UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação

Comportamento Assintótico de Equações eSistemas Hiperbólicos: SoluçõesPeriódicas Forçadase

Convergência para Equilíbrio

Suely do CarmosSiqueira Ceron

UST.IECMC

TISão Carlos -SP

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UFPETPINICN

COMPORTAMENTO ASSINTÓTICO:DE EQUAÇÕES E

SISTEMAS HIPERBÓLICOS: SOLUÇÕES

PERIÓDICAS FORÇADAS E

CONVERGÊNCIA PARA EQUILÍBRIO

SUELY DO CARMO SIQUEIRA CERON

Tese apresentada ao Instituto de Ciên-cias Matemáticas de São Carlos, da Universidade de São Paulo, para obtençãodo Título de Doutor em Ciências (Mate-máticas).

Orientador: Prof. Dr. Orlando Francisco Lopes:

SÃO CARLOS - SP.1984

AOS meus pais.AO Ceron e asminhas filhasDaniela,Luciana e Lia.

AGRADECIMENTOS

Ao professor Dr. Orlando Francisco Lopes gostaria de ser ca

paz de expressar a minha gratidão pela orientação, amizade, re-ceptividade, acolhimento, estímulo e confiança.

AO professor Dr. Hermano de Souza Ribeiro, pela ajuda e pe-la prontidão com que sempre nos atendeu.

AO professor Dr. Djairo Guedes de Figueiredo pelo primeiroestímulo paraque todo esse trabalho fosse realizado.

AOS professores e colegas do ICM-USP, IMECC - UNICAMP e

DACG - SJRP - UNESP, pelo incentivo e apoio recebido.

ABSTRACT

In this work we study the existence of periodic solutionsof periodically forced hyperbolic equations and systems as wellas convergence to equilibrium in the autonomous case.

For proving the existence of periodic solutions we use an

asymptotic fixed point theorem for a-contractions and the anal-ysis of the convergence to equilibrium is made via the invariance

principle and some criteria for precompactness of bounded orbits.

ÍNDICE

INTRODUÇÃO . . e...e.CAPÍTULO O

0.1 -

CAPÍTULO I

T.1 -

- PRELIMINARES à . Je e. . é «oc e A A.Alguns resultados sobre a teoria de semi-gruposfortemente contínuos definidos num espaço de

Banach : e e o ” o e“... ”. e LÁ

i

>” ” ”e LA ” o o LA o

Alguns resultados sobre equações de evolução em

espaço de Banach . ..... ee.Teorema de Mazur .. à 2. 2 2. . cce.-— EXISTÊNCIA DE SOLUÇÕES PERIÓDICAS FORÇADAS. .

Introdução ..e. eee.Um problema em linha de transmissões com perdas

Estabilidade da oscilação forçada . . . . .. .

Equações hiperbólicas abstratas . . . . . . . .

CAPÍTULO II - CONVERGÊNCIA PARA O EQUILÍBRIO . . . . . . .

IT.1 -11.2 -

11.3 -

I11.4--

I1.5 -

II.6 -

Introdução . e... eee ee AAA.Dois resultados de pré-compacidade..de órbitaslimitadas . . é . e. e cc. e. e A A AAA.Um novo espaço de fase .. ..... e... . .« + e. e.Principio da invariância. . . 0... e.Aplicação . . ...e.eeUso da topologia fraca . . à .. e. . . . + . +

BIBLIOGRAFIA . e. «é é é «é «o e. e. e e. A A AA

10

10

14

38

40

53

53

53

56

67

69

76

83

INTRODUÇÃO.

No estudo do comportamento assintótico de soluções de equações diferenciais ordinárias desfrutamos do seguinte fato impor-tante: todo conjunto limitado no IR” tem fecho compacto; issonos permite falar em conjunto limite de soluções limitadas. Além

disso, dispomos também do teorema do ponto fixo de Brouwer (e

suas reformulações) que diz que todo conjunto convexo compactodo IR” tema propriedade do ponto fixo. Esses dois fatos tem

sido bastante usados para o estudo da convergência para um equi-líbrio (no caso autônomo) e existência de soluções periódicas(no caso de equações periódicas).

Neste trabalho estudamos esses dois problemas para as equa-ções e sistemas hiperbólicos e as dificuldades essenciais são

que, num espaço de dimensão infinita, a bola unitária fechada não

ê compacta nem tem a propriedade do ponto fixo. No caso de sis-temas parabólicos isso não causa maiores dificuldades porque oO

operador solução é compacto para t positivo, propriedade essaque não vale para equações hiperbólicas pois para estas o opera-dor solução é um homeomorfismo (e, portanto, não compacto) e,portanto novos métodos são necessários.

No Capítulo 0 apresentamos um breve resumo das noções e

dos resultados necessários para o desenvolvimento do trabalho.

No Capítulo I enunciamos um teorema de ponto fixo assintó-tico para a-contrações e introduzimos uma classe de oa-contrações

que é ligeiramente maior que a habitual; essa pequena modifica-ção É crucial para se estudar a equação de onda com atrito

—não

linear. Em seguida demonstramos um resultado abstrato sobre

ii

existência de soluções periódicas e fazemos algumas aplicações...O problema da linha de transmissão foi estudado em [8] para o caso sem perdas (R = 0 =G) transformando-o numa equação . diferen-cial funcional do tipo neutro; no caso de haver perdas essa redução é impossível. O teorema de existência de solução periódicapara a equação de onda melhora substancialmente um teorema de

Nakao [11]; no caso da equação da viga desconhecemos qualquer resultado de existência de solução periódica.

No Capítulo II atacamos Oo problema de convergência pára um

equilíbrio no caso de equações autônomas. O' caso dá. linha de

transmissão (equação IT.5.l1) foi tratado por Brayton e Miranker[4] e nossa contribuição para esse problema se resume nos seguintes itens: (1) especificamos claramente o espaço de fase e .mos-tramos que oO problema de valores iniciais é bem posto; (ii) mos-

tramos que a prê-compacidade de órbitas limitadas é um fato ge-ral e que não depende da existência de funcionais de Li apunov;

(iii) permitimos que haja uma curva de equilíbrio. A convergên =

cia para o equilíbrio no caso da equação de onda foi tratada porBall [2] no caso de atrito linear na velocidade; neste traba-lho nós removemos essa hipótese.

CAPÍTULO O

PRELIMINARES

0.1. ALGUNS RESULTADOS SOBRE A TEORIA DE SEMIGRUPOS FORTEMENTE

CONTÍNUOS DEFINIDOS NUM ESPAÇO DE BANACH,.

DEFINIÇÃO 0.1.1. Seja (X,! |!) um espaço de Banach. Uma família aum parâmetro (T(t), t > 0) de operadores lineares contínuos deXxX em X e chamada um semigrupo fortemente contínuo de operadores lineares contínuos sobre X se as seguintes condições são

satisfeitas:(i) T(0) = II

(ii) T(t + s) = T(t) T(s) , Vt,s > O

(iii) lim T(t)u=su 1 Vu E X.

DEFINIÇÃO 0.1.2. O gerador infinitesimal A de um semigrupo fortemente contínuo (ÍT(t), t > 0) de operadores lineares . contí-nuos definidos num espaço de Banach (X,! |!) é definido por

Au =" lim “TE)u-yut+t+0O

quando o limite existe. O domínio de definição de A denotado

por D(A), ê o conjunto de todos os elementos u€EX para os

quais o limite existe.

É claro que A &éê um operador linear definido em D(A) com

valores em X e que D(A) ê um subespaço vetorial de xX.

TEOREMA 0.1.3. [13]. Seja (T(t), t>0) um semigrupo fortemen-te contínuo de operadores lineares contínuos definidos num espa-ço de Banach (X,l |!) com gerador infinitesimal A. Então

(i) existem constantes reais w > O e. M>1 tais que

IT(t)ul < Meflul ,vuex,t>O;(ii) para todo u&€E &X, T(tju é uma aplicação contânua de

TR em X*;.(iii) D(A) é denso em X;

“(iv) A é um operador linear fechado;+oo :

(v) Nn D(A)) é denso em xXx, onde D(A”). ê o domínio de Fon=l

(vi) se u &€E D(A), então T(t)u€E D(A) e & T(t)u=AT(t)u =

= T(t)A(u).

-0.2. ALGUNS RESULTADOS SOBRE EQUAÇÕES DE EVOLUÇÃO EM ESPAÇO DE

BANACH.

Equação -linearnão homogênea. .Consideremos o problema de valor inicial não homogêneo em

um espaço de Banach (X,l 1)

Ult) = Au(t) + f(t) 7 t>O

. u(0) !! o

onde A éê o gerador infinitesimal de um semigrupo fortementecontínuo (T(t),t >0) de operadores lineares contínuos definidos sobre X e £f uma função contínua de [0,+%=) em X,.

DEFINIÇÃO 0.2.2. Uma função u definida para todo t > O com

valores em X, é solução forte de 0.2.1 se u(t) ê continuamen-te diferenciável para t.> 0, u(t)&EebD(A),t>0 e 0.2.1 é

satisfeita.

TEOREMA 0.2.3. [13]. Sejam A e f como na definição anterior.Então

(1) a solução de 0.2.1 quando existe, é única e é dada por

tT(t)u + / T(t-s)f(s)ds =º 0

U(t)

tT(t)u + Í Tís)f(t-s)As , t > 0;o o =

(ii) o problema 0.2.1 possui uma solução forte u(t), paratodo u, E D(A) see somente se à função definida parat > 0 e com valores em X

t t.v(t) = J T(t-s)f(s)ds = | T(t) f(t-s)dso) o

é diferenciável em [0,+%-);

(iii) se £ : [0,+%*) + X é de classe c! eu, E D(A), en-tão u(t) &E D(A), u(t) é de classe c* e

tU(t) = T(t)Au +TC) EO) + | T(t-s) A£(s)O 0 ds

Au(t) = ú(t) - £()

DEFINIÇÃO 0.2.4. Consideremos A e f comona definição 0.2.2e u EX;a função

tu(t) = T(t)u, + Í Tí(t-s)f(s)ds t>Oo 2

é chamada solução "mild" de 0.2.1. Essa função é solução da equação original no seguinte sentido: se a &€ D(A*), então (a, u(t))é derivável e é

& LCaju(t)Y = (A*Ky ult)) + Ca, f(L)).:

Equação não linearConsideremos.o problema. devalor.iniciale um espaço de

Banach (X,!l 1)

u(t) = Au(t) + f(t,u) y t>O

onde A éê o gerador infinitesimal de um semigrupo fortementecontínuo (f(T(t), t > O) de operadores lineares contínuos definidos sobre X e f uma função de [0,+%) x X em X.

DEFINIÇÃO 0.2.6. Uma função ul(t) definida em [torto + b) com

valores en X é uma solução forte de 0.2.5 se u(t) é continuamente

diferenciável para t - [Et tb), u(t) E D(A) e 0.2.5 é satisfeita,

DEFINIÇÃO 0.2.7. Uma solução da equação integral

t0.2.8. u(t) = T(t-t)u + | T(t - s)f(s,u(s))ds0 o +o

é chamada uma solução "mild" do problema (0.2.5) onde A e £f são

como na definição 0.2.6.

TEOREMA 0.2.9. [9] e [13]. Seja £ : [0,+m) x X + X funçãocontínua em (t,x) e lipschitziana com respeito a x em conjun-tos limitados de [0,+%) x X e A -o gerador infinitesimal de

um semigrupo fortemente continuo (fT(t), t > 0) de operadores lineares contínuos definidos em X; então para todo (Eru) E [0,+) x x

existe b > 0 e uma única solução da equação integral 0.2.8 de-'finida em [torto + b) com u(t,) =u,.. Se f &é Gataux derivãvel em relação.a. u, f,(t,u)v é linear em v e vV vfixo £ (Ero)v

ê contínua e u, E D(A) então a solução ul(t) é forte.

DEFINIÇÃO 0.2.10. Uma solução : [0,b) + X é uma continuaçãoa

da solução u: [0,b)>X se b>b e X(t)=x(t) para te |[O,b).

Uma solução que não tem continuação é chamada maximal e seu in-tervalo de definição ê chamado intervalo maximal.

TEOREMA 0.2.11. Nas hipóteses do teorema 0.2.9, para todo (tu)&E

E [0,+%) x X existe alt,u,) (finito ou não) e uma única solu-a À 2. defini . :ção maximal de 0.2.8 definida em [t,, a(t,,u)); se ult;ta, )

denota a solução que satisfaz ult tu) =Uu, definida no conjunto E = ((t,tru,) :t,)<t< altul, então E êum con-junto aberto e ult,t uu) é uma função contínúua de seus argu-mentos. Além disso, se ult,t uy) é uma solução maximal com

aí(t ,u) < ww, então - lim |Jutt;t ru )| = +,oo t>+a(t ,u) oOo" “o

Em particular, se ult,t,,u)) é solução maximal4.limitadaentão aí(t,u) =+o%,

o” o

OBSERVAÇÃO: Note-se que estamos. supondo £f£ lipschitziana em conjuntos limitados e isso implica que f leva conjuntos limitadosde [0,+º) x X em conjuntos limitados de X.

. DEFINIÇÃO 0.2.12. [17]. Suponhamos A e £f como no teorema 0.2.9.

Se £f(t,0)=0 paratodo t > O dizemos que a solução nula de

0.2.13 Ult) = Au + f(tjo) , t>O

ê

(i) uniformemente estavel (US) se para todo e€ > O existe um

número $ó(e) > 0 tal que se ug! < ôó( ec), temos| . ,

Il > .ult;tyru,) <e paratodo t > t,

(ii)

(iii)

(iv)

unifgonmemente assintoticamente estavel (U.A.S) se ela é

uniformemente estável e existe um número ô > O e uma

função T(ce) > 0, e >O0 talque se lul < 6, então

Iult;tçu)! <e paratodo t > t. + T(c).

globalmente uniformemente assintoticamente estavel (G.U.A.S)

se ela é uniformemente estável e existe uma função "T(E,R)

tal que Iult;t.u)! <Ee se lujl < R e t> t, + T(e,R).

exponencialmente globalmente uniformemente assintoticamen-te estavel (exp. G.U.A.S) seexiste.)1 > O tal que-A(t-t)oIn(t;t ,u )! <K e u , Vu, Vt > t.o" o o o = “o

DEFINIÇÃO 0.2.14. Dizemos que a equação 0.2.13 é uniformementefinalmente limitada (U.U.B) (uniformly ultimately bounded) seexistem uma constante R, e funções a(R) e T(R) tais que! i j

W ; IV <|

>ul < R implica ult;t. ru) < a(R) para t> t, e

Iutt;tru)! <R,; para t > T(R) +t..

Equação autônoma

Consideremos a equação autônoma

0.2.15. : ú(t) = Au + f(uU)

Nesse caso tomaremos t, = O, ult,u)) é solução e uí0,u,) = Uu,

DEFINIÇÃO 0.2.l16. &Se V:X+> R é uma função continua,definimos

. Víulh,u,)) - vu)Vv(u,) = lim sup - Dizemos ainda que V é uma

h+ 0" h

função de Liapunov de 0.2.15 se Víu,)) <O0 paratodo u, E X.

DEFINIÇÃO 0.2.17. Um conjunto MC X se diz invariante em rela-ção a 0.2.15 se para todo u, €M existe solução "mild" —u(t)

de 0.2.15 definida em (-m, +=) com u(0) = u, e u(t) EM ,

Vt E IR.

DEFINIÇÃO 0.2.18.

(i) trajetória da solução, denotada 1º (u,) passando por u, E

EX êoconjunto em IR x X definido por

+ SS . +T (u) = T(t,ult;ju)), t ER l.

(ii) Orbita. da solução, denotada Y (u,) passando por “u EXé a projeção em X -definida por

+ — :+

Y (uu) = tult;u,), tem).(iii) um ponto c EX chama-se ponto crítico ou ponto de equili

briode0.2.15.se xtto) = (co) istoéêuílt,o) =c Vt.

(iv) conjunto-—w-limite -de- uma-órbita-da-solução—ult), —— com——u(o0) = u, denotado por wu), é o conjunto dos pontos

y EX tais que existe uma sequência t,) ? +º* quando n>++w

tal que ut) > y quando n ++ OU equivalentemente

(uu) = nNn Íult;u) rr t>n)o n>1 o 2

+ ”|

TEOREMA 0.2.19. Se vxY (u,) tem fecho compacto, então O conjunto":w (u,) êéê não vazio, compacto, conexo, invariante e lim díu(t),

Ep >+owe (u)) = 0,

DEMONSTRAÇÃO: É feita como no caso de equações diferenciais ordinárias, ver [9].

0.3. TEOREMA DE MAZUR. [6]

DEFINIÇÃO 0.3.1. Seja (X,! 1!) um espaço de Banache ACCX, o

conjunto co(A) (closed convex hull) é a intersecção de todos os

conjuntos convexos fechados que contém A.

TEOREMA 0.3.2. Sejam (X,! 1!) um espaço de Banach e AC X, um&

conjunto compacto. Então co(A) é compacto.

CAPÍTULO TI

EXISTÊNCIA DE SOLUÇÕES PERIÓDICAS FORÇADAS

IT.l. INTRODUÇÃO

Consideremos a equação de evolução num espaço de Banach X

I.l.1. u=AuU+ fí(tiyu)

A e f como anteriormente; se f(t + p,yu) = fí(t,u) para todo

(tju) E TR x X ealgum p > 0,&éê fácil ver que se u(t) é solução "mild" de 1.1.1 então v(t) = u(t + p) também é; portanto,se valer unicidade para o problema de valor inicial (que é O ca-so nas hipóteses do teorema 0.2.9) e u(p) = u(0), entãoult + p) = ult) e ut) é solução periódica de I.1.1.

Se S:X>X denotar a transformação contínua S (u,) =

= uíp,0;u) (supondo todas as soluções definidas em [0,p]) vemos

então que a existência de solução periódica de T.1.1 é equiva-lente à existência de ponto fixo de S&S.

Neste capítulodefinimos a-contração, apresentamosumanorva classe de a-contrações,enunciamos um teorema de ponto fixo para a-contração-e-fazemos--diversas-aplicações— aexistência deso-—.luções periódicas.

DEFINIÇÃO I.1.2. Se A é um subconjunto limitado de um espaçode Banach, define-se

11

a(A) = infíd > O tais que A = INES F. com diâm F, < d).72

À ii

DEFINIÇÃO I.1.3. Uma pseudo-métrica p em X é pré-compacta setoda sequência de X limitada em norma tem uma subsequência queê de Cauchy em relação a p.

-LEMA 1.1.4. Se p ê uma pseudo-métrica pré-compacta e BC X é

limitado na norma de X, então para todo e >O0 existem Career Ch

.m.Utais que B = Cc. e p(x,yy)&< e se x,y E C..is) À

DEMONSTRAÇÃO. É a mesma de que um conjunto com fecho compacto é

totalmente limitado.

TEOREMA I.1.5. Seja S:X+ X uma transformação satisfazendo:ISs(x) - S(y)l < qlx - yl + p(x,y), para todo x,y em X, onde

p ê uma pseudo-métrica prê-compacta. Então . a(S(A)) < qgoa(A) pa-ra todo AC X limitado.

DEMONSTRAÇÃO. Seja a(A) =c. Dado e > 0 existem conjuntos: n

FareeosP, tais que A = VU F; e diam F; <c+e, i=1,...,n.' i=1l

mAlêm disso, pelo lema anterior, A = U Cc. com píx,y) < e se

i=1x,y pertencem a C..- Então A=U (F. n Cs), i=l,...,/0,jelfoc, Mm

e S(A) =US(F, AO cx). Se x,y E F; n Cj; temos !S(x)-S(y)l <

<aqalx-yl + p(x,y) <qí(c+e) + e, donde concluimos que

diam S(F, n e) <qlc+e)+e,e portanto, a(S(A)) <q(íc+e)t+eo que prova o teorema.

12

OBSERVAÇÃO. Da demonstração fica claro que o teorema continua vãlido se a pseudo-mêétrica estiver definida somente numa bola de

raio conveniente.

DEFINIÇÃO I.l1.6. Uma transformação S:X>xX é uma o-contraçãose existe 0 <q<1 tal que a(S(A)) < qo(A), para todo subconjunto limitado A de X.

Uma classe bastante conhecida de a-contrações é a das transformações da forma Q+U onde Q ê uma contração e U &ê com-

pacta (incidentalmente, esta classe estã contida na dada peloteorema IT.1.5 acima pois se U &é compacta a pseudo-métricap(x,y) = IU(x) - U(y)l é prêé-compacta). Portanto o teorema exi-be uma classe bastante parecida com essa. Entretanto, essa pequena modificação será crucial numa das aplicações que faremos.

DEFINIÇÃO I.l.7. O raio espectral essencial + (o) de um opera-dor linear limitado num espaço de Banach XX & definido por:

r (0) = infír > O tais que c(Q) Ní|1| >rl]) consiste de um nú-

mero finito de autovalores cada um com multiplicidade finita).

TEOREMA 1.1.8. [5], [7] e [12]. Se S=Q+U onde U ê com-

pacta e Q é linear limitada com r. (o) < 1l, então, a menos de

uma mudança de norma para outra equivalente, S é uma a-contração.

DEFINIÇÃO I.l.9. Uma transformação S:X-> xXx é U.U.B. se exis-tem um número R, € funções a(R) e n(R) tais que xl <Racarreta !S'(x)! < a(R) paratodo n>1 e IS (x)! < R, se

n> n(R).

13

TEOREMA 1.1.10. [7]. Se S:X>X é contínua, U.U.B e a-contração, então S tem um ponto fixo (obviamente na bola de raio RJ).

Em [5] Darbo provou um teorema do ponto fixo para a-contração assumindo a existência de um conjunto convexo limitado fechado, o qual é levado nele mesmo por S5; nas aplicações wo teoremaT.1.11 é mais conveniente pois ele admite uma classe maior de

funcionais de Liapunov e não apenas de funcionais convexos (como

exigido para aplicar o teorema de Darbo).

TEOREMA I.l1.11. Consideremos a equação IT.l.l e suponhamos sa-tisfeitas as seguintes condições (além daquelas do teorema de

existência e unicidade 0.2.9).

(i) f:IR xXX>+> X é compacta e p-periódica em t, p > O;

(ii) r. (T(p)) < 1, onde T(t) é o semigrupo gerado por A;

(iii) I.1.1 é U.U.B. (ver definição 0.2.14).

Então Ss (uy) = ulp,0;u) é U.U.B. e a-contração a menos de mu-

dança de norma. Em particular, existe ponto fixo de S (e portan“to solução periódica de 1.1.1).

DEMONSTRAÇÃO. Que S é U.U.B. é óbvio. Além disso, como uí(t) =

t= T(t)u + | T(t - s)f(s,u(s))ds temos que Su = Típ)u +º o: o O

P+ Í T(p-s) f(s,u(s,0;u))ds. Do fato de L.l.l. ser U.U.B.

o

- ! a | ; L«< ! esegue-se que se us! < R então uís,0;u,) < aí(R) Ss

0<s<p e, portanto, f(f(s,u(s,0;4,)), O0O<s<p, lu! <R) tem

14

fecho compacto o mesmo acontecendo com (Í(T(p-s) fís,u(s,0,U) hOo<)

:

—

<s<p lu < R) pois -(t,u)>T(t)u é contínua. Como

Pf Típ-s) f(s,uls,0;u ))ds € colT(p-s) f(s,uís,0;u )), a con

oTr

clusão segue do teorema de Mazur 0.3.2 e do teorema I.l1.8.

OBSERVAÇÃO. Se £ não depende de t (caso autônomo) usando ar-gumentos de [7], nas hipóteses do teorema acima, pode-se mostrarexistência de um ponto de equilíbrio (solução estacionária).

I.2. UM PROBLEMA EM UMA LINHA DE TRANSMISSÃO COM PERDAS.

I1.2.l.: INTRODUÇÃO AO PROBLEMA,

Consideremos uma linha de transmissão com perdas que apre-senta um dispositivo não linear na sua terminação

ilx,t)$ T

RO '

víx,t) glv(t,t)) Te (Date

15

Na figura:

iíx,t) indica a corrente elétrica na linha de transmissão à dis-tância. x do início da linha no instante tt;

v(x,t) indica à tensão da linha de transmissão à distância x do

início da linha no instante tt;

R, e E(t) indicam, respectivamente, a resistência interna e.força eletromotriz variável com o tempo t da fonte da 1inha de transmissão;

Cc, indica a capacitância do capacitor colocado no final da 1i"nha em paralelo com um dispositivo gerador de uma correnteelétrica H(t) variável com o tempo e com um outro dispositivo no qual a corrente elétrica, que O atravessa, é uma

função g, &em geral, não linear da tensão víx,t) e 4% in-dica o comprimento da linha de transmissão.

As equações diferenciais parciais de primeira ordem para a

corrente elétrica iílx,t) etensão víx,t) são: [3]

E ilx,t) = - = víx,/t) - 2 it)0<x< 24, tEIR

+ víx,t) = - & qit) - S v(x,t)

onde—C,yGyL—e- R são,respectivamente,acapacitânciaespecífica, a condutância específica, a indutância específica e a re-sistência específica da linha de transmissão.

As condições de fronteira são:

16

E(t) = v(0,t) + R, i(0,t) , em x=O

dilL,t).= C) dE VILt) +tog(v(L,t)+H(t) , em x=4.

Com a hipótese de que E(t) é uma função diferenciável, definamos

I(x,t) = i(x,t)

Víx,t) = víx,t) - E(t).

Obtemos para I(x,t) e Ví(x,t):

à—. 1 3 R

TE I(x,t) =. TZ ax Víx,t) CT I(x,t)

1.2.2 À

3 sl 2 -s -Ss -com condições de fronteira

V(O0,t) + R,1(0,t) = 0 , em x=O0

1(9,t) =C, E vt + (ve t) +E(t)) + H(t) +C, À E(t)' 1 ae 2 Ar TIS 18E2

O problema IT.2.2 pode ser escrito como

17

1.2.3. u(t) = Au(t) + f(t,yu) , t>O

no espaço de Hilbert (H,l 1) onde H = 1 [0,2] XL[0,4] XxR,

R ao Rc 2 1/2| (f,g,d)l = o |£(x) | “dx + f |g(x) “ax + a] ' Víf,g,d) E H,

0 0

A:D(A)CH+H é o operador linear fechado com domínio ' densoem H definido por:

A(d,U,b) = (- EV -Roras-Ev e)com C, Ca" G, L, R e. R números reais, C > O, Cc, > O, L>O,

G>0,R>0,R >O,

D(A) = ((6,y,b) eH: d,V E ACIO,t], dp E L, [0,2] ,

v(O0) + R$ (0) 0, b=v(1)) ea função fí(t,u) dada por

E(t), - 2 g(b + E() E nO -& E(t))1

eiE (t) TEolafí(t,u) = (0, -

Conforme pode ser visto em [15] o operador A é o geradorinfinitesimal de um semigrupo fortemente continuo (T(t), t > O)

de operadores lineares contínuos definidos no espaço de Hilbert H..

Supondo que a função g(v) é localmente lipschitziana em

v, H(t) contiíinua.e E(t) continuamente diferenciável, podemos

garantir que a função fí(t,u) acima satisfaz as hipóteses do teorexa 0.2.9 de existência e unicidade de solução.

18

T.2.4. DETERMINAÇÃO DE PONTOS DEEQUILÍBRIO (SOLUÇÃO ESTACIONÁRIA)..

Considerando O caso autônomo:

9 2 12 -RTE I(x,t) = Tx V(x,t) T I(x,t).

1.2.59 =.l1 3 -S -SE Víx,t) = Cx I(x,t) C V(x,t) &

E

com as condições de fronteirax

V(0,t) + R, I(0,t) = O ' em x =O0

2 v(g,t) = dd 104,0) - — g(vi4,t)+B)- E,em x=2at Cc, Cc, Cc,

»

onde E e H são constantes, vamos determinar os pontos de equilíbrio.

—

Para-isso .precisamos-achar——Ií(x)e V(x) tais que

a —- =Tx I(x) + GV(x) GE o

0<x<”a Vtx) + RI(x)&=O0dx

com as condições

19

V(0) +RI(0) = o

I(4) - g(V(4) + E)= H=0.-

o que é equivalente a determinar a solução do problema de valorinicial

I(x) | 0 -G I(x) — GEq -ax tooVíx). | -R o V(x) o

1.2.6

1(0) 1(0)

V(0) —- R I(0)

para cada 1I(0) dado, que satisfaça a condição

T(2) = G(V(L) + E) + H.

A solução do problema de valor inicial

ca [x6 ]Po -eT7 ft1co

dx V(x) -R [| V(x)

[ro 1(0)

| vco|)

-RI(O)

20

para cada I(0) é:

—

T (x) 2/8 1(0) |ixo A+ E-RJe "R “MN

V (x) - 100) |Age Agees—

Usando a fórmula da variação das constantes temos que a solução de 1.2.6 é dada por:

NM1(x) 2/8 1(0O) |AçoRX, ,(/R-RJe -/GR |V (x) 2 (0) : [AsaFx Anne «|

e”GR x (1 = eERA, — ao /GR x (ER XX )ou seja.

I (x) (coshyGRx + Rn Vê senh /GR x) I(0) - e senh VC x

V (x) - (R, cosh /GR x + E senhy/GR x) I(0) + E(cosh/GR x - 1)

21

Esta solução deve satisfazer à condição

I1(%4) = g(V(1) +E) +H, ou seja

gí(- AR senh/GR & +R, cosh /GR 4)I(0) + E coshYGR 4)) - HC, =l

- | /E GC == (cosh/GR 4 + R yg senh/GR 4)I(0) - E R senhv/GR &

ou seja

1.2.7 g(y) = Ky + y

onde K< 0 e y são constantes dadas por

coshvyGR 4 + Ro A senhvyGR 24

K=- ——

A senhvyGR4 + R, coshvGR 4

2 /E ce

coshyGR 4 - senh yGR4 - R, R coshvyGR 4 senhvGR 4

/E senhy/GR4+ Ry cosh/GR4— |

e y=- AR senhyGR 4 + R, coshvyGR 2) 1 (0) + E.coshvGR &

Portanto cada solução. v, da equação T.2.7 dá origem a um

ponto de equilíbrio (1, (x) ' VV, (x) , V200) do sistema original.

22

1.2.5. Supondo que um tal ponto de equilíbrio foi achado, vamos

estudar sua estabilidade assintótica. Para facilitar vamos pri-meiro fazer uma mudança de variável

J(x,t) = I(x,t) - 1 (x)

U(x,t) V(X,t) - V, (X)

de modo que nas novas variáveis o ponto de equilíbrio seja I=O0

e U=0.0O novo sistema fica

3d = 2122 : - RR

TE J(x,t) =- T 9x U(lx,t) xL J(x,t)

O0<x<?&

dum = 212 ossp UlX,t) = saIkt) s U(X,t)

1.2.8 com condições de fronteira

U(0,t) + RI (0,t) = oO em xs= o

Ut) = 2 IO,t) - 2 h(U(L,t)) , em x=&dE “eà o, Vir ELOgr Ai) x: 1 1

onde h(U):= g(U + V(*) + E) - g(VÇ(t) + E) (observe que

h(0) = O).

Para analisarmos a estabilidade de um ponto de equilíbrioconstruiremos um funcional de Liapunov cuja derivada em relação

23

às soluções de 1.2.8 satisfaz uma desigualdade diferencial esca-lar bem simples.

TEOREMA 1.2.9. (ESTABILIDADE DO PONTO DE EQUILÍBRIO). Se

e2 2R R |

- E 2,7 L1|2-7 ddm >

FT rt tio C se R, <6ó ou R, >Y

ou

C G R G Rnm? E: | é | se 6<R2/GR

onde

ge E ES, R GR2/GR IC E

e

lA e E e-e|então a solução nula de 1.2.8 é exponencialmente G.U.A.S.

OBSERVAÇÃO: Se = as hipóteses se reduzem à:EO

24

ou

DEMONSTRAÇÃO. Consideremos o seguinte funcional

Cc jWiu(t)) = 2/1 - 7º 80 (1,0) + h, E Uº(x,t) + 2b J(x,t) U(x,t) +

2+ DJ xt) fax ,

onde u=(I,U,/U(%4,-)) e b>0O0 será escolhido. (veja observa-ção no fim da demonstração).

W é dado por:

Cc 2W(u(t)) = l1-b & 2U(L,t)U(L,L) +| E 2U(x,t) -

o E,

= Úlx,t) + 26 J(x,t) Ulx,t) + 2b J(x,t) U(x,t) +

2JI (x,t) J(x,t)|ax =+

- TE/1 262 E um,O O eed ntva;= AX 1 ="b

C BU) (Ss J(R,€) Cch(UMM;t))) +

ft race 13 G+ /, E U(xX,t) . (- Cc TX J(x,t) -— c Ulx,t)) +

+ 26 J(x,t) (- ã e. J(x,t) - É UGx,t)) + 26 Ulx,t) -

25

(= à = U(x,t) - X J(x,t)) + 23(x,t) (- EL U(x,t) +

RS —"LT It)|ax =

= 2 A-pº2 vulgo- 24-12 via, LULA" : P C U(L;t)

2 [ut2 aura +) 2 utx,t)|a - apl À U(x,t)EJo

1El ge KT) gg 2) jox LE É2à 1 0 G 2

TX U(x,t) + Tc J(Xx,t) x 3 (x,t)Jax 2 h lê U (x,t) +

+ b(& + o) Ulx,t) J(x,t) + = (x)|ax .

Calculando as duas primeiras integrais, substituindo U(0,t)

por -R,I(0,t) e utilizando a hipótese que inf 2 = m, temos:

W(ult)) < - [& 1 - pº E m+> U2(L,t) - 2(/ 1- 1º E o.2

R 2RÀ b 2 e,7idà - ol.- UU,d+E o| + bh 24 |

R ,2 G.2 G,R R 2" J (0,t) 2 É UU (x,t) +b(+ Z)U(x,t)J(x,t) + (xt)Jax .

26

Utilizando as hipóteses sobre m vamos mostrar que - b pode ser escolhido de modo que

OPX - NU(Lt)-2/1-pºEn+b) vºçãt) - 20/1-p?1.2.10. [ 1-bTm+r) U (%,t) 2(/1-b

- J(L,t) + O 9º (2,6)|é uma forma quadrática positiva definida nas variáveis U(L,t)e J(%,t);

2R 2Ro,l o1.2.11. DITA Toa -P<O

e

GG. 2 GG R|

R 21.2.12. 7 U (x,t) + b(q + D)U(X,t) J(x,t) + = (X,t)

é uma forma quadrática positiva definida nas variáveis U(x,t)e Jíx,t).

As afirmações I.2.10, I.2.11 e 1.2.12 são equivalentes à

encontrarmos b > 0 e

, 2R..e ch LL? 2E . Om> DL Lt =-/l bCc 1. b< Rº :

e| |

: o, ,lL +=)

b < ———— ., respectivamente.

27

a) Se R <ôóô ou R, 2 y, temos que:

2R, 2/GRRé Ê

Voo 1 G RL ( + = L(S + Z)

2RConsiderando b = ——— r T1T.2.11 e 1T.2.12 estão sa

R 2o 1LI +

tisfeitas e 91.2.10 se reduz à

|RS2R2107 0,7 Lh | o. àm> 2 2 [TOC

que está satisfeita em virtude de nossa hipótese.2

Ole v oObserve que esta escolha de b. também fornece l-bs- . L o sesa não ser no caso crítico R, = /E quando então se verifica - a

igualdade. Para evitar isso tomamos b ligeiramente menor que o

dado pela igualdade acima, O que não prejudica as demais desi-gualdades.

b) Se é < R, < y, temos

28

Considerando b = -—C—— ,1.2.11e 1.2.12 estão satis-

feitas e 1.2.10 se reduz à

c [e,R GRocletPCICEI)oque está satisfeita em virtude de nossas hipóteses.

G R 1 2R, 2/GROBSERVAÇÃO. Se 3YF=>) temos óô=y= 3) e <

C L C Rº ——2 O, ,l GRrito rt2R &

ceConsiderando b = —— 1 1.2.2 sereduz a m > - T R,Ro 1LT + =)

/L 1 /Lse R,<YE m > R º R,? e"

Portanto, a expressão

2(z /1-rº & m+R).Uº(1,t)-2(/1-bº E -1) UML J(L,/t) +BI(L,t)

é uma forma quadrática positiva definida nas variaveis U(4,t) e

J(4,t), O que implica que existe e. > O tal que

(2/1Em+b-e)U ,0 -20/1-6º E-DU(t) JU) + BI (1,L)L C L

29

é ainda uma forma quadrática positiva definida nas variáveisU(L4,t) e J,t) .

Então,

W(u(t)) <r- |[&/2-2En+2- E)

o aNM

O o bo.|cr —O I l2 /1- rp? & - 1) J(4,t) VIL,t) +23 PO| +

nf- E U2(L,t) + 2 j |& U2(x/t) + 2(É + =) U(x,t) J(x,t) +

: o !

+ 5X Poa <

IA|

R

F EU (2,t) +2 Í | vº (x,t) + 2(6+D)U(X/t) sto E Poeo)

2 21 EAgora, Wlult)) = —=/l-b =" (2,t) +

2 '

: —

+ | É U2º (x,t) + 2b J(x,t) U(x,t) + Jº(x,t) ax ,

E U2(x,t) + 2b J(x,t)U(X,t) + Jº (x, t)

ê uma forma quadrática positiva definida nas variáveis U(x,t) e

J(x,t) pois em ambos os casos para Ry' b pode ser escolhido de

30

forma que pb? > = .

Consideremos 89>0 tal que

TC 28 & /1 =p EU) + / |E US (x,t) + 2b J(x,t)U(x,t) +L C

o L

R 2+ L J coJa <

4

É Ut (x,t) + b(S+ BuU(X,t)I(x,t) + Pix,o)|ax :< eine) +2| & S+0

Com esta escolha de 698, temos:

W(ult)) < - oW(u(t)), 8>O0

9donde W(u(t)) < e ““w(tu(o)).

É fácil ver que O funcional Wíu(t)) é uma norma equivalente à norma de : É e portanto podemos escrever que

Iu(t)l < KwW(u(t)) < Ke “fw(u(o)) < Me tiuço)l,

onde M e K são constantes positivas, Oo que prova o teorema,

-—OBSERVAÇÃO. O cálculo feito acima para W(u(t)) pode parecer um

tanto formal pelo fato de estarmos lidando com soluções "mild" e

que, portanto, não tem derivadas com relação a tt.

31

Além disso, estamos utilizando U(4,t), 0O que não tem sen-tido se U(lx,t) está em L,- A justificativa para isso é a se-guinte: devemos pensar no funcional VW(u) = W(J3I,U,d)) como sendo

OIE2, 1-5 ERa+ f, EXUº (x) + 2b J (x) U(x) + J *(» Jax .

Agora se a condição inicial u, estiver no domínio do ge-rador infinitesimal então pelo teorema 0.2.3., u(t) continua

nesse domínio para t > 0 e u(t) é solução forte. Para essascondições iniciais a derivação ' em relação a t estájustificada e portanto a estimativa W(u(t)) < e *tw(u(o)) valese u(0) estáãem D(A). Para uma condição inicial qua iquer, bas-ta passar esta desigualdade ao limite pois D(A) é denso em EH.

Essa justificativa se aplica aos futuros casos e não a fa-remos novamente,

Vamos agora estudar o problema da existência de soluções pe-riódicas forçadas.

TEOREMA 1.2.13. Se g(y) e E(t) são de classe C'”, H(t) contí-ad E(t) são limitadas em [0,+%º) e existe

N>O0 tal que

. 2aNÇCygG(y + x) >my + N

para todo x tal que !x!l < suplE(t)l onde m é constante e sa-tisfaz

2

2Rol L |

Ho 1 :-ã || se R,<6ô ou R,2Y

32

ouFCc GG R G Rm> - (E +=) - Iê - E se S<R <y2/ER | e L C &L o

onde

L G R G Rção [6 Podes2/6 |O Tt IC |e

1 G R G Rro(+) + É — =2/GR É . er

então a equação T.2.3 é U.U.B. Além disso, ro (T(p)) <l1l, Vp>O;em particular, se E(t) eH(t) tambêm são p-periódicas em t, então existe solução periódica do sistema T.2.2.

DEMONSTRAÇÃO. Consideremos o seguinte funcional

Cc 2 !

Wíu(t)) = —L 1-p? L VALE) + f É Ve (x, t)+2bI(X,t) V(x,t) +L- CC o L

2+ 1 (x,t)|dx,

onde u=(L,V, V(4,-)) e b>O0 serã escolhido. Então

. Cc e 2 .W(u(t)) = /1-p? e 2V(L,t) VU,+ | É 2V(x,t) Vix,t) +

33

20 IGt) V(x,t) +2b I(x,t) V(x,t) + 2I(x/t) - txt) dk =

2C

L

1C

(

1

1Cx

—L/1 - pn? E VIE) |

2 n(t) -& E(t)

I(x

1

e

0

t) - E vix,t) -C

1—- I(4,t) - Tr g(V(L4,t) + E(t))1

tre] + f [E 2V(x,t) + 2b I(x,t))-

G de E(t) - E E(t)) +

+ (2b V(x,t) +2I(X,t)) - (- = = Víx,t) - & rix,/t)) | dx =

-2/1272E 2/12/2E |

-=> l1-b S V(L,t) I(4,t) L l1-b CS g(V(2,t) +E(t))V(14,t)

2 T a- É/1-bÍ 3 V,t)(HE(t) +C, E(MH)) - É2 [v (x, t).

2 3 tra. Tx I(x,t) + I(x,t) 7X vix,t) | dx - 2b L, É I(x,t)

G R+ bc + Z) I(x,t) Víx,t) + —.

oxI(x,t) += Víx,t) 2 VIx,t) |ax - 2 Í

RL

2G 2E VOIO +

1º exe) | dx -

34

3 dá no) (é2 f, É E(t) + dE E(t) | Víx,t) + bI(x,t)|dx.

Calculando as duas primeiras .integrais e substituindoV(0,t) por -R,(0,t), obtemos:

W(u,t)) =- &/1-vº E g(VIL,t) +E(t)) V(L,L) +É/1

- V(L,t) I(4,t) - É/1- (H(t) +C, de E() VULL)

2R2 b 2 b .,2 l,o 2E RI (0,t) TF I(4,t) z V (4,t) + Pica I (0,t)Pim

2-2 J É ve (x 1t) +b(É + =)I(X, t)V(x, t) + 1º (x,t)|axo

R 2X

2C G d G— O f, (& E(t) tao FUIVOGE x —- 2b f (& E(t) +

+ — E(t)) I(x,t)dx.

Para aro e o; números reais estritamente positivos temos:

pr2 à- a UE H(t) +C) À ec| <3 [Ego +01 (H(8) +C) & eco

35

E(t) +2 CcNM= VD Ent + É sei][E a2 (S

d 2+ ec)?

2LEEt)

= | E(t) + Â eco «FO af (É E(t) +3

d 2+ ae E(t)) |

Considerando essas desigualdades e que VÍ(4,t)(g(V(L,t) +

+ E(t)) > m VALE) + N, temos:

W(u(t)) < - [En"o /1-628+8 vio - 80/1217? ÉLa .

R 2R- 1) V(Lt) 10,+ À 1º (2,5| + br2+D- e | 1º(0,t) -

“RE E V+ DIS + BIO VOO +- 2 (= - ——) V (x,t) GS T x, x,

o 210,

R Dz) 1º (x,t) Jax - 2/1 - pº E | + 3(8(t)20 3

+ (=

à ge) +*

(S+EM) + em) º(E al+ baz)ax+ CC, qe E(t)

o € dt L *2 3

36

4atdas, podemos considerar uma constante M tal que:

Como por hipótese E(t), H(t), E(t) são funções limita-

2L 1 d 21-5? E |N + 2() +c, É (to) iUN

N

+ | (É + E(t) + dem)? . (Ee? 2

o de 1 “2+ baz)dx < M.

Com as hipóteses feitas sobre m, e um cálculo semelhanteao que foi feito na demonstração do teorema 1.2.8 temos que

&/1-7ºEm+D) vVº(g,t) + 2-/1-65º E)I(LO VOO +

Ve (x,/t) +b(8++BIX, E)V(X,t) + 1º (x,t)b 2+ T II (4,t) e LSsL

são formas quadráticas positivas definidas nas variáveis V(4,t),I(L,t) e Víx,t), I(x,€) respectivamente;e além " disso

RS1, 2b (3 + S) LT R, < O.

Então existem constantes reais a, Aa. s e az: estrita-mente positivas, tais que

prE moço = Boa vºt,) + -/1-272E)Cc

37

- I(L4,t) V(OL,t) + e 1º(L,t) e

SE) It) Vit) + (E = E)20,L " 207

G C 2|é -— ) V (x,t) +bí| são ainda formas quadráticas positivas definidas.

Portanto:

. 2W(u(t)) < - [av? (2,5) | [É - Ez) vê(x,t) + bl

210,Cc EL

- I(x/t) V(x,t) + E16Jax + M.207

Consideremos 69 > 0 talque W(u(t))<-eW(ult))+M donde

W(ult)) < e** w(u(0)) + À . Portanto luttya1? = lu? <va Tot MR a -<kK*te Wíu(0)) + Too R+ > O oO que implica que a equação

1.2.3 é U.U.B.|

:

' o,,PDe acordo com [15] sabemos que r2(T(p)) = e , onde

(RC + GL) 1 le = Ro]%o 77 RC + tnlyogRg> seº 2%4/LC o O

/Lz ÁR,e o =-%- se R = z,.— com zZ,=/G -O O Oo Oo

Portanto % < O.

Além disso, a aplicação

38

G à : 1£(t,o,4,b) = (0, - T E(t) - dE E(t), - cx g(b + E(t))

AL H(t) - C 2 E(t)) é claramente compactaCc 1 de P .

A conclusão final segue do teorema I.l.11.

OBSERVAÇÃO. Se g'(y)>m+e para y grande, é fácil ver que

a hipótese do teorema sobre g estã satisfeita.

1.3. ESTABILIDADE DA OSCILAÇÃO FORÇADA.

TEOREMA IT.3.1. Se E(t), H(t) são funções contínuas p-periódicas,

E(t) continuamente diferenciável e g satisfaz inf ( 2 gis =

= inf g'(x) =m e.

m > -—E& Sê + = - | ê - E se S<R <Y",2/GR

onde

l G R G RefeAa | L Cc e||

39

então I.2.3 tem uma solução p-periódica que é G.U.A.S.

DEMONSTRAÇÃO. De acordo com a observação cima, vemos que as hipôteses sobre g no teorema I.1.11. estão satisfeitas e portantoexiste solução p-periódica.

Seja (1 (xt), V(Xst), Vo (2,t)) uma solução.—p-periódicade 1.2.2.

Consideremos a seguinte mudança de variáveis em 1.2.2;

J(x,t) = I(x,t) - IT, (x,t)

U(l(x,t) = V(x,t) - V (Xx,t).

Obtemos para Jí(x,t) e Ulx,t):

8 : = 2123y - R: ap Tx) = Tx Ulx,t) LT J(x,t)

3 = 2132 -SsE U(x,t) =CT x J(x,t) CG Ulx,t)

condições de fronteira

U(0,t) + RJ(0,t) = O o , em x=0

d = 376 +=, - =Fe U(L,t) “õ J(4,t) - [9012/040,9 +E(t)) gv, (1) + E(t) j rem x=l

40

Considerando o funcional

,W(v(t)) = — /1-72E vº(eo) + | [Eve+20 0o

PpQE

Ulx,t) + 9º (x,t)| dx , onde víx,t) = (J(x,t), UlxX,t), U(L,t) ,

com b >0 conveniente e utilizando um raciocínio análogo ao desenvolvido na demonstração do teorema 1.2.9, obtemos tv (t) 1 <

< Me ** Iv(o)!, onde v(t) = (J(t), U(t), U(ML,t)), O que demons

tra o teorema.

I.4. EQUAÇÕES HIPERBÓLICAS ABSTRATAS.

Nesta seção estudaremos a existência de solução periódicada equação

1.4.1. up 7 Cu + h(u,) + g(u) = e(t)

num espaço de Hilbert H real com produto escalar (,) e nor“ma | |, 0ou, 0o que dãno mesmo, do sistema

us=yvt .1.4.2.vV = Cu - h(v) - g(u) + e(t)

onde suporemos que C:D(C)€ H+H é um operador auto-adjuntonegativo definido (em particular, (Cu,u) < x, lul? para algum

41

24, > O etodo u€E D(C))."O sistema T.4.2 pode ainda ser visto como uma equação abs-

trata:

1.4.3. W = Aw + f(t,w)

no espaço de Hilbert real X = p(-c)X/? xH comnorma !wlº =1/2, |?= Píu,v) 1º? = |(-C) + lvi?, onde w=(u,v), Aw = (v,Cu) ,

D(a) = D(C) x DI) /2 e flt,w) = (0,-h(v) -g(u) + e(t)).Sabemos que A gera um Cc, grupo unitário em x (como con

sequência do teorema de Stone), portanto, se h:H>H e

g: p(-c) */? + H são localmente lipschitzianas, aplicam conjuntos limitados em conjuntos limitados e e : IR>+H ê contínua,todas as condições para a aplicação do teorema 0.2.9 de existên-cia local e unicidade estão satisfeitas. Vamos supor também queh e g sejan Gataux deriváveis. É importante observar que mesmo

para soluções "mild" (u(t), v(t)), u: [0,b) + H ê de classe el,embora u : [0,b) > p(-o) W/?2 seja apenas contínua.

LEMA I.4.4. (ver [17]). Se existe uma função escalar de classeC, V(w) definida em [0,+%-) x X, com as seguintes propriedades:

(G) a (Iwl) < V(w) < b(lwl), onde a(r) e bí(r) são funções con-tínuas crescentes e a(r) >+%- quando r > +%;

(ii) 3r > 0 tal que V(w) <-c(lwl) para Iwl > r ,0onde c(r)ê positiva e contínua;

então as soluções de 1.4.3 são U.U.B.

42.

TEOREMA 1.4.5. Além das hipóteses feitas anteriormente suponha-mos que as seguintes condições são satisfeitas:

H, - existe GG: p(-o) H/? * IR de classe Cc, limitada inferior-mente em p(-c) /? tal que g(u) = grad G(u) relativamenteao produto escalar de H e existe uma função d crescentecontínua tal que G(u) < d(r) se lwl <r;

E, - (uryg(u)) é limitada. inferiormente em p(-co) X/?;

H, - h(0) = 0 e existem constantes a,8>0 tais que alvl? <

<(v,h(v)) e |h(v)|< Bjv| para todo v em H;

H, -e:1R->H ê limitada.

Então 1.4.3 é U.U.B.

DEMONSTRAÇÃO. Consideremos o funcional '

2Iv |

+ 2bí(u,v) + G(uU) ,.

com b>0 a ser escolhido satisfazendo a diversas condições,

so ; 2 1 ;a primeira das quais b. < TE * Com essa escolha de Db existemconstantes k, > k, > tal que.

2Iv|k (v|? + [e W/2u|%) <a + 3 leo) W/2u [2 + 26 Cujv) <

< k. (v]*? + 1-0)24%) para todo (u,v) em X.

43

A derivada de W ao longo das soluções de I.4.3 é dada por:

W =-((v,h(v)) +2b(v,v) - 2b(u,h(v)) -

1/2,/2- 2b|(-C) + (v,e(t)) -2b(u,g(u)) +2b(u,e(t))

1/2 |?(2b = a) |v|? + 2bBlu||v| - 26/(-o) V2u|/2 + (v,e(t)IA

-2b(u,g(u)) +2b(uj,e(t)) .

Em seguida escolhemos b > 0 de tal modo que (2b = a) |v|2++ 2bfBjul|v| - 26 | (-o) W/2u |? < -8 (|v|? + Neo) W2 un, para al-

gum 6 > 0; para isto usamos 2bBjlul|v| < 28 Neo Wu |+| e1

pºg? 2impomos Z< 2b(a - 2b) o que é satisfeito se b < 2

7 - Le1 a +Ê-4

vando. em conta as hipóteses Has E, e H, e usando as desigual

dades elementares (v,e(t))< o. Iv]? + > let) |? e tuje(t))<2m =

mena, 2 mê 1/2. /2, 1 2<= v/º + = Je(t) | < | (=C) ul + = le(t)| com m pe= .?2 2 — 2 2 : -=2m el 2m

queno vemos que. W<-Ylwl? + k, onde k e y são constantes e

y > OO.

-Pelo lema I.4.4. temos que a equação 1.4.3 é U.U.B.

COROLÁRIO 1.4.6. Se Q: H+>H é um operador auto-adjunto posi-tivo definido e limitado em um espaço de Hilbert H e C, h, 9g

e e(t) satisfazem as condições do teorema I.4.5,então a equação

44

1.4.7. Qu - Cu + h(u) + g(u) = e(t)tt

e U.U.B.

DEMONSTRAÇÃO. Escrevendo essa última equação na forma

u - o teu + onu) + og = QT le(t)tt

e definindo um novo (equivalente) produto escalar em H por— - e . . . —-l -[uru,] = QUI 10) = Cuiou, ) eê fácil verificar que Q C ê

autoadjunto negativo definido relativamente à [, ], e quese g(íu) = grad G(u) com respeito à (,) , então o tatu) =

= grad G(u) com respeito à [,] e [u,0 tg(u)] = (u,yg(u)); fi-nalmente Cura th (v)) = Cv,h(v)) e a conclusão segue do teorema1.4.5.

Como um exemplo desse tipo consideremos um sistema

« =A>).+ - =|

au, Frapli,E+Oju-rh,(u)-

gy (u) + e, (+)

1.4.8.

anjuçe + aU, = +C)U-h,(U)) - gí(u) + e(t)

no espaço produto H =NxN onde a matriz 3 é autoadjuntapositiva definida, e Cc, e Ca" h, e h,, n e gy e, e

e. satisfazem as mesmas hipóteses como C, h,g e e no teorema I.4.5. Para verificar que 1.4.8 é de fato do tipo 1.4.7 ê

suficiente tomar em H =NxN o produto escalar

45

(<(ugrU,), (uzrU,) = Curo, D+ UU, )

Vamos agora dar condições sob as quais podemos garantir quea aplicação periódica S é uma a-contração; estudamos duas si-tuações diferentes.

TEOREMA 1.4.9. Além das hipóteses H, - H, no teorema 1.4.5 suponhamos que as seguintes condições são satisfeitas:

H., - e(t) é p-periódica;

H. - existem constantes 0 <a<B tais que2 :

alv, - v., | < tv, 7 Va, hlv) - h(v,)) e

lh (v,) - hív,) | < Blv, - v, | , para todo NY, em H;

H. - para todo R, existem constantes K > 0 e O0O<a<ltais que |g(u,) - g(u,)| < Ku, - u, |? se [o Pu,| ,

10) Wu, | <R5

Ho - p(-c) XV? êéê compactamente imerso em H,

Então a aplicação periódica S é uma a-contração; em particular existe uma solução "mild" p-periódica.

DEMONSTRAÇÃO. Sejam w, = (uv), Wwa5=(Uz1V,) dois pontos em *X

e w, (t), w, (E), t > 0 as soluções tais que : w, (O) E OW e

w2, (O) = W,. Como 1.4.2 é U.U.B temos que Ww, (E), w, (€) perma-necem limitados por alguma constante R, para todo t > O. Con-

sideremos o funcional

46

E=L Iv 2 2b(u |?2 v., "VV- - 1, ,1/2 217” 17423) Vq=V2) + 3 1(-O) (wu, -u,)|,

onde b é escolhido como na prova do teorema I.4.5. Usando H|

6

é fácil verificar que a derivada de E(t) ao longo do par, de soluções (w,(t),w,(t)) satisfaz v

àTE E(t) < -6E(t) + ( v, (t) - v,(t), gu, (t)) - g(u, (t)))

+2b6(u,(t) - u,(t), g,(u,(t)) - gu, (t))).

onde 8 >0O0O é uma constante e então, usando Ho, temos

E(p) < e “PE(O) + k a7 Sup lu(t) - u, (t) |” ,

0<t<p

ep- 2 evK, constante, e IS (wo) S (w,)! <e Uw, vw]! + plw,w,) on

ode MwW? = | Iv]? +2b(uyv)+ L [=o) Wu |? e píw,.W,) =2 a 2 : 2' 1

= K sup Ju,(t)-u () |? . Seja (u .,v.) uma segúência limita-1 2 nn0<t<p

da em relação à norma à Iv |? + 3 eo) Wu ?, do fato -de ser

e 2U.U.B. concluímos que 3 Iv(|? + à |)Wu(| permanece

limitado por uma constante fixa para t em [0,p]l e Hz implicaque u, (E) tem fecho compacto em H paracada t fixo; além

disso, |(u(t,) - u, (t,) | < lt, - t21, 58, Iv, (s) | e pelo teorema

47

Arzelá-Ascoli temos que a pseudo-métrica p é prê-compacta comres2[vu

peito à norma (—— + à po MW? 1/2)? e , consequentemente, com

a norma !l ll (pois são equivalentes); as conclusões seguem dos

teoremas I.1.5 e T.1.10.

COROLÁRIO I.4.10. Consideremos a equação semilinear da onda

uu, = Au- h(u) -g(u) + e(t,x)

num domínio regular limitado &NQ CR”, n = 1,2,3, com condições

de fronteira de Dirichlet: u=0 em 0d e suponhamos que as seguintes condições estejam satisfeitas:

u .

HH - a função gí(u) = Í gís)ds é limitada inferiormente para' 0

u em IR;

H, - a função ug(u) é limitada inferiormente para u em 1R;

E —- h(0) = 0, h:1IR > IR é ec! e O0O<a<h'(v)<fkf paraalgumas constantes a &eBb;

H -e: R-> L, (8) é p-periódica e contínua;

HE Cgi RO OR é c* e satisfaz as seguintes condições dé crescimento |g'(u)]<a+ bjlulº, O <e6e<2 se n=-3; qualquerO se n=2, e nenhuma restrição se n=l. Então existe uma solução "mild" p-periódica.

48

DEMONSTRAÇÃO. Não é difícil verificar que o funcional

-G(u) = S J(uíx))dx e bem definido em D(-a)V/? = HI(0) e sa-sn

tisfaz AH. do teorema 1.4.5, tambêm

h : L, (92) + 1, (9) definida por h(v)x =h(v(x)) éê lipschitziana e Gataux derivável e

g: He(0) > L, (9) definida por gíu)x =gí(u(x)) é lipschitziana e cc.

Para verificar H quando n = 3 usamos as seguintes estimati-7

vas:

9 (u,) - glu,) |, IA

2

IA IA

8 o(K, max(luz lo. , al) + K,) Ju - ul,

A8 8

|

' =(K, max(la | 1 , 2] +K) jm =| ;, rezsoç6<6 er

1º?

para n=1 ou 2 a verificação é semelhante. As outras hipóte-ses nos teoremas 1.4.5 e 1.4.9 são obviamente satisfeitas e aconclusão segue.

OBSERVAÇÕES.

l. Nakao [11] provou um resultado semelhante dado pelo corolário T.4.10 admitindo 8 < 2 para n=3, mas requerendo e(t,x)limitada por uma constante M,- O caso g= 0 foi tratado por

49

por Prodi e Prouse com menos restrições sobre o crescimento

"—.de

h (ver [11] para essas referências). Em [14] Prodi estudou o ca-so do crescimento linear em h e g3E0, mas ele colocou uma

restrição muito forte sobre o crescimento de go.

2. Se a equação da onda no corolário 1.4.10 é consideradacom condições de fronteira de Neuman então. as mesmas conclusõesvalem se existe uma constante C > O tal que g(u) - Cu satisfaz as hipóteses A e Hs .

O próximo resultado trata de equações que representam vibrações de vigas.

TEOREMA 1,4.11. Suponhamos que o termo g(u) no sistema 1.4.2tem a forma g(u) = m(( Bu,u))-Bu onde m:1R > IR é uma fun-ção Ce : D(-e) /? + H é limitado, não negativo e autoad-junto com respeito a (,) . Suponhamos também que as seguintescondições são satisfeitas: .

r É

o - à função M(r) = Í mís)ds é limitada inferiormente parao

r>0;=| ! &Á função. rm(r) é limitada inferiormente para r > O;

H, e H, como H, eH, no teorema 1.4.5. Então o sistema 1.4.2é U.U.B. Além disso, se as hipóteses Ho, Hs e Hg do teorema

T.4.9 são satisfeitas, então a aplicação periódica S ê uma a--contração; em particular existe uma solução "mild" p-periódica.

50

DEMONSTRAÇÃO. Definindo G(u) = > M((Bujyu )) vemos que g(u) =

= grad G(u) com respeito ao produto escalar de H eas hipóte-ses H, -H, do teorema I.4.5 são satisfeitas e isso implicaque é U.U.B. Sejam (UV), (UuzrV,) dois valores iniciais em X,

(u, (€), v, (t)), (u, (t), va, (t)) as soluções com valores iniciaisneles e definimos a função F(t) = E(t) - > mí((í Bu, (t) ,u, (t) )).. Cu, (+) - u, (t), Bu, (t) - Bu, (t) ) onde E(t) &éê como no teore-

à E(t) vemos quema I.4.9. Usando as desigualdades anteriores para —-

ar 1:

ae É 6 (F(t) + m(< Bu, (t) 7 u,(E€))) Cu, (t) - u,(t),Bu,(t) - Bu, (t) )+ (m(CBu, (t), u, (€))) - m(( Bu, (t), u, (t£)))) Cv, (€) - va (t),

Bu, (t)) +2bíu, (t) - u, (t), g(u, (t)) - g(u, (€£))>

- m' (CBu, (t), u,(t))) Bu, (t), vi (€)) Cu, (€) - u, (€),

Bu, (t) - Bu, (£) ), onde 9 >0O é uma constante; asando (BMo- - s sl- (BuzrU,) = (Blu, + 1.) , u, u, ), o fato é que m é C e

É

que 1.4.2 ê U.U.B temos

sup |uF(p) <e Pr(o)+kK0<t<p

(t) - u, (t)| ,1 1

e” ºP E(0) + K, Sup Ju, (€) - u, (t)| e então0<t<p

E (p) IA 2

51

— op2

NS(w) - S(w,)ll < e Me = TH + o Gra)

onde ll | &ê como no teorema 1.4.9 e

1/2p(w, 1W,) = VK, ( sup Ju, (t) - uu, (5) .0<t<p 2

A prê-compacidade é provada da mesma maneira como no teoremaI.4.9. AS conclusões seguem dos teoremas I.1.5 e T.1.10..

OBSERVAÇÃO. O teorema I.4.11l vale também para sistemas do tipo1.4.8 desde que g, (o) e 9, (u) são do mesmo tipo como gí(u) naquele teorema.

COROLARIO I.4.12. Consideremos a equação

u =NA? 2

24º 9 7Au h(u) + mí(|grad uldu + e(t,x)

; so n sãem um domínio regular limitado & CIR e com condiçoes de fronteira de Dirichlet u=O0, = = O

seguintes condições são satisfeitas:em of?! e suponhamos .que as

(1) h : IR + NR &é ec, h(0) = 0 e existem constantes a,fÊ

tais que 0 <a<h'(v)<Bbk paratodo v em KR;

r |

(il) m:IR > R é CC e M(r) = J mís)ds e rm(r) são limitadas inferiormente para r > 0O;

(iii) e:1IR > L, (8) é p-periódica e continua. Então existe uma

solução "mild" p-periódica.

52

OBSERVAÇÃO, O problema de valor inicial para a equação 1.4.1 com

h=0 e g do tipo indicado no teorema I1.4.11 foi tratado porMedeiros [10] e para sistemas do tipo T.4.8 por Andrade [1].Essas equações aparecem em conexão com problemas da teoria de

elasticidade.

CAPÍTULO II

CONVERGÊNCIA PARA O EQUILÍBRIO

IT.l. INTRODUÇÃO

Supondo que nas equações anteriormente vistas não haja ter-mo forçante (ou que esse termo seja constante em t) estudaremoso problema de convergência para equilíbrio, isto é, estaremosinteressados em dar condições para que toda solução limitada tenda para um vonto de equilíbrio (solução estacionária).

A têcnica empregada é a do princípio de invariância e fun-cionais de Liapunov (como no caso de equações ordinárias). No

entanto, existe aqui uma dificuldade a mais. por não se saber a

priori que as soluções limitadas tem órbita pré-compacta (fechocompacto ou totalmente limitada). Em alguns casos a pré-compaci-dade dessas órbitas será obtida através do decaimento exponen-cial da parte linear "mais importante" da equação. Em outras a

convergência da solução na topologia fraca será usado como "um

vpasso intermeciário para se obter convergência forte.

II.2. DOIS RESULTADOS DE PRE-COMPACIDADE DE ÓRBITAS LIMITADAS

LEMA I1.2.1.Se um semigrupo ([T(t),t >0) num espaço de Banachat o :

, Ka > O, constantes e QCX é um cont

junto compacto, então o conjunto das integrais| T(s)h(s)ds,t>O,o

onde h percorre o conjunto das funções contínuas de [0,+-%) em

XxX satisfaz |T(t)|<Ke

54

Q é pré-compacto.

DEMONSTRAÇÃO. De fato,

t tS Tí(s)h(s)ds = S Tís)h(s)ds +

o o

t : t+ Í Tí(s)h(s)ds. Como | Tís)h(s)as| <

t t

at natsup |h(s)| (e ““"- - e*”), vemos que dadoA b- elo

te > 0, existe t(e) tal que [| T(s)h(s)ds| <e , para

E :

— t(e)t > t(e). Como as integrais Í T(s)h(s)dso

formam um conjunto pré-compacto, o lema está demonstrado.

Consideremos a equação autônoma

I1.2.2, u = Au + f(u)

supondo válidas as condições do teorema 0.2.9.

TEOREMA II1.2.3. Se o semigruno ([T(t), t > 0) gerado por A satisatfaz |T(b] <XKeº*”,Ka>0 constantese f:X>X é uma função compacta,

então toda órbita de uma solução limitada de II.2.2 é pré-compacta.

55

DEMONSTRAÇÃO. Segue da igualdade

tu(t) = T(t)u + f T(t-s) f(u(s))ds = T(t)u +

t+ Í T(s) f(uít-s) )ds,

o

do fato de Tít)u, tender a zero e do lema anterior.

TEOREMA I1.2.4. Suponhamos que existam projeções P e Q con-tíinuas complementares, isto é, PQ =QP=0,P+QE=1I, que comu

tam com T(t) para todo. t > O (ou, o que É à mesma coisa, P(X)

e Q(X) são subespaços invariantes com relação a T(t) para todo

t > 0) tais que P(X) é um subespaço de dimensão "finita e

|T(E)Qu] < K e” “tioul, K,a > O, constantes. Se, além disso,f : X>X é compacta, então toda órbita de uma solução limitadault), t > O de ITL.2.2 é pré-compacta.

Webb, [18] estudou esse tipo de problema.

DEMONSTRAÇÃO. Como

| tu(t) = T(t)u, + | T(s)f(uí(t-s))àds, temos que0 .

| tQu(t) = T(t)Qu, + | T(s)Q fí(ult-s)dso

e portanto, usando as hipóteses e os argumentos do teorema ante-rior concluímos que Qu(t), t> 0 tem fecho compacto, . Como

Pu(t), t > O está num espaço de dimensão finita e é limitado, o

56

teorema segue.

IT.3. UM NOVO ESPAÇO DE FASE

Numa das aplicações que faremos, o quadro funcional abstra-to desenvolvido atê agora não se aplica diretamente. Por causadisso somos obrigados a refazer parte da teoria para que ela seaplique a soluções "mild" num sentido um pouco diferente do vis-to atê agora.

Seja A:D(A) CC X> X o gerador infinitesimal de um semi-

grupo fortemente contínuo (T(t),t >0). Seja X, o espaço de

-. Supondo A inversiBanach D(A) com à norma lula = ul + |Au

vel (o que sempre pode ser feito sem perda de generalidade) va-mos tomar jJu|l, = |Aul, a qual ê equivalente à anteriormente de-A

finida.Do teorema 0.13 segue que T(t) XX, +F XxX, é um semigrupo

fortemente contínuo. Os lemas seguintes são de verificações qua-se imediatas. :

LEMA II.3.1.

a) O espectro de T(t) em X, é igual ao espectro de T(t)A

em X;

b) Se Are Ay— são autovalores isolados de A e

N 7 i:

.P= EYE R(A4. ;A)AA , onde T ê uma. circunferência— 27i n' nn=1 Tr

n

tal que A, é o único ponto de o(A) no seu interior, então

PIXX, ê uma projeção contínua, e P(X,)) é invariante em

57

relação a T(t), t > 0. Além disso, o (T()/p (x) TE)/pax)*

LEMA I1.3.2. Consideremos a equação linear não homogênea

I11.3.3. u=Au+ g(t)

e a solução "mild"

t tu(t) = T(t)u + Í T(t-s)g(s)ds = T(t)u + Ío o o T(s)gí(t-s)dso

se u, E D(A) e g:[0,+m*) > X é c!, u: [0,+0%) > x, ê contínua. Além disso,

. AtUlt) = T(t)AU, + T(E)g(0) + | T(s)g' (t-s)ds = T(t)Au, +

|

o

t+ T(t)g(O) + Í T(t-s)g' (s)ds ,

o

Au(t) = ut) - g(t) e

!

: t+h o

AU(t) = T(t)AJU, + Z l. T(s)g(t+h-s)ds += h, Tís)gí(trh-s)ds +

t g(t+h-s) -gít-s)+ [ T(s) ds

Jo h

onde

58

h

LEMA I1T.3.4. Se X éê um espaço reflexivo e A, é comono lema

anterior, então para todo u em X tal que lim inf IAu | <o| h+0

segue-se que u€ bD(A).

DEMONSTRAÇÃO. Ver [2a], pg. 88, teorema 2.1.2.

Consideremos agora a equação

= Au + f(u)o*

I11.3.5.

onde f: X > X,.

DEFINIÇÃO II.3.6. Uma função u definida em [0,a] é solução de

I1I.3.5 se

(i) u : [0,a] > X, ê contínua

(il) u : [0,a] > X &éê ct

(iii) a equação está satisfeita em [0,a]l.

TEOREMA IL.3.7. Suponhamos X reflexivo e que as hipóteses se-. guintes estão satisfeitas:

H., -f: x + X é diferenciável com derivada f'(u) no seguinte

sentido: f'(u) : x, > X ê linear, tem extensão contínua para X (portanto f'(u) E L(X,X)) e f(uth) - f(u) - f'(u)h=s= 9(h) com 28) so quando |nl, > O.

Th] A

59

H, -f' : É, + L(X,X) leva conjuntos limitados em conjuntos limitados e é contínua no seguinte sentido: se Uru estão em

X r & uu >U em X com lau, | limitada, então [£' (u)--f'(u)|>O0.

"Então para todo u, EX, existe a>0 e solução u(t) de

II1.3.5 definida em [0,a].

OBSERVAÇÃO. Dizer que f &éê diferenciável no sentido acima. é mais— restrito do que dizer que £ : x, >? X é diferenciável no senti-

do habitual pois estamos supondo que [e (n) + O quandolh |

lhl, > 0 emrnão que em)! , O quando |h|, + O.x xA hz AA

Este teorema apresenta uma versão diferente da encontrada em- 2 nl

Segal [16], onde a função feC com derivada lipschitiziana.

Antes de demonstrar o teorema vamos. demonstrar alguns lemas

que podem ser vistos como um cálculo diferencial para essa novanoção de derivada.

TNMA I19. 3.8. Se u:1>? X e contínua e u:I>X é ct e va-A

“Hl%m as hipóteses H, e E, acima, então f(u(.)):I>X é c*

a dd e = e! '2 f(u(t)) £f' (u(t))u' (t).

DEMONSTRAÇÃO,

— f(u(t))| £(ultts) - £'(ult))u' (tt), =

60

=| f(u(t) + ult+s) - u(t)) - £(ult))= - £' (u(t))u' (t) x

[£' (u(t)) (ultts)-ut) só jun) + LUIS) TU(t)s s x

Como

9 (ultra) -n() [6 (ult+s) -u(t) |, lult+s) -u(t) |.os X |[u(t+s) -u(t) |, Is]

e JjJuítis) - u(t) |, + O quando s>0 segue-se que Se £lu(t)) =A :

= £' (u(t))u' (t).Quanto a continuidade de £'(u(t))u'(t) temos:

|£' (ult+e))u' (tre) - £' (ult))u' (t) |,

&< [| £' (u(t+e) (u' (tre) -u' (t) |, + |(£' (ultre)-f' (u(t)) u' (t) |.

e isto vai a zero quando e > O por E, e pela continuidade de

u' (O).

LEMA II1.3.9. Ainda nas hipóteses H, e H, valea desigualdadedo valor médio: |£(u) - f(v)| < sup JE (vrtíu-rv)] Ju-vl se

O<t<luev estão em Xp.

61

DEMONSTRAÇÃO, Do lema anterior temos:

de flv + tlu-yv) = f'(v+tmu-vilu-v),

e a desigualdade segue por integração entre 0 e 1.

LEMA I1.3.10. Ainda nas hipotese H, e EH,

a) se u, : [0,a] > X é uma sequência de funções contínuasque converge uniformemente (em X) para u : [0,a]*>X e u, (€) 'v(t) estão em X, com Vau, (€) | limitada para n = 1,2,... e

t E€ [0,a]l, então £' (u, (t)) + f'(ult)) em L(X), uniformemente em

[0,a];

b) Se X &ê reflexivo, então f' é uniformemente contínuaem conjuntos compactos K de X tais que JAu|l < constante se

s

u EK,

DEMONSTRAÇÃO. Obvia (na parte b temos que usar o Lema IT.3.4).

DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA I1I.3.7. Consideremos a equação integral

t '

u(t) = T(t)u, + | T(t-s)f(u(ís))ds em X.o

Sejam b > 0 fixado, L= Sup |T(t)Au, | + sup Tt) Eu),0<tx<b 0<t<b

M=4L,N= sup |T(S)f'(W|] e 0O<a<b talque aN < z .o0<s<bul, <M

62

Definamos

u, (t) = Títlu,

tun41 (E) = T(t)u, + Í T(t-s) f(u,(s))ds0

e mostremos que JAu, (t)] < M, |Ju'(t)] < 2L, para 0 <t< a, De

fato se n= 1 essas desigualdades são verdadeiras, supondo vã-lidas para n temos pelo lema IIL.3.2:

t Tí(t-s) £' (u,(s))u' (s) ds,ut() = T(bAU +T(E) flu) + Ío

Po|

donde jul,(t)] <L+aN2L <2L.

Além disso,

s

A (Et) = uv (t) - fu, (t)) = n1 418) = flu(0) -Un+1

- Í f'(u (s))u'(s)ds , donde concluímosO n” n

[au()| <2L+L+aN2L <4L,e a indução está comple-

ta.As desigualdades provadas acarretam

tuna, (E) - u, () |z = 1f. T(t-s) (f(u, (s)) - f(u, ,(s)) às], <

63

l<aN sup ju(s)-u ,(s)|,<3 sup uí(s)-u .(s)]|—O<s<t n n-l x 2

0<s<t n n-l x

donde concluímos que u, (t) + ut) em X uniformemente em [0,a]l.Como lo (€)]| < 2L, é fácil ver pelo lema I1T,3.2 que | AO (t)]permanece limitada uniformemente em h e n e, portanto, pelolema I1.3.4 u(t) está em. X,* Por passagem ao limite obtemos

t tu(t) =T(t)u + | T(t-s) f(u(s))ds = T(t)u | T(s) f(uít-s)) ds.o o o do

Consideremos .a função v : [0,a]l >+-X contínua que resolve.

rtv(t) = T(t)Au + T(t)f(u)+!l T(t-s)fF'(uls)) vís)ds .o Oo io

(observe que o núcleo é contínuo em t e s).Então

u(tt+h) - u(t) T(t+h)u -T(tlu,.=> - v(t) =

————a

———e- T(tjau -T(t) f(u)h h |

o : o

t+h | t A. -+ l S T(s) f£(u(t+h-s! ) ds + S T(s)| f(ultih-s)) f(ult-s))he o L h

- £' (u(t-s)) vít-s) às .

64

Como

f(uít+h-s)) - f(u(t-s)) £' (ult-s)) vít-s) =h

1 "ult+ho-s) - u(t-s)= d £' (ult-s) + r(ul(t+h-s) - u(t-s) ) dr) 5o h

1 .

£f' (u(t-s)) ví(t-s) = d (£' (ult-s) + r(u(t+h-s) - u(t-s))o

£' (ul(t-s) ar) (2EHDAS) =ultos), , gi(p(tos)).h

|HE - uílt-s) - vítos)h :

obtemos

+ |

u(t+h) - u(t) ult+h-s) —-uí(t-s)|=v(t)| < yYn(t) + P S

h o; h

—- vít-s) |ds, onde YR (t) + O quando h > 0, uniformemente em

[0,a]l. Portanto

jultih)-ulb) — v()|>0 quando h > O.h

65

EXEMPLO IL.3.11. Consideremos

u,, = Au + f(u) em Ss,

u = O em 239,

onde fQ C 1R? é um aberto limitado regular.Escrevendo como sistema

= Aw + F(w)=.

w=(u,v), Alu,v) = (v,Ãu), F(u,v) = (0,f(u)).

Sabemos que A gera grupo unitário em nº x L, cujo domí-

nio ê (H* n nº) x nº .o o

Além disso, sabemos que Hº (2) E C(M) (funções contínuas em

N) com imersão compacta.

Portanto £ : nº nn > L, está bem definida se £ é de

classe c!. Mostremos que H, e H, estão satisfeitas:

| f(urh) - f(u) - £f' (u)h |H, - :. la] LL, 2

1| (£f'(utt.h) - £' (u))dt-h], 1o 2= < || £' (urt-h) -£' (u) ) dt |,nl, 0 .

2

; 2 -Quando h+>+0 em H”, sup |h|l > 0, donde este último termo vai

66

à Zero,

H, - £' (u) E E (E) ê definida pela multiplicação por f'(u).Portanto

[£'(u) - f'(u)| = fu) - fl,coE (E)

"” -Se u *u em L, e un 2 < cte, segue-se que —Uu > u

em C(R) pela imersão compacta, donde Eu) -E'(0)| + O.L(L,)

O fato é que £' leva limitados de X, em limitados de

L(L,) é óbvio pela mesma razao.

OBSERVAÇÃO. Usando argumentos semelhantes pode-se demonstrar re-sultados de continuação de soluções e dependência contínua em relação às condições iniciais, Dessa forma, se uílt,u)) éa solu-ção de IIL.3.5 com ulO0,u,) = u, vemos que essa função ê contlnua em (E,u)), t> o. e ult+s, uu) = ult,uís,0,)), t,s > O.

Nesse novo espaço de fase podemos enunciar e demonstrar re-sultados semelhantes aos teoremas IL1.2.3 e I1I.2.4.

TEOREMA ITI.3.12. Se o semi-grupo ([T(t), &t > 0) gerado por A sa-“tga > 0,aekK constantes e £fE:X > Xtisfaz |T(t)| <kKe a

é compacta de classe c! no sentido das kipóteses A. e H, ef'(u)-h pertence a um conjunto compacto fixo se lulz <cte &e

|

A

nl, < l, então a órbita de tcda solução de "1.3.5 que é limitada

em [0,+m<) é&ê prêé-compacta.

67

- ——PEMONSTRAÇÃO; Por definiçao-da-norma em Xxbastamostrar

—que

fau(t), t > 0) tem fecho compacto em X. Como Au(t)=u'(t)-E(u(t)),basta demonstrar que (fu'(t),t>0) tem fecho compacto em X .

Mas

t.u' (t) = T(t)Au, + Tit)f(u(o)) + | T(s) £' (ul(t-s))u' (t-s)ds .

; 0

Pelo raciocínio anterior vemos que ([u(t), t > 0) tem fecho

compacto em . X e daí concluímos que £'(uít-s))u'(t-s) pertencea um conjunto compacto fixo. Portanto o resultado segue do lema

%

I11.2.1.

TEOREMA II.3.13. Se (T(t), t > 0) satisfaz as condições do teorema I1.2.4 e f às do teorema anterior, então toda solução de

II1.3.5 que é limitada em [0,+%*) tem Órbita pré-compacta em Xp.

DEMONSTRAÇÃO, Como anteriormente.

II.4. PRINCÍPIO DE INVARIANÇA

DEFINIÇÃO II.4.1. Seja u(t),t >0O0 uma solução de I1.3.5 com .u(0) = u,. Dizemos que p € XxX, está no conjunto limite positivowu) de u(t) se existe uma sequência tt). ? +” tal que uít) * Pp.

em X. +

TEOREMA II.4.2. Se a órbita de u(t) &é précompacta então w(u,)E não vazin. cenemnacto. conexo, invariante e dí(u(t), w(u)) + O

68

quando t > +<0% (essa distância ê em X,) -

DEMONSTRAÇÃO. A habitual.

DEFINIÇÃO II.4.3. Se YV :RÇOTR ê uma função contínua defini-

Víulh,u)) - V(u,)mos v(u,) = lim sup « Dizemos ainda que V é

h + 0! h

uma função de Liapunov de IT.3.5 se Vu) < O para todoEu, 4.º

TEOREMA II.4.4. Se V é uma função de Liapunov de II.3.5 e u(t),t > 0 é uma solução com órbita précompacta, então w(u) CM, onde M é onmnmaior conjunto invariante contido no conjunto dos pontos u tais que V(u) = O.

DEMONSTRAÇÃO. (A prova é habitual e será dada para maior clare--za). De fato, como Víu(t))< 0, segue-se que Víu(t)) ê uma

função não crescente. Como w (u) ê não vazio, existe t. + +tal que lim ult,) existe e, portanto, lim Vvíuít,)) existe. Por

causa da monotonicidaãde concluimos que lim V(u(t)) existe e

isso acarreta que V & constante em wu) o que, por Sua vez,implica V(u) = O em w (uu) pela invariância desse conjunto. A

afirmação final é também uma consequência da invariância de mw (u).

OBSERVAÇÃO, Se V &ê uma função ãe Liapunov de II.3.5 e

lim Víu)=+w-,é fácil ver que toda solução tem Órbita limitaul, ++“A

da em [0,%=).

69

COROLÁRIO II.4.5,. Se V(u) < -kK(jau + f(u) |). onde k(s) > O pas > O, X(0) = 0, então o conjunto limite positivo de qualquer solução com Órbita précompacta é formado de pontos de equilíbrio,Em particular, se o conjunto dos pontos de equilíbrio é totalmente desconexo (isto é, as componentes conexas se reduzem a pon-tos), segue-se que tal conjunto limite é formado por exatamenteum ponto de equilibrio.

IT.5. APLICAÇÕES

Consideremos uma linha de transformação com perdas como es- quematizada abaixo.

i (x,t)

víx,t)|

g (v)

Como visto anteriormente esse problema pode ser visto como

uma equação abstrata.

IT.5.1. u = Au + f(u)

70

no espaço X = 1, [0,4] <L, 10,4] DIR, onde u=(d,,b) EX .,Au = (-EV1'- RAN, det Êy, & $(1)).

D(A) = ((d,1,b) E X:d,y E ACIO/JAU, v',y' E L, [0,4] , b=v(%4) ,

V(O) + R$(0) = 0) e f(u) =r0,- E, ZEHA,,.

Se gg: RR +I1IR é de classe ec! é fácil ver que £ : X, > X

satisfaz as hipóteses E, e H, do teorema I1.3.7, assim como

as hipóteses dos teoremas IT.3.12 e IL.3.13.

TEOREMA II.5.2. A Orbita de toda solução de IT.5.1 que é limita-da de [0,+»m) em ê prêcompacta.A

DEMONSTRAÇÃO. É uma consequência imediata do teorema I1.2.4 poisde acordo com [15] se

e : :|Ez -R |

à > = (RC + LG) + 1 àn o o2LC 24/LC 2, + RJ |

onde Z. = /E , existem PeçQ como naquele teorema.

Nosso objetivo agora é dar condições para que toda soluçãode IT.5.1 convirja para um ponto de equilíbrio e, para isso, vamos primeiramente usar o teorema I1.,4.4.

Seguindo [4] .e supondo g(v) função não linear de v tal. V '

que | g (v) dv limitada inferiormente e. max -IM). aA< ao v 1

A > O, definimos O funcional VW : X, + IR por

71

W(u)41 (- 3 RIº (x) + 3 G(V(x) + E) = IX) V (x))dxo x

: V(L)+E 2+ 3 RI2(0) *). stmas |: 3 f, =(V, (x) - RE(X))? +

+ Et 1,60 - GV) +85) fax + 367 (1) - g(V(4) +E))?

u= (I(x), V(x), V(L)).

XxXMostremos inicialmente que W(u) > += quando jul, > +,| A

De fato, W(u) pode ser escrito como

&

L2RW(u): 2 |1 ,R 2

3R (= - x) S f VZ (x) dx +(RI (x) + V(x))? dx +|

! oo

| 2R I1º(0)+Ãoc Í Ve (x) dx +

O 2 ora+ 2C

2 ;

f (G(V(x) + E) +o

Ni

>

2 V(2)+E Lo. 2+ II (x)) dx + nf g(v)dv+—=- (I1(4) - g(V(t) +E))x o 20,

2 22 a b :

> TT + 2 nos termosUsando a desigualdade (a +b)? + b& &2X

Í (RI (XxX) + v,, (x) ) (dx + VÊ (x) dx e f (T, (x) + G(V (x) +E)) dx +o Oo

2X:

+ f (G(V(x) + E) )? dx, o fato que RI(0) + V(0) = O e aso

72

hipóteses sobreg e à podemos concluir que W(u) > +m< quando

Pelo teorema II1.3.13 vemos que as hipóteses do teorema IL.4.4

estão satisfeitas.Mostremos agora que W(u) < -k(| Au + f(u)]) onde k > 0; a

derivada de W em relação à 1.2.2 é dada por:2 .

W(u) = —- (R- XL) S = (V,., (x) + RT (x) ) dxOL

2|

- (6+20) | 3 (1, (x) + G(V(x) +E)) “dx +oc

- «e [da vç12.20A 2(48, +9g (V(4) +E)) | de ve| R, E I(0O)

RLt —l : a 2,l : 2<-k. U, 2VV + RI (x) ) ta +G(V(x) +E)) )dx

+ = (T(4) - g(V() + ))?|Cí :

Pio

. 1

onde k > O pois max -— E. < A<T)Te1

Pelo corolário II.4.5 temos que todo ponto no conjunto limite de qualquer solução de IL.5.1 é um ponto de equilíbrio.

Consideremos a equação IT.5.1 com E &=0 ou seja

IT.5.3.

—Gú=au+flu) onde f(u) = (0,-8,92MO),,

TEOREMA IT.5.4. Se o .conjunto dos pontos de equilíbrio de IIé totalmente desconexo então o conjunto limite é formado de

ponto de equilíbrio;se existir uma linha de equilíbrioh'(0) £ 0, onde h(1) será definida, vale a mesma conclusão.

DEMONSTRAÇÃO, Como vimos em IT.2.4 os pontos: de equilíbrioIT.5.3 são

IG). (cosh (RG x + R$/E senh (RG x) I1(0)

V(x) -(R, cosh y RG x +/8 senh / RG x) I(0).

com a condição. g(T1(0)) = kIT(0) onde

coshvRG %+ R AA senh RG 2&

IT.5.5. k =- 2 À

.RA senh (RE4 + R, cosh (Rê 4

Se o conjunto dos pontos de equilíbrio é totalmente des

xo, a conclusão do teorema segue pelo resultado anterior e

corolário IL.4.5.

Se o conjunto dos pontos de equilíbrio não é totalmenteconexo então existe um intervalo [a,b] onde a equação g(X= kI(0) está identicamente satisfeita, ou seja g é linear[a,b] .

73

.5.3um

e

de

cone

pelo

des(0))

em

74

4 + eAA —— PP

a b (0)

Considerando a equação característica h(,) dada em[15] por

o Kih(4) = (à + e RX17 (22) + X12 (22) +

Ro l1 1

x, (28,2) X52 (212).

a (À) '

cosh [a (2) &] - Teixo) Sem [a (9) 2)

- Si senh. [a (1) 21. cosh[a (4) 4].

se a(2) =/(CL))º + (CR + GL)A + GR 0;

75

se.

KA) x. (211) 1 (CR+Ê DO

=.6t -a == =

xo) (A) X 2 (2,2) o 1

se

=- R =a =- E =

x] (2) x. (L12) (GR C0)L 1

e k dadoem IT.5.5, temos h(0) =0 e

h'(0) = — — Je(R cosh VR & +

e/R senh / RG 4 + R, coshyRG 4) |

:

' Rº+/2 senh/RG 23? + 2

(ER+

GL)(2 À)

GG RE R G

(CR = GL)R2 1.

|

: 2R 2+ 22222

((&+=)senh/RG 4 coshvyRG 4 + º senh“ (RG 24)|.2/Rê o /RG

Admitamos que h'(0) 0, 0ou seja zero É um auto valor sim

ples e suponhamos que existam ARAÇO E wu), W. Ê WII então exis

te hiperplano passando por um ponto de equilíbrio entre w, E Wy

76

invariante pela equaçãoII.5.3, Como w,y e w,€Eu(u) existen, E MN tal que” uít, ) pertence ao hiperplano e pela invariân-

ocia temos que u(t) pertence ao plano t > t. 1 O que ê um absur

odo.

IIT.6. USO DA TOPOLOGIA FRACA

Uma das técnicas para se provar que toda solução limitada de

uma equação de evolução converge para um ponto de equilíbrio é O

emprego da topologia fraca. Essa técnica consiste em pvrovar pri-meiramente que toda solução limitada converge fracamente para um

ponto de equilíbrio e depois, usando algum outro argumento, pro-va-se que a convergência na realidade é forte.

Seja X um espaço de Hilbert separável (portanto a topolo-gia fraca éê metrizâavel em conjuntos limitados).

LEMA IT.6.l. Consideremos em X a equação abstrata

IL.6.2. u = Bu+ f(u) + h(t)

e suponhamos satisfeitas as seguintes condições:

77

(1) B é o gerador de um semigrupo fortemente contínuo;

t+1(ii) h: [0,+%-) > X & contínua e lim | lh(s) dás = O

| t+ +%-/t !

(ii) f :X + X é lipschitziana em conjuntos limitados e £f: X,?X,é contínua, onde X, é o espaço X equipado com a topolo-gia fraca.

Se u(t),t>0,é uma solução de I1.6.2 que é limitada em

[0, +60), então o conjunto limite positivo, na topologia fraca,YO) dessa solução é não vazio, compacto e conexo em X,'d(uít),Y w CO) + O quando t+ +m (À Ea distância que dá a

topologia fraca) e 7%, (u) é invariante em relação à equaçãolimite.

I1I.6.3. úu = Bu + f(u)

s

Além disso, se No E YO). no = Lim ult,) e n(t) é a so-

lução de IT.6.3 com n(0) = n,, então n(t) = lim u(t+t) uni-wW

formemente em conjuntos compactos de [0,+0%).

DEMONSTRAÇÃO. Ver [2].

Consideremos agora a equação abstrata de segunda ordem.

IT.6.4. eu - Au + h(u,) + g(u) = Ott

num espaço de Hilbert separável H.

78

Essa equação foi estudada por Ball [2] no caso de h ser 1inear em u,; aqui trataremos o caso de h não linear. A dificuldade que isso traz é que a aplicação v €E 1, (2) + h(v) EL, (9) em

geral não ê fracamente contínua se h for não linear. De fato,se h (v) ê definida por

o se v<oh(v) =

Vv se v>O0

2T -ê fácil ver que Í . h(sen nx)dx = 2. Portanto, sen nx —> O eo

h(sen nx) —/>0. Como consequência, h(v) =h(v)+v também não

é fracamente contínua e este éê precisamente o tipo de h que consideraremos.

Escrevendo como anteriormente IIL.6.4 na forma de sistema

s

ÍI.6.5. w=Bw+ E(w)

no espaço de Hilbert X = D(-a)V/? x H onde w= (u,v), BwWw =

= (v,Au), £(w) = (0,-h(v) - g(u)) D(B) = D(A) x D(-a)V0?, podermos demonstrar o seguinte:

TEOREMA I1.6.6. Suponhamos satisfeitas as seguintes condições:

(i) A é auto-adjunto negativo definido;/2(ii) go : D(-Aa)* + H é fracamente contínua, lipschitziana em

conjuntos limitados e g(u) = grad G(u) no produto escalarde H, onde G é limitada inferiormente em conjuntos limitados e G fracamente contínua;

79

(iii) h : H> H é lipschitziana em conjuntos limitados e2 .

(v,h(v)) > alvl ,a>0 e alvl</h(v)]< Blvl;

; 1/2 :(iv) D(-A) ê compactamente imerso em EH;

(v) o conjunto dos pontos de equilíbrio é finito. Então o con-.junto limite forte de toda solução limitada é formado de um

ponto de equilíbrio.

DEMONSTRAÇÃO. Seja (u(t), v(t)) uma tal solução limitada em

[0, +%º) e consideremos o funcional

2dv? jeate?W(u,v) =——

+ 7 + G(u) .

Então

Y 2W(t) = = tv,h(v)) <- alv| < O..

Como (u(t), v(t)) é limitada em [0,+%-) segue-se de (ii)que W(íult), v(t)) é limitada inferiormente e, portanto lim W(t)

t+ +existe; em particular, |v(t) 2 <- E acarreta que

ft+l 2 : !

lim J |v(s) las = O e esse fato juntamente com as desigual-t+ +m 't

: | t+l1 t+1 2 t+1 2dades | lh(v. (s) |àds < / J |lhív(s) | “ds <B | lv(s) |úàás

t tt

80

- t+1nos permite concluir que lim J lh (v) (s) |àás =0,t+ + Je

Usando o lema IT.6.1 vemos então que o conjunto limitefraco dessa. solução é invariante. em relação. àã equação limite.

< HU Au - g(u)

Sejam (UyrV) um ponto desse conjunto limite e (u(t) , vt, ))

tal que (ut), vt )) —— (UV). De acordo com o lema IT.6.1

(ult+t), v(t+t)) —= (U(t), V(t)) onde (U(t), V(t)) é a so-lução da equação limite com condição inicial (UV). Em parti-cular, |v(s) |? < lim inf Iv(s+t |? usando o lema de Fatou concluimos que se t >0 temos

t tº.f W(s +t Jdso n

Ê

|v(s+t |? ds <lim inf(-L)o n - o2

IAt. 2Í |IVv(s) |“ ds<lim inf Ío

lim inf (- 2 (+) - WU) = O.

tTrabalhando da mesma forma com t<0 obtemos S Iv(s) |ºas = 0

o

para todo t real donde V(s)=0 o que. acarreta que as solu-ções do conjunto limite fraco. são equilíbrios da equação limitee da equação original pois h(0) = O. Como os pontos de equilí-brio são isolados, concluimos que esse conjunto limite fraco tem

um só ponto e, portanto (u(t), v(t)) —(U,0).

81

Fazendo uma translação podemos tomar U=0.e g(0) = O.

Com essa mudança (u(t), v(t)) —— (0,0).

—

Vamos agora mostrar que essa convergência é forte, isto é,2 1/2 2 e oque |v(t)|“ + |(-A) u(t)| + O quando t>++%-,. Primeiramen-

te observemos que esse limite existe pois lim W(t) existe et+ + co

lim Gíu(t)) também existe devido as hipóteses sobre G. AlémEp+ +oo

disso,

& (u,v) = Iv]? + (Cu, Au - h(v) - g(u)) =

= Iv]? - ea) Wu? - (u, h(v)) - <(u,g(u)) =

2lv/2 = (lvl? + [ear2) - cu, h(v)) - Cujg(o)):;

integrando essa identidade entre t e t+l e observando que:

(1) (Cult), v(t)) — O, Cu(t), h(v(t))-> O e (Cu(t),g(u(t))— O

(pois u(t) — O em H por causa da imersão compacta).

t+ 2(5) J lv(s) |? ass 0tt+1

concluimos que S dvis) |? + Lea) VW? u(s) |º) ds — O quandot

: 2t ++m e, portanto, que lim (vt) |? + Lea)0? u(t)| = 0.p+ +oo

OBSERVAÇÃO. O caso em que h depende tambêm de u pode ser tratado de forma semelhante.

82

TIT.6.7. APLICAÇÕES

Consideremos a equação de onda

u,, = Mu + h(u,) +t+g(u)=0 em 9tt

com condição de fronteira u=0 em 39f.

h (v)Suponhamos h(0)=0, |h'(v)| <M e 0 <a<— paratodo v real. Suponhamos ainda que g: R > IR seja

1 » - O = s .Cc e satisfaça às mesmas condiçoes de crescimento como anteriore que o conjunto dos pontos de equilíbrio é finito.

Usando os teoremas de imersão não é difícil de ver que ashipóteses do teorema IT.6.6 estão satisfeitas.

- Esse teorema pode ser também aplicado às equações abstra-tas e concretas tratadas no final do capítulo TI.

s

1)

21

[2a]

E

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[5]

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Vol. 10, nº 5, set. (1979),