IntroduoPara deslocarmos um corpo sobre uma superfcie aplicamos uma fora sobre ele. Agora, se quisermos girar um corpo ao redor de um ponto ou de um eixo devemos aplicar-lhe o que chamado de torque ou momento de uma fora. O torque tende a girar ou mudar o estado de rotao dos corpos, representando o efeito girante de uma fora.ObjectivosEste trabalho em grupo ir consistir no desenvolvimento terico relativo ao torque, onde ser demonstrado atravs de casos prticos e da resoluo de um exerccio proposto, o clculo do torque e de outras componentes relativas a este. resumo TericoA segunda Lei de Newton toma uma forma peculiar quando aplicada aos movimentos que envolvem rotao. Definimos o torque como sendo o produto da fora pelo comprimento de seu brao (Alonso e Finn, 1972).

e

No SI, o torque expressado em Newton metros (Nm).

Para aplicar um torque a fora deve ser exercida em um ponto que no coincida com o eixo de rotao e numa direo que no coincida com o raio de giro (Alonso e Finn, 1972).O efeito girante de uma fora ou torque depende de duas coisas: da intensidade da fora aplicada; do comprimento do brao da fora. Uma fora aplicada a um corpo em rotao realiza trabalho sobre o corpo. Este trabalho pode ser expresso em termos do torque da fora e do deslocamento angular.

Onde: o torque que na forma vetorial:

Da mesma forma que a translao, a rotao causada por um agente externo produzindo uma fora (Zilio e Bagnato, 2000). Consideremos um corpo rgido rodando com velocidade angular em torno de um eixo fixo O, conforme mostra a Figura 1., existe uma fora F aplicada a uma distncia r do eixo. Queremos encontrar o trabalho realizado por esta fora.

Figura 1. Trabalho realizado por uma fora durante a rotao de um corpo rgido

Durante um intervalo de tempo dt, o corpo roda a um ngulo , de modo que o ponto especificado pelo vetor r(t) percorrer uma distncia ds e o trabalho realizado pela fora F dado por (Zilio e Bagnato, 2000):

Usando a definio vetorial de , podemos escrever ds como sendo:

e assim,

Entretanto, como podemos escrever a potncia fornecida pela fora F como sendo:

Para que o trabalho (ou potncia) no seja nulo, F deve ter uma componente paralela a ds e, consequentemente, perpendicular a r (Tipler, 2000).

Comparando com o movimento translacional vemos que faz o papel de v e faz o papel da fora. denominado de torque da fora F em relao ao ponto O.

Vamos a seguir encontrar uma relao entre e que seja correspondente 2 lei de Newton. J vimos que , portanto:

Logo,

No caso de termos vrias foras produzindo vrios torques, escrevemos (Halliday, Resnick & Walker, s.d.):

Como aplicao directa desta lei de rotao, vamos considerar o seguinte exemplo: uma corda de densidade linear de massa est enrolada em uma roldana de Massa M e raio R, que pode rodar livremente em torno de um eixo, como mostra a Figura 2.

O Momento de inrcia da roldana

Figura 2. Corda desenrolando de uma roldana

Se um comprimento est inicialmente desenrolado e a velocidade angular inicial nula, qual ser a acelerao e velocidade da corda como funo de ? Nesta situao, a massa pendente e a 2 lei de Newton para a corda :

O torque realizado pela corda sobre a polia dado por: de modo que,

Por outro lado, como a corda no desliza sobre a roldana podemos escrever e . Assim:

Substituindo este resultado na equao para a corda obtemos:

Para o clculo da velocidade fazemos:

Como , temos:

Este resultado mostra que se M = 0 a corda estar em queda livre. Porm, se M 0 parte da energia gasta para aumentar a velocidade angular polia.Casos aplicveisCaso 1.Um operrio esta andando sobre um chapa de madeira de 10 m de comprimento e 20 kg de massa. H]A chapa fixa na horizontal a uma parede de acordo com a figura 3. abaixo. A outra extremidade da chapa esta suspensa por um cabo de ao de massa desprezvel e tambm fixa parede. Qual o mdulo da tenso no cabo de ao quando um operrio de 50 kg esta a 2 m da parede sob a chapa?

Figura 3. Representao do exerccio

Representamos as foras que actuam:

Figura 4. Representao das foras actuantesOnde: T a tenso no cabow a fora exercda sobre a chapa pela paredeP a fora que o operrio aplica sobre a chapac a fora-peso da chapa,onde supomos que o centro de gravidade da chapa coincide com o seu centro geomtrico. Assim a distncia horizontal entre o ponto A e a fora c vale 5m.Pela figura temos as distncias entre o ponto A e as foras dadas por:

Da condio do equilbrio rotacional (a somatria dos torques, ou momentos das foras, devem se anular). Assim:

No ponto A, no sentido anti-horrio, ento temos:

Mas foi dado que M = 50 kg, assim P = Mg = 50(9,8) = 490 N. Tambm foi dado que m = 20 kg, assim c = mg = 20(9,8) = 196 N. Ento:

Ento

Caso 2.Um corpo de massa m est pendurado em uma corda que passa por uma polia cujo momento de inrcia em relao ao prprio eixo I e o raio R. A polia tem rolamento sem atrito e a corda no escorrega pela sua borda. Calcular a tenso na corda e a acelerao do corpo. Figura 5. Representao do exerccio e das foras actuantes

Exerccio PropostoUma roldana possui raio r = 15,0 cm e momento de inrcia em relao ao eixo de rotao central, igual a . Sobre a periferia da roldana, aplica-se uma fora tangencial que varia com o tempo de acordo com a relao , onde F est expresso em N e t em segundos. Sabendo-se que a roldana est inicialmente em repouso, determinar:a) O mdulo do torque para t = 5,0s.b) A acelerao angular para t = 5,0s.c) A expresso da velocidade angular em funo do tempo.d) A velocidade angular para t = 5,0s.e) O valor da energia cintica de rotao para t = 5,0s.Para calcular o mdulo do torque (quando t = 5s) foi usada a seguinte frmula:

Para que seja encontrado o valor da acelerao angular (para t = 5s) foram deduzidas algumas relaes desta, at chegar-se a seguinte frmula:

Para se obter a expresso da velocidade angular em funo do tempo, segue-se a resoluo:

Para que seja encontrado o valor da velocidade angular (quando t = 5s), simplesmente substitui-se o valor de na equao encontrada na alnea anterior por 5s.

E finalmente para que seja obtido o valor da energia cintica de rotao (quando t = 5s):

necessrio encontrar os valores de P e v, logo:

E para P:

Encontrados os valores de P e v, pode-se voltar a equao da energia cintica:

ConclusoCom os factos acima apresentados, chegamos a seguinte concluso: Num exercicio de dinamica de corpos rigidos, existm dois tipos de movimento, de Translao e de Rotao, em que no movimento de rotao num eixo fixo temos a existncia do Torque.Referncias bibliogrficas

1. Alonso, M. e Finn, E. J. (1972). Mecnica.2. Halliday, D., Resnick, R. & Walker, J. (s.d.). Fundamentos de Fsica. (2 ed.) Vol.1. 3. Tipler, P. (2000). Fsica. (4 ed.) Vol 1. 4. Zilio, S .C. e Bagnato, V. S. (2000). Mecnica, calor e ondas.Pgina | 1