testes mat 10ºano te

Matemática A10.o ano

Carlos AndradeCristina Viegas

Paula Pinto PereiraPedro Pimenta

TESTES

5+5

OFERTA AO ALUNO

2

TESTE 1

Parte 1

As cinco primeiras questões são de escolha múltipla. Para cada uma delas, escolhe

a opção que achares correcta.

1. Qual é a área dos quatro quadrados, se A�B� � �3�9� ?

(A) 4 (C) 12

(B) 8 (D) 16

2. O triângulo da figura tem perímetro 15, e os círculos, com centro em cada vértice dotriângulo, têm raio 1.

Qual é o perímetro da parte sombreada?

(A) 15 – 2�

(B) 9 + 2�

(C) 15 – �

(D) 9 + �

3. A figura representa um paralelogramo. Os pontos E e F são os pontos médios doslados [AD] e [BC] , respectivamente. Que fracção da área do paralelogramo estásombreada?

(A) �31

� (C) �32

�

(B) �21

� (D) �43

�

4. «Cortaram-se» todos os vértices de um cubo, como mostra a figura. Quantas arestas(A) e quantos vértices (V) tem o novo poliedro?

(A) 36 A e 24 V (C) 32 A e 14 V

(B) 24 A e 24 V (D) 36 A e 12 V

5. A figura representa um quadrado [ABDC] de lado �2�. Qual é o volume do sólido quese obtém quando os triângulos sombreados dão uma volta completa em torno deAD?

(A) �53�� (C) �

43��

(B) �23�� (D) �

3��

A

B

A

E

D

B

F

C

A E

D

B

FC

TESTE 1

Parte 2

Indica todos os cálculos que efectuares e/ou explica o raciocínio que te conduziu a cada resposta.

16. A figura ao lado representa um prisma quadrangular regular. Seja x a aresta da base e2x + 3 a aresta lateral.

a. Mostra que a área total do prisma pode ser dada por A � 2x (5x + 6) .

b. Determina as dimensões do prisma, sabendo que a sua área é 208 cm2 .

17. O tetraedro [ABCD] é regular. M é o ponto médio da aresta [AB] .

a. Usa as letras da figura para indicar duas rectas não complanares.

b. Classifica o triângulo [CMD] quanto aos lados.

c. Determina o perímetro e a área do triângulo [CMD] supondo que C�D� � 10 .

18. A figura abaixo representa um paralelepípedo rectângulo. Os pontos C , D , K , L e Mpertencem a arestas do paralelepípedo.

Sabe-se que:

• A�B� � 9 cm ; E�F� � 3E�D� e E�A� � 2E�D� ;

• o volume do prisma triangular [AEDCBH] é 49 cm3 .

8.1 Determina:

a. E�D� ; b. o volume do paralelepípedo.

8.2 Desenha a secção determinada no paralelepípedo pelo plano KLM .

19. Uma torneira com caudal constante demora 20 horas a encher um tanque de forma cónica.

a. Quantas horas demora a mesma torneira a encher um tanque cilíndrico com base e altura iguais à do tanque de forma cónica?

b. Quanto tempo demora para que o tanque referido no enunciado tenha água até metadeda sua altura? Apresenta a resposta em horas e minutos.

10. O quadrado representado na figura tem lado 1, e as circunferências têm os centrosnuma das diagonais do quadrado. Cada circunferência é tangente a dois lados do qua-drado.

Determina a soma dos raios das duas circunferências.

2x + 3

x

A

M

B

C

D

A

B

C

DE

HG

FM

I

J

K

L

3

4

TESTE 2

C

0 1 2 3 4-1

1

2

3

y

x

Parte 1



1. Qual dos seguintes cubos pode ser construído a partir daplanificação apresentada à direita?

(A) (C)

(B) (D)

2. Num referencial o.m. do plano, considera a recta r de equação x � –3 . Qual dosseguintes pares de pontos define uma recta perpendicular à recta r ?

(A) A(3, 4) e B(3, –4) (C) A(3, 4) e B(–3, 4)

(B) A(3, 4) e B(–4, 3) (D) A(–3, 4) e B(–3, –4)

3. Num referencial o.m. do plano, considera o ponto A(4 – 2x, x – 3) . Quais os valoresde x para os quais o ponto A pertence ao 4.o quadrante?

(A) x � 2 (C) 2 � x � 3

(B) x � 3 (D) x � 2 � x � 3

4. Num referencial o.m. do plano, considera a circunferência de equação:

(x – 1)2 + ( y + 2)2 � 9

Qual das rectas, que a seguir se definem, não é tangente a esta circunferência?

(A) x � –2 (C) y � 1

(B) x � 3 (D) y � –5

5. Qual das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira?

(A) (x – 2)2 + (y – 1)2 � 5 � 1 � x � 3 � –1 � y � 3

(B) (x – 2)2 + (y – 1)2 � 5 � (x � 1 � x � 3 � y � –1 � y � 3)

(C) (x – 2)2 + (y – 1)2 � 4 � 1 � x � 3 � –1 � y � 3

(D) (x – 1)2 + (y – 2)2 � 5 � (x � 1 � x � 3 � y � –1 � y � 3)

in Canguru Matemáticosem Fronteiras, 2005.

CD

y

x

BA

FG

0

5

TESTE 2

Parte 2


16. Representa, num referencial o.m. do plano, e define analiticamente o conjunto dos pontos:

a. que têm abcissa igual a –2;

b. que distam menos de 3 unidades da origem do referencial;

c. cuja ordenada, em módulo, é superior a 2;

d. que estão a igual distância de A(–2, 2) e de B(2, –2) ;

e. que têm abcissa menor ou igual a 0 ou ordenada não inferior a –3.

17. Considera, num referencial o.m., a circunferência de centro na origem do referencial e raio �6�. Sejam A e B os pontosdessa circunferência que têm ordenada igual a �2� (o ponto A está no 1.O quadrante) e seja C o ponto da circunferênciaque pertence ao semieixo negativo Oy . Determina:

a. as coordenadas de A , de B e de C ;

b. a área do triângulo [ABC] . Apresenta o resultado arredondado às centésimas.

18. Na figura abaixo está representada, num referencial o.m. xOy, a circunferência de centro A, definida pela equação (x + 4)2 + (y – 6)2 � 25 .

a. Mostra que o ponto C tem coordenadas (0, 9) e que o ponto D tem coordenadas (–8, 9).

b. Determina o perímetro do trapézio [ABCD] .

c. Determina uma equação da mediatriz de [AC] . Investiga se o ponto B pertence a essarecta. Apresenta a equação da mediatriz na forma y � ax + b , com a, b � |R .

d. Representa a região do plano que se obtém da região sombreada por simetria em rela-ção à origem do referencial. Define essa região por uma condição.

19. Na figura abaixo estão representados a pirâmide [CDKE] e o cubo [ABCDEFGH] , que foi seccionado pelo plano GIJ .Sabe-se que:

• I e J são pontos médios da arestas a que pertencem;

• K é o centro da face [ABCD] .

a. Indica a posição relativa dos seguintes pares de rectas: AB e IG , FB e IJ , AF e CK .

b. Indica, justificando, as amplitudes dos ângulos DCK e BFD .

c. Seja Vc o volume do cubo e seja Vp o volume da pirâmide [CDKE] .

Determina o valor de �VV

p

c� .

d. Admite agora que A�B� � 8 cm .

Determina o perímetro da secção produzida no cubo pelo plano GIJ e determina a área da pirâmide [GIJH] .

10. Um polígono convexo tem 189 diagonais. Quantos lados tem?

F

A B

CD

K

E I H

JG

6

TESTE 3

Parte 1



1. O rectângulo [ABCD] está dividido em seis quadrados iguais. Qual das igualdadesseguintes é falsa?

(A) A – CJ�� G

(B) GK�� + AI�� EI��

(C) DE�� – �32

�EL�� FA��

(D) F + HA�� – EH�� B

2. Qual é o valor de k para o qual, num referencial o.n. do plano, os vectores u�(k – 1, 2)e ��(3, 6) são colineares?

(A) 1 (B) 2 (C) –1 (D) –2

3. Num referencial o.n. do espaço, qual é a norma do vector u�(–1, 3, –�6�) ?

(A) 2 (B) 4 (C) �2� (D) �1�0�

4. Num referencial o.n. do espaço, considera os pontos A(–2, 3, 3), B(0, 2, –5) e C(1, 3a, a) .O ponto D � A + BC�� pertence ao plano xOz se:

(A) a � – �31

� (B) a � 2 (C) a � – �53� (D) a � 8

5. Na figura ao lado está representado um triângulo isósceles [ABC] e o quadrado neleinscrito.

A altura relativa à base [AB] é o segmento de recta [CD] ,representado a tracejado.

Admite que A�B� � 4 e que o lado do quadrado mede 3.

Quanto mede [CD] ?

(A) 10

(B) 12

(C) 16

(D) 24

D G I C

A H J B

E K L F

D

C

A B

7

TESTE 3

Parte 2


16. Considera num referencial o.n. do plano, a circunferência de equação x2 – 8x + y2 + 4y – 80 � 0 . Sejam A e B os pontosde intersecção da circunferência com a recta que é a reunião das bissectrizes dos quadrantes pares.

a. Escreve a equação da circunferência na forma (x – a)2 + (y – b)2 � r 2 .

b. Determina as coordenadas do ponto A e as coordenadas do ponto B .

c. Seja C o centro da circunferência e seja D � A + 2AC�� . Classifica o triângulo [ABD] quanto aos ângulos e calcula a sua área.

17. Na figura ao lado, num referencial o.n. Oxyz , está representado um sólido que se podedecompor num cubo e num paralelepípedo rectângulo.

Sabe-se que:

• O é o ponto médio da aresta [MJ] ;

• o ponto L tem ordenada igual a 3;

• H�N� � D�H� ;

• o volume do paralelepípedo é igual a �85

� do volume do cubo.

7.1 Mostra que H�L� � 8 .

7.2 Determina as coordenadas dos pontos L , P , D e F .

7.3 Define analiticamente:

a. o plano LKF ; b. a recta PE ; c. a face [NPQR] ; d. a aresta [EF] .

7.4 Desenha a secção produzida no cubo e no paralelepípedo pelo plano MAC .

18. Considera, num referencial o.n. xOy, os pontos A(–5, 5) , B(2, 2) , C(5, –5) e D(–2, –2) . Sejam M , N , P e Q os pontosmédios de [AB] , [BC] , [CD] e [DA] , respectivamente.

a. Determina as coordenadas dos vectores MN�� , QP�� , QM�� e PN�� e justifica que o quadrilátero [MNPQ] é um paralelogramo.

b. Mostra que as diagonais do quadrilátero [ABCD] são perpendiculares e que se bissectam (isto é, o ponto em que seintersectam é o ponto médio de ambas). Como classificas este quadrilátero?

c. Explica por que razão se pode afirmar que [MNPQ] é um rectângulo.

d. Determina a área do rectângulo [MNPQ] e conclui qual é o valor da área de [ABCD] .

19. A figura ao lado representa o paralelepípedo [ABCDEFGH] . Em relação a um refe-rencial o.n. Oxyz , sabe-se que A(14, –7, 4) , B(16, –4, 10) , C(10, –6, 13) e E(8, 5, 0) .

a. Mostra que o paralelepípedo é um prisma quadrangular e calcula o seu volume.

b. Determina as coordenadas dos restantes vértices do prisma.

c. Define a recta AB por uma condição.

10. Considera o paralelogramo [ABCD] .Mostra que AC�� + DB�� 2AB�� .

P

N

H

D A G

F

LM

E

I J

R

Q

z

y

x

C K

O

H

A

G

E

C

B

F

D

A

CB

D

TESTE 4

Parte 1



1. Qual das equações vectoriais seguintes define a recta de equação y � –2x � 3 ?

(A) (x, y) � (0, 3) � k(–1, 2), k � |R (C) (x, y) � (0, –2) � k (–2, –3), k � |R

(B) (x, y) � (0, –3) � k(1, –2), k � |R (D) (x, y) � (–2, –3) � k (–1, 2), k � |R

2. A recta AB representada no referencial o.n. da figura abaixo tem de equação y � –0,5x + 3 .

Qual é a área do triângulo [AOB] ?

(A) 3 (C) 9

(B) 6 (D) 18

3. A mediatriz do segmento [AB] é uma recta de declive negativo e ordenada na origem posi-tiva. Em qual dos referenciais seguintes podem estar representados os pontos A e B ?

(A) (B) (C) (D)

4. Observa a figura onde está representado, emreferencial o.n., o gráfico de uma função h.Qual das seguintes afirmações é falsa?

(A) Dh � [–3, 6] (C) h(–2) � 3

(B) D’h � [–2, 3] (D) h(4) � 2

5. O triângulo [ABC] é isósceles. Um ponto P parte de A e percorre [AB] e [BC] .O ponto Q desloca-se sobre [AC] , de modo que PQ seja sempre perpendicular aAC. Seja a a função que, à distância x de Q a A , faz corresponder a área do triân-gulo [APC] . Em qual dos referenciais seguintes pode estar representada a função a ?

(A) (B) (C) (D)

A

OB

y

x

A

B

y

x

y

x

y

x

y

xA A

A

B B

B

0

0

00

-1-1

1

1

2

2

3

3

4

4

5 6 7-2

-2

-3

-3

0

y

x

A Q C

B

P

8

9

TESTE 4

Parte 2


16. Considera as funções f e g , representadas graficamente no referencial abaixo.

6.1 Indica o domínio e o contradomínio de cada uma das funções f e g .

6.2 Constrói as tabelas de sinal e de monotonia da função f .

6.3 Determina o conjunto-solução de cada uma das condições:

a. f(x) � –1 b. g(x) � –2 c. f(x) � 1 d. g(x) � 0 e. f(x) � g(x) f. f(x) � g(x)

6.4 Determina o conjunto dos valores de k para os quais a equação f(x) � k é impossível.

6.5 A equação g(x) � b tem, exactamente, duas soluções. Quais são os valores que b pode tomar?

17. Num referencial o.n. do plano, as equações y � �32

�x – 2 e (x, y) � (3, –1) + k(–3, 4), k � |R definem, respectivamente, asrectas r e s .

a. Escreve a equação reduzida da recta s e uma equação vectorial da recta r .

b. As rectas r e s definem, com o eixo das ordenadas, um triângulo. Determina a área desse triângulo.

c. Determina as coordenadas do ponto da recta r que tem a abcissa igual ao dobro da ordenada.

18. O Manuel está encarregue de encher o bebedouro do gado, de modo que nunca falte água aos animais. O fornecimentode água ao bebedouro é feito com uma mangueira de caudal constante. O bebedouro tem a forma de um paralelepípedorectângulo, com 0,8 m de largura, 1,5 m de comprimento e 0,5 m de altura. Num certo dia, o volume, �(t) , de água nobebedouro, t horas depois de a água começar a correr, foi dado (em m3) por �(t) � 0,125t + 0,15 .

a. Qual era a altura de água no bebedouro quando se iniciou o fornecimento de água?

b. Quanto tempo demorou a encher completamente o bebedouro nesse dia? Apresenta a resposta em horas e minutos.

c. Quanto tempo demora a mangueira a encher o bebedouro, se este estiver completamente vazio?

19. Representa, num referencial o.n. do plano, a região definida pela condição (x – 2)2 + (y + 2)2 � 8 � (y + x � 0 � y � x – 4) .

Calcula a sua área e o seu perímetro.

10. Num referencial o.n. Oxyz , a condição x � –2 � z � 3 define uma recta. Escreve uma condição vectorial dessa recta.

0 1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6

1

-1

-2

-3

2

3y

x

f

g

10

TESTE 5

Parte 1



1. O quadrado [ABCD] tem lado a . O arco BD é um arco da circunferência de centro Ae raio a e [BD] é uma corda dessa circunferência. A área da zona sombreada é dadapor:

(A) a2 �� – �12�� (C) �

a2

2� (� – 1)

(B) �a2

2� ��

�

2� – 1� (D) �

a4

2� �� – �

12��

2. Num referencial o.n. do espaço, considera os vectores u�(0, –1, 2) e ��(–1, 3, 2) e o

ponto P(1, 3, –3) . Quais são as coordenadas do ponto Q que satisfaz PQ�� 2u� – �� ?

(A) (2, –2, –1) (C) (2, 4, –1)

(B) (0, 8, –1) (D) (0, –2, 1)

3. O gráfico da função f definida por f(x) � –2|x – 1| + 3 é a reunião de duas semi-rectascom origem no ponto de coordenadas:

(A) (–1, 3) (C) (1, –2)

(B) (1, 3) (D) (–2, 3)

4. Uma função quadrática g é positiva se e só se x � ]0, 6[ . Qual é o contradomínio de g ?

(A) ]–∞, 3] (C) ]–∞, g(3)]

(B) [3, +∞[ (D) [g(3), +∞[

5. No referencial abaixo estão representadas duas parábolas geometricamente iguaisque são gráficos de duas funções quadráticas f e g .

Qual das expressões seguintes define a função g ?

(A) 7 – f(x)

(B) 1 – f(x)

(C) –[f(x) + 1]

(D) –[f(x) + 7]

g

f

43

0 x

y

a

A

D

B

C

in Teste Intermédio de Matemática, 10.o ano, 2009.

11

TESTE 5

Parte 2


16. No referencial da figura ao lado estão representadas as funções g e h de domínio |R . A função g é definida por g(x) � –(x – 2)2 + 1 .

a. Determina as coordenadas do vértice e escreve uma equação do eixo de simetria daparábola que é o gráfico da função g .

b. Determina os zeros da função g e as coordenadas do ponto em que o gráfico inter-secta o eixo das ordenadas.

c. Determina o contradomínio da função f definida por f(x) � 2 – g(x + 3) e determina a abcissa do ponto do gráfico de fque tem ordenada igual à do ponto do gráfico com abcissa –20 .

d. Escreve a expressão h(x) na forma a|x – b| + c , sabendo que h tem contradomínio [–2, +∞[ . Resolve a condição h(x) � 10 .

17. A secção transversal de uma banheira de bebé tem a forma de uma parábola. A equação dessa parábola no referencialda figura é a(x) � 0,2x(x – 8) .

a. O que representam x e a(x) no contexto do problema?

b. Calcula a largura e a profundidade máximas da banheira (supondo que a unidade noreferencial é o decímetro).

c. Para que valores de x � [0,8] se tem que a � –1, 4 ? Interpreta esta condição e oseu conjunto-solução no contexto da situação descrita.

18. Relativamente ao triângulo [ABC] sabe-se que [BD] é uma das alturas e sabe-se também que B�D� � 6 e A�C� � 8 . O ponto Q desloca-se sobre [BD] , nunca coincidindo com D , e o ponto P desloca-se sobre [AC] de tal forma que setem sempre P�A� � Q�B� . Para cada posição do ponto Q , seja x a distância de Q a B e seja a(x) a área do triângulo [PQC] .

a. Determina a(4,5) .

b. Mostra que a(x) � e indica o domínio e o contradomínio da função a

no contexto do problema.

c. Determina os valores de x para os quais a área do triângulo sombreado é inferior àda região não sombreada no triângulo [ABC] .

Adaptado de Série de Itens, 2010, GAVE.

19. Três pontos definem um plano se não são colineares. Considera, num referencial o.n. Oxyz, os pontos A(1, 2, –3) , B(2, 4, –6)e C(3, 2, –3) .

a. Investiga se os pontos A , B e C definem um plano.

b. Define analiticamente a esfera de diâmetro [AB] .

c. Mostra que o ponto B pertence ao plano mediador de [AC] .

10. Considera a família de funções quadráticas definidas por fa(x) � x2 + ax , a � IR . Escreve a expressão anterior na forma fa(x) � (x + h)2 + k e mostra que os vértices dos gráficos das funções desta famí-lia pertencem ao gráfico da função g(x) � –x2 .

x2 – 14x + 48��

2

a(x)

x

6

8

B

CA P D

Qx

x

h

y

x

g

12

TESTE 6

Parte 1



1. A média de oito números naturais diferentes é igual a 5. Então, qual é o menor valorque nenhum desses números pode ultrapassar?

(A) 8 (B) 12 (C) 14 (D) 32

2. Os histogramas representados nas opções seguintes referem-se a quatro distribui-ções de variáveis, todas com igual média. Qual das variáveis tem maior desviopadrão?

(A) (B) (C) (D)

3. Numa academia de desporto foram medidos 600 utentes, tendo sido elaborado oseguinte diagrama de extremos e quartis.

Quantos são os utentes que medem menos de 165 cm?

(A) 50 (C) 150

(B) 100 (D) 200

4. O resto da divisão inteira do polinómio P(x) � x4 – 2x3 + x2 – x + 1 pelo polinómio A(x) � x + 1 é igual a:

(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6

5. No referencial da figura ao lado, está parte do gráfico de uma função f , de domínio |R ,definida por f(x) � –(x – a)2 + b , em que a e b designam números reais.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) a � 0 � b � 0 (C) a � 0 � b � 0

(B) a � 0 � b � 0 (D) a � 0 � b � 0x

y

0

160 165 175 180 190

13

TESTE 6

Parte 2


16. No referencial da figura está representada parte do gráfico de uma função polinomial f , de grau 3. Os zeros de f são –1,0 e 4. Sem recorrer à calculadora, responde às questões seguintes.

a. Determina o conjunto-solução da condição (4 – x)•f(x) � 0 .

b. Por que razão a observação do gráfico permite afirmar que o resto da divisão inteirade f(x) por x – 3 é igual a 2?

c. Mostra que f(x) � .

d. Resolve a equação f(x) � 2 e determina a área do triângulo sombreado.

17. Sejam R e S os pontos do gráfico da função f (do exercício anterior) de abcissas –3 e 5, respectivamente. A recta RSintersecta o gráfico de f num outro ponto. Recorrendo à calculadora gráfica, determina as coordenadas desse ponto.

18. Considera a função polinomial f definida por f(x) � –�41

�x2 + 2x + 5 , representada graficamente na figura abaixo. Os

pontos P e C são os pontos de intersecção do gráfico de f com o semieixo positivo das abcissas e com o eixo das ordena-das, respectivamente. Um ponto móvel A , de abcissa x , desloca-se sobre o eixo Ox entre o ponto O e o ponto P , não coin-cidindo com O nem com P , e um ponto B desloca-se sobre o gráfico de f , de modo que recta AB seja paralela ao eixo Oy .

Sem recorrer à calculadora resolve os itens 8.1 e 8.2.

8.1 Determina a abcissa do ponto A para a qual [OABC] é um rectângulo.

8.2 Considera a função T que, a cada x (abcissa do ponto A), faz corresponder a áreado polígono [OABC] .

a. Indica o domínio da função T . b. Mostra que T(x) � – �81

�x3 + x2 + 5x .

8.3 Recorrendo à calculadora, determina a abcissa do ponto A , de modo que a área dopolígono [OABC] seja máxima. Apresenta o resultado arredondado às décimas.

19. A tabela seguinte apresenta dados do INE relativos à taxa real de escolarização (TRE) no 3.o Ciclo (x) e no EnsinoSecundário (y), em Portugal, a cada 5 anos, entre 1960 e 2005.

9.1 Constrói o diagrama de dispersão relativo às variáveis x e y .

9.2 Recorrendo à calculadora, obtém a recta de regressão e, tomando-a como modelo para a relação entre as duas taxas,responde às questões seguintes.

a. Qual seria a taxa real de escolarização no 3.o Ciclo (arredondada às unidades) se a taxa real de escolarização, noensino secundário, fosse 25%?

b. Admitindo que a taxa real de escolarização no 3.o Ciclo atinge 100%, e que o modelo se mantém, qual seria a taxareal de escolarização (arredondada às unidades) esperada para o Ensino Secundário?

10. Considera a função f (x) � 2x2 – 4x + p . Determina p de modo que o contradomínio da função f seja |R+0 .

3x2 + 4x – x3��

6

A = (3, 2)

f

y

x

C

A x

yf

B

PO

6,1 9,5 14,7 24,8 26,2 41,0 58,3 80,8 86,8 83,5

1,3 2,0 4,3 9,2 12,4 17,8 31,0 58,8 62,5 54,2

TRE 3.o Ciclo (x)

TRE Secundário (y)

14

SOLUÇÕES

TESTE 1

1. (C) 2. (D) 3. (B) 4. (A) 5. (B)

6. b. 4 por 4 por 11.

7. a. Por exemplo, AB e CD ou MC e AD.b. Isósceles.c. P = 10�3� + 10 ; A = 25�2�

8.8.1 a. �

37

� cm b. 294 cm3

8.2

9. a. 60 horasb. 2 h 30 min

10. 2 – �2�

TESTE 2

1. (D) 2. (C) 3. (A) 4. (B) 5. (B)

6. a. x = –2b. x2 + y2 � 9c. |y| � 2d. y = xe. x � 0 � y � –3

7. a. A(2, �2� ) ; B(–2, �2� ) ; C(0, –�6� )b. Área = 2(�2� + �6� ) � 7,73

8. b. P = 20

c. y = – �34

� x + �6

29��

d. (x – 4)2 + (y + 6)2 � 25 � 0 � x � 4 �� y � –6

9. a. AB e IG são não complanares enviesa-das, FB e IJ são paralelas e AF e CKsão concorrentes perpendiculares.

b. DCK = 45o porque [CK] é uma dasdiagonais do quadrado; BFD = 60o por -que o triângulo [BFD] é equilátero.

c. 12

d. P = (8�5� + 4�2� )cm ; A = 64 cm2

10. �n(n – 3)2

�� = 189 ; 21 lados.

TESTE 3

1. (D) 2. (B) 3. (B) 4. (A) 5. (B)

6. a. (x – 4)2 + (y + 2)2 = 102

b. (10, –10) e (–4, 4)c. Triângulo rectângulo; área 28.

7.7.2 L(4, 3, 0) , P(–4, –5, 8) , D(4, –5, –8) e

F(–4, 3, –8)7.3 a. y = 3

b. x = –4 � y = –5 c. –4 � x � 4 � –5 � y � 0 � z = 8 d. x = –4 � –5 � y � 3 � z = –8

8. a. É um paralelogramo, pois os ladosopos tos são paralelos.

b. As diagonais estão contidas nas bissec-trizes dos quadrantes pares e ímpares.

c. Tem os ângulos rectos, pois os ladossão paralelos às diagonais do quadrilá-tero [ABCD] , que são perpendiculares.

d. O rectângulo tem área 20 e o losango[ABCD] tem área 40.

9. a. Tem-se A�B� = B�C� = 7 , então o rectângu-lo [ABCD] é um quadrado. O volume é686.

b. D(8, –9, 7) , F(10, 8, 6) , G(4, 6, 9) , H(2, 3, 3)

c. (x, y, z) = (14, –7, 4) + k(2, 3,6), k � |R

TESTE 4

1. (B) 2. (C) 3. (C) 4. (B) 5. (A)

6.6.1 Df = �–6, 7� ; Dg = �–4, 1� � �2, 7�

D’f = �–2, 2� ; D’g = –2 � �–1, 2] 6.2

6.3 a. –3, –1 ,5b. �–4, 1�c. �–6, –5� � 1d. �–4, 1� � �2, 3�e. –2, 3 f. �3, 7�

6.4 �–∞, –2� � �2, +∞�6.5 b � �0, 2�

7. a. y = – �34

�x + 3 ; (x, y) = (0, –2) + k(2, 3), k � |R

b. A área é 1775

�� .

c. (2, 1)

8. a. 0,125 metrosb. 3 h 36 minc. 4 h 48 min

9. Área = 6� ; perímetro = 3�2� � + 2�8�

10. (x, y, z) = (–2, 0, 3) + k(0, 1, 0), k � |R

TESTE 5

1. (B) 2. (A) 3. (B) 4. (C) 5. (A)

6. a. V(2, 1) ; x = 2b. Zeros 1 e 3 ; (0, –3)c. D’f = �1, +∞� x = 18d. h(x) = 2|x – 2| – 2

h(x) � 10 ⇔ x � –4 � x � 8

7. a. Na vertical de um ponto que, à superfí-cie, está a x dm do bordo esquerdo dabanheira, a profundidade máxima daágua é |a(x)| .

b. Largura máxima: 8 dm; profundidademáxima: 3,2 dm.

N

H

D

A

G

L

ME

J

C

K

B

O

I

0-1-2-3

-3

3

x = -2

x 2+y 2�9

x

y

1 2 3

1

2

-1

-2

-4

0

2

x

y

y=x

-2-4-6 2

-2

-4

�y��2

y

x-1

-1-2

-2

-3

-4

0

1

1 2 3 4

2

0 1 2 3 4-1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

1y

x

1

1

2

2-1

-1

-2

-2

-3

-4

y

0

x –6 –2 1 7

f 2 –2 1

Máx. absoluto Mín. absoluto Máx. relativo

a. e b.

c. e d.

e.

x –6 –4 0 3 7

f + + 0 – 0 + 0 – n.d.

15

SOLUÇÕES

c. 1 � x � 7 ; a profundidade de água nabanheira é inferior a 1,8 dm quando a lar-gura da secção da água é inferior a 6 dm.

8. a. a(4,5) = 2,625b. D = [0, 6[

D’ = ]0, 24]c. a(x) � 12 ⇔ x � �2, 6�

9. a. Os vectores AB�� e BC�� não são colinea-res e, portanto, os pontos A , B e Ctambém não são colineares: definemum plano.

b. �x – �32

��2

+ (y – 3)2 + �z + �92

��2

� �72�

c. Pertence, pois B�A� � B�C� (B�A� � �14��e B�C� � �14�� )

10. f(x) = �x + �a2

��2

– �a4

2�

O vértice é V �– �a2

� , – �a4

2�� e

g�– �a2

�� –�– �a2

��2

� – �a4

2�

TESTE 6

1. (B) 2. (A) 3. (C) 4. (D) 5. (A)

6. a. �–∞, –1� � �0, 4� � �4, +∞�

b. O resto é 2 porque f(3) = 2 (Teoremado resto).

d. Como sabemos que f(3) = 2 , podeusar -se a regra de Ruffini para escrever

f(x) = 2 ⇔ (x – 3) �– �16

�x2 + �23

�� = 0

As soluções da equação são 3, 2 e –2.

A área do triângulo é �(2 – (–2)) � 2

2� = 4

7. T(1, 1)

y = –1,5x + 2,5

8.8.1 8

8.2 a. DT = �0, 10�

8.3 7,2

9.9.1

9.2

9.3 y = 0,76x – 7,48 (valores aproximadosàs centésimas)

a. 43 b. 69

10. p = 2

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ISBN 978-972-47-4229-8-3

9 7 8 9 7 2 4 7 4 2 2 9 8

0 0 0 0 3

Este caderno é uma oferta com o projecto Y 10.o ano e não pode ser vendido separadamente.

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