OCV.RAGES DU MÊME AuTEUr..

TRAITÉ BE MÉCANIQUE , seconde edition, rousidérahlsmsur augmentée; 2 vol.in_S", 1833. Prix ,.... .. t Sfr.

NOIWLLLL TIIÉOl!lE DE L'ACTIO:'i'" C.APILLAIRE; l vol. in-~", 1831. Prix 15fr,

TIIÉORIE

ll'IA'l'HÉ1UA.TIQiJE

PAR S. D. POISSON,

Membre de .l'Institnt , du Bureau des Longitudes et de PUniversitfl de France , d(,sSociétés royales de Londres tt d'Édimbourg; des Académies cieBerlin, de Stockholm,de Saint-Pétersbourg, de Boston, de Turin, de ~aples, et de p lusieurs antres' villesd'Italie; de J'Université de Wilna; des Sociétés italienne, astronomique de Londres,'philomatiques de Paris et de Varsovie, et de la Société des Sciences d'Orléans.

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j,'t1PftIMERII': DE nAUlEUER,

rue du Jardlnet, n(j D.

PARIS,BAC HE LI ER, Il\lPH. Il\lE UR - L l:BR.AIRE

POUR LES MATHÉMATIQUES, LA PHYSIQUE, ETC.,

QUAI DES .AUGUSTINS, NO 55.

1835

TABLE DES :M.ATIÈRES.

PP.ÉA.MDULE J)1I, I} I)UVRAGE, .

CHAPITRE 1". Notions préliminaires. 7CHAPITRE II. Lois de. la chaleur ra)ünJlantc. 24CHAPITRE Tll, Lois du r-efroi diss ëmen t des corps qui unt la mèrne tellIpè·

rature nn tau.' IctU5 point". . . . . ,. 6[;CHAPITBE IV. Mou,ement cle la chaleur dans Fintér-ieu r des C01'P" solides

Ou liquides.: . • . . 83CHAPITRE V. Mou,emwt de 1" cl>a1C111' à la surface d'un COl')lS d"

forrue quel-eonqn-ft.. . . 119-

CHAPITllE VI. Digression sur les întégralcs (les équations :lUX- djrr8rPlHY.~

parti elles. . . . . . . . ] ?,~)

CHAPITRE VII. Digression SUL' la mnnièm d'exprimer les fonctions "l'l>i-traires par des séries de quantités per-iodiques. . . ,H:)

CHAPITRE VIII. SL11Le de la digression sur la mun ic-c de l~~pl'és8I1tûr let:fonctions arbitrau-cs pflr des séries de quantités pél'io-diques. . . . . '),12

CHAPITRE IX. Diah-ibution de l a chaleur dans une harre dont les dimen-sions transversales sont très pctll'CS. . . ).33

CHAPITRE X, Distr-ibution cie la chaleur dans les Co"l" Sp)H"';IjUC:S.. '" 285

CHAPITRE XI. Distribut.iou de la chaleur dans quelques corps, d speciale-

mnnt r'lnus une '''1111ère homogène primitivcmout ecbani-

fée d'une manière quelconque. • . . ., " ., J'17CHAPITRE XJI. Mouvement de J" chaleur dam l'il1tr\rielll" et il la sui-ince

de J. terr-e. . . . . . . '. .,.... 408NOTE pc. llelath'c LI. l'equation du mouvement de la clmlcul' dans Pinté-

rieur' des corps. . . ~ . . . 52.5NOTE II. Sur le rayonnement molécu'aire . 529NOTE I'lf . Relative au n" 1152.. • • • • . 533

Errata. THf:ORIEl\UTHÉJUA.TIQUE

;=

DE LA CHALEUR.

La PJ'rométrie de Lambert contient les premières applications quel'on a faites du calcul à la théorie de la chalcur; elles ont pour objetla distribution de la chaleur dans une barre, et la comparaison desquantités de chaleur rayonnante que le soleil envoie à la terre et auxplanètes pendant leurs révolutions entières ou des parties de chaquerévolution. L'auteur fait voir que ces quantités sont liées à la pre­mière loi de Képler, suivant laquelle les aires décrites autour du so­leil, pal' le rayon vecteur de chaque planète, sont proportionnellesau temps employé 11 les décrire. Relativement aux températures despoints d'une barre soumise à des sources constantes de chaleur, ilmontre comment elles peuvent être exprimées pal' des formules quisatisfont aux expériences. Mais Lambert n'a pas cherché à déduire cesformules de l'équation différentielle d'où dépend la température d'Unpoint quclconque , quand la harpe est parvenue à un étal permanent.La forme de cette équation ~ et celle de l'équa tion aux différences par­tielles qui a lieu pendant que la barre s'échauffe ou se refroidit , ontété indiquées par M. Biot, en 1504, dans l'extrait d'un mémoiee sut' lapropagation de la chaleur (*). M. Biot les a déduites du principe deNewton, sur la communication de la chaleur entre des corps juxta­posés ~ qu'il a étendu aux tranches contiguës et infiniment urinees dela bane. Il intègre l'équation relative à l'étal permanent, puis il vél'i-

lieu

L(J~ jjg.m~ \0 eu rcmontcut , a u lien de pr:rTImdt, /i~ç;~ oTTImrlf , l'L tut lieu de ((p'1J,.li~e:;_q'p'pli

Jj, nu lien de norrualc J tisez CDllI~;I\'~

~re, au iifJILde~, tises 7..r

Ji~ne; '; et ô en l't'mon tant , au lieu de R:'I!' ---' IL; , Lisez IR (u/ - u;·dl3, au lieu de sét-ie Ct), lisez série (2)

?: rn remontent , (H~ lieu de.et) b; )"., utc., des quanuré. constantcs . tises des

qn.mtités ccnsrunres al " Î"? etc.Ii en rcmQ:lwnt 1 lm lieu de (fig. (3), lisez. (f.ig. 13 bi~)

dU (rU. . du. dUr-'1, {Hl lieu de "di' Liees. ~: ligne R: uu lieu di: -Ji, lise» ;r; )

tZliu . du . ~de -(j;' lisez ~ ; ligne IG~ nuiltinlies Pi'llêgraIc: double par ;:

3 L'!j r cmontant , au liel~ rie f',,/. lis;.",,:!.j/",J.3cr 11 , mc iieu. de r l, hs~'Z,f/,1

14, au. lieu de ::: l I ùce ~

G cr. rcmontant , uu lieu. de imérieure, lisez. extérieure

ligne" 79 et 2"/ 1 au lieu de trente J Lisez: troisr5 en rcruon tan t , et liage 4(17J ligues 3-ct lQI ail. lieu. de Farenheit , lisez Fala-enhcir

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(') BibliOlhèqlle britannique , tome XXV II.

'L THÉorlŒ :\fATH]);MATIQUE

iie , .c:ur ses propres c\::pcirienccs ci. su I~ celles de- H..urnford , la loi des

temperatures qui nisuite de cette intégr~de.

C;~S premiers ossais , et l'ingénleuseCthéorie des échanges de chaleurrayonnante qU'Gd doit à JI. Pierre Prévost, de Genève, constituaienttonte 1r1 1hJorie matliématique de la chaleur, lorsque Fourier s'enes! occilpé dans un mémoire envoyé à l'Institut en 18°7, et., en­suir: , clans Li pièce couronnée par ce corps savant lm commence­'l'.nt de J812 (*), Pal' le nombre ct la variété des questions que!.'outeul' a considérée.", cette théorie est devenue alors une hranchenouvelle de la Physique mathématique, Fourier a traité de 110U­

veau 11ne partie lb œs questions Jans sa Théorie analytique de laCluiiciu: Les volumes de l'Acackmie des Sciences et ceux des An­wiLcs de Ph)"-i'Ï0'ae ct dr Clâtnie ~ qui ont paru depuis cet ouvrage,ronticnncu t aussi cl'D.utrH:; recherches de l'auteur- sur le môme su­jet, l'ciacil'cl Pl'illCipa!emeni a la chaleur rayonnante et à la chaleurr!e la terre.

Laplace s'es! occupé de la lheorie de la chaleur peu de tempsapres Fourier. ihUlS urie flote imp riméc en 1810 (**), il consitlèrela propagation de la chaleur dans l'intérieur dcs COl'pS comme lerésultat d'tm l':lyonnemcnt moleculaire qui s'étend au-dela des mo­lécules les plus voisiucs , il des distances finies, mais insensibles; ct ilmontre comment cette Ilïanière nouvelle d'envisager la questionpeut conduire i, l'éqnation au x dilTérenccs partielles d'où dépend laloi des tempériturcs dans l'intérieur des corp5. Il indique aussi ,mais fort incornplétcm cnt , un moyen de former l'équation généealerelative il lent' surface, que Fourier avait précédemment donnée sansd érnonstration. Dnus la Connaissance des Tems de 1825, et ensuiteJ ans le livre XI de la Jl1écwûque céleste, Laplace s'est occupé de laresolution de ces d eux équatious , appliquées au cas d'une sphèrehomogène et dont 12 supcrIicic est partout la même, qui a étéprimitivement échauffée d'une manière quelconque. La solution gé­nérale qu'il a donnée de ce problème comprend celle de Fourier,qui se rapporte au cas partlculicr- où la température des points de la

C-lC) :.llJnzoil'cs (ie l'_'!(;ad(Jm~'c dt,'), Sciences, tomes lVet V.(~~) JIt(muùy:s de la première crasse de l'Institut, armée 180S', pnt;e 332,

DE LA CHAJJEUR.. 5

sphère ne dépend que de leur distance à son centre ; elle est fondéeSUl' l'analyse que l'auteur avait employée autrefois dans la questiondu flux et du reflux de la mer, et présente une nouvelle applicationde cette analyse, dont le caractère spécial est d'exprimer la valeur gé­nérale de l'inconnue de chaqye pl'oblème, par la som me d'un nombre in­défini de valeurs particulières. Je suis parvenu au mè.ue résultat, Jansmon second mémoire sur la Distribution de la Chaienr dans les corpssolides (*), pOl' une analyse différente ct moins simple, mais qui avaitcependant quelque avantage, et que Laplace a n:g~!f(lé,-, camille uneconfirmation de la sienne. En appli'luant cette solution génél'ale auglobe terrestre, il a été conduit àpartager l'opinion de Fourier,qui attribue à la chaleur primitive de la terre l'accl'oi,,,'eme!1t detempérature que l'on observe à partir de sa et .lont laO'mndeur n'est pas la même dans toutes les Iocal it.is. Cette hypothèsen .d'une température provenant de la chaleur d'OJ'i!;i,,:; ct flui devraits'élever à des millions de degrés dans Ies conches cçu!raics du globe,a été généralement adoptée; mais les difficultés (ju'elle pn',r:ntc m'ontparu la rendre invraisemblable; et j'ai proposé une an lrc maniered'expliquer la température croissante que l'on a reconnue, depuislong~temps, à toutes les profondeurs où l'on li pu atteindre.

Dans cette nouvelle explication, le phénomène dépend de l'il1Bga­lité de température des région> de l'espace que la terre traverse 5UC­

cessivewent pal" suite du mouvement de translation commun ausoleil ct à toutes Ies planètes. Il serait, en effet, hors de toute: vrai­semblance que la température de l'espace fùt partout la même; lesvariations qu'elle éprouve, d'un point à un autrc , sép::rés par detrès grandes è .stances, peuvent être fort considérables; et elles doi­vent produire des variations correspondantes dans la température dela terre, qui s'étendent jusqu'à des profondeurs dépendantes de leursdurées et de leurs amplitudes, Si l'on supp05e, par exemple, qu'unhloc de pierre soit transporté de l'équateur à notre latitude, son re ­froidissement aura commencé il la surface, et se sera propagé dans sonintérieur; et s'il ne s'est pas étendu 11 la masse entière, parce que le

CO) Journal de l'École Polytechnique, Ig' cahier.J ••

4 TIIÉOHIE MATHÊMATrQlJEtemps du transport aura été tl"OP court, ce COJ'ps, parvenu dans 1103

climats, présentera le phénomène d'une température croissante à par­tir de sa superficie, La terre est dans le cas de ce bloc de pierre; c'estun corps qui vient d'une régioll dont la température était plus élevéeque celle du lieu où il se trouve actuellement; ou, si l'on veut , c'estun thermomètre mobile dans l'espace, qui n'a pas le temps, à causede ses gl'andes dimensions et d'après son degl'é de conductihilité, deprendre, dans toute sa masse, les températures des diverses régionsqu'il traverse, Aujourd'hui la température du globe est croissante au­dessous de sa superIicic ; le contraire a eu et aura lieu dans d'autrestemps; en outre, à des époques séparées par de longues suites de siècles J

cette température a dû être, d sera par Ia suite, beaucoup plus hauteou beaucoup plus hasse qu'elie ne l'est maintenant; ce qui ernpèchequela lCITC soit toujours hahitahle par l'espèce humaine, et a peut-être

contribué aux révolutions successives dont sa couche extérieure con­ser ....e les traces. Il faut remarquer que ces alternatives de la tempé­rature de l'espace, sont des causes certaines, qui influent sans cesse surlu chaleur du globe, du moins près de sa surface; tandis que la cha­lem d'origine de la terre , quelque lente qu'elle soit à se dissiper, n'estcependant qu'une circonstance transitoire dont on ne pourrait dé­montrer l'existence il. l'époque actuelle, et à laquelle on ne serait forcéde recourir, comme une hypothèse, que si les causes permanentes etnécessaires ne suffisaient pas à l'explication des phénomènes.

Daus cette indication succincte des principales recherches desgéomètres SUI' la théorie de la chaleur; je ne dois pas oublier defaire mention d'un mémoire présent~ récemment à l'Institut parM. Lamé, professeur de physique à l'Ecole Polytechnique. L'auteura déterminé, dans ce mémoire (*), la loi des températures de tousles poiuts d'un ellipsoïde homogène parvenu à un état permanent;et il a trouvé que l'expression de cette loi dépend des fonctionselliptiques; ce qui ne s'était présenté jusque là dans aucun pro­blème relatif à la distribution de la chaleur dans un corps de formedonnée.

Je me bornerai, dans ce préambule, li ces citations; elles suffiront

cl') Tome V des Idëmoires préscntës à l'Académie des Sciences,

DE LA. CHALEUR.

pour qu'on puisse. conn~ltre I~ pl'crr~ière or:~ine ùe la pa;,tie de lascience que je VaIS trarter , 1extension et I'importaucc qu elle a ac-

quises dans ces derniers temp,s" et S~:l, ét~t a~tu.el. .le. l~isser~1au lecteur à. comparer les prmclpes ct ou Ion etait parti Jusqu'àprésent et les résultats qu:on avait obtenus, aux pril:cipes et auxrésultats qui seront exposes dans cet ouvrage. En lui donnant letitre de Théorie mathématique de la chaleur, j'ai voulu indiquerqu'il s'agira de déduire, paT' un calcul rigoureux, toutes les consé­quences d'une hypothèse générale sur la communication de la cha­leur, fondée SUl' l'expérience et l'analogie. Ces conséquences serontalors une transformation de l'hypothèse même , à laquelle le calculn'ol e et n'ajoute rien ; et leur parfaite conformité avec les phéno­mènes observés ne pourra laisser aucun doute SUl' la vérité de lathéorie. Toutefoi;;, pOUl' que celle théorie fùt cornplète , il fau­drait qu'elle comprît la détermination des mouvernens produits parla chaleu!' dans les fluides aériformes , dans les liquides, et mêmedans les corps solides; mais les géomètres n'ont point encoreabordé cet ordre de qnestions, d'une grande difficulté, auquel serattachent le phénomène des vents alisés , celui de certains cou­l'ans qu'on observe dans la mer, et les variations diurnes du baro­mètre. Dans l'état actuel de la science, la théorie mathématique dela chaleur a seulement pour objet la communication de la chaleur,de prochc eu proche dans l'intérieur des corps solides et des liquides,ct à distance entre des corps différens : sous ce double rapport, jen'ai rien négligé pour que cet ouvrage fût aussi complet qu'onpourra le désirer.

Les données nécessaires pOUl' reduirc , dans chaque cas, les for­mules en nombre, sont la chaleur spécifiqne, la mesure de la conduc­tibilité dans J'intérieur des corps, et celle du pouvoir rayonnant :1lem' surface, La chaleur spécifique a été déterminée ponr un geanllnombre de corps solides, Iiquides on gazeux, par diJ1ërens procédésqui sont exposés clans les traités de Pbysique; les notions qu'on a .ius~

qu'à présent sur la conductibilité et SUt' le pouvoir rayonnant sontbeaucoup moins précises. Indépcndammeut de ces données physiques,relatives à chaque corps en particulier, la théorie emprunte encore :1l'expérience la loi de l'émission de la chaleur il travers les surfaces des

G THÉORIE MATHÉMATIQUEcorps. Sm' ce point, j'ai adopté la loi générale en fonction des tem­pémtures, que MM. Dulong et Petit out donnée dans le mémoire quia remporté le prix: de l'Académie des Sciences en L8r8 (*); ouvl'ageque l'on regarde, [l juste titre, comme un des plus remarquablesde la Physique expérimentale, soit à raison de l'importance et del'ensenrble des résultats, soit à cause de la précision des observation"et des difficultés que les auteurs out surmontées. En vertu de cette loi,la communication de la chaleur entre deux: corps ne dépend pas sim­plem.ent de leur température relative, comme on l'avait admis pen­daut long-temps, d'après le principe de Newton, suffisamment exactdans le cas des températures ordinaires, mais qui s'écarte de plus enp1ns de l'observation à mesure que les températures sout plus élevées.L'analogie porte à croire, et j'ai supposé, en effet, qu'il en est demème dans l'intérieur des corps; et quoique la communication de lachaleur n'ait lieu qu'entre des molécules très voisines, dont les tem­pératures .sont très peu différentes, la considération des carrés deleurs diffé:'ences donne naissauce , néanmoins, à des termes que j'aidéterminés, et dont l'omission rendait incomplète l'équation destempératures intérieures , telle qu'on l'avait donnée jusqu'ici pour lescorps homogènes,

Celte Théorie mathématique de la Chaleur formera la seconde par­tie d'un Traité de Physique mathématique) où je me propose de con-

,sidércr successivement, sans m'astreindre à aucun ordre arrêtéd'avance, les diverses questions de la Physique auxquelles je pour­rai appliquer l'analyse. La première partie de ce Traité est la Nou­velle théorie de l'Action capillaire, publiée eu 1831.

(") Journal de l'École Pof:ytechnique, ,S" cahier.

,-_._--

DE LA CHALEUll.

CHAPITRE PRE~nER.

J.YotiO/1S preliminaires.

(1). L'hypothèse qui fait dépendre les phénomènes de la chaleur, desondulations d'un fluide stagnant, n'a conduit, jusqu'à présent, il aucunrésultat précis et conforme à l'expérience; c'est pourquoi j'adopteraidans cet oUVl'age la théorie beaucoup plus féconde, qui attribue CC'i

phénomènes il une matière impondérable, contenue dans les pal-tics detous les corps aussi petites que l'on voudra, et porrvaut s'en détacheret passer d'une partie il une autre, ce qui fait varier avec le temps Je,

cluantité de cette substance l'enfermée dans chaque partie.Celle matière s'appelle calorique; on la nomme aussi matière de la

chaleur, ou simplement chaleur.On regal'de comme inépuisable la chaleur renfermée dans un corps,

en sorte qu'il en contient toujours la quantité nécessaire pour balancerl'attraction mutuelle de ses molécules, et les maintenir il distance lesunes des autres. Nous ne pouvons doue pas connaître 1" quantité to­tale de chaleur contenue dans un corps ou dans une de ses parties;mais il est possible de comparer entre elles, d'après les effets qu'ellesproduisent, les quantités de chaleur qu'un corps perd ou acquiert pendant un temps donné; et en prenant pou-!' unité la quantité de chaleurcorrespondante 1: un effet constant et détcnniné, ces quantités variahlesse mesurent et s'expriment en nombres rapportés il. celte unité de Ieuiespèce, comme les quantités de toute autre nature que l'on soumetau calcul.

(2). L'effet le plus général de la chaleur et le plus indépendant denos sensations, est la dilatation des corps où elle est introduite.

Si deux COrps sont en contact, ou seulement assez rapprochés ,une partie de la chaleur de l'un passe dans l'autre, el réciproquement.

8 THÉORlE MATHÉMATIQUE

Celui de ces deux corps qui reçoit plus de chaleur qu'il n'en émetéprouve une dilatation, en même temps l'antre se contracte; au boutd'un certain temps ce double effet cesse, et les deux volumes demeu­rent constans- L'un de ces deux COI'IlS étant un thermomètre , c'est-à­dire Ull instrument formé en général d'un fluide, afin que les dilata­tions on condensations soient plus sensibles, les parties de son volume,à l'époque où il est devenu constant, marquent ce qu'on appelle latempérature de l'autre corps au même instant, Ainsi la température estun effet de la chaleur indiqué par les parties du volume ou les degrésd'un thermomètre formé d'un fluide déterminé.

Les indications de plusieurs thermomètres formés de fluides diffé­reus peuvent être différentes; et cela arrivera, en effet, si ces fluidesne se dilatent pas suivant la même Joi, pour des accroissemens égauxde chaleur. Dans les températures ordinaires, depuis zéro jusqu'à centdegrés, par exernple , la marche du thermomètre à mercure est Jamême que celle du thermomètre à air; mais ces deux instrumens s'é­cartent notablement l'un de l'autre dans les hautes tempéralUl'es; etl'expérience ayant fait voir que les lois du refroidissement des corps,et généralement celles des phénomènes de la chaleur, sont plus sim­ples quand on les rapporte an thermomètre à air, nous supposerons,pour fixer les idées, que toutes les températures sont exprimées endegrés de ce thermomètre centigrade; en sorte que J'unité de tempé­rature sera le centième de l'accroissement d'un volume d'ai,' ou d'ungaz quelcomlue, qui a lieu eu passant du terme de la g13ce fondante àcelui de l'ébullition de l'eau sous la pression barométrique ordinaire de0"',7 6 ; lequel accroissement est, comme on sait, 0,375 du volume àzéro pour tousles gaz. Au-dessus du zéro de l'échelle thermométriqueles températures seront positives, et au-dessous elles seront des quan­

tités négatives.Au reste, quelle que soit la matière dont un tl1crmomètl'C est formé,

s'il indique des températures égaJes pour deux ou plusieurs corps, unautre thermomètre mal'quel'a encore pour ces mêmes COl'PS des tempé­ratures égales entre elles; et si ces corps sont mis en contact ou en pré­sance les uns des autres, leurs volumes ne varieront pas; cal' alorschacun d'eux pOUlTa être considéré comme un thermomètre, par

rapport il tous les autres.

DE LA CHALEUR,'7') P r ' . 1" . 9l'J,' our tarrc passer un COl'pS de etat solide II l'état liquide cl

r l' 'ù ')" cl ,ail eetat lqUI e a etat e vapem', sans quo sa température soit cl1a,.,ry~a

il y f~ut introduire une certaine quantité de chaleur, variabl~'"r;~corps a un autre , et que l'on appelle chaleur latente. Cette chaleurinsensible au thermomètre n'est cependant pas détruite: elle résidedans les molécules du corps qu'elle maintient aux dis lances mu­tuelles où elles doivent êtl'c dans le nouvel état, liquide ou g<lzeux'Il ' ' , l '~ e,rep:l..r~Œ~ mtegl'a _emenl lorsque le corps revient de l'état de vapeur

a l'etat Iiquide , ou de l'état liquide à rét;)t solide.Ainsi, lorsqu'un poids donné de glace, amené d'abord 11 la tempéra-

t r t 'cl ' , I 'ure Z8ro, es réduit en eau a a meme température il absorbe co. ' , nlmeon sart , la quantité de chal eut' nécessaire pour élever de zéro à 75" latcmp~l'ature d'un même p~ids d'eau; ct PUUl' réduire en vapeur à latemperature de 1000 nn poids d'eau cléJ'àpal'venu à cette ten r t. ". " . . lpera ure,(l[: sait ,aUSSl qn ~l y faut 1l1~rO(1,Ulre la quantité de chaleur qui seraitnecessaire nour élever de zero a loo"]a température n'lu id d'. , ' n pm 5 eaua pel~ pres sextuple. Des pertre. de chaleur égales à ces augmentationsont heu quand la vapeur d'eau revient à l'état liquide ct q dl'. " , ' uan eaul~evlenta Jetat de glace, sans clJaugement de température dans J'un etl autre cas. Les change1l1en~ d'état de tous los corps présentent d cc t

hl hl ' - es erte s

sem a "es, ruais en propor-tions plus ou moins considérables.Je prendl'ai pour unité de chaleur la quantité de cette substa

. d' 11 . . nLeImpon eran e , necessaire pour réduire en ean à la tem pérature zéro ungl'amme de glace à la même température,

(4),. ~)epl1is long:,temps les physiciens ont aussi reconnu que lescorps différens acqlllel'ent ou perdent des quanti t~s inéO'ales(Jecl l ,l '1', ,., ,,' laieul,orsqu 1 s Cpl auvent, sans changer cl etat , des variations égales de te ., Cl' < IDpérature. e a~lant, nous appellerons chaleur spécifique d'un corps

le nomb~e d'unités de chaleur qui sera nécessaire pour élever d'un degréla température d'une unité de volume, remplie de la matière de cecorps, dans SOli état solide ,liquiùc ou gazeux.

Nous rapportons ainsi la chaleur spécifique à l'unité de volume

:arc~ que cela ,no~s :el'~~lus COI~lIDOd~ ~ans nos calculs; mais ou peu;.lUsS~ l~ rappol ter a l mute de poids. SI 1011 prend pour ces unités lec:~hmctre cube e; le gr,amme, et ~ue l'on désigne par cet Î' les quan­trtés de chalem- necessarres pour elever d'un degré leur température,

.2

2 .•

(') Tm/Ii' de i"lt!cani'lue, tome 1", page '76.

concevons au tour de M une partie ni de A, dont les dimensions soientinsousil.les , et qui comprenne néanmoins un nombre immense de mo­lécules (*); au bout d'un temps quelconque t, imaginons un autrecorps B, homcgènc , dont toutes les parties soient de la même matièreque- ln, et qui aient aussi toutes la même chaleur que m à cet instant:cet état colorifiquc de B éfant supposé invariahle , si l'on appelle u satempérature, u sera aussi la température de A au point M et au boutdu lernps t, Quelle que soit la disposition régulière Ou inégulière riesmolécules dans chaque partie ln de A, à cause de Ieur nombre immense,on pouna considérer u comme une fonction connue ou inconnue, det: seulement, si la température est la même dans toute l'étendue de A,ou de t ct des trois coordonnées de M, si la température varie d'unpoint il un autre de ce COI'pS.

La chaleur spécifique de A, qui répond au point M, sera aussi celledu corps B, tel qu'on vient de Je définir. En la désignant par c, cettequantité sera une fom:tion de la température correspondante II et descoordonnées de M, lorsque A sera un corps hÙérogène, et simplementune fonction de li, dans le cas de l'homogénéité de A. Si l'on repré­sente par Il le volume de ln, le produit cvdu sera U]01'S l'augmentationde chaleur- de cette petite masse, pendant l'instant dt auquel répondl'accroissement du de la température.

C'est de cette manière que nous exprimerons dans la suite la varia­lion instuntanée de la chaleur d'une partie matérielle de grandeur in­sensibls , mais elle est aussi égale à p)du, en désignant par p le poidsde cette partie m , et pal' Î' la chaleur spécifique rapportée à l'unité depoids. Si A est un corps homogène partout également écha ufi"é ,et si

l'on appelle P son poids entier, PfI: ')rdu exprimera l'augmentation

totale de la quantité de chaleur, pendant que la température Il, com­mune il loue; ses points, s'élèvera de et II f:. Pour la calculer, il faudraitconnaître')' en fonction de U; mais lorsque les températures a et ~ nesont ni Ires hautes, ni très abaissées au-desscus de zéro, on considèrei' comme nne quantité constante, et l'on prend F')r Cr;; - CG) pour lava­riation de chaleur de A qui répond il la variation ~ - CG de sa tempéra-

1 JDE 1JA CHALEUR.

c = t'/'.

Dans les coeps solides la quantité Î' est sensiblement constante, tantque la température est peu élevée; elle devient croissante à de trèshautes températures; en sorte qu'il faut à très peu près une égale quan­tité de chaleur pour élever la température d'un même corps solide, soitde zéro à un degré, soit de TOO O à r oro, mais nue quantité un peu plusgl'ande pOUl' l'élever, par exemple, de 500· à 50 ro. Si l'on considèreque les liquides changent d'état pour des variations de température (luinesout pas très gl'andes, il Y a lieu de croire que les variations dela quantité l' y sont bien plus rapides que dans les solides, et qu'ellesexistent même dans les basses températures; on peul aussi présumerque cette quantité l' demeure constante li toutes les températures, dansles gaz qui sont loin de la liquéfaction; l'luis l'expérience ne nous a en­core rien appris de certain à cet égard.

(5). Il cs! important, pOUl' la suite de cetouvrage , de se former uneidée précise de la température et de la chaleur spécifique dans les corpsoù ces élémens varient d'un point à un. autre et avec le temps.

Dans un corps homogène où la chaleur est distribuée uniformémententre toutes les parties, la température est aussi partout la même. Pourque le thermomètre marque exactement cettetempérature , il faut quependant toute la durée de son contact avec Je corps, la quantité dechaleur qu'il lui communique ou qu'il lui enlève, soit 'insensible j cequi exigerait q1.'l·ecet instrument filt un thermomètre idéal , dont lamasse serait infiniment petite, eu égard à celle du corps: hypothèseque l'on pourrait faire, puisqu'il s'agit de définil'et non de mesurer latempérature. Mais on peut aussi imaginer que pendant toute la duréedu contact 1 la chaleur de toutes les parties du corps 50:'t entretenue,par un meyeuquelconque , dans un état l)errnanent ;et alors la tem­pérature sera celle qu'indiquera le thermomëtre , quelles que soient lamasse de cet i-nst-rumentet la durée de l'expérience.

Cela pesé , soit M un point d'un corps A homogène ou hétérogène;

r o THÉORIE MATHÉ~gnQUE

c et l' seront les chaleurs spécifiques rapportées a l'unité de volume età I'unité de nlasse; et poal' un même corps , dont je représenterai par pla densité, il est aisé de voir que ces quantités seront liées entre elles

pal' l'équa~ion

THÉORIE MATHÉMATIQUEJ 2

ture} POlH'VU que son état solide, li'luide ou gazeux n'ait pas changé.L'hypothèse du n° l , sui cant laqnelle la quantité inconnue de cha­

leur renfermee dans un cm'ps est inépuisable, exige que la quantité Î'

décroisse avec la température, du. moins quand u. a de très grandes

valeurs négatives, ct que ce décroissement soit tel quei' 'Jdlu ait une

valeur finie à la limite (;; = -;ç , de telle sorte que le produit de cetteintégrale et de P soit moindre, abstraction faite dn signe, que la quan­tité de chaleur qui fait partie de il, quand u.= a.

(6). Une observation que l'on a souvent l'occasion de répéter , faitvoir que les COl'PS incandescens , et même ceux dont la températureest très élevée, sans qu'ils soient cependant devenus lumineux, émet­tent continueHement de la chaleur qui se propage en ligne droite dansl'air environnant. On s'est aussi assuré que quand cette chaleur émisepar un corps vient tomber sm' un autre , elle est en partie absorbéepar celui-ci, et en partie réfléchie à sa surface sous un angle égal àcelui de l'incidence, comme dans la réflexion de la lumière.

Cette chaleur en mouvement est proprement ce qu'on appelle lachaleur raronnante, La vitesse de sa propagation nous est inconnue;nous savons seulement qu'elle est extrêmement grande, et peul: êtrecomparée à celle des rayolls lumineux. Dans le vide, son intensité va­rierait , comme celle de toutes les émanations, en raison inverse ducarré de la distance au point de départ; dans l'air et dans les gaz, elledécroît un peu plus rapidement, à cause de la petite absorptionqu'elle éprouve, et qui est d'autant plus faible, pOUl' un même fluide,qu'il a été plus raréfié.

Le corps qui absorbe la chaleur rayonnante s'échauffe de plus CH

plus; celui qui l'émet sc refroidit graduellement; et ces effets subsis­tent jusqu'à ce que les températures de ces deux Clll'pS soient deve­nues égales. Mais l'émission de la chaleur par un corps ne peut êtreattribuée qu'à un mode quelconque d'action de ce COl'PS SUI' lui-même,et nullement 11 l'action d'un autre corps éloigné, sur lequelcette cha­leur peut ensuite aller tomber. POUl' un même corps, et pour unmême état de sa surface, la pr-oduction de la chaleur rayonnantene doit donc dépendre que de sa propre température, Ainsi, il y li

lieu de croire que le rayonnemen l de la chaleur existe, avec une

DE LA CHALEUR.

intcn:i~é plus ou moins. ~l:amle, à toutes l.~s te~pél'atUl'es; qu'ilest reciproque entre les ddlercns corps; et qu Il subsiste cncor'C lors­que les températures sont égales, quoiqu'il n'y ait alors ni échauf.fernent , ni refroidisscmeut ,

Si J'on considère, en outre , que les plus petits corps émettent etabsorbent de la cl)~leu!' l'a~olJn;I}te, on sel:a cOlldl]~t à penser quecette double Faculte appartrcnt a leurs molecules memes et flue 1

1· dl" ,. . '. el'ayonnement a ieu am mterreur des soll'\es et des liquides oùil ne diffère de celui que J'on observe à travers l'ai,' ct les gaz, ~u'!traison d'une absorption beaucoup plus rapide.

De plus, l'ail' ct les gaz absorbant la <:il;Ielll' rayonnann-; il. la vé"it6en très petite proportion , soit à cause cie Ieur nature , soit à raison deleur petite densité, l'analogie porte il supposer que leurs moléculesémetlent la chaleur rayonnante, aussi bien que celles des corps solide<el des liquides, ..

C'est ainsi que l'on a été conduit à considérer les molécules de tousles corps comme des foyers de chalelll' rayonnante. Celle chaleurémise en tons sens pal' chaque molécule, se propage à travers lesp'0:es ou e~paccs vid.es de ma,tière pondérable, jusqu'à ce qu'elle aitete absorhée en entier par d autres molécules qu'elle vient il ren­contrer j ce qui ~ lieu a des dis,tan:es généralement très petitcs ,dans les corps solides et dans les h q llldes, et, nu contrail'e, à de très.grandes distances dans les diffërcns gaz.

(7)· ~a tl:é~l'ie ll1~thématique de la chaleur est fondée sur Cellehypothèse gcnerale clun rayonnement moléclIlai"e COtlSJ·U'(:·' , Il,. Cf. , .re , que Il

~u en S~ll la cause, comme une déduction de l'expérience et del analoglC.

Nous admettrons donc , dans la suite de cet onvraO'e q t t 1• , • ..'h , ue ou cs es

parties materlClIcs des COl'pS. ausslp,'tJles que l'on voud 'a irnet• . ., '1 ,eme ten'Î

et absorbent conlmuellement de la chall'ul' Nons sup,. ,. ., ' , . , . poserons aussique 1enussron a lieu egalement ct sans interruption d: toi l'

- ~ " LIns Ons e~

sem autour de chaque partie prise dans l'intérielll' d'un co' .', , • 1 ps, ou SJ-

tuee a sa surface. Il en résultera des éclwll<res continuel ·1 1 1. • , . "'.s te c la em-

entre les parties tres vorsines d'un même corps solide 0' l' , )h·' . li Iqt1lC.c

Ou ien e,nll'e les parlies de deux corps diffù<;-J1g, très rapproc!Jécs deleurs surfaces, Le problème consistera à cléte~'mincr les vupiatio ns de

ITmdt, la quantité de chaleur émise pal' 112 pendao.tl: l'instant dt, Laquantite TI dépendra de Il et de la matière de m; elle décnoîtra avecl~ ternpératuTe; et quoique nous ayons supposé inépuisable la chaleurcontenue dans chaque partie matérielle, il ne s'ensuit pas que la fa­cu lté d'émettre la chaleur soit indéfinie, et qu'il n'y ait point unevaleur négative de u.assez grande pour rendre la quantité 'TI nulle outout-à-fait insensible. A cette température, si elle existe, la chaleurqui restera encore dans l'intérieur d'un corps ne sera plus employée,comme la chaleur latente , qu'à balancer l'attraction mutuelle de sesmolécules, et li les maintenir aux distances où eUes seront alors lesunes des autres, Une compression suffisante, exercée à la surface,pourra encore faire sortir une partie de cette chaleur sous formeravonuante,

La chaleur émise par m pendant un temps T quelconque. aura pOUl'

expression m!v" rrdt; mais cette quantité absolue de chaleur restera

toujours inconnue; aucun phénomènenc pourrait la faire connaHre,soit pour une partie m de A, soit pour ce COrps entier: l'expé­rience et le calcul ne déterminent jamais que des diftëre~lce:;entre

les quantités de chaleur émises et absorbées par un COrps pendantun même temps. Ainsi, lorsque tonte la chaleur érnis.e par A, pen­dant un certain temps, tombe sur une masse de glace,,et estem­ployée à eu fondre une partie, la quantité de glace fondue est seu­lement la mesure de l'excès de la chaleur émanée de A sur-cclle quiest absorbée par ce cOrps pendant le même temps, et qui lui estenvoyée par la glace fondante.

(g). C'est encore à raison du nombre extrêmement gmnd de mo­lécules dont la partie ln esl formée, que nous pounons supposer,comme nous l'avons dit pLnshaut, l'émission égale en lous sensautour de M, et la même que si cette partie m était isolée. Cela étantsi nous décrivons du point l\I comme ceutreet d'un rayon quel­c,onque 1> une ~urface sphérique, et si nous n'avons point égard àJ absorption qUI aura heu autour de M, cette surface recevra enentier la cbaleUl'Omdt émise pal' m, quise partagera entre 5e.6 par­ties, proportionnellemen; à. leuc.étendue, Danscet j},uvr4ge, le N1p­pel't .de .la œirconférence au diamètre sera toujours neprésenté par

'4 THÉORŒ MATHÉMATIQUE

température produites pal' ces échanges, et à en conclure les lois de lacommunication de la chaleur, à distance entre des corps dîfférens , ct(te proche en proche dans l'intérieur d'un même corps.

Les parties des eorps dont il s'agit dans cet énoncé sont des par­rions de matière, telles que la partie ln du corps A, dont toutes les di­mensions sont insensiblcs , ct qui contiennent néanmoins des nombresimmenses de molécules. C'est toujours là ce que nous entendrons do­rénavant pal' des parties matérielles de grandeur insensible. L'échangede chaleur entre III et une autre partie semhlable m', résultera deI'emission et de l'absorption par toutes leurs molécules. Maissi l'on considérait isolément une molécule de m et une moléculede m', cet échange ne présenterait rien de régulier que l'on pùt sou­mettre au calcul: à certains intervalles de temps, la molécule de mpourrait ne pas émettre de chaleur vers la molécule de m', ou celle­ci ne rien envoyer à la première; le contraire aurait lieu à d'autresépoques; A un même instant, les échanges de chaleur pourraient êtretrès différens entre la molécule qui répond au point M et les molé­cules situées, dans diverses directions, à égales distances du point M ;et enfin ces échanges varieraient aussi sans aucune régularité, en pas­sant de ce point M à un autre point situé à une distance insen­sible de :M. Les nombres extrêmement grands de molécules dOI1L

-sont composées les parties matérielles, telles que m et m', produi­sent, sous tous ces rappol'ts, la régularité indispensable dans leséchanges de chaleur, pOUl' que l'on puisse calculer les variations detempérature qui. en résultent, et exprimer la température corres­pondante à un point quelconque M, en fonction de ses trois coor­données et du temps t; ce qui est l'objet général du problème flue

nous aurons à résoudre.(8). D'après cette considération, la nature de 112 et sa tempéra­

ture étant données, nous pourrons regarder la quantité totale dechaleur émise en tous sens par cette partie matérielle, dans un tempsaussi donné, comme proportionnelle il sa niasse m. et à ce temps. Endésignant donc par TI 12. quantité de cbalenr qui serait émise, pen.dant l'unité de temps, par une masse prise pour unité, de la mêmematière que m , et ayant une température constante, égale à la tem­pérature Il de 112 au bout du temps t , nous pourrons représenter pal'

DE LA ClIAI~EUR. 15

[Jmdt, la quantité de chaleur émise par ln pendant l'instant dt. L,,,quunti lei II dépenùra de Il et de la matière de nt; elle cléCl'ûîtl'u avecI~ iernpcr'uture; et quoique nous ayons supposé inépuisable la chalern­

cunienue dans chaque partie matérielle , il ne s'ensuit pas que la fa­culte d'émettre la chaleur soit indéfinie, ct qu'il n''y ait point une

vuieur négative de il assez grande pour rendre ln. quantité II nulle outout- a-fait insensible. A cette ternpérature , si elle existe, la chaleurqui restera encore dans l'intérieur d'un corps ne sera l'las employée,comme la chaleur latentc , qu'à balancer rnttr;i\~ti(}n mutuell e de sesmolécules, et à les maintenir- aux distances où elles seront alors lesunes des autres. Une compression suffisante, exercée à la surface,pourra encore faire sortir une partie de cette chaleur sous formerayonnante,

La chaleur émise par ni pendant un temps T quelconque> aura pOUl

expression mr~Ddt; mais cette quantité absolue de chaleur restera• 0

toujours inconnue; aucun phénomène ne pourrait lu bire connaîtresoit pour une partie m de A, soit pour ce corp, entier : I'expé­

ricnce ct le calcul ne déterminent jamais que des différences entreles quantités de chaleur émises et absorbées pal' un corps pendantun même temps. Ainsi, lorsque tonte la chaleur émise pOl' 1\, pen­dant un certain temps, tombe SUl' 'une masse de glace, et est em­ployée à en fondre une partie, la quantité de glace fondue est seu­lement la mesure de l'excès de la elia leur émanée de A sur celle quiest absorbée pal' cc corps pendant le même temps, ct qui lui estenvoyée p'U' la glace fondante.

(9)' C'est encore il mison du nombre extrêmement gl'3nd de mo­lécules dont la partie III est formée, que nous pourrons supposer,comme nous l'avons dit plus hant, l'émission égale en tous sensautour de M, et la même que si cette partie ln était isolée, Cela étantsi \10115 décrivons du point M comme centre et d'un rayon qucI~c,onque 1> une ~urfacc s~)hérique, et si nous n'avons point égard it1absorption qUI aura lieu autour de M., cette surface recevra en

c!1tier la cba~eur nmdt ém,ise pal'. ln, qui Se partagera entra ses par­bes, proportionnellement a leur et.endue. Dansœt ouvrage, le rap­port de la circonférence au diamètre sera toujours représenté par

'1 THÉORIE MATHÉMATIQUEtempérature produites pHI' ces échanges, ct à en conclure les lois de lacommunication de la chaleur, à distance entre des corps c1ifférens, etde proche en proche dans l'intérieur d'un même corps.

Les parties des corps dont 11 s'agit dans cet énoncé sont des por­tious de matière, telles cpe la partie ln du corps fI., dont toutes les di­mt:nsÎOl1s sont insensihles , et qui contiennent uéanmoins des nombresimmenses de molécules. C'est toujours là ce que nous enteudrcus do­rén.ivant par des parties matérielles lIe grandem insensible. L'échangcde chaleur entre ni et une autre partie semblable nï, résultera del'éll1is.,ion et de l'absor-ption par toutes leurs molécules. Niais"j l'on considérait isolément une molécule de m et une molécule·:k mi, cet échange ne présenterait rien de régulier quc l'on pût sou­mettre an calcul: il certains intervalles de temps, la molécule de 112

pOlll'raÎlllC pas émettre de chaleur vers la molécule de ml, ou celle­ci ne rien envoyer à la prcmière ; le contraire aurait lieu à d'autresl'poques. A un même iustant , les échanges de chaleur pourraient êtretrès diffénm.s entre la molécule qui répond au pointM et les molé­cules situées, dans diverses directions, à égales distances du point lVI;et enfin ces échanges varieraient aussi sans aucune régularité, en pas­sant de ce point M à nn autre point situé à une distance insen­sible de ]U, Les nombres extrêmement g]'ands de molécules don.

'out composées les parties matérielles, telles qne ln et m', produi­sent, sous tous ces rappol'ts, la régularité indispensable dans leséchanges de chaleur, pour que l'on puisse calculer les variations detempérature qui en Tésultent, et exprime", la température corres­pondante ,~ un point quelconque Id, en fonction de ses trois coor­données et du ternps t ; ce qui est l'objet général du problème fjUC

nous aurons à résoudre.(8). D'a près cette considération, la nature de III et sa tempéra­

ture étant données, nous pourrons regarde l' la quantité totale dechaleur émise en tous sens par cette partie matérielle, dans lin tempsaussi donné, comme proportionnelle à sa masse li! et à cc temps. Endésignant donc pal' n le. quantité de chaleur qui serait émise, pen­riant l'unité de temps, pal' une masse prise pour unité, de la mêmematière que lI!, et ayant une température constante, égale à la tem­pératnre u de ln au bout du temps t , ll0US l'on l'l'ons représenter par'

DE LA CHALEUR. 1:)

THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA CHALEUR.la lettre '1t; la surface sphérique entière sera donc égale à ~7Tr",

ct la portion de [Jouit qui atteindra et traversera une partie .ç de. .snrndt

cette surface J aura pour expre!>slOll 4..-'""Cci:c p;lrtic , pouna ;'(re auss: pCIil'eqlle l'on voudra; mais si elle

est d.c gT~U1Ck~1.H' in9.;'lL.:::ibie, il f~n(]1~3 toujours crue ses dimensions ré­

pondent, comme «:Hes dû m, à des nombres extrêmement grands de'llOlécubc'. Pour ahr,:gcl', uons appellerons alors s ou généralement

UIW ;:c;nhhble p:lt'lic insensible [J'une surface quelconque, un élémcnide cette SUl'Caœ. Si s el un élément Cv (l'une autre surface ont un point

corr.muu o(ng, l'''), que la norrnulc ON à cette seconde surface et lerayon (rH Je Li <ou frlCi:> sph8!'iclue [Dssent un angle aigu a, ct que ces

den}; él,iJI,J~iY s ct Cil soient compris dans un même cône ayant sonsomll1e; ;'UpOIU! î\f, on aura sensiblement

{" cos e= s ,

'" aura une grandeur iînic, mais Jnsensihle. On aura alors

el la quantité de chaleur précédente pourra s'exprimer par o-nmdt,

dans toute la longueur dllcône., " .(JO) i\iainlcn:1nt, si nous avons eg~rJ a l'absorption de J,a ch~lenr

dans l'in tdricur du COè'pS A J cette portiou de chaleur unmdt emanee deln pendant lin-tunt dt, suil"allt une direction dcunée , sera réduite, illn di,t:mcc r de ln, dan" un rapport de p à l'unité, ct deviendrap:-[Jl1ldl; le coc Ilicicnt p étant une L'onction de r qu'il s':lgira Je déter-

miner ct qui sera égale à l'uni té rom' r= o. , .POUl' cela, du point M de ce corps, je d<icrÎs deux surfaces sphen­

quesdon t Ics rUJous soront r et r + '~. Soient sets' les éJémens de cessurfaccs , 'tllc,'ccptés pal"]ç co ne cx trcmcment aigu qui a son so rn rnet

au point ]\1 et cr pour ouv crturc : nous <lurons

Ce l'apport est une fonction independante de l'unité linéaire que l'onappellera j'Olwerturc du cime. S'il s'agit du cône extrêmement aigu,

circonscrit à l'élément v), et qui a son sommet au point M, la fraction

Apnt décrit deux surfaces sphériques et concentriques, qui ont

pour l'ayons r el l'unité , si l'on représente par set 471'0' les portions dece, Slu{aCGsJ i nterccptécs p~U' un même âme qui a son sommet à leurcentre COJl1111Un , ou aura

i' _. / = q'f''llP;

Supposons 'lue p devienne p' quaru] on)' met z: +.~ il la place de r; laIracf ion Je la quantité de l'haleur JOUi/ft qui tombe SUl' l'élément sélanl jJ7[Jmdi, celle qlli attciudru l'élément s' sera de mémc ]J'ûOmtlt,ct conséquemment la chaleur nbsorhéc cn allant de s ;, :/ aura pourvaleur CP -p') rlTImdt, OL', S111011, supposons crue .) soit d'une gl':1l1­

de ur insensible, mais qui réponde néanmoins, comme clweune des di­

mensions Je s , il un nombre extrèrnement gl'nnd cie molécnles , nous

pOUlTons admettre que cette chaleur absorbee cst p,'opol'tiouuelle li lachaleur incidente p7nIJuit sur l'dlément s, il l'épaisseur- ;)de ln matièreabsorbante, el il sa densité, que nous l'cpl'éSentel'on.s par r'· Dans ceshypothèses, les plus simples et Ics piue; nalurcllcs qlle l'on puisse fairesur I'o lisorptio n de la chaleur, 1<: portion de chaleur absorhée en allant

Je s à s', aura donc Hll"si pour expression le produit Cj'r\;p'JOmat,dans lequel q' est un coefficient qui poun<J varier avec la matière aIJ­

sorbaute cl avec la tempcrnturc. En égJlant cette seconde valeurà la première, et supprimant le facteur commun uDmdi, il Cil

)'f)SU!tCl'U

.,4-;j~,·

(i =

co.r.uic SI ces élémcns ,itaient infiniment petits, pourvu toutefois queJ,,:s !'nYO!l\ de courbure des deux surfaces au point 0 ne soient pas de

gl'u!lc1cur insensible , comme les dimensions de o: et de s. De plus, cesera la mème portion de chaleur émanée de 112 > qUÎ traversera les deuxélémer.s ; p:1I' conséquent, la quantité Ùl) chaleur émise par ln pendant

l'iust:nJÎ dt, et qui alkinJ/'a, à hl distance r, l'élément ta d'une surface({tlCkoDque, ahstrsc.ion faite de l'absorption intermédiaire, s'expri­ruera génét'aletYlcut pal'

DE LA CHALEUR.lb 'l'HEOnIE MATHÉMATIQUE1113]S 011 a, pdr le théorème de 'I'nvÏor ,

, a" ! d'j) "P -1) = -;1 + _.-;- w + etc .:dl' 2. dr: ~

ct quoique les coeflicicns de cette série soient tres divergens, puisque pest une fonction qui varie très rapidement avec l', on peut cependantprendre laccroisserneut 11 de l'assez petit pour que la série soit tou­Jours très convergente, et qu'il suffise de conserver son premier terme;ce qui cnangcra l'équation précédente en celle-ci;

dp 1 r ( .a,: = - q pp. 1 )

Ce sera cette équation différentielle qu'il faudra intégrer pOUl' oh­tenir la valeur demandée de p; on déterminera la constante arbi­traire qui sera contenue dans l'intégl'ale , de maniere qu'on ait p = 1

quand r= o.

(1T). Afin de l'apporter tou tes les quantités au point M du corpsA que J'on considère, je désignerai }Jar p et q ce que deviennentpl ct q' en ce point, 011 quand r = o. La quantité q sera alors lamesure du poumir absorbant de la matière de ln, à la tempéra­ture ici; la quantité f1 est déjà la mesure de son pouvoir émissif àla rnéme température, rapportée aussi à l'unité de masse. La den­sité de A qui répond au point 1\1 sera la quantité p, c'est-à-direque r exprimera, quelle que soit la distribution régulière ou irré­gulière des molécules dont m. se compose 1 la somme de ces molé­culcs , ou la masse ln, divisée pal' le volume de cette même partie rna­térielle (*). POUl' l'homogénéité des quantités, il faut observer que sil'on fait

gr = -" sera une ligne; ce qui résulte lie ce qu'à la distance r de m, le pro­duit do Ù' et de la ligne ~ devait être un nombre abstrait.

Si A est un corps homogène, de nature quelconque, solide, li-

("") Traite de ll:Ucaniq"" J tome 1", page '16.

IP.1

quide, aérirOl'lne, et que sa température soit partout la méme , lesquantités rl ct p' seront constantes et égales à q et p; (HI aura

ir,'= 2;, ct 1'011 tirera dl' l'équation (1),

l' étaut la hase des logari thmes népériens.

La portion de chaleur émanée de ln, qui atteindra il chaque ins­tunt l'élément s pcrpemliculairc au l':lYOIl /', sera alors

...nnuli -;4",1"- e

Si donc la gl'[,mknr de cet élément est constante, il recevra lamême quantité de clialcur ~l distance éJ.le de 1\1, dans toutes lesdircclions autour dr~ ce point; et 11 distances inégales, celte quan­tité variera en raison inverse du carré de l' et en mison directe d~

l' ,

l'exponentielle e-;. Le produit ~c-; exprimera donc le décroisse-

ment d'intensité de la chaleur rayonnante, autour de chaque pointM dt: A. Cette loi comprend le cas du ville, en supposant nulle hdensité p, et faisant ,= CIJ ; ce qui donne, à celle Iirnite , une varra­tion d'intensité en raison inverse du carré de la distance au pointIl'Uil la chaleur est partie. Dans l'ail' ou dans un gJZ quelconque,le produit (IF sera très petit, et la ligne 1: très grande, soit à rai­son ,Je, la densité ,", soit il raison du pouvoir absorbant, ou de litquantité q, dont lu valeur devi-ait être déterminée pal' l'expériencepour chaque gülO en particulier ct pour chaque degré de tempéra­turc. Le décroissement d'inlensit.: qui en résultern sera un peu plusrapide que dans le vida. L'observation il Fait 'Voir que la chaleur so­laire tJ'avcl'se J'ail' avec plus de facilité que celle qui émane d'un corpslion lumineux; pm conséquent, toutes choses d'ailleurs égales, c'est­'i-dire, pour la même densité et la même température de "J'ail', la va­leur de • sera différente dans Je cas cie la chuleur solaire ct dam celuide la chaleur obscure , et plus gt"ande d:llls le premier cas (ltle dans lescconr},

5 ..

20 TllÉOlUE :,iATIJÉMATiQUE "DE L,\ CHALEUR.Pour que je décroissemcnt d'il}t~llSi!é, Ou seulement l'absorption

de la chaleur, soit très rapide dans les solides et dans les liquides, ilIaudi-n que ~ r soit une lignc' très lK:!itc; cc qui rendra aussi très pe­tite 1., distance ~l Iaquelle Ifl rayonnement intérieur sera scnsihlc au­tOLII' (b chaque point. Mais il ne faut pJS confo udrc cette distanrcavec le rayon d'activité des forces moléculaires , répulsives ct allr::l.C­tiv es j provenant du calorique proprc à chaque molécule cl de sa ma­tière pondérable; les fonctions inconnues qui ex primeut les lois de

leurs inteusit~" ~ ditr8rentes distances, décroissent sans cloute plus

rapidement qu'une exponcntidk: on suppose leur rayon d'activirétorrt-u-init insensible tandis cIlle l'élencl1l8 du rayonnement intérieurest seulement très petite, ct il quelquefois une influence sur les phé­

uomcnes , qui 1;) rcur] sensible cl rucsuruhle , ainsi qu'ûn le verra pnr

ln su itc.(12) Lorsque la température varle,r" d'un point à un autre de A,

d sa matière, si ce corps est héiél'Ogène, le produit girl sera nueIoncl iou de ,. qui ne nous est pas duunée , de SOTte fp!C l'on ne pourraplUE ril'CE' de l'équation (r) la v:ile:ur de p; ruais ou pourra tou jours "é­rifler que la quantité de ehalem':Ilmdt, érnanco !le in , et qui sc pro­

page, suivant chaque direction, dans un cone dont ~. est l'ouvertm-e,sera entièrement absorhéc li hl distance de ln Où s'étend le rayonne­

meut intérieur. In effet , la portion de cette chaleur absorbée pm- latranche normale et cxtrèrncrncut mince du cône, silué" à la distance r

de m, et qui a 'i pour épaisseur, est q'F';p,Ilmdt; la totalité de la cha­leur ahsorhec dans une longueur quelconque 1 rlc cc cône, sera donc

égale au produit de j),;'Illlldt et de la somme des valeurs dei'q'plll re­

latives à toutes les tranches de cette partie du cône; Iaquellc somme

pourra être remplacée par l'intégrale /:1 (ir'pd!', si la longneur lest

comptée il partir du sommet. 0,-, en vertu de l'équation (1), et enohsei-varrt que l'on a p = 1 quand l' ;..= 0, cette intégrale a pourvalent' 1 - J." en désign:mt par i'l la valeur de p qui répond àT' = l. Si donc l est l'étendue sensible du rayonnement intérieur,et que l'on ait, en conséquence, le = a, la chaleur absorbée danscette longucllI' totale l sera égale à toute la chaleur émise (J'Ill/u{t; cequ'il s'agissait de vérifier.

On peul auSSI d,;".,ontJ·cr (lue la chaleur "hsorhé" par toutes le,'trnuclrcs l.fllTle pai-I ic quclconqr,,(' du cùne que nous considérons ~

cst illdépcn<hnte de l'ordre rh", lequel elles sc succcdcut ; I'absorp­

1iOT} (~ta!1t toujours su pPOSf;C, pour chaque tranche) proportionnelle

" la qualJlil~ de rhaleur illCitl~lIl". Eu el1~,t, sail n. le nombre de Ccs

tr.mches norrnales , appc1ùlIs <1lJ' la quanti lé LI::: chaleur ÙnllJléc de ln,

cu un h;i11p:; dOIl[I~, [luÎ tomhe SlIl' la traucl.e 1;, plus voisine de cette

partie de A, et. d(;~igllon,; pal' «ok, la poriion de ®' qui sera absor­l,éc pOl' celle première trallehe: la chaleur incidcuto snr la secondesera j-C=d u i te il 'W (J - k,). En désignant pal' l.; ce {lue k, devientrelativement 11 ccllc-ci , la C]Jaleur qu'elle ahsorho , et par "aite lachaleur- i ucidcntc SUI' la troisii,mc tranche, aurout pour valeurs

'W(l-k,)!>" et@(r-k,)(I-k.). En continun-it ainsi, et dési­gnant par k«, k+,. _. f,", cc '-Ille devient TL, relativement à la lro i­sièruc , " la quau-ièrno , _" à la il""" tranchc, la quantité de ~:ha­

leur qui sortira de cette deruière nu l'a pour expression

en sorte que la chaleur sera diminuée pal' l'absorption à travers ces fi

1'-.111(;]](';[ sucecssivcs , dans le l'apport {lu l'rOll ni [ de.'> u Iacteurs

!- k, l-k., 1- k,J , ..... 1- kn , il l'unité. 01'" (13n,> l'hypothèSll 'lucl'on vient de rappe lcr , chaclIne (lcs fractions k, k" />3" ..• lin ,est indépendante de toutes le. autres, aussi hien 'T"8 de la quan­tité 'W' : la diminution totale de chaleur sera donc aussi iJldé­pendante de l'ordre des IL tranche- , dont le changement IlC ferai!qu'intervertir l'ordre des racleurs précérleus , sans en c/][(ll.?:el' lesvaleurs. ~

(,0-;). Il suit de lb. CJue dans l'échange ,le chaleur entre dellx

parties Il! ct m' de A, si la chaleur envoyée p,w II! " m'est duni­nuee pal' I'absorption intermédiaire, dans le rapport de P il l'Imité,la chaleur envoyée par tu' 11 ni sera aussi diminuée duns le mêmel'3pport.

Da"5 le cène dOI!t le sommet est iYI. et l'ouverture a , je prendspour la partie m' la tranche normale et extrêmement mince, SI­

tnée ~ la distance r de ce sommet, ct qui a n POUl- épaisseur. La

l'q'mm' ndt.4'lï;';;

,edion dn cône étant s il cette distance, le volume de cette trancheoL'n. a tres peu pres n; et si l'on r-eprésenta toujours par r' sadonsité , on aura m' = p'"s. La quantité de chaleur émanée de III

pendant l'instant dt t et absorbée par cette rnêrno tranche m.', qui ajJf/plv,S cl dpou r expresslOH 4r.r" I1mdt, d'après ce qui précè e , ev icndra

J. /:. THÉOlUE ~B.THÉMATIQUEDE LA CBALEUn.

rt = qFu; (5)

Fu él:ü1t une fonction de la température u , 'lU! 5e1'3 touj()U1'~ bmême, quel que sail le COI'pS A, solide J liquide ou gazeux, auq ucl ln nppar-ticnt. Nous donnerons dans le chapitre suivant I[i

lorme de cette fonction, déduite cle l'observation.

Récipl'Oql1l~lllelJt, la quantité de chaleur émanée d,' mi, ct absorbéepar ni, S81'[t

]J'lm'm n'dt~?T1'" :1

"lj désignant pat' Ihn'dt la quantité de chaleur cnnse en tous senspill' m' pendant l'instant dt, et q étant, comme plus haut, la me­sure du pouvoir 'lhsor1nnl de 17l. Par conséqucnt., si. l'on représentepol' J' la diminution clc chaleur de ln provenant de l'échangeentrë in ct Ill', on aura, en retranchant la dernière quantité dela précédente ~

Quelles qUi! soient les matières des parties ln et ml, de gl'andeul'insensible, si leurs températures sont égales, il faudra que J soitzero, afin que cette ég3!ité ne soit point trouhlée , de même qu'ellene j'est pas entre des corps.de grandeuT quelconque (n" 6). Il fau­dra donc qu'on ait, dans ce cas,

g'n = !ln',

c'est-il-dire (IU'à égalité ~Ie tempél'ature les quantités de chaleur Ilet n'; qui mesurent les POUVOil'S émiosifs de ln ct rn'; l'apportées3 l'unité de masse, doivent être entre elles comme les quantités qet q', qui mesurent leurs pouvoirs absorbans. n en résulte aussique,· pOUl' chaque partie matérielle, le l'apport de l'une de ces rue­,Hl"!'S à l'autre est indépendant de la matière et de la densité; en

----- .------.~g.~--

TEtaRIE MATHÉMATiQUE

CHAPITRE U.

LO/S de la chaleur rayonnante.

('1)' Soi, 0 (fig. 1) un point de la surface d'un corps solide ouliquide (ilW j'appJlerai toujours A. Par le point 0, menons en dehorsde A une Ilorm,'!e UN, une première droite 01, puis une secondedroite OI' comprise dans le plan de ON et or. Supposons les an­gles I\Ql el ]\01' égmu;, et désignons-les pa!' i , de sorte qu'on ait

1\01 = ",or = i.

DesJgn{)ns aussi pal' j.!", une partie d'un autre corps? de grandeTIT in­sensihlc, selon la dofinition du nO 7' Soit cv ua élément de la surface

de A, tcl qu'il a aussi été défini dans Iii n" 9, et comprenant lepOlut 0, Rern.csc'ntons p;!r f1J 13 quantité de chaleur émanée de fi.< ettomlJée SUl' i» peudant un temps quelconque. Celte chaleur se corn­pos(']'u d'un numhrc immense ut: ~él'iles de molécules calorifiques ,nar-laut de t0~11eS les molécules de !.', ct ubou tissuu! il lV; mais ellesseront tout-s contenues dans un filet c);trêmemünt mince; et si 10est la dircdioJl dl' l'une de ces scil'Î,'s incidentes, les directions detoutes lei, ûtt1l'es ne s'écarteront pas sensiblement de 10, en suppo­

sant, toutefois , Ih il uue distance sensible cie w, c'est-a-dire , ~ unedistanCè cxtrèiuernent granùe pal' rapport aux dimensions de /j. etde ca. t'ne pûrtiiill de la"série, incitlente suivant 10 sera réfléchie sui­vant 01'; tes dilections des :.JUI,'CS séries réfléchies s'écarteront trèspeu ùe OF. Deux séries incidentes parallèles seront encore parallèlesaprès la l'<if!exion, si la surface dc Ci! est plane , elles convergeront011 dive"'geront, si celle sUTf;iCC est concave ou convexe; mais ,dans tous les cas, ]e filet de chaleur réflcchi sera ex II'Vl11Cment

milice, du moins ~ une distance de '" qui ne sera pas devenue

DE LA CHALEUR. 25

cxtrèmcrncut grande. Nous no llOUS occuperons pas de la forme dece !Î!ct, mais seulement de JR quantité de chaleur dont il sera

composé.Les ,,;ries de molécules calorifiques dont 'West la somme ne sont

-ans cloute pas toutes (;gales, ct il est possible qu'elles ne se réfléchis­sent pas ton te, exo ctcrncn l dans ln même proportion; mai" il causede leu r no rn hre immcus e , on peut supposer que la quantité totale deehalcur rél1r;c!l~e est propo rtionuelle , toutes choses d'"illeurs égales,,~ la (Flantité totale de chalclll' incidente. On tlésignel'a donc par fwla première dl' ces deux quantités ; l étont u ne fraction indépen­

dante de <w, qui pourra varic r sur un même élément de surfaceavec J'angle d'incidence i.

(r5). La eluIcUl' r:lyonl1antc qui émane d'un corps incandesccnt ,ou seulement dun COl'pS dont la tcmpératUl'e est très élcl'ée, <! despropl~iélé, 'lui b ,distingue,llt Je, la chaleur émanée d'un autre corpsct fJUl sont pcu t-ctrc dues a la vitesse dont elle est ouimcc. Nous avons'léiit dil (nu 10) que la chaleur solaire et celle qui provient d'un corps0]1,C\1I' traversent l'air cn des proportions difJërentes. En général, deuxquantité, de chaleur ra}Onnnnle qui produisent SUl' nous la ruèll1csel1­<;ation, (lui Coudraient la même quantité de gbce, ou é]èvel'"ient lat ' t ]" l' .' J ' ù 'cm pel'a ure ( un corps ( un mcrne nom wc ue cgrcs, ct que nousappelons éonles, ne sont cepcnrlnnt pas identiques, lorsque I'uuc aélé émise pal' ua COl'p.o; très chaud et l'autre par un corps dont I~ tem­pérature n'est pa3 ti'ès-é!cy6e. La première fra.ye.se Je verre dans degl'~nd<ès épaisseurs, sous h forme r.1yonnantc. De Lrll'oc!Je a. trouvé(l'le qua url dIe a déj;, l!'aversE! une p,'emièl-e l:tnw de verre, l'He entravet-sc plus facilement une seconde. Eile peut aussi traverser d'au.

tres COl'pS, diaphanes nu non dia~haucs; et ml' cc point de physique,On peut consulter un exCellcnll11eOl01re de 1\1. Melloni (*),

C~~le :l'al~ur rayou,nante proveuan! d'UH corps dont la températureest tres élevée , peut ctre pnlruùè'. comme ln lumièi-o , pal' la réflexion

so~s ~n angle c~H:enabJc.Pal' conséquent, si la partie materielle p,quia C11115 la, qu~nt~te ";J~ de eha~em', appartient ~ un corps dont la tempé­rature SOIt tres élevée , et SI cette chaleur, avant de tomher sm 1'é]é-

(~) Anna/cs de l'hT,·;,'fjlU?t! de-Chinlic, tome Ll l l , année IS33.

THliOl{IE MATBÉMATIQUEment cv de la surface ùe A, a été polarisée pal' sa réflexion sur unenutre surface , cne se réf~échil'a sur (;) et sous uu mèuie angle d 1incl­denee i, en d,ô' proportions inégales dans difTérens plans, p:gsant parÎa uorrn: Je ()N.. S~l rél1(.~xioLl ponrra être nunc dans un de ces p1:U1S~

et tüulL:~ daDq un autre; et, dans ce cas, la fraction.!, sera une fonction

de i , et de celui que fait le plan des droites ON et 01 avec unfixe mene pal" la p;·clnièl'c.

Ou n'cura . ég2.rd,~ d;u:ls cet ûtlVTtrgC, h ces propriétés fXCe}l-

tiorin-Hos (le la chaleur, 'pi la rapprochent de la lumière à quelqueségaJ'ds; ct rcu ôlo1gnent sous le rapport de la transmission à lr~~'

V~~:; cL; corps 11011 diaphanes. En considérnu; la réflexion de la chaleurSUl' un él2ment de surfaco , nous supposerons toujours que tout estsct1ibhJdc autour de la norrunlc , et que la proportion de chaleur- ré­flcichi8 est simplement une fonction de J'angïe d'incidence, dont lafonne devnl ètce détel'Ininfie par l'expérience.

(IC:i). L01\Sf!U'Un corps est soumis i, une température Exterieure plushasse qtl.C ln. sienne r.fUll certain nombre de deDTes i et ensuite b -Hne

, Q

p~r:d,uI'C SUI}t2I"lcnre à la sienne du meme nombre de degl'és, l'ex-pérl(;ncc 1110nir(; quAi!. crnploie le mèrne h~nlps., soit à s'abaissnr , soit às'éle,u," \:eUe: temr,,5r~du ...:; extérieure, ct que la loi Je son refroidis­sentent dans le premier cas, e~t la même qu~; celle de son éch3.ufTcIl1Cnt

dans le second. Or, ou conclut de li> Clue la s11rface de ce corps est éga­Iement pC1'l11éahb, toutes choses d'ailleurs égal"s, à la chaleur exté­rieure qui la traverse du dehors en dedans, ct b la chal Cil!' intérieure quila l rav erse en sens contraire, ou du decbns au t1ehor~. De plus, sil'elie! du passage d'un mil icu dam un autre est le meme en deux sens op­posés, qu"nt i, la proportion de la chaleur que la surface de séparationlaisse passer, il est naturel de croire qu'il est aussi le même quant àsa direction, On peut donc supposcr quc la chaleur qui traverse la Sur­

face d'lm corps n'éprouve aucun dliwgement clans sa direction; car,si elle subissait une sorte de réfraction analogue ~ celle de la lurnièrc ,et qUI!, par cxemplc , elle se rapprochât de la normale ON en pilssantdu dehors en dedans du corps A, elle s'en éloignerait en passant dudedallS.m dchors ; en sorte que ln chaleur éprouverait, dans les deuxcas, des effets contraires, eu égard à sa direction.

Cela étant, soient M un point de A, situé SUl' le prolongement de

DE LA CHALEUR.

10 il une u';'s petite distance du point 0, et ln une partie de A, degr:mdcm insensible ct corupren nn t le point 1\'!. Soit aussi ON' 18 pro­L.JlJgcment de O.\', de sorte qu'on ait

MON' = ION - 1.

Si 111 envoie it I'élérneut cc, dans un temps quelconquc, une quantité

p de ch"lcur, la portion de P quc ce réfléchira d.ms l'inlérieur dc A,sera .fj!; le coefficient f étant le même que pour h réflexion de lachaleur tombée du dehors sur Cf) et sous J'incidence i, Eu outre, l'aLltreporlion r - J)p de la chaleur intérieure; qni traversera Cd, con­servera au dehors la direction indiquée par le prolongement 01 deMO; la même chose an ra lieu pOUl' la port ion ([ - f') r:iI' cie chnlem'

émanée do lA., et qui pém;tl'~J'a dans l'intérieur de A h. tr:lVers co :

l'édwngc de chaleur entre ces deux parties matérielles III el se feraCl! ligne droite il travers cet dc'ment t»,

L'hYFolhèse de régale proportion de la chaleur qui Îl'C\veI',e les,;url'ac;os el! deux sens opposés, établit entre cette substance iruponde­ruhle cl la lumière u no différence essentielle. Elle ne ,ocrait point ad­missible 1t J'égard de la ehaieur polarisée, dont nous ne devons pasnous occuper, Ce sera une des données de 1:1 q uestion , (lui ser-virontde base il nos calculs, Nous admettrons aussi l'hypothèse de la nonl'éli'angihii,té de la chaleur, qui paraît liée il la première, ct 'lui serapropre à simpl!Iier les raisonneruens ; mais On pourra toujonrs s'ns­sm'er que 1105 résultats auxquels IlOUS parviendl'ons seront indépendausde celte seconde supposition.

(T Plaçons actucllcnrent le COI'pS A duns une enceinte fermée detoutes parts (flg. 3), vide d'air, et dont tous les points OnT une rnhnelf'rnpE'ratul"?, rendue iuvariahle pal' un moyen quelcouque. Repré-,sentons par ç cette température COnstante, Si A a d'abord., dans touteson étendue, III température (, il la conservera aussi C01~stamrnell! .dans le cas contraire, la température variera d'un point il un autre, et

avec le ~ei1lps, j usqu'à Ce qu'elle soit devenue partout égale 11 (. Dansle premier eus, chaque élément de la surface de A sera traversé en untemps quelconque par des quantités égales de chaleur, de dehorsen dedans et de dedans en dehors; dans le second cas, les (luantitésde chnleur extérieure ct intérieure qui traverseront unmèma élément

4,.

THÉORIE MATHÉMATIQUEment IV de la surface de A, a été polarisée pal' sa réflexion sur uneautre surface, elle se réHéchil'a SUl' ru et sous uu même angle d'inci­denee i, en ,les proportions inégales dans diffrh'cns phns, pJSSallt parla !lo,nLie ON. S" r-':f1exioll pOUIT::' èire nulle dans un de ces plans,et JouL, duns un autre; et, dans cc G:S, la fraction/sera une Ionctionde' LmgJc i , et de celui quc fait Je pian des droites ON et ai avec unpl:lH fixe mené pal' la première.

On u'ama égud, d:ms eût OliYI'"ge, ~ ces propriétés excell-tiunnvlics de la chaleur, q'li la rapprochent de la lumière à quelqueségards} (;1 qui l'en cloig-neut sous le rapport de la transmission Et trn­vers cl,.,; co,,!/S riou di:ip]wlles. En consiùéranlla réflexion de la cha1eursur Ill] Clément de su l'facc , nous supposerons toujours que tout estscmblablo autour (le la normale, cl CjlW la proportion de chaleur ré­fkelJj", est simplement une fonction de l'angle d'incidence, dont laforme devra ~U·e déterrninée par l'expérience.

(16), Lorsqu'un corps est soumis il Lille température extérieure plusbasse que la sienne d'un certain nombre {le degrés, et ensuite 11 unetcn1pél'~dnrc 5upil'icure à la sienne du I11&U1C' nombre de degrés, l'ex­pericncc montre qu'il emploie le nième tcmps , soit à s'ahaisser, soit 11s'élcvU''' ceUe teclpé;'~,lU!'e cxtérieure , ct que 1:1. loi de son refroidis­scmeut dans le premier cas, est la 111èn1C que celle de son échatlîfcrnen-t

dans le secoud. Or, on conclut de F, que la snrface de cc corps est éga­

lemcn [ l'crméahL:, toutes choses d'ailleurs égales, à la chaleur e:üé­ricure qui la traverse du dehors en dedans, ct 11 la chal eurintoi-iourn quila traverse en sens contraire, ou du dechus au dehors. De pius, sil'cnèt du pas:iage tl'un mil icu daus un autre est le rnèmecl1deux sens op­

posés, ql"mt 1< tnl'roportion de la chaleur que la surface de séparationla isse passcl', il est naturel de CI'oÎI'e qu'il est aussi le même quant ilsa direction. 011 peut donc supposer que la chaleur- q ni traverse la sur­face d'un corps n'éprouve aucun changement dans sa direction; car,si elle subissait une sorte de réJi':lCtioll analogue b celle de la lUIl.lière,

et que, par exemple , elle se rapprochàt de la normale ON en passantdu dehors en dedans du corps A, elle s'en éloignerait en passant dudedans en dchors ; en sorte que la chaleur éprouverait, dans les deuxcas, des effets contraires, eu égard à sa direction.

Cela étant, soient M un point de A, situé sur le prolongement de

DE LA CHALEUR.

fO i, une tricS petite distance du point 0, et tn uue partie de A, degr;uHlcnl' inscnsihlc ct cornpmnant le point M. Soit aussi OiV ie pro­lo11gemcnt de ON, de sorte qu'on ait

:\lON' = ION = i.

Si IIZ en l'oie il J'clément 0), dans un temps quelconque, une quantitél' de ckleur, l~ portion de p quc œ réfléchira dans l'inlérieur de A,sera jjJ; ]e coefûcicut f ét8nt le mème que pour la rcll cxiou (Je lachaleur tombée LIu dehors sm' (,' et sous l'incidence i. En outrc , J'autre

podion '.r - J)tJ de la chaleur intérieure, qui traversera ra , con­servera au (ichors la direction indiquée par le prolongement 01 deMO; la nième chose aura lieu l'am la portion (1 - i) rw de clinleurémanée de 'Jo, et ({(Ji pélLéln:~l'a dans l'intél'Ïcur de A !J travers O!;

l'écllallgc dc chnlcur entre ces doux parties matérielles III et F sc fera{~n ligne droite il travers cel élément œ.

L'iJypoll,t'se cle l'égale proportion de la chalcue qui traverse lesslll'Lees CIL deux sens opposés, établit entre cette substance impondé­rahle cl la lumière une d ifléreucc essentielle. Elle ne ocrait point m1­missihle J. l'6gal'd de la chaleur polarisée, dont nous ne devons pasnous occupe]', Ce sera une des données de la qucstiou , qui servirontde base il nos calculs, Nous admettrons aussi l'bypothèse de la non,'él'rnngihijité de lu chaleur, qui paraît lié" b la première, el qui serapl'OprC i:l simplifie.' les raisouucmens : mais on pourra toujours S';]5­

surer que les résultats auxquels nous parviendrons seront indépendansJe cette seconde supposition,

(ri)' l'laçons actuellement le eOl'ps A claus une enceinte fermée detoutes parts (fig. 3), vide d'air, ct dont tous les points ont une mornetempémturc, rendue invariable par un moyen quelconque, Repré­

sentous par i; cette température constnnto. Si A a d'ahord , dans touteson élendue, la température t, il la conservera aussi constamment.dans le cas contraire, la tcrnpéruturc variera d'un point il url auh'e, e~avec le temps, jusqu'à ce qu'elle soit devenue partout égale à (. DansJe premier cas, chaque élément oc la surface de A sera traversé en untemps. quelconque pal' des quantites égales de chaleur, de dehorsen ùedans ct de dedans en dehors; dans le second cas, les quantité,

de chalelll' extérieure et intérieure qui traverseront lm même élément

4·,

THÉORIE MATHÊlVIATIQCEseront inégales et variables d'nn instant it l'autre. Nous appcl lerous

,1ùP' de chaleur l'excès de la chaleur intérieure sur la chaleur exté­rieure, qui traverse il chaque instant un même él(~ment dc surface, ctqui pourra être positif ou l~égatif. Au haut d'un temps t quelconque ,Je flux de chaleu r , pendant l'instant dt et à travers l'élément cv de la.surface de A qui répond au point 0, pou!'!'a être représenté par r oiclt;

le coetlicicnt T étant le flux de chaleur qui aurait lieu penùant l'unitéde temps, à travers une portion dl.' la surface de A, aussi égale àl'unité, si la temperaturede ce corps demeurait la même qu'au boutdu temps t, ct que la perméabilité calorifique de celte unité de sur­face !l'If pnrtout la m611e que POlU' l'élément w.

Pour l'homogénéité des quantités dans les formules où r entrera,on remarque!'a qu'ahstractiuu faile du signe, r est une quantité dechaleur r1iyisé8 par un temps et par une surface.

(,8). Soient toujours M un point de A voisin de 1:.; surface, ct III

une parlie matéricllc , de grandeur insensible, comprenant le point:1,1 i

abaissons de ce point une perpendiculaire jlIE SUT hl surface de A, el

qui la rencontre en E; faisons NIE = x, ct iudiquous , an lJOut dutemps t, pal' EIII température de m. POUl' que toute la chaleur émisepal' celte partie matérielle ne soit Fas absorbée par les parties envi­rounuutcs de A, il faudra qne la profondeur X' de ln au -rlessus de lasurface, soit très petite. Il en sern de même pOUl'que la partie III puisseètl'e attciute par une portion de la chnlenr venue du dehors, ct qui péné­trera dans A. Par couséquent , si l'on prolonge ME, d'une quantité con­venable jusqu'en f, on aura l'épaisseur Elê d'une couche superficielleextrêmement mince, d'où émanera toute la chaleur qui traversera lasurface de A, du dedans eu dehors, et où sera absorbée toute cellequi traversera la même surface, du dehors en dedans, Je désigneraipai' e cette petite épaisseur EF, qui sera toujours incomparablementplus grande que les dimensions des parties matérielles, telles que m,et des élémens de surface, tels que Ci!. Observons aussi que ln couchesuperficielle dont nous parlons est distincte de celle qui termine tousles corps et dans laquelle la densité varie très rapidement de la faceinterne à la face externe (*). L'épaisseur de celle-ci est tout-à-fait in-

(~) Nouvelle theorie de l'Action capillaire, page 6.

DE LA CHALEUR.

sensible, comme le rayon d'activité des forces moléculaires, et né­gligeahle par rapport il l'épaisseur e, C'e~t vrniscmblablcmcut danscelte partie cxtrèmc de la conche sllperfiClelle que se passe le phé­norucue de la réflexion d'une partie de la chaleur iuchlcnte , cxtceicure

ou inté ricu re .Dans l'i!Jtéricul' de A, il une profondeur plus grande que c, la

rcmpéruturc est indépendunte , comme on le verra par la suite, dela loi de l'ah8ül'ption de la chaleur, el varie très peu entre des pointstrès l'approchés l'un de l'autre. Il n'en est pas de rn ème dans l'épais­seur C dc la eoucbe superJiciclle; la température ~ de III varie très ra­pidement avec la profondeur tr, et a géneralcment des valeurs trèsrlit1Î'h'enles aux deux limites de celte couche, c'est-à-dire , ponr x = 0

et po,lr x = c; son expressiou dépend de la loi de l'absorption, rcufer­méedansJ'éq\wtion (lj rlu u' 10, ct dépendante elle-l11ème de la loides températures. Cc serait un vrohlème, au moins très diûicile il l'é­seudre, que de déterminer ces deux lois de l'ahsorption ct des tempé­ral urcs , nÎnsi liées l'une il l'autre. SUl' une même normale EF, nousregarderons ~ comme une fonction de x ct t , qui restera inconnue,mais qui se changera, à la profondeur x = c et au delà, en uneautre quantité que llQUS désignerons par u, dont les variations ne se­l'ont plus tl,ès rapides) cl: qne l'ou détC!'I)ünera dans la S,lite.

Le point 1\1, appartenant à la matière de l'enceinte et étaut très voi­sin de sa surface interne, on mcnera une pcrrendiculaire il cettesurface qui la rencontre en E" puis on prolongera E,:Vr, jusqu'enl'" de sorte que E,F, soit l'épaisseur de la couche superficielle deJ'enceink, dans laquelle auront aussi lieu l'émission ct l'absor-ptionde la chaleur rayonnante; mais dans toute l'épaisseur de cette COlt­

de, cornme il une plus gl'amlc pI'OCOndelll', 1:1 température seraconstante, pal' hypothèse, et égale a (. Dans cc qui va suivre, je dé­signer~i par e, cette petite épaisseur E,F, , j'appellerai .r, la distanceM,E, du point Ml à la surface interne de l'enceinte, et m, repré­sentera une partie de la matière de l'enceinte, de grandeur insen­sible et comprenant le point M"

(tg), Ayant tiré la droite MM, qui coupe en 0 et 0, les surfacesde A ct de l'enceinte, j'eleverai, clans l'espace vide compris entrecnes, et pal' les points 0 ct O., les normales ON ct O,N, à ces surfaces.

et l'on aura aussi, il. tres pl;n près,

MO = " M,O, = r., 00, = lz;

.x = J'case, x. = J',cos8,.

50 THtomE l\IATHÉlVfATIQUELes 3ilf\lcs E:.YIO et O,ON seront sCllsibklllçnt ég;mx, ainsi que les an­gles E,M,O, et OO,N,; .le les désignerai pal' e d 8., de sortequon ait

Ymdt, Jans Inquelle Y est unl'O.S

leur sc r:lJangcr~ en une autre

]m LA CHALEUR.

cocflicicut moixlre flue X. C',tle CJ11;mlit6 'i sera u ue [onction de r

qui de,iclld,-a nulle 011 insensible pour toute valeur de l' plus crnndel , · , l' l ' '. "que _ Up~ISSCtll' C (1; la COllC le su pcrficicll e i 11Ja1'; elle d6pclIt}ra aussi

de Lmglc 0, parce qlw X d.Git [onction de .:t' ou de l' cos e, 11 cause

de la température '!; , dont la variat.ou P;i!' ra ppcrt à x est très rn­pi.le ct ne peut pas ôlrc négligée. En prcn.1nl ponr ni une tranchede T cxtrè mcm cnt miucc , pcrpcmliculnir« à la IOll"ucul' de ce cy-l' I ".nurc , ct ayant, ccuséq ncunncnt , ("COSe pcur bnse , on pourra re-p,-ésen IcI' par- Q,;» COS 0 la somme des valeurs de 'l'm, étendue aucylindro cutier-, c'est-à-dire, prise: depuis J' = a jusqu';' r = e , ou sil'on veut j US(jU 'à r = CJ:) , puisqu'au-delà de l' = c, Y est zéro. Le coef­

ficient Qdépendra encore de 8; et la cbalelll' cnvoyée pal' T it Q, aura

, 1 <éiJ{tlICOS~C()S!lIQ ..... .pom va cui ----i-;:;ï,'--- dt', en Iaisant tOUJOlll'S abstraction de la

réflexion intérieure qui ft lieu SI1\' l'élément u. rom- y "voir <',,<rarel J'e" ..'

snppŒc que la cbalenr qui traverse cet élément sons l'angle d'inci-dcucc e soit une fraction a. de la chaleur incidente. En multi­pliant b qllontité précédente 1';11' a , on au rn la portion de chaleurqui alteir,ldra rélémel~t c''', sous l'angle d'incidence 0, ; el si l'on repré­seule eu iin par Ci, la Ïractiou de cette chaleur incidente qui traversera''', , on aura défînÎtinJrnent

[Hie partie au flux de chaleur r ta.lt , dont nous allons d'ahm'd nous

oecuper.

(20), .le r16signcroi par Xmr1t la quantité de chaleur émise en tous"ens p:l1' iIl pcndunt l'illstilnt dt; le coeûlcieut X étant une fonctionde LI icrnpéi':l'l""'; 2 dl~ 71l au bout cln temp'; t.. Ahsl racrion faile del'abol'pliol! d;U1S la coneh,; superficielle de A, ct de la réflexionintérictu-e 'lui uurn Jien 1> sa surfacc , la portion de Xmdt qui at-

• .• • . tul cos (J,. 1 .,tellldr:Ht I>J, serait l " Xnu:J, claprès le n" ",J" ou sirnplcment

. _1"',' + J'y

!<f, cus :" XI' l' , 1 E-,-,-' " nutt , en nec' 1geant J' par rapport a Il. sn vertu (le ran-i.{r. il- , " ~

sorption qui aura lieu daus le trajet de rn b !v, cette portion de cha-

OO,N, _ a,.I~MO = O,ON - e, E,I'Il,O,

Je (CI'ni, en outre,

Les distances r et r, devront être respectivement moindres que e et e"pour q uu n échange de chal CUl' puisse avoir lieu entre III et ln" Jesupposel'ai que la dislance ft soit, an éontl':Jire, très grande relative­ruent aux épaisseurs e et el, ct je négl-igerai , dans les calculs suivans"

r ct l', pal' rapport il 11; j'exclurai, par conséquent, le cas où l'élémentt» rle la surface de l:.. serait eu contact avec l'enceinte, ou cu serait

très pen éloigné.

Cela posé, concevons deux cônes, dont l'un soit circonscrit à tn, etait son sommet au point J',f, et dont J'autre ail M, pour sommet el

soit circonscrit à ln. Appelons 0), l'élément de la surface de l'enceintequi sera intercepté par le premier côna , et qui comprendra le point0,; et supposons que l'élément I<J comprenant le: point °soit celuiqui sera intercepté par le second cône SUl' let surface de A. Vu lagrandeur _de 11 par l'apport à r et l'" 011 pourra prendre 0) cos ect cv, cos 8, pour les projections de fr) et w" SUl' les plans passantpar 0 et 0" et perpendiculaires il 00,. Si l'on prolonge les deuxcènes il partir de co et l'V, jusqu'aux limites des couches superficiellesde A et de l'enceinte, et que l'on appelle T ct T, ces prolonge mens ,on pouna aussi considérer, sans erreur sensible, T et T, comme descylindres qui auront pOUl' bases co cos 8et cv, cos e" Les échanges dechaleur entre chacune des parties de T" telles que m, et chacunedes parties de T, telles que ln, auront lieu à travers les élémens (~

et w,. Je représenterai pal' Ddt la diminution de chaleur, positive ounégativc, qui en résul ïera pour T pendant l'instant dt 1 et qu i sera

THÉORIE MA THÉMATlQUE DE LA CHALEUR, 33

pour la quantité de cbleur émanée de T penùant l'instant dt, à tra­vers r(~léll1cnt {i!, qui pénétrera la matière de I'enceinte , à traversl'élément (0" et sera absorbée en entier pal' T"

i)o aura de même

aC!':\ Ult...1 r rC(Js __~ cos ~I Zdt ,

q77),'

DOW' b chaleur émise par T, pendant le même instant dt, à travers:,' qui pénétl'cra dans A à Iruv crs '-', et sera totalement absorbée;~;, T, l'ibis ici le coeflicient Z ne d~l}(:ndra pas, :nmme Q, de l:angled'incideuce ,. pill'CC que, pal' hypothèse J la temperature ne vane pasdans l'épaisseur de la couche superficielle de l'enceinte, de laquellecelte «uantité de chaleur est émanée.J,,, ' , dl' 'cl

1~11 retranchnut celle ocrruere qual1tîte e a pl'ete ente , on au rala valeur de Ddt; ct en supprimant l~ facteur commun dt, il Cil

résultera

D - "d, "'''. CO, ecos e,!Q Z'J'. ---~---- \, - .- 4"h"

A cause que I'on a négligé les distances r et r, par rapport à h, cettevaleur de D est la même que si les quantités de chaleur (lui ont tra­versé IV et [;), fussent parties des points même de ces démens; et, pourcette raison, la valeur de D serait encore la même si la chaleur éprou­vait des changcn.eus cie direction en traversant t» ou ('J .. Eu gênél'J.l,deux séries de molécules caloritiques , parties du point M, et quis'écartent très pen l'une de l'autre à une distance de O:!, très grandepal' rapport à l', pourronl diverger au-delà de cette distance , commesi elle- ['Jssent parties d'un autre point M' de A , ou même d'unautre point extérieur M', mais toujours situé à une distance r' de 0,très petite, comme la (]istanec r on MO; de manière que si l'on né­glige r comme on a négligé l', celte divcrgcuce sera la même qnesi 0 eût été le point de départ,

L'OUS ferons }'emarqucl', pour l'homogénéité des quantités 1 queXrndt, ct p~ll' suite Ymdt, exprimant des quantités de chaleur ,

!.)!'c' cos adt cu sera une aussi, et, conséquemment, Q sera UIIl;

quanti le de chaleur divisée pal' un temps et par une surface. li en,cra ùe m èrnc à l'egard de Z.

(21). Lorsque les élémens cc vi co, sonl entièrement permeables à 1:,chaleur, ou depourvus Je: toute réflcxihilité , sous tous les angles d'iu­cidcnce , 011 :\ ct = J el a., = l, quels que soient les angles e ct 9"Dans ce cas, ou admet, comme un résultat de l'expérience, gue les'luantiit;s de clwlclll' émises il travers un même élément de surface,sous diCCél'enlcs directions, diminuent il mesure que ces directionss'écartent dc la norrnale , et sont entre elles connue les cosinus ùesangles d'incidence. Cela résul te , en effet, de la formule (1), à l'égardJ 1"J'·[ tenant 'J c' l l' .c e ern e n ta, appal' cnanr a a SUrface Interne l,e t cnccmto , puis-que, dans le cas Je "', = r , cette formule ne contient plus qUiC leIacteur cos e, qui dépende de l'angle d'i ncidencs e,: mais il n'en estpa" de même J'clati vernen 1 il Ct', il ca use gue, dan; le cas de ::t= ] ,b rorrnule (1) renferme encorc , outre le fadeur cos e, la qnan­tite Q qui peut dépendre de l'angl{~ d'incidence O. Cette loi du Co­

sinus n'est donc démontrée, à priori ~ que pour un eorps dont lalempél'at~l'~ e,st supposée invarinblc , pour un corps A qui s'échJ.ufleou Se refroidit , elle ne me parait pas enlièl'cment liers de doute .Il scrait à désirer gue les expériences qui ont lXlrrt l'indiquer fns-

~ . , . ,sent repetees avec som , comme aussi il faudrait qU{' la valeur cie". en [onction de e fùt déterminée par l'observation 1 dans le casgénéral où la reflexibilité n'est pas nulle.

. Rc1atiycll1ent ~ Ul~ corps d~mt la temperature ne varie pas, et à1e\lcelllt~ e,n partlcuher, .la 101 dont il s'agit ne tient pas à ce que lachaleur ermsc pal' le cylmdrc T, i, travers "'" li parcoum une dis­tanc~ ~Ius ou moins gl'and~ et éprouvé Hue J.bsorption plus ou moinseonslde~'able, avant datteiudro cet élément. CeUC' distance et cetteabsorption sont les mêmes pour toutes les directions , mais le C _

lilldl': T" cil'con,~cri,t, 1:, .un élément donné Ui" s'amincit de plus ~nplus a mesure qn Il s elOIgne de la normale' sa hase " cos 9 1'. , ..... l.l:/l (' ou la

section perpendiculaire à sa longueur, diminue propol,tionneilen CI· t

:'1\ cosinus de !'a~lgle d'incidence, el conséquemment aussi la (J1Jal~ti:érle t.:halcl1l'_,!u:1i emet au dehors 1 quand elle traverse en enlier J'êlé­meru Ctl,. MalS, outre ce résultat evident, on peut encore prouve!',,.

::J

Z r e, 1'" 1=- f ~(~.(p(.J n

et en vertu .108 équations précédentes , cette valeur (le Z sera la mêmechose que

55

(5)

DE LA CHALEUR.

CeftB œ"clusiou ne convient l'rIS au corps A, dont la tempéra­Jure v.utc (hm l'épaisscUl' C de ,':1 eo uchc superficielle. Si cette tern­pér-rIlllrC ~ était coustaute , c'est-à-dire Égale à celle qui a lieu il lalimite de celle couche, ct qu'on a représentée p"r 11, on auraitQ= Fu; d'un autre coté , on aurai t cflcctiverucnt Ë= u , si il ne dif­férai! pas de la température ;: de l'enceinte. D'après cela, nousf(_'l'nns

Q=Fu+~(F(-Flt); (2)

7J etaut uuc nouvelle inconnue, qui sera un ncrnbro ahstrait dontou ne pourrait calculer la "1 alcur il moins de couuultre les lois del'ahsorption et de la température près de la surface de J\. En sup­posant qne dBE expériences ultérieures confirment la loi de l'émis­sion proportionnelle au COSÙ1W de l'angle d'incidcnce , relativement àun corp~ qui s'éclrn uffc ou se refroidit, cette quantité <p sera indépen­dantc dl' l'<illgle d'incidcncc : mais il faudra encore recourir il j'obser­vat io n , pour savoir si elle varie avec ln matière de cc corps. On verrada us la suite qu'elle ne dépBnd pas des températures.

·22), On ne doit pas confondre la quantité Ddt avec le flux de cha­leur qui a lieu, pendant l'instant dl, de J'Clément IV vers IV., ct que jeI"Bprésenterai par ~dt. La diminution Ddt de la chaleur de T est lerésultat de l'échange entre T et T,. Le flux f:,dt est l'excès de toutela chaleur émise par T vers t», et il travers ('J, S11l' celle qui tra­verse '<J en sens contraire , et qui résulte, soit de l'émission de T,il travers w" soit de la réflexion qui a lieu sur ûJ, quand oc, n'estpas Ï'uuité ; la chaleur réfléchie provenant alors de celle qui tombesur w, sous l'angle d'inciùence 9,. Les deux qunntites D ct D. ne coïn­cident que quand la réflexihilité de cv, est nulle , ou la perméabilitécomplète, sous cette incidence, c'est-à-dire, dans le cas de a, = 1,

ponr la valeur donnée de g,. Mais je vais démontrer qu'cu général lavaleur complète de ~ est indépendante de a" et se dédult, en con­séquence de celle de D en y faisan t CL, = 1 ; ce qui donne, d'aprèsla forulule (1),

La quantité de chaleur' émise pUl" T à travers w, et qui va tom­5,.

D, = ij,F(,

THÉOIUE MATHÉMATIQUE

dp, = -l"'ld',r!I'I'

34cl'après le rapport entre les pouvoirs ahsorbans et émissifs, trouve(bus le n' 15, que b qU:.l1ltité de chaleur émanée de T, est toujoursindépendante de la matière dont ce cylindl'c est formé, et ne peutchange!' qu'avec sa temp~l'aturc.

En eilet , désignons par D,m,d/la quantité de chaleur émise en toussens pa,' la pm·tie m:l!él'ieile ml pcndaut l'instant dt; soient P. la densitéde rn, ct '], la mesure de son pouvoir absorbant. lIn appelant p. ceque devient la f[11:ll1tité P du n' 10, relativement ~l la matière de l'en­ceinte, :1 sa ternpcraturc f et J. la disLance ".» on aura, en vertn del\;'/llatioll de cc numéro et cie l'équation (3) du na 15,

De plus, Zi;, cos Gldt sera la somme des valeurs de p,D ,m,dl rela­tives il toutes les parties de T.; si donc ou prend pOUl' ln, la trunchotrès mince de o::e cylttuJre, l'(;l'p'~mlieulnircil sa longueur, qui répondau poiut J\I" et dont l'épai:seur sera représelltée 1):11' n, J on auram, = f,,"l<J, cos 9" ct Z sera l" somme des valeurs de [J,D,p,y" danstoute la long ucur de '1'" ou prise depuis r, = 0 jusqu'à 1", = e.. Enrenrplacunt 11, pal' ilr, ct la somme pal' une intégrale, on aura, parconséquent,

Donc J puisque Je [acleur F' ne dépend que ùc la température t, quiest constante pal' hypothèse J et en observant que l'on a p, = 1 etp. = c aux limite~ r,= 0 et l', = e, il s'ensuit que l'on aura Z=J;'(,lors même gue la matière et la densité varieraient sensiblement dansl'épaisseur de la couche superficielle de l'en c<;Î n te.

Ainsi, la quantité Z ne dépend (lue de la température de l'enceinte J

comme il s'agissait de le prOUVBl'; ct l'on voit, de plus, qu'elle ex­prime le rapIJort du pouvoir émissif au pouvoir absorbant, qui est lememe pOlir tous les corps, et qu'on a représenté (u' 13) par lafonction F Je leur température.

'THÉORIE J'llATlIEMA'IlQUEber sur w, pendant l'instant dt, est le premier terme de cette for­

mule, multiplie par dt, c'est-il-dire,

Si Ion désigne par oc,Pdt la quantité de chaleur emise de mêmepal' T'{ [1 trnvcrs W

ret qui va tornher sur fL) pendant le mème lUS-

tant. dl, on aura aUSSi

p :=: ~(d( CO~S ~ ,cos e: Zdt.'1'rle

rappelle /;l'dt ce que devlent cette quantité de chaleur lorsqu'on Jajo'u'te la chaleur réfléchie par ûI, vers "'). Une partie tLkPdt de cettechaleur totale, émise et réfléchie, pénétrera dans A il travers v) ;l'l d'aptes les deux quantités précédentes, on en conclura

DE LA CHALEUR.

ceinte j puis, dans le plan de l'angle O,O.N" je mène la drou« 0,0"telle que l'un ait

cl qui .ihoutit au point 0 3 de la surface de I'cnceinte. Par ce point0" je mène encore une normale interieure 03N3 à cette surface, puisune droite 0 3°.dans le plan de l'angl8 D.03N" telle que 1'011 ait

0.03Ns = °403NS'

ct 'Illi se termine au point DA de cette même surface. Je continue in­définiment L:CS constructions , et je suppose que la ligne briséeOO,O,030~ etc., qui en résultera, ne rencontre la surface de A enaucun autre point que 0 qui est son origine, ni une seconde fois ence point O.

De 111 ème que nous avons fait

(4) OO,i\ ,faisons ;(-IJS~Jl

où 11 ne l'este plus qu'à déterminer la quantité ~. Pour cela, il est i.[l~

<iispensable d'avoir égard, comme jB vais le fa~r~ 1 an nOll1!}re infinirie réflexions successives qu'éprouve chaque sene de molécules ca­lorifiques, en se mouvant dans un espace fermé de toutes parts.

(25). La température, étant constant.e, il s'ensuit que la (lll.ar~ti:é

CI-,1-' est la chaleur émise par T, de c;), vers (;J, 11endant J'unité etetemps. Elle SE: composera d'un nombre ext.rèrl1ernent ,grand de sériesde molécules ealorifi']'ues, qui 'l'ont des POlutS. Je :'" a C~llh ~e "'j ~ .let1ésig:ne pal' a,Z la somme des molécules qm SUivent la direction0,07 la quantité z sera, uinsi que Z, indépendante du degré de per­méabilité de cv" de la mulière de T, et de l'angle (J" et ne pOlll'ra

, l ,[., cl l' .' techanger qu avec a tempera ure S e encein L.

Pal: Je point 0, (fig. 4), je mène dans le plan de la droite 0,0 et,1" 1a nor;na]c D,N" ~ne droite 0,0" qui aboutit au point 0, de lasurface de j'enceinte, et soit telle que l'on ait

OO,N, = O,O,~,.

. .. 'l' j normale intérieure O,N. il la surface de l'en-An point 0" fe eve a - - •

o,n,N.el désignons par œ." cl.s , <:1.4 , etC., cc que devient relativement auxpoints 0" 03, °.,etc., et aux angles e., 9s , 941 etc., la quantité CL,

qui se l'apporte au point 0, et ~ l'angle G,. Les séries de moleculescalorifiques 'lui trnverseront la sut-lace de I'enceinte aux points 0"0" O., etc. , suivant les directions 0,0" 0 30 " 0{03' etc" auront pOUl'

sommes, pendant l'unit,', de temps, les produits ".Z, asz, "'4z, etc.; lefacteur z étant le même que précédemment, puisqu'il ne dépend que cl"la température ~ cornmuuc ~ tous les points de l'enceinte. Une por­lion (1- ct,)ct,Z de Ia chaleur u,:. incidente au point 0" suivant !adirection 0,0,. sera réfléchie suivant la direction 0,0, et s'ajouterail la chaleur a,Z; ce qui donnera une quantité de chaleur [ct, +( l-ct,)a',,]zsuivant cette dernière direction. Une portion (1 ~ et.)d.3Z de la cha­leur "'3Z incidente au point O. suivant la direction OsO" sc réflé­chira de même suivant la direction 0,0.; une portion (l-a,)( l-a,)a,zde cette chaleur (1 - x,) Xs:' déjà réfléchie, se réfléchira une secondel'ois suivant la direction 0,0, et s'ajoutera ala quantité précédente

THÉORIE MATHÉl\iATIQUE'.2, + (1 - a,) ct,]:; cc '1"i donnera, suivant cette dernière direction,une quantité de chnlcur [et,.+- (1 - aJa,+ (1 - o.,) (1 - o.,) lOts] z.En continuant ainsi indéfiniment, ct faisant

a, + (1 - u- , ) a, + ( I - a ,) ( I - a,) 1Ot3+ (l--' et,) (l - et,) (1 - as) a, + etc. = (;;,

Oll aura b: pOUl' b somme totale, pendant l'unité de temps, de lasérie (le molécules calorifiques qui suivent la droite 0,0; en sorte quela partie a,:: de cette série, qui est émise directement par T" setrouvera augmentéc pal' h réflexion, drms le ra ppoul de r; à lL" Ilen sera de même "J'é;.;arJ de taules les séries de molécules calori­riqucs dont se compose la quantité de chaleur a,P; et comme ona représenté pal' kP ce qne cette ch::icUJ' devient quand On a égarda la réDexion, il s'ensuit que l'on aura Il = r;.

01', ù'ap]'ès la vnleur de r;, on a évidemment

j - G = (! - CI.,) ([ - a.,) ([ ,- u,,) () - et,) etc.,

ou l'on voil d'abord que cette différence 1 - b lie peut être négative,puisque aucune cleo quantités a" et" ClS, C"4, etc., ne peut surpasserl'unité, cc qui rend lous ses facteurs positifs. De plus, si l'on désignepar J' la pIns petite de tontes les ft'actions <1." lOto, lOts, 11.4 , ctc., qui nesont pas zéro, et par n leur uombre , on aura

1 - b < (1 - J')" j

d'où l'on conclut généi'alement [-6=0, puisque I-J' est une frac­tiou et que n estiniini.ll u'y aurnit exception que si toutes les fractionsx, et" "'3' Ci4 , etc., moins un nombre fini d'entre elles, étaient 7,éI'0,

on hien si elles décroissaient continuellement, à partir de J'une d'elles,et finissaient pal' devenir infiniment petites; cal' alors la limite J'n'existerait pas; el l'on sait d'ailleurs qu'un produit d'un nombre in­fini de facteurs convergeas 'Vers l'unité peut avoir une valeur finie etdéterminée. Mais ce serait un cas mathématique, qui n'a pas lien dansla nature, ct dont DOUS pouvons faire abstraction. Nous aurons donck = b = I; ce qui fait coïncider avec la formule (3) la valeur de 11exprimée par la formule (1).

~a valeur de k devra être modifiée, et ne sera plus égale à l'unité,

DE LA CHALEUn.

dans le cas que nous cxaruinernns plus has , 011 luu dei; points de 1.,ligne brisée 00,0,0, ctc., outre Je premier, appartiendra ~ la sur­

face ,le A.(:>in. Il sera facile de déduire, maintenant, de l'expression de ilrit ,

celle du flux total de chelem' qui a lieu pendant l'instant dt, suivan rto ut es los directions, à travers j"élément c",d qui a été l'''lwésenLc par

r,,;dt (ll u 17)'POUl' une lu formule convienne il toutes les directions de tu

droite 00" autour du point 0, il faut que LI sur-ace de A soit con­vexr: en cc point; cm' si elle ét!!it concave, il y :JUrnit d os di"cctioW'dans ics,!uelks la droite 00, rencontrerait la SUrf2ce de A cn un se­cond point; el. la tcm perat urc correspondante étant variable ct diffé­rente de ç, la formule Cl) n'aurait plus lieu pour les augles 9 relatifsil ces directions.

SilppOSOlb donc Je COI'PS A convexe au point 0; pal' cc point, me­nuus 11I1 plnIt langent il S~ surface, qui laisse Je corps cnt ier d'unmèrur: dll,:; la valeur de T.» sera la somme de celles de ô. , étendue

;, tous les élérnens Go'. tlc la partit.' <le l'enceinte située de l'autre co!c .el t crminéc au plan tangent; d'uillcurs , cette; somme s'obtiendra pa:une iulégrale, dans laquelle on remplacera w, par l'élément diîlëren­tiel de la sui-luce de l'enceinte, 'lui l'épand au point 0" cl w, cos 9"par la projection de cet élément dil1ërcntid SUI' un plan perpeudicu,lniro il 1:1 droite 00,. Donc, si l'ou décrit du point O comme centre ,el cl'nu rayon égal il l'unité, une surface hémisphérirJl-w tcrrn iuce mlplan t<lIlgenl en a à ln surface de A, ct que l'on appelle ds son élé­meut ùil1i;l'I.;Jlliei pel'flCJlJieubil'e " 00" il Iaudrn , à cause de 00, =11.mettre !1'rlS il la place du factum ~). cos 0, de la forrnu.o (3), puisétclu]rc l'intégrale de celte: formule il tous les élélllell~ ils dû la surfacehémisphérique. 01', 0 étallt l':Jngle compris entre la droite 00, et lanormale 0.1." si l'ou désigne par ,~. l'augle que fait le plan Je ON etde 00" avec un plan fixc mené lXll' ON, on aura

ils = sin 0dAd.{;

et pour étendre l'intégrale à toute la surface hémisphériquc , il faud J':'

ln prendre depuis {= u ct G= 0, jusqu'a,,~ = 2'Jr' el 0=~?T,De celte maniere , en suppr-imant le facteur 'v co rnmun il ë. el f'.<'"

DE LA CHALEUR.

La lcmpél'atUl'e u est celle du corps A qui se refroidit ou s'échau Ife,observée aussi près qu'il est possible de la surface, ct pour lnq uelle oupeut prendre la température qui a lieu 1J la limite iutéricure de

L couche superficielle d'où émane la chaleur rayonnante. Ou désigne,comrmj plus h:lUt, p:1I' ( la température invariahle de j'enceinte quitennlne l'espace vide où le corps est placé. La quantité fi- est unuomlwe pen difI'érent de l'unité, qni est le même pour tous les corps

6

(enceinte s\;loisllc ;~ une .Iist.mcc irn.ucuse de A, comme la distancedc~ t;,ui_lcs. ;1 1.1 'I'crrc , p31' exemple ~ son in iluence sue la tcnrpératurc

cie.1 ne dînlltLuL p;iS; Ci: quiiicnt. h cc que I'étcnrlue ~ la snpcdicle

ci Jï)J~c::n:s;!é ,-le L~ clJ;]lclH' rnyunilt1ntc: énLl1Hjc de chacntl Clf=: ~;cs

varient en rai:=:oij inverse 1\11)(.: d,c l'auu-e , c~csL~h-dir,~>, rUDe

('n r..isou inverse cl laut rc on raison (l~r,:ctc du. carn~ de la dj~tauce.

L:~ (::Jl'l1HLlC u.ou. rc ::iu-si. que la loi dr; fin\:: de eha}{:;nr qui ~t heu.

;J la sud;tCC Iil: 1\.; avai. l (t,.t'il aiL aUci:1t la tcnlpét'atnr(~ finale, ct par

sui le la loi cL:; l't~t..:hau:r(:nlCJü on du t'crroicli~stlncI1l de ./~, sont -indé­plJudu.rües Cil gér](i!'al de l'eu(iroit quc Ce eorp:~ oceupe dan:-; l'espace

viclo, aussi hien qlle de La lli.1l1l:te) des. din1c:nslons, de 1.1 fignre de!'cllccill te, cl du l1cgrc de rdlc:;ibiliI6 de sa surface. Je di; en. sùuJml,Cil' ceb Il'a pins lieu, non plue que la forru.rlc ,IDr:;cluc la liglll:UO,0.03 l'le. (k" ,.dlc"jolJ" sllcce;s,;in;s rencontre une seconde fois]2. :,ul'i'acc d~ /\: d~lns C(~ G]:~, un morne (;orps, (Ia(~ l'on place Jans

u u.: CJlC(;ill hl Î;_~rnlt~e de lo u Les pajt~;:J' s':~cLallrre o u se r:...d'I'oÎllil plusOlt 1110!IlS vi lc , ct sui vant de::.; joi~ {,.1 i.il'él'Cll Les, scion le lieu qu'il

OCcupe .lans LeL ~'pac~, ct C{lwirll>e la température de I'cnceiutc soitpartout la illcn:e.

CcLk formule , èt ïa(l'wll(' lions aVOlJ:; d~ conduits pal' lal!.éo"Îc, s'accor.l« avec I'cx prcssiou du flux de c1J::dcur (lui résultedes lois cxpcrimen talus [lu rcfroidisscmcut des corps dans le vide"lrouYées pal' ,\lM. Dulong et l'elit; et en cOl1lp~r~nt Tune à I'autrc ,

on en coucl uru la Conne de la fonction Fu ou F( tic la températurevariable ou constante.

U'après les Ïùis que nous citons, on a

(li)r = À (u

YJ) cos 0 sin edO = Il,

'25). En vertu de celte formule, lorsque la température Il sera de­vtmue la mèrue et égale a ( dans toute l'étendue de A] on auraI" = 0, quel que soit le coefficient ni le flux de chaleur sera doncnul en tous les points de la surface de A; et conséquemment. la teru­nératurc C continuera de subsister. La fonction F( étaut indépcn­~:lnte des 'dimensions et de la matière de l'enceinte, de sa figure etde l'élat de sa surface) il s'ensuit que si l'une de ces f{Uatl'e chosesvient à chauger sans que!; varie, le corps A conservera aussi cette

tenmérature. Il en sera de même si l'on transporte A d'un endroitùan~ un autre de l'espace vide que l'enceinte termine, ou si on leplace dans un autre espaœ terminé par une enceinte qui ait la tempé­;'atul'e ~' de la première. Si donc A est un thcrmornètre , et qu'il aitatteint ia température invariable de l'enceinte, il continuera de l'indi­rruer que] que soit l'endroit de l'espace 'l'ide où il sera placé; ce, ), \' d' d'Qui aura encore lieu lorsque cet espace sera remp 1 arr ou un

gr.z quelconque} qui. a pris la te~lpé~atUl'e de ]'ence~n~e .. C~la e~tconforme il I'observation , et peut ètre Journellemeut vérifié, L expe­iieuce montre aussi que si l'on augmente ou si l'on diminue subite­munt l'espace vide, le thermomètre intérieur ne s'élève ni ne s'abaisse ,mais quand cet espace renferme un gaz, celui-ci, en se comprimantou se dilatant par le changement subit de son volume] abandonne ouabsorbe de la -ehalBLU', et le thermomètre monte ou descend d'unnombre de degré~i différent, selon la nature du fluide} sa densité et satempécature primitives, ct la variation de son volume. Lors même que

r = Ji Wu - Fi;"). (5)

il Cil reStl1tel'" finalement

, THÉORIE l'dATHÉ:\lATIQUE:t observant que la formule (3) ne contient rien qui dépende de l'angle

on aura d'abord

r = ';/,'''- fi (Q - Z) cor;e sin BriO.

Donc, en vertu de la fOl'mnJe (2) et de Z = YS, et en faisant} pourg1Jrçge,',

THÉOHlE J\lATHJ::<lATIQFE

et P(;11i' t~.,us les (ituL:-; de leur sHl'f:!ce l et dunt la valcnr est

EnEa. 1~ tuclcur ), {L~p:;nd. de l'état de la ~nrf~c(~ de A Î c1est-à-dirc(je ."'iJiJ~ iünüion ct dc:~ùn degré de poli, ct pent varier, par couséquent,,;','-~~( le poiut 0 c.i·:; ,ecUe: SU lf<J. ce , ,'lucrH(-J l'expression de T sc rappol'te.

Cc facLur j~t~ cllilngc pas avec les ternpérntures tt. et çj rnais soni~}_~press~t)!l :\ (l'!pend du zéro de l'échelle thcnuométriquc ,

de telle :1ü;'LC- Ciue L: proJuii (1e /'L ct de 13. difr6rcllce ru~H .......-. pJ:" ou

I~l ~-ulL'ui' c!.<:' T ~ ne varie P::LS avec Ct1 zéro qUl est tout-à...fait arbitraire.(, donn'c Ia ll1~SUI'e du })OU1} {) [; ' rrf}"olulant de la SUl·...

ex~~ct:cnlult de ré-lérncnt (",J de cette surface. Tl af....

~,-'int ~;a \<.lleu["l'tlaii\'~li1eat h l'état de cette SU1'ÜtCC, 101's­

c:a"cl1L' :'~5t c;.llièl';.::.T!~._'.nt dépûnc;,ruC' de réflexibilitJ; on ignore si cette

<,,1('[[t' maxima lb f,011YO;1 raY~l1l1ani varie avec ,la m~t.ièl'e duCO!'P'-; A; la valeur dt' ? ~2St 7.t~j'!,J} ~.;ans l'autre cas cxtrcme ou lu sur-­

C;;.{;C e~L l ~;;( réfléchit tontc Ia chaleur sous tous les al.Jgle~

d'itl("irLé!H:C,

:~i l.J.on~, fa1SL) l i.·,

j raudra , pOUl' '[\le je, formules (5) et (6) coïncident, que 1'011 ai t

Fu = g IL" + C, Fr = bP3 + c;t: CT g otaut des qn3ntités iuconuucs de chaleur, indépendantes de la:;:1.1ai.iE:n.' dcs Lorp.,-. de leur tcm pernture ct de l'état de leur surface;C s,-~r-:1it 1;1 rnt~"~ll!~~: du pouvoir émissif', correspondante il l{. == - ?:')

si la fG:muJc , donnée par l'expérience, s'étendait à des tempéra­

wrc, au"i hassl:S 'lU::! l'on voud!';); et pOUl" que ce pouvoir devîntcml GU inseusihl" 1 'de <i'(:.5 bas.5c,; températures (11" 8). il faudrait alors

que rOll cùi C == o. ~\JJais toute); les expériences que l'on peut faireelan[. i.'ektives ;, des ÔdLHJQ'(); de ehalcur düt1s lesquels cette constante

C di"par,dl, ,U1CUUC ohse;vation n'en poun:] jamais déterminer lavaleur.

C'est seu1cment a raison du coefiicient nque le pouvOlr rayon­

liint j P01lJT" Y8i'ier d'une surfnr:e )1 une autn, ; si des cxpériences

DE LA CliALEUfL.

C!lCl"i!_'un:-s mon truut que la v~leHr maxima tle A valle avec ll~ llJLtiièn:

du cnl'Fs, il en faudl'~! conclure qu'il en C?1)t- dC'11::~n:i(; ;L l\:g:ii'd dtl.. \:.dcul' de u , relative au cas de L:., 1:011 :'CfiCXllJll1:C ou de :.: == 1;

r1\.JLl lo.i conclura ~(10rs que 1:1 qU:.:tülte cp {j,;v :~t ~HF,~-;~ de J~,

fnatière du C01'pS ft qui s'écIlaurfe ou ~,e rC(1'oidlt r , (Jan~ Ulll,'o:

!r> C~l-':'j ces rIl1ant~_tc~:;::: et ~ sei-ont iud(:p{;n(J~l1!lU~, UI.:8·_~; lrii,'n que' j,.

ci ,t.i', des tuupét'':-:l.ul'CS II ct ~.

--'/.'~j"\]ainien;:nt.l" sUPPOSOll:) q uuu sccou.: C(\\p::'j 1\.' H;jt COl;lÎ..<nU

d:tI" l'cuccintc ville cl':;il' où est placé ic COip:' ,({ don! la lel11·­l-H~l'al~Jl'e .L>!]i'[l toujonrs regardée C0i11rnC inv.iriai.k- ct repr(;seutée

P;ll' ~-4

COlhiclérons la 56ri" de réflexions H]CCCi'SIVCS '{ui a",., J!'.:\l suivant

j;l liQne briscc , par'tant dl! point 0 de la sud~.CI~ de,;1 c~· clon'11c pre­1niel'·' c,)lé 00, (~iÏt rnnglc -9 avec la uom:;:le 0-'" SUPF0.';ûw;, V '111'

f;.\~;r les idôc.-.:" que ceUe Jjglle ne rencontre la sur;:cC'c cii-' .1.' qE'CU un

,:';l:111 point, et que ICi. rcncon tre a lieu au point or (fig. 5) de u.'He sur­I:H.:l', eu uc ]~1 prerniorc ct la {l~ojsj(:nll' l'éncxiol~) qu: sc {(~l'ont"

coium.: pnicédCllunenf: J au x points 0 1 ct (}s de ;~~ f:lld8C~: d.e ron­

,:ciate; cu sode que Le deuxième réflcxicu , qui <t\:;it lien Cil un point

0, "ppatlcn<1nt il cette enceinte, sc ,era mainlcn'lI1c 'ln point 0' (Je iasurfac« de ,\', l'al' cc point, j'élève la normale: Ü'~,,'; ks ~,nGlc" O,O'l'l"

el O)O'N' SCl'Ol1t compris dans un même phm , cl égnllx : jt' le', repl'é­senterai par Bi, de sorte qu'on ait

Cl,O'N' = OsO'N' = B',

J'appc]!t:rai aussi Il' la température de A: au huui du temps t, près

du point 0' ct il la iimite intérieure de la cOllchc<;l1pt'!'f1cielle, quif:mei et absol'hc la chaleut' l'ayonnanle, La tî'acLioli [.~ ct Je, qn,mlllé

de chaleur Q répondant, comme pius haut, llU point 0 de L-SUl'!:lCC

de A et à l'angle 9, je désiguerai par a' cl Q' L(' cln'dle.c, dcviulJJlClltl'l:la[i,emcl1t :lU point 0' de la sUJ'faee de A' rt il 1'angl(; e'; je;"epniscntGrni toujOl1\'5 la quantité Q pal' la formule (2), e!ie ret'airte lllènlc

Q' = fu' + <p' (F; - Fil);

?, él"l!L ulle quantitt; inconnue qui ne pour!'a dépendre que de b ma­tH'l"~ de A' et de l'angie 91•

6..

. a (,o){,/ (I-)~ t.1 cos [/ r ( ) CF l'Y) Ir a/)" F" r-',.', -2.=_·--,---i l-qJ ,'lt-'s -tllf-'f-' \'lI-1'(),.4·,1:'" - ., -' ,

dan.s 13 forrnul e (i-I), iorsquc la ligne des réflexions sncc:::~ssiycs quipal'! d" poinlO"CnC0lltl'l:ra une ou plusieurs fois la surface de A, dei\.''.'1 (Lm[!'cs COlTs contenus (hus l'enceinte, après OLl ('"\'[(111 un nombre

(luclconqu~ de réflexions il la surface Je cette enceinte, Si, par,"<; III pk , ces rencontres n'ont lieu qu'une seule fois au point ()'d" la Slll'::iœ de A', ct avant toutes ks reûexions i, la surface del'enceinte, la valeur de 6 sera

THÉORlE MAT!IJ~:VIATIQUE

Cela posé , en conscrvaut tontes 1c, autres notations précédentes,

on trouvera snns diHicuhé 1 p~H' le raisonuemcnt du n" 2':) '} quela quantité kZ) comprise ùans }:~ forillule (;1), a pOUl' valeur'

lZ== (iIZ+ (1 --- (J.,l)a'Q! + (1 - CI~t)(I - a..') cL3Z+(r - uJ (I - (1 -a:1:'Cl4Z+ etc.;

}2.qu.elle ne c1itT~TC de celle du numéro c11é qu'en cc q1.H~ les qDunlitésa~ et u;.;,Z y son t rClllplacét,s par Cl! et c~l(l. On H.nra toujours J comme,.uans ce nUnlCi'O,.

nE LA CHALEtlH.. îS

kZ :::: Z + (1 - aJ ~/ (Q' - Zj,

ct au i:T10)TU de celte valcur, jointe à ceHcs de Q', fi, Z? 1;1

formule deviendra

kZ=Z+2'(Q'-Z)+(I-x')rl'(Q"-Z)+(I_a')(J_d.")afll(Q"'_ Z)+ elG.;

d désignanl 1"élénJent de la surface de A qui répond au point 0', Ir Llougnettt' Je la droite 00 1

, 6' J'angle aigll que fait celte droite avec lauorrualc en 0' i1 let surfucn de A', et les autres notations étant les!l;l!mes que prcccdommcnt, On "ail (lue, rbns ce cas, la valeurde t::. dépcndra cucoro Je l\;t;ct dcs surfacos de A ct 1\.', il raisonJes Ji':!clion; CI ct c', mais qu'elle ne dépend pl us , comme la pl'(lcé_.Icutc, ue l'élat de la SUrf.1LC de l'enceinte. Cc cas comprend. celui (IUl'

nous navous pas eousidél'é [bns le n" 24, c'cst-il-dire, le cas 'oùla surface de A, étant uormulc au pain t 0, la ligne 00' vient l..rencontre- cn un second point 0', avant toutes les réflexions;' l..surface du l'cnceinte,

(28). I'c ur comprcndre tous les cas en un seul, je suppose crue ]~;;

rMlexions successives aien! lieu en des points 0', U", D'JI, cie, (fii.:. '; ,appurtcnant èl la surface de l'enceinte ou b. des corp" difrJre;n:'!1Ci;,

('chal11Tés, au nombre desquels le: corps /, peut étrc compris, et 'J ue ,pour celle suite de l'éflcxions, les Cjuanlilù désJglléc-s l'al' CiO ct Q l'da

tivcmnnt au point a dc Li surface de i\ ct b. l';Lllgle d'incidcucc G,deviennent CJ..I et Q', cl' et Q", «'" el QIn, e lc. La valeur d[~ kZ tL!-.

btivc il ce cas g'éntiral SCI'D.

I.:Z = u'Q' + (1 - "")C.(,FlQ" + (1 - X') (i - ",'1)Ct'"Q'''+ etc.

niais comme on a touj alles

'1,' +(I-cI.,')"t"+ (1 - a') (1 - arJ)cJ./fI + etc. = r ,

011 pound éCl'ire celte valeur de 1,-Z sous la forme

- cp) (Fu ~ F()

- a/!i - a,; (i - !pl) (Fu' - .FŒ.

A_

Cette forruuie s'appliquera au cas ou la ligne des réflexions succes­sives vient rencou.rcr la SU]'ftlCT du corps ./'J. ; apei~s une première rô-·

flexion 21 la s~]'rrace de l'enceinte: on prcl1\1ra alors po ur .li {le corpsA lui-mème , ct 0' sera un point (ie ]a surface dc Il, distinct dupoint O. A raison (le la quun.itc <1:, contenue dans la valeur de t., onvoit comment l'état de la surface de l'enceinte influera sur le flux de

chaleur il la surface de A, ct var suite sur la vitesse de son re­froidissement On voit aussi (IUC la rencontre en un second point 0'de 13 surface (le A, pouvant avoir licu ou ne pas exister', selon laplace que ce corps occupe claus l'enceinte, il Cil résulte que l'enceinterestant la même, le déplacement de "~ peut influer sur la loi de SOI1

refroidissement ou de son échauffement, jusqu'à cc que h tempéra­ture soit devenue partout égale li. t;, et que l'ou ait, par conséquent,

U: = li, li = ~, t::. = o.

On formera de rnèrue l'expression de kZ que J'ou devra employer'

d comme on a

la qualltilé comprise entre les crochets dans la formule (7) deviendradOliC

If> = 'fi'1 = ~" .."cp' = q;1IJ = 11'•.• ;

DE LA CHALEUR.

et.. == a" == a 1 V = ... .,

cl-' ==: am = a.v ::::;;;••• J

if;De l'cUl' manière, el rj cause de Z = F(, la valeur précéricnt« de

~ p",,'neil'" la fOl'lnc :

,-ql)iFu-F(){1-2/! -a')[l+(I-OC)( r-/)+(I-a.)\ 1-a.'/+etc.J}-air l-·<p')(Vu'-Fml+~l-CL)( l-et))+( r-et)'( i-y.')'+etc.J;

(2!)). St les tempénlures de tous les corps rdlécllissaJls, exceptéuni? sculc , sont invnriablcs et égales à celles de l'enceinte, ou autl'e­ruent d il , si tou tes les réflexions ont lieu;' la surface de l'enceinte,excepté une seule, qui sera la n""" ct se fera 11 ]a surface d'un corI'3 dontLe température varie, toutes les températures u', li", u", ctc., exceptéIl'''), se'l'out égales h (, <JI. J:, foi-mu le (7) sc réduira il

Il = n" = n I T :::::= •• ';J

u' == u'" ==: u" == ""

CC qui comprend les v~tleurs de Cl données dans le n? 27'li ya un autre cas particulier que l'on peut encore remarquer, Il

a lieu lorsque les élérueu-. cv et cv' sont tous les deux perpendiculairesil la ligne 001 (fui va de l'ml il l'autre. Ihns cc cas, il est évident {IllB

les points 0", OIT, etc., de rang: pair, coïncideront tons avec 0, et le,!,oiuts O'", 0', etc., avec 0'. On aura alors

'" wCtJ' cos cos iQ Z '(QI '.é\ If ( r,. 1('il ZL! := ---,------ i --"J --- Cl· - 'J)"""'-'" a 1 - a.' J, ) - JT-;; h' ... . \. ,- .....

- Ulff(l - C1./) (1 - CJ,,"j (Q'/! - Z) - ctc.],

,,' IF' contiendra que des différences de quantités de chaleur. Lesdf:J ncns de -urfacc o: et cv

l sont toujours ceux qui répondent aupoint () c1f' la ,:::uTfaee de A, d'où p~rt la ligne des réHexjons suc-­

cessivcs et an point 0', 011 a lieu 1:1 première réflexion; ft est ladi"iallcc 00' de ces deux élérueus j e ct el sont les angles Q'ON

~t 00':\' que celte droite 00' fait avec les normales exterieures ON'ê! !Ji\'

n pOlin:! arriver quc les corps réfléchissan» interceptent toute,_'ornmm:lcai;o:l entre /. et l'enceinte 11uc 1IOUS avions d'aboi'ct con­

si,lôn':e, ct formont autour de A une autre enceinte fermée de toutesparis, dont la tempérntur« variera d'nn point il un aut.re et avec le

tpmp,'. \bis si J'enceinte dont la température ç est iiuvariable , existe]'f:dlcm,:.-nt d,Trièrc ces co1'p,,;ls iinirol1t toujours p"r prendre tous'·dt<. le"'I)i~l'iÜl1rC 2; après HU temps pl Ils ou moins considerable. Cela

'll1rait encore lieu lors même que cette enceinte s'éloignerait il une-listnncc immense j cc qui tient, ainsi qu'on l'a dit plus haut, à cc que!',:jendue de l'enceinte croissant comme le carré de la distance, et l'in­t!>l;.;iré rle 12, chaleur qui en émane décroissant suivant le même rap­port, l'action échauffante ou rafroidissante de l'enceinte demeure tou­

lour" la mèrue , sa température étant supposée invariable,!f.1prè, cela , on exprimera toujon rs la quantité Q par la for-

mu le ; on fera pareillement

Q' = I~t' + cp/ (F~ - r'li'),Q" = Fu" + <:p/' (1'( - Fu") ,Q'/I = Fu'"+ cpl1l(F( - FuI/!) ,ete. ;

TH1~On1E :'lAnItMAJ IQG:

.iu moyen de ([uoi la formule ({i deviendra

u', di, Il", etc. , désiguant, au hout du temps t , les températures in­térieurcs des CQrps réfléchissans , très près des points 0',01),0 111

, etc.Je leurs 511t'fti ces , el Ifl', q/', a/", elc., étant des inconnues qui POUl'­

J'On 1 .lépendrc de la matière de ces COI'P" cl des angles d'incidence.

i +(I-"I(I-<l:)+(I-a)'(I-;%'/+et8.=- i ,1-(1-")(1-,,)1

-etC1-<1.';[1+(1- et)(I-?'i+(I'-a.)'(l-a.I)'+etc.J=----"-'-,-'---c;,}--(l-~/(]-,"}

THÉORIE MATHÉMATIQUE;l en resultera

- CP) \,Fu- Fi;') - J - 'P') (Fu' - F()J.

Cette formule ) servira ). résoudre tous les problèmes re-ialifi ), la de la chaleur. Par des intégrations, on dé­duira, comme l",n, le n" 2;, de la valeur de b. celle du flux totalde chaleur Le :l ll'~l\Ti-S j'élément [JJ de la surface de A; je me bor­nerai il S)'-HJcr z. g(~nérale de T dans le cas ou la tempé­t'alune; j'il':Jieu!'.' de chacun des corps l'dléchi6sans est la même en10'" ,;(-s points; il sera alors faeile de I'ohtcnir ; mais les quantités:':~. ,:.:/, ~.-(!, c!C, J .-p, Cpl; cp"!) etc, 1 ~î'ét;ll1t p3.S connues en fonctions des

anales d'i uôd once J cette expression de r rcnfcrmcr« des cocfficicns

dé~f;nJaUS de l'étal des snrf:lc,cs de i~, de. r:nœinte ct d,cs co.rrs ré­fj(ic!Jis:;<Ills, f[ni ue pourront ct.re delenumes que pal' 1expenence.

Je suppose dchord que tous les corp,; rcflcclrissuns aient une mêmetempérature. varialile avec le temps, cl convergente vers la tempéra­ture constante Cde lcnceinte extér-ieure où ils sont placés; je suppose'lU~:;i q u'aucun cies points 0',0'/, 0'\ ctc., où sc font les réflexions.uccessivcs , n'appartienne rI lu surface de cette enceinte, ni à cellede A; et ces su ppositions ayant lien pour tous les points 0 de la sur­face de A, et pour toutes les directions de la droite 00', ce corpssera compris dans une autre enccinte , fermée de toutes parls, et ayantpartout une même température, comme la première enceinte, Si l'ondésigne par u: cette température, qui sera la valeur commune derl, u", u", etc., et qu'on fasse

(L'(I-CP')+et"(r-ct') (r-<p")+::l.III(r-et') (l-,l') (l-tp'")+ etc.·=",

la formule (7) deviendra simplement

"",,.' cos 0 cos 6' [( ) (F FY) CF' FY)]l'!. = ---.-- I-<{! ll-" - l' a - '" .!j,.N

Par une il~iégration semblable à celle du nO 24, on en déduira immé­diatement

r = n (Fu- F~) - n' (Fu' - Fn,

DE LA CHALEUR..

en f,ùsanl pU ur ahréger,

.: ft"" li. {l -'~ qJ) cos asin 9d9 = il,2 a

-:-- j--;.r.f"" ')t cos 8sin aded{=n';Jf~" ... 9- o

rct,i l'on a (;gard à l'expression de la fonction F, trouvée dans le na 26J

et qil'on [asse aU5S-l

77gJi en résultera.

Le Ilnx de chaleur- i, la surface de A dépendra donc en général,non-seulement de b température vr.riablc li' de l'enceinte intérieure ,unis de la température constante i; de l'enceinte extérieure qui pOUlTa;:·tre aussi éloignée qu'on voudra de la première. Son expression ieu­

'erme, comme on voit, deux codIici('Hs ), et 'A' qui devront êtredéterminés par l'expérience. Le premier est 13 mesure du pouvoir

raJon nan t de la surface de A au point 0 (nO 26); le second dépenden outre de J'etat de la surface de l'enceinte intérieure, à raison desfractions '1.1, c!''', a!", etc., qui sont contenues génémlel11ent dans luquantité /' POUl' qu'elles en disparaissent, il faut que toutes les in­connues cr!', I[J", q/", etc . , soient égales; auquel cas ;' se réduit al'UJJl: des quantités égales r - cp', t - fi". r - !(JfII, etc., multipliéepar une série infinie dont la somme est l'unité. L'égalité de ces in­conu uns , relatives à une température variable de l'enceinte, exigequ'clics soient independantes des angles d'incidence, ct qu'elles nedépendent pas non plus de la matière des corps dont l'enceinte estformée, à moins qu'ils ne soient tous de la même matière. En sup­posant que ces conditions soient remplies, ce que l'expérience seule[)OU1Tait nous apprcudre , el. en outre , que la valeur COmmune dert", 'Pli, !!Jill, ctc., est celle de :p qui a lieu pour le corps A, nousaurons

} = 1 - !p, ni = n, JI' = À,

et la formule précédente se réduira il

7

50 Tl1i~ORlE MATHÉl'dATIQUE DE LA CHALEUR. 5r

Si l'on mène par le point 0 un plan tangent à la surface de A, l'in­tégl'ale contenue daus le premier terme de celte formule .dev~a. tou­iours s'étendre à tous les élémcns ds de la surface hémisphérique ,<;enninée à ce plan) ct II laquelle aboutissent les lignes 00" qui fontdes angles aigus e avec la normale extérieure ON. Ce prel:lier terme

exprimel'a Îa valeur de T qui aurait lieu ~i le corps ~ était ,conv,exeau point 0, et qu'aucun autre co1']~s ne fut renfe~'ille dans l ~n_cemteavec A, Eu ayant égard à l'expression de la fonction F, et désignant

résullat seillhbhLê :, la formule (lui répond au cas d'unetempé-

rature illvariaLlt: rlc l-"cnccintc.

(') ,': .le sunl)os~ ,'c[udlemclIl que les ternpératurcs communes il" 'fi' 1- - l' 'lOliS les poiurs ri" Ch:1fjllO corFs re cc ussrm}, varrcrrt (un corps a

uu a utre ct "-,'ec le 'c'mps. Les réflexions successives auront lieuil leurs su,r'aces, li celle ,le i'enccintc dont la température est è;, et

, '.' lh la surface dn corps A dont la tenlperatlil"e u sera aUSSI supposee a

môme en tuus U:.S pûirJlï?,~

Cd:!. él;,nt, dn point 0 comme centre et d'un l'ayon pris pourunité , je ;h~cri~ une surface ;;pi-Jériqllc, ct je drsÎg~e p~n' ds son é.lé­ment diCfél'crllïci perpr-:nciiculait'c à ta ligue 00' qUI va (le cc pomt(). d'où part hl ligne des réflexions successives, au point 0' où a

, CitJ' cos ~'lieu la prennere réflexion; je mets dO' à la place du facteur --h-'- de

J '''CI'n1l1le ' 'l'lnti'J'rc ensuite celte formule pal' rapport il ds pomr o. JI} . Il.. n

avoir la vaJenr de f,,:; ct en supprimant le Iacte nr GY, il en résulte

r = ;,

(l'II - F() fa (! - cp) cos Bds

(Fu! - Fn f cUt' (, - cp') cos Bds

rurm ,

f- f"'" (1 - q,') cos ~ds = 0)"','+71" '

-f- l ,~,," (1 - '1.') (1 ~ cp"; ms 6ds= mi',1170'"

f fOl/.J..'1I CI - :;.!) (1 -- a.") (1 --. qP) cos Ods'j'if"

etc,

Tlaus chaque cas, on Iixcru les li mites des iutégl'ales contenuesdans les cocfllcicus ;w', w", Wil" etc., d'après les formes et les posi­tions respectives de A ct des CO!'PS réfléchissans renfermés duus l'in­tél'iCUl' de l'c uccin te. Muis les valeu rs même de ces coeûicicns, à raisondes quantités inconnues dout elles dépenrlcnt , ne pourront être dé­terminées que par l'expérience. EUes varieront, en général, avec laposition clu point 0 à la surface de A. Lorsqu'on aura formé l'expres­sion de r relative il u n point 0 quelconque, on ln mul tiplieru pardt et par l'élément différentiel de cette surface : l'intégrale du pro­duit étendue il celte surface entière exprimera la diminution totale dechaleur de A penclantl'instantdt. Tous les coctriciens 'W', w", 0)"fIJ, etc.,étant positifs, on voit qne la vitesse du refroidissement de A seraaugmentée ou diminuée par l'influence de chacun des corps réflé­chissans , selon qm la température de celui-ci sera plus petite ouplus grancie que œlle de l'enceinte; et pour comparer entre clicslm; influences de J'émission directe et des réflexions successives dechalenr , il su llua généralement de considérer les limites des in té­gr;Jles d'où dépendent les valeurs de '1'1/, q;;-", ifiJ'1I1, etc., ainsi qu'onle verra pal' les exemples suivans , dans chacun desquels noussupposel'Ons, pOLlI' ne pas compliquer la question, qu'il n'y ait qu'unseul des points qu'on a désignés par 0 ', QII, 0 ''', etc., qui n'appartiennepas à la surface de l'enceinte, cc qui réduira chacune des formules(8) ct Ci) il deux termes seulement.

toujollrs par j, la mesure du pou\'oi~ rayonnant de A au point 0, ce

uremie!' terme sera donc ;., (,u"-V';)' En mème tems , lav:IJeur CJ.]­

;;è'rc de r devicnd ra, 1 /' ~ f.I?) a'jl}'~ (

r=;,{;.~"-!.!p)-7i/(!L"-f'~.I-(ri/rI.U:' -!J'" -w{f{(/h - f"")-elc. ,9)

en Ù!lSJrJt, pour ahrégcr,

(8)

4,,­1

'Ir., (Fd' - :F~) j'a,,,," II - (L') (1 - (jl") cos Bds

4""(l'II/II -FÇ) f aa /If (r-a/) (l-a/') (,--cpl/{) cos Ods

4r.etc.

f_

7--

52 THÉORlE l\IATJ1ÉJ'lIATIQLEC12). Si A est concave au point 0, le premier point 0 1 :lpprlltlen­

dl':; 1 suivant CCl laines directions ue la ligne 00', il la sm-lace de ce':orps, On aura u ' = 1/ 1311 ce point 0'; et tous Ies autres points 0",0"', l'te., appartenant pal' hypothèse à la surface de l'enceinte, laforruulc (8) se réduira à se, deux premiers termes, savoir ,

T =!/" (Fu-Fi;') IJa(I-l') cos 9ds -.faa'( I - cp') cos 8ds}

La pl'emièl'C intégrale s'étendra toujours à toute la surface hémi­sph2fique} terminée au plan tangent en 0, et comprenant la normale"x:[I":TÎcure ON; et la seconde} il la partie de cette surface comprise('[ÛTC ce plan tangent et le cône t;mgen t à la surface de A, qui il son',Cim,net au point O. En admettant que la quantité q;' soitindépen­d,~nLE: de l'angle ù'incidence et de la matière de A. nu seulement det:?ngle d'incidence, et supposant alors que A est un corps homogène,on aura ~/ = q>. Si l'on a de plus a' = 1) les deux intégrales se ré­<1niront h une seule, laquelle s'étendra il la portion de su rface hé­misphil'ic{üe, comprise dans I'intérictn- du cone que l'on vient d'iu,(1ic[w.!l', ,_:1) sorte qu'en ayant égard à l'expression de la fonction F,ei faisait

+- [a. (1 - C!J) cos Bds = 'ÛJ,4';7; ,

nous aurons simplement

Si A était convexe au point 0, ii faudrait étendre j usqu'au plantangent en 0, c'est-à-dire à la surface hémisphérique entière, l'inté­grale contenue dam la quantité 0J qui. coïnciderait alors avec le coef­ficient ;., ùe la formule (G). Le flux de chaleur que nous considéronsne di[J'ère dOE!: de celui qui aurait lieu dans le cas de la convexitérle 11, que pal' le coefficient qjf qui remplace 11; et comme ces deuxcoefficieus dépendent d'une même intégrale, prise entre des limitesdifférentes , q ui sont moins étendues pour riJJ que pour x , il s'ensuitqu'on a IW' < J\ , et que l'effet de la concavité ùe A est de l'alentir,toutes choses d'ailleurs égales, la vitesse de son refroidissement.

Pour second exemple, supposons qu'il y ait avec A un autre COll)S

DE LA CHALEUR.

A' contenu dans l'enceinte fermée, qUl' le premier point 0' appar-­tienne h la surface de A', et que tous les autres points 0", 01/1, etc"Salent situés il la surface de J'enceinte. La formule (g) se réduira à

cellc-ci :

dans laquelle on aura

111f' = ~~Ietrt.: (1 - '11 ') COS Bds.tl?r

l'our fixer les limites de cette dernière intégrale, je mène pal' le pointo un plan tangent et une normale extérieure ON il la surface de A;.le conçois un cime ayant son sommet cn 0 ct circonscrit à la surfacede A'; ,"1:.ie désigne par s' la portion de la surface hémisphérique J

comprise dans l'intérieur du cône, et située du même cûl": du plantangent que la uormulo ON. C'est à cette portion S' de snrface, dontle centre est en 0 el le l"ayon égal à l'unité, que l'on devra étendreJ'inlégrale contenue dans la valeur de 'ÜJ', Si les dimensions de A'sont très petites pal' l'apport il. sa distance de A} la surface sr sera aussit res petite; ce qui rendra également très petite la valeur de q;y', et 'par suite, l'influence directe de A' sur la température de A, à main:que l" températur-e u' de A' ne soit extrêmement différente de ;;:. Maisquoique A' soit un corps d'un très petit volume, son influence sur lel'di'oic!issement de A, pur la réflexiOl de la chaleur à la surface del'enceinte} sera quelquefois très conside rsble.

Eu efret, prenons pOUl' troisième exemple le cas où c'est le secondpoint ~" ~n~ se trou~e il l,a surface d'un corps Ali, compris avec Adans l'intérieur de 1encciuto , et ail tous les antres points 0/0'/1, ,etc:, appart~cnnent à la surface de l'enceinte. La formule (g)se réduira alors a celle-ci :

T - i\(Fu - Fs) - qjf"(Fu" - FU,où l'on aura

IW"/ = l; f aa"( 1- ai) (1 - <il") cos Sds,

Pour fixer 1 l' it d des irrn es e cette ernière intégrale, je mène par le

point 0 u ne normale extérieure O:"i cl un plan t;''.llgent il la surfacecie A; J" détermine, dalle; chaque exemple 1 la portion S de la sur­face d~ l'enceinte où se trouvent tous les poin\" 0' qui l'emplissent,avec un autre point 0'1 rlc cette n.èmc su rlace , lu condition relativeil l'expression de r que je considère, cela l'aIl, je circonscris i, Suncùnc qui :1Ït SOlI sommet ,lU poin t 0, cl j'''ppclk s'" la purtion de lasurface hén]isp!J(~riqt.1e C0111prisc rlans ~\jj:(fricui' de ce cùne et si­

tuée du môme côté que la no rrnal« OS pin' rappor: an plau tau­gent. L'illlégr;'lll.' contenue dans 07'" devra S\:ié!Ulhe il tous les élé­mens lis de s'", Maintcnant, :,j A cl Arli sont dr~llX très petits corps,placés 'IUX foyers Il ot F: ( jig, 7) de deux miroirs colljllbl/{(~ N! et NI',dont les surfaces sont ccnsées faire partie de celle de J.... nceiute , S serala surl'acc de "1, ct s" aura pour v..lcur cette lllème.: sUI'E,œ diviséepal" le carré d u rayon de cc miroir, ou du double dll sa di."I.1.nce fo­ude. Elle sera clone iaùép<:llclallie de la cli;;tanœ de A'" à A; pareOnSer[ll"'J!, le coeJlicil~llt 'fi/Ii ct l'iuilncnce de A"I sur la tempéra­

ture <1" A, n'en tiépell ll ro llt pas Il!J1] plus. Eu. comparant la valeurde s'" à cdl~ de s' qu.i avait lieu dans le sccoud exemple de ce l1U­

mcro , on voit (flle, m~lgl'ü les deux réflexion, qlle la chaleur subitSUI· la surface de I'cncciutc , et qui donnent Iieu aux (acteurs i- a' et1-'/', p"l'1eslluds la valcui- cl" 'I:iJ"1I e.,t affaiblie, celle influence cIe ,V"sur le rcfroi disscrncut dlê A, est génél'alemcnt heu ucou p plus grandeque celle qui ost (~X'-'l'C(i(~ directement p:Il' œ mèm e ÇOl'p~ A IfI

, Ce corpsétant douné , son influence pal' réflexion atteindra son ma.xinuan 101's­

'[LIe les miroirs J\I et MI n'auront qU'lIli pOll~'oil' ubsorbunt nul ou in­sensiblc , ct qu'on nu 1';\ , en couséquence , a' = 0 et ,.,." = o. Onsupposera aussi c~II' = l, ::din de n'uvoir pas;', considérer dan., lavaleur complète de I', une série infinie de réfi'èxions, semblable il cenedu second exemple du n° 2'0' C'est de celle manière (Jlll3 l'on ex­plique en l'hy,;iqne, d'après J'Il. Pierro Prévost, la réflexion appa­l'cnte du froid. Si la tempéruturc de A est égale il celle de l'en•.ceinte, et qu'on ait Ill" < .(, ce corps est en effet refroidi par J'ac­tion de Alli transmise pal' i-éflexiou ; il est au cont.raire échauffé quandon a tc = ( et u!" > ,.

(5~). Da,ns t~u,t ce qui pl'éc~cle, le corps A. a été placé dans uneenceinte vide cl:>1\'; Ou va maintenant supposer cette enceinte l'em~

54 TIlEORIE i\IATH1~!VL\TIQUE

point 0, comme préccdenHlleni, un plan bilgent et une normale exté­rieure 01.'1/ il la surface de .\ ; (l'après la position dn point 0, la figure{le l'enceinte, la Conne «t la pO.':ii [ion Je A", je déter-nlÎne 1 ùans chaqueexemple, une portion S (18 la snrf.x:c de l'enceinte qui comprennetous les painf.< 0' pour lesquels la condition du cas que nous cousidé­rons est rernplic : ct jc conçois un cône circonscrit il S et ayant sonsommet au pOilil 0, En appelant s" la portion de surface hémis­phérique, cornprisc dans l'intérieur de ce cône et située du côté

du plan tangent où sc trouve la normale ON, l'intégrale contenuedans 07" devra s'etendre ;,. tous les élémens ds de s'Jo Or, si la surfacede l'enceinte csr , par cxernple , celle d'un ellipsoïde de révolution, etque /, et A' soient deux corps d'un très pelit volume, placés ~ sesdel'}; foyers, S sera alors la SUl' race entière de l'enceinte; par consé­quent, /1 sera aussi la surfaco Iicrnisplicriquc cntièrc , ce qui rendrat~'ès grande l'influence de },U sur la température de A. En supposant<t l = o dans tonte l'étendue de la surface de l'enceinte, ct, au COll­

traire, (.tu = 1 en tons les points de la surface de .Ar;; en admettantaussi que I'iucouuue rp" soir: illiiépelH1:lnte de l'angle d'incidenC8, eteg;j18 h ~, il en résllltera rfiJ"/ ;:.::=: ?i. 7 et conséquemment

r = 1"(l'a - Fu");

Hl wrte que le flux dc chaleur à la surface de A et son refroidis­S~ément scrout les mêmes, dans ces hypothèses pnrticulières , que sil'enceinte ava it clans toute son (~icndue la température d'llu très petitcorp, /c", et un degré /fuckouqu!! de réflexihilité.

POUl' dernier excmplo , je suppose que le troisième point 011/ soitsitua à la surface d'un corps Alli compris dans l'enceinte avec A,et que tous les autres points 0', 0", 0", etc" sont situés à la sur­face de J'enceinte. Je réduis, en conséqucncev Ia formule (9) R

T = /.(Fll - FÇ) - rc;/"(f'u'1I - FÇ'),

Îe cocllicient eo'" ayant pOUl' valeur

ao'" = ?'- f eJ.,a rrJ( 1 - a') (1 - url) (l - cp"") cos 9ds.

LI?> '

POUl' fixer les limites de cette intégrale, je mène toujours par le

DE LA CHALEUR. .55

Tllf:Or.IE lVlATllÉMATiQUE

DI = 'l'F~':

8

q'r'Ff - Z'p/q'p'.Z'~Ldr'

J o représente actuellement par

DE LA CHALEUR.. 57et au moycn de cette valeur jointe à celles de m'et h', la quantité dechaleur précédente deviendra

".. ,eo'\cosB, "Ft:' -'dt--4"h' IJ f c,' ~ .

la quantité de chaleur, émise ou réfléchie, qui part de C<J, pendant l'ins­tant dt, et qui viendrait tomber tout entière sur GJ 1 s'il n'y avaitpas d'air interposé entre ces deux élérnc1Js; quantité dans laquellele facteur Z' serait égal, dans le vide, il la fonction Fi; de la tem­pérature i; de l'enceinte, d'après ce qu'ou a vu précéc'emment. Jesuppose que cette quantité de chaleur soit augmentée, à la distancer' de ùJ" dans le rapport de p' 0. l'unité; en négligeant le carré de n',elle sera augmentée, à la distance r' + n', dam le l'apport de

1 J {q/ (' l' . J r t l" . . . Jfi T'li7 n a umte; par consequen, accroissement positif ou ne-

gatif qu'elle éprouvera en traversant ml, aura pour valeur

Or, cet accroissement résulte de la chaleur envoyée pal' m' à C<J pendantl'instant dt, dont on vien l de former l'expression, et ùont il Ïaudra retran­cher la portion de chaleur ahsorbée 'parcetta même partie matérielle m';d'ailleurs, cette portion de chaleur est égale à la chaleur incidentesur m', multipliée par l'épaisseur n', la densité r' et le pouvoir absor­bant q' (n' JO), c'est-a-dire au produit

, l r: .@Ul~cosacos61 ren suppnmant es tacteurs --~~-- et 11 dt communs aux4"h" ,trois quantités que l'on considère, on aura donc

M'O =.h - r l•lWO, = r ,

Soit M un point quelconque Je la droite 00" situé à une distance r'

de 0" dE' sorte qu'on ait

00, = h , O,ON = 8, OO,N, = a"

(h - /)'li' = \-}-,- 0), cos e,.

Soient, de plus, ~' la température de m'au hout du temps t., et q' lamesure de son pouvoir absorbant. D'après l'équation (3) du n" !:5,nous aurons

plic ll'air ou d'un gaz quelconque j et il ,'agira de détermine l' , enayant égard à J'nhsorptiol1 et ;\ l'émission de chaleur dues à ce fluide,la valeur de la quantité L; du n' 22,

POUl' cela , considérons de nouveau le cône dont le sommet est unpoint de A très voisin du point 0 de sa surface , ou, si l'on veut, cepomt 0 lui-même (n° 20), et qui est circonscrit à l'dément (,), de 13surface de l'enceinte, correspondant au point 0,. Menons par cespoints 0 et 0, les normales ON et O,N, (fig. 8) aux deux surfaces, el

faisons touj ours

Appelons m! une portion d'air de grandeur insensible et correspon­dante au point 1"1', ct désignons par fIlm'dt la quantité de cha­leur émisc en tous sens par m' pendant l'instant dt; on auni

.JLOs8"rI'm'dt(nO 9) pour la partie de cette chaleur qui attein­4-?T (h -- t: ;~

drait claus le vide l'élément cv de la surface (le A correspondant ail

point O.- Cela pose , je prends pour m' la tranche très mince du cône dontil s'agit, pel1Jcndiculaire en M' à la droite 00,. En appelant bl sa base,'l' SOl! épaisseur, et r' la densité de l'air au point M', on aura

m' = rib'·~'.

:,i l'on (~ompare cette section b' du d'me il. la section parallèle, faitep:ar le point 0" et qui est égale à w, cos 8.. on aura aussi

a,F( + k"7:' (J -- :1,) ,tt,Y( + k'"ZI/I: J - et,) ,<Z3F( + k"Z"(1 -01.3) ,

k'Z! !Z'Z' + h'g':F( , )A,'JZ" hl/Z" + h"f/!Fsj ( (II lkWZ""

~ Tt'"Z'" -/- Ttlilg'"}"ç , ( . )

etc. ; \

Z'I

ete, ,

Z'

zm

i, laqucll c il faudra joindre la série précédente, savoir:

DELA CHALECR, 59

l ()Il r11;,SlguC' de rn&nle pour Z'", ce tlue devient l'inconnue zr n~Llti­

','eml'nt ;iU poinl 0 3 et ~, la direction 0 30., que l'on suppose l'incon­nu« zu; ;1I1gmcnUie par J'air dans un rapport de k'" à l'unité, ct que

l'i iJ1IlSi de suite.

Jr'un autre côte , on verra, par nn raisonnement scrnhlnhle à celui,1u Il' ',S, que la quantité 2 1 sc compose rD d'ulle partie <t,F( pl'ove­nallt (k J'émission il travers l'a(,ment ",)" ct d'une partie k"Z" (r-x,)pnl\'cnanl' rl,~ b réflexion sur cc mèrnc élément: ln.quantité zn se com­fHhel':i 'lUSS; de dcux parties ~LYI:'<ct klllZI/1 (I-a.), qui résulteront de ré.Illi"ion cl de la réflexion; ct Je même pour chacune des inconnue"'ltIyanl,,, Z'", Z", etc, On aura donc cette série infinie d'équations:

et ces deux systèmes d'équations serviront à déterminer les deuxsuites d'inconnues Z', Z", 'LIli, etc., le', kfl, klll , etc,

( '\5 \ Les quuntité.. [Zr g" III t cl " , ,~ J" 'L , ", , g , e c., que ees ermeres equatrons

l'tm1:~r,l1lellt , supposent COnnue la Icmpémture f, en tous les pointsde,l an' ou du. gaz contenu dans l'enceinte où le corps A est placé,Pres de la surfacs de A, cette température f sera modifiée pm' cellede ce corps el variera avec le temps; mais quand la surface de A

8.,

nfdlS ~ll.1rOl1S

en appeJaal h, la distance O. 0" faisant ensuite

e éuppo,mnt (lue q', p', f, se rapportent, dans ces intégrales, il unpoint quelcollCjue d.c ID. ligne 0.0" sl1ué à la distance r' de 0" Si

k"Z" = h'IZ" + h'lg"F~ ,

c

ou l'on Sl,'ppose que les. intéfrales in:liqnées C,OIl,J1:1encent avec r. c-tl'on rcpre~cllle par e la hase l'les loganilul1(~S .tJ~pel·l€rls.

Je désigl1c pnr l,:' ia valeur de 17' qui répond ail point 0, c'esr-u­11re, 2. 1" ~ h, En f:1-Îsant

k'Z' = Z'h' + h',s'FI;',

),j THEORm l\IATHÉ:\L\'rlQ1'F

J'intègre ceHt! équation, et je détermine b constante Hrbitraire, cu

sorte qu'on ait p' = 1 quan-l ri = 0; il en résulte

;::'4), Le facteur zr de la quantité de chaleur envoyée par 6), il W j

.se trouve donc :mgment.é dans le rapport de k' à l'unité, par l'air '0­ternosé entre ces deux éMmons. En désignant par Z' cc que dev icnt.ce[~e inconnue Z r elativernent au point 0, (Hg: 4) de la surface del'enceinte et il la direction 0,0" l'inconnue ZU sera aussi angmentée

paL' rai,' dans un J'appol'i de k" 3. l'unité, déterminé pal' une équn­non semhlahle ü la précédente; en sorte que l'on aura

Cc ,'.l'a cette valeur [le kiZ' qu'il faudra mettre il la place de kZ dansla fül'Ulult (4), apr(~s qllC ];1 va1.etu' de Z' .3.UI~a été déternlLnéc : hl et g'

'·,ont des nombres a:1Slr'uil's, dont le premier dependra de 1" dist;mce !I.d ,ie l.. nature du illlide dans lequcl Ic corps A est plongé, ci dontje .:;cconc1 depefillr~~, en ou tre , des ternpératures dn fluide et dl:' ren­

clJjJ1!e.

60 THÉOR.IE MATHÉMATIQUEa pen <J'étendue relativement a celle de l'enceinte, le fluide prend, apeu près dans toute Sa masse, la température invariuhle de l'en­ceinte, c:, l'on peut supposer, sans erreur sensible dans les intégra­tions d'où dépencient e'. g", gf!l, etc" que l'on a partout ~r=(.

Cela étant, on aura

il cause que les intégrales indiquées doivent s'évanouir avec ri, Enétcudaut succcssivcmcrrt l'intégrale fq' f'd/" jusqu'à l = h , = h,= h, ele., ct ayant égard aux valeurs de h', hO, h'", etc., on encOllCJUr3

l/g' = l -lt', 11"13" = J - h", h/flgllJ = 1 - Ïi'", etc.;

311 111O;C]] de quoi les équations (II) deviendront

le'Z' - (Z' 1'0 it' + Feki/Zr/ (Z'f fOlt" + FÇ,jiurZ'll - \ZIII FOhll/ + :Fe,etc,

01', on satisfait, quelles que soient les quantités li, h", h''', etc., auxéquations (10) et à ces dernières équations, en prenant l'unité pourchacune des inconnues k', k', kW, etc., ct faisant chacune des incon­nues Z', Z", Z.", etc. , ég8.le à F(; ce qui est la seule solution detoutes ces équations, puisqu'elles sont linéaires, en y regardant zr,Zn, Z", ctc., k'Z', k"Z', kll'Z"', etc., comme les inconnues.

Dans ce cas, la valeur de k'Z', qu'il faudra mettre à la place dekl dam la formule (4), sera donc F(, comme Jans le cas du "ide.Lors donc que le fluide, homogène ou hétérogène, dans lequel lecorps A est plongé, a pl'is la température invariable de l'enceinte, iln'influe plus sur la valeur de j'", ni SUl' celle du {lux de chaleur r", àtravers chaque élément de la surface de A; ce qui tient à ce quechaque pal't{e du fluide envoie alors à cet élément une quantité dechaleur mYOllnante, égale li. celle qu'elle intercepte, et qui serait en­voyée par l'enceinte a ce même élément. Il ne s'ensuit pas que lefluide n'ait ~ucune influence sur le refroidissement du corps A : il

DE LA CHALEUR.

enlève 011 cornmunique, comme on sait, directement par le contact,de la ck,lenr à ce corps; mais cet eflet ri'ctan t pas relatif a la cha­lem' r~l)On11ante, c'est dans un autre chupitreqn'i] C11 sera question.

!5(;): Voici , en terrninanl celui-ci, le résnl tat général de l'écbange,Jt: '--:halenr entre deux pal,lies ll1;llériellcs III et m', de grandeul' in­SCII,;ihle, appartenant )1 un môrnc corps ou il des COl'pS ûifféreLJs,ct pouvant avoir ]jeu dans le scconrl cas, après une ou plusieursrcfle.ions illtcJ'médiaires sur les surfaces (j'autt'cs corps.

Sllpp0.;ons que III rcpcnrlc an p oinr M du cOly, A, très voisin dupoint 0 dc Iasurfacc (fig. Ci. Soit ITmdtla quantité de chaleur émiseen t01" sens pal' 111 ]1C]](12111. l'instant dl. Désignons par ri' l'ouverturedun cono extrêmement aitjll, ayant son sommet au point M, etcornprcuan t la droite MO. Dans Il: C,1S du vide, lu portion de rImât

'llll -.c propagerait suiv..nt cc cône, serait cîundt, supposons qu'ellesoit dimillucc ]1"1' L,ly;orption clue il la matière Je A, en allant de\1 ;1 (J, lh", le l'apport de p i, lu nité , et ensuite pa r la réflexion in­I~l'il:nre, cbns le rappol't de ,,~ Ù l'unité, en traversant la surface ùeA au poill 10; Li portion ".p~Tlmdt de la chaleur én1ëlnél~ de ln, ,sepmpagera alors en clehol's de A, et formera un filet extrêmementmince dont j'indi(Juerai la directjon par la droite 00'. POUl' plus degénél'dité, je supposerai qUi: cette ligne ne soit pas le prolonge­ment de 1\10; ce qui au ra lieu ell'ectivl:ment si la clwleul' éprouveune réfraction analogue :\ œil" (le la Ium ière , en passant d'un mi­lieu (l'lUS un autre.

:--:oit 0' le point où la droite 00' rencontrera la suifac« d'un se­cond COI'PS ,\, ; faisons 00' = Tl, cl supposnn-, qu'en p8rcourallt cettedistance 11, la cktlellr soit clillljnu~e dans le rapport de H à l'tmitépar l'absorption dans l'ail', nô,signons par ct/ la fl'llction de la chaleurincide;l!e lIetp'7nl7ldt qui p.éll~tl'era,dans l'intérieul' de A'; le surplus(1-7. )lIap;rImdt sera refleclll, et formera encore un met très l1lin~e

dont je rcprésen tcrai la direction par la ligne 0'0", de sorte que lesdeux: droites 0'0 et 0'0" feront , avec la normale O'N'il ln surface deA', des angles OUN' et D"O'N' égaux et compris dans un mêmeplan.

Soient de même 0" le point où la droits 0'0" rencontre la sUl'face]' troisi? Ali l '1 d'(un roisiemc corps . , et 1 a istance 0'0"; supposons qu'en par-,

THEOlUE AIATHÈ~lATlQrE

, d' 0"'1\1'l,~ supposerai ;iussi que la chaleur, en pnrcourant la istauce I,

~~it diminuée dans le rapport de p' 1.1 l'unité, pal' l'absol'p~ion due il la~ iè1'0 de A'" En désilTnant par gl la mesure du POUVOJl' absorbant

ma 11 ." " ' " clde m', la chaleur ahsorhée pal' cette partIe mat,el':elle sc dedUll'3 .ela chaleur incidente sur sa hase s', en la multipliant par le pro?llltnJ r'rl (n" 10); si donc on la désigne par G, clic aura pour expressIOn,

d'après ce qui précède,

G = HIYH'/(l - Cl.') (r - ail) ClrlPpP'll'r/q'!Ynmdt,

,'riUr;lllt cette distance, la chaleur soi 1 diminuée dans le J'apport de H':t' l'unité par l'absorption dans l'air; appelons C1.." la fraction de lachaleur incidente sur la surface de Ali, qui pénétrera dans l'juté­vieur de ce corps; la portion de chaleur réfléchie au point 0" sera,. .."''lI'( ,_" '\1L!- .ycrTmrli cl. sa direction, uue j'indiquerai pal' la. 1 - ..-", j~,. ,-'" J~ J l ~ ..- - , .1

", , ". (',)"0'" cCI:a avcc il. normale O"N" à Ja surface dl: Ali, un am,jerJri}] tc , l' " ", ~ - - - M

,:~,iÎ i, 0'0",,", ct compris dans le même plan.,Soient encore 01/1 Je point où la droite 0"0'/1 rencontrera la surface

-inn quatrième corps A'fI, et h" la distance 0'0'''. Supposons que bdnkl;r soit diminuée dans le l'apport de II'' il l'unité, en parcourantdane 1'2!i' cette distance h'; la chaleur incidente au point 0'/' ùe la SUl'­

fa::;' de Art, savoir, I-I"(I-O./I}H'(J-al;Ua-jJO'Omdt, se divisera en deux", -ties 'dont l'une nénétrera dans l'intérieur de Am, ct l'autre serarkl1 L '-'~ ~ . " .... . •

f'efl,)c1Jic" Il ~era facile de voir ce que deviendra la seconde partIe,

:'iJ!(ô" un nombre quelconque \l':illtre~ réflexions s.ubséqueu;c.s; mai:,DejUT fixer les idées, je ne prolongera, pas plus [uiu cette sene de re­flexiolls, et je vais considérer la portion de chalou t' qui pénétrera

'-]~H1S l'intérieur de Ail!., 'L 1 "t' .ttt l 1" C1]"'C"1r "1-Je suppose que cette portIOn son ra trac 10IJ 'C. ce " ,L ,,' < il

';id"nte;' elle formera dans l'intérieur de Nil un filet très mince dontj'indiqnel'ai la direction par' la droite o"'NP , distincte du, prolonge~lent

':'11': O'JO"', s'il Y a réfraclion au point ~III. Soit s' la s~ctlOn, de cc blet,

perpendiculail'e à sa IOJlgn~~,r, e~ faI,te par le pomt 1\<1, "1,e ~1r~~:

d' ,. i ]10Ur m' la partie de IL" qm a s pour hase, et une 'l'es pet""<,,3" " Alli "IVI'épaissc;ur ~'; rie sorte qu'eu appelant p' la densité de au pomt ,

on aura712' = s',,' p'.

DE LA CHALEUR.

ou j'on voit cIail'('rnenll'ol,jgine de chacun des bcteurs, et l'effet au­

'fu,d il répond,, Cel!": porriou de chaleur, éruanée de ln et ::lbsorhéc pm' m', a suivih l'OU te indiquée par la ligne brisée MOOJO"O'I'lVI', en fOrJ1111Dt u nli!,;t dont la section normale varie d.ms toute sa longueur, mais qui esttoujour» cx tr émcment petite cl proportionnelle il louverture conique'l'le l'on a d,"signée par a. Réciproquemcnt, unc portion de chaleur1~1l1,,,,6c de tu' suivra la l'oule indiquée pal' M'OfIJO"O'OlVl, et ocra

!l1Jsol'hec par IJ/, j~Jle formera aussi un filet très mince dont la sec­

lio" norrna lc , vnricble d'un point li un autre , sera proportionnelle,ilull,< toute sa longueur, il une ouverture eonifpllè extrêmement petite'lllC je désignerai pal' (;l, ct qui ilppal'ticudl'a 1\ un cône ayant sonsommet en lel point M' que l'on voudra dr: Ill', Or, je désigne aussip,cl' \ hi section normale de ce filet correspondante au point M; jepf'l~fllIS l'om' lit la partie die A qui::l s pour hase, et une très petiteépais"cllr u , de sorte qu'on uit

III "nF,

en appelant F la densité de A au poi nt lV[: si l'on représente er.ontr« pal' '1 la mesure du pouvoir absorbant de III, pal' n'm'dt la'111:111tité de chaleur émise en tous sens pal' Ill' pendant linstant di,';1 par G' la pOr!i()1l de cette clraleur qui atteindra m. et scru absorbéepal' celte partie matérielle, nous aurons

GI = HI-I'IJ" (1 - c/) (1 - a,") Cla,"'pP'tlfCf ri TI 'mldt.

Dans ces valeurs de G et G', les neuf premiers facteurs sont lesml~ll1US, savoie: H, B', Ir', p, Ji, parce que I'ahsorption que la cha­lem' éprouve est égale, soit en allant d'un point il un autre', soit en;tUanl de ce second point au premier (n" 12); ct et (kw, parce que lachaleur cr>! aussi diminuée dans la même proportion, en traversantsous un angle donné une même surface, de dedans en dehors ou dedehors en dedans; 1 - (1,,' et 1 - a,", parce qu'ils répondent, dansces deux fo rmules , il des réflexions SUI' les mêmes surfaces et sous desangles d'incidencc qui sont égaux.

Les onvcrtu res coniques /) ct ri' étant arbitraires, pourvu qu'ellessoienll'une et l'autre extrêmement petites, on peut supposer qu'elles

l étant une ligne dont la longueur demeurera arbitraire. On auraalors

6,j THÉORIE '\'1ATm:JI.}ATIQUE

sont entre elles comme les sections normalas x' et s des deux filets dechaleur que nous venons de considérer, et faire, en conséquence,

Je substitue ces valeurs dans celles de G cl &' que je retranche ensuitel'une de Tuutre ; en désignant par J' l'excès positif ou négatif de Gsur G', il vient

t = ~ml!: RH/H" (l-et.') (l-a.") 2",!"pp'(q'fI-'1Q ')dt ;4"

DE LA CHALEUR, 65et clans le cas de lll=l!, on aura A=O, quelles que soientle"'" ,"- - .~ n]atlere~

de /TI et ml, ct les ahsorptions et réflexions il'termédial'I'es 0 1' . . n COnc ulùe lit que quand les températures seront primitivement égal, . ,. es, ouqu elles le deviendront apres un certain temps, entre tous les .l ' , " l ' pOmts

[ un systeme ne corps, de lorme et de nature quelconques rd]" " • »Ô: •• , , ' sa l es,iquides ou gazeux, cet equilitnc de lemperatltre subsistera indéfi-

nin?ent cnl re les parties de ce système, prises deux à deux et aussipetites que l'on voudra , pourVll qu'elles contiennent toujours corn

1 cl ' meln cf ln, es nombres extrêmement grands de molécules.

Les formules générales que l'on a réunies dans ce numéro met­tent en é"iden~~ t~u~cs lcs, hypotrl~ses (fue nous avons faîtes précé­demment sur 1enussion , 1absorption et la réflexion de la chaleur.E,lles renferment l'cxpressi~n anal.:rtique de ces hypothèses, et mon­t! eut comment ces suppositions satisfont , de la manière la plus géné­rale, il la condition de l'équilibre dc tcmpél'ature. Les lois de la cha­leur rayonnante exposées dans ce chapitre en SOlIt le cl' 1. ~ eve oppcrneutct J.~s consequences.

m

4r.P·

, S

Cl = 4..[';

œ qui exprimcra , pendant l'instant dl, la diminution de chaleur deIll, ou l'augmentation de chaleur de m', provenant de l'échange entreces deux parties matérielles.

Si ces parties appartiennent au. même corps A, on supprimera clanscette formule, les facteurs H, H', If', ceux qui dépendent des fractionset, et', et' l , a,1II, et le facteur p'; et si l'on suppose la ligue l égale àla distance r ou J'lEVI' qui sépare ces deux parties, celte formule coïn­cidera, comme cela doit être dans cette hypothcse , avec la formule (2)du n? 13. Elle s'appliquera aussi sans difficulté à l'échange de chaleurentre une partie ln de A et une partie m' de l'air envirormant , aussibien qu'entre deux parties III et m' de cc fluide.

En adrncttant , comme dans le n' 15, que les POUVOiI'S émissifsde deux matières différentes soient entre eux comme leurs pouvoirsabsorbans, on aura

il = qFu, n' = q'Fu';

u: et ur étant les températures de nt et m'au bout du temps t, et Fdésignant une fonction indépendante de la nature des corps auxquelsces parties matérielles appartiennent; la formule précédente deviendraalors

1 = ;'lf~: BR'H'I (1 _et') (1-01..") tl.rL"'pp'qq' (Fu-Ful)dt;

9

Luis du rel oidisseJncnt des rorps qui ont la meme température en (nu.'leurs points.

. Les lois du refroidissement ou de l'échauffement d'un corpsdépçnr1811t, en génér;,] , d'unc équation aux difterem:es partielles,eoml1'une à lous ses point~, et d'une équation relative ~l sa surfaco ,

que nous donnerons clans la suite, mais qu'on ne parvient il résoudresimultcn.émcut que dans des cas très peu nombreux. La questiondevient heaucoup plus simple, et ne conduit plus qu'à des équationsdifférentielles du p"enlier ordre, en nombre égal à celui des corpssoumis ù leur influence mutuelle, lorsque la température de dw­cu n d'eux est la même en tous ses poinls et seulement variahleavec le temps. C'est de Ce cas le plus simple que nous allons d'abordnous occuper.

Pour ({u'il ait lieu, il faut que le corps A, qui se refroidit ou5' échauffe, ait de petites d.irnensions, Les températures initiales deGCS différens points seront égales on inégales; la chaleur sera d'aborddistribuée arbitrairement dans toute sa masse; mais après un tempspeu considérable; le., ternpéi-atures de lous ses peints seront deve­nues égale:;, excepté près de la surface, dans l'épaisseur de la couched'où émane la chaleur rayonnante, ct où la température varie tou­jours très rapidement suivant chaque normale (11" 18). Toutefois>quelque peu étendu que soit le cmps il. , l'ég:tlifé de températureen tous ses points exige qu'il n'y ai t pas de causes qui en tretien-.ncut certaines parties de ce corps, ses extrémités par exemple, ildes températures données: dans ce chapitre, nous supposerons doncque A ne soit pas soumis il l'action constante de semblables causes.

Ce corps A pourra être un solide, homogène ou hétérogène, d'unpetit volume; il pourra aussi consister en un fluide contenu dans

GG TIlÉOPtlE MATHE\lATlQUE

CHAI) 1T REl 1 r.

DE LA CHALEUIL 67

une enveloppe très mince; ct, dans ce dernier cas, l'égalité detel1lpé"é1IUrC s'élahlira plus promptem~nt ou dans ~ne plus gr:u:dc~lcndl1c, h raison des rnouvemens qm seron l l'l'odmts dans le flmde

'. ' l-. llifré'f'nec des températures et des densités initiales, et qui lalM] ". '.'

fi,Tont hi~ntùt dispal'aJtr2, en mêlant les parties inégalement échaul~

tees. Un thcrmomètrc , ou du moins la houle de cet iustrument , quiVil lorme la partie principale, est un corps de cette espèce, que l'onsuppose ég:JJemcnt échauffé à dWCfne instant dans toute son étendue,

(:;<'», AII lJOut du temps quelconque t, désignons par u la tempé­rature i Il !éricllrr, de A, au-tlclà de sa couche superficielle d'ou émanela chaleur rayonnante, et après les premiers momens de son refroi­disscmc» t; pal' hypothèse, li sera simplement une fonction de t,

qu'il s'a cri ra de détermine!'. La »itesse du refroidissement de A à cette(:poque sera la diminution de S~, température pendant l'instant dt, di­

visée par rit; en la dé;ignan l par V, on aura donc

V da.- dl'

et selon que cette quantité V sera positivc ou négative, il Yaura, eneîlet, refroidissement ou échauffement de A, Dans la pratique , onprendra pour V la diminution de température pendant un temps trèscourt, donnée pal' l'observation ct divisée par cet intervalle delemps,

Soient li le volume de A et c sa chaleur spécifique, s'il est homo­gene, ou la moyelllle des chaleurs spécifiques de ses différentes par­ties, s'il est hétérogène. La diminution de sa quantitri de chaleur pen­dant l'instant dt sera - acdu (n' 5) ou acVdt, en supposant que lesdimensions de ce corps, quoique très petites, s011t néanmoins fortgrandes en égard à l'épaisseur de sa couche superficielle ou la tom­pératlll'e n'est pas la même que dans sou i ntér-ieur, el négligeant,ell conséqucncc , la variation de la quantité de chaleur qui appar­tîent à celle petite portion dv A.

D'un autre c6té, cette diminulion de chaleur acV dt proviendradu flux de chaleur [wh (n' J 7), qui aura lieu à travers chaque élé­ment ta de la surface de A pendant l'instant dt, et de la chaleur en­levée directement à ce corps, pendant ce même instant, par l'air en

9"

ce qui fait voir que, toutes chosesd'ailleurs égales, la vitesse du re­froidissement du COi-PS A que nous considérons est en raison directe

contact avec tou le sa surface. En ajoutant celte dernière quantitéde chaleur à la somme des valeurs de r(,xTt. relatives à tous lesélémens (;l, on aura donc une quantité équivalente à acVeh; cequi servira à déterminer la valeur {Je Y, et fournira l'équation dif...fén:ntieJie d'où dépendra la valeur de u,

Or, quelque petit que soit A, si ce corps est soumis à l'influenced'un on de plusieurs autres corps dont la température varie avec letemps, le c~eŒcient I' ne sera pas le même en tous les points de sasurface, et son expression sr-ra différente selon les cl Îfférens cas quipourront se présenter. Je supposerai, eu premier lieu, que A soitcontenu seul dans une enceinte fermée de toutes parts, dont la tem­pérature est invariable et partout la même; en ln désignant par (,par fJ- le nombre constant 1,0077, et par À le pouvoir rayonnantqui répond à l'élément w, on aura alors (no 26)

Si l'état de la surface de A n'est pas le même dans toute sou étendue,l'c variera d'un point à un autre; mais on pourra toujours le l'egardercomme constant, en prenant pour ce coefficient la moyenne des va­leurs du pouvoir rayonnant en tous les points de cette surface; et decette manière, si l'ou appelle b la sur [ace cntière , la partie de acVdtqui provient du flux de chaleur dans toute son étendue,. sera brdt.

Quant à l'autre partie de la valeur de acVdt, l'observation montreque la chaleur enlevée à un cm'ps par Je contact de l'air est indépen­danle de la matière de cc corps et de l'état de sa surface, de sortequ'en désignant par T, un coefficient qui ne dépend ni de cet état, nide cette matière , la q uantjté de chaleur enlevée à A pendant l'instantdt, par l'air en contact avec sa surface entière, pouna être représentéepar br Idl. La perte totale de la chaleur de A pendant cet instant seradonc b(r+f,)dt; et en l'égalant il son autre expression acVdt, il en

résultera

r, = <w(u - ~);

'!U étant un coefficient positif qui pourra encore dépendre des tem­pératures tc et )"

Le corps A étant placé dans nne enceinte fermée ou exposé il I'airlibre, je suppose qu'il se trouve dans un courant d'air ou d'un gal':quelconque, dont la température et la vitesse sont COnstantes. Lacouche d'air en contact avec A se r'enou volant sans cesse, on prendrapour 'ri la température donnée du fluide en mouvement; et, pOUl' ua

DE LA CHALEuR,

de l'étendue cle sa surface et en 'raison inverse du produit de son vo­lume ct de sa chaleur spécifique.

Ce résultat est conforme il l'expérience; mais pOUl' qu'i] a it réel­lement licn , il faut que le COTpS A soit convexe en tous ses points;c.n: si sa surface présentait une On plusieurs concavités, let valeur der ne serait pas la même ,.lans toute son étendue ; et d'après la remarquedu n' 32, les vitesses du refroidissement de deux corps de mèrue vo­l urne ct de même matière, ne sont pas entre elles comme leurs sm'­faces, quanc1l'ull d'eux a une partie concave. Il faut aussi qu'aucuneportion de la chaleur émanée de A ne soit réfléchie vers ce corps parl'enceinte; saus quoi la valeur de r ne serait pas non plus la mêmepou:' tous les éJémens de la surface.

(59)' Avant d'aller plus loin, il est nécessaire de se forrner uneidée précise de la chaleur enlevée à un corps par le contact immé­diat de l'air, et distincte de celle qu'il ped en mème temps pal' lerayonnement.

Cette perte de chaleur pm' le contact résulte de l'écbange entre lesmolecules rln COTpS comprises daus la rnême couche superficielle d'oùémane la chaleur rayomwnte, et les molécules d'ai,' appartenant 3.une couche de ce fluide dont l'épaisseur est aussi très petite. Elle estnulle quand la température du COi'pS est égale à celle de l'air; dIe sechange en une augmentation de chaleur, lorsque la seconde tempé..rature sUl'passe la première; ct généralement si l'on appelle ~ h tem­pérature de J'air, la diminution de chaleur positive ou négative ducorps A pendant l'instant dt, due au contact de l'ail' dans toute l'é­tendue b de la surface , que 1'011 a désignée par br,dt> devra Ê'f('("

représentée pal' brli]' (u - ~)dt; de sorte que l'on uurn

THÉOIUE .MATHÉMATIQUE68

)!:Ilie, odon (lue le COI'PS A, d'un petit volume, est placé dans unvaixscau clos, comme dans les expériences de ]\BL Dulong et Petit,011 (JI/il est exposé il l'ail' librc, ou, du moins, suspendu (hus ungril ',cl :ipp:l\'lc!11cnt.

};:,tlS le premier cas, la température de la masse d'ail' est inconnue;dIe n'l'st sans doute pas partout la mèmc ; et ~ chaque instant elledoit dépendre de la température du vaisseau où elle est renfermée,llW' l'on peut rendre iuvariahlo , ct de la température variahlede A. ll en résulte qu'en définitive le coefficient T, doit aussi dé­pendre de ces deux températures, clont il est une fonction qui Ile

peu t ètre déterminée quu par' l'observation, Sur cc point , je ren­verrai au mémoire de MM. Dulong et l'elit, où sout consignés lesrésul tnts de leurs nombreuses expériences sur le pOUYOlr refroidis­sant de c1dfércns gaz, pris h différentes températures et sous dj({ë­rentes pressions,

Si, au con tl·"i]'[~, i\ est placé dans un gl'and appal'lcmen t outout.;l-Cait exposé h J'air libre, on peut admettre que la couched'ail' en contact h chaque instant avec ln sUl,face de ce corps, aune température propre et donnée dans cha(jue exemple; ce qui re­vient il dire qu'u ne couclte d'air J après avoir enlevé on corl1l1nmiqué;\ ,\ une pcti te quantité de chaleur, et s't~h'e détachée de sa surface

1. ,

est remp acce par une autre couche dont 1:1 température est celle quela prern icre avait d'ahord : que cette deuxième couche est de mêmel'cmplacéc par une troisième, celle-ci p~r une quatrième, et ainside sui le. Ces conches successives vent perdre ou reprendre dans lamasse d'ai r cnvironuunte la chaleur qu'elles ont crJlevée ou perdue,salis que le fluide soit sensiblement (:challt1ë ou refroidi pal' cettecause, n011 pl us que pal' l'absorption d'une petite partie de la cha­leur rayonnant'" émanée de A; ce qui fait rentrer le cas que l'on exa­mine actucllemcnt dans celui. d'un courant d'air d'nue températ. 'cl l' ureuonuee , ont on a par c tout il l'heur-e.

l'our un corps il exposé 11 l'air libre ou suspendu dans un gmndl, , ~ ,

apparterncnt , 8Xpel'Ience n a pas encore fait connaître, en fonctionlIe sa tumpérntu re et de celle de l'air, la loi de la perte de chaleur'lUG Ct) corps éprouve par le co~ltact immédiat de I'air ; généralement,on Suppose cette perte proporhonnelle il l'excès de la température <le A

;'-' THÉORlE MA'rH:f:~u,TIQUE

",(,rne gaz, le coefficient Ilir SEra proportionnel ~ S<J. densité, ct croî­[ra , cu outre, avec la vitesse ,-lu courant. A la vérité, l'ail' en mouve­ment et en contact avec A sc comprime ct s'échauffe d'un côté de cecorps, tandis qu'il sc dibte et se refroidit de l'autre côté; mais en pre­naur :~ et Ilir comme nous l'indiquons, on snppose implicitement quecc, deux effets con; raires sc comp(;nscn t su r la surface entière de '\.

La même chOSE au ra lieu si l'air est en repos et li 811 mouvcment , savitesse, dans ce second cas, ou celle de l'ai!' dans le premier cas,pourr~ être aSSëZ gfande pour que celte cuuse de refroidissement oud'échauffement de '\ soit prépondérante, et l'emporte de beaucoupsur d'autre» causes ([lIi ~gis$ent en mèrno temps f c'est-a-dirc , sur lel'1\OUnement de li CL SUi' l'in [Juencc calorifique d'autres corps voisins.C<:ia élant, lorsque la Icrnpcrature de A sera devenue stationnaire,elle ,l'!," celle de l'air dans lequel il sc trouve. Gest SUl' celle considél'ation qu'est fondé le procédé qu'on emploie pOUl' counaitre la tem­p'~rritm'e de l'air) el qui consiste à agiter fortement un thermomètredans ce fluide, jusqu';., ce que la température indiquée par J'inslru­ment ait cessé de s'élever ou de s'abaisser. On prend pour la tem­pérature de l'air environnant celle que le themlO111ètre marque ai:et instant; on peut aussi la déterminer, mais moins promptement,au moyen d'un thermomètre dont la surface est sensiblement im­pel'méable à la chaleur, ou douée d'une réflexibilité aussi parfaitequ'il est possible; en sorte que l'instrument ne puisse s'échauffer ou3€ refroidir que pal' le contact immédiat de l'air, dout l'effet estindépendant de l'état de sa superficie.

Lorsque l'air est calme et le corps A en repos, la conche d'ail' eucontact avec sa surface s'échauffe ou se refroidit; sa densité et saforce élastique changent: elle se déplace, en conséquence, ct est Sanscesse renouvelée. Il se produit alors près de la surface de Il un mou­veillent de l'ail' qui. peut s'étendre à la masse entière de cc fluide,quand elle est peu considérable , et dont la vitesse dépend de la di.f­férericc entre les températures de A et du fluide. La déterminationde ce mouvement particulier Je l'ail', ct par suite de la variation detempél'ature de /\ à laquelle il donne lieu, est un problème queI'ou est. loin de sa-voir résoudre. La loi de cette variation doit donci~tl'e empruntée de l'expérience; 01', on conçoit qu'elle sera diffë-·

DE LA CHALEUR. ;1

7~ THÉORIE MATHÉMATIQUEsur celle de l'air environnant; ce qui revient à représenter , connueplus haut, le coetlicicnt T, par un produit ~(u-l1), et à regarderle facteur '-:V' comme une quantité indépendante des températures li

et li de l'aIl' et de A; hypothèse qui doit peu s'écarter de la vérité J

dans le cas des températures ordinaires. Mais, pour plus de commo­dité dans les calculs, nous supposerons il I', la même forme qu'ancoefficient r qui répond ~l la perte de chaleur P,ll' le rayonnement etqui est exprimé par la formule (1) i nOlis ferons donc

JI, désignant une quantité de chaleur indépendante des températuresli et ». Le nombre fh diflérant peu de l'unité, cette valeur de T, sera,en effet, à tres peu près proportionnelle à la différence li-l1, quandces températures ne seront pas très-élevées. Le coefficient x, ne dé­pendra pas non plus de la nature de A ni de l'état et de l'éten­due de sa surface qu'on suppose très petite; il sera proportionnelh la densité de J'air, et si cc fluide est eu mouvement, ou si A semeut dans ce fluide, ce coefficient devra être augmenté en raisonde la vitesse relative de A et de J'air; ce qui pourra, quand cettevitesse sera très-gl'ande, rendre À, beaucoup plus grand que le coef­ficient A de la formule (!). Enfin, si A est exposé à l'air libre, onprendra pour -.l la température de l'air environnant , donnée danschaque cas, et déterrai née par le moye n qu'on a indiqué plus haut, ouautrement; si A est suspendu dans un grand appartement, dont lesparois ont partout la même température,on la prendra pOlIr la va­leur de n.

(40). Je reviens actuellement à l'équation (2), qui suppose lecorps A contenu seul dans une enceinte fermée de toutes parts, etdont la température constante est (. Cette enceinte étant aussi sup­posée très grande, on fera, d'après ce qu'on vient de dire, n=( dansla formule (5); en la substitnant il la place de r, et la formule (1)

au lieu de r dans l'équation (2), mettant - ~~ Îl la place de V, et fai­

sant 1 pOUl" abréger,

(11 ~ )r. = i,. P. - P. ;

/,-;+1' .;1' _ (:.::,-=-;.<;) c- h' 1

U " -" -

Par conséquent, le temps creissan t pal' des intervalles érraux, la tern-, d" "pe.l'ature .e,~ vanera suivant une progression géométrique dont la

r:llSO~ est iudépendan te de la température (de l'enceinte j ce qui est,eu, eflet , conforme à J'expérience dans le cas des températures ordi­narres.

Celle loi du refroidissement des corps d'un petit volume est celle

JO

k _ Û(i. -+ A,) log t<- ac l'

et 1 eu même temps, la valeur de If se change en celle-ci :

DE LA CHA.LEUR.

rieus ,

ldt

u. = ~ + Ci' - ()e -A, ;

résultat [lui mon trc que quand la température initiale 'l'est égaieil;;, on a constamment li = '}, comme cela doit être, et que si cettetempérature'} est plus gl'ande ou plus petite que ~, la température tc

diminue ou augmente sans cesse, jusqu'à cc qu'elle ne diffère plus

sensiblement de 1;.

Si les températures' ct '1' sont peu élevées, u le sera aussi; en

développant alors les exponcuticlles 0~, V1' r p,", suivant les puis­sances de ç log p., } log fA. , u log p-, on pourra négliger les carrésct les produits de ces quantités, qui seront de petites fractions àcause du facteur log 0, moindre que o,üo??; de cette manière, laformule précédente devient, en réduisant,

J'iutègre, et je suppose qu'on ait Il = 'l', quand t = 0 i il vient

,,."(/,-} - /,-1:.)kt = log. ~_-,-~), ;

rJI/'- -w

d'où l'on déduit, en désignant pal' e la base des logarithmes néI)é-

on tirera de cette liquation

(5)

_ k ,b(;.. + )" )f<~ log ...al:

il TllÉOIUE :MATIItMATIQLE

'lUl résull« du principe de Newtol1, d'après lequel la chaleur com­muniquée par un corps 1>. un au tre est simplement proportionnelleà 18 dîffë:'dlCC de leurs tcrnpératul'es; principe que 1'011 a admispcwbnt Jung-temps, mais dont les conséc-uences s'écm-tcnt de plusC'l de l'observation, ~ mesure que les températures sont plus

En adoptant celte loi, il cause de "a simplicité, lorsqu'ilc;'Gtl dl, températures ordinaires, et désigt:nnt pm' ele temps pendantk,{ue! la températun~ de A s'abaisse de sa valeur initiale )', il uuevaleur oot1ncc G, 110US aurons

en ., .vtu L1<."; expressions précédentes de tc et de k. POUl' un autreCOl'pS pLd <.bl1'; la même enceintc , dont la surfaceest dans le même';'8t TE' celle de A, et dont la température emploiera un temps G,::-i _..'aha.isser de -à ~, nous aurons de même

a" c .. dés;gn~ot la surface , le volume et la chaleur spécifique dece second (;(')'P5. Eu divisant ces deux dernières équations l'une pal'I'autre , )11 aura donc

Ir.as, c ,ba---;r - ;;-;

équation très sirnple , sm' laquelle est fr,nc!é le procédé dont les phy­sicicns ont fai, usage POUi' compal'c!' les chaleurs spécifiques de deuxcorps d'un petit volume, d'après les temps de leurs abaisscmeuségaux dG température.

(41). Ces (toux corps étant de matières différcntes , pour Clue leurssurfaces soient dans le même état, comme le suppose cette dernièreéquatiou , on les recouvre l'un et l'autre d'une conche très mince

formée d'une même matière. Or, relativement à l'épais::eur de cettecouche, l'expéricuee a fait connaître un résultat IJI'opre à nous éclairerSUl' l'étendue: du rayonnement de la chaleur dans la matière nescorps solides.

Si l'on l'CCOUVl'Œ ainsi la surface entière de .1\, d'Une couche dont ré-

DE LA CHALEUR.

paisseur soit tres petite, e.~' fig.1rel aux tItille.usions de. ce (:orps, dfjui soit Iorruee d'une mauere telle qlle le u ou- ùe fumee, par exem­ple, dont le pouvoir rayonnant cst très grand, li augmentera, li, nec1Jélll;';"I'a pas, et les autres quantités h , a, c, contenues dans k , ne

varieront pas sensiblement. La varintion de température de A devien­dra donc plus rapide; mais rcxpéricncc prouve qu'il fanl que lacouch« arldit ivc ail atteint une cerlaine (ipaisseul", pOUl' (Ille la vitessede I'échnutlcmeut OH du r~rroiL1i.'ibemetlt parvienne à son nuuximuni

cl ùevienne stationnaire. Ainsi) en faisant croitrc g,'aduellementl'épaissem' de cette couche, salis Ilu'elle cesse neanmoins d'êtl'e tortl'utile, on observe que la température de A varie de plus ClI plusvite , jusfll,'à ce fpIe cette épaisseur ait aHeint une limite crue J'ex­périence fait connaître, ct que je désignerai paf é. I'arvenue :1 cettegrandeur s , si l'épaisseur de la COUdlC additive augmente encore,en dcmcnrant toujours très pctite yl« vitesse du refroidissement ou JeI'éclrauûcmcnt ne varie plus. Dans le C'lS des températures ordinaires,l'expérience montre aussi flue ponr une épaisseur donnée, plus pe~

tite ou plus grande (lue ", la température de A s'abaisse ou s'élèveen progression géométrifjue, le temps cro issunt par des intervallesegaux.

Quand la couche de noir de fumée que j'ai citée pour exemple a at­teint ou dépassé lépaisseur " elle absorbe il peu près toute la chaleurqui tomhe du dehors sur sa surface extérieure, et SOn degré de ré­

flexibilité est scnsiblement nul. Au coutraire , pOUl' une épaisseurmoindre que", elle réfléchit une partie de la chaleur incidente,dans une .proportion qui diminue a mesure fJUe cette épaisseur ap­proche de s. Lorsque la couche additive est formée d'une autre ma­tière, la limite,; a une autre gl'arldeur; à celle limite, la vitesse durefroidi.ssement, devenue stationnaire, est généralement. moindre quecelle qui a lien dans le cas du noir de fumée, et la couche conserveencore un degl'é de réllexihilité relatif il l'état de sa surface. L'expé­~'ienc: n'a pas fait l:olll'lailre si cette vitesse est ou n'est point IOU.iO~I"la meme pOUl' Jeux couches additives de matière diflérente , parve­I,lue~ h leur limite d'épaisseur, pOUl' lesquelles cette limi le. sel'ai

egaIe, et 'jui abSOI'bel'aient, a cette limi te, toute la chaleur incidente,ou qui la réfléchiraient co égale proportion.

ID .•

76 THÉORIE MATHÉMATIQUEEn admettant ces résultats comme des données de l'observation, il

s'ensuit que le pouvoir nyonnant /, de la couche additive dépend, engénérctl, rle SOIl épaisseur, de l'état de sa surface, ct peut-être ausside la matière dont elle est formée, Or, d'après les )]" 24 et 26, l'ex­pre,slOlJ de cette qnantilc est

1 r~'''' ( , n' 9dePI. = ~ if. l ' CIl 1 - if 1 l:OS 0 SHI . ;')~ u ~_' G /

15 désignant une quantité invariable de chaleur, "- étant une fi-actionqui exprime, sous l'angle d'incidence 8, la proportion suivant la­quclle la chalcnl' c,tàieun~ pénètre i, travers la sUI,r:"lce du corps au­quel ), sc rnppoi'te, et rp représentant une inconnue dont la valeurpeut vari er , nell..seulement :lVCC l'angle 8, comme celle de a, maisaussi avec ln matière de cc COlTS. On pent suppose!', ainsi que nousJ'avons déjà dit f 7), que le phénomène de la division de ln cha­

leut" incidente en deux parties, dont l'une est réfléchie au dehors etl'antre pénètre dans l'intérieur, se passe dans l'épaisseur tout-a-fait in­

sensible de la couche qui termine tous les eo!'ps ct dont la densité va­rie tl'ès rapidcrncn l, de sor-tc qu'il n'y (lit plus aucune réflexion de

chaleur il 13 profondeur à luquelle la densité est regardée commeconstau te, ou ne varie plus qu'il raison de la température. Dans cette

hypothèse, qui paraît la plus naturclle , la fraction CI-, relative il unHngle don lIé G1 se rapport« uniquement à la surface même de lacouche additivc , et ne saurait varier avec son épaisseur, de gmndeur

sensible. C'est donc I'iuconnue if qui doit change!' de valeur uvee cetteépaisseur; et) pOUl' cela, il est nécessaire que los points de ln coucheadditive, qui émettent au dehors la chaleur rayonnnnte, et qui ah­sorheut , en échange, la chaleur extérieure après qu'elle a traversé lasurface, s'étemlent à une profondeur dont la limite est •.

A la vérité, si la frnction (J, ne var-ie qu'avec l'état de la surface ex-,

térieure , ct que 1e degré Je réiJexiIJilité de cette surface soit insen­sihle, comme Jans J'exemple du noir de fumée, lorsque l'épai5­seur de la couche a atteint la limite f, il semble qu'il devrait aussidisparaltre , et qu'il n'y aurait plus de chaleur réfléchie. contraire­ment à l'observation, dès que cette épaisseur aurait une grandeursensible. Mais il faut observer que la fraction et. de la chaleur in-

DE LA CIIALEéR.

cirlcnte , qUl a traversé la surface extérieure de la couche additive,n'c,t pas ahsorhéc eu entier pDr la matière de cette couehe, lors­que son ,ipaisseur e.st moi.ulre (lue s : une portion de cette e1wlcul'atteint donc la surface du corps A recouvert par cette couche; ct siI~dtc surface a un degré ([lldconque de réflexibili té , cette portion dechaleur sera cn pari ie réfléchie; elle traversera une seconde fois lacouche additivc , sans être eutièrcmcnt absorhée, La portion quiattciudrn la su l,face extérieure de cette couche sc divisera de nou­veau en deux parties, dont l'une sera émise au dehors, el l'autrerenvoyée vers la surface de A; ct ainsi de suite, De celle rnanjere ,

la totalité de la chaleur réfléehie nu dehors de la couche mldilive

se compose de deux parties distinctes ; l'une; ne dépend que del'état de sa surfacc , el nul icuicn! de son (:]1'1 issnu l' ; l'auiTC diminue[1 mesure que J'épai.lseUl' augmente, et s'évanouit 1ucmd l'épaisseura atteint la limite E, La prcrrucrc n'a éprouvé qU'11lW seule l'dle"ion,qui D en heu il la SUr(:ICC extérieure de ln couche , la seconde en

a éprouvé u nc ou plnsieurs à la surface du corps A.

Ces eonsidérntions mon trcut la nécessité de la quantité cp; qne nomavons introduite dans l'expression du pouvoir J':lyonnmlt, et dontl'existence tient ft cc [l'le la tcmpérnturc varie très rapidement PIÙ

de ln surface d'un eorps 'lili s'échauffe ou so refroidit (ur) 2 J). En

général, toutes les circonstances que présentent j'émission el ln ré­

flexion de la chaleur l'n)'OI111ante s'expliqueront au mOyt'll des deuxqurnnitcs rJ. et cp, d'ou déprnd la valeur de x, cl dont la premièreest uniquement relative à l'état de sa surface, c'cstù-dire , il fia co­loration et ;j son dcgn! de poli, tandis (lUE: la seconde en est i 11­

dépendante, ct varie, au contraire, avec la matière des corps, oudu moins avec la limite E qui répond ;1 chaque matière.

La conclusion générale de ce qui précède est que l'épaisseur de lacouche superficielle, d'où émane la chaleur rayonnante émise an de­hors par les différons corps, et où la chaleur extérieure qui les pé­nètrc esl absorbéo , n'a point une grandeur insensible, ct qu'elle a,au contraire, une grandeur sensible , quoique très pctitc , (lui peutchange!' d'un COl-pS 11 un autre. On peut suppOser' que 1e l'nyonne­ment moléculaire s'étend 11 des distances sensibles dans lintérieur

des corps solides et liquides, aussi bien que dans leurs conches su·

7'''' TIlÉOnIE MATHÉMATIQlJE

perfîcielles, et que cette étendne sensible peut influer sur les loisde la communication de la chaleur qui se fait de proche en prochedans chacun de ces corps. Toutefois, à cause de la varintion rapidede tempémtlll'c, qui a lieu près de la surface et n'existe pas dans l'in­tériem, il est possible que, pour une mème matièro , la limite dura}Onncmêllt interieur diffère de celle que nous avons désignée plushaut pnr E.

(42). Supposons actuellement qu'un second corps A', d'un petitvolumc , est contenu avec A dans l'enceinte fermée, dont la tempéra­ture iil\'~riahlesera toujours représentée par (. Au bout du temps t, lateDlpr:irature de A sera désignée par u , connue plus haut, et celle deAi par u', Cela étant, concevons une surface développable, tangenteau~ surfaces de ces deux corps, qui sera, par exemple, un cylindre àhase circulaire, lorsque A ct AI seront des sphères égales. Soient ElU'ci E!H'F ' (fig. g) les padies de leurs surfaces, comprises entre cescorps et terminées à la surface rléveloppahle. Il y aura un échange dechaleur entre A et A', il travers deux élémens quelconques, appar­tenant l'un à EHF, l'autre à E'H/P. Je désigne par t;dt la perte dechaleur de A pendant l'instant dt, résultant de l'échange à travers lesdeux élémens 0) et (,Jf qui répondent aux points 0 et 0' de ces portionsde surface. En conservant les notations du n° 27, la valeur de /1:" seradonnée par la dernière formule de ce uuméro , ou par la formule (7)du n' 28, réduite 11 ses del!X premiers termes, savoir:

, 0'~ _ ".•,," cos 6 CGS [(l-Ip'i (ru _ ),'C) _ a./(r - (J/) (Fu' - rCl ]~ 47;k'- \ ,1. , ) •

Son premier terme est la valeur de .6. qui aurait lieu si A' n'existaitpas; le flux de chaleur rlui en résultera> pendant l'instant dt, 11 tra­vers la surface entière b de A, sera donc> comme plus haut, égal;; brrlL; le coefficient r étant donné pal' la formule (1). Si doncOH remplace ('J ct &J', dans le second terme de C:>., par les élémensdifférentiels ds cl rls' des surfaces de A et A' qui répondent auxpoints 0 et 0', le flux total de chaleur à travers cette même sur­face b sera

brdt -7/,. (Fu'- FOff(j_Cl.'(r - cpl) case cos el dsds,~ ... ,.

l'intégrale double s'étendant ~lUX deux portions de surface EHF et E/H'F'.

DE LA CHALECfi.

Si les qU~llILiLCS ::. ct a' ne sont pas toutes deux égales à l'unité, il

Y aura, en outre, eIl!re .les élémens de EHF ct ].~'lFF' des ,;él:ies deréflexions de chaleur ({lIl changeront, sous le sIgne ff, le facteu r«a' (1 -<p') en u n autre que je désignerai pal' a,. En ayant égard" l'expression de la fonction F (n" 26), on rJOUlTa faire

-~- (Vu' - }''r)ffa, cm ecos 9' ris ds' = bb( f~'" - 1'/) ;l}-r.h~ -, ';>

(; étant une 'luantitu de chaleur dépendante de l'état des surface"EHF ct E'Il'F', de la quantité <pl, et de la distance qui sépare lesdeux corps A et A'. Si celle distance est très wande par rapport illeurs dimensions, la quantité b sera tt,(~S petite relativement à la qnan­tiLé /, de même nature, qui entre dans b. formule (r), et elle variera,il li-ès peu près, en raison inverse du carré de cette dis Lance. Pourteuir compte de hi série de réflexions (fui a changé Cl.CI/(1- cp') en <2"

il Ïandra aussi changer Je facteur /, de cette formule (J) en un autrefacteur »: (1 + f), dans lequel f est une fraction très petite, comme

~, dans le cas où la distance de Al à A sem très gl'ande. Un snp­Ji

posera que leurs surfaces ne présentent aucune concavité, et qu'au­cune portion de chaleur émise Far ces COI'pS ne leu!' est rcn vOj'ée parl'enceinte. L'expression précédente du flux de chaleur il travel'.~ lasurface b sera complète; el! sorte qu'en y ajou tant la pel'te de cha­leur br ,dt, produite pal' le contact de l'ail', on aura la valeur totalede la quantité caVdt du n° 42.

Cela posé, d'après l'équation précédente et les valeurs de r et I', ,nous aurons

Si l'on désigne par J', b', ,\/, ce que deviennent les quantités Irb, ?c, relativement au corps AI; si l'on représente par a', b', c', V',son volume, sa surface, sa chaleur spécifique, la vitesse de son re­l'raidissement; et si l'on observe que /l, ne change pas en passant de Aà A', puisque ces deux corps sont placés dans un même fluide, onaura de même

on aura ces deux équations différentielles du premier ordre, maisnon linéaires,

du + p (p," __ p-<) _ q (p,,'" _ /A-f:,) = 0 ,dt

d ,. du du' '1 1 cl .En mettant , ans ces cquations , - di et - dl a a p ace es VL-

tesses V et 'Ti, etfaisant , pOUl' ahréger ,

81DE LA CHALEUR.

dx + px qo:'dï - - 0,

dx'+ 1 , q'o: 0;dl p.t:- -

(45). Si les températures il ct li' ne sont pilS très élevées, on ré­duira ces deux èquations à la forme linéaire, en développant les ex­ponentielles fi." et p."' suivant les puissances de li et U', jusqu'à la se­

conde exclusivement. En développant aussi p.f:, , faisant

1l-i;=:T, lI'-Ç=X',

et comprenant Je facteur log fi- dans les coefficiens P» p', q, q', on

aura alors

br;ac = q,

THÉORIE :\lATHÉ:.YIA.T1QUE80

ch" t ;« 7) (u. r)-[. + p' \. u" - p.' - q' fI" - fl-' = 0 ,at

dans lesquelles on ne p01ll'l'a pas, en général, effectuer la séparationdes variables. On y pm-viendra seulement dans le cas particulier oùl'on a pp'= qlf', en supposant que cette égalité soit possible. Si l'onajoute alors la seconde de ces équations , multipliée pal' q, à la pre­mière multipliée par p', on aura

p'du + qdu' = 0;d'où l'on tire

équations dont les intégrales sont

x = (rye-m. + ({/e- m" ,

:r' = (p - mJ-YfJ-m, + (p -- rn'))"p-- n," ,

On désigne ici pi,r e la base des 10g.1ritlllTle.s népériens , par m et m' lesflcnx racines d'une équation du second degré, dont les valeurs sont

ln = ~(p + p') + i\/(p - p')" + 47q',

m'= ~ (p + p') - i \1(1' - j/)" + 4qq',

u' = 'l, - Jl~ll'F s :"

')' étant unc constante arbitraire. En substituant cette valeur de tt'

dans la prcmicrc étju<llion, Oll en déduira ensuite une valeur de dtde la forme Udu; le coefficient U étant une fonction de li, de sorteque les var-iables seront maintenant séparées. P01.lI' que Udu sail inté-

grable sous forme finie, il faudra que ~ puisse s'exprimer par le rap­

port de deux uornhres entiers; ce qui sera toujours possible, exacte­ment ou à tel degré d'approximation que l'on voudra. Lorsque ladistance comprise entre A et A' sera très grande, les quantités qet 'l' seront très petites par rapport il p et p', et l'ou intégrerales équations précédentes par la méthode des approximations sue­cessivss.

et par ?' ct -y' les deux constantes arbitraires que l'on déterminerad'après les valeurs de x et x' qui répondent à t = o.

Les valeurs de m et m' sont évidemment réelles. De plus, lesquatre quantités p, p', If, 'l, é lan t positives, ct la quantité conte­nne sous le radical étant la même chose que

(p + p')' - 1/ (l'P' - qq') ,

On "Voit que Ies valeurs de ln et m' seront aussi toutes deux posi­tives, si pp' surpasse qq', ce qui a effectivement lieu. En effet, sil'on compare les intégrales d'où dépendent les valeurs de bÀ (r + f)et b'G', et celles de b'J\'(1 + f') et b~ , il sera facile de s'assurer', enayant égard il leurs limites, que l'on a toujours

bJo..(I +f) > b'~', b'?/(1 +f') > bb;Il

hz THÉ01HE MATHf:\lATIQDT.cr ou l'on conclut pp' > I{'J',en ohservau !, 'lue la quantité À c()nt.; l' 1]("

dam jJ et p' est positive. Tl s'ensuit (l"'apl'i',s nu certain temps lesexponentielles e- ml et c- m

" sont sensihlement nulles; les valeurs de,'( et .r:' le sont donc aussi, et les températures Il el Il' des deuxCO"j),' A et ;" ne diffèrent plus sensiblement de: la tcnrpérature (,de "l'enceinte, quelles qu'aient é:é leurs vnlcurs iuitialcs , ce qui e_stconforme il l'expérience, L'exponentielle (lnl répoml à la plus grandedes cleu, quantités m ut m' s'évanouira la première; et quand elle anradispuru , l~s températures lie A et AI varieront tontes deux suivnntnn~ Hu}nle p:"og1'CSSJOn g{~onlé!riCJne, le Lemps croissant paf des inter­

va]jc\ eg~lnJc. Si Je cas particulier de l'P' = (17' n'était pas impossible,r un e des quanti tris ni ct m' serait 7.éro quand il aurait lieu, el alors

le:~ variables x et x' cOllvcrgerulcnL vers des valeurs constantcs , quine seraient pas nulles; au hout !l'un certain temps, les températuresde A ct AI deviendraient donc constantes, mais inégales et rliOë­rentes de la température de l'enceinte; ce qui ne saurait ar-i-ivcr ; /Cl,

eiTectivemcnt, le cas de pp! = 'l'l'est impossible , comme celui de

pp' < !jql, d'ap";,; l'origine des quantités P» p', Ci, q',Cette analyse pOUl'ra s'étendre au cas de trois on J'nu plus gl':mc1

nombre cl(~ corp' contenu:" dans une même enceinte fermée, dontla température est invariable. On formera toujours des équations dif­fùentielles du premier ordre, en nombre égal à celui de ces fOrps,qui seront non' linéaires cl non intégrables sous forme finie, Dansle cas des températures ordinail'es, on réduira ces équations, commelcs précédente~, à la forme linéaire: on les intégrera ensuite sans,Iilliculté; et l'on conclura de la forme (le leurs intégrales, qu'aubout d'un certain temps les températures (le tous les corps varie­l'ont, à très peu près, suivant u ne même vrogression géollléh,jqnc,pour des temps équi-différeus , et qu'après un temps encore pluslong, elles cesseront de varier, et seront alors toutes égales entreelles el à la i.cmpél'aturc donnée de l'enceinte,

DE LA CHALEUR,

CIIAPl rrHE IY.

JJouv(!ment de la chaleur dans Litüerieur des corps solides ouli'1uides.

(41j), Il Y a toujours de la chaleur en mouvement dans tous lescorps, lors même que les températures Ile tom leurs poin ls sont in­variahlcs , soit qne chaque point ait une température pilrliClllière,soit qu'ils aient tous une même tempérarure. NIais l'expression mou»

oenicnt de la chaleur est prise ici dans lin autre sens; elle signifie lavariation de tcm pérature éllii a lieu d'un instant il J'autre dans uncorps qui s'échauffe ou se refroidit; et la vitesse de ce mouvement,CIl chaque poi nt du corps, est le premier coeflicient différentiel dela température pal' rapport an temps.

J'appellerai A le corps solide ou liquide, homogène ou hétérogène,dans lequel nous allons considérer le mouvement de la chaleur,Soient lU un point quelconque de A, et ln une partie de ce corps, degranùem' iusensihle (n° 7), et comprenant le point M. Au bout J'untemps quelconque t , désignons pal' X, .r, ;;, les trois coordonuéesrectangulaires de M, pal' " Je volume de ln, et par f sa den­sité, de sorte qu'on ait

Jn= "('.

Soient aussi, au meme instant, Il la température et ti la vitesse dumouvement de la. chaleur qui répondent au point M.

La quantité li sera une fonction de t , .r, y, z , dépendante d'uneéquation aux différences partielles par rapport il ces quatre variahlesqu'il s'agira de former. Si A est un corps solide, et qu'on fasse abs~traction de ses petites dilatations, positives ou négatives, produitespaf les variations de II relatives au temps les coordonnées x ~ z, 'J' ,

Ir.,

84 THÉORIE MATI-lÉMATIQCEseront indépendantes de t , et l'on aura simplement

duli = dt'

Si au contraire on a égard aux petits déplaccmens du point l\f pro­venant de ces dilatatiolJs, ou bien, si A est un fluide dans lequell'inégalité des températures , ou toute autre cause, donne lieu il desmouvemens de ses molécules, les coordonnées x:, y, ~, seront desfonctions de t ; ~t l'on aura alors, par les règles connues de la dif­férentiation des fonctions de fonctions>

o = 0'. + tI~~ ~ 1t '!:'. + ~ du .dl dl d.c + dl df di dz '

der dy dzexpresslzHl dans laquelle dt' dt' dt' seront les composantes de

la vitcsse du point ]\1, parallèles aux axes des X', .r, s.L'inconnue li ne sera pas la seule qu'il faudra déterminer, pour con­

naître complètement l'état calorifique du corps A h un instant quel­conque. Supposons que l'on divise cc corps en Jeux parties TI ct n',par uue surface quelconque> tracée dans SOli int~rieur. Soit if) un élé­ment de cette surface Cn° 9) comprenant le pointl\l, il Y aura couti-­uuel lernent , à travers 0), un fluo: de clialcur sem blable 11 celui de lachaleur rayonnante qui a lieu tl travers un élément de la surface deA,et que je représenterai par r",dt l)enclant l'instant dt 1 de manière quece produit, positif Ou négatif, soit l'excès de la l'haleur qui traverset» en passant de Ben B', pendant cet instant, sur celle qui le traverseen même temps> cu passant de B' dans n. Le coei.'Gcient r, ou le fluxde chaleur rapporté aux: unités de temps cl de surface , dépendra clela matière et de la température de A au point !'il, ct de la directionde CI!; il s'agir:t aussi de le déterminer, en fonction de e, x, y, z ,pour chaque direction dODnée de œ. Ainsi, u. et I' seront les deuxinconnues du problème dont nous aurons il nous occuper dans cechapitre. Quand le corps A est soumis 11 l'influencc de foyers cons­tans de chaleur, toutes ses parties parviennent gérléralement, aprèsun certain temps, à des températures variables d'tm point il nnautre, mais indépendantes du temps. Dans cc! état permanent deA, la vitesse tl est nulle en tous ses points; mais le flux de cha-

DE LA ClIALEUf-I..

leur r existe encorc , et seulement sa valeur est indépendante de t,

comme (:elle de u,(45) . Soient M'un second point de A Irès voisin de M, et m'

une partie de A de grandeur insensible, comme m, qui compren drn M'.Au bout du temps t, appelons x', y', z', les coordonnées de iW rap­portées aux rnèmes axes que x, y, z , ct désignons par [l' la tem-­pérature de m'; soit aussi l' la distance MM'.

D'après l'hypothèse généralc SUl' laql1elle est fondée la théorie ma­thématique de la chaleur (n° 7)' il Y aura un échange continuel dechaleur entre ln ct m'. Je représenterai par J l'augmentation de cha.,lem' qui en résn!lera pOUl' tn pendant l'instant dt, c'est-il-dire, l'excèspositif ou négatif, pendant cel instant, de la chaleur émanée de m' etabsorbée pal' ln, sur la chalcu r émanée de ln et absorbée par m'.On pourra snpposer cet excès proportionnel an produit mm/dt, Ou ilw'pp'dt, en appelant v' et pl le volume et lu densité de m', de sortequ'on ait m' = 11',0', comme on a déjà III = "p. Il sera nul dans lecas de il = li, et de même signe que la différence Il' - Il, quandelle ne sera pas zéro : Jans le vide, il varicrnit en raison inversedu carré de r; et généralement sa valeur sera de la forme

" vv'o = -;::-R(u'-u)dt,

en désignant par R un coefficient positif, dans lequel nous eornpre­nous le facteur pp}, qui décroîtra très rapidement pour des valeurscroissantes de l', qui pourra aussi dépendre des matières et destempératures de m et m', et variera avec la direction de MM', lors­que l'absorption de la chaleur ne sep pas la même en tous sensautour de M.

Dans la supposition la plus générale, R sera donc une fonction der, u , u', et des coordonnées de M et M'; eu sorte que l'on aura

R = <I> (l', u , t/', x, y, z , x', yi, z').

"lais si l'on appelle cl' la diminution de chaleur de m' pendant l'ins­tant. dt, provenant de l'échange enlre ln et m', on aura évidemmentJ' = - J; d'ailleurs, la valeur de J' devra se déduire de celle deJ' par la permutation des quantités relatives à l'un des points M

Mais pendanll'inslnnl dt, la température de ln auglncnte de ôdt ; sidonc on appelle (~ sa chaleur spécifique, cp/3dt sera aussi son augmen­tation de cholem pendant cet instant; donc en supprimant le facteur

conlnlun l'dl, on aura

pOUl' l'équation du mouvement de la ehaleu~>, égale,ment arplicable àun corps solide et à un liquide, en'y substituant l expressIOn couve-

nable de s.La somme ::S, contenue dans cette équation, ne dépend en effet qtl<;~

de l'élat salorifique de ln et des padies circonvoisines de A, qui existeau hout du temps t , et en aucune manière du changement qui pourraitavoir lieu I'instant d'apre,,; en sorte qu'il n'était pas nécessaire du cher­cher comme des gé01~lètl'cs l'ont pensé, une équation particulière pourle mouvement de la chaleur dans les ligu ides, distincte de celle qui ré­pond aux corps solides hétérogènes, et qui avait été dounée depuis

long-temps, .,' .La valeur (l'une somme ::i: relative a des parties de grandeur mseu-

:-;6 THEOnrE MATllÉMATIQUEet Mi, et des quantités analogues qui l'épandent il l'autre; par con­séquent, il fau-dr:1 que 1:1 fonction <I> salt symétrique par rapport à li

et u'; cT et a:", y et)"',;:; et j;/.

Lu corps A étant un solide ou un liquide, cette fonction cp va­riera tTb rapidement avec r et sera insensihle 011 nulle, dès que r

aura atteint une très petite grandeur. Je désignerai celte limite pal' l ,de sort« que cette Conetion <I> soit zéro, (lès qu'on aura r > l ouseulement r = l; Cette ligne l sera donc très petite, mais de gran­

deur sensible et mesurable (n' 1[1), et, pnr conséquent) extrême­

mcu l :l:l'ande par rapport aux dimensions de m et m'.! 46 )<,' L'augmentatiou totale de chaleur de JI! pendant l'instant dt

,er~, I~< somme des valeurs de JI, etendue à tous les points ]\1' dontla distance au point M est mninrlre que l. J'indiquerai une tellesomme par la <:anlctél'istl'1ue 2:. Le facteur l'dt étant commun à

tau tes les valeurs de J, leur somme sera

dv' = r'drds;

It(, )' fil.,,!,2: -c Il -, U V = - [li' - Il) t. V ;r- r"

DE LA CHALEUR.

duC dï Jrft. (li' - uvdrds, (4)

et d'après la valeur de la somme ~, l'équation (5) deviendra

l'intégrale s'étendant à tous les clemens do', dont la distance 1 au pointM est moindre que 1.

A la vérité, j'ai remarqué dans d'autres occasions que la rérluctiou

d'une somme à une 1ntégr:tle n'est plus permise dans un certain casqui sc présente, par cxcmplc , dan, le calcul des forces moléculaires;mals pour que cette e~ception ait lieu, il faul que la fonction dont onveut sommer les valeurs, varie très rapidement ct change de signe entreles limites de cette sommation i or, ici le coefficient li varie bien eneffet très rapidement avec la variable r, mais sans jamais changel' dl'signe; et, pour cette rnison , l'exception dont il s'agit n'est pas àcraindre. Dans tous les calculs de quantités de chaleur qui résulterontd'échanges entre les parties d'un corps, de gt'nndel1r insensible, Dl!pourra décomposer immédiatement son volume en élérncns infinimentpetits, ct remplacer les sommes pal' des intégrales, comme si ce corpsétait formé d'une matière continue et non pas de molécules disjointes,séparées par des porcs 0 II espaces vides.

("''7). Dn point jl comme centre et d'un rayon égal 11 l'unité lineaire,décrivons une surface spherique; soit ds l'élément différentiel de cette

surface, auquel aboutit le rayon dout la direction est celle de MM',

nous aurons

sihle , telle que la précédente , peut s'exprimer par u ne SÜ1'ic dontle 't'l'emicr terme est une intégrale prise entre les mêmes limites quecette somme, cl dont les antres terme, procèdent suivant les dinwn­sion, de ces parties, élevées à des puissances croissantes. Ce, dimeu­sions étant insensibles par hypothèse, il s'ensuit que la série usl, eugénéral, extrêmement convcrjzcntc , et peut être réduite il son premierterme. Ainsi, en désignant par dv' l'élément différentiel du volumede A, qui répond au point M' J on nur.r , sans erreur appréciable,

(3)-e- tl ( , )'cti = ... -;:, II - li V ,

O . b' dl! rd' . d11 Y a nns, pour a l'cgc l' dl au leu e 1:3; I11a1S on se souvien ra que

ce coefficient dlffét'entiel doit être pris par rapport à t cl à tout ce qui

en dépend; en sorte qu'il :taudl'a remplacer ~~ parla formule (1), 101'5­

que les coordonnées .1.:', y, z , tlu point J\i varieront avec le temps.

La limite relative à 1"de l'intégrale contenue dans celte équation (4)lie sera pas la même, selon que la distance du point M à la surface deA surpassera l ou sera moindre que celte petite ligne. Dans ce cha­pitre or: supposera que ce soit le premier cas qui ait lieu; l'intégralerelative à r devra alors être prise depuis r=o jusqu'à r zx: l, danstoutes les directions autour de M; on ponrra donc écrire l'équation (4)sous la forme

88 THÉORlE J\IATHÉMATIQliE

du fIC dt = 0 [IR (u' - u) dsJ dr; (5)

DE LA CHALEUR.

_,r (dr,) , , )+(dH)(, ) (dll)( l 'It - + ;El (Il -u \(v ,x -x + dy' y-y)

(dit) , , )+ d;' !,2, - z + etc. ,

les parenthèses indiquant ici que l'on doit faire u' = u; cc'= x,X' =.Y, Z' = z, après les di fJérentia lions qui supposent r invariable,et V d'5sigJwn 1. ce que devient en même temps la fonction (}) du n° 45,de sorte 'Ille l'on a.

V = <J) (r, Il, Il, X, y, Z, x, I, z).

An moyen de ces Jévcloppemcns de R. et de ll- u, celui duproduit n (U'-li) -c compŒera de termes de celle forme

HI'" cos' U. cos" ~ cos" y;

l'intégrale relative à ds devra s'étendre à tous les élémens ds de lasurface sphérique, et par la réduction en série, on en obtiendra fa­cilement la. valeur approchée.

(48). Pour cela, je désigne par CI., b, /" les angles que la droiteMM' fait avec des parallèles aux axes des x, y, z. menées par lepoint M. A cause de MM' = r, il en résultera

x' - x= r cos ~ > ,7' - y= r cos b, z'-z= l'COS};

et, d'après le théorème de Taylor, on aura

du du p duIl' - Il = -d l' cos ~ + -d l' cos b + -cl r cos yx y z-

t d'u 1 d'Il t d'u+- ----; t" cos' u.+-- r'cos'b + - - r'cos'''''2- d",' 2. dy' ", dz? ~

d'u d'a d'Il+-d---d l''COS CI. cos~+-dd r'cos CI. cos'} + -Z-d r cos ~ cos /',:cry X Z (y z

+etc.

Si l'on développe de même R suivant les puissances et les produits.dell'-u, x'-x,y'_y, i/-Z, on aura aussi

II désignant 1.111 coefficient indépendant de et, , (;, 1', et les exposausi , il, i", étant des nomhrcs entiers et positifs qui ne seront pas nulstous les trois à la fois, et dont l'exposant n est Ia somme i + i' + i",

Or, cn 3yunt égard aux limites de l'intégrale relative à ds , on aura

toutes les fois que J'un des trois nombres i , i'. i'1, sera impair; caralors celle inlé[;r:Jle se composera d'élémens qui seront deux à deuxégaux et de signes contraires. Quand aucun de" nombres i, i', i", nesera impair, l'intégrale ne sera pas 7.él'O; les règles ordinaires endonneront les valcn rs exactes, quels quo soient ces trois norubres: etde cette mauii.,I'C on aura -

R (/1' - Il) = H, ,,' + H4 1'4 + H5 r 6 + etc.: (6)

les quantités Il., lI., 1I6 , etc., étant des fonctions différentielles de(orme GOlllHW, dans chacune desquelles les difftil'ences pnrtielles de Ci

seron t Dn"CS pal' rapport a' . c - t' 'l' 'l' 1 ." .,. : " ,.x,) " ~', e se everont il on re marquepal' SOli ludlC':: .'tlfél'ielll'.

POur une tcrupér- t ' ..., ' l,. rern ure Tl qUI vamerait tres rapulement , de sortequ elle ~lIi des valeurs '[re' , d'fi" t cl 1" d l", 's 1 eren es ans eten Ile C u rayonnement

12

DE LA CHALEUR.

Il = ~ [V~ (dY~: s:: d"] •> " die" + du d:r + dx) dx [cos «d»

. ~ r V d'II -t- (!!..'!.. d" dV) d"-l ." p

-r 2 L '~T" d" d.T + ciy t{JJICO';- bd.,

+ ~ [V d'u (clV'.!.': dV) du]" d;z' + ciu dz +~. dz 1eûs')dls,

ou plus simplement

les diflërences partielles de V par l'apport à x r . 't t .',.d . " , Z, e an pllS"S el)cons] orant Il comme une fonction de ces trois coordonn . ... tfaire varier r. ees, e sans

On n d'ailleurs

[cos' ads = f cos' bels = f cos' '}ds,

?e ~lus, s~ l'o~ ap~cJl? i- l'angle que fait le plan de la droite MM1et d u..ne parallelc a 1axe des x menée par le point M r1 fi ' . , av ee unp an ixe mene par cette parallèle, on aura

ds = sin etdÇl,d{;

e~ J'in~égrale relatiy~ ~ dO' devant s'étendre à toute la surface sphé­rique a laquelle cet element appartient, il en résultera

Icos'(uiS = fr. cOs'a sin 1:1. drf.('''d·1 = ,1".. Jo't 3'

DOliC en réduisant la valeur de R (ul • , ..1 • • ".. - U) au prenller tenue H,r"uc la sene (6), 1equation (5) deviendra

c du_ 2,.. (rl'"J~1V ' du f1dV

dl - '3 .lx" r dl' + d- -1 r·dr.\o x 0- (.1:" 1

+ 2 ". (d'" ri dUfl dV3" dy' Vr'dr + -ri - rdr)

• o tr a dy

+ 2 .. (d''';: 1 du fi dV'3 -d' Vr'dr + - '--rd/')z 0 dl' a dl' '

J :l ••

dV 117,\dxdx)1 cos' «ds

dV dU) ~- - feos' I·dsdy dy '-'

dV di!)--.- ._. leGs· ... ds :dz dz ..r ' ,

+

+

+

n, = '.'- (V d'.u2. di:"

+!. (V d'Il2 dy'

+! (V d'ri'" dz?

il en résultera donc

et de cette valeur jointe II celle de u' - u , on conclura

(~)= ; ~I, (;~) = ; ~~ , (~~,) = ; ~;, (~Jz\) = ; ~: ;

R 'i'+ l dV (' ' 1 dV (' ) • s» (' \ 1 av (z' .=y --- U-U)+-- x-x+--- y-y+--- Z-Z)'

2 du 2 d» 2 dy / 2 dz '

90 THEOR.Œ MATHÉMATIQUEinterieur, les coeûicicns II,, II,, II 6 , etc., for'ureraieut une série trèsrapidement croissante, à cause (ll~s différences pnrtiellcs de zz dont ils(h~pcnd{;l1t. La sér"lc cC5sei'<llt ;:1.101'5 d\~1rc cürrvcrgentc, TIla]gré lapetitesse Je r'; mais cc cas na pas lieu en un point M suŒs31nmentéloigné, comme on je ,upL'0se, de la surface de A; et nous pour­i' ))J,', en conséquence, regarder la série (6) comme extrêmernent eon­VI' Igc:lte.

En s'arrêtant b. son n"?' terme , l'équation aux différences partiellesélu mouvement (lé ia chaleur sera de l'ci-dre 27l; mais son intégralecomplète renfermera certaines pm'ties qui varier-out très rapidement,ct que l'ou deY1'a supprime-r pour cette raisc n , dans la valeur de u ,comme étrangères à la question; cc qui réduira toujours cette valeurau même degré de géneralite, quel que soit son degré [l'approxima­tiou , dépeudant des termes de la série (6) que l'on a.ura conservés.C'est ce que nous ferons voir pal' la suite, sur un exemple particulier,dans lequel nous montrerons aussi l'influence q11e peut avoir l'étenduesensible du raycuuement in térieur sur la valeur de u., Mais pour ré­dui,'e l'équation générale (lu mouvcmeut de la chaleur à la forme laplus simple, c'cst-à-rtire , à la forme d'une éqnation aux différencespal,tielles da second ordre, ainsi qu'on le fait ordinairement, noushornerons l'approximation au premier terme de la série (6); ce ''luirevient à considérer comme insensible l'étendue du rayonnementJans I'intéricur des corps solides et des liquides.

(49)' Dans cette hypothèse, on arrêtera le développement de Raux termes dépendans du carré de r exclusivement. A cause de lasymétrie de n par rapport à u. ct li, x et x', r et yi, z et :l, et dece que V représente, on a évidemment

if sera une fonction de u , x,}', z ct l'on aura

d" dud.k

du

dud.k

d.~d.k T «:

+ <J + (7)c di -rIX-- ----;]y -dZ"'

:> (.t:;i Vr'dr=k,." 0

c(~ + t!.'!~+ du dJ + t!.'! d,,)dt dx dt dJ" dt dz dt

d k du d.]: du du (JO). dx

<!:r +d.]: dz

- -d~ +~ -----;];.-- .

Après avoir obtenu l'équation (9), en considérant c et If commedes quantités constantes, 00 supposait qu'elle conservera la mêmeforme lorsque ces quantités seront variables, qu'il suffira d'y mettre

Ir r . cl '] l' , . 1" 1"pour - une fonction onnee ce u., et que equallOll re atrvc a 'etatc

permanent n'éprouve aucun changement. ]\his ou voit que ces sup­positions ne sont point admissi bles : l'équation (9) et celle 'lui s'en dé-

d . cl 1 cl du • cl 1 ' d'urt ans e cas e,- = 0, ne sont pornt , ans e cas meme unat

corps homogène, l'équation exacte du mouvement de la chaleur ct

celle de l'étal permanent; et la formule (8) montre qu'indépendam­ment der; différences partielles de li, du second ordre par rapport ilx, y, .3, les véritables équations doivent aussi contenir les carrésde ses différences partielles du premier ordre.

Pour avoir égard aux déplaccmens des points de A, produits parles dilatations et condensations dues aux variations de température,ou pal' d'autres causes, on remplacera, comme on l'a dit plus haut,

'1ii par la formule (1), et l'équation (7) deviendra

que l'on donne ordinairement, et qui se réduit, dans le cas de l'étatpermanent, a une équation indépenduute des deux quantités cel k ,

savoir :

DE LA CHALEUR. 93

En suppusant que cette quantité k sail indépendante de li, on aurait

l'équalionc.d.u _ k c: -\- d'u d''')

dt - d x- «r: + dz" (9)

(8)+ d''')

dz:

dU')+ dz"

dkdx'dA

d.r'diedz;

dJ'

d"u+ dy~

du?

(d ' U

= le dx'

dk(du'+du\dx' +

2r.1"" dV 'd- - r r =3 0 du:

"r.f""dV- -r'dl' =3 0 dy

2"f'" d'Il- - r'd" =3 G d z

d"c­dt

Quand tous les points de A seront parvenus il un état stationnaire;

du '1' 1on aura dt = 0, et] en resu tera

dk du d4t!.'! dkt!.'!- dx ." dy . dz

dX + ~ + ------:IZ - 0,

pOUl' l'équation relative à cet état permanent.

(50). L'équation (7) coïncide avec celle que j'ai trouvée autrefoispour le cas d'un corps hétérogène C*), mais eu ne supposant pointaiors que la quantité k dépendit de la température u,

Si A est un corps homogèue, k ne dépendra que de li, et T équa­tion (7) se changera en celle-ci;

pal' conséquent, l'équation générale du mouvement de la chaleurdeviendra finalement

~)? THÉOHm MATHÉMATIQUELa fonction V étant nulle pour toutes les valeurs de r plus grandes

que l, on pourra maintenant étcllùl'e les intégrales relatives 11 r au­delà de cette limite, et si j'on veut jusqu'à r = CI:). Si l'on lait alors

(") Journal de l'ÉcoZe Poirtechnique , Ige cahier, paGe 87'~'est ~ctte équation (10) que l'on devra joindre, pal' exemple, auxcquanons ordinaires du mouvement des Iiquides , pOUl' les completee,

THÉOJUE MATHÈ}IATIQUEq(~ainsi que je l'ai déjà proposé dans mon Traité de Mécanique et dans

un mémoire précédent.(.'i l ';. Occunons-nous maintenant de la détermination du flux de

'b~l' (,. r in~ kl': correspondant il l'élément GJ d'une surfuee qUJCldCl1. '. '--'1' ~

divise fi,. ca deux partie!' B ct 13'.. :,l1PpOSOW; '[ne le point de hl. surface a~ql~d ré~o~d l'élément "~.;oit le point M de A, que nOl1S avons eonsrdere pJ'ecedcmIDcnt, qUI',<1 situé " une distance de la surfaccrle ce corps plus grande que t,L",-, ~ (,.i. • • ..' ,.. 7. au boutet àOllt la temper,tture et les CQOrlwnueesso nt u, x, I,~' '. !

du t'ômps t ; prenons dans B un point:M, et dans 13' un pomt.M,j;'ès voisins l;un et l'autre de M, et appartenant avec :M à une hg

ne

h-oite C\T:\l'1\'I'(fî'f ID'" soient ln el n/ des parties de fi et B', de~ l L "-' ...J ....I _, L - o' ,1 , 1

'~rallciei; r insensible, 'et qui cOI:uprennent les points M, et M'; ~ppe-lom li, et u' leurs températures au bout du temps t ; soient au;Sl ~l e;;,' leurs volumes; x,, ],' z, les coonlonr.èes de M" et x, Y', s

celles de JI'[!; faisons

~fflY l "'LM' = "+ r = r.;M,l\f=r, in"~=r, '

et désignons par cf' la dimillu lion de chaleur de m, provenant de l'é­change cu lro ni, et m' pendant l'instant dt. D'après la formule (2),

nous aurons

R, éLaut ce que devient la fonction cD du n" 45, quand on ~ m~tles quantités qui répondent aux points M, et M' , de sorte que Ion mt

PL1

:;.:::; éIJ (1'1' UI

, u', Xl ~ Jr I 1 Z,' J.-', yi, z').

Cela posé, 'ii nOUS concevons un cône circonscrit à l'élément w

t 0 COll1'11et au point :vi et ci nous apIJelons ù la sommect a y an S ll., J.. ~ t' ~ L.O

des '\faieurs de J relatives ~, toutes les parties de B' comprises dans

ce cone , nous aurons

Ù = (J,dt ffft, (u, - u') dr.ds J

en r/:ll1plaçant la SOUlllle par une iIltégra~e (n~ ~6), et Vi pa;' rél~­!llenl différentiel r,'dr,rls, du volume de B qm repond au pomt M;

DE LA CHALEUH.

d"ns Iequ«l c;Jemcnt, ds est celui d'une surface sph érique décrite du

poinl loI. co mme centre avec un rayon ég:d '] J'unité. La dislanccdu poiIlI ]'IJ, il la surface de A étant plus gr:mde que l , lIOUS pren­dJ'ouo eu cOllséc!uencc l'Înlôgl'ale relative à l'" depuis r, = r i I1S­

il ,,'il r, = 1. Quant ~ rinléf~rale relative ~ ds, elle devra s'étend;" "la portion de surface sphérique interceptée par le cône, ct que nom

l'ep resen teron s par .J-,

:\:1::lÎnt,,,nallt on ohticllcl,'a la somme des valeurs de L!. relatives i,toutes les pa tties de B, telles Cjlle ln." au moyeu d'une nouvelle inlligrale triple, dans laquelle on prendra pOUl' l', I'élérnent diffcl'(;n·,tiel d.u volume de H correspondant au point M,. Si J'on mène pafJe pOlllt !\I, une normale N,MK' à la surface de séparation de Ret B'dont JIN, soit la partie comprise dans il; que l'on fasse "

M,MN, = 9,

etque j'on désigne par of l'angle que bit le plande MN, et :'IllVI"avec (] n plan fixe passa]] t pal' MN" cette expression différentiellede ". sera 1'" sin edrded~/. L'intégrale relative à r s'étendra depuisJ' = 0 jusqu'a l' = l; on intégrera depuis -+ = 0 jusqu'à "- = .271",

et seulement depuis e= 0 jusqu'à la valeur de e qui ,) lieu il la SU/'­

face de Il, et flue je représenterai par e- i , de sorte qne i soit untres petit angle dépendr.nt de la courhure de cette surface au point M_

Or, cette somme des valeurs de Il sera évidemment la valeur duflux d~ chaleur [wdt b travers l'élément uJ; car, J'après l'éloignementdu pomL M, ~e la surface de A, toute la chaleur émise par chacunedes deux parties il et R' est absorbée par l'autre; par conséquent, nousaurons

lev = IR, (il, - ni) T'a sin 8dT'dr,dsd8d+

L'intég,'al: relative à ds étant une 'intégrale double, il s'ensuit quela v~le~lr ngo~reuse de r dépend d'une intégrale sextuple; ce quidevait e!re, pmsque ce flux de chaleur dépend de l'action réciproquedes parties de B ct de W ; mais sa valeur approchée sc réduira COmmeon va le voir, il unc intégrale simple. '

(52). D'abord, il cause de la petitesse des dimensions de cv quel'on suppose insensibles par rapport à 'Z, nous pouvons considé~er u'

r'(T = 6J cos 9,

ct, par conséquent,

1 du Il du 'Il duli, - Il =-d- r, cos -d- r, S1l1 cos -1--- r sin ~ SI'I' i

J: ur "'t' dz 1 {) ~ ..... IV ,

DE LA CHALEUR.D:­

pour les coonlonnées de M, et ]VI'. En négligeant les carrés de r (,1 ri, ilen n:Sllltcra

il ,cause de r, =!'+ 1". En même temps, On réduira dans 11., les tem­~)(!t'~turc,sct les cool:données de Ml et M';' leurs premiers tcrrnes , c'est­a-~Ire ,a la temperature Il et aux coordonnées x, y. ;;: de lVI" ceqUI donnera R, = V" en désignant par V ce que dev;'ent'Ia 't't"\ 1 cl "" quan 1 e

. u UO 48, quand on y met l', au lieu de r, Cela étant les iinté -ati ",1' 'Il l' _ '. . ,.gla Ionsle aüves a et l' s effectueront Immediatement dans l'expression de

r; les termes cl' cl d du du.epen ans e & et dX disparanronr, et l'On aura sim-plement

_ du , ~ du 'n du.El, - U -d"-' / cos 0 -d" r Sin 0 cos -, --- r sm 9sin L.r lY -'1' dz . - \,

1 +du _1 A du 1 • n duEl =u -1 r coso+] r slnocos-'+----.,/J sin 9sin,r

lX 'Y 't' dz • 'l';

r = - ?-"." '!!:.f'( r t V,, ri,') 1~ d» l ,"'! [,r,..... "'" 0 '\J t

Je fais, pOUl' un moment,

m ème pour les valeurs dc l' comparables aux dimensions de (,l, sansqu'il cn puisse resulter aucune erreur sensible dans la valeur LoLale

de Tr.J,A l'<lisonde ce racleur cos &, qui sera introduit sous le signe j, la partie

de r dépendante de l'angle i, ou de la Iorrne de TI, aura pOUl' coeffi­cient le carré de la fonction des l'ayons de courbure qui entre dans!'expl'c"sion de l'action capillaim ; en sorte que la courbure des sur­laceS i ufluc beaucoup moins sm-le flux de chaleur que sur les phéno­mènes de la capiliarilé. SOli influence sera tout-à-fait nulle au degréd'approximation où nous allons nous arrêter.

}.rn'ès avoir déveioppé le produit R, tu, - u') en série, nousbornerons I'approxirr.nt inn comme clans le n? 4l), au premier termedl) C[~ développement. Cela étant, nous pourrons négliger i , et étendre

l'intégrale relativl' il e, depuis e= 0 jusqu'à e= ~ '7T. Il n'y auraitd'exception que si Je" rayons de courbure de la surface de B au pointNI, étaient très petits et comparables à l; mais nous supposerons quece cas n'ait pas lieu. De cette manière , en supprimant le facteurcommun GJ, nous aurons

f)!; TnJ~ORm MATnf~MATIQUE

(~l TI l comme étant ~ensih1cmell! invariables dans l'int~gratiol1 relative:1 ds qni se réduira alors ~l cklllgCl' ds en v. Par la même raison, eten ohscrvan t que cv cos 9 est la projection de (» sur un plan mené pal'le poillt jI perpcndicnlairement il la droite ]HM" on pourra aussiprendre

POlU' simplifier le calcul, je prends l'axe des x parallèle il la normaleN,MN' ije le suppŒe aussi dirigé dans le sens de la partie MN' com­pris" CI} dehors de B, ct le pland'ou 1'011 compte l'angle ~ , parallèleà celui des x et]' i en sorte que cos 9, sin Il cos 'f' sin asin -+, soientles cosinus des angles que fait la lignc MM' avec les prolongemensdes coordounées x, .Y, z , du point M, ou ceux: des supplémens desangles compris entre i\UI, et ces mémcsprolongernens, On aura alors

+,=x-rcos9, X,=x-!'sinBcos+, z,=z-I'siuQsin+,;'1:' =x+r'cos e, y' -I+r'sin ecos -+, z' = Z+I"Rin esin~,

de,sorte q~e,;r s?it une fonction qui s'évanouira pour r = i, et tellequ en la dllfel'euLlunt par rapport à l', on aura

dfrdr = - VI'.

En intégl'llnt par partie f on a géllémlement,

f J rdr = rJr -f~.fr'.rd'"dr '

donc, puisque le produit IjT' s'évanouit aux deux limites P=o et r= l,

13

on aura

THÉOIUE MATHÉl\IATlQ1JE

dur = - !,---:dx

par conséquent, en ayant égard h l'expression de la quantité le du

nU 49, on arrra Iiualcrnen;

DE LA CHALEUR, 9\1tihilité k est la plus gr~nr1e. Dans Ies liquides, elle est presquc nulle ,ainsi , lorsqu'un l iqui de en repos est échauffé il sa partie supéi-ieure, sescouches inférieures s'échauffent très lentement; en sorte qu'il faut untemps très grand pour que sa température s'élève d'une maniere &en­sible , à une profondeur- peu considérable. Si, au contraire, le Iiquid«

est échauffé par en bas, ses parties infét'icures se dilatent et s'elèveut ,

en conséquence, à raison de leur diminution de densité; en mêmetemps, ses parties supérieures descendent; puis elles s'éclianffcnt

quand elles sont pal'venu\;s au bas du liquide, ,ct rcrnoutcut ensuite

vers 1:1 surface, Il se produit ainsi, dans tout le liquide, un mouve­ment très compliqué et qu'il serait très difficile de soumettre au calcul,mais dont l'effet, quant il la chaleur, est de suppléer au défaut deconductihilité et de produire assez promptement une températureégale dans la masse entière. Les mêmes doses ont lieu il ]'ég~1'[1 desflu ides aériformes ; la conductibilité de la chaleur de proche Cil

proche est à peu près nulle dans les différcus gaz. Quand UII g~z esten contact avec un corps chaud, il n'y a guèrc qu'une co uch« extrê­moment mince du fluide qui s'échauffe directement; au-del." de cettecouchc , la chaleur se transmet dans le fluide, Hon-seulement par ledéplacement de ses parties, mais aussi par' I'absorption , en pGtit,; pro­portion, de la chaleur rayonnante émanée du corps chaud. l'eul~(;tl'e

l'échauffement direct de la couche fluide, en contact avec ce COTpS,

n'est-il que l'effet de cette absorption augmentée dans un tres grandrapport par la condensation que produit l'ath-action du corps, et (luirend la densité de cette couche beaucoup plus grande que ln densiténaturelle du fluide.

Dans l'intérieur des corps solides, comme le verre par exemple,qui sont traversés dans dl, grandes épaisseurs pal' la chaleur rayonnanteémanée d'une source dont la température est très élevée, la chaleur sepropage à la fois, de proche en proche en vertu de la conductibilité

propre à chacun de ces corps, et par l'absorption plus ou moinsgrande de cette chaleur rayonnante.

(%). 11 cst possible que dans certains corps la conductibilité dela chaleur ne soit pas la même suivant toutes les directions autourde chaque point. Cela peut avoir lieu dans le bois, composé de fibresjuxtaposées, et où la propagation de la chaleur est peut-être plus

r 3..

il Cil l'é-

r i . fi di,.frdr = - .x.Ô. l'dl"J () - 0 dr ,

,r'lf ri - -, [1 _! 'J' , ,r,dr.)dr = "r'rlr ;

.' (\ ,_ ./' ~ fj

Le, vaL·,il' ri" k cs! lrè,;; différcrLté dans les diverses mutièrcs , ct nep<::ui: t:L!'C détcrtnrnéc qne pal' l'expérience pour chaque matière en p:n'­

.iculier. Elle dépend aussi de la tompératurc : sous ce nlpporl, il yalieu de croire que sa variation est plus granrle, dans les corps solides,que celle de la chaleur spécifique, qui n'est sensible qu'à des tempéra­turcs très élevées. C'est, en général, dnns les métaux que la con duc-

rjnanlrlé qm sera aégativc ou positive 1 comme cela doit être, selonquc la température croîtra ou décroitra près du point M, dans le sens

de la normale MN' extérieure ~. B.

Abstraction L"ie dl! signe, celle formule fait voir que Ies l1uxdt: chaleur ]'zq)porié:.; aux :1nîtés d~ ~:iul'face cl de temps 1 et relatifs ~l

un ·((;tf:1C point _c;I, qui out lieu. à travers différens elé111CnS de surfaces

passant l'Ji" ce poiut , sont entre eux comme les décroisserncns de tcrn­perr.turc suivant les ducctions pei'pendiculalres à ces élérncns et re­btil~ il une même épaisseur iufiniment petite. Pour lHW rnèrne

~~a1eru~ du rapport du décf'oiry:=ci1JVnt de le:nTH~rature à l'épaisseur COi'­

respor:dantc, le flux de.: chaleur cst proportionnel à]a fjullntiit: k. La

cornrrnp;Ïcntion Je' l~t clialcul' entre dcu~>c pnl'tics contiguës d'un corps" donc Iieu , tOU!b cLoses crailieul"s égales, avec plus ou moins de fa­cilil.;, selon rlue cetle, ([lwntité est plus ou moins grande; c'est pour­quoi l'ou prend la Guanti'{~ k pour la mesure de la conductibilite de la~ha181.1r dans l'intél:ieur d'un 'corps dont les différentes parties sontillég;llcrnent ech:HlfTées. -

.. dfr 1 l ' '1d Cil rciuettau! pour jr ct -;J;: curs va eurs prece( entes,

-.ul rcra

ct) cn vertu de la formule (3) du numéro cité,

la valeur de R, déterminée par l'équation précédente, sera donc

en désignant par e la base des logarithmes népériens, et fa isant

lOI

.,p = e

drud; , f' = f, q' = q;

u) = L pmnï (qn' - q'n).'-l-I~

DE LA CHALEUR.

Fu' - Fuu' - u

w'PL (u'

On a d'ailleurs

1 , 1 , (Frl - Fu)R = 471' nt qq u' - u '

l-=€..P'l

Pal' conséquent, la valeur de V sera

Pour en déduire la quantité V ql1i. entre dans l'expression de k , il Yfaut faire (ne 48) u' = Il, et les coordonnées du point M' égales licelles de M, sans changer la distance r ou MM' d'où dépend le facteur

p. On aura donc

sure par Il dans le n" 1 l ; je comparerai ensuite les flux 'de chaleurqui on t lieu dans I'iutérieur el à la ,;t:rfac~ des corps. ,

La (!uantité J contenue clans 1eqnatlOtl (?) de ce chapitre , esté".ale ct de siene contraire il la quantite tIésignée par la même lettre

.., Dl" 1dans l'équation (2) du n" r "i. De C8S (eux eql1atlOns, on cene ura ,

en conséquence,

11 = qFu, 11' = q'l'z{;

et en même temps on devra prendre pour p la valeur de cette quan­tité qui a lieu dans un corps homogène dont la matière et latempérature sont partout les mêmes qu'au point M de A; laquelle va­leur est (n' 1 r)

1

1

wu THÉOnIE MATHEMATIQUEraci!e clans le sens de ces fihrcs que Jans le sens perpendiculaire "leurs directions. De même, dans l'intérieur .lcs crisLaux, il u'cst pasimpossible que la conductihilité dc ln chaleur soit différcnte dans lesens du c!il'rtge ct suiyant d'autres directions.

l'our que cette anomalie ait lien daus le COl'PS A, il faut que sanature intime varie sensihlemeut dans l'étendue du rayonnement in­téricur , c'cst-;t-dire dans une épaisseur égale ~ l, En calculant lavaleur approchée de la formule (11), on ne pourra plus alors, commeon l'a rait tout 1t l'hcure , réduire les coordonnées des points l'tf, et )',1'

à c0211es du point 1\1, dans l'expression de It.. Mais si la températuren'epi-ouve pas de changement brusque, et qu'elle soit au contraireseu<ÎhJe1118nt la même tout autour de chaque point M, dans l'étendueélu rayonnement intérieur, on pourra encore mettre u ~ la place deu, el ;il dans Pt" et développer l'autre facteur u, -ltl

, compris sousJe sigm, f, suivant les puissances de r et ri. De cette manière, Il, seraune fonction de li, "» r, 9, ~, de forme incounuc , non-seulementpar rallpart ~ r et "» mais aussi par rapport à eel ~; les intégl'ationsrelatives à ces angles ne pourront donc plus s'effectuer- comme dansle cas général; et la valeur approchée de r, déduite lIe l'équation (J r),

prendra la forme1 du 11 du '" dur=-rt-- t. --ft-,

dx dy dz

en arrêtant toujours le développement de 11" - u' aux premièrespuissances de r et /, et désignant par h , IL', h", trois quantités po­sitives, dépendantes de la température u et de la constitution in­t iru e de A auteur du point M.

Cette expression du flux de chaleur à travers l'élément cv est moinssimple que la formule (12), et ne dépend plus seulement de l'accrois.sement de température dans le sens perpendiculaire à cet élément.L'équation du mouvement de la chalcur serait aussi plus compliquéequP. l'équation (7). Mais dans cet ouvrage je ferai abstraction ùe l'iné­galité de conductibilité en différens sens, qui pwt quelquefois exis­ter; ct sur ce point, je renverrai à un ,?émoire de M. Duhamel,inséré dans le 21" cahier du Journal de l'Ecole polytechnique.

(55), Je vais maintenant faire voir le rapport qui existe entre laconductibilité k et le pouvoir absorbant, dont on a représenté la me-

10.2 THÉORlE MATHÉMATIQUE DE LA CHALEuR.. 10:>

- ~) cos B sin Bele.

f=

Or, la température !J différant cxtrérucrncut peu de li, tandis qlle Ilpeut diffél'el' heaucoup de ç, il faut donc flue il soit une fraction ex­t rèruoment IJetile, sans quoi le flux inlérieur serait toujours iucorn­parablement moindre que le flux ex téi-ieur, ce qui n'a certainementpns Iieu .

Pour satisfaire à cette condition, il est necessaire ct il suffit quel'inconnue <P, contenue dans la valeu r de Il, ct qui tient à la varia­tion rapide de la température dans la couche superficielle de A (11' 21),soit très peu différcnte de l'unité; cc qui montre de nouveau la néces­site d'avoir égarrl il cette variation rapide de température, près dela surface des corps qui s'échaufient ou se refroidissent. Dans la très

Si donc on représente pal' X Je l-appod de la pl'emièrc vulcur de r:i:! la seconde , on a UJ'a

T = g(!-'-' - (h'),

n étant un nombre abstrait déterminé par la formule

une approximation suflisante , cette valeur de r par celle-ci:

afin de la rendre plus facilement cornparahle il celle du flux dechaleur qui il lieu à la surface de .A. Pour des températures Il et (du corps et de l'enceinte où il est placé, l'expression de cet autre fluxde chalcur est , en effet (n° 26)J

r = 12g (fi.!' - 0;),

l . d.f"TI

313• dX'

Dans un corps solide ou Iiquidc , la ligne E est très petite1: n" ! l); en désignant pal' (J la lem l',ira turc qui a lieu SUl' la nOI'-

male MN', à la distance ~ ê de M, on pouna donc remplacer, avecJ

a II moyen de quoi celle de r qui est donnée par l'équatio.. (! 2),prendra la [orme :

[ dl'Tl (1

G~q du Jo

v=

k

L" va leur conesponclante de k pourra s'écrire sous cette ferme:

g étant nne quantité de chaleur inconnue ct commune à tous le,corps, et l'~ le nombre constant 1,0077' La valeur précédente de k

deviendra donc

La fonction fu étant la même pour tous les corps, ce ne sera

lÎonc ,::m'à raison du facteur p'q ou EJ f{lle la conductibilité k pourra

vo.ricl' d'un corps à un autre pOlll'UnC mémc température. Si f'J q" k"SOllt la densité, le pouvoir absorbant et la conductibilité d'un secondcorps, différent de A, on aura, il égalité de températnre ,

k, - P'1Y-p.q,'

'1 q dt béquation (IUl fera connaïtre C rapport fi cs pOUVOIrs ansor ans,

lorsque celui des conductibilités aura été déterminé par l'expérience,

et que le rapport des densités sera donné.

:.56>' D'après la valeur de l'u qu'ou a trouvée dans le n° 26,

on a

celle de l'intégrale qu'elle contient est le double de 1 - c ,~ua,ls

la c'u,]l]tité u devant être ill5ensihle 11 la limite T = L, on peut negh-1 J

!

gel' l'exponentielle e ': et l'on aura simplement

k - -'-~ {!X~U-- 3rl du·

nous auronsl',' = ]" + (]'I + ç)'.

MM' r', Ml' = r, M,P =~, M'M, = l',;

Les coordonnées de ~I ét.ant x, .Y, z, et I'axe des x ét.ant dirigé,comme plus haut , dans ll~ scus de la normale Mi'i', les coorrlnnnéesdu point M' SCl'O,t x +':, r , z, et celles du point lU, pourront êtrereprésentées par .x .- y" l - ]' cos -+, Z - l' sin -+, en désignant pal'~ un angle susceptible de: cruihe depuis -+- = 0 jusqu'à y = 271'. Envertu du théorème de Tavlor', 00 aura donc

du • 1Cl" "Slll l' + etc.,U = Il _ '!:: r- du 1

, cI.r" - 4Y r cos l'

, du rU = Il + L T + etc.

L'expression de J' du n° 51 sera l'augmentation de chaleur Je m',provenant de l'échange entre m' ct m, pendant l'instanl dt. On en dé­duira la valeur de Q{»dt pal' l'application immédiate des règles ducalcul intégrnl (n° 46), Ainsi, en mettant dans celte expression de d',à ln place de (J', le volume (al,,' d'une tranche infiniment mince ducylindre normal, et. illtégra[Jt ensuite depuis r' = 0 jusqu'à r: = l ,on ohtienrlra d'abord J'augmentation de chaleur du cylindre entierprovena nt de l'échange avec une seule partie m, de B. Cela fait, onen déduira la valeur' totale de D.ûJdt par une intégrale iriple , l'ela­tive aux variables l', ...,., ~, dans laquelle on prendra pour le [ac­teur v, de J", l'élément différentiel du volume de B, exprimé ail

14

DE LA CHALEUR. I05

leur coïncidera, comme on va le voir, avec celle de r qu'on a trouvée

plus haut.

Désignons toujours an bout ùu temps t, par u, et u', les tempéra­tures (les parties ni, <il tu' qui répoudent au point l'II, et M' de TIet W, et pal' II celle qui répond al! point l\i de la surf;lcc de sépa­ration; snppnsons actuellement que Mf (fig. 1 J) soit situe s ur la nor­male MN'! et que la partie m'appartienne au cylindre qne nous con­sidérons ; du point IiI, ahnissons une perpendiculaire 1\1,1' sur le plantangent {Ct! .U à la surface de B; et cela étant, faisons

1

1

ti = .: ri'" cos esin edt=;;2 0 ~

ce qui rendrait celle ue )(. tout-a-fait inadmissible.

La quantité n él21lt donc une td~s petite fraction, à cause du Iac­teur 1 _ Cf' très peu différent de l'unité, il faut cepcndau t que leflux e:;téricUl' dont Il est un facteur, ne devienne pas aussi extrême­ment petit; et }Jour cela, il est nécessaire ct il suffit que son autrefadeur constant g soit une très gl'ande quantité de chaleur. Ainsi,la considération des deux quantités cp et g est iudispeusablc pOlir ac­corder entre elles les expressions des deux flux de chaleur qui outlieu dans J'intérielll' et. à la surface d'un COl'pS, dont l'un résulte d'unetrès petite différence li - v de température, l:al~tre d'une ~iffél:etlce

tc- r:, incomparablement plus grande en generaI, et qUI doiventavoir néanmoins des valeurs du même ordre de grandeur.. L'expérieuce Ile l1étermine pas séparément les deux facteurs Il el gdu pouvoir rayonnant ng ou i, (nO 2(j): Tt est très petit et variable,g est constant ct trLs grand, ct leu!' produit peut être en conséquencetout ce que l'expc:rieuC€ donnera dans chaque cas pOUl' la valeur de À.

( 5]), Nous pouvons encore considérer ~ous un point de :ruediffél'ent. de celui qui nous a conduit al'éqnatlOn (12), la communica­tion de la cb,lleur entres les deux: parties contigllës TI et n' du COI'PS A.

Pour cela, élevons en dehors de TI un cyIindre perpenrliculaire àla surface commune de ces deux parties, et ayant pour base l'élé­ment [i) de cette surface, qui répond au point M situé, comme pré­cédemlîlent, il une distance de la surface de A plus grande que l. Onpourra représenter, pendant l'instant dt ~ par flllldt l'excès de!a ch~­leur émanée de B et absorllée par ce cylindre , sur la chaleur emaneede ce même cylindre ct absorbée par TI. La question qu'il s'agit main­tenant de résoudre consiste à déterminer le coefficient .n1 dont la "Va~

1. TutonlE MATHÉMATIQUE104

petite épaisseur de .l;~ couche, superlicid!e. qui, émet et absorbe ~a ~~Hl-'leur rayonnante! SI la tempemttlre V3rJ~lIt tres peu, comme a l'in­térieur dans une égale éprri,.,eur, on aurait qJ = 0; la surface étantsupposée entièrement pcrm ..:ahlc D. la chaleur ou dépourvue de l'é­flexibilité, le facteu.: et. serait l'unité; la plus grande valeur de Il se­

rait donc

106 TIIÉ(lltlE MATIIEMATIOLl DE LA CHA1,EUR.

les limites des intégrales demeureront encore les mêmes; on aurar, = r, et, par conséquent,

Challg-eons actuellement la variable r et sa difléreutielle , et rempla­

çons-les pal'

.0.= - 27T '!.':' {"'J'" (~+r') d~dr'_f'" [r.r'tir.dx •. () " [1 + (~+ ,.')"l~ 0

dr

V'~c~:-(Cf~y.;..

mo}en des différentielles etc ccs Irais variuhlns , l eque l est rdrd~d-I~.

L'intégl'a!e relative il ~ devra s'étendre dopuis l~ valeur de cette va­riab!~ en fonction de r ct {, qui ~ lieu à li! snrr~cc de H, Jusqu'à~ = 1; on intégrera ensuil« depuis ,J, = 0 jus',u'à ~ = »vr , et de­puis r= a jusqu'il r= L

n~:: C{~UC ma nicro on obtiendrait la valeur 1'igourcuse de [l"/Jlt;

mais S1 fan négligp. dans ces calculs les PUiSS:U1CC5 de ~, r, 1"', su­périel.ll'es ~1 ]a prcmièro , on pourra étendre rillt.égrale relative ~ ~

c1epui, /;= 0 jusqu'« ~ = 1; on aura simplement

el l'on réduira l'autre facteur 11, Je J' à une Iouctiou de t., Il, X, )', z ,qui "l'ra la ['onction V, du n? 52, que nous désigncroll,'i par fr, atten­du que nous aurons seulement bcsoiu d'y cOllsi(lérCl' let variable r-.,

L'intégrale relative à. c+ s'c[J<:c!uera illllllé,ji"tcillcnt; eUe [enl dis-. du du . 1"

paraJtnè d.i et d~; et en snppnmant ,C tacteur commun c.dt, il

e il résul tcra

Il ne reste plus mainteuaut qu'il réduire cette intégrale triple il uneîntégl'alc simple; ce que UOltS ferons dam le numéro suivant.

iSS), La fonction )f'" faeteUl' (le la '1 {la ntité soumise il l'intégration,est nulle POIl]' Io ul.e valeur de r, plus grande qne l , et l'on a ï', > L,dès {Ille ]'tlilC des trois variables r , ~. r , surpasse l; il s'ensuit doncCine l'on peul t'tendre l'intégrale relative à chacune de ces variablesau-ddil de la limite l , et, si l'on veut, jusqu'à l'infini. Alors, si l'onmet r~ ct rr, ft la place des variables ~ et l", et conséquemment, rd~

et rdr' au lieu de leurs ditléreuticlles , les limites des intégrales rela­tives à r, Ë, ri, seront encore zéro et l'infini; la valeur de r, deviendra

r, =,. \/~+ ([+ 1j';ct celle de ü prendra la (orme

da !''''' ("'fT. u; + 1")/'" . , •.n. = - 27f~J .· ..----;-.--,:;-j/',drdcdr.da 0 J 0 0 l + :..~ -f-- r ) z,

- 3'

En etl'ce! uunt les i ntégratiolls, on a aussi

n - - k '!:'..- dx '

et, pal' conséquent,

r: (Of' (~+r)d~d/"

J 0 J 0 [1 + (~ + J!)']~

On aura donc finalement,

, (7'le =:; fr.r"dr.d ..... ()

Dans l'expression de k du nO ~9, on peut aussi étendre l'intégrait<jusqu'à l'=CIJ ; la quantité V qu'elle renferme est la même que fr; 011

a donc

en sorte qlle la valeur de n coïncide, comme on l'a dit plus haut,avec celle de r qui est donnée ponr la formule (12).

(59)' Cette expression commune de 0. et r suppose les coordon­nées du point lV[ rapportées à des axes parallèles il la normale et auplan tangent en ce point il la surface de B; ce qui était propre, eneffet , :, simplifier les calculs; mais maintenant il est han de transtor­mel' la formule (12) en une autre , dans laquelle les axes des coordon­nées soient indépendans de la direction de l'élément 0). Si x,)'. z ,

14..

du f'''' ') du 1 du . t-- Ic" _1- l' - -- T' cos '~, - ~ rSln «Ldr \-.' e t'Lv ' C1Z 1 ,

li] _U' ==

du du du du- = ~- cos a + - cos (; + - cos ", :d.rJ

dr dy riz 1 ;

Si, au contraire, 011 regarâB Il comme une fonction de x, I, Z; onaura, d'après les éfpmtions pn:cédentes,

formule qui S:l'a aussi l'expression géllél':lle de t2.

En ciT'd, soient x" ,J"" Z,. 16 trois eoordonnies de M, "yan!même ol'igjI1c qnc x ;.)~, z , ct 1~3ppul'll;cs, la rn"cnlièrc .Y,;t u.n ~lxe quia la mêJiE' direction rjlJcJ\L\', Il:s ,lcux autresj, et ;, " des axes per­pCllf.licubire.s entre eux et à laxe des X

I 1nous aurons

loB THÉOlUE J\JATm>MATIQUE

représentent les coordonnees du point l\I, r~PP()l'lécs:1 des axes rcc­tanguhi,'cs cflll:lcon([IJ(os, et que Ci. , 6, 'Y, soicur Ies ;t!lglcs que la nor­malt! I\L\', cxu;ril'ure ~ D, L,il avec des pal'allèles h ces axes menées

par cc point, on au ra alors

DE LA CHALEUR. 109pose, ront cfois , quaucuu point de la surface de n' IlU soit '1 uue ùis-tance Jl' c"Hl' de A, moindre que l , ct que les dimensions d" II', im:;iiipetites que l'on voudr.. c1'ailleurs, surpasscu t toujours celte Emite 1 du

rayou ucrncnt intérieur : la première ~:ondilioll e,~t nécessaire ponr'1 nel'on puisse foire us~ge de h for-uiule ' i '» dans toute ictcudu» dela surface de TI'; In seconde doit èt re l'f!mplic pOUl' que la c!Je,­

Icur émise par TI h travers cette surface soit absorbee en cntie»pal' D',

On trouvern encore l'augmentation instantanée de la ch alcur de B',

en prenant ln. somme des augmenlations (pli résultent des 6\:Jlanges

entre B ct les cylindres élevés dans l'illtéric/:r de ]l', pcrpcndÎcubil'e­

ment sur tous les clémcus de sa. surLce; ]ar1ut:lJc somme .scra d');Jlléepar l'intégrale de ,ne,> étendue il la su rface cut icre ct multipliée P")'dt; cc qui coincidcra avec le résllltat d2üuit de la cousidération duflux d~ chalellr r, Cil c:\pl'ill1<Jnl le', valeurs de r ct n p:lt' L rnèrnoform ule (1 'i). A la vr;I'ilé, les cylillc1I'l's 1I01'm,111X, pOIlI' J'emplir cntie­rerneut et salis douhb emploi le volume de ",', devraient ét,'e rem­placés par des liJets qui sc rétrécisscn t ou s'd~rgisselli il raison de laconvexi té ou de la concavité de cette pairie de A; mais il but o hser­ver qu'en déterminant la valeur de n, on el d(;janégligé l'influence (le

la cour-hure dc B', et qlle J'un doit, CDIlSér[nemmen l, eu r:Jire encore

nhstract iou dans les u"ages fflle l'on fera de cette vnle u r,

I.n cousidération de l'accroissement instantané de chaleur du TI'peutaussi conduire ;1 l"érfllation gdllérale tin mouvement. Je la clmleurdans l'illtéri~ur dl: A, JJLll' une méthode qu'il est bon du connaif re , etqui diffèl'c csscnticllcrnent de celle que nous ,'lVO(iG suivie d'abord, en

ce que 1:1 part ic III de A dont on considérait l'allgmen ration instantanée

de chal cm- devail avr.ir des dimensions de gl'al1de~lr insensihle parJ'appol'l Ct l, taudis que maintenant 1",5 dimcluions de B' devront en­core être très petites, mais plus gran(bs rplC Ï,

(6r). Les intégrales des Irois termes de la formule (l:-J) uiulripliccpJl' (,', POUl'I'OIl! se déduire de I'une d'elles pal' t1et. chanrrcmr.ns delettres: il suffira, par exemple, de considérer l'inti~gl'alu ~~ol'l'espon­dante au premier- terme. Je supposerai, pOUl' fixer les idées J l'axedes ,x; vertical et di"igé tians le sens de la pesanteur, et la pal,tic il' JeA située eu entier au-dessous du plan des)- et z. Si j'on cOl1yoit un

( 13),Ir/v ,d" P 1 du, , \T = -7, \ , COs Cl-... -j cos b -r T cos 'Y) ,vu; {.~r c.::..

cc x, cOs et + y cos Ci,1 + z cos (,'1/,u 1

cT X cos b + ,TI co> b' + z" cos bll1 ,

z x, cos )' + y cos 'Y',

: cos "y";, , 1

,~ Si, il, ct v}!, CI, »". étant les angles que font jC5 axes dcs,~r,(:t Zr

avec CC'Il:'> des .17, y, z, Or, si l'on considere LI comme une fonction

de cr" y" zl! cu aura, en vertu de la formule (12);

l' = - k :!!'-.d::c~

et de Ct:5 deux dernières équations, on conclut immédiatement hl [01'­

mule (13) qu'il s'agissait d'obtenir.

(60). En J}renant pour 0) l'élément différentiel de la surface deséparation de 1:1 et B' qui répond au point 1\1, l'intégrale de r{v élen­one à une portion quelconque de cette surface et nrultipli éc Far dt ,exprimera Je flux instantané lie chaleUl' à ll'avers cette même portion

de surface. Si Il enlnure B' de loules pads (fig, 12), et que l'on éfendel'intégrale il let surf.,cc entière de IV, œ flux de chalcm sera l'aug­mcntation totale de la chaleut' de B' pendant l'instant dt i ce qui sup-

.J ro DE Li' CHALElH'" 11 !

/ dll)! ft ---, ds:

r duL'inté~)'l'ale IJrécédente, ou la valeur approchée de - 1k -- o: cos Ci,

;:, .) dx

en d8sÎguantpai' ~la kHlgnclH' de la droite [\1'1\1 /, de sortl-~ qu'on ait

-f·- ~J :=:- De celle !j;':lnière, la dîfrén:nc~ des deux intcgtales pré-(;fi{JeJ1LCS devicIIlll'a

A rxisou (1c LI peri tesse des dimensions de la sn rrac« S il laquelle cette

cl. k '!'.!illtégi-',lc double do; i sétendre , ou y poul'L'a considérer rh:--J;';-

comnJc une constautc, De plus, si l'on appelle II le VOI1J111C (le 11', Ou

If~(0'dz = H

poil]' i'inlégl'ule (les trois termes de la formule (13), multipliés par 6!J;

'''1 sorte que cette expression multipliée par dt sera l'accroissementde chaleur de B' pendant cet instant. D'un autre côté, si l'on appelle cla chaleur spécifique <b A, (lui répond au point M, on pOllrr~, à causedes petites dimensions de H', rcgat-der c, aussi hien que la températureli relative au même point, comme des qunntités constantes dans

toute l'étendue de cette partie B' de A. Son accroissement de chaleurcorrespondant à la variation du de sa température , sera donc aussi

Ilcdu; el en l'égalant à la quantité précédcnlc, multipliée pM' dt,nous au rons

ri. '!!:dT

"era donc enfin H --;r;- On trouvera de même

frt

1

drdz = ± ca cos It,

Or, si l'on suppose que les dimensions de B', ton jours plus grandes quel, soient néanmoins très petites, les variables F,' ct ~, le seront aussi;

et si l'on néglige, en conséqucncc , leurs puissances supérieures à 1"

qui s'étendront l'une et l'antre " tous les élornens drdz de S, mais dans

lesqueiies (k ~~) se rapportc à uu point quelconque de S" et [l: ~.~J,

a un point quelconque de S'.Cela posé, soient JU, M', MI' trois points situés sur une mèrn»

verticale, dont le premier appartient il l'intérieur de BI, le second à S'et le troisième il. SI' Ces trois points auront les mêmes coordonnéeshorizontales v cl z; cl si ,1:' est l'o ivlounée verticale de M, on pourr:l

représenter ~elJes de M' et M, par x - ~' et x + ~I' En développant

suivant les puissances de ~' et 1:;" on aura alors

l k du

( k '!.'!) = k '!': + -~' dx 1: + etc.,<Ix die do:""

d, k '!'.'L-li dU] = k rh dx f + etc.

d x: da: d.;c

on d"Vl'il donc prendre le signe supérieur ou În[àieur selon (PC 6)

appa,·ticudra il S'on 1< S" aun que -+- cos a soit toujours positif i par

. 1'-' 1 d J du . d . 1 Cconsequent, Intcgm e e - n: d; 0) cos U ,elen ue n a surrace e11-

tière de l)', sera la différence de deux autres intégrales doubles, savoir:

".rlindre vertical , tangent 1< Li surface rle B', la lign(' de contact divi­sera cette surface en del" parties (pli auron! ,lIW même projection ho~

rizon tule : rappcl1(~rai S' la pnrtie supéiioure , Si la partl~-::l1.1J.ët'jellrc 1

el S Ieu r p]'(:jec,ion commuue : ,r:'pr~s la direclion [Je rase de,,;x et

1" position ùe B', i'nllgle c: 5e,'3. :ligu dans toute l'étend ue de Sr, etohtus en tous les points de S" 01', l'élérncut ,;J et sa projection hori­zoutalc dni: étuut des quantites positives, liées entre elles p~<1' J'é­

quation

La normale à sa hase supeneure, comprise clans son intérieur,(m'a un angle zéro avec l'axe des x, et des angle~ droits avec ceuxdes j- et z ; par conséquent, en vertu de l'équation (15), le flux

d . M ' k~de chaleur corresplln ant au pomt 1 aura pour expressIOn - ,h)

pour hil[uatton gé:1éralc (hl mouvement de la chaleur Jans l'intérieur

ch A, qui coÏnci .c, Cil clfd, avec l'équ3tion (7), qu'on a trouvée d'une

autre Hl;lill,:,:Ï'e.

'\ j'ai"", ,k, tiiiTércnt'"s quantités que l'on a :j(:gligées, cette équa­tion l['c,;[ '1u':ljJprochéc: mais il est han tl'observer que r~pproxi­

rn ai ion 1](: J'ode 'lue su;' la valeur rie r dont on a fait usage: cellevaleur éiant rlonuéc , le, Jeux membres de l'éqnalion (l~) peuvent

ôtl'e ,'e~,?l'<lés comme les premiers terme, de deux développemensd'une mèrnc qoanlîté de chaleu r, ordonnés suivant les puissances etles uroc1"i ts des dimcJ1Sipns de n'; ct les deux JéYeloppem'~1l5 devantétl'~ égau~ 5 quelles que soient ces {'linlensionf~, pourvu qu'elles sur­passellt Z, il faut (lue le premier terme de l'un soit l'igol1reusement

égal au 1)t'c111Îce tern1(~ (;e l'autre ..

(62). On pnrvicnt encore il l'équation (Ifl) , en prenant pour Br, unparaliél!;pipède rectangle dont les côtés sont très petits et néanmoins

plus granos que 1.Pour simplifie!' le calcul, je prendrai les axes rles coordonnées pa­

rallèles lIUX côtés Je ce paraUéll;pipède, adiaccns ~, uu même sommetqui sera Je point ".\1. Ces coordonnées de M étant x. J', z , les troiscôtés adiace115 seront leurs pl'olongernells, et j'en représenterai leslongueurs p3r li, h', hl!, Je supposerai, e0I111118 plus haut, l'axe des xvertical et dirigé dans le sens de la peoanleur, et la partie B' de Asituée en entier au-dessous du plan des)" et :E; la hauteur de ce paral­lélépipède sera h , chacune de ses deux bases horizontales aura Nil"ponr valeur, et JI étant son volume, on aura

l !2 THÉORIE MATJIÉ:'L\ TIQUE

i cl,1/~ d. k'!.'!. (l.//~!)d< '0' 'd- (Hedn = \. -{-,.- + -,-,- + -[-'-' Udt; I~)

-, l ,L ll) ( Z ,

1

,,i

DE LA CHALElm.

et, à raison cie: la petitesse de h' et N', Otl pourra regarder cettequantité comme constante dans toute l'étendue 10i l de cette base.Mais une portion de l:t «haleur qui traverse les démens de ce rec­tangle, doat les distances il ,[:, côtés sont moindres cJue Z, u'cst

p~1S 8h:"wIH;e pal' le parallcJlépip0d<: B', et sort pal' ses faces latc-

l'ales, l'Dur Gue: le Pl'Oc111i t de - li '!& el dc h'l/'dl puisse expi-imer

raugllH~ul~dionde chaleur de B' pendant l'inst:lll! dt, due au flux dechaleur il travers sa has« supérieure , il fandra donc qne l'on né-

l" ,g Ige la partie de cc flux correspoudante aux clemens dont il s'agit,pm' l'3ppmt au flux entier; ce qui exige que les côtés h' el h",quoique tl'ès petits, soient né.uuuoins de h!;s grands multiplesde Z,

Dans celle hypothèse, l'aunmcntution instnntanrie de chaleur dc, "H, provcnuut du flux à tra'lel'S sa base supél'il"Hl', étant

~ Ir ::!-".;"h"dtdx ,

on en déduira évidemment son augmentation de chaleur provenantdu flux à travers sa hase inférieure, en y mettant ,x'+ li nu lieu de x,et chaugean t ensuite le signe du résultat, parce que la normale inté~rieurs il laquelle répondent les angles CI.i (;, ), dans la formule (15),change, de direct ion en passant d'une hase il l'autre. Si l'on négligele carre de h; celle seconde nugment3tion do chaleur sera donc

l k "'.'l ' , , dk 'lU h'h"dt + __x Illi'hf/dt.

ar dx

Donc aussi, en l'ajoutant à la première, et mettant li au lieu dehlt'h", on aura

d " '.!!!", d-~--"-.Hdt

do: '

pour l'angmentation de chaleur de D' pendant l'instant dt, due auxflux qui ont lieu 11 travers ses deux hases horizontales.

En changeant, dans ce résultat, x en J' et en z successivement, Onaura les augmentations de chaleur de ce parallélépipède, dues aux

.5

DE LA CHALEUn

Les flux de chaleur à travers différentes sections planes de la harre ,faites par un même point, seront donc entre eux, d'après la dernière

15..

d.k:!:! il. Il ~aux !aces verticales de Il' serout aussi '12: Rdl ct .:»: IlI!1 Mais

'[r ,Lil raHt observer ql1e près de" côtés du parallélépipède, nue portiondes padies environnantes de A influe à la fois sur denx de ces troisquantités de chaleur, ct même sur toutes les trois près des sommets. Ily a donc double ou triple emploi à l'égard de ces portions extérieures;et pOUl' que la 'somme des trois éluantités précédentes exprime l'aug­mentation totale de la chaleur de Il' pendant l'instant dt, il faut qu'onpuisse: négliger l'effet d,èS portions extérieures dont il s'agit par rap­port il J'effet total ; ce qui exige encore , comme tout il l'heure, quelc~ dimensions du parallélépipède soient de très grallCls multiples de1étendue 1 dans laquelle s'exerce J'influence de ces mêmes portionsextérieures sur B'.

Un retrouve également la néeessité de celte même condition, JOI'<;­

(lue l'on appl.ique l'analyse du numéro précédent" la surface entière(~e ce paraJJélépipède, en considérant les arètes vive" comme des por­trous de surfaces cylindriques, tangentes aux faces adjacentes, et d'uurayon extrêmement petit, A cause de la petitesse de ce rayon de CDlll'­Imre, l'analyse du n° 5:>. ct J'expression de r C[U'OU en a déduite Ilesont point applicables, dans l'étendue L, de part ct d'autre de chaquearètc , et pOUl' pouvoir se servir de la formule (15), comme on J'Il faitdans le n" 61 • il faut encore qu'on puisse négliger cette étendue pal'rapport aux dimensions h) JzI, NI, de B'.

(~3J. Si le COl'PS A est une barre homogène, cylindrique ou pl'is­matiquo , qui ne rayonne p'l.~ au dehors i, travers sa surface latérale ,et dans laquelle le'3 points de chaque section perpendiculnive à SrIlongueur aient une même température , variable d'un instant à unautre, cette température Il ne sera fonction quc de t et de x, en pre­nant l'axe des x dans le sens de la longueur de A; par conséquent, leséquations (7) et (15) se réduiront Ji

i 1'1 TIIÉOPdE MA'I'HiükTlQULflux qui on. heu il travers ses Cintres faces parallèles ; pal' conséquent ,'ou accroisserncnt total de chaleur pendant l'iustaut dt sera, comme

pins ),aut.

1 . du fh~ du ")'LI, -,I.T ,I.Ie T d.1. T+ _.--'JI. + _-'-"- Hdt.

\ dr: ,~. ds:

Mais 111aintcnant, si lou consiucrc comme constantes, dans toutel'étendne de n', la température ct. la chaleur spccitique , et. celle-ciétant c au poin t l\l, ce même accroissement de chaleur dev ra être

,;"al ~ Hcdu ce qui donne de nouveau l'équation (I~ J.""Cclte maniere de l)~l'venjr à l'équation g'énél~ale du mouvement

de la eh;]l/èur lai"c quelque obscurite sur son dcgré d'approxima­tion. il raison rles quantité, qu'on a été obligé de Ilégliger près descôté.~ du parallélépipède- Elle n'aurait aucun sens, si l'on supposaitcette partie J)i de A infinimellL petite; eL même on a vu qu'il fantCf'W SiCS trois dimensions 11 1 1/, Tif, soient très grandes pal' rapport

1.Le, "Ll211tités dcisign~cs précédemment par T et n étant égales,

cette ruèmc méthode peut aussi être présentée d'une autre ma­nière. En décDmposant le parallélépipède TI' en prismes verticaux'lui auront pOUl' 'bases tes élémells du rectangle h'h", le produit

_ k ~ !lili/di exprimera, pendant l'instant di, Je résultat des échangesd,' -

de chaleur en!rc tous ces prismes et la partie de A située au-dessusdu plan de la J)1lse 5"pél'iell1'e de Il'; pour cela, il suffira que l'OH

regarde Ir tir'. comme invariable dans toute l'étendue de cette hase ,do:

et l'on n'aura pa, hosoin de rien négliger près de ses côtés. En né-

d.k du

g-ligeant le carré de h, 011 en conclut que dxd x

, Udf exprimera de

même l'accroissement instantané de la chaleur de B', provenu nt des

échanges entre ce parallélépipèd.e e.t. les parties, de. A situées, soitau -dessous du plan de la base inférieure de Il, soit an -dessus dunlan de sa base sup'!ricun:. Les quanl itcs analogues qui répondentJ. oc:-~

. d.l.: duau de:

cai= ~. k dur = - d.T cos cf.,

116 THÉORIE i\L\THl-:\L\TlQl'E

de ces équations, comme k, Ct)sinus des angles (ompris entre la di­rection de la harre et les 110;'';,21es ::. "CS sections. Ilelativcmcnt il lusection perpendiculaire ~ cert!' sLetion, on aura

DE LA CI:L\LI~Ln,

point quel couquc de la barre parvenue il I'état pcnn;lllcnt "

iJ

,., . dua:=:o, l = - fI. L. ;

d'où 1'011 conclu l , cc qui est d'ailleurs évident, quc le flux de cha­leur aura lieu dans le sem 011 la t~mpérajlll'c est décroissante,

Si, de plus, les deux extrémité, de cette b31Tl~ sont entretenuesà des températures constantcs , Ions ses points pan,jellcll'Oilt aussi,après nn temps plus ou moins long, à des tempén\ün'es perrna­neritcs. A cette 6poque, l'inconnue u. ne (h~p~~ncbl1t plus que de ,X'.t

on aura

1-0'. -l- (' -t dr ' -"- (),

C étant uue constante «rhit raire. Dans cet état, je ilux de chaleur ;-\travers chaque section llon;li.dt, de ln harre ,~';{'l'a clone const-mt , lemèrne dans toute S;j Irf1!gu.Cll:·., et égal ;~ he, Cl} nppeb.l1t [; l'air»

constante de LI section 110 rmalc ,La température pel'mancfltc, ùéterminée pal' la seconde équa­

tion (15), sui-a une f-onction de x (iG) dépcndrtl de la valeur Je l:en fonction de IL CC n'est que dans le cas p;1rtieuiiCl' où la COll­

ductihilité est indépendante d<: la lcm}1c"l'atl1\'c, que celle-ci croltraou ùécrolira uniformément suivant la longueur de 1[1 11.:11'1"c. Dans

cc cas, on 3UJ':...t

lm + ex + C' = 0,

C' étant une seconde constante m-liitraire. Supposons que la variable ,x;

soit comptée npartir ùe l'une des extrémités do la barre : appelons J"la tempéruturc donnée qui répond 1J ,X' = 0 ; prenons pOUl' le "'8ro del'échelle thermométrique Ji! températUl'c, aussi .lonnéc , qui a lieu àl'autre extrémité, et qui l'époDe1ra il :x:= 11, en ùésignant par 11 lalongueur de la hanc, Nous aurons, d'après l'équation précédente,

kt + C' = 0, Ch + C' = o ,

pour déterminer les valeurs de C el C'; et il en résultera, en un

f

Aillsi, dans le cas particulier 0;'1 l'on Sllppo;;e ln eonciuc!ihi! ilô i,,-,dépendante de la tempéiature , et dépcmJan te seulement li r la m:ltièrede la !J;1J'l'C, cette matière, la section normale ile la balTc ct la djf~,

fcrcnce des températures extrêmes Testant les même" 1c flux constuntde chaleur, d'après la dernière éflualion C, C), est en raisoninverc<:des longueurs dans cieux barres cl iffé1'entes,

En partant des éfJuations (16), ct un titcndatlt la seconde, c'est-à­dire, la loi dn flux de chaleur en raison inverse de I'épnisscur de cha­

~ue tr~n:hc d'un c,or?s, au cas où cetlc épaisselH' est iuiiniment P"_trte , amsi que la dlfference des températures reLii ives aux dCllx race;"

de la ~:'all:~e, 01; en dédlli,t I'cquatiou du rnouvcmcut de la clu.lcr.rdans l mtcrl~ur:l un ':OI'pS eChatlfl'é ,rUile rnlmii'l'C Cjue1coflrpw, f)'"p",'..,cette considdration , on a cru pouvoi l' prcscn IcI' celle éqlW tio n [>(!!i(i­

rale comme indépendante d'aucune Il},POIU,'Së sur le mode de ~om"niuuication de la chaleur entre les molécules voisines, ct l'éf"nlité de ;-c"deux membres comme une proposit ion rigo1H'l:use Cille l'o~;'J [j conlfJ~!···rée aux théorèmes de la Statique cl de la DynamilHlC, l\Iaif; "L \(;itpal' cc qui prét:èc1e, que les équations (16), rjUclrp'le simples ([ll'cli,:"paraissent , n'ont réelleureut lieu que dans deltA.: suppositions p~rtjcn­lières . l'nue qui consiste à regarde!' l'échal1ge du chaleur entre ,knxmolecules comme iudepcuduut de la tcm péra turo absoluo , ci sil1:p1('_­ment proportiotlllcl i, leur température relativc , I'autre cc r-cernnntl'ét~nduc du rayonnement intérieur, qne l'o» ,';lPPOSC !Ir; gl'andCll1'

finie, mais tout-à-fait insensible, En admettnnt la pl'clllièl'e hypo­thèse, Dl! pourrait démontrer, à priori / que dans une lJarrc uurvcn ucà l'état permanent, la température varie uuifornièmcnt suivant salongueur, ct que le flux constant de chaleur '1ui en résulte est en rai­son directe de la différence des températures cxtrèrues et eu raisoninverse de la longueur' totale, quelles quc soient la loi et I'ctcndu«du rayonnement intérieur; mais le flux de chaleur étant ainsi pro­portionnel au premier coefficient différentiel de la tempérnttn-e ,

lorsque celui-ci ne varie pas, on n'en peut pas conclure que cela

110 THÉOhl[ ~IATHi~}lATrQUE

ait cucorc lieu quand cc coeflicient varie d'un point a un autre ;et, au contraire, le Ilux de chaleur suit une autre loi, bien pluscompliquée si l'on a éffill'd ;1 l'étendue sensible du rayonnement.... l ' ~ . 'r'Les méthodes que j'ai éiuiyjes dans ce chapitre, pour parvellir a e-quation générale (l;, mouvement de la ehaleu.r, ~tant, S~~IS aucun,'l.oute. moins simples que celles ÙOIll on avait cl abord tait usage,,t qni semblaient donner il cette équation plus d'étend~e qu'ellen'e11 a réellement, j'ai dû présenter ici quelques observatIons pOUl

montrer la nécessité 'de me.';calculs, et pour fixer les idées sur la na­

ture ,é"Îtablc de cette é({u:ltion fondamentale

11i

1

lIE LA CHALEUH..

J]Ol/.PClI1ent rie la chaleur à la surface d'un CMlJS de [oruu

quelconque.

(Gif). Indépendamment de l'équation (7) du n"49, conun un.. ;,tous les points du corps A, solide OLt liquide, homogène ou J,éte.·rogène, il en existe une autre qui u'a lieu que pout' les points de Sasurface, ou, plus exactement, pour les points situés hune proton­deur très petite, mais néanmoins plus grande qne l'étendue 1 durayonnement intérieur, augmentée de l'épaisseur d8 la couche Sl1­

pcrflcielle d'où émane et OÛ est absorbée 1" chaleur rayonnant"proprement dite (n' 18). On doit distinguer cette épaisseur et œUeétendue l'une de l'autrc , ainsi qu'on l'a clit :, la nI! du n° lfi , parceqUF- la loi des tempérutures , el, pal' suito , celle de I'ahsorptio n dela chaleur, ne sont pas les mêmes dans l'intérieur el pi ès de la surfaced'un corps qui s'échaulle ou sc refroidit.

A une distance de la surface moindre que l'épaisseur de la couchesuperficielle, les variations de chaleur d'une partie matérielle: degrandeur insensible, provenant des écnang<:s, soit avec les parties en­vironnantes du meme corps, soit avec celles des corps voisins et del'ail' environnant, ne sont plus exprimées pal' des illtégl'ales entieres ,c'est-à-dire, pal' des intégrales relatives aux distances, qne l'on puisseétendre depnis zéro jusqu'a l'infini, comme dans l'intérieur. Pourcette raison. la température varie très rapidement pl'ès de la surfacedans le SCIlS norrnal , et peut être très diHël'ente il la surface mêmeet à. une très petite profondeur. La loi de celle variation n'est pas de­terminée; l'expérience ne nous la fait pas connaître; mais elle con­firme la différence indiquée par la théorie, entre cette variation etcelle qui a lieu en dehors de la couche super/icielle (n° 4J). Heureuse-

queuce ,

16

lite! !2. + ~ - f, abstracti?1l faite du signe, devra être plus petitequc"cf.Lh, Or, quelles que so~cnt I.GS températures inconnues des pointsde '.: nous admettrons que les vitesses de leurs Va],jations ne "Ont pasextl"erneme~lt granùes , sauf un cas d'exception dont il sera questionplus bas. Nous pourrons donc négliger le produit cp.h, 11 cause de1'exlrème petitesse de son facteur 11; et nous am'ons, en cünsé-

121DE LA CHALEUR.

';(luation d'où l'ou déduira celle qu'il ùgit d'obtenir, en y substi­tuant les valeurs de .Q, a , r.

(66). La première de ces trois quantités a déjit ét(; dél(~I'rnillée;

o.t: prouvera que la deuxième peut être négligée; et quan! il la troi­sieme , elle est équivalente, comme on va aussi le t1émontl'er, aufl~~ de chaleur rapporté aux unités de temps el de surface, quia ucu ,dn dedans au dehors de A , et qui réponrl au point 0 desa surface.

r", D'ap,'è, ce qu'on a VU dans le n' 57, ct eu vertu cie la for­mule (13) du n' 59, on a

il k (du du p du )= -' dx cos ct + d;; cos b + th cos l' ;

k désignant la c?uductibilité de la m~tÏère de A qui répond au point:'l'l, et et, 6,,... etant les angles crue fait le prolongement extérieur ONde la no l'male MO avec des parallèles am: axes des x r ~ ,',, , ,~, meneespar 1; pomt O. Mais cette formule suppose que dans t~ute l'étenduedes echanges de chaleur entre les parties de C et celles de 1'" ona pu développer l'expression de la température eu série converge nie

d ' ' l ' ,or.onnee suivant es puissances des coonlollnées dont !'orirrinc est nupOl~t M; ce, qui e,xige que dans tonte cette étendue la teml~éI'at'n'e nevarre pas tres rapldcment; ct pmu satisCaire à culte condition, il faU­dra que la hauteur h de C sUl'passe la ligne l du nO 45, de toute l'épais­seu~" de la couche superficielle dans laquelle la température vm'ie trèsrapidement , et oui a été désivnée par e {lans le ['1" 8 N 1

1 '",' " l ," ous ae met-tw.ns qll~ cela puisse avait' lieu, sans que la distance h ou lUO dupomt M a la surface de A, cesse d'ètre extrêmement petite, commeuous J'avons supposée.

l11

11

r W THÉOnlE MATHÉMATiQUEment l'liquation (lU'i] s'"crit d'ohtr-nir est indépendante des lois incon-

, " l' , ,nues de l'a11sorpliol1 de la eiJ::!eul' ct de la tempéra turc dans epms-

seur de c('tte couche.Salt ,\I un point de A tres vnisin de sa surface; appelons a: ,

1', r , trois coordonnées rectangulaires de i\I; et désignons pal' 7i

la tnnpératnre .l« A fini ripond à ce point au bout du temps quel­couo uc t . Du point :II, ohaissons sur la surface de A nue perpcndicu­hir~ Gui le> ,.,"nco',trc an point 0 (fîg. l ~ ) ~ ct soit 11 la longueur devlO l ;1 uc LOUS su rfr~ûscron5 cxtrèmeruent petite, ruais de grandell"!~

., " . 0)en~:~hL: 7 ct dont JJOllS fixcl'ons plus has ]:1 linlitc. Par le pomt ,n~ :'l';))'<S "'" [["'w"t ;i hi surface de A, ct par le point l\1, un plan

.1e .811 Ce IJI~;n divisera A cn deux parties que nous

Jpp"iicro11s H cl TI'; et la partie n', qui comprend la perpendiculaire....rU, sera 1)1l très l'dit segment, ayant pOUl' flèche cette droite MO.30il ré1~mcnt do ce même plan, de grandenr iusensihle el qui,-,')r:mrend 12 point J'IL Appelons C le cylindre pel'pcndiculaire à B,con ~:~!1l1 .lans Il', don; la base, la hnu teur-, le vol urnc , sont co , h, wh,el (fut intl'l'eeptera SUl' la surf"ce de A un élément comprenant JePOi]~i i. 0 Î -tJue l'on ptHH',ra f:garàer connue apparteLlant aussi à CGnlar: langl-:nt ct comme ega] a GJ.

, Lé Tc:~ré:ieLJtc;'ai pal' H~dl l'augmentation de chaleur de C pen­,1a.nL l'i~H;t:',nt rit, provenant des échanges entre C et les parties deD, el par [y,;(/t celle qui provicnt des échanges entre C et Ies par­ties ùe'B', Je dé,;igncrai de même par fùJr!t, la diminution instan­t~néc de chaleur de C, due au royonnemcnt extérieur, c'cst-à-dire ,l'excès de la chaleur que tous les poinls de C émettent pendantI'iustaut dt, et qui atteint ct traverse la surface de A, sur la cha­lem' venue du dehors, qui traverse cette surface, atteint ensuite C,et est absorbee P'"' cette partie de B'. L'augmentation de chaleur de Cpendant le même instuut dt, sera alors

ilrvrlt + ~wdt - f",At.

D'un autre côté, si l'on appelle c la chal eut"spécifique moyenne de C,et IJ, la plus gt"aIllle valeur de la vitesse 15 (n' 44)qui aura lieu l auho ut dn temps t , clans toute l'{,tendue de ce cylindre, SOIl augmenta­tion de chaleur sera moindre que CfI/·,hdt; pal' conséquent, la quan-

l2' THÉORIE MATHÉ,\'];\TlQUE

2", Soient M'et M, des points de !)' tl-ès voisins l'nu de l'r.utre , et

dont le premier appartient h la 1I00Tn~tle :UO. Ahaiisons de 1\1, la per­

penclicllbiJ'(~\1,0fsur le pbn tangent eu 0 , ct faisons

M,O = ~" l\1'O = ~'.

. , ' ~'I t'I"··11'1',·l\I~"'et1\'l"'i àce\']r.-:L10I1S :n1SS1 }Jlll' Jes P01UtS :.J 1 C" j', ,u~s pdl al C L~ L i-' U _ . ,.1- Ll IJ"

d~]1 t'lugent, qui coupent en M" et 1\1" les pel'pelll1iculaires j'dO ct M,o,.~Ol'eut l'l' 'Il" ln ln des parties materielles (Ie grandClll' insensible,",... " , Î' il'oui ]'énolldcnt fl ce; quatre puints!\I', NI", iVi

"M,,; soient a", d', u,. Il,,,

1~11"5 ;""mer~t<"'e~ ,;u bout l1u temps i. Les points 1\1' et j'rI" étant

t '''·''''lw;'~cJ;és l'un de I'aun-c , et 'I)OUV31lt être considérés corm.1H:1 C.... {. 'f-" ,

éri:"t1crucnt é!Oj~lH~S de la surface de ft , on aura , il très peu pres ,': - Il . ;1 enu,era de mém e il i'élYël)'d des points 1'1" et IH" pontu - . IJ,·l ." ~ ~ , ~,

lesquels on aura aussi un =: lli' Si donc on suppose] de plus, it:~s

nas "'" 1]/ et m. épale:; ainsi nue m" et /II , tout sera semhlahl«1.1'.1.':),:,>"."'! "' t j' ü "1 ,

dans It~ couple ;/1'1 et in' t el dans le couple Ul'I et n/'; par censé­fluent j l'écJlD.ngc de chaleur entre Ill, et m' sera le même qu'entrel;{' ct ïiI,., soit"qu'il ait lieu rlircctcmcnt , soit qu'i] se f:H;~~ par une"r:np"ior;' i:Jl,;t'icurc SUI' la surface de A, Il suit de El que H la~~'"l~ul' de 11/ est augmentée par l'échange avec m" la cbaleur dé'

, I! - , l" l " 1ilLi l

sera 2.lIgnlentee de a 111en1e qll;lntlte pill' Ioec lange avec 112 '. e : ~

conséquemment, celle de 111'1 éprouvera en rncme. te~lpS une dirni­uution éç;ale à cette augmentatioll. Ainsi, le~ VI1l'wtlOIlS de chaleurde iu' ct' in", provenant rles échanges avec /III et 1It1l, étant touj OUI'S

(~gales et de signes contraire", la chaleur de C n'en sera point al­l~l'éc; ct com;~le cette conclusion convient ,igalemcnt à tous lescouples de parties matérielles de C ct IJ',il en résulte que la q~'an­

Lité ~, pr()yen~mt de tous les échanges entre C ct B', sera l'gale

à z\~eo.

3', Apr65 avoir tiré la droite :'11;,0, menons pal' le point M'une pa­rallèle M'O' il œtte ligne, qui rencontre au point 0' la surface cl: .~,

et soit ,,/ l'élément de cette surface qui répond ~ 0'. La chaleur ennse

ail dehors pal' la partie mil ;, travers l'élément UJ, correspondant aupoint 0, sera égale à celle qui émane de m' 11 travers le second élé­ment (,II; car il est évident que tout est semblable dans les deux cas;

les parties Jl],11 et m'étant celles que l'on a considérées tout il l'heure,

m: LA CHALEUR.

;JUi sont égales et également éloignées de la surface, et les distanceséll'Q' et Mi,O pOIlVJlI1 t être regardées comme égales, vu que le point 0'ne s'écar!o pas sensiblement du plan tangent en O. La même choseayon:lj,·u pour touteslespartiesdeC ct de H', prisesdeuxadeux,ol1 en

conclu: que la chaleur émise au dehors r~r toutes les parties de Il', tltra vcrs un seul élément &) de la surfac« de ,A, est équivalent- à la cha­leur émise à travers tous les élénicns de cette surface, par une seule

portiOll C de TI' ; et comme cette couclusion convient aussi 3UX quan­tité" rlc chaleur qui trnvcrscnt la Slll'I:,CC de A, de dehors en .Icdans ,il s'ensuit que le flnx totul d[~ chaleur qui a lieu il chaque instant litravers l'clément û!, est ég:d à celui que J'on a désigné pins haut pal'riXdt; égalité pareille il celle de den"5emhl~bles'1u'jnli:,;~, "Ia'iuelleJe calcul nous a conduits dans les n" 5- ct 58,

(67). Dans cc flux de chaleur à tr<lv~rs &J, 011 comprend ici" IlOIl­

seulement la chaleur rayonnante proprement. di te. (lui tra, erse cd

dément suivant toutes les directions du dedans au dehors et du dehOl'"en dedans, mais encore la chaleur communiquée ou enlevée a A ht.ravers ce même élément J par la couche d'air très mince en contactavec ce corps (n' 39)' La valeur complète de I' cièpclHlra de diverse,circonstances qui auront lieu autour de A, ainsi qu'on J'a vn dans leschapitres II ct ni; mais (ln pourra toujours la représenter pm'

T = p(u - o.P étant un coetlicieut positif, el , une température posrtivc 011

négative, qui sera la valeur de U pOlll' laquelle le flux de chaleurserait nul. Sans la définir autrement, nous l'appellerons, en général,la, température extérieure. Elle pOU l'ra varier avec la position du

pomt 0 auquel r se l'apporte; elle pourra aussi varier avec le temps;en sorte que ( sera une fonction de t et des trois coordonnées de œpoint 0 J qui devra être donnée dans chaque exemple. Il en sera d,!même al'égard du coefficient p, qui variera d'un point à un autre avecl'état de la surface, et qui pourra aussi dépendre des températures u eti;: dans chaque cas, ce cccfllcient devra être donné Cil fonction de u ,de , et des trois coordonnées du point 0; mais si les températures tcet S ne sont pas très élevées, on pourra 5UppLJSel' que la valeur pen est indépendante.

16,

à 1 = 0, l'expl'ession initiale ct donnée de u en louet ion ,Je 2', Y:.C'est sur cette supposition qu'est fondée, dans chaque question pm:ti::n-.lièro , la déterrniuation au moyen de l'état inicial de A, des comtant.,sOu des fonctions arbitraires contenues dans ]a valeur de u en fonctionde t , x,y, z, qui satisfait il l'équation ('7) du ri" 49 et à l'équationquoique celle-ci n'ait prlS lieu l)our cel état même.

Cette equation est encore susceptible d'une autre restriction. Aquelque époque quc ce soit, elle n'est point applicahle il un noint 0pour lequel Ou pres duquel !a courbure de lu surface de A est extl'ê~memont grande, de SOtte qu'entre les points 0 et (Y, par exemple) Jesl'ayons de courbure soient cvtrèmemonr petits, et compamhJcs 1, la dis­tance MO; car alors les di,.tances IVI'O' etl'ïIliO ne seraient plus sensible­ment égales, et les points lW ctM", ]\1

1ct 1\(1', ég,,\enwnt doignés du

plan tangent en 0, ne po un-aient plus être l'cganlés comme ég'11emclliéloigmis de la surface; ce qui met en défaut la démonstration dnn' 66 et ne permet plus d'admettre l'equation (2) qui en était la COli­

sr~efuence. li en résuJ!e que si A est un polyèdre, un cylindre, ouun côue , on ne pourra pas supposer que l'équation (/.) ai f: lieu prèsde ses arètes , du contour de sa hase, ou de son .\Ollunef., et l'onne devra l'employer qu'à des distances de ces parlies sailhllltus, plusgrandes que la ligne c1ésignéc precedemment pal' h,

(60)' L'equation générale relative à la surface duu corps de forme,quelconque, c'est-ù-clir« l'équation (2), sous les restrictions qu'onvient d'expliquer, a été démo ntrce , pour la première fois, dans- mes

Mémoires SUI' la Distribution dl? la Chaleur dans les CO/liS solides.Auparavant, on l'avait donnée pOUl' l'extrémité dune barre, et po urun e sin-face sphérique dans le cas particulier où la tcrn perature de

1:1 sphère est la même en tout scns , il égale distance du centre; puis onl'avait étendue, par inductiou , à un corps de torrnc quelconque,échauffe aussi d'une manière quelconque. Les géomètres qui ont en­

suite cherché à la démontrer générnlcmcnl, ont pris pour l'expressiondu flux de chaleur à travers chaque élément de la sUl'l'lee extérieure,celle que l'on a trouvée pour l'élément d'une surface située duns j'in­térieur, ct qui dépend de i'ac<:roissemcnl dcIa température dans lesens normal il cette surtaee et dans une épaisseur inlîllimcllt pctitc,divisé pal' cette epaisseur (n' 52); expression qu'ils onl égalée imme-

THl:ülUE J\'IA'fHÉ,IIf1TiQUE

Ceia posé, si l'en substitue cet te valeur de r ct celle Je D. du u uruéro

précédent j dans léquatiou (!), et qu'on y fasse !1::::: 0, nGU~

aurons

il" P dl! ' r:cos IL 4- - cos b + -,~,-_; cos Ir ) + l' \.U- () = o ,

1 ([1

pour récjuatÎüJ] l'l~iatlYe Il la snrfaco qu'il s'agissait d'obtenir.

Rigonrel1~crncnt, elle llppartÎent} daprès la maniere dont elle a été.orméc . au pClint III de A d non au point 0 de sa surface même;

nj,-!I~ n~~lc lou aura dcterruiuc la valeur de li en fonction desi " • r.' . 1" " (\ l

co;_;.~'do;)l}éc~; ,T, J.J z , ct du ternps t , qUI sanstai t {l eCIllal1011 \7) (LU

1 l'd"tjve un x points iutcricurs de A, on poorra en 8mp\oya!ll: te y~t[el1r clans l'C(P_~ «tinn (2), Y mettre pOUf ,-X') .Fl .:, 1eR (:001'­

do)mêcs de 0 an lien de celles de M, à cause de l'extrême proximité

.lc cet; (Jeux poj~l!s.

Ii faut aussi rem~rquc:' qLle quand ou place 11] corps A dam;_dl m i lic.u dont 13 température CEt plus gl~[!.nde ou plus petite (!llC cellë,l"s Duints voisins de sa surfacc , I'équntion (:2) n'a pa, lieu dans lesDI'er:1Îcïs 11l0mCIlS de réchauffement on clu refroidissement de ce corps;;~;Ir:l cette époque, I(~s températures de tous les poi nls sont donnéesiout-ii-fait arbitraircment , et pal' conséquent, la valeur initiale de li,

Cil foncuou de.T, y, 2i, ne satisfait pa~, en général, il l'équation (2:"CeVlnu:ll1t la ({nallti:ci .6. est toujours nulle, d'après la dérnollstrationnnn' 66; œ sont donc les flux de chaleur r et o., relatifs aux deux,;xtrémités de C, (lui ne sont pas égaux pendant un curtain intervallelb temps; ce qui exigequr3 la vitesse des variations de température soitd'ahord. extrèmcment granùe, dans l'étendue de ce cylindre, dont on asupposé la longueur extrèmemeut petite. Or., ou peut admettre (lU'CH

vertu de cette grande vitesse, le cylindre C parvient bientôt àuu état où les deux flux extrêmes de chaleur sont égaux2t où l'équa­tion (,2) commente, pal' conséquent, à exister. On peut aussi suppo­SCI' que pendant l'intervalle de temps, sans doute très court) maisnécessaire pour que cette ésalité s'établisse, les températures despniuts intérieurs Je A ne changent pas seusihlernent ; d'où il résulteque si l'on compte le temps t à partit' de la fin de cet intervalle, oupourra, sans en-eur sensible, prendre pOUl' la valeur de li qui répond

DE LA CUALElm 125

DE LA ClIt\LETJH,

-J.lltb.:-nH:f!t an ilux de (~baicUf donné p3.r l'expérience et suppose pro­pOI'lionnel h lu ~·liIT~l'CDCe {les 'l:t.'lnpératl1res extérieure et intérieure;,~" qui k c a d'avoir éw,nl an cylilld"<J nnrmal 'lue j'ai de­~ign{~ ] -\tti::; lcxpressiou du flux (le chaleur qui dépeucl du cocili­;:'ll>!lt diHën;'t]iiel de]n. ternIl{~i'alllre ne convient qu'à un élémcn! de 5Ul~­

;·;.i'.'-~:' iltel'l('UJ't' f ci. nulj;:1l1Cljt b la surluce extérieure; cal' elle suppose

!p!l~ ee Üel).: etes èchau~{'s entre deux 1)31'tiesconLÎguè~} dn cürp'~

.:\ . d~lJ"lS U~li.· ,il{.'l:;;U~ où .';~ lnâtièr'c ct sa ti!111pél'aturc ~~Ol1t. très peu

\:;n·iabh~3j ~~<:~(11:;. (lue 1(; Ilux de ch3.]etl1' à travers 1111 élénlclit dG la sur­

lacé c·":d·~~ricurG , ~.'esnhe d(;:; éch3.ugcs culre les molécules de Ct; C(J1'PS et

LdL.:~ li1 i"llilicü d:JIH kqltcI Il est place, ou rnènlc cell cs d'{l.ulres,

;l'p.~ ou mours {·~lojgLlés. Le Iln« eKLél~icurn;a pas d'autre cxpre!-:-

:"iUll (iU~ celle qUl l1<piild de b. di([~rci1ce de grandeur linie , entre les(-kux ten.lpC~i\:üurc:;, rune ex1ciricnr{~ cl. l'autre i ntérieurc ; et ponl'

{OfillCl' (équation du 1110UVCil1ent de la chaleur à la surface d'un corp~

J.2 fOl'rne quelconque; il faut prouver, COHnl1e je l'ai fait par I'inter­

n1.êrli~L11'C du cylinùre noi-rual C, que ce Ilux est constamment égal J.ccl ni (Illi a Jj,~" 2 l'extrémité i"l.<!ricnre de ce t:yJinrl1'e, sauf l'exceptionrelatl\'C nux lenJrH~l'a!.nres initiales ct {lUX premiers mornens du rcfroi­

dis5eJ11811t.(jO;. Si le corpii A est formé de deux paTties juxtaposées, soii(les

ou liquide" le flux de Ch,tlClu' à ll'avel'S chgquc élément de leur snr­face dc sépal'atiotl, proviendra des échanges entre leur~ moléculestr;lS voisines de cet élément; et il cn l'èsultera, pOUl' le mouvement deln d:aleur, de chaqu8 partie dans l'aufJ'e, ulle éCjuation analogue illa précédente; cc qui lOUl'llira deux èqllalÏons relatives il cette Sllrf"CC,que l'on o})ticmil'a de la manièrc suivante.

Appclons TI et TI' ces deux: parties de A; appelons aussi 1\1 un pointde p" lW un point de n', 0 un point de la surface de s'~paration, situés,

tom; les trois, sur unc normale en 0 ft cette surface. Supposons cha­cune des distances }1O et M'O plus grande que l'étendue du l'ayonne­

l1H.:nt intérieul' claus b. pal'tie ci", A il laql:lelle eUe appartient, aug­m<Jntée de l'épaisseur de la coUcile superficielle ùe la même partie,où la !empél'ature peut variel' très rapidement. Au hout du temps t,soient li et u' les températures qui l'épandent aux points M et M',!'\ou~ pourrons représëfllel' le flux de cbal<~ul' qui:l lieu pendant l'ins.

1

11

1

I.!i,"'

t~J!t dt, il trnvers l'élément 1}) de 13 snd:1ce Ul' sél'"''''''" ,1]> ,'"• . 0 ~ ~ , ,~( l,)ti ur: 1 (.' ti..-) ~

corre-pondant au pomt 0, DaI' ,,!tl- d) ,;'tlt de TI 1 'J" ., - t j -. J ... , ) aan.'i Jo, et CÜ1'i:.-

sequcmment , par-a(u - u') »dt. dr~ BI clans TI, l ' 11'' ,. .,...:J -, 7 - 1: ,C cac ncreut q etantun: Cfnantlte posurvo, c1épenc1Rn{c de la matièl'e de J3 el de ccJje '(le R'~lUl pourra aussi ôtre une fonetion ~ynlôtriqucde II ct u', '

Cda posé, j'équation (1) ct les d,~rnonstrations du n" CG s'appli{[ue-ron l d'uJle t"n, l' ," ., par, a JJ C..: an cJ B10rc L101'rn[l1 dont la hase e[,~ w e-'Ia nautcur MO cl duue 'lut'e" ·t 'l'I, ,. .1... ' U L. ~ ~ r p~l.l).;1 -' ct an C):llnul'c normal ,(1 111 ;) la ~1wm~ hase uJ el. 1.\1'0 pOUl' hauteur j et l'ou en concluracc,,; clenx equatrons :

k (dU iJ.ll du), ([;; cos Ci + ;0" cos C+ (f; cos Î' + '1 (u-lOl) = 0, 1" (du' d,!' du' j (5)

le dr eus a. + ;i,i. cos b + do cos Î' ) .+- IJ (zz - 1/) = 0 J J

;Fll sout c;:~lics qu'il s'dgis:';~lit tl'obtenir LA~ ([U3.11tl'(~c:; t, c: J.' •, . • L-'. . .,'V~ 11-- l. ft sOld iCi

Jes mesures de la conduclihilité des maiièrcs de j' er d '!.l' . .JI ct 1\,1'. -. oc .,nl,l '''' "" p. , ...J. !.. uc . dUX p()l.nts

, res uU~'1~L-", -» Q, )', !=',-cnl ceux fl~n~ fait la J,) ... ,.I;" 1.'-UI\ -,'

1. '1l,. / '~,' " l ,U~ ["L; "ti"'} (Jt.~

a norrnul« ,dOM, avec des parallèles am: axes des :1:)" ~. ." ' ... "~,. Î~' ~', rneuees D~ir

Je rom t 0 : les valeurs de Il et il cu fonctions de t ct (1""C001,[1 '" " ,'1:. ' '. .~_. c,OI1!l(~('~ ( unpOlut quelconque, se déduiront de l'équulion (7) du n° (,. , l',,'/,: J" .';' ' '. ".> 'P 1·' , '" ~U;l .Jpp HILlI:'C~.,ILU;.~,sl\'eîbcnt a .0 ct a ,B', ct l on y rn,cUr(i. cnsnite pour ces C;Oi'-'

daunecs::c J' 7 cp\lps l 't 0 1] r~ ( , -, ' .~. (Cl pOJll ce a surface de SéD~U'alio!L

C(~S équ:ltions .(3)sc déduî~~ent rune de l'autre J Cût!1n1e cel';l JOlt êtrepar la pel'nlTIt.'ltlon des lettres lt et lt', k et k'~ c'l elt clJaulyennt le,~211g1e~ o., (;, '} J dans leurs sl1ppj~mells, Ouand les j"ll'r,'", "'1' ,t ,JI':ll1xquelle" eilrs se r:Jppol'tent sont de l~ 111' ' .. '!" ,LS " "

l , ,~ • J ,en1!? lItt.! Jele; on ~U.H'Cl

k " k; on tera JUSSI, u' == II ~ dans la pC:l'tie rnl1ll~pEé,; pai' k ou J..t ,

cl j 011 pl'cndra loujoUI", pOUl' la panie !j (Tl - [") l,fi ' '1'l J' \ • , C ny c ëC la eUl' rapporle aux unités de temps et de sl1l'facc, il tr~lver6 l'élé-ment Co de la sllrf:1ce de TI ce oui réduirClcc' d'll .; t' ."1 .•.•• 1 ~ ~ 't~ X crlu.} IOns il une

scu,e, qUI COILlCldera, comme cela devai t aussi arrive" ayec r'tion (13) du n' 59, l-dative à un Jloint in'él:J""11' .1, '/ 'S" equa-, ! • ,. . '. 1..>. Ut. 1"-. L l cc COl'pS

~e l'edmt a sa partie TI, et qn'on rcmplûcc JI' par Je milieu extérieurdans lequel \, t 1 . ,l" , , L es, p ace, 011 supprnnera la seconde équation (3) ct

On 1l18t1.ra dans la prel11ièn; p et ç; à ia place de '1 et d, cc 'qui

Digression sur les intégrales des équations aux diffcrcnces partielles.

(7')' Les équations du mouvement de la chaleur dans l'intérieuret à la surface des corps (ibnl mnintcnan t clémontl'ées dans touteleur gé'léralitu, il convient, avaut de les appliquer à des problèmesparticulicl'S, d'exposer les [Jriucipes communs aux solutions de t0l15

ces prohlemcs , ct gL:nét'al,"nwnt de tontes les questions de Physiqueet de Mécanique, 'lui conduisent à des éCjuaiiOll3 an, dir:'ércucespartielles. Ces principes csscn tiels sont relatifs aux intégrales dG ceséquations , aux diverses foi-rues dont elles sont susceptibles, et à lamanière d'exprimer les lonctious arhitrau-ss qu'elles renferment; ilsse trouvent déjà dans plusieurs Je mes mémoires, et dans mon Traitéde Jl/écanique,. je vais les réunir avec quelques développemens dansce chapitre et dans les deux WiV:l1l5.

L'inlégrale d'une équation différentielle ,l'un ordre quelconque Ti

doit contenir, pOUl' être complète, un nombre n. de constantes ar­bin-aires.

En effet , soient t la variable inciépcmlante et ri la fonction de t 1

qui doit être déterminée pal' rme semblable {quation. Hepresentonscelte équation pal' L = 0, de "orle qllC L soit une fonction donnée

du (PU cl1I U . l

de t, li, JI' 'di', .... , Jîi" SI l on désigne pal' h une valeur particu-

lière de t, et que l'on lasse

129

d'li H'"dt" = , etc.,d'u -H'I

dl' - ,

DE LA CHAlEUR,

CHAPiTRE V L

u izx: H, ~ =11',

1

1

1,

THÉOiUE NIATHti\iATIQl E120

la fera eoincider avec l'équation (2) qui répond ;, la surface exté-

rreurc . , (3" tDans tous les cas on se souviendra que ces équatlOns ) Il Cil

aJns (." . la- 'te"ll'I'I;J~afl;rcs i nitides et données <lrbitrairement,pa~~ 'CH pOUl ~,--.'1 -- /~ ~ _. ~. ,

de Il et IV; elles n'existent qu'après un intervalle de temps qu on" ., tres court 0\ dont on pourra faire abstraction dans les usagessu ppose -' , , Il la nxqnels on les emploict'i'. On n'oublie,:a pas nOI; plus .qu e es ne so~

noint applicahles aux points Je la surface de separal.lüll de B et E,'~'i] en existe, pour Icsquels ou près desquels la courbure e~l extr:-

l '> courbure y soient tresmcm cn t petite, de sorte que es r<l}ons 'A. . ,', : li,'f;'" ['t COnlnarahks à l'éü",due du rayonnement interieur: e es

P""~ 1" 'q'l"a' des distances de ces noints particuliers, plus graDtle~Tl (jl"l l jeu ... ",- of. , I

'TL1.e cette mème étendue9

pOUl' cette valeur t = h , le développemeut de tc suivant les puis­

17

J30 THÉORlE MATHf:i\lATIQUE

sauces de t - h sera, tl'arr,'s le ti"ciorèmc de Taylor,

u=H+H'(t_k/+--'-H"(I-lt),+_I- H/f/(t_h)'+eIC. (l), - 1.2. - [.2.3

Or, si l'on fa it t = li d~!Js ]a suite infinie d'équatious

on en tirera les valeurs de tous les cocflicicns cie la série (1), il 11al'tÎl'de HC,) iue1nsivement, en fondions des Il premiers H, H', Il", ...HCn-.),qui resteront indétl'l'millé" : la première L = 0 donnera la valeur de

IIC"); 011 snhsfitucra cette valeur dans la seconde éqnation ~; = 0,

d'où l'on tirera ensuite la valeur de Hln4- . ) ; 011 mettra ces valeurs de HC')

. ..",. d'L .' d'l' 1cl IIl"4-') dans la troisiemc equatlOl1 dt' = Ü , pms 011 en et Inra 3 ya-

leur de IfC"'+-»; et ainsi de suite, La valeur Je ft exprimée pat' la série (1)ren!ermcra donc fil1a18m~nt 11 coustautes iudétcnuinces cl imlépen­dantes entre elles; pGr conséquent, l'illlégrale complète de l'éqnation

L = 0, sous quelqu8 forme qu'on l'obtienne, devra contenir, pourl'ùpondre a la g';"éraiité de cette quantité u, un pareil nombre Il cieconstantes ar1itl'ail'e". Réciproquement, si 1=0 est une éCjuationdonnee entre t et 7(, contenant en outre un nombre 71 de cons Tanlesarhi n-aircs , on pourra toujours éliminer ces n constantes entre ré­quution l =ü ct le,;;; n premières éf{ll;J.tionsdif[érentjelles q ui s'eu dé­duisent; ce qui condllira il une ôquatioll difrërent;eile de l'ordre ri

dont 1 = 0 sera J'intégrale complète,NOll-seuicment la sé"ie (J) fait counaltre , comme on voit, le degré

de généralité de la quantité il déterminée pal' l'équation L =0, maiselle peut aussi , par un procédé semblable à la méthode des quadra­tures , servir à détcrmiucr les valeurs numériques de II. qui répon­dent à toutes celles de t., lorsque les valeurs de ft et de ses n.- 1

premiers cocllicieus différentiels SOl1t données pOllr une valeur parti­culière t = It, On prel1d,'a d'abord pour June frac lion tri s petite ,positive ou négative, et telle que la séi-io (J) soit convergente pourt = li+ J; cette série et ses différentielles feront connaître les valeurs

11

DE LA CUALEUH,du d;'lI

do u , Ji' --;{l'' etc" 'lui repondent à t = h + J' ; au moyeu de ces

va lcurs , la même série t(~ra counait.re: celles de lt ct de ses coeffi­r:ir,n!; diffùnltiels fini j'épondell! il t=h+J'+J", en y mettanth+cf et 1t+J'+J" au li..u de 11 et t , et supposant J'une trèspelile ["(':tction qui rende encore CL't le série convergente j et ainsi dede sn i!«, Eu défirritiye les valeurs uu mériqucs de u. dépelll1ront del'elles (1c H, ! l', H"" , , H('-'), q u i seront ar1ilrnires; ct l'usage de lasérie (1) ne peut lais-cr aucun doute sm' le théorème qu'il s'agiss~it

de dérnon trer , puisque cette série spra toujours renrlue convergente,

en dOlmant des valeurs assez petites il h ddlùenc;e t - li.LOI'Squ'Oll passe aux (;(l'Jntoins aux ditTérences partielles, les COllS­

tanles arbitrai res sont rCl11p]iJcécs par des fonctions arbitraires; maisle lhéol'ème précédent n'a pi Ils licu , et h,U1' nornhre ne peut plus êtredéterminé r( priori. lIn-delh du premier ordre, l'int(;graJe complèted'une cquati ou aux dirrél'ellce., IKlrtielle, pent renfermer un nombrede Ionctious ar-bitraircs moi nrlre 'lue celui CllJi marcp'c l'ordre de l'é­quation donnée, c'cst-il-dit'e, moinrl re que 2, '5, ~, .... quoiquecette équation contienne des difTérences pnrt iel les du 2", 3", ;" ... , .ordre. Dans le petit nomhre cie CDS 011 l'intégralc complète peut s'ob­tenir sous fOl'l11C finie, sans le secours des intégrales définie<;, .je neconnais aucun exemple de J'abaissement du norubrc des fonctions ar­bit-aires et indépendantes entre elles, au-dessous du nombre quimarque l'ordl'e de l'équation dounée : toutefois, il serait difficile dedemontrer qu'un tel abaissement rie puisse jamais avoir lieu, Maisquand J'inl,:grille complète d'une équation aux différences partiellesde l'ordre n est exprimée par des séries, et lors même que l'on par­vient à réduire ces séries à des intégrales définies, le nombre des fonc­tions arbitraires peut s'abaisser au-dessous de n , et il peut être diffé­rent selon la forme des séries ou des intégrales définies par lesquelleson exprime son intégmle.

En général, soit li. une fonction d'un nombre quelconque de varia­bles indépendantes t , x,y, Z, etc., qui doit satisfaire il une équationaux diJT'ùenœs partielles de l'ordre n, représentée par L = 0, QlleJleque soit la valeur inconnue de li, on peut la concevoir développée

suivant les puissances ascendantes cie l'une de ces variahles , diminuée17"

THÉORiE iVJATHf:~IATlQUE

d'une valeur particnlii,,'" de l'cite merru: yari:lhle; ClI' si l'on "Fpellcl ' '1"' J • . " cttc 1I-.+-t-hfi, une valcu r rarr"lCll rcrc tel, r::;r- C~ q'ill', J on Hl -". - , '

au heu de 1 (;;UIS b fone: .. u _ ou p0~:rïa hl d~yt'loprcl'

par i~~ tJu;OfL'i'lH;. {le T;] L1~!'CT~i-C~-d; !l Sr~1'1(~ (}nlOljlil~e sui-

vant L:f /. J'n>; g"~ll(Sr:\hnj,-:nl, ~;i l'OH

prend r,ün~' un« rTU:J: (~::i ;:-:':l]_"L._.'::Le: f"~~nl!.~~, 0[:: de plnsi'~Hrs des V:J-

l'i~"h1è~ l', .z. :,CI("., o~, :~H:l'\';: la valeur rie e développée

+ etc.;

le,\: CO(;nJCiCll~ p ~ Q, Il, e: c.; (~!:t!ll dc~ ionctiu~lS inconu ucs dont cha­C1.HJC ll\ll;c yal"labje de 1110iLS qne u., et ics ex-

pŒa ns a , c, 'r etc. [',l:'::J,.'.,,:i,:'..,:..,..~j. ;.l!lli,,',,'.~; ir~.~~.!,~. '.. :,è,. ~,,!,'.,.~,.~l;;r."'~~~,nùt,:, c11~ :i~'1~:";:;;~J~J~l~;~~1~tardes. Ccb. p(;:'(5) si l"or::o' , . _.. , ' .L;;;;.; Ci, ql1C~ lou crdou.,, ~OH pr'~'ll;!cl' C'C: n.T~)1'1: suivant les puissancesde eJ et qne l'on cns~;,it,_~ :i ];(;;-0 le co': iTicicnt d.t:dw.cun dc~~ tLr.;,'~"3e.s Ile ]~l S(~j'>,_: .;... '"q'~:,I-cr;\ i Olt aura ~llI1S; une

suite l'd!lilC lloiL;; djn~~!\',n! ;.~ lL:$ ou .t u x diifé!'cncc,c; partiellcs ,dont char.un. rcnfi~J'lnCl"':" iLI1C y~~,ji.th:l' ln:lc:p,:iHlantl.' de moins que

~:rJ;~~~;~': ~.;:~;',:':,\,~;'i,~::::i::;'i~~~;:~::';'~':::;~'cl~~:::~!~~:"fera ~t féql1J.tiou {;OiHlée L = 0, Selon L: qu;:n:llü: 6qlle l'on chcisira ,on aura ainsi difj'érelltC'.~ de Tl en E:él'Îes (lui seront, sous

des formes é([ui\,.~tll'ntc5~ rilJtégr~dc complète de .L = {}, de telle, , f .,

sorte que si celle inlôg!";J!e é1a~t connue ~;Oi1S forme Jinie , cnacune(le ces séries (,'1"< s('rail: un d(~velopp(;rneuL {lui pOl1i'l'ait la Tcrnplacc,'.

01" l'équation L == 0 l'cstaat J3 1"nèrl1~, iC'~ coefficiens ,P, Q, H, elc.,, , '

(léterrninés (L~ la l1E1J11(-:re L~ pi:~s g,}'lléca1f:? ponrront nüuunlO[US COl!-

teni.r des nOLnbl'c~ inc~g3lJX de fonctluus ut'bil,r.ai)·cs,scion que la SéI'le(2)sera ordonnée suÎvaat 1:::; pui.sr;:~nces de telle 011 telle variable e~

Gélléealement, il y am·a "dle val"lll' de epOUl' Ja'l11clle le nombre deces fonctions sera ;:gaJ il n, et telle antre pOUl' laquelle il se!'a moin­

dre d'une ou de plusieurs uni tés; et si l'équatlOll L = 0 est li néaire,il pourra même al'l'iv(~r (flle toutes les fonctions arbitraires dispal'ais-

DE L!'. CHALEUR.

sent de )0. s-érie (2), qui ne renfermera p)u~ alors fllle des (,Oll~t~ntes

arbitrnircs , cl n'en sera pas moins l'iutégrale complete cle celte 'hl!a­tion L === o. C~tfe f'()t'nH:~ singulière de l'intégrale COlltpl~tc, sans ,i'U­

eurre fonction arbitrairo , d'une équation linéaire aux!lJjffércnct''sparticllcs , rllérite une artcn tiou toute particuli-ro , lt C{li1SC des uoru­

breux usaFes ~,U'?ll ~t~ pOlll:ra Dtire ~our la réso!nlion des 1:.J_ro1)lèrncs;sou caractel'cdIstlllctd· consiste en ce (lue tous les ll'l'n1~'S de la séJ'ie (~>.)

se déterrniuent , dans ce GiS? indéperulnmment h~.s n ns des aut!'cs, ct

satisfont sépal'ément il l'équation L = 0 J de "'"nièr<è que la ya!1:111'génél'ale de l'inconnue tc est la somme d'un t1()1tlhre illiilli CtC V,d''llrSparticulières.

Nous allons maiutcnant appliquer CC,"; considéra: iOli~':; géH(~!'::h~s :rdes exemples pro nres il mout rer- les divc,'"cs ci"COl.'stallC'-' qlW Jx'uiprésenter- la ,~él'ic , ct eOnl111cnt on })C~UL l:t rLduil'c il des intéfF'alc:;:définies, dans bC<-lUCOLlP de: cas où rilllcgl':t1c~ dt: 1\:r{l1l:1,(oulJ::=ü ne

peut pilS scxprjrncr sous forure finie sans 1<:11:' ~~econrs. Tou lcCui,(.~, i:'e­

lative.i.ent il cette l'éduction,.ie rcnvcrrn i , pOil l' de plus dc:­

tails , à deux memoires que j'ai pnbliés ,<';:UI' cc SUjL:::, l'uu sur rjut(~­

gl'ation des équations linéaires " coclliciell:i CUflst:ms I'autro o,nr

celle des équations linéaires il coeflicicns vn,'i~hjcs ("*),(7 2 ) . Je l)]'cncls pOll[' premier exemple l'équntion lin6,~ir" cl [In c,e"

coud ordre

dans laquelle il est une constante donnée,

Soit h une constante à laquelle on n'attribue [lmTIIIU vnleur i[,;,­

terminée; faisons d'abord e= t - L , et cOl1sidé,'olls les COéèffici,,11Sde la série (2) comme des COllctions dc .:le'. En lu sllhbiituélllt dans lesdetlx membres de l'équation (3). nous aUJ'0l15

"P Ct - hY-1 + bQ (t - 11)"-' +)Pt (t - h?-r + etc.d'P d'Q ç

a -d- (t-h)'" + a -1-' (t- h) + etc..:r? \ (.~'t'~ j

('t') ïYI(!moires de l'Acadérnie d(~s Scz'(:ncesJ

tOlne III.(n) Journal de l'Écule Pot.J'teclmùf!le, 19' caLier,

5.G.aS= #):,etc.,

DE LA CHALEUR.

dQ5·4,aR =-,

dt

_ .it + (x-h)' d~tu - ''( ----r .2,a dt

+(x--h)i't+ (:,;_h)3 do}tI.?',3.a dl

dl'1.2.aQ=di>

135culier, à la val.eur.suiv~nt.llde u , dans laquelle on devra aussi laisserla constante 11 indéterrninéc pour que cette valeur conserve toute sagénéralité.

Soit aclucllement G=x-h. Les coefficiens de la série (r) étantalors des fonctions de x, si on les suhstitue dans l'équation (3), Ol!

aura

ct , da ns le second,

dP dQ2.3.aQ = di' i!.5.aH= dt' 6'7,aS = :,:\ etc,

La fOI'I1~ule (1) donr~era donc P?ur li deux séries , don t l'une procé­dera suivant les pUissances paires de x-h, ct l'autre suivant lespuissances impaires. Dans chacune d'elles je premicr coefficient Pres.te~'~ indétei'mi~]é~ tous les autres s'exprimeront au moyen Je P; et endeslgnant celui-ci par ..J-t clans la première série, paL' 't't dans la se­conde, et prenant pou l' zz la somme des deux séries, nous aurons

dP ( 'a dO ,dRdl X - Il) + dl~ (X - h) + dt (X - h)Y+etc.=

aa.(lI.-i)P(x-h)"'-'+ab'(b_i )Q(x-hf-2+a ;-(y _ r)H(x-h)~-'+elC.

Puisqu: l,CS oxpnsans cc, c, /" J', elc., forment une suite crois­sante, Il. faut, pour que ces deux séries puissent être identiques , qucle prenncr terme Je la seconde disparaisse , ce qui exige que j'on ait"1. = 0 ou cc = r, Dans Je cas de oc = 0 ,iJ faudra CIne les autres ex­posans b, y, cf', etc., soient les uornhres pairs 2, 4, 6] etc., etdans lc CHS de <L = r , qu'ils soient les nornhrcs imnairs 3 'i 7 tJ' . .. r , " ,c C,msuitc on aura, dans Je premier cas,

(:r-h)4 d'.+t+ u .. 3.4.a' ""'J"P + etc. 1

(x-h)' d"n j' (5)+ ~3,4,5:a' dl' +etc.;

ce qui sera la valeur la plus générale de Il, que l'on pourrait aussidéduire de la série (1).

Désignons par c la base des logarithmes népériens, et faisons enfin

</. = 0, b = J, Î' = 2, ctc.,

rtrronu: i\1\T!1f:"\L\TIfjUE

+ ' h' dr t:» + a'(,- hl' dvcx + "tc.', 1 j\li ==:-:. ~.:X' a ,/ - j dx~ --1,-?-,- dx i "- ,_cl)

,-ésultat 'lue l'on peut aussi déduir« de la sùic (1), cornhindc avec l'é­quation (?), el ([ue l'on peut l'cgarder comme la v ...lem· la plus géné­

rale .!e litant que l'on n'y détermine pas 1a constante h, puisque alors

la valeur quelconque dc Il est certainement dévcloppahlc , en vertu

du théorème de Taylor, suivant les puissances entières et positivesde la diil'ér8nce t - h,

Il est bon d'observer qu'il n'en serait plus de même ~i l'on don­nait 3 IL une val CUI' détel'minèe, si l'on faisait h = 0, pal' exemple,C'CS1-[J-(lil'e, si l'on snpposait la valeur de li développée suivant lespuissances Cl'Oîss;;mtcs de t , En ellel, toute fonction J'une variable tn'est pBS dévcloppahle suivaut ses puissances ascendantes: il y a desfonctions qui ne peuvent se développe!' que suivant les puissancesdescende lites de la variable; et la fonction u étant inconnue, ellepeut être de cette espèce. Pal' conséquent, si l'on faisait 11 = 0 dansl'équation résultant de la substitution de la sévie (2) dans I'équa­

tion (5), il [aurlrait supposer successivement croissante et décrois­

sante la suite des exposans rh, b, ?' etc.; On en conclurait deuxsystèmes diflércns de valeurs de ces exposans et des coeJlieiens P,Q, R, etc.; et pour avoir la valeur la plus générale de Il, on devraitprend re ln somme des deux expressions correspondantes Je la serie (2).J.a même rcmarque s'applique à tous les cas semblables, et en parti-

Le premier coeûicicnt P demeurera irnlétcrmiué , tous le" autres s'e;..­primeront au mo]cn de celui-Li; et en m cttant une fonction arhi­trau:e cpx il h place de P, la série (:<) devienrlra

et pOilr qu'elles le soient d1'ectivcmcnt, il faut que l'on ait ensuite

Les exposans c', b, l" rte., formant pal' hypothè,e une suite Cl'OlS­snute , il faut, pOUl' ({lle ces dcu x St:rlcs puissent ,ITe identiques, que

l'on ail d'abord

THÉORIE MATUtMAT1QUE

u.= Ae" <'t e" .+ Bea ," l'x + Cea~" eF + etc. (6)

d~ ;L"+ dQ ,:-r 1 ~ yT + _dl é dl é --r dl e etc. -

DE LA CHALEUR.

C + D (x-ll) + E (x-~)~ +ctcr.2 .,

E + F(z-h) +1,2 etc. ,

dl/{x

'J:iif

etc. ;

+ etc.

lB

u = A + Ca (t _ h) + Ea'(i-")~1.2 + etc,

+ [n+ D a (t _ Il) + F a' (t_lI)' ]t, --1.-2-~ + etc. x

+ [C + E a (t - Il) + CIe.] ~'1.2

+ CD + Fa ( t - 1l) + etc,J' ~~• 1_~,3

Qlld,le que soit la fonctio u arbitraire rI\," 0' .ut 1 J' l_. 't'w, II peu a creve OppcTsuivant les pntssances entières ct posj lives de x 1 S it cl 'c,' -- 1. ûl one

(pX = A + B (;r-Iz',+ ~_0'-.lj~+D(.o:-hY+1 1.2 ~~2.3 etc.j

\BCD dé., , , ,etc., eSlgnant des constantes arbitraires. Nous

! 5,-cette expression de il ne diff ère j)as ,;ssentiellen>el'Il (Jr> l '., 1. - a preceuentc,Dans tous les cas, chaque terme cle Je valeur (J'" Il '51' , ' ,. " , , " " " '., - e ' une lJücl;raJeparticulière de 1equation (3), et son inténraJe complète e t J ~.7 . . _ r. . _' .. 'tl J'!' S a sonln1eU LW nombre muru de cc, li1légralcs particulières,

•73) Voilà donc les trois séries (") (5) (r) , . rté1." ,_ , " ...Ô, ,', '. j ) qUI expriment e<'J-lcrnent , mais sous des larmes dllleretites l'intéaralc coo'lple'-t- d "'J". __ ) "" - e e e-'luatlOn lj . La première contient une seule Ionctio hitrai" ". • _ , .,' , ' ~ ,1 n m' 1 l':Hl'C .,px,J" seconde en COntient deux 01 t: ct -Wt·t 1', t··", .f~ ~ :\ ,... •• 't' .. l' e ..i. !.'OISH~n1e ne renferme'I(,e des constantes arbitraires en nombre infi'li et formant de itdijjërell tes A, fi, C etc et ((, b ,> .' • ., ux SUI cs

. ,.., " l'. cIe. 1111';q;1C ces valeurs de tc

ont toutes trors le meme degré de généralité il s'ensuit q 'el' . cl 'vent être équivalente' , ' '.. U res 01­.' "" '0 s , ct que c!wcunc d elles doit pouvoir Se trans-10,Ll.cr dans les deux autres; ce qu'on peut en effet vé ,T,· l, 1"manière suivante. '- II lel (1, "

<tu moyen de quoi la sér-ie (1) deviendra

R = Ce" ,'" , etc.j

dn Rdt = (I?,' , etc.;cij' = (1',,'1' dQ = ab'O

dl J dl. .... 1

P = Ac" ~'I , Q= Bea"1 ,

dans laquelle les coefficiens A, A', B, BI, etc., et les exposans a, a',~, b', etc., sont des constantes réelles ou imaginaires, ce qui fait que

u = s«:"' cos etX + A'e-"~"t sin a/x

+ Be- "c" C05 bX + B,c-a,"" sin ~'X

+ etc.,

On obtiendrait la môme expression de u en prenant {j = e dans laserie (2), con,sîdé,'ant "lors sb coefficiens comme des fonctions de x, etchangc31lt dans le résultat les constantes arbitraires tl., b, Î', etc.; ena~', aG', a/,', etc. Ces constantes pourront être réelles ou ima­ginaires, aussi bien que les coefficiens A, B, C, etc., de sorte quela formule (G) est une série d'exponentielles, de sinus et de cosinus.Si l'on veut, on peut aussi écrire la valeur de u sous cette forme:

do la valeur générale de ~I sera

01', pou;' que le'. dèllK mcmhres de cette équation soient identiques,

il est néce55a;rc et il snflit qu'on ait

cu sor-le qlle tous ,2'; terme,'; de la série (2) sc àétermineront inde­pCi1(iarnrnent Ies uns des antres ct fonlleront autant de valeurs p3r­

tiClllii:l'CS cl" li, qui saiisl'eJ'(lnL isolément à l'équation (3), ainsi qu'on1'2. (lil pIns haut. Les expos~m; '1, b, 'f, etc., resteront indéterminés;en désigllantpar A, TI, C, etc" des constantes arbitraires, on aura

6= cr. En considcraut les coelllciens <le la série (2) comme des [onc­

tions de i , ct la sllbslitu'lI1t dans léquation (3), on aura

D + FIL(t - h) + etc.

d.ltC + Ea (t - li) + etc. = dt '

EaOt/-l.y _1"A + CaU -- h . + -l~:-;-- - + etc. = ''fl,

,-Li ct "!'t seront deux ,'onctions arbitraires el indépendantes l'uuc de

rau.tl'e; on cu déduira

DE LA CUALEUH.

.rm = ("-"-~:-')"' ;

quantité développable pal' b fàl'nmle du bilJome en une serie d'ex­ponentielles.

(7~)' Maintenant il s'a~it de l'l~dui,.,,,, Jes illtl'gr;.ies défini cs la séri"(6), et ensuite les séries cl: (5); transformations qu'on eilt~cluel'a

au moyen de formules connues dont je rappellcl'ai cepentinnt les Jé­monstrntions.

Appelons k la valeur- de l'intégrnJe définie f~~, e-" de". En chan­

geant successiverncn t ca en x etr , 110US aurons

159fer~ coïncider semhlublcmeut la sé"in (G) avec la série (5), en déye-Ioppan t 1:1 premièl'e suivant les puissances de x - li,

II n'y a pas de doute que l'expression précédente de qJx en sériesd'exponentielles réelles ail irn;'ginail'cs ne puisse représenter une[onction quelconque de .r, Elle peut représenter, par cxcrnple , lapuissance quelconque x m

; car, en désignant pal' , une cotlsl:"nte infi­niment petite , On a

1

. Fa.'(l-h)~li) + --,,-,- + etc. = "!'t,

THEoRIE i\IATm~MATIQUE

TI + Da(t

etc. ,

ct la valeur nrécéc1cnl:e de II coïncidera avec la série (5). Réciproque­

meut ~n tl'a;"Cormera de même cette série (5) dans la série (4)·En <léveloppallt la série (6) suivant les puissances de t-h, et

1 · ,,,,,'11 TI a(;'h C <,/'h te aar d'aun-esreruplncant , pour a )regel", ru: ,ve , e ,e.,. l -cûnstnntcs arhitraires .:i{, R', Cl, ctc., on a

,'\S

Or, si l'on fait

II _ A'e""x + Bléx + Cle'l'x + etc.

+ (A' ~-'C·X + B'~'rlJ- + CÎ"e~" + etc.) a (t- li)a 2 (t- !i"­+ (A'a.+Cd + Il' h+ IP + cr ')'+ e~I + etc.) I.2

+ etc.;

el, par conséquent,

et si nous faisons

A' c"r + BI e'r + C' e~" + etc. = </J.x,Or, si J'on considère la surface de révolution dont J'équntion est, encoordonnées rectangulai J'es,

qJx sera une fonction arbitraire de x : 11 en résultera

d'cpxAI tl' e" + Rib" é" + C')'" e~x + etc. = --;E;"

? d1 rpxA' a.4d'X + BI b4eo

I + cr,.i e~'< + etc. = dx4 ,

etc. ;

ce qui fera coïncider la valeur précédente de u avec la série (4). On

l'intégrale double qui exprime la valeur d~ le' sera évidemment levolume compris entre cette surface et le plan des x et ]'. prolongéil l'infini en Lous sens. Mais on peut aussi decomposer ce même vo­lume en tranches cylindriques et infiniment minces, dont J'axe com­mun est celui des z; le J'Hyon d'une tranche iiuelconque étant r,

son volume sera le produit de sa base 271Tdr et de sa hauteur- e-r' ; le

18..

>10U$ déduirons de l'équation (7)

DE LA CHALEUR,

Celtc éliuatioll est, sous tormc Gnle et la plus simple, l'inl,,grdccompiete (j,e l'é'luaIion (5). Elle ne rcn['ernw, comme on voit , rI:;'ullescul« fonction arhitrairc , qui ,'iC Ûél(~I'mincra immédiatement d'3pr~s

la valeur di, Il relative;' /, = o. Tontef'ois celte forme de l'intégrale':ornpl(~li'. Suppose gue cette valeur de u. qui sera celle de T,1':, crois';cnvec ln va"iahle;x' dans un moindre rapport que ex', et que le produite-"'f!X' s'évanouisse pour a: = 4- CD, s~ns quoi la quantité compris

8sous Ie signe f c1'0111'ait indéfiniment avec ) pour toutes les valeur­de t rlitlel'cntes de zéro, et J'intégraie délinie, dont les limites "on[r» = -+ ca, aurait généralement une valeur inlinie , ce qui serait iWld .

rnissihlc. Avec cette restriction, il est facile de vérifier que l'éqwl~tion (7) satisfait a l'équation (5).

En effet, si nous Iaisons , pOur un moment,

du = "';-,-)".0 tp'(x +dl V",-;o

dïu a f'" fiC +a ---,= ---= (j'! xdx y"". -'C

en intégrant pal' partie, et supposant que le produit de p-'" et

<pl (X' + 2t'tl Vat) s'évanouisse aux deux limites, on a

, f it .. id 1 1 d dit Il cl d'" ,ce qUI al comci el' a va eur e dl. avec ce e e a dx" et satis-

fait par conséquent à l'équation (3;.(7 5). Si l'on désigne pal' g une constante positrve, et que l'on

mette vi'" et vg diV à la place de t'tl et dtv dans l'intégrale

J:? e-~. diV f ses limites ne seront pas changées; et en di visant par

y'g, on aura

Be' (x + 0' y7;'i)

Cel' :.r+2MV;;ï) + etc. = q> (x + 2(» Vat),+

on aura, en même tenlpS ,

~roù l'ou tire

Ae~" + né' + Ce'l" + etc. = rpx,

et îl en résultera

u _ J~f~:o q>(x+ 2[,) \/ai)e-~'dUJ. (7)

f~ e-lP+2t/PJV;Ü-,,"~ntrl0 =::=- ,/,;r;

-::c

pour 10. valeur de li ou de j'intégrale donnée.. 11 . ~. J ps lirlJltes( ]! soit Je, ~ü'lL,·tante .:1. ~ rce c o-u 11112gnlaJ,re J .'-~'- _)11e, C 'lue, . ,_ ,

! 1 t si l'on y met c.J - '1. \/at i, iarle cetl'e inlégl't1.c ne c ',Jng~I'OI,J pas,

plac.e de Ct}; on aura donc aUSSI

ï> e-"'dJ)1 _~.r.

" f'''' -/"iI"- ·.lct.u;-V~d--= e e œ.V", -'"

et il en resultera

On exp rirnc rn de rnèrnc les autres exponel1t~elles relatives ~ t , quisont comprises dans J'équation (6); laquelle deviendra, en consequence"

r f c. r ~,c,,+,.v;;tj B "(x..;.'wY;;i)u=-_ Ae + e\1 _x-

; 'To + Ce'l'(x+,~V;;t) + etc.] e~M' s:

Mais si I'on dti"jgne pal' qlx une {onction arbitraire de x, et que I'nnfasse

THEomE MAT}]f~MATIQn:j,4·ovolume total sera donc l'intégr::lc de cc proùnit 1'1'15C depuis r = G

l' 1 "' 1.' 0' aura doncjusqu'à r cz: =f;: ;- ~11 'egalau;.; o':i l 7 IL

THÉORIE MATHt"\IATIQUE( '!2En di11ërentiant n fois de suite var rapport à g, ct faisant ensuite

g = 1, on en déduit

1f(

DE LA CHALEUR.

élémens, divisé par \jt -ft, satisfera séparément à J'équatior, i'}) i

et l'on pourra aussi rem piace l' celle valeur de Il par la série

drl,,~ t •--,dl'

c" V=; d"

,"1.3.5 .. 2n - r

clan, laquell e il. , A', etc., et, (L', etc. 1 h, li, etc., sont des cons­tantes arhitrni ms , et qui représente en séj,ie d'une forme particulièrel'intégrale complète de l'équation (3).

La série (5) conduit aussi à une intégrale de l'équation ~3) son.forme finie, mais beaucoup moins simple qnc l.i précédente.

Cette série Se compose de deux parties dont l'uue dépend de latonction -tt, cl l'autre de la fonction '':l't. Le terme général de lapremière partie peut ètre mis sous la forme

pal' une suite d'intégrations par partie , on a

'2'1 c; c(J)V-'d,:,..,

13.5.-'-:2~,=; = f' f-"(C+~V-I}'+"en désignant par c une constante réelle, qui ne soit pas nulle, etfaisant pour abréger

Si l'on veut que lu fonction arbitraire m.x: soit 1:1 valeur de Il qui ré­pond ;1 t = 0, on fera 11 = o , et cette formule coïncidera avec l'é­quation (-::), ,jétluite de ]'1 série (6).

On peut rneltriè cc résultat sous une autre forme, en désignantpar ,,/ "une nouvelle variable, et faisant

Or, en verlu du tl1éorème de Taylor, cette expression est, sons

forme finie,

ti = -~ J/'co 4J[x + 2W \/alt-h',]e-"' chu.Vr. -;ç> ;." j,

cnrc auisr ;

ct .1[1 moyen de ces deux dernières équations, la formule I/:.) peut s'é-

ce terme général deviendra donc

Î' [(X-hl]" d'~lf"" e~V=; .1.2.3 ... 1l -4a-- ~ -7., (0+""V ='-;- )"+ : '

0)' ;

a,,'2 Va(t-h) ,--~==dw

00 aura "I01'S

et , par cousequcnt ,((JJ'-.'T)~

1 f' - ~" (1.-") i 'u = ~c,) C (m."V..a(t-h)

Les limites de cette intégl'ale semaii ndéterminées ; chacun de ses

et d'après le théorème de Taylor, 011 en conclura, pour la premièrepartie de la série (1),

DE LA CHALEUR.

:sAe~xe're)' etc. = if!(x, y, z , etc.},

cp sera une fonction arbitraire; par le changement des variables, onen conclura

Or, si nous faisons

'2-Aea Lr+2uV" (t-h)J+CLY+O~Vb(t-h')J+)[,+o~ li «1-1/)]+ etc.

= q> (x + 2~V" (1- i'0,'y + 2"'y'b (1- h'), z + 2IJVC(/- h"'), etc.);

On aura donc finalement

par conséquent la valeur de tc en série aura pour expression

:s indiquant une somme qui s'étend 11 toutes les valeurs possibles,réelles ou imaginaires, de A, et, (;, )', etc.

Si l'on représente par h J h', h", etc., des constantes quelconques,on pourra, si l'on veut, sans augmenter la généralité de la valeurde u , remplacer le coefficient A par Ae-(I~'''e-&r'h'e-C)'I(', etc. Alors

eu faisant subir la transformatiou du na 74 à chacune des exponen-ti Il a~'(I-h) b6'(I-h')' Co'(I_"'" cl A. lle cs e ,e', e ' l, etc., et comprenant ans es

diviseurs V?T, il en résultera

pour déterminer le coefficient T d'un terme quelconque. En dési­gnant par A une constante arbitraire, la valeur de T tirée de cetteéquation sera

trouvera que chacun de ses termes doit satisfaire séparément à cetteéquation, que les constantes a , (;, J', etc., resteront indéterminées,et que l'ou aura

J

l;1

1

1i'",

> on aur»

un terme quelconque de cette série; T étant une fonction de t, eta., (;, J', cLe., des quantités constantes, Si l'on substitue cette série2 la place de u clans les deux mcmlrrcs de l'équation donnée, on

+~y(x.~h)

qui contient Ull nombre quelconque de varia bles indépendantes t,x , y, 5, etc, et dans laquelle a, b , c, etc. sont des coclliciens

constans.En développant J'abord, comme précédemment, la valeur de Il

suivant les puissances de er , développant ensuite le coefflcicnt dechaque terme 3tlivant les puissances de e', pUI" Je coefficient de chaqueterme Je cc second développement suivant les puissances Je e', etc. ,l'inconnne u se trouvera d~veloppée suivant les puissances et lespl'oJuits des exponentielles e", e', e', etc., et l'on pourra repré­

sen ter par

TlItORIE MATnUIATrQCE

~. _ a ~'" . b d'u rl ru.dl - rIx' -r ({y" + c è' + etc.,

tt.z:z: ": r

ponr 1'111iégl'41lC conlpJètc et SOns forme iiuio /..lcl\jqn~llion(5), à laquelle~)n peut en erfct vérifie]' que ceU(~ valeur dÎ~ ri- sali ..,CaiL Les deux f(hH;~

, . ' i;!i

,ion, <ll'lJitrai,'''s'tt el ·t'l; qn elle renferme sont les valeurs de li et ~i~.

,pi répom1<"llt ~r :x: = li,(e;G,. Le procédé qui nous a eondllit il la serie (6) et ensuite n

J'iJ;t,;grGl" de l'équation CS) donnrie pal' la l'annule (7), peut s'étenQl:~ sans Jimeu]"; il l'ér!uaiion

~ .,~ >~~tjjHlc parite de cc·;tc luènlC scric ~c (h~duit dE la pn~~[nièl'e, CL

dl1t(..;r:::rüÎant ccilc-cipdr C,'1r"port 11 .r, lllullipJinnt pal'a, ct Hh:ttn,1!

C±,,! au lieu. 1.1:": (~i'; {:11 ajlHl1anl donc l'une ~ lautrc ces deux partie:;

j.' r a'(t-hl' rr a'(t-hlj'jYusx» x+a(l-h»)Jxdx+-1.'2JJfxdx"+'-:2"T

jIx-dx.1+ etc.,

DE LA CHALEUR.substituant dans l'équation (R), on aura

Le premier coefficient 1) restera une fonction arbitraire de .7.' que jereprésenterai pal' fx. Tous les autres cocfliciens Q, R, S, etc., sedéduiront de P par des intégrations successives 1 et il en résultera

"LIS RJ 7./; = Cl ,ctc.

dU27.i:r. = aQ,

dQd- = aP,x

Les expo5ans tl, b, ?" etc., formant par hypothèse une suite crois."sante, il faut, pour que ces deux séries puissent Être identiques,que et. soit zéro et que r:: 1 :r, cf', etc, , soient la suite des nombresnaturels r , 2, 3, etc. Cela étant, il faut rpl' on ait, en outre,

a ~p (t ~v:: + b ,1Q(t _ h)'-r + dR ( ',\Y-'dx dx :Y dx t - f', + etc.

=aP(t-h)'" + aQ(l-lf + aR(t-hY + etc.

TITËorrlE MATHÉ"'1ATIQUE

'!:!. _ (t.(:I.' 'u + d'u + d'U).dt - dr' dy' dz:

pour l'intégrale complete sous forme finie de l'équation donnée. Ellene contient, comme on voit qu'une seule fonction arbitraire ; Ia­([uelle est relative " autant de variables indépendantes, moins une J

qu'il s'en trouve dam I'cquation donnée. POUl' que cette fonctionpuisse se déterminer d'après la valeur de u qui répond à une va­leur donnée de t , il faudra prendre toutes les constantes il,h', h'!, etc" égales entre elles cl à cette valeur de t; la fonctionrp (x, J', z , etc.), sera la valeur correspondante de u , divisée pal'

une certaine puissance de V;;;;.Si l'on co nsidère , du moins dans une première approximation, la

chaleur spécifique c cl la conductibilité k comme des quantités cons-

tantes, et qu'on fasse ~= a', l'équation (7) du n° 49 deviendra

Son intégrale complète sous forme finie sera donc comprise dans laformule précédente. POUl' que la fonction arbitraire qu'elle renfermes'exprime immédiatement au moyen de la température initiale, 01]

y supprimera les constantes 11, h:, Il; celle inlégra1c sera alors

f/J ex, x, zj désignant la valeur de u qui répond à t = o.

(77)' Prenons encore pour exemple l'équation

pour l'intégrale complète de l'équation (8), en série ordonnée suivantles puissances de t - h,

Elle ne contient explicitement qu'une seule fonction arbitraire j'x;

mais la suite des intégrales.f/rdx, tP.'rdx', ftfixdx', etc., ren­

ferme des constantes arbitraires en nomln-e infini, qui équivalent àune seconde fonction arbitraire.

En effet, désignons par Ir une constante quelconquc, comme laconstante h , par A, TI, C, D, etc., des constantes arbitraires, et par!px une fonction arbitraire; faisons

(8)

du second ordre comme l'équation (3), mais d'une forme différente,et dans laquelle a est toujours une constante donnée.

Jc désigne, comme précédemment, pal' h. une constante à laquelleje n'attribue aucune valeur particulière : je fais e= t - h dans lasérie (2) dont les coefliciens seront alors des fonctions de x; en la

J?pxdx = <p"x, fip,.x:dx = !fi.x·, J't,xclx = !P3X, ctcv ,

et supposons que toutes ces intégrales ip,x, 'P,x, 'P3X, cie., s'éva­nouissent pOUl' x = k. Sans restreindre la généralité de la valeur pré­cédente de u, nom pourrons faire

Jx = A + cp,x,

fixdx = TI + A(x - k) + rfJ,x,

·'t=dn."'t' dl '

nx

U = Ac"te-;:+ néteT + Ce}'c~+ etc. ;

A, n, C, etc.; (1" b, "y, ctc; , étant deux séries de constantes arbi­traires, réelles ou imaginail'es.

(78). Pour obtenir sous forme finie l'intégrale de cette mème éqlla..

ce qui fera connaître toutes les quantités arbitraires que renferme 1"second membre de l'équation (9).

On peut aussi exprimer en série d'exponcntiellcs l'intégrale com­plète de l'équation (8) , pOUl' laquelle on trouve, sans difficulté,

Celte intégrale complète de l'équation (8) est semhlahle par rap­port à t et x; ce qui devait être, puisque l'équation donnée con­tient semblahlement ces deux variables indépendantes. Elle procèdesuivant les intégrales successives des fonctions arhitraires , tandis quel'intégrale complète de l'équation (3) procédait suivant lems diffé­rentielles. Indépendamment des deux fonctions arbitraires rp.T et

·tt, contenues sous les signes f, elle renferme la constante arhi­traire A, qui représente, d'après cette équation (g), la valeur de li

correspondante à t = h et x = k , et qu'il faut conserver, pour queles constantes 1z et Ir puissent être choisies à volonté. En supposantqu'on a u=<I>x quand t=h, et u='o/t quand x=k, on aura ,en vertu de cette même équation,

A= iJ;J!I = 't"lc , q!,:r= <l>x - A, {,t = 'f't - A,

et, pal' conséquent,

DE LA CHALEUR. J49

et la valeur de u deviendra, .eu conséquence,

J.2,

A{:r-- k) +

THÉORIE MATHÉMATIQUE

C + 13

D+C

f+tdt= .,y,t, f·.hdt=+.t, f{,tdt={st, etc;

TI + C 0( Z)+ Da'(t - h)' + ElLi et - I,)' + t _.1 t·a a ,t - 1 1.2 1.2.3 e c. -"'t' ,

et je suppose que ces intégrales successives {.t, {.t, +3t, etc., soienttoutes nulles pOUl' t =11. Il en résultera

Ca'(t- hl' Da'(t-h)' Ea4(t - hi 1Ba (t-h) +----;-.2- +~3 + ~3.4 +elc. = "t,t,

Ba(t - hl' + Ca'(t - 1.)3+ Da3(t - h)! + etc. = ...J..t

1.2 1.2.3 1.7,.3·4

~a(t --=~~+ Ca'(t-h)l + etc. = ,ht ,1,2.3 1.".3.4

Balt - 1.)4 .1-r-:- •._-, + etc. = ''l'4t ,

1.2.3"1

etc. ;

de sorte que {t soit une fonction arbitraire de t; Je fais aussi

Je fais actuellement

etc. ;

ffjxdx'

ffffxdx3

150 THÉORIE MATHÉMATIQU}~

tian (8») j'observe que l'on :1 généralement

1

f

DE LA CHALEUR.d'où l'on conclut

151

On aura donc

(la)r!!!. = ag, (d"-U _ n~u_)dl dx' x"

J'", 3 (' ,-,; ,. :&1 d .I.- •• , 2l:-I) r.sin CI. CI. = , . ,_,o 2,_j_ •.••• 2~ 2

~ ?,-!il+1 ['71

l ,,3 .. ," 3 . = l 2 3 /, .' ."in" ""da,•• 0 •• , ,z •.' .q_••• 2~ 0

et par suite

et, par conséquent!

ou, ce qui est la même chose,

y = ';..Jo:" COS (2 Vfisin·(/.,)dct.

D'après celte valeur ùe'y et celle de u qui en résulte, l'inlégralecomplète sous forme finie de l'équation (8) sera

u=;' A f..}7 cos [2 V(x - k) (16 - t) sin' etJd",

+ ;{;; {r: cos [2 VlX='::' (;)) (h - t) sin' aJ da} ~f/Jdà)

2 r t f r'~+;j h lj,~ cos [2 \!(t-ClJ) (k-x) sill'CI.]da;} +tnd:v.

Elle dépend. comme on voit, .d'intégrales définies doubles, au lieu<J.ue celle de l'équation (3) ne dépendait que d'intégrales définiesSimples.

(79)· Je prends pour dernier exemple l'équation linéaire et à coef­liciens variables

dans laq~elle a et I.n sont des constantes données, ct que je choisisparce qu elle se presente dans les problèmes relatifs il la distrihuticn

il'- ~3

1-8 +--'-- - ·+etc.=y,, 1.2 . 1.2 1.2.3. 1.2..3

f(x - CtJ)'-·~CI!dUl = (::r. - w)"-'iP.cv + (n - 1) (x -Ill)n-·'P,w+ î n --1) (n-2). (x-CtJ)'-'11'3!"<! +...+ (n-I) (ll-2) • . . 2.1. iPoC<J;

et si l'on fait

Or, i étant un 1l0m]JJ'e entier et positif, on 3, en intégrant parpartie,

a Ile restera plus qu'à exprimer la valeur de y sous forme finie enfonction de e: les valeurs des trois séries contenues dans l'expres­sion Je lt se déduiront de celle de y, en y faisant successivement

, r'J:' sin'; «d« = (2i - J)J 0'" sin,i-, CI. cos- ,,-dd.;

9=a(x-k)(h-t), 6=(x-",)(h-t), 9=(t-(;))(h-x).

il b. Iirnite 6J = k , tous les termes du second membre de cette équa­rion s'évanouissent pal' hypothèse j à la limite !"<! = x, tous ces termes,moins le dernier, s'évanouissent également; d'où l'on conclut la va­leur précédente de 'P.:.!:; et l'on aura de même celle de {nt.

De cette manière, l'équation (9) deviendra

u=ArLl+a(x-k)(t-h)+ a'(x -kY(t-h)' + a'C-r--.k)·1 (t-h)' +etc.J.. 1.2 ... " 1.2.3 . 1.2.3

r I [ • a'rt-h)'(x-~)' a'Jtt-h)'(x-OJ)' ]+" r+a(t-h)(x-,;.))+ ' +-'-3--'--3+etc. qJlIJdw,J J.:. 1.2 • l.? 1.,., .1.2.

+ r t [r+a(x-k)(t-w)+~'(x-k)~([-m)o+a'(x-;J' (t_~)33+etc.J-+CI!d!"<! ;J h J.2. r .« 1.2 • .J.1.2.

En effet, n étant lm nombre entier et positif, on a, en intégrant nfois de suite par partie ,

En intégrant par partie, on a

Cda ctant , le premier coefficient i\ l'estera ind~tcrminé, et tous leo;au l rt.x se dùhlil'ont Ile celui-li" au moyen de cette sni te d'équations

+ ctc..ctc.).

Ar [Cp + 2) (p + r: m] - Au,

A. [(p + ~) (p + 5) ln Alet'J

/\3 [(p + Ci) (v + 5) m] - A,a.,cie.

P _ i;cr(A + f\X' + -\.x' ++ ;X;9 (H + n,x' + B•.:r' +

1'. 2 i.. ~ 1 lI. <)ll-'JCos /ZWSltl p- uJ{I co==--~- CÙS2.r1-I(..t) s,l n :l.P(.)+ ::::...-- fcos!J.t/.-':> UJ sin2P.J· , «rl»,2p 2]J

Si P est une quantité positive J ou hien si cette quantité es! composée20

DE LA CHALEnI~. 155

des différences constantes et égales il 2; de sorte qu'on ait aussi

p' = P+ 2, pli = P+ If, pm = p + 6, etc.

L'équation (J2) donnera deux valeurs de p que ,je représenterai par pet!j; en les emplovant successivement, on aura deux valeurs de P,dont chacune rcnfcrmora une constante arbitrairc ; et en faisant lasomme de ces deux valeurs, on aura l'intégrale complète de l',;qua­rion (r 1 ) i savoir :

On désigne ici pal' A cl 13 les deux constantes arhitraircs , A, , "'.,A 3 , etc .• sont les qunntités déterminées pal' les equ~tjons préc8-'dentes J et B" B., 1'>3. etc., ce crue deviennent ces quantités lorsqu'on.Y met TI et q à la place de A ct p; les premières auront A ct les se­condes B pour facteur commun.

Cette valeur de P, ct pm' suitc celle de n, s'expriment par des in­tégL'alcs défi nier. , de ln manièrG suivante,

(So), Je mets PCP - 1) il la place de tn dans l'éqLWtion qui a lieuentre deux cocfficiens consécutifs /'n ct A._" c'est-à-dire, dans b/1""" éqnation de ln série précédente; il en résullc

1i

rl1

(II )

THÉORIE :'IJATIlÉMATlQUE

A[p(p - I) - m]xr-' + A.[p'(p' - 1) - mJxp' - '

+A.[p"(p" -1) - mJxf " - ' + etc.,

= eLAxP + eLA.xP' + Cl.A.x-p" + etc.

et que les exposans P1 p', p", etc., ne forment une suite croissante par

en c1éi'lgnant par A, A" A" etc., P» p', p", etc, des coefficieuset des exposans i.ndépellt1ans de x. et sans décider d'avance si p,p', p'i, etc. J forment une suite croissante ou décroissante. En subs­tituant cette" aleur de li dans les deux membres de l'équation (10) J

il vient

p(p-I)-m=o, ([2)

Or, il est aisé de voir que ceg deux séries ne peuvent être identiques,à moins que le premier terme de la première ne disparaisse, ce qui

eXIge que l'on ait

la somme s'étend2ut iL toutes les valeurs possibles, réelles ou il1lagi­

nau-es , de ces deux constantes ct de a..

QueUe que soit la valeur de P, 011 peut la représenter paL'

P = AxP + A,xP' + A.xp" + etc. ;

Son intégrale complète l'enfermera deux constantes arbitraires; etquand OLl l'aura obtenue, ce-lle de l'équation (10) sera

de la chaleur flans l'intérieur des corps, ainsi qu'on le verra par la

suite.Si l'on hi: e= e,,'t clans ti série (2), et qu'on la substitue ensuite

dans les deux membres de cette équation (10), on trouve que tousles termes de cette série doivent satisfaire séparément à cette équa­tian, que tous les expO$ans a., b, y, elc., restent arbitraires , etque le cœŒcient P du terme quelconque correspondant à I'expc­saut a., est c1étermiué pal' l'équation

15!i THÉORIE MATHt,\LHIQUE DE LA CHALEUR.,

dont la valeur est

d'une partie reellc et d'une partie il'laginaire (,[ que sa partie réellesoit positive t le ternie con1pl'is llors du signe f s'évanouira pour

:J;) = a ct pour CL' == -:r; OH aura donc

d'ou l'on tire

/i ["<C( r• ri \

/- u:C:' x\;;.l.V' ~+ x \ 0. cos (JJ + - cos' &J + ----', COR' CV

1.2. 1.2.3

+ ~COS4 to + etc, ) sin'p-, œdi»,1.2 'J./j ,

2n - l ('~ • {~~___ COSU-9 Ci! SlnliP- l(,)( w.

2n+ 2]J -1 L" fi

Pal' consequent r A étant une constante arbitraire J on pouiTa

preudre

A. - AaP r: cossn(J)'sin'p-, wdw,~ rli- r.2.3., 2.l1-T.2.nJ 1.1

pOUl' l'intégl"ale complète de l'équation (13) aux différences finies;car, en vertu lies deux équations précédentes, on aura

-, .. ACl-~ :,/'"71 • ;'r,l-!/. • !lp_1 t i "sn (2n + 2p - 1) AlI = -=--~-----.---- ~..., ,cos t» SIn wc u,~

, 1 .?,. 3 , .. '2.i!-3 . ~n :L. J U

et en mettant Il - 1 au lieu de Il dans l'expression de A., el mul­tipliant par (/" on aura aussi

ce qui rend identique l'équation (13).

00 conclut de li<

A + A,,:>:,' + .\..x' ... + A,x"" + ete. =r ( a T ' ",'.-c;. + t ) . ,,-, l'A sr 1 + ~cos' W + --,-- cos û; e c. Sll1' (,J(U!,

) n 1.2 1.?,3.1J

Comme on a évidemmenl

(;-r cos.:l.n-l to sin~p-'-,1oj{1(Ll ;::;=: 0,

, 0

Pal' le changernent de A el p en Il et q, cette valeur deviendra·:elle de la seconde série contenue dans l'expression de P. N0110 au­rons donc

pour l'intégrale complète et sous forme finie de l'équ:,liion (11),dans le cas ai] les deux racines p et q lie l'équation (12) sont 130­

sitivcs , ou, plus généralement, de Ia forme p'± q' \/.=-;-, endésignant par Ji' et q' des quantités réelles dont la première estpositivc ,

Dans le cas particulier ou l'on a ln = -~, les deux racines pet q sont égales; on a p = ~ el q= ~; mais pour éviter que lesdeux termes de la formule (14) se réduisent il un seul, on llésignerapar cf' une q uantité infiniment petito , et l'on fera d'abord p = 1 etq = :+ J. En développant suivant les puissances de cf', on aura

x q sin '1-'W = x-!: [r + cf' log Cx sin'o)) + crc.],

si donc on faitA + il = A', B! = B',

et qu'on supprime ensuite tons les termes multipliés par cf', on aura

1 _:~-J'''':'TV;I~OSÜ' 1 ~r'lrxv';:cr,.'loCll .P=Ax" e dw+Bx· e log(xslll"{»))dw,o L 0

pour l'intégrale complète de l'équation

on peut , SI J'OIl veut, changer cette dernière série cu cell,,-ci , al).

20 ..

Ces intt;gmJes complètes renfer-ment cleux fonctions arhitrair"",cp et "~ dans la pl'emib'e, <1) et 'f' Jan", la seconde: mais si on les

développe suivant les lJUiS';:tnccs de: t., on trouvera que tous k·,coelliciens des pnissauccs ir....ipaires sont zél'o, ct ql~e It:~; deux fonc­rions ;:;r1,ill'ai,'cs Hl: reduisent b une seule et rnèrnc fonction clam tous Jescocfûcieus des puissances paires. l-i'int(~gl~all: de l'équation J 3cnl­

hlahlc som ce rapport b celle de I'équatio» (3), ne doit eircctive­ment contenir qu'une seule fonction arbitrn iro , lorsqu'on b déve-·Ioppc SUi'V8!1t les puissances de la v(l{'inhJc t,

(8l), La somme des deux racines p ct q de l'équntion (1.0.) ét:ilJt

égale ~_ I'unit é , une racine au moins ~ ou sa p8.1,tie )'é(-~ll~ , est toujourspositi.ve. Si l'antre racine est négativ,";, Ia p~-ll'(i{; correspourlautc de laformule (14) n'aura plus lien, ct l'iut!~gl'ale cornplètL: de réquatlon (l 1)prendra une forme ùiffé,'(;ulc c:t plu" com pl iquée. Cc cas se présen­

tera, comme ou il'. verra pal' la sui le, dans les willges que nous

Ferons ile la valeur de P, mais nous aurons seulement hcsoiu deconuaitrc la po riie de ccii" valeur qui répoud .1 la racine posi tivcde J'équation \,2). En "fI'd, CJ étant fia racine nèg3tivc, lc prernicrterme ct quelques-uns rles termes suivaus aurou t pOlU' facteur unepuissance nég:lti vc lie x dans la seconde série que contient la v alr-urde P du n° 70; cl comme cette série est ordonué« suivant les puis­sauces ascend.uucs de x, il s'ensuit (lue sa véritable valeur sera infinie pour x = 0, 11 moins rlue ces termes ne soient supprimés. Or.Jans les prolilcmcs où 110115 ferons usage de h valeur de l', il [audr;.qu'elle ne devienne pas infinie pOUl' x = 0; il faudra donc (lue 1"premier terme de cette seconde série disparaisse , ce qui exige gue bconstante ar'hitraire B soit égale à zéro, ct cc qni lait disparaître lasérie entière.

Ainsi, dam; ces prohlcmcs , la valeur de P se réduira il la part ie COI'­

respoudaute à la racine positive P de l'équation ([2), et sera sim­

plement

l' = ,X'I' (A -{- A. x' + i\, Xl + '" + Au ;l'" + ctc.:

DE LA CHALElJiLl

11

l1

cos

Dans le cas de Il = 'l = ;, cc:tl<: intégrale deviendra

'(W ,'n __ ü>'l+ x' J"f- (x: cos CIl + 2a;/ \/1) e 1(1" (,x-,sin'w)' dl>/d~),.., -:.c 0 n,)

(% ("W l ,~/-\ -__ w':t. • '.!.'/,-I r . /+ x' ,ll x cos + »aco vi) e SII1 ,':ri:" dû),

,/ -z..) fi 1 ',

-1-, ."".''? ""51',r-"z;c"( (-:r .r a. Ul:'i"tJ;· • -~q-J 1"''- ,) e SUL (»( [el.

]1ar conséquent , !]j)jégl'de complète cl sous forme finie de l'équa­tion C10), scru

on aura en même temps

En faisant subir a lcxpoucuiiellc C'I""'" L môme transformation qWè

daus lc ne 7.; , cette vnlcur de 7! (levi(~ndra

en désjgn[~nt p3i' $'1" et rfX d(~s fonctions arhitraires de x) on})cut supposer qu'on ait

15G THEmUE MATHtMATfQUE

En mettant, pour plus de cornmodi té, {/., il la place de a , la valeurde il correspondante il J'expression générale de r, SC!'<1

nHJlPdE MATlllDL\TrQUEDe pius, la constautc a coutcuuc dans réquJ:tion (II) sera une quan ..tité nég{!t!ve; en l'enlpl3-ç;lnt donc a. pa!' -- '-:1,';.) cette équation dc­

viendra

DB LA CHALEUR.

Of, en intégl'ullt par partie ci observant que pm- hypüthès'è l'expr.­

sar,!: "/) cst positif, on a

(~ . . d 'J'Yf"" ., ~51 li (<lXcos al)sm 'p-I UJ cos (;J Cl!= -- cos (Cl.X cos ~)) sin'" .-.Ci}(L ;• " "]J, u

'ôt "!ll mettant aussi ,,'- ct' au lieu de 0. dans l'expres,ion des cocflicieu­

A" A" A3 , .• A", etc., on auraee qui réduit il zéro le second mernlnc de l'ét(uation précédent",

(1'12). Si i désigne un nombre entier et positif, et que l'on ait

ln = i(i+ 1), les deux racines de l'équation (12) seront p=i+ 1 pt

'1 = - i. La formule (16), relative à la racine positive, sera donc

d'ou il suit

{" '," ai f" - , .cos Cax COSI'rJ,I sm"'+' lj)dw=·", cos (a;t'cos WI SIlI"-' oul»:

'- () 2."X' o 1

4i (i - 1) f'" .. -- --,,-,-~ cos (a-x cos co) 510"-' W cos'wdwo':f.','"C 0 -

or, la valeur de cette dernière intégl'ale s'obtient sous forme finie;en sorte que, dans ce cas, la quantité P s'exprime sous ce tte forme,sans le secours des intégrales déflnies.

En intégrant deux fois de suite par partie, cl observant que je,termes compris hors du signe/s'évanouissent aux deux [imites {,,=oet w 0:::.: 7T, tant que i sm'passe l'unité, on a effectivcmcut ,

Ax" (''' cos (lt.xeos iA) sin·p-'codw../ 0

p

P AxP (" cos(ax cos &;) sÎn'>-' UJd(,}., [)

Ceuc valeur de I' résulte égdcment de la prermere partie de 1;;

Iorrnule (1 ,('II Y mettant -CL' " la place de C'i, et observant

qU'on a

On 1 ce fF1J est III 111èn1C chose,

,pautité qui se ,',:duît il la formule (Ii,), parce que cette dernicnintégrale est nulle, comme étant composée d'élémens qui sont deuxa deux égaux et de ~igues contraires.

La formule (IG) est une il1tég,'ale particulière de I'crruation (ISj

assujettie à la condition spécial~dene pas devenir infinie 'pOUl' x - 0:ct qui su ûira pour résoudre les problèmes auxquels nous l'applique,l'ons par la suite, On vérifie aisément qu'elle satisfait 2, l'équation (15).En effet , il came de Il (p - 1) = m, on en déduit ,,

ou, ce qui est la même chose,

r~ ( ). + d 2":(":--1)( ..cos etX cos CI) SU1"l 1 cv ' œ = --,-~- cos (cLX cos co) siu -(lJ.... 1 r')J(Ic.~)

•. 0 .co; x ,j ()

4i (i - - l )( " .- --,-,- cos (<lX cos w) SIl1"-3 corlco :Ci- X ....... () .

éqnation d'après laquelle on détermincl'a successivement les valeursde l'intégrale dont il s'agit, qui répondent à i=:1, = 3, = 4, etc"au moycn de celles qui ont lieu pour i = 0 et i = 1. Qlli1l1t i,celles-ci, on a immédiatement

f '" ( )' J 2·, n cos aa:cos li! SHt C.'itC<J = ;;: SIn ctX;

DE LA CHALEUR.

on aura, pOUl' celle même intégrale complète,

P Dx'-' (X sin ClX' X' cos ~x)

+ D'x~'(X cos ax + X' SIl1 Cl,:;::).

Pour en déduire la formule ([7), il Y faudra supprimer la partiequi devient infinie pour ,r = o. Or! quand la variable x est infi­niment petite, cette dernière valeur de P se réduit à D'x-' , ennégligeant toutes les quantités infinies d'un ordre inférieur il x- j

;

panr que P ne soit pas unc quantité infinie quand X=O, il fautdonc qu'on ait D' = 0; par conséquent, la formule (17) doit coin-

2[

C et Cl étant les deux constantes arbitraires. Ainsi, non-sculemen t

la formule (17)' qui n'est qu'une intégrale particulière de J'éc\ua­tion (18), mais aussi sou intégl'a!e complete, s'exprime sous formefinie, sans le secours des intégrales définies.

En faisant dispuraître les imaginaires, remplaçant C et cr pal'deux autres constantes arbitrai.res D et D', et posant, pour abréger,

c.+., C,+" cLc., seron t zéro; en sorte que la valeur précétlcll tede P sera composée d'un nombre de termes fini ct égal à i+ r ,

En pl'cnant successivement~ avcc le signe + ct avec le signc-, on aura deux valeurs différen tes dc P, contenant chacune uneconstante arhitraire, Leur souu'ue satisfera encore à. l'équation (1 ti),et en ser-a l'intég,'ale complète, savoir:

!

l

que

(",' . _ ,6

J• sm'wl!ùJ = --;c, etc.

f) I:J

;

,n" - 3 l '11 sm D)( œ= 3'" n

<' '; , r''''eul' c··,· V:::; commun à Law, les termes,et apres ~iVOLl' :'.- . '.'>J' , ~ _ _' _ • _ 1" Il et"" . ,: le $(:P'll";'" "tit ~ 7"1'0 L~ ::od1lcicnt Je chaque pmssance üe:;c. . •]es"'; ,.' ".-" " .~ -', . 0" 'f ete l'équati(J11résulte ~ outre les rlcux coe(ll~luns consécuu 5 Il e n+l'

i + \ r. i-n\ C. +2d,'/=-'~ (i-n) Cn=O;\11. 1).2 i Il.,..!

d'ou l'on conclut que le coeŒcient C l'estera indéterminé, et

l'on aura, pOUl' 1111 autre cocfficie» t quelconque,

. Î it [11'_il_~cilemrnt à J'exP,ression. -ai .... (l~' cette t";:~dl~l;co;, ,;tfV'1.CIH..f21. Iii.POUl' l'obtenir

1,_, i a C,""11'11\(' '} ,') r~lat1ve a un nO'I!11re que conque(i.... h IIJ, .....-.... " j

cos

ce qui montre que pour n = i + 1 et au-delà, tous les cocfl1ciens

·OUi' i = 2, on au ra cno.;U!1C

, ' . '1----- ,6 (7,~-llœx-3axcos"'x-.tl'.x'sln"x\;cos-(,~.:l." en:, &J).SlU ~ [VI [i; --' u 5,T 'j ~ .... 1

1 _ " • ....-... _ -~ etc Ces cxnressions se présententet ne, mcrn c po,1',,1' l :J j -- -j' • _ LI" 1 "\-érihhlp-.;

- [" '." .1 x - 'n"Œ L r.,glc ore niarre , eurs v ,<"" ,-:-iOU~ Jü 'ornle t: (Inau. _...- > L,L ~

vall:'llfs ::;OJJt

i!»: Tl !\L1THÉ\IATfQUE

l~t- pal' le: prücédé de 1'inlégl'ctllOn -par partie, on trouve

,(;,>. THI~ORlE MATHJ:~i\IATIQl!E

eider avec la pi-cmière partie de celle dernière formule; et 51 l'onr~{it n = AE; ct qu'on divise par ,ri-t-', il raUdl'" qu'on ait

(7COS Jl:CLOS~) sin ll i + l v)dw :=:::];/,f-2i-I(X sin ao: - X' cos Cl/.x) r (J9)L" ')

L'Jl deLcnl1inant con \-cn~ih1t~n1cnt la constante E.Ilans le cas de :'<: = 0, le second membre de celte équation se pré­

,Cllle sous l~ (or-mc ; par la règle ordinaire, on a

d;i~ICX :31n c<.~·V - x' ras ClX)

~ dT~i+1

'lm repond a X = O. En intégl'allt pal' partie, on a

r' . r~, . lf SlU

û + 1 cod» == 2i / SlUll-l-

I U1 COS:.. tacW 1J :1 ... 0

d'ou l'on tire

et, par conséquent,

[" ' " 1- 2;.,.~,3".i f~' 1

.S111~1"""1 W{.W= ~-~_--.~ SIn »ato ;

.. <:} l Cl,.::>. , .2.f. +1. 1)

de III on conclut

cc qui Icra C011l121tre la valeur de E d'après celle do F,

(<33). Les problèmes relatifs aux petites vibrations des corps cilasti­(fues et des ûuides , conduisent à des équations aux différences par­tielles linéaires, en même nombre quc les inconnues qu'il s'agit dedéterminer. Il en est de même), l'égard des équations relatives àla disu-ibutiou de la chalcUl' dans l'intérieur des corps, lorsqu'on né­glige, clans une première approximation, Je carré de la température.

l

1r

t

DE 1,/\ CHALEUR. JUS

Chaquc inconnue est une fonction du temps t et des trois coordonnées,x, ,y, z , du point M', auquel elle répond dans le système que l'onconsidèrc , et les équations de ces problèmes sont , cu général, ~,

quatrc variables indépendantes, Si J'on excepte i{{ terme indépcllûallld,{s i~lconnues dam ces é'I'laliolls, c'est-a-dire, celui qu'on "ppe1Je Je;

dernier terme dans les équations linciail'es, et cru'on peut toujoursfaire disparahl'e 1 les coeiTiciclls des au ires termes ne renfern1~nt que

les coordonnées x, Y', z , et sont jn.dépCiidans du temps t. j\tl[li~lijY a entre les équations relatives aux petites vibrations et celles CI'Ül'épandent à la distribution de la chaleur) une différenr:e essentielle:les premieres sont du second ordre par rapport au temps, ct lescl " 1 •

erzncres seu ement da p"cllliel' ordre. Il en résulte Clue les Hltécralcscl . 0

es premières éCfuations doivent ]'enfermer deux sortes de quantitésrelatives il l'état initial d'I systilme, savoir, les distances primitivesde ses différens points il lems positions d'équilibre , ct leurs viressesprimitive.s; tandis que les intégrales complètes des équations rch­tives il la distribution du la chaleur ne doivent l'enlérmcl' qu'uneseule espèce de quantités arbitraires, (pi sont les températures iru­

liales des points du corr,", En gélléml, cette dinerence de l'orme

entre ces deux sortes d'éCfuation.~, en produit une tl'ès gr~llde enucles lois de la comrnun ication de la ch:llenl' l't celles des ]Jeti tes vi­brations; et, pOUl' cette mison) il p~r,1H au moins l1'è" ,lj()Jcile queles phénomènes qui peuvent résulter d'un rn vonnemcnt molécubi n 'soient égaiement cxplicaltlcs en les ;}!tl'ihllal;t au, oscillations d'unfluide stagnant. Néanmoins , les remarques sniv:-nles sont cornrnuues

aux }wohlerncs de Mécanique ct il CCl1X de Physique J qui dépen­dent des équations aux di Clërcnccs paridles.

(84)· Appelons li une incormun fini doit ttl'C déterminée) ~11 fouc­rion de t, oX', }O? Z, par l'(J([ll.1tioll donnée Ti~. 0, aux cJinii:'enct~Spartielles, linéaire , ,k'livréc d~ SOlI rlcl'nier terme, (jl1l 'Hl contientpas le temps t explicitement, et 'lm, no us supposerons, pour ri~er lesidées, du premier ordre par rapport Ù cette variable. En ('oisante= e-' dans la série (2), ct y metla nt des constantes /,', u'",v', etc., ), la place de et, r;:, ?" etc., on aura

Il = Pe-'·'l + Qe-f"l + Re-v'l + etc. (20)2 J ~.

TmWRIE :'dATHI~:\l:\TIQUE

Si 1'011 su!JsLilue lkns L ceUe séri« au lieu de li, il l'Il résultera

L = (N;','+O;e-"'+ (N'!~~'+ O'/,-f'I+O~",'+O")e-"t+ etc. ;

N cl 0 éluut des quantités qui ne co nticudrout que l'inconnue 1\ d'oùse dédnirou! N' ct 0' en y mettnut Q au lieu de I' J puis Nil et 0" parj;,,"lblllu!ioll de II il la l;bce de Q, el ainsi ,le suite. 'Toutes les quan­tj/';s corrl eruu-s dans les coeflicieus de cette série etant indépendantesde t . elle ne POUIT;i ctre égale il zéro il moins CplC tous ces coelliciensne soie n! s':pJrém(;lJL nuls j par conséquent J J'équation donnée L = 0

se clécom jJcm;m en cette serie déquutious

S,!,' +0 =0, N~u' + 0'= Ü, -:\"J"+OfJ= 0, etc. (21)

Lc, eXj10saus Î.", ur, 1", etc., l'esteront donc des constantes arlritraircs :ks cotl]iciell5 P, Q, ft, etc" se détermineront iudépernlamment lesuns des nntres , an moyen de ces équations (21), qui sont touteseiemhlahLsj el tous l es termes de la "éric (~o), c'est-à-dire, de I'inté­gl'Jle complète de l'équation L = 0, en ,';"ie ordonnée suivant lespuissances de e:', seront des intégrales particulières de cette même

éqnation.Les équations (2 I) seront linéaires, comme L = 0, pal' rapporl

il l'inconnue CIne chacune d'elles J'enfermera. Elles seront simple­meut des équatious différentielles, si L ue contient qu'une seuledes trois variables ::e,], :Ci et alors la sérîe (20) ne l'enfermera quedes constan!cs arhitr-aircs , savoir, /" u , l', elc., ct les constantesqlli seront introduites pal' l'intégl'ation des équatious (21). Quandelles seront aux d illcrcnces partielles, on pourra souvent les traitercornille l'équation L = 0, ct cxpruner leurs intégrales complètes en

série, d'intégrales pal'ticnli8l'es.Ce dernier cas aura lieu, l)ar exemple, quand L = 0 sera une

équation à coeflicieus co nsta ns, Si cette équatiou est de l'ordre quel­

conque ii pal' rapport à t , et contient un nombre quelconque d'an­tees variables iudépendantes sc, y, ;;, etc., on verra, comme dans len' 76, que son intégrale complète ponna être représentée par

u= 1:Ae~t+~,.+cy+.[C'+ 1:A'e""'t + n+ 0'+0<0. + ete. j

A, A', etc., a, b, etc.; désignant des constantes arbitraires ,

1

t

t1

IlE LA CHALEUR.

'W, ((;j", el,c., le ri racines d'une éqnalion algébrique ,hns JaqueJll~

entreront Jcs constantes a, (;, etc ; cl les :iOl11l11CS 2: 5 étcndar.t a

toutes les valeurs possibles, reelles ou imaginaires, de A, A', etc,a, 6, etc. En regardant A, A', etc., comme des fonctions al'l)i­trai l'es de 0'., 6, ctc.; et hisant croître ri., (:;, etc. , pal' l1cs degrés in­scnsjhles , OH peut, si l'on veut, remplacer ces sommes pal' des inté·,grales dont les limites resteront indctcrminces , tt écrire, en con-c­qucnco ,

lt = Jf, .. lCi-, b, etc.) c'''' + "T + 'j' + ctc . deLil(; etc.

-f-/[.. . j''('I., b, etc.)c,,"l+ü+cJ+(,"'dulr; (;1<:.

+elc. ;

mais cette antre exprcs.,ion de li ne diffère pas récllurucu], de la Jlré­célηènte. En eflct , les fonctionsj", j', eLc., étant arbitraires, et pou­vant être discontiuues , 011 peut partager les inlég,.,,!es relatives il «,

r; , eic., en des pOrlions de grandeur finie, d ont l'étendue soit cc­pendant aussi resserrée qu'ou voudra, de sorte qne ])our chaque pOl"

tion d'in t(!gr.11e, I'cxpnnontielle comprise sous le signe lne varie pw;sensiblcnn»: L; cc (lui [c ra ccincirle i- ces diverse" port ions de la der­nii;re valeur de u avec les termes des. 50nli11C~ î coutcnuos dans hpréc6dente.

(85). Indépendamment des équations aux diifùenccs partielles quicouvicuucut 11. tons les points du système ,il y il toujours, dans lesdivers problèmes de Physique ct de Mécanique, dnun-cs équations'lui n'ont lien (flle puur les points extrêmes; pur cxcn.plc , dans I~o

questions relatives il la distrihution de la chaleur, l'é'jtwlioll (2 ~\ dun' 67, relative l\ lu surface du Corps que l'on comiüèl'c. Ces é'1uatioIl.'particulières scrviront , chus chaq no cas, il determiner les valeur:'d'une partie des quantités arbitraires que rcufcrmcra la série (20);les valeurs d'une autre partie se déterminevnnt quelquefois par lacondition qne l'inconnue Il ne devienne i n linie en aucun point dusystème , ainsi qu'ou l'a vu précédemment (u? 8]). Après ces diversesdéterminations, les quantités arbitraires qui l'esteront encore daml'expression de ft, dépendront de l'état initial du système, Ponr en oJJ~

tenir les valeurs, j'ai suivi, dans un gmnd nombre de prolilèrnes , [18

l G0 TnÉOHD:~ DIAr'fIIÉ:\lATIQUEnatures très diûére t! les , un Facellé uniforme que je crois applicahlc

:t tons les cas, soit que la question ne présente qu'nue seule inconnue,t:t ne CODt;.1J !~C (jll'~, une seule ér{llation L == o? soit. qu'on ail à déter­

miner plu..:;;; urs iuconnucs dcpel'uL1tlttS d'nn pareil nomhre d~équa­

tions nii~{ difÙ~l'(;ne(~s p.1i'tîclJC::î, Jjnéall'cs et sinllJ.ftinécs. Je donnerailoni.: ,~'1 lhcur« UIW appli~;~~L:on de ceUe nH~tllotle gl.:fnél'ule 11. I'cqua-

iion \i) ttLlllO ~ COîLllnné(; <1YCC l'équation (2) du n" 67'

Ci:'Ut:: l'n&l-,11.' El~lh(ide Do. aussi l'avanL;gc de son.~ir; en mème tcnlpS,3 démontrer nUL (1;· ne les o ucstious rel~lt"iVèS à )D. distrihntiou de la- "1 ,'," l

..~haleur~ 1l'5 constantes /,!1., //.2, J-\ etc., contenues dans la série (21),sont t.:Hdc3 rc;dli-:s (~L r:(),~:jtjves_ Vile d\Jles, la première pal' exemple ,

. l ' .' . l t l l 't " 1C inpeuL n..'- q.,,] c a zero; c:L :! cc é:l cs j lof].• en1p-era ure u. S approe 1- .-

j-kiLnirnc!t.t d'utl-L' valeur ilî.~{al'ialJ1e u.== P. Chacun des fel'D.1CS de celtesf~cie;J C~Cëpt~ le prcmior , décroit en progcession géolnélrique; lelen:ps eto;;o:,:;t pal' ries intervalles égaux. Si p, est la plus petitedes conStantes ,Il', v , etc., le second terme décroit moins rapide­111ent que lons les autres; en sorte (fl/:,pr'ès un certain intervalle

de tcrn ps ~ CDTl-X-d- ont senslhlcT'ncnt disparu et la valeur de u. est

l'éduite ~::.

Il = P + Qc-I"',

Il s'cnsuÎt donc que quand un r.Ol'pS doit parvenir i, un état per­manent chus }equd les températures de tous ses points sont invaria-

- " '- 1· ~, , - - 'bles, il }' :J un autre état lllu preceùG cclui-Ià , ou ces ie:llpCratnres

varien. suivant U:18 progresslou gé-orr:étrique; dont 1~ rarson ~st lanième dans lo~tie létcndn« Je Ge corp.; j le temps croissant tOllJoUr!oi

pal' de,; itilcrvall", égaux. Telle est, Cil effet, la loi Iinale de la varia­tion ck température des corps crul s'edwullent ou se refroidissent,que l'on observe géGéralenJcnt.

An contraire, dans ]"s 'luesljons relatives aux petites oscillations,les e:xnoneaticHes ùel:t série (2t.») S~ changen [ t'il ."lHu5 et cosinusd'arcs 'pl'oportionnds au temps, et la méthode générale 'ille nous ve­nons de citer sert encore ~ prouver que les cocnJ.;;icns de ceUe va-·j'jable 50US les signes tl'i gmlümét['iqnes, son t anssi des rJuantités réelles.

Ces démonstrations f;éuél'alcs ùc la ré;llilé des coefliciens du temps,sOlt c1Gns les exponentielles, wil SOIIS les sinus et casinus, sont d'au-

1(

DE Là CIJAU~Un. J6,

tant plus importantes que ces CDd!lcit:l1s déFendent (réqnation~(;transcernlan tes, quelquefois très compliquées, Cl dont la forme, ]'e­Iativc il chaque pmhlème, ne pcrmcttrnit pas touj ours qu'on pût üé­terminer autrement la na/ure d,,; leurs racines.

Après avoir déterminé toutes les quantités <Jl'1Jit:'aircs que reofcl'llwla série (:10), elle représentern , s'il s'agit d'un problème relatif ù ladistribution de la chaleur, la tempél'lltut'e li lm instant qneleonque eten un point quelconque du corps que l'on aura considéré. Char/ueterme de celle série exprimera une valeur de 1:1 lempéJ'ature à uninslant quelconque qui répondrait à un état particulier ùu corps ill'époque d'où l'ou compte le temps t, La somme de fous sei; fermesreprésentera cette rnèrnc tcmpérature cOITespond.1t1tc à un étal initial

du Corps donné arhitruircmnnt ; en sorte que la valcnr de j'inconnue,dans le cas général, se trouvera ùécompo",ée en nue somme de valeursl'datives à des cas particuliers; ce qui a lien clans toutes les (!ues­tions dependantes d'un système d'équations linéaires, et tient li laforme de ces équations.

(86). Dans le problème de la distribution de la chalcur dans un

corps de figurcdollnée, si l'on compte le temps t à partir de l'étatinitial du corps , el que l'on représente , dans cet clat par fYx 'V ~\

.,l; ., - 1.,:, J J -.cj

la température d'un point quelconque, il faudra que la série (20)coïncide avec cette tonction quand t = 0; il faudra donc qu'on ait

f(x,J", z) = P + Q +.R + S + elc.; (22)

équation qui ne sera pas identique, et qui aura lieu seulement pourtoutes les valeurs de X,], z , relatives ~l des palots du COl'pS,

La fonction :F(x, y, z)., tout-à-fait nJ'hitrnil'c, cl (Jui peu! ètrecontinue ou d iscontinue , sc trouve donc [i111..-;Î dévr.;:]oDnéc en 11JJC'

série de quantités qui xon! toutes de la même forme' t et comm~

cette forme dépendra de ln tigui'e du corps ct des C0W] i lions rela­tives il sa surface, il cn résnllera une intlnité de lléveloppcmensdifférens d'ml(! même fOneli('lll, proprcs il en cs P;'illlCl' !es valeursdans une étendlle déterminée pal' cclle de chaque {;orps. P~tI'mi eesdéveloppernens, il yen aura qui procéderont slliv~)]t les sinus 011 co­sinus des multiples des vaI'iables, d'autl'eS suivant: les sinlls 011 cosinusde ces variables multipliées pal' les l'Hcilles d'UlJe éqllntion /l'anseen-

1<,8 TH(~OlUE lilATIlË:\:IATlQU[

daute , d'autres suivant des [onctions transcendanles d'un ordre plus

élevé, qui ne pourront même s'exprimer, sous forme ~nie, qu~ .r,;ll:des intégrales délinien. Clwqlle développement devra etrc considérécomme 'une formule d'itllcrpolation, applicahle il une aenùue li­mitée des valeurs de la fouctiou donnée F (cc, y, z); cf. quoiqu'onne puisse pas toujours démontl'er directement ces diverses ~Ol"mules,

il He pourra cependant l'es ter aucun doute sur leur exactitude. Eneffet, lu formule (20) represente cstainement, d'après ~es c.onsidé­rations precedentes, la valeur la plus générale <le li qU,l pw:se, sa­tisfaire i, l'équation L = 0; p~r hypothèse, on a déterminé lesquanti tés arhitrair-es que (;: ue série .re:lf::'me,. au moyen des _~uh'~s(;oJJùitions du problème qUl il condni t a 1equalloLl L = 0, ct tl apresl'etat jr;i!i~l du svstèmc : si ces conditions ne sont point incompatibles,ct que le pl'O};lème soit susceptible d'une solution, il faut doncqu'après celle détermination la séri.c C:w) exprime la Yal~ur de uil un instant quelconque et en un pomt quelconque du systeme; parccnséqucn t , en faisant t.= ° dans cette série, elle dena représenter"les valeur; initiales [le u dau. J'étendue où elles auronL concouru 11 la.former; ou, autrement dit, I'équatiou (22) devra être regardéecouuuc une conséquence rigoureuse de la solution complète du :r:ro­hlèrnc, On verra. par la suite que cette équation sc vérifie , effective­mcnt , toutes les fois qne J'on peut obtenir , à priori, la valeur de );1

:,él'lC qui l'orme son second mcrnbre,(fJ7), La maniere de résoudre, put' des séries d'exponentielles réelles

ou il~Jagînail'es, les que.'tlûlls qui dépendent des équ~tior:s ~ux diffé­rences partielles, a [l'alJOl'd clé el:lployée p:r D. Be1'll.oUlI~l; dans l.asol utiou cl '.1 problème des cordes VIbrantes, a laquelle II a ete conduitpar son principe de la coexistence des petites oscillations, dont ce modede solution était, en effet , lu conséquence, Cette même méthode a en­suite été employée par D, Bei-ncuilli et par Euler pour déterminer lesvibration" ü:an~vcrsales des vurges élastiques. Mais si les solutions deces deux problèmes étaient sullisantcs pour faire connaître et compaJ:crentre eux les diffé,'ons sons que les verges et les cordes peuvent faireentendre, elles étaiont incomplètes sous le rapport de l'aualyse; il Ymancruait la déterrninatio» des coefficiens des séries d'après l'étatinitiai de la ligue vibrantc ; ce qui pouvait aussi laisser quelque

i111

1

DE LA CHALEUR. 169

doute SUl' la généralité du résultat. Lagrange, en considérant sousle même point de vue la question des cordes vibrantes, a montréle premier comment On peut exprimer ces cocfllciens par des in->tégrales définies, quel que soit l'état initial de la corde que l'on sup­pose donné arbitrairement, ct comment celte solution du problèmecoïncide alors avec celle que l'on déduit de J'intégrale ordinaira , c'est­à-dire, de l'intégrale complète que D'Alembert avait précédemmentdonnée, et dans laquelle J'inconnue est exprimée, sous forme finie,au moyen de deux fonctions arbitraires. Le mouvement longitudinald'une ligne d'air et le mouvement transversal d'une corde tendue, dé­pendant J'un et J'autre d'une même équation aux différences par­tielles, l'analyse de Lagrange s'appliquait également il ces deuxqucstious; et c'est de cette manière qu'il a déterminé les différen.,; sonsdes instrumens à vent, quel que soit l'ébranlement primitif de la co­lonne d'air , ainsi que les lois de la propagation et de la réflexion dl!son sur une ligne donnée (*); ce qui J'a conduit à trouver que la vi­tesse du son ne depend ni de l'ébranlement primitif, ni du mode devibrations des molécules d'air qui résulte de cet ébranlement, de sortequ'elle est effectivement égale à celle que Newton avait déduite,long-temps auparavant, d'une hypothèse particulière sur les lois deces vibrations. Dix am; avant que les premières recherches de Lagrangcsur la théorie du son aient été publiées, Euler s'était aussi occupé dela propagation du mouvement dans une série de points matériels

rangés en ligne droite (**). Son analyse présente une grandt analogieavec celle de L<1grangc; mais il s'est borné à considérer un nombrefini de points matériels ; et, faute d'avoir appliqué ses formules aucas où ce nombre indéterminé devient infini, ce qu'il regardaitcomme une très grande difficulté, il n'a pas déterminé, comme La­grange, la valeur numérique de la vitesse du son, et a seulement faitvoir qu'elle devait être constante et proportionnelle à la racinecarrée du l'apport de l'élasticité 11 la densité,

Cette méthode , dont le caractère spécial est d'exprimer la valeur

(~) Memoires de Turin, années 1J5g et 1760.[n) Mémoires de Pëtersbourg, année 1750.

22

(i') Journal de rJ{'cole Pofyteclmiqlle, 18' cahier., paGe 431,

proposé; cal' il est, en géné,'al, l'lm long ct plus pénible de ré­soudre complètement une question relative il un nomhre indéterminéde points matériels, que la même question dan, laquelle on supl'0seimmédiatement ce nombre infini, Dans l'état actuel de ln science, ccsera donc J'équation aux diffërenccs par-tielles à laquelle on estconduit pal' un problème de Pbysiq ne ou de Mécanique, que l'ondevra considérer directement. Pour;" tégrer cette équation, ct sa­tisfain, aux autres conditions de chaque prohlcme relatif à la distri­bution de la chalcur , je suivrai, dans cet OUV1'age, la méthode clontje viens d'exposer les principes 1 et ([IW j'ai appliquée il diversesquestions de Mécanique, qu'il eût été au moins très difficile de ré­soudre sans y recourir. Je me suis aussi servi de cette méthode avec:avantage dans une question relative il la surface dont l'aire est unminimum, c'est-a-dire dans un prublème de Géométrie dépendant d'uneéquation au x différences partiell(cR; et jc l'ai également employée dansune autre q nestion dépflndante d'une équation aux différences môMes;ce qui m'a conduit il la démonstration (lue je crois ln plus directe,du théorème de Jean Bernouilli sur les développées successives descourbes planes (*).

(88). J'ajouterai encore quelques 1110ts sur la méthode d'intégrationdont nous parlons. Pour qu'on puisse l'eurplojc r avec confiance, ilsuffit d'avoir prouvé préalablemcnt, comme nous l'avons fait, quel'inconnue Il du problème, qui cs! la température dans chaque ques­tion relative il ln distrihntiou de la chalcur , peut ùrc exprimée,quelle qu'elle soit, par la série (20); l'é(lU<'ltiol1 (22) est alors uneconséquente nécessaire cie la solution complète du prohlème. Mnis,réciproquement, si l'on a démontré à priori que la serie (2:2) peut re­présenter dans toute l'étendue du COI'pS qne l'on cousidère , la fonc­tion F (x, ri z) donnée arbitrairemcnt , la série (~o) satisfera alors :1l'état initial de ce corps et à toutes les condi (ions du pr oblèrnc ; pal'conséquent, si l'on adrnet qu'il ne soit susceptihlc , par sa unture , qUI~

d'une seule solution, elle sera donnée dans toute sa généralité pdr Lisérie (20;0 Ainsi, les solutions de Fourier , que je viens de citer,

170 THtORIE :HATH\<:Mi\TiQOE

D"énél'ale de l'inconnue DaI' une somme de ses valeurs particulières,b !

a aussi été employée P"I' Laplacp dans la théorie du flux et dunjbcc; cl, comme en l'a dit dans le préambule de cet ouvrage,c'est la mème anal l'sa dont il avait fait usage anciennement danscelle :héorie, 'lu'ii a app] iquée depuis au problème de la distri­bu tion de la chaleur dans une sphère primitivement échauffée d'unemanière quelconque. :Fourier s'est servi de la même méthode pOUl'déterminer b dixtributiou (le la chaleur dans une armille , dans unesphère dont tous les points, également éloignés du centre, Ont laruèrne température, dans un cylindre il hase circulaire, indéfiuimentprolongé ct Jout tous les points, situés " la même distance del'axe, ont une égale température, Jans un prisme rectangulairepar­venu à un état permanent, et enfin dans un cube dont les six facesrayonnent ég;denlent.

On est conduit naturellement à la méthode dont il s'ngit, en consi­dérant d'abord, dans chaque prohlème, un système composé d'unnurn hrc fini et indéterminé de points matériels, et supposant cn­suite que cc nombre devient infini. Dans le cas d'un noruhre llni ,la solution du problème dépend d'un pareil nombre d'équations dif­terentiellcs simultanées; l'iucouuue relative à un point '1ualconques'exprime alors pal' ml nomhre de valeurs particulières dépendantdu nornln-c et de l'0)'(1I-e de ces équations. 011 détermine toutes lesconstantes arbitraires quc ces valeurs renferment, d'''près l'état iui>tial de tous les points du système; ct il ne reste plus qu'à supposerinfini le nombre cle ces points, L'expression gênérnle de l'inconnuese modifie duns le passage du fin! indéterminé à l'infini; mais il nepeut s'élever aucun doute sm' l'exnctitudc et la généralité du résultatdéfinitif auquel on parvient pal' ce procédé: on en trouve l'ex­position complète et des applications diverses dans le chapitre dela JltlécanÎque analytiou«, relatif aux petites oscillations d'un système

de corps.Mais si ce procédé a pu jeter un grand jour, il l'origine du

calcul aux différences partielles, sur les solutions des problèmesqui dépenden t de cc calcul, on ne peut pns nier qu'il ne donnelien i, de très lougs calculs , et qu'il n'-exige, le plus souvent,que J'on. résolve uu pt'obJcme plus compliqué que celui qui est

DE LA ClIALEUH. 1'1'[1

THÉORIE MATHÉMATIQUEpeuvent êu-e rcgordées comme complètes dans les cas où il a étédémontré que la valeur de l'inconnue qui répond à t =0 peut re­présenter une fonction quelconque; mais elles ne son! pas entièrementsatisfaisantes, lorsque cette demonstration n'a pas EU lieu; et, pal' exem­pIe, .si Oll lit attentivement la solution relative à la sphère, on verrasans peine que rien ne prouve, dans cette solution, que la séried'une forme particulière qui exprime la valeur de l'inconnue cor­respondante il t = 0, puisse exprimer une fonction arbitraire de 10distance au centre.

Non - seulement J'intégrRtion en série de valeurs particulières deI'incouuuc est indispensahle lorsque l'équation du problème n'estpoint intégrable sous forme finie, mais même dans le petit nombre decas où cet te forme est possihle , el où les quantités contenues sous lesfonctions arhitraires ne sont pas réelles pour toutes les valeurs des va­riahles, Si, par exemple, l'équation d'un problème est

f cl F désignant deux fonctions arbitraires, dont on déterminera

les valeurs d'après celles de li et 'fi; qui répondent 11 t = o. Les fonc­

tions fx ct Fx seront alors des quantités réelles pour toutes les va­leurs de x qui répondent à des points du système. Si elles sontcontinues et qu'on en ait I'expression :malytique, les imaginairesdisparaitront de la formule précédente; mais si elles sont disconti­nues, ce qui a lieu dans la plupart des problèmes, on n'en pourra

pas conclure les valeurs de f (x + t~) et F (x + i v- 1), etla solution précédente deviendra illusoire. Au contraire , l'intégraleen série d'exponentielles, savoir,

Il = ::s (A cos aa: + B sin ax) e"",

dans laquelle la somme ~ s'étend à toutes les valeurs possibles, réellesou imaginaires, des constantes et, A, Bi cette intégrale, disonsnous ,

17'3DE LA CHALEUR.

duc­

dt

qui n'appartient qu'aux points de sa surface, On suppose nulle la tem­pérature extérieure (; on verra pal' la suite comment on la feraitdisparaître de l'équation relative 11 la surface, si elle n'était pas zéro.Pour que ces équations soient tontes deux linéaires pal' rapport à lntempérature u, JlOUS regarderons comme indépendantes de cette in­connue, la chaleur spécifique c , la conductibilité k et le coefficient p;en sorte que c, k , P» seront des quantités constantes, ou plus gé·uéralernent , des fonctions données de x, y, ~.

(du du p du )

k - cos et + - cos b + -- cos)' + J)ll = 0d» dy do '

commune à tous les points du corps A que l'on considère, et il l'é­quation

duest toujours applicable, sans que les valeurs de Il et dt qui répnn-.

dent à t = 0, soient assujetties il la loi de continuité.

Une fonction discontinue est, comme on sait, une fonction dontla forme ou l'expression analytique change dans l'étendue des valeur.'de la variable, de sorte que si l'on prend cette variable et cette fonc­lion pour l'abscisse et l'ordonnée COU l'antes d'une courbe, celte lignebrisée sera un assemblage de portions de droites qui ne sont pasdaus une rnèrnc direction, ou de portions de courbes de natures dif­Icrcntcs. Dans la suite de cet ouvrage, les fonctions arbitraires quenous considérerons, pourront être des fonctions discontinues; maisaux points où elles changeront de forme, il faudra toujours qu'elle,n'aient qu'une seule valeur; la lir:;ne })risée qui représente une tellefonction aura nue seule ordonnée en chacun des points de jonctionde deux parties eouliguë,; elle pomra avoir deux tongentes diffé­rentes et deux rayous de courbure ditlérens , appartenant 11 ces d8UX

parties.(39)' Appliquons maintenant, comme nous l'avons dit plus haut,

les considérations générales qu'on vicnt d'exposer, aux érJuations (7)et (2) des n'" 49 et 67, c'est-à-dire à l'équation

d.k d" d ck. d" d.k '1fi_ d,'C+ dy +

d:C ~ ---yz-

11

tv'-r);11 = f (x + t V-;) + :F (x

son intégt'ale complète sera

On trouvera de même

17'~ THÉORIE MATm~MATIQLE

En substituant la série (20) à la place de li dans ces deux équations;on. voit quc le coeûicient P d'un terme quelconque devra satisfaireil l'équation

a.: dPd k '!!!.. d.]: dP

À'Pc + ~I:c+

. dy+ dz

-----;F;;- -.v--- ~ - 0,

pOUl' toutes les valeurs de a;,'y, z, et à l'équation

( dP dP p d? )k \dx cos a + Jj cos b + J;, cos" + p P = 0,

pour routes les valeurs de ces coordonnées qui répondent aux pointsde la surface de A.

Cela posé, je multiplie les deux membres de l'équation (23) parPdxd]'dz, puis je les intègre, et j'étendf les intégrales à tous lespoints de A; il en résulte

en faisant, pOUl' abréger,

Ifll' cudxdydz = !J,

et observant que les quantités P et c étant indépendantes de t,on a

Pour fixer les idées, je suppose l'axe des x vertical et dirigé damle sens de la pesanteur , et le corps A situé au-dessous du plan ho­rizontal des r et z. . Je conçois un cylindre vertical tangent à la surfacede A; la Ligne de contact divisera cette surface en deux parties, l'uneinférieure que j'appel1erai S" l'autre supérieure que je d~signerai

pal' S'. En intégrant deux fois de suite par rapport 11 x, on auraalors

DE LA CHALEUR.

r; d.l ~~ rlx=(Pk.d~J)_ [rk~J -fk~ '.!!'.dxJ F die dx dx die dx r

}

dPdP du rlP\ lP d i l: -.f k d~ d- dx = (llk s:) - [1l1~'-J - u--.!!!: dsc.a: ;C cx da: dx'

les quantités comprises entre des parenthèses appartenant aux pointsde Si> et celles qui sont renfermées entre des crochets, aux pointsde S'. De plus, on aura, comme dans le n" Gr,

dydz = -1- co, culs;

(~\. étant J'élément différentiel de la surface de A, et en prenant leslgne + pour tous les points de S, et le signe - pour tous ceux de S'.COl11me dans ce même numéro, chaque eouple d'intégrales doublesrelatiçes à S'eth S, se réduira il une seule intégrale qui devrn s'étendreli tous les élémens ds de la surface de A; et de cette maniÈre on aura

fIJY;d.l' ~J P - 1 ~lx dxdydz = (Pk' ~ cos «ds - r;,k ~ cos ad,;éX j" dx J' d»

rrr d.l:~+JJJ u. d.rdY: dxd)'{Î;:..

JJ]" dPd." -P dy4r dxdydz =!Pk~ cos {;ds - fu/' J~ cos bds

jJ1J} dPd." _

rrJ' dik~ + ll- d;.r dxdydz,

JJJ P dzdZ dX'dydz ;=.fPk'{;; cos 't ds - fllk ~cos "ds

rrr d." dp

+ JJJ u <!zdz dxdrd:< ;

t 1 .. av cl "l'e a qunntrté di ' evan! être ega e a la semme des premiers membres

TUf:on.Œ l\IATHÉ.\IATIQUE1.7 6de ces trois équations ~ il eu résultera

,Iv fn!, rd" + du cos b+ ~ cos J") ds:.:::.. = 1 n: 1 -d' cos a J," dzdt \ ,C , dP'r 'dP dP p + cos ",,)ds

- J uk CdX cos 0. + 1Y' cos b dz T'V) '.27:

(If/' .dP dk d P d.k~. i .1.1. dx .• dJ' ~ ud:cdydz.

+ \~+ dy + dz~ , cl

(. ! ! 5' (6) cette dernière valeur e

Or, en ve,'Lu des équations 2'-1)' ,2 ), ,2 ,

~ se réduit àdl

t!.". = _ (Ppuds + fupPds - fjJ~"Peudxdydz;dt -

'À " cl tl'nne"t!'an t t'el ~ ux intéuralcs relatives a uS s eten en 30... ....- ~~~

et pU.l,qU,C es de .. , • 1" A t que ?t" est une quantité constante,'" la surtace entle1 e le, .ccette dernière équation sera sLUlplemen t

En intégrant, on aura donc

C -'.'t.v= e ,

• . 1) }. déterminer, je suppose,C étant la constante arbJtr:llre. our a

comme plus haut, qu'on ait

Il = V(x"J' :;:;),

quand t = 0; d'où I'on conclut

C = IlfPel' (x, y, z) dxciydz.

l'i t' " e triple que cette lettre représente, onEn rell1ettant pour li m egt al

aura donc, à un instant quelconque,

1L d - ->,'/ r.7JPcF (x, y, Zl dxdydz. (28)fffPeu(,xay z - e JJ . ,

t' l'heure l'usa cre que 1'011 peut faire de cetteNous verrons tau a " . s faisons- < bl ObservoIlS auparavant que SI nou

équa.tlon remarqua e.

l1

1

DE LA CHALEUR.P = l dans l'équation (27), qui a lieu pour une quautit<; P quel­cOtl,'!ue que j'on n'a point encore assujettie aux équations (25) et (26),

nous aurons

d f (da du du)d; fffcudxdydz= li: d:c cos '1, + dI cos b + dt cos J' ris.

Or, en ne supposant pas zéro la température extérieure i;, on a , acause de l'équation relative a la surface (nO (7),

(du du p du )

k dxCOStI. + ~fjcos b + dz COS} = - peu-i;);

si donc ou diflérentie par rapport à t , dans le premier membre del'équation précédente, avant d'intégrcl' par rapport il x, y, s , ce

qui est permis, et que l'on multiplie par dt, il en résultera

fffd~U dtd.xdyd» = r,« -ll)dtds;

equation évidente, puisque son premier membre est la somme desaugmentations de chaleur de tous les points de A pendant l'instantdt, et que le second exprime la somme des quantités de chaleurqui viennent du dehors et traversent tons les éJémens de sa surfacependant cet instant, moins la somme des quantités de chaleur émises

au dehors à travers tous ces élémens et pendant ce même instant.Celte équation est celle qu'il a suffi d'employer dans le chapitre UI,})ûur détermine!' les lois du refroidissement des corps qui ont lamême température dans toute leur étendue. Il était bon de mon­trer comment elle sc déduit des équations générales rlu mouvementde la chaleur.

(go). Actuellement substituons, dans le premier membre de l'é­quation (28), la série (:1O) il la place de u, Il en résultera unc sérieordonnée par rapport aux exponentielles rclati l'es h t ; ct pOll1' quecette série soit identique avec Je second membre de cette équation, ilfaudra qu'elle se réduise au terme correspondant a l'exponentielle

«:", Les coefficiens de tous les autres termes devront donc être égauxa zéro, et celui de cette exponentielle devra être égal au coel!Jcient

de «:" dans ce second membre; par conséquent, si il,' est une cons-~3

P = G + G! \,/=-i ,

m.ns dans le cas de 'A/ = i\", on aura , en particulier,

DE .LA CHALEUR.

l'intégrale l'dative à dei' s'étendant à tous les élémcns lle la "m'lace

commune il B et B', et les intégrales triples à tous les poinls deE.Relativement à BI, je désignerai, comme dans le n" cité, pal'

25..

d , errP 1 l 1 r: (ri" du p du \,fI fù .. CUI.TI'}'1 Z = .1 k ,ù; C0501.+ dJ~cos'" + riz eosi')ds

- À'fffPcac!rr!plz;

G = 0, C' = o.

Par conséquent, l'équation t:. = 0 n'a pas de racines unaginail'es,ou, ce qui revient au môme, si elle en a, elles n'entreront pns dansla série (20), et les constantes ;>" p., v, etc., contenues dam cettesérie, seront toutes réelles; ce qu'il s'agissait de dèrnuntrar. Dansquelques cas, la réalité des racines de l'équation t:. = 0 peut se dé­duire de sa forme particulière; mais le plus souvent cela serait im­possible.

(91). Si le corps A est formé, e01111.11e dans le n' 70, de deuxparties juxtaposées n ct B', et que les notations précédentes se rap­portunt il. la partie B, l'in tégrale triple que renfermera le secondmembre de J'équation (27)' nura toujours - JJf/\'Pcudxd)'dz pourvaleur; chacune des intégrales doubles contenues dans ce secondmembre se composera de deux parties, J'une relative à la surfaceextérieure de D, l'autre coircspondnntc à sa surface contiguë :1 B';les premières parties des deux intégrales doubles se détruiront commeprécédemment, ct J'équation (2;) deviendra

équation qUI se partage nécessairement en deux autres, savoir:

Or, la chaleur spécifique c , et par suite tous les élémens de celleintégrale étant des quan ti lés posi lives, leur som me ne peut être Ilulle,il. moins que chaque élément ne soit zéro isolément; on aura donc

G" + GI" = 0;

I7DG et G' étant des quantités réelles. En substituant ces valeurs de 1"'et PI dans l'r;rluation (29), il en résultera

i1

1

1

THEORIE MA.'IIIEiVli\TIQUE

c et u' étant des quantités réelles. Celte équation 6 = 0 admettra~ne s~conde racine imaginaire qui ne différera de la première que

par le signe de \/-1; je la prend.' pour 1\" de sorte qu'on ait

À F = g - gl V- 1.

Les coefliciens P et PI (lui répondent il ces deux racines, se dédui­

l'Ont aussi l'un de l'antre par le changement du signe de V-1- i en

sorte ''lue si l'on fait

ff[P.caxdyd;:, = [[[l'cF (x,y, z)dxdydz; (50)

J(rPl',cdxdyd:: = 0;

on au l'a , en même temps,

PI = G - GI V='-;-j

[cs intégrales s'étendant toujours an volume entier du corps A.Cette équation (50) est celle dont on fera usage dans chaque cas,

nour déterminer, d'après l'étal initial de A, les constantes arbitraires:lui resteront encore jans les cocilicieus de la série (20), après qu'elleaura été astreinte à satisfaire à toutes les autres conditions du pro­blème. L'équation (29) va servir à démontrer que les constantes À,

!/" l', ctc.; contenues dans les exponentielles suivant lesquelles celtemême série (20) est Ol'donnée, sont toujours des quantités réelles.

Err etTet, dans chaque problème , ces constantes seront les racinesd'une équation transcenûaule que je désignerai par t>. = 0, et danslaquelle A ne renfermera explicitement aucune quantité imaginaire.Supposons qu'une des racines de celte équation puisse être imagi­naire; prenons-la pour la constante li, ct soit

17Ô

tante dir1ùenle de À', et que P, soit le coefficient de C-',,'I dans la,érIC (20), il faudra qu'on ait généralement

r80 THfXlRLE MATIIÉMATrQUE

A', c', u'; ce que deviennent les quantités k, c, u ; je représenteraiausst pal'

let valeur de u' en série d'cxponenticllcs; p',Qr, H.', etc., étant descoelficicns indcpcndans de t , et il, f~, r, etc., désignant, commedans la série (20), toutes les constantes possibles, Par rapp.ort à cettepartie B' de il', 0;1 aura de même

d f ,([ht' du' p du' ) idt [[fP'c'z/dxdyd::. = - k dx cos Ci, + dy cos b + dI: cos:7 {S

- /,"fffP'C'u'd:J.:d:yd:;. ;

l'intégraie relative il ds s'étendant à tous ies élémens de la portionde surface de B' contiguë à B, et les intégrales triples, à lous le~

points de B'. Dans cette équation et dans celle qui répond il Ji, lesangles Ci" (;, '}, contenus sous les intégrales relatives à ds , se rap-portent à la même partie de la normale à cet élément, c'est-a-direil la partie comprise dans J'intérieur de ni; et c'est pOUl' cela queces ültégrales ont des signes contraires dans les deux équations.

En vertu des équations (3) du n° JO, on a

(du cl" p du ) (' ,k -- cos ~ + d- cos b + -d cos'} = q U -ft);dx y z,

(d u' da' dl/') 11/ --cosa+- cos(; +-d cos/, =q(u -Il);

"cl", dy ,z

Si donc on ajoute les deux équations qu'on vient de formel', onaura

0.. fffPcud.'rlly'dz + ~ fffP'c1urd;x:dydz=fq(1I.' - u) dsdl . dt

- fq(l,l_U)ds - 1,'fffPcudx4J'dz - Î\'fffP'c'u'd.xdJ'{h;

et comme les deux intégrales relatives à ds ont les mêmes limites ct sedétruisent) cette équation se réduit à

'!:.:.- (.fffPcudxdydz +jffP'c'u'dxdydz)=dt

À'(JJTPmdxdJ'dz + .fffP'c'u'tlxd)'dz)i

11

111

1

DE LA CHALEUR.d'où J'on tire, en intégl'aut,

[[fPcwl.:x:dydz + .fffP'c'u'd:r:d:ydz = Ce-""; (?il)

C étant une constante arbitraire. On la déterminera en supposantqu'on ait

u. = rex,y, z}, i/ = F'C.t',y, z),

quand t = 0; f ct Ft désignatlt des fonctions données arbitrairementdans toute l'étendue de B et B'. Il en résultera

C = fJfPc}l(:r,,T, z)dx'tJ.ydz + .fffP'c'F'(x, y, z) dx((ydz.

Par la substitution de cette valeur de C et des valeurs de tc et uten série d'exponentielles, dans l'équation (31), on en déduira deuxautres: l'une

fffP'ctb:ci)'liz + fffP"c'dxd)'dz

= fffPcF (x,], z) dxd1'dz + fff P'c'I" (:X', y, z) dxdjdz ,

qui servira à déterrnincr , d'aprcs l'état initial de B et B', une partie

des constantes arbitraires que renferment les coeflicicns de ces séries;l'autre

rr.f PPpl:1x(ydz 4- JJ[P'P/c'dxdydz = 0,

dans laquelle P, et P/ sont cc que deviennent lES coefflciens P et 1',

relativement 11 l'exponentielle «<», distincte de e-'-'t à laquelle l'etP' se l'appodent. Cette dernière équation servira, comme dans lenuméro précédent, à démontrer la réalité de toutes les coustautcsÀ,fh,v,etc.

En prenant, comme dans le n" 89, l'uni lé pour P, el supposantque Ssoit la température extérieure, on aura aussi

fJfdd~'~ dtdxdpfz = Jp(~ -lt)dtds - J'leu -Il)dtds;

la première intégrale relative à ds s'eterulant il tons les elémeus du 10surface extérieure de TI, la seconde à tous les élérnens de sa surfacecontiguë à B' r el l'intégl'ale triple il son volume entier. Il en résulleque l'augmentation de chaleur de B, pendant J'instant dt, est égale

';2 TlIEOR.lE I11r\THÉ\L\TIQUE

'1 lcxces de la chaleur extérieure sur la chaleur intérieure qui (ra­'Te~'O;;'-' pendant cet instant Ia pOl.'flon extérieure de la surface de B,moins l'excès de la chaleur qui passe de B en .B' sur celle qui l'a.lc B' en TI pendant ce même instant dt, à travers la portion de sur­face commune à B et If. Relativement à B', on aura de même

d en ajoutant ces deux équations, il vient

,r r IÎ d."udtrlxdrdz + rr(~·~u' dtd.x:dydz, . - {fi ./ J oJ ùt

,. . = fpzr -u)dtds + fP' (' - d)dids,

éq"ation évidente en elle-même, comme l'équation semblable 'lue.;"ün a trouvée claus le n° 89.

Si le corps A [~tait formé de trois Ou d'un plus grand nombre departies différentes, on oh!ie~drail sans difiicult~ des équations sem­blahlcs aux précédentes, qUI sont COmmunes a tous les corp:i de,'01'il1e et de nature quelconques , et dont on fera le même usage damtous les problème,..

11

DE LA CHALEUR.

CHAPI TRE VII.

Digression sur la maniere d'exprimer les jonctions arbitraires pardes séries de quantités périodiques.

(92 ) . D'apre, la forme d'une fonction donnée X, si l'on voit qu'ellepeut se développer cn une série de sinus des multiples de la variable,X', on fera

X=A, sin.:e+A,sin 2x+As sin 3x+ .. . +A" sin nx +€t<:; (l)

A" A., A 3 , etc., étant des coefficiens independans de x. En diffé­rentiant cette équation par rapport à x 1 une ou plusieurs fois, etcombinant entre elles les équations qui en résulteront, on parvicndraquclquefuis à éliminer la fonction X; on obtiendra de cette manièreune équation dont les deux membres seront ordormés suivant les sinusou les cosinus des multiples de ,x; ct en égalant de part et d'autre lescoefficiens des termes semblables , on formera une série d'équationsqui serviront à déterminer successivement tous les coefficiens A" .A"A 3 , etc., à l'exception de la première ou de plusieurs des premièresde ces inconnues qui resteront indéterminées, et dont il faudra trouverles valeurs pal' le développement direct de X. Mais on pOUl'l'a auss';exprimer immédiatement le coefficient général A" en fonction del'indice li et au moyen d'une intégrale définie.

POur cela, j'observe que l'on a

fa" sin lIX sin n'x dx = 0,

tant que les nombres entiers li et ni sont inégaux, et