tópicos avançados em computabilidade - teorema da recursão e decibilidade de teorias lógicas
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Slides apresentados pra turma de Ciência da Computação da Universidade Federal de Goiás no curso de Teoria da Computação.TRANSCRIPT
ConteudoO teorema da recursao
Decidibilidade de teorias logicasReferencias
Topicos Avancados em Computabilidade
Andre Augusto M. SilvaMurilo A. VasconcelosPaulo Cezar P. Costa
Universidade Federal de Goias
29 de Junho de 2011
Grupo 1 Topicos Avancados em Computabilidade
ConteudoO teorema da recursao
Decidibilidade de teorias logicasReferencias
1 Conteudo
2 O teorema da recursaoAuto-ReferenciaTeorema da RecursaoAplicacoes do Teorema
3 Decidibilidade de teorias logicasUma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
4 Referencias
Grupo 1 Topicos Avancados em Computabilidade
ConteudoO teorema da recursao
Decidibilidade de teorias logicasReferencias
Auto-ReferenciaTeorema da RecursaoAplicacoes do Teorema
Resultado matematico com papel importante em trabalhosavancados na teoria da computabilidade.
Conexoes com:
Logica matematica;Teoria de sistemas auto-reprodutivos;Vırus de computador.
As maquinas podem se reproduzir?
Grupo 1 Topicos Avancados em Computabilidade
ConteudoO teorema da recursao
Decidibilidade de teorias logicasReferencias
Auto-ReferenciaTeorema da RecursaoAplicacoes do Teorema
Resultado matematico com papel importante em trabalhosavancados na teoria da computabilidade.
Conexoes com:
Logica matematica;Teoria de sistemas auto-reprodutivos;Vırus de computador.
As maquinas podem se reproduzir?
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ConteudoO teorema da recursao
Decidibilidade de teorias logicasReferencias
Auto-ReferenciaTeorema da RecursaoAplicacoes do Teorema
Resultado matematico com papel importante em trabalhosavancados na teoria da computabilidade.
Conexoes com:
Logica matematica;
Teoria de sistemas auto-reprodutivos;Vırus de computador.
As maquinas podem se reproduzir?
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Decidibilidade de teorias logicasReferencias
Auto-ReferenciaTeorema da RecursaoAplicacoes do Teorema
Resultado matematico com papel importante em trabalhosavancados na teoria da computabilidade.
Conexoes com:
Logica matematica;Teoria de sistemas auto-reprodutivos;
Vırus de computador.
As maquinas podem se reproduzir?
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Decidibilidade de teorias logicasReferencias
Auto-ReferenciaTeorema da RecursaoAplicacoes do Teorema
Resultado matematico com papel importante em trabalhosavancados na teoria da computabilidade.
Conexoes com:
Logica matematica;Teoria de sistemas auto-reprodutivos;Vırus de computador.
As maquinas podem se reproduzir?
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ConteudoO teorema da recursao
Decidibilidade de teorias logicasReferencias
Auto-ReferenciaTeorema da RecursaoAplicacoes do Teorema
Resultado matematico com papel importante em trabalhosavancados na teoria da computabilidade.
Conexoes com:
Logica matematica;Teoria de sistemas auto-reprodutivos;Vırus de computador.
As maquinas podem se reproduzir?
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ConteudoO teorema da recursao
Decidibilidade de teorias logicasReferencias
Auto-ReferenciaTeorema da RecursaoAplicacoes do Teorema
AUTO e uma maquina de Turing que ignora a entrada e imprimeuma copia de sua propria descricao.
Lemma (6.1 - Sipser)
Existe uma funcao computavel q : Σ∗ −→ Σ∗, onde se w e umacadeia qualquer, q(w) e a descricao de uma maquina de Turing Pw
que imprime w e para.
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Decidibilidade de teorias logicasReferencias
Auto-ReferenciaTeorema da RecursaoAplicacoes do Teorema
AUTO e uma maquina de Turing que ignora a entrada e imprimeuma copia de sua propria descricao.
Lemma (6.1 - Sipser)
Existe uma funcao computavel q : Σ∗ −→ Σ∗, onde se w e umacadeia qualquer, q(w) e a descricao de uma maquina de Turing Pw
que imprime w e para.
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Auto-ReferenciaTeorema da RecursaoAplicacoes do Teorema
Demonstracao.
A seguinte maquina de Turing Q computa q(w).
Q = ”Sobre a cadeia de entrada w :1. Construa a seguinte maquina de Turing Pw .
Pw= ”Sobre qualquer entrada:1. Apague a entrada.2. Escreva w na fita.3. Pare.”
2. De como saıda 〈Pw 〉.”
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ConteudoO teorema da recursao
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Auto-ReferenciaTeorema da RecursaoAplicacoes do Teorema
AUTO sera dividida em duas partes, A e B.
A escreve a descricao de B
B escreve a descricao de A
A = P〈B〉;
B = ”Sobre a entrada 〈M〉, M uma porcao de uma MT:1. Compute q(〈M〉).2. Combine o resultado com 〈M〉 para montar uma MT
completa.3. Imprima a descricao dessa MT e pare.”
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Auto-ReferenciaTeorema da RecursaoAplicacoes do Teorema
AUTO sera dividida em duas partes, A e B.
A escreve a descricao de B
B escreve a descricao de A
A = P〈B〉;
B = ”Sobre a entrada 〈M〉, M uma porcao de uma MT:1. Compute q(〈M〉).2. Combine o resultado com 〈M〉 para montar uma MT
completa.3. Imprima a descricao dessa MT e pare.”
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Auto-ReferenciaTeorema da RecursaoAplicacoes do Teorema
AUTO sera dividida em duas partes, A e B.
A escreve a descricao de B
B escreve a descricao de A
A = P〈B〉;
B = ”Sobre a entrada 〈M〉, M uma porcao de uma MT:1. Compute q(〈M〉).2. Combine o resultado com 〈M〉 para montar uma MT
completa.3. Imprima a descricao dessa MT e pare.”
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Auto-ReferenciaTeorema da RecursaoAplicacoes do Teorema
Figura: 6.2 - Sipser - Diagrama esquematico de AUTO, uma maquinaque imprime sua propria descricao.
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Auto-ReferenciaTeorema da RecursaoAplicacoes do Teorema
Teorema da Recursao
Seja T uma maquina de Turing que computa uma funcaot : Σ∗ × Σ∗ −→ Σ∗. Existe uma maquina de Turing R quecomputa uma funcao r : Σ∗ −→ Σ∗, onde para todo w
r(w) = t(〈R〉 ,w).
Em outras palavras
Maquinas de Turing podem obter sua propria descricao e entaoprosseguir para computar com ela.
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Auto-ReferenciaTeorema da RecursaoAplicacoes do Teorema
Teorema da Recursao
Seja T uma maquina de Turing que computa uma funcaot : Σ∗ × Σ∗ −→ Σ∗. Existe uma maquina de Turing R quecomputa uma funcao r : Σ∗ −→ Σ∗, onde para todo w
r(w) = t(〈R〉 ,w).
Em outras palavras
Maquinas de Turing podem obter sua propria descricao e entaoprosseguir para computar com ela.
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Decidibilidade de teorias logicasReferencias
Auto-ReferenciaTeorema da RecursaoAplicacoes do Teorema
Descricao de AUTO usando o Teorema da Recursao
AUTO = ”Sobre qualquer entrada:1. Obtenha, atraves do teorema da recursao,
a propria descricao 〈AUTO〉.2. Imprima 〈AUTO〉.”
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Auto-ReferenciaTeorema da RecursaoAplicacoes do Teorema
Vırus de computador.
Alguns teoremas cujas provas usam o teorema da recursao.
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AMT e indecidıvel
Demonstracao.
Assumimos que a maquina de Turing H decide AMT , para ospropositos de se obter uma contradicao. Construımos a seguintemaquina B.
B = ”Sobre a entrada w :1. Obtenha, atraves do teorema da recursao, sua propria
descricao 〈B〉.2. Rode H sobre a entrada 〈B,w〉.3. Faca o oposto do que H diz. Ou seja, aceite se H rejeita
e rejeite se H aceita.”
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Auto-ReferenciaTeorema da RecursaoAplicacoes do Teorema
AMT e indecidıvel
Demonstracao.
Assumimos que a maquina de Turing H decide AMT , para ospropositos de se obter uma contradicao. Construımos a seguintemaquina B.
B = ”Sobre a entrada w :1. Obtenha, atraves do teorema da recursao, sua propria
descricao 〈B〉.2. Rode H sobre a entrada 〈B,w〉.3. Faca o oposto do que H diz. Ou seja, aceite se H rejeita
e rejeite se H aceita.”
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Auto-ReferenciaTeorema da RecursaoAplicacoes do Teorema
MINMT nao e Turing-Reconhecıvel
Definition
Se M e uma maquina de Turing, entao dizemos que ocomprimento da descricao 〈M〉 de M e o numero de sımbolos nacadeia descrevendo M. Digamos que M e mınima se nao existemaquina de Turing equivalente a M que tenha uma descricao maiscurta. Assim,
MINMT = {〈M〉 |M e uma MT mınima }.
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Auto-ReferenciaTeorema da RecursaoAplicacoes do Teorema
MINMT nao e Turing-Reconhecıvel
Demonstracao.
A ideia da prova e assumir que alguma MT E enumera MINMT
para chegar a uma contradicao. Construımos a seguinte MT C .
C = ”Sobre a entrada w :1. Obtenha, atraves do teorema da recursao, sua propria
descricao 〈C 〉.2. Rode o enumerador E ate que uma maquina D apareca
com uma descricao mais longa do que aquela de C .3. Simule D sobre a entrada w .”
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Decidibilidade de teorias logicasReferencias
Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Logica Matematica
O que e um teorema?O que e uma prova?O que e verdade?Um algoritmo pode decidir quais enunciados sao verdadeiros?Todos os enunciados verdadeiros sao demonstraveis?
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Logica Matematica
O que e um teorema?
O que e uma prova?O que e verdade?Um algoritmo pode decidir quais enunciados sao verdadeiros?Todos os enunciados verdadeiros sao demonstraveis?
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Logica Matematica
O que e um teorema?O que e uma prova?
O que e verdade?Um algoritmo pode decidir quais enunciados sao verdadeiros?Todos os enunciados verdadeiros sao demonstraveis?
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Logica Matematica
O que e um teorema?O que e uma prova?O que e verdade?
Um algoritmo pode decidir quais enunciados sao verdadeiros?Todos os enunciados verdadeiros sao demonstraveis?
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Logica Matematica
O que e um teorema?O que e uma prova?O que e verdade?Um algoritmo pode decidir quais enunciados sao verdadeiros?
Todos os enunciados verdadeiros sao demonstraveis?
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Logica Matematica
O que e um teorema?O que e uma prova?O que e verdade?Um algoritmo pode decidir quais enunciados sao verdadeiros?Todos os enunciados verdadeiros sao demonstraveis?
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Enunciados usando {∧,∨, 6, (, ), ∀, x , ∃,R1, ...,Rk}, como:
∀q ∃p ∀x , y [p > q ∧ (x , y > 1→ xy 6= p)],∀a, b, c , n [(a, b, c > 0 ∧ n > 2)→ an + bn 6= cn], e∀q ∃p ∀x , y [p > q ∧ (x , y > 1→ (xy 6= p ∧ p + 2))].
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Definition (Modelo)
M e uma tupla (U, P1, ..., Pk), onde:
U e o universoP1 ... Pk sao relacoes
M e dito um modelo de φ, se φ e verdadeira no modelo M.
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Example (1)
Seja φ = ∀x∀y [R1(x , y) ∨ R1(y , x)]
M1 = (N ,≤)
φ = ∀x∀y [x ≤ y ∨ y ≤ x ]Verdadeiro
M2 = (N , <)
φ = ∀x∀y [x < y ∨ y < x ]Falso
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Example (1)
Seja φ = ∀x∀y [R1(x , y) ∨ R1(y , x)]
M1 = (N ,≤)
φ = ∀x∀y [x ≤ y ∨ y ≤ x ]Verdadeiro
M2 = (N , <)
φ = ∀x∀y [x < y ∨ y < x ]Falso
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Example (1)
Seja φ = ∀x∀y [R1(x , y) ∨ R1(y , x)]
M1 = (N ,≤)
φ = ∀x∀y [x ≤ y ∨ y ≤ x ]
Verdadeiro
M2 = (N , <)
φ = ∀x∀y [x < y ∨ y < x ]Falso
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Example (1)
Seja φ = ∀x∀y [R1(x , y) ∨ R1(y , x)]
M1 = (N ,≤)
φ = ∀x∀y [x ≤ y ∨ y ≤ x ]Verdadeiro
M2 = (N , <)
φ = ∀x∀y [x < y ∨ y < x ]Falso
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Example (1)
Seja φ = ∀x∀y [R1(x , y) ∨ R1(y , x)]
M1 = (N ,≤)
φ = ∀x∀y [x ≤ y ∨ y ≤ x ]Verdadeiro
M2 = (N , <)
φ = ∀x∀y [x < y ∨ y < x ]Falso
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Example (1)
Seja φ = ∀x∀y [R1(x , y) ∨ R1(y , x)]
M1 = (N ,≤)
φ = ∀x∀y [x ≤ y ∨ y ≤ x ]Verdadeiro
M2 = (N , <)
φ = ∀x∀y [x < y ∨ y < x ]
Falso
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Example (1)
Seja φ = ∀x∀y [R1(x , y) ∨ R1(y , x)]
M1 = (N ,≤)
φ = ∀x∀y [x ≤ y ∨ y ≤ x ]Verdadeiro
M2 = (N , <)
φ = ∀x∀y [x < y ∨ y < x ]Falso
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Example (2)
Seja ψ = ∀x∃y [R1(x , x , y)]
Seja R1(a, b, c) = VERDADEIRO, se a + b = c
M4 = (N ,R1)
Falso
M3 = (R,R1)
Verdadeiro
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Example (2)
Seja ψ = ∀x∃y [R1(x , x , y)]
Seja R1(a, b, c) = VERDADEIRO, se a + b = c
M4 = (N ,R1)
Falso
M3 = (R,R1)
Verdadeiro
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Example (2)
Seja ψ = ∀x∃y [R1(x , x , y)]
Seja R1(a, b, c) = VERDADEIRO, se a + b = c
M4 = (N ,R1)
Falso
M3 = (R,R1)
Verdadeiro
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Example (2)
Seja ψ = ∀x∃y [R1(x , x , y)]
Seja R1(a, b, c) = VERDADEIRO, se a + b = c
M4 = (N ,R1)
Falso
M3 = (R,R1)
Verdadeiro
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Example (2)
Seja ψ = ∀x∃y [R1(x , x , y)]
Seja R1(a, b, c) = VERDADEIRO, se a + b = c
M4 = (N ,R1)
Falso
M3 = (R,R1)
Verdadeiro
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Example (2)
Seja ψ = ∀x∃y [R1(x , x , y)]
Seja R1(a, b, c) = VERDADEIRO, se a + b = c
M4 = (N ,R1)
Falso
M3 = (R,R1)
Verdadeiro
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Teoria de MDenotada por Th(M)
Colecao das sentencas verdadeiras na linguagem daquelemodelo
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Teoria dos numeros e um dos ramos mais antigos e difıceis damatematica.
Alonzo Church, baseado no trabalho de Kurt Godel, mostrouque nenhum algoritmo pode decidir em geral se enunciadosem teoria dos numero sao verdadeiros ou falsos.
Ou, mais formalmente, Church mostrou que Th(N ,+,×), eindecidıvel.
Mas antes, vamos examinar uma que e decidıvel. Maisprecisamente, Th(N ,+).
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Teoria dos numeros e um dos ramos mais antigos e difıceis damatematica.
Alonzo Church, baseado no trabalho de Kurt Godel, mostrouque nenhum algoritmo pode decidir em geral se enunciadosem teoria dos numero sao verdadeiros ou falsos.
Ou, mais formalmente, Church mostrou que Th(N ,+,×), eindecidıvel.
Mas antes, vamos examinar uma que e decidıvel. Maisprecisamente, Th(N ,+).
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Teoria dos numeros e um dos ramos mais antigos e difıceis damatematica.
Alonzo Church, baseado no trabalho de Kurt Godel, mostrouque nenhum algoritmo pode decidir em geral se enunciadosem teoria dos numero sao verdadeiros ou falsos.
Ou, mais formalmente, Church mostrou que Th(N ,+,×), eindecidıvel.
Mas antes, vamos examinar uma que e decidıvel. Maisprecisamente, Th(N ,+).
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Teoria dos numeros e um dos ramos mais antigos e difıceis damatematica.
Alonzo Church, baseado no trabalho de Kurt Godel, mostrouque nenhum algoritmo pode decidir em geral se enunciadosem teoria dos numero sao verdadeiros ou falsos.
Ou, mais formalmente, Church mostrou que Th(N ,+,×), eindecidıvel.
Mas antes, vamos examinar uma que e decidıvel. Maisprecisamente, Th(N ,+).
Grupo 1 Topicos Avancados em Computabilidade
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Teoria dos numeros e um dos ramos mais antigos e difıceis damatematica.
Alonzo Church, baseado no trabalho de Kurt Godel, mostrouque nenhum algoritmo pode decidir em geral se enunciadosem teoria dos numero sao verdadeiros ou falsos.
Ou, mais formalmente, Church mostrou que Th(N ,+,×), eindecidıvel.
Mas antes, vamos examinar uma que e decidıvel. Maisprecisamente, Th(N ,+).
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Th(N ,+) e decidıvel.
Ideia da Prova
Essa prova e uma aplicacao interessante e nao-trivial da teoriados automatos finitos.
E feito uso de uma generalizacao da solucao para o problema1.32 (pagina 93 do Sipser) onde foi pedido para mostrar queeles sao capazes de fazer adicao se a entrada for apresentadanuma forma especial.
Damos um algoritmo que pode determinar se sua entrada,uma sentenca Φ na linguagem de (N ,+), e verdadeiranaquele modelo.
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Th(N ,+) e decidıvel.
Ideia da Prova
Essa prova e uma aplicacao interessante e nao-trivial da teoriados automatos finitos.
E feito uso de uma generalizacao da solucao para o problema1.32 (pagina 93 do Sipser) onde foi pedido para mostrar queeles sao capazes de fazer adicao se a entrada for apresentadanuma forma especial.
Damos um algoritmo que pode determinar se sua entrada,uma sentenca Φ na linguagem de (N ,+), e verdadeiranaquele modelo.
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Th(N ,+) e decidıvel.
Ideia da Prova
Essa prova e uma aplicacao interessante e nao-trivial da teoriados automatos finitos.
E feito uso de uma generalizacao da solucao para o problema1.32 (pagina 93 do Sipser) onde foi pedido para mostrar queeles sao capazes de fazer adicao se a entrada for apresentadanuma forma especial.
Damos um algoritmo que pode determinar se sua entrada,uma sentenca Φ na linguagem de (N ,+), e verdadeiranaquele modelo.
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Th(N ,+) e decidıvel.
Ideia da Prova
Φ = Q1x1 Q2x2 ...Qlxl [ψ ]
Φi = Qi+1xi+1 Qi+2xi+2 ...Qlxl [ψ ]
Φ0 = Φ, e Φl = ψ.
Para cada i de 0 a l , o algoritmo constroi um automato finitoAi que reconhece a colecao de cadeias representando i-uplasde numeros que tornam Φi verdadeira.
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Th(N ,+) e decidıvel.
Ideia da Prova
Al construıdo diretamente usando uma generalizacao dasolucao do Problema 1.32.
Para cada i de l para 1, usa Ai para construir Ai−1.
Quando tem A0, testa se A0 aceita a cadeia vazia.
Se aceita, Φ e verdadeira e o algoritmo aceita.
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Th(N ,+) e decidıvel.
Demonstracao.
Comecamos definindo para i > 0:
Tambem definimos Σ0 = {[]}, onde [] e um sımbolo.
Φi (a1, ..., ai ) e a sentenca obtida apos substituir as variaveisx1, ..., xi pelas constantes a1, ..., ai ∈ N em Φi .
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Th(N ,+) e decidıvel.
Demonstracao.
Sobre a entrada Φ, onde Φ e uma sentenca.
Escreva Φ e defina Φi para cada i de 0 a l , como na ideia daprova.
Para cada i, construa uma automato finito Ai a partir de Φi
que aceita cadeias sobre Σ∗i correspondentes a i-uplasa1, ..., ai sempre que Φ(a1, ..., ai ) e verdadeira, como se segue.
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Decidibilidade de teorias logicasReferencias
Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Th(N ,+) e decidıvel.
Demonstracao.
Para construir Al , observamos que Φl = ψ e uma combinacaobooleana de formulas atomicas, que na linguagem deTh(N ,+) sao uma unica adicao.
Automatos finitos pode ser construıdos para computar essasrelacoes especıficas e combinados para gerar o automato Al .
Para construir Ai a partir de Ai+1, se Φi = ∃xi+1 Φi+1,construımos Ai para operar com Ai+1, exceto que ele naodeterministicamente adivinha o valor de ai+1.
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Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Th(N ,+) e decidıvel.
Demonstracao.
Se Φi = ∀xi+1 Φi+1, ela e equivalente a 6 ∃xi+1 6 Φi+1.Construımos entao o automato finito que reconhece Ai+1,aplicar a construcao anterior para o quantificador existencial,e aplicar novamente a complementacao para obter Ai .
O automato finito A0 aceita qualquer entrada se e somente seΦ0 e verdadeiro. Portanto o passo final do algoritmo testa seA0 aceita ε. Se aceita, Φ e verdadeiro e o algoritmo aceita,caso contrario, rejeita.
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ConteudoO teorema da recursao
Decidibilidade de teorias logicasReferencias
Uma teoria decidıvelUma teoria indecidıvelTeorema da Incompletude
Th(N ,+,×) e indecidıvel.
Teorema 6.13
Th(N ,+,×) e indecidıvel.
Nenhum algoritmo existe para decidir a veracidade oufalsidade de enunciados matematicos.
Mesmo quando restrito a linguagem de (N ,+,×).
Teorema de grande importancia filosofica.
Mostramos que Th(N ,+,×) e indecidıvel reduzindo AMT
para ele.
A existencia da reducao depende do seguinte lema.
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Th(N ,+,×) e indecidıvel.
Nenhum algoritmo existe para decidir a veracidade oufalsidade de enunciados matematicos.
Mesmo quando restrito a linguagem de (N ,+,×).
Teorema de grande importancia filosofica.
Mostramos que Th(N ,+,×) e indecidıvel reduzindo AMT
para ele.
A existencia da reducao depende do seguinte lema.
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Th(N ,+,×) e indecidıvel.
Nenhum algoritmo existe para decidir a veracidade oufalsidade de enunciados matematicos.
Mesmo quando restrito a linguagem de (N ,+,×).
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Mostramos que Th(N ,+,×) e indecidıvel reduzindo AMT
para ele.
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Mesmo quando restrito a linguagem de (N ,+,×).
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Mostramos que Th(N ,+,×) e indecidıvel reduzindo AMT
para ele.
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para ele.
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Th(N ,+,×) e indecidıvel.
Nenhum algoritmo existe para decidir a veracidade oufalsidade de enunciados matematicos.
Mesmo quando restrito a linguagem de (N ,+,×).
Teorema de grande importancia filosofica.
Mostramos que Th(N ,+,×) e indecidıvel reduzindo AMT
para ele.
A existencia da reducao depende do seguinte lema.
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Th(N ,+,×) e indecidıvel.
Lemma (6.14 - Sipser)
Seja M uma maquina de Turing e w uma cadeia. Podemosconstruir a partir de M e w uma formula ΦM,w na linguagem deTh(N ,+,×) que contem uma unica variavel livre x, atraves daqual a sentenca ∃x ΦM,w e verdadeira se e somente se M aceita w.
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Th(N ,+,×) e indecidıvel.
Ideia da Prova
A formula ΦM,w ”diz”que x e uma historia de computacao deaceitacao de M sobre w .
A real construcao de ΦM,w e muito complicada para serapresentada.
Resumidamente, sımbolos individuais na historia decomputacao sao extraıdos usando as operacoes + e × e everificado se x e um historico de aceitacao de w por M.
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Th(N ,+,×) e indecidıvel.
Ideia da Prova
A formula ΦM,w ”diz”que x e uma historia de computacao deaceitacao de M sobre w .
A real construcao de ΦM,w e muito complicada para serapresentada.
Resumidamente, sımbolos individuais na historia decomputacao sao extraıdos usando as operacoes + e × e everificado se x e um historico de aceitacao de w por M.
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Th(N ,+,×) e indecidıvel.
Ideia da Prova
A formula ΦM,w ”diz”que x e uma historia de computacao deaceitacao de M sobre w .
A real construcao de ΦM,w e muito complicada para serapresentada.
Resumidamente, sımbolos individuais na historia decomputacao sao extraıdos usando as operacoes + e × e everificado se x e um historico de aceitacao de w por M.
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Kurt Godel
Em qualquer sistema razoavel de formalizacao da nocao dedemonstrabilidade em teoria dos numeros, alguns enunciadosverdadeiros sao indemonstraveis.
A prova formal π de um enunciado Φ e uma sequencia deenunciados, S1,S2, ...,Sl , onde Sl = Φ.
Cada Si segue dos enunciados precedentes e certos axiomasbasicos sobre numeros.
Antes de seguir, para que os teoremas seguintes se verifiquem,assumimos que a corretude de uma prova de um enunciadopode ser verificado por uma maquina e que o sistema deprovas e seguro.
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Kurt Godel
Em qualquer sistema razoavel de formalizacao da nocao dedemonstrabilidade em teoria dos numeros, alguns enunciadosverdadeiros sao indemonstraveis.
A prova formal π de um enunciado Φ e uma sequencia deenunciados, S1,S2, ...,Sl , onde Sl = Φ.
Cada Si segue dos enunciados precedentes e certos axiomasbasicos sobre numeros.
Antes de seguir, para que os teoremas seguintes se verifiquem,assumimos que a corretude de uma prova de um enunciadopode ser verificado por uma maquina e que o sistema deprovas e seguro.
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Kurt Godel
Em qualquer sistema razoavel de formalizacao da nocao dedemonstrabilidade em teoria dos numeros, alguns enunciadosverdadeiros sao indemonstraveis.
A prova formal π de um enunciado Φ e uma sequencia deenunciados, S1,S2, ...,Sl , onde Sl = Φ.
Cada Si segue dos enunciados precedentes e certos axiomasbasicos sobre numeros.
Antes de seguir, para que os teoremas seguintes se verifiquem,assumimos que a corretude de uma prova de um enunciadopode ser verificado por uma maquina e que o sistema deprovas e seguro.
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Kurt Godel
Em qualquer sistema razoavel de formalizacao da nocao dedemonstrabilidade em teoria dos numeros, alguns enunciadosverdadeiros sao indemonstraveis.
A prova formal π de um enunciado Φ e uma sequencia deenunciados, S1,S2, ...,Sl , onde Sl = Φ.
Cada Si segue dos enunciados precedentes e certos axiomasbasicos sobre numeros.
Antes de seguir, para que os teoremas seguintes se verifiquem,assumimos que a corretude de uma prova de um enunciadopode ser verificado por uma maquina e que o sistema deprovas e seguro.
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Kurt Godel
Em qualquer sistema razoavel de formalizacao da nocao dedemonstrabilidade em teoria dos numeros, alguns enunciadosverdadeiros sao indemonstraveis.
A prova formal π de um enunciado Φ e uma sequencia deenunciados, S1,S2, ...,Sl , onde Sl = Φ.
Cada Si segue dos enunciados precedentes e certos axiomasbasicos sobre numeros.
Antes de seguir, para que os teoremas seguintes se verifiquem,assumimos que a corretude de uma prova de um enunciadopode ser verificado por uma maquina e que o sistema deprovas e seguro.
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Teorema 6.15
A colecao de enunciados demonstraveis em Th(N ,+,×) eTuring-reconhecıvel.
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Demonstracao.
O seguinte algoritmo P aceita sua entrada Φ se Φ e demonstravel:
Teste cada cadeia como candidato a uma prova π de Φ,usando o verificador de provas que supomos existir.
Se ele encontra que quaisquer desses candidatos e uma prova,ele aceita.
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Teorema 6.16
Algum enunciado verdadeiro em Th(N ,+,×) nao e demonstravel.
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Demonstracao.
Prova por contradicao.
Assumimos que todos os enunciados verdadeiros saodemontraveis.
Descrevemos um algoritmo D que decide se enunciados saoverdadeiros, contradizendo o Teorema 6.13.
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Teorema 6.17
A sentenca ψindemonstravel , conforme descrita na prova desteteorema, e indemonstravel.
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Ideia da Prova
Construir uma sentenca que diz: ”Esta sentenca nao edemonstravel”, usando o teorema da recursao para obter aauto-referencia.
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Demonstracao.
Seja S uma MT que opera da seguinte forma.
S = ”Sobre qualquer entrada:1. Obtenha a propria descricao 〈S〉 atraves do teorema
da recursao.2. Construa a sentenca ψ =6 ∃c [ΦS ,0], usando o Lema 6.14.3. Rode o algoritmo P a partir da prova do Teorema 6.15
sobre a entrada ψ.4. Se o estagio 3 aceita, aceite. Se ele para e rejeita, rejeite.”
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Referencias
Michael Sipser.Introduction to the Theory of Computation.Course Technology, 2006.
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