tese fem

Laboratorio Nacional de Computacao Cientfica

Programa de Pos-Graduacao em Modelagem Computacional

Metodos de Elementos Finitos Estabilizados para

Escoamentos de Darcy e de Stokes-Darcy

Acoplados

Maicon Ribeiro Correa

Orientador: Abimael Fernando Dourado Loula

NOVEMBRO DE 2006

METODOS DE ELEMENTOS FINITOS ESTABILIZADOS PARA

ESCOAMENTOS DE DARCY E DE STOKES-DARCY ACOPLADOS


TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENACAO DE RECUR-

SOS HUMANOS DO LABORATORIO NACIONAL DE COMPUTACAO CIENTI-

FICA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENCAO

DO GRAU DE DOUTOR EM MODELAGEM COMPUTACIONAL.

Aprovada por:

Prof. Abimael Fernando Dourado Loula, D.Sc

Prof. Alexandre Loureiro Madureira, Ph.D.

Prof. Alvaro Luiz G. de Azeredo Coutinho, D.Sc

Prof. Eduardo Gomes Dutra do Carmo, D.Sc

Prof. Marcio Arab Murad, D.Sc

PETROPOLIS, RJ - BRASIL

NOVEMBRO DE 2006

CORREA, MAICON RIBEIRO

Metodos de Elementos Finitos Estabilizados

para Escoamentos de Darcy e de Stokes-Darcy

Acoplados [Petropolis] 2006

X, 197 p.29,7 cm (MCT/LNCC, D.Sc.,

Modelagem Computacional, 2006)

Tese - Laboratorio Nacional de Computacao

Cientfica, LNCC

1. Metodo de Elementos Finitos Estabilizados

2. Escoamento de Darcy 3. Escoamento de

Stokes-Darcy 4. Meios Porosos Heterogeneos

I. MCT/LNCC II. Ttulo (serie)

ii

Dedico este trabalho a meu querido

e sempre presente Pai, Cinezio.

iii

Agradecimentos

Meus sinceros agradecimentos a todos que de alguma forma contriburam para

o desenvolvimento deste trabalho. A todos que, quer seja atraves de um conselho,

instrucao, exemplo, advertencia, sorriso ou lagrima, enriqueceram meus dias e mar-

caram sua presenca nas letras que seguem.

Em especial agradeco a meu grande amigo e orientador Abimael Fernando Doura-

do Loula, pela confianca e pelo apoio. Se encontrarem neste trabalho alguma ideia

que se destaque, tenham certeza de que ela se apoia em seus ombros. Assim como

agradeco aos amigos professores Elson Toledo, Luis Paulo Barra, Afonso Lemonge,

vivos incentivadores de minha escolha academica, Lucien Silvano Alhanati, cuja

didatica ate hoje me ensina, e a todos os professores do Programa de Pos-Graduacao

em Modelagem Computacional do LNCC.

Aos carssimos Wanderson, Julio, Boness, Rosa, Paula, Simone Sutter e a todos

voces, Amigos, preciosa famlia construda ao longo da caminhada, agradeco e so

posso pedir a` Vida que lhes retribua o tanto que de voces recebo e aos poucos

aprendo a partilhar.

Pela minha mae Maria Ely, meu pai Cinezio e meu irmao Pablo, agradeco a

Deus.

iv

Resumo da Tese apresentada ao MCT/LNCC como parte dos requisitos necessarios

para a obtencao do grau de Doutor em Ciencias (D.Sc.)

METODOS DE ELEMENTOS FINITOS ESTABILIZADOS PARA

ESCOAMENTOS DE DARCY E DE STOKES-DARCY ACOPLADOS


Novembro/2006

Orientador: Abimael Fernando Dourado Loula

Modelagem Computacional

Nesta tese apresentamos novas formulacoes de elementos finitos mistas estabilizadas

para o escoamento de Darcy, e para o escoamento acoplado de Stokes-Darcy. A

aplicacao do Metodo de Galerkin a`s formulacoes classicas do sistema de Darcy e

revista, e sao comentadas algumas estabilizacoes existentes na literatura. A partir

da combinacao consistente de resduos de mnimos quadrados da lei de Darcy, da

equacao de conservacao de massa e do rotacional de lei de Darcy, sao desenvolvidas

novas formulacoes para a aproximacao do escoamento no meio poroso, que possuem

caractersticas de estabilidade superiores a`s existentes. E apresentada uma nova

abordagem que permite o emprego destas formulacoes em meios porosos com in-

terface de descontinuidade da condutividade hidraulica. Combinando estas novas

formulacoes estabilizadas para o escoamento de Darcy, com formulacoes de Petrov-

Galerkin para o escoamento de Stokes, sao desenvolvidos metodos estabilizados

para o sistema acoplado, que permitem o emprego de interpolacoes lagrangianas,

de mesma ordem inclusive, para a velocidade e para a pressao, tanto no domnio

de Stokes quanto no de Darcy, com interpolacoes contnuas ou descontnuas para a

pressao.

v

Abstract of Thesis presented to MCT/LNCC as a partial fulfillment of the require-

ments for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)

STABILIZED FINITE ELEMENT METHODS FOR DARCY AND COUPLED

STOKES-DARCY FLOWS


November/2006

Advisor: Abimael Fernando Dourado Loula

Computational Modelling

In this thesis we propose new stabilized finite element methods for Darcy flow and

for the coupled Stokes-Darcy flow. We review the Galerkin method applied to the

classical variational formulations of the Darcys system, and comment on some sta-

bilization techniques proposed in the literature. Through the consistent combination

of least square residuals of the Darcys law, the mass balance equation and the curl

of Darcys law, we develop new finite element formulations to porous media flow,

that have higher stability than the usual stabilizations. We present a methodology

to incorporate restrictions that allows the application of these formulations to flow

in heterogeneous porous media with an interface of discontinuity of the hydraulic

conductivity tensor. By combining the new stabilized formulations for Darcy flow

with Petrov-Galerkin formulations to Stokes flow, we develop stabilized methods

for the coupled Stokes-Darcy flow that employ Lagrangian finite element spaces in

both domains, continuous for the velocity and continuous or discontinuous for the

pressure. Equal-order interpolations can be adopted for both velocity and pressure

spaces.

vi

Que as coisas e causas pelas quais

voce se dedica possam manter o seu

brilho.

vii

Sumario

1 Introducao 1

2 Formulacoes Variacionais Abstratas 9

2.1 Notacoes e Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Problemas Variacionais Lineares em Um Campo . . . . . . . . 11

2.1.2 Problemas Variacionais Lineares Mistos . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Metodo dos Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1 Metodos Conformes para Problemas em Um Campo . . . . . . 15

2.2.2 Metodos Conformes para Problemas Mistos . . . . . . . . . . 17

3 Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 20

3.1 Escoamento de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.1 O Problema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.2 Formulacao Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Aproximacoes por Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.1 Um Metodo de Galerkin Estavel . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.2 Formulacoes Estabilizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.3 Um Estudo Numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Metodos de Elementos Finitos para o Escoamento de Darcy 45

4.1 Escoamento de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.1 Lei de Darcy: Forma Emprica Unidimensional . . . . . . . . . 46

4.1.2 Extensao da Lei de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

viii

4.1.3 Leis de Conservacao em Meios Porosos . . . . . . . . . . . . . 48

4.1.4 O Problema de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1.5 Formulacoes Variacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2 Formulacoes de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.1 Formulacao para o Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.2 Metodo Misto Primal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.3 Metodo Misto Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3 Formulacoes Estabilizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3.1 Transformando Ponto de Sela em Mnimo . . . . . . . . . . . 60

4.3.2 Formulacao Adjunta e sua Equivalente Simetrica . . . . . . . 61

4.3.3 Pos-Processamento Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.4 Novas Formulacoes Mistas Estabilizadas . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.4.1 Formulacao Incondicionalmente Estavel em

[H1()]2 H1() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.4.2 Formulacao Estabilizada em [H1()]2 L2() . . . . . . . . . 784.4.3 Formulacao Estabilizada com Potencial Descontnuo . . . . . . 81

4.5 Estudo Numerico das Formulacoes

Estabilizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.6 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5 Meios com Interface de Descontinuidade da Condutividade 105

5.1 Problema de Darcy Heterogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106


5.2.1 Pos-Processamento Global com Interface de Descontinuidade . 108

5.2.2 Captura de Descontinuidade na Interface . . . . . . . . . . . . 110

5.2.3 Extensao aos Metodos Mistos Estabilizados . . . . . . . . . . 113

5.3 Exemplos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.3.1 Escoamento entre Placas Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.3.2 Escoamento com Barreiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.3.3 Estudo de Convergencia: Um Exemplo Anistotropico Hete-

rogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

ix

5.4 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6 Escoamento Acoplado de Stokes e Darcy 130

6.1 O Escoamento Acoplado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.1.1 Condicao de Interface de Beavers e Joseph . . . . . . . . . . . 132

6.1.2 O Problema de Stokes-Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.1.3 Uma Formulacao Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136


6.3 Novas Formulacoes Estabilizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.3.1 Metodo Compatvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.3.2 Metodos Totalmente Estabilizados . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.3.3 Incorporando as Restricoes na Interface . . . . . . . . . . . . . 149

6.4 Estudos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.4.1 O Experimento Laboratorial de Beavers e Joseph . . . . . . . 152

6.4.2 Estudo de Convergencia: Beavers-Joseph-Saffman . . . . . . . 156

6.4.3 Estudo de Convergencia: Beavers-Joseph . . . . . . . . . . . . 170

6.5 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

7 Conclusoes 187

x

Captulo 1

Introducao

A analise de problemas que envolvem escoamentos em meios porosos, tais como a ex-

ploracao de petroleo, a extracao de aguas subterraneas, a contaminacao de aquferos

e processos para a sua remediacao, passa obrigatoriamente pela determinacao do

regime de fluxo, que consiste no calculo do campo macroscopico de velocidades das

fases que escoam. Estes problemas sao, em geral, predominantemente convectivos

e a determinacao precisa do campo de velocidades se torna essencial para a correta

avaliacao dos processos de transporte associados.

O escoamento de um fluido incompressvel em um meio poroso rgido satu-

rado conduz ao classico problema de Darcy. Este problema consiste no sistema

de equacoes diferenciais parciais composto pela equacao de conservacao de massa

mais a lei de Darcy, que relaciona a velocidade media de escoamento ao gradiente

de um potencial hidraulico atraves do tensor de condutividade hidraulica.

Recentemente, grande interesse tem sido dedicado aos casos em que ao escoa-

mento no meio poroso acopla-se o escoamento livre1 do fluido que o satura. Este

escoamento acoplado pode ser encontrado em diversas aplicacoes como em engenha-

ria do petroleo (interacao entre poco e reservatorio), hidrologia (acoplamento en-

tre escoamentos superficiais e subsuperficiais), hidrogeologia (escoamento em meios

porosos fraturados), dinamica de biofluidos (alguns orgaos e tecidos podem ser mode-

lados como meios porosos), filtragem, dentre outras. Modelos para o problema

1Ao longo da tese, utilizaremos o termo escoamento livre para designar o escoamento do fluido

como um sistema contnuo, nao escoando no meio poroso.

1

CAPITULO 1 - Introducao 2

acoplado sao obtidos pela escolha de sistemas apropriados para os escoamentos do

fluido livre e no meio poroso, acoplados por equacoes que representam a interacao

dos escoamentos atraves da interface entre os meios. De um modo geral, as condicoes

de interface expressam a conservacao de massa e o balanco de forcas nesta regiao.

A relacao entre as velocidades tangentes a` interface e tema de diversos estudos e a

condicao de contorno em melhor acordo com as evidencias experimentais e a pro-

posta por BEAVERS E JOSEPH [1]. Esta relacao estabelece a proporcionalidade

entre o salto na componete tangencial do campo de velocidades em um ponto da in-

terface e a tensao cisalhante neste ponto. Em geral, a solucao deste sistema acoplado

apresenta campos potenciais e de velocidades descontnuos.

Nesta tese estaremos interessados na modelagem computacional de escoamentos

estacionarios lentos, de forma que o meio poroso possa ser modelado pelo sistema de

Darcy e que o fluido livre seja modelado pelo sistema de Stokes, conduzindo a um

sistema de equacoes diferenciais parciais de diferentes ordens em cada domnio. Em

relacao ao meio poroso, apesar da aparente simplicidade do problema de Darcy, es-

coamentos em meios anisotropicos e heterogeneos representam uma area de pesquisa

de grande interesse da analise numerica e modelagem computacional. Uma forma di-

reta de resolver este problema se baseia na equacao elptica de segunda ordem obtida

pela substituicao da lei de Darcy na equacao de conservacao da massa, fornecendo

um problema de Poisson em termos do potencial hidraulico com a velocidade calcu-

lada atraves do gradiente da solucao aproximada multiplicado pelo tensor de con-

dutividade hidraulica. A construcao do classico metodo de Galerkin baseado nesta

estrategia e simples. Contudo, esta estrategia direta conduz a aproximacoes menos

precisas para a velocidade, quando comparadas a`s do potencial. Formulacoes al-

ternativas como as tecnicas de pos-processamento e os metodos mistos vem sendo

desenvolvidas, fornecendo melhores aproximacoes para o campo de velocidades.

A ideia basica das tecnicas de pos-processamento e utilizar as propriedades

otimas de estabilidade e convergencia do metodo de Galerkin para o potencial,

para derivar aproximacoes mais precisas para a velocidade do que as obtidas pela

aplicacao direta da lei de Darcy. Dentre estas tecnicas, podemos destacar as de-


senvolvidas por TOLEDO [2] e LOULA et al. [3]. Tais formulacoes utilizam a

adicao de resduos ponderados da equacao de conservacao de massa e do rotacional

da lei de Darcy (no caso do pos-processamento local) a uma formulacao variacional

baseada nesta lei, de forma a garantir uma melhor aproximacao para a equacao

de conservacao. Alem de apresentar resultados bastante precisos, estas formulacoes

conduzem a taxas de convergencia superiores a`s obtidas pela simples diferenciacao

do campo potencial aproximado. Uma caracterstica importante desta metodologia

e a flexibilidade na escolha dos espacos; simulacoes de escoamentos miscveis uti-

lizando interpolacoes lagrangianas de mesma ordem para o potencial, a velocidade e

a concentracao sao apresentadas por LOULA et al. [4] e MALTA et al. [5], combi-

nando a tecnica de pos processamento de [3] com a formulacao estabilizada SUPG

de [6] para a equacao do transporte.

Os metodos mistos sao baseados na aproximacao simultanea dos campos poten-

cial e de velocidade e tem como principal caracterstica a necessidade de compati-

bilidade entre os espacos empregados; ver BABUSKA [7] e BREZZI [8]. Este fato

reduz a flexibilidade na construcao de aproximacoes por elementos finitos para as

formulacoes variacionais mistas do problema de Darcy, e o emprego do metodo de

Galerkin com elementos lagrangianos de mesma ordem para a velocidade e para o

potencial resulta em aproximacoes instaveis [9]. Uma aproximacao bem sucedida

para este problema e a formulacao de elementos finitos mista dual desenvolvida por

RAVIART E THOMAS [10], utilizando espacos de aproximacao vetoriais baseados

no operador divergente para a velocidade, combinados com espacos lagrangianos

descontnuos para o potencial.

Para satisfazer as condicoes de compatibilidade entre os espacos discretos, meto-

dos de elementos finitos mistos estabilizados tem sido desenvolvidos. Em geral,

tais metodos sao construdos a partir da combinacao de resduos ponderados das

equacoes que governam o escoamento com as formulacoes variacionais mistas classicas

do problema. LOULA E TOLEDO [11] propoem metodos mistos estabilizados para

um problema de transferencia de calor com estrutura identica a` do sistema de Darcy,

onde o problema original de ponto de sela e convertido em um problema de mini-


mizacao a partir de resduos de mnimos quadrados da lei de Darcy e da equacao

de conservacao da massa, adicionados a` formulacao mista de Galerkin. A partir

da subtracao de um resduo adjunto da lei de Darcy, uma formulacao estabilizada

nao-simetrica e apresentada por MASUD E HUGHES [12]. Embora possuam difer-

entes propriedades de estabilidade, as formulacoes de LOULA E TOLEDO [11] e de

MASUD E HUGHES [12] permitem o uso de interpolacoes lagrangianas de mesma

ordem, representando assim um ganho significativo em termos da construcao de

aproximacoes por elementos finitos para o problema.

Em relacao ao problema de Darcy, apresentamos nesta tese novas formulacoes

mistas estabilizadas simetricas, que preservam a caracterstica de ponto de sela de

sua formulacao variacional. A partir da combinacao das formulacoes variacionais

mistas classicas com resduos de mnimos quadrados da lei de Darcy, da equacao do

balanco de massa e do rotacional da lei de Darcy, novas formulacoes estabilizadas

sao propostas. Dentre estas formulacoes, alem de metodos com caractersticas de

estabilidade e aproximacao similares aos de LOULA E TOLEDO [11] e de MASUD

E HUGHES [12], incluem-se um metodo incondicionalmente estavel em [H1()]2 H1() para a velocidade e para o potencial, respectivamente, e metodos estaveis

em [H1()]2 L2() que empregam interpolacoes lagrangianas contnuas para avelocidade e contnuas ou descontnuas para o potencial.

Uma questao que envolve estas formulacoes estabilizadas e a sua aplicabilidade

em problemas onde o meio poroso e composto por subdomnios com diferentes con-

dutividades hidraulicas. Na interface entre estes subdomnios, a componente normal

da velocidade de Darcy deve ser contnua (conservacao da massa fluida) mas a com-

ponente tangencial e descontnua; consequentemente, formulacoes baseadas em in-

terpolacoes lagrangianas contnuas para a velocidade falham na representacao desta

descontinuidade, produzindo aproximacoes imprecisas e oscilacoes espurias. Este

fato e demonstrado atraves de varios experimentos por CORREA E LOULA [13],

onde e proposta uma generalizacao das tecnicas de pos-processamento de LOULA

et al. [3]. Esta generalizacao utiliza transformacoes lineares derivadas das re-

stricoes entre as velocidades na interface, permitindo o uso de interpolacoes la-


grangianas contnuas/descontnuas para a representacao de campos de velocidades

contnuos/descontnuos. Com isso, a solucao descontnua passa a ser aproximada

por interpolacoes lagrangianas contnuas por subdomnios, fornecendo resultados

fieis a` solucao do problema. Outro ponto de destaque desta nova abordagem e que

ela preserva, para problemas anisotropicos e heterogeneos, as taxas de convergencia

preditas para problemas homogeneos com solucoes suaves. Aqui estendemos al-

guns resultados deste trabalho, mostrando que esta metodologia pode ser aplicada a

quaisquer formulacoes que utilizem interpolacoes contnuas para a velocidade, como

as novas formulacoes mistas estabilizadas e as formulacoes mistas de LOULA E

TOLEDO [11] e de MASUD E HUGHES [12]. Com isso, ampliamos o emprego das

formulacoes estabilizadas a meios heterogeneos com interface de descontinuidade da

condutividade hidraulica.

Para o escoamento do fluido livre, formulacoes de elementos finitos mistas classicas

derivadas a partir da introducao, via multiplicadores de Lagrange, da condicao de

incompressibilidade ao problema variacional associado a` equacao de Stokes, tambem

padecem das mesmas limitacoes na escolha de combinacoes estaveis dos espacos de

aproximacao. Diversos trabalhos sao apresentados nos quais diferentes formas de

estabilizacao conduzem a metodos de elementos finitos que permitem o emprego

de interpolacoes de mesma ordem, inclusive, para a aproximacao dos campos de

pressao e de velocidades. Dentre estes trabalhos, destacamos algumas estabilizacoes

de Petrov-Galerkin cujas caractersticas se adequam ao escopo da tese: os metodos

simetricos de HUGHES E FRANCA [14] e de KARAM [15] e o metodo adjunto de

DOUGLAS E WANG [16]. Como veremos, estes metodos possuem caractersticas

de estabilidade distintas, e sua analise constitui uma base importante para a apro-

ximacao do sistema de Stokes, bem como do sistema acoplado de Stokes-Darcy.

A maior parte das estrategias adotadas para a resolucao do problema acoplado

baseia-se em tecnicas de decomposicao de domnio, utilizando metodos originalmente

estaveis ou estabilizados para cada problema em particular. Contudo, a combinacao

de metodos estaveis para cada um dos problemas nem sempre e vantajosa, tanto do

ponto de vista de implementacao computacional quanto da ordem de convergencia


resultante, ja que estes podem utilizar interpolacoes de diferentes tipos, como a la-

grangiana para Stokes e a de Raviart-Thomas para Darcy como em [17, 18, 19], ou

de diferentes ordens, como os elementos de Taylor-Hood para Stokes e elementos

lineares ou quadraticos para Darcy, como em [20, 21, 22, 23]. Estrategias unifi-

cadas que utilizam os mesmos espacos de elementos finitos para Stokes e Darcy sao

apresentadas, por exemplo, em [24, 25, 26].

A partir da combinacao de formulacoes estabilizadas para o problema de Darcy

e estabilizadas, ou originalmente estaveis, para o problema Stokes, apresentamos

duas novas classes de formulacoes mistas estabilizadas unificadas para o escoamento

acoplado de Stokes-Darcy. A primeira classe permite o emprego de espacos de ele-

mentos finitos estaveis para o escoamento de Stokes, em ambos os domnios, preser-

vando globalmente as estimativas de convergencia para a velocidade na norma de

[H1()]2 e para a pressao na norma de L2(). Especificamente, consideramos o uso

de elementos de Taylor-Hood, que fornecem taxas de convergencia otimas nas nor-

mas citadas. A outra classe utiliza formulacoes estabilizadas para cada escoamento,

possibilitando a adocao de interpolacoes lagrangianas de mesma ordem, contnuas

para a velocidade e contnuas ou descontnuas para a pressao, tanto no domnio

do meio poroso quanto no domnio do fluido livre. Estas formulacoes representam

um avanco no sentido de metodos de elementos finitos gerais, precisos e flexveis

para a aproximacao do sistema acoplado. Embora estrategias iterativas como as

empregadas em [20, 27], por exemplo, possam ser utilizadas para a resolucao desta

formulacao acoplada, aqui apresentamos uma nova estrategia que permite a aproxi-

macao direta (nao iterativa) do sistema de equacoes diferenciais que modelam ambos

os escoamentos mais as condicoes de interface. Para tal propomos uma metodologia

como a adotada para a aproximacao em meios porosos com interface de descon-

tinuidade, a partir da incorporacao das restricoes sobre a interface entre o fluido

livre e o meio poroso, utilizando transformacoes lineares derivadas das condicoes de

interface. Esta estrategia resulta em um sistema global com a mesma estrutura de

um problema contnuo, podendo ser montado e resolvido utilizando as estrategias

usuais de implementacao de elementos finitos lagrangianos contnuos.


Organizacao da Tese

Um estudo sobre formulacoes variacionais abstratas e desenvolvido no Captulo

2 onde, apos apresentarmos a notacao que sera utilizada, resumimos resultados

classicos como o teorema de Lax-Milgram, o teorema de Babuska e o teorema de

Brezzi, desenvolvendo a teoria basica para a analise numerica dos metodos de ele-

mentos finitos estudados.

No Captulo 3 introduzimos o problema de Stokes, discutindo brevemente o

metodo de Galerkin aplicado a` formulacao mista classica, apresentando uma aproxi-

macao estavel, a partir do emprego dos elementos de Taylor-Hood, e as formulacoes

estabilizadas de Petrov-Galerkin desenvolvidas por HUGHES E FRANCA [14],

KARAM [15] e DOUGLAS E WANG [16], que permitem o emprego de elemen-

tos finitos lagrangianos, de mesma ordem inclusive, contnuos para a velocidade

e contnuos ou descontnuos para a pressao, escolhas inicialmente instaveis para o

metodo de Galerkin.

O Captulo 4 e dedicado ao estudo numerico do problema de Darcy. Apos re-

sumir os principais resultados das formulacoes de Galerkin em um e em dois campos,

mostrando suas limitacoes e apontando as causas de tais limitacoes, revemos algu-

mas formulacoes estabilizadas, revisitando a tecnica de Pos-Processamento Global

de LOULA et al. [3] (cuja origem e aqui associada a uma formulacao mista esta-

bilizada de mnimos quadrados), o metodo de mnimo estavel em H(div) H1()de LOULA E TOLEDO [11, 2] e a formulacao adjunta estavel em [L2()]2H1()de MASUD E HUGHES [12], a` qual mostramos ser equivalente a uma formulacao,

simetrica, de mnimos quadrados. Em seguida, apresentamos novas formulacoes

mistas estabilizadas simetricas, derivadas pela combinacao de resduos de mnimos

quadrados a`s formulacoes mistas de Galerkin, que preservam a caracterstica de

ponto de sela do problema original. Estas estabilizacoes incluem:

Uma formulacao em [H1()]2L2() que, assim como a formulacao de Galerkinpara o problema de Stokes, e estavel para os elementos de Taylor-Hood forne-

cendo taxas otimas de convergencia para a velocidade e o potencial (nestes

espacos) para estes elementos;


Uma formulacao incondicionalmente estavel em [H1()]2 H1() que, alemde permitir o uso de interpolacoes lagarangianas de mesma ordem para a

velocidade e para o potencial, resulta em taxas otimas de convergencia para

estas variaveis na norma de H1();

Ummetodo estavel em [H1()]2L2() que emprega interpolacoes lagrangianascontnuas para a velocidade e descontnuas para o potencial.

No Captulo 5 uma nova abordagem para a aproximacao do escoamento em

meios porosos com interface de descontinuidade da condutividade hidraulica e apre-

sentada, onde a solucao descontnua e aproximada por interpolacoes lagrangianas

contnuas, com uso dos metodos estabilizados apresentados. Esta abordagem faz

uso de transformacoes lineares derivadas das restricoes entre as velocidades sobre a

interface de descontinuidade e conduz a um sistema de equacoes algebricas lineares

com a mesma estrutura dos sistemas obtidos para problemas contnuos.

No Capulo 6 utilizamos a base desenvolvida ao longo da tese, para o estudo

numerico do escoamento acoplado de Stokes-Darcy, onde combinamos adequada-

mente formulacoes estabilizadas para o problema de Stokes e para o problema de

Darcy e utilizamos transformacoes lineares derivadas das condicoes de interface,

seguindo a metodologia introduzida no Captulo 5, para representar os campos de

velocidade e potencial descontnuos atraves de interpolacoes lagrangianas contnuas.

Finalmente, no Captulo 7, apresentamos as conclusoes da tese, tecendo co-

mentarios finais.

Captulo 2

Formulacoes Variacionais

Abstratas

Neste captulo, apos definir alguns conceitos e notacoes, apresentaremos resultados

classicos sobre formulacoes abstratas para problemas variacionais lineares, como o

teorema de Lax-Milgram, o teorema de Babuska e o teorema de Brezzi, desenvol-

vendo a teoria basica para a analise numerica dos metodos de elementos finitos que

serao utilizados neste trabalho.

2.1 Notacoes e Definicoes

Seja L2() o espaco das funcoes quadrado integraveis em , um subdomnio limitado

de R2 (nesta tese nos deteremos a` analise numerica de escoamentos bidimensionais)

tendo contorno Lipschitz contnuo. Para um dado inteiro m 0, denotaremospor Hm() o espaco de Hilbert de ordem m sobre , contendo funcoes v em L2()

tais que suas m-esimas derivadas, no sentido das distribuicoes, estejam em L2(),

isto e

Hm = {v L2();Dv L2(), || m}, onde

D() := ||()

1x1 2x2

, || = 1 + 2

9

CAPITULO 2 - Formulacoes Variacionais Abstratas 10

e = (1, 2) e um vetor de inteiros nao negativos. O produto interno em Hm()

e sua norma associada sao dados por

(v, w)m :=||m

Dv Dw d, vm = (v, v)1/2m .

Consideraremos ainda Hm0 () a intersecao entre Hm() e o conjunto de funcoes com

seu valor e de suas m 1 derivadas se anulando no contorno, e o espaco

H(div,) = H(div) ={u [L2()]2 ; divu L2()} , munido da norma

uH(div) :={u2 + divu2}1/2

alem de

H0(div) = {v H(div) ; v n = 0 sobre o contorno },

onde n denota o vetor normal unitario exterior a .

Definindo o operador rotacional de funcoes vetoriais em R2 como

rotu =u2x1

u1x2

temos o espaco

H(rot,) = H(rot) ={u [L2()]2 ; rotu L2()} , munido da norma

uH(rot) :={u2 + rotu2}1/2 .

O espaco H0() = L2() tem sua norma denotada por 0 = e o produtointerno por

(v, w) :=

vwd,

onde definimos tambem

L20() = L2()/R = {q L2(); (q, 1) = 0}.

Tomando U um espaco de Hilbert, designaremos sua norma por U. Normas

em espacos originados pelo produto de dois outros, como por exemplo U V seraodefinidas por:

{u, v}UV

:=(u2

U+ v2

V

)1/2 {u, v} U V. (2.1)


Uma outra definicao, dada por

{u, v}UV

:= uU+ v

V {u, v} U V (2.2)

tambem sera utilizada. Para as normas (2.1) e (2.2) vale a seguinte relacao de

equivalencia:

2

2{u, v}

UV {u, v}

UV {u, v}

UV {u, v} U V. (2.3)

Finalmente, denotamos por U o espaco dual de U .

2.1.1 Problemas Variacionais Lineares em Um Campo

Problemas variacionais lineares em um unico campo, livres de restricao, sao repre-

sentados abstratamente por

Problema U : Dada f U , encontrar u U tal que

a(u, v) = f(v) v U (2.4)

onde U e um espaco de Hilbert e a(, ) : UU R e uma forma bilinear. Para casosonde a forma bilinear e simetrica e positiva definida (ou U-elptica), este problemae equivalente ao seguinte problema de minimizacao:

Problema J : Determinar u U tal que

J(u) J(v) v U , com

J(v) =1

2a(v, v) f(v) v U . (2.5)

A analise da existencia e unicidade da solucao do Problema U segue pelo teorema

de Lax-Milgram:

Teorema 1 (Lax-Milgram) Se U e um espaco de Hilbert, f : U R um fun-cional linear contnuo e a : U U R e uma forma bilinear:

(i) Contnua: existe uma constante 0 < M


(ii) U-Elptica: existe uma constante > 0 tal que

|a(v, v)| v2U

v U (2.7)

entao o Problema U possui uma unica solucao.

Tomando U e V espacos de Banach, definindo uma forma bilinear B : UV Re um funcional linear F : V R, temos a seguinte formulacao variacional abstrata,mais geral que a anterior, para problemas em dois espacos:

Problema B : Dada F V , encontrar u U tal que

B(u, v) = F (v) v V. (2.8)

Problemas variacionais lineares escritos na forma do Problema B tem a analise da

existencia e unicidade de solucao baseada no teorema de Babuska [7], que tambem e

denominado por CAREY E ODEN [28] como teorema de Lax-Milgram Generalizado:

Teorema 2 (Babuska) Se U e V sao espacos de Banach, F : V R um funcionallinear contnuo em V e B : U V R e uma forma bilinear:

(B0) Contnua: existe uma constante 0 < M 0 e 2 > 0 tais que

supuU

|B(u, v)|u

U

1vV v V (2.10)

supvV

|B(u, v)|v

V

2uU u U (2.11)

entao o Problema B possui uma unica solucao u U e

uU 1

2F

V. (2.12)

1Em todas as expressoes que utilizarem a divisao por alguma norma, a admitiremos como

nao-nula.


2.1.2 Problemas Variacionais Lineares Mistos

A presenca de restricoes internas, como a condicao de incompressibilidade por exem-

plo, e comumente tratada atraves da tecnica de multiplicadores de Lagrange, onde o

multiplicador e incorporado como uma nova variavel do sistema. Como veremos, nos

casos dos escoamentos de Stokes e de Darcy, a pressao exerce tal papel, conduzindo

a um problema variacional formulado em dois campos, denominado de problema

misto. Nesta tese estudaremos formulacoes mistas postas na seguinte forma abstrata,

conforme BREZZI [8]

Problema M : Dadas f U e g P , encontrar o par {u, p} U P tal que

a(u, v) + b(v, p) = f(v) v Ub(u, q) = g(q) q P

(2.13)

onde U e P sao espacos de Hilbert, a : U U R e b : U P R sao formasbilineares contnuas e f : U R e g : P R sao funcionais lineares contnuos. Valeobservar que os elementos definidos neste problema nao necessariamente guardam

relacao com os definidos para o Problema U. Alem das normas

a = supu,vU

a(u, v)

uUv

U

, (2.14)

b = supvU ,qP

b(v, q)

vUq

P

, (2.15)

estas formas definem operadores lineares contnuos A : U U , B : U P eBt : P U dados por

Au, vU U = a(u, v) u, v U (2.16)

Bv, qP P =v, Btq

UU

= b(v, q) v U , q P. (2.17)

Quando a forma bilinear a(, ) e simetrica e elptica no subespaco

K(0) = {v U ; b(v, q) = 0 q P} , (2.18)

podemos associar ao Problema M o seguinte problema de minimizacao:


Problema JR : Determinar u K(g) que minimiza o funcional

J(v) =1

2a(v, v) f(v) em K(g)

com

K(g) = {v U ; b(v, q) = g(q) q P} . (2.19)

Utilizando a tecnica de multiplicadores de Lagrange, transformamos o Pro-

blema JR no seguinte problema de ponto de sela:

Problema L : Achar o par {u, p} U P, tal que

L(u, q) L(u, p) L(v, p) v U , q P (2.20)

onde L(v, q) e o funcional lagrangiano

L(v, q) = J(v) + (Bv g, q) (2.21)

em que q e o multiplicador de Lagrange

Apresentamos, a seguir, um teorema de existencia e unicidade especfico para esta

classe de problemas mistos. Para tal, introduzimos o seguinte problema reduzido:

Problema MR : Encontrar u K(g) tal que

a(u, v) = f(v) v K = kerB = K(0).

Verificamos que se {u, p} U P e a solucao do Problema M , entao u K(g)e solucao do Problema MR . A questao e estabelecer as condicoes para que a

recproca seja valida. Para tal, uma condicao adicional deve ser satisfeita de forma a

garantir a unicidade do multiplicador de Lagrange. Estas hipoteses sao apresentadas

pelo teorema de Brezzi [8]:

Teorema 3 (Brezzi) Considere

(H0) Continuidade de a e b : existem constantes 0 < M1,M2


(H1) K-Coercividade de a: existem constantes 1 > 0 e 2 > 0 tais que

supvK

|a(u, v)|v

U

1uU u K

supuK

|a(u, v)|u

U

2vU v K

onde

K = {u U ; b(u, q) = 0 q P}

(H2) Condicao de Ladyszhenskaya-Babuska-Brezzi (LBB): existe uma constante >

0 tal que

supvU

|b(v, q)|v

U

qP

q P

entao o Problema M possui uma unica solucao.

2.2 Metodo dos Elementos Finitos

Apresentaremos agora alguns resultados classicos da analise numerica do Metodo

dos Elementos Finitos (MEF) aplicado aos problemas variacionais definidos na secao

anterior. Estes resultados irao nortear as estimativas de erro dos proximos captulos,

onde a definicao dos espacos empregados para as aproximacoes permitira utilizar

resultados de interpolacoes e projecoes de modo a assegurar a convergencia das

formulacoes de elementos finitos empregadas.

2.2.1 Metodos Conformes para Problemas em Um Campo

Consideremos o Problema U, assumindo que o espaco U , a forma bilinear a(, ) e ofuncional linear f() satisfazem as hipoteses do teorema de Lax-Milgram. Tomandoum espaco de elementos finitos Uh de U , associamos ao Problema U o problemadiscreto:

Problema Uh : Encontrar uh Uh tal que

a(uh, vh) = f(vh) vh Uh. (2.22)


Este caso corresponde ao Metodo de Galerkin. Dizemos que uma aproximacao por

elementos finitos e conforme se Uh U . Um metodo e dito ser variacionalmenteconsistente se a solucao exata do problema satisfaz a sua formulacao de Galerkin.

Como o Problema U e formulado em um unico campo e nao possui restricoes

adicionais, o emprego de aproximacoes conformes transfere automaticamente as pro-

priedades de continuidade e elipticidade do problema contnuo para o discreto. Ou

seja, neste caso a existencia e unicidade da solucao aproximada sao herdadas do

problema contnuo. Alem disso, utilizando a consistencia variacional do Problema

Uh temos o seguinte resultado de limitacao para o erro:

Lema 1 (Cea [29]) Satisfeitas as hipoteses do Teorema 1, existe uma constante

C, independente do subespaco Uh, tal que

u uhU Cu vhU vh Uh. (2.23)

Neste lema C =M/, ondeM e sao as constantes de continuidade e de elipticidade

da forma bilinear a(, ). Em problemas onde a forma bilinear e simetrica, a constantedo lema de Cea e

M/, o que fornece uma estimativa melhor do que a do caso

geral, ja que M e sempre maior do que .

Tomemos agora aproximacoes conformes Uh U e Vh V, definindo o problemadiscreto associado ao Problema B como

Problema Bh : Encontrar uh Uh tal que

B(uh, vh) = F (vh) vh Vh. (2.24)

A analise do Problema B pelo teorema de Babuska implica em condicoes de

compatibilidade a serem satisfeitas pelos espacos U e V. Devido a este fato, aconformidade Uh U e Vh V nao garante a existencia e unicidade da solucaoaproximada. Assim, para a analise do Problema Bh, devemos verificar as contra-

partidas discretas do teorema de Babuska, ou seja: o Problema Bh tem uma unica

solucao uh Uh se B(, ) e uma forma bilinear contnua e se existem constantespositivas 1h e 2h tais que


supuhUh

|B(uh, vh)|uhU

1hvhV vh Vh (2.25)

supvhVh

|B(uh, vh)|vhV

2huhU uh Uh. (2.26)

Partindo da hipotese de que estas condicoes sao satisfeitas, temos a seguinte

limitacao para o erro:

u uhU (1 +

M

2h

)u whU wh Uh. (2.27)

A partir deste resultado, podemos estender o lema de Cea para as hipoteses do

teorema de Babuska, com C = (1 +M/2h) para este caso mais geral [7, 28].

2.2.2 Metodos Conformes para Problemas Mistos

Sejam Uh U e Ph P subespacos de elementos finitos conformes. Nestes subes-pacos, a aproximacao de Galerkin para o Problema M e:

Problema Mh : Encontrar o par {uh, ph} Uh Ph tal que

a(uh, vh) + b(vh, ph) = f(vh) vh Uhb(uh, qh) = g(qh) qh Ph,

(2.28)

e para o problema reduzido:

Problema MRh : Encontrar uh Kh(g) tal que

a(uh, vh) = f(vh) vh Kh = Kh(0), com

Kh(g) = {vh Uh; b(vh, qh) = g(qh) qh Ph} . (2.29)

Aqui a restricao se da sobre um subespaco de U , enquanto em (2.19) ela se dasobre todo U . Assim, exige-se mais das funcoes que pertencam a K(g), resultandono fato de que Uh U e Ph P nao garante Kh(g) K(g) e, portanto, o Pro-blema MRh e em geral uma aproximacao nao conforme para o Problema MR.

Contrariamente a`s aproximacoes conformes para o Problema U, que herdam a


elipticidade do problema contnuo, a K-coercividade e a LBB nao sao transferidas

do problema contnuo para o discreto. Portanto o estudo da existencia e unicidade

de solucao do Problema Mh depende das contrapartidas discretas das condicoes

do teorema de Brezzi, expressa pelo seguinte teorema:

Teorema 4 Se as seguintes hipoteses sao verificadas:

(i) Kh(g) e nao-vazio;

(ii) a forma bilinear a(, ) e Kh-Coerciva, isto e, existem constantes 1h > 0 e2h > 0 tais que

supvhKh

|a(uh, vh)|vhU

1huhU uh Kh

supuhKh

|a(uh, vh)|uhU

2hvhU vh Kh;

(iii) os espacos Uh e Ph satisfazem a condicao de compatibilidade de Ladyszhenskaya-Babuska-Brezzi (LBB discreta), isto e, existe uma constante h > 0 tal que

supvhUh

|b(vh, qh)|vhU

hqhP qh Ph (2.30)

entao o Problema Mh possui uma unica solucao {uh, ph} Uh Ph, e vale aestimativa:

u uhU + p phP [(

1 +ah

)(1 +

bh

)+ah

]u vhU (2.31)

+

[(1 +

bh

)+bh

]p qhP vh Uh qh Ph.

A demonstracao deste teorema pode ser encontrada, por exemplo, em [8], [9]

e [30]. Assim como para os problemas estudados pelo teorema de Babuska, aqui

a demonstracao das hipoteses para os problemas contnuos indicam caminhos para

a prova das contrapartidas discretas. Numa notacao mais compacta, escreveremos

(2.31) como

u uhU + p phP CB1 u vhU + CB2 p qhP vh Uh qh Ph.


Utilizando a definicao (2.1) para a norma no espaco produto U P, podemos aindaescrever (2.31) como:

{u, p}{uh, ph} UP C {u, p}{vh, qh} UP {vh, qh} UhPh, (2.32)

com C =2max{CB1 , CB2 }. Este resultado pode ser visto como o lema de Cea para

problemas analisados pelo teorema de Brezzi.

Captulo 3

Metodos de Elementos Finitos

Para o Escoamento de Stokes

Neste captulo apresentamos o problema de Stokes, que constitui o sistema de

equacoes diferenciais parciais utilizado para a modelagem do escoamento do flu-

ido livre, e estudamos a aplicacao de metodos de elementos finitos existentes na lite-

ratura, para a sua resolucao. Dentre estes metodos, apresentamos uma aproximacao

de Galerkin estavel e discutimos algumas formulacoes estabilizadas de Petrov-Galer-

kin que permitem o emprego de elementos finitos de mesma ordem para a velocidade

e a pressao, escolha inicialmente instavel para o metodo de Galerkin. Ao final, apre-

sentamos um estudo numerico para aferir a estabilidade e as taxas de convergencia

dos metodos estudados. Esta base sera utilizada na elaboracao de metodos de ele-

mentos finitos estabilizados para a resolucao do sistema acoplado, conforme apre-

sentaremos no Captulo 6.

3.1 Escoamento de Stokes

O escoamento lento de um fluido newtoniano incompressvel e comumente modelado

pelas equacoes de Stokes. Nesta secao procederemos sua obtencao, a partir das leis

de conservacao de massa e momento linear e da equacao constitutiva para fluidos

newtonianos, destacando as hipoteses simplificadoras adotadas.

20

CAPITULO 3 - Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 21

3.1.1 O Problema de Stokes

Seja um fluido newtoniano de massa especfica : I R, viscosidade dinamica : I R e viscosidade volumetrica : I R, que ocupa um domnio Rd (d = 2, 3), escoando com velocidade u : I Rd (onde I e um intervalode tempo) e pressao hidrostatica p : I R. Este escoamento e basicamenterepresentado pelo sistema de equacoes diferenciais parciais composto por:

Conservacao do momento linear

div + f =

[u

t+ (u)u

]; (3.1)

Conservacao da massa

t+ div (u) = 0; (3.2)

Lei constitutiva para fluidos newtonianos

= (divu p) I+ 2D(u) (3.3)

onde

D(u) =1

2

(u+uT ) (3.4)e o tensor taxa de deformacao;

Equacao de estado1, relacionando e p

= (p). (3.5)

Para maiores detalhes, sugerimos a leitura das referencias [31] e [32]. A equacao

(3.1) e a extensao da segunda lei de Newton para sistemas contnuos, onde e o

tensor de tensoes (ou de Cauchy) para o fluido e o primeiro termo expressa as forcas

de contato, enquanto o segundo termo e devido a`s forcas de corpo e o termo do lado

direito expressa a taxa de variacao do momento linear do sistema. De uma forma

1Consideramos que o escoamento se da em regime isotermico.


simplificada, os fluidos newtonianos podem ser definidos como aqueles em que a

tensao cisalhante e diretamente proporcional a` taxa de deformacao [33] e, de uma

forma mais geral [31], os caracterizamos pela equacao constitutiva (3.3).

Neste trabalho, estamos interessados em escoamentos estacionarios e lentos de

fluidos newtonianos incompressveis, de forma que hipoteses simplificadoras sao em-

pregadas sobre as equacoes (3.1), (3.2) e (3.3), conduzindo ao sistema de equacoes

diferenciais parciais que denominaremos de sistema de Stokes ou problema de Stokes.

Tais hipoteses sao:

(S1) Fluido newtoniano incompressvel: um fluido incompressvel possui a massa

especfica constante, ou seja:

D

Dt

t+ u = 0

o que aplicado a`s equacoes (3.2) e (3.3) fornece, respectivamente,

divu = 0

e

= pI + 2D(u). (3.6)

(S2) Escoamento estacionario:

u

t= 0.

(S3) Escoamento lento: neste tipo de escoamento as forcas viscosas predominam

em relacao a`s de inercia (baixo numero de Reynolds) de forma que o termo

convectivo da equacao (3.1) pode ser desprezado o que, aliado a` hipotese an-

terior, conduz a` seguinte forma linearizada para a conservacao do momento

linear:

div + f = 0. (3.7)

Tomando a viscosidade constante e substituindo (3.6) em (3.7), temos o seguinte

problema de valor de contorno:


Problema de Stokes : Dadas a viscosidade , uma funcao densidade de

fonte f : Rd e uma funcao u : Rd, encontrar a pressao hidrostaticap : R e a velocidade do fluido u : Rd tais que:

2 div D(u) +p = f em (3.8)

divu = 0 em (3.9)

com condicao de contorno

u = u sobre (3.10)

onde

D(u) =1

2

(u+uT )

e a funcao u satisfaz a condicao de compatibilidade

u nd = 0,

que expressa o balanco do fluxo atraves de sua fronteira, associado a` incompressibi-

lidade do fluido.

Substituindo (3.4) em (3.8), utilizando a identidade div uT = divu e acondicao de incompressibilidade (3.9), podemos escrever o Problema de Stokes

na seguinte forma equivalente:

Problema de Stokes : Encontrar a pressao hidrostatica p e a velocidade do

fluido u tais que:

u+p = f em (3.11)

divu = 0 em (3.12)

com condicao de contorno

u = u sobre . (3.13)


3.1.2 Formulacao Variacional

Para apresentar a formulacao variacional do Problema de Stokes, admitiremos

condicoes de contorno de nao-deslizamento (u = 0) sobre toda a fronteira e

nos restringiremos ao caso bidimensional, definindo os espacos U = [H10 ()]2 para avelocidade e P = L20() para a pressao. Multiplicando a equacao (3.12) por q P , aequacao (3.11) por v U , integrando por partes e utilizando a condicao de contorno,temos

Problema SV : Encontrar o par {u, p} U P tal que

2(D(u),D(v)) (divv, p) = (f ,v) v U(divu, q) = 0 q P

(3.14)

ou, abstratamente segundo a forma estudada pelo teorema de Brezzi

aS(u,v) + b(v, p) = f(v) v Ub(u, q) = 0 q P

(3.15)

com

aS(u,v) = 2(D(u),D(v)), b(u, q) = (divu, q) e f(v) = (f ,v).(3.16)

O Problema SV possui uma unica solucao, garantida pelo teorema de Brezzi

(Teorema 3). A forma bilinear aS(, ) e coerciva em todo o espaco U , fato demons-trado com o uso da desigualdade de Korn

D(u) Cu u U (3.17)

e da desigualdade de Poincare

u Cu u U . (3.18)

Com isso, a condicao (H1), ou coercividade no espaco reduzido, e satisfeita como

consequencia direta. A LBB condicao (H2) segue pelo fato de que para todo

q P sempre e possvel escolher um elemento v de U tal que

divv = q, com v1 Cq.

Para maiores detalhes, ver GIRAULT E RAVIART [30].


3.2 Aproximacoes por Elementos Finitos

Tomemos {Th} uma famlia de malhas Th = {e} de , indexada pelo parametroh que representa o diametro maximo dos elementos e Th. Sejam entao Uh Ue Ph P espacos de elementos finitos conformes. Com isso podemos apresentara aproximacao por elementos finitos do metodo de Galerkin, a` qual chamaremos

simplesmente de metodo de Galerkin, aplicado ao Problema SV como

Problema Sh : Encontrar o par {uh, ph} Uh Ph tal que

aS(uh,vh) + b(vh, ph) = f(vh) vh Uhb(uh, qh) = 0 qh Ph

(3.19)

segundo a definicao em (3.16).

Como discutido na Secao 2.2, a adocao de espacos de elementos finitos conformes

nao garante que as propriedades do problema contnuo sejam transferidas para o

problema discreto. No caso do Problema Sh, a dificuldade reside em encontrar

espacos de elementos finitos que verifiquem a contrapartida discreta da LBB, repre-

sentada pela equacao (2.30). Ou seja, a questao da aproximacao de Galerkin para

o Problema de Stokes e encontrar espacos de elementos finitos para a velocidade

e para a pressao que sejam LBB-estaveis. Escolhas naturais como elementos la-

grangianos de mesma ordem podem resultar em oscilacoes para a pressao bem como

no fenomeno de trancamento do campo de velocidades. Experimentos demonstrando

estas patologias podem ser encontrados, por exemplo, em [15, 34].

No Captulo 6 apresentaremos novas formulacoes de elementos finitos desenvolvi-

das para a aproximacao do escoamento acoplado de um fluido livre com um meio

poroso por ele saturado. Tais formulacoes serao obtidas pela combinacao de metodos

de elementos finitos estabilizados para o escoamento no meio poroso tema de es-

tudo do Captulo 4 com metodos estaveis ou estabilizados para o escoamento de

Stokes. Neste sentido, apresentamos a seguir uma formulacao de elementos finitos

estavel e formulacoes estabilizadas de Petrov-Galerkin existentes na literatura, para

a aproximacao do sistema de Stokes.


3.2.1 Um Metodo de Galerkin Estavel

Seja Skh o espaco de elementos finitos lagrangianos C0() de grau k 1 em cada va-riavel espacial para elementos quadrilaterais e em ambas as variaveis para elementos

triangulares:

Skh = {h C0(); h|e Pk,k(e) e Th} para quadrilateros eSkh = {h C0(); h|e Pk(e) e Th} para triangulos,

(3.20)

onde Pk,k(e) e o conjunto dos polinomios definidos em e, com graus menores ou

iguais a k nas variaveis espaciais x1 e x2, respectivamente, e Pk(e) e o conjunto dos

polinomios definidos em e, com graus menores ou iguais a k em x1x2. Alem deste

espaco, utilizaremos tambem o espaco de elementos finitos lagrangianos descontnuos

de grau k 0 dado por:

Skh = {vh L2(); vh|e Pk,k(e) e Th} para quadrilateros eSkh = {vh L2(); vh|e Pk(e) e Th} para triangulos.

(3.21)

O emprego dos espacos de Taylor-Hood

Uk+1h = [Sk+1h ]2 U e Pkh = Skh P (3.22)

no Problema Sh, resulta em aproximacoes estaveis (ver, por exemplo, VERFURTH

[35]) e, segundo a equacao (2.31), temos a seguinte limitacao para o erro:

uuhU+pphP C(u vhU + p qhP) {vh, qh} Uk+1h Pkh (3.23)

com C independente de h.

Para os espacos Skh() e valida a seguinte propriedade de interpolacao, cuja provapode ser encontrada em [36, 37]:

Teorema 5 (Interpolacao) Para toda funcao Hm+1() existe uma constanteC, independente de h, e uma projecao h Skh tais que

h+ hh Chm+1 ||m+1 para 1 m k (3.24)

A partir do uso do Teorema 5 em (3.23) temos, para solucoes suficientemente

regulares, as seguintes estimativas de erro para as aproximacoes de Taylor-Hood

p ph Chk+1 (|u|k+2 + |p|k+1) (3.25)


u uh1 Chk+1 (|u|k+2 + |p|k+1) (3.26)

cujas taxas de convergencia sao otimas para a pressao na norma de L2() e para a

velocidade na norma de H1(). Utilizando argumentos de dualidade, taxas otimas

para a velocidade na norma de L2() tambem sao verificadas (ver, por exemplo,

[35, 38]), segundo a estimativa

u uh Chk+2 (|u|k+2 + |p|k+1) . (3.27)

3.2.2 Formulacoes Estabilizadas

Devido ao seu amplo desenvolvimento durante as duas ultimas decadas, dentre as

diversas formulacoes estabilizadas para este problema, discutiremos aqui apenas al-

gumas estabilizacoes de Petrov-Galerkin, cujas caractersticas se adequam ao escopo

da tese.

A base da construcao dos metodos estabilizados de Petrov-Galerkin para um pro-

blema geral e a combinacao de resduos, a nvel dos elementos, das equacoes diferen-

ciais que governam o problema (geralmente multiplicados por termos dependentes

do parametro de malha) com a sua formulacao de Galerkin. Estas combinacoes

visam a obtencao de formulacoes variacionalmente consistentes com propriedades

de estabilidade superiores a`s da aproximacao original. Exemplos classicos sao o

metodo SUPG (Streamline Upwind/Petrov-Galerkin) introduzido por BROOKS E

HUGHES [6] para a estabilizacao de problemas predominantemente convectivos, e

os trabalhos de LOULA et al. [39, 40] aplicados a` teoria da viga de Timoshenko.

Quando aplicados a`s formulacoes mistas, como na ultima referencia citada, estes

metodos procuram satisfazer ou contornar as condicoes impostas pelo teorema de

Brezzi, conforme destacado por FRANCA E HUGHES [41] e por FRANCA [42].

A primeira aplicacao de um metodo de Petrov-Galerkin a um problema misto foi

justamente no contexto da estabilizacao do problema de Stokes, onde HUGHES et

al. [43] propoem uma formulacao nao-simetrica, dada por

Problema HFB: Encontrar o par {uh, ph} Uh Ph tal que {vh, qh}


Uh Ph

2 (D(uh),D(vh)) (divvh, ph) + (divuh, qh)

+ eTh

h2e (2divD(uh) +ph,qh)e

= (f ,v) + eTh

h2e (f ,qh)e (3.28)

onde e uma constante positiva, he e um parametro representativo do tamanho do

elemento, e utilizamos a notacao

(, )e =

ed. (3.29)

Esta formulacao possui estabilidade superior a` da formulacao de Galerkin, e em [43]

e provada convergencia para quaisquer combinacoes de interpolacoes C0() para a

velocidade e a pressao. Em particular, tais resultados se aplicam a interpolacoes de

mesma ordem. Para a escolha Uh = U lh e Ph = Pkh , temos a estimativa

u uh21 + eTh

h2epph2 C1h2lu2l+1 + C2h2(k+1)p2k+1. (3.30)

Esta estimativa indica que a escolha de interpolacoes lineares ou bilineares para

ambas as variaveis (l = k = 1) conduz apenas a` limitacao do gradiente da pressao.

Contudo os autores conjecturam taxa de convergencia linear para a pressao na norma

de L2(). Um questao relevante para este metodo e a escolha do parametro . Neste

caso ha a limitacao

0 < < C (3.31)

onde C e uma constante dependente da constante CI da seguinte estimativa inversa

CIeTh

h2e divD(vh)2e D(vh)2 vh U lh

com

2e = (, )e . (3.32)

Um comentario final para esta formulacao e que ha ainda a possibilidade do uso

de interpolacoes descontnuas para a pressao, dadas pela definicao do espaco

Pkh = Skh P


com Skh definido em (3.21). Esta escolha, indicada mas nao analisada em [43],nao garante estabilidade superior a` da formulacao de Galerkin. Neste sentido,

HUGHES E FRANCA apresentam em [14] um metodo convergente para quais-

quer combinacoes de interpolacoes contnuas para a velocidade com interpolacoes

contnuas ou descontnuas para a pressao. Este metodo preserva a simetria da for-

mulacao de Galerkin por ser baseado na combinacao do resduo de mnimos quadra-

dos da equacao de Stokes (3.8), fornecendo:

Problema HF: Encontrar o par {uh, ph} U lhPh tal que {vh, qh} U lhPh

2 (D(uh),D(vh)) (divvh, ph) (divuh, qh)

eTh

h2e (2divD(uh) +ph,2divD(vh) +qh)e

eh

h[p], [q]e (3.33)

= (f ,v) eTh

h2e (f ,2divD(vh) +qh)e (3.34)

onde Ph = Pkh ou Ph = Pkh , e sao parametros positivos, h representa a colecaodas interfaces dos elementos, [p] e o salto de p ao longo da interface e (identicamente

nulo para escolha Ph = Pkh) e h e o comprimento ou diametro desta interface.A existencia do termo de salto da pressao resulta no acoplamento desta variavel

entre elementos vizinhos, nao permitindo sua eliminacao ao nvel do elemento. Neste

caso, como ressaltam FRANCA et al. em [44], nao ha motivos para a escolha

de interpolacoes descontnuas ao inves de contnuas para a pressao. Contudo e

demonstrado em [38] que para a escolha de interpolacoes de grau l 2 (l = 3 paratetraedros) para a velocidade, este termo de salto nao e necessario.

Verificando ao menos uma das condicoes l 2 ou Ph = Pkh , a seguinte estimativade erro em U lhPh pode ser demonstrada para esta formulacao estabilizada [38, 44]

u uh1 + p ph C(hl |u|l+1 + hk+1 |p|k+1

)(3.35)

desde que a solucao exata satisfaca u [H l+1()]2 e p Hk+1(). Considerandoainda que a solucao e regular de forma que seja valida a desigualdade

u2 + p1 Cf, (3.36)


FRANCA E STENBERG mostram em [38] a seguinte estimativa otima na norma

de L2() para a velocidade:

u uh C(hl+1|u|l+1 + hk+2|p|k+1

).

Apesar de possuir caractersticas de estabilidade superiores a`s da formulacao de

Galerkin e a`s da formulacao de HUGHES et al. [43], este metodo tambem possui

uma limitacao para a escolha do parametro , segundo a` condicao de estabilidade

(3.31) (excecao feita ao emprego de elementos lineares para ambas as variaveis, que

e livre deste limite superior). Como forma de evitar esta condicao de estabilidade

DOUGLAS E WANG apresentam em [16] a seguinte formulacao

Problema DW: Encontrar o par {uh, ph} U lh Ph tal que {vh, qh} U lh Ph

2 (D(uh),D(vh)) (divvh, ph) + (divuh, qh)

+ eTh


+ eh

h[p], [q]e (3.37)

= (f ,v) + eTh


onde a simetria do problema e abandonada em favor de melhores caractersticas de

estabilidade para aproximacoes de alta ordem. Neste caso a estabilidade e provada

a partir da consideracao > 0 e > 0. Pela troca do sinal da funcao peso q,

podemos apresentar a forma equivalente

2 (D(uh),D(vh)) (divvh, ph) (divuh, qh)

eTh

h2e (2divD(uh) +ph, 2divD(vh) +qh)e

eh

h[p], [q]e

= (f ,v) eTh

h2e (f , 2divD(vh) +qh)e

onde fica claro que no metodo de DOUGLAS E WANG [16] a estabilizacao se deve

a` combinacao do resduo adjunto da equacao de Stokes, enquanto na formulacao de


HUGHES E FRANCA [14], a estabilidade adicional e fornecida pela combinacao do

resduo de mnimos quadrados desta equacao.

Novamente verificando ao menos uma das condicoes l 2 ou Ph = Pkh , e con-siderando que a solucao seja suficientemente regular, encontramos em [44] a seguinte

estimativa de erro em U lh Ph para a formulacao de DOUGLAS E WANG:

u uh1 + p ph C(hl|u|l+1 + hk+1|p|k+1

). (3.39)

Em [16] encontramos ainda prova da estimativa otima em L2() para a velocidade:

u uh Chl+1 (ul+1 + pl) .

Devemos observar que para elementos lineares (triangulos) a formulacao GLS de

HUGHES E FRANCA [14] e a formulacao adjunta de DOUGLAS E WANG [16]

coincidem.

O fato do termo de salto para a pressao nao ser necessario para l 2 ja havia sidopreviamente explorado por KARAM [15] e por KARAM E LOULA [45] que, atraves

de uma aplicacao adequada da teoria de Babuska-Brezzi, apresentam e analisam a

seguinte formulacao simetrica com velocidade contnua e pressao descontnua:

Problema KL: Encontrar o par {uh, ph} U lhPkh tal que {vh, qh} U lhPkh

2 (D(uh),D(vh)) (divvh, ph) (divuh, qh) + (divuh, divvh)

+ eTh


= (f ,v) + eTh


onde e sao parametros estritamente positivos. Esta formulacao de Galerkin

Mnimos Quadrados (GLS) difere da de HUGHES E FRANCA [14] principalmente

pelo sinal positivo que multiplica o resduo de mnimos quadrados da equacao de

Stokes e pela estabilidade adicional fornecida pelo resduo de mnimos quadrados da

condicao de incompressibilidade (3.9). Esta combinacao de resduos confere maior

robustez quanto a` escolha dos parametros de estabilizacao, quando comparada ao

metodo de HUGHES E FRANCA [14] (ver, por exemplo, [46, 45]), estando livre


de limites superiores como o expresso pela desigualdade (3.31). Em [47], os resul-

tados de KARAM [15] e KARAM E LOULA [45] sao estendidos, sendo provada a

convergencia do metodo para o uso interpolacoes contnuas para a pressao, onde a

verificacao de ao menos uma das condicoes l 2 ou Ph = Pkh conduz a` seguinteestimativa de erro em U lh Ph:

u uh1 + p ph C(hl|u|l+1 + hk+1|p|k+1

). (3.41)

Alem do mais, estimativas otimas para a velocidade sao derivadas, fornecendo

u uh C(hl+1|u|l+1 + hk+2|p|k+1

)

desde que valha a regularidade expressa em (3.36).

Observacao 3.1 Os metodos que empregam interpolacoes descontnuas para a pres-

sao, sem a adicao de termos de salto, permitem que esta variavel seja eliminada a

nvel do elemento. Para tal, utilizamos neste trabalho a adicao de uma pequena

compressibilidade, do tipo

(divuh, qh) = (ph, qh). (3.42)

onde e um parametro pequeno. Para maiores detalhes da estrategia de penalizacao

associada a este procedimento, ver [34].

Observacao 3.2 Para a apresentacao da pressao descontnua, KARAM [15] sugere

o uso de um pos-processamento, a partir da resolucao de um problema de mnimos

quadrados. Este procedimento conduz a um campo de pressoes suavizado e unica-

mente determinado nos pontos nodais da malha. Optamos por apresentar os resul-

tados descontnuos que, como veremos, indicam melhor a estabilidade dos metodos.

3.2.3 Um Estudo Numerico

Diversos estudos numericos sao apresentados nas referencias [14, 15, 43, 46], demons-

trando as caractersticas de estabilidade e convergencia dos metodos apresentados.


Nesta secao realizamos um estudo de convergencia, com o objetivo de testar numeri-

camente os metodos que serao utilizados no Captulo 6 para o desenvolvimento de

formulacoes estabilizadas para o problema acoplado. Denominaremos tais metodos

como:

HF: metodo GLS de HUGHES E FRANCA [14];

DW: metodo adjunto de DOUGLAS E WANG [16] e

KL: metodo GLS de KARAM [15] e KARAM E LOULA [45].

Neste estudo tomamos o problema de Stokes dado pelas equacoes (3.8-3.10) em

um domnio retangular = [0.0, 1.0] [0.5, 1.0], com

f =

(1 + 1/(42)) sin x exp(y/2)(2 1/(2)) cosx exp(y/2)

cuja solucao exata e

u =

1/(22) sin x exp(y/2)

1/ cosx exp(y/2)

(3.43)

p = 1cos x exp(y/2). (3.44)

O estudo sera dividido em duas partes. Na primeira serao analisadas as carac-

tersticas de estabilidade e convergencia dos metodos estabilizados a partir do em-

prego de interpolacoes contnuas para a pressao. Sera analisado tambem o metodo

de Galerkin com elementos de Taylor-Hood biquadraticos para a velocidade e biline-

ares para a pressao (Q2Q1). Na segunda parte serao estudadas as aproximacoes com

o emprego de interpolacoes descontnuas para a pressao. Em todos os experimen-

tos sao prescritas condicoes de contorno de Dirichlet para a velocidade, utilizando

(3.43).

Interpolacoes Contnuas para a Pressao

As solucoes aproximadas foram obtidas com o uso de malhas de 8 4, 16 8,32 16 e 64 32 elementos Q1Q1 e de 4 2, 8 4, 16 8 e 32 16 elementos


Q2Q2 e de Taylor-Hood Q2Q1. Para a integracao numerica, foi utilizada integracao

por quadratura gaussiana com 4 4 pontos. Em todos os metodos, foi adotadoo parametro de estabilizacao = 0.1, alem de = 1.0 para o metodo KL. Para

eliminar a indeterminacao da pressao, caracterstica de problemas de Dirichlet como

este exemplo, utilizamos ainda uma pequena compressibilidade, como em (3.42),

com = 108.

Nos graficos de convergencia sao apresentadas as curvas do log da norma L2()

dos erros versus log(h). Os resultados para a pressao com o uso dos elementosQ1Q1 sao apresentados na Figura 3.1. Taxas de convergencia acima das esperadas

pelas estimativas (3.35) e (3.39) sao obtidas para os metodos HF e DW: O(h1.5)

para pph e O(h0.5) para pph. Ja o metodo KL apresenta forte sensibili-dade a` escolha dos parametros de estabilizacao, fornecendo solucoes instaveis para a

pressao para a adocao = 0.1 e = 1.0, com elementos Q1Q1. Em verdade, varias

outras escolhas foram testadas; porem, todas indicaram uma fraca estabilidade.

Esta ausencia de estabilidade tem reflexo sobre a aproximacao da velocidade, como

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

log||

erro||

-log(h)

Formulacoes com PC: STOKES Q1Q1; PRESSAO

1.5

1

HF DW KL

(a)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

log||

erro||

-log(h)

Formulacoes com PC: STOKES Q1Q1; GRADIENTE DA PRESSAO

0.51

HF DW KL

(b)

Figura 3.1: Formulacoes para Stokes com pressao contnua: elementos Q1Q1; (a)

pressao e (b) gradiente da pressao.

mostra a Figura 3.2. Embora os erros para o metodo KL sejam proximos dos obtidos

pelos metodos HF e DW, eles indicam uma convergencia nao-uniforme, enquanto os


outros metodos apresentam taxas de convergencia rigorosamente de acordo com as

esperadas pela analise: O(h2.0) para u uh e O(h1.0) para uuh.

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

log||

erro||

-log(h)

Formulacoes com PC: STOKES Q1Q1; VELOCIDADE

2

1

HF DW KL

(a)

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

log||

erro||

-log(h)

Formulacoes com PC: STOKES Q1Q1; GRADIENTE DA VELOCIDADE

1

1

HF DW KL

(b)


velocidade e (b) gradiente da velocidade.

Para ilustrar os resultados, nas Figuras 3.3, 3.4 e 3.5 sao comparadas as solucoes

dos metodos DW e KL, obtidas a partir do emprego de uma malha de 16 8elementos Q1Q1. A solucao do metodo HF e inteiramente similar a` do metodo DW.

Os resultados para a pressao com elementos Q2Q2 sao apresentados na Figura

3.6. Eles indicam que todos os metodos fornecem as taxas de convergencia subotimas

O(h2.0) para p ph e O(h1.0) para pph, como esperado pela analise.Os graficos para a velocidade com elementos Q2Q2, apresentados na Figura 3.7,

mostram que o erro para os tres metodos e praticamente o mesmo, conduzindo a`s

taxas otimas de convergencia O(h3.0) para u uh e O(h2.0) para u uh.Para ilustrar2 a pressao precisamente aproximada, apresentamos na Figura 3.8 a

solucao dos metodos DW e KL para malha de 8 4 elementos Q2Q2.Para concluir a primeira parte do estudo, apresentamos os resultados para os ele-

mentos de Taylor-Hood Q2Q1. Como vimos, este elemento conduz a aproximacoes

2Ao longo da tese, a representacao das solucoes obtidas por elementos biquadraticos se dara

pela sua subdivisao em quatro elementos bilineares.


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 0.60.8

1

1

0.5

0

0.5

1

YX

P

(a)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 0.60.8

1

1

0.5

0

0.5

1

YX

P

(b)

Figura 3.3: Problema de Stokes; Pressao aproximada com uma malha de 16 8elementos Q1Q1: (a) DW e (b) KL.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 0.60.8

1

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

YX

Ux

(a)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 0.60.8

1

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

YX

Ux

(b)

Figura 3.4: Problema de Stokes; Componente na direcao x da velocidade aproximada

com uma malha de 16 8 elementos Q1Q1: (a) DW e (b) KL.


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 0.60.8

1

1

0.5

0

0.5

1

YX

Uy

(a)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 0.60.8

1

1

0.5

0

0.5

1

YX

Uy

(b)

Figura 3.5: Problema de Stokes; Componente na direcao y da velocidade aproximada

com uma malha de 16 8 elementos Q1Q1: (a) DW e (b) KL.

-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

log||

erro||

-log(h)

Formulacoes com PC: STOKES Q2Q2; PRESSAO

2

1

HF DW KL

(a)

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

log||

erro||

-log(h)

Formulacoes com PC: STOKES Q2Q2; GRADIENTE DA PRESSAO

1

1

HF DW KL

(b)


pressao e (b) gradiente da pressao.


-6.5

-6

-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

log||

erro||

-log(h)

Formulacoes com PC: STOKES Q2Q2; VELOCIDADE

3

1

HF DW KL

(a)

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6lo

g||err

o||-log(h)

Formulacoes com PC: STOKES Q2Q2; GRADIENTE DA VELOCIDADE

2

1

HF DW KL

(b)


velocidade e (b) gradiente da velocidade.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 0.60.8

1

1

0.5

0

0.5

1

YX

(a)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 0.60.8

1

1

0.5

0

0.5

1

YX

(b)

Figura 3.8: Problema de Stokes; Pressao aproximada com uma malha de 8 4elementos Q2Q2: (a) DW e (b) KL.


estaveis para o metodo de Galerkin. Assim, e interessante analisar o efeito das dife-

rentes estabilizacoes sobre uma aproximacao que e inicialmente estavel. Os graficos

para a pressao e para a velocidade apresentados na Figuras 3.9 e 3.10, respectiva-

mente, mostram que que todos os metodos estabilizados preservam a boa aproxi-

macao do metodo de Galerkin com elementos de Taylor-Hood.

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

log||

erro||

-log(h)

Formulacoes com PC: STOKES + Taylor-Hood; PRESSAO

2

1

HF DW KL

GALERKIN

(a)

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

log||

erro||

-log(h)

Formulacoes com PC: STOKES + Taylor-Hood; GRADIENTE DA PRESSAO

1

1

HF DW KL

GALERKIN

(b)

Figura 3.9: Formulacoes para Stokes com pressao contnua: elementos de Taylor-

Hood Q2Q1; (a) pressao e (b) gradiente da pressao.

Interpolacoes Descontnuas para a Pressao

Para o estudo de estabilidade e convergencia dos metodos estabilizados com pressao

descontnua, adotamos malhas de 4 2, 8 4, 16 8 e 32 16 elementos Q2Q2e Q2Q1, onde denotamos as interpolacoes descontnuas com subndices negativos.

Para a integracao numerica, foi utilizada integracao por quadratura gaussiana com

33 pontos. Novamente foi adotado o parametro de estabilizacao = 0.1 em todosos metodos, alem de = 1.0 para o metodo KL. Para a eliminacao da pressao ao

nvel do elemento, utilizamos = 109 em (3.42).

Os resultados para a pressao e para a velocidade, com o uso de elementos Q2Q2

sao apresentados nas Figuras 3.11 e 3.12, respectivamente. Eles indicam excelente

estabilidade para todos os metodos, fornecendo taxas de convergencia em acordo


-6.5

-6

-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

log||

erro||

-log(h)

Formulacoes com PC: STOKES + Taylor-Hood; VELOCIDADE

3

1

HF DW KL

GALERKIN

(a)

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

log||

erro||

-log(h)

Formulacoes com PC: STOKES + Taylor-Hood; GRADIENTE DA VELOCIDADE

2

1

HF DW KL

GALERKIN

(b)

Figura 3.10: Formulacoes para Stokes com pressao contnua: elementos de Taylor-

Hood Q2Q1; (a) velocidade e (b) gradiente da velocidade.

com sua analise: O(h2.0) para p ph, O(h1.0) para p ph, O(h3.0) parau uh e O(h2.0) para uuh.

Contudo, as taxas de convergencia obtidas para o elemento Q2Q2 sao subotimas

para a pressao, o que nos motiva a estudar a estabilidade dos metodos com o em-

prego do elemento Q2Q1. Os resultados para a aproximacao da pressao, apresen-

tados na Figura 3.13 mostram que as mesmas taxas obtidas para o elemento Q2Q2

sao fornecidas para o elemento Q2Q1. Nestes graficos pode ser notada uma nao

uniformidade na convergencia do metodo HF. Este mesmo comportamento e verifi-

cado na Figura 3.14, onde apresentamos os resultados para a velocidade. Neste caso

o metodo de DW apresenta, novamente, estabilidade superior a` dos metodos HF e

KL.

Finalmente, ilustramos na Figura 3.15 a pressao aproximada, sem pos processa-

mento, pelo metodo KL para malha de 8 4 elementos Q2Q2. As solucoes para osmetodos DW e HF sao inteiramente analogas.

Observacao 3.3 Como comentario final, citamos que o emprego, neste exemplo,

dos elementos Q1Q1 sem a estabilizacao sobre o salto da pressao entre os elemen-

tos, conduz a aproximacoes instaveis para a pressao para todos os tres metodos


-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

log

||erro

||

-log(h)

Formulacoes com PD: STOKES Q2Q-2; PRESSAO

2

1

HF DW KL

(a)

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6lo

g ||e

rro||

-log(h)

Formulacoes com PD: STOKES Q2Q-2; GRADIENTE DA PRESSAO

1

1

HF DW KF

(b)

Figura 3.11: Formulacoes para Stokes com pressao descontnua: elementos Q2Q2;

(a) pressao e (b) gradiente da pressao.

-7.5

-7

-6.5

-6

-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

log

||erro

||

-log(h)

Formulacoes com PD: STOKES Q2Q-2; VELOCIDADE

3

1

HF DW KL

(a)

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

log

||erro

||

-log(h)

Formulacoes com PD: STOKES Q2Q-2; GRADIENTE DA VELOCIDADE

2

1

HF DW KL

(b)


(a) velocidade e (b) gradiente da velocidade.


-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

log

||erro

||

-log(h)

Formulacoes com PD: STOKES Q2Q-1; PRESSAO

2

1

HF DW KL

(a)

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6lo

g ||e

rro||

-log(h)

Formulacoes com PD: STOKES Q2Q-1; GRADIENTE DA PRESSAO

1

1

HF DW KL

(b)


(a) pressao e (b) gradiente da pressao.

-7

-6.5

-6

-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

log

||erro

||

-log(h)

Formulacoes com PD: STOKES Q2Q-1; VELOCIDADE

3

1

HF DW KL

(a)

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

log

||erro

||

-log(h)

Formulacoes com PD: STOKES Q2Q-1; GRADIENTE DA VELOCIDADE

2

1

HF DW KL

(b)


(a) velocidade e (b) gradiente da velocidade.


00.2

0.40.6

0.81 0.5

0.60.7

0.80.9

1

0.5

0

0.5

1

YX

P

Figura 3.15: Problema de Stokes; Pressao aproximada com uma malha de 8 4elementos Q2Q2

estabilizados estudados. Contudo, as velocidades aproximadas com esta escolha sao

estaveis. A instabilidade referida e do tipo tabuleiro de damas. Para ilustra-la,

apresentamos na Figura 3.16 a pressao aproximada pelo metodo DW com o uso de

16 8 elementos Q1Q1. Os resultados para os outros metodos sao analogos.

3.3 Conclusoes

Vimos neste captulo que a aplicacao do metodo de Galerkin para a aproximacao do

sistema de Stokes modelo utilizado nesta tese para o escoamento do fluido livre

esta sujeita a condicoes de compatibilidade entre os espacos discretos utilizados para

a interpolacao das variaveis do sistema: velocidade e pressao. Foi apresentada uma

combinacao estavel, constituda pelos elementos de Taylor-Hood, e foram discutidas

algumas formulacoes estabilizadas de Petrov-Galerkin que adicionam estabilidade

ao metodo de Galerkin atraves da combinacao consistente de resduos das equacoes

de governo. Tais formulacoes estabilizadas possuem capacidade de aproximacao

superior, possibilitando o emprego de combinacoes de interpolacoes inicialmente


00.2

0.40.6

0.81 0.5

0.60.7

0.80.9

1

1000

500

0

500

1000

YX

P

Figura 3.16: Problema de Stokes; instabilidade da pressao para elementos Q1Q1

instaveis para o metodo de Galerkin, tais como as de mesma ordem para ambas

as variaveis. Vimos ainda uma caracterstica marcante da maioria das formulacoes

estabilizadas de Petrov-Galerkin para o Problema de Stokes: a sensibilidade a`

escolha dos parametros de estabilizacao. Um estudo de convergencia apresentado

no final do captulo demonstrou as caractersticas de estabilidade e convergencia

preditas pela analise dos metodos abordados. Os topicos estudados neste captulo

terao um papel importante ao longo da tese. Principalmente para o desenvolvimento,

no Captulo 6, de formulacoes estabilizadas para o escoamento acoplado do fluido

livre com o meio poroso.

Captulo 4

Metodos de Elementos Finitos

para o Escoamento de Darcy

Neste captulo apresentamos metodos de elementos finitos aplicados ao escoamento

de um fluido incompressvel em um meio poroso rgido. Apos introduzir o pro-

blema modelo, descrevemos a aplicacao do metodo de Galerkin a`s suas formulacoes

classicas, elucidando suas principais limitacoes. Em seguida comentamos algumas

formulacoes estabilizadas para o problema, existentes na literatura. Mostramos a

equivalencia entre a formulacao adjunta de MASUD E HUGHES [12] com uma for-

mulacao simetrica, e associamos a origem da tecnica de pos-processamento global de

LOULA et al. [3] com uma formulacao mista estabilizada. A partir da combinacao

de resduos de mnimos quadrados com as formulacoes variacionais mistas classicas,

novas formulacoes estabilizadas sao propostas, incluindo um metodo que utiliza in-

terpolacoes descontnuas para o potencial. Estudos numericos serao apresentados

ao longo do captulo comprovando as caractersticas de estabilidade e convergencia

preditas pela analise dos metodos.

4.1 Escoamento de Darcy

O escoamento de um fluido newtoniano incompressvel em um meio poroso rgido e

representado por um sistema de equacoes diferenciais parciais composto pela con-

servacao da massa fluida mais a lei de Darcy, que relaciona a velocidade media de

45

CAPITULO 4 - Metodos de Elementos Finitos para o Escoamento de Darcy 46

escoamento nos poros com o gradiente de um potencial. Nesta secao descreveremos

a lei de Darcy, a partir de seu carater experimental e a partir de hipoteses simplifi-

cadoras para o balanco de momento linear de um fluido newtoniano incompressvel

que escoa em um meio poroso rgido. Assim como apresentamos para o escoamento

de Stokes no captulo anterior, ao final sera derivado o sistema de equacoes que de-

screve a dinamica do escoamento no meio poroso, ao qual denominaremos problema

de Darcy.

4.1.1 Lei de Darcy: Forma Emprica Unidimensional

A relacao entre a taxa de escoamento de um fluido em um meio poroso e a diferenca

de potencial a ele aplicada foi primeiramente quantificada por Henri Darcy em 1856

[48]. Seu experimento consistia em fazer escoar, sob pressao, um fluido de massa

especfica e viscosidade uniformes atraves de um tubo cilndrico de secao transversal

uniforme A, com uma parte de espessura L preenchida com areia completamente

saturada, conforme mostra a Figura 4.1.

h

Hh

H

Areia L

Figura 4.1: Esquema do experimento de Darcy.

A carga hidraulica h e medida, atraves de piezometros, em dois pontos do tubo.

Esta grandeza mede a energia potencial de uma massa unitaria do fluido localizado


no ponto em estudo, possuindo duas componentes,

h = z +p

g(4.1)

onde z e a elevacao do ponto em relacao a um nvel, p e a pressao no fluido, sua

massa especfica e g a magnitude da aceleracao da gravidade. O termo p/g mede

a elevacao do fluido no piezometro.

Experimentalmente verifica-se que a taxa de escoamento Q (volume do fluido

que atravessa a secao por unidade de tempo) e proporcional a` area A da secao

transversal e a` diferenca de carga (H h), alem de ser inversamente proporcionalao comprimento L, ou seja

Q AH hL

.

Denominando a constante de proporcionalidade por condutividade hidraulica K

e expressando em termos da taxa de variacao da carga hidraulica, podemos escrever

a forma unidimensional da lei de Darcy

Q = KAdhdl. (4.2)

E muito frequente o uso da velocidade de Darcy, dada por

u =Q

A= Kdh

dl.

Esta e uma velocidade media tomada a partir da vazao sobre toda a secao A, e nao

deve ser confundida com a velocidade real do fluido nos poros, que deve ser medida

a partir da area efetiva dos poros na secao.

4.1.2 Extensao da Lei de Darcy

A condutividade hidraulica, conforme definida, e uma grandeza dependente das

caractersticas do meio poroso e do fluido que escoa. Verifica-se que para um dado

meio

K g

com sendo a viscosidade dinamica do fluido, ou ainda

K =g


onde e uma grandeza puramente geometrica denominada permeabilidade intrnseca

do meio poroso. Para o caso mais geral, onde a ma

tese fem

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