torque

Upload: cristian-viveros

Post on 30-Oct-2015

35 views

Category:

Documents


0 download

DESCRIPTION

Trabalho academico sobre o Torque. dinamica do corpo rigido

TRANSCRIPT

IntroduoPara deslocarmos um corpo sobre uma superfcie aplicamos uma fora sobre ele. Agora, se quisermos girar um corpo ao redor de um ponto ou de um eixo devemos aplicar-lhe o que chamado de torque ou momento de uma fora. O torque tende a girar ou mudar o estado de rotao dos corpos, representando o efeito girante de uma fora.ObjectivosEste trabalho em grupo ir consistir no desenvolvimento terico relativo ao torque, onde ser demonstrado atravs de casos prticos e da resoluo de um exerccio proposto, o clculo do torque e de outras componentes relativas a este. resumo TericoA segunda Lei de Newton toma uma forma peculiar quando aplicada aos movimentos que envolvem rotao. Definimos o torque como sendo o produto da fora pelo comprimento de seu brao (Alonso e Finn, 1972).

e

No SI, o torque expressado em Newton metros (Nm).

Para aplicar um torque a fora deve ser exercida em um ponto que no coincida com o eixo de rotao e numa direo que no coincida com o raio de giro (Alonso e Finn, 1972).O efeito girante de uma fora ou torque depende de duas coisas: da intensidade da fora aplicada; do comprimento do brao da fora. Uma fora aplicada a um corpo em rotao realiza trabalho sobre o corpo. Este trabalho pode ser expresso em termos do torque da fora e do deslocamento angular.

Onde: o torque que na forma vetorial:

Da mesma forma que a translao, a rotao causada por um agente externo produzindo uma fora (Zilio e Bagnato, 2000). Consideremos um corpo rgido rodando com velocidade angular em torno de um eixo fixo O, conforme mostra a Figura 1., existe uma fora F aplicada a uma distncia r do eixo. Queremos encontrar o trabalho realizado por esta fora.

Figura 1. Trabalho realizado por uma fora durante a rotao de um corpo rgido

Durante um intervalo de tempo dt, o corpo roda a um ngulo , de modo que o ponto especificado pelo vetor r(t) percorrer uma distncia ds e o trabalho realizado pela fora F dado por (Zilio e Bagnato, 2000):

Usando a definio vetorial de , podemos escrever ds como sendo:

e assim,

Entretanto, como podemos escrever a potncia fornecida pela fora F como sendo:

Para que o trabalho (ou potncia) no seja nulo, F deve ter uma componente paralela a ds e, consequentemente, perpendicular a r (Tipler, 2000).

Comparando com o movimento translacional vemos que faz o papel de v e faz o papel da fora. denominado de torque da fora F em relao ao ponto O.

Vamos a seguir encontrar uma relao entre e que seja correspondente 2 lei de Newton. J vimos que , portanto:

Logo,

No caso de termos vrias foras produzindo vrios torques, escrevemos (Halliday, Resnick & Walker, s.d.):

Como aplicao directa desta lei de rotao, vamos considerar o seguinte exemplo: uma corda de densidade linear de massa est enrolada em uma roldana de Massa M e raio R, que pode rodar livremente em torno de um eixo, como mostra a Figura 2.

O Momento de inrcia da roldana

Figura 2. Corda desenrolando de uma roldana

Se um comprimento est inicialmente desenrolado e a velocidade angular inicial nula, qual ser a acelerao e velocidade da corda como funo de ? Nesta situao, a massa pendente e a 2 lei de Newton para a corda :

O torque realizado pela corda sobre a polia dado por: de modo que,

Por outro lado, como a corda no desliza sobre a roldana podemos escrever e . Assim:

Substituindo este resultado na equao para a corda obtemos:

Para o clculo da velocidade fazemos:

Como , temos:

Este resultado mostra que se M = 0 a corda estar em queda livre. Porm, se M 0 parte da energia gasta para aumentar a velocidade angular polia.Casos aplicveisCaso 1.Um operrio esta andando sobre um chapa de madeira de 10 m de comprimento e 20 kg de massa. H]A chapa fixa na horizontal a uma parede de acordo com a figura 3. abaixo. A outra extremidade da chapa esta suspensa por um cabo de ao de massa desprezvel e tambm fixa parede. Qual o mdulo da tenso no cabo de ao quando um operrio de 50 kg esta a 2 m da parede sob a chapa?

Figura 3. Representao do exerccio

Representamos as foras que actuam:

Figura 4. Representao das foras actuantesOnde: T a tenso no cabow a fora exercda sobre a chapa pela paredeP a fora que o operrio aplica sobre a chapac a fora-peso da chapa,onde supomos que o centro de gravidade da chapa coincide com o seu centro geomtrico. Assim a distncia horizontal entre o ponto A e a fora c vale 5m.Pela figura temos as distncias entre o ponto A e as foras dadas por:

Da condio do equilbrio rotacional (a somatria dos torques, ou momentos das foras, devem se anular). Assim:

No ponto A, no sentido anti-horrio, ento temos:

Mas foi dado que M = 50 kg, assim P = Mg = 50(9,8) = 490 N. Tambm foi dado que m = 20 kg, assim c = mg = 20(9,8) = 196 N. Ento:

Ento

Caso 2.Um corpo de massa m est pendurado em uma corda que passa por uma polia cujo momento de inrcia em relao ao prprio eixo I e o raio R. A polia tem rolamento sem atrito e a corda no escorrega pela sua borda. Calcular a tenso na corda e a acelerao do corpo. Figura 5. Representao do exerccio e das foras actuantes

Exerccio PropostoUma roldana possui raio r = 15,0 cm e momento de inrcia em relao ao eixo de rotao central, igual a . Sobre a periferia da roldana, aplica-se uma fora tangencial que varia com o tempo de acordo com a relao , onde F est expresso em N e t em segundos. Sabendo-se que a roldana est inicialmente em repouso, determinar:a) O mdulo do torque para t = 5,0s.b) A acelerao angular para t = 5,0s.c) A expresso da velocidade angular em funo do tempo.d) A velocidade angular para t = 5,0s.e) O valor da energia cintica de rotao para t = 5,0s.Para calcular o mdulo do torque (quando t = 5s) foi usada a seguinte frmula:

Para que seja encontrado o valor da acelerao angular (para t = 5s) foram deduzidas algumas relaes desta, at chegar-se a seguinte frmula:

Para se obter a expresso da velocidade angular em funo do tempo, segue-se a resoluo:

Para que seja encontrado o valor da velocidade angular (quando t = 5s), simplesmente substitui-se o valor de na equao encontrada na alnea anterior por 5s.

E finalmente para que seja obtido o valor da energia cintica de rotao (quando t = 5s):

necessrio encontrar os valores de P e v, logo:

E para P:

Encontrados os valores de P e v, pode-se voltar a equao da energia cintica:

ConclusoCom os factos acima apresentados, chegamos a seguinte concluso: Num exercicio de dinamica de corpos rigidos, existm dois tipos de movimento, de Translao e de Rotao, em que no movimento de rotao num eixo fixo temos a existncia do Torque.Referncias bibliogrficas

1. Alonso, M. e Finn, E. J. (1972). Mecnica.2. Halliday, D., Resnick, R. & Walker, J. (s.d.). Fundamentos de Fsica. (2 ed.) Vol.1. 3. Tipler, P. (2000). Fsica. (4 ed.) Vol 1. 4. Zilio, S .C. e Bagnato, V. S. (2000). Mecnica, calor e ondas.Pgina | 1