UNIVERSIDAD CENTROCCIODENTAL “LISANDRO ALVARADO”

DECANATO DE AGRONOMIA PROGRAMA DE ING. AGROINDUSTRIAL

NUCLEO OBELISCO BARQUISIMETO-ESTADO LARA

CATEDRA COMPUTACION APLICADA

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Método Runge-Kutta.

Implementación de Sistemas Numéricos

Integrantes

Alvarado Jean C.

Osuna Desirée

Silva Leonor

Suarez Edgar

Barquisimeto, Enero 2011

Introducción

Los métodos numéricos constituyen una herramienta muy valiosa para la

resolución de problemas prácticos de Ingeniería, se pueden definir a los métodos

numéricos como las técnicas mediante las cuales es posible formular problemas

de manera que puedan resolverse utilizando operaciones aritméticas, ó también

como el grupo de conocimientos matemáticos relacionados con el diseño y

análisis de algoritmos necesarios para resolver problemas de ciencia e ingeniería

por ello el objetivo de este trabajo es presentar de manera sencilla el método

numérico de Runge-Kutta y la implementación de los sistemas numéricos en el

computador.

El trabajo se encuentra estructurado de la siguiente manera: en primer lugar

se presenta las ecuaciones diferenciales ordinarias, luego el método numérico de

Runge-Kuta de segundo orden y de tercer orden, seguidamente algoritmos para la

resolución de ejercicios en el computador; esquema de discretización del método

de Runge-Kutta de segundo orden y de tercer orden y por último las aplicaciones

del método de Runge-Kutta.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de

una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes

respecto de las que se deriva,

Las ecuaciones diferenciales se dividen en:

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: aquellas que contienen derivadas

respecto a una sola variable independiente.

Ecuaciones en Derivadas Parciales: aquellas que contienen derivadas

respecto a dos o más variables.

Orden

El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada más alta contenida

en ella.

Grado

El grado de una ecuación diferencial es una potencia a la que esta elevada la

derivada más alta, siempre y cuando la derivada este dada en forma polinomial.

Hay otra clasificación importante de las ecuaciones diferenciales ordinarias la

cual se basa en si éstas son lineales o no lineales. Se dice que la ecuación

diferencial.

Es lineal cuando F es una función lineal en las variables y,y´,y(n). Por lo

tanto, la ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n es 3.La ecuación que no

es de la forma (3), es una ecuación no lineal.

Un problema físico sencillo que de origen a una ecuación diferencial no lineal es el

péndulo oscilante.

Ecuación Diferencial Lineal

La forma general de una ecuación diferencial lineal de orden n es como

sigue:

an(x)dny + a n-1(x) d n-1y + ... + a1(x)dy +a0(x)y = g(x) dxn dx n-1 dx

Recuérdese que linealidad quiere decir que todos los coeficientes solo son

funciones de x, y que y todas sus derivadas están elevadas a la primera potencia.

Entonces, cuando n = 1, la ecuación es lineal y de primer orden.

Ordinarias Tipo Parciales Primer grado Orden Segundo grado Tercer grado Orden n

Grado Lineales

Las ecuaciones diferenciales contienen derivadas de una o más

variables dependientes con respeto a una sola variable

independiente

Las ecuaciones diferenciales contiene derivadas de una o más

variables dependientes con respeto a dos o más variables

independiente

F= (x, y, y’)=0 (dy/dx)

F=(x, y, y’, y’’) =0 (dy /dx )

F=(x, y, y’, y’’, y’’’)=0

F=(x, y, y’………………. y(n))=0

a) Las variables independientes y y todos sus

derivados son de primer grado.

b) Cada coeficiente de y y sus derivados

dependen solamente de la variable

independiente x (puede ser constante)

Ecuaciones diferenciales Solución:

Se define como una relación sin derivadas entre las variables que satisface

a la ecuación

Solución Particular:

Se obtiene de la primitiva dando valores definidos a las constantes

arbitrarias (Ecuación de una curva llamadas curvas integrales de la ecuación

diferencial)

Solución General:

Solución que contiene todas o casi todas sus soluciones (primitiva).

Interpretación Geométrica:

Las ecuaciones diferenciales se expresan geométricamente mediante la

interpretación de un problema mediante trazos en una recta. Así a cada punto

del plano le corresponde una pendiente.

Trayectorias:

Cualquier curva que corte a cada uno de los miembros de una familia dada

de curvas bajo un ángulo constante w, se llama una trayectoria w de la familia.

La trayectoria de intersección, que forma un ángulo de 90º de una familia y

sus pendientes son perpendiculares entre si se denomina “Trayectoria

Ortogonal”.

Para hallar las trayectorias ortogonales se utilizara las curvas integrales de

la ecuación diferencial:

f(x,y, y´-tgw/1+y`tgw)=0

Existencia:

Se dice que hay existencia cuando existe una solución real para la

expresión y se cumplen las siguientes condiciones:

Continuidad de f(x,y) en R

Acotamiento de f(x,y) por R

Unicidad:

Se dice que existe unicidad, cuando se cumple lo siguiente:

Continuidad de f(x,y) y ȭ f/ ȭ y en R

Acotamiento de f(x,y) y ȭ f/ ȭ y por R

Aunque existen excepciones donde solo se cumple una de las condiciones

o ninguna de las dos.

Campo Direccional:

Al conjunto de los segmentos que resultan de la terna (x,y,y´)

Métodos de Runge-Kutta

Los Runge-Kutta no es sólo un método sino una importante familia de

métodos iterativos tanto implícitos como explícitos para aproximar las soluciones

de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s), estas técnicas fueron

desarrolladas alrededor de 1900 por los matemáticos alemanes Carl David Tolmé

Runge y Martin Wilhelm Kutta

El objetivo de los métodos numéricos de Runge-Kutta, es el análisis y

solución de los problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias

(EDO), estos son una extensión del método de Euler para resolver las (EDO’S),

pero con un orden de exactitud más alto que este.

La convergencia lenta del método de Euler y lo restringido de su región de

estabilidad absoluta nos lleva a considerar métodos de orden de convergencia

mayor. El método de Euler se mueve a lo largo de la tangente de una cierta curva

que esta "cerca" a la curva desconocida o buscada. Los métodos Runge-Kutta

extienden esta idea geométrica al utilizar varias derivadas o tangentes

intermedias, en lugar de solo una, para aproximar la función desconocida. Los

métodos Runge-Kutta más simples se obtienen usando dos de estas derivadas

intermedias.

Los métodos de Runge-Kutta mejoran la aproximación del método de Euler

para resolver de modo aproximado el P.V.I. y' = f(t, y), y(t0) = y0, sin necesidad

de calcular derivadas de orden superior.

Recordemos que, de acuerdo con la teoría, la expresión general de los

métodos explícitos de las etapas de Runge Kutta es:

Donde a ij = 0 para j ≥ i y = C i

Fundamento

Al resolver un PVI o un PF, el objetivo es hallar una función y(t) que verifique

en [a,b] los requisitos del problema. Conscientes de la imposibilidad de obtener

una fórmula que exprese y(t), nos contentaremos con obtener los valores que la

solución toma en algunos puntos de [a,b]; es decir, obtendremos una tabla de

valores de y(t) en [a,b]. Esto puede parecer, a primera vista, frustrante, pero para

la mayor parte de las necesidades reales es completamente suficiente; pensemos

que realmente, incluso para una función expresada mediante una fórmula, un

ordenador solo puede dar sus valores en un número finito de puntos, ya que

maneja un número limitado de cifras. El valor de la solución en un punto “C”

distinto de los considerados se obtiene mediante interpolación, o resolviendo de

nuevo el problema en el intervalo [a,c].

Así, una técnica de solución consiste en dividir el intervalo [a,b] mediante una

malla de puntos a = t0 < tl < … < tn = b, llamados puntos soporte, y obtener los

valores yi = y(ti), i = 1, 2, …, n, de la solución en los puntos de la malla.

Una manera frecuente y sencilla (no la mejor en todos los casos) de tomar

los ti, consiste en dividir el intervalo [a,b] en n partes iguales, siendo n un natural.

Así, los puntos son ti = a + ih, i = 0, …, n. Al valor h =(b - a)/n se lo denomina paso

de integración. Utilizaremos en lo sucesivo paso constante en todos los casos.

Sin embargo, las técnicas más eficientes requieren de un ajuste adaptativo

del paso, acomodándose continuamente al comportamiento de la solución en las

cercanías del punto de cálculo actual; por ejemplo, si se sospecha que la solución

es rápidamente variable será necesario disminuir el paso, lo que supone realizar

más operaciones y estar sujeto a errores de redondeo; pero si la solución varía

poco, con pasos más largos se obtendrán buenas aproximaciones y se ahorrará

esfuerzo computacional y evitará innecesarios errores de redondeo.

Los métodos de Runge-Kutta logran la exactitud del procedimiento de una

serie de Taylor sin requerir el cálculo de derivadas superiores. Existen muchas

variaciones, pero todas se pueden denotar en la forma generalizada de la

ecuación:

yi + 1 = yi + φ(xi,yi,h)h

Donde φ(xi,yi,h) es conocida como función incremento, la cual puede

interpretarse como una pendiente representativa sobre el intervalo.

Donde las a son constantes y las k son:

k1 = f(xi,yi)

k2 = f(xi + p1h,yi + q11k1h)

k3 = f(xi + p2h,yi + q21k1h + q22k2h)

Observe que las k son relaciones de recurrencia, esto es, k1 aparece en la

ecuación para k2, la cual aparece en la ecuación para k3, etc.

Como cada k es una evaluación funcional, esta recurrencia hace que los

métodos Runge-Kutta sean eficientes para la programación. Existen varios tipos

de métodos Runge-Kutta al emplear diferentes números de términos en la función

incremento como la especificada por n.

n = 1, es el método de Euler. Una vez se elige n, se evalúan las a, p y q al

igualar la función incremento a los términos en la serie de Taylor

Condiciones de Orden

Los métodos de Runge-Kutta son métodos de un paso con función de

incremento

Si hacemos hn = 0, entonces ki = f(xn,yn) para todo i = 1,2,...,s. Así,

Por tanto, un método de Runge-Kutta es consistente si y solo si

Por otra parte, puesto que las etapas ki son evaluaciones de la función f, no

es difícil convencerse de que φ satisface una condición de Lipschitz con respecto

a su segunda variable si f satisface una condición de Lipschitz en y. Así pues, la

condición de consistencia es suficiente para garantizar la convergencia. Veamos

que también es necesaria.

Teorema

Un método de Runge-Kutta es convergente si y solo si es consistente.

Prueba

Si es convergente, en particular lo es para el problema

y'(x) = 1, y(0) = 0,

Cuya solución es y(x) = x. El método, aplicado a este problema con paso fijo

h, se reduce a

yn+1 = yn+h

Tomando como valor de arranque y0 = 0 tenemos que la solución numérica

viene dada por

yn = nh = xn

Por tanto

y(xn) − yn = xn

La solución numérica converge a la teórica si y solo si se cumple la condición

de consistencia.

Métodos de Runge-Kutta de 2do. Orden

El método de Runge Kutta es un método numérico de resolución de

ecuaciones diferenciales que surge como una mejora del método de Euler. El

método de Euler se puede considerar como un método de Runge Kutta de primer

orden, el de Heun, es un método de Runge Kutta de orden dos.

La expansión en serie de Taylor de una función y(x) alrededor de un punto

x=x0 , truncada en el tercer término, es decir, en la segunda derivada

0

2

00 ''2

' xyh

xhyxyxy

0xxh

Tamaño del paso

Esquema de Discretización del Método de Runge-Kutta de orden 2:

yi es la coordenada “y” del punto anterior

xi es la coordenada “x” del punto anterior

F(xi,yi) es la derivada evaluada en el punto anterior

F(xi+h/2,yi+k1/2) es la derivada evaluada en el punto anterior con el cambio de

variable

Ecuación diferencial de segundo orden

Vamos a aplicar el procedimiento de Runge-Kutta a una ecuación diferencial de

segundo orden.

Con las condiciones iniciales

2,

2

11

ky

hxhFyy iiii

),(1 ii yxhFk

hxx ii 1

Una ecuación diferencial de segundo orden es equivalente a un sistema de

dos ecuaciones diferenciales de primer orden, por lo que aplicaremos el mismo

esquema.

Comparando esta tabla con la de un sistema de dos ecuaciones diferenciales

de primer orden, vemos que la segunda columna es la misma, excepto por cambio

de nombre de la función, f en vez de g, y de la variable, v en vez de y. En la

primera columna, las variables k1, k2, k3, k4 pueden calcularse directamente sin

efectuar llamadas a una función.

Sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden

Sea el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden

Con las condiciones iniciales

Este sistema, se puede transformar en un sistema equivalente formado por

cuatro ecuaciones diferenciales de primer orden. Aplicando dos veces el esquema

descrito para una ecuación diferencial de segundo orden, obtenemos el esquema

descrito en las siguientes tablas

Métodos de Runge-Kutta de 3er. Orden

La expansión en serie de Taylor de una función y(x) alrededor de un punto x

= x0, truncada en el cuarto término, es decir, en la tercera derivada

Tamaño del paso

Esquema de Discretización del Método de Runge-Kutta de orden 3:

0

3

0

2

00 '''6

''2

' xyh

xyh

xhyxyxy

0xxh

3211 46

1kkkyy ii

),(1 ii yxhFk

2,

2

12

ky

hxhFk ii

123 2, kkyhxhFk ii

hxx ii 1

Para i = 0,…, n-1. La solución se da a lo largo del intervalo (to, to+ hn).

Procedimiento de tercer orden

Para n = 3 es probable efectuar un desarrollo similar al del método de

segundo orden, el resultado son seis ecuaciones con ocho incógnitas, por lo tanto

se deben suponer dos valores de las incógnitas con antelación para poder

desarrollar el sistema de ecuaciones. Una versión ampliamente usada es:

Donde:

k1 = f (xi, yi)

k3 = f (xi + h, yi − k1h + 2k2h)

Si la EDO está en función solo de x, este método de tercer orden se reduce a

la regla de Simpson 1/3. En cualquier caso, los métodos de tercer orden tienen

errores local y global, y dan resultados exactos cuando la solución es una cubica.

Al tratarse de polinomios será también exacta cuando la ecuación diferencial sea

cubica y la solución sea de cuarto grado. Esto se debe a que la regla de Simpson

1/3 ofrece estimaciones exactas de la integral para cubicas.

La regla de Simpson 1/3 se puede expresar usando el formato de la

ecuación:

I≈ (b-a) f(x0) + 4f(x1) + f(x2)

. 6

Donde a=x0, b=x2 y x1= el punto a la mitad entre a y b, que está dado por:

(b+a)/2, el punto medio esta ponderado por dos tercios y los puntos extremos

por un sexto.

Tiene un error de truncamiento de:

Et:= - 1 (h) ˆ 5 f (4) (ξ) como h= (b-a)/2 entonces

. 90

Et:= - (b-a) ˆ 5 f (4) (ξ)

. 2880

Donde ξ se encuentra en algún lugar en el intervalo de [a, b].

Nota: ˆ: el símbolo indica que (b-a) esta elevado a la 5.

Ejercicios

Resolver la siguiente derivada a través del método de Runge-Kutta:

= 1 = 1

= 1

h= 0,2

Solución:

Método Range – Kutta 2do Orden para V1 y U1

Xi +1 = X0 + h

V1 = 1 + 0.2

V1= 1.2

K1Y = h*F ( Xi , Yi )

K1U = h * (V0 , U0)

K1U = 0.2 (1 , 1)

K1U = 0.2 *

K1U = 0.2 *

K1U = 0.4

U1 = U0 + h (V0 ; U0 + )

U1 = 1+ 0.2 (1 + ; 1 + )

U1 = 1 + 0.2 (1.1 ; 1.2)

U1 = 1 + 0.2

U1 = 1 + 0.2

U1 = 1,4843

Para V2 y U2

V2 = V1 + h

V2 = 1.2 +0.2

V2 = 1.4

K2U= h* F (V1 ; U1)

K2U = 0.2

K2U = 0.2

K2U = 0.6213

U2 = U0 + h * F

U2 = 1 + 0.2

U2 = 1 + 0.2 (1.3 ; 1.6843)

U2 = 1 + 0.2

U2 = 1 +0.2

U2 = 1.7256

Algoritmo Método Runge-Kutta de 2do Orden %Metodo Runge-Kutta de 2doOrden %dv/du=v+u^2/sprt(v) u=1; v=1; t=0; tmax=3; h=0.2; n=tmax-t/h; for i=1:n v(i+1)=v(i)+h k1=h*(v(i)+u(i)^2)/sqrt(v(i)) u(i+1)=u(i)+h*((v(i)+h/2)+(u(i)+k1/2))/sqrt(v(i)) end %graficas% subplot (3,2,1); plot(u,v,'y-o'); title('Metodo Runge-Kutta 2doOrden. u vs v'); xlabel('valores u'); ylabel('valores v'); legend('v real, u aprox')

To get started, type one of these: helpwin, helpdesk, or demo.

For product information, type tour or visit www.mathworks.com.

»

v = 1.0000 1.2000

k1 = 0.4000

u = 1.0000 1.4600

v = 1.0000 1.2000 1.4000

k1 = 0.6083

u = 1.0000 1.4600 2.0194

v = 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000

k1 = 0.9260

u = 1.0000 1.4600 2.0194 2.6926

1 1.5 2 2.5 31

1.5

2Metodo Runge-Kutta 2doOrden. u vs v

valores u

valo

res v

v real, u aprox

Grafico Método Runge Kutta 2do Orden

Solución Mediante Método de Runge – Kutta 3er Orden.

V1 = 1.2 V2 = 1.4

K1U = 0.4 K2U = 0.6213

U1 = 1.4843 U2 = 1.7256

K2U = h * F ( Xi + ; Yi + )

K2U = h (V0 + , U0 + )

K2U = 0.2 (1 + , 1 + )

K2U = 0.2 (1.1 ; 1.2)

K2U = 0.2

K2U = 0.2

K2U = 0.4843

K3U = h * F (Xi + h, Yi + 2K2Y)

K3U = 0.2 (V0 + h , U0 + 2K2U)

K3U = 0.2 (1+ 0.2 ; 1 + 2 (0.4843))

K3U = 0.2

K3U = 0.2

K3U = 0.9266

Y1 = Y0 + (K1y + 4K2Y + K3U)

U1 = U0 + (K1U + 4K2U + K3U)

U1 = 1 + (0.4 + 4(0.4843) + 0.9266)

U1= 1.5439

Algoritmo Método Runge-Kutta de 3er Orden %Metodo Runge-Kutta de 3er Orden %dv/du=v+u^2/sprt(v) u=1; v=1; t=0; tmax=3; h=0.2; n=tmax-t/h; for i=1:n v(i+1)=v(i)+h k1=h*(v(i)+u(i)^2)/sqrt(v(i)) k2=h*((v(i)+h/2)+(u(i)+k1/2)^2/sqrt(1+h/2)) k3=h*((v(i)+h)+(u(i)+2*k2-k1)^2/sqrt(v(i)+h/2)) u(i+1)=u(i)+(1/6)*(k1+(4*k2)+k3) end %graficas% subplot (3,2,1); plot(u,v,'r-o'); title('Metodo Runge-Kutta 2doOrden. u vs v'); xlabel('valores u'); ylabel('valores v'); legend('v real, u aprox')

To get started, type one of these: helpwin, helpdesk, or demo. For product information, type tour or visit www.mathworks.com.

» v = 1.0000 1.2000 k1 = 0.4000 k2 = 0.4946 k3 = 0.7216 u = 1.0000 1.5167

v = 1.0000 1.2000 1.4000 k1 = 0.6391 k2 = 0.9029 k3 = 1.5432 u = 1.0000 1.5167 2.4823

v = 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 k1 = 1.2782 k2 = 2.1580 k3 = 5.2959 u = 1.0000 1.5167 2.4823 5.0167

0 2 4 61

1.5

2Metodo Runge-Kutta 2doOrden. u vs v

valores u

valo

res v v real, u aprox

Grafico Metodo Runge Kutta 3er Orden

Sistema de Ecuaciones Diferenciales

Resolver Numéricamente:

PVI

Esquema de Discretización del Método de Runge-Kutta de Orden 2 Para

Sistemas de EDO:

hxx ii 1

1 ( , , )y i i ik hF x y z

1

1 1, ,2 2 2

y zi ii ii

k khFy x yy h z

1 ( , , )z i i ik hG x y z

11 1, ,

2 2 2

zi ii i i

kz z h

khG x y z

Esquema de Discretización del Método de Runge-Kutta de Orden 3 Para

Sistemas de EDO:

Aplicaciones del Método de Runge-Kutta

Aplicaciones a la Física:

Movimiento Armónico Simple:

La Ley de Hooke:

Supongamos que un cuerpo de masa M está sujeto al extremo de un resorte

flexible suspendido de un soporte rígido (por ejemplo un techo), como se muestra

en la figura 5.1b. Cuando M se reemplaza por un cuerpo diferente Mi, el

alargamiento del resorte será, por supuesto, distinto.

1 1 2 3

14

6i i y y yy y k k k

hxx ii 1

1 ( , , )y i i ik hF x y z1 1

2 , ,2 2 2

y zy i i i

k khk hF x y z

3 2 1 2 1, 2 , 2y i i y y i z zk hF x h y k k z k k

1 ( , , )z i i ik hG x y z 1 12 , ,

2 2 2

y zz i i i

k khk hG x y z

3 2 1 2 1, 2 , 2z i i y y i z zk hG x h y k k z k k

1 1 2 3

14

6i i z z zz z k k k

Por la Ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución F

opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a su magnitud s. Dicho en

términos simples, F = ks, en donde k es una constante de proporcionalidad.

Aunque cuerpos de distinto peso producen distintos alargamientos del resorte, tal

elemento elástico esta esencialmente caracterizado por él numero k. Por ejemplo,

si un cuerpo que pesa 10lb. alarga el resorte en 1/2 pie, entonces,

10 = k (1/2) implica que k = 20 lb/pie.

Luego, necesariamente una masa que pesa 8 lb. alarga el mismo resorte en

2/5 pie.

Segunda Ley de Newton:

Después que una masa M se sujeta a un resorte, aquella lo alargara en una

magnitud s y alcanzara la posición de equilibrio en la cual su peso W es

equilibrado por la fuerza de restitución ks. El peso es definido por:

W = m . g

En donde la masa puede medirse en Kilogramos, gramos o geolibras (slugs)

y g = 9.8 mt/s², p80 cm/s² o 32pie/s², respectivamente. Tal como se indica la figura

5.2b,la condición de equilibrio es m.g = ks o bien m.g - ks = 0. Si ahora la masa se

desplaza de su posición de equilibrio en una magnitud x y después se suelta, la

fuerza neta F correspondiente a este caso dinámico está dada por la segunda ley

del movimiento de Newton, F = ma, en donde a es la aceleración d²w/dt².

Suponiendo que sobre el sistema no actúan fuerzas exteriores (movimiento

vibratorio libre), entonces podemos igualar F a la resultante del peso y la fuerza de

restitución:

md²x/dt² = - k (s + x) + mg

= - kx + mg - ks = - kx

Cero

Aplicaciones del Método Runge-Kutta a la Industria

Martínez, Liliana Ángeles. Dimensionamiento y Simulación de un secador por

aspersión de nivel piloto. Tesis presentada para obtener el Titulo de Maestro en

Ciencias en Bioprocesos. Instituto Politécnico Nacional. Unidad Profesional

Interdisciplinaria Biotecnología.

En: www.biotecnologia.upibi.ipn.mx/recursos/posgrado/Tesis/mc_langeles.pdf

Caiza, Luis.; Sandoval, Marcelo Francisco. , Quintero Montoya, Olga L.

Modelo de Simulación de una Columna de Destilación Binaria basada en Métodos

Numéricos. Colegio Politécnico de la Universidad de San Francisco de Quito,

Cumbayá Quito – Ecuador.

En. http://dspace.epn.edu.ec/bitstream/123456789/1455/1/P26.pdf

Implementación de Sistemas Numéricos en el Computador

El computador funciona básicamente con datos numéricos, es decir que todo

lo que se trabaja en el computador, ya sean: gráficos, dibujos, palabras, sonido,

video, es convertido a información numérica.

Sistema Decimal

Este sistema consta de diez símbolos, que van desde el numero 0 hasta el

numero 9, los cuales le dan la característica principal este sistema conocido. Estos

símbolos numéricos también forman unidades numéricas compuestas, al tomarlos

como exponentes de un número, que se encargara de regular el procedimiento,

este número es llamado base. El numero base va a ser 10, por tal motivo también

es conocido como “sistema de numeración en base 10”.

Sistema Binario

Este es un sistema numérico que utilizan los sistemas digitales para contar.

Se dice “binario” a aquello que tiene dos partes. Muchas cosas en los sistemas

digitales son binarias: los impulsos eléctricos que circulan en los circuitos son de

baja o alta tensión. A diferencia del sistema decimal que utiliza 10 cifras del “0 al

9”, el sistema numérico binario utiliza solo dos cifras el “0 y el 11”. En el sistema

binario las columnas no representan la unidad, la decena, la centena, como en el

sistema decimal, si no la unidad (20), el doble (21), el doble (22). De modo que al

sumar en la misma columna 1 y 1, dará como resultado 0, llevándonos 1 a la

columna de la izquierda. Para los sistemas digitales es fácil, hasta el punto que

reduce todas las operaciones a sumas y restas de números binarios. También las

palabras, los números y los dibujos se traducen en el computador en secuencias

de 1 y 0.

Sistema de numeración Octal

Este sistema consta de ocho símbolos desde el “0 hasta el 7”, es muy poco

utilizado en los computadores. La facilidad con la que se pueden convertir entre el

sistema octal y el binario, hace que el sistema octal sea atractivo como un medio

“taquigráfico” de expresión de números binarios grandes. Cuando se trabaja con

gran cantidad de números binarios de muchos bits, es más adecuado y eficaz

escribirlos en octal y no en binarios.

Sistema de Numeración Hexadecimal

Este sistema consta de 16 símbolos donde desde el 0 hasta el 9 son

números y del 10 hasta el 15 son letras. La ventaja de este sistema de numeración

es que se utiliza para convertir directamente números binarios de 4 bits. En donde

un solo digito hexadecimal puede representar 4 números binarios o 4 bits

Conclusión

Finalmente y para concluir se determino que: la resolución de problemas de

ingeniería está asociada, por lo general, a resultados numéricos puesto que se

requieren respuestas prácticas.

La mayor parte de las leyes científicas de expresan en términos de rapidez

de variación de una variable con respecto otra.

Además proporcionan una herramienta esencial para modelar muchos

problemas en Ingeniería, Física, Economía y Biología, puesto que estos, por lo

general, requieren la determinación de una función que satisface a una ecuación

diferencial.

El Método de Runge Kutta es mejor que el método de Euler, pero aún así es

posible aumentar la precisión achicando los pasos entre los puntos o

implementando el método de orden superior.

Es el método más utilizado para resolver numéricamente problemas de

ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales es el método de

Runge-Kutte, el cual proporciona un pequeño margen de error con respecto a la

solución real del problema y es fácilmente programable en un software para

realizar iteraciones necesarias.

El dominio de los métodos numéricos, en combinación con las capacidades y

potencialidades de la programación de computadoras resuelve problemas de

ingeniería de manera más fácil y eficientemente.

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

AYRES, F Jr. 1991. Ecuaciones diferenciales. Editorial Mc Graw – Hill/

Interamericana de México, S.A. México.

BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. 1985. Análisis Numérico. Grupo editorial

Interamericana de México, S.A. de C. V. México.

CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P. 1994. Métodos Numéricos para Ingenieros.

Editorial Mc Graw – Hill/ Interamericana de México, S.A. México.

EDWARDS, C. H. Jr., PENNEY, D. E. 1993. Ecuaciones diferenciales aplicadas.

Editorial Prentice – Hall Hispanoamericana S.A. México. 3º edición. México.

LUTHE, R.; OLIVERA, A.; SCHUTZ, F. 1995. Métodos Numéricos. Editorial

LIMUSA, S. A. de C. V. México.

PITA, C. 1989. Ecuaciones diferenciales: una introducción con aplicaciones.

Editorial LIMUSA, S. A. de C. V. México.