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Ano letivo: 2012-2013

Teste Intermédio de Matemática B

11º Ano de Escolaridade

Duração do teste: 90 minutos 24 de Maio de 2013

Curso Tecnológico de Gestão e Dinamização Desportiva

Curso Tecnológico de Química Industrial e Ambiental

Curso Tecnológico de Informática

Curso Tecnológico de Mecânica

Curso Tecnológico de Informática de Gestão

Curso Tecnológico de Contabilidade e Gestão

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Utiliza apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével azul ou preta, exceto nas respostas que impliquem construções, desenhos ou outras representações, que podem ser primeiramente feitos a lápis e a seguir passados a tinta.

Utiliza a régua, o compasso, o esquadro, o transferidor e a calculadora gráfica sempre que for necessário.

Não é permitido o uso de corretor. Em caso de engano, deves riscar de forma inequívoca aquilo que pretendes que não seja classificado.

Escreve de forma legível a numeração dos grupos e dos itens, bem como as respetivas respostas. As repostas ilegíveis ou que não possam ser claramente identificadas são classificadas com zero pontos.

Para cada item, apresenta apenas uma resposta. Se escreveres mais do que uma resposta a um mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar.

Em todas as respostas, indica todos os cálculos que tiveres de efetuar e todas as justificações necessárias.

Sempre que, na resolução de um problema, recorreres à calculadora, apresenta todos os elementos recolhidos na sua utilização. Mais precisamente:

sempre que recorreres às capacidades gráficas da tua calculadora, apresenta o(s) gráfico(s) obtido(s), bem como as coordenadas de pontos relevantes para a resolução do problema proposto (por exemplo, coordenadas de pontos de interseção de gráficos, máximos, mínimos, etc.);

sempre que recorreres a uma tabela obtida na tua calculadora, apresenta todas as linhas da tabela relevantes para a resolução do problema proposto.

A prova inclui um Formulário na página 8.

As cotações dos itens encontram-se na página 8.

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GRUPO I

Na figura 1 está representado, num referencial o.n xOy , o círculo trigonométrico.

Os pontos A , B , C e D são os pontos de interseção da circunferência com os eixos coordenados do

referencial.

Considera que um ponto P se desloca ao longo do arco BC , nunca coincidindo com B nem com C .

Para cada posição do ponto P , seja Q o ponto do arco AB que tem ordenada igual à ordenada do

ponto P e seja R o ponto do eixo Ox que tem abcissa igual à abcissa do ponto Q .

Seja a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado origem o semieixo positivo

Ox e por lado extremidade a semirreta OP

2 , .

1. Mostra que a área do trapézio [OPQR] é dada, em função de , por 32 sin cos .

2. Recorrendo à tua calculadora gráfica, determina o valor de para o qual a área do trapézio é

máxima.

Apresenta o resultado arredondado à décima do radiano.

Figura 1

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GRUPO II

No dia nove de maio, a temperatura do ar, na cidade

de Amarante, era dada, em graus Celsius,

aproximadamente, por

818 8 12A

tt sin

, com 0 24t

e, nesse mesmo dia e também em Amarante, mas no

interior da casa da Beatriz, a temperatura, em graus

Celsius, era dada, aproximadamente, por

1020 3 12

tB t sin

, com 0 24t

em que t representa o tempo, em horas, decorrido desde as zero horas do dia nove de maio.

Nota: o argumento da função seno, tanto em A como em B, está expresso em radianos.

1. Determina entre que horas, desse dia, a temperatura do ar em Amarante foi superior a 18 graus

Celsius.

2. Determina durante quanto tempo, no dia nove de maio, a temperatura do ar no exterior da casa

da Beatriz foi superior à temperatura no seu interior.

Apresenta o resultado em horas e minutos, minutos arredondados às unidades.

Resolve o problema recorrendo às capacidades gráficas da tua calculadora.

Apresenta o gráfico, ou gráficos, que tenhas visualizado na calculadora, bem como as

coordenadas, arredondadas às centésimas, dos pontos que considerares relevantes para resolver

o problema.

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GRUPO III

Na figura 2, está representada, num referencial o.n.

xOy , parte da hipérbole que é o gráfico de uma

função f .

O gráfico da função f interseta o eixo Ox no ponto

de abcissa 1 .

As retas de equações 1x e 2y são as assíntotas

do gráfico da função f .

1. Responde aos dois itens seguintes sem efetuar cálculos, ou seja, recorrendo apenas à leitura

do gráfico da função f , apresentado na figura 2.

1.1. Indica o contradomínio da função f .

1.2. Copia para a tua folha de respostas as expressões seguintes e de seguida completa-as de

modo a obteres afirmações verdadeiras.

xlim f x ______

; 1x

lim f x ______

e 1x

lim f x ______

2. Seja g a função, de domínio , definida por 3 9g x x .

Tendo em conta o gráfico de f (ver figura 2) e a expressão analítica de g , resolve a

inequação 0gf x x , completando o seguinte quadro de variação de sinal, que deves

transcrever para a tua folha de respostas.

x

f x

g x

gf x x

Apresenta o conjunto solução da inequação na forma de reunião de intervalos de números reais.

3. Escreve f x na forma ba x c

, com a,b,c .

Figura 2

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GRUPO IV

O Diogo foi operado a um ligamento do joelho e começou a tomar um analgésico, o ANTIDOR, hoje,

às 9 horas da manhã.

A concentração do ANTIDOR no sangue, x horas depois de ser administrado, é dada, em

miligramas por litro (mg/L) de sangue, por

22

3 1xx

x

A , com 0x .

Para um caso como o do Diogo, o ANTIDOR só produz efeito, ou seja, só elimina a dor, se a

concentração no sangue for superior a 0 3, mg/L.

1. Verifica se às 9 horas e 15 minutos, o ANTIDOR já estava a fazer efeito.

2. Para que o ANTIDOR seja considerado um analgésico eficaz, deve começar a fazer efeito, no

máximo, 10 minutos depois de ser administrado e deve eliminar a dor durante, pelo menos, duas

horas.

Averigua se o ANTIDOR pode ser considerado um analgésico eficaz.

Resolve o problema proposto, recorrendo às capacidades gráficas da tua calculadora.

Deves incluir, obrigatoriamente, na tua resposta os seguintes tópicos:

o tempo, em minutos, que o medicamento demora a fazer efeito

o tempo, em horas e minutos, durante o qual o medicamento faz efeito

a conclusão acerca da eficácia do medicamento

Em cálculos intermédios, conserva duas casas decimais.

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GRUPO V

A Maria vai sempre de carro, com o pai, para o Colégio, saindo de casa entre as oito e as oito e meia

da manhã.

Admite que, quando a Maria sai de casa t minutos depois das oito horas, a duração da viagem, em

minutos, é dada por

2500044

275t

t

d , com 0, 30t

As aulas da Maria começam sempre às nove horas.

1. Mostra que, se a Maria sair de casa às 8 h e 15 min, chega ao Colégio às 8 h e 49 min, mas, se

sair de casa às 8 h e 25 min, já chega atrasada ao Colégio.

2. Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, resolve o seguinte problema:

Até que horas pode a Maria sair de casa, de modo a não chegar atrasada às aulas?

A tua resolução deve incluir:

uma explicação de que, para a Maria não chegar atrasada às aulas, é necessário

que 60t t d ;

o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora;

a resposta ao problema em horas e minutos, minutos arredondados às unidades.

FIM

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Formulário

Geometria

Perímetro do círculo: 2 r , sendo r o raio do círculo

Áreas

Paralelogramo: Base Altura

Losango: Diagonal maior Diagonal menor2

Trapézio: Base maior Base menor Altura2

Círculo: 2r , sendo r o raio do círculo

Volumes

Prisma e cilindro: Área da base Altura

Pirâmide e cone: 13

Área da base Altura

Esfera: 343 r , sendo r o raio da esfera

Cotações

GRUPO I GRUPO II GRUPO III GRUPO IV GRUPO V

1. ………… 20 1. ………… 17 1.1 ………… 8 1. ………… 15 1. ………… 17

2. ………… 16 2. ………… 18 1.2 ………… 12 2. ………… 21 2. ………… 21

2. ………… 20

3. ………… 15