trabalho matemática 2 - versão final

8/18/2019 Trabalho Matemática 2 - Versão Final

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

Carlos Renato Pugliese Henrique

Jessica Priscilla Pereira da Rocha

Letícia Cristina da Silva

Théo Roccon Branco

Victor Brisk

TRABALHO FINAL DE MATEMÁTICA APLICADA 2

Grupo 7

Trabalho apresentado ao prof. Tobias Bleningercomo requisito parcial para conclusão dadisciplina TT010 - Matemática Aplicada II, doDepartamento de Engenharia Ambiental, Setorde Tecnologia da Universidade Federal doParaná.

CURITIBAJunho 2015


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Resumo

Este trabalho é dividido em dois exercícios. O primeiro trata da solução da

equação da Advecção e Difusão unidimensional em duas abordagens diferentes, uma

analítica e outra numérica, sendo a numérica resolvida por meio de dois métodos, o

Explícito e o de Crank-Nicolson. Além disso foi realizada a comparação dos resultados

obtidos para cada método e uma análise estatística dos resultados. A solução analítica

foi obtida utilizando a Transformada de Fourier. Para a solução numérica foi feita a

discretização pelo método de diferenças finitas explícito e pelo método de Crank-

Nicolson. Com base nas soluções foram programados códigos em Matlab para resolver

o problema com ajuda do computador. A estabilidade foi analisada pelo método deVon Neumann para ambos os métodos.

O segundo exercício consiste em analisar um modelo hidrodinâmico forçado

por marés na Baía de Nova York utilizando o programa DelftDashboard. Para isso

foram utilizados alguns pontos amostrais fornecidos pelo próprio programa e outros

pontos foram escolhidos. O exercício também compreende o estudo de dispersão de

um poluente na água.


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Sumário

1. Introdução ........................................................................................................................ 7

2. Questão 1 - Equação da Advecção e Difusão ...................................................................... 8

2.1. Solução Analítica da Equação da Advecção e Difusão ................................................. 8

2.2. Solução Numérica da Equação da Advecção e Difusão ............................................. 10

2.2.1. Método explícito .............................................................................................. 10

2.2.2. Método de Crank-Nicolson............................................................................... 10

2.3. Análise de estabilidade ............................................................................................ 12

2.3.1. Análise para o método explícito ........................................................................... 12

2.3.2. Análise para o Método de Crank-Nicolson ........................................................ 13

2.4. Resultados e discussão ............................................................................................ 14

2.4.1. Validação do modelo analítico ............................................................................. 14

2.4.2. Método explicito .............................................................................................. 16

2.4.2.1. Variação dos passos temporais e espaciais....................................................19

2.4.2.2. Variação da condição inicial............................................................................26

2.4.3. Método Crank-Nicolson ................................................................................... 29

2.4.3.1. Variação dos passos temporais e espaciais.....................................................33

2.4.3.2. Variação da condição inicial............................................................................39

3. Questão 2 – New Yok Harbor........................................................................................... 43

3.1. Metodologia ............................................................................................................ 43

3.2. Caracterização da área de trabalho .......................................................................... 45

3.3. Resultados e discussão ............................................................................................ 54

4. Referências.........................................................................................................................70

Anexos.........................................................................................................................................71


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Índice de Figuras

Figura 1: Concentração difusiva analítica em vários passos temporais ..................................... 15

Figura 2: Concentração advectiva difusiva ao longo de vários passos temporais ...................... 16

Figura 3: Concentração advectiva-difusiva analítica em vários passos temporais ..................... 17

Figura 4: Concentração advectiva-difusiva analítica em vários passos temporais ..................... 18Figura 5: Erro absoluto e relativo entre o método analítico e numérico, respectivamente. ...... 19

Figura 6: Método analítico quando ∆x é muito grande. ........................................................... 20

Figura 7: Método numérico quando ∆x é muito grande. .......................................................... 21

Figura 8: Erro entre os métodos analítico e numérico quando ∆x é muito grande.................... 22

Figura 9: Método analítico quando ∆t é muito grande. ............................................................ 23

Figura 10: Método numérico quando ∆t é muito grande. ........................................................ 24

Figura 11: Erro absoluto e relativo entre os métodos analítico e numérico quando ∆t é muito

grande. ................................................................................................................................... 25

Figura 12: Método numérico divergente ................................................................................. 26

Figura 13: Concentração advectiva-difusiva analítica em vários passos temporais (novascondições iniciais). .................................................................................................................. 27

Figura 14: Concentração advectiva-difusiva numérica explícita em vários passos temporais

(novas condições iniciais) ........................................................................................................ 28

Figura 15: Erro absoluto e relativo entre o método analítico e numérico explícito,

respectivamente(sob novas condições iniciais)........................................................................ 29

Figura 16: Concentração advectiva-difusiva analítica de Crank-Nicolson em vários passos

temporais ............................................................................................................................... 30

Figura 17: Concentração advectiva-difusiva numérica de Crank-Nicolson em vários passos

temporais ............................................................................................................................... 31

Figura 18: Erro absoluto e relativo entre o método analítico e numérico de Crank-Nicolson,

respectivamente. .................................................................................................................... 32

Figura 19: Método analítico quando ∆x e ∆t são grandes ........................................................ 33

Figura 20: Método de Crank-Nicolson quando ∆x e ∆t são grandes ......................................... 34

Figura 21: Erro entre os métodos analítico e numérico de Crank-Nicolson quando ∆x e ∆t são

grandes ................................................................................................................................... 35

Figura 22: Método analítico quando ∆x é pequeno e ∆t é grande ............................................ 36

Figura 23: Método de Crank-Nicolson quando ∆x é pequeno e ∆t é grande ............................. 37

Figura 24: Erro entre os métodos analítico e numérico de Crank-Nicolson quando ∆x é pequeno

e ∆t é grande .......................................................................................................................... 38Figura 25: Concentração advectiva-difusiva analítica em vários passos temporais (novas

condições iniciais) ................................................................................................................... 40

Figura 26: Concentração advectiva-difusiva numérica de Crank-Nicolson em vários passos

temporais (novas condições iniciais) ....................................................................................... 41

Figura 27: Erro absoluto e relativo entre o método analítico e numérico de Crank-Nicolson

respectivamente(sob novas condições iniciais) ....................................................................... 42

Figura 28: Foto aérea da cidade de Nova York ......................................................................... 46

Figura 29: Vias aquáticas de Nova York ................................................................................... 47

Figura 30: Macrolocalização da área escolhida Fonte: Google Earth, 2015............................... 48

Figura 31: Detalhe da Área Escolhida Fonte: Google Earth, 2015. ............................................ 49

Figura 32: Localização das estações de tratamento de esgoto em Nova York........................... 51


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Figura 33: Evolução da qualidade da água na Baía de Nova York ............................................ 52

Figura 34: Pontos de amostragem de água em Nova York ....................................................... 53

Figura 35: Grade gerada no Delft Dashboard. .......................................................................... 54

Figura 36: Variação do nível da água em função do tempo nos pontos amostrais. ................... 55

Figura 37: Gráfico das componentes da velocidade em função do tempo nos pontos amostrais.

............................................................................................................................................... 56

Figura 38: Comparação das fases lunares com a variação do nível da água no mês de Junho. .. 57

Figura 39: Variação da concentração do poluente em função do tempo. ................................. 59

Figura 40: Variação da velocidade nos pontos próximo ao e de lançamento. ........................... 60

Figura 41: Domínio da grade maior. ........................................................................................ 61

Figura 42: Comparação do nível da água modelado pelas duas grades com a realidade........... 62

Figura 43: Histograma do nível da água no ponto vermelho. ................................................... 63

Figura 44: Variação da média móvel do nível da água no ponto verde. ................................... 63

Figura 45: Variação do nível da água nos pontos de análise de sensibilidade da grade menor. 64

Figura 46: Variação do nível da água nos pontos de análise de sensibilidade da grade maior. . 65Figura 47: Variação da velocidade da água nos pontos de análise de sensibilidade da grade

menor. .................................................................................................................................... 66

Figura 48: Variação da velocidade da água nos pontos de análise de sensibilidade da grade

maior. ..................................................................................................................................... 66

Figura 49: Concentração em função do tempo no ponto ao norte do lançamento. .................. 67

Figura 50: Variação do nível da água em função do tempo. Erro do modelo. ........................... 68

Figura 51: Variação do nível da água no período do furacão. ................................................... 69

Figura 52: Variação do nível da água no período de estudo. .................................................... 69

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Índice de Tabelas

Tabela 1: Parâmetros avaliados na equação difusiva analítica ................................................. 15

Tabela 2 Parâmetros Analíticos...................................................................................................17

Tabela 3: Parâmetros Numéricos ............................................................................................ 17

Tabela 4: Parâmetros espaciais e temporais para análise. ....................................................... 20

Tabela 5: Variação dos parâmetros analíticos.............................................................................27

Tabela 6: Variação do parâmetros numéricos .......................................................................... 27

Tabela 7: Parâmetro Analíticos (Crank-Nicolson)........................................................................30

Tabela 8: Parâmetro Numéricos (Crank-Nicolson) ................................................................... 30

Tabela 9: Parâmetros novos de tempo e espaço...................................................................... 33

Tabela 10: Variação das condições inicias para método analítico............................................. 39

Tabela 11: Variação das condições inicias para método numérico ........................................... 39

Tabela 12: paramêtros de qualidade da água nos pontos N6, N7 e N8..................................... 53

Tabela 13: Comparação da estatística entre as grades e a estação. ......................................... 61


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1.

Introdução

A matemática aplicada é uma área do conhecimento que consiste no

desenvolvimento de métodos matemáticos empregados em diversas áreas, como a

engenharia e ciências. É primariamente baseado na formulação de modelos que

descrevam matematicamente o problema a ser analisado, juntamente com o auxílio de

ferramentas computacionais que facilitem a resolução deste problema.

Muitas equações são bastante difíceis de serem resolvidas analiticamente, e sua

solução demanda um grande período de tempo, o que em termos práticos pode ser

inviável, por esse motivo, a matemática aplicada é essencial na resolução de equações

diferenciais parciais. Já outras equações muitas vezes sequer possuem soluções

analíticas, e, portanto a utilização de métodos numéricos aliados a softwares

computacionais torna-se fundamental.

A equação da Advecção-Difusão, exercício que compõe a primeira parte deste

trabalho, é uma equação diferencial parcial de 2ª ordem, linear e homogênea, é

utilizada para descrever o transporte de um determinado soluto em um fluido

qualquer. Este movimento faz com que o soluto se mova das áreas de concentração

mais altas para áreas de concentração mais baixa.

A equação da Advecção-Difusão possui solução analítica, porém, a solução

numérica também é proposta através de dois métodos, o Explícito e o de Crank-

Nicolson. Sendo estes baseados em diferenças finitas.

Para a segunda etapa do trabalho foi proposta a utilização do software Delft

Dashboard, que é uma interface gráfica que pode ser utilizada rapidamente para criar

modelos em qualquer região do mundo usando varáveis hidrodinâmicas, hidrológicas,

morfodinâmicas e de qualidade da água. Dentre as suas funções, o Delft Dashboard é

usado para propor alguns modelos hidrodinâmicos de marés e poluentes através de

uma base de dados, e através deles também é possível fazer uma análise estatística a

fim de estudar os resultados obtidos.


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2.

Questão 1 - Equação da Advecção e Difusão

Difusão pode ser entendida como o transporte de partículas de uma região de alta

concentração para uma região de baixa concentração, diminuindo o gradiente da

concentração de partículas no meio. A advecção representa o deslocamento de certo volumeno espaço, a translação. A equação da Advecção e Difusão (1) pode ser utilizada, por exemplo,

para descrever o comportamento da concentração de um soluto em um rio, neste caso,

considerando apenas o escoamento unidimensional na direção x.

(1)Tal equação pode ser classificada como uma equação diferencial parcial de segunda

ordem do tipo parabólica, onde a concentração C pode variar ao longo do tempo t e no espaçox em função do coeficiente de difusão D e do termo k, que representa a componente da

velocidade na direção x.

2.1. Solução Analítica da Equação da Advecção e Difusão

Para o cálculo da solução analítica da equação da Advecção e Difusão (1) utilizamos a

condição inicial que representa um lançamento instantâneode um soluto na posição x0 e a condição de contorno

que significa que a

concentração do soluto é nula a uma distância suficientemente distante do ponto de

lançamento.

A transformada de Fourier de uma função C(x,t) é por definição:

(2)

Sabendo que a transformada de Fourier da derivada de uma função qualquer f(x) pode

ser obtida usando:

(3)Obtemos então as derivadas de primeira e segunda ordem de R(w,t):

(4)


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(5)Substituindo em (1) obtemos:

(6)Separando os termos, integrando e aplicando exponencial nesta equação temos:

(7)Então podemos concluir que quando t = 0, R(w,0) = c2, logo:

(8)Aplicando a Transformada de Fourier também na condição inicial, obtemos:

(9)Então R(w,t) fica:

(10)Para obtermos a solução C(x,t) precisamos da Transformada Inversa de Fourier de

R(w,t), para isso comparamos o resultado com a tabela de transformadas inversas. Da tabela

temos:

(11)

Após algumas manipulações matemáticas:

(12)


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2.2. Solução Numérica da Equação da Advecção e Difusão

Para discretizar numericamente a Equação da Advecção e Difusão (1) utilizamos dois

métodos de diferenças finitas, que é uma maneira simples de substituir derivadas parciais por

diferenças divididas finitas, sendo o método explícito e o método de Crank-Nicolson.

2.2.1.

Método explícito

Neste exemplo, foi utilizado o método explícito, ou seja, a derivada espacial foi

aproximada no nível “l” de tempo. Utilizando as diferenças para expressar as derivadas, a

resolução do problema com o auxílio de computador se torna mais fácil.

(13)

(14)Onde:

(15)Portanto:

(16)A equação descreve a difusão e advecção de um poluente em um tubo muito longo,

onde, em seu interior, geramos uma malha de pontos internos, que tem origem em uma

extremidade e percorrem todo o comprimento do tubo. Podemos aplicar a equação geral (xx)

para cada um desses pontos, sendo que nas extremidades, conforme é informado nas

condições de contorno, a concentração é nula. Após isso aplicamos uma condição inicial em

forma de uma pluma gaussiana em n-1 linhas da malha:

(17)Sendo A a amplitude inicial, x0 a posição inicial e σ o desvio padrão. Esta função

apresentou uma boa aproximação para a condição inicial analítica do problema. A partir daí,

faz-se a iteração até o tempo final T escolhido no código.

2.2.2. Método de Crank-Nicolson

No segundo caso, utilizamos o método de Crank-Nicolson que é incondicionalmente

estável para este tipo de equação de difusão e muitos outros. É baseado em diferenças


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centradas no espaço e na regra trapezoidal no tempo, ou seja, baseia-se na aproximação em

trapézios de uma dada integral definida.

(18)

Deixando os termos e em lados opostos:

(19)

As equações do lado direito e esquerdo representam um sistema de matrizes

tridiagonais. Assim, podemos montar:

(20)Conhecendo a inversa de , pode-se criar um loop temporal, acoplado em um loop

espacial para obter a solução da EDP via Crank-Nicolson.

(21)Os termos inicial e de contorno devem ser acrescentados no esquema também, para

garantir o funcionamento do método:

(22)

(23)

C.I.: (24)As condições de contorno são nulas nas extremidades.


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2.3. Análise de estabilidade

2.3.1.

Análise para o método explícito

Para fazer a verificação e análise da estabilidade, utilizamos o Método de Estabilidade

de Von Neumann, que se baseia no erro de truncamento, calculando o valor truncado da

solução e não o exato.

(25) (26)

Onde:

(27)Fazendo as transformações:

(28)Para:

Então:

(29) (30)

Como , então: (31)

(32)

Fazendo , aplicamos a condição


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Lembrando que

Se :Supomos para o pior caso:

2.3.2. Análise para o Método de Crank-Nicolson

Fazendo

:

Eliminando os termos e e isolando :

Como e Lembrando que


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Simplificando:

Sendo sempre menor do que 1, logo o método de Crank-Nicolson é

incondicionalmente estável.

2.4. Resultados e discussão

2.4.1.

Validação do modelo analítico

Com a solução analítica estabelecida previamente, pode-se criar um modelo

computacional para simular um resultado próximo da solução real do problema e, por fim,

analisar os erros e avaliar a qualidade do modelo computacional.

O algoritmo consiste na definição de valores dos parâmetros de entrada, temporais e

espaciais. Por fim, visualiza-se os resultados em gráficos comparativos.

Sendo que a equação em questão é do tipo advectiva e difusiva, podemos avaliar estes

termos separadamente e, posteriormente, em conjunto. Assim, validando a física por trás daequação. Nas figuras (1) e (2) o termo advectivo foi anulado, deixando apenas o termo difusivo

presente na equação.


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Figura 1: Concentração difusiva analítica em vários passos temporais

Para este gráfico, foram usados os seguintes parâmetros de entrada:

Tabela 1: Parâmetros avaliados na equação difusiva analítica

Parâmetro Valor

Área (m2) 1

Difusão (m/s2) 1

Massa (mg) 50

Ponto Inicial (m) 5

Advecção (m/s) 0

Tempo (s) 30

∆X (m) 0.1

∆T (s) 0.5

Pode-se notar que a difusão está ocorrendo ao longo do tempo no tubo em questão. É

fácil averiguar que a concentração está diluindo no espaço, neste caso.

Para validar o termo advectivo na equação, inserimos um pequeno valor de velocidade

(termo da advecção) no modelo.


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Figura 2: Concentração advectiva difusiva ao longo de vários passos temporais

Foram utilizados os mesmos parâmetros da tabela (1), porém neste exemplo o termo

de advecção é igual a 0.7 m/s. Analisando a figura (2), pode-se notar o efeito que o termo de

advecção provoca na equação. A concentração varia no espaço devido à difusão e também

sofre um deslocamento espacial com o passar do tempo, comportamento definido como

advecção.

Com essa verificação, temos a certeza de que o algoritmo desenvolvido para a solução

analítica está de acordo com o esperado. Assim, pode-se prosseguir para a parte que consiste

na programação da solução numérica utilizando o método Explícito e o método de Crank-

Nicolson.

2.4.2. Método explicito

Como já explicado na metodologia do método explícito, basta definir um conjunto de

parâmetros, condições iniciais e condições de contorno e aplica-los no modelo computacional.

Lembrando que para atingir a estabilidade, a constante de Fourier deve ser menor que 1/2.

Utilizaremos os seguintes parâmetros para avaliar os métodos numéricos e analíticos da

equação de advecção-difusão:


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Tabela 2 Parâmetros Analíticos Tabela 3: Parâmetros Numéricos

Obtendo os seguintes resultados:

Figura 3: Concentração advectiva-difusiva analítica em vários passos temporais

Parâmetros Analíticos Valor

Difusão (m/s2) 10-5

Advecção 0.004

Comprimento do tubo (m) 1

Área (m2) 0.7

Tempo total (s) 40

∆x (m) 0.002

∆t (s) 0.01

XO (m) 0.5

Parâmetros Numéricos Valor


Advecção 0.004


Tempo total (s) 40

∆x (m) 0.002

∆t (s) 0.01

XO (m) 0.5

Σ 0.020

Amplitude Inicial 40


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Figura 4: Concentração advectiva-difusiva analítica em vários passos temporais


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Figura 5: Erro absoluto e relativo entre o método analítico e numérico, respectivamente.

Para uma concentração inicial de 40 mg/m3 de soluto, pode-se observar que existe

uma grande similaridade entre o modelo numérico explícito e o modelo analítico. Na figura (5),

obteve-se um erro absoluto máximo de aproximadamente 0,035 mg/m³ no ponto 0.2 m,

indicando que existe uma boa correlação entre os métodos. O formato da linha que percorre

que a figura se deve a exponencial utilizada para definir a condição inicial. Já a figura (6)

apresenta erros relativos maiores nas fronteiras do domínio. A constante de Fourier

apresentou valor de 0.2500. Em geral, o método apresentou um desvio padrão de 0.0128 e

uma variância de 1.6-4.

2.4.2.1. Variação dos passos temporais e espaciais

Para demonstrar como a estabilidade pode afetar o modelo numérico, faremos duas

simulações computacionais.


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Tabela 4: Parâmetros espaciais e temporais para análise.

Caso 1

Variação Espacial

Caso 2

Variação Temporal

Caso 3

Variação temporal e espacial

∆x = 0.5 ∆x = 0.02 ∆x = 0.0001

∆t = 0.02 ∆t = 0.05 ∆t = 0.05

Fo = 8.10-6 Fo = 0.0125 Fo = 500

Caso 1 – Variação no passo espacial

Figura 6: Método analítico quando ∆x é muito grande.


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Figura 7: Método numérico quando ∆x é muito grande.


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Figura 8: Erro entre os métodos analítico e numérico quando ∆x é muito grande.

Quando o passo espacial é muito grande, para um domínio que vai de zero até um,

tanto o modelo numérico quanto o modelo analítico irão apresentar problemas. A constante

de Fourier apresentou valor menor que o necessário para obter estabilidade, porém, não basta

apenas garantir esta condição. É necessário garantir também que os passos espaciais também

sejam pequenos o suficiente para o código convergir.


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Caso 2 – Variação no passo temporal

Figura 9: Método analítico quando ∆t é muito grande.


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Figura 10: Método numérico quando ∆t é muito grande.


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Figura 11: Erro absoluto e relativo entre os métodos analítico e numérico quando ∆t é muito grande.

Ao contrário do primeiro caso, neste modelo o passo temporal foi aumentado

enquanto o passo espacial foi mantido pequeno. Apesar da constante de Fourier ter ficado abaixo do

limite da estabilidade, o código apresentou erro absoluto de aproximadamente 2 mg/m³. O erro

relativo foi alto também. O desvio padrão foi de 0.5032 e a variância foi de 0.2533. Isso se deve ao

fato do passo temporal ser grande demais, não permitindo que o método tenha uma acurácia

necessária para convergir em um resultado adequado.


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Caso 3 – Variação no espaço temporal e espacial

Figura 12: Método numérico divergente

Neste caso particular, a condição de Fourier não foi atendida. Consequentemente, o

método divergiu.

Por fim, pode-se concluir que é preciso testar diversos passos temporais e espaciais

para o seu modelo, pois é possível ter um modelo errado mesmo quando a condição de

estabilidade é atingida. Além disso, deve-se prestar atenção para atender o limite de

estabilidade, que neste exemplo, é menor ou igual a ½.

2.4.2.2. Variação da condição inicial

A simulação realizada neste tópico do trabalho envolveu a mudança de parâmetros e

condições iniciais. A função que descreve a pluma gaussiana depende de fatores como a massa

do corpo, área da secção do tubo e o desvio padrão médio, sendo este último o mais difícil de

calibrar no modelo. As alterações principais foram na massa do soluto, na velocidade deadvecção e no tempo total.


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Tabela 5: Variação dos parâmetros analíticos Tabela 6: Variação do parâmetros numéricos



Advecção 0.002


Área (m2) 0.7

Tempo total (s) 50

∆x (m) 0.002

∆t (s) 0.01

XO (m) 0.5

Massa (mg) 50

.

Figura 13: Concentração advectiva-difusiva analítica em vários passos temporais (novas condições iniciais).



Advecção 0.002


Tempo total (s) 50

∆x (m) 0.002

∆t (s) 0.01

XO (m) 0.5

Σ 0.02021



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Figura 14: Concentração advectiva-difusiva numérica explícita em vários passos temporais (novas condiçõesiniciais)


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Figura 15: Erro absoluto e relativo entre o método analítico e numérico explícito, respectivamente(sob novascondições iniciais).

Aumentando a massa do soluto, é de se esperar que a concentração aumente

também. Diminuindo a velocidade de advecção, o soluto demora mais para deslocar-se pelo

tubo, o que já era esperado e pode ser comparado com os modelos originais. A definição de

sigma foi a parte mais complicada, pois tratando-se de um exponencial os erros são mais

frequentes e acumulativos, o que explica o motivo para este modelo ter um erro absoluto

maior que os primeiros modelos. Vale lembrar que a constante de Fourier obtida foi de 0,2500,

abaixo do limite de estabilidade. Ainda assim, o maior erro observado foi de 0,8 mg/m³, o que

ainda permite dizer que nosso modelo é válido e funcional.

2.4.3. Método Crank-Nicolson

De acordo com a metodologia já apresentada, é preciso apenas definir os parâmetros

de entrada para iniciar o modelo de Crank-Nicolson. Os valores adotados serão idênticos aos

utilizados na análise do método explícito. Lembrando também que de acordo com a análise de


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estabilidade realizada, o método é incondicionalmente estável para quaisquer valores de

Fourier e Courant.

Tabela 7: Parâmetro Analíticos (Crank-Nicolson) Tabela 8: Parâmetro Numéricos (Crank-Nicolson)

Obtendo os seguintes resultados:

Figura 16: Concentração advectiva-difusiva analítica de Crank-Nicolson em vários passos temporais

Parâmetros Analíticos ValorDifusão (m/s2) 10-5

Advecção 0.004


Área (m2) 0.7

Tempo total (s) 40

∆x (m) 0.002

∆t (s) 0.1

XO (m) 0.5



Advecção 0.004


Tempo total (s) 40

∆x (m) 0.002

∆t (s) 0.1

XO (m) 0.5

Σ 0.020



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Figura 17: Concentração advectiva-difusiva numérica de Crank-Nicolson em vários passos temporais


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Figura 18: Erro absoluto e relativo entre o método analítico e numérico de Crank-Nicolson, respectivamente.

O modelo apresentou uma grande similaridade com a equação analítica, como pode-se

observar nos gráficos acima. O maior erro encontrado foi de 0.1250 aproximadamente, entre

0,2 e 0,4 m, indicando que existe uma boa correlação entre o método de Crank Nicolson e a

equação Analítica. A simulação retornou um desvio padrão de 0.0366 e variância de 0.0013. O

erro relativo apresenta valores extremamente altos nas regiões onde ocorrem divisões por

zero, o que pode indicar este estranho comportamento a partir de 0.5 m.

Em teoria, o método de crank nicolson deveria apresentar erros menores que o

método explícito. Porém, como descrito na tabela de parâmetros, foi necessário utilizar um

passo temporal maior do que o utilizado para rodar o método explicito, por razões

computacionais (Houve o travamento do computador quando tentou-se utilizar o passo


33/87

33

temporal igual a 0,01, por falha na memória). Assim, é normal que o erro do Crank Nicolson

esteja um pouco acima do erro apresentado no método explicito.

2.4.3.1.

Variação dos passos temporais e espaciais

Tabela 9: Parâmetros novos de tempo e espaço

Caso 1 Caso 2

∆x = 0.1 ∆x = 0.001

∆t = 0.1 ∆t = 0.5

Caso 1 – Passo espacial e temporal com valores altos.

Figura 19: Método analítico quando ∆x e ∆t são grandes


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34

Figura 20: Método de Crank-Nicolson quando ∆x e ∆t são grandes


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35

Figura 21: Erro entre os métodos analítico e numérico de Crank-Nicolson quando ∆x e ∆t são grandes

Quando o passo espacial e temporal são muito grandes, para um domínio que vai que

de zero até um, tanto o modelo numérico quanto o modelo analítico irão apresentar

problemas. É necessário diminuir o passo para obter uma solução com melhor acurácia.


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36

Caso 2 – Passo temporal alto com um passo espacial baixo.

Figura 22: Método analítico quando ∆x é pequeno e ∆t é grande


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37

Figura 23: Método de Crank-Nicolson quando ∆x é pequeno e ∆t é grande


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38

Figura 24: Erro entre os métodos analítico e numérico de Crank-Nicolson quando ∆x é pequeno e ∆t é grande

Pode-se notar que o método de Crank Nicolson é sensível para os valores espaciais,

pois mesmo utilizando um valor alto de ∆t, obtivemos uma solução com um erro próximo de

0,19. O tempo para rodar o método também foi substancialmente menor, o que pode ajudar

em análises futuras. O Desvio padrão obtido foi de 0.0537 e a variância foi de 0.0029. Em geral,

o modelo reagiu bem a mudança de passos.


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39

2.4.3.2. Variação da condição inicial

A simulação nesta parte do trabalho envolveu a mudança de parâmetros e da condição

inicial. A função que descreve a pluma gaussiana depende de fatores como a massa do corpo,

área da secção do tubo e o desvio padrão médio, sendo este último o mais difícil de calibrar nomodelo. As alterações principais foram na massa do soluto, na velocidade de advecção e no

tempo total, assim como foi realizado no método explicito também.

Tabela 10: Variação das condições inicias para método analítico



Advecção 0.002


Área (m2) 0.7

Tempo total (s) 50

∆x (m) 0.002

∆t (s) 0.1

XO (m) 0.5

Massa (mg) 50

Tabela 11: Variação das condições inicias para método numérico



Advecção 0.002


Tempo total (s) 50

∆x (m) 0.002

∆t (s) 0.1

XO (m) 0.5

Σ 0.02021



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40

Figura 25: Concentração advectiva-difusiva analítica em vários passos temporais (novas condições iniciais)


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41

Figura 26: Concentração advectiva-difusiva numérica de Crank-Nicolson em vários passos temporais (novascondições iniciais)


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42

Figura 27: Erro absoluto e relativo entre o método analítico e numérico de Crank-Nicolson respectivamente(sobnovas condições iniciais)


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43

Com uma concentração inicial de 2000 mg/m3, obtivemos um erro máximo de 2,35 no

ponto 0,4 m. Considerando que foi necessário aplicar passos maiores devido ao limite de

hardware disponível, este é um erro completamente aceitável. O desvio padrão foi de 0.7030,

enquanto que a variância foi de 0.4942.

3. Questão 2 – New Yok Harbor

3.1. Metodologia

Para a próxima etapa do estudo, foi utilizado o programa chamado Delft Dashboard.

Foi escolhida a região de Nova York para realizar a modelagem dos dados sendo escolhidos os

seguintes parâmetros durante um período de três dias: nível da água, velocidade média e

dispersão do poluente. A seguir, foi realizada uma simulação com um lançamento de um

poluente qualquer diretamente da costa, para que fosse possível estudar o comportamento de

tal contaminante nos pontos que foram marcados.

Com os dados obtidos, foi feita uma análise estatística com a as ferramentas do

programa Microsoft Excel, sendo realizado o cálculo da média, mediana, variância e o desvio

padrão, gerando gráficos para uma melhor análise dos resultados. No último passo foram

alterados os pontos escolhidos inicialmente, ponto de lançamento do poluente e carga, para

três pontos em outros lugares da grade.

Para a realização dos cálculos, o software Delft Dashboard utiliza o método para águasrasas, que consiste em calcular a propagação e o deslocamento (nível, velocidade) na água,

que é considerada como um fluído incompressível para os cálculos. As acelerações verticais

são desconsideradas e, além disso, pra simplificar, o programa considera que as escalas

horizontais são muito maiores que as verticais, tais parâmetros consistem o módulo Flow.

A equação para águas rasas vem da mecânica dos fluidos, das equações da

conservação da massa e da quantidade de movimento. Da equação

(conservação da massa), e também da (conservação daquantidade de movimento em x) e

(conservação daquantidade de movimento em y).

É necessário introduzir 3 vetores, nos quais: u = (h, uh, vh), F(u) = (uh, u²h+ e

G(u)=(vh, uvh, v²h+ ).

Que acaba caindo em um sistema hiperbólico onde: .


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44

As condições de contorno no mundo real acabam sendo um pouco complicadas pela

irregularidade do contorno da costa a ser estudada, porém o software consegue criar uma

grade de tamanho retangular com contorno refletivo, com u = v = 0.

A grade utiliza as variáveis no centro dela como base e usa o método das diferençasfinitas, esquema de Lax-Wendroff, cada cálculo para um passo temporal.

Para calcular meio passo temporal e espacial, definimos valores para u nos pontos

intermediários.

(33)

e

(34)O próximo passo é calcular novos valores no centro, usando os resultados anteriores,

assim:

(35)

Na execução do programa, os dados que foram coletados inicialmente, servem para

poder calibrar o modelo hidrodinâmico. O Delft Dashboard usa como sistema de coordenadas,

as cartesianas e esféricas.

O programa também utiliza um método para a estabilidade, só é possível ser

executado caso o número de courant for menor que 10. Para calcular tal número, é utilizada a

seguinte equação: . Além disso, o software também consegue calcular

as Tensões de Reynolds e Gradientes de Pressão. Esses dados são utilizados posteriormente

para calcular a quantidade de movimento, o resultado final é uma aceleração, dada em m/s².

As condições iniciais e de contorno que são utilizadas para a resolução do problema,

são dados obtidos pelo próprio Delft Dashboard, que possui uma base de dados online com

valores das estações de maré.

Dependendo do problema a ser estudado, é necessário saber aplicar as diferentes

condições de contorno para cada caso. Existe, por exemplo, condições de contorno fechadas,

verticais e abertas.


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45

Contorno fechado: é utilizado para a interface terra-água, então serão feitas algumas

considerações em relação ao escoamento e tensões, o escoamento é considerado zero e as

tensões devem ser consideradas em simulações de pequena escala, em um laboratório, por

exemplo.

Contorno vertical: é usado para interface água-ar e água-leito, nesse caso, as

velocidades angulares são consideradas zero, tanto para água-ar quanto para água-leito. É

necessário considerar a tensão de cisalhamento, pois a profundidade do sistema é muito

menor que seu comprimento.

Contorno aberto: usado para interface água-água, tem que ser colocado o mais

distante possível da área de interesse. É introduzido para obter uma área computacional

delimitada, a fim de reduzir o esforço computacional. Dependendo do fenômeno a ser

estudado, é necessário saber qual tipo de contorno aberto a ser utilizado. Quando for usado

esse tipo de contorno, é necessário definir um coeficiente alpha, que tem que ser considerado

um número grande, no caso foi utilizado um valor igual a 1000 e também, é importante saber

que nesse caso é utilizada uma forçante astronômica. Nesse caso, a movimentação da lua faz

com que haja uma alteração nos níveis da maré.

O programa Delft Dashboard possui um banco de dados de parâmetros como:

batimetria, marés, níveis de água, velocidades. A discretização da área foi criada a partir de

uma grade, no Delft Dashboard.

3.2.

Caracterização da área de trabalho

O local definido para o presente trabalho foi a cidade de Nova York nos Estados

Unidos. Nova York é a cidade mais populosa dos Estados Unidos, tendo uma população de

aproximadamente 8,4 milhões de habitantes que ocupam uma área de 784 km2. A cidade

também possui uma área de 425 km2 formados pelas águas dos rios que a banham e também o

Oceano Atlântico.


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Figura 28: Foto aérea da cidade de Nova YorkFonte: Google Earth

Nova Iorque possui um clima temperado continental úmido, apresentando as

quatro estações bem definidas. Localizado perto de grandes massas de água, a temperatura na

cidade tende a flutuar menos do que no interior do continente. No entanto o clima é instável,

podendo ocorrer baixas temperaturas e tempestades de neve perto do fim da primavera ou

logo no início do outono.

O formato do terreno da cidade foi alterado por diversas vezes, sendo expandida cada

vez mais em direção ao oceano. A topografia também sofreu várias mudanças, o terreno da

cidade que era anteriormente bastante acidentado, atualmente é plano, resultado da

intervenção humana na natureza. O ponto mais alto da cidade é Todt Hill em Staten Island,

que fica a 124,9 m acima do nível do mar é o ponto mais alto do litoral leste ao sul de Maine.

A Baía de Nova Iorque é o nome dado às porções marítimas localizadas nas

proximidades da desembocadura do Rio Hudson, no oceano Atlântico. É subdividida em duas

porções conectadas por um estreito: Upper New York Bay e Lower New York Bay. Segue

abaixo um mapa mostrando as vias aquáticas existentes na Baía.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Climahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Clima_temperadohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Esta%C3%A7%C3%A3o_do_anohttp://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81guahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Temperaturahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Nevehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Primaverahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Outonohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Oceanohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Naturezahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Todt_Hillhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Mainehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Marhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Oceano_Atl%C3%A2nticohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Estreitohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Upper_New_York_Bayhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Lower_New_York_Bayhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Lower_New_York_Bayhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Upper_New_York_Bayhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Estreitohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Oceano_Atl%C3%A2nticohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Marhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Mainehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Todt_Hillhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Naturezahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Oceanohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Outonohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Primaverahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Nevehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Temperaturahttp://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81guahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Esta%C3%A7%C3%A3o_do_anohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Clima_temperadohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Clima


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Figura 29: Vias aquáticas de Nova York

Estudo das Marés

Para se realizar o estudo da variação das marés no Delft, primeiramente foi delimitada

uma área no software para trabalhar com as estações existentes e criar novos pontos. Amacrolocalização da área pode ser vista na figura abaixo:


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48

Figura 30: Macrolocalização da área escolhidaFonte: Google Earth, 2015.

A área escolhida compreende toda a Baía de Nova York, onde se situa o Porto de Nova

York (New York Harbor) e também uma parte de Nova Jérsei. A área delimitada no Delft foi

desenhada aproximadamente no Google Earth Pro, e assim suas dimensões puderam ser

calculadas. A área é um retângulo com 36,3 km de largura e 45,7 km de comprimento,

totalizando 164 km de perímetro. Sua área é de aproximadamente 1660 km2. Os pontos

escolhidos no Delft serão apresentados posteriormente na discussão e resultados. Abaixo

segue a área delimitada no Google Earth (retângulo branco).


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49

Figura 31: Detalhe da Área EscolhidaFonte: Google Earth, 2015.

Tratamento de Esgoto e Dispersão de Efluentes

Nova York possui ao todo 14 estações de tratamento de esgoto que tratam os 5,3

bilhões de litros de esgoto (1,4 bilhões de galões) despejados diariamente por seus 8 milhões

de habitantes. O tratamento de águas residuais começou em Nova York no final dos anos 1890

e 1900 em dois locais em Brooklyn e um em Queens. Estes tornaram-se a 26 de Ward, o Coney

Island Water Pollution Control (WPCP) em Brooklyn e a Jamaica WPCP em Queens. Quando a

população alcançou 3,5 milhões, estas plantas tornaram-se insuficientes.

Entre 1935 e 1945, três novas plantas foram construídas: Wards Island, em Manhattan

e Bowery Bay e Tallman Island, em Queens. À medida que a população se aproximou de 7,5

milhões, a Coney Island, 26 Ward e Jamaica foram atualizado. Estas seis plantas fizeram a

capacidade municipal para o tratamento de 497 milhões de galões por dia (mgd).


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50

Entre 1945 e 1965, cinco novas usinas foram construídas para atender às necessidades

da população em constante expansão, que agora estava se aproximando de oito milhões. Estes

foram Hunts Point no Bronx, Oakwood Beach e Port Richmond em Staten Island, e as plantas a

Rockaway e Owls Head em Brooklyn. Entre 1965 e 1979, as estação Newtown Creek foi

construída no Brooklyn. Em 1968, 12 estações de tratamento de águas residuais estavam

operando na área de New York. Elas trataram mais de um bilhões de galões por dia e

removiam uma média de 65% dos poluentes provenientes das águas residuais.

Em 1972, o governo federal aprovou uma lei que ditou normas mínimas para as

estações de tratamento de esgoto de todo o país. As estações passariam a ter tratamento

secundário, em que se remove 85% dos poluentes. Entre 1979 e 1995, mais duas estações de

tratamento foram concluídas, a usina Red Hook, em Brooklyn e River North. Isso trouxe o

número total de águas residuais estações de tratamento para 14 e fez com que praticamente

todos esgoto gerado em Nova York fosse capturado e tratado. Hoje as instalações de

tratamento têm a capacidade de tratar 1.805 milhões de galões diariamente.

Abaixo segue um mapa mostrando a localização das estações de tratamento em Nova

York e a capacidade de tratamento de cada uma delas em milhões de galões por dia (mgd).


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Figura 32: Localização das estações de tratamento de esgoto em Nova YorkFonte: Department of Environment Protection, NY.

Com a atualização das estações de tratamento, a qualidade das águas da Baía de Nova

York melhorou significativamente, como se pode ver na figura abaixo que mostra os níveis de

coliforme fecal em 4 anos diferentes.


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Figura 33: Evolução da qualidade da água na Baía de Nova YorkFonte: Department of Environment Protection, NY.

Para o estudo de dispersão de poluentes na água, foi utilizado o ponto de lançamento

da estação de Owls Head, que conecta a Upper e a Low New York Bay e fica entre o Brooklyn e

a Staten Island. Essa região é um importante canal marítimo de acesso à Nova York e também

o caminho principal de deságue do Rio Hudson, sendo essa a razão para a escolha do ponto.

O Departamento de Proteção Ambiental de Nova York faz uma coleta e análise em 70estações ao longo da Baía para monitorar a qualidade da água e identificar melhorias. As


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coletas ocorrem semanalmente nos meses de Junho à Setembro, e de Outubro à Maio elas são

feitas semanalmente. Abaixo segue o mapa mostrando alguns dos pontos de coleta próximos à

estação de Owls Head. Os parâmetros de qualidade dos pontos de coleta N6 (Bell Buoy "31"),

N7 (Robbins Reef) e N8 (The Narrows Buoy "28") são mostrados na tabela a seguir. O ponto N6

está antes da estação Owls Head, o ponto N7 é o mais próxima dela e o ponto N8 está logo

depois da estação.

Figura 34: Pontos de amostragem de água em Nova YorkFonte: Department of Environment Protection, NY.

Tabela 12: paramêtros de qualidade da água nos pontos N6, N7 e N8

Fonte: Department of Environment Protection, NY.

Percebe-se que não há muita variação dos parâmetros em cada um dos pontos. O

parâmetro que mais variou foi o de coliformes fecais e enterococcus, que é menos no ponto

N8 situado após a estação Owls Head. Todos eles são classificados como classe I, ou seja, na

metodologia no DEP, pode ser feitas atividades de pesca e navegação nessa região.

EstaçãoClasse

daÁgua

Data daamostra

OD (mg/l)Coliformes Fecais

(/100 ml)

Enterecoccus

(/100 mL)Transparência

(ft.)Superfície Fundo Superfície Fundo Superfície Fundo

N6 I 08/04/2015 10,84 10,83 45 NS 19 NS 3

N7 I 08/04/2015 10,19 10,27 32 NS 24 NS 3

N8 I 08/04/2015 10,71 10,09 14 NS 6 NS 4


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3.3. Resultados e discussão

A região escolhida para o estudo no Delft Dashboard, assim como melhor descrito

anteriormente, foi a do porto da cidade de Nova York, oficialmente denominada New York

Harbor. O período de estudo abordado no trabalho e nos gráficos apresentados, é de 48 horas,

do dia 07 de Junho até dia 09 de Junho. Os pontos de análise foram determinados como sendo

as estações de medições de maré, com marégrafos, utilizadas pelo próprio Delft e presentes

no domínio do estudo. Além desses, outros pontos foram escolhidos, com propósitos

específicos como: estudar a dispersão do efluente lançado pela “Owls Head Water Pollution

Control Plant”, comparar o nível da água usual com o nível atingido durante o período do

furacão Sandy (2012), avaliar a influência do principal canal do estuário (canal de Ambrose) na

variação do nível e velocidade da água e a influência do Hudson Canyon, o qual possui mais de

3000 metros de profundidade e encontra-se próximo ao estuário.

A figura acima representa a grade gerada no Delft Dashboard, onde os pontos amarelos

são as estações de maré, os azuis os pontos adicionados e o rosa respresenta o local da

descarga do efluente. Na figura à direita, são estabelecidas cores para os pontos nas estações,

os adicionados estão em branco e o poluente em laranja. Sobre a grade, o delta x e delta y

utilizados foram de 250 e o delta t de 10 minutos.

As cores foram estabelecidas em cada ponto de monitoramento para facilitar a

visualização dos gráficos e a interpretação dos mesmos de acordo com a localização geográfica

Figura 35: Grade gerada no Delft Dashboard.


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dos pontos. Os resultados obtidos nos pontos sempre serão representados graficamente de

acordo com a cor do ponto na figura 1 à direita.

Os gráficos resultantes, da modelagem aplicada pelo programa, explicada na metodologia,

do nível da água e da velocidade (componentes x e y) para o período de 07 de junho de 2015 e09 de junho de 2015 são apresentados abaixo, respectivamente. Os pontos preto, marrom e

azul piscina não fazem parte dessa análise, devido ao erro gerado pelo modelo nesses locais, o

que será discutido posteriormente.

Figura 36: Variação do nível da água em função do tempo nos pontos amostrais.


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Figura 37: Gráfico das componentes da velocidade em função do tempo nos pontos amostrais.

Análise da Variação de Nível de água

Observa-se na Figura 36 o comportamento do nível da água em função do tempo. No

instante inicial o nível é 0 metros nos 5 pontos, condição inicial estipulada pelo programa, a

curva da maré segue muito semelhante entre todos os pontos. Após o ajuste do modelo, mais

ou menos nas primeiras 12 horas, a diferença de amplitude entre os pontos varia próxima de

0.15 (nos picos) e os períodos de maré alta e baixa ocorrem praticamente no mesmo horário,

fatores que evidenciam a similaridade da maré entre os pontos. Similaridade a qual pode ser

explicada pelo fato de a lua ser o principal fator de influência na maré, graças a força

gravitacional que ela exerce sobre as partículas de água do oceano. Visto que, em uma escala

global, os pontos estão bem próximos entre si e que a distância deles e a lua é praticamente a

mesma, é compreensível que a maré apresente comportamento parecido nesses locais. Além

disso, o modelo representa outro comportamento particular da maré, a chamada maré semi-

diurna, que ocorre quando observa-se a maré cheia e a baixa, duas vezes cada uma, em um dia

com um ciclo de aproximadamente 12 horas.


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Figura 38: Comparação das fases lunares com a variação do nível da água no mês de Junho.

Com a média diária do nível da água no mês de junho, podemos observar como o nível

da água se comporta durante as semanas do mês. A figura acima demonstra claramente,

através dos dias que ocorrem os pontos de inflexão do gráfico e os dias de mudança das fases

da lua, as quais variam semanalmente, que a lua exerce a maior influência na variação da maré

e do nível da água. E mais, nota-se que quando a mesma encontra-se cheia ou nova o nível da

água aumenta. Quando o sol e a lua estão alinhados, há exepcionalmente uma grande força

gravitacional, causando marés muito cheias e muito vazias, quando não estão alinhados, as

forças gravitacionais são menores e as marés não são tão dramaticamente cheias e vazias.

Análise da Variação de Velocidade

Na figura 37, observa-se o comportamento da velocidade da corrente em cada ponto.

O gráfico da esquerda relaciona ambas as componentes da velocidade, x e y. Na direita as

componentes da velocidade são apresentadas em relação ao tempo, em horas. No caso das

velocidades, a localização de cada ponto influencia diretamente na mesma e em cada uma das

suas componentes.

-0,02

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

Média diária do nível da água em Junho, na estação de SandyHook.

Média dias


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O ponto vermelho, pelo fato de estar exatamente no afunilamento entre Staten Island

e o Brooklyn e onde a maré chega na vertical, apresenta a maior velocidade vertical e uma das

maiores velocidades na horizontal dentre os pontos.

O ponto amarelo, localizado na foz de um rio que deságua no estuário na horizontal eonde a maré chega também na horizontal, apresenta a maior velocidade positiva na direção x

e velocidade não desprezível na direção y, pois o canal de Newark Bay até a Lower Bay por trás

de Staten Island deságua próximo ao ponto.

O ponto verde, localiza-se à esquerda de Sandy Hook, posição a qual suaviza a

velocidade na direção horizontal assim como na vertical, porém, mesmo assim é o ponto o

qual apresenta maior velocidade vertical após o ponto vermelho. Fato esse que pode ser

compreendido através da observação dos vórtices causados próximos a Sandy Hook,

influenciados pelo canal Ambrose, e também através do erro ocasionado pelo programa no

momento que gerou a batimetria e considerou a parte sul de Sandy Hook como sendo água.

Ambos os pontos localizados dentro da Upper Bay apresentam velocidades na direção

y baixas e velocidades de amplitude similar na direção x, porém com diferença de fase. O azul

está localizado na margem esquerda da Upper Bay, com a direção vertical encoberta pela

Staten Island, e o rosa na margem superior, também com a direção vertical encoberta, por

uma ilha. A diferença de fase entre ambas essas velocidades horizontais pode ser explicada

pela distância entre os pontos na baia e pela influência dos corpos hídricos próximos a cada

um.

Nota-se semelhança de fase na componente y e a diferença de fase na componente x

da velocidade dos pontos localizados na Lower Bay, amarelo e verde. Analisando a ação da

maré nessa baia, que ocorre na horizontal, a distância entre os pontos explica a diferença na

velocidade horizontal. Quanto a semelhança da velocidade vertical, essa pode ser explicada

pela posição de ambos em relação ao eixo y, que é parecida, assim como a proximidade dos

pontos para com a costa.

Os pontos com maior semelhança entre as fases, para as duas componentes, são o

vermelho e o azul. Devido, provavelmente, ao fato deles serem os mais próximos entre si

analisados e por estarem na mesma margem da Upper Bay.

Análise da Variação da Concentração de Poluente

O efluente simula o lançamento da “Owls Head WPCP”, a qual opera desde 1952, serve

uma população de cerca de 758 mil habitantes e drena uma área de aproximadamente 13 mil

hectares da região oeste do Brooklyn.


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A fim de obter uma vazão realística, foram utilizados dados da quota per capita de

água da cidade de Nova York e o coeficiente de retorno esgoto/água aplicado pela SANEPAR.

Com isso, o cálculo da vazão da estação de tratamento foi estipulado pela seguinte fórmula

encontrada na literatura: Qdméd=(Pop.QPC.R)/86400. Que fornece o resultado em (L/s) e

onde Qdméd representa a vazão doméstica média de esgotos, POP a população servida pela

estação, QPC a quota per capita de água e R é o coeficiente de retorno esgoto/água (von

Sperling, 2005). O resultado foi de 3,35 m3/s e a concentração escolhida de 3 kg/m3.

Feito isso, dois pontos de monitoramento foram adicionados, com o objetivo de

analisar a dispersão do poluente, um deles localizado ao norte do lançamento (denominado

“acima” no gráfico) e outro ao sul (denominado “abaixo” no gráfico). O gráfico da variação da

concentração com o tempo é apresentado a seguir.

Figura 39: Variação da concentração do poluente em função do tempo.

A estação de tratamento avaliada situa-se no afunilamento entre a Lower Bay e a

Upper Bay, assim como o ponto vermelho, mas na outra margem e mais ao norte do

afunilamento. Sendo assim a velocidade da água nos pontos de monitoramento, no ponto

vermelho e no ponto de lançamento são úteis para a análise de dispersão e apresentadas a

seguir.


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Figura 40: Variação da velocidade nos pontos próximo ao e de lançamento.

Fatores como o coeficiente de difusão da substância (que depende da temperatura, do

tamanho do soluto e da viscosidade do solvente), a massa de poluente lançado, a distância

entre o lançamento e os pontos, entre outros, são abordados na modelagem da concentração

do poluente. Dificultando a relação apenas com a maré e a velocidade, termos advectivos.

Entretanto, através do gráfico da variação da velocidade nos pontos monitorados

próximos ao lançamento, verifica-se grande influência dos termos advectivos. Pelo fato de a

velocidade na direção vertical positiva ser a com picos mais amplos e de maiores períodos, a

concentração de poluente é maior no ponto ao norte do lançamento. O gráfico é capaz de

justificar também os horários de pico da concentração tanto no ponto ao norte como no ponto

ao sul, os quais estão relacionados, com um pequeno atraso devido à distância, aos pontos de

inflexão da velocidade vertical nos pontos.

Análise Estatística, comparação grades e estação.

A análise estatística que será apresentada, realiza a comparação da média, mínimo e

máximo, desvio padrão e mediana do nível da água, entre a grade anteriormente apresentada,

uma outra grade (com delta x e y de 1000 e delta t de 10) e as estações de maré. Os pontos

abordados foram os quais encontram-se em ambas as grades. Devido às limitações do modelo,

que utiliza a equação de águas rasas, a grade maior foi aplicada de forma que não aborda a

mesma área da menor como um todo. Mas sim uma área a partir do afunilamento entre a

Lower e a Upper Bay que abrange maior área de oceano, ou seja, mais distante da costa. Como

segue na figura a seguir.


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Figura 41: Domínio da grade maior.

Tabela 13: Comparação da estatística entre as grades e a estação.

Fort Wad. (vermelho) Sandy Hook (verde)

grade menor grade maior estação grade menor grade maior estação

Média 0.02363 0.02056 0.09191 0.02195 0.00977 0.07476

Mediana 0.00353 0.02558 0.114 0.01469 0.00159 0.091

Mín. -0.97221 -0.77345 -0.76 -0.89792 -0.78359 -0.793

Máx. 1.18208 1.01132 0.948 1.03051 1.14148 0.934

Desvio padrão 0.61214 0.51347 0.53441 0.57457 0.53008 0.54688

Média do erroem módulo(estação-grade)

0.11553 0.09591 0.08385 0.07769

Da comparação estatística, entre as grades e a estação para os dois pontos analisados,

conclui-se que, principalmente, por conta do ajuste do modelo nas primeiras horas, a média e

a mediana de ambas as grades não condizem com a realidade apresentada pela estação.

Os demais valores estatísticos apresentados que estão mais próximos da realidade

(estação) são os obtidos pela grade maior, fato o qual não era esperado inicialmente, assim

como o erro em módulo que é menor para a grade maior. Entretanto, ao analisar a


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metodologia na qual o Delft Dashboard módulo Flow é baseado, é possível entender o porque

isso ocorre. O programa utiliza a equação de águas rasas, a qual aplica-se para regiões onde os

valores das escalas horizontais são bem maiores que a escala vertical. Logo, sabendo que a

grade maior abrange uma área maior e que a escala vertical é praticamente a mesma para as

duas grades, é compreensível a melhor precisão obtida pelo modelo gerado pela grade maior.

Exemplificado na figura a seguir com a comparação do nível da água modelado pelas duas

grades com a realidade obtida da estação na estação de Fort Wadsworth (ponto vermelho)

Figura 42: Comparação do nível da água modelado pelas duas grades com a realidade.

Em uma análise estatística podemos observar os valores com maior frequência em um

conjunto de dados através de um histograma e como a média se comporta no decorrer dos

dados e do tempo aplicando a média móvel. Esses dois parâmetros estatíscos são

apresentados a seguir, o histograma para o ponto de Fort Wadsworth (vermelho), utilizando os

dados obtidos pela modelagem realizada pela grade maior em um período de 48 horas, e a

média móvel para a estação de Sandy Hook, utilizando os dados de um período de um mês da

mesma.


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Figura 43: Histograma do nível da água no ponto vermelho.

Figura 44: Variação da média móvel do nível da água no ponto verde.

Do histograma verifica-se que os valores com maior frequência no conjunto de dados

analisados são -0.5 e 0.7, aparecendo aproximadamente 30 vezes. Em relação à média móvel,nota-se que ela tende a um valor com o decorrer do tempo e representa o comportamento da

média no decorrer do tempo e dos dados, como citado anteriormente.

Análise de sensibilidade

Alguns pontos com características diferenciadas foram analisados para que se

estudasse o efeito dessas variáveis no sistema e a importância das mesmas. Os dois pontos

amostrais adicionados na grade menor entre Sandy Hook e a Upper Bay, foram selecionados

0

10

20

30

40

- 0 . 8

- 0 . 7

- 0 . 6

- 0 . 5

- 0 . 4

- 0 . 3

- 0 . 2

- 0 . 1 0

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

0 . 6

0 . 7

0 . 8

0 . 9 1

1 . 1

u n d …

F r e q

u ê n c i a

Classe

Histograma

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

Nível da água

Média móvel


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justamente para essa análise, assim como os quatro pontos de monitoramento adicionados na

grade maior, dois sobre o Hudson Canyon e dois fora dele.

Na grade menor, o ponto localizado a direita encontra-se no canal de Ambrose, em um

local com aproximadamente 17 metros de profundidade, e o ponto da esquerda está em umlocal de cerca de 6 metros de profundidade. Na grade maior, de acordo com a modelagem

(não representou a realidade), o ponto mais ao norte do Hudson Canyon fica sobre uma

profudidade de cerca de 50 metros e o mais ao sul sobre uma profundidade em torno de 70

metros. Enquanto os pontos escolhidos fora do Hudson Canyon estão sobre uma profundidade

de mais ou menos 20 e 30 metros, o mais ao norte e o mais ao sul, respectivamente.

Figura 45: Variação do nível da água nos pontos de análise de sensibilidade da grade menor.


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Figura 46: Variação do nível da água nos pontos de análise de sensibilidade da grade maior.

Dessa análise conclui-se que a sensibilidade do modelo em relação à profundidade do

ponto de monitoramento é baixa, porém os pontos com maior profundidade apresentaram

menor amplitude na variação do nível da água com o tempo. Salvo o ponto da grade maior

localizado ao norte do Canyon, que apresentou variação praticamente igual ao ponto à sua

esquerda, em local mais raso.

Sobre a sensibilidade, o mesmo que para a profundidade aplica-se em relação àvelocidade da água, baixa. Em contrapartida, é possível afirmar, a partir dos gráficos

apresentados a seguir, que a velocidade da água nos locais mais profundos, em geral,

apresenta menor amplitude. Com excessão da componete y da velocidade do ponto da grade

menor localizado sobre o canal, provavelmente por conta desse estar na direção do

afunilamento entre a Upper e a Lower Bay, o que influencia na velocidade vertical das águas

próximas.


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Figura 47: Variação da velocidade da água nos pontos de análise de sensibilidade da grade menor.

Figura 48: Variação da velocidade da água nos pontos de análise de sensibilidade da grade maior.

A fim de avaliar a sensibilidade do modelo em relação lançamento de um poluente e a

variação da concentração do mesmo em função do tempo e do espaço, a concentração

(kg/m3) do lançamento foi aumentada em dez vezes, de 3 para 30 (kg/m3). O gráfico a seguir

compara a concentração em função do tempo no ponto de monitoramento mais atingido, ao

norte do lançamento.


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Figura 49: Concentração em função do tempo no ponto ao norte do lançamento.

Assim como a concentração do lançamento, a concentração no ponto de monitorado

chega dez vezes maior que a concentração anterior. O que torna possível concluir que o

comportamento de dispersão do poluente não depende da sua concentração, mas sim da

variação da maré, que determina a velocidade e a direção que serão tomadas pelo poluente.

Erro encontrado nos pontos não abordados.

Os pontos marrom, preto e azul piscina não foram estudados devido aos erros gerados

na modelagem dos mesmos. Erro esse derivado da metodologia utilizada pelo programa e da

localização dos pontos. Observa-se que esses 3 pontos ficam em regiões relativamente

estreitas em relação aos demais pontos. Regiões as quais prejudicam a aplicação da equação

de águas rasas por não satisfazerem uma das condições necessárias para o sucesso da mesma,

a condição de que as escalas horizontais devem ser bem maiores que a escala vertical. Além

disso, no momento de gerar a batimetria, por meio da interpolação, regiões estreitas estão

muito mais suscetíveis a erros.

A seguir o erro mencionado será exemplificado pelo gráfico da variação do nível da

água em função do tempo gerado pela modelagem no ponto azul piscina junto com o gráfico

obtido através dos dados da estação presente no mesmo ponto, a chamada Horns Hook East

90th Street East River.


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Figura 50: Variação do nível da água em função do tempo. Erro do modelo.

Curiosidade: catástrofe ambiental.

Para finalizar o estudo foram comparados dados do nível da água obtidos da época em

que ocorreu o furacão Sandy, o qual atingiu os Estados Unidos na categoria 2, foi o segundo

mais caro da história do país ($65 bilhões), atingiu 24 estados do mesmo e a velocidade do

vento chegou à 185 km/h. Muitos dos dados medidos durante a catástrofe foram perdidos,mas nem todos. O ponto de monitoramento adicionado e ainda não mencionado no trabalho,

um pouco ao sul do ponto vermelho, encontra-se muito próximo à um local no qual foram

realizadas medições do nível da água nos dias da passagem do furacão pelo estuário de Nova

York. A seguir serão apresentados os gráficos da variação do nível da água para o período do

furacão e para o período aqui estudado.


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Figura 51: Variação do nível da água no período do furacão.

Figura 52: Variação do nível da água no período de estudo.


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Anexos – Códigos

Anexo 1 – Solução Analítica

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% SOLUÇÃO ANALÍTICA%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear clc %Definindo as constantes: A = 0.7;%área em m² D = 10e-5;%Coeficiente de difusividade em m²/s M = 50;%Massa total em mg x0 = 0.5;%ponto inicial k = 0.004;%velocidade de advecção em m/s T = 40; % Tempo final em s

%Definindo a função: Ca = @(x,t) (exp(-(x-x0+k*t).^2./(D*t*4))).*(M./(A*sqrt(4*pi*D.*t)));

% Plotando delx = 0.002 x = 0:delx:1;

for t=1:0.25:T grid on C1=Ca(x,t); figure(1)

hold on plot(x,C1,'b') title('Analítico advectivo difusivo') xlabel('x (m)') ylabel('c (mg/m³)') legend ('Concentração') hold off

end


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Anexo 2 – Letra C) Método Crank-Nicolson

clear all close all

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% SOLUÇÃO NUMÉRICA CRANK NICOLSON%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

L = 1; % Comprimento do tubo T = 40; % Tempo final k = 0.004; % Velocidade de advecção Dif = 10e-5; % Difusão

dx = 0.002; % Passo espacial dt = 0.1; % Passo temporal

x = 0:dx:L; % Vetor espacial t = 0:dt:T; % Vetor Temporal

Co = k*dt/dx; % CourantFo = Dif*dt/dx^2; % Fourier

[mx, nx] = size(x); % Tamanho de x [mt, nt] = size(t); % Tamanho de t

U = zeros(nx,nt); % Inicializando a matriz U u = zeros(nx,1); % Inicializando o vetor

inicial de solução for i=1:nxu(i)=40*exp(-(x(i)-0.5)^2/0.020^2); % Condição inicial, pluma

gaussiana end uL=0.0; % Condição de contorno daesquerda uR=0.0; % Condição de contorno dadireita


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Anexo 3 – Letra C) Método Explícito

close all clear all %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% SOLUÇÃO NUMÉRICA EXPLICITA%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%Defina os parâmetros de entrada D = 10e-5; %Coeficiente de difusividade em m²/s k = 0.004; %velocidade de advecção em m/s L = 1.0; % Comprimento do tubo (m) T = 40; % Tempo final (s)

%Passos temporais e espaciais delx = 0.002;

delt = 0.02;

%Estabilidade Fo = D*delt/delx^2; Co = k*delt/delx; disp('Numero de Fourier') disp(Fo); fprintf('\n') fprintf('Estabilidade: Fourier


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figure(1) grid on plot(x,C(:,t),'b'); C2 = C(:,t); title('Método explicito numérico') xlabel('x (m)')

ylabel('c (mg/m³)') legend ('Concentração') hold off

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% SOLUÇÃO ANALÍTICA%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%Definindo as constantes:

A = 0.7;%área em m² D = 10e-5;%Coeficiente de difusividade em m²/s M = 1;%Massa total em mg x0 = 0.5;%ponto inicial k = 0.004;%velocidade de advecção em m/s


%Plotando

for t=1:0.25:40 grid on C1=Ca(x,t); figure(2) hold on plot(x,C1,'b') axis tight title('Método Analítico') xlabel('x (m)') ylabel('c (mg/m³)') legend ('Concentração') hold off

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ERROS%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

erroabs = abs(C1 - C2'); errorel = (erroabs ./ abs(C1))*100; disp('Desvio Padrão') desvio = std(erroabs); disp(desvio); disp('Variancia') varianca = var(erroabs);

disp(varianca); figure(3)


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subplot(1,2,1) plot (x,erroabs,'red*') grid on title('Erro absoluto entre solução analítica e numérica') xlabel('x (m)') ylabel('c (mg/m³)')

legend('Erro Absoluto') subplot(1,2,2) plot (x,errorel,'red*') grid on title('Erro relativo entre solução analítica e numérica') xlabel('x (m)') ylabel('%') legend('Erro Relativo')


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Anexo 4 – Letra D) Método Crank-Nicolson

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% SOLUÇÃO NUMÉRICA CRANK NICOLSON%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

L = 1; % Comprimento do tubo T = 40; % Tempo final k = 0.004; % Velocidade de advecção Dif = 10e-5; % Difusão

%dx = 0.1; % Passo espacial %dt = 0.1; % Passo temporal dx = 0.5 dt = 0.001

x = 0:dx:L; % Vetor espacial t = 0:dt:T; % Vetor Temporal

Co = k*dt/dx; % CourantFo = Dif*dt/dx^2; % Fourier

[mx, nx] = size(x); % Tamanho de x [mt, nt] = size(t); % Tamanho de t

U = zeros(nx,nt); % Inicializando a matriz U u = zeros(nx,1); % Inicializando o vetorinicial de solução for i=1:nx

u(i)=40*exp(-(x(i)-0.5)^2/0.020^2); % Condição inicial, plumagaussiana end uL=0.0; % Condição de contorno daesquerda uR=0.0; % Condição de contorno dadireita

% Construção da matriz A no esquema Crank-Nicolson

A=diag((2+2*Fo)*ones(nx,1)); % PRINCIPAL B=diag((-Fo-Co/2)*ones(nx-1,1),1); %SUPERIOR C=diag((-Fo+Co/2)*ones((nx-1),1),-1); % INFERIOR U=A+B+C; % Monta matriz com valores tridiagonais U(1,1) = (2+2*Fo); %Primeiras linhas são especiais U(1,2) = (Fo+Co/2); U(end,end) = (2+2*Fo); % Ultimas linhas são especiais U(end,end-1) = (-Fo+Co/2);

%Uinverse = inv(U); % Inversa de U

% Construção do vetor do lado direito d = zeros(nx,1);


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% Primeira e ultima entrada são especiais d(1)=(Fo-Co/2)*uL+(2-2*Fo)*u(1)-(Fo+Co/2)*u(2); % Primeiro termo vaizerar d(nx)=(Fo-Co/2)*u(nx-1)+(2-2*Fo)*u(nx)-(Fo+Co/2)*uR; % Ultimo termovai zerar

% Iteração no tempo for t=1:nt

% Entradas restantes for i=2:nx-1

d(i)=(Fo-Co./2).*u(i-1)+(2-2.*Fo).*u(i)+(Fo+Co./2).*u(i+1);end u = U\d; hold on figure(1) plot(x,u,'blue') axis tight title('Método de Crank Nicolson')

xlabel('x (m)') ylabel('c (mg/m³)') legend ('Concentração')

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% SOLUÇÃO ANALÍTICA%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%Definindo as constantes: A = 0.7;%área em m² D = 10e-5;%Coeficiente de difusividade em m²/s M = 1;%Massa total em mg x0 = 0.5;%ponto inicial k = 0.004;%velocidade de advecção em m/s


%Plotando

for t=1:0.1:40

grid on C2=Ca(x,t); figure(2) hold on plot(x,C2,'b') axis tight title('Método Analítico') xlabel('x (m)') ylabel('c (mg/m³)') legend ('Concentração') hold off

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ERROS%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

trabalho matemática 2 - versão final

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