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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA

EXCITAÇÕES EM CRISTAIS FOTÔNICOSUNIDIMENSIONAIS

CARLOS ALEXANDRE AMARAL ARAÚJO

NATAL-RNMARÇO-2012

CARLOS ALEXANDRE AMARAL ARAÚJO

EXCITAÇÕES EM CRISTAIS FOTÔNICOSUNIDIMENSIONAIS

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Graduação

em Física do Departamento de Física Teórica e Experimental da

Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito par-

cial para a obtenção do grau de doutor em Física.

Orientador: Prof. Dr. Manoel Silva Vasconcelos

Co-orientador: Prof. Dr. Eudenilson Lins de Albuquerque

NATAL-RNMARÇO-2012

Para Pessoas Especiais:

À minha família. Especialmente ao meu pai, Luiz

Carlos, e minha mãe, Antonia.

i

AGRADECIMENTOS

À Deus.

Aos meus pais, Luiz Carlos Tavares Costa Araújo e Antonia Amaral Araújo, pela

criação, amor e carinho que sempre me deram, fazendo com que eu me transforma-se num

homem digno e honesto.

À Vera Lúcia Barbosa pela amizade e carinho que tem comigo e com os meus

pais.

À minha namorada, Aline Rodrigues Mendes Vieira, que me deu muito apoio,

amor e carinho, além de ter tido muita paciência nos meus momentos de estresse.

Ao meu orientador, professor Dr. Manoel Silva Vasconcelos, pela orientação,

discussões e, principalmente, por tudo que sempre fez por mim desde a graduação até

hoje.

Ao professor Dr. Eudenilson Lins de Albuquerque, meu orientador no mestrado

e co-orientador neste trabalho, pela contribuição intelectual, que adquiri nas orientações

e disciplinas ministradas, pela coraboração nos trabalhos da tese e pelos conselhos.

À todos os professores do IFMA, campus São Luís - Monte Castelo, que con-

tribuíram durante a minha graduação.

Aos todos os amigos que fiz no Departamento de Física Teórica e Experimental -

DFTE.

À todos os professores do DFTE, especialmente aqueles que contribuíram para a

minha formação durante a pós-graduação.

À todos os funcionários deste departamento, especialmente à Celina Pinheiro

pelo zelo e eficiência nos serviços prestados.

À CAPES, CNPq e FAPEMA pelo apoio financeiro.

ii

“A imaginação é mais importante que o conhecimento.

Conhecimento auxilia por fora, mas só o amor socorre por

dentro. Conhecimento vem, mas a sabedoria tarda.”

(Albert Einstein)

iii

RESUMO

Neste trabalho, apresentamos um estudo teórico da propagação das ondas eletro-

magnéticas em estruturas de multicamadas denominadas de Cristais Fotônicos. Para este

fim, investigamos os band gaps dos polaritons de fonons em multicamadas periódicas e

quasi-periódica (tipo Fibonacci), compostas por dois materiais com índices de refração

positivo e negativo na região de terahertz (THZ). O comportamento dos band gaps pola-

ritônicos como uma função do período da multicamada é investigado sistematicamente.

Utilizamos um modelo teórico baseado no formalismo da matriz de transferência com o

objetivo de simplificar a álgebra envolvida na obtenção da relação de dispersão dos po-

laritons de fonons (modos de volume e superfície). Também, apresentamos uma análise

quantitativa dos resultados, apontando para a distribuição das larguras das bandas pola-

ritônicas permitidas para altas gerações de Fibonacci, que nos dá uma boa compreensão

sobre sua localização e leis de potência. Calculamos o espectro de emitância da radi-

ação eletromagnética, na frequência de THz, incidente normalmente e obliquamente (mo-

dos polarizados s e p) sobre uma estrutura unidimensional de multicamadas composta

por materiais com índices de refração positivo e negativo organizados periodicamente

e quasi-periodicamente. Modelamos o material com índice de refração negativo por um

meio efetivo cuja permissividade é caracterizada por uma função dielétrica dependente da

frequência do polariton de fonon, enquanto para a permeabilidade magnética temos uma

função tipo Drude dependente da frequência. Semelhante ao cristal fotônico unidimen-

sional, este meio efetivo em camadas, chamado cristal polaritônico, nos permite o controle

da propagação electromagnética, gerando regiões denominadas de bang gaps polaritôni-

cos. Os espectros de emitância são determinados por meio de um modelo teórico bem

conhecido baseado na segunda lei de Kirchoff, juntamente com o formalismo da matriz

de transferência. Nossos resultados mostram que aparecem bang gaps ominidirecionais

no regime de THz, num intervalo bem definido, que são independentes da polarização no

caso periódico bem como no caso quasi-periódico.

iv

ABSTRACT

In this work, we present a theoretical study of the propagation of electromagnetic

waves in multilayer structures called Photonic Crystals. For this purpose, we investigate

the phonon-polariton band gaps in periodic and quasi-periodic (Fibonacci-type) multi-

layers made up of both positive and negative refractive index materials in the terahertz

(THz) region. The behavior of the polaritonic band gaps as a function of the multilayer

period is investigated systematically. We use a theoretical model based on the formalism

of transfer matrix in order to simplify the algebra involved in obtaining the dispersion re-

lation of phonon-polaritons (bulk and surface modes). We also present a quantitative ana-

lysis of the results, pointing out the distribution of the allowed polaritonic bandwidths for

high Fibonacci generations, which gives good insight about their localization and power

laws. We calculate the emittance spectrum of the electromagnetic radiation, in THZ fre-

quency, normally and obliquely incident (s and p polarized modes) on a one-dimensional

multilayer structure composed of positive and negative refractive index materials orga-

nized periodically and quasi-periodically. We model the negative refractive index material

by a effective medium whose electric permittivity is characterized by a phonon-polariton

frequency dependent dielectric function, while for the magnetic permeability we have

a Drude like frequency-dependent function. Similarity to the one-dimensional photonic

crystal, this layered effective medium, called polaritonic Crystals, allow us the control

of the electromagnetic propagation, generating regions named polaritonic bandgap. The

emittance spectra are determined by means of a well known theoretical model based on

Kirchoff’s second law, together with a transfer matrix formalism. Our results shows that

the omnidirectional band gaps will appear in the THz regime, in a well defined interval,

that are independent of polarization in periodic case as well as in quasiperiodic case.

v

LISTA DE FIGURAS

2.1 Cristal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 (a) Representação esquemática do experimento da difração de raios X. (b) Figura

de difração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Ilustração da lei de Bragg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Cristais Fotônicos Naturais. (a) Borboleta, (b) besouro e (c) peixe. . . . . . . . . . . . 11

2.5 Cristal fotônico (a) unidimensional, (b) bidimensional e (c) tridimensional. . . . . . 11

2.6 Fibra óptica com uma rede de Bragg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.7 Estrutura de bandas de um cristal fotônico tridimensional com rede cúbica de face

centrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.8 Estrutura de bandas de um cristal fotônico tridimensional com rede diamante. . . . 15

2.9 Estrutura de bandas de um cristal fotônico com rede cúbica de face centrada inver-

tida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.10 Cristal fotônico tridimensional com rede cúbica de face centrada invertida. . . . . . 16

2.11 Estrutura de bandas do cristal fotônico unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.12 Microscópio baseado no efeito de super lente e um exemplo de imagem de alta

resolução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1 Representação da radiação na óptica geométrica (a) e na óptica ondulatória (b). . . . 30

3.2 Onda plana senoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

vi

3.3 Onda num meio dielétrico com perdas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1 Propagação esquemática da onda em materiais com índice de refração positivo e

negativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2 Representação do tripleto ÑE, ÑH e ÑS em materiais com índice de refração positivo e

negativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3 Espectro de frequência do gap polaritônico para super-rede periódica. . . . . . . . . 53

4.4 Ampliação da Figura 4.1 para a região 17.34 THzB ω B 26.01 THz e 0.0 B kxdA B 0.25. 54

4.5 Espectro de frequência do gap polaritônico considerando um cristal fotônico quasi-

periódico da quarta geração da sequência de Fibonacci. . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.6 Espectro do gap polaritônico contra o vetor de onda adimensional de Bloch QL

para a razão das espessuras dB~dA � 3.90, considerando a quinta geração da super-

rede polaritônica quasi-periódica de Fibonacci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.7 Estrutura de banda polaritônica plotada como uma função do vetor de onda no

plano reduzido Kx � kxL~2π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.8 Distribuição das larguras de bandas dos polaritons de fônons, para kxdA � 0.5,

como uma função do número da geração n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.9 representação log-log da largura total das regiões permitidas ∆ versus o número

de Fibonacci Fn, para três valores diferentes do vetor de onda no plano adimen-

sional kxdA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.1 Representação esquemática geométrica da estrutura de multicamadas. As camadas

A e B têm espessuras dA e dB , respectivamente, enquanto L é o tamanho de toda

a estrutura crescida sobre o substrato absorvente de espessura dS . O meio C rep-

resenta o vácuo. (a) Estrutura periódica. (b) Estrutura quasi-periódica de Fibonacci. 64

5.2 Propagação esquemática da onda em materiais com índice de refração positivo e

negativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.3 Modo TE (ondas eletromagnéticas com polarização s) do espectro de emitância

como uma função da frequência ω (em THz) e do ângulo de incidência θ numa

estrutura periódica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

vii

5.4 Modo TE (ondas eletromagnéticas com polarização s) do espectro de emitância

como uma função da frequência ω (em THz) e do ângulo de incidência θ na estru-

tura quasi-periódica de Fibonacci (nona geração). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.5 Ampliação da Figura 5.4 na região de frequência 0 @ ω @ 90 THz. . . . . . . . . . . . 71

5.6 Modo TM (ondas eletromagnéticas com polarização p) do espectro de emitância

como uma função da frequência ω (em THz) e do ângulo de incidência θ numa

estrutura periódica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.7 Modo TM (ondas eletromagnéticas com polarização p) do espectro de emitância

como uma função da frequência ω (em THz) e do ângulo de incidência θ na estru-

tura quasi-periódica de Fibonacci (nona geração). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.8 Ampliação da Figura 5.7 na região de frequência 0 @ ω @ 90 THz. . . . . . . . . . . . 74

viii

SUMÁRIO

1 Introdução 1

2 Cristais Fotônicos 7

2.1 Cristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Cristal Fotônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Evolução Histórica no Estudo dos Cristais Fotônicos . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Propriedades dos Cristais Fotônicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Algumas Aplicações dos Cristais Fotônicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5.1 Fibras de Cristais Fotônicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5.2 Circuitos Fotônicos Integrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5.3 Modificação da Emissão Espontânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5.4 Isoladores Ópticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5.5 Elementos Não-Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5.6 Dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5.7 Efeito de Luz Lenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Fundamentos de Óptica Ondulatória 27

3.1 Meio Óptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

ix

3.2 Propagação das Ondas: Equações de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Equação da Onda no Vácuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4 Ondas em Meios Dielétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.1 Índice de Refração do Meio Dielétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.2 Meio Dielétrico com Perdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5 Velocidade de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Polaritons de Fônons em Cristais Fotônicos na Faixa de Frequência de Terahertz 42

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2 Teoria Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3 Resultados Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Band Gaps Omnidirecionais na Faixa de Terahertz em Cristais Polaritônicos Quasi-

periódicos 61

5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.2 Teoria Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.3 Resultados Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6 Considerações Finais e Perspectivas 75

Referências bibliográficas 79

Apêndice 98

x

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

“A imaginação da natureza é muito, muito maior do que

a imaginação do homem."

Richard P. Feynman

As principais conquistas da ciência na obtenção de novas tecnologias resultaram

de uma compreensão detalhada das propriedades que os recursos naturais disponíveis no

planeta possuem. A evolução do homem durante a Pré-História, desde a idade da pedra

lascada (período Paleolítico), passando pela idade da pedra polida (período Neolítico) e

pela idade do bronze, até chegar a idade do ferro, é em grande parte uma história de cres-

cente reconhecimento das técnicas e utensílios desenvolvidos pelo homem em cada uma

dessas épocas, associados, também, à novas formas de produção. Nossos antepassados

construíam suas ferramentas a partir dos conhecimentos que tinham acerca dos materi-

ais encontrados na natureza, como, por exemplo, a durabilidade que a pedra possuia e a

dureza que o ferro apresentava. Em cada caso, eles aprenderam a extrair os materiais da

Terra para transformá-los em objetos capazes de melhorar as suas condições de vida.

Muito tempo depois, os cientistas começaram a fazer mais do que simplesmente

melhorar o que a Terra nos fornece na forma bruta. Ao mexer com os materiais existentes,

eles produziam substâncias com propriedades ainda mais desejáveis, evoluindo do brilho

das primeiras ligas de bronze para a confiabilidade do aço e do concreto moderno. Hoje,

1

Capítulo 1. Introdução 2

contamos com uma coleção de materiais totalmente artificiais com uma gama enorme

de propriedades mecânicas, graças aos avanços em pesquisas científicas que refletiram

melhoras substanciais em vários ramos da indústria, onde podemos destacar a metalurgia

e a cerâmica [1].

Desde o século XX, o nosso controle sobre os materiais aumentou tanto que já

podemos manipular suas propriedades elétricas. Os avanços na física de semicondutores

nos permitiram adequar as propriedades de condução de certos materiais, dando início a

revolução do transistor na eletrônica. A partir da utilização de novas ligas e cerâmicas,

cientistas têm desenvolvido, por exemplo, materiais supercondutores a altas temperaturas

e outros materiais exóticos que poderão servir como base para futuras tecnologias.

Nas últimas décadas, surgiu um novo desafio para a ciência: controlar as pro-

priedades ópticas dos materiais. Vários dispositivos tecnológicos, vistos apenas em filmes

de ficção, se tornariam realidade se conseguíssemos desenvolver materiais que respon-

dessem às ondas de luz da seguinte maneira: refletindo-a perfeitamente, em alguns inter-

valos de frequências, ou confinando-a dentro de um determinado volume. Atualmente,

os cabos de fibra óptica, que simplesmente guiam a luz, estão revolucionando a indústria

de telecomunicações. Além disso, com o desenvolvimento de novos materiais ópticos,

teríamos muitos avanços na fabricação de lasers, na computação de alta velocidade e no

campo da espectroscopia, só para citar alguns exemplos de áreas que seriam diretamente

beneficiadas.

A discussão feita até aqui suscita o seguinte questionamento: que tipo de material

pode nos proporcionar o controle completo sobre a propagação da luz? A resposta dessa

pergunta é o objeto de estudo desta tese. Faremos uma abordagem teórica de um disposi-

tivo óptico capaz de controlar a propagação da radiação eletromagnética. Esse disposito

é conhecido na literatura como Cristal Fotônico. Ele tem o comportamento análogo ao

controle que o cristal eletrônico impõem ao movimento dos elétrons. O cristal fotônico

é uma estrutura que apresenta uma periodicidade bem definida no índice de refração,

podendo ser unidimensional, bidimensional e tridimensional. De modo análogo ao que

ocorre num semicondutor é formada uma estrutura de bandas devido à periodicidade do

índice de refração.

Além de investigar o comportamento da radiação eletromagnética em estruturas

fotônicas periódicas, vamos estudar um modelo cuja estrutura do cristal apresenta uma

quasi-periodicidade no índice de refração, dando origem a um “Quasi-Cristal Fotônico ”.


Ele consiste em dois ou mais materiais dielétricos dispostos num padrão quasi-periódico

com simetria não cristalográfica [2]. Recentemente, tem sido demonstrado que estruturas

qiasi-cristalinas são promissoras na construção de materiais que possuem band gaps fotôni-

cos [3–6].

Um quasi-cristal é um material que exibe ordem de longo alcance num exper-

imento de difração, mas não tem periodicidade translacional. Os quasi-cristais foram

descobertos por Dan Shechtman em 1984 [7], que ganhou o Prêmio Nobel em Química

de 2011 por esse trabalho. O pressuposto de que um cristal deve ser periódico nas três

dimensões já tinha sido contestada pela descoberta de estruturas moduladas incomensu-

ráveis. Elas são estruturas cristalinas sujeitas a distorções periódicas com um período que

é incompatível com o da rede subjacente. Ao contrário de quasi-cristais, estas estruturas

podem, no entanto, ser consideradas como distorções de estruturas periódicas, e o seu

grupo de pontos de simetria permitir periodicidade nas três dimensões. Em vez de pe-

riodicidade translacional, quasi-cristais exibem outra propriedade de simetria intrigante,

isto é, auto-similaridade por escala. Em quasi-cristais icosaédricos e decagonais, a auto-

similaridade está relacionada com as propriedades de escala da razão áurea τ � �º5�1�~2.

Nosso modelo de quasi-cristal fotônico é obtido a partir da justaposição de dois

meios ópticos, com índices de refração diferentes, seguindo a sequência quasi-periódica

de Fibonacci que é gerada a partir de regras substitucionais. Ela tem sido estudada em

várias áreas, incluindo-se a Matemática, Ciência da Computação, Criptografia e, mais re-

centemente, na Física. A sequência de Fibonacci é talvez a mais antiga de todos que con-

hecemos. Ela foi formulada em 1202 pelo italiano Leonardo de Pisa (que era conhecido

como Fibonacci, que em latin significa “filho de Bonacci ”) [8], para descrever o cresci-

mento de uma população de coelhos. Está sequência dá origem a uma série infinita de

números que obedecem uma certa relação de recorrência, e cuja razão, entre um número

da série e seu antecessor, conduz à mesma razão áurea verificada nos quasi-cristais.

A estrutura de Fibonacci, que utilizamos nas simulações numéricas, pode ser

crescida experimentalmente pela superposição de dois blocos de construção A e B, de

modo que o n-ésimo estágio da super-rede Sn é dado iterativamente pela regra de recor-

rência Sn � Sn�1Sn�2, sendo n C 2, com S0 � B e S1 � A. A estrutura de Fibonacci também

é invariante sob as transformações A � AB e B � A. As gerações da super-rede de Fi-

bonacci são:


S0 � �B�, S1 � �A�, S2 � �AB�, S3 � �ABA�, etc. (1.1)

O número de blocos de construção desta estrutura aumenta de acordo com o número de

Fibonacci, cuja relação de recorrência é:

Fl � Fl�1 � Fl�2, (1.2)

com F0 � F1 � 1. A razão entre o número de blocos de construção A, e o número de

blocos de construção B, tende para o chamado golden mean number (razão áurea), quando

o número de gerações tende para o infinito. Isto pode ser provado facilmente da seguinte

maneira: seja

τl �Fl�1Fl�2

, (1.3)

a razão entre o número de blocos A e B, na l-ésima geração da sequência de blocos.

Fazendo l � l � 1 na Eq. (1.2), e substituindo na Eq. (1.3), teremos:

τl � 1 �Fl�3Fl�2

, (1.4)

como τl�1 � Fl�2~Fl�3, temos que

τl � 1 �1

τl�1, (1.5)

Tomando o limite de l �ª na Eq. (1.5) (que equivale a fazer τl � τl�1 � τ ), encontraremos

a seguinte equação,

τ � 1 � τ�1 (1.6)

que tem como uma das soluções τ �12�1 � º

5�. Assim, encontramos a razão áurea no


nosso modelo de quasi-cristal fotônico. Daqui pra frente, vamos utilizar o termo cristal

fotônico tanto para as estruturas periódicas quanto para as estruturas quasi-periódicas de

Fibonacci.

Esta tese está estruturada em seis capítulos. Este primeiro buscou apresentar,

brevemente, a evolução histórica das ações humanas no que diz respeito à manipulação

dos recursos naturais, desde a pré-história até os dias atuais, com o objetivo de atender

suas necessidades em cada período histórico. Também, fizemos uma breve descrição so-

bre os cristais fotônicos, os quasi-cristais e a sequência quasi-periódica de Fibonacci. No

segundo capítulo, apresentamos um estudo comparativo entre o cristal eletrônico, que

possui uma teoria bem consolidada, e o cristal fotônico. Em seguida, apresentaremos

a evolução histórica no estudo dos cristais fotônicos, suas propriedades e algumas apli-

cações tecnológicas.

Também, apresentaremos, no terceiro capítulo, os fundamentos da Óptica Ondu-

latória que norteia a propagação da luz no vácuo e em meios materiais. Aqui, definiremos

o que é um meio óptico, apresentaremos as equações de Maxwell, que descrevem o com-

portamento dos campos eletromagnéticos na propagação da luz.

No quarto capítulo, investigaremos os band gaps dos polaritons de fonons em

multicamadas periódicas e quasi-periódicas (tipo Fibonacci) compostas por materiais com

índice de refração positivo (SiO2) e índice de refração negativo (metamaterial) na região

de terahertz (THz). O comportamento dos band gaps polaritônicos como uma função do

período da multicamada será investigado sistematicamente. Utilizaremos um modelo

teórico baseado no formalismo da matriz-transferência com o objetivo de simplificar a ál-

gebra envolvida na determinação da relação de dispersão dos polaritons de fonons (mo-

dos de volume e superfície). Também, apresentaremos uma análise quantitativa dos re-

sultados, apontando para a distribuição das larguras de bandas polaritônicas de energia

permitida para altas gerações de Fibonacci, que nos dará uma boa noção sobre sua local-

ização e leis de potência.

No quinto capítulo, iremos calcular o espectro de emitância da radiação eletro-

magnética, na frequência de THz, que incidirá normalmente e obliquamente (com polar-

izações s e p) sobre uma estrutura unidimensional de multicamadas, composta por ma-

teriais com índice de refração positivo (SiO2) e índice de refração negativo (metamaterial

polaritônico LiTaO3), organizada periodicamente e quasi-periodicamente tipo Fibonacci.

Vamos modelar o material com índice de refração negativo por um meio efetivo cuja


permissividade elétrica ε�ω� é caracterizada por uma função dielétrica dependente das

frequências dos polaritons de fonons, enquanto para a permeabilidade magnética µ�ω�temos uma função dependente da frequência tipo Drude. Da mesma forma que um cristal

fotônico unidimensional, este meio efetivo em camadas, chamado cristal polaritônico, nos

permitem o controle da propagação eletromagnética, gerando regiões denominadas de

band gaps polaritônicos. Os espectros de emitância serão determinados por meio de um

modelo teórico bem conhecido baseado na segunda lei de Kirchoff, combinado com o for-

malismo da matriz-transferência. Por fim, no sexto capítulo, faremos as considerações

finais e apresentaremos algumas sugestões de possíveis extensões deste trabalho.

CAPÍTULO 2

CRISTAIS FOTÔNICOS

“Os primeiros cristais fotônicos não foram projetados

nem fabricados num laboratório, eles evoluíram durante

milhões de anos na natureza."

Stefan F. Preble

Nas últimas décadas, a Física procura encontrar uma resposta para a seguinte

questão: que tipo de material pode proporcionar o controle completo sobre a propagação

da luz? Para solucionar esse problema vários pesquisadores têm feito analogias com os

estudos, bem sucedidos, sobre os materiais eletrônicos. Esses estudos descrevem o com-

portamento dos elétrons dentro dos sólidos cristalinos. Porém, antes de entender essa

dinâmica deve-se compreender o que é um cristal.

2.1 Cristal

Cristal é um material cujos componentes que o compõem (átomos, íons ou molécu-

las) são arranjados em um padrão que repete-se periodicamente (Figura 2.1), estendendo-

se em uma, duas ou três dimensões. O padrão da repetição dos constituintes do cristal

7

Capítulo 2. Cristais Fotônicos 8

no espaço é denominado de rede cristalina. A primeira indicação da periodicidade dos

cristais foi descoberta pelos mineralogistas no final do século XIX. Eles identificaram que

os índices que definem as orientações das faces de um cristal são números inteiros [9].

Esta conclusão foi confirmada, posteriormente, pela descoberta da difração de raios X

pelos cristais.

Figura 2.1: Cristal.

No início do século XX, os estudos e pesquisas da Física do Estado Sólido (pos-

teriormente denominada de Física da Matéria Condensada) foram impulsionados pela

formulação de uma teoria, que explicava a difração de raios X por uma arranjo periódico

(Figura 2.2), pelo físico alemão Max von Laue (1879 – 1960). As primeiras experiências

dessa teoria foram realizadas por dois alunos de Laue, Walter Friedrich (1883-1968) e Paul

Knipping (1883-1935).

Logo depois, o britânico Willian Henry Bragg (1862-1942) e seu filho William

Lawrence Bragg (1890-1971), nascido na Austrália, demonstraram uma relação matemática

que estabelece a condição para que ocorra interferência construtiva entre as ondas espa-

lhadas pelos pontos da rede cristalina. Essa relação passou a ser conhecida como lei de

Bragg, fundamental para o estudo de estruturas cristalinas com o uso da difração de raios

X.

Os raios X são apropriados para o estudo da difração em cristais, porque pos-

suem um comprimento de onda da mesma ordem que a distância entre os átomos de um

cristal. Também, pode-se estudar difração na rede cristalina de um material com feixes

de nêutrons e elétrons, porém os seus resultados são mais complicados de interpretar em

comparação com a difração de raios X, além de serem mais difíceis de executar.

Considerando uma família de planos paralelos separados por uma distância d


(a) (b)

Figura 2.2: (a) Representação esquemática do experimento da difração de raios X. (b) Figura dedifração.

(Figura 2.3), a diferença de percurso entre os raios refletidos por planos vizinhos é 2d sin θ,

onde θ é o ângulo de incidência. Os raios refletidos pelos diferentes planos interferem

construtivamente quando a diferença de percurso é igual a um número inteiro n de com-

primentos de onda λ, ou seja, quando

2d sin θ � nλ. (2.1)

A lei de Bragg é satisfeita apenas para comprimentos de onda λ B 2d. Embora a reflexão

de cada plano seja especular, apenas para alguns valores de θ as reflexões de todos os

planos paralelos se somam em fase para formar um feixe difratado intenso. Essa lei é

consequência da periodicidade da rede cristalina.

O cristal apresenta um potencial periódico que impõem restrições a propagação

do elétron através dele. Assim, os constituintes do cristal e a geometria da rede determi-

nam as propriedades de condução do cristal.

A teoria da Mecânica Quântica em um potencial periódico explica o que já foi

um grande mistério para a Física: na condução em um cristal, por que os elétrons se

propagam como um gás difuso de partículas livres? Como os elétrons evitam serem es-

palhados pelos constituintes da rede cristalina? A resposta é que os elétrons se propagam

como ondas, e as ondas que satisfazem determinados critérios podem viajar através do


Figura 2.3: Ilustração da lei de Bragg.

potencial periódico da rede sem sofrer dispersão (embora eles sejam espalhados por de-

feitos e impurezas).

No entanto, a rede também pode proibir a propagação de certas ondas. Pode

haver gaps na estrutura de bandas de energia do cristal, o que significa que os elétrons

estão proibidos de se propagar com certas energias em determinadas direções. Se o po-

tencial da rede é suficientemente forte, o gap pode estender-se cobrindo todas as direções

possíveis de propagação, resultando em um gap completo na banda. Semicondutores são

exemplos de materiais que apresentam um gap completo entre a banda de valência e a

banda de condução. O análogo óptico é o cristal fotônico, no qual os átomos ou moléculas

são substituídos por meios macroscópicos com diferentes constantes dielétricas ε.

2.2 Cristal Fotônico

Cristal fotônico é uma estrutura formada por materiais organizados periodica-

mente com diferentes constantes dielétricas, conduzindo a diferentes índices de refração

η �ºεµ, onde µ é a permissividade magnética do meio. Os primeiros cristais fotônicos não

foram projetados, nem fabricados em um laboratório, mas evoluíram durante milhões de

anos na natureza [10]. Eles criam, por exemplo, as belas cores em borboletas. Para enten-

der melhor as propriedades ópticas dessas borboletas, Pete Vukusic e Ian Hooper usaram


a microscopia eletrônica [11]. Suas imagens revelam que as asas dessa borboleta con-

têm uma intricada estrutura nanométrica de cristais fotônicos naturais. Uma variedade

surpreendente de estruturas fotônicas naturais estão sendo descobertas não apenas nas

borboletas, mas também em outros insetos, pássaros e peixes (Figura 2.4).

(a) (b) (c)

Figura 2.4: Cristais Fotônicos Naturais. (a) Borboleta, (b) besouro e (c) peixe.

Cristais Fotônicos representam uma nova classe de meios ópticos, representados

por estruturas naturais e artificiais com modulação periódica do índice de refração. Esses

meios ópticos têm algumas propriedades peculiares que proporcionam inúmeras apli-

cações tecnológicas. Dependendo da geometria da estrutura, os cristais fotônicos podem

ser divididos em três grandes categorias: unidimensionais, bidimensionais e tridimensio-

nais (Figura 2.5).

Figura 2.5: Cristal fotônico (a) unidimensional, (b) bidimensional e (c) tridimensional.

Nos cristais fotônicos unidimensionais há modulação periódica da permissivi-

dade elétrica apenas em uma direção, enquanto nas outras duas direções da estrutura

ela é uniforme. Como exemplo deste tipo de cristal fotônico temos a rede (ou grade) de

Bragg (Figura 2.6), que é muito utilizada para modular o índice de refração ao longo do

comprimento de uma fibra óptica [12]. Quando a luz, que está dentro da fibra, entra em

contato com a rede de Bragg, parte da radiação é refletida e parte é transmitida. A parte


refletida corresponde as ondas que têm comprimento de onda correspondente ao com-

primento de onda da rede de Bragg. Além disso, essas estruturas podem ser utilizadas

para diminuir drasticamente a reflectância de superfícies, visando melhorar a qualidade

de lentes [13], prismas [14] e outros dispositivos ópticos.

Figura 2.6: Fibra óptica com uma rede de Bragg.

Cristais fotônicos bidimensionais podem ter, comparativamente com os unidi-

mensionais, grande variedade de configurações, porque possuem periodicidade da per-

missividade ao longo de duas direções, enquanto a terceira direção do meio é uniforme.

Um bom exemplo de cristal fotônico bidimensional é o silício poroso, com poros peri-

odicamente organizados, que é representado por um substrato de silício perfurado. Outro

exemplo é um sistema de hastes dielétricas organizados periodicamente no ar. Também,

podemos encontrar exemplos de cristais fotônicos bidimensionais na natureza. O padrão

na asa da borboleta e seu jogo de arco-íris são causados pela reflexão da luz da microestru-

tura bidimensional sobre a asa.

Estruturas fotônicas tridimensionais têm modulação da permissividade ao longo

de todas as três direções. Nesses cristais, o número de configurações possíveis é maior que

nas estruturas anteriores. Muitos trabalhos científicos dedicam-se ao projeto de novas

configurações geométricas, com o objetivo de ampliar as possíveis aplicações. O cristal

fotônico tridimensional mais conhecido, formado naturalmente, é a pedra preciosa opala.

Esta pedra possui propriedades ópticas únicas. Quando giramos a pedra na presença da

luz, ela exibe uma variedade de cores. Devido a esse comportamento, os povos antigos

acreditavam que a opala possuía alguns poderes mágicos. No entanto, sabe-se que todas

essas peculiaridades são causadas pela microestrutura da opala. Ela é constituída por

uma série de micro-esferas colocadas nos vértices de uma rede cúbica de face centrada. A

reflectância nessa estrutura depende fortemente do ângulo de incidência da radiação.


2.3 Evolução Histórica no Estudo dos Cristais Fotônicos

Apesar dos cristais fotônicos terem chamado atenção apenas nas últimas décadas

do século XX, o primeiro estudo relacionado a possibilidade de controlar a propagação da

luz, utilizando uma estrutura periódica, foi publicado em 1887 [15]. Nesse trabalho, Lord

Rayleigh (1842 – 1919) investigou a propagação de ondas eletromagnéticas num mineral

cristalino que possui planos periódicos. Esses planos organizam-se numa estrutura unidi-

mensional, que proíbem a propagação das ondas, causando um estreito gap na estrutura

de bandas (band gaps). Esse gap depende do ângulo devido à diferentes periodicidades

experimentadas pela luz em uma incidência não-normal. Isso resulta numa variedade de

cores refletida pelo material, uma para cada ângulo de incidência. Um efeito similar é

responsável pelas cores iridescentes que aparecem na natureza.

Quase cem anos depois, em 1972, Bykov [16] publicou um artigo descrevendo

a possibilidade de utilizar estruturas periódicas para o controle da emissão espontânea.

No entanto, os primeiros trabalhos que contribuíram efetivamente para o progresso das

pesquisas em cristais fotônicos foram os de Yablonovitch [17] e John [18] em 1987. Esses

trabalhos dedicaram-se as possibilidades de modificação da emissão espontânea e con-

trole da propagação da radiação usando estruturas periódicas bidimensionais e tridimen-

sionais. Esta generalização que inspirou o nome Cristal Fotônico. Eles foram os pioneiros

na utilização de ferramentas do Eletromagnetismo Clássico e da Física do Estado Sólido

no estudo dessas estruturas. Após a publicação desses artigos, o número de trabalhos

dedicados a física e tecnologia dos cristais fotônicos aumentou consideravelmente.

Em 1990, Ho, Chan e Soukoulis [19] obtiveram a estrutura de bandas de um

cristal fotônico com rede cúbica de face centrada (estrutura opala), que consistia de es-

feras dielétricas com alto índice de refração colocadas no ar. Exemplo da estrutura de

bandas desse cristal fotônico, calculada pelo método de expansão de ondas planas (Plane

Wave Expansion-PWE), é mostrada na Figura 2.7.

Como pode ser visto a partir da Figura 2.7, a primeira banda encontra-se dentro

da faixa de frequência relativa de 0 � 0.8 (em unidades de 2πc/a, onde a é o parâmetro

de rede do cristal e c é a velocidade da luz). A segunda coincide com a primeira banda

nas seções do vetor de onda Γ � L e Γ �X , nos intervalos de frequência 0 � 0.7 e 0 � 0.79,

respectivamente. Além disso, dentro de todas as faixas de frequência investigadas há pelo


menos um auto-estado contribuindo para a inexistência de gaps fotônicos completos. Por

exemplo, no ponto Γ a auto-frequência é igual a zero. Na faixa do vetor de onda Γ � L a

auto-frequência cresce suavemente de 0 � 0.8.

A existência de auto-estados em cada ponto dessa faixa de frequência confirma a

ausência de gap fotônico completo. Além disso, parece que os cristais fotônicos com esse

tipo de rede não apresentam gap completo para quaisquer valores dos índices de refração.

Entretanto, considerando a estrutura de bandas, pode-se concluir que estes cristais fotôni-

cos têm gaps parciais em algumas direções de propagação (por exemplo, no ponto L no

intervalo de 0.7 � 0.77 não há auto-frequências). Isso significa que a luz com frequência

nessa faixa e propagando-se nessa direção será refletida. Essa propriedade é responsável

pelo efeito óptico típico de todas as opalas naturais e artificiais.

Figura 2.7: Estrutura de bandas de um cristal fotônico tridimensional com rede cúbica de facecentrada.

No mesmo trabalho, foi apresentado o resultado do cálculo da estrutura de banda

para o cristal fotônico com rede diamante, feito de esferas dielétrica dispostas no ar. Como

resultado, foi encontrada um gap fotônico completo na estrutura de bandas entre a se-

gunda e terceira banda (veja Figura 2.8).

Em 1992, H.S. Sozuer and J.W. Haus [20] calcularam a estrutura de bandas do

cristal fotônico com rede cúbica de face centrada invertida (também conhecida como opala

invertida) que é apresentada na Figura 2.9. O termo opala invertida significa que ao invés

de esferas dielétricas colocadas no ar, a rede cúbica de face centrada invertida consiste de

um número de cavidades esféricas separadas por defletores com maior índice de refração

(veja Figura 2.10). Verificou-se que essas estruturas têm gap fotônico completo para valores

relativamente altos do índice de refração do material. A estrutura de bandas da opala

invertida (Figura 2.9) tem gap fotônico completo entre a oitava e nona bandas.


Figura 2.8: Estrutura de bandas de um cristal fotônico tridimensional com rede diamante.

Figura 2.9: Estrutura de bandas de um cristal fotônico com rede cúbica de face centrada invertida.

O surgimento de gaps fotônicos completos em cristais fotônicos com rede cúbica

de face centrada invertida atraiu um interesse especial, porque essas estruturas possibili-

tariam a produção de cristais fotônicos em larga escala.

Em 1998, a opala invertida artificial foi obtida experimentalmente [21]. O diâmetro

das esferas tinha aproximadamente 1µm, e a distância que as separa muito irrisória fazendo

com que elas quase se toquem. Do ponto de vista tecnológico, é muito mais fácil crescer a

estrutura com esses parâmetros do que com grandes distâncias. Assim, suas posições po-

dem ser facilmente bloqueadas. O índice de refração do material entre as esferas (TiO2) é

2.8, que é muito pequeno para formar gap fotônico completo. No entanto, quando a Sílica

é usada, há possibilidade de gap fotônico completo para alguns parâmetros geométricos.

Em 2000, foi obtido o primeiro cristal fotônico tridimensional que apresentava gap

fotônico completo próximo do infra-vermelho [22]. Esse cristal fotônico era constituído

por esferas de silício arranjadas numa rede diamante.


Figura 2.10: Cristal fotônico tridimensional com rede cúbica de face centrada invertida.

Desde 1987 e até 2005 mais de dez mil obras impressas (livros, artigos, etc) dedi-

cadas aos cristais fotônicos e dispositivos baseados em cristais fotônicos foram publicadas.

No entanto, boa parte desses trabalhos dedicaram-se ao estudo de fibras microestrutu-

radas que possuem propriedades únicas, com a possibilidade de modificar parâmetros e

características dentro de uma larga faixa de frequência, e cristais fotônicos unidimensio-

nais produzidos na forma de lasers com refletores de Bragg distribuídos ou na forma de

fibras com rede (ou grade) de Bragg.

Apesar da tecnologia atual não dispor de muitas técnicas para a produção de

cristais fotônico bidimensionais e tridimensionais, existem muitas possibilidades de apli-

cações tecnológicas dessas estruturas. Dentre elas destacam-se a modificação da emissão

espontânea, os isoladores ópticos, elementos não-lineares e fibras microestruturadas.

2.4 Propriedades dos Cristais Fotônicos

As propriedades ópticas dos cristais fotônicos são determinadas pela existência

da modulação periódica da permissividade ou do índice de refração do meio. Por isso, os

efeitos observados têm forte analogia com os do estado sólido, isto é, a estrutura fotônica

arranjada periodicamente assemelha-se a dos átomos numa rede cristalina. Tal semel-

hança possibilita fazer uso das propriedades e métodos de cálculos que aplicam-se na

física do estado sólido.

Dentre as semelhanças entre a física dos cristais fotônicos e a física do estado

sólido destacam-se:


• Modulação periódica do índice de refração em um cristal fotônico forma uma rede

semelhante a rede atômica do estado sólido.

• Comportamento dos fótons nos cristais fotônicos é semelhante ao comportamento

do par elétron-buraco numa rede atômica.

• A periodicidade da rede de ambos provoca o aparecimento de um gap na estrutura

de bandas (band gaps), ou seja, intervalo de energia inacessível à partícula dentro da

estrutura.

• Do ponto de vista teórico, a determinação das auto-funções num cristal fotônico é

muito semelhante ao cálculo da função de onda de uma partícula no estado sólido.

Essa similaridade é usada para obter a estrutura de bandas fotônica.

No entanto, além da forte similaridade, existem algumas diferenças essenciais.

Uma das principais diferença é a distribuição da energia das partículas. Elétrons obe-

decem a distribuição de Fermi-Dirac e fótons obedecem a distribuição de Bose-Einstein.

Além disso, elétrons são afetados pelo campo intra-cristalino, que necessariamente deve

ser levado em conta nos cálculos. A forma deste campo intra-cristalino é desconhecida.

Por isso, utilizam-se métodos aproximativos como o método k-p. Fótons não são afetados

pelo campo intra-cristalino. Por esse motivo, o cálculo da distribuição do campo óptico

ou estrutura de bandas fotônica é essencialmente simplificado.

A propriedade mais importante, que determina a aplicação prática dos cristais

fotônicos, é a presença do gap fotônico (photonic band gaps). Esse gap fotônico refere-se a

energia ou intervalo de frequência proibida para a propagação da luz dentro da estrutura.

Quando a radiação incide, com frequência pertencente ao intervalo de valores proibidos

pela estrutura, é completamente refletida. No entanto, se for introduzido um defeito na

estrutura fotônica periódica, temos como resultado um efeito parecido ao apresentado

pelos semicondutores que tem um defeito na sua estrutura cristalina. Isto significa que

novos auto-estados aparecem dentro da região proibida com energias correspondentes as

auto-frequências do defeito. Assim, a radiação irá se propagar dentro da frequência do

defeito, possibilitando sua propagação dentro da estrutura numa região anteriormente

proibida. Quando introduz-se múltiplos defeitos na estrutura a propagação da radiação é

conduzida como um guia de ondas.

Assim, existe uma forte analogia entre a Física dos Cristais Fotônicos e a Física do

Estado Sólido, tanto do ponto de vista teórico quanto do ponto de vista matemático.


A estrutura de bandas do cristal fotônico é a característica que fornece mais infor-

mações acerca de suas propriedades. Ela é representada por um número de auto-estados

ou auto-frequências de uma estrutura periódica infinita.

Auto-frequência também é chamada de frequência de ressonância da estrutura.

Uma vez que o cristal fotônico é uma estrutura periódica infinita, uma série de reflexões de

Fresnel aparecem nas interfaces. Interferência construtiva e destrutiva das ondas provoca

uma transmissão ou reflexão da radiação.

Cada conjunto de auto-estado corresponde a um valor específico do vetor de onda

da radiação. Independente da dimensionalidade do cristal fotônico, a estrutura de bandas

é representada por um gráfico bidimensional. O exemplo de uma estrutura de bandas

para o cristal fotônico unidimensional é dado na Figura 2.11.

Figura 2.11: Estrutura de bandas do cristal fotônico unidimensional.

O significado físico da estrutura de bandas é conectar as propriedades da radiação

com as propriedades do meio óptico onde ocorre a propagação da mesma. Na Figura 2.11

o eixo horizontal corresponde ao vetor de onda da radiação e o eixo vertical representa

as frequências de ressonância do meio. Vamos considerar o caso quando a radiação com

frequência ω1 incide no cristal fotônico. Depois que a radiação penetra na estrutura, ela

possui um valor para o vetor de onda permitido pela estrutura. O valor de cada vetor de

onda pode ser facilmente encontrado a partir da estrutura de bandas. Verifica-se a partir

da Figura 2.11 que o vetor de onda com valor k1 corresponde à frequência da radiação ω1.

Possuindo esse vetor de onda, a radiação propaga-se dentro da estrutura.

Agora, vamos considerar outro caso. Se a radiação tem frequência ω2, o vetor de


onda correspondente não pertence ao intervalo cujos valores são reais. Ela possui um

vetor de onda imaginário k2. A parte imaginária do vetor de onda corresponde a uma

atenuação da radiação ou o seu aumento. No caso da figura Figura 2.11, k2 corresponde a

uma atenuação. A radiação com frequência pertencente a este intervalo será refletida pela

estrutura. No entanto, uma vez que a atenuação tem uma valor finito, antes de sofrer a

reflexão a radiação penetra um pouco na estrutura.

Esses dois casos contêm princípios básicos da análise da estrutura de bandas

fotônica, ou seja, o meio periódico em questão apresenta intervalos de frequência per-

mitidos e proibidos. A radiação propaga-se dentro da estrutura apenas para valores de

frequência pertencente ao intervalo permitido. Caso contrário, será refletida. As faixas de

frequência proibidas são usualmente denominadas de gaps fotônicos. Se a radiação possui

frequência permitida, ela assume valor do vetor de onda que pode ser encontrado a partir

da estrutura de bandas.

2.5 Algumas Aplicações dos Cristais Fotônicos

Os cristais fotônicos são ferramentas poderosas para a manipulação de ondas

eletromagnéticas. Dentre suas aplicações tecnológicas destacam-se: as fibras de cristais

fotônicos, os circuitos fotônicos integrados, a modificação da emissão espontânea, os iso-

ladores ópticos, os elementos não-lineares, a dispersão e efeito de luz lenta (slow light

effect).

2.5.1 Fibras de Cristais Fotônicos

Uma das aplicações mais pesquisadas é a fibra de cristal fotônico, que é uma nova

classe de guias de ondas ópticos. Sabe-se que as fibras ópticas desempenham um papel

importante na comunicação moderna. Uma fibra óptica tradicional consiste em um núcleo

central e um revestimento que o envolve. A luz é guiada no núcleo ao longo da fibra óptica

por reflexão interna total, pois o índice de refração do núcleo é maior do que o índice de

refração do revestimento. A fibra de cristal fotônico tem um núcleo e um revestimento


como na fibra óptica convencional, e é constituída de uma estrutura dielétrica periódica

bidimensional perpendicular ao seu eixo. Essas fibras podem ser divididas em dois tipos.

Uma delas é a fibra microestruturada com índice guiado relatada pela primeira vez por

Knight, et al [23]. Fibras de cristal fotônico com índice guiado são similares as fibras

ópticas convencionais porque o índice de refração efetivo do núcleo é maior do que o

índice de refração efetivo do revestimento. Elas podem ter uma constante dielétrica entre

o núcleo e o revestimento muito maior que nas fibras ópticas convencionais levando a uma

grande força de confinamento óptico. Também, são úteis para reforçar efeitos não-lineares

criando fenômenos de dispersão incomuns [1]. Além disso, é importante que essas fibras

permaneçam com modo único para comprimentos de fibra suficientemente grandes. Essa

capacidade é conhecida como modo infinitamente único [24].

O outro tipo são as fibras com gap fotônico relatadas por Knight [25] e Cregan [26].

Elas são diferentes das fibras ópticas tradicionais. O núcleo é preenchido pelo ar e o índice

de refração efetivo do revestimento é maior do que o do ar. Assim, a orientação da luz é

explicada pelos fenômenos associados ao gap fotônico em detrimento da reflexão interna

total. Isso minimiza os efeitos de perda, as não-linearidades indesejadas e quaisquer out-

ras propriedades indesejáveis do material [1].

Fibras de cristais fotônicos podem ser superiores às fibras clássicas porque elas

podem ter menos atenuação, transmitir a luz com potência óptica muito maior, terem

menores perdas e podem ser usadas em um número crescente de aplicações em diversas

áreas [27].

2.5.2 Circuitos Fotônicos Integrados

Um dos grandes desafios da Física do século XXI é viabilizar a construção de Cir-

cuitos Fotônicos Integrados. Sabe-se que circuitos integrados são feitos de transistores e

de linhas de transmissão de elétrons. Nesses circuitos a informação é transferida pelos

elétrons entre os transistores com linhas de transmissão. No circuito integrado fotônico,

informações serão transferidas pelos fótons em vez de elétrons. No entanto, existem al-

gumas dificuldades para os circuitos fotônicos integrados. O primeiro problema na sua

construção é conseguir guiar ondas eletromagnéticas sem perdas. Alta transmissão de

ondas eletromagnéticas através de curvas apertadas foi demonstrada teoricamente por


Mekis [28] e experimentalmente por Lin [29]. Uma vez que as linhas de transmissão têm

ramos (ou divisores) nos circuitos integrados, os guias de ondas também terão ramos

nos circuitos fotônicos integrados. Um ramo para esse tipo de circuito foi simulado por

Fan [30] e outro foi realizado experimentalmente por Lin [31].

O segundo problema no caminho de uma realização prática é desenvolver transis-

tores ópticos (ou fotônicos). Um transistor completamente óptico foi demonstrado teorica-

mente por Yanik [32] com cristais fotônicos não-lineares. Um interruptor óptico biestável,

equivalente à ação de um transistor óptico, foi demonstrado experimentalmente por No-

tomi [33]. No entanto, a combinação de tudo isso com baixo consumo de energia e alta

velocidade ainda é difícil para os circuitos fotônicos integrados.

2.5.3 Modificação da Emissão Espontânea

A modificação da emissão espontânea foi a primeira aplicação dos cristais fotôni-

cos [17–22]. Por isso, ela está diretamente relacionada a origem desse cristal e desempenha

papel importante no desenvolvimento de fontes de luz. Por exemplo, cristais fotônicos

podem ser usados para aumentar a eficiência e diminuir o atual limite dos lasers semicon-

dutores. Eles, também, podem desempenhar uma função de refletor distribuído [34–38].

A segunda maneira de utilizar o cristal fotônico, como elemento para a modi-

ficação de radiação espontânea, é na concepção de novas fontes de radiação, principal-

mente. Em tais fontes, tanto cristais fotônicos puros quanto com defeitos, que formam

ressonadores de alta qualidade e provocam forte localização da radiação dentro do de-

feito, podem ser usados para modificar a radiação espontânea e melhorar as caracterís-

ticas dos lasers [39–45]. Dependendo do tipo de cristal fotônico a ser utilizado (com ou

sem defeito), a fonte pode ser monocromática ou policromática, ou seja, laser ou diodos

emissores de luz [46–55].

2.5.4 Isoladores Ópticos

A utilização dos cristais fotônicos como um isolador óptico, em via de regra, é

reduzida. Ela restringe-se a possibilidade de localizar a radiação no interior do defeito


da estrutura periódica. Com isso, o comprimento de onda da radiação deve situar-se

dentro do gap fotônico da estrutura. Os principais dispositivos que podem ser desen-

volvidos com tal propriedade são as microcavidades [56–59], os guias de ondas [60–66],

os divisores [67–71], os engates [72–78] e os combinadores [79–81]. A principal função dos

microressonadores é baseada na possibilidade do cristal fotônico localizar a radiação no

interior da área com defeito da estrutura periódica. De fato, o defeito pode ser represen-

tado pela mudança, variação de parâmetros ou ausência de alguns elementos ou grupo

de elementos.

Guias de ondas de cristais fotônicos são representados pelos chamados defeitos

lineares da estrutura periódica. Tais defeitos, possuem propriedades de guiamento dentro

de um vasto intervalo de comprimento de onda. Uma das propriedades únicas desses

guias de ondas é a possibilidade de formar curvas muito acentuadas sob ângulos de até

90X [82–86] e ainda maiores [87–89]. Diferente do guia de onda planar, cujo princípio se

baseia na reflexão interna total, o guia de onda de cristal fotônico localiza a luz devido à

presença de gaps fotônicos completos. Assim, guia de onda com base no defeito linear da

estrutura tem uma maior eficiência e é mais compacto que o guia de onda planar.

Divisores representam uma classe de dispositivos ópticos que permitem a divisão

da potência óptica na proporção determinada ou dividindo-a em feixes polarizados [90–

93]. O divisor baseado em cristal fotônico pode ser representado por um número de guias

de ondas ópticos conectados em um único ponto. Neste caso, a potência passando do

guia de onda de entrada é divida no ponto de conexão. Outro tipo de divisor baseia-se no

acoplamento de guias de ondas paralelas com a distância entre guias reduzida [94–96]. A

radiação de um guia de ondas move-se suavemente do guia de ondas de entrada para o

de saída. Variando parâmetros do guia de ondas, pode-se facilmente variar uma porção

da potência a ser transmitida pelo guia de ondas de saída.

2.5.5 Elementos Não-Lineares

A introdução de materiais não-lineares dentro da estrutura periódica pode causar

o aparecimento de efeitos interessantes e até mesmo inesperados [97–102]. Materiais não-

lineares mudam seu índice de refração quando são percorridos por radiação de alta inten-

sidade. Essa variação no índice de refração pode causar modificações essenciais nas carac-


terísticas dos dispositivos baseados em estruturas não-lineares. Essas possibilidades dão

origem a uma nova classe de dispositivos ópticos, tais como elementos de armazenamento

de informações óptico [103–107], elementos lógicos [108–111] e limitadores de potência

óptica [112–114]. Solitons ópticos discretos [115–117] dentro do cristal fotônico não-linear

podem ser utilizados para armazenar informação. Esses solitons, controlados pela radi-

ação, permitem implementar a informação escrita e a leitura. Um princípio do elemento

lógico óptico está baseado no fato que a potência de um único sinal óptico não é sufi-

ciente para mudar, essencialmente, as propriedades da estrutura. Porém, quando dois

sinais incidem na estrutura não-linear, a variação no índice de refração aparece tal que as

propriedades ópticas do cristal fotônico como um todo são alteradas, bem como a trans-

mitância e a reflectância, particularmente.

Limitadores de potência óptico podem ser usados para evitar danos em sensores

ópticos devido à radiação de alta intensidade. Também, são utilizados na normalização

da intensidade de fontes na entrada de circuitos ópticos. O seu princípio consiste no

crescimento da reflectância da estrutura de cristal fotônico não-linear com a intensidade

da radiação. Com isso, a intensidade de saída permanece constante.

2.5.6 Dispersão

A inusitada propriedade de dispersão dos cristais fotônicos [118,119] permite que

eles sejam utilizados como super-primas [120–124], super-lentes [125–129], multiplexado-

res e desmultiplexadores [130–134].

A luz policromática quando incide na superfície de um prisma, formando um ân-

gulo com a normal à superfície, é dispersada por ele, isto é, raios de luz de comprimentos

de onda diferentes propagam-se em diferentes ângulos dentro do prisma. A divisão da

luz por um prismas convencional baseia-se na dispersão do material. Tendo em vista que

as mudanças do índice de refração com comprimento de onda são muito fracas em ma-

teriais transparentes, a possibilidade de dispersão em revestimento de multicamadas é

limitada. Os cristais fotônicos podem ser usados para obter uma dispersão espacial muito

maior. Em determinadas condições, eles exibem uma dispersão maior que o material de

um prisma convencional.

Nas proximidades da borda da banda fotônica, os cristais fotônicos exibem uma


dispersão cromática causada pela variação gradual do índice de refração aparente, de-

vido a curvatura da banda fotônica. Isso pode ser interpretado como efeito prisma, isto

é, como uma mudança no diâmetro das linhas de iso-frequência dentro da estrutura de

bandas. Se os contornos da iso-frequência mudar sua forma com a frequência, a dis-

persão pode aumentar sua magnitude consideravelmente. Essa propriedade dispersiva

ultra-forte, chamada de efeito super prisma, permite a construção de filtros ópticos com-

pactos que são altamente atraentes para aplicações em multiplexadores, utilizados como

divisores de comprimentos de onda.

A construção de uma lente perfeita, que produzisse uma imagem, igualmente,

perfeita foi o sonho dos fabricantes de lentes durante muitos séculos. Em 1873, Ernst Abbe

(1840–1905), físico e matemático alemão, descobriu um limite de difração fundamental na

óptica. Sempre que um objeto é fotografado por um sistema óptico, tal como a lente de

uma câmera, traços finos (menores que a metade do comprimento de onda da luz) são

perdidos na imagem. A perda de informação acontece porque a luz que é proveniente dos

traços finos do objeto carrega componentes com alta frequência espacial, ou seja, ondas

evanescentes que decaem exponencialmente, resultando em uma imagem imperfeita. O

‘tesouro perdido ’, como os detalhes do subcomprimento de onda poderia ser chamado,

é a razão fundamental para o limite de difração de Abbe, que determina o menor recurso

que se pode ver através das lentes [135]. Em termos práticos, isso limita a resolução de

todos os sistemas de imagem, dificultando, por exemplo, pesquisas na Biologia moderna

e na Eletrônica.

A luz emitida ou espalhada por um objeto não inclui apenas ondas de propa-

gação, mas também as ondas evanescentes, que carregam os subcomprimentos de onda

dos detalhes do objeto. As ondas evanescentes decaem em qualquer meio com índice de

refração positivo, de modo que elas não podem ser coletadas no plano da imagem por

uma lente convencional, resultando numa imagem de difração limitada. Uma solução

é utilizar lentes fabricadas com metamateriais que têm índice de refração negativo. As

primeiras ideias sobre a possibilidade de um meio com índice de refração negativo surgi-

ram a partir do trabalho teórico de Veselago [136] em 1967. Porém, os metamateriais só

foram efetivamente construídos no inicio deste século [137, 183].

Quando a lente, constituída pelo metamaterial, é colocada próximo de um objeto,

as ondas evanescentes são fortemente reforçadas dentro dela [139]. Após atravessarem

a lente, essas ondas decaem novamente até que suas amplitudes atinjam seu nível ori-

ginal, no plano da imagem. Por outro lado, as ondas de propagação passam através da


lente com refração e frente de fase reversa ambas negativa, levando a mudança de fase

zero no plano da imagem. Ao recuperar completamente tanto as ondas de propagação

quanto as evanescentes em fase e amplitude, uma perfeita imagem é criada. Um esquema

representando a suposta imagem de uma super lente é mostrada na Figura 2.12.

Figura 2.12: Microscópio baseado no efeito de super lente e um exemplo de imagem de altaresolução.

Nas comunicações de fibra óptica, multiplexação por divisão de comprimento de

onda é uma tecnologia que permite a transmissão de múltiplos sinais ópticos em uma

mesma fibra óptica, simultaneamente. Os dispositivos tecnológicos utilizam comprimen-

tos de onda diferentes da luz do laser para transmitir sinais diferentes, através de uma

única fibra óptica. Isto leva a uma multiplicação da capacidade de comunicação. Nesta

tecnologia multiplexadores são utilizados para unir os sinais juntos e os desmultiplexa-

dores são utilizados para dividir os sinais separados.

Usando um cristal fotônico exibindo o efeito super-prisma, desmultiplexadores

foram, teoricamente, demonstrados por Chung [140] em 2002 e realizado experimen-

talmente em 2006 por Momeni [141]. Multiplexadores e desmultiplexadores baseados

em guia de ondas de cristal fotônico foram, também, demonstrados teoricamente por

Chien [142].

2.5.7 Efeito de Luz Lenta

A luz lenta (slow light) é outra aplicação importante que vem sendo amplamente desen-

volvida [143–145]. Esse fenômeno tem chamado a atenção de vários pesquisadores nos

últimos anos, pois oferece outro nível de controle sobre as interações entre a luz e matéria.


Ela emprega a capacidade que os cristais fotônicos possuem de ter uma velocidade de

grupo ultra-baixa para comprimentos de onda específicos. Os dispositivos baseados no

efeito de luz lenta podem ser utilizados como roteadores fotônicos em redes ópticas trans-

parentes, microlaser com baixo volume modal, linhas ópticas de atraso, etc.

Paradoxalmente, a luz lenta promete aumentar a velocidade das telecomunicações

através de novas estruturas fotônicas, tais como ressonadores acoplados [146] e cristais

fotônicos [147, 148]. Além do atraso do sinal, uma das principais consequências do retar-

damento da luz é o aumento da interação entre a luz e a matéria.

CAPÍTULO 3

FUNDAMENTOS DE ÓPTICA ONDULATÓRIA

“Do gênio de Young e Fresnell, a teoria ondulatória da

luz foi estabelecida de modo tão forte que a partir de en-

tão a hipótese corpuscular não era mais capaz de recrutar

qualquer novo adepto entre os jovens."

Edmund Whittaker

Até a primeira metade do século XVIII, muitos cientista imaginavam que a luz

fosse constituída por um feixe de minúsculas partículas (chamada de corpúsculos) emi-

tidas pelas fontes de luz. Essa ideia vem dos atomistas. Eles acreditavam na natureza

corpuscular das imagens que chegavam aos olhos, imaginando que estas se formavam a

partir de um feixe de partículas do ar, existente entre o objeto e o observador, que atingia

a retina.

Por volta de 1665, surgiram as primeiras evidências das propriedades ondulatórias

da luz. Entretanto, apenas no início do século XIX a evidência de que a luz é uma onda

cresceu de modo muito convincente. Em 1873, James Clerk Maxwell (1831-1879) fez a

previsão da existência de ondas eletromagnéticas e calculou a velocidade de propagação

dessas ondas. Esse desenvolvimento, juntamente com o trabalho experimental de Hein-

rich Hertz (1857-1894) iniciado em 1887, mostrou de maneira irrefutável que a luz é efeti-

vamente uma onda eletromagnética.

27

Capítulo 3. Fundamentos de Óptica Ondulatória 28

Contudo, a natureza ondulatória da luz não é suficiente para explicar tudo. Di-

versos efeitos associados com a emissão e com a absorção da luz revelam a sua natureza

corpuscular, no sentido que a energia transportada pela onda luminosa é concentrada em

pacotes discretos conhecidos como fótons. Os aspectos ondulatórios e corpusculares da

luz aparentemente contraditórios foram conciliados desde 1930 com o desenvolvimento

da eletrodinâmica quântica, uma teoria que explica simultaneamente esses dois aspectos.

Porém, a propagação da luz pode ser descrita melhor usando-se um modelo ondulatório.

3.1 Meio Óptico

A interação entre o campo eletromagnético e o meio é a principal questão para a

compreensão dos fundamentos da propagação de ondas em guias de ondas e da operação

de muitos outros dispositivos ópticos passivos e ativos.

Na discussão dos fundamentos da óptica ondulatória deve-se entender: o que

é um meio óptico, quais as suas propriedades, de que maneira esse meio influencia no

campo eletromagnético, e, por fim, como descrever o campo eletromagnético e suas inter-

ações com o meio óptico. Para resolver o problema da interação do campo com o meio,

caracteriza-se o campo dentro e fora do meio, levando em conta as alterações impostas

pela interface entre o meio externo e o meio óptico.

As distâncias entre átomos, que compõem o meio, são um dos pontos chaves na

caracterização do meio quando interage com a luz. Em dispositivos ópticos e estruturas

ópticas a espessura das camadas, no caso das estruturas organizadas em camadas, ou o

tamanho dos elementos, no caso dos cristais fotônicos, podem ser comparáveis com o

comprimento de onda da radiação. Nesses casos, a interação da luz com o meio pode

ter efeitos diferentes, como a transparência, reflexões total ou parcial, refração. Em meios

ópticos usados na tecnologia das ondas de luz, a distância entre os átomos é da ordem de

1 nm que é pequeno comparado ao comprimento de onda da luz usada nas comunicações

ópticas (esses comprimentos variam de 0.8 a 1.6 µm). Assim, o meio óptico pode ser

considerado homogêneo. Além disso, em muitos casos, o meio pode assumir um caráter

isotrópico e invariante no tempo. Em geral, as propriedades de um meio óptico podem

ser descritas pela permissividade ε, permeabilidade µ e condutividade σ.


Em casos especiais, um meio óptico tem resposta não-linear para uma influência

externa. Efeitos não-lineares tipo geração de segundo harmônico, efeito Kerr, solitons e

formação de vórtices, etc., desempenham um papel mais importante na optoeletrônica

avançada e nos cristais fotônicos.

Quando ε, µ e σ são definidos para um material, a solução das equações de Maxwell

é o começo para analise da propagação da luz, também conhecida como óptica ondu-

latória. A óptica ondulatória fornece, particularmente, a solução do problema da propa-

gação das ondas eletromagnéticas em guias de ondas ópticos, isto é, determinação das

amplitudes das componentes elétrica e magnética dos campos ópticos, bem como suas

fases e distribuição de amplitudes no espaço. Se a espessura do núcleo do guia de onda

óptico é da mesma ordem do comprimento de onda, então a propagação pode ser descrita

com poucos modos que são funções dos parâmetros do guia de onda óptico e do com-

primento de onda da luz. Se, por outro lado, o raio do núcleo é grande comparado ao

comprimento de onda, então muitos modos de propagação aparecem. Nesse caso, será

mais eficaz resolver o problema por meio da óptica geométrica.

Quando as dimensões do objeto são grandes comparadas com o comprimento de

onda da luz, um método aproximativo pode ser usado para estudo da propagação da luz.

A óptica geométrica ou raios ópticos utilizam os métodos da geometria a fim de formular

as leis da óptica. Na óptica geométrica a concepção dos raios de luz é introduzida com o

escopo de descrever os fenômenos ópticos. Os caminhos percorridos pelos raios de luz em

meios heterogêneos e compostos são derivados a partir da chamada equação eikonal [149].

A Figura 3.1 mostra, esquematicamente, a representação das ondas de luz na con-

cepção da óptica geométrica e da óptica ondulatória. A luz irradiada de uma fonte pun-

tiforme S pode ser representada como um raio (feixe de luz mostrado na Figura 3.1a)

direcionado angularmente a partir da fonte que forma um ângulo θ com o eixo óptico

disposto na direção z. Este ângulo θ corresponde-se com o vetor de propagação da onda,

rotulado por β, que tem o mesmo ângulo com o eixo óptico (veja Figura 3.1b). O vetor de

propagação caracteriza a direção de propagação da onda e a sua fase. Ele é perpendicu-

lar à superfície da onda em propagação, que possui fase constante. Estas superfícies são

representadas graficamente por arcos concêntricos centrados no ponto S.


Figura 3.1: Representação da radiação na óptica geométrica (a) e na óptica ondulatória (b).

3.2 Propagação das Ondas: Equações de Maxwell

A luz consiste de um campo elétrico e um campo magnético que oscilam em

taxas muito elevadas, da ordem de 1014 THz. Essa propagação dos campos é descrita

por funções periódicas. A Transferência de energia das ondas eletromagnéticas através

do espaço vazio é realizada por campos elétricos e magnéticos que trocam energias obe-

decendo às leis de Ampère e Faraday. A variação do campo magnético é perpendicular a

do campo elétrico. Uma única frequência de ondas eletromagnéticas exibe variação har-

mônica de campos elétricos e magnéticos no espaço. Em qualquer local fixo, a amplitude

do campo varia com a frequência óptica. A magnitude do campo se repete depois de um

período de oscilação. A onda se repete no espaço, depois de percorrer uma distância λ,

chamada de comprimento de onda, que é na verdade o período espacial da onda.

Baseando-se principalmente nas ideias de Faraday sobre um éter cheio de linhas

de força, que transmitiria as ações eletromagnéticas, Maxwell, realizou uma das sínteses

mais fundamentais na história da Física, publicada em 1865, ao mostrar que todos os

fenômenos elétricos, magnéticos e ópticos podem ser descritos, unificadamente, a partir

de um conjunto de quatro equações diferenciais, conhecidas como as equações de Maxwell,

que podem ser escritas utilizando-se a notação vetorial. Albert Einstein descreveu esse

trabalho de Maxwell como ”a mais profunda e mais frutífera contribuição que a física

recebeu desde o tempo de Newton“.

Antes de discutir a propagação da luz em estruturas ópticas complexas, como os

cristais fotônicos, faz-se necessária a sua compreensão no espaço livre. Para um meio

que possui cargas livres e correntes, as equações de Maxwell, no Sistema Internacional de

Unidades (SI), são dadas por: Ñ©� ÑE � �∂ ÑB∂t, (3.1)


Ñ©� ÑH � ÑJ � ∂ ÑD∂t, (3.2)

Ñ© � ÑD � ρ, (3.3)

Ñ© � ÑB � 0, (3.4)

onde t representa o tempo e Ñ© é o operador nabla, que em coordenadas cartesianas é dado

por

Ñ© � x ∂∂x � y

∂∂y � z

∂∂z ,

onde x, y e z são vetores unitários. Os vetores ÑE e ÑH denotam os campos elétrico e mag-

nético, respectivamente. ÑD e ÑB são o deslocamento elétrico e a indução magnética.

Essas equações ilustram a lei de Faraday, a lei de Ampère-Maxwell, a lei de Gauss

para os campos elétricos e a lei de Gauss para os campos magnéticos, respectivamente. A

lei de Faraday informa que a variação de um campo magnético produz um campo elétrico

que se traduz pela força eletromotriz (fem) induzida em transformadores e indutores. A

lei de Ampère, incluindo o termo da corrente de deslocamento, descoberta por Maxwell,

mostra que um campo elétrico variável é uma fonte de campo magnético. A lei de Gauss

para o campo elétrico é uma alternativa à lei de Coulomb para expressar a relação entre

carga elétrica e campo elétrico. A lei de Gauss para o campo magnético, mostra a ausência

de monopolos magnéticos.

As fontes do campo eletromagnético são a densidade de carga ρ e a densidade de

corrente ÑJ . Elas são conectadas pela equação de continuidade

Ñ© � ÑJ � �∂ρ∂t ,

que é encontrada aplicando o divergente em (3.2), substituindo (3.3) no resultado do di-

vergente, além de utilizar a relação

Ñ© � © � ÑH � 0.

No caso de meios não condutores como a sílica ou outro material utilizado para

guiar ondas em dispositivos passivos, tais como fibras ópticas ou guias de ondas planares,ÑJ � 0 e ρ � 0. As densidades de fluxo estão relacionadas aos vetores dos campos pelas

relações: ÑD � ε0 ÑE � ÑP , (3.5)


ÑB � µ0ÑH � ÑM, (3.6)

onde ε0 (� 8.854187817 � 10�12 C2/N � m2) é a permissividade elétrica no vácuo e µ0 (�

4π � 10�7 Wb/A�m) é a permeabilidade magnética no vácuo, ÑP é a polarização elétrica do

meio, induzida pelo campo elétrico ÑE, e ÑM é a polarização magnética do meio. Para fibras

ópticas ÑM � 0 por causa da natureza não magnética do vidro de sílica. O produto das

constantes ε0 e µ0 é igual a

ε0 � µ0 � 1~c2, (3.7)

onde c (� 2.99792458 � 108 m/s) é a velocidade da luz no vácuo. A resposta de cargas

elétricas individuais a um campo elétrico pode ser descrita pelas leis de Newton. O com-

portamento de muitos sólidos em resposta a um campo elétrico pode ser bem descrito

com o mesmo tipo de aproximações que geralmente são feitas para o estresse e para a

deformação. Considerando o estresse como uma perturbação aplicada em uma amostra

e a deformação como uma resposta da amostra à perturbação. Portanto, pode-se dizer

que nesse modelo a resposta é proporcional à perturbação. A resposta de muitos sóli-

dos comuns a um campo elétrico aplicado é tal que o campo elétrico dentro da amostra é

menor que o campo elétrico aplicado. Isso é similar ao sólido ter produzido sua própria

distribuição de carga, isto é, tornar-se polarizado, produzindo um campo elétrico oposto

ao campo elétrico aplicado. Os materiais que possuem essa propriedade são chamados de

dielétricos.

Nesse caso, considera-se a polarização como uma resposta do material. Acontece

que em muitas situações úteis a polarização é proporcional ao campo elétrico aplicado.

Porém, precisa-se definir a polarização de modo que se permita medir o seu valor.

A avaliação da polarização ÑP requer uma abordagem da mecânica quântica. Em-

bora essa abordagem seja essencial quando a frequência óptica está próxima de uma

ressonância com o meio, uma relação fenomenológica entre ÑE e ÑP pode ser utilizada dis-

tante da ressonância com o meio. Esse é o caso para as fibras ópticas na região de com-

primento de onda compreendida entre 0.5 µm e 2 µm. Tal intervalo abrange a região de

baixa perda das fibras ópticas, sendo muito interessante para os sistemas de comunicação

por fibra óptica. Nos meios lineares homogêneos e dielétricos isotrópicos, a polarização

está alinhada com o campo elétrico ÑE, além de ser proporcional a ele. Em um material

anisotrópico, a polarização e o campo não estão necessariamente na mesma direção. Em

geral, a relação entre ÑE e ÑP pode ser não-linear. Embora os efeitos não-lineares dos guias

de ondas ópticos mereçam consideração de acordo com [150], eles podem ser ignorados


em algumas descrições dos modos de fibras ópticas.

As ondas eletromagnéticas transportam energia à medida que viajam através do

espaço vazio. Há uma densidade de energia associada com os campos elétricos e mag-

néticos. A quantidade de energia transportada por unidade de área é descrita pelo vetor

ÑS �1

µ0

ÑE � ÑB, (3.8)

que é chamado de vetor de Poynting. Essa expressão é um produto vetorial, e desde que

o campo magnético é perpendicular ao campo elétrico, ÑS será perpendicular a ÑE, ao plano

de ÑB e coincidirá com a direção de propagação da onda.

3.3 Equação da Onda no Vácuo

No vácuo, não existe meio. Como um resultado, não existe polarização induzida

ou corrente. Em outras palavras, ÑP e ÑJ são iguais a zero. Portanto, as equações de Maxwell

se reduzem a Ñ©� ÑE � �∂ ÑB∂t, (3.9)

Ñ©� ÑH �∂ ÑD∂t, (3.10)

Ñ© � ÑD � 0, (3.11)

Ñ© � ÑB � 0. (3.12)

As quatro equações (3.1)-(3.4) descrevem a interdependência entre ÑE e ÑH . Para

resolver o conjunto de equações (3.9)-(3.12) pode-se eliminar ÑH e derivar uma equação

para ÑE apenas. Tomando o rotacional de (3.9) e empregando a equação (3.6), temos

Ñ©� Ñ©� ÑE � Ñ©� ��∂ ÑB∂t

� � �ε0µ0∂2

∂t2ÑE, (3.13)

onde

Ñ©� ��∂ ÑB∂t � � � ∂

∂t�Ñ©� µ0ÑH� � �µ0

∂∂t�Ñ©� ÑH� � �ε0µ0

∂2

∂t2ÑE.


O cálculo vetorial fornece a identidade

Ñ©� Ñ©� ÑE � Ñ©�Ñ© � ÑE� �©2 ÑE � ©2 ÑE. (3.14)

Aqui,

©2 �∂2

∂x2 �∂2

∂y2 �∂2

∂z2

é o operador Laplaciano e (3.5) foi usada para conduzir ao resultado

Ñ© � ÑE � Ñ© � �ε0 ÑD� � ε0 Ñ© � ÑD � 0.

Portanto, a equação da onda para o campo elétrico no vácuo é

©2 ÑE �

1

c2∂2

∂t2ÑE � 0. (3.15)

Resultado semelhante a (3.15) pode ser encontrado para a componente magnética

eliminando ÑE nas equações (3.9) e (3.10). A forma geral da solução para a equação (3.15)

é dada por:

E�x, y, z, t� � a�E��Ñk � Ñr � ωt� � a�E��Ñk � Ñr � ωt�, (3.16)

onde Ñr � �x, y, z� é o vetor coordenada, Ñk � �kx, ky, kz� é o vetor de onda, ω � 2π~λ é

a frequência angular e λ é o comprimento de onda. As funções E� e E� descrevem o

comportamento ondulatório no espaço (argumento Ñk � Ñr) e no tempo (argumento ωt), já os

termos E� e E� são coeficientes de amplitude dependentes das condições de contorno.

O vetor de onda é um vetor que especifica o número de onda e a direção de propa-

gação da onda. A magnitude do vetor de onda indica o número de onda. A orientação

do vetor de onda mostra a direção de propagação da onda. O número de onda denota o

número de oscilações dos vetores elétricos e magnéticos por unidade do espaço e é me-

dida em m�1. As componentes do vetor de onda correspondem ao número de ondas nas

direções x, y e z da seguinte maneira

ω2

c2� k2x � k

2y � k

2z . (3.17)

O significado físico da solução dada por (3.16) pode ser entendido da seguinte

forma. Primeiro, vamos considerar o caso especial quando kx � ky � 0. Nesse caso o

argumento (Ñk � Ñr � ωt) reduz-se a


kzz � ωt � kz�z � ωkzt�.

Isso significa que a onda E� é uma onda propagando-se na direção positiva de Ñk com

velocidade ωkz

. Da mesma forma, E� representa uma onda propagando-se na direção ne-

gativa de Ñk. Em geral, quando todos os componentes do vetor de onda são diferentes de

zero, a onda propaga-se na direção de Ñk com a velocidade da luz. O caso especial é impor-

tante para a compreensão da propagação das ondas e para aplicações práticas da solução

da equação de onda (3.15) quando o campo tem apenas um componente. Essa solução é

chamada de ondas planas. Esse caso é descrito como

ÑE�x, y, z, t� � Eei�ωt�kzz�x. (3.18)

Aqui, o campo elétrico tem apenas um componente na direção x e propaga-se

na direção z. A Figura 3.2 mostra uma onda plana senoidal em duas dimensões. A seta

representa o vetor de onda, que define a direção de propagação da onda através da sua

orientação perpendicular às frentes de onda. A evolução temporal das ondas é definida

pelo termo (ωt). Para uma onda plana senoidal, a fórmula (3.18) é transformada para

E�x, y, z, t� � E�Ñk � Ñr � ωt� � sin�kxx � kyy � kzz � ωt�.

Figura 3.2: Onda plana senoidal.

Quando assume-se que uma frente de onda é uma linha ao longo da crista da


onda, então essas frentes de ondas são linhas ou superfícies de fase constante, definidas,

simplesmente, pela equação Ñk �Ñr � constante. Para a propagação da luz em uma dimensão,

ao longo da direção x, o número de ondas escalar é dado por

kx �ω

c�

2π

λ. (3.19)

Substituindo a equação do campo elétrico (3.18) em (3.9) e integrando sobre o

tempo, obtém-se ÑH � �kzµ0ω

Eei�ωt�kzz�y � �

¾ε0µ0

Eei�ωt�kz�y. (3.20)

Assim, pode-se observar que os campos elétricos e magnéticos são perpendicu-

lares entre si e, também, perpendiculares à direção de propagação da onda, que coincide

com a direção de Ñk.

3.4 Ondas em Meios Dielétricos

Em meios dielétricos, uma polarização ÑP não-nula é induzida por um campo

elétrico ÑE. Para compreender o significado físico de ÑP considera-se um meio constituído

de cargas positivas e negativas (por exemplo, prótons e elétrons). Quando um campo

elétrico está presente, ele separa as cargas positivas das cargas negativas. Essa sepa-

ração de cargas resulta em um campo elétrico adicional. Esse campo elétrico adicional

é chamado de polarização induzida. Vários meios respondem diferentemente a um dado

campo elétrico externo. Quando o meio é linear e isotrópico, ÑP é linearmente proporcional

a ÑE podendo ser expressado da seguinte forma

ÑP � ε0 � χ ÑE, (3.21)

onde χ é a chamada susceptibilidade elétrica. Essa quantidade é o coeficiente de propor-

cionalidade entre a polarização e o campo externo.

A susceptibilidade linear é, em geral, um tensor de segunda ordem, mas reduz-se

a um escalar para um meio isotrópico tal como o vidro de sílica. Ela é uma função da

frequência ω do campo aplicado. Quando o campo é uma função arbitrária do tempo t, a


polarização é uma convolução da transformada de Fourier de χ�ω� com E�t�. Isso reflete

o fato de que os dipolos dentro do material não podem responder instantaneamente ao

campo aplicado, levando às relações de Kramers–Kronig ou relações de dispersão.

Baseado nessa definição, o deslocamento elétrico é dado por

ÑD � ε0 ÑE � ÑP � ε0ε ÑE, (3.22)

onde

ε � 1 � χ (3.23)

é chamada de constante dielétrica ou permissividade relativa do material dielétrico. A

constante dielétrica do material afeta o modo como os sinais eletromagnéticos (luz, ondas

milimétricas, etc.) movem-se através do material. Um alto valor da constante dielétrica

faz a distância no interior do material parecer maior. Isso significa que luz propaga-se

mais lentamente. Ela, também, comprime a onda que comporta-se como um sinal com

comprimento de onda menor.

3.4.1 Índice de Refração do Meio Dielétrico

Para um campo eletromagnético num meio dielétrico sem corrente, pode-se rees-

crever a equação (3.10) utlizando a equação (3.22)

Ñ©� ÑH � εε0∂ ÑE∂t. (3.24)

Usando o mesmo procedimento descrito anteriormente para equação (3,15), a

equação da onda para o campo elétrico é

©2 ÑE �

ε

c2∂2 ÑE∂t2

� 0. (3.25)

Do ponto de vista clássico, movimento ondulatórios em meios lineares, homegê-

neos e não dissipativos são descritos pela chamada equação de onda de d’Alembert

�©2 �1v2

∂2

∂t2 �Ψ�Ñr, t�,


estabelecida pelo matemático francês Jean-le-rond d’Alembert (1717-1783) em 1750. Nessa

expressão, v é uma constante, característica do meio, denominada velocidade de propa-

gação da onda, Ψ�Ñr, t� é a função de onda em um instante t, que descreve as variações de

uma propriedade do meio, em um ponto genérico Ñr.Comparando as equações (3.15) e (3.25) com a equação de onda de d’Alembert,

verifica-se que a única diferença dessas equações é que a velocidade de propagação da

onda muda de c para c~η, onde η �ºε é o índice de refração do meio. Consequentemente,

o índice de refração do meio é a medida que informa quanto a velocidade da luz (ou de

outra onda) é reduzida enquanto atravessa o meio dielétrico com permeabilidade elétrica

ε.

3.4.2 Meio Dielétrico com Perdas

O termo da corrente pode ser incluído na equação de onda, para representar

a perda de energia durante a propagação das ondas. Nesse caso, a corrente induzida

está relacionada com o campo elétrico pela expressão ÑJ � σ ÑE, onde σ é a condutividade

elétrica. Se o campo elétrico tem uma dependência temporal eiωt, a densidade de corrente

induzida apresentará a mesma dependência. Portanto, esse efeito da corrente é incluído

na susceptibilidade elétrica, a partir de (3.2), da seguinte forma

ÑJ � ∂ ÑD∂t

�∂

∂t� ÑJiω

� ÑD� � ∂

∂t�ε ÑE�, (3.26)

com a constante dielétrica ε.

Em geral, ε�r, ω� é complexo. Sua parte real e sua parte imaginária correspondem

ao índice de refração η e ao coeficiente de absorção α, respectivamente. Por definição,

tem-se [150]

ε � �n � iαc~2ω�2. (3.27)

A partir das equações (3.26) e (3.27), η e α são relacionados com χ

η � �1 �Re�χ��1~2, (3.28)

α � �ω~nc�Im�χ�, (3.29)


onde Re e Im denotam a parte real e a parte imaginária, respectivamente. η e α são de-

pendentes da frequência. A parte imaginária do índice de refração representa tanto perda

(para valores negativos) quanto ganho (se os valores forem positivos). A dependência da

frequência de η é chamada de dispersão cromática. Quando o meio apresenta perda, a

radiação decai exponencialmente como mostra a Figura 3.3.

Figura 3.3: Onda num meio dielétrico com perdas.

Substituindo o deslocamento elétrico ÑD dado pela equação (3.5) em (3.2), a equação

da onda para o campo elétrico torna-se

©2 ÑE �

1

c2∂2

∂t2ÑE � µ0

∂2

∂t2ÑP . (3.30)

Usando a fórmula da transformada de Fourier de ÑE�Ñr, t�, equação (3.31),

E�Ñr, ω� � S ÑE�Ñr, t� exp�iωt�dt (3.31)

e uma relação similar para ÑP �Ñr, t�, juntamente com (3,7), pode-se escrever a equação da

onda (3.15) no domínio da frequência

Ñ©� Ñ©� E � �ε�Ñr, ω�ω2

c2E, (3.32)

com a permissividade dependente da frequência

ε�Ñr, ω� � 1 � χ�Ñr, ω� (3.33)

onde χ�Ñr, ω� é a transformada de Fourier temporal de χ�Ñr, t�. Em termos da frequência, a


equação da onda pode ser obtida como

©2E � n2�ω�k20E � 0, (3.34)

onde o número de ondas no espaço livre k0 é definido pela relação

k0 � ω~c � 2π~λ0 (3.35)

onde λ0 é o comprimento de onda no vácuo do campo óptico oscilando com frequência ω.

3.5 Velocidade de Grupo

O conceito de velocidade de grupo é importante para o entendimento da propa-

gação das ondas de luz, além de quantificar a dispersão em meios ópticos. Em geral,

existem dois tipos de velocidades: velocidade de grupo e velocidade de fase. Para iden-

tificar os significados dessas velocidades, considera-se uma onda viajando da seguinte

forma

E�t, z� � E0 cos�ω0t � βz�. (3.36)

Sua transformada de Fourier com respeito ao tempo é

E�ω, z� � E0π�δ�ω � ω0�e�iβz � δ�ω � ω0�eiβz�. (3.37)

Isso significa que a onda plana tem uma frequência constante. Essa onda de fre-

quência constante é chamada de onda monocromática e também de onda contínua. Nesse

caso, a velocidade de fase é definida como

vf �ω0

β. (3.38)

Assim, a velocidade de fase é a velocidade de um plano de fase constante que se

move na direção de propagação.

Para a onda plana considerada, sua amplitude ou potência é constante durante

todo espaço, tempo e posição independente. Em outras palavras, não se pode dizer onde


a onda está. Na verdade, ela está em toda parte. Por outro lado, para duas ondas planas

com uma pequena diferença na frequência e no número de onda, tem-se

E�t, z� � E0 cos�ω1t � β1z� �E0 cos�ω2t � β2z�. (3.39)

Após transformações trigonométricas a equação (3.39) torna-se

E�t, z� � 2E0 cos�∆ωt~2 �∆βz� cos�ωt � βt�, (3.40)

onde se assume que ∆ω � ω2 � ω1 e ∆β � β2 � β1 são pequenos comparados com ω ��ω1 �ω2�~2 e β � �β1 �β2�~2, respectivamente. Assim, o envelope da onda combinada tem

uma velocidade

vg �∆ω

∆β. (3.41)

Essa é a chamada velocidade de grupo. Como mostra a derivação, ela significa

a velocidade de propagação da energia. O conceito de velocidade de grupo pode ser

generalizado a partir de duas ondas monocromáticas a um pacote de ondas. Essa forma

dá a possibilidade de representar a velocidade de grupo como

vg �∂ω

∂β. (3.42)

Por fim, pode-se concluir que cada componente com frequência diferente viaja

com a mesma velocidade vg. Em outras palavras, o pacote de ondas ou a sua amplitude

viaja na velocidade de grupo vg.

CAPÍTULO 4

POLARITONS DE FÔNONS EM CRISTAIS FOTÔNICOS

NA FAIXA DE FREQUÊNCIA DE TERAHERTZ

“Em um mundo ideal as linhas de campo magnético e

elétrico podem ser colocadas em qualquer lugar que as leis

da Física permitam e um metamaterial adequado fornece

à acomodação para configuração desejada dos campos."

John Pendry

Metamateriais e cristais fotônicos são, atualmente, dois tópicos de muita investi-

gação na óptica, uma vez que eles exibem propriedades eletromagnéticas incomuns que

podem proporcionar um inesperado controle das ondas ópticas (guia de ondas de cristal

fotônico), além de motivar novas aplicações (como a chamada ocultação óptica). Ambos

têm algo em comum: eles consistem de uma rede periódica constituída por ”átomos”. No

caso dos cristais fotônicos, esses átomos são feitos de um material dielétrico que possuem

formas bastante simples (cilindros, esferas, etc.) para que as propriedades do meio resul-

tem da periodicidade da estrutura como um todo. Diferentemente, os metamateriais são

compostos por átomos metálicos bastante sofisticados para que sua propriedade apareça

da resposta de cada átomo à radiação eletromagnética. Outra diferença importante entre

as duas estruturas é o tamanho do átomo (e, pela relação direta, o período da estrutura):

considerando que deve ser muito menor do que o comprimento de onda para assegurar

42

Capítulo 4. Polaritons de Fônons em Cristais Fotônicos na Faixa de Frequência deTerahertz 43

uma resposta eficaz no caso dos metamateriais. Já nos cristais fotônicos, grande parte das

propriedades mais interessantes ocorrem quando o comprimento de onda é, aproximada-

mente, duas vezes o valor do período.

4.1 Introdução

Materiais com permissividade ε e permeabilidade µ simultaneamente negativas,

gerando um índice de refração η também negativo (ou seja, η �ºεµ @ 0), recentemente,

têm sido extensivamente estudados em várias configurações físicas distintas, inspirados

pelo trabalho de Veselago [136], que foi publicado em 1967. Veselago chamou esses ma-

teriais peculiares de ”materiais que obedecem a regra da mão esquerda“, porque eles su-

portam ondas que se propagam no sentido contrário (veja Figura 4.1), de modo que o

campo elétrico ÑE, o campo magnético ÑH e o vetor de Poynting ÑS formam um tripleto que

segue a regra da mão esquerda, como mostra a Figura 4.2 (para uma revisão do assunto,

veja [151]).

Figura 4.1: Propagação esquemática da onda em materiais com índice de refração positivo e ne-gativo.

Esses materiais despertam um grande interesse para uma variedade de aplicações

em potencial [139]. Como materiais com índice de refração negativo não existem na na-

tureza, estruturas artificiais têm sido propostas e fabricadas com o propósito de exibirem


Figura 4.2: Representação do tripleto ÑE, ÑH e ÑS em materiais com índice de refração positivo enegativo.

um índice de refração efetivo negativo para intervalos de frequência limitados [183]. No

entanto, o uso de condutores em altas frequências, especialmente na óptica, pode ser pro-

blemático devido às perdas. Como alternativa, muitos pesquisadores estão investigando

o potencial de aplicação tecnológica de materiais que apresentam índice de refração nega-

tivo em estruturas periódicas como os cristais fotônicos [152]. Esses materiais são normal-

mente compostos de isolantes e, portanto, podem apresentar baixas perdas.

As duas principais abordagens para a realização de materiais com índice de re-

fração negativo são os metamateriais e os cristais fotônicos. Os metamateriais normal-

mente utilizam estruturas metálicas para fornecer uma permissividade negativa e estru-

turas ressonantes (circuitos indutor-capacitor) com uma escala muito menor do que o

comprimento de onda para obter uma permeabilidade negativa, levando à desejada re-

fração negativa. Por outro lado, cristais fotônicos exibem refração negativa como uma

consequência do efeito banda dobrável [153, 154]. Na região de microondas, materiais

com índice de refração negativo têm sido obtidos através das duas abordagens, enquanto

na região óptica a refração negativa tem sido, recentemente, realizada em cristais fotôni-

cos [155].

Cristais fotônicos são estruturas periódicas artificiais com um índice de refração

que varia periodicamente em uma das três dimensões. Esse conceito foi proposto em

1987 [17, 18], possibilitando o surgimento de um novo campo de pesquisa. As aplicações

possíveis para estas estruturas perpassam por várias disciplinas diferentes: da física e

química à ciência dos materiais e biologia. Demonstrou-se, teórica e experimentalmente,

que os cristais fotônicos poderiam ter gaps fotônicos, ou seja, intervalos de energia sem

estados permitidos para os fótons, da mesma forma que um arranjo periódico de átomos


pode criar um gap de energia para a condução de elétrons em um semicondutor. Nessas

bandas proibidas, modos eletromagnéticos, emissão espontânea, e as flutuações de ponto

zero estão ausentes [156, 157]. A modulação periódica do índice de refração é análoga à

experiência dos elétrons num potencial periódico de um cristal. Ao escolher a estrutura, a

espessura e os dois meios (SiO2 e um metamaterial, por exemplo), um gap fotônico pode

ser posicionado em um comprimento de onda desejado. Assim, transmitância e reflectân-

cia da luz podem ser controladas, como nos semicondutores, onde são geralmente con-

troladas através da aplicação de estímulos externos, como a tensão de polarização. Com

a introdução de um defeito de linha, pode-se criar um guia de ondas de cristal fotônico,

que guia a luz através de cantos afiados, conectar dispositivos ópticos de cristal fotônico

do tamanho de λ~η com λ sendo o comprimento de onda da luz e η sendo o índice de re-

fração, e formar circuitos ópticos altamente integrados [28]. Porque o seu mecanismo de

guiamento é fundamentalmente diferente dos convencionais guias dielétricos, tais como

as fibras ópticas que dependem da reflexão interna total, guias de onda de cristal fotônico

têm atraído muito interesse [29, 30]. Dessa forma cristais fotônicos representam um novo

tipo de material óptico, que pode atuar como uma excelente ferramenta para manipu-

lar a propagação de ondas eletromagnéticas, levando a muitos fenômenos interessantes e

importantes aplicações [1].

Por outro lado, quando a radiação eletromagnética propaga-se através de um

dielétrico polarizável (ou por um cristal magnético) excita alguns graus de liberdade do

cristal, que dá origem a um modo híbrido (ou misto) denominado de Polaritons. Polari-

tons são quasi-partículas consistindo de um fóton acoplado a uma excitação elementar

(fônon, plasmon, exciton, etc.), que polarizam o cristal. A teoria dos polaritons em ma-

teriais convencionais é bem conhecida (para mais detalhes veja, por exemplo, [158–160]).

Em estruturas quasi-periódicas eles exibem propriedades coletivas não compartilhadas

pelos seus constituintes. Portanto, as correlações de longo alcance induzida pela con-

strução desses sistemas, de alguma forma, refletirá nos seus espectros, definindo uma

nova descrição de desordem. De fato, tratamentos teóricos baseados na técnica da matriz-

transferência mostram que esses espectros são fractais (para uma revisão atualizada do

assunto, veja [161]).

O intervalo em terahertz (THZ) compreendido entre a eletrônica de alta frequên-

cia (acima de 100 THz, aproximadamente) e a óptica de baixa frequência (abaixo de 10

THz, aproximadamente) ganhou, recentemente, grande interesse em conexão com uma

ampla gama de aplicações, incluindo o processamento de sinais de alta largura de banda,


imageamento THz e espectroscopia THz [162, 163]. As aplicações na faixa de THz variam

a partir de estudos de excitações coerentes em heteroestruturas de semicondutores (ou

de outros materiais) utilizadas para diagnóstico médico e sistemas tridimensionais de

imagens usados no monitoramento de processos industriais. A capacidade de visualizar

diretamente os campos de polariton através de imagens do espaço real, de gerar arbi-

trariamente formas de ondas THz através da utilização de formas de ondas ópticas feitas

temporalmente e/ou espacialmente, e de fabricar elementos funcionais integrados para

orientação e controle do polariton através de máquinas a laser produz uma plataforma

polaritônica THz (a contrapartida da fotônica no regime de THz) que permite o proces-

samento de sinais avançados e aplicações na espectroscopia. Aqui, polaritônico THz des-

creve a área na qual os portadores de sinal não são as correntes elétricas alternadas nem

as ondas eletromagnéticas puras. Esses portadores de sinais são representados pelos po-

laritons de fônons [164].

Recentemente, foi feito o estudo teórico do espectro do polariton de plasmon em

super-redes fotônicas periódicas e quasi-periódicas [165], em que um das camadas é um

material com índice de refração negativo (metamaterial) com uma permissividade elétrica

e uma permeabilidade magnética simultaneamente negativas na região de frequência de

alguns gigahertz (GHz), de 4 a 10 GHz. O comportamento multifractal desse espectro foi,

também, investigado através da lei de escala de seu espectro de largura de banda, bem

como a curva f�α� que caracteriza um perfil multifractal.

Neste capítulo, será apresentado um estudo do gap polaritônico, que surge a par-

tir da propagação de uma excitação de polaritons de fônons no intervalo de frequência

de THz, em estruturas periódicas e quasi-periódicas compostas de camadas alternadas de

materiais com índice de refração positivo (SiO2) e materiais com índice de refração nega-

tivo (metamaterial). A escola da faixa de frequência em THz se justifica porque os modu-

ladores THz de última geração baseados em estruturas semicondutoras têm a propriedade

desejável de serem banda larga, que é extremamente relevante na interligação na faixa de

THz, mas, infelizmente, eles geralmente exigem temperaturas criogênicas [166]. Portanto,

a melhoria das características de desempenho é bem-vinda para aplicações práticas, e de

fato uma das possíveis aplicações do modelo apresentado neste capítulo é um eficiente

dispositivo ativo que pode ser projetado para operar na frequência de THz.

No desenvolvimento do problema foi utilizado um modelo teórico baseado no

tratamento da matriz-transferência, como o escopo de simplificar, substancialmente, a ál-

gebra envolvida. A estrutura quasi-periódica, anteriormente citada, segue a sequência


substitucional de Fibonacci e pode ser gerada pela seguinte regra de inflação: A � AB

e B � A, onde A (metamaterial) e B (SiO2) são os blocos de construção que modelam a

super-rede. Será apresentada, também, uma análise quantitativa dos resultados, apon-

tando para a distribuição da largura de bandas fotônicas permitidas para altas gerações,

que dá uma boa percepção de sua localização e leis de potência.

4.2 Teoria Geral

Antes de tratar o problema geral, da estrutura quasi-periódica, faz-se necessário

o entendimento do caso periódico que é mais simples, onde os blocos de construção A

(metamaterial) e B (SiO2) são arranjados de forma alternada ABAB . . . . A estrutura está

disposta numa geometria, tal que as coordenadas do eixo z estão perpendiculares às ca-

madas. A espessura da camada do metamaterial (SiO2) é representada por dA (dB), e por

isso a espessura da célula unitária é dada por L � dA�dB. Ela preenche o semi-espaço z C 0

com sua superfície paralela ao plano xy. Na região z @ 0 tem-se vácuo. A propagação dos

polaritons de superfície restringe-se ao longo do eixo x. Negligenciando qualquer termo

de amortecimento (quando perdas do metamaterial são consideradas, o fator de amorteci-

mento pode ser definido como uma fração da frequência de fônon), o metamaterial possui

índice de refração negativo na região de THz, cuja correspondente permissividade elétrica

εA [167] e permeabilidade magnética µA [168] são, respectivamente, dadas por:

εA � εªω2L � ω

ω2T � ω

, (4.1)

µA � 1 �Fω2

ω2 � ω20

, (4.2)

onde ωL (ωT ) é a frequência longitudinal (transversal) dos fônons ópticos, ω0 é a frequência

de ressonância e F é um fator geométrico. Os parâmetros físicos utilizados aqui são ω0 �

7.85 THz, F � 0.56 [168], ωL � 28.82 THz e ωT � 8.67 THz [169]. Os campos elétrico e

magnético na camada j são dados por (polarização p)

ÑEj�x, y, z� � �Exj,0,Ezj� exp�ikxx � iωt�, (4.3)

ÑHj�x, y, z� � �0,Hyj,0� exp�ikxx � iωt�. (4.4)


As componentes dos campos elétrico e magnético dentro da camada j � A ou B

da enésima célula unitária têm a forma

Exj�z� � αn1j exp��kzjz� � αn2j exp�kzjz�, (4.5)

Ezj�z� � �ikx~kzj��αn1j exp��kzjz� � αn2j exp�kzjz��, (4.6)

Hyj�z� � ��iωε0εA�ω�~kzj��αn1j exp��kzjz� � αn2j exp�kzjz��, (4.7)

onde

kzj �

¢¦¤ �k2x � εjµjω2~c2�1~2 if kx A �εjµj�1~2�ω~c�,i�εjµjω2~c2 � k2x�1~2 if kx @ �εjµj�1~2�ω~c�. (4.8)

Aqui, kx é o vetor de onda comum no plano, ω é a frequência angular e c é a velocidade

da luz no vácuo.

Considerando a permissividade elétrica efetiva e a permeabilidade magnética efe-

tiva para o metamaterial dadas pelas equações (4.1) e (4.2), que não levam em conta o

efeito da dispersão espacial, precisa-se determinar as amplitudes desconhecidas dos cam-

pos a partir das condições de contorno eletromagnéticas nas interfaces, ou seja, a con-

tinuidade da componente normal do campo elétrico e a continuidade da componente

transversal do campo magnético. Para isso, define-se, para cada meio, o vetor coluna

Sαnj e � <@@@@> αn1j

αn2j

=AAAA? , (4.9)

onde o termo comum exp��kzAnL� foi abandonado, e utilizando as condições de contorno

de Maxwell nas interfaces z � nL � dA e z � �n � 1�L, encontra-se, na forma de matriz, as

seguintes equações para as amplitudes dos campos eletromagnéticos

MASαnAe � NB SαnBe, (4.10)

MB SαnBe � NASαn�1A e, (4.11)

onde (j � A ou B)

Mj �� fj fj

fj~�Zj cos θj� �fj~�Zj cos θj� �� , (4.12)

Nj �� 1 1

1~�Zj cos θj� �1~�Zj cos θj� �� . (4.13)


Aqui, Zj �»µj~εj é a impedância do meio j e cos�θj� � �ηω��1�η2ω2�k2xc

2�1~2, com ηj sendo

o índice de refração do meio j. Também,

fj � exp��kzjdj�, and fj � 1~fj. (4.14)

Das equações (4.10) e (4.11) é fácil ver que

Sαn�1A e � T SαnAe, (4.15)

onde a matriz T é dada por T � N�1A MBN�1

B MA. A matriz T é chamada de matriz-

transferência porque relaciona os coeficientes dos campos eletromagnéticos de uma célula

com os coeficientes da célula anterior. Levando em consideração a simetria translacional

do problema apresentado neste capítulo, pode-se usar o teorema de Bloch para obter a re-

lação de dispersão dos polaritons (modos de volume) numa estrutura periódica, ou seja,

cos�QL� � �1~2�Tr�T �. (4.16)

Aqui, Tr�T � significa o traço da matriz T e Q é o vetor de onda de Bloch.

Para estabelecer a relação de dispersão dos polaritons de superfície, considera-

se uma estrutura truncada em z � 0 com a região z @ 0 preenchida pelo vácuo (meio C),

cuja constante dielétrica independente da frequência é representada por εC . Essa estrutura

semi-infinita não possui simetria translacional total na direção z através de múltiplos da

espessura L da célula unitária, e, portanto, não se pode mais assumir o Bloch Ansatz como

no caso da relação de dispersão dos modos volume. No entanto, a equação (4.16) ainda

se mantém desde o vetor de onda de Bloch Q seja substituído pela quantidade complexa

iβ resultando em cosh�βL� � �1~2�Tr�T �. Agora, deve-se considerar uma condição de

contorno extra na nova interface em z � 0. Isso implica numa restrição adicional que

permite, eventualmente, determinar o fator de atenuação β. Aplicando as condições de

contorno em z � 0 a relação de dispersão implícita para os modos de superfície é dada

por:

T11 � λT12 � exp��βL� � T21λ�1 � T22, (4.17)

onde λ � �ξA � ξC�~�ξA � ξC�. Aqui, ξA � εA~kzA, ξC � εC~kzC , com kzC sendo um número

real puro dado por kzC � �k2x � εCω2~c2�1~2. Além disso, a constante β deve ser escolhida

para cumprir a exigência Re(β� A 0 com a finalidade de originar modos de superfície

evanescente.


Esse método algébrico pode ser estendido para estruturas quasi-periódicas, con-

siderando a matriz-transferência T adequada. Uma vez que essa matriz-tranferência é

determinada, deve-se utilizar as equações (4.16) e (4.17) para encontrar os espectros dos

modos de volume e superfície, respectivamente.

A estrutura de Fibonacci é um exemplo de estrutura quasi-periódica. Ela pode ser

crescida, experimentalmente, pela justaposição de dois blocos de construção A e B, onde,

teoricamente, a enésima geração da sua célula unitária Sn é dada pela regra Sn � Sn�1Sn�2,

para n C 2, com S0 � B e S1 � A. A super-rede infinita é, também, invariante sob a

transformação A � AB e B � A. O número de blocos de construção da célula unitária

cresce com o número de Fibonacci, Fl � Fl�1 � Fl�2 (com F0 � F1 � 1), e a razão entre o

número de blocos de construção A e B da sequência é igual a razão áurea (ou número

de ouro) τ � �1~2��1 �º5�. A matriz-transferência para n-ésima geração da sequência de

Fibonacci (n C 1) é:

TSn�1 � TSn�1TSn , (4.18)

com TS0 � N�1A MB e TS1 � N

�1B MA. Portanto, com o conhecimento da matriz-transferência

da super-rede quasi-periódica, dada pela equação (4.18), combinada com as equações

(4.16) e (4.17) é muito simples obter os espectros de volume e superfície dos polaritons

de fonons.

Por outro lado, a relação de recursão da matriz-transferência (4.18) pode ser con-

siderada como um sistema dinâmico discreto (mapeamento). Como TSn é uma matriz 2�2

real com determinante unidade, três números reais são necessários para especificar TSn .

Consequentemente, a equação (4.18) é um mapeamento de seis dimensões. Uma cons-

tante de movimento existe para esse mapa e a dimensionalidade é realmente reduzida

para cinco. Um mapeamento de cinco dimensões é um problema muito complicado para

se estudar. No entanto, existe um teorema fundamental [170] que permite, apenas, o es-

tudo de um sistema bidimensional para determinar o espectro. Além disso, o reduzido

sistema dinâmico determina a dinâmica completa do sistema. O teorema pode ser resu-

mido da seguinte forma. Considere um conjunto de matrizes TSn que satisfaz a condição

TSn�1 � TSn�1TSn . Então,

Tr�TSn�1� � Tr�TSn�Tr�TSn�1� � Tr�TSn�2�. (4.19)

Portanto, definindo

xn � �1~2�Tr�TSn�, (4.20)


então a equação (4.19) implica em

xn�1 � 2xnxn�1 � xn�2. (4.21)

As condições iniciais para este reduzido sistema sub-dinâmico podem ser tomadas como

x�1 � �fAfB � fAfB��r1 � r�11 �~4, (4.22)

x0 � �fB�1 � r1� � fB�1 � r1��~4, (4.23)

x1 � �fA�1 � r�11 � � fA�1 � r�11 ��~4, (4.24)

onde r1 � ZAcosθA~ZBcosθB. Definindo um vetor tridimensional Ñrn � �xn, yn, zn� � �xn, xn�1, xn�2�,as equações (4.20) (4.21) são, alternativamente, escritas como

Ñrn�1 � ÑF �rn�, (4.25)

com uma condição inicial

Ñr�1 � �x�1, y�1, z�1�. (4.26)

Aqui, ÑF é um mapa não-linear em três dimensões explicitamente dada por

xn�1 � yn, yn�1 � zn, zn�1 � 2ynzn � xn. (4.27)

O mapeamento definido pela equação (4.21) tem uma constante de movimento [170, 171]

I � x2n � y2n � z

2n � 2xnynzn � 1. (4.28)

Através de uma substituição direta, fazendo uso da equação (4.21) juntamente com as

condições iniciais, dadas pela equações (4.22)-(4.24), pode-se mostrar que I é indepen-

dente de n e é dado por

I � ��f 2Af

2B � f

2Af

2B��r1 � r�11 �2 � 2�r1 � r�11 ��

��f 2B � f

2B � f

2A � f

2A��r1�2 � r1� � r�11 �2 � r�11 � � 2�r1 � r�11 �2�~32 � 1. (4.29)

Com o conhecimento do traço do mapa dado pela equação (4.21), as condições iniciais

[equações (4.22)-(4.24)] e a restrição SxnS @ 1, consegue-se determinar, alternativamente, o


espectro de polaritons de um dado número n da geração da estrutura de Fobonacci.

4.3 Resultados Numéricos

Nesta seção, serão apresentados alguns resultados numéricos que caracterizam

o espectro do gap polaritônico devido a excitação dos polaritons de fônons (modos de

volume e superfície), que podem se propagar, com frequências na faixa de THz, dentro

da estrutura descrita na seção anterior. O meio A representa o metamaterial que possui

função dielétrica εA�ω� e permeabilidade magnética µA�ω� dependentes da frequência.

Elas são dadas pelas equações (4.1) e (4.2), respectivamente. Já o meio B representa o SiO2

com valores constantes para permissividade elétrica e permeabilidade magnética, ou seja,

εB � 12.3 e µB � 1, que são parâmetros apropriados para esse material.

O espectro do gap polaritônico é retratado em diferentes escalas na Figura 4.3, para

o caso da super-rede periódica infinita, e Figura 4.4, considerando a super-rede periódica

semi-infinita, respectivamente. Nessas figuras, os modos de superfície são representados

por linhas retas, enquanto as bandas de volume são caracterizadas por áreas sombreadas,

que são limitadas pelas equações QL � 0 e QL � π, onde Q é o vetor de onda de Bloch

e L é o comprimento da célula unitária. A linha tracejada representa a linha da luz ω �

ckx no vácuo, enquanto a linha pontilhada e tracejada é a linha da luz ω � ckx~ε1~2B no

material com índice de refração positivo (SiO2). Como já foi mencionado, o amortecimento

é negligenciado e o meio externo C é considerado vácuo (εC � 1), conduzindo a seguinte

estrutura: vácuo/metamaterial/SiO2/metamaterial/SiO2�.

Na Figura 4.3, a frequência do gap polaritônico, na unidade THz, é plotada contra

o vetor de onda adimensional no plano kxdA para dA~dB � 2 com dA � 8 µm. O espec-

tro de polariton tem quatro bandas de volume (rotuladas por B1-B4) separadas por gaps

de frequência proibida onde quatro modos de superfície (rotulados por S1-S4) podem se

propagar.

Para o intervalo de baixa frequência do espectro, há apenas uma banda de volume

(B1) a partir de ω � 0 e kxdA � 0 e tendendo rapidamente ao seu valor limite ω � 7.80 THz

em kxdA � 1.3. Ela é delimitada na sua parte superior pelo modo de superfície S1 (linha

reta horizontal em ω � 7.89 THz) e torna-se mais estreita quando kxdA aumenta.


Figura 4.3: Espectro de frequência do gap polaritônico para super-rede periódica.

O ramo de frequência intermediaria, localizado no intervalo de 8.50 THzB ω B

28.96 THz, é caracterizado por outros dois modos de volume B2 e B3, respectivamente.

O primeiro deles (B2) divide-se em duas novas bandas de volume em ω � 9.54 THz e

kxdA � 0.35. A banda inferior é a mais estreita do espectro e está localizada em torno

de ω � 8.67 THz, permanecendo inalterada com o aumento de kxdA. Ela está localizada

entre dois modos de superfície: o modo inferior (S1) é o mesmo que delimita a parte

superior do primeiro modo de volume (B1). O outro modo de superfície (S2) começa

na linha da luz ω � ckx e tende assintoticamente a ω � 9.54 THz para altos valores de

kxdA, delimitando a parte superior da banda de volume mais estreita em ω � 9.54 THz

de kxdA � 1.5 a 5.0. A banda de volume superior de B2 está localizada no intervalo de

frequência 9.54 THzB ω B 10.0 THz em kxdA � 0, tem uma inclinação positiva e torna-se

estreita quando tende ao seu valor limite ω � 21.50 THz em kxdA � 5.0. O outro modo de

volume (B3) está localizado no intervalo de frequência desde ω � 24.54 THz a 28.96 THz

e kxdA � 0. Ele tem uma inclinação negativa caracterizando uma velocidade de grupo,

também, negativa e tende ao valor limite ω � 22.72 para altos valores de kxdA. Ele é

delimitado por dois modos de superfície: o inferior (S3) começa na linha da luz ω � ckx


Figura 4.4: Ampliação da Figura 4.1 para a região 17.34 THzB ω B 26.01 THz e 0.0 B kxdA B 0.25.

e, inicialmente, tem uma inclinação positiva (modo de superfície avançado) em ω � 11.79

THz e kxdA � 0.04. Em seguida ele torna-se um modo de superfície atrasado (com uma

inclinação negativa) tendendo assintoticamente à frequência ω � 22.11 THz para altos

valores de kxdA.

O modo de superfície superior (S4) está na região de alta frequência, cuja in-

clinação é ligeiramente negativa em todos os intervalos de frequência (modo atrasado),

partindo da linha da luz ω � ckx e tendendo a ω � 28.09 THz para altos valores de kxdA.

O último ramo de volume (B4) tem o mesmo perfil parabólico encontrado nos modos de

volume de polaritons de fônons em altas frequência para materiais com índice de refração

positivo [161].

Com o propósito de investigar com mais detalhes os modos de superfície, é mos-

trada na Figura 4.4 uma ampliação no espectro do gap polaritônico retratado na Figura 4.3

para a região 17.34 THzB ω B 26.01 THz e 0 B kxdA B 0.25. A partir dessa ampliação, pode-

se ver que o modo de superfície S3 se divide em dois novos modos no ponto ω � 20.03

THz e kxdA � 0.086. Depois disso, enquanto um deles é ligeiramente desviado da linha

da luz no vácuo (linha tracejada) e se funde com a banda de volume B3, o outro tende

assintoticamente ao valor limite ω � 24.53 THz (parte inferior da banda de volume B3)


quando kxdA aumenta. Observe que esse comportamento não tem uma contrapartida de

um material com índice de refração positivo. Além disso, a divisão do modo de superfície

S3 não é um artefato numérico, tendo alguma semelhança com o encontrado para o caso

dos polaritons de plasmons, anteriormente estudados por Vasconcelos et al [165].

Na Figura 4.5, é apresentada o espectro do gap polaritônico para a quarta geração

da estrutura quasi-periódica de Fibinacci. Como no caso periódico, existem quatro ramos

de frequência de volume (rotulados por B1-B4); mas diferentemente do caso periódico, o

espectro de polariton é agora mais fragmentado. Além disso, todas as bandas de volume

tendem a tornar-se estreitas quando kxdA aumenta, exceção feita a última banda (B4), que,

novamente como no caso periódico, apresenta a mesma forma parabólica semelhante aos

modos de volume dos polaritons de fônons no regime de altas frequências para materiais

com índice de refração positivo. Observe que o número de bandas de passagem (regiões

de frequências permitidas para a propagação dos polaritons de fônons dentro da estru-

tura), considerando todas as regiões de frequência (baixa, média e alta), está relacionado

ao número de Fibonacci FN .

Figura 4.5: Espectro de frequência do gap polaritônico considerando um cristal fotônico quasi-periódico da quarta geração da sequência de Fibonacci.


Observa-se agora a existência de seis modos de superfície (rotulados por S1-S6)

cujo comportamento é semelhante aos encontrados no caso periódico. O modo de super-

fície de baixa frequência (S1) emerge da linha da luz ω � ckx com uma inclinação quase

nula e depois segue na horizontal em ω � 7.88 THz para qualquer valor de kxdA. O se-

gundo modo (S2) emerge da banda de volume rotulada como B2 em ω � 10.13 THz e

kxdA � 0.54, tendendo a ω � 8.77 THz, com uma inclinação negativa (modo atrasado).

O terceiro modo de superfície (S3) surge a partir da divisão da banda de volume B2 na

região de frequência intermediária com uma inclinação positiva (modo avançado). Ele

desaparece na estreita banda de volume B2 na frequência ω � 21.24 THz. O modo de su-

perfície rotulado por S4 está localizado entre as bandas de volume B2 e B3. Esse modo

começa na linha da luz ω � ckx com uma inclinação positiva (modo avançado) no ponto

ω � 15.25 THz e kxdA � 0.07. Em seguida, ele torna-se um modo atrasado (com inclinação

negativa) e tende assintoticamente à frequência ω � 22.04 THz para altos valores de kxdA.

O quinto modo de superfície segue a linha de contorno da banda de volume rotulada por

B3. Esse modo tende a ω � 22.67 THz quando kxdA aumenta. Finalmente, na região de alta

frequência, o modo de superfície (rotulado por S6) emerge da linha da luz ω � ckx com

uma inclinação quase nula, seguindo na horizontal em ω � 28.84 THz para qualquer valor

de kxdA.

Quando os constituintes da super-rede são formados por um material com índice

de refração positivo, as bandas de passagem nas estruturas periódica e quasi-periódica

podem ser obtidos quando o valor absoluto do lado direito da equação (4.16) é inferior a

um, que significa um componente z real do vetor de onda (kz). Por outro lado, quando ele

é superior a um, a banda é interrompida, ou seja, ela para. No entanto, isso não é verdade

quando a super-rede contém materiais com índices de refração positivo e negativo (como

no caso apresentado neste capítulo). Alguns valores complexos de kz ainda podem fazer

o lado esquerdo da equação (4.16) ficar menor do que um, e essas soluções complexas

podem ter significado físico. Isso pode ser visto considerando a curva de dispersão apre-

sentada na Figura 4.6, correspondendo a um vetor de onda no plano adimensional fixo

kxL~2π � 0.5 e uma razão dB~dA � 3.90. Apresenta-se aqui a frequência ω contra o vetor de

onda adimensional de Bloch QL para a quinta geração de Fibonacci.

Também, foi investigado o caso onde a média do índice de refração da super-rede

tende a zero, a chamada região de gap zero-η, ou seja, η � �ηAdA � ηBdB�~L � 0 com ηA ��εAµA�1~2 � �8.8 sendo o índice de refração para o metamaterial (j � A) e ηB � �εBµB�1~2 �2.19 sendo o índice de refração para o SiO2 (j � B), respectivamente (esses parâmetros


Figura 4.6: Espectro do gap polaritônico contra o vetor de onda adimensional de Bloch QL paraa razão das espessuras dB~dA � 3.90, considerando a quinta geração da super-rede polaritônicaquasi-periódica de Fibonacci.

correspondem a εA � �287.4, µA � �0.25, εB � 4.8 e µB � 1). A razão para isso é distinguir os

usuais gaps de Bloch, retratados na Figura 4.3 e na Figura 4.4, dos gaps zero-η. Além disso,

existe uma possibilidade de ampliação do gap em relação à super-rede usual constituída

apenas pelo material com índice de refração positivo [172], bem como a possibilidade de

modos discretos e tunelamento de fóton [173] quando η � 0. Aqui, pode-se notar que as

bordas das bandas de volume não caracterizadas pelas condições QL � 0 e QL � π.

A estrutura de bandas η � 0 pode ser melhor vista no perfil de banda projetado na

Figura 4.7, onde as as bandas de passagem estão unidas para constituir uma banda muito

fragmentada. Quando parte-se de kxL � 0, as bandas de passagem tornam-se separadas

pela estreita interrupção na banda, ou seja, os modos discretos transformam-se em bandas

estreitas em que o vetor de onda adimensional de Bloch QL descreve uma pequena região

em torno de kxL � 0, enquanto a curva de dispersão mais baixa estende-se por um domínio

mais ou menos espalhado da zona de Brillouin reduzida (veja a Figura 4.6). Por outro

lado, a Figura 4.7 mostra que para pequenos valores de kxL~2π a transmissão através da

super-rede é zero, exceto em determinadas bandas de transmissão e para alguns valores

de QL @ π. As frequências discretas (como em ω � 47.87 THz e kxL � 0 na Figura 4.7) são


determinadas pela condição de ressonância de Fabry–Perot kzA � mπ (m � �1, �2, �3,...),

onde as ondas refletidas em interfaces consecutivas chegam fora de fase com a faceta de

entrada da super-rede [174]. As bandas de volume contínuas são caracterizadas pela zona

de Brillouin reduzida 0 B QL B Ξ com Ξ sendo os valores onde a inclinação vai para menos

infinito na Figura 4.7. Nota-se que para a énesima geração de Fibonacci, pode-se calcular

as espessuras adimensionais dA~L e dB~L que satisfazem a equação

ηn � �Fn�1ηAdA � Fn�2ηBdB�~L � 0, (4.30)

onde dA � 8µm, ηA � �8.8, ηB � 2.19 e L � Fn�1dA�Fn�2dB, com Fn sendo a énesima geração

do número de Fibonacci.

Figura 4.7: Estrutura de banda polaritônica plotada como uma função do vetor de onda no planoreduzido Kx � kxL~2π

Para completar a investigação da propagação dos polaritons de fônons, na es-

trutura polaritônica proposta neste capítulo, faz-se necessária uma análise dos efeitos de

confinamento decorrentes da competição entre a ordem aperiódica de longo alcance, que

é induzida pela estrutura quasi-periódica, e a desordem de curto alcance. Para esse fim,

uma análise quantitativa da localização e magnitude da largura das bandas de passagem

do espectro do gap polaritônico é necessária. Para fazer isso, deve-se calcular as regiões de


frequências permitidas (bandas de passagem), onde S�1~2�Tr�T �S B 1, como uma função

do número da geração da estrutura quasi-periódica para um valor fixo de kxdA � 0.5,

como retrata a Figura 4.8. Ela mostra a distribuição da largura das bandas de frequências

proibidas e permitidas, como uma função do número da geração n, até a décima segunda

geração da sequência de Fibonacci, considerando kxdA � 0.5. Isso significa uma célula

unitária com 144 blocos de construção A e 89 blocos de construção B totalizando 233.

Nota-se que, como já era esperado, para grandes valores de n, as regiões de bandas per-

mitidas tornam-se cada vez mais estreitas, indicando uma maior localização dos modos

de volume. Na verdade, a largura total ∆ das regiões de energias permitidas, que é a

medida de Lebesgue do espectro de energia [175], diminui com o número da geração de

Fibinacci n com a lei de potência ∆ � F �δn . Aqui, o expoente δ (a constante de difusão do

espectro) é uma função do vetor de onda no plano kxdA. Esse expoente pode indicar o

grau de localização da excitação [176]. A Figura 4.9 mostra uma gráfico log-log dessa lei

de potência para três valores diferentes de kxdA, a saber, 0.25, 0.35 e 0.45.

Figura 4.8: Distribuição das larguras de bandas dos polaritons de fônons, para kxdA � 0.5, comouma função do número da geração n.


Figura 4.9: representação log-log da largura total das regiões permitidas ∆ versus o número deFibonacci Fn, para três valores diferentes do vetor de onda no plano adimensional kxdA.

CAPÍTULO 5

BAND GAPS OMNIDIRECIONAIS NA FAIXA DE

TERAHERTZ EM CRISTAIS POLARITÔNICOS

QUASI-PERIÓDICOS

“Tentei imediatamente incorporar de alguma forma o

quantum elementar de ação ’h’ no contexto da teoria clás-

sica. Mas em face de todas essas tentativas, esta constante

mostrou-se obstinada."

Max Planck

5.1 Introdução

Cristais fotônicos são estruturas caracterizadas pela variação periódica do índice

de refração e a consequente variação espacial periódica da constante dielétrica [1]. Esses

cristais podem criar regiões espectrais denominadas de bandgaps fotônicos, onde a onda

eletromagnética, cuja frequência pertence a esses intervalos, não pode se propagar através

do cristal. Desenvolvimentos em cristais fotônicos têm aberto oportunidades para o con-

trole da absorção e do espectro de radiação de materiais artificiais através de vários efeitos

61

Capítulo 5. Band Gaps Omnidirecionais na Faixa de Terahertz em Cristais PolaritônicosQuasi-periódicos 62

físicos, tais como os plasmons de superfície [177], aumento da cavidade ressonante [178],

reflexão de Bragg [179] e modificação da densidade de estados fotônica [180]. Dentre

estes materiais artificiais destacam-se os metamateriais. Eles são fabricados para terem

propriedades que não podem ser encontradas na natureza. As propriedades dos meta-

materiais derivam da sua estrutura, usando pequenas inomogeneidades para criar com-

portamentos macroscópicos efetivos [181]. Existem muitos tipos de metamateriais [182]

(a palavra meta, que vem do Grego, significa depois ou além). Desses, os mais conheci-

dos são os metamateriais eletromagnéticos que possuem índice de refração negativo, que

foram inspirados pelo trabalho pioneiro de Veselago [136] e efetivamente realizados no re-

cente trabalho experimental de Smith et al [183]. Esse material tem propriedades exóticas,

como refração negativa na lei de Snell, radiação Cherenkov invertida, etc.

Estudos teóricos e experimentais sobre a propagação da luz através através de

cristais fotônicos contendo materiais com índice de refração negativo, têm evidenciado a

existência de novas propriedades físicas, como por exemplo, o gap quando a fase efetiva

é nula, que é omnidirecional (em todas as direções) e insensível à desordem [184–186].

Nesses trabalhos, em geral, o material com índice de refração negativo é modelado por

uma função dependente da frequência plasmônica (tipo Drude), numericamente igual a

permissividade elétrica ε e a permeabilidade magnética µ, onde os band gaps aparecem na

faixa de frequência de gigahertz (GHz) [ver Ref. [187]]. Este tipo de modelo não permitem

estender este resultado para a faixa de terahertz (THz) por uma simples mudança de es-

cala. É necessário considerar outro tipo de metamaterial eletromagnético. Portanto, neste

capítulo, consideramos, em nosso modelo teórico, uma resposta dos polaritons de fonons

para a permissividade elétrica ε, com o intuito de descrever a resposta elétrica no material

com índice de refração negativo, mantendo a função tipo Drude para a resposta da perme-

abilidade magnética µ. Por essa razão, nós o chamamos de meio polaritônico com índice

de refração negativo. Aqui, vamos fazer o estudo da emitância de um cristal fotônico com

uma de suas camadas preenchida por material com índice de refração negativo, em busca

de propriedades exóticas como band gaps omnidirecionais na faixa de frequência de THz.

Por outro lado, desde a descoberta dos quasi-cristais por Shechtman et al. [7], que

teve seu trabalho reconhecido recentemente com o prêmio Nobel 2011, as propriedades

físicas de uma nova classe de cristais artificiais, chamadas de estruturas quasi-periódicas,

têm atraído muita atenção, principalmente nas últimas duas décadas. Estes quasi-cristais

são formados pela superposição de dois (ou mais) períodos incomensuráveis, que po-

dem ser definidos como sistemas intermediários entre um cristal periódico e o sólido


amorfo aleatório [188]. Evidências experimentais para a compreensão desta nova classe

dos cristais foram dadas pelas referências [189] e [161]. Além disso, o conceito de band

gaps foi estendido para estruturas quasi-periódicas [165]. Estes estudos têm mostrado

que as propriedades dinâmicas de sistemas quasi-periódicas em diferentes substratos

têm características comuns, tais como um espectro fractal tipo Cantor das excitações ele-

mentares e seu espectro de transmitância. Portanto, a emitância dessas microestruturas

quasi-periódicas é particularmente atraente para aplicações e para estudar o aspecto frac-

tal (auto-similaridade, por exemplo), devido à possibilidade deste ser realizado experi-

mentalmente. Por isso, o vasto campo de aplicações na frequência de THz, entre a alta

frequência eletrônica (até cerca de 100 GHz) e a baixa frequência óptica (até cerca de 10

THz), tem estimulado intensa investigação devido às aplicações potencias, incluindo ima-

gens, segurança, espectroscopia e comunicação [190–193].

As pesquisas em cristais fotônicos na região de THz começaram antes dos anos

noventa. No entanto, o primeiro cristal fotônico na faixa de THz foi realizado por Wu

et al. [194]. Desde então, cristais fotônicos têm sido amplamente estudados nesse regime

tanto experimentalmente [194–198] quanto teoricamente [199–201]. Em particular, band

gaps fotônicos em THz e filtros de interferência em cristais fotônicos unidimensionais têm

atraído intensas pesquisas, tais como o tunelamento em band gaps fotônicos e os modos

de defeito em band gaps fotônicos em THz. Por outro lado, band gaps omnidirecionais

têm potenciais aplicações na melhoria de espelhos THz omnidirecionais [202], filtros óp-

ticos omnidirecionais [203], switches ópticos [204] etc. Recentemente, X. Dai et al. [205]

estudaram band gaps fotônicos na faixa de THz termicamente sintonizáveis e omnidire-

cionais, em cristais fotônicos unidimensionais compostos por camadas alternadas do ma-

terial semicondutor InSb e do material dielétrico SiO2. Eles mostraram que esse band gap

fotônico depende, fortemente, da constante de rede e da razão das espessuras de seus

constituintes (InSb e SiO2).

Neste capítulo descrevemos band gaps polaritônico omnidirecional num cristal

fotônico quasi-periódico unidimensional contendo materiais com índice de refração ne-

gativo, que são materiais efetivos sintonizáveis, cuja dependência das funções dielétrica

e magnética são modificadas para gerar band gaps fotônicos na faixa de frequência de

THz. A fim de estudar a emitância, consideramos um feixe de luz que incide normal-

mente e obliquamente sobre a estrutura fotônica de multicamadas unidimensional, com-

posta de um material com índice de refração positivo (SiO2) e um material com índice

de refração negativo, formando um sistema multiestruturado arranjado periodicamente


e quasi-periodicamente (tipo Fibinacci), como mostra a Figura 5.1. Podemos modelar

cada camada do material com índice de refração negativo (ou metamaterial polaritônico)

por um meio efetivo, formado por uma matriz periódica de ressonadores metálicos em

formato de anel (veja [183]), caracterizado por uma função tipo Drude na resposta da

permeabilidade magnética µ [206], preenchido por um meio polaritônico (LiTaO2), cuja

permissividade elétrica ε é uma função que depende da frequência dos polaritons de

fonons [207].

Figura 5.1: Representação esquemática geométrica da estrutura de multicamadas. As camadasA e B têm espessuras dA e dB , respectivamente, enquanto L é o tamanho de toda a estruturacrescida sobre o substrato absorvente de espessura dS . O meio C representa o vácuo. (a) Estruturaperiódica. (b) Estrutura quasi-periódica de Fibonacci.

A estrutura quasi-periódica de Fibonacci pode ser gerada pela sua regra de in-

flação, como se segue: A � AB e B � A. Aqui, A (espessura dA) e B (espessura dB) são

blocos de construção modelando as camadas SiO2 e metamaterial polaritônico, respecti-

vamente. Alternativamente, a estrutura de Fibonacci pode ser crescida justapondo os dois


blocos de construção A e B de tal forma que o enésimo estágio da super-rede Sn é dado

interativamente pela regra Sn � Sn�1Sn�2, para C 2, com S0 � B e S1 � A [208]. Para cal-

cular o espectro de emitância nestas estruturas em multicamadas, usaremos o formalismo

da matriz-transferência para descrever a propagação das ondas eletromagnética através

das camadas, e a segunda lei de Kirchoff para encontrar a emitância na última camada do

sistema.

5.2 Teoria Geral

Considere a estrutura de multicamadas quasi-periódica, conforme ilustração na

Figura 5.1. A camada A, com espessura dA, é preenchida pelo SiO2 e é caracterizada por

índice de refração positivo ηA �ºεAµA e uma impedânciaZA �

»µA~εA, ambos constantes.

Já a camada B, com espessura dA, é preenchida pelo metamaterial polaritônico e é carac-

terizado por um índice de refração negativo ηB �ºεBµB e uma impedância ZB �

»µB~εB.

A estrutura de multicamada é crescida sobre um substrato absorvente S, com um índice

de refração constante ηS . Toda a estrutura está incorporada em um meio transparente C

(considerado vácuo) com um índice de refração constante ηC .

Para calcular as propriedades espectrais da multicamada quasi-periódica óptica,

organizada de acordo com a sequência de Fibonacci, utilizamos o método da matriz-

transferência [208]. Este método consiste em relacionar as amplitudes dos campos eletro-

magnéticos em uma camada com as da anterior, por aplicações sucessivas das condições

de contorno eletromagnética de Maxwell em cada interface ao longo do sistema de mul-

ticamadas. Portanto, a matriz-transferência relaciona as amplitudes do campo eletromag-

nético incidente (A01C e A0

2C) de um lado do sistema de multicamadas (em z @ 0), com a

amplitude transmitidaA0NC do campo eletromagnético do outro lado, em z A L, onde L é o

tamanho do sistema de multicamadas (veja Figura 5.1), por meio do produto das matrizes

de interface Mαβ (α, β sendo qualquer meio A, B, C e S) e as matrizes de propagação Mγ

(γ � A, B e S), da seguinte forma [209, 210]:

�� A01C

A02C

�� MCAMAMABMB�MBSMSMSC

�� AN1C

0

�� , (5.1)


onde

Mαβ �1

2

�� 1 �Zα~Zβ 1 �Zα~Zβ1 �Zα~Zβ 1 �Zα~Zβ �� , (5.2)

Mγ �� exp��ikγdγ� 0

0 exp�ikγdγ� �� , (5.3)

com kγ � ηγω~c.As matrizes das equações 5.1, 5.2 e 5.3 foram obtidas para o caso de uma incidên-

cia normal. Para uma incidência obliqua, precisamos substituir Zα � Zα~ cos θα para po-

larização s ou modo transversal elétrico (TE), e Zα � Zα cos θα para polarização p ou modo

transversal magnético nas matrizes de interface Mαβ , bem como ηγ � ηγ cos θγ para am-

bas polarizações TE e TM nas matrizes de propagação Mγ . Aqui θα (θγ) é o ângulo de

incidência do feixe de luz na camada α (γ), com relação ao eixo z.

Os coeficientes de transmitância e reflectância são dados, simplesmente, por:

R �

RRRRRRRRRRRM21

M11

RRRRRRRRRRR2

e T �

RRRRRRRRRRR 1

M11

RRRRRRRRRRR2

, (5.4)

onde Mi,j (i, j = 1,2) são os elementos da matriz-transferência óptica,

M �MCAMAMABMB �MBSMSMSC .

Essa matriz-transferência é formada por um produto de matrizes Mαβ e Mγ . Como pode-

mos observar, a ordem dessas matrizes no produto depende do tipo de série quasi-periódica

e do número da geração N da sequência quasi-periódica (que é o mesmo índice uti-

lizado nas amplitudes do campo eletromagnético). As matrizes do sistema de Fibonacci

considerado aqui podem ser diretamente determinadas (para mais detalhes veja refer-

ências [209, 210]). Se nenhum material absorvente é introduzido no sistema de multica-

madas, então R � T � 1 pela conservação da energia. Quando introduzimos um material

com índice de refração complexo (material com absorção),R e T podem ser utilizados para

definir uma absortância (ou absortividade) real pela expressão: A�ω� � 1 � R�ω� � T �ω�,que é novamente uma afirmação da conservação da energia. No entanto, a partir da se-

gunda lei de Kirchoff, sabemos que a razão da emitância térmica E�ω� pela absortância


A�ω� é uma constante, independente da natureza do material, sendo a unidade quando a

fonte é um corpo negro perfeito [211,212]. Portanto, neste caso consideramos que a última

camada é um corpo negro e, consequentemente, E�ω� � A�ω�, sendo desse modo

E�ω� � A�ω� � 1 �R�ω� � T �ω�. (5.5)

Desta forma, considerando-se as equações (5.1), (5.4) e (5.5), podemos calcular a emitância

para qualquer sistema de multicamadas com um substrato absorvente.

5.3 Resultados Numéricos

Considerando a estrutura em multicamadas quasi-periódica em equilíbrio tér-

mico com o seu entorno em uma dada temperatura, apresentamos agora as simulações

numéricas para a emissividade espectral. A representação geométrica esquemática é mos-

trada na Figura 5.1, considerando o meio A como SiO2, cujo índice de refração é ηA � 1.45,

enquanto o meioB é um metamaterial polaritônico efetivo, considerado por ter um índice

de refração complexo, cuja parte real é negativa, ηB @ºεBµB. Esta pilha de múltiplas ca-

madas fotônicas encontra-se no vácuo (ηC � 1), e é crescida sobre um substrato absorvente

S, cujo índice de refração complexo é dado por ηS � 3.0 � 0.01i. Sua espessura é dada por

dS � 100λ0~η�S (λ0 � 12.238µm), η�S sendo a parte real de ηS .

Uma mudança significativa em nosso resultado pode ser encontrada se utilizarmos

uma permissividade negativa tipo polaritons de fonons, definindo um meio polaritônico

mais realístico e produzindo um padrão de emissão muito complexo. Um modelo simples

para a permissividade dielétrica do material polaritônico com perdas é:

εB�ω� � ε0 �1 �ω2LO � ω

2TO

ω2TO � ω

2 � iΓω� , (5.6)

ωLO (ωTO) sendo a frequência do fonon óptico longitudinal (transversal).

A permeabilidade magnética µ�ω� pode ser definida como uma função tipo Drude

[206]:


µB�ω� � 1 �Fω2

ω2 � ω20 � iΓω

. (5.7)

Consideramos para o LiTaO3, um típico material polaritônico extensivamente utilizado

experimentalmente, os seguintes parâmetros físicos [207]: ωTO~2π � 26.7 THz, ωLO~2π �

46.9 THz, εª � 13.4 e Γ � 0.6 THz. A fração F é determinada apenas pela geometria da

rede do meio polaritônico efetivo (camada B), em vez de ser pela carga, massa efetiva

e densidade de elétrons, como ocorre nos materiais naturais. Utilizamos aqui F � 0.56,

motivados pelo trabalho experimental de Smith et al [183], e ω0 � 2πc~λ0.Para identificar a região de frequência onde a camada B tem índice de refração

negativo, apresentamos na Figura 5.2 a variação do índice de refração como uma função

da frequência ω em THz. Como pode ser observado a partir da figura, a região de frequên-

cia em que o meio B comporta-se como um metamaterial, ou seja, com índice de refração

negativo, é 161.64 @ ω @ 269.40 THz.

Figura 5.2: Propagação esquemática da onda em materiais com índice de refração positivo e ne-gativo.

As figuras 5.3, 5.4 e 5.5 mostram o espectro de emitância (E�ω, θ�) calculado para

as sequências periódica e quasi-periódica como uma função da frequência ω e do ângulo

de incidência θ � θC (C é o vácuo de onde vem o feixe de luz). Estamos levando em

consideração a mesma polarização, ou seja, modo TE ou polarização s, em duas situações

distintas: o caso periódico (Figura 5.3), e a nona geração da sequência quasi-periódica de

Fibonacci (Figura 5.4), respectivamente. Podemos perceber facilmente que a dependência


angular, para o caso periódico, apresenta um band gap bem definido, com um espectro

mais uniforme que no caso quasi-periódico. Observamos que (ver Figura 5.3 existem dois

band gaps omnidirecionais (região de gap onde a emitância é zero, independentemente do

ângulo de incidência). O primeiro é caracterizado pelo intervalo de frequência 231.68 @

ω @ 284.79 THz, para θ � 0X, e pela estreita região caracterizada por 1.495 @ ω @ 2.2 THz,

para θ � 90X, demonstrando que a largura do band gap depende fracamente do ângulo. O

segundo band gap omnidirecional está em uma região de frequência muito estreita 153.94 @

ω @ 161.64 THz. Por outro lado, na região de frequência 0 @ ω @ 153.94 THz, temos uma

suave dependência com o ângulo, indo do topo central do espectro em ω � 15.39 THz,

θ � 0X e E�ω, θ� = 0.6, para a parte inferior do espectro, em ω � 153.94 THz.

Figura 5.3: Modo TE (ondas eletromagnéticas com polarização s) do espectro de emitância comouma função da frequência ω (em THz) e do ângulo de incidência θ numa estrutura periódica.

Na Figura 5.4, plotamos o espectro de emitância calculado para a nona geração

na multicamada quasi-periódica de Fibonacci, para modos TE (polarização s). Nessa

figura observamos que existem duas grandes regiões exibindo band gaps omnidirecionais:

o primeiro deles está na região de frequência 70.81 @ ω @ 153.94 THz, o segundo está na

região de frequência 230.91 @ ω @ 284.79 THz. Podemos notar que na última região o band

gap é mais estreito, para θ � 0X, quando comparado com o gap na região de frequência


230.91 @ ω @ 338.67 THz, para θ � 90X. Também, observamos um espectro fragmentado na

região de alta frequência, totalmente distintas das linhas de contorno que definem a su-

perfície vista na Figura 5.3 na mesma região. Outro interessante aspecto da emitância para

o caso quasi-periódico pode ser observado na região 0 @ ω @ 70.81 THz onde, diferente-

mente do caso periódico, é possível ver a existência de gaps minúsculos. Uma ampliação

detalhada dessa região pode ser vista na Figura 5.5. Aqui, existem muitos band gaps om-

nidirecionais estreitos de baixa frequência centrados em ω � 38.49 THz; 42.33 THz; 49.26

THz; 64.65 THz e 69.27 THz. Além disso, existe outro band gap omnidirecional mais largo

na região 50.03 @ ω @ 61.58 THz.

Figura 5.4: Modo TE (ondas eletromagnéticas com polarização s) do espectro de emitância comouma função da frequência ω (em THz) e do ângulo de incidência θ na estrutura quasi-periódica deFibonacci (nona geração).

Para o modo TM ou polarização p, a emitância E�ω, θ� (versus ω e θ) é plotada nas

figuras 5.6, 5.7 e 5.8. Nelas, temos a ocorrência de duas situações distintas: o caso per-

iódico (Figura 5.6) e a nona geração da sequência quasi-periódica de Fibonacci Figura 5.7,

respectivamente. Na Figura 5.6, a dependência angular apresenta um band gap omnidire-

cional bem definido, com um espectro mais uniforme que o caso quasi-periódico retratado

na Figura 5.7, mas muito similar ao modo com polarização s (veja Figura 5.3). Nessa


Figura 5.5: Ampliação da Figura 5.4 na região de frequência 0 @ ω @ 90 THz.

figura, também é observado um gap estreito na região de frequência 230.91 @ ω @ 284.79

THz, para θ � 0X, em comparação com a região de alta frequência 230.91 @ ω @ 323.247

THz, para θ � 90X. Por outro lado, na região 0 @ ω @ 153.94 THz, temos dois picos com

emitância máxima correspondente a E�0.25,60X� = 0.98 e E�0.25,�60X� = 0.98, respecti-

vamente, diminuindo suavemente até o seu valor mínimo, correspondente a E� 0, para

ω � 153.94 THz. O espectro de emitância quasi-periódico tem, também, dois band gaps om-

nidirecionais com característica similar, com respeito à dependência angular. Na região

de frequência 0 @ ω @ 89.29 THz, é possível observar a existência de gaps minúsculos.

O detalhe ampliado das regiões estreitas em baixas frequências, centradas entre

ω � 80.82 THz e 86.98 THz, e o band gap localizado na região 63.12 @ ω @ 73.89 THz são

retratados na Figura 5.8. Comparativamente, as figuras 5.4 e 5.7 apresentam diferenças

com respeito as polarizações, sobretudo na região de baixa frequência. Notamos que para

o modo com polarização p, o espectro de emissão é mais intenso que o modo com polar-

ização s. Além disso, os espectros são completamente distintos na região 46.18 @ ω @ 92.36

THz. Enquanto o modo polarizado s é caracterizado por uma ausência da emissão térmica

na região 50.03 @ ω @ 61.58 THz, o modo polarizado p, ao contrário, emite intensamente

nessa região. Na faixa de frequência 61.58 @ ω @ 73.89 THz, o modo com polarização s


Figura 5.6: Modo TM (ondas eletromagnéticas com polarização p) do espectro de emitância comouma função da frequência ω (em THz) e do ângulo de incidência θ numa estrutura periódica.

mostra uma alternância de picos e depressões no espectro de emissão térmica, enquanto

para o modo polarizado p existe um band gap na mesma região de frequência. A alternân-

cia de picos e depressões torna-se evidente em 73.89 @ ω @ 89.29 THz.

De uma maneira geral, o caso periódico mostra uma diferença qualitativa entre

as polarizações s e p, o que significa que os espectros são muito sensíveis à geometria da

estrutura. Além disso, a estrutura quasi-periódica apresenta um espectro mais fragmen-

tado em comparação ao caso periódico, devido ao seu maior grau de desordem. Em todos

os casos estudados nas figuras com modos TE e nas figuras com modos TM, em relação

à dependência dos espectros de emissão com o ângulo de incidência θ, podemos inferir

que todos os espectros são simétricos em torno de θ � 0X, que era esperado visto que a

emitância térmica E�ω, θ� é uma função par de θ. Além disso, a emitância térmica E�ω, θ�é nula para θ � 90X, o que significa que não temos propagação de ondas eletromagnéticas

através da estrutura de multicamadas.


Figura 5.7: Modo TM (ondas eletromagnéticas com polarização p) do espectro de emitância comouma função da frequência ω (em THz) e do ângulo de incidência θ na estrutura quasi-periódica deFibonacci (nona geração).


Figura 5.8: Ampliação da Figura 5.7 na região de frequência 0 @ ω @ 90 THz.

CAPÍTULO 6

CONSIDERAÇÕES FINAIS E PERSPECTIVAS

O objetivo deste trabalho é apresentar um estudo teórico da propagação das on-

das eletromagnéticas em estruturas, periódicas e quasi-periódicas tipo Fibonacci, com-

postas pela justaposição de duas camadas com permissividade elétrica ε diferentes. Essas

estruturas são conhecidas como cristais fotônicos. Para tanto, fizemos uma revisão biblio-

gráfica sobre os cristais fotônicos no capítulo 2. Nesse capítulo, definimos o que seria um

cristal eletrônico, à luz da Física do Estado Sólido, e um cristal fotônico, apontando as

suas principais distinções. Também, apresentamos as propriedades dos cristais fotônicos,

sua evolução histórica (desde os primeiros trabalhos teórico até sua efetiva construção)

e suas principais aplicações tecnológicas , tais como fibras de cristais fotônicos, circuitos

fotônicos integrados, modificação da emissão espontânea, isoladores ópticos, elementos

não-lineares, dispersão e efeito de luz lenta.

No capítulo 3 fizemos uma breve revisão de alguns assuntos da Óptica Ondu-

latória, mostrando boa parte dos subisídios físicos e matemáticos utilizados nos capítulos

4 e 5. Também, apresentamos o que seria um meio óptico, que no nosso caso é o próprio

cristal fotônico, descrevemos a propagação das ondas eletromagnéticas nesse meios, uti-

lizando o formalismo das equações de Maxwell. A partir dessas equações, defimos a

equação da onda no vácuo e nos meios dielétricos, onde calculamos o índice de refração

do meio e a velocidade de grupo das ondas.

Apresentamos, no capítulo 4, uma teoria geral para a propagação dos polaritons

de fonons em super-redes periódicas e quasi-periódicas de Fibonacci. Uma das camadas,

75

Capítulo 6. Considerações Finais e Perspectivas 76

que constitui a super-rede, possui índice de refração η negativo (metamaterial), onde a

permissividade elétrica ε e a permeabilidade magnética µ são simultaneamente negativas

na mesma região de frequência em THz. Os espectros foram mostrados nas figuras 4.3

(super-rede periódica) e 4.5 (quarta geração da estrutura quasi-periódica de Fibonacci).

Nos dois casos, observamos que os efeitos no espectro, causados pela introdução do ma-

terial com índice de refração negativo, são mais acentuados na região de frequência com-

preendida entre 9.10 B ω B 28.96 THz, onde os modos de volume e superfície existentes

apresentam um comportamento backward (atrasado), que é uma propriedade típica dos

metamateriais. Por outro lado, para os intervalos de alta e baixa frequências temos apenas

modos forward (avançados), que são típicos dos materiais com índice de refração positivo.

Estudamos, também, algumas propriedades físicas das sequências substitucionais,

principalmente aquelas relacionadas com sua localização, que podem ser identificadas a

partir da distribuição das larguras das bandas de energia permitida mostrada na figura

4.8, cujo comportamento auto-similar foi melhor descrito através das leis de potência mos-

trada na figura 4.9, sem contrapartida para o caso de periódico.

No capítulo 5, investigamos o comportamento da emitância das ondas de luz num

cristal fotônico unidimensional, onde um dos seus constituintes é um material com índice

de refração negativo ou metamaterial polaritônico, organizado numa estrutura de mul-

ticamadas periódica ou quasi-periódica. A dependência angular do band gap fotônico

foi investigada detalhadamente. Para modelar o material com índice de refração nega-

tivo, propusemos um meio efetivo formado por uma matriz periódica de anéis metálicos

ressonadores, caracterizado por uma função tipo Drude na resposta da permeabilidade

magnética µ, equação 5.7, preenchida por um meio polaritônico LiTaO3, cuja permissivi-

dade elétrica ε é uma função dependente da frequência dos polaritons de fonons (equação

5.6).

Mostramos que os band gaps omnidirecionais, que estão num intervalo bem definido

no regime de THz, independem da polarização (s ou p) no caso periódico, bem como no

caso quasi-periódico. Ele está compreendido no intervalo de frequência 250 B ω B 300

THz (veja figuras 5.3, 5.4, 5.6 e 5.7). Por outro lado, analisando a estrutura dos band gaps,

podemos concluir que a estrutura de multicamada quasi-periódica revela-se melhor para

o desenvolvimento de um bom filtro óptico na faixa de THz, quando comparada com a

estrutura periódico. De modo geral, temos que o caso periódico mostra apenas uma difer-

ença qualitativa entre as polarizações s e p, em regiões fora do gap omnidirecional, o que

significa que os espectros são muito sensíveis à geometria da estrutura. Além disso, a


estrutura quasi-periódica de Fibonacci apresenta um espectro mais fragmentado em com-

paração com o caso periódico. Isso é devido ao maior grau de desordem (ou fractalidade)

na nona geração da sequência de Fibonacci.

Através do controle do ângulo de incidência na estrutura, no caso periódico, ve-

rificamos que podemos ajustar a faixa de frequência e a largura dos band gaps ominidi-

recionais. Além desse, temos um parâmetro adicional para o controle dos band gaps na

estrutura quasi-periódica de Fibonacci: a geração da sequência, que não foi explorada no

capítulo 5. Em ambos os casos, temos um band gap fotônico ominidirecional que irá ofe-

recer muitas perspectivas para construção de interruptores ópticos THz ominidirecionais,

filtros ópticos e outros dispositivos ópticos na faixa de THz.

No decorrer deste trabalho, apresentamos um estudo teórico dos polaritons de

fonons (modos de volume e superfície) e da emissão térmica em estruturas fotônicas

unidimensionais. Como extensão deste estudos podemos investigar o espectro de trans-

mitância através da estrutura fotônica, na faixa de THz, considerando um dos seus el-

ementos de construção um material com índice de refração negativo. Também, pode-

mos estudar o band gap fotônico incluindo a condição da fase efetiva nula, ou seja, Φeff �

kxdA � kxdB � 0 onde kxdA (kxdB) é o vetor de onda no plano do meio A (B).

As possíveis extensões desse trabalho são:

1. investigar os band gaps da propagação dos polaritons de excitons, que são modos mistos

caracterizados pelo acoplamento da radiação eletromagnética com a par elétron-buraco, numa

estrutura fotônica;

2. investigar os espectros de emissão térmica e transmissão através do cristal fotônico num

modelo cuja permissividade elétrica seja uma função dependente da frequência dos polaritons

de excitons;

3. estender toda essa teoria para estruturas fotônicas bidimensionais e tridimensionais.

4. Estudar estruturas híbridas de cristais fotônicos periódicos/quasi-periódicos usando um mo-

delo cuja permissividade elétrica seja uma função dependente da frequência dos polaritons de

fonons, estudados aqui, bem como um modelo que utilize os polaritons de excitons já pro-

posto;

5. Estudar os modos de defetos inseridos tanto em cristais fotônicos periódicos quanto nos

quasiperiódicos em modelos que utilizem os polaritons de fonons e os polaritons de excitons.


Por fim, esperamos que o nosso trabalho teórico, acerca da propagação da radi-

ação eletromagnética em estruturas fotônicas, inspirem muitos trabalhos experimentais

que verifiquem os resultados apresentados aqui, ajudando-os a construir novos disposi-

tivos baseados em cristais fotônicos periódicos e quasi-periódicos.

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