tratamento da imagem - transformações

Antonio G. Thomé[email protected] – AEP/1033

Processamento de ImagensProcessamento de Imagens

Universidade Federal do Rio de JaneiroUniversidade Federal do Rio de Janeiro--

IM/DCC & NCEIM/DCC & NCE

Tratamento da ImagemTransformações

Tratamento da ImagemTratamento da ImagemTransformaçõesTransformações

2


Tratamento de Imagens - Sumário Detalhado

ObjetivosAlguns Conceitos Básicos

Transformações LinearesConvolução e Correlação de FunçõesTransformada de FourierTransformada Bidimensional de Fourier

Transformadas em ImagensTransformadas GeométricasTransformadas RadiométricasTransformadas MorfológicasOutras Transformadas

3


Tratamento da Imagem

Aquisição e Representação

TratamentoPré-processamento

Segmentação

Extração de Características e Descrição

Reconhecimento e Interpretação

4


Objetivo do Tratamento da Imagem

Melhorar a qualidade da imagem no que tange a:Reduzir o nível de ruídoMelhorar o contraste (nitidez)Reforçar o contorno dos objetos da imagemRetirar regiões ou tonalidades não desejadasReduzir distorções ...

5


Operador Linear

Se G é um operador que transforma uma imagem f em uma imagem g:

G: f g

G é um operador linear se:

G[a f + b g] = aG[f] + bG[g]G[a f + b g] = aG[f] + bG[g]

6


Convolução de Funções

Matematicamente, a convolução de duas funções contínuas é dada por:

∫∞

∞−−=∗ ααα dxgfxgxf )()()()(

Esta operação retorna a área da interseção das funções, resultantedo deslizamento de uma função sobre a outra

7


Convolução - Exemplo

1

1

f(a)

a 1

1/2

g(a)

a

1/2

g(-a)

a-1

1/2

g(x - a)

a-1 x

∫∞

∞−−=∗ ααα dxgfxgxf )()()()(

1/2

f(a) g(x-a)

a-1

1

x

0≤x ≤ 1

1/2

f(a) g(x-a)

a-1

1

x-1

1≤x ≤ 2

x

8


Convolução – Resultado Final

1/2

f(a) g(x-a)

a-1

1

x

0≤x ≤ 1

1/2

f(a) g(x-a)

a-1

1

x-1

1≤x ≤ 2

x

0 1 2

1/2

f(x)*g(x)

x

9


A Função Impulso (Delta)

É por definição uma função que só existe num determinado ponto do espaço ou do tempo.

10

0

00 =∫ −=−∫

+

−

∞

∞−

x

xdxxxdxxx )()( δδ

xx0

δ(x-x0)1

10


)()()( 00 xfdxxxxf =−∫∞

∞−δ

A

a

f(a)

a-T T

g(a)

a

f(x)*g(x)f(x)*g(x)

-T T x-T+a a T+a

A

Convolução com a Função Impulso (Delta)

11


Convolução para Funções DiscretasSeja:f(x)= {f(0), f(1), f(2), ..., f(A-1)} / g(x)= {g(0), g(1), ..., g(B-1)}

Correlação assume f(x) e g(x) periódicas com período M.M ≥ A + B -1

−≤≤−≤≤

=10

10MxAAxxf

xfe)(

)(

−≤≤−≤≤

=10

10MxB

Bxxgxge

)()(

∑−

=−=

1

0

1 M

meeee mxgmf

Mxgxf )()()(*)(

12


Convolução para Funções Bidimensionais

−≤≤−≤≤−≤≤−≤≤

=110

1010NyBouMxA

ByeAxyxfyxfe

),(),(

−≤≤−≤≤−≤≤−≤≤

=110

1010NyDouMxC

DyeCxyxgyxge

),(),(

∑ ∑−

=

−

=−−=

1

0

1

0

1 M

m

N

neeee nymxgnmf

MNyxgyxf ),(),(),(*),(

13


Correlação de Funções

Matematicamente, a correlação de duas funções contínuas é dada por:

∫∞

∞−+= ααα dxgfxgxf )()()()( *o

Esta operação retorna a área da interseção das funções, resultantedo deslizamento de uma função sobre a outra sem rebatimento.

“*” – representa o complexo conjugado da função

14


Correlação - Exemplo

1

1

f(a)

a 1

1/2

g(a)

a

1/2

g(x + a)

a-1 x

1/2

f(a) g(x+a)

a-1

1

x

-1≤x ≤ 0

1/2

f(a) g(x+a)

a-1

1

x

0≤x ≤ 1

15


Correlação - Exemplo

1/2

f(a) g(x+a)

a-1

1

x

-1≤x ≤ 0

1/2

f(a) g(x+a)

a-1

1

x

0≤x ≤ 1

0 1-1

1/2

f(x) o g(x)

x

16


Correlação para Funções Discretas

Seja:f(x)= {f(0), f(1), f(2), ..., f(A-1)} / g(x)= {g(0), g(1), ..., g(B-1)}

−≤≤−≤≤

=10

10MxAAxxf

xfe)(

)(

−≤≤−≤≤

=10

10MxB

Bxxgxge

)()(

∑−

=+=

1

0

1 M

meeee mxgmf

Mxgxf )()()(*)( *

()* fdeconjugadocomplexof ⇒

17


Correlação para Funções Bidimensionais

−≤≤−≤≤−≤≤−≤≤

=110

1010NyBouMxA

ByeAxyxfyxfe

),(),(

−≤≤−≤≤−≤≤−≤≤

=110

1010NyDouMxC

DyeCxyxgyxge

),(),(

∑ ∑−

=

−

=++=

1

0

1

0

1 M

m

N

neeee nymxgnmf

MNyxgyxf ),(),(),(*),( *

18


Transformada de Fourier

)(xf função contínua de “x” real

∫==ℑ∞

∞−

− dxexfuFxf uxj π2)()()}({

−=jonde 1

∫==ℑ∞

∞−

− dueuFxfuF uxj π21 )()()}({

)()cos( uxjsenuxe uxj πππ 222 −=−

19


Transformada de Fourier

Existe sempre que f(x) for contínua e integrável e F(u) for integrável (condições quase sempre satisfeitas na prática).

)()()( ujIuRuF += Geralmente complexa

2122 /)]()([)( uIuRuF += Espectro de Fourier

=Φ −)()(tan)(

uRuIu 1 Ângulo de fase

)()()( ujeuFuF Φ=2)()( uFuP =

Espectro de Potência

20


Transformada de Fourier - Ex

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Função no domínio do es paço

x

y Função no Domínio do Tempo

Hzffxy 20);2sen( == π

21


-300 -200 -100 0 100 200 3000

50

100

150

200

250

300Es pec tro de Fourie r

|F(y)|

f=20


f

22



0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Funcao no dominio do es paco

KzfHzf

Hzf

5010020

3

2

1

===

Função no Domínio do Tempo

)2sen(*2)2sen()2sen( 321 xfxfxfy πππ −+=

23



-600 -400 -200 0 200 400 6000

200

400

600

800

1000

1200Es pec tro de Fourie r

Importância relativa

f = 20, 50 e 100Hz

24



Índice Bovespa

25



Componente DC

Espectro de Fourier

26



Sem componente DC

27


Transformada de Fourier - Ex$1000

Movimento de Numerário

Valores: mínimo= -590,2 médio = -24,15 máximo= 1035,6

28

Processamento de ImagensProcessamento de ImagensEspectro de Freqüência

25

106

29



)()( uFxf ⇔

X

A

-1/X 2/X

AX

[ ]uXj

Xuxj

X uxj

euXsenuA

euj

A

dxAeuF

π

π

π

ππ

π

−

−

−

=

−=

∫=

)(

)(

02

0

2

2 uXuXsenAXuF

ππ )()( =

30


Transformada Bidimensional de Fourier

f(x,y) - contínua e integrável / F(u.v) - integrável

∫∫

∫∫

+−

+−

==ℑ

−=

==ℑ

dudvevuFyxfvuF

jonde

dxdyeyxfvuFyxf

vyuxj

vyuxj

)(

)(

),(),()},({

),(),()},({

π

π

21

2

1

=Φ −),(),(tan),(

vuRvuIvu 1

2/122 )),(),((),( vuIvuRvuF +=

Espectro de Fourier Ângulo de Fase

31


Transformada Bidimensional - Exemplof(x,y)

x

y

XY

A vYvYsen

uXuXsenAXYvuF

ππ

ππ )()(),( =

32


),( vuF

Em níveis de intensidade

33


Exemplo de Transformada Bi-dimensional

f(x,y)F(u,v)

34



f(x,y) F(u,v)

35



f(x,y) F(u,v)

36


Transformada Discreta de Fourier

100 −=∆+= Nxxxxfxf ..),()(

}][(),...,(),({:)(

xNxfxxfxfemdadiscretizaxf

∆−+∆+ 1000

∑−

=

−=

1

0

21 N

xN

uxj

exfN

uFπ

)()(

f(x)

xx0 x1

Dx

amostragem

37


Algumas Propriedades de Fourier

a) Separabilidade

∑ ∑−

=

−

=

+−=

1

0

1

0

21 N

y

N

xN

uxvyj

eyxfN

vuF)(

),(),(π

equivale a

(0,0) (N-1,0)

(0,N-1)

x

y

f(x,y)

(0,0) (N-1,0)

(0,N-1)

x

v

F(x,v)

(0,N-1)v

(0,0) (N-1,0)u

F(u,v)Linha x N Coluna

∑ ∑−

=

−

=

−−=

1

0

1

0

22

),(1),(N

x

N

y

Nuyj

Nvxj

eyxfeN

vuFππ

38


A512x512

512512

20)2sen(:),256(

xAHzf

fxA=

= π

39


Espectro de Fourier - |A(u,v)|

A(u,v)= fft2(A)

40


colunaAfftvyA )2,512,(),( =

|A(y,v)|

-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 2500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

41

Processamento de ImagensProcessamento de Imagens |A(u,x)|

linhaAfftxuA )1,512,(),( =)2,512),,((),( xuAfftvuA =

)1,512),,((),(

)2,512),,((),(

vyAfftvuA

xuAfftvuA

=≡

=

42


linha

coluna

43


Onda Quadrada

44


Qual Linha e Coluna?

Linha

Coluna

45


Qual o Espectro Correto?

Por quê?

46



b) Translação

),(),()(

ooNyovxouj

vvuuFeyxf −−⇔+π2

translação no domínio da freqüência

Novyouxj

oo evuFyyxxf)(

),(),(+−

⇔−−π2

translação no domínio do espaço

47



b) Rotação

Φ=Φ=Θ=Θ= wsenvwursenyrx ;cos;;coscoordenadas polares

),(),( oo wFrf Θ+Φ⇔Θ+Θ

A rotação de f(x,y) de um ângulo Q0 implicará em uma rotação de F(u,v) do mesmo ângulo e vice-versa.

48


linha

coluna

49


50



b) Escala

Para dois escalares a e b:

⇔

⇔

bv

auF

abbyaxf

vuaFyxaf

,),(

),(),(

1

51


Problema da Amostragem

Traduz-se na definição de uma taxa de amostragem sob a qual a imagem original (contínua) possa ser completamente recuperada a partir de um conjunto de valores amostrados.

f(x)

xs(x)

x

-W +W u

F(u)

banda limitada

∆x

1/∆x u

S(u)

2/∆x-1/∆x-2/∆x

......

52


Problema da Amostragem .....

s(x)f(x)

x -W +W u

S(u)*F(u)

-1/∆x 1/∆x

... ...

Wx

21

≤∆ Aliasing

53


Problema da Amostragem .....

-W +W u

S(u)*F(u)

-1/∆x 1/∆x

...

s(x)f(x)

x

Multiplicação espacial / Convolução em Fourier

-W +W

1

G(u)

-W +W u

F(u) = G(u)[S(u)*F(u)]

Filtro passa faixa

54


Amostragem Função Bidimensional

x

y

s(x,y) Banda Limitada

u

v

F(u,v)

2Wu

2Wv

vu wy

wx

21/

21

≤∆≤∆

tratamento da imagem - transformações

Documents