Apresentando a Terceira Lei de Kepler para Estudar a Órbita de Titã

Titã é a maior lua de Saturno e a segunda maior lua do sistema solar, rivalizando unicamente com a lua de Júpiter, Ganímedes. Os astrônomos suspeitavam que Titã poderia ter uma atmosfera. Os cientistas também acreditavam que podiam ter encontrado mares líquidos de metano ou etano; a água poderia ter congelado devido à temperatura baixa na superfície de Titã. Esperando um mundo fora do comum, a Voyager 1 foi programada para obter numerosas vistas de perto de Titã durante a sua aproximação em novembro de 1980. Infelizmente, tudo o que se conseguiu ver foi uma atmosfera impenetrável coberta com uma densa camada de nuvens. Apenas foram observadas ligeiras variações na cor e no brilho.

A lei da gravitação universal nos diz que dois corpos se atraem dependendo de suas massas e da distância entre eles. Quanto maior a massa de um objeto, maior a força gravitacional exercida por ele e quanto mais perto estiver, maior será esta força. Assim, a força exercida é diretamente proporcional ao tamanho da massa e inversamente proporcional ao quadrado da distância. Ela pode ser escrita da seguinte maneira:

F=G⋅M⋅mr²

, onde G é a constante gravitacional universal.

Se trabalharmos com esta força gravitacional e considerarmos que a órbita dos planetas seja circular, podemos chegar à terceira lei de Kepler. As órbitas dos planetas são elipticas, mas como têm excentricidade pequena podemos considerar estas órbitas como circulares com muito boa aproximação. Sabemos que quando um corpo sofre uma força, sua massa é acelerada. Pela segunda lei de Newton, temos F=m⋅a . Podemos substituir esta força na lei geral da gravitação, obtendo:

m⋅a=G⋅M⋅mr²

. Por termos adotado a órbita circular, nossa aceleração é centripeta, ou seja,

a=v²r

, a qual pode ser substituída na equação anterior. Então, temos: v²r

=G⋅Mr²

, onde

cancelamos m , pois ambos os lados da equação a continha. Podemos cancelar também r e

nossa equação fica: v²=G⋅Mr

. Por se tratar de um movimento circular, podemos considerá-lo

periódico, ou seja, ele se repetirá em um certo período: para dar uma volta completa ele gastará um periodo T e a distância percorrida será a do comprimento da circunferencia, 2πr . Como a velocidade é a distância dividida pelo tempo, nossa equação ficará do seguinte modo:

(2⋅π⋅rT

)2

=G⋅Mr

. Já estamos próximos da Lei de Kepler. Precisamos apenas organizar a nossa

equação na forma: r3

T 2 =G⋅M4π2 . O termo depois da igualdade é uma constante no caso do nosso

sistema solar, pois depende apenas da massa do sol, Portanto, para todos os planetas do sistema

solar essa constante vai ser igual. Deste modo, para todos os planetas r3

T 2 vai ter que ser igual a

este valor. Esta lei de Kepler vale para todos os corpos que estão em órbita em torno de uma massa, por

exemplo, a lua em torno da terra. Saturno, o segundo maior planeta do sistema solar, tem vários satélites naturais, sendo o maior Titã. Titã possui atmosfera mais densa do que a da terra, possui estações do ano e água. Nos próximos textos vamos conhecer melhor Titã e estudaremos as leis de Kepler a partir de fotos que teremos deste satélite natural em torno de saturno. As fotos foram feitas por um telescópio e serão postadas nos próximos textos. A partir da diferença da posição de Titã em torno de Júpiter, aprenderemos vários conceitos físicos.