trabalho vibraÇoes

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO

CENTRO TECNOLÓGICO – CT

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA – DEM

VIBRAÇÕES DE SISTEMAS MECÂNICOS

TRABALHO COMPUTACIONAL


PROF. RAFAEL LUZ TEIXEIRA

ALUNO: MARCO AURÉLIO BAZELATTO ZANONI

VITÓRIA - ES





Laboratório 1

1. Fazer os seguintes gráficos de simulação de um sistema mecânico de 1 GDL

(grau de liberdade) sem amortecimento. Escolher as constantes físicas: massa

suspensa e rigidez da mola, e as condições iniciais para deslocamento e

velocidade. Fazer na análise do tempo de amostragem e adotar um valor 5

vezes menor ao encontrado. Todos os dados utilizados para obtenção dos

gráficos abaixo podem ser encontrados no arquivo .m referente a esse

trabalho.

2. Apresentação dos gráficos obtidos pela simulação utilizando o MatLab.

2.1. Deslocamentos relativos às equações 1.7 e 1.15

Gráfico correspondente às equações 1.7 e 1.15 usando a função subplot do

Matlab.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.05

0

0.05Deslocamentos relativos às equações 1.7 e 1.15 (subplot)

Tempo [s]

Des

loca

men

to [

m]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.05

0

0.05

Tempo [s]

Des

loca

men

to [

m]

Figura 1 – Gráfico Deslocamento(m) x Tempo(s) das equações 1.7 e 1.15 em paralelo





Como esperado, os pontos se sobrepõem, uma vez que as equações 1.7 e

1.15 revelam os mesmos resultados, portanto são iguais.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05Deslocamentos relativos às equações 1.7 e 1.15 (hold on)

Tempo [s]

Des

loca

men

to [

m]

Figura 2 – Gráfico Deslocamento(m) x Tempo(s) das equações 1.7 e 1.15





Figura 3 – Zomm do gráfico Deslocamento(m) x Tempo(s) das equações 1.7 e 1.15

2.2. Velocidades analítica e computacional obtidas derivando-se a

equação 1.7

As figuras ? abaixo mostram as velocidades analítica e computacional

derivando-se a equação 1.7 utilizando os comandos hold on e subplot do

Matlab. A figura ? mostra um zoom da figura? Para uma melhor visualização.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

Deslocamentos relativos às equações 1.7 e 1.15 (hold on)

Tempo [s]

Des

loca

men

to [

m]





0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8Velocidades analítica e computacional obtidas derivando-se a equação 1.7 (hold on)

Tempo [s]

Vel

ocid

ade

[m/s

]

Figura 4 – Velocidades analíticas e computacionais obtidas derivando-se a equação 1.7

Figura 4 – Zoom das Velocidades analíticas e computacionais obtidas derivando-se a equação

1.7

0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Velocidades analítica e computacional obtidas derivando-se a equação 1.7 (hold on)

Tempo [s]

Vel

ocid

ade

[m/s

]





0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.5

0

0.5

1Velocidades analítica e computacional obtidas derivando-se a equação 1.7 (subplot)

Tempo [s]

Vel

ocid

ade

[m/s

]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.5

0

0.5

1

Tempo [s]

Vel

ocid

ade

[m/s

]

Figura 5 - Velocidades analíticas e computacionais obtidas derivando-se a equação 1.7

Em paralelo.

2.3. Velocidades analítica e computacional obtidas derivando-se a

equação 1.15

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8Velocidades analítica e computacional obtidas derivando-se a equação 1.15 (hold on)

Tempo [s]

Vel

ocid

ade

[m/s

]

Figura 6 - Velocidades analíticas e computacionais obtidas derivando-se a equação 1.15





Figura 7 – Zoom do gráfico das velocidades analíticas e computacionais obtidas derivando-se a

equação 1.15

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.5

0

0.5

1Velocidades analítica e computacional obtidas derivando-se a equação 1.15 (subplot)

Tempo [s]

Vel

ocid

ade

[m/s

]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.5

0

0.5

1

Tempo [s]

Vel

ocid

ade

[m/s

]

Figura 8 – Gráfico das velocidades analíticas e computacionais obtidas derivando-se a equação

1.15 em paralelo.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Velocidades analítica e computacional obtidas derivando-se a equação 1.15 (hold on)

Tempo [s]

Vel

ocid

ade

[m/s

]





2.4. Acelerações analítica e computacional obtidas derivando-se a

equação 1.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10Acelerações analítica e computacional obtidas derivando-se a equação 1.7 (hold on)

Tempo [s]

Ace

lere

ção

[m2/

s]

Figura 9 – Gráfico das acelerações analíticas e computacionais obtidas derivando-se a

equação 1.7





0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

4

5

6

7

8

9

Acelerações analítica e computacional obtidas derivando-se a equação 1.7 (hold on)

Tempo [s]

Ace

lere

ção

[m2/

s]

Figura 10 – Zoom do gráfico das acelerações analíticas e computacionais obtidas derivando-se

a equação 1.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-10

-5

0

5

10Acelerações analítica e computacional obtidas derivando-se a equação 1.7 (subplot)

Tempo [s]

Ace

lcer

ação

[m

2/s]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-10

-5

0

5

10

Tempo [s]

Ace

lcer

ação

[m

2/s]


equação 1.7 em paralelo.





2.5. Acelerações analíticas e computacionais obtidas derivando-se a

equação 1.15

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10Acelerações analítica e computacional obtidas derivando-se a equação 1.15 (hold on)

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m2/

s]


equação 1.15.

0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Acelerações analítica e computacional obtidas derivando-se a equação 1.15 (hold on)

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m2/

s]

Figura 13 – Zoom do gráfico das acelerações analíticas e computacionais obtidas derivando-se

a equação 1.15





0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.5

0

0.5

1Acelerações analítica e computacional obtidas derivando-se a equação 1.15 (subplot)

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m2/

s]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.5

0

0.5

1

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m2/

s]


equação 1.15 em paralelo.

2.6. Deslocamentos, velocidades e acelerações analíticas e

computacionais obtidos a partir da equação 1.7

Resultados analíticos e computacionais referentes à equação 1.7 podem ser

vistos nos gráficos abaixo.





0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.05

0

0.05Deslocamentos, velocidades e acelerações analíticas e computacionais obtidos a partir da equação 1.7 (hold on e subplot)

Tempo [s]

Des

loca

men

to [

m]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.5

0

0.5

1

Tempo [s]

Vel

ocid

ade

[m/s

]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-10

-5

0

5

10

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m2/

s]

Figura 15 – Gráfico dos deslocamentos, velocidades e acelerações analíticas e computacionais

obtidas a partir da equação 1.7.






computacionais obtidos a partir da equação 1.15 (hold on e subplot)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.05

0


Tempo [s]

Des

loca

men

to [

m]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

0

1

Tempo [s]

Vel

ocid

ade

[m/s

]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-10

0

10

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m2/

s]


obtidas a partir da equação 1.15 em paralelo.





0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.05

0


Tempo [s]

Des

loca

men

to [

m]

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Tempo [s]

Vel

ocid

ade

[m/s

]

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

0

2

4

6

8

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m2/

s]

Figura 17 – Zoom do gráfico dos deslocamentos, velocidades e acelerações analíticas e

computacionais obtidas a partir da equação 1.15 em paralelo.






computacionais obtidos a partir das equações 1.7 e 1.15 (hold on e

subplot)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.05

0

0.05Deslocamentos, velocidades e acelerações analíticas e computacionais obtidos a partir das equações 1.7 e 1.15 (hold on e subplot)

Tempo [s]

Deslo

cam

ento

[m]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.5

0

0.5

1

Tempo [s]

Veloc

idade

[m/s

]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-10

-5

0

5

10

Tempo [s]

Acele

raçã

o [m

2/s]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.05

0

0.05

Tempo [s]

Deslo

cam

ento

[m]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.5

0

0.5

1

Tempo [s]

Veloc

idade

[m/s

]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-10

-5

0

5

10

Tempo [s]

Acele

raçã

o [m

2/s]


obtidas a partir da equação 1.7 e 1.15 em paralelo.





0.5 1 1.5

0.030.0350.04

0.045

Deslocamentos, velocidades e acelerações analíticas e computacionais obtidos a partir das equações 1.7 e 1.15 (hold on e subplot)

Tempo [s]

Des

loca

men

to [

m]

0.5 1 1.5

0.2

0.4

0.6

0.8

Tempo [s]

Vel

ocid

ade

[m/s

]

0.5 1 1.54

6

8

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m2/

s]

0.5 1 1.5

0.02

0.03

0.04

Tempo [s]

Des

loca

men

to [

m]

0.5 1 1.5

0.2

0.4

0.6

0.8

Tempo [s]V

eloc

idad

e [m

/s]

0.5 1 1.5

56789

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m2/

s]


obtidas a partir da equação 1.7 e 1.15 em paralelo (Zoom contínuo).





0 0.5 1 1.5 2-0.05

0

0.05Deslocamentos, velocidades e acelerações analíticas e computacionais obtidos a partir das equações 1.7 e 1.15 (hold on e subplot)

Tempo [s]

Des

loca

men

to [

m]

0.70480.7050.70520.70540.7056

0.42

0.44

Tempo [s]

Vel

ocid

ade

[m/s

]

0.61 0.62 0.63

7

8

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m2/

s]

0 0.5 1 1.5 2-0.05

0

0.05

Tempo [s]

Des

loca

men

to [

m]

0.6702 0.6703 0.6704 0.6705

0.1340.1360.1380.14

0.142

Tempo [s]

Vel

ocid

ade

[m/s

]

0.62 0.64 0.66 0.68

8

8.5

9

Tempo [s]

Ace

lera

ção

[m2/

s]


obtidas a partir da equação 1.7 e 1.15 em paralelo (Zoom discreto).





Laboratório 2

Exemplo: Objetivo

Esse trabalho consiste na simulação da resposta de um sistema mecânico

vibratório com amortecimento de 1 grau de liberdade para alguns valores de ksi

(fator de amortecimento) e de wn (freqüência angular natural), além da análise

de convergência e divergência da resolução de um sistema massa mola de 1

GDL sem amortecimento pelo método de Runge-Kutta de 4ª ordem com a

ajuda do software MatlLab. Grande parte do equacionamento foi feita em sala

de aula e o trabalho propõe a avaliação das possíveis respostas do sistema de

acordo com a variação do fator de amortecimento (estudo dos casos

criticamente amortecido, superamortecido e sub-amortecido), bem como a

análise do método de Runge-Kutta e sua convergência para a resolução do

problema sem amortecimento. Uma série de gráficos comentados a seguir

demonstra os resultados obtidos.

Modelo Matemático

Para a resolução da primeira parte do exercício, foram usadas as equações

(1.37), para o caso sub-amortecido, (1.41), para o caso superamortecido e

(1.44), para o caso criticamente amortecido, do material dado em sala, que

são:





Sistema 1 GDL Casos Fator de AmortecimentoMassa

(kg)

Rigidez

(N/m)

Frequências

Naturais (Hz)

Criticamente

amortecido1 1 2 5 30 60 100

Superamortecido2

3

[1.001 1.01 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5]

[ 1.5 2.0 2.5 5 ]2

1600

1600

Sub-amortecido

4

5

6

7

8

9

10

[ 0.001 0.003 0.005 ]

[ 0.007 0.009 0.01 ]

[ 0.01 0.04 0.07 0.1 ]

[ 0.1 0.15 0.20 0.25 0.3]

[ 0.2 0.4 0.5 0.7 0.8 ]

[ 0.1 0.15 0.20 0.25 0.3]

[ 0.6 0.7 0.8 0.9 0.98]

2

2

2

2

2

2

2

1600

1600

1600

1600

1600

5 30 60 100

5 30 60 100

O programa ‘Lab2.m’ (em anexo) organiza os casos a serem resolvidos de

acordo com a tabela abaixo (dada pelo professor):

A função ‘funsolv.m’ é a responsável por separar o método de resolução de

acordo com a condição de amortecimento do sistema, resolvê-lo e plotá-lo.





Várias cores diferentes foram usadas para que a visualização se torne mais

interativa e as condições são as seguintes:

dt = 0,0001 [s]

x0 = 0,020 [m]

v0 = 0,7 [m/s]

A condição de dt foi imposta, pois, após a análise da taxa de amostragem pelo

critério de Nyquist, notou-se que para dt = 0,0001 [s], ter-se-ia resultados

razoáveis.

Resultados e Discussões

A seguir apresenta-se uma seqüência de gráficos que demonstram os

resultados das simulações.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.350

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

Am

plitu

de [

m]

Tempo [s]

Sistema massa mola de 1 GDL criticamente amortecido

5 [Hz]

30 [Hz]60 [Hz]

100 [Hz]

Figura 1 – Resposta do sistema massa-mola-amortecedor criticamente amortecido (ksi = 1)

com m = 1 kg e fn variando.





Fica muito claro que, mantidas as outras condições, ao aumentar-se a

freqüência natural, há uma diminuição no tempo de amortecimento do sistema.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

Am

plitu

de [

m]

Tempo [s]

Sistema massa mola de 1 GDL criticamente amortecido

5 [Hz]

30 [Hz]60 [Hz]

100 [Hz]

Figura 2 – Zoom da resposta do sistema massa-mola-amortecedor criticamente amortecido

(ksi = 1) com m = 1 kg e fn variando.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

Am

plitu

de [

m]

Tempo [s]

ksi = 1.001

ksi = 1.01

ksi = 1.1

ksi = 1.2ksi = 1.3

ksi = 1.4

ksi = 1.5

Figura 3 – Resposta do sistema massa-mola-amortecedor superamortecido (ksi > 1) com m = 1

kg, k = 1400 N/m e vários valores de ksi.





0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

1

2

3

4

5

6

7

x 10-3

Am

plitu

de [

m]

Tempo [s]

ksi = 1.001

ksi = 1.01

ksi = 1.1

ksi = 1.2

ksi = 1.3

ksi = 1.4

ksi = 1.5

Figura 4 – Zoom da resposta do sistema massa-mola-amortecedor superamortecido (ksi > 1)

com m = 1 kg, k = 1400 N/m e vários valores de ksi.

Seguem agora os resultados para os casos sub-amortecidos.

0 20 40 60 80 100 120-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

Am

plitu

de [

m]

Tempo [s]

ksi = 0.001

ksi = 0.003

ksi = 0.005

Figura 5 – Resposta do sistema massa-mola-amortecedor sub-amortecido (ksi < 1) com m = 1


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

Am

plitu

de [

m]

Tempo [s]

ksi = 1.5

ksi = 2.0

ksi = 2.5

ksi = 5.0





0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

Am

plitu

de [

m]

Tempo [s]

ksi = 0.001

ksi = 0.003

ksi = 0.005

Figura 6 – Zoom da resposta do sistema massa-mola-amortecedor sub-amortecido (ksi < 1)

com m = 1 kg, k = 1400 N/m e vários valores de ksi.

0 5 10 15-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

Am

plitu

de [

m]

Tempo [s]

Sistema massa mola de 1 GDL subamortecido

ksi = 0.01

ksi = 0.04ksi = 0.07

ksi = 0.1

Figura 7– Rresposta do sistema massa-mola-amortecedor sub-amortecido (ksi < 1) com m = 1


5 10 15 20 25 30 35

-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

Am

plitu

de [

m]

Tempo [s]

ksi = 0.001

ksi = 0.003

ksi = 0.005





0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12x 10

-3

Am

plitu

de [

m]

Tempo [s]


ksi = 0.1

ksi = 0.15

ksi = 0.20ksi = 0.25

ksi = 0.3



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12x 10

-3

Am

plitu

de [

m]

Tempo [s]

ksi = 0.2

ksi = 0.4

ksi = 0.5ksi = 0.7

ksi = 0.8







Nestes casos sub-amortecidos, percebe-se claramente que o fator de

amortecimento propicia uma resposta mais rápida do sistema em termos de

acomodação.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12x 10

-3

Am

plitu

de [

m]

Tempo [s]


ksi = 0.10 ; fn = 5 [Hz]ksi = 0.15 ; fn = 5 [Hz]

ksi = 0.20 ; fn = 5 [Hz]

ksi = 0.25 ; fn = 5 [Hz]

ksi = 0.30 ; fn = 5 [Hz]ksi = 0.10 ; fn = 30 [Hz]

ksi = 0.15 ; fn = 30 [Hz]

ksi = 0.20 ; fn = 30 [Hz]ksi = 0.25 ; fn = 30 [Hz]

ksi = 0.30 ; fn = 30 [Hz]

ksi = 0.10 ; fn = 60 [Hz]

ksi = 0.15 ; fn = 60 [Hz]ksi = 0.20 ; fn = 60 [Hz]

ksi = 0.25 ; fn = 60 [Hz]

ksi = 0.30 ; fn = 60 [Hz]ksi = 0.10 ; fn = 100 [Hz]

ksi = 0.15 ; fn = 100 [Hz]

ksi = 0.20 ; fn = 100 [Hz]

ksi = 0.25 ; fn = 100 [Hz]ksi = 0.30 ; fn = 100 [Hz]

Figura 10 – Resposta do sistema massa-mola-amortecedor sub-amortecido (ksi < 1) com

m = 1 kg, para vários valores de ksi e freqüências naturais variadas.





0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

-3

Am

plitu

de [

m]

Tempo [s]


ksi = 0.10 ; fn = 5 [Hz]ksi = 0.15 ; fn = 5 [Hz]

ksi = 0.20 ; fn = 5 [Hz]

ksi = 0.25 ; fn = 5 [Hz]

ksi = 0.30 ; fn = 5 [Hz]ksi = 0.10 ; fn = 30 [Hz]

ksi = 0.15 ; fn = 30 [Hz]

ksi = 0.20 ; fn = 30 [Hz]ksi = 0.25 ; fn = 30 [Hz]

ksi = 0.30 ; fn = 30 [Hz]

ksi = 0.10 ; fn = 60 [Hz]

ksi = 0.15 ; fn = 60 [Hz]ksi = 0.20 ; fn = 60 [Hz]

ksi = 0.25 ; fn = 60 [Hz]

ksi = 0.30 ; fn = 60 [Hz]ksi = 0.10 ; fn = 100 [Hz]

ksi = 0.15 ; fn = 100 [Hz]

ksi = 0.20 ; fn = 100 [Hz]

ksi = 0.25 ; fn = 100 [Hz]ksi = 0.30 ; fn = 100 [Hz]


com m = 1 kg, para vários valores de ksi e freqüências naturais variadas.





0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2

0

2

4

6

8

10

12x 10

-3

Am

plitu

de [

m]

Tempo [s]


ksi = 0.60 ; fn = 5 [Hz]ksi = 0.70 ; fn = 5 [Hz]

ksi = 0.80 ; fn = 5 [Hz]

ksi = 0.90 ; fn = 5 [Hz]

ksi = 0.98 ; fn = 5 [Hz]ksi = 0.60 ; fn = 30 [Hz]

ksi = 0.70 ; fn = 30 [Hz]

ksi = 0.80 ; fn = 30 [Hz]ksi = 0.90 ; fn = 30 [Hz]

ksi = 0.98 ; fn = 30 [Hz]

ksi = 0.60 ; fn = 60 [Hz]

ksi = 0.70 ; fn = 60 [Hz]ksi = 0.80 ; fn = 60 [Hz]

ksi = 0.90 ; fn = 60 [Hz]

ksi = 0.98 ; fn = 60 [Hz]ksi = 0.60 ; fn = 100 [Hz]

ksi = 0.70 ; fn = 100 [Hz]

ksi = 0.80 ; fn = 100 [Hz]

ksi = 0.90 ; fn = 100 [Hz]ksi = 0.98 ; fn = 100 [Hz]

Figura 12 – Resposta do sistema massa-mola-amortecedor sub-amortecido (ksi < 1) com

m = 1 kg, para vários valores de ksi e freqüências naturais variadas.





0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05

3

4

5

6

7

8

9x 10

-3

Am

plitu

de [

m]

Tempo [s]


ksi = 0.60 ; fn = 5 [Hz]ksi = 0.70 ; fn = 5 [Hz]

ksi = 0.80 ; fn = 5 [Hz]

ksi = 0.90 ; fn = 5 [Hz]

ksi = 0.98 ; fn = 5 [Hz]ksi = 0.60 ; fn = 30 [Hz]

ksi = 0.70 ; fn = 30 [Hz]

ksi = 0.80 ; fn = 30 [Hz]ksi = 0.90 ; fn = 30 [Hz]

ksi = 0.98 ; fn = 30 [Hz]

ksi = 0.60 ; fn = 60 [Hz]

ksi = 0.70 ; fn = 60 [Hz]ksi = 0.80 ; fn = 60 [Hz]

ksi = 0.90 ; fn = 60 [Hz]

ksi = 0.98 ; fn = 60 [Hz]ksi = 0.60 ; fn = 100 [Hz]

ksi = 0.70 ; fn = 100 [Hz]

ksi = 0.80 ; fn = 100 [Hz]

ksi = 0.90 ; fn = 100 [Hz]ksi = 0.98 ; fn = 100 [Hz]


com m = 1 kg, para vários valores de ksi e freqüências naturais variadas.

Estes últimos gráficos são interessantes pois mostram todos os casos

subamortecidos de maneira acoplada no mesmo gráfico.





Laboratório 3

Modelo Matemático

Na segunda parte do exercício usou-se o Método de Runge-Kutta de 4ª ordem

para a solução de equações diferenciais. Partindo de um sistema massa-mola

de massa m e constante de rigidez da mola k, escrevemos:

Daí, monta-se a matriz característica para a solução:

Essa matriz permite concluir que:

Que ratifica a equação (II), e que:





É, absolutamente, verdade.

O programa ‘mola.m’ e a função ‘eval_mola.m’ resolvem o problema em

conjunto para a condições:

m = 30 [kg]

k = 1200 [N/m]

x0 = 0,030 [m]

v0 = 0,020 [m/s]

Vale lembrar que, neste caso, há a preocupação com a convergência do

resultado, dependente do número de pontos a serem calculados.

Resultados e Discussões

A convergência neste caso é um fator crítico. O primeiro resultado exposto aqui

é no caso de número de pontos igual a 60.000 e ainda assim é possível notar

uma leve divergência (a amplitude aumenta com o tempo). Nota-se que quanto

maior o número de pontos, menor esse efeito da divergência, sendo ideal então

que se estabeleça uma tolerância no erro do resultado.

A seguir apresenta-se uma seqüência de gráficos que demonstram os

resultados das simulações.





0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.05

0

0.05Resposta de um sistema massa-mola de 1GDL

Des

loca

men

to [

m]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Vel

ocid

ade

[m/s

]

Tempo [s]

Figura 1 – Resposta de um sistema massa-mola pelo método de Runge-Kutta de 4ª ordem

(60.000 pontos).

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.0396

0.0398

0.04

0.0402

Resposta de um sistema massa-mola de 1GDL

Des

loca

men

to [

m]

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

0.251

0.252

0.253

0.254

Vel

ocid

ade

[m/s

]

Tempo [s]

Figura 2 – Zoom dos picos da resposta de um sistema massa-mola pelo método de Runge-

Kutta de 4ª ordem (60.000 pontos).





0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.1

-0.05

0

0.05


Des

loca

men

to [

m]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.5

0

0.5

Vel

ocid

ade

[m/s

]

Tempo [s]


(150 pontos).





0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.05

0


Des

loca

men

to [

m]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Vel

ocid

ade

[m/s

]

Tempo [s]


(1500 pontos).

Nota-se que nestes últimos gráficos a tendência é que quando se aumenta o

número de pontos, se tenha menor erro (convergência).





Laboratório 4

Implementação computacional dos:

4.1 ) Exemplos 2.1 – 2.2 e 2.3; e

4.2) Efeitos : Batimento e Ressonância

0 5 10 15 20 25-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03Exemplo 2.1

Tempo [s]

Am

plitu

de [

m]

w = 2*wn

Figura 1 – Resposta de um sistema vibratório de um sistema massa-mola do exemplo 2.1.





0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015Exemplo 2.2

Am

plitu

de [

m]

Tempo [s]

Figura – Resposta de um sistema vibratório de um sistema massa-mola do exemplo 2.2.

2 4 6 8 10 12 14 16 18

-0.05

0

0.05

Am

plitu

de [

m]

Exemplo 2.3

Homogenêo

2 4 6 8 10 12 14 16 18

-1

0

1

Tempo [s]

Am

plitu

de [

m]

Geral

Figura 3 – Resposta de um sistema vibratório de um sistema massa-mola do exemplo 2.3.





0 2 4 6 8 10 12-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10 12-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Batimento

Tempo [s]

Am

plitu

de [

m]

x

2*fo/((wn2)-(w2))*sin((wn-w)*t/2)

Figura 4 – Resposta de um sistema vibratório em batimento.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Ressonância

Tempo [s]

Am

plitu

de [

m]

x

fo*t/(2*w)

Figura 5 – Resposta de um sistema vibratório em ressonância.

trabalho vibraÇoes

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