teste01 c

Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 1

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

10º Ano de Matemática – A

Geometria no Plano e no Espaço I

1º Teste de avaliação

Grupo I

1. Das seguintes afirmações sobre poliedros regulares só uma é verdadeira. Qual é essa

afirmação?

(A) Se um poliedro tiver todas as faces geometricamente iguais é regular.

(B) Num tetraedro regular em cada vértice concorrem quatro faces.

(C) Existem só três poliedros regulares cujas faces são triângulos equiláteros.

(D) Existe um poliedro regular cujas faces são hexágonos regulares.

2. Na figura está presente a relação “dobro de” nas seguintes medidas:

(A) Área e Perímetro

(B) Área e Raio

(C) Perímetro e Raio

(D) Área, Perímetro e Raio

3. A Bigfoot lançou dois tamanhos de bola no mercado. A razão entre os

seus raios é 0,6. O volume da bola maior é 2144 cm3.

Então, o volume da bola menor é:

(A) 36432cm

5 (B) 310720

cm3

(C) 357888cm

125 (D) 319296

cm25

4. Escolha a afirmação verdadeira, relativamente ao cubo da figura:

(A) As rectas EF e CD são perpendiculares

(B) As rectas AB e EC são não complanares

(C) As rectas HD e FG são paralelas

(D) As rectas EF e CD são não complanares

• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita

for ilegível.

• Não apresente cálculos ou justificações.

• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.

E

H G

CD

F

A B


5. A área do paralelogramo da figura é 16 cm2. Qual é o valor de x?

(A) x 5cm= (B) x 7cm=

(C) x 9cm= (D) x 11cm=

Grupo II

1. Na figura está representada uma caixa com a forma de paralelepípedo

na qual estão introduzidos alguns cubos sobrepostos e todos de igual

tamanho. Sabendo que o volume ocupado pelos cubos é de 1344 cm3,

determine:

1.1. as dimensões da caixa.

1.2. o volume da caixa não ocupado pelos cubos.

Nota: se não resolveu 1.1. faça AB 15cm= , BC 14cm= e CG 13cm=

2. Na figura encontra-se representado um cubo em que a aresta mede 7 cm.

Considere que J e K são pontos médios das arestas a que

pertencem.

2.1. Represente a intersecção do cubo com o plano JBK.

2.2. Classifique, justificando, o polígono que obteve.

2.3. Seja x um ponto da aresta [BF] e α o plano paralelo ao

plano EGH e que passa por x. A que distância do ponto B

deve estar o ponto x para que o prisma situado abaixo do

plano α tenha 10 cm3 de volume.

3. Existem muitas maneiras de perfumar uma casa. Uma delas é espalhar pela casa esferas de

madeira perfumadas.

Algumas dessas esferas são vendidas em caixas que têm a forma de um prisma rectangular

recto. As esferas são todas iguais, colocadas tangentes umas às outras e às faces da caixa.

As figuras representam, relativamente a uma dessas caixas, a vista de lado e a vista de frente.

3.1. Qual é o volume da caixa, se as esferas nela contidas tiverem 1 cm de raio?

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos

os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,

pretende-se sempre o valor exacto.

x + 3

x - 3

BA

D C

K

J

H G

CD

FE

A B


3.2. Se a medida do raio das esferas for um número inteiro qualquer, mostra que: “O volume

da caixa é sempre um múltiplo de 48”.

4. Na borda da tampa de um bidão de mel representado na figura, está

uma gota de mel (G). A formiga (F), muito zelosa em alimentar o seu

formigueiro, quer alcançá-la pelo caminho mais curto. Descubra qual

é esse caminho apresentando as justificações e indicando o seu

comprimento, em metros, com aproximação ao centímetro.

Sugestão: Para responder às questões, comece por construir planificações

do cilindro e localize os pontos envolvidos.

Formulário

Geometria Perímetro do círculo: 2 rπ , sendo r o raio do círculo

Áreas

Paralelogramo: base altura×

Losango: diagonal maior diagonal menor

2×

Trapézio: base maior base menor

altura2+ ×

Polígono regular: perímetro

apótema2

×

Círculo: 2rπ , sendo r o raio do círculo

Superfície esférica: 24 rπ , sendo r o raio da esfera

Volumes

Prismas e cilindro: área da base altura×

Pirâmide e cone: 1

área da base altura3

× ×

Esfera: 34r

3π , sendo r o raio da esfera

Álgebra Fórmula resolvente de uma equação do segundo grau d a forma

2ax bx c 0+ + = : 2b b 4ac

x2a

− ± −=

Questão 1 2 3 4 5 1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 4 Cotação 10 10 10 10 10 20 15 20 15 20 15 20 25





1º Teste de avaliação – Proposta de correcção

Grupo I

1. (C)Das seguintes afirmações sobre poliedros regulares só uma é verdadeira. Existem só três

poliedros regulares cujas faces são triângulos equiláteros, o tetraedro, o octaedro e o

icosaedro.

2. (C) Na figura está presente a relação “dobro de” nas seguintes

medidas: “Perímetro e Raio”. Pois a razão de semelhança só se

mantém nas medidas lineares em relação à área seria o quadrado da

razão de semelhança.

3. (C) A Bigfoot lançou dois tamanhos de bola no mercado. A razão

entre os seus raios é 0,6 logo a razão entre os seus volumes é

( )30,6 .

Como o volume da bola maior é 2144 cm3 então o volume da bola

menor é igual a ( )3 3578880,6 2144 cm

125× =

4. (B) A afirmação verdadeira, relativamente ao cubo da figura é: “As rectas

AB e EC são não complanares”

5. (A) A área do paralelogramo da figura é 16 cm2, o valor de x é a

solução da equação

( ) ( ) 2 2x 3 x 3 16 x 9 16 x 25 x 5 x 5− × + = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ∨ = − mas

como x tem de ser maior que 3 só pode ser x 5=

Grupo II

1. Na figura está representada uma caixa com a forma de paralelepípedo

na qual estão introduzidos alguns cubos sobrepostos e todos de igual

tamanho. Como a figura tem 21 cubos, sabendo que o volume ocupado

pelos cubos é de 1344 cm3, o volume de cada cubo é 64 cm3. A aresta

de cada cubo é 3 64 4= cm.

Determinemos:

E

H G

CD

F

A B

x + 3

x - 3

BA

D C


1.1. as dimensões da caixa: AB 5 4 20cm= × = , BC 4 4 16cm= × = e CG 4 4 16cm= × =

1.2. o volume da caixa não ocupado pelos cubos é igual ao volume do paralelepípedo menos

o volume ocupado pelos cubos. 320 16 16 1344 3776cm× × − =

2. Na figura encontra-se representado um cubo em que a aresta mede 7 cm.

Considere que J e K são pontos médios das arestas a que pertencem.

2.1. Representámos a intersecção do cubo com o plano JBK,

na figura ao lado. Unimos J a B e B a K por os primeiros

estarem na face da frente e os segundos estarem na face

do lado direito., seguidamente traçámos uma paralela a

JB passando por K e encontrámos o ponto H que por

estar na face do lado esquerdo como o ponto J pudemos

uni-los. Obtivemos assim a secção [JBKH]

2.2. O polígono que obtivemos é um losango porque os quatro

lados são iguais mas as diagonais não são iguais [JK] é igual à diagonal da face do cubo

e [HB] é igual à diagonal espacial do cubo.

2.3. Seja x um ponto da aresta [BF] e α o plano paralelo ao

plano EGH e que passa por x. A distância a que o ponto B

deve estar do ponto x para que o prisma situado abaixo do

plano α tenha 10 cm3 de volume é a solução da equação:

( )2 107 h 10 h cm

7× = ⇔ =

3. Existem muitas maneiras de perfumar uma casa. Uma delas é

espalhar pela casa esferas de madeira perfumadas.

Algumas dessas esferas são vendidas em caixas que têm a forma de um prisma rectangular

recto. As esferas são todas iguais, colocadas tangentes umas às outras e às faces da caixa.

As figuras representam, relativamente a uma dessas caixas, a vista de lado e a vista de frente.

3.1. O volume da caixa, se as esferas nela contidas tiverem 1 cm de raio será dado por 3V 6 4 2 48cm= × × = porque a caixa tem seis esferas: o seu comprimento é igual a 3

diâmetros de esferas, a largura é igual a dois diâmetros de esfera e a altura é igual a um

diâmetro da esfera. Se as esferas tiverem 1 cm de raio têm 2 cm de diâmetro.

K

J

H G

CD

FE

A B

h

K

J

H G

CD

FE

A B

x


3.2. Se a medida do raio das esferas for um número inteiro qualquer, mostremos que: “O

volume da caixa é sempre um múltiplo de 48”.

Seja r o raio de cada esfera e tomando apenas valores inteiros positivos então as

dimensões da caixa vão ser:

• Comprimento igual a 6r.

• Largura igual a 4r.

• Altura igual a 2r.

O volume da caixa será 3V 6r 4r 2r 48r= × × =

Como r é inteiro o mesmo acontece a 3r e o volume é o produto de 48 por um

número inteiro pelo que é um múltiplo de 48.

4. Na borda da tampa de um bidão de mel representado na figura, está

uma gota de mel (G). A formiga (F), muito zelosa em alimentar o seu

formigueiro, quer alcançá-la pelo caminho mais curto. Descubra qual

é esse caminho apresentando as justificações e indicando o seu

comprimento.

Por descobrirmos o caminho mais curto vamos considerar a

planificação do cilindro porque a menor distância tem de ser em linha

recta e numa face curva não se pode desenhar um segmento de

recta.

Para essa representação temos que identificar as dimensões necessárias.

A altura do cilindro é 1,5 metros e o perímetro da base é P 2 0,5 π π= × × =

Na planificação precisamos de situar a formiga e a gota de mel

Então 1

AG 0,52

π π= = (em metros)

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo

[ ]AFG vem

2 2 2FG 1 (0,5 )π= + portanto, 2FG 1 0,25π= +

Ou seja, a distância percorrida pela formiga, se

utilizar este percurso, é de 1,9 metros,

aproximadamente.





1º Teste de avaliação – Critérios de correcção

Grupo I

1 2 3 4 5

C C C B A

Grupo II

1. ………………………………………………………………………………………………….. 35

1.1. …………………………………………………………………………………… 20

•••• Calcular o número de cubos ………………………………………… 1

•••• Calcular o volume de cada cubo ……………………………………. 2

•••• Calcular a medida da aresta de cada cubo ………………………… 2

•••• Calcular o comprimento da caixa ……………………………………. 5

•••• Calcular a largura da caixa …………………………………………… 5

•••• Calcular a altura da caixa …………………………………………….. 5

1.2. …………………………………………………………………………………… 15

•••• Calcular o volume da caixa .…………………………………….……. 8

•••• Calcular o volume da caixa não ocupado pelos cubos…………….. 7

2. …………………………………………………………………………………………………… 55

2.1. ………………………………………………………………………………………. 20

•••• Desenhar [JB] ………………………………………....……………………. 3

•••• Desenhar [BC] ………………………………………....…………………… 3

•••• Traçar paralela a JB por K e obter H .……………....……………………. 5

•••• Desenhar [KH] ………………………………………....………………….... 3

•••• Desenhar [HJ] ………………………………………....……………………. 3

•••• Desenhar a secção ………………………………………………..……...... 3

2.2. ………………………………………………………………………………………. 15

•••• Identificar o polígono como sendo um losango ………………..……....... 7

•••• Justificar …………………………….…..………………………..……......... 8

2.3. ………………………………………………………………………………………. 20

•••• Desenhar a secção produzida por α .………………………………..…… 2

•••• Representar Bx por uma incógnita…..………………………..…….......... 2


•••• Escrever a equação 10 7 7 h= × × ……………………………………... 8

•••• Resolver a equação ……………………………………………………........ 8

3. …………………………………………………………………………………………………… 35

3.1. ………………………………………………………………………………………. 15

•••• Calcular o comprimento da caixa ………………………………………….. 4

•••• Calcular a largura da caixa …………………………………………………. 4

•••• Calcular a altura da caixa …………………………………...……………… 4

•••• Calcular o volume da caixa…………………………………………….…… 3

3.2. ………………………………………………………………………………………. 20

•••• Arbitrar o raio das esferas (r)……………………………………………….. 2

•••• Calcular o comprimento em função de r…………………………………... 3

•••• Calcular a largura em função de r …………………………………………. 3

•••• Calcular a altura em função de r ………………………...………………… 3

•••• Calcular o volume em função de r …………………………………….…... 3

•••• Concluir que tem um múltiplo de 48 ………………………………………. 6

4. …………………………………………………………………………………………………… 25

•••• Desenhar uma planificação ………………………………………………… 5

•••• Assinalar os pontos na planificação ………………………………………. 5

•••• Aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular FG ……………………… 5

•••• Calcular GH …………………………………………………………………. 5

•••• Justificações …………………………………………………………………. 5

Total ………………………………………………………………………………………………… 200

teste01 c

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