teste01 b

Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2011/2012 1

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

12º Ano de Matemática – A

Tema I – Probabilidades e Combinatória

1º Teste de avaliação

Grupo I

NOTA: No fim há um formulário sobre distribuições d e probabilidade

1. Num saco estão 10 bolas indistinguíveis ao tato: 2 são pretas, 3 são amarelas e 5 são verdes.

Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, duas bolas do saco.

A probabilidade de que ambas sejam amarelas é:

(A) 1

15 (B)

29

(C) 9

100 (D)

14

2. Em cada uma das opções seguintes (A, B, C e D) estão representadas quatro figuras,

constituídas cada uma delas, por quadrados e círculos numerados de 1 a 5. Para cada opção,

considere:

� A experiência que consiste na escolha aleatória de um dos cinco elementos que

constituem a figura;

� Os acontecimentos: X:”a figura tem número par” e Y:” a figura é um quadrado”.

Em qual das opções se tem ( ) 2P X | Y

3= ?

• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita

for ilegível.

• Não apresente cálculos ou justificações.

• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.


3. Lança-se um dado com as faces numeradas de 1 a 6. Considere os acontecimentos:

A: “sair face ímpar”

B: “sair face de número maior ou igual a quatro”

Qual o acontecimento contrário de A B∪ ?

(A) sair a face 1 ou a face 5.

(B) sair a face 4 ou a face 6.

(C) sair a face 2.

(D) sair a face 5.

4. Uma variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades:

ix 1 2 3 4

( )= iP X x 0,1 a 0,25 b

Sabe-se que ( )P X 3 0,5< = .

Os valores de a e de b são

(A) a 0,15 e b 0,5= = (B) a 0,25 e b 0,4= =

(C) a 0,5 e b 0,15= = (D) a 0,4 e b 0,25= =

5. Admita que a variável altura, em centímetros, dos meninos de treze anos de um certo país, é

bem modelada por uma distribuição normal de valor médio 140.

Escolhida, ao acaso, um rapaz de treze anos desse país, sabe-se que a probabilidade de a

sua altura pertencer a um determinado intervalo [a,b] é igual a 60%. Quais dos seguintes

podem ser os valores de a e de b.

(A) a 70 e b 130= = (B) a 108 e b 150= =

(C) a 150 e b 170= = (D) a 80 e b 120= =

Grupo II

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos

os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,

pretende-se sempre o valor exacto.


1. Num envelope há quatro cartões, indistinguíveis ao tato, numerados de 1 a 4. Considere a

experiência que consiste em retirar de forma aleatória, sucessivamente e sem reposição, dois

cartões do envelope e no registo dos números obtidos.

1.1. Qual é o espaço amostral?

1.2. Considere os acontecimentos:

A: “os dois números obtidos são divisores de 6”;

B: “a soma dos números obtidos é par”

1.2.1. Represente os acontecimentos A e B na forma de

conjuntos.

1.2.2. Represente na forma de conjunto, cada um dos acontecimentos, A B∩ e A B∩

1.2.3. Indique a probabilidade de ocorrer cada um dos acontecimentos A e B.

2. Uma fábrica utiliza duas máquinas, A e B, para a produção diária de 870 peças.

A máquina A produz diariamente 320 peças, das quais 2,5% apresentam defeito de fabrico. A

máquina B produz as restantes peças, registando-se que 4% destas são defeituosas.

Da produção efetuada num determinado dia, extraiu-se, aleatoriamente, uma peça.

Apresentando o resultado em percentagem, arredondado às centésimas, determine a

probabilidade de:

2.1. a peça ter sido produzida pela máquina B;

2.2. a peça não ter defeito e ter sido produzida pela máquina A;

2.3. a peça ser boa, sabendo que foi produzida pela máquina A;

2.4. a peça ter sido produzida pela máquina A, sabendo que é defeituosa.

3. Sejam A e B dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória.

3.1. Mostre que, se A e B forem acontecimentos independentes, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )P A B P B P A P B∪ = + ×

3.2. Admita que A e B são independentes e que ( ) 2P B

3= e ( ) 1

P A B6

∩ = . Determine

( )P A B∪ .

4. Num jogo de tiro ao alvo, um atirador obtém a pontuação

máxima 85% das vezes. O atirador vai fazer uma

sequência de 4 disparos.

4.1. É mais provável obter a pontuação máxima nos

quatro disparos ou não obter pontuação máxima

num único disparo?


4.2. Seja X a variável aleatória: “número de vezes que o atirador obtém pontuação máxima”.

Construa uma tabela de distribuição de probabilidade da variável X. Apresente as

probabilidades com 6 casas decimais.

Formulário :

COTAÇÕES DO GRUPOII

QUESTÃO 1.1 1.2.1 1.2.2 1.2.3 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 4.1 4.2

COTAÇÃO 10 10 10 10 10 10 10 10 15 15 20 20





1º Teste de avaliação – Proposta de resolução

Grupo I

1. (A) Num saco estão 10 bolas indistinguíveis ao tato: 2 são pretas, 3 são amarelas e 5 são

verdes.

Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, duas bolas do saco. Imaginando uma tabela 10 por 10

sem os elementos da diagonal principal temos que o número de casos possíveis é 10 9 90× = .

Haverá então lá 3 2 6× = pares de bolas amarelas

A probabilidade de que ambas sejam amarelas é 6 1

P90 15

= = .

2. (D) Em cada uma das opções seguintes (A, B, C e D) estão representadas quatro figuras,

constituídas cada uma delas, por quadrados e círculos numerados de 1 a 5. Para cada opção,

considere:

� A experiência que consiste na escolha aleatória de um dos cinco

elementos que constituem a figura;

� Os acontecimentos: X:”a figura tem número par” e Y:” a figura é

um quadrado”.

Tem-se ( ) 2P X | Y

3= na opção D por lá termos que a probabilidade e a figura ter 2 números

pares sabendo que a figura é um círculo. De facto temos 2 dos 3 círculos com números pares.

3. (C) Lança-se um dado com as faces numeradas de 1 a 6. Considere os acontecimentos:

A: “sair face ímpar” { }A 1,3,5=

B: “sair face de número maior ou igual a quatro” { }B 4,5,6=

O acontecimento contrário de A B∪ é A B∪ . Sendo { }A B 1,3,4,5,6∪ = pelo que { }A B 2∪ =

4. (D) Uma variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades:

ix 1 2 3 4

( )= iP X x 0,1 a 0,25 b

Sabe-se que ( )P X 3 0,5< = .

Os valores de a e de b são tais que ( )P X 3 0,5 0,1 a 0,5 a 0,4< = ⇔ + = ⇔ = e


0,1 0,4 0,25 b 1 b 0,25+ + + = ⇔ =

5. (B) Admita que a variável altura, em centímetros, dos meninos de treze anos de um certo país,

é bem modelada por uma distribuição normal de valor médio 140.

Escolhida, ao acaso, um rapaz de treze anos desse país, sabe-se que a probabilidade de a

sua altura pertencer a um determinado intervalo [a,b] é igual a 60%. Quais dos seguintes

podem ser os valores de a e de b. Considerando que 140 é o valor médio, dois valores

menores que 140 ou dois valores maiores que 140 não servem porque definem intervalos cuja

probabilidade é inferior a 50%. Assim rejeitamos (A), (C) e (D). pelo que a resposta correta só

pode ser (B) a 108 e b 150= = que define um intervalo situado à volta do valor médio sendo

que sabemos que o intervalo entre o valor médio menos o desvio e valor médio mais o desvio

contém 68% da distribuição.

Grupo II

1. Num envelope há quatro cartões, indistinguíveis ao tato,

numerados de 1 a 4. Considere a experiência que consiste em

retirar de forma aleatória, sucessivamente e sem reposição,

dois cartões do envelope e no registo dos números obtidos.

1.1. O espaço amostral é

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }E 1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,1 , 2,3 ,(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)=

1.2. Considere os acontecimentos:

A: “os dois números obtidos são divisores de 6”;

B: “a soma dos números obtidos é par”

1.2.1. Representemos os acontecimentos A e B na forma de conjuntos.

( ) ( ){ }A 1,2 , 1,3 ,(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)= e ( ) ( ){ }B 1,3 , 2,4 ,(3,1),(4,2)=

1.2.2. Representemos na forma de conjunto, cada um dos acontecimentos,

( ) ( ){ }A B 1,3 , 3,1∩ = e ( ){ }A B 1,2 ,(2,1),(2,3),(3,2)∩ =

1.2.3. Indiquemos a probabilidade de ocorrer cada um dos acontecimentos A e B.

6 1P(A)

12 2= = e

4 1P(B)

12 3= =

2. Uma fábrica utiliza duas máquinas, A e B, para a produção diária de 870 peças.

A máquina A produz diariamente 320 peças, das quais 2,5% apresentam defeito de fabrico. A

máquina B produz as restantes peças, registando-se que 4% destas são defeituosas.

Da produção efetuada num determinado dia, extraiu-se, aleatoriamente, uma peça.

1 2 3 4

1 (1,2) (1,3) (1,4)

2 (2,1) (2,3) (2,4)

3 (3,1) (3,2) (3,4)

4 (4,1) (4,2) (4,3)


Apresentando o resultado em percentagem, arredondado às centésimas, determinemos a

probabilidade de:

2.1. a peça ter sido produzida pela máquina B

55P(B) 63,22%

87= ≃

2.2. a peça não ter defeito e ter sido produzida pela máquina A

( ) 32P D A 0,975 35,86%

87∩ = × ≃

2.3. a peça ser boa, sabendo que foi produzida pela máquina A;

( )P D | A 97,50%=

2.4. a peça ter sido produzida pela máquina A, sabendo que é

defeituosa.

( ) ( )( )

320,025P A D 87P A |D 26,67%

32 55P D 0,025 0,0487 87

×∩= =

× + ×≃

3. Sejam A e B dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória.

3.1. Mostremos que, se A e B forem acontecimentos independentes, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )P A B P B P A P B∪ = + ×

Ora ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B P A P B P A P B∪ = + − ∩ = + − × =

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )P B P A 1 P B P B P A P B= + × − = + ×

3.2. Admita que A e B são independentes e que ( ) 2P B

3= e ( ) 1

P A B6

∩ = . Determinemos

( )P A B∪ começando por calcular P(A): 2 1 1

P(A) P(A)3 6 4

× = ⇔ =

Finalmente ( ) 1 2 1 9 3P A B

4 3 6 12 4∪ = + − = =

4. Num jogo de tiro ao alvo, um atirador obtém a pontuação

máxima 85% das vezes. O atirador vai fazer uma

sequência de 4 disparos.

4.1. É mais provável obter a pontuação máxima nos

quatro disparos ( )binompdf 4,0.85,4 52,20%≃ do

não obter pontuação máxima num único disparo

( )binompdf 4,0.15,1 36,85%≃ .

4.2. Seja X a variável aleatória: “número de vezes que o

32/87

55/87

0,025

0,975

0,04

0,96

D

D

D

D

B

A


atirador obtém pontuação máxima”. Construa uma tabela de distribuição de probabilidade

da variável X. Apresente as probabilidades com 6 casas decimais.

ix 0 1 2 3 4

( )iP X x= 0.000506 0,011475 0,097538 0,368475 0,522006





1º Teste de avaliação – Critérios de correcção

Grupo I (50 pontos)

Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.

1 2 3 4 5

A D C D B

Grupo II (150 pontos)

1. 40

1.1. 10

1.2. 30

1.2.1. 10

•••• A 5

•••• B 5

1.2.2. 10

•••• A B∩ 5

•••• A B∩ 5

1.2.3. 10

•••• P(A) 5

•••• P(B) 5

2. 40

2.1. 10

•••• Árvore 5

•••• Resposta 5

2.2. 10

•••• Interpretar 5


2.3. 10



2.4. 10




3. 30

3.1. 15

•••• Aplicar ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ 5

•••• Aplicar ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = × 5

•••• Completar a demonstração 5

3.2. 15

•••• Calcular ( )P A 8

•••• Calcular ( )P A B∪ 7

4. 40

4.1. 20

•••• ( )P X 4= 8

•••• ( )P X 3= 8


4.2. 20

•••• Tabela 5

•••• ( )P X 0= 3

•••• ( )P X 1= 3

•••• ( )P X 2= 3

•••• ( )P X 3= 3

•••• ( )P X 4= 3

Total …………………………………………………………… …………………………………… 200

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