trajetóri

Mecânica dos Fluidos Fenômenos dos Transportes

3.3 Trajetórias e linhas de corrente

Trajetória é o lugar geométrico dos pontos ocupados por uma partícula em instantes sucessivos. Note-se que a equação de uma trajetória será função do ponto inicial, que individualiza a partícula, e do tempo. Uma visualização da trajetória será obtida por meio de uma fotografia, com tempo longo de exposição, de um flutuante colorido colocado num fluido em movimento (Figura 3.5).

Figura 3.5

Linha de corrente é a linha tangente aos vetores da velocidade de diferentes partículas no mesmo instante. Note-se que, na equação de uma linha de corrente, o tempo não é uma variável, já que a noção se refere a um certo instante.

A visualização pode ser feita lançando, por exemplo, serragem em diversos pontos do escoamento e tirando em seguida uma fotografia instantânea. A serragem irá, num pequeno intervalo de tempo, apresentar um curto espaço percorrido que representará o vetor velocidade no ponto.

A linha de corrente será obtida traçando-se na fotografia a linha tangente aos traços de serragem (Figura 3.6).

Figura 3.6

As linhas de corrente e as trajetórias coincidem geometricamente no regime permanente. Tubo de corrente é a superfície de forma tubular formada pelas linhas de corrente que se apoiam numa linha geométrica fechada qualquer (Figura 3.7).

Figura 3.7


Propriedades dos tubos de corrente

a) Os tubos de corrente são fixos quando o regime é permanente. b) Os tubos de corrente são impermeáveis à passagem de massa, isto é, não existe

passagem de partículas de fluido através do tubo de corrente.

A propriedade (a) é óbvia, já que, quando o regime é permanente, não há variação da configuração do fluido e de suas propriedades. A propriedade (b) pode ser verificada por absurdo, supondo que uma partícula cruze o tubo de corrente. Para que isso ocorresse, seria necessário que o vetor da velocidade fosse oblíquo em relação ao tubo de corrente, o que não pode acontecer, pois o mesmo é formado de linhas de corrente que, por definição, são tangentes aos vetores da velocidade.

Essa propriedade é muito importante, pois em regime permanente garante que as partículas de fluido que entram de um lado do tubo de corrente deverão sair do outro, não havendo adição nem subtração de partículas através do tubo. A sua utilidade será vista nas equações básicas de Mecânica dos Fluidos.

3. 4 Escoamento unidimensional ou uniforme na seção:

O escoamento é dito unidimensional quando uma única coordenada é suficiente para descrever as propriedades do fluido. Para que isso aconteça, é necessário que as propriedades sejam constantes em cada seção (Figura 3.8).

Figura 3.8

Na figura, pode-se observar que em cada seção a velocidade é a mesma, em qualquer ponto, sendo suficiente fornecer o seu valor em função da coordenada x para se obter sua variação ao longo do escoamento. Diz-se, nesse caso, que o escoamento é uniforme nas seções.

Na Figura 3.9 observa-se um escoamento bidimensional, em que a variação da velocidade é função das duas coordenadas x e y. Nesse escoamento, o diagrama de velocidades repete-se identi-camente em planos paralelos ao plano x,y.

Fig.3.9


O escoamento no espaço pode ser tridimensional (Figura 3.10).

Fig.3.10

Note-se que, com o aumento do número de dimensões, as equações se complicam e é conveniente, sempre que possível, descrever o escoamento de forma unidimensional conforme um critério que será apresentado posteriormente.

3.5 Vazão Volumétrica Em hidráulica ou em mecânica dos fluidos, define-se vazão como a relação entre o volume e o tempo. A vazão pode ser determinada a partir do escoamento de um fluido através de determinada seção transversal de um conduto livre (canal, rio ou tubulação aberta) ou de um conduto forçado (tubulação com pressão positiva ou negativa). Isto significa que a vazão representa a rapidez com a qual um volume escoa. As unidades de medida adotadas são geralmente o m³/s, m³/h, l/h ou o l/s. Cálculo da Vazão Volumétrica A forma mais simples para se calcular a vazão volumétrica é apresentada a seguir na equação mostrada. Qv representa a vazão volumétrica, V é o volume e t o intervalo de tempo para se encher o reservatório. Método Experimental Um exemplo clássico para a medição de vazão é a realização do cálculo a partir do enchimento completo de um reservatório através da água que escoa por uma torneira aberta como mostra a figura. Considere que ao mesmo tempo em que a torneira é aberta um cronômetro é acionado. Supondo que o cronômetro foi desligado assim que o balde ficou completamente cheio marcando um tempo t, uma vez conhecido o

t

VQV =


volume V do balde e o tempo t para seu completo enchimento, a equação é facilmente aplicável resultando na vazão volumétrica desejada.

Relação entre Área e Velocidade Uma outra forma matemática de se determinar a vazão volumétrica é através do produto entre a área da seção transversal do conduto e a velocidade do escoamento neste conduto como pode ser observado na figura a seguir.

Pela análise da figura, é possível observar que o volume do cilindro tracejado é dado por: Substituindo essa equação na equação de vazão volumétrica, pode-se escrever que: A partir dos conceitos básicos de cinemática aplicados em Física, sabe-se que a relação d/t é a velocidade do escoamento, portanto, pode-se escrever a vazão volumétrica da seguinte forma: Qv representa a vazão volumétrica, v é a velocidade do escoamento e A é a área da seção transversal da tubulação.

AdV .=

t

AdQV

.=

AvQV .=


Vazão em Massa e em Peso De modo análogo à definição da vazão volumétrica é possível se definir as vazões em massa e em peso de um fluido, essas vazões possuem importância fundamental quando se deseja realizar medições em função da massa e do peso de uma substância. Vazão em Massa: A vazão em massa é caracterizada pela massa do fluido que escoa em um determinado intervalo de tempo, dessa forma tem-se que: Onde m representa a massa do fluido. Como definido anteriormente, sabe-se que ρ= m/V, portanto, a massa pode ser escrita do seguinte modo: Assim, pode-se escrever que: Portanto, para se obter a vazão em massa basta multiplicar a vazão em volume pela massa específica do fluido em estudo, o que também pode ser expresso em função da velocidade do escoamento e da área da seção. As unidades usuais para a vazão em massa são o kg/s ou então o kg/h. Vazão em Peso A vazão em peso se caracteriza pelo peso do fluido que escoa em um determinado intervalo de tempo, assim, tem-se que:

Sabe-se que o peso é dado pela relação m.g, como a massa é ρ.V, pode-se escrever que: Assim, pode-se escrever que:

t

mQm =

vm .ρ=t

vQm

.ρ=

Vm QQ .ρ= AvQm ..ρ=

t

GQG =

gVG ..ρ=

t

VQG

.γ= VG QQ .γ=


Portanto, para se obter a vazão em massa basta multiplicar a vazão em volume pelo peso específico do fluido em estudo, o que também pode ser expresso em função da velocidade do escoamento e da área da seção do seguinte modo: As unidades usuais para a vazão em massa são o N/s ou então o N/h.

AvQG ..γ=

trajetóri

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