teste01 b

Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 1

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

10º Ano de Matemática – A

Geometria no Plano e no Espaço I

1º Teste de avaliação

Grupo I

1. A área da face de um dodecaedro regular é 26 2 cm ; então a área total do dodecaedro é:

(A) 2120 2 cm (B) 272 2 cm

(C) 26 24 cm (D) 272 24 cm

2. Os triângulos [ADC] e [DCB] são semelhantes e a razão de semelhança é 2. Então, se AD 1= ,

tem-se:

(A) DB 2= (B) DB 4=

(C) CB 4,5= (D) CB 4=

3. Escolha a afirmação verdadeira, relativamente ao cubo da figura:

(A) As rectas EF e CD são paralelas

(B) As rectas AB e EC são concorrentes

(C) As rectas HD e FG são paralelas

(D) As rectas EF e CD são não complanares

4. Uma pirâmide tem o triplo do volume de um prisma com a mesma

base. Então, sendo h a altura da pirâmide e h’ a altura do prisma, podemos concluir que:

(A) h

h'3

= (B) h 6h'= (C) h 9h'= (D) h'

h3

=

• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita

for ilegível.

• Não apresente cálculos ou justificações.

• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.

E

H G

CD

F

A B

B

C

DA


5. A área do triângulo da figura é 12 cm2. Qual é o valor de x?

(A) x 7cm= (B) x 9cm=

(C) x 10cm= (D) x 20 cm=

Grupo II

1. Num recipiente cilíndrico cheio de água, introduziu-se uma esfera de diâmetro igual à altura e

ao diâmetro da base do recipiente.

1.1. Calcule a percentagem de água que transbordou,

indicando um valor arredondado às décimas.

1.2. Suponha que o recipiente, no qual a água excedente

foi guardada, é um cilindro com 12cm de diâmetro que

ficou com 27cm de altura de água. Determine o raio da esfera.

2. Na figura está representado um cubo em que a aresta mede 5 cm. Sabe-se

que: EP GQ CR 1cm= = =

2.1. Desenhe a secção produzida no cubo pelo plano PQR.

2.2. Indique a maior área da secção produzida no cubo por um

plano paralelo ao plano PQR.

2.3. Seja x um ponto da aresta [BF] e α o plano paralelo ao

plano EGH e que passa por x. A que distância do ponto B

deve estar o ponto x para que o prisma situado abaixo do plano α tenha 2 cm3 de volume.

3. A figura representa um cubo onde se escavou uma pirâmide

quadrangular regular.

3.1. Mostre que os elementos do sólido assim obtido verificam a

igualdade de Euler.

3.2. Sabendo que a altura da pirâmide é 23

da aresta do cubo,

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos

os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,

pretende-se sempre o valor exacto.

x - 3

x - 5

A

C

B

R

Q

P

H G

CD

FE

A B


determine que percentagem do volume do cubo representa o volume da pirâmide que foi

retirada.

4. Uma mosca está sobre uma aresta do paralelepípedo, a 4 cm do vértice superior, e desloca-se

para um pingo de mel que está no centro O da

base superior. Qual é o caminho mais curto?

Mostre que não passa por B.

Sugestão: Para responder às questões, comece por

construir uma planificação do paralelepípedo e localize

os pontos envolvidos.

Formulário

Geometria Perímetro do círculo: 2 rπ , sendo r o raio do círculo

Áreas

Paralelogramo: base altura×

Losango: diagonal maior diagonal menor

2×

Trapézio: base maior base menor

altura2+ ×

Polígono regular: perímetro

apótema2

×

Círculo: 2rπ , sendo r o raio do círculo

Superfície esférica: 24 rπ , sendo r o raio da esfera

Volumes

Prismas e cilindro: área da base altura×

Pirâmide e cone: 1

área da base altura3

× ×

Esfera: 34r

3π , sendo r o raio da esfera

Álgebra Fórmula resolvente de uma equação do segundo grau d a forma

2ax bx c 0+ + = : 2b b 4ac

x2a

− ± −=

Questão 1 2 3 4 5 1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 4 Cotação 10 10 10 10 10 20 20 15 20 20 15 20 20





1º Teste de avaliação – Proposta de correcção

Grupo I

1. (B) A área da face de um dodecaedro regular é 26 2 cm ; então a área total do dodecaedro é

212 6 2 72 2 cm× = , por o dodecaedro ter 12 faces iguais.

2. (B) Os triângulos [ADC] e [DCB] são semelhantes e a razão de

semelhança é 2. Então, se AD 1= , tem-se: AD 1 CD 2= ⇒ = se

CD 2 DB 4= ⇒ = .

3. (A)Escolha a afirmação verdadeira, relativamente ao cubo da

figura, “As rectas EF e CD são paralelas” porque não têm pontos

comuns e têm a mesma direcção

(B) As rectas AB e EC são concorrentes é falsa porque as rectas

são não complanares.

(C) As rectas HD e FG são paralelas é falsa porque as rectas são

perpendiculares e não complanares,

(D) As rectas EF e CD são não complanares é falsa por as rectas serem paralelas.

4. (C) Uma pirâmide tem o triplo do volume de um prisma com a mesma base. Então, sendo h a

altura da pirâmide e h’ a altura do prisma, podemos concluir que:

pirâmide prisma base base

1 1V 3V A h 3 A h' h 3 h' h 9h '

3 3= ⇔ × × = × × ⇔ × = × ⇔ =

5. (B) A área do triângulo da figura é 12 cm2. O valor de x é 9 cm.

( ) ( ) 2 2x 3 x 512 24 x 3x 5x 15 x 8x 9 0

2

− −= ⇔ = − − + ⇔ − − = ⇔

8 64 4 9x x 9 x 1

2± + ×= ⇔ = ∨ = − . Como x tem de ser positivo e maior que 5 só pode ser 9

Grupo II

E

H G

CD

F

A B

x - 3

x - 5

A

C

B

B

C

DA


1. Num recipiente cilíndrico cheio de água, introduziu-se uma esfera de diâmetro igual à altura e

ao diâmetro da base do recipiente.

1.1. Calculemos a percentagem de água que transbordou,

indicando um valor arredondado às décimas fazendo

sucessivamente:

• Cálculo do volume da esfera de raio r. – 34V r

3π=

• Cálculo do volume de um cilindro com base circular de raio r e altura 2r. – 2 3V r 2r V 2 rπ π= × ⇔ =

• Cálculo da percentagem de água que transbordou. –

3

3

4r 4003 100 66,7%

62 r

π

π× = ≃

A percentagem de água que transbordou é 66,7%.

1.2. Supondo que o recipiente, no qual a água excedente foi guardada, é um cilindro com

12cm de diâmetro que ficou com 27cm de altura de água, determinemos o raio da esfera

fazendo sucessivamente:

• Cálculo do volume da água armazenada no cilindro que é igual ao volume da esfera

– 2 3V 6 27 V 972 cmπ π= × × ⇔ =

• Cálculo do raio da esfera 3 3 34 972 3r 972 r r 729 r 9cm

3 4π π ×= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

2. Na figura está representado um cubo em que a aresta mede 5 cm.

Sabe-se que: EP GQ CR 1cm= = =

2.1. A secção produzida no cubo pelo plano PQR está desenhada na

figura ao lado.

2.2. A secção com a maior área, produzida no cubo, por um plano

paralelo ao plano PQR é o rectângulo [ACGE]

AE 5 cm= e EG 5 2 10 cm= × = por [EG] ser a diagonal de

um quadrado de aresta [AE] sabendo que AE 5 cm=

Por se tratar de um rectângulo a área é

2A 5 10 A 50 A 5 2 cm= × ⇔ = ⇔ =

2.3. Seja x um ponto da aresta [BF] e α o plano paralelo ao plano EGH e

que passa por x. A que distância h do ponto B deve estar o ponto x

para que o prisma situado abaixo do plano α tenha 2 cm3 de volume

é dada por ( )2 22 5 h 2 5h h

5= × ⇔ = ⇔ =

A distância h a que o ponto B deve estar do ponto x para que o prisma situado abaixo do

plano α tenha 2 cm3 de volume é 0,4 cm.

R

QP

H G

CD

FE

A B

SC.A.

50 2 25 5 5 5 1

R

QP

H G

CD

FE

BA

x

R

QP

H G

CD

FE

A B

S


3. A figura representa um cubo onde se escavou uma pirâmide

quadrangular regular.

3.1. Mostremos que os elementos do sólido assim obtido verificam a

igualdade de Euler:

• Número de faces – 9

• Número de vértices – 9

• Número de arestas – 16

Igualdade de Euler: Número de faces + Número de vértices = Número de arestas +2

Aplicação da igualdade ao sólido da figura: 9 9 16 2 18 18+ = + ⇔ =

Concluímos assim que os elementos do sólido assim obtido verificam a igualdade de

Euler.

3.2. Sabendo que a altura da pirâmide é 23

da aresta do cubo, determinemos que

percentagem do volume do cubo representa o volume da pirâmide que foi retirada.

Começamos por representar a aresta do cubo por a e em seguida vamos calcular:

• O volume do cubo é 3cuboV a=

• O volume da pirâmide é 2 3pirâmide pirâmide

1 2 2V a a V a

3 3 9= × ⇔ =

• A percentagem do volume do cubo que o volume da pirâmide que foi retirada

representa é dada por

3

3

2a 2009 100 22,2%

9a× = ≃ .

4. Uma mosca está sobre uma aresta do paralelepípedo,

a 4 cm do vértice superior, e desloca-se para um pingo

de mel que está no centro O da base superior. O

caminho mais curto é PM e não passa por B como se

vê na planificação seguinte:

Sugestão: Para responder às questões, comece por construir uma planificação do paralelepípedo e

localize os pontos envolvidos.

• Cálculo de PM: 2 2 2PM 16 12= + ⇔

2PM 400 PM 20cm= ⇔ =

16 cm32 cm

16 cm

12 cm

16 cm

A

P'

P

M

BA





1º Teste de avaliação – Critérios de correcção

Grupo I

1 2 3 4 5

B B A C B

Grupo II

1. ………………………………………………………………………………………………….. 40

1.1.

• Calcular o volume da esfera em função do raio r …………………… 6

• Calcular o volume do cilindro em função de r ……………………….. 6

• Calcular a percentagem pedida ……………………………………….. 8

1.2.

•••• Calcular o volume da água …………………………………………… 6

•••• Igualar o volume da água a 34r

3π …………………………………... 4

•••• Resolver a equação …………………………………………………… 8

•••• Dar a resposta com o valor exacto ………………………………….. 2

2. …………………………………………………………………………………………………… 55

2.1.

•••• Desenhar [PQ] ………………………………………....……………. 2

•••• Desenhar [QR] ………………………………………....……………. 2

•••• Traçar paralela a PQ por R e obter S .……………....……………. 5

•••• Desenhar [RS] ………………………………………....……………. 2

•••• Desenhar [PS] ………………………………………....…………….. 2

•••• Desenhar a secção ………………………………………………..… 2

2.2.

•••• Desenhar a maior secção .………………………………………..... 5

•••• Calcular a medida da diagonal facial …..……………………...…... 8

•••• Calcular a área da secção ……………………………………..…… 7

2.3.

•••• Desenhar a secção produzida por α .…………………………..… 2


•••• Representar Bx por uma incógnita…..………………………..…….. 2

•••• Escrever a equação 2 5 5 h= × × …………………………………. 8

•••• Resolver a equação …………………………………………….…….. 8

3. …………………………………………………………………………………………………… 40

3.1.

•••• Número de faces ……………………..………………………………. 5

•••• Número de vértices .…………………..………………………………. 5

•••• Número de arestas .…………………..………………………………. 5

•••• Verificação da Relação de Euler ..…..…………….………………... 5

3.2.

• Calcular o volume do cubo em função da aresta a………………… 6

• Calcular o volume da pirâmide em função de a ..………………….. 6

• Calcular a percentagem pedida ….………………………………….. 8

4. …………………………………………………………………………………………………… 20

• Desenhar uma planificação ……………………………………………. 5

• Assinalar os pontos na planificação ……………………………….…. 5

• Aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular PM ………….……… 4

• Calcular PM ………………………………………………….…………. 4

• Justificar que o caminho não passa por B …………….………………. 2

Total …………………………………………………………………………………… …………… 200

teste01 b

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