13 B

AA

Fig.4.6

4.9 Simplificação de expressões e circuitos atraves dos diagramas de Veitch-Karnaugh

Vimos ate aqui a simplificação de expressões mediantea utilização dos postulados, propriedades e identidades da ÃTg!bra de Boole.

Nestes itens vamos tratar da simplificação de expressõespor meio dos diagramas de Veitch-Karnaugh. Após o estudo, iremos notar que chegaremos mais facilmente ã expressão mlnima.

Os diagramas de Veitch-Karnaugh permitem a s imp l i f ic ação de expressões características com duas, três, quatro, cinco,ou mais variãveis, sendo que para cada caso existe um tipo dediagrama mais apropriado.4.9.1 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 variãveis.

Fig.4.7

N quadro, temos as regi~es das variiveis A e B:

- a região na qual A = 1 e:

A

]" I B

A

- a região onde A

~A

- a região onde B = I e:

13 B

AA

- a região onde B

1! B

7ifi

o (8

o (A 1) e:

Fig.4.8

Fig.4.9

1) e:

ia. 4.10

1 ) :

Com duas variãveis podemos obter 4 possibilidades:

- região onde A

~

A

A B

O O -+ caso O

O 1 -ê- caso 1~ 4 possibilidades

1 O -+ caso 2

1 1 -+ caso 3

No caso zero, temos: A = O e B = O. A região do di~grama que mostra esta condição e a da intersecção das regiões onde A = O e B = O:

A

- região onde B

A

B

A

O (A

O (B

Fig .4.11

1 ):

Fig.4.12

B

A intersecção dessas regiões e:

AA

Essa região tambem podeser c~amada de região A B.

Fig.4.13

B = 1. A região do diagr!intersecção das regiões 'onde

No caso 2, temos a intersecção das regiões onde A =1 eI) (8 • 1). Fazendo-se essa intersecção teremos:

Essa região também P.Qser chamada de região

No caso 1, temos: A = O e11110 mostra essa condição é a da

(I (rI.l) e B = 1.Fazendo-se a intersecção, teremos:

B

AA

B B

Essa região também P.Qde ser chamada regiãoA B.

Fig .4.14

A Si-

Fig.4.l5

I.

No caso 3, temos a intersecção das regiões onde A=l eFazendo-se essa intersecção, teremos:

B B

AA

Essa regiao também P.Qde ser chamada regiãoA B.

Fig.4.l6

1'II!101ll0S distribuir, então as 4 possibilidades neste diagrama,111111111111 1 n rm

"fifi

. ~. 1

Logo notamos que cada linha da t~bela da verdade possuisua região própria no diagrama de Veitch-Karnaugh.

Essas regiões são portanto os locais onde devem ser c.Qlocadas os valores que a expressão assume nas diferentes possibllidades.

Para entendermos melhor o significado desse conceito,vamos utilizar o exemplo abaixo:

Exemplo n9 1:

A tabela da verdade mo s t ra o estudo de uma função deduas variãveis. Vamos colocar seus resultados no Diagrama deVeitch-Karnaugh.

Caso O +

Caso 1 +

Caso 2 +

Caso 3 +

A B S

O O O

O 1 11 O 11 1 1

Tab. 4.7

Utilizando o metodo desenvolvido no capitulo 3, obtemosU expressão característica da função:

S = AB + AS + AB

Primeiramente, vamos colocar no diagrama o valorxpressão assume no caso zero, ou seja, vamos colocar o

de S, para esse caso, na região AB.

que avalor

S B

A O

A Fig .4.18

1'1 nUIIl

Agora, vamos colocar no diagrama o valor que ano caso 1 (S = 1, caso 1, na região AB).

expre~

B I B

AFig.4.l9

A

Em seguida, vamos colocar no diagrama o caso 2 (S= 1 najlíHI I\IJ).

B I B

A Fig.4.20A

110

E, finalmente, colocaremos no diagrama a saída referenO 3 (S = 1 na região AB).

B I B

A

Fig.4.2lA

\11111 11

lumos, agora, aquela tabela da verdade escrita noVllltch-Karnaugh:

dia

13 B

A I OFig.4.

A

Uma vez entendida a colocação dos valores assumidos pelaexpressão em cada caso no diagrama de Veitch-Karnaugh, vamos v~rificar como podemos efetuar a simplificação.

Para obtermos a expressão simplificada do d iaqr-ama , u t i

lizaremos o seguinte metodo:Tentamos agrupar as regiões onde S e igual a um ~l) ,no

menor numero possível de pares.As regiões onde S e um (1), que não puderem ser agrup~

das em pares serão consideradas isoladamente:No exemplo, temos:

Fig. 4.23-,\

o/I ~ Par G)/

"-par ®

Notamos que um par e o cunjunto de duas regiões ondeS e um (1) que tem um lado em comum, ou/seja, são vizinhos. O mes111O um (1) pod e pe r te nce r a m a is deu m pa r .

Feito isto, escrevemos a expressão de cada par, ou seja,\ rcgião que o par ocupa no diagrama.

O par G)ocupa a região onde A e igual a um, então,suao xp re ssào será: Par G) = A.

O par ® ocupa a região onde B e igual a um, então,suaixp re s s â o será: Par ® = B.

Notamos tambem que nenhum um (1) ficou fora dos pares.Agora, basta somarmos para obtermos a expressão simplificada S,110 c a s o:

S = Par 1 + Par 2S = A + B

Como podemos notar essa e a expressão de uma porta OU.1101'; 1\ t ab c le da vcrdadc t amb êm e a da porta OU. Outro fato a

01' 1101.11110 (i qU0 11 cxur n s a ao ob t t dn d l r otrunn nt o da 'Cabalo (11\ V('I"

tlllillJ, 1I v t v I vu huuu t « 111111111' '1110 11 ilXPI'U!.!d\CI IIIIIIIlIll/lIdll.

~xpressio obtida diretamente da tabela da verdade:S = AB + AB + ABCircuito relativo a essa expressao:

A· dII • I

A· I

1 • s1I • ri

A-li- I

Circ.4.4xpressao obtida apõs a simplificaçio:

5 = A + B

Circuito relativo a expressão simplificada:

:: D ·S

Circ.4.5

nv ld c nt e que a m i n im i z a ç â o da e x p re s s â o ,11"111111111 LOlilO consequência. diminui ° custo e a1111111111111111 ,

simplificadificuldad

IXIlIlIlIl o nQ

V 1111111 'i ii IlIlp I 'I ri t r cu ] to q u ULII 1\ 1.111)(1 1I1 dll

• Ili~

verdade abaixo:A B 5

O O 1O 1 11 O 11 1 O

Tab.4.8 APAf\.1

~

5 = A B + A B + A BObtendo-se a expressio diretamente da tabela, temos:

Transportando-se a tabela para o diagrama, mediante pr.Qcesso jã visto, teremos:

B B

7f. 1 1A

1 O

Agora, vamos agrupar os pares:

B" I B

\Fig.4.24

CD'-~----[f \ 'Ir I 1 I 1 '..•par11 1, __ 1 ..•./

A I II 1 ~

~I __ -

-l-par ®

Fig.4.25

Vamos escrever as express6es dos pares:par G)+ li.

110 r (2)+ lj

',(111111 IIdl1- ri Ir. nxpl'O!l!illlil; <lOll pnrCl'l, I,oromo •• Xpr'O'j'jllO

IIplll'1cnda de S.

S = A + B

Notamos que a tabela da verdade e a de uma porta NANDIIIII'IIIOG que a expressão de uma porta NAND e: S = A.B. Apl ican

" (I I.corema de De Morgan, a expressão encontrada após a simIlItIIÇIlO, encontraremos esta expressão:

S = fi. + B = A.B

').r',-,)1agramas de Veitch,':'Karnaugh para três variãveis:

B B;

fi.

A

C C C

Fig.4.26

Região na qual B = 1:

B I B

11fi.-

AI~ Fig.4.29

C C

Região na qual B = 1 (B = O):

A Fig.4.30

A

C C C

Região na qual C = 1:

B Bfi.

Fig.4.3lA

C C C

Região na qual C = 1 (C = O):

n- I B"fi V//..-i I ~ Fig.4.32..fi

111)~ 1l1! LI I1I fJ t' ri 1111\ L r"li h Õ III L (l Y' (\ 111o ~ 111111\ r o 01 IT o p n r 11 ndn GfI

II dn tabela da verdade:

Tabela da verdadede 3 variãveis

fi B C

O O OO O 1O 1 OO 1 11 O O1 O 11 1 O1 1 1

I

~II

II

Mapas das regiões:

ti" Bcaso u caso I caso ~O O O O O 1 O 1 1

A J-;n:B C ABC A B CTab.4.9 A I caso 4 caso 5 caso 7 cas06

100 1 O 1 1 1 1 1 1 OABL" A ti" C A B C A B L"

C C C

Fig.4.33

Vamos analisar a colocação somente de uma das possibid"llos, visto que as outras serão de uma maneira anãloga.

Vamos colocar no diagrama o caso 3:

Caso A B CO3

No diagrama serã a intersecção das regiões onde:(i (fi • 1), B = 1 e C = 1. Essa pode ser chamada de região

1\ C:locação do caso 3 no diagrama:

:f ~ I,,,,, .B

c c

Fig.4.34

Para melhor compreensão, vamos traspor para o diagramaa tabela da verdade abaixo:

PI'()(:(lSSO:

IIIIPI 'lil (l

" 1\ I (Jua 11\1' 'IIH\ li r o

A B C sO O O

O O 1O 1 O

O 1 11 O O1 O 11 1 O

1 1 1

C

Tab.4.1O

1O111

O1 ;

O

Expressão extraída da tabela da verdade:S = li 13 C + li B C + A 13 C + A B C+ A B CTranspondo a tabela para o diagrama, teremos:

~caso O caso 1 caso 31taso 2

~Illl I Fig.4.35A caso 4 caso 51caso 71caso 6

L

O -O

C

Para efetuarmos a simplificação, seguimos o seguinte

Primeiramente, localizamos as "quadras" e escrev!xpressões. Quadras são agrupamentos de regiões onde

a um (1) adjacentes, em sequincia, ou dois a doispossíveis num diagrama de tris variã~eis são:

Quadra A Quadra li.

H-n B

AI li.Fig.4.35 f//cf///I/.//f///4 Fig.4.38

fI~A

~

Quadra B Quadra "B"

~

B I BA r ,

~I~Fig.4.36

li.WAU01 I I Fig.4.39

A! c C - .

C

Quadra C Quadra C

A

AFig.4.37

C

A Fig.4.40A

C CC

Notamos tambim que, num diagrama de tris variiveis,1\ '; 11 li ti d r a s são os 1 o c a is o n deu ma das va r ii v e is as s um e, um da d oV 1I I li r f i x o . Ex em p 1o: a q u a d ra B as s um e o va 1o r 1 (B = O).

No nosso exemplo, vamos ter:

I'i

fi

........tc C'-

quadra: C

Fig.4.41

Feita a localização das quadras, localizamos o numerode pares possívei s e escrevemos suas expressões. Não devemos co!!.siderar como par, os pares ji incluídos nas quadras, porem pod~rã acontecer de termos um par formado um "um" externo ã quadrae um outro "um" pertencente ã quadra.

Deve-se ressaltar que são tambem considerados paresos seguintes casos abaixo:

(B I B) 13 B

li.A

li.A

cC Fig.4.42\C I C I C )C

Apõs isso, vamos localizar os pares no nosso exemplo:

13 B

li.

Fig.4.43

1 par: A.B (pois o par esti na i!!.tersecção das regiões: li. = 1 e 8=1)

A

C c C

Notamos que esse par nao depende de C, pois estã loc~lizado tanto em C como em C, ou seja, nesses dois casos a expre~são resultarã independente do valor de C.

Feita a localização dos pares, resta considerarmos ostermos isolados que não puderam ser agrupados em nenhum par eem nenhuma quadra.

No nosso exemplo não temos esse caso.O passo final ê somarmos as expressões referentes as

quadras, aos pares e aos termos isolados .No nosso exemplo. temos:Quadra: 'C'lillr: fi 1\

II

A expressão final minimizada se\a: S = A B + CVamos efetuar a comparação entre as expressões e cir

antes e apõs minimização.Expressão antes da minimização:S = A B C + A B C + A B C + A B C + A B CCircuito antes da minimização:

~: ~

, • s

Circ.4.6

xpressão após a minimização: S A B + C

ircuito após a minimização:

~: Ü I U .S

. .Circ.4.7

Como outro exemplo vamos minimizar o circuito que executa a tabela da verdade abaixo:

A B C SO O O OO O 1 1O 1 O OO 1 1 11 O O 11 O 1 11 1 O 11 1 1 O

Tab.4.11

Transpondo para o diagrama temos:

"B" B

X O 1 1 OA

1 1 O 1C C C

Fig.4.44

Agora, vamos agrupar as quadras, os pares e os termosdos.

Nesse caso vamos notar que teremos apenas tris pares~,

13 B/ -- -"A O l 1 1 I O•..•.- --"- ,-,\- -- - -'\ ,

A I 1 I 1 I O \ 1- ~~ _. "" •... _-C C C

Pares: X CA "B"A L

Fig.4.45

A expressao minimizada sera: S = A c + A B + A CPoderíamos tambem ter agrupado de outra maneira:

•• B B/ - ... 1--

\

A O ~ 1 \ 1 I O'-- ,

- -- ... I / --A 1 \ \ 1 I O I 1- _/ .... ~ ,-

C C C

Fig.4.46

Gerando a expressao: S A C + A C + B C

Essas duas expressões, aparentemente di ferentes, possuemo mesmo comportamento em cada possibilidade, fato este comprov~do levantando-se as respectivas tabelas da verdade: