Tratamento analítico da interação entre trens de pulsos ópticos e sistemas de

dois níveis no domínio espectral

Marco Polo, Sandra Vianna

Departamento de Física

Objetivo

M Polo et al, J. Phys. B 43 055001 (2010).

Descrever interação do trem de pulsos com sistema atômico – expressão analítica

Prêmio Nobel de Física (2005)

O trem de pulsos

* Steven T Cundiff, J. Phys. D: Appl. Phys. 35 (2002) R43–R59

𝐸 𝜔 = 𝐸 0 𝜔 − 𝜔𝑐 𝑒𝑖𝑛 𝜙 −𝜔 𝑇𝑅

𝑁

𝑛=0

𝐸 𝜔 = 𝐸 0 𝜔 − 𝜔𝑐 𝛿 𝜙 − 𝜔𝑇𝑅 − 2𝜋𝑚

∞

𝑚=−∞

∗

𝐸 𝑡 = 𝐸0 𝑡 − 𝑛𝑇𝑅 𝑒𝑖𝑛(𝜔𝑐𝑇𝑅+𝜙)𝑒𝑖𝜔𝑐𝑡

𝑁

𝑛=0

𝑁 → ∞ ⟹

𝜔𝑚 = 2𝜋(𝑓0 +𝑚𝑓𝑅)

Transformada de Fourier

⟹

𝐸 𝑡 =1

𝑇𝑅 𝐸 0 𝑚 − 𝑐 𝑒𝑖𝑚𝑡

∞

𝑚=−∞

𝐸 𝑡 = 𝐸 0 𝑒𝑖𝜔𝑚𝑡

𝑚

Interação átomo-campo Interação entre um trem de pulsos ultra-curtos e átomos de 2 níveis.

𝜕𝜌

𝜕𝑡= −

𝑖

ℏ𝐻 , 𝜌 + 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑥𝑎çã𝑜

𝐻 = ℏ𝜔𝑘 𝑘

2

𝑘=1

𝑘 − 𝜇 . 𝐸

𝜌 22 = 𝑖Ω𝜌12 + 𝑐. 𝑐 − 𝛾22𝜌22

Ω = Ω 𝑡 =𝜇12𝐸(𝑡)

ℏ

Ω = Ω 0 𝑒𝑖𝜔𝑚𝑡

𝑚

𝜌 12 = 𝑖𝜔21 − 𝛾12 𝜌12 − 𝑖Ω(1 − 2𝜌22) 𝜇12 = 1 𝜇 2

Eq. de Bloch:

Frequência de Rabi

Resolvendo as equações de Bloch

Envoltória lenta:

Combinação linear de todas as frequências do pente:

Expansão em potências dos campos:

𝜌 12 = 𝑖21 − 12 12 − 𝑖Ω 1 − 222

𝜌 22 = 𝑖Ω12 + 𝑐. 𝑐. −2222 𝜌12 𝑡 = 𝜍12(𝑡)𝑒𝑖𝜔𝑐𝑡

𝜌12 𝑡 →

𝜔𝑗 , 𝜔𝑗± 𝜔𝑘 , 𝜔𝑗 ± 𝜔𝑘 ± 𝜔𝑙 , …

12 𝑡 = (𝑡)12(1)

𝑗

𝑒𝑖𝑗𝑡 + (𝑡)22(3)

𝑗𝑘𝑙

𝑒𝑖(𝑗 − 𝑘 + 𝑙)𝑡 +⋯

22 𝑡 = (𝑡)22(2)

𝑗𝑘

𝑒𝑖(𝑗 − 𝑘)𝑡 + (𝑡)22(4)

𝑗𝑘𝑙𝑚

𝑒𝑖(𝑗 − 𝑘 + 𝑙 − 𝑚)𝑡 +⋯+ 𝑐. 𝑐.

𝜌 (𝑡)12(1)

= Ω 0 𝑒𝑖𝑚𝑡 − 𝑒(𝑖21−12)𝑡

𝑖 21 − 𝑚 − 12𝑚

Condição inicial: 𝜌11 𝑡 = 0 = 1 ⇒

Cálculos numéricos e analíticos

Ω 0 =12

100

𝑚′ = ω21

𝑓𝑅 = 4012

2𝜋

Numérico:

Analítico: 𝜌12 𝑡 = Ω 0 𝑒𝑖𝜔𝑚𝑡 − 𝑒 𝑖𝜔21−𝛾12 𝑡

𝑖 𝜔21 − 𝜔𝑚 − 𝛾12

𝑀

𝑚=−𝑀

→ (Runge-Kutta) → 𝜌12 𝐸 𝑡 = 𝐸0(𝑡 − 𝑛𝑇𝑅)𝑒𝑖𝑛(𝜔𝑐𝑇𝑅+𝜙)𝑒𝑖𝜔𝑐𝑡

𝑁

𝑛=0

+ 𝐸𝑞. 𝐵𝑙𝑜𝑐ℎ

Acumulação coerente: D. Felinto et al, Opt. Commun. 215 , 69-73 (2003).

Cálculos numéricos e analíticos

Numérico:

Analítico:

M = 5 (11 modos)

Ω 0 =12

100

𝑚′ = ω21

𝑓𝑅 = 4012

2𝜋

𝜌12 𝑡 = Ω 0 𝑒𝑖𝜔𝑚𝑡 − 𝑒 𝑖𝜔21−𝛾12 𝑡

𝑖 𝜔21 − 𝜔𝑚 − 𝛾12

𝑀

𝑚=−𝑀

→ (Runge-Kutta) → 𝜌12 𝐸 𝑡 = 𝐸0(𝑡 − 𝑛𝑇𝑅)𝑒𝑖𝑛(𝜔𝑐𝑇𝑅+𝜙)𝑒𝑖𝜔𝑐𝑡

𝑁

𝑛=0

+ 𝐸𝑞. 𝐵𝑙𝑜𝑐ℎ

Cálculos numéricos e analíticos

𝑚′ = ω21 + 0.2(2𝜋𝑓𝑅)

Ω 0 =12

100

𝑚′ = ω21

𝑓𝑅 = 4012

2𝜋

Cálculos numéricos e analíticos

Ω 0 =12

100

𝑚′ = ω21

𝑓𝑅 = 4012

2𝜋

𝑚′ = ω21 + 0.2(2𝜋𝑓𝑅)

Quantidade de modos

280 288 2960.0088

0.0096

0.0104

0.0112

l1

2l

t/TR

101 modos

11 modos

1 modo

Quantos mais modos são levados em conta, mais bem descrito temporalmente é a dinâmica da matriz densidade.

Um campo cw (apenas 1 modo) descreve o comportamento médio da evolução da matriz densidade, inclusive o transiente.

Interação com vapor atômico

-200 -100 0 100 200

0.000

0.005

0.010

l

12

Dl

(12

)

𝜌 12𝐷 ~ 𝜌12exp (−𝛿

2/2𝛿𝐷)

𝛿 → 𝜔21 − 𝜔𝑚 + 𝑘𝑣

𝜔21 = 𝜔𝑚′

𝛿𝐷 = 150𝛾21 (largura Doppler)

Distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzmann

Condição de ressonância: 𝜔21 = 𝜔𝑚 ± 𝑘𝑣

𝑡 = 400𝑇𝑅 𝑓𝑖𝑥𝑜

Efeito Doppler

𝑀 = 11 𝑚𝑜𝑑𝑜𝑠

Conclusões e Perspectivas Apresentamos uma expressão analítica para a interação entre um trem de pulsos ópticos e um sistema de dois níveis, com ênfase no domínio espectral. Além de mais elegante, a solução analítica no domínio da frequência é muito mais eficiente em termos de tempo de computação.

Propagação de trens de pulsos em meios densos.

Utilizando um tratamento semelhante, estudamos a interação de um trem de pulsos com um sistema Λ (3 níveis), na condição de ressonância de 2 fótons. A ser submetido.

-400 -200 0 200 400

-100

0

100

Ab

so

rção

(u

ni.

arb

.)

(MHz)

Trem de pulsos com 𝑓𝑅 = 1 GHz

interagindo com vapor de Rubídio

Nosso grupo: Sandra Vianna

Marco Polo Gabriel carvalho