UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

ESTUDO DIRIGIDO 1VIGAS CURVAS

Professor: Carlson Antonio Mendes Vercosa

Turma: MM

Aluno: Vinícius Fernandes de Araújo

PLANO DE TRABALHO

Este trabalho tem por objetivo uma apresentação simples e clara tanto da teoria como aplicação dos conhecimentos em vigas curvas, como também à apresentação de exercícios resolvidos e ilustrações da uso de vigas curvas no dia a dia do engenheiro. A compreensão do assunto baseia-se primeiramente no conhecimento básico de flexão, obedecendo as hipóteses para calculo de vigas curvas nas limitações do curso e exemplos.

A estrutura do trabalho conta com páginas distribuídas em capa, plano de trabalho, introdução, desenvolvimento do assunto, exemplos, anexos, conclusão e por fim as referências bibliográficas.

Introdução

A fórmula da flexão só se aplica a elementos prismáticos retos, pois, como mostrado, em um elemento assim a deformação normal varia linear,ente a partir do eixo neutro. Se o elemento for curvo, no entanto , essas hipótese é inexata e, logo, devemos desenvolver outra equação que descreva a distribuição de tenção. Nesta obra consideremos a análise de uma viga curva, isto é, um elemento que tem eixo curvo e esta sujeito a flexão. Exemplos típicos incluem ganchos e elos de correntes. Em todos os casos, os elementos não são delgados; em vez disso, tem curva acentuada e as dimensões de seção transversal são grandes quando comparadas com seus raios de curvatura.

A análise a ser considerada supõe que a área da seção transversal seja constante e tenha eixo simetria perpendicular à direção do momento aplicado M. Além disso, o material deve ser homogêneo e isotrópico e comporta-se de maneira linear elástica quando a carga é aplicada. Como no caso de um viga reta, admitiremos também, para a viga curva, que as seções transversais do elemento permaneçam planas após a aplicação do momento. Por fim, qualquer distorção da seção transversal dentro de seu próprio plano será desprezada.

VIGAS CURVAS

Para realizar a análise, são idênticas na Fig. 1 três raios que partem do centro de curvatura O' do elemento. São ele: r(barra), que indica a localização conhecida do centroide da área da seção transversal; R, que indica a a localização ainda não especificada do eixo neutro; e r, que localiza o ponto arbitrária ou elemento de área dA na seção transversal. Observe que o eixo neutro localiza-se no interior da seção transversal, uma vez que o momento M cria compressão nas fibras superiores e tensão nas fibras inferiores da viga e, por definição, o eixo neutro é uma reta de tensão e deformação nulas.

Fig. 1

Se isolarmos um segmento infinitesimal da viga (fig.2), a tensão tenderá a deformar o material até que a seção transversal gire um ângulo de δθ/2. A deformação normal ε na tira arbitrária do matéria, localizada em r, será então determinada. A tira tem comprimento original r dθ. Devido às rotações δθ/2, no entanto, sua mudança tora de comprimento sera δθ(R -r).

Deformações longitudinais em vigas

As deformações longitudinais em uma viga podem ser encontradas analisando-se a curvatura da viga e as deformações associadas. Vamos analisar uma parte AB de uma viga em flexão pura submetida a momentos fletores positivos M como mostra a Figura 6.

Figura 1 – deformação em uma viga de flexão pura: (a) vista lateral, (b) seção transversal, (c) viga deformada.

Hipótese fundamental da teoria da flexão

As seções planas de uma viga, tomadas normalmente a seu eixo, permanecem planas após a viga ser submetida à flexão. Essa conclusão é válida para vigas de qualquer material, seja ele elástico ou inelástico, linear ou não-linear. As propriedades dos materiais, assim como as dimensões, devem ser simétricas em relação ao plano de flexão. As linhas longitudinais na parte inferior da viga são alongadas (tracionadas), enquanto aquelas na parte superior são diminuídas (comprimidas).

Superfície Neutra é uma superfície em algum lugar entre o topo e a base da viga em que as linhas longitudinais não mudam de comprimento.

Linha neutra é a interseção da superfície neutra com qualquer plano de seção transversal. O eixo z é a linha neutra da seção transversal ilustrada na Figura 1.b.

Cálculo das deformações normais ξx

Para obter as deformações normais, considere uma linha longitudinal ef localizada entre os planos mn e pq. O comprimento L1 da linha ef depois que a flexão ocorre, O comprimento original da linha ef é dx, segue que seu alongamento é L dx 1 −, ou − y dx ρ . A deformação longitudinal é dada por:

ξx=− yρ

=−κy (1)

Tensões normais em vigas (Materiais Elásticos Lineares)

A relação tensão deformação mais comum encontrada na engenharia é a equação do material linear e elástico. Para tais materiais, substituímos a lei de Hooke para tensões uniaxiais (σ = Eε ) na eq. (1) e obtemos

σx=E ξx=−E yρ=− Eκy (2)

A eq. (2) mostra que a tensão normal varia linearmente com a distância y da superfície neutra. Note a distribuição de tensão na Figura 7

Figura 2- tensões normais em uma viga de material elástico linear, (a) vista lateral da viga mostrando a distribuição das tensões normais e (b) seção transversal da viga mostrando o eixo z como a linha neutra da seção transversal.

Localização da Linha Neutra

Analisando a figura 2

Força agindo sobre o elemento dA → σ xdA (compressão) se y>0 Quando a viga está submetida à flexão pura, a força axial é zero. Assim tem-se que a força resultante na direção x é zero e assim a primeira equação da estática é:

∫A

❑

σxdA=−∫A

❑

−EκydA=0 (3)

E ,κ≠0 , logo,∫A

❑

ydA=Y A=0 (4)

Onde y é a distância de uma linha base (o eixo neutro) ao centróide da área A e y. Como A não é nula, y deve ser igual a zero. Desta forma, a distância do eixo neutro ao centróide da área deve ser nula, e então o eixo neutro deve passar pelo centróide da seção transversal da viga. O eixo neutro pode ser determinado para qualquer viga, basta determinar o centróide da área da seção transversal.

Importante

1- A linha neutra passa através do centróide da área da seção transversal quando o material segue a lei de Hooke e não existem forças axiais agindo na seção transversal.

2- A origem O das coordenadas (Figura 2.b) está localizada no centróide da área da seção transversal.

Fórmula de flexão

σx=−MyI (5)

Essa equação é chamada de fórmula e flexão. Tensões calculadas a partir da fórmula de flexão são chamadas de tensões fletoras ou tensões de flexão. A expressão (5) mostra que as tensões são diretamente proporcionais aos momentos fletores e que aumenta linearmente com o aumento de y. Nota-se que momentos fletores positivos causam tensões de compressão na viga na parte superior acima da linha neutra e causam tensões de tração na parte inferir, pois o y é negativo e também se pode visualizar este resultado na prática. Caso os momentos sejam negativos, as tensões terão sinais invertidos como mostra a Figura 3.

Figura 3 – relações entre os sinais dos momentos fletores e as direções das tensões normais. (a) momento fletor positivo e (b) momento fletor negativo.

Flexão de barras constituídas de vários materiais

Vigas compostas fabricadas com mais de um material.

Exemplos: Tubos revestidos com plásticos e vigas de madeira reforçadas com placas de aço.

Figura 4 – exemplo das vigas compostas.

Outros tipos de vigas compostas têm sido desenvolvidos nos últimos anos, basicamente para economizar material e reduzir peso, São as vigas sanduíche, que são amplamente utilizadas nas indústrias aeroespaciais e de aviação, em que se faz necessário pouco peso com alta resistência e rigidez. Uma viga sanduíche típica apresenta-se na Figura 5.

Figura 5 – vigas sanduiche (a) Núcleo de plástico (b) Núcleo em forma de colmeia (c) Núcleo corrugado.

A viga sanduíche apresentada na Figura 5, consiste de duas faces finas de material relativamente resistente separadas por um núcleo espesso de material leve e pouco resistente. Uma vez que as faces estão a maior distância da linha neutra (onde as tensões de flexão são maiores), elas funcionam mais ou menos como os flanges de uma viga de perfil I. O núcleo serve como um enchimento que serve de sustentação para as faces, estabilizando-as contra empenamento e flambagem. Plásticos, espumas leves, bem como caixas de papelão e estruturas em formato de colmeia ou corrugadas são usadas frequentemente como núcleo.

Tensões e deformações em vigas compostas

As deformações em vigas compostas são determinadas a partir do mesmo axioma básico que usamos para encontrar as deformações em vigas de um material, isto é, as seções transversais permanecem planas durante a flexão. Esse axioma é válido para a flexão pura independente da natureza do material. As deformações longitudinais εx variam linearmente do topo até a base da viga, como expresso pela eq. Já estudada na flexão e repetida aqui:

ξx=− yρ

=−κy (6)

Onde y é a distância a partir da linha neutra, ρ é o raio de curvatura e κ é a curvatura. Analisando a Figura 6, nota-se que essa viga consiste de duas partes, as quais estão colocadas de maneira que permita considera-las como uma única viga sólida. Analisando a Figura 6 nota-se que essa viga consiste de duas partes, denominadas de 1 e 2 que estão colocadas de maneira que permita considerá-las como uma única viga sólida. Como já foi discutido, assume-se que o plano xy é um plano de simetria e que o plano xz é o plano neutro da viga. Entretanto, a linha neutra não passa pelo centróide da seção transversal, no caso da viga ser composta por dois materiais diferentes.

Figura 6 - (a) viga composta de dois materiais (b) seção transversal da viga (c) distribuição de deformações x ε ao longo da altura da viga e (d) distribuição de tensões.

Se a viga é flexionada com curvatura positiva, as deformações εx, irão variar como ilustrado na Figura 6.c, sendo A ε a deformação de compressão no topo da viga, B ε a deformação de tração na base e C ε a deformação na superfície de contato dos dois materiais. Note que a deformação é zero na linha neutra. Denotando-se os módulos de elasticidade para os materiais 1 e 2 como E1 e E2, respectivamente, e também assumindo que E2 > E1, obtemos o diagrama de tensão ilustrado na Figura 6.d. A tensão no topo da viga é:

(7)

A tensão de tração na base é:

(8)

Na superfície de contato, as tensões nos dois materiais são diferentes porque seus módulos são diferentes.

Flexão de barras compostas

Método da seção transformada

Consiste em transformar a seção transversal de uma viga em uma seção transversal equivalente de uma viga imaginária, que é constituida de apenas um material. A nova seção transversal é chamada de Seção transformada.Se um momento for aplicado a essa viga, então, como ocorre a um material homogêneo, a área total da seção transversal permanecerá plana após a flexão, e por consequência, as deformações normais variarão linearmente de zero no eixo neutro a máxima no material mais afastado desse eixo. Uma vez determinada a tensão da seção transformada, ela deve ser multiplicada pelo fator de transformação para obter a tensão na viga verdadeira.

Considere, por exemplo, uma barra formada por duas partes de materiais diferentes unidas como mostra a seção transversal na Figura7. Essa barra composta se deformará conforme descrito na Seção anterior, pois sua seção transversal permanece a mesma em todo o comprimento, e não foi feita nenhuma suposição referente à relação tensão-deformação do material ou materiais envolvidos. Assim, a deformação específica normal ainda varia linearmente com a distância da linha neutra da seção (e vale a fórmula (9):

Figura 7- seção transversal de barra composta

ξx=− yρ (9)

Figura 8 – distribuição de deformação especifica a tensão em barra constituida de dois materiais

No entanto, não podemos supor que a linha neutra passe pelo centroide da seção composta, uma vez que um dos objetivos desta análise será determinar a localização desta linha neutra.Como os módulos de elasticidade E1 e E2 dos dois materiais são diferentes, as expressões obtidas para a tensão normal em cada material também serão diferentes. Escrevemos

σ 1=−E1 yρ (10)

σ 2=− E2 yρ (11)

E obtemos uma curva de distribuição de tensões consistindo em dois segmentos de reta Figura 8. Conclui-se das Equações (10) e (11) que a força dF1 que atua no ele mento de área dA da parte superior da seção transversal é

dF=σ 1dA=−E1 yρ

dA (12)

Enquanto a forta dF2, que atua em um elemento de mesma área dA da parte inferior é

dF 2=σ 2dA=−E2 yρ

dA (13)

Mas, chamando de n a relação E2_E1 dos dois módulos de elasticidade, podemos expressar dF2 como

dF 2=− (nE1 ) yρ

dA=−E1 yρ

(ndA ) (14)

Comparando as Equações notamos que a mesma força dF2 atuaria em um elemento de área n dA do primeiro material. Em outras palavras, a resistência à flexão da barra permaneceria a mesma se ambas as partes fossem feitas do primeiro material, desde que a largura de cada elemento da parte inferior fosse multiplicada pelo coeficiente n. Note que esse alargamento (se n > 1), ou estreitamento (se n < 1), deve ser feito em uma direção paralela à linha neutra da seção, pois é essencial que a distância y de cada elemento em relação à linha neutra permaneça a mesma. A nova seção transversal obtida dessa maneira é chamada de seção transformada da barra.Como a seção transformada é equivalente a seção transversal de uma barra feita de um material homogêneo com módulo de elasticidade E1, o método descrito na Seção anterior pode ser usado para determinar a linha neutra e a tensão normal em vários pontos da seção.

Figura 9 – seção transformada para barra de seção composta

Conclusão Neste estudo dirigido foram expostas noções básicas de Flexão e o método da seção transformada, observando a importância desse conteúdo para a engenharia mecânica pode se admitir que a resistência dos materiais está muito presente na área de projetos, dimensionamento de vigas com variação de área de seção transversal, eixos complexos, e é de enorme importância o domínio da disciplina para um projeto conceitual, onde se tem a minimização do risco de ruptura e para evitar uma possível falha na integridade mecânica de peças. Tornando assim o gerenciamento do projeto seguro, juntamente com a sua execução.

Bibliografa básica

BEER, F.P. E JOHNSTON, JR., E.R. RESISTÊNCIA DOS MATERIAS, 3.ºED. MARKRON BOOKS, 1995.BEER, F.P. E JOHNSTON, JR., E.R. RESISTÊNCIA DOS MATERIAS, 4.ºED. MC GRAW-HILL INTERAMERICANA.HIBELLER, R.C. RESISTENCIA DOS MATERIAIS, 5.º ED. PEARSON EDUCATION - BR.