testes de hipóteses (tipos de erros i e ii)
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Bussab&Morettin Estatística Básica
Capítulo 12 – TESTES DE HIPÓTESES
Problema 01
Para decidirmos se os habitantes de uma ilha são descendentes da civilização A ou B, iremos proceder do seguinte modo: (i) selecionamos uma amostra de 100 moradores adultos da ilha, e determinamos a
altura média deles; (ii) se a altura média for superior a 176, diremos que são descendentes de B; caso contrário, são
descendentes de A. Os parâmetros das alturas das duas civilizações são: A: µ= 175 e σ = 10; B: µ = 177 e σ = 10. Definimos: Erro de tipo I - dizer que os habitantes da ilha são descendentes de B quando, na
realidade, são de A. Erro de tipo 11- dizer que são de A quando, na realidade, são de B.
(a) Qual a probabilidade do erro de tipo I? E do erro de tipo II? (b) Qual deve ser a regra de decisão se quisermos fixar a probabilidade do erro de tipo I em 5%? Qual a probabilidade do erro de tipo II, nesse caso?
(c) Se σA = 5, como ficariam as respostas de (b) ? (d) Quais as probabilidades do erro de tipo II, nas condições da questão (b), se a média µB = 178 ?
E µB = 180? E µB = 181 ? Coloque num gráfico os pares (µB , P(erro II | µB)).
Solução:
(a)
( )%87,15)1(
1175176
)1;175(~|176A) de são verdadena |B de são queP(dizer I) Erro(
=>=
−
>
=>==
ZPZP
NXXPP
( )%87,15)1(
1177176
)1;177(~|176B) de são verdadena |A de são queP(dizer II) Erro(
=−≤=
−
≤
=≤==
ZPZP
NXXPP
(b)
( )
645,176645,11
175
%51
175%5)1;175(~5I) Erro(
=⇔=−
⇔
⇔=
−>⇔=>⇔=
CC
CC
XX
XZPNX|XXP%P
Regra de decisão: Se 645,176>X , dizer que habitantes da ilha são descendentes de B; caso
contrário, dizer que são descendentes de A.
Cap.12 – Pág.1
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( )%13,36)355,0(
1177645,176)1;177(~645,176II) Erro(
=−≤=
=
−
≤=≤=
ZP
ZPNX|XPP
(c)
( )
823,175645,15,0175
%55,0175%5)5,0;175(~5I) Erro( 2
=⇔=−
⇔
⇔=
−>⇔=>⇔=
CC
CC
XX
XZPNX|XXP%P
( )%96,11)177,1(
1177823,175)1;177(~645,176II) Erro(
=−≤=
=
−
≤=≤=
ZP
ZPNX|XPP
Bµ
)|II Erro( BµP
178
8,771%
180
0,040%
181
0,001%
(d)
0,0%
2,0%
4,0%
6,0%
8,0%
10,0%
177,5 178 178,5 179 179,5 180 180,5 181 181,5
miB
P(er
ro II
| m
iB)
Problema 02
Fazendo o teste Ho:µ = 1.150 (σ=150) contra Hl :µ = 1.200 (σ=200), e n = 100, estabeleceu-se a seguinte região crítica:
RC= [1.170, + ∝),
(a) Qual a probabilidade α de rejeitar Ho quando verdadeira? (b) Qual a probabilidade β de aceitar Ho quando Hl é verdadeira? (c) Qual deve ser a região crítica para que α = β?
Cap.12 – Pág.2
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Solução:
(a)
( )%12,9)333,1(
1511501170
)15;1150(~|1170a) verdadeirH|Hrejeitar ( 200
=>=
−
>=
=>==
ZPZP
NXXPPα
(b)
( )%68,6)5,1(
2012001170
N(1200;20~X|1170XPa) verdadeiréH|Haceitar ( 2 10
=−<=
−
<=
=<==
ZPZP
Pβ
(c)
( ) ( )
429,1171
201200
151150
201200
151150
)20;1200(~|)15;1150(~| 22
=⇔
⇔−
−=−
⇔
−<=
−>⇔
⇔<=>⇔=
C
CCCC
CC
X
XXXZPXZP
NXXXPNXXXPβα
] [+∞= ;429,1171RC .
Problema 03
Nas situações abaixo, escolha como hipótese nula, Ho, aquela que para você leva a um erro de tipo I mais importante. Descreva quais os dois erros em cada caso. (a) O trabalho de um operador de radar é detectar aeronaves inimigas. Quando surge alguma coisa
estranha na tela, ele deve decidir entre as hipóteses: 1. está começando um ataque; 2. tudo bem, apenas uma leve interferência.
(b) Num júri, um indivíduo está sendo julgado por um crime. As hipóteses sujeitas ao júri são: 1. o acusado é inocente; 2. o acusado é culpado.
(c) Um pesquisador acredita que descobriu uma vacina contra resfriado. Ele irá conduzir uma pesquisa de laboratório para verificar a veracidade da afirmação. De acordo com o resultado, ele lançará ou não a vacina no mercado. As hipóteses que pode testar são: 1. a vacina é eficaz; 2. a vacina não é eficaz.
Solução: (a) : Está começando um ataque.
: Está acontecendo uma leve interferência.
0H
1H
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Erro I: Dizer que está acontecendo uma leve interferência, quando na verdade está começando
um ataque;
Erro II: Dizer que está começando um ataque, quando na verdade está acontecendo uma leve
interferência.
(b) : O acusado é inocente. 0H
: O acusado é culpado. 1H
Erro I: Dizer que o acusado é culpado, quando na verdade é inocente.
Erro II: Dizer que o acusado é inocente, quando na verdade é culpado.
(c) : A vacina não é eficaz. 0H
: A vacina é eficaz. 1H
Erro I: Dizer que a vacina é eficaz, quando na verdade não é eficaz.
Erro II: Dizer que a vacina não é eficaz, quando na verdade é eficaz.
Problema 04
Se, ao lançarmos três vezes uma moeda, aparecerem 3 coroas, decidimos rejeitar a hipótese de que a moeda é "honesta". Quais as probabilidades de erro de tipo I e erro II, se p = 2/3?
Solução:
X: número de coroas em 3 lançamentos.
X ~ Binomial(3;p).
versus . 5,0:0 =pH 5,0:1 ≠pH
%50,12503a) verdadeirH|Hrejeitar ()I Erro( 00 ===== ),|pP(XPP .
%37,7066703falsa) H|Hrejeitar não()II Erro( 00 ==<== ),|pP(XPP .
Problema 05
A variável X, custo de manutenção de um tear, pode ser considerada como tendo distribuição normal de média µ e desvio padrão 20 unidades. Os valores possíveis de µ podem ser 200 ou 210. Para verificar qual dos dois valores é o mais provável, usar-se-á uma amostra de 25 teares. Defina: (a) Uma hipótese a ser testada. (b) Uma regra de decisão e encontre as probabilidades dos erros de tipo I e 11.
Solução:
(a) versus . 2000 =µ:H 2101 =µ:H
(b) Por exemplo: Se 205<X , dizer que . Caso contrário, dizer que . 200=µ 210=µ
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%56,10)25,1(4
200205)4;200(~|205a) verdadeirH|Hrejeitar ()I Erro( 2
00
=>=
−
>=
=>==
ZPZP
)NXXP(PP.
%56,10)25,1(4
210205)4;210(~205falsa) H|Hrejeitar não()II Erro( 2
00
=−<=
−
<=
=<==
ZPZP
)NX|XP(PP.
Referência:
Bussab, W. O. & Morettin, P. A. - ESTATÍSTICA BÁSICA, 5a. Edição , Editora Saraiva, 2000
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