POR: LUIS FELIPE GOMEZ CHICUE GILBERTO CAICEDO VALDEZ

LEINER GUERRERO SANTIAGO MONCALEANO

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

10-2

Graficaremos la función f(x)=sen(x): utilizando los siguientes parámetros

Origen del eje “x”: -pi*3

Origen del eje “y”: -5

Unidad del eje “x”: pi/2

Unidad del eje “y”: 1

Final del eje “x”: pi*3

Final del eje “y”: 5

Función f(x)=sen(x)

Grafica función f(x)=sen(x)

1

♦ Observa la gráfica .Cuál es el dominio?

♦ Todos los números reales

• ¿Cuál es el rango?

♦ El rango de el eje “Y” de la grafica es de -1 a 1

Ejercicios

•¿ Cuál es el máximo? ♦ El máximo de Y = 1

•¿Cuál es el valor mínimo? ♦ El mínimo de Y = -1

Mínimos f(x)=sen(x)

•¿Donde hay discontinuidad?♦ No hay

• ¿Cuáles son los puntos de inflexión? ♦ 0,28 . 0,03 . 0 . 0,14 . -0,03

Puntos de inflexión

• ¿En que intervalos la función es creciente?

♦ -7,85 . -4,71 . -1,57 . 1,57 . 4,71 . 7,85

•¿En que intervalos la función es decreciente?

♦ -7,85 . -4,71 . -1,57 . 1,57 . 4,71 . 7,85

¿Cuál es el periodo?♦ 2pi

¿La función f(x)= sen x es par o impar?♦ Es impar porque la línea seno pasa por

valorescomo: -9,42. -6,28 . -3,1 . 3,1 . 6,28 . 9,42

2.Ahora grafica la función f(x)=cos x

Observa la gráfica .¿Cuál es el dominio? ♦ Todos los números reales

• ¿Cuál es el rango?

♦ El rango de el eje “Y” de la grafica es de -1 a 1

¿Cuál es el máximo?♦ 1

• ¿Cuál es el valor mínimo? ♦ -1

Mínimos Función cos(x)

¿Donde hay discontinuidad?♦ No hay discontinuidades

•¿ Cuáles son los puntos de inflexión?♦ -0,03 . 0,03 . -0,03

♦ 0,57. 0,71 . 0,85

Puntos de inflexión f(x)=cos

¿En que intervalos la función es creciente?♦ de -3,14 a 0 . De 3,14 a 6,28

•¿ En que intervalos la función es decreciente?

♦ de -6,28 a -3,14 . De 0 a 3,14 . 6,28

¿Cuál es el periodo?♦ 2pi

¿Cuál es la amplitud?♦ 1

•¿La función cos(x) es par o impar?♦ Es par

3.Ahora analicemos la gráfica de la función f(x)= tan(x)

Origen del eje “x”: -pi*3

Origen del eje “y”: -5

Unidad del eje “x”: pi/4

Unidad del eje “y”: 1

Final del eje “x”: pi*3

Final del eje “y”: 5

Gráfica de la función f(x)= tan(x)

¿para que valores de la gráfica la función es discontinua?

♦ -7,89 . -4,71 . -1,6 . 1,7 . 4,68 . 7,85

¿ Qué puedes concluir sobre su dominio?♦ Que es muy corto y esta dividido en partes

pequeñas según se observa en la grafica.

Discontinuidades función tan(x)

¿En que intervalo la función tangente tiene 3 asíntotas?♦ cada 1pi

Cuál es el rango?♦ - Infinito a + infinito

¿La función tiene valores máximos ó mínimos?

♦ No tiene valores máximos ni mínimos

•¿ cuales son los puntos de inflexión ?♦ -0,03 . 03,14 . 0 . 0,28

Puntos de inflexión tan(x)

¿ donde la función es creciente?♦ -7,85 . -4,68 . -1,57 . 1,6 . 4,71 , 7,81

• ¿En que intervalos la función es decreciente?

♦ No tiene intervalos de decrecimiento.

Intervalos de crecimiento función tan(x)

¿Cuál es el periodo?♦ 6pi

• Donde la función es simétrica con respecto al eje “x” .Como lo podrías verificar en el

gráfico?

♦-8,18 . -5,04 . -1,9 . 1,24 . 4,38 . 7,52

Verifica los intervalos donde la función es cóncava

♦ - 7,92 . -6,31 . -4,74 . -3,14 . -1,63 . 1,54 . 3,11 . 4,65 . 6,28 . 7,82

• ¿cuales son los intervalos deConvexidad?

♦ -7,85 . -6,31 . -4,68 . -3,14 . -1,57 . -0,03 . 1,6 . 3,11 . 4,71 . 6,28 . 7,89

Intervalos de convexidad tan(x)

• -pi/2 menor que (x) y -5 menor que (y) menor que 5

4.Graficar conjuntamente cada grupo de funciones en el

intervalo :

Función seno de (a)senx :1, 2, 3

Función (a)sen:−5 ≤ y ≤ 5.

Función : a= 1, 2, 3 cosx

(2)senx Si a > 1

(0,5)Senx si 0 < a < 1

(-1)Senx : a < 0

(2)cosx si a > 1

(0,5)Cosx si 0 < a < 1

(-3)Cosx si a < 0

♦ La función (2)cosX es simetrica respecto al eje “y”

♦ La función (2)senx Si a > 1 : La funcion no es simetriaca

♦ Las dos graficas presentan un rango de -2 a 2

♦ Las dos graficas presentan un dominio infinito o de todos los numeros reales.

Diferencias y similitudes Si a > 1 (2)senx & (2)cosx

♦ La grafica de la funcion (0,5)Cosx es simetriaca con respecto al eje “y”

♦ La grafica de la funcion (0,5)Cosx no es simetriaca con respecto a los ejes♦ Las dos graficas de las funciones

tienen un rango de -0,5 a 0,5♦ El dominio de las dos graficas de las

funciones es infinito o de todos los números reales

Diferencias y similitudes 0 < a < 1 (2)senx & (2)cosx

♦ La grafica de la funcion (2)senx : No es simetrica respecto al los dos ejes.

♦ La grafica de la funcion (-3)Cosx : Es simétrica con respecto al eje “y”

♦ La grafica de la funcion (-3)Cosx: tiene un rando de -3 a 3 y un dominio

de todos las numeros reales♦ La grafica de la funcion (2)senx :

Tiene un dominio de todo los numeros reales y un rango de -2 a 2

Diferencias y similitudes si a < 0 (2)senx & (2)cosx

♦ Para cada una de las funciones de arriba, indica el período y la amplitud.

♦ ¿Cuál es el efecto en la gráfica de añadir un valor constante a la función?

♦¿De restar un valor constante de la función? ¿Qué tal si el valor fuera una fracción o un

decimal?

♦ a) y = seno x

♦ b) y = (seno x) + 2

♦ c) y = (seno x) −3

♦d) y = (seno x) + 3

5. graficar:

A) Seno(x)

Periodo : 2pi

• Amplitud : -1 a 1

b) y = (seno x) + 2

Periodo :2pi

• Amplitud : 1 a 3

c) y = [seno (x)] −3

Periodo :2pi

• Amplitud : -4 a -2

d) y = [seno (x)] + 3

• Periodo :2pi

• Amplitud : 2 a 4

♦ El efecto de añadir un valor constante en la grafica es que va de – infinito a + infinito,

también cambia su prolongación♦ El efecto de restar un valor constante a la

función ocasiona el cambio de cuadrantes positivos a negativos la grafica.

♦ si el valor fuera un decimal ocasionaría solo el cambio de posición en los

cuadrantes 1 y 2

a) y = [cos x (b)]

b)y = [cos (x)] + 0.5

(c) y = [cos(x)] − 0.25

6. Grafica

Grafica función

♦ De las anteriores graficas se puede concluir que la en la grafica de la función

coseno influyen mucho los valores negativos y positivos en la ubicación de la

grafica.

♦ También los decimales por pequeños que sean influyen en el rango de la grafica de

cualquier función

¿Qué puedes concluir?

7. Haz una gráfica de cada uno de los siguientes pares de funciones: (a) y (b); (a) y (c); (a) y (d):

a) y = seno x

b) y = seno(x+ pi/6)

c) y = seno (x-pi/3)

d) y = seno (x + pi/2)

Para cada una de las funciones de arriba, indica el período y la amplitud. ¿Cuál es el efecto en la gráfica de y = seno x al sumar

o restar una constante del ángulo?♦ Todas las anteriores funciones tienen 2 pi y

una amplitud de -1 a 1

Al sumar o restar una constante del Angulo del seno causa el cambio de ubicación en los ejes “X” y “Y ” en los cuadrantes dependiendo si es negativo o positivo

• ¿Cuál es el efecto en la gráfica de y = seno x al sumar

o restar unaconstante del ángulo?

En el intervalo –pi/2 - que (X) - que 2 Pi

8. Grafica conjuntamente cada grupo de funciones

♦ El rango de todas las funciones graficadas es de -1 a 1

♦ Todas tienen un periodo diferente de 1, 2 y 3 Pi

♦ Todas son representan la función cos(x)

♦ Todas son simétricas con respecto al eje “y”

Diferencias y similitudes

9.Algunos científicos han sugerido que nuestros cuerpos están gobernados por ciclos internos que comienzan el día en que nacemos. Estos biorritmos están divididos en tres categorías, física, emocional e intelectual. De acuerdo a estas teorías, el índice de cada uno de estos ciclos (el cual varía entre 1 (el más gratificante) a −1 (el menos gratificante)pueden ser calculados usando las siguientes tres funciones trigonométricas.

Física: P=sen(2pi/23)x Emocional: E = sen(2Pi/28) x Intelectual: I = sen(2Pi/33)x

Donde x es la cantidad de días desde tu nacimiento.

a) Calcula cuál es tú edad en días. b) Calcula tus índices de biorritmo para los

niveles de energía físicos, emocionales e intelectuales.

c)Encuentra el índice total para ti el día de hoy. En general, ¿es un buen día o no?

d) Basado en lo que sabes sobre ti, ¿crees esto o no? Explica.

A) 365 * 15 + 48 : 5523 B) 2pi/23*x 5523

♦ 26,33C) ♦ 21,63

D) No creo es esto porque es imposible que este calculo sea igual para millones de personas que nacieron en el mismo dia.

f(x) = cotx, f(x) = secx, f(x)= coscx

• Hallar: el dominio, rango, máximos, mínimos, discontinuidad, puntos de

inflexión, intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad.

10.Realizar las gráficas de las funciones trigonométricas :

f(x) = cotangente(x)

• Rango: infinitoDominio: infinito

• Máximos: tiene máximos infinitos•Mínimos: tiene mínimos infinitos

• Discontinuidad : -6,3 . -3,15 . 0 . 3,13 . 6,28• Puntos de inflexión :0,01-4,12 . 0-1,57 .

0,02-1,55. 0,01-4,1

f(x) = cotangente(x)

f(x) = secante(x)

• Rango: infinitoDominio: infinito

• Máximos: (-3,15. 1) - (3,15 . 1) •Mínimos: (-6,28 .1) - (0 . 1) - (6,28 .1)

• Discontinuidad : (-4,72 . -1,57) . (1,55 . 4,7)• Puntos de inflexión : no tiene

f(x) = secante(x)

f(x) cosecante(x)

• Rango: infinitoDominio:

• Máximos: (-3,15. 1 ) - ( 3,15 . 1 )•Mínimos: (-6,28 .1 ) – ( 0 . 1 )- (6,28 .1)

• Discontinuidad : (-4,72 . -1,57) . (1,55 . 4,7)• Puntos de inflexión : no tiene

f(x) cosecante (x)

♦ Con las funciones trigonométricas podríamos calcular el valor de un ángulo de cualquier figura para así poder calcular mas variables, según lo que necesitemos hacer, hallar o saber.

♦ En los campos de la navegación, la medición y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa.

11. Consulta sobre las aplicaciones de las funciones trigonométricas

La distancia que recorre un móvil es una función matemática, si es a velocidad constante su función es lineal, si es un

movimiento acelerado, la función es una curva.

♦ El numero de personas a través del tiempo, es decir como crece una población

determinada es también una función no lineal

http://inst-mat.utalca.cl/tem/taller-geo/interactivas/curso1/aplicaciones/geoweb/trigo2a.htm

Bibliografía

FIN