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MODELAÇÃO E SIMULAÇÃO TESTE No. 2 TIPO – V05 2020 MEEC – IST QUESTÕES-TIPO PARA O TESTE N0. 2 . Problema No. 1 Estabilidade de Sistemas Não Lineares [5v] Pretende-se coordenar o movimento de dois veículos robóticos R1 (terrestre) e R2 (aéreo) que se deslocam no espaço ao longo do eixo z de um referencial de inércia (ver Figura 1). O veículo R1, que desempenha o papel de “líder”, desloca-se à velocidade constante v1(t); a sua coordenada de posição, que varia no tempo, designa-se por z1. O veículo R2, com coordenada de posição z2, que também varia no tempo, desempenha o papel de “seguidor” e controla a sua velocidade v2(t) de modo a que, no limite, a distância e entre R2 e R1, i.e., tenda para 0. A figura capta, na parte esquerda, a condição inicial do movimento e na parte direita uma situação assimptótica em que e=0, correspondente a uma fase posterior após os veículos se terem movimentado de modo a posicionarem-se “um em cima do outro”. Obviamente, Considera-se a situação em que o veículo R2 tem acesso à velocidade v1(t) de R1 e mede directamente o erro e(t) ou uma função apropriada desse erro. e(t)= z 2 (t) - z 1 (t) de dt = dz 2 dt - dz 1 dt = v 2 (t) - v 1 (t)

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Page 1: TESTE No. 2 TIPO – V05TESTE No. 2 TIPO – V05 2020 MEEC – IST QUESTÕES-TIPO PARA O TESTE N0. 2 . Problema No. 1 Estabilidade de Sistemas Não Lineares [5v] Pretende-se coordenar

MODELAÇÃO E SIMULAÇÃO

TESTE No. 2 TIPO – V05

2020

MEEC – IST

QUESTÕES-TIPO PARA O TESTE N0. 2

.

Problema No. 1 Estabilidade de Sistemas Não Lineares [5v]

Pretende-se coordenar o movimento de dois veículos robóticos R1 (terrestre) e R2 (aéreo) que se deslocam no espaço ao longo do eixo z de um referencial de inércia (ver Figura 1).

O veículo R1, que desempenha o papel de “líder”, desloca-se à velocidade constante v1(t); a sua coordenada de posição, que varia no tempo, designa-se por z1. O veículo R2, com coordenada de posição z2, que também varia no tempo, desempenha o papel de “seguidor” e controla a sua velocidade v2(t) de modo a que, no limite, a distância e entre R2 e R1, i.e.,

tenda para 0. A figura capta, na parte esquerda, a condição inicial do movimento e na parte direita uma situação assimptótica em que e=0, correspondente a uma fase posterior após os veículos se terem movimentado de modo a posicionarem-se “um em cima do outro”. Obviamente,

Considera-se a situação em que o veículo R2 tem acesso à velocidade v1(t) de R1 e mede directamente o erro e(t) ou uma função apropriada desse erro.

e(t) = z2(t)� z1(t)<latexit sha1_base64="BqpUFuVg1MO3rk8dsDksaaTN+UU=">AAAB+3icbVDLSgMxFL1TX7W+xrp0EyxCXVhmiqAboejGZQX7gHYYMmmmDc1khiQjtqW/4saFIm79EXf+jWk7C209EO7hnHu5NydIOFPacb6t3Nr6xuZWfruws7u3f2AfFpsqTiWhDRLzWLYDrChngjY005y2E0lxFHDaCoa3M7/1SKVisXjQo4R6Ee4LFjKCtZF8u0jL+ux67FdNOR/7rim+XXIqzhxolbgZKUGGum9/dXsxSSMqNOFYqY7rJNqbYKkZ4XRa6KaKJpgMcZ92DBU4osqbzG+folOj9FAYS/OERnP198QER0qNosB0RlgP1LI3E//zOqkOr7wJE0mqqSCLRWHKkY7RLAjUY5ISzUeGYCKZuRWRAZaYaBNXwYTgLn95lTSrFdepuPcXpdpNFkcejuEEyuDCJdTgDurQAAJP8Ayv8GZNrRfr3fpYtOasbOYI/sD6/AEsE5KS</latexit><latexit sha1_base64="BqpUFuVg1MO3rk8dsDksaaTN+UU=">AAAB+3icbVDLSgMxFL1TX7W+xrp0EyxCXVhmiqAboejGZQX7gHYYMmmmDc1khiQjtqW/4saFIm79EXf+jWk7C209EO7hnHu5NydIOFPacb6t3Nr6xuZWfruws7u3f2AfFpsqTiWhDRLzWLYDrChngjY005y2E0lxFHDaCoa3M7/1SKVisXjQo4R6Ee4LFjKCtZF8u0jL+ux67FdNOR/7rim+XXIqzhxolbgZKUGGum9/dXsxSSMqNOFYqY7rJNqbYKkZ4XRa6KaKJpgMcZ92DBU4osqbzG+folOj9FAYS/OERnP198QER0qNosB0RlgP1LI3E//zOqkOr7wJE0mqqSCLRWHKkY7RLAjUY5ISzUeGYCKZuRWRAZaYaBNXwYTgLn95lTSrFdepuPcXpdpNFkcejuEEyuDCJdTgDurQAAJP8Ayv8GZNrRfr3fpYtOasbOYI/sD6/AEsE5KS</latexit><latexit sha1_base64="BqpUFuVg1MO3rk8dsDksaaTN+UU=">AAAB+3icbVDLSgMxFL1TX7W+xrp0EyxCXVhmiqAboejGZQX7gHYYMmmmDc1khiQjtqW/4saFIm79EXf+jWk7C209EO7hnHu5NydIOFPacb6t3Nr6xuZWfruws7u3f2AfFpsqTiWhDRLzWLYDrChngjY005y2E0lxFHDaCoa3M7/1SKVisXjQo4R6Ee4LFjKCtZF8u0jL+ux67FdNOR/7rim+XXIqzhxolbgZKUGGum9/dXsxSSMqNOFYqY7rJNqbYKkZ4XRa6KaKJpgMcZ92DBU4osqbzG+folOj9FAYS/OERnP198QER0qNosB0RlgP1LI3E//zOqkOr7wJE0mqqSCLRWHKkY7RLAjUY5ISzUeGYCKZuRWRAZaYaBNXwYTgLn95lTSrFdepuPcXpdpNFkcejuEEyuDCJdTgDurQAAJP8Ayv8GZNrRfr3fpYtOasbOYI/sD6/AEsE5KS</latexit><latexit sha1_base64="BqpUFuVg1MO3rk8dsDksaaTN+UU=">AAAB+3icbVDLSgMxFL1TX7W+xrp0EyxCXVhmiqAboejGZQX7gHYYMmmmDc1khiQjtqW/4saFIm79EXf+jWk7C209EO7hnHu5NydIOFPacb6t3Nr6xuZWfruws7u3f2AfFpsqTiWhDRLzWLYDrChngjY005y2E0lxFHDaCoa3M7/1SKVisXjQo4R6Ee4LFjKCtZF8u0jL+ux67FdNOR/7rim+XXIqzhxolbgZKUGGum9/dXsxSSMqNOFYqY7rJNqbYKkZ4XRa6KaKJpgMcZ92DBU4osqbzG+folOj9FAYS/OERnP198QER0qNosB0RlgP1LI3E//zOqkOr7wJE0mqqSCLRWHKkY7RLAjUY5ISzUeGYCKZuRWRAZaYaBNXwYTgLn95lTSrFdepuPcXpdpNFkcejuEEyuDCJdTgDurQAAJP8Ayv8GZNrRfr3fpYtOasbOYI/sD6/AEsE5KS</latexit>

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Page 2: TESTE No. 2 TIPO – V05TESTE No. 2 TIPO – V05 2020 MEEC – IST QUESTÕES-TIPO PARA O TESTE N0. 2 . Problema No. 1 Estabilidade de Sistemas Não Lineares [5v] Pretende-se coordenar

P1.1 [1v] Pretende-se conduzir o erro de coordenação e para 0 por manipulação da velocidade v2 do veículo R2. Para isso, propõe-se a lei de coordenação

Prove que com esta lei de controlo o erro de coordenação e(t) tende assimptoticamente para 0.

P1.2 [3v] Na alínea anterior assumiu-se que o veículo R2 pode medir exactamente o erro de velocidade e. Suponha agora que o erro e é dado por um sensor com características não lineares, que fornece medidas de e através da relação g(e), onde g(.) satisfaz duas condições: i) g(0)=0 e ii) eg(e)>0 para e≠0. Mostre que com uma simples modificação da lei de controlo linear descrita em P1.1 , isto é, com

o erro e continua a tender assimptoticamente para 0 qualquer que seja o erro inicial (isto é, prove a estabilidade assimptótica global da origem e=0 do sistema). Resolva esta alínea utilizando o segundo método de Lyapunov.

P1.3 [1v] Suponha agora que devido a constrições físicas

A fim de não exceder a capacidade física do veículo R2, adopta-se a lei de coordenação

onde

Mostre que com esta lei de coordenação o erro e(t) continua a tender assimptoticamente para 0 qualquer que seja o erro inicial (isto é, prove a estabilidade assimptótica global da origem e=0 do sistema).

PROBLEMA N0.2 - Estimação de Parâmetros [5v]

Um processo físico pode ser descrito aproximadamente pela relação estática linear

em que z é função das variáveis x e y e

v2(t) = v1(t)� ke(t); k > 0<latexit sha1_base64="NgsXxa/666EXBWwWvTEbyuS/h4E=">AAACAXicbVDLSgMxFM3UV62vUTeCm2AR6sIyUwQFUYpuXFawD2iHIZNm2jCZB8mdQhnqxl9x40IRt/6FO//G9LHQ1gPJPZxzL8k9XiK4Asv6NnJLyyura/n1wsbm1vaOubvXUHEqKavTWMSy5RHFBI9YHTgI1kokI6EnWNMLbsd+c8Ck4nH0AMOEOSHpRdznlICWXPNg4FZKcHI1cG1dTgOm70scXFuuWbTK1gR4kdgzUkQz1Fzzq9ONaRqyCKggSrVtKwEnIxI4FWxU6KSKJYQGpMfamkYkZMrJJhuM8LFWutiPpT4R4In6eyIjoVLD0NOdIYG+mvfG4n9eOwX/wsl4lKTAIjp9yE8FhhiP48BdLhkFMdSEUMn1XzHtE0ko6NAKOgR7fuVF0qiUbats358VqzezOPLoEB2hErLROaqiO1RDdUTRI3pGr+jNeDJejHfjY9qaM2Yz++gPjM8fmKKUZQ==</latexit><latexit 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v2(t) = v1(t)� kg(e(t)); k > 0<latexit sha1_base64="SCQ39wVF1H3ZxYOaq4lUfqW5dCY=">AAACBHicbVC7SgNBFJ31GeNr1TLNYBCSwrAbBAVRgjaWEcwDkmWZncwmQ2YfzNwNhCWFjb9iY6GIrR9h5984SbbQxAPDPZxzL3fu8WLBFVjWt7Gyura+sZnbym/v7O7tmweHTRUlkrIGjUQk2x5RTPCQNYCDYO1YMhJ4grW84e3Ub42YVDwKH2AcMycg/ZD7nBLQkmsWRm61BOWrkWvrcjrsl5iu5Us8vLZcs2hVrBnwMrEzUkQZ6q751e1FNAlYCFQQpTq2FYOTEgmcCjbJdxPFYkKHpM86moYkYMpJZ0dM8IlWetiPpH4h4Jn6eyIlgVLjwNOdAYGBWvSm4n9eJwH/wkl5GCfAQjpf5CcCQ4SnieAel4yCGGtCqOT6r5gOiCQUdG55HYK9ePIyaVYrtlWx78+KtZssjhwqoGNUQjY6RzV0h+qogSh6RM/oFb0ZT8aL8W58zFtXjGzmCP2B8fkDNHGVOw==</latexit><latexit 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sat(x) =1, x >1x, −1≤ x ≤1−1, x < −1

⎧⎨⎪

⎩⎪

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é um vector de parâmetros a determinar. Com o objetivo de estimar o vector a, leva-se a cabo uma experiência que envolve medições das variáveis x, y e dos valores correspondentes de z. Registam-se para o efeito 4 pares de valores experimentais

das variáveis independentes e os 4 valores experimentais correspondentes de z, denominados zi,j.. Pretende-se desenvolver um algoritmo para obter uma estimativa do vector de parâmetros a recorrendo ao método dos mínimos quadrados. Complete as seguintes etapas do problema: P2.1 [2v] Indique o funcional de mínimos quadrados a minimizar. Note que para cada i,j o erro ei,j da aproximação linear é dado por

P2.2 [3v] Manipule as equações que permitem calcular a de modo a obter explicitamente o sistema compacto de equações Ma=b, com M (uma matriz de 3x3) e b (um vector de dimensão 3) obtidos a partir dos dados experimentais.

PROBLEMA N0.3 - Sistemas de Acontecimentos Discretos [5v]

Uma abelha voa ao longo de uma circunferência e visita 3 lugares denominados L1, L2, e L3 (estados discretos do sistema) distribuídos ao longo da circunferência, ordenados no sentido dos ponteiros do relógio. A cada instante em que pode tomar a decisão de voar, a abelha move-se para um dos lugares mais próximos (lugares vizinhos) do seguinte modo: movimenta-se no sentido dos ponteiros do relógio com probabilidade 0.5, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio com probabilidade 0.5, e nunca permanece no mesmo lugar. Seja pi; i=1, 2, 3 a probabilidade de a abelha estar em Li. P3.1 [1v] Represente graficamente a Cadeia de Markov com 3 estados L1, L2, e L3 associada a este sistema de eventos discretos e calcule a respectiva matriz de transição entre estados.

P3.2 [1v] Mostre que existem valores limites das probabilidades p1, p2, e p3 quando o período de observação é arbitrariamente longo.

P3.3 [2v] Calcule analiticamente os valores de equilíbrio referidos em P3.2

P3.4 [1v] Suponha agora que existe uma aranha mortífera no lugar L1. Se a abelha “aterra” em L1, é seguramente apanhada pela teia de aranha. Reescreva a matriz de transição entre estados de modo a captar este facto.

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Suponha que a abelha começa no lugar L2. Calcule a probabilidade de a mosca ser comida ao fim de um voo. Justifique intuitivamente. Calcule a probabilidade de a abelha ser comida ao fim de dois voos.

PROBLEMA N0.4 – Modelação de Veículos Robóticos [5v] Considere um corpo rígido com massa m=1kg que se move no espaço, em 2D, sem atrito (ver Fig. 3). Seja {B} um referencial solidário com o corpo, e {U} um referencial de inércia. A velocidade linear inercial do corpo tem components u e v em {B}, respectivamente segundo os versores xB e yB, e velocidade nula segundo zB (movimento no plano). A velocidade rotacional em torno de zB denota-se por r. Note que r=dy(t)/dt, onde y(t) (denominado ângulo de “yaw”) capta a rotação de {B} em relação a {U}. O corpo está equipado com actuadores que permitem imprimir forças X e Y segundo os eixos xB e yB e um binário N em torno do eixo zB .

Fig. 3 Corpo Rígido em movimento P4.1 [3v] Suponha que N(t)=0, t ≥0 e que o corpo está animado das condições iniciais r(0)=1 rads-1, y(0)=0, u(0)=0 ms-1, v(0)= 1ms-1 (corpo a rodar no espaço, com velocidade não nula segundo o eixo yB). Pretende-se que o movimento do corpo no referencial de inércia {U} seja tal que o vector velocidade total (no referencial {U}) seja dado por UV=[0 1 ]T (veículo com o centro de massa a progredir segundo a coordenada inercial horizontal y). Calcule as força X(t) e Y(t) a aplicar ao corpo. Comente o resultado obtido sob o ponto de vista físico. P4.2 [2v] Suponha agora que o corpo está animado das condições iniciais r(0)=1 rads-1, y(0)=0, u(0)=1 ms-1, v(0)= 1ms-1 (corpo a rodar no espaço) e que se aplicam forças constantes X(t)=0 e Y(t)=1 Newton (repare que esta forças estão expressas no referencial do corpo) mas o binário N(t)=0; t≥0. Calcule o vector velocidade do corpo expressa no referencial {U}, ou seja, o vector velocidade do centro de massa do corpo visto por um observador externo instalado em {U}.

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Sugestão: escreva as equações da dinâmica em forma matricial e calcule a solução [u(t) v(t)]T utilizando transformadas de Laplace. Em seguida, calcule a velocidade UV expressa em {U} usando as equações da cinemática. Tabela de transformadas de Laplace: