indeformável c/ barras superabundantes

Isostática externamente (com as equações de equilíbrio consegue obter as reações de apoio), mas é hiperestática internamente (aplicando as 2n equações nos nós,não se consegue obter as normais em todas as barras

b+v > 2n 21+4 > 2x10

Hiperestática interna e externamente Hiperestática interna e externamente (com as equações de equilíbrio não se consegue determinar as reações de apoio nem as normais nas barras)

Page 23: trelicas

PROCEDIMENTO DE CÁLCULO:

1.Calculam-se as reações de apoio considerando-se as equações de equilíbrio:

0∑ =xF 0∑ =yF 0∑ =MAplica em qualquer ponto da estrutura

2. Calculam-se as normais nas barras, aplicando as 2 equações de equilíbrio em cada nó:

Obs: se aplicar as equações nos nós numa seqüência adequada, as normais nas barras são obtidas após a solução de vários sistemas de 2 equações e 2 incógnitas facilita o cálculo (no equilíbrio de cada nó, obtêm-se 2 incógnitas).

0∑ =xF 0∑ =yF

Obs: na montagem do sistema de equações consideram todas as normais de tração; após a solução do sistema se o valor obtido para a normal for negativo, quer dizer que é compressão; se for positivo é tração.

Page 24: trelicas

P1P2 P4

P3

1

2

3

4

6

8

57

x

y

Exemplo:

AC

D EB

1. Cálculo das

G

F

I

H

K

JM

L

N

A C

DB

0∑ =F 0=+ FR

1. Cálculo das reações de apoio: RHA, RVA e RVM

RvA

RHA

0∑ =F 0cos =+ FF α

αααα

0∑ =xF

0∑ =yF2. Nó A:

02 =+ FRHA

01 =+ FRVA

0∑ =xF

0∑ =yF3. Nó B:

0cos 43 =+ FF α

013 =−− FsenF α

0∑ =xF

0∑ =yF4. Nó C:

0cos 632 =+−− FFF α

053 =+ FsenF α

5. Nó D ......, nó N

Page 25: trelicas

TRELIÇAS COMPOSTASÉ a associação de duas ou mais treliças simples através de um sistema de ligação isostático (sistema que restringe os três graus de liberdade de uma treliça simples em relação à outra). Se o nº de barras de liga uma treliça a outra for maior que o necessário para restringir esses 3 graus de liberdade, tem-se uma treliça composta hiperestática.de liberdade, tem-se uma treliça composta hiperestática.Há 2 formas de se obter uma treliça composta isostática:

a)Ligando as 2 treliças através de 3 barras não paralelas nem concorrentes no mesmo ponto

b)Ligando as 2 treliças através de 1 nó e 1 barra não concorrente nesse nó.

Page 26: trelicas

MÉTODO DAS SEÇÕES

É mais usado quando se quer o esforço N em apenas 1 barra ou poucas barrasExemplo: calcular a normal na barra DE:

- Corta a barra DE, onde se quer calcular N, formando uma estrutura triarticulada composta de 2 reticulados geometricamente estrutura triarticulada composta de 2 reticulados geometricamente indeformáveis ligados por meio da articulação em F. -Para a estrutura triarticulada, tem-se:ΣMF(considerando o reticulado da esquerda)=0ΣMF(considerando o reticulado da direita)=0

ΣMF(considerando o reticulado da esquerda)=0

-2991x8-NDEx3+1000x4=0

NDE=-6443kg

Reticulado da esquerda: 7=2x5-3

Obs: Para ser geometricamente indeformável: b=2n-3

Reticulado da direita: 9=2x6-3

Page 27: trelicas

Exemplo: calcular a normal nas barras 1, 2 e 3: corta as 3 barras de uma só vez, formando 2 reticulados separados e geometricamente indeformáveis

Quando rompe a treliça nessas barras, nada se alterará sob o ponto de vista estático se substituirmos as barras rompidas pelos esforços normais nelas atuantes. Cada reticulado formado deve estar em equilíbrio, pois pertence a uma peça que está em equilíbrio.equilíbrio, pois pertence a uma peça que está em equilíbrio.

b=2xn-3: 3=2x3-3

1

2

5=2x4-3Para os reticulados 1 e 2, deve-se ter:

0∑ =xF 0∑ =yF 0∑ =M

Aplicando essas equações a um dos reticulados:3 equações e 3 incógnitas: obtém N1, N2 e N3

Page 28: trelicas

Obs: pode acontecer de ao cortar várias barras ao mesmo tempo resulte em um dos reticulados geometricamente deformável. Quando acontece isso, deve-se analisar a deformabilidade do reticulado deformável, o que pode ser complicado. Se não for simples analisar essa deformabilidade, é melhor cortar menos barras e ir calculando as normais através de cortes sucessivos em várias barras.

Cálculo das treliças compostas: para facilitar a solução, primeiro aplica o método das seções para achar as normais nas barras de ligação. Conhecidas essas normais, aplica-se o método do equilíbrio dos nós normalmente. Exemplo:

Corta a barra 1 e calcula N1, depois faz o equilíbrio dos nós começando pelo nó D

N1D

Treliças simples conectadas pela barra 1 e articulação C

Page 29: trelicas

N1

1m

D

E F

Treliça Composta

ΣMC(considerando o reticulado da direita)=0

Cortando a barra 1, obtém 2 reticulados geometricamente indeformáveis (7=2x5-3) unidos pela articulação C

Ou ΣMC(considerando o reticulado da esquerda)=0

-3x6+2x3+N1x4=0 N1=3t

Faz o equilíbrio dos nós na seguinte ordem: D, A, E, F

Page 30: trelicas

F H

IJ

Treliça Composta

Treliças simples conectadas pela barra DE e articulação C

NDE

ΣMC(considerando o reticulado da direita)=0

Cortando a barra DE, obtém 2 reticulados geometricamente indeformáveis (13=2x8-3) unidos pela articulação C

F

G

H

ΣMC(considerando o reticulado da direita)=0

Ou ΣMC(considerando o reticulado da esquerda)=0

-14x10+4x(7,5+5+2,5)+NDEx6=0 NDE=13,3t

Faz o equilíbrio dos nós na seguinte ordem: A, F, G, D, H, I, JNa outra metade da treliça os resultados são simétricos

Page 31: trelicas

Cortando as barra BF e AF,

Treliça Composta

Treliças simples conectadas pela barra FG e articulação C

Cortando as barra BF e AF, obtém 2 reticulados unidos pela articulação C

Considerando o reticulado da esquerda:

ΣM (pelo lado AB)=0ΣMB(pelo lado AB)=0

acha NAF

ΣMC(pelo lado ABC)=0

acha NBF

Page 32: trelicas

Barras de ligação:DE, AB e GI

Treliça Composta

Cortando as barras DE, AB e GI, obtém 2 reticulados separados, que devem estar em equilíbrio

Impondo as equações de equilíbrio a um dos reticulados, obtém as

0∑ =xF 0∑ =yF 0∑ =M

reticulados, obtém as normais NDE, NAB e NGI

Através do equilíbrio dos nós acham-se as outras normais (nó G, F, E).

Page 33: trelicas

Treliça Composta

Barras de ligação:DE, HI e GJ

Cortando as barras DE, HI e GJ, obtém 2 reticulados separados, que devem estar em equilíbrio

Impondo as equações de equilíbrio a um dos reticulados, obtém as normais N ,

0∑ =xF 0∑ =yF 0∑ =M

dos reticulados, obtém as normais NDE, NGJ e NHI

Através do equilíbrio dos nós acham-se as outras normais (nó D, C, A, I e G).